/
Автор: Фоменко А.Т. Новиков С.П. Дубровин Б.А.
Теги: геометрия топология математика естественные науки издательство наука точные науки
Год: 1986
Текст
Б. А. ДУБРОВИН, С. П. НОВИКОВ, Л. Т. ФОМЕНКО
СОВРЕМЕННАЯ
ГЕОМЕТРИЯ
МЕТОДЫ И ПРИЛОЖЕНИЯ
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ,
ПЕРЕРАБОТАННОЕ
Допущено Министерством высшего
и среднего специального образования СССР
в качестве учебного пособил для студентов
физико-математических специальностей университетов
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1986
ББК 22.151
Д79
УДК 514
Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Совре-
менная геометрия: Методы и приложения.— 2-е изд., перераб.— М.: На-
ука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986.— 760 с.
Книга включает геометрию Евклида и Минковского, их группы
преобразований, классическую геометрию кривых и поверхностей,
тензорный анализ и римапову геометрию, вариационное исчисление*
и теорию поля, основы теории относительности, понятие многообразия
и важнейшие примеры, основы теории расслоений, гомотопий и гомо-
логий, некоторые их приложения, в частности, к теории калибровоч-
ных полей.
1-е издание выходило в 1979 г.
Для студентов университетов — математиков, механиков, физиков-
теоретиков, начиная со 2-го курса. Книга будет полезна также аспи-
рантам и научным работникам.
Рецензенты:
академик А. В. Погорелов,
член-корреспондент АН СССР /О. Г. Решетняк
л 1702040000-046 „
Д...053(02)-86
©Издательство «Наука»,
Главная редакция
физико-математической литературы, 1979^
с изменениями, 1986
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие....................................................10
ЧАСТЬ I
ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ,
ГРУПП ПРЕОБРАЗОВАНИЙ И ПОЛЕЙ
Глава 1. Геометрия в области пространства. Основные понятия • 17
§ 1. Системы координат ....................................17
1. Декартовы координаты в пространстве (17). 2. Замена
координат (19).
§ 2. Евклидово пространство................................23
1. Кривая в евклидовом пространстве (24). 2. Квадратичные
формы и векторы (29).
§ 3. Римановы и псевдоримановы пространства................32
1. Риманова метрика (32). 2. Метрика Минковского (35).
§ 4. Простейшие группы преобразований евклидова пространства 37
1. Группы преобразований области (37). 2. Преобразования
плоскости (38). 3. Движения трехмерного евклидова прост-
ранства (44). 4. Другие примеры групп преобразований (47).
§ 5. Формулы Френе.........................................50
1. Кривизна плоских кривых (50),. 2. Пространственные кри-
вые. Кривизна и кручение (55). 3. Ортогональные преобра-
зования, зависящие от параметра (58).
§ 6. Псевдоевклидовы пространства . . , . . . . . 61
1. Простейшие понятия специальной теории относительно-
сти (61). 2. Преобразования Лоренца (63).
Глава 2. Теория поверхностей...................................70
§ 7, Геометрия на поверхности в пространстве...............70
1. Координаты на поверхности (70). 2. Касательная плос-
кость (73). 3. Метрика на поверхности (74). 4. Площадь по-
верхности (78).
§ 8. Вторая квадратичная форма.............................82
1. Кривизна кривых на поверхности в евклидовом прост-
ранстве (82). 2. Инварианты пары квадратичных форм (84).
3. Свойства второй квадратичной формы (86).
§ 9. Метрика сферы........................................ 91
«§ 10. Пространственноподобные поверхности в псевдоевклидовом
пространстве .........................................93
1. Псевдосфера (93). 2. Кривизна пространственноподобных
поверхностей в R® (96).
5 11. Комплексный язык в геометрии ,.......................97
1. Комплексные и вещественные координаты (97). 2. Эрми-
тово скалярное произведение (99). 3. Примеры групп комп-
лексных преобразований (100).
4
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 12. Аналитические функции...................................102
1. Комплексная запись элемента длины и дифференциала
функции (102). 2. Комплексные замены координат (104).
3. Поверхности в комплексном пространстве (107).
§ 13. Конформный вид метрик поверхностей......................109
1. Изотермические координаты. Гауссова кривизна в кон-
формных координатах (109). 2. Метрики сферы и плоскости
Лобачевского в конформном виде (112). 3. Поверхности по-
стоянной кривизны (114).
§ 14. Группы преобразований как поверхности в A-мерном про-
странстве ....... ....................
1. Координаты в окрестности единицы (116). 2. Экспонента
от матрицы (122). 3. Кватернионы (124).
§ 15. Конформные преобразования многомерных евклидовых и
псевдоевклидовых пространств.................................129
Глава 3. Тензоры. Алгебраическая теория..........................135
§ 16. Примеры тензоров...........................................
§ 17. Общее определение тензора..............................142^
1. Закон преобразования компонент тензоров произвольного
ранга (142). 2. Алгебраические операции над тензорами
(148).
§ 18. Тензоры типа (0, к)...................................
1. Дифференциальная форма записи тензоров с нижними
индексами (151). 2. Кососимметрические тензоры типа
(0, к) (153). 3. Внешнее произведение дифференциальных
форм. Внешняя алгебра (156). 4. Кососимметрические тен-
зоры типа (/с, 0) (поливекторы). Интеграл от антикоммути-
рующих переменных (157).
§ 19. Тензоры в римановом и псевдоримановом пространстве . 159
1. Поднятие и опускание индексов (159). 2. Собственные зна-
чения квадратичной формы (161). 3. Оператор* (162). 4. Тен-
зоры в евклидовом пространстве (162).
§ 20. Кристаллографические группы и конечные подгруппы груп-
пы вращений плоскости и пространства. Примеры инвари-
антных тензоров............................................ 164
§ 21. Тензоры ранга 2 в псевдоевклидовом пространстве и их соб-
ственные значения.......................................... 184
1. Кососимметрические тензоры. Инварианты электромагнит-
ного поля (184). 2. Симметрические тензоры и собственные
значения. Тензор энергии-импульса электромагнитного по-
ля (187).
§ 22. Поведение тензоров при отображениях.....................190
1. Общая операция ограничения тензоров с нижними ин-
дексами (190). 2. Отображение касательных пространств
(191).
§ 23. Векторные поля . .................................192
1. Одпопараметрические группы диффеоморфизмов (192).
2. Экспонента от векторного поля (194). 3. Производная Ли.
Примеры (195).
§ 24. Алгебры Ли..............................................199
1. Алгебры Ли и векторные поля (199). 2. Основные мат-
ричные алгебры Ли (201). 3. Линейные векторные поля
(206). 4. Левоинвариантные поля на группах преобразова-
ний (208), 5. Метрика Киллинга (209). 6. Классификация
трехмерных алгебр Ли (210). 7. Алгебра Ли конформной
группы (211).
ОГЛАВЛЕНИЕ
5
Глава 4. Дифференциальное исчисление тензоров . . . * . 217
§ 25. Дифференциальное исчисление кососимметрических тен-
зоров .................................................217
1. Градиент кососимметрического тензора (217). 2. Внешний
дифференциал формы (220).
§ 26. Кососимметрические тензоры и теория интегрирования . 225
1. Интегрирование дифференциальных форм (225). 2. Приме-
ры дифференциальных форм (230). 3. Общая формула Сток-
са. Примеры (235). 4. Доказательство общей формулы Сток-
са для куба (242).
§ 27. Дифференциальные формы в комплексных пространствах 244
1. Операторы d' и d" (244). 2. Колерова метрика. Форма
кривизны (247).
§ 28. Ковариантное дифференцирование.......................249
1. Евклидова связность (249). 2. Ковариантное дифференци-
рование тензоров произвольного ранга (257).
§ 29. Ковариантное дифференцирование и метрика . . . . ' 261
1. Параллельный перенос векторных полей (261). 2. Геодези-
ческие (263). 3. Связности, согласованные с метрикой (264).
4. Связности, согласованные с комплексной структурой
(267).
§ 30. Тензор кривизны......................................271
1. Общий тензор кривизны (271). 2. Симметрии тензора кри-
визны. Тензор кривизны, порожденный метрикой (275).
3. Примеры: тензор кривизны двух- и трехмерных прост-
ранств, метрики Киллинга (276). 4. Уравнения Петерсона —
Кодацци. Поверхности постоянной отрицательной кривизны
и уравнение «sin-gordon» (281).
Глава 5. Элементы вариационного исчисления ...... 286
§ 31. Одномерные вариационные задачи.........................286
1. Уравнения Эйлера — Лагранжа (286). 2. Основные при-
меры функционалов (289).
§ 32. Законы сохранения......................................293
1. Группы преобразований, сохраняющих вариационную за-
дачу (293). 2. Некоторые примеры. Применение законов со-
хранения (294).
§ 33. Гамильтонов формализм . .................... . 304
1. Преобразование Лежандра (304). 2. Движущиеся систе-
мы координат (306). 3. Принципы Мопертюи и Ферма. При-
ложения (310).
§ 34. Геометрическая теория фазового пространства .... 312
1. Градиентные системы (312). 2. Скобка Пуассона (314).
3. Канонические преобразования (319).
§ 35. Лагранжевы поверхности............................... 323
1. Пучки траекторий и уравнение Гамильтона — Якоби (323).
2. Случай гамильтонианов, являющихся однородными функ-
циями первого порядка от импульсов (326).
§ 36. Вторая вариация для уравнения геодезических . . . 329
1. Формула второй вариации (329). 2. Сопряженные точки
и условие минимальности (332).
Глава 6. Многомерные вариационные задачи. Поля и их геометри-
ческие инварианты..........................................335
§ 37. Простейшие многомерные вариационные задачи . . . 335
1. Уравнения Эйлера — Лангранжа (335). 2. Тензор энергии-
импульса (338), 3. Уравнения электромагнитного поля (342).
6
ОГЛАВЛЕНИЕ
4. Уравнения гравитационного поля (348). 5. Мыльные
пленки (355). 6. Уравнение равновесия тонкой пластинки
(360).
§ 38. Примеры лагранжианов......................................365
§ 39. Простейшие понятия общей теории относительности . . 368
§ 40. Спинорное представление групп 50(3) и 0(3, 1). Уравне-
ние Дирака и его свойства . ....................................382
1. Автоморфизмы алгебры матриц (382). 2. Спицорное пред-
ставление группы 50(3) (383). 3. Спинорное представление
группы Лоренца (385). 4. Уравнение Дирака (388). 5. Урав-
нение Дирака в электромагнитном поле. Оператор зарядо-
вого сопряжения (390).
§ 41. Ковариантное дифференцирование полей , с произвольной
симметрией................................................. 391
1. Калибровочные преобразования. Калибровочно инвариант-
ные лагранжианы (391). 2. Форма кривизны (394). 3. Ос-
новные примеры (395).
§ 42. Примеры калибровочно инвариантных функционалов. Урав-
нения Максвелла и Янга — Миллса. Функционалы с тож-
дественно нулевой вариационной производной (характерис-
тические классы)............................................ 399
ЧАСТЬ II
ГЕОМЕТРИЯ И ТОПОЛОГИЯ МНОГООБРАЗИЙ
Глава 1. Примеры многообразий................................... 407
§ 1. Понятие многообразия................................... 407
1. Определение многообразия (407). 2. Отображения много-
образий; тензоры на многообразии (411). 3. Вложения и по-
гружения многообразий. Многообразия с краем (414).
§ 2. Простейшие примеры многообразий..........................416
1. Поверхности в евклидовом пространстве. Группы преобра-
зований как многообразия (416). 2. Проективные прост-
ранства (421).
§ 3. Необходимые сведения из теории групп Ли .... 424
1. Строение окрестности единицы группы Ли. Алгебра Ли
группы. Полупростота (424). 2. Понятие (линейного) предс-
тавления. Пример нематричной группы Ли (430).
§ 4. Комплексные многообразия.................................433
1. Определения и примеры (433). 2. Римановы поверхности
как многообразия (439).
§ 5. Простейшие однородные пространства.......................442
1. Действие группы на многообразии (442). 2. Примеры од-
нородных пространств (443).
§ 6. Пространства постоянной кривизны (симметрические про-
странства) ...................................................447
1. Понятие симметрического пространства (447). 2. Группа
изометрий. Свойства ее алгебры Ли (449). 3. Симметрические
пространства 1-го и 2-го типов (451). 4. Группы Ли как сим-
метрические пространства (452). 5. Построение симметри-
ческих пространств. Примеры (454).
§ 7. Линейные элементы и связанные с ними многообразия . . 458
1. Конструкции, связанные с касательными векторами (458).
2. Нормальное расслоение к подмногообразию (461).
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 2. Вопросы обоснования. Необходимые сведения из теории
функций. Типичные гладкие отображения........................464
§ 8. Разбиение единицы и его применения ...... 464
1. Разбиение единицы. (464). 2. Простейшие применения раз-
биения единицы. Интеграл по многообразию и формула
Стокса (468). 3. Инвариантные метрики (473).
§ 9. Реализация компактных многообразий как поверхностей
в к" ... .............................................475
§ 10. Некоторые свойства гладких отображений многообразий . 475
1. Аппроксимация непрерывных отображений гладкими
(475). 2. Теорема Сарда (477). 3. Трансверсальная регуляр-
ность (481). 4. Функции Морса (484).
§ 11. Применения теоремы Сарда............................488
1. Существование вложений и погружений (488). 2. Построе-
ние функций Морса как функций высоты (491). 3. Фокаль-
ные точки (493).
Глава 3. Степень отображения. Индекс пересечения. Их приложе-
ния ....................................................... 496
§ 12. Понятие гомотопии.....................................496
1. Определение гомотопии. Аппроксимация отображений и
гомотопий гладкими (496). 2. Относительные гомотопии
(498).
§ 13. Степень отображения ..................................499
1. Определение степени (499). 2. Обобщения основного оп-
ределения (500). 3. Гомотопическая классификация отобра-
жений многообразия в сферу (502). 4. Простейшие приме-
ры (503).
§ 14. Некоторые применения степени...........................506
1. Степень и интеграл (506). 2. Степень векторного поля на
гиперповерхности (507). 3. Число Уитни. Формула Гаусса —
Бонне (509). 4. Индекс особой точки векторного поля (513).
5. Трансверсальная поверхность векторного поля. Теорема
Пуанкаре — Бендиксона (516).
§ 15. Индекс пересечения и его применения....................519
1. Определение индекса пересечения (519). 2. Суммарная
особенность векторного поля (521). 3. Алгебраическое число
неподвижных точек. Теорема Брауэра (523). 4. Коэффици-
ент зацепления (525).
Глава 4. Ориентируемость многообразий. Фундаментальная группа.
Накрытия (расслоенные пространства с дискретным слоем) . . 527
§ 16. Ориентируемость и гомотопия замкнутых путей ... * 527
1. Перенос ориентации вдоль пути (527). 2. Примеры не-
ориентируемых многообразий (529).
§17. Фундаментальная группа............................... 530
1. Определение фундаментальной группы (530). 2. Зависи-
мость от начальной точки (532). 3. Свободные гомотопиче-
ские классы отображений окружности (532). 4. Гомотопи-
ческая эквивалентность (533). 5. Примеры (534). 6. Фунда-
ментальная группа и ориентируемость (536).
§ 18. Накрытие и накрывающая гомотопия....................537
1. Определение и фундаментальные свойства накрытий (537).
2. Простейшие примеры. Универсальное накрытие (539).
3. Разветвленные’накрытия. Римановы поверхности (541).
4. Накрытия и дискретные группы преобразований (543).
8
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 19. Накрытия и фундаментальная группа. Вычисление фунда-
ментальной группы некоторых многообразий .... 544
1. Монодромия (544). 2. Вычисление фундаментальной
группы с помощью накрытий (547). 3. Простейшая гомоло-
гическая группа (550).
§ 20. Дискретные группы движений плоскости Лобачевского . 552
Глава 5. Гомотопические группы....................................567
§ 21. Определение абсолютных и относительных гомотопических
групп. Примеры...............................................567
1. Основные определения (567). 2. Относительные гомотопи-
ческие группы. Точная последовательность пары (570).
§ 22. Накрывающая гомотопия. Гомотопические группы накрытий
и пространств петель.........................................573
1. Понятие расслоения (573). 2. Точная последовательность
расслоения (575). 3. Зависимость гомотопических групп от
начальной точки (577). 4. Случай групп Ли (580). 5. Умно-
жение Уайтхеда (582).
§ 23. Сведения о гомотопических группах сфер. Оснащенные мно-
гообразия. Инвариант Хопфа . .......................585
1. Оснащенные многообразия и гомотопические группы сфер
(585). 2. Надстройка (589). 3. Вычисление групп лп+1(5п)
(591). 4. Группы лп+2(5”) (592).
Глава 6. Гладкие расслоения (косые произведения) . . . 596
§ 24. Гомотопическая теория косых произведений .... 596
1. Понятие гладкого расслоения (596). 2. Связность (601).
3. Вычисление гомотопических групп с помощью расслое-
ний (603). 4. Классификация расслоений (609). 5. Вектор-
ные расслоения и операции над ними (614), 6. Мероморф-
ные функции (616). 7. Формула Пикара — Лефшеца (620).
§ 25. Дифференциальная геометрия расслоений . 622
1. G-связности в главных расслоениях (622). 2. G-связно-
сти в ассоциированных расслоениях. Примеры (627). 3. Кри-
визна (630). 4. Характеристические классы. Конструкции
(635). 5. Характеристические классы. Перечисление (641).
§ 26. Узлы и зацепления. Косы.................................649
1. Группа узла (649). 2. Полином Александера (651). 3. Рас-
слоение, связанное с узлом (652). 4. Зацепления (654).
5. Косы (655).
Глава 7; Некоторые примеры динамических систем и слоений на
многообразиях.............................................. 658
§ 27. Простейшие понятия качественной теории динамических си-
стем. Двумерные многообразия.............................658
1. Основные определения (658). 2, Динамические системы на
торе (662).
§ 28. Гамильтоновы системы на многообразиях. Теорема Лиувил-
ля. Примеры..............................................667
1. Гамильтоновы системы в кокасательном расслоении (667).
2. Гамильтоновы системы на многообразиях. Примеры (668).
3. Геодезические потоки (671). 4. Теорема Лиувилля (673).
5. Примеры (675).
§ 29. Слоения............................................... 679
1. Основные определения (679). 2. Примеры слоений кораз-
мерности 1 (682).
ОГЛАВЛЕНИЕ
9
§ 30. Вариационные задачи с высшими производными. Гамильто-
новы полевые системы....................................... 688
1. Гамильтонов формализм задач с высшими производными
(688). 2. Примеры (691). 3. Гамильтонов формализм полевых
систем (694).
Глава 8. Глобальная структура решений многомерных вариацион-
ных задач.................................................. 703
§ 31. Некоторые многообразия общей теории относительности
(ОТО)........................................................703
1. Постановка задачи (703). 2. Сферически симметричные ре-
шения (704). 3. Аксиально симметричные решения (712).
4. Космологические модели (716). 5. Модели Фридмана (718).
6. Анизотропные вакуумные модели (722). 7. Более общие
модели (726).
§ 32. Некоторые примеры глобальных решений уравнений Янга —
Миллса. Киральные поля..................................... 731
1. Общие замечания. Решения типа монополей (731). 2. Урав-
нение дуальности (736). 3. Киральные поля. Интеграл Ди-
рихле (739).
§ 33. Минимальность комплексных подмногообразий . . . * 748
Список литературы ............................................ 753
Предметный указатель . . ............................. 755
ПРЕДИСЛОВИЕ
До последнего времени риманова геометрия и основы топологии не вхо-
дили в программы обязательного университетского математического образо-
вания даже для математических факультетов. Раньше существовали (и до
сих пор существуют кое-где) курсы классической дифференциальной гео-
метрии кривых и поверхностей, на которые все постепенно стали смотреть
как на анахронизм. Однако до сих пор нет единой точки зрения на то, как
именно эти курсы следует модернизировать, какую часть современной гео-
метрии следует считать общеобязательным элементом современной матема-
тической культуры, сколь абстрактным должен быть язык ее изложения.
Модернизированный курс геометрии начал создаваться иа отделении
механики механико-математического факультета МГУ в 1971 г. Здесь точка
зрения на содержание и уровень абстрактности изложения геометрического
курса диктовалась соображениями необходимости: кроме геометрии кривых
и поверхностей теория тензоров, их ковариантное дифференцирование, ри-
манова кривизна, геодезические и вариационное исчисление, включая зако-
ны сохранения и гамильтонов формализм, особый случай кососимметрических
тензоров («форм»), операций над ними, многомерные формулы типа Сток-
са и их инвариантная запись безусловно полезны в различных разделах
механики, особенно в механике сплошных сред, теории относительности
и др. Многие ведущие механики разделяли точку зрения математиков о полез-
ности внедрения некоторых сведений из теории многообразий, групп преоб-
разований, алгебр Ли, а также изложения простейших идей наглядной то-
пологии. При этом язык изложения всех частей курса должен был быть
предельно простым, не абстрактным, терминология — общей с той, которая
используется физиками всюду, где это возможно. Этот материал и составил
первоначальный курс, записанный и изданный в МГУ в виде пособий:
Новиков С. П. Дифференциальная геометрия, части I и II.— Рота-
принт НИИ механики при МГУ, 1972.
В дальнейшем авторы видоизменяли разные части курса, добавляли но-
вые. Эти дополнения были изданы в МГУ:
Новикове, П., Фоменко А. Т. Дифференциальная геометрия,
часть III.— Ротапринт НИИ механики при МГУ, 1974.
Эта книга написана авторами в результате обработки, упорядочения и
дальнейшего развития ротапринтных пособий по геометрии, о которых мы
упоминали выше. Она, как нам кажется, может служить учебным пособием,
на базе которого без труда формируется обязательный геометрический курс.
Идея создания пособия такого типа и план книги принадлежат С. П. Но-
викову. Работа по согласованию материала упомянутых выше ротапринтных
пособий с этим планом была проведена Б. А. Дубровиным, Это составило
ПРЕДИСЛОВИЕ
И
более половины первой части книги. Весь остальной материал пришлось
писать целиком заново. Неоценимый вклад при завершении работы над кни-
гой внес редактор Д. Б. Фукс.
Содержание написанной нами книги значительно выходит за рамки
обязательного курса, который может быть прочитан студентам 2—3-го кур-
сов университета. Это сделано авторами преднамеренно: мы хотели, чтобы
уже в части I ряд разделов книги служил для дальнейшего самостоятельно-
го ознакомления студентов и аспирантов с более сложными геометрически-
ми по своей сути понятиями и методами теории групп преобразований и
алгебр Ли, теории поля и вариационного исчисления, в частности с теми,
которые играют фундаментальную роль в математическом формализме фи-
зики. При этом мы старались минимизировать уровень абстрактности языка
изложения и системы обозначений, жертвуя часто так называемой «общно-
стью» формулировок и доказательств: нередко важный факт в узловых, оп-
ределяющих всю суть дела примерах может быть получен из элементарных
соображений классического анализа и геометрии, не использующих никакие
современные «сверхинвариантные» понятия и обозначения, но его формули-
ровка и особенно доказательство «в общем виде» требуют резкого усложне-
ния уровня формализации и абстрактности. В таких случаях мы излагали
вывод именно для этих важнейших примеров на том простейшем языке, ко-
торый для этого нужен, оставляя доказательство общего утверждения за
рамками этой книги или помещая его уже потом. При изложении геометри-
ческих вопросов, связанных с современной физикой более тесно, мы анали-
зировали физическую литературу: довольно большие начальные части книг
по квантовой теории цоля (например [36], [37]) содержат ряд полезных
сведений о важных понятиях, связанных с многомерным вариационным ис-
числением и простейшими представлениями групп Ли в той форме, в какой
они используются физиками; книги [38], [39] посвящены теории полей,
геометрических по своему смыслу; например, существенная часть книги
[38] является изложением римановой геометрии в физическом аспекте и
содержит много полезного конкретного материала. Любопытно посмотреть
также книги по механике сплошных сред и теории твердого тела ([40] —
[42]), чтобы составить себе представление о некоторых применениях тензо-
ров, теории групп и т. д.
При написании книги авторы не стремились к полному «самообслужи-
ванию»: в математическом образовании изучение геометрии является лишь
одной из компонент; ряд вопросов анализа, дифференциальных уравнений,
алгебры, элементов общей топологии и теории меры излагается в других
курсах. Мы в данной книге не занимались изложением этих вопросов, лишь
в случае необходимости напоминая формулировки.
Вторая часть книги, посвященная геометрии и топологии многообразий,
содержит гораздо больше материала, выходящего за рамки обязательного
курса, чем первая. Книг по топологии и геометрии многообразий было на-
писано немало; однако большинство их посвящено узким частям этой об-
ласти и написано языком (как правило, весьма абстрактным), специально
приспособленным только для изложения данного узкого раздела со всеми
обоснованиями, являющимися зачастую основными источниками сложно-
12
ИРЬДИилиВИЕ
сти. По мере возможности мы и в этой части соблюдали принципы мини-
мальной абстрактности изложения, предпочтения важнейших примеров
общим теоремам и возможной независимости изложения разных глав, что-
бы каждую из них в отдельности было легче читать (если это вообще допус-
кается сутью дела). Однако следует иметь в виду такое обстоятельство: хо-
тя ряд понятий топологии (например, узлы и зацепления, фундаментальная
группа, гомотопические группы, расслоенные пространства) вводится без
особого труда, попытки серьезно использовать их в простейших примерах
неизбежно требуют развития некоторого аппарата, не представленного ни-
какими аналогиями в классической математике. Вследствие этого сложность
второй части для читателя, даже хорошо владеющего аппаратом классиче-
ской математики, но впервые изучающего элементы топологии, существенно
выше, чем в первой части,— тут ничего не поделаешь. Внедрение этих мето-
дов в различные разделы самой математики, начиная с 50-х годов, было
весьма интенсивным. В последние годы возник ряд «ростков» нетривиально-
го применения методов топологии (иногда вместе с комплексной алгебраи-
ческой геометрией) в ряде современных математико-физических задач:
в квантовой теории конкретных полей, имеющих геометрическую природу,
например полей Янга— Миллса, киральных полей, в теории жидких кри-
сталлов и сверхтекучести, в общей теории относительности, в теории неко-
торых важных в физике нелинейных волновых уравнений, например, Кор-
тевега — де Фриза, sin-gordon и др., в статистической механике некоторых
веществ с «длинными молекулами» (попытки применения узлов и зацепле-’
ний). Мы не можем, к сожалению, изложить сами эти приложения в рам-
ках данной книги, так как их изложение в каждом случае потребовало бы
большого количества предварительных физических сведений, которые увели
бы нас весьма далеко. Однако при подборе материала мы считались с ин-
формацией о том, какие топологические соображения и попятил имеются в
этих приложениях, зная о необходимости иметь по топологии книгу, кото-
рую мог бы (при сильном желании) прочесть молодой физик-теоретик со-
временной школы, и при этом с определенной пользой.
Развитие топологических и геометрических идей за последние 20 лет
потребовало существенного усложнения алгебраического аппарата, перепле-
тающегося с многомерной геометрической интуицией, глубокого использо-
вания функционального анализа и теории уравнений в частных производ-
ных, комплексного анализа; все это не вошло в данную книгу, претендую-
щую на элементарность (многое из этого не изложено до сих пор ни в одной
книге учебного типа и изучается лишь по журнальным статьям и моно-
графиям) .
Наглядным и общеполезным разделом классической геометрии поверх-
ностей в трехмерном пространстве является также геометрия в целом, в осо-
бенности теория выпуклых фигур и ее приложения. Большой интерес также
представляют глобальные проблемы теории поверхностей отрицательной
кривизны. Не будучи специалистами в этих областях, авторы не смогли вы-
делить из них достаточно простых и иллюстративных «выжимок», которые
могли бы быть помещены в элементарную книгу. С этими разделами гео-
метрии читатель может познакомиться по книгам [4] — [6].
ПРЕДИСЛОВИЕ
13
По техническим соображениям третья часть книги, относящаяся к тео-
рии гомологий, будет издана авторами отдельно.
Из книг по топологии и геометрии многообразий по самому подходу к
выбору материала авторам оказались наиболее близкими классические кни-
ги Зейферта и Трельфалля «Топология» и «Вариационное исчисление в це-
лом», а также более современные прекрасные книги [И], [12], [17]. Мате-
риал этих книг и методика их авторов активно использовались и продумы-
вались нами в процессе работы. Если говорить о второй части, мы хотели на-
писать нечто вроде современного аналога книги типа «Топология» Зейфер-
та и Трельфалля, однако гораздо более разносторонней по содержанию, пе-
рестроенной по мере возможности на технику современной теории гладких
многообразий с упрощенным языком, обогащенную новым материалом,
ориентированную на сегодняшнее представление о значении топологиче-
ских методов, о возможном читателе, впервые изучающем топологическую
книгу, но желающем узнать не слишком мало и при этом за минимально
возможное время. Нам казалось разумным в той мере, в которой это вообще
возможно в математической книге (особенно в первой части), пытаться ис-
пользовать методический опыт, накопленный физиками: как сделать ма-
тематически нетривиальные явления понятными с помощью минимальных
общедоступных средств (не отказываясь, разумеется, от характерного для
математической литературы выделения в тексте явных формулировок тео-
рем и лемм). В любом случае, по нашему мнению, понимание должно пред-
шествовать формализации и обоснованию. Существует немало фактов, ис-
пользование которых в применениях никак не связано с тем, как именно
этот факт был доказан (лишь бы он был верен). Иногда в процессе разбора
примеров (особенно в более сложных разделах второй части) мы приводим
такие факты без доказательства и затем их используем. Нам этот прием
кажется оправданным. Читатель, наконец, сам сможет (если захочет) разо-
брать по другой литературе доказательство факта, приложения которого он
уже хорошо знает. (Для этого мы рекомендуем книгу [26].) Впрочем, мы
-старались разбить доказательство таких фактов на вполне решаемые задачи,
помещенные в соответствующих параграфах в число упражнений.
В двух последних главах книги помещен ряд извлечений из современ-
ной литературы по динамическим системам и слоениям, общей теории от-
носительности, теории полей Янга — Миллса и киральных полей. Излагае-
мые здесь идеи принадлежат различным современным авторам. В данной
книге, носящей чисто учебный характер, мы сочли возможным не приво-
дить соответствующего длинного списка цитирований. Читатель, который
будет изучать эти вопросы более глубоко по современной литературе, най-
дет в ней и соответствующие цитирования.
В заключение авторы хотели бы выразить свою глубокую благодарность
коллегам по механико-математическому факультету МГУ, чья ценная под-
держка сделала возможной работу над новыми геометрическими курсами
и их внедрением. Из числа ведущих математиков факультета это относится
в первую очередь к создателю школы советских топологов П. С. Александ-
рову и известным геометрам П. К. Рашевскому и Н. В. Ефимову,
14
ПРЕДИСЛОВИЕ
Авторы благодарны редактору книги Д. Б. Фуксу за большую работу
по усовершенствованию рукописи, а также рецензентам А. Д. Александро-
ву, А. В. Погорелову, Ю. Ф. Борисову, В. А. Топоногову, В. И. Кузьминову,
сделавшим ряд полезных замечаний.
Авторы выражают также особую благодарность ученым, способствовав’
шим внесению в материал книги ряда нестандартных разделов. Например,
доказательство теоремы Лиувилля о конформных отображениях отсутству’
ет в общедоступной литературе и было сообщено авторам В. А. Зоричем.
Редактор книги Д. Б. Фукс указал авторам простые доказательства ряда
теорем. Авторы благодарят также О. И. Богоявленского, М. И. Монастырско-
го, С. Г. Гиндикина, Э. Б. Випберга, Д. В. Алексеевского, И. В. Грибкова,
П. Г. Гриневича.
При подготовке второго издания книги авторы учли многочисленные от-
зывы и пожелания читателей — от студентов и аспирантов до крупных
ученых, математиков и физиков. Наиболее значительной методической пе-
рестройке подверглись разделы, посвященные геометрической теории фа-
зового пространства и гамильтонова формализма. Дано также систематиче-
ское изложение бесконечномерного (теоретико-полевого) обобщения гамиль’
тонова формализма. Далее, в качестве одного из приложений теории косо-
симметрических тензоров в § 18 включен формализм так называемого ин-
тегрирования по антикоммутирующим переменным. Методически улучшены
главы, посвященные многомерному вариационному исчислению. Серьезно
расширен текст начала второй части с тем, чтобы более элементарно под-
вести читателя к понятию многообразия. Ликвидированы некоторые ошибки
в доказательстве теоремы-Лиувилля о вполне интегрируемых системах. Бы-
ли устранены некоторые другие недочеты и замеченные опечатки и расши-
рен список литературы.
Авторы благодарят Я. Б. Зельдовича, замечания которого позволили
улучшить изложение в ряде мест при подготовке английского и французско-
го изданий книги (разумеется, эти улучшения сделаны и в настоящем из-
дании). Авторы благодарны также рецензентам переработанного варианта
книги А. В. Погорелову и Ю. Г. Решетняку за ряд полезных замечаний»
Часть 1
ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ,
ГРУПП ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
И ПОЛЕЙ
Глава 1
ГЕОМЕТРИЯ В ОБЛАСТИ ПРОСТРАНСТВА.
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
§ 1. Системы координат
Мы начнем с обсуждения некоторых понятий, лежащих в ос-
нове геометрии. Школьная, греческая геометрия изучала различ-
ные метрические свойства простейших геометрических фигур.
Основные задачи, решаемые в ней,— нахождение соотношений
между длинами и углами треугольников и многоугольников.
Кроме того, на базе этого были вычислены площади поверхностей
и объемы некоторых тел. Центральные понятия школьной геомет-
рии, на основе которых она строилась,— это длина отрезка пря-
мой (или кривой для случая окружности), а также угол между
двумя пересекающимися линиями (прямыми или кривыми).
Основная цель аналитической геометрии — описание геометри-
ческих фигур формулами в декартовой системе координат па пло-
скости или в трехмерном пространстве. По сравнению со «школь-
ной» геометрией здесь изменился лишь метод, но предмет остался
тем же самым. Равным образом и дифференциальная геометрия —
это тот же предмет, но дополнительно здесь будут глубоко ис-
пользоваться средства дифференциального исчисления и линей-
ной алгебры. При этом дифференциальная геометрия расширяет
класс рассматриваемых объектов, вводя в рассмотрение общие
гладкие фигуры.
1. Декартовы координаты в пространстве. Итак, наши основ-
ные представления о геометрии таковы:
1. Геометрия разворачивается в некотором пространстве, ко-
торое состоит из точек Р, Q, ...
2. Следуя методу аналитической геометрии, в это простран-
ство можно ввести декартовы координаты. Введение декартовых:
координат в пространство означает, что каждой точке простран-
ства поставлен в соответствие набор действительных чисел ж1, ...
..., хп, называемых ее координатами^ причем требуется выполне-
ние следующих свойств:
а) разным точкам пространства соответствуют разные наборы
координат; это означает, что две точки Р и Q с координатами
(я1, ..., хп), (г/1, ..., уп) совпадают в том и только том случае^
если хх = у\ i = 1, 2, ..., п;
2 Б. А. Дубровин и др.
18
ГЛ. 1, ГЕОМЕТРИЯ В ОБЛАСТИ ПРОСТРАНСТВА
(Я. Г
б) наоборот, каждому набору (х\ ,жп), где я*—любые дей-
ствительные числа, должна соответствовать какая-то точка Р
изучаемого пространства.
Определение 1. Пространство, в котором введены декар-
товы координаты (ж1, ..., хп) так, что выполняются перечислен-
ные свойства, называется п-мерным декартовым пространством*}
и обозначается через Rn- Число п называется числом измерений
или размерностью пространства.
Часто мы будем называть сами наборы (я1, ..., хп) точками
декартова пространства. Простейший пример декартова простран-
ни и сразу
ства — это числовая прямая, которая явля-
ется одномерным декартовым пространством.
Здесь имеется только одна координата
х1 (п » 1). Другие примеры, появляющиеся
в аналитической геометрии,— это декартовы
координаты на плоскости (двумерное декар-
тово пространство) и в «обычном», т. е.
трехмерном, пространстве (рис. 1). Этих
примеров было вполне достаточно для ре-
шения задач «школьной» геометрии.
Укажем менее привычный, но крайне
важный пример декартова пространства.
Современные физические представления не
допускают разделения пространства и време-
рют к четырехмерному пространственно-вре-
менному континууму. Эта форма математического подхода к упо-
рядочению явлений природы является чрезвычайно удобной.
Точками пространственно-временного континуума являются
события. Каждому событию поставим в соответствие набор из
четырех чисел (i, я1, я2, я3), где t—«момент времени», когда
произошло событие, я1, я2, х3— координаты «места события». Ве-
личины (i, я1, х\ х3) и будут декартовыми координатами в про-
странственно-временном континууме. Таким образом, простран-
ственно-временной континуум есть четырехмерное декартово про-
странство. Теперь можно забыть исходную интерпретацию коор-
динат (i, х\ х2, х3) как времени и места события. Трехмерное
пространство, в котором разворачивается классическая геометрия,
тогда будет просто поверхностью уровня t == const. Процесс жизни
каждого объекта, который можно в любой момент времени счи-
тать одноточечным («точечной частицы»), отождествляется с ли-
нией xa(t), а«1, 2, 3, ti С t < i2, в четырехмерном пространстве.
Эту линию мы назовем мировой линией точечной частицы (рис. 2).
Мы также будем рассматривать трехмерный и даже двумерный
пространственно-временной континуум с координатами (i, х2}
*) Возможно, такая терминология не является общеупотребительной. Мы
надеемся, что это не смутит читателя,
ч. I]
§ 1. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ
19
и (t, х1} соответственно, так как в этих случаях легче рисо-
вать.
2. Замена координат. Пусть в n-мерном декартовом простран-
стве задана числовая функция f(P), т. е. функция от положения
точки Р в пространстве. Пользуясь декартовыми координатами^
мы можем представить функцию / как функцию от п действи-
тельных переменных: если Р = (х\ ..., хп), то f(P) = f(x\ ..., хп)-
Мы будем рассматривать только непрерыв-
ные (и даже непрерывно дифференцируе-
мые) функции f(x\ ..., хп). Функции / мо-
гут быть определены не на всем простран-
стве К , а только на его части — на области
пространства.
Определение 2. Область или область
без границы (открытое множество) — это
совокупность D точек в такая, что вме-
сте с любой точкой из этой совокупности
ей принадлежат также все достаточно близ-
кие к ней точки пространства.
Более точно, если Ро = (х^, ... ,х$} лежит в области D, *то
найдется такое е>0, что если для точки Р = (х\ ..., хп) выпол-
няются неравенства
| я1 — хг0 ( < е, i = 1, ..., п,
то Р лежит в области D.
Определение 3. Область с границей получается из области
без гранипы добавлением ее предельных точек. Граница области
состоит из добавленных точек.
Простейший пример области без границы — это все простран-
ство Другой простой пример области без границы: область
состоит из таких точек плоскости (х^ х2), что х* + х% < р2 (от-
крытый круг). Соответствующая область с границей состоит из
таких точек (хи х2), что Яа + Яа^р2- Этот пример является
в определенном смысле типичным. Имеет место простая теорема.
Теорема 1. Пусть в пространстве задан набор непре-
рывных функций fi(P), ..., fm(P), Р = (х\ ..., хп). Рассмотрим,
совокупность D точек Р, удовлетворяющих неравенствам
А(Р)<0, /2(Р)<0, ...,/т(Р)<0.
Тогда D — область без границы.
Доказательство. Пусть Ро = (xj, ..., Xq) лежит в И,,
т. е. Л(РоУ<О, ..fm(PQ)<0. Тогда из теоремы о сохранении
знака непрерывной функции следует, что при каждом j найдется
такое е^>0, что неравенства — i=l, 2, ..., п, вле-
кут за собой неравенство /ДР)<0. Беря e = min(ei, ..., е™), мы
2*
20
ГЛ. 1. ГЕОМЕТРИЯ В ОБЛАСТИ ПРОСТРАНСТВА
[Ч. I
видим, что D содержит все точки (х\ ..., .гп), у которых
] х' — | < 8. Таким образом, D — область без границы.
Замечание. Двигаясь по кривым изнутри области
Д(Р)<0, /=1, тп, можно достичь, в силу непрерывности
-функций fj, лишь тех точек Р, где Д(Р)=^0. Если выполняются
простые аналитические ограничения на функции /1? ..., fm (мы
укажем их в части II), то любая точка Р такая, что /ДР)==0
при любом у, достижима. Эти ограничения выполнены во всех
встречающихся ниже примерах. Таким образом, при этих огра-
ничениях решения неравенств Д(Р)=^0, / = 1, ..., тп, дают об-
ласть с границей.
Очень важным и часто встречающимся является понятие ог-
раниченной области в пространстве, т. е. такой, что все доста-
точно далекие от начала координат точки ей не принадлежат.'
Декартовы координаты (х1, ..., хп) во всем пространстве Rn
дают, очевидно, координаты и в любой области Z), но они при-
нимают не все значения. Для функций f(x\ ..., хп), определен-
ных в области, можно говорить о непрерывности и дифференци-
руемости так же, как и для функций во всем пространстве
Пусть заданы какие-либо другие координаты (z1, ..., zn) в той
же области. Мы можем написать
х* = я* (Л ..zn), i = 1, 2, ..., n,
(1)
= zj (x*, ,.., xn), 7’ = 1, 2, ..., n.
Написанные равенства означают просто, что каждой точке обла-
сти можно сопоставить как набор декартовых координат (х1, ...
..., хп), так и набор новых координат (z\ ..., zn),— поэтому де-
картовы координаты можно выразить через новые и наоборот.
Разберем первоначально линейные замены координат в про-
странстве:
xi = 2 a}z^ f = 1, ..., n (2)
(более краткая запись; х* = aft, где подразумевается суммиро-
вание по повторяющимся индексам). Как известно из линейной
алгебры, для того чтобы можно было выразить z через х, необ-
ходимо и достаточно, чтобы матрица Л = (а)) имела обратную
В = Л"1 = (bj). Обратная матрица определяется так: Ь}а[ = 8гк ,
где
. (1 при i = к,
~ |0 при i Фк
(символ Кронекера), суммирование по / подразумевается. Итак,
декартовы координаты х\ ..., хп точки Р выражаются через но-
я. 1]
§ 1, СИСТЕМЫ КООРДИНАТ
21
вый набор чисел z1, ..zn с помощью матрицы А = (а}). Равен-
ство (2) можно кратко записать так:
X = AZ, Х = (х*....z"), Z = (z‘.....zn)'.
Равенство (2) означает, что если точка Р соответствовала набору
координат х\ ..,, х\ то в новых координатах ей соответствует
набор z1, ..zn такой, что хг = a]z\ Мы видели, что матрица А
должна быть обратимой и, значит, иметь отличный от нуля оп-
ределитель (быть невырожденной). Тогда можно выразить и но-
вые координаты через старые;
Z = ВХ, z? = (3)
(суммирование по к).
Рассмотрим теперь произвольные новые координаты х* =
= xz(z\ zn), i=l, .,и, где функции ^(z1, ..., z") предпо-
лагаются непрерывно дифференцируемыми (гладкими).
Мы предполагаем, что новые координаты изображают каждую
точку изучаемой области пространства,— это значит, что любому
набору чисел в изучаемой области соответствует
хотя бы один набор (^о, . ..,zol) такой, что Xo = xT(zJ, . ..,zj)»
i = 1, ,.,, п.
Определение 4. Точка Р = х%) называется не-
особой точкой системы координат (z1, z71), если матрица
тде zj, ..., Zo таковы, что xj (zj, ..,, z£) = хг0, i = 1, ..п, име-
ет ненулевой определитель (не вырождена).
Матрица А называется матрицей Якоби данной замены и
дх
обозначается через J = Определитель матрицы Якоби назы-
вается якобианом и обозначается через J:
J = det = det J-
Из курса математического анализа известна следующая теоре-
ма об обратном преобразовании (частный случай общей теоремы
о неявных функциях).
Если задан переход к новым координатам x^x^z), & = 1, ...
..., и, причем х\ = я* (zj, ..., Zq ) и J = det =/= 0 при z1 =
1 „ п
= z0, ,.., z = z0, то в достаточно малой окрестности точки
(^о, ... ,хо) можно выразить координаты z1, ..., z" через х\ хп
так, что zl = z’(£), причем Zq = z1(^J, . ..,xq), f=l, .и. При
22
ГЛ. 1. ГЕОМЕТРИЯ В ОБЛАСТИ ПРОСТРАНСТВА
(Ч. I
этом матрица (bj) — I
\ дх? / ’
разования, будет обратной
т. е. матрица Якоби обратного преоб-
матрицей по отношению к матрице
dz* дА _____
дх? dztl
(5)
(напоминаем: подразумевается суммирование по у).
Для ге=1 это утверждение выглядит так: если x = x(z)r
d т
x(zq) = x0 и-^-=7^0 при z = z0, то можно выразить z через х, z =
/ \ I х &Z А
= z(x), так, что z0 = z(Xq) и-т—~т~=1 в достаточно малой ок-
cZiT az
рестности точки х0.
В разобранном выше случае линейных замен координат X =
= AZ, т. е. хг = ajz\ В этом случае матрица Якоби совпа-
“ л Л дх1 гг
дает с матрицей Д, так как = —г и эти числа постоянны. При
dz
этом если det Д =/=(), то замена обратима во всем пространстве и
Z = BX, где В — матрица, обратная к Д.
Разберем другие примеры координат на плоскости и в про-
странстве, известные из аналитической геометрии.
1. На плоскости рассматриваются полярные координаты г, ф,
для которых
^I = rcosq), ? = rsin<p. (6)'
Здесь всегда г>0. Далее, пары (г, ф) и (г, ф+2А:л) при целом к
изображают одну и ту же точку Р=(х\ х2). Поэтому ф является
однозначной координатой, лишь если потребовать, чтобы 0 ф <
< 2л. При г=0 дополнительно надо сказать, что все пары (0, ф)
изображают одну и ту же точку (начало координат), так что
в начале координат происходит нечто еще худшее. Убедимся, что
начало координат есть особая точка полярной системы координат.
Составим матрицу Якоби:
(дэА dadX
5г дф I /созср —rsinqA
дх2 ^|— \sinc₽ rcosqj*
dr дф J
Мы имеем для якобиана
7 = det Д ~ г > 0.
Итак, якобиан равен нулю лишь в точке г=0. Если выразить г
через х\ х2, то г = У (х1)2 + (х2)2. Эта функция не дифференци-*
4. I]
§ 2, ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО
23
руема при ^1 = 0, ^ = 0. В области {г>0, 0<ф<2л} новые
координаты полностью однозначны и не имеют особых точек.
2. Цилиндрические координаты zi « г, z2 — ф, z3 = z в трехмер-
ном декартовом пространстве с декартовыми координатами х\
х3, где
х1 = г cos ф, х2 = г sin ф, х3 = z. (8)
Здесь г = 0 задает прямую, ось z, вдоль которой координатная
система «портится». Действительно, матрица Якоби здесь имеет
вид
/cos <р — г sin ф О'
А = I sin ф г cos ф 0
\ 0 0 1
и якобиан равен нулю только при г = 0.
В области г > 0 система координат не имеет
особых точек. Как и выше, координата ф
однозначна в области 0 < ф < 2л.
3. Сферические координаты z' = t\ z2 == 0,
23 = ф в трехмерном пространстве (рис. 3).
Имеем
х* = г cos ф sin 0, х2 = г sin ф sin 0, z3 = rcos0,
(Ю)
г > 0, 0 0 < л, 0 ф С 2л.
Для сферических координат матрица Якоби имеет следующий
вид:
/ cos ф sin 0 г cos ф cos 0 — г sin ф sin 0
А = I sin ф sin 0 г sin ф cos 0 г cos ф sin 0
\ cos 0 — г sin 0 0
(И)
Якобиан J = det?l имеет вид
J = г2 sin 0.
Мы видим, что в области г > 0, 0^0, л этот якобиан не обра-
щается в нуль.
Сферическая система координат однозначна и не имеет особых
точек в области г > 0, 0 < 0 < л, 0<ф< 2л. Точки г — 0 (лю-
бые 0, ф) или 0 = 0, л (любые г, ф) — это особые точки.
§ 2. Евклидово пространство
Кроме перечисленных в предыдущем параграфе понятий,
в основе наших представлений о геометрии лежит понятие длины
линии в пространстве и понятие угла между двумя пересекаю-
щимися линиями, измеренного в точке их пересечения. Эти наши
представления основаны на том, что (в некотором приближении}
24
ГЛ. 1. ГЕОМЕТРИЯ В ОБЛАСТИ ПРОСТРАНСТВА
[Ч. Г
мы живем в евклидовом трехмерном пространстве, в котором
существуют декартовы координаты со специальными свойствами.
L Кривая в евклидовом пространстве. Пусть декартовы коор-
динаты в трехмерном пространстве таковы, что если точке Р
соответствуют три ее координаты (х\ х\ я3), а точке Q — коор-
динаты (у1, у2, у3)' то квадрат длины прямолинейного отрезка,
соединяющего точки Р и Q, равен I2 = (я1 — у1)2 + (х2 — у2)2 +
+ (я3 — у3)2. Тогда пространство называется евклидовым, а декар-
товы координаты с такими свойствами называются евклидовыми
координатами.
Из курса линейной алгебры известно, что с точками евкли-
дова пространства удобно связывать векторы. У нас имеется на-
чало координат — точка О; назовем вектор, ведущий из точки О
в изучаемую точку Р, радиус-вектором этой точки. Декартовы
координаты (ж1, х\ я3) точки Р мы будем называть координатами
вектора. Два вектора ^ = (х\ х\ я3), ^^(у1, у2, у3), ведущих из
точки О в точки Р и Q соответственно, можно складывать покоор-
динатно и получить вектор £ + Л с координатами (я1 + у1, х2 + у2,
#3 + у3). Можно также умножить вектор на число. Единичные
векторы е2, е3 с координатами е4 = (1, 0, 0), е2 = (0, 1, 0),
е3 = (0, 0, 1) имеют длину, равную 1. Далее будет видно, что они
вдобавок взаимно перпендикулярны. Любой вектор £ с координа-
тами (ж1, х\ х3) имеет вид £ = ххех + х2е2 + х3е3. Здесь все про-
странство трехмерно и п == 3. Для любых ге, разумеется, все анало-
гично. Поэтому евклидово пространство зачастую рассматривается
как линейное (или векторное) пространство, в котором квадрат
расстояния между точками (концами радиус-векторов) | =
п
= (;?, хп) и 'П=(у1, .уп) измеряется как Р = 2 (яг — У1)2-
i—1
В трехмерном евклидовом пространстве мы имеем п == 3, для пло-
скости п — 2, а случай п > 3 является их простым обобщением.
В евклидовом пространстве имеется важная операция, назы-
ваемая скалярным произведением векторов.
Определение 1. Если заданы вектор |=(^\ ..., хп) и
вектор г]—(у1, .у*), то их евклидовым скалярным произведе-
нием называется число
<L n> = 2 (!)
Это скалярное произведение обладает следующими важными
свойствами:
а) <£, Гр = <п. V;
б) <Л1^1 + ХгЬ, 1р=М<£1, Гр + МЬ,
где Xi, Х2 — любые действительные числа;
в) <£, если £=^0.
ч, и
g 2, ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО
25
Декартовы координаты л1, ..хп, в которых это скалярное
произведение имеет вид (1), называются евклидовыми.
Используя понятие скалярного произведения, можно сказать,
ито квадрат длины прямолинейного отрезка, ведущего из точки Р
с радиус-вектором £ = (я\ хп) в точку Q с радиус-вектором
т]=(у\ Уп), есть скалярный квадрат вектора £ —ц, а длина
любого вектора £ = (z\ ..., zn) равна V<£, £>. Часто длину век-
тора £ обозначают через !£!==V<£, £>. Свойство в) означает, что
все ненулевые векторы £ имеют положительную длину.
Из аналитической геометрии известно, что для двух векторов
% = (х\ ..., хп), Л=(у\ ••••> Уп) угол между ними тоже выража-
ется через скалярное произведение:
<& П> <& П>
costp- у<?, &> <n, п> НПпГ
Таким образом, Длины и углы тесно связаны с понятием скаляр-
ного произведения между векторами. В дальнейшем именно ска-
лярное произведение будет взято за основное, первичное понятие,
на котором строится геометрия.
Пусть теперь имеется кривая линия в евклидовом простран-
стве, заданная в параметрической форме:
X* = /*(«),..., (3)
где параметр t пробегает отрезок от а до b и /*(£) —гладкие
функции параметра t, i=l, ..., п. Касательным вектором или
вектором скорости кривой в момент t называется вектор
v(i) =
\ dt '
(4)
Определение 2. Длиной линии называется число
ь ь
I = J V<У (t), v (t)> dt = У | и (t) I dt.
a a
(5)
Иначе говоря, длиной линии называется интеграл от длины ее
вектора скорости*).
Если есть линия xt = fl(t)3 i — 1, .. п, и другая линия xi =
i=l, ..., п, пересекающиеся при t = 't0 (т. e. =
==^г(^о), i= 1,..../n), то можно говорить об угле между этими
линиями в точке пересечения. Обозначим касательные векторы
*) Авторы не претендуют на аксиоматическое изложение понятия дли-
ны, Мы не пытаемся выводить единственность этого определения из каких-
либо аксиом. Это определение само есть аксиома.
26 ГЛ. 1. ГЕОМЕТРИЯ В ОБЛАСТИ ПРОСТРАНСТВА (Ч. I
скорости к линиям при t t0 соответственно через
v = (d? d£\
\dt ' ” “ dt ) f= ’
Определение 3. Углом между линиями в точке их пере-
сечения при t = to называется такой угол ф (0 ф < л), что име-
ет место равенство
<17,
cos ф = р-7-j—Г. (7)
kJ 1^1
Два последних определения можно рассматривать как важные
факты, которые должны доказываться в курсе математического
анализа. Но в действительности их можно рассматривать и как
первичные определения. Нужно только проверить соответствие
этих определений наглядным понятиям о длинах и углах между
кривыми в евклидовом пространстве. Из школьного курса гео-
метрии известно, что длина окружности радиуса R равна 2лЯ.
Далее, из аналитической геометрии известно, что длина прямоли-
нейного отрезка — вектора £ с координатами ..., уп— равна
V (Z/* 1)2 + - • - + (Уп)2 (по теореме Пифагора). Проведем вычисление
для отрезка и окружности и убедимся, что наше определение
длины дает те же числа.
1) Отрезок, Для простоты пусть он выходит из начала коор-
динат. Тогда он задается формулой х' = z/7, где i — 1, .,п, 0
t 1. При t = 0 все координаты л? — О, а при t — 1 все коорди-
наты = т. е. мы попадаем в конец вектора £. Длина нашего
отрезка прямой равна
1____________________
1 - jу + • + (^)'й-m
О
т. е, мы получили известную формулу для длины отрезка.
2) Окружность. Опа задается формулой (на плоскости) л? «=»
= Z?cosf, л:2 — R sin £, где 0^£^2л. Вектор скорости здесь имеет
вид v(t) ~(—R sin f, 7? cos £), и длина равна
I = J sin21 + R2 cos21 dt = 2лЯ. (8)
о
Для окружности мы также имеем нужный ответ.
Кроме того, паше определение длины удовлетворяет тому тре-
бованию, что длина кривой, составленной из двух кусков, равна
сумме длин этих кусков.
Ч. П
§ 2. ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО
27
Заметим, однако, что формула (5) для длины кривой относит-
ся к параметризованным кривым х1« f(t), i = 1,,.., га, а t < Ь.
Попросту говоря, мы бежим вдоль линии вместе с параметром
, m (df1 dfn\
меняющимся между а и о со скоростью v(t)= 1-^-, J’
и эта скорость v(t) бега по кривой явным образом входит в нашу
формулу
ъ
I = J | v (t) | dt.
(9)
а
Что будет, если мы побежим по той же самой кривой с дру-
гой скоростью? Мы движемся от точки Р = (/1(а), ..., fn(a)) до
точки Q = (f(b).l ..., Получим ли мы то же самое число,
если будем двигаться по той же самой линии от точки Р до точ-
ки Q, но с другой скоростью?
Точная постановка этого вопроса такова. Пусть задан новый
параметр т, меняющийся от а до Ъ' (д'и параметр t
представлен в виде функции от т, i = i(x), i(a,) = a, £(У) = Ь,
причем > и. Последнее неравенство означает просто, что мы
бежим по параметру т в ту же сторону по кривой, что и по па-
раметру t. Тогда наша кривая представлена в виде
^=Г(О = Г(^(т)) = ^(т), i=l, ..... га. (10)
Скорость движения по параметру т имеет вид
....£)• (И)
Длина кривой в новой параметризации равна
Ъ'
I’ = JIW (т) I dr. (12)
а'
Покажем, что
bf ъ
V = J | w (т) | d% = I = J | v (£) | dt.
a' а
Вычислим длину вектора w(r):
w (т) I --
=/JW -
28
ГЛ. 1. ГЕОМЕТРИЯ В ОБЛАСТИ ПРОСТРАНСТВА
[Ч. Г
так как — > 0. Поэтому
Ъ' Ъ' ъ
V = f | w (т) | dx = Г | v (t (т)) ] dx = С | v (t) | ,
a' a' a
что и требовалось доказать.
Вывод. Длина отрезка на кривой не зависит от скорости
пробегания этого отрезка кривой.
Таким образом, наше определение длины удовлетворяет всем
необходимым требованиям для обслуживания наших интуитивных
представлений об этой величине.
Пример. Пусть кривая на плоскости задана как график
функции х2 = /(х1). Тогда в качестве параметра t можно взять
просто = х2, = /(t). Вектор скорости имеет вид и ==
df
— Iи длина кривой равна
(13)
На любой гладкой кривой (такой кривой, что параметр ско-
рости v не обращается в нуль) можно выбрать параметр I (раз-
мерности длины) так, чтобы вектор скорости был единичным:
Id—1. Такой параметр I называется натуральным. Для него
ъ
j | v | dl = Ъ — а. Следовательно, натуральный параметр имеет
а
простой геометрический смысл — он равен длине отрезка кривой,
который мы пробежали.
Пусть теперь в евклидовом пространстве с евклидовыми коор-
динатами (ж1, -.., хп) задана другая система координат (z1,... ,zn),
так что х*=-х*(ъ\ ..., zn), £ = 1, ..., п. Пусть кривая задается
параметрически в новых координатах zl = z*(£), t = 1, .п. Тогда
в исходных, евклидовых координатах та же самая кривая име-
ет вид
xj = x}(z(t) )= h’(t), j = 1, ..., п.
Назовем вектором скорости кривой в координатах (z1, z71)’
вектор Vz (t) = (t>J, ..., р”), где
= / = !>•.•>«• (14)
В исходных координатах (ж1, ..., хп) вектор скорости v—vx =
(dhl dhn\ „
= \ dF’ • ’’’'dFr Это — вектор, взятый в точке Р ==(&(£), ...
,.., hn (t)), тот же самый вектор, что и но взятый в точке Р =
ч. I]
§ 2. ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО
29
“(zl(f), .zn(t))t Точка Р одна и та же, и вектор один и тот
же, но .записанный в двух разных системах координат (z) и (х).
Выясним, как преобразуются координаты вектора скорости при
замене координат. Имеем 1
i dhl
Vx ~ dt
дР dz^ д Р j
_______________ ____
dz? dt dz^
(15>
(напоминаем: суммирование по /). Квадрат длины вектора ско-
рости имеет вид
(16>
где введено обозначение
g. = V (17)
Вывод. В произвольных координатах (z1, zn), где х~
z ч n (dz1 dzn\
^x(z)1 скалярный квадрат вектора •’•’’dTJ скорости
кривой задается формулой
dz^ dztl
Q V эР dP
где Sjh - £
|2
(18>
2. Квадратичные формы и векторы. Мы видели в предыдущем
пункте, что координаты вектора скорости кривой при замене
координат x^x(z) преобразуются по правилу
и
х
dz^
Vz
(19)
или, кратко,
1?ж = А и2,
где А = ) — определенная в предыдущем параграфе матрица
Якоби замены, причем мы даже не пользовались здесь тем, что
координаты (х1, ..., хп) евклидовы. Закон преобразования (19)
можно положить в основу общего определения вектора.
Определение 4. Вектором в точке Р — (xj,____, х£) назы-
вается набор чисел (|1, ..., 1”), отнесенный к системе координат
(х\ ..., х”). Если две системы координат (х1, ..., хп) и (z1, z”)
связаны заменой x~x(z), причем х’ (z<J, ...,2g) — xj, i—1, ...
.,n, то для новой системы координат z этот же вектор в точке
30
Г.Л. 1, ГЕОМЕТРИЯ В ОБЛАСТИ ПРОСТРАНСТВА
14. I
zj, . ..,Zq задается другим набором чисел
связан с исходным формулой
dz} k h
z =*0
..£n, который
(20)
Следует обратить внимание, что главным в определении вектора
является вид закона преобразования (20).
Рассмотрим другой часто встречающийся геометрический объ-
ект — градиент функции. Мы привыкли говорить, что градиент
числовой функции f(x\ ,хп) (например, для случая п = 3)
в декартовых координатах х\ ..., хп — это вектор с компонентами
....................................S)- (21>
5 /
Положим = —?, / = 1, .. п. Посмотрим, как выглядит гра-
dxJ
диент той же функции в других координатах z1, ..., zn, где х =
^=x{z). Имеем
grad / (х1 (z), ..., хп (z)) = [^4.
\ (72 OZ /
(_1......
дгг дх3 dzl
Of v
Обозначив через rjf компоненты градиента в новой
системе
координат, получим
(22)
Мы видим, что градиент функции при заменах координат пре-
образуется иначе, чем вектор. Такая величина будет ниже назы-
ваться ковектором.
Пусть теперь система координат х\ ..., хп евклидова, а =
= (£ь • • • > £i) и £2 =(^2i . •. Ла) — Два вектора, которые выходят
из одной точки Р = (^о» • • •> ^о)’ В системе координат (z1, ..zn)
такой, что x~x(z), x(zQ) = xQ, эти же векторы имеют соответ-
ственно координаты (т]1, и (лг, ••♦т'Пг)» связанные с
прежними координатами формулами
где (а}) — матрица Якоби, вычисленная при zfe = zj, к = 1, .. м п.
Скалярное произведение векторов и в исходной системе
координат имеет вид
<11Л2>= = (23)
i==l
ч. I]
§ 2. ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО
31
В новой системе координат оно равно
<51, £s> = 2 (aJnO Wn*) = gjhil’int: (24)
i—1
где матрица
п . .
= 2 = (25)
— та самая матрица, которая появилась в предыдущем пункте
при решении задачи о вычислении длины кривой в произвольных
координатах. Поэтому скалярное произведение векторов в новых
координатах определяется той же самой матрицей G = (giJ. Фор-
мула (25) на алгебраическом языке означает, что
G = ATA, (26)
где * обозначает транспонирование матрицы. Выясним, как пре-
образуются компоненты gfj матрицы G при переходе к новым
координатам. Пусть заданы новые координаты у1, ..., уп в той
же области, и zJ = zJ(y‘, ..., г/п), 7 = 1, ..п, Положим В = (fej) =
dzx * - - t
= —7. Мы знаем, что тогда векторы £2 в координатах у, ...
oyJ
.уп имеют компоненты (?2Т ..чй)» причем
nJ = МЙ, П2 = (27)
Пусть матрица, дающая выражение для скалярного произведения
в координатах (у), равна hih Это означает, что
<^,52> = W^2=gvniri2. (28)
Используя равенство (27), получаем
ад^2 = (ьЫ)(Йи), (29)
откуда
hM = b’hgjjbj. (30)
Итак, Н = BTGB.
Определение 5. Квадратичной формой {на векторах}
в точке xj, ..xfd называется набор чисел g<j, i, /—1, ..., nt
c отнесенный к системе координат (х\ ..., хп). Если две
системы координат (х1, .хп) и (z\ zn) связаны заменой
x = x(z), причем xj(zj, .. .,Zo) = 4, i = l, п, то для новой
системы координат (z1, zn) эта же квадратичная форма зада-
ется набором чисел hkh /с, Z = 1, ..n, с = Ajft, который связан
32
ГЛ. 1. ГЕОМЕТРИЯ В ОБЛАСТИ ПРОСТРАНСТВА
14. I
с исходным набором формулой
дхк
= —-
2 ~20
hki ГТ
0zl
(31)
2 “20
В матричной форме это означает, что
G = АТНА.
Если в точке Р задана квадратичная форма ga, преобразующаяся
при заменах координат по закону (31), то на касательных векто-
рах в точке Р можно определить квадратичную (или билинейную)
функцию {£, V (или {£, тр), полагая
({g, тр =^W)-
Из закона преобразования (31) следует, что так определенные
функции не зависят от выбора системы координат, а зависят
только от точки Р и вектора £ (или векторов £ и т]).
§ 3. Римановы и псевдоримановы пространства
1. Риманова метрика. Понятие длины или, как говорят, мет-
рики в пространстве или области пространства уже обсуждалось
нами. Длина гладкой кривой xl = xf(i) в n-мерном пространстве
с координатами (х1, ..., хп) задается, по определению, форму-
лой (2.5) *)
ъ
I = ^\x(t)\dt, = (1)
а
и требует предварительного определения понятия длины вектора
скорости кривой в каждой точке пространства.
Риманова метрика предполагает задание длин векторов £ =
^(g1, ..., £п) в виде
lsl2 = ^nj (2)
в данной системе координат. Это означает, что 1%12 есть квадра-
тичная функция от вектора £ в смысле предыдущего параграфа.
Длина вектора должна не зависеть от выбора системы координат,
поэтому величины ga при замене координат должны преобразо-
вываться как компоненты квадратичной формы, т. е. по формуле
(2.31). Исходя из этого, введем понятие римановой метрики.
Определение 1. Римановой метрикой в области простран-
ства Rn называется положительная квадратичная форма, задан-
*) Здесь ссылка на формулу (5) из § 2. Такая же система ссылок ис-
пользуется и ниже.
ч. I]
£ 3. РИМАНОВЫ И ПСЕВДОРИМАНОВЫ ПРОСТРАНСТВА
з;
пая па касательных векторах в каждой точке и гладко зависящая
от точки.
Используя данное в предыдущем параграфе определение квад-
ратичной формы, можно переформулировать определение римаио-
вой метрики в таком виде:
Определение 2. Римановой метрикой в области простран-
ства с произвольными координатами (z\ .,zn) называется на-
бор функций ==£,«( Л zn), z, j — 1, ..n, причем матрица
(gij) положительно определена. Если заданы новые координаты
(у\ ..., уп) в той же области и = уп), z=l, ..., п,
то в новых координатах риманова метрика определяется набором
функций gn = gji (у\ ..., Уп), z, / = 1, .,., п, причем
Положительная определенность матрицы (g,,)" означает, что
> 0. если вектор £ отличен от нулевого.
Если задана риманова метрика, то длина кривой z' = zl(t)
равна
ъ ~
г-J]/«о-И
а
Если заданы две кривые jz* = /’(О* причем они пересе-
каются при t = то углом между ними называется такое число <р
(0< < л), что
здесь = —Р, где ц — векторы скорости
в точке пересечения t = t0.
Определение 3. Пусть £=(£‘, .*•,£") и Л = (ц‘, цл)“
два вектора в точке Р = (zj, ..z„). Тогда их скалярным про-
изведением называется число <£, равное
<ё, т]> = gii (4 • • •. 2о) (•'’)
Законы преобразования (3), (2.20) величин (gtj) и координат
векторов (£*) обеспечивают независимость скалярного произве-
дения двух векторов, исходящих из одной точки, от выбора си-
стемы координат.
Скалярное произведение двух векторов, исходящих из разных
точек, не инвариантно при заменах гюординат.
Пример. Евклидова метрика.
а) п = 2. В евклидовых координатах .г1 = .г, х2 = у
(1 при I — /, /1 О\
gy = 6i; = (0 при gij = J.
В Б. А, Дубровин и др.
24 ГЛ. 1. ГЕОМЕТРИЯ В ОБЛАСТИ ПРОСТРАНСТВА [Ч. I
В полярных координатах г, <р
я1 «Г COS ф, Яа = Г81Пф (см. § 1),
ф = Л g0-= d.
Это означает, что для кривой r = r(Z), <р —ф(£), a^t^b,
dt.
б) n = 3. В евклидовых координатах я1, ж2, я3 имеем go =
В цилиндрических координатах (у1 = г, у2 = ф, у3 *= z, см. § 1)
/1 0 0\
g'lj = о г2 ок
\0 0 1/
В сферических координатах (г/1 = г, уг = 0, ys = q, см. § 1)
/10 0 \
/у = 1° г" 0 ,
'О 0 г2 sin2 0/
а
Часто также пишут формулы для дифференциала dl или dl2:
JZ2 = g^d^dz^
(6)’
Для разобранных примеров получаем:
п
для декартовых координат dl2 = У. (dx1)2,
для полярных dl2 = (dr)2 + г3 (</ф)2,
для цилиндрических dl2 = (dr)2 + г2 (dq))3 + (dz)2,
для сферических dl2 = (dr)2 + г2 [(d9)3 + sin2 6 (t/ф)2].
Определение 4. Говорят, что метрика gvsgj<(z) евклидо-
ваь если найдутся координаты ж1, хп, х* = хг(2)3 с
det I . I у= 0, gij — .
dz1 dzJ
ч.1]
§ 3. РПМАНОВЫ И ПСЕВДОРИМАНОВЫ ПРОСТРАНСТВА
35
Тогда в координатах ..., хп
, (1,
gii = бу = [0) t
Координаты х1, ..хп называются евклидовыми координатами.
Все разобранные выше примеры метрик — это евклидовы
метрики в разных координатах. В следующей главе мы рассмот-
рим другие примеры римановых метрик.
2* Метрика Минковского. Пусть величины g^ — gH2)? К
= 1, ..., п, таковы, что Матрица gij невырождена, det (go) 0t
по форма g^VV неположительна (индефинитна). Тогда мы гово-
рим, что имеется псевдориманова метрика.
Мы говорим, что gij — нсевдориманова метрика типа (р. #),
где р + q = га, если р и q — положительный и отрицательный ин-
дексы инерции квадратичной формы g^’V.
Нетрудно видеть (см. задачу в конце параграфа), что числа р
и q определены корректно, т. е. индексы инерции не зависят от
системы координат.
Если gij — нсевдориманова метрика типа (р, q) и g°j = gi;(zj,...
•.Zq\ то квадратичную форму gij^¥ заменой £г=
можно привести к виду
2 , ,22 2
Г|1 + . . . + Т|р — Т|р+1 Т|п.
В окрестности точки такое приведение уже, вообще говоря, не-
возможно.
Определение 5. Говорят, что метрика gu = gji(z) псевдо-
евклидова. если найдутся новые координаты х1, хп. х* — хг(%),
/ \
det —у I #= 0, такие, что
\dzJ /
t дгРдтР аа-р+!a.rP+1
dz* Oz* dzi dz^ dz* dz} dzl dd
В этих новых координатах
gij = 0 при I #=
g”=l при г<р, gif = — 1 при
Координаты (х1, хп) называются псевдоевклидовыми коорди-
натами типа (р, q). где q = n — pt В пространстве можно
ввести псевдоевклидову метрику типа (р, q). определив «скаляр-
ное произведение» векторов 5 = (5\ • • 5”) и ^^(ц1, ц")
формулой
<5, п>р. < - Гп1 +... + 5рпр - gp+tT]p+1 -... - Vnn; (8.)
при этом псевдоевклидовыми будут обычные координаты х1, ...
3*
36
ГЛ. 1. ГЕОМЕТРИЯ В ОБЛАСТИ ПРОСТРАНСТВА
(Я. I
...гп; пространство Rn с этой метрикой также называется псев-
доевклидовым и обозначается
Можно считать, что р^[п/2], поскольку возможна замена
ga “go
Особенно важен случай пространства Rt,3. Это — пространство
специальной теории относительности («пространство Минков-
ского»). В специальной теории относительности постулируется,
что пространственно-временной континуум, определенный в § 1,
является пространством Минковского Rt13* Напомним, что точка
в пространственно-временном континууме задается своими декар-
товыми координатами (Z, х1, я2, я3). Здесь первая координата t
имеет размерность времени, а координаты (.г1, .г2, х3) — размер-
ность длины. Соответствующие псевдоевклидовы координаты та-
ковы: х9 = ct, х\ х2, х\ где с — постоянная, имеющая размерность
скорости (длииа/время) и являющаяся скоростью света в пустоте.
Квадрат элемента длины dP имеет вид
rfZ2-(^0)2-(^1)2-(^2)2-(&3)2. (9)
Если есть две точки (события) Р^ =(4, ..4), Л = (4,.•, 4)
то величина
IЛ - Л12 “ (*1 - 4)2 - (4 - 4)2 - (4 - 4)2 - (4 - 4)2 (Ю)
называется пространственно-временным интервалом между собы-
тиями Pt и Р2* Величина \Pi~~Pz\2 может быть как положи-
тельной, так и отрицательной, а также нулем
(при несовпадающих точках Pt и Р2) (см. § 6).
В заключение этого параграфа рассмотрим по-
лезный пример координат в пространстве 3?i,2 —
псевдосферические координаты. Пусть псевдоевк-
лидовы координаты в Rj.,2 суть х\ х\ х2. Опре-
делим псевдосферические координаты (р, %, <р)г
полагая
х° = р ch х,
.т1 = р sh % cos ср,
х2 — р sh х sin (p,
0<х< оо,;
О ф 2л.
(11)
Рис. 4. Тогда
(^)2~(^)2“(^)2^Р2>0-
Следовательно, координаты р, х, Ф заданы лишь в области
(х9)2 — (я1)2 — (-г2)2 > 0. В пространстве S?i,2 эта область —
внутренность конуса (х9)2 == (х1)2, + (х2)2, (рис. 4). Все точки
этой области (кроме точек оси х9) — пеособые для псевдосфери-
цеских координат. Квадрат элемента длины dP в этой области
4. I]
§ 4. ПРОСТЕЙШИЕ ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
37
имеет вид
dZ2 = dp2 - ДОХ)2 + sh2 х(Лр)2]. (12)'
Нетрудно ввести псевдосферические координаты п во внешности
конуса, задавая их формулами
х® = р sh
xl = р ch х cos <Р»
x2 = p ch у sin <p,
P>o.
(13)
Этот случай менее важен для приложений.
Задача. Доказать, что тип псевдоримаповой метрики пе за-
висит от выбора системы координат.
§ 4. Простейшие группы преобразований
евклидова пространства
1. Группы преобразований области. Предположим, что в гьмер-
пом пространстве заданы две области: область Qx с координатами
х^ ..., хп п область с координатами z\ ..., zn. Предположим,
далее, что каждой точке области поставлена в соответствие
точка области Qx, так что х* = х'(ъ\ ..., zn), f = ...п. Если
координаты z\ ..zn можно выразить обратно через х1, ..., хп,
т. е. zJ = zi(x1, ..., хп), ] = 1, ..., п, то говорят, что задано пре-
образование области в область Qx. При этом мы, конечно,
требуем, чтобы функции ^’(z1, ..., zn) и обратные им функции
z^x1, . *., хп) были гладкими. Тогда якобианы det 11
нигде не обращаются в пуль.
Если области Qx и Q2 совпадают, т. е. QX = QZ = Q, то гово-
рят, что задано преобразование области Q. Таким образом, пре-
образование области Q — это введение новых координат в этой
области такое, что новые координаты можно всюду в области
выразить через старые и наоборот:
х{ = х*(г\ ..., zn), zj^zj(x\ xn).
Напомним, что совокупность элементов G называется группой,
если в этой совокупности заданы две операции: каждой паре g, h
элементов из G ставится в соответствие их произведение g ° h из
G и каждому элементу g из С ставится в соответствие элемент
g"1 из G, При этом должны иметь место следующие свойства:
1) (/« g) ° h = f ° (g о h)\
2) существует такой элемент leG, что 1 ° g = g ° 1 = g;
3) g°(g-’)=i.
Все преобразования данной области Q образуют группу. Опера-
ция произведения двух преобразований определяется так; если
38
ГЛ. 1, ГЕОМЕТРИЯ В ОБЛАСТИ ПРОСТРАНСТВА
[Я. I
Ф — преобразование
x = x(z), (1)
if — преобразование
z = z(y), (2)
то ф ° if — суперпозиция этих преобразований
x = x(z(y)). (3)
Обратное преобразование ф-1 определяется так:
z = z(x) (4)
(т. е. координаты zJ из равенства (1) выражаем обратно через
х1, ..., хп). Роль элемента 1 играет тождественное преобразование
х* = z\ i = 1, vn. (5)
Свойства 1), 2), 3) проверяются без труда.
В дальнейшем мы из группы G всех преобразований будем
выделять некоторые подгруппы, важные для геометрии. Пусть
в области Q имеется некоторая метрика (риманова или псевдори-
манова), задаваемая в координатах хп симметрической не-
вырожденной матрицей £о==£д(я1, хп). Если задано преобра-
зование х' = х'(г1, ,,zn), то в координатах z1, ..., zn эта же
метрика задается матрицей gij = ga(zl, ..., zn), где
Определение. 1. Преобразование х{ — х\г\ ..., zn) назы-
вается движением данной метрики *), если
gij (Л ..., z") = gi} (х1 (z), ..., х" (z)). (7)
Таким образом, движение метрики точно сохраняет вид ска-
лярного произведения (£и). Имеет место следующее простое ут-
верждение,
Лемма 1. Все движения данной метрики образуют группу.
Действительно, если два преобразования ф и if сохраняют
вид метрики, то и их суперпозиция будет сохранять вид метри-
ки, обратное преобразование ф"1 также сохраняет вид метрики.
Кроме того, тождественное преобразование сохраняет вид метри-
ки по определению.
Эта группа называется группой движений данной метрики.
2. Преобразования плоскости, а) Пусть х1, хг — декартовы
координаты в плоскости. Простейшим примером преобразования
плоскости является сдвиг (или трансляция) плоскости как цело-
го вдоль какого-либо вектора £ = (£\ V)» В координатах это пре-
*) Мы часто будем так говорить, подразумевая под этим движение про-
странства, сохраняющее данную метрику,
4. I) § 4. ПРОСТЕЙШИЕ ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 89
образование имеет вид
х' = z1 + V, я2 = z2 + V- (8)'
Произведение двух таких сдвигов на векторы £ и л имеет вид
z^^ + cv + n1), z2 = z2 + (V + n2),
т. е. опять есть сдвиг на вектор £ + ц. Преобразование, обратное
преобразованию (8), имеет вид
z1 — X* - V, 22 = х2 ~ V. ' (9)
Это также есть сдвиг на вектор —Тождественное преобразова-
ние есть сдвиг на пулевой вектор. Таким образом, сдвиги плоско-
сти образуют группу. Каждому сдвигу соответствует вектор $
в плоскости, причем произведению сдвигов соответствует сумма
векторов, а обратному сдвигу—вектор —Это означает, что груп-
па всех сдвигов плоскости изоморфна группе векторов в пло-
скости. Эта группа коммутативна (абелева), так как Е + л == Л + G-
б) Следующий пример — растяжения (гомотетии) плоскости,
не являющиеся, вообще говоря, движениями. В координатах рас-
тяжение определяется формулами
х' = Xz1, х2 = Xz2, (Ю)
где X — произвольное вещественное число, отличное от нуля.
Произведение двух растяжений — в к раз и в ц раз — имеет вид
х' = ХргД я2==Х|иг/2а (11)
Растяжение, обратное к (10), имеет вид
Таким образом, растяжения плоскости образуют группу. Эта
группа также абелева и изоморфна группе отличных от нуля
действительных чисел по умножению.
в) Сдвиги вместе с растяжениями. Речь идет о преобразова-
ниях, задаваемых формулами
х* = Xz1 + V, х2 == kz2 + V, к 0. (13)'
Если z1 = цу1 + ц\ z2 = р,у2 + л2 — другое такое преобразование,
то суперпозиция этих двух преобразований имеет вид
^1=(Х|н)?/1 + (^1 + Хг]1),
(14)
^=(AH)y2 + (V + ^2).
Таким образом, первое преобразование определялось парой (X, %),
где к — отличное от нуля вещественное число, £ — вектор на пло-
скости, второе — парой (ц, ц), а их суперпозиция (X, £)°(ц, л) ~~
парой (?4t, g + Ац). Таким образом, если мы отождествим преоб-
40
ГЛ. 1. ГЕОМЕТРИЯ В ОБЛАСТИ ПРОСТРАНСТВА
[Ч. I
разование (13) с парой (X, £) (где X — отличное от нуля веще-
ственное число, а £ — вектор на плоскости), то суперпозиция
(X, £)°(ц, т|) определяется формулой
U, В)°(н, п) = (^, В + ^П). (15)
Преобразование, обратное к преобразованию (X, £), запишется
(1 1 А
---— £ I, Следовательно, сдвиги вместе с растяжепия-
ми образуют группу. Эта группа неабелева. Действительно, из
формулы (15) следует, что суперпозиция (ц, ц)°(Х, £) равна
(и, п)°е, £)=(лщ внш п).
Замечание. Группа сдвигов и растяжений плоскости име-
ет нормальный делитель (сдвиги), причем факторгруппа изоморф-
на группе растяжений. Формула (15) является определением
полупрямого произведения группы сдвигов плоскости и группы
ненулевых действительных чисел по умножению, состоящей из
растяжений.
г) Линейные преобразования плоскости. Эти преобразования
имеют вид
х* = az1 + bz2, /fa Ь\ fz^\
x2 czl + dz* ИЛИ (z2/ = V J ly /’ (16)
(a b\
Такое преобразование определяется матрицей I Чтобы пре-
образование (16) было обратимым, т. е. чтобы из уравнений (16)
можно было выразить z1, zz через х1, х\ нужно, чтобы опреде-
литель Д == ad — be был отличен от нуля, т. е. чтобы матрица
/а
I с J была невырожденной. Если имеется другая невырожден-
1а' Ь'\
пая матрица I , I и
z1 == а у1 + Ь'у2,
(17)
z2 == с'у[ + d'y2
соответствующее лилейное преобразование, то суперпозиция
преобразований (16) и (17) имеет вид
х1 ~(аа' + Ьс')у* +(ab' + ЬсГ)у\
(18)
xz =(са' •+ de') у1 +(cb' + dd')yz<
Это преобразование также линейно и оно отвечает произведению
(a b\ fa' Ьг\
dr \с' d'r Таким образом, группа линейных пре-
образований плоскости изоморфна группе невырожденных матриц
второго порядка. Эта группа также не абелева,
ч. I]
§ 4. ПРОСТЕЙШИЕ ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
41
д) Аффинная группа получается из линейной добавлением
трансляций. Каждое преобразование из этой группы определяется
парой (Л, £), где А — невырожденная матрица, £ —вектор в пло-
скости. Вид аффинного преобразования таков:
х{ = az{ + bzz + I1,
или x^Az + %, (19)
я2 = С? + dzZ + V
где
А = ad — be ¥= 0.
Закон суперпозиции в аффинной группе имеет следующий вид:
(Л, £)о(5, ц) = (ЛВ, £ + Лц). (20)
Аффинная группа является полупрямым произведением группы
невырожденных матриц вторрго порядка и группы векторов на
плоскости.
е) Пусть на плоскости задана евклидова метрика, и х1, х2 —
евклидовы координаты па плоскости. Метрика ga в координатах
имеет вид
gij = bij.
Выясним, какие из аффинных преобразований (19) являются дви-
жениями евклидовой метрики. В координатах (z1, z2) метрика
задается матрицей gij, где
' dxk х дх* V dxh d.rk
gij — „ ; Vkl j — Лл _ : j •
dzl dz3 dz az3
Матрица Якоби |—] аффинного преобразования совпадает
\dzl)
fa b\
с матрицей Л = 1 J* Если аффинное преобразование (19) есть
движение, то gij = бу и это равенство превращается в систему
трех уравнений
а2 + с2 = 1, ab + cd - 0, b2 + d2 = 1 (22)
или в матричное уравнение
ЛТЛ = К
Это означает, что матрица Л ортогональна*
Таким образом, (19) есть движение евклидовой метрики тогда
и только тогда, когда матрица Л ортогональна. Уравнение (22)
можно решить явно. Так как а2 + с2 = 1, то можно выбрать такой
угол <р, что а = cos ф, с = sin ф. Тогда
d —СОЭф, ИЛИ Й^—СОЭф, 6 = 8Шф.
42
ГЛ. 1. ГЕОМЕТРИЯ В ОБЛАСТИ ПРОСТРАНСТВА
[Я. I
При каждом ф получаем два типа ортогональных матриц:
/ COS ф 5Шф\
\ — sin ф cos ф /’ ' '
Л=( созф sincpWl 0\
•\—sin ф cos ф J \0 — 1/’ 7
Матрицы первого типа задают поворот плоскости как целого на
угол ср вокруг начала координат. Определитель' такой матрицы
равен единице. Преобразование второго типа сводится к супер-
позиции поворота на угол ср и отражения в оси абсцисс:
2* = У',
= -у2.
Определитель матрицы А в этом случае равен — 1. Движения
первого типа, где определитель матрицы равен +1, образуют
подгруппу в группе всех движений. Такие движения (т. е. дви-
жения без отражений) мы будем называть собственными.
Лемма 2. а) Любое собственное движение плоскости есть
вращение вокруг некоторой точки или сдвиг.
б) Любое движение вида z Az + g, где определитель матри-
цы А равен —1, есть суперпозиция отражения в некоторой пря-
мой и сдвига вдоль оси отражения (скользящее отражение).
Доказательство. Пусть движение имеет вид
( cos ф sin ф\
х = Az + А = . . , (25)
s \ — Sin Ф COS ф/’ 7
т. е. z Az + Если ф = О, то А = 1, и мы получаем чистый
сдвиг. Пусть А =^= 1. Найдем центр вращения для этого движения.
Этот центр будет неподвижной точкой преобразования (25), т. е.
такой точкой z0, что
Zq — Azq + g. (26)
Из равенства (26) получаем
(1 - A)z. = g. (27)
Если матрица А вида (25) отлична от 1, то матрица 1— А не
вырождена, поэтому из уравнения (27) однозначно определяется
центр вращения z0. Утверждение а) доказано»
Рассмотрим теперь полную группу движений плоскости. Пусть
de| Л = — 1. Тогда поворотом осей можно добиться (см. формулу
(24)), что
/1 0\
Л-(о -1Г <281
т. е. А есть матрица отражения в оси абсцисс. Преобразование
ч. П
§ 4. ПРОСТЕЙШИЕ ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
43
z Az + £ имеет вид
Сделаем перепое начала координат, полагая
Z1 = У1, z2 = y1 + ~lz.
После сдвига паше движение примет вид
(29)
(30)
(31)
Это и есть скользящее отражение, В частности, при V = 0 полу-
чаем чистое отражение. Лемма доказана.
Мы получаем, таким образом, три типа движений плоскости:
сдвиги, вращения и скользящие отражения (в частности, отра-
жения).
ж) В заключение этого пункта рассмотрим группу движений
и растяжений. Выясним, что происходит с евклидовой метрикой
при преобразованиях
х = + g, где BrB = 1. , (32}
Здесь матрица Якоби А = имеет вид А=ХВ, где В — орто-
тональная матрица. Тогда в координатах (z1, z2) евклидова мет-
рика примет вид
8ij — ^28ij — (33)
Таким образом, при этих преобразованиях метрика gy умножа-
ется па число. Такие аффинные преобразования называются кон-
формными. Выясним, какие из аффинных преобразований (19)
конформны. Рассуждая, как в предыдущем пункте, получаем для
матрицы А условие конформности
(±лт)(±л)=1. (34)
\ А / \ А /
Следовательно, матрица В = — А ортогональна. Таким образом,
конформная подгруппа состоит из аффинных преобразований вида
z = KBz + t (35)
где матрица В ортогональна.
Пусть определитель матрицы В равен +1, т. е. В имеет вид
(cos ср sin ф \
I •
— sin Ф COS Ф )
44
ГЛ. 1. ГЕОМЕТРИЯ В ОБЛАСТИ ПРОСТРАНСТВА
[Ч. I
Введем комплексные переменные v = z' + iz2, w = х* + ix2, , Тогда
из равенства (35) получаем
w — (я1 + ix2) = К (cos ф — i sin ф) (z1 + iz2) + (£‘ + i£2),
т. е.
w = av + JJ, (36)
где комплексные числа а и имеют вид
а = Хе“1ф, р = ^ + ^2. (37)
Формула (37) означает, что собственные (det2?=l) конформные
преобразования плоскости суть комплексно линейные преобразо-
вания комплексной прямой С = С1
v = z1 + iz2 н-> w — х1 + 1х2.
Пусть теперь определитель матрицы В равен — 1. Мы видели
(см. в примере выше), что такие преобразования получаются из
вращений добавлением отражения в оси абсцисс:
xi = z\
х2 =
На языке комплексных переменных v и w преобразование устрое-
но так:
w = v = z1 — iz2» (38)
Таким образом, общий вид конформного аффинного преобразова-
ния евклидовой метрики на плоскости таков:
w = av+ $ пли w = av + JJ, (39)
где а и р — произвольные комплексные числа, а ¥= 0. Если I ос I = 1,
то преобразования (39) являются движениями евклидовой мет-
рики. Если а — вещественное число, то мы получаем разобранные
в примере в) сдвиги с растяжениями.
3. Движения трехмерного евклидова пространства. Рассмотрим
сначала движение, являющееся лилейным преобразованием и ос-
тавляющее неподвижным начало координат. Оно задается мат-
рицей А ~ (aj) третьего порядка:
х = Az' (40)
В координатах х', х2, х3 метрика является евклидовой, т. е.
дА i
имеет вид = 8i}. Здесь матрица Якоби —т = aj совпадает
dzJ
с матрицей А, Поэтому в координатах z1, z2, z3 метрика имеет
вид g щ, где
з
gy = a*8Malj = 2 а-а*.
/1—1
4. I]
§ 4, ПРОСТЕЙШИЕ ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
45
Если gij = т. е. преобразование (40) есть движение, то имеем
з
S = бу. (41)
Равенство (41) попросту означает, что если базисные векторы
€i=(l, 0, 0), <?2=(0, 1, 0), е3=(0, 0, 1) были ортонормированы,
т. е. <£;, = бо, то векторы Aei = а%ек тоже ортонормированье
Матричная запись равенства (41) такова:
Ат А = 1. (42)
Стало быть, матрица А ортогональна. Так как det Аг' = det А, то
определитель матрицы А равен ±1:
detA = ±l. (43)
Группа ортогональных матриц совпадает с группой преобразова-
ний, оставляющих инвариантной форму (я1)2 + (я2)2 + (я3)2, т. е.
таких матриц А, что
<х, хУ = <Ах, АхУл (44)
При этих условиях имеет место
Лемма 3. Преобразование А имеет инвариантную прямую,
на которой А либо неподвижно, либо является отражением.
Доказательство. Если и — направляющий вектор такой
прямой, то мы должны иметь
Av=^v, (45)
где X — действительное число. Поэтому и — собственный вектор
с собственным значением X. Здесь X есть корень характеристиче-
ского многочлена матрицы А:
det(A — X * 1) = 0. (46)
Уравнение (46) является кубическим относительно X с веще-
ственными коэффициентами. Поэтому оно имеет хотя бы один ве-
щественный корень Zo. Корню Хо отвечает хотя бы один соб-
ственный вектор 1?0. Тогда
<fo, V0> = <4^0, Al’o) = Хо <f0, ^0>>
Значит, Xo = ±1. Лемма доказана.
Пусть вектор w ортогонален собственному вектору voi <н\ г0>=
*= 0. Тогда вектор Aw тоже ортогонален vQ:
<р0, АюУ = ±<Ai?0, Aw?> = ±<i;0, юУ = 0. (47)
Вывод. Плоскость, ортогональная вектору и9 и проходящая
через начало координат, инвариантна относительно преобразо-
вания А,
46
ГЛ. 1. ГЕОМЕТРИЯ В ОБЛАСТИ ПРОСТРАНСТВА
14. Г
Выберем в пространстве евклидовы координаты (ж1, х2, х3)'
так, что ось т3 идет вдоль вектора vQ. Тогда в этих координатах
матрица А будет иметь вид
/а Ъ 0\
Л = Ь d ОI (48)
\0 о ± 1/
Из уравнения (42) вытекает, что матрица
Поэтому она имеет вид
а Ъ\ ( cos ф sin ф\ ( cos ф
,= . или
с dj sm ф cos ф/ \ — sin ф
I ортогональна,
а/
— sin ф'
— COS ф,
(49)
В зависимости от знаков Хо и ad — be получаем следующие типы
движений.
а) Вращение вокруг некоторой оси. Матрица этого преобразо-
вания такова (х3 — ось вращения):
(cos ф sin ф О
— sin ф cos ф О
О 0 1
det А = Хо (ad — be) = 1.
(50)
В случае Хо == —1, ad — be = — 1 выбором координат (ж1, х2)
(а
с
/1 0 \
/1 0\ / 1
= L ). Тогда А = -1
-1/ о -1/
б\ / а ь
А приняла вид d
есть матрица вращения на
угол л вокруг оси х1.
б) Зеркальное вращение^ Это преобразование есть результат
двух последовательных преобразований: вращения вокруг некото-
рой оси и отражения в плоскости, ортогональной этой оси. Мат-
рица здесь приводится к виду
/ cos ф sin ф
А = I — sin ф cos ф
\ о о
0’
о
— 1
det Л = — 1.
(51)
Мы видим, что если det Л — +1, то соответствующее ортого-
нальное преобразование всегда есть вращение вокруг некоторой
оси. Ортогональные матрицы Л образуют группу, которая обозна-
чается 0(3). Ортогональные матрицы с определителем +1 обра-
зуют подгруппу в 0(3), которая обозначается 50(3). Всякая
матрица из 50(3) имеет хотя бы одно собственное значение 1.
В силу проведенных рассуждений группа 50(3) состоит из вра-
щений относительно всевозможных прямых, проходящих через
начало координат.
Разберем теперь случай произвольных движений трехмерного
пространства. Эти движения являются аффинными преобразо-
ч. I]
§ 4. ПРОСТЕЙШИЕ ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
47
нациями
z Az +
(52)
Так же, как и для случая плоскости, убеждаемся в том, что
матрица А ортогональна. Сделаем сдвиг начала координат: пусть
z = у 4- у0. Тогда после сдвига движение запишется так:
у -> Ау + (А - 1) у0 + В. (53)
Пусть А имеет вид (51), т. е. задает зеркальное вращение.
Тогда матрица А — 1 невырождена. Можно найти вектор
такой, что
(1~А)у0 = £, у0 = (1-А)-г (54)
Тогда в координатах у отображение будет просто зеркальным
вращением:
(cos <р sin ф 0\
~8Шф cos ф 0 1. (55)
0 0 — 1J
Пусть теперь матрица А =/= 1 имеет вид (50) и задает вращение
относительно некоторой оси. Тогда матрица А — 1 вырождена.
Уравнение (54) для вектора уд запишется так:
(1-А)у0 = £~
(1 — cos ф) Уо — sin ф Уо = Б1,
sin ф у} + (1 — cos ф) уо = £2,
0 = g3.
(5G)
Эта система решений не имеет (если £3=И=0). Но из первых двух
уравнений однозначно находятся Уо и у% (если ф=/=0, т. е. пре-
образование (52) не есть чистый сдвиг). Тогда при произвольном
выборе третьей координаты У о движение (52) будет иметь вид
(cos ф sin ф 0\
— sin ф cos 0 0 I (57)
0 0 1/
где т] = (0, 0, £3) направлен вдоль оси вращения А, Ац = ц.
Следовательно, это движение винтовое.
Вывод. Собственные движения (detА = +1) трехмерного
пространства — это винтовые движения (в частности, сдвиги и
вращения).
Полная группа движений получается добавлением зеркальных
вращений и скользящих отражений.
4. Другие примеры групп преобразований, а) По аналогии
с п. 3 рассмотрим группу движений n-мерного евклидова про-
странства, сохраняющих начало координат. Эта группа обозна-
чается О(п). Каждый элемент из О(п) задается ортогональной
матрицей А n-го порядка
х = Az, АТА == 1, det ±1. (58)
Преобразование вида (58), где detA«=l, образуют подгруппу
48
ГЛ. 1. ГЕОМЕТРИЯ В ОБЛАСТИ ПРОСТРАНСТВА
[Я. I
SO (п)<^ О (п). Эта группа также называется группой п-мерпых
вращений. Название это, однако, условно, так как n-мерное вра-
щение при п 3 не является, вообще говоря, плоским вра-
щением.
Группа SO(п) связна. Это означает следующее: если и
А1 — любые два вращения, 40, А^ SOfji), то в SO(n) найдется
кривая A(t), ОС t < 1 (т. е. непрерывное семейство ортогональ-
ных матриц с определителем 1), такая, что 4 (0) = 40, 4(l) = 4t.
Достаточно доказать это утверждение для случая, когда Ао —
единичная матрица l^SO(n).
Из линейной алгебры известно, что любую ортогональную
матрицу можно привести к ящичному виду:
(59)
где i-й ящик имеет вид
coscpi sin
— sintp { cos (pi
(мы получили такое приведение в случае п = 2, 3 в предыдущих
пунктах).
Рассмотрим семейство матриц 4(i), заменяя в каждом ящике
(60) угол дч на /ф,. Тогда при t= 1 мы имеем исходную матрицу
А, а при 1 = 0 получаем матрицу, на диагонали которой стоят
только ±1. Так как det А = 1, то количество минус единиц четно.
Перенумеровав координаты, приведем матрицу к такому виду:
А(0>
(61)
О
\
ч. и
§ 4. ПРОСТЕЙШИЕ ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
4$
где каждый ящик имеет вид
-1 0\
О -
(62)
Такую матрицу можно уже связать кривой с единичной матри-
цей: заменим каждый ящик (62) на такой:
cos t
— sin t
sin t
cos t
(63>
При £=л мы получаем исходную матрицу, при t = 0— еди-
ничную.
Ясно, что группа О(п) несвязна: если матрицы Ао и Ai та-
ковы, что detA0 = l, det-4J = — 1, то в группе О(п) эти матрицы
нельзя связать кривой. Действительно, если такая кривая A(t)
существует, то detA(£)—непрерывная функция t. Но detA0 =
= detA(O) = 1, det А (1) = -1.
б) Группа Галилея. Известный из классической механики
принцип относительности Галилея состоит в следующем утверж-
дении: если покоящуюся систему отсчета (х1, х2, х3) заменить
па любую другую систему отсчета (а/1, х'2, х'3), которая движет-
ся относительно первой прямолинейно и равномерно, те все за-
коны классической механики сохранят
свой вид. Это означает, что законы клас-
сической механики инвариантны относи-
тельно преобразований Галилея:
х'1 = хА — vt,
х'2 = х\ (64)
х'3 = х3, Г ~ t.
Здесь v есть скорость движущейся си-
Рис. 5. Система (х\ х2, х3)
покоится, система (z'1,
я'*, я'3) движется с по-
стоянной скоростью Р
вдоль первой осн-
стемы относительно покоящейся (рис. 5).
Системы отсчета, получающиеся из покоя-
щейся преобразованием (64), называются
инерциальными. Сделаем важное замеча-
ние: в классической механике время t
(как и вмещающее пространство R3}
восит абсолютный характер, т. е. величина промежутка времени
между событиями А и В не зависит от того, в какой инер-
циальной системе отсчета этот промежуток измеряется. Иными
словами, время течет одинаково для всей Вселенной; в каждой
точке пространства находятся синхронизированные часы. С чисто
геометрической точки зрения преобразования Галилея являются
просто формулами перехода от одной системы координат
(t, х1, х2, х3) к другой (f, х'\ х'2, х/3), где Г = t. Общий вид
А Б. Л. Дубровки и до.
50
ГЛ. 1. ГЕОМЕТРИЯ В ОБЛАСТИ ПРОСТРАНСТВА
[Я. Г
преобразований из группы Галилея, сохраняющей вид законов
классической механики, таков:
Г = *,
(65)
xf == Ах ~г xQ — vt,
где А — матрица вращения.
Определение 2. Группой Галилея называется группа
преобразований вида (65).
Менее очевидный пример группы преобразований, возникаю-
щей в механике:
Z р/,
а3-?2. (66)
х -+ ах;
Группа преобразований (66) связана с третьим законом Кеплера.
Этот закон утверждает, что квадраты периодов обращения планет
относятся, как кубы их расстояний от Солнца (в перигелиях).
Фактически третий закон Кеплера следует из того, что эта меха-
ническая система — движение частицы в ньютоновом поле тяго-
тения с потенциалом — const/rинвариантна относительно
преобразований (66): эти преобразования переводят траекторию
движения в траекторию движения.
Задачи. 1. Пусть Q(x) == Ь^х}, где Ьц,— квадратичная
форма, В(х, у)=ЬцХгу}— соответствующая билинейная форма.
Доказать, что линейное преобразование А сохраняет билинейную
форму В (Ах, Ау) = В(х, у) в том и только том случае, если оно
сохраняет квадратичную форму @(Ах) = @(х) (векторы х и у
любые).
2. Любое движение евклидова пространства задается аффин-
ным преобразованием (доказать).
3. Аффинная группа в n-мерном пространстве изоморфна груп-
пе матриц порядка п + 1 вида
М
\0 1/’
где А есть невырожденная п X п-матрица, £ есть n-мерный век-
тор-столбец.
4. Найти матричную реализацию группы Галилея,
§ 5. Формулы Френе
1. Кривизна плоских кривых. Рассмотрим евклидову плоскость
с евклидовыми координатами (х, у) и базисными ортами еи е2.
Любая точка Р с координатами (х, у) изображается радиус-век-
тором г = хе, + yez, идущим из начала координат О в точку Р.
ч. I]
§ 5. ФОРМУЛЫ ФРЕНЕ
51
Длина вектора г дается евклидовой формулой
|г| = r<7’7> = Vx2+р. (1)
Пусть задана гладкая кривая
r = r(t), x = x(tj, y = y(t), (2)
где радиус-векторы точек кривой имеют вид x(t)el + у(£)е2. Дли-
па кривой имеет вид
ь __________ ь
I = J V4*)2 + (у)2 dt = J dl, где X = у = (3)
а а
здесь дифференциал длины имеет вид dl=\v\dt, Id = V<i>, i?>,
v = xei + ye2 — вектор скорости. Мы будем писать i>t = явно
отмечая внизу значком t, что вектор скорости отнесен к парамет-
ру t. Нам часто будет удобно рассматривать кривую, заданную
через натуральный параметр — длину I (см. § 2, конец п. 1):
х = х(1), У = у(1). (4)
dr , dy . । л т-, о -
тогда у = + — е2, |у| = 1. Если на кривой был задан
произвольный параметр t, x = x(t), y = y(t), то мы имеем связь:
dl = Ух2 Ч- у2 dt. Существенную роль будут играть два вектора —
скорости и ускорения —
dr d2r /r
г-"'- (J>
Если параметр натурален, t = I, то IpJ = 1. Имеет место простая,
но часто используемая
Лемма 1. Если задан зависящий от времени вектор v=v(t}
и |р| = 1, то векторы v и v ортогональны.
Доказательство. Так как и = viel + и2е2 и Id2 = (d)2 +
+ (d)2, то
4- v) = <у, v) + <y, y> = 2 (v, v) = 1 V I2 = 0;
(lit QL
поэтому <i?, v) =0. Лемма доказана.
Замечание. Если имеются два любых вектора v(t} и
то в евклидовой геометрии имеет место формула (и, w) ==
= <Р, ш) + <Р, ю).
Применяя нагну лемму к кривой, наделенной натуральным
параметром I = t, г = r(t) = x(t)e{ Ч- у (t)e2, и полагая и =
получаем
Следствие. Векторы скорости v(t) и ускорения
ортогональны, если параметр натурален.
4*
52
ГЛ. 1. ГЕОМЕТРИЯ В ОБЛАСТИ ПРОСТРАНСТВА
(Я. I
Определение 1. Кривизной кривой r(t) называется вели-
чина вектора ускорения k=\w(t)\, если t = l (натуральный^па-
раметр). Ориентированной кривизной называется величина к =
= где знак совпадает со знаком определителя, составленного
из координат векторов и и w (знаком ориентации репера (у, ^)).
Вывод.
dv 7 d2r
& dr
(6)
где п — единичный вектор, нормальный к кривой:
(7)
Радиусом кривизны R называется число 1/fc.
Соответствует ли это понятие кривизны нашим наглядным
представлениям?
Свойства кривизны:
1) Кривизна прямой равна нулю.
Доказательство. Пусть х — х^ + al, у = yQ + Ы (прямая),
причем параметр I натурален; это значит, что
Тогда w = = 0 и & = 0, /? = <»,
dl
2) Кривизна окружности радиуса R постоянна и равна Л1.
Доказательство. Пусть
х — х0 + R cos(l/R), у = + R sin(Z/7?),
где R = const; тогда
d~x__ cos (//Я) d2y sin (UR)
и 1^1 = i = /c-
Имеет место важная
Теорема 1. Если кривая г=г(1) с нигде не обращающей-
ся в нуль кривизной задана через натуральный параметр I, то
имеют место формулы Френе
dv ?
- = ш = /сп,
dn .
dl-~kv'
гое п = рщ —единичный вектор нормали.
(8)
ч. I]
§ 5. ФОРМУЛЫ ФРЕНЕ
53
Доказательство. Так как п — единичный вектор и век-
торы п и v ортогональны, мы имеем:
а) (п, 5Т/ ” О (из леммы 1);
б)^г=ау (га-Ly, и размерность пространства равна 2).
Так как |у| = 1, то | а| = . Чему равно а? Так как
<у, п> = 0, мы имеем
° = А <Р, ге> = + (у, %у> = к + а<у, и) = к + а.
Итак, ос = — к. Теорема доказана.
Замечание. Если кривизна кривой в некоторых ее точ-
ках обращается в нуль, то можно определить вектор нормали п
к кривой, так что п -i- v, и репер (и, п) положительно ориенти-
рован. В этом случае формулы Фрейе (8) остаются справедли-
выми с заменой кривизны к на ориентированную кривизну к
(проверьте!).
Каков геометрический смысл формул Фрейе? Так как =
= кп, ™—А'у,и (у, п)—единичный ортонормированиый ре-
пер, то
V + \v = и + (Д/) J + о (Д/2) = V + к (М) п + о (Д/2),
dn
п + Дга = п + (ДО + о (Д/2) = п — к (М) V + О (Д/2).
dif
Положим /с(Д/) = Дср. Тогда
cos (Дер) = 1 + О (Дер2),
(Ю)
sin (Дер) ~ Дер + О (Дер2),
и мы можем написать
и + Ду = cos (Дер) у + sin (Дер)/г,
(И)
п + Д/г = —sin (Дер) у + cos (Дер)/г,
т. е. переход от репера (у, п) к реперу (у+ Ду, п + Ап) состоит
в повороте на малый угол Дер.
Итак, формулы Френе описывают вращение репера (у, п) при
переходе от точки I к близкой точке I + Д/ с точностью до малых
второго порядка. Иногда это выражают формулами
& = * = (12)
54
ГЛ. 1. ГЕОМЕТРИЯ В ОБЛАСТИ ПРОСТРАНСТВА
(Ч. I
где ф — угол поворота вектора и (или п) при движении вдоль
кривой. Параметр здесь все время считался натуральным.
Поставим теперь следующий естественный вопрос: как вычис-
лить кривизну плоской кривой r(t) = (х(£), у (t)), если параметр t
не является натуральным.
В этом случае р( = (х, у) и |pt|¥=l. Поэтому векторы vt и
Vi = (скорость и ускорение) не перпендикулярны.
Пусть £ = £ (i) = + Ve2 — любой вектор. Для
вой мы имели
dl= Ivtldt = Irldt,
Для любого вектора £(£) имеем
dg___________________________d^d£
dl | v J dt dt dl 1
нашей кри-
(13)
(14)
где IpJ — |r| и скорость определена по отношению к параметру t
пробегапия вдоль кривой.
тт /м- vt dr
Пусть П (0 = = 5?.
т](£)—единичный вектор
касательной
(он совпадает с вектором скорости р, если параметр натуральный).
По определению кривизны имеем
d2r
dl2
I I
\dT\
d
dl
(15)
(длина ускорения в натуральном параметре равна кривизне).
Из формулы (14) вытекает, что
Итак, получаем (считая, что 1г| =/= 0)
Отсюда для кривизны имеем
к=
dt I г I
(17)
" «. dr r vt
где ”_ r’6""Й’
4. I]
§ 5. ФОРМУЛЫ ФРЕНК
55
Компоненты вектора w = —-7 имеют вид
dl
1 / *• • X х + у у 1 , 1 / ” * X X 4~ У У 1 /А О,
ц; — - - I X X “7^ ГУ I ег + . . “ I .V У . 2 • 2 I (18)
I Г I \ X + </“ / | Г I \ X + у J
Далее,
(19)
G+г/)
кривой
(20)
Итак, мы доказали важную формулу для кривизны.
Теорема 2. При любом выборе параметра t для
х = я: (£), У ~ У (t} имеет место формула
1 _ I У 'Г I
к <и2 (г+;т2’:
где предполагается, что хг + у2 = |г|2 0.
Заметим, что в числителе стоит модуль определителя
I х у\ .
цы I .. .. 1.
\ X у J
2. Пространственные кривые. Кривизна и кручение. Для лю-
бой кривой x = x(t), у = у (t), z^z(t), т. е. r = r(t), заданной
в евклидовых координатах в трехмерном пространстве, имеем
dl = |/’I dt — I vt I dt «= У dr + у2 + z2 dt. (21)
матри-
Для удобства основных определений мы, как и в случае плоских
кривых, рассмотрим первоначально лишь натуральный пара-
метр I, г — r(l), х = х(1), у ^=у {1}, z = z(l). По
определению v = г = xei + уе2 + 1е3 и гг —г5^г=<
~хе{ + уе2+ze3 (точка здесь означает производ-
ную по I, так как t — Z). Как и в плоском случае,
вводим
Определение 2. Кривизной пространствен-
ной кривой называется модуль ускорения в па-
раметре I: k— lw| — |г|. Радиусом кривизны на-
зывается величина, обратная кривизне: R «= Аг1.
Мы знаем из леммы 1, что векторы скорости
и ускорения ортогональны: v J- w, так как Ы =^= 1..
Однако в трехмерном случае векторов v и w не
хватает, чтобы составить полный репер простран-
ства, даже если w =# 0, Кроме того, наглядно
очевидно, что одной кривизны в трехмерном
пространстве не хватает для того, чтобы охарактеризовать гео-
метрические свойства кривой. Представьте себе, например, кри-
вую, намотанную па цилиндр:
х — R cos t, у — R sin t, z « t
(винтовую линию). Кроме кривизны, она еще закручивается по
56
ГЛ. 1, ГЕОМЕТРИЯ В ОБЛАСТИ ПРОСТРАНСТВА
[Ч. I
третьему направлению (рис. 6), Третий вектор базиса можно
взять ортогональным к и и iv.
Напомним, что в линейной алгебре трехмерного евклидова
пространства имеется важная операция векторного произведения
векторов. Если ц — векторы в трехмерном пространстве,
В = П = П’е/, (22)
где ei — базисные орты |е<| — 1), то мы можем построить
вектор у = [£, -q], у = 7’вг, положив у1 = £2ц3 — £3ц2, у2 = —
— £4ц3, у3 = Другими словами, равно определите-
А1 е £3\
лю части матрицы остающейся после вычеркива-
ния f-ro столбца. Мы видим, что
[£, п] = - tn, Н Hi + Ь, n] = [^i, п] + [Ь, п],
(23)
IM, п] = 4В, п].
Верно также тождество Якоби
[R, n], d + К, В], n] + Пп, U, В] = 0. (24)
Далее, из аналитической геометрии известны такие свойства век-
торного произведения: вектор [£, ц] направлен перпендикулярно
к плоскости, натянутой на векторы (£, ц), т. е. к плоскости век-
торов вида цц, а длина его равна
1Ц, лГ = Ulin! sinФ,
где ф — угол между £ и ц,
cos3 ф = 1 — sin2 <р = . (25)
Замечание. Если векторы £ и ц лежат в плоскости (х> у)г
то их векторное произведение ортогонально к этой плоскости
(т. е. направлено по оси z), и [£, ц] = (^1т]2 “ Тогда длина
1[£, ц]1 равна UV ~ ц1^2! = |£| 1ц1 sin ф.
Полученную в предыдущем пункте формулу (20) для кривиз-
ны плоской кривой можно теперь переписать так;
для произвольного параметра t.
Таким образом, общая формула кривизны плоской кривой
выражает кривизну через длину векторного произведения [г, г].
Так как кривизна связана с вращением репера (р, п) по форму-
лам Френе, то с кривизной естественно связывается вектор угло-
вой скорости вращения репера (р, п), направленный ортогональ-
но к плоскости (х, у), Вернемся к пространственной кривой г=~
ч. I]
§ 5. ФОРМУЛЫ ФРЕНЕ
57
*=r(Z), r = (x, i/, z), x = x(l), y = y(l), z=*z(l). Для нее
p(Z) = g-, w(Z) = -g. (27)
Мы считаем, что 1ш| ^0 и Ivl^O (такие точки называются не-
вырожденными точками кривой). Предположим, что Ы = 1;
тогда <иц г>“0, т, е. Рассмотрим вектор Z? = [p, и], где
вектор
b J- р,
п = j-~. Вектор п называется главной нормалью кривой,
Ъ — бинормалью. Мы видим, что 1Ы = Ivl ln| sin ср = 1,
b J- и. Мы получаем ортонормированный репер (р, и, Ь) в точке
кривой, где ip.^0 (в невырожденной точке).
Как и для случая скалярного произведения, нам будет по-
лезно следующее утверждение.
Лемма 2. Если заданы два вектора 5(Z), Л (О в трехмерном
пространстве, то имеет место формула типа Лейбница
£ IS, nl - [>, п] + [б, й].
(28)
Это непосредственно следует из обычной формулы Лейбница
для дифференцирования произведения функций: (fg) — /g + fg.
Следует обратить внимание на порядок сомножителей в правой
части формулы (28).
Теорема 3. Для любой пространственной кривой г = г(1).
где I — натуральный параметр, имеют место следующие формулы
Френе*.
— = — xb — kv
(И _
db
аГ = кп‘
(29)
Здесь первая строчка есть просто определение числа к.
। । 1<^
а |х| = ; число х называется кручением пространственной
кривой (оно не обязательно положительно).
В плоском случае b = const, и поэтому | х | = j = 0.
Формулы Френе можно переписать в матричном виде в репе-
ре (н, и, Ь). Обозначив v = еь п = е2, Ь*= е3, имеем
= % (Z,/ = 1, 2,3), (30)
причем матрица В = (&•) имеет вид
(0 А: 0\
-А’ 0 -х . (31)
Ох 0/
58
ГЛ, 1. ГЕОМЕТРИЯ В ОБЛАСТИ ПРОСТРАНСТВА
14. Г
Мы видим, что эта матрица, как и подобная матрица в двумер-
ном случае, кососимметрична.
Перейдем к доказательству формул Френе для пространствен-
ных кривых. Выведем сначала формулу = хга. Так как Ъ =»
= [га, га], то [га, га]’=й = [га, га] + [га, ??] в силу леммы 2. Так как
|га| = 1 и Iraj = 1, то v J- v и/? J- га. Поэтому v = кп, га = ага + Р&,
где а и ф — какие-то неизвестные числа. Так как [га, га] = 0 и
[га, га] = 0, то [га, га] = О и [га, га] = Р[га, д] =-фга. Поэтому
5Г = ^^’ = ~ Р" = х?г’ (32>
где х определяется из этого равенства.
Итак, 6 = хга. Вычислим п. Так как га = [&, га], то
[&, га] = [6, га] + [&, га] = xb —- kt\
Теорема доказана.
В заключение следует отметить, что кривизна и кручение —
полный набор геометрических инвариантов кривой в евклидовом
пространстве. Более точно:
1) Если для плоской кривой известна зависимость Zc = /с(/)т
то эта кривая однозначно восстанавливается с точностью до дви-
жения плоскости. Уравнение к — к(1) называется натуральным
уравнением кривой.
2) Если для пространственной кривой известны функции к =
= x = x(Z), то можно восстановить кривую с точностью до
движения всего пространства. Эта пара уравнений называется
натуральным уравнением пространственной кривой.
Доказательства этих теорем можно прочесть в учебнике
П. К. Рашевского ([2]).
3. Ортогональные преобразования, зависящие от параметра.
Пусть A = t, J == 1, ..., га,— ортогональная матрица (см. § 4),
т. е.
Лтл = 1 <=> 2 aijaih = 8jh, (33)
1=1
причем все ац — функции-параметра t. Пусть, далее, га^(0) = бу,
т. е. Л(0)=1. Имеет место
Л е м м а 3. Матрица В — кососимметрична, если
Л(0)=1.
Доказательство. Продифференцируем обе части равен-
ства (33) по t. Получим
d П ’
О = 2 (aijUik 4"
4. I]
§ 5. ФОРМУЛЫ ФРЕНЕ
59
Положим теперь t 0. Так как то мы получим
71
О =" 2 + &i}aih) =“= bkj 4- b]h<)
i=l
что и требовалось доказать.
Из этой леммы можно сразу получить повое доказательство
формул Фрейе. Пусть ег(1)=^ n(l)^ е3(1) —Ь(1) — за-
висящий от натурального параметра I репер, связанный с дан-
ной пространственной кривой. Тогда репер et(Z-b AZ)f e2(l + Al),
е3(14-Д/) получается из репера et(l), ez(l), es(l) ортогональным
преобразованием, так как оба эти репера ортонормированы:
ei (I + АО = 2 «и (I, AZ) (Z) (i = 1, 2, 3),
Al) (I, Al) —
i—i
Дифференцируя равенство (34) no Al и полагая Al = 0, мы
получаем
edl)~ (35)
где матрица (Ьц) кососимметрична в силу леммы 3. Поэтому
матрица В=(Ьц) имеет вид
/ ° \2 м
5= -*12 0 623 I (36)
\ ^13 ^23 0 /
По определению
• dv
е1=~ = — = кп = ке2,
поэтому bi2 = k, ft13 = 0. Значит, b2i = —k, b3i = 0, и матрица В
имеет такой вид:
(О к 0 \
~ к ° - &32 .
0 *32 0 /
Обозначив здесь х = ft32, мы получаем формулы Фрепе (29).
Для плоского случая доказательство проводится аналогично.
Задачи. 1. Для винтовой линии г — {a cos Z, a sin I, bl),
а > 0, 6*^0, пайти репер Фрепе, кривизну и кручение.
2. Найти кривизну и кручение кривых:
a) r = e4sin£, cos I, 1);
б) г = a (ch £, sh J, t).
60
ГЛ. 1. ГЕОМЕТРИЯ В ОБЛАСТИ ПРОСТРАНСТВА
(Я. I
3. Найти кривизну эллипса в вершинах, если его полуоси
равны а и Ь.
4. Найти кривизну и кручение кривых:
a) г={Н'3/2, 2 —£, f},
б) r={3t-t\ 3t2, 3Z + Z3}.
5, Доказать, что если у кривой кривизна к (1)^0, то кривая
является прямой линией.
6. Доказать, что если кручение кривой x(Z)^O, то кривая
лежит в плоскости. Найти уравнение этой плоскости.
7. Описать класс кривых с постоянной кривизной и кручени-
ем: k(l)^ const, x(Z)^ const.
8. Описать класс кривых с постоянным кручением: x(Z) —
— const.
9, Доказать, что кривая r = r(t) плоская тогда и только тог-
да, когда смешанное произведение (г, г, г)~0.
10. Пусть 5 — площадь между плоской кривой и секущей на
расстоянии h от касательной (и параллельной касательной).
52
Выразить Иш -j через кривизну кривой.
Л->о h
11. Доказать, что для гладкой замкнутой кривой
J (г dk — х& dl) == 0.
12. Доказать, что формулы Френе можно представить в виде
V [£, ^], П = [£, п], 6 = [£, &].
Найти вектор £ (вектор Дарбу).
13. Решить уравнение г' = [со, г], со = const.
14. Доказать, что кривизна и кручение пропорциональны:
к~ с х (к =^0), где с — константа, в том и только том случае,
если найдется такой постоянный вектор и, что <u, r>= const.
15, Пусть нормальные плоскости к кривой, натянутые на век-
торы п, &, проходят через фиксированную точку х0. Показать,
что кривая лежит на сфере с центром в этой точке.
16. Доказать, что кривая лежит на сфере радиуса г в том и
только том случае, если справедливо соотношение
17. Доказать, что х = —(г, г, г)/1[г, г]1,
18, Для гладкой кривой г —r(Z) рассмотрим кривую п(1) (п —
вектор нормали в данной точке), Z*— натуральный параметр па
этой кривой. Доказать, что =« У^/с2 + х2.
ч. I]
§ 6. ПСЕВДОЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА
61
19. Пусть
/ О
А = А(1) = [-*(1)
\ о
Л (О о \
О -X (I) = (aj (Z)).
и (О О J
Определим векторы = как решения системы уравнений
dri
-^ = a]ri, j = 1,2,3,
где MO), r2(0), МО) — заданный ортопормированный репер.
а) Доказать, что репер МО, МО, МО ортонормирован при
любом Z.
i
б) Пусть г (Z) = r0 + J гг (Z) dl. Доказать, что тогда rt(i) =
о
«= p(Z), r2(Z)= n(Z), r3(Z)= 6(Z), где p, n, b — касательная, нормаль
и бинормаль кривой r(Z), причем кривизна и кручение этой кри-
вой равны Zc(Z), x(Z).
20. Пусть кривая лежит на сфере и имеет постоянную кри-
визну. Доказать, что кривая — окружность.
§ 6. Псевдоевклидовы пространства
1, Простейшие понятия специальной теории относительности»
Напомним, что псевдоевклидово пространство Rp,g, р + q = nt
определяется как пространство с координатами х\ ..х", в кото-
рых «квадрат длины» вектора £ = (V, <»•, s") задается формулой
ч> я
1£12=<£Л>= W)a-S(r+7 СО
i—1 i—1
(см. § 3, п. 2). При п = 4, р — 1 получаем пространство-время
специальной теории относительности (пространство Минковского
= R?) с координатами х°, х1, х2, х3; обычно полагают
х° = где постоянная с — скорость света в пустоте. Простран-
ства = R” мы также будем называть пространствами Мин-
ковского (размерности п).
Квадрат длины вектора £ = (£°, V, V, V) в пространстве RJ
задается формулой
IV2 —<ё, £> = (П2-(Пг-(Пг-(Н2. (2)
Величина <£, может быть и положительной, и отрицательной,
и даже нулем. Векторы для которых |£| == 0, образуют в про-
странстве RJ конус, называемый изотропным или световым ко-
нусом (см. рис. 7 для пространства !₽?)• Векторы, лежащие
внутри конуса, имеют положительный квадрат длины, |£|2 > 0, и
62
ГЛ. 1. ГЕОМЕТРИЯ В ОБЛАСТИ ПРОСТРАНСТВА
(Ч. I
называются времениподобными. Векторы, лежащие вне конуса,
имеют отрицательный квадрат длины, |£12 < О, и называются
пространственноподобными. На рис. 7 — времениподобный век-
тор, — пространствениоподобный; вектор лежит на изотроп-
ном конусе и имеет нулевую длину — такие векторы также назы-
ваются изотропными или световыми.
Рис, 7. Изотропный ко-
нус в пространстве R'/j
(х0)2— (х1)2— (х2)2 = О
Рис. 8. Мировые линии
массивных и безмассив-
ных частиц
Рассмотрим мировую линию какой-нибудь материальной ча-
стицы (см. § 1, п. 1). Эта мировая линия имеет вид
xQ = ct, xl = xl (t), xz = XZ(t)^ x3 = x3 (t) (3)
в пространстве Здесь кривая z2(t), x3(t) есть обычная
траектория точки в трехмерном пространстве R3. Вектор ка-
сательный к мировой линии (3), имеет вид
g = (с, х1, х2, х3). (4)
Заметим, что (х\ х2, х3) — координаты вектора скорости и для
пространственного движения точки. В специальной теории отно-
сительности принимается постулат, что материальные частицы
не могут двигаться со скоростью, большей скорости света с, т. е.
1и| < с. Это означает, что
г — (х1)2 — (х2)2 — (х3)2 О, (5)
т. е. вектор £ или времениподобный, или изотропный. В частно-
сти, если наша мировая линия есть мировая линия луча света,
то вектор £ изотропный, т. е, Id — с. По этой причине изотроп-
ный конус и называется также световым. В действительности
изотропные касательные векторы могут иметь только мировые
линии безмассовых частиц (таких как, например, фотоны),. Ми-
ч. Г]
§6. ПСЕВДОЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА
63
ровые линии массивных частиц имеют всегда времениподобные
касательные векторы. В частности, мировая линия массивной
частицы целиком распространяется строго внутри светового ко-
нуса (рис. 8; заметим, что изотропный конус имеется во всех
точках пространства). Для времениподобных кривых (т. е. для
таких кривых, у которых касательный вектор всегда временипо-
добен) можно определить понятие длины аналогично тому, как
это было в евклидовой геометрии. Если кривая задана в виде
х0==х°(т), х^х^т), х2 = х2(т), х3==х3(т), £ = (х°, х\ х2, х3),
|£|2 > 0, то длина I имеет вид
ь ь Г £
1 = j‘K|dr = [у й2-а2 И2^- (6)
В специальной теории относительности величина 1/с называ-
ется собственным временем, прожитым частицей. Параметр I яв-
ляется натуральным параметром па мировой линии.
Если точка движется в трехмерпом пространстве с постоянной
скоростью v = (v\ у2, у3), т. е.
х° = ct9 х1 = х2 = v2t, х3 v4, (7)
то имеем ______ _____________________
dl = y^^dt = |/"1 — Z = x°|/ri — (8)
где мы используем сокращенное обозначение i?2=‘|i?l2.
В частности, х°/с есть собственное время покоящейся частицы
(в исходной системе координат).
2. Преобразования Лоренца. Мы видели выше (см. § 4, п. 4)г
что в классической (ньютоновской) механике время носит абсо-
лютный характер, т. е. величина промежутка времени А/ между
событиями не зависит от того, в какой инерциальной системе
отсчета этот промежуток измеряется. Инерциальные системы от-
счета классической механики получались одна из другой преоб-
разованием Галилея (4.64).
В специальной теории относительности преобразования Гали-
лея заменяются преобразованиями Лоренца. Переход к другой
системе отсчета — это выбор новых координат в пространстве Кь
т. е. некоторое преобразование пространства Минковского. Пре-
образование Лоренца сохраняет начало координат и прострап-
ственновременной интервал, т. е. квадратичную форму dlz =
==c2(d£)2 — (dx1)2 — (dx2)2 — (dx3)2. Переход к другой инерциаль-
ной системе отсчета осуществляется движением псевдоевклидова
пространства Rj. Полная группа этих движений называется
группой Пуанкаре,
Начнем с изучения группы движений псевдоевклидовой пло-
скости Ri. Пусть сперва движение оставляет неподвижным
€4
ГЛ. 1. ГЕОМЕТРИЯ В ОБЛАСТИ ПРОСТРАНСТВА
(Ч. I
начало координат. Тогда оно задается матрицей At
= ад/0 + Ья'1,
ж1 = сх'° + da/1.
(9)
Если координаты ж0, а/ псевдоевклидовы, то метрика имеет в них
вид gap = {goo = 1, gn=“l, gi2 = £21 = 0}. Так как преобразова-
ние (9) является движением, то
(gap) = G = ATGA, (10)
Так как detX т= detX и определитель произведения матриц ра-
вен произведению определителей, то
(detX)2 = l, detX=±l.
Из (10) вытекает система из трех уравнений для элементов
матрицы А:
а2 - с2 = 1, ab — cd = 0, b2 - d2 = -1. (И)
Ясно, что а 0. Положим [} = с/а. Прямое вычисление дает
а == ч- — . 1-г с = ±—7==f Ь = -..— у d = + — т
Ki-p2 Ki—р2' /i-р2 Ki-p2
(12)
Здесь знак а совпадает со знаком с, а знак b — со знаком d.
Итак, группа всех преобразований X, являющихся движениями
лсевдоевклидовой метрики в пространстве Ri, состоит из следу-
ющих матриц;
Введем угол гиперболического поворота ЯЛ положив [} = thip.;
Тогда
chip, ± sh ЯЛ
sh ЯЛ ± chipл
т. е. мы получаем группу гиперболических поворотов. Любой ги-
перболический поворот переводит изотропный конус Igl2 = 0
в себя. Кроме того, если |£|2 = 1, то |Х§|2 = 1. Векторы, имею-
щие единичную длину, образуют в R? «псевдосферу единично-
го радиуса». Эта псевдосфера задается в R? уравнением
(а;0)2 — (а;1)2 = 1 и является гиперболой (рис. 9).
Напомним, что группа ортогональных преобразований евкли-
довой плоскости состояла из двух связных компонент; собствен-
4. I]
§ 6. ПСЕВДОЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА
65
пых и несобственных преобразований. Группа движений псевдо-
евклидовой плоскости R! устроена более сложно: она состоит
из четырех связных компонент (из четырех кусков):
(ch Ч sh Ч\ /ch Ч — sh Ч\ /— ей Ч sh Ч\ /— ch Ч — sh Ч\
sh Ч ch4/’ \sh Ч — сЬЧ/ \— sh Ч ch Ч/ \— sh Ч — ch Ч/’
Преобразования из первой связной компоненты можно соединить
кривой с единичным (т. е. тождественным) преобразованием.
Матрицы преобразований 1, Р, Т, РТ, принадлежащих четырем
различным связным компонентам, имеют вид
Преобразования из первой и второй связных компонент не
меняют направления времени t Такие преобразования называются
ортохронными. Таким образом, связная компонента единицы со-
стоит из собственных (с определителем +1) ортохронных преоб-
разований.
Рассмотренная нами группа движений псевдоевклидовой пло-
скости Ri, сохраняющих начало координат, обозначается через
0(1, 1). Это частный случай груп-
пы 0(р, д), p+g = n, псевдоортого-
нальных преобразований простран-
ства Крл* Таким образом, 0(р, q)
есть группа матриц Л, сохраняющих
скалярное произведение (1):
<Л£, Лт]> = <£, П> =
« Vn1 +. •. + Vnp — • • • — W. (16)
Особо важны группы 0(1, п — 1)—
движения n-мерного пространства
Минковского Ri, сохраняющие нача-
ло координат. Мы видели, что груп-
па 0(1, 1) состоит из четырех кусков
(четырех компонент связности). В действительности из четырех
кусков состоит и группа 0(1, n—1); мы не доказываем здесь
этого утверждения и ограничиваемся боле© слабым его ва-
риантом.
Лемма 1. Существует гомоморфизм*) ф группы 0(1, п— 1)'
на группу Z2 X Z2. Здесь Z2 X Z2 — прямая сумма циклических
групп второго порядка Z2 = {+ 1,: — !}•
*) Напомним, что гомоморфизм ср группы G\ в группу G2 — это отобра-
жение ф: бп-><72 такое, что ф(1) = 1, ф(^!^2) = ф(£;) ф(£2) и ф(£-1) =
= ф(^)-1. Часто гомоморфизм ф называют «представлением» группы G\ в
труппе G2.
5 Б. А. Дубровин и др.
66
ГЛ( 1. ГЕОМЕТРИЯ В ОБЛАСТИ ПРОСТРАНСТВА
[Ч. 1
Доказательство. Пусть е0 — единичный вектор вдоль
оси х°. Если матрица А ^0(1, и—1), то положим
cp(4) = (det4, sgn <е0, Ле0>). (17)
Заметим, что скалярное произведение <е0, Ае0> не равно нулю,
так как вектор Ае0 времениподобен:
<Ае0, AeQ> = <е0, е0> = 1. (18)
Предоставляем читателю проверить гомоморфность отображе-
ния ф.
Преобразования А такие, что ф(Л) = (1, 1), называются соб-
ственными. Преобразования, у которых sgn<e0, Ле0>= + 1, назы-
ваются, как и прежде, ортохронными (они не меняют направле-
ния времени t). Ядро*) гомоморфизма ф состоит из собствен-
ных преобразований и является связной компонентой единицы
группы 0(1, п — 1). Этого мы здесь не доказываем; из доказан-
ной леммы следует только, что в группе не меньше четырех ком-
понент связности.
Полная группа движений псевдоевклидова пространства R?
получается из группы 0(1, n — 1) добавлением трансляций
(сдвигов).
Переформулируем теперь полученные результаты о движениях
псевдоевклидова пространства на языке специальной теории от-
носительности. Как уже было сказано, переход от одной инер-
циальной системы отсчета (с/, х'2, х'3) к другой (с£, х1, х2, х3)
осуществляется преобразованием, сохраняющим квадратичную
форму (ct)2 — (х1)2 — (х2)2 — (х3)2. Пусть система (х') движется
относительно (х) вдоль оси х1 со скоростью и. Это означает, что
х2 = х'2, х3 = х'3 и преобразование координат имеет вид
х° = (ct) = a (ct') + bx'1,
(19)
х1 = c(ct') + dx'1, х'2 == х2, х'3 = х3.
Матрица А = (с лежит в 0(1, 1).
Если скорость v уменьшить до нуля, то преобразование (19)
станет тождественным, поэтому матрица А лежит в связной ком-
поненте единицы группы 0(1, 1) и имеет вид
а (ch ф sh ф\
А = \sh i|> ch фГ
*) Ядром гомоморфизма <р группы Gi в группу G2 называется совокуп-
ность всех таких элементов g группы что <p(g) = 1.
4. I]
§ 6. ПСЕВДОЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА
67
Итак, имеем
ct = ct' ch ф + я'1 sh ф,
(21)
х* = ct' sh ф + xfi ch ф.
Рассмотрим движение в системе K(ct, х1) начала координат О'
штрихованной системы. Тогда я'1 = 0 и формулы (21) принима-
ют вид
ct = ct' ch ф,
х* = ct' sh ф
или, разделив одно па другое, я1/с£ = 1Ьф. Но x4t есть, очевидно,
скорость v системы К' относительно К. Таким образом,
1Ьф = и/с. (22)
Отсюда
sh ф = —_______, ch ф = 1 - (23)
/i-ЛХ т /1-Р2/? 7
Подставив это в (20), найдем
с2) ) / 1-у2/с2’
х1 = (ха + vi')
1
Vl-v2/c*
(24)
Эти преобразования и называются преобразованиями Лоренца.
Пусть скорость v мала по сравнению со скоростью света с,
т. е. г/с<ёС1; из (24) вытекает, что если v/c-+0, то преобразова-
ния Лоренца переходят в преобразования Галилея (4.64): t=t',
j;1 = х'* + vt. Иными словами, при малых взаимных скоростях
систем отсчета формулы теории относительности переходят в фор-
мулы классической механики. Однако в области больших скоро-
стей (сравнимых со скоростью света) начинаются глубокие рас-
хождения этих двух теорий. Эти принципиальные расхождения
мы проиллюстрируем на следующих популярных эффектах тео-
рии относительности: сокращение линейных размеров в направле-
нии вектора скорости и отставание часов (связанное с тем, что
одновременные в одной системе отсчета события в другой систе-
ме становятся разновременными).
Пусть в системе К покоится твердый стержень длины Z, па-
раллельный оси ж1; пусть координаты его концов в К равны яр
х^ т. е. 1 = х\—ж}. Найдем теперь длину этого стержня*) в си-
стеме К'. Для этого найдем координаты его концов х'{ и х'^1
*) Предостережем читателя, что длиной стержня является не четырех-
мерная инвариантная величина, а длина трехмерной проекции,
68
ГЛ. 1. ГЕОМЕТРИЯ В ОБЛАСТИ ПРОСТРАНСТВА
14. I
в системе К'; имеем в момент времени t'
я/ + х'1 + vt'
xi = г —. х\ = —г
/1 —№
(25)
Длина стержня V
из х1^ получаем
в системе К' равна V = — я/.-Вычитая xt
I = 5т^==. (26)
V 1 — v2/c2
Таким образом, самую большую длину стержень имеет в той
системе отсчета, где он покоится. Длина его в системе, в которой
он движется со скоростью v, уменьшится в отношении l/i — v2/cz
(лоренцево сокращение).
Перейдем к изучению временной координаты t. Пусть в систе-
ме К произошли два одновременных события At и А2 (т. е. t(AJ —
= t(A2) в системе К), причем пусть событие At произошло в точке
с координатами (ж}, х^ a Az — в точке с координатами (х^х^
х\^х}. Что происходит в движущейся системе отсчета К'
с точки зрения наблюдателя, находящегося в системе КЗ Из фор-
мул преобразования Лоренца (24) имеем
т. е. t* (A^—t' (А2) 1/ 1--^-G2 — хг ) =#0. Поэтому t' (AJ =/=
с У с
^t'(Az), т. е. два события и А2, одновременные в К, оказы-
ваются не одновременными в К\
Заметим, что если t(Ai)>t(A2) и хг —xv не мало, то мы
получим, что t'(A,)< t'(A2), т. е. на первый взгляд кажется,,
что следствие предшествует причине. Предлагаем читателю разо-
браться в этом мнимом парадоксе самостоятельно.
Пусть в системе К' покоятся часы. Возьмем в качестве собы-
тий Ai и А2 два события, происшедших в одном месте х'\ х'\ х'3
пространства в системе К'. Время в системе К' между этими
событиями есть временной интервал At = t2 — tp Найдем теперь
время At, которое прошло между теми же событиями в системе К.
Из (24) имеем
t\ + (и/с2) я71 t* + (у/с2)
1 /1-^* 2 /1-Л?
или, вычитая одно из другого,
. . At'
tg - = At = -7^-...—
/Кгда
Мы получили, что At > At'* Другими словами, движущиеся часы
(27)
ч. I]
§ 6. ПСЕВДОЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА
69
идут медленнее неподвижных, т. е. часы в системе К' с точки
зрения наблюдателя в системе К отстают по сравнению с его
часами.
Разберем важный вопрос о сложении параллельных скоростей.
Пусть точка Р в системе К' движется относительно этой системы
вдоль оси а/1 со скоростью tv'. Какова скорость точки Р относи-
глп гт / dx'1 dx1
телыго системы л? Ясно, что = -37-,
’ at at
__dt' + (t?/c2) dx'1 j г v dt' + dx’1 dx1 __ v w'
Если v, w' с, то w ~ iv' + v, и мы получаем обычную формулу
для сложения скоростей в классической механике. Отметим, что
если w' = с, то для любой ’ скорости v < с скорость W точки Р
гл ₽ + С -
в системе л имеет вид —------—5 = с, т. е. добавление к скорости
1 + ус/с
света с любой скорости v не меняет скорости света.
Задачи. 1. Определим «векторное произведение» в про-
странстве Ri,2t полагая
где £ = (В°, V, V), П=(П°, П1, Л2)-
а) Проверить, что для базисных векторов е0, е2 (е0 време-
ниподобен) попарные ведторные произведения имеют вид
е0 X = —е2, e0Xe2 = ei, eiXe2 = e0.
б) Доказать, что X — билинейная антисимметричная операция,
причем справедливо тождество Якоби
Bi X (Ь х Ь) + Ь X X Ь) + Ь X (Ь X Bi) - 0.
в) Доказать, что так определенное векторное произведение
инвариантно относительно собственных преобразований Лоренца.
2. Пусть г = г(1) — времениподобная кривая в причем
(r(/))2^(r0)2—(г1)2—(r2)2^ 1 и г°>0. Введем векторы v, п, &,
полагая v = г, v — кп, 6 = n X и. Доказать псевдоевклидов аналог
формул Френе:
v = кп, n — kv — ub, 6 = хп.
3. Вывести аналог леммы (5.3) о производной лоренцева пре-
образования (в КьгХ зависящего от параметра.
4, Решить в Ri,2 уравнение: г = со X г, со — постоянный
вектор.
5. Доказать, что ортогональное дополнение времениподобного
вектора в Ri,V есть пространственноподобная гиперплоскость.
Каким может быть ортогональное дополнение пространственнопо’-
добного вектора? светового?
Глава 2
ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
§ 7. Геометрия на поверхности в пространстве
1. Координаты на поверхности. Поверхности в трехмерном
пространстве — это простейший объект, на котором возникает,
как говорят, внутренняя геометрия. Что это значит?
Мы изучали линии и их метрические инварианты на плоско-
сти и в пространстве. Но эти инварианты (кривизна и кручение)
являются инвариантами расположения линии — это понятия
внешней геометрии. Никаких внутренних метрических инвариан-
тов на линии не бывает. Это означает, что вдоль линии можно
выбрать натуральный параметр, в котором длина отрезка (по ли-
нии) между точками измеряется так же, как на прямой:
fi
I = J I Vi I dt, Vt = r = (х, у, 2).
*0
Для поверхностей это уже не так: никаким образом нельзя
задать координаты на сфере (даже на куске сферы) так, чтобы
формулы длин в этих координатах были такими же, как форму-
лы длины в декартовых координатах (х, у) на евклидовой
плоскости.
Каким образом задаются поверхности? Есть три способа зада-
ния поверхностей в трехмерном пространстве:
1) Простейший — это определить ее как график функции
z = f(z,y).
2) Более общий — уравнением
F(x, у, z) == 0.
3) Параметрический (по аналогии с кривыми): г = г(и, и)
или, подробнее, х~х(и, и), у = у (и, и), z= z(ut v), где u, и —
параметры, пробегающие какую-либо область в плоскости (и, и).
Определение 1. Мы будем говорить, что уравнение
F(z, г/, z)=0 задает поверхность, неособую в точке Р —(х0, i/0, z0),
где F(x0, i/o, Zo)/=O, если градиент функции F в точке Р отличен
ч. I]
§ 7. ГЕОМЕТРИЯ НА ПОВЕРХНОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ
71
от нуля:
dF dF dF n
77*1 + + — е3=#0 при x = xOi у = у01) z = z0
Согласно теореме о неявных функциях, если, скажем,
dF
dz
#=0,.
х0’^0»20
то можно решить уравнение F(x, у, z) = 0 около точки Р —
= (х0, у0, z0) относительно z, т. е. найти функцию г = /(я, у), для
которой f(xOl yo) = zQ и F(x, у, f(x, z/)) = 0 в некоторой области
плоскости (х, у), окружающей точку (xQ, yQ). Дифференцируя
равенство F(x, у, z) = 0, получим
dF , , dF , , dF , n
V- dx + — ay + — dz = 0,;
dx dy a dz ’
и, значит,
df______dFfdx df dF/dy
dx dFfdz ’ dy dFfdz *
Следовательно, поверхность, заданную уравнением F(x, у, z) =
«= 0, в окрестности неособой точки можно задать в виде графика.
Поэтому локально, около неособой точки, всегда можно задать
поверхность параметрически: z = f(u, v), х = и, у = v (около точ-
ки х0 = и0, У о = ^о). Иначе говорят так: около неособой точки
можно задать локальные координаты (и, и).
Наоборот, пусть поверхность г = г(и, и) задана парамет-
рически:
х = х(и, и), У = у(и, у), z = z(u, у).
Определение 2. Точка Р = (xQ, yQ, z0) = (^(u0, у0), y(uQ, z?0),
z(u0, z?o)) называется неособой, если матрица
(dx
du
дх
dv
ду
du
dy
dv
dz \
du I
dz I
dv )
u0,r0
имеет ранг два.
Теорема 1. Если поверхность задана параметрически и точ-
ка Р = (u0, Vo) неособа, то около этой точки поверхность можно
задать уравнением F (х,у, г)=^О,где F(xQ, yQ, zo)=O ugradZ?|XojJ/O(2o #=
¥= 0.
Доказательство. По определению неособой точки ранг
матрицы А равен двум. Пусть для определенности детерминант
dx dy
du dv
^^¥=0.
dv du
Напомним теорему об обратном отображении. Пусть х = х(и, v),
У = У (и, v), якобиан в точке (u0, v0) не равен нулю, и xQ =
*=x(u0, p0)j Уо = у(иог v0). Тогда в некоторой окрестности точки
72
ГЛ. 2. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
14. I
уо = у(хо, у0),
Уи | Пользуясь этой
yv /
(х0, у о} можно найти обратное отображение
и = и(х, у), ио = и(хо,уо), у = у(х, у),
[их vx\ (Хи
причем матрица обратна матрице
vvt Vr
теоремой, мы найдем выражения и(х, у), у(х, у); затем, подста-
вив их в выражение для z, мы получим функцию г(гг(х, у),
У(х, у)), для которой Zo — z(»0, Vo) = z(tt(x0, Уо), V^Xo, Уо))* По-
лучаем локальное представление поверхности в виде графика
z = f(x, у), Zo = f(xo, уо), около неособой точки Хо, уо, zQ. Теорема
доказана.
Вывод состоит в том, что локально, около неособой точки
Р=(хо, уо, Zo) на поверхности, все три способа задания поверх-
ностей (гладкими функциями) эквивалентны.
я2 т 2 22
П р и м е р ы. 1) А- + А- + А- =1 (эллипсоид); а) особых точек
а Ь с
нет, б) в целом графиком нельзя задать (локально можно},
в) в целом нельзя задать параметрически (так, чтобы все точки
были неособыми).
2 2 2
2) “т + А"----~2~ === 1 (однополостный гиперболоид); а) в целом
а Ъ с
нельзя задать в виде графика, б) в целом можно задать парамет-
рически, выбирая в качестве параметров и — z, v = ср, где ср —-
полярный угол.
2 2 ^2
3) 5------Ч—5-=1 (двуполостный гиперболоид); одну поло-
а Ь с
вину можно задать как в виде графика z = f(x, у), так и пара-
метрически, так что все точки будут неособыми.
2 2 2
4) Конус ~ + Л------V = 0. Точка (0, 0, 0) — особая.
а Ь с
Рассмотрим теперь общий случай. Пусть поверхность задана
системой уравнений в области n-мерного пространства:
ш1.....х”) = о,..., /П_Л(Л ..., я")-о. (1}
Определение 3. Точка (xjy Xq) поверхности (1) назы-
вается неособой, если ранг матрицы 1^1 ,» i « 1, ..., п — А:,
у* — 1, ».п, равеп ровпо п — к.
Имеет место следующее простое утверждение.
Лемма 1. Около неособой точки. .,х$) поверхности (1)',
можно ввести локальные координаты (z1, ..., z*).
Доказательство. Пусть минор порядка п — А:, не равный
fdh\
нулю, есть [а?-) ’ у = А: + 1, ..., п. Тогда мы в окрестности
\ 3/
ч. Il
§ 7. ГЕОМЕТРИЯ НА ПОВЕРХНОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ
73
точки (xj, ..., Xq) на поверхности примем за локальные коорди-
наты недостающие переменные (х1, ..., х*). Решим систему урав-
нений (1) в окрестности этой точки, пользуясь теоремой о неяв-
ных функциях:
xfc+1==xfc+1(z4, zh),
хп == xn(z4, ..zft),
Z4 = X4, ..., zk — x\
В переменных (z4, ..zft) мы получаем параметрическое пред-
ставление поверхности в окрестности изучаемой точки.
Важный частный случай — это гиперповерхности в п-мерном
пространстве. Они задаются одним уравнением
/(х1, хй) = 0. (2)
Точка (xj, . ..,Xq), лежащая на гиперповерхности (2), т.е. такая,
что /(xj, .. ,,х?) = 0, будет неособой, если
grad/ = (f^ .^0. (3)
kdz дх }1 j J
ixJ—я0
2. Касательная плоскость. Пусть поверхность в R3 задана
параметрически: r==r(u, р), г== (х, у, z), где u, v — координаты
на поверхности. Кривая u = u(£), р==р(£), заданная в координа-
тах и, р, определяет кривую r(t) =r(u(t)y лежащую на
нашей поверхности в R3, Ее вектор скорости г(0 имеет вид
r(t) = ruu + rvvx ги = -^ г'>==^' (4)
Если изучаемая точка неособая, то векторы ru = (xu, уи, zu) и
rv = (xr, yv^ zv) линейно независимы. Из (4) следует, что любой
касательный вектор к поверхности есть линейная комбинация
векторов Гц, гг. Следовательно, векторы, касающиеся поверхности
в данной неособой точке, образуют двумерное пространство с ба-
зисом ги, гс, которое и называется касательной плоскостью в дан-
ной точке. Координатами вектора скорости г в этом базисе слу-
жат величины u, v.
Пусть поверхность задана уравнением F(x, у, z)==0 и кривая
г = г(£) =» (x(£), y(t), z(t)) лежит на поверхности, т. е. /'’(x(J),
y(t), z(i))==0. Тогда0 == у (t), z(t)). Отсюда имеем
0 = Fxx + Fvy + FzL (5);
Если в данной точке gradF== (Fx, Fz)¥=0, то уравнение (5)^'
относительно координат (х, у, z) касательного вектора задает ка-
сательную плоскость.
74
ГЛ. 2. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
[Ч. Г
Пусть теперь в n-мерном пространстве Rn с координатами
(х\ ..., хп) задана ^-мерная поверхность (в параметрической
форме):
х* = xi(z\ ..., zft),
................................... (6)
хп = xn(z\ ..zft).
Тогда вектор скорости кривой = zj(Z), / = 1, ..к, лежащей
на поверхности (6), имеет вид
v = (х\ ..., хп) = z^t + ... + zkfh,
где векторы /1? ..., Д имеют вид
Векторы А образуют базис ^-мерной плоскости, касающейся по-
верхности в данной (неособой) точке. Мы видим, что если кри-
вая задана в координатах z1, ..., zft, то ее касательный вектор
имеет в базисе (/>) координаты (z1, ..., zft).
Если Л-мерная поверхность задана системой из п — к уравне-
ний
^(z1, ..., хп) =0,
• . . .............................. (8)
Fn-h{x', ..хп) = 0,
то для координат (х1, ..хп) вектора, касающегося этой поверх-
пости, будем иметь систему линейных уравнений
В неособой точке ранг системы (9) равен п — поэтому
система (9) определяет ^-мерную плоскость в Rn* Это и есть ка-
сательная плоскость к поверхности в данной точке.
Замечание. Мы видим, что в любом случае геометрический
смысл условия неособости таков: плоскость, касательная к по-
верхности в данной точке, имеет размерность, равную размерно-
сти поверхности, т. е. числу параметров к для параметрического
задания поверхности. Если поверхность задана системой уравне-
ний, это число равно размерности пространства минус количество
уравнений.
3, Метрика на поверхности. Пусть поверхность (или ее кусок)
задана параметрически: г = г(^, и), г== (х, у, z), где и, v— коор-
динаты на поверхности. Изучаемую точку мц всегда далее будем
4. I]
§ 7. ГЕОМЕТРИЯ НА ПОВЕРХНОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ
75
(хи У и zu\
считать неособой: ранг матрицы А = равен двум
\ха У-D ZD /
(дх дх \
где — I.
. ди ' ди1 /
Как мы определили выше понятие римановой метрики?
Пусть задана кривая u=u(i), p = p(i). Ее длина имеет вид
Z = j [ Щ | dt,vt = (п, р). Здесь vt = (н, и) — вектор скорости в ко-
ординатах (и, р)'И kJ2 = g^X*, Xl = u, X2 = V, gij=gij(u, v). Мы
называли набор функций (в координатах щ v) римановой мет-
рикой. Этот набор определяет длину кривой, а также углы между
двумя кривыми в точке их пересечения.
Как определить длину кривой? Чему равны g{j(u, и) (и = х\
и = х2) ?
Мы заметим, что кривая u = u(i), p = p(i) записана через
координаты (u, v) на поверхности, но сама поверхность лежит
в трехмерном евклидовом пространстве (х, у, z), где r = r(u, р),
r=(x,y,z).
Естественно, что длиной кривой u(i), v(t) на поверхности мы
называем длину этой кривой в трехмерном евклидовом простран-
стве. .
Кривую мы запишем ё виде
x = x(u(t), p(i)) — x(t),
y = y(u(t), v(t)) = y(t), (10)
z = z(u(t), p(i)) = z(t).
Для длины кривой в трехмерном евклидовом пространстве мы
имеем по определению
ь--------------
l = fV x2 + y2 + z2dt. (И)
а
Так как х = хии + xvu и т. д., то мы получаем
х2 + у2 + z2 = Ей2 + 2Fuv + Gv2 = gax5x\
где Е = gu, F = gi2 = g2i, G = g22, и = x1, v = x2 и
E XUXU 4“ УиУи 4“ 2U2U,
g\z ~ F — xuxv 4* уиуъ 4“ 2U2B,
g22 G • XVXV 4“ Ух>Уъ 4“
Если
7*u — Хц@ 14- Уи@2 4" 2и^з, 7*v XijCi 4“ Уч)@2 4" Zvf5$)
TO
Sij = <Txir rxj>, xl = u, X2 = p. (13)
76
ГЛ. 2. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
[Ч. I
При этом функции v) определены в координатах на по-
верхности.
Выражение = E(du)2 + 2F(du dv) + G(dv)2 называют
обычно первой квадратичной формой (или римановой метрикой)
на поверхности.
Если поверхность задана в виде F(x. у, z) =0, то риманова
метрика на поверхности (первая квадратичная форма) — это
просто квадратичная форма dx2 + dy2 + dz2 при условии
F(xt yt z) =0, из которого следует, что
Fxdx + Fydy + Fzdz = 0.
/ f\
Если 0 в изучаемой точке поверхности, то dz = — I -р- I dx —
\ г z /
(F \
1 dy. Поэтому на поверхности F(x, у, z) = 0, х = щ у = и
г z /
имеем
/ р р \ 2
dx2 + dy2 + dz2 = dx2 + dy2 + I -rr- dx + -p dy I .
\? z ? z /
Таким образом,
F2 F2 F F
gn = £ = l + -£, gM = G = l + -f-t gl2 = F = -^. (14)
rz Lz ^z
Здесь и = xi = x, v = x2 = у.
Если поверхность имеет вид z = f(xt у), то
£11 = 1 + /х», £12 = fxfyi £22 = 1 + /у (15)
Итак, риманова метрика на поверхности появляется здесь как
способ вычисления длин кривых в координатах' (u, v) на самой
поверхности. Сама поверхность расположена в трехмерном евкли-
довом пространстве, и речь идет просто о длине этой же кривой
в трехмерном евклидовом смысле.
Евклидовы координаты (х, у, z) заданы в виде функций на
поверхности: х = х(и, г), у = у(щ v), z = z(u,v). По определению
имеем
dx2 + dy2 + dz2 = gijdxidxit x1 = w, x2 = p;
(16)
£и = E, g12 = F, g22 = G.
В некоторых случаях бывает, что метрика ga(x\ х2) самой
поверхности двумерно евклидова (см. § 3). Это означает, что на
поверхности найдется пара функций ^(х1, х2), v(x\ х2) таких, что
(du)2+ (dv)2 = gijdxblx*. (17)
Пример. Метрика цилиндра евклидова: уравнение цилиндра
/(х, у)= с (z не входит). Евклидовы координаты — это z и нату-
4.1]
§ 7. ГЕОМЕТРИЯ НА ПОВЕРХНОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ
77
ральный параметр I плоской кривой/(х, у) = с: u = г? = !. Имеем
dx2 + dy2 + dz21/(x, v)=c « dz2 + dl2.
Пусть поверхность задана в виде F(x, у, z) = О и gradF¥=0.
Тогда на поверхности имеем dF = + Fydy + Ftdz = Q. Если
5 — касательный вектор к поверхности, £ = + £2е2 + £3es, то
F£ + F£2 + F^ = 0 или £ -L grad F, Отсюда получаем вывод:
вектор gradF нормален к поверхности F(x, у, z) = 0.
При параметрическом способе задания поверхности: г =
= г(н, и), г= (х, у, z) имеем два вектора
= 7*и = 7*^1 = + Уи&2 “F
Т| = Гv = 7*^ = Xv&i + Уи^2 “Ь
Оба эти вектора касательны к поверхности. Если они линейно
независимы (т. е. точка неособая), то их векторное произведение
[£, г1]==[г«» ортогонально плоскости (ru, tv) и тем самым
к поверхности.
Имея риманову метрику, мы можем измерять на поверхности
длину любой кривой и= u(t)' и — v(t) и угол между двумя кри-
выми в точке их пересечения. Скалярное произведение векторов,
скорости тр = (Й1, Vi) и т]2 “ (й2, v2) в точке пересечения (u0, vQ)
кривых Vi(0) и (u2(t), v2(Z)) задается формулой
<П1» П2> = Gift = “Л, nft — ^ftr *=1,2),
а угол ф между ними — формулой
№Ф=К|К| I2 = П1>» I Пг I2 = <П2, Пг».
Приведем теперь формулы для общего случая /с-мерной по-
верхности в n-мерном евклидовом пространстве. Сказанное в п. 1
позволяет нам ограничиться случаем параметрически заданной
поверхности: х* = □?(/, ..2ft), i — 1, ..п. Длины кривых zj =
— зг'(£), / = 1, ,./с, лежащих в пространстве на поверхности
□?(£)= хг'(? (t), ..zk(t)), i = 1, ..n, (18)^
вычисляются по формуле ___________
I = J I х I dt = J j/^ s G;)2 dt =
b z--------------- b ___________
- J V 2 4 e^2’ d‘- (W’
a k ' ' a
<20>
“ dv dv
Очевидно, (dl)2 = gadz^z3.
78
ГЛ. 2. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
[Ч. I
Таким образом, метрика пространства определяет метрику на
любой лежащей в нем поверхности, оказывающуюся, вообще го-
воря, неевклидовой. Метрика (20) называется индуцированной
метрикой на поверхности.
Для случая гиперповерхности F(x\ ,.xn) =0, grad F =£ О
(пусть 0F/dxn Q), метрика (20) имеет вид
F iF 7
„ Я i х х7
— Oij +
' Г УI
4. Площадь поверхности. Если бы мы имели евклидову плос-
кость с координатами (х, у) и область U на плоскости, то пло-
щадь-области U измерялась бы двукратным интегралом a(U)z
а (£7) == J j dxdy.
и
Если мы сделаем замену переменных (взаимно однозначную)
х = х(и, и), у ~у (u, v), (21)'
то мы будем иметь формулу
о (U) = J J | xuyv — xvyu | du dv, (22)
v
где V — область в (u, v)-плоскости, соответствующая области U
в (х, у)-плоскости. Таким образом, имеем
a (U) = J J | J | du dv.
Vv
где J — якобиан замены переменных (21), J = xuyv — ynxv. Воз-
никает вопрос: как вычислять площадь области на поверхности
г = г (и, и), г= (х, у, z) в пространстве, если известна риманова
метрика на самой поверхности
гй2 = gijdx^x^ хх = и, х2 = v. (23)
Рассмотрим детерминант матрицы (ga\:
g = det (g^) = g^g^ — gio. = EG — F2>0. (24>
Определение 4. Площадью области U на поверхности
r = r(u, v), r= (x, y, z) называется величина
a(U) = f f Vgdudv, (25>
'и
где U—область на поверхности, заданная параметрически как
область в плоскости (u, v).
4.1]
g 7. ГЕОМЕТРИЯ НА ПОВЕРХНОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ
79
Выражение У g du dv называется дифференциалом (элементом)
площади на поверхности с римановой метрикой (g<j).
Каково основание для такого определения площади области
па поверхности? Почему элемент площади должен браться в виде
1/g du dv, если скалярное произведение касательных векторов
в точке {и, v) задано матрицей (£»,)?
Рассмотрим для понимания этого вопроса пару векторов £, ц
евклидовой плоскости и параллелограмм 0 X 1, 0
u < 1. Площадь параллелограмма равна о = I ^ц2 — ==
(I1
*= I det Л|, где Л = 1 , 2 , т. е. матрица А образована из компо-
\Т П /
пент векторов £ = + ^2е2 и ц = + т|2е2 по отношению к
юртонормированному базису е2.
Поставим теперь другую задачу: пусть задана плоскость с ба-
зисными векторами е4, ё2. Пусть скалярное произведение базис-
ных векторов задается матрицей
<ё<, ё;> = gih i = 1, 2, / = 1, 2. (26)
Чему равна площадь параллелограмма, натянутого па векторы
€i и ё2? Точки параллелограмма — это Хё4 + цё2, где О С X 1,
О< 1. Мы считаем, что матрица ga — матрица положительной
квадратичной формы:
Лемма 2. Площадь параллелограмма, натянутого на векто-
ры и ё2, равна Hg, где g = det (gi;) = £n£22 — gi2.
Доказательство. Квадратичную форму g^ можно приве-
сти к диагональному виду ga = 6^ линейным преобразованием А.
Точно это значит следующее: найдутся векторы е4, е2:
ё1 = + ^12^2, ё2 = a2let + а22е2, (27)
такие, что <(?], = gij = (т. е. Iej2 = 1, -L е2)\ Из формул
(27) вытекает, что
£11 = <^1> ^1> — Л11 + fl12>
£12 ~ £г1 = <^1’ ^2> = ^11^21 + Л22Л12>
£22 = <^2г ^2^ ~ ^21 4“ &22*
На матричном языке
/в 1® 11)\
(gij) = G = XTA А = 11 12 . (28)
'°21 а22 /
Какова площадь параллелограмма, натянутого па векторы
с2? Так как базис (е4, е2) ортонормирован и векторы е2 имеют
вид (27), то площадь параллелограмма, натянутого па ё2,
80
ГЛ. 2. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
[Ч. I
равна Idet^l. Но det А т = det А, поэтому из (28) получаем
g = det(gv) = (det Л)2,
(29)
Idet AI = Уg.
Лемма доказана.
Напомним без доказательства извлечения из основных идей,
лежащих в основе понятия двукратного интеграла и связанного
с ним понятия площади области.
Рассмотрим область U на плоскости с координатами х* = и,
х2 = v, ограниченную некоторой кусочно гладкой кривой Г. Разо-
бьем плоскость на малые прямоугольники со сторонами Ди, Ди
(мы считаем, что Ди и Ди стремятся к нулю). Очевидно, площадь
области U больше (или равна ей) суммы площадей всех внутрен-
них для этой области прямоугольников.
Определение 5. Площадью области U называется предел
сумм площадей всех внутренних прямоугольников при Ди 0 и
Ду 0, если этот предел существует.
Пусть теперь дополнительно задана непрерывная функция
/(и, у) двух переменных. Определим понятие интеграла функции
по области U,
Рассмотрим все внутренние для области прямоугольники со
сторонами Ди и Ду для прямоугольной сетки. Для прямоуголь-
ника Sa мы рассмотрим значение /(иа, уа) нашей функции в цен-
тре прямоугольника. Рассмотрим интегральную сумму
S(f, U) = ^f(ua, va)bu Av,
a
где сумма берется по всем внутренним прямоугольникам.
Определение 6. Предел сумм S (j, U) при Ди 0, Ду -> 0,
если он существует, называется двукратным интегралом от функ-
ции /(и, у) по области и обозначается j J / (и, у) du dv.
и
В частности, если /(и, у)^1 и (и, у)—евклидовы координа-
ты, то интеграл j J du dv совпадает с площадью области £7.
и
Напомним, что выше мы определили площадь области U на
плоскости с координатами и = х\ у = я2, в которых метрика име-
ет вид dl2 = gadu2 + 2g12du dv + g22dy2, как интеграл
a(U) = J J ]fgdudv.
и
Почему? Если Ди и Ду малы, то площадь малого параллело-
грамма с центром в точке (ua, ya) и со сторонами Ди и Ду равна
примерно Sa & Ли AyVg согласно доказанному выше утвержде-
нию. Здесь Vg = &П&22 — причем числа g^ вычисляются
4. I] § 7. ГЕОМЕТРИЯ НА ПОВЕРХНОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ 81
в точке (иа, уа). Мы имеем при малых Ди, Ду
2 = 2 Vё Va) Ли \V.
а а
Предел этих сумм при Ди -> О, Ду -> О и есть интеграл о(U) =»
= J J V g du dv.
и
В заключение приведем формулы для площади поверхности
в различных заданиях.
Теорема 2. 1. Пусть поверхность задана в виде графика
z = /(я, у), и пусть задана область U на поверхности, которая
проектируется в область V на плоскости (х, у). Тогда имеет ме-
сто равенство
О (U) = J J /1 + /£ + /* dx dy. (30)
V
2. Если поверхность задана уравнением F(x,y,z) = 0 и область
U на поверхности взаимно однозначно проектируется в область V
на плоскости (х, у), то имеет место формула
a(c/)==JJkKfida:^’ (31>
где Fz = ^=^0 при (х, у, z), лежащих в области U.
3. Если поверхность задана в параметрической форме: т =
= г (и, у), то имеет место формула
о (U) = J J [ [rUJ nJ I du dv. (32)
v
где V — область на плоскости (и, у), [ги, г„] — векторное произ-
ведение.
Доказательство. 1. Напомним, что для поверхности ze
«= f(x. у) имеем
£11 = 1 + /х» £12 = /х/у> £22 — 1 4" /у* U~X. V = у.
Тогда Vg = £п£22 — £?2 = 1^1 + /х + /у- Из определения 4
площади поверхности получаем нужное утверждение.
2. Для поверхности F(x, у, z) = 0 при имеем х' = и=»
Л2 р р р2
^х, х2 = v = y,gu = 1 + g12 = -7/, g22 = 1 + Как и в-
Г Z *Х
п. 1, убеждаемся, что
= 1 /1 + + FA = i.g™d <1
vg V Fl^Fl ки •
6 Б. А. Дубровин и др.
82 гл. 2. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ [Ч. Г
3. Напомним, что если г = г(н, р), х1 — и, х2 = р, то gij =
= <rxi, гх;>. Поэтому для площади параллелограмма, натянутого
ла векторы ru, rv, равной I [ru, rjl, имеем
g = g 11g 22 — gl2 = | [ГИ, N I2-
Поэтому по определению 4 имеем
о (Ц) = j J I [ru, rv] I du dv.
V
Теорема доказана.
Итак, мы убедились в том, что площадь определяется, как и
длина, заданием скалярного произведения (g{j) касательных век-
торов в каждой точке.
Задачи. 1. Тор Т2 в трехмерном евклидовом пространстве
задается в виде поверхности вращения окружности вокруг пря-
мой, лежащей в плоскости окружности. Написать параметриче-
ские уравнения тора и индуцированную метрику на торе.
2. Вычислить первую квадратичную форму на эллипсоиде
вращения
3. Найти метрику, индуцированную на поверхности вращения
г (и, ф) = {p(u)cos ф, p(u)sin ф, z(u)}.
Проверить, что ее меридианы {ф = const} и параллели {и = const)
образуют ортогональную сеть. Найти линии, которые делят по-
полам угол между меридианами и параллелями.
4. Найти на сфере линии, пересекающие меридианы под за-
данным углом а (локсодромы). Найти длину локсодромы.
5. Пусть F(x, у, z) —гладкая однородная функция (т. е.
F(cx, су, cz) = cnF (x,y,z)). Доказать, что метрика на конической
поверхности F(x, у, z)~0 евклидова вне начала координат.
§ 8. Вторая квадратичная форма
1. Кривизна кривых на поверхности в евклидовом простран-
стве. Пусть задана поверхность в трехмерном евклидовом про-
странстве и (яот Уо, 20) — неособая точка на ней. Предположим
сначала, что ось z нормальна к касательной плоскости к поверх-
ности в точке (дгот У о, 20), в этом случае оси х и у ей параллель-
ны. Тогда поверхность локально около точки (jr0, j/o, задается
уравнением z = f(x, у}, z0 = f(x0, у0) с
= = Т-е- grad/lx=xo = 0- (!)
U=V°0 'у=У°0
ч. IJ
§ 8. ВТОРАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА
83
Рассмотрим второй дифференциал функции z = /(x, у), т. е.
d2f = fxxdx2 + 2fxydx dy + fvvdy\ и составим матрицу ац = fxixj%
где х1 = х, х2 = у (эта матрица называется гессианом). Рассмот-
рим эту матрицу квадратичной формы в точке (х0, у0, z0), в кото-
рой grad / = 0.
Определение 1. Главными кривизнами поверхности z =
=/(х, у) в точке (х0, z/о» z0), в которой grad/ = O, называются
собственные значения матрицы (а^). Гауссовой кривизной назы-
вается детерминант матрицы (atj) в этой точке, а средней кри-
визной называется след матрицы в этой точке: след а^ + а22 —
= k^ + k2, k^ и k2 — собственные значения, гауссова кривизна К =*
= k\k2 = det (ац) а^^а22 — ai2a2i.
Как мы увидим в гл. 4, гауссова кривизна поверхности зави-
сит только от внутренних метрических свойств этой поверхности.
Мы определили пока понятие кривизны в специальных коор-
динатах, связанных с изучаемой точкой: ось z нормальна к по-
верхности, а оси х, у касательны к ней в этой точке или, ло-
кально, z = /(x, у) и grad/ = O в точке (х0, у о). Для определения
этих величин в произвольных координатах обратимся к теории
кривизны линий на поверхности.
Пусть поверхность задана в параметрической форме
г = r(u, v). (2)
Тогда [ги, гД=1[ги, г«]1иг, где т — единичный вектор нормали
к поверхности, |тп|=1. Рассмотрим кривую r = r(u(i), v(t)) на
поверхности. Имеем г = гий + г„г), г = (гиий2 + 2гисйг? + rvvv2) +
+ (гий + rvv), Так как ru -L т и rv -L т, получаем
<г, тп> = <ruu, тУй2 4- 2<ru„, т>йъ 4- <rru, in>v2 =
= Ьий2 4- 2Ь12йг? 4- b22v\ (3)
Вывод. Нормальная проекция ускорения (г, т>—это квад-
ратичная форма от вектора скорости (й, v) в локальных коорди-
натах и = х\ v = х2.
Положим = L, 612 = Л/, Ь22 = N. Имеем
<r, m>dt2 = bijdx'dxi = L du2 4- 2M dudvA- N dv2.
Определение 2. Выражение <r, in)dt2 называется второй
квадратичной формой поверхности (2).
Пусть линия u(i), v(t) отнесена к натуральному параметру
t=l. Согласно формулам Френе для кривой r= r(t)= r(u(t),v(t)^
имеем
где п — главная нормаль к кривой, - к — кривизна кривой. Поэто-
му <г, ?п>=зА:</г, m> = /ccosO, где 0 — угол между тп и п. Отсюда
6*
84
ГЛ. 2. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
[Ч. I
получаем
к cos 9 dl2 = <r, m>dl2 = L du2 + 2M dudv + N dv2 = byd^dx^
Xх — и, x2 = P,
где dl2 = gijdxidxi = E du2 + 2F du dv + G dv2.
Вывод.
A r АзР
к cos 0 = —--:--7, X1 = Щ X2 = V. (4)
gijdxlds>' '
Тем самым доказана
Теорема 1. Кривизна кривой на поверхности в трехмерном
пространстве, умноженная на косинус угла между нормалью к по-
верхности и главной нормалью кривой, совпадает с отношением
значений второй и первой квадратичных форм на касательном
векторе к кривой.
Следствие. Если кривая является сечением поверхности
в помощью нормальной плоскости, то cos 0 = 1 и
Ш dJ
k —i i ••
gijdxl dxJ
2. Инварианты пары квадратичных форм. Итак,
ч’очке поверхности задана пара квадратичных форм:
1) dl2 = gijdxidxj9
2) <r, Tn>dt2 = Ъцдх*дх*.
При этом форма dl2 положительно определена.
Какие инварианты пары квадратичных форм нам известны
из алгебры?
Рассмотрим на плоскости пару квадратичных форм, из кото-
рых одна положительно определена. Пусть матрицы квадратич-
ных форм имеют вид
G-
(g21 == g12, &2i s &i2). Составим уравнение
det(<? — XG)-0, (9)’
ИЛИ
(&ц -- Xgii ) (&22 - ^£22) “ (^2 - 2 = 0.
Корни этого уравнения называются собственными. значе-
ниями пары квадратичных форм.
Решим линейные уравнения
(&11 ^igil) £г (&12 ^igia) 1
- Г (10)
(&12 Xigia) 4“ (&22 ^ig22) e Qi I
где , Ji — неизвестные, i =* 1, 2.
(5)
в каждой
(6)
(7)
(Jll Q (Ъ11 Ъ12
k^21 ^22/ V2I ^22
(8)
4. I] 9 8. ВТОРАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА 85
Если Xi, Х2— собственные значения, то система (10)' имеет
нетривиальные решения Д = 51) и /2 =“ UL ll)-
Направления векторов /1? /2 называются главными направле-
ниями пары квадратичных форм; А соответствует и /2 соответ-
ствует Л2.
Как и прежде, скалярные произведения <е,, базисных век-
торов плоскости обозначаются через ga, i, 7 = 1, 2 (при этом ри-
манова метрика задается формой ga).
Лемма 1. Если собственные значения пары квадратичных
форм различны, то главные направления ортогональны.
Мы имеем два главных направления Д, /2,
/1 = &1 + 5Х, h =
Их ортогональность означает по определению, что
А> ®= = 0*
Доказательство. Выберем пару плоских векторов d<, d2
таких, что <di, dj> = б0. Это можно сделать в силу положитель-
ной определенности квадратичной формы с матрицей gih так как
се можно привести линейным преобразованием к сумме квадра-
тов. Вторую квадратичную форму мы рассмотрим теперь в новом
базисе di, d2, считая, что
ег = a\dj, А = (а-). (И)
В новом базисе dJ? d2 для матриц G и Q первой и второй квадра-
тичных форм имеем
/1 0\
1) G = (<di? dj>) = (6{j) или G= К । ) и, значит,, G = АТА;
2) Q =
Так как G = АУА и Q = ATQA, то
Q — KG = At(Q — KA)A,
(12)
_ det «2- KG) = (det Л)2 det (Q - X-1). '
Заметим, что det A= det Ay = g = У det G=/=0. Поэтому урав-
нение (9) эквивалентно уравнению
det((?-VI) =0. (13);
В базисе du d2 скалярное произведение евклидово. Оно за-
дается единичной матрицей О = 1~ (6<j). Из курса алгебры из-
вестно, что квадратичную форму Q можно вращением привести
к форме, задаваемой диагональной матрицей, а собственные век-
торы Д,/2 последней ортогональны в обычном евклидовом смысле.
Лемма доказана.
86
ГЛ. 2. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
14. Г
Эта лемма представляет собой вариант теоремы о приведении
квадратичной формы в евклидовой плоскости к диагональному
виду с помощью вращения.
3. Свойства второй квадратичной формы. Вернемся теперь
к первой и второй квадратичным формам поверхности в трехмер*
ном евклидовом пространстве:
gijdxidxj = dZ2, (14)
bijdx^x^ х' = u, х2 = v. (15)
Отношение этих квадратичных форм есть кривизна нормаль-
ного сечения.
Определение 3. Собственные значения этой пары квадра-
тичных форм называются главными кривизнами поверхности в
изучаемой точке. Произведение главных кривизн называется
гауссовой кривизной поверхности, а сумма их — средней кривиз-
ной поверхности *).
Пример. Пусть поверхность задана в виде z = f(x, у), и
пусть в изучаемой точке (х0, у0) имеем /х = /у = 0 (ось z нормаль-
на к касательной плоскости к поверхности в этой точке). Пусть
х = и, у = z = f(u, и). Для первой и второй квадратичных форм
получаем (в изучаемой точке х0, у0)
(I) gu=l, g22=l, gl2 = g2l = 0 (g«=6«)',
(II) L = Ъц = <ruu, m) ~ fxx(%o, Уо), (16)
M = bl2 = <ru„, m) = /xv(^o, Уо),
N=b22= <rv„, m> = /w(z0, уо).
Здесь вектор m совпадает с единичным вектором вдоль оси z.
Итак, в исследуемой точке вторая квадратичная форма имеет
вид
bijdx{ dxi = fxixjdxl dxi = d2f. (17)
Гауссова кривизна в этом случае совпадает с детерминантом
{fxx $ху\
det 1 , I. Собственные значения получаются из уравнения
\fxy *уу)
{fxx ^) {fw (Ау) = 0? так как gij bij.
Касательная плоскость к поверхности в этой точке параллель-
на плоскости {х, у). Главные направления в этой точке можно
получить, решая уравнения
(4^ - Mtf) V1 = о,; Z, 7 = 1,2 для (18)
(/Х<Х^ — в С i' ~ 1? 2 для /2. (19)
*) Часто средней кривизной называют полусумму главных кривизн.
(21)
имеет
(22)
4. I] § 8. ВТОРАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА 87
Так как Л -L /г, мы можем взять единичные векторы главных
направлений за новые оси координат х', у' — совершить враще-
ние в плоскости (х, у). Необходимо лишь, чтобы было Xi Х2.
В новых координатах (z, х', у') имеем
z = f(x(x', у'), у(х', /)),
где х = х cos ф + yf sin ф, у = —х sin ф + yf cos ф, ф — угол вра-
щения.
В новых координатах вторая квадратичная форма имеет вид
(только в рассматриваемой точке)
ki(dx')2+ k2(dy')2. (20)
Для кривизны нормального сечения в данной точке получаем
формулу
(fe7)2 + х2 (dy')2
~ (dx')2 + (dy')2
Касательный вектор е к нормальному сечению поверхности
в данной точке вид е =» (х'у'), где
dx'= i'dt, dy'= y'dt.
Поэтому имеем
2 (<*И2 • 2 (^/)2
COS2 а =---sin2 а = —
(dx')2 + (dy')21 (dx')2 + (dy')2
где а — угол между осью х и касательным вектором е к нормаль-
ному сечению.
Итак, мы установили, что при нашем специальном выборе
системы координат к = Xi cos2 а + Х2 sin2 а. Эта формула называет-
ся формулой Эйлера. Оказывается, что она имеет место в любой
системе координат.
Теорема 2. Кривизна нормального сечения дается формулой
k = cos2 а + Х2 sin2 а,
где Xi, Х2 — главные кривизны, а — угол на поверхности между
касательным вектором к нормальному сечению и соответствую-
щим главным направлением.
Доказательство. Мы вывели формулу Эйлера для случая,
когда поверхность задана в виде z = f(x, у) и /x = /v = 0 в изучае-
мой точке (х0, у0). Однако, поскольку сам результат не зависит
ют выбора координат, то мы всегда можем для изучаемой точки
выбрать связанные с ней координаты так, что ось z нормальна
к поверхности в этой точке, а оси х, у касательны к поверхности
и взаимно ортогональны (и даже являются главными направле-
ниями). Тогда поверхность в окрестности изучаемой точки зада-
ются в виде
z = f(x,y), fx = fv = O.
88
ГЛ. 2. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
[Ч. I
Более того, в этой точке fxy = fvx == 0, если оси являются главными
направлениями. Тогда Xi = /xx, X2 = /vv в этой точке. Поскольку
в таких координатах мы уже вывели формулу Эйлера, теорема
доказана.
Замечание. При изменении направления оси z на противо-
положное знак главных кривизн также меняется.
Отметим следствие из формулы Эйлера: если > Х2, то и
Х2 суть максимальная и минимальная кривизны нормальных се-
чений в данной точке (с учетом знака).
Укажем полезные формулы для второй квадратичной формы.
Если поверхность задана в виде z = /(x, у), то для коэффи-
циентов второй квадратичной формы имеем (здесь х — и, у = и)
Ги --- (1, 0, /х), Ге-----(0, 1, /у), [ги, Ги] ------ ( /х, /у, 1),
Гии= (0, 0, /„), Ги«= (0, 0, /ху), = (0, 0, /уу),
Отсюда получаем
bijdM = —. -.... (f^dx'dtA, (24)
х1 — и = X, хг = V = у.
Напомним, что для коэффициентов gy мы имели формулы (7.15):
£11 = 1 + /х, £12 — #21 ” fxfy*4 g22 ” 1 + fv* „
Имеет место следующая
Теорема 3. Гауссова кривизна поверхности равна отноше-
нию детерминантов второй и первой квадратичных форм:
hh—b*
К « -“-22--(26)
^11^22 ^12
В частности, если поверхность задана в виде графика z = f(x, y)f
то имеет место формула
ft ~ f
(1 + /2+/2)2’
Доказательство. Собственные значения и Х2 опреде-
лялись из уравнения (9)
det (<? — = О,
ч. I]
§ 8. ВТОРАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА
89
где Q = (&{;) =« у] —матрица второй квадратичной формы,
<?=(gij). Заметим, что Q — KG =(Ь{5 — Kgi3) и det(Q —XG)=«
(би - ^и) (622 - Xg22) - (612 - ^12)2- Матрица G = (gy) поло-
жительно определена и потому невырождена. Следовательно,
det ((? — XG) = det G det (G~lQ — VI),
где det G =/= 0. Собственные значения Х4 и Х2 можно определить,
решая уравнение det (G-1Q -b l) =0. Напомним факт из алгеб-
ры: произведение всех собственных значений матрицы равно ее
детерминанту, в частности, det А =« Х4Х2 для матриц второго по-
рядка. Полагая А = G_iQ^ видим, что
ЛЛ = det (0-^2) = ^-2 = Я. (27)
Отсюда следует, что гауссова кривизна равна отношению де-
терминантов матриц второй и первой квадратичных форм.
Далее, если поверхность задана в виде я = /(я, у), то коэф-
фициенты 6<j, gn даются формулами (23), (7.15). Вычисляя детер-
минанты и составляя их отношения, получаем формулу для гаус-
совой кривизны.
Следствие. Если поверхность задана в виде графика
z = f(x, у), то знак гауссовой кривизны К совпадает со знаком
детерминанта fxxfyy — fxy, так как
f f _ f2
g___ хх УУ ХУ
_(1+£+ф2‘
Пример. Пусть поверхность задана в виде z = f(x, у), где
функция f(x, у) удовлетворяет уравнению Лапласа /xx + /vv = 0.
Тогда jxxfyy — fxy 0, так как fxx = —fvv. Поэтому гауссова кри-
визна К < 0 всюду, где хотя бы одна из двух производных /хх,
/зд отлична от нуля.
Укажем геометрический смысл гауссовой кривизны. Выберем
для данной точки поверхности ортонормированный репер (я, у, z),
где ось z нормальна к поверхности. Тогда локально поверхность
запишется в виде z = f(x, у), где fx = fy = O в этой точке.
В данной точке мы получим gw= б«, так как g1± = 1 + /1
£12= /х/у» £22 = 1 + /у- Далее, L = &и = М = &12 = fa, N = b22 =
Разберем три случая.
1) К> 0, Xi >0, Ха>0 (минимум функции f(x^y} при х = х^
у = у^ рис. 10,а).
2) Х>0, М<0, Х2< 0 (максимум функции /(я, у) при х = х^
у = Уо, рис. 10, б).
3) К < 0, поэтому Xi > О, Х2 < 0 или наоборот — это седло
или «перевал» (рис. 10, в).
90
ГЛ. 2. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
(Я, Г
Вывод. При К>0 локально поверхность лежит по одну
сторону от касательной плоскости около изучаемой точки. При
К < 0 поверхность обязательно поресекает касательную плоскость
сколь угодно близко от точки касания.
Если гауссова кривизна всюду положительна, то это — строго
выпуклая поверхность.
Задачи. 1. Найти поверхность, у которой все нормали пере-
секаются в одной точке.
2. Вычислить вторую квадратичную форму на поверхности
вращения
r(u, ф)={я(и), p(u) cos ф, p(u) sinip}, p(u) > 0.
3. Вычислить гауссову и среднюю кривизну на поверхности,
задаваемой уравнением
z = 7(z) + g(y).
4. Доказать, что если у поверхности, вложенной в трехмерное
евклидово пространство, гауссова и средняя кривизна тождествен-
но равны нулю, то поверхность является плоскостью.
5. Доказать, что на поверхности 2 = f(x, у} средняя кривиз-
на Н равна
Н = div
grad /
+1 grad f |2
6. Пусть поверхность S образована касательными прямыми
к данной кривой с кривизной k(l). Доказать, что если кривая
изгибается с сохранением k(l), то и поверхность S сохраняет
метрику.
7. Если метрика поверхности имеет вид
dl2 = A2du2 + B2dv\ А =Л(и, у), 5 = у),
ч. I]
§ 9. МЕТРИКА СФЕРЫ
91
то гауссова кривизна имеет вид
8. Доказать, что единственными поверхностями вращения, име-
ющими нулевую среднюю кривизну, являются плоскость и кате-
„ /ch (at 4- b) Л
ноид, где катеноид получается вращением кривой Ь------, t\-
§ 9. Метрика сферы
Сфера S3 gz R3 радиуса R с центром в начале координат зада-
ется уравнением
+ + = (1)
В сферических координатах г, 0, ф эта сфера задается уравне-
нием гвЯ, 0, ф любые. Поэтому параметры (0, ф) могут слу-
жить локальными координатами па сфере, за исключением ее
северного и южного полюсов (где 0 = 0, 0 = л; это — особые точ-
ки сферической системы координат — см. § 1). Известно (§ 3, п. 1),
что евклидова метрика dx2 + dy2 + dz2 в сферических координатах
принимает следующий вид:
dx2 + dy2 + dz2 = dr2 + r2(dQ2 + sin2 0 dq>2). (2)
На поверхности r = R дифференциал dr обращается в нуль, и для
метрики сферы в координатах (0, ф) мы получаем вид
dl2 = R2(de2 + sm2Qdq2). (3)
Здесь 0 ф 2л, 0 0 л (рис. 41). В малой окрестности точ-
ки 0 имеем sin 0 ~ 0. Тем самым dl2/R2 приближенно равно евкли-
довой метрике dQ2 + Q2dy2 (в полярных координатах 0, ф)\ Рас-
смотрим стереографическую проекцию сферы па плоскость (см.
рис. 12, на котором изображено плоское сечение сферы). Здесь
0, ф — координаты на сфере, а (г, ф) — полярные координаты на
плоскости. Из рис. 12 видно, что ф = ф, г = .Rctg-^ . Используя
эти формулы перехода, мы можем переписать метрику (3) в ко-
ординатах (г, ф) (или в координатах я, у):
dl' + (4>
Ясно, что метрика сферы получается из метрики евклидовой пло-
скости умножением на функцию 4RV (R2 + х2 + у2)2, т. е.
d/сфера = / п2 . 2 1 2\2 ^/плоскость- (5)
\К -Г Я -Г У )
92
ГЛ. 2. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
(Ч. Г
Пример. Найдем длину окружности и площадь круга радиу-
са р на сфере. Пусть центр окружности расположен в северном
Рис. 11. Расстояние между точками А
и В, измеренное вдоль окружности ра-
диуса 0 = л, равно нулю, т. е. вся гра-
ница круга склеивается в одну точку,
что и дает двумерную сферу
Рис. 12. Стереографическая
проекция: (0, ср) -> (г, ср).
полюсе N (точка 6 = 0; рис. 13). Тогда радиус р окружности ра-
вен р=/?0о. Следовательно, уравнение окружности имеет вид
0 = р//?, 0 ф < 2л. Круг радиуса
р — это область 0 С р//?, 0 С ср 2л,
На кривой 0 = p/Z? = const имеем
cfZ2 = (cf0^ + sin2 9 cf<p2) =
Рис, 13. Круг радиуса р на
сфере
= 7?2sin2 cZcp2t
поэтому длина 1Р равна
2Л
Zp = У R sin с?ф = 2л7? sin . (6)
о
Мы видим, что при р = /?л/2 длина
максимальна (экватор); при р = л
длина равна нулю (южный полюс).
Из формулы (6) вытекает, что отношение длины окружности Zp
к радиусу р на сфере всегда меньше 2л*.
n sin (р//?) - п А
— = 2л------7-7^— < 2л при р > 0.
Р P/Я Г
Найдем теперь _площадь ор круга радиуса р. Из вида (3) для
dl2 вытекает, что 1g = R2 I sin 01. Поэтому площадь равна
<тр = J J 7?2 ] sin 0 | tZ0 tZ<p =
о<е<р/н
Р/Н 2Л
= Яа J sinGde j dq>= 2л7?2( 1 — cos-^-ji р<-£. (7) .
О о
4. I] § 10, ПРОСТРАНСТВЕННОПОДОБНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ 9$
При р — nR наш круг совпадает со всей сферой и мы получаем,
что площадь сферы равна 4л/?1 2.
2
Если радиус р мал, то sin и 1 — cos Полу-
чаем
Zp = 2л/? sin-— 2лр,
Ор = 2л/?2 — cos & лр%
т. е. при малых радиусах мы имеем для длин и площадей при*
мерно те же формулы, что и в евклидово^ геометрии.
Найдем теперь гауссову и среднюю кривизну сферы радиу-
са /?. Заметим, что нормальные сечения сферы — это окружности
радиуса /? (так называемые большие круги на сфере). Поэтому
кривизна любого нормального сечения постоянна и равна /?-1
(см. § 5, п. 1). Таким образом, оба собственных значения второй
квадратичной формы равны друг другу и равны /?-1. Значит, га-
уссова кривизна сферы равна I//?2, средняя кривизна сферы рав-
на 2/R.
Перейдем к группе движений метрики сферы. Всякое враще-
ние пространства вокруг начала координат переводит сферу ра-
диуса R в себя. Это вращение, задаваемое ортогональной матри-
цей, сохраняет риманову метрику на сфере. Таким образом, дви-
жения сферы S2 определяются ортогональными матрицами. На-
помним (см. § 4, п. 3), что группа ортогональных матриц обозна-
чается 0(3) и называется полной ортогональной группой. Каж-
дое вращение описывается тремя параметрами. Итак, метрика
сферы имеет по меньшей мере трехмерную совокупность дви-
жений.
Важное замечание. Мы видели, что всевозможные пре-
образования сферы, задаваемые ортогональными матрицами, яв-
ляются движениями. Поэтому группа 0(3) содержится в группе
всех движений сферы S2. Однако пока мы еще не доказали, что
группа 0(3) действительно совпадает с группой всех движений.
Это совпадение имеет место. Любое преобразование, сохраняющее
метрику на 52, является линейным и ортогональным преобразова-
нием в R3. Однако строгое доказательство этого факта требует
привлечения понятия геодезической линии. Мы вернемся к этому
вопросу в гл. 4.
§ 10. Пространственноподобные поверхности
в псевдоевклидовом пространстве
1. Псевдосфера. Рассмотрим трехмерное псевдоевклидово про-
странство с координатами (Z, х, у), в которых псевдоевклидова
метрика имеет вид
(о:
dl2 - dt2- — dz* — dy\
ГЛ. 2. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
[Ч. I
Псевдосфера радиуса R в пространстве RJ задается уравнением
t2 — х2 — y2 = R\ (2)
Это — двуполостный гиперболоид в трехмерном пространстве
(рис. 14). Псевдосфера лежит целиком внутри светового конуса
i2, — х2, — у2, = 0 и в псевдосферических координатах р, х, Ф (см.
(3.11), (3.12)) задается уравнениями
р = R (верхняя половина),
р=—R (нижняя половина).
Мы будем в дальнейшем рассматривать только верхнюю половину
гиперболоида, где р = R. Напомним, что метрика dt2, — dx2, — dy2
в псевдосферических координатах р, х, ф имеет вид (3.12):
dl2 = -Р2 W + sh2 х d<p2) + dp2. (3)
Поэтому на гиперболоиде, где dp = 0, имеем
-dZ2 = R2 (dtf + sh2 х d<p2). (4)
Рис. 14
Таким образом, метрика, индуцированная
псевдо евклидовой (т. е. индефинитной) мет-
рикой на поверхности псевдосферы, отрица-
тельно определена.
Это эквивалентно тому, что псевдосфера
t2, — х2, — у2, = R2, в Rj— пространственно-
подобная гиперповерхность: касательные векторы к этой поверх-
ности всегда пространственноподобны (на них dZ2 < 0).
Определение 1. Метрика (4) называется метрикой Лоба-
чевского.
По аналогии с предыдущим параграфом можно построить сте-
реографическую проекцию псевдосферы на плоскость (х3 у). Цен-
тром псевдосферы является начало координат О, северный по-
я. Il
§ 10. ПРОСТРАНСТВЕННОПОДОБНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
95
люс — это точка с координатами (Я, 0, 0), южный — точка с ко-
ординатами (—0, 0). Образом верхней половины псевдосферы
будет открытый круг x2 + y2<R2 (рис. 15). Пусть t, х, у — коор-
динаты точки Р на псевдосфере (где t > 0), и пусть и, и — коор-
динаты точки /(Р), где / — стереографическая проекция. Вычис-
лим связь между этими координатами в явном виде. Из рис. 15
видно, что
х t -|- R у t + R
~ = ~ = ~R~r
откуда х = u(l + t/R), у = z?(l + t/R). Подставляя х и у в урав-
нение поверхности t2 — х2 —- у2 = 0, получим
t = - R (1 + 2f .2-1 (5)
\ и + v — R /
откуда
х = 2д8“ „ _ 2Д^ (6)
Формулы (5) и (6) — искомые формулы для стереографической
проекции. Теперь можно найти вид метрики (4) на псевдосфере
в координатах (и, у). Непосредственное вычисление показывает,
что
Z
- dl* = - (dt* -dJ- dy*) = 3 p2.2 (du* + dv*). (7)
Опять (как и для сферы №) метрика псевдосферы в коорди-
натах и, и пропорциональна метрике евклидовой плоскости. Мет-
рика (7) на круге u2 + v2<R2, взятая со знаком минус, называ-
ется метрикой модели Пуанкаре геометрии Лобачевского. Если
ввести на круге u2 + v2<R2 полярные координаты (г, ф), то мет-
рика Лобачевского запишется в виде
/ тэ4
= (Д2-г2)2 + Г2 (8)
Очевидна аналогия с метрикой сферы S2 (см. (9.4)) .
Соберем различные виды метрик сферы S2 и плоскости Лоба-
чевского L2 в одну таблицу (R = 1):
S2 £а
de» + sin»0 (d<p)« dX2 + sh»X (d<p)2
dx2 + dy2 dx2 + dy2 Z 1 g I _ 9 A
4 (1 + + У*)* 4 (1 — x« — у»)»’ * + У < 1
96
ГЛ. 2. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
[Ч. I'
Рис. 16
Рассмотрим еще одну форму записи метрики Лобачевского-
Из теории функций комплексного переменного хорошо известно,
что существует дробно-линейное преобразование комплексной
плоскости, переводящее верхнюю полуплоскость в единичный
круг. Укажем одно из таких преобразований: z — (i-\-iw)/(i—iw)
(рис. 16). Если мы положим z = и + ш, w = х + iy, то тем самым
мы введем на единич-*
ном круге новые коор-
динаты (х, у), где
у > 0. Непосредствен-
ное вычисление пока-
зывает, что метрика
Лобачевского в коорди-
натах (х, у) принимает
вид
= у>0
(9)
Метрика (9) называется метрикой модели Клейна геометрии Ло-
бачевского.
Найдем группу движений плоскости Лобачевского. Любое
псевдоортогональное преобразование пространства R? (см. § 6,
п. 2) сохраняет форму t2— х2— у2 и поэтому переводит псевдо-
сферу t2 — х2 — y2 = R2 в себя. Но преобразование из 0(1, 2) мо-
жет менять местами верхнюю и нижнюю половину псевдосферы.
Следовательно, группа движений плоскости Лобачевского содер-
жит группу ортохронных преобразований из 0(1, 2). В гл. 4 бу-
дет показано, что эти группы , совпадают. Таким образом, плос-
кость Лобачевского, так же как сфера и евклидова плоскость,
имеет трехпараметрическую совокупность движений.
2. Кривизна пространственноподобных поверхностей bRL Бу-
дем говорить, что поверхность в R? пространственноподобна,
если любой касательный к ней вектор пространственноподобен.
Другими словами, метрика Минковского dl2 = dt2 — dx2 — dy2 ин-
дуцирует на поверхности отрицательно определенную метрику.
Для случая, когда поверхность задана как график функции
£ = /(х, у), метрика на поверхности имеет вид
— dl2=~ (dt2 - dx2 - dy2) =
= (1 — /«) dx2 — 2fxfydx dy + (1 — /2) dy2 = g^dx' dx\
X1 == X, xz = y.
Имеем: det g# =1 — f2 — f2* условие пространственноподобности
имеет вид det g^ = 1 — f2 — > 0. Единичный вектор нормали
к поверхности имеет вид т = (1Х /х, fy)/]^ 1 •— /» — fy (времени-»
ч. I]
§ 11. КОМПЛЕКСНЫЙ ЯЗЫК В ГЕОМЕТРИИ
97
подобен)'. Вторая квадратичная форма поверхности определена
равенством
= 1,2.
к / д г
3 \дхгд^
В ведем гауссову кривизну К пространственноподобной поверх-
ности, полагая
det
К^- 10)
det gj; f
Для поверхностей, заданных уравнением t = f(x, у), 1 — — fy >
> 0, по аналогии с § 8 будем иметь
72 — / /
Jxy 'хх'уу
(11)
В частности, для гиперболоида t2 — х2 — у2 = 1 (геометрия Лоба-
чевского) получаем К — 1.
Замечания. 1. В гл. 4 будет вычислена кривизна плоскости
Лобачевского, исходя из внутренней геометрии. Мы снова полу-
чим К =—1; это объясняет выбор знака в определении (16).
2. Как и в § 8, получаем: пространственноподобныв поверх-
ности отрицательной гауссовой кривизны К < 0 в пространстве
являются выпуклыми.
§ И. Комплексный язык в геометрии
1. Комплексные и вещественные координаты. Во многих зада-
чах геометрии удобно пользоваться комплексным языком, В свя-
зи с этим мы изложим здесь нужные нам простейшие факты.
Пусть задано n-мерное линейное пространство Сп над полем
комплексных чисел С с базисом еп. Любой вектор £ См
имеет вид
g = zKeh, zH = xk + iy\
(1)
где zh — комплексные координаты. Пространство Сп можно рас-
сматривать как 2п-мерное линейное пространство R2n над полем
вещественных чисел, где базис в R2n задается так:
..., е„, ieb„^ien. (2)
Тогда имеем
g = = Л?Й+ yft(fej, (3)
где ‘(я1, ...г Л г/1, ..у11)—вещественные координаты векто-
ра Описанная операция называется овеществлением.
Комплексно линейные невырожденные преобразования прост-
ранства сп образуют группу GL(n, С). Это — группа комплекс-
ных матриц размером п X п с определителем, не равным пулю.
/ Б. Л. Дубровин и др.
38
ГЛ. 2. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
(Ч. I
При овеществлении каждое такое преобразование дает некоторое
линейное преобразование вещественного пространства Ran. Полу-
чаем таким образом отображение овеществления
GL(n, C)->GL(2n, IR). (4)
Пример. Пусть тг=1. Мы имеем тогда одномерное комп-
лексное пространство с координатой z = х 4- iy. Линейные преоб-
разования пространства С — это умножения на комплексные чис-
ла X ¥= 0;
z №. (5)
Если X e а + ib, а2 + Ь2 =/= 0, то получим
z = х + iy (а + ib) (х + iy) — (ах — by) 4- i (bx 4- ay).
Таким образом, соответствующее преобразование пространства
R2 задается матрицей вида
(а
-Ь а)=Г^ a^+b^Q. (6>
Видно, что заведомо не любое линейное преобразование простран-
ства R2 получается из комплексно линейных преобразований про-
странства с.
Аналогично нетрудно показать, что если в п-мериом случае
А — матрица из GL (тг, С)^ причем А = А 4- гВ, где А и В — ве-
щественные матрицы, то при отображении r\GL (n, С)-> GL (2/г, R)
получается матрица
/ А В\
Г(Л)-(_В J- <’)
Задача. Докажите, что определитель матрицы г (А) имеет
вид det (г(А)) == IdetAI2.
Замечание. Укажем другое описание образа отображения
:r GL (п, С) -+ GL (2тг, R). Если А е GL (n, С) — комплексно ли-
нейное преобразование, то для любого вектора | имеем
A(^)=iA(|). (8)'
При овеществлении умножение па i делается линейным преобра-
зованием 1 в 2тг-мериом вещественном пространстве. Имеем
Z1 0\
/ 0 1\ / 1 . I
r(i) = (_! о)’ Где 1 =1 • • • (9>
\° 1J
Матрица оператора / = г(г) умножения на г в базисе (2)’ имеет
вид (9), так как
4. I] § И, КОМПЛЕКСНЫЙ ЯЗЫК В ГЕОМЕТРИИ 99
Из (8) вытекает, что матрица I коммутирует с матрицей г (А).
Это и означает комплексность оператора.
В GL(ri) С) есть подгруппа матриц с определителем 1, обозна-
чаемая SL (n, С).
2. Эрмитово скалярное произведение. Скалярное произведение
в пространстве 0" задается на комплексном языке следующим
образом:
<51, 52>С = 2 44, <£, 5>С = 2 I |3. (10)
/<=1
Оно обладает следующими свойствами:
<XL П>с - X <L
<5, = X <5, П><с»:
<5,П>с = <пГ5>с, (Н)
<51 + 5г, = <51, трс + <5г,
<5, 5>с > 0 при 1^=0.
Любое скалярное произведение со свойствами (11) называется
эрмитовым.
В овеществленном пространстве R2" можно также ввести
евклидово скалярное произведение: если = (4, ..,, 4, г/}, ...
• • • , уТ), 5г = (4, • 4, у\, ..., 4), то
<11, 52>« = 2 (44 + уЫ). (12)
/<=1
Покажем, что эрмитово скалярное произведение связано с евкли-
довым следующим образом:
Re <5i, 5,>с = <51, 52>й, (13)
где Re означает действительную часть комплексного числа. Дей-
ствительно, имеем
Re <^,58>с = Re S (4 + iy'O (4 - *4) = 2 (44 + У1У2).
k^=l Й=1
В частности, из формулы (10) вытекает, что эрмитов скалярный
квадрат вектора совпадает с евклидовым:
<&, De ~ <&, Dr. (14)
Пусть Л е GL (n, С) — комплексное невырожденное линейное
преобразование.
Определение!. Л называется унитарным^ если
<Л^, Л£2>с - <£ь (15)
7*
100 гл. 2. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ [Ч. 1
Пусть в базисе ei9 ..еп, в котором эрмитово скалярное про-
изведение имеет вид (10), Л задается матрицей Л = (хк). Тогда
из условия унитарности имеем
п
X = 6"' (16)
Ь=1
или, в матричной форме,
ЛТЛ = 1 — Лт = А-1 (17)
(Тозначает транспонирование). Унитарные матрицы Л образуют
группу, которая обозначается через U(п) и называется унитар-
ной группой. Из (17) вытекает, что
det (ЛТЛ) = (det A)(det Л) = ] det Л |2 = 1.
Таким образом, унитарные матрицы имеют детерминант, по моду-
лю равный единице. В группе U (п) есть подгруппа SU (п) уни-
тарных матриц с определителем единица.
Замечание. Можно заметить, по аналогии с § 4, что U(п)
есть группа движений эрмитовой метрики в СЛ
Рассмотрим образ r(U(n)) в группе GL(2n, R). Из формулы (13)
вытекает, что если Ле U(n), т. е. Л сохраняет эрмитов скаляр-
ный квадрат, то матрица г(т\) сохраняет евклидов скалярный
квадрат в R2'1. Таким образом, образ r(U(n)) унитарной группы
в GL (2л, R) имеет вид
г (U (л)) = SO (2п) П г (GL {п9 С)). (18)
Аналогично псевдоевклидовым пространствам можно рассмот-
реть псевдоэрмитовы пространства C£,q, р + q = п, где квадрат
длины вектора £ с координатами (z1, ..., zn) задается формулой
<В, В>р,< = М2 + ...+ М2-...- Ы2. (19)
Группа комплексных линейных преобразований, сохраняющих
форму (19), обозначается U(p, q), а се подгруппа, составленная
из матриц с определителем единица,— SU(p, q).
3. Примеры групп комплексных преобразований. Мы видели
выше, что группа GL(i, С)— это группа ненулевых комплексных
чисел (по умножению). Группа С7 (1) состоит из всех комплекс-
ных чисел, по модулю равных единице: U (1) = {еТ(р}. Заметим, что
/ cos ср sin ф\
г(егф) = (_ cos qj? так что отображение г определяет изомор-
физм групп U(1) и SO(2).
(а Ь\
Рассмотрим теперь группу SL(2, С). Пусть d ]^SL
С)4т. е. ad — bc~L Поставим в соответствие матрице А дробно-
ч. I]
§ И. КОМПЛЕКСНЫЙ ЯЗЫК В ГЕОМЕТРИИ Ю1
линейное преобразование (расширенной) комплексной плоско-
сти с*
(а' Ъ'\
с! #) Другая матрица с определителем единица,
то имеем
н а т! -\-]) (а'а b'c) z а'б 4~ b'd
c'zf + d' (c'a + d'c) z + c'b + d'd*
т. e. построенное отображение представляет собой гомоморфизм
ср: (21)
где L — группа дробио-лннейпых преобразований. Нетрудно ви-
И 0\
деть, что ядро гомоморфизма <р состоит из двух матриц: J и
/— 1 0\
I о—1/’ пРичем Ф отображает 5Л(2, С) па всю группу L
(«эпиморфио»). Поэтому
L = SL (2, С)/±1. (22)
(а Ь\
с Л принад-
лежит U(2), то
ld2+ 1Ы2 = 1, lc|2 + Ml2 = l, ac + bd = 0. (23)
Ее подгруппа SU(2) выделяется дополнительным условие?.}
ad — be = 1. Таким образом, группа SU(2) состоит из матриц вида
/ а Ь\
(_ь 1а13 + 1И2-1. (24)
Другой пример — группа 5С7(1, 1). Она состоит из матриц вида
/с
(d ld2-|d|2 = l. (25)
Заметим, что с#=0 (так как Icl > 1).
Существует отображение St/(1, 1)-*5£7(2), определяемое
формулой
с) \ — d/c
d/c\ — I
Цс) \—Ь а)*
(26)
Обратное отображение определено при а¥=0. Это отображение
не является групповым гомоморфизмом.
102
ГЛ. 2. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
П. I
§ 12. Аналитические функции
1. Комплексная запись элемента длины и дифференциала
функции. Пусть задана кривая в пространстве Сп в комплексных
координатах (z*), имеющая вид
zk = zk(t) = xk(t) + (1)
Тогда в вещественных координатах (хк, ук) мы получаем кривую
х* (£),..хп (t) 1 у* (t), ., уп(t). Ее длина имеет вид
l-Jl/i (?)° + (?')2Л - J 1/1 ’*?'*• (2)
- Г у Г к~1
*о о
В пространстве R2n удобно перейти от координат (х\ ук) к комп-
лексным координатам z\ z\ к = 1, ..п, полагая
zk = хк + iyh, zh = хк — iykt
xk = (zk + zk\ = ^zh — zk}* ( )
Тогда элемент длины в комплексной форме запишется так:
dl2 = 2 dzM?, k=l (4)
где положено dzk = dxk + i dyk, dzk = dxk — i dy\ (5)
Введем операторы в пространстве комплекснозначпых функций
на Сп а _ 1 / . д \ dzk % \ д.гк дук/ /_а_ . д \ (6)
dzk \дхк дук) Очевидно, имеем д_дд дхк dzk dzk' д _ . Г_д д_\ дук dzk) Отметим, что имеют место следующие тождества: (7)
Л (z?<) = -1 (?) = 0, dzh ' dzkK ’ (8)
Из формул (6), (7) вытекает следующее утверждение.
ч. I)
§ 12. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
103
Лемма 1. Дифференциал любой комплексно значной функции
f(x\ ..хп, уп) имеет вид
df -^dz1 + ... + ~—^dzn + ^dz1 + ... + ^d~z\ ($)
dz1 dzn dz1 dztl f
Рассмотрим теперь произвольный многочлен с комплексными
коэффициентами Р(х\ у', .х'\ уп) от переменных х\ .хп,
у\...,уп. Совершив замену переменных (3), мы получим из мно-
гочлена Р(х\ гД... ,уп) многочлен ()(Д..z11, z1,..., zrt).
Имеет место следующее утверждение.
Теорема 1. Многочлен Q(z, z) = Р(х, г/) тогда и только
тогда зависит от переменных z1, ...» zn и не зависит от z\ ..zn,
когда выполнены тождества
= 0, к = 1, ..
dz1
Доказательство. Операторы и -Хт обладают следу-
dz‘ dz1
ющим очевидным свойством (формула Лейбница):
dzh^ ~ dz1'8
А (fg\ = а + /
d~z!^18’ dz'<a±1dzh
п.
(10)
(И)
Далее, используя формулы (8), отсюда получаем, что
A [(г/.и = о, А [(?)”•] = ,п (?)”-\ (12)
Отсюда сразу получаем, что если Р(х, £/)=C(z, z) не зависит
а дР л
ОТ Z, ТО -ТГ7 s и.
3zh
Докажем теперь обратное утверждение. Пусть многочлен Р
зависит от ?, причем максимальная степень, с которой zh входит
др
в Р, равна тп. Покажем, что -=^#=0.
Многочлен Р имеет вид
Р = Ао (Г)m + At (?) "-1 + ... + Ат1
где Ло, ..Atn — многочлены от всех переменных z*, ..zn и
всех z9, кроме z\ Поэтому р / = 0, ..., m (Af не зависят
от ?). Следовательно,
= Лот Cz’T'1 + А1(1п- 1) (?г~2 + ...
Так как А ^0, то 0.
dz"
Теорема доказана.
104
ГЛ. 2. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
гл. г
Замечание. Теорема применима не только к многочленам,
по и к сходящимся степенным рядам: независимость от перемен-
ных z эквивалентна условиям = U.
dz*
Определение 1. Комплексно аналитической называется
функция f(x\ у1, .хп, уп), для которой выполнены тождества
1 = 0, /с = (13)
dz*
Для функций двух вещественных переменных f(x, у) = f(z,z),
где z = х + iy, z= х — iy, условие аналитичности (независимости
от z) имеет вид
2 5/
dz
dz dy
(14)
Если j(x, y}= u(x, y)+iv(x, у), то условие (14) запишется
в виде
du dv du_____dv
dz dyr dy dz* ' '
Уравнения (15) называются уравнениями Коши — Римана.
Из (15), очевидно, следует, что
d2u . d*u n d*v . d*v
dz2 dy2 dz2 dy2
Следовательно, вещественная и мнимая части комплексно ана-
литической функции суть решения уравнения Лапласа (т. е. гар-
d^1 d^ 0%
монические функции): Ди = 0, Az; — 0, где А== —Н-----» = 4—- —
dz dy dz dz
оператор Лапласа.
2. Комплексные замены координат. Пусть в некоторой области
n-мерного комплексного пространства Сп заданы два набора ком-
плексных координат
z1 = х1 + iy1, ..., zn = хп + iyn,
(17)’
w1 = и1 + iv1, ..wn = un + ivn.
Тогда координаты wk = xk+it/k задаются в виде функций от коор-
динат zk = xk + iyk\
wk=wk(xi, у1, xn, у11), k=~l, n. (18)
Определение 2. Замена координат (18) называется ком-
плексно аналитической, если
^1 = 0, k, 1= 1, ....п. (19)
dz1 '
4. I]
§ 12. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
105
Для комплексно аналитической замены координат (18)' можно
ввести матрицу Якоби (а?)., положив
k dlV 1 1 A ft\iw
= —у J /к, Z = l,
аз
Определитель матрицы (а?) называется комплексным якобианом
замены (18):
Jc = det (а?). (21)
Замена (18) в овеществленном пространстве R2” дает замену
и* = .., хп, уп), = рл(х4, г/1, ..хп, л/")\
(22)
к — 1, ..., п.
Пусть
(23)
г д (wt v)
~ д(х, у)
— (вещественный) якобиан замены (22)'.
Оказывается, комплексный и вещественный якобианы связаны
весьма просто.
Лемма 2. Для комплексно аналитической замены координат
имеет место следующее равенство:
Доказательство. Пусть А =(а?) — I I —(комплексная)
\ /
матрица Якоби, J® = det А. Найдем вещественную матрицу Якоби
для перехода от координат z1, zn, z1, ..., zn в пространстве
R3” к координатам wn> w\ ..w\ Из условия комплекс-
ной аналитичности имеем
dwh ь dwh dwh л dwh -ft
—~ = aL 9 -r- » —r ~ v, -=r => a>.
dzb dz!' dzl dzl
A4 0\
Поэтому искомая матрица Якоби имеет вид L ^1. Ее определи-
тель равен
12
Заметим теперь, что переход от координат ..хп, у\ уп
к координатам z1, ..zn, z1, ..., zn или от (u, i?) к координатам
(ip, w) задается матрицей
det В = (— 2г)\
106
ГЛ. 2. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
[Я. I
Тогда
/к = det fВ"1 P 2) 5) - I Jc p.
\ \U Aj j
Следствие. Если (комплексный) якобиан замены (18)’ от-
личен от нуля, то локально можно выразить обратно z
через w:
zk = zh(zz?, ..., wn), k= 1, ..n,
причем обратные функции zh(w) комплексно аналитичны.
Доказательство. Функции zh(w, w) существуют в силу
вещественной теоремы об обратном отображении (см. § 1). Мат*
рица Якоби для замены (в R2'1) (w, w) -> (z, z) имеет вид
/Л”1 0 \
\0 А^Г
что и доказывает следствие.
Пример. При п= 1 замена (18) имеет вид
w w(z), 0. (24)
dz
Эта замена обратима всюду, где ^0.
Под преобразованием в комплексном случае всегда будем по-
нимать взаимно однозначное отображение одной области про-
странства Сп на другую, задаваемое комплексно аналитическими
функциями.
Примеры преобразований при n=l. 1) Комплекс-
ные аффинные преобразования
w(z) = az + b, а ¥= 0. (25)
При таком преобразовании = а 0.
Напомним (§ 4, п. 2), что с вещественной точки зрения пре-
образования (25) дают движения плоскости вместе с растяже-
ниями, сохраняющие ориентацию.
2) Дробно-линейные преобразования
= ad-Ьс^Л) (20)
(можно считать, что ad— be = 1). В этом случае
Строго говоря, преобразование (26) не определено при z —---
Можно считать (пока чисто формально), что отображение (26)
задано в расширенной комплексной плоскости, где комплексная
4. I]
§ 12. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
107
прямая С дополнена одной бесконечно удаленной точкой «>, при-
чем
-—'У М- OOt ОО н> —, (28)
Например, преобразование
переводит верхнюю полуплоскость Im z > 0 в единичный круг
|zp| < 1. Мы использовали это отображение в § 10 при построе-
нии модели Клейна геометрии Лобачевского.
3. Поверхности в комплексном пространстве. Мы рассмотрим
простейший случай одномерных поверхностей (комплексных кри-
вых) в двумерном комплексном пространстве С2. Такая кривая
задается в пространстве С2 с координатами (о?, z) уравнением
/(^, z) (30)
где /(о?, z) —комплексно аналитическая функция переменных гр,
г. Уравнение (30) есть система двух вещественных уравнений
и = 0, у = 0, где / = u+fp, и поэтому задает двумерную поверх-
ность в С3 = R4. Введем комплексный градиент gradc/^ полагая
sradi/=(й* !?)• w
Точка (гр о, zoy на кривой (30) называется неособой, если
grade/ |zojwo#=0. Имеет место следующий комплексный аналог
теоремы о неявных функциях (который мы приводим без доказа-
тельства).
Теорема 2. Пусть f(w, z)—комплексно аналитическая
функция переменных w, z, причем в точке z0 с /(zp0, z0) =0
градиент grade/ отличен от нуля. Пусть, например, Тог-
да в достаточно малой окрестности точки (zp0, z0) уравнение
j(w, z) =0 имеет единственное и при этом комплексно аналити-
ческое решение w^w{z), так что z) =0, n?0 = a?(z0),
dz
Пример. Пусть /(гр, z) — многочлен от двух переменных.
Тогда полная совокупность решений уравнения /(о?, z) =0 вида
w = w(z) называется многозначной алгебраической функцией,
а сама поверхность (комплексная кривая) /(ip, z) =0 называется
графиком или римановой поверхностью этой многозначной функ-
ции ♦).
*) Это — упрощенный вариант общепринятого определения римановой
поверхности (см., например, [16]). Наше определение равносильно обще6*
принятому в случае, если поверхность /(ш, z) = 0 не имеет особых точек
и самопересечений.
108
ГЛ. 2. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
[я. I
Важный частпый случай — гиперэллиптичебкие кривые, т. е.
римановы поверхности, задаваемые уравнением
/(u>, z) = wz — Pn(z) =0, (32)
где 7\(z)’ — многочлен n-й степени. Это —график алгебраической
функции H? = VPn(z).
Лемма 3. Поверхность (32) неособа тогда и только тогда,
когда многочлен Pn(z) не имеет кратных корней.
Доказательство, Вычислим градиент функции /:
1 / (df Of \ (0 dPn (z)\
grade/ = “,“ = 2u?,.----------— .
° \диУ dz J \ dz /
Если grade/ обращается в нуль па поверхности (32), то
2ц> = 0, ^ = 0t гуа —Pn(z) = 0.
Отсюда вытекает, что особая точка имеет координаты (0, z0)’, где
z0—общий корень многочлена Pn(z) и его производной —.
Отсутствие таких общих корней и эквивалентно отсутствию крат-
ных корней у многочлена Pn(z). Лемма доказана.
На поверхности (32) на основании комплексной теоремы о не-
явной функции можно ввести локальную координату z в тех точ-
ках, где^«21г^=0х т. е. где Pn(z)^§. Если Pn(z)=0, то
df dPn Ф) , п п
---------dz—В окрестности таких точек можно в качестве
локальной координаты взять w.
Вернемся к случаю произвольной неособой комплексно анали-
тической кривой /(u?, z) — 0. Пусть ,z0) 0 в некоторой
точке (u?0, z0). Тогда w = u?(z),“ = 0. Эрмитова метрика dl2 в С2
dz
dl2 = dw dw + dz dz (33)
па поверхности /(u?, z) =0 превращается в
dP div div + dz dz = (1 + | ^- |2 j dz dz. (34)
Если z=*x + ly> то па поверхности /(u>, z) = 0 квадрат элемента
длины примет вид
tfZ2 = g(z, z)dzdz = g(x, у) (dz2 + di/2), (35)
где g(z2 z) = 1 + в разобранном случае.
4. I]
§ 13. КОНФОРМНЫЙ ВИД МЕТРИК ПОВЕРХНОСТЕЙ
109
Определение 3. Координаты (х, t/), в которых метрика
па поверхности имеет вид dl2~g(x, у) (dx2 + dy2), называются
конформными.
Имеет место простая
Лемма 4. Конформный вид метрики инвариантен (только)
относительно комплексно аналитических замен координат и их
суперпозиций с комплексным сопряжением.
Доказательство. Пусть для координаты z метрика име-
ет вид
dl2 == g(zt z)dzdz.
Пусть z==z(ip), 0. Тогда
dw
dz \ dwl dz = (div
\dw / 1 \dw]
И
dl2 = g (z, z) dz dz = g(iv, iv), z (iv} iv)) | |2 div du\
dz
Если — =« 0, то доказательство полностью аналогично. Если жо
z=*z(iv, w}, ^-=/=0, ”=^0, то легко видеть, что метрика dl*
uw . div
в переменных iv, w будет иметь вид
I dz , dz -г- |3
dl2 = g dz dz = g J dw + dw | =
— + 2a12dx'dy' 4-
где = + очевидно, здесь al2^0. Лемма доказана.
§13. Конформный вид метрик поверхностей
1. Изотермические координаты. Гауссова кривизна в конформ-
ных координатах. Пусть двумерная поверхность в1К3 задана па-
раметрически:
х = г(р, 5), У=у(р, q), Z = z(p, q), (1)
где р, q изменяются в некоторой области пространства R2. Тогда
на поверхности возникает индуцированная метрика
dx2 + dy2 + dz2 = E(dp)2 + 2F dp dq + G (dq)2, (2)
g=*EG — F2 > 0. Заменами локальных координат (p, q) на по-
верхности метрику dl2 можно привести к конформному виду.
Именно, имеет место ([1])
Теорема 1. Пусть Е, F, G — (вещественно) аналитические
функции переменных (p^q).Тогда можно ввести новые локальные
110
ГЛ. 2. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
(Ч. I
координаты и, и такие, что в этих координатах метрика dl2
примет следующий вид:
dP = j(u, v)(du2 + dv2). (3)
Замечание. Такие координаты называются изотермически-
ми или конформными. Таким образом, в изотермических коорди-
натах метрика имеет конформный вид, в смысле предыдущего
параграфа.
Изотермические координаты определяются неоднозначно, как
было выяснено в лемме 12,4. Рассмотрим две системы изотерми-
ческих координат (р, q) и (и, у), и пусть u = u(p, д), u = q).
Мы знаем, что если замена сохраняет конформный вид мет-
рики, то функция w(z, z) является комплексно аналитической
функцией переменной z или z. Таким образом, полная совокуп-
ность преобразований, сохраняющих конформный вид метрики
в изотермических координатах, получается добавлением ко все-
возможным комплексно аналитическим преобразованиям w(z)
комплексного сопряжения z »-► z’.
Пример. Рассмотрим плоскость С с комплексной координа-
той z — х + iy. Евклидова метрика dl2 = dx2 + dy2 имеет конформ-
ный вид, т. е.
dP = dz dz. (4)
Рассмотрим произвольное дробно-линейное преобразование
w = — ad — be = 1. (5)
cz + d v '
Тогда имеем
dP == dzdz = lez + dlkdw dw, (6)
т. e. дробно-линейные преобразования сохраняют конформный вид
евклидовой метрики плоскости.
Пусть поверхность в трехмерном евклидовом пространстве за-
дана в конформных координатах и, и так, что метрика на поверх-
ности имеет вид
dP = g(u, и) (du2 + dv2). (7)
Выведем формулу для гауссовой кривизны в конформных коор-
динатах.
Теорема 2. Гауссова кривизна поверхности в R3 с метри-
кой (7) имеет вид
Я = --1Д1П£,; (8)
iP (Р
где Д = —s Н---5 — оператор Лапласа.
dip dv1
Доказательство. Пусть поверхность задана в параметри-
ческом виде: гввг(и, у), гж(х, у, я). Тогда условие (7) озна-
ч. II
§ 13. КОНФОРМНЫЙ ВИД МЕТРИК ПОВЕРХНОСТЕЙ
111
чает, что
<ru, ru> = rv> = g, <ru, r„> = 0. (9)
Дифференцируя эти равенства по и, и, будем иметь
V* ~ гиУ = (j*uvi
’ “^7 = (rvvi — <J"uvi ru}ft (10)
^Гии, Fu, Ги»> == 0 === <ruvj Fi>> “4" ^Fu, Г«
Введем единичные векторы et, е2г п, полагая
ги, е2 = rVi п= [еп е2]. (11)
Репер (еп е2, п) в каждой точке поверхности ортонормирован,
н при этом вектор п нормален поверхности, а векторы е2 ее
касаются. По определению коэффициенты второй квадратичной
формы имеют вид
iH — L —<гыц, n>, t12 = М = <гиг, п>, &22 = <^и, n> = Nt (12)
Из формул (10) и (12) следует, что векторы f uuj Г ид, г„„ в базисе
<?ь е2, п имеют координаты
_ ! 1 9g 1 9g r\
““ \2Vgdu’ 2yg9i>' j*
_ I 1 1 9g ,f\
ruv~\,2 Vg9v’ 2Vg9u'J,JJf
r ________1 9g N\
VV \ 2yg9u’ 2ygde' )’
(13)
Следовательно, имеет место формула
<ruu, Гв„> — <ruu, ruv> = LN — M2 — j. (14)
Из формул (10), (14) получаем
_ — (гuuvy rvy И- ыэ, гuv,y —
ди
~ (rии> г(ruu* г4- (rwu» г
1 д # (Т N 1 17^»
тс-
Отсюда, согласно (8.26), для гауссовой кривизны будем иметь
det(b0.) ,
? «•»(<«)
Теорема доказана.
112
ГЛ. 2. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
[Ч, I
Если метрика (7) записана в комплексном виде:
dl2 = g(z, z)dz dz,
то формула (8) для гауссовой кривизны примет вид
S dz dz
(15)
2. Метрики сферы и плоскости Лобачевского в конформном
виде. В действительности конформные координаты для сферы уже
были найдены в § 9. Рассмотрим сферу радиуса R = 1 и ее сте-
реографическую проекцию на экваториальную плоскость с коор-
динатами (х, у). Напомним, что в координатах (х, у) метрика
сферы dl2 имела вид (формула 9.4))
rfZ2 = 4
dx2 + dy2
(l+*2+/r
(1G)
Если z*=x + iy, z = x — iy, то формула (16) примет вид
dl2 = . .4 ^dzdz, (17)
(t-НИ2)2
где z — координата на комплексной плоскости С-
Для плоскости Лобачевского мы имели формулу для dl2 в ко-
ординатах (х, у) стереографической проекции (формула (10.7)
при R »1):
<,3>
В комплексной записи формула (18) примет вид
d/2 = ---^—^2 dz dz,
(1-1* I2)2
1*1 <1,
(19)
где z — комплексная координата в единичном круге (метрика мо-
дели Пуанкаре). Если мы отобразим единичный круг на верхнюю
т . л 1 + iw
полуплоскость 1ihip>U, полагая 2== j——, то метрика плоскости
Лобачевского примет вид
dl2 = — -—div dw, Im iv > б (20)
(u? — «•)
(метрика модели Клейна).
Выясним, как устроены группы движений этих метрик в комп-
лексной реализации. Мы видели в предыдущем пункте, что дроб-
но-линейные преобразования заведомо сохраняют конформный
вид метрики. Будем искать движения наших метрик среди дроб-
но-линейных преобразований (мы докажем в гл. 4, что других
движений пет)
. aw 4- Ъ
z = —-Hi
cw d
ad — be — 1.
(21)
Ч. и
§ 13. КОНФОРМНЫЙ ВИД МЕТРИК ПОВЕРХНОСТЕЙ
из
Для метрики сферы будем иметь
_ 4dz dz ' kdw dw
~ (1 + 12 |T ” II w + № + I + d|2]8 =
________________4dw dw ____________________ .„Qx
I| b |a + | d I2 + w (ab + cd) + w(ab± cd)+ (| a |2 + | c j2) | w |2]2 * ' 7
Чтобы преобразование (21) было движением метрики сферы (17)\
должны выполняться, стало быть, такие равенства:
1Ы2+М12 = 1, аЪ + са = О> Ы2+1с12=1, (23)
причем мы считаем, что ad — Ьс « 1.
[а Ъ\
Таким образом, матрица Г Л лежит в 5(7(2). Напомним
(§ 11, п. 3), что при отождествлении группы SLl2, С) с группой
всех дробно-линейных преобразований мы должны перейти к фак-
торгруппе по подгруппе (±1), Таким образом, мы доказали сле-
дующее утверждение.
Теорема 3. Дробно-линейная группа (собственных} движе-
ний метрики сферы S2 изоморфна факторгруппе 5(7(2)/±1.
Следствие. Имеет место изоморфизм групп 5(7 (2)/±1^
— 50(3). (Проверьте с помощью стереографической проекции!)
Замечание. Чтобы получить полную совокупность движе-
ний сферы, мы должны добавить к вращениям еще и отражения.
Это соответствует присоединению к дробно-линейным преобразо-
aw + b 1а Ь\ отт
ваниям z = где\с d/^bU (2), комплексного сопряжения
2^2.
Перейдем к плоскости Лобачевского. Начнем с модели Пуан-
каре. Вычисление, аналогичное предыдущему, показывает, что
после преобразования (21) будем иметь
dl2 =
____4dz dz________________________kdw dw ___________________
“ (1 — I Z I2)2 “ Il d I2 -1 b I2 +(cd -ab) w +(ab-~cd) w +(| с |2 -1 a |2)| ш I2]2’
Следовательно, должны выполняться условия
Irfl2—1Ы2 = 1, IcP— la|2 = -l, cd-a5 = 0, (24)
причем ad — Ьс = 1. Таким образом, мы получаем, что матрица
i'а Ъ \
( Л лежит в группе 5(7(1, 1). Заметим, что выполнение усло-
вий (24) гарантирует, что при дробно-линейном преобразовании
aw 4- b „
z ““ cuT+d единичный круг переходит в себя, так как его гранич-
ная окружность |zl = 1 переходит в окружность |и?| == 1.
Рассмотрим теперь модель Клейна. Отыщем прежде всего пре-
образования вида (21), переводящие верхнюю полуплоскость
8 Б. А. Дубровин и др.
114
ГЛ. 2. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
(Ч. I
Im z > 0 в себя. Для этого должно выполняться условие:
если Im w — 0, то Im z = 0, (25)
т у aw -4- Ь
Нетрудно видеть, что если w вещественно и z — то мни-
мая часть Im z имеет вид
Im z w2 Im (ас) + w Im (bc + ad) + Im (bd).
В силу произвольности w должны выполняться равенства
Im ас = Im (be + ad) = Im (bd) = 0,
Тем самым из требования (25) уже вытекает, что а, с, d —
вещественные числа. Все преобразования (21) с вещественными
а, Ь, с, d оказываются движениями метрики Лобачевского в мо-
дели Клейна: dl2 = —9. Вычисления, аналогичные разобран-
--------------------- <2 — zy
ным выше случаям, мы приводить не будем. Замечательно, что
все дробпо-липейиые преобразования, сохраняющие область опре-
деления метрики Лобачевского, автоматически оказываются дви-
жениями. Итак, доказано следующее утверждение.
Теорема 4. Дробно-линейная группа (собственных') движе-
ний метрики Лобачевского изоморфна:
а) группе SU(\, 1)/±1 в модели Пуанкаре,
б) группе SL(2, R)/± 1 в модели Клейна,
в) группе SO(i, 2) (точнее, ее связной компоненте).
Следствие. Группы SU(1, 1)/±1, S/L(2, R)± 1 и связная
компонента группы 50(1, 2) изоморфны. (Проверьте заменой
координат!)
Замечание. Чтобы получить полную группу движений
в модели Пуанкаре, нужно присоединить к дробпо-лииейным пре-
образованиям комплексное сопряжение z z (очевидно, оно пе-
реводит единичный круг в себя и дает движение метрики (19)).
В модели Клейна следует добавить преобразование z i-> — z,
переводящее в себя верхнюю полуплоскость и дающее движение
метрики (20).
3. Поверхности постоянной кривизны. Пусть метрика поверх-
ности записана в комплексном виде: dl2 = g(z, z)dzdz. Полагая
g=e<p, будем иметь для гауссовой кривизны (формулы (8), (15))
2
К = - V е~фДф, К = - 2е~ч -^4 . (26)
2 dzdz
Если кривизна К постоянна, то для функции ср получаем урав-
нение (Лиувилля)
Д® = — 2ЛГеф, = (27)
dz dz 2
ч. 1]
§ 13. КОНФОРМНЫЙ ВИД МЕТРИК ПОВЕРХНОСТЕЙ
115
Теорема 5. Поверхность с метрикой dl2 = g(z, z)dzdz по-
стоянной кривизны К = const (локально) изометричнах а) сфере
при К > 0; б) евклидовой плоскости при К = 0; в) плоскости Ло-
бачевского при К < 0.
Доказательство. Из (26) будем иметь
д / К \ d ( —ф д2ф \ —ф ( д3(р <?ср д2ф А
dz\ % J &z \ dz dz / \tte2 dz @z dz dz )
= -w d (Ap 1 pqA2^
dz \dz? 2 \dz } j*
откуда — — (vO = 'ФСЮ, ГДО Ф(2) —аналитическая функция.
dz 2 \dz J
Сделав комплексно аналитическую замену z = /(u?), получим
g(z, <р—<р(ш, w) = <p(z, z) + in+ inf
,, s О ф 1 РфГ -7 / •,
В новых переменных мы также будем иметь—з—о Г” =
dio &
vji£ i|?(ip) — аналитическая функция от и?, для которой получаем
выражение
Ip (w) = Ip (z) (/')2 +
Здесь /' = Можно выбрать функцию / так, чтобы функция
обратилась в нуль. Для этого нужно решить уравнение
//// О / 4П \ 2
Y~i\f} “"WW)3 (28)
(левая часть этого уравнения в теории функций комплексного
переменного называется «производная Шварца»)*).
После сделанной замены получим
। _фу2 (д2<р 1 л
2е )~v
Из вещественности е*т/2 получаем также
Из (29) и (30) следует
*) Разрешимость этого уравнения в рамках данной книги постулиру-
ется.
Ь*
116
ГЛ. 2. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
[Ч. г
где а, с — вещественные константы, b — комплексная. Получим
метрику вида
dl2 = g(z, z)dzdz =
dw dw
(aww + bw ~]~bw + c)a
(31)
* az + р
преобразованиями ш можно привести
Кривизна этой метрики равна К = 4(ас—bb). Форму (31) дроб-
но-линейными
к виду:
a) ?47?2<fz^, К = 4 {ас - bb) = R~* > 0;
;(l + hl2)2
б) dz dz, К = 4 (ас — bb) = 0;
В) А = 4 (ас - W) = - R~2 < 0.
Получаем метрики сферы, евклидовой плоскости и плоскости Ло-
бачевского. Теорема доказана.
Задача. Пусть метрика имеет вид
dl2 = dx2 + f(x)dy2, Q < f(x) < °°.
Доказать, что метрика приводится к конформному виду
dl2 = g(u, v) (du2 + dv2)<
§ 14. Группы преобразований как поверхности
в N «мерном пространстве
1. Координаты в окрестности единицы. Рассмотрим группу
матриц GL(n, R) с детерминантом, не равным нулю:
Л = (aj), det (aj) =/= 0. (1)
Условие (1) задает область в пространстве всех матриц, обозна-
чаемом через М (п, R). Это — линейное пространство размерно-
сти п2. Таким образом, полная линейная группа есть область
в линейном пространстве R”2. Координатами в пространство
М(п, R) служат матричные элементы а). Если А = (а}), В= (bj) —
две матрицы лг-го порядка, то их произведение С = АВ имеет вид
C = (cj),
с} = a;’6j, г, / = 1, 2, ..., п. (2)
Из формулы (2) вытекает, что координаты произведения двух
матриц выра?каются через координаты сомножителей при помощи
гладких функций (которые даже являются многочленами от коор-
динат). Другими словами, закон умножения определяет гладкое
ч. и
§ 14. ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ КАК ПОВЕРХНОСТИ
117
отображение прямого произведения:
GL (п, R) X GL (n, R) —> GL (n, R),
где (А, В) *-► АВ.
Введем в пространстве Rn всех матриц п-го порядка евкли-
дову метрику, полагая
|AP = 3|a}|2, A = (aj). (3)
ij
Очевидно, будем иметь
|Л + 51 |Л| + |5|. (4)
По отношению к произведению матриц метрика (3) обладает сле-
дующим свойством.
Лемма 1. Имеет место неравенство
|Л5| IAII5L (5)
Доказательство. Это вытекает из следующего нера-
венства:
[вывод неравенства (6): (2^) ( 2^) “ (2^0 = 42^30 —
—Лемма доказана.
Построим другую удобную систему координат в окрестности
единичной матрицы 1 eG5(n, R). Рассмотрим в пространстве всех
матриц единичный шар (без границы) IXI < 1, X = (х}).
Лемма 2. Если 1X1 < 1, то матрица Л = 1 + Х обратима*
А = 1 + X «ее GL (тг, R).
Доказательство. Рассмотрим ряд из матриц вида
5 = 1-Х + Х2-Х3 +... (7)
Покажем, что этот ряд сходится. Используя неравенства (4)
и (5), будем иметь
<|xm|-|i + |X| + ... +|X|,t-1| = |X|ml-~|A|,ft.
1 — | A |
Поэтому последовательность частичных сумм ряда (7) фундамен-
тальна при |Х| <1 и этот ряд сходится. Но в то же время
Л5=*(1 + Х) (1-Х + Х2-Х3 + ...)~1, 5 = Л”1.
Лемма доказана.
118
ГЛ. 2. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
(Ч. Г
Введем координаты на окрестности единицы в группе GL(n,R),
задаваемой условиями
I л —11 < 1. (8):
Если А = (а}), то координата х] матрицы А равна
= oj(l) = 0, (9)
. при i — /,
। л . . .
(О при
Замечание. Аналогично можно ввести координаты в окрест-
ности с центром в произвольной точке Во, R). Дейст-
вительно, если мы все матрицы в этой окрестности умножим на
\ то окрестность переедет в окрестность единицы, где коорди-
наты уже построены. Формально эта процедура задается так: если
С = (cf), то положим
У]И)«
ММ }
Координаты у] пригодны для таких матриц А, что
|А - Во| < |B0L (11)
Таким образом, мы построили для группы GL(?z,R) локальные
координаты в окрестности произвольной точки.
Касательное пространство в единице к группе GL(n, R) есте-
ственно отождествляется с пространством всех матриц n-го по-
рядка. Рассмотрим кривую A (I) е GL(n, R), т. е. семейство мат-
риц А(/), зависящих от параметра L Пусть эта кривая проходит
через единицу при /==0, т. е. А(0) = 1. Тогда касательный век-
тор (вектор скорости) этой кривой при t = 0 — это матрица
А (/)1^о. Наоборот, пусть X — любая матрица. Тогда кривая
Л(/)=1 + tX при /, достаточно близких к пулю, лежит в GL (п, (R).
Очевидно, что
А(0)~1, Л(0)«Х;
тем самым доказано совпадение совокупности всех векторов, ка-
сательных в единице к группе GL(n, К),и совокупности всех мат-
риц и-го порядка.
Рассмотренные в §§ 4 и 6 группы преобразований задавались
уравнениями в пространстве всех матриц. Так, группа SL(n, R)
матриц и-го порядка с определителем 1 задается одним урав-
нением
detA^l. (12)
Это — гиперповерхность в пространстве всех матриц, целиком ле-
жащая в GL (n, R).
4. I]
§ 14. ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ КАК ПОВЕРХНОСТИ
119
Теорема 1. SL (n, R) — неособая поверхность в пространстве
всех матриц.
Доказательство. Докажем сначала, что le5L(n, R) —
пеособая точка этой гиперповерхности. Для этого достаточно
доказать (см. § 7, п. 2), что касательное пространство к SL(n, О?)
в этой точке имеет размерность точно п2 — 1. Действительно,
пусть det>l (Z)==- 1, причем Л(0) = 1, и — A (t) |/=0 = X. По прави-
лу дифференцирования определителя имеем
O = ^(detZ(O)|t=o=SpX,
где Sp обозначает след. Поэтому Sp X = 0 — уравнение касатель-
ного пространства к SL (п, R) в точке 1 (напомним, что коэффи-
циентами этого уравнения служат элементы матрицы Якоби
д det А/да}, А « (а/), при Л ==1). Итак, мы доказали, что каса-
тельное пространство в единице к группе 5L(n, R) совпадает
с совокупностью матриц со следом 0. Размерность пространства
таких матриц равна п2 — 1. Поэтому точка 1 на группе — это не-
особая точка в SL (п, R). Далее, пусть В — любая точка группы
SL(n, 0?)—произвольная упимодулярная матрица. Умножим все
матрицы, лежащие в окрестности матрицы В, па В"*1. Тогда В пе-
рейдет в 1, и эта окрестность сдвинется в окрестность единицы.
Это отображение — гладкое и невырожденное; поэтому точка В
является неособой. Теорема доказана.
Использованный здесь метод, основанный на исследовании ка-
сательного пространства в единице группы, мы применим и для
других матричных групп. При этом мы всегда будем доказывать
только пеособость соответствующей поверхности в точке 1. (Из
доказательства теоремы 1 видно, что этого достаточно.)
Рассмотрим теперь группу О(п) ортогональных матриц п-го
порядка. Соответствующая поверхность в задается системой
уравнений
£44 = 6°, лтл = 1, а = (4). (В)
k
Среди уравнений (13) есть, очевидно, совпадающие, которые по-
лучаются при перестановке индексов i и J. Остается n(n*hl)/2
уравнений. Мы должны показать, что ранг этой системы уравне-
ний равен п2 — п(п + 1)/2 = п(п — 1)/2. Это означает* что раз-
мерность касательного пространства к группе О(п) равна
п(п—1)/2. Докажем, что касательное пространство к О(п) я
единице совпадает с пространством всех кососимметрических
матриц. Если А(1)^О(п), А (0)5=3 1 — семейство ортогональных
матриц, то 0-^(4т(ОЛ(0)<-.0-Хч’ + Х-О
(ср. § 5, п. 3). Это и есть уравнение касательного пространства
120
ГЛ. 2. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
[Я. I
в единице группы О (п), совпадающего с пространством кососим-
метрических матриц. Ясно, что размерность пространства всех
кососимметрических матриц равна п(п~— 1)/2 (в качестве декар-
товых координат в этом пространстве можно взять матричные
элементы х} с i<]). Отсюда следует неособость поверхности О(п).
В частности, группа SO (п), которая
есть связная компонента группы О(п)9
также есть неособая поверхность в
пространстве матриц
Пример. Рассмотрим группу
50(3) вращений трехмерного простран-
ства. В качестве локальных координат
на этой неособой поверхности можно
взять известные из аналитической гео-
метрии углы Эйлера. Если вращение
переводит систему координат (х9 у, z)
в у\ z') (рис. 17), то такое вра-
Рис. 17 щение можно представить в виде по-
следовательного выполнения трех:
а) Вращение на угол ф вокруг оси z. При этом ось х перейдет
в линию узлов.
б) Вращение на угол 0 вокруг линии узлов. Ось z переходит
в ось zf,
в) Вращение на угол -ф вокруг оси z'. Линия узлов переходит
в ось х'.
Можно ввести и другие локальные координаты на 50(3).
Каждое вращение можно задать, указав ось вращения и угол
вращения ф, О =С ф л. Ось можно считать направленной: мы
считаем, что вращение вокруг оси на угол ф происходит против
часовой стрелки. Каждое вращение_можно задать, таким образом,
вектором ф: направление вектора ф задает ось вращения, модуль
|ф| — угол вращения. Таким образом, любой точке группы 50(3)
соответствует точка из jnapa радиуса л в трехмерном простран-
стве — конец вектора ф. Поскольку вращения па угол л и на
угол —л совпадают, то на поверхности этого шара — двумерной
сфере радиуса л — пары диаметрально противоположных точек
изображают одно и то же вращение из группы 50(3).
В такой системе координат единица группы совпадает с нача-
лом координат, а касательное пространство в единице совпадает
с самим трехмерным векторным пространством.
Рассмотрим теперь комплексный случай. Группа GL (п, С) —
область в пространстве М (я, С) всех матриц. М (п, С) — это "ком-
плексное пространство Сп размерности п2. С вещественной точки
зрения это — область в пространстве R2n . Группа SL(n. С)—это
комплексная поверхность размерности п2 — 1 (вещественная раз-
Ч. I] § 14. ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ КАК ПОВЕРХНОСТИ 421
мерность равна 2п2 — 2). Касательное пространство группы
SL(n, С) в точке 1 также совпадает с пространством комплексных
матриц со следом нуль.
Рассмотрим теперь унитарную группу С7(п). Она задается
в пространстве всех комплексных матриц zz-го порядка уравне-
ниями
f (Л) = X А = (а)), или ААУ = 1. (14)
Мы видим, что функции не, являются комплексно ана-
dfij
^0. Поэтому группа U(п) не является комп-
лексной поверхностью. Докажем ее неособость. Каждое уравне-
ние в вещественном смысле задает два уравнения
.Re f = 6’^ Im f = 0.
Заметим, что имеют место тождества
/°=г,
поэтому уравнения = 0 и f5i = 0 при i =/= / эквивалентны. Кроме
того, Imf = 0. Поэтому уравнение /“=1 дает только одно ве-
щественное условие на матрицу А. Получаем таким образом п +
, п п (п - 1) 9 м ТТ
+ 2----------- п различных вещественных уравнении. Нужно
доказать, что касательное пространство в единице к группе U(п)
имеет (вещественную) размерность 2п2 — п2 = п2. Это простран-
ство совпадает с совокупностью всех косоэрмитовых матриц п-го
порядка:
Хт' = - X. (15)
Действительно, если A (i)^ U (n), А (0) = 1, то
л(«Мт(0-1. Д_-х,
о-^(лл’)|,.,-х + х’.
Размерность пространства всех косоэрмитовых матриц равна п2.
Декартовы координаты в нем таковы: — хк, к = 1, ..., n, Re л?},
Im х] при i < у.
Группа SU(n) унитарных матриц с определителем 1 также
представляет собой неособую вещественную поверхность размер-
ности п2 —1. Ее касательное пространство в единице совпадает
с пространством всех косоэрмитовых матриц со следом нуль.
122
ГЛ. 2. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
(Ч. Т
Пример. Рассмотрим группу 5С7(2). Мы видели (§ 11,
п. 3), что матрицы из SU (2) имеют вид
/ а Ь\
(-6 a)’ l«|2 + IN2 = l.
Если а —х+zz/, Ь —u + zv, то уравнение |а|2 + IM2 ™ 1 задает
трехмерную сферу радиуса 1 в четырехмерном пространстве с
координатами х, у, u, V.
2. Экспонента от матрицы. Пусть Т — касательное простран-
ство в единице к группе GL (п, R). Построим отображение каса-
тельного пространства на саму группу:
exp: T-+GL(n, R), ехр(0)=И, (16)
полагая
V
ехрХ = 1 + 1Г + ^-+ ... (17)
Лемма 3.1) Ряд (17) сходится для всех матриц X,
2) Если матрицы X и Y коммутируют, XY = YX, то
exp (X + У) = (exp X) (ехр У). (18)
3) Матрица А = ехрХ обратима и
Л“| = ехр(—X). (19)
4) ехр(Хт) = (ехрХ)т.
Доказательство. Используя неравенства (4) и (5), для
ряда (17) будем иметь
Х7П + 1
(т + 1)!
, ] X
+ + к — 1)!’
(ю + &—1)!
Ио ряд сходится при всех значениях |Х|. Поэтому последо-
вательность частичных сумм ряда (17) фундаментальна при всех
1X1 и этот ряд сходится. Докажем формулу (18). Используя
перестановочность матриц X и У, получим
(сю \ / оо \
2Я 2т -
ь=о / \z^o /
оо оо
2 2^<Х + П”-«Р(Х + П.
m—o \k+l—m /
Формула (19) вытекает из (18), так как матрицы Хп У-
*= —X коммутируют и ехр(0)=1. Утверждение 4) очевидно.
Лемма доказана.
Пусть G — одна из рассмотренных выше матричных групп
{G ^GL(n1^>)1O(n), U(n) и т. д.). Пусть Z1 — касательное про-
4. I)
§ 14. ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ КАК ПОВЕРХНОСТИ
123
странство к группе G в единице. Покажем, что отображение ехр
переводит Т в G,
Лемма 4. 1) Если G~S L(n, R) и X е Т7, т, е, Sp X = 0, то
А = exp X g= SL (n, R), т. е, det А = 1.
2) Если G = О(п) и X Т, т, е, матрица X кососимметрична,
то А = exp X ^О(п), т. е, матрица А ортогональна,
3) Если G=U(n) и Х^Т, т. е, матрица X косоэрмитова,
то А = expX е U(n), т, е. матрица А унитарна.
Доказательство. Пусть Sp X = 0. Рассмотрим семейство
матриц вида
A (t)= exp(tX),
t — параметр. В силу леммы 3 имеем
A(ti + t2) = A(t^A(tJ
(матрицы tYX и t2X коммутируют). Если /(Z) = det ^4 (Z) =
«== det exp (tX), то /(^ + £2)= /(М/(М- Следовательно, f(t)=ect,
где с — константа. Покажем, что с = 0. Имеем: /(f)«
•= det exp (tX) = det (1 + tX + o(t)) = t Sp X + o(t). Если Sp X =0,
то c — — = 0. Утверждение 1) доказано.
Пусть матрица X кососимметрична:
Хт = -X.
Тогда матрицы X и Хт коммутируют между собой. Пусть А =*
« exp X. Тогда в силу леммы 3 будем иметь
АТА = (ехрХ)т’ехрХ = exp(Xv + X) = 1, А е О (п).
Утверждение 2) доказано.
Пусть теперь матрица X косоэрмитова:
Хт = - X
(черта означает комплексное сопряжение). Пусть А = exp X.
Тогда опять в силу леммы 3 будем иметь
АТА = ехрХт ехрХ = ехрХтехрХ =
= ехр(Х + Хт) = 1, A^U(n).
Лемма доказана.
Из леммы 4 вытекает, что для групп G = SO(n), SU(n) экс-
понента exp X также лежит в G, если матрица X лежит в Т.
Лемма 5. В некоторой окрестности начала координат ото-
бражение exp X взаимно однозначно.
Доказательство. Достаточно проверить, что якобиан ото-
бражения ехр отличен от нуля в точке 0 (в начале координат).
124
ГЛ. 2. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
[Ч. I
Пусть А = (aj) — expX, X = (т}). Имеем
где многоточием обозначены члены, обращающиеся в нуль при
X = 0. Таким образом, матрица Якоби отображения ехр имеет
/dafA k j
вид: —- I = Это — единичная матрица порядка п\ что
х=0
и доказывает лемму.
Отображение ехр позволяет ввести удобные локальные коор-
динаты в окрестности единицы группы: координатами здесь слу-
жат декартовы координаты (т)) в окрестности пуля в касатель-
ном пространстве Т. Явная формула для координат х) такова:
если А лежит в окрестности единицы группы G, то
= (1пл); = [(Л+ •••]• (2°)
В целом отображение ехр может не быть взаимно однозначным
(даже не быть отображением па всю группу G — см. ниже за-
дачу 3).
Замечание. Рассмотрим в пространстве Т прямую, прохо-
дящую через начало координат, т. е. семейство матриц вида tX,
t — параметр. Тогда семейство матриц А (?) = ехр(?Х) образует
однопараметрическую подгруппу
Л ($)Л (?) = Л ($ + ?), А (0) = 1,
(21)
л(-г) = л-’(г).
Пример. В группе 50(3) для произвольной оси имеется
очевидная однопараметрическая подгруппа вращений вокруг этой
оси. Заметим, что А (? + 2л) = А (?). Для вращений вокруг оси z
имеем
(cos t sin t 0\ Г / 0 1 o\
— sin t cos t 0 j = exp ? I —* 1 0 0 1
0 0 1/ L \ 0 0 0/
3. Кватернионы. Множество кватернионов — это совокупность
IH линейных комбинаций с вещественными коэффициентами вида
q = а + bi + cj + dk, (22)
где i, j, к — некоторые линейно независимые символы. Введем
билинейное умножение в н, положив
ii = к = -ji, ]к = 1 = —к], ki — j — —ik,
i2 = f = kz = -1
(23)'
4. I] § 14. ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ КАК ПОВЕРХНОСТИ 125
и кватернионы, у которых Ъ == с = d = 0, коммутируют со всеми
остальными. Легко проверить, что щ с так определенным умно-
жением превращается в ассоциативную, но не коммутативную
алгебру над полем вещественных чисел. Эту алгебру можно пред-
ставить в матричном виде.
Лемма 6. Сопоставим каждому кватерниону
+ с] + dk матрицу A (q) М (2, С), полагая
[ д -4- bi с di\
л<’)-и+<« <24>
(здесь i — мнимая единицаУ). Тогда
Л (9^2) = 4(^)4 (д2). (25)
Замечание. Формула (25) означает, что отображение
g н-> A(q) является гомоморфизмом.
Доказательство. Достаточно проверить (25) при q = f,
7, к. Имеем
(I о\ /о 1\ /о л
^)Ц0 = о)* Л(*) = Ь о)- <26>
Теперь нетрудно проверить, что
A(i)A(j)=A(k)
И т. д.
Замечание. Матрицы
ох = — 1А(к), ой = —M(/), oz = — iA(i) (27)
часто называются матрицами Паули, Эти матрицы таковы, что
= Oz = 1, Gxou = “ Оу(Ух = . (28)
Введем операцию сопряжения в [lj, полагая
q = а — Ы — cj — dk для q — а + Ы + cj + dkt (29)
Л е м м а 7. Отображение q q — антиавтоморфизм алгебры
В, zzl*
qi + = qi + g2, qtqz = q2q^ (30)
Доказательство. Это сразу следует из того, что
= (31)
а отображение А <-* Аг —антиавтоморфизм алгебры матриц
Ju (2,С).
Определим норму кватерниона 1<?12, полагая
Igl2 = qq = а2 + Ъ2 + с2 + d2 для q = а + Ы + с/ + dk. (32)
Прямое вычисление показывает, что
|дГ =- det A (q) ; (33)
126
ГЛ. 2. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
14. I
поэтому норма обладает свойством
1?1?г12 = 1?112|?гГ. (34)'
Следствие. Совокупность кватернионов н образует «те-
ло». Это означает, что для каждого отличного от нуля кватернио-
на q, где |д|2 =/= 0, определен обратный кватернион q~' такой, что
= 1.
Доказательство. Можно положить
9-1 = —2; (35)
1<?Г 1
тогда qq~l = qq/\q\z = 1.
Совокупность кватернионов с нормой 1 обозначим через Hi-
В силу (34) это группа по умножению, а из (35) следует, что
если q е Hi» т0 (7-1 в ?•
В четырехмерном пространстве R4 с координатами (a, b, с, d)
Hi—это гиперповерхность, задаваемая уравнением
a2 + b2 + c2 + d2=\q\2~l. (36)
Поэтому Hj совпадает с единичной трехмерной сферой в (R1.
Заметим, что если q = а + Ы + с) + dk, 1 = |g|2 и х = а+ Ы, у =•
*== с + di, то Ы2 + [г/|2 = 1 и матрица A (q) имеет вид
(а 4- Ы с 4- di\ ( х у\
7 ,. = - (37)
— с + dt а — bi) \—у х) ' 7
Поэтому (см. § 11, п. 3) группа Hi изоморфна группе 5?7(2).
Мы видели (§ 13, п. 2), что группа 50(3) вращений сферы
изоморфна факторгруппе 50(3)~ 5?7(2)/±1. Укажем еще один
способ доказать этот факт.
ПуЪть Но— трехмерное пространство кватернионов х, удов*
летворяющих условию х = —х. Метрика в этом пространстве за-
дается формулой |х|2 = хх = “X2. Очевидно, это пространство
евклидово.
Лемма 8. Если Ig|2 = 1, то преобразование
aq: х — qxq~l, х е= Но. (38)
есть вращение трехмерного евклидова пространства Но =
Доказательство. Так как х = — х, q — g-1, то qxq~' =
«= q~'xq = Поэтому трехмерное пространство Но при
преобразовании ад переходит в себя. Кроме того, Igxg"1) = |х|,
т. е. длина вектора в Но сохраняется. Лемма доказана.
Таким образом, отображение q*+aq есть гомоморфизм груп-
пы Hi = (2) в группу вращений трехмерного пространства
Легко показать, что образом этого гомоморфизма служит вся
4. I]
5 14. ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ КАК ПОВЕРХНОСТИ
127
группа вращений, что a-Q = aQ и что если а91 «= а^2, то = ±q2.
Из этого и вытекает, что 50(3) ® SU (2)/±1.
Другой пример. Построим изоморфизм групп 5С7(2)Х
X 5С7(2)/±1 50(4). Пусть p^q^ Hi ~ 50 (2). Тогда отобра-
жение
аРЛ: х РХ(Г\ хе^Б\ (39)
сохраняет квадрат нормы кватерниона х и является ортогональ-
ным преобразованием четырехмерного пространства н* Ясно, что
a-Pt-q = aPtq. Образ отображения (р, <7)aP,q лежит в группе
50(4) в силу связности группы SU (2)Х5С7 (2)/±1.
Рассмотрим теперь n-мерное кватернионное пространство н*
с базисом еь ..., еп и кватернионными координатами (q\ ..., qn).
Имеет место важное замечание: любой кватернион q = а 4- bl +
4- cj 4- dk можно представить в виде
q = х 4- yj — х4- jy, х = а+ Ы, у = с 4- di, (40)
где х и у можно считать просто комплексными числами. Если
и 4- vj — другой кватернион, то имеет место следующее тожде-
ство:
(x + yj) (u4- у/) = (х4- yj) (и 4-/y) = (xu ~ yv)4- (xv 4- yu)j. (41)
Теперь пространство и" можно рассматривать как 2га-мерное
комплексное пространство С21 с базисом .., еп, jeu ..., jen
и с комплексными координатами х1, ..., хп, у\ ..., уп, где qk =
= хй 4- ykj,. Действительно, используя представление (40), по-
лучаем
q*eh = xkeh 4- y*jeh = x*eh 4- у* (jeh). (42)
Пусть GL (га, ц)—группа обратимых кватернионно линейных пре-
образований пространства цп. Каждое преобразование Аеб’А(га,
Н) задается матрицей ki1 е щ» к, I = 1, ..., га, причем кватернион-
ные координаты Q1, ..qn преобразуются по закону
= G"1) (43)
(порядок сомножителей существен). Используя тождество (41),
мы получим, что комплексные координаты в С2П преобразуются
по закону
/->(А?-г/1р) = (х'ЛХ
+ = (/")* (44)
А А I кА,*
ai = 4- b‘j.
Таким образом, каждое Н"Линейное преобразование пространства
дает комплексно линейное преобразование соответствующего
128
ГЛ. 2. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
(Ч. Г
пространства С2\ Мы получаем гомоморфизм групп:
GL(n, w)-^GL(2n,C)>. (45)
причем из (44) вытекает, что если Л = 4 +5/, то
{ А В\
с^=(-в л} <46)
Замечание. По аналогии с § И, п. 1 образ гомоморфизма
с можно было определить как совокупность комплексных матриц,
коммутирующих с оператором J умножения на /, J = c(/).
Определим теперь в у)П квадратичную форму |£|2, полагая
|£|3= 2|<?|3= £ = ?Ч. (47)
Если q =» х + z/у, то 1?12= Ы2+ |z/|2, поэтому в комплексных ко-
ординатах (#ft, yh}, qk = xk+ykj, квадратичная форма (47) совпа-
дает со стандартным квадратом модуля вектора:
+ (48>
Соответствующий аналог эрмитовой формы в НГ имеет вид
<£i, £2>М = 2 Й2. (49)
Определение 1. Группой Sp (га) называется совокупность
всех кватернионных преобразований, сохраняющих форму (49).
В комплексных координатах форма < д >(н выражается так:
^2>1Н = 2 (#1 + (/if) (#з + =
= 2 W4 + У1Уг) + 2 G14 — ^2)7. (50)
k k
Пусть Л е Sp(nj, Из формулы (50) вытекает, что Л сохраняет
эрмитову форму + У1У2) “ и, кроме того, косо-
ft
симметрическую форму 2У 1^2 “ #i(/2- Таким образом, c(Sp(n))
k
содержится в U(2гс) и состоит из унитарных преобразований
пространства С“Л сохраняющих кососимметрическую форму
2(У1Ж2 — 4^ )•
k
Пример. Группа Sp(l) изоморфна 5(7(2). Действительно,
с(5р(1) )<= (7(2), причем матрицы из с(5р(1)) сохраняют форму
У1Х2 — Х1У2, т. е. сохраняют «площадь» комплексного параллело-
грамма, натянутого на векторы (xh гл) и (х2, у2). Поэтому все
преобразования из с(5р(1)) унимодулярпы. Этот же результат
4. I]
§ 15. КОНФОРМНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
129
мы получили выше, поскольку матрицы из с(5р(1)) имеют вид
(а ь\
_ъ -) с |а|2 + |Ьр = 1.
Задачи. 1. Доказать связность (см. § 4) групп GL(n1C)li
U(и), Sp(n).
2. Доказать, что для любой матрицы X справедлива формула:
det (ехр X) = eSp А.
3. Проверить, что для группы SL (2, IR) образ экспоненциаль-
ного отображения не покрывает всей группы.
4. Описать структуру касательных пространств в единице
групп С7(лг), 5C7(n), SO(pt q). SU(р, q).
5. Найти все однопараметрические подгруппы в SL (2, R).
§ 15. Конформные преобразования многомерных
евклидовых, и псевдоевклидовых пространств
Пусть заданы две метрики gxP и gap в области U простран-
ства Rnc координатами х1, ..., хп. Мы скажем, что эти две мет-
рики определяют одну и ту же конформную структуру, если
gap (х) s X (х) gap (х), % (х) Ф 0. Более общо, метрика, конформно
эквивалентная данной метрике gaP, получается из нее заменами
координат х = х(у) и умножениями на числовую функцию %(х).
Определение 1. Отображение ср: U -> U области U с мет-
рикой gaP в себя называется конформным, если метрика gap =
@Х1 дх*
= — gki— пропорциональна исходной:
уд$ ду$
gafj=№a₽, Л = %(*)•
Рассмотрим далее псевдоевклидовы метрики типа (р, g) в
Rn = с метрикой gxP = gaa6aP и gaa = ±1. Нас будут особо
интересовать пространства Евклида Rn с положительной мет-
рикой и пространства Минковского RJ = Ri.n-i-
Среди конформных преобразований этих пространств имеются
линейные. Очевидно, линейные конформные преобразования сво-
дятся к следующим:
а) движения — группа О(р, q}t К(х)^ 1;
б) растяжения (дилатации)
х н* Хх, Л « const;
в) суперпозиции движений и дилатаций
х ь* А^О (р, q)t % « const.
Кроме того, имеются сдвиги (также движения)
х х + х0.
9 Б. А. Дубровин и др.
130
ГЛ. 2. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
[Ч. I
Это — «очевидные» конформные преобразования. Кроме них,
имеются еще так называемые инверсии
(1)
где < , > — скалярное произведение
О — Хо, X — £()> = (я“ — л“) (х& — gafJ (х).
Для инверсий имеем
X(х) = const <х — х0, х — х0>~4. (2)
При п = 1 все преобразования конформны.
При п = 2 имеется большое количество конформных преобра-
зований, определяющихся одной произвольной комплексно ана-
литической функцией (см. § 12).
Для п > 2 положение меняется. Имеет место
Теорема 1 (Лиувилля). Всякое гладкое {требуется не ме-
нее четырех непрерывных производных у функций, задающих
отображение*)) конформное преобразование области евклидова
(псевдо евклидов а) пространства размерности п^З является су-
перпозицией движения,’ дилатации и инверсии.
Дадим доказательство для п,= 3.
Евклидов и псевдоевклидов случай в доказательстве, по су-
ществу, не различаются. Поэтому мы будем работать с обычной
евклидовой метрикой. Пусть . . ., хп) есть отображение
области U cz в область V cz Rn. Без ограничения общности
можно считать, что точка б) = (0, .. ., 0) лежит в обеих обла-
стях U и V, причем уа(О)=О. Конформность означает, что
есть матрица линейного конформного преобразо-
вания во всех точках х ^U. Иначе говоря, для векторов dx =
= (dxa') и dy = A dx, dya = a$dx&, имеем
\dy\ =X(;r) Idx|.
(3)
Пусть r]t, ц2, Цз — три вектора, которые все попарно ортогональ-
ны: <Цг, = 0, i j. Имеем .
0 = <ть, П? = (4)
I. Дифференцируя (4) по
*) В действительности теорема справедлива и при меньшей гладкости,
но мы не будем этим заниматься.
ч. I]
§ 15. КОНФОРМНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
131
направлению третьего вектора i к, j получим
ч! <<ч. лл,> - ч?. -4П?>+<Х, Xb
(5)
Переставляя циклически индексы (г, /, &), получим из (5) три
тождества. Складывая два из них и вычитая третье, имеем
(6)
Л2-
(возможны перестановки индексов 1, 2, 3) .
m д У V 3
таким образом, вектор —-—ортогонален вектору
дхУ дхр
если вектор ц3 был ортогонален к обоим векторам
Поскольку п = 3, отсюда имеем
2
у-д-р nfr)2 = Н(*) (ЛП1) + V (*) (Ч)-
dxY дур
Коэффициенты р и v по определению имеют вид
.1 z з2
_ 1 Z д У „V \
И pTijpX^v^P111^’ ni/’J
v - 1 / д У „V-Р дп \
v — I Л.„ 12 \ л..? а_в ЛхЛг» /•
(7)
(8)
Далее,
а д^
1
121 » |2
а д^
v ~ Л (X) •
Обозначим 1/Х(х) через р(х); MtiJ2 = Х(х) Ir,!!2. Разделив
на Л(х) и используя (8), получаем
2 / 2 \
Дифференцируя (10) по направлению третьего вектора ц3,
лучим
d3 (p.V) „v ft б ( д2р у (J | л ( d3p ? М I
(9)
(9)'
(Ю)
ПО*
(И)
Крайние члены этого равенства симметричны относительно пере-
9*
132
ГЛ. 2. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
[Ч. I
становок (t)i, ц2, Цз). Поэтому и средний член должен быть сим-
метричен:
/ <?2р v pWдУ3 v р^ (&уа /а
Так как Лт]3 0, Лт], =/= 0 и Лт]2 =/= 0, получаем
д2р у б________________________п
^ч!ч—О-
Итак, билинейная форма (13) обращается в нуль на любой паре
ортогональных векторов. Поэтому ее матрица пропорциональна
метрике g^ с некоторым множителем о(х):
Покажем, что о (х) = const. Пусть — любые векторы. Диффе-
ренцируя (14), имеем
д Р t Vt Pt б
Переставляя и £2 и вычитая полученные равенства друг из
друга, получаем
/ ( d(J t®\ £ ( t^А £ £ \ __п
\ J “ l^2J Si’
Из этого равенства для всех векторов & следует о = const. Окон-
чательно имеем
(13)
(14)
(15)
(16)
<Э2р
cf = const, p = -4“ = аг | x — x012 +
A
Для обратного отображения x = x(y) получаем
X № = I У ~ Уо I2 + b2-
Условие Ар — 1 приобретает вид
(ajz-я0|г + (a2|у - y0|2 + 62)= 1.
(17)
Ъ{ — const.
(18)
(19)
Так как у(0)=0, то яо = Уо = О. Из этого следует, что конформ-
ное отображение преобразует любую сферу в сферу.
Рассмотрим семейство сфер Ы = R. Так как у(0) = 0, ради-
альный луч (0, у) переходит в радиальный луч (0, х). Далее,
« * 1*1
( dt
J at2 + b
о
(20)
о
о
4. I]
§ 15. КОНФОРМНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
133
Этот интеграл дает трансцендентную функцию от верхнего пре-
дела, если а =/=0 и &=/=0. Это противоречит (19). Значит, либо
а = 0, либо Ъ = 0.
Случай а — 0. Тогда р = X = const. Это — линейное отобра-
жение.
Случай & = 0, а=/=0. Применим инверсию х*=х/|х|2, мы све-
дем этот случай к предыдущему, так как lx*I = 1/|х|.
Для евклидовых метрик и п = 3 теорема доказана. Заметим,
что евклидовость метрики не играла роли в доказательстве. По-
этому теорема Верна и для псевдоевклидовых метрик при п = 3.
Видоизменения доказательства для п > 3 не очень значитель-
ны. Размерность использовалась только при выводе равенства (7)
с тройкой ортогональных векторов (щ, ц2, Цэ).
Задача. Докажите (7) для любой размерности ге>3.
После этого теорема автоматически будет следовать из даль-
нейших выкладок, которые не зависят от п.
Конформные преобразования определялись нами для областей
в пространстве — евклидовом или псевдоевклидовом. Действи-
тельно, инверсии имеют особую точку х = х0, которая переходит
в оо при отображении (метрика евклидова). В псевдоевклидовом
случае особое множество, как видно из уравнений (2), имеет вид
<х — Хо, х — х0> = 0,
т. е. световой конус, проходящий через точку х0.
Заметим, что группа конформных преобразований одинакова
у всех метрик отличающихся множителем X (х). Поэтому
конформные преобразования можно моделировать на любом про-
странстве с римановой метрикой, конформно эквивалентной евк-
лидовой метрике gjp = X(x)6aP в «евклидовых» координатах. В ча-
стности, метрика re-мерной сферы 5П, заданной уравнением
2 СИ2 = 1,
а—о
конформно эквивалентна евклидовой метрике в некоторых других
координатах. При п = 2 такие координаты уже указывались в
§ 9. В пространстве любой размерности конформно евклидовы
координаты на сфере (без верхнего полюса) вводятся, как и при
п = 2, стереографической проекцией на плоскость (х1, ..., хп) й
обозначаются через х1, ..., хп. Метрика имеет вид (см. § 9 для
п = 2)
= S (#) S (#) = ' । ^2^ (21)
г2 = (х1)2 +...+ (хп)\ R = const.
В координатах (х1, ..., хп) мы можем рассмотреть все конформ-
ные преобразования, полученные в теореме Лиувилля: это — пре-
134
ГЛ. 2. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
14. Г
образования из группы О(п), трансляции Rn->Rnt дилатации и
инверсии, а также их суперпозиции.
С другой стороны, на сфере Sn имеется группа ее движений
6?(п4- 1). Кроме того, сферу можно считать границей единичного
шара Sn = dDn+i, Ы С Z?, на котором в координатах (х®, .хп)
определена метрика Лобачевского (см. § 10)
Sab —
Я4
(У?2-г2)2
6abi
г2 = 2(^)2<7?2-
г—О
(22)
Группа преобразований метрики Лобачевского на шаре Dn+i есть
О(п 4- 1,1) — эта группа шире, чем группа О(п + 1)<= О(п 4- 1, 1).
Можно представлять себе пространство Лобачевского реализован-
ным как квадратичная поверхность в пространстве Минковского
&1+2 с координатами (z°, ..., zn+1) и метрикой
п+1
dZ2 = 2 (dz«}\
a=l
Пространство Лобачевского выделяется уравнением
п+1
(z°)2 - 2 (z“)2 = 1.
(23)
(24)
Между координатами (z‘, ..zn+1) и (х\ ..хп) имеется связь
(см. (10.6), где г’ = и, х' = v, г* = х, гг = у):
г“ = ^7« “ = 1- •••>«> (25)
п+1
г" = 2 (^а~1)г.
а=1
Имеет место следующее утверждение.
Теорема 2. Группа Лоренца О (л 4-1, 1), действуя на про-
странстве Лобачевского порождает действие на сфере Sn
(например, если Ln*1 реализовано как шар Dn+i с границей Sn и
метрикой (22)). Все эти преобразования конформны на сфере Sn
в стандартной метрике, не имеют особенностей и содержат ба-
зисные преобразования, а значит, и всю группу конформных пре-
образований Sn (или Rn), которая тем самым совпадает с
О(п4- 1, 1).
Необходимо сопоставить трансляции, дилатацию и инверсию
в Rn с преобразованиями из группы O(n4~l, 1). Все эти пре-
образования представлены уже для п =* 1, где вычисления совсем
ч. I]
§ 15, КОНФОРМНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
135
просты:
Эти преобразования конформны на сфере Sn и вместе с группой
О(п) порождают всю группу O(n + 1, 1).
Задача. Докажите, что группа конформных преобразований
пространства R" аналогичным образом изоморфна группе О(п, 2)»
Вообще, конформные преобразования в пространстве со-
ставляют группу О(р + 1, д+1). В частности, для пространства
Минковского RJ группа конформных преобразований изоморфна
0(4, 2).
Замечание. Кроме того, группа О(4, 2) оказывается ло-
кально изоморфной группе SU(2, 2). Мы этот изоморфизм стро-
ить не будем.
Г л а в a 3
ТЕНЗОРЫ. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
§ 16. Примеры тензоров
Как мы уже привыкли, многие величины, например расстоя-
ние от точки до некоторого фиксированного центра и другие,
задаются в виде числовых функций от точки в пространстве.
Если у нас имеется несколько таких величин, то мы уже имеем
несколько функций точки (или, как говорят, вектор-функцию
точки). В трехмерном пространстве для полной характеризации
положения точки в пространстве необходимо знать значение не
.менее трех числовых функций, именуемых координатами точки
(х\ х2, х3): каждая из координат х1 есть функция точки, а сово-
купность (х\ хг, х3) полностью определяет эту точку. Мы встре-
чались с разными типами координат — например, на плоскости
имеются декартовы координаты (х\ х2) и полярные, где х1 =
= г cos ф, х2 — г sin ф; в пространстве — декартовы, цилиндриче-
ские (г, z, ф) или сферические (г, 9, ф).
Таким образом, координаты — это набор числовых функций
точки, которые полностью определяют положение этой точки в
пространстве. Точно так же координатами любой физической си-
стемы называется такой набор числовых функций от состояния
этой системы, которые полностью его определяют (состояние
системы — это точка «пространства всех возможных состояний»
системы). Например, состояние движущейся материальной точки
определяется шестью числами: тремя координатами и тремя ком-
понентами вектора скорости; здесь мы имеем дело с шестимер-
ным пространством состояний.
Оказывается, тем не менее, что понятие числовой функции
точки или совокупности таких функций недостаточно. Дело в том,
что многие геометрические и физические величины могут быть
описаны в виде набора числовых функций только после того, как
в пространстве уже задан какой-то набор координат (х1, х2, х3);
числовая запись этих величин может сильно измениться, если мы
зададим другие координаты z\ z2, z3,
xi — xf(z\ z2, z3), i = 1, 2, 3.
Чтобы уяснить себе эту возможность, мы рассмотрим понятие
вектора, например вектора скорости при движении вдоль неко-
ч. и
§ 16. ПРИМЕРЫ ТЕНЗОРОВ
137
торой кривой
з^ = гф), 7 = 1, 2, 3;
ЛО, 23(0) = ^(0; ^1, 2, 3.
В координатах (z\ z2, z3) мы имеем компоненты вектора скоро-
сти в виде
dz1 dz2 dz3
dt ’ dt i dt
При записи той же кривой в других координатах х1, х2, х3 мы
получим другие компоненты того же вектора
dz1 dx* dx3
И* dtx~dt
= G>\ I2, Is)
и при этом
3
dxx V dz> -40
“77 = z.—г —; i = 1, 2.
dt dz3 dt г
Таким образом, для компонент вектора мы имеем формулу пре-
образования их числовой записи при замене координат
х* = х1’ (z1, Z2, Z3),
(1)
(|\ В2» V) — компоненты вектора в координатах х\ х2, х3
в заданной точке,
(т)1, гр, т|3) — компоненты вектора в координатах z1, z2, z3 в
той же точке.
Тензоры — это важнейший из классов величин, числовая за-
пись которых меняется при изменении координат. Вектор — это
простейший и наиболее наглядный пример тензора. Разумеется,
тривиальным примером тензора является скаляр, который не ме-
няется при замене координат.
Прежде чем вводить математически точное понятие тензора,
мы рассмотрим другие примеры, с которыми нам уже приходи-
лось многократно встречаться.
1. Градиент числовой функции. Как мы привыкли
говорить и думать, градиент числовой функции /(х1, х2, х3) в де-
картовых координатах х\ х2, х3 — это вектор с компонентами
grad/=(S’5’5)=’(^^^-
\дх дх дх J
Посмотрим, как выглядит градиент той же функции в других
координатах z1, z2, z3, где
х*~х*(г\ z2, z3) = x*(z); i = l, 2, 3.
138
ГЛ. 3. ТЕНЗОРЫ. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
[Ч. I
Имеем
grad / (г1 (z), х- (г), г3 (z)) = (7Т1 7т ) = Пг. Пз);
\ oz dz dzj
3
д/ df дх>
dz1 д%3 dz1 ’
i = 1, 2, 3.
Итак, мы имеем ответ:
(2)
(Bij Вг> Вз) — компоненты градиента в координатах (х\ х\ x3)t
(Лп Лг> Лз) — компоненты градиента в координатах (z1, za, z3).
Сравним теперь две формулы преобразования числовой запи-
си для вектора скорости кривой и градиента функции.
. 3
Вектор скорости: £г = 2 тН“7*
3
Градиент: т]. = У ^т-
S dz1
Это — разные формулы!
Для сопоставления этих формул введем матрицу Якоби А =.
~ где aj = —7t и транспонированную матрицу А* = (&£)>
dzJ
где bl = а)-
Для векторов !j и t] мы перепишем формулы (1) и (2) в виде
% = Л-q (вектор скорости)г (Г)
ц = (градиент). (2')
Если матрица -4Т имеет обратную (4т')~1г то мы можем пере-
писать формулу (2'):
(^)-1ц = (лт')-1лП = ^
/ 3 А
£ = (4Т)-1 т] ( или = 2 Ji I-
\ ' дхг J
В каком случае законы преобразования векторов скорости и гра-
диентов функций при переходе от системы координат х к систе-
ме z совпадут?
Из формул (1), (2) и (3) мы получаем
£ = Лц (вектор скорости),
£ (Лт)*’1 л (градиент функции).
ч. П
§ 16. ПРИМЕРЫ ТЕНЗОРОВ
139
Окончательный вывод состоит в том, что для совпадения формул
преобразования (1) и (3) необходимо иметь равенство матриц
А = (4Т)-1 или ArA = 1,,
т. е. А = (а]) = (—Н —ортогональная матрица (см. § 4). (Заме-
\dz7 /
тим в скобках, что замена координат x = x(z) такая, что в каж-
дой точке матрица Якоби А =
ортогональна, является ли-
нейным ортогональным преобразованием 4 = const.)
Итак, градиент функции при заменах координат преобразует-
ся иначе, чем вектор скорости. Это — другой вид тензора, кото-
рый иногда называют «ковектором», в отличие от векторов ско-
рости.
2. Риманова метрика. Как уже говорилось, в л-мерном
пространстве или в области пространства метрические понятия
(такие, как длины и углы) задаются с помощью набора функций
gij(^), i = 1, ..., га, 7^1, ...» га, если заданы координаты
(х\ ..., хп). Для длины кривой мы имели, по определению,
формулу
I = J ]/ 2 Sij (я (0) (4)
а
где х = -&• и квадратичная форма S положительна. Это —
квадратичная форма, определенная на векторах типа «векторов
скорости» в каждой данной точке (^) = (^\ ..., хп) и зависящая
от точки. Мы называли gy римановой метрикой. При замене ко-
ординат
х* = x*(z\ .,zn), i = 1, ..., nr
формула длины кривой приобретает вид
ь ________________
I = J У 2 Sij (2 (0) zrt dtt
а М
где х*(1)~ х*(г1(1), ..., zn(£)), причем закон преобразования ком-
понент метрики имеет вид
Ь(*) = 2 (5)
h^i д*г <5?
Итак, квадратичные формы на векторах преобразуются по закону
(5) . Это еще один вид тензора (называемый тензором 2-го ранга).
Итак, у нас имеются уже несколько типов тензоров:
а) скаляр (не преобразуется),
140
ГЛ. 3. ТЕНЗОРЫ. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
[Ч. I
б) вектор (преобразуется по закону (1)),
в) ковектор (преобразуется по закону (2)),
г) риманова метрика (преобразуется по закону (5)).
Напомним, что риманова метрика (g<j) в данных координатах
(х1, ..хп) была нужна для того, чтобы определить понятие дли-
ны вектора в данной точке: если задан вектор £ = (£\ • • •, Вп) в
точке х = (лг\ ..., хп), то квадрат длины |£|2 равен WVV*
В частности, это применялось к векторам скорости параметризо-
ванных кривых для определения длины кривой как интеграла
от длины вектора скорости.
Закон преобразования (5) для компонент метрики при замене
координат однозначно вытекает из закона (1) для компонент
вектора и очевидного требования, чтобы длина кривой не зави-
села от того, в каких координатах производится ее вычисление.
Фактически длина кривой есть интеграл по времени от длины
вектора скорости. Следовательно, необходимо, чтобы квадрат дли-
ны вектора скорости
ll|2 = IWV
не зависел от выбора координат. Из этого требования и из фор-
мул (1) для компонент вектора вытекает закон преобразования
(5) для компонент метрики (g<j).
3. Если мы хотим определить инвариантное понятие квадрата
длины ковектора, преобразующегося по закону (2) (или (3)), то
мы должны ввести компоненты (gij(x)) и положить
I £ I2 = 2 giJ (*) (в точке х),
I = £1.....Вп).
При замене xi — xi(z)1 t = 1, ..п, мы получим закон преобра-
зования
(6)
и длина не будет зависеть от выбора координат:
Здесь
В = (Въ . ^п) —запись ковектора в координатах (х1, . .., хп)
в точке (х).
Л =(*11, ...,t T]n) ~ запись того же ковектора в той же точке,
но в координатах (z1, ..z").
ч. I]
§ 16. ПРИМЕРЫ ТЕНЗОРОВ
141
Закон преобразования (6) дает еще один тип тензора (2-го
ранга).
4. Наконец, следует разобрать еще один недостающий тип
тензоров 2-го ранга — линейные операторы на векторах.
Предположим, что в каждой точке пространства с координа-
тами х1, ..хп задана матрица (а} (х)) =А (х), которая опреде-
ляет линейное преобразование векторов в каждой точке х =
= (х\ ..., х"). Это линейное преобразование А(х) имеет вид ц =
= где
тг= (7)
здесь § =(В\ ..Вп) — вектор в точке х.
Та же самая матрица определяет линейное преобразование
ковекторов по формуле ц==Л§, где
л. = 2$(. (8)
При замене координат х’‘ = х*(г1, ..., z") из формул (1), (7)
можно вывести, что компоненты матрицы А преобразуются по
закону 'А = ( а}):
' i _ dz* k /q\
aj — 77’ (9)
dzJ
где х* = х*(г), zi = zj(x) и zi(x(z)} = zf\ при этом
2d? дх^ _ gi _ fl ПРИ 1 = А’
Я=1 dxh dz} ~ _ io при I ]•.
Для ковектора мы можем переписать формулу (2) в виде
так как
V dzj дА j
~ dzh ~ к*
Соберем теперь в таблицу законы преобразования для векто-
ра, ковектора и всех трех видов тензоров 2-го ранга.
Законы преобразования:
1. Скаляр (тензор 0-го ранга) не преобразуется,
142
ГЛ. 3. ТЕНЗОРЫ. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
[Ч I
Тензоры 1-го ранга:
2. Вектор £ = (£*) (типа вектора скорости) преобразуется по
формуле
3. Ковектор £=(£<) (типа градиента функции) преобразуется
по формуле
дх*
dz?
Тензоры 2-го ранга:
4. Скалярное произведение векторов gtJ преобразуется по
формуле
~ V дх1
5. Скалярное произведение ковекторов g<J преобразуется по
формуле
g^
у phi
6. Линейный оператор на векторах (ковекторах) А = (а]) пре-
образуется по формуле
~г V1 ft Ox1 dzi
Здесь xt = xi(z\ ..z”), z1 = z}(x',______, x"), причем
zi(xt(zt, ..z"), ..xn(z\ ..zn)) = z’;
2 az1 _ oi
m dxh
§ 17. Общее определение тензора
1. Закон преобразования компонент тензоров произвольного
ранга. Итак, в предыдущем параграфе были разобраны тензоры
1-го ранга (векторы и ковекторы) и тензоры 2-го ранга (квад-
ратичные формы на векторах g#, квадратичные формы на ковек-
торах gij и линейные преобразования — операторы а]).
Теперь мы можем дать определение тензоров общего вида.
Определение 1. Тензором (тензорным полем) типа (р, q)
ранга р + q называется объект, задаваемый набором чисел
я. 1]
§ 17. ОБЩЕЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕНЗОРА
143
в произвольной системе координат (ж1, ..хп), числовая запись
которого зависит от системы координат по следующему закону:
если х* = х*(г\ .... zn), zi = zj(x\ ..хп)\ z(x(z)) = z, то имеет
место формула
Jl-ip V* ЛрЛр дхХр dz11 dzq #
(Л),(0 dz dz^dx dx 4
здесь — числовая запись тензора в координатах (z) и
— числовая запись тензора в координатах (х).
Индексы (ij, ..ip; Л, ..jq) и кр; 1Ь lq) ме-
няются от 1 до п (тензоры в n-мерном пространстве).
Таким образом:
вектор скорости — тензор типа (1, 0),
ковектор — тензор типа (0, 1),
квадратичная форма на векторах — тензор типа (0, 2),
квадратичная форма на ковекторах — тензор типа (2, 0),
линейный оператор на векторах или ковекторах — тензор
типа (1, 1).
Теорема 1. Компоненты можно выразить через
по формуле
_ V1 грЧ'*Лр dzhl dzkp dx4 dxq
dx4'^ dx^dz1^^ dz^
(2)
Доказательство. Используем соотношения
V «= a1'. V dzk dxi
1 dz^ dxk dx^ dzq qb
вытекающие из того факта, что
= z(x) обратны друг другу:
xi(z(x))= х*;
Рассмотрим соотношение (1)
mil* • Др
выми частями
пение, нужно получить (2).
В силу (1) имеет место формула
V? /ri dz^4 dz^p dxJ
dxip dz
преобразования x = x(z)
zq(j:(z) ) = zq.
c npa-
•Йт) _
,/Q . Решая это урав-
как линейное уравнение
/ /ТГЛ1
и неизвестными 1
dx
dxq J
dzq
dxp dz1
dz
dzp dx4
dz4 <
dx}qJ dx4
r dx^ dzs dzh dx^
& dzr dx? dx^ dz1
dz*p fix?1 0xq
dxip dz1 ’ ’ ’ dzq
и z =
144 ГЛ. 3. ТЕНЗОРЫ. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ (Ч. Г
здесь
i = iP); 7= (Л, ..Л);
Z= (Л, • • ., lq); $ e ($i, • • •, ;
*=(/с1, ..., /ср); г = (п, ...» Гр)
Таким образом, приходим к соотношениям (2). Теорема доказана.
Перечислим простейшие свойства тензоров.
В любой заданной точке пространства тензоры образуют ли-
нейное пространство: если Т = и S — ““ тензоры
типа (р, д), то их линейная комбинация \Т + pS = U с компо-
нентами = л/jp.j, + тоже есть тензор типа
(р, q) в той же самой точке. Важно отметить, что тензор — объ-
ект, прикрепленный к точке, и не существует никакого правила
сложения тензоров, прикрепленных к разных точкам.
Размерность линейного пространства тензоров типа (р, д) (в
точке) в n-мерном пространстве равна Если базисные ко-
ординатные векторы в n-мерном пространстве с системой коор-
динат .., хп обозначить через е4, ..., еп, а базисные ковек-
торы—через е1, ..., еп, то любой тензор формально удобно за-
писать в таком виде:
2^1 ( dx V4 dxz \
| ег I напримерг — = eij*
i
ко вектор g — 5 (например, grad / = 2
квадратичная форма (g) = У! g^e* ® е* (для векторов),
и
квадратичная форма (g) s S (для ковекторов)г
и
линейный оператор А = 2 ® е’.
ij
Любой тензор Т = запишется так:
Т = ... ®%®^i® (3)
Существенно отметить, что в этой записи порядок индексов ва-
жен — нельзя поменять местами, вообще говоря, . и и т. д.
Итак, базис в линейном пространстве тензоров типа (р, q)
в данной точке пространства (х) имеет вид
® ® eij( ® в3! ® ® (4)
где г, / независимо принимают значения 1, ..п; таким обра-
зом, базис состоит из пр+д элементов. При замене координат хг =
Ч. I]
§ 17. ОБЩЕЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕНЗОРА
145
= xl(z\ ..., zn) мы переходим к другому базису в линейном про*
странстве тензоров, прикрепленных к данной точке,— к базису,
связанному с координатными векторами системы z в данной
точке.
Взаимное выражение в данной точке пространства этих ба-
зисов друг через друга происходит согласно формулам
® ® % ® e3i ® ® =
О 1 О о З-t о Зп 9 . 9
dz dz к дх 1 дх 4 _ _ _ I. л л 1П
— х —. * * —---------г * e t _ е z ® . 0 е > ® е 1 0 ... 0 е 9.
ЬЛ дх1 дхР dz11 dzlq A1 Ар
(4')
Разберем несколько примеров.
1. Тензор напряжений (трехмерный случай). В сплошной сре-
де в каждой точке ж — (х\ ж2, х3) сила давления, действующая
на малую площадку площади Д5, ортогональную единичному век-
тору п, вычисляется как (AS)P(n), где Р — линейный оператор:
Р = (Р)). Тензор Р) называется тензором напряжений. Если п —
3 3 / 3 \ ' 3
= 2 то Р («) = S I S п?Р} j ei или {Р (п)р = 2 f^Pj* На-
j=i i—i \j—i / j—i
пример, в случае применимости закона Паскаля Р} — fyp, где
р — число, называемое давлением в данной точке.
2. Тензор деформации. Если сплошная среда задана в коор-
динатах ж1, ж2, х3 и задано смещение каждой точки среды
ж’ -► х1 + иг(х),
то говорят, что среда подверглась деформации. Если первона-
чально расстояние между близкими точками среды было, напри-
мер, евклидово в координатах х\ я2, х3:
з
(ДО2 = 2(АжО2 = 2 (^ - '*0\
1=1
то после деформации между теми же точками будет другое рас-
стояние (Д7)2 = 2 Кх* + (х)) — — ui С я) Очевидно,
3 3
(д7)2 = (Д/)2 + 25 Ax^ui + 2 (Au1’)2»
1=1 1=1
Дж’ = х{ — fx\
3
&и1 = и* (х) — I? ('ж) « 2
Поэтому при Дж* -► О
(<Р)2 = (dl? + 2 dA+yi—,—id^ dx1.
Ю б. А, Дубровин и др.
446
ГЛ. 3. ТЕНЗОРЫ. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
[Ч. I
При этом верно равенство
dx1 dx\
так как
V dx1 dx? = V ^4 dx1 dxk
Определение 2. Разность (dl)2 — (dl)2 = 2 'fyjdx* dx? +
i
+ 2 —k^-fdxkdxl называется тензором деформации среды.
дх дх
„ ди? ди?
Здесь
Если иг — малые смещения, то квадратичной частью по и*
пренебрегают. Получается тензор малой деформации
ди1 , ди?
Т|.. = -- --'•
дх3 дхг
Согласно закону Гука, малая деформация среды вызывает
напряжение, линейно зависящее от деформации. Поэтому между
тензорами напряжений и деформации должна быть линейная
связь:
Р=ЩП).
Эта линейная связь является тензором 4-го ранга. В индексной
записи: Р} = 2 3«есь Р = П = и = W')- Тен-
k,l
зор f7/fti4-ro ранга описывается 81 компонентой. Неужели действи-
тельно закон Гука в сплошной среде описывается 81 величиной?
Если координаты евклидовы, то мы можем (относительно ор-
тогональных преобразований) не различать векторов и ковекто-
ров — и вообще верхних и нижних индексов тензора — они пре-
образуются одинаково. Тензор U = в евклидовых координа-
тах определяется 81 числом. Это число можно значительно
уменьшить, введя гипотезу изотропности среды по направлениям.
Она означает, что тензор V в каждой точке должен быть таким,
что его числовая запись во всех координатах, отличающихся на
вращения вокруг этой точки (включая отражения), одинакова,
т. е. не меняется при ортогональных преобразованиях. Эта ги-
потеза выполнена в жидкостях, но в твердом теле верна далеко
не всегда.
При наличии изотропности можно воспользоваться следующей
важной теоремой, которую мы приводим без доказательства (по-
скольку речь идет об ортогональных преобразованиях, мы можем
ле делать различия между верхними и нижними индексами).
ч. I]
§ 17, ОБЩЕЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕНЗОРА
147
Теорема 2. Класс тензоров 4-го ранга, инвариантных от-
носительно ортогональных преобразований, определяется тремя
параметрами X, ц, v; его составляют тензоры
&ijki “F цб^б^ ~F *^6^6^.
На языке переходов от двухиндексных тензоров тщ к двух-
индексным тензорам Pi} этот тензор описывается формулой
= + p(Sp T])6o +
где Эрт] = S Ли-Если вспомнить, что рассматриваемые нами тен-
зоры Т] И Р симметричны, Г)(1 = Т|$) И Рц =* Pji, то можно отбросить
слагаемое с v. Окончательный вывод: в изотропном веществе
любой линейный закон связи между двумя физическими (сим-
метричными) тензорами 2-го ранга, описываемый тензором 4-го-
ранга, зависит лишь от двух постоянных в каждой точке среды.
Естественно поставить вопрос, какими бывают изотропные
тензоры 1-го, 2-го и 3-го ранга.
Очевидно, не бывает векторов и ковекторов, координаты ко-
торых не менялись бы при вращениях.
Что касается тензоров 2-го ранга, то тензор (щ,) переходит
при преобразовании х х, у -+ —у в тензор(т]г;) с т]ц = т]1г, tj22 ==
= Л22, Л12 = — Ли, Л21 = — при преобразовании х у, у х
в тензор (До Т]и = Т]22, т]22 = т^2 = т]21, т]21 =т]12; равенства
Лад == Ли = Лг? показывают, ЧТО Т]ц = Т)22, Л<2 = Лг« = 0, т- е. что
Таким образом, Хб^—единственный изотропный тензор
2-го ранга.
Можно показать, что изотропных тензоров 3-го ранга не
бывает.
Подчеркнем, что гипотеза изотропности предполагает наличие
римановой метрики (мы формулировали ее для евклидовой мет-
рики), в то время как понятие тензора не связано с метрикой —
сама метрика есть разновидность тензора. Поэтому стоит по-
смотреть, какие тензоры инвариантны не только относительно
вращений, но вообще относительно линейных преобразований.
При этом уже важно различать верхние и нижние индексы.
Прежде всего ясно, что ненулевой тензор ранга (р, q) может
быть инвариантным только при р = q: при подобном растяжении
системы координат в 1 раз все компоненты тензора умножат-
ся на №~р, что равно 1 только при р — q = 0. В частности, инва-
риантный тензор обязан иметь четный ранг. Среди тензоров 2-го
ранга инвариантен только тензор это видно из того, что
уже вращательно инвариантных тензоров 2-го ранга больше нет.
Оказывается, что инвариантных тензоров 4-го ранга имеется
двухпараметрическое семейство: = Лб£б/ + рб?б^
10*
148
ГЛ. 3. ТЕНЗОРЫ. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
[Ч. I
2. Алгебраические операции над тензорами. Введем сначала
следующие удобные обозначения. Пусть в системе координат
(z1, ..., хп) заданы компоненты тензора типа (р, q).
Пусть дана другая система координат (zv, . ..,zn') (штрихи мы
ставим у индексов), причем
Z = ?'(А к' = 1, (5)
Компоненты нашего тензора в штрихованной системе координат
обозначим через Тг}"лу. Тогда закон преобразования (1) при-
мет вид
или
f f - 2 dx'1 dz? dx^ ►« . т • dx}4 dx}1
>1 (i).(j) dx'1 дх P dx^1
= f f dx'i dx*? dx^ dxj4
(i')ti') il“-lq dx4 dx*V dx?1 dx’4
(6)
(7)
Кроме того, введем следующее правило обращения с тензора-
ми: если в формулу некоторый индекс входит дважды, то по это-
му индексу подразумевается суммирование от 1 до п (п — раз-
мерность пространства), а знак суммы X можно не писать. Так,
в формуле (6) будет производиться суммирование по дважды
повторяющимся — сверху и снизу — индексам ц, ..., ip; ju ...,
в формуле (7) дважды повторяются индексы ilt ..., ill >--Jq,
индексы и 1ги т. д. считаются независимыми.
Использование этого правила, а также использование штрихо-
ванных индексов позволяет избежать ошибок при написании
формул тензорного анализа.
Введем теперь три важнейшие алгебраические операции над
тензорами. Определим их сначала в некоторой фиксированной
системе координат (z\ ..., хп).
1) Перестановка индексов. Пусть а — некоторая пе-
/ 1 ... q \
рестановка чисел (1, ...,#): а = \а(1) а(д)Г Перестановка а
действует на наборах (/4, ..., /д) по правилу
• • •» 7 g) (jff(i)» • • •» 7*®(g))-
(8):
Мы будем говорить, что тензор получается из тензора
перестановкой нижних индексов, если
/О\
ч. I]
§ 17. ОБЩЕЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕНЗОРА
149
Перестановка верхних индексов определяется аналогично. Нельзя
переставлять между собой нижний и верхний индексы — такая
операция не инвариантна относительно замены координат.
2) Свертка (след). Для тензора типа (р, q) его
сверткой по индексам (гА, /<) будет тензор ig-i типа (р-1,
q — 1), определяемый формулой
1 _ —1 ИЛ\
(напомним, что по дважды входящему — сверху и снизу — ин-
дексу i производится суммирование от 1 до га). Например, сверт-
ка тензора Т] типа (1, 1) — это скаляр Т\ (след Sp Т линейного
оператора Г})-
3) Умножение (тензорное). Если заданы два тензора
и типов (р, q) и (А, I) соответственно, то их
произведением будет тензор 5 = Т ® Р типа (р + Л, q + I) с ком-
понентами
/А А \
(порядок сомножителей существен). Заметим, что тензорное ум-
ножение ассоциативно.
Лемма 1. В результате операций 1), 2), 3) получается снова
тензор, причем результаты их применений не зависят от выбора
системы координат.
Доказательство. 1). Пусть о переставляет между собой
только индексы к и Z:
/1 ... к ...I ... д\
\1 ... I ... к ... д)‘
Тогда
<i2>
При переходе к штрихованной системе координат будем иметь
_ дх 1 gx р дх?к дх^ dx?q (13)
h'"’q дх4 дхХр дх* дх1 dxh dxq
Изменим обозначение индексов в правой части: /ft обозначим
через /ь ]i — через jh. Это не изменит всего выражения, так как
по этим индексам производится суммирование. Тогда правая
150
ГЛ. 3. ТЕНЗОРЫ. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
(Ч. Г
часть формулы (13) примет вид
дх" dx>h d(jq _
‘ ’ dxi'p ‘ ‘ ‘ ‘ ’ gxih ’ • gxjg
__ dxlp dz?1 dx^q
j1"’9 дл " d^dji dlh'
t. e. мы доказали, что T— компоненты тензора типа (р, q).
2) Для тензора, свернутого по индексам ih и //, будем иметь
(ih и jt означает, что эти индексы пропущены)
Лр yii-Лр дх\
ir-h-'-iq 4...i'
дх х
iq
дх 4
dxJq
дх'1 д xlfi дхгр дх?1 дх^ дх^
гк ii Ih ip ; jz jQ
dx dx dx p dx 1 dx dx 4
__ *• дхгк дх^р dx?1 dx^ dx$q
”’ax
dx* dx^ _ J|
где мы воспользовались равенством 7 ~ “ Z* Тензорность
дх h дх{
произведения (11) очевидна. Лемма доказана.
Рассмотрим теперь примеры применения построенных опе-
раций.
Примеры. 1. Пусть даны вектор V и ковектор т^. Можно
составить их произведение — тензор Т}=^^гх\. типа (1, 1) и его
след Т\ = £гц.. Последний представляет собой скаляр — скалярное
произведение вектора и ковектора.
2. Если даны вектор и линейный оператор 4?, то их про-
изведение Tjh = Л^г есть тензор типа (2, 1). Свертка
= л&{
есть снова вектор — результат применения оператора Л? к ис-
ходному вектору
Замечание. Используя введенное скалярное произведение
векторов и ковекторов, отнесем каждому вектору линейный
дифференциальный оператор первого порядка на функциях; так
4. I]
§ 18, ТЕНЗОРЫ ТИПА (0, fc)
151
как —г— ковектор (градиент функции), то выражение
дх1
(«)
будет скаляром (производная функции по направлению £). В ча-
стности, если еп — базис в пространстве векторов, где
координаты вектора ек равны (cft)i « б£, то из формулы (14) по-
лучаем, что
«.««л-5- <15)
Поэтому при нашем соответствии базисные векторные поля пере-
ходят в операторы —г, ..., г—. Таким образом, вектору £ соот-
дх °%п
ветствует дифференциальный оператор
^=^77- (16)
дх1
Задачи. 1. Проверить, что перестановка верхнего и ниж-
пего индексов 1 1 ...гь... не есть тензорная операция.
(Привести пример.)
2. Тензор 2-го ранга называется невырожденным, если соот-
ветствующая матрица невырождена. Показать, что для невырож-
денного тензора 2-го ранга обратная матрица также будет тен-
зором.
§ 18. Тензоры типа (O,fc)
1. Дифференциальная форма записи тензоров с нижними ин-
дексами. Рассмотрим для начала случай тензоров типа (О, 1) —
ковекторов. Выше мы имели пример ковектора — градиент функ-
ции
- 2L
г дхе
Напомним, что в анализе дифференциалом функ-
ции называлось выражение
df = dx\
дхг
(1)
Если задана замена х1 = х* {хг\ ..., хп,)х то
dx{ = dxir$
дхе *
„ df j 5 I df dx1
df = —.dx' = I — —7
дхг \дхг дхг
dx1 = -Л-, dx1 r
дхг
(2)
(3)
т. e. выражение df инвариантно относительно замен координат.
152
ГЛ. 3. ТЕНЗОРЫ. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
(Ч. I
Аналогично, если мы любому ковектору 7\ поставим в соответ-
ствие выражение Tidx* (дифференциальную форму), то это выра-
жение будет инвариантно относительно замены координат.
Что такое символы dx*l Базисные ковекторные поля е* пре-
образуются по закону
Тге^Т^'. (4}
дхг
Последнее равенство означает просто, что (соответственно
Ту)— координаты ковектора в базисе е1, еп (соответственно
е1', ..епУ).
Мы видим, что базисные ковекторы е* преобразуются по тому
же закону, что и dx*:
ei = ^.ei' dx1 = dx*', (5)
dx1 dx1 * ’
e* dx\ eV dxv.
Можно сказать, что символы dx* — это базисные ковекторы е*.
Дифференциальная форма Т$х* соответствует разложению Т<е*
ковектора по базису. Мы видели в предыдущем параграфе, что
любой ковектор — это линейная форма на векторах. В частности,
Of
значение линейной формы df = ^-{Лхг на векторе Д£ = Дя1^ рав-
но по определению
Д^ = ^Дж‘. (6}
\dxk / дх*
Это выражение называется, как известно, главной линейной
частью приращения функции / при сдвиге вдоль вектора Д£.
Рассмотрим второй важный случай — тензоры типа (0, 2).
Базис в пространстве таких тензоров составляют произведения
е*®е\ (7)
Разложение любого тензора Тц по базису (7) имеет вид
Т^е* ® (8>
Тензор Тц — это билинейная форма на векторах. Действительно,
если V, Л* — два вектора, то выражение
(9)
есть скаляр — значение билинейной формы Т на векторах £, ц.
Любой тензор типа (0, 2) распадается в сумму симметриче-
ского и кососимметрического = Это очевидно из еле-
<1. I] § 18. ТЕНЗОРЫ ТИПА (0, к) 153
дующего тождества I
гр /рЗУШ I mfilt
j ij = 1 ij -Г 1 ij .«
пую=4 т™=4 -т*>- (10)
Из формул (10) получаем базис в пространстве симметриче-
ских тензоров
ег®е? + .
2 «
и в пространстве кососимметрических тензоров
= — & ® г', К}. (12)
Если тензор Тц симметрический, то его разложение по базису
(11) имеет вид
Тцё ® ё> = S Туе’’ ® е’ + S Туе’’ ® е’ =
i<j i>J
=5 Taei ®ei+5 2Т« (е*^4~~) • <13>
Если тензор T{j кососимметрический, то его разложение по
базису (12) имеет вид
Туе’ ® е> = 5 Туе’ ® е> + 2 Туе< ® = 2 Ту е’’ Д е>. (14)
i<j i>; i<>
В дифференциальной форме базис (И) записывается в виде
dxidxi’ = dx^dx*, базис (12) записывается в виде dx* Д dx? = — dxj Д
Д dx\
Пример. Риманова метрика ga — пример симметрического
тензора типа (0, 2). Его разложение по базису dx*dxj имеет вид
gydx'dx*. (15)
Это — известная формула для квадрата элемента длины dlz.
2. Кососимметрические тензоры типа (0, к).
Определение 1. Кососимметрическим тензором (типа
(0, к)) называется тензор такой, что
= sgn(o)7\r.,ift. (16)
Здесь sgn(o) = ±l — знак перестановки о, действие переста-
новки о на набор (г£, • 4) определено формулой (8) § 17^ Это
определение не зависит* от выбора системы координат ввиду
тензорного характера операции перестановки индексов. Таким
образом, тензор меняет знак при любой нечетной пере-
становке индексов и сохраняет свое значение при четной переста-
новке индексов.
154
ГЛ. 3. ТЕНЗОРЫ. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
[Ч. Г
Замечание. Если ранг к больше размерности простран-
ства и, то кососимметрический тензор тождественно ра-
вен нулю (обязательно будет пара совпадающих индексов).
Для кососимметрических тензоров мы будем в целях удоб-
ства использовать язык дифференциальных форм. Базис в про-
странстве таких тензоров состоит из элементов
А ... A dx\ h < ... < ih. (17)
где
dx1* А • • • A dx'h = У sgn (о) e° ® ... ® (18)
^sh
(суммирование по всем перестановкам индексов). Как и в пре-
дыдущем пункте, мы получим для кососимметрического тензора
соответствующую дифференциальную форму
Tir..ikeil ® ... ® eift = S h... /\ dx\ (19)
Выражение dx1* A * • • A dxih кососимметрично относительно
перестановок индексов:
dxG^ A ... A dx^ == sgn (o) dx'* A ... A dx\ (20)
Пример. Рассмотрим кососимметрические тензоры типа
(0, п) в n-мерном пространстве. Каждый такой тензор Л’г.ла
определяется одним числом Г12..Действительно,
Ta(i..п} = sgn(o)r12. (21)
а если среди индексов ..., in есть хотя бы два совпадающих, то
компонента равна нулю. Таким образом, мы имеем един-
ственный базисный тензор — это dx1 А * • • A dxH.
Компоненты этого тензора в физической литературе обозна-
чаются Ясно, что компонента лп отлична от нуля,
лишь если среди индексов Ц.. Лп нет повторяющихся; тогда
(+1 при sgn^, ..., in) = + 1,
Ч-.”»-l—1 при sgn(ix, in)= — 1.
Очевидно, = Л 2...пе,г.лп.
Как преобразуются кососимметрические тензоры n-го ранга
при замене координат?
Теорема 1. Кососимметрические тензоры ранга, равного
размерности пространства, при замене координат xv =х*'(х1,..., хп)
преобразуются по закону
т1 2...П = Т1'2' ...n'J т (23)
(дх* ।
—7 — якобиан замены.
дх3 J
ч. I]
§ 18. ТЕНЗОРЫ ТИПА (0, Jfe)
155
Доказательство,
тензора ei ..лп« Имеем
Проверим формулу (23) для базисного
дх 1
Ч-^ndxi
дх'п у' /
дх af=sn ох
дх п>
дхп
Эта формула и есть определение детерминанта Л
Пр и мер. Пусть тензор ga типа (0, 2) является невырож-
денной квадратичной формой и g = det (gu). При замене коор-
динат xif = х'-' (я1, ..., хп) матрица gu преобразуется по закону
дх$ дА
бг'Г *гз дхг' дхэ'
или, в матричной форме, G’ = ЛТСЛ, где А = £ = (^),
Gf « (&//)• Поэтому определитель g = det G преобразуется по за-
кону
g’ = det G’ = det (ATGA) = (det A)2 det G. (24)
Следовательно, Vlg'l = VIgl Idet Л|. Таким образом, доказано
Следствие. Выражение | g j dx1 Д ... Д dxn является тен-
зором относительно таких замен координат, что J— det Л —
, . / дх1 \ п
= det —г, 0.
\ дх1 /
Форма ]/"| g | dx1 Д ... Д dxn называется элементом объема,
задаваемым метрикой g^
Комплексный случай. Если задано комплексное про-
странство с координатами z1, ..., zn; z\ ..., zn, где za = xa + iya,
z^ ~ iyr\ то дифференциальные формы можно записывать
в виде
p + q^k,
где слагаемые
т^> = 2 Л ... Л d^iv Л rf?1 Л • • • Л
ч<-••<’₽
(25)
называются «формами типа (р, q}».
Например, пусть задана форма вида
Q = 7’aPdza Д dz\
156
ГЛ. 3. ТЕНЗОРЫ. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
14. Г
где = —Тар. Тогда матрица (iTop) удовлетворяет условию
tTpa = ар
и является матрицей эрмитовой формы S iT^dz^dz^. Таким об-
разом, в комплексном случае эрмитова метрика задается формой
типа (1, 1).
3. Внешнее произведение дифференциальных форм. Внешняя
алгебра. В качестве приложения введенных в § 17 алгебраических
операций над тензорами определим внешнее произведение двух
кососимметрических тензоров типа (0, р) и типа (0, q) (диффе-
ренциальных форм ранга р и q соответственно). Пусть
*!<... <ip
®2 = . 2 . А^Ч (26)
<Ziq
Определим форму со ранга р + q:
со = со1 А со2 = 2 dxk' A dzh?+i, (27>
»!<...<Ар+д
полагая
^Аг...йр + д = 2 ёр!д! (28)
Величины Ял...,лр+д образует тензор, получаемый из тензо-
ров комбинацией операций тензорного произведе-
ния и перестановки индексов. Этот тензор кососимметричен по
построению, и определение (28) не зависит от выбора координат.
Лемма 1. Внешнее умножение дифференциальных форм —
билинейная ассоциативная операция, причем
«2 Д С01 = (—l)pq «1 А со2, (29)
если ©f — форма ранга р, ©2 — форма ранга q.
Доказательство. Билинейность очевидна; ассоциатив-
ность проверяется непосредственно из формулы (28). Формула
(29) вытекает из того, что знак перестановки
1 ... g g + 1 ... p + g
р+ 1 ... р + g 1 ... р
равен (—1)м (проверьте!). Лемма доказана.
Замечание. Нетрудно проверить, что для базисных форм
©х = dx\ (о2 — dx* внешнее произведение (28) совпадает с опре-
деленным в п. 2 символом dx1 A dxh Вообще, если ©х = dx1* А • • *
... A dxxv, ©2 = daA A ... A dx\ то
wi A w2 = dx^ A ... A dxlv A da?i A ... A dx\ (30)
я. п
g 18. ТЕНЗОРЫ ТИПА (0, fc)
157
Внешнее произведение задает в пространстве форм в данной
точке структуру внешней алгебры,
4. Кососимметрические тензоры типа (А, 0) (поливекторы)»
Интеграл от антикоммутирующих переменных. Кососимметриче-
ские тензоры с верхними индексами часто называют поливекто-
рами, Для их описания также удобно использовать язык внешней
алгебры. Если еи ..., еп — стандартный базис векторов, то зада-
ется базис кососимметрических тензоров типа (А, 0) — поливек-
торов — аналогично (17), (18) , Л .. • Л Ч < • • • < i/м
где свертка с базисными формами такова (е} ++ dx?)*.
Л ... Л eik, л ... Л = бц ... & (31)
7\<>. .</\. В полной аналогии с тензорами типа (0, А) поливек-
торы образуют внешнюю алгебру, натянутую на символы еи ...
.,., еп. Аналогично теореме 1 устанавливается следующая
Теорема 2. При замене координат верна формула
(32)
где J = det (дх1 /дх?) — якобиан замены.
Доказательство не отличается от доказательства теоремы 1.
Следуя современной литературе по квантовой теории поля,
введем «интеграл от антикоммутирующих переменных» 0*, ..0„:
f ... J/fOp ... Л<*0»; (33)
Rn
здесь считается, что /(0lt ..0П) —полином во внешней алгебре
с образующими 0Ь .0П, интеграл берется только по всему про-
странству (не по области!). При линейных заменах в 0-про-
странстве величина d0i Д ... Д d0n по определению преобразу-
ется так:
d0i Д ... Д d0n = Л ... Д dQi (34)
где J = det (дО$/д07)— обычное число. Правила интегрирования
по определению таковы:
jO;d0; = l, fd0; = O, (35)
R ₽
J J / (0i) A g (02) <*0i A <*02 = И / (0i) <*©i) A (J g (02) <*0^ (36)
R2 \R ) \R /
(остальные правила самоочевидны), где 0i,02,...»0.— произволь-
ный набор внешних образующих. Из формул (31), (32) вытекает
вывод: после сопоставления d0j -* eJt 0j е‘ величина dOj Л • • •
• • • Л <*0п сведется к базисному поливектору — тензору типа
(«, 0), старший член коэффициента /(0!, 0П) — к тензору
158
ГЛ. 3. ТЕНЗОРЫ АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
[Ч. I
типа (0, п), а «интеграл» — это их обычная свертка. Таким об-
разом, интеграл от антикоммутирующих переменных — это обыч-
ная свертка тензоров, записанных в формализме Картана внеш-
них алгебр как для форм, так и для поливекторов. Полезность
этой интерпретации определяется следующим фактом.
Задача. Пусть / (0ц ..., 0п) == охр a^Qi Д = — аг{
Доказать формулу
J ... J/(01( ....е^йвхА ... = (37)
R71
Выражение (33) на пространстве Rn дает тензор типа (п, п),
кососимметрический отдельно по нижним и отдельно по верхним
индексам. Такой тензор есть скаляр в Rn.
Замена 0(0') в интеграле (33) может быть и нелинейной.
Требуется только, чтобы она сохраняла, как говорят, Z2- градуи-
ровку, т. е. полиномы 0(0') должны быть линейной комбинацией
выражений нечетной степени во внешней алгебре.
Пример. Пусть 0=(0i, 02, 03), /(0) = 0i. Тогда по опреде-
лению имеем
J/(0)do1A^e2A^3 = o.
Рассмотрим такую замену:
01 = 01 + 01 Д 02 Д 03? 02 ~ 02, Оз = Оз*
Напишем матрицу Якоби этой замены (точные определения см.
ниже):
/50Д 3“ ®2 А 03 ®1 А ®з 01 А 02\
(-41=1 о 1 о
\д®э/ \ о 0 1 /
Якобиан J = det имеет вид J = 1 + 02 Д J 1 = 1 —
— 02 А Оз- Проверьте следующее тождество:
J / (0 (0')) .Г1 de. A dQ'2 A dQ'3 = 0.
Более общо, если
0{ = (019 • • • 9 0.79 ’ • • 9 On) + 0J А (01, ... 9, 0J9 - • • ,9 0п)1
то мы полагаем
—7 = (019 .. . > 0j7 * • • 9 0п)«
Очевидно, при Z2- градуированных заменах элементы матрицы
Якоби коммутируют.
ч. I]
§ 19. ТЕНЗОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ С МЕТРИКОЙ
150
Задача, Докажите следующую формулу замены перемен-
ных:
^/(е(е'))/-Ые; д ... д = J/(0)d01 д .... /\den, (38)
где J = det (50i/50j),
Указание. Если /(0)—одночлен старшей степени, то фор-
мула (38) очевидна. Требует отдельного анализа то, что млад-
шие члены, содержащиеся в полиноме /(0), дадут нулевой вклад
после замены, как показывает пример выше.
Задачи. 1, Пусть о? = a-dx1. Доказать формулу
«1 л... доЛ = д... д dX\
где — минор матрицы (^)? стоящий на пересечении строк
с номерами ц, ..., 1к и столбцов с номерами .., Д. В частности,
со1 Д ... Д con = det (а0 dx1 Д ... Д dxn,
2. Найти размерность пространства fc-форм (в данной точке).
3. Доказать, что 2 = 8г1..лп Sp (а’), где
k
Sp (а?) = а\ — след матрицы.
§ 19. Тензоры в римаповом и псевдоримановом пространстве
1. Поднятие и опускание индексов. Пусть — тензор типа
(О, 2), задающий риманову или псевдориманову метрику. Напом-
ним, что если заданы два вектора |1, гД то можно определить их
скалярное произведение, положив
<g, п> = §!Т]^О- (1)
(Мы использовали здесь операцию тензорного произведения и
свертки.)
Аналогично, если g{i—тензор типа (2, 0), то он задает ска-
лярное произведение ковекторов по формуле
<§, T|>=g'W (2>
В присутствии метрики g^ можно определить весьма важную
операцию опускания индексов. Если — тензор типа (р, 7),
то можно построить тензор типа (/> — 1, q+1), полагая
/Ох
Легко видеть, что это снова тензор (итерация операций ум-
ножения на тензор g^ и свертки).
160
ГЛ. 3. ТЕНЗОРЫ. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
(Ч. I
Переход от тензора к тензору называется опу-
сканием индекса с помощью метрики gjj.
Пример. Если — вектор, то после опускания индекса мы
получим ковектор
Щ
Таким образом, опускание индексов задает линейное отобра-
жение пространства векторов в пространство ковекторов. Это со-
ответствие можно описать следующим образом: если <,> — соот-
ветствующее giS скалярное произведение, то вектору ц соответ-
ствует линейная форма (ковектор), принимающая на векторе £
значение <£, тр.
Наоборот, для поднятия нижних индексов при наличии мет-
рики gy необходимо рассмотреть обратную метрику, т. е. такую
матрицу что
g'3g,k = 61 (5)
(напомним, что det(gTj)=AO).
По определению имеем
«Л1!*;*1# _ /Я\
Лемма 1. Если мы опустим индекс, а потом поднимем, то
получим исходный тензор.
Доказательство. Опустив у тензора ТД7..Д индекс ц,
получим тензор • Подняв после этого индекс ii, полу-
чим тензор
совпадающий с исходным. Лемма доказана.
Матрица gij задает скалярное произведение ковекторов, как
мы видели выше. Таким образом, заданием метрики мы оп-
ределили и скалярное произведение ковекторов Это скаляр-
ное произведение на ковекторах однозначно определяется требо-
ванием, чтобы после операции поднятия индексов мы получили
то же скалярное произведение, что и для векторов. Это вытекает
из следующего утверждения.
Лемма 2. Верно следующее равенство: для пары векторов
£ = (£’*), ц =(rf) и соответствующей пары ковекторов £ = (£,-) =
= (go^j), Л =(lb) = (#<J1T) их скалярные произведения совпадают:
<1 п> = <£, п>- ~
Доказательство. Так как <|, тр = и <5. =
= т0
& П> = = №g<fl\l = Vgirf = <L П>-
Лемма доказана.
4. I] § 19. ТЕНЗОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ С МЕТРИКОЙ 1G1
Замечание. Нетрудно видеть, что пока мы использовали
только невырожденность тензора g£i, g = det (g^) ¥= 0; положи-
тельная определенность (и даже симметричность) в предыдущих
утверждениях и формулах роли не играли. В гл. 5 мы будем
проводить аналогичные конструкции для кососимметрической
метрики в связи с гамильтоновым формализмом.
2. Собственные значения квадратичной формы. Пусть задан
линейный оператор Т\— тензор типа (1, 1). Если нет метрики,
то не имеет смысла говорить о симметричности или косой сим-
метричности этого тензора, так как нельзя переставлять между
собой индексы i и /.
Если же имеется метрика gih то можно опустить индекс: Тц =
= gikfy мы получим при этом тензор типа (0, 2), определяющий
билинейную форму {,}т от двух векторов. Если <,> — скалярное
произведение, соответствующее метрике gih то эта билинейная
форма имеет вид
{5, п)т = <£> 7п> = (7)
£ = (£1), п = (п’)-
Определение 1. Говорят, что линейный оператор Т\ в
пространстве с метрикой ga симметричен (кососимметричен), ес-
ли билинейная форма Tij = gikTij симметрична, (косо-
симметрична, = —Tv).
Теорема 1. Линейный оператор Т = {т\) в пространстве
с римановой или псевдоримановой метрикой g^ симметричен или
кососимметричен в том и только в том случае, если для любых
векторов £=(V), Л = (цг) выполняется соотношение
ц> = <£, ТТр (симметричность)' (8)
тр = —<£, 7Т]> (косая симметричность). (9)
Теорема является очевидным следствием формулы (7).
Пусть теперь в римановом или псевдоримановом пространстве
задана симметрическая билинейная форма Тц. Тогда, подняв
индекс, можно рассмотреть оператор Т} = glhTkj.
Определение 2. Собственные значения оператора Т} =
= g'hThj называются собственными значениями квадратичной
формы Ti5 в метрике gijt
Если К — собственное значение оператора Т}, — соответ-
ствующий собственный вектор, то по определению имеем
= ьГ <=> gihTkg = лГ. (10)
Тем самым собственный вектор V есть решение системы урав-
нений
к = 1,...,п (И)
(ср. систему (10)).
П Б. А. Дубровин и др.
162
ГЛ. 3. ТЕНЗОРЫ. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
14. I
След Sp Т] и детерминант det Т} линейного оператора Т] =
являются метрическими инвариантами формы Тц (т. е.
инвариантами, зависящими от метрики). В частности, след име-
ет вид
т\ = gikTih. (12)
Пример. На поверхности r = r(tz, и), г=(х, у. z), в про-
странстве R3 возникало две квадратичные формы (х1 — и, xz = v):
1) метрика gijdx'dx3 -— тензор gu\
2) вторая квадратичная форма bijdx'dx* — тензор Ъц (здесь
суммирование проводится по повторяющимся индексам от 1 до
2, так как поверхность двумерна).
В § 8 были получены формулы:
det(feii)
гауссова кривизна К ==
средняя кривизна Н = Ъ\ =
Таким образом, средняя кривизна — это след двумерного тен-
зора в присутствии метрики gl}. Для. гауссовохт кривизны
имеем
К = (det (gy))-1 det (&у) = det(g%j) = det (bj).
Тем самым гауссова кривизна также есть метрический инва-
риант второй квадратичной формы.
3. Оператор *. В присутствии метрики g^ можно задать опе-
рацию * отождествления кососимметрических тензоров типа (0т
к) и (0, п — к).
Определение 3. Если — кососимметрический тен-
зор типа (О, А), то через *Т будет обозначаться кососимметри-
ческий тензор типа (0, n — /c), задаваемый формулой
<13>
где Т7’1'* Лк— соответствующий тензору тензор типа (&, 0):
= (14)
Мы видели в п. 2 § 18, что V}g | еи...г„ в n-мерпом простран-
стве есть тензор относительно замен координат с положительным
якобианом. Поэтому будет тензором относительно таких за-
мен, а его косая симметричность очевидна.
Замечание. Имеет место формула (проверьте)
*(*7)==(“l)htn'h,sgnU)r. (15)
4. Тензоры в евклидовом пространстве. В евклидовом про-
странстве метрика gij в евклидовых координатах имеет вид =
ч.1]
§ 19. ТЕНЗОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ С МЕТРИКОЙ
163
•= 6ijt Поэтому при опускании (поднятии) индексов компоненты
любого тензора не меняются:
1 ipi—Jq “ O1iu Jv-Jq ==,7Л**’^ •
Таким образом, в евклидовых координатах нет различия меж-
ду верхними и нижними индексами; все индексы, например,
можно считать нижними. Такая запись будет инвариантна отно-
сительно замен, сохраняющих евклидову метрику, т. е. относи-
тельно ортогональных преобразований и трансляции.
В частности, в евклидовых координатах матрица оператора
и матрица соответствующей ему квадратичной формы совпадают.
Набор компонент градиента преобразуется как вектор при дви-
жениях евклидова пространства и т. д.
Рассмотрим для случая трехмерного евклидова пространства
с евклидовыми координатами х, у, z действие оператора *:
*dx — dy/\ dz, *dy = — dx /\dz, * dz = dx Д dy
(проверьте). Любая 1-форма (ковектор) имеет вид m^Pdx-V
+ Q dy + R dx. Для такой формы
* со = Р dy f\dz + Q dz /\dx + Rdx /\dy,
* (* 0))— (0.
Если / — скаляр, то * / == / dx Д dy Д dz — форма 3-го ранга и
* (/ dx A dy A dz) =
Задачи. 1. Пусть Еа0т — рассматривавшийся выше (см.
п. 2 § 18) кососимметрический тензор в трехмерном евклидовом
пространстве. Доказать следующие формулы:
^aX
а) 6f3X
^тх ^yv
б) »а?..брц -б
в) EaflrExpl — 26ах,
г) ЕаРтЕаРт ” 6
(везде суммирование по повторяющимся индексам подразумева-
ется) ; бае — символ Кронекера.
2. Пусть
®1 = 2 Лр.лЛ'1 А • • • Л dx\
«2 = 2 Л ... Л dx*?.
Положим {о>1? о>2} “ "[£ 1 1 ... £ Доказать, что
сох Д * со2 = {o>i, o)J К| g | dx1 Д ... Д dxn.
11*
164
ГЛ. 3. ТЕНЗОРЫ. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
[Я. I
§ 20. Кристаллографические группы и конечные подгруппы
группы вращений плоскости и пространства.
Примеры инвариантных тензоров
В этом параграфе мы познакомимся с кристаллографическими
группами. Затем мы классифицируем конечные подгруппы в ор-
тогональных группах 0(2) и 0(3).
Мы будем рассматривать кристаллическую структуру, целиком
заполняющую все трехмерное евклидово пространство, или же
евклидову плоскость (плоская структура). Одна из стандартных
моделей кристалла следующая: считается, что кристалл состоит
из нескольких сортов атомов, жестко закрепленных в простран-
стве (или на плоскости) и расположенных друг относительно дру-
га строго определенным образом.
Определение 1. Решеткой кристалла называется совокуп-
ность всех атомов кристалла.
Мы резко сузим класс рассматриваемых решеток и ограни-
чимся трансляционно инвариантными решетками, к определению
которых мы сейчас перейдем. Именно такие решетки соответству-
ют большинству реальных физических кристаллов (в некотором
приближении). Мы будем считать, что решетка кристалла всегда
содержит некоторое подмножество, определяемое так: это все
точки (атомы), являющиеся концами векторов а = + п2а2+
+ п3а3 (или на плоскости: а = п,а, + п2а2). Здесь п2, —
произвольные целые числа, векторы а2, «з называются векто-
рами основных трансляций. Векторы аь а2, а3 иногда называются
примитивными векторами решетки и всегда предполагаются ли-
нейно независимыми.
Важное требование: обычно считается, что решетка R кри-
сталла переходит в себя при всех основных трансляциях вдоль
векторов obi, а2, а3, а значит, и при всех целочисленных линей-
ных комбинациях этих основных трансляций; т. е. требуется,
чтобы кристаллическая структура оставалась инвариантной при
всех трансляциях, порожденных векторами а2, а3. Это—одно
из основных свойств реальных («бесконечных») кристаллов.
Обозначим трансляции вдоль векторов а2, а3 через ть т2, т3
соответственно. Тогда любая из рассматриваемых нами транс-
ляций может быть записана в виде
Т = WjTi + п2т2 + п3т3.
Определение 2. Решетка Н называется трансляционно
инвариантной, если она переходит в себя при произвольной тран-
сляции вида Т = Wiij + п2тг + п3т3. Аналогичное определение фор-
мулируется и в случае плоской решетки.
Итак, в дальнейшем мы будем рассматривать только трансля-
пионно инвариантные решетки (на плоскости или в простран-
стве).
Ч. I]
§ 20. КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
165
Замечание. Обычно начинают изложение математической
теории кристаллов с понятия такой дискретной подгруппы Г
группы G3 движений пространства R3, что б3/Г компактно. Это и
называют кристаллографической группой Г. Доказывается, что
подгруппа трансляций имеет конечный индекс в Г. Атомы рас-
полагаются в точках какой-либо . . . . е •
орбиты группы Г. Обычно это од-
на из наиболее симметричных ор- • -__- . е
бит. Подробное изложение чита- а2/ f
тель может найти в книге [46]. , / * / . в
Определение 3. Парал-
лелепипед, построенный на векто-.................
рах а1? а2, аз, называется прими-
тивной ячейкой решетки (кри- рис. 18
сталла).
Замечание. Пусть нам задана некоторая решетка R. Мы
всегда будем считать, что векторы а2, а3 (а1? а2 на плоскости)
таковы, что объем параллелепипеда, построенного на них, явля-
ется минимально возможным.
На рис. 18 изображена простейшая двумерная решетка; пока-
зана также ее примитивная ячейка. Ясно, что в силу трансляци-
онной инвариантности кристалла весь кристалл (решетка) состоит
из объединения сдвинутых (трансляциями) примитивных ячеек.
Простейшая плоская решетка, изображенная на рис. 18, обладает
тем свойством, что каждый атом (т. е. каждая точка ре-
шетки) получается из ка-
кого-то одного атома (про- (A) (i) (4) (А) (4) (4)
извольного) путем приме-
нения некоторой трансля-
ции Т “ + П2т2 + ПзТз.
Это обстоятельство выра-
жают в следующих терми-
нах: множество всех ос-
новных трансляций тран-
зитивно на решетке. Од-
нако это выполнено далеко
не для всех решеток. В
частности, это может про-
® ® ® ®
исходить и по следующей Рис. 19
причине: решетка, вообще
говоря, состоит из нескольких типов атомов, а потому (в рамках
нашей модели) естественно требовать, чтобы при основной транс-
ляции атомы одного сорта переходили снова в атомы этого же
®
сорта и не переходили в те точки решетки, которые заняты ато-
мами другого сорта. Таким образом, множество основных транс-
ляций может быть не транзитивно на решетке. Пример такой
решетки показан на рис. 19.
166
ГЛ. 3. ТЕНЗОРЫ. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
[Ч. I
Здесь атомы типа А не могут быть переведены основными
трансляциями в атомы типа В (аналогично, 'атомы типа В не
переводятся в атомы типа А). В то же время основные трансля-
ции транзитивны на атомах типа А и на атомах типа В (по от-
дельности): любой атом типа А (соответственно В) может быть
получен из какого-то одного атома типа А (соответственно В)
путем применения некоторой основной трансляции.
Таким образом, видим, что в общем случае для полного за-
дания решетки кристалла недостаточно задать совокупность ос-
новных трансляций. G другой стороны, ясно, что поскольку вся
решетка является объединением примитивных ячеек, то для пол-
ного описания решетки, наряду с совокупностью всех основных
трансляций, достаточно задать расположение атомов в какой-ни-
будь Одной примитивной ячейке. Конечно, среди множества всех
решеток естественно выделен такой класс решеток, у которых
все атомы примитивной ячейки получаются из одного атома этой
ячейки применением основных трансляций (двух трансляций на
плоскости и трех — в пространстве).
Определение 4. Решетка R (двумерная или трехмерная),
все атомы которой расположены в точках вида ntai + п2аг + w3a3
(п^ + п2а2 для плоскости), где и2, — произвольные целые
числа, называется решеткой Браве.
Можно сказать, что совокупность основных трансляций тран-
зитивна на решетке Браве. Из определения видно, что различные
решетки Браве отличаются друг от друга только формой прими-
тивной ячейки. В частности, аффинным преобразованием любые
две решетки Браве могут быть переведены друг в друга, т. е.
с аффинной точки зрения имеется только одна решетка Браве.
Метрически различные решетки Браве (т. е. решетки, не совме-
щаемые друг с другом ортогональными преобразованиями и па-
раллельными переносами) разнятся углами и длинами векторов
основных трансляций.
Определение 5. Пусть ..., Хп — атомы, расположен-
ные внутри примитивной ячейки; тогда векторы Х{, .. ., Хп (иду-
щие из начала координат — вершины примитивной ячейки — в
точки .., Хп) образуют базис решетки (рис. 20).
Утверждение 1. Задание векторов основных трансляций
и 'базиса решетки R полностью определяет всю решетку R.
Это утверждение очевидным образом следует из наших опре-
делений базиса, трансляций и из свойства инвариантности (тран-
сляционной) решетки. Более детальные рассуждения мы остав-
ляем читателю как элементарное упражнение на перечисленные
определения.
Окончательно установим соответствие между свойствами иде-
ального бесконечного кристалла и реального кристалла, имею-
щего границу. На рис. 21 изображен (идеализированно) реаль-
ный трехмерный кристалл без дефектов( имеющий границу. Здесь
4. Il
§ 20. КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
1G7
числа Л\, N2t N3 обозначают число примитивных ячеек, уклады-
вающихся в соответствующих ребрах нашего параллелепипеда
(кристалла), т. е. АВ = Л\аи ВС = TV2a2, AD = /V3a3.
Будем разрешать трансляции реального кристалла на произ-
вольные векторы, кратные векторам alt a2f a3, но при этом будем
Рис. 21
поступать следующим образом: сдвинув, например, решетку на
вектор ab мы срежем слой, вышедший за правую грань (грани-
цу) кристалла и приклеим его к левой грани, которая ровно
на вектор ai углубилась внутрь параллелепипеда. Оказывается,
что использование такой формальной модели оправдано: боль-
шинство физических конструкций и вычислений не меняется при
такой процедуре «периодизации». Ясно, что такая точка зрения
в точности эквивалентна рассмотрению бесконечного идеального
кристалла. Введение описанных выше условий периодичности
на гранях кристалла можно пояснить на наглядном геометриче-
ском языке. Так как граница кристалла (например, рассмотрим
для простоты одномерный кристалл) состоит из двух атомов о
номерами 1 и 2V, то любая трансляция такого «склеенного» кри-
сталла (т. е. одномерного кристалла с условием периодичности
на его концах) сводится к вращению окружности на угол, крат-
ный 2n/2V. В случае плоских кристаллов введение условия перио-
дичности эквивалентно тому, что мы вводим тор 712. Трехмерный
кристалл с условием периодичности склеивается в тор 713.
G каждой решеткой естественно связано понятие симметрич-
ной ячейки (не путать с примитивной ячейкой!). Симметричная
ячейка содержит в себе некоторый выделенный атом, являющий-
ся ее центром.
Определение 6. Фиксируем атом решетки R. Симметрич-
ной ячейкой (с центром в данном атоме) называется множество
точек пространства (соответственно плоскости в случае плоской
решетки), расположенных ближе к фиксированному нами атому,
чем к любому другому атому решетки. Симметричная ячейка
иногда называется ячейкой Вигнера — Зейтца (в теории диск-
ретных групп — «областью Дирихле»),
168
ГЛ. 3. ТЕНЗОРЫ. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
[Ч. I
На рис. 22 изображена так называемая гексагональная дву-
мерная (плоская) решетка, на которой указаны примитивная и
симметричная ячейки (эти ячейки различны!). Границами (дву-
мерной) симметричной ячейки являются перпендикуляры, восста-
вленные к серединам всех ребер решетки, соединяющих фик-
Примитидная ячейка
Симметричная ячейка
сированный атом со всеми
ближайшими соседними ато-
мами.
Теперь мы перейдем к
изучению преобразований,
сохраняющих решетку (т. е.
преобразующих ее в себя).
Рассмотрим группу движе-
ний пространства (соответ-
ственно плоскости), т. е. со-
вокупности всех линейных
1,ис* 22 преобразований (неоднород-
ных) , сохраняющих квадра-
тичную форму ds2 = (dxi)2 + (dx2)2 + (dz3)2 (соответственно ds2 =
= (dx^)2 + (dx2)2). Обозначим эту группу через G4 (в случае пло-
скости — через G2).
Утверждение 2. Любой элемент g группы G3 (соответ-
ственно G2) единственным образом представляется в виде ком-
позиции двух преобразований: g = Т ° а, где Т — трансляция,
а а — вращение (собственное или несобственное, г. е. с опреде-
лителем +1 или — 1) .
Доказательство. Как было показано в § 4, любое дви-
жение g трехмерного пространства принадлежит к одному из
двух типов: 1) винтовое движение g = Та, где а — вращение,
deta = +l, Т — трансляция вдоль оси вращения; 2) g — а, где
а^О(З) и deta^—1 (зеркальное вращение). В каждом из этих
двух типов описанное представление вида g = Ta или g = а од-
нозначно. Утверждение доказано.
Замечание. Так как трансляции и вращения не коммути-
руют между собой (вообще говоря), то Та^аТ (постройте при-
мер!).
Совокупность трансляций {77 образует, очевидно, подгруппу
в G3 (соответственно G2), которая является нормальным делите-
лем в G3 (соответственно G2). В самом деле, преобразование
gTg~i снова является трансляцией для любого вращения g е
еО(3), где 0(3), как и выше, обозначает группу вращений во-
круг точки О (g^0(2) для случая плоскости). Отметим, что
группа 0(3) (соответственно 0(2)) не является нормальным де-
лителем в группе G3 (соответственно G2).
Среди всех преобразований группы G3 (группы G2) мы выде-
лим теперь все те преобразования, которые переводят в себя не-
которую фиксированную решетку R.
4. I]
§ 20. КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
169
Определение 7, Множество преобразований (движений)
из группы G3 (соответственно G2), переводящих решетку R в
себя, называется пространственной группой этой решетки и бу-
дет обозначаться нами через G3(R) (соответственно G2(7?)).
Ясно, что множество G3(R) (соответственно G2(7?)) является
группой в обычном алгебраическом смысле.
Все дальнейшие определения мы сформулируем для случая
трехмерного евклидова пространства, имея в виду, что аналогич-
ные определения и факты имеют место и в плоском случае.
Группа G3(7?) содержит в себе подгруппу Т3 (R) — группу
трансляций решетки.
Определение 8. Группой трансляций кристалла (т. е. ре-
шетки R) называется подгруппа T3(R) группы G3(7?), состоящая
из всевозможных трансляций Т (напомним, что любая трансля-
ция решетки R имеет вид Т = пгхг + п2х2 + п3х3, где т2, т3 —
трансляции, порожденные примитивными векторами решетки
«1, а2, аз).
Напомним также, что мы все время рассматриваем трансля-
ционно инвариантные решетки R.
Легко показать, что подгруппа T3(R) является нормальным
делителем в группе G3(R). В самом деле, нужно доказать, что
если gf^G3(R) и te=T3(R), то gtg~' е T3(R) для любых g и t.
Иными словами, нужно убедиться в том, что преобразование
gtg~l снова является трансляцией решетки. Но это следует из
трансляционной инвариантности решетки.
В дальнейшем изложении мы будем предполагать, что фик-
сирована некоторая точка О пространства, принадлежащая нашей
решетке,— «начало координат»; например, вершина примитивной
ячейки — начало векторов основных трансляций. Всевозможные
вращения решетки (с определителем ±1) мы будем рассматри-
вать относительно этой точки О.
Как было доказано выше, любое преобразование g е G3 допу-
скает однозначное представление в виде g = Ta, где Т — транс-
ляция, а а —вращение с определителем ±1. Иногда для вычис-
лительных целей полезно представлять это разложение в мат-
ричном виде. Отметим, что любое движение g евклидова про-
странства Rn можно (однозначно) представить в виде у = Ах +
где у, х — векторы из Rn, А ^О(п), Ъ — фиксированный вектор
из Rn - вектор, определяющий трансляцию. Неоднородному пре-
образованию g пространства Rn, можно однозначно сопоставить
следующее однородное преобразование пространства Rn+1:
g =
ь1
А :
________
О ... О 1
170
ГЛ. 3. ТЕНЗОРЫ. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
14. 1
При этом оператор g, действуя в 0?n+1, порождает на плоскости
Rn, проходящей через точку с координатами (0, ..0, 1) па-
раллельно координатной плоскости Rn (х1, ..., хп) (рис. 23),
линейное неоднородное преобразование, совпадающее с действи-
ем оператора g в пространстве
Rn.‘ В частности, из явной за-
писи оператора g, очевидно,
следует, что группа движений
пространства rRn+1 распадается
в полупрямое произведение
подгруппы вращений
Рис. 23
и подгруппы трансляций
0
а
___________0
0 ... 0 1
ь1
о ;
________
о ... о 1
Вернемся теперь к группе преобразований некоторой решетки
R. Поскольку G3(7?)<=G3, то и любой элемент g^G3(7?) допу-
скает однозначное представление в виде g = Та, где Т — транс-
ляция, а — вращение (Та аТ, вообще говоря). Подчеркнем
важное обстоятельство: преобразования Т и а не обязаны при-
надлежать группе G3(7?); в частности, преобразование Т вовсе
не обязано быть элементом группы трансляций кристалла (тем
не менее композиция Та уже является преобразованием решетки,
переводя ее в себя).
Группа G(3) (группа всех трехмерных ортогональных мат-
риц) состоит из двух компонент связности, а именно: одна ком-
понента (подгруппа собственных вращений 5G(3)) состоит из
матриц а с определителем +1, а вторая компонента (несобствен-
ные вращения) состоит из матриц а с определителем —1. Груп-
па всех параллельных переносов в R3 связна (она описывается
тремя параметрами и не отличается от самого трехмерного про-
странства). В то же Время группа G3(7?) дискретна; дискрет-
ность группы G3(7?) означает, что в группе G3(7?) не существует
преобразований, сколь угодно близких к единице группы (кро-
ме, конечно, самого тождественного преобразования).
Итак, любой элемент g^G3(/?) имеет вид g — Та, где пре-
образования Т и а восстанавливаются по преобразованию g од-
нозначно, т. е. из равенства Та = Tfaf следует, что Т = Tf и
ч. I]
§ 20. КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
171
а = а' (см. доказательство выше). Однако группа GS(R) не рас-
падается в прямое произведение двух своих подгрупп, посколь-
ку, вообще говоря, Та аТ.
Определение 9. Совокупность всех вращений а <= О (3)
таких, что для некоторого Т (трансляции) преобразование Та
принадлежит группе G3(R), называется точечной группой кри-
сталла (или решетки Я).
Иными словами, вращение а принадлежит точечной группе
кристалла R в том и только в том случае, когда существует та-
кая трансляция Т (не обязательно принадлежащая группе T3(R)
трансляций решетки), что композиция преобразований Та есть
элемент пространственной группы кристалла, т. е. группы G3(R).
Точечную группу мы будем обозначать через 53(R). Эту группу
часто называют также группой симметрий кристалла (решетки),
а ее элементы — операциями симметрии кристалла (решетки).
Утверждение 3. Множество преобразований S3(R) обра-
зует группу в обычном алгебраическом смысле.
Доказательство. Так как подгруппа Т3 (группа транс-
ляций) группы G3 является ее нормальным делителем, то можно
рассмотреть проекцию л группы G3 на факторгруппу G3/T3\
При этом группа G3(R) перейдет в некоторую подгруппу jiG3(Z?)
группы G3/T3. Из доказанного ранее следует, что факторгруппа
GJT3 изоморфна группе 0(3), таким образом, jiG3(Z?) является
подгруппой группы 0(3). Элементами этой подгруппы являются
те и только те вращения а, для которых существует такой эле-
мент Г <= 7\, что композиция Та принадлежит G3(R). Поскольку
это совпадает с определением множества 53(R), то тем самым
доказано, что множество 53(R) совпадает с jiG3(Z?), в частности
оно является группой. Утверждение доказано.
Замечание. Так как группа nG3(R) изоморфна фактор-
группе G3 (R)/G3 (R) П Кег(л), где л: G3~>0(3), и так как
Кег(л) = Т3 *), то окончательно nG3(R) & *S3(R) & G3(R)/G3(R) П
Л Т3, С другой стороны, пересечение G3(R)H Т3 совпадает с груп-
пой T3(R), т. е. точечная группа кристалла S3(R) изоморфна
факторгруппе G3 (R)JT3 (R).
Иногда бывает полезно явное вычисление операции умноже-
ния в точечной группе кристалла и вычисление трансляции, от-
вечающей композиции двух симметрий. Пусть a2eS3(R).
Рассмотрим а3 = ata2 53(R). По определению S3(R) существу-
ют такие Ti и Т2, что T1a1^G3(R), T2a2^G3(R); тогда
(ЛаО (T2a2)^G3(R). Пусть трансляции Т2 определяются век-
торами х2, а вращения a2 — матрицами Aif Л2 соответ-
ственно. Тогда, если г—вектор в пространстве R3, то (7\ai)r =
= ^4^ + хь (Т2а2)г=>А2г + х2 (сначала применяется вращение,
♦) Для гомоморфизма it через Кег(л) обозначается совокупность эле-
ментов группы таких, что n(g) = 1.
172 ГЛ. 3. ТЕНЗОРЫ. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ [Ч. I
а потом трансляция). Отсюда (7\ai) (Т2а2)г = (Т ^Т^а^т ==
= (Л1Л2)г + (Л^2+^i). Итак, вращение a3 = aia2, определяемое
матрицей AtA2t входит в преобразование g ~ Т3а3, где трансля-
ция Т3 задается вектором х3 = А^х2 + xit
Приведем теперь пример плоской (двумерной) решетки Я,
для которой существует элемент g<^G3(R), разложение которого
в композицию вида g = Ta облада-
/ ет тем свойством, что Т G3(R) и
• •.• • • а^О3(Я). Решетка изображена на
• • • • .......... рис. 24. Отражение а^О(2) в пря-
мой Z, очевидно, не сохраняет решет-
. . . . J3 • • • КУ R\ далее, трансляция Т вдоль век-
....тора (J (заметим, что эта трансляция
.................... не является примитивной трансляци-
•................... ей решетки) t также не сохраняет
• • .................решетку Я, т. е. два преобразования
рис 24 7 и а не принадлежат группе G2(R).
Однако преобразование g = Ta, оче-
видно, переводит решетку R в себя. Эта операция (преобразование)
g = Та является скользящим отражением. Подчеркнем еще раз,
что элементы точечной группы (преобразования) кристалла (ре-
шетки), вообще говоря, не переводят в себя кристалл (решетку),
т. е. точечная группа кристалла не является подгруппой группы
движений кристалла. Точечная группа имеет большое значение
в теории кристаллических структур и недаром называется груп-
пой симметрий решетки, поскольку она содержит в себе не
только «настоящие» симметрии решетки, но и такие преобразо-
вания, которые переводят в себя решетку только после примене-
ния некоторой трансляции, также не являющейся движением
решетки. Ясно, что решетка, изображенная на рис. 24, обладает
симметрией скользящего отражения. Кроме кристаллов с симмет-
рией такого типа, часто встречаются кристаллы, обладающие вин-
товой (или аксиально-винтовой) симметрией. Эта симмет-
рия является композицией вращения аеО(3) и трансляции Т
вдоль оси этого вращения. Рекомендуем читателю постро-
ить пример трехмерной решетки, обладающей аксиально-вин-
товой симметрией.
В теории кристаллических структур часто рассматривают еще
одну группу преобразований, естественно связанную с каждой
решеткой.
Определение 10. Стационарной группой H3(R) решетки
называется подгруппа группы Gs(R)t состоящая из всех преоб-
разований, сохраняющих решетку и оставляющих неподвижной
точку О — центр вращений.
Напомним, что точка О предполагается фиксированной. Ясно,
что Я3(Я) = О3(Я)П 0(3), поскольку любое преобразование ре-
шетки, оставляющее точку О на месте, является ортогональным
4. I]
§ 20. КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
173
преобразованием, т. е. вращением вокруг точки О, причем опре-
делитель этого преобразования может равняться как +1, так и
— 1. Группа H3(R) не является, вообще говоря, факторгруппой
группы G3(R) по нормальному делителю T3(R), т. е. H3(R)#
$&G3(R)/T3(R). См. пример на рис. 24.
Утверждение 4. Группы H3(R) (стационарная группа),
S3(R) (точечная группа или группа симметрий) и G3(R) (группа
движений решетки), рассматриваемые как подгруппы в группе G,
связаны между собой соотношением H3(R) — S3(R) 0 G3(R).
Доказательство. Докажем сначала, что Н3 (R) <= S3 (R) П
Пб3(7?). Пусть H3(R). Тогда а, в частности, является враще-
нием (и принадлежит G3(Z?)), а потому можно положить g — Ta,
где Т = Е — тождественное преобразование (сдвиг на нулевой
вектор), т. е. g = a = Ea\ отсюда, по определению 53(7?), получа-
ем, что а^53(7?). Обратно: докажем, что Я3(Я)=>53(Я)П G3(R).
Пусть a^S3(/?) и a^G3(R). Это означает, что а сохраняет ре-
шетку R и, кроме того, является вращением, т. е. ос О (3) П
П G3(R)~H3(R). Тот факт, что ос входит в некоторое разложение
g = Toc, в данный момент для нас несуществен. Утверждение
доказано.
Замечание. Если решетка R является решеткой Браве, то
группы S3(R) и H3(R) совпадают. Это непосредственно следует
из определения решетки Браве (см. выше).
Далеко не каждая подгруппа ортогональной группы 0(3) мо-
жет являться точечной группой (т. е. группой симметрий) неко-
торой решетки R. Оказывается, что трансляционная инвариант-
ность решетки накладывает весьма жесткие ограничения на груп-
пы S3(R), G3(R) и H3(R). Обозначим через H3(R)(3} подгруппу
стационарной группы H3(R), состоящую только из собственных
вращений, т. е. H3(R)(f)} = 50(3) П G3(R); каждое вращение из
подгруппы H3(R){0} имеет определитель +1 и оставляет точку О
неподвижной. В теории кристаллических структур большое зна-
чение имеет следующая теорема.
Теорема 1. Пусть R — трансляционно инвариантная решетка.
Тогда группа H3(R){0} состоит из конечного числа преобразова-
ний^ каждое из которых является поворотом вокруг некоторой
оси, проходящей через точку О, на угол ср, кратный либо л/3,
либо л/2.
Доказательство. Рассмотрим сначала частный случай,
когда решетка R является решеткой Браве, т. е. все атомы ее
примитивной ячейки получаются из точки О путем применений
к точке О основных трансляций решетки. Пусть H3(R) (0) —
собственное вращение; тогда, как нам известно из § 4, преобразо-
вание а является поворотом на некоторый угол ср вокруг некото-
рой оси Z, проходящей через неподвижную точку О (напомним,
что мы вычисляем группу H3(R){0} относительно точки О, совпа-
дающей с одним из атомов решетки). Пусть П — плоскость, орто-
174
ГЛ. 3. ТЕНЗОРЫ. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
14. I
тональная I и проходящая через точку О. Решетка Браве состоит
из точек, определяемых векторами а == + п2а2 + Пз«з> Спро-
ектируем все атомы решетки R параллельно прямой I на плос-
кость П и рассмотрим проекции точек, которые расположены бли-
же всего к точке О, но не совпадают с ней. Фиксируем одну из
таких точек Ai (их может оказаться несколько, находящихся на
одинаковом расстоянии от
точки О; см. рис. 25). По-
скольку” решетка R симмет-
рична относительно точки О,
то наряду с каждой точкой
В^ R противоположная ей
точка Bi (относительно точ-
ки О) также принадлежит R.
При повороте вокруг I на
угол ф точка Bi перейдет в
точку решетки В2 (так как
преобразование а сохраняет
OAi перейдет в проекцию
Так как векторы OBi и ОВ2
решетку /?), т. е. проекция
ОА2) составляющую с ней угол ф.
принадлежат решетке, то их разность — вектор BiB2 — также
принадлежит решетке R. Так как вектор BiB2 параллелен плос-
кости П, то, следовательно, после трансляции он определит век-
тор О А в плоскости П, конец которого — точка А — снова принад-
лежит решетке. Отсюда следует, что длина вектора Л1Л2 не мень-
ше длины вектора ОАХ (|(Z4j == 1сМ2|), так как точки Ai и А2
находятся на минимально возможном расстоянии от точки О.
Итак, в треугольнике СМ1Ла сторона Л1Л2 не меньше, чем
ЮЛ J в ЮЛ2|, т. е. угол ф не меньше л/3. Применяя
последовательно преобразование а, получаем в плоскости П пра-
вильный многоугольник с вершинами Ait A2t ..., Ат (Am+i == HJ,
и так как ф>л/3, то 1 С т С 6. Однако в силу симметричности
решетки R многоугольник Ai...Am также симметричен относи-
тельно точки О. Следовательно, т может принимать только сле-
дующие значения: 2, 4, 6. Итак, угол ф может равняться только
следующим числам: &л, &л/2, &л/3, т. е. ф==(л/3, 2л/3, л/2, л).
Таким образом, для решеток Браве теорема доказана.
Для того чтобы провести - доказательство теоремы в общем
случае, осталось доказать, что в любой решетке содержится под-
решетка Браве, переходящая в себя при повороте на угол ф.
Однако мы не будем здесь доказывать это, а предпочтем дать
другое доказательство, продемонстрировав еще одну важную
идею, играющую немалую роль при исследовании кристалличе-
ских структур. Рассмотрим сначала случай плоской решетки. Обо-
значим через ai и а2 векторы основных трансляций решетки R.
Пусть ф — поворот вокруг точки О, переводящий решетку в себя.
Рассмотрим вектор и применим к нему итерации поворота ф.
4. I]
§ 20. КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
175
При этом мы получим последовательность векторов а4, фа4, <p2tXi.
Так как примитивная ячейка содержит только конечное число
атомов, то после конечного числа применений поворота ф точка
должна вернуться в прежнее положение, следовательно, угол ф
имеет вид 2тпл/л для некоторых целых тип (рис. 26). Так как
вектор а4 был вектором трансляции и так как подгруппа транс-
ляций является нормальным делителем группы движений решет-
ки, то и все векторы. а4, фа4, ф2а4, ... являются трансляциями
решетки. Рассмотрим три вектора а4, фа4 и ф2ос4. Если векторы
сс4 и ф2а4 линейно зависимы, то ф есть поворот на угол, кратный
л/2. Рассмотрим случай, когда а4, ф2а4 — базис. В этом случае,
для того чтобы группа движения решетки была дискретна, необ-
ходимо и достаточно, чтобы вектор фос4 разлагался по векторам
а4 и ф2ос4 с рациональными координатами. Действительно, если век-
тор фа4 имеет в базисе ос4, ф2ос4 иррациональные координаты, то,
применяя последовательные трансляции решетки вдоль вектора-
фа4, получим, что в примитивной ячейке решетки содержится
бесконечное число точек (атомов), что противоречит нашему
определению решеткп. Таким образом, осталось получить анали-
тическое выражение для координат вектора фос4 в базисе а4, ф*а4.
Из рис. 27 получаем следующее выражение:
D cos 2<р 1
ОВ = cos ф — -----— = ------.
т 2 cos ф 2 cos ф
(Здесь ф обозначает также угол, поворотом на который является
ф.) Таким образом, рациональность координат вектора фа4 экви-
валентна рациональности cos ф. Отсюда снова получаем, что угол
Ф может принимать только следующие значения: л/3, 2л/3, л/2, л.
Рассмотрим теперь произвольную трансляционно инвариант-
ную решетку в трехмерном пространстве. Пусть ф — произвольный
поровот решетки вокруг точки О, переводящий решетку в себя.
Рассмотрим ось Z, вокруг которой совершается этот поворот, и
рассмотрим плоскость П, ортогональную оси I и проходящую
170
ГЛ. 3. ТЕНЗОРЫ. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
[Л. I
через точку О. Рассмотрим вектор — вектор основной трансля-
ции (два других вектора основных трансляций нас сейчас не ин-
тересуют). В том случае, когда вектор cti лежит в плоскости П,
дословно повторяются предыдущие рассуждения. В том слу-
чае, когда вектор не лежит в плоскости П, он движется по ко-
нусу с вершиной в точке О и осью — прямой I. Спроектировав
этот конус на плоскость П, мы можем снова повторить предыду-
щие рассуждения применительно к проекции .вектора на плос-
кость П. Тем самым теорема полностью доказана.
Теперь рассмотрим плоскую решетку R и группу Я2(Я). До-
казанная выше теорема позволяет полностью описать набор
групп для произвольных плоских (трансляционно инва-
риантных) решеток; иными словами, сейчас мы укажем список
из пяти групп таких, что любая группа H2{R)(0) совпадает с од-
ной из этих групп.
Теорема 2 (теорема классификации групп H2{R)(0}). Пусть
Сп {где гг—1, 2, 3, 4, 6) обозначает группу из п элементов сле-
дующего вида:
' 2пк 2пк \
созт sin~ ]
2пк 2пк г
- sin —COS — J
Q^k^.n — 1,
т. e. группа Cn состоит из поворотов на угол 2як/п вокруг точки
О. Тогда для любой плоской решетки R ее группа H2{R)(Oy совпа-
дает с одной из групп Сп {п = 1, 2, 3, 4, 6).
Это непосредственно следует из доказанной выше теоремы.
Итак, плоские решетки могут иметь только те типы собствен-
ных симметрий, которые перечислены выше. Отметим, что груп-
па Ci состоит только из тождественного преобразования. Если мы
теперь захотим перечислить не только собственные стационарные
группы плоских решеток, но и несобственные группы, т. е. пол-
ные группы H2{R)^ то для этого достаточно воспользоваться тем,
что на плоскости имеется отражение, меняющее ориентацию (на-
пример, отражение в оси я). Компонируя это отражение с эле-
ментами группы H2{R)(oy и рассматривая новую группу H2(R) =
= Я2 (Z?)(o) U Н2 Сй)(о>, мы, очевидно, и получаем полный
список всех стационарных групп плоских решеток: С21 C3l С\,
С9; Dh D2, D3, Z>6, где Ci <= Dh i = 1, 2, 3, 4, 6, и D^Ci = Z2.
Легко предъявить для каждой из этих групп соответствующую
плоскую решетку, инвариантную относительно действия этой
группы, Это мы оставляем читателю в качестве упражнения.
Отметим, что в списке полученных групп симметрий отсут-
ствует группа С5. Поскольку плоские трансляционно инвариант-
ные решетки определяют на плоскости различные орнаменты, то
их исследованием занимались специалисты по декоративным узо-
4. I]
§ 20. КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
177
рам на протяжении многих столетий. В частности, в арабском
искусстве неоднократно предпринимались попытки построить ор-
намент, основанный на числе 5 (т. е. с группой Я2(Я)(о>, изоморф-
ной С5). Поскольку эти попытки ни к чему не привели, то в араб-
ские орнаменты были введены так называемые «компромиссные
варианты», нарушающие кое-где орнаментальную симметрию, ос-
нованную на числе 5.
Рассмотрим произвольную плоскую трансляционно инвариант-
ную решетку. Мы описали все возможные варианты для стацио-
нарной группы H2(R), Как устроены полные группы G2(R) дви-
жений решеток? Оказывается, что существуют ровно 17 неизо-
морфных друг другу групп, дающих полный список всех групп
G2(R). Мы не будем здесь это доказывать. Каждой из этих 17
групп отвечает плоская решетка с такой группой G2(R), Интерес-
но отметить, что все эти 17 типов орнаментов также были обна-
ружены в древности (в основном египетскими декораторами).
Перейдем теперь к трехмерным решеткам. Здесь задача клас-
сификации и полного описания всех типов группы H3(R) и G3(R)
значительно усложняется по сравнению с плоским случаем. Мы
не будем поэтому подробно проводить эту классификацию, а раз-
берем 6oj|ee простой вопрос: как устроены все конечные группы
собственных вращений в трехмерном пространстве. Поскольку
для произвольной трансляционно инвариантной трехмерной ре-
шетки ее стационарная группа (как и группа симметрий S3(R))
является дискретной (а следовательно, конечной) группой, то,
предъявив полный список всех конечных подгрупп группы SO (3)t
мы, тем самым, оценим «сверху» список групп Я3(7?)(0) и 53(Я)(0)
для трехмерных решеток.
Сначала мы приведем некоторый список конечных групп вра-
щений трехмерного пространства. Рассмотрим некоторую пря-
мую Z, проходящую через точку О, и пусть П — плоскость, орто-
гональная прямой I и также проходящая через точку О. Рассмот-
рим в плоскости П действие группы Сп (циклическая группа по-
воротов в плоскости П вокруг точки О на угол 2л/п). Ясно, что
эта группа превращается в группу вращений всего трехмерного
пространства вокруг оси I, Обозначим эту группу той же буквой
С„. Здесь п =* 1, 2, 3, ..., причем — группа, состоящая только
из тождественного преобразования. Кроме группы Сп на плоско-
сти П действует еще одна группа Dn. Отражение плоскости П от-
носительно некоторой прямой д, лежащей в плоскости П, в трех-
мерном пространстве можно осуществить поворотом вокруг этой
прямой q на угол, равный л. Таким образом, эти несобственные
вращения плоскости П можно дополнить до собственных враще-
ний трехмерного пространства. Обозначим возникающую группу
через Dn, Таким образом, группа Dn состоит из следующих пре-
образований: всех преобразований из подгруппы Сп и, кроме того,
поворотов на угол л всего трехмерного пространства вокруг п
12 Б. А. Дубровин и др.
178
ГЛ. 3. ТЕНЗОРЫ. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
[Ч. I
осей, лежащих в плоскости П и образующих друг с другом углы,
равные -g— = Следует отметить, что группа Du так же как
и группа C2l состоит только из двух элементов: из тождественного
преобразования и полуоборота вокруг единственной прямой в пло-
скости П, поэтому эти две группы изоморфны. Следовательно,
если мы хотим составить список различных (неизоморфных)
групп, то группу Di следует исключить. Таким образом, полу-
чаем следующий список: Сп, п « 1, 2, 3, ..Da, п » 2, 3, 4, ...
Кроме этих двух бесконечных серий дискретных групп, в трех-
мерном пространстве существуют еще некоторые более экзотиче-
ские группы преобразований. В самом деле, рассмотрим пять
правильных многогранников в трехмерном пространстве (куб, ок-
таэдр, икосаэдр, тетраэдр, додекаэдр). Каждому из них можно со-
поставить конечную группу собственных вращений, переводящих
этот многогранник в себя. Этим способом мы получаем еще пять
конечных групп. Однако среди этих пяти групп есть совпадаю-
щие. В действительности, различными будут только три группы:
группы тетраэдра, куба и додекаэдра. Рассмотрим этот вопрос
более подробно. Впишем в куб сферу, а в сферу — октаэдр таким
образом, чтобы вершины октаэдра совпали с теми точками, в ко-
торых грани куба касаются сферы (рис. 28). Ясно, что всякое
вращение, переводящее куб в себя, оставляет инвариантным так-
же и октаэдр. Верно и обратное; следовательно, группы симмет-
рий куба и октаэдра совпадают. Точно так же устанавливается,
что совпадают группы симметрий (соб-
ственных вращений) додекаэдра и ико-
саэдра. Обозначим через Г, W, Р груп-
пы собственных вращений (соответст-
венно) тетраэдра, куба (и октаэдра),
додекаэдра (и икосаэдра). Можно вы-
числить (мы оставляем это как за-
дачу для читателя), что порядки этих
групп равны соответственно 12, 24, 60.
Если же рассмотреть полные группы
вращений многогранников (т. е. вклю-
чая и несобственные вращения), то, ес-
тественно, полученные группы Т, tT, Р
имеют порядки 24, 48, 120. Оказыва-
ется, что предъявленные нами группы исчерпывают весь список
собственных дискретных групп вращений.
Теорема 3. Полный список конечных групп собственных
вращений в трехмерном пространстве имеет вид
Сп (n= 1, 2, 3, ...),
Dfn (п = 2, 3, ...),
Г, W, Р,
Ч. 1]
§ 20. КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
179
где Сп — группа (циклическая), состоящая из повторных приме-
нений поворота вокруг некоторой оси I на угол а, равный 2л/пг
где п — целое число* Dn — группа тех же вращений, взятых вме-
сте с отражениями относительно п осей, лежащих в плоскости*
перпендикулярной I, составляющих друг с другом углы а/2; Т*
W, Р — группы преобразований, оставляющие инвариантными со-
ответственно правильный тетраэдр, куб (или октаэдр) и додека-
эдр (или икосаэдр).
Доказательство. Во-первых, известно, что всякое собст-
венное вращение в трехмерном пространстве, не являющееся тож-г
дественным, есть вращение вокруг некоторой оси. Поэтому каж-
дое такое вращение оставляет на единичной сфере неподвижны-
ми ровно две диаметрально противоположные точки, в которых
ось вращения пересекает сферу. Назовем такие точки полюсами
вращения.
Пусть теперь задана какая-нибудь конечная группа Г соб-
ственных вращений порядка N. Тогда в ней ровно N — 1 нетож-
дественных преобразований. Рассмотрим их полюсы. Число v пре-
образований из Г, оставляющих полюс р неподвижным, называ-
ется кратностью полюса р. Очевидно, эти v преобразований
являются итерациями вращения вокруг соответствующей оси на
угол 2л/у. Они составляют циклическую подгруппу Гр группы Г
порядка V. Число нетождественных преобразований в группе ГР
равно v — 1.
Рассмотрим теперь орбиту точки р относительно группы Г.
Покажем, что число элементов орбиты полюса р кратности v
равно в точности N/v. В самом деле, заметим, что все элементы
орбиты являются полюсами той же кратности v. Это вытекает из
следующих простых рассуждений. Пусть преобразование А из Г
переводит р в точку q, а В е Гр, т. е. В оставляет р на месте.
Тогда преобразование А~*ВА переводит q в q. И обратно, если
Т — некоторое преобразование, переводящее q в себя, то преобра-
зование АТА~1 = В переводит р в р; следовательно, преобразова-
ние Т имеет вид А~*ВА. Таким образом, между элементами груп-
пы Гр и преобразованиями Т, оставляющими на месте точку q*
установлено взаимно однозначное соответствие, которое и доказы-
вает равенство кратностей точек р и q. Обозначим через 52, • • ♦
..., 5V различные преобразования (включая тождественное) г
оставляющие инвариантной точку р. Предположим, что в орбите
точки р имеется ровно п точек (включая р). Обозначим эти точ-
ки через qu ..., qn. Пусть теперь — одно из преобразований
группы Г, переводящих точку р в (i=l, 2, п). Тогда груп-
па Г исчерпывается набором следующих (различных) преобразо-
ваний; SJ^, SyLi, SiL2, S2L2, * * *4 SVL2, ..SiLn, S2Ln, ,,.
..., SVL„.
Итак, N «= nv, что в свою очередь означает, что кратность яв-
ляется делителем числа N. Отсюда, обозначив через пс число
12*
180
ГЛ. 3. ТЕНЗОРЫ. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
[Ч. I
5-
этот
каж-
полюсов в орбите, содержащей полюс, а через ve — кратность
дого из них, получим: N = ncvc.
Подсчитаем теперь число пар (5, р), где р — полюс, а
нетождественное преобразование группы Г, оставляющее
полюс неподвижным. С одной стороны, это число равно 2 (N — 1),
поскольку с каждым из N — 1 нетождественных преобразований
группы Г связано ровно два полюса. С другой стороны, для каж-
дого полюса р имеется vP — 1 нетождественных преобразований,
оставляющих этот полюс инвариантным (здесь vP — кратность
полюса). Следовательно, число таких пар равно S(vp—1), где р
пробегает множество всех полюсов. Из этого следует, что
2 (N - 1) = 2 (vc - 1) п.
(1)
где суммирование в правой части берется по всем орбитам груп-
пы Г, содержащим полюсы. Поскольку N = ncvc, то, поделив ра-
венство (1) на N, получим соотношение
2-4=
(2)
Исследуем равенство (2). Если группа Г состоит только из
тождественного преобразования, то N = 1 и полюсов нет. Пусть
теперь 2. Тогда левая часть равенства (2), очевидно, не мень-
ше 1, но меньше 2. Отсюда легко следует, что в правой части ра-
венства не может быть меньше двух слагаемых. Следовательно,
имеется по крайней мере две орбиты. При этом число орбит не
может быть больше трех, так как иначе сумма в правой части
была бы не меньше 2. Таким образом, имеется две или три ор-
биты. Пусть орбит две. В этом случае равенство (2) принимает
вид 2 -----1----. Но сумма двух целых положительных чисел рав-
vi V2
на двум лишь в том случае, когда каждое из них равно единице.
Следовательно, = 1 = п2, т. е. v4 = v2 = N. Это значит, что каж-
дая из двух орбит состоит ровно из одного полюса кратности N.
Мы получаем циклическую группу порядка N поворотов вокруг
(вертикальной) оси.
Пусть теперь число орбит равно трем. Тогда
± + ± = 1 + А.
V2 V3 N
1
V,
(3)
в порядке их возрастания: vi^v2^v3.
не могут быть больше двух, иначе мы бы
111
-г?- + + -г- = 1,что противоречит ра-
ООО
2
N ’
Расположим кратности
Все три числа v4, v2, v3
111
получили:— + — + —
1 2 3
111
венству (3). Следовательно, Vi = 2. Отсюда -—I---== -у
va V3 z
ч. п
§ 20. КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
181
Оба числа v2, v3 не могут быть ^4, так как в этом случае в левой
части мы получили бы сумму, не превосходящую 1/2. Поэтому
л?2 = 2 или 3. Рассмотрим сначала случай, когда Vi = v2 = 2, N = 2v3.
Положим v3 = n. Мы получили два класса полюсов кратности 2,
состоящих каждый из п полюсов, и один класс, состоящий из
двух полюсов кратности п. Очевидно, что полученная группа сов-
падает с группой Dn> (см. выше).
112
Теперь рассмотрим случай v4 = 2, v2 = 3, — = "g- + "X* По-
скольку v3>v2>3, то возможны следующие три варианта: v3 = 3,
TV = 12, v3 = 4, N = 24, v3 = 5, N = 60, которые мы обозначим со-
ответственно через Г, W, Р. Как мы сейчас увидим, обозначения
эти не случайны и порождены обозначениями для соответствую-
щих групп правильных многогранников. В самом деле, рассмот-
рим случай Г. Здесь мы имеем два класса, состоящих каждый из
четырех полюсов 3-го порядка (т. е. кратности 3). Ясно, что по-
люсы одного класса должны являться вершинами правильного
тетраэдра, а полюсы другого класса диаметрально противополож-
ны им. Таким образом, получается группа собственных вращений
тетраэдра. Шесть эквивалентных полюсов кратности 2 являются
проекциями середин шести его ребер из центра О на сферу,
в которую вписан тетраэдр. Теперь рассмотрим случай W. Здесь
один класс состоит из шести полюсов 4-го порядка, являющихся
вершинами правильного октаэдра; следовательно, мы получили
группу собственных вращений октаэдра. Один класс состоит из
восьми полюсов 3-го порядка (соответствующих центрам его гра-
ней); еще один класс состоит из двенадцати полюсов кратности 2
(соответствующих серединам его ребер). И, наконец, рассмотрим
последний случай — случай Р, Здесь имеются такие классы: из
12 полюсов кратности 5, являющихся вершинами правильного
икосаэдра; из 20 полюсов кратности 3, соответствующих центрам
20 граней; из 30 полюсов кратности 2, соответствующих середи-
нам 30 ребер этого многогранника.
Итак, описание групп и доказательство теоремы закончено.
Вернемся теперь к описанию стационарных групп трехмерных
решеток. Предварительно введем в рассмотрение некоторые новые
группы. Пусть В — отражение трехмерного пространства относи-
тельно точки О, т. е. преобразование В переводит любую точку X
в точку —X. Ясно, что ортогональное преобразование В меняет
ориентацию в R3. Кроме того, В коммутирует с любым враще-
нием, т. е. В есть образующая центра в группе 0(3); в матрич-
ной записи В = —1, где 1 — единичная матрица. Следовательно,
каждая подгруппа Н в группе 50(3) порождает подгруппу Й
в группе 0(3), которая получается из Н присоединением всех
элементов вида Bg, где g^ Н. Ясно, что Н содержится в й как
подгруппа индекса 2.
182
ГЛ. 3. ТЕНЗОРЫ. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
[Ч. I
Опишем еще один способ включения зеркальных отражений
в конечные группы. Пусть Г — подгруппа индекса 2 .в другой
группе Ф собственных вращений, причем одна половина элемен-
тов группы Ф (обозначим их через S) принадлежит Г, а другая
половина элементов Ф (обозначим их через S') не принадлежит
Г. Заменим теперь все элементы S' элементами BS'. Тогда мы.
получим новую группу, которую обозначим через ФГ, содержа-
щую Г, в то время как другую половину элементов этой группы
(т. е. элементы, не принадлежащие Г) составляют зеркальные
отражения. Например, имеется группа ТУТ1, так как группа Т тет-
раэдра есть подгруппа индекса 2 группы октаэдра ТУ.
Теорема 4. Все стационарные группы трансляционно инва-
риантных трехмерных решеток задаются следующим списком (со-
держащим 32 группы, причем все они попарно неизоморфны):
Ci, Сг, С3, С4, С0, Cz, С*3, С*4, Z)4, Z)6; Т)6;
^2^*1’ ^*4^*2’ ^в^з! ^4-^2» ^6^з5 ^2^*2’ ^3^*3i ^4^*4» ^6^*6’
Т, ТУ, Т, ТУ, ТУТ1. Каждой из этих групп отвечает трансляционно
инвариантная трехмерная решетка.
Доказательство получается комбинированием доказанной ра-
нее теоремы, описывающей все собственные конечные группы
вращений, далее, описанной процедуры включения зеркальных
операций и, наконец, замечания, согласно которому допустимыми
являются только полюсы кратности 2, 3, 4, 6. Мы не будем про-
водить во всех подробностях все эти сопоставления.
Рассмотрим теперь кристаллографические группы в связи с
конкретными тензорными полями. Ограничимся одним простым
примером: выделим такое макроскопическое свойство кристалла,
как электропроводность, описывающее связь между вектором на-
пряженности е электрического поля и вектором плотности тока /.
Рис. 29
Эта связь имеет следующий вид: jk =
где / = {/\}; е = {еs}, а{а&} — тензор электро-
проводности вещества. Если вещество изо-
тропно, то тогда где а — скаляр,
т. е. в простейшем случае электропровод-
ность задается только одним скаляром о.
В общем случае (пЦ является тензором об-
щего вида. Рассмотрим тензор электропро-
водности кристалла, описываемого кубиче-
ской решеткой в R3, т. е. кубического кри-
сталла (рис. 29). Кристалл считается идеаль-
ным и решетка R заполняет все пространство. Ясно, что груп-
па симметрий этого кристалла содержит, в частности, следующие
три ортогональных преобразования:
О 1 о \ / 0 0 1\ /1 О 0\
-10 0; а, = 0 10; а3= о 0 11
0 0 1/ 1 о о/ \о — 1 о;
^4. I]
§ 20. КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
183
т. е. at — поворот на угол л/2 вокруг оеи z, а2 — поворот на угол
л/2 вокруг оси г/, а3 — поворот на угол л/2 вокруг оси х.
Поскольку решетка R переходит в себя, то, следовательно, эти
три операции симметрии сохраняют тензор Запишем это
обстоятельство в аналитической форме. Обозначим через А мат-
рицу {oil; тогда Ai = с^Аа^1 = А для любого i = 1, 2, 3. Вычис-
ляя матрицу Alt получаем
/ СТ2 -°! °3 \ /СТ1 СТ2 СТз\
X = I - «4 СТ11 ~ стз = °2i *2 СТ3 = А.
\ -°31 °3з / °2 °з/
Отсюда следует, что = 02’ подобным же образом, вычисляя мат-
рицы А2 и Л3,получаем, чтосг^ = Оз = Группа S3(R) содержит
«еще три преобразования:
/—1 0 0\ /1 0 0 \ /—1 0 о\
р1= О -1 0 ; р2= 0 -1 0 ; рз= 0 1 0 I
\ 0 О 1/ \0 0—1/ \ о 0 — 1/
т. е. pt — поворот на угол л вокруг оси OZ, р2 — поворот на угол
л вокруг оси ОХ, р3 — поворот на угол л вокруг оси OY. Решет-
ка снова переходит в себя, что дает нам соотношение Ai »
— Р^ЛрГ1 = А, 1 С i С 3. Вычисляя матрицу получаем
1
СТ2
°2
-°32
-°з\ <4
-- (У% I __ I (У%
3 I — 1 1 2
— <т|/ \<т® а®
стз\
о2 I = А,
откуда следует, что Оз = о| = о| = 0. Вычисляя матрицы А2 и
Я3, аналогично получаем, что о} = 0 при i =# /, т. е., окончательно,
/1 0 0\
А = {о*} = ст ° 1 0 , т. е. Qfc = сгбь, где о — скаляр. Тем самым
\0 0 1/
мы доказали следующее утверждение: электропроводность кубиче-
ского кристалла изотропна (т. е. не зависит от направления) подоб-
но электропроводности изотропного вещества. Этот результат не
является физически очевидным, поскольку в случае кубической
решетки можно было бы ожидать, что электропроводность в на-
правлении ребер кубического кристалла иная, чем электропровод-
ность в направлении диагонали. Тем самым мы продемонстриро-
вали важное (хотя и простое) применение свойств группы сим-
метрий 53(Я), резко снизив число независимых компонент у тен-
зора (*4).
184
ГЛ. 3. ТЕНЗОРЫ. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
(Я. Г
§ 21. Тензоры ранга 2 в псевдоевклидовом пространстве
и их собственные значения
1. Кососимметрические тензоры. Инварианты электромагнит-
ного поля. Разберем важный пример тензоров — кососимметриче-
ские тензоры 2-го ранга в пространстве Минковского В ча-
стности, электромагнитное поле Fih является таким тензором,
и мы принимаем соответствующую терминологию, называя тензор
полем и т. д.
Определение 1. Инвариантами поля Fik называются коэф-
фициенты характеристического многочлена
P(Z) = det(^-^), (1)
где gih — метрика Минковского.
Введем векторы электрического и магнитного полей Е и Н,
полагая
Ea=FQa, а = 1, 2, 3;
(2)
-Н' = Р23, -H2 = F3l, -H3 = Fl2.
Матрица Fik принимает тогда следующий вид:
/ 0 Е! Е1 \
0 — н3 Я2 |
Fih~ 1 -Е2 н3 0 — Я1 Г (3)
\~Ез — н1 я1 о /
Лемма 1. Характеристический многочлен тензора Fik име-
ет вид
р (X) = -V + (Е2 - Н2) V + <Е, Н>2. (4)
Доказательство получается прямым вычислением определите-
ля матрицы (Fifc — Xgib), где матрица Fik имеет вид (3). Другое
доказательство легко получить при помощи доказанной ниже тео-
ремы 1 о каноническом виде кососимметрических тензоров в псев-
доевклидовом пространстве.
Замечание. Хотя матрица Fik в данной точке кососиммет-
рична, ввиду неевклидовости метрики она, вообще говоря, не мо-
жет быть приведена к стандартной блочной форме при помощи
лоренцева преобразования.
Переводя формулы (2) на язык дифференциальных форм, мы
получаем
F = 2 F^dxi Д =
= Еаdx° Д dx& — Hxdx2 Д dxz — H2dx3 Д dx1 —Pdx1 Д dx2. (5)
Векторы E и H являются векторами лишь по отношению к
вращениям трехмерного пространства (х\ х\ х3). Так как Fik —
4. I]
g 21. ТЕНЗОРЫ РАНГА 2 В к}
185
тензор, при лоренцевых преобразованиях вида
где xQ = ct, х*' = ct', для векторов Е и Н имеем
Тензоры вида Fik в данной точке образуют шестимерное век-
торное пространство. Выясним, как действует в этом пространст-
ве оператор *.
Лемма 2. Справедлива формула
з
*F = — S Hadx° Д - Etdx2 frdx3 —
a=i
— E2dx3 Л dx1 — E3dx* fr dx2, (8)
где форма F имеет вид
F = EadxQ Л dx<* - НЧх2 Л dx* - H2da? Д dx1 - H3dx* Д dx2.
Доказательство. Оператор * действует так:
(*Р).ъ = 4 ^мтР1т\ Р1т = ё’^Рря- (9)
Здесь gn — метрика Минковского,
/I о \
I — 1 I
gij = I — 1 I»
\ 0 -1/
тензор Fih будет иметь вид
FOa = -Foa = -Ea; FaP = Fa3; a, jJ = l, 2, 3. (10)
Отсюда немедленно следует утверждение леммы.
Следствие. Квадрат оператора * равен —1.
186 ГЛ. 3. ТЕНЗОРЫ. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ [Ч. I
Введем в пространстве !Re кососимметрических тензоров 2-го
ранга структуру комплексного линейного пространства, полагая
(a+bi)F = aF+b* F. (И)
В силу следствия это определение корректно: i2F=**F = —
Получаем трехмерное комплексное пространство С3.
Замечание. Мы будем считать, что Е есть вещественная
часть тензора F, а Н — его мнимая часть. Это не противоречит
предыдущим определениям. Действительно, умножим E + iH на I:
i(E + iH) = ~H + iE.
В силу леммы 2 именно так действует оператор *. Таким обра-
зом, координаты zl, z2, z3 в С3 можно ввести, положив
za = Ea + iHa, а=1. 2, 3. (12)
Оператор * инвариантен относительно преобразований из
группы 50(1, 3). Поэтому последние являются комплексно линей-
ными преобразованиями нашего пространства С3. Более того, как
легко видеть, они сохраняют квадратичную форму
<F, F> = - * (F Л *F + IF Д F) = - A- (FikF" + i^Fi}Fhl).
(13>
Запишем эту форму в координатах z1, z2, z3, Имеем
a
<F, F> = - H2 + E2 + 2i <E, H> = (E + iH)2 = 2 (^)2. (14)
a—1
Таким образом, форма (13) есть скалярный квадрат комплексно-
го 3-вектора Е + гН.
Комплексно линейные преобразования пространства С3» со-
храняющие скалярный квадрат, называются, по аналогии с ве-
щественным случаем, комплексно ортогональными, а образуемая
ими группа обозначается через О (3, С); ее не следует смеши-
вать с 0(3).
Итак, введение комплексной структуры в пространство косо-
симметрических тензоров 2-го ранга определяет гомоморфизм
группы Лоренца 50(1, 3) в 0(3, Q-
Величины Re <F, F> — Е2 — (F, F)=(E, И)являются
инвариантами электромагнитного поля.
Разберем теперь вопрос о приведении лоренцевыми преобразо-
ваниями кососимметрического тензора ранга 2 к каноническому
виду.
Теорема 1. 1. Пусть <F, F> = Е2 -Н2 + 2КЕ, Н>=/=0.
а) Если <Е, Н> 0, то лоренцевым преобразованием можно
привести тензор F к такому виду, что векторы Е и Н параллель*
ны и оба отличны от нуля.
4. I]
§ 21. ТЕНЗОРЫ РАНГА 2 В Я *
187
б) Если <Е, Н> = О, Е2 — Н2 =/=0, то можно привести тензор F
к такому виду, что Е ¥= О, Н = 0 при Е2 — Н2 > 0 или Е = О,
Н ¥= 0 при Е2 - Н2 < 0.
Каноническая форма тензора F в обоих случаях такова:
(О Е' О 0 \
- Е' О О 0 |
о о О — Я' г
О ОН' 0 /
(15)
еде Е'2~НГ2 = Е2-Н\ Е'Н' = <Е, Н>.
2. Пусть <F, F> = 0, т. е. Е2 - Н2 = О, <Е, Н> = 0. Тогда после
любого лоренцева преобразования векторы Е и Н будут взаимно
перпендикулярны и будут иметь равные длины. Тензор Fik можно
привести в этом случае к виду
(О Е О 0\
— Е 0 — Е 01
О Е О О I
0 0 0 0/
(16)
Доказательство. Пусть <F, F> =Н= 0. Положим F=c-n,
где с = У</\ Я> и <и, тг> = 1. Поворотом из 50(3,0) вектор п
можно перевести в любой другой, в частности в вещественный
вектор п'. Представим с в виде Е' + 1Н'\ новый вектор электриче-
ского поля имеет вид
Е' = Е fn, (17)
а новый вектор магнитного поля — вид
Н'-Я'тг', (18)
причем с2 = Е'2 - Н'2 + 2КЕ', Н> = <F, F> = Е2 - Я2 + 2КЕ, Н>.
Векторы Е' и Н' параллельны? Выбирая в качестве п' единичный
вектор оси х\ мы получаем канонический вид (15). Утвержде-
ние 1, а) теоремы 1 доказано. Если же <Е, Н> =0, то <Е', Н'> —
== <Е, Н> = 0. Поэтому или Ег = 0 или Я' = 0. Утверждение 1, б)
тем самым доказано: если Е2 — Я2 > 0, то Нг = 0; если
Я2-Я2<0, то Я' = 0.
Докажем, наконец, 2. Вещественными вращениями можно до-
биться, чтобы вектор Е был направлен вдоль оси х\ Тогда век-,
тор Н лежит в плоскости (х2, х3). Вращением в этой плоскости
можно направить его вдоль оси х3.
Теорема доказана.
2. Симметрические тензоры и собственные значения. Тензор
энергии-импульса электромагнитного поля. Пусть TiK — симмет-
рический тензор типа (0, 2) в пространстве Минковского с метри-
кой gik.
188
ГЛ. 3. ТЕНЗОРЫ. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
[Ч. I
Определение 2. Собственными значениями тензора Tih на-
зываются решения уравнения
P(%) = det(rift-Xgift) = O- (19)
Напомним, что эти собственные значения X — собственные
значения оператора Соответствующие собственные
векторы определяются как решения системы
Р(М=о. (20)
Из-за псевдоевклидовости метрики матрицу Tih нельзя, вообще
говоря, привести к диагональному виду преобразованием Лорен-
ца. Мы разберем детально типы симметрических тензоров в дву-
мерном пространстве Минковского И?®. Имеет место
Теорема 2. 1. Если уравнение Р(Х) = 0 имеет два различ-
ных вещественных корня то матрица TiK приводится (ло-
ренцевым преобразованием) к виду
о ~ (21>
2. Если уравнение Р(Л) = 0 имеет два комплексно сопряжен-
ных корня Хо, 1 = а ± г(3, то матрица Tik приводится к виду
(а р \
~аГ
(22)
3. Если уравнение Р(Х) = 0 имеет
= Xi = К то матрица Tik в любых
два совпадающих корня
координатах имеет вид
/X + ц
(23)
где величина ц не является инвариантом тензора TiK щ вообще
говоря, не может быть сделана нулевой лоренцевым преобразо-
ванием.
Доказательство, Пусть собственные значения
(вещественные или комплексные) различны. Им отвечает пара
линейно независимых собственных векторов g0, gt, которые нахо-
дятся из системы (20). Покажем, что эти векторы ортогональны.
Имеем = A.o£ifcBoBi = поэтому <|0, li> = gifcloSi =
= 0. Пусть Хо вещественны. Тогда один из собственных
векторов времениподобен, а другой пространственноподобен. Вы-
бирая их в качестве новых координатных осей, получаем до-
казательство утверждения 1 теоремы 2.
Пусть Хо, 1 = a zh ifj. Соответствующие собственные векторы
также будут комплексно сопряжены: t = а ± ib. Нормируем
эти векторы условиями
{а + ib) a + ib) = <а — а — ib> = 2.
ч. I]
§21. ТЕНЗОРЫ РАНГА 2 В К*
180
Вместе с условием ортогональности <£0, =0 это дает
<л, Ь> = 0, <л, а> + <Ь, Ь> = 0, <л, а> - <Ь, Ь> = 2.
Отсюда |а|2 = 1, 1Ы2 = — 1. В базисе а, b тензор Tik примет вид
(22). Утверждение 2 доказано.
Пусть теперь Хо = Xi = к. Допустим, что собственному значе-
нию X отвечает ровно один собственный вектор (Если бы таких
векторов было два, то матрица Tijt приводилась бы к диагонально-
/X 0 \
му виду (о __ х)’ т. е. к виду (23) сц = О.) Покажем, что изо-
тропный вектор. Действительно, в противном случае ортогональ-
ное дополнение вектора | было бы собственным подпространст-
вом, не содержащим Таким образом, |£|2 = 0, и из этого сле-
дует, что
(r)2HV)2 = 0^° = V
(если £° — —V» то нужно еще сделать отражение). Система (20)
запишется поэтому в виде
Too “Ь То\ = X, Г|о4" Тц — X,
откуда 7’оо = Х+ц, Гц = — Х+р, Toi == — ц = Тю. Теорема до-
казана.
Пусть теперь Fik — кососимметрический тензор в пространстве
Минковского D?r По тензору Fik построим симметрический тензор
Tik, полагая
Tik = Тл SlmFilFkm + V FlmFlmgik}. (24)
Если Fik — тензор электромагнитного поля, то тензор Tik назы-
вается тензором энергии-импульса поля Fik. Используя трехмер-
ные векторы Е, Н, определяемые формулой (2), получим
= Л>а--£[Е,Н]в,
Тар = - ЕаЕ$ - НаНр + -Ь 6аР (£2 + IF)},
а, Р = 1, 2, 3.
Величина W = T0Q называется плотностью энергии электромагнит-
ного поля Fik\ вектор 5а = — Т^а. называется вектором Пойнтинга\
трехмерный тензор Т^ (1^а <3, 1 С р С 3) — максвелловский
тензор напряжений.
Исследуем вопрос о приведении к каноническому виду тензо-
ра энергии-импульса Tih, определенного формулой (24). В соот-
ветствии с теоремой 1 приведем к каноническому виду тензор F^
В случае (15), когда Е ==(/?, О, 0), Н = (Я, 0, 0), тензор Tih
190
ГЛ. 3. ТЕНЗОРЫ. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
[Ч. I
примет диагональный вид
(+W 0 \
-Ж \ .
+™ L Ж =-Ь (Я2 * * * * + Я*). (26)
0 I
+ wj .
Здесь все собственные значения равны ±VT. В случае (16), когда
Е = (Я, 0, 0), Н = (0, О, Я), Е = Н,
из формул (25) получим
(W О —W 0 \
О О О О I ТТ7 _ Е _Н (97\
— W О W Of W ~ 4л — 4л’ <27'
0 0 0 0 /
Этот случай отвечает последнему утверждению теоремы *2
(формула (23)), р = W — случай электромагнитных волн. Тензор
энергии-импульса здесь не приводится к диагональному виду; все
собственные значения равны нулю.
§ 22. Поведение тензоров при отображениях
1. Общая операция ограничения тензоров с нижними индек-
сами. Пусть дано отображение F области zn-мерного пространства
с координатами ..., хт' в область n-мерпого пространства с
координатами я1, ..хп:
х] = х] (я1', ..х™’), i = 1, ..п. (1)
Тогда каждому тензору Лг.лй типа (0, к) в пространстве
(х\ ..., хп) соответствует тензор (Т7*?1)/ ,/ в штрихованном
пространстве:
...^') =Р\..лА^
L
дх*’
(х1 (я1',
дх^_
., Я™')).
(2)
Проверку того, что F*T — тензор типа (0, &), мы оставляем чи-
тателю.
Итак, тензоры типа (0, к) отображаются в направлении, про-
тивоположном направлению отображения пространств. Операция
F* называется операцией ограничения тензора.
Пример. Пусть в n-мерном пространстве задана метрика gif
и zn-мерная поверхность
х* = xj (х1', ..,, xm')> i = 1, ..., п. (3)
ч. I]
§ 22. ПОВЕДЕНИЕ ТЕНЗОРОВ ПРИ ОТОБРАЖЕНИЯХ
191
Тогда, пользуясь операцией ограничения, мы получаем метрику
gvу на поверхности (3), где
gi'j' = г,7 ==!,
дх1 ax'
т.
Это — метрика поверхности, индуцированная метрикой g{j объем-
лющего пространства.
Рассмотрим теперь случай ограничения кососимметрического
тензора Лк типа (0, к) на ^-мерную поверхность х1 =
= хг (х1', . в n-мерном пространстве. В теории интегриро-
вания кососимметрических форм нам будет полезна явная фор-
мула для такого ограничения.
Теорема 1. Для формы 2 Л . Лъ^1 Л ... Л >
ограниченной на к-мерную поверхность хг = хг (х1 , ..., xh ), име-
ет место равенство
2 т- д... д d?* =
= 2 ikdx^' Л • • Л dxh'. (4)
Здесь — минор к-го порядка матрицы ,составленный
из столбцов с номерами . .., ih.
Доказательство. Согласно определению
(5)
С/ аЪ (/Л
Пользуясь косой симметричностью мы можем перепи-
сать правую часть в виде
т д3?1 _
\*'*Ч Qxlf Qxhf
что и доказывает теорему.
2. Отображение касательных пространств. Невозможно, вооб-
ще говоря, определить отображение тензоров с верхними индек-
сами, соответствующее отображению пространств. Но если дано
отображение Fz xi = х{ (х1', ..., xm')> i = 1, ..., п, то можно
определить отображение F* пространства векторов в точке
192 ГЛ. 3. ТЕНЗОРЫ. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ [Ч. I
(х1', . . . хт') в пространство векторов в точке х{(хР, ..., х™'),
i = 1, ..., п. Это отображение строится так:
ww..................................->• (6)
Аналогично строится отображение F* для тензоров типа (/с, 0).
Таким образом, касательные пространства отображаются в ту же
сторону, в которую действует отображение F. Отображение F*
касательных пространств часто называется дифференциалом ото-
бражения F.
Если F — гладкая функция в пространстве, то F* — линейное
отображение касательного пространства в каждой точке в веще-
ственную прямую R, т. е. линейная форма на векторах. Это и
есть дифференциал dF = ( в обычном смысле.
\ дяг/
На векторных полях (в целом) отображение F* определить
нельзя: если точки и Р2 при отображении F переходят в одну
точку Р, то из точки Р будут исходить два вектора: F*T (Z\) и
F*T(P,), Т = (Т^
Если гладкое отображение F взаимно однозначно, и отображе-
ние F~* гладко, то можно определить отображение F*, и оно бу-
дет изоморфизмом. Такие отображения F называются диффеомор-
физмами.
Задача. Доказать, что для дифференциальных форм <о(, со2 и
гладкого отображения F справедлива формула
F* (©! А со2) = F* (Ю1) Д F* (ю2).
§ 23. Векторные поля
1. Однопараметрические группы диффеоморфизмов. Пусть в
области пространства задано векторное поле, имеющее в коорди-
натах (х1, ..., хп) компоненты .«, хп). С каждым та-
ким векторным полем связана автономная система дифференци-
альных уравнений вида
xj (t) = ..., хп (£)), i = 1, ..., п,
Ее решения xi = xi(t) называются интегралъными кривыми век-
торного поля Обозначим через
Л(xj, . ..t 4) = х}, ...., Xq) (2)
интегральную кривую поля с начальными условиями
х* |/~о = х0. (3)
ч. I]
§ 23. ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ
193
Формула (2) задает отображение
Ft' (*о, • • •» хо) н-> ^о»: • • •» хо)»•••» %п 0 >. ^о)) (^)
нашей области в себя, зависящее от параметра t (сдвиг на вре-
мя t вдоль интегральных кривых). Из теории обыкновенных диф-
ференциальных уравнений известно, что отображение Ft опреде-
лено при малых t в окрестности данной точки (xj, ..., Xq) и ло-
кально является диффеоморфизмом. Далее, 770 есть тождественное
отображение, и диффеоморфизмы Ft образуют локальную группу;
Ft+9 = Ft*F„ (5)
Термин «локальная группа» означает, что эти равенства справед-
ливы, если обе части определены для соответствующих значений
параметров ±7, 5, j + s. Мы получаем локальную однопараметри-
ческую группу диффеоморфизмов, связанную с полем
При малых t явный вид отображений Ft таков:
x^t, Хд, .. Хо) =xi + .. Хо) + o(t). (6)
С той же точностью матрица Якоби отображения Ft имеет вид
^ = Sj + ^ + o(0- (7)
дхо дх0
Матрица Якоби обратного отображения имеет вид
Наоборот, если мы имеем однопараметрическую локальную
группу диффеоморфизмов Ft « (F}, .,.,то по ней одно-
значно восстанавливается векторное поле
^=^-Л|4=о,; i = (9)
Векторное поле V называется полем скоростей.
Пример. Рассмотрим в плоскости с координатами (х, у) од-
нопараметрическую группу вращений на угол t вокруг начала
координат. Тогда отображение Ft имеет вид
x = xQ cos t — уь sin t, у = %о sin t + y0 cos t, (10)
Имеем
dx I __ dy I
Л|(=о Уо,; dF|1=o=°Xo'
Итак, поле скоростей i»1, 2, в декартовых координатах
хс, у имеет вид
хЪ Ш)
13 Б. А. Дубровин и др.
194
ГЛ. 3. ТЕНЗОРЫ. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
(Ч. I
Интегральными кривыми этого поля являются окружности
х2 + г/2 = const (рис. 30).
2. Экспонента от векторного поля. Однопараметрическая
группа диффеоморфизмов /ч(х), соответствующая векторному
полю В(х), действуют на гладких функциях
/~/(х) по правилу
(Ftf) (х) = f(Ft(x)). (12)'
Рассмотрим, например, на прямой однопара-
метрическую группу сдвигов Ft (х) “ х + L
Векторное поле | здесь постоянно. Преобра-
зования (12) имеют вид
Л/(х) = /(т+0. (13)
Рис. 30 Для аналитических функций /(х) (т. е. раз-
лагающихся в сходящийся степенной ряд
в окрестности любой точки х) выражение (13) при малых t мо-
жет быть представлено при помощи ряда Тейлора
л
FtHx) ~ f(x + t) = f(x) + tf (x) + V'Cr) + ... -
v <n dn L / ,
2^г^/(^=ехр
(’e)w
(14)
Обобщая результат этого вычисления, дадим
Определение 1. Экспонентой векторного поля £ называ-
ется оператор
? tn
exp =i + tdi + ^ (dtf + ... = v № (15)
n-о
где dt — производная по направлению поля £ (формула (17.16) )\
Действие этого оператора на функции f(x) определяется ра-
венством
exp (tdt) f{x) = f (х) + td^f (х) + у (д6)7 <х) + ... (16)
Это выражение определено для тех функций f(x) и для тех
для которых ряд, стоящий в правой части, сходится.
Утверждение 1. Для аналитических векторных полей |(х)
(г. е, все функции ..., хп) аналитичны) и аналитических
функций f(x) экспонента векторного поля |(х) совпадает с опе-
ратором (12) при достаточно малых t:
exp(^t)/(x)«/(Fe(x)). (17)
Доказательство. Рассмотрим такую точку х =(х\ ..., xn)t
где поле £(я) ые обращается в пуль. Согласно теореме существо'
Ч. II
§ 23. ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ
195
вания и единственности решений системы (1) в некоторой окре-
стности этой точки можно сделать замену координат
я* = &. м Уп), i = 1, ..., и, (18)
так, что в новых координатах система (1) запишется в виде
у1 = 1, у2 = 0, уп = 0 (19)
(см. [30]). Для систем с аналитическими правыми частями заме-
ну (18) можно выбрать аналитической. Функция вида f(y) =
—/(я(у)), где f(x)—аналитическая функция, также аналитична.
В новых координатах равенство (17) примет такой вид:
exp(f Д)7(у) =7(^ + У2,
\ ду J
что немедленно вытекает из (14). Утверждение доказано.
Задача. Вычислите оператор ехр + Ь)
3. Производная Ли. Примеры. Пусть £=(£*)—векторное поле,
Ft — соответствующая однопараметрическая группа диффеомор-
физмов, — тензор типа (р, д). В силу взаимной одно-
значности отображения Ft определен закон преобразования тен-
зора от координат х*(1) к л?п. Для тензора перенесен-
ного из точки (х'(1), ..., xn(t)) в точку ..., ^о)г получаем
выражение
о
/рМ-Л т\-1Рд^ д.^ах^ дхор
= ^kl...kq-j ’ ” TTqT\'" ‘ ~ТР'
дхо dz 1 dz *
(20)
Определение 2. Производной Ли тензорного типа 7^'..'.^
вдоль векторного поля £ называется выражение
(21)
Таким образом, производная Ли измеряет скорость*) измене-
ния тензора при деформации пространства, задаваемой
отображением Ft. Так как FtT — тензор типа (р, q) при каждом
значении £, то и L^T — также тензор типа (р, д).
*) В механике сплошной среды выражение + где
Т = Т(т, х)—произвольное тензорное поле, называется полной производ-
ной Т вдоль поля скоростей £ = (£’). В гидродинамике важен случай Т =
- (Si).
13*
196
ГЛ. 3. ТЕНЗОРЫ. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
[Ч. J
Получим явную формулу для производной Ли. Для этого, ис-
пользуя формулы (8) и (9), перепишем формулу (20) с точ-
ностью до o(t). Имеем
___ rpli — lP
Дифференцируя равенство (22) по t при 1 = 0, получаем
дТЧ“'1Р h
ТТ Д’"? — । т i— P
•*Р
3q~lkd^
3xi
3xi-
(23)
Примеры. 1. Тензоры нулевого ранга, т. е. скаляры. Имеем
дхс
(24)
Получаем формулу для производной функции / по направлению |
(производной функции вдоль векторного поля). Если LJ = 0, то
функция / постоянна вдоль интегральных кривых поля g. Такая
функция / называется интегралом тюля £ или интегралом соот-
ветствующей системы уравнений ^ = ^(х‘, ..., хп). Например,
для поля, рассмотренного в п. 1, функция /(х, у)==х2 + у2 будет
интегралом.
Если j — интеграл поля g, то интегральные кривые поля це-
ликом лежат на поверхностях уровня /(х1, ..., хп) = const; само
поле очевидно, касается этих поверхностей. Это позволяет пони-
зить порядок исходной системы уравнений х* = ^(х1, -•.»£*) от и
до п —1, ограничив ее (т. е. ограничив векторное поле £*(х‘, • ••
..., хп)) на гиперповерхность /(х1, ..., хл)== const. Напомним,
что размерность этой гиперповерхности равна п — 1. Именно эта
простая геометрическая процедура ограничения поля g и соответ-
ствует известному в теории дифференциальных уравнений утвер-
ждению, что задание первого интеграла системы позволяет пони-
зить ее порядок на единицу.
ч. I]
§ 23, ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ
197
2. Тензоры типа (1, 0), т. е. векторы. Пусть T]=(T]i) — вектор-
ное поле. Тогда по формуле (23) получаем
(25)
Отсюда следует
= (26)
Выясним, как действует векторное поле на функции. Име-
ет место важная
Теорема 1. d^f == d^id^f)— (d^f) = Д, Зл] /. Таким об*
разом, коммутатор операторов д^ и снова будет дифференциаль*
ным оператором первого порядка — т, е, векторным полем L^x\ =*
Доказательство. Вычислим явно коммутатор [Д, дп]:
[ди (5П/) - (dtf) = h171) - “
\ дху \ дху
ъ 1 дх' дх3
Jл - - TV < л
дх? дх* ' дхгдх? дх? дх^
\ дх3
jdtf
— n J
дх3
Ei i &2f Ei J d*f П 5sf d2f
здесь g7TV —:-? — :--T = 0 В силу соотношения--:-
дхгдз? дх^дхЗ дхгдх? дх?дхг
Теорема доказана.
Определение 3. Векторное поле [£, ц] = называется
коммутатором полей £ и т].
Отметим полезный аналог формулы Лейбница:
Доказательство получается прямым вычислением, использую-
щим формулу (25).
Из этой формулы непосредственно вытекает следующая
Теорема 2. Пусть в задан набор гладких векторных по*
лей Для того чтобы существовала система координат
у', ..., уп такая, что векторы касаются координатных линий
(yi)> J — 1» * • необходимо следующее условием
Bd = 61% + 6k%„ (27)
где 6k — скалярные функции точки.
Доказательство. Если поля являются базисными орта-
ми в} системы координат, то [gh gJ = 0, так как де{ = и
д^ д^
-----: = —г—!. Если же где е< — базисные орты,
dyjdyh dyhdy>
198 ГЛ. 3. ТЕНЗОРЫ. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
(Ч. I
и fj(y) — гладкие функции точки, то
df df •
£ftl ” 1heh\ — /? Tj /ft ~~fl ty*
dy3 dy
„ zi'i dfh dfi
Полагая = /„ —h,
dy3 dy
получим требуемое соот-
ношение.
3. Тензоры Tj типа (0, 1), т. е. ковекторы. Согласно формуле
'(23) будем иметь
(28)
Для дифференциала функции = —^получим
дх3
+ (29)
Вывод. Взятие производной Ли перестановочно со взя-
тием дифференциала:
LitdD-dtLd).. (30):
4. Тензоры gtj типа (0, 2), т. е. билинейные формы. Имеем
dg>- -jtft ярЬ
ЦвИ = ТТ + Ski + gik — иИ-
дх дхг dx3
(31)
Тензор uif называется тензором (малой) деформации. Он опи-
сывает изменение метрики gu пространства при малой деформа-
ции Ftl определенной полем В частности, если метрика евкли-
дова, — 6ij, то тензор иц примет вид (см. § 17)
dtf ,
лj “Ь j*
дх3 де1
(32)
5. Вычислим производную Л и'элемента объема V\ g |
(или К| g I dx1 л . • • A <№), где g = det Согласно формуле (23}
+ 1/Г1ё'|(ел«г..ип7Т + •••(33)
\ dx 1 dx )
Выражение, стоящее в скобках в правой части формулы (33),
равно
сх1 п
(см, задачу 3 к § 18), Поэтому правая часть
4 I]
§ 24. АЛГЕБРЫ ЛИ
199
формулы (33) равна
KI71 '*,-> - И71 (v + g) -
Но в скобках стоит след тензора деформации Sp(uim)=g<muimT
определенного формулой (31). Поэтому окончательно получаем
выражение для производной Ли элемента объема
bjC/iTT81!-1")=@4)
где в правой части стоит след тензора uim — тензора деформации.
В евклидовом случае, когда ga = бу, след тензора деформации
равен
Задачи. 1. Доказать формулу Лейбница для производной Ли!
Ц (Т ® R) = (ЦТ) ®R + T® LtR,
где Т, R — любые тензоры.
2. Пусть (ou (о2 —две дифференциальные формы. Доказать, что
L* (®i А ®2) = L&>i А + ®i A
3. Пусть F — диффеоморфизм области U в область V, Xi, Хг —
векторные поля на Z7, Yj = F*(Xi)— соответствующие вектор-
ные поля на V. Доказать, что Х2] = [Уг, У2].
4. Пусть Ft, Ga — однопараметрические группы диффеоморфиз-
мов, X, Y — соответствующие векторные поля. Доказать, что диф-
феоморфизмы Ft и Ga коммутируют при любых t, s тогда и толь-
ко тогда, когда коммутатор полей X и Y равен нулю.
5. Пусть Хъ ..., Хп —линейно независимые векторные поля
в и-мерной области, причем [Х£, Xj] = O. Доказать, что существу-
ет (локально) система координат (х\ ..., хп) такая, что поле Х{
касается i-й координатной оси: dx.(xk) = б£.
§ 24. Алгебры Ли
1. Алгебры Ли и векторные поля. Определение 1. Линей-
ное пространство V, в котором задана кососимметрическая били-
нейная операция [, ], называется алгеброй Лщ если выполняется
тождество Якоби
15, [n. £]] + h, К, Н] + К, R, Т)]] = о. (I)
200
ГЛ. 3. ТЕНЗОРЫ. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
14. I
Замечание, Для любого | е V введем оператор ad £ — ли-
нейное отображение ad|: V -> V,— полагая ай|(ц) = [|, ц]. Тож-
дество Якоби означает, что отображение ad £, как говорят в алгеб-
ре, является «дифференцированием» алгебры Ли V (т, е. удовлет-
воряет формуле Лейбница):
adUn, U) = [adB(n), U + ЬЪ ad|(£)]. (2)
Примеры. 1. Трехмерное евклидово пространство является
алгеброй Ли относительно операции векторного умножения.
2. Пусть V — некоторая алгебра линейных операторов. Тогда
V можно превратить в алгебру Ли, полагая
[Л, В} = АВ~ВА. (3)
Докажем справедливость тождества Якоби для такой скобки.
Имеем
М, [5, С] ] = А [5, С] - [5, С] А = АВС - АСВ - ВС А + СВА,
[С, [А. 5] ] = С АВ - СВ А - АВС + ВАС. (4)
[Д, [С, Л]] = ВС А - ВАС - С АВ 4- АСВ.
При сложении этих выражений получится нуль.
Замечание. Операция [ , ] в алгебре Ли часто называется
коммутатором.
Следствие 1. Пространство М (n, R) всех матриц порядка
п является алгеброй Ли относительно коммутатора
[Л, В} = АВ-ВА. (5)
Следствие 2. Векторные поля в области пространства Rn
образуют алгебру Ли относительно коммутатора:
&Т)Г = ^-П^. (6)
Следствие 2 вытекает из теоремы 23.1. Алгебра Ли векторных
полей, разумеется, бесконечномерна.
Пусть в области пространства задана некоторая поверхность
и векторные поля |, ц касаются этой поверхности. Тогда имеет
место
Теорема 1. Если два поля |, ц касаются некоторой гладкой
поверхности, то их коммутатор также касается этой поверхности.
Доказательство достаточно провести для гиперповерхности
У(х\ ,.хп) = 0. Не ограничивая общности, можно считать, что
поверхность задается уравнением
хп-0. (7}
Касание полей ц к этой поверхности означает, что
3^/1/=о = дц/\ /==0 = 0.
ч. II
§ 24. АЛГЕБРЫ ЛИ
201
Для поверхности вида (7) условие касания имеет вид
&"|я„_о = О; т)"|хп=о = О. (8)
Тогда для коммутатора [g, т)] будем иметь
01п дг\п
Но если хп = 0, то —А = О при к ¥= п. Следовательно,
О jD Сг
[£, T)]n|xn=0 = 0. Теорема доказана.
Следствие. Векторные поля, касающиеся некоторой глад-
кой поверхности, составляют подалгебру алгебры Ли всех вектор-
ных полей.
2, Основные матричные алгебры Ли. С каждой рассмотренной
выше группой линейных преобразований связана матричная ал-
гебра Ли. Пространством этой алгебры является касательное про-
странство в единице группы; коммутатор — обычный коммутатор
матриц.
Приведем список важнейших матричных групп и их касатель-
ных пространств в единице. Касательные пространства в единице
будем обозначать так же, как и группы, но малыми буквами.
1) Специальная линейная группа SL(n, R) (или SL(nr С)) —
группа вещественных (комплексных) матриц re-го порядка с опре-
делителем 1. Касательное пространство si (п, R) (или sl(ntj С))
в единице есть пространство матриц с нулевым следом.
2) Группа вращений SO (п, R) (или SO (п, Q)) — группа ве-
щественных или комплексных ортогональных матриц с определи-
телем 1:
АТА = 1,; det А = 1,; Ле SO (п, R),; SO (ntj С). (9)
Тогда so(, R), so(nv Q) — алгебры кососимметрических матриц
(вещественных или комплексных)
Xr = — X, X е so(n, R), so(nx С). (10)
3) Псевдоортогональные группы SO(p, q). Пусть G = (gij)^
псевдоевклидова метрика в пространстве RptQj p + q — п. Группа
SO(p, q) есть группа вещественных матриц А (с определителем
1), сохраняющих форму G = (gij):
ATGA = G* det^l, Ле£О(ргд). (И)
В этом случае so(p, q) — алгебра таких матриц X = (я]), что
GX + XrG == 0, X е jo (рд), (12)
202
ГЛ. 3. ТЕНЗОРЫ. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
[Ч. I
или
gxX + Agfa = 0. (13)
Последнее равенство означает, что матрица
Uih = giX (14)
кососимметрична. Этим устанавливается изоморфизм между про-
странством so(p, q) и пространством всех кососимметрических
матриц (порядка п = р + q).
4) Унитарная группа U(n)—группа унитарных матриц п-го
порядка
АТА = 1, A<=U(n). (15)
Алгебра u(n) состоит из косоэрмитовых матриц
Хт = —X, Хе=и(п). (16)
5) Специальная унитарная группа SU(n)—группа унитарных
матриц с определителем 1. Алгебра su(n) состоит из косоэрмито-
вых матриц с нулевым следом
Хт - - X, SpX == 0, Xg SU (п). (17)
6) Псевдоунитарная группа U(p, q)—группа линейных преоб-
разований комплексного n-мерного пространства, где п = р + q,
сохраняющих псевдоэрмитово скалярное произведение
<£> n> = S &у' — JS г х'у' = (I8)
| = (а:1, ж"), т] =(у1, ..уп); n = p + q.
Если G=(gv)—матрица формы (18), то для матрицы А из
группы U(p, q) будем иметь
ATGA~=G; A^U(p.q). (19)
Тогда пространство u(p, q) образовано матрицами X = (#•) таки-
ми, что
GX + XTG = 0. (20)
Пространство u(p, q) связывается изоморфизмом с пространством
косоэрмитовых матриц: матрице е и (р, q) отвечает косоэрми-
това матрица (и^),
(21)
7) Группа SU(p, q) — это подгруппа группы £7 (p, g), состав-
ленная из матриц с определителем 1; матрицы из su(p, q) имеют
4. I]
g 24. АЛГЕБРЫ ЛИ
203
нулевой след:
x? = 0^g^ift = 0. (22)
Теорема 2. Пространства si (п, (R),; si (га, С)У so (га, (R)fl
so(nr C)j so(p, q), u(n)t su(n)t u(p, q), su(p, q) являются алгеб-
рами Ли относительно коммутирования матриц.
Доказательство. Нужно проверить, что каждое из пере*
численных пространств замкнуто относительно коммутатора. До-
кажем, что:
а) если Sp X = 0, Sp Y = 0, то Sp [X, У] = 0;
б) если X, У удовлетворяют условию (12), то и [X, У] удов-
летворяет этому условию;
в) если X, У удовлетворяют условию (20), то и [X, У] ему
удовлетворяет.
Имеем Sp[X, У] = 8р(ХУ)-8р(УХ) = 0 (для любых X, У)’.
Утверждение а) доказано.
Пусть матрицы X, У удовлетворяют условию (12), т. е.
XTG = — GX, УТС = — GY.
Тогда
[X, У]ТС = УТХТС — ХТУТС = GYX — GXY = — G[X, У].
Утверждение б) доказано.
Аналогично доказывается и утверждение в). Теорема доказана.
Определение 2. Пусть G — одна из групп преобразований
1—7. Касательное пространство в единице группы G, снабжен-
ное операцией коммутирования матриц, называется алгеброй Ли
группы G.
Пример 1. Алгебра Ли so(3, R) группы вращений трехмер-
ного пространства состоит из кососимметрических матриц третье-
го порядка. Введем базис Хь Х2, Х3 в пространстве таких матриц,
полагая
/0 0 0\ / 0 0 1\ /0 — 1 0\
Х1= р 0 -11 х2 = 0 0 о I Х3 = 1 0 0. (23)
\о 1 О/ \-1 О о/ \0 0 0/
Тогда будем иметь
[Хъ Х2] = Х3, [Х2, Х3] = ХП [Х5, Х1] = Ха. (24)
Вывод. Алгебра Ли группы SO (3, R) изоморфна алгебре Ли
векторов в трехмерном евклидовом пространстве относительно
векторного произведения.
Пример 2. Рассмотрим алгебру Ли so(/?, q). Пусть псевдо-
евклидова метрика имеет вид
= е< = ±1. (25)
204
ГЛ. 3. ТЕНЗОРЫ. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
[Ч. I
Алгебра so(p, q) реализуется кососимметрическими матрицами
(см. формулу (14)), причем коммутатор имеет вид
[и, f]y = S fife (Ци^кЗ — VikUhj)„
k
(26)’
“ = (««), v = (vtj), Ujt = —Ut}, Vji = —Vtj.
Пр им ер 3. Алгебра Ли su(2). Выберем базис 51? 52, 53 в про-
странстве косоэрмитовых 2 X 2-матриц со следом нуль, полагая
(t ( 0 Й /974
= \о — if — 1 О'* *3— G 0/’ (27)
Тогда будем иметь
[^1, $2] = 2$з? [52? 53] = 2s4, [$з, $i] = 2$г« (28)
В силу леммы 14.6 эта алгебра Ли изоморфна алгебре Ли чисто
мнимых кватернионов таких, что х = —х, где коммутатор имеет
вид [я, у] = ху — ух. При этом изоморфизме
i 51, J 52, к ++ $3. (29)’
Теорема 3. Существует изоморфизм алгебр Ли
su(2)^ 50(3, R). (30)
Доказательство. Поставим в соответствие матрице X
^5н(2) линейное преобразование ad X трехмерного пространства
su(2);
Z ad X (Z) = [X, Z], X, Z g= su (2). (31)
При этом
[ad X, adY] = ad[X, У] (32)
в силу тождества Якоби. Это означает, что отображение (31) яв-
ляется гомоморфизмом алгебры Ли 5н(2) в алгебру Ли линейных
операторов в пространстве 5н(2). Пространство 5н(2) евклидово;
длина вектора z = bSi + cs2 + dss -*-> Ы + cj + dk равна
|z|2a=&2 + c2 + ^ = detz> (33)
Преобразование вида
Z ~ AZA~\ A ^SU (2), (34)
ортогонально в смысле скалярного произведения (33)' (см, § 14):
det AZA"1« detZ.
Лемма 1. Преобразование adX, Х^5н(2), кососимметрично
в метрике (33).
Доказательство. Пусть семейство преобразований А«
^A(t) из группы SU(2\ таково, что
•^Г-|(=0=Хх Л(0) = 1. (35)
Ч. и
§ 24. АЛГЕБРЫ ЛИ
205
Тогда производная по t семейства преобразований
Z^ A(t)ZA(tyr
при t = 0 имеет вид
Z^XZ — ZX = adX(Z).
Следовательно, это преобразование кососимметрично (см. § 5,
п. 3). Лемма доказана.
Итак, мы имеем гомоморфизм
su (2) so (3, R), X ad X. (36)
Ядро его равно нулю (если adX(Z) = 0 для любого Z, то Х = 0),
а размерности пространств su(2) и so(3, R) совпадают (равны
трем). Теорема доказана.
Замечание. Матрицы преобразований adsb ads2, ads3 в ба-
зисе St, s2, s3 (27) имеют вид
ad Si = 2Xi, ad s2 = 2X2, ad s3 = 2X3, (37)
где базис Xb X2, X3 в пространстве so (3, R) задается формула-
ми (23).
Пример 4. Алгебра Ли sZ (2, R). Введем в этой алгебре ба-
зис из матриц Уо, Уь У2, полагая
v / о 1А V _________(1 V __/qq\
го=Д„! о/’ -1/’ Г2-\1 0/
Коммутаторы этих матриц имеют вид
[Уо, У1] = -2У2, [Уо, У2] = 2Уй [Уь У2] = 2Уо. (39)
Теорема 4. Существует изоморфизм алгебр Ли
sZ (2, R)^so(l, 2).
Доказательство. Как и в теореме 3, каждой матрице У
из si (2, R) поставим в соответствие линейное преобразование
ad У трехмерного пространства sZ(2,Rp Преобразования про-
странства si (2, R) в себя вида
Y-+AYA”1 ;(40)
сохраняют квадратичную форму
|y|2 = dety. (41)
Поэтому (ср. лемму 1) преобразования вида ad У кососимметрич-
ны в смысле метрики (41). Но эта метрика псевдоевклидова и
имеет тип (1, 2):
det У = det (у°У0 + yrYг + у2У2) =
-det( (42)
\»2 /
Теорема доказана.
206
ГЛ. 3. ТЕНЗОРЫ. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
[Ч. I
3. Линейные векторные поля. Пусть X = (Х^) — веществен-
ная (или комплексная) матрица n-го порядка. Построим вектор-
ное поле Тх в пространстве Кп(или С”)» полагая его значение
в точке х^ Кп(или равным
Тх(х) = ~Хх (43)
или в координатах
= (44>
Определение 3. Поля вида (43) называются линейными
векторными полями.
Найдем интегральные кривые линейного векторного поля (43).
Для их определения имеем систему линейных дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами (в векторной записи)
х = ~Хх. (45)
Теорема 5. Интегральная кривая x(t) поля (44), задавае-
мая начальным условием
х(О) = хо,
имеет вид
х (t) = exp (—tX)xQ. (46)
Доказательство. Проверим, что кривая (46) удовлетво-
ряет дифференциальному уравнению (45). Напомним (см. § 14t
п. 2), что экспонента от матрицы определяется как сумма ряда
ехр(-«Х)=1--^ + -^-... (47).
Дифференцируя этот ряд по t, получим
Аехр(-«Х) = -Х + -^-... = -Хехр(-«Х). (48)
Поэтому
= 4 (exp (— tX) х0) = — X exp (— tX) х0 = — Xxt
Сьъ игу
т. е. соотношение (45) выполнено. После этого наша теорема вы-
текает из теоремы единственности решения дифференциального
уравнения.
Из теоремы следует, что однопараметрическая группа диффео-
морфизмов, порожденная линейным полем Тл,— это умножения на
матрицу ехр(—tX).
Пример. Матрицы Х4, Х2, Х3, образующие базис (23) в ал-
гебре Ли so(3), порождают три линейных векторных поля в трех-
мерном евклидовом пространстве. Они обозначаются обычно через
Lx, Lv, Lz. Значения этих векторных полей в точке с координата-
4. I]
§ 24. АЛГЕБРЫ ЛИ
207
ми (х, г/, z) равны
== (0, +z, -у), Lv = (-z, 0, +х), Lz == (+у. -х. 0). (49)}
Этим полям соответствуют три однопараметрические группы: вра-
щения пространства R3 вокруг осей х, i/, z соответственно.
Пусть X и Y — две матрицы порядка п. Вычислим коммутатор
двух линейных векторных полей Тх и TY.
Теорема 6. Коммутатор векторных полей Тх и TY имеет вид
[Т„ Тг] = Т1Х, (501
где [X, У] = XY — YX — коммутатор матриц X, Y.
Доказательство. Используем формулу (8) для коммута-
тора векторных полей в координатах. Будем иметь
-X,,—;----------Y,X - -
= X^x'Yl - Ylx’Xl = (- [X, У] х)\
Но последнее выражение есть i-я компонента линейного век-
торного поля гр Теорема доказана.
Следствие. Линейные векторные поля образуют относитель-
но обычного коммутирования конечномерную алгебру Лщ изо-
морфную алгебре Ли всех матриц п-го порядка.
Пусть G — одна из рассмотренных в п. 2 групп преобразова-
ний n-мерного пространства (вещественного или комплексного),
fl — ее алгебра Ли. Линейные векторные поля вида ТХу где матри-
ца X лежит в д, образуют алгебру Ли, изоморфную алгебре Ли
группы. Соответствующие однопараметрические группы диффео-
морфизмов получаются умножениями на элементы однопарамет-
рических подгрупп группы G.
Замечание. Соответствующие линейным векторным полям
Тх, X е й, дифференциальные операторы определенные па
гладких функциях в Rn, называются генераторами действия груп-
пы G. Зная генераторы, можно восстановить действие группы G
на функциях, беря экспоненту от векторного поля £ — Тх
(см. § 23):
/(Ft(a:)) = /(exp(-fX)a;) = exp(-f5s)/(a:). (51)4
Пример. Генераторами группы вращений трехмерного про-
странства 50(3) являются дифференциальные операторы
т д д т д д т д д /г-пч
— z —- у Lfy — X ~—т — У ~a ' • (32)
ду дх и dz дх дх ду ' '
Согласно теореме 6 коммутаторы этих дифференциальных опе-
раторов вычисляются по формулам
[Lx, LJ = L„ [Lv, LJ = Lx, [Lt, Lxl = Lv. (53);
208
ГЛ. 3. ТЕНЗОРЫ. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
[Я. I
4. Левоинвариантные поля на группах преобразований. Пусть
X — фиксированная матрица n-го порядка (для определенности
вещественная). Ей соответствует линейное преобразование про-
п-)П2
странства матриц 1к вида
А ~ АХ. (54)
Соответствующее линейное векторное поле в пространстве R
матриц n-го порядка обозначим через Lx. Векторное поле Lx
в точке (п X n-матрице) А принимает значение, равное
Lx(A) = AX. (55)
Интегральные кривые поля Lx находятся по теореме 5. Для
их определения имеем систему дифференциальных уравнений
(одно матричное уравнение)
A = LxM) = HX. (56)
Решение этой системы с начальным условием АI /=0 = Ао имеет
вид
А=Аоехр(*Х). (57)
Таким образом, однопараметрическая группа диффеоморфиз-
мов, порожденная векторным полем Lx,— это умножения справа
на матрицу exp(LV) (правые сдвиги на exptX).
Для коммутатора векторных полей вида Lx в силу теоремы 6
имеем выражение
Ly\ = L[x> ур (58)
Поля вида Lx обладают важным свойством левоинвариантности,
(инвариантность относительно левых сдвигов):
BLx(A) = Lx(BA). (59)
Пусть G — одна из рассмотренных в п. 2 групп преобразова*
о fpn2
нии, заданная как гладкая поверхность в пространстве 1к всех
матриц n-го порядка. Пусть g — касательное пространство к груп-
пе G в единице. Напомним (§ 14, п. 2), что если X д, то матри-
ца ехр tX при любом t лежит в G (однопараметрическая подгруп-
па в G).
Лемма 2. Если Х^д, то векторное тюле Lx касается поверх^
ности G, т. е, задает векторное поле на группе G.
Доказательство. Вектор Lx (А) в точке A^G есть на-
чальный вектор скорости кривой А ехр tX е G. Лемма доказана.
Ограничение векторного поля Lj, где X — матрица из алгебры
Ли g группы G, на поверхность G будем также обозначать через
Lx. Заметим, что значение векторного поля Lx в единице группы
равно X; поле Lx на G обладает свойством инвариантности отно-
сительно левых сдвигов на элементы группы.
ч. I]
§ 24. АЛГЕБРЫ ЛИ
209
Определение 4. Векторные поля вида Lx на группе Gr
где X fl — элемент из алгебры Ли этой группы, называются
левоинвариантными полями на группе G.
Из теоремы 1 и формулы (58) немедленно вытекает
Теорема 7. Левоинвариантные векторные поля на группе G
образуют алгебру Ли, изоморфную алгебре Ли 0 группы G.
Нам будет также полезна следующая
Лемма 3. Значения левоинвариантных векторных полей &
каждой точке группы G составляют все касательное пространства
к группе G в этой точке.
Доказательство. Если ..., Хх— базис в алгебре Ли
0, то векторы Lx^ (Л), . .LxN(A) линейно независимы в каждой
точке А G и образуют базис в касательном пространстве. Лемма
доказана.
5. Метрика Киллинга. Введем сначала понятие метрики Кил-
лип га на алгебре Ли 0.
Определение 5. Евклидово или псевдоевклидово скаляр-
ное произведение <, >0 на алгебре Ли 0 называется метрикой
Киллинга, если все операторы вида adX кососимметричны в этой
метрике:
<adX(F), Z>0 = -<F, adX(Z)>0. . (60)’
Примеры метрик Киллинга на алгебрах Ли su(2) и $Z(2, R)
мы видели в п. 2 (формулы (33) и (41)); там эти метрики были
использованы для доказательства теорем 3 и 4. Отметим, что мет-
рика Киллинга (33) для алгебры Ли su(2) евклидова; метрика
Киллинга (41) для si (2, R) псевдоевклидова (типа (1, 2)).
Пусть 0 — алгебра Ли группы преобразований G; пусть на 0
задана метрика Киллинга < , >0. Используя построенные в преды-
дущем пункте левоинвариантпые поля, можно построить метрику
< , > на всей группе, полагая
<LX, Ly) = <X, F>0. (61)!
Таким образом, скалярное произведение двух левоинвариант-
ных полей полагается тождественно равным скалярному произве-
дению их значений в единице группы. Это соглашение полностью
определяет метрику на G в силу леммы 3.
Определение 6. Метрика, определенная равенством (61)г
называется метрикой Киллинга на группе G.
Пример. Пусть G = SO (n, R). Покажем, что метрика Кил-
линга на этой группе может быть индуцирована евклидовой мет-
2
рикой в пространстве всех матриц Rn . Эта евклидова метрика
имеет вид
<V> = M x = (^)t y = (yj). (62>
14 Б. А. Дубровин и др.
210
ГЛ. 3. ТЕНЗОРЫ. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
[Ч. I
Заметим, что это выражение можно переписать в виде
<X\Y> = Sp(XyT)t (63)
где Sp — след матрицы; Sp А = а*, если А = (а)). Поверхность
SO(n, R) целиком лежит в сфере радиуса Уп, так как для орто-
гональной матрицы А п-го порядка будем иметь
<4, 4> =- Sp(4ЛТ) = Sp (1) = п.
Пусть X, Уе so(n, R),4 е SO (n, R). Покажем, что в метрике,
индуцированной евклидовой метрикой (67) на поверхности
SO (n, R), имеет место равенство
<^(Л),£у(Л)> = 8р(ХУт) = <Лх(1),Лу(1)>. (64)
По определению индуцированной метрики
<Дг (Л), Ly (А)} = Sp (АХ (ЛУ)Т) =
= 5р(ЛХУтЛт) = 8р(ЛтЛХУт) = 8р(ХУт)
(мы использовали то, что при циклической перестановке сомно-
жителей след произведения не меняется, и условие ортогонально-
сти 4Т4 = 1).
Осталось показать, что операторы вида adX кососимметричны
в этой метрике при X so(nx R). Если У, Z so(n, R), т. е.
Ут' = — У, Zr = — Z, то
<y,z> = sP(yzT) = -Sp(yz).
Следовательно,
<айХ(У), Я> = 5рХУЯ-5рУХЯ,
< У, ad X(Z) > = Sp YXZ - Sp YZX.
Эти два выражения различаются только знаком. Итак, мы
получили метрику Киллинга на группе SO(n, R) (а значит, и на
2
любой ее подгруппе) как ограничение евклидовой метрики в Rn .
Если группа G реализована как подгруппа в унитарной груп-
пе С7(п), то можно использовать операцию овеществления, даю-
щую вложение С7(п) с=5О(2п, R). Но можно и прямо написать
вид метрики Киллинга для группы U (п):
<Х, у> = Re Sp XYт - - Re Sp XY.
6. Классификация трехмерных алгебр Ли, Пусть задана трех-
мерная алгебра Ли L\ пусть векторы е4, е2, е3 составляют ее
базис. Правило коммутации в алгебре L задается тензором «струк-
k
турных констант» где полагаем по определению
cijeki ъ ] “ 3, (65)
ч.1]
§ 24. АЛГЕБРЫ ЛИ
211
Очевидно,
4 = -съ (66)
Из тождества Якоби (см. выше) вытекает соотношение
= 0. (67)
Заменами базиса et, е2, еа тензор су приведем к простейшему
виду. Для этого выразим его через компоненты симметричного
тензора (Ь”) и компоненты вектора (а<)> полагая
су = еу;6;й + 6^i - 6fo. (68)
Условие антисимметричности уже выполнено, а из тождества
Якоби (72) вытекает, что
Ь% = 0, (69)
т. е. что вектор (af) либо равен нулю, либо является собственным
вектором тензора (6Ъ) с собственным значением нуль. Приведем
тензор biS к диагональному виду: где &(1), &(2), &(3) —
собственные значения. Поскольку (аг) — собственный вектор, мож-
но считать, что (аг) = (а, 0, 0). Из (69) вытекает, что 6(1)а = 0,
т. е. или а или &(1) равно нулю. Правила коммутации (65) в этом
случае примут вид
[еи e2] = ae2 + b(3)e3, [e2t e3] = b(1)ei; [е3, et] = b(2)e2 — ae3.
Остался еще произвол в изменении знака векторов elt е2, е3,
а также в умножении их на произвольные положительные числа.
Учитывая эту возможность, получаем следующую таблицу трех-
мерных алгебр Ли (классификация Бьянки):
Тип a ь(1) Ь(2) ь<з) Тип а Ь(1> ь<2) ь(з)
I 0 0 0 0 V 1 0 0 0
II 0 1 0 0 IV 1 0 0 1
VII0 VIq 0 б 1 1 1 —1 0 0 VII III (а = 1) а 0 1 1
IX VIII 0 0 1 1 1 1 1 -1 VI (ау=1) а 0 1 —1
Тип I — абелева алгебра Ли (алгебра Ли группы трансляций).
Тип IX — алгебра Ли группы 50(3).
7. Алгебра Ли конформной группы. Разберем векторные поля,
отвечающие конформным преобразованиям евклидова и псевдоев-
клидова пространства. Как было показано в § 15, конформных
преобразований в размерностях п 3 весьма мало. Они отвечают
движениям пространства (псевдовращениям и трансляци-
ям), дилатациям, инверсиям относительно некоторого центра*
14*
212
ГЛ. 3. ТЕНЗОРЫ. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
[Ч. I
Введем следующие поля, записанные как дифференциальные опе-
раторы первого порядка:
!) = gacXc - gbcXc
a,b = 1, ,,п (псевдовращения)',
2) Ра = (трансляции),; (70)
3) D — ха ——— (дилатация)я
дха
4) Ка = 2gacXczb-^ — gbcxbxc (инверсия).
Для евклидовой метрики мы имеем gac = 6ас и преобразование
схр(ШаЬ) задает вращение в плоскости (а, /;); для псевдоевклидо-
вой метрики gac = ^a6ac, Ха = ±1. В этом случае мы получим, что
преобразование exp(£Qob) задает либо вращение (если Ха = Хь),
либо элементарное преобразование Лоренца в плоскости (а, Ь)
(если Ха = —Хь). Преобразования ехр11 —- ]являются трансляции
\ дх j
ями вдоль оси ха, а ехр —дилатация D(x) = tx. Сложнее
найти однопараметрическую группу преобразований ехр(ЛйГа),
поскольку поле Ка нелинейно. Позднее мы покажем, что все эти
преобразования конформны на Rp.g.
Замечание. Более того, любое конформное преобразование,
близкое к тождественному на Rn или на сфере Sn, может быть
представлено в виде ехр(Ы), где
А = 2 Z Qab + 2 Р* Ра + yD-+ 2 б Ка\
аД~-1 a=i a=l
аналогично для всех 0?р>9.
Написанные выше векторные поля (70) образуют алгебру Ли,
Без труда проверяются коммутационные соотношения
[£^ab, gacQbd gbc^ad “Ь gad^cb gbd^ca,
[^ab, Pc] gacPb gbcPa, [^ab, gacJ^-b gbc^-ai
[Qab, D] - [Pa, Pb] = [Ka, Kd] = 0,
[Pa, £b] = 2 (gabD + 9^); [Pa, Д] = Pa, [Kdl D] =
(71):
Пусть теперь метрика gab евклидова, т. е. gab = 6аЬ. Рассмотрим
ллгебру Ли, отвечающую группе псевдовращений 50(п+1, 1),
заданную аналогичными векторными полями QU1 v, где ц, v =•
4. I]
g 24. АЛГЕБРЫ ЛИ
213
= 1, .,,, п+ 2. Установим соответствие
йа,ь — Н = а =!«•••« п\ V « b = lf .. .л
•Рд^a,n+l ^а,п+2« (12)
Ка Qatn+i + ^a,n+2fl
D Qn+i(n+2.
Непосредственно проверяется следующий важный факт.
Утверждение. Соответствие (72) является изоморфизмом
алгебр Ли.
Таким образом, в евклидовом случае алгебра Ли (71) изо-
морфна алгебре Ли группы 50(n+l, 1), отвечающей псевдовра-
щениям (т. е. преобразования вида ехр(М) для А из алгебры Ли
(71) являются псевдовращениями).
Замечания. 1. Хотя для п = 2 имеется много локальных
конформных преобразований, среди них имеется подгруппа дроб-
но-линейных преобразований сферы 5г -* S2
az -f- b
2 cz + d в
различные подгруппы которой уже использовались для изучения
движений евклидовой плоскости R2, плоскости Лобачевского L2,
сферы S2 (см. §§ 9, 10, 13). Эта группа изоморфна SL (2, С)/± 1
(см. § 13) и порождается как раз вращениями, трансляциями,
дилатациями и инверсиями на R2 после перехода к стереографи-
ческой проекции. Изоморфизм (72) дает изоморфизм алгебры Ли
всех бесследных комплексных 2 X 2-матриц с алгеброй Ли группы
Лоренца 50(3, 1), реализованной как группа псевдовращений
(вида ехр(М)). Этот изоморфизм называется «полуспинорным
представлением» группы Лоренца 50(3, 1) в виде комплексных
2 X 2-матриц. Имеется также комплексно сопряженное представ-
ление.
2. Алгебра Ли группы конформных преобразований псевдоев-
клидова пространства изоморфна so(p+l, дг+1) (про-
верьте!).
Докажем, наконец, следующее утверждение.
Теорема 8. Пусть %аъ = $аъ и A =KabQaf) + цаРа + уО + 8аКа.
Тогда преобразования вида St=exp(tA) являются конформными
преобразованиями евклидова пространства Rn.
Для доказательства нужно рассмотреть векторное поле А и
показать, что определяемая им группа (локальных) преобразова-
ний 5/ = ехр(М) является конформной (если мы хотим говорить
не о локальных, а о глобальных преобразованиях, то следует рас-
сматривать эти поля на сфере 5", перейдя к сфере от Rn преоб-
разованием, обратным к стереографической проекции, вводящей
на 5" конформно евклидовы координаты; однако это несуществен-
но). Если векторное поле (иа) задает движение евклидовой
214
ГЛ. 3. ТЕНЗОРЫ. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
[Ч. I
метрики, то должно быть выполнено условие
диа диь р
дхь дха
Это означает, что «тензор деформации», измеряющий искажение
расстояний, обращается в нуль (см. § 23). Для векторных полей
иа, задающих конформные преобразования евклидовой метрики,
тензор деформации должен быть пропорционален самой метрике:
ди . ди z \ с /,7О\
-тт + = 7 8аЬ' (73>
ох ох
где y(z) — гладкая функция. В этом случае, если A —ua~—-t по*
дха
лучим преобразование
St = ехр(Ы),
и преобразование метрики будет иметь вид
5? (gab) = (баЬ) = [1 + (X)] 6аЬ + О (t*).
Непосредственной проверкой убеждаемся в том, что все поля (72)
удовлетворяют условию (73). Нам осталось доказать, что из усло-
вия (73), наоборот, следует конформность преобразований St9
определяемых векторным полем
ха^иа(х\ ..., хп), (74)
или, что то же самое, преобразований ехр(М). Доказательство
этого факта таково (оно аналогично соответствующему доказа-
тельству для движений). Сдвиг на конечное время At можно
разбить в последовательность (суперпозицию) сдвигов на время
At
так как
S&t ~ ° ... °
Линейная часть преобразований Sx при малых x^At/N имеет вид
5х = 1 + т4 + О(т2), Л = -^4-.
Поскольку At/N мало, для вектора £ в точке х0 « (;rj, ..., Яд)
имеем
, I At \ диа . ч /-> / At \. ~а
+ (#) ~ (^) + о
............................................ <75>
— Lv-1 + &N-1 + О •
4. I]
§ 24. АЛГЕБРЫ ЛИ
215
Точки <7 = 0, ..7V—1, лежат на интегральной траектории
^“(0 уравнения (74) такой, что
ха (0) = xaOi
[ At \ а
я / = *С11!
Для скалярного квадрата векторов & получаем из (75)
/ At \ / \2
<51, £1> = (1 + Ц (х0) тг) <5о, 5о> + О hr) *
<U 52> = 1 + н (*1) <51,51> + О (-jy-) ,
(At \ л ( л +
1 + Р (Я/V-j) ТдГ j lv-I^ + О I-у
Так как шагов всего N, то
/ At2
<Ь, 10 = рU) <U 1>> + о
(76)
При фиксированном Д7 = const и 7У->оо Мы получаем конформ-
ность отображения 5ДЬ Отсюда следует наше утверждение.
Замечания. 1. Из доказательства теоремы вытекает, что
если тензор деформации поля равен нулю, то St = exp(tA) есть
Q
движение, где А — иа—Это
дх
равносильно тому, что все линей-
ные преобразования St AdSt
в любой точке:
являются кососимметрическими
S^dSt = B(x)= (4^1
\ дх' /
В-Т
( ди**
\ дх&
ди$ \
дх* /
2. Более того, возможна ситуация, когда преобразования
- В (х) == ( ]во всех точках х е Rn порождают подалгебру Ли L
\ дх$ )
в алгебре Ли всех п X n-матриц. Например, для четных п это мо-
жет быть алгебра всех комплексных, -у X у-матриц.
Задачи. 1. Докажите, цто в последнем случае преобразова-
ния St задают голоморфные преобразования Сп/2->Сп/2« Для
п/2 > 1 эти преобразования, вообще говоря, не конформны.
216
ГЛ. 3. ТЕНЗОРЫ. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
(Ч. I
2. Докажите, что если все В (х) имеют нулевой след, то все
преобразования St сохраняют объем.
3. Доказать изоморфность следующих алгебр Ли:
а) ш(1,
б) su(2)Xsu(2)«so(4),
в) si (2, С) ж so(l, 3),
г) so (1, 2) ~ алгебре векторов в относительно «вектор-
ного произведения» (см. задачу 1 к § 6).
4. Вычислить левоинвариантные векторные поля на группе
единичных кватернионов.
5. Доказать, что метрика Киллинга на группах SO (п) может
быть записана в виде dl2(g) = Sp(g~idg -g~ldg).
6. Пусть —метрика Киллинга на алгебре Ли д, записанная
в базисе Xi, ..., Хп. Пусть [Хь Xj] = c^Xfe, = gkiCij. Дока-
зать, что тензор chij антисимметричен по всем трем индексам.
7. Для группы SO (n, R) внутренние автоморфизмы G
AGA~L являются движениями метрики Киллинга.
8. Для группы SO (р, q) можно получить метрику Киллинга
как ограничение псевдоевклидовой метрики <Х, У> == Sp(GXGKT)
(G — матрица метрики типа (р, q)). Найти тип полученной псев-
доримановой метрики.
9. Все описанные выше примеры метрик Киллинга получают-
ся (с точностью до постоянного множителя) как Sp(adX-ady).
10. Группа SL (2, R) действует как группа движений метрики
Лобачевского (см. § 10). Каждой однопараметрической подгруппе
в группе 5L(2, R) (см. задачу 14.5) соответствует однопарамет-
рическая группа диффеоморфизмов плоскости Лобачевского. Най-
ти соответствующие векторные поля на плоскости Лобачевского
(в модели Клейна). Вычислить их коммутаторы.
11. Вычислить алгебру Ли аффинной группы в Rn; группы
движений n-мериого евклидова пространства, группы движений
пространства Минковского Ri(2 (см. задачу 4.3). Выписать со-
ответствующие генераторы в Rn, в
12. Показать, что линейные векторные поля Lx, LY, Lz в R3*
соответствующие действию группы SG(3,R), касаются любой
сферы с центром в начале координат. Вычислить вид соответству-
ющих дифференциальных операторов первого порядка на единич-
ной сфере в сферических координатах.
13. Определим правоинвариантные поля на группе G как огра-
ничение на группу векторных полей вида Rx(A)a — ХА. Дока-«
зать, что [Дх, Ду] = R[Xt Г], [Lj, Ду] 0.
14. Выяснить, к какому из описанных в п. 6 типов принадле-
жат алгебры Ли so(l, 2) и sZ(2A[R).
Глава 4
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ТЕНЗОРОВ
§ 25. Дифференциальное исчисление
кососимметрических тензоров
1. Градиент кососимметрического тензора. Большинство физи-
ческих законов записывается в виде дифференциальных соотно-
шений между физическими величинами. Многие из этих величин
представляют собой тензорные поля (в частности, векторные по-
ля) в пространстве или в области пространства. Поэтому нас ин-
тересует вопрос: какие вообще существуют дифференциальные
операции над тензорами, которые в определенном смысле не за-
висят от системы координат. (В каком смысле, позднее будет
уточнено.) Например, простейшая из операций такова: если функ-
ция /(я, а) или тензорное поле ^*77^ (я, cz) зависит от точки
пространства х=(х\ х\ х3) и некоторого параметра а, не связан-
ного с пространством, то можно взять частную производную по
параметру (х, а) или
да
в каждой заданной точке.
В классической механике таким параметром является время t = а.
Эта операция не связана с геометрией пространства (ж1, х\ х3)
и производится отдельно в каждой точке. Другой общеизвестной
дифференциальной операцией, не связанной с римановой метри-
кой, является взятие градиента функции (скалярного поля):
Of _ df
дх1 ’ дх2 ’
-Д-) = grad/-
дх )
Это — ковектор, инвариантным образом построенный из функции
/ в том смысле, что при заменах координат его числовая запись
меняется согласно тензорному закону:
dz3 дхг dz3
Часто встречается также следующее многомерное обобщение гра-
диента на кососимметрические тензоры.
Определение 1. Пусть кососимметрический по
всем индексам тензор в n-мерном пространстве с координатами
218
ГЛ. 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ТЕНЗОРОВ
(Ч. Г
х1, ..., xn, г7=1, ..п. Его градиентом dTназывает-
ся кососимметрический тензор типа (О, А+1) с компонентами
л+1 дТ .
- 2 <- i),+I <‘>
(здесь значок jq означает, что индекс jq пропущен).
Прежде чем проверить, что dT — тензор, рассмотрим примеры.
1) Если А + 1 = 1 и Г = /(х) — функция, то согласно определе-
нию (dT)i = таким образом, это — обычный градиент.
дхг
дТ. дТ~
2) Если Т = (7\)— ковектор, то (dT)ij = —-----?- — — (dT)^
дх1 дх1
Этот тензор (dT)ij часто называется ротором ковекторного поля;
для него употребляется обозначение rot Т, Ротор — это кососим-
метрический тензор типа (0, 2).
Замечание. Если п = 3, пространство и координаты х2,
х3 евклидовы, то обычно тензору (dT)^ сопоставляют вектор
= rot Т = * (dT) (см. § 19, и. 3), где Т)1 = TV — TT =
дх дх
дТл дТ~ дТп дТ.
п2 = тЧ- - TT = (^)з! = - (^)13. п3 = —I- = или
дх дх дх дх
3) Если п = 3 и задан кососимметрический тензор = —
то кососимметрический тензор 3-го ранга dT имеет вид
дГ12 дТА . дТ„
__ IZ ____ 1) । 2.5
I23 а 3 Л 2 о 1 *
дх дх дх
Замечание. Если координаты (х1, х2, х3) евклидовы и в со-
ответствии с указанным правилом сопоставления вектора косо-
симметрическому тензору т)1 = 772з1 т)? = —7\з, т]3 = Ti2 ^’ =
= ±e’kT^, то
(г1Т\ — 5Т1Т 4. ЙТ,а 4. ЙТ)3 — 5Т1’
)123 — ——£ -Г —2 -Г —з — —Т-.
дх дх дх дх1.
Операция, сопоставляющая в евклидовых координатах вектор-
ному полю (тГ)=т) число—т = div т), называется дивергенцией.
дхг
Перейдем к проверке корректности предыдущего определения.
Теорема 1. Градиент dT кососимметрического тензора ран-
га к типа (0, к) является кососимметрическим тензором ранга
к + 1 типа (0, к + 1),
4. I]
g 25. КОСОСИММЕТРИЧЕСКИЕ ТЕНЗОРЫ
219
Доказательство (для & = 0, 1). Пусть задана замена
х* = х*(хг i= 1, ..п. (2)
По определению
_ дТ
- 2 (-1>'+1 и
Q ОХ14
в любой системе координат.
Пусть Ti ik— компоненты тензора в координатах (х) и
Т ' г — компоненты в координатах (а/).
По определению
(4)
дх’1 дхХк
Далее, по определению градиента тензора
dT,f t
т\-ли+1 = 2(- !)*+1 (5)
«
дТ ~
m1....,+1-2<-‘>’+‘ <б)
р дх v
Для доказательства теоремы необходимо подставить формулы
(5) и (6) в (4) и убедиться после преобразований, что градиент
выражается через dT{i} по тензорному закону. Ввиду гро-
моздкости выкладок мы проведем полное доказательство для
к = 1, к 4-1 = 2 (для к = 0 справедливость утверждения теоремы
была доказана в § 16).
Пусть Tt — ковектор; тогда
Имеем
__ __ д?!' д / yi дхг \ д I у дх* \ ’
дх*' дхк'_______________________________________________дх*' у * дхк' j_дхк' ? дх1' j
__ дтг у д2хг дх* ? д2 х* ____
дх*' дхк' * дх*' дхк' дхк' дх*' дхк' дх1'
дх? дх1 J дхк' у дх1 дз^' j дх^
___ д?) \ дх* дх? ____ (ЛТХ
дх* дх* j дхк' дх1' дхк' дх1*
Итак, для этого случая теорема доказана.
220
ГЛ. 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ТЕНЗОРОВ
[Ч. Г
2. Внешний дифференциал формы. Дадим другое определение
операции градиента кососимметрического тензора, использующее
связь с дифференциальными формами. Тензору соответ-
ствует'форма
2 К... Kdx\ (7>
<!<••• «й 1
Определим форму da степени k + 1, полагая
дТг к
---/\dx^/\... Л dx'h.
дхг°
da=- 2
df
В частности, если <о = / (скаляр), то dco = df = —- dx1 — диффе-
дх1
ренциал функции.
Теорема 2. Имеет место тождество
(8>
d® = 2 m ^dx1^ ... A dxj^.
4<...<jft+1
Доказательство. Из определения dT имеем
. 2. (dT)jl...jk+1d^/\.../\dxj^ =
ОТ. o .
= У 2 (- 1)"+1 dji Д ... A dx’x+K
)’1<...<;A+1 q dx<1 . .
Заметим, что dx?1 Д ... Д dx^h+1 — (— 1)9+1 d^q Д dxji Д ... Д
Д d^q Д ... Д daA+1. Переобозначим теперь индексы сумми-
рования: в g-м слагаемом положим i0=/g, •••» =
Ясно, что ii < ... < причем индекс i0 пробегает (учитывая все
слагаемые) все значения от 1 до п. Отсюда и вытекает утверж-
дение теоремы.
Теорема 3. Дважды взятая операция градиента кососим-
метрического тензора дает тождественный нуль:
d(dT) = O или d(d(d) = O. (9)'
Доказательство. Имеем
® = 2 Ti i dx'i А ... A dx\
4<-«й 1
„ дТ. {
d® = 2 --------^dxp A dx{i A A dxth;
d2T. .
d (da) = 2 dxQ ^dxP h dx'i A • • • A dx\
ч.1]
§ 25. КОСОСИММЕТРИЧЕСКИЕ ТЕНЗОРЫ
221
<Э27\ i
Но выражение -----12.: h. симметрично по индексам q, р, а выра-
дх^дхр
жение dxq Д dxp кососимметрично: dxp Д dxq »= — dxq Д dxp, по-
этому их свертка дает тождественный нуль. Теорема доказана.
Замечание. Формулу для дифференциала формы можно
записать в таком виде:
d( 2 Ti ihdX4 Л ... Л =
Vi<-<4 1 )
= 2 Л Mt /\... л dx\ (Ю)
где Т{ -ih рассматривается как скалярная функция. Отсюда не-
трудно получить другое доказательство того, что dT — тензор:
так как дифференциал функции dT\ —тензор, то и его внеш-
нее произведение на dx1^ Д ... Д dx^ — тоже тензор.
Используя операцию коммутирования векторных полей, можно
указать еще одно выражение для дифференциала формы (форму-
ла Картана).
Теорема 4. Пусть со — дифференциальная форма ранга к и
Xi, ..., XA+i — гладкие векторные поля. Тогда значение формы
<?со на полях Xi, ..Xft+1 может быть найдено по формуле
(k + 1) dco (An ..., Аь+1) —
= 2 (- Di-1 (Xlt ..., , Xk+1) +
г
+ S (- l)i+i 0) ([Xi, Xj, Xn ..., , Xjr ..., Xft+1). (11)
Доказательство проведем для случая к = 1. Пусть Ttdx* = сог
тогда
/ Л Т1 Л7* \
2dco = I —г-----гг- ) dx1 Д dJ.
\ дхг дх7 /
Значение формы dco на векторных полях Х = (Х£)', Y равно
. . / дТ- дТ* \
(12)
Формула (11) при к = 1 примет вид
2Ао(Х, У) = дха (У) - 5у(о(Х) - и ([Xt У]) = дх(Т^)-
-dy(TiX')-Ti(xk-^--Yk^}=XiYj (13)
у v ' \ dxk dxh / \дхг дх> / v '
Правые части формул (12) и (13) совпадают. Теорема доказана.
222
ГЛ. 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ТЕНЗОРОВ
14. I
Как действует дифференциал на внешнее произведение двух
форм? Имеет место
Теорема 5. Пусть соь со3 — дифференциальные формы сте-
пеней р и q соответственно. Тогда
d (с»! Д ©2) = <2©х Д ©2 + (— 1)р ©х Д d©2. (14)
Доказательство достаточно провести для случая, когда формы
<01, со2 — одночлены:
W1 = /cfch Д ... Д dxlp, со2 = g dx^ Д . .. Д dx\
Тогда
Д W2 = fg dx'1 Д • • • Д dx'v dx’i dx\
Поэтому
^(®1 А®г) =
= ~^gdxk Д dx't Д • • • Д d^ + f-^dxk /\dx^ /\-- - Д d^i =
дх* дхЛ
= A Д ... Д Д Д ... Д +
+ (- 1)р (Jdx'i Д ... Д dxV) Д dxk Д ... Д dx^\ =
= </©х Д ©2 + (— 1)”©! Д d©2,
где мы использовали тождество
dxk Д dx^ Д ... Д dxxp Д dx^ Д ... Д dx^ =
_ (_ ifdx^ Д ... Д dxip Д dxk/\ dx^ Д .., Д dxK
Теорема доказана.
В присутствии метрики gu можно определить другую важную
дифференциальную операцию на формах, понижающую ранг фор-
мы на единицу и обозначаемую через б (дивергенция кососиммет-
рического тензора):
б = *"* d*. (15)
Явные формулы для оператора б будут получены в § 29. Опера-
ция б инвариантна относительно замен с положительным яко-
бианом.
Перейдем к примерам. Рассмотрим трехмерное евклидово про-
странство.
1. Для скалярного поля f(x) дифференциал df представляет
собой ковектор. Отождествляя верхние и нижние индексы, полу-
чим вектор grad / =
___ df_ df_\
дх1 ду' dz
ч. Il
§ 25. КОСОСИММЕТРИЧЕСКИЕ ТЕНЗОРЫ
223
2. Пусть co = Ttdxl + T2dx2 + T3dx\ Тогда
(дТ дТ \
+ ^1*’ л л*'
I дх2 дх3 /х I дх3 дх1
’—форма ранга 2. Используя оператор *, по форме day можно
построить ковектор (1-форму) * do) (см. § 19, п. 3):
*dco =
dx1 +
д7\
дх3
dx2 +
dx3. (16)
дх /
Если отождествить векторы и ковекторы, то эта операция пре-
вратится в переход от вектора Т к вектору *dT — rot Т — ротору
векторного поля.
3. Пусть опять со = T^dx^ + T2dx2 + T3dx\ Вычислим форму
6(0 « * -1d * со. Это — форма нулевого ранга (т. е. скаляр), так как
6 понижает ранг на 1. Имеем
со — 7\ dx1 + Т2 dx2 + Т3 dx3->
7\dx2 !\dx? + T2dx3 Л dx1 + T3dxr Д dx2
Д dx1 A dx2 A dx?^ —} +
I дх1 дх2 dx'4 dx1
дТъ dT3
3 2 + 3 3
dx dx
Вывод.
dT дТ. dT
6(n = divT = -; + ^ + -:. (17>
Эта формула для дивергенции справедлива лишь в евклидовых
координатах.
4. Рассмотрим четырехмерное пространство-время с коорди-
натами = ci, х\ х\ х3 (с — скорость света) и псевдоевклидовой
метрикой
dl2 = (dx°)2 - {dx1 )2 — {dx2)2 — {dx3)2
или
Напомним (см. § 21), что электромагнитное поле является косо-
симметрическим тензором Fa 2-го ранга, где i, / — О, 1, 2, 3. Из
теории электромагнитного поля известно, что тензор Рц должен
удовлетворять уравнениям Максвелла, Первая система, или, как
224
ГЛ. 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ТЕНЗОРОВ
[Ч. Т
говорят, первая пара уравнений Максвелла имеет вид
(dF)ijh = + (18)
или, короче, dF = 0, где F — 2 Рц&х{ Д dx^ По-другому эти
уравнения можно записать, используя введенные в § 21 обозна-
чения Е = (£*«), = Н = (Яа), -H' = F^, Hz = -F^ -Н3 =
= Уравнение (18) с (г, /, &) = (!, 2, 3) примет в этих обо-
значениях вид
dF„
—т Г "I т — О, или div Н = 0, (19)
дх3 дх дх1 '
а остальные уравнения вместе означают, что
rot Е + -^5 = о или rot Е -------— (20)
дх* с dt . 47
Таким образом, система (18) эквивалентна системе двух уравне-
нии: скалярного уравнения (19) и векторного уравнения (20),
пр этой причине и говорят: пара уравнений. Эти уравнения ни-
как не связаны с наличием псевдоевклидовой метрики.
Вторая пара уравнений Максвелла для своего написания уже
требует псевдоевклидовой метрики. Ее суммарный вид таков:
6F = *d*F = =^7(4). (21)
Здесь /(4) — четырехмерный (ко) вектор тока, /(4) = (рс, — рр1,
—рр2, — р^3) = (р, —j), где р — плотность электрического заряда
в трехмерном пространстве, р = (р1, р2, р3) — обычная скорость
зарядов в трехмерном пространстве. Формулы для оператора *
в псевдоевклидовых координатах, полученные в § 21, позволяют
переписать уравнение (21) в виде системы («пары»)
div Е = 4лр, (22)
+ тт 1 5 Е 4л .
rot Н---— = — J, (23)
с dt с ' 7
снова составленной из одного скалярного и одного векторного
уравнения.
Задачи. 1. Пусть Хи .Хп — линейно независимые в каж-
дой точке n-мерной области векторные поля, со1, ..., со11 — дуаль-
ный базис 1-форм: со1 (Х$ = 6]. Доказать, что
d(^ = - л сА
k
где величины определены равенством
[Xi,X5} = cfjXh.
4. I)
§ 29. ИНТЕГРИРОВАНИЕ КОСОСИММЕТРИЧЕСКИХ ТЕНЗОРОВ
225
2. Доказать, что для гладкого отображения F и любой форму-
лы со справедливо равенство F* (dco) ~ dF* (со) (см. § 22). Выве-
сти отсюда, что Lt(dw) = d(L^).
3. Для каждого векторного поля Х~(Х^) введем линейный
оператор ЦХ) па формах, полагая
здесь со . jk) — форма степени к.
а) Доказать, что i(X) — антидифференцирование:
» W («1 Л “2) = G W “1) Л М2 + (— !)Й “1 Л 1 (Х) М2»
где coj —форма степени к.
б) Доказать формулу
i(X)d + di(X)^Lx,
Lx — производная Ли вдоль поля X.
§ 26. Кососимметрические тензоры и теория интегрирования
1. Интегрирование дифференциальных форм. Если в области U
n-мерного пространства задана функция /(z1, ..., zn), то опреде-
лен интеграл функций / по области U:
J ... J / (z) dz1 ... dzn = У ... У / (z) dz1 Д ... Д dzn, (1)
При этом, если задана замена координат
(2)
то имеет место формула замены переменных
j -j - Р ^dzl Л > Л dz" = J - J Jf(z(y))dyl Л ... Л dyny (3)
где J ~ det \ ]—якобиан, а V — прежняя область U, но запи-
\д£г/
сапная в координатах г/1, ,,., г/п.
В этом параграфе мы будем рассматривать только замены
переменных с положительным якобианом.
Заметим, что подынтегральное выражение является кососим-
метрическим тензором ранга п. В системе координат z1, ..zn
компонента 7\.„п этого тензора по определению равна /(z)=fi,n.
Вспомним, что кососимметрические тензоры ранга п в п-мерном
пространстве при замене координат z = z(t/) преобразуются по
' / dz* \
формуле Гх.^.п —где J = det [—? . Таким образом,
\ду1 J
7\. .п =-J/(z), что согласуется с формулой (3) , Итак, подынте-
гральное выражение — это кососимметрический тензор.
15 Б. А. Дубровин и др.
226
ГЛ. 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ТЕНЗОРОВ
[Ч. I
Пример. Если задана риманова метрика (gij), то детерми-
вант g = det(gtj) при заменах z = z(y) ведет себя так:
g' = det (gy) = det (gh{ ~=» J2g. (4)
\ dy df J
Поэтому выражение Vg при заменах координат с положительным
якобианом ведет себя как кососимметрический тензор. Напомним,
что площадь области на поверхности определялась так
(§ 7, п. 4):
о (j7) = J J g du dv; и = z\ v = z2, n « 2; (5)
и
мы видим теперь, что интеграл в правой части формулы не зави-
сит от выбора координат.
Если в пространстве (х\ я2, х3) с евклидовыми координатами
задана поверхность х* = х*(г}, г=1, 2, 3, и если мы хотим про-
интегрировать по поверхности какую-нибудь скалярную функцию
f(x(z)), определение которой существенно связано с этой поверх-
ностью (например, ее гауссову кривизну), то этот интеграл опре-
деляется так: интеграл по области U на поверхности равен
f J /(*(*)) A dz*, (6)
и
где У J<p(z)dz1 /\dz2 — обычный кратный интеграл. Иногда вы-
ражение V gdz1 Д dz2 называют мерой (элементом объема) на
поверхности.
Итак, мы приходим к выводам:
1) В n-мерном пространстве для любой ограниченной области
U определен интегралУ ... У?1, где Т — кососимметрический тен-
зор типа (0, п), Г = (Л1..л71).
*2) В координатной записи этот тензор записывается так:
T~I\_ndzl Д ... Дс^
(или T^ndz* ... dz\ если не писать значка Д).
3) Г1П = /(z) есть скалярная функция точки, но при заменах
координат 2 = 2 (у) имеем
J J/(z)d2*A ... A<kn = J ...JWA... A^n.
4) Если мы хотим интегрировать по пространству функцию
<p(z), то необходимо иметь заданный и отмененный кососиммет-
рический тензор Т в пространстве (называемый элементом объ-
ема пли мерой).
4. I]
§ 26. ИНТЕГРИРОВАНИЕ КОСОСИММЕТРИЧЕСКИХ ТЕНЗОРОВ
227
Тогда интегралом от функции <p(z) по определению является
интеграл от тензора (p(z)T’:
У ... y<p(z)T= J ... J <р (z) T’j.ndz1 Л ... Adz". (7)
u и u J и "
5) В случае, если фиксирована метрика (g<J, такой отмечен-
ный кососимметрический тензор Т = TXtndzx Д ... /\dzn (отно-
сительно замен с положительным якобианом) задается в виде
Т = do = V\g\ dz1 /\ ... A dz".
При этом интеграл от функции <p(z) определяется как
У ... J ф (z) Т = У ... У <р (z) /i7i dz1 Д ... Д dz".
6) Значок Д означает, что dz* f\dz} == — dz^ Д dz*. При заме-
нах переменных z* = zf(y), ввиду равенств dz{ =»—dy1 и
ду3
dy* Л Л получаем
d^A.-.A^*- S (8)
где — минор матрицы Якоби В частности, при к = п
имеем
dz1 Д ... Д dzn = Jdy1 Д ... Д dyn, (9)
где J — якобиан.
7) В евклидовых координатах имеем Vlgl »1, и поэтому
do = dx1 Д ... Д dxntНеобходимо различать два выражения:
а) «интеграл от кососимметрического тензора ранга и по об-
ласти» — этот интеграл имеет смысл всегда («интеграл II рода»);
б) «интеграл I рода от функции по области»: для вычисления
этого интеграла надо знать, по какому элементу объема (мере)
ведется интегрирование; надо функцию умножить на этот элемент
объема (кососимметрический тензор) и лишь затем проинтегри-
ровать. Очевидно, этот интеграл сводится к первому.
Перейдем теперь к произвольным кососимметрическим тензо-
рам ранга к типа (0, к) в n-мерном пространстве. Рассмотрим
сначала тензор Tj типа (0, 1) (ковектор) в n-мерном простран-
стве. В § 18 каждому ковектору 7^ мы поставили в соответствие
дифференциальную форму <в = Tjdz* первой степени*
С чем связано название «дифференциальная форма»? Оказы-
вается, выражение Tfiz* можно проинтегрировать по любой кри-
вой zi^zi(t)1 a^t^b. Действительно, рассмотрим выражение
ь ь
У Tjzidt ~ У Tgdt, (10)
а а
где {> = z> = — вектор скорости.
15*
Й28
ГЛ. 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ТЕНЗОРОВ
(Ч. I
Это выражение называется интегралом дифференциальной
формы по кривой (в анализе— «интеграл 2-го рода»).
Другое дело, когда задана кривая z* = z’(0 и некоторая ска-
лярная функция f(z(0), существенно связанная именно с этой
кривой,— например, ее кривизна или кручение. Тогда вводится
мера на кривой — элемент длины dl=\z\dt, и интегралом от
функции /(z(0) вдоль кривой называется выражение / (z (0) dl
(в анализе это «интеграл 1-го рода»). В сущности элемент длины
на кривой dl = \±\dt — это одномерный вариант общего «элемента
объема» do = dz1 Д ,,. Д dz’\ вводившегося ранее, так как
для п=Д Igl = Igul и Vlgul^ = Д где, gu = Iz’l2, t = z1.
Что же касается интеграла 2-го рода — интеграла от ковектор-
кого поля (дифференциальной формы) по любой кривой,— то
этот интеграл обладает следующими свойствами: 1) он не зависит
от того, как на кривой введен параметр:
Ь bf
(«>
a ar
где £ = £(т) их меняется от а до Ь', когда t меняется от а до Ь;
2) результат интегрирования не зависит также и от координат
r , д2?
в пространстве: если z = z(i/) и Т$ = Та —в, причем za(0=i
e=za(i/(0), то имеет место равенство
о ь
а а
(12)
В самом деле, Тadza к Т$difl и оба интеграла берутся вдоль
одной и той же кривой za = z“(0 или г/е = уе(0, где z(0 =
*== z(i/(0)’; поэтому они совпадают.
Таким образом, мы уже определили интегрирование кососим-
метрического тензора ранга п по (n-мерной) области в п-мерном
пространстве и интегрирование ковекторного поля по любой
кривой,
Оказывается, кососимметрические тензоры ранга к (типа
(О, к)) интегрируются по /г-мерным поверхностям в п-мерном
пространстве. Пусть Л-мерная поверхность задана параметрически,
z*), / = 1,..., n, (13J
в пусть задана область U в /с-мерном пространстве с координа-
тами Z1, . . ., Z*.
Как вводится интеграл от кососимметрического тензора Т =»
•®(Лг..ц)в n-мерном пространстве с координатами т’, ,
4 I]
S 26. ИНТЕГРИРОВАНИЕ КОСОСИММЕТРИЧЕСКИХ ТЕНЗОРОВ
229
по области U в ft-мерном пространстве с координатами zl, ...» z\
если задано вложение (поверхность) х* = х*(%\ ..., z*)?
Мы будем в целях удобства использовать для кососимметри-
ческих тензоров язык дифференциальных форм.
В § 22 п. 1 было определено ограничение кососимметрического
тензора Т i на поверхность z = z(z). Это уже тензор ранга к
в ft-мерном пространстве (на поверхности).
Определение 1. Обычный кратный интеграл по области
от ограничения тензора == Т на поверхность называется
интегралом от кососимметрического тензора == 7\ задай-*
ного в n-мерном пространстве, по области U на этой поверхности
х* «a/fz1, zft), ..., п. Он имеет вид
J ... р-J... 2 ... A^ft. (И)
Напомним, что выражение 2 ••• Л &хгк пазы-
вается дифференциальной формой степени к\ мы уже знаем, что
это просто вид записи кососимметрических тензоров типа (0, ft).
Этот интеграл от формы (тензора) по области па поверхности
обладает двумя свойствами:
1) Этот интеграл не меняется при замене переменных на по-
верхности z9 = z9(z'), ..., к. В самом деле, ограниченно
( 2 л...
является тензором ранга к в ft-мерпом пространстве z1, ..z\ при
замене переменных z9 = z9(zZ|, ..., z'A) произойдет обычная за-
мена переменных в кратном интеграле по области U в ft-мерном
пространстве.
2) Этот интеграл не меняется при замене координат х*~
•=х*(х'\ .х'п) в самом n-мерном пространстве. Это немедленно
следует, как и для к«1, из того, что при замене z==z(z')’
имеет место тождество
2 ...
- 2 т] (15)
h<-<h
где dx* — —ndx^ и компоненты Т\ «. получаются из 7\. по
Ох } 1 * 1 *
обычному тензорному закону. В евклидовом пространстве на по-
верхности х* = х*(г1, ..., г*), <«!, п, определяется риманова
метрика: если z1, .х* — евклидовы координаты, то giJdztdzi «
230
ГЛ. 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ТЕНЗОРОВ
(Ч. I
п
«= 2 гДе (см. § 7) ; при этом gij = gn и
dz* dz* — dz* dz*.
Элемент объема на поверхности задается, как всегда, в виде
do =* dz1 Д • • * Л dzh; ё =* det (gij)- (16)
Пусть задана какая-либо функция f(z\ ..., zft) на поверхности.
Определение 2. Интегралом (I рода) от функции /(г1, ...
..., zft) по поверхности называется интеграл от функции по эле-
менту объема da на поверхности:
интеграл I рода =» -. - / (z1, ..., zk) g I dz1 Д ... Д dz\
v и v
(на поверхности)
Важно отметить, что интеграл II рода не связан с римановой
геометрией в пространстве и на поверхности, а интеграл I рода
связан с ней через элемент объема У"| g | dz1 Д ... Д dzk, который
является кососимметрическим тензором ранга к (относительно
вамен с положительным якобианом), определенным лишь на дан-
ной поверхности по ее римановой метрике, сама же эта риманова
метрика поверхности определяется по евклидовой метрике во
всем пространстве.
2. Примеры дифференциальных форм. Пример 0. Тривиаль-
ным примером «интеграла» от тензора 0-го ранга — скаляра
/(z)—по поверхности размерности 0 (точке Р) является по опре-
делению значение функции Цх) в этой точке Р: «интеграл» =>
=«/(?). Это тривиальное замечание сделано намеренно — оно бу-
дет полезно при обсуждении общей формулы Стокса.
Пример 1. Интеграл ковекторного поля или дифференци-
альной формы степени 1 (Ta) — Tadx* по кривой х^ = ^(/),
t 6, обсуждался в предыдущем пункте.
ь
С dxa
Интеграл (II рода) по кривой = 1 ^л-^-dt, (17)
a
Пример 2. Интеграл от тензорного поля (7\>) ==5 Т[\ dx*
s i<Z*
(дифференциальной формы степени 2) по поверхности х*=*
•=x7(zlf z2), f=*l, ..., п, имеет следующий вид:
интеграл по поверхности == И 2 Л dxi, (18)
и ’<>
(на поверхности)
дх*
где Тц — T(j(x(z)) и dx' dz>t dz1 f\dz’ = — dz’ Д dz’. В трех-
Я. Ц
9 26. ИНТЕГРИРОВАНИЕ КОСОСИММЕТРИЧЕСКИХ ТЕНЗОРОВ
231
мерном пространстве (и = 3) и евклидовых координатах х\ х\ х\
в которых (dZ)2 = У (dx’)2, эти интегралы обычно записывают так:
1) интеграл по кривой от ковекторного поля
(19)
где £==z, Т = (Та) = (Та) (вектор и ковектор в евклидовых коор-
динатах — совпадающие понятия, и это инвариантно относитель-
но вращений), P = (zl(a), zz(a), z3(a)), Q = z2(b), z3(b))f
a^t^b, g> — скалярное произведение;
2) интеграл по поверхности («поток») от кососимметрическо-
го тензорного поля типа (0, 2) (или формы степени 2)
f f 2 Т vdxi Л
U i<J
de* dr*
dz1 dz1
Д dz\
г, dr* d^ d^ dr*
Заметим, что —? —з---------т —з = •> и— минор матрицы Якоби
dz dz dz dz
, i« 1, 2, 3; q в 1, 2. Поэтому окончательно получаем
И 3 Ti}dx* Л dx* = J J Г 2 dz* /\ dz\
и i<j и Li<j J
(20)
В трехмерном евклидовом пространстве с евклидовыми координа-
тами х2, х3 для поверхности х^х’(г\ z2) определены базис-
ные касательные векторы в каждой точке поверхности:
От/
, -1 (dr* \
П = (п’)= —2
\ OZ /
dr*
dz1
их векторное произведение [£, ц] нормально к поверхности. Век-
торное произведение — это в сущности тензор Tli = (gSy — ,
которому сопоставляется «вектор»:
у1 __ у2Э уД ______ _уз e у12. у ( yt у2 y3j
При этом, очевидно, Т*’ —
Вектор [5, t|] нормален к поверхности. Его длина равна 1/g,
где 4r = det(#(/),
» j
gijdz*dzi = V {dx‘)2; dx* = d-^dzf
232
ГЛ. 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ТЕНЗОРОВ
(Ч. г
(см. § 7). Поэтому интеграл по области U на поверхности х* =•
= z2) в евклидовом пространстве и в евклидовых коорди-
натах (я1, х2, хя) приводится к виду
[ J S A dx’ - f [ ( 2 dz1 Д dz2 ==
*U г<-3 и '
- f J <Т, [£, Т)]> dz1 A dz2 = J j <Т, n> Vg dz1 A dz\
"и и
где n — единичный вектор нормали,
„ 15, _ 15,
IK- nil- vr
Замечание. В четырехмерном пространстве (ti = 4) инте-
гралы от форм степени 2 по поверхностям (к «2) не могут быть
сведены к операциям над одними векторами даже и в евклидовом
пространстве.
Что же касается трехмерного случая, то нами доказана
Теорема 1. В евклидовом трехмерном пространстве инте-
грал от форм степени 2 по поверхностям совпадает с интегралом
I рода следующего вида:
f f 2 Tijdz* A dxi = И <Г> n> dzl Л dz\ (21)
‘и «i и
где U — область на поверхности, заданной в евклидовых коорди-
натах (xi, хг, х3) в виде xi = xi{z\ z2), i=l, 2, 3, п — единичный
вектор нормали к поверхности, Т — вектор, сопоставленный в ев-
з
клидовых координатах (х',х2, х3) тензору (Тц), g^dz'dri « (dx{)2
ахг = —т dzh
dd
В трехмерном случае в евклидовых координатах (х1, х\ х3)
ввиду связи между кососимметрическими тензорами (формами)
типа (0, 2) и векторами, а также ввиду связи между векторами
и ковекторами говорят обычно об интегралах от векторного поля
П = Т®
а) по замкнутой кривой: T^dxf1*,
г
б) по замкнутой поверхности: J J <Г, п) Yg dz1 Д dz2, где
и
п — единичная нормаль к поверхности.
Напомним два определения из анализа:
1) Если кривая Г является замкнутой (т. е. Г имеет вид х*(1),
где х*(а}~ x'(b), i==l, 2, 3), то интеграл от ковектор-
4. I]
g 26. ИНТЕГРИРОВАНИЕ КОСОСИММЕТРИЧЕСКИХ ТЕНЗОРОВ
233
ного ПОЛЯ
T^dt
называют циркуляцией поля вдоль кривой Г.
2) Если поверхность U = {/(□?, я3) = const) является замк-
нутой в том смысле, что она является границей области
f(x't х\ я3)^0, которая ограничена в пространстве, то интеграл
f f У Т ц(1х* /\ dxj
и
называется полным потоком через поверхность тензорного поля
(Т<0—— (Тя) или, в евклидовом случае, потоком векторного поля
Т = (71*, Т\ Т3) через эту поверхность; 7м = 7\3» Г2 = —Лз, Т3 =»
= Г12, если х\ х2, х3 — евклидовы координаты.
Возможно, что поверхность в целом нельзя задать параметри-
чески в виде х* = х*(г\ zz), если она задана уравнением
х2, х3) — С, Однако это можно сделать около каждой неосо-
бой точки (см. § 7). Интеграл не зависит от выбора координат на
поверхности. Поэтому при вычислении интеграла по всей поверх-
ности нужно разбить ее на куски так, чтобы каждый кусок по
отдельности был представлен параметрически; затем надо взять
сумму интегралов по кускам. Например, сферу (х')2 + (х2)2 +
4-(х3)2 = 1 можно разбить на два таких куска — верхнюю и ниж-
нюю полусферы.
Пример 3. Пусть в и-мерпом евклидовом пространстве за-
дана гиперповерхность Afn“4:
F(x\ ..., zn) = 0, gradF^O, (22)
или локально xa = xa(yl, ..., уп~[). Здесь х1, ..., хп — евклидовы
координаты. Определена «форма кривизны»
Kda = К Vg dy' Д ... A dyn~\ (23)
где К — кривизна (для и = 2 это — кривизна кривой на плоско-
сти, для п = 3 это — гауссова кривизна, для случая п > 3 мы оп-
ределения не приводим, поскольку этот случай для пас не
важен).
Рассмотрим сферу Sn~l, задаваемую уравнением 2С^)2 = 1-
На сфере определен вращательно инвариантный элемент (n —1)-
мерного объема Qn-i, который для и=»2, 3 имеет вид
п 2, = dtp,
(24)'
п = 3, Qn-i = sin 0 dQ dtp.
Определим гауссово сферическое отображение поверхности
ЛГ1"1 в сферу следующим образом: рассмотрим в точке Р
234 ГЛ. 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ТЕНЗОРОВ (Ч. Г
поверхности АР1-1 единичную нормаль пР к поверхности и перене-
сем этот вектор Пр в начало координат. Конец вектора пР— это
точка сферы 5П-1. Соответствие Р пр определяет гауссово ото-
бражение
ф: д/п-1 (25)
(точка Р переходит в конец вектора исходящего из начала
координат).
Теорема 2. Верна следующая формулах
^do = ^*(Qn-i),
{Kdl «= ф* (dqp) при п = 2,
К Ygdy1 Л dy2, = ф* (Я), где Q = sin0d0£^p при n = 3i
где de = Vg dy1 /\ .. J Д dyn~v — элемент (n — 1)-мерного объема
в локальных координатах у\ ..у”-1 на поверхности,
(Операция ф* па тензорах типа (0, к) определена в § 22.)
Доказательство. Доказательство одинаково для всех п
2. Мы проведем его для п = 3. Выберем в R3 евклидовы коор-
динаты с началом Р так, чтобы ось 2 = хэ была ортогональна-к
поверхности в точке Р, а оси х = х* и у = х2 были касательны к
поверхности. Тогда у1 = х, у2 = у, и поверхность задается около точ-
ки Р уравнением z = f(x, у) с d/lP = 0. Далее, К = det L
\' 1/я ' W /
в точке P(fx — fy — O)» На сфере 5n_1 = S2 выберем такие
же координаты по отношению к точке ф(Р) = ^, так что ось z
ортогональна 52, а оси х и у касаются 52; форма Q «sin 0 d0 dtp
имеет в точке Q вид Q = dx Д dy, а сфера задается около точки Q
уравнением z = VI — х2 — у2; метрика сферы в точке Q имеет вид
g<j = f
Координаты нормального вектора в точке Р' около точки Р
имеют вид
/ /х h -1 \
’ Vi+^+fy ’ )
(причем О в точке Р). Поэтому около точки Р гауссово
отображение ф записывается в виде
х = Г fx ...- у = r .......(26)
Vi + ll + ft1 Kl + /® + /J
(точка Р' с координатами г, у переходит в точку Q' с координа-
тами х, у).
По определению формы ф*(£2) (см. § 22) имеем
’l’* (°) Ь “ (17-17 тг) L dx A dy = Jdx A dVl (27)
4. I] § 26. ИНТЕГРИРОВАНИЕ КОСОСИММЕТРИЧЕСКИХ ТЕНЗОРОВ 2X5
где J — якобиан отображения ф в точке Р. Так как /х = /у = О
в точке Р, то, очевидно, J = — fxvfvx = К (гауссова кривизна).
Так как модуль |g| в точке Р равен 1, то окончательно в вы-
бранной системе координат (в точке Р) верна формула
кШад-Ш-!)- « = 3- (28)
Теорема доказана для п = 3. Для всех остальных п доказатель-
ство полностью аналогично. ___
Замечание. При п = 2 имеем Q = dkp и форма ATIgId<p
для кривой х1 = х*(у)9 хг—х2('у) имеет вид №!\g\dy — Kdl, где
dl — элемент длины (натуральный параметр).
3. Общая формула Стокса. Примеры. Как было отмечено в
предыдущем пункте, определение интеграла от формы степени к
по А-мерной поверхности в n-мерном пространстве не обязательно
требует параметризации этой поверхности целиком в виде х* =
= ..., zft). Так как интеграл инвариантен относительно
замен координат в пространстве и на поверхности и так как
интеграл по сумме областей равен сумме интегралов, то можно
разбить поверхность на несколько кусков, а затем на каждом
куске можно отдельно ввести координаты. После этого, проинте-
грировав по каждому куску, надо сложить результаты и полу-
чить интеграл по поверхности.
Другое замечание состоит в том, что часто на поверхностях
можно ввести такие глобальные координаты z1, ..., z*, которые
имеют особые точки (см. гл. 1 и 2) на множестве меньшей раз-
мерности, интеграл от формы степени к по которому не даст
никакого вклада. Такими координатами часто пользуются в тео-
рии интегрирования. Например, такими являются полярные ко-
ординаты (г, ф) на плоскости (особая точка г = 0) цилиндри-
ческие и сферические координаты в пространстве: (г, ф, z)— ци-
линдрические (особые точки составляют прямую г = 0), (г, 0, ф) —
сферические (особые точки заполняют ту же прямую и отвечают
значениям координат г = 0, 0 = 0, 0 = л). На сфере имеются ко-
ординаты (0, ф) с особыми точками 0 = 0, 0 = л. Сфера — это
простейшая поверхность, на которой в принципе нельзя ввести
координат (единой системы) без особых точек. Во всех этих при-
мерах множество особых точек координатных систем было малым
и оно не давало вклада в интегралы. Поэтому мы его «не замеча-
ли». Из анализа известно о существовании связи между интегра-
лами по поверхности и по ее границе (формулы Грина для п = 2,
Гаусса — Остроградского для п « 3, к = 3 и Стокса для п = 3,
Zc«2). Мы рассмотрим сейчас эти формулы с точки зрения тео-
рии кососимметрических тензоров (дифференциальных форм)..
Ввиду аддитивности интеграла достаточно знать основные
определения для кусков поверхности. Пусть задана область U
в Zc-мерном пространстве z1, . . ., zft с помощью неравенства
236
ГЛ. 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ТЕНЗОРОВ
14. I
/(z1, ..., z*)=^C, и пусть Г — это ее граница, определенная урав-
нением /(z1, ,zk) = C, Пусть также задано вложение этой обла-
сти с границей в n-мерное пространство с координатами х\ ...
..., хп:
x* = xf(z4, ..., z*), i = 1, 2, ..п.
Мы получим параметрически заданную поверхность, область U
па пей и ее границу Г — поверхность размерности к — 1.
Какова связь между интегралами по области U и по ее гра-
нице Г от всевозможных форм соответствующей степени в п-мер-
ном пространстве (х1, ..хп)?
Наиболее простой случай — это случай А* = 1; в этом случае
х' = х1 (0, z1 «= t — кривая, область U — это отрезок а t &, гра-
ница Г — это пара точек t = а и t = &, причем (чисто формально)
точка а берется со знаком —, а точка Ъ со знаком +.
Специально упоминался тривиальный случай «интеграла» от
скаляра («формы степени 0») по 0-мерной «поверхности», состоя-
щей по определению из нескольких точек со знаками.
«Поверхность размерности 0» — это формальная сумма точек
2 ± Рь где Pi — точки пространства. «Интеграл» от функции /(х)
но «поверхности размерности 0» — это по определению сумма
значений функции в этих точках с соответствующими знаками:
интеграл = 2±Ж).
i
Если в пространстве задана кривая
с границей Г = () — />, то
мулу (Ньютона — Лейбница)
f f = f(Q) — f(P) = p/ = J
Г и a
х*(£) и отрезок U на ней
мы знаем из анализа фор-
ъ
Qxi dt
(29)
Р = х*(а), Q = x\b).
Это — простейшая «формула Стокса», связывающая интеграл по
границе с интегралом по области.
В известном смысле многомерные формулы типа Стокса яв-
ляются ее прямыми обобщениями и, более того, могут быть фор-
мально сведены к этой.
Вернемся к общему случаю области U в координатах z1, ..., z*
па поверхности x* = x*(z4, ..., zft), i = i, ..., п, с границей Г,
заданной уравнением /(z1, zfc) = C (область U задается не-
равенством /(z)=Cf).
Если в пространстве х1, ..., хп задана форма степени k—i
(т. е. кососимметрический тензор типа (0, к— 1)), записанная
в виде?1 =» 2 А ••• Л то ее можно
qc-.-ci/t-i
проинтегрировать по (к — 1)-мерной поверхности Г — границе об-
ласти U на поверхности х* (z1, ..., zh), i — 1, ..n.
ч. Il
§ 26. ИНТЕГРИРОВАНИЕ КОСОСИММЕТРИЧЕСКИХ ТЕНЗОРОВ
237
Верна общая
Теорема 3. Для любой дифференциальной формы
т = 2 ... л^-1
с гладкими коэффициентами 'Тгг,»лк^г (я), любой гладкой поверх-
ности х*{%\ ,zfe) и ограниченной области U на ней с гладкой
границей Гг состоящей из одного куска^ имеет место формула
\dT. (30)
Тривиальный вариант этой формулы для Аг = 1, Л — 1 =« 0 был ука-
зан выше. Здесь dT — форма степени к (кососимметрический гра-
диент тензора Тили дифференциал формы степени k— 1).
В двумерном и трехмерном случае эта формула для разных
к носит имена Грина, Гаусса — Остроградского и Стокса; эти
специальные случаи формулы (30) по отдельности доказываются
в курсе анализа. Мы разберем эти случаи.
1. Плоский случай (п = 2). Задана замкнутая кривая Г
на плоскости а/ = а/(£), х*(а)= х*(Ь). Пусть эта кривая ограничи-
вает область U на плоскости. Для любого (ко) векторного поля
T^dx^ — формы степени 1 — определен интеграл по кривой Г.
Если поле T^dx0, определено и не имеет особенностей внутри
области С7, то справедлива формула
или
?р р / дТ дТ \
U\dx + ТЖ) = j J dx Л dy. (31)
г и
Это — формула Грина (частный случай общей формулы Стокса).
Следующее дополнение относится к случаю, когда рассматри-
ваемая плоскость есть плоскость комплексной переменной z =»
«==a: + zy. Пусть f{z) = f{x, у)=^и(х, y)+tv(z, у) — комплексно-
значная функция. Рассмотрим интеграл
f{z) dz = (и + tv) (dx + i dy) = $ (u dx — vdy) + I (j) (vdx+udy).
Применим формулу Грина
v и и
Получаем вывод: если всюду внутри области U функция /(z\
238
ГЛ. 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ТЕНЗОРОВ
(Ч, I
является гладкой и выполнены условия Коши — Римана
§ 12)
ди ди dv ди
ду дх 1 ду дх *
(см.
(32>
то форма f(z)dz является замкнутой.
Из этого факта вытекает: если п — целое неотрицательное
число, то zndz = О для любого замкнутого контура Г; если п
отрицательно, то zndz = 0 для контура Г, не охватывающего О,
и (|) zndz не зависит от Г в случае, если Г обходит 0, скажем,
против часовой стрелки. Беря в качестве Г единичную окруж-
ность z(£) = eu, 0<£<2л, в результате простого вычисления
получаем
Д п, ( 0, если — 1-
®2 dz = ’ *
J [ 2ш, если п = — 1.
Это лежит в основе важной формулы вычетов. Именно, для рав-
оо
номерно сходящихся рядов / (2) == 2 (2 — а)п имеет место
П——оо
формула (контур Г охватывает точку а и лежит в области равно-
мерной сходимости ряда)
ф / (2) dz = 2шс„и
. (33)
ф (2 — а) / (2) dz = 2л
Эти формулы позволяют для аналитической функции /(2)
вычислить коэффициенты ее разложения в ряд Тейлора (если все
степени п > 0) или Лорана (—оо<и<<») через интегралы.
2. Трехмерный случай. Пусть задано трехмерное про-
странство с координатами х\ я2, яа. Здесь следует различать два
случая: к = 2 и к — 3.
а) Пусть Zc = 3, U — область и Г— ее граница. Тогда имеет
место формула
(34)
Если ж1, я1, х* — евклидовы координаты, то можно определить
вектор Г, полагая Т1 = Т2Ь Т2 = ~Т^ Т3 = Т12. Если, далее, п —
единичный вектор нормали к поверхности, то согласно теореме 1
4. I]
g 26. ИНТЕГРИРОВАНИЕ КОСОСИММЕТРИЧЕСКИХ ТЕНЗОРОВ
239
получаем
f f 2 /\ dxj - f J <Л п) Vgdz1 Л dz\ (35)
Г t<j г
на поверхности, da = dz1 /\ dz2 -
дт¥- = .£11 = div т.
дхг
где z1, z2 — координаты
элемент площади на ней.
„ дТ„ дТ
Далее, —5----------- 4
dZ дх2, дх
Окончательно получаем
( [ <Л n> Vg dz' /\dz* = f f <T, n) da = J J J (div I) dxl/\
г *г и
Л dx2 Л dz3. (3G)
Это формула Гаусса — Остроградского в трехмерном евклидовом
пространстве.
б) Пусть к = 2, U — область на поверхности х*« х* (z\ z2) t
i =1, 2, 3, Г — граница этой области (кривая). Имеем
dx1 /\ dx2 +
дх дх } \ дх дх
dx2 Д dx3 .
(37)
В евклидовом случае, когда не надо различать векторы и ковек-
торы, а также можно сопоставить кососимметрическому тензору
(Гч) вектор Г = (Г*), получим (формула Стокса)
(f) Tadxa = f f <rot Т, п) Vgdz1 Д dz\ (38)
г и
где rot Т — вектор, сопоставленный кососимметрическому тензору
/ m дТЬ дТа
(rot Г)а₽ =
Итак, во всех этих случаях общая формула Стокса с помощью
теоремы 1 преобразуется в разные интегральные формулы из
курса анализа. Тем самым она доказана для трехмерного про-
странства.
В заключение мы отметим, что в формулировке общей теоре-
мы Стокса не надо обязательно считать границу Г состоящей из
одного куска. Если граница Г состоит из нескольких кусков
(рис. 31), то интегралы по разным кускам войдут со знаками +
(или —), которые нужно выбирать правильно. Это отмечалось
уже раньше для тривиального случая к =* 1, в котором граница Г
отрезка кривой состоит из двух точек: одна (конечная) со зна-
ком +, а вторая (начальная) со знаком —. Здесь следует отме-
240
ГЛ. 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ТЕНЗОРОВ
[Ч. I
тить, что выбор знака в выражении J J n)V^g dz1/\dz2 (или,
г
как говорят, «ориентации» границы Г) определяется направле-
нием единичной нормали п.
Укажем теперь одно важное приложение общей формулы
Стокса.
Рассмотрим четырехмерное пространство — ci, ж1, хя, х* с
0
— 1
—1
метрикой g
I, где с — скорость света, i —
о
время.
Пусть Fih « — Fm — тензор электромагнитного поля, г, А: = 0,
1, 2, 3. Мы будем сейчас изучать свойства этого тензора при
неизменном времени = ci, так что разре-
—______________ шается преобразовывать лишь пространст-
Т f венные координаты х\ i== 1, 2, 3:
4^ я'° == я°, хн — х'*(х\ х3),
\ / В этом случае тензор (Fih) в четырехмерном
I / пространстве определяется ковектором элек-
I I трического поля Еа = Foa, а == 1, 2, 3, и тен-
Г j вором магнитного поля Н^а = —Нл$ == Fap,
= 2, 3. Если координаты я1, я2, хл
? евклидовы, то магнитное поле определяется
Рис. 31 вектором магнитного поля (§21)
Я^Я23, № = -Я13, Я3-Я12.
На языке дифференциальных форм имеем (см. § 25)
d {FXidxx Д dx7} = 0 (первая пара уравнений Максвелла)
или в трехмерной евклидовой записи:
\ J’ тт Л
a) div Н = —- = 0
' дхг
б) rot Е + — = 0.
' с at
Из уравнения а) и формулы Гаусса — Остроградского получаем
(Г — граница области U)
( ( ( div Н dx1 Д dx2 Д dx3 = J J (H-n) da = 0
. ц г
(«поток магнитного поля сквозь замкнутую поверхность всегда
равен нулю»).
ч. I]
§ 26. ИНТЕГРИРОВАНИЕ КОСОСИММЕТРИЧЕСКИХ ТЕНЗОРОВ
241
Из уравнения б) и формулы Стокса имеем
J J <rotEt n) do = (j) E^dx*
и г
(Г — граница области U на поверхности),
— Г Г \~ do = (6 E^dx*
t) t) \ c сч ' /
и г
(«производная по времени от потока магнитного поля через по*
верхность со знаком минус равна циркуляции электрического
поля по границе поверхности»).
Вторая пара уравнений Максвелла имеет вид (см. § 25)
V dFXh J- 1 dFi0 4л Л
Xj Qxk с dt с
где /(4)те(ср, Л, /2, 7з)', р —плотность заряда, J“(/t, /2, /3)'—трех*
мерный вектор тока (четырехмерная дивергенция тензора Fih и
(+1 \
-1 ° \ ,
, I равна (со знаком минус) четырех*
О " -1/
мерному вектору тока, умноженному на 4л/с).
В трехмерной форме это дает:
a) divE = 4np;
. тт 1 ЭД 4л .
б) rot Н-----— =* — ].
1 с dt с *
Из а) и формулы Гаусса — Остроградского имеем
J J J 4лр dx1 /\dx* Д dx3 =« J J <E, n> do
и J г
(«поток электрического поля через границу области равен с точ-
ностью до 4л полному заряду в этой области»). Из б) и формулы
Стокса имеем
nda+J J j“da=f H*dxa*
и и г
где Г — граница области U на поверхности («полный ток через
поверхность плюс производная от потока электрического поля
через эту поверхность равен циркуляции магнитного поля по
границе этой поверхности»).
Мы видим здесь различное геометрическое содержание первой
и второй пар уравнений Максвелла. Первая пара уравнений
Максвелла не связана ни с какой метрикой пространства; что жо
касается второй пары, то ее нельзя написать без метрики, Обыч*
V6 Б. А. Дубровин и др.
242 ГЛ. 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ТЕНЗОРОВ [Ч. I
пая форма этих уравнений тесно связана с евклидовыми коор-
динатами.
4. Доказательство общей формулы Стокса для куба. Выше
было показано, что классические интегральные формулы Грина
и Гаусса — Остроградского являются частными случаями общей
формулы Стокса. В
J * 7
Рис. 32
этом пункте мы докажем общую формулу
Стокса для случая, когда областью интегри-
рования является А-мерный куб.
Сингулярный куб о пространства Rn оп-
ределяется как гладкое отображение
a: I k-+ Rn, п > А, где I* — декартов куб раз-
мерности к:
1* = {(z1,..х*) 10 ха 1).
Уравнения = 0 и х*=*1 определяют две
{Л— 1)-мерные граница и соответственно (рис. 32). Через
31* обозначим границу куба I*: dlh~ U (/J U /а). Пусть cpfc-i есть
а
(к— 1)-форма в R” и dq?_i — ее внешний дифференциал; пусть,
далее, о: — сингулярный куб.
Теорема 4. Имеет место равенство
J ср^—1 == j
(мы считаем, что ориентация на границе 91* индуцирована есте-
ственной ориентацией куба I*, причем индуцирование осуществ-
ляется с помощью внешней нормали).
Замечание. Здесь под интегралом J <р понимается сум-
a(dlk)
ма по всем граням куба.
Доказательство. Рассмотрим форму сс==о*(ф); в силу
перестановочности о* с операцией d имеем dec « do* (ср) = о* (dtp),
и, следовательно, требуемое утверждение достаточно доказать в
следующем виде:
0ГА
Мы воспользовались здесь тем,
=а f dec.
что по определению
и J ф = J а*(ф)-
a(dlh) dlk
g(><) 4
Пусть <о = аа (х1, xh)dxx Д ... Д dxa Д ... Д dx\ где аа (х\
..хк) — гладкие функции, а дифференциал dxa пропущен. Тогда
... а^“ д... д^=2(_
4. I]
g 20. ИНТЕГРИРОВАНИЕ КОСОСИММЕТРИЧЕСКИХ ТЕНЗОРОВ
243
где dkx = dx1 Д ...ДйяЛ Для простоты дальнейших рассуждений
предположим, что функции аа(я\ .хк) представлены в виде
произведений:
к
da (А . . ., Xh) = П bl (z’){
<7=1
где ba — гладкие функции от одной переменной xq. (Напомним,
что в курсе анализа доказывается следующая теорема: любая
гладкая функция равномерно аппроксимируется линейными ком-
бинациями произведений гладких функций, зависящих от одной
переменной; мы, конечно, не будем здесь это доказывать.)
Вычислим в явном виде выражение J dw:
ik
- J(2(-1)“'1 ь« (xi)]dhx=
/А \ а J
= 2 f ... J ... J ((-1)“"1Ьа(х1)...ЬГ1(^-1)Ьа+1(^+1).-
“ (ji) (2а) (х/!)
дха
dx1 Л ... Л^“Л ... л dxh =
= 2 J ... J ... J (biU1) ...^U“)...ba(^)x
“ (xi) (2“) (хЧ
х[Й(1)-Й(0)])^Л ... Л^ал ... =
= S J ... J ... J (bi(^)...^d)...ba(^)-
а (x1) (х“а) (хЙ)
-bU^).-.ba(O) ...baU'9)^1 A ... l\dxa К ... л^ =
•=5 J ... J ... J (Яа(Л ...J
а (x1) (xa) (xA)
-aa(A ....^l^^A ... A^“A ••• A^= f
Теорема доказана.
16*
244
ГЛ. 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ТЕНЗОРОВ
14. I
Задачи. 1. Вычислить объем групп SO (3t R) и SU(2\ в
метрике Киллинга.
2. Пусть X* — векторное поле в четырехмерном пространстве
Минковского Rf. Определим интеграл этого векторного поля по
трехмерной гиперповерхности («поток» векторного поля через
гиперповерхность) как интеграл от 3-формы Хгй5<, где
dSi = KfFl A dx> A dx'i
— антисимметричный тензор 4-го ранга. Вывести из общей
формулы Стокса следующее равенство (в псевдоевклидовых ко-
ординатах) :
3. Пусть U — ограниченная область с гладкой границей в про-
странстве с римановой метрикой gu и — пространство всех
гладких р-форм, обращающихся в нуль вне области Ut Введем в
пространство скалярное произведение, полагая
<®11 С02> = f И1 А *«2
и
для р-форм (01, (о2 из Q&.
а) Показать, что пространство с введенным скалярным
произведением евклидово (см. задачу 2 к § 19},
б) Оператор * ортогонален:
<*(0j, *(о2> = <(0i, (о2>-
в) Операторы б —(—l)np+n+1*d* и d сопряжены, т. е.
<d(0i, w2> в <(01, б(о2>.
г) Квадрат оператора б равен нулю: бб — О.
д) Пусть Д — йб + 6d. Показать, что оператор Д в простран-
стве самосопряжен: <Д(01, (о2> = <(ои Д(о2>. Проверить следу-
ющие соотношения перестановочности:
Дй = йД, Дб = бД, Д» = »Д,
§ 27. Дифференциальные формы
в комплексных пространствах
1. Операторы*/' и d". Пусть D — область’в комплексном про-
странстве С” с комплексными координатами zl, ..гп. Можно
рассмотреть «овеществленную» область с вещественными ко-
ординатами х\ ..., х”, г/1, ..., г/”, где
zk = хк + iyht /с — 1, ..., п. (1)
4. I]
§ 27. ФОРМЫ в КОМПЛЕКСНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
245
Базис в касательном пространстве к (в любой точке)’ обра-
5 д д д --
зуют векторы —т, ...» —-, —Гл ...» . Мы будем рассматри-
дх дх ду ду
вать комплексные касательные векторы, т. е. линейные комбинации
h=i h=i дУ
(2)
с комплексными коэффициентами. В пространстве таких векторов
удобно ввести комплексный базис
д д
—г, ~ъ\ полагая
dzhl dzh
J______1_ f_d_____. а \ d i ( д \ ' д \
dzh % \ dxh dyh / dzk % \ dxh dyh /
Чтобы сделать дальнейшие формулы более ясными, примем
такое соглашение. Тензорные индексы, отвечающие надчеркну-
тым координатам, мы всегда будем надчеркивать, делая исключе-
ние для тех обозначении, в которые черта уже входит. Например,
запись o,f-zhzl подразумевает суммирование по обоим индексам
(см. также ниже формулы (4), (7), (9) и т. д.).
Любой комплексный вектор g имеет, таким образом, вид
= = (4)
dz1 dzH
причем вектор £ является вещественным в том и только в том
случае, если = V** Дуальный базис в пространстве комплекс-
ных ковекторов (1-форм) имеет вид
dzk = dxk + i dyk, dzh~ dxk — idy\ 7f — l, ..., n. (5)
Любая комплексная А-форма co, 1 к 2n, представляется в ви-
де линейной комбинации выражений dzl± Д ... Д dzXp /\drfi Д ...
... Д dz?g, р + q = к. Поэтому со можно представить в виде
со = соА1 о + coft_lt 4 + ... + со0. ft, (6)
где в форму coPt g, р + q = к, входят р дифференциалов вида dz1
и q дифференциалов вида d?. Тогда
л d?! л ... л (7)
причем компоненты Тг кососимметричпы по индексам
ii ... ip и Jt, ... jq в отдельности. Форма соР1, называется фор-
мой типа (р, q).
246
ГЛ, 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ТЕНЗОРОВ
[Ч. I
Разложение (6) не зависит от выбора комплексных координат.
Если ..., ivn — другие комплексные координаты в области D
и функции wl«грДг1, ..., z”) комплексно аналитичны, то div1
есть линейная комбинация форм dz1, ..., dzn, a div1 — линейная
комбинация форм dz1, ..., dz”.
Лемма 1. Дифференциал d можно однозначно представить
в виде
d^d' + d", (8)
где для формы <о типа (р, q) дифференциал d'® имеет тип
(р + 1, д), а дифференциал d" <о — тип (р, д + 1). Операторы d'f
d" инвариантны относительно комплексно аналитических замен
координат.
Доказательство. Для формы вида (7) имеем
ОТ т т
dcop,g = -±- У -----dzi д dz4 Д
v'4 р! 3!. , dzx
г’11.гр
... Д dz^ Д d?i А . . A 4-
р! «1 , dz1 /\
...Jq
... Д dzip f\dJ Д dz7i Д . „ Д d??. (9}
Обозначим первое слагаемое в этой формуле через d'o^ 7, вто-
рое— через d^Wp.,. В силу однозначности разложения (6) формы
в сумму форм типа (р, q) операторы df и d" корректно опреде-
ляются равенством (9). Их инвариантность следует из инвари-
антности разложения (6) относительно комплексно аналитиче-
ских замен. Лемма доказана.
Следствие. Квадраты операторов d' и d" равны нулик
(d')2 = (d" )2 ~0, (101
причем эти операторы антикоммутируют между собой;
d"d' ~-d'd". (Ill
Доказательство. Из равенств бГ = О и d=»d'+ d" выте*
кает, что
0 = d*<Op( q e (d')2(dPt q + (d")2(dp q + (dfd" <oPt q + d"d'(dp
В правой части первое слагаемое имеет тип (р + 2, д)\ второе-^
(р, д + 2), третье и четвертое— (р + 1, д + 1). Следовательно, все
эти три формы равны нулю. Следствие доказано.
Я. л
S 27. ФОРМЫ В КОМПЛЕКСНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
\ dz ___
), где —_0,
247
Определение 1. Форма со типа (р, 0) называется голо-
морфной, если
d"<o-0. (12)
Пример. Форма со типа (0,0) — это комплекснозначная
функция /(г1, ..., г", ..., zn). Условие d"f = O есть условие
комплексной аналитичности функции /:
44 = о, f = i,
dz’
В общем случае форма со типа (р, 0) голоморфна, если все
ее коэффициенты являются комплексно аналитическими функ-
циями,
2. Колерова метрика. Форма кривизны. Эрмитова метрика в
области D задается набором функций g^ отнесенных к каждой
системе координат (г\ 2П), таких, что
а) gjh^g^
при заменах координат zJ' » zJ' (2VX ,.., zn'
имеем ______
__ dz$ / dzh \
gfk dzj' \
в) форма g-ffip положительно определена.
Комплексное скалярное произведение комплексных касатель-
ных векторов I*), т] = (ц\ задается формулой
<£, Г)>с = Л (13)
Скалярное произведение <,>с не зависит от выбора комплекс-
ных координат. Опо дает римапову метрику <,>r в вещественной
области где
<£, i]>R = Re<^ Л)® (14)
(см. § 11, п. 2).
Для вещественных векторов, т. е. для таких векторов £, ц,
что V* = T)ft = Т)\ выполняется условие эрмитовости
<5, Т)>€ = <пЛ>с. (15)
Поэтому выражение
{?, Т]} = - 4 Im <£, п>£ =4 *14] (16)
кососимметрично по £ и ц и дает дифференциальную форму Q
2-го ранга на Явный вид формы Q таков:
Я = 4^?Д d?, (17)
поэтому Q есть форма типа (1, 1).
248
ГЛ. 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ТЕНЗОРОВ
(Ч. I
Определение 2. Эрмитова метрика g^ называется кэле-
ровой, если соответствующая форма Q замкнута:
dQ = 0.
Геометрический смысл условия кэлеровости будет выяснен
в § 29, п. 4.
Пример. Цусть в области D на двумерной вещественной
поверхности введены конформные координаты. Метрика в них
имеет вид
dsz = gdzdz. (18)’
Тогда форма Q есть элемент площади поверхности. Здесь метрика
всегда кэлерова, так как форма Q замкнута по соображениям
размерности.
Лемма 2. Пусть g^ — эрмитова метрика, g =» det (g^). По-
ложим
cd = —J— d"d' In g.
2ni °
Тогда cd есть форма типа (1, 1).
Доказательство. Нужно лишь проверить, что определен
пие формы cd не зависит от выбора комплексных координат. Сде-
лаем комплексно аналитическую замену координат:
zi = zi (ш1, ..., wn), — 0. (19)
dw*
Пусть J = det —г . Якобиан соответствующей вещественной за-
\ dw* /
мепы координат равен 1Л2 (см. § 12, п, 2). Поэтому в коорди-
натах ip1, ..., и)п детерминант g матрицы эрмитовой формы имеет
вид
g = \ J\2g = Jjg.
Отсюда
d' In g = df In J + df In J + df In g, = df In J + df In g,
где d' In 7=^0 в силу аналитичности функции У. Далее,
d"d'\ng^d"d' In J + d"d' Ing = -d'd” ]nJ + d"d' lng = d"d'lng,
где мы использовали равенства d'd" = —d"df и d"J = 0. Лемма
доказана.
Рассмотрим снова метрику g dz dz двумерной вещественной
поверхности в конформных координатах. Имеет место
Теорема 1. Форма cd = d”d In g имеет вид
о
CD (20)
ч. I]
6 28. КОВАРИАНТНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
249
где К — гауссова кривизна поверхности, а форма Q ~ gdz Д
/\ dz — элемент площади.
Доказательство. Имеем
d'd" In g ------------------= In g dz Д dz.
dz dz
Мы видели (в § 13, и. 1), что для поверхности, заданной в кон-
V 1 d2 In g
формных координатах, величина —-s—--------равна гауссовой
dz dz
кривизне. Теорема доказана.
§ 28. Ковариантное дифференцирование
1. Евклидова связность. В § 25 была разобрана операция
взятия градиента кососимметрического тензора (тензорного по-
ля), которая приводила к кососимметрическому тензору ранга,
на единицу большего. Эта операция в компонентах имела вид
fe+i dT
- 2 <-<)+ <‘>
д-1 4
В частности, при к = 1 мы имели
dT5
и ~
dx1
дТ{
dx?
(2)
Указывалось, что dT снова является тензором (это было строго
доказано для А==0, 1). Указывалось также, что операция d —
единственная не связанная ни с какой геометрией дифференци-
альная операция пад тензорами в том смысле, что все остальные
сводятся к ней и к чисто алгебраическим операциям, перечис-
лявшимся ранее (перестановка индексов, сложение, произведе-
ние, след).
Что же касается обычного обобщения градиента функции на
тензоры типа (р, q)
m Г”7Р
dTf?
dxh
(3)
в пространстве с декартовыми координатами х\ ..., хп, то уже
говорилось, что результат этой операции не является тензором
типа (р, q + 1). Так как эта операция встречается довольно часто,
мы укажем класс преобразований, относительно которого ее ре-
зультат преобразуется как тензор. Это — линейные преобразо-
вания.
250 ГЛ. 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ТЕНЗОРОВ [Ч. I
Теорема 1. Если в пространстве заданы координаты и тен~
зорное поле Т « Т то поле
2 h = в2л
преобразуется как тензор типа (р, q+ 1) при всех линейных за-
менах координат
х1 = a}z}, i, j = 1, ..., n,
a] = const, z{ = b}x\ bja{ = бд.
Доказательство. Для линейных преобразований имеем
дх* г д* х* п
—г =1 а} = const и —.—- = 0.
dz3 dZ3 dzk
д^
—. = bi = const,
dx3 3
aX -.8*.
По определению тензора
ар
iq “ * к ...
дг'р дх1 dxq T(i)h(k) (f)
1,А“
(j) = h • • • /„ (0 = I... Л,. Так
дифференцировании формулы
Л—ч*"
дх A
ip, (&) = . • &p,
aj = const, bl — const, то при
будем иметь
М» 5Г(})л(Л) 0) _ ar<(iUx’ ,(Л) (j) T(i) ,
* UY,r = ~7 = —7- O(i)fl(/) = TV 77°(0aU) “ 1 {iY>arawb(i).
dz dz ox dz
Это — закон преобразования тензора. Теорема доказана.
Мы существенно использовали в доказательстве то,
д*х{
где
(4)
как
(4>
(5)
что
—7—7 == 0. Рассмотрим, например, тензоры типа (0, 1) или (1, 0):
dz3 дгл
дТf ат* *
I гр ”' грх
k.
В силу только что доказанной теоремы Tith и преобразуют-
ся как тензоры относительно линейных замен координат. При
общих заменах координат х* = a?(z1, ..., zn), 1, ..n, с
волу.,,,
34 dTj________д( гр ЯяЛ . p
dz^ dz^ \ dz3 / dzi} dz3 dz^ dz3
^_дТ\дх^дх{ p д2х1 dx^dx1 p ,d\{
dxp dzq dz3 * dz3 dzq dd i dz? dz3
4. I]
g 28. КОВАРИАНТНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
251
(6)
было
коор-
Здесь Т — компоненты в системе координат (г), а Т — компонен-
ты в системе координат (х). Итак, общая формула преобразова-
ния имеет вид
дТ5 т дхр дхг т д2х*
д2х*
Слагаемое 7\ ——? не имеет тензорного характера. Как
dz4 dz1
показано в § 25, выражение
№•;, = = (TVtP - ад
является тензором. Но симметрическая часть
+ Tq;j) ~ (Т};ч + ад^ +
OZ1 dzJ Oz* dv
не является тензором относительно произвольных замен
динат.
Аналогично для тензора Г* будем иметь
у! = JL fr —) -= £22^. + тх— (—
dz1 dz1 \ дх*) dz1 dx^ dz1 \<?r*
t ПХ
dxp dz1 dxx fix* dx^ dz^
Как видно, это — не тензор из-за второго слагаемого. Из форму-
лы (7) вытекает, что
= — = — — — + 711 — ==»
dzi dxp dz1 dxx dxx dz* dz^
«= T\v$ + Г = T\i + Г
дхх дх^ dz? * dz? дхг дх^
Замечание. Выражение = Т\ (вычисленное в евкли-
дхг
довых координатах) часто называется дивергенцией векторного
поля. Как видите, это выражение Гн не является скаляром по
отношению к нелинейным заменам координат.
Обычно эту формулу используют лишь в евклидовых коорди-
натах (х1, ..., хп), смысл дивергенции состоит в следующем: если
заданы малые смещения точек пространства
х* + ..., xn) = xf,
то элемент евклидова объема dx1... /\dxn после смещения обла-
сти приобретает добавок T'tidxr Д... Д dxn (см. § 22, п. 2).
252 ГЛ. 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ТЕНЗОРОВ (Ч. I
Вернемся теперь к закону преобразования градиента
Ввиду доказанной теоремы мы условимся применять эту опера-
цию только в евклидовых координатах х\ ..., хп и в координа-
тах, отличающихся от евклидовых линейной заменой
xi = а] = const.
Мы показали, что, применяя эту операцию по тем же форму-
лам в другой системе координат, отличающейся от (х} нелипей-
нои заменой, мы получим выражение связанное с
нетензорным законом преобразования.
Подойдем теперь к вопросу с другой точки зрения: откуда мы
знаем, что операцию взятия градиента надо всегда определять
одной и той же формулой? Можно допустить следующее: а) эта
операция существенно связана именно с евклидовой геометрией;
б) что она применяется по формуле (9) лишь в евклидовых ко-
ординатах х; в) что результат этой операции есть тензор.
Какие следствия вытекают из этих гипотез? По каким фор-
мулам эта операция должна применяться в других системах коор-
динат, связанных с евклидовыми нелинейной заменой? Для выво-
да следствий из этих гипотез мы должны, во-первых, вычислить
результат применения этой операции к тензорному полю Т в ев-
клидовых координатах х^ ..., хп и лишь затем, согласно тензор-
ному закону, преобразовать этот результат в другую систему
координат xi = xi(z\ ..., z-1), i=l, ..n.
Проделаем это:
дТ^
ох
По определению считаем тензором. Поэтому имеем
™(Л) 7Ч1) dz{k) дх*
где
_____ дх^ дх^ dz^ _______ dz*1 dz^
dz^ dzli_________________длй dx'v
Спрашивается, какой операцией в системе координат (z1, zn)]
компоненты получаются из компонент Тщ?
(Ю)
(И)
4. I]
§ 28. КОВАРИАНТНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ
253
Рассмотрим для простоты векторные поля (711) и ковекторные
поля (Л). В этом случае из (И) получим
Ti dzh dx\ тр __ т dzh dx*
ll'T~ ^dx^'
i дТ
Так как Т\л = —t то пз формулы (12) вытекает
дГд£_д^_ ^дГд^_
’q dxs dzq dx* dzq dx*
Напомним, что Th
i dzh
= T —г. Из формулы (13) вытекает равен-
dx1
CTBO
__ dTi dz*
,q dzq dx*
d / __ yii d i dzh
dz<^ J dzq\dxi
(14)
• dx1
Так как Тг = T —то получаем окончательное равенство
dz
%h _ дтк dx1 d2zh dxm
1Я dz4 dzs dxi dxm dzq
Введем теперь обозначение
ph dx^ dxm d2zk
£q “ 'd? дхЧх™'
(15)
(16)
Формула (15) приобретает вид
T!g=^ + 1V’. (17}
Нами доказана
Теорема 2. Если градиент векторного поля (71*) преобра-
вуется как тензор при любых заменах координат и в евклидовых
координатах (х) вычисляется по обычной формуле
Ti дГ
то в любой другой системе координат (г) градиент вычисляется
следующим образом:
т\ = ^2 +
дгг
еде коэффициенты Г?г определяются формулой (16).
254
ГЛ. 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ТЕНЗОРОВ
(Ч. I
Аналогичным образом мы можем преобразовать выражение
для ковекторного поля:
j, ___ з
dz1 dzr Эх* dzr dz^ dzr dJ'
d dzh\ дз? (dzh дхЛ ±m d (dzh\ oft
dzr \ дз? J dz* dzr \dx? dz^ J dz1 dzr \dx? } dzT
. p Jf{ __ dTl Д-T (dxi дхЯ zk ____pA у»
ft dz1 dzr \дд? / dzT ft \ dz1 dzT dx3 dx3 J dzr lr h*
rft _ dxi dx*
lr a? dzT dx3’
Итак, нами доказана
Теорема 3. Если градиент ковекторного поля преобра-
зуется как тензор при любых заменах координат и в евклидовой
системе координат вычисляется по обычной формуле
дТ>
то в любой другой системе координат (z) он вычисляется по
формуле
дТ' ~ г
= (18)
dzH
где набор тот же, что и для векторов (Т{) в теореме 2,
7. е, вычисляется по формуле (16),
Итак, при построении операции взятия градиента, исходящем
из того требования, что ее результат ведет себя как тензор при
любых заменах координат x=*x(z), мы приходим к разным фор-
мулам для векторов и ковекторов:
Ты == ~-ь “ riftTP (для ковектора),
дхя
T-k = (для вектора).
Однако набор Г,А общий для них.
Мы не будем здесь проводить вычисления для любых тензо-
ров типа (р, q), но приведем без доказательства результат.
Теорема 4. Если градиент Т\^к тензорного поля ти-
па (р, q) преобразуется как тензор при любых заменах коорди-
нат и в евклидовой системе координат вычисляется по формуле
Г(»
4.1)
6 28» КОВАРИАНТНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
255
то в любой другой системе координат x = x(z) он вычисляется
по формуле
1 Wr
.7gI \r
(19)
(запись ki'.,(ka ->i)..,kp означает, что в наборе kit..kp следу*
ет вместо к, взять i), где набор функций Г£д вычисляется по
той же формуле (16).
Например, для тензоров 2-го ранга получаем
дТ^
rpl J I Qippl Гр1 рр
1 — - ь "г 2 j1 pfc 2 р1 jkt
дх*
~ dTz
Гр ___ 1] гр рр гр рР
2 ijJft — а L 2 РЙ i/i 2 ip1 jki,
дх
dTi] ъ
^ = -тП% + Г%.
Oar
Градиент тензора T($ всегда обозначается через (f) =
•= h • - ip, (/) = /1 ... /д.
Следует подчеркнуть, что введенная нами операция сущест-
венно связана с евклидовой геометрией. Дело в том, что мы опре-
деляли эту операцию двумя требованиями:
а) результат операции есть тензор;
б) в евклидовых координатах опа вычисляется по обычной
формуле
/р(г)
2 ( »;а =
даР
С точки зрения данной операции можно сказать также, что ев-
клидовыми называются такие координаты, что градиент в них
для любого тензора вычисляется по формуле
7^(i)
1 W,h =
дхк
Остается выяснить, каким образом набор Г?; « Г*; (z) меня-
ется при замене координат zi^zi(zr), i = l, .и.
Если заданы евклидовы координаты
(х\ ..., хп), х* = x*(z) = x*(z(zr)),
то, следуя формулам (16), полагаем
ГА — — — — dzh
dzp dzq дх^ дх^ dzp dzq dxm
(20)
256
ГЛ. 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ТЕНЗОРОВ
(Ч. I
В системе координат (z') будем иметь
pV _____ дх^ дх? d2zk' д2хт dzk'
p'q' dz? dJ' dxi dx? “ dzp/ dzqf dx™'
Из формул (20) и (21) получаем
jih dzp dzq ___ d2zh dxj dx? dzp dzq
i q dzp' dzq' dx1 dx? dzp dzq dzp' dzqf
__ djA । dzk d*xj
dx^ dx^ dzy dzq dzp dzq dx? dzpf dzqf'
так как
d2 [zk (x (z7))] _ d (dzh d ri \ d2xi dzk dx1 d2zh dx$
dzp' dzq' dzyf dzq' / dzy' dzq' dx* dzp' dxi dx? dzq'
Поэтому
pfc dzv dzq d2zk __ dzh d2xj
pq dzv' dzq/ + dzyf dzq' ~ d^ dzp/ dzqf'
Отсюда следует равенство
^dz^ f pk dzp dzq d2zq \ dzh' dz^ d2x? d2x^ dz^f
dz^ \ ^q dzpf dzq/ dzy> dzq/ dzfi dx? dzp' dzq' dzpf dzq' dx?
Окончательно имеем формулу преобразования
_dzh'(vh dzq , d2zk
p,q' dzk V vq dzyf dzqJ + dzv' dzqf]
(22)
Полученные результаты мы используем как идейную основу
для выработки более общего понятия ковариантного дифферен-
цирования тензоров, которое уже не связано ни с какой перво-
начальной евклидовой системой координат.
Определение 1. Говорят, что задана операция ковариант-
ного дифференцирования (взятия градиента) тензоров любого
чипа, если в любой системе координат z\ ..zn задан набор
^функций Гр(?(г), который при замене координат z=^z(z') пре-
образуется по формуле (22). Величины (z) называются сим-
золами Кристоффеля,
Для векторов и ковекторов определим операцию ковариант-
ного дифференцирования (градиента) формулами
711 I pf
T-h" + YihT 1
Ti’h ~ dJl YihTlt
ч.1]
§ 28. КОВАРИАНТНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
257
а для общих тензоров — формулой (19). Оказывается, закон пре-
образования (22) для компонент определяется из того тре-
бования, что градиент тензора есть снова тензор (хотя сами
не образуют тензора). Это будет доказано в следующем пункте.
Замечание 1. Операцию ковариантного дифференцирова-
ния (градиента) часто называют дифференциально-геометриче-
ской связностью.
Замечание 2. Связность называется евклидовой, если су-
ществуют такие координаты х1, ..., хп, что Г# = 0 (или
7,(0 дТ>7
T(ir'k = 7^
в этих координатах). Такие координаты также называются ев-
клидовыми.
Замечание 3. Операцию ковариантного дифференцирова-
ния часто обозначают символом V;
Vrr(i) гр(г)
А* О*) = 7 о*);л-
2. Ковариантное дифференцирование тензоров произвольного
ранга. Итак, мы определили ковариантное дифференцирование
векторных (ковекторных) полей как операцию, которая в каж-
дой системе координат х1, ..., хп записывается формулой
T’b = ^ + Wk (векторы),; (23)
OXJ
дТ-
Ti j (ковекторы). (24)
dxJ
Здесь —некоторые функции в данной системе координат, при
замене координат преобразующиеся по закону (22) (символы
Кристоффеля).
Наоборот, пусть в каждой системе координат (х1, ..., х") за-
даны величины Tlj (х). Зададим ковариантную производную век-
торных и ковекторных полей формулами (23), (24). Покажем,
что закон преобразования (22) для величин при заменах
координат х^хЦх1', ..., х"') определяется, исходя из следующе-
го требования: результат операции ковариантного дифференци-
рования есть тензор. Имеет место
Теорема 5. При замене координат х{ = х7‘ (х1', ..., х77') вели-
чины Г^- преобразуются по формуле
рГ pi dxh дх? дхг* д2х*
lh'j/ =77 77? 7? + 77 77^77" (25)
17 Б. А. Дубровин и др.
258
ГЛ. 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ТЕНЗОРОВ
14. I
Доказательство. Так как выражение
дТ1 . рi fjih ггЛ
~ + г«г - Т-,
является тензором, то имеем I используя равенство
Ti> _dTir
1 li' ~ дхУ
4- n'i'Th'
yil ___ tjii? дх*
дх1'
(д^г I р дх^ дх? ____________ dxXf I р dxi' дх$
\ дх3 / дх1 дх3' дх1 дх3' ^3 дх1 дх3'
дх*'. д (тк' dxl) [ г* тк* dxk дхг’ дх? _
дх1 дх3' \ дхк'/ дзк' dx1 Qxir
dx1' dx1 dT&' ^k9 dx1' d2x* pi jik9 ^xk dx1' dx$ ______________
dx1 dxk' dx3' dx1 dxk' dx3' dxk' dx1 dx3'
dT1’ . /p dxk dx3 dx1' dx*' d2x^ \ ^kr
дх3' \ Ы dxk' dx3' dx* dx1 dxk dx3'/
откуда и вытекает требуемое утверждение.
Следствие 1. Символ преобразуется как тензор только
при линейных или аффинных преобразованиях координат х{ —
д2х^
= х1 (хг\ ..., хп'\ где —т-,—п == 0 для всех г, к',
7 дхк дх3 f J
Следствие 2. Альтернированное выражение
П;^Г1;-Пк=Г^3
(26)
образует тензор (тензор кручения).
Доказательство. Из формулы (25) видно, что при пере-
f дх^' д2х^
становке индексов к' и 1' слагаемое —г—г?--? не изменится.
дхг дхк дх3
Поэтому закон преобразования для вообще не будет содер-
жать этого слагаемого, т. е. будет тензорным. Базируясь на ре-
зультате следствия 2, введем
Определение 2. Связность называется симметричной,
если тензор кручения Тг^ = тождественно равен нулю, или
и = п.
Пример. Если существуют евклидовы координаты х\ ..., хп,
где Г^ = 0, то тензор кручения равен нулю и, следовательно,
евклидова связность симметрична. В других координатах х1', .,,
Ч. Il § 28. КОВАРИАНТНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ 259
хп\ где х* = х*(х'), символы имеют вид
-pi' дх^ д2 х*
1 W = ТТ 7VT7'*
дх дх dxJ
Это выражение симметрично по А',
Перейдем теперь к тензорам произвольного ранга. Ковариант-
ное дифференцирование тензоров любого ранга однозначно оп-
ределяется следующими требованиями:
а) ковариантное дифференцирование — линейная операция;
б) ковариантная производная тензора нулевого ранга (функ-
ции) есть обычная производная
= (27)
дх
в) ковариантная производная векторного (ковекторного) поля
задается формулами (23), (24) ;
г) ковариантная производная произведения тензоров вычис-
ляется по формуле дифференцирования произведения:
= (v ЛЙ) <> + *$) (28)
где T^q) = ti(pyS(q) — произведение тензоров.
В качестве основного примера мы рассмотрим тензоры 2-го
ранга Тг\ Т}, Тц. Имеет место
Теорема 6. При выполнении перечисленных условий кова-
риантная производная тензоров 2-го ранга задается формулами
W* = d-T-k + + Гк?Л (29)
дх
ад=2+г^-г^ (зо)
(31)
Для тензора Tfy, = (j)sЛ типа (р, q] кова-
риантная производная вычисляется по формуле
ЧкТЗ = - • •. - Ф +
+ Т(Г^+ ... + ZoVMk. (32)
Доказательство. Проведем его для тензоров Тц типа
(О, 2), для остальных типов оно полностью аналогично.
Пусть в1, ..., еп — базисные векторные поля; б\ еп—ду-
альный базис ковекторных полей: е$) = 6}. Компоненты этих
17*
260
ГЛ. 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ТЕНЗОРОВ
(Ч. J
тензоров имеют вид
(^ = ^ = (^.
Поэтому из формул (23), (24) получаем
V„ei = rihejt (33)
(34)
(эти формулы можно взять за определение величин Г}ь).
Любой тензор Т с компонентами имеет вид
Т = ® ® % ® в 1 ® ® е’’.
В частности, тензор типа (0, 2) имеет вид Т = Т^е* ® Исполь*
зуя свойства операции Vfc, тогда имеем
Vfe (Г) == Vft (Го) е' ® =
= ® ej — TijY\kel ® & — Т^е{ ® =
дхл
( дТ- , \
= I 7-7 — — YfaTu 1 ег ® eh
\ dxR )
Следовательно, компоненты тензора VhT имеют вид
д? о г1 т т
дх
а это и есть Т1}. * по определению. Теорема доказана.
Замечание. Если Т* — векторное поле, — ковекторяое
поле, то определено скалярное поле (след произведения тен-
зоров). Согласно требованиям а) — г) имеет место формула
= (VfeT1) Г( + Г (УьТг) =
дхп
f \ I дТ А
- (5 + r«rJ т‘ + (,ri - т' ~
- ^т'т<'> + П.гг.-П.лг1,
о
Из этой формулы мы видим, что компоненты ковариант-
ного дифференцирования ковекторных полей должны быть про-
тивоположны по знаку (и совпадать по модулю) с компонентами
для дифференцирования векторных полей, чтобы для скаляра
TxTi была верпа формула
Д (г л) = (УьГ} Ti + Г1 (VhTi).
дхп
4.1]
§ 29. КОВАРИАНТНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И МЕТРИКА
261
Задача. Пусть | = у — вектор скорости кривой у = у (t)'t
Определим ковариантную производило векторного поля q вдоль
кривой у, полагая V.q = £7Vtq. Показать, что поле V.q зависит
только от значений поля q на кривой у.
§ 29. Ковариантное дифференцирование и метрика
1. Параллельный перенос векторных полей. Если £=(£*)—
любой вектор в точке Р, то определена для любого тензора Т[г^
типа (р, q) производная по направлению
= (1)
Это — тензор того же типа (р, q) в точке Р. Для скаляров (тен-
зоров нулевого ранга) операция имеет вид
= (2)
дх
т. е. совпадает с производной функции / по направлению £ (в
данной точке). Напомним (см. § 23), что если мы двигаемся
вдоль некоторой кривой в пространстве
х1* = x‘(i), i = 1, ..п,
и если производная функции / по направлению вектора скорости
этой кривой равна нулю, то функция не меняется вдоль кривой:
если V* / (х1 (t), ..., хп (£)) s 0, где --вектор ско-
дх 0/1
рости, то
/(х*(£), ..., xn(f)) = const.
Верно ли подобное для векторных и тензорных полей? Этот
вопрос не имеет пока смысла, потому что вектор (или тензор)5
имеет разные компоненты в разных системах координат; поэтому
мы не можем сравнивать два вектора или тензора, заданных в
разных точках пространства. По крайней мере такое сравнение
требует дополнительной геометрической структуры в простран-
стве; этой дополнительной структурой и является ковариантное
дифференцирование (связность).
Пусть в пространстве заданы координаты (х1, ..., хп), кова-
риантное дифференцирование и произвольная кривая х((0,
а < t Ь.
Определение 1. Мы будем говорить, что векторное (тен-
зорное) поле Т является ковариантно постоянным или парал-
лельным вдоль кривой х, = х'(0 на отрезке если кова-
риантная производная поля Т в точках кривой по направлению
262
ГЛ. 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ТЕНЗОРОВ
[Ч. I
вектора скорости кривой равна нулю:
= Vv^ = 0, a^t^b, (3)
th
* ~ dt*
Для векторных полей мы имеем
t ) = 0. (4)
\ Ox j
Подчеркнем, что понятие параллельности, вообще говоря,
зависит от кривой. Исключение представляет лишь евклидова
геометрия: в евклидовых координатах (х1, ..., хп) мы определяем
параллельные векторные поля как поля, имеющие постоянные
компоненты в этих координатах (евклидовых). Эти поля, оче-
видно, параллельны вдоль любой кривой. Поскольку результат
ковариантного дифференцирования не зависит от выбора коорди-
нат, те же поля будут параллельны в любой системе координат
(z1, ..., zn), хотя у них в новой системе координат компоненты
будут зависеть от точки.
Мы видим, что понятие параллельности векторов в разных
точках зависит как от способа ковариантного дифференцирова-
ния (от дифференциально-геометрической связности), так и от
пути, соединяющего эти две точки. Чтобы связать введенные гео-
метрические представления с максимально наглядным школьным
материалом, вспомним так называемый пятый постулат Евклида:
«Если в точке Р задана прямая, то через любую точку Q прохо-
дит лишь одна параллельная ей прямая». Для нас будет удобно
такое понимание этого постулата (возможно, не совсем формаль-
ное): в евклидовой геометрии, если в точке Р задан вектор (7%,
то в любой точке Q существует, причем только один, параллель-
ный ему вектор (T^Jq.
Здесь уместно поставить вопрос: что такое вообще паралель-
ные векторы, прикрепленные к разным точкам Р и Q1? По опре-
делению вектор прикреплен к данной точке (как и любой тензор).
Определим важное понятие параллельного переноса вектора
Т* из точки Р =* (zj, ..Zq) в точку Q = (я],; .. .,я£) вдоль кри-
вой х* (i), где х* (0) = Zo, х{ (1) == х{.
Определение 2. Параллельным переносом вектора Т{Р из
точки Р , ..,Хо) в точку Q вдоль кривой xi =>
= х*(£), 0 С t 1, ведущей из Р в (), называется векторное по-
ле Т\ заданное во всех точках кривой и параллельное вдоль
dx^ i
этой кривой: VfcT1* = 0 для всех 0 При 1 = 0 вектор-
ное поле Т' в точке Р должно совпадать с исходным вектором
Тр. При i = l векторное поле 7я в точке Q есть вектор
я. I]
S 29. КОВАРИАНТНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И МЕТРИКА
263
называющийся результатом параллельного переноса вектора Тр
вдоль заданной кривой = из Р в Q.
В координатах х1, .хп получаем
г? rrii дТ dx dx dT * . / dx pi л
^Tvu = dT+ rr*W = dT+ T =0- (5)
Это — уравнение параллельного переноса. Начальное условие
(при t = 0):
Г(0) = П, £ = 1.......п. (6)
Уравнение (5) линейно по Т1. Из теоремы существования и
единственности решений дифференциальных уравнений и теоре-
мы о продолжав мости решения мы для любой гладкой кривой
получим результат:
Теорема 1. Вдоль любой фиксированной гладкой кривой
результат параллельного переноса существует, однозначно опре-
деляется начальным вектором Т1Р и линейно зависит от началь-
ного вектора Тр.
Итак, параллельный перенос вектора вдоль кривой зависит
от связности rjh. Если связность евклидова, т. е. Г^ = 0 в ев-
клидовых координатах, то получаем уравнение параллельного
dV л
переноса в виде — = U.
dt
Следствие. В евклидовой геометрии и в евклидовых коор*
динатах параллельными вдоль любой кривой являются векторы,
исходящие из разных точек и имеющие одинаковые компоненты.
В любых координатах результат параллельного переноса вектора
вдоль кривой не зависит от кривой, если геометрия евклидова.
Теперь уже ясно интуитивное различие между кривой и евк-
лидовой геометриями: перенося параллельно один и тот же век-
тор вдоль разных кривых из Р в Q, при наличии кривизны полу-*
чим разные результаты.
К вопросу о численном измерении кривизны мы перейдем
в следующем параграфе.
2. Геодезические. Мы переходим к рассмотрению линий, яв-
ляющихся аналогом прямых для случая произвольной связности.
Эти линии называются геодезическими.
Определение 3. Линия = называется геодезиче-
е» rTli dT
скои, если ее вектор скорости 1 = параллелен вдоль нее
самой:
vt(T)=Q. (7J
В координатах имеем
V7 / dx' ^7 Idx?\ dx Г d ldx^\ pj dx 1 d x? . pi dx^ dx^
264
ГЛ. 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ТЕНЗОРОВ
[Ч. [
Итак, мы получили уравнение геодезических
^ + Г^^ = °- 7 = 1- (Ь)
Если Г^ = 0, то решениями этого уравнения являются обычные
прямые, как и должно быть в евклидовой геометрпи.
Для произвольной связности уравнение (8)—это система диф-
ференциальных уравнений второго порядка, В окрестности точки
(rrj, . . .,#п) существует единственное решение этого уравнения
с начальными условиями
*7’lt=0 = 4, = *0» (9)
для любых Xq и Xq (по теореме существования и единственности
решений). Поэтому справедлива следующая
Теорема 2. В некоторой окрестности любой точки Р и
для любого вектора Тр в этой точке существует единственная
геодезическая связности (Г^), начинающаяся в точке Р с на-
чальным вектором скорости Тр,
Замечание. Из уравнения (8) видно, что геодезические
данной связности зависят только от «симметричной части» связ-
ности Г(?7<) = 4- П р
3. Связности, согласованные с метрикой. В этом курсе мы
имели два определения евклидовых координат:
1) координаты х\ ..., хп евклидовы, если метрика gti имеет
в них евклидов вид:
go = 6v*; (Ю)
2) координаты х\ ..хп евклидовы, если компоненты Гц
связности в этих координатах нулевые:
Г^ = 0, г, у, А; = 1, . ..,тг (11)
(более общо, Гц = — Гц для несимметричных связностей).
Каково взаимоотношение между этими двумя определениями
евклидовых координат?
Следует сразу отметить, что понятие связности и понятие
римановой метрики не связаны между собой. Это две независи-
мые структуры в рассматриваемой области пространства, так что
определения (10) и (11) — это определения разных понятий.
Однако существует способ сопоставить метрике связность,
при котором определения 1) и 2) дают одно и то же с точностью
до аффинного преобразования.
Определение 4, Связность Гц называется согласованной
с метрикой ga, если ковариантная производная метрического
П. I]
§ 29. КОВАРИАНТНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И МЕТРИКА 263
тензора тождественно равна нулю:
Zc, = n. (121
Укажем два свойства связности, согласованной с метрикой.
1. Если связность согласована с метрикой, то операция опус-
кания любого тензорного индекса коммутирует с ковариантным
дифференцированием.
Доказательство. Из свойств операции Vfc (формула Лейб-
ница) и формулы (12) вытекает формула
V/JganO =
для любого тензора Tq-j типа (р, <?). Так как операция ковари*
антного дифференцирования линейна, то отсюда и вытекает тре-
буемое утверждение.
2. Если векторные поля Т*(1) и Sl(i) параллельны вдоль кри-
вой х* = х{(1), то их скалярное произведение постоянно вдоль
этой кривой.
Доказательство. Докажем, что-^- (Т\ S> =
«= 0. Имеем
Другими словами, параллельный перенос векторов из точки
Р в точку Q вдоль данной кривой является ортогональным пре-
образованием касательного пространства в точке Р в касатель-
ное пространство в точке Q, если связность согласована с мет-
рикой.
Как описать связности, согласованные с данной метрикой?
Имеет место важная
Теорема 3, Если метрика gi} невырождена (л е. g =
— det(gij)=/: 0), то существует и единственна связность, симмет-
ричная и согласованная с этой метрикой gijt Эта связность в лю-
бой системе координат (ж1, ..., хп) задается формулами
Г - —
1 13 —
2 \ дх^ дх1 /
(13)
(формулы Кристоффеля).
Доказательство. По определению имеем
•pft _-p/t
1 ъ — 1 Я».
V,gy = - Г^У - = о.
дх*
(14)
266
ГЛ. 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ТЕНЗОРОВ
[Ч, I
Попытаемся решить последнее уравнение относительно Гц. По
определению опускания индекса имеем
П, ij = ^ft/Гц.
Уравнения (14) примут вид
Tijft + =
dxh
При этом Г<( ь;, Гл<ь = Г;1М. Переставляя циклически индек-
сы i, /, к, получим
+ ij
Гь/и + Tftji дх1 ”
Гц/Ц + Гд,ц _ dSik дР
Если (а), (Ь)’, (с) — левые части этих формул, то в силу симмет-
ричности связности имеет место равенство (Ь) + (с) — (а) = 2ГЛ1 у.
Поэтому
Г _ 1 I dgM _L_ dgii\ „ гг
Й’У “ 2 + dxk ) -
Поднимая индекс к, получаем требуемую формулу. Теорема
доказана.
Следствие. Если координаты выбраны так, что в данной
точке все первые производные от g^ равны нулю, то в этой точке
символы Кристоффеля Гц равны нулю (для симметричной связ-
ности, согласованной с метрикой).
Пример 1. Рассмотрим случай поверхности, расположен-
ной в трехмерном евклидовом пространстве, с координатами х* =
*= х, х2 = у, х3 = z (евклидовыми):
xi=xi(zi, z2), x2 = x2(zi, z2), x3 = x3(zi, z2).
Предположим, как мы это уже делали в § 8, что ось х3 перпен-
дикулярна касательной плоскости к поверхности в точке Р, а оси
х*, х2 ей параллельны. Около точки Р мы выберем в качестве
параметров х' и х2\ тогда поверхность задается уравнением
х3 = f(z\ z2), zi = u = xi, z2 = v=x2,
причем z1 = xi, z2 = х2\ более того, так как ось х3 ортогональна к
поверхности в точке Р = (0, 0), получаем
— О или grad / |<о,о) = 0 в точке Р = (0, 0).
(0,0)
2L =
dz1 |(о,о) dz2
ч.1]
§ 29. КОВАРИАНТНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И МЕТРИКА 267
Для метрики gij имеем (§ 7, п. 3)
gij — Oij + j>
dz dzJ
В точке P, где —г
dz1
О, имеем ga = и
= д ( df d2f df । d2f df
dzft dz'*1 d^j dz*dzH dz* dz*dzk dz*
Поэтому в этих координатах в точке Р все символы Г?й равны
пулю (q, z, к = 1, 2).
Пример 2. Для векторного поля (711) определялась дивер-
генция
div Г = V.711 = Т
(15)
Для симметричной связности, согласованной с римановой (псев-
доримановой) метрикой, имеем iTl = + Г^ТА и
dx
гь
2 \ дх* дх^
дх1 )
(16)
где g = det(gu). Итак,
W = д^ +'^- Тк = ( /ГЛ Г).
dx1, *£ VI g I dxx
Вывод. Дивергенция векторного поля имеет обычную
' dTl
форму VJ1 = —т в том и только в том случае, если элемент
объема V| g | dx1 Л • • • Л $хП совпадает с евклидовым: V Igl = 1,
где g = det(g<j).
Теперь уже мы имеем определенную связь между связностью
(способом ковариантного дифференцирования) и римановой мет-
рикой любая риманова геометрия порождает определенный
симметричный способ дифференцирования тензоров, при котором
она сама считается постоянной.
4. Связности, согласованные с комплексной структурой. Рас-
смотрим область D в комплексном пространстве с комплексными
координатами zl, ..., zn, z* = xh + iyK, где xl, ..., xn, yl, ..., yn —
вещественные координаты в овеществленной области D35. Пусть
в области D задана эрмитова метрика
ds2 = h.rdzi dz\ h,- = h -
ik 1 hi i/i
(17)
(напомним (см. § 27), что мы надчеркиваем индекс fc, соответ-
ствующий dz*). Она определяет нам риманову метрику в области
268
ГЛ. 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ТЕНЗОРОВ
[Я. I
DR по формуле
ds& = Re [dx* dxk + dy* dyh]. (18)
В силу сказанного в предыдущем пункте в области £>R суще-
ствует единственная симметричная связность, согласованная с
метрикой ds*R. Эта связность, вообще говоря, не будет согласо-
вана с комплексной структурой в D в том смысле, что параллель-
ный перенос вектора вдоль пути не будет являться унитарным
преобразованием. Имеет место
Теорема 4. Симметричная связность, согласованная с мет-
рикой ds2, будет согласована с комплексной структурой в области
D тогда и только тогда, когда метрика ds2 кэлерова.
Доказательство. Напомним (см. § 27), что эрмитова
метрика ds2 называется кэлеровой, если форма Q, определяемая
формулой
Q = -Lhjtdz> Ad?,- (19)
замкнута:
dh - dh - dh - dh -
dQ = o<=>-4 —- = o, -j? — -=£ = o.
dz1 dz3 dz1 dzk
Введем в пространстве касательных векторов комплексный базис
5 1/5 . д \ д 1 / 5 . 5 \ , .
“Г = — | —ь — I —а , "=Т e "Г "ь + 1 “ь » & = 1* . . ., П.
dzk 2 \dxk dyk) dz \dxh dyh )
Любой вектор g имеет вид £ = (ь\
причем если £ — вещественный вектор. В таком базисе
скалярное произведение ds\ задается матрицей gaP, a, P = l, ...
..., n, 1, ..., п:
Я- == я-- = 0; (21)
о г; 6 г; ’ 6 г} гр 6 гз гз* ' /
т. е. матрица G = (gap) имеет вид
С"(И)' <22)
^Тогда обратная матрица G-1 будет иметь вид
Вычислим компоненты связности, согласованной с метрикой
Ч. II § 29, КОВАРИАНТНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И МЕТРИКА 269
gap, используя формулы Кристоффеля. Из вида метрики gap будем
иметь
Далее,
5г — 5#— \
। ink I
5zA dz^ /
7 4 _ dg -\ —
ГЗ____-L ami —hrri J______Ш = Г\
2 g \ dV d~zk J
mj
г1- == — ffirn (
* 2 g I ду
dg-_ dg—\
dz^ dzm /
О,
__Jh ] _ ______________
дкт }___2 6 \ д~т
— это выражение равно нулю в силу условия кэлеровости. Ана-
логичным образом проверяется, что условие кэлеровости обеспе-
чивает обращение в нуль компонент Г^,
Итак, мы показали, что среди величин
только Г}* и Г4-, причем
Рассмотрим изменение вектора £ = £*) при
параллельном переносе вдоль (6zJ, б?)» гДе
доказанного выше будем иметь
по аналогичной причине Гд
4 __ / —
Г*- = _ aim ____Л?
* 2 ё I dzk
. Наконец,
4 — I dh-
__L aim ______3_k _ л
"2*1_____1 “ U
П..
отличны от нуля
бесконечно малом
б? = 6z< В силу
(24)
Поэтому, если А == (а£) — матрица, имеющая вид
4 = г^в?,
то для вещественных перемещений (6zJ, б?) (с б? = 6zj) матрица
соответствующего параллельного переноса будет иметь вид
/1 — 4 0 \
\ 0 1 - АГ
что и означает комплексную линейность параллельного переноса
(см. § 12).
Задачи. 1. Доказать, что связность согласована с метрикой
тогда и только тогда, когда для любых векторных полей ц,
(25)
д'Ъ, Ь> = <^,, b>+<Sb W.
270
ГЛ. 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ТЕНЗОРОВ
14. I
2. Доказать, что при бесконечно малом параллельном пере-
носе вектора на его компоненты изменяются следующим
образом (с точностью до малых более высокого порядка):
3. Выразить тензор деформации из § 22 через ковариантные
производные.
4. Пусть в области U задана связность; Р — фиксированная
точка этой области, Т=*ТР— касательное пространство к U в
этой точке. Определим отображение Е: T-+U. Пусть g — вектор
из Т. Выпустим из точки Р геодезическую ^(i) с начальным
вектором скорости Положим Е(£) = 75(1). а) Показать, что
отображение Е определено в некоторой окрестности начала ко-
ординат в Г и является в ней локальным диффеоморфизмом,
б) Показать, что в координатах, определяемых отображением Е,
все символы обращаются в нуль в точке Р.
5. Уравнение движения точечного электрического заряда в
поле магнитного полюса имеет вид
[г, г]
г = а 1 t а = const.
I Г I3 ‘
Доказать, что траектория заряда является геодезической линией
кругового конуса.
6. Найти все геодезические на плоскости Лобачевского.
7. Доказать, что геодезическими на сфере являются большие
круги и только они.
8. Используя геодезические, доказать, что движение, оставля-
ющее на месте точку и репер в этой точке, является тождествен-
ным.
9. Доказать, что линии уровня функций
z . С du С du
z (и, и) = , - ± 1 —-
являются геодезическими в метрике
d/2=(/(u) + g(i;))(du2 + di;2), />0, g>0.
10. Доказать, что внутренние автоморфизмы X -* АХ А \ где
А е SO (3, [R), — это все движения метрики Киллинга на 50(3, R)f
оставляющие неподвижной единицу группы.
И. Для симметричной связности Г}ь, согласованной с метри-
кой доказать справедливость следующих тождеств:
б)
’ дхк
4. I]
§ 30. ТЕНЗОР КРИВИЗНЫ
271
12. Доказать, что две близкие точки в римановом простран-
стве можно связать геодезической, которая локально единственна.
13. Метрика имеет вид Ш2 = grr dr2 + г2 d(p2. Показать, что ли-
ния (р =ф0 из центра — геодезическая.
14. В n-мерном пространстве с метрикой (g^) получить сле-
дующую формулу:
(f = [ ViXi ViTi dx1 Л ... Л dx\
&V V
где ___
= (^й)! V'lTi \...in-v Л ... A
{ср. задачу 3 к § 26).
15. Пусть М— поверхность в евклидовом пространстве R\
л — линейный оператор, ортогонально проектирующий Rn на ка-
сательное пространство к поверхности М\ X, У — векторные поля
в Rn, касающиеся поверхности Л/. Показать, что связность, со-
гласованная с метрикой, индуцированной на поверхности М,
имеет вид
\ /
§ 30. Тензор кривизны
1. Общий тензор кривизны. В предыдущем параграфе, объяс-
нялось, что в неевклидовом пространстве параллельный перенос
вектора зависит от пути. Вместе с тем результат параллельного
переноса вектора Т вдоль пути х(t) определяется уравнением
переноса
dT* I pi mk dx^ — л (л\
-dt + г*г W
которое нужно уметь решать.
Гораздо удобнее, не решая этого уравнения, определить ло-
кальную характеристику отклонения связности (Г]ь) от евкли-
довой. Что это за характеристика? Как узнать, существуют ли
координаты х1, ..., хп, в которых Г}& = 0? Конечно, если связ-
ность несимметрична, то Т}ь == Г# — есть ненулевой тензор;
поэтому нельзя ввести координат таких, что = 0. В этом слу-
чае можно под евклидовыми попимать координаты, в которых
Г#«T}h, Т. е. связность кососимметрична по нижним
индексам (симметрическая часть Г}й + Г£; = 0).
Как выяснить вопрос о существовании евклидовых координат?
Нас этот вопрос будет интересовать для симметричных связно-
272
ГЛ. 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ТЕНЗОРОВ
(Ч. I
стей. Мы знаем такое важное свойство частных производных в
обычном анализе:
___d_iL —
дх? дх* дх* дх? дх^дх?
Если связность допускает евклидовы координаты ж1, ..жп, то
в этих координатах тензоры дифференцируются по обычным
формулам:
V тв} дТ({я
Поэтому
(VfcVi-ViVfe) г$ = о
или
7^(1) /р(г)
1 ОУ’Ь'Л == 1 Wl\h-
Это — свойство, верное в любых координатах, так как —
тензор. Посмотрим общие связности.
Для векторных полей в любых координатах хп имеем
vftvizi = vft № + г*,!”) =
д (дТ^ pi । pi ( дТр рр рЛ рР (дТ* pi р9^
7Т1Т~г + 19(У I + 1 pft I ТТ + I ~ 1 а I тт> + 1 яр1 I =
дх \дх / \дх / \ох‘ /
52Гг , № , ri дТр дТ{ ,
~^ + ^lq‘ + ipkU~~llh^ +
+ г>д^к + - rrftrjp7”.
Составим выражение Т\ После сокращений по-
лучим в координатах
(V.Vz-V^r =
= (- 5?) 7” + (Г^Г£ - Г‘,Г₽О 7” - (rfft - 1ft)
\ дхн дх1 j oxv
Введем обозначение
pi ql Qk } -pi -рр pi рр /оч
“ •« qkl = --£-[ + 1 pftl ql — 1 pzl qk* U)
Тогда получим формулу
(VftV; - V;Vft) г = - я\мт9+ Th (3)
ох*
где Th — тензор кручения (см. § 28). Оказывается, R\ki — это
тензор; этот тензор называется тензором Римана или римановой
ч. II
§ 30. ТЕНЗОР КРИВИЗНЫ
273
кривизной. Для симметричных связностей ^^ = 0. Таким обра-
зом, в симметричном случае имеет место следующая
Теорема 1. Для симметричных связностей и для любого
векторного поля Т выражение имеет вид—R\kiTqi
где R\ki— тензор Римана, определяемый формулой
пг д | рР р j рР
— Л qhl = ~k--ГТ + 1 Рй -Ц* 1 Р*1 «*•
дх дх*
Если связность евклидова, то R\ki = 0. В точках, где Гр9 = 0,
верно равенство
Выведем формулы для кривизны и кручения в инвариантных
обозначениях. Если В, л, £ — векторные поля, то положим
(*)
(5)
Дадим явное выражение векторных полей Г(£, ц/ и Я(£, л)?
через поля В, Л, £•
Лемма 1. Для произвольных полей В, Л, 5 верны равенства
r(a,n)=v^-v^-[^ni, (6)
^,t|K = W-W + W, (?)
где [В, л] — коммутатор векторных полей.
Доказательство. Проверим сначала, что в формулах (6),
(7) Г(£, л) и ц)£ линейно зависят от координат полей
Л, Для Г(£, ц) имеем: если § -*• /£, где / — гладкая функ-
ция, то
m,n)=vnn-va/a)-[/B, п]=
=Tin - - [а, nU - шу в+(sj) g=fT (g, то,
где dTj — производная функции / вдоль поля ц. Для 5(В, ц)
Я (/£, ц) = VnV/5 — + V6/jrtl] =
= + (5n/),v5 — + v/[6,nJ-(an/)E = П)-
Аналогично проверяется, что Я (В, /ц) = /Я (В, ц). Наконец,
Я(М)(К) = Wi/K + Ж]-
- 4W)S + Ж] + (5[t. n,/K + /v(t. =
= (d^f) £ + (5J) + (3J)+ ЖК -
- (WK - vt£ - (3{/).vn5 - /v{vn5 +
+ (d&f - d&f)S + /v(t = /Я(g, г,) S.
18 Б, А. Дубровин и др.
274
ГЛ. 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ТЕНЗОРОВ
14. I
Теперь в силу доказанной линейности достаточно проверить
равенства (6), (7) для базисных векторных полей § = ц =
£ = где £г = бь, тр = б?, С1 == б}. Но для таких полей требуемые
равенства следуют из определения тензоров и Rjkb Лемма
доказана.
Приложение (тетрадный формализм). Пусть в области
n-мерного пространства задана метрика Квадратичную фор-
му на касательных векторах в каждой точке можно при-
вести к постоянному виду. Такое приведение можно сделать
гладко зависящим от точки. Это означает, что (локально) можно
выбрать п линейно независимых гладких векторных полей
...» таких, что их попарные скалярные произведения не
зависят от точки:
<5ь htj = const. (8)'
Например, в общей теории относительности бывает технически
удобно выбрать четверку векторов 5а, 5з (тетраду), где
векторы и изотропны, <§0, = 1, а векторы §2, прост-
ранственноподобны, (§2)2 = (5з)2 = —1, <§2»5з^=0.
Рассмотрим попарные коммутаторы [gj, этих векторных
полей. Их можно разложить по тому же базису £t, £п:
£;] = c^k>. (9)
где —коэффициенты разложения (переменные). Имеет место
Теорема 2. Для симметричной связности, согласованной с
метрикой справедливы формулы
Г;'№ ~2 (cjqk “I" Ckqj (Ю)
где Cijk = hisc}ki а, компоненты связности Г^ определены ра-
венством
V^=r^. (И)
Доказательство. Из условия симметричности связности
Т(Ъ, ^) = 0 и формулы (6) имеем
r^-rt = 4 (12)
Далее, обозначим через I\,fJ величину/ЦзГ^. Из условия (И)
и согласованности с метрикой получаем
О =
Циклически переставив индексы i, /, к, получим систему трех
уравнений
Г«, hi + Г*, а = О,
Га, я + Г, Ai = О,
rLiA + Г<,л = 0.
Ч. и
g 30. ТЕНЗОР КРИВИЗНЫ
275
Решая эту систему совместно с уравнениями (12), получаем
искомые формулы для коэффициентов связности. Теорема до-
казана.
Используя формулу (7), можно выразить тензор кривизны
</?(£(, £(> через функции и их производные.
2. Симметрии тензора кривизны. Тензор кривизны, порожден-
ный метрикой. Какими свойствами обладает тензор кривизны?
Теорема 3. 1. R\hi = — R\tk всегда.
2. Для симметричной связности имеет место тождество
R\kl + R\lq + Rllqk — 0* (13)
3. Для связности, согласованной с метрикой g.^ введем тензор
Riqki = gipRPqhb Тензор Riqili кососимметричен по индексам i, q:
R-iqhl — ‘~Rqihl* (I2!)
4. Для тензора кривизны симметричной связности, согласо-
ванной с метрикой gih, имеется симметрия вида
Riqkl RkHq* (15)
Доказательство. Равенство 1 очевидпо. Для доказатель-
ства формулы (13) вычислим выражение [VA, + [V(, +
+ pq, где eq—базисные векторы, и воспользуемся равен-
ством —= [Vft, V(leq. Будем иметь + Vjefc +
+ [% v*ki = v*(v<e,—V4eO+v<(v<A~v*e«)+V4(v*er-v<e*) = 0 (ка?к-
дая скобка равна нулю в силу симметричности связности).
Для доказательства третьей симметрии достаточно проверить,
что <[VA, Р = 0 для любого векторного поля £. Имеем
f-4—г <5, £> = <vftv;gt в> + <V£, w,
4 дхпдх^
4-= <v<v^ + <v^ v^>*
4 дхдхн
так как связность согласована с метрикой. Вычитая второе ра-
,,,ч д* °2
венство из первого, получим (14), поскольку 7 = .
Наконец, для тензора кривизны, порожденного метрикой, вы-
ведем тождество (15). На рис. 33 сумма выражений, стоящих
в вершинах каждой заштрихованной грани, равна нулю в силу
симметрий (13) и (14). Сложим эти выражения для граней qni
и вычтем их для граней I и Л, получим (15). Теорема доказана.
Из теорем 1 и 3 вытекает
Следствие. Если тензор Римана не обращается в нуль, то
нельзя ввести евклидовы координаты, в которых g^ = и
Г?; « 0.
18*
276
ГЛ. 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ТЕНЗОРОВ
14. I
Замечание. Этот результат можно получить иначе. Рас-
смотрим закон преобразования компонент если z = x(x'J, то
ph' ____ дхк* (ph дх\ дх^ д2хк
' * дхк \ dx*f дх^ дх** дх^ /
Пусть связность симметрична, = Г^. Мы ищем такие коорди-
наты х\ что Г?'/ = 0. Для х* = х* (х1'* ... л хп') получаем уравне-
ния
д2хк _______ph дх* дх^
дх^ дхЗ' дх^
гй = Г?Дх).
Можно ли решить эти уравнения?
Если, они решаются, то
д ( д2хк ________д ( д2хк \ 0
дхк> \дх*' дх?') дх*' \дхк' дх?')
Это — условие на правую часть
уравнений, эквивалентное равен-
ству
X\kl = 0.
3. Примеры: тензор кривизны двух- и трехмерных прост-
ранств, метрики Киллинга. Тензор кривизны — это тензор 4-го
ранга. Естественным образом он получался как оператор на век-
торных полях, зависящий от пары (А, I) кососимметрическим
образом:
- Н\к1Тч = R\lkTq = (VftVt - 7г7й) Tf - Th
где Tfa = — тензор кручения.
В симметрическом случае Ты = 0. Если связность симметрич-
на и согласована с метрикой g41 то компоненты и RqM вы-
ражаются через gij и их производные, причем имеют место сим-
метрии:
1. R\ki в — R\iki.
2. Rigkl = gimRmqkl = ” -Sgihlj
3. Riqkl = Rkliqi f—
4. R'qhl + R\qk + R*klq= 0-
Сколько может быть компонент у тензора Римана?
I. Двумерный случай. Из симметрий Rtqki — — Rw* =*
— —Rqim = вытекает, что имеется всего одна ненулевая ком-
4. I]
g 30. ТЕНЗОР КРИВИЗНЫ
277
попепта тензора Римана — это ^1212. Все остальные либо получа-
ются из нее перестановками, либо равны нулю.
Определение 1. Тензором Риччи называется выражение
Rqt = R'qii — след тензора Римана.
Определение 2. Скалярной кривизной называется след
тензора Риччи:
R = g'qRql = g^R^n. (16)
в трехмерном про-
удвоенной гауссо-
Имеет место важная
Теорема 4. Для двумерных поверхностей
странстве скалярная кривизна R совпадает с
вой кривизной. Поэтому гауссова кривизна, в отличие от средней
кривизны поверхности, выражается через риманову метрику са-
мой поверхности (является внутренним инвариантом).
Доказательство. Пусть поверхность задается уравнения-
ми х = х(и, и), у = у(щ v), z = z(u, v), где х, у, z—евклидовы
коордпиаты пространства и (и, v) = (zl, z2)—координаты на по-
верхности. Выберем в исследуемой точке Р = (0, 0), где ось z
нормальна к поверхности, в качестве параметров u — zl=x,
v = z2 — у. Тогда поверхность около точки Р запишется уравне-
нием z = f(x, у), где gradj\P = 0. Для компонент метрики на
поверхпостп получим
г = S.. + _^__£L
г} + dz* а?
z1 = х, z2 = у.
dg^-
В частности, в точке Р = (0, 0) все уу = 0. Поэтому в этой точ-
ке = 0. В такой точке имеем формулу (формула (2))
д. _ 1 ( d2g^ d2g^
ighZ 2 dzqdzh dz^dz1 dzqdzl dz*dzft /
Отсюда получаем (zl =х, z2 = у)
(д2» д2 \
$ g12 । $ g12 _ $ gll _ $ g22 ]
дхду "Г dxdy ду* j*
При этом gn = f2x + 1; g22 = ft + 1; £12 — fxfyv
£_£lll 9/2 9 g22 | 9/2 д 2 — Чхуъ 2 L — ^7 XV* oy |p ox |p ^12 =ff + f3 dx dy p JxxJyy ' Jxy»
Окончательно имеем (в точке Р)
^1212 — fxxfyy fxy — det ( . , v
\Гух УУ,
278
ГЛ. 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ТЕНЗОРОВ
14. I
По определению /£ = det ^хх ?ху j в точке Р, где 6« = go в вы-
бранных координатах. Однако гауссова кривизна К — это скаляр*
а Р1212 — компонента тензора. Они равны лишь в данной, избран-
ной, системе координат, где go = 6ij, detgij=l = g. Легко видеть
из определения /?, согласно которому R ^gqlRLqih что
9 9
2 det (gQ/) P1212 = Jet ) ^1212 = ~ ^1212 =
В нашей системе координат g = 1 и /?i212 = К. Поэтому в нашей
системе координат верно равенство R = 2K\ так как R и К —
оба скаляры, то это равенство верно всегда. Теорема доказана.
Замечание. Как это видно из доказательства, для компо-
нент тензора Римана имеем формулу
4 (S11&2 - ^12) = д1212 = = Ks, g = det(g..). (17)
Итак, гауссова кривизна К — это инвариант, для п = 2 равный
Я/2, где R = gqlR\u.
Рассмотрим примеры.
1) Евклидова метрика:
dl2 = dx2 + dy2, R\hl= О, Я = A = 0.
2) Сфера:
dl2 = dr'2 + sin2 dq>2;
H 1
здесь К = = —— >0 (кривизна положительна и постоянна).
3) Плоскость Лобачевского:
dl2 = dr2 + sh2 о'ф2;
здесь
В
*-4
—- < 0 (кривизна отрицательна и постоянна).
яо
§ 8 объяснялся наглядный смысл кривизны — когда опа
бывает положительна или отрицательна.
II. Трехмерный случай. Здесь все сложнее. Тензор
Римана
Riqkl = Rqikl = Riqlh ~ RhHq
может здесь рассматриваться в каждой точке как квадратичная
форма на трехмерном линейном пространстве кососимметриче-
ских тензоров 2-го ранга в силу его симметрий.
я. I]
§ 30. ТЕНЗОР КРИВИЗНЫ
279
Если пару [f, д] = — [g, i] обозначить через Л, а пару [к, Z] =
= —[Ц к] — через В, то
= Яав = Ява.
Итак, здесь тензор Римана определяется шестью числами.
Рассмотрим тензор Риччи Я'qu = Rqi = B/q. Это — симметрический
тензор 2-го ранга. Он тоже определяется шестью числами Rqit
q^ I. Скалярная кривизна Я — это одно число
R = gqlRqi = gqlR\u.
В отличие от двумерного случая, скаляр Я не определяет весь
тензор R'qki* Однако в трехмерном случае достаточно знать тен-
зор Риччи, так как верна формула (проверьте)
= Ra&S^y + Rfiftgay Rfrygaft 4" “yr (gafigp-y ^av^pd)*
(18)
Скалярная кривизна —это след тензора Риччи Sp(Rqi) = gqlRql.
Имеются еще инварианты — собственные значения Хь Х2, Х3, опре-
деляемые из уравнения
det (Rql-kgql) = 0, (19)
причем Xi + Х2 + Х3 = Я.
(Когда произносят слово «пространство положительной кри-
визны», имеется в виду, что тензор Римана Яав есть положитель-
но определенная квадратичная форма на кососимметрических
тензорах 2-го ранга.)
III. Четырехмерный случай. Здесь тензор Римана не
определяется тензором Риччи. Тем не менее тензор Риччи очень
важен. Например, в четырехмерном пространстве-времени счи-
тается, что гравитационное поле — это метрика (g^), i, 7 = 0, 1,
2, 3, а все другие свойства материи сосредоточены в «тензоре
энергии-импульса» КТц (X — это размерная константа).
Уравнения (Эйнштейна), определяющие метрику пространст-
ва-времени, имеют вид
Ra - т Rga = VjTi = о. • (20)
В отсутствие материи имеем
~ Т = ° (или = °)’ (21)
При этом det (gij) =#* О, но метрика индефинитна (она имеет в диа-
гональном виде три минуса и один плюс; см. § 36).
IV. Тензор кривизны метрики Киллинга. Пусть
G — матричная группа преобразований, д — ее алгебра Ли, причем
ла д задана метрика Киллинга. Введем связность на группе G,
280 ГЛ. 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ТЕНЗОРОВ [Ч. I
полагая
VLxLy = — £[x,y] = -у \LX, Ly]t (22)
где X, Y e g? Lx, LT — соответствующие левоинвариантпые век-
торные поля.
Поля вида Z/X, Хед, образуют базис в касательном простран-
стве к G в каждой точке, поэтому формула (22) полностью опре-
деляет связность (при условии выполнимости формулы Лейбни-
ца; см. § 28).
Лемма 2. Связность (22) симметрична и согласована с мет-
рикой Киллинга.
Доказательство. Проверим, что Т(Lx, LT) = 0 для любых
элементов X, Y алгебры Ли д. Действительно (формула (6)),
Т (Lx, Ly) = VbxZ/y — Vl^Z/д- — [Lx, Ly] =
= -у£[Х,У]----^-£[Y,X] — £[X,Y] = 0.
Докажем теперь согласованность с метрикой Киллинга <,>. До-
статочно показать, что для любых векторных полей g, ц, £ имеет
место следующее правило дифференцирования скалярного про-
изведения:
<Vn, = £> + <n, W.
Достаточно проверить это равенство, когда ц, £ — левоинва-
риантные поля. В этом случае будем иметь
(Ly, Lzy = (Y, Z)o = const, x (Ly, Lzy == 0.
Здесь <,> — соответствующая метрика Киллинга на алгебре д.
С другой стороны,
L^Ly, Lzy + <Z/y, VlxZ/Z> = {(^[x.Y]» Lzy +<Ly, £[x(z]>} =
= 4-№« z>0 + <y, [X, Z]>0} = 0,
так как ad X есть кососимметрический относительно метрики
Киллинга линейный оператор (см. § 24). Лемма доказана.
Отсюда уже легко вытекает
Следствие. Кривизна симметричной связности, согласован-
ной с метрикой Киллинга, дается формулой (ср. формулу (7))
R (Lx, Ly) Lz =---£[[х,у]гь
и (23)
<Я (Lx, Ly) Lz, Lw> = --L <[X, У], [Z, JF]>.
Найдем еще геодезические для связности, согласованной с
метрикой Киллинга. Так как сдвиги па группе G являются дви-
Ч п
§ 30, ТЕНЗОР КРИВИЗНЫ
28!
мнениями, достаточно определить геодезические, проходящие че-
рез единицу группы. Имеет место
Теорем а' 5. Геодезическими метрики Киллинга, проходящи-
ми через 'единицу группы, являются однопараметрические под-
группы и только они.
Доказательство. Вектором скорости однопараметрпческой
подгруппы вида А (£) — ехр(£Х), где XGS, t—вещественный па-
раметр, является левопнвариантное поле Lx (точнее, его ограни-
чение на кривую Поэтому
• 4
А = VLx^x ~ L[x,x] = 0* (24)
Следовательно, однопараметрические подгруппы являются геоде-
зическими. Поскольку из единицы можно выпустить однопара-
метрпческую подгруппу с любым начальным вектором скорости,
то мы так получим все геодезические по теореме единственности.
Теорема доказала.
4. Уравнения Петерсона — Кодацци. Поверхности постоянной
отрицательной кривизны и уравнение «sin-gordon». Пусть г =
= r(z\ х2)—поверхность в евклидовом пространстве R3, gi}—
индуцированная па поверхности метрика. На поверхности возни-
кает также вторая квадратичная форма bi}dx'dx3, где
п — единичный вектор нормали к поверхности, <,> — евклидово
скалярное произведение в R3.
Как вычислить компоненты симметричной связности, согласо-
ванной с метрикой gtj?
Утверждение. Компоненты симметричной связности, со-
гласованной с метрикой gij на поверхности г(х1, х2), вычисляют-
ся по формулам
= (гтЬ V’ j' k = 11 2>* <26>
\dx'dxJ дх*- /
или
де> .
—= Ъ^п + ei = —(27)
dxJ дх1
Доказательство. Симметричность этой связности оче-
видна. Достаточно проверить следующее равенство:
етУ = ^в], em} Ч" ^г^тУг
дхг
где можно считать, что скалярное произведение берется в евкли-
де^
довом пространстве К3. Но векторы и —5 отличаются на Ь^п.
дхг
282
ГЛ. 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ТЕНЗОРОВ
14. I
а
<n, ет> = 0;
поэтому <Vет) =
Требуемое равен-
ство запишется так:
<eh ет> =
дх1
а в таком виде оно очевидно. Утверждение доказано.
Векторы (eh е21 п) образуют ортонормированный базис в 0?%
гладко зависящий от точки поверхности. Вычислим еще произ-
водные —у. i=l, 2. Вектор п единичный, поэтому производная
дх1
—; ему ортогональна (см. § 5). Из равенства <п, е>>=0 вы-
дх
текает
откуда
^ = - b{ = gnbtt. (28)
Из равенств (27) и (28) вытекают следующие условия совмест-
ности:
Sb=Sп ~bi,blhei+S’ei + г’у +=
= —у П — bihbljei + —у е, + Г’й [Ьуз/г + Г,5е(] =
дх3 дх3 дх3дх
ИЛИ
-Й- - + Г-;Г^ - Hhrj5 = Ь„Ь1к - bikbl}i (29)
дхп дх3
дЪч дЪ.ъ . _
=здв-пд,. (30)
дх дх3
Уравнения (29) называются соотношениями Гаусса. Левая часть
формул (29) совпадает с тензором кривизны и это равен-
ство эквивалентно доказанной выше теореме о связи гауссовой
и скалярной кривизны (проверьте!).
Формулы (30) называются соотношениями Петерсона — Ко-
дацци.
Замечание. Уравнения Петерсона — Кодацци дают необхо-
димое условие для того, чтобы форма Ъ^(х\ х2) могла быть вто-
рой квадратичной формой поверхности в R3 с метрикой gt3(x\x2)>
ч. I]
§ 30. ТЕНЗОР КРИВИЗНЫ
283
где величины вычисляются по метрике g#, исходя из формул
Кристоффеля. Можно показать, что это условие является также
и достаточным.
Пусть 'поверхность имеет отрицательную кривизну К < 0.
Тогда можно ввести (локально) такие координаты (р, q) на по-
верхности, в которых вторая квадратичная форма примет вид
Ьц dx{ dxj = 26Г(1 dp dq (31)
(отсутствуют члены с dp2 и dq2). Если к тому же К = const (на-
пример, Х = —1), то из соотношений Петерсона — Кодацци сле-
дует
= 0, = о (32)
dq др х '
(проверьте!). Выберем новые координаты (х, у} на поверхности,
полагая
р q
Х = ^Vgppdp, у = J Vgqqdq. (33)
Ро ’’о
В координатах (х, у) первая и вторая квадратичные формы
примут вид
ds2 = dx2 + 2gxy dx dy + dy2, b{j dx* dxj = 2bxy dx dy. (34)
Положим = cosco, где co—угол между координатными линия-
ми (я, у) (асимптотические линии). Тогда уравнения Гаусса
при К = — 1 дадут
Юху = sin со. (35)
Это уравнение в физической
нением «sin-gordon». Полагая
уравнение к виду
д2(О __
а? ~
Задачи. 1. Докажите, что решения уравнения (36), не за-
висящие от £ и убывающие при т -*• +°°, соответствуют поверх-
ности вращения кривизны К ~ — 1 вида и = — V1 — х2 — у2 +
। ।? 2____у2
4- In - ------—(«псевдосфера Бельтрами»).
V х2 4 У2
2. Доказать формулу (18).
3. Пусть задана кусочно гладкая кривая х*(0, 2, огра-
ничивающая область С7. Доказать, что Дер = J gdx1 /\ dx2
и
литературе часто называют урав-
х = Х~^' У = Д/р приведем это
—j- = sin со. (36)
284
ГЛ. 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ТЕНЗОРОВ
[Ч. 1
есть угол поворота вектора при параллельном обносе вдоль кри-
вой x'(t) (К — гауссова кривизна).
4. Если эта кривая состоит из трех дуг геодезических и кри-
визна постоянна, то сумма углов такого геодезического треуголь-
ника равна л + Кв, где в — площадь этого треугольника (дока-
зать!). Рассмотреть случай сферы и плоскости Лобачевского.
5. Пусть 51, • • «1 Вп — векторные поля в римановом (или псевдо-
римановом) n-мерном пространстве; gy=<5(, ВР, [51, £;] =
Вычислить компоненты симметричной связности 1\Дгде =*
= Г?Ль), согласованной с этой метрикой.
6. Обнесем параллельно вектор B=(V) вдоль контура квад-
рата со стороной е, натянутого на координатные оси xj (про*
тив часовой стрелки). Пусть 5(e)—результат такого обноса. До*
казать, что
Е->0 £
7. Доказать справедливость тождества Бьянки для тензора
кривизны симметричной связности, согласованной с метрикой:
Vm*^ + + V^m = 0.
8. Вывести из формулы предыдущей задачи следующее тож-
дество для дивергенции тензора Риччи:
9. Пусть Х{, Хп — ортонормированные векторные поля
в n-мерном римановом пространстве и (оь ..(оп — дуальный ба-
зис 1-форм: (Ох(Х3)= бу (все индексы можно считать нижними)»
Определим 1-формы (Оу и 2-формы Йу, полагая
1
coj = Д (О/.
Здесь VxkXj = Г%ХЙ <R(Xk, Xi)Xh Xi>=Rijhl; суммирование по
дважды повторяющимся индексам.
а) Доказать, что (Оу=«—(оя.
б) Вывести следующие соотношения (структурные уравнения
Картава):
d(o{ = — (о, Д coi;,
= (On Д
c/Qjj = Qn А (Оц 4" (On A Q/j.
4. I] § 30. ТЕНЗОР КРИВИЗНЫ 285
10. В обозначениях предыдущей задачи определим формы Й(А)
и форму й в случае четной размерности д, полагая
Й(й) = й^2 Л й|21я Л • • » Л Л
Q » е i Й{^2 Л • • • Д йЪ1-1*п ~ 2zn).
а) Доказать, что определение форм Й(А), й не зависит от вы-
бора ортонормированного репера Хъ ..Хп.
б) Формы Й(А), й замкнуты.
в) Получить выражения для этих форм в координатах.
г) Для п = 2 форма й имеет вид й *= К Vg dxr Д dx2, К —
гауссова кривизна.
д) Вывести формулы, аналогичные формулам задач 9, 10, для
псевдоримановых пространств.
Глава 5
ЭЛЕМЕНТЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
§ 31. Одномерные вариационные задачи
1. Уравнения Эйлера — Лагранжа. Мы определили .в
геодезические линии x' = x'(t) уравнением W (Г) = О, где
dx^
= ----вектор скорости кривой, или
d2xi Г* Л
^+1^л=и-
§ 29
тг =
(1)
Если связность Г;ь симметрична и согласована с метрикой g^
то компоненты выражаются через и поэтому геодезиче-
ские определяются метрикой. Какими геометрическими свойства-
ми они обладают кроме того, что параллельный перенос вектора
скорости геодезической вдоль нее самой дает опять ее вектор
скорости? Мы' привыкли к тому, что геодезические линии (хотя
бы локально) кратчайшие — их длина не больше длины любой
другой кривой, соединяющей те же точки, достаточно близкие
друг к другу. Выясним здесь этот вопрос.
Полезно подойти к нему с более общей точкп зрения. Пусть
А (я, t) — какая-то функция точки х = (х\ ..., хп) и касатель-
ного вектора £ = (£’) в этой точке. Рассмотрим фиксированную
пару точек Р = и Q = (x^ ...,^2)» всевозможные
гладкие кривые у: хг = x*(t), а С t С Ь (с фиксированными а и ft),
соединяющие эти две точки: х'1 (а) = х[, xi (ft) — х%.
Рассмотрим величину
Q
5 [у] = J L(x(t), x(t),t)dt. (2)
р
На какой кривой у величина 5[у] будет минимальна? Величина
(функционал) 5[у] будет называться действием.
Пример 1. Пусть L (х, g) = Тогда 5 [у] = J L (ху х) dt =
р
Q Q
= J g.^x^dt = [ |я|2ей. На какой кривой 7 = {rr(i)} функция
р г р
S[y] минимальна?
4. I]
§ 31. ОДНОМЕРНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ
287
Пример 2. Пусть L(x, %) = VgoVV = V<£, £> = l£l (длина
Q __________________________
вектора). Тогда5[у] = ^ ]/~g.xlxjdt есть длина кривой ц. У ка-
р 3
кой кривой 7 между точками Р и Q длина минимальна?
Пример 3. Пусть метрика евклидова; положим £= ySijV?7—
— U (х), где U — некоторая функция точки. Тогда 5 [yj =
Q
= j 2 у- (я’)2 — и (х) dt. Кривые Ь вдоль которых Sft]
Р I i
мально,— это траектории движения точки массы пг в поле силы
л = —дЛ.
дхг
Имеет место простая
Теорема 1. Если величина S [у] == j L(x,x,t)dt достигает
р
минимума на некоторой кривой 7: = среди всех гладких
кривых, идущих из Р в Q, то вдоль кривой 7 выполнены урав-
нения
миии-
d / dL\ dL п . .
зг f —---------= 0, i = 1, ..., п,
dt \ дхг I дх1
(3)
d / dL\ ( d2L . d2L
-Г- I -- I = I -:-- X3 -p --: I
at I dx1 J ^dx’ X
X”, £*,
dL (х, £)
d2L
1=х
где
dL
дхг к *’ dt I дхЧ \д11д¥ ' д^дх} л dfydt
(считается, что L = L(xl, ..хп, V, • . V? О» г^е х и £ — неза-
д = dx1
висимые переменные, но затем подставляется с> = вдоль
кривой у).
Доказательство. Пусть T]< = Tli(O? a^t^h,— любая
гладкая функция такая, что rf(a) = O и rf(fc) = O. Рассмотрим
выражение
Здесь ч + ст] — это кривая х* = х*(t)+ erf (f), также идущая из Р
в Q, близкая к кривой ч(£) при малом е.
Лемма 1. Если 5[ч] минимально, то для любой гладкой век-
тор-функции T](i), обращающейся в нуль на концах временного
интервала,
,ira 4S|, + _ 0,-
Е~>0 Ь аЬ
е
Доказательство леммы очевидно.
288
ГЛ. 5. ЭЛЕМЕНТЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
[Ч. Г
Перейдем к теореме. Развернем выражение -^-5 [у + ет]] |е=0-
Имеем
ь
4 S I? + 8Т11 |е=о = f (i) + П’’(о) dt = 0, (4)
Л
где интеграл по определению вычислен вдоль кривой у
хг' = хг‘(£), B< = xf(i).
Это равенство верно для любой гладкой вектор-фупкции ц(£),
обращающейся в пуль на концах временного интервала.
Заметим следующее тождество:
ь ь
(интегрирование по частям). Так как т)г(л) = тр(д) = 0, получаем:
ь ь
f OL ’ i . С d f 0L \ г 7, тт »
—j-1] dt = — 1'57’1 “77 I Л Подставляя это выражение в фор-
fl а ъ
мулу (4), мы видим, что для любой гладкой вектор-функции
Y]i(i), обращающейся в нуль на концах временного интервала,
верно равенство
S lY + еп] |е=о
(5г
если, напомним, па кривой у: хг = х'(1) достигается минимум
функции 5[у] па множестве всех гладких кривых, соединяющих
точки Р и Q.
Отсюда следует равенство
. i /,1 dL d dL л . .
if (О = = °’ i = 1’ •••> "•
aL дхг
Действительно, если (£)=/= О для какого-либо i и какого-либо
t = tQ между а и д, то легко подобрать такую функцию
что интеграл (5) не будет равен нулю (например, полагая ц* =
= будем иметь под интегралом положительное число, если
f(i)>0 и обращается в нуль на концах). Итак, теорема доказана.
/-ч л п „ [ dL dL
Определение 1. Решения уравнении [—— ] =—г назьгва*
\ дхх )
ют экстремалями функционала S.
Дадим еще несколько определений.
4. I] 9 31. ОДНОМЕРНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ 289
1. Подынтегральная функция
L= L(x, i) = L(x, x, f) (6)
называется лагранжианом.
2. Энергией называется выражение
Е = Е (х, х, t) = Е (х, L t) = - L = х' - L. (7)
дх
3. Импульсом называется выражение
Pi = -^7 = (ковектор). (8)
дх
4. Силой называется выражение
Д = (также ковектор). (9)
дх'
5. Уравнение Эйлера — Лагранжа — это уравнение из теоре-
мы 1 (уравнение экстремалей)
d / дБ \ дБ ’ ,
— I —— I = —г ИЛИ р{=
dt
6. Выражение
65 дБ d дБ
<10>
называется вариационной производной функционала 5[у]. Из до-
казательства теоремы 1 вытекает другое определение вариацион-
65
нои производной: это величина —т, определяемая равенством
бя1
ь
4’'(T + =niL-fSn,‘«-
(11)
Следует сказать, что лагранжиан, энергия и импульс опреде-
лены неоднозначно, с точностью до преобразований вида
г t т । 77z J? df nf \ df
L=L + —dT-' Е = E~Tt' Р =Р + -д1‘
2. Основные примеры функционалов. Пример 0. Если L—
{7(я)»где U — функция точки, то и =
^тх1. Имеем
Pi = fi
dU
или тхг ==-------:<
дх'
(12)
19 Б. А. Дубровин и др.
290
ГЛ. 5. ЭЛЕМЕНТЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
[Ч. I
Это уравнение (Ньютона) движения частицы массы тп в по-
тенциальном силовом поле / = —grad (7, известные из классиче-
ской механики. Мы получим, что траектории движения такой
частицы совпадают с экстремалями функционала
5 = П1г2 (**)*“
(принцип наименьшего действия).
Пример 1. Если L= то Pi = /а = -у
1 • .* .
Получаем уравнение экстремалей ур где = gk<x\
" j , dgjk * 1 ij * / j гр Am от
т. e. -^ = x3g& + x3 xx ' Так KaK g == 6j *
-• /dgj 5g* Д • •
получаем xm + gkm I —---5--x'x3 = 0. Заметим теперь еле-
l дхг * dxR I
дующее тождество: gkm x'[x3 = -4- x'x3gkm {V Под-
dx1 z \ дх3 дхг j
ставляя его в предыдущее уравнение, получим
х™ + Т™^х1 = 0, (13>
где
Г™ = _L e*m (dJih .
2 I Ox3 dx1 dxk
(14>
— симметрическая связность, согласованная с метрпкой gijt
Итак, доказана
Q
Теорема 2. Если L = g^x3 = <х, х> = lxl\ S [у] = | х |2 dtt
р
то уравнение Эйлера — Лагранжа для экстремалей (в частности*
минимумов) совпадает с уравнением геодезических.
Пример 2. Если L = 1/gtjxlx^ = \х\9 то выражение 5 —
— J | x\dt (длина) не зависит от параметра t. Уравнения Эйле-
Р _ fdL\- dL
ра —Лагранжа в этом случае имеют вид! — j = уу, или
V ёцхгх1
ч. I]
§ 31. ОДНОМЕРНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ
291
Если отнести кривую к параметру, пропорциональному натураль-
ному, i = const • Z, для которого У g^x3 — lx| — const, то получим
• . 4 dg'2 * •
* дх
Это — то же самое уравнение, что и в примере 1, но оно полу-
чено нами лишь для кривых, отнесенных к параметру, пропор-
циональному натуральному.
Условимся в этой главе трактовать термин «натуральный па-
раметр» расширительно: параметр, пропорциональный натураль-
ному, мы также будем называть натуральным.
Заметим, что в примере 2 можно ограничиться рассмотрением
кривых с натуральным параметром, поскольку значение длины
кривой не зависит от параметра на кривой.
Итак, нами доказана
Теорема 3. Уравнения Эйлера — Лагранжа для экстрема-
лей (в частности, минимумов) функционала длины L =
совпадают с уравнением геодезических, если на кривой выбирав
ется натуральный параметр. Таким образом, гладкая кривая, яв-
ляющаяся кратчайшей среди кривых, соединяющих точки Р и Q,
удовлетворяет уравнению геодезических по отношению к нату-
ральному параметру.
Отметим некоторые свойства энергии и импульса произволь-
ного лагранжиана.
Первое свойство («сохранение энергии»). Если лагранжиан
L = L(x, £) не зависит явно от t, то полная производная энергии
Е вдоль экстремали равна нулю:
дБ ’ .
---г Хг
дхг
дБ * i 1 d дБ
хг = х I —---------
дх1 I dt дх
Я1,
Второе свойство («сохранение
..х выбраны так, что —=
дхг
импульса»). Если координаты
О, то вдоль любой экстремали
имеет место равенство pt~ ! —т: 1 =0.Это следует из уравнений
/
Эйлера — Лагранжа. Координата х1 называется в этом случае
циклической.
1 ’ * • 1 *
Примеры, а) Если L = -т^цх'х'э, то Е = L =—\х |а. Из за-
кона сохранения энергии имеем = 0 вдоль экстремалей функ-
ционала 5 = § Ldt. Итак, экстремали — это всегда геодезические,
а скорость их пробегания постоянна (натуральный параметр).
19*
292
ГЛ. 5. ЭЛЕМЕНТЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
[Ч. I
Замечание. Если лагранжиан L(x. х) является однородной
функцией от £ = х первой степени однородности, т. е. L(x,
= А£(а:, £) (например, £=У<£, £>), то энергия Е тождественно
равна пулю и параметр на экстремали может быть взят любым.
б) Если поверхность в трехмерном евклидовом пространстве
задана в цилиндрических координатах уравнением /(2, г)«=0
(поверхность вращения), то за одну из координат на поверх-
ности мы можем взять угол ф, а за другую — г или z (локально).
Метрика имеет вид
dP = dMdr4rW.
Если локально имеем r = r(z), то
dZ2 = g»<Zz2 + г2 (z) d<p2, =
°\
° гг)’
Лагранжиан для геодезических имеет вид
£=4- fe«z2+г2 <z) ф2) = “г ^"г3+г2<₽2)‘
п Г & 2
причем энергия Е = L и импульс р<? = —— = г Ф сохраняются.
дц)
Локальные координаты на поверхности — это z и ф. Рассмот-
рим их орты et и еФ. Скалярные произведения этих ортов таковы:
<еи et> = g„, <е2, ev> = 0, <еф, еф> = r2(z).
Рассмотрим вектор скорости геодезической i? = (z, ф) и вычислим
угол гр между и и ev:
, <"> %> Гаф Р(Р
/ <р, р> , еф> у Ет VЕт
Рф_
У/Е
Поэтому гсозф =
const. Окончательно получается
Теорема 4 (Клеро). Величина г cosip сохраняется вдоль гео-
дезической на поверхности вращения в R3.
Так как /?<₽ = Ар —const и 22? — g^z2 + Ар2 — const, получаем
гф = -у-, 2Е = (z) z2 4—где г = r(z). Это позволяет пол-
ностью проинтегрировать уравнение геодезических па поверхно-
сти вращения:
= 4 atx at —(is)
r 1/ —
ч. и
fi 32. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
293
Задача. Пусть в лагранжиан L входят высшие производные:
L = L (t, х, х, х, ..., ^А));
£[?] = X,
У
Доказать, что для экстремалей функционала *$[7] имеем уравнен
ние Эйлера — Лагранжа вида
65 = dL____gL d2 gL dL = n
dt ' d^dx^
§ 32. Законы сохранения
1. Группы преобразований, сохраняющих вариационную за-
дачу. Полученному в предыдущем параграфе закону сохранения
импульса можно придать более удобную инвариантную форму, ис-
пользуя однопараметрические группы преобразований (см. § 23).
Пусть в пространстве Rn задана (локальная) однопараметрн-
ческая группа локальных преобразований St, —оо<х<°о, обла-
дающая следующими свойствами:
1. Для любой точки Р найдется число то>Ои окрестность U
точки Р в где преобразование Sx определено (и гладко) при
1 т! < т0:
(1)
2. So = 1 (тождественное преобразование),
*^Т1+Т2 *^Т1 ° 1 (2)
(всюду, где все эти отображения определены) .
Напомним, что с каждой локальной однопараметрической труп-»
пой связывается векторное поле, касающееся траекторий ST(x):
(^) = Х(х) = -±5т(х)|т=о< (3)
Векторное доле (X1) определяет группу Sx согласно теореме
существования и единственности решений обыкновенных диффе-
ренциальных уравнений. При этом для любой точки % Rn, гдо
(X1) отличен от нуля, найдется окрестность U этой точки и коор-
динаты f/1, ..., уп в области U такие, что преобразование S, при
малых т имеет вид
Sx(y\ • ••, у")=(у, + т, у1,..., у"). (4>;
Именно такую форму теоремы существования решений мы будем
использовать далее.
294
ГЛ. 5. ЭЛЕМЕНТЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
[Ч. I
Определение 1, Говорят, что однопараметрическая группа
преобразований St сохраняет лагранжиан L(x, f), если
|l(ST(4 S^,t)=o, (5)
где 5Т*—отображение касательных пространств (см. § 22).
Вычисляя производную по т в (5) при т = 0, получаем сле-
дующее соотношение:
= х^ = о (6)
|т=о дхг дх} д$г '
(производная Ли функции L(x, t) вдоль поля X1 равна нулю).
Это и есть условие сохранения лагранжиана относительно груп-
пы преобразований 5Т.
Имеет место следующая
Теорема 1. Если однопараметрическая группа преобразова-
ний St сохраняет лагранжиан L, то имеет место закон сохране-
ния компоненты импульса вдоль поля Х = (Х*):
<7>
\ OX j
где X (х) = Sx (х) |т=0-
Доказательство. Рассмотрим точку х Rny в которой
Х(х) =/=(), и такую ее окрестность Z7, что в ней существуют коор-
динаты (у\ ..., у”), в которых 5т записывается указанным выше
образом: 5х(у\ ..., уп) = (у1 + т, у2, ..., уп). В этих координатах
имеем
9L (у, n ( dL V п
--------= 0 или —— = 0.
Sy1 \ ду1)
Однако единичный вектор вдоль оси у1 — это и есть векторное
поле X. Поэтому в указанных координатах —гг = Теорема
д у дх^
доказана.
2. Некоторые примеры. Применение законов сохранения.
Пример 1. Релятивистская (свободная) частица ненулевой
массы тп > 0 определяется в пространстве Минковского с коор-
динатами (х°, х\ х2, х3), х° = ct, одним из двух функционалов
(действий) на времениподобных кривых:
п 3
St = Y J 'х> i> = (i°)a- 2 <8)
52 = —тис/ = — ху dx = — me J dl> (9)
4. Il
§ 32. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
295
Мировые линии массивных частиц в пространстве Кх,з являются
экстремалями функционалов или S2 (релятивистский принцип
наименьшего действия). Легко проверить (как ив § 31), что
экстремали этих двух функционалов совпадают. Как мы увидим,
действие S2 удобно при сопоставлении с классической механикой.
В случае (9) в качестве т можно взять произвольный пара-
метр, обычно он выбирается в виде т = t = х°/с.
При такой параметризации имеем
52 = — met = — тс2
(10)
= а = 1,2,3
d t
(w = IwaI — трехмерная скорость, lie — собственное время). Сле-
дуя оощим правилам, пишем
L dt, где L = —тс2
заметим, что лагранжиан L записан в трехмерной форме. Энер-
гия и импульс для такого лагранжиана имеют вид
Z7 Г Эр т ТПС
E = piv-L = —— — L = —-----
дх - / и>
V
(И)
= / - 2*
/ и?
I/ 1 72
При ш!с -> 0 имеем
(2 \
1 + 1Г2 + . . . ] „
2с jv
Ра~ти^(\ + ...),
т. е. для импульса получаем в первом приближении
ское выражение
(13)
(см. § 31), и для энергии — с точностью до постоянной тс2 —
классическое выражение
Ра ~ ТПШа
иг2
2 ’
(12)
классиче-
(14)
Кроме того, имеет место тождество
Е2 — с2р2 = т2с\ Е = с]'р2 + т2с2.
(15):
Если Е > 0, то точки (Е, ср) пробегают трехмерное пространство
296
ГЛ. 5. ЭЛЕМЕНТЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
(Ч. I
Лобачевского (массовую поверхность) в пространстве Минков-
ского К? с координатами Е, ср,
В рамках этого трехмерного формализма энергия и импульс
неравноправны, время — выделенная координата.
Обратимся к функционалу действия
В силу результатов предыдущего параграфа параметр экстрема-
лей здесь натуральный (закон сохранения формальной «энер-
гии»). Определим 4-импульс Pi = (po, ра), а = 1, 2, 3, формулой
д Lt . л л л о т л dx"
Pt = —т-t i = 0, 1, 2, 3, где х ' = —.
дх 1 ат
Получаем
Ро = yvj = тсх'й> = = ~ тсх'а* а = 21 3-
дх и ох **
Если поднять индекс ковектора pt в метрике Минковского, то
получим вектор
р* = тсх'\ i = 0, 1, 2, 3-
Поскольку вдоль экстремалей функционала параметр пробега-
ния натуральный, то
Выводы. 1) 4-импулъс р* связан с трехмерными энергией и
импульсом соотношениями
р° = Е, ра — сра; (17)
4-импульс называют также вектором энергии-импульса.
2) При лоренцевых преобразованиях вектор энергии-импуль-
са (Е, ср) преобразуется как 4-вектор; 4-импульсы массивных
частиц лежат на массовой поверхности, имеющей геометрию Ло-
бачевского:
з
Е2 — с2р2 = (р0)2 — S (р“)2 = т2с4. (18)
а=1
u I]
§ 32. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
297
В частности, для перехода в равномерно движущуюся со ско-
ростью и систему координат (вдоль оси х') имеем
(£, ср) — (Е', ср'),
где
При и/с-+0 получаем: Е' = Е + pv + const, р' = р +const.
Пример 2. Основным постулатом общей теории относитель-
ности является тезис или гипотеза (Эйнштейна): гравитационное
поле— это не что иное, как метрика gu на 4-мерном пространст-
ве-времени (метрика сигнатуры (4-------) в каждой точке).
При отсутствии всех других сил пробная частица в гравитацион-
ном поле любой массы гп>0 движется по времениподобным гео-
дезическим, определяемым действием
Si = у j <i, dr.
(20)
Частица массы т = 0 движется по изотропным геодезическим,
вдоль которых <х, х> = 0.
Слабое поле определяется классическим гравитационным по-
тенциалом ф(х0,. х), х°я ct. Оно представляет собой метрику,
формально разложенную в ряд по 1/с:
gab = № + с-^ + О [Я g(02) = 2<р (Л х), (21)
\с /
(0) / -1 0 1
где gab =1 4 I—метрика Минковского и члены порядка
\0 LJ
1/с отсутствуют.
Определение 2. Времениподобная геодезическая ха = ха(£),
t =—, в слабом поле называется медленной. если —гг^с.
с al
Для натурального параметра (собственного времени) медлен-
ной геодезической в слабом поле будем иметь
с
dxa dJ3
dt dt
dt
298
ГЛ. 5. ЭЛЕМЕНТЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
[Ч. I
ИЛИ
(22)
Поэтому в уравнении геодезической
d2xa га dxb dxc n
--2" "Г J- tc "ТГ = V,
(Zt2 dT
где параметр пробегания натуральный, можно с точностью до
( 1 \
01 2 (заменить dx на dt.
Утверждение, Уравнение медленных геодезических в сла-
бом поле имеет вид
d2xa___дц>
dt2 — дха
(23)
т. е. совпадает с уравнением Ньютона для частицы в классиче-
ском гравитационном поле с потенциалом <р.
Доказательство, Для символов Кристоффеля, вычисляе-
мых по формуле
г? -Lead (д^1 +
ьс~2« \дх* + дхь дхчр
4 4 д8аЬ 1 де°Ъ
оудём иметь: 1) производные вида —о' = —-пт- имеют порядок
дх с ui
О ^"Г^в силу (21) (метрика 8(аъ постоянна, величина t считает-
dg
ся конечной); 2) производные вида (а = 1, 2, 3) имеют
дх
(1 \
— | (величины ха считаются конечными). Поэтому
с /
из слагаемых с символами Кристоффеля в уравнении геодезиче-
ских максимальный по порядку величины член — это rjox°x° =
*= Гоос2 4- О Для Г“о будем иметь
1 00 2° U3; дх<^ 1с3?
а = 1, 2, 3.
Отсюда вытекает требуемое утверждение.
Пример 3. Система из п классических частиц с парным вза-
имодействием описывается лагранжианом (в пространстве R3n)
п ‘ 2
£ = 2^. — U (xY, ...,xn), Xj = (Д, (24)
1=1
где U — 2 V хз)-
ч. I]
§ 32. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
299
Мы предположим, что эта система трансляционно инвариант-
на. Другими словами, при преобразованиях
g = g2, n. (25)’
лагранжиан не меняется: L-+ L. Для этого достаточно, чтобы
V была функцией от разности аргументов:
V(xt, Xj)= Р(х< —х3). (26)'
Тогда из закона сохранения импульса следует, что полный им-
пульс сохраняется;
п
^полн =
(27)
^полн _ Q
dt
Доказательство. Мы имеем три группы 5?(а = 1,2^3)л
действующие в K3/t по правилу
5?: х^-^х? + т, х?->х? при (28)
а = 1, 2, 3, р = 1, 2, 3.
Векторные поля Xw = S? (х) |т=0 имеют вид
Х(1>=(1, 0, 0, 1, 0, 0, ..., 1, 0, 0),
Х(2>=(0, 1, 0, 0, 1/0, ..., 0, 1, 0), (29);:
Х(3>=(0, 0, 1, 0, 0, 1, О, 0, 1).
Получается три закона сохранения:
п
^полн, а = ni^Xi , а = 1, 2, 3jj
i=i
согласно общей теореме 1.
Рассмотрим случай п = 2, L = TnJxJ2 + m2(x2)2 — 2V(xt — x2)«
Перейдем к равномерно движущейся системе координат, в кото-
рой Рполн = 0. Тогда имеем
TTiiXi + пг2х2 = 0. (30)
Выберем в качестве начала отсчета центр масс; тогда тп{х^ +1
Ч" тп2х2 = 0. Следовательно,
m .т [ m \
=------~* v U1 — z2) = V I *1 + — Xi J.
300
ГЛ. 5. ЭЛЕМЕНТЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
14. Г
Уравнения Ньютона имеют вид
UliXi ------дл «
а = 1, 2, 3.
(31)
Пусть тп* = 4-^1 j, и(х^ = V j.Ha (31) следует
уравнение (в системе, связанной с центром масс)
. ди(хт)
тХ1~ •
(32)
Итак, имеет место
Теорема 2. Задача о движении двух частиц с трансляцион-
но инвариантным потенциалом в системе центра масс эквива-
лентна задаче о движении одной частицы с приведенной массой
(ш \
14----I в поле с потенциалом ЩХ1)= У(#1—Хг), где
mz/
mlxl + zn2z2 = 0.
Итак, группа трансляций приводит к сохранению полного им-
пульса и сведению двухчастичной задачи к одночастичной.
Пример 4. Перейдем теперь к использованию группы вра-
щений 50(3).
Определения 3. Лагранжиан £(х, х) называется сфери-
чески симметричным, если он инвариантен относительно всех
вращений в R •
В группе 50(3) мы имеем три различных однопараметриче-
ских подгруппы:
1) вращения вокруг оси х на угол ф(5фх));
2) вращения вокруг оси у на угол ф(5ф));
3) вращения вокруг оси z па угол ф(5ф)).
Соответствующие векторные поля в О?3—это найденные r
§ 24, п. 3 линейные векторные поля Lx, Lv, Lt\
£« = (0, -z, у), = 0, —х), Lr = (-y, х, 0). (33)
Для сферически симметричных лагранжианов согласно общей
теореме 1 имеются законы сохранения следующих величин:
Мх = Z'xptx.i Му = ^yPat Mz = Lzpa
(угловые компоненты импульса для вращения вокруг осей х, у, z).
Явный вид их таков:
Мх = ypz “ zpy, Mv = zpx - xpt, Mi = xpv — ypx-, (34)
(Jfx)’ = (7l/v)=(7l/r)- = O.
Таким образом, сохраняется вектор
M = (Mx,Mv,Mt)^[x,p], (35)
4. I]
g 32. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
301
где х = (х, у, z). Вектор [х, р] называется моментом им-
пульса.
Пусть имеется система двух частиц, инвариантная относи-
тельно полной группы движений евклидова пространства R3*
В этом случае Е = пггхх + иг2х2 — U(xi — х2), причем U(xi — х2) =
» С7(|х4 — х2|)= U(r), Действительно, из инвариантности относи-
тельно всех вращений и отражений следует, что U (х4 — х2) есть
функция от г=|х4 —х2|. Используя группу трансляций (резуль-
тат примера 3), перейдем к задаче об одной частице с массой
тп* = тп в поле U(r) с группой симметрии 50(3). При этом име-
ет силу закон сохранения момента М = [х, р]. Поскольку U не
зависит от времени, то сохраняется также энергия Е = ри — L =
Лемма 1. Движение частицы происходит в плоскости, на-
тянутой на векторы х и р.
Доказательство. Так как момент сохраняется и х=р/тп,
то направление вектора [х, х\ = М/тп неизменно. Это направле-
ние ортогонально плоскости (х, р). Лемма доказана.
Выберем направление М за ось z и перейдем к цилиндриче-
ским координатам (z, г, ф). Получим
*2 / * 2 । 2’2 \
L = - U (г) = тп (г-+ г ф-- U (г)),
= М = mr2<p = = const, <р = (36)
тг
E = ^l'r* + -^} + U(r)t
* \ т г /
ИЛИ
£=»^ + г7эфф(г), (37)
где t73W(r) = t7(r)+^4.
Лтг
Окончательный вывод таков: движение частицы сводится к
одномерной задаче (пог) с потенциалом СЛфф(г); решение дается
формулами
га = |(я-г7эфф),;
с dr
* = ] 1 г~2 • (38)
302
ГЛ. 5. ЭЛЕМЕНТЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
[Ч. Г
Исключая i, можно получить уравнение орбиты Ф = ф(г) или
г=аг(ф)- В двух важных известных случаях U = a/r и U = oj*
целая область пространства (я, х) заполнена замкнутыми ор-
битами:
область Е < 0 для U = — с а < 0,
г
область всех Е 0 для U = аг2 с а> 0.
При этом область Е <0 для U = a/r есть область кеплеровских
эллипсов* Замкнутость орбиты требует выполнения нетривиаль-
ного равенства
г(ф + 2т} г (ф), (39)
где п — некоторое целое число.
Для других сферически симметричных аналитических потен-
циалов U(r)^a/r, аг2 равенство (39) не может выполняться на
целой области фазового пространства (см. книгу [44]). Вообще
говоря, замкнутые орбиты заполняют множество меры нуль. Дви-
жение происходит в конечной области пространства (х, х} при
всех — oo<i<°o, если неравенство
Е- С78фф(г)С 0
выделяет конечный отрезок 0 С г С rmax < «> и начальное
М2
условие в нем содержится (здесь 17Эфф = U (г) + -—5, М2 — квад-
рат величины полного момента импульса).
П ример 5. Пусть в пространстве Минковского R4 задан
лагранжиан £(я, я), ж = (х°, х\ ж2, ж3), инвариантный относи-
тельно группы Лоренца 0(3, 1). Группе 0(3, 1) в К4 соответст-
вуют линейные векторные поля, определяющие однопараметриче-
ские подгруппы:
X'(х) = xhAhi = g^x'A^ (40>
Г-i ° \
где gin = j — метрика Минковского, Л*1 — любая
\0 l_J
постоянная кососимметрическая матрица (см. § 24). Тогда име-
ем закон сохранения
PiX* = PiXhAhi = const, (41)
где pi = есть 4-импульс. Ввиду косой симметричности мат-
дх
рицы выражение (41) можно переписать в виде
PiXkA^ = ~ (pixk — pkXi) Akl = const.
я. и
§ 32. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
303
Так как матрица Лм произвольна, то мы имеем целый тензор
сохраняющихся величин
Mih = Xiph — xkpi = const (42)
Этот антисимметричный тензор называется b-тензором момента.
Удобно рассмотреть соответствующий тензор Mlh с верхними
индексами. Его пространственные компоненты 7ИаЭ, a, £}=1, 2, 3,
имеют вид
Ма& = с(хар^ — х^ра), (43)
т. е. совпадают с компонентами трехмерного вектора момента
сМ = с[я, р], (44)
М23 = сМх, М31 = сМу, М12 = сМг.
Компоненты 7И01, 7И02, М03 образуют трехмерный вектор
cztp — Ex = (MQl, MQZ, MQ3). (45)
Формулы (44), (45) сразу вытекают из вида 4-импульса
(р’) = (Е, ср),
где р — обычный трехмерный импульс.
Пусть теперь нам задана система из п релятивистских частиц
Ль ..., хп, хг == (я?, х}, xf, xty. Пусть, далее, лагранжиан L(xlf ...
..., хп, xt, ..., хп) инвариантен относительно полной группы
Пуанкаре — группы движений пространства Минковского. Тогда
имеем следующие законы сохранения:
/ п п \
I У, Ei, У cpi I = const (полный 4-импульс сохраняется)^
\ i=i i=i /
п
У М^1 — const (Mf— тензор момента i-й частицы).
i=i
Из формул (45) вытекает, в частности,
У c^tpi — У EiXi = const. (46)
Так как полная энергия 2^*1 тоже сохраняется, то имеем
. 2с2Рг , .
---= Ь——-----h const.
Следовательно, точка
304
ГЛ. 5. ЭЛЕМЕНТЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
[Ч. Г
движется с постоянной скоростью v, равной
V
(48)
Точка х есть релятивистский аналог центра масс. Если скорости
частиц малы по сравнению с с, то можно приближенно положить
Е^т.с2, и формула (47) переходит в классическую формулу
^mixi
х= .
2imi
Заметим, что релятивистский центр масс не инвариантен относи-
тельно выбора системы отсчета.
§ 33. Гамильтонов формализм
1. Преобразование Лежандра. Напомним, что мы ввели энер-
гию и импульсы для лагранжиана L(x, х), положив
£ = Ра = 4£. (1)
дх дх
Определение 1. Лагранжиан L называется невырожден-
ным, если
(д2 г \
Н 0, (2)
дх дх9)
и называется сильно невырожденным, если уравнения ра =
dL (х, х )
=----—— можно гладко и взаимно однозначно решить в виде
дх
=> Ра(лг, р) для всех х, х.
Определение 2. Гамильтонианом Н(х, р) называется энер-
гия Е, выраженная через х и р (для сильно невырожденных
лагранжианов).
Пространство с координатами (х, р) называется фазовым про-
странством, Переход от координат (х, х) к координатам (х, р)
для сильно невырожденных лагранжианов обратим. Это и есть
преобразование Лежандра от L(x, и) к Н(х, р). При этом урав-
нения Эйлера — Лагранжа переходят в уравнения Гамильтона.
Теорема 1. Пусть L(x, х)—сильно невырожденный лагран-
ТТ / \ в \ Х, X ) . \ Т 7
жиан и Н(х, р)—гамильтониан, р =-----:, x = v(x, р), Урав-
дх
нения Эйлера — Лагранжа
dL d /dL \ ~
я. и
§ 33. ГАМИЛЬТОНОВ ФОРМАЛИЗМ
305
эквивалентны уравнениям Гамильтона, в которых х и р считают-
ся независимыми переменными:
дН • дН
Р дх* Х др
(4)
в фазовом пространстве (х, р).
Доказательство. Пусть L = L(х, и}, где и = х,
Н = pv — L, и = v (х. р) и р = I
1 ’ \ i г t г dy|x=const
Докажем следующие равенства:
’ дН\
а) х — и = -х— ;
up [x=const
б) * = ——I »=—I
дх |p=const дх |u=const^
где Н = Н (х, р), L = L(x, и).
Доказательство равенства а):
дН д , т ч , dv dL ди
-у- = -ч“ (pv — Х') = Р + Ра---=
др дрг ' г др ди др ’
дЪ
так как р =
Доказательство равенства б):
дН д , Гч ди t дЪ dLdu dL
дх дх $ дх дх ди дх = дх
Теорема доказана.
Заметим, что L = pv — H, где v==~^^ или L — px — Н. Дей-
ствие S = Ldt для L (х, х) записывается в виде
S = J L dt = J [рх — Н (х, р)] dt. (5)
Если кривая 7 имеет вид x(i) и p(t) = ^г(х, х), то вдоль
дх
этой кривой выполнены «условия интегрируемости»
= r^e v = ^ (6)
Рассмотрим в фазовом пространстве (х, р) лагранжиан L =
= рх— tJ (х, р) на всех кривых x(i), р(0 без условий интегри-
dx дН
руемости -^ = ^-
Лемма 1. У равнения Эйлера — Лагранжа для функционала
[ [рх —Я (х, p)\dt в 2п-мерном пространстве (х, р) совпадают
20 Б. А. Дубровин и др.
306
ГЛ. 5. ЭЛЕМЕНТЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
[Ч. I
с уравнениями Гамильтона и автоматически влекут условие ин-
дН dx
тегрируемости v = — = —.
Доказательство. Пусть Г (у, у) = рх —7/(х, р), где у —
это координаты (х, р). Мы имеем
dL V dL • дН
— = ~i' ИЛИ P = ~~
дхг J dx d
л / dL \ * dL * г дГ1
0 = / — = — = х— —.
d?i dpi
Лемма доказана.
Замечание. Мы выводили выше уравнения Эйлера — Лаг*
ранжа для кривых, являющихся экстремалями в классе кривых
с закрепленными концами. В фазовом
Рис. 34
(х, р)-пространстве этому соответствует
класс вариаций, где фиксированы лишь
х-координаты концов (рис. 34).
2. Движущиеся системы координат.
Рассмотрим теперь ситуацию, когда в
задан лагранжиан, меняющийся с течени-
ем времени: L = L(x, х, i). Выведем за-
кон преобразования различных величии
при заменах х = х(х', £), £=£'.
Во-первых, по самому определению
при таких преобразованиях величина
5 = I Ldt не меняется, и L также не
меняется (с точностью до полных производных). Поэтому имеем
L (х, x,t)^L (х (х', t), х, t) + df {r,' f)
Рассмотрим два случая:
1) замена не содержит времени: х = х(х');
2) замена содержит время.
В первом случае
‘ i дх* ’ . дхг
X = --7 X ИЛИ V1 = -----г, V1 .
дхг дхг
(7)
(8)
Вывод. Скорость есть вектор.
Далее, Е(х\ х, £)=£(х, А *)• Поэтому
L (х\ х, t)=* b[x (х’), v, tj,
dL dL дх* дх*
Pif = = Pi
dv dv ох дх
(9)
ч. I]
§ 33. ГАМИЛЬТОНОВ ФОРМАЛИЗМ
307
т. е. импульс есть ковектор. Для энергии имеем Е = р^— L =
= P\fV1' — L — Ef. Поэтому энергия есть скаляр (не изменяется).
Перейдем теперь к заменам, содержащим время;
х = х(х\ i), t = t'. (10)
В этом случае
Будем считать, что в данный момент времени t = t„ произведена
замена (не зависящая от времени) такая, что x = xf при t = tQ,
Тогда
= = +ai(x'.tQ), t0 = t. (12)
Такую систему координат назовем мгновенной. В результате пе-
рехода к движущейся системе координат получим
L -> L' = L, L (я, р, t) = L (х\ v' + a, Z);
v -> v' = V — а(х'\ i);
, dL дБ'
р~у р = р, так как = ~^~г;
ди ди
Е -> Е' = p'v' — Lf = p*(z? — a’) — L =Е — р^(х', i)\
Таким образом, импульс не меняется, а энергия сдвигается на
величину, равную —p,aI=(p, v' — v). Итак,
Е = Н(х, р)-> Е' = Н(х , р) — р\а1 (x't t) = Н' (х , р', £), (13)
, , дх I г.
где х = х при i = i0, р = р ,а = • Выясним, как изменяют-
p. рт дН * дН
ся уравнения 1 амильтона. Прежде мы имели х = Р =------------
* dlE * д~Н?
Теперь имеем х = pf (п₽и ^ = ^). Так как х =х^
р' = р, получаем
ОН' дН
др др
дН'
Р дх'
а —~ х d$
дН
дх ~ р'
(14)
Таким образом, изменение уравнений Гамильтона весьма про-
сто. Мы доказали такое утверждение.
Теорема 2. При переходе в движущуюся систему коорди-
нат (мгновенную) координити и импульс не меняются^ а энергия
(гамилътониин) изменяются ни величину ~(р, а), где
a = wi=t’ н^н> ~(Р>а^ a = a(x’,t).
20*
308
ГЛ. 5. ЭЛЕМЕНТЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
|Ч. I
Рассмотрим три важных примера.
Пример 1. Поступательное движение системы координат,
тт2
при котором а = a(t) не зависит от х\ L = —-U (х).
В этом случае
р = mu, р' = р = mu = m(v' + а) = nw + ma,
И' =Н-[р',а).
Для уравнений Ньютона
(ту)’ = / = mv + та
или
mv =^f—ma = f'. (15}
Таким образом, сила / приобретает инерционный добавок — та.
Пример 2. Вращение системы координат в В?\ где а=*
= [й, х'], й— угловая скорость (постоянный вектор);
Н' = Н - (р\ а) = Н- (р', [Й, х']),
р' — р, х' =* X при t = tQ.
Уравнения имеют вид
р'=- 4г=- 44+-fc (р - iQ’ =- 4г+йь
*'=4}г=4г - v iQ’ =4г - x’i-
тх^
Если лагранжиан имеет вид L = ----U (х), то
р= р = тх = т(х' + [й, х']) = тх' + та.
Имеем
р' = тх + т [й, х ]’ --+ [(та/ + та)г й].
Окончательно получаем: если й = 0 (вращение постоянно), то
mx = 2m[x\ й] + /стаРов + т[[й, х], й]. (16}
Последнее слагаемое есть малая сила, если скорость й мала, 1x1
невелико. Сила 2т[х\ й] называется силой Кориолиса. Получаем
mv' =2m[v', Й] +/старов + О(Й2). (17}
тх2
Замечание. Если L= —-------U(х), то переход в движущую-
ся систему координат имеет вид
Н — ря\ = mvi = р\ = т (ip' + а*)г (18)
я. I]
§ 33. ГАМИЛЬТОНОВ ФОРМАЛИЗМ
309
где
Я = -^- + Щ*), (19)
/2 / f х2 2
Н'-£- + U(x)-pa = {р +и(х)-^~.
2т ' ' г 2т ' 2
Таким образом, переход в движущуюся систему координат рав-
носилен двум операциям:
а) сдвигу импульса р pf — та,
та2
б) замене потенциала U-> С7Эфф = U (х)-g—.
Пример 3 (включение электромагнитного поля), Пусть
Z(x, х) — лагранжиан. Определим новый лагранжиан формулой
L = L + -у AjX1, где А< — вектор-потенциал электромагнитного
поля, е — заряд, S L dt, S = J ^Ldt + -^- A^dx^. Операцию
добавления к лагранжиану слагаемого — А^г называют «вклю-
чением поля».
Если Я(х, p) = pv— L и Я(х, р) = рр- Г, где р = /? =
дЪ
—t то
до х
Pi = Pi + V л-> Pi = Pi — -у A(f
f ~ x (20)
H(x, p) = H ( x, p-e— AJ.
Таким образом, включение поля равносильно сдвигу импульса
в гамильтониане и этим похоже на переход к движущейся си-
стеме координат (без замены потенциала).
Заметим, что уравнения Эйлера—Лагранжа имеют вид
Pi = fi = (без поля),
Pi = fi + -у (с полем), р = р — ~ А.
dAj дА.
Здесь ----—j—тензор электромагнитного поля. В силу
дх* dxJ
косой симметричности тензора выражение F^x3 есть тождест-
венный нуль, поэтому
PiX{ = piV{ = f<v\ (21)
. , dL
где / — сила в отсутствие поля, / = тт—.
310 гл. 5. ЭЛЕМЕНТЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [Ч. Г
Замечание. В трехмерном формализме компонента Л0 = сср
есть электрический потенциал, и (Ль А2, Л3) — вектор-потенциал.
В этой записи добавок к лагранжиану имеет вид еф + — Aarf\
где х° — ct, а = 1, 2, 3.
3. Принципы Мопертюи и Ферма. Приложения. Разберем те-
перь вариационные принципы Мопертюи и Ферма.
Теорема 3 (принцип Мопертюи). Если гамильтониан И (х, р)
не зависит от времени и фиксирован уровень энергии, то на тра-
екториях движения величина 50= ^pdx имеет экстремум среди
всех кривых x(t) с данной энергией Е. При этом считается, что
форма р dx выражена через ха, dxa.
Доказательство. Очевидно, на поверхности Н(х, р) = Е
исходный функционал 5= ^Ipdx —Н dt} достигает экстремума на
всех исходных экстремалях (решениях гамильтоновой системы),
поскольку мы рассматриваем экстремальную задачу в более уз-
ком, чем прежде, классе кривых: кривых, лежащих на поверх-
ности II (х, р) = Е. На этой поверхности 5= J (р dx — Е dt) =--
= J {pdx ~d(Et)), Поэтому в координатах z1, ,z271"1 на этой
поверхности (размерности 2/г— 1) лагранжианы p.i = E(z, z) и
L (z, z) — — (Et) имеют одинаковые уравнения экстремалей. Сле-
довательно, все экстремали исходного функционала в (х, р)-про-
странстве являются и экстремалями нового (укороченного) дей-
ствия 50 = j р^хна поверхности Н = Е, Теорема доказана.
Рассмотрим теперь важные примеры.
*2 2
Пример 1. L ----------U (х); Н [хг р) = + U (х). Вдоль
экстремалей выполняется уравнение
дН р
х = .
др ш
Сузим функционал укороченного действия = J р dx на еще
меньшее множество кривых на поверхности II = Е, потребовав,
чтобы вдоль этих кривых выполнялось соотношение х = р/тп.
Тогда ___________________
а) = 1/2т(Е — U(х)) из условия II(х, />) = Е\
б) (р, *) = Ма = 1/И • 1x1 из условия х = р/т*
Отсюда получаем
50 = J* Р dx = j (р> *)dt = j* I p 11x Idt = JI p I \dx I =
= j /2m(E-U (я)) | dx |.
Итак, доказана
Ч. п
§ 33. ГАМИЛЬТОНОВ ФОРМАЛИЗМ
311
Теорема 4. Кривые x(i), отвечающие решениям гамильто-
новой системы с Н = p2/2m+ U(х) =Е при фиксированной энер-
гии Е, являются (непараметризованными) геодезическими новой
метрики
gi}=2m(E-U(x))6i}. (22)
Пример 2. Пусть Н = с(х)*\р\; этот гамильтониан описы-
вает траектории света в изотропной среде с переменной скоростью
света с(х).
Рассмотрим укороченное действие SQ= § pdx на множестве
кривых таких, что
а) Я(х, р) = Е,
б) X = = с (х) (очевидно, 1x1 = с (х)).
Так как с(х)\р\—Е, то \р\=Е/с(х). Так как х = с(х)р/\р\, то
<р, dx> = |р| * Idxl. Поэтому
f И-Т]
Заметим, что интеграл J с равен времени движения света
v
вдоль пути 7. Итак, доказана
Теорема 5 (принцип Ферма). Свет движемся вдоль такой
кривой, вдоль которой время движения имеет экстремум среди
всех гладких кривых, соединяющих заданные точки Р и Q. Эти
кривые являются геодезическими новой метрики
Замечание. Обычно геодезические получаются из лагран-
жиана L = gijV'v* или гамильтониана Н = g'3PiPs. Если взять га-
мильтониан Н'(х, р)= УН = 1/g1}piPi, то он будет давать те же
траектории движения, поскольку на постоянном уровне энергии
К = const соответствующие векторные поля гамильтонианов Н и
будут пропорциональны с постоянным множителем, равным
1 1 . л « Г дН • дН\
------ =----т=- = const. Действительно, р = ——, х ---------------
2 У Я 2 Уе _ _ V дх-д? )
V дх др }
В нашем случае Н' = с(х)\р\ или Н' = 1/cz(x)\p\\ Поэтому
сразу можно сказать, что метрика имеет вид —с2(х)6° или
&ij = 2Т Г
с (х)
В анизотропной среде тензор gtj (или gij), определяющий ско-
рость, не будет иметь конформно евклидовой формы.
312
ГЛ. 5. ЭЛЕМЕНТЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
[Ч. I
§ 34. Геометрическая теория фазового пространства
1. Градиентные системы. В любом пространстве с коорди-
натами (у1, ут) и «метрикой» gij можно определить скаляр-
ное произведение ковекторов и поднятие индексов (см. § 19).
Градиент V/ функции /(у1, ут) имеет вид
= (1)
ду'
При этом тензор не предполагается симметричным. Вектор-
ному полю V/ соответствует система уравнений (см. § 23)
гГ = (v7)‘- (2)
Система вида (2) называется градиентной. Имеет место простая
Лемма 1. Для любой функции h(y) ее производная в силу
градиентной системы (2) имеет вид
(3)
ду ду3
Доказательство. По определению
А = — = Д- (V/V = —
дуг дуг дуг ду3
Лемма доказана.
Нас здесь будут интересовать невырожденные кососимметри-
ческие «метрики» g\ задаваемые формой
2Q =g{dy' Д dy\ (4)
где gt) — обратная матрица, g^jh — б*, gi} = —gj{, det gt) = g 0.
Очевидно, размерность пространства четна, i, ] = 1, 2п.
Лемма 2. Имеет место формула
7Г QA ... AQ = /7 д ... д d/n: (5)
n
таким образом, llg — многочлен от g{j; он называется «пфаф-
финном».
Доказательство. Равенство (5) достаточно доказать в
каждой точке отдельно. Поэтому без ограничения общности мож-
но считать, что gu e const. Выберем новые координаты:
(X1, ..., хп, Pi, ..., />„) = (?, ..., zZn), (6)
[ о 1\ о
такие, что । В этом случае
a='Xdxi/\dpi, (7)
Q А ... А £2 = n! dz1 А ... A dz™.
4. I]
§ 34. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ФАЗОВОГО ПРОСТРАНСТВА
313
Такил£ образом, в данной системе координат лемма доказана, так
как Vg=l. Ввиду инвариантности формулы (5) лемма доказана
в любой системе координат.
Замечание. Таким образом, условие невырожденности мет-
рики gtj, т. е. условие g=^0, равносильно условию Q" =/= 0.
Определение 1. Пространство с кососимметрической мет-
/ \ „ ( 0 С
рикои go, допускающее координаты (х, р) такие, что g0=| * 0 L
называется фазовым пространством. Координаты (х, р), в кото-
рых метрика имеет вид (7), назовем каноническими. Градиент-
ные системы в этой метрике назовем гамильтоновыми.
Гамильтоновы системы в канонических координатах име-
ют вид
у1 = (?Н)1, 4 = 1, ..., 2п,
или
z-^' ‘-1........................." (8>
Из леммы 1 вытекает
Лемма 3. Производная любой функции f(x, р, 4) в силу га-
мильтоновой системы (8) имеет вид
/=# + <¥/’¥я>« (9)
где
«о,
дуг dyJ X °Pi dz1 dpi j
В частности, если / = Н = Н (х, р, 4), то
так как <УН, ?Н> = -<VH, VID = 0.
Важность класса гамильтоновых систем определяется доказан-
ной в предыдущем параграфе теоремой об эквивалентности урав-
нений Эйлера — Лагранжа (для сильно невырожденных лагран-
жианов) и уравнений Гамильтона в фазовом пространстве.
Рассмотрим теперь систему Н = Н (хч р, 4), явно зависящую
от времени 4. Имеем уравнения Гамильтона
их следствие Е = и очевидное равенство 4=1. Рассмотрим
расширенное фазовое пространство с координатами (х, р, 4, Е)9
314
ГЛ. 5. ЭЛЕМЕНТЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
ГЧ. Г
где zrTl+I = ^, рп+1=£, и кососимметрической метрикой
О
О
— 1
1
О
о
— 1
$ij~
о
1
о
о — 1
1 Oj
которой соответствует форма
Q = У dx1 Д dp{ — dt f\ dE.
Рассмотрим гамильтониан Я (zr, р, t, Е)=Н(х, t) — E
диентную систему (Гамильтона), которая имеет вид
(12)
(13)
и гра-
• <эя он : он • он
X = ~Л Г Р ------Б—» * -----Е = —,
др Г дх дЕ ' dt
Из этих уравнений вытекает
Следствие. Уравнения Гамильтона в расширенном фазовом
пространстве (zr, р, t, Е) с метрикой gi} (или формой Й) с га-
мильтонианом Й = Н(х, р, t)—E на поверхности Й — О совпадают
с исходными уравнениями Гамильтона в пространстве (х, р) t
к которым добавлены соотношения I e 1, Ё « dll/dt.
Если исходный гамильтониан Н не зависит явно от времени»
дН/dt = 0, то время t—xn^x является циклической координатой»
и соответствующий импульс pn+i=E сохраняется.
2. Скобка Пуассона. Определение 2. Скобкой Пуассона
(или коммутатором) двух функций j(x, р) и g(x, р) в фазовом
' ~ 1
О
(14) ‘
(О
— 1
О
называется скалярное произведение их градиентов
V, g} - W, V8> - _ i ,
ду* dyJ дх dpi dxk dpi
О
df
(15)
где (V/)1 = gv—j и т. д. Имеет место следующая
dyJ
Теорема 1. Скобка Пуассона обладает следующими
ствами:
1) (ХЛ + цА, g}=X{/„ ^} + |1{/г, g),
где К, ц — константы;
свой*
я. I]
§ 34. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ФАЗОВОГО ПРОСТРАНСТВА
315
2) {/, {g, h}} + {h, {/. g}> + {g, U, /}} = 0 (16)
(тождество Якоби};
3) {/g, M=/{g, M + g{/, M; (17)
4) 4/, g} = _[v/, vg],
где [»] — коммутатор векторных полей.
Доказательство. Свойства 1) и 3) очевидны, а свойст-
во 2) эквивалентно свойству 4), Докажем свойство 4). В коор-
динатах (х, р) имеем
J \ др ' дх )' 6 \ др ’ дх )'
Вычислим коммутатор этих векторных полей. Напомним (см.
§ 23), что коммутатор полей X и Y в координатах у3 определя-
ется формулой
[X, ур = х’^2_
ду}
yj
ду]
Испсльзуя это равенство для
[V/, vg], получаем
первой ^-координаты коммутатора
[V/, Vg]1 =
df д
др дх
dg \
др J
df
дх
д [ дц\ rdg д I df\ .
др ( др 1 др дх ( др )
dg д f df \ df д ( dg \ dg д f df \ df * d f dg
dx dp dp J dp dp dx J + dx dp dp J dx dp ( dp
„ JL ( = d ( df( _ = / V j
др др I дх I dp I dx dp dp dx J ' ’
здесь мы использовали равенства
Для р-координаты равепство 4) доказывается аналогично. Тео-
рема доказана.
Следствие. Функции f(xt р) на фазовом пространстве об-
разуют алгебру Ли относительно скобки Пуассона,
Заметим, что в силу утверждения 4) теоремы 1 эта алгебра
Ли изоморфна алгебре Ли градиентных векторных полей в косо-
симметрической метрике gij.
Пусть теперь git — произвольная кососимметрическая метрика
(невырожденная); Q = g^dy1 Дйул Определим скобку Пуассона
g) прежней формулой
(лы-в;). «в)
316
ГЛ. 5. ЭЛЕМЕНТЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
[Ч. Г
При каком условии на Q гладкие функции образуют алгебру Ли
относительно коммутатора { ,}? Ответ дает следующая
Теорема 2. Гладкие функции составляют алгебру Ли отно~
сителъно скобки Пуассона (18) в том и только в том случае*
если форма Q замкнута* dQ == 0.
Доказательство. Нужно проверить лишь справедливость
тождества Якоби. Оно эквивалентно (см. доказательство теоре-
мы 1) тождеству
v{/, g} = -[?/, Vg], (19 J
Левая часть равенства (19) имеет вид (A-я координата):
VI/ dJ { , у Y
1 ду1 дуг dy3 \ду1дуг ду3 дуг dyldy3j
правая часть:
-[VAVgj^g^-^-X-
дуг ду1 ду3
gUgM Л. - gtigM JL
dy1 ду3 ду1 ду3 ду1дуг ду1 ду3ду1
Приравнивая эти выражения, получим после сокращения и пере-
обозначения индексов суммирования: равенство (19) эквивалент-
но равенству
(gki^ . g4^L +
\ dyi dy* dy* / dy3 dy1
Ввиду произвольности величин
df dg
—Г, —г это равенство экви-
dy3 dy1
валентно такому равенству:
gki^L + gii^L + gy^_ = 0; j, I, * = 1, ...,2n. (20)
dy1 dyx дуг
Умножая равенство (20) на grkgpjgqi и используя соотношение
g
gy ду‘
dihi
ду1*
получаем
dgqr . dsrp __ q
dyr dy? dy* '
а это и есть условие замкнутости формы Q. Теорема доказана.
Выясним теперь вопрос: в каком случае невырожденную фор-
му Q 2-го ранга (т. е. такую, что Q”*/=0) можно привести заме-
ной координат к каноническому виду (7)? Так как форма (7)
замкнута, то условие замкнутости формы Й необходимо для та-
ч. I]
§ 34. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ФАЗОВОГО ПРОСТРАНСТВА
317
кого приведения. Достаточность вытекает из следующего утверж-
дения, которое мы приводим без доказательства.
Теорема’ 3 (Дарбу). Пусть Q — дифференциальная форма
2-го ранга, причем Qn= Q Д ... ДЙ=^0. Если форма Q замкну-
та, то существуют локальные координаты х1, хп, ph ..., рп,
в которых форма й принимает канонический вид*.
Q = S dx' Л dPe
i
Пусть мы имеем в фазовом пространстве гамильтонову систе-
му с гамильтонианом Я. Тогда производная любой функции / =
= f(x, р) вдоль этой системы имеет вид
У = {/,Я}. (21)
В частности, х* = {х\ Я} = -, р{ = {ph Н} = — дН/дх\
Вывод. Функция f(х, р) является интегралом гамиль-
тоновой системы (интегралом движения), если она коммутирует
с гамильтонианом Н: {/, Я) = 0. Совокупность интегралов гамиль-
тоновой системы образует алгебру Ли, замкнутую также относи-
тельно перемножения функций.
Предположим, что гамильтониан Н(х, р) не зависит явно от
времени:= 0. Тогда энергия Е — Н(х, р} сохраняется, и все
траектории гамильтоновой системы с гамильтонианом Н(х, р)
лежат на поверхностях уровня Н(х, р) = Е. Пусть / = f(x, р) —
интеграл этой системы, {/, Я} = 0. Но тогда и {Я, /} = 0, т. е.
функция Н(х, р) постоянна вдоль траекторий градиентной си-
стемы V/, Следовательно, векторное поле касается поверхности
уровня Н(х, р)=* Е. Так как векторные поля, касающиеся данной
поверхности, образуют подалгебру алгебры Ли всех векторных
полей (см. § 24, п. 1), то имеет смысл говорить об алгебре Ли
интегралов гамильтоновой системы на данном уровне энергии
Н(х,р) = Е.
Пример 1. Пусть лагранжиан L(x, х) сферическп симмет-
ричен, Как мы видели выше, трем однопараметрическим подгруп-
пам в 50(3) соответствуют три интеграла Мх, Му, Мг (интегра-
лы момента), где
= Mv = Llv-°L = (22)
дхг дхг дх
Lx, Ly, Lt — соответствующие линейные векторные поля. Комму-
таторы этих полей имеют вид (см. § 24)
\LX, LJ e Lt, [Lv, Lz] *== Lx, [Lt, Lx] == Ly. (23)
Из утверждения 4 теоремы 1 вытекает, что скобки Пуассона
318
ГЛ, 5. ЭЛЕМЕНТЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
[Ч. I
компонент момента вычисляются по формулам
{Мл, Му) = Шу, MJ = ~МХ, {Мг, MJ - -Му. (24)
Вывод. Функции Мх, Му, Мг на фазовом пространстве сфе~
рически симметричной системы образуют алгебру Ли относителъ-
но скобки Пуассона, изоморфную алгебре Ли 5о(3).
Пример 2. В кеплеровой задаче гамильтониан Н(х, р) в
имеет вид
2
н^р) = ^ + т^- “<°- <25>
В силу сферической симметричности здесь имеются три интегра-
ла момента
Ж=(ЛЛ, Л/2, ЛМ = [я, р] = const. (26)'
Оказывается, в этой задаче имеется еще три интеграла
w = (И\, W2, W3) = [JL м] + g = const (27)
(вектор Лапласа — Рунге — Ленца). Вычислим скобки Пуассона
{М^ РУД, {И\, Wj}, Для этого используем следующие выражения
для скобок Пуассона функций {pi, Mji
{ph Mi) = 0, {pb >2}=p3, {pb M3} = — p2, {p2, = — p3, (28)
{p2, MJ = pH {p3, MJ = p2, {p3, MJ = -pt
(проверьте!). Имеем
Mt = x2p3 — x3p2,
4 az, 1 ar
| (рЛ3 - p3M2) + , W2 = А- (рз2И1 _ Р1мз) + 2
Используя свойства 1), 3) из теоремы 1, получаем
{>i, И\) = -А {Мх, РгМ3 - рМ + ари,, =
= ± [(>1. Р,} >з + {Mv М3} р2 - {Mlt р3} М2 -
— {Ml, м2}р3] + *1} + А|| =
= ^-{Рзмз — М2р2 + р2М2 - р3М3} = 0.
{м 1, w2} = ± {Ml, р3М1 - рМ + a [Ml, А) =
- [{^1, Рз} М, - {Mv М3} Р1] + {Ml, х2} =
m | х ।
1 az
- [- + ^1^21 + Й1 = жз-
ч. I]
g 34. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ФАЗОВОГО ПРОСТРАНСТВА
319
Точно так же вычисляются остальные скобки {Mh W), Получаем
следующую таблицу скобок Пуассона:
W2 W3
АЛ 0 W9 -W2
м2 -W3 0
м9 -W, 0
(29)
Аналогичное, но более длинное вычисление позволяет найти
попарные скобки вида {Wh W) при постоянном уровне энергии
Я(х, = Будем иметь
{Жп Ж2} = -М3, {W2, w3} = -^ М12
(30)
Видно, что структура алгебры Ли функций Wit) при постоян-
ном уровне энергии Н = Е существенно зависит от этого уровня
энергии (см. задачу 3 ниже).
3. Канонические преобразования. Пусть имеется произвольная
гамильтонова система с гамильтонианом Н р):
ОН * ОН
Xх в Р; --------------Ь
dPi 1 dxx
1 = 1,
п
Теорема 4. Форма й » 2 dxx Л сохраняется в силу
t=i
гамильтоновой системы:
Й = 0. (31)
Доказательство. Чтобы вычислить производную формы
й вдоль векторного поля (т. е. производную Ли Q = LvhS2),
нужно воспользоваться следующими фактами (см. § 23, п. 2);
(й, л я2)* = й, Д й2 + йг л яг. (32)
(*) - d - — dz> + dPi, (33)
----sl!Ldxl—(34)
< \дхг) dxx dx? dx1 dPj v f
320
ГЛ. 5. ЭЛЕМЕНТЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
(Ч. 1
Поэтому
(2di' л - 2 ы л d?t + T^dp> л dp, -
-dxl л - dx‘л - °-
так как внешнее произведение кососимметрично. Теорема до-
казана.
Следствие (Лиувилль). Фазовый объем любой области в
(х, р)-про ст ранет ее сохраняется гамильтоновой системой.
Доказательство. Так как Й=0, то из формулы (32) вы-
текает, что (й Л ••• Л ^)‘ “0.Согласно лемме 2 элемент объема
в фазовом пространстве как раз имеет вид n-кратного внешнего
произведения формы Й на себя. Следствие доказано.
Определение 3. Преобразование Ф: 1Р2П—>0?2л фазового
пространства (х, р) в себя называется каноническим, если оно
сохраняет кососимметрическое скалярное произведение (т. е.
если форма Й переходит в себя).
Другими словами, канонические преобразования — это движе-
ния кососимметрической метрики, В силу теоремы 4 сдвиг вдоль
траекторий гамильтоновой системы с гамильтонианом Н(х, р)
дает однопараметрическую группу канонических преобразований.
Верно и обратное. Пусть дана произвольная локальная однопа-
раметрическая группа канонических преобразований Ф((х, р)=*
у аФ‘
иусть X = —
— соответствующее вектор-
<=0
ное поле.
Теорема 5. Найдется локально однозначная гладкая функ-
ция Гамильтона Н(х, р), по отношению к которой векторное
поле X гамильтоново, г. е. имеет вид
(ОН
уЗр* дх Г
Доказательство. Пусть в координатах (х, р} поле X
имеет вид X — (4\ Bi), i»l, ..., п. Рассмотрим сдвиг на малое
время Д£. Имеем
(xi~^xi + А1 (х, р) &t + О (Д£2) = х*\
Pi -► Pi + Bi (х, р) М + О (Д£2) = Pi.
Условия теоремы требуют сохранения кососимметрической мет-
рики:
2 dxv Д dpx = 2 Л dpi*
4. I]
§ 34. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ФАЗОВОГО ПРОСТРАНСТВА
321
Поэтому
(dx1 + (cL4*) Д Д (dpi + (dBi) kt) = dxiT Д dp\ =-
dx{ f\ dpi + kt
dA* дАг dB,
—-dtf Д dpi + —dpj /\dpi+ — dx' Д dp, +
dxJ dp- dp.
OB. .
—rdxz
dx3
/\dxi +О(ДГ2)
Отсюда
,\ dAl 7*7 л дАг
дВ; dB,
2) —1-dxi /\dxi = 0^—±
' Ox3 dx3
dA}
dPi
dx1
a 4* SB, а д1
8) -yy dx3 /\dPi^--g— dx^ A dp, ++ —p
dxJ oxr
dB1
dPj
Если Az = ~d^-£ Bi -------^-т-Л то эти условия выполнены. Об-
ратно, из этих условий видно, что форма j4fJpf— В£х* является
полным дифференциалом (по теореме Грина), и можно положить
<х,Р)
Н(х, р) = J (— Btdxz + Теорема доказана.
(х0,р0)
Замечание. Явно зависящие от времени гамильтонианы
Н (х, рч t) дают однопараметрические семейства Ф канонических
преобразований, но пе группу +f =^=Ф^ <> Ф^).
При п = 1 сохранение формы Q = dx Д dp равносильно со-
хранению площади в (г, р) -плоскости. Поэтому класс канониче-
ских преобразований здесь сводится к классу преобразований,
сохраняющих площадь. При п > 1 канонических преобразований
меньше, чем сохраняющих объем (может оказаться, что форма
й Д ... Дй сохраняется, а форма й не сохраняется).
Линейные канонические преобразования фазового (я, /^-про-
странства К2П называются симплектическими, При п = 1 группа
всех симплектическпх преобразований совпадает с SL (2, 0?). Ли-
нейные канонические преобразования мы получим, если Н(х, р) —
квадратичная форма:
п
я = 4" 2 (aHxixi + Ьцх;Р1 + CijPiPj). (35)
i.j=l
Соответствующая этой форме симметрическая матрица имеет вид
(А В\
L А=(ац), 5 = (fefj), С = (с^), где матрицы А и В сим-
21 б. А. Дубровин и др.
322
ГЛ. 5. ЭЛЕМЕНТЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
[Ч. J
метричпы. Если у = (х, р), то гамильтонова система имеет вид
у=Ку, Я = (Д JpT). (36)
Таким образом, матрицы К из алгебры Ли группы симплекти-
ческих преобразований имеют вид (36). Эта алгебра Ли совпа-
дает с алгеброй Ли квадратичных гамильтонианов (35) отно-
сительно скобки Пуассона. Простейший пример квадратичного
2
гамильтониана дает гармонический осциллятор, где Н — + та^х2*
«о—частота. Поэтому квадратичные гамильтонианы называют
также обобщенными осцилляторами.
Задачи. 1. Векторному полю X на конфигурационном про-
странстве поставим в соответствие функцию Fx на фазовом про-
странстве, полагая Рх=р{Х\ Показать, что {Fx^ Fr} = —F{x rv
2. Пусть функция f = f(x) на фазовом пространстве не зави-
сит от импульсов р. Показать, что
{/, Fx} = dxf.
3. Доказать, что в кеплеровой задаче алгебра Ли интегралов
Wh Mi при фиксированной энергии Е изоморфна:
а) при Е < 0 — so (4),
б) при Е = 0 — алгебре Ли группы движений в R3t
в) при Е>0 — so (1, 3).
4. Пусть Q = gik.dyi Л dyk — симплектическая метрика, X =»
= (ХЙ) —векторное поле. Проверить, что форма g^X^dy* замкну-
та, если и только если производная Ли вдоль поля X формы Q
равна нулю: Ьх& = 0.
5. Пусть Л/я, Л/у, Mi — определенные в п. 2 интегралы мо-
мента, М2 = М* + Му + Ml. Проверить, что
{М\ Мх} = {М\ Му} = {М\ MJ = 0.
6. Пусть М = (М^ М2, Л/9) = [^, р]. Показать, что функции
р<, Mi образуют относительно скобки Пуассона алгебру Ли, изо-
морфную алгебре Ли группы движений трехмерного евклидова
пространства (см. задачу 9 к § 24).
7. Пусть ga = —ga — невырожденная кососимметрическая мат-
рица, задающая кососкалярное произведение в пространстве R2n.
Показать, что размерность линейного подпространства в R2n
с нулевым ограничением этого кососкалярного произведения не
превосходит п.
8. Пусть в фазовом пространстве с каноническими координа-
тами х1, ..., х", pi, ,.Рп введены новые координаты X1,...,
„ n OS (z, X) п OS (.г, X) . л
Р Рп так, что Pi — ——л Pi — - —: л i — 1х .» «х
ох* оЛ.*
ч. I]
fi 35. ЛАГРАНЖЕВЫ ПОВЕРХНОСТИ
323
где S(x, X)—некоторая гладкая функция переменных х\ X*
(пусть det^S/Sx^X^^O)’. Доказать, что новые координаты так-
же канонические. (Функция S(x, X) называется производящей
функцией канонического преобразования (х, р) \Х, Р).)
§ 35. Лагранжевы поверхности
1. Пучки траекторий и уравнение Гамильтона — Якоби. Для
различных целей существенно знать свойства не индивидуальной
траектории гамильтоновой системы, а целого пучка траекторий.
Более точно, постановка вопроса такова: рассмотрим при £ = 0
поверхность Г размерности п в 2тг-мерном фазовом пространстве
(х, р), заданную как график:
р< = /<(х1, х”}, 1 = 1, п. (1)
Каждая точка поверхности Г будет двигаться вдоль траекторий
системы с гамильтонианом Н(х, р, t); в момент времени £>0
получится сдвинутая поверхность Г(, а
Го = Г. Удобно рассматривать совокуп-
ность поверхностей Г( как (п + ^-мер-
ную поверхность в расширенном фазовом
пространстве (х, р, t, Е); точки (x(t),
p(t), Е (t), t), Е = Н(х, р, £), дадут поверх-
ность Гп+1, сечение которой уровнем £ = 0
есть Г и которая состоит целиком из
траекторий, начавшихся в Г. Нам, однако,
понадобится несколько более широкий
класс подобных поверхностей.
Например: пусть Г = Го есть поверх-
ность x — xQ (импульсы любые, рис. 35);
мы получим в качестве Гп+1 пучок всех
траекторий, расходящихся из точки xQ во все стороны. При t = 0
поверхность Го не задается как график функции p=f(x), но при
i>0 она может быть таким графиком (хотя бы локально).
Определение 1. Поверхность Г в фазовом пространстве
(х, р) называется лагранжевой, если для всех кривых 7 на по-
верхности Г, начинающихся в любой точке Q е Г, укороченное
действие S — f р dx является локально однозначной функцией,
V
зависящей лишь от конечной точки пути у.
Определение lz. Поверхность Гп+1 в расширенном фазо-
вом пространстве называется лагранжевой, если для всех путей
7 на Г"*1-1 с началом в точке Q действие 5 = J (pdx — Edt) (где
v
Е = II (х, р, t) на поверхности Гп+1) является локально однознач-
ной функцией конечной точки.
21*
324
ГЛ. 5. ЭЛЕМЕНТЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
[Ч. 1
Лемма 1. Поверхность Гп (соответственно Г"*1)’, имеющая
вид графика р< — (<{х)^ где i = 1, ..., п (или i = 0, 1, .п для
Г71*1, = х° = /), является лагранжевой в том и только в
том случае, если
^Г=Рг (дляГп\ (2)
dS (х, i) dS (х, t) „
дхг -=Pi u —----------=~H(x,p, t) (3)
или
—}x’*- = - H (x, Л {для Г’,+1).
dt l дх I
Доказательство. Пусть S — локально одпозпачная функ-
ция. Так как S = j р dx — Н (xr р, t) dt по определению, то dS =
— pdx — Н dt. Отсюда следует р=-Ц-, —И = Обратно, если
^5 ТГ OS V Q
р = — п = то функция о локально однозначна по тео-
реме Грина. Лемма доказана.
Действие S (xt t) мы назовем действием пучка траектории,
а уравнение
4- Н xf -7Г-, t = 0 (4)
dt I 1 dx 1 J ' '
— уравнением Гамильтона — Якоби.
Если функция S(x, t) известна, то поверхность ГпМ задается
dS „ dS . ,
уравнениями р =—« £ = — а ее сечение t = t0 есть поверх-
ность Г?, получающаяся из Г = Г0 движением по времени вдоль
8Н • dti
траектории гамильтоновой системы р =--------х =
Дадим теперь другое определение лагранжевой поверхности
в фазовом пространстве (х, р) (или в расширенном фазовом
пространстве (х, р, Е, £)) .
Определение 2. Поверхность Г размерности п в фазовом
пространстве называется лагранжевой, если кососимметрическое
скалярное произведение любых ее касательных векторов равно
нулю (т. е. ограничение формы Q = на Г равно
г
нулю).
Это определение лагранжевой поверхности геометрически ин-
вариантно и не требует, чтобы она была представлена в виде
графика функции р< == /< (х\ ..хп).
Простейшие лагранжевы поверхности имеют вид:
а) Гх ={х=х0, импульсы любые);
б) Гро ={р = /?о) координаты любые).
4. I]
§ 35. ЛАГРАНЖЕВЫ ПОВЕРХНОСТИ
325
Очевидно, при канонических преобразованиях лагранжевы
поверхности переходят в лагранжевы. Таково, например, преоб-
разование х -> р, р -> — х\
Q = dx1 Д dpt -> — dp{ Д dx1 = dx' Д dp{ = Q.
При этом поверхности ГХ(1 и Г?о поменяются местами.
Теорема 1. Если лагранжева поверхность в смысле опреде-
ления 2 задана в виде графика Pi = fi(x), то найдется функция
S (х) такая, что ft = и обратно.
Доказательство. Если поверхность Г задана уравнения-
ми = то ограничение формы й на Г имеет вид
£2 |г = 2 dx1 A dp. (х) = 2 dx1 Д —у dx^
(Of* df • \ д f
—j-----pPdx1 /\dx\ Если Q|r = 0, to 4s
dzJ для / dxJ
f
e==—Это условие необходимо и достаточно для того, чтобы
дхг
ос
интеграл S (х) = J fi (х) dx' давал функцию, не зависящую от пути
*0
(формула Грина). Отсюда и следует нагие утверждение.
Аналогичное утверждение, очевидно, имеет место и для рас-
ширенного фазового пространства (х, р, Е, t).
Пусть Н = Н(х, р) не зависит явно от времени. Тогда имеет
место
Теорема 2. а) Вектор \/Н = = (х, р) касается
поверхности Н = Е9 = const;
б) вектор V Н имеет нулевое скалярное произведение со всеми
векторами, касательными к уровню энергии Н = Е^
в) любая п-мерная лагранжева поверхность, лежащая на уров-
не энергии Н(х, p)=EQ, имеет вектор VII своим касательным
вектором во всех своих точках. В частности, она целиком содер+
жит траектории гамильтоновой системы с гамильтонианом //,
имеющие с ней хотя бы одну общую точку.
Доказательство. Необходимое и достаточное условие
касания вектора £ к поверхности Н = Ео дается уравнением
^4т = 0’ У = (х, р)- Поэтому
дуг
s/ну = = 0.
326
ГЛ. 5. ЭЛЕМЕНТЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
14. I
Утверждения а)', б) доказаны. Докажем утверждение в)\
Пусть Р — точка лагранжевой поверхности Г (размерности п),
лежащей целиком на уровне энергии Н(хч р) = ЕОч и —
базис касательного пространства к поверхности Г в точке Р.
По условию лагранжевости имеем = 0. Рассмотрим век-
тор V Н в точке Р. Из б) следует, что <v Я, = 0, i = 1, ..., п.
Скалярное произведение невырождепо (detgij^O). Поэтому
(Напомним, что линейное пространство с нулевым
i
скалярным произведением имеет размерность не более п.) Сле-
довательно, v Н касается Г. Это верно во всех точках поверх-
ности Г. Поэтому траектории гамильтониана Н во всех точках
из Г ее касаются (и, значит, на ней лежат). Теорема доказана.
Следствие. Рассмотрим любую лагранжеву поверхность
Sn~i размерности п — 1 на уровне Н(хч р) — Е0. Из всех ее точек
проведем траектории гамильтоновой системы в (х, р)-простран-
стве. Предположим, что получающаяся поверхность будет п-мер-
ной. Тогда эта п-мерная поверхность Гп будет лагранжевой и
будет лежать на уровне энергии Ео. Если (локально) поверхность
Гп задается уравнением
Pi = ft U) =~-~Ь (5)
1 дхг
то функция S0(x) удовлетворяет укороченному уравнению Га-
мильтона — Якоби
( 0S \
(в)
При этом функция S (х, t) = \р dx — Н dt имеет вид
S(z,t) = ~Eot + So(x), _^ = н(х,£).
2. Случай гамильтонианов, являющихся однородными функ-
циями первого порядка от импульсов. Следует отдельно остано-
виться на особенностях гамильтонова формализма для гамиль-
тонианов Н(х, р), являющихся однородными функциями первого
порядка от импульсов:
Я(я, Кр)=*МЦх, р)\ Х>0. (7)
Например, для лучей света в изотропной среде мы имели гамиль-
тониан Я (я, р)» с(х) |р|. Такие гамильтонианы определены
лишь при р 0, и достаточно знать лишь траектории при одном
уровне энергии Н = Ей (например, Z?0 = l). Остальные траекто-
рии получаются из них подобием р -*• Хр, Я ХЯ,
Заметим также, что геодезические в метрике g^(x} мы обыч-
но получали из лагранжиана L = которому отвечает га-
мильтониан Я = g'lpiPj, но они получаются также из гамильто-
я. Л
§ 35. ЛАГРАНЖЕВЫ ПОВЕРХНОСТИ
327
ниана Н' = ПН = ^gi3PiPj (па уровне энергии Н = const соответ-
ствующие уравнения Гамильтона пропорциональны с постоян-
ным множителем). Здесь также Я'(х, *кр)=^Н' (х, р), Х>0.
Теорема 3. Если (локальная) однопараметрическая группа
преобразований Ф( получена из гамильтониана Н(х, р) такого,
что Н(х, = р) при Х>0, то все преобразования Ф*
сохраняют форму р dx = p^dx\
Доказательство. Рассмотрим преобразования ФД( при
малых Д£. Имеем
, дН A* i i' 7 г дН А/
= р. —х1->хг =х‘+ -^-А^
dx -> dx'' = dx' + Ai d I
Эти равенства верны с точностью до О(Д£2), так как (с той же
точностью)
фд< Щ) = р\ = Pi + PjAi,,
Фд* (х) — Xе == Хг + x‘lkt.
Для формы p dx
p\dx'r = fp{ — kt f dx1 + kt d
л i , А . Г ОН , i , / дН \1 ,
== p.dx + ДМ---------dx + p.d ——) Н
г L г \д#г
ГГ л! дН\ л( дИ\ дН Л
Так как p.d ) = d —J - — dp., то
р dx' + Aif — dH + dip 4—Я + О (Ai2)
Pidx
или
pf dx’ = pdx+ kt df + О ,
где f == p-^ — H=; L. Если H(x, Xp)^)JI(x, p), to
дН дН[z, Лр) tj e v
= —й—РУ
Таким образом, pf dxf — pdx + O(kt2)* это показывает, что произ-
водная Ли -^-{pdx) равна нулю, т. е. форма pdx не меняется
с течением времени. Теорема доказана.
Определение 3. Поверхность Г в фазовом пространстве
называется конической лагранжевой поверхностью, если ограни-
чение формы pdx на поверхность Г тождественно, равно нулю.
828
ГЛ. 5. ЭЛЕМЕНТЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
[Ч. I
Из теоремы 3 вытекает
Следствие. Гамильтоновы системы, у которых Н(я, Zp) =
р), сохраняют класс конических лагранжевых поверх-
ностей.
Поверхность Гх<) (х == xof импульсы любые) является кониче-
ской, так как на ней pdx = 0. Наоборот, поверхность (р —
= Ро^=О, координаты любые) не является конической (pdx^O).
Для любого гамильтониана, удовлетворяющего соотношению
II(г, \р) = \Н(х^ р), с поверхностью ГХ(1 связывается важный
пучок траекторий, выходящих из одной точки. Рассмотрим
(п—1)-мерную поверхность II = Е^ внутри ГХо; эту поверх-
ность размерности п — 1 мы обозначим через Sj”1. Рассмотрим
все траектории с началом только в точках из 5Х~Х. В любой
момент t > 0 получим поверхность 5Х”Х (О*
Определение 4. Фронтом волны в момент i>0 для пуч-
ка траекторий, выпущенного при t = 0 из точки я0, называется
проекция фазовой поверхности 5Х”Х (i) в ^-пространство (это —
поверхность размерности п — 1 в я-про-
t-fy страпстве, зависящая от времени t).
Очевидно, в момент t = 0 проекция по-
/ верхности Sx”1 (0) в ^-пространство есть
vxK одна точка я0 (по определению).
J Для поверхностен фронта волны имеет
j /\1 А место «принцип Гюйгенса», позволя-
\ I Л1 10ЩИ11 получить поверхность фронта при
\ ii > i0 > 0 из поверхности фронта в мо-
' J я мент i0. Оказывается, для этого нужно
У] взять поверхность фронта при i = i0; да-
—лее, с центрами (или началами) во всех
ее точках нужно рассмотреть поверхности
фронтов, отвечающие времени — i0. Оги-
Рис. 36 бающая всех этих поверхностей и есть
фронт волны в момент tx (рис. 36).
Пусть теперь имеется произвольная коническая поверхность
Гп, т. е. поверхность, для которой р dx |гп = 0.
Лемма 2. Проекция поверхности Гп в х-пространство имеет
размерность — 1.
Доказательство, ^-компоненты касательных векторов на
Г связаны линейным соотношением р dx = 0. Поэтому размерность
касательного пространства к проекции не превосходит п — 1.
Лемма доказана.
Таким образом, поверхность Гп нельзя даже локально задать
в виде графика Pi = fi(x) и связать с ней функцию S(x). Поэтому
4. I] § Зв. ВТОРАЯ ВАРИАЦИЯ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ 329
мы, как и для разобранного примера поверхности ГХо,: выделяем
внутри Гп часть Н(х, р)=Е01 обозначаемую Согласно лем-
ме 2 мы моЖем выпустить пучок траекторий из S71”1 и получить
лагранжеву поверхность Гп = U (£) па поверхности
—oo<t<«3
уровня Н(х* p) = Eq, целиком состоящую из траекторий. Поверх-
— д 50
пость Г’1 уже может иметь (локально) вид Для функ-
ции SQ(x) имеем укороченное уравнение Гамильтона — Якоби
( (х)
Е0 = Н\х,
0 \ ’ дх
(8)
Эту операцию можно сделать, если гамильтониан не зависит от
времени.
Поскольку поверхность Гп является конической, то форма pdx
равна нулю на Следовательно, эта форма равна нулю так-
же на каждой поверхности 5n_J(0 (в силу теоремы 3). Поэтому
р
функция So (Р) == р dxfi задающая лагранжеву поверхность Гп,
А)
постоянна па поверхности *Sn_1 (f)’ с любым t, Кроме того, Гп
/ dlSo \
лежит на уровне энергии Н =EQ. Поэтому £0= Hlx^-^-j.
Таким образом, поверхности уровня S0(x)== const точно
совпадают с проекциями поверхностей в ^-пространство.
Итак, доказана
Теорема 4. Поверхности уровня SQ(x) = const определен-
ной выше укороченной функции действия 50 совпадают с по-
верхностями фронта волны.
Задача. Пусть в фазовом пространстве R2n заданы п неза-
висимых функций /Дх, р), ..., ]п(х* р), которые попарно комму-
тируют: {/,, /f} = 0. Показать, что поверхность, задаваемая в R2?i
системой уравнений Л = 0, .,fn = 0, лагранжева.
§ 36. Вторая вариация для уравнения геодезических
1. Формула второй вариации. Мы вывели в § 31 уравнения
Эйлера — Лагранжа
65 = dL_______£ — 0
дх* dt ( J *
для экстремалей функционала
s [у] — П (я,
V
*.т
(1)
(2)
выполнение этих уравнений является необходимым условием того*
330
ГЛ. 5. ЭЛЕМЕНТЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
[Ч. I
что вдоль некоторой кривой у функционал S [7] имеет минимум
среди всех кривых, начинающихся в точке Р и кончающихся
в точке Q. Как найти условие того, что кривая 7: {х* = х’(£)}
действительно дает минимум, если она удовлетворяет уравне-
ниям Эйлера — Лагранжа?
Как мы знаем, для функций многих переменных /(х1, ..., я*)'
необходимым условием для того, чтобы точка Р была миниму-
мом, является условие
2LI =о, г = 1........N.
дхг |р
а достаточным, при соблюдении предыдущего условия,— поло-
жительная определепность квадратичной формы 7- .dxda?
дх^дх1
в той же точке Р. Поэтому для нахождения минимума для S [7],
где 7 удовлетворяет уравнениям Эйлера — Лагранжа, необходимо
вычислить аналогичную второму дифференциалу билинейную
форму (вторую вариацию)
^5[? + 1| + Иг]]
x=o = Gv(l,n) = Gv(na)t (3)
Jl=0
где т), £ — векторные поля, заданные на кривой 7(£)’ и обраща-
ющиеся в нуль в точках у(а) = Р и —
Лемма 1. Если 7: {х* = х*(1)} удовлетворяет уравнениям
Эйлера — Лагранжа, то имеет место формула
ь
1) - J(W‘. (4)
ц=0 а
где
i И “ -^5 ~ ПЛ (5)
® \ дхгдх? дхгдх? / дх1дх3 дх дх
Доказательство. Используя формулу первой вариации
(см. § 31), имеем
d2S [у + U +
0К дц
S [у + XI + pH
1А=0
б
д f / dL d dL \ I
~ ~ d*k=0 ==
[JA=0j |Х=0
ь
а
-^1 - 4 (+ -~r-. rfdt.
дхгдх \ дхгдх3 дхгдх3 ))
Лемма доказана.
я. I]
§ 36. ВТОРАЯ ВАРИАЦИЯ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ 831
Определение 1, Линейный оператор J, действующий на
векторные поля £(£), заданные вдоль кривой 7, называется опе-
ратором Якаби.
Мы разберем только один пример, когда уравнения Эйлера
Лагранжа совпадают с уравнениями геодезических. Здесь удобно
брать действие в виде
ь
5 = J A g..x'z’dt (6)
(а не функционал длины I = J V g^^dt* хотя они и имеют
одинаковые экстремали). Имеет место
Теорема 1. Билинейная форма д S |х_0 = (£1 В)
и=о
ь
для S ~ £цх'х^ и любой геодезической у: xi = xi(t} име-
а
ет вид
' ь
Gv & П) = - J (Via* + z’x^RljM) ^g.mdtt (7)
a
или
b
Gv(^n) = -J<^n><A. (8)
a
где
+ z'z^R1^ (9)
7?1 — тензор кривизны, t — натуральный параметр вдоль геоде-
зической у.
Доказательство. Для лагранжиана Б = — gM&xi форму-
ла первой вариации имеет вид (см. § 31)
ь ь
A- S [у + Ц] |х=о = - f (> + г?^) gh£dt = - f /V. dt.
ил J jj X x /
a a
Поэтому
Л2
ет5[у + ^ + И!1]|^о-
b b
J\Vi n/dfL=o=_ J{<?eV;^ ^/dt + \v;^ v&y\dt.
832
ГЛ. 5. ЭЛЕМЕНТЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
14. I
Второе слагаемое под интегралом есть пуль на кривой у в силу
уравнения геодезических; V . х = 0. Преобразуем первое слагае-
мое. Имеем
V?.V. — V. V =/? (я, g), vi = v.g
ж х С ' ' £ X
в силу симметричности связности. Окончательно получаем
• 2 * *
V V.я = V; g + В(Х, I) х,-
t х х
откуда и вытекает наша теорема.
Пример. Рассмотрим двумерный случай. Введем около гео-
дезической у(£) специальную систему координат (х, г/), х = х\
у = х\ такую, что:
а) линия (х, 0) есть сама геодезическая у и х — натуральный
параметр;
б) координата у ортогональна к геодезической, причем
£«(*, 0) = б„.
В этом случае билинейная форма GT(£, ц) для пары полей
£(£), Л(0» нормальных к у(£), имеет вид
ь .
Gv (£,. л) = - И -4 Г + К (0Г ) (10)
а \ at /
а
где К — гауссова кривизна. Заметим, что GT(g, ц) = 0, если хо-
тя бы одно из полей пропорционально касательному вектору
x(t) с постоянным множителем.
Замечание. Формулу второй вариации можно обобщить и
па случай «ломаных векторных полей», для которых производ-
ная V. | может иметь разрыв.
Задача. Докажите, что в случае ломаных векторных полей
билинейная форма GT (£, ц) имеет вид
Gy (Ъ л) = - 3 <Л>. Др; (V • g)> - У < Д, Л> dtf, (11)
?i а
где Др(^£) — скачок ковариантной производной в точке Р и сум-
мирование ведется по всем, точкам Л разрыва величины
2. Сопряженные точки и условие минимальности. Предполо^
жим, что метрика ga риманова. Условие минимальности геодези-
ческой у состоит в том, что квадратичная форма £) поло-
жительно определена на векторных полях, обращающихся в нуль
на концах геодезической у. Выясним сначала, когда билинейная
форма GT(g, ц) певырождена.
ч. I]
§ 36. ВТОРАЯ ВАРИАЦИЯ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ
333
Определение 2. Векторное поле § вдоль экстремали у,
идущей из Р в (?, называется якобиевым, если оно есть решение
уравнения Якоби /£ = 0и обращается в нуль в концах Р и Q.
В частности, для изучаемого случая S = J <.r, я) dt имеем
-Ф= V2.V+?iWj« = 0t f = l,п. (12)
X
Определение 3. Точки Р и Q называются сопряженными
вдоль геодезической у, идущей из Р в Q, если существует нену-
левое якобиево поле § вдоль кривой у.
Лемма 2. Билинейная форма G7(§, ц) невырождена тогда
и только тогда, когда концевые точки Р и Q геодезической у
не сопряжены вдоль у.
Доказательство. Напомним, что билинейная форма
GT(§, Л) называется невырожденной, если не существует такого
векторного поля §, что G7(§, ц) = 0 для любого ц (поля § и ц
обращаются в нуль на концах Р и Q). Если поле § якобиево, то
G7(§, ц)=0 при любом ц. Наоборот, пусть форма GT вырождена
па векторе §, т. е. G7(§, ц) = 0 для любого тр Рассмотрим ц =*
= &(£)/§, где функция a(t) неотрицательна и обращается в пуль
па концах (при t — а и t = b). Тогда пз формулы второй вариации
будем иметь
ь
Gv (I, 7]) = - j‘ а (0 <Пг Д> dt = 0.
а
Отсюда следует = 0. Поэтому концы сопряжены. Лемма до-
казана.
Докажем теперь следующее важное необ-
ходимве условие минимальности. 1
Теорема 2. Если геодезическая у9 иду- j
щая из точки Р в точку Q, содержит в нут- лСКу®
ри себя пару сопряженных точек Р', Q', то
эта геодезическая у не минимальна.
Доказательство (для случая, когда
точки Р и Q не сопряжены вдоль у). Тогда
билинейная форма G7(g, ц) не вырождена. /
Поэтому для минимальной геодезической /
квадратичная форма G7(§, §) должна быть
положительно определенной: GT(§, §)> 0, Рис* 37
если § не есть тождественный пуль. Пока-
жем, что при наличии сопряженных точек это требование не вы-
полняется. Пусть § — поле Якоби, отвечающее точкам Pr, Q'. По-
строим «ломаное поле» § между Р и Q, равное § между Р' и Q'
и нулю вне отрезка PrQ' (рис. 37). Тогда в силу форму-
лы (11)
GT(§, В) = 0.
334
ГЛ. 5. ЭЛЕМЕНТЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
[Ч. Т
Это противоречит положительности формы GT. Теорема до-
казана.
Теорема 3. На достаточно малом интервале длин геодези-
ческие дают минимум функционала действия S [*у] среди всех
гладких кривых, соединяющих те же точки. Поэтому каждая до-
таточно короткая геодезическая локально реализует кратчайшее
расстояние между точками.
Доказательство. Условие минимальности геодезической
7(0 состоит в том, что квадратичная форма G7(^, £) положитель-
на для всех векторных полей обращающихся в нуль на кон-
цах. В силу формулы (8)
ь
Gy а, £) = - J [<V^, & + <7? (i, 5) X, £>] dt =
а
Ь
= J [<V« I) X, £>]dt
а
(интегрирование по частям с учетом равенств £(а) = £(&) = 0)\
Для достаточно малого интервала длин AZ имеет место оценка
ь ь
(13)
v V х X
где с (AZ) — некоторая константа, зависящая от метрики gu и
длины AZ, причем c(AZ) стремится к нулю при AZ-> 0. Поскольку
ь
J<V.£, V.£>^>0,
а Х х
из этого вытекает наше утверждение.
Задача. Доказать неравенство (13). Указание. Если £(а)=з
= £(&) = 0, то |5|< const-maxIV.^lAZj где AZ=|6 —а|.
Глава 6
МНОГОМЕРНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ.
ПОЛЯ И ИХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ
§ 37. Простейшие многомерные вариационные задачи
1. Уравнения Эйлера — Лагранжа. Рассмотрим в евклидовом
пространстве с евклидовыми координатами ж1, ..., хп об-
ласть D с гладкой (пли кусочно гладкой) границей dD. Рассмот-
рим линейное пространство F гладких вектор-функций на D:
F = {/(ж1, .,хп); / = {/\ ...» У*1)). Область D мы будем называть
областью изменения параметров ж1, ..хп. Рассмотрим гладкую
функцию L (я13;от трех групп переменных: 1 р п;
р\ 1 <j к; 1 а п. Функцию L назовем лаг-
ранжианом и построим функционал I [/], определенный на Т7,
следующим образом:
/[/]=[ L (?; f (х₽); /*а (/)) Д ... Д dxn,
ь
где [ обозначает кратный интеграл J J по n-мерпой обла-
Ь D
сти D (для простоты будем считать, что область D ограничена в
Rn); dz1 Л ... Л dzrt = dnz есть n-мерная форма объема в
= —^(/1 (а'Р))-С°кращенно будем записывать I[/] так:
х дх
ь
Простейший случай: п=1 (одномерные вариационные зада-
чи) был уже рассмотрен ранее: например, функционал длины дуги
1__________________—
Ит) = J У gij(y)yiu1 dt, и функционал действия пути ^(t), =
о
1
— У gij (у) УгУ? dtx определенные ла кусочно гладких кривых
7(i) = (у1 G), У*(£)) в римановом пространстве.
Нас будут интересовать в этой главе многомерные функцио-
налы: п>1. Простейшим примером служит функционал площади
взв
ГЛ. в. МНОГОМЕРНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ
[Ч. I
на двумерной поверхности, I [/] « J J VEG — F2 dxdy, где D cz
D
cP(z, у) — область изменения параметров х, у; f(x, у) = (и1(х,
у), и2(х, у}, и3(х, у))—двумерная поверхность в R3 (и1, и2, и3)
с индуцированной метрикой dl2 = Е dx2 + 2F dxdy + G dy2\
L{x, у; /; A, /V)==L(/X, = =
= V<A, A><A, A>-<A, A>%
Вернемся к рассмотрению функционалов общего вида.
Рассмотрим «точку» f^F (F — область определения функ-
ционала I), Пусть ц—гладкая функция, заданная на области D
и являющаяся финитной, т. е. равной нулю вне открытого мно-
жества, замыкание которого целиком содержится в D. В частно-
сти, будем считать, что ц == 0 на границе 3D области D. Вообще
для наших целей достаточно рассматривать функции с достаточ-
но малым носителем. Назовем такие функции возмущениями
функции А если Здесь е — малый параметр. Теперь
строим выражение —(/[/ + ер] — I [/]) и, переходя к пределу
(по е), получаем функцию
| = f у dnx, V = n* (1)
cfe le=o J bf v '
которую естественно назвать «производной функционала
, п 67 / 67 \
ке / по направлению тр>. Вектор — =^—ri
I в точ-
л определяемый ра-
венством (1), называется вариационной производной функциона-
ла I [/].
Определение 1. Функцию f0^F мы назовем стационара
ной (или экстремальной, критической) функцией для функциона-
ла 7, если —^-^т, е. выражение (1) обращается в нуль для
любого финитного возмущения ц = 6/ такого, что / + F.
„ „ 6Z [/0]
Перейдем к аналитическому исследованию производной ——1
67 [/] - [ [Z (z₽; f + etf; + en‘a) - L (xp; ?;/’«)] <Fx.
Разлагая подынтегральное выражение в ряд Тейлора, получим
п г A h п
«и-J 2^+22^
г и=1 °7 i=i а=1 °7Х«
+ о(е)
о (е) (Тх,
Ч. П
§ 37. ПРОСТЕЙШИЕ МНОГОМЕРНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ 337
Проинтегрируем по частям. Получаем
61 [f] = S
—г- и ] d х +
„ k /
В Г УI _
J I
D \
D
В первом интеграле интегрирование по переменной ха можно
отделить от интегрирования по всем остальным переменным
х\ л.х\ ..х\ Получаем
гО
(Р и Q зависят от х\ .хл9 .хп\ d11 Ax = dx1 /\ ... Д dx* Д
Q
Дйя”)* Поскольку во впутреппем интервале J на переменные
________ р
х\ ..., ха, ..., хп можно смотреть как на параметры, то по-
лучим
так как rf (С)=== rf (Р)==0 (см. выше). Итак,
k г п ~1 /»
« И Ч .?> - 2 £ (^)J J»(«)
Отсюда
6Z [/] _ dL_ _ V (9 ! 9L \
W ~ др ^/’а J
(2)
так как lim— I o(^)dnx— О
е^о Ч
Если —стационарная (экстремальная)’ функция для
^[/]i то для любого финитного возмущения ц выполнено тож-
дество
22 Б. А. Дубровин и др.
838
ГЛ. 6. МНОГОМЕРНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ
[Ч. I
откуда
6/[/]
6?
- 2 A f = о (1 < I < ку
эг ^дх^д/^
(3)
Система дифференциальных уравнений (3)’ называется системой
уравнений Эйлера — Лагранжа для функционала Д Оформим
предыдущие результаты в виде теоремы.
Теорема 1. Функция f0^F является стационарной для
функционала I [/] тогда и только тогда, когда она удовлетворяет
системе уравнений Эйлера — Лагранжа (3).
2. Тензор энергии-импульса. Рассмотрим функционал вида
1 If] = Д dnx, у которого лагранжиан L не зависит явно
от переменных 1 i п. Экстремальные функции f (описы-
вающие «движение системы») являются решениями системы
уравнений Эйлера —Лагранжа
А= о. (4)
Э/г [df^ )
Поступая далее по аналогии с тем, как поступают в механике
при выводе закона сохранения энергии, выполним следующие
преобразования:
дБ = дБ_д^_ дБ 9 ,
дх* dfk дх* dfah дх1
Xя
Подставляя сюда (4)', получаем
дБ = д_/ дБ \ dfa дБ 9
дх* dxh
Так
то
В то
ал _ а ( дЬ \ дС j. dL . JL
дх1 ~ dxh ( df\ 1 дх' + dj\ dxh
дБ дБ
же время —-г =» oi —а потому
дхг дхл
дБ д / дБ
—г 01 —г I ---
dxh дхл i dfa.
т. е,
JL = 0.
\ Xя 1
(5)
4. I] g 37. ПРОСТЕЙШИЕ МНОГОМЕРНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ 339
Введем обозначение
(6)
— — 6-д
Тогда соотношение (5)’ примет вид
дТ^
дх^
0.
(7),
Это уравнение означает, что дивергенция тензора Т* во всей
области D равна нулю.
Замечание. Верхние и нижние индексы в евклидовых
координатах неразличимы. В псевдоевклидовом пространстве с
метрикой gn можно определить тензор Tih следующим образом:
Tih =gklfaxi- gihL = gMT\. (8)
Определение 2. Тензор Т\ называется тензором энергии*
импульса данной системы (с лагранжианом £(/, /xa)).
дТ^ л
Уравнение —= 0 не определяет однозначно тензор энер-
дх
гии-импульса. В самом деле, к тензору определенному фор-
мулой (6) или (8), можно добавить сумму вида ууф? л где
— любой тензор, кососимметрический по индексам к, I. Тогда,
-й k
очевидно, новый тензор также удовлетворяет
дх
д2^
соотношению (7), поскольку у^у = 0.
Определенный выше тензор 7\, вообще говоря, не симметри-
чен, однако если рассматривать его с точки зрения уравнения
(7), то его можно сделать симметрическим (с сохранением (7))
путем добавления соответствующего кососимметрического (по /, к)
тензора вида Д^ш)* (Достаточно потребовать, чтобы косо-
‘j дх
симметрическим по i, к был тензор фш, т. е. чтобы этот тензор
был кососимметрическим по всем своим индексам). Однозначное
определение тензора энергии-импульса как симметрического тен-
зора играет особую роль в некоторых физических вопросах
(см. об этом ниже).
В дальнейшем основные приложения понятия тензора энергии-
импульса будут у нас сосредоточены вокруг вариационных задач
в четырехмерном псевдоримановом пространстве — в частности,
пространстве Минковского Rt?j отнесенном к координатам х\
22*
840 ГЛ, 6. МНОГОМЕРНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ [Ч, I
х2, х9, где х° пропорционально t (времени), а х\ х3— про-
странственные координаты.
Введем 4-мерный вектор импульса системы с лагранжианом
L. Для этого мы воспользуемся тензором энергии-импульса Tik.
Пусть dSk=* ^Zijmudx1 Д dx1 Д dx —стандартные 3-формы па
координатных трехмерных гиперплоскостях (см. задачу 3 к § 26),
Определение 3. Вектор Р = (Р0, Р2, Р3), где
Л = А j ThidSk, i = 0,1,2,3, X = const,
ос°—const
называется 4-вектором импульса (с нижними индексами) систе-
мы с лагранжианом L.
* dL
Замечание. Компоненту Tq = /а— L (точка обозначает
д/
производную по х° = ct) по аналогии с формулой для энергии
(31.7) следует рассматривать как плотность энергии. Поэтому
J Zod3x (d3x = dx1 Д dx2 Д dx3) есть полная энергия системы. Но
мы имеем для временной компоненты PQ из определения 3 сле-
дующее выражение: Ро = Л j Tjd3x. Обычно полагают
x°=const
X = 1/с, тогда компонента Ро совпадает с полной энергией систе-
мы, умноженной на 1/с (как и для 4-вектора импульса реляти-
вистской частицы — см. § 32),
Утверждение 1. Условие —г == 0 эквивалентно условию
дх*
сохранения вектора импульса Р.
Доказательство. Будем считать что рассматриваемые
поля / — решения уравнений Эйлера — Лагранжа — равны нулю
вне достаточно большого шара трехмерного пространства
(х1, х\ х3) (или стремятся к нулю быстрее чем 1/г2, где г2 =
= (х*)2 4- (х2)2 4- (х3)2). Рассмотрим цилиндр С в пространстве
Минковского, основания и D2 которого заданы уравнениями
xQ = Xi и xQ = х°, а радиус R достаточно велик. Пусть П — боко-
дТ^
вая поверхность цилиндра. Из условия =0 и формулы
Стокса следует, что J T^dS^ = 0 при каждом i. Поэтому
с
(.[ - J + Л т№к = 0.
Интеграл по боковой поверхности П можно не учитывать (стре-
мится к нулю, когда радиус цилиндра R стремится к бесконеч-
я. I] § 37. ПРОСТЕЙШИЕ МНОГОМЕРНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ 341
юности), При R -> оо получаем
Л(*!) = J Tfysh~ J Tldsh = pM).
хО—х®
Утверждение доказано.
Лемма 1. Вектор импульса системы не меняется при заме-
не Ti на Тк = Т\ + 2“г$е ipi* — тензор,
кососимметриче-
ский по k, Z.
Доказательство, Компоненты имеют вид
С /г С
% I IidSk; следовательно, надо доказать, что 1—rdSk = O.
_ J J дх
x°=CCnst
В силу косой симметричности по к, I имеем
Справа стоит интеграл вида рсо<-2, где со;2 есть 2-форма на
8
трехмерной поверхности 5, задаваемой уравнением х° = const.
В силу формулы Стокса £ cfo42) = [ где dS — двумерная
8 дЗ
замкнутая поверхность в S (граница, «удаленная на бесконеч-
ность»), а потому J <о-2) = 0. Лемма доказана.
QS
Если нам дана система с лагранжианом L, то ее тензор энер-
гии-импульса Тгк = g'*Tk в физически интересных примерах
можно сделать симметричным тензором, не меняя вектора им-
пульса. Пусть тензор Тгк симметричен.
Выведем из симметричности тепзора TiK так называемый «за-
кон сохранения момента импульса».
Определение 4. Моментом импульса называется тензор
Mih = J (x'dPh - ЛР!) = A J (х*Ты - xkTil) dSt.
x0=const
Здесь интегрирование выполняется по трехмерной области 5.
Эта формула является естественным обобщением классической
формулы для момента импульса, вычисленного для системы ча-
стиц (см. § 32)
Mih= ^(Ркх1 - Р1хк\,
где суммирование выполняется по всем частицам системы.
342
ГЛ, 6. МНОГОМЕРНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ
[Ч. I
Лемма 2. Если тензор энергии-импульса Т{к симметричен*
то тензор Мгк момента импульса сохраняется*).
Доказательство. Как и выше, мы должны доказать, что
Mih (хГ) = У [ - xkT11) dSt
С -01
совпадает с
Mik (4) = 4 J (?TW - хиТи) dSi*
D2
где Di и D2 задаются, например, уравнениями xQ = я®, х° =
В силу сделанных ранее замечаний и формулы Стокса достаточно
убедиться в том, что дивергенция подынтегрального выражения
в jf* равна нулю:
-^(х{Ты -xhTil) = O.
Вычисляя производные, получим
JL (Х1ТЫ — xkTil) = Тм — Tih = о
в силу симметричности тензора Тхк и уравнения
дТкг
дх1
= 0. Лем-
ма доказана.
Перейдем к конкретным примерам многомерных вариацион-
ных задач.
3. Уравнения электромагнитного поля. Уравнения электромаг-
нитного поля (уравнения Максвелла) являются уравнениями
Эйлера — Лагранжа для функционала действия 5 = + +
которое мы сейчас опишем. Слагаемое Sm — это та часть дей-
ствия, которая определяется только самими частицами (заряда-
ми)! движущимися в поле (т. е. Sm — это действие частиц в
отсутствие поля). Обычно это действие определяется так:
ь
Sm = — У! me { dlt где сумма берется по всем частицам, движу-
d
щимся в поле, т — масса частицы, с — скорость света, интеграл
ъ
j* dl берется вдоль мировой линии в !К1,з между двумя фикси->
d
рованными событиями: нахождением частицы в начальном и ко-
*) Правильнее было бы сказать, что общефизическое определение со-
храняющегося момента сведется к приведенной выше наглядной формуле»
если тензор эпергии-импульса симметричен.
ч. IJ
§ 37. ПРОСТЕЙШИЕ МНОГОМЕРНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ 343
печном положениях в моменты времени i2; I — длина дуги.
*2
Это действие можно представить в трехмерном виде: Sm = J Ldts
_________________________________________________ h
где L — функция Лагранжа, L = — тс2 1 — Лг, и — трехмер-
ная скорость (см. 32),
Слагаемое Smf — это та часть действия, которая обусловлена
взаимодействием между частицами и полем. Обычно это действие
определяется так: Smf == — 2 “Г ] Ak}dz\ где сумма берется по
О’) с J
всем частицам у, — заряды, интеграл берется вдоль мировой
лицин частицы (как и предыдущий интеграл). Свойства поля
характеризуются 4-вектором {AJ, который обычно называется
4-поте пциалом; его компоненты At зависят от времени и про-
странственных координат. В интеграле Smf значения вектора
{AJ вычисляются в точках мировой линии частицы у, вдоль
которой ведется интегрирование. Свойства частицы у с точки зре-
ния ее взаимодействия с электромагнитным полем определяются
только одним параметром — зарядом eh который и включен в
действие Smf. Итак, действие Sm 4- Smf для заряда в электромаг-
нитном поле принимает вид
ь
\ I — тс dl-— Akdxk\.
J l c J
Слагаемое Sf — это та часть действия, которая зависит только
от свойств самого поля; иными словами, Sf есть действие для
ноля в отсутствие зарядов. Слагаемое Sf несущественно, если мы
интересуемся только движением зарядов в данном электромаг-
нитном поле, но это слагаемое становится существенным,4' как
только мы ставим задачу о нахождении уравнений, определя-
ющих само поле.
Напомним, что три пространственные компоненты {А1, А2, А3}
4-вектора образуют трехмерный вектор А, называемый вектор-
ным потенциалом поля. Временная компонента А° имеет вид
А° = ф, где вещественная функция ф называется скалярным по-
тенциалом поля. Здесь индексы поднимаются при помощи мет-
рики Минковского.
Напомним также, что напряженностью электрического поля
называется вектор Е = —- grad (ф) (это трехмерный
вектор). Далее, напряженностью магнитного поля называется (по
определению) трехмерный вектор H^rot(A), Электромагнитное
поле, у которого Е=/=0, Н = 0, называется электрическим полем;
если же Е = О, Н ¥= 0, то говорят о магнитном поле.
344
ГЛ, 6. МНОГОМЕРНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ
[Ч. Г
Как обычно, обозначим через Fik —
*4
дх*
дЛг
дх^
тензор элект*
ромагнитного поля, Тогда действие Sf (см. выше) принимается
равным
Sf = а$2(Е2-Н2) d*x,
где Н2 == <Н, Н>, Е2 — <Е, Е> — скалярные квадраты трехмерных
векторов; а — некоторая постоянная; интеграл берется по всем
пространственным координатам и по всему трехмерному про-
странству, а по переменной х° (пропорциональной времени) —
между двумя фиксированными моментами. Напомним, что
F\ == FiflFlk = 2 (Н2 — Е2) (Fift — кососимметричный тензор)- По-
стоянная а обычно выбирается равной—1/16сл. Тогда
Sf = -J— f 2 (Н2 - Е2) d*x = - TpJ- f Fl^x.
7 16сл J х 7 16сл J
Итак, полное действие S для электромагнитного поля с нахо-
дящимися в нем зарядами имеет вид
У mc 2 J Т J FihcPx.
До сих пор мы рассматривали заряды как точечные, однако
иногда удобно считать заряд распределенным во всем простран-
стве непрерывным образом. Если р — плотность заряда, то тогда
р dV — заряд, находящийся в объеме dV = d3x (в трехмерном
пространстве); р зависит от я1, х\ х3 и времени t.
Рассмотрим мировые линии зарядов в RJ, и пусть есть
4-вектор скорости зарядов. Тогда 4-вектор где р = р пазы-
вается i-вектором тока.
Три пространственные компоненты у1, у2, у3 этого 4-вектора
образуют обычный трехмерный вектор тока j = pv, где v — ско-
рость заряда в данной точке. Составляющая р равна ср. Прямое
вычисление показывает, что в терминах вектора тока р действие
можно записать в виде
S = _ 2 J mc dl- -L J Ajd'x - У F*ikd*x
(проверьте!).
Теперь перейдем к нахождению уравнений поля. При этом
будем считать заданным движение зарядов. Это означает, что
при выводе уравнений Эйлера варьированию должны подвергать-
ся только потенциалы поля (т. е. 4-вектор потенциала
Итак, поскольку траектории зарядов не варьируются, то
6Sm = 0, а в слагаемом Smf не должен варьироваться ток у\ так
4. I] § 37. ПРОСТЕЙШИЕ МНОГОМЕРНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ 845
как f = р -4-. Имеем
etc
es - 6 (s,„, + s,y - - J (-1 j'u, + s (П,)} л -
dA^ dA^
Так как Лл = —у —VT’ то
дхг дх
_ - J1 (1 m + a F«.А (М,.1 - A. F<> ± (вл,)} лч.
Поскольку F1h = — Fkl, то
Ю = - П (4 >'м< - 4^ <«^} d‘-
Второй интеграл преобразуем путем интегрирования по частям:
6S = — f - (- f&Ai + ~ 8Ai
J с ] с J г 4л 1
^\&х-±- ^F'^A.dSk
дхк | 4лс J
Q
Р
В последнем слагаемом интегрирование выполняется по гра-
нице четырехмерной области; при этом границей области по про-
странственным координатам является «бесконечность», где поля
аннулируются (а потому и границей области по вре-
мени являются два фиксированных момента времени t2; в
этих точках аннулируются вариации потенциалов {6ЛД.
Таким образом, последнее
f М .1 1 dFih
J с 1 + 4л охк
получаем
слагаемое равно нулю. Итак,
В силу произвольности вариаций
бЛ^4х = 0.
dFih_______4л . i
дхк с
(9)
Это уравнения Эйлера — Лагранжа, возникающие при варьи-
ровании потенциалов полей в действии 5. Запишем полученные
четыре уравнения (i = 0, 1, 2, 3) в трехмерной форме. Напомним
явный вид тензора Fth:
I F
№ = е’
\е,
о
~ 11V
О
346
ГЛ. 6. МНОГОМЕРНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ
[Ч. Г
(тензор записан в координатах = с/, х* = х, х1 — у, х3 = z*
см. § 21). Первое уравнение (при 1 = 1) имеет, следовательно,
вид
1 dF™ 4- др11 4- 4. = __ ** *1
с dt + дх ду dz с *
dHz дНу 1 дЕх 4я . А .
Отсюда------Ч—~ = — — 7х- Аналогично преобра-
зуются и уравнения для i — 2, 3, что окончательно дает
. тт 1 1 4jT • /Л Г\\
rotH = T-^r +VJ- <10>
Нулевое уравнение (при i = 0) дает
д(ЕХ) , ЧЕУ) , д(Ег) 4л
дх ду dz с ™
т. е.
divE = 4лр. (11}
Уравнения (10), (И) и образуют вторую пару уравнений
Максвелла. Напомним первую пару уравнений Максвелла:
р, 1 дН
rotb =------—,- (12)
с dt ' ' '
divH = 0. (13)
Уравнения (10) — (13) определяют электромагнитное поле и
являются основными уравнениями электродинамики.
Найдем теперь явное выражение для тензора энергии-импульса
электромагнитного поля при условии отсутствия заряда. Действие
Sf имеет вид — J F^x, поэтому в терминах п. 2 настоя-
щего параграфа функция L имеет вид
______1 р2 __________1 / дА1
16сл гк 16сл I 0хк
дх1 j
Роль величин f3 (см. п. 2) играют здесь компоненты потенциала
Ag Следовательно, по определению тензора энергип-импульса Tj
получаем
- ~яГ< -
дхг / ^-^1 \
д ---ъ
I dxh I
4. I] g 37. ПРОСТЕЙШИЕ МНОГОМЕРНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ 347
тт .. д Ij
Найдем —
V дхк
Для этого вычислим дифференциал dL. Имеем
4 ,, / дА, дАь
' - Fud it']
8лс dxh дх1 )
1
4лс
Fhld—
дхк
Отсюда
а —
1 i/kl
— 4лс ’ следовэтельно,
Т\-----Д- Ры + -4- 6kFlmFlm.
1 4лс 16лс L™
Поднимая индекс i при помощи метрики Минковского g'\ по-
лучим
Tik = g>m dAl FM + —— gihFlmFlm.
1 4лс дх™ 16лс® 1тГ *
Полученный тензор энергии-импульса пока что не симметричен.
Выше мы предъявили один из рецептов удаления кососимметрич-
ной части тензора Тг\ Применив этот рецепт в нашем случае,
1 д ^41
вычтем из Tik сумму вида f которую можно предста-
вить как (см- выше). В самом деле,
дх1
^.ры = -^ (А^ы) — А{ = А (А*РМ\
дх1 дх14 7 дх1 дх1 4 А
dFkl
—— = 0 в силу уравнений Максвелла, описывающих
дх1
отсутствие зарядов (7 = 0).
было показано в п. 2, величина может быть
так как
поле в
Как
добавлена к тензору энергии-импульса без изменения вектора
импульса системы.
Так как —:-----
dAi г
i ~dx^ = ^ilt то окончательно Ддя симметрично-
го тензора эпергии-импульса электромагнитного поля получаем
Гк = 4- (- + 4 gikFlmFlm\ (13')
Задача. Пусть плотность зарядов р равна нулю, вектор-
потенциал электромагнитного поля Аг зависит от одной перс-*.
348
ГЛ. 6. МНОГОМЕРНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ
14. Г
менной х и имеет вид Ai(x— ct), z = О, 1, 2, 3. Если Ai(x}—
гладкая функция, при всех х ограниченная по модулю общей
константой, то все алгебраические инварианты (собственные зна-
чения) электромагнитного поля тождественно равны нулю (дока-
зать!). Это случай электромагнитных волн, распространяющихся
вдоль оси х,
4. Уравнения гравитационного поля. Пусть в задана мет-
рика gij и Г}* — симметричная связность, согласованная с этой
метрикой. Через х°, х\ х2, х3 обозначим криволинейные коорди-
наты в М\ В физике квадрат элемента длины dlz в ЛР отожде-
ствляют с гравитационным полем, dl2 = dx' dxj, giS = gjt. Пусть
g = det (ga). В инерциальной системе отсчета при использовании
евклидовых пространственных координат х' = х, х2 = у, х3 = z и
времени х° = ct получим dl2 =? (dx0)2 — (dx*) 2— (dx2)2 — (dx3)2
(напомним, что такие координаты называются псевдоевклидовы-
ми). Пространство-время, в котором глобально введены такие
координаты, называется плоским.
Мы будем в дальнейшем рассматривать в Л/4, вообще говоря,
переменную псевдориманову метрику (такое пространство-время
Л/4 иногда называют кривым, в отличие от плоского). Однако
в каждой отдельной точке х$ АР можно, конечно, привести
gtj к диагональному виду путем соответствующего преобразова-
ния координат в некоторой окрестности точки х0. После приве-
дения к диагональному виду матрица метрического тензора g^
имеет одно положительное и три отрицательных собственных
значения, а потому g = det(gf?) <0.
Пусть dQ — V—gd^x—стандартная 4-форма объема. Через
Игра обозначим тензор кривизны Римана, построенный по аффин-
ной связности Гг\, согласованной с g^. Напомним (см. § 30),
что после опускания верхнего индекса у тензора Rxполучает-
ся следующая явная формула, выражающая через ga и
производные метрического тензора;
—
(*12 *з2
д Sim д skl д gn
дх^дх1 дх*дхт дх^дхт
й2 \
° 1 । fvn гР гп гМ
’ J I "Г gnp V-1 hl* гтп 1 krn-L Up
дх дх /
Для тензора Риччи Rjh RQiqh^ glmRrimh легко получить следу-
ющее выражение:
яг I яг^
d ik И । р! ртл ртл-р/
*4h = ------~Г -Г 1 ifel lm — 1 il1 km
дхс дхя
(проверьте!). Напомним также, что скалярной кривизной R на-
зывается следующий инвариант:
R-^Rik-g^R^.
Ч. I] g 37. ПРОСТЕЙШИЕ МНОГОМЕРНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ 849
Уравнения Эйнштейна для гравитационного поля можно полу-
чить как уравнения Эйлера —Лагранжа при варьировании дей-
ствия (Гильберта) этого поля. Опишем этот функционал дей-
ствия Sg, Считается, что Sff = J R dQ, где интеграл берется по
всему трехмерному пространству (я1, х\ х3) и по временной
координате х° в пределах
Теорема 2. Имеет место тождество
б J яУ|«|А
=(ду—
так что
6Sg = j 6gift
Доказательство. Выражение для Sg можно несколько
упростить, избавившись от вторых производных d2gik/dzpdz\ вхо-
дящих в инвариант 7?. После этого упрощения (которое мы
сейчас выполним) подынтегральное выражение будет содержать
только тензор gik и символы Кристоффеля
Имеем
R /=7= y~gg'hRih =
(др! \
g —j----g ~h + g Y^lm — g ГПГьт .
dx1, dx* /
Преобразуем первые две суммы:
Y=g e‘h ~т - 77 (V г"г!,) - г', ± (y~g /"),
dx1, dx1 dx1
s" У - SA (V=1 «'ТУ - г' * (г“).
dx" dx" dx"
Полные производные (точнее, дивергенции) —AV^—g g17*!^)
dx*-
и можно отбросить без ущерба для вариации
6Stf. Дело в том, что интегралы
-gg^A&x
равны нулю. В самом деле, пользуясь формулой Стокса, эти
интегралы можно преобразовать к интегралам по границе dD
области D. Так как при варьировании Sg мы должны вырьи-
ровать (рассматривая их как независимые переменные), то
350 ГЛ, в. МНОГОМЕРНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ [Ч. I
вариации должны быть равны нулю на 9D (см. выше
уравнений Эйлера — Лагранжа); следовательно, 6[ ] ] = 0.
вывод
Итак,
можно считать, что
где
GV-g=Tlil/-k(V-ggih)-Tli (/-ggih)-
dz dz1
- (r^ru - rkri^) gil v~g. (14)
Tjfc согласована с метрикой, то имеет
Поскольку связность
место тождество
у — g дхл
(проверьте!). Разделив (14) на V—g, получим
G = - rbrUftp - гк AlY^g gih) - (Г”Гйт - г'Л) gift,
Преобразуем второе слагаемое:
_ г* 1 д ( yf—i ik\ = у 1 1 dg ih _ гг dgih __
У — g dzL У — g 2 У — g dz1 dzc
pf iftpp pi dg^
= — 1 ikb Lip — 1 ik--F
dz
Здесь мы воспользовались соотношением ~Напомним
dzn
далее, что = — Fmzgmft — Отсюда
dz^
- rkruift- r^h = - r?ftrrPgih + rUrUmh + r?ftr*zg<m =
dzi
rd тлТП ik 1 pZ pl _mfi I pi pi _fcm
“ — 1 ifcl Img + 1 ifcl mlg + Гт/l hig =
= - rUirmgih + 2rkrU’nft.
Отсюда
GO pi pi pi Fm rr^ Fm F* -ifc (ГтГ^ pi Гт
= Z1 ifcl mlb Г ifeT lmg Г im-L klg ~~ § \Г i/Г kfn ~~ 1 ifcl Im) —
„Ik (opi p771 pi pm pm -p? \ ife /-pTft-pZ -pZ p?n \
— § mkL il -I ift^ Im Г Zm-L ki) ё \Г iZ-L km 1 ifc-L Im) —
q ik (pZ , pm pZ pm \ ik (pmpZ pZ pm \
*== ^ё mkГ il Г ift-l Im) ё iZ-L km -I ifti Im) 1=3
_ih / pmpZ pZ -pm \
= 5 Х.Г ilL mk Г ik* Im)*
Итак, мы доказали следующее утверждение.
4, I] 8 37. ПРОСТЕЙШИЕ МНОГОМЕРНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ
851
Лемма 3.
б (У R /17] dnx) = б (J gih (г£ги - r'iftrrm) /Йd"x.
Еще раз поясним, что гравитационное поле определяется мет-
рическим тензором gtj, а потому при вариации действия варьи-
рованию должны подвергаться компоненты gw, рассматриваемые
как независимые переменные.
Найдем 65в (варьированию подвергается только гравитаци-
онное поле, т. е. метрика). Имеем
6 У R V~g dix = б У g*Rik v~g d*x =
=У V~g 6giA+ Ritlgikb( /=Й+ gih V~g 6Riu) d*x.
Найдем 6gik. Если A*— алгебраическое дополнение элемента g*
в матрице (gap), то g=2giftAlft (по определению g), где сум-
мирование происходит только по f, а к фиксировано. Ясно, что
6g = (6gJft)A<ft (суммирование по г, А), так как дифференциал 6gJft
каждой компоненты gih нужно умножить (при приведении подоб-
ных членов) на коэффициент при этой компоненте в выражении
для g, т. е. на Аг’\ Так как g = —,, то Aift = ggift, откуда
5g = ggtk8gih. Так как g1Agift = б| = 4» то (5gik)gtk + ^k(5gik) = Q,
т. е. 6g = — ggift6gf\ Таким образом,
6( /:=7i) = 07/= &g = к уД—- g-gik5gik = — 4-/^ggift6g<A.
Отсюда
6 J Я У — g <№х =<
= J [RiK- y*g«) 6giA /=g d*x + J*gift (6flift) V~g d*x.
Найдем теперь 6/?^. Предварительно заметим, что вариации
6Г]А образуют тензор (напомним, что символы Кристоффеля
тензора не образуют). Действительно, по определению опе-
рации = ковариантного дифференцирования вдоль вектор-
ного поля | получаем 7д{(д;) = где ^ — стандартные ко-
д
ординатные векторные поля:
Таким образом t —ко-
эффициенты разложения вектора, перенесенного параллельно
вдоль координатной линии. Выражение 6r^dft является, следо-
вательно, разностью двух векторов, полученных параллельным
852
ГЛ. 6. МНОГОМЕРНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ
14. Г
переносом из точки Q в точку Q вдоль координатной линии
двумя способами: при помощи исходной связности и при
помощи проварьированной связности Г# 4-6Г£-. Так как разность
двух векторов, вычисленная в одной и той же точке есть век-
тор, то величины 6Г^ образуют тензор.
Для подсчета вариации 67?lft фиксируем произвольную точку
и введем в некоторой окрестности этой точки систему координат,
инерциальную в этой точке (см. задачу 4 из § 29). Это озна-
чает, что в этой точке = 0, так как—-(gik) = 0 в выбранной
дх
точке. Имеем
Л ( , -pZ -ртп pnip? \ th
g With = б —i-------+ 1 Im — i izi km g =
\ dx dx /
- s" (6Г-„) - £ (6ГУ) - g’-* ± (er!,) - e« ± (sr*„) _
\Ox ox / ox OX
= T-/U бГг/г — g cri7j = — t
dx1 dx
Wl = gih^ -
Так как 6Г]Й — тензор, то величины W1 также образуют тензор
, . dWl „ „
(вектор), а потому его дивергенция в нашей специально!!
системе координат (инерциальной в выбранной точке) не изме-
нится при переходе к любой другой криволинейной системе
координат. При этом, конечно, следует использовать инвариант-
ное определение divT = vi71i? так как величина
пе но-
сит тензорного характера (относительно произвольных замен).
Напомним (см. § 29), что явная формула для divZ в произволь-
ной системе координат относительно римановой симметричной
связности) такова:
Получаем glh&Rih = ^у=- ( V— g ^9*
V— g дх1
Таким образом, интег-
рал I gth8Rin V— gd^x преобразован нами к следующему виду:
( У"— g Wl) d^x. В силу формулы Стокса этот интеграл пре-
вращается в интеграл по границе четырехмерной области dD от
Wlt Так как на dD вариация поля равна нулю, то этот интеграл
4. I]
§ 37. ПРОСТЕЙШИЕ МНОГОМЕРНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЙ ЗАДАЧИ 353
также равен пулю. Окончательно получаем
6Sg = J - 4 Xgih) bgih d*x.
Теорема 2 доказана.
Обычно действие Sg записывают с коэффициентом X специаль-
на XI
лого вида 1 = —— где с — скорость света, G — так называе-
16лб’
мая «гравитационная постоянная». Тогда
Ъ - вг Г/ - i М 6e“ v~sd‘x-
Полное действие вместе с материей имеет вид Sg + Sm = 5полнов.
Теперь рассмотрим вариацию 6Sm. Действие 5т обычно записы-
вается (в криволинейных координатах) в виде —gd^x^
где А — функция, определяемая свойствами материи, зависящая
от метрики и полей, определяющих материю. (Напомним, что
интегрирование осуществляется по всему трехмерному простран-
ству х1, х2, х3, а по времени х9— между двумя фиксированными
моментами, т. е. по бесконечной четырехмерпой области, заклю-
и п 0 п О О О
ченнои между двумя гиперповерхностями хи = xlt хи = х2\ хи х2 —
некоторые постоянные.) Итак,
1 р __LRp_________б5т 2
X/a'I й?* ih 2 g* c3 6gih cV\g\'
(15)
Это уравнение гравитационного поля, если величина
2 _
---Zl— —тт известна. Заметим, что эти уравнения нелинейны,
С у I g | 6gm
а потому сумма двух решений (полей) не обязана быть ре-
шением.
В теории относительности принимается, что величина
2
— g'vTgl' = 7 ift является тензором энергии-импульса системы.
Для физически важных полей (например, электромагнитного)
выражение
2_ 6SWI
С 1/| £ I &g ПАНКОВСКОГО
совпадает с ранее введенным симметричным тензором энергии-
импульса. Действительно,
cSm= J Л = X J FihFih /ГН =
= X j Fn^g’^F^ /ГН d*x = J Л (gab; Fik) /17| d'x.
23 Б. А. Дубровии и др.
354
ГЛ, 6. МНОГОМЕРНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ
14. I
Очевидно, имеем (проверьте!)
- = J А (_ + 1 gihFlmF'm} б/’ / ~g d*x.
Подынтегральное выражение совпадает с выражением (13'),
В случае так называемого пустого пространства (в отсутствие
материи) 7\fc = 0, и тогда уравнения гравитационного поля при-
нимают нид 7?<fc = 0, В самом деле, из (15) можно получить
ian 1 пса 8лб? Ла™ m л па 1 пса 8 я/?
g Rik — -g- -= — g Tik, т. e. Rk — T R6k = -J- Tk. Свора-
чивая по (а, А)', получаем R — 2R = T, где T = T%, t. e,
c
>> 8лбг m
£i ------t*i и уравнения нашего поля принимают вид
с
Rlk = ^Tih------gik^> Если Tih = 0, то п Rih = 0. Из уравнения
Rik — 0 отнюдь не следует, что пустое пространство-время яв-
ляется плоским: равенства нулю тензора Риччи для этого недо-
статочно. Плоскость пространства-времени вытекала бы из ра-
венства нулю всего тензора кривизны Римапа R'jw Если бы
пространство-время было трехмерно, то пустое пространство
было бы обязательно плоским, поскольку в этом случае тензор
Римана выражается через тензор Рпччп (формула (30.18)).
В двумерном случае из приведенных вычислений вытекает сле-
дующая
Теорема 3. Величина S [g] == j KdS, где dS = Уg dx1 /\ dx2r
а К — гауссова кривизна, не меняется при локальном изменении
метрики gn, i, ] — 1, 2.
Доказательство. В двумерном случае имеем К = /?/2,
Вц == -у Rgij = Kgfr Вариация функционала S равна (см. выше)
6S = J (z?y - 4- tfgy) bg^dS = 0.
Теорема доказана.
Для замкнутой поверхности в R3 локальность изменения мет-
рики несущественна, поэтому получаем
Следствие (Гаусс — Боппе). Интеграл от гауссовой кри-
визны по замкнутой поверхности в трехмерном евклидовом про-
странстве не меняется при гладкой деформации поверхности*.
j К dS = const.
Численное значение этой константы будет вычислено в ча-
сти 11.
4. I]
§ 37. ПРОСТЕЙШИЕ МНОГОМЕРНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ 355
5. Мыльные пленки. Рассмотрим гладкую гиперповерхность
V11'1 с= . заданную, например, в виде графика х*^
— j(x\ ..., хп~‘). Пусть областью определения функции / яв-
ляется ограниченная область D в Rn \ рассмотрим функционал
площади 5[/], определенный па пространстве всех таких функ-
ций /; S [/] = ^ У! det А | (Г~~гх. Здесь А =
b
«= (ёа(х))» х е — индуцированная ри-
манова метрика па поверхности Рп“‘, а
dn-1x = dx1 f\ dx2 Л • • • Л где
xl, ,.x”~l — евклидовы координаты в D.
Лагранжиан VI det АI можно записать в
явном виде через функцию /.
Пусть dxn~l — форма (п — 1)-мерного
объема на V; тогда S [/] =
D
Пусть PgV"”1; п(Р)—единичная нор-
маль к Vn~l в точке Р, а(Р) —угол
= (0, О, 1) (рис. 38); тогда
между п (Р) и еп =
Далее,
cosa(P)=<en, п(Р)> = <(0, ..,0, 1),
Итак, S [/] - J 1 + 2 (/xi)® dx1 Л ... Л dxn~\ .
Рассмотрим экстремальные поверхности Vn~l для функциона-
ла площади S [/] (т. е. графики экстремальных функций xn=f(x)9
x^D)t Уравнение Эйлера — Лагранжа (здесь Л = 1) имеет вид
(16)
23*
356
ГЛ. 6. МНОГОМЕРНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ
ГЧ. I
Определение 5. Поверхности, являющиеся экстремальны-
ми для функционала площади S, называются минимальными по-
верхностями.
Замечание. Минимальные поверхности моделируются, на-
пример, .в R3 с помощью мыльных пленок, затягивающих замк-
нутый проволочный контур (в отсутствие силы тяжести).
Для двумерной минимальной поверхности, заданной в виде
графика z=f(x,y) в R3 (я, у, z), уравнение (16) приобретает вид
(1 4" /х) fyy — 2fxyfxfy 4- (1 4- fy) fxx = О
(проверьте!).
Уравнение минимальной поверхности V"*1 допускает запись
па языке локальных инвариантов вложения этой поверхности
в Rn.
Теорема 4. Пусть У71-1 с:Rn — гладкая гиперповерхность.
Средняя кривизна Н равна тождественно нулю тогда и только
тогда, когда У”*1 можно представить в окрестности каждой своей
точки в виде графика экстремальной функции для функционала
площади (т. е. решения уравнения минимальной поверхности).
Таким образом, условие Н = 0 и есть условие минимальности
поверхности У71-1 cr R71.
Доказательство теоремы сводится к прямому вычислению
средней кривизны Н = Sp (Л~lQ) для графика xn = f(x), где
Л, Q — матрицы первой и второй квадратичных форм соответ-
ственно, и проверке факта, что уравнение Н = 0 совпадает с
уравнением Эйлера — Лагранжа (16).
Мы не будем проводить здесь это вычисление в общем случае,
а рассмотрим только специальный случай: двумерная минималь-
ная поверхность в R3.
Зададим поверхность У2 cr R3 радиус-вектором г = г(п, и) (по
крайней мере локально). Тогда 5 [г] = j* У EG — F2 du dv, где
(Е F\
I G I — матрица первой квадратичной формы:
Е = <гы, ru>; F = <ru, rB>; G = <rt, r0>.
Средняя кривизна 11 имеет вид
н = Sp (л-’с) = —Д—a(GL- 2m + EN\
L(j — r
(L
где I yyl — матрица второй квадратичной формы:
L = <ruu, п>, М == <ruv, n>, N = <rBC, n>,
n — единичная нормаль к поверхности.
4. I]
§ 37. ПРОСТЕЙШИЕ МНОГОМЕРНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ 857
Выберем па V2 (локально) конформные (изотермические)
координаты.-Существование таких локальных координат для ве-
щественно аналитических метрик А было доказано нами рапее
(см. § 13). Для простоты будем считать, что и, у — уже кон-
формные координаты.
В конформных координатах 7^ = 0 и Z? = G; следовательно,
[И = J j V<ru, ru> <rui r„> du dv —
D
= J j* У(х2и + Уи + 4) (4 + 4 + Z») du dv.
D
11 1
Далее, H = -^(L -f- N) = — <ruu + ruu, n> = <Дг, 7i\ где Л —
оператор Лапласа.
Рассмотрим уравнения Эйлера — Лагранжа для *9 [г] в коор-
динатах и, и. При этом следует иметь в виду, Что возможность
записать уравнение Эйлера — Лагранжа в конформных координа-
тах следует из того, что при варьировании функционала 5[г]
с помощью возмущения ц можно считать все функции г(п, у)-Ь
+ ец(и, у) отнесенными к конформным координатам. Для этого
достаточно ввести конформные координаты ие, Ув на каждой
поверхности r(u, у)+ец(и, у) (дело в том, что координаты и, у,
вообще говоря, уже не конформны на возмущенной поверхности
r+ец). Координаты (ие, уе) можно считать гладко зависящими
от е.
Уравнения Эйлера — Лагранжа принимают вид
Радиус-векторы г, удовлетворяющие уравнению Дг = 0, называ-
ются гармоническими. Таким образом, в конформных координатах
«минимальность радиус-вектора» (т. е. его экстремальность для
функционала площади) означает его гармоничность.
Замечание. Говорить о гармоничности радиус-вектора
г (и, у) можно только относительно какой-либо системы коорди-
нат (в данном случае эти координаты конформны). При измене-
нии координат свойство гармоничности, вообще говоря, разру-
шается.
Итак, поскольку Лг = 0, то Я==-£ <Дг, п> = 0, и мы доказа-
ли интересующее нас утверждение в одну сторону.
358
ГЛ. 6. МНОГОМЕРНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ
14. I
Обратно, пусть 77 = 0, мы должны доказать, что Аг = О
(в конформных координатах). Так как <Дг, пУ = 0, то достаточно
проверить еще два равенства: <Дг, ги> = 0, <Дг, гг>=0. Отсюда
будет следовать, что Дг = 0. В самом деле, векторы и, ru, гс обра-
зуют репер в любой регулярной точке поверхности г(н, и) (по
определению поверхности). В силу выбора координат E = G и
F ^0, т. е, <ru, ru> = <rv, гс> и <ru, rr> = 0. Дифференцируя по
и и и, получаем
ГиУ = O'utj Гг>,-
Ги> = Гг)>,
<ГШП Гг> + <Гю ruvy = 0г
<ruv, гг> + <ги, г^у = 0.
Нам следует проверить тождества
<ruu, ru> + <ггс, ru> = 0,
<ruu, Л,> + <ггг, rv> = 0.
Два последних уравнения, очевидно, вытекают из (17). Тем са-
мым доказано
Утверждение 2. Двумерная поверхность тогда и только
тогда описывается минимальным радиус-вектором, когда Н = 0.
В конформных координатах минимальный радиус-вектор стано-
вится гармоническим.
Рис. 39
Контур
Структура минимальных поверхностей V2 cz R3 довольно
сложна; например, если фиксирован граничный контур 51 с: К3,
то, вообще говоря, па пего можно натянуть много «мыльных пле-
нок» (т. е. нет теоремы единственности решения для дифференци-
ального уравнения Н s0 или Дг = 0). Примеры см. па рис. 39, 40.
ч. I] § 37. ПРОСТЕЙШИЕ МНОГОМЕРНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ 859
Решения уравнений 77 = 0, Дг = О могут иметь особенности.
Пример («тройной лист Мёбиуса») см. на рис. 41, 42.
Рпс. 41
Рис, 42
Гармонические радиус-векторы являются решениями уравне-
ния Эйлера — Лагранжа для еще одного многомерного (двумер-
ного) функционала.
Функционал Дирихле. Рассмотрим трехмерный радиус-
вектор r(u, и) (координаты и, и произвольны). Функционалом
Дирихле называется следующий функционал:
D [г] = J ~2~
Д( и, г?)
где Е, G — коэффициенты первой квадратичной формы для по-
верхности г(щ и).
Здесь
(Ги, г v) = + у и + 2и + %v + У» + Zv)s
а потому уравнение Эйлера — Лагранжа (в векторной записи?
имеет вид Дг = 0; решения — гармонические радиус-векторы.
Так как
Veg — f*
Zj *
Z)[r]>S[r]
для любого кусочно гладкого радиус-вектора г(н, и) и равенство
достигается тогда и только тогда, когда Е = G; Г = 0, т. е. в кон-
формной системе координат. Таким образом, любая экстремаль
£)[г], для которой координаты и, и оказались конформными,
860 ГЛ. 6. МНОГОМЕРНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ (Ч. I
является экстремалью S[r]; обратное неверно. Для того чтобы
получить все экстремали функционала S[r], следует рассмотреть
все экстремали функционала (т. е- гармонические радиус-
векторы), отобрать из них только те, для которых и, и оказыва-
ются конформными координатами, а затем подвергнуть u, v про-
извольной регулярной замене координат.
Гармонический радиус-вектор г (и, и), для которого координа-
ты и, и не конформны, не будет описывать минимальную поверх-
ность. Пример: 7*(u, y) = (w, и, Re/(u + ii;))—график веществен-
ной (пли мнимой) части нелинейной комплексно аналитической
функции j(и + iv).
Связь между функционалами £>[г] и S [г] во многом анало-
гична связи между функционалами длины 1ьа [у] п действия
ъ
Sa [у] = J | у I2 dt пути у. Ясно, что GcHy])2^ (£> — a)Sa [у], и pa-
fl
венство достигается тогда п только тогда, когда параметр t на тра-
ектории у(£) пропорционален длине дугп (такие экстремали la [yl
будут геодезическими, если параметр натуральный). Это обстоя-
тельство связано с тем, что функционалы 1а[у 1 и S [г] инва-
риантны относительно замены переменных, а функционалы Sa[yj
и D [г] не инвариантны.
6. Уравнение равновесия тонкой пластинки. Рассмотрим один
частный случай равновесия деформируемых тел: равновесие изо-
гнутой тонкой пластинки. Будем считать пластинку топкой (т. е.
будем предполагать, что ее толщина мала по сравнению с ее раз-
мерами в двух других направлениях). Будем считать, что в неде-
формированном состоянии пластинка является плоской. Деформа-
цию будем считать малой, т. е. будем предполагать, что смещения
точек пластинки малы по сравнению с ее толщиной. Уравнения
равновесия пластинки получаются как уравнения Эйлера — Лаг-
ранжа при варьировании ее свободной энергии.
При изгибании пластинки в некоторых ее точках возникают
растяжения, а в некоторых — сжатия. На выпуклой стороне про-
исходит растяжение, на вогнутой — сжатие. По мере углубления
в толщу пластинки растяжения и сжатия уменьшаются. Зоны
растяжения и сжатия отделены друг от друга так называемой
«нейтральной поверхностью», па которой растяжения или сжатия
отсутствуют. Эта поверхность расположена на середине толщины
пластинки.
Введем декартову систему координат х, у, z с началом в точ-
ке О на нейтральной поверхности и осью Oz, ортогональной к
этой поверхности. Плоскость (х, у) совпадет с плоскостью не-
деформпровапиой пластинки. Через у) обозначим вертикаль-
ное смещение точек нейтральной поверхности при изгибе
(рис. 43),
§ 37. ПРОСТЕЙШИЕ МНОГОМЕРНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ 361
Пусть h — толщина пластинки; тогда полная свободная энер-
гия F изогнутой пластинки, вычисляется по следующей формуле:
.еь* г с/рч +
F ”24(1-о2) J J + дуУ
+ 2(1-0)
Л? \2 Л2^- „2*
д ; ] и
ду) дх2 ду2
j dxdy^
где интегрирование производится по всей области определения
функции смещения р), — модуль растяжения
Юпга), о — коэффициент Пуассо-
на, вычисляемые из соотношений
Г— 9Л+ __ 1 ЗЛГ —2ц -----
Л — ЭК + JLI* а ~ 2 ЗК + ц ’
в которых К и pi — модуль всесто- "
(модуль
роннего сжатия и модуль сдвига;
эти постоянные К и ц определяют- Рис- 43
ся свойствами материала, из ко-
торого изготовлена пластинка.
Перейдем к выводу уравнений равновесия. Отметим, что ввиду
малости деформаций можно считать, что dx dy ~ dS, где dS —
элемент поверхности (на нейтральной поверхности). Проварьи-
руем энергию F. Представим F в виде суммы двух интегралов:
F - щГГТ} {J И’ds + 2 <1 - °> И [ Ш
д2£ д\
~ 2 А 2
дх ду
dS
(здесь А — оператор Лапласа) и будем варьировать эти интегра-
лы по отдельности.
6 т Иw dS = П (д?)(Дб?)dS=f S < до <(| *v srad эдds =
= J J div (A? grad 6S) ds - J J <grad 6S, grad AS> dS.
Пусть у == dD — контур, ограничивающий область определе-
ния D функции £(я, у). Например, у может быть контуром, охва-
тывающим пластинку. Тогда интеграл j | div (Д£ grad 6£) dS мож-
D
по по формуле Стокса преобразовать к виду ф А£ <н, grad dl*
v
где dl — элемент длины дуги вдоль у, п — вектор внешней нор-
мали вдоль у к у. Ясно, что
ф А^ <n, grad 6S> dl = ф AS dl>
V V
8G2 ГЛ, 6. МНОГОМЕРНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ [Ч. I
d v. Y
где — — дифференцирование по направлению внешней норма-
ли п к контуру у. Аналогично
У J<grad 6?, gradA£> dS = J J div ((60 grad A£) dS - J [ (6Q A2£ dS=
- f 6£ <n, grad AO dl - У J (60 A2£ dS =
v
= ^6£^dZ-Jpeg) ^dS
V D
Итак, мы преобразовали первый интеграл в выражении для б/г
к виду
6 -i- J J (АО2 dS = j J (60 A2£dS - (j) 6C dl + ф A£ dl.
D D V V
Перейдем ко второму интегралу в выражении для 6^:
аЧаЧ!
дх2 ду2 _
SJ.
D
65 =
_СГГо^^
= D L &х&удх&!1 дх2, ду2 дхг ду2 J
Подынтегральное выражение можно представить в следующем
виде:
= divr
dx dy dxdy dx ^y2J dy \dx dxdy dy qx^J
Отсюда
P С Г / ^2r \ 2 л2? л2г! P
ds.
D
dl,
v L
J V
ду dxdy dx Qy2\ I dx dxdy dy qx2
где 0 —угол между осью Ox и нормалью п (рис. 44). Выразим
dbt dbt, дб£ дб£ d „ гр n d л a d
— и через и —где — = дп. Так как — = cos 0------------------------
dx dy r dn dl' M dn n dx dn
. add . a d a d
— sin0^; rr = sin0— + cosOtj, to
dl dy dn dr
V
+
2 sin0 cos0 — sin2 0^-4— сой20^Ц dl +
d* dy dx* dy
£<96£Г . A afd2r d2Z\
ф—* Sill 0 COS0 I ---------
; dl L w /
+ (cos2 0 —sin2 0)__
dxdy
dL
q. I] § 37. ПРОСТЕЙШИЕ МНОГОМЕРНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ 303
Второй интеграл можно взять по частям. Так как интегриро-
вание выполняется по замкнутому контуру, то пределы интегри-
рования сливаются в одну точку, а потому интеграл принимает
вид
—Л + (cos2 0 — sin2 0) 1 dl
дх2 I 'fa fa I
Л
ду2
V
{второй интеграл — интеграл от полной производной — обратился
в нуль). Окончательно для вариации свободной энергии полу-
чаем
-[8?[^ + (1-а)1('81п0оо50|'’4-ЙЬ
J дп oi I \ду дх j
V
+ (cos2 0 — sin2 0)
А£ +
(д'-? 02? Я* Г
2 sin 0 cos 0 —-sin2 0 jti—cos2 0
dx dy vt
dl,.
Чтобы получить уравнения равновесия пластинки (уравнения
Эйлера — Лагранжа), нужно приравнять нулю сумму 6F + 6С7,
где U — потенциальная энергия пластинки, связанная с наличием
действующих на лее внешних сил. Ва-
риация 6U равна взятой с обратным зна-
ком работе внешних сил при смещении
пластинки.
Пусть Р— действующая па пластинку
внешняя сила, отнесенная к единице пло-
щади ее поверхности (имеется в виду
нейтральная поверхность) и направленная
по нормали к ней. Тогда работа, произве-
денная внешней силой при смещении
точек пластинки на расстояние
равна j J dS. Отсюда в качестве
D
условия минимальности (а точнее экстремальности) полной сво-
бодной энергии пластинки получаем уравнение
J PftdS= 0.
(18)
В это соотношение входят как поверхностные, так и - контур-
ные интегралы. Поскольку вариация произвольна и может
иметь сколь угодно малый носитель (в частности, носитель
может не затрагивать контур 7), то, следовательно, по отдельно-
804
ГЛ, в. МНОГОМЕРНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ
14. I
сти равны пулю как поверхностный, так и контурный интегралы.
Поверхностный интеграл имеет вид
n(w^)A!E-p)6E<,s-0-
D
В силу произвольности 6£ имеем //А2£—Р = 0, где Н =
Eh3
«= тт—;--S эта величина называется жесткостью пластинки при
12 (1 — а) 1
изгибе (или цилиндрической жесткостью); Н определяется свой-
ствами материала. Итак, уравнение равновесия пластинки, изги-
баемой действующими на нее внешними силами, имеет вид
/7А2:-Р = 0.
Это уравнение нужно дополнить граничными условиями, по-
лучающими из обращения в нуль контурных интегралов в урав-
нении (18). Обычно при этом выделяется несколько важных ча-
стных случаев.
а) Пусть часть края пластинки ^ — dD свободна, т. е. на нее
не действуют внешние силы. Тогда вдоль этой части границы
с (dtX
вариации о£ и о 1^1 произвольны, а потому должны аннулиро-
ваться коэффициенты при этих вариациях в соответствующих
контурных интегралах. Это дает следующую систему граничных
условий:
а (ДО г /4 \ д I . д д fзЧ ,
----+ (1 — о) 4} -SU1 0 cos 0 —----Н +
cto Ы \ \дх“ ду j
+ (sin2 0 — cos2 0) = 0;
1 дх ду
А£ + (1 — о) | 2 sin 0 cos 0 -sin2 0^-4 — cos2 0 ) = 0.
б) Пусть края пластинки жестко закреплены (например,
жестко заделаны в материал). В этом случае края пластинки
не могут испытывать никаких вертикальных смещений, а также
пе может измениться направление края пластинки; следователь-
но, 6£ е 0 и 6 = 0 (отсюда следует, что все контурные ин-
тегралы тождественно равпы пулю); граничные условия приобре-
тают простой вид: ^ = 0, ~ 0. Первое означает, что края не
смещаются по вертикали при деформации, а второе означает, что
направление края остается при деформации горизонтальным.
Задачи. 1. Показать, что для экстремалей функционала
5 (F) = j F /\*F ==• j FihFlhd^x при условии d^F^.dx Д dxh} = 0
4. I]
g 38. ПРИМЕРЫ ЛАГРАНЖИАНОВ
3G5
справедливы уравнения Максвелла (в пустоте). Здесь Fih — ко-
сосимметрический тензор в пространстве Минковского RJ.
2. Доказать, что:
а) р5 = ± j Г(рх = dxi д д
ill
Вектор с составляющими — Г10, — Г20, — Г30 называется
плотностью импульса системы, а величипа Г00 — плотность энер-
гии.
6) У T°°d3x = - с ф П(Га
у dv
(здесь T°adoa = T01dx2 Д dx* + + 7"W Д dx3).
в) f - = - (6 7’“pdffP.
' dt J c j 1
V dV
Трехмерный тензор ГаР называется тензором напряжений (тен-
зором плотности потока импульса).
3. Рассмотрим функционал 5[ Г] J/? g\dVt wR~glhliikt
П < тч/ Tifll tiTMti/ y
Rih = —j ~~h + ГЛ — 1 ij km И метрика gih считается фикси-
дл их
роваппой. Показать, что для экстремалей Г = (Г*,) этого функ-
ционала справедливы формулы Кристоффеля, выражающие Гу
через компоненты метрического тензора.
4. Чему равен тензор энергии-импульса гравитационного поля
(определенный по рецептам пп. 2—4)?
5. Пусть F = Fikdxl Д dx\ £, к = 0, 1, 2, 3,— тензор электро-
магнитного поля в четырехмерном пространстве-времени с метри-
кой (gij). Показать, что уравнения Максвелла имеют в этом слу-
чае вид dF = О, 6F = где ] — ток, 6 = * d *.
6. В четномерном римановом (или псевдоримановом) про-
странстве рассмотрим функционал S [g] = j Q, где форма Q оп-
ределена в задаче 9 к § 30. Показать, что
-^- = 0
§38. Примеры лагранжианов
1. Рассмотрим комплексное скалярное поле ф(г) в простран-
стве Rf с метрикой gab и зададим действие в виде
S = const • j* ~ т~с2(р (х) ф (х) j d*x = У Adixl (1)
366
ГЛ. fl. МНОГОМЕРНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ
[Ч. I
где черта обозначает комплексное сопряжение, Ъ, — постоянная
Планка (размерности действия), с — скорость света. Здесь
/п > 0 называется массой частицы, описываемой полем ф, А =
д ( — дф с?(р\ _ —
«= A I ф, ф, I — лагранжиан; формально ф и ф считаются
независимыми переменными. Уравнения Эйлера — Лагранжа при-
нимают вид «уравнения Клейна — Гордона»:
= 0, = О, (Я2П + иг2с2) ф = О,
6ф бф
2 3 (2)
п=_^_______У
(^°)2 " М3
(бф и 6ф считаются независимыми).
Тензор энергии-импульса имеет вид (см. § 37)
ТЬа _ ТаЬ — aacabd ( I __ (TabA /Q\
~8 8 az d^J 8 ‘ (d)
/1 0 \
I _____j I
Здесь gab = I _ । I — метрика Мипковского. Плот-
\0 -1/
пость энергии такова:
Г00=2^^ + пг2фф. (4)
Действие (1) инвариантно относительно группы преобразований
Ф -> е1аф, ф -> е*1аф (а = const) . (5)
Эта группа порождает сохраняющийся ток
J (6)
Задача. Выведите равенство = О из уравнений Эйле-
ра — Лагранжа.
Величина J J"d?x = Q называется «зарядом» поля ф.
f=const
Включение внешнего электромагнитного поля производится по
правилу р-> р + у Л, где p = —;
+ <7>
где А0(х) —вектор-потенциал электромагнитного поля, е — заряд»
4. I]
§ 38. ПРИМЕРЫ ЛАГРАНЖИАНОВ
367
с и Л — универсальные постоянные. Полный лагранжиан имеет
вид (полагаем h = 1)
А (<р, Ф, 14) = Лцф, Аф\-7п2с2фф—FabF^.
(8)
Задача. Проверьте ппвариантность этого действия относи-
тельно «калибровочных преобразований» (7г = с = 1)
ф->е{аф, ф-><Сгаф; Ла->Ла + -^г а = а(х), (9)
дх
Действительное скалярное поле является, как говорят, «нейт-
ральным» (ф-ф); здесь
А = у \Й> — т,гс\\ (□ + т2с2) ф = 08 (10)
вектор тока (6) обращается в пуль, Р = 0. Включение электро-
магнитного поля невозможно, так как решения уравнений Эйле-
ра — Лагранжа не будут вещественными.
Решения свободного уравнения (2) пли (10)’ вида const
обладают свойством
2 2
(11)
л.
Считается, что такое решение изображает свободную частицу
массы т с импульсом р = ЙЛ, пропорциональным вектору к.
Поэтому импульс лежит на массовой поверхности <р, рУ == т2с!.
2. Лагранжиан комплексного векторного поля ф с массой
zn¥=0 в пространстве Rf имеет вид (пусть = с =
bd ас . 2 аЬ *
-g g T~t>T~d + m8 4W> = A>;
dxu дх1
ф = (фо> Ф1, Фг> Фз). S = f AJ4x,
причем наложены дополнительные условия па поле:
= 0 ^ = 0
дха ’ дха
Тензор энергии-импульса имеет вид
г^аЪ __ rjiba ___ ас bd kl /а<рласр( а<р(а<р/Д
= g ё 8 W + 8 Л'
(13)
(14)
Группа ф -► е'аф, ф -► е '“ф порождает сохраняющийся ток
- igabgcd
рФс- 5<Рс
I Я гЪ *P<i я ъ Vd
(15)
868
ГЛ. 6. МНОГОМЕРНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ
14. Г
Задачи. 1. Проверьте сохранение тока = 0 в силу урав-
нений Эйлера — Лагранжа
^ = 0, ^=°~(П+тг)Ф = 0. (16)
2. Проверьте, что при отсутствии дополнительных условий
(13) па векторное поле энергия j T°°d3x не будет, вообще гово-
ря, положительной величиной.
Включение электромагнитного поля производится снова по
правилу
(& = * = !)• (17>
ох ох
Решения типа плоской волны const обладают (при
7г=~с=М) свойством <А, &> = ?п2 (проверьте!). Тем самым к —
импульс, лежащий на массовой поверхности.
Полный лагранжиан (вместе с электромагнитным полем) ин-
вариантен относительно калибровочных преобразований
<p->eiew<pt ф->е-1а(х)Ф, Ла->Л + ^. (18)
dl
Особый случай представляет собой уже встречавшееся ранее век-
торное поле нулевой массы т — 0 (например, электромагнитное
поле). В этом случае, если поле <р вещественно, лагранжиан эк-
вивалентен лагранжиану электромагнитного поля:
Л = const FabFab1 где = —° - (19)
дхи дх
который инвариантен относительно калибровочной группы:
<ро->Фа-^Ц?, S-+S. (20)
дх
Позднее (см. § 40) будет рассмотрен еще важный класс «спи-
норных» полей, где значения поля <р лежат в пространстве спи-
норов.
§ 39. Простейшие понятия общей теории относительности
1. Напомним сначала некоторые элементы специальной тео-
рии относительности Эйнштейна (СТО; интересно, что в создании
этой теории кроме общеизвестных физиков — Эйнштейна и Ло-
ренца—участвовали также крупнейшие геометры своего време-
ни— Пуанкаре и Минковский). Согласно СТО «событию», проис-
шедшему в одной точке пространства в некоторый момент вре-
мени, сопоставляется точка четырехмерного пространства-време-
ч. I]
§ 39. ПРОСТЕЙШИЕ ПОНЯТИЯ ОТО
369
3
ни О?} с метрикой Мппковского dl2 = (dxQ)2 — У (dj;a)2 в псевдо-
а=1
евклидовых координатах ха, a = 0, 1, 2, 3, где xQ = ct, t — время,
с —скорость света в пустоте (с ~ 299793 км/с). Определялись
времениподобные, световые (или изотропные) и пространственно-
подобные векторы £, для которых соответственно <£, £> > О,
<£, £> = 0 или <£, £> <0, а также кривые ^(т) времениподобные,
световые или пространственноподобные, у которых по определе-
dy > ч
нию вектор скорости v — (в каждой точке) таков, что
(и, и>>0, либо <и, и>=0, либо <t>, 1>><0 соответственно. Ми-
ровая линия массивной частицы (масса лг>0) времениподобна,
а мировая линия безмассовой частицы (масса т — 0) световая.
При изложении СТО можно пользоваться одним из двух лагран-
жианов свободной массивной частицы:
1$<1) = J L^dx = a f <и, v) dx или *S'2) = L^dx =
v(l) V(t) V(X) ____
= P ) dx.
V(X)
Здесь 7(т)' —мировая линия частицы в пространстве Минковского
гп4 , Q
Iki, v « — вектор 4-скорости, аир — константы, значение
1
которых a = "2 тс' Р = ~тс (см. § 32). Обычно в физической
литературе используют лагранжиан № = ₽ /<у, 0, для кото-
рого действие 5(2) = J L^dx пропорционально четырехмерной дли-
не мировой линии 7(т). Функционал I или 5(2) не зависит от
z°
параметра т. Поэтому можно выбрать т = — =t (мировое вре-
мя). Окончательно получаем лагранжиан в трехмерном форма-
лизме, удобный для сопоставления с классической механикой:
= Рс |/^ (О
r?Y a dra dra
at d(xQ/c) d?
у0 = с va = %- = а = 1, 2, 3
at 1 ’ ’
’(u?a — компоненты так называемого вектора трехмерной скорости
~dT I в R31. Если ( < с (нерелятивистский случай), то
42B) = ₽<^>V2 = ₽cl/' (2)
Г с \ \с / /
24 Б. А. Дубровин и др.
370
ГЛ. 6. МНОГОМЕРНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ
[Ч, г
Полагая £ = —тс, мы приходим при Iwl/c-► 0 к лагранжиану
свободной частицы в классической механике с точностью до чле-
нов О(ш4/с4).
Энергия п импульс имеют вид для свободной частицы
п г (2) 2 ос д
р г (2) ШС __ __ св
E~w д„ = /гтл?’ Ра ~ ~ '
Полагая Е/с = рй, мы получим 4-вектор р = (р°), где ра = ^ьръ,
g“b — метрика Минковского. Непосредственно проверяется равен-
ство, которому удовлетворяет 4-импульс свободной частицы мас-
сы т:
з
Р° р’ёаЬ = <.Р, Р> = (Ро)2 — 2 (Ра)2 = ™2С2- (^)
а=1
Уравнение (4) задает массовую поверхность в лппейном (кокаса-
тельпом) пространстве импульсов (ра) с метрикой gob. Это — про-
странство Лобачевского (см. § 10), на котором элемент объема
имеет вид da = d3p/pQ.
При использовании лагранжиана 1^= a{v,v> мы из резуль-
татов § 31 получаем: формальная величина v
— a<v, v> сохраняется вдоль экстремалей (в силу уравнения
Эйлера — Лагранжа). Поэтому <р, v> = const; тем самым пара-
метр т па кривой у(т) должен быть натуральным: dl = dx const.
Пусть dx = dl/c (собственное время). Определим 4-вектор энер-
a d-ra
гии-импульса ра — где v = т — натуральный пара-
метр, dx = dl/c, Выбирая а = т/2, получим то же самое значе-
ние 4-импульса (р0, Ръ.) = р, что и для лагранжиана (выше).
Отсюда следует, в частности, что рл — действительно 4-вектор
при преобразованиях в К*. Величина <р, р> вдоль траекторий
постоянна; при dx = dl/c имеем <р, р> = с2. Величина и для па-
раметра т = //с и называется обычно инвариантной 4-скоростыо
(р“), в отличие от 3-скорости w=(u>\ w\ w3). Соответствие та-
ково:
w<x = с Vt <у> у> = (у0)2—2 (у’)2 =с*‘ <5)
v а—1
Если в пространстве D?i имеется электромагнитное поле с нек-
то р-потепциалом Лв(х), то лагранжиан частицы во внешнем поле
имеет вид
L«> _/.">+i т_1, (6)
ч. II
§ 39. ПРОСТЕЙШИЕ ПОНЯТИЯ ОТО
371
или
,L(2) = I™ + | Аа + еА0, t = £ (7)
Таким образом, включение внешнего поля Ло(х) равносильно
сдвигу 4-импульса (см, § 33)
Ра -> Ра + у Аа (х). (8)
В гамильтоновом формализме гамильтониан свободной ча-
_____________________________ з
стицы имеет вид Н = Е(р)" с!р2 + пг2с2 — ср0, где р2 — 2 (Ах)2.
а=1
При включении поля Аа = (Л0, Ла) имеем
Е (р) Н {х, р)
= с
+ т2с2 + еЛ0(.г)
О)
дАь эдп
(см. § 33). Тензор напряженности имеет вид ~ ^7'-*
rneFoa — Ea (электрическое поле) и Ра$ = На$ (магнитпое поле).
Действие самого поля имеет вид
(Ю)
При этом должны выполняться уравнения
1) d (Fabdxa f\ dx1') = () dxa Д dxb Д dxe = 0
\ dx dx dx J
(первая пара уравнений Максвелла),
dFnf)
2) при отсутствии частиц мы имеем —г = 0 (вторая пара
дхи
уравнений Максвелла).
Если имеется набор частиц с зарядами et, ..., eN, массами
zzii, ..mN, мировыми линиями 71, .. в Rf и поле Ла(х),
то полное действие системы частиц п поля таково (два варианта):
5<1) - 2“ f <у” dx + 2 J Т (*) v°d FabFabd*x-,
i=l Vj 1=1 v.
Sw = — 2zra<c2 J |/^ 1 —+
(11)
+ 2 [ [7 u?dt + e‘Ao U) dt] - f F^d'x,. (12)
</ L J юле a
V .
где Vi (t) = x? (т) —координаты i-й частицы, и — скорости
24*
372
ГЛ. 6. МНОГОМЕРНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ
[Ч. Г
/-й частицы. Из вида лагранжиана частицы во внешнем поле (11)
следует, что параметр вдоль экстремали во внешнем поле сов-
падает с натуральным параметром (или собственным временем):
v „ £(i) „ v const* <y, y>, y)= 0.
dv uv 4 '’ dx 4 ’ '
2, Включение гравитационных сил в СТО по указанной схеме
невозможно. Точнее: чисто формально можно попытаться ввести
«вектор-потенциал» гравитационных сил Ла, где заряды е, заме-
нены массами («масса частицы есть ее гравитационный за-
ряд»); вектор-потенциал А$(х) естественно взять таким, что в
специальной системе координат, в которой мы определяли экспе-
риментально гравитационные силы, он должен иметь вид AG =
— (ф, 0, 0, 0), где ф — обычный гравитационный потенциал, удов-
летворяющий уравнению Даламбера вместо уравнения Лапласа.
В этом случае движение частицы во внешнем поле Аа можно по-
лучить из лагранжиана (11), где А заменено на Л ° и е на т.
Однако (на это указал еще Пуанкаре) для смещения перигелия
Меркурия получится неправильная поправка к закону Ньютона,
численно не совпадающая с наблюдаемой (хотя и имеющая пра-
вильный порядок величины). Таким образом, следует искать дру-
гого пути для соединения гравитационного поля с теорией от-
носительности. Основная гипотеза общей теории относительности
Эйнштейна (ОТО) такова: гравитационное поле есть просто мет-
рика gBb сигнатуры (+------) в четырехмерном пространстве-вре-
мени М4 с координатами (я0, х\ х3)\ при этом метрика gai>,
вообще говоря, имеет ненулевую кривизну (величина кривизны
и характеризует степень нетривиальности гравитационного поля).
Пробная частица во внешнем гравитационном поле — это просто
«свободная частица в пространстве с метрикой gab», которая дви-
жется по времениподобной геодезической ^(т) = {^(т)}, задавае-
мой лагранжианом (здесь т =/= 0)
^ев = т <У, У> = т gab. (13)
Если т = 0, то частица движется по световой геодезической в
метрике gttb.
Собственное время вдоль лпнии ^(т) —это Ис == т, dl/c = dx,
const. Включение электромагнитного поля с вектор-потеп-
циалом Лa (я) производится как выше, только метрика Минков-
ского заменяется метрикой gab:
S= f L(1)dT= f + y f Aa(x)dxa. (14)
V(T) vb) vb)
4. I]
§ 39. ПРОСТЕЙШИЕ ПОНЯТИЯ ОТО
373
Действие самого поля имеет вид
5поля =* — J FabFab / — g d'x, f 0(, = —(15)
I/ X- 4/J,
где da =» H—gd^x — элемент объема, g = det(ga6), Fab =* gncgb,lFcd —
результат поднятия индексов у тензора Fab в метрике gab.,Урав-
нения Максвелла в метрике gab таковы:
65
~^олп _ о (в отсутствие зарядов)!;
d^Fabdxa Д dxb>) — 0 (1-я пара),; (16)
\bFab = 0 (2-я пара).
Не обсуждая пока уравнений для самого гравитационного поля
gab, укажем одно простое следствие гипотезы Эйнштейна. Рас-
смотрим достаточно слабое гравитационное поле — метрику ga&
(пока мы не уточняем термин «слабое») и «медленную» массив-
ную частицу в этом поле, движущуюся по геодезической
ха + Г*сяьяс = 0, а, &, с = 0, 1, 2, 3f (17)
где Г®с—символы Кристоффеля (коэффициенты связности, порож-
денной метрикой gob,— см. § 29). За время здесь взято собствен-
ное время вдоль геодезической — натуральный параметр т = 1/с.
Пусть = х°/с, как и в СТО. Будем предполагать, что «слабая»
метрика gab представлена в виде формального ряда по 1/с, при-
чем 1/с считается малым параметром:
gab = gab + + C~3g(ab + . . . = gab + О (1/с2) (18)
(здесь предполагается, что g(ab = 0, а gat?—метрика Минковско-
\ к .. ( 1 dxa
го). Мы считаем частицу медленной, т. е. -тг с величина-------—
д t \ с dt
имеет порядок О(1/с) по определению «медленности»^. Для соб-
ственного времени т или натурального параметра имеем
<19>
или
dr = |/ 1 + О j dt = ^1 + О dt. (20)
Для символов Кристоффеля имеем (см. § 29)
т-а 1 „ad
ГЬс = yg
<Ц'С(,
д«!Л \
/
(21)
374
ГЛ. в. МНОГОМЕРНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ
[Я. I
Так как я0 = ct и t—конечная величина, то в силу (18) произ-
у га /3 / 1 \ /
водные вида —g- в формуле для 1ьс имеют порядок О — (мет-
дх \с )
рпка Минковского ga°b постоянна).
Производные вида ~~ имеют порядок О при а = 1, 2, 3,
так как величины х* считаются конечными. В уравнении (17)
можно в силу (20) с топ же точностью заменить (h па dt; из
слагаемых с символами Кристоффеля в этом уравнении при
а = 1, 2, 3 наибольший порядок будет иметь ГоОЛ0 Г“0с2 + О
так как величины ха при а = 1, 2, 3 имеют порядок 0(1). Для
Г“ в силу (18) имеем
га — 1 £7аа I d*°° I inf—')
Гоо-Т^ I------I + О J (
ИЛИ
Ка __ 1 ^^00 I (X ( 1 \
Уравнение (17) приобретает вид
/2 а / Л \
^ = -г^ + б)(-Ц
(22)
(23)
где Г“о = ~—Цр. Для медленных частиц в слабом поле уравнение
(23) должно совпадать с уравнением Ньютона частицы в клас-
сическом гравитационном поле с потенциалом ф(я) с точностью
^С2 +
\ с J
nf 1 \ КГ отчОС 1
до величин порядка </1 — L Поскольку сч00 = —----~
\с' о
то коэффициент метрики gOo должен иметь вид
Ло^1 + М + ОШ
С \ С ]
где ф — ньютоновский гравитационный потенциал, В
уравнение (23) приобретет вид уравнения Ньютона
дф . лл/ 1 \
(24)
этом случае
(25)
Эйнштейна*
Таким образом имеет место
Утверждение. Если справедлива гипотеза
то коэффициент метрики g00 должен зависеть от гравитационно-
го потенциала (в слабом поле) так:
goo = l+^ + tf(4\
\ С ]
.2
ч. I]
§ 39. ПРОСТЕЙШИЕ ПОНЯТИЯ ОТО
375
В частности, собственное время dx — dl/c отличается от миро-
вого времени dt\ для неподвижной частицы с мировой линией
х0, = const (а == 1, 2, 3) получим
cdr = 1 f gMdt = c Vg^dtt
V V ' (26)
di^dt +^j.
Так как всегда ф С 0, мы имеем следствие: в слабом грави-
тационном поле время между двумя событиями уменьшается
(для неподвижной частицы):
т < t, если ф < О
(имеется в виду временной интервал между двумя событиями
(я° = х®, Xх = 0) и (я0 = ^2, в 0) вдоль мировой линии ха = О,
а = 1, 2, 3).
3. Рассмотрим теперь гравитационное поле (gob), т. е. мет-
рику сигнатуры (+---) в области четырехмерного простран-
ства, где нет никаких других полей и частиц. Мы примем гипо-
тезу, что теория гравитационного поля должна быть, как говорят,
«общековариантной», т. е. уравнения самого гравитационного по-
ля должны иметь одинаковый вид во всех системах координат
и выражаться через тензор кривизны Raucd метрики gab. Не входя
в детальное обсуждение этого вопроса, укажем уравнение Эйн-
штейна для гравитационного поля в пустоте через кривизну
Риччи Rbc = diabac^
- 4 = 0 (27)
(1 1 G\ 1
или /?й1> = 0, так как Оператор Эйнштейна Наъ—^-Rgab
обладает важным свойством для любой метрики gab:
(28)
(следствие тождеств Бьянки — см. § 30). Уравнение (27) па мет-
рику gab обладает следующими свойствами:
1. Это уравнение имеет второй порядок.
2. Для слабых полей, где gQQ = 1 + 2ф(я)/с2 + О(1/с3), это
уравнение приводит к уравнению Пуассона для потенциала ф:
3 2
АТ= 2'^-0 (29)
(это будет показано ниже).
876
ГЛ. в. МНОГОМЕРНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ
[И. Г
3. Это уравнение может быть записано как уравнение Эй-
лера — Лагранжа. Действие и лагранжиан (указанный Гильбер-
том) имеют вид
g = det (gab)„ R = Raa. (30)
Вариация 65 и вариационная производная
§ 37 и имеют вид
-Г- ВЫЧИСЛЯЛИСЬ в
dgb
65 - J (/lab - A Rgab) №Ь V- g #Х<
(31)
Задача. Покажите, что операторы вида НаЬ~~ ^ngab являют-
ся вариационными производными тогда и только тогда, когда
7 = 1/2; в лагранжевом случае должно быть выполнено тожде-
ство (28).
Замечание. Требованиям 1—3 удовлетворяют также урав-
нения вида
Rab---Rgab = kgab- (32)
До настоящего времени пет оснований считать, что (X на-
зывают «космологической постоянной»; пока считается, что X =»
= 0; по космологическим оценкам X < 10"58 см"2).
Простейшим нетривиальным решением уравнения Пуассона
Дф = О-(вне создающих поле масс) является стационарное сфе-
рически симметричное решение
з
const о VI / а\2
<Р = -Г-,; Г- = У (х ) (
' п — 1
(33)
(34)
причем константа может быть отождествлена с суммарной массой
тела, создающего поле ф (тело сферически симметрично),
<Р = — G — t
где С? = 6,67-10"’ см3/г*с2— гравитационная постоянная Ньюто-
на. Найдем аналог ньютоновского потенциала —С — в ОТО.
Рассмотрим сферически симметричную метрику gab, не завися-
щую от времени 1 = х"/с. Будем искать метрику в виде (пусть
с = 1)
dl2 = czdtzg00 + g^dP — r2dQ2, (35)'
где gii = —e\ dQ2 = d02 + sin20<frp2— элемент длины па
единичной сфере в сферических координатах (0, ф). При этом
4. I]
§ 39. ПРОСТЕЙШИЕ ПОНЯТИЯ ОТО
377
из стационарности и сферической симметричности следует, что
^й = ^й(г) и. £ц=£и(г)* Для коэффициентов Г£с, согласно
формулам Кристоффеля (см. § 29) (х° = ct, х1==г, я2=30|
( f да * да \
л = <р)> имеем (а = —, а = ^
Г11 = 4"> Г?о = ~т> Г33 = — sin 0 cos 0,
rl2 = -re-\ ri0 = Aev-\
Пг = Г?з = А r|3 = ctg0, rono = -Jt
г]о=у, rj3 = — г sin2 0е-?“.
Составляя уравнения Эйнштейна Rab = 0, окончательно получаем:
Х = о, + А)-А = о, е~к (А _ = о. Имеем
интеграл Z + v = /(£). Заменой = мояшо сделать функцию
/ пулевой. Решение имеет вид
_____ л а _ 1
^00“ 1 “л£ц— Г—(а/г)«
где а — некоторая константа.
Это — метрика Шварцшильда
dl^(i-—}c2dt2-t 1- -dr2 —r2dQa. (36)
\ Г 1 1 — (a/r) v }
При г -> оо метрика становится слабой, и мы имеем
gab ~ gab ~1-Г Sab + » (37)
с \ С /
где
(38)
Отсюда получаем: а = —где М — масса тела, создающего по-
с
п тэ %GM
ле, G и с — константы. Величину а = —=- для тела массы М
с
называют гравитационным радиусом Шварцшильда (для массы
Земли а = 0,44 см, для массы Солнца а = 3 км). Если тело столь
плотно, что его размер порядка (или меньше чем) а, то из фор-
мулы (36) видно возникновение некоторых особенностей при
г а. Более детально об этих особенностях будет сказано далее,
в § 30 части П. Пока можно утверждать только, что формула
(36) корректна в области г > а.
378
ГЛ. 6. МНОГОМЕРНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ
[Т I
Ранее мы указали, что коэффициент gOo определяется потен-
циалом <р (с точностью до О(1/с3)), Этого было достаточно для
сопоставления уравнения медленных времениподобных геодезиче-
ских с классическим уравнением Ньютона частицы в поле ср
(см. выше). Зная метрику поля полностью, мы можем изучить
также поправки к движению быстрых частиц при больших г,
в частности безмассовых частиц. Уравнение световых геодезиче-
ских в метрике (36) имеет вид
+ <39>
dxa dxb
где gab s 0, He решая уравнения, мы приведем здесь фор-
мулу для световой геодезической в сферически симметричной мет-
рике Шварцшильда (геодезическая лежит в плоскости с коорди-
натами г, ср). Уравнение световой геодезической имеет вид
ф = f-------==. ^г=_ = р = const. (40)
J г21/)
V Р' г- \ г 1
При а -* 0 в качестве предела получаем прямую г cos <р = р. При
малых а можно вычислить поправку к прямолинейности для све-
тового луча, вытекающую из формулы для <р (г).
4. С точки зрения ОТО предполагается, что взаимодействие
всех видов полей и частиц (всех полей, кроме гравитационного!)
с метрикой gab (гравитационным полем) происходит через так
называемый тензор энергии-импульса ТаЬ следующим образом:
полное уравнение Эйнштейна имеет вид
Rab---Rgab = COnst • Tab (41)
ИЛИ
НЬа - -у" Лба =COnSt • ТЬа. (42)
При этом константа предполагается универсальной. Для уточне-
ния ее значения следует рассмотреть слабую метрику вида (36)
и тензор энергии-импульса пылевидного облака, где давление
равно нулю и скорости вещества равны нулю. Тепзор Таъ в этом
случае имеет вид
(ре2 0 0 0\
о 0 )’ (43)
о /
где р — плотность массы. Мы знаем, что g00 = 1 + 2<р/е2 + О (1/с3),
Где ф __ гравитационный потенциал, и выполнено уравнение
ч. И
§ 39. ПРОСТЕЙШИЕ ПОНЯТИЯ ОТО
379
Пуассона
Дф = 4лбр. (44)
Заметим, что 7^= ре2 и Та = ре2 для тензора (43). Нетривиаль-
ные по модулю О (1/с3) величины Г£с, нужные для вычисления
2?о, таковы (см. выше):
Уравнение Эйнштейна имеет вид
Н" - -у lib" = const Т"о,
ИЛИ
7?° = const (rj - -у ^«) = const • 4"- (45)
Для тензора энергии-импульса (43) имеем 7?о *= А<Р/с2 =
=con.<5t • ре2/2. Требование, что уравнение Эйнштейна (45) пре-
вращается в уравнение Пуассопа (44), когда тензор энергии-им-
пульса имеет вид (43), позволяет сделать вывод:
Rau-^Rgab=~ Tabi (46)
( 8л(7\
предполагая размерную константу универсальной I const = I.
Из соотношения (46) следует тождество
^ъТьа = 0, (47)
заменяющее в ОТО законы сохранения.
Укажем виды тензора энергии-импульса, которые у нас уже
встречались и важны в первую очередь.
1. Тензор энергии-импульса электромагнитного поля (см.
выше)
ТаЬ = 47 (- + 4 Л^с<г) (с = 1)« (48)
2. Тензор энергии-импульса изотропной сплошной среды (гид-
родинамический тензор энергии-импульса)
Т'аЬ = (Р + е) UaUb — pgab, (49)
где р и е — давление и плотность энергии среды в «сопутствую-
щей» системе координат (в данной точке), в которой среда по-
коится (или и0 = 1, иа = 0, а = 1, 2, 3). Здесь и = и/с — вектор
380
ГЛ. б. МНОГОМЕРНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ
[Ч, 1
4-скорости среды и> = uaubgab == 1. В указанной сопутствую-
щей системе отсчета ТаЬ имеет вид
л °\
Р „ . (50)
\0 pJ
Для замыкания уравнений Эйнштейна необходимо знать уравне-
ние состояния — связь между р и е. Для пылевидного вещества
р = 0, е = рс2. Для так называемого «ультрарелятивистского»
уравнения состояния р = е/3 или Та = 0.
Задача. Докажите, что тензор энергии-импульса электро-
магнитного поля имеет вид
Ат _ 1 65
2 аЪ~ V=16gnb ‘
где
S = ~ itj FabF'dg0^~g g = det
Замечание. В изложении ОТО обычно определяют сим-
метричный тензор энергии-импульса вещества ТаЬ следующим
образом:
б^матернп 1 i/' ~ w /пн
2 ' S abt V>1)
где действие для полей материи предполагается заданным явно
в виде функционала как от полей материи, так и от метрики
гравитационного поля.
Например, для лагранжианов скалярного и векторного полей
(см. § 38) метрика явно входит в виде скалярного произведения
градиента в лагранжиан. Для спинорного поля (см. § 40) дело
обстоит сложнее. Введение спиноров в ОТО обсуждается в § 41.
Тензор энергии-импульса сплошной среды, указанный в этом па-
раграфе, содержит метрику очевидным образом. Полное действие
гравитационного поля и материи имеет вид
^полное “ У 8 ^Х + ^материи)* (52)
Например, если «материей» является электромагнитное поле Fatn
то
Полное = j (Л + Const FabFab V(53)
Полная система уравнений (Максвелла и Эйнштейна) имеет вид
^полное п полное п /с/\
—= °» “ °-
Ч. и
§ 39. ПРОСТЕЙШИЕ ПОНЯТИЯ ОТО
381
Замечание. Многократно обсуждался вопрос о том, имеет
ли точный смысл плотность энергии самого гравитационного по-
ля (и весь тензор энергии-импульса как общековариантная ве-
личина). Из сказанного выше, принимая определение (51) как
единственное общефизически верное, видим, что в этом отноше-
нии гравитационное поле отличается от всех остальных физиче-
ских типов полей материи, у которых тензор энергии-импульса
определяется по отношению к заданной метрике (конечно, считая
верной основную гипотезу Эйнштейна, что гравитационное поле
есть метрика, следствия которой сейчас уже успешно выдержали
ряд экспериментальных проверок). Как итог всех обсуждений
представляется наиболее вероятным, что никакого общековари-
антного тензора энергии-импульса, кроме правой части уравне-
ний Эйнштейна, не существует. Имеется один важный случай,
когда имеет смысл понятие «глобальной гравитационной энер-
гии» (не плотности!): пусть рассматривается «локализованный»
чисто гравитационный пакет на фоне метрики Минковского. Из
сопоставления с классической нерелятивистской гравитацией сле-
дует, что компоненты метрики (точнее, их отклонение от метри-
ки Минковского) должны убывать достаточно регулярно со ско-
ростью порядка г-1 по пространственным направлениям при г -+
оо (не быстрее!). В этом случае определяется полная «масса
поля» через его асимптотику на пространственной бесконечности
по рецепту, соответствующему определению массы тела через
асимптотику потенциала в классической гравитации. Эта вели-
чина как функционал от трехмерной метрики и ее временных
производных оказывается гамильтонианом системы и поэтому мо-
жет рассматриваться как физическая энергия локализованного
гравитационного пакета. Положительность этой величины лишь
недавно строго доказана геометрами и физиками. Эта «гравита*
ционная энергия» инвариантна относительно произвольных
(внутри) замен координат, которые, однако, для корректности
и однозначности этого определения должны достаточно быстро
затухать на пространственной бесконечности. Уместно заметить,
что в этом случае локализованный «гравитационный пакет» рас-
сматривается по определению как новый объект на фоне метрики
Минковского, и его энергия определяется согласно тем же обще-
физическим рецептам, но уже по отношению к метрике Минков-
ского. На сегодня ни одного такого «локализованного» точного
решения (без особенностей метрики, в отсутствие других сортов
материи) не известно, хотя их существование, по-видимому, не-
эффективно можно извлечь из имеющихся в литературе матема-
тических теорем; такие «локализованные нелинейные гравита-
ционные волны» не наблюдались пока и вряд ли скоро будут
обнаружены; однако этот вопрос представляет собой большой
формальный интерес и интенсивно обсуждается в современной
литературе. Еще один случай представляет теория малых коле-»
382
ГЛ. 6. МНОГОМЕРНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ
[Ч. Г
баннй метрики около любого фона, которая рассматривается как
теория поля, энергия которого определяется по отношению к
фоновой метрике (хотя при построении такой теории необходимо
быть осторожным и ввести соглашение о правиле устранения
координатного произвола).
Эти вопросы в рамках данной книги подробно не рассмат-
риваются.
§ 40. Спинорное представление групп 50(3) и 0(3, 1).
Уравнение Дирака н его свойства
1. Автоморфизмы алгебры матриц. Рассмотрим полную мат-
ричную алгебру М (n, С) в n-мерном пространстве СЛ Построе-
ние спинорного представления указанных групп основано на сле-
дующем свойстве матричной алгебры.
Л е м м а 1. Любой автоморфизм ассоциативной алгебры
М (щ С) является внутренним (напомним, что автоморфизмом
Л: М (п, С)-*- М (n, С) алгебры называется ее изоморфизм па
себя; внутренним автоморфизмом алгебры М (n, С) называется
автоморфизм вида Л (я) = где g— матрица из группы
GL(n,C)).
Доказательство. Напомним, что элемент Р алгебры
М (п, С) называется проектором^ если Р2 = Р. Проекторы Р, Q
называются ортогональными, если PQ — QP = 0; очевидно, обра-
зы ортогональных проекторов имеют нулевое пересечение. Про-
ектор Р называется одномерным, если Р (Сп) есть одномерное
пространство. Одномерными попарно ортогональными проектора-
ми являются, в частности, матрицы Р^ ,,Рп, определяемые
формулой
если k = I = г,
(1)
О, если или 1^=1. ' '
Имеем
Pi = Pif PiPj = 0 при i Ф j\ Р±+ ... + Рп = 1. (2)
Рассмотрим теперь автоморфизм hi М (?г, С)-* М Gi, С) и по-
ложим h (Pj) Так как, очевидно, Л(1)= 1, соотношения (2)
превращаются под действием h в соотношения
(А;)2 « Р{Р^ = 0 при Pi + ... + Рп = 1. (3)
Таким образом, Pi — проекторы; эти проекторы нетривиальны
и попарно ортогональны, и Рх (Сп)+ - - • + Рп (С") = С". Поэтому
все эти проекторы одномерны. Положим 7\(СП) = Ci-
Обозначим через tih где 1 i n, 1 п, элемент алгебры
М (я, С), У которого (i/j)? = 1 при I = к, / = Z и (t^i = 0 для
остальных значений Л, Z; иначе говоря, и ^и(ег).= О
(Pi)l =
ц I] § 40. СПИНОРНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ SO (3) И 0(3, 1) 383
ври r^j, где eh ..еп — стандартный базис пространства Сп*
Очевидно,
tn = Л, tijtra = 0 прп i 5, t^tri =* tr}. (4)
Полагая h(ta) = tijii применяя h к соотношениям (3), получаем
соотношения
^ii = Pj? tijtrs = 0 при i St I = trj* (5)
ПосколькуPktu = 0 при образ ftf(Cn) одномерен п совпа-
дает c Cj, более того, ty изоморфно отображает Ci на Ср
Зафиксируем произвольный ненулевой вектор eL е Ci н поло-
жим е\ = (ei). Векторы е19 . *еп отличны от пуля и лежат в
Сп •••> Сп’> поэтому они составляют базис пространства Сп- Оп-
ределим преобразование g: Cn_^C?i формулой
g(?i) = е- (6)
и покажем, что для любого х е М (n, С)
h(x)= gxg~\ (7)
Прежде всего заметим, что
tij (^i) = tijtli (^1) = ^1; (^1) ~
t\j Gr) = hjtrr (вг) = О при г ф f.
Из этого видно, что (er) = glug"1 (ег) для любого г, т. е. что
h(tij) = gtijg~i
прп любых /. Но тогда h(x) = gxg~l при любом х, поскольку
любая матрица х представляется как линейная комбинация
матриц вида
Лемма 1 доказана.
Далее нам будут важны некоторые специальные реализации
матричных алгебр М (2, С) и М (4, С) с помощью образующих
специального вида — так называемых матриц Паули и Дирака.
2. Спинорное представление группы SO (3). Выберем в алгеб-
ре М (21 С) следующую систему образующих:
л (ъ С /о —/1 о\ /ох
1, Оу _ . 0J? “ аз = (8)
Матрицы Oj (/ = 1, 2, 3) называются матрицами Паули (см. § 14);
вместе с матрицей 1 они дают аддитивный базис в алгебре М (2, С)
как липейпом (четырехмерном) пространстве, поскольку опи
384
ГЛ. е. МНОГОМЕРНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ
(Ч I
линейпо независимы. Они связаны соотношениями:
1) QqOi — OiOq = 2шЛ, где (q, Z, к) — четная перестановка;
2) OqOi 2бд/.
Мы записываем их так:
1) [о,, 0/] = 2io*,
2) {о,, 0;} = 26д(.
Соотношения 1) означают просто, что матрицы реализуют
представление алгебры Ли группы 50(3) (или 5С7(2))\ Отметим
важное свойство соотношений 2). Реализуем трехмерное евкли-
дово пространство R3 (х1, х2, х3) как пространство бесследных
2 X 2-матриц с евклидовым базисом Oj,
(х\ х*9 х3) *-► х*аа.
Пусть А 0(3) — ортогональное преобразование
A:IR8->IR3J х“' = фр. (9)
Положим
=* (10)
Оказывается, соотношения 2) сохраняются при ортогональных
преобразованиях вида (10)
{Oq, 0'J = 26af.
Это очевидным образом выводится из определения ортогонально-
сти матрицы А.
Для соотношений 1) имеем
[Па» Мб] “ ^аХз [0?» ^б] “ 2Z (^a?L3^v6^t)s
где
€-рб 1=1 £?бс —
если (7, б, t) — четная перестановка,
если (7, б, t) — нечетная перестановка,
если среди чисел Ч, б, t имеются совпадения.
Окончательно имеем
[оа, 0р] =* 2jea|3va^, если А е5О(3).
Таким образом, соотношения 1) также сохраняются при преоб-
разованиях вида (10) для ортогональной матрицы А в R3 с оп-
ределителем +1, Соотношения 1) и 2) полностью определяют
матричную алгебру М (2, С)» Действительно, в силу этих соотно-
шений все произведения о*о> выражаются линейно через 1, ои
о2, 0з. Отсюда вытекает
Теорема 1. Преобразование (10) для А из S0(3j задает
автоморфизм /4 (А): М (2Л С) М (2Л С). Следовательно^ по лем~
4. I]
§ 40. СПИНОРНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ SO(3) И 0(3, 1)
385
jiie 1 найдется преобразование g — #(А): С2'~>С2 такое, что h(x) —
~ gzg~* любой матрицы х.
Определение 1. Сопоставление Л н* g (Л) называется
спинорным представлением группы 50(3) в группу GL (2, С).
Это представление многозначно: матрица g(A) определена
с точностью до ненулевого множителя X С- Эту многозначность
можно уменьшить, если потребовать, чтобы g (Л) ge SL (2, С). Тогда
представление делается двузначным, и два значения g(A) по-
лучаются одно из другого умножением на —1.
Задача. Показать, что образ последнего двузначного пред-
ставления лежит в 517(2) и что композиция этого двузначного
представления с проекцией 5t7(2)-* 5t7(2)/(±l) осуществляет
изоморфизм (см. §§ 13, 14)
5О(3)+5О(2)/(±1).
Проверьте, что вращению на угол ср вокруг оси с направляющим
вектором п =* (пх, пу, п^п* + Пу + п* = 1, соответствует преобра-
зование
g (n, <р) = ехр I — i (пхстх + пуаи + nzaz)
3. Спинорное представление группы Лоренца. Перейдем к ал-
гебре М (4, С). Выберем в этой алгебре образующие 1, 70, *у2,
удовлетворяющие соотношениям
(Н)
где gab — метрика Минковского. Для этого достаточно положить
О
(12)
I» V” = I
”а1 0 ) о
(это — 4 X 4-матрицы, записанные как блочные 2 X 2-матрицы с
2 X 2-блоками).
Лемма 2. Все 4 X 4-матрицы 1, *уа, ,уя'уь(а<д), 'у£В'уь'ус(а <
< Ъ < с) и = 'у°'у1'у2'у3 линейно независимы; алгебра над полем
С с образующими 70, 71, *у2, *у3 и соотношениями (11) изоморфна
матричной алгебре М (4, С).
Доказательство. Из соотношений (11) следует, что лю-
бое произведение элементов *уа можно свести к линейным комби-
нациям элементов, указанных в лемме 2. Кроме того, число этих
элементов равно 16, как и размерность М (4, С)- Таким образом,
все утверждения леммы 2 будут доказаны, если проверить ли-
нейную независимость указанных в лемме произведений для
матриц -у0, 71, -у2, 73, заданных формулами (12). Мы предлагаем
25 Б. а, Дубродин и др.
386
ГЛ. 6. МНОГОМЕРНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ
[Ч. I
читателю выписать все эти 16 матриц и проверить непосредствен-
но их линейную независимость (здесь сложных вычислений нет)..
Перейдем теперь к построению спинорного представления
группы 0(3, 1), используя лемму 1. Рассмотрим пространство
Минковского R4 (х°, х\ х2, х3) и матрицу А ^0(3, 1), A = (xt)*
Определим матрицы
= (13>
Из соотношений (11) и из того, что матрица А сохраняет мет-
рику Минковского gab. следует, что матрицы у,<х будут удовлетво-
рять тем же соотношениям
{у,а, у,ь} ~ 2gab • 1.
В силу леммы 2 это показывает, что отображение h~ h (А):
М (4, С) "-> Л/ (4, С), действующее по формулам 1 *-* 1, уа *-> у и,
является автоморфизмом полной линейной алгебры М(4, С). По-
этому существует такое g= g (A) ^GL (4, С), что h(x)=gxg~\ Со-
поставление A*->g(A) называется спинорным представлением
группы 0(3, 1) в группу GL (4, С)- Это представление многознач*
но: матрицы g и X-g, где \ — отличное от нуля комплексное чис-
ло, соответствуют одному и тому же А ^0(3, 1). Переходя к
группе SL (4, С), получим двузначное представление
A~±g(A)e5L(4,Q-
Определение 2. Четырехмерное пространство С4, на ко-
тором действует спинорное представление, называется простран-
ством спиноров (4-компонентных). Элемент этого пространства
tfeC4 называется спинором (пишется как столбец). По построе-
нию (см. формулы (12)) пространство С4 разложено в сумму:
С4 = С2 Ф С2Л
!>=(’), феС2, -/sC2. (14>
Очевидно, ограничение спинорного представления группы 0(3, 1}
на подгруппу 50(3) распадается в сумму двух изоморфных не-
приводимых (спинорных) представлений, описанных выше.
Замечание. Выбирая базис 7° *= 7°, У =получим со-
отношение
{уа, уь) = 26аЬ • 1. (15у
С их помощью можно построить спинорное представление группы
50(4), аналогичное спинорному представлению группы 0(3, 1).
Задачи. 1. Для вращений из 50(3) с: 0(3, 1) на угол ф
вокруг единичного вектора п = (п^ п2, п3) в R3 спинорное пред*
Я. I]
§ 40. СПИНОРНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ $0(3) И 0(3, 1)
387
ставление имеет вид
g (ф, п) = ехр i у faiSi + «222 + пз^з)
где Sj = 0 aJ-
2. Для гиперболического вращения на мнимый угол ир в пло-
скости (х°, п), где п — трехмерный единичный вектор (элемен-
тарного преобразования Лоренца), спинорное представление име-
ет вид
g (ф, га) = ехр у (n1a1 + гааа2 + га3а3)},
/ 0 а А
тдеа> = ^а. 0 j.
3. Докажите, что представление пространственного отражения
Р(х°, х) = (х°, —я), где х — трехмерный вектор, имеет вид
g (Р) = Цр7°, где Цр = ±1 или = ±1.
4. Покажите, что оператор отражения времени Т(х°, х) =
= (—х°,х) представляется в виде
g(7')= ПтУУт1. где |т1т1 = 1.
В пространстве спиноров 1р= () можно перейти к новому
базису
п ф + Х » _ф —X
П ” 1/2 ’ S 1/2 *
(16)
Из формул, задающих спинорное представление (задачи 1—3),
следует, что «полуспиноры» т] и £ преобразуются независимо при
преобразованиях из собственной группы Лоренца 30(3, 1)<=
<=<7(3, 1) и переходят друг в друга при пространственном отра-
жении (проверьте):
g(P): (17)
Р(х\ х) = (х°, — х).
Определение 3. Действия группы S0(3, 1) на т] и £
называются полу спинорными представлениями собственной груп-
пы Лоренца 50(3, 1); обозначения: g+ для т] и g_ для (Дру-
гое описание полуспинорного представления будет дано в п. 3
5 41.)
Эти представления (по отдельности) не продолжаются на
нею группу Лоренца 0(3, 1).
25*
388
ГЛ. 6. МНОГОМЕРНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ
14. I
Заметим, что матрица 7° в базисе = ( J имеет вид (про-
верьте!)
Спинорное представление группы 0(3, 1) не является унитар-
ным. Можно, однако, построить индефинитное скалярное произ-
ведение, инвариантное относительно спинорного представления:
для этого достаточно положить <г|), ip = Здесь гр* —
= (tf, ^2» Ki ^4) — вектор-строка, комплексно сопряженный к
столбцу гр.
Задача 5. Проверьте, что величина инвариантна от-
носительно группы 0(3, 1).
Определение 4. Спинор (строка) гр = гр*7° называется
дираковски сопряженным с гр. Заметим, что форма гргр инвариант-
на относительно спинорного представления.
Задача 6. Докажите, что величина гр7агр преобразуется как
вектор (относительно 0(3, 1)), величина гр7“7ьгр— тензор 2-го
ранга, гр7а7ь7сгр — тензор 3-го ранга, чр75<ф = ip7°717273i|> — тензор
4-го ранга (псевдоскаляр).
Задача 7. Докажите, что полуспинорпые представления £+.
и g_ группы S0(3, 1) в GL(2, С) не обладают никаким инвари-
антным (ненулевым) скалярным произведением.
У Казание. Отсутствие инвариантов у полуспинорного пред-
ставления вытекает из изоморфности одного из них стандартному
представлению группы 5Л(2,С), а другого — сопряженному пред-
ставлению. Изоморфизм между алгебрами Ли группы 5£(2,С)
и группы Лоренца есть частный случай изоморфизма (24.72) при
п = 2, где алгебра Ли конформных преобразований сферы 5*
реализуется как алгебра Ли группы 50(3, 1).
В базисе = ( £ ) форма (гр, гр) = гргр имеет вид гргр = Ч?*7°'Ф ш
= В*ц + т]*В (проверьте!).
4. Уравнение Дирака. Алгебра 7-матриц с соотношениями (11)
естественно возникает из следующего вопроса: пусть задан опе-
ратор Клейна — Гордона □ + zn2. Можно ли разложить его в про-
изведение операторов 1-го порядка так:
— (□ + тг) = + m'j + (— т))? (19)
Задача. Докажите, что разложение (19) эквивалентно со-
отношениям
{г, f} = 2g°b • 1, (201
ч И
§ 40. СПИНОРНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ SO(3) И 0(3, 1)
389
оф д д , / л г\\
где □ = £ —а —ь (т* е* разложение (19) возможно, если в ка-
дх дх°
честве коэффициентов взять элементы алгебры ^-матриц).
Опре деление 5. Уравнение
/ . д \
[if ^ь — wjip = O (21)
па спинорное поле ip называется уравнением Дирака.
Задача. Проверьте, что сопряженное уравнение имеет вид
f^v“ + mip = O, (22)
дс
где ф =
Уравнение Дирака получается из действия
s = 2 Й’Ъ « ~ Л V - лпгрП’ &х,
J * \ дх дх /
(23)
где и \р считаются независимыми. Тензор энергии-импульса и
ток имеют вид
rb = ^g°cLv^_^vb,|)) = Tb“, (24)
= а = 0,1,2,3. (25)
Величина 7° = = if* ("Г°) г"Ф = "ф*ф есть плотность заряда.
Заряд имеет вид
(? = J = j JWx. (26)
Очевидно, Q > 0. Напротив, плотность энергии Т°° не является
положительно определенной; это вызывает ряд трудностей, кото-
рые мы здесь обсуждать не будем.
Решения типа const • х> имеют волновой вектор на массо-
вой поверхности <fc, fc> = zn2(Й = с = 1). Их отождествляют с ча-
стицами, если к° > 0 (т. е. импульс лежит на верхней части мас-
совой поверхности). Необходимость этого ограничения вытекает
из требования положительности энергии частицы.
В базисе (ц, £) уравнения Дирака приобретут вид
= + ml,
dl <27>
I £ = — <a, P> В + mq,
где p = i — (Й = c = 1) . Мы видим, что при нулевой массе m = О
это уравнение распадается на два независимых уравнения (урав-
нения Вейля), описывающих частицы, законы движения которых
390
ГЛ. 6. МНОГОМЕРНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ
(Ч. I
не инвариантны относительно пространственных отражений (по-
луспинорное представление группы SO(3t 1) не продолжается
на пространственное отражение) и которые имеют нулевую
массу (полуспипорное представление не обладает инвариантным
скалярным произведением, которое в лагранжиане могло бы дать
члены типа массы).
5. Уравнение Дирака в электромагнитном поле. Оператор за-
рядового сопряжения. Включение внешнего электромагнитного
поля производится по стандартному правилу ра -> ра + еАа
{Тг = с= 1). Поэтому мы должны сделать обычную замену в лаг-
ранжиане и уравнениях
— ieAa(x)t
дха дха ’
где е — заряд (^ = с-1). Уравнения Дирака во внешнем поле
принимают вид
— ieA* (*)) + т ] Ф = °*
_г! х J п (28)
Ф (va)T(r^+ ) — т = 0,
L \дх J J
где 7° = 7°, = — iya (ср. замечание в п, 3) и Т обозначает
транспонирование. Рассмотрим матрицу С = YY- Она обладает
следующим свойством (проверьте):
С-уС = -(7а)т. (29)
Из формулы (29) и уравнения Дирака вытекает
Теорема 2. Если поля -ф(х), гр(х) удовлетворяют уравне-
ниям Дирака (28) с зарядом е в поле Ла(х), то поля 'фс(я) =
= С'ф(я) и -фс(х) = С-1,ф(х) удовлетворяют уравнениям (28) в
том же поле Аа(я), но с заменой е -* —е.
Преобразование ip >-* 1рс называют преобразованием зарядово-
го сопряжения, так как оно меняет знак заряда у частицы, опи-
сываемой полем 1р. Отсюда вытекает важное следствие: спинорное
представление и уравнение Дирака описывает сразу два сорта
частиц: частицы с зарядом е и частицы с зарядом — е. Одно и
то же решение 1р(х) уравнений Дирака (28) определяет волно-
вую функцию электрона гр(х) и волновую функцию позитрона
ipc(x).
Задача. Проверьте, что: а) оператор зарядового сопряже-
ния коммутирует с собственной группой Лоренца; б) этот опера-
тор коммутирует с пространственным отражением g(P) =
если = ±Z (и не коммутирует, если цР = ±1); в) этот опера-
тор ф -> ярс коммутирует с временным отражением, если г|г =
«=» ±1 (см. задачи 3, 4 из п. 3).
я. I]
§ 41. КОВАРИАНТНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ПОЛЕЙ
391
§ 41. Ковариантное дифференцирование полей
с произвольной симметрией
1. Калибровочные преобразования. Калибровочно инвариант-
ные лагранжианы. Начнем с важного примера. Рассмотрим комп-
лексное скалярное поле if и лагранжиан вида
4.4). а)
дха дхаГ х '
где черта обозначает комплексное сопряжение, if и if считаются
формально независимыми (см. § 38).
Пусть лагранжиан L инвариантен относительно группы за-
рядовых преобразований вида
if -н ei<pif, if e~i(Fif (<р = const): (2)
= ь(ф,ф,-^-, (3)
\ дха дха/ \Y Y дха дха/ х '
Например, такой инвариантностью обладает рассмотренный в
§ 38 лагранжиан вида
L = ft V5 Д Д - ™2с2 W (4)
дх дхр
Исходя из принципа локальности, потребуем инвариантности лаг-
ранжиана относительно более общих преобразований вида (2),
а именно, допустим, что <р зависит от х. Это означает, что груп-
па (2) действует в каждой точке независимо.
Оказывается, можно получить лагранжиан, инвариантный от-
носительно таких преобразований
if e^tx)if, if (5J
при помощи следующей процедуры:
1) вводим новое ковекторное поле Аа, которое при преобра-
зованиях (5) преобразуется с помощью градиентных преобра-
зований
(ft = c = i); (6)
дх
2) вводим новый лагранжиан Е, полагая
£ = L w
у С/ bV (s «С /
где
= тъ + (8)
дх
выражение (7) является скаляром, поскольку Vaif есть ковектор|
392
ГЛ. 6. МНОГОМЕРНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ
ГЧ. Г
3) полный лагранжиан инвариантной теории должен иметь
— -- ( д/Й
вид £(ф, гр, ^ф, ^ф)+/,1 1д_I где член градиентно инва-
риантен. Вид члена Lt будет обсуждаться в § 42.
Теорема 1. Лагранжиан (7) инвариантен относительно
(локальных) преобразований (5), (6).
Доказательство. Вычислим, как преобразуется «ковари-
антная производная». Имеем Vai|)->—+ ie\ —
дх \
gie(p(x) д^Р
с
ниях (5),
дхаГ
е’еф(х'¥агр, Поэтому при преобразова-
(6) новый лагранжиан не изменится:
L(eiet^, е“1е<₽ф, ?еф?аф, e-^valp) = L(^ ф, ?аф, ?аф)
в силу инвариантности исходного лагранжиана. Теорема доказана.
Рассмотрим теперь общий случай, когда ф(х) = (ф1 (х), ...
..., флг(х)) есть поле в пространстве R со значениями в (веще-
ственном) векторном пространстве. Пусть задан лагранжиан
ь (гр, I, инвариантный относительно некоторой группы G мат-
риц порядка JV:
g^G. <9>
Ковариантная производная поля ф(х) задается формулой
= Их* + Аа
где Ла(я) (а=1, .п)—набор матричнозначных функций в
пространстве Rn со значениями в алгебре Ли группы G. Требу-
ется, чтобы величины Ла(х) при заменах по х образовывали ко-
вектор:
д ..Р
Аа (х) = (у) —у = у (х). (11)
дх
Теорема 2. При преобразованиях вида
Т|) (х) g(x) (х), (12)
Аа (х) -> g (х) Аа (х) g-1 (х) - g-1 (х) (13)
дх^
ковариантная производная преобразуется по закону
(14)
Лагранжиан L (гр, « L (гр, ?агр)
разованиях инвариантен^
при указанных преоб-
ч. П
§ 41. КОВАРИАНТНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ПОЛЕЙ
393
Доказательство. Из формул (10), (12), (13) имеем
(*) А & (*) Я>) + [Ма#"1 — £-1] =
дх [ дх J
= g (*) [-££- + ДхЯ’]=s (х) vai|>.
Равенство (14) доказано. Заметим теперь, что ковариантная про-
изводная вектор-функции ip образует ковектор:
д ..3
Vai|>(z) = У = у(х),
так же, как и градиент —77. Поэтому из равенства (14) и уело-
дх
вия инвариантности (9) вытекает инвариантность нового лагран-
жиана:
Hg^, gV<^)=L(^, Va1p).
Утверждение доказано.
Введенное поле 4а называют калибровочным (или компенси-
рующим) полем* (или связностью), а преобразования вида (13) —
калибровочными преобразованиями. Эти преобразования образу-
ют калибровочную группу.
Требование инвариантности лагранжиана относительно груп-
пы локальных преобразований вида (12) определяет лагранжиан
взаимодействия поля ip с калибровочным полем, но не определяет
лагранжиана самого калибровочного поля. Мы вернемся к этому
вопросу в § 42.
Замечание. Частным случаем векторнозначных полей яв-
ляются поля, принимающие значения в алгебре Ли g группы G.
Пусть В(х)—такое поле. Калибровочное поле (связность) АЛ
определяет ковариантную производную поля В(х) по формуле
= + <15)
где [4а, В] » АаВ — В4а — коммутатор в алгебре Ли.
Задачи. 1. Проверьте, что при калибровочных преобразова-
ниях вида
B(x)-+g(x)B(x)g(x) \
4х (х) -> g (х) Аа (х) g 1 (х) — g 1
ох
ковариантная производная Vo5 преобразуется по закону
VeB->g(z)(VaB)g-'(z).
394
ГЛ. 6. МНОГОМЕРНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ
[Ч. I
2. Проверьте, что бесконечно малые калибровочные преобра-
зования могут быть представлены в виде
1р(х) + В(х)$(х) + о (В).
Ли(х) Хи(х)+ v|tB(x) + о (В),
где В(х) — поле, принимающее значение в алгебре Ли.
2. Форма кривизны. Вычислим коммутатор двух ковариантных
производных:
1 Vjx, Vv] = VjxVv'ip — VvV^ip = - \ + Лф) +
дх** \ дх /
++М ~ +~Av +"М=
= (-J4 - +[л. а-] К
\ дх** dxv ]
Введем обозначение
dAv дЛ^
= —£ - —£ + [Лц, Л]. (16)
дх** дх
Вывод. Коммутатор операторов Vv есть оператор умно-
жения на матрицу F^.
Теорема 3. При калибровочных преобразованиях (13) ве-
личины F^ преобразуются следующим образом'.
^v-g^vg-1. (17)
Величины РЦУ> образуют антисимметричный тензор 2-го ранга (со
значениями в алгебре Ли g) и при заменах координат преобра-
зуются по закону
Р^(х) = Fap(y)^--^rt у = у(х). (18)
дх* дх
Доказательство состоит в прямой подстановке формул (13)
в выражение (16) для Fnv.
Форма Q= 2 F^ydx1* Д dxv со значениями в алгебре Ли Q
|A<V
группы G называется формой кривизны связности
Связность Ац называется тривиальной, если существует такая
функция go(x\ со значениями в группе G, что
= (19)
дх**
Теорема 4. Форма кривизны тривиальной связности равна-
Нулю*
H. I]
§ 41. КОВАРИАНТНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ПОЛЕЙ
395
Доказательство. Применяя к полю калибровочное
преобразование = gA^1----g~lf/ g = g^\ получим
s 0.' Согласно предыдущему утверждению форма кривизны
перейдет в форму go^F^^g^ которая есть нуль. Утверждение до-
казано.
Задачи. 1. Докажите обратное утверждение: если форма
кривизны связности есть тождественный нуль, то связность три-
виальна (локально).
2. Определим ковариантный дифференциал формы Q, полагая
£>Й= 2 (V^v + Vv^ + V^)^ Ndx\ (20)
b<|A<V
Докажите, что если Q — форма кривизны некоторой связности,
то справедливо тождество Бьянки: DQ s 0.
3. Основные примеры, a) G = U (1) = SO (2) . Мы уже знаем
(см. § 38), что введение электромагнитного поля Лм, взаимодей-
ствующего со скалярным комплексным полем 1|), эквивалентно
да
замене в лагранжиане всех производных —- на ковариантные
дх
производные Vai|? = + /еЛар,. Именно с обсуждения этого при-
дха
мера мы и начали этот параграф. Здесь группа G — одномерная
коммутативная группа G = (7(1) = {etfi<₽}. Ее алгебра Ли также
одномерна и коммутативна (т. е. имеет тождественно нулевой
коммутатор) и состоит из чисто мнимых чисел. Связность — это
вектор-потенциал самого электромагнитного поля ieA^x). Фор-
ма кривизны этой связности — это тензор папряженности элек-
dAv дА
тромагнитного поля F^v « — у-7- (члена с коммутаторами
здесь нет). Тождество Бьянки — это условие замкнутости формы
Й = 2 /\dxv =d(^Z).
Другие примеры связаны с некоммутативными калибровочны-
ми группами.
б) Линейная связность. G = GL (n, Ц?). Координаты
ж1. ..., хп в некоторой области U задают базис -^7, ...,-4= в
’ дх1 дхп
пространстве Векторов. Поэтому касательные векторные поля в
области U можно рассматривать как векторнозначные функции
g =(V, ..Вп) (со значениями в Rn). Замена координат х =«
« х (х) в области U определяет локальное преобразование вида
&V-*r = -^-4v = g(x)B. (21)
дх
(dxv'\
—7 обратима, т. е. лежит в группе
дх ]
896
ГЛ. 6. МНОГОМЕРНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ
[Ч Г
GL(n, R). Обратная матрица имеет вид g г= ( I. Алгебра Ли
\ дя /
группы GL(n, R) образована веема матрицами n-го порядка. По-
этому коэффициенты связности Лц(х) сами являются матрицами
n-го порядка. Обозначим их матричные элементы через (Лц)£ —
•== Гхц. Ковариантная производная вектор-функции (т. е. каса-
тельного вектора) £ имеет вид
(V^)v = ^ + ги* ~ = ^ + (22)
Калибровочное преобразование коэффициентов связности
- , ч (dxv' \
задаваемое преобразованием координат, где g (х) = I —— I, дает
\ дху /
rv rv' dxv' pv дхк dxv' д ( dxv \
Гхв ->ГГц = — ГХц (2o)
Поскольку Лц(х) есть ковектор, то
А — дх^ А те
ц _ д^'
дх* дх'*’ V дх>- д^' d2xv
дх^ dxv дхУ &xv dx?S дх^г
(24)
Мы получили выведенный в § 28 закон преобразования для сим-
волов Кристоффеля. Отметим, что матричнозначная форма кри-
визны этой связности имеет вид
(^uv)x — x.uvt (25)
где —тензор кривизны (см. § 30).
Пусть в области U задана риманова метрика g<&(x)* Построим
(локально) нормированный базис попарно ортогональных каса-
тельных векторов в1, ,.ел:
^6(х, — баз*
Ковариантные производные вида = 2 Гваув7 для симмет-
ричной связности, согласованной с метрикой были вычислены
в § 30. В этом случае калибровочные преобразования дают
S(x)-g(x)£(x)f £=(V, .... Г),
где £ = — касательное векторное поле, g(x) — ортогональная
п X n-матрица при каждом х. Связность имеет вид (Ла)р7 = Грат,
где при каждом а матрица Грат антисимметрична по индексам £
и у и поэтому лежит в алгебре Ли ортогональной группы. Фор-
ма кривизны (^vjux = й>л. gv также принимает значение в алгебре
я. I]
§ 41. КОВАРИАНТНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ПОЛЕЙ
397
Ли кососимметрических матриц:
Ц¥ вЭ ”^Хх, JLV
(см. § 30). Для псевдоримановой метрики все аналогично.
Для случая метрики на двумерной поверхности форма кри-
визны имеет вид
Q = KVgdxl/\d^t (26)
где К — гауссова кривизна поверхности.
в) К артановская связность. G — аффинная группа
(линейные преобразования и трансляции). Пусть задана любая
линейная связность на касательных векторах. Определим
«картановскую связность» формулой
V^v = V^v + в;. (27)
Задача. 1) Покажите, что связность инвариантна отно-
сительно локальных аффинных преобразований вида
Ъ-^ + у, (28)
где g = I —— I — матрица замены
\ дх /
координат z'«x'(z), а у =
= (у1 W, • • м Уп (х)) — любой вектор.
2) Покажите, что форма кривизны этой связности (со зна-
чениями в алгебре Ли аффинной группы — см. §§ 4, 24) имеет
вид
^v = (fl\uv, 7’uv). (29)
Здесь —тензор кривизны связности, Гцу—тензор кручения.
г) Ковариантное дифференцирование спино-
ров и метрика. Пусть — пространственно-временной кон-
тинуум с метрикой (типа (1, 3)). Связность, согласованная
с этой метрикой, порождает ковариантное дифференцирование
спиноров. Мы разберем подробно случай полуспинорного пред-
ставления (см. § 40). Явная реализация этого представления
такова. Представим произвольную эрмитову 2 X 2-матрицу U,
ЁГТ = £7, в виде
(Of 3 1 । . г\
U + U и + 1и 1 а гтТ гт
1 ,2 0 з I = и U = (30)
и — 1и и — и J
где °о= ij’ °2, Оз — матрицы Паули (см. § 40); матрицы
Оо, ..., о3 образуют базис в (вещественном) пространстве эрми-
товых матриц. Тогда определитель матрицы U имеет вид
det U = (и0)1 - (и1)2 - (и1)1 - (и3) \
398
ГЛ. 6. МНОГОМЕРНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ
14. Г
Этот определитель сохраняется при преобразованиях вида
*-+gUgT> где матрица g лежит в группе SL(2, С). Таким обра-
зом, преобразование U >-► gUg^ можно рассматривать как сохра-
няющее метрику преобразование пространства Минковского
(с координатами и0, и1, и2, и3), т. е. как элемент группы 50(3, 1).
Мы получаем соответствие (гомоморфизм) 5L(2, С) -* 50(3,
при котором матрицы g и — g переходят в одну. Обратное ото-
бражение 50 (3, 1)-*5Л(2, С) двузначно — это и есть полуспп-
норное представление.
Элементы пространства С2, в котором действует группа 5L(2,СЬ
называем (двухкомпонентными) спинорами; поля со значениями
в этом пространстве — спинорными полями. При действии груп-
пы SL (2, С) они преобразуются по закону
В (*) g (*) В (*), g (*) SL (2, С). (31)
Определено также сопряженное представление £
Ковариантная производная спинорного поля по определению
имеет вид
va| = -Д- + Аа1, (32>
дх
где Аа—комплексная бесследная 2 X 2-матрица (из алгебры Ли
группы SL (2, С))- Мы требуем, чтобы сопряженные спиноры
дифференцировались по правилу
v«E - (33>
Тем самым определена ковариантная производная от эрмито-
вых матриц (правило Лейбница). Эрмитовы матрицы U отожде-
ствляются с касательными векторами иа посредством равенства
U = иааа, где (иа)—компоненты касательного вектора в «тетра-
де» векторов е0, eh е2, е3, е0= —ех =* —^2= —вз=1и векторы
попарно ортогональны. При таком отождествлении локальные
преобразования спиноров вида (31) соответствуют локальным
лоренцевым преобразованиям из группы 50(3, 1). Наложим тре-
бование, чтобы ковариантная производная определенная по
спинорной связности (32), (33), совпадала с выражением
где — ковариантная производная вектора и? относительно
симметричной связности, согласованной с метрикой gRV.*
^aU = C^aU\ U = (34),
(компоненты этой связности в тетраде были вычислены в § 30).
Задача. Доказать, что условиями (32) — (34) ковариантная
производная спинорных полей определяется однозначно, причем
<1. и
g 42. КАЛИБРОВОЧНО ИНВАРИАНТНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ
399
справедлива формула
— 2~ F
(35)
(суммирование по индексу £ с учетом знака, т. е. слагаемое,
отвечающее — О, берется с плюсом, остальные—с минусом).
Полное спинорное представление группы 50(3, 1) разлагается
в прямую сумму представления SL (2, С) и комплексно сопря-
женного. Таким образом равенства (32) — (34) позволяют кова-
риантно дифференцировать также четырехкомпонентные спиноры.
Задача. Вывести вид уравнения Дирака в присутствии
метрики.
Замечание. Каждому спинору £ = (£°, £‘) соответствует
эрмитова матрица U = (£а£Р)- Отвечающий ей вектор ик =
изотропен, поскольку матрица U вырождена (имеет пулевой де-
терминант) .
Задача. -Выберем базис £=(£°, £‘), т]=(т]0, т]1) в простран-
стве спиноров С2 такой, что = 1. Показать что с этим
базисом канонически связан репер в пространстве Минковского
(тетрада), в котором метрика принимает вид
(О 1 0 0\
1 о о о\
О 0 1 о г
0 0 0 1/
§ 42. Примеры калибровочно инвариантных функционалов.
Уравнения Максвелла и Янга — Миллса. Функционалы
с тождественно нулевой вариационной производной
(характеристические классы)
Лагранжиан £ = £(4Ц, дАу/дх*) калибровочного поля должен
обладать следующими свойствами:
1) L(A^ dAJdtf9)—скаляр,
2) Ъ(А^ дАу/дх*) не меняется при калибровочных преобразо-
ваниях.
Простейший такой лагранжиан имеет вид
(1)
где
^r + l^^vb
Здесь gnv = £nv(£) —произвольная метрика в рассматриваемой
области: через <,> обозначена форма Киллинга для алгебры Ли
группы G (мы считаем, что она не вырождена).
Построенный лагранжиан является скаляром, поскольку он
образован посредством алгебраических операций над тензорами.
400
ГЛ. 6. МНОГОМЕРНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ
[Ч. I
Проверим его калибровочную инвариантность. При калибровочных
преобразованиях (41.13) форма кривизны F^ перейдет в gF^g~\
Ввиду инвариантности формы Киллинга (см. § 24) будем иметь
<^uvg_I, Ах>;
отсюда получаем калибровочную инвариантность лагранжиана
(1). Пусть метрика евклидова или псевдоевклидова: g^ =
= eg6nv, ец=±1. Выведем уравнения Эйлера — Лагранжа для эк-
стремалей функционала
[Л1 = У 4* Fuv> d х (2}
(по дважды повторяющимся индексам ц, v суммирование с уче-
том знаков ev, ец = ±1).
Теорема 1. Для экстремалей функционала (2) имеем у рае-
нения
= 0, (3>
где = тут Ь (см. § 41).
их*
Доказательство. Для малой локальной вариации 6Л^
будем иметь
= 6Fuv><fx,,
где 6F^V = — бЛу-----6ЛЦ 4- [6ЛЦ, Лу] 4- [Лц, 6ЛУ]. Интегрируя
дх^1 дх
в выражении для 65 по частям:
f \ ТХ 6Л / Л = - f \ \ dr'x,
J \ дх* / J \ /
и используя инвариантность формы Киллинга:
<РЦ„ [6ЛЙ, Л,]> = -<[FUv, Л,], 6ЛЦ>,
получим
+ Лу]} бЛц> — Лц], 6ЛУ> ? cfr.
После переобозначения индексов получим
as = j + [Л„ Fuv], 6Л?> d"x = j <VuFuv, ЪА^д'х,
причем 6S равняется нулю на экстремалях при произвольной
вариации 6Л^ Поэтому для экстремалей функционала (2) полу-
чаем уравнение V ~ 0. Утверждение доказано.
4. IJ § 42. КАЛИБРОВОЧНО ИНВАРИАНТНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ 401
Замечание. Сами уравнения V^v = 0 и тождество Бьянки
+ Vim = 0 могут быть написаны и без гипотезы
невырожденности метрики Киллинга. Одпако они не будут иметь
(во всяком случае простого) лагранжева вида.
Задача. Для связности Картана аффинной группы эти
уравнения после подстановки связи между метрикой и кривизной
примут вид уравнений Эйнштейна (извлечение из современных
работ)
Rab---У Rgab = о. (4)
&
(5)
Пример. В абелевом случае (G = U(1J — электромагнит-
ное поле) получаем лагранжиан вида
1 \а 1 ^2
т. е. стандартный лагранжиан электромагнитного поля (см. § 38).
Уравнения (3) совпадают здесь с уравнениями Максвелла
= 0.
д^
(6)
Замечание. Калибровочное поле Ац для группы G = SU(2)
называется часто полем Янга — Миллса.
Задача. Вывести уравнения экстремалей = 0 для лаг-
ранжиана
где метрика gw(x) произвольна и фиксирована (внешнее поле).
Действие вида
5(4] =±=
в четырехмерном пространстве обладает дополнительной сим-
метрией — относительно группы всех конформных преобразова-
ний в R4 (или в Взл) (см. описание этой группы в § 15). Диф-
ференциал любого конформного преобразования сводится к дила-
тации и вращению (см. § 15), поэтому достаточно проверить
конформную инвариантность только относительно дилатаций
х При таких преобразованиях будем иметь
^iv — тензор), d^x X4 Л;,
где d^x — элемент объема. Отсюда, очевидно, имеем
Sp^vd4x->Sp^vd4x.
26 Б. А. Дубровин и др.
402
ГЛ. в. МНОГОМЕРНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ
[Ч- I
Вывод. Лагранжиан (2) и уравнения Максвелла — Янга —
Миллса (3) в пространстве Минковского конформно инвариант-
ны, т. е. имеют группу симметрий 0(4, 2) (см. § 15).
Важную роль играют также калибровочно инвариантные диф-
ференциальные формы со скалярными значениями, зависящие от
Например, форма (степени 2)
Cj = Sp Q = 2 Sp F^dx^ Д dxv (7)
|1<V
калибровочно инвариантна:
Sp(gQg-‘) = Sp Q.
Здесь Sp обозначает след матрицы. Форма == Sp Q (локально)
является точной (полным дифференциалом): SpQ = d(SpX), где
А=А^х\ Действительно,
SpQ = 2 Sp A,] W Д dx1 =
|X<V дх '
Я А А А X
WAdZ = dSp4,
дх1* дх* 1
поскольку след коммутатора матриц равен нулю.
При локальной вариации связности + 6ЛЦ форма SpQ
переходит в форму Sp Q + Sp 6Q, где Sp 6Q = d Sp 6Л — точная
форма. Поэтому функционал
51 Мд] = J Sp Q
R2
(для двумерного пространства) имеет тождественно нулевую
вариационную производную
fiSJAJ = jd(Sp64) = 0 (8)
r3
в силу локальности вариации.
Определение 1. Замкнутые калибровочно инвариантные
формы со такие, что функционалы J имеют тождественно нуле-
вую вариационную производную, -gj- = 0 будем называть
(дифференциально геометрическими) характеристическими клас-
сами.
4.1]
§ 42. КАЛИБРОВОЧНО ИНВАРИАНТНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ
403
Другие характеристические классы строятся так:
q = Sp(Q Д ♦ .. Д Q) = SpQ1, i>l, (9)
Ci — это калибровочно инвариантная форма ранга 2i\ коэффици-
енты формы Q в (9) перемножаются как матрицы.
Задача, а) Докажите, что формы с{ замкнуты при i>l.
б) Докажите, что функционал
R2i
(для пространства размерности 2г) имеет тождественно нулевую
вариационную производную:
в) Докажите это также для функционалов вида
j А + ₽С2, j ас3! + рсх Д С2 + ус3
R4 Rfl
и т. д. для любых многочленов от с<.
Для группы G = SO (2и)' нетривиальными являются лишь =
« c2i; Ct = = с5 s.. 0. Кроме того, имеется еще один харак-
теристический класс
Хп = 8Ч-1гХ<, А А ... A (10)
/1 . ..2и\ _
где е —знак перестановки I. . L — матричные эле-
VI ••• Чп/
менты формы кривизны
Q = S К dx4.
Ц<-У
Пример 1. При л = 1 получим для %, выражение (см. пре-
дыдущий параграф)
Хх = eili2Qili2 = 2К V~g dx1 A dx3. (11)
Как известно (см. § 37), функционал вида
Vgdx^dx*^ -^RVgdx!/\d^ (12)
R2 R2
имеет тождественно нулевую вариационную производную по мет-
рике (см. § 37).
26*
404 ГЛ. 6. МНОГОМЕРНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ (4.1
Пример 2. При п = 2 имеем Хг и с2. Для римановой метрики
Ха = е J Rijiiv /\ dx /\ dx f\ dx
с. = R^R^ A dxv Д dJ Д dx\
Задача. Докажите, что все формы х„ замкнуты и являются
характеристическими классами.
Общий характеристический класс для G = SO(2n) имеет вид
многочлена от Хп, Сг, с4, ..сгп-2.
Задача. Покажите, что для G = SO (4) функционалы
$ Хг, j с2, J Хз. J 7^2, J сз
R4 r4 r8 r8 r8
имеют тождественно нулевую вариационную производную, т. е.
v 2 2
все формы Хг» сг» Ха» Хгс» являются характеристическими
классами.
Часть II
ГЕОМЕТРИЯ И ТОПОЛОГИЯ
МНОГООБРАЗИЙ
Глава 1
ПРИМЕРЫ МНОГООБРАЗИЙ
§ 1. Понятие многообразия
1, Определение многообразия. Понятие многообразия пред-
ставляет собой, в сущности, обобщение впервые математически
описанного Гауссом процесса картографирования земной по-
верхности. Это обобщение оказывается чрезвычайно широким
и применимо к громадному классу сложнейших геометрических
фигур.
Напомним, в чем состоит сам процесс картографирования.
Коллектив людей, которому поручено составить карту земной по-
верхности, разбивается на группы, исходя из следующих есте-
ственных требований.
1) Каждый кусок земной поверхности поручен какой-нибудь
группе (с номером i).
2) Если области, порученные двум разным группам (с номе-
рами i и /), пересекаются, то этим группам необходимо четко
списать на своих картах правило соответствия их карт в общей
области. Обычно это правило пересчета на реальных картах за-
ключается в нанесении на карту достаточно подробного списка
наименований географических пунктов, откуда сразу видно, ка-
кие точки на разных картах соответствуют друг другу.
Каждая из составленных карт, как мы помним, нанесена на
плоский лист бумаги с какими-то координатами на нем. Сово-
купность этих листов, именуемых картами, называется атласом
земной поверхности. Кроме того, на картах обычно указывается
правило вычисления истинной длины любого пути, попавшего в
данную карту; к этому мы вернемся позднее (понятие длины мы
не включаем в понятие многообразия).
Исходя из этих соображений, вводится общее довольно про-
странное определение, к которому мы и переходим.
Определение 1. Дифференцируемым п-мерным многооб-
разием называется произвольное множество точек Л/, в котором
введена следующая структура: 1) множество М представлено
в виде объединения конечного или счетного числа областей Uq;
2) в каждой области Uq заданы координаты а=1, ...,
408
ГЛ. 1. ПРИМЕРЫ МНОГООБРАЗИЙ
(Я. II
называемые локальными координатами*). Сами области Uq при
этом называют координатными окрестностями или картами. Пере-
сечение Uq П Up каждой пары этих областей в множестве М, если
оно не пусто, само является областью, в которой уже действуют
две системы локальных координат (х?) и (я*). Требуется, чтобы
каждая из этих систем локальных координат выражалась через
другую дифференцируемым образом:
а а / 1 л
Хр = (Ха, .. .,Хп), а = 1, . ,п;
₽_ ₽ 1 _4 (1>
хq — Xq \Xpt .. ., Хр), ос — 1, .,., w,
( дхр\
Тогда якобиан det будет отличен от нуля. Функции (1}
называются функциями перехода (от координат х$ к координа-
там Хр и обратно). Общий класс гладкости функций перехода
для всех пересекающихся пар (у, q) называется классом глад-
кости самого многообразия М, заданного с помощью «атла-
са» {C7J. Простейший пример многообразия — это само евклидово
пространство или любая его область.
Область в комплексном пространстве Сп является 2п-мерной
вещественной областью и также является многообразием.
По двум многообразиям М— (J Uq. N — (J Vv можно построить
ч в?
их прямое произведение MXN. Точками многообразия М X N
по определению будут пары точек (?п, п); покрытие координат-
ными областями определяется так:
MxN = и UqXVp. (2)
Если (я*) — координаты в области Uq, (ур) — координаты в обла*
сти Vp, то координатами в области Uq X Vp будут (х£, ур).
В дальнейшем встретится ряд других примеров многообразий.
Следует отметить, что введенное нами общее понятие много-
образия с чисто логической точки зрения излишне широко; его
следует ограничить, и это будет в дальнейшем сделано (см. ни-
же). Однако формулировка этих логических ограничений будет
произведена на языке общей топологии, который мы пока не
вводили. Можно это обойти, требуя с самого начала, чтобы много-
образие, по определению, располагалось как гладкая неособая
поверхность в евклидовом пространстве какого-то (может быть,
большого) числа измерений. Логически это неестественно; проще
сначала абстрактно определить многообразия и затем доказать,
♦) Иначе говоря, задано взаимно однозначное отображение ф5:
где образ есть открытая область в(Йп. Это отображение фв и вводит
в Uq координатную систему х*, х”, принося с собой координаты из
ч. И]
§ 1. ПОНЯТИЕ МНОГООБРАЗИЯ
409
что все они могут быть реализованы как поверхности в евклидо-
вом пространстве.
Напомним некоторые понятия из общей топологии.
1. Типологическое пространство — это множество точек X,
в котором указано, какие подмножества являются открытыми.
При этом мы требуем, чтобы пересечение любых двух и, значит,
любого конечного числа открытых множеств было открыто и что-
бы объединение любого числа открытых множеств было открыто.
Все X и пустое множество также должны быть открытыми.
Дополнение к открытому множеству называется замкнутым
множеством.
Уже такое определение, как известно из курса математиче-
ского анализа, дает возможность ввести непрерывные функции
и отображения: отображение /: X Y одного топологического
пространства в другое непрерывно, если полный прообраз /_1(С7)
любого открытого множества U cz Y является открытым в X.
В евклидовом пространстве Rn вводится «евклидова тополо-
гия», в которой открытыми множествами считаются обычные от-
крытые области (см. часть I, § 1). «Индуцированная топология»
на произвольном подмножестве A cz Rn имеет в качестве откры-
тых множеств V пересечения U П А = V, где U есть обычная
открытая область в Rn.
Определение 2. Топология (или евклидова топология)
на многообразии М определяется следующим семейством откры-
тых множеств (областей): в каждой координатной области Uq<^M
открытыми считаются открытые области в Rn. Вся совокупность
открытых множеств в М получается из этих множеств с помощью
операции счетного объединения.
Непрерывными отображениями (функциями) при такой топо-
логизации многообразия М оказываются отображения (функции),
непрерывные в каждой координатной области Uq в обычном
смысле.
Открытое подмножество V многообразия М = J U q наследует
9
от М структуру многообразия V = J Vq? где области Vq имеют
в
ВИД
VHUq. (3)
2. Важным классом топологических пространств являются
метрические пространства. Для любых двух точек х, у метриче-
ского пространства X определено расстояние р(х, у) между эти-
ми точками. Требуется, чтобы это расстояние обладало следую-
щими свойствами:
1) р(*, */)= р(г/, *);
2) р(х, х) = 0, р(х, у)> 0 при х^у-
3) . р(я, У)^Р(Х> z)+p(z, у) («неравенство треугольника»).
410
ГЛ, 1, ПРИМЕРЫ МНОГООБРАЗИЙ
[Ч 1Г
Например, w-мерное евклидово пространство является метри-
ческим относительно евклидова расстояния между точками х =
= (Л хп), у =(у1, уп):
Р (*, 9)- V 2 (*“
F а=1
В метрическое пространство вводится топология: открытыми
множествами являются объединения (произвольных семейств)
открытых шаров, где открытый шар с центром радиуса е-есть
совокупность таких точек х, что р(я0, х}< е.
Для n-мерного евклидова пространства эта топология совпа-
дает с введенной выше «евклидовой топологией».
Важный для нас пример — это многообразие, снабженное ри-
мановой метрикой (определение расстояния между точками мно-
гообразия с римановой метрикой см, вп, 2)).
3. Топологическое пространство X называется хаусдорфовым*
если любую пару его точек можно окружить непересекающимися
друг с другом открытыми множествами.
В частности, метрическое пространство хаусдорфово: если
Р(я, y) = 2e, то открытые шары радиуса е с центрами в точках
х и у не пересекаются в силу неравенства треугольника. В даль-
нейшем мы будем всегда говорить только о хаусдорфовых про-
странствах, В частности, в определение многообразия мы внесем
еще один пункт: многообразие предполагается хаусдорфовым про-
странством.
4. Пространство X называется компактным, если из любой по-
следовательности точек можно выбрать сходящую последова-
тельность.
Эквивалентно: если X покрыто счетным числом открытых
областей, то из них можно выбрать конечное число покры-
вающих X,
5. Линейно связное пространство обладает тем свойством, что
любые две его точки можно соединить непрерывной кривой.
6. Другим важным для нас примером топологического про-
странства является пространство отображений М -► N многообра-
зия М в многообразие 2V, точное описание топологии которого*
будет дано ниже.
Понятие многообразия лишь на первый взгляд может пока-
заться чересчур абстрактным. Фактически же даже в евклидовом
пространстве или его областях мы зачастую бываем вынуждены
делать замены координат и следить за законом преобразования,
тех или иных величин. Более того, часто удобно в разных обла-
стях пространства решать ту или иную задачу в разных коор-
динатах, затем следить, как решения «сшиваются» в общей об-
ласти действия двух различных координатных систем. Кроме
того, не все поверхности допускают возможность введения единой
U п]
§ 1. ПОНЯТИЕ МНОГООБРАЗИЯ
411
системы координат без особых точек (например, сфера не допу-
скает) .
Важный класс многообразий составляют ориентируемые мно-
гообразия;
Определение 3. Многообразие М называется ориентире-
данным, если якобианы функций перехода = det I —I поло-
жительны для всех пересекающихся пар областей.
Например, евклидово пространство Rn с координатами (х1,_
„,,, хп) по определению ориентировано. То же самое простран-
ство R" с другими координатами (у1, ..., уп) также по определе-
нию ориентировано. При этом согласно сказанному выше яко-
€иан замены ха = ха(у\ ,yn),J== det I—отличен от нуля
\дуР/
ц потому имеет постоянный знак.
Определение 4. Мы скажем, что координаты (х) и (у)
определяют одну и ту же ориентацию в R если J > 0, и про-
тивоположную, если J < 0.
Таким образом, евклидово пространство обладает двумя
ориентациями. В дальнейшем будет показано, что связное мно-
гообразие можно ориентировать двумя способами, если ориента-
ция на нем вообще существует.
2. Отображения многообразий; тензоры на многообразии.
Пусть заданы два многообразия: М = U Up (координаты Хр) и
р
-ZV= и (координаты у^).
<7
Определение 5. Отображение
/: M^N
^называется гладким класса гладкости к, если функции у| (хр, ...
Хр) для всех пар (у, р), когда они определены, в областях,
где они определенье являются гладкими класса гладкости к.
При этом не имеет смысла говорить о классе гладкости отобра-
жения, более высоком, чем класс гладкости самих многооб-
разий М, N.
В случае, если N есть действительная прямая, N = R, отобра-
жение /: М —называется числовой функцией /(х), где х —
точка многообразия М.
Возможна ситуация, когда гладкое отображение (или число-
вая функция) определено не на всем многообразии, а лишь на
его части. Примером такой ситуации служат сами локальные
координаты х“, которые при любом а являются числовыми функ-
циями и определены лишь в области Up по самому своему смыслу.
412
ГЛ. 1. ПРИМЕРЫ МНОГООБРАЗИЙ
14. TI
Определение 6. Два многообразия М и 2V называются
гладко эквивалентными (диффеоморфными), если найдется вза-
имно однозначное и гладкое в обе стороны отображение какого-то
класса гладкости k 1:
/: M->N, f-': N->M.
I дУа\
В частности, якобиан локальных координат Jpq = det — всюду
\dxpJ
отличен от нуля во всех тех областях, где эти функции *4 =*
= / (#p, ..., л:р)р определены.
Мы всегда будем предполагать, что класс гладкости как са-
мих многообразий, так и их отображений таков, какой нужен для
наших целей (всегда >1; если нужны вторые производные, то
не менее двух, и т. д.).
Пусть на многообразии М задана кривая х = я(т), а С т С Ъ*
где х — точка многообразия. Пока кривая находится в области
С7р действия локальной системы координат мы можем запи-
сать кривую в виде
ГЕр « х^ (т), а == 1, ..., п.
В этих координатах мы имеем вектор скорости
( * 1 * п\
X — р j ’ ’ ХрJi
В области действия двух координатных систем Up fl Uq мы
имеем две записи: я“(т) и Яд(т), причем __=
=^р (т).
Для скорости получим
> _ у f^;p
хр ~~ 2dSx?>Xq'
₽ °Х<1
Па основе этой формулы, как и в евклидовом пространстве, вво-
дится
Определение 7. Касательным вектором к многообразию ЛГ
в произвольной точке х называется вектор, записываемый в си-
стеме локальных координат (я“) набором чисел записи одного
и того же вектора в разных системах локальных координат, со-
держащих эту точку, связаны формулой
_ у р| tP
- Zd из /
0=1 \axq/x
Касательные векторы к n-мерному многообразию М в данной
точке х образуют n-мерное линейное пространство ТХ~ТХМ (ка-
сательное пространство). В частности, вектор скорости любой
Ч. И]
g 1. ПОНЯТИЕ МНОГООБРАЗИЯ
413
гладкой кривой является касательным вектором. Выбор локаль-
ных координат (ха) в окрестности точки х задает базис еа «= —-
в касательном пространстве Тх.
Гладкое отображение / многообразия М в многообразие ДО
определяет индуцированное линейное отображение
При этом вектор скорости кривой x = x(t) на многообразии М
по определению переходит в вектор скорости кривой f(x(t))
на многообразии N. В локальных координатах (ха) (в окрестно-
сти точки х) и (ур) (в окрестности точки f(x)) отображение /
имеет вид
у3 = f (х\ ..,, хп), £ = 1, ..т.
Тогда индуцированное отображение касательных пространств
задается матрицей Якоби
ь 1 дхаь
Для числовой функции /: М —>D? на многообразии М индуциро-
ванное отображение есть линейная числовая функция на каж-
дом касательном пространстве к многообразию М (ковектор).
Эта линейная функция совпадает с дифференциалом df функ-
ции /,
Определение 8, Романовой (псевдоримановой) метрикой
на многообразии М называется положительная (невырожденная)
квадратичная форма, заданная на касательных векторах в каж-
дой точке многообразия и гладко зависящая от локальных коор-
динат, В каждой области Up действия локальных координат (я*)
метрика задается симметрической матрицей
IS l2 = g«
(по повторяющимся индексам а, подразумевается, как обычно,
суммирование) для любого вектора != в точке х. Метрика задает
симметрическое скалярное произведение двух векторов в одной
и той же точке по обычной формуле
<£, п> = Жпр = <пЛХ
1£12 = <£Л>.
Это определение не зависит от выбора локальных координат:
или
(9) __ Й1Р (Р) д*р
414
ГЛ. 1. ПРИМЕРЫ МНОГООБРАЗИЙ
14. II
Определение 9. Тензор типа (/с, I) на многообразии за-
дается в каждой системе локальных координат (хр) набором
функций (я). В других локальных координатах (хд),
содержащих точку х, этот же тензор задается величинами
и,2?;;.3 w. причем справедлива формула
(9)Гв1—вй „ дХЧ дхР дхр
дхр дхР дхЧ дх<1
Все определения и результаты гл. 3 части I, полученные для
тензоров в области n-мерного пространства, переносятся автома-
тически на тензоры на многообразии.
Метрика gaP на многообразии — пример тензора типа (0,2).
На ориентированном многообразии метрика порождает элемент
объема
V| g I eai...an, g = det (gap),;
где eai , an— антисимметричный тензор ранга n, eai...an s ± 1.
Это выражение является тензором относительно замен с положи-
тельным якобианом и поэтому корректно определено для ориен-
тированного многообразия. Элемент объема удобно записать в
виде дифференциальной формы в любых локальных координатах
(положительной ориентации)
л ...
Риманова метрика dl2 на многообразии М задает на нем струк-
туру метрического пространства, где расстояние р(Р, Q) между
точками Р, Q определяется формулой
р (Л <?) = min f
V V
(минимум берется по всем кусочно гладким кривым, соединяю-
щим точки Р и Q). Топология, определяемая этой структурой
метрического пространства, совпадает с евклидовой топологией
многообразия М (проверьте!).
В силу результатов части I любые близкие точки на много-
образии можно соединить геодезической. Далекие точки уже
нельзя, вообще говоря, соединить отрезком геодезической, но
можно всегда соединить ломаной геодезической.
3. Вложения и погружения многообразий. Многообразия
с краем.
Определение 10. Многообразие М размерности m назы-
вается подмногообразием многообразия N размерности п > тп,
ч. П]
§ 1. ПОНЯТИЕ МНОГООБРАЗИЯ
415
ранг —= п — т.
\дхр)
если задано взаимно однозначное гладкое отображение /: М N
такое, что индуцированное отображение является вложением
касательных пространств в каждой точке. Другими словами, ранг
матрицы Якоби этого отображения в локальных координатах ра-
вен т. Отображение / называется вложением многообразий.
Если в этом определении отказаться от требования взаимной
однозначности отображения /, то мы получаем погружение мно-
гообразия Л7 в /V (допускаются самопересечения).
Мы всегда будем ограничиваться подмногообразиями, задан-
ными системой уравнений в каждой координатной окрестности
или карте С7Р:
/р(4>..= о
/Гт(4, ...,4) = о
При этом на пересечении двух областей Z7„, U4 системы (/? = 0)
и (/? = 0) должны иметь одинаковое множество нулей. В этом
случае в области Up можно ввести новые локальные координаты
Gp, ...»4) такие, что
уГ1 = /₽ (4,...»4),..., ур = 1р~т (4,...»4).
В этих координатах подмногообразие задается уравнениями
У™+1 = 0,..., 4 = 0.
Функции Ур, ..., у™ являются локальными координатами на 2Vm.
Определение 11. Замкнутая область Л, выделяемая в
многообразии М неравенством /(г)=^ 0 (или /(^)>0), где f(x) —
гладкая функция, называется многообразием с краем. Требуется,
чтобы край дА, задаваемый уравнением /(z)=0, являлся неосо-
бым подмногообразием в Л/, т. е. чтобы градиент функции / не
обращался в нуль на крае.
Пусть А и В — многообразия с краем, заданные в виде зам-
кнутых областей в многообразиях М и N соответственно. Ото-
бражение ср: А -► В называется гладким отображением многооб-
разий с краем, если оно определено в открытой области
целиком содержащей Л, как гладкое отображение
ф: U N, ф|А = ф.
Если Л <= М выделяется неравенством 0, то область U = U£
обычно выбирается в виде {{(%)< е), где е > 0.
В заключение введем одно очень употребительное название:
компактное многообразие, не имеющее края, называется зам-
кнутым.
416
ГЛ. 1. ПРИМЕРЫ МНОГООБРАЗИЙ
[Ч. II
составленный из столбцов матрицы
§ 2. Простейшие примеры многообразий
1, Поверхности в евклидовом пространстве. Группы преобра-
зований как многообразия. Поверхность размерности к в п-мер-
ном евклидовом пространстве задается набором уравнений
/<(^\ • - м $п) = 0, i = 1, ..,, п — к, (1)
причем ранг матрицы I I равен п — к. Если в точке (zj, ,.., а:*),
лежащей на этой поверхности, отличен от нуля минор
—j с номерами 7t, ../П_Л,
ОТ. f
то локальными координатами у', .у* в окрестности этой точки
будут
(j/1, .... /)'= (z1...Л • •, xn~h.....х j, (2)
где крышка сверху означает, что этот номер пропущен (ср. часть
I, § 7, п. 1), Вся поверхность покрыла областями вида
где — совокупность точек, в которых отличен от нуля
минор /Л...;П_Л.
Теорема 1. Покрытие областями 1 /, <...
,.,<7‘п_ь с локальными координатами (2) задает на поверхности
(1) структуру гладкого многообразия.
Доказательство. В области Ujlt.jn_h на поверхности
(1) справедливы соотношения
= ф{ (у1, i = 1, ..п —Л,
где ф‘— гладкие функции. Аналогично в области USi.itsn_k с ко-
ординатами
(zi = (xi 2*1 п\
имеем
x * = 1рг (г1, ..., zft), i = 1, .,., n — A,
где = •••» z*) —гладкие функции. На пересечении обла-
стей и возникают гладкие функции перехода
(j/)->(z) и (г)->(у):
У1 = z1 ( = д:1),
Ч. П1
§ 2. ПРОСТЕЙШИЕ ПРИМЕРЫ МНОГООБРАЗИЙ
417
(_Z)
(эта запись предполагает, что 1 <Л < < Jz <• • •) Эти отобра-
жения взаимно обратны. Напомним, что у гладких отображений
с гладким обратным якобиан всегда отличен от нуля. Теорема
доказана.
Замечание 1. Нетрудно вычислить якобиан функций (3)
перехода (у) -*(&): он равен
Замечание 2. Касательное пространство в каждой точке
к рассмотренному многообразию отождествляется с линейным
подпространством вЙп, задаваемым системой уравнений
— Г =
д*а ь
......... (4)
— к gOC 0 I
дха s )
(df. 1
Векторы grad = —- , i = 1, ..n — fc, ортогональны к поверх-
\ дх /
ности в каждой точке (относительно стандартной евклидовой мет-
рики в Rn).
Докажем, что на неособой поверхности возникает ориентация.
Для этого мы приведем здесь еще одно определение ориентиро-
ванного многообразия.
Рассмотрим в произвольной точке х n-мерного многообразия
М произвольные невырожденные реперы т из п касательных век-
торов. Любые два репера ть т2 связаны невырожденным линей-
ным преобразованием
Ti = 4т2.
Будем говорить, что класс ориентации реперов ти та одинаков,
если детерминант det А положителен. Если det А < 0, то будем
27 Б. А, Дубровин и др.
418
ГЛ. 1. ПРИМЕРЫ МНОГООБРАЗИЙ
[Ч и
говорить, что реперы ть т2 относятся к классам противополож-
ной ориентации. Тем самым в каждой точке х многообразия М
имеются два класса касательных невырожденных n-реперов. По-
скольку репер т можно непрерывно смещать из точки х в близ-
кую точку многообразия, имеет смысл говорить о непрерывной
зависимости классов ориентации от точки многообразия. Дадим
теперь другое определение ориентации многообразия.
Определение 1. а) Многообразие называется ориентиро-
ванным, если в каждой точке выбран один класс ориентации
реперов, непрерывно зависящий от точки.
б) Если такой выбор вообще возможен, то многообразие на-
зывается ориентируемым, В противном случае многообразие на-
зывается неориентируемым.
Утверждение. Определение 1.3 эквивалентно определе-
нию 1, данному в этом параграфе.
Доказательство. Если многообразие М ориентировано
в смысле определения 1.3, то в каждой точке х^М в качестве
ориентирующего репера можно взять репер (е^, ..., enj), состоя-
щий из базисных ортов к координатным осям , ...,#”) обла-
сти Uh в которой находится точка х. Так как якобианы пере-
ходов положительны, то это определение не зависит от выбора
окрестности Uh в которой находится точка х (если она находится
в двух областях Uj и Uk). Обратно, если многообразие ориенти-
ровано в смысле определения 1, то в каждой точке х задан ори-
ентирующий класс реперов. Рассмотрим достаточно малую е-ок-
рестиость точки х; введем координаты (я1, ..., хп) в этой е-окрс-
стности такие, что репер (еь .. ., еп), составленный из касатель-
ных ортов к осям (%3), определяет ту же ориентацию, что и
ориентирующий репер, во всех точках е-окрестности. Такое малое
е > 0 можно выбрать, так как ориентирующий класс реперов
непрерывно зависит от точки х (хотя е может зависеть от точ-
ки). Проделав эту процедуру для всех точек, получим покрытие
многообразия областями, где якобианы перехода все положитель-
ны, так как в каждой точке знак касательного репера к выбран-
ным системам координат положителен по отношению к ориенти-
рующему классу реперов. Утверждение доказано.
Теорема 2. Гладкая неособая поверхность Мк в п-мерном
пространстве, заданная системой уравнений (1), ориентируема.
Доказательство. Пусть т — касательный репер к по-
верхности М\ Очевидно, п векторов т = (т, grad Л, ..., grad/n_ft)
линейно независимы в каждой точке (векторы grad ft ортогональ-
ны к поверхности и линейно независимы). Зададим в каждой точ-
ке поверхности Mk класс ориентации касательных реперов, тре-
буя, чтобы класс ориентации репера т и стандартного репера
(еъ ..еп) в пространстве был одинаков. Этот класс, очевид-
но, непрерывно зависит от точки. Теорема доказана.
Ч. П]
§ 2, ПРОСТЕЙШИЕ ПРИМЕРЫ МНОГООБРАЗИЙ
419
Простейший (отличный от гиперплоскости) пример неособой
поверхности в®"+1— это сфера S71, задаваемая уравнением
х® + ... + х®+1 = 1.
Это — компактное многообразие размерности п. Удобно ввести на
сфере локальные координаты, задаваемые стереографической
проекцией (см. часть I, § 9). Пусть Un— вся сфера $п. без се-
верного полюса N =(0, ..., О, 1),
U8 — вся сфера Sn без южного по- *
люса S = (0, ..., О, —1). Области
Un и Us покрывают всю сферу. Ло-
кальные координаты (гД, . . u?v) в
области UN задаются стереографиче-
ской проекцией на плоскость xn+1 =
=0 из северного полюса; в области
U8 нужно взять стереографическую
проекцию из южного полюса (рис.
45) — получим координаты (us, ...
..., us). Из рисунка видно, что в
плоскости xrt+1 = 0 векторы uN(x) и
Рис. 45
us(x) лежат на одном луче, выходящем
из начала координат,
причем их длины связаны соотношением
Iuat(z) | |us(x) I = 1.
Поэтому функции перехода от координат (и^, ..ujv) к коорди-
натам (us, ..., us) имеют вид
( 1 п\ / их
\us, ..., us) = I —------,
I S (4)a
xa—1
(5)
(проверьте!). Обратные функции перехода задаются такой же
формулой, только N и S нужно поменять местами.
Сфера ограничивает многообразие с краем Dn+i ((п +^-мер-
ный диск);
/(х) = х® + ... + х®+1 — 1 < 0.
Сфера 5” разделяет все пространство Rn+1 на две непересека-
ющиеся части: f(x)< 0 и /(х)>0.
Определение 2. Связное (п — 1)-мерное подмногообразие
евклидова пространства Rn называется двусторонним, если на
нем существует однозначное непрерывное поле единичных нор-
малей.
Такое подмногообразие М мы будем называть также двусто-
ронней гиперповерхностью.
21*
420
ГЛ, 1. ПРИМЕРЫ МНОГООБРАЗИЙ
(Ч. II
Теорема 3* Двусторонняя гиперповерхность в Rn ориен-
тируема.
Доказательство. Пусть v — единичный вектор нормали
к двусторонней гиперповерхности М. Класс ориентации касатель-
ных реперов т к поверхности М можно задать, потребовав, чтобы
ориентация репера (т, v) и стандартного репера (еи ..еп) была
согласована. Теорема доказана.
Замечание. В § 7 будет показано, что всякую замкнутую
двустороннюю гиперповерхность в пространстве Rn можно задать
одним неособым уравнением /(х)=0. Из этого совсём нетрудно
вывести, что такая гиперповерхность всегда ограничивает много-
образие с краем. В гл. 3 будет показано также, что любая замк-
нутая гиперповерхность в Rn двусторонняя.
Важный пример многообразий, задаваемых системой уравне-
ний в евклидовом пространстве,— это групповые многообразия
(группы преобразований, рассмотренные в части I, § 14).
а) Группа GL (n, R) матриц с определителем, отличным от
пуля,— это область в пространстве Rn2.
б) Группа SL (n, R) матриц с определителем 1 задается од-
ним уравнением в пространстве всех матриц (гиперповерхность):
det Л = 1.
в) Группа О(п, R) ортогональных матриц задается системой
уравнений
ЛЛТ=1.
г) Группа U(п) унитарных матриц задается в пространстве
размерности 2п2 всех комплексных матриц уравнениями
ААТ= 1,
где черта обозначает комплексное сопряжение.
В части I (§ 14 и др.) было проверено, что эти группы,
а также другие группы, встречающиеся там, являются гладкими
неособыми поверхностями в Rn ^пли R2n2j и поэтому являются
гладкими многообразиями.
Замечание. Эти многообразия G обладают следующей до-
полнительной структурой: заданы гладкие отображения ф и гр,
G-* G, где ф(г) = g"1,
гр: GXG -> G, где гр(g, h) = gh.
Определение 3. Многообразие G называется группой Ли,
если оно является группой, причем отображения ср и гр, задаю-
щие групповую структуру, являются гладкими.
Все рассмотренные в части I примеры групп преобразова-
ний— это группы Ли.
Я. II]
§ 2, ПРОСТЕЙШИЕ ПРИМЕРЫ МНОГООБРАЗИЙ
421
2. Проективные пространства. Рассмотрим совокупность всех
ненулевых векторов пространства Rn 1 и будем считать, что
векторы у и ку, X ¥= 0, задают одну и ту же точку. Такой класс
эквивалентности называется точкой (вещественного) проектив-
ного пространства, обозначаемого через
Другое описание рассмотрим совокупность прямых в
пространстве Rn+1, проходящих через начало координат. По оп-
ределению каждая такая прямая задается своим направляющим
вектором, определенным с точностью до ненулевого множителя
и тем самым может рассматриваться как точка из RP .
Каждая такая .прямая пересекает сферу 5", задаваемую урав-
нением (*/°)2+- • •+(У”)2 = 1, ровно в двух диаметрально противо-
положных точках. Поэтому каждая точка из задается парой
диаметрально противоположных точек сферы Sn, Говорят, что
проективное пространство R/?n получается из сферы 5" склейкой
(отождествлением) пар диаметрально противоположных точек.
Заметим, что функции на — это четные функции на сфере
/(^)=^/(-у)«
Пример 1. Проективная прямая R”1 образована парами
диаметрально противоположных точек окружности 51. При этом
каждая точка верхней полуокружности (где
у > 0) имеет парную на нижней полуокруж-
ности. Поэтому для получения R751 нужно
/ взять только нижнюю полуокружность (где
/ \ у 0) и склеить ее концевые точки 1 и — 1.
При этом мы снова получим окружность.
Л j1 х Итак, мы построили взаимно однозначное
\ / соответствие между RP1 и окружностью S1
*4. (рис. 46).
Рис. 47
В n-мерном случае мы аналогичным образом получаем сле-
дующую конструкцию для проективного пространства RT511: нуж-
но взять диск (нижнюю половину сферы 5П) и на его границе
S""1 склеить диаметрально противоположные точки (рис. 47
для п = 2).
422
ГЛ. 1. ПРИМЕРЫ МНОГООБРАЗИЙ
[Ч. II
Пример 2. В § 14 части I был построен гомоморфизм групп
5С7(2) на 50(3.), при котором матрицы А и —Л из группы
SU(2) переходят в одну точку многообразия 50(3). Там же было
показано, что 50(2) —это трехмерная сфера 53, причем матри-
цы А и —А соответствуют диаметрально противоположным точ-
кам сферы. Мы получаем, таким образом, взаимно однозначное
соответствие между многообразием 50(3) и трехмерным проек-
тивным пространством RP3.
Введем теперь явными формулами структуру многообразия
в проективное пространство RP".
Рассмотрим в область Uq = {yq =# 0). В этой области вве-
дем локальные координаты
1 у° q yq~l
= —.......—
У4 Уц
__ У9 + 1 п _ уп
Хд — , . . . , Хд — .
У4 У4
(6)
Области Uq с д = 0, 1, ..., п покрывают все проективное про-
странство. Вычислим явно функции перехода. В области Ua име-
ем координаты Хд, ..., Хд, в которых
1 _ У^_ 2 _ у^_ п
% О 0’ &0 о » • • • » о*
У У У
В области для координат л},
1 _ /
Xi —
В общей части областей С70, i
функции перехода (х0)-*-(л:1):
г2
— 1 »
.. ., Ху имеем
У2 п
У
Ut, где у° ¥=0,
и_
у1
г/1 =т^ 0, мы получим
г3
з о
= —
(7)
(1 У
заметим, чтоя0 =
У
Якобиан этих функций перехода имеет вид
в пересечении UQ П
не равно
нулю
1 _ 1
1 “ Z1 ’
„2
#1
О
О
1
О
...О
det
1
zo
• 1 л
у 1 0 • • • 0
Формулы для функций перехода для других пересечений Uj П Uh
получаются из (7) надлежащей заменой индексов.
ч. II]
§ 2. ПРОСТЕЙШИЕ ПРИМЕРЫ МНОГООБРАЗИЙ
423
Итак, мы проверили, что iRP" — гладкое многообразие. В слу-
чае п = 2 мы получаем проективную плоскость D?P1 2. Область Uo
в этом случае называется конечной частью проективной пло-
скости.
Заметим, что, как легко проверить, построенные выше взаимно
однозначные соответствия и Sd(3) ->RP3 * * * * В являются
в действительности диффеоморфизмами.
Комплексное проективное пространство СРп определяется как
множество всех ненулевых векторов в комплексном пространстве
Cn+1, рассматриваемых с точностью до умножения па ненулевое
комплексное число Локальные координаты па многообра-
зии СРП строятся так же, как и в вещественном случае. СР77 яв-
ляется 2п-мерным гладким многообразием.
Пример. Рассмотрим комплексную проективную прямую
СР1. Это — множество классов эквивалентности (z°, z1) —(лг°, Xz1),
X О, 12° 12 + 12112 0. Рассмотрим комплексную функцию
wQ (z°, z1) = —q на СР1* В точке (0, 1) эта функция не определена,
но мы можем считать, что она принимает в н,ей значение °°. Та-
ким образом, СР1 — это «расширенная комплексная плоскость»
(включающая бесконечно удаленную точку).
Теорема 4. Комплексная проективная прямая СР1 диффео-
морфна двумерной сфере S2.
Доказательство. Локальные координаты и0, и0, + iv0=
= отображают область Uo = {z° =£ 0} проективной прямой
2
2°
на двумерную плоскость. Координаты vliu1 + 1иг =
2
действуют в области 1Ц = {z1 ¥* 0). Области UQ и Ui покрывают
все СР1, причем функции перехода (u0, y0)->(ui, и{) имеют вид
(U1, У,) =
“о
“го+<
и — ivn
n________n_
u2 + p2
или
1
и. + ivt = w. = —
1 w
о
Эти функции перехода совпадают (с точностью до знака) с функ-
циями перехода для введенных выше стереографических коорди-
нат на сфере 52. Теорема доказана.
В соответствии с доказанной теоремой расширенная комплекс-
ная плоскость, диффеоморфная двумерной сфере, называется сфе-
рой Римана. Если w = и + iv — локальные координаты в конеч-
ной части расширенной комплексной плоскости, то i/w задает
локальные координаты в окрестности «бесконечно удаленной»
точки оо.
424
ГЛ. 1. ПРИМЕРЫ МНОГООБРАЗИИ
[Ч. II
Вернемся теперь к комплексному проективному пространству
QPn. В классе эквивалентности вектора z=(z°t ..., zn)^0 можно
выбрать представителя, лежащего на единичной сфере 52п+\
|ze|2+...+ lznl2 = l,
(п \ — 1/2
2 | I I
а=о /
После этого вектор z можно еще умножать на числа вида е'ф,
по модулю равные единице.
Вывод. Комплексное проективное пространство ^Рп получа-
{п \
2 |za|~ = отождествлением точек: z ~
- ei9z.
Сопоставляя каждой точке сферы 52n+1 ее класс эквивалент-
ности в СРПЛ получаем отображение
52л+1->Срп. (8)
Прообразом каждой точки из СРП при этом отображении явля-
ется окружность 51 = {егф}. В частности, при г = 1 получаем ото-
бражение
S3 -> 5а, (г°, z1) ~ w « (| z° I2 + | z112 = 1 ).
Z
Задачи. 1. Доказать, что печетномерные проективные про-
странства B?p2h+1 ориентируемы.
2. Доказать, что связная компонента единицы в группе Ли
есть нормальный делитель.
3. Доказать, что связная группа Ли порождается сколь угодно
малой окрестностью единицы.
4. Доказать, что любая группа Ли ориентируема.
5. Доказать, что проективные пространства RPn и ком-
пактны.
6. Кватернионное проективное пространство определяет-
ся как совокупность классов ненулевых векторов в пространстве
IHn+1 с точностью до умножения слева на ненулевые кватернио-
ны. Введите структуру многообразия на Проверьте, что
И?*-*.
7. Постройте отображение 54п+3->и-| Рп, аналогичное отображе-
нию (8). Что является прообразом точки при этом отображении?
§ 3. Необходимые сведения из теории групп Ли
1. Строение окрестности единицы группы Ли. Алгебра Ли
группы. Полупростота. В любой группе Ли G имеется выделенная
точка g0 = 1 е G (единица группы) и касательное пространство
Ч. II]
§ 3. НЕОБХОДИМЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ГРУПП ЛИ
425
71 = 71(1) в этой точке. Преобразование
G-G, g^hgh-1
называется внутренним автоморфизмом, производимым элемен-
том h группы G. Это преобразование сохраняет единицу g0 в
= 1 (hg9h~l =* g0) и порождает линейное отображение касатель-
ного пространства
Ad (Л):
при этом Ad(fe-1) = [Ad(fe)]-1 и Ad(/&t/&2) = Ad(fet) Ad(fe2). Дру-
гими словами, сопоставление h •-> Ad (h) есть линейное пред-
ставление
M\G-+GL (п, К),
где п — размерность группы G.
Для коммутативной группы G представление Ad тривиально,
т. е. Ad (h) = 1 для любого h^G.
Выберем координаты х1, ..хп в окрестности единицы
1 = go = (0, ..0). В этих координатах можно записать группо-
вые операции: произведение gig2 элементов gi = (x\ ..хп), g2 =
= (у1, • •уп) имеет координаты
ф“(я, у) = фа(х‘, ..хп, у\ ..уп), а = 1, ..п,
а обратный элемент •••» яп) элемента g~ (я1, х”)
имеет координаты
Фа(х) = <ра(х1, ..хп), а = 1, ..п.
Свойства функций ф(х, у) и ф(х):
1) ф(я, 0) = ф(0, я) = я (единица);
2) ф(х, ф(х))=0 (обратный элемент);
3) ф(я, ty(y, з)) = ф(ф(я, у), z) (ассоциативность).
Из гладкости функций ф(х, у) и ф(х) и свойства 1) следует, что
фа (х, у) = я* + у® + Ьр?яру? + (члены порядка 3),
фа = уа + + (члены порядка 3).
Пусть теперь х и у — касательные векторы к группе в еди-
нице, т. е. элементы пространства Т; пусть, далее (ха) и (у$)—
их координаты в нашей системе координат. Определим коммута-
тор [х, у] Т, положив
[*,!/]= 4 (!)
Из этого определения вытекают следующие свойства коммутатора:
а) [я, у] — билинейная операция в Т = Rnf где п — размер-
ность группы G\
б) [д, у]= — [j/. *];
426
ГЛ, 1. ПРИМЕРЫ МНОГООБРАЗИЙ
[Ч. II
в) составляя тейлоровские разложения левой и правой частей
равенства 3) (свойство ассоциативности) и пренебрегая членами
порядка 4, получаем тождество Якоби (проверьте!)
[[х, г/], z] + [[z, х], z/] + [[y, z], х] = 0. (2)
Таким образом, касательное пространство к G в единице по
отношению к коммутированию является алгеброй Ли (см. часть I,
§ 24). Эту алгебру Ли обыкновенно называют алгеброй Ли груп-
пы G (ср. тот же параграф части I).
В координатах коммутатор задается набором величин та-
ких, что
[х, г/]“ = c“vxPj/V. (3)
Величины с$у ^антисимметричны по индексам f, у и называются
структурными константами алгебры Ли.
Однопараметрические подгруппы группы G определяются как
(параметризованные) кривые F(t)<^G такие, что /г(0)=1 и
F (Ъ +12) = F (tj F (t2), F(—t)=:F(t)~l. В матричных группах
(см. часть I, § 14) они имеют вид
F(t) = ехр (At),
В абстрактной группе Ли G для кривой F(t) определяется зави-
сящий от t вектор
F~'F = F (t)-1 6= Т.
Если F(t) —одпопараметрическая подгруппа, то этот вектор от t
не зависит. Действительно, так как F(t + е) = F(f)F(e), то
dF = dF (t + e) I F }dF (e)|
dt de |E=o ' de |E=o’
t. e. F(t) = F(t)F(0) и F-1 (£)/(£) =/(0)= const. С другой сто-
роны, для всякого ненулевого А Т существует единственная
однопараметрическая подгруппа F(t) с
F~^ = A. (4)
В самом деле, решая уравнение (4), в силу теорем существова-
ния и единственности решений обыкновенных дифференциальных
уравнений получаем однопараметрическую группу F (&) при ма-
лых е. На все остальные значения t группа F(t) продолжается
как многократное произведение элементов из 7^(6) при 161 < е.
Для построенной этим способом однопараметрической под-
группы группы G употребляется, как и в матричном случае, обо-
значение F (t) = ехр (At).
Задача. Пусть F\(t) и F2(t)—две однопараметрические под-
группы: A = /\(0), Л2^=/2(0) или Fi(t) = ехр(Л^), F2(t) =
4. Ill
§ 3. НЕОБХОДИМЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ГРУПП ЛИ
427
= ехр (A2t), Докажите формулу
*2 [А, Л2] = F. (t) F2 (О FT1 (t) Fz\t) + О (г3). (5)
Пусть F(t) = exp(At) —однопараметрическая подгруппа груп-
пы G. Преобразование g •-> FgF~' порождает однопараметриче-
скую группу преобразований алгебры Ли = Кп;
AdF(f):!Rn~[R\
Вектор —- Ad F (t) |e=0 лежит в алгебре Ли группы GL (п$ R)* т. е.
является линейным оператором.
Задача. Докажите, что Ad F (£)[f=0 имеет вид В »-► [Л, 5]г
где — вектор из алгебры Ли. Преобразование В »-► [Л, 5]
обозначается через ad Л:
Пусть Ah .,Ап — базис алгебры Ли Rn = Т1^) как касатель-
ного пространства к G в точке g0 = 1 е G. Однопараметрические
группы ехр Ах = F(x) определены для любого вектора Л = 2 Aix\
Положим
ехр Л = F(x) It=i (6)'
и припишем точке ехр Л координаты .., хп\ в результате
получим систему координат в окрестности точки Iе 6, в кото-
рой сумма 2 (я1)2 достаточно мала. Это — «координаты 1-го рода».
Другие координаты: пусть /Л = ехр(Л^). Любая точка доста-
точно малой окрестности U точки 1 G имеет вид
g = Fi(ti) ...Fn(M, (7)
где tt, ..., tn малы. Мы принимаем за координаты точки g числа
tt =£1, ..tn ахп; это — «координаты 2-го рода».
Задачи. 1) Рассмотрим кривую g (т) = Ft (т^) ... Fn(xtn);
п
докажите, что-^-И = 2 hAi* 2) Какие координаты для (? =
цТ |т=о
= 50(3) представляют собой «углы Эйлера» ср, ф, 6?
Координаты 1-го рода удобны для доказательства следующей
теоремы.
Теорема 1. Если функции ф“, задающие умножение в груп-
пе Ли G, вещественно аналитичны (т. е. разлагаются в сходящие-
ся степенные ряды), то алгебра Ли однозначна определяет умно-
жение в группе G для некоторой окрестности единицы 1 е G.
Замечание. Ограничение на аналитичность ф (или, как
говорят, на аналитичность группы) несущественно, но доказа-
тельство без гипотезы аналитичности ф сложнее.
Доказательство. Введем вспомогательные функции
l’^(^), положив
(т\ =к I /П\ Ла
W —ТЗ— t 1и) =
VX |1/иф(х'
428
ГЛ. 1. ПРИМЕРЫ МНОГООБРАЗИЙ
[Ч. II
где qj(x) = x ‘ — обратный элемент. Тогда для функций tya(x,y)
получаем систему дифференциальных уравнений по х
(8)
охг
с начальным условием
^(0, У) = У-
Условия интегрируемости этой системы (см. ниже § 29) имеют
вид =да-т-е-
где —структурные константы алгебры Ли. Отметим, что урав-
нение однопараметрической подгруппы x = x(t) с начальным век-
тором скорости А = (Л1) имеет вид
Л» = ^(х(0)^
(проверьте!). В канонических координатах 1-го рода, где по опре-
делению xa(t) = Aat, будет
A<*=v%(At)A^
или
Х* = Vp (х) Х$.
Покажем, что функции рр (х) в канонических координатах опре-
деляются уже однозначно. Дифференцируя последнее равенство
по яР, получим
Умножим теперь равенство (9) на х^ и просуммируем по р.
Получим
"А + (Х) = бV +
дхр
Заменим в этом равенстве х на At, Будем иметь
д у®
/Л» —£-+ Vy (At) = 6“ + CpVAvtVy. (10)
дхр
Введем функцию^(0 = tv^(At) = Wy(t, Л). Равенство (10) озна-
чает, что
^=.8“ + ^ЛЧ.
Ч. II]
§ 3. НЕОБХОДИМЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ГРУПП ЛИ
429
Для функций Wy мы получили систему линейных дифференци-
альных уравнений с постоянными коэффициентами. Начальные
условия имеют вид ^(0) = 0. Тем самым функции Л) для
любого А однозначно определяются по структуре алгебры Ли.
Отсюда однозначно определены и функции v* (х), а поэтому и
закон умножения tp(z, у) как решение системы (8). Теорема
доказана.
Следствие. Если алгебра Ли связной аналитической груп-
пы G «коммутативна», т. е. [Л, В] s 0, то группа G коммутативна
(в обычном смысле).
Действительно, для окрестности единицы в группе это следует
из теоремы 1. Чтобы охватить всю группу, достаточно заметить,
что любой элемент может быть представлен как произведение
большого числа элементов, близких к единице.
Определение 1. Алгебра Ли£ = {Rn, называется про-
стой, если в ней нет идеалов, т. е. таких подпространств 7, что
[7, L] '<= I. Если алгебра Ли группы G проста, то G называется
простой группой Ли. Алгебра Ли L называется полупростой,
если L = 7t +.. .4- 1п, где 7, — простые алгебры Ли, попарно ком-
мутирующие ([Д, Л] = 0 при кФ I) и сами некоммутативные.
Группа G с полупростой алгеброй Ли называется полупростой
группой. Для любой алгебры Ли определяется «форма Киллинга»
<4, В) = -Sp(ad A adB), (11}
где оператор ad А на L имеет вид
и >-* [4, u]t u^L, (12)
Теорема 2. 1) Для простой алгебры Ли L группы G внут-
ренние автоморфизмы Ad g дают неприводимое линейное пред-
ставление группы G (т. е. не имеющее нетривиальных инвариант-
ных -подпространств в L). 2) Если форма Киллинга положитель-
на, то алгебра Ли полупроста.
Доказательство 1). Если представление Adg имеет ин-
вариантное подпространство 1<^L, т. е. если glg~l <= I для любо-
го g G, то, устремляя g к 1, получим
[Д 1\^1.
Поэтому I — идеал в L. Утверждение 1) доказано.
Доказательство 2). Пусть I — идеал алгебры L. Очевид-
но, ортогональное дополнение 1 к I по отношению к форме Кил-
линга также является идеалом, а если при этом форма положи-
тельно определена, то L «1 Ф 7. Таким образом, алгебра Ли с по-
ложительной формой Киллинга разлагается в сумму простых,
и эти простые слагаемые некоммутативны (сужение формы Кил-
линга на коммутативное слагаемое равно пулю).
430
ГЛ, 1, ПРИМЕРЫ МНОГООБРАЗИЙ
[Ч. П
Замечание. В теории алгебр Ли доказывается более силь-
нее утверждение: алгебра Ли полупроста в том и только том слу-
чае, если ее форма Киллинга невырождена. Доказательство этой
теоремы в дополнение к вышеприведенным аргументам исполь-
зует то, что форма Киллинга некоммутативной простой алгебры
Ли не может быть тождественным нулем. Это, в свою очередь,
выводится из теоремы Энгеля, утверждающей, что форма Кил-
линга алгебры Ли равна нулю в том и только в том случае, если
алгебра нильпотентна, т. е. если существует такое и, что
[[... [Ли Л2], ... ], Лп] = 0
при любых АI, ..., Ап L.
Задачи. 1. а) Докажите, что движения (изометрии) связно-
го римаиова многообразия М образуют группу Ли. б) Докажите
аналогичное утверждение для группы всех конформных преобра-
зований римаиова многообразия (см. § 15 части I).
2. Выясните, какие из встречавшихся в части I (см. § 24)
алгебр Ли являются полупростыми, а какие простыми?
2. Понятие (линейного) представления. Пример нематричной
группы Ли. Определение 2. Представлением группы G назы-
вается гомоморфизм в некоторую группу матриц р: G ~ GL (n, R)
или р: G-+GL(n, С). Отображение Хр: (G->C), опреде-
ляемое формулой Хр(#)= Sp p(g), g^G, называется характером
представления р.
Представление называется неприводимым, если в пространстве
Кп(или С71) нет нетривиальных подпространств, инвариантных
относительно всех матриц вида p(g), g G. Имеет место про-
стая, но важная
Теорема 3 («лемма Шура»). Пусть заданы два неприводи-
мых представления р$: G—>GL(ni, R) группы G, I = 1, 2. Если
Л:КП1~>Rn2— линейный оператор, переводящий pi в р2 (г. е. та-
кой, что Л pi (g) — р2 (g) Л), то А — или нулевой оператор, или изо-
морфизм.
Доказательство. Если Л пе есть нулевой оператор, то
Ах =/= 0 для любого иначе «ядро» {Ах = 0} оператора Л
было бы нетривиальным инвариантным подпространством для
представления рь Аналогично образ Л(К,11)сзВП2 инвариантен
для представления рг и поэтому должен быть нулевым или сов-
падать с Rn2. Теорема доказана.
Замечание. Пусть задано представление р: G~+GL(N, R)
группы G. Дифференциал р* этого отображения в единице груп-
пы отображает алгебру Ли 0=7\в в пространство матриц:
р*:й^М(А, R).
Отображение р* задает представление алгберы Ли g (гомомор-
Ч. II]
§ 3. НЕОБХОДИМЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ГРУПП ЛИ
431
фпзм алгебр Ли), т. е. выполнено равенство
Р* [£, ’ll = IP*?» Р*П1
для любых векторов £, ц из алгебры Ли g (проверьте!).
Представление р: G—^GL(N, R) (или р: G-+GL(N\ Q)) назы-
вается точным, если оно не имеет ядра, т. е. если p(g)^l при
g¥=l. Любая матричная группа Ли обладает очевидным точным
представлением, поскольку опа уже реализована как группа
линейных преобразований пространства (или Сл). Однако
не всякая группа Ли реализуется как группа линейных преобра-
зований евклидова пространства. Рассмотрим, например, группу
G == SL (2, R) преобразований прямой вида
х х + 2ла + — In -—, (13)
1 1— zezx '
где х <= R, ogR, zeO, \z\ <1 и In обозначает непрерывную
ветвь натурального логарифма, определяемую условием: при 2=0
этот логарифм равен пулю. (Под знаком логарифма стоит дробь,
числитель и знаменатель которой комплексно сопряжены друг
другу; поэтому эта дробь по модулю равна единице, логарифм
является чисто мнимым числом, и вся правая часть вещественна.)
Группа SL (2, R) является связной трехмерной группой Ли. Она
содержит подгруппу, изоморфную Z, состоящую из преобразова-
ний (13) с ае/ , 2 = 0; элементы этой подгруппы коммутируют
со всеми остальными элементами группы, или, как говорят, под-
группа содержится в центре группы (ниже мы увидим, что опа
совпадает с центром группы). Преобразования (13) с 2 = 0 и про-
извольным вещественным а составляют однопараметрическую
подгруппу группы SL (2, R).
Всякое преобразование вида (13) обладает тем свойством, что
если х у, то х + 2л& у + 2л& (к е Z); поэтому оно опре-
деляет преобразование окружности |ш1 =1, именно, преобразо-
вание
1 — ZIV
Таким образом, получаем проекцию (гомоморфизм) группы
SL (2, R) в группу SL (2, R)/± 1 = SZ7(1, 1)/± 1 дробно-линей-
ных преобразований единичной окружности в С. Очевидно, обра-
зом этой проекции служит вся группа SL (2,R)/+ 1, а ее ядром
как раз является выделенная выше группа Z. Поскольку группа
SL (2, R)/± 1 не имеет центра, из этого следует, что центр груп-
пы SL (2, R) исчерпывается ^нашей группой Z.
Теорема 4. Группа SL (2, R) не имеет ни одного точного
линейного представления.
432
ГЛ. 1. ПРИМЕРЫ МНОГООБРАЗИЙ
(Ч. И
Доказательство. Напомним, что группа SL (2, К) обла-
дает однопараметрической подгруппой, которая имеет с ее цент-
ром бесконечное пересечение (изоморфное Z), но не содержится
в этом центре. Мы покажем, что уже это свойство группы SL (2,0?)
несовместимо с ее вложимостыо в группу матриц.
Предположим, что группа G с: GL (я, С) изоморфна 5£(2, U?).
Пусть Н — однопараметрическая подгруппа группы G, соответ-
ствующая подгруппе, о которой шла речь выше; согласно § 14
части I Н = {ехр (М) 11 е 8?}, где Л —некоторая п X п-матрица.
Производя, если нужно, внутренний автоморфизм группы GL(n,
Ch мы добиваемся того, чтобы матрица А имела нормальную
жорданову форму, т. е. чтобы была блочно диагональной с бло-
ками вида
где «i = 0 или 1 (считаем, что разные блоки отвечают разным Z;
порядки блоков равны кратностям собственных значений матри-
цы Л). Матрица ехр (£Л) является блочно диагональной
с блоками того же порядка, и ее блоки имеют вид где
I V 2^ 4w3i3 •••
1 , 1 Ь_,
BK(t)= ° 1 °2* 2 а2аз1 ••• (А—1)1а2
001 аз* (к —2)1 аз akth~2
.0 ....... ... 0 1
Из того, что бесконечное число матриц такого вида перестано-
вочно с элементами группы G, следует, что и все элементы
группы G являются блочно диагональными матрицами с блоками
того же порядка.
Множество Р всех (в том числе вырожденных) матриц, пере-
становочных со всеми матрицами из G, является линейным
подпространством пространства Сп всех п X n-матриц; пересече-
ние PAG есть центр группы G. Матрицы из Р опять-таки явля-
ются блочно диагональными с блоками прежнего порядка, и ус-
ловие принадлежности такой матрицы пространству Р записыва-
ется как система линейных однородных уравнений относительно
матричных элементов, причем каждое уравнение из этой системы
относится к определенному блоку. Таким образом, условие при-
надлежности центру матрицы ехр (£4) записывается в виде си-
Ч. II]
§ 4. КОМПЛЕКСНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
433
стемы линейных уравнений относительно элементов матриц
2?х(£), т. е. в виде системы алгебраических уравнений относи-
тельно t. Такие уравнения либо выполняются тождественно по
либо имеют конечное число решений. Это противоречит тому, что
группа Н ~ {ехр (М)} не содержится в центре, но имеет с ним
бесконечное пересечение. Теорема доказана.
Задачи. 1. Вычислить алгебру Ли группы SL (2, R).
2. Проверить, что построенное выше отображение 5А(2,
-+SL (2,3?)/± 1 является изоморфизмом в некоторой окрестности
единицы.
§ 4. Комплексные многообразия
1. Определения и примеры. Введем понятие комплексного
многообразия.
Определение 1. Комплексно аналитическим многообрази-
ем комплексной размерности п называется многообразие М раз-
мерности 2п, на котором выбраны специальные области С7, ло-
кальных координат, М ~ [J Uq, заданные в виде областей п-мер-
Q
ного комплексного пространства С • В каждой области Uq тем
самым заданы комплексные локальные координаты Zq = Xq + iy
а = 1, ..., п. В пересечении двух областей Uq П Up действуют две
системы локальных координат (z“) и (zp). Требуется, чтобы
функции перехода от координат (z“) к координатам (zp) и обрат-
но были комплексно аналитическими:
(1>
ч
Голоморфными отображениями комплексных многообразий
будем называть комплексно аналитические (в любых локальных
координатах) отображения. Голоморфные отображения в комп-
лексную прямую С называются аналитическими (или голоморф-
ными) функциями на многообразии.
Отображение называется биголоморфным, если оно изоморфно
и имеет обратное, которое также является голоморфным. Комп-
лексные многообразия, которые можно связать биголоморфным
отображением, называются биголоморфно эквивалентными или
комплексно диффеоморфными.
Важным геометрическим свойством комплексных многообра-
зий является их ориентированность:
Теорема 1. Комплексно аналитическое многообразие М яв-
ляется ориентированным многообразием.
Доказательство. Пустьz“ —комплексные коор-
динаты многообразия М в области Uq, Zp = Zp + iyp— в области
28 Б. А. Дубровин и др.
434
ГЛ. 1. ПРИМЕРЫ МНОГООБРАЗИИ
[Ч. II
Вещественные якобианы функций перехода от координат , у%)
к координатам (хр, Ур) имеют вид
/ dz*
det I —~
К
(часть I, лемма 12.2). Все эти якобианы положительны. Теорема
доказана.
Рассмотренное в § 2 комплексное проективное пространство
QPn — пример комплексно аналитического многообразия. Локаль-
ные координаты на этом многообразии строятся как и в вещест-
венном случае, причем функции перехода, задаваемые формулами
(2.20), комплексно аналитичны. Все эти многообразия компактны
(см. задачу 2.5).
При тг=1 получаем расширенную комплексную плоскость
(«сферу Римана»). При этом локальной координатой в окрестно-
сти бесконечно удаленной точки °° является w = 1/з.
Простейший пример комплексных многообразий — области в
Сп. Другой важный пример — неособые комплексные поверхно-
сти в Сп. Они задаются системой уравнений
/Дг1, ...,2п) = 0,
/„_Д2\ ...,2") = о,
(2)
где все функции Д, ..., fn~k комплексно аналитичны и ранг мат-
/ dh\
рицы —; I максимален (равен п — к). Проверка того, что неосо-
\ ЭР /
бая комплексная поверхность является комплексно аналитиче-
ским многообразием, проводится здесь точно так же, как в веще-
ственном случае, с использованием § 12 части I.
В отличие от вещественного случая комплексные подмного-
образия пространства Сп не охватывают всех примеров комплекс-
но аналитических многообразий. Чтобы убедиться в этом, дока-
жем важную теорему.
Теорема 2. Голоморфная функция на связном компактном
комплексном многообразии постоянна.
Доказательство. Пусть / — голоморфная функция на
комплексно аналитическом связном компактном многообразии М.
Тогда функция 1/1 на компактном многообразии М достигает мак-
симума в некоторой точке Ро:
|/(Р)|< |/(Ро)1.
Поэтому функция /(Р) постоянна на всем многообразии М в силу
связности этого многообразия и в силу следующего общего утвер-
ждения.
Ч. II]
§ 4. КОМПЛЕКСНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
435
Лемма 1 (принцип максимума). Пусть f — голоморфная
функция в некоторой области U п-мерного комплексного прост-
ранства Сп. Если функция |/| имеет локальный максимум в точ-
ке Ро области U, т. е. |/(Р) I l/(P0) I для всех Р из области U,
достаточно близких к Ро, то функция / постоянна в окрестности
точки Ро.
Доказательство. Функция 1/1 в силу условия леммы бу-
дет иметь локальный максимум и на любой комплексной прямой,
проходящей через точку Ро. Поэтому достаточно доказать прин-
цип максимума для п = 1. В этом случае можно считать, что
Ро = 0, /(0)=/=0 (при /(0) =0 утверждение леммы тривиально).
Умножая функцию на подходящее число, можно считать, что
/(0) есть вещественное положительное число.
Для голоморфных функций комплексной переменной верна
интегральная формула Коши (часть I, § 26)
/<°) =
V
где у — окружность, охватывающая начало координат. Полагая
2 = rei<₽? r = const, получим
2Л
/(0) = J /(rei<₽)rf<p. (3)
О
Соотношение (3) справедливо также для действительной и мни-
мой частей голоморфной функции.
Пусть m (г) = max | /(гег<₽) |. В силу условия леммы /(0) > m(r).
<р
Но из формулы (3) вытекает, что /(О)=^тп(г). Значит, /(0) =
= тп(г). Функция g(z) = Re(/(0) — /(2)) неотрицательна на лю-
бой окружности 2 = ге1ф, где г достаточно мало. Действительно,
/(O)-l/(z)l>P, и lRe/(z)l < l/(z) I.
Интеграл этой функции по окружности z = re*9 равен нулю
в силу равенства (3). Поэтому на любой окружности 2 = rei<₽,
где г достаточно мало, Re(/(0) —/(2)) = 0, т. е. Re/(2) = /(0).
В силу неравенства |/(г) 1^/(0) отсюда вытекает, что /(2)=/(0)
для всех 2, близких к нулю. Лемма доказана.
Пусть теперь max | / (Р) I = | / (Ро) | —максимум модуля голо-
Р(=М
морфной функции / на компактном комплексно аналитическом
многообразии М. Пусть, далее, Mf М — совокупность всех то-
чек Р многообразия, где /(Р)=/(Р0). Множество М' открыто в М
в силу принципа максимума (каждая точка Р М' входит в М'
вместе с некоторой своей окрестностью). Кроме того, ЛГ, очевид-
но, замкнуто и непусто. Поэтому М' = М (М связно). Доказа-
тельство теоремы полностью завершено.
28*
436
ГЛ. 1. ПРИМЕРЫ МНОГООБРАЗИЙ
[Ч. II
Следствие 1. Комплексно аналитическое подмногообразие
в Г размерности больше нуля некомпактно.
Доказательство. Допустим, что существует голоморфное
вложение / компактного комплексного многообразия М в С”:
/: М->СП.
Можно считать, что М связно. Тогда все координаты f этого
отображения, будучи аналитическими функциями на Ж, постоян-
ны, т. е. / отображает многообразие М в одну точку. Следствие
доказано.
Важные примеры неособых комплексных поверхностей в С” —
это комплексные группы преобразований:
a) GL (n, С) — совокупность невырожденных комплексных мат-
риц n-го порядка, det А =А 0. Это — открытая область в простран-
Сп2 гп2п2
= IK всех комплексных матриц.
б) S L (n, С) — совокупность всех унимодулярных комплексных
матриц n-го порядка, det A — 1.
в) О (n, С) — совокупность всех комплексных ортогональных
преобразований, т. е. комплексных матриц А с ААТ «1.
Неособость этих поверхностей была проверена в § 14 части I.
Все эти группы некомпактны согласно следствию 1.
Эти многообразия G являются группами Ли в смысле опреде-
ления 2.3. Более того, отображения ip и q>, определяющие груп-
повую структуру:
ф: G X G -► G, где ip(g, h) = gh,
ср: G-* G, где ср (g) =g-1,
комплексно аналитичны (голоморфны).
Определение 2. Группа Ли G называется комплексной
группой Ли, если отображения ф и ф, задающие групповую струк-
туру, комплексно аналитичны.
Теорема 3. Всякая компактная комплексная связная груп-
па Ли G коммутативна.
Доказательство. Пусть g— алгебра Ли группы G. Рас-
смотрим представление Ad группы G па g. Это представление —
комплексно аналитическое отображение группы в комплексное
пространство nXn-матриц: G-+GL (п, С) с С” . Если группа G
компактна, то в силу доказанного выше это отображение являет-
ся постоянным. Таким образом, Ad G = Г—единичная матрица.
Устремляя g к 1 в равенстве Adg= 1, получаем, что алгебра g
коммутативна, т. е. [А, 5] 0. Поэтому в силу следствия из тео-
ремы 3.1 группа G коммутативна. Теорема доказана.
Группы G = GL (п, С), SL (пх С)г О (гс, С) — это матричные
комплексные группы Ли.
Ч. И]
§ 4. КОМПЛЕКСНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
437
Единственным примером компактной комплексной группы Ли
является комплексный тор. Пусть в пространстве R2n = С™ задано
2п линейно независимых (над R) векторов е2п. Комплекс-
ный тор Т2п мы получим, беря векторы из С” с точностью до
делочисленной линейной комбинации векторов eh . .., e2nt
z z паеа, целые.
а=1
Такие целочисленные линейные комбинации образуют подгруппу
Г в Сп (целочисленная решетка, натянутая на векторы е4, •
Тор Т2п есть факторгруппа:
т2п = С7г.
Решетки Г и Г', задаваемые векторами (е4, ♦.., е2п) и
(Л, . -/гп), совпадают, если векторы /< лежат в.решетке Г, а век-
торы — в решетке Г':
/г “ ~
Матрицы (п;) и (zhj) целочисленны и взаимно обратны. Поэтому
det (п|) = det (hi)) “ ± 1. Обратно, любые две системы векторов
(е;) и (/<), связанные целочисленными линейными преобразова-
ниями, дают одинаковые торы.
Структуру многообразия на торе Т2п мы получим, беря в ка-
честве координатных окрестностей образы достаточно малых от-
крытых множеств в С™ при естественном отображении
сп
Проверьте, что тор Т2п превращается в компактное комплексно
аналитическое многообразие, являющееся комплексной груп-
пой Ли.
Функции на торе Т2п можно рассматривать как 2п-периоди-
ческие функции на Сп:
(2п X
Z + 2 паеа = / (z).
а=1 /
Из теоремы 2 получаем
Следствие. Голоморфная 2п-периодическая функция в С"
постоянна.
Пример. Пусть п = 1. Комплексный тор Т2 задается парой
ненулевых комплексных чисел zn z2 <= С, zx ф Rz2. Умножая все
комплексные числа на zf1, получим пару вида (1, т),т = z^zx е С,
причем мнимая часть Im т числа т не равна нулю (векторы 1 и т
вещественно независимы). Торы, задаваемые векторами (z4, z2)
и (1, t), биголоморфно эквивалентны. Таким образом, каждый
271 = С7Г.
438
ГЛ. 1. ПРИМЕРЫ МНОГООБРАЗИЙ
(Ч. 1Г
где матрица^
комплексный одномерный тор Т2 задается комплексным числом т
с не равной нулю мнимой частью.
Лемма 2. Если тит' связны дробно-линейным преобразова-
нием вида
f тт + п
т — . ,
рт 4- q 1
целочисленна и имеет определитель ±1, то
торы, задаваемые числами т и т', совпадают.
Доказательство. Решетки в С» определяемые векторами
(1, т) и (рт+д*1, тпт + п-1), совпадают. Тор, определяемый
второй решеткой, как раз задается числом т'. Лемма доказана.
Замечание. Можно показать (это требует привлечения ап-
парата эллиптических функций), что торы, определяемые доста-
точно близкими комплексными числами т и т', биголоморфно не
эквивалентны.
С вещественной точки зрения тор Т2 диффеоморфеи двумер-
ному вещественному тору 51 X S1, где каждая из окружностей
получается отождествлением целых кратных z± (или z2) на пря-
мой, проходящей через zt (или через z2); 2п-мерный тор Т2п
диффеоморфеп 2п-мерному вещественному тору S1 X . . ,Х S1.
Пусть тор Т2п задается векторами е2л. Среди этих век-
торов имеются п линейно независимых над С; без ограничения
общности можно считать, что это еи ,,., еп. Разложим векторы
en+i, е2п по этому базису:
п
= S b^jej, к = 1, ..., п,
j=L
Комплексная матрица B=(bhj) полностью определяет тор Т2п.
Мнимая часть матрицы В должна быть невырожденной, иначе
векторы .., е2п были бы линейно зависимы над К.
Определение 3. Тор Т2п называется абелевым, если для
некоторого базиса (е±, ..., е2п) в решетке матрица В симметрич-
на и ее мнимая часть Н = (hki),
hfrj = Im bki,
положительно определена:
Ь*=Ьн, h^>0,
где (fc1, ..., Bn) — любой не равный нулю вещественный вектор.
Например, двумерный комплексный тор Т2, задаваемый чис-
лом т с Im т > О, является абелевым. Так как торы, задаваемые
числами т и — т, совпадают, то любой двумерный тор является
абелевым.
Уже среди четырехмерных торов 74 (комплексная размер-
ность два) есть неабелевы.
Ч. II]
§ 4. КОМПЛЕКСНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
439
Задача, Покажите, что почти все торы 74 неабелевы.
Для абелевых торов определена 6-функция (Якоби—Римана)
6 (Zi, ..., zn),' где Zi, zn— комплексные переменные:
6(zlt .. ,,zn) = У ехр i 14 + У (4)
..TTL^ | м h J
где суммирование ведется по всем наборам (т^ ..тп) целых
чисел. Условие положительности мнимой части матрицы В га-
рантирует сходимость ряда.
2. Римаиовы поверхности как многообразия. Напомним
(часть I, § 12, п. 3) определение римановой поверхности много-
значной функции. В пространстве С2 двух комплексных пере-
менных ip, z для любой аналитической функции /(z, ip) (напри-
мер, многочлена) берется поверхность ее нулей
f(z,w)=Q. (5)
Эта поверхность является одномерным комплексным многообра-
зием (комплексной кривой), если выполняется условие неособости
игаа®/=(й’£)^°
па поверхности (см. § 12 части I).
Разрешая уравнение (5) относительно ip, мы можем получить
многозначную функцию, например:
a) w=l/Pn(z), z) = ip2 — Pn(z), где Pn(z) — многочлен
без кратных корней (гиперэллиптическая римаиова поверхность);
б) ip = In z = In Izl + i arg z + 2ш, /(ip, z)= — z.
Многозначность функции ip(z) означает, что проекция поверхно-
сти (5) па z-плоскость вдоль ip не взаимно однозначна.
Пусть функция f(z, ip) есть многочлен степени п по совокуп-
ности переменных. Сделаем подстановку
-4. -4.
У У
Тогда / (z, zp) = Qn (у0, у1, у2), где Qn — однородный много-
член. На проективную плоскость СР2 уравнение f(z, ip)=0 про-
должается в виде
<?я(у°, у\ у2) — 0. (6)
Точки поверхности (6), где у°=0, называются «бесконечно уда-
ленными» точками римановой поверхности (5).
Лемма 3. Римаиова поверхность в QP2, задаваемая уравне-
нием (6), компактна.
Доказательство. Множество нулей функции Qn замкну-
то. Так как С^2 компактно, то замкнутое множество в нем тоже
компактно. Лемма доказана.
440
ГЛ. 1. ПРИМЕРЫ МНОГООБРАЗИЙ
(Ч, II
Уравнение (6) в неособом случае задает двумерное компакт-
ное многообразие. Что это за многообразие?
Пример 0. Пусть f(w,z) = w2 — z; <?2(у°,у‘,у2)==(у2)2 —у1/-
Рассмотрим точки z = 0, z — о° и соединим их линией а. На
сфере 52, диффеоморфной СР1» эта линия выглядит, как показано
Рис. 51
на рис. 48. Интуитивно ясно, что вне этой линии риманова по-
верхность f(z, ip) = 0 распадается на два связных куска, каждый
из которых с помощью проекции эквивалентен внешности линии а
на z-плоекости. Эти куски именуются «ветвями» многозначной
функции._В точках 0 и 00 значения этих двух ветвей функции
ip(z)==Vz сливаются. Чтобы получить поверхность, необходимо
кусок границы области 1 отождествить с куском р2 границы
области 77, а кусок гра-
ницы р, области I — с ку-
ском границы а2 области
II (рис. 49).
Легко видеть, что пос-
ле склейки снова получа-
ется поверхность, диффе-
оморфная сфере S2.
Пример 1. /(z, w) ==
= u?2-P2(z), где P2(z) —
многочлен 2-й степени с
простыми корнями z = zlt
Z Z2, Zj f ^*2*
Соединим отрезком кор-
ни zt и z2. Вне этого от-
резка поверхность f(z9
u>) = 0 распадается на две
друг с другом. Над сферой S2 = СР1 это
же, как в примере 0 (рис. 50). Отличие
связанные
точно так
не
части,
выглядит
лишь в том, что здесь zt Ф оо. По аналогии с примером 0, отож-
дествляя ~ ?2, Pi ~ а2, получим сферу S2.
Пример 2. /(z, ы?) = 1Р2 — P3(z), где Р3 — многочлен 3-й сте-
пени с попарно различными корнями zlt z2, z3. Сделаем разрезы"
Ч. П]
§ 4. КОМПЛЕКСНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
441
и а2 (рис. 51). Вне этих разрезов поверхность распадется па
две несвязные части.
Отождествляя с {32, 71 с б2, «2 с fh, с 6i (рис. 52), полу-
чим тор (сфера с одной ручкой — см. рис. 53).
Пример 3. f(z, w)= wz — P4(z), где P4 — многочлен 4-й сте-
пени с попарно различными корнями Zo, zH z2, z3. Рассуждая
так же, как в примере 2, здесь снова получим тор.
Рас. 54
У тв ерждение 1. Риманова поверхность функции w =
= VPn(z), где Pn(z) —многочлен степени п без кратных корней,
представляет собой сферу с g ручками, где п == 2g + 1 или п =
— 2g + 2. (Строго говоря, бесконечно удаленные точки этой по-
верхности являются особыми В СР2.)
Доказательство. Пусть п четно; положим rc = 2g+2.
Разобьем корни многочлена Рп{%} на пары и соединим каждую
пару кривой щ, ..не пересекающейся с остальными (рис. 54).
Разрежем z-плоскость по отрезкам Мы убедились в том,
что риманова поверхность распадается на две несвязные части
и U2 (обход вокруг двух корней не меняет ветви).
442
ГЛ. 1. ПРИМЕРЫ МНОГООБРАЗИЙ
[Ч. II
Берега разрезов обозначим буквами Они лежат соответ-
ственно на кусках Uv и U2 римановой поверхности. После этого
произведем склейку берегов по правилу
(1Ц а<)~(^ (Ui, ?><)~(и2, а,).
Эта склейка соответствует тому, что мы должны с куска при-
ближаясь к берегу а/, перейти на кусок U2 (берег £<),
Для нечетных п построение то же самое, но за одну из точек
ветвления берется zn+i = После этого все повторяется.
§ 5. Простейшие однородные пространства
1. Действие группы на многообразии. Пусть G — группа Ли
(например, одна из рассмотренных в части I групп преобразо-
ваний).
Определение 1. Мы скажем, что группа G представлена
как группа преобразований многообразия М (или действует слева
на многообразии 7И), если для каждого ее элемента g задано
преобразование (диффеоморфизм) многообразия 71/,
х н-* Tg (х), х
и при этом Tgh ~ TgTh и 7\ = 1, где g, h — любые элементы груп-
пы G, а 1 —ее единица. Преобразование Tg(x) должно гладко за-
висеть от пары аргументов (g, х) (т. е. соответствие (g, х) Tg(x}
должно быть гладким отображением G X М -> М).
Группа G действует справа на многообразии Л/, если вместо
соотношения TgTh~Tgh выполняется соотношение TgT\ = ThS.
Если G — одна из групп GL (дг, К), О (дг, R), О (р, q) или GL (дг, С),
С7(дг), ..U(p, q) [р + q = лг], то G естественно действует слева
на Rn или на R2n = Спд причем это действие задается линейными
преобразованиями.
Замечание. Действие группы на векторном пространстве,,
задаваемое линейными преобразованиями, называется также (как
нам уже известно) линейным представлением этой группы.
Мы говорим, что действие группы G на многообразии М тран-
зитивно^ если для любой пары точек х и у из М найдется такой
элемент g группы G, что Т8(х) == у.
Определение 2. Многообразие Л/, на котором задано
транзитивное действие группы G, называется однородным прост-
ранством этой группы.
Сама группа G, рассматриваемая как многообразие с дейст-
вием группы левыми сдвигами Tg(k) ~ gh, называется главным
однородным пространством (левым).
Аналогично определяется правое главное однородное простран-
ство: r^(A)=Ag~1
Ч. II]
§ 5. ПРОСТЕЙШИЕ ОДНОРОДНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
443
Пусть х — точка однородного пространства. Группа изотропии
Дх точки х состоит по определению из всех элементов g груп-
пы G, оставляющих точку х на месте:
ГДх) = х ++ g^ Нх.
Лемма 1. Для разных точек х однородного пространства
группы изотропии Нх изоморфны друг другу.
Доказательство. Пусть х =/= у и Tg(x) = у. Тогда изомор-
физм Нх Ну определяется формулой
h~ ghg~x
(действие левое).
Теорема 1. Имеется взаимно однозначное соответствие ме-
жду точками однородного пространства М группы G и левыми
смежными классами G/Н, где Н—группа изотропии (действие
группы G левое).
Доказательство. Фиксируем точку х0 многообразия М.
Нужное соответствие устанавливается так: смежному классу (gH)
соответствует точка Tg(x0), где# = HXq—группа изотропии точ-
ки Это соответствие не зависит от выбора представителя g
в классе смежности и является взаимно однозначным. Теорема
доказана.
Для правого действия группы нужно взять правые смежные
классы.
2. Примеры однородных пространств, а) Сфера 8п в (тг+ 1)-
мерном евклидовом пространстве Rn+1 задается уравнением
(л;1)2 + ... + = 1,
и группа O(n+ 1) естественно действует на сфере Sn. Это дейст-
вие, очевидно, транзитивно. Тем самым сфера Sn является одно-
родным пространством группы О(п+1) ортогональных преобра-
зований пространства Rn+1. Найдем группу изотропии точки
<£= (1, 0, 0) е8п. Эта группа образована матрицами вида
(о л)’ А^0<Л
Поэтому 8п = 0(тг+ 1)/О(п). Группа G = SO(n + 1) также тран-
зитивна на сфере Sn, и группа изотропии есть SO (и). Поэтому
8О(и + 1)/8О(и) = 8П.
б) Проективное пространство можно рассматривать как
совокупность прямых в пространстве Rn+1, проходящих через
начало координат. Группа О(тг+1) транзитивно действует на
многообразии RPn. Рассмотрим прямую с направляющим векто-
ром (1, 0, ..., 0). Ортогональные преобразования, переводящие
444
ГЛ. 1. ПРИМЕРЫ МНОГООБРАЗИЙ
(Ч. II
эту прямую в себя, имеют вид
(о л)1 4е0(п).
Таким образом, группа изотропии изоморфна прямому произве-
дению 0(1) X 0(«), и имеет место равенство
£РП=-О(п + 1)/0(1)х0(п).
в) Аддитивная группа всех действительных чисел G? с коорди-
натой t действует на окружности следующим образом:
Tt (е2яЛ₽) = g2л£(<₽+/)
В силу соотношения е2я#=1 получаем: группа изотропии совпа-
дает с группой всех целых чисел.
Более общо, на «-мерном торе Тп == (51)” транзитивно дейст-
вует группа всех трансляций «-мерного пространства Rn (эту
группу мы также будем обозначать через R"). Действие задается
следующим образом: если у = и z = (е2ПгФ1, ...
...,е2ЯгФл)—точка «-мерного тора, то
Ty{z) = (е2я{(ф1+Ч ..е2я*(фп+М).
Группа изотропии состоит из всех векторов у с целочисленными
координатами. Таким образом, группа изотропии этого однород-
ного пространства — это целочисленная решетка Г в Rn:
тп = кл/г.
г) Многообразие Штифеля Vn k. Точкой этого многообразия
является упорядоченный ортонормированный набор из к векторов
x = (et, ..., eh) в «-мерном евклидовом пространстве. Ортогональ-
ная матрица «-го порядка переводит точку х в точку
Ах=(Ае^ ..Aek)— репер (Ае1ч ..., Aeh) также ортонормиро-
ван. Это действие транзитивно (проверьте!).
Многообразие Штифеля Vn,h можно задать как неособую по-
верхность в евклидовом пространстве Rnft. Именно, пусть относи-
тельно некоторого ортонормированного базиса в Rn векторы
еИ ..., ek имеют координаты
Cj • (Xil, • • •, -^in), 1) • • •» к9
Величины Хц, i=l, ..., А:; /=!,...,«, суть координаты точки
в «А:-мерном евклидовом пространстве Rnh. Это координаты свя-
заны системой из к(к + 1)/2 уравнений
S Xistys = 6i;.i i) j' = 1A . . . 1 ку I /. (1)
«=1
Ч. II]
§ 5. ПРОСТЕЙШИЕ ОДНОРОДНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
445
Лемма 2, Многообразие Штифеля Vn> h есть неособая по-
к (к -J- 1) -лдь
верхностъ размерности пк---------6 пространстве К .
Доказательство, Ввиду наличия группы, транзитивно
действующей на Vn, h, достаточно доказать неособость в одной
точке. Проверим неособость в окрестности точки х0 — (хц), где
= г=1, ..., к; / = 1, .п. Для этого докажем, что каса-
тельное пространство к поверхности Уп, л в этой точке имеет раз-
мерность пк----~ т. е. ранг матрицы Якоби системы (1)
равен-------- . Пусть хц^х^щ —кривая на поверхности
при t = 0 проходящая через точку xQ:
п
2 xia (t) XjS (t) = 6i}, i, 7 = 1, ..k;
s—1
a:«(0) : 6,j, i = 1, ..k; j = 1, ..n.
dx^: (t) I
Вектор скорости -— этой кривой в точке г0 удовлет-
иГ ]/=0
воряет соотношению
/ п \
О =-j I 2 *1’(0*7* (О I = Bi; + 1ц* i............к.
\s—1 J t=o
Итак, касательное пространство в точке ха к поверхности
состоит из векторов i = 1, ..к\ j = 1, ..п, таких, что
Во ~ Вл» Ц 7 ~ • • •»
n Jt(/c+D _
Размерность этого пространства как раз равна пк-----— • Лем-
ма доказана.
Итак, Vn, fc — гладкое многообразие. Найдем группу изотропии
этого однородного пространства. Дополним репер ..., ек до
ортонормированного базиса et, ..., еп во всем n-мерном евклидо-
вом пространстве. Ортогональная матрица, не меняющая векторон
е*, имеет в выбранной системе координат вид
( /! О \
* I ’ ’ • 0 I
Цо 1 L Л е О (п — к).
П~М\ о а)
Значит, группа изотропии есть О(п — к) и УЛ( А = О(п)/О(п — 7с)\
Многообразие Штифеля Vn ft при к < п можно рассматривать
и как однородное пространство группы SO(ri). В этом случае
446
ГЛ. 1. ПРИМЕРЫ МНОГООБРАЗИЙ
(Ч. II
группа изотропии совпадает с SO (га — Л):
Vn,ft = SO(ra)/SO(ra-/c).
В частности,
К,я~О(га), V\n-i = 50(ra), Vn>1 = S”-J.
д) Многообразие Грассмана Gn>ft. Точками грассманова много-
образия являются Л-мерные плоскости, проходящие через начало
координат в га-мерном евклидовом пространстве. Естественное
действие группы О (га) в пространстве R дает транзитивное дей-
ствие на совокупности всех Л-мерных плоскостей в Rn. Фиксиру-
ем некоторую /r-мерную плоскость л и найдем ее группу изотро-
пии. Выберем ортонормировапную систему координат в Rn сле-
дующим образом: первые к координатных осей лежат в плоско-
сти л, а остальные га — к ей ортогональны. Ортогональная матри-
ца, переводящая плоскость л в себя, имеет в этих координатах
блочный вид
п-к{(Л„ в). B<sO(n-k).
Мы получаем, таким образом,
Gntk = O(n)/O(k) ХО(п-к).
Очевидно, имеется равенство
Gn, k Gn, n-~k*
Кроме того, грассманово многообразие Gn> 1 совпадает с про-
ективным пространством RP4"1.
е) Однородными пространствами унитарной группы U(n) яв-
ляются:
1) нечетномерная сфера S2n“\ задаваемая в га-мерном комп-
лексном пространстве Сп уравнением
1?[2 + ... + lznl2 = 1;
именно,
S2n^ = U(n)/U(n - 1) = SU(n)/SU(n - 1);
2) комплексное проективное пространство Ср71"1:
СР71’1 = U (n)/U (1) X U (п - 1);
3) комплексное многообразие Грассмана
Glh = U{n)/U(k)xU(n-k)
Л-мерных комплексных плоскостей в С\ проходящих через нача-
ло координат.
Задачи. 1. Пусть М — однородное пространство группы G
с группой изотропии Н. Доказать, что размерность многообра-
Ч. II]
§ С. СИММЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
447
зия М равна разности размерностей G и Н:
dim М = dim G — dim Н.
Вычислить размерность многообразия Gn,v
2. Доказать компактность многообразий Уя, h и Gn> к.
3. Пусть т = (z/ij, ..., mk) — разбиение числа и, т. е.
+ т2 + ... + mh = п.
Набор линейных подпространств л0, лЛ пространства R”
называется тп-флагом, если:
a) dim л, — dim
б) л0 = 0, ль = Rn;
В) Л{—1 л<.
Ввести на множестве тп-флагов F(n, т) структуру однородно-
го пространства группы О(п). Вычислить группу изотропии этого
однородного пространства,
§ 6. Пространства постоянной кривизны
(симметрические пространства)
1. Понятие симметрического пространства- Большой интерес
представляют пространства — многообразия М с метрикой
у которых тензор кривизны RabCd симметричной связности, согла-
сованной с метрикой, удовлетворяет соотношению
Va(7?a^)=0, (1)
где — ковариантная производная. Мы знаем, что в силу тож-
деств Бьянки (см. часть I, § 30) часть ковариантных производных
тензора кривизны всегда обращается в нуль. Однако требование
(1) в его полном объеме является очень сильным. Оказывается,
что при выполнении некоторых глобальных ограничений на мно-
гообразие М из (1) уже следует однородность метрики Более
точно, это справедливо для односвязных многообразий М (см. ниже
§ 17). Общие многообразия (неодносвязные), удовлетворяющие
условию (1), получаются пз односвязных многообразий М факто-
ризацией по дискретной группе движений. При этом может ока-
заться, что эта дискретная группа Г не коммутирует со всей
группой движений многообразия ЛГ, и тогда фактор М/V не будет
однороден. Такие пространства называют локально однородными
или локально симметрическими.
Из (1) следует, в частности, что все скалярные характеристи-
ки кривизны постоянны:
R = R-a = const, RabcdRabCd = COBSt.
Мы будем пользоваться, однако, другим определением симмет-
рических пространств.
448
ГЛ. 1. ПРИМЕРЫ МНОГООБРАЗИЙ
|Ч. П
Определение 1. Односвязное многообразие М с метрикой
gab называется симметрическим пространством, если для любой
точки х^М существует изометрия (движение) sx: ММ,
имеющая точку х изолированной неподвижной точкой и такая,
что все касательные векторы в точке х испытывают отражение:
£ переходит в —Это преобразование $х называется «симметри-
ей» в точке х.
Смысл требования односвязности многообразия М будет рас-
крыт ниже (см. §§ 17, 18). В утверждениях настоящего парагра-
фа мы не будем использовать свойства односвязных многообра-
зий. Читатель, еще не знакомый с этими свойствами, может
вернуться к решению задач, приведенных в настоящем парагра-
фе, после изучения гл. 4.
Лемма 1. Симметрическое пространство М обладает свой-
ством (1).
Доказательство. Мы можем выбрать около данной точки
х&М такие координаты (ха), что в точке х
а л _ о аЬ л
X — 0, gab — а ~~ О*
ах
При симметрии $х тензоры ga6 и RabCd перейдут в себя. Что касает-
ся тензора ^в(7?аьс^) в точке х, то он должен перейти в себя,
поскольку $х—изометрия (движение). С другой стороны, ввиду
свойств тензор ^яНаьсч должен перейти в —VsRabCd. Таким обра-
зом, VsRabcd “ 0. Лемма доказана.
Замечание. Справедлива и обратная теорема, но ее дока-
зательство технически более сложно, и мы его не приводим.
Заметим, что в любом римановом многообразии М около любой
точки х М можно определить «локальную симметрию» $х на
некоторой области U^x следующим образом: рассмотрим пучок
геодезических, выходящих из точки х, и для геодезической
С у(0) “X положим
М'Г(т)) = ч(—т),
где т достаточно мало. Однако эти преобразования не являются,
вообще говоря, изометриями (движениями).
Задача. Докажите, что локальные преобразования sx в том
и только в том случае являются изометриями для всех х М,
если выполнено условие (1). (Простейшим случаем здесь являет-
ся случай п « 2, в котором тензор кривизны определяется одной
константой В общем случае проще сначала, анализируя сохра-
нение уравнения Якоби вдоль геодезической, доказать сохранение
тензора кривизны преобразованиями $х.)
Наличие «симметрии» $х для всех точек х е М дает достаточ-
ный запас движений для того, чтобы доказать однородность мно-
гообразия М,
Ч. II]
§ 6, СИММЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
449
Лемма 2. Симметрическое многообразие М является локаль-
но однородным, т. е. для любой точки х е М, достаточно близкой
к х, найдется движение g^M такое, что g(x)=x. Если пару
точек х, у <= М молено соединить геодезической, то найдется дви-
жение g такое, что g(x) = у.
Доказательство. Возьмем геодезическую параметризо-
ванную натуральным параметром 0 С т Т и такую, что (0)=z,
*{(Т)=у. Рассмотрим далее точку z=*f(71/2). Очевидно, сим-
метрия переводит ] в ] и I/ в я, х в у. (Если метрика индефи-
нитна и — изотропная геодезическая, то в качестве т можно
взять аффинный параметр, получающийся из решения уравнения
геодезических,— см. § 29 части I.) Если х и х — близкие точки,
то всегда имеется геодезическая, соединяющая х с х, так как
пучок геодезических, исходящих из х, заметает целую область во-
круг х. Лемма доказана.
Замечание. В случае положительной (римановой) метрики
любую пару точек можно соединить ломаной геодезической. По-
этому симметрические многообразия в этом случае всегда
однородны.
2. Группа изометрий. Свойства ее алгебры Ли. Далее мы
будем рассматривать однородные симметрические многообразия М
с метрикой gab, удовлетворяющей условию (1); группу Ли
движений многообразия М
мы обозначаем через G, —-------
а изотропную подгруппу —
через Я, так что M = G/H, ---------------—
Рассмотрим отображение
-1 / л /г . ,г Рис. 55
= /т,?: (2)
где 1 = 1(т)—некоторая геодезическая, ^о = 1(0), x = *f(—772)',
Преобразования =/т,г- М~-+М обладают следующими важ-
ными свойствами (рис. 55):
а) /т>т есть сдвиг точек геодезической f па время Т\
У(т) у(т + Ту,
б) /т, т является преобразованием параллельного переноса век-
торов вдоль этой геодезической;
в) для заданной геодезической у преобразования /Т(7 состав-
ляют однопараметрическую группу:
(3)
= (/t,v) •
Все. эти свойства очевидным образом вытекают из определи-
НИЯ
29 Б. А. Дубровин и др.
450
ГЛ. 1. ПРИМЕРЫ МНОГООБРАЗИЙ
[Ч. II
Согласно сказанному выше (см. § 3) однопараметрическпе
подгруппы /т, 7 группы G имеют вид
/т, т= exp (ТВ,),
где В, — вектор из алгебры Ли g группы G. Линейное подпрост-
ранство алгебры д, порожденное векторами В, g для всех гео-
дезических у, исходящих из Хо, мы обозначим через ZA Алгебру
Ли стационарной подгруппы Н(х0) группы G, отвечающей точ-
ке х0, мы обозначим через L°. Очевидно, что
0 = L° + L1. (4)
Рассмотрим малое е=/=0и две геодезические yi, у2, исходящие
из точки х0. Тогда последовательно производимые преобразования
/-e.Va1 /е,?2г
переводят точку х0 в близкую точку к ней (лежащую от псе на
расстоянии порядка е3). В силу определения коммутатора в ал-
гебре Ли это показывает, что коммутатор 2??2] лежит в под-
алгебре, отвечающей стационарной подгруппе точки х0, т. е. что
е LQ. Далее, пусть однопараметрическая подгруппа
gr=exp(7\4) группы G оставляет точку xQ неподвижной (т. е.
A^L°). Тогда, как легко видеть, при малых е преобразование
с точностью до О(е2) представляет собой параллельный
перенос вдоль геодезической у, выходящей из точки х0 по направ-
лению [2?7, 4]. Таким образом,
[7Д Z?] <= L\
Итак, доказана
Лемма 3.
[L°, L°] <= L°,
[L1, L°]<=Z?, (5)
[Z?, L1] <= L°.
Замечание. Алгебру Ли g = L, разложенную в сумму L =
= + Z? с соотношениями (5), называют Z2-градуированной,
так как (5) переписывается в виде
[L\ Z2] <=Z?i+n<modz). (6)
Из леммы 3 вытекает
Следствие 1. Линейный оператор
о: 0 0,
равный 1 на L° и —1 на L\ является автоморфизмом (г. е. со-
храняет операцию умножения — коммутирования). При этом
а2 = 1 (а есть «инволюция») <
Ч. П]
§ 6. СИММЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
451
Верно и обратное: при наличии у алгебры Ли g инволютивного
автоморфизма она получает 2а-градуировку g = Z? + Z? такую,
что о = 1 на L° и о = —1 на L*.
Локальная геометрия около точки х0 е М в силу однородности
определяется метрикой на касательном пространстве Rx0 в точ-
ке (и = dim М). Касательное пространство Rx0 естественно
отождествляется с пространством U <= g. В силу леммы* 3 метри-
ка на Rx0 — L1 должна быть инвариантна относительно внутрен-
них автоморфизмов SZS \ где и Для gT =
= ехр (ТА), А е L\ имеем преобразование Z? -* Z2:
£ gr^gr1 =
(.ал
Для скалярного произведения <£, ц> на L1 имеем
Г]т) « Ц>,
(7)
<[Л, £], тр + <g, [Л, ц]> = 0.
Условие (7) накладывает ограпиченпе на скалярное произве-
дение — метрику — на L1 = R^o.
3. Симметрические пространства 1-го и 2-го типов. Лемма 3
дает 'алгебраическую модель симметрического пространства.
В принципе все симметрические пространства можно классифи-
цировать, как и компактные группы Ли, Мы рассмотрим наибо-
лее важные примеры.
Простейшими примерами односвязного симметрического про-
странства (нулевой кривизны) являются, разумеется, евклидово
пространство R и псевдоевклидовы пространства В этом
случае группа G состоит из движений пространства Еп(или Rp,q),
подгруппа II G совпадает с группой 0(п) (или 0(р, (?)), и про-
странство L1 = R71 состоит из трансляций. Мы имеем, как обычно,
разложение
& = L° + L\
причем в этом случае [L1, Z?] = 0; кроме то?о, как обычно,
[L0, (структуру групп движений см. в § 4 части I). Не-
односвязные симметрические (или, как их называли раньше, ло-
кально симметрические) пространства получаются факторизацией
по дискретной группе Г, состоящей из трансляций (возможно,
в комбинации с некоторыми отражениями, как бутылка Клей-
па — см. § 18).
Во всех дальнейших примерах мы будем считать группу G
полупростоп (см. § 3, п. 1), т. е. скалярное произведение Киллинга
29*
452
ГЛ. 1. ПРИМЕРЫ МНОГООБРАЗИИ
[Ч. II
па алгебре 0 должно быть невырождено. Напомним, что это
скалярное произведение <Л, В> имеет вид
<Л, В> = “Sp (ad A ad В),
аала) = [Л, U ad В а) = [В, £].
Имеется два разных типа односвязных симметрических прост-
ранств (даже в случае, когда метрика положительна — римаиова):
1-й тип: группа G компактна, и скалярное произведение
Киллинга на алгебре Ли 0 положительно.
2-й тип: группа G некомпактна, и скалярное произведение
Киллинга па алгебре Ли 0 индефинитно.
Рассмотрим простейшие примеры.
а) Сфера 52(1-й тип).Здесь G=SO(3) (компактна), Н—8О(2)Л
б) Плоскость Лобачевского L2 (2-й тип). Здесь G = SO (2,1) =
«5А(2, R) и Я = 50 (2). Алгебра Ли 0 состоит из 2 X 2-матриц
с нулевым следом. Скалярное произведение <Л, В) имеет вид
<Л, Я> = —Sp(AA).
Базис алгебры таков:
А П А =Го (П А /-1 о\
\0 Of \1 Of — \ 0 If
Л? = А* = 0, А|-'1.
Имеем
<л, А2> = -1, <4Ь Аа> = <А, А3> = О,
<Л3, Л3> = —2, <АЬ 4t> = <Л2, А2> = 0.
Матрицы из Я =50(2) имеют вид ( Подалгебра
А0 с g состоит из матриц вида X (At — А2). Подпространство
A1 eg порождено векторами Л1 + Л2, Л3.
Проверьте соотношение
[А1, А0] с А1.
Скалярное произведение Киллинга па подпространстве А1 е g
является положительным. Поэтому метрика на симметрическом
пространстве А2 положительна.
Задача. Разберите самостоятельно случаи 5" и А".
4. Группы Ли как симметрические пространства. Рассмотрим
теперь сами группы Ли Q как симметрические пространства.
Группа движений G группы Q изоморфна Q X Q; действие груп-
пы G в Q порождается правыми и левыми сдвигами:
(gi,gz)t q^giQg^-,
подгруппа II е G есть диагональ Q = {g, g} е Q X Q: очевидно,
Ч. II]
§ 6. СИММЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
453
/7(1) == 1. Симметрии определяются формулой (проверьте!)
х ~ qx~xq.
В частности, Si(rr) = х~*.
Разберем более детально случай 1-го типа, когда Q — одно-
связная и компактная группа. Кривизна метрики Киллинга уже
вычислялась нами (см. § 30 части I). Здесь важно, что кривизна
Риччи Наъ положительно определепа. Геодезические линии полу-
чаются правыми и левыми сдвигами из однопараметрических
подгрупп.
Построим изометрическое вложение Q с где N — большое
число. Мы будем считать, что группа Q вложепа в группу SO (тп).
Далее, группа S0(m) состоит из тп X /n-матриц и вследствие этого
лежит в пространстве . Введем евклидово скалярное произ-
ведение матриц А и В из и?™ :
<Л, В> = Sp (ЛВТ), (8):
где Т обозначает транспонирование (ср. § 24 части I).
Задача. Проверьте, что это скалярное произведение совпа-
дает с формой Киллинга при ограничении на S0(m).
Для A^SO(m) имеем ЛЛТ=1 и Sp 1 = Таким образом,
группа SO (т) лежит па сфере <Л, Л> — тп радиуса Уттг:
SO (т) cz Sm2-\
Лемма 4. Скалярное произведение в евклидовом простран-
стве К™ инвариантно относительно правых и левых сдвигов на
элементы g S0(m). _
Д о к _а_з ательств о. Пусть А = gA, В = gB. Тогда <Л, В) =*
= Sp(gJ4BTgT) = Sp(gJ4Z?Tg"‘)= Sp(ABT' )= <Л, В>. Аналогично
для правых сдвигов: если А = Ag, B = Bg, то <Л, В> =«
= Sp (JggTBT) = Sp (ЛВТ) = <Л, В>. Лемма доказана.
Следствие 2. Метрика (8) на , ограниченная на любую
подгруппу Q<=SO(m), инвариантна относительно правых и ле-
вых сдвигов
7 ~ 7i№
(биинвариантная или двусторонне инвариантная метрика).
Лемма 5, Всякая двусторонне инвариантная метрика на про-
стой группе Ли Q пропорциональна метрике Киллинга с посто-
янным множителем.
Доказательство. На алгебре Ли L группы Q двусторонне
инвариантная метрика порождает ad-инвариаптпое скалярное
произведение (здесь Л, В, С & L):
<[Д В], О + <В, [Л, С]> - 0 (9)
454
ГЛ. 1. ПРИМЕРЫ МНОГООБРАЗИЙ
[Ч Л
или, если gr = exp(XT),
grCgr1} = <Z?, С). (10)
Скалярное произведение Киллинга <Л, ВУ удовлетворяет (9) и
(10). Пусть gab, gab — две метрики, удовлетворяющие (9), (10).
Метрика gab — ^gab также ad-инвариаптна. Пусть Xi таково, что
det(gab — Xigab) = 0; соответствующее собственное подпространство
алгебры L обозначим через Яц. Очевидно, подпространство R\t
инвариантно относительно внутренних автоморфизмов алгебры.
Однако в силу простоты группы Q представление ad неприводимо
(не имеет инвариантных подпространств). Поэтому R^ = L и
gab = Xigab. Лемма доказана.
Следствие 3. Всякая простая подгруппа Q группы S0(m)
с метрикой Киллинга изометрически вкладывается в сферу S™
с метрикой, пропорциональной обычной.
Следствие 4. Тензор Риччи Вад также обладает свойством
инвариантности (9), (10). Поэтому для простой группы Rab =
Xgad? X COnst.
Для компактных групп G мы уже знаем, что /?ай > 0 (см. § 30
части I). Полупростая группа есть (локально) прямое произведе-
ние нескольких простых: G == G{ X ... X Gh. Для каждой простой
группы Gi этот результат очевиден, так как знак X легко опре-
деляется.
5. Построение симметрических пространств. Примеры. Перей-
дем теперь к общим симметрическим пространствам. Пусть
М = G/Н, д = L = L° + L1,
где 0 — алгебра Ли группы G, слагаемые L0 и L1 удовлетворяют
соотношению (5), L0— алгебра Ли группы Н, пространство L1 =
*=Rx0 изоморфно касательному пространству к М в точке х0,
H(xq) = Xq. Метрика на М будет получаться в дальнейших при-
мерах из формы Киллинга па алгебре Ли 0.
Лемма 6. В метрике Киллинга на алгебре Ли 0 подпрост-
ранства L0 и L1 ортогональны.
Доказательство. Так как [L°, L°J <= L°, [L0, /?]<=/?,
[Ll, L1] L°, то для 4 g L0, В g L1
adX(L°) с/Д adX(Ll) cL\
ad£(Ll) cL°, ad£(L°) c= ZA
Поэтому Sp(adX ad/?)=0. Лемма доказана.
Форма Киллинга на 0 имеет вид (часто форму g^e называют
формой Киллинга симметрического пространства)
(£ab) = l “ (1)), (И)
\ буб/
Ч. II]
§ 6. СИММЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
455
где а, ₽ — индексы базиса в L0 и у, 6 — индексы базиса в /А
Форма gap на алгебре L° удовлетворяет соотношениям (9).
Поэтому/ если алгебра LQ проста, то метрика gap пропорцио-
нальна метрике Киллинга самой алгебры £°. Однако в важных
примерах алгебра LQ не проста, а лишь полупроста, LQ = L® ф L^,
где алгебры А? и уже просты. Тогда форма gap в соответствии
с леммой 6 может отличаться от формы Киллинга на один мно-
житель Xt па А® и на другой множитель Х2 на
Заметим следующее: если А L°, группа Н компактна и мет-
рика gi/e положительна, то матрица ad.Л кососимметрична (как
на L0, так и на L1). Для <Л, Л> имеем
- Sp (ad Л)2 = - [sP (ad Л)аь0 + Sp (ad Л)2Ь1].
Поэтому
| <Л, А) |в > I <4, 4> |Lo. (12)
Мы знаем, что у алгебры Ли Ь° компактной группы Ли Н
форма Киллинга неотрицательна. Что касается ограничения gap
формы Киллинга алгебры Ли д на L0, то в силу неравенства (12)
это ограничение положительно для компактных групп Н (если
метрика симметрического пространства положительна).
Мы видим следующее: для построения симметрического прост-
ранства достаточно задать подалгебру L° д, ограничение на
которую формы Киллинга с объемлющей алгебры Ли д невырож-
дено. После этого L1 определится как ортогональное дополнение.
Однако соотношения (12) дают сильные ограничения на выбор А0.
Если форма Киллинга на g индефинитна, то для симметрических
пространств с положительной метрикой подалгебра LQ д должна
быть такой, что форма па ее ортогональном дополнении знако-
определена (2-й тип). При этом алгебра L° должна быть алгеброй
Ли компактной группы — подгруппы группы SO(n).
Замечание. Можно реализовать симметрическое простран-
ство М как подмногообразие в группе G таким образом, чтобы
геодезические многообразия М являлись геодезическими и в мно-
гообразии G. Вложение строится одним пз следующих способов:
1) выпускаются все однопараметрические подгруппы из i^G
по направлениям векторов В И (покажите, что эти геодезиче-
ские заметают подмногообразие A/^G);
2) рассматривается отображение ср: М *-► G, действующее по
формуле Ф (я) = е G (Sx — симметрия);
3) рассматривается ^иволюция о: G G (антиавтоморфизм
группы, a(gig2) = o_(g2)o(g1))? которая па алгебре Ли д опреде-
ляется равенствами a = 1я o|l1 = — 1. Рассмотрим отображение
g go(g”1). Образ этого отображения и есть М с= G.
456
ГЛ. 1. ПРИМЕРЫ МНОГООБРАЗИЙ
[Ч. II
Докажите совпадение вложений 1), 2), 3).
Основные примеры односвязных симметрических пространств
1-го типа (постройте разложение fl = L° + L1):
1) S0(2n)/U(n),
2) SU(n)/SO(n),
3): SU(2n)/Sp(n),
4)' Sp(n)/U(n), .
5) SO(p + q)/SO (p) X SO(q).
6) SU(p + q)/SU(p)XU(q),
7): Sp(p+q)/Sp(p)XSp(q)
грассмановы многообразия,
в частности проективные
пространства и сферы.
Некоторые примеры симметрических пространств 2-го типа
(метрика положительна). Оказывается, что в односвязном случае
они имеют топологию евклидова пространства R :
1)' SO(p, q)/SO(p) XSO(q) (при 7 = 1 это Lp — пространство
Лобачевского),
2\ SU(p, q}/U(pj X SU(q) (при g= l это — единичный шар
в СР как комплексное многообра-
зие; при р=1 это многообразие
совпадает с L2 = SU(1, 1)/J7(1)),
ЗУ Sp(p. q)/Sp(p) XSp(q),
4) 5L(n,R)/50(n),
5) SL(n,C)/SU(n),
6) SO (n, <C)/SO (n, IP).
Задачи. 1. Для симметричных пространств 2-го типа
с положительной метрикой покажите, что размерность подалгебры
с g совпадает с числом положительных квадратов формы
Киллинга в fl.
2. В частности, если алгебра Ли fl комплексна (например,
G = SL (n, С) или SO (п, С)), то числа отрицательных и положи-
1
тельных квадратов совпадают и dim Л° = — dim g. Найдите под-
алгебры L0 в алгебре Ли fl группы G = SL (n, С)-
3. Покажите, что для симметрических пространств 2-го типа
с положительной метрикой всегда
М = G/H,
где Н — максимальная компактная подгруппа группы G. Иссле-
дуйте случаи SL (п, К)/50 (n), SL (n, Q)/SU (п).
4. Покажите, что односвязные симметрические пространства
2-го типа всегда имеют топологию пространства Rn.
Далее, для кривизны симметрических пространств, как и для
групп Ли, имеем
<Д & Г)) Т> |Хо ~ ± <[5, Г)],. [£, т]>ь0<
ч. П)
§ 6, СИММЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
457
5. Покажите, что для пространств 1-го типа Я^ > 0 и кри-
визна в двумерных направлениях <Я(£, т])£, т]> неотрицательна.
6. Для пространств 2-го типа покажите, что кривизна в дву-
мерных , направлениях неположительна. Выведите отсюда, что
односвязное симметрическое пространство 2-го типа топологически
есть Rn (предполагается, что метрика положительна).
7. Выясните, какие из вышеперечисленных симметрических
пространств 1-го и 2-го типов имеют кривизну в двумерных
направлениях, не обращающуюся в нуль. Исследуйте слу-
чаи 5n, для 1-го типа и случаи Ln, SU(n, l)/t7(n)t
SL (n, R)/SO (n), SL (n, C)'/SU (n) для 2-го типа.
8. Докажите, что для размерностей п = 2, 3 все одпосвязные
симметрические пространства с положительной метрикой исчер-
пываются случаями Ln, Sn, Rrt. Указание. Покажите, что ста-
ционарная подгруппа II обязана совпадать с SO(n) (п = 2,3).
Выведите отсюда постоянство кривизны по всем дцумерным
направлениям для п = 3.
9. Докажите, что для полупростой группы G == Gt X ... X Gh
(Gj—-простые группы) любое односвязпое симметрическое про-
странство М имеет вид
Л/= (СЛЛ)Х...Х (СЛ/ЯЛ),
где метрика распадается в прямое произведение. При этом мет-
рика каждого = GJH{ пропорциональна метрике Киллинга на
пространстве L\ в алгебре Ли т L-.
В заключение приведем список симметрических пространств
размерности 4 с метрикой сигнатуры (+-------). Эти простран-
ства могут представлять интерес для общей теории относитель-
ности, поскольку метрика gab удовлетворяет уравнению ЯаЬ —
— A-gab — O (см. следствие 4 выше).
I. Пространства постоянной кривизны с группой изотропии
G = SO(1, 3).
1) Пространство Минковского
2) Пространство де Ситтера S+ = SO(1, 4)/80(1, 3); заметим,
что 8+ гомеоморфно RxS3. Тензор кривизны Я есть тождествен-
ный оператор пространства бивекторов A2(R4) в себя: Я = 1.
3) Пространство де Ситтера S-~SO{23 3)/S0(i, 3); прост-
ранство 8- гомеоморфной1 х R3, его «универсальная накрывающая»
(см. § 18) 8_ = 80(2, 3)/8О(1, 3) гомеоморфпа R4. Тензор кри-
визны Я = —1.
II. Приводимые пространства (произведение пространств по-
стоянной кривизны).
1) G = 8O(3), Л/ = Я+хЛ/1—, где —— пространство
постоянной кривизны сигнатуры (------).
2) G = 80(l, 2), М = Я_хЛ1^-, где — пространство
постоянной кривизны сигнатуры (+-----).
458
ГЛ. 1. ПРИМЕРЫ МНОГООБРАЗИИ
[Я. II
3) G = SO(2)XSO(1,1),Л/ = —произведение двух
двумерных пространств постоянной кривизны.
III. Симметрические пространства плоских волн Mt (группа
изотропии G коммутативна, группа движений разрешима). В не-
которой глобальной системе координат метрика имеет вид
dl2 = 2dxldx4i + [(cos t) xl + (sin t) dxi + dx% + dx^
cos t > sin f.
В тетраде (см. часть I, § 30), задаваемой 1-формами
р = dx^ q = dxi + Н dx^ х = dx3, у = dx^
тензор кривизны постоянен и имеет вид
Я = — 4 [cos t (р Л х) ® (Р Л я) + sin t (р Л У) ® (р Л £/)]
Замечания. 1. Односвязное симметрическое пространство
однозначно определяется своим тензором кривизны в точке. Если
Я™ тензор кривизны, R: Л2(7) -*A2(V), то обозначим через h
алгебру Ли кососимметрических линейных операторов простран-
ства V, порожденную операторами вида R(x, у), x,y^V (h есть
алгебра изотропии (£0)). Пусть g — алгебра Ли, задаваемая в про-
странстве V ® h формулами
[ (u, а), (р, Ь) ] = (аи — biz, [a, b] + R (и, и)).
Тогда однородное пространство M^=G/Hy соответствующее паре
(<0, Л), естественным образом наделяется структурой симметри-
ческого пространства.
2. Описание всех тензоров кривизны симметрических прост-
ранств с данной группой изотропии Н сводится к нахождению
//-инвариантных тензоров R типа тензора кривизны, для которых
R(x, у) <= h для любых х, у <= V, h — алгебра Ли Н.
§ 7. Линейные элементы и связанные с ними многообразия
1. Конструкций, связанные с Касательными векторами. Пусть
М есть тг-мерное многообразие. По этому многообразию построим
2тг-мерное многообразие L, называемое многообразием линейных
элементов многообразия М.
Определение. Точками многообразия линейных элементов
Ь(М) являются пары (х, |), где х — точка многообразия Л/, | —
касательный вектор в этой точке к многообразию М.
Введем локальные координаты на многообразии L(Jf). Пусть
— область действия локальных координат (я“). Тогда
в каждой точке области U в касательном пространстве к М воз-
д
пикает базис еа = —- и касательные векторы в этой точке полу-
Ч. И]
§ 7. МНОГООБРАЗИЯ ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
459
чают координаты: £ = ^а. Пары вида (х, £), где х^ Uq, образуют
область Uq в пространстве L(M), Локальные координаты в об-
ласти Uq имеют вид
!й")-м.......4 й......S)-
Функции перехода на пересечении области Uq с областью (7р,
где в области UP действуют координаты (хр), имеют вид
з \
....•
Матрица Якоби этих функций перехода имеет вид
Aj’ П 9х*9х^'
Якобиан (определитель этой матрицы) равен (det^)2 > О,
Следствие. Многообразие линейных элементов L(M\ -
гладкое ориентируемое 2п~мерное многообразие.
Пример. Многообразие линейных элементов к области U
в евклидовом пространстве Rn диффеоморфно прямому произве-
дению U х Rn.
Пусть на многообразии М задана риманова метрика. Тогда
в многообразии всех линейных элементов выделяется под-
многообразие точек (х, £), для которых |£| = 1, Размер-
ность многообразия равна 2п — 1 (оно задается неособым урав-
нением /(х, £)= = !)•
Пример. Для n-мерной сферы S", задаваемой уравнением
п
2 (#a)2 = 1, касательный вектор £ ортогонален радиус-вектору х,
а=о '
проведенному в точку касания. Поэтому для сферы S" многооб-
разие пар (х, £) есть многообразие Штифеля Vn+1( 2. В частности,
для двумерной сферы 52 многообразие всех единичных касатель-
ных векторов £i(Sa) совпадает с И3,2 = SO (3) ~ RP3.
Рассмотрим некоторые другие конструкции, связанные с ли-
нейными элементами:
а) Часто встречается многообразие £Р(Л/), точками которого
являются пары (х, т),где т — прямая в касательном пространство
в точке х Л/, проходящая через начало координат.
б) С любым n-мерным многообразием М можно связать новое
многообразие £, точками которого являются пары (х, т), где
х^М и т = (£i,..£п)—базис касательного пространства в точ-
ке х,
в) Для ориентированного многообразия М определено много-
образие Ё реперов, лежащих в одном классе ориентации.
460
ГЛ. 1. ПРИМЕРЫ МНОГООБРАЗИЙ
(Ч. IT
г) Для риманова многообразия возникает многообразно
ортогональных касательных реперов.
Другие примеры конструкций, связанных с линейными эле-
ментами, будут рассмотрены в гл. 6.
Гладкое отображение /: М N многообразия М в многообра-
зие N определяет гладкое отображение соответствующих много-
образий линейных элементов:
(x,|)~(f(x),/*|)
/ * — построенное в § 1 индуцированное отображение касательных
пространств).
Определим теперь «пространство кокасательпого расслоения*
L*(M) как совокупность пар (х, р), где р— ковектор (1-форма
на М) в точке х. Локальные координаты (х*) в области Up дают
локальные координаты (хр, рра) в многообразии £*(!/), где (ло-
кально)
Функции перехода от координат (хр, рра) к координатам
(Хд, рдр) имеют вид
(Xg, Pqp) = I Xg (xp, . . . , Xp), ppa j. (1)
\ /
Матрица Якоби этих функций перехода имеет вид
_ / \
Н - —I
W4 )
Ее определитель равен 1. Следовательно, многообразие L* (Л/)
также ориентировано.
Метрика ga& на многообразии М позволяет построить диффео-
морфизм
Зцесъ точка (х*, |а) переходит в точку (ха, gau(x)|p) (изучав-
шаяся в § 19 части Генерация опускания индексов).
Выражение ю = parfxa при заменах вида (1) инвариантно. Сле-
довательно, ю можно рассматривать как дифференциальную форму
п
на многообразии L* (М). Ее дифференциал й == cto == 2 dpa/\dx*—
а=1
невырожденная кососимметрическая 2-форма, которая, очевидно,
замкнута, сК2 — 0.
Вывод. Многообразие L* (М) симплектическое.
Напомним, что в части 1 симплектическим называлось прост-
ранство с невырожденной замкнутой кососимметрической 2-фор-
мой й..
Ч. II]
§ 7. МНОГООБРАЗИЯ ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
401
2. Нормальное расслоение к подмногообразию. Пусть М — ри-
мапово л-мерное многообразие, gap — метрика па пем. Пусть, да-
лее, N — гладкое Ar-мерное подмногообразие многообразия М. Оп-
ределив пространство vM(/V) «нормального расслоения» к подмно-
гообразию N в М. Точками этого пространства являются пары
(х, v), где х — точка из /V, v — вектор, касающийся М в точке х
и ортогональный к подмногообразию N в этой точке. Под ортого-
нальностью к подмногообразию N мы понимаем ортогональность
Ь подпространству, касательному к N. Подмногообразие ДО можно
считать локально заданным системой неособых уравнений yh+' =
«0, уп = 0, причем функции yh+1, .уп включаются в ло-
кальную систему координат (у1, у11) па Л/, а (у1, ук) — ло-
кальные координаты на самом N (см. § 1). Тогда многообразие
vM(N) локально выделяется в ЦМ) системой уравнений
I/h+1 = 0, ..уп = 0, ga₽(i/)vp = 0, a = 1, ..., к.
Эта система неособа (проверьте!). Поэтому vw(iV) —л-мерноо
подмногообразие в L(M).
Примеры. 1. Пусть М = ДО задано в целом системой
неособых уравнений
Л(г/) = О, /п-ь(г/) = О, у = (у1, уп).
Тогда векторы grad /н ..grad fn_h ортогональны к поверхности
N и всюду линейно независимы. Эти векторы задают в vRn(Af)
структуру прямого произведения:
vRn(N)^Nx$n-\
Более общо, если подмногообразие N задано в М в целом
системой неособых уравнений
/1(ж) = 0, /n-h(x) = 0,
/ . д/.\
то векторные поля е\ {х) = grad fi (ж) = gl3 —. , i = 1, ..п — /с,
\ &xJ /
ортогональны к N в каждой точке и липейпо независимы. Любой
вектор, нормальный к ДО в точке ж, имеет вид
v = ¥*е<(ж).
Получаем соответствие (ж, v) (ж, v1, ..vft) , т. е.
vM{N)^Nx^n~k.
Важный частный случай: пусть А <= М — многообразие с кра-
ем, задаваемое неравенством /(ж) СО; N=*dA — край многообра-
зия Л. Этот край имеет размерность п — 1 и задается одним
неособым уравнением /(ж)^0; нормальное расслоение к краю
462
ГЛ. 1. ПРИМЕРЫ МНОГООБРАЗИЙ
(Ч. II
распадается в прямое произведение
Ум (дА) = dAx^R.
2. Пусть М = N X N, где N — риманово многообразие. Каса-
тельный вектор к многообразию М задается парой касательных
векторов (|, ц) к многообразию N. Введем в многообразии М
риманову метрику, полагая
<(?1, ф), (U Пг)> = <61, Ь> + <П1, П2>.
Расположим многообразие N в М как диагональ Д = {(х, х)) <= Л/,
где х — точки из N. Векторы, касающиеся диагонали Д, имеют
вид (£, 5)* Если вектор у = (£, ц) ортогонален диагонали Д, то
0=<(£, S), (g, n)> = <^ ? + п>.
Это равенство справедливо при любом векторе лишь если
| = —ц. Итак, векторы, нормальные к диагонали Л’= Д, имеют
ВИД V = (£, —£).
Вывод. Vxxx(A) ~ L(N).
3. Определим отображение h пространства нормального рас-
слоения vM(N) в многообразие М (геодезическое отображение).
Пусть (х, у) —точка из Ум(Д). Выпустим из точки х геодезиче-
скую 7 (t) в многообразии М с начальным вектором скорости
v: 7(0) = у. Положим Л(х, у) =7(1).
Лемма. Якобиан отображения h при (х, у) = (х, 0) не равен
нулю.
Доказательство проведем для случая, когда М есть простран-
ство Rn со стандартной евклидовой метрикой, N cz — гиперпо-
верхность, заданная параметрически xi = х*(и\ ..., 1 = 1, ...
..., п. Координаты точки (х, у) е укП(Д') имеют вид (и1, ...
..., и""1, /), где х = х(и), у = /п(и), п = п(и)—единичный век-
тор нормали к поверхности N в точке х(и). Геодезическое отобра-
жение имеет вид
Л (и1, ..., и"-1, /) = х(и) +/п(и)’.
Для его производных будем иметь
dh dx . Лдп dh
—: = — -р t —— = п.
диг ди,г диг
При t = 0 получаем, очевидно, невырожденную матрицу Якоби
(Oh 0h\ yr
N-, з; • Лемма доказана.
\du dt J
Следствие. Пусть многообразие N компактно, и пусть
'vm(N) = {(х, у), | v | <е}. Тогда отображение h отображает область
Ум(Д) при достаточно малом е диффеоморфно на некоторую
окрестность Ut(N) многообразия N в М,
Ч. П]
§ 7. МНОГООБРАЗИЯ ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
463
Доказательство. В силу леммы 1 отображение h являет-
ся диффеоморфизмом в окрестности любой точки (х, 0) в
Выберем из этих окрестностей конечное их число, покрывающее
множество (N, 0) в vM(7V). Многообразие N содержится в объеди-
нении этих окрестностей вместе с некоторой е-окрестпостыо vfu(A ).
В этой е-окрестности отображение
является диффеоморфизмом.
Замечание. Пусть J7e (N) —
диффеоморфнып образ области
vm (АГ), описанный в следствии. Тог-
да из любой точки х из области
Ue(N) можно опустить «геодезиче-
ский перпендикуляр» 7 па подмно-
гообразие N, причем геодезическая 7
локально единственна. Длину этого
Рис. 56
перпендикуляра мы будем называть
расстоянием от точки х до многообразия N и обозначать через
р(х, N). Функция р(х, N) гладко зависит от точки х в области
U,(N).
Теорема 1. Пусть М — компактная двусторонняя гиперпо-
верхность в Rn (см. § 2). Тогда М задается одним неособым
уравнением
/(*)=0.
Доказательство. Пусть ф(i) — гладкая функция, график
которой изображен на рис. 56. Построим функцию /(х) в R,
полагая
/(х) =
'±е,: если хне лежит в Z7e(M),
Ф (=t= р (х, М)), если x^U,>(M).
Здесь U^(M) —описанная в следствии окрестность многообра-
зия М. Знак + выбирается для точек х, лежащих в каком-нибудь
одном из кусков в R \М, знак — берется для другого ’куска
(поверхность лежит двусторонним образом). Уравнение /(х) =0
как раз задает гиперповерхность М. Теорема доказана.
Глава 2
ВОПРОСЫ ОБОСНОВАНИЯ.
НЕОБХОДИМЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ.
ТИПИЧНЫЕ ГЛАДКИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
Данная глава посвящена вопросам обоснования, необходимым
в теории гладких многообразий. Доказательства теорем этой гла-
вы не играют пи малейшей роли в дальнейших главах при по-
строении содержательной топологии и геометрии многообразий.
Вследствие этого читатель может ознакомиться лишь с определе-
ниями и формулировками теорем этой главы без ущерба для по-
нимания дальнейшего материала. Материал этой главы делится
на две части: в первой части строится так называемое «разбиение
единицы», с помощью которого доказывается ряд «теорем суще-
ствования», которые в конкретных примерах часто самоочевидны:
существование римановой метрики и связности па многообразии,
строгое обоснование общей формулы Стокса, существование глад-
кого вложепия компактного многообразия в евклидово простран-
ство, аппроксимация непрерывных функций и отображений глад-
кими, обоснование оператора усреднения форм и метрик по ком-
пактной группе преобразований.
Вторая часть, начинающаяся с так называемой леммы Сарда,
посвящена разработке точных представлений о «типичных» осо-
бенностях функций и отображений. Эта часть весьма полезна
в дальнейших конкретных топологических конструкциях и заслу-
живает того, чтобы читатель более внимательно ознакомился
с определениями и формулировками.
§ 8. Разбиение единицы и его применения
Мы будем в дальнейшем использовать следующие обозначе-
ния: C~(Af) —пространство гладких функций на гладком много-
образии М; sup(f(z)) —точная верхняя грань значений функции
/(z); supp(/(z))—носитель функции f(x), т. е. замыкание мно-
жества тех точек z, в которых f(x)=^ 0.
1. Разбиение единицы. Рассмотрим евклидово пространство
Лемма 1. Пусть А, В cr Rn — два непересекающихся подмно-
жества, причем А замкнуто и ограниченно, В замкнуто и
Ч. П1
§ 8. РАЗБИЕНИЕ ЕДИНИЦЫ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ
465
А (\В = 0. Тогда существует
С°°-функция ф(х) на Rrt та-
кая, что ф (х) = 1 на А и
ф(х) = 0наВ (рис. 57). При
этом всюду 0^ф(х)^1.
Доказательство. Пусть
Рис. 57
О < а < Ъ — два веществен-
ных числа. Рассмотрим на вещественной прямой R1 следующую
функцию:
/U) =
ехР (— TTtJ пРи а<х<&4
\ jt- {/ £, t4- /
О для остальных х.
Легко проверить, что /(х) — гладкая функция на R1 (проверьте!).
Г(х)
Рис. 5S
Рассмотрим функцию
Йх I ь
f (t)dt]K f(t)dt
/1а
(рис. 58). Ясно, что F(x)— гладкая функция и что
= 0 при х Ъ,
Л*)
= 1 при х а,
убывает от 1 до 0 при а^х^Ъ.
Рассмотрим теперь функцию ф(х) на R\ определенную фор-
мулой
ф (А ..., xn) = F ((х1)2 + ... + (xn)2) = F (2 (?)21
\г=1 /
Ясно, что ф(х)— гладкая функция на Rn и что
ф (х)
= 0 при г2 Ьъ
= 1 при г2 а,
убывает от 1 до 0 при а г2 Ъ.
Здесь г2 = 2 (**)2 (см- ₽ис- 59)- Ктак’ если S 111 5' —Две коп-
i=l
30 Б. А. Дубровин и др.
466
ГЛ. 2. СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ
[Ч. II
центрические сферы в Rn и S охватывает S\ то существует
гладкая функция гр(х) такая, что ip(^)s0 вне шара, ограничива-
емого 5, и 1 в шаре, ограничиваемом S'.
Теперь рассмотрим множества А и В (см. условие леммы).
Так как А компактно, то существует набор сфер _Sj (lCi^/тг)
таких, что соответствующие открытые шары Di (dDi = S»; черта
обозначает замыкание) составляют покрытие множества Л, т. е.
тп
A cz U Так как А П В = 0, то можно считать, что Di П В = 0
для любого L
Любую сферу S« можно уменьшить до сферы cz Si такой,
что набор сфер {Si} все еще порождает покрытие А, т, е. A cz
тп
с и Di.
1=1
Рассмотрим функции (х) е С°° (Rn) (гладкие функции на
Rn) такие, что
ipi (х) =
1 на
О вне D^
Положим ф (х) = 1 — JJ (1 — ipi (х)). Ясно, что ф (х) е С°° (Rn)t
i—1
ф(х)^1 на Л и ф(х)^0 на В. Лемма доказана.
Лемма' 2. Пусть С — компактное подмножество гладкого
многообразия М; пусть С <= V, где V — открытое подмножество М.
Тогда существует функция ф(х) такая, что 0^ф(х)^1
на М, ф (х) = 1 на С и ф (х) 0 вне V.
Эта лемма уже доказана нами для случая М = Rn (см. лем-
му 1). Обратимся к общему случаю. Пусть (J7O, фа) — локальная
карта на М, фа: Ua —Пусть Sa <= Ua— компактное подмно-
жество в Ua. Рассмотрим множество Фа(^а)с=Кп; это множество
открыто в R .
Ч. II]
g 8. РАЗБИЕНИЕ ЕДИНИЦЫ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ
467
В силу леммы 1 па множестве q>a(Ua) существует функция
такая, что /а(я)э1 на фа(5а) и что supp/a(;r) <=фа(£7а),
т. е. /а(£Лх) = О вне фа(С7а). Рассмотрим функцию Fa(P) на М:
F (Р\ _ (<Ра (Р)) при р s Ua*
а[ ,-1 0 при P<£Ua.
Яспо, что Fa С* (ЛГ), l на Sa, Fa^0 вне t7a. Теперь рас-
смотрим компактное подмножество С (см. выше), С <= V, V от-
крыто. В силу компактности С существует набор открытых коор-
динатных окрестностей С7Ь.UN и компактных множеств St, ...
/V N
..., SN таких, что С сг Ц Sa, Ua Sa, U UaczV. По доказан-
a=i a=i
ному ранее для каждого Ua существует функция Fa С°° (М)
такая, что F^ = 1 на Sa и Fa 0 вне Ua. Рассмотрим функцию
/у
F=i—ТТ (1 — Fa)- Тогда F =1 на С и F^O вне U Ua, в част-
<х=1 a
ности, F = 0 вне V. Лемма доказана.
Теорема 1 (существование «разбиения единицы»). Пусть
М—компактное гладкое многообразие; пусть {t/a} — произволь-
ное конечное покрытие многообразия М координатными областя-
ми (например, открытыми шарами).
Тогда существует набор функций уа(х)^Сж (М) таких, что:
1) supp фа <= Ua для любого а;
2) 1 > фа (х) > 0 для всех х^М\
3) 2 Фа (х) = 1 ®ля всех X М.
а
Доказательство. Рассмотрим систему {С7а), 1 a N.
Можно построить такую новую «уменьшенную» систему открытых
шаров {КД 1 что Уас:[7а и {Уа} по-прежнему является
покрытием многообразия М.
Рассмотрим пары (С7а, Ра). Согласно лемме 2 существуют
функции фа (я)е С°° (М) такие, что 0 фа 1 на М, фа 1 на 7а
и фа О вне 17а. Положим ф (х) = 2 фа (х): очевидно, ф <= С°° (М)
а=1
и ф(я) >0 для любого х <= М. Положим, далее, фа = фа/ф. Ясно,
что функции фа удовлетворяют условиям теоремы. Теорема до-
казана.
Система функций {фа(я)} называется разбиением единицы,
подчиненным покрытию {Ua}.
Замечание. Компактность многообразия М не является
обязательным ограничением. Как это видно, доказательство су-
ществования разбиения единицы дословно переносится на много-
образия, допускающие так называемые «локально конечные» по-
крытия (т. е. любая точка обладает окрестностью, пересекающей-
30*
4G3
ГЛ. 2. СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ФУНКЦИИ
(Ч. В
ся только с конечным числом областей покрытия). Напомним,что
хаусдорфово топологическое пространство называется параком-
пактным, если в любое его открытое покрытие можно вписать
локально конечное открытое покрытие. Таким образом, приведен-
ное нами доказательство существования разбиения единицы го-
дится для любого открытого многообразия, которое является па-
ракомпактиым хаусдорфовым пространством.
2. Простейшие применения разбиения единицы. Интеграл по
многообразию и формула Стокса. Теорема о существовании раз-
биения единицы на многообразии имеет полезные следствия. Ука-
жем некоторые из них. Для простоты предположим, что много-
образие компактно.
Следствие 1. Па любом компактном многообразии сущест-
вует риманова метрика.
Доказательство. Рассмотрим открытое покрытие {£7а},
1 < а С N, многообразия Л/ шарами 17а с локальными коорди-
натами (х«). В координатах(xi* . ..,х£) задаем, например, мет-
рику = баъ- Надо «склеить» между собой все построенные на
шарах Па метрики . По определению положим
/V
gab = S Sab (#) (^)«
а=1
где {фа} — разбиение единицы, подчиненное покрытию {LU.
Гладкость g очевидна. Так как гра(^) ^0 для любого х и так как
пространство римановых метрик образует выпуклый конус (т. е.
еслп gt, g2 — две римановы метрики и с, d — положительные чис-
ла, то и cgt + dgz — риманова метрика), то определенная нами
метрика (gab) является римановой.
Следствие 2. На любом компактном многообразии существ
вует риманова связность.
Это вытекает из следствия 1.
Аналогичным приемом определяется интеграл от внешней
формы со степени п = dim М по многообразию М. В каждой от-
дельной карте Ua с локальными координатами (х«, ..форма
со<п) степени п имеет вид
И(п) (х) = а12...п (х) dxa Д ... Д dxa,
интеграл от со<п) по области t7a определяется обычным образом:
J W(n) = J Я12...П (х) dXa Д . . . Д dxa.
иа
Для определения полного интеграла J со(Т1) следует «склеить»
мп
Ч II] § 8. РАЗБИЕНИЕ ЕДИНИЦЫ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ 409
между собой интегралы J со(п). По определению положим
Г Г / Л' \ N Г
J “(П> = J I 2 'фа (*) ) “<П) U) = 2j J фа“(п) (х).
Мп Мп \а=1 / иа
{Прп этом напомним, что Ара(х)^О вне С7«.) Здесь {лр«}—раз-
биение единицы.
Перейдем к другим примерам использования разбиения еди-
ницы.
Дадим строгое доказательство общей формулы Стокса.
Пусть DcrR71—ограниченная область с гладкой границей 3D.
Например, D может задаваться неравепством: /(х1, ..., хп) >0,
grad /Ьв #= 0, где х1, ..., хп — евклидовы координаты в Rn. Таким
образом, = 3D — гладкая гиперповерхность в Rn. Если в Rn
задапа ориентация, то фиксирован порядок координат х!, ..., хп
с точностью до четной перестановки. Это эквивалентно тому, что
фиксирован порядок векторов репера (еь ..., е„), который можно
гладко перемещать в Rn. Пусть п(Р) (где Р 3D) — впешняя нор-
маль к 3D. В окрестности любой точки Р е 3D можно ввести
локальные гладкие координаты у', ..., уп~*. Эти координаты
определяют ориентацию границы 3D; напомним, что эта ориен-
тация считается согласованной с ориентацией О, если репер
/—г, ——-,п(Р)| получается из репера (et, . . .т линейным
ду11 1 )
преобразованием с положительным детерминантом.
Теорема 2. Пусть со — внешняя дифференциальная форма
степени п— 1 на D. Тогда
J dco = J i* (со),
D dD
яде v. 3D D — вложение, г’(со) — ограничение формы со с D на
dD (определение см. в части I, § 22); ориентация на 3D согласо-
вана с ориентацией в D.
Замечание. Порядок координат х1, ..хп и у1, ..., уп~\
задаваемый ориентацией, необходим для вычисления интегралов
от форм.
Доказательство. Рассмотрим конечное покрытие области
D шарами С7а, 1 < а < N, достаточно малого радиуса и фиксиру-
ем координатные отображения ha: Bn—>Rn; ha(Bn) »Ua, где
Bn— стандартный шар в Йп, а отображение ha есть просто вве-
дение локальных координат в Ua. Пусть ж1, •.хп — фиксирован-
ные координаты в Вп.
Можно считать (это следует из теоремы о неявных функциях),
что покрытие Ша} устроено так: либо 3D П Ua == 0, либо
470
ГЛ. 2. СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ
[Ч. II
дБ П С7а =/= 0 и пересечение дБ П Ua определяется уравнением
хп = 0, где (я1, ..., хп) — локальные координаты в Ua.
Пусть {фа (х)} — разбиение единицы, подчиненное покрытшо
{С7а}, т. е.:
1) SUpp (фа) <= Ua. ДЛЯ ЛЮбоГО OCJ
2) фа (я) ^0 для любого Х<= U Ua;
а
3) 2фа(^} = 1 ДЛЯ Л10б0Г0 Х<= J Ua.
а а
Тогда
J i* (со) = s J 1’* (фа®)., J da = у J d (фасо).
dD а dD D а D
Следовательно, достаточно доказать, что для любого ос, 1 а jV
(N — число областей покрытия), выполнено равенство
J i* (фасо) =. J d (фаы).
dD D
Так как зпрр(фа)с= Ua, то зпрр(фа(о)с= Ua. Пусть х^, . —
локальные координаты в Ua\ запишем в этих координатах
п / \
фа^ = wa = 2 ( 1) (^) А • • • А^а А * * • A
ак(х)е С°° (D). Отсюда
daa = f2 ’ dxa /\ ... Л dx'a.
\k=l J'V, J
Случай 1. Ua П дБ — 0^ Тогда f i* (фа<^) = 0, так как фа s О
dD
па дБ. Так как Ua(} дБ = 0, то либо иа^Б, либо ?7ac:[Rn\ZL
Если t7ac:[Rn\£>, то Jd^ao)) =0, и формула Стокса доказана.
D
Пусть теперь t7a <= Б. Надо доказать, что d (фаю) = 0г т. е. что
D
Координаты (ха} позволяют отождествить Ua с шаром Вп cz
Продолжим выражение под интегралом
4. HJ
§ 8, РАЗБИЕНИЕ ЕДИНИЦЫ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ
471
па все пространство Rn нулем (у нас supp(afe)cz5T’). Пусть Сп =
= 1 к п} — куб в Rn такой, что Сп=>Вп\ число
2R — сторона куба Сп. Тогда
= 2 J (-!)“( j ... лйл ... №х”.
k=l —1 \ — R )
Далее,
= ± J {ah(xa, ...,Ха 1,Л,Ха+1, —
сп~1
-ah(4,..., x*-\-R, 4+\..4)1 dxla/\... Л^аЛ... Л^2=0,
так как ah (zi, ... , ± R, ..., а?а) = 0.
Итак, случай 1 полностью разобран.
Случай 2. Uа П dD =4= 0. Мы должны показать, что
i* (фа(о) = J й(фасо). Достаточно проверить, что J г* (соа) «
in D dDQUa
•= J d(oa. Запишем форму соа = фасо в координатах ...,
Ua
Ша= S ... Л^аЛ Adx2.
Л=1
i* (5«) = (- I)""1 ani* (dxi Л ... Л dx”-1),
f I* Ы = J (- l)n_h andxk dx”-1 =
6D QD
= J 7T Л »• • Л dxa.
D °xa
Как и в случае 1, заменяем область интегрирования шаром Вп
и продолжаем функции ah нулем на все Rn* Тогда
j d($a — j Л • • • Л dxat
вп СП а
472
ГЛ, 2. СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ
(Ч. [Г
где
[1, если О,
X (х) “ ' п л
Д если
Далее,
Р да j, 1 _
) T~k А • • • А
дх*
= f I f ... A&aA ... Л^ = Ог
^-Л-R дХ* J
если к Ф п, так как а*(г«, ...,R, ...,xj) —ал(х^, — Rt ...
. . ,, я£) = О. В случае к = п ситуация меняется:
(н \
Г"й j^a А • • • Л &х<*
J dx, I
-В * /
R
С дап п
Далее, I X—~dxa^an\dD (функция к(х) разрывна на dD). По-
•
— R а
b
следняя формула есть прямое следствие формулы J df(x) = f(b)—~
а
— f(a). Итак,
J d(Oa = J 1) 1 a±dxa Л • • • Л г
В71 <cu-l
что и требовалось. Случай 2 полностью разобран. Теорема дока-
зана. (Сп-1 всюду в этом доказательстве обозначает куб размер-
ности п — 1.)
Замечание. Прц„доказательстве была использована «согла-
сованность ориентации» области D и ее границы dD: дело в томг
ь
что при использовании формулы\df (х) = f(b) — /(а)следует иметь
a
в виду, что Ь>а, а это и дает направление внешней нормали
п(р) к dD; при изменении направления нормали интеграл изме-
нил бы знак. Функция ап(к) при фиксированных ^...jX^"1
устроена так, как показано на рис. 60.
Задача. Докажите формулу Стокса для компактных много-
образий с краем:
[ do) =» j
М дМ
(О.
Ч. П]
§ 8. РАЗБИЕНИЕ ЕДИНИЦЫ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ
473
Здесь дМ — край многообразия М, ориентация которого согласо-
вана с ориентацией самого многообразия (см. § 1, п. 3).
3. Инвариантные метрики. Существование разбиения единицы
позволяет доказывать существование римановых метрик (на мно-
гообразиях), инвариантных отно-
сительно действия компактных
групп преобразований. I
Рассмотрим сначала действие / ' [
конечной группы G на гладком / I
компактном связном замкнутом ти |
многообразии М. , ------oXfTIHil ' !1Шщ-->.
Теорема 3. На многообра- ^(Р)
зии М существует риманова мет- рцс G0
рика, инвариантная относитель-
но действия группы G.
Доказательство. Как было доказано выше, па М суще-
ствует некоторая римапова метрика gab (я). Искомую инвариант-
ную метрику построим из метрики gab (я) посредством усреднения
по группе G, Обозначим через <,>я скалярное умножение в Тх, по-
рожденное метрикой g^(я). Пусть W— порядок группы G. По-
строим па М повое скалярное умножение (,)х (а тем самым и но-
.вую риманову метрику), произведя «усреднение по группе»:
(а, Ь)х = у 2 <s (a), g (by>g(x)t
g^G
где ач b е Тх. Эта формула, очевидно, задает такое скалярное
произведение, что (g(a), g(b))g(x} — (a, b)x для любых х^М, a,
b<^Tx, g e G, t. e. (,)x задает риманову метрику, инвариантную
относительно действия группы G. Теорема доказана.
Аналогичная процедура приводит нас к римаповым метрикам,
инвариантным относительно действия непрерывных групп Ли.
Рассмотрим этот вопрос более подробно.
Пусть G — связная компактная группа Ли, и пусть t =
«(f,..tm) — локальные координаты па G в окрестности единипы.
Эти координаты порождают (например, с помощью правых сдви-
гов) локальные координаты в окрестности любой точки a G.
В силу гладкости умножения на G эта система окрестностей за-
даёт атлас (набор координатных окрестностей) на группе G. По-
этому можно считать, что координаты (i1, ..., tm) обслуживают
(с помощью правых сдвигов) все точки группы G.
Лемма 3. На группе Ли G существует элемент объема, ин-
вариантный относительно правых сдвигов и представимый в виде
dp (х) = Q dt1 Д ... Д dtmf где х е G, Q — постоянная, at1, ..tm—
локальные координаты в окрестности точки х, полученные пра-
вым сдвигом на х из системы координат в окрестности единицы.
Замечание. Иногда говорят, что такая дифференциальная
форма па G задает «правоиивариаптную меру» па G.
474
ГЛ. 2. СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ
[Ч. 1Г
Доказательство, Форму объема в единичной точке l^G
мы можем задать с помощью обычного определителя. Применяя
правые сдвиги, «разносим» эту форму по всей группе G. Един-
ственность (с точностью до постоянного множителя) следует из
того, что кососимметрический тензор ранга т в zn-мерном линей-
ном пространстве 7\ (G) определен однозначно с точностью до по-
стоянного множителя. Лемма доказана.
Существует стандартная символика, с помощью которой выра-
жают свойство правой инвариантности для меры йц(а): —
= 6/g(g) (замена переменных порождает умножение на якобиан
замены). Иногда свойство правой инвариантности меры dp.(a)
выражают в интегральных терминах:
j / (ggo dp (g) = (g) dp (g)t
G G
гДе fig)—произвольная функция на G, для которой этот инте-
грал существует.
Аналогично строится левоинвариантная мера на группе G.
Пусть теперь компактная группа Ли G гладко действует па
гладком многообразии М.
Теорема 4. На многообразии М существует риманова мет-
рика, инвариантная относительно группы G.
Замечание. Если G действует на М не транзитивно, то
таких инвариантных метрик на М будет, вообще говоря, много.
Доказательство. Построение искомой метрики копирует
уже описанную нами процедуру усреднения метрики но действию
конечной группы G. Рассмотрим на М какую-нибудь риманову
метрику gn&(x), и пусть < , >х — соответствующее ей скалярное
произведение в Тх. Построим на Л/ новое скалярное произведе-
ние (, )х в Тх (а тем самым и новую риманову метрику), поло-
жив по определению
(а, Ь^х = p^G) j g
G
где a, b Tx, dyc(g)—правоинвариантиая мера па G,
g G, g(G) — объем группы G. Ясно, что
(go («), go (b))goix) = J <ggo («)> ggo (&)>я?0(х/»1 (gg0) =
G
= Дё) (a)> g' (b^g’wdp (£') = (a, b)x,
т. e. построенная метрика инвариантна относительно действия G
па Л/. Теорема доказана.
*4. П]
§ 10. СВОЙСТВА ГЛАДКИХ ОТОБРАЖЕНИЙ МНОГООБРАЗИЙ
475
§ 9. Реализация компактных многообразий
как поверхностей в R v
Рассмотрим гладкие многообразия М и N размерностей п и р.
Напомним, что гладкое отображение /: М N называется погру-
жением, если ранг отображения df\x: Тх-+Тцх} при любом х
равен п. Это означает, что линейное отображение d/lx касатель-
ных пространств является вложением для всех х М; в частно-
сти, отсюда следует, что р > и. Из теоремы о неявных функциях
вытекает, что локально такое отображение / устанавливает диф-
феоморфизм между некоторой окрестностью U (х) точки х е М и
се образом f(U(x)) в многообразии N. Однако, «в целом» отобра-
жение / вовсе не обязано быть взаимно однозначным.
Погружение /: М -* N будем называть вложением, если / вза-
имно однозначно (т. е. устанавливает взаимно однозначное соот-
ветствие между М и /(Л/)).
Теорема. Любое компактное гладкое многообразие может
быть гладко вложено в Rn для достаточно большого N.
Доказательство. Зафиксируем конечное покрытие {J7J
многообразия М окрестностями, диффеоморфными Rn (п = dim М)
и для каждого а построим отображение фь М —> Sn cz Вп+\ наво-
рачивающее Ui на дополнение в Sn к одной точке и переводящее
M—Ui в эту точку. Ясно, что это отображение можно сделать
гладким и имеющим невырожденный дифференциал в точках
множества t7f. Отображения ф,-составляют отображение ф: М—
где N = (и + 1) к, к — число элементов покрытия:
ф(х) = (ф1(х), ф*(х)),
и это отображение является вложением. Действительно, диффе-
ренциал йхф мономорфен, потому что уже дифференциал йхфг- мо-
поморфеп, если x^Ui, ^алее, ф(я) =# ф(*/) при х =# г/, потому что
уже фг(я)^ фДу), если х^ Теорема доказана.
Верхнюю оценку на размерность объемлющего евклидова про-
странства можно свести к числу 2и+1. Более того, всякое ото-
бражение М -> R2n+l аппроксимируется гладким вложением
(см. ниже). При п = 1 этот факт наглядно очевиден.
§ 10. Некоторые свойства гладких отображений
многообразий
1. Аппроксимация непрерывных отображений гладкими. Дока-
жем сначала возможность аппроксимации непрерывных отобра-
жений гладкими. Рассмотрим для простоты непрерывные отобра-
жения /: М А, где М, N — связные гладкие компактные много-
образия без края. Как было доказано в предыдущих пунктах,
М и N можно считать римановыми многообразиями, в частности,
476
ГЛ. 2. СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ФУНКЦИЯ
[Ч. П
можно считать М и N метрическими пространствами; пусть р —
метрика (расстояние) па многообразии N.
Тогда можно ввести естественное понятие расстояния между
отображениями М в N, положив
Р (/, g) = max Р (/ (х), g (а;)).
х&М
Таким образом, непрерывные отображения М -> N для компакт-
ных М и N образуют метрическое пространство.
Воспользуемся теперь следующим фактом, известным из курса
анализа.
Предложение. Пусть f(x\ . .хп)—непрерывная функ-
ция на открытой области U cz Rn. Тогда для любого е > 0 и лю-
бого открытого множества V cz U такого, что V U, существует
функция g(x\ ..я71) такая, что: 1) функция g(x\ ..хп) явля-
ется гладкой на V; 2) gluw = /к\Г; 3) шах | / (х) — g (х) | е;
xev
4) функция g(xi, ..., хп) является гладкой во всех точках, где
была гладкой функция j(x\ ,.яп).
Доказательство мы опускаем. Докажем теперь следующую
важную аппроксимационную теорему.
Теорема 1. Любое непрерывное отображение f: М N мож-
но сколь угодно близко аппроксимировать гладкими отображения-
ми: для любого е > 0 существует такое гладкое отображение
g: М -> N, что р (/, g) < е.
Доказательство. Пусть U <= N — открытое подмножество,
гомеоморфное области V, V cz (dim2V== п); пусть <р; U V —
соответствующий гомеоморфизм (например, в качестве U можно
взять любую координатную окрестность гладкого многообразия NY
Рис. 61
а в качестве ср — соответствующее координатное отображение).
Пусть РИсзП/сзУсз Положим W" = ср"1 (И7), S" —
₽=(р’1(5),_Г = ГЧ^)2_Пг' = /-1(1У'/), S' = /-'(S") (см. рис. 61).
Так как S" <= W" <= W" <= U, то существует положительное ц < е
такое, что p(W", N\U)>3]>0, p(S", N\W" ) > ц > 0. Согласно
сформулированному выше предложению существует такое непре-
рывное отображение g: V' -> Rnx гладкое на 5' и во всех точках,
Ч. II]
§ 10. СВОЙСТВА ГЛАДКИХ ОТОБРАЖЕНИЙ МНОГООБРАЗИЙ
477
где было гладко /, что# w = (ф°/) |r'\w' и р(/, ф-1°#) т] <
< е. Тогда (ф“1 ° g) V' <= U. Таким образом, мы получили отобра-
жение g' = ф-1 ° g: V' -* С7, гладкое на S' <= М. В то же время
можно считать (см. выше), что g* |vt/\xv' = а потому g'
можно непрерывно продолжить на все многообразие М, положив
/ = # па п g = g' на V'. Таким образом, построено непре-
рывное отображение #: М ДТ, гладкое на S' и во всех точках,
где было гладко /, такое, что р(/, #)<е. Покрывая многообразие
М открытыми областями, гомеоморфными областям в Л/, и повто-
ряя описанный выше процесс достаточное число раз, получаем
утверждение теоремы.
Замечание 1. Из доказательства теоремы виден локальный
характер аппроксимации: отображение / последовательно аппрок-
симируется гладким на картах многообразия Л/. Поэтому, если
отображение / было уже гладким на открытой области С7, U М,
то для любого замкнутого множества V <= U можно считать, что
/ — g на 7.
Замечание 2. В дальнейшем мы покажем, что если М, N —
гладкие связные замкнутые многообразия, то существует е0 > О
такое, что из неравенства р(/, #)<е0 (где /, #: М N — два не-
прерывных отображения) следует, что / и g гомотопны. В част-
ности, в доказанной выше теореме можно считать, что гладкое
отображение g, аппроксимирующее /, гомотопно / (определение
гомотопии см. ниже).
2. Теорема Сарда. Рассмотрим гладкое отображение /: М /V.
Пусть С = £(/)<= М — множество таких М, что дифференциал
dfx: Тх-+ТЦх} имеет ранг, меньший n = dim7V. Множество С^М
будем называть множеством критических точек отображения /,
/(С)— множеством критических значений отображения /.
Напомним определение множества меры нуль. Говорят, что
множество В cz имеет (n-мерную) меру нуль, если для любо-
го е > О множество В можно покрыть счетным числом п-мерных
кубов таких, что их суммарный объем меньше е. Из курса анали-
за известно, что дополнение Rn\5— всюду плотное множество
в Rn. Это определение распространяется па подмножества п-мер-
ных многообразий: множество В N имеет меру нуль, если для
любого координатного отображения ф: U -где U — открытое
множество в 7V, образ ф(С7 П5) имеет’меру пуль в
Теорема 2 (Сард). Пусть f: М N — гладкое (класса С°°)
отображение гладкого многообразия М в гладкое многообразие N.
Тогда множество критических значений f(C) имеет меру нуль в N.
Доказательство. Очевидно, достаточно доказать эту тео-
рему в следующей формулировке: пусть/: [7->-5?п— гладкое ото-
бражение, где U — открытое множество в R"1; тогда мера мно-
жества /(С) равна нулю. Доказательство проведем индукцией по
478
ГЛ. 2. СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ
[Ч. и
размерности т. При тв 0 и при п = О утверждение очевидно;
поэтому будет считать, что тп, п > 1.
Обозначим через подмножество области £7, составленное из
таких х, что все частные производные от / порядка Ci равны
нулю в точке х. Получаем убывающую последовательность замк-
нутых множеств: С С\ => С2...
Лемма 1. Мера множества f(C\C\) равна нулю.
Доказательство. Можно считать, что п > 2, так как С =
*= Cj при п = 1. Нам потребуется следующий частный случай
теоремы Фубини (доказательство см. в курсе анализа): множест-
во A cz Rn = R^-xR71-1 имеет n-мерную меру нуль, если оно
пересекается с каждой гиперплоскостью ^xRn-1 (q е R1) по мно-
жеству (п — 1) -мерной меры нуль.
Пусть х'^С\С\. Мы укажем такую открытую окрестность
V cz R7", что множество f(V ПС) имеет меру нуль. Так как С\С\
можно покрыть счетным числом таких окрестностей, то отсюда
получим, что и вся разность С\С\ имеет меру нуль.
Так как х' & Сто по крайней мере одна из частных производ-
ных, например
дх^‘
отлична от нуля в точке х'. Определим ото-
бражение h: U формулой Л(л:) = (/1(л:), х2, хт). Так как
ранг g отображения dhx равен тп, то h — диффеоморфизм некото-
рой открытой окрестности V =V(x')^U точки х' на некоторую
открытую окрестность V' точки h(x'). Рассмотрим композицию
gat°h~*: V'-^Rn. Множество С1 критических точек отображе-
ния g совпадает с Л(РПС'), т. е. g(C') = f(V П С) есть множество
критических значений для g (рис. 62).
Каждая точка (i, a:2, ..., хт)^ V' переходит при отображении
g в точку g(i, х21 ..хт) гиперплоскости Отсюда полу-
чаем, что g переводит гиперплоскости в Vе в гиперплоскости в
Rn. (Впрочем, можно было бы не вводить диффеоморфизм h и
работать непосредственно с криволинейными гиперповерхностями.)
Рассмотрим семейство гладких отображений (ixRm-1) П
n T' —> t xR"-1. Точка a e ixRm-1 является критической точкой
Ч. II]
§ 10- СВОЙСТВА ГЛАДКИХ ОТОБРАЖЕНИЙ МНОГООБРАЗИЙ
479
отображения g‘ тогда и только тогда, когда а есть критическая
точка отображения g. В самом деле,
0 \
дх}/
В силу предположения индукции мера множества критических
значений отображения g‘ имеет меру нуль в txR”'1. Следова-
тельно, мера пересечения g (С') П (t х Кп-1) равна нулю при
всех t, и из теоремы Фубини следует, что g(C') имеет меру нуль,
что и требовалось доказать.
Лемма 2. Мера множества Ci\Ci+i равна нулю при
Доказательство. Рассуждения частично аналогичны схе-
ме доказательства леммы 1. Пусть х' ^С{\С<+1, т. е. в этой точке
все частные производные координатных функций отображения /
порядка равны нулю и существует набор индексов г; s2, ...
di+1/r z
. . Siu., такой, что ----#=0 в точке х . Обозначим через
’ 1+1 ’ ОХ ...ох
51 ®г+1
дЧт
W функцию -д------ч-----. Тогда
52 4+1
Ж(х') = 0;^- =^0.
51 х'
Можно считать, что st = 1. Определим отображение h: U
формулой h(x) = (W(x), х2, ..хп). Тогда h — диффеоморфизм
некоторой окрестности V точки х на некоторое окрытое множе-
ство V' cz Rm. Рассмотрим образ множества Ct П V при отображе-
нии h. Так как в качестве координаты W(x) взята одна из про-
изводных i-ro порядка, то множество h(C{H V), в точках которого
все такие производные равны нулю, содержится в гиперплоскости
Ж(х) = 0. Итак, h отображает Ci П V в 0xRm“\
Как и в лемме 1, рассмотрим композицию g = У'->К
и ее ограничение gf\ (ОхВ?771”1) П V' ->Rn. В силу предположе-
ния индукции мера множества критических значений для g' рав-
на нулю. Далее, любая точка множества й(С<ПУ) является кри-
тической для g', так как в этих точках все производные порядка
< i равны нулю (в частности, ранг / меньше п). Итак, мера мно-
жества g' ° h (Ci П У) =/(Ct П У) равна нулю в Rn. Покрывая
Ci\Ci+i счетным числом таких окрестностей У, мы и получаем
утверждение леммы.
Второй шаг отличался от первого шага тем, что в лемме 1 мы
пе могли, вообще говоря, поместить множество С в гиперплос-
480
ГЛ. 2. СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ
[Ч. II
кость 0xRm У, так как определение множества С как множества,
где ранг / меньше п, не позволяет выделить никакой гиперплос-
кости, как в лемме 2.
Лемма 3. Мера множества f(Ck} равна нулю при достаточно
большом к.
Доказательство. Покроем (\ счетным числом кубов с
ребром б, где б достаточно мало. Возьмем один из этих кубов
и покажем, что мера множества f(Cfc(Wm) равна нулю.
Из определения Cfc и формулы Тейлора получаем: /(х + й) =
«/(х) + Я(х, й), где НЯ(х, й)Н а • Нй11А+1; x^Cft, x + h^Im.
Постоянная а зависит только от / и /т. Разделим 1™ па г™ кубов
с ребром б/r. Обозначим через Ц куб разбиения, содержащий
точку Любая точка куба Д имеет вид х + й, где Нй11 <
-(б/r). Следовательно, /(Д) лежит в кубе с ребром а/т*+*
с центром в точке /(х), где а = 2а(Уягб)А+1. Тогда /(СЛПГ1) со-
держится в объединении rm кубов разбиения, имеющих суммар-
ный объем ^rm(a/rA+1)n = anr'n’n(A+1). Если к +1> m/п, то этот
объем стремится к пулю при г-> ©о. Лемма доказана.
Сопоставляя леммы 1, 2, 3, мы получаем утверждение теоре-
мы Сарда.
Следствие 1. Множество N\f(C) (где /: МN— гладкое
отображение, а С — множество критических точек\ всюду плот-
но в N,
Следствие 2. Если /: М N — гладкое отображение и
dim М< dim N, то мера множества f(M) равна нулю в N. В ча-
стности, образ f(M) не заполняет все N.
Ниже мы применим теорему Сарда к доказательству теорем
Уитни о вложении и погружении гладких многообразии.
Определение 1. Точку х^ М назовем регулярной для
гладкого отображения /: М N, если она пе является критиче-
ской, т. е. если ранг отображения dfx равен п = dim N. Точку
g^N назовем правильным (регулярным) значением гладкого ото-
бражения /: M^N, если все ее прообразы — регулярные точки
в М (если /“'(Z/)33^ то точка у также является правильным
значением). Если у есть правильное значение отображения /, то
само отображение / называют правильным по отношению к
точке у.
Таким образом, дополнение в М к множеству регулярных то-
чек совпадает с множеством критических точек отображения /,
а дополнение в N к множеству правильных значений совпадает
с множеством критических значений отображения /.
Напомним, что если /: М N — гладкое отображение и у е
— правильное значение, то /“‘(Z/)—гладкое подмногообразие
ъ М (это следует из теоремы о неявной функции).
Для дальнейшего нам будет полезно следующее утверждение,
которое легко выводится из теоремы Сарда.
ч. щ
§ 10. СВОЙСТВА ГЛАДКИХ ОТОБРАЖЕНИЙ МНОГООБРАЗИЙ 481
Следствие. Множество гладких отображений f: М N, для
которых у е N — правильное значение, всюду плотно в простран-
стве всех гладких отображений.
Доказательство. Надо доказать, что сколь угодно близко
от отображения / найдется гладкое отображение g: М -► N, для
которого y^N — правильное значение. В силу теремы Сарда мно-
жество регулярных значений отображения /: М -► N всюду плот-
но в N. т. е. в любой открытой окрестности U N точки у най-
дется регулярное значение у' для /. Предположим, что U диф-
феоморфно диску Dn. и рассмотрим координатное отображение
ср: U^Dn; положим z = (p(y), z'Тогда существует диф-
феоморфизм h: Dn -> Dn. тождественный вблизи границы диска
и такой, что h(z)~z и |A(0 — d < е = p(z, z') при t^D\ Пост-
роим, далее, соответствующий диффеоморфизм h': N^N и поло-
жим g = hf ° /; очевидно, у — регулярное значение для g.
Для дальнейшего нам потребуется несколько более сильное
утверждение, чем предыдущее следствие. А именно: построенный
выше диффеоморфизм можно выбрать таким образом,
что отображение g = hf ° / будет близко к / не только в прежнем
смысле (т. е. jp(/, g) = max\f{x) — g(x)l < e), но и будет близко
к / вместе со всеми первыми производными. Доказательство су-
ществования такого диффеоморфизма оставляем читателю в каче-
стве упражнения.
3. Трансверсальная регулярность. Перейдем к изучению важ-
ного понятия ^-регулярности (трансверсальной регулярности).
Определение 2. Пусть Р <= N— гладкое подмногообразие
коразмерности к (коразмерность по определению есть dimTV —
— dim Р) гладкого многообразия N и /: М -* N — гладкое отобра-
жение, Отображение / называется трансверсально регулярным
вдоль Р, если ранг отображения df: Тх-+ Tf[x}N/Tf[x}P равен к
(ранг df равен к по модулю векторов, касательных к Р). Иначе
говоря, подпространства df(Tx) и порождают все касатель-
ное пространство Tf(x}N\ как говорят, «образ f(M) трансверсалей
К Р в точке f(x)» (рис. 63).
Отметим важное свойство ^-регулярных отображений: полный
прообраз {~*(Р)<=М является гладким подмногообразием в М той
31 Б. А. Дубровин и др.
482
ГЛ. 2. СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ
[Ч. II
же коразмерности Аг, т. е. размерности — п+(т + р), где п =
= dim N, тп = dim М, р = dim Р. Доказательство следует из тео-
ремы о неявной функции.
Теорема 3. Пусть М, N Р — гладкие многообразия. Тогда
множество отображений g: М N, t-регулярных вдоль Р, всюду
плотно в пространстве всех гладких отображений /: М N, т. е.
в любой окрестности произвольно гладкого отображения сущест-
вует t-регулярное вдоль Р отображение.
Доказательство. Пусть дано отображение /: М N*
требуется доказать, что сколь угодно близко от j найдется отобра-
жение g, ^регулярное вдоль Р. Отметим сначала следующее
утверждение, непосредственно вытекающее из определения £-ре-
гулярпости.
Пусть /: МN — гладкое отображение, х^М\ U — открытая
окрестность точки х в Л/, V — открытая окрестность точки f(x)
в N; предположим, что отображение /: U V ^-регулярно вдоль
Р с N(P И V с V); тогда это свойство выполнено и для гладких
отображений, достаточно близких к / вместе со всеми первыми
производными.
Из этого замечания следует, что утверждение теоремы доста-
точно доказать локально, т. е. достаточно рассмотреть случай
U = Rm, V = B?n; Р = Rp cz Rn; тогда / можно записать в виде
/(хь . .., Хгп) = (/1(х), /Р(х), /р+1(х), ..., /п(х)). в этой запи-
си f-регулярность / вдоль Р эквивалентна утверждению, что для
отображения a: Rm-*!Rn~p, определяемого формулой а(х) =
= (/P+i(x), ..., /п(х)), точка 0 является регулярным значением.
По доказанному ранее множество отображений, для которых О
есть регулярное значение, всюду плотно в пространстве всех
гладких отображений, т. е. существуют гладкие функции gP+1, ...
..., gn, задающие отображение a': R™—>Rn“p, близкое к отобра-
жению а вместе со всеми первыми производными (см. следствие
выше) и такое, что отображение
....= (/•(*), •••, /р(*), gp+l(*).....gn{x))
f-регулярно вдоль Р. Если исходное отображение /: G?"*—>
было ^-регулярно вдоль Р около границы dV, то, взяв гладкую
функцию
(О на dVf
^11 на К,
где К с V — компактное множество, мы можем положить р =
=/(1 “<р) + ф-g. Ясно, что р(х) f-регулярно вдоль Р и р(х)^
^/(х) на дУ; p(x)^g(x) на К. Здесь мы использовали то, что
отображения / и g близки не только в том смысле, что р (/, g) =
= max ] / (х) — g (х) [ < но близки также и все их первые произ-
(х)
Ч. II]
g 10. СВОЙСТВА гладких отображении многообразий
483
водные. Эта близость обеспечивает ^-регулярность отображения
/(1 — <p) + <pg = / + <p(/ —g) около границы V в силу малости са-
мого возмущения ф(/ — я) и малости производных этого возмуще-
ния около границы V. Теорема доказана.
Понятие ^-регулярности позволяет ввести важное понятие
трансверсально пересекающихся подмногообразий. Пусть М и Р —
два гладких подмногообразия гладкого многообразия У. Будем
говорить, что М и Р пересекаются трансверсально, если включе-
ние iM\ М -* N ^-регулярно вдоль Р. Это означает, что в каждой
точке х пересечения М П Р касательные пространства ТХМ и ТХР
порождают все TXN. Отношение трансверсальности пересечения
симметрично, т. е. в приведенном выше определении можно было
бы вместо 1м рассмотреть включение iP: РN (проверьте!).
Пересечение М ЯР двух трансверсально пересекающихся под-
многообразий является гладким подмногообразием.
Доказанная выше теорема Сарда (и следствие из нее) пока-
зывает, что трансверсально регулярных отображений настолько
много, что их можно обнаружить в сколь угодно малой окрестно-
сти любого гладкого отображения; в этом смысле ^-регулярные
отображения «типичны». Теорема Сарда позволяет путем сколь
угодно малых шевелений исходного отображения (в классе всех
гладких отображений) привести его «в общее положение» (сде-
лать ^-регулярным). Теоремы такого сорта являются обоснования-
ми, как говорят, приведения в общее положение.
Замечание. В проведенных нами до сих пор конструкциях
«малые шевеления» осуществлялись в классе всех гладких ото-
бражений. Однако иногда бывает полезно приводить отображение
в общее положение только с помощью вариаций (шевелений) из
довольно узкого класса. Полезна также следующая
Теорема 4. Пусть А, М, N, Р — гладкие многообразия, при-
чем Р — подмногообразие многообразия N, и пусть f: А X М N —
гладкое отображение, t-регулярное вдоль Р, Тогда множество
всех точек а^А, для которых fa = f(o,, х): М -*• N t-регулярно
вдоль Ру всюду плотно в А.
Замечание. Многообразие А можно рассматривать как
«многообразие параметров», с помощью которых может осущест-
вляться приведение исходного отображения /(л0, х): М N в об-
щее положение.
Доказательство теоремы 4. Пусть /: А X М -> N t-pe~
гулярно вдоль Р; рассмотрим Q = (Р) ^АХМ. Если слой
аХМ пересекает Q трансверсально, то Т(А X М) = Т (Q) ® Я,
где Я<= Т\а X М) (рис. 64).
Отсюда следует, что dj отображает Я на плоскость, дополняю-
щую Т{Р) до T(N) в T(N), т. е. f(a, *) ^-регулярно вдоль Р.
Верно и обратное: если /(а, *) ^-регулярно вдоль Р, то подмно-
гообразия а X М и Q пересекаются трансверсально. Наконец,
аХИ пересекает Q трансверсально тогда и только тогда, когда
51*
4Ы
ГЛ. 2. СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ
(Ч. II
при ограничении проекции р: АХМ-+А па подмногообразие Q
точка а&А является регулярным значением проекции р: Q-+A.
В силу теоремы Сарда множество таких точек всюду плотно в Л.
Теорема доказана.
Из теоремы 4 извлекаются полезные следствия. Пусть, напри-
мер, /: М 2V — гладкое отображение. Дадим новое описание
множества регулярных значений для / в N. Рассмотрим отобра-
жение F: MXN WX2V, где F(x, i/) = (/(x), у). Легко видеть,
что п е N является регулярным значением для / тогда и только
тогда, когда отображение F(x, у) ; М X N -* N X N ^-регулярно
вдоль диагонали А <= N X N. Следовательно, в силу теоремы 4
множество регулярных значений п N всюду плотно в N.
Замечание. Важный случай трансверсального пересече-
ния— случай, когда подмногообразия М и Р имеют в многообра-
зии N дополнительные размерности, т. е. когда т + р = п, где
т = dim М, р = dim Р, п = dim TV. Тогда эти подмногообразия пере-
секаются по отдельным изолированным точкам. Если же т + р <
< п, то приведением подмногообразий М и Р в общее положение
можно добиться устранения их пересечений—«развести» М и
Р в N.
4. Функции Морса. Выше мы ввели для гладких отображений
/: М -* N важное понятие критических точек. Рассмотрим частный
случай, когда N = О?1 — вещественная прямая. В этом случае ото-
бражение / можно интерпретировать как гладкую скалярную
функцию на М, так как dim = 1, то точка х^М явля-
ется критической (т, е. ранг df* меньше 1) тогда и только тогда,
когда d/* = 0. Критические точки х гладкой скалярной функции
а/
fix) на М находятся из системы уравнений —г = 0,
дх1
т. е. gradf(z) = O (это было очевидно заранее).
Определение 3. Критическая точка х^М гладкой функ-
дни j(z) называется невырожденной, если матрица I j I не
ч. II]
§ 10. СВОЙСТВА ГЛАДКИХ ОТОБРАЖЕНИЙ МНОГООБРАЗИЙ 485
вырождена. Функция / на многообразии М называется функцией
Морса, если все ее критические точки не вырождены.
Замечание. Определение невырожденной критической точ-
ки корректно в том смысле, что свойство невырожденности матри-
/52/ (т )\
цы билинейной формы I —?—f I (эта матрица называется гесси-
аном функции / в точке х0) не зависит от выбора локальной си-
стемы координат в окрестности критической точки х0. Можно
трактовать d2f как симметричную билинейную форму на ТХ(М),
Пусть а, b <= ТХо(Му, включим векторы а и Ь в гладкие локаль-
ные (в окрестности точки х0) векторные поля А и В соответствен-
но и положим d2f{a, b) = дАдв (/)Х(Р где через ds(f) обозначена
производная от / по направлению векторного поля В. Легко ви-
деть, что форма d2f симметрична и ее матрица относительно бази-
9 9 Ф (д2КХь)\
м »> - и.....да -»«’»«(^5?)
Определение 4. Индексом невырожденной критической
точки х0 для функции f называется максимальная размерность
подпространств V cz TXq (М), на которых гессиан d2f отрицатель-
но определен (т. е. число отрицательных квадратов после приве-
дения d2f к диагональному виду).
Возникает естественный вопрос: существуют ли на многообра-
зии функции Морса и как много их? Например, будут ли они
всюду плотны в пространстве всех гладких функций на много-
образии А/? Ответ на оба вопроса положительный; мы извлечем
его из теоремы 5. Тем самым мы продемонстрируем, что суще-
ствование и всюду плотность функций Морса является фактом
«общего положения», т. е. эти функции «типичны» в простран-
стве всех гладких функций.
Теорема 5. 1) На любом гладком компактном многообразии
существуют функции Морса, 2) Функции Морса всюду плотны
в пространстве всех гладких функций на многообразии, 3) Каж-
дая функция Морса имеет на компактном многообразии только
конечное число критических точек (в частности, все они изолиро-
ваны) Xt, ,.., xN, 4) Существует всюду плотное подмножество R
в множестве функций Морса такое, что у любой функции f^R
каждому ее критическому значению отвечает только одна крити-
ческая точка на М (т. е. f(xi)^f(xj), если i=£j).
Доказательство. Для компактного многообразия М изо-
лированность (и, следовательно, конечность) невырожденных кри-
тических точек очевидна из определения невырожденности d2f
(см. выше). Рассмотрим теперь произвольную гладкую функцию
/ на М; докажем, что сколь угодно близко от / найдется функция
Морса g (близость понимается в пространстве гладких функций
на М). Для этого нужно рассмотреть «шевеления» (возмущения)
486
ГЛ. 2. СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ
[Ч. II
функции / и обнаружить среди этих возмущенных функций функ-
цию Морса.
Рассмотрим отображение af: М-+Т*М, определенное форму-
лой а/(х) = й/я, Здесь через Т*М обозначено пространство кокаса-
тельного расслоения к многообразию Л/, т. е. 2?п-мерное гладкое
многообразие, точками которого являются пары (я, £), где £ —
ковектор, т. еД е Тх М. Линейный функционал dfx: Тх (М) К1
принадлежит Тх (М). Включим отображение af в «-параметриче-
ское семейство отображений Л, являющихся возмущениями ото-
бражения а/. Для этого покроем М конечным числом открытых
шаров {Z7J, 1 / С fc, и каждый шар включим в больший шар Vh
так что Uj <= V/. На каждом Vj построим набор йз ш линейных
независимых функций [ly. (я), . ..> (я)}; например, в качест-
ве таких функций можно взять локальные координаты на шаре
Vj. Для каждой пары (V;, £^)_построим гладкую функцию фу (я)
па М такую, что фДя)^ 1 на Uh фД#)^0 вне Vj и 0=Сф;(£)<1
в Vj\Z7j (существование таких функций нами доказано выше).
Продолжим функции гладко на все многообразие Л/, поло-
жив ly. (х) — Ivj (х) ф, (х). Рассмотрим линейное пространство А
гладких функций на М следующего вида:
/ (z) + S av ~liVj (х) <Pj (х) = g (х, а).
Vj,i 3 3
Здесь /(я) — исходная функция, агу-—вещественные числа. Ко-
ординатами в этом линейном пространстве А служат числа ау-.
Ясно, что dim Л = m/г, где к — число эле-
ментов открытого покрытия многообразия М. Рассмотрим отобра-
жение ф: А X М -> положив ф (g, х) — dgx е Тх М. Очевидно,
что ф — гладкое отображение. Выделим в многообразии Т*М
m-мерное подмногообразие Р = {(я, 0)}, х^М, диффеоморфное
М (так называемое «нулевое сечение кокасательного расслое-
ния»), Мы утверждаем, что отображение ф гладкого многообразия
А X М i-регулярно вдоль Р. Для доказательства достаточно убе-
диться в том, что при проекции лх: 7\Xj0) (Г*М) Тх М образ
плоскости йф7\х, о (А X М) эпиморфно накрывает ТХМ (рис. 65).
Но это очевидно из построения многообразия А: линейные возму-
щения 1(х) функции f(x) накрывают своими градиентами всю
плоскость ТХМ, поскольку все они были выбраны линейно неза-
висимыми в каждом шаре Vj. В силу теоремы 4 свойством ^регу-
лярности будут обладать тогда и почти все индивидуальные ото-
бражения ф(а0, х): М-+Т*М (при фиксированных а0). Более то-
го (см. теорему 4), отсюда следует, что сколь угодно близко
к исходному отображению а/: М-+Т*М (имеющему вид «/(#) =
4. in
§ 10. СВОЙСТВА ГЛАДКИХ ОТОБРАЖЕНИЙ МНОГООБРАЗИЙ 487
₽ф(0, х) и соответствующему нулевым значениям параметров
найдется отображение ip(g, х) = dgx = аб(я), ^-регулярное
вдоль Р (нулевого сечения Т*^). Итак, мы нашли функцию g(x)
на М (малое возмущение функции / с помощью линейных функ-
ций) такую, что ag: М-+Т*М ^-регулярно вдоль Р (рис. 66).
Рассмотрим пересечение af(2H)AP. Ясно, что Оно состоит в
точности из критических точек функции g{dgx^Q)t Далее, кри-
тическая точка х0 е М является невырожденной для функции
g(x) тогда и только тогда, когда ag(M) и Р пересекаются транс-
версально в этой точке (яо, 0)еР. В самом деле, условие транс-
версальности Р и в точке (х^ 0) означает, что проекция
касательной плоскости к ag(M) в точке (я0, 0) на плоскость
TXqM (трансверсальную к Р в Т*М) является изоморфизмом и
совпадает с гессианом функции g. Изоморфность этой проекции и
невырожденность гессиана, таким образом, эквивалентны.
Итак, нами доказаны как существование, так и всюду плот-
ность функций Морса. Осталось доказать всюду плотность таких
функций Морса, у которых на каждом критическом уровне (т. е.
на каждом прообразе критического значения) находится ровно
одна критическая точка.
Рассмотрим произвольную функцию Морса j(x) на Л/, и пусть
хь ..., хх — ее критические точки. Предположим, что функция
f(x) на М принимает значения, лежащие между 0 и J. Пусть
С7, W — две открытые_окрестности точки xt такие, что U cz W, W
компактно и что xi&W при i > 1. Построим на М гладкую функ-
488
ГЛ. 2. СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ
[Ч. И
цию Х(х) такую, что Xs! на Z7, X 0 вне VKnO^X^lHa W\U.
Можно считать, что на М задана риманова метрика; выберем две
постоянные а и Ъ такие, чтобы на компактном множестве
suppX Л supp(l — Х)= К выполнялись неравенства lgrad/1,
Igrad XI Ъ. Возьмем положительное ц <а/&, не равное ни одной
из разностей /(х<) —/(xj. Тогда /1=-/4-цХ есть функция Морса
такая, что /i(#<)^ М^), i>l, и критические точки у f и у fi
одни и те же. В самом деле, на К выполнено соотношение
Igrad (/+ цХ) I > Igrad /I — |ц grad Х| > а — цЬ > 0.
Ясно, что IgradXI =0 вне К, т. е. там Igrad fj = Igrad/I; в окре-
стности U имеем /1 = / + ц (сдвиг на постоянную).
Продолжая это построение для всех критических точек, полу-
чаем доказательство последнего утверждения теоремы. Теорема
доказана.
§ И. Применения теоремы Сарда
1. Существование вложений и погружений. Выше мы доказа-
ли возможность вложения любого связного гладкого компактного
замкнутого многообразия М в евклидово пространство RN, где
N — достаточно большое число. Сейчас мы докажем так на-
зываемую «слабую теорему Уитни».
Теорема 1 (Уитни). Любое связное гладкое замкнутое
п-мерное многообразие М можно гладко вложить в R2n+1 и по-
грузить в R2n. Всякое непрерывное отображение R2n+1
(Л/-* R2n) аппроксимируется гладким вложением (погружением).
Доказательство. Рассмотрим любое гладкое вложение
М~> RN (см. § 9). Идея доказательства состоит в последователь-
ном проектировании вложенного многообразия М аг RN на гипер-
плоскости; на каждом шаге будем понижать размерность объем-
лющего пространства на единицу. Фиксируем в RN начало коор-
динат О и рассмотрим пучок прямых, проходящих через О\ эти
прямые составляют проективное пространство (R-P^1. Каждой
прямой I е R-PN~1 поставим в соответствие ортогональную проек-
цию л, пространства Rn на гиперплоскость R^~13! ортогональ-
ную I и проходящую через О.
Наша цель: выбрать такую прямую Z, чтобы проекция щ(2И)
по-прежнему оставалась гладким подмногообразием в R^”1. Вы-
ясним сначала вопрос о погружении М. Нас удовлетворит любая
проекция вида лг, для которой дифференциал йлг: ТХМ -> R^”1
ни при каком х М не имеет ненулевого ядра. Те направления
для которых йщ имеет ненулевое ядро, назовем запре-
щенными направлениями первого типа. Например, при проекти-
4. HI
§11. ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРЕМЫ САРДА
489
ровании гладкой кривой ус R3 на двумерную плоскость R2
вдоль запрещенного направления возникает особенность, обычно
называемая «клювом» (рис. 67).
Ясно, что запрещенными являются те и только те направле-
ния I е RP/V-\ для которых существует точка х^М такая, что
1^ТХМ после подходящего параллельного переноса (рис. 68).
Рис. 68
Множество всех запрещенных направлений образует (2n—1)-
мерное гладкое многообразие Q, точками которого являются пары
(х, Z), где х^М, Z — прямая (из RP77-1), параллельная прямой,
лежащей в ТхМ. Точка х М задается п параметрами, а прямая I
задается п — 1 параметром: 2n — l = n + (n — 1). (Докажите, что
Q — гладкое многообразие!) Построим отображение a: Q ->RPiV
положив а(х, Z)=Z. Очевидно, а((?) и есть множество всех запре-
щенных направлений. Так как исходное вложение М cz RiV гладко,
то и отображение а гладко. В силу леммы Сарда (N — 1)-мерная
мера множества a(Q) равна нулю, если N— 1>2п — 1, т. е.
2n<N. В частности, множество a(Q) всех запрещенных направ-
лений в RP77-1 не покрывает все многообразие RP77”1 и сущест-
вует Zo^a(0. Осуществив ортогональную проекцию Л/: М—>•
“>R^-1, получаем гладкое погружение М в R^-1 (если 2n<W).
Ясно, что это рассуждение пройдет и в случае, если с самого на-
чала М было не вложено, а погружено в R77. Поэтому описанную
процедуру проектирования можно применить и к полученному
погружению Af-^R^-1 и вообще продолжать до тех пор, пока
2n < W — /с, где число к указывает номер проектирования. Послед-
ним шагом будет тот, на котором 2V —/с = 2n + 1; тогда мы мо-
жем осуществить последнее проектирование Л/о: Af->R2n, после
чего процедура проектирования прекращается. Тем самым часть
теоремы Уитни, относящаяся к возможности погружения М в
R2n, доказана. Перейдем к вложениям.
Теперь нам нужно гарантировать отсутствие самопересечений
у проекции пДЛГ) в-Rf”1. Рассмотрим запрещенные направле-
ния второго типа, проекция вдоль которых порождает самопере-
490
ГЛ. 2. СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ
[Ч. II
сечения Л/(2И) в Rf7"1. Например, при проектировании гладкой
кривой у cz R3 на двумерную плоскость R2, вдоль такого запре-
щенного направления возникает ситуация, показанная на рис. 69.
Ясно, что запрещенными направлениями второго типа явля-
ются те и только те направления I е R/*^-1» для которых суще-
ствует пара точек я, у е Л/, х =/= у, одновременно принадлежащих
прямой I после подходящего параллельного переноса.
Множество всех запрещенных направлений второго типа обра-
зует 2п-мерное гладкое открытое многообразие Р, точками кото-
рого являются пары (х, у), х, у^М, х^=у\ х и у независимо
друг от друга пробегают М. Иными словами, Р = (М X М) \Д, где
Д = {(я, х)} — диагональ в прямом произведении MX М. Рассмот-
рим отображение Р: где р(я, у) есть прямая, прохо-
дящая через начало координат и параллельная отрезку с конца-
ми х, у. Ясно, что р — гладкое отображение и, следовательно, по
лемме Сарда множество Р(Р) имеет меру нуль в RP*’”1, если
2п < N - 1, т. е. 2n+l<N.
Заметим, что замыкание множества Р(Р) в RP77-1 совпадает
с объединением P(P)Ua(()).
Рис. 70
Итак, множество р (Р) всех запрещенных направлений как пер-
вого, так и второго типов не покрывает все многообразие RP77"1,
если 2V>2n+l, и существует Z0=/=P(P). Осуществив ортогональ-
ное проектирование Л/о! \ получаем гладкое вложение
М в R^-1* К этому вложению применяем такую же процедуру
и т. д. Последним из таких последовательных проектирований
будет проекция М в R2n+1. Теорема доказана полностью.
Ясно, что в общем случае дальнейшее проектирование (с сохра-
нением вложения) невозможно. Действительно, пусть окружность
,М = S1 вложена в R3, образуя в R3 нетривиальный узел (см., на-
пример, рис. 70). Здесь п = 1, N = 3 = 2п + 1. Очевидно, что
ортогональное проектирование этой заузленной окружности на
любую двумерную плоскость R2 будет давать кривую с самопе-
ресечениями. Это указывает на то, что использованный при до-
казательстве «слабой» теоремы Уитни «метод проекций» не по-
зволяет продвинуться дальше по пути уменьшения размерности
Ч. И]
§11. ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРЕМЫ СЛРДА
491
объемлющего евклидова пространства. Тем не менее оказывается,
что использование более тонкой методики позволяет улучшить
полученные нами выше оценки (мы не будем здесь излагать эту
более тонкую методику).
Замечание. Известна более сложная теорема (мы ее не до-
казываем), что любое n-мерное многообразие М можно гладко
вложить в К2Л, но вложения М ->R2n уже не плотны в простран-
стве отображений К2Л. В общем случае эта оценка уже не-
улучшаема. Так, например, замкнутое двумерное неориентируе-
мое многообразие нельзя вложить в R3 (докажите!).
В некоторых частных случаях эти оценки можно улучшить.
Так, например, любое двумерное ориентируемое многообразие
реализуется в R3, что следует из классификации таких много-
образий.
2. Построение функций Морса как функций высоты. Покажем
теперь, как с помощью вложения М -> R N можно дать новое дока-
зательство существования функций Морса на гладких компакт-
ных многообразиях. Мы докажем, что функции Морса могут быть
обнаружены среди довольно узкого класса функций на многооб-
разии Л/, так называемых «функций высоты».
Если многообразие М гладко вложено в и если задана
прямая В/(0, идущая в направлении вектора I через начало коор-
дината то значение функции hi(x) (функции высоты) в точ-
ке х^М положим равным ортогональной проекции точки х на
прямую %i(t) (мы считаем эту прямую числовой вещественной
прямой).
Следующие свойства функции высоты hi(x) очевидны (про-
верьте их!):
1) множество функций высоты находится во взаимно одно-
значном соответствии с парами диаметрально противоположных
точек сферы SN~* или с точками проективного пространства
RP*"1;
2) точка является критической точкой для функции
высоты ht(x) тогда и только тогда, когда вектор I ортогонален
подмногообразию М в точке (т. е. I _L TXqM)>
Выясним, когда критическая точка для функции ht(x)
является невырожденной. Рассмотрим частный случай: когда мно-
гообразие М вложено в Rm+\ где Tn = dimAf (как гиперповерх-
ность).
Напомним, что для гиперповерхностей М cr Rm+1 определено
гауссово отображение r\ М->Smа именно: г(х) = п(х),
где n(x)-L ТХМ — единичный вектор нормали к М в точке х (век-
тор п(х) перенесен параллельно в начало координат OeRm+1).
Лемма 1. Точка х0 е М cr Rm+1 является невырожденной
Критической точкой для функции высоты ht(x) тогда и только
492
ГЛ. 2. СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ
[Я. II
тогда, когда она является регулярной точкой для гауссова отобра-
жения г: М —здесь IJ_TXqM,
Доказательство. Направим вдоль вектора I координат-
ную ось ят+1, а координаты ..., хт направим ортогонально
к Z; тогда плоскость .., хт) можно считать касательной
плоскостью к М в точке х^. Около точки е М многообразие М
можно задать уравнением ят+1 = хт), причем dtp |Хо = 0.
В достаточно малой области U около точки х$ можно считать,
что ..., хт — локальные координаты на гиперповерхности
а «высота» hi(x) — это и есть функция ят+1 = ф(я1, ..хт). Ана-
логичные координаты ут выберем на сфере в окрестности
точки Z. Повторяя вычисления, сделанные нами ранее при выводе
формулы Kda = /*О, получаем, что в локальных координатах
х\ ..., хт и i/1, ..., ут в точке xG выполнено равенство
\ дхадх^ / \ дхадх$ / х0 /
det
дхадх$ I
= К.
)=# 0, в точности
Здесь К — гауссова кривизна гиперповерхности в точке хй, уа =
=».r“(x\ ..., хт), 1 ct т,— гауссово отображение, записанное
в локальных координатах (х) и (у). Итак, условие регулярности
- , . (ду^'
гауссова отображения г в точке xQ, det
эквивалентно невырожденности гессиана функции высоты ЛДя0),
, . (д\(хЛ\\
det I—п—(Г =^0. Лемма доказана.
\ дхадх$ )
Важное замечание. Если имеется вложение М с= R’,
где g>m+l (m = dimJf), то тогда можно определить (q — 1)-
мерное гладкое многообразие N — «границу трубчатой окрестно-
сти» подмногообразия М. Для этого нужно рассмотреть множест-
во (q — m)-мерных дисков Dx~m^ ортогональных подмногообра-
зию А/, имеющих центры в точках х е М и имеющих радиус е > 0
(где е достаточно мало). Объединение этих шаров (при малом
е > 0) дает g-мерное многообразие (называемое иногда трубча-
той окрестностью подмногообразия 2И), граница (край) которого
й обозначается через N. Это подмногообразие (вложенное в RQ,
если е мало) отображается гауссовым отображением г в сферу
Пусть ht(x) — функция высоты на М и N. Легко усмотреть
(проверьте!), что каждая критическая точка х<^М для функции
hi{x) порождает ровно две критические точки уй и у$ на А, явля-
ющиеся двумя точками пересечения прямой Z, проходящей через
Хц ортогонально многообразию М (рис. 71).
Далее, можно проверить, что. критическая точка х0 е М. для
функции hi(x) является невырожденной тогда и только тогда,
Ч. П]
fill. ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРЕМЫ САРДА
493
когда точки yQ не вырождены для ht(x) (у0 и yQ всегда одно-
временно вырождены или не вырождены). Таким образом, если
Л/(х)—функция Морса на N, то эта же функция является функ-
цией Морса и на М, Отсюда следует,
что все утверждения относительно
существования и всюду плотности
функций Морса среди множества
функций высоты, доказанные для 7V,
автоматически переносятся на мно-
гообразие М. Таким образом, то, что
в доказанной выше лемме мы огра-
ничились рассмотрением гиперпо-
верхности М cz Rm+1, не ограничива-
ет общности наших рассуждений.
Теорема 2. Функция высоты hi(x) на гиперповерхности
М cRm+1, га = dim Л/, является функцией Морса тогда и только
тогда, когда точка (± Z) является регулярным значением
для гауссова отображения г: МВ частности, почти все
функции высоты ht(x) являются функциями Морса,
Доказательство. Первое утверждение теоремы следует
из леммы 1. Второе утверждение следует из теоремы Сарда, так
как регулярные значения гауссова отображения г: М ->RPm всю-
ду плотны в RPm Теорема доказана.
Замечание. В силу сделанных выше дополнений для слу-
чая MczR9, q >m 4-1, теорема автоматически переносится на
случай любого гладкого подмногообразия в R^ произвольной ко-
размерности (т. е. с любым q — m>0).
3, Фокальные точки. Существуют и другие способы строить
богатый запас весьма просто конструируемых функций Морса на
гладких многообразиях. Не вдаваясь в подробности, опишем один
такой способ.
Рассмотрим гладкое многообразие М и произвольное гладкое
его вложение в R9. Фиксируем произвольную точку р R9 и
свяжем с ней гладкую функцию на вложенном подмногообра-
зии Мт, положив Lp(x)= \р~ я12, где х^М, |р —ж1 — длина век-
тора р — х. Можно доказать, что почти для всех точек р G RQ
функция Lp(x) является функцией Морса на М, Множество функ-
ций вида Lp(x) не совпадает с множеством функций высоты Л/(я).
Выясним, при каких р функция LP(x) будет функцией Морса.
Для этого мы обозначим через N совокупность пар (х, v), где
х^М и f е S5 — вектор, ортогональный М в точке х. Очевидно,
N есть гладкое (/-мерное многообразие (проверьте!). Рассмотрим
гладкое отображение/: 2V->R5, относящее паре (х, v)&N конец
вектора v, отложенного из точки х.
494
ГЛ. 2. СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ
[Ч. II
Определение 1. Точка называется фокальной точ~
кой кратности ц>0 для М, если p = f(x, и) и якобиан отображе-
ния f в точке (х, и) имеет ранг q — ц.
В силу теоремы Сарда почти все точки р g ие являются
фокальными точками для вложения М cr в частности, мера
множества фокальных точек р £ S9 равна нулю.
Рассмотрим теперь «вторую квадратичную форму вложения
М cr RQ». Будем считать, что многообразие М (локально) задано
в ^.параметрически: x = um), где u“, — ло-
кальные координаты на М, х = (х1, ..xq). Рассмотрим вектор
—:—? = и пусть v — нормаль к М в точке х е М. Тогда мож-
ди*ди3
но составить скалярное произведение <v, хцУ = <у, Пц(х)У, где
Пц(х) — нормальная компонента вектора xi} в точке х (т. е. ор-
тогональная проекция вектора Хц на плоскость, нормальную к М
в точке х). Обозначим через Qv матрицу <у, ХцУ; ее называют
матрицей второй квадратичной формы многообразия М вдоль век-
тора у. Пусть G = (ga) — матрица первой квадратичной формы,
т. е. метрика на М (эта метрика индуцирована вложением М сг
cr Rq; в Rq рассматривается евклидова метрика). Можно счи-
тать, что локальные координаты и1 *, ..ит выбраны так, что
G(x) = E (единичная матрица) в некоторой точке х. Тогда в точ-
ке х имеем G~lQv = пусть — собственные значения
формы G~iQv = Q1} в точке х, т. е. — «главные кривизны» под-
многообразия М вдоль направления у. Рассмотрим прямую, зада-
ваемую уравнением x + tv (т. е. прямую, определяемую вектором
v в точке х).
Лемма 2. Фокальными точками на прямой х + tv являются
те и только те точки, для которых t = X?1, 1 I пг.
Доказательство. Локально N устроено как произведение
Л/xR9 m; поэтому на N можно ввести локальные координаты
х = х(и\ . . ., um), i1, ..., i9“7n. Отображение f вблизи рассматри-
ваемой точки устроено так: /(x(u), i) = х(и) + ^taaa(u),}
а
где {аа(и)} —репер в плоскости, нормальной к М в точке х(п),
гладко зависящий от и. Ясно, что df в этих координатах задается
матрицей
л / л
дт_+ у ,адад№\
диг диг I.
%<“> /
( дх 1
В касательной плоскости ТХ(М) выберем базис 1—-к
1 а тп. Найдем параллелепипед, натянутый на образы базис-
ных векторов (из N) после применения df. Тем самым мы вычис-
Ч. II]
§11. ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРЕМЫ САРДА
495
лим якобиеву матрицу отображения / (т. е. det(d/)). Искомая
матрица имеет вид
Ясно, что ранг этой матрицы определяется рангом матрицы
. (/дк dr \ V .а /даа дх \ \ о
А = ( —j, —j У + Л * < —i > • с другой стороны, 0 =
ди?/ ~ \диг ди?//
образом, ранг матрицы (df) равен рангу матрицы (?у —ху>),
что и требовалось. Лемма доказана.
Теперь рассмотрим точку р е К9 и функцию Lp(x)= lx — р|2 =
Z к гр (х} 0 /дх х 0 /дх \
= <х-р, я-р>. Тогда —V- =2\ —\ —2 ( — р
ди1 \ди / \диг /
= 2/ х — р \ Пусть / х — р \ = 0; это эквивалентно то-
\ ди1 / х ди /
му, что вектор х — р ортогонален ТХ(М). Далее,
d2Lp (х) _ / р2х ____/д2л: \
diddid ^\д/ди^ &/ '\di/ ди?/ 'SjdiAdu? /
где р = Таким образом, вырождение критической точки
для функции Lp(x) происходит тогда и только тогда, когда
р — фокальная точка. Итак, если р — не фокальная точка, то
Lp(x)—функция Морса на М cz К9.
Важное следствие. Пусть М с — гладкое замкнутое
подмногообразие. Тогда существует такое е > 0, что трубчатая
окрестность N& (М) = {у е R9 | р (у, М) < е] является гладким
q-мерным подмногообразием пространства^ с краем dNR(M), яв-
ляющимся гладким (q — 1)-мерным подмногообразием простран-
ства В частности, NR(M) расслаивается на (q — тп)-мерные
диски Dl~m(x), х^М, радиуса е с центрами на М\ аналогично
многообразие dNE(M) расслаивается на сферы Sq& m-1 (х).
Доказательство. Достаточно взять е<minX?1 (х), где
г.х
х М, Тогда в Ne(M) нет фокальных точек многообра-
зия МсЕ9и, следовательно, все утверждения теоремы выполнены.
Это следствие обычно называется «теоремой о существовании
трубчатой окрестности».
Г л а в a 3
СТЕПЕНЬ ОТОБРАЖЕНИЯ. ИНДЕКС ПЕРЕСЕЧЕНИЯ.
ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
§ 12. Понятие гомотопии
1, Определение гомотопии. Аппроксимация отображений и
гомотопий гладкими. Рассмотрим два гладких (пусть класса С°°)
многообразия N и М и гладкое отображение /: N -► М,
Определение 1. Гладкой (кусочно гладкой, непрерывной)
гомотопией (или деформацией) отображения / называется глад-
кое (кусочно гладкое, непрерывное) отображение цилиндра
F: NXI + M (Z = [0, 1])
такое, что F(x, 0)=/(х) при любом Говорят, что отобра-
жения N М, ft(x) = F (х, £), гомотопны исходному отображе-
нию / = /о, а все отображение цилиндра F есть гомотопия или
«процесс гомотопии».
Всевозможные отображения, гомотопные данному отображе-
нию /, образуют класс попарно гомотопных отображений (или
гомотопический класс отображений). Само собой разумеется, воз-
можно определение классов гладкой гомотопии любой степени
гладкости /. В частности, при I = 0 получим класс непрерывных и
непрерывно гомотопных отображений. Однако, как мы сейчас
увидим, из теоремы аппроксимации непрерывных отображений
гладкими отображениями вытекают следующие элементарные
свойства гомотопии:
1) всякое непрерывное отображение аппроксимируется близ-
ким и гомотопным ему гладким отображением любого класса
гладкости (в частности, С00);
2) два гладких отображения гладко гомотопны, если они не-
прерывно гомотопны.
Перейдем к подробностям.
Теорема 1. Пусть М, N — гладкие компактные многообра-
зия*, f, g: M->N — непрерывные отображения. Тогда для любой
римановой метрики на многообразии N существует такое число
е > 0, что из условия р (./, g) < е (здесь р — расстояние между
отображениями*, см, выше) следует, что отображения fug
гомотопны*
Ч. II)
§ 12. ПОНЯТИЕ ГОМОТОПИИ
497
Доказательство. Предположим, что на М задана рима-
нова метрика; через р0 мы обозначаем соответствующее расстоя-
ние. Ввиду -компактности N существует е > 0 такое, что если
р, q^N и р0(р, ^)<е, то существует единственная кратчайшая
геодезическая, соединяющая р и q (см. § 29 части I). Пусть те-
перь /, g: М N — непрерывные отображения такие, что р(/, g)<
< е. Построим гомотопию F: MX1-+N с F(x, 0) = /(х), F(x, 1) =
= g(x). Для этого нужно задать значение F(x, t) для произволь-
ной точки (х, t)^MXI. Рассмотрим точки f(x), g(x)^N, Так
как po(f(x), g(x))<e, то их можно соединить единственной крат-
чайшей геодезической (т). Так как, кроме точки х, нам
еще задано значение i, то отрезок геодезической от f(x)
До g(z) можно разделить в отношении i:(l — i), и получившую-
ся точку мы и отнесем точке (х, t)^M XI (рис. 72).
Рис. 72
Непрерывность построенного отображения F(x, t) следует из
теоремы о непрерывной зависимости решений от начальных дан-
ных (для системы обыкновенных дифференциальных уравнений^
каковой является система уравнений для геодезических). Теоре-
ма доказана.
Теорема 2. Пусть / — произвольное непрерывное отображе-
ние гладкого многообразия М в гладкое многообразие N. Тогда /
гомотопно гладкому отображению g: М N.
Доказательство. Ранее мы доказали, что любое непре-
рывное отображение /: М -> N может быть сколь угодно близко
аппроксимировано гладким. Утверждение теоремы вытекает из
предыдущей теоремы.
Задача. Докажите, что если отображение / уже является
гладким на некотором подмногообразии X М, то гомотопная
ему гладкая аппроксимация g может быть выбрана так, что огра-
ничения функций g и / на X совпадают.
Теорема 3. Если гладкие отображения f, g: М N непре-
рывно гомотопны, то они и гладко гомотопны.
Эта теорема вытекает из существования гладкой аппроксима-
ции для любого непрерывного отображения (в данном случае для
исходной гомотопии F\ М X I N) и из предыдущих теорем это-
го пункта.
32 б. А. Дубровин и др.
498
ГЛ. 3. СТЕПЕНЬ ОТОБРАЖЕНИЯ. ИНДЕКС ПЕРЕСЕЧЕНИЯ
[Ч. II
Аналогично доказывается следующее утверждение: любое не-
прерывное отображение гладкого многообразия М в гладкое мно-
гообразие достаточно большого числа измерений гомотопно глад-
кому вложению. Если исходное отображение было гладким, то и
гомотопия к вложению может быть сделана гладкой.
Определение 2. Два гладких вложения /, g: М N назы-
ваются (гладко) изотопными, если существует гладкая гомотопия
F\ М X IN между отображениями /ng такая, что отображе-
ние ft: М N, определенное по формуле jt(x) = F (х, t), является
для каждого £^[0, 1] гладким вложением.
Теорема 4. Любые два гладких вложения f, g гладкого мно-
гообразия М размерности п в евклидово пространство доста-
точно большого числа измерений q (на самом деле q 2п + 2)
изотопны.
Доказательство. Если q достаточно велико, то вложения
/ng можно связать непрерывной (а следовательно, и гладкой)
гомотопией F: MXl-^ (например, оба отображения / и g го-
мотопны отображению в точку). После этого гладкая гомотопия
Ft MXI N может быть превращена во вложение гладкой де-
формацией (деформация неподвижна на «основаниях» цилиндра
ТИХО и Л/XI). Это и дает искомую изотопию между / и g.
Доказанные теоремы позволят нам не делать различия между
непрерывными и гладкими гомотопиями. В дальнейшем мы будем
рассматривать классы непрерывной, кусочно гладкой или гладкой
гомотопии класса С00 — той, которая в данном рассуждении более
удобна.
Гомотопический класс отображения / обозначается через [/];
множество всех гомотопических классов отображений N -+ М обо-
значается через [А; 7И].
2. Относительные гомотопии. В дальнейшем нам придется рас-
сматривать гомотопии и гомотопические классы отображений, на
которые наложены дополнительные ограничения. Приведем важ-
нейшие из таких ограничений:
а) В многообразиях N и М отмечено по одной точке х0 N и
у0 М. Требуется, чтобы при всех отображениях f: N -+ М отме-
ченная точка х0 переходила в точку у0 (и при всех гомотопиях
также). Такой класс отображений и гомотопий называется свя-
занным в точке,
б) Многообразия N и М имеют края Г = dN и А = дМ. Требу-
ется, чтобы при всех отображениях /: N М и при их гомотопи-
ях край Г переходил в край А. Такой класс отображений назы-
вается относительным (относительно краев).
в) Многообразия N и М могут быть и некомпактны (открыты).
Требуется, чтобы полный прообраз любой точки при отображении
/: N М был компактен. Это же требуется и для процессов го-
мотопии F: NXI-^M. Такой класс отображений и гомотопий
называется собственным.
Ч. II]
§ 13. СТЕПЕНЬ ОТОБРАЖЕНИЯ
49»
г) Наиболее общий класс относительных отображений таков г
пусть в N и М отмечено по множеству А <= N и В <= М. Требуется,
чтобы при всех отображениях f и гомотопиях F множество А ото-
бражалось в множество В, Совокупность соответствующих гомо-
топических классов обозначается [(7V, Л); (Л/, В)].
§ 13. Степень отображения
1. Определение степени. Основной целью этого параграфа яв-
ляется изучение гомотопических классов отображений замкнутых
ориентированных многообразий N и М одной размерности п,
особенно в том случае, когда многообразие М является сферой.
Рассмотрим гладкое отображение /: N М и выберем точку
у0 е М. Предположим, что отображение f является правильным
по отношению к точке у0 е М. Это означает, что полный прообраа
точки уо состоит из конечного числа точек (i= 1, ..., т) мно-
гообразия N с локальными координатами около точек xt и
(а/Л
I не равны
нулю, 1, . .., тп. Напомним, что в многообразиях N и М зада-
на ориентация, т. е. все якобианы переходов от локальных коорди-
нат одной окрестности к другой положительны.
Определение 1. Степенью гладкого отображения связных
ориентированных замкнутых многообразий /: N М в правильной
точке по отношению к правильному значению у0 *= М называется:
число
2, ./М
sgn det —р
^г)=Уо \ <
(знаки якобианов отображений в точках Xi корректно определя-
ются).
Имеет место важная
Теорема 1. Степень отображения не зависит от выбора пра-
вильного значения у0 п не меняется при гомотопиях.
Доказательство. Сначала покажем, что степень не зави-
сит от выбора правильного значения. Для близких к у0 правиль-
ных значений это очевидно — прообразов столько же и знаки
те же.
Пусть уо и У\—Два правильных значения отображения /. Со-
единим эти точки уо и У1 гладким несамопересекающимся путем
в многообразии М с невырожденной касательной. Этот путь пред-
ставляет собой одномерное многообразие 7. Согласно лемме о
^-регулярности (см. § 10) путь 7 можно выбрать таким образом,
чтобы отображение / было Z-регулярно на всем 7 и правильна
в концевых точках у0, yt. Рассмотрим полный прообраз У"1 (7),.
32*
500
ГЛ. 3. СТЕПЕНЬ ОТОБРАЖЕНИЯ. ИНДЕКС ПЕРЕСЕЧЕНИЯ
[Ч. II
который в силу i-регулярности является гладким одномерным
многообразием в N с краем, состоящим из двух частей: /_|(г/0)
и (см. рис. 73 для п = 2; точки (xiQ) — это прообраз /-l(i/o),
а точки (хи) — прообраз /“!(t/i)). (Около каждой точки на
рис. 73 указан ее знак; обратите внимание, что у разных точек
отрезка у может быть разное число прообразов.) Поскольку у от-
резка ровно две концевые точки, которые входят в край с проти-
воположными знаками, мы непосредственно из рисунка усматри-
ваем справедливость утверждения теоремы.
Докажем теперь аналогичным образом утверждение теоремы
об инвариантности степени относительно гомотопии отображения
/. Пусть задана гладкая гомотопия F: N X I М, где f = F(x, 0).
Можно считать, что весь процесс гомотопии — отображение F —
правильно в точке у0. Рассмотрим полный прообраз F~l(yQ)
(см. рис. 74 для п = 1; число прообразов точки у0 для разных
моментов t может быть различным, но алгебраическая сумма зна-
ков постоянна).
Картинка здесь полностью аналогична рис. 73, так как F~l(y0)
есть одномерное неособое многообразие в N X I с двумя частями
края, соответствующими t = 0 (это — /“!(f/o)) и t = l. Указанное
в теореме целое число, очевидно, одинаково для t ™ 0 и t = 1.
Теорема доказана.
2. Обобщения основного определения. Укажем полезные рас-
ширения определения степени:
А) Обобщение понятия степени отображения на класс относи-
тельных отображений между многообразиями с краем производит-
ся очевидным образом. Пусть задано отображение
/: (A, дМ).
Ч. II]
8 13. СТЕПЕНЬ ОТОБРАЖЕНИЯ
501
где М и N — компактные многообразия (с краем) одной размер-
ности п. Так как край переходит в край, то полный прообраз
внутреннего правильного значения М лежит целиком во внут-
ренней части N, и то же верно для ее прообраза при гомотопиях.
Поэтому определена степень отображения deg/, не зависящая от
выбора правильного значения у9 внутри М и не меняющаяся при
гомотопиях в этом классе отображений,— доказательство этого
факта копирует доказательство теоремы 1. Заметим, что края
9N = Г и дМ = А являются замкнутыми ориентированными много-
образиями размерности n —1 (N и М ориентированы). Предполо-
жим, что края связны (в действительности это не очень сущест-
венно). Отображение / на краях также имеет степень deg/l^.
Имеет место
Теорема 2. Степень отображения края совпадает со сте-
пенью отображения самого многообразия: deg/la№= deg/.
Доказательство. Прежде всего мы малой гладкой гомо-
топией изменим относительное отображение /: N -*• М таким об-
разом, чтобы ни одна внутренняя точка из N не отображалась
в точку края дМ. Это делается так. Рассмотрим в малой е-окрест-
пости Uъ края дМ нормальное единичное векторное поле п(у),
смотрящее внутрь многообразия Л/, и числовую С“-функцию
ф(#)>0 в т°й же е-окрестности Ut края дМ, равную е на крае
дМ, равную нулю на другом крае е-окрестности и монотонно
убывающую с удалением от края. Эту функцию ф мы продолжа-
ем нулем на все М. Рассмотрим область V = f~l(U6)<= N. На V
сосредоточена функция ф* = ф (/ (х)) >0, причем максимум ле-
жит на полном прообразе края. Определим другую С“-функцию
ф(я)Х) на многообразии JV, равную нулю на крае (WV =« Г, рав-
ную единице за пределами малой б-окрестности края и монотонно
возрастающую с удалением от края.
502
ГЛ. 3. СТЕПЕНЬ ОТОБРАЖЕНИЯ. ИНДЕКС ПЕРЕСЕЧЕНИЯ
[Ч. II
Гомотопию отображения / мы определяем так: пусть образ
точки х е N сдвинется по многообразию М от края по траекто-
риям векторного поля п(у) на расстояние ,ф(х)(р(/(х)). Очевидно,
точки края Г не сдвинутся ('ф(х)^О) и точки вне VB также не
сдвинутся (ф(/(^))^0). Все остальные точки сдвинутся на поло-
жительное (но малое) расстояние.
Перейдем к доказательству теоремы 2. Рассмотрим полный
прообраз /“4(t/o) правильной точки отображения /, лежащей на
крае дМ. Весь этот полный прообраз содержится в крае dN. За-
метим, что, сдвигая правильную точку внутрь многообразия N на
достаточно малое расстояние, мы не изменим числа прообразов и
их знаков (ориентации краев и многообразий согласованы)—все
они изменятся непрерывно до прохода через вырождение. Поэто-
му числа deg/ для края и для самого N совпадают. Теорема
доказана.
Б) Второе расширение понятия степени отображения относит-
ся к классу собственных отображений. Очевидно, все определения
и теорема 1 вместе с ее доказательством при этом полностью со-
храняются*
В) Степень отображения определяется и в неориентируемом
случае, но здесь знаки якобианов не имеют инвариантного смыс-
ла. Поэтому степень определяется только как вычет mod 2.
3. Гомотопическая классификация отображений многообразия
в сферу. В том случае, когда многообразие М есть n-мерная сфе-
ра Sn, степень отображения является полным гомотопическим
инвариантом. Имеет место
Теорема 3. Два гладких отображения f, g: N Sn замкну-
того п-мерного ориентированного многообразия в п-мерную сферу
гомотопны в том и только в том случае^ если их степени
совпадают.
Доказательство. Сначала мы рассмотрим простой случай,
когда имеется правильное значение р0 е *$п, числа прообразов ко-
торого при отображениях / и g точно равны степени deg / = deg g
(и равны друг другу). В этом случае гомотопию между / и g мы
составим из следующих элементарных шагов:
Шаг 1. Деформируем отображение / так, чтобы прообразы
/“‘(е/о) и g“4(z/o) точно совпали.
Шаг 2. Так как знаки якобианов по условию все совпадают,
деформируем / к отображению, дифференциал которого совпадает
с дифференциалом отображения g в каждой точке полного прооб-
раза/-‘(i/o) = g_t(z/o).
Шаг 3. Выберем малое е>0 и деформируем оба отображе-
ния / и g около всех прообразов точки yG так, чтобы в их е-окре-
стыостях по отношению к некоторым локальным системам коор-
динат отображения / и g стали линейными; при этом пусть обра-
зы е-окрестностей диффеоморфно наложатся на сферу Sn, а их
края перейдут в точку, противоположную точке t/0. Можно счи-
Ч. И]
§ 13. СТЕПЕНЬ ОТОБРАЖЕНИЯ
503
тать, что все дополнение к е-окрестностям также переходит в эту
точку, так как дополнение к точке yQ в сфере Sn есть евклидово
пространство' Rn.
После этих деформаций отображения / и g совпадут.
Рассмотрим теперь общее отображение /, правильное в точке
у0 е Sn. К этому отображению можно применить шаг 3 предыду-
<щей деформации (хотя число прообразов больше степени deg/ =
= m). В результате мы приведем это отображение к каноническо-
му виду: точка у0 имеет т + 2q прообразов xlt ..xm+2q, е-окрест-
пости этих прообразов линейно наворачиваются на сферу 5П,
а дополнение этих окрестностей отображается в точку, противо-
положную Уо', знаки якобианов отображения / в точках х^ ..., хт
одинаковы, а знаки якобианов в точках ^m+<, xm+q+< (Z = l, ..., q)
противоположны. Построим отображение окрестности пути у в
NnXI такое, что край переходит в точку у* (рис. 75). Очевидно,
это возможно ввиду знаков якобианов в точках (zm+(, xm+q+i). На
е-окрестностях остальных прообразов считаем гомотопию тожде-
ственной. Всю остальную часть многообразия NnX I отправим в
точку. Отображение F, уничтожающее пару прообразов, построе-
но. Теорема доказана.
Рис. 75
Задача. Для отображений замкнутых неориентируемых
n-мерных многообразий в сферу Sn определена степень по моду-
лю 2. Докажите неориентируемый аналог теоремы 3.
Замечание. Построение гомотопии F при п = 1 отличается
от общего случая. Предлагаем читателю разобрать этот случай
самостоятельно.
4. Простейшие примеры. Пример 1. Всякий многочлен сте-
пени п с вещественными коэффициентами задает собственное ото-
бражение R —>R (так как уравнение f(x) = c имеет не более п
решений). Степень этого отображения равна 1, если п нечетно,
’и 0, если п четно (рис. 76 а и б соответственно). Отсюда следует,
в частности, что многочлен нечетной степени всегда имеет вещест-
венный корень: если имеется точка, прообраз которой пуст, то
степень равна нулю.
504
ГЛ. 3. СТЕПЕНЬ ОТОБРАЖЕНИЯ. ИНДЕКС ПЕРЕСЕЧЕНИЯ
[Ч. II
Пример 2. Рассмотрим отображение /: окружности
в окружность. Мы будем представлять себе окружность как пря-
мую, у которой точки х + 2т склеены между собой при целых п.
Аналогично отождествлены между собой все точки у + 2т в об-
разе. Функция у = / (х) задает отображение окружности в окруж-
ность, если для всякого х выполнено условие /(х+2л) = /(х) +
+ 2л/с, где к — целое число. Из рассмотрения графика (см. рис. 77,
на котором к = 2) видно, что deg / = к.
лексной плоскости. Тогда всякое
sgna^ + j sgna?2=-,sgn.r3 = +,
sgna^-+,degf=2
Рис. 77
Таким образом, для степени отображения получаем
2Л
A = deg/ = ^j* (g)dr.
О
Можно представлять себе окружность как кривую Ы = 1 в комп-
отображение 51 -*• 51 гомотопно
каноническому, имеющему вид
z ь* zn, где п — степень.
Пример 3. Комплексный
многочлен w*=f(z) степени п
задает собственное отображе-
ние комплексной плоскости
/:₽2->К2 или отображение
между^ римановыми сферами
/: S2 — S2
(если добавить точку <»). В ча-
стном случае, когда f(z) = aozn
(ао=#О), это отображение, оче-
видно, имеет степень п. Заметим далее, что все многочлены
степени п с ненулевым старшим членом задают гомотопные
отображения. Гомотопия очевидна;
F(z, t) = aQzn + (1 — t) [aizn-1 +... + an],
где f(z) = aozn + diZn~l + ... + an, Очевидно, /’(z, 0)=«
= /(z) и F(z, l) = aozn, ao=^O.
Следствие 1 (теорема Гаусса). Многочлен степени п=#0
имеет корень.
4. in
§ 13, СТЕПЕНЬ ОТОБРАЖЕНИЯ
505
Действительно, если уравнение /(z) = 0 не имеет решений, то
полный прообраз /~*(0) пуст и степень deg/ = O. Пришли к про-
тиворечию.
Проверьте, что степень рационального отображения S2 -> S2
равна максимуму степеней числителя и знаменателя.
Более общим примером является голоморфное (комплексно
аналитическое) отображение между замкнутыми комплексными
многообразиями
/: N-+M.
Имеет место простая
Теорема 4, Если степень f равна д, то д >0 и правильное
значение уй^ М отображения f имеет ровно q прообразов^ причем
знак якобиана для каждого прообраза положителен.
Доказательство. Детерминант комплексного линейного
отображения А всегда положителен (см. часть I, § 12);
detR4 — | detc-A |2 0.
Применяя это к якобианам в прообразах регулярного значения р0,
получаем утверждение теоремы, так как по определению
deg / = У sgn detR I =V(+l) = g.
Теорема доказана.
В рассмотренном выше примере 3 уравнение /(z) = c имеет
в общем случае ровно п решений — это видно из теоремы 4.
Другим примером голоморфного отображения является проек-
ция римановой поверхности алгебраической n-значной функции
на плоскость z, над которой определена эта тг-значная функция
(или на риманову сферу S2 = СР1). Здесь степень равна, оче-
видно, числу листов п.
Пример 4. Рассмотрим отображение / замкнутого и-мерного
многообразия N в Rn. Это отображение является, очевидно, соб-
ственным, как и любое отображение замкнутого многообразия N
куда угодно. Поэтому определена степень /, и эта степень равна
нулю. Для доказательства этого факта достаточно заметить, что
в силу компактности N в Rn имеются точки у0> полный прообраз
/“ЧУо) которых пуст,— достаточно удаленные точки в Rn.
Отсюда следует, что прообраз любой точки у^ Rn, если она
является правильным значением, состоит из четного числа точек.
Пример 5. Рассмотрим отображение между ориентированны-
ми многообразиями с краем /: (N, дМ). сужение кото-
рого на край является диффеоморфизмом: dN « дМ\ предположим
также, что этот диффеоморфизм сохраняет ориентацию. В этом
506
ГЛ. 3. СТЕПЕНЬ ОТОБРАЖЕНИЯ. ИНДЕКС ПЕРЕСЕЧЕНИЯ
[Ч. II
случае в силу теоремы 2 deg/ = 1. В частности, если задана заме-
на координат у = / (х) в области U в Rn с гладкой границей
Г = dU и эта замена взаимно однозначна на границе, то / имеет
степень 1 и внутри.
§ 14. Некоторые применения степени
1. Степень и интеграл. Изучим поведение интеграла от диф-
ференциальной формы ранга п по тг-мерному замкнутому ориен-
тированному многообразию при отображениях конечной степени.
Пусть /: N^M — гладкое отображение степени g = deg/ и Q —
дифференциальная форма ранга п = dim М = dim N на Л/, имею-
щая вид epi (t/) dy\ Д ... Д dy? в локальной системе координат (у “)
на М с номером г*. Определены интегралы j Q по многообразию
м
М от формы Q, а также J /*Q по многообразию N от формы /*Qt
N
имеющей (локально) вид
, (ду?\
/*Й = (Pi (/ (х)) dx} Д ... Д dx? det I
в области на N с координатами (х“), точнее, в той ее части, ко-
торая попадает в область с координатами (t/“) при отображении/.
Теорема 1.
J /*Й = (deg /) J Q.
N М
Доказательство. Рассмотрим область целиком
состоящую из правильных значений отображения / и лежащую
в достаточно малой окрестности правильного значения t/0 М.
Полный прообраз /-l(t/0) состоит из конечного числа точек
Xi, ..хт. Полный прообраз /-1(^) окрестности U точки t/0 есть
объединение
Г(^) = ^и... иит
непересекающихся множеств Uj с координатами (я*), 7 = 1, ...
..., т\ а = 1, ..., п. Координаты в U обозначим через (z/o), а =
= 1, ..., п. Все точки областей Uj регулярны, так как область U
состоит лишь из правильных значений отображения /. В каждой
области Uj отображение / взаимно однозначно:
.....хГ).
По формуле замены переменных в кратком интеграле имеем
J ф (У (*)) dx} Д ... Д dx” = sgn det ( j J ср (у) dy} Д ... Д dy”.
Uj \ хи и
Ч. П]
§ 14. НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ СТЕПЕНИ
507
Из этой формулы, суммируя по всем Uh получаем
( /*Й = f2sgndet(^^fQ= (deg/)
\i \ >JJu и
' Далее, если на некотором множестве V <= N якобиан отображе-
ния / обращается в нуль, то на множестве V форма f*Q также
обращается в пуль. По лемме Сарда (см. § 10) множество пра-
вильных точек в М является открытой всюду плотной областью;
теорема тем самым доказана в силу выведенной выше формулы,
так как интеграл является аддитивной функцией области.
Замечание. Теорема 1 верна также для собственных ото-
бражений, если форма Q финитна (имеет компактный носитель
на М) и для отображений многообразий с краем.
Следствие 1 (см. пример 5 в § 13). Если имеется замена
переменных, взаимно однозначная на гладкой границе компакт-
ной области в Rn, то Idegfl = 1 и интегралы от форм Q и f*Q
совпадают по модулю (хотя замена может и не быть взаимно
однозначной во внутренних точках).
2, Степень векторного поля на гиперповерхности. Рассмотрим
теперь гладкое векторное поле (£а(я)) = 5, а = 1, ..., п, задан-
ное в некоторой области U n-мерного евклидова пространства Rn
с координатами х\ ..., хп и обращающееся в нуль в этой обла-
сти. В этом случае в области U определено единичное векторное
поле п (д:) =|-^~Тем самым определено сферическое (гауссо-
во) отображение / области U на сферу 5П-1:
}(х) = п(х),
где вектор п(х) в правой части исходит из начала координат. Ес-
ли Q — любая замкнутая гиперповерхность, лежащая целиком в
Z7, то определена степень deg f\Q отображения / на Q. Эта степень
называется степенью векторного поля на гиперповерхности Q.
Предположим; что гиперповерхность Q локально задана в пара-
метрическом виде
ха = ха (и1, ..., un“J), а = 1, ..., п.
На сфере 5n_1 <= Rn и даже на всей области Rn\0 определена
замкнутая дифференциальная форма Q ранга п — 1 (форма объе-
ма на 5П-1), имеющая вид
2 (-1)Ч<Л йхгл ... Л ... Л d-rn
о = ______________________________
V„ ((г1)2+...+(гп)2)п/2
(где значок dx* означает, что этот дифференциал пропущен).
508
ГЛ. 3. СТЕПЕНЬ ОТОБРАЖЕНИЯ. ИНДЕКС ПЕРЕСЕЧЕНИЯ
14. И
Нормировочный коэффициент уп подобран из условия
J й = !•
sn"1
Для плоскости R2 с координатами х, у имеем (и = 2)
о 1 /х dy — у dx\
М г2 + у2 )
или й = в полярной системе координат. Для R3 с координата-
ми х, z/, z имеем (га = 3)
Q 1 /х dy Д dz — у dr Д dz + z dy Д dx
U2W + *2)3/2
I
или Q = ^|sin0|d0d<p в сферической системе координат.
Из теоремы 1 вытекает
Следствие 2, Для любого векторного поля £(х) и замкну-
той гиперповерхности Q степень поля £ на Q равна ( /*Й, где.
Q
/—гауссово сферическое отображение*
deg/ = deg^ = ±J^det
at1 a%n
! ди71-1 • • • ди71-1
Это следствие вытекает из определения /*(й) и вида формы й,
указанного выше. При п = 2 имеем
deg j = _L (£ _Ё£_ fti _ кг
g/ 2лУ|5|Ц£ dt b dt]'
где t —параметр на кривой, а g‘(t)» V (0 — координаты вектор-
ного поля на кривой. При п = 3 имеем у3 = 4л,
deg/ =
1 f f du dv
det
du
dv
l2 I3
du du
dl2 Ol3
dv dv
1 C f du dv d£l\
4л J^j |gp \®’ [du1 dv\//r'
Рассмотрим особо случай, когда векторное поле £(z) единич-
но (|£| = 1) и направлено ортогонально к поверхности Q во внеш-
нюю сторону.
Ч. II]
§ 14. НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ СТЕПЕНИ
509
В этом случае мы знаем (см. часть I, § 26), что форма /*£2
имеет вид _
/*Q = Kdo = К Vg du1 Д ... Д dun~lt
где К — гауссова кривизна гиперповерхности (произведение глав-
ных кривизн), da^= V g du1 Д... Д du1-1—стандартный элемент
объема, порожденный метрикой на поверхности Q, индуцирован-
ной вложением Q в с евклидовой метрикой. Для га —2 имеем
do = dl (натуральный параметр) и К = к (кривизна кривой). При
п = 3 К — это обычная гауссова кривизна поверхности и do =
~ V EG — F2 du f\dv — обычный элемент площади.
Мы получили следующее утверждение.
Теорема 2. Интеграл от кривизны К по замкнутой поверх-
ности с точностью до множителя уп (площадь единичной сферы
в п-мерном пространстве) совпадает со степенью гауссова ото-
бражения,
3. Число Уитни. Формула Гаусса — Бонне. Нашей задачей
теперь является вычисление степени гауссова отображения. Мы
проделаем это лишь для наиболее важных случаев га = 2, 3 (кри-
вые и поверхности).
Случай га = 2 (кривые). Пусть имеется замкнутая кривая
7= (x(t)y y(t)) в R2 общего положения. Последнее означает, что
х(Г+ 2л) = x(t), z/(i + 2n)= z/(i), вектор (i, у) отличен от нуля
при всех t и все самопересечения кривой в R2 двойные, причем
касательные векторы к ветвям линейно независимы в точке их
пересечения (рис. 78).
2
1
О + 0 + © + ©-Z7
Инвариант Wty)=Q
Зафиксируем на кривой точку i0, не являющуюся точкой само-
пересечения. Числом Уитни 1У(7) или алгебраическим числом
точек самопересечения называется сумма 2 (± 1) знаков всех то-
чек самопересечения для плоской кривой общего положения. Знак
точке самопересечения приписывается так: в плоскости задан
ориентирующий репер [1, 2] (см. рис. 78). Мы идем по направ-
ленной кривой 7 от точки i0; когда мы первый раз встречаем
точку самопересечения, то на касательном векторе этой ветви
ставим номер 1\ когда второй раз встречаем эту же точку, то на
510
ГЛ. 3. СТЕПЕНЬ ОТОБРАЖЕНИЯ. ИНДЕКС ПЕРЕСЕЧЕНИЯ
[Ч. II
этой ветви ставим номер 2. Таким образом, каждой точке само-
пересечения отвечает репер, знак которого либо совпадает с ори-
ентирующим репером в R2, либо противоположен ему (см. рис. 78).
В первом случае точка имеет знак Ч-, во втором — знак —, Для
четности числа Уитни, т. е. для четности числа точек самопере-
сечения кривой, имеет место следующее утверждение.
Теорема 3. Четность числа точек самопересечения кривой
противоположна четности числа deg/.
Рис. 79
Доказательство. Для несамопересекающейся кривой
ТУ(у) = О и deg/ = 4-1. Таким образом, в этом случае утвержде-
ние теоремы правильно. Докажем теорему индукцией по числу
точек самопересечения. Предположим сначала, что у регулярной
кривой общего положения у можно найти «минимальный» замк-
нутый кусок около одной точки самопересечения, не содержащий
внутри себя ни одной точки кривой и не содержащий на себе на-
чальной точки £0 (рис. 79). Окружим этот кусок кривой у об-
ластью 7), внутри которой нет других точек кривой, где мы будем
Рис. 80
производить все перестройки кривой. Перестройки кривой с со-
хранением направления производятся естественным образом
(рис. 80, а, б): + В результате обеих перестроек в слу-
чаях а) и б) число точек самопересечения уменьшается на 1. При
отбрасывании образовавшегося замкнутого несамопересекающего-
ся куска интеграл (т. о. степень deg/) увеличивается на 1 в слу-
Ч. II]
§ 14. НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ СТЕПЕНИ
511
чае а) и уменьшается на 1 в случае б). Точно так же ведет себя
и число W (7). В этом частном случае теорема доказана.
В общем случае мы будем действовать точно так же, выбирая
каждый раз точку самопересечения таким образом, чтобы кривая
72 (рис. 81) была несамопересекающейся (допускается ее пере-
сечение с кривой 7J. Мы совершаем перестройку кривой, следуя
рис. 80, а или б. Кривые 71
и 72 могут пересечься, одна-
ко число точек их пересече-
ния четно. Поэтому приве-
денное выше рассуждение
остается полностью неизмен-
ным. Теорема доказана.
Замечание. Если на
отрезке 72 нет точки £0, то
оба целых числа И7(7) и
deg / ведут себя одинаково
при перестройке (как целые
числа, а не только mod 2).
При выборе t0 на внешнем
контуре 7 можно показать,
что такой отрезок 72 найдет-
ся, и перестройка всегда воз-
можна. Используя это, мож-
но получить уточнение тео-
ремы: число ^(7) равно ли-
бо deg/ + 1, либо deg/—1,
W=0~deg 'f-l
deg-f=+7
Рис. 82
W=2“degTc-*-7
причем это может зависеть
от выбора t0 на внешней части 7 (вне точек пересечения)
(рис. 82).
Случай п = 3 (поверхности). Вычислим теперь степень гаус-
сова отображения /: Q -+• S2 для гладкой замкнутой ориентирован-
ной поверхности Q в R3. По определению степень отображения
равна числу прообразов регулярного значения у0 S2 отображе-
ния /. Можно предположить, что эта точка yQ есть верхний полюс
сферы с координатами (0, 0, 1) (сфера задана в пространстве
(R3). Мы будем предполагать (без ограничения общности), что
противоположный полюс у0 = (0, 0, — 1) также является правиль-
ной точкой. Одновременная правильность пары противоположных
точек сферы равносильна правильности точки проективной плос-
кости RP2 при сквозном отображении
<?4s2->a?P2.
При этих условиях имеет место
Лемма 1. Рассмотрим функцию высоты ф на поверхности Q,
значение которой в точке P^Q совпадает с координатой z = q(P)*
512
ГЛ. 3. СТЕПЕНЬ ОТОБРАЖЕНИЯ. ИНДЕКС ПЕРЕСЕЧЕНИЯ
(Ч. II
Все критические точки этой функции невырождены, и множество
критических точек совпадает с объединением двух прообразов:
Г1 (у0) и Г1
Доказательство. Градиент функции qp(Р) = z обращается
на Q в нуль там, где ось z ортогональна к (2. Эти точки и явля-
ются объединением прообразов /-1 (у0) U (уо) обоих полюсов.
Якобиан отображения Q--+S2 в точках прообраза /-1(^о)т как
устанавливалось в части I (см. § 26), в точности совпадает в спе-
циальных координатах с определителем гессиана функции z = <р,
совпадающим с гауссовой кривизной. Для прообразов /~*(уо)
то же самое верно для функции z = — qp. Тем самым невырожден-
ность прообразов /-1 (уо) U Z'1 (Уп) равносильна условию К =£ О
или условию неравенства нулю гессиана функции qp или —qp. Лем-
ма доказана.
Заметим теперь, что имеет место очевидное равенство
det
= (-1)”-1
det
д2 (- <р)^
ди* ди? /'
где а1, ..а”-1 — локальные координаты около любой точки па
поверхности Q. Это и различает случаи четного и нечетного зна-
чений п. Для нашего случая п — 1 = 2. Отсюда следует, что знаки
якобианов отображения / во всех точках объединения /-1 (у0) |J
U Г1 (/о) те же самые, что знаки гауссовой кривизны К в этих
точках. При определении знаков нет нужды различать направле-
ния внешней и внутренней нормали к поверхности Q или функ-
ции qp и —qp. Суммированием вкладов всех точек со знаками по-
лучается
Лемма 2. Имеет место равенство
2de3/ = X(-l)“(P’),
здесь суммирование распространяется на множество критических
точек функции высоты qp = z, а(Л) = 0 для минимумов и макси-
мумов. где sgn К = +1, и а(Л)=1 для седел, где sgn X = — 1.
Покажем теперь, что для поверхностей с g ручками число,
стоящее в правой части, есть в точности 2 — 2g. Легко предъ-
явить вложение поверхности в R3, где функция высоты qp будет
иметь 1 минимум, 1 максимум и ровно 2g седел (рис. 83; на нем
отмечены стационарные точки). Для этих вложений поверхностей
с g ручками получаем
2deg/ = ^f^(to = 2-2g.
Q
Конечно, возможны другие вложения поверхностей в R3. Однако
Ч. И]
§ 14. НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ СТЕПЕНИ
513
мы знаем, что К = Я/2, где Я — скалярная кривизна (см. часть I,
§ 30). Кроме того, мы знаем, что величина J Rda не меняется
Q
при малой вариации метрики на двумерном многообразии Q, так
Рис. 83
как 6 j/tacr = 0 (см. часть I, § 37). Пусть g($ и gty —две рима-
новы метрики на поверхности Q. Рассмотрим семейство метрик
+ (1 — t)g^\
Очевидно, метрика ga(t) положительна при всех ts [0, 1],£i;(0)=»
= 8$ и Sij (1) = gty* Отсюда следует, что интеграл j Rda оди-
Q
наков для метрик g^ и g$- Тем самым доказана
Теорема 4 (Гаусс — Бонне). Для поверхности Q с g руч-
ками и любой римановой метрики на ней верна формула
Xfato-2-26.
Q
4. Индекс особой точки векторного поля. Рассмотрим теперь
гауссово отображение в окрестности изолированной особой точки
векторного поля. Пусть £ = £(#)— векторное поле, заданное
в окрестости некоторой точки х0 пространства Rn. Следуя при-
нятой терминологии, мы говорим, что х0 есть особая точка поля £,
если £(я:0) = 0; особая точка х0 называется изолированной, если £
не обращается в нуль в отличных от х0 точках достаточно малой
окрестности точки а?0; особая точка xQ называется невырожден-
ной, если
х = х0. Так как det
Лемма 3. Невырожденная особая точка всегда изолирована.
Доказательство. Уравнение (х) — 0 имеет решение
следует из теоремы о неявных функциях.
S3 Б. А. Дубровин и др.
#=0 при x = xQ, то утверждение леммы
514
ГЛ. 3. СТЕПЕНЬ ОТОБРАЖЕНИЯ. ИНДЕКС ПЕРЕСЕЧЕНИЯ
[Ч. IF
Корнями невырожденной особой точки называются собствен*
пые значения ..., лп матрицы 1 —- 1
х=хо/
Индексом невырожденной особой точки х0 называется знак
(dtaI \
A =sgn(Zi ... ?vn).
и|х=Х0/
Для градиентных полей индекс особой точки совпадает
дх
со знаком гессиана:
A A J д
= sgn det „ „
: 1 Ь \дхадх^
о/ \
sgn det
) = (- i)i(4
где i(xq) равно числу отрицательных квадратов в каноническом
виде квадратичной формы
Рассмотрим сферу Qe = Sn“* малого радиуса е > 0, окружаю-
щую изолированную особую точку х0, так что поле | не обраща-
ется на сфере Qz в нуль. Согласно сказанному в п. 2 определено
сферическое гауссово отображение
г 71 — 1
Определение. Индексом изолированной особой точки
векторного поля | называется степень гауссова отображения:
indXo © = deg/Xfl.
Оказывается, что если точка х0 не вырождена, то это опреде-
ление совпадает с предыдущим.
Теорема 5. Для невырожденной особой точки х0 поля Ъ>(х\
имеет место равенство
/дЕа1 \
deg/хо = sgn det .
\ *о /
Доказательство. В достаточно малой окрестности точки
хй векторное поле |(х) гомотопно линейному векторному полю
(х) = Цг (xv — Xq), причем в процессе гомотопии поле
дху |зс==х0
£(я, t) (0 t С 1) обращается в нуль только в точке х0 при всех
t и |(х, 0) = ^(^), |(х, 1)=|(1)(х). Действительно, поле £ имеет
вид
где 1В(2)(я) 1 = о(1В<п1). Мы полагаем
Эта гомотопия обладает нужными свойствами в достаточно малой
Ч. II]
§ 14. НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ СТЕПЕНИ
515
окрестности точки х9. В процессе этой гомотопии отображение
Qe Sn“l испытывает гладкую гомотопию, и линейная часть
поля не меняется. Поэтому обе части равенства deg /х и
/ \
sgn det I I остаются неизменными. Нам остается вычис-
лить степень для линейного отображения £(1);
£(1) (X)
В линейном случае поле £(1) дает линейный изоморфизм окре-
стности точки Xq на окрестность нуля в К71”1 и является взаимно
однозначным на сфере радиуса е, Qz Каждая точка yQ на
сфере является правильным значением и имеет ровно один
прообраз. Знак детерминанта указывает на сохранение или обра-
щение ориентации при этом отображении. Теорема доказана.
Рис. 84
Пример 1 (п = 2). Невырожденные особые точки вектор-
ного поля на плоскости могут быть такими:
Индекс
центр (корни чисто мнимые; рис. 84, а) +1
узел (корни вещественные и одного знака; рис. 84, б) +1
фокус (корни комплексно сопряжены; рис. 84, в) -|-1
седло (корни вещественные и разных знаков; рис. 84, г) —1
Индекс особой точки не зависит от направления поля.
Если поле является градиентом некоторой функции /, то воз-
можны такие особенности:
Индекс
минимум / +1
седло / — 1
максимум / +1
Пример 2 (/г = 3). Градиенты =
\ dzj
Индекс
минимум / -]-1
седло 1-го типа (один отрицательный квадрат формы d2f) —1
седло 2-го типа (два отрицательных квадрата формы d2f) +1
максимум / —1
S3*
516
ГЛ. 3. СТЕПЕНЬ ОТОБРАЖЕНИЯ. ИНДЕКС ПЕРЕСЕЧЕНИЯ
[Ч. 1Г
Общие поля (все Х< =/=()):
Индекс
выталкивающая особая точка (Re Х< 0, i — 1, 2, 3) +1
седло 1-го типа (Re Xi 0, Re Х2 О, Х3 вещественно, Х3 < 0) “1
седло 2-го типа (Xi вещественно, Xj > 0, Re Х2 0, Re Хз 0) +1
всасывающая особая точка (Re Х< 0, i — 1, 2, 3) — 1
(либо все три корня вещественны, либо один вещественный и
два комплексно сопряжены).
Теорема 6. Пусть £ = £(#)—векторное поле в Rn с изоли-
рованными особенностями х^, ,.хт, и пусть Q — замкнутая ори-
ентированная гиперповерхность в не проходящая через осо-
бые точки и ограничивающая область D в Rn. Тогда степень
векторного поля ^(х) на поверхности Q, т. е. степень гауссова
отображения Q -> S"*1, равна сумме индексов всех особых точек
Х{к, лежащих в области D,
Доказательство. Рассмотрим сферы QSe достаточно мало-
го радиуса е > 0 около особых точек Xj и выкинем из области D
ограничиваемые этими сферами шары (вместе с точками х,).
Останется область D, граница которой имеет вид
= Q U Ci1C U ... U Qi^
Рассмотрим в D гауссово отображение /: D S”-1 и форму /*й,
где Q — форма, определенная в п. 2. Так как dQ = O на сфере
S"-1 по соображениям размерности и df*Q = f*(d£l) = 0, по общей
формуле Стокса (см. § 8) получаем
О = j й/*Й = J /*й = - j /*Й + 2 j /*Й,
D дЬ Q Q==1 Qty
где минус стоит потому, что внешняя поверхность Q входит в
границу dD с противоположной ориентацией по сравнению со
сферами Qiqf Наше утверждение следует теперь из теоремы 1
и определения индексов особых точек.
5. Трансверсальная поверхность векторного поля. Теорема
Пуанкаре — Бендиксона. Особый интерес представляет случай,
лсогда поверхность Q сама является сферой большого радиуса и
поле |(а:) на этой сфере Q ее нигде не касается. Такую поверх-
ность Q мы назовем трансверсальной поверхностью поля В этом
случае верна простая
Лемма 4. Степень поля | на трансверсальной поверхности
равна (нормированному) интегралу от (гауссовой) кривизны этой
поверхности. Если поверхность является сферой, то этот интеграл
равен единице.
Доказательство. Трансверсальное поле на Q гомотопно
(в классе полей, не касающихся Q) нормальному единичному
Ч, И]
§ 14, НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ СТЕПЕНИ
517
полю к этой поверхности. Степень есть инвариант гомотопии. Для
нормального поля п(х) к поверхности Q форма /*Q совпадает с
— К da, где К — кривизна и уп — нормировочный коэффициент,
V н
зависящий только от размерности (см. п. 2). Для сферы 5n-i этот
интеграл равен единице: — ) К da = 1. Лемма доказана.
Vn v
Следствие 3. Векторное поле Ъ\х) на Rn, трансверсальное
какой-либо сфере Sn~* (например, окружности S1 в R2),, обладает
хотя бы одной особой точ-
кой внутри этой сферы.
Для доказательства
следствия достаточно сопо-
ставить теорему 6 с заме-
чанием, что индекс любой
неособой точки есть нуль.
Замечание. Для
случая плоскости (п = 2)
уместно отметить еще слу-
чай периодической (замк-
нутой) интегральной тра-
ектории Q поля |(х), ес-
ли она существует. Оче-
видно, степень поля | на
Q равна единице и из тео- Рис. 85
ремы 6 вытекает, что внут-
ри Q обязательно есть особая точка поля Информация об особых
точках и трансверсальных поверхностях может быть очень важ-
ной при описании качественной картины поведения интегральных
траекторий векторного поля |(х), особенно в плоскости. Рассмот-
рим, например, случай, когда поле | направлено внутрь трансвер-
сальной замкнутой кривой Q в плоскости К2 и в области, огра-
ничиваемой этой кривой Q, поле имеет ровно одну — при этом
выталкивающую — особую точку х0 (узел или фокус) (рис. 85).
При этих условиях интегральная траектория 7= (x(t), y(t))
поля В, начавшаяся в точках Q, не может дойти до точки х0, по-
скольку точка Xq является выталкивающей. Рассмотрим предель-
ное множество со+(7) этой траектории, точками которого являют-
ся предельные точки в R2 последовательностей {7(^1), 1(^)т .
где Jf->+oo при i -+ 00. Множество со+(1) компактно, замкнуто и
не содержит особых точек поля |. При этих условиях имеет
место.
Теорема (Пуанкаре — Бендиксон). Множество о+(у) явля-
ется периодической интегральной кривой поля |, на которую кри-
вая -у наматывается извне («предельный цикл»).
Доказательство теоремы разобьем на леммы.
518
ГЛ. 3. СТЕПЕНЬ ОТОБРАЖЕНИЯ. ИНДЕКС ПЕРЕСЕЧЕНИЯ
[Ч. II
Лемма 5. Множество <o+(y) вместе с любой точкой А содер-
жит всю интегральную траекторию 7, проходящую через А.
Доказательство. Если А = limуто все другие точки
траектории 7 получатся как At = Иш 7 (f< +1), —00 < t < 00.
Лемма 6. Если множество <о+(7) компактно и не содержит
особых точек поля а сама траектория 7 не периодична, то через
траекторию у можно провести замкнутую трансверсальную кри-
вую поля £.
Доказательство. Пусть 7(^1) и 7(^2)—близкие точки в
но далекие по t: — fel > 1. Такая пара f4, tz всегда имеется
по условию леммы. Соединим пару точек 7(^1), 7(f2) малым
трансверсальным отрезком I и рассмотрим замкнутую кривую
S = l U [7(fi, f2)]. Очевидно, кривая 8 аппроксимируется замкну-
той трансверсалью 8, пересекающей у (рис. 86, пунктирная кри-
вая). Лемма доказана.
Лемма 7. При условиях теоремы через интегральную траек-
торию 7 в множестве <о+(7) нельзя провести замкнутую транс-
версаль.
Доказательство. Предположим противное: для 7 суще-
ствует замкнутая трансверсаль 8. Кривая у входит внутрь кривой
S при t -+ +00. Тем самым исходная кривая 7(f) также входит
внутрь 8. Отсюда следует, что часть кривой 7, оставшаяся вне
трансверсали 8, не может принадлежать множеству <о+(7), по-
скольку 7 прошла через трансверсаль 8. Это противоречит лемме 5.
Тем самым теорема доказана: 7 является периодической тра-
екторией (в силу леммы 6), и 7(f) подходит к ней извне.
Пример. Рассмотрим уравнение второго порядка
х + ах + bx = j(x),
а>0, Ь>0.
Ч. П]
g 15. ИНДЕКС ПЕРЕСЕЧЕНИЯ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ
519
Пусть функция /(у) монотонна и имеет вид, указанный на рис 87.
На фазовой плоскости (х, х = у) имеем векторное поле £(я =
= у, у = —йу — Ьх — f(y)). Окружность 51 достаточно большого
радиуса трансверсальна полю £, и поле £ направлено внутрь этой
окружности. В конечной части
одну особую точку (х = 0, у =
/ ° 1 \
~a + /'(O)J
и корпи таковы:
^-1,2 = у ± — Ь,
плоскости (х, у) поле £ имеет
где p = f'(O) — a.
Отсюда следует, что особая точка (0, 0) будет выталкиваю-
щей, если ReX<>0 или /' (0)>а. Поэтому применима теорема
Пуанкаре — Бендиксона; уравнение (или поле £) имеет предель-
ный цикл.
§ 15. Индекс пересечения и его применения
1. Определение индекса пересечения. Рассмотрим п-мерное
многообразие N (например, Rn) и два его замкнутых подмного-
образия Р и Q размерностей р и q.
Напомним (см. § 10 п. 3), что подмногообразия Р и Q назы-
ваются трансверсально пересекающимися (или, как мы будем
иногда говорить, находящимися в общем положении), если в лю-
бой точке х е Р Я Q касательные пространства Р и Q линейно по-
рождают касательное пространство к N.
Основным свойством общего положения является то, что пе-
ресечение Р Q есть гладкое (р + q — и)-мерное подмногообразие
многообразия №.
Нас особенно будет интересовать случай, когда р + q =« и.
В этом случае пересечение Р П Q состоит из конечного числа то-
чек Xi, ..хт. Если многообразия 2V, Р, Q ориентированы, то каж-
дой точке Xj приписывается знак по следующему правилу. Пусть
Т(₽;)— ориентирующий касательный репер к Р в точке х} и т^) —
ориентирующий касательный репер к Q в точке х^ точке xj при-
писывается знак +, если репер т — (т<>), T<j)) (его невырожден-
ность следует из определения трансверсальности) является ори-
ентирующим для N в точке и знак — в противном случае; этот
внак обозначается через sgnzj(P ° Q).
520
ГЛ. 3. СТЕПЕНЬ ОТОБРАЖЕНИЯ. ИНДЕКС ПЕРЕСЕЧЕНИЯ
14. II
Определение 1. Индексом пересечения многообразий Р, Q
называется целое число
Р о Q = 2 sgn Xj (Р о <2);
в неориентированном случае Р ° Q определяется как вычет mod 2
числа т точек пересечения.
Лемма 1. Имеет место равенство Р ° Q = ( — l)pqQ ° Р.
Доказательство. Если тр и тд— реперы и (тр, тд)—не-
вырожденный n-репер, то знак детерминанта перехода от (тд, тр)
к (тр, тд) есть как раз ( —1)рд. Утверждение леммы вытекает, та-
ким образом, из определения знака точки пересечения.
Теорема 1. Если подмногообразия Q2<=N гомотопны,
т. е. являются образами гомотопных вложений Q N, то их ин-
дексы пересечения с любым Р совпадают:
(pi0 P = Qi°P.
Доказательство. Рассмотрим гомотопию F: QX I -> N
такую, что Р(^ХО) есть и Р(()Х1) есть (?2. Можно считать,
что F — гладкое отображение, ^-регулярное на подмногообразии Р,
Полный прообраз Р_1(Р) есть гладкое одномерное подмногообра-
зие цилиндра QXI с краем dF~'(P) = [(Л А Р] U [(?2 А Р], причем
Qt А Р лежит на нижнем основании цилиндра Q X 0, a Q2 А Р —
на верхнем основании @Х1, и Р-1(Р) трансверсально подходит
к краям цилиндра QXI. Эта картинка на QXI (рис. 88) совпа-
дает с той, которая появлялась в § 13 при
доказательстве инвариантности степени ото-
бражения относительно гомотопии. Теорема
1 доказана.
Следствие 1. Индекс пересечения двух
замкнутых подмногообразий Р и Q евклидо-
ва пространства всегда равен нулю.
Доказательство. Трансляцией на
вектор а е Rn сдвинем Q так далеко, что
рис 88 Q2 = Q + а не будет пересекаться с Р (это
с’ можно сделать ввиду компактности Р и Q).
Тогда Q2° Р — 0 и Q ° Р = 0 в силу теоремы 1.
Следствие 2. Замкнутое связное (п — 1)-мерное подмного-
образие М пространства Rn всегда разделяет Rn на две части
(и поэтому ориентируемо).
Доказательство. Предположим противное: М не разде-
ляет Rn. Возьмем две точки у2 в Rn около точки х М с
двух сторон от М в Rn — локально это имеет смысл. Соединим
точки yi и у2 путем у в Rn, не пересекающимся с М. Замкнем
путь 7 до окружности (цикла) С в Rn с помощью малого отрезка,
4 LI]
§ 15. ИНДЕКС ПЕРЕСЕЧЕНИЯ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ
521
нормального к М в Rn и пересекающегося с М равно в одной
точке. Индекс пересечения С°М равен ±1 (ровно одна точка
пересечения общего положения). Это противоречит следствию
Следствие доказано.
Замечание 1. При выводе следствия 2 мы применяем тео-
рему 1 к возможно неориентированным многообразиям ЛГ; однако
теорема 1 справедлива и в этом случае для вычетов mod 2.
Замечание 2. Следствие 2 перестанет быть верным, если
в нем заменить подмногообразие М cz Rn образом погружения
т. е. допустить самопересечение. Имеются, например,
погружения К/52 в R3 (см. [25]), имеющие самопересечения.
2. Суммарная особенность векторного поля. Пусть задано ка-
сательное векторное поле g па гладком замкнутом многообразии
Р размерности р. Рассмотрим пространство линейных элементов
N размерности п = 2р. Точками многообразия N являются пары
(х, т]), где х — точка из Р и т]—касательный вектор в точке х
(см. § 7). Векторное поле g определяет вложение /: P^N по
правилу fc(x) = (x, %(х)). Обозначим образ этого вложения через
Р(£). Многообразие Р(0), отвечающее нулевому векторному по-
лю, как обычно, отождествляем с Р.
Определение 2. Векторное поле £ называется полем об*
щего положения, если многообразия Р(£) и Р = Р(0) находятся
в общем положении в N.
Векторное поле общего положения имеет лишь изолированные
особые точки g(^)=^0 в силу ^-регулярности. Если многообразие
Р ориентировапо с помощью репера тр в точке х, то N также
ориентировано с помощью репера (тр, тр) во всех точках ви-
да (х, ц).
Лемма 2. Все особые точки Xj поля общего положения не.
вырождены. Знак особой точки xh как точки пересечения Р(0)П'
ПР(5), входящий в определение индекса пересечения Р(0)°Р(|)|
/ I \
совпадает с индексом особой точки sgn det —].
у дх' |x=xj /
Доказательство. Касательное пространство к Р = Р(0)
имеет вид (тр, 0). Касательное пространство к Р(£) в особой
м с. л (а дс,а в\
точке Xj, в которой g = 0, состоит из всех векторов I ц , —g тр ,
\ /
., п (в локальной системе координат (zf) около точки
два репера xf = тр X 0 и х? «=»
ем, 0 = 1
/ дЪа
Xi). Пусть J =
I. Имеем
i /
= xpJ (тр). По определению знака индекса пересечения нужно
составить репер (тр, т?) в N и подсчитать знак детерминанта
матрицы перехода к нему от ориентирующего репера в N. Ориен-
тирующим является репер т2р = (тр, тр). Репер (т?, тр) отлича-
522
ГЛ. 3. СТЕПЕНЬ ОТОБРАЖЕНИЯ. ИНДЕКС ПЕРЕСЕЧЕНИЯ
(Ч. II
есть
Лем-
МНО-
ется от т2р второй группой векторов, и матрица перехода
J = Таким образом, знак совпадает со знаком det/,
ма доказана.
Теорема 2. Для любого замкнутого ориентированного
гообразия Р сумма индексов особых точек любого векторного по-
ля £ общего положения совпадает с индексом пересечения Р(0)°
’Р(^) в многообразии N линейных элементов и не зависит от
векторного поля
Доказательство. Совпадение индекса пересечения Р(0)°
°Р(§) с суммой индексов особых точек векторного поля § непо-
средственно вытекает из леммы 2. Два векторных поля ^(х) и
ц(я) всегда гомотопны, так как любое поле ^(х) может быть свя-
зано с нулевым векторным полем гомотопией £ (я, t) = ££ (х),
Поэтому вложения и Р->Р(ц) для полей £
и ц гомотопны. Из теоремы 1 следует, что индексы пересечения
P(Q)°P(£) и Р(0)°Р(т]) совпадают. Теорема доказана.
Следствие 3. Если р нечетно, то сумма индексов особых
точек векторного поля на замкнутом ориентируемом р-мерном
многообразии Р равна нулю.
Доказательство. Согласно лемме 2 имеем Р(0)<>Р(^ =
= (— 1)р Р (|)»Р (0) = — Р (|)*Р (0). С другой стороны, так как
векторные поля Ои £ гомотопны, то Р(0)°Р(£) = Р(£)°Р(0).
Таким образом,
Р(0)оРа)=-Р(0)оР(£) = 0.
Следствие доказано.
Следствие 4. Для любой гладкой функции f с невырожден-
ными особыми точками Xj на замкнутом ориентируемом р-мерном
многообразии Р выражение 2 (-1)' не зависит от функции
xj
f и равно нулю, если р нечетно. Здесь i(Xj)—индекс особой точ-
ки xh т. е, число отрицательных квадратов формы (РЦХ=.Х.,
Это следует из совпадения чисел (— 1) с индексами осо-
бых точек поля £ = grad/ (см. § 14).
Число 2 (— 1)^ называется эйлеровой характеристикой
многообразия Р. Эйлерову характеристику можно определить по-
-другому через так называемую триангуляцию многообразия Р.
Мы рассмотрим здесь лишь случай п = 2. Предположим, что замк-
нутая ориентированная поверхность Р разбита на треугольники
со следующими условиями: а) каждая точка поверхности Р при-
надлежит хотя бы одному треугольнику;' б) два треугольника
могут пересекаться только по одной вершине или по целому
ребру.
Ч. II]
§ 15. ИНДЕКС ПЕРЕСЕЧЕНИЯ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ
523
Определение 3. Эйлеровой характеристикой поверхности Р
называется число сс0 — «i + где а0 — число вершин, — число
ребер и а2 “ число самих треугольников.
Имеет место
Теорема 3 (Хопф). Эйлерова характеристика поверхности
Р, разбитой на треугольники, совпадает с суммой индексов особых
точек векторного поля общего положения на этой поверхности.
Доказательство. В
силу теоремы 2 достаточно
предъявить одно гладкое Л \ \\
векторное поле ^(х) на по- \ I /К
верхности Р, для которого // \ \
теорема верна. Укажем та- ///\ [ /'/1
кое поле. В центрах тре- ////
угольников «посадим» вытал- \ /
кивающие особые точки ти- ( \ 1У /
па узла. В вершинах мы по-
местим «всасывающие» осо-
бые точки. В центре каждо- Рис. 89
го ребра поместим по седлу.
Легко построить векторное поле имев по с такими особенностями
(рис. 89; на рисунке указаны интегральные траектории искомого
поля, которое отдельно строится в каждом треугольнике). Всасы-
вающая и выталкивающая особые точки имеют индексы +1 для
п = 2, а седло имеет индекс —1.
Это построение и доказывает нашу теорему.
Для поверхности с g ручками эйлерова характеристика равна
2 — 2g (проверьте!). Полагая g —О, получаем, что эйлерова харак-
теристика сферы равна 2.
3. Алгебраическое число неподвижных точек. Теорема Брауэ-
ра. Пусть задано гладкое отображение /: М -> М замкнутого ори-
ентированного n-мерпого многообразия М в себя, Будем изучать
неподвижные точки отображения /, т. е. решения уравнения
j(x)=*x. Пусть X) — неподвижная точка и (х“)— локальные ко-
ординаты около этой точки; отображение / имеет вид х* =
-ГМ.......->)
Определение 4. Неподвижная точка Xj называется невы-
рожденной, если матрица
(л / ® \
невырождена. Знак sgn det (1 — df) [х=Ху называется знаком непо-
движной точки xjt Сумма 2 s8n det (1 — ^/) |х=х> = L (/) называет- '
ся алгебраическим числом неподвижных точек (числом Лефшеца),
если все они невырождены. Отображение / называется отображен
524
ГЛ. 3. СТЕПЕНЬ ОТОБРАЖЕНИЯ. ИНДЕКС ПЕРЕСЕЧЕНИЯ
14. II
нием общего положения, если все его неподвижные точки невы-
рождены.
Рассмотрим прямое произведение М X М и выделим в нем два
подмногообразия:
1) диагональ Д, состоящую из точек вида (х, х);
2) график Д(/) отображения f, состоящий из точек (х, /(х)).
Диагональ Д и график Д(/) представляют собой гладкие под-
многообразия произведения М X М, диффеоморфные М.
Теорема 4. Индекс пересечения совпадает с алгеб-
раическим числом неподвижных точек отображения f.
Доказательство. Точки пересечения Д П Д(/) соответст-
вуют точкам Xj^M с f(Xj) = Xj. Пусть хп— ориентирующий репер
многообразия М в точке х,; тогда (хп, тп) — ориентирующий ре-
пер для Л/ХЛ/ в точке (Xj, Xj) диагонали Д. Ориентирующим
репером для Д служит хп X хп. Ориентирующий репер для Д (/)
есть xnXdf(xn), где df — дифференциал отображения f в точке х^
Матрица перехода от репера (хп, хп), ориентирующего МХМ,
к составному реперу (xnXrf/(xn), xnXxn) имеет вид
1 1\ /Г 0 \
df 1 — df)1
и ее определитель равен det(l — df). Теорема доказана.
Следствие 5. Если отображение f\M-+M гомотопно нулю
(отображению в одну точку), то L(f) = ±l и отображение f име-
ет хотя бы одну неподвижную точку.
Доказательство. По теореме 2 индекс пересечения не из-
менится, если отображение f подвергать гомотопии. Если же ото-
бражение f: М -> М переводит все в одну точку xQ = f(M), то
индекс пересечения Д(/)°Д равен =tl, так как пересечение диа-
гонали Д с сомножителем Д (/) = М X xQ есть ровно одна точка
(х0, х0) общего положения. Следствие доказано.
Следствие 6 (теорема Брауэра). Всякое непрерывное ото-
бражение f: Dn -> Dn диска (или шара) в себя имеет неподвиж-
ную точку.
Доказательство. Представим диск как нижнюю полусфе-
ру на сфере Sn в Rn+1. Рассмотрим отображение складки гр:
Sn -> Dn, неподвижное на нижней полусфере и проектирующее
верхнюю полусферу на нижнюю, и суперпозицию
Sn Д Dn-L Dn^Sn.
Эта суперпозиция есть отображение Sn -> Sn, гомотопное нулю.
Оно имеет неподвижную точку и эта точка лежит в Dn и явля-
ется неподвижной точкой отображения /. Следствие доказано.
Пример 1. Отображение f окружности в себя вида z zn
(или nqp) имеет степень deg f = п и ровно п — 1 неподвижных
точек 2П — 2, |zl= 1. Эти точки суть корни из единицы, 2п'1в1.
ч. II] б 15. ИНДЕКС ПЕРЕСЕЧЕНИЯ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ 525
Отсюда в силу гомотопической иинвариантности числа L(f) по-
лучаем, что для отображений S1 -* S1 степени п число £(/) рав-
но п — 1.
Пример 2. Отображение 52 S2 вида z^zn в комплексных
координатах имеет ровно п конечных неподвижных точек в С1 -
*= R2 и одну бесконечно удаленную. Проверьте, что все эти точ-
ки не вырождены п имеют знак +1. Отсюда следует, что L(f)=^
в п +1.
Задачи. 1. Показать, что для отображения Sm-^Sm степени
п число £(/) равно п— 1 при нечетном т и равно п +1 при чет-
ном т. (В частности, антиподальное отображение сферы
не имеющее неподвижных точек, имеет степень (—I)™'1.)
2. Вычислить число £(/) для линейного отображения / тп-мер-
ного тора Тт в себя, задаваемого целочисленной матрицей А по-
рядка пг. (Тор представляется как фактор пространства Rm по
целочисленной решетке.)
4. Коэффициент зацепления. Рассмотрим теперь пару гладких
замкнутых регулярных направленных кривых и в R3, не
пересекающихся друг с другом. Пусть кривые задаются в виде
7»(0 = гЛ^)» 0 t 2л, где г — радиус-вектор точки вК3.
Определение 5. Коэффициентом зацепления двух кривых
71 и у2 называется число («интеграл Гаусса»)
{т1,та=^мр>, (1)
ViVa 1Г121
где г12 = г2 — п.
Интуитивно, коэффициент зацепления представляет собой ал-
гебраическое число витков, с которым один контур (например,
провод) охватывает другой. Выражением этого является
Теорема 5. а) Коэффициент зацепления является целым
числом и* не меняется. при деформациях замкнутых кривых
и у2, при которых они попарно не пересекаются.
б) Рассмотрим отображение диска F\ Z)3->R3, совпадающее
с на границе S1 = dD2 и находящееся в общем положении
(t-регулярное) на кривой Тогда индекс пересечения F(D2)°y2
совпадает с коэффициентом зацепления {71, 72k
Доказательство. Замкнутые кривые 7<(0 = г*(0, i=l, 2,
определяют двумерную замкнутую ориентированную поверхность
Ti X ?2: (Gt ^)K*(ri(G)> г2 (*г)) в пространстве R6- Пусть кри-
вые 71 и у2 не пересекаются. Тогда определено отображение ср
поверхности 71X72 в сферу S2:
Степень такого отображения как раз дается интегралом (1). Сле-
довательно, этот интеграл — целое число. При деформациях
526
ГЛ. 3. СТЕПЕНЬ ОТОБРАЖЕНИЯ. ИНДЕКС ПЕРЕСЕЧЕНИЯ
(Ч. И
замкнутых кривых Yi и Y2, при которых они попарно не пересе-
каются, отображение ф меняется на гомотопное. Поэтому коэф-
фициент зацепления {'Yi, Ya) = deg ф при таких деформациях не
меняется.
Если кривые не зацеплены, т. е. их можно растащить по раз-
ные стороны от одной двумерной плоскости, то deg ф = Y2^
есть нуль (напомним, в процессе деформации кривых Yi и Ya не
должны взаимно пересекаться). Поэтому при помощи гомото-
пии, указанной на рис. 90, а, б, задачу вычисления коэффициен-
та зацепления можно свести к простейшему случаю, изображен-
ному на рис. 90, в. Это вычисление становится особенно простым,
Рис. 90
если радиус одной окружности устремить к бесконечности. Та-
ким образом, кривые Yn Y2 имеют вид г1(^)==(0, 0, ^), —оо <
< ti < о>, r2(t2) — (cos ^2, sin ^2, 0), 0 < t2 С 2л. «Коэффициент за-
цепления» таких кривых равен
Т2} =
ОО 2Л
Xff dt 1 A dt2
4л J J (! + «2)3/2
—оо 0 k
2
= 1Я
где мы сделали подстановку «= sh 2.
Итак, для простейшего зацепления (рис. 90, в) коэффициент
<Yi, Y2} равен 1; для незацепленных кривых — нулю. Отсюда легко
следует утверждение теоремы.
Глава 4
ОРИЕНТИРУЕМОСТЬ МНОГООБРАЗИЙ.
ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА.
НАКРЫТИЯ
(РАССЛОЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА
С ДИСКРЕТНЫМ СЛОЕМ)
§ 16. Ориентируемость и гомотопия замкнутых путей
1. Перенос ориентации вдоль пути. Простейшее определение
ориентации на многообразии, данное выше (см. § 1), состояло
в том, что многообразие М покрыто системой областей CZj с коор-
динатами (лг“), причем все замены координат во всех пересече-
ниях П Uk имеют положительный якобиан:
det —yj > 0.
W/
Другое определение (см. § 2), эквивалентное первому, состояло
в том, что на многообразии в каждой точке х^М указан класс
ориентирующих касательных реперов (невырожденных п-реперов,
n==dimiV), отличающихся друг от друга линейным преобразова-
нием с положительным детерминантом. При этом класс ориенти-
рующих реперов должен непрерывно меняться вместе с точкой
многообразия М,
Эти определения были удобны для доказательства ориентиру-
емости некоторых классов многообразий, например комплексных
многообразий и поверхностей в R » заданных неособой системой
уравнений /1 = 0, ..., /п-л = 0. Нашей целью теперь является
доказательство неориентируемости некоторых многообразий. Для
удобства мы введем на многообразии М риманову метрику ga&.
Кроме того, многообразие М будем считать связным.
Определим операцию переноса ориентации вдоль путей. Пусть
задан кусочно гладкий путь 7 = 7 (О в многообразии М и невы-
рожденный касательный n-репер тп(£) во всех точках пути у,
непрерывно зависящий от где 0 С t С1. При этих условиях
введем
Определение 1. Класс ориентации репера Tn(Olt~i в точ-
ке 7(1) мы будем называть переносом класса ориентации репера
тп(0) в точке 7(0) вдоль пути 7.
528
ГЛ. 4. ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА. НАКРЫТИЯ
[Ч. II
Операция переноса ориентации вдоль путей обладает следу-
ющими свойствами:
а) Из любой точки х можно однозначно перенести ориентацию
во все достаточно близкие точки многообразия вдоль малых пу-
тей, целиком находящихся в окрестности точки х.
Это свойство очевидно, так как вся малая окрестность точки
х находится в пределах одной координатной системы.
б) Для любого кусочно гладкого пути у перенос ориентации
существует и не зависит от выбора невырожденного реперного
поля xn(i) вдоль кривой.
Существование вытекает из возможности параллельного пере-
носа репера вдоль гладких и кусочно гладких кривых. Незави-
симость от выбора реперного поля доказывается так: пусть т? (i)
и т2 (0 два реперных поля вдоль одной кривой 7(i), имеющие
одинаковые ориентации при t = 0. Матрица перехода от т” к т?
в момент t дает матричную функцию A(t) с det Л (£)=/= 0 при
всех t и sgndet4=+l при £ = 0. Тогда sgndet^=+l и при
всех i.
в) Если два кусочно гладких пути 7i(i) и 4z(t) соединяют од-
ни и те же точки и могут быть переведены один в другой ку-
сочно гладкой гомотопией, закрепленной в концах хо = 71(0) —
— 7г(0), Xi = Yi(l) = 7г(1), то переносы ориентации вдоль этих
путей совпадают.
Доказательство. Рассмотрим гомотопию F(t, т), где 0^
С t < 1, 0СтС1, F (t, 0)=7i(i), F (t, 1)=7г(£), и все пути
F(t, т) с любым i== const кусочно гладкие. Пусть xn(i) —репер-
ное поле вдоль кривой 7i(i)“ F(t, 0). Совершим параллельный
перенос реперов тп(£) вдоль кривых F(t, т) по параметру 0
Ст^1. Заметим, что точки xo = F(O, т) и Xi=F(l, т) непод-
вижны при гомотопии. В силу непрерывности операции парал-
лельного переноса в римановой геометрии (см. часть I, § 29)
получаем непрерывное реперное поле вдоль кривой 4i(t) = F(t, s)
как результат параллельного переноса реперов xn(i) вдоль кри-
вых F(t, т), t = const.
Из этих свойств вытекает
Теорема 1. Связное многообразие М ориентируемо тогда и
только тогда, когда параллельный перенос вдоль любого замкну-
того (начинающегося и кончающегося в одной точке) пути со-
храняет ориентацию.
Доказательство. Если имеется замкнутый путь 7, начи-
нающийся и кончающийся в точке xQ, который обращает ориен-
тацию (т. е. перенос репера тп вдоль пути 7 из х0 в х0 приводит
к реперу другой ориентации), то ориентировать многообразие не-
возможно. Действительно, если в каждой точке указана одна
ориентация, непрерывно зависящая от точки, то любой замкну-
тый путь сохраняет ориентацию репера. Докажем обратное ут-
Ч. II] § 16. ОРИЕНТИРУЕМОСТЬ И ГОМОТОПИЯ ЗАМКНУТЫХ ПУТЕЙ 529
верждение. Пусть все замкнутые пути из х0 в х0 сохраняют ори-
ентацию. Зададим первоначально ориентацию (класс реперов)
в точке х0. Ориентация в любой точке Zi получается из ориента-
ции в точке х0 путем переноса вдоль кусочно гладкого пути у из
л0 в Если точки х0 и xt соединяют два разных пути и у2, то
они дают одинаковый перенос ориентации из х0 в поскольку
иначе путь Т?1 ° Ух = <7(т) из х0 в х0 обращал бы ориентацию.
Здесь путь у?1 есть путь у2, пройденный в обратную сторону,
а суперпозиция путей у21 ° Ух есть путь ?(т), О С т С 2, где ?(т) —
= У1(т) при 0^т<1 и <?(т)= у2(2 — т) при 1^т^2. Теорема
доказана.
Рис. 91. Лист Мёбиуса в К3 («односторонняя поверхность»).
2. Примеры неориентируемых многообразий. Пример 1.
Лист Мёбиуса с координатами ф, £, 0 ф С 2л, — 1 t С 1, и
отождествлением (0, i)~(2n, — t) (рис. 91). Непосредственно
очевидно, что кривая у = (ф, 0) обращает ориентацию (про-
верьте!).
Рис. 93
Пример 2. Проективная плоскость RP2. Реализуем RP2
в виде диска jD2, у которого на границе 51 = dD2 противополож-
ные точки отождествлены. Окрестность проективной прямой
RP1 с R/52, реализованной на рис. 92 как диаметр, проходящий
через начало координат, есть лист Мёбиуса (проверьте!). Поэто-
му RP1 обращает ориентацию и R^2 — неориентируемая по-
верхность.
Задача. Докажите, что многообразие RPn неориентируемо
при четных п и ориентируемо при нечетных п.
34 б. А. Дубровин и др.
530
ГЛ. 4. ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА. НАКРЫТИЯ
(Ч. П
Пример 3. Бутылка Клейна. Рассмотрим квадрат {(£, т)\
0 t < 1, 0^т<1} и произведем отождествление (£, 0) ~
«(! — £, 1) и (0, т)«(1, т) (на рис. 93 отождествляемые сто-
роны обозначены одной буквой). Проверьте, что бутылка Клейна
не орие нтиру е ма.
§ 17. Фундаментальная группа
1. Определение фундаментальной группы. Рассмотрим произ-
вольное линейно связное многообразие М (или даже более об-
що — линейно связное топологическое пространство М) и отметим
в нем некоторую точку х0 е М. Непрерывные (или кусочно глад-
кие) пути 71(0, 0 t < 1, и 7г (0, можно «перемно-
жать» в том случае, если конец пути 7t совпадает с началом
пути 72.
Определение 1. Произведением путей 72 и 7t называется
путь 72 ° 71 = 9(0, 0 2, такой, что
9(0 = 7i(0, 1,
9(0 = 72(0, 1^^2.
Определение 2. Обратным путем 7"‘(0 называется тот
же самый путь 7(0, но пройденный в обратную сторону: 7"‘(0=1
= 7 (1 - 0, если 0 < 1.
Определение 3. Мы назовем пути 71 (0 и 72(0 эквива-
лентными, если они отличаются монотонной заменой переменной
7i(Ot)) = 72(t), ^>0. В дальнейшем мы будем назы-
вать направленным путем класс эквивалентных путей и выби-
рать наиболее удобного представителя (например, делать удобные
нам сдвиги параметра).
Рассмотрим совокупность всех замкнутых направленных пу-
тей, начинающихся и кончающихся в одной и той же точке
Хц<=М. Это множество путей обычно обозначается через Й(х0, Л/).
Совокупность всех направленных путей из точки в обозна-
чается через Й(я0, #i, М). Пути из Q(x0, М) можно перемножать.
В этой совокупности имеется единица е — это постоянный путь
e(t)^Xv при всех t.
Заметим, что гомотопический класс произведения двух направ-
ленных путей не изменится, если заменить сомножители гомотоп-
ными. Поэтому можно говорить о произведении гомотопических
классов направленных путей.
Теорема 1. Гомотопические классы направленных путей из
Q(x0, М) образуют группу относительно операции умножения,
причем обратным элементом является гомотопический класс об-
ратного пути, а единицей — гомотопический класс единичного
пути.
Ч. П1
§ 17. ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА
531
Эта группа обозначается через Jti(lf, х0) и называется фунда-
ментальной группой в точке х0. (Предполагается, что в процессе
гомотопии пути начало и конец все время находятся в точке х0.)
Доказательство. Покажем, что путь 7-1 ° 7 гомотопен
единице-е (рис. 94). Гомотопия (деформация) пути 7-1°7 к еди-
нице осуществляется только по телу самого
пути 7. Достаточно произвести эту деформа-
цию на самом отрезке [0, 1]. Рассмотрим \ 1
отображение q отрезка 0 < х < 2 в отрезок Zr I
[О, 1], складывающее отрезок [0, 2] пополам (/ Н
в точке х = 1: / 7/
q (х) = х, х 1,
д(х) = 2 — х, х 1.
Рис. 94
Отображение q (х) очевидной деформацией по отрезку превра-
щается в постоянное отображение, причем в процессе деформа-
ции концы х = 0 и х = 2 все время отображаются в точку 0 (точ-
ка х = 1 не является концом). Если задано отображение 7(/),
0 < t < 1, то путь 7-1 ° 7 получается как 7(д(х)) по определению.
Деформируя д(х) к единице, получим деформацию пути 7“1 ° 7
к единице в М.
Докажем ассоциативность умножения. Пусть заданы три пути
71, 7г, 7з< Определим их произведение 7i°72°7s как путь д(х)
для 0 С х 3, где Q = 71 при х < 1, 7 = 7г при 1 и д = 7з
при х 2. Это произведение с точностью до (монотонной) заме-
ны параметра совпадает как с (71 ° 7г) ° 7з, так и с 71°(72°7з)-
Таким образом, произведение гомотопических классов ассоциа-
тивно. Теорема доказана.
Рассмотрим теперь непрерывное отображение /: М N. где
/(яо) = Уо. Каждый путь 7(/) в М переходит в путь /(7(^)) в N.
причем произведение переходит в произведение и гомотопные
пути переходят в гомотопные. Если задана гомотопия F (х, t) =
отображения / = /0 такая, что F{x0, i)^x0, то гомотопия
замкнутых путей, начинающихся и кончающихся в точке х0,
также сохраняется. Итак, доказана
Теорема 2. При непрерывных отображениях пространств
{многообразий) /: М -> N таких, что f{xQ) = yQ, фундаментальная
группа испытывает гомоморфизм
x9)-^n!(N, уп),
который не меняется при гомотопии отображения /, оставляющей
неподвижной точку х0. В частности, если М =N и отображение
/ гомотопно постоянному отображению М х0, то гомоморфизм
f* тривиален {любой элемент переходит в 1). Если отображение
f гомотопно тождественному отображению 1М, то гомоморфизм
/♦ является изоморфизмом.
34*
532
ГЛ. 4. ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА. НАКРЫТИЯ
[Я. II
2. Зависимость от начальной точки. Выясним теперь зависи-
мость фундаментальной группы лДМ, xQ) от точки xQ. Опреде-
лим операцию переноса группы яДЛ/, х0) в группу лДМ,
вдоль пути 7 из х0 в xt.
Теорема 3. Всякий путь 7, идущий из xQ в xh определяет
изоморфизм 7*: лДМ, лДМ, х0). Этот изоморфизм зависит
лишь от гомотопического класса пути 7 (в процессе гомотопии
_____________________ концы стоят на месте в точках xQ и xh
т. е, гомотопия происходит среди пу-
Te& из х^ М)). Если начало и
конец совпадают: xQ = xi3 то путь 7
сам представляет элемент лДМ, х0);
хо___________________изоморфизм 7* является в этом случае
Рис. 95 внутренним:
7*(а) = 7“1а7.
Доказательство. Если 71 — путь, представляющий эле-
мент лДМ, xj, то путь 7* (71), представляющий элемент лДМ, х0),
определяется как 7-1 ° 71 ° 7 (рис. 95). Произведение 710 72 пе-
реходит при этом в 7* (71 ° 7z) = 7”10 7i0 7 0 К-1 ° 7г ° 7 и гомотопно
7*(7i)° 7*(7z), Таким образом, отображение 7* является гомо-
морфизмом
7*: П1(Л/, Х1)->Л1(Л/, хй).
Рассмотрим обратный путь 7-1 из Xi в х0. Получим гомо-
морфизм
(7-1)*: лДМ, х0)->Л!(М, х^.
Обе суперпозиции 7* ° (7-1)* и (7“*)* 07* дают тождественные
изоморфизмы групп Л1(Л/, Xq) и Л1(М, Xi). Поэтому 7* и (7-1)*
являются взаимно обратными изоморфизмами. Если xQ = xl9 то
из определения гомоморфизма 7* очевидно, что 7* (а) = 7"1 ° а ° 7
для любого элемента а из лДТИ, xQ). Теорема доказана.
3. Свободные гомотопические классы отображений окружности.
Рассмотрим теперь задачу о классификации «свободных» гомо-
топических классов отображений окружности S1 в линейно связ-
ное многообразие М (или топологическое пространство). При этом
начальная точка на окружности S1 не отмечена.
Теорема 4. Множество [51, М] гомотопических классов ото-
бражений S1 М находится в естественном взаимно однозначном
соответствии с классами сопряженных элементов в группе
лДМ, х0) {при любой точке хй).
Доказательство. Отметим па окружности 51, 0 < ф < 2л,
начальную точку фо = О. Докажем сначала, что всякое отобра-
жение 7: S1 -> М гомотопно такому, при котором точка ф0 пере-
ходит в заданную точку xQ из М. Рассмотрим образ 7(фо) = #1 и
соединим точки Xi и xQ путем 7Ь Рассмотрим путь ?(т), 0 т < 3,
Ч. II]
§ 17. ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА
533
<7 = из х0 в х0:
2 = Y,
0<т<1,.
1<т^2,
q = Yi \ 2 <3^3.
Путь q гомотопен пути у как отображение окружности и пере-
водит точку фо в х0.
Таким образом, каждому гомотопическому классу отображений
51 -> М соответствует элемент из Л1 (Л/, я0), но, возможно, не
один. Рассмотрим два элемента at и а2 из Л1(Л/, я0), гомотопные
как отображения окружности S1 -> Л/, где в процессе гомотопии
F (ф, t), 0 < ф < 2л, 0 С 1, начальная точка ф = О движется
по замкнутому пути р из х0 в х0:
^(ф, 0) = а1т ^(ф, 1) = а2, Г(ф0, =
Наглядно очевидно, что путь at определяет в группе Л! (Л/, х0)
тот же элемент р~'а2р (рис. 96). Обратно, пути at и а2 = ра1Р-1
свободно гомотопны (как отображения S1 -> М — рис. 97), На
Xq
t
Р'
х0
Хц
Р
J ftyt)
f I
I
J
I
I
А
I
I
А
к
Рис. 96
рис. 97 показана плоская область с двумя выколотыми точками
а и Ъ. Пути р и ai охватывают точки а и Ъ, Путь a2 = paiP-1
показан пунктирной линией. Наглядно очевидно, что этот путь
можно снять с точки а и перевести деформацией в путь ab дви-
гая начало вдоль пути р (можно проделать с ниткой). Теорема
доказана.
4. Гомотопическая эквивалентность. Во многих случаях откры-
тое многообразие М размерности п (например, область в евкли-
довом пространстве Rn) можно стянуть по себе к подмноже-
ству меньшей размерности (вообще говоря, не к подмногообра-
зию), для которого вычисление фундаментальной группы Л! и
других инвариантов значительно проще. Чтобы это аккуратно
сформулировать, введем важное понятие гомотопической экви-
валентности. Пусть заданы два многообразия (топологических
пространства) М и N и два непрерывных отображения (гладких
534
ГЛ. 4. ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА. НАКРЫТИЯ
(Ч. II
или кусочно гладких в случае многообразий)
/: M-N,
g: N-M,
Суперпозиции / ° g: N -* N и g ° /: M -► M отображают многообра-
зия N и М в себя. Для каждого из них имеется тождественное
отображение: 1М: ММ и 1N: N N.
Определение 4. Многообразия (пространства) М и N на-
зываются гомотопически эквивалентными друг другу, если най-
дутся такие отображения / и g, что суперпозиции / ° g и g ° / го-
мотопны тождественным отображениям In и 1м соответственно.
Если М и N гомотопически эквивалентны, то будем писать М ~ N.
Основное свойство гомотопически эквивалентных пространств
М и N состоит в следующем: для любого многообразия (про-
странства) К множества гомотопических классов отображений
М\ и [X, 2V] находятся в естественном взаимно однозначном
соответствии.
Доказательству этого факта мы предпошлем следующее заме-
чание. Понятие гомотопической эквивалентности можно слегка
модифицировать, введя отмеченные точки. Именно, будем считать,
что в М и N отмечены точки х0 и у0 соответственно, и потре-
буем, чтобы отображения /, g и гомотопии, связывающие / ° g и
g°f с In и 1м, переводили отмеченные точки в отмеченные. Мож-
но показать, что для достаточно хороших пространств, как, ска-
жем, многообразий, новое понятие гомотопической эквивалентно-
сти не отличается от старого.
Сформулированное выше свойство гомотопически эквивалент-
ных пространств также имеет модифицированную формулировку:
если пространства с отмеченной точкой М и N гомотопически
эквивалентны, то для любого пространства К с отмеченной точ-
кой к0 множества гомотопических классов отображений К-* М и
К -> N, переводящих отмеченную точку в отмеченную, находятся
в естественном взаимно однозначном соответствии.
Доказательство. Отображения / и g естественным обра-
зом порождают отображения множеств гомотопических классов
/*: [X, М]~>[К, N] и g*: [К, N]-»[K, М].
Очевидно, (fg)* = (gf)* = 1 и (/g)*=/+g*, (gf)* = g*f*. Отсюда
следует, что отображения /* и g* взаимно обратны и [X, М] «
« [X, N].
При наличии отмеченных точек доказательство дословно
такое же.
5. Примеры. П р и м е р 1. Евклидово пространство Rn (как
и любая стягиваемая область в нем) гомотопически эквивалентно
одной точке е R ; R ~ xQ.
Ч. П]
§ 17. ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА
535
Доказательство, Вложение /: х0->Рп и постоянное ото-
бражение таковы, что = а отображение /°g:
(R”-*-!!?71, -переводящее все Rn в х0, гомотопно тождественному
отображению lRn- Действительно, гомотопия F(x, £) задается
формулой F(х, 0) —х, F(х, 1) = х0 и F(х, = — I) (х — х0), 0^
Для любого множества ЛсгР71, которое по себе стяги-
вается к точке х0^Л, доказательство аналогично (проведите его!).
Хо-
Примеры таких областей дает единичный шар Dn и любая го-
меоморфная ему область. Стягиваемым является также дерево Л
(т. е. граф или одномерный комплекс, не имеющий циклов)
(рис. 98). Все эти объекты гомотопически эквивалентны точке и
имеют тривиальную фундаментальную группу
лДО?”, х0) = 1, n1(Dn, х0) = 1, 34(4, х0) = 1.
Пример 2. Рассмотрим область на плоскости К2, из кото-
рой выколото несколько точек alt ..., ап. Область Pa\(«i U ...
... U гомотопически эквивалентна «букету» окружностей,
скрепленных в одной точке (см. рис. 99; на этом рисунке дефор-
мация R2\(«i U аг) к букету Л наглядно очевидна). В част-
ности, для одной точки лей?2 область Р2\а гомотопически
эквивалентна окружности S1 (задайте гомотопию формулой!).
Пример 3. Область, получающаяся из Р3 удалением одной
точки а, гомотопически эквивалентна сфере S2. Область, получа-
ющаяся из R3 удалением целого набора точек aif ..ah4 гомо-
топически эквивалентна букету к сфер S2 (проверьте!). Область
С?3\Р1 гомотопически эквивалентна окружности S1 (проверьте!).
Пример 4. Рассмотрим сферу 53 = R3 J °° и область U
в S3, полученную удалением некоторой окружности S1 (несамопе*
ресекающейся): SAS1,
536
ГЛ. 4. ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА. НАКРЫТИЯ
[Ч. II
Задача. Если окружность 51 незаузлена (т. е. задается,
например, уравнением х2 4- у2 = 1 в плоскости R2 с: R3 J ^3)*
то область U = гомотопически эквивалентна окружности 51;
область V = СА (точка) = R3\51 гомотопически эквивалентна
букету окружности S1 и двумерной сферы S2 (рис. 100).
Используя полученные результаты, получаем для фундамен-
тальной группы лДЛД гЕо):
а) лг (Rn) = лг (Dn) = лг (Л) = 1 (где А — любое стягиваемое
по себе к точке множество);
б) л1(51) = Z, где Z— группа целых чисел или цикличе-
ская группа с одной образующей; это следует из гомотопической
классификации отображений 51 S1, данной в § 13;
в) лг (R2\aj = лх (51) = Z = Л! (R3\R1);
г) лг (R2\ (аг J ... J ап)) = лг (51 V • • • V ^п) (букет окруж-
ностей; для п = 2 — «восьмерка»);
д) л1(53\51) = лДЗ1) =Z (см. пример 4).
Задача. ^1(R3\51) = Z (если окружность 51 с: R3 пеза-
узлена).
е) Легко доказывается следующее утверждение:
Л1 (5П, х0) = 1 при п > 1.
Доказательство. Рассмотрим кусочно гладкое отображе-
ние /: 51 Sn при п>1. У правильной точки yQ^Sn полный
прообраз пуст, так как n> 1. Поэтому образ /(51) лежит в Rn
и стягивается к точке. Утверждение
доказано.
/ Замечание. Аналогичное рас-
/ \ суждение показывает, что для любо-
го S2 j го многообразия К размерностей <п
------j множество гомотопических классов
\ J [/£, 5П] тривиально (состоит из одно-
го элемента).
В дальнейшем мы вычислим фун-
Рис. 100. Букет S1 V 52. даментальную группу ряда конкрет-
ных многообразий (и пространств):
букетов окружностей и тем самым областей на плоскости R2,
замкнутых поверхностей, областей R3\51, где окружность 51
может быть и заузлена.
6. Фундаментальная группа и ориентируемость. Из результа-
тов § 16 следует, что каждый гомотопический класс замкнутого
пути на многообразии М с началом и концом х0 (т. е. элемент
из Jii(Af, Zo)) сохраняет или обращает ориентацию репера при
переносе, т. е. имеет знак +1 или —1. Возникает гомоморфизм
о: х0)->{± 1} = Z2
в группу Z2 из двух элементов: 0(7) = sgn 7 = ±1. Для ориенти-
руемых многообразий гомоморфизм о тривиален; для неориенти-
Ч. II]
§ 18. НАКРЫТИЕ И НАКРЫВАЮЩАЯ ГОМОТОПИЯ
537
руемых нетривиален, так как имеются пути, обращающие ориен-
тацию. Получаем
Следствие. Фундаментальная группа неориентируемого
многообразия нетривиальна и имеет ненулевой гомоморфизм о
в группу из двух элементов.
Для листа Мёбиуса имеем Jii (М) = Z, так как лист Мё-
биуса стягивается к центральной окружности 51. Для проектив-
ной плоскости имеем (RP2) #= 1. Ниже будет показано,
что (К/*2) = Z2.
§ 18. Накрытие и накрывающая гомотопия
1. Определение и фундаментальные свойства накрытий. Поня-
тие накрытия возникает из рассмотрения графиков многозначных
функций, у которых число значений постоянно и ветви нельзя
разделить.
Рассмотрим регулярное отображение /: М N многообразий
одинаковой размерности, обладающее следующими свойствами.
а) Якобиан отображения / отличен от нуля во всех точках х
многообразия М\
det ( ^#=0,
где уа — координаты около точки у <= АГ, х$ — координаты около
точки х<=М.
б) Каждая точка y^N обладает окрестностью Uj<=N, полный
прообраз которой f~*{Uj) представляет собой объединение непе-
ресекающихся областей: {Uj) = VU V2j U ..«, причем на каж-
дой области Vhj отображение /: Vw Uj является диффеоморфиз-
мом между и Uj. Будем считать, что все многообразие N по-
крыто конечным или счетным числом таких областей причем
каждая точка y*=N (и даже каждое компактное множество в N)
принадлежит лишь конечному числу этих областей. Аналогичное
требование накладывается па покрытие многообразия М обла-
стями Vw.
Определение 1. Отображение /: М N, обладающее свой-
ствами а) и б), называется накрытием. Фактически для опреде-
ления накрытия достаточно лишь свойства б). Многообразие А
называется базой накрытия, а М называется пространством на-
крытия {накрывающим пространством). Слоем накрытия F назы-
вается полный прообраз любой точки ^ = /-1(y). Число областей
Vw в полном прообразе f~'{Uj) (или число точек слоя) называ-
ется числом листов. Если это число конечно и равно пг, то на-
крытие называется пг-листным.
Пусть многообразие N связно; накрытие называется неприво-
димым, если многообразие М также связно. Накрытие называется
538
ГЛ. 4. ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА. НАКРЫТИЯ
(Ч. II
тривиальным, если многообразие М есть прямое произведение
М = N X F, где слой дискретен (совокупность конечного или счет-
ного множества изолированных точек).
Имеет место
Лемма 1. Число листов накрытия не зависит от выбора,
точки у N, если N связно.
Доказательство. Соединим две точки у0 и yi кусочна
гладким несамопересекающимся путем 1(0» OC^Cl. Разобьем
1 к
отрезок [0, 1] на К равных кусков 6ft длины где-£<1г<1
к в отрезке 6ft, к = 0, ..., К — 1. Число К выберем столь
большим, что каждый отрезок пути y(6ft) целиком попадает в одну
область Uh указанную в определении накрытия. По определению
накрытия полный прообраз Л1 (1(6*)) есть набор отрезков,
Л1(7(6*))=бл.1иб;Л,2и...,
где отрезки 63*.д лежат целиком в областях и изоморфно
проектируются в отрезок пути 1(6*) при отображении /. Таким
образом, в пределах отрезка 6* полный прообраз каждой точки
пути у меняется непрерывно с временем t, причем его точки не
сливаются друг с другом. Поэтому у всех точек пути у(6Л) про-
образы одинаковы. Дойдя до конца отрезка 6ft, повторим это рас-
суждение с отрезком 6ft+i уже в области Ujk+l и т. д. (всего
К раз) до конца отрезка [0, 1]. Лемма доказана.
Из доказательства леммы 1 вытекает также
Лемма 2. Полный прообраз кусочно гладкого несамопересе-
кающегося пути у (с разными концами у0 и yj является пря-
мым произведением отрезка у на слой F, т. е. объединением не-
пере секающихся отрезков в количестве, равном числу точек ело яг
Каждый из этих отрезков изоморфно проектиру-
ется при отображении f на путь у в базе N.
Доказательство. Если точки слоя при t — 0, I(0) = у^
занумерованы индексами 1, 2, ..., то введем в множество F~
= /-1(l) координаты t, п, 0 < 1, n = l, 2, так: при t — О
точкам слоя F = /^(у0) = У”1 (l(0)) придадим координаты (0, п}
согласно нумерации точек слоя. Двигаясь вдоль у, переносим ну-
мерацию точек слоя ^’ = /”1(l(0) по непрерывности, как в дока-
зательстве леммы 1, и придаем им координаты (t, п). Лемма 2
доказана.
Определение 2. Мы скажем, что путь р,(£) в М накрывает
путь у(0 в N, если /(ц(0) — 1(0* Из леммы 2 вытекает
Следствие 1. Для любого кусочно гладкого пути у(£) в N
накрывающий путь ц(£) в М существует и однозначно определя-
ется одной своей точкой ц(£0)еЛ/, где /ц(£0) = 7 (£0).
Для доказательства достаточно разбить y(t) на несамопересе-
кающиеся куски и применить лемму 2~
Ч. П]
§ 18. НАКРЫТИЕ И НАКРЫВАЮЩАЯ ГОМОТОПИЯ
539
Пусть К — любое многообразие (топологическое пространство),
qi К^М — его отображение на базу накрытия /V (пусть кусоч-
но гладкое) и F: KXI-^N— гомотопия (кусочно гладкая) этого
отображения д, т. е. F (х, 0)=g(z) при х&К. Имеет место
Теорема 1 (теорема о накрывающей гомотопии). Если ото-
бражение q накрыто отображением q: М, т. е. если fq = g,
то гомотопия F; KXI^N отображения q в базе N однозначно
накрывается гомотопией F: KXI М3 т. е. fF = F и Г (х, 0) =
= q(x) при xg К.
Доказательство. При гомотопии F отображения q в ба-
зе N каждая точка q(x) движется по пути "tx(t) = F(х^ t). При
t=0 эта точка *ух(0) = q(x) накрыта точкой q(x). Теорема сле-
дует теперь из леммы 2 и следствия 1 вместе с замечанием, что
рецепт накрытия пути непрерывно (даже гладко) зависит от на-
чальной точки. Теорема доказана.
2. Простейшие примеры. Универсальное накрытие.
Пример 1. Пусть М = R1 (прямая) и N = 5l. Накрытие
определяется так: f(t) = e2ni\ где t — координата на прямой R1.
Здесь число листов равно °о.
Пример 2. Пусть М = S1 и W = 51, а накрытие определяет-
ся формулой /(z) = zn, где Ы = 1. Это накрытие имеет |п| ли-
стов. Та же формула z ь* zn определяет накрытие области М =»
= R2\0 = С* над той же областью.
Пример 3. Пусть М = Sn и N.= \RPn. Накрытие определя-
ется отображением /: Sn —> R-Pn, склеивающим противополож-
ные точки сферы х и — xt Здесь число листов равно 2.
Частным случаем этого накрытия является групповой гомо-
морфизм
SU (2) = 53 SO (3) = RР3,
изучавшийся в части I (см. § 14). Другим примером двулистного
накрытия является групповой гомоморфизм
S3 X S3 = SU (2) X SU(2) SO (4),
ядро которого состоит из элементов (1, 1) и (—1, —1) (см.
часть I, § 14).
Пример 4. Пусть М = R . Рассмотрим подгруппу группы
Rn (по сложению), состоящую из .векторов с целочисленными
координатами. Эта подгруппа обозначается через Zn. Фактор-
группа Rn /Zn есть тор Тп (при яМ- окружность). Отображе-
ние есть накрытие (проверьте!).
Пример 5. Рассмотрим плоскость R2 и подгруппу G
в группе движений плоскости (х, у), порожденную преобразо-
ваниями
Л (х* У) = (*х У + 1)1 Л У) = + 4» — у)'
540
ГЛ. 4. ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА. НАКРЫТИЯ
[Ч. II
При отождествлении всех точек, получающихся друг из друга
преобразованиями из группы G, получится бутылка Клейна К2;
проекция /: R2 К2 является бесконечнолистным накрытием,
Бутылка Клейна К2 строится склейками, как указано на рис. 101.
Проверьте, что образующие группы G связаны соотношением
Т^Т/Г/Г^ = 1. В группе G лежит подгруппа G' = Z2 индекса 2,
порожденная преобразова-
ниями 7\, G. Подгруп-
па G' определяет тор Т2
из примера 4, так как
T’lU, У)= U+ 1, у). Фак-
торгруппа R2/G' есть
тор Г2, который накрывает
двулистно бутылку Клей-
на, поскольку в каждой ор-
бите группы G на плоско-
сти R2 имеется ровно две
орбиты группы G' = Z2.
//2
У
b
У/2
а i/г)
KZ
а
Рис. 101
Рис. 102
Пример 6. Укажем наглядно накрытие над восьмеркой
(букетом двух окружностей) и над букетом 51 V S2 окружности
и сферы (рис. 102, а и б; отображение f выглядит в обоих слу-
чаях как проекция вниз на рисунке). Как видно из рисунка, на-
крытие над N = 51 V S2 имеет вид (топологически) набора сфер S2,
прикрепленных к прямой R1 (нарисованной как винтовая ли-
ния) в целых точках.
Пример 7. Укажем наглядно еще одно («универсальное»)
накрытие над восьмеркой 51 V 51 (рис. 103). Здесь М— это бес-
конечное дерево из «крестов», не имеющее циклов (и поэтому
стягиваемое). Из каждой вершины («креста») выходит ровно че-
тыре ребра. Центры крестов (вершины графа) суть прообразы
точки Каждое из ребер переходит либо в цикл а,
либо в цикл Ъ. В каждой вершине креста из четырех ребер два
переходят в а и два в Ь.
4. Ill
§ 18. НАКРЫТИЕ И НАКРЫВАЮЩАЯ ГОМОТОПИЯ
541
Для целей вычисления фундаментальной группы мы введем
важное
Определение 2. Накрытие /: МN называется универ-
сальным. если Л1(М)=1 (т. е. пространство М односвязно).
Из числа приведенных примеров
универсальными накрытиями явля-
ются:
а) (пример!);
б) при п>2
мер 3);
в) 5С7(2)Х5С7(2)-5О(4);
(при-
г) Rn-^ Тп (пример 4);
д) R2-*- К2 (пример 5);
е) М 51 V S2 (пример 6, рис.
102, б);
ж) дерево М (пример?).
Остальные накрытия, указанные
в примерах, не являются универ-
сальными ввиду неодносвязности на-
Рис. 103. М — бесконечное де-
рево из «крестов», пе имеющее
циклов (и поэтому стягивае-
мое) . Из каждой вершины
«креста» выходит ровно четы-
ре ребра.
крывающего пространства.
3. Разветвленные накрытия. Ри-
мановы поверхности. Продолжим
рассмотрение примеров накрытий.
Введем следующий класс накрытий.
1. Пусть сначала А/ и — замк-
нутые гладкие многообразия одной
размерности п и отображение / регулярно (т. е. якобиан ото-
бражения / во всех точках отличен от нуля). При этих усло-
виях верна
Теорема 2. Отображение f:M-+N является конечнолист-
ным накрытием.
Доказательство. По теореме об обратной функции
у каждой точки х многообразия М имеется окрестность Ух, в ко-
торой отображение / является диффеоморфизмом. В силу ком-
пактности многообразия М отсюда вытекает, что прообраз /“‘(г/)
любой точки у М состоит из конечного числа точек. Поэтому
у точки у многообразия N можно выбрать такую окрестность Uy,
что для любой точки я<^/_1(С7у) отображение / ее окрестности
Vi в Uy является диффеоморфизмом. Таким образом, полный про-
образ некоторой окрестности Uy любой точки y<=N распадается
в объединение непересекающихся окрестностей /“* (Uv) = U ...
... U Vm. и отображение / — диффеоморфизм на каждой из ок-
рестностей Vit Теорема доказана.
2. Пусть М и N — по-прежнему замкнутые гладкие многооб-
разия одной размерности п, но гладкое отображение /: М N пе
542
ГЛ. 4, ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА. НАКРЫТИЯ
14. П
всюду регулярно: на некотором множестве А^М якобиан этого
отображения обращается в нуль. Вообще говоря, размерность мно-
жества А равна п — 1. Однако бывает, что размерность множе-
ства А меньше п—1. Важным случаем такого рода является
случай, когда п четно, оба многообразия М и N являются комп-
лексными, а отображение /: М N комплексно аналитично (го-
ломорфно). В этом случае условие обращения в нуль якобиана
отображения / задается одним комплексным -(аналитическим)
уравнением в комплексных локальных координатах. Поэтому
размерность множества особенностей А не превышает п — 2 и
множество А не разделяет М на куски.
При этих условиях имеет место
Теорема 3. Пусть размерность множества А нулей якобиа-
на отображения /: М N одного гладкого замкнутого связного
п-мерного многообразия в другое не превышает и —2 (и, значит,
множество f(A) не разделяет многообразия N). Положим N' =
= N\f(A) и М' = ДА/-1 (/(Л)). Отображение f: М'N' является
накрытием с конечным числом листов, причем М' связно.
Замечание. Само исходное отображение f: М N назы-
вается накрытием с ветвлением вдоль f(A), а множество /(Л) на-
зывается множеством точек ветвления.
Доказательство. Рассмотрим достаточно малое е > О и
удалим из N открытую е-окрестность Ut множества /(Л), а из М
ее прообраз Оставшееся многообразие с краем Ме =
= Af\f_1(^e) отображается в Nt = N\Ut1 и оба многообразия Мъ,
N* связны и компактны. Для отображения N9 доказа-
тельство теоремы 2 повторяется буквально. Устремляя е^О, по-
лучаем теорему 3.
Связность N, М есть единственное использованное в этом до-
казательстве следствие предположения размерности множества
особенностей Л.
Важный класс примеров дают неособые римановы поверхно-
сти Г, заданные неособым комплексно аналитическим, в частно-
сти алгебраическим, уравнением в (z, ip.)-плоскости С2:
Ф(г, ip)= wn + a^(z) wn~x + ... + an(z) = О,
где fli, ..ап — многочлены от z. Это уравнение задает риманову
поверхность Г n-значной функции ip(z).
Проекция /: Г -> продолжается до проекции замкнутой ри-
мановой поверхности Г (вместе с бесконечно удаленными точка-
ми в С?2) на сферу СР1 = S2. Положим М — Г и N = S1.
Множество /(Л) есть множество точек ветвления римановой по-
верхности Г. Это — набор точек плоскости С и, возможно, точ-
ка оо. Обозначим через N' плоскость R2 = С = 52\оо с выбро-
шенными точками ветвления za. Полный прообраз /_1(2<х) состоит
ИЗ точек (za, lPaJ) = Paj ПОВврХНОСТИ Г таких, что =
4. HI
§ 18. НАКРЫТИЕ И НАКРЫВАЮЩАЯ ГОМОТОПИЯ
543
Удалим из Г полный прообраз /~’(2<х) для всех а и /“Ч00)- Ос-
тавшееся многообразие обозначим через М', Имеем тг-листное
накрытие /: М' -> АГ.
Замечание. Мы видим, что для отыскания полного прооб-
раза точек ветвления на поверхности Г нужно решить совместно
систему уравнений
Ф (z, W) = О, = 0.
Пример 8. Ф(щ, z) = w2 — Рп(z) = 0 (гиперэллиптическая
поверхность). Если корни Pn(za) = 0 некратны, то Г — неособая
гиперэллиптическая риманова поверхность (см. § 17, а также
часть I, § 12). Здесь N' = С\ ( U М' = Г\ / |J /-1(za)\ и
\ а / \ а /
/: М’ -► N' — двулистное накрытие.
Пример 9. Ф(щ, z) = wh — Pn(z) = 0. Здесь все аналогично,
но мы получаем над областью^' = C\^U А-листное накры-
тие /: М' -> N'.
Пример 10. Рассмотрим общий многочлен степени п от z, w
Ф (z,, w) = wn + S ai (z)
i>l
где при каждом i степень многочлена a<(z) (по z) не превосхо-
дит г. В общем случае для многочлена Ф имеется ровно п(п — 1)
точек ветвления za, получающихся из решения системы уравне-
ний Ф = 0, = 0 в С2. (Предполагается, что система уравнений
Ф = 0, Ф« = 0 не вырождена; тогда число точек ветвления равно
п(п — 1).) ПолагаяN' = С2\ ( U za) и М' = r\/|J/'~1(za)\ полу-
\ a / \ а )
чаем п-листное накрытие /: М’ АГ.
Пример 11. Функция Ф(я, w) является комплексно анали-
тической (но не алгебраической), и поверхность Ф = 0 неособа
в С2. Точки ветвления za в z-плоскости образуют, вообще говоря,
счетное множество. Потребуем, чтобы эти точки ветвления были
достаточно далеки друг от друга в С. Накрытие над областью
N' =* С\ ( U будет, вообще говоря, бесконечнолистным. Про-
стейший пример дает уравнение z —е“ = 0. В этом случае w —
= lnz, za = 0; над областью С\0 = N' возникает накрытие (ло-
гарифмическое ветвление)
=С\0.
Покажите, что М' диффеоморфно плоскости С.
4. Накрытия и дискретные группы пребразований, Следую-
щий важный класс накрытий связан с так называемыми дискрет^
ными группами преобразований многообразий.
544
ГЛ. 4. ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА. НАКРЫТИЯ
[Ч. II
Пусть М — гладкое многообразие (топологическое простран-
ство) и G — группа, действующая в М посредством диффеомор-
физмов (гомеоморфизмов для общих пространств).
Определение 3. Группа G называется дискретной груп-
пой преобразований, если для любой точки у многообразия (или
пространства) М орбита группы G(y) представляет собой мно-
жество точек в М, расположенное дискретно. Это означает, что
любая точка у &М обладает малой окрестностью U такой, что
образы g(U) для всех элементов g группы G либо совпадают,
либо не пересекаются. Мы потребуем дополнительно, чтобы дис-
кретная группа действовала свободно. Это означает следующее:
для любой точки у^М уравнение g(y)=y имеет единственное
решение g=l; при этом указанные выше окрестность U точки у
и окрестность g(U) точки g(y) не пересекаются при g ¥= 1.
Для многообразий часто (хотя и не всегда) будем рассмат-
ривать дискретные группы G преобразований, являющиеся дви-
жениями некоторой римановой метрики (gab).
Определение 4. Скажем, что накрытие f:M-+N опре-
деляется свободно действующей дискретной группой G преобра-
зований М М, если для любой точки базы у е N слой F =
= /-1 (у) является орбитой группы G, В этом случае говорят,
что N есть факторпространство многообразия М по группе G, и
пишут N = M/G. Такое накрытие называют регулярным или глав-
ным расслоением с дискретной группой G; ниже, в главе 6, будут
изучаться главные расслоения и с недискретными группами G.
Рассматривавшиеся выше примеры 1—9 были накрытиями,
определявшимися различными дискретными группами преобразо-
ваний. Напротив, накрытия примера 10 (общие алгебраические
римановы поверхности) и примера 11 (кроме простейшего лога-
рифмического ветвления), вообще говоря, не определяются сво-
бодно действующими дискретными группами.
§ 19. Накрытия и фундаментальная группа*
Вычисление фундаментальной группы
некоторых многообразий
1. Монодромия. Введем важное понятие —группу монодромии
накрытия («дискретная группа голономий») или «представление
монодромии» а. Рассмотрим точку базы N накрытия f:M-+N
и занумеруем произвольным образом точки слоя F «= /-1 (Уа) =
= {#1, х2, .Рассмотрим замкнутый путь у на W с началом и
концом у о, представляющий элемент у е (N, у0). Используя
следствие 1 из леммы 18.2, накроем движение точки у0 вдоль
пути у по параметру t, отправляясь из некоторой точки слоя
Xj е F. Пройдя вдоль пути у и вернувшись снова к точке у0 =
= у(1), получим в качестве конечной точки накрывающего пути
ц(£) некоторую точку £ощ = ц(1) того же слоя F. Получаем
Ч. II) g 19. НАКРЫТИЯ И ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА 545
соответствие Y •-* а (у), где о (у) есть некоторая перестановка
точек слоя F*.
о (у): х^х^}.
Из теоремы 18.1 получаем, что перестановка о (у) зависит толь-
ко от гомотопического класса yenJ/V, г/0). Очевидно, п(у-1) =
= а(Ч)_1 и о(у1^2) = о(71)° о(у2). Таким образом, о является гомо-
морфизмом (представлением) фундаментальной группы е/0)
в группу перестановок точек слоя F (считаем их занумерован-
ными целыми числами). Представление о называется «монодро-
мией» или дискретной голономией накрытияг а его образ
o(nt(A, г/0)) — «группой монодромии».
Укажем группу (представление) монодромии накрытий в про-
стейших примерах 1—4 из § 18.
Пример 1. R1 ->51, t -> е2Лг*. Группа ЛД51) изоморфна Z;
обозначим через а естественную образующую этой группы. Про-
образ точки ф0 = 0 окружности S1 состоит из целых точек прямой
(п = 0, ±1, ±2, ...). Точки слоя /? = /"£(0), таким образом, есте-
ственно занумерованы целыми числами. Моподромия о (а) пред-
ставляет собой сдвиг:
а(а): п п + 1.
Пример 2. 5£5l, z -> zn, |zl = 1. Прообраз точки состоит
из точек zh = ехр(2лА:/п), к = 0, 1, ..п — 1. Преобразование мо-
нодромии о (а) есть циклическая перестановка:
/о 1...п —
° ~ 1 2 ... О
Пример 3. SnТочка имеет два прообра-
за Xi и х2. Преобразование о (а) переставляет их: хг -> т2, х2 -> хг.
Здесь а е лг (RPn) = Z2 — класс замкнутого пути в R^Pn, полу-
чающегося проекцией из сферы пути у, соединяющего две проти-
воположные точки сферы $п.
Аналогично h1(5O(4)) = Z2 с образующей а, и о(а) есть
перестановка двух точек в накрывающем пространстве 517(2) X
X 517(2). Аккуратное вычисление этих фундаментальных групп
будет проведено ниже.
Пример 4. Группа nJP*) изоморфна Zn с образующими
..., ап. Образующая получается при отображении /: Rn->
Тп из прямолинейного отрезка Yj, соединяющего точку 0 с точ-
кой (0, ..., 1, 0), где координата х3 равна 1, а остальные —
пули. Путь а> = /(7;) определяет монодромию
. т. ... т„ \
1 г 4 )»
т •
35 Б. А. Дубровин и др.
546
ГЛ. 4. ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА. НАКРЫТИЯ
[Ч. II
где точки прообраза F = f~l(O) занумерованы целочисленными
векторами (тпь ..., гагп).
Мы оставим читателю исследование моподромии в довольно
простых примерах 5 и 6 и опишем монодромию в примерах 7 и
10 (см. § 18).
Пример 7. Универсальное накрытие над восьмеркой N =*
*=Sl.\/Sl с образующими д е л1 (51 V 51), а2 = 5 е (Sl V
обладает свободной группой моподромии. Это означает, что все
слова вида
n1 п2 ЛЬ
агха г2 • - -
для любых й, целых nq^=0 и при условии f9=/=i9+1 различны
в группе моподромии: преобразовапие o(at) сдвигает все вершины
и ребра на единицу «вправо», а о(а2)—на единицу «вверх».
Легко проверить с помощью рис. 103, изображающего это на-
крытие, что два разных слова в свободной группе переведут на-
чальную вершину х0 в разные вершины этого дерева.
Пример 10. Для многочлена общего типа Ф(г, w) суммар-
ной степени п по г, w имеется ровно п(п — 1) невырожденных
точек ветвления 7, к = 1, ..., га, где к =/= 7*. Удалим из С
все точки z(jk} и выберем начальную точку #oe^V', где =*
= С\( и Выберем базисные пути а(Д), однократно обходя-
щие точки ветвления z(jh} (рис. 104). Оказывается, что путь
производит перестановку ровно двух точек слоя F = f~l (г/0)=*•
= Xi U ... U хп. При подходящей нумерации a(a(}fi}) и o(a(!ti)) пе-
имеет вырождение низшего
(образы их—точки ветвления
реставляют точку Xj с точкой xk,
оставляя остальные точки непод-
вижными, причем о(л<#))а(а(М))
= 1. Таким образом, группа мопо-
дромии оказывается полной груп-
пой перестановок точек слоя F*
состоящей из га! элементов. Тог
факт, что o(a(jft)) переставляет
лишь пару листов, следует из то-
го, что для римановой поверхно-
сти общего типа проекция Г -> С
порядка в точках вырождения
). Мы оставляем эти утверждения
в виде задач.
Что группа моподромии для общих римановых поверхностей Г
совпадает с группой всех перестановок точек слоя, оказывается
очень важным. Мы рекомендуем читателю самостоятельно дока-
зать следующее утверждение; если риманова поверхность гао-
строена по многозначной алгебраической функции w==w(z), яв-
ляющейся алгебраическим выражением, содержащим только ра-
дикалы у для разных к (и, возможно, их суперпозиции с опера-
ч. in
§ 19. НАКРЫТИЯ И ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА
547
циями сложения и умножения), то группа монодромии поверхно-
сти Г4 разрешима. Напомним, что разрешимая группа содержит
абелев (коммутативный) нормальный делитель G, факторгруппа
по которому также разрешима.
Группа перестановок из пяти элементов и более не является
разрешимой. Ее единственным нормальным делителем является
подгруппа из четных перестановок, которая неабелева. Отсюда
следует
Теорема (Абель). Не существует никакой алгебраической
формулы в радикалах, выражающей корни общего многочлена
степени ^5 через его коэффициенты.
2. Вычисление фундаментальной группы с помощью накры-
тий. Рассмотрим накрытие /: М N, точку yQ^ N и точки ее
прообраза /"1(Уо)= tei, ...). Представление монодромии о за-
ставляет группу л4(А, Уо) действовать в слое 2? = /~1(у0) посред-
ством перестановок его точек:
о (a): Xj ~ ха0) (а е= лх (N, у0)).
Рассмотрим группу л4(ТИ, ,х,-)5 которая гомоморфно отображается
в группу л4(А, у0) при проекции /: M^N. Имеет место
Теорема 1. Гомоморфизм f*: лт (М, Xj) -> лх (N, у0), инду-
цированный проекцией /, является вложением группы л4(Л/, яД
в л4(А, j/о) (мономорфизмом). Подгруппа (М, Xj) группы
sit(N, уо) состоит из тех элементов а^л4(А, у0), для которых
монодромия о (а) оставляет на месте точку х^. Для разных то-
чек Xj, xh подгруппы f^1(M, Xj) и /#лх (М, хк) сопряжены
с помощью любого элемента 7^л4(А, у0), для которого моно-
дромия о(у) обладает тем свойством, что о (у): xj*-+xk, пг. е»
(М, Xj) у = (М, хк).
Доказательство. Если ае= л4(М, х$) и /*(«) = ! в груп-
пе л4(Л\ Уо), то а = 1. Действительно, пусть замкнутый путь а(£)
с началом и концом в Xj таков, что его проекция f(a(t)) = у (t]
стягивается в точку по многообразию N, причем концы пути
7(2) в процессе гомотопии все время стоят в точке у0 (при всех т);
гомотопию обозначим через F = F(t, %). .Поскольку /(а(£)) =
= y(t) = F(t, 0), мы находимся в условиях теоремы о накрываю-
щей гомотопии (теорема 18.1). В качестве накрывающей гомото-
пии, даваемой этой теоремой, получим деформацию в М пути
<х(£) в точке Xj. Таким образом, гомоморфизм есть вложение
(мономорфизм) группы л4(ТИ, ^) в л4(А, у0).
Согласно теореме 17.3^ перенос начала из х} в хк можно осу-
ществить, выбрав путь tJZ) с началом А = у(0) и ^ = "f(l) и
полагая У* (а) = У~1аУ (для а е л4 (М, Xj) имеем у* (а)13
хА)). Проекция /(у) в N дает замкутый путь y(t)=*
ef(Y(O), представляющий элемент группы л4(Л\ у0), и о (у):
35*
548
ГЛ. 4. ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА. НАКРЫТИЯ
[Ч. [Г
Xj^+xh. Очевидно, после применения проекции /* наш перенос
превратится в изоморфизм (А/, х;)/#лг (М, х.О, действую-
щий по формуле
f* («) -* Y-1/* (а) V е /*л1 (м> xh),
где (а) <= /#л1 (М, Xj). Теорема доказана.
Задачи. 1. Доказать, что для любой подгруппы Н фунда-
ментальной группы Л1(Л) произвольного многообразия N суще-
ствует накрытие /: М -* N с/*Л1 (М) = Н\ в частности, у всякого
многообразия есть универсальное накрытие.
2. Доказать, что если для накрытий /: М -> N, М' -> N над
многообразием N группы /*Л1 (М) и /¥л1(М/) совпадают, то
накрытия эквивалентны (т. е. существует гомеоморфизм ср: М -+
-* М' такой, что f ° ср = /).
Замечание. В обеих задачах требование, чтобы /V было
многообразием, может быть значительно ослаблено. Например,
как мы видели выше, универсальным накрытием обладают такие
пространства, как восьмерка и букет окружности и двумерной
сферы (см. рис. 102 и 103).
Теорема 2. Если накрытие /: М -> N определяется свобод-
но действующей дискретной группой Г преобразований М -> М и
многообразие (пространство) М односвязно (т. е. л1(7И)=1), то
Доказательство. Выберем точку ^ое/-1(.Уо) и установим
взаимно однозначное соответствие между точками слоя }~*(Уо)
(они имеют вид gx0 с^Ги элементами группы nj(/V,i/o)). Для
этого накроем произвольный путь 7i^n1(/V, у0), взяв в качестве
начала накрывающего пути точку х0. Конец накрывающего пути
лежит в точке xt =/= х0, и о <Yi)- Рассмотрим элемент gj &
Г такой, что gt(zo)“Zi. Установим соответствие 71^ gi. Это
соответствие взаимно однозначно (если Yi gi и 7г gt, то
путьуГ1у2 таков, что <т(уГ1?2): го *“* поэтому ввиду односвяз-
ности М и теоремы 1 этого параграфа 71 = 72)- Установленное
выше взаимно однозначное соответствие Г *-> лДУ) сохраняет
закон умножения в обеих группах, поскольку преобразование 0(7)
точек слоя в точности совпадает с действием группы Г на слое.
Теорема доказана.
Обобщением теоремы 2 является
Теорема 3. Если накрытие /: М -> N регулярно, т. е.
определяется свободно действующей дискретной группой Г пре-
образований М -> М («главное расслоение»), то группа Г пере-
становок слоя F = /“* (уь) совпадает с группой монодромии
o(^\(N, Уо)), действующей на слое F. При этом 1*лг(М, Xj) есть
нормальный делитель группы лДУ, у0) и группа монодромии
(«дискретная группа голономии») совпадает с факторгруппой
я1(Лгд хз) для любой точки х, слоя
4. Ill
§ 19. НАКРЫТИЯ И ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА
549
Доказательство. Совпадение группы Г с группой моно-
дромии вытекает из рассуждения, идентичного доказательству
теоремы 2, При этом устанавливается соответствие между элемен-
тами группы Г, точками слоя F и элементами группы о(Л1(А, у0)).
Отсюда следует, что образ (М, Xj) не зависит от x^F и
потому является нормальным делителем в Л1(А, у0) согласно
теореме 1 этого параграфа. По определению моподромии слой F
совпадает с л3 (А, у0)//+л1 (М, z;) как множество. В данном
случае F ~ Г и F является группой лг (A, y0)/f* лг(М, Xj), сов-
падающей с группой моподромии. Теорема доказана.
Задача. Докажите, что для общих (нерегулярных) накры-
тий группа моподромии изоморфна факторгруппе Л1(А\ Уа)/Р по
нормальному делителю Р = П z,).
j
Примеры.
1. Л] (S1) = Z действует сдвигами на целые числа
(см. пример 1 пз § 18), поскольку S* является базой накрытия
R1 »-* *5Ч, определяемого действием дискретной группы Г = Z.
2. л1(КРл) = /2 при п>1 ввиду наличия накрытия Sn->
-> RPn с группой Г = Z2, ненулевой элемент которой есть отра-
жение z *-* — х сферы Кп+1(при n> 1 сфера односвязна; см.
пример 3 из § 18).
3. л1(71П) = Z” ввиду наличия накрытия ~^Тп с группой
Г параллельных переносов на целочисленные векторы (см. при-
мер 4 из § 18).
4. л^А2) имеет две образующие Л и удовлетворяющие
соотношению
Т^1Т1Т2Т1 = 1.
Здесь подразумевается накрытие R2~>A2, а группа Г порождена
движениями 7\(z, y) = (z, */+ 1), Т2 (z, у) = ^z + -у, —У^ (см.
пример 5 из § 18).
5. Л1(5*'^51) —свободная группа с двумя образующими. Это
устанавливается с помощью универсального накрытия, описанно-
го в примере 7 из § 18. Аналогично можно показать, что
л^З1 V... V S1) для букета к окружностей есть свободная груп-
па с А: образующими. Следовательно, фундаментальные группы
плоских областей вида R2\(^iU ••• U^fc) (из плоскости выколото
к точек Zi, ..., zft) являются свободными. Эти области стягива-
ются к (гомотопически эквивалентны) букетам окружностей
S1 V... VS1 (к штук).
6. (S1 V S2) = Z. Это доказывается с помощью универсаль-
ного накрытия, описанного в примере 6 из § 18. Пространство М
имеет вид прямой R1, у которой в целых точках прикреплены
сферы <$(п). Группа Г действует сдвигами цо прямой на целое
550
ГЛ. 4. ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА. НАКРЫТИЯ
[Ч. II
число, переводящими сферы 5(2П) друг в друга. Пространство
S1 V S2 гомотопически эквивалентно области U = [R3\SXA если
окружность незаузлена (или y = Rs\(RlU^o)).
3. Простейшая гомологическая группа. Определение 1.
Одномерной группой гомологий многообразия (пространства) М
называется факторгруппа его фундаментальной группы по ком-
мутанту (коммутированная группа nJ. Эта группа обозначается
через
Я1(М) = л1(Л/)/[л1, nJ.
Групповой закон в группе (М) обычно записывается как сло-
жение: а -> [a], ab -> [а] 4- [6] при гомоморфизме Я1-> Яь
Рассмотрим интегралы от замкнутых 1-форм на многообра-
зии N. Если форма <о замкнута, d® = 0, то интеграл по замкну-
тому пути у с началом и концом в точке у0 одинаков для гомотоп-
ных замкнутых путей. Следовательно, интеграл от замкнутой
формы со дает линейную функцию на группе ли
У н-> ф(О.
V
Очевидные свойства интеграла показывают, что
ф (0=ф(0-|-ф(1) = ф <оъ
V1V2 Vi V2 V2V1
ф (0 = — ф (0.
v-i V
Отсюда следует, что интеграл есть линейная функция на группе
Ht(N) = Л1(Я)/[Л1, nJ с вещественными или комплексными зна-
чениями, а известная процедура вычисления интеграла путем «де-
формации контура» есть фактически замена контура у на эквива-
лентный ему в группе гомологий. Пусть в группе Ht(N) есть
периодический элемент («класс гомологий») [т]еЯ,(Я), для ко-
торого найдется целое число т такое, что =0 в группе
Тогда интеграл ф со равен нулю для замкнутой формы <о.
[V1
Действительно,
ф о = т (|) (о = 0.
m[v] v
Поэтому ф (0 = 0.
Ы
Вследствие этого интегралы от замкнутых форм определены
как линейные функции на группе ЯДЯ), полученной из Hi(N)
факторизацией по кручению (приравниванием нулю всех элемен-
Ч. И]
§ 19. НАКРЫТИЯ И ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА
551
тов конечного порядка). Группа ffi называется приведенной груп-
пой гомологий.
Примеры.
а) Для плоской области N = R \(^i U • • • U группа
свободна, а группа Hi(N) не имеет кручения и тем самым есть
свободная абелева группа (решетка) Z .
б) ДляК^*п: группа л1([₽Рп) есть Z2, группа Я1(КРП) есть
также Z2 и группа (RP2) тривиальна.
в) Для бутылки Клейна К2: группа Л1(Я2) имеет образую-
щие Ть Т2. удовлетворяющие соотношению Г2 Т1Т2Т1^1;
в группе Н^К2) это соотношение принимает вид
2[Л] = 0,
и потому элемент [7\] ~ О в группе ffi(K2); группа ffi(K2) изо-
морфна Z.
Итак, интеграл от замкнутой формы дает линейную функцию
на «приведенной группе гомологий» fft(N) со значениями в К
или С.
Иногда полезны линейные функции с другими значениями,
например так называемые «характеры» со значениями в веще-
ственных числах mod 1, т. е. в окружности. Здесь уже группы
ffi(N) недостаточно — приходится рассматривать всю группу го-
мологий Примером может служить гомоморфизм ориен-
тации (в мультипликативной записи)
[a: n1(TV)->(±l) = Z2
(см. § 17). Фактически этот гомоморфизм сводится к Я1(Я). Для
RP2 и К2 этот гомоморфизм нетривиален, как и для всех не-
ориентируемых многообразий (см. конец § 17).
а) Для КЯ3 имеем лг = Z2 и о (а) = —1 при а =/= 1.
б) Для группа nJA’2) порождается элементами Т2 и
2[7\] = 0 в группе Н^К2), Гомоморфизм ориентации таков:
о(Л)=+1, о(Г2) = -1.
Вычисление фундаментальных групп дополнений в R3 к за-
узленным окружностям будет дано ниже (см. § 26).
Задачи. 1. Ориентируемая замкнутая поверхность (сфе-
ра с g ручками) получается из 4^-угольника склеиванием пар
противоположных сторон (см. рис. 105 для g = 2). Доказать, что
группа задается образующими at, bh ag, bg и соот-
ношением
s
Д = 1.
i—1
552
ГЛ. 4. ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА. НАКРЫТИЯ
[Ч. II
2. Неориентируемая поверхность клеится так, как указа-
но на рис. 106. Доказать, что л;1(Агц) задается образующими
..., Ср и соотношением ... Сц == 1.
Рис. 105
Рис. 106
3. Вычислить фундаментальную группу многообразия единич-
ных линейных элементов поверхности
§ 20. Дискретные группы движений плоскости Лобачевского
Выше (в части .1) мы описали дискретные группы движений
евклидовой плоскости и дискретные группы вращений трехмер-
ного евклидова пространства. Мы указали на тесную связь этих
групп с кристаллическими решетками на плоскости и в простран-
стве. Аналогичную классификацию можно провести и для дискрет-
ных групп движений плоскости Лобачевского, снабженной стан-
дартной метрикой. В настоящем параграфе мы предъявим это
описание, опустив доказательства ввиду большей сложности рас-
суждений, чем это имело место в евклидовом случае. Описание
дискретных групп движений трехмерного пространства Лобачев-
ского — это еще более сложная задача, которой мы не будем
здесь касаться. Интерес к дискретным группам движений пло-
скости Лобачевского обусловлен для нас тем, что эти группы тес-
но связаны с двумерными замкнутыми многообразиями и их
фундаментальными группами. При описании двумерных поверх-
ностей мы отметили, что тор, например, можно представить как
факторпространство плоскости (пространства нулевой кривизны)
по действию дискретной группы Z (&) ©Z(&), где образующие а
и b определяют трансляции на векторы вида (1, 0) и (0, 1). По-
скольку эта группа свободно действует на R2, то она изоморфна
фундаментальной группе тора Т2 = R2/Z ф Z. Отметим, что
сфера S2 не может быть представлена как факторпространство
плоскости по действию какой-либо дискретной группы. Это связа-
но, в частности, с тем, что сфера — односвязное многообразие,
<1. II] § 20. ГРУППЫ ДВИЖЕНИЙ ПЛОСКОСТИ ЛОБАЧЕВСКОГО 553
и ее гауссова кривизна положительна. Оказывается, что, напри-
мер, ориентируемые поверхности рода >1 можно представить
в виде факторпрострапства плоскости Лобачевского по действию
дискретной группы, изоморфной фундаментальной группе поверх-
ности. При этом указанная дискретная группа будет действовать
как подгруппа группы изометрий стандартной метрики Лобачев-
ского, а потому фактормногообразие (действие группы будет сво-
бодным, без неподвижных точек) автоматически снабжается ин-
дуцированной метрикой постоянной отрицательной кривизны.
В случае тора фундаментальная группа Z Ф Z также действова-
ла на евклидовой плоскости как подгруппа группы изометрий.
Начнем с геометрической классификации дискретных групп
движений плоскости Лобачевского и связи этих групп с выпук-
лыми многоугольниками на плоскости Лобачевского.
Основными моделями плоскости Лобачевского, которыми мы
будем пользоваться, будут следующие две модели: верхняя полу-
плоскость (на комплексной плоскости), снабженная метрикой
dl2 — у t и единичный круг, снабженный метрикой dl2 «=>
dr2 + „
•== —7--2\2 • Напомним, что 1 называется дискретной группой
U —г)
преобразований (в нашем случае — плоскости Лобачевского), ес-
ли для любой пары точек х, у Ь2 (через L2 мы обозначаем пло-
скость Лобачевского) существуют такие открытые окрестности
этих точек (например, диски с центром в точках х и у), что мно-
жество преобразований из группы Г, переводящих окрестность
точки х в множество, имеющее непустое пересечение с окрест-
ностью точки у, конечно. Напомним, что мы считаем все преоб-
разования из Г диффеоморфизмами плоскости Лобачевского. Если
Гх — стационарная подгруппа точки х (т. е. множество всех пре-
образований группы Г, оставляющих на месте точку х), то Гх —
конечная подгруппа в Г. Верно и обратное утверждение: если
Г — некоторая группа изометрий плоскости Лобачевского, дей-
ствующая так, что все орбиты этого действия дискретны и для
любой точки плоскости ее стационарная подгруппа конечна, то
тогда Г — дискретная группа.
Определение 1. Пусть Г — дискретная группа преобразо-
ваний плоскости Лобачевского^ являющаяся подгруппой группы
изометрий. Подмножество D плоскости Лобачевского называется
фундаментальной областью для группы Г, если: (1) D — замкну-
тое множество; (2) орбита Г(£) подмножества D совпадает со
всей плоскостью Лобачевского; (3) покрытие плоскости Ь2 мно-
жествами 7(D), Yе Г, таково, что с достаточно малой окрест-
ностью произвольной точки плоскости Ь2 пересекается лишь ко-
нечное число множеств вида 7(D); (4) образ множества внутрен-
них точек фундаментальной области D при действии любого пре*
554
ГЛ. 4. ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА, НАКРЫТИЯ
[Ч. п
образования из Г, отличного от единичного, не пересекается
с множеством внутренних точек фундаментальной области. Фор-
мально это свойство можно записать так: ^(IntZ^n IntD = 0 при
7 е Г, ч =/= е, где Int D — множество внутренних точек области Z>,
т. е. Int D = D\dD, где dD — граница D.
Легко доказать, что в качестве фундаментальной области на
плоскости Лобачевского для произвольной дискретной группы Г
можно выбрать выпуклый многоугольник с конечным числом
сторон (проверьте это!).
Наша цель — дать описание дискретных групп движений пло-
скости Лобачевского. Так как мы уже выяснили, что группа изо-
метрий плоскости Лобачевского изоморфна SL (2, R)/Z2, то,
следовательно, эта задача эквивалентна перечислению дискретных
подгрупп в группе SL(2t R), т. е. в группе матриц И с ве-
щественными элементами и определителем, равным единице:
ad — &с = 1. Напомним, как действует группа 5Л(2, Е) на Ь2.
Если g = (“ §<=SL(2, R) и 2 — точка плоскости Лобачевско-
го Z2, реализованной как верхняя полуплоскость, то £(z) =
az -f- 6 гр т/\ Im z г
ю cz + а* Аак как .а* т0 переходит в себя при
этих преобразованиях. Что все преобразования указанного вида.—
изометрии Z2, проверяется непосредственно; поэтому группа
SL(2, R) гомоморфно отображается в группу изометрий L2;
ядром этого отображения служит центр {± 1} ~ Z2 группы
SL(2, R), а образом — связная компонента единицы группы
изометрий Z2; следовательно, эта компонента изоморфна фактор-
группе SL(2, R)/Z2.
Группы, дискретно действующие на плоскости Лобачевского,
естественно возникают при классификации одномерных комп-
лексно аналитических многообразий. Любое связное комплексно
аналитическое многообразие X представляется в виде X = Х/Г,
где X — односвязное аналитическое многообразие (универсальная
накрывающая), а группа Г дискретно и свободно действует на
многообразии X как группа его комплексных автоморфизмов; при
этом группа Г изоморфна фундаментальной группе Л1(Х) много-
образия X. Во всех таких представлениях многообразия X груп-
пы Г сопряжены в группе всех автоморфизмов многообразия X.
Оказывается, что с точностью до биголоморфной эквивалент-
ности имеется всего три связных односвязпых одномерных анали-
тических многообразия. Это: 1) проективная прямая СР1, т. е.
одномерное комплексное проективное пространство; 2) аффинная
прямая С1, т. е. плоскость комплексной переменной z; 3) внут-
ренность единичного круга {z С111 z | < 1} на комплексной пло-
скости.
Я. II]
§ 20. ГРУППЫ ДВИЖЕНИЙ ПЛОСКОСТИ ЛОБАЧЕВСКОГО
555
Таким образом, задача сводится к описанию групп автомор-
физмов, дискретно и свободно действующих на этих трех пере-
численных выше многообразиях. Преобразования группы Г будем
считать комплексно аналитическими преобразованиями, т. е. ав-
томорфизмами комплексной структуры, заданной на многооб-
разии X.
Предложение. 1) Любой автоморфизм многообразия С^1
имеет неподвижную точку. 2) Дискретно и свободно действующая
группа Г автоморфизмов многообразия С1, для которой многооб-
разие Сг/Г компактно, состоит из трансляций z^z + a, где а
пробегает векторы некоторой двумерной решетки на С1- 3) Все
автоморфизмы единичного круга имеют следующий вид:
, где 101=1, Iccl < 1; в частности, это — группа движе-
1 — az
ний метрики Лобачевского в модели Пуанкаре.
Пусть X = Ь2 — плоскость Лобачевского и Г — произвольная
дискретная группа движений Ь2\ пусть D — выпуклый фундамен-
тальный многоугольник действия группы Г. Рассмотрим много-
угольники вида 7^Г; они не накладываются друг на друга
(см. выше) и покрывают всю плоскость Лобачевского. Элементы
этого разбиения плоскости Лобачевского на многоугольники обыч-
но называются «ячейками». Две ячейки называются смежными,
если их пересечение есть одномерное подмножество, т. е. кривая
на плоскости. Можно считать, что если D, и D2 две смежные
ячейки, то D, Л D2 есть общая сторона этих двух многоугольников.
Для того чтобы этого добиться, достаточно добавить в фундамен-
тальном многоугольнике некоторое число вершин, угол при ко-
торых равен л; этим можно добиться того, что пересечение лю-
бых смежных ячеек происходит в точности по общей стороне-
(рис. 107). Для любой стороны а ячейки D существует и един-
ственна ячейка Z?i, смежная с D по стороне а; при этом ячейка
D, получается из ячейки D применением преобразования 7 е Г;
обозначим это преобразование через 7(a). Так как при преобра-
зовании 7(a) область D переходит в Di, то, следовательно, суще-
ствует некоторая сторона a' такая, что 7(а)а' = а (область D
пересекается со своим образом при действии 7(a)). Отсюда имеем
7(а') —(7(а))”* и, в частности, a"=(a'), = a (рис. 108).
Сопоставим каждой стороне а соответствующую ей при ука-
занном отображении сторону а'; возникает инволютивное преоб-
разование (т. е. преобразование, квадрат которого есть тожде-
ственное преобразование) множества сторон области D. Конечно,
при этом может оказаться, что а' =а, но тогда (7(a))2 = в и 7(a)
есть, следовательно, отражение области D относительно стороны а
или поворот на угол, равный л, относительно середины стороны а.
Отсюда вытекает следующее утверждение.
Лемма 1. Ячейки уД) и y2D являются смежными тогда и
только тогда, когда 72 = 717(a).
556
ГЛ. 4. ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА. НАКРЫТИЯ
[Ч. П
Последовательность ячеек D = Д, Д, .Dk таких, что ячей-
ки Д-i и Д являются смежными при i = 1, 2, ..kt называется
цепью ячеек.
Для ячейки Di существует и единственно движение 7< такое,
что *fiD = D{, При этом возникает индуцированное отображение
сторон фундаментального многоугольника на стороны ячейки;
следовательно, стороны ячейки D{
можно обозначать так же, как и сто-
роны многоугольника DQ = D.
(у(а))~1П af U а
Добавленная вершина
Рис. 107 Рис. 108
В цепи ячеек D ^D^ D^ ..., Д (пусть Д = 7,Д) многоуголь-
ники Di-i и Д смежные, а потому в силу леммы имеем =
= ^i-^(ai) и 7fe = 7(aj7(а2) ... 7(aft). Итак, цепи ячеек соответ-
ствует последовательность а2, •••, сторон ячейки D. Итак,
доказана
Теорема 1. Группа Г порождается элементами 7(a), где а
пробегает все стороны фундаментального многоугольника.
Теперь мы опишем соотношения в этой группе. Пусть 7(ai)...
...7(ah) = e; рассмотрим соответствующую цепь; тогда последним
элементом ее будет сама ячейка D — исходный фундаментальный
многоугольник (рис. 109). Итак, соотношениям в группе Г соот-
ветствуют замкнутые цепи, которые обычно называются циклами.
Соотношения типа 7(а)7(а') = е будем называть элементарными
соотношениями первого типа. Эти соотношения порождают цикл
Dq, D^ Dq.
Рассмотрим некоторую вершину ячейки D и рассмотрим все
ячейки, содержащие эту вершину; тогда последовательность этих
ячеек образует цикл (рис. 110). Такой цикл называется элемен-
тарным циклом второго типа, а соответствующее ему соотноше-
ние — элементарным соотношением второго типа.
Теорема 2. Элементарные соотношения первого и второго
типов составляют определяющую систему групповых соотношений
для образующих 7(a) дискретной группы Г, т. е. всякое соотно-
шение является их следствием.
Мы полностью описали структуру любой дискретной группы
сохраняющих ориентацию движений плоскости Лобачевского
(такие группы называются фуксовыми),
Ч. II]
§ 20. ГРУППЫ ДВИЖЕНИЙ ПЛОСКОСТИ ЛОБАЧЕВСКОГО
557
Теперь рассмотрим обратную задачу: как восстановить диск-
ретную группу Г по данному фундаментальному многоугольнику.
Пусть на плоскости Лобачевского задан выпуклый многоугольник
с конечным числом сторон, не имеющий пока бесконечно удален-
ных вершин. Это означает следующее. Многоугольник может быть
неограниченным, «выходя на бесконечность» (см., например,
рис. 111). Поскольку точки абсолюта пе принадлежат плоскости
Лобачевского, то в том случае, когда прямая выходит на абсолют
так, как это показано на рис. 111 для прямой АВ. мы считаем,
что на ней нет вершины, расположенной «на бесконечности».
С другой стороны, если две прямые выходят на бесконечность и
попадают в одну точку абсолюта (рис. 112), то тогда будем го-
ворить, что у многоугольника есть бесконечно удаленная вершина.
Возможно, что углы при некоторых вершинах многоугольника
равны л.
Пусть задана инволютивная перестановка сторон этого мно-
гоугольника: Для любой стороны а существует единствен-
ное движение 7(a) такое, что ч(а)а' = а, 7(a)D П Z) = а. Пусть
выполняются следующие два условия: 1) 7(а)7(а')=е; 2) для
любой вершины А многоугольника D существует такая последо-
вательность сторон аь ..., что 7(«О7(^2) .. l{dh) = e. и после-
довательность многоугольников D. у (at)D, 7 (dl)r^(a2)D... .,7 (at)...
..•7(аА)Д образует обход вокруг этой вершины А в том смысле,
что все они содержат вершину А и каждый элемент этой цени
558
ГЛ. 4. ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА. НАКРЫТИЯ
[Ч. 1Г
смежен с предыдущими; кроме того, они не перекрываются и
покрывают (в совокупности) некоторую окрестность точки А.
Теорема 3. Если выполняются указанные выше условия 1)\
2), то движения ^(а) порождают дискретную группу движений
плоскости Лобачевскогодля которой область D является фунда-
ментальной областью.
Рассмотрим простейшие примеры.
Пример 1. Пусть D есть многоугольник, вообще не имею-
щий вершин (см., например, рис. ИЗ). Рассмотрим движения
Ч(а), Ч(а') такие, что ч(а)а=а, у(а)ч(а') = е, 4(a)D П D = а.
Такие движения всегда существуют: прямая переходит в пря-
мую и данная полуплоскость — в данную полуплоскость. Эти
движения порождают дискретную подгруппу в группе изометрий.
Если никакая сторона многоугольника без вершин не соответ-
ствует самой себе, то получается, очевидно, свободная группа.
Наличие сторон, соответствущих самим себе (например, такая
сторона изображена на рис. ИЗ), дает нетривиальное соотноше-
ние в группе.
Пример 2. Группа, порожденная отражениями; а'=а для
любого а и ч(а)—отражение относительно стороны а. Эти эле-
менты имеют порядок два.
Рассмотрим теперь случай, когда фундаментальный много-
угольник содержит бесконечно удаленную вершину (оставаясь
при этом конечным, т. е. имеющим конечное число вершин)»
Пусть D — такой конечный многоугольник и а а!—инволютив-
ное преобразование его сторон; 7 (а) —такие движения плоскости
Лобачевского, что ^{а)а'=а\ ^{a)D Л D = а; ^(а)г^{а/) = е. Пусть
А — вершина многоугольника D; тогда из рис. 114 видно, как
получить последовательность сторон а^ ..., aq, ... При этом, ко-
нечно, возникает и последовательность вершин, так как верши-
на А смещается при указанных преобразованиях. Таким образом^
возникают две последовательности: a4, а2, ... и Л, Л2, ...
(здесь At — образ вершины А при отображении 4(^1) и т. д.).
Будем говорить, что эти две последовательности порождены вер-
шиной А, Так как рассматриваемый многоугольник конечный
(т. е. имеет конечное число сторон; см. выше), то обе эти после-
Ч. II]
§ 20. ГРУППЫ ДВИЖЕНИИ ПЛОСКОСТИ ЛОБАЧЕВСКОГО
559
довательности содержат конечное число элементов и обе они ока-
зываются периодическими. Пусть р — наименьший период после-
довательности сторон; тогда число р также будет периодом
последовательности вершин Л, Л1Э Л2, .число р называется
периодом вершины А.
Эти две последовательности можно продолжить и в другую
сторону, поскольку они порождены действием элементов группы.
При этом свойство периодичности, конечно, сохраняется.
Пусть р — период вершины А; это означает, что последова-
тельность вершин содержит в себе вершину Ар, которая совпа-
дает с А. Скажем, что вершины Л1? Л2, ..., Лр~1 составляют цикл
вершин (порожденный вершиной Л). Все это можно проделать,
конечно, и для бесконечно удаленной вершины.
Предположим теперь, что движения у (а) порождают дискрет-
ную группу, для которой многоугольник D является фундамен-
тальным. Пусть Л — обычная вершина многоугольника (т. е. не
бесконечно удаленная); тогда цепь ячеек, обходящая вершину Л,
должна замкнуться, а потому существует такое натуральное
число иг, что [*Y(«1)7(«г) ... У(ар)]т==е. (Период р может быть
еще недостаточен для того, чтобы ячейки обошли вокруг верши-
ны Л, так как возвращение вершины Л в исходное положение
при последовательных сдвигах указанного выше типа еще не га-
рантирует того, что мы обошли все ячейки, примыкающие к вер-
шине Л.)
Число иг называется кратностью вершины (не путать с пе-
риодом вёршипы!). Кроме того, чтобы обойти вершину Л один раз,
р
необходимо выполнение следующего условия: (Z Лг) =--,где
1=1
Л-Л< — величина угла многоугольника D при вершине Л1. Если
потребовать, чтобы преобразование [7 (at) у (а2)-. - У («р)]ш сохра-
няло ориентацию, то соотношение [у (fli)У (а2)... У (аР)]т = е выте-
кает из указанного выше соотношения для углов. Легко прове-
ряется, что соотношения, соответствующие вершинам одного и
того же цикла (или противоположному обходу вокруг вершины Л),
эквивалентны.
С бесконечно удаленной вершиной никакой обход вокруг нее
не связан (что очевидно), и соотношения поэтому не возникает.
Но имеет место
Лемма 2. Для бесконечно удаленной вершины преобразова-
ние у(Д1)у(а2) . ..у(аР) является параболическим движением, т. в.
таким, что соответствующая матрица (дробно-линейного преоб-
разования) второго порядка а вещественными коэффициентами
/1 И
подобна матрице 0 * I.
Теорема 4. Пусть задан конечный многоугольник D, а так-
же инволютивная перестановка его сторон, и пусть заданы
560
ГЛ. 4. ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА. НАКРЫТИЯ
[Ч. II
движения 7(a) для каждой стороны а такие, что *((а)а' = а,
(7 (a)D) П D *= а. Пусть также для каждой вершины А этого мно-
р
гоугольника выполняется условие (Z-4i) = — и преобразова-
ние [7 (fli). .. 7 (аР)]та сохраняет ориентацию (напомним: отсюда
вытекает соотношение [7 (at)... 7 (ар) ]та = е); предположим далее,
что для любой бесконечно удаленной вершины преобразование
7(ai) • • • 7(др) является параболическим движением плоскости
Лобачевского; тогда оказывается, что группа, порожденная всеми
элементами ^(а), дискретна и область D является ее фундамен-
тальной областью (фундаментальным многоугольником).
Пример 1, Группа, порожденная отражениями (рис. 115, а).
Здесь период вершины А равен 2; кратность этой вершины
равна тп.
Л л I
a 6
Рис. 115
Пример 2. Группа, порожденная поворотами (рис. 115,6).
__ , . 2л
Пусть Z^fi = — с целыми тпл; пусть стороны, примыкающие
А
к вершине Ал, равны. Предположим, что (Z^i) = “% Пусть
2л . „
7, — поворот на угол — вокруг точки Ав по часовой стрелке.
Условия теоремы 4 выполнены, а потому получаем дискретную
группу. Эта группа имеет соотношения: для вершины А соотно-
шение имеет вид (*((а))т = е; для вершины В оно имеет вид
(W2---7b)m = e-
Заметим, что в евклидовой геометрии таких многоугольников
ft
21 , 1 , ,
— + — —1, откуда
/71 • 771
i=l 1
следует, что А ^4. (Мы опускаем доказательство.) На плоскости
Лобачевского таких многоугольников (и, следовательно, таких
групп) бесконечно много.
Пример 3. Рассмотрим 4А-угольник на плоскости Лобачев-
ского, изображенный на рис. 116, а. Предположим, что сумма
ч. л]
§ 20. ГРУППЫ ДВИЖЕНИЙ ПЛОСКОСТИ ЛОБАЧЕВСКОГО
561
всех его углов равна 2л и что при каждом i сторона сц равна
стороне а*, а сторона bt равна стороне
Утверждение. Сохраняющие ориентацию движения Pt
плоскости Лобачевского, однозначно определяемые условием
а/. порождают дискретную группу, действу-
ющую без неподвижных точек, в которой выполнено соотношение
= е
и фундаментальный многоугольник которой совпадает с исходным.
Группа эта изоморфна фундаментальной группе римановой по-
верхности рода к, т. е. сферы с к ручками, а наш многоугольник
будет многоугольником, задающим каноническую запись этой по-
верхности (см. задачу 1 из § 19).
Рис. 116
Следствие. Универсальная накрывающая замкнутой ориен-
тируемой поверхности рода g > 1 (сферы с g ручками ) есть
плоскость Лобачевского.
Задача. Доказать, что если в примере 3 вместо рис. 116, а
взять рис. 116,6, то получим ту же самую поверхность.
В заключение приведем без доказательства одну теорему ко-
нечности для дискретных групп.
Теорема 5. Всякий выпуклый фундаментальный много-
угольник дискретной группы движений плоскости Лобачевского
конечной площади имеет конечное число сторон (если же имеют-
ся выходы на бесконечность, то их конечное число).
Перейдем теперь к рассмотрению так называемой группы
Мёбиуса и к классификации дробно-линейных преобразований.
Наши рассмотрения мы начнем с дробно-линейных преобразо-
ваний на сфере Римана СР1 ~ С U (°°) = S\ т. е. на пополнен-
36 в. А. Дубровин и др.
562
ГЛ. 4. ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА. НАКРЫТИЯ
[Ч. II
ной комплексной прямой. Множество невырожденных дробно-ли-
нейных преобразований (с комплексными коэффициентами) об-
разует группу, которая иногда называется группой Мёбиуса и
обозначается в литературе так: МбЬ. Имеет место следующий
очевидный изоморфизм: Mob~5Z>(2, С)/{± 1} (матрицы ±1
составляют центр группы SL (2, С)). Из теории жордановой
нормальной формы известно, что любая матрица о из группы
5L(2,C) сопряжена с одной из следующих матриц: 1)
т. е. z z 4- 2) т. е. z cz. В первом случае преоб-
разование о называется параболическим, во втором случае — эл-
липтическим, если |с|=1, и гиперболическим, если с е К ис>0;
все остальные случаи объединяются под общим названием локсо-
дромические преобразования. Тождественное преобразование из
этой классификации исключается. Эта терминология относится
как к матрицам (указанного вида), так и к элементам группы
МбЬ, представляемым этими матрицами. Если выбран представи-
тель преобразования а (т. е. некоторая матрица) такой, что
deta = 1, то имеет место следующая
Лемма 3. Пусть о SL (2, C)t Тогда*. 1) матри-
ца а является параболической тогда и только тогда, когда Sp а =
= ±2; 2) матрица а является эллиптической тогда и только тог-
да, когда SpoeR и ISpal <2; 3) матрица а является гипер-
болической тогда и только тогда, когда Spa eR, ISpal >2;
4) матрица а является локсодромической тогда и только тогда,
когда Sp а ф. R.
Здесь Sp^* = а 4- d—обычный след матрицы.
Из этой леммы видно, что группа 5L(2,R) не содержит
локсодромических элементов. Дадим характеристику преобразова-
ний из группы 5L(2,R) на языке неподвижных точек этих
преобразований. Заметим, что преобразование из 5L(2,R)
(как и из 5L(2,C)), отличное от 1, имеет на расширенной
комплексной прямой две неподвижные точки, которые могут
слиться.
Лемма 4. Пусть aeSL(2,R), a^zhl. Тогда*. 1) матри-
ца а является параболической в том и только в том случае, когда
а имеет ровно одну неподвижную точку на расширенной прямой
R U °°; 2) матрица а является эллиптической в том и только
в том случае, когда а имеет одну неподвижную точку на верхней
полуплоскости Н = {z е С| > 0} и вторую неподвижную точ-
ку на нижней полуплоскости*, 3) матрица а является гиперболи-
ческой в том и только в том случае, когда а имеет две непод-
вижные точки на расширенной прямой К U (оо).
Пусть Г —дискретная подгруппа группы SL(2, !R). Тогда
z^H называется эллиптической точкой группы Г, если суще-
Ч. II]
§ 20. ГРУППЫ ДВИЖЕНИЙ ПЛОСКОСТИ ЛОБАЧЕВСКОГО 563
ствует преобразование о^Г такое, что <j(z) = z, где о — эллипти-
ческий элемент. Аналогично точка ze К J (оо) называется па-
раболической точкой группы Г, если существует преобразование
те Г такое, что ?($) = $ и т — параболический элемент группы.
Перечислим теперь некоторые простейшие свойства преобразова-
ний указанных выше типов.
Рис. 118
1. Гиперболический тип. а) Каждая окружность, про-
ходящая через неподвижные точки этого преобразования, перево-
дится этим преобразованием в себя; каждая из двух частей, па
которые окружность разбивается двумя неподвижными точками,
также переходит при этом в себя.
б) Внутренность окружности, проходящей через неподвижные
точки этого преобразования, переходит в себя.
в) Каждая окружность, ортогональная к окружности, прохо-
дящей через неподвижные точки, переходит в окружность, обла-
дающую тем же свойством.
36*
564
ГЛ. 4. ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА. НАКРЫТИЯ
14. П
г) Неподвижные точки сопряжены относительно любой такой
окружности, т. е. ортогональной к окружности, проходящей через
неподвижные точки. (Сопряженность точек определяется так:
точки Л, В сопряжены относительно окружности радиуса R
с центром в точке О, если точки О, Л, В лежат на одном луче,
выходящем из точки О и |ОЛ| • \ОВI = /?2.)
Рис. 119
На рис. 117 построены два семейства указанных выше окруж-
ностей и показано, каким образом преобразуются области, на ко-
торые изображенные семейства окружностей разбивают плоскость;
каждая заштрихованная область переходит в следующую (неза-
штрихованную) область в направлении, показанном стрелкой.
2, Параболический тип. а) Каждая окружность, про-
водящая через неподвижную точку, переходит в окружность, ка-
сающуюся первой окружности в неподвижной точке.
ч. Ill
§ 20. ГРУППЫ ДВИЖЕНИЙ ПЛОСКОСТИ ЛОБАЧЕВСКОГО
565
б) Имеется зависящее от одного параметра семейство окруж-
ностей, касающихся друг друга в неподвижной точке, каждая
из которых переходит сама в себя.
в) Внутренность каждой неподвижной окружности переходит
сама в себя.
На рис. 118 показано, как преобразуется плоскость при па-
раболическом преобразовании. Каждая заштрихованная область
переходит при параболическом преобразовании в .следующую
(пезаштрихованную) область в направлении, указанном стрелкой.
3. Эллиптический тип. а) Дуга окружности, соединя-
ющая неподвижные точки, переходит в дугу окружности, соеди-
углов 2л (см.
няющую неподвижные точки.
б) Каждая окружность, ортогональная окружностям, прохо-
дящим через неподвижные точки, переходит сама в себя.
в) Внутренность каждой такой окружности переходит сама
в себя.
г) Неподвижные точки сопряжены по отношению к каждой
из окружностей, ортогональных окружностям, проходящим через
неподвижные точки (рис. 119).
В заключение этого параграфа укажем конкретный пример
дискретной группы движений плоскости Лобачевского, имеющей
фундаментальной областью 4^-угольник с суммой
выше пример 3). В качестве такой
фундаментальной области возьмем
правильный 4g^ угольник (с угла-
ми n/2g) с центром, например,
в центре единичного круга (в моде-
ли Пуанкаре; рис. 120). Разобьем
стороны этого 4^-угольника на пары,
беря просто пары противоположных
сторон. Пусть At, ..., А28 — «сдви-
ги» плоскости Лобачевского, меняю-
щие местами пары противоположных
сторон (см. рис. 120). Каждое по-
следующее преобразование по-
лучается из предыдущего Ак поворотом направления «сдвига» на
л ( „
л—т. е. сопряжением с помощью матрицы Bg поворота на
угол л — Преобразования А, ..., A2g связаны соотноше-
нием Ах .. A2gA± 1 .. . A2g = е (проверьте!).
Легко получить явные формулы для матриц преобразований
Ai4 ..., A2g из SL (2, R) (т. е. уже в реализации геометрии
Лобачевского на верхней полуплоскости). Можно считать, что
в этой реализации движение Ах переводит мнимую полуось в се-
бя. Тогда оно имеет вид w >-* ?vco, X = е1, где I — удвоенный катет
треугольника с углами л/2, л/4?, n/4g (это видно из рис. 120).
666
ГЛ. 4. ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА. НАКРЫТИЯ
(Я. 1Г
Указанный катет легко вычисляется; для величины I получаем
2___2 in cos fl + Д/cos 2ft д_____ л
sin fl * Р 4g
(проверьте!). Матрицы A2f ..A2g1 как уже говорилось, получа*
ются из матрицы At сопряжением: Ak = Bgh+1 A1Bg~1, где Bg —
„ 2g - 1
матрица поворота на угол л —вокруг точки г;
/ 2g -1 , 2g -1 \
/ COS Л---Г— sin л —\
D __ I *g 4g |
8 I . 2g -1 2g-1 '
\— sin л 4 созл—
Окончательно получаем
sin a\ A+1
cos a/
fl + 1/cos 2fl
sin fl
0
. I cos a
А ь =
n \— sin a
0 \
sin fl lx
cos fl + 'j/cos 2fi/
cos a sin a
— sin a cos a
a = л —-f к = 1, ..., 2g.
4g * &
Задача. Докажите, что группа с образующими Ah ..., A2g
и соотношением .. A2gAi1-^A2g =1 изоморфна группе с об-
разующими ai, bh ..а8, Ь8 и соотношением
bi ... dgbgdg bg • == 1.
Глава 5
ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
§ 21. Определение абсолютных и относительных
гомотопических групп. Примеры
1. Основные определения. Гомотопические группы, к определе-
нию которых мы сейчас перейдем, представляют собой важнейшие
из инвариантов многообразий или топологических пространств,
как будет видно из дальнейшего текста. Одномерная гомотопиче-
ская группа по определению совпадает с фундаментальной груп-
пой л4(М, х0). Нульмерной гомотопической группы, вообще го-
воря, нет; нульмерным аналогом гомотопической группы является
множество л0(М, х0) компонент линейной связности пространства
ЛГ, в котором отмечен «тривиальный» элемент — компонента отме-
ченной точки Хо. Лишь в отдельных случаях множество л0(М, х0)
обладает естественной групповой структурой; укажем основные
примеры такого рода.
А. Пространство М является группой Ли. В этом случае связ-
ная компонента единицы х0 = 1, обозначаемая через М0<^М, яв-
ляется нормальным делителем; факторгруппа M/MQ = л0 (М, х0)
имеет естественную групповую структуру.
Например: 1) для М = О(п) имеем л0 (М, х0) = Z2 (компо-
ненты соответствуют знакам детерминанта); 2) для М = О(п, 1)
имеем л0(Л7, х0) = Z2xZ2 (разделение группы па компоненты
производится по знаку детерминанта и по тому, сохраняется или
обращается направление времени).
Б. М есть пространство петель Q(x0, N) некоторого простран-
ства А; это пространство Q (х0, А) состоит из путей 7, начинаю-
щихся и кончающихся в точке х0, Как доказывалось в § 15
(см. теорему 1), множество компонент линейной связности
Ло(М; е) пространства М (е есть единица, т. е. постоянный путь
y(^ = j:0) совпадает G группой лДА, х0) (по определению
последней).
Дадим теперь определение «высших» гомотопических групп
л<(М, х0). Рассмотрим диск D1 с граничной сферой 51-1 и отобра-
жения /: Dl -* М, при которых сфера переходит в точку х0.
Определение 1. Элементом гомотопической группы
лДЛ/, Хо) называется гомотопический класс отображений диска
D* -* Mnt причем граница переходит в точку х0 при всех
568
ГЛ. 5, ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
[Ч. П
отображениях и гомотопиях. Эквивалентным образом элемент из
лДЛ/, Хо) задается гомотопическими классами отображений сферы
S1 -> Л/, при которых избранная точка сферы s0 S* переходит
в точку х0.
(Можно сказать, что элементы группы лДТИ, х0)— это компо-
ненты связности пространства отображений S1 -> Л/, при которых
s0 ^*^0")
Произведение элементов гомотопической группы определяется
так: рассмотрим сферу Si с экватором и точкой на
экваторе S*"1. Рассмотрим стандартное отображение ф сферы S*
в букет двух сфер V при котором экватор целиком пе-
реходит в одну точку s0, в которой скреплен букет (рис. 121).
Рис. 121
При этом отображение ф взаимно однозначно и сохраняет
ориентацию во всех точках, кроме экватора 5,_1. Если заданы
отображения а($0) = х0 и 0: p(s0) = x0, то
мы определяем произведение ар как отображение 5’ Л/, совпа-
дающее с а(ф(х)) для полусферы D+ и с Р(ф(х)) для по-
лусферы D~:
оф (х) =
аф при х D\
фф при х е
Очевидно, aP(s0)=x0. Гомотопический класс произведения оф
называется произведением гомотопических классов а и р в гомо-
топической группе лДЛ/, х0).
Теорема 1. Операция умножения гомотопических классов
превращает множество л<(Л/, х0) в группу, коммутативную при
i > 1.
Доказательство. Для i = 1 теорема 1 сводится к теоре-
ме 17.1. Рассмотрим случай i> 1.
а) Коммутативность: ар гомотопно Ра. Пусть а задано на
верхней полусфере Р+(х°>0), р — на нижней полусфере
£)_(х°^0); считаем, что сфера вложена в R1+1 (x°t] .. .гхг) как
i
гиперповерхность S (^?)2 = 1* Пусть точка s0 на экваторе имеет
Ч. II]
§ 21. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГОМОТОПИЧЕСКИХ ГРУПП
569
координаты $о = (я° = О, л1 = 1, ..., х* = 0), Рассмотрим семейство
вращений сферы S* по себе вокруг ортогонального дополнения
к плоскости (х\ хг) на углы 0 ф л. При ф = 0 это отображе-
ние тождественно. При ф = л это отображение меняет местами D+
и D~. Точка So неподвижна при всех вращениях. Мы получили
гомотопию, меняющую местами а и [J. Таким образом, оф и
гомотопны.
Рис. 122
б) Ассоциативность: (оф)ч гомотопно а(^). Пусть а задано
на верхней полусфере D+(x° >0), а нижняя полусфера D~(xQ 0)
разделена пополам, D~= Dx J D2 -* на Dr и на£>2.
Пусть р задано как отображение диска Pi и у — как отображе-
ние диска РГ (рис. 122). Легко видеть, что эта модель реали-
зует как афч), так и (оф)^- Утверждение доказано.
в) Обратный элемент. Пусть задано отображение сферы
а: (5\ s0)-*(M, а;0), задающее элемент ае=л,(Л/, а;0); покажем,
что отображение 5г -* М, определяемое формулой (я0, х\ ,.., хг}
»-* а(—я0, х\ ..хх\ определяет элемент —аел,(Л/, х^). Рас-
смотрим знакомое нам отоб-
ражение ф: S' -+ S* V S1, при .
котором экватор xQ = 0 пере- { \ 1 а )
ходит в точку s0 (рис. 123). "" 4 s
Считаем, что отображение S---------иs° /ьфд
a: S* М определено на \ / Гу
верхней полусфере Р+(л;0^ '
> 0). Отображение (—а):
D-+M, рассматриваемое^как Рис. 123
отображение нижней полу-
сферы D~(x° ^0), действует по формуле (—а) (я0, х\ ..., хп) =
— а(—z°, х1, ..., хп). Вместе а и —а составляют отображение
/: Sl-+ М, при котором точки у =(х\ ..,, хп) и !/*=(—х\ ..,, х11)
переходят в одну и ту же точку, /(у)=/(у*). Следовательно,
отображение / представляется в виде суперпозиции / = g ° л, где
л — проекция, л: 5г D\ л(у)=л(у*) (рис. 124), и g = a: Di
М. Поэтому отображение / гомотопно постоянному, и точку s0
можно сделать неподвижной при гомотопии. Теорема доказана.
570
ГЛ. 5. ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
[Ч. IJ
Пока нам известны гомотопические группы лишь весьма ма-
лого количества пространств (не считая группы nJ:
а) л<(Л/, xQ) = 0 для любого стягиваемого многообразия или
пространства М (например,М = Rn, Dn, дерево н др.);
б) л,(5п) = 0 при i < га, лп(5п) = Z (см. § 13).
Рис. 124
Из определения гомотопических групп немедленно вытекает
Утверждение. Для прямого произведения М X N имеем
лДМХ^ = лДМ)Хл^).
Доказательство. Любое отображение /: 51 -► М X N есть
просто пара отображений: / = (Л, /2), где Д: S*М и f2: S^N.
При гомотопиях f составляющие /2 деформируются независимо.
Утверждение доказано.
Таким образом, мы можем расширить круг примеров, где мы
знаем гомотопические группы, составляя их произведения.
2. Относительные гомотопические группы. Точная последова-
тельность пары. Относительные гомотопические группы
л<(М, Л, х0) определяются для пространства М, его подмноже-
ства А и точки Хо<^А. Элементы га^лДЛ/, Л, х0) представляются
отображениями диска
a:
при которых граница 51"1 переходит в Л и избранная точка
на границе 51”1 переходит в х^ По определению элементы из
л*(М, Л, Xq)—это гомотопические классы таких отображений
a: (D\ 51'-1, s0)->(Af, Л, х0).
лДЛ^Л,^) определяется для и является группой для i > 2.
Группы л.(М, Л, Хн) коммутативны при i > 3. Групповая струк-
тура в лДМ, Л, xQ) при z>2 вводится в полной аналогии с аб-
солютными группами лДМ, xQ). Если а, Л, xQ), то
произведение оф реализуется (рис. 125) на диске D\ представ-
г
ленном в виде S в
Рассматривается отображение ф: D \J D%, стягивающее
диск Z/-i (х'=0) в точку s0- На диске реализуется а, а на
диске £>2 реализуется Суперпозиция D1 X \/ D^M дает
Я. И]
§ 21. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГОМОТОПИЧЕСКИХ ГРУПП
571
При i = 1 мы имеем множество гомотопических классов
отображений л4(Л/, Л, х0) — групповой операции нет. При 1 = 2
граница. 52/ = 5i_1 одномерна. Поэтому относительная группа
л2(Л/, А) х0) может быть некоммутативна, как и абсолютная
труппа n4(Af, Хо). При дословное повторение доказатель-
ства теоремы 1 дает коммутативность группы л{(Л/, Л, х0).
Доказательство того, что л<(Л2, Л, х0) —группы при^2, также
полностью аналогично теореме 1, и мы его не приводим.
Рис. 125
Если Л=х0, то относительные группы л<(Л/, Л, х0) не отли-
чаются от «абсолютных» групп л^Л/, х0).
При непрерывных отображениях многообразий (пространств}
/: M-+N,
A~^BV.
~ г/о,
по аналогии с группой Л1 (см. § 17) получаем естественные
гомоморфизмы [ Dx М Л» Л ]
/*: щ {М' Л, х0) л. (А\ 5, у0).
Эти гомоморфизмы не меняются при гомотопиях отображения /,
при которых Л переходит в В и х0 в
Всякое отображение при котором сфера 5Z>i = 5l*~l
переходит в точку х0, представляет собой как элемент группы
л«(Л/, Хо), так и элемент группы л»(Л/, Л, х0). Таким образом,
получаем гомоморфизм
/: л» (Л/, Хо) л<(Л2, Л, х0),
поскольку гомотопия отображения в классе а^л,-(Л/, х0) может
считаться и гомотопией в классе л<(Л/, Л, х0) (но не обратно!).
Кроме того, всякое отображение /: представляющее
элемент Л, х0), определяет отображение границы
572
ГЛ. 5. ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
14. II
при котором s0’“*z0. При гомотопиях отображения f в классе
а^л<(Л/, Л, х0) отображение границы меняется в классе из
Jtf-ДЛ, х0). Произведение в группе лДМ, Л,х0) порождает на
границах произведение в группе л»-1(Л, х0) по определению.
Таким образом, возникает «граничный гомоморфизм»
д: ТС{(М9 А, х0)^ л<_1(Л, х0).
Кроме того, включение А <= Л/, рассматриваемое как непре-
рывное отображение i: А -+ М, порождает «гомоморфизм вло-
жения»
(-^> *0) ** *o)-
Напомним, что ядром группового гомоморфизма qp: G Н
называется подгруппа Кег ср группы G, состоящая из элементов
а^Кегф таких, что ср(а)=1. Образ гомоморфизма ср, обозна-
чаемый через Im ср, есть просто cp(G)<=//.
Теорема 2. Гомоморфизмы /, i*, д обладают «свойством
точности»:
Кег/ = Im
Ker i* = 1m д,
Кег д = Im /.
Желая выразить это одним словом, обычно говорят, что после-
довательность групп и гомоморфизмов
... Д (Л, х0) —> {М, х0) -Л л{ (М, А, х0) Д л{_! (4, х0) -> ...
точна.
Доказательство, а) Кег/= Im i*. Действительно, всякий
элемент группы л*(Л/, х0) представляется отображением а: 1У М
с a{dD^ = Если же этот элемент лежит в Кег/, то существу-
ет гомотопия at отображения а — а0, в процессе которой все вре-
мя х0, д£И-^Л, а в конце гомотопии получим a^(Dl)<^A.
Это есть определение Кег/. Гомотопия at определяет отображе-
ние (dD\ t) А для О t < 1, причем. a0(dDl) = х0. Поэтому
семейство отображений at: (6D\ t)^A задает отображение ди-
ска D2 —Л. Сопоставляя композицию этого отображения с ото-
бражением а<: D1—Л, получаем отображение 51-^Л, при ко-
тором $о Поэтому Кег/ содержится в образе Im Z*. Обрат-
но, если задало отображение диска /: Di А с /(дП') = хъ то
в группе л<(Л7, Л, ^0) это отображение / дает нулевой элемент,
поскольку диск по себе стягивается к точке по множеству Л. По-
этому Im i* = Кег/.
б) Кег д= 1т/. Если аеКег^, то а представляется отобра-
жением a: М с 5!_1-^Л, s0 >-> х0, для которого отображение
границы a: S1-1 А гомотопно нулю, т. е. существует гомотопия
at; S'-1Л с а0 = а, a/(s0) = x0,. ai(Si"1) = х0. Отображение
Ч. П]
§ 22. НАКРЫВАЮЩАЯ ГОМОТОПИЯ
573;
a: D* М вместе с отображением {aj: 8г~1 XIА, переводящим
S’"1 XI в £0, составляет отображение S1 -> Л/, при котором отме-
ченная точка s0 = [5’“\ 1] переходит в х0. Таким образом, ядро
Кег д содержится в образе Im /. Обратное очевидно, поскольку
при отображениях диска a: D1 -> М из Im j вся граница пере-
ходит в точку и, значит, д(а) = 0.
в) Тш д = Кег Z*. Пусть а е Кег л$ (Л, я0) и а представ-
лено отображением a: S1 -> Л с s0 »-* я0. Тогда имеется гомото-
пия 51 -> М с а0 = а, a/(s0) = z0 и аД*?1) — ^. Эта гомотопия
задает отображение диска Di+i М, так как l) = z0. При
этом граница dDl+i = 5* при отображении а0 переходит в Л и s0
переходит в я0. Мы получаем отображение F тройки Di+i М,
S1 -> Л, sy*->rry. Таким образом, Kerf* содержится в образе
Im д, так как а = а0 = d(F). Обратно, если а = dF, то отображе-
ние a: S1 -> Л гомотопно отображению в точку (по 7И), и в про-
цессе гомотопии $0 >-* xQ. Теорема доказана.
Пример. Пусть Л7 = Z)n, Л == 5”"1. Тогда лп (Z)n, я0) = Z
и n<(Z)n, хо) = О при i < re.
Доказательство. Рассмотрим точную последовательность
ЛП (/Г) 2> л„ (/Г, 5"-1) Д л^ лп_г (О7*-1).
Если re > 1, то
лп (£>”) = лп_1 (Z)n_1) = 0,
так как шар Dn стягиваем. Поэтому Im j = 0 и Im i* = 0.
Так как Im j = Кег д, то Кег д = 0. Поэтому гомоморфизм
д*. ?tn(Dn, S'1'1) -> Лп-i (Sn_1) не имеет ядра (является вложением).
Так как Im д = Кег = n^-i (Sn х), то гомоморфизм д есть на
самом деле изоморфизм между лп(/)п, Sn_1) и Лп-х (S’1'1) = Z-
Утверждение доказано.
Аналогично, если М стягиваемо, то лДЛ7) = 0 (/^0) и
лп(Л7, Л)=лп-1(Л) при ге> 1 (проверьте!).
§ 22. Накрывающая гомотопия. Гомотопические группы
накрытий и пространств петель
1. Понятие расслоения. Пусть X и У — два топологических
пространства и /: X Y — непрерывное отображение.. В некото-
рых примерах (ниже) X будет бесконечномерным функциональ-
ным пространством — пространством путей. Рассмотрим любое
гладкое многообразие (или пространство) К и два отображения
ф: £-> У, ф: К^Х-
говорят, что ф накрывает ф, если /ф = ф.
Определение 1. Мы скажем, что отображение /: X У
есть расслоение (или расслоение Серра), если любая гомотопия
574
ГЛ. 5. ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
[Ч. II
Ф = {ф(}: KX1->Y произвольного отображения ф = ф0 в базу Y
накрывается некоторой гомотопией Ф = {фД: К XI X, т. е.
/ф( = ф( для всех t > 0, и при этом в момент t = 0 отображение
Фо совпадает с заданным отображением ф, удовлетворяющим
условию /ф = ф.. При этом требуется, чтобы накрывающая гомо-
топия ф( была «стационарной» вместе с фе: если точка к^К
неподвижна на некотором отрезке 6 гомотопии, ф, (к) = const
при то и ф,(А:) = соп5Ё при ^6.
Практически во всех случаях, когда имеется свойство накры-
вающей гомотопии, вводится однозначный рецепт накрывать в X
движение точек по базе У; этот рецепт должен непрерывно и
мультипликативно зависеть от пути точки по базе У и от началь-
ного положения этой точки в X. Точно это означает следующее.
1. Всякому непрерывному пути у(£): I->Y в базе У,
и начальной точке х0^Х такой, что /(х0) = у0 = у(0),
однозначно сопоставляется непрерывный путь ч(г, х0): I -* X
такой, что у(0, хй) = хй и /у(£, ^o)“Y(^). Путь у(£, xQ) должен
непрерывно зависеть от пути y(t) и от начальной точки xQ.
2. Мультипликативность: произведению путей в базе У
должно отвечать при накрытии произведение путей уДг, х0)°
°у2(т, ^1), 0 t < 1, 1=^т=^2, если ;г0).
3. Если путь у постоянен (сводится к точке у0), то и путь у
постоянен (сводится к точке ^0). Заметим, что если задан путь
*у(£) из у0 в уь то совокупность путей у(£, х) для всех
определяет отображение «переноса» слоев у: /“* (у0) -* f1 (yt),
причем (yi ° у2) = 7i° у2, а отображение слоя F = f~l(yQ),
в себя гомотопно тождественному 1Р ~ у ° у"1: /“1(^о)_> ЛЧУо)*
Задача. Докажите, что слои расслоения гомотопически эк-
вивалентны и, более того, отображения переноса слоев являются
гомотопическими эквивалентностями.
Определение 2. Пространство У называется базой, X —
пространством расслоения: полные прообразы Fv=f~l(y) назы-
ваются слоями, отображение f называется проекцией. Однознач-
ный рецепт накрывать гомотопию, удовлетворяющий перечислен-
ным выше требованиям, мы назовем гомотопической связностью
в расслоении /: X -* У.
Пример 1. Накрытие является расслоением, у которого все
слои дискретны. Свойство накрывающей гомотопии и движение
слоев из точки в точку были изучены в § 18.
Пример 2. Рассмотрим гладкое многообразие (или про-
странство) М и точку хп^М. Обозначим через Х = £(^о) про-
странство всех путей у(£), 0=^ t 1, начинающихся в точке хп и
кончающихся в любой точке у(1)еМ (не фиксированной). Че-
рез У мы обозначим само многообразие Ж, Имеется отображе-
ч. in
§ 22. НАКРЫВАЮЩАЯ ГОМОТОПИЯ
575
пие f: E(x0)-+Y, действующее по формуле /(7)=7(1). Слои
(у) представляют собой пространства путей £2 (х09 у, М),
встречавшиеся в гл. 4.
Лемма 1. Отображение ft Е(х0)-+М является расслоением.
Доказательство. Построим для отображения / гомотопи-
ческую связность. Пусть задан путь 7(f) в М, ведущий из у0 =
₽=7(1) в у! = 7(2). Точка у0 «накрыта» при £=1. Это означает,
что задан путь 71(т), О «С т 1, начинающийся в точке xQ и кон-
чающийся в точке i/o = 71(1)* Накрытие пути 7(f) в пространстве
Х — Е(х) определяем очевидным образом: 71(f) есть точка в про-
странстве Е (я0), представленная для любого 1 2^ путем
7«(^ )^Q(xq, 7(0)i О tf t, определяемым формулами 7«(f) =
71(f) при 0 t 1, 71(f) =7(f) при (рис. 126;
путь 7( (f) показан пунктирной линией).
Рис. 126
Для пути 7*(f) можно ввести параметр f = тогда
O^f'^1. Накрытие 7t в пространстве Е(х0) = Х пути 7(f) в
Y = М непрерывно зависит от начальной точки, т. е. от пути
71 (т), и от пути 7 (£) в базе Y = М.
Лемма доказана.
2. Точная последовательность расслоения. Рассмотрим расслое-
ние /: X -> У, точку у0^У и слой /г = /"1(^о). В слое F выбе-
рем точку fo^F, Определены гомотопические группы nf(X, /0),
n4(F, /о), л<(Х, F, fQ) и точная последовательность пары
... -> (F) nf (X) (X, ^)Л^_1(/г)-> ...
При отображении /: X-> У слой F — f~l{y0) переходит в одну
точку F -> у0. Поэтому определен гомоморфизм
/#:л((Х, F, у0).
Теорема 1. Гомоморфизм является изоморфизмом л/(Х,
F9 f0) «?л<(У, у0). Поэтому имеется «точная последовательность
расслоения»
. . . -> Л; (F) Я. (Х)^Л1(У)-^ ...
576
ГЛ. 5. ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
[Ч. II
Доказательство. Пусть а^лДХ, F, /(.) и (а) = 0( где
<х представлено отображением a: D1 -*• X, dD* у, $.,«-►/0. Обо-
значим через £ образ £ = /(а): D^Y. dD* -* у0. Так как £ = 0
в группе л<(У, у0), существует гомотопия £f: D1 -* Y с ^(dD*)-^
Уо, £ и ^1(^1) = .г/о. Накроем гомотопию гомотопией аг
D1X такой, что ау = а и at(s0) = /0. Тогда ai(dDi)<=iF при
всех t, и аДО^сТ. Поэтому а = 0
"X р (^}=/з (п4 в группе лДХ, F). Пусть теперь
X —X. ? ° задан элемент р^лДУ, у0). Най-
Л// //Х \ \ дем такое а^лДХ, F. f0), что
I //у~\ ) ) X7* /*а = Р- Для любого отображения
у ] Di -* Y с £(д£У) = уо можно по-
/ строить гомотопию р,: D*Y с
Ро = ^ M5o) = S/oi £Д2/)=г/о, так
как диск стягиваем (эта гомото-
Рис. 127 пия не дает эквивалентности
в группе лДУ, Уо), так как
^t(dDx)¥= у0) (рис. 127). Отображение pt: D*:у0 можно накрыть
отображением at: D1 -*• /0. Накроем теперь всю гомотопию а;,
1 t > 0, начиная с отображения at: D*f0. В конце гомотопии
мы получим отображение а0: D* -* X такое, что $0 н* /о и /(а0) =
= р0=р. Так как P(dZ7)=i/0, мы получаем, что ao(dD*) лежит
в слое F. Отображение а0 дает элемент а^лДХ, F. /0) такой,
что /*а = р. Теорема доказана.
Замечание. Групповая структура в множестве лДХ, F. /0)
/*
вводится посредством изоморфизма Л! (X. F. /0)~Л1(Т\ Уо)*
В конечном отрезке точной последовательности
... -^n^F, /0)^Л1(Х, /о)^Л1(У, Z/o)”*no(F),
где X и Y считаются связными, образ гомоморфизма /* : лг (X, /0)—>-
-> л^ (У, yQ) может не быть нормальным делителем, и поэтому
в множестве смежных классов л0(7г)^л1(У, j/o)//*ni(^i /о) нет
естественной групповой структуры.
Следствие 1. Для накрытий, у которых слой F = f~l(yoj
дискретен, имеется изоморфизм
л,(Х, F. /0)==л4(Х, /о) при i^2.
Поэтому я, (X, /о) л< (Y), i > 2.
(Группа л4 изучена для накрытий в гл. 4.)
Следствие 2. Для расслоения путей
/: Е(хо)-М
со слоем Q(x0, у, М) =f~l(y) получаем лт-(Е(х0) )= 0,
nf(Q(x0, у, М))= л1+1(М).
Ч. II]
§ 22. НАКРЫВАЮЩАЯ ГОМОТОПИЯ
577
Доказательство. Пространство E(xQ) стягиваемо по себе
к точке с помощью гомотопии
q?/: Е(#о) Е (х0),
фЩО))=ъ(О»
где — отрезок пути f от 0 до t (с параметром т' = r/t, О С т'
<^1). При t = Q получим путь fo (т) = "f(0) = ха. Поэтому
<ро(£(хо)) — точка.
Из стягиваемости Е(ха) следует, что Л{(Е(х0), х0) = 0 для всех
1^0. В точной последовательности расслоения Е(х0)-*-М имеем
л; (Е (х0)) (М, у) л{-1 (й (х0, у, М)) лг_! (Е (х0)).
II II
О 0
Из точности следует, что гомоморфизм д является изоморфизмом,
так как 1т/* = Кегд = 0 и 1т<9 = Кег yr М)).
Следствие доказано.
Из следствия 1 вместе с примерами накрытий (см. примеры
1—7 из § 18) получаем, что при i> 1:
1) $0)=Лг(К1, х0) = 0 (пример 1);
2) лДКР2А я0) = лД№2, $о), в частности л2(КР2) = Х
(пример 3);
3) лДТ1”; яо) = О (пример 4);
4) яо) = О (пример 5);
5) ni(51V51) = 0 (пример 7). Аналогично лД№ V ... VS1) = О
при г>1, поскольку универсальная накрывающая является дере-
вом и потому стягиваема. Если U — область плоскости, tZ = R2\
\(fli U ••• U где а,—точки, то U стягивается к букету
№ V ... V S1, и потому = 0 при i > 1.
6) Из примера 6 следует, что лг(№ V S1) = лД.. .V S2 V S2 V...)
при г>1. Действительно, универсальная накрывающая является
прямой, в целых точках которой нанизаны сферы №. Это же
относится к группам лДР) для области V = (F?3\№,; где окруж-
ность № незаузлена, так как V стягивается к № V №.
7) Для всех поверхностей (замкнутых и открытых), кроме
№ и №, универсальная накрывающая есть (топологически)
R2. Для сферы с g ручками это было показано в § 20. Поэтому
л< = 0 для всех г>1.
3. Зависимость гомотопических групп от начальной точки.
Разберем теперь вопрос о зависимости гомотопических групп
^i(7H, xQ) от точки xQ^M. Пусть xQ и — точки из М и Y (£),
1^£^2,— путь из £0 = y(2) в = 7(1). Пусть элемент ае
е лДЛ/, х,) представлен отображением единичного диска a: М,
s0 “> xt. Мы сейчас определим отображение у* (a): М
37 Б. А. Дубради.к и др.
Ь78
ГЛ. 5. ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
[Ч. п
диска радиуса 2 (рис. 128). Область (^>)2^2 представляет
j==i
собой 5i_| X [1, 2], т. е. сферу 5’-1, умноженную на единичный
отрезок [1, 2]. Определим отображение 7: 51-1 X [1,2] -+ М, пола-
гая 7(1/, = где lCf^2. Отображение у* (a): D\-+M
определяется так:
у* (а) = а на D[ cz
у* (а) = v на области {1 2 to)2 С 21 = 5г~1 X [1А 2].
Имеет место
Теорема 2. 1) Преобразование (а) зависит лишь
от гомотопического класса пути у, ведущего из х0-в xh и опре-
деляет изоморфизм
7*; Хь).
В частности, для односвязных пространств этот изоморфизм не
зависит от пути.
2) Для замкнутого пути 7 Л1 (Jf, rr0) сопоставление
а~у*(а) определяет действие группы нДМ, х^) на хй)
посредством групповых изоморфизмов. Если f: Х-+М— универ-
сальное накрытие, определяемое свободным действием дискрет-
ной группы Г на X, то Г = лДЛ/, я0), и группа Г действует на
группе л((Х)1= лДУЙ) движениями X X. Это действие совпа-
дает с действием фундаментальной группы Л1(7И, я0) на
xQ) как группы операторов. При этом ввиду односвязности
X (Л1(Х)=1) группа лДХ, я)
не зависит от выбора точки х в
том смысле, что для двух то-
чек х\ х" &Х изоморфизм
л<(Х, х')-+ л£(Х, х") не зави-
сит от пути у, соединяющего
х' и х".
3) Классы свободной гомо-
топии отображений сферы S* ->
Л/ (без требования s0 я0)
находятся в естественном вза-
имно однозначном соответствии
с орбитами операторов из х0), действующей на лДЛ/, я0).
(Если Л1 — 1, то классы свободной гомотопии соответствуют эле-
ментам а^л<(7И, Хо).)
Доказательство утверждений 1), 3) и первой части утвержде-
ния 2) в точности аналогично доказательству теоремы 17.4 для
фундаментальной группы Л1 (здесь нет разницы между случаем
i = l и случаем i>l). Существенно новой является лишь часть
утверждения 2), относящаяся к универсальному накрытию
/; Х~*М и действию группы Г на группах л,(Х) —л<(Д/, х0)^
i
si
..,0)
Sg^(2,O,...O)
Рис. 128
ч П] § 22. НАКРЫВАЮЩАЯ ГОМОТОПИЯ 579
Совпадение группы Г с группой лДЛ/, х0) было доказано ра-
нее — см. теорему 19.2. Движение g: Х-+ X из группы Г порож-
дает изоморфизм Лг(Х, x')^Hj(X, х ), где = Однако
имеется канонический изоморфизм л<(Х, х х"), не зави-
сящий от соединяющего эти точки пути. В силу следствия 1
л,(Х) я* л<(Л/, х) при i>l. Рассмотрим элемент а^лДХ, х'),
представленный отображением диска радиуса 1:
a: D[-^X, х'.
Образ g(a) есть отображение
g(a): dD[ ~+х* = g(x').
Рассмотрим диск D\ радиуса 2 и путь 7, ведущий из х' в х”.
Строим отображение y*g(a): как выше (см. рис. 95),
перенося вдоль пути 7 элемент g*a из точки х" в х'. Проекция
отображения 4*g(a) в М по определению совпадает с g*(a)^
х0); здесь а^л<(Л/, х0), где х0 =/(х') =/(х") и а соот-
ветствует а при изоморфизме х)=Л((УИ, х0), порожденном
проекцией /: X -+ М. Элемент g^V отождествляется с элементом
из Л1(2И, х0) = Г. Тем самым теорема доказана.
Примеры. 1. Для накрытия /: 52->В?Ра имеем Г =
= лг (RP2) = Z2, где образующая есть преобразование g: № -* №,
g(x)=—х, меняющее ориентацию. Поэтому действие элемента g
на группе л2(КР2) = л2 (52) = Z с образующей IsZ таково:
g*(l) = -l.
Заметим, что дляКР3= 50(3) имеем также Г = лг = Z2 с обра-
зующей g(g2 — 1). Далее л3(КР3) =л3(53) ==□ Z о образующей
leZ. Однако здесь g(l)=l (проверьте!).
2. Для универсального накрытия X -* S2 V 51 пространство X
реализовано в виде прямой R1, — оо<£<+оо, у которой в це-
лых точках t = п, п = 0, ±1, ±2, ..., приколоты сферы
Группа Г = Z порождена образующей g, действующей так:
g: t — t + 1,
g:
n = 0, =Ы, ±2, ...
Очевидно, группа л2(Х) есть прямая сумма групп Z в беско-
нечном количестве с образующими
ап: S2~^Sn (степень ап равна 1).
По определению имеем
g(«n)= ап+1, п = 0, ±1, ±2, ...
37*
580
ГЛ. 5. ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
(Ч. II
Так как Г = л1(52У51), л2(Х) = л2(52 V S1), имеем типичный
элемент из группы л2(52 V S1)
где Xf — целые числа, п > тп. Букет Sz V S* гомотопически экви-
валентен области'U = R3\52, где окружность 5* незаузлена*
Задача. Пусть U — область в !R3, полученная из заполнен-
ного тора выкалыванием одной внутренней точки. Найти группы
Л1, л2 и действие на л2.
4. Случай групп Ли, Если многообразие М является группой
Ли, то имеет место
Теорема 3. Группа л^ТИ) коммутативна; действие л>(Л/)
на всех группах л^Л/) тривиально.
Доказательство, Два любых отображения /, g: К-+М
можно перемножать, используя групповую структуру в Л/:
/#(М =Если /ng таковы, что /(/с0) = g(fc0) = 1, то
эго же верно и для произведения /g. Кроме того, если / гомо-
топно a g гомотопно g', то /g гомотопно fg\ Таким образом,
гомотопические классы [й, Л/] образуют группу. Пусть А = S1 п
/, g представляют элементы из Л1(М, 1); покажем, что их произ-
ведение fg(x) = f(x)g(x) совпадает с их обычным произведе-
нием В Л1.
Можно гомотопией привести эти отображения к виду:
/(я)=1 для всех x^D~,
g(x)=i для всех x^D+,
Здесь 5* задается в виде x* + y2 = i, отрезок D+ выделяется не-
равенством у > 0, отрезок D~ — неравенством у < 0. Точка
S1 имеет координаты (1, 0).
Произведение fg в группе 1) совпадает при указанном
выборе представителей с групповым произведением отображений
/ng
= = Ь°{Д X^D+l
I/ U)i xt=D\
Ясно также, что при таком выборе представителей f(x}g\x} =
= g(x)J(x). Таким образом, произведение не зависит от порядка
сомножителей, т. е. группа 1) коммутативна.
Введем теперь групповой эквивалент действия Л1 на л< (f>l).
Рассмотрим диск D\ = j 2 (я;)а Z1( радиуса 2 и в нем диск
D\ = < 2 (^?)3^ 1} радиуса 1. Область есть
кольцо Рассмотрим два отображения диска D\ в Л7:
Ч. П]
5 22. НАКРЫВАЮЩАЯ ГОМОТОПИЯ
581
1. Если 7(i), 1 2, представляет элемент из яДЛ/, 1)\
то имеется отображение
ф v
SMX/-> /-> Л/,
ф (5, t) = t.
Так как 7<р($, 1)=1еЛ/, то можно продолжить это отображе-
ние до отображения диска a|V положив ipv(Z?i) = l.
Отображение D\-+M переводит край dD{ в точку 1
и стягивается к тривиально-
му отображению, причем в f у
процессе гомотопии край dD[ S' \
все время переходит в точку f (ЯЯЬк \ / )
(заметим, что образ ipT(x)<= ( wW ) J
<^М одномерен; см. рис. 129). \ у
2. Зададим отображение
a: D[ М, a (d//j) = 1, Рис . 129
представляющее элемент
а е ni(M1 1) на диске Продолжим а до отображения
a; D\-+M, положив а (Dz— Z?i) = 1. Рассмотрим произведение
aipT(x)=a(x)ipT(x)=ipT(x)a(x), х<= D\. Это произведение по гео-
метрической конструкции представляет элемент 7*ос из л<(Л/, 1),
так как ocipT совпадает с а на диске D[ и проектирует кольцо
в путь 7 вне диска D[. Однако отображение D\-+M стяги-
вается к точке, как было указано выше (рис. 129). Обозначим
эту гомотопию через где 1р0 =-фт, (rr) = 1 и
0^т^1, Произведение oci|\’(z)= а(х)1рт(х) дает гомотопию, из
которой следует равенство элементов а и 7*а в группе лДЛ/, 1).
Теорема доказана.
Задачи. 1. Докажите, что если М — группа Ли, то произ-
ведение в группах л<(Л/) можно эквивалентным образом задать
формулой fg(x) = f(x)g(x).
2. Распространите теорему 3 па случай 11-пространств; так
называются пространства,, которые обладают непрерывным умно-
жением Н X Н -> Н с единицей 1 s 77, т. е. таким элементом,
что 1р(х, 1) — 1|)(1, х) = хл
В действительности достаточно, чтобы умножение обладало
«гомотопической» единицей, т. е. чтобы отображения Н -> Н,
определяемые формулами 1) и х), были
гомотопны тождественному. Таким, например, является простран-
ство петель Н = £2(ха, М) (проверьте!). Более того, //-простран-
ство Q(x0, М)=П является, как говорят, «//-группой»: а) умно-
жение яр: И X // -> //, ip(/i, g) = kg, обладает «гомотопически
582
ГЛ. 5. ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
[Ч. II
обратным» элементом — гр(й) таким, что отображение II-+II,
переводящее h в hh~\ гомотопно постоянному отображению со
значением 1; б) умножение if: Н X И -*• И «гомотопически ассо-
циативно», т. е. отображения Н X Н X Н -*• Н, определяемые
формулами
(Ац А2, А3) >-► ф (ф (Ai, ^г)» А3) — (AjA2) А3,
(Аь А2, А3)ь*ф(Лп ф(А2, А3)) = At (А2А3),
гомотопны.
Обратным к является путь 7-1(i) в Й(х0, М), а го-
мотопическая ассоциативность вытекает из следующего утверж-
дения.
Задача. Множество (группа) всех гомеоморфизмов отрезка
7(0, 1) на себя с неподвижными концами (т. е. монотонных за-
мен параметра на пути) стягиваемо.
Уже был установлен изоморфизм (см. выше п. 2)
лДЛ/, xti) = tti-i (й(х0, М), е), i > 1.
Группа связных компонент л0(й(х0, М))=я^(М, х0) действует
на группах лДЙ, е), Й = Й(х0, М), посредством преобразований
а>-*у_:1ау, а^лДЙ, е),
7 е л0(Й)= лДЛ/, х0).
Задача. Доказать, что действие а >-► у-1 ау группы л0 (Й)
па л,(й, е) совпадает с введенным ранее стандартным действием
группы лДЛ/) на nJ+i(M).
Для групп Ли и //-пространств с гомотопической единицей
в силу доказанных выше фактов зависимость Л1 и л^ от началь-
ной точки несущественна, так как переносы вдоль замкнутых
путей тождественны. Это же относится к любым односвязным
пространствам Л/. Во всех этих случаях классы свободной гомо-
топии отображений сферы [5\ Л/] точно соответствуют элемен-
там группы лДЛ/), причем начальной точки можно явно не ука-
зывать (она несущественна).
5. Умножение Уайтхеда. В гомотопических группах имеется
еще одна интересная операция — произведение Уайтхеда,
Рассмотрим прямое произведение сфер М = Sl X Sj и лежащий
в нем букет («координатный крест») А = S1 V S} == (Sl X $0) и
U (4 X 5;), где s'q е S\ s0 Sj — отмеченные точки сфер 5*’, SJ.
В произведении S'XSj отмечена точка $0 = ($0, $0). Определено
естественное отображение
Di+j «=/)* х х SJ£
Ч. II]
e 22. НАКРЫВАЮЩАЯ ГОМОТОПИЯ
583
где / есть прямое произведение стандартных отображений а:
dD'-+sQ и P:D7->5;, dD*-^sQl каждое из которых
имеет степень +1. Отображения а и £ представляют базисные
элементы групп s0) = Z, s0) = Z. Отобра-
жение / переводит границу dD1** = d (D* X D*) = (dD1) X D- U D' X
X(dD*) в координатный крест A — Sl VSjc= M = SlXS\ так как
a (3D1) = So, P (3D7) = Sq.
Таким образом, отображение / представляет элемент группы
nl-+j-(5i X S\ Sl V Sj, s0). Имеется го-
моморфизм 3, введенный в § 21:
3: n^XS^VS^So)-* d(f}
-> (S‘ V S>, s0). sW--*
С помощью элемента 3(/) в группе
ni+j_! (S' V S\ So) мы определим так
называемое npou3eedenue yatirxeda рпс. 130
в гомотопических группах любого
пространства X: произведением элементов а е х0), Ь&
enj(X,x0) будет служить некоторый элемент [а, Ь]е Hi+J-i(X,х0).
Конструкция: пусть а: (Sl, So)->(X, xQ) и Ь: (S\ So)->(X, r0)—
отображения, представляющие одноименные элементы гомотопи-
ческих групп. Рассмотрим букет S* V скрепленный в точке
5о = sd = so- Мы имеем отображение а V b: S* V S* -* X, перево-
дящее s0 в х0 (рис. 130). Элемент 3(/) определяет стандартное
отображение (композицию)
[а, 6]: у S}^X.
Тем самым построен элемент [а, Ь]ел^-!(Х, х0). Ориентация в
D’XDJ, определяемая репером (т\ т7), отличается от ориентации
в DfXD7^DJXDf с репером (т7, т*) знаком ( — l),j. Отсюда вы-
текает следующее свойство произведения Уайтхеда:
[а, Ь] =(-!)«[6, а].
Мы будем в основном рассматривать произведения [а, 3] в слу-
чае i > 2, / > 2, когда группы л(, Л; абелевы и записываются
аддитивно и произведение Уайтхеда билинейно по а, Ь, Отметим
два особых случая.
Случай i = l, / = 1: произведение [а, 3] совпадает с ком-
мутатором fa, b] = aba~lb~l в группе Л1(х, xQ) (докажите!).
Случай 1 = 1, 7^2; произведение [а, 3] сводится к дей-
ствию эт1(Х, Хо) на л/(Х, Xq):
[а, Ь]-а*(Ь)-Ь,
где аель b^iii (докажите!).
584
ГЛ. 5. ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
[Ч. II
Рассмотрим теперь абелевы группы (записываемые аддитивно)
Го = л3 (X) + л5 (X) + л7 (X) + ... 4- л29+1 (X) +..
Ti = л2(Х) + л4(Х) 4- лв(Х)4-... + л2д(Х)4-...
По определению для произведения Уайтхеда имеем
[Го, Го]с=Го,
[Го, rjcz^,
[Г1Э rjczTo.
При этом для оЕГт, Ъ е Гп, т, п = 0, 1, закон коммутирования
таков:
[а, £,]= („1)(ш+1)<п+1)[ьэ а].
Задача. Показать, что для трех элементов a е Гт, Ъ е Гп,
с е Гр, т, тг, р = 0, 1, имеет место обобщенное тождество Якоби
(-J)^)^)^, (?] 4“ ( —1) + + [[(?, 4 &] +
+ Н)(я+1)('+1> с]1
Z2-градуированные пространства Го® Гь обладающие умно-
жением с подобными свойствами, стали называться в современ-
ной литературе «супералгебрами Ли» после того, как они появи-
лись в аппарате квантовой физики.
Вычисление произведения Уайтхеда в конкретных случаях
бывает затруднительно. Рассмотрим сферу S2n (тг^1) и группу
л2п(52") = Z с базисным элементом aen2n(S2"). Квадрат [а, а\
оказывается элементом бесконечного порядка в группе n4n-i(S2")
(для п — 1 он будет указан в § 23). Для нечетномерных сфер S2"-1
базисный элемент а группы JX2n-i(S2n-t) = Z имеет квадрат Уайт-
хеда порядка 2 (или нулевой):
[а, а] = (— 1)(2п-1)(2п-1) [а, а] = — [а, а],.
2 [а, а] = 0 в группе л4п_3 (S2n-1).
Утверждение. Для групп Ли и Н-пространств с единицей
произведение Уайтхеда тривиально: [а, &] = 0 для любых
<=лДЛ/), Ъ^яДМ).
Доказательство. Если хотя бы одно из чисел г, / (ска-
жем, г) равно единице, то утверждение следует из теоремы о
коммутативности Hi (М) и тривиальности действия лДЛГ) на
всех лДЛГ). Пусть i > 2, /^2. Элементы а и Ъ представлены
отображениями a: Dl -> М, dDi -> 1, Dj -> М, dD* -> 1. Рассмот-
рим произведение
Z? XZ/-> М.
Ч. П]
§ 23. СВЕДЕНИЯ О ГОМОТОПИЧЕСКИХ ГРУППАХ СФЕР
585
полагая оф(х, у) = а(х)$(у). На границе 5(Z? X Dj) = Si+S~l
отображение оф индуцирует элемент [а, 5] s n1+i-i (Л2) по опре-
делению последнего. Поэтому [а, 5] = 0. Утверждение доказано.
§ 23. Сведения о гомотопических группах сфер.
Оснащенные многообразия. Инвариант Хопфа
1. Оснащенные многообразия п гомотопические группы сфер.
Изучение особых точек векторных полей и связанных с ними
инвариантов приводило нас к использованию степени отображе-
ния Sn -> Sn, т. е. группы JTn(Sn). Все группы с i<n,
как доказывалось, тривиальны. Рассмотрим теперь задачу о гомо-
топической классификации не обращающихся в нуль векторных
полей п в евклидовом пространстве Rn, удовлетворяющих усло-
вию тг(х)-> nQ при |х|-> оо. Потребовав дополнительно, чтобы
I п I = 1, мы получаем непрерывное отображение
Rn U
причем (оо) н-* тг0 е S71”1. Однако Rn J (оо) = S"1. Поэтому мы
приходим к задаче о вычислении группы nn+i (S'”). Более общо:
если поле п(х) представляет собой произвольную векторнознач-
ную функцию п (х) = (V(x), ^П(х))^=0, 7П^=П, то, счи-
тая, что 1тг|=1, получим отображение £” -> S'”1-1. Тем самым
задача сводится к вычислению групп лп(5'п“1).
До сих пор из гомотопических групп сфер мы нашли только
группы jti(S'1) = O, i>l; Jin(S'n)=Z и Л((5”) = 0, £<тг. Мы ука-
жем здесь геометрический метод изучения гомотопических групп,
основанный на изучении полных прообразов регулярной точки.
Рассмотрим отображение /: мы будем считать его
гладким. Пусть точка s0 Sn является правильной точкой ото-
бражения /. Выберем на сфере Sn локальную систему координат
в окрестности точки $0, т. е. зададим в той окрестности п функ-
ций ..., фп таких, что уравнения Ф1 = 0, ..., фп == О выде-
ляют только точку s0 и градиенты grad ф< линейно независимы
в точке. Из правильности отображения / в точке $0 следует, что
полный прообраз (s0) является гладким fc-мерным замкнутым
многообразием
/-1($0)= Ж*
Более точно, прообразы функций ф< — функции фДя) =/*фД:г)’=«
=фг(/(х)), определенные в окрестности W\ задают Wk урав-
нениями
Ф1 в 0, ..., ф„ = 0.
Из правильности точки $0 для / следует, что во всех точках
из /"1(50)= И7А градиенты gradфi линейно независимы и направ-
586
ГЛ. 5. ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
[Ч. II
лены (как векторы) нормально к РР в евклидовой метрике
5/1+а\оо
Таким образом, отображению /: Sn+fe Sn поставлена в соот-
ветствие пара (ТР, тп), где Wk = f~i(sQ) и тп— реперное поле
в Rn+A =« Sn+h \ оо, заданное в точках Wk и нормальное к Ж*
в евклидовой метрике, тп = (grad ф1т . .grad <pn) , <р£ = /*<р£ =»
=- тЛ/(^) )-
Определение 1. Пара (W\ т11), состоящая из замкнутого
многообразия И//1с8п+к с невырожденным нормальным га-репер-
пым полем тп, называется оснащенным многообразием (без края).
Само поле тп при этом называется оснащением.
Поскольку в Rn+A имеется каноническая ориентация, поло
тя определяет ориентацию W\
Рассмотрим гладкую гомотопию F: Sn+k XI Sn, правильную
в точке $о е Sn и связывающую отображения /0, Д: 5n+fe5П.
Рассмотрим прообраз
р+1=7г-1(5о);
этот прообраз лежит в Sn+fe X 7 и задается уравнениями Ф£ ~
0, .,Фп = 0, где Ф; = F*q)jt Градиенты grad Ф, линейно
независимы на Vfe+1. Мы получаем пару (Vfe+1 <= 5n+fe X 7, тп), где
тп = (grad Фь ..grad Фп) — нормальное к Vfe+1 реперное поле.
На краях t = 0, 1 получаем многообразия Wq = VA+1 р| (£ == 0) и
РИ* = V^+1 р| (^ = 1) с индуцированными «оснащениями»— репер-
ными полями, полученными ограничением поля тп на край. Само
многообразие Vfe+1 при t — 0, 1 не касается краев; поэтому мож-
но без ограничения общности считать, что многообразие Vfe+1
нормально подходит к краям t = 0 и t=i. С подобной ситуа-
цией мы сталкивались в § 13, где к равнялось нулю, многообра-
зие Wk было набором точек {хь ..., хт} = /-1 (з0), а оснащение
тп задавало «ориентацию» или знаки точек прообраза. Многооб-
разие Vfe+1 было одномерным, и оснащение тп на него продолжа-
лось с краев.
Определение 2. Пару (Vfe+1 <= Sn+* X 7, ?п), состоящую из
многообразия Vfe+1 с краем, вложенного так, что оно нормально
(йод углом 90°) подходит к краям при 2 = 0, 1, и из нормаль-
ного невырожденного га-реперного поля тп, назовем оснащенным
многообразием с краем.
Так как в сфере Sn дополнение к малой окрестности точки
с координатами <ptl ..., <рп стягивается к точке, мы можем все
это дополнение считать одной точкой. При малом е > 0 имеем:
е-окрестпость Wt многообразия Wk <= S,i+fe ввиду наличия поля
тп диффеоморфна Wk X D”, где D& — диск радиуса в в нор-
мальной плоскости к И7* в точке х е W\ порожденной векторами
репера х"(х). Аналогично Е-окрестпость Vs многообразия
ч. II] 6 23. СВЕДЕНИЯ О ГОМОТОПИЧЕСКИХ ГРУППАХ СФЕР 587
уА+1с=Уп+*Х7 диффеоморфна Уй+1 х Dl при малых е>0. Рас-
смотрим два замкнутых оснащенных многообразия 'т?) и
Тг> в J со.
Определение 3. Оснащенные многообразия (JVj, т") на-
зываются эквивалентными, если найдется оснащенное многооб-
разие (V*+1, тп) <= S'n+h X 1, которое на краях высекает исходные
оснащенные многообразия
^ = yA+1Uo, T? = r”|i=0;
Wl = r'i+111=1, т’1 = т" |(=1.
По-другому эту эквивалентность можно описать так. Оснащен-
ные многообразия (Ж;, т^) эквивалентны, если многообразие
(W\ тп), где Wk — Wi J W%, а т совпадает с т? на JVj, а на
отличается от Тп только направлением первого вектора, эк-
вивалентно в предыдущем смысле нулю (т. е. пустому много-
образию).
Имеет место несложная
Теорема 1. Классы эквивалентности замкнутых оснащенных
многообразий (Ж\ тп) cz Rn+1 находятся_ в естественном взаимно
однозначном соответствии с элементами группы nn+k(Sn).
Доказательство. Отображение /: S'n+hSn, правильное
в точке So, определяет, как мы видим, замкнутое оснащенное
многообразие (Ж\ тп), а гомотопия F: Sn+hXI-+Sn между двумя
такими отображениями порождает эквивалентность оснащенных
многообразий. Обратно, замкнутое оснащенное многообразие
тп) cz Rn+ft определяет отображение 5п+А -► Sn: действитель-
но, е-окрестность Wt многообразия Wh при достаточно малом
е > 0, как указывалось выше, имеет вид прямого произведения
We = Wh х Dl.
Проекция Wh X Dl~*Dl естественно продолжается до отобра-
жения Sn+k Sn, если мы весь край шара D'l в образе / будем
считать одной точкой: Sn == Dl U (одна точка). Все дополнение
к окрестности W9 в сфере 5п+А перейдет в одну эту точку.
Аналогично строится отображение F: Sn+kX 1 Sn, если за-
дано оснащенное многообразие с коаем (VA+l, тп)<= Sn+k X/. Тём
самым лемма доказана.
По существу, в § 13 при вычислении группы (Sn) —Z мы
пользовались частным случаем оснащенных многообразий
(*“0).
Замечание. Сложение в гомотопической группе л^Д5п)
интерпретируется как объединение двух пепересекающихся (д
588
ГЛ. 5. ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
[Ч, II
удаленных друг от друга) оснащенных многообразий в
(проверьте!).
Установим теперь одно общее свойство классов эквивалент-
ности замкнутых оспащенных многообразий.
Теорема 2. Для любых п>1, к > 1 в каждом классе экви-
валентности имеется связное замкнутое оснащенное многообразие
(при к “ 0 это неверно).
Доказательство. Пусть задано несвязное оснащенное мно-
гообразие(Ж*, т”) и(^, т’‘)=(Ж\ т”)с R’t+* с Sn+h. Покажем,
что это оснащенное многообразие эквивалентно связному. Рас-
смотрим гладкий несамопересекающийся путь (одномерное под-
многообразие) 7(т), 0 < т < 1, соединяющий точки х0 е и
%! е IV %. Мы требуем, чтобы путь у подходил нормально к
при т==0 и к при т^1 вдоль направления первого вектора
из реперного поля т” = (?n1, . ..,?nn), j == 1, 2. Зададим в
каждой точке пути 'у(т) нормальную к у к-мерную плоскость
(т), которая па краях т = 0, 1 совпадает с k-мерной каса-
тельной плоскостью к (т = 0) и И^(т = 1) (рис. 131). Репер-
ное поле тп~1=(т21 ..., тп) продолжим с краев т = 0, 1 на
кривую ч(£) так, чтобы оно было нормально к направлениям
этих k-мерпых площадок (т). Рассмотрим малое «к-мерное
утолщение» U^+1 кривой 'у(т) вдоль направлений Rh (т)
(см. рис. 131)’. На краях т = 0, 1 это утолщение производится
Рис. 131
вдоль касательных плоскостей к W*. Кроме того, произве-
дем малые утолщения ^i+1j Уг+1 самих и вдоль на-
правлений mi первого вектора реперов т? и Т2 (см. рис. 131).
Объединение^4-1 “Ei+1 U ^e+1U ^«+1 является (к + 1)-мерным
многообразием VM+1 с краем
dvh+1« wi и И U
где W* связно. Утолщение можно произвести так, чтобы много-
образие было гладким (не было углов), т. е. чтобы было
гладким многообразие И^.
Ч. II]
§ 23. СВЕДЕНИЯ О ГОМОТОПИЧЕСКИХ ГРУППАХ СФЕР
583
Реперное поле тп-1 = (т2, ..., тпп) продолжается на VA+I как
нормальное поле к VA+t в Rn+\ Мы приходим, таким образом,
к следующей общей ситуации: задано многообразие с краем
Vh+1 cz и реперным полем тп"\ нормальным к VA+1 в
На крае имеется репер тп = (тП1, тп-1), где вектор /П1 яв-
ляется внутренней нормалью к краю dVA+1, касательной к VA+t.
Таким образом, край (dVA+1, тп) является
оснащенпым многообразием в Rп+А.
Лемма 1. При этих условиях оснащен-
ное многообразие (dVk+\ тп) эквивалентно
нулю.
Доказательство. Рассмотрим число-
вую функцию t(x) на VA+1, где t{x) =Q
па крае dV/t+1 и 1>£(.г) >0 внутри VA+1.
X---------Z]
yk*1 X
Рис. 132
Эту функцию мы построим таким образом,
чтобы график (я, t(x)) функции t{x) в произведении VA+1 XI с=
<=5п+АХ7 был гладким многообразием Pft+1 5n+A X 7, нормально
подходящим к краю dFA+1 при t = 0 (рис. 132). Построим репер-
ное поле т”, нормальное к РА+1 в 5n+A X I. Реперное поле тп-1 =
= (ш2, ..., тпп) мы поднимаем па РА+1 тривиально: параллельно
переносим все векторы ntj Q‘5*2) из точки х е cz Rn+ft х 0
в соответствующую точку х е V,l+1 cz Rn+/l х I, где х = (z, t (х)).
Получаем поле тп-1 = (тп2, ..., fnn) па РА+1. Построим, далее, век-
торное поле fni па графике 7A+1 с= Vft+1 XI. Пара (VA+1, 7A+I) сов-
местно ограничивает область U с Vft+1 X L Строим единичное по-
ле /П1 нормально к FA+1 в VA+1 X I внутрь области U так, чтобы
при 1 = 0 в точках dVk+i = dVk+i это поле совпадало с единичной
нормалью mi внутрь VA+1 вдоль границы dVA+1. Итак, получаем
fdFA+1, Tn) = (5VA+1, xn)c=Rn+\ Тем самым край (dVA+1, тп) эк-
вивалентен нулю как оснащенное многообразие, поскольку все
оснащенное многообразие с краем (7А+1, т2 * ч * *) в произведении
IRn+A х I не пересекается с основанием t = 1. Лемма доказана.
Из леммы 1 вытекает теорема, поскольку => И7* (J П7* U
U W7* с соответствующими оснащениями, причем W* имеет на
одну связную компоненту меньше. Теорема доказана.
2. Надстройка. В дальнейшем тексте используем следующие
сведения о гомотопических группах ортогональных групп:
1) n1(5O(2)) = Z, поскольку 50(2) = 51;
2) nt(5O(3)) = Z2, поскольку 5O(3) = R7>3;
3) nt(5O(n))= Z2, n 5* 3 (см. гл. 6).
4) Гомоморфизм вложения (50(п))-^ л((5О(п+1)) яв-
ляется изоморфизмом мри 1<п — 1. Более того, если Л/ — любое
многообразие (комплекс) размерности то при i<n- l отобра-
590 ГЛ. 5. ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ [Ч. тг
жение [Л/, SO(п)] -► [М, 5О(п4-1)], индуцированное вложением
SO(n)^ 5O(n4- 1), является взаимно однозначным соответстви-
ем. При i = п — 1 гомоморфизм вложения (SO (п)) ->•
-* zii(SO(n 4- 1)) и отображение [/1/, SO (п) ] [Л/, 50(п-Ь1)]
являются эпиморфизмами (отображениями «на»), причем ядро
Ker(i#) является циклической группой бесконечного порядка
при четных п. Это очевидно для п = 2 и будет доказано в гл. 6
в общем случае.
Мы уже знаем, что вложения гладкого компактного к~мерно-
го многообразия М в [R2/i+q, где д>2, «незаузлены». Это зна-
чит, что для двух гладких вложений /: М ->R2/i+q, g; М ->R2/l+q,
g > 2, найдется семейство вложений («изотопия») /t: М—>R2/l+\
в котором /о = / и Л = g. Семейство вложений можно рассматри-
вать как гладкое вложение цилиндра F*.M х I->R2/i+q X I («про-
цесс изотопии»); последнее определяется формулой F (х, t) =*
“(/«(я), 0* Так как MXI стягивается к Л/ХО, получаем, что
любое оснащение, т. е. реперное поле тл+9, нормальное к М в
0?2Л+9, распространяется до реперного поля нормального
к MXI в R2h+q X /. Поэтому при g > 2 неважно, какое именно
вложение М cz R2/l+q рассматривается: все вложения переводят-
ся друг в друга с помощью изотопии.
Сколько имеется оснащений при заданном вложенииМ
Если имеется одно нормальное реперное поле т”, то любое дру-
гое с той же ориентацией получается из него вращением в каж-
дой точке. Таким образом, множество оснащений описывается
отображениями М SO (п). Гомотопным отображениям М -►
SO(n), очевидно, соответствуют эквивалентные оснащения.
Все это позволяет сказать, что при п > к 4- 2 ни сами вложе-
ния М cz Кл+Л, ни гомотопические классы оснащений М -+
-+SO(n) не зависят от п. Чтобы придать этому высказыванию
точный смысл, определим так называемый гомоморфизм над-
стройки Ег nn+ft(5n)-»-nn+ft+J(Sn+1). Конструкция надстройки
такова. Предположим, что задано A-мерное оснащенное многооб-
разие (Л/, т") в и рассмотрим вложение A/cRu+fecz
CZ Rn+/t+1; присоединим к реперному полю т” еще один вектор
7П0, нормальный к Rn+h в Rn+A+1 и положим Е(М* тп)=<
<=(21/, (л?о, т)). Аналогично определяется Е для оснащенных мно-
гообразий с краем. Из сказанного выше вытекает, что при
п > к 4- 2 этот гомоморфизм является изоморфизмом:
Е: лп+л (5П) 4 n,l+h+1 (5"+3), п > к + 2.
При п«Н1 имеем:
Ч П]
g 23. СВЕДЕНИЯ О ГОМОТОПИЧЕСКИХ ГРУППАХ СФЕР
591
а) любое Jt-мерное многообразие М можно вложить в R2*+1;
б) количество гомотопических классов оснащений вложения
М cz R2/i+1 не меньше, чем количество классов оснащений вло-
жения М cz [R2,'i+1+‘3t q > о (докажите!).
Отсюда следует, что гомоморфизм надстройки
Е: л2Л+1(5й+1)^л2А+2(5л+2)
является эпиморфизмом.
На обычном языке отображений надстройка Е определяется
так: пусть Sn+h — экватор в Sn+ft+1 и S” — экватор в Sn+1; отобра-
жение экваторов /: Sn+A Sn мы простейшим естественным об-
разом продолжаем до отображения Е/: Sn+ft+1 ->Sn+1 по лучам
на верхнюю и нижнюю полусферы; верхний полюс переходит в
верхний и нижний — в нижний.
3. Вычисление групп nn+i(Sn). Вычислим, используя теоре-
мы 1 и 2, группы Лп+1 (Sn). Согласно теоремам 1 и 2 каждый
элемент a^nn+i(5n) представляется связным оснащением одно-
мерного многообразия в Rn+1, т. е. окружностью S1 cz Rn+1
с некоторым нормальным реперпым полем тп.
А. Случай п > 2. При п>2 все вложения S1 cz R*+1 изо-
топны, и мы можем считать, что S1 cz Rn+1 фактически лежит
в плоскости К2 =» (х1, х2) и задается уравнением (х4)2+ (х2)2= 1.
На окружности S1czR3czRn+1 имеется «тривиальное» осна-
щение = (ш, е3, ..., еп+1),где т — вектор внешней норма-
ли к S1 в R2 и в) — базисные орты в Rn+l. Пара (S1, т?о) за-
дает пулевой элемент группы nn+i(5n). Произвольное оснащение
той же окружности получается вращением репера т0->А(х)тэ,
где x^S1 и А(х) ^SO(n). Мы имеем отображение х»-> А(х),_
A: Sl->SO(n),
представляющее элемент [А]е nt(SO(n)). При п>2 имеем
л, (SO(n) )= Za. Отсюда следует, чго на окружности S1 имеется
всего два гомотопических класса оснащений. Поэтому группа
nn+i(Sn) при п>2 содержит не более двух элементов.
Задача. Докажите, что пара (S1, т[1) с нетривиальным
оснащением т? неэквивалентна тривиально оснащенной окруж-
ности.
Из утверждения этой задачи и приведенных выше рассужде-
ний следует вывод: nn+i(Sn) = Z2.
Б. Случай п = 2. Здесь способ вложения S1 cz R® мог бы
быть a priori существенным, так как имеются узлы. Рассмотрим
лишь вложение S1 cz R2 с: как и выше, с тривиальным
£92
ГЛ. 5. ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
[Ч. II
оснащением т0» В действительности и здесь оказывается, что
всякая оснащенная окружность эквивалентна незаузлепной осна-
щенной окружности. Мы не будем этого доказывать и просто
ограничимся рассмотрением стандартного вложения ^CZR'CZlR3.
Тривиальное оснащение, определяемое в точности так, как выше,
задает нулевой элемент группы л3(52). Другие оснащения т2 за-
даются вращением А репера Tq в каждой точке x^S't
A: Sl-+SO(2) = Sl.
Так как jXi(5O(2)) = Z, имеем бесконечное число классов осна-
щений [Л] Z, занумерованных целыми числами т2т). Точно
так же, как выше, доказывается, что все оснащенные многообра-
зия (51, т(2т)) не эквивалентны друг другу. Сложение в л3(52)
складывает эти числа:
(S1! T(2m)) + (S1, Т(2д)) ЭКВ. (S1, T(2,n+g)).
Таким образом, группа л3(52) бесконечна (в главе 6 будет
доказано иначе, что л3(У2) = 2).
Инвариант Хопфа Н (f) для гладкого отображения /: S3S2,
определяется так: если z/0, е S2 — правильные точки и =
1=/~I(Z/o), АГ1 = f~* (//J, то Я(/)=Ш0, AfJ — целое число (коэф-
фициент зацепления прообразов, определенный в § 15), Про-
верьте, что И (51, т(2т)) = тп.
Задачи, 1. Докажите, что 11(f) — гомотопический инва-
риант; найдите Н (/) для расслоения /: 53докажите, что
н ([а, а]) четно.
2. Введите аналогичный инвариант Хопфа для элементов из
n4n-1(S2?l) и постройте элементы, для которых он нетривиален.
3. Пусть со — такая 2-форма объема па сфере 52, что j со=1,
S3
и пусть /: S3 S2 — гладкое отображение. Форма /*(со) па сфе-
ре S3 является точной, т. е. существует 1-форма сщ, для кото-
рой /*(co) = dco1 (проверьте!). Показать, что число j /* (со) Д сог
83
является целым и совпадает с инвариантом Хопфа H(f).
4. Группы Лп+2(5п). Как будет показано в главе 6, л4(£2) =
^.n4(SJ)=Z2- Группу л5(53) изучать не будем (в действитель-
ности она также изоморфна Z2). Укажем метод вычисления
группы лп+2(5п) в «стабильном» случае п > 3. Элемепт &<=
еЛп+2(5п) может быть представлен связной оснащенной поверх-
ностью (М, тп) er Rn+2, где п + 2 > 6. Поэтому вложение М cr Rn+2
незаузлено. Как известно, ориентируемая поверхность М — это
сфера с g ручками (см. [9]). Поскольку все равно, какое вло-
[Ч. II
§ 23. СВЕДЕНИЯ О ГОМОТОПИЧЕСКИХ ГРУППАХ СФЕР
593
жение брать, мы считаем, что М с Fc й?п+2. Имеется триви-
альное оснащение То = (mlf ...,еп+2), где —нормаль к
ЛГеК3. и Cj—базисные орты в Rn+2, координатных осей. Пара
(М, г*) определяет нулевой элемент в группах Лп+2(5П) по лем-
ме 1, так как поле (е4, ..cn+2) = Tq-1 продолжается па область
V в R3, ограниченную поверхностью М cz В?3.
Рассмотрим группу jiJAf). Пусть элемент аелДЛ/) реали-
зован гладко вложенной направленной окружностью (без само-
пересечений) S1 <= М и ret — нормальное поле к 51 в М такое,
что вектор скорости т вместе с щ даст ориентирующий репер
(т, П1) в М.
Пусть задано нетривиальное оснащение тп поверхности
cz R3 cz Rn+\ В базисе это оснащение имеет вид
тп = А (х) г?,
A: M^SO(n).
Для вложенной окружности S* cz М, представляющей элемент
аел^А/), определим функцию Ф(а)е22, называемую функ-
цией Арфа: ограничим оснащение тп на 51 cz М и рассмотрим
оснащенное многообразие (S1, тп+1) cz R7*+2, где Tn+i=(reh тп),
поле определено выше. Оснащенное многообразие (51, т"+1)
представляет элемент Ф(а) в группе Jin+2(Sn+i) = Z2- Определе-
на функция Ф(а)е?2 для элементов aejijAf), реализован-
ных вложенными окружностями 51 cz М.
Задачи. 1. Рассмотрим аир. Пусть произведение ар е
e^,(jf2) реализовано окружностью 51 cz М\ Тогда имеет место
формула
Ф(ар) = Ф(а) + Ф(Р) + а ° р (mod 2),
где а ° р — индекс пересечения окружностей, представляющих
аир.
2. Пусть а(, ..., а^, рь ..., рй—система окружностей па .
(сфера с g ручками), представляющих образующие группы
Л1 (d/2), связанные соотношением - • agPgag-1Pg 1 = 1-
Заметим, что индексы пересечения имеют вид а, ° р> = б о, а/ ° а, —
g
«=0, Р<°Рг=О. Докажите, что сумма Ф(М£, т) = У! Ф(а,)Ф(р<)
1—1
не зависит от выбора окружностей af, р* на поверхности M2g.
Докажите, что равенство Ф(Л^, т) = 0 является необходимым
и достаточным условием существования окружностей а<, ..а5,
Pi, . • Ре, Для которых Ф(аО= Ф(а2) = ... =Ф(а5) = 0.
38 Б. А. Дубровин и др.
594
ГЛ. 6. ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
гч. п
Если Ф(а) = 0, jo перестройкой Морса можно изменить по-
верхность М = M~g, уменьшив на единицу число ручек (т. е.
найти эквивалентную оснащенную поверхность меньшего рода).
Перестройка производится вдоль окружности а <= М; условие
Ф(а)=0 необходимо и достаточно для существования на пере-
строенной поверхности М* рода g — 1 оснащения т”, эквива-
лентного исходному. Действительно, рассмотрим отображение
«толстой» окружности ср: 5*Х(—е, где ф(№2Х0)=са<=
<= М, и образы отрезков хХ (—е, е) являются геодезическими
нормалями к а в М длины 2е.
Рассмотрим трехмерное гладкое многообразие с краем
U (О2Х(-е, е))г
ф
где склейка двух кусков производится по отображению ср:
ср: дО2Х(—е, е)-*Л/Х1.
Очевидно, dW = (МХО) J М*, и род поверхности М* равен
Расположим W cz Rn+2 (0, 1) так, чтобы W ортогонально
подходило к краям Rn+2x0 и Кп+2х1г причем^ТУ П (Rn+2x0) =*
= М и 1УП(Кп+2х1)==Л/*.
Задача 3. Оснащение тп к М в Rn+2 можно продолжить
па пленку W cz Rn+2x/(0, 1) в том и только в том случае, если
Ф(а) = 0.
Заметим, пакопец, что для сферы S2 cz Rn+2 любое оснаще-
ние дает нулевой элемент в группе лп+2(Зп), так как л2(5О(п))^
= О, и потому любое оснащение тп гомотопно тривиальному
оснащению
Если род поверхности g > 2, то цикл а, для которого Ф(а) = 0,
обязательно найдется (это следует из утверждения задачи 1).
Поэтому в результате перестроек мы придем либо к сферо
(52, Tq), дающей нулевой элемент, либо к тору Г2 сс R8 сс Rn+a
с нетривиальным оснащением тп (для базисных элементов
а, Ре Лх(Г2) = Z + Z будем иметь Ф(а) = Ф(£) —1, а°Р = 1).
Оказывается, что тор с таким оснащением действительно суще-
ствует, по- конструкции мы не приводим.
Таким образом, лп+2 (Sn) = Z2- Далеко идущее развитие тео-
рии трех- и четырехмерных многообразий дает возможность
вычислить этим методом группы nn+s (Sn).
Укажем еще некоторые факты, полученные сложными алгеб-
раическими методами.
а) Все группы яп+л(5п) —абелевы группы с конечным чис-
лом образующих; все группы Пп+л(5п), кроме случаев 4 = 0 й
Ч. II] § 23- СВЕДЕНИЯ О ГОМОТОПИЧЕСКИХ ГРУППАХ СФЕР 595
п = 2Z, к = 21 — 1, конечны; группа n4/-t (52/) изоморфна сумме
группы Z - и конечной группы.
б) «Стабильные» группы ГЛ = лп+Л(5и), п > к 4- 1, при к < 15
переписаны в таблице.
О
1
2
3
4
5
6
7
Z
z2
Z2
Z24
о
о
Za
Z240
8
9
10
11
12
13
14
15
z2©z2
z2©z2©za
Z2
Z.504
0
z3
z2®z2
Zago^^a
Глава 6
ГЛАДКИЕ РАССЛОЕНИЯ (КОСЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ)
§ 24. Гомотопическая теория косых произведений
1. Понятие гладкого расслоения. Гладкое расслоение есть со-
ставной объект, включающий в себя:
а) пространство расслоения — гладкое многообразие Е\
б) базу расслоения — гладкое многообразие М\
в) проекцию — гладкое отображение р: Е-+М^ дифферен-
циал которого имеет во всех точках максимальный ранг п =•
= dim М;
г) слой F — гладкое многообразие;
д) структурную группу — группу G гладких преобразований
слоя F;
е) структуру расслоения*, база М покрыта областями Ua <= М1
над которыми в полные прообразы введены координаты прямого
произведения с помощью диффеоморфизмов фа: F X Ua p-'(Ua)
таких, что рфа(г/, х) = х при х е= Ua, y^F. Преобразования
Zap = FxU^FxU^ где Uafi = Ua Я С7Р, называют
функциями склейки расслоения. Можно записать их в виде
Xap(z/, х) = (Та$ (х)у, х). Требуется, чтобы при любых а, £ и х
преобразование Та^(х): F F производилось элементом груп-
пы G. ТакИхМ образом, функции склепки Хар определяют гладкие
отображения области С7ар в группу G:
Tal): Uap->G, х^Тар(х).
Из определения функций Та^(х) получаем
yap_(ypa)-l и уаруртута _а | Ц)
(последнее равенство выполняется в пересечении трех областей
Ua Я 77р Я J7T = J7aPT). Все это вместе описывает структуру косо-
го произведения или гладкого расслоения.
Области Ua называются координатными окрестностями рас-
слоения.
Простейший пример расслоения — проекция прямого произве-
дения двух многообразий па первый сомножитель с единичной
структурной группой. Такое расслоение называется тривиальным.
Ч. И]
§ 24. ГОМОТОПИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ КОСЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЙ
597
Среди косых произведений особое значение имеют главные
расслоения и векторные расслоения.
Главное расслоение определяется так: слой F совпадает с
группой G, группа G действует на слое G = F правыми сдвига-
ми Rg: GG, Rg(x) = xgt Имеет место следующая
Теорема 1. Главное расслоение реализуется как свободное
левое гладкое действие группы G на многообразии Е, причем
орбиты группы G находятся в естественном взаимно однознач-
ном соответствии с точками базы М.
Замечание. Напомним, что гладким левым действием
группы G на Е называется действие {giy)^g(y) (У^Е,
g^G), которое гладко зависит от обоих аргументов (g, у). При
этом требуется чтобы: (1) орбиты были равномерно близки
друг к другу; (2) в каждой точке Уо^Е достаточно малый
гладкий я-мерный (rc = dimAf) диск не касающийся орби-
ты группы G, пересекал все близкие орбиты и при этом только
в одной точке каждую (рис. 133). Действие называется свобод-
ным, если g(y) = y для какого-то у^Е только при g = 1.
Рис. 133
Ранее (см. гл. 4) мы рассматривали только ситуацию, когда
группа G дискретна, Е и М являются многообразиями одной
размериости п, а орбиты группы G являются дискретными на-
борами точек. Наше условие здесь означало, что окрестность D"
точки у* не содержит других точек той же орбиты и выбирает
из каждой достаточно близкой орбиты только по одной точке.
Доказательство теоремы 1. Воспользуемся тем, что
правые сдвиги коммутируют с левыми: RSxLg2 (у) — Eg2Rgr (у)'=
«gtHgi. Действие (слева) группы G определим над каждой
координатной окрестностью Ua формулой
Lix (Si х) - (Sigi х)-
598
ГЛ. 6. ГЛАДКИЕ РАССЛОЕНИЯ (КОСЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ)
(Я. 1Г
Диффеоморфизм фа: G X Ua р~'(иа) (см. определение струк-
туры расслоения) переносит это действие в область p“‘(Ga).
Проверим корректность этого определения над пересечением
Gap = П СТр, Строго говоря, имеем два определения левого
сдвига в области p_1(Gat)):
, Фа 1 Lsi <₽а ,
Р~1 (Gap) -> G х Gap G X Gap /Г1 (Gap),
P~l (Ua&) -> G X Ua& G X иаъ Л р-1
Необходимо проверить, что для любой точки y^p~l(Ua)
ФсА/Ра1 (у) = фАгФё1 (г/)-
Применяя к этому равенству ф^\ преобразуем его к виду
lafiLgl(p~1 (у) = (у).
По последнее равенство вытекает из перестановочности правых
сдвигов с левыми: и ^арф»1=фр1- Таким об-
разом, левое действие группы g введено в каждой области
/^"‘(Ga), и они согласованы. Ясно, что это действие свободное.
Теорема доказана.
Итак, все главные расслоения получаются из свободных дей-
ствий групп G на многообразиях Е.
Структура расслоения с любым слоем F определяется по су-
ществу лишь «функциями склейки» или отображениями Тар:
GaP G, удовлетворяющими простым требованиям (2). Таким
образом, слой не играет роли: по любому расслоению с группой
G и слоем F можно построить расслоение с другим слоем F\
если задана реализация («представление») группы G в виде
группы гладких преобразований слоя F',— достаточно взять те же
функции склейки Та^: G, по реализованные как преобра-
зования другого слоя. Полученное расслоение называют ассо-
циированным с исходным расслоением. В частности, можно
всегда реализовать функции склейки в виде правых сдвигов
самой группы G и построить главное расслоение, ассоциирован-
ное с исходным. Получаем вывод:
Любое расслоение определяется как ассоциированное с не-
которым главным расслоением. Таким образом, задача класси-
фикации расслоений сводится к задаче классификации главных
расслоений.
Важным классом расслоений являются векторные расслое-
ния, у которых слой F есть Rnf а группа G действует в F как
подгруппа группы GL(n, R). Естественно выделяются: орто-
гональные векторные расслоения (GczO(n)), комплексные рас-
Ч. II]
§ 24. ГОМОТОПИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ КОСЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЙ
5Э9
слоения (F = Cn, G^GL(nt С)) и, в частности, унитарные
расслоения (G V (п)).
Важные классы примеров. 1. Накрытия. Здесь слой
F дискретен (набор точек), а группа G совпадает с группой
монодромий накрытия. В случае накрытий главные расслоения
назывались регулярными*, они определялись действием дискрет-
ной группы G = о (jij (М)) на пространстве расслоения. Приме-
ры накрытий см. в гл. 4.
2. Расслоения, связанные с многообразиями линейных эле-
ментов. Если М — гладкое n-мерное многообразие, то естественно
определяется п-реперное расслоение р: Е М, где точками мно-
гообразия Е являются пары (х, тп), состоящие из точки х^М
й невырожденного касательного n-репера тп в точке х. Здесь
слой F и структурная группа G совпадают (главное расслоение)
и G = GL (n, R). Действие группы GL(n, R) определяется
естественным образом: если A^GL(n, R) и (х, тп) ^Е, то
А(х, тп) = (х, Л(тп)).
Если на многообразии задана риманова метрика (go), то выде-
ляется класс ортонормированных реперов; возникает естествен-
ное главное расслоение Ео^ М с группой О(п). Если многооб-
разие ориентируемо, то можно ввести класс ориентированных
реперов. Возникает реперное главное расслоение Eso М с груп-
пой SOfn). Если М — комплексное n-мерное многообразие, го
определяются комплексные реперы и расслоение Е%-+М
с группой GL (п, С)? а если на М задана эрмитова метрика, то
определено также расслоение Ev М с группой. V (п). Все
это — главные расслоения разных видов линейных элементов.
Другие многообразия линейных элементов, описанные в гл. 1,
являются пространствами расслоений, ассоциированных с выше-
перечисленными. Наиболее известные из них имеют в качестве
слоя: a) F = Rn; .6) F = Sn~' (единичные векторы или лучи);
в) F = (прямые или направления); г) F = Уп К (орто-
нормированные /с-реперы в Rn); д) /?=А(г(Кп)* (кососиммет-
рические /ь-формы); е) Rn ® . ® Rn ® (Rn)* ® . .. ® (Rn)* (тен-
воры).
3. Однородные пространства. Для группы Ли G и ее под-
группы Н определялось (см. гл. 1) однородное пространство ле-
вых смежных классов
М = G/H.
Мы имеем проекцию р: G^M со слоем II^G, причем под-
группа II свободно действует слева па группе
g^hg (g^G, h t=H).
Орбиты группы И — это левые смежные классы — точки базы.
COO ГЛ. 6. ГЛАДКИЕ РАССЛОЕНИЯ (КОСЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ) [Я. II
Таким образом, однородное пространство является базой глав-
ного расслоения. Ряд примеров однородных пространств уже рас-
сматривался в гл. 4.
4. Нормальное расслоение к n-мерному многообразию Л/,
гладко вложенному в (п + к) -мерное многообразие, наделенное
римановой метрикой (например, в евклидово пространство).
Точки нормального (векторного) расслоения — это пары (х, т),
где х е М и т — вектор, нормальный к М в точке х. Группа G
есть, очевидно, О (к), слой F есть
В некоторых случаях для гладких расслоений р: Е -* М
со слоем F структурная группа несущественна. В этих случаях
«функции склейки» ZaP могут описываться произвольными диф-
феоморфизмами F -* F. Мы говорим в этом случае, что структур-
ной группой расслоения является группа всех гладких преобра-
зований (диффеоморфизмов) слоя F на себя. Эта группа обозна-
чается через diff F. В ней имеется подгруппа diff+ F диффеомор-
физмов, сохраняющих ориентацию.
Естественным образом определяются отображения одного рас-
слоения в другое. Пусть (Е, М, р: Е-+М, F\ G) и (Е', М', р':
Е' -* F, G) —два расслоения с одной и той же структурной
группой G и одним и тем же слоем F.
Определение 1. Отображение f: Е -* Е' пространств рас-
слоений является отображением расслоенищ если оно сохраняет
структуру косого произведения, т. е. если:
а) отображение f послойно, т. е. p'f = fp, где /: М -* М' —
некоторое отображение базы расслоения (отображение / одно-
значно определяется этим требованием);
б) на каждом слое отображение /г: F -* F является преобра-
зованием, принадлежащим структурной группе G. Точно это
означает следующее: над координатной окрестностью Ua <= М
задай диффеоморфизм фа: F X Ua -* р"1 (Ua)<= Е, а над коорди-
натной окрестностью — диффеоморфизм FxU^-^-
Поэтому в области = 6гаП/~1(^рО имеется
отображение
FX Way - р-1 (Ua) Р’-1 W)FxU’f^
которое для каждой точки x^Wa?>r действует по правилу:
(г/, х) ^(Гг/, / (т)), где Т — некоторое преобразование слоя F.
Условие б) заключается в том, что это преобразование должно
принадлежать структурной группе G.
Определение 2. Отображение между двумя расслоениями
с общей базой М' — М называется эквивалентностью, если инду-
цированное отображение баз М -* М является тождественным.
В дальнейшем мы рассмотрим задачу классификации расслое-
ний относительно этого отношения эквивалентности, особенно в
Ч. II]
§ 24. ГОМОТОПИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ КОСЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЙ
601
некоторых частных случаях (например, когда база — сфера).
Ниже мы покажем, что все расслоения, база которых есть диск
Dn (или Rn), являются прямыми произведениями, эквивалент-
ными тривиальным.
2. Связность. Введем теперь понятие связности в расслоении
с пространством Е, базой 7И, проекцией р: Е М, слоем F и
структурной группой G. Забудем сначала о структурной группе
G (это эквивалентно тому, что вместо группы G мы будем
считать структурной группой расслоения группу всех диффео-
морфизмов слоя А).
Интуитивно, расслоение вместе со связностью можно пред-
ставлять себе так: задано семейство пространств {/U, зависящих
от параметра, пробегающего многообразие М (базу); объедине-
ние всех слоев Е = J Fx представляет собой «пространство рас-
X
слоения». Каждому пути у(£), a^t^b, в базе М сопоставляется
«параллельный перепое» слоя F вдоль пути у из начальной точки
в конечную, т. е. отображение (диффеоморфизм)
<PV: FXg^FXl, х0=у(а),
Естественные требования:
1) ф7 непрерывно зависит от пути у;
2) <Pyiy2= Фу1Фу2» Ф7-1 = (Фт)~1»если путь у постоянен, то ото-
бражение фт тождественно;
3) ф7 пе зависит от параметризации пути.
Способ задания такого семейства преобразований ф (связно-
сти) мы сейчас укажем.
Определение 3. Связностью общего вида (без группы G)
мы назовем распределение, которое в каждой точке у простран-
ства Е выделяет гладко зависящее от точки у <=Е п-мерное
(n = dimAf) касательное направление, трансверсальное к прохо-
дящему через у слою (т. е. проектирующееся на базу М без
вырождений при проекции р'. Е-+М). Эти направления назы-
ваются горизонтальными направлениями связности. Гладкая кри-
вая у(£) в Е называется горизонтальной, если ее касательный
вектор при всех t принадлежит горизонтальным направлениям.
Лемма 1. В любом гладком расслоении имеется связность
общего вида.
Доказательство. Рассмотрим риманову метрику (g^) на
пространстве Е, которая существует в силу теорем гл. 2. Направ-
ления размерности п, ортогональные к слоям в каждой точке
У^Е, образуют общую связность. Лемма доказана.
Лемма 2. Если в расслоении (Е, М, р, F) с компактным
слоем F задана общая связность, то для любой кусочно гладкой
кривой у (£), 0 < t < 1, в базе М и любой точки у^ е Е, для
которой р(Уо)=Т(О), найдется лишь одна горизонтальная кривая
602 гл. 6. ГЛАДКИЕ РАССЛОЕНИЯ (КОСЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ) [Ч. II
у (£) в Е, накрывающая у (£), т, е, такая, что ру (£) = у (t) и
7(0) = х0:
Доказательство. Рассмотрим малый гладкий отрезок 6
кривой *у(£), который можно считать несамопересекающимся. Над
отрезком 6 полный прообраз Р-1(б) представляет собой гладкое
расслоение со слоем F, базой б и пространством 2?д = /г1(б).
Горизонтальные направления связности в расслоении Е порож-
дают (или высекают) одномерные горизонтальные направления
в расслоении Еь над отрезком б. Рассмотрим интегральные тра-
ектории этих горизонтальных направлений в пространстве Еь =
“^‘(б). Все эти кривые горизонтальны. Утверждение леммы
вытекает из существования и единственности траекторий с за-
данным началом (здесь компактность слоя существенна, так как
иначе интегральные траектории могли бы уходить в бесконеч-
ность) .
Замечание. Для некомпактных слоев лемма 2 может ока-
заться неверной. При построении общей связности нужно спе-
циально заботиться, чтобы горизонтальные кривые не уходили в
бесконечность. Для дифференциально-геометрических связностей,
учитывающих наличие структурной группы G (см. ниже, в § 25),
это условие будет выполнено.
Итак, пусть задано гладкое расслоение с общей связностью
и компактным слоем F (либо, возможно, некомпактным слоем
F, но тогда с условием, что для этой связности лемма 2 верпа
для любой кусочно гладкой кривой *у(£) в базе М). В силу
леммы 2 для любого кусочно гладкого пути у (/), а С t С Ь,
определено отображение слоя над точкой = в слой над
точкой Xi = у(б):
<Pv: FXq -> FX1
(ввиду гладкой зависимости горизонтальных кривых от началь-
ной точки; см. доказательство леммы 2). Ясно, что отображение
<р7 не зависит от параметризации пути у и что
Vviva = (Pvi<Pv2’ = (Ф?)
Эти отображения называются параллельными переносами слоя,
порожденными связностью, В частности, всякий путь у с нача-
лом и концом в одной и той же точке х0 определяет гомомор-
физм
Q(x0, М) G = diff F,
у ь* ф7: F -> F
(^-пространства в группу). Сопоставление, ставящее в соответ-
ствие пути у преобразование ф7 слоя в слой с вышеперечислен-
ными свойствами, называется абстрактной связностью, а образ
Ч. И]
§ 24. ГОМОТОПИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ КОСЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЙ
603
<р(Й) в группе G — группой голономий данной связности. Это —
обобщение группы монодромии.
Определение 4. Для расслоений со структурной группой
G G-связностью (или связностью, совместимой с группой G)
называется семейство горизонтальных направлений в простран-
стве расслоения Е таких, что все переносы срт принадлежат
структурной группе G (доказательство существования G-связпо-
стей в расслоении приводится в § 25 этой главы; см. лемму 2).
Структурной группой расслоения со связностью фактически
является группа голономий. В следующем параграфе будет дано
глобальное построение и дифференциально-геометрическое опи-
сание G-связностей.
3. Вычисление гомотопических групп с помощью расслоений.
Теорема 2. Любое гладкое расслоение с компактным слоем
обладает свойством накрывающей гомотопии для всех многооб-
разий К ц их кусочно гладких отображений и гомотопий в базе
М и пространстве расслоения Е.
Доказательство. Пусть гомотопия F\ K'KI^M накрыта
при i = 0 отображением f: Z£XO->-£, т. е. pf = F\ КХо == /о«
Согласно лемме 1 можно задать общую связность в расслоении.
Согласно лемме 2 связность порождает однозначный рецепт на-
крытия всех кусочно гладких путей (движений точки по ба-
зе Л7), непрерывно зависящий от пути и от начальной точки
накрытия. Ввиду этого теорема следует из лемм 1 и 2.
С л е д ет в и е. Имеется изоморфизм гомотопических групп
лД£, F, yQ)=^Jtj{M1 х0), где xQ=p{yQ)1 и точная последователь-
ность
... л, (F) X П} (Е) -i Л; (Е, F) Д Л;_т (F) -> . . .
Следствие вытекает из теоремы 2 в силу утверждений § 22.
Замечание. Укажем другую конструкцию гомоморфиз-
ма д\ , не использующую относительных гомо-
топических групп. Пусть /: Dn М — отображение, переводящее
границу Sn_1 диска Dn в точку х0, реализующее элемент а
s^n(J/, Хо). Соединим фиксированную точку а0 границы диска
с любой другой точкой а границы S”"1 хордой [н0, а]. Тогда
7[а0, а] — замкнутый путь в М с началом и концом в точке х0.
Поднимем этот путь в пространство расслоения так, чтобы он
начинался в точке г/0, где р(уо) = х0. Конец поднятого пути
будет некоторой точкой Ъ слоя Г==р-1(х0). Положим f(a)=b.
Мы получили отображение /: Sn~l-+F.
Задача. Докажите, что гомотопический класс построенного
отображения /: Sn_1 F совпадает с За, где д — определенный
604
ГЛ. 6. ГЛАДКИЕ РАССЛОЕНИЯ (КОСЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ)
(Я. 1Г
выше граничный гомоморфизм в точной последовательности рас*
слоения.
Из такого определения граничного гомоморфизма легко еле*
Дует, в частности, что для тривиального расслоения гомомор*
физм д нулевой (проверьте!).
Применим теперь точную последовательность расслоения для
вычисления некоторых гомотопических групп. Напомним, что
уже в гл. 5 (см. § 22) мы извлекали из такой точной последо-
вательности информацию о гомотопических группах накрыва-
ющих пространств и пространств петель.
Пример 1. Рассмотрим простейшие главные расслоения:
a) RP3 = SO(3) ~>S2 (слой 50(2) = 51);
б) S3 = SU (2) A S2 (слой 51).
Расслоение а) представляет собой расслоение единичных каса-
тельных векторов на сфере 52; оно интерпретируется также как
главное расслоение 50(3)-*- SO(3)/SO(2) = S2 с однородной ба-
зой (см. п. 1). Расслоение б) аналогичным образом описывается
как расслоение SU(2) -* 5Z7(2)/Z7(1) — S2, где U(i) вкладывает-
ся в SU (2) как подгруппа диагональных матриц. Расслоение б)
называется расслоением Хопфа. Напомним (см. § 22), что груп-
пы я; (RP3) и яД53) при />1 одинаковы, так что с точки
зрения гомотопических групп расслоения а) и б) дают одно и
то же. Рассмотрим расслоение б), учитывая при этом равен-
ства (см. § 21):
^n(5n) = Z при п^1,
я, (51) = 0 при j > 1.
Напишем точную гомотопическую последовательность расслое-
ния б):
. . . (51) Л; (53) -> Л; (52) -> Л;-! (52) .
Так как лД51) = nj-1(S,)=s О при />2, то возникает точная по-
следовательность
О -> п} (53) Л; (52) -> О (/ > 2),
и лД£3) = яД52) для всех />2. В частности, я3(53)=-2 =
~я3(52).
Пример 2. Обобщенное расслоение Хопфа
р: 52п+1->СРп (слой F = S^
определяется следующим образом. Зададим сферу комплексным
п
уравнением 2|з>|2==1. Действие группы 51 на сфере имеет
вид
(z = (z0,. e^eS1),
Ч. II]
§ 24. ГОМОТОПИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ КОСЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЙ
605
Орбиты этого действия составляют СР” по определению этого
многообразия. Как мы знаем,
л1(51) = л2„+1(52п+1) = г,
nj (S1) = 0 ПРИ />1 и лч(52п+1)=0 при q<2n + 1.
Из точной последовательности расслоения получаем
n2(CPn) = Z, л/СРп) =лД52п+1) при />'2.
В частности, л2п+1 (CPn) — Z (проверьте!).
Пример 3. Расслоение касательных n-реперов к п-мерпой
сфере Sn. Это — главное расслоение:
a) SO(n+1)-+ SO(n +l)/SO(n)== Sn (слой SO (и)).
Рассмотрим также ассоциированные расслоения й-реперов:
б) Vn+i, л+1 Sn (слой Vn. fc; напомним, что V„, h — многооб-
разие ортонормированиях /с-реперов в n-мерном пространстве).
При к = 1 получаем расслоение Уп, 2 ** Sn со слоем Vn, i = Sn~l —
расслоение единичных касательных векторов.
Рассмотрим сначала гомотопическую последовательность рас-
слоения а):
... (5П) л} (SO (и)) Л; (SO (п + 1)) (Sn) .
При j < п — 1 получаем лД5О(п)) = лД5О(п + 1)). При j = п — 1
имеем
лп (Sn) Л Яп_1 (SO (п)) -> Лп-i (SO (п + 1)) nn_j (Sn).
II II
Z 0
Отсюда получаем, что гомоморфизм i* для j = п — 1 есть эпи-
морфизм (отображение «на») с циклическим ядром вида
д(лп (5")). Если касательное расслоение сферы Sn тривиально,
как это верно, например, при п = 3, так как S3 — группа Ли, то
гомоморфизм д также тривиален. Поэтому топологически
SO(4) = SO(3)XS3 и лД5О(4)) = лД53)+лД5О(3)).
Используя теорему 2, докажем утверждение, которое исполь-
зовалось в § 23,
Утверждение 1. Пусть М — многообразие размерности q.
Всякое отображение M-*SO(n + \.) гомотопно отображению
Л/ SO(n)cz SO(n + 1), если q<n\ если q<n — l, то включе-
ние SO(n)-+ SO(n + 1) определяет взаимно однозначное соответ-
ствие
[>, SO(n)]-+ [№, SO(n+ 1)].
Доказательство. Пусть q<n. Рассмотрим отображе-
ние /: М SO(n + 1). Тогда проекция j~pf: М -* Sn стягивает-
ся к точке, т. е. существует гомотопия F = {/4} : М X 1 -> Sn с /0 = /
606
ГЛ. 6. ГЛАДКИЕ РАССЛОЕНИЯ (КОСЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ)
[Я. и
и Л: М S\ Накрывающая гомотопия F =*{ft} с = f будет
деформацией отображения f к отображению M-+SO(n) =
Пусть q<n — 1, и два отображения f0 и М -> SOfjij го-
мотопны в SO(rc+l) посредством гомотопии F: МХ1-^
-> SO(rc+1)'. Проекция F = pF: MXl-+Sn переводит край
(МX 0) U (MX 1) в точку 50е5’‘. Рассмотрим гомотопию Фе
отображения pF = F = Фо в базе Sn к постоянному отображению
со значением 50, в процессе которой образы оснований цилиндра
М X 0 и М XI неподвижны (стоят в одной точке $0). Накрыва-
ющая гомотопия Ф, в SO(n4-l) при дает гомотопию меж-
ду f0 и fi в одном слое SO(п). Утверждение доказано.
Рассмотрим теперь расслоение б) со слоем Vn h сначала для
Л 1:
р: Vn+lt2-^Sn (слой Vnti~Sn+i).
Из точной последовательности расслоения б) получаем
п}(Рп+1.2) = 0 при j<n~ 1,
лп-1(Рп+1(2) — циклическая группа.
Действительно, эта последовательность имеет вид
»,. —> Л; (S ) л;-1 (S Ttj-! (Vn+1>2) —>
Если / = 1, то лД5п) = nJ-i(5n“1) = Zt л;-1(5п) = 0. Найдем го-
моморфизм д:
д: nn(5n)->nn_1(5n"1).
Z Z
Рассмотрим для этого касательное векторное поле § на сфере
имеющее ровно одну особую точку $0 (с индексом 2 для*
четных п и индексом нуль для нечетных п согласно результа-
там § 15). Это векторное поле определяет отображение f:
5п\$о “ Dn -> К+1,2, задаваемое формулой / (т) = ^т, где
т — единичный вектор в Rn+1. Ясно, что отображение р • / = ft
Dn Sn имеет степень +1, причем f(dDn)~sQ. Проверьте, что
замыкание этого отображения на границе /: dDn -> К, t
в слой имеет степень, равную индексу векторного поля g в осо-
бой точке. Из приведенной выше явной конструкции гомоморфиз-
ма д получаем: гомоморфизм д есть умножение на целое число,
равное индексу векторного поля g в точке $0. Отсюда следует:
, „ , „х (Z, если п четно,
лп-хСг-1)/^ (£")=;*
14 7 7 (Z2, если п нечетно.
Ч. II]
£ 24. ГОМОТОПИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ КОСЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЙ
607
Окончательно имеем
(Z, если п четно,
Пл—1 (^п+1.2) ~ 1
если п нечетно;
Jtj (Vn+i,2) = 0 при / < п — 1.
Рассматривая последовательно расслоения
р: Vn+1,fc+I -> Sn (слой Vn,J,
мы из точной последовательности получаем
nj(Vn+bh+12=0 при j< га — к.
Jtn-h(Vn+lfh+i) —циклическая группа (докажите).
Аналогично рассматриваются расслоения над сферой для унитар-
ной и симплектической группы:
U(n)-^S2n~l (слой U(n - 1)),
Sp(n)-+- 54n_1 (слой Sp(n — 1)).
Из точной последовательности первого расслоения легко вывести,
что ) = л,}(и(п — 1)) при j < 2п— 2, а из точной после-
довательности второго расслоения — что лД5р(га))=лД5р(га—1))
при j < 4га — 2.
Поэтому группы лД5О(га)) при /<га —1, группы лДС7(га))
при ] < 2п— 2, группы лД5р(га)) при ] < 4га— 2 не зависят от
га; они обозначаются соответственно через л, (50), лДС7), л>(5р)
и называются стабильными.
Пример 4. Рассмотрим теперь расслоение единичных ка-
сательных векторов над ориентируемой поверхностью с g руч-
ками:
р: Е-+М* (слой 51).
Точки многообразия Е — это пары (гг, т), где х<=М~> и т —
единичный вектор в точке х. Для £ = 0 мы знаем, что E = SO(3).
Для g = 1 мы имеем: Е = 51 X М* — Srx Т2 = Т3. Поэтому
рассмотрим нетривиальный случай g 2. Точная последователь-
ность нашего расслоения имеет вид
... -> Л{ (51) — Л; (Е) ~> Щ (Л/£) Л лг_! (51) -> . . .
Если i > 1, то л, (5') = nt = 0, так как универсальные
накрывающие над 51 и М\ стягиваемы. Поэтому л1(£') —0 при
i > 1. При i = 1 имеем точную последовательность
О -> лх (51) Л! (Е) л, (M2g) -> 0.
Z
С08
ГЛ. 6. ГЛАДКИЕ РАССЛОЕНИЯ (КОСЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ)
[Ч. II
Обозначим естественную образующую группы л1(51) через т,
а канонические образующие группы (MV) через .., ag3
Ьь ..., bg*t последние удовлетворяют соотношению
• • • ^gO^b^1 = !•
Пути bj образуют «канонические разрезы» поверхности
в результате этих разрезов поверхность превращается в 4g-yro4b-
Рис. 134
ник Qkg (рис. 134). Положим Цт) = т£
е Jii (Е) и выберем в лДЕ) элементы ...
ag, bt, bg cp*(dj) = a;, p*(bj) = bj.
Группа (51) является нормальным де-
лителем в лДЕ). _Группа л1(Е) порождает-
ся образующими т, dh связанными соот-
ношениями:
л х “ —1 — а;
1) а}ха} = т \
2) bjxby1 =
3) а^а^Ь^1 . •
’gb^aag 1 =
(ниже будет показано, что а, = £, = !, у = 2—2g)'. Действи-
тельно, соотношения 1) и 2) вытекают из того, что ^JiiCS1)—
нормальный делитель.
Соотношение 3) вытекает из того, что
Р* . agbgdg'bg1) = 1.
Покажем, что все ctj ji равны единице. Действительно, внут-
ренний автоморфизм реализуется параллельным пе-
реносом слоя 51 вдоль пути aj = р по базе Мg согласно
§ 17. Ввиду ориентируемости поверхности Mg после обноса по-
лучим диффеоморфизм слоя S1 на себя, сохраняющий ориента-
цию. Поэтому все а, и, аналогично, все равны единице. Пока-
жем теперь, что у = 2 —2g. Зададим (на Л/J) векторное поле £ с
одним нулем £ = 0 в точке xQ, не лежащей на путях (ah bj).
Положим п (х) = -p|j при x^xQ. Выкинем из поверхности Mg
малый диск D с центром xQ (рис. 134). Поле п определяет ото-
бражение К = Qig — D = 51 XI -> Е, дающее гомотопию между
произведением
лof1 ... agbga^bg1 ~ n\dD~ tv
и образом границы dD диска Dt Пути ah Бу^лДЕ) здесь опре-
деляются как поднятия путей ah bf в пространство Е с помощью
векторного поля п. Согласно теореме Хопфа (§ 15) индекс особой
точки Хо поля п равен 2 — 2g; пз этого следует, что у — 2 — 2g.
Ч. Ш
S 24. ГОМОТОПИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ КОСЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЙ
609
Пример 5. Рассмотрим специальный пример — кватернион-
ное расслоение Хопфа. Введем в структуру (п + 1) -мер-
ного кватернионного пространства Hn+1 с кватернионными ко-
ординатами (70, ..., qn). Сфера S4n*’ задается в этих координа-
те
тах уравнением 2 |7а|2 = 1- На сфере действует (слева) труп-
па S77(2) = Sp(l) = S3 единичных кватернионов 1дГ«1:
..п 7п) = (№, , 77п).
Факторпространство 54n*’/SG(2)' есть по определению кватер-
нионное проективное пространство Н Рп. Имеем главное рас-
слоение с группой SU(2):
54п+3 ->нРп-
При п = 1 имеем Н/71 = S4 (проверьте!), и наше расслоение
превращается в «кватернионное расслоение Хопфа»
S7 - Si (слой 53).
Точная последовательность этого расслоения распадается на кус-
ки вида
0 -> л£(57) - л,(S4) -> л,., (S3) 0
(гомоморфизмы Л/(53)-> Лс(57) тривиальны, поскольку вложение
слоя S3 в S7 гомотопно постоянному отображению). Следова-
тельно, л7(54) — бесконечная группа.
4. Классификация расслоений. Рассмотрим главные расслое-
ния:
a) Vn.k-^Gn.k (слой O(fc)),
где — многообразие fc-мерных плоскостей вРп, проходящих
через начало координат;
б) Vn,A->Sn,A (слой SO(fc)),
где Gn, — многообразие ориентированных А:-мерных плоскостей
в Rn, проходящих через начало координат (многообразие Gn, k
является двулистным накрытием над Gntk);
в) (слой G(fc)),
где Gn,k— многообразие комплексных fc-мерных плоскостей в
сп, проходящих через начало координат, и У®л —многообра-
зие унитарных fc-реперов в Сп;
г) (слой 5р(п))',
где Gn.k — многообразие кватернионных /с-мерных плоскостей в
39 Б. А. Дубровин и др.
610 ГЛ. 6, ГЛАДКИЕ РАССЛОЕНИЯ (КОСЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ) (Ч. II
[Н
проходящих через начало координат, и Vn,h— многообра-
зие кватернионных ортогональных А-реперов. В силу результатов,
примера 3 имеем
Щ (Уп,ь) = о при 7 < п — А,
лДГ®,А) = 0 приJ<2(n-k)t (2>
л; (Vn,A) = 0 при j < 4 (п — к).
Пусть к фиксировано и п -> °° (пространство становится беско-
нечномерным). Если п = °°, то из (2) следует, что для
и К»,л все гомотопические группы равны нулю (эти
пространства стягиваемы; проверьте).
Определение 5. Главное расслоение Е В с группой G
называется универсальным для данной группы G, если Е стяги*
ваемо (или все группы щ{Е) равны 0); если л?(£) = 0 при
j п + 1, то расслоение называется п-унив ер сальным.
Важность этого понятия определяется классификационной
теоремой (которую мы приводим без доказательства): множество
расслоений с данной базой М и группой G (с точностью до эк-
вивалентности) совпадает с множеством гомотопических клас-
сов отображений [Л/, Z?G] базы М в базу B — BQ универсального
расслоения. (Если dim М < п, то можно заменить BG базой п-унн-
версального расслоения.)
Фактически все главные расслоения с группой G и базой М
получаются из отображений /: М BG в базу универсального
расслоения как индуцированные расслоения. Определим это важ-
ное понятие. Пусть заданы расслоение р: Е М со слоем F и
структурной группой G и отображение /: Мf М. Мы построим
расслоение pf\ Е' Mf с тем же слоем F и той же группой G,
называемое индуцированным расслоением р: ЕМ посредством
/. Предположим, что структура расслоения р: Е -> М задается
покрытием М — J Uа и функциями склепки FXt/a0-^FX
а
X ?7ар, Ua(t = Ua Л Ue. Структура индуцированного (с помощью
отображения /: М' -> М) расслоения с базой М', слоем F и груп-
пой G задается так: Ua = /-1 (Ua); функции склейки Хар?
FxUat-»F х£7аР определяются формулой
Ха₽ (у, х) = (?,аР (х) у, х), у <=FX
(х) = Г“р (/ (х))
(т. е. области в функции Хар определяются как полные
прообразы соответствующих объектов из структуры расслоения
р: Е-*Л/). Возникает новое расслоение р'\ Е' М' и его отобра-
жение Ef Е в исходное расслоение, индуцирующее заданное
отображение баз /: М' М.
Ч. II] § 24. ГОМОТОПИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ КОСЫХ ПРОИЗВЕДЕНИИ 6И
Вернемся к классификационной теореме. Задача классифика-
ции расслоений над сферой S7 сводится к нахождению множества
JiS’, 50] и тем самым к гомотопическим группам л,(50); для
G = O(k), SO (к), U (к), Sp(k) имеем G«,M Gt,*
„н
GXth, причем
л, (Gw,ft) = л, (Gn,*) при / < п — к,
я, (боо.л) = л* (Gn,*) при / < п — к,
= n,(Gn,h) при / < 2 (n — к).
Задача. Докажите общее равенство n;(G)«nJ+1 (BG) и,
и частности:
Я; (SO (к)) = Л;+1 (боо,*)^
n}(U(k))^nj+l(GZ,h\
Я} (Sp (к) = Hj-f-i (Goo,*)*
используя точную последовательность универсального расслоения.
Рассмотрим в заключение несколько простых примеров.
1. g = O(1) = Z2;
Ва = Итп (5n/Z2) = lim [RPn = В?Р~.
n-»OO 7i-*QO
Имеем nJfPP”) = Z2 и = 0 для />-1.
2. G =» Zm (циклическая группа порядка m);
Ba - lim 5in+1/Zm = lim Lftf1» £(“ h
П-zoo n-*oo
П
тде S2n+l задается вСп+1 уравнением 2 I ja — 1; образующая
а—о
а е Zm действует в 52n+l по формуле
а(20, ..Zn) = (e2nf/rnz0t e2nf/mzn); ат « 1,
Факторпространство = 8*п+г/^т называется линзовым
пространством.
Вообще, для дискретной группы G гомотопические группы
тривиальны при i> 1 в силу теории накрытий.
3. G-Z7(l) = SO(2)-5l;
BG => lim 52n+1/51 « lim QPn =
n-*oo n-»QO
П
Здесь сфера задается уравнением 2 а действие
а=о
окружности таково:
(z0, ..4Zft)b> (Л01 . . .t ЛД
39*
€12
ГЛ. 6. ГЛАДКИЕ РАССЛОЕНИЯ (КОСЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ)
[Ч. II
Так как ni(51)=0 при i=?M, то
лДС^00) = лг(Вс) = 0 при i =#2г
«3(CP°°) = Z
(см. пример 2 выше).
4. G = SZ7(2)=5/>(1) = S3;
BG =. lim S4n+7S3 = lim HP" =
П->оо n->oo
В этом случае сфера 54п+э реализована в пространстве кватер-
нионов IHn+1. Действие группы 53 = 5р(1) имеет вид
(%, ...» — tooi • д ^п),
где q — единичный кватернион. Универсальность этого расслое-
ния вытекает из того, что гомотопические группы Л1(54"+3) три-
виальны при i < + 3.
Классификацию G-расслоепий над сферой Sn можно получить
и непосредственно, без использования универсальных расслое-
ний. Будем здесь считать, что G — группа Ли. Достаточно клас-
сифицировать главные расслоения, тем самым будут классифи-
цированы и все ассоциированные расслоения с другими слоями.
Сначала опишем главные G-расслоения над диском.
Лемма 3. Любое главное расслоение над диском Dn со
структурной группой Ли G тривиально.
Доказательство. Пусть р\ Е Dn — главное G-расслое-
пие. Фиксируем G-связность в этом расслоении, т. е. для каждо-
го пути 7 из точки Xq в точку зададим преобразование слоя
<р7: FX()->FX1, Fxq = F*! ~ G. Все преобразования <р7 принад-
лежат структурной группе G. (Напомним, что существование
такой связности для случая, когда структурная группа есть груп-
па Ли, будет доказано в следующем параграфе.)
В диске Dn из центра Xq&D* в любую точку x^Dn идет
единственный отрезок = [холг]. Строим отображение Ф: Dn X
X Fac0 -> Et полагая
ф (я, у) = <Pvx (у)-
Это отображение вводит в Е координаты прямого произведения
£ = Z)nXG, согласованные с действием структурной группы.
Лемма доказана.
Сфера Sn есть объединение двух дисков £>+ и D1, пересека-
ющихся по экватору: Л D1 ~ 5й”1. Введя координаты прямого
произведения отдельно вад £> + и над D1, получим «структуру
расслоения» с двумя координатными областям!! Gi=Z)+ и
£7а = причем Щ П U2 = Sn_1. Функция склейки ?ч2
Ч. II]
§ 24. ГОМОТОПИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ КОСЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЙ
613
определена над Ul2 = Sn~* и представляет собой отображение
Г12: Sn~* -*G,
x)*=(Tl2(x)y, х), x^Un, y^F.
Имеет место
Лемма 4. Если заменить функцию склейки Г12: 5n_| -> G
гомотопной, то класс эквивалентности расслоения не меняется.
Доказательство. Реализуем гомотопию как отображение
F: S^Xf-e, е] -> G.
Построим расслоение так: расширим полусферы — диски D1 и
— соответственно выше и ниже экватора на расстояние е до
дисков Z)g id О" и De=>Z)l. Пересечение D'e f) Dg есть в точно-
сти цилиндр 5n-1 X [—е, в]. Построим новое расслоение со склей-
кой по отображению F. Это расслоение эквивалентно обоим ис-
ходным. Лемма доказана.
Таким образом, расслоение определяется элементом группы
jin-t(G). Приведем значения этих групп в случаях G=5(9(A:),
U(к) и п = 1, 2, 3, 4.
(2))
я;(5О(3)) =
iti {SO (4)) = nt (SO{3)} + n4 (53) =
л, (SO (q)) =
Z2 при i = 1,
О при i = 2,
,Z при i = 3;
Z2 при i = 1,
О при i = 2,
,Z + Z при i = 3;
Z2 при i = 1,
< 0 при i = 2, (q 5)^
kZ при i = 3
Л; (U (q)) = x,i (51) + (SU (7)),
так как топологически U(q) = 51 X SU (q);
(SU (7)) =
0,
0,
.z,
i = 1,
i = 2,
i — 3
(7
Некоторые из равенств, входящих в эту таблицу, памп выше
доказаны, остальные мы сообщаем без доказательства. Таблица
, позволяет автоматически классифицировать расслоения над сфе-
рами Sn размерности п 4.
614
ГЛ. 6. ГЛАДКИЕ РАССЛОЕНИЯ (КОСЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ)
[Ч. II
5. Векторные расслоения и операции над ними. Изучим под-
робнее векторные расслоения, т. е. расслоения, слоем которых
является вещественное или комплексное векторное пространство,
а структурной группой — подгруппа линейной, ортогональной
или унитарной группы. Структура расслоения р: Е М опреде-
ляется по существу функциями склейки Хар над пересечениями
Ua$ = Ua П ?7р, т. е. отображениями Та₽: [7аР G такими, что
-1 и J в пересеЧеНИИ Ua^ = U« П Gp П U.
(формулы (2)). Поэтому над расслоениями можно совершать все
операции, сохраняющие эти соотношения. Например, такой опе-
рацией является вещественное или комплексное представление
р: G~>GL(n, R) или GL(/z,C) (возможно, ортогональное
или унитарное) структурной группы G и вообще любой гомо-
морфизм р: G-> G', позволяющий заменить функции склейки
функциями склейки р(Та₽). В результате получим новое рас-
слоение, которое мы будем называть представлением р исходного
расслоения. Если расслоение обозначается какой-либо буквой,
например ц, то повое расслоение обозначим через р(ц). Другой
пример: для двух расслоений (пусть щ, ц2) со слоями К” и
можно составить их прямую сумму т] = T]t ® т]2 с группой Gt X G2
и слоем ф Rn и тензорное произведение ц = щ ® т]3
со слоем Rmn — Rm ® Rn и также с группой G{ X G2 соответствен-
но операциям пад линейными пространствами (аналогично в ком-
плексном случае).
Вообще, определены естественные операции над расслоения-
ми, отвечающие всевозможным операциям над линейными про-
странствами (слоями). Напомним эти операции.
1. Определитель det т] вещественного (комплексного) расслое-
ния ц — это одномерное расслоение (т. е. его слой одномерен)
с преобразованиями перехода det в областях GaP.
2. Сопряженное расслоение т]* линейных форм на слоях;
комплексно сопряженное расслоение т] (для комплексного рас-
слоения т]) с преобразованиями перехода Zafi.
3. Комплексификация с'(ц) вещественного расслоения р и
овеществление т^щ) комплексного расслоения При этом, как
и для соответствующих операций над пространствами, сг(ц1)==
х=т)1фт]1 и гс(ц)=т]Фт| (проверьте!).
4. Тензорные степени т] ® ® т] расслоения ц, его внешние
степени Айт] (кососимметрическая часть тензорной степени), сим-
метрические степени SftT] (симметрическая часть тензорной сте-
пени).
Определение 6. Сечением расслоения р\ Е М назы-
вается такое отображение гр: М-+Е, что ргр(х)==х для любой
точки х е М. Таким образом, сечения — это функции (поля)
гр (я) на М, принимающие в точке х е М значения в слое Fx
Ч. II]
§ 24. ГОМОТОПИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ КОСЫХ ПРОИЗВЕДЕНИИ
613
над х. Сечения тривиального расслоения — это обычные («ска-
лярные») функции или отображения базы в слой.
Пусть т — касательное расслоение некоторого многообразия
Л/. Тогда сечения расслоения т — это векторные поля; сечения
сопряженного расслоения т* — это ковекторные поля; тензоры
типа (Ат, I) — это сечения расслоений
т®...®т®т*®...®т*.
верхние нижние
индексы индексы
Дифференциальные формы на многообразии — это сечения рас-
слоения Л*т*. Общие тензоры типа (0, к) — это сечения рас-
слоения т* ® ® т*. Квадратичные формы на векторах, как,
скажем, метрика (#о),— это сечения расслоения 52т* (симмет-
рический квадрат). Если многообразие М га-мерно, то имеется
расслоение Л,1т* (определитель), тривиальность которого равно-
сильна ориентируемости (проверьте!). Среди расслоений (осо-
бенно векторных расслоений) над комплексно аналитической ба-
зой особо выделяется класс комплексно аналитических расслое-
ний, у которых функции склейки комплексно аналитичны. Та-
кими, например, являются касательное расслоение к комплекс-
ному многообразию и результаты всех приведенных выше есте-
ственных операций над ним. Отметим, что аналогично вводятся
алгебраические расслоения над комплексными алгебраическими
многообразиями, особенно над проективными (комплексными ком-
пактными подмногообразиями в СР"). Над СР" имеется важное
алгебраическое одномерное (комплексное) расслоение Хопфа ц,
которое ранее (см. пример 2) рассматривалось топологически (без
введения аналитической структуры) с группой £7(1) — SO(2) = X1
и слоем С1* Аналитически мы должны рассматривать это рассло-
ение q с группой С* ненулевых комплексных чисел по умноже-
нию (как и все комплексные одномерные расслоения). Расслое-
ние ц над СР" получается из определения СР": Е = {(и0, .. .
. .., гп)}ЛСР\ где £ = Сп+1\0, слой F = С*.
Одномерные аналитические расслоения над комплексным
многообразием образуют абелеву группу относительно тензорно-
го умножения (множество классов эквивалентности 1-расслоений
называется «многообразием Пикара»). Эта группа (точнее, ее
связная компонента единицы) есть комплексный тор.
Обозначим (комплексное векторное) касательное расслоение
к комплексному многообразию М через т(Л/). Пусть ц — рас-
слоение Хопфа над СР".
Задач п. 1. Докажите, что т (ГР’’) Ф 1 = Л ф ... © .где I
п-Н
обозначает одномерное (комплексное) тривиальное расслоение.
616 гл. G. ГЛАДКИЕ РАССЛОЕНИЯ (КОСЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ) [Ч. 1Г
2. Докажите, что
Апх (СРп) = det т (СРп) = тГ+1
(равенства всюду обозначают эквивалентность).
Аналогичные, но более простые задачи ставятся для вещест-
венного одномерного расслоения Лк наД RP71 с группой Z2 = О (1)
(обобщенного листа Мёбиуса).
3. Докажите, что для любого одномерного комплекс-
ного расслоения
6. Мероморфные функции. Интересный класс «расслоений
с особенностями» составляют семейства линий уровня мероморф-
ных функций на компактных комплексных многообразиях, на-
пример, алгебраических функций на проективном алгебраическом
многообразии М cz CPg. Мероморфная функция есть по опреде-
лению комплексно аналитическое отображение /: М СР1 ~
= С U оо. Как говорят в теории функций, / имеет полюсы в
точках из /“Ч00).. В любой координатной окрестности с
многообразии Za, (где п — комплексная размерность мно-
гообразия М) функция zz;=/(z) записывается в видела, .. z«).
Особыми слоями называются полные прообразы /^(/(Zo)), где
точка z0 <=» (z«0, .,Zao) такова, что df\z=2Q = 0. Остальные слои
Fa~ {/ = и} являются неособыми подмногообразиями многооб-
разия М. Пусть Zi, ..zm— все особые точки и ^i=t/(z1), ...
..wm = f(zm) — особые значения функции /. Над областью
плоскости Uу czR2:
Uf = [52 = СР1 = (С U оо)] \ {wu ..., шт}
определено гладкое расслоение со слоем F = Fw = /“4 (zz;), w^Uf.
Рассмотрим группу jii (Z7/), порожденную путями ai1 ..ат
(рис. 135). Пути a,j дают отображе-
X X ния пеособого слоя (монодромию)
( w ) фа>: F~^F-
\ f Рассмотрим случай невырождеп-
пых (типичных) особых точек zn ...
т. е. таких, что df\z. = 0 п
хСх Yz z ( \ квадратичная форма d2f |г. невырож-
о ] J
----------*-----к / депа. В этом случае топологическое
-X устройство слоев в малой окрестно-
Рис 135 сти Uj точки Zj описывается квадра-
тичной частью функции / — / (zj) =»
«= А/. В окрестности точки z2 существует система локальных ко-
ординат z), .Zj (точку Zj можно считать началом этой систе-
мы), в которой функция А/ имеет вид
A/(z)= 2« + О(Ы3)
4
4. IIJ § 24. ГОМОТОПИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ КОСЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЙ 617
(форму d2f можно привести линейной заменой к сумме квад-
ратов). В достаточно малой области IzJ <е при исследовании
топологии слоев члены O(|zJ3) можно не учитывать,
Д/ (zj) 2 (zj ) и Q
а
Обозначим для краткости координаты zqj через zq и изучим чисто
квадратичную функцию g(z). Уравнение q(z)=O задает особый
слой (конус), уравнения д = Ь при малых б =/= О задают близкие
пеособые слои в е-окрестности исходной точки Zj (6 выбирается
после е). Уравнение q(z) = b задает «квадрику»
к6=! s (И2 = б
При вещественном б > 0 это многообразие Кй стягивается к сфе-
ре Sa”1 = (^О2 = б, у1 = ... = уп = 0, zq « xq + iyq^. Если
б=|бк’ф, то уравнение сферы Sa”1 в К6 принимает вид {уч * * 7 — 0),
где q = 1, ..w,
ч
Задача. Докажите, что Кб диффеоморфно пространству ли-
нейных элементов ($, т) сферы, где ^eS’1”1 и т — произвольный
касательный вектор к S""1 в точке 5.
Итак, имеем вложение
SS’1 с= Къ,
где Кб— неособый слой, близкий к особому слою Заметим, что
вся сфера SJJ-1 лежит в малой окрестности точки z =0 в силу
ее уравнения. Если б стремится к нулю, то пеособый слой
«сминается» на особый слой Ко — возникает отображение
ср: Кй -> Ко,
При этом отображении сфера Sa”1 отображается в точку (эта
сфера «исчезает» на особом слое). Поэтому сфера Sa”1 назы-
вается исчезающим циклом этой особой точки.
Изучим монодромию Кб -+ Кб при обходе вокруг особого слоя
по пути в базе ъ(ф) = бе1ф, 0 ф 2л. Слои К6е^ деформируют-
ся при 0=^ф^2л; при ф = 2л мы получим «отображение моно-
дромии»: о: Кб -> Кб.
Вычислим эти отображения монодромии для п = 2. Решаем
сейчас задачу для чисто квадратичной функции
zp = /(z) = (z1)2 + (r)2 = u2 + z;\ u = z\, v = z2.
618
ГЛ. 6. ГЛАДКИЕ РАССЛОЕНИЯ (КОСЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ)
[Ч. И
Квадрика К6 задается уравнением и2 + v2 — 6 = |б|е1'”; сфера 5а
есть окружность Imu = Imr=0, где й = пе“1ф/2; v = ve~iv/\
Неособый слой Ка есть произведение (цилиндр).
Отображения обхода, начиная с вещественного б >0 (б=|б|),
можно задать так:
и -* ueiv/2t v -* ve^/2. (3)
Изменяя ф от нуля до 2л, получим в конце отображение
и ие'п = —u, v ve'n — —v. (4)
Нашей задачей является построение такого семейства отобра-
жений обхода которое совпадало бы с (3) в ма-
лой окрестности исчезающего цикла S& и было бы «тождествен-
ным» отображением всюду вне несколько большей, но малой
окрестности 5а cz К&. Термин «тождественное» означает следу-
ющее: отображения вырождения ф: К& -+ Ко (см. выше) взаимно
однозначны вне исчезающего цикла 5$ и устанавливают кано-
нический диффеоморфизм между многообразиями \ при
всех (малых) б. Все отображения обхода /£(6|е?ф долж-
ны совпадать с этими каноническими диффеоморфизмами между
разными К& \ 5б вне малой окрестности и должны
совпадать с (3) внутри еще меньшей окрестности Уб, где
Именно такое семейство отображений обхода («тождествен-
ное» вне окрестности исчезающего цикла) необходимо для при-
менений локальных результатов о квадрике к глобальной задаче
о вычислении преобразований моподромии на группе гомологий
Hi(Fw) = Hi(Г«)/[ли nJ неособого слоя F = Fw для произволь-
ного отображения /: где М — компактное двумерное
многообразие.
Слой Ко определяется уравнением и2 + v2 — 0 или и —
Из этого видно, что А\ДО состоит из двух кусков:
Ко \ О = (S1 X R+)1 и (S1 X К+)2;
введем в этих кусках координаты
р > 0, (р, б)ь н=-рс10, к = ш (первый кусок),
(ЗУ
р>0, (р, 6)2: u = pef0, v =—in (второй кусок).
Такой же вид имеет при малом б, отличном от пуля, разность
Къ \ S\:
K6\S'6-(S' X R+)1U(51 х К+)2;
Ч. II]
§ 24. ГОМОТОПИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ КОСЫХ ПРОИЗВЕДЕНИИ
G19
отображение вырождения ср: Кй -> К9 индуцирует диффеоморфизм
(£б\^)«(£о\0),
вводящий координаты (р, 0)t и (р, 0)2 на (Kq\S&). Кривые
уровня (р = const) на слое К& могут быть описаны как орбиты
действия группы
и -> и cos 0 + v sin 0 — ue~i&,
(G)
v -> — и sin 0 + v cos 0 = ue ,
причем исчезающий цикл S& — это орбита минимальной длины
па слое К&. На слое /<0 это действие сведется к действию
и ue~iQ (1-й кусок), и -> ueiQ (2-й кусок). Координата р па
слое Кь (на обоих кусках) может быть определена как расстоя-
ние от точки (u, и)^Кй до исчезающего цикла сг Л'а; нача-
ло отсчета угла 0.мы будем вести от сечения (Imu = 0) слоя Кл
трехмерной гиперплоскостью (на обоих кусках). Таким образом,
на обоих кусках Кй имеются координаты (0, р), где р>0 (р = 0
отвечает исчезающему циклу).
Лемма 5. Для любого в >0 преобразования обхода /?1б| -*•:
/£[б|егФ могут быть построены так, что:
1) эти преобразования тождественны при р > 2е;
2) эти преобразования имеют вид (3) при р<е;
3) конечное преобразование монодромии о: Кщ -> K]ft] для
<р == 2 л на обоих кусках имеет вид
о: (0, р) — (0 + 0(р), р),
где функция 0(р) имеет график, показанный на рис. 136, т. е.
О = л для р е (на обоих кусках и для р = 0 на исчезающем
цикле); 0 = 0, 2л для р > 2е
на обоих кусках; кривая
(р*, 0(р*)) на цилиндре X
один раз охватывает цилиндр
при —2е С р* 2е, где р* = Х \
= р на первом куске и р* =
= —р на втором куске. ____________i_____।_________--X,
Д о к а з а т е л ь с т в о. Рас- е ® 2е
смотрим преобразования (3) КУСОК кцсок
при малых ф на обоих кус- Рис. 136
ках поверхности К^. Из фор-
мул (3) непосредственно видно, что уже при малом отклонении
Ф от пуля координата 0 при преобразованиях обхода начи-
нает вращаться в противоположные стороны для разных
кусков:
0“>0 + -$- (на 1-м куске).
0~> 0 — у (на 2-м куске).
620
ГЛ. 6. ГЛАДКИЕ РАССЛОЕНИЯ (КОСЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ)
[Я. II
Это следует непосредственно из сопоставления формул (3) с
ограничением К& -+ Ко, вводящим координату 0, где направле-
ние 0 различно на 1-м и 2-м куске, в то время как добавление
угла <р/2 имеет па обоих кусках знак (+). Сшивая эту дефор-
мацию с тождественной при р 2е на обоих кусках, отсчиты-
ваем угол 0 от нуля для 1-го куска и от 2л для 2-го куска;
в результате снова получим совпадение углов при <р = 2л. Ото-
бражение A'lfi) ^[6[ei(p/2 определим
для 0 <р < 2л формулой
(0, р)-(0 + 0*(р), р),
где 0ф(р) имеет график, показанный
на рис, 137. Непрерывность этого
отображения на сфере Sj (р = 0)
следует из того, что наши координа-
ты 0, р для разных кусков указы-
вают противоположные направления
угла 0 на сфере cz
Лемма доказана.
7. Формула Пикара — Лефшеца.
Рассмотрим теперь задачу глобаль-
но. Имеется комплексно аналити-
ческое отображение f** M~^fCP1=S2,
где М — компактное двумерное комплексное многообразие с
невырожденными особыми точками zu *.zm е А/, которым
отвечают особые значения Wj—f{Zj). Рассмотрим типич-
ный слой
1~й кусок
ф/2
2п
2л-ср/2
2-й кусок
£ 2s
Рис. 137
е 2s р
Введем пути а, (см. рис, 135) и
над неособой точкой
«исчезающие циклы»
Qj Hi {Рw) = XiJ,
которые строятся путем переноса исчезающих циклов, отвеча-
ющих особым точкам zh в слой над общей точкой w вдоль путей
7; из точек Wj — б в точку w при малом б.
Теорема 3. Имеет место следующая «формула Пикара —
Лефшеца» для гомологического эффекта обходов сра^ особых
значений по путям а$ =
(<₽а.р. ял^^я^д
((₽а;), (Р) = Р +
Здесь р — любой цикл (элемент группы II^Fw)), Q, — исчеза-
ющие циклы особых точек zjt р ° q3 — индекс пересечения этих
циклов (любых находящихся в общем положении отображений
окружности в Fw, представляющих эти циклы). При этом преоб-
Ч. II]
§ 24. ГОМОТОПИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ КОСЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЙ
621
разования сохраняют индекс пересечения:
Pi°Pi = [(<Р<ъ)* ^i]’[(<₽Oj)*Pal
для любых р^ p2^Hi(Fw).
Доказательство. Рассмотрим цикл р в слое Fwj-ь
около точки трансверсально пересекающий исчезающий цикл
q, около особой точки Zj^Fw._t, где топологическая карти-
на определяется квадратичной частью (d2/)e~A/. Согласно лем-
ме 5 в результате обхода по малой окружности aj радиуса б
вокруг Wj имеем формулу для классов гомологий:
так как в окрестности всех точек трансверсального пересечения
цикла р и цикла Sj изменение цикла р при обходе будет одно-
кратным с тем знаком, с которым эта точка пересечения входит
в индекс p°S&. Заметим также, что =« 0. Перенося все цик-
лы в точку w вдоль пути мы и получаем формулу Пикара —
Лефшеца.
Докажем теперь, что р^р2 = (ф*Р1)°((Р*Р2) при обходе
Мы имеем:
T*Pi = Pi + (Pi’ft)
<Р*Р2 = Р2 +
(Pi + (Piв ?Д ?Д ° (Рз + (р2 ° q,) q>) =*
= Pi о р2 4-(pt о ?Д ° р2)+ (Pi ’ дД (р2 ‘ qj) + (Pi ° дД (Р2 ° дД (qj ° дД.
Это равно Pi ° р2 в силу равенства р ° q = —q9p (косая симмет-
ричность). Теорема доказана.
Задача. Вывести аналогичную формулу Пикара — Лефшеца
для размерностей п > 2. Случаи четного и нечетного п при этом
существенно отличаются друг от друга; чем?
Рассмотрим пример. Пусть М = СР2 = (Q2 J СР оо ) и паша
функция — полином степени п по переменным zlt z2:
Pn(z19z2): С2->С.
Как обычно, расслоение па поверхности уровня Pn(zt, z2)= const
продолжается на все СР2 (база расслоения — СР1) в однород-
ных координатах fu0, ult п2), где z1 = u1/w0, z2 = u2/u0.
Задача. Найти все особые слои и преобразования мопо-
дромии в гиперэллиптическом случае Рг (zr, z2) = zf— Qn(zz)*
Неособые слои являются здесь поверхностями рода g, где п =
— 2g или п = 2g + 2 (см. § 2). Как мы знаем, фундамен-
тальная группа неособого слоя (поверхности рода g) задается
622
ГЛ. в. ГЛАДКИЕ РАССЛОЕНИЯ (КОСЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ)
(М II
образующими ait bif ..., ag, bg и соотношением
ctybyai Ьг ... agbgdg bg =1.
Группа Hi = Л1/[я5, nJ представляет собой 2^-мерную решетку,
порожденную векторами [aj, [&J, ..., [flj, [dg] с индексами пе-
ресечения
[«<]»[bj] = fi,j, [л,]«[аД = [ЬД»[dj = 0.
§ 25. Дифференциальная геометрия расслоений
1. G-связности в главных расслоениях. В первой части этой
книги (см. гл. 6) уже было начато локальное рассмотрение связ-
ностей и кривизны в расслоениях. Чтобы перейти к рассмотре-
нию топологических инвариантов связностей и кривизны (в слу-
чае, когда расслоение уже не является тривиальным и база яв-
ляется многообразием, а не областью евклидова пространства),
мы разработаем в этой главе инвариантную систему понятий.
Определение 1. Связностью (G-связностью) в главном
расслоении с пространством Е, базой Л/, группой G и проекцией
р: Е М называется гладкое семейство «горизонтальных» п-мер-
яых направлений в пространстве Е, инвариантное относительно
(левого) действия группы G на пространстве Е,
Ниже мы покажем, что преобразования параллельного пере-
носа, определенного G-связностыо, будут принадлежать группе G.
Поэтому это определение согласовано с определением 24.4.
Напомним теорему 1 из § 24 о том, что каждое главное рас-
слоение определяется свободным левым действием группы G на Е,
Простейший дифференциально-геометрический способ задания
связности, как в лемме 1 из § 24, использует левоинвариантную
метрику (ёц) на пространстве Е (т. е. такую метрику, что левое
действие группы G на пространстве Е является движением).
Если такая метрика имеется (см. по этому поводу § .8, в котором
доказано существование такой метрики для компактных групп
G), то G-связность определяется заданием n-мерных плоскостей,
ортогональных слоям, в качестве горизонтальных.
Другой способ, удобный при определении кривизны и в дру-
гих приложениях связностей, состоит в задании поля горизон-
тальных направлений уравнением типа Пфаффа, т. е. набором
дифференциальных форм (или одной формой с векторными зна-
чениями).
Реализуем алгебру Ли g группы G как пространство право-
инвариантных касательных векторных полей на группе G, где
операцией Ли является коммутирование векторных полей.
Определим каноническую 1-форму <о0 па группе G со значе-
ниями в алгебре Ли fl. Значением этой формы на касательном
векторе т в точке y^G объявляется элемент алгебры Ли
я, II] g 25. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ РАССЛОЕНИЙ 023
<о0 (У, т) S* — правоипвариантноо векторное поле такое, что
Сокращенно можно записать форму со0 в виде
— (dg)g~l.
Свойства формы со0 таковы:
а) со0(х, т)^0, если т^О (очевидно),
б) (у,тът2) = у ^([ТрТ^]) = [соо(т 1)tcoo(та)] (см. задачу 1
к § 25 ч. I). Группа G, действуя на самой себе левыми сдвигами
у gy (у и g оба из группы G), переводит правоипвариантноо
поле 1 в правоинвариантное поле т| = обозначаемое через
Ad(g)£. Для формы со0 при левых сдвигах группы У gy имеем
(g*^o)(t/i, т) = Ad(g)co0(t/2, т),
где t/it=3g(f/2) и т = g* (т). В матричной реализации групп и
алгебр Ли преобразование Ad(g) выглядит как внутренний авто-
морфизм l^gSg**1 на алгебре Ли; запись со0 — — (c/g)g“1 приоб-
ретает в матричной записи буквальный смысл.
Определение 2. Дифференциально-геометрической G-связ-
ностью на главном расслоении р: Е М с группой G называется
форма со в пространстве Е со значениями в алгебре Ли й группы
G, обладающая двумя свойствами:
1) Нормировка: ограничение формы со на слой G есть соо33
~~(dg}g-\
2) Инвариантность: при левом действии группы G па Е имеет
место равенство
g*co =* Ad(g)co = gcog-1. (1)
Лемма 1. а) Уравнение со = 0 задает G-инвариантное семей-
ство горизонтальных направлений, образующих связность в смыс-
ле определения 1; б) обратно, если задано G-инвариантное се-
мейство горизонтальных направлений, то можно построить форму
со со свойствами 1) и 2) такую, что семейство задается уравне-
нием со в 0.
Доказательство. Так как ограничение формы со на слой
G есть в точности форма со0, то уравнение со=0 в любой точке
у&Е определяет плоскость, трансверсальную слою, и размерность
пространства нулей формы со есть п (размерность базы). G-инва-
риантность поля плоскостей со = 0 непосредственно следует из
свойства 2 в определении 2. Обратно, пусть задано G-инвариант-
ное семейство горизонтальных n-мерпых направлений в Е, Пост-
роим форму со, представляющую собой в каждой точке х е Е
линейное отображение касательного пространства ТХЕ (в точ-
ке х) в алгебру Ли й группы G. Структурная группа G действу^
ст на слоях правыми сдвигами Н$: у yg. Форма соп на слое
F = G инвариантна относительно правых сдвигов по своему
624
ГЛ. 6. ГЛАДКИЕ РАССЛОЕНИЯ (КОСЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ)
[Ч. II
определению:
Л*соо = соо.
Поэтому форма со0 на слое Fx над любой точкой х е М, FK =
определяется инвариантно (независимо от выбора
области локальных координат со структурой прямого произведе-
ния). В каждой точке у слоя Fx форма со0 представляет собой
изоморфизм касательного пространства к слою TyF в алгебру
Ли fl,
<о0: TvF-+q.
Выделение горизонтального направления RytzTyE задает раз-
ложение в прямую сумму
TyE^^QTyF
и тем самым проекцию
я; TyE-^TyF, л(|Р")-0.
Рассмотрим суперпозицию
Ту ЕЛ TyF^fi.
Эта суперпозиция со0л и есть форма со. Ее ограничение на слой
F есть (о0 по определению. Левый сдвиг g: Е Е сохраняет про-
екцию л ввиду левоинвариантности семейства горизонтальных
направлений а на области значений формы (о0 левый сдвиг
действует по формуле (1). Лемма доказана.
Лемма 2. На любом главном расслоении существует диффе-
ренциально-геометрическая G-связность (в смысле определе-
ния 2).
Доказательство. Предположим, что структура главного
расслоения р: Е М задана областями где U Ua =* М, и диф-
а
феоморфизмами <ра: GX Ua p~*(Ua) (см. определение 1 из
§ 24). Мы выберем, если нужно, более мелкое покрытие так, что-
бы на М существовало разбиение единицы {гра), где = 0 вне
и 2'’I а (!/) = 1 в любой точке у^М (см. § 7). В прямом про-
а
иэведении GxUa'~ р~г (Uа) зададим любую связность (на-
пример, горизонтальные направления касаются (pa(gXL7a) для
всех g^G), Чтобы построить G-связность во всем Е, достаточно
положить
и = 5 Р* (фа) “а-
а
Здесь функции р*(^а(^)) имеют вид ^а(р(х)), т. е. «подняты»
с базы М. Поэтому вне /^(Ga), и форма р*г|'а(х)оа
продолжается на все многообразие Е как тождественно нулевая
Ч. II]
g 25. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ РАССЛОЕНИЙ
625
вне области p~l(Ua). Ограничение этой формы на слой имеет вид
/7*фа(я)(0о, так как функции р*$а(х) постоянны вдоль слоев
(G-инвариантпы). Свойство 2 из определения 2 также очевидно.
Лемма доказана.
Задача. Докажите, что множество связностей в расслоении
линейно связно.
Локально (над координатной областью Ua с координатами
ari, связпость в тривиальном главном расслоении с прост-
ранством Еа = /Л1 (Ua) РX Ua(F = G) может быть задана в ви-
де 1-формы А в базе Ua со значениями в алгебре Ли fl группы G.
Сопоставление формы А = A^d^ с формой со |Е(Х в координатах
у = (g, я), заданных отображением <ра, таково:
со = соо + gAp (х) g~1dxa, (2)
где (Оо — каноническая форма на G со значениями в fl.
Инвариантно это можно сказать так: структура прямого про-
изведения на Еа представляет собой пару отображений («коорди-
наты»):
Ua^Ea^G = F.
«Координаты» точки у^Еа— это пара (р(у), q(y)). Формула
(2) принимает вид
<о = 9* (<оо) + Q-1 (у) Лц (р (у)) dxaQ (у).
Каждое сечение расслоения Еа над областью Ua,
иаЛЕа, Ру = 1,
задает координаты прямого произведения в главном расслоении
Еа: мы объявляем точки вида ф(я) «единицами» групп G (сло-
ев). Отображение q: Ea~+G задается после этого формулой
q(y) = g^G. gty(x) = y.
При этом разные сечения ф4 и ф2 задают разные координаты
прямого произведения в £а, отличающиеся на преобразование
группы G в каждой точке x^Ua, ф1(^) = ^(^)ф2(^). В прямом
произведении сечение определяется точками ф (#) — (!, х). В пе-
ресечении GaP двух областей (7а, возникает замена сечения
ф1 ф2 с помощью левых сдвигов, заданных отображением g(x):
GaP->G. Форму (о можно представить в области £ар = /?“1((7аП
Л Up) двояким образом:
gi = 9i (Д <о = 9i (®о) + 91 Лц Wdx?,
g2 = 9г (*), <о = 92 (<о0) + 92 Л)\2>9Г1^1,
где qt: Eap-^G и q2: Eap-+G различаются на преобразование
40 Б. А. Дубровин и др.
620
ГЛ. в, ГЛАДКИЕ РАССЛОЕНИЯ (КОСЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ)
[Я. II
G (отображения определяются сечениями ф()\ Из сов-
падения этих двух выражений для формы со получаем закон
преобразования для коэффициентов Ац («калибровочное преобра-
зование»; см. часть I, § 41):
(х) = g (х) A^g-1 (х) - g-1 (х). (3)
дх*
Эта формула определяет «склейку связностей»; она имеет вид
(я) " g"1 (х) в случае, если выбором другого сечения
дх*^
можно сделать Л^2)~0. Это—«тривиальные связности».
Теорема 1. G-связность^ задаваемая формой со в главном
расслоении р: Е-+М, определяет параллельный перенос слоев
вдоль любой кусочно гладкой кривой 7 в базе М, задаваемый
правым сдвигом на группе G.
Доказательство. Пусть кривая 7 имеет вид x=*x(t),
Будем искать горизонтальную кривую' у в пространстве
расслоения, накрывающую 7 и начинающуюся в заданной точке
gQ слоя G =• р~* (х(а)). Достаточно рассмотреть случай, когда кри-
вая 7 целиком лежит в одной координатной области Ua такой,
что p~l (Ua) ~ G X UЛ (в общем случае нужно воспользоваться
преобразованиями склейки Лар). В локальных координатах пря-
мого произведения (g, х) в пространстве расслоения кривая у
должна иметь вид (g(t)f я(£)), гДе g(t)—не известная пока
функция. Из условия горизонтальности 7 (т. е. горизонтальности
касательного вектора (g(£), x(t))) будем иметь
6)(g(0, x(O) = -g(Og’1W + ^(O^(OA(^(O)^l(^) = 0.
Обозначая через B(t) функцию со значениями в алгебре Ли 3,
где B(t)=ax^(t)Ail(x(t))4 получим для искомой функции g(t) пи-
кейное дифференциальное уравнение
g - gB =- 0.
Решение этого уравнения с начальным условием g(a)=* g0 е G су-
ществует и единственно при всех t е [at Ь]. Таким образом, парал-
лельный перенос определен при всех t. Покажем, что параллель-
ный перенос слоя задается правым сдвигом группы.
Лемм а. Решение уравнения g — gB = 0 при B(t)&$ с началь-
ным условием g(a) = g&^G имеет вид g(t)^3 gof (0, где функция
j(t) принимает значения в группе G.
Доказательство. Утверждение леммы очевидно, если
функция В не зависит от t: B(t) ==• const е g. В самом деле,
решение уравнения g =» gB в этом случае имеет вид g(t)=~
» exp [(^ — а) В], где exp [ (t — а) В] — экспонента вектора из
алгебры Ли д, принадлежащая группе G,
Ч. II] § 25. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ РАССЛОЕНИЙ 627
В случае непостоянной функции B(t) разобьем отрезок [а,
ла N малых частей а = t0 < < ... < = t. С точностью до
o(ti — ti-i) будем иметь
ё (G) = (G — Q в (Q = ё (М ехР KG —
g(^\) = ехр [(tv — tv-i) В (tv-i)L
Отсюда вытекает, что g(0 = go/(0, где
/ (0 = lim ехр [(tv — *a-i) В (tv-i)] ... ехр [(tA — Jo) В (Zo)].
Каждый сомножитель принадлежит группе G, поэтому и произ-
ведение принадлежит G. Лемма, а вместе с ней и теорема, до-
казаны.
Следствие. Для G-связностей верна лемма 2 из § 24 (без
предположения о компактности слоя).
Для G-связностей определена группа голономии. Эта группа
является образом гомоморфизма, относящего петлям из Q(#o, Af)
преобразования слоя, и состоит из правых сдвигов группы G
(хотя, возможно, пе всех).
2. G-связности в ассоциированных расслоениях. Примеры. Об-
судим теперь, пользуясь инвариантным языком, связности в ас-
социированных расслоениях. Предположим, что группа G дейст-
вует как группа преобразований в многообразии F — слое. Пусть,
далее, pF: EF-+M— расслоение, ассоциированное с главным рас-
слоением р: Е М, обладающим формой связности (о. Форму
ассоциированной связности на пространстве EF зададим со зна-
чениями в касательном векторном пространстве к слою F. Кон-
струкция такова: каждый элемент g группы G определяет преоб-
разование слоя g: F F. Вследствие этого элементы алгебры Ли
группы fl определяют векторные поля на слое F — дифференци-
альные операторы (дифференцирования по направлению) на ска-
лярных функциях. Пусть заданы точка у е F и касательный век-
тор т в этой точке. Определим форму на слое F, положив ее
значение <о£(г/, т) на векторе т равным т. Ограничение искомой
формы <oF на каждый слой F должно равняться <oF. Из этого
вытекает, что в каждой области р?1 (Ua) ~ F х Ga с координатами
прямого произведения форма <оР должна иметь вид
<oF = (Of + (у, х) dx^, х = р (у). (4)
В качестве Лм(г/, х) мы берем следующий касательный вектор
к слою в точке у е EF\ элемент алгебры Ли 0, совпадающий с
Лг(х), определяет векторное поле | на слое Е\ берется значение
поля £ в точке у <=F — касательный вектор к слою
Л (у. х) = I (у), р(у) — х.
40*
628
ГЛ. 6. ГЛАДКИЕ РАССЛОЕНИЯ (КОСЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ)
(Ч. II
По определению, значение форм dx^ па любом векторе т, ка-
сающемся слоя, равно нулю. Поэтому ограничение формы <oF па
слой F есть (Of.
Уравнение <oF = 0 задает «горизонтальные направления» R
для точек х^Ер в ассоциированном расслоении. Формула (4)
определяет форму coF инвариантно.
Если слой F есть векторное пространство R и группа G дей-
ствует линейно, то элементы £ алгебры Ли g можно считать ли-
нейными векторными полями (или матрицами
Пусть rf, ..., — координаты в слоеЕт. Если = (а-), то по-
ле £(т]) равно
й 3
I3 =
Поле Л Да;) имеет матричный вид:
(х) = (Лц (я))} = (х) — матрица в Rm.
Таким образом, в векторном расслоении со слоем Rm связность
задается (локально) матрицей, зависящей от х и ц:
h 7 — 1, . • •, Ц = If .. п = dim
или матричнозначной формой a^dx*1.
Если само расслоение — касательное расслоение многообразия
М (со слоем Rn), то имеет смысл говорить о кручении (см.
часть I, § 41):
““ — Т(тензор в
и о симметричности связности, если
Параллельный перенос слоя F вдоль пути 7(f) в базе явля-
ется для таких связностей линейным преобразованием. В локаль-
ных координатах области определяются опера-
тор ковариантного дифференцирования сечений векторного рас-
слоения:
vrf (*) = W 'Ф7 (*)-
(5)
и производной по направлению 6 =(6\ 6П) в базе =
Неперестановочность операторов и между собой приводит
к кривизне Qvr* = [vv, vJ.
Для гладкой кривой 1(f), 0 t 1, линейный оператор па-
раллельного переноса слоя вдоль пути из точки 7(0) в точку 7(1)
изображается так называемой «хронологической экспонентой» и
обозначается через
-v^dt
(6)
Ч. П]
§ 25. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ РАССЛОЕНИЙ
G29
Здесь Г[Л1(?)Л2(?/)...] обозначает так называемое хронологиче-
ское произведение двух (и более) некоммутирующих друг с дру-
гом операторов, зависящих от времени:
Т\Аь (?)Л2 (?')] = At )' при t > ?',
(7)
7Т[Л1(?)Л2(?/)] = AAt'^Aiit') при t < t'.
Если кривая ^(?) разделена на малые интервалы точками
О = £о < < ... < ?№ 1, то для операторной функции А (?)
по определению полагаем
Техр | I А (?)Й(= Ит Т {ехр [(?х — ?0) Л (?0)]х
In I А;->ОО
X exp [(i2 — t J A О ... exp [(ijV — A (i/v-i)]}. (8)
Полагая (0 == для гладкой кривой ^(?), получим опе-
ратор параллельного переноса вдоль кривой.
Задачи. 1. Доказать формулу разложения в ряд для непре-
рывной функции A(t):
{it 1 11
( A (i) di = 1 + j A(t)dt +4JJ7 (A (t') A (t”)) dt' dt” + ...
о ' О 0 0
1 1
• • •+М• • • Jт(л• • • аdtn + • • • (9)
о о
t
2. Показать, что выражение Т exp J А (т) du = В (?) удовлетво-
о
ряет уравнению
f = [Л(?), 5(?)], (10)
а вектор ц (?) = В (?) ц0 удовлетворяет уравнению
^-Л(?)ц(?), (И)
Напомним, что параллельный перенос определялся из урав-
нения
vv(t)mo=oI (12)
или (0 (0 п’(0 = °- где к(0 = (а;1(0» •••, ^"(0)- В
этом случае имеем
а (о = - v-(t) - - 4 (о (о. (13)
630
ГЛ. 6. ГЛАДКИЕ РАССЛОЕНИЯ (КОСЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ)
[Ч. 1Г
Простейший случай представляет собой коммутативная груп-
па £7(1) (2) = G «= S1 с одномерной алгеброй Ли 9j== К1 (три-
виальной). В этом случае имеем со0 = fAp, где <р(0^ф^2л) —
координата на группе Локально заданные формы dx**
совпадают с
<о — w0 + gA^g^dx* = -^d(p + A^dx11. (14)
Калибровочное преобразование чисто градиентно:
Лв-»Л + ^г-‘_Л„ + -^. (15)
дх^
Форма связности есть просто скалярная форма <о, инвариантная
при действии группы G на Е\
g*co = со — Ad(g)co = gcog~*. (16)
Уравнение <о=0, задающее связность, есть просто одно урав-
нение .Пфаффа, выделяющее касательные гиперплоскости в Е,
трансверсальные к слоям.
Оператор ковариантного дифференцирования комплексных
скалярных полей (т. е. сечений одномерных расслоений со слоем
С1) для реализации группы G в виде £7(1) имеет вид (см. часть I,
§41)
+ <17>
где Лц(х)—вещественный скаляр (при каждом ц). Коммутатор
операторов и называется «кривизной».
3. Кривизна. Пусть комплексное одномерное расслоение со
слоем С1 комплексно аналитично и имеет структурную группу
G = С*; базой пусть служит ^-мерное комплексное многообра-
зие М с областями комплексных локальных координат
£7а(2«, Расслоение задается функциями склейки в обла-
стях £7аР == £7а П £7Р,
...Х)¥=0, (18)
со значениями, в G = С*, и эти функции ГаР аналитичны. Рас-
смотрим логарифм (определенный, возможно, неоднозначно)
«aP-ln7ap(z\ zn)(+2nim). (19)
В дальнейшем мы будем считать, что области Ua$ односвязяы,
т. е. Л1(£7а&) == 0. В этом случае можно выбрать однозначную
ветвь логарифма
ааР = 1п raP(z),
Ч. И]
g 25. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ РАССЛОЕНИЙ
631
В пересечении трех областей = Ua П С7Э А [7Т имеем
7’а07’Р77’7а «= 1 или аац + + лта — 2лшарт, (20)
где Пам — целое число. Это целое число определяется, очевидно,
и без предположения об аналитичности функций Ta^(z). Позднее
будет показано, как с помощью набора {тгаРТ}, где офу — всевоз-
можные тройки с непустым пересечением Ua^ (этот набор назы-
вают коцепью), строится топологический инвариант расслоения.
Если комплексная размерность базы М равна 1, то этот тополо-
гический инвариант определяется так: занумеруем области Ua
в последовательность U2, ... и предположим, что никакие
четыре области не пересекаются (Uai П СЛх2 П (7а3 П —пустое
множество). Рассмотрим сумму
n= 5 пацг. (21)
«<0<У
Задача. Доказать, что вычет числа nmod2 не зависит от
выбора структуры расслоения (является «топологической величи-
ной»). Найти этот вычет для расслоения Хопфа ц над СР1 и для
его степеней
Вернемся теперь к комплексно аналитическим расслоениям
со структурной группой С* == алгебра Ли этой группы
коммутативна и совпадает с С1-На группе G — С* имеется ком-
плексная координата ip, ltd > 0, и комплекснозначная форма
<o0 = dlnw. В аналитическом расслоении форма связности (ло-
кально, в области Uа) записывается в виде
® = ®0 + A^d£ + B^d&. (22)
Потребуем, чтобы форма связности была задана локально в виде
® = ®0 + d'/a = Ио + dz\ (23)
OZJ
где /а — некоторые числовые функции, т. е.
5и(^0, A^z)^. (24)
Для пересечений £7ар мы должны иметь градиентное преобразо-
вание (см. (15)):
—==(d' (25)
где d’ + d” — полный дифференциал: d — d{ + d". Если пересече-
ния t7ap односвязны, то In ГаР (z) — однозначные функции. Мы по-
лагаем = In Гар — лаР и выбираем, предполагая это возможным,
функции /а (вообще говоря, неаналитические). Заметим, что
dwYa₽ = 0 в силу аналитичности функций уаР. Поэтому форма
632
ГЛ. 6. ГЛАДКИЕ РАССЛОЕНИЯ (КОСЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ)
[Ч. II
d'd" fa определена однозначно на всем многообразии М\
d'd"fa - d'd"h = d" (d' + d" ) О (26)’
(так как d'2 =* d"2 = (d' + d" )2 = 0 и d'd" == — d"d').
Форма Q называется кривизной этой связности.
^2 у
Имеем Q = ^. d^i Л dz^, (локально). Для двумерного
ij °za"za
случая (n = 1) форма кривизны имеет в области Ua вид
д2/
Q =-----dza Д dza. (27)
dzadza.
д2
Заметим при этом, что—==Д—вещественное выражение, и
dz dz
dz f\ dz = 2idx /\ dy. Поэтому действительная и мнимая части фор*
мы Q обе корректно определены для п = 1 и замкнуты. В даль*
мейшем будет ясно, что ReQ = d(Qi) и поэтому
J Re Q = 0.
Xi
Заметим еще, что если функции /а являются аналитическими,
то Q = 0.
Для вещественных баз М структура расслоения со структур-
ной группой 51 = С/(1) и слоем С1 определяется функциями
склейки Та$ (х) = е а& в области С7аР. Связность в области за-
дается 1-формой соа, причем разность этих форм в пересечении
областей £7а, С7Р имеет вид
(Од (Op =z=
где ga₽(z)—числовая функция. Фактически функция сво-
дится к 1пТаР(х)= гфар(х).
Кривизна Q определяется формулой
2nzQ = d(oa (в области С7а),
Очевидно, что в области С7аР
dcoa — deep = ddqat = 0.
Таким образом, форма Q корректно определена па всей базе М.
Инвариантным образом форму кривизны й для расслоений
с группой 51 можно описать так: рассмотрим форму связности о>
па пространстве Е расслоения р*. Е -> М.
Определение 3. dco.
Для проверки корректности этого определения и его эквива-
лентности предыдущему определению достаточно заметить, что
я. Н]
§ 25. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ РАССЛОЕНИЙ
G33
1
локально (в области Ua) со = со0 4-р*соа, где соо = dq>. Форма
<2со имеет вид'
dco = dp*coa = р* (2л iQ). (28)
Число 2ni здесь является просто нормировочным множителем.
Перейдем теперь к определению и изучению кривизны в об-
щих вещественных и комплексных расслоениях.
В касательном пространстве TJE точки у^Е при наличии
связности имеется разложение TVE = TyF ©Ry, где Ry— гори-
зонтальное направление связности. Имеем проектирование Я, по-
рожденное связностью:
Я: ТуЕ^пу, H(TyF) = O.
Определение 4. Если ть .xq — произвольные векторы
из Е и Я(тд) —их образы в Ry, то горизонтальной
частью Q-формы со называется форма
Ясо(т1, ..т,) = со(Ятц ..Hxq). (29)
Из определения видно, что если один из векторов т; касателсн
к слою («вертикален»), то Ясо<2(т1, ..Тд) = О. В частности, огра-
ничение форм вида ЯсОд на слой равно нулю.
Определение 5. Формой кривизны в пространстве расслое-
ния Е называется выражение
йЕ = Яйсо, (30)
где (о — форма связности.
Теорема 2. Имеет место «структурное уравнение»
day 4- [со, со] = Яйсо = QE. (31)
Для преобразований пространства Е, производимых элементами
группы G, имеет место равенство
g*QE = Ad gQE = gQEg~\ (32)
Замечание. Формы со и QE принимают значения в алгебре
Ли g, в которой имеется операция коммутирования, причем
[В, 'П] = “[л, &]• Для форм со значениями в какой угодно алгеб-
ре с билинейным законом умножения можно определить опера-
цию умножения форм (в нашем случае — операцию «коммути-
рования» форм со значениями в алгебре Ли 0) по правилу
a (Р, Q) [юр, о>9] (ti, ..., Тр-ьд) =
= s sgn ° [°>Р (Ti! • • • Tip), СО, (т^ . . . TJq)], (33)
где о — перестановка индексов
a = / 1 "2 ... Р р + 1 ... Р +
Vi Ч ••• 1р ii ••• /« /
и а(р, q) — число сочетаний из p + q по р.
634
ГЛ. 6. ГЛАДКИЕ РАССЛОЕНИЯ (КОСЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ)
(Ч. 1Г
Для 1-форм (р = q — 1) определение операции коммутировав
пия принимает вид
[(О1,<о2](тьт2) = у([(о1(т1\,со2(т2)] — (34}
Если €01 = со2 = со, то
[(О, (о]‘(т1,т2) = 4 ([«(т^^т,)]-^ (т2), «(т.)]) == [<о(тл), со(т2)]. (35)
Доказательство теоремы. Мы проверим утверждение
теоремы в области определения локальной системы координат
Еа — р~' (Ua), в которой форма связности имеет вид
® = ®о + gAn (za) = С00 + gAg~\ (36)
где А = A^dx*, со0 = — (dg)g~\ Фиксируем для удобства вычисле-
ний структуру прямого произведения G X Ua в p^(Ua) и базис
(ЗА в касательном пространстве к Л/, где Для опера*
ох^
тора Н в точке (1, имеем Нд^~ — А^ Не —О, где
е — касательный вектор к слою. Здесь Ли есть элемент алгебры
Ли 0, интерпретированный как касательный вектор к группе G
в точке 1. Для формы со0 по самому ее определению имеем
со о (Лц) = Лц. Далее: Н dx* =* dx\ Ясо0 (дц) = со0 (Я9Ц) = — соа (Л ц) =>
— — Лц. Итак, ЯЛ=Л, Ясо0 = Л=Лийхц (в точке (1, я));
dcoo = ~d(dgg~') = dgg-'dgg-' = [со0, coj;
da = da0 + (dgg~') (gAg~')-(gAg-i) (dgg-') + g(dA)g~' =
= [®o, ®0] —[®o, g~'Ag] + [g-'Ag, coo] + g(dA)g~i.
Отсюда получаем (g = l)
ЯАо = [Яо0, Ясо0] —[Ясо0, ЯЛ] + [ЯЛ, Ясо0] + Я(ЙЛ) =
= [Л,Л] + ЙЛ. (37)
При g =/= 1 форма Я с? со восстанавливается на основании ее инва-
риантности, g*(Hd($) = M(g)Hd($ (операторы Я и d сохраняют
это свойство). Окончательно для всех g имеем
Я dco = = g(dA + [Л, Л])£Л (38)
Для формы dco получаем dco = — £-1[Л, A]g — [со0, ю0] —
— 2[(0о, = Qe — [со, со].
Теорема доказана.
Локально, в координатной окрестности Ua базы Л/, форму
можно «опустить» в базу:
Q = DA = dA — [Л, А] ~ Д dxv —
= ( - Й + TV + A l) Л dz\ (39)
\ дх j
U Hl
§ 25. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ РАССЛОЕНИЙ
635
Очевидно, что коэффициенты формы Q — это коммутаторы:
= Vv]. При калибровочном преобразовании g(x)
Й - gQg-1. (40)
Для формы кривизны Qf = Н с? со — dco + [со, со] можно точно
так же вычислить dQE и Н dQ$. Мы получим «тождества Бьяпки»
(проверьте, как и выше)
dQE “ 2[со, Йе],
Н d&E в 0.
Для форм й в областях Ua базы М элементарное вычисление
показывает, что
М = ЙЙ + [Л,Й] = О (41)
(проверьте!).
4. Характеристические классы. Конструкции. Для одномерных
комплексных расслоений с коммутативной структурной группой
G = S* или G = С* тождества Бьянки сводятся к замкнутости
формы кривизны й, так как [Л, й] = 0. Кроме того, gQg*1 »Q
и форма й является корректно определенной замкнутой формой
па базе Л/. В пространстве Е форма р*й йв точна: йв *= dco.
В базе М форма й, возможно, не точна (это будет ^бсуждаться
позднее). Заменим связность со другой связностью со в том же
расслоении р: Е М, _
Лем м а 3. Разность форм кривизны й и й, отвечающих раз-
ным связностям со и со в одном и том же расслоении с группой
G = S\ является точной формой,
о ~ Й = du.
Доказательство. По определению р*й = Йе = dco и р*й
= Йе = dco. Разность со — со имеет в области вид
со — со = (со0 + Аи dx*) — (со0 + Ам dx*)=«(— Ам) dx*.
Таким образом, форма со— со имеет вид р*и и Й — Q=*dut Лемма
доказана.
Пусть в базе М имеется двумерное замкнутое ориентирован-
ное подмногообразие Р с= М. Из леммы вытекает
Следствие. Интегралы J Й и (Й совпадают] следователь*
р р
2io, величина J £2 не зависит от выбора связности в расслоении
р
р: Е М и является «топологической величиной».
Доказательство, J (Й — Q) = J du = J и «= 0, так как Р не
р р ер
имеет края.
636
ГЛ. 6. ГЛАДКИЕ РАССЛОЕНИЯ (КОСЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ)
(Ч. П
Рассмотрим теперь произвольную группу G (реализованную
матричпо) и локальные формы кривизны Й в области Ua с коор-
динатами (ха). При калибровочных преобразованиях
Й-£(х)Й£(х)"\
Рассмотрим скалярную форму Sp Й. Очевидно, имеем
SpQ = Sp(gQg“‘).
Следовательно, скалярная форма Sp Й определена инвариантно
на всей базе М.
Из тождества Бьянки (41) получаем
ЙЙ - -Ц, Й].
Из этого вытекает, что форма SpQ замкнута:
d Sp Й = Sp (dQ) = -Sp [Л, Й] = 0,
так как след коммутатора двух матриц^ всегда равен пулю. При
замене связности ю другой связностью ю имеем
d(co — ю)= dm — day = Йе — Йе — [ю, ю] — [о, ©].
Переходя к следам Sp ю, Sp ю, Sp йя, Sp QE и используя равен-
ство Sp [со, со] = 0, получаем
d(Sp ю — Sp ю) = Sp Йе — Sp йк = р* (Sp Й — Sp Й).
При этом локально Sp ю = Sp + Sp р* (Л), Sp со = Sp со0 г
+ Sp р*(Л). Окончательно
Sp Й — Sp Й = du (в базе М).
Из этого следует, что интегралы формы 8рЙ по двумерным под-
многообразиям многообразия М являются «топологическими ве-
личинами» (не зависят от связности в расслоении).
Рассмотрим теперь локально форму Й в области базы (1Л как
матричнозначную дифференциальную 2-форму
Q = Д dxv = (gj)uv dx* Д (42)
а связность — как матричнозначную 1-форму
А =» A^dx* = (а})ц dx*; (43)
между этими формами имеется связь:
дА„ dAv
(44)
OX ox*
Мы уже рассматривали произведение форм, где за операцию ум-
ножения коэффициентов бралось коммутирование. Здесь мы рас-
смотрим произведение форм с матричными значениями относи-
Ч. И]
6 25. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ РАССЛОЕНИЙ
637
тельно обычного матричного умножения коэффициентов (ср. ана-
логичное определение (33))
а (р, q) (<о„ A <°q) Uit • • • ^p+q) =•
= 2 sgn o<Op (Tix ... Tip) co, (t;i ... T,g),; (45)
4<..<ip
ГДе ° = (i/... s/X* tj)-nePeCTaH0BKa’ “(₽’?) = AtqA
Алгебра форм будет ассоциативной, но не косокоммутативной.
Определяем «характеристические классы»
а == Sp(й л • • • А &) = 8рй\ *>(46)
Форма Ci определена корректно на всей базе 4/, поскольку при
калибровочном преобразовании
й £Й£~\ й1 -> £Й*£_1, Sp й1* = с< Ci,
Форма с< = Sp й1 замкнута в силу тождеств Бьянки
d Sp СУ = Sp = S Sp (Q;-1 Д (dQ) Д = 0,
так как с?й = —[^4, й] и 8р(й^1[4, й]й*’д)в0. При замене связ-
ности со другой связностью co форма Ci изменяется на точную
форму duh где p*iii = (“ 1/ Sp^"1 А (-4 — Л)й1~^) (проверь-
те!). Поэтому интегралы J cL по замкнутым ориентированным
р
21-мерным подмногообразиями Р многообразия М представляют
собой топологические величины.
Для группы G = SO(2n) введем еще одну форму х* степени
2п на базе М
Р (п) Хп === S X [Q(Tii, , й (Tj , Ti2n)L (^7)
i3<i4
’2П—1*^’2»
I 1 2 2«\ п / V
где а == . . —перестановка, р(и) — числовой коэффициент,
vilz '• • 2п/
который будет выбран позднее из требований нормировки,
x[LtlJ, Ltn)] — полилинейная форма от п кососимметрических
матриц Ь(1) = >L{n} (470? построенная так: если 1{к) =
= l^du1 A du3—формы степени 2 в пространстве R2nc координа-
тами Uf, ..н2п, то
2(1,А AZ(n) = x[b(1)1...,L(’,,]^1A ... /\du2n.
(Это — аналог так называемого «пфаффиана».)
638 ГЛ. в. ГЛАДКИЕ РАССЛОЕНИЯ (КОСЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ) [Я. II
Если п = 1, то х(£) — это обычный изоморфизм между алгеб-
рой Ли группы SO (2) и прямой R1; форма для G = SO(2) ужа
вводилась выше (G = S1 = {7(1) = 50(2)). Для п = 2 имеем
Р<2)х. -п'*‘'!,У*Я(’>гЧ) Л т,4). (48*
Задачи. 1. Докажите, что — замкнутая форма на бале
расслоения со структурной группой G — S0(2n). Если база М —
риманово многообразие размерности 2п с метрикой и расслое-
ние касательное, то
(« = !) y^Rdo^R V~gdu Д dv, g = det(gu);
< i (49>
(общий случай) p (n) Xn = 8 1 • ’"Й, f Д . . . Д ^i.n_i<2nM
где £2г7- — Л dz. Для всех групп SO (n) и SU (n) фор-
ма Cj тривиальна, так как SpQ M (алгебра Ли состоит из бес-
следных матриц).
2. Показать, что для расслоений со структурной группой
SO(n) все формы c2i+i= Sp(Q2l+1) глобально (на всей базе) яв-
ляются точными и не дают топологических величин (£<п).
Для п = 2 и группы 50(4) имеем характеристические классы
e2™Sp(Q2) и /2. Для четырехмеряых римановых многообразий
с метрикой ga имеем формулу (связность симметрична и согла-
сована с метрикой)
с2 = — Л Л Л
Хз “ е<1?’2’’3^Ri^Ri^dx^ Д dZ Д dxK Д dx”. (50)
Интегралы | с2 и j %2 являются функционалами от метрики (g(,J
м м
на ЛГ, имеющими тождественно пулевую вариацию (т. е. не ме-
няющимися при малом изменении метрики).
Мы уже перечислили важнейшие характеристические классы
для групп 50(n), U(n). Можно ввести аналогичные характери-
стические классы Ь3- как формы степени 2/ в базе Sp(n)— расслое-
ния, где группа Sp(n) и ее алгебра Ли реализованы как кватер-
нионные унитарные и косоэрмитовы матрицы, причем нетриви-
альными из них будут лишь b2i (проверьте!). Это, однако, менее
важный случай.
Сейчас мы укажем общую конструкцию характеристических
классов (т. е. замкнутых форм на базе, меняющихся при измене-
нии связности лишь на точную форму, так что интегралы по
замкнутым подмногообразиям базы являются топологическими
величинами). Рассмотрим алгебру Ли 0 группы G и внутренние
Ч. II]
§ 25. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ РАССЛОЕНИЙ
639
автоморфизмы Adg группы G на алгебре fl:
Adg: (в матричной реализации).
Определение 6. Симметричная полилинейная форма с чи-
словыми значениями г|)[/и 1т] на алгебре fl, где ^^fl, называ-
ется Ad-инвариантной, если эта форма гр не меняется при пре-
образованиях вида Adg группы G на алгебре fl:
М. (51)
Каждая Ad-инвариантная форма гр определяет характеристи-
ческий класс Построение характеристического класса по Ad-
инвариантной форме/ф таково: если Q — (локальная) форма кри*
визны в базе М, то полагаем
’ ^2т) — Гф (Q) 1=3
e .2 sgnai|,[Q(Til,Ti2),...1Q(Ti2in_1,Til!m)]f (52)
*27/1—1^2™
/ 1 ... 2m \
где о = . . — перестановка.
VI 12т/
Полагая Q(Ti2g_1, )«lq, сразу усматриваем аналогию меж-
ду определением формы <ч(й) и определением эйлерова класса
Х«(й); Для классов c1(G = [7(n), SO(n)) формы гр, имеют вид
const- грг (Zn ..Ц) =«= 2 Sp(iftl...zki).
&1* .... *i
Йз Ad-инвариантности гр следует, что c^(Q)—корректно опре-
деленная числовая форма на базе М.
Задача. Доказать, что форма c^(Q) замкнута и при изме-
нении связности в том же расслоении изменяется на точную
форму (т. е. интегралы по замкнутым подмногообразиям — топо-
логические величины).
Пример 1. G — абелева группа Гп(или 3?п). Тогда д « Rn,
и действие Ad g тривиально. Все симметричные полилинейные
формы гр(/1? 1т) определяют характеристические классы с*.
Таким образом, совокупность всех классов вида сДЙ) — это ал-
гебра симметрических многочленов от п образующих, соответст-
вующих элементарным формам грД/)=</, еД где еп —ор-
тогональный базис алгебры Ли 0 = в евклидовой метрике.
Классы Сф^(£2) обозначим через Z,(Q). Это — формы степени 2
в базе расслоения. Любой класс имеет вид
‘ • • • ZiJ = Сф($2). (53)
640
ГЛ. fl. ГЛАДКИЕ РАССЛОЕНИЯ (КОСЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ)
(Ч. и
Пример 2. G = t/(n). Здесь алгебра Ли 0 состоит из косо-
эрмитовых матриц. Любая симметричная Ad-инварцаитпая фор-
ма ..., 1т) па 0 может быть ограничена па картановскую,
т. е. максимальную коммутативную подалгебру П алгебры 0. Для
алгебры Ли группы U(п) в качестве Н можно взять алгебру
диагональных косоэрмитовых матриц (т. е. диагональных матриц
с чисто мнимыми диагональными элементами). Оказывается, что
ограничение Ad-инвариаптпой формы ip па картановскую подал-
гебру полностью определяет эту форму. Этот факт мы не дока-
зываем.
Изучим ограничение форм с* па картановскую подалгебру.
На картановской подалгебре выбирается базис Не-
которые автоморфизмы вида I gig где g^G, сохраняют
подпространство II <=0; такие g составляют конечную группу, на-
зываемую группой Вейля группы G. Для G = С/(и) базис в II
можно составить из диагональных матриц с единственным нену-
левым элементом (Фя = I* Группа Вейля есть в этом случае
группа Sn всех перестановок базиса (проверьте!). Рассмотрим
базисные линейные формы из 0*, полагая tj(lk) = бд{. Тогда
ограничения симметрических Ad-инвариантных форм ip на кар-
тановскую подалгебру II 0 представляют собой симметрические
полиномы от переменных tn. В качестве базисных симмет-
рических полиномов можно взять следующие:
= ti + .». + tn* (54)
Классысовпадают с определенными выше классами с&. Про-
должение классов ck с картановской подалгебры на всю алгебру
Ли указано в формуле (46).
Пример 3. G = 5O(2n). Алгебра Ли 0 состоит из кососим-
метрических матриц. Картановская подалгебра II порожда-
ется «инфинитезимальными вращениями» в плоскостях Кi2,
R34, ..К2п-1,2п, где номера снизу указывают пары базисных
векторов в R2n. Таким образом, базис lir. .In таков:
причем единственная пара ненулевых элементов этой матрицы —
Опять обозначим через линейные формы в 0*:
(О» Ik) = бд-
ч. II] § 25. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ РАССЛОЕНИИ 641
Группа Вейля автоморфизмов Н Н вида I glg~\ где g*=G,
порождается следующими преобразованиями (проверьте):
а) перестановками векторов
б) одновременными переменами знака у пар форм Л:
•
На алгебре Н имеем, следовательно, базисные полиномы, инва-
риантные относительно группы Вейля:
Г-ir+... + e, к п,
I,..
Классы с (so) суть в точности а класс c~(so) совпадает с хп-
ч>п
Таким образом, указанные формы продолжены с картановской
подалгебры на всю алгебру Ли.
Пример 4. G = 5O(2n+l). Алгебра Ли 0 по-прежнему со-
стоит из кососимметрических матриц. Картановская подалгебра
Н g состоит из «инфинитезимальных вращений» в плоскостях
K121R34* • * • ? К2п-1,2п и совпадает с картановской подалгеброй для
подгруппы SO(2n) группы 5О(2п + 1) и даже для U (n)<=>SO(2ri),
хотя группа Вейля увеличивается (собственно говоря, такой же
картановской подалгеброй обладала коммутативная группа из
примера 1, для которой Я = 0, а группа Вейля была тривиаль-
ной). Опять имеем базис...ЛпегЯ и формы где
— Группа Вейля для 5О(2п+1) кроме элементов, уже име-
ющихся в SO (2п), содержит еще возможность обращения на-
правления одного плоского вращения (а не только пар, как в
50 (2п))
Л: - -
Поэтому среди нужных нам форм ф имеется (мультипликатив-
ный) базис из элементарных полиномов вида
^S0) = tlq + ... + (56)
Формы ф9 задают классы
ci{so)=c2q (G = SO (2тг + 1)). (57)
Таким образом, и в этом примере все формы продолжаются с
картановской подалгебры на всю алгебру Ли в качестве Ad-инва-
риантных форм,
5. Характеристические классы. Перечисление. Оказывается,
что для групп G =» SO(n), U(n) никаких других характеристиче-
ских классов построить невозможно. Более точно, любая другая
«естественная» или ковариантная конструкция, сопоставляющая
расслоению и форме связности замкнутую форму в базе, инте-
41 В. а, Дубровин и др.
642
ГЛ. 6. ГЛАДКИЕ РАССЛОЕНИЯ (КОСЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ)
[Ч. II
гралы от которой по циклам (замкнутым подмногообразиям ба-
зы) являются топологическими величинами (т. е. не меняются
при изменении связности в том же расслоении), эквивалентна
указанным выше классам ct-, или какому-либо полиному от
них в алгебре дифференциальных форм. Эквивалентность (кого-
мологичность) двух замкнутых форм а и b (таких, что da = db =
= 0) означает по определению, что форма а—Ь является точной:
а = b + du,
В этом случае интегралы по любому циклу (по замкнутому
ориентированному подмногообразию) Р объемлющего многообра-
зия от этих форм совпадают:
.f«=R
р р
Сейчас мы поясним термин «естественная или ковариантная
конструкция». Мы определяли в § 24 понятие отображения рас-
слоений с одинаковым слоем и одной и той же структурной груп-
пой G (отображение f\E-^ Е', коммутирующее с проекцией, т. е.
такое, что fp = p'f., где /: М М' — отображение базы в базу,
и индуцирующее на каждом слое диффеоморфизм из структур-
ной группы G). Было определено понятие «индуцированного рас-
слоения»: если задано расслоение р': Е' -> М' и отображение /:
М М', то строятся расслоение р: Е -> М и отображение рас-
слоений /: Е Е'. При этом говорилось (без доказательства),
что любое расслоение с базой М (скажем, главное) индуцируется
единственным с точностью до гомотопии отображением М PG
в базу универсального главного расслоения pG\ BG, у кото-
рого пространство EG стягиваемо. Универсальные пли А-универ-
сальные расслоения строились для групп G=O(n), SO(zi), U(п)
и имели базы, являющиеся гладкими многообразиями для лю-
бых N:
Bg = G/v,n
Bq = G5vf/v
BG = CP*
BG = UPN
для SO (ra), 7V->oo,
для U (n), N -> oo,
для (7(1) = 50(2), AT->oo,
для SU (2) = Sp (1), 7V->oo.
Пусть задано отображение расслоений f: Е Е' с отображе-
нием баз /: МЛГ, и пусть в расслоении Е' задана форма
связности св'. Применяя к ©' отображение форм /*, получаем
форму св=/*св' на Е, также являющуюся формой связности.
Операторы d и Н перестановочны с отображением форм f*. По-
этому форма кривизны также ковариаптпа:
/ (^е) = ^е (^е ~ , Qe = Hdii)'),
Ч. II]
§ 25. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ РАССЛОЕНИЙ
643
Все характеристические классы cG %п и общие классы (см. выше)
строились естественно или ковариантно, так что имеет место
равенство («функториальность»)
= Сф, (58)
где с-ф и — характеристические классы расслоений Е' и Е,
построенные по формам о/ и со. При этом формы с\|> и с точ-
ностью до добавления точных форм (вида du) не зависят от вы-
бора связностей в расслоениях Е' и Е.
Мы назовем конструкцию замкнутой формы с в базе расслое-
ния топологическим характеристическим классом, если она обла-
дает следующими свойствами:
1. Эта конструкция определена в любых главных расслоениях
с группой G (база — любое многообразие!).
2. При отображениях расслоений f: Е -> Е' должнсг иметь
место равенство (с точностью до форм вида du)
j*c' = с + du.
Оказывается, топологических характеристических классов
очень мало.
Для многообразия М определяются «группы когомологий»
Hq (М; R) следующим образом: элемент ае/^(М;5) представля-
ется вещественной замкнутой формой а (т, е. da = 0) с точ-
ностью до форм вида du (т, е. а эквивалентно форме а + du).
Прямая сумма Я* (M;R) = 2 Я4 (717; З?) образует алгебру относи-
Q
тельно внешнего перемножения замкнутых форм (см. подроб-
нее [28]),
Имеет место
Теорема 3, Каждый элемент с из когомологий Hq(BG',\R)
базы BG универсального G-расслоения определяет топологический
характеристический класс для всех G-расслоений и обратно.
Доказательство. Если характеристический класс с задан
как форма степени q в базах всех G-расслоений в смысле пре-
дыдущего определения, то элемент с в группе Я3 (Яс; R) — это
просто характеристический класс универсального расслоения с
базой Яс*). Обратно, пусть задан элемент (класс когомологий)
с е Hq(BG, R). Для любой базы М любое гладкое расслоение ц с
этой базой и группой G индуцировано единственным (с точ-
ностью до гомотопии) гладким отображением f: М -> BG. Пола-
гаем
с(т]) = /*(с).
Так как dj* = j*d, то форма с(ц) замкнута и определяет элемент
*) Строго говоря, речь идет о базе TV-универсального расслоения, кото-
рая является гладким многообразием,
41 *
644
ГЛ. 6. ГЛАДКИЕ РАССЛОЕНИЯ (КОСЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ)
[Я. п
из Hq (М, R). Гомотопным отображениям /2 отвечают эквива-
лентные формы —с2(т]) = йи. Теорема доказана.
Информация о когомологиях пространства SG.
Пример 1. Группа G дискретна.
a) G = Z? BG = S\ Н1 (BG; R) = R, Hq(BG) = 0 при q > 1.
6) G = Zm? тп конечно; BG — линзовое пространство,
Hq (BG; R) = 0 при всех q.
Оказывается, для любой конечной группы G
Hq(BG; R) = О при ?>0.
в) G = Z Ф ... Ф Z (п слагаемых); BG = Tn (тор), Н* (BG\ R)—
внешняя алгебра от п одномерных образующих.
г) BGM2g (поверхность рода g); H*(BG\ R)
имеет одномерные образующие bi3 ..., ag, bg и соотношения
А == • • • Л ье и ai Л 6; = 0 (i #=/), ak Д at == bh Д bi = 0.
д) G — свободная группа с р образующими; BG — область на
плоскости R2 с р выколотыми точками,
Hq (BG; R) = 0 при q > 1, Я1 (Sg; R) = Rp.
Пример 2. Группа G абелева, G = RftX Tm, Для группы
Rh = G' имеем BGr—одна точка (или пространство, стягиваемое
к точке). Для G" = 51 = 50(2) = £7(1) имеем BGrr=^CP°°. Для
G = Rft X Тт = Rfe х 51 X ... Х51 пространство BG имеет вид
BG-BsiX ... х5„1 = Ср°°х ... хСРЛ
т т
Алгебра когомологий Н* (BG\ R) есть алгебра полиномов от т
образующих ^i? . ..? Я2 (BG; R).
Пример 3. G = U(п); Я* (BG* R) есть алгебра полиномов от
образующих Я2г (BG; R), f = lt п. Для G = SU(n) алгебра
Я* (SG; R)ecTb алгебра полиномов от образующих c2i с3, сп\
а Я2’ (SG; R).
Пример 4. С = 50(2п);Я* (SG; R)—алгебра полиномов от
образующих сц H*\BG\ R)J= 1, n — 1, и одной образующей
Хп^Я2п(5с; R).
Пример 5. G—S0(2n+l); H*(BG;\R) есть алгебра полино-
мов от образующихс2{ Я4г (SG; R), i = 1, ..п.
Таким образом, все характеристические классы для основных
групп G уже были построены выше.
Для некомпактных групп Ли топологические характеристиче-
ские классы (как классы когомологий базы) сводятся к макси-
мальной компактной подгруппе K^G, Без доказательства ука-
4. Ill
§ 25. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ РАССЛОЕНИЙ
645
жем такой факт. Базы Вк и BG гомотопически эквивалентны и
Н*(ВК*, 5?)=Я* (Bg\ К). Поэтому в силу теоремы 3 их топологиче-
ские характеристические классы совпадают. Если группа Ли G
полупроста, то у ее алгебры Ли g комплексификация 0с совпа-
дает с комплексифицированной алгеброй Ли Йс некоторой ком-
пактной группы G', именуемой компактной вещественной формой
той же самой комплексной алгебры Ли Йс = 9с> Поэтому по-
строения характеристических классов по связности, например,
указанными выше элементарными операциями над формой кри-
визны Q для групп G и G' приводят к абсолютно одинаковым
результатам. Мы получим для G (локально) точно те же замк-
нутые формы и функционалы от связности, имеющие тождест-
венно нулевую вариационную производную по связности, что и
для G'. Однако эти выражения будут часто «топологически три-
виальны», т. е. будут давать точные формы вида du. Например,
для G = и G' = Тк локально все одинаково, но для G = К* все
интегралы от характеристических классов по циклам тождест-
венно равны нулю. Для G—SO(p, q) все будет формально так
же, как и для G' =3SO(p + q), но нетривиальные интегралы по
циклам мы получим лишь сводящиеся к максимальной компакт-
ной подгруппе 5O(p)X5O(g)c=5O(p, q)t
Если мы рассматриваем касательные расслоения псевдорима-
новых многообразий М типа (р, д), где p+g = n = dimAf, то мы
можем построить те же самые характеристические классы как
локальные выражения от метрики, что и для римановых много-
образий (с положительной метрикой). При этом вариационные
производные по метрике от интегралов этих форм по циклам
(замкнутым ориентированным подмногообразиям) соответствую-
щей размерности в М будут также нулевые. Однако топологиче-
ски многие из этих классов будут тождественно нулевыми в том
смысле, что интеграл по любому циклу есть тождественный нуль.
В виде примера укажем, что алгебра Ли собственной группы
Лоренца 50(3, 1) = G комплексно эквивалентна алгебре Ли груп-
пы SO(4) — Gf или группы 8' = 5(7(2)X 5(7(2). Для G' =
= 5(7(2) X 5(7(2) или G =S0(4) имеем два характеристических
класса размерности 4:
с2еЯ4(Вс<; R), R).
Для G=5O(3, 1), имеющей максимальную компактную подгруп-
пу SO (3)с= SO (3, 1), имеем лишь один топологический характе-
ристический класс
с2 е Я4 (BG; О?)
(но по-прежнему два дифференциально-геометрических характе-
ристических класса).
Использование метода универсальных расслоений позволяет
также доказать важное свойство характеристических классов:
646 ГЛ. 6. ГЛАДКИЕ РАССЛОЕНИЯ (КОСЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ) [Ч. II
можно выбрать такой базис среди характеристических классов,
что все интегралы от базисных характеристических классов по
циклам (замкнутым ориентированным подмногообразиям базы
любого G-расслоения) будут целыми числами.
Этот факт вытекает из того, что в универсальном расслоении
с базой BG в алгебре Н* (BG; R) можно выбрать полный базис
элементов dq (характеристических классов универсального
расслоения), что их интегралы по циклам в BG целочисленны.
Пусть М — база любого G-расслоения, Р — замкнутое ориен-
тированное g-мерное многообразие и ср: Р -> М — гладкое отобра-
жение (как говорят, «сингулярный цикл» (Р, ср)). Расслоение
над М индуцировано универсальным расслоением посредством
отображения /: МBG из универсального. Имеем цикл размер-
ности q в BG:
ф f
(Р, Др), /ф- р~^ m-^bg,
и форму ds = /* (ds) — характеристический класс в базе Мл Да-
лее, для ds имеем: интеграл по циклу (Р, ср) в многообразии М
равен
У d' У ф* (X) = У /* (ds) = У Ф*/* (ds) = У d$
(Р,Ф) р (Р,ф) м (Р,№)
— целое число для цикла (Р, /ср) в BG.
Пример 6. Рассмотрим группы G = П?1 и G' = 50(2) = G(l).
Форма кривизны расслоения в обоих случаях есть скалярная
2-форма й = QillvcLP1 Д dx\ Поставим вопрос: в каком случае
замкнутая 2-форма является формой кривизны некоторого G-pac-
слоепия или G'-расслоения? На языке физики это означает воз-
можность глобально ввести вектор-потенциал, необходимый при
квантовании. Ответ будет различным для G и G'. Необходимые
и достаточные условия таковы (достаточность мы оставляем без
доказательства):
1. Для группы G = R1 необходимо и достаточно, чтобы для
любого 2-мерного цикла Р в базе М мы имели У Q = 0; равно-
р
сильное требование: Q = dA для некоторой 1-формы А всюду в
базе М.
2. Для группы G' = SO(2) = G(l) необходимо и достаточно,
чтобы набор интегралов по всем 2-циклам Р в базе М был цело-
числен при соответствующей нормировке формы Q: J Q — целое
р
число; вектор-потенциал А будет глобально над М задан в виде
формы в расслоении Е.
Физически форма Q может представлять собой напряженность
электромагнитного поля Pgv = d (F^dx^ /\ dxx) = 0 в силу
Ч. II]
§ 25. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ РАССЛОЕНИЙ
647
уравнений Максвелла. Форма Q = F задана в области U прост-
ранства Минковского R4 (т. е. Если в реальной физике
электродинамика «компактна» (т. е. группа есть 50(2), а не R1)®
то, как указал Дирак, возможны «магнитные монополи». В ста-
ционарной задаче имеем, например, область U cz R3, где
U = R3 \£0 (пусть = 0). Форма S2 = F^dx^ Д dx (ц, v ==
«= 1, 2, 3) есть напряженность магнитного поля в области С7,
причем поле имеет особенность в точке 0. Рассмотрим сферу
з
5рС= С7, заданную в виде 2 — ^о)2 = р2 > 0- Для поля мы
ц=г
обязаны иметь
J Q = п (целое число).
s2
Таким образом, поток магнитного поля через поверхность без
противоречия с возможностью ввести вектор-потенциал (и кван-
товать поля в соответствии с общими принципами квантовой тео-
рии калибровочных полей) может быть целочисленным, но не
обязательно нулевым. Магнитных монополей может быть несколь-
ко в точках xi> •••» хь е R3- Тогда будет набор независимых
циклов в области R3\U0 U • • • U xk)-
Пример 7. Рассмотрим расслоения над сферой 5А с различ-
ными группами G, определяемые элементом группы nft-i(GJ
(см. § 24, п. 4).
а) к = 1, G —O(n), SO(n), G(n). Ввиду связности групп SO*
U все расслоения над 51 тривиальны. Имеется лишь нетривиаль-
ное расслоение с группой G = O(n), поскольку ft0(G) =Z2- Связ-
ность в расслоениях с одномерной базой встретится нам позднее
в однородных моделях общей теории относительности (база
но теория кривизны здесь отсутствует.
б) ^ = 2. Для G = 5O(2) мы имеем набор расслоений, опре-
деляемых целым числом т е jti (50(2)) = Z. Это — расслоение
Хопфа ц (со слоем С1) и его тензорные степени (см. § 24,
п. 5). Число т может быть определено так:
т = J Q ,
s2
где Q — форма кривизны. Иначе: реализуем расслоение над 52
как прямое произведение над С1 = 52\оо со связностью А =
= A^dx^ = Azdz + A~dz и потребуем, чтобы при Ы 00
z dg W -1
дх** ь
(т. е. связность стремится к тривиальной при Ы->«>). Для
G = 50(2)=’0(1) имеем g = e*v, ~zg 1 = i Функция ф(;г)
дх4, дат*
648
ГЛ. 6. ГЛАДКИЕ РАССЛОЕНИЯ (КОСЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ)
[Я. II
может быть определена только при Izl 00 асимптотически; она
определена на множестве лучей Др образующих окружность 5':
(jzl велико).
Степень этого отображения есть число п.
в) —3; так как л2(б) = 0 для всех групп Ли G, которые
нам встречались (и для всех вообще), то все расслоения над 53
топологически тривиальны. Любая связность нулевой кривизны
представляется в виде
Получаем отображение
g(x)-.S3-^G.
Гомотопический класс этого отображения есть элемент группы
fts(G), который характеризует гомотопический класс связности А
нулевой кривизны. Напоминаем: л3(5О(2)) = 0, л3(5О(3)) =
= л3(5С7(2)) = n3(SU(n)Y= it3(SO(m) )= Z при дг>3,
т ¥= 4, л3 (SO (4)) = Z ф Z.
г) п = 4. Здесь мы имеем много разных расслоений над и
большое количество топологических инвариантов. Особенно ин-
тересны случаи G=5G(2), G = 5O(4). Так как 54\оо = R4, то
расслоения над 54 можно задавать связностями Ац над К4, где
расслоение тривиально, с граничным условием
(*) при
Функция g(x) задает отображение сферы 53 лучей Д। в G:
g: 53 - G.
Топологический инвариант расслоения есть гомотопический класс
этого отображения — элемент из n3(G). Мы имеем два характе-
ристических класса (два целых числа) для G = 5O(4) и только
одно число для G=SU(2) или G = 5O(3):
с2 = J Sp (FUVFXH) dxvt Д dx* Д dxK Д dx\
R4
x2 = J Sp (F^ * F^) A dzv A dr' A dzK, (59)
R4
дД дД
где F^ = — - — + [Д*, 4V1.
я. П]
§ 26. УЗЛЫ И ЗАЦЕПЛЕНИЯ. КОСЫ
649
Задача. Показать, что для G = 5O(4) при Хг=1 и любом са
пространство Е расслоения над S!i со слоем S3 гомотопически
эквивалентно сфере S7 (это — главное расслоение для б? = 5С7(2)
и ассоциированное с главным для G = SO(i)).
Замечание. Как показал Милнор, пространства Е некото-
рых из этих расслоений Е(с2, Хг = 1) гомеоморфны, но не диф-
феоморфны сфере S7.
§ 26. Узлы и зацепления. Косы
1. Группа узла. Важным применением фундаментальной груп-
пы является теория узлов и зацеплений в трехмерном простран-
стве. Рассмотрим замкнутую гладкую кривую 7 в К3, 7(0) =
= 7 (2л), которая не пересекает сама себя и имеет ненулевой
вектор скорости 7. Эта кривая может быть заузлена в R3
(рис. 138).
«Зосьмерка»
6
Незиузлена Простейший узел
(«трилистник
а 5
Рис. 138
Под изотопией узла мы будем донимать движение узла по
пространству, получаемое в результате деформации тождествен-
ного отображения пространства на себя (в классе диффеомор-
физмов)*). Узел 7 называется нетривиальным, если изотопией
нельзя его привести к тривиальному узлу 7: {2 = 0, о:2+*/2=1}.
Нам будет удобно считать, что узел 7 лежит в 53 гэ R3. Добавле-
ние точки оо к R3 ничего не меняет в узлах и их изотопиях (эти
изотопии заметают двумерные поверхности в S3 и без ограниче-
ния общности можно считать их не задевающими одну точку).
Рассмотрим е-окрестность L7B узла 7 при малом е>0. Граница
dUt есть тор Г2, nUe^DlxS1, где Dl—нормальный диск к 7
радиуса е. Выбросим из S3 внутренность области Ut. Останется
многообразие с краем 7Т<=53, и край 3VT = 3Ue —-это тор Г2.
*) Обычно изотопией узла называют деформацию вложения окруж
ности в пространство (в классе гладких вложений). Однако вслед за тем
доказывают, что такая деформация окружности продолжается до деформа-
ции отображения всего пространства.
650
ГЛ. 6. ГЛАДКИЕ РАССЛОЕНИЯ (КОСЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ)
[Ч. ГГ
Очевидно, что V7 гомотопически эквивалентно открытой области
53\у = Ж7.
Определение 1. Фундаментальная группа лДИ^) = jiJKJ
называется группой узла у.
Очевидные свойства группы узла л1(И/7) = ni(V7): 1) если
узел тривиален, то это следует из того, что область
VjCzS3 иди cz: S3 для у = = х2 + у2 = 1} стягивается
к окружности 51 (см.
§ 16); 2) по определению
областей У7 и 1У7 группа
(V7) = Л1 (И\) (и сама
топология этих областей с
точностью до диффеомор-
физма) не меняется при
изотопии узла. Таким об-
разом, равенство лДИ^)^
=Z является необходи-
мым условием тривиально-
сти узла. (Заметим, что до-
статочность этого условия
также имеет место и явля-
Рис. 139
ется трудной теоремой.)
Алгоритм вычисления группы л1(И/7) таков: спроектируем
узел вдоль направления d на плоскость R2 (рис. 139)—«экран».
Для направления d общего положения можем считать, что все
самопересечения проекции у на экране R2 двойные и под нену-
левыми углами. Для кривой у на экране нужно указать только
(кроме направления), какая из двух ветвей «выше» (+), а какая
«ниже» (—) в точке пересечения. На экране возникает плоский
граф с набором ребер и вершин, в которых сходятся 4 ребра.
Начальную точку для вычисления Л1 (И7:) поместим в °°GS3.
Базисные пути из Л1 будут подходить к узлу по направлению d
(слева на рис. 139) перпендикулярно к экрану R2. Занумеруем
ребра и сопоставим каждому ребру на экране R2 по одной об-
разующей а^ел^И^) (например, на рис. 139 имеем на экране
вершины А, В, С и ребра [В(_)С(+)] “ [С(+)А(-)] = у2,
= 7з, [5(+)С(-)] = у4, [С(-)Л(+)]в^ = Хв, ука-
занные в порядке прохождения кривой у). Пусть путь идет
из °° по направлению d до средней точки соответствующего реб-
ра с номером j, обходит его и возвращается назад — см. путь а3
для ребра = ^8 на рис. 139. Мы имеем образующие а^
из лДИ^).
Соотношения получаются так: в каждой вершине сходятся че-
тыре ребра Согласно принятой нами нумерации
в порядке прохождения кривой у имеем в вершине 7*2 = 71 + 1,
74 = 7з + 1, где пары (Ji, /2) и (/3, Л) составлены из номеров
ч. ii]
§ 26. УЗЛЫ И ЗАЦЕПЛЕНИЯ. КОСЫ
651
смежных ребер. Пусть пара ребер (j\, /2) «выше», чем (j3, /4),
т. е. эта ветвь кривой 7 лежит левее по направлению d (см.
рис. 139). Тогда
= аэ2 ~ ^4-1 • (1)
Проверьте, что для второй пары (j3, /4=/3 + 1)
= а^ (2)
Задача. Покажите, что набор соотношений (1), (2) для
каждой вершины порождает все соотношения в группе узла*).
Пример. Для трилистника
а = а3 = а4, аг = а^а^ (вершина 5),3
Ъ = а1 = а2, аъ = af 1а4а1 (вершина C)t)
с = а5 = аб1 с = Ъ^аЪ, а = с~лЪс (вершина A)g
или Ь=а~*са, c=b~{ab, а=с~хЬс*
Из соотношения (2) видно, что коммутированная группа
всегда есть Z.
Задача. Покажите, что в группе трилистника можно вы-
брать образующие а, 0, связанные единственным соотношением
~2 _ Q3
а = р .
2. Полином Александера. Группа узла оказывается иногда до-
вольно сложной. Определяется полином Александера (фактиче-
ски, по группе узла), который является более грубым инвариан-
том, но позволяет различать узлы проще. Пусть группа узла за-
дана стандартными образующими ..., ап (см. выше)1 и соот-
ношениями n(alr.,., an)=l (& = 1, ..., т) вида (1), (2). Опре-
делим «операторы дифференцирования»' элементов группы,
потребовав, чтобы произведения дифференцировались по следую-
щему правилу:
°(ЪС)™+Ьд'
да^v ' да^ даУ'
да^
причем = 6i;-. Заметим, что производная любого элемента есть
линейная комбинация элементов группы с целыми коэффи-
циентами (т. е. элемент так называемого группового кольца груп-
пы узла).
Построим п X 7/2-матрицу I. Заменим в ней степени обра-
зующих а$ на степени формальной переменной t по правилу
*) Следует иметь в виду, что образующие aj определены с точностью
до замены Вид соотношений (2) при этом меняется незначительно.
652 гл. 6. ГЛАДКИЕ РАССЛОЕНИЯ (КОСЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ) [Ч. II
aj -> th. Получим п X тп-матрицу, элементы которой являются
многочленами от t и Наибольший общий делитель А (0 всех
миноров (п—1)-го порядка этой матрицы и называется полино-
мом Александера. Этот полином определен с точностью до умно-
жения на к — любое целое число.
Задачи. 1. Доказать, что если группы двух узлов изоморф-
ны, то соответствующие полиномы Александера А(£), Д'(£) или
совпадают, или связаны соотношением A,(i) = A(i~1) (с точ-
ностью до умножения на к — любое целое число).
2. Доказать, что для трилистника полином Александера имеет
вид А (£)“ 1 — t + £2.
3. Вычислить полипом Александера для узла, изображенного
на рис. 138, в, и показать, что этот узел не эквивалентен три-
листнику.
3. Расслоение, связанное с узлом. Как мы уже видели,
#i(W\)=Z. Поэтому вложение дУу — Т2 -* VT ~ Wy порождает
гомоморфизм
Ну(дУу) = Ну (Г2) = Z + Z -> Z = Ну (И\).
Вследствие этого одна образующая у на торе Т2 = дУу гомоло-
гична нулю в дополнении к узлу у. Эта образующая у может
представляться как конец нормального векторного поля (длины
е > 0) на кривой у. Рассмотрим гладкое отображение ср: T2^S',
при котором ф-1 (s0) = у Т2, и sQ — правильная точка для ф.
Пусть отображение ф имеет степень 1 на другой образующей то-
ра. Продолжим, если это возможно, отображение ф на все допол-
нение У у к узлу у. Получим отображение
ф; <р|аг? = ф.
Полный прообраз ф-1 ($0) правильной точки s0 есть двумерная
поверхность Р с границей дР — у па торе 72. Сужая окрестность,
видим, что сам узел у ограничивает поверхность Р в К3 (или 53).
Задача. Докажите, что продолжение ф отображения ф:
Г2 -> 51 возможно. При доказательстве используйте следующие
факты: кривая у гомологична нулю в #i(VT) = Z; лД51) = 0 при
i > 1. Разбейте Уу на клетки и продолжайте отображение сначала
на одномерный остов (это тривиально), затем с одномерного на
двумерный (это требует анализа) и затем на трехмерный с дву-
мерного (используйте здесь равенство л2(51) = 0).
Определение 2. Минимальный род гладкой несамопересе-
кающейся поверхности Р с границей у в R3 (или S3) называется
родом узла у,
В ряде простейших примеров узлов дополнительное простран-
ство Уу с границей дРт = Г2 оказывается расслоением над окруж-
ностью
-^s1,
р: Vy
4. Ill
§ 26, УЗЛЫ И ЗАЦЕПЛЕНИЯ. КОСЫ
653
слоем Р — поверхностью
области D' X S1
причем на границе Т2 это расслоение превращается в тривиаль-
ное расслоение ср: Т2 -*• Si со слоем Si — малой окружностью в
нормальной плоскости к узлу, зацепленной с узлом. Топологиче-
ски можно представлять себе картину так: задано гладкое рас-
слоение р: V -> S1 над окружностью со
рода g>0 с границей 51
(рис. 140); на границе это
расслоение тривиально:
д¥=Т2 = &Х& Рас-
смотрим заполненный тор
D2 X 51 с той же границей
3(Z)2X5i) = 5i X S1 = Г2.
Склейка многообразий V
и (D2 X S1) по общей гра-
нице dV — dD2 X 51 дает
замкнутое трехмерное мно-
гообразие М. Если М = S3,
то V = FT есть дополнение к узлу у, лежащему в
как кривая 0 X
Простейшие примеры:
а) Если g = 0 и V = Si X Z)2, P~D\ то кривая у незаузлена.
б) Пусть g = 1 (см. рис. 140, а). Многообразие V получается
из прямого произведения’ поверхности Р на отрезок 7 = [0, 1]
склейкой (х, 0) = (h(x), 1) верхнего и нижнего оснований. Пред-
положим, что склеивающее отображение h: Р Р таково, что на
группе (Р U D2) = Hi(Tz) = Z ф Z индуцируется преобразова-
ние а ига + nb, b la + kb, mk — nl— 1 (а, b е (Г2) — об-
разующие). На границе будем иметь прямое произведение dV =*
= SiXS1.
Задача. Вычислите группу л4(Р) и л4(Р U (7)2Х54)), Под-
берите склейку так, чтобы получилась сфера 53 с узлом у с 53.
Получите этим способом трилистник при тп = 2, п = 3.
Рассмотрим интересный пример: пусть задан многочлен в С2*
/ (z, iv) = zm + wn, где тп и п взаимно просты. Рассмотрим сферу
= { | z |3 + | w |2 = б > 0}. Пара уравнений
zm + wn = 0,
(3)
задает кривую у cz 5?.
Задача. Докажите, что для взаимно простых тп, п кривая
(3) связна (узел).
Рассмотрим дополнение к узлу ycz обозначаемое через
Построим расслоение
654
ГЛ. 6. ГЛАДКИЕ РАССЛОЕНИЯ (КОСЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ)
Г1. П
следующим образом:
p^z' Йг ж ^°- (4)
Задачи. 1. Покажите, что отображение (4) имеет всюду
ранг 1 и является расслоением с базой 51. Вычислите род слоя.
а
Рис. 141
2. Докажите, что фор-
мулы (3) задают «ториче-
ские узлы» у cz Т2, cz 5g,
где узел у есть несамопе-
ресекающаяся кривая ва
торе Т2 (рис. 141), опре-
деляющая в гомологиях
ЯДУ2)— / ©Z элемент
у = ma + nb.
3. Покажите, что узел
на рис. 138, в не является
торическим.
4. Зацепления. Перейдем теперь к зацеплениям в
Пусть задан набор окружностей ..., не
R3 и в S\
пересекаю-
щихся попарно, несамопересекающихся и имеющих ненулевые
касательные векторы. Тривиальное зацепление показано па
рис. 142, а, нетривиальное — на рис. 142, б.
Естественным инвариантом зацепления (у<, ..., уА) является
группа зацепления — фундаментальная группа Л1(53\(у1 U ...
Нетривиальное зацепление
Тривиальное зацепление
а 5
Рис. 142
Задача. Вычислите группу зацепления для случаев а, б, в,
изображенных на рис. 143 (/^ = 2).
Мы знаем инвариант зацепления — матрицу коэффициентов
зацепления {у<, уД, /=/=/ (см. § 15). Однако даже при Л = 2
это — неполный инвариант. На рис. 143, в показан пример, где
к = 2, {у!, у2) = 0, обе кривые индивидуально незаузлены, но
«расцепить» их нельзя. Это показывает группа зацепления.
Алгоритм вычисления группы зацепления тот же самый, что
и для узла: надо спроектировать зацепление на «экран» и ука-
зать образующие и соотношения, как и выше для узлов. Инте-
4 [I]
§ 26. УЗЛЫ И ЗАЦЕПЛЕНИЯ. КОСЫ
655
респые примеры зацеплений дают уравнения (/ — многочлен):
/(2,ш) = 0, Izl2 + I ш|2 = 6 > 0. (5)
Задачи. 1. Пусть j(z, w) = zm-\-w\ Найдите число компо-
нент зацепления.
2. Докажите, что как и для узлов, отображение 5'3\(у1 U...
,.. U уь)S1, определяемое формулой (4), является расслоением.
0.
{WzW
Вычислите род слоя. Найдите группу зацепления в этом случае.
Рассмотрите случаи:
а) /(2, w) = 23 + ш9;
б) 7(2, w) = z2w + ш4.
5. Косы. Рассмотрим теперь группу кос. Зафиксируем на
плоскости Р2 набор из п точек Л, ..., Рп и рассмотрим произ-
ведение Р2ХЛ где I = [0, 1].
Определение 3. Косой называется набор гладких кривых
..., в Р2хД песамопересекающихся, не пересекающихся
попарно, имеющих ненулевые касательные векторы #= 0, транс-
версальные к слоям R2 X t для
всех t. При t = 0, 1 мы должны
иметь
Ъ(0) = (Л, 0), 7 = 1, ..., п,
ъ(1) = (Ра0), 1), 7 = 1, ..., п,
где о — перестановка индексов
1, ...; п (рис. 144).
Коса называется крашенощ
если а есть тождественная пере-
становка, o(J) = /. Классы эквивалентности кос относительно изо-
топии образуют группу: произведение кос KJt2 получается при-
ставлением нижнего основания косы к верхнему основанию
косы К2 (рис. 145, б).
Обратная коса — это та же коса, но идущая в обратную сто-
рону по t.
Рис. 144
656
ГЛ. 6. ГЛАДКИЕ РАССЛОЕНИЯ (КОСЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ)
[Ч. XI
Единичная коса имеет вид, показанный на рис. 145, а. Име-
ется гомоморфизм группы кос в группу перестановок:
Ядром этого гомоморфизма (косы К, для которых о(К) = 1) и яв-
ляются крашеные косы.
Р1 Р2
Yt Yz
р1 Р2
Р1 Р2 ^3
Произведение нас K1KZ
5
Рис. 145
Единичная носа
а
Набор образующих (i=l, ..и—1) в группе кос соответ-
( . .. i i + 1 ... \
ствует элементарным транспозициям =ц . j . I
в группе перестановок Sn (рис. 146). Соотношения таковы (про-
верьте):
OjOi+iOi = Of+iOtOi-i-i)
, . (6)
OiOj == OjOi при I г — у I > 1.
смотрим заполненный тор
/-/ I i+1 i+2.
Рис. 146
Задача. Докажите, что о< — образующие, а (6) — полный
набор соотношений.
Представляют интерес замкнутые косы, описываемые так. Рас-
ZPx^czR3 и рассмотрим узлы и за-
цепления — наборы из нескольких
несамопересекающихся и непересе-
кающихся попарно замкнутых кри-
вых в области D2 X S1:
{71, .. , уД с D2 X S1 с R\
Потребуем, чтобы касательные век-
торы всех кривьгх 71, ..., у, были
ненулевыми и не касались направле-
ний дисков D2X(s), Рассмотрим эти «трансверсаль-
ные» узлы и зацепления в области D2 X S1.
Задача. Докажите, что каждый узел или зацепление ука-
занного вида определяет класс сопряженных элементов в одной
из групп кос. Покажите, что классы трансверсальной изотопии
Ч. II]
§ £6. УЗЛЫ И ЗАЦЕПЛЕНИЯ. КОСЫ
657
в области D2 X S1 таких узлов и зацеплений точно соответствуют
классам сопряженности в группах кос.
Замечание. Можно показать, что любой узел или зацепле-
ние в R3 изотопией приводится к трансверсальному узлу или
зацеплению в области D2 X S1. Однако это не помогает классифи-
кации узлов и зацеплений в R3, так как один узел, например,
может приводиться к многим замкнутым косам.
Группа кос имеет другую интересную интерпретацию. Рас-
смотрим множество l)n всех комплексных многочленов степени п
(со старшим коэффициентом 1)
/ = zn + а^п~* +... + ап,
корни которых 21, ..Zn все различны.
Задача. Докажите, что группа совпадает с груп-
пой кос.
Рассмотрим пространство Vnt где
Уп = £2Х...хК2\Д,
п
Д состоит из наборов (zlt ..., zn), где zi = Zj для какой-нибудь
пары (г, /).
Задачи. 1. Докажите, что группа Л1(РП) изоморфна группе
крашеных кос.
2. Докажите, что пространство Vn/Sn имеет группу ni(Vn/Sn)r
изоморфную полной группе кос. Здесь Sn — группа перестановок
из элементов, действующая па Vn перестановкой координат
о
(211 • • ч zn) *“► (zadh • • • i 2o(n))«
42 Б. А. Дубровин и др.
Глава 7
НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕРЫ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
И СЛОЕНИЙ НА МНОГООБРАЗИЯХ
§ 27. Простейшие понятия качественной теории
динамических систем. Двумерные многообразия
1. Основные определения. Определение 1. Динамической
системой (или, как говорят, автономной динамической системой)
называется гладкое векторное поле £ на многообразии М.
Локально динамическая система записывается в виде
xa = ga(x\ хп). (1)
Интегральные траектории — это решения уравнения (1) или кри-
вые 7(i) = {яа(£)}, вектор скорости которых 7 в каждый момент
времени t совпадает с 5(7(0)- Интегральная траектория всегда
существует локально, на конечном отрезке времени, согласно тео-
реме существования. Для гладких полей 5 интегральная траек-
тория единственна. На некомпактных (открытых) многообразиях
возможна ситуация, что за конечное время траектория у (£) «ухо-
дит в бесконечность», и поэтому траектория существует только
на конечных интервалах значений t.
На (компактных) замкнутых многообразиях каждая траекто-
рия неограниченно продолжаема по t и существует для всех зна-
чений времени —оо < ^ < оо. Векторное поле £ определяет опера-
тор дифференцирования функций по направлению § (см. § 23
части I)
дх
Экспонента от оператора
S( = exp(^) = 2 /ni'W (2)
определяет сдвиг функций вдоль интегральных траекторий поля
£<(/) = /(£<(*)), (3)
где St{x)^^(t), 7 = 5 и 7(0) = х. Напомним, что коммутатором
Ч. II] § 27. КАЧЕСТВЕННАЯ ТЕОРИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ 650
полей т] на М называется поле [£, т)], локально определяемое
формулой (см. часть I)
161 |j ь дх? 1 дх?'
ИЛИ
5[Е, п, = [5б, 5J. (4)
Введем некоторые общие понятия.
Определение 2. 1) Предельным множеством со±(у) инте-
гральной траектории у(£) называется совокупность всех предель-
ных точек последовательностей у(£<), где Объединение
со+(у) U со”(у) называется (й-предельным для у и обозначается
через со (у).
2) Инвариантным (±) множеством (многообразием) динами-
ческой системы (1) называется такое подмножество (подмного-
образие) что для любой точки x^N траектория y(t) ле-
жит в N для £>0 (£<0), если ^(0) = х (или St(x)<=N для
f>0(+) и ^О(-)).
Особо интересен случай, когда множество N инвариантно и
для t 0 и для t < 0, это — инвариантные множества или под-
многообразия динамической системы в М.
3) Замкнутое инвариантное множество TV <= М называется ми-
нимальным, если внутри 7V нет меныпих замкнутых инвариант-
ных множеств. Примерами минимальных множеств являются:
а) особая точка х$ поля где £(яо) = О; б) периодическая тра-
ектория поля Позднее мы познакомимся с примерами более
сложных минимальных множеств.
4) Говорят, что траектория у(£) захвачена множеством 7V <=
если у(£) лежит в 7V для всех t > t0.
5) Гиперповерхность Р^М называется трансверсалью дина-
мической системы, если поле £ не касается гиперповерхности Р
ни в одной ее точке. Гиперповерхность Р называется замкнутой
трансверсалью, если это — замкнутое подмногообразие многооб-
разия М. При этом возможны два случая, а) Замкнутая транс-
версаль Р разделяет М на две части: Wi U W2 = M, Wi П W2 = P;
в этом случае каждый из кусков Wl и W2 захватывает все траек-
тории поля или все траектории поля — £ (проверьте!), б) Замк-
нутая трансверсаль Р не разделяет многообразие М на две части.
Здесь особо выделяется случай, когда все траектории, начавшись
в любой точке х е Р, возвращаются еще раз через конечное вре-
мя t(x) к многообразию Р и его пересекают. Очевидно, что функ-
ция времени пересечения t(x) гладко зависит от х^Р\ тем са-
мым определено гладкое отображение гр: Р-*Р, гр (я) = у (Цх) )г
Tf(O) = х.
Задача. Докажите, что все многообразие М диффеоморфно
склеенному многообразию
7H = WXZ(0, 1)/(лг, 0)~ (гр(аг), 1).
42*
660
ГЛ. 7. ПРИМЕРЫ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ И СЛОЕНИЙ
[Ч. II
Рис. 147. В центре —
особая точка Л; име-
ется седло — особая
точка В на границе
Г. На отрезке ВА нет
знака времени.
Докажите, что многообразие М диффеоморфно косому произве-
дению с базой — окружностью 51 и слоем N.
Кроме динамических систем весьма полезно строить качест-
венную теорию для так называемых «одномерных слоений», за-
даваемых полями направлений (или «директоров») %(х)~ —%(х).
Конечно, локально (в окрестности неособой точки £ (xQ) =И= 0)
одномерное слоение записывается в виде (1), но при этом надо
иметь в виду два обстоятельства: во-первых, для любой скаляр-
ной функции /¥=0 система х=>%(х) опре-
деляет то же самое слоение, что и система
x^f^(x); во-вторых, запись в виде (1)
глобально не всегда возможна; поэтому од-
номерное слоение может не допускать кор-
ректного введения даже знака времени
(рис. 147). Причины, требующие рассмот-
рения «одномерных слоений», могут быть
различны. Например, в теории жидких кри-
сталлов направление («директор») £ ~(—£)
есть ось некоторого осесимметричного (в
данной точке) тензора второго ранга, опре-
деляющего оптические свойства среды. В
теории динамических систем с алгебраиче-
скими правыми частями в J?n для изучения
качественных свойств траекторий, уходящих
далеко от начала координат, приходится «пополнять» простран-
ство Rn бесконечно удаленными точками, превращая его в \RPn;
оказывается, система продолжается на R/371 как гладкое поле на-
правлений, теряя знак времени. В случае га == 2 (двумерные мно-
гообразия) одномерное слоение задается 1-формой. Локально,
в области U <= М2 с координатами (х, у), имеем
со =P(xr y)dx + Q (х, y)dy = 0.
(5)
Точка (х, у) неособа, если Р
<2 (я, у)— многочлены степени т.
чивную замену
или* <2=/=0. Пусть Р(ху у) и
Тогда сделаем обычную проек-
те =
%
у — — <
“о
(6)
Мы получим 1-форму в однородных координата^
12 = и™+2со = и™+2Р ( (uadlll — U^Uo) +
\ о о/
+ ^+2Q^,^^du2-u2du0). (7)
Уравнение Q = 0 задает слоение на всем многообразии R732.
Ч. II]
§ 27. КАЧЕСТВЕННАЯ ТЕОРИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
661
Задача. Покажите, что бесконечно удаленная прямая
RP2(u0 = 0) является интегральной траекторией одномер-
ного слоения Q = 0. Покажите, что слоение Q = 0 не допускает
введения знака времени. Исследуйте особые точки слоения Q = 0
на бесконечности (по = О) при т = 2.
Определение 3. Предельным циклом называется периоди-
ческая интегральная траектория динамической системы или слое-
ния на двумерном многообразии, в достаточно малой окрестности
•которой нет других периодических решений.
В этом случае, как нетрудно видеть, картина интегральных
траекторий около предельного цикла имеет вид, показанный на
рис. 148.
Предельные циклы систем на плоскости R2, входящие в замк-
нутый диск D2 сквозь трансверсаль Г = dZ)2, рассматривались
в § 14 (см. теорему Пуанкаре — Бендиксона). Фактически эта
теорема относится к слоениям на сфере 52, где верхний полюс
является выталкивающей особой точкой (рис. 149). Векторные
Т—трансверсальный отрезок
Рис. 148. Функция Пуанкаре
т -> / (т) для т Т определяет-
ся траекторией у (t) такой, что
7(0) = т и 7(i) = /(т) е
Т\ при этом в отрезке кри-
вой между 7(0)^ и 7(t) нет пе-
ресечений с Т. При т = 0 име-
ем точку цикла 70.
Рис. 149
поля общего положения на сфере обязательно имеют выталки-
вающую или втягивающую особую точку; см. § 15. Это — следст-
вие теоремы о сумме особенностей векторного поля. Фактически
это — единственная эффективная теорема, гарантирующая суще-
ствование предельного цикла. Уже число циклов систем с поли-
номиальными правыми частями на R2 (даже степени 2), сводя-
щихся к слоениям на RZ*2, неизвестно. В каждом индивидуаль-
ном случае их отыскание является нетривиальной задачей. Осо-
бый (вырожденный) случай представляют собой бездивергентные
динамические системы на плоскости R2 (или поля ^=(V, В2))
5g а
такие, что -^7 = 0. В этом случае преобразования St сохраняют
662
ГЛ. 7, ПРИМЕРЫ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ И СЛОЕНИЙ
[Ч. II
площадь области (см. § 23 части I). Эти системы все гамильто-
новы с одной степенью свободы; поэтому они имеют интеграл
энергии и интегрируются до конца.
2. Динамические системы на торе. В силу теоремы о сумме
индексов особенностей векторного поля (см. § 15) единственной
замкнутой ориентируемой поверхностью, допускающей векторные
поля, нигде не обращающиеся в нуль, является тор Т2. К такого
рода системам на торе приводит, например, задача о качествен-
ном исследовании уравнения с периодическими коэффициентами:
пусть задано уравнение
х = /СМ)' (8)
с периодической по обоим аргументам правой частью f(x + 1, t) =
= /(#, J) = f(x, Z+l). Уравнение (8) определит нам на торе Т2
с координатами я (modi), Z(modl) динамическую систему вида
# = /(#,£), /=1. (9)
Система (9) допускает замкнутую трансверсаль S1 <= Т2, задавае-
мую уравнением t = tQ. Трансверсаль 51 не разделяет тора Р;
в силу уравнения (9) каждая траектория (x(t), t) возвращается
к трансверсали 51 через время
t(x)=*l. Мы получаем отобра-
жение (диффеоморфизм сте-
пени 1)
Рис. 150
ф: (10)’
где $(х) = 7(*0+ 1),
= (#, Z0)^P. График числовой
функции у = ф(л:), задающей
отображение ф (т. е. такой, что
ф(я) = x|)(;E)mod 1), изображен
на рис. 150. Из равенства
гр(гг + 1) « гр (rr) + (степень ф)
следует ф(х+ 1) = ф(х)+ 1.
Можно считать, что ф(0)>0.
Пусть (я) = $($(... $(z) ...)) при 71 >0 И l|)_n =($„)-’
п
(обратное отображение). Рассмотрим выражение
(фп(я) — х)/п
(И)’
(здесь числитель есть угол поворота точки х при гс-кратном при-
менении диффеоморфизма ф). Имеет место следующее ут-
верждение.
Лемма 1. а) Величина (фп(х) — х)/п имеет предел при
п -> не зависящий от точки х. б) Этот предел называется
Ч. II] § 27. КАЧЕСТВЕННАЯ ТЕОРИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ 663
«числом вращения» отображения гр и обладает свойством: число
вращения рационально тогда и только тогда, когда у гр имеется
периодическая точка, г. е. такая точка х9, что грл(д?0)а= д:0 или
фп(я0)=!Яо +
Доказательство. Часть а). Пусть ап(х)= грп(х) — х—
угол поворота точки х при n-кратном применении диффеомор-
физма гр. Имеем неравенство
lan(zi)— an(z2)l < 1; (12)
оно очевидно при Ixi — х2\ <1, а в общем случае нужно восполь-
зоваться периодичностью функции ап(я).
Пусть целое число тп таково, что справедливо следующее не-
равенство:
тпп «п(0)< пгп 4-*1. (13)
Тогда для любого х из (12) и (13) вытекает, что 1ап(я)“-<
I ап W тп I 2 тт . . .
<2, т. е.--------<—. Но ъпк\х} есть среднее арифметиче-
" I 71 Л I л
ское к величин ап(гр<(;г)), i = 0, к—1. Поэтому верно нера-
венство
I ank (*) I < 2
I лк л I п*
Итак, при всех к величина (хпк{х)/пк принадлежит отрезку
тп~~ 2 7Пп + 21 ы / \/ Ь 7
-----. Из симметричности по п и к получаем,
\тп-2 тпп + 21
что все отрезки вида!—-—,—-— попарно пересекаются; дли-
на этих отрезков стремится к нулю. Их единственная общая точ-
ка и есть число вращения а. Утверждение а) доказано.
Часть б). Пусть имеется периодическая точка х^, если
'фп(яо) = яо, то ^n(xQ) = xQ + т. Отсюда грйп(х0) = х0, грйп(х0) = х0 4-
+ кнг, GKn (xQ) я0) = При к-+ & получаем а =
Обратно, пусть а = Тогда функция грп имеет вид
грп(;г) = х 4- тп 4- 0(1) = х 4- т 4- Д (х). (14)
Если Д(а:)>0 при всех х, то верно и более сильное неравенство:
&(х) ^ До > 0. Тогда для числа вращения будем иметь
а>----Н —(15)
л л л х 7
Действительно, достаточно рассмотреть номера, кратные п, для
которых получим
(х) = х 4- кт 4- /сД0.
(16)
664
ГЛ. 7. ПРИМЕРЫ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ И СЛОЕНИИ
[Ч. [Г
Аналогичные рассуждения показывают, что неравенство А(^)<0
также не может выполняться при всех х. Таким образом, най-
дется точка х$, в которой функция А (я) меняет знак. Это и есть
периодическая точка. Лемма доказана.
Следствие. Если число вращения а иррационально, то по*
рядок точек х, ф(д;), ф2(^) Ф^я) на окружности при любом х
такой же, как в случае поворота на угол а.
Доказательство. Из доказательства леммы (часть б))
видно, что ф„(я)> х + тп тогда и только тогда, когда а>тп/п.
Это и означает сохранение порядка при соответствии
х + па (mod 1) «-► ф”(х). Следствие доказано.
Периодические точки отображения ф дают нам периодические
решения уравнения (9). Таким образом, наличие у уравнения (9)
периодических решений согласно лемме 1 равносильно рациональ-
ности числа вращения а для отображения ф. Рассмотрим теперь
случай, когда число вращения а иррационально и периодических
решений уравнение (9) не имеет.
Лемма 2. Если число вращения иррационально, то для лю-
бой точки х окружности S* предельные множества со + (х) и &~(х)
совпадают и инвариантны относительно преобразования ф; они не
зависят от точки x^S\
(Здесь множество со*(я) определяется на окружности S1 как
совокупность предельных точек последовательности ф”(^) при
п *+ Множество со* (я) совпадает, очевидно, с пересечением
со*(7)OS1, где S1 — окружность, отвечающая значению t = tQ,
а 7 —- траектория системы (9) на
торе Т2, проходящая через точку
х при t = £0.)
Доказательство. Уста-
новим сначала инвариантность
множества со* (я) относительно
ф*1. Если г/есо*(х), то найдется
последовательность пь п2,
। гПЬ/ \
такая, что пА ±оо и ф . \х) -> у.
Тогда последовательность точек
ф±т (ф h (я)) = ф h± (х) сходится
к точке ^'(у). Поэтому ф±1(^/)е
^со*(х). Во вспомогательных целях установим такой факт: если
точки ф"(я) и фт(я) делят окружность на дуги а и а (рис. 151),
то каждая половина орбиты {ф9(г/), q > 0} и {ф’Дг/), q < 0} имеет
точки на обеих дугах а и а. Докажем это для полу орбиты {ф9(г/),
q > 0). Пусть, например, тп > п и у ^а. Рассмотрим дуги а,
tyn~m{a), ..., фв(п-т)(а) (s>0). Очевидно, концы этих дуг при-
мыкают друг к другу (см. рис. 151) и образуют монотонную
последовательность точек окружности.
Ч. II]
§ 27 КАЧЕСТВЕННАЯ ТЕОРИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
665
Указанные дуги покроют всю окружность. В самом деле,
в противном случае концы этих дуг, т. е. точки вида 4s(n-m)4n(я),
образуют монотонную и ограниченную, а потому сходящуюся по-
следовательность. Предел этой последовательности будет непо-
движной точкой преобразования 'фп"тп, что противоречит иррацио-
нальности числа вращения и лемме 1.
Итак, найдется такое $>0, что дуга -фя(п”тп) (а) покроет точку
у\ у е 45(n“ni) (д)т поэтому 4s(m-n) (у) е а. (Для q^O доказатель-
ство идентично; нужно лишь заменить тп— п на и —тп.)
Рассмотрим теперь две полуорбиты {'ф'Дя), 7 > 0) и {^(у),
q С 0). Рассмотрим точку х0 е со* (х). Имеется последовательность
qk оо такая, что 4^ (я)я0. На каждой дуге = [4^ U)»
4^+l (z)] имеется точка из полуорбиты {4д(£/Л Пусть
это — точка4 h (у) <=ак= [4^ (х), 49h+1 (я)]. Очевидно, длины дуг
а* стремятся к пулю при к оо, и последовательность точек
4 к (у) сходится к точке х0. Итак, совпадение со* (я) и со* (у)
доказано.
Совпадение со~(х) с со-(у) доказывается так же. Лемма
доказана.
Теорема 1. Если число вращения иррационально, то пре-
дельное множество со (х) = со (у) любой точки окружности 51 мо-
жет либо совпадать со всей окружностью, либо быть нигде не
плотным замкнутым совершенным множеством (т. е. канторо-
вым множеством),
(Напомним определение: множество называется нигде не плот-
ным, если около любой его точки имеется не принадлежащая
ему открытая область; множество замкнуто, если оно содержит
свои предельные точки; множество совершенно, если оно совпа-
дает с множеством своих предельных точек, например, совершен-
ное множество не имеет изолированных точек.)
Доказательство. Предельное множество со (х) = со* (х)
замкнуто по определению (см. выше). Докажем, что это множе-
ство совершенно. Пусть х0^со(х). Все точки 4<7(л:0) принадлежат
<о(х) по лемме 2. По той же лемме со* (х0) = со (х0) = со (х). По-
этому найдется последовательность qЛ 00 такая, что 4^ (zo) я0.
В то же время 4^ W =^= по лемме 1. Таким образом, х0 есть
предельная точка множества со (я), т. е. множество со (я) совер-
шенно. Какие бывают совершенные множества на окружности $*?
Либо со(х) = 51 (всюду плотный случай), либо со (я) содержит пе
все точки из 51. Если множество со (я) заполняет хотя бы малень-
кую дугу b па окружности 51, то можно найти меньшую дугу
^<=6, у которой края имеют вид х0 и 4т(^)’ Тогда преобразова-
ние 4т обладает тем свойством, что концы дуг а, 4т(а), ...
4sm(a), ... примыкают друг к другу. Поэтому, как в доказа-
666
ГЛ. 7. ПРИМЕРЫ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ И СЛОЕНИЙ
(Ч. II
тельстве леммы 2, объединение дуг a U грт(а) U ... U ipsm(a)... по-
кроет окружность 51. Доказательство теоремы закончено.
Замечание. Можно построить примеры С^гладких отобра-
жений гр: 51 51 и систем на торе x = t) вида (9), для кото-
рых множество со (х) будет канторовым. Однако для С2-гладких
отображений (и тем самым для аналитических функций f(x, t),
в частности, для тригонометрических многочленов) имеется теоре-
ма (А. Данжуа): если число вращения иррационально, то пре-
дельное множество (д(х) совпадает со всей окружностью 51 (г. в,
траектории системы всюду плотны на торе Т2).
Несмотря на это, появление среди предельных множеств тра-
екторий в нетривиальных динамических системах канторовых
множеств, по-видимому, неизбежно (начиная с размерности 3)
даже в случае, когда правые части являются алгебраическими.
Теорема 2. Если предельное множество со(х) есть вся ок-
ружность (г. е. траектории системы (9) всюду плотны), то ото-
бражение гр: 51 51 топологически эквивалентно повороту. Это
означает, что найдется гомеоморфизм h: 51 51 (вообще говоря,
не гладкий) такой, что
h^h~l(x)^ х + а, (17)
где а — число вращения (а иррационально).
Доказательство. В силу следствия из леммы 1 точки
хП" грп(я) на окружности идут в том же порядке, что и точки
na(modl) (точки орбиты поворота на угол а). Точки хп всюду
плотны на окружности по условию. Чтобы получить гомеомор-
физм h окружности, переводящий гр в поворот, нужно продол-
жить по непрерывности отображение, переводящее точки хп в со-
ответствующие точки орбиты поворота:
h(xn) = na(mod 1)\
Теорема доказана.
Замечание 1. Гомеоморфизм h, осуществляющий «линеа-
ризацию» отображения гр: построен нами только как не-
прерывный даже для аналитических или сколь угодно гладких гр.
Исследование гладкости h является нелегкой задачей.
Замечание 2. До сих пор мы исследовали динамические
системы на торе, для которых минимальное множество могло
совпадать со всем тором. Для поверхностей рода g > 1 известно
следующее: в случае С2-гладких векторных полей минимальное
замкнутое множество динамической системы может быть только
либо особой точкой, либо периодическим решением. Эта теорема
обобщает теорему А. Данжуа, упомянутую в замечании выше.
Для С^-гладких систем легко строятся примеры с минимальными
множествами типа канторова множества.
Ч. II]
§ 28. ГАМИЛЬТОНОВЫ СИСТЕМЫ НА МНОГООБРАЗИЯХ
667
§ 28. Гамильтоновы системы на многообразиях.
Теорема Лиувилля. Примеры
1. Гамильтоновы системы в кокасательном расслоении. Поста-
новка вариационных задач на многообразиях точно такая же, как
и в евклидовом пространстве: пусть на многообразии М задан
лагранжиан — скалярная функция L(x, и), где х — точка много-
образия J/, a v — касательный вектор к М в этой точке. Экстре-
мумы действия на гладких кривых с какими-либо граничными
условиями
S = J L (х, х) dt, и =* у = х, х = у (t)t
V(O
приводят к уравнению Эйлера — Лагранжа, локально имеющему
вид уравнения второго порядка на М:
(1)
В случае невырожденности преобразования Лежандра (см. § 33
части I), когда уравнение Ра = однозначно разрешимо
в виде Va = Ua(x, р), получим эквивалентную систему Гамильтона
дН • “ дН
Ра~~^' Х ~дРа- W
Гамильтонова система (2) представляет собой динамическую си-
стему на пространстве кокасательного расслоения Т*(М) размер-
ности 2тг(?г = (1ппЛ/), точками которого являются пары (х,
где р — ковектор в точке х е М.
Дифференциальная форма Q = ^dxa Д dpa замкнута (и да-
ос
же точна, т. е. Q = dco, где (n = padxa)^ определена глобально на
всем Т*(М) и невырождена: это означает, что форма Qn =
= Q Д ... Д Q (п раз, где п = dim М) пропорциональная элементу
объема с ненулевым коэффициентом. Форма Q определяет ска-
лярное произведение векторов (кососимметрическое и невырож-
денное)
<g, ц> = -<ц, (3)
где а, Ь = 1, ..., 2гс, Q = J abdya Д dyb, координаты у\ ..., у2п на
Т*(М) определяются по правилу уа = ха, уп+а = ра, а=1, п.
Уравнения Гамильтона (2) имеют вид «кососимметрического гра-
диента»
•а _ таьдН
У ~J (4)
JabJbc = б“. Скобка Пуассона {/, g} функций /, g на «фазовом
668
ГЛ. 7. ПРИМЕРЫ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ И СЛОЕНИЙ
[Ч. II
пространстве» 71* (М) есть скалярное произведение их «градиен-
тов»:
{/,g} = /°b^4 = <V/> V £>• (5>
<7Z ОХ
В силу замкнутости формы Q скобка Пуассона вводит на линей-
ном пространстве функций структуру алгебры Ли. При этом «гра-
диент» функции {/, g) есть коммутатор «градиентов» функций
/ и g;
/->(v/) = (rb/U = (6)
\ дУ / \
</, Vg],
Все эти факты были установлены локально в § 33 части I. Их
перенос на многообразия носит автоматический характер, по-
скольку они представляют собой локальные тождества.
2. Гамильтоновы системы на многообразиях. Примеры. При
рассмотрении гамильтоновых систем на многообразиях надо иметь
в виду два обстоятельства:
1, Если <o = #adya — любая замкнутая 1-форма, то система
у = 1аЬНь определяет группу канонических преобразований Sty
поскольку локально замкнутая форма <о есть дифференциал не-
которой функции; глобально форма со может не быть дифферен-
циалом однозначной функции.
2. Гамильтоновы системы возникают не только на многообра-
зиях вида Т*(Л/) и при этом форма Q не обязана быть точной.
Важны также более общие многообразия — фазовые простран-
ства, на которых определена скобка Пуассона гладких функций.
Пусть а~1, ..., N,— локальные координаты на многообразии
У — фазовом пространстве. Скобка Пуассона функций f(y) и g(y)
задается кососимметрическим тензорным полем/°Ь(£/) =—Jba(y)na
формуле (5). Эта операция обладает очевидными свойствами би-
линейности и кососимметричности; легко проверяется также
«тождество Лейбница»
{/g, h} + f{g, М. (7)
Требуется также выполнение тождества Якоби
{/, {g, М) + {/, g}} + {g, {h, /}} == 0. (8)
Гамильтоновы системы на фазовом пространстве по определению
имеют вид (4), где —тензор, задающий скобку Пуас-
сона, а Н — Н(у) — любая функция, называемая гамильтонианом.
Векторное поле V# = ^Jabотвечающее системе (4), назы-
вается гамильтоновым. Коммутатор гамильтоновых полей связан
со скобкой Пуассона соотношением (6) (проверьте!).
Ч. II] § 28. ГАМИЛЬТОНОВЫ СИСТЕМЫ НА МНОГООБРАЗИЯХ 669
В рассмотренном выше важном примере кокасательного рас-
слоения скобка Jab была невырожденной (т. е. det(Jad)=/= 0)
и имела канонический (постоянный) вид = {/?а, рД = Ог
(д;а, рр} = бр. Более общий класс фазовых пространств с невы-
рожденной скобкой Пуассона допускает следующее описание.
Пусть N = 2п, скобка Пуассона Jab невырождена, т. е. det(Jad)#: 0;
обозначим через Jab обратную матрицу. Выполнение- тождества
Якоби (8) для любых функций /, g, h эквивалентно замкнуто-
сти формы (см. часть I, теорему 34.2)
& = ^Jabdya /\dyb. (9)
Многообразия с невырожденной замкнутой 2-формой Q назы-
ваются симплектическими. Таким образом, класс фазовых прост-
ранств с невырожденной скобкой совпадает с классом симплекти-
ческих многообразий.
Для вырожденной скобки Пуассона имеются функции /<(у)
(быть может, заданные локально) такие, что
= О (ЮУ
для любой функции g(y).
Задача. Доказать, что для вырожденной матрицы Jab(y)
постоянного ранга функции fq(y) с условием (10) локально
всегда существуют; (По поводу условий интегрируемости см, ни-
же § 29, п. 1.)
Если из (10) найдены все такие величины /9(у), то на их
общей поверхности уровня /9(у) = const, q = 1, 2, ..., скобка Пу-
ассона уже становится невырожденной.
Рассмотрим важный пример: скобки Пуассона — Ли. Так на-
зывается класс скобок, где тензор Jab(y) линейно зависит от ко-
ординат,
J°b (у) = с? = const. (И)
Рассмотрим совокупность L всех линейных функций на фазовом
пространстве, которое мы обозначим через L*. Для базисных ли-
нейных функций — координат уа — скобка определяет операцию
коммутирования
[/, /]= c?yd (12)
Из косой симметрии с^ = —cbd и тождества Якоби (8) вытекает,
что операция (12) превращает линейное пространство L в алгеб-
ру Ли, причем с&— ее структурные константы. Скобки (12),
вообще говоря, вырождены.
Пример 1. Пусть L — алгебра Ли группы вращений 50(3).
Метрика Киллинга на 50(3) евклидова и позволяет не различать
L и L* (все индексы считаются нижними). Скобки Пуассона
670
ГЛ. 7. ПРИМЕРЫ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ И СЛОЕНИЙ
[Ч. П
базисных функций Mi на L* имеют вид
{Mi,M3} = Zi5kMk. (13)
где равно знаку перестановки i]kt Функция М2 = J] М] та-
кова, что W2, 7ИД=0, i=l, 2, 3. На поверхностях уровня М2 =
= const (сферы) скобка (13) невырождена. Гамильтоновы систе-
мы на L имеют вид «уравнений Эйлера»
M = Q = (Qi) = (^( (14)
где квадратные скобки обозначают коммутатор в L, (При 2Я =
= + а2М} 4- а5Мз уравнения (14) совпадают с уравнения-
ми движения твердого тела, закрепленного в центре масс.) Вы-
вод уравнений верен для всех компактных (и полупростых)
групп Ли (проверьте!). Такие системы на группах SO (л) назы-
ваются «многомерным аналогом твердого тела» ([32]), если га-
мильтониан — квадратичная функция от М,
Пример 2. С алгеброй Ли L группы Е(3) движений трех-
мерного евклидова пространства связаны важные системы, возни-
кающие в гидродинамике. Эта алгебра Ли уже не является полу-
простой. На фазовом пространстве имеется 6 координат М^
.М2, М3, Pi, р2, р3 и скобки Пуассона
{Мц Mj} = {Mi, Р;} = sijkpk, {Pi, Pj} = 0. (15)
Скобка (15) обладает двумя независимыми функциями А = 2р'ь
= такими, что {fq, g) = 0 (?=1, 2) для любой функ-
ции g(M, р). На поверхностях уровня A = p2>0, h = ps скобка
(15) невырождена. Замена (М, р)~^(б, р), где с^=М{ —-^-рн
устанавливает изоморфизм этих поверхностей уровня с кокаса-
тельным расслоением T*S2 к сфере (проверьте!).
Задача. Докажите, что на поверхностях уровня {/i = р2 > 0,
/2 = ps) « T*S2 скобка Пуассона (15) может быть задана замкну-
той формой
2
Й = S dga A dx^ + Fi2 (х) dx1 Д dx2, (16)
a~i
где xl, x2, gj, £2 — координаты на T*S2, xl = 0, x2 = гр, Pl =
•= p cos 0 cos гр, p2 = p cos 0 sin гр, p3 = p sin 0, Ot = tg 0 cos гр —
-jiSin©, a2 = tg 0 sin гр + gicos ip, a3 = —g2; {0, гр) = гр) =
= U2, 0) = 0, {0, gj = {гр, g2) = 1, {§!, U = 5 cos 0.
Уравнения, являющиеся гамильтоновыми по отношению к
скобке (15) с гамильтонианом Н, записываются в виде «уравне-
ний Кирхгофа»
Р = [р, ®]. = \М, + [?, и1, (17)..
4. ID
§ 28. ГАМИЛЬТОНОВЫ СИСТЕМЫ НА МНОГООБРАЗИЯХ
671
г uli i uli . е: ег
где и = со = (квадратные скобки обозначают векторное
произведение). Для квадратичных гамильтонианов Н (М, р)
уравнения (17) описывают движение твердого тела в жидкости —
идеальной, несжимаемой и покоящейся на бесконечности. К виду
(17) приводятся также уравнения движения волчка в осесиммет-
ричном поле. Оказывается, естественное ограничение гамильто-
новой системы (17) на поверхность fi = p\ h = может быть
записано в виде уравнения экстремалей (Эйлера — Лагранжа)
65 = 0 на сфере 5а, где функционал 5 является «многозначным»,
т. е. корректно определена лишь его вариация 65—замкнутая
1-форма на функциональном пространстве траекторий на сфере.
Такое сведение можно найти в книге [28].
3. Геодезические потоки. Важнейшим в геометрии классом
гамильтоновых систем являются так называемые «геодезические
потоки». Геодезический поток определяется на многообразии
71=77(М) касательных векторов к гладкому многообразию, на
котором задана риманова метрика gaP; его гамильтониан имеет
вид (локально)
Н (х, р) = ±-ёа?рар„ ga&g.v = 6?. (18)
Этот гамильтониан возникает из лагранжиана =
задающего геодезические линии, параметризованные натуральным
параметром. Напомним принцип Мопертюи, согласно которому,
в частности, движение частицы в потенциальном поле сил U (х)
по многообразию М с метрикой ga₽(^) при фиксированной энер-
гии Е = Н (х, р) = -g ( р, р) + U (х) происходит по геодезиче-
ским новой метрики
ga₽(x, £)= const(£ — и(x))gaP(x) (19)
(хотя параметр пробегания не определяется из решения экстре-
мальной задачи* см. § 33 части I). Таким образом, в принципе
Мопертюи геодезический поток интересен нам только как одно-
мерное слоение на М.
Мы будем далее рассматривать геодезические потоки только
на многообразиях М с положительной (римановой) метрикой
и предполагать, что многообразие М является замкнутым. Задав
уровень энергии Е = Н (х, р) = {р, р), мы получим динамиче-
скую систему на компактном многообразии линейных элементов
постоянной длины. Это многообразие представляет собой расслое-
ние со слоем 571’1 (где п = dim М) и базой М. С точки зрения
качественной теории можно сказать следующее: эта система не
имеет особых точек; периодические траектории могут здесь изу-
чаться с помощью топологической теории критических точек
672
ГЛ. 7. ПРИМЕРЫ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ И СЛОЕНИЙ
(Ч. II
функционала длины в пространстве всех замкнутых кривых. Осо-
бенно интересный случай представляют компактные многообра-
зия, имеющие отрицательную кривизну по всем двумерным на-
правлениям. Рассмотрим для простоты поверхности Л/, снабжен-
ные метрикой постоянной отрицательной гауссовой кривизны.
Рис. 152
Геодезический поток на таком М представляет собой динамиче-
скую систему (векторное поле £) на многообразии Т = Т(М) ли-
нейных (единичных элементов к поверхности М — уровне энер-
гии Н(Х) р)=1. Оказывается, что каждый класс сопряженных
элементов группы Л1(Л7) определяет ровно одну периодическую
траекторию. Характерной особенностью метрики отрицательной
кривизны является «экспоненциальное» поведение геодезических:
пусть у(£) —интегральная траектория поля £ на Т (т. е. геоде-
зическая на М), Тогда можно найти семейство геодезических,
Рис. 153
экспоненциально быстро приближающихся к у(£) при t -+ +<»,
Это — поверхность в Т, содержащая в себе у(£). Обозначим эту
поверхность через Я+(у). Аналогично определяется поверхность
R_(y) для t-*—00 (рис. 152). Точное определение поверхностей
R+ и R- таково: на универсальной накрывающей поверхности
М — плоскости Лобачевского L2 — поверхность R± состоит из гео-
дезических, входящих в одну и ту же точку абсолюта (рис. 153)
при t -+ ±°°.
4. Ill
§ 28. ГАМИЛЬТОНОВЫ СИСТЕМЫ НА МНОГООБРАЗИЯХ
673
Пересечение R_(y) П R+(y) есть в точности геодезическая у.
Возникает интересная ситуация: каждая траектория у<=Г лежит
на двух поверхностях и Д_(у)=эу; таким образом, ком-
пактное многообразие Т «расслоено» на два семейства поверхно-
стей R+ и R_ со свойствами, перечисленными выше. Однако ди-
намическая система неинтегрвруема, т. е. не имеет первых ин-
тегралов (более того, каждая из поверхностей R_ и «почти
каждая» из траекторий у геодезического потока всюду плотно
заполняет Г; мы этого доказывать не будем). Семейства поверх-
ностей R+ и /?_ на Т дают весьма любопытный пример «двумер-
ных слоений», о которых мы скажем позднее.
Задача. Докажите, что слои R+ или R_ могут быть (топо-
логически) либо плоскостями К2, либо цилиндрами 51 X R1. (На
слоях R+ и /?_ топология строится так: нужно брать конечные
пересечения связных компонент множеств, открытых в или
в R- в индуцированной топологии.)
4. Теорема Лиувилля. Геодезические потоки иногда допуска-
ют «лишние» интегралы движения, например, если метрика на
многообразии М имеет нетривиальную группу движений (одно-
родные пространства, поверхности вращения) и в некоторых дру-
гих особых случаях. При наличии лишних интегралов, разумеет-
ся, ни одна траектория не может быть всюду плотной в многооб-
разии Т\ единичных касательных векторов ^Е =-^г(Р, р) = const).
Аналогичная ситуация возникает и в случае более общих га-
мильтоновых систем, если имеются «лишние» интегралы, кроме
энергии. Важная теорема Лиувилля изучает тот случай гамиль-
тоновых систем в R2n с п степенями свободы (или на произволь-
ном 2п-мерном симплектическом многообразии М с формой Q),
когда имеется ровно п функционально независимых интегралов
Н = /4, /2, ..., /п, скобки Пуассона которых попарно равны нулю.
Теорема 1 (Лиувилль). Предположим, что система с га-
мильтонианом Н имеет п интегралов fi = Н, /2, ..., fn с линейно
независимыми попарно коммутирующими кососимметрическими
градиентами
t. _ ТаЪ (]
дхь
определяется равенством Q =
= Jabdya Д dy , где уа — локальные координаты, Jab JbC = 6“).
Тогда-.
1) Поверхности уровня интегралов Л = аь ..., /п«ая пред-
ставляют собой факторгруппы Rn по решеткам ранга ^п; в ча-
стности, компактные неособые поверхности уровня являются
п-мерными торами.
2) Если поверхность уровня Д = а4, ,./п = ап компактна,
то в ее окрестности можно ввести такие координаты sn,
(0^срг<2л) {«действие — уголь), что; (a)Q = X^*aA
а
43 Б. А. Дубровин и др.
674
ГЛ. 7. ПРИМЕРЫ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ И СЛОЕНИЙ
(Ч. II
А ^фа или {$а, Spl {фа, фр} — 0» фр} — бар*) (б) Sa == Sa(fi, . . .
.fn), фа — координаты на поверхностях А = const; (в) наша
система имеет вид
/а 0 Sa 0, фа СОа (Sj, • , Sn). (20)
Доказательство. Поверхность А = ..., /п = ап пред-
ставляет собой гладкое n-мерное многообразие; мы обозначаем
его через Мп(а^ ..., ап). Набор кососимметрических градиентов
/>а\ таЪ «
(fej у = </ —по условию линейно независим. При этом в силу
условия {/а, /р) =* 0 все векторные поля |j касаются поверхности
Мп(а^ ..., ап) и попарно коммутируют. Таким образом, на мно-
гообразии М и, в частности, на поверхности Л7л(аъ ..., ап) и ее
окрестности действует группа Rn с генераторами Выберем на-
чальную точку Хь<^Мп(а^ ..., ап) и выделим в'К” решетку:
вектор d е Rn принадлежит решетке, если d, действуя на х0,
снова дает х^ Возникает подгруппа {d} cz !РП. Эта подгруппа ди-
скретна и поэтому изоморфна решетке, натянутой на к векторов
Rnf где к п. Очевидно, что лишь при к = п мы получим ком-
пактное многообразие Тп. Утверждение 1) доказано.
Для доказательства утверждения 2) сначала выберем началь-
ную точку x0(fli, ..., an), гладко зависящую от поверхности уров-
ня в малой окрестности изучаемой поверхности. На данной по-
верхности уровня можно составить такие линейные комбинации
Ц; полей 2 Ш>г = Цп что вводимые с их помощью координаты
в группе Rn, действующей на Тп = Мп(а^ ...? an), совпадут с
углами 0 ф5 2л (ф; = 0 — это точка х0). Коэффициенты Ь}
будут зависеть от набора а4, ..., ап в окрестности избранной по-
верхности уровня. Таким образом,
Это вводит координаты фп ..., фп в целую область около
Mn(ah ..., an). В этой области имеем координаты (А, ..
Фи ..Фп) и невырожденную матрицу скобок Пуассона
= {/рФ;Й=Г ° ^(/)\
где det А 0.
Введем теперь переменные действия s< = s<(A, /п), где
i = l, ..., п. Для фазового пространства R2n с каноническими ко-
ординатами (gb ..., c/n, Pi, рп) переменные действия имеют
ч. II] § 28. ГАМИЛЬТОНОВЫ СИСТЕМЫ НА МНОГООБРАЗИЯХ 675
ВИД
Si = (6 2 Phd(lh,. i = 1, ..., П. (22)
'' Vi h^1
Здесь у,— г-й базисный цикл тора Тп,
у,: О ср» С 2л, ф, = const при j ¥= i, .
Ясно, что попарные скобки Пуассона {$у = 0 при всех г, /,
поскольку {/,; /Д = 0.
Задача. Докажите, что переменные действия sn ка-
нонически сопряжены угловым переменным ф4, ..фп:
U, фД = б«, г, / = 1, ..п. (23)
В произвольном 2л-мерном симплектическом многообразии М
с формой
Q = Jabdya \ dyb
нужно действовать так: форма Й обращается в нуль на торах Тп.
Поэтому на некоторой окрестности тора Тп эта форма точная:
й —: dm.
Переменные действия имеют вид, аналогичный (22):
Si = ф<0, г = 1, ... , п. (24)
Положим теперь
Ф< = Ф, + sn). (25)
Подберем bi из условия {фу фД = 0. Это всегда можно сделать,
поскольку {фу = бу. Координаты
Ф, = Ф* + Ь<(Л, /„) (26)
на каждой поверхности уровня Л = ..., /п = ап совпадут с вы-
бранными ранее углами ф,- с точностью до сдвига. Матрица ско-
бок Пуассона имеет вид
{tfi, $Д = {фу ф;)=0, {фу 5;) = бу, (27)
гамильтониан Н = Д имеет вид
Я = Ш, ..., 5п), (28)
а форма й имеет вид й = 2 Л ^фа-
5. Примеры. Уже ранее (см. § 32 части I) мы сталкивались
с примерами ситуации, указанной в теореме Лиувилля.
1. Системы с одной степенью свободы. Пусть поверхность
уровня Я (я, р) = Е компактна (рис. 154). Тогда мы имеем кано-
43*
676
ГЛ. 7. ПРИМЕРЫ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ И СЛОЕНИЙ
[Ч. II
нические координаты («действие — угол»)
s (Е) = р dx, ф, Q = ds Д d(p,
Н==Е
H = H(s). (29)
2. Частица в сферически симметричном потенциальном поле
Я(г), Г=Ы, х2 == у, х3 = z (см. § 32 части I). Имеем
три интеграла:
А = я, f2 = Mz1
/3 = М2^2Ш (30)
Проверьте, что {/,, /Д = 0.
3. Геодезические на поверхности вращения (вокруг оси z) —
см, § 31 части I. Имеем два интеграла:
fl = Н = -i- gijvVi xl = r, x2=q>, f2=p<t>=M. (31)
Следствиями этих законов сохранения были, например, теорема
Клеро и полная интегрируемость геодезического потока.
4. Рассмотрим более общие лагранжианы, обладающие высо-
кой симметрией. Уже раньше, в
части I (см. § 29), были найде-
ны геодезические на сфере и
плоскости Лобачевского. Другие
примеры сферически симметрич-
ных лагранжианов дают реляти-
вистские задачи: а) движение за-
ряженной частицы в центральном
поле сил с потенциалом а/г в
специальной теории относитель-
ности (СТО); б) движение мас-
сивной пробной частицы в гра-
витационном поле Шварцшильда
(см. § 39 части I) в общей тео-
рии относительности (ОТО).
а) В трехмерном формализме
с лагранжианом при изложении СТО мы для движения ча-
стицы в потенциальном поле будем иметь следующий лагран-
жиан (см. § 32 части I):
/ 2 \ 1/2
Т о | л № \ ОС
L — me2 1----------г----------
\ с2 / г
(32)
В этом случае гамильтониан частицы имеет вид (см. §§ 32, 39
части I)
Н (р) = с Ур2 + т2с2 + -2-, (33)
где р — трехмерный импульс (рп р2, Рз).
Ч. II]
§ 28. ГАМИЛЬТОНОВЫ СИСТЕМЫ НА МНОГООБРАЗИЯХ
677
Движение в силу сохранения полного момента является пло-
ским. Пусть оно происходит в плоскости {х, у) с координата-
МИ (г, <р).
Пусть М = Тогда (см. § 32 части I)
2 2 , М2 ( .
Р = Рг + —, Р = (Рг, Р<р),
—----------- (34)
ТТ / 2 I -^7 | Q Q (X ,
Н = к = су pr 4—2 + т2с* 4- — = const.
В случае притяжения а < 0. Если Мс > |а|, то из (34) вид-
но, что падение на центр невозможно, как и в классической ме-
ханике. Если Мс< |al, то падение на центр возможно.
Для точного решения сферически симметричных плоских за-
дач технически удобно воспользоваться уравнением Гамильто-
на — Якоби (см. § 35 части I). Пусть Ра = Н = — Рас-
смотрим уравнение Е = Н(х^ р) в виде
<35>
В координатах (г, ф) ищем решение уравнения (35) в виде
5== -Д + Л/ф + /(г), / = /(г, М, Е). (36)
Интегральная траектория г(ф) определится уравнением = const.
Для гамильтониана (34)
Н = ~1н=с]/ +v + m с + у• (37)
Для 5 = — Et 4* 2Иф + /(г, М, Е) имеем окончательно
S = - £7 + м<р + J |/(38)
Траектория г(ф) имеет вид
+ =const- (39)
Зависимость от времени определяется из уравнения — const.
Задачи. 1. Докажите, что при а<0 и Мс< lai решения
представляют собой спирали с радиусом г, достигающим нуля
за конечное время.
2, Пусть а < 0 и Е < тс2. Покажите, что траектории, вообще
говоря, не замкнуты. Найдите поправку к движению по эллип-
сам в классической механике.
44 Б. А. Дубровин и др.
673
ГЛ. 7. ПРИМЕРЫ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ И СЛОЕНИЙ
(Ч. II
б) Рассмотрим теперь задачу о движении частиц ненулевой
массы т>0 в метрике Шварцшильда (см. § 39 части I). В ко-
ординатах t, г, 0, ф имеем при г > а
ds2 = (1 — c2dt2------------------------ dr2 — г2 (de2 + sin2 0 dtp2). (40)
Гамильтониан имеет вид
H = -^gabpapbt а, b — 0, 1,2,3. (41)
Далее gw = (g00) 1=^1 —, g” = (grr)~l = 1 —. Движение
плоское. Поэтому можно положить 0 =-у. В координатах t, г, фг
= ct получим для уравнения Гамильтона — Якоби
dS ds
дха дхь
gab = const =
Константа в правой части может быть отождествлена с величи-
ной тп2с2, так как (42) есть уравнение массовой поверхности. Как
и в случае а), ищем действие S в виде
S = —Et + Mq + f(r, М, Е).
Функции r(t) и г(ф) определятся из уравнений
dS + dS
= const, syr = const.
оЕ дм
Подставляя вид (43) в уравнение (42), найдем траекторию:
Величина Е = срй может быть отождествлена с энергией частицы
(Е>тсг).
Замечание. Устремляя в формуле (44) т к нулю, можно
получить движение частиц нулевой массы — например, световых
лучей в метрике Шварцшильда.
Зависимость г от t описывается уравнением
<ГИ1/2’ т=^0’ <45>
где U (г)=тс2
м2 \
т2с2г2)
1/а
Величина U(г) называется
1 +
ч. П]
§ 29. СЛОЕНИЯ
679
«эффективным потенциалом» при заданном моменте М. Условие
V(r)^E определяет при заданных М и Е допустимые области
движения (по г). График имеет вид, указанный на рис. 155.
Мы видим, что потенциал U (г) может иметь максимум при
величинах г (порядка) 2а, в зависимости от М. При г-* имеем
С7(г)-*1. Из рис. 155 видна, в частности, возможность «захвата»
частиц гравитационным полем, т. е. движение r(i), где г(—<»)==
«= оо и г(+°°) конечно.
§ 29. Слоения
1. Основные определения. Определение 1. 1) к-мерным
распределением на n-мерном многообразии М называется гладкое
поле A-мерных касательных* направлений, т. е. функция, относя*
щая каждой точке х^М линейное A-мерное подпространство ка-
сательного пространства ТХМ. 2) Распределение называется ин-
тегрируемым, если через любую точку многообразия М проходит
A-мерная интегральная поверхность, которая касается распреде-
ления в каждой своей точке. 3) Говорят, что на многообразии М
задано слоение (размерности А), если многообразие М «расслое-
но» на A-мерные поверхности; это означает, что через каждую
точку многообразия М проходит одна (и только одна) гладкая
A-мерная поверхность, гладко (или непрерывно) зависящая от
точки многообразия. Эти поверхности называются слоями слое-
ния. Требуется, чтобы локально в -многообразии около любой
точки можно было ввести тадие координаты х1, х\ у', .
44а*
680 ГЛ. 7. ПРИМЕРЫ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ И СЛОЕНИЙ [Ч. II
• •Уп~\ что поверхности уровня у1 — уп~к = an_h задают
слои слоения в этой окрестности, аж1,,.., хк — локальные коор-
динаты на слоях слоения.
Слоения задаются интегрируемыми распределениями.
Пример 1. Одномерное распределение, которое уже встре-
чалось выше, задается не обращающимся в нуль векторным полем
или полем направлений. Одномерное гладкое распределение всег-
да интегрируемо в силу локальной теоремы существования и
единственности решений обыкновенных дифференциальных урав-
нений. Таким образом, одномерное распределение всегда порож-
дает слоение.
Пример 2. Пусть на n-мерном комплексном многообразии
задано комплексное векторное поле (или поле одномерных комп-
лексных направлений). В голоморфном случае, как и выше, это
распределение всегда интегрируемо и порождает одномерное
комплексное слоение. Рассмотрим, например, случай п == 2 и ком-
плексное уравнение
div Q (z, w?)*J ' '
где P и Q — многочлены степени m. Распределение Q dz~P dw=*
== 0 порождает одномерное комплексное слоение на С2. Более
того, производя подстановку
получим одномерное комплексное слоение на многообразии
СР313 С3», задаваемой формой со = Q dz — Р div (см. § 27 дляЕР3).
Точки, в которых Р =* Q = 0, являются особыми для слоения
(т. е. слоение задано фактически в дополнение к множеству
этих точек).
Задача. Найдите особые точки на бесконечности.
Интересно исследовать поведение слоев комплексного слоения
около невырожденной особой точки. Имеем
dz « P(z, w)dt, z = Pt
(2)
div — Q(z, w)dt, w = Q.
Рассмотрим особую точку P = 0, Q — 0. Пусть особой является
точка z = w = 0, и пусть линейная часть
z =* az + W +...;
(3),
га == cz + dw +..,
невырождена, т. е. ad — be 0. В случае общего положения соб-
ственные значения различны, и мы можем линейной заменой
ч. П1
§ 29. СЛОЕНИЯ
681
привести систему к виду
z — X^z +. .
w = Kw +.. *
Пусть X == Исследуем чисто линейную
(4)'
СЗ z
системУ = “
Получим общее решение вида z == а также два слоя A (z = 0);
и В(н? = О). Удалив особую точку (0, 0), получим неособое слое-
ние в области С2\0. Слои А и В неодносвязны (оба они имеют
топологию С\0).
Задача. Пусть и у2 е Л1 (В) — образующие. По-
кажите, что оба элемента Yi и у2 являются предельными циклами
слоения. Вычислите представление голономии
Yi BVi
(определения см. ниже в этом параграфе).
Замечание. Вопрос о приводимости системы (3) к чисто
линейному виду комплексно аналитической заменой координат
около особой точки (0, 0) более сложен и мы здесь его не об-
суждаем.
Пример 3. Пусть имеется косое произведение (расслоение)1'
с базой М, группой G, слоем F, пространством Е и проекцией
р: Е М. Связность в косом произведении задавалась как се-
мейство «горизонтальных» площадок R71 (г/) в каждой точке у Е
(см. § 24).
Задача. Проверьте, что распределение горизонтальных пло-
щадок в Е интегрируемо (т. е. порождает n-мерное слоение)
в том и только в том случае, если тензор кривизны связности
тождественно равен нулю (см. условие интегрируемости ниже).
Если связность порождает интегрируемое распределение, то
каждый слой W этого слоения локально изоморфно проектирует-
ся на базу. Таким образом, слои этого слоения — просто накры-
тия над М. Группа моподромии этого накрытия называется в дан-
ном случае «дискретной группой голономий»; см. § 19. Если база
М односвязна, то слои W изоморфны многообразию М глобально.
Критерии интегрируемости /f-мерного распределения, напри-
мер, таковы.
1-я формулировка. Запишем локально задачу об интег-
рировании ^-мерного распределения в виде
у), a = l,...,n — kt Р = 1,. ..,к,- (5)
ОХ1
(«уравнения Пфаффа»).
Если слоение интегрируемо, то Л-мерные слои (локально) изо-
682
ГЛ. 7. ПРИМЕРЫ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ И СЛОЕНИЙ
(Ч. II
бражаются вектор-функциями
г/а(я1, ..., xk), а = 1, ..., п — к,
где х\ ..., х\ у\ ..., уп~к — локальные координаты на многооб-
разии М. Условие интегрируемости вытекает из условия
о2 (X о о
2-я формулировка. Рассмотрим два любых векторных
поля ц, касательных к /с-мерному распределению в каждой
точке. Если слоение интегрируемо, то коммутатор [§, ц] тоже дол-
жен касаться распределения. Это условие оказывается также
до-статочным (мы не доказываем достаточности сформулирован-
ных условий; их необходимость очевидна; проверьте!).
Задача. Докажите эквивалентность 1-й и 2-й формулировок
условия интегрируемости.
Рассмотрим теперь другой особый случай слоений на «-мер-
ных многообразиях — слоений, имеющих размерность слоев к —
= п— 1 («слоения коразмерности 1»). Локально такое слоение
задается 1-формой (или уравнением Пфаффа)
со -Л(я)^ = 0; (7)’
в неособой точке функции не все равны нулю. Если форма
со замкнута, то распределение (7) интегрируемо. Действительно,
локально имеем со = dH и уровни Н = const задают слоение. Ес-
ли f(x) — всюду ненулевая функция («интегрирующий множи-
тель») и форма f(x) со замкнута, то распределение также интег-
рируемо. В самом деле, уравнение Пфаффа /(я)со = 0 эквива-
лентно со = 0, так как / 0.
Замечание. Более общо, можно сказать, что слоение ко-
размерности 1 задается в каждой окрестности Uj из некоторого
покрытия многообразия М уравнением со3 =0 вида (7), а в пере-
сечениях г П Uj имеем /<3 (^)сО( = coj, где 0.
Далее, заметим, что если с?(/со) = 0, тос/со =
yj Д со. Отсю-
да мы имеем два вывода: 1) с/со делится на со; 2) со Д с/со = 0.
Задача. Докажите, что условие интегрируемости (неособого)
распределения со == 0 эквивалентно любому из условий:
1) с/со делится на со;
2) со Д с/со = 0.
В трехмерном пространстве IR3 форма со записывается как
ковекторное поле Р = (Ра) и dco — как rot Р; условие 2) приоб-
ретает вид
<Р, rot РУ = 0.
(8)
2. Примеры слоений коразмерности 1. 1. Пусть на компактном
многообразии М задана замкнутая форма со, с/со — 0. Уравнение
ч. II]
§ 29. СЛОЕНИЯ
683
<0 = 0 задает слоение коразмерности 1. Рассмотрим базис одно-
мерных циклов ..., zq из группы ffi (М) = ЯУТогз, где Tors —
кручение. Форма со определяет набор «периодов»
<|) со — aj, j = 1, ..q.
Ч
р
Конечно, на универсальной накрывающей М М, лДЛ/)^!,
форма р*(со) является точной:
?*(«) = df. (9)
Имеется, однако, меньшая накрывающая р±: М, уже на
которой форма р* (w) является точной. Пусть Л^лДТЙ)—мак-
симальная подгруппа группы Л1 такая, что для любого z е А
^<о = 0. (10)
Z
Очевидно, А содержит коммутант группы л^ в частности, А —
нормальный делитель. Рассмотрим такое накрытие р^ -+ М,
что
(MJ - р^ (Мх) - А с лх (М) (11)
(см. § 19). Такое накрытие имеет группу монодромии
В = oTti (М) = Л! (М)/А. (12)
Очевидно, что форма р* (со) на М± имеет нулевые периоды.
Поэтому Pi (со) — dg, где g — числовая функция на Имеем
X
g(x) = j Р1(ы). (13)
«о
Интеграл берется по любому пути на соединяющему точки
а:0 и х, и не зависит от пути. Таким образом, исходное слоение
на М после поднятия распределения на накрытие становится се-
мейством поверхностей уровня функции g(x), причем группа
монодромии накрытия свободная абелева.
Примеры. 1. а) Пусть М — тор Тп с угловыми коорди-
натами ф1, ..., фп, 0 ф; < 2л. Рассмотрим форму
со = 6,йф\ bi = const. (14)
Задача. Покажите, что минимальное накрытие рс.
для которого pito-^dg, имеет группу монодромии Z + ... + Z,
где число слагаемых равно рангу набора ..., Ъп) над полем
Q рациональных чисел.
б) Пусть М — компактная риманова поверхность (одномерное
комплексное многообразие) и со— голоморфный дифференциал,
684
ГЛ. 7. ПРИМЕРЫ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ И СЛОЕНИЙ
[Ч. II
имеющий локально вид co = f(z)dz, где f(z)—аналитическая
функция (без полюсов). Рассмотрим дифференциал Ве со, где
локально
Re со = Re(f(z)dz) = Re (и + iv) (dx + i dy) (15)
(2 = ^ + zy, / = u + it>). Уравнение Re co = 0 задает одномерное
слоение на М.
Задача. Докажите, что особые точки этого одномерного
слоения, если они невырождены, все являются седлами, и их
число равно эйлеровой характеристике многообразия М, Иссле-
дуйте интегральные траектории этого одномерного слоения на
гиперэллиптических римановых поверхностях вида
27t
И)2 == P2n_^i (z) = U (z Za), Za =£= 2р. (16)
а=0
Голоморфные дифференциалы со (без полюсов) па этом многооб-
разии имеют вид
со — , . ,
V ^2п+1
где степень полинома Q не превышает п — 1. Покажите, что для
почти всех наборов (zu) и почти всех форм со вида (17) найдется
всюду плотная на М интегральная траектория. Исследуйте слое-
ния, задаваемые формами, имеющими полюса, т. е. формами вида
(17), у которых Q — рациональная функция. Какие особые точки
отвечают полюсам формы со?
2. Более сложные слоения, которые становятся семействами
поверхностей уровня функции на некоторой (но уже неабелевой)
накрывающей, мы фактически уже строили выше. Рассмотрим
пространство единичных линейных элементов Т над компактной
поверхностью М J с метрикой постоянной отрицательной гауссо-
вой кривизны. В связи с геодезическими потоками определялись
два слоения (двумерных) /?+ и R~ на Т. Слои слоения /?+ состоя-
ли из геодезических, асимптотически сближающихся друг с дру-
гом при t +оо (для /?_ — при t —оо). Пересечение /?+ П —
одна геодезическая. На универсальной накрывающей над
которая есть плоскость Лобачевского L2, слои R+ состоят из гео-
дезических, входящих в одну точку абсолюта при t -* +оо (см.
рис. 154). Для Т соответствующая накрывающая Т\-+Т не
универсальна — это пространство единичных линейных элемен-
тов над L2, стягивающееся к слою S1. Поэтому лДГ1)I=Z.
Задача. Покажите, используя информацию о замкнутых
геодезических, что слоение /?+ (или R-) является семейством
поверхностей уровня числовой функции только на таких накры-
вающих р2: Т2 Т, что Т2 накрывает [Напомним структуру
группы лДТ). В ней имеются образующие ..., а8, Ь1у ..., b8y
Ч. П]
§ 29. СЛОЕНИЯ
685
т и соотношения
g
Ц aifeia~1b~1= т2~2«, ад = тай. (18}
i—1
(см. § 24). Группа монодромии накрытия 2\ -> Т совпадает с
группой (Л/g) = (Т)/(т). Это — неабелева группа,]
Слоения 7?+ и 7?_ не имеют особых точек. Слои могут иметь
разную топологию: очевидно, что слой /?+ стягивается к геоде-
зической у при £->+«>. Поэтому R+ ж R2,; если геодезическая у
непериодична, ий+^S1 X R1, если она периодична. (Периодиче-
ских траекторий при этом лишь счетное множество, как и клас-
сов сопряженности в л1(Л/^).)
Замечание. Наличие пары слоений Н+ и 7?_ с указанными
выше свойствами является характерным для геодезических пото-
ков на компактных пространствах отрицательной кривизны и не-
которых других. Это свойство является чрезвычайно важным в
качественной теории динамических систем; оно приводит к ряду
замечательных следствий, которые мы здесь не обсуждаем.
Рис. 156
3. Укажем геометрически простой пример двумерного слоения
(Риба) в заполненном торе D2 X S1, у которого граничный тор
Т2 = d(D2 X S1) является целым слоем. Рассмотрим цилиндриче-
скую область U с= [R3: — об < х < оо, у2 + z2 1, U = D2 х К1
(рис. 156). Слои, лежащие внутри цилиндра, получаются друг
из друга сдвигом х -> х + а, где а — любое число. Граница также
есть слой. Слои инвариантны также относительно преобразования
у -> -у, z -> -z,
х -> х.
Слоение получается из рис. 156 вращением в плоскости (у, z}
вокруг оси х. Производя отождествление (х, у, z)~(# + 1, у, z)r
получим слоение Риба в D2 X S1. Так как граница d(D2 X 51)
есть слой — тор Т2, то можно из двух слоений Риба построить
слоение на сфере
S3-(Z)2XS1)U(S1XZ)2),
склеивая их по границе.
€86
ГЛ. 7. ПРИМЕРЫ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ И СЛОЕНИИ
(Ч. П
Укажем важные топологические инварианты слоения — ^пре-
дельные циклы» и «исчезающие циклы». Рассмотрим слой W
А'-мерного слоения на компактном n-мерном многообразии М,
точку х0 е W и элемент у группы ^(РИ, х0), представленный
гладкой замкнутой кривой у на слое. В каждой точке х е у по-
строим трансверсальный к W диск гладко зависящий от
Предельный цикл
а
Непредельный цикл
5
Рис. 157
точки х (рис. 157 для k~n — 1). Пересечения близких слоев Wv
с семейством дисков D^~h представляют собой кривые, дающие
отображения «переноса вдоль у»,
Я?: Dn~k-+Dn~\ (19)
Легко видеть, что отображение 7?т не меняется при деформации
семейства дисков D2~k и деформации кривой у, где точка х9
неподвижна (размер дреков мал). Возникает отображение у 7?v
группы я0) в группу «ростков преобразований» трансвер-
сального диска в себя, определенных в достаточно малой
окрестности нуля, размер которой несуществен. Представление
у^ Ry называется «группой голономии» слоения на слое W.
Если уелДТЕ) таково, что 7?т=#1, то у называется предельным
циклом слоения. В особом случае к =* п — 1 имеем отрезок
Dx~h =»7; точка xQ =* 0 разделяет отрезок 7 на две части. Поэтому
здесь для гладких слоений возможны две ситуации (рис. 158).
В случае а) цикл у называется двусторонним предельным
циклом слоения. В случае б) цикл у называется «односторонним»
предельным циклом. Так как гладкость отображений 7?т опреде-
ляется гладкостью слоения, то в аналитических слоениях кораз-
мерности 1 случай б) невозможен.
В примерах слоений выше мы имели следующие ситуации
(проверьте!):
1) если неособое слоение задано замкнутой формой dca — O,
<й = 0, то предельных циклов оно не имеет;
2) для слоений R+ и /?_ (на пространстве Т линейных эле-
ментов компактной поверхности) неодносвязные слои бывают
лишь с (FK) — Z; при этом» образующая группы (FK) = Z есть
двусторонний предельный цикл слоения 7?±;
ч. ш
§ 29. СЛОЕНИЯ
687
3) для слоения Риба в заполненном торе D2, X 51 на граничном
торе Г2 имеется Hi (Z12) = Z ® Z с образующими и у2 (см.
рис. 156); "образующая есть предельный цикл «изнутри» за-
полненного тора; образующая *у2 не является предельным циклом
«изнутри» области.
Для всех
близких к точке 0
яо=О9 имеем:
Ру (X) 3}
й
Ру (х)*х для х>09
Ру(х)^х для х^09
х—точка отрезка
б
Рис. 158
Для слоения на сфере S3 — (D2 X S1) U (S'1 XZT')’, полученного
склейкой двух слоений Риба, оба цикла и *у2 на торе Т2 яв-
ляются «односторонними предельными циклами». Таким образом,
склейка этих двух слоений не может быть аналитической (хотя
и может быть бесконечно дифференцируемой). Если элемент
7^Л1(1Р) не является предельным циклом (т. е. если /?т=1),
то его можно «сдвинуть» на достаточно близкие слои — он оста-
нется замкнутой кривой на близких слоях. (Если k = п — 1, то
достаточно, чтобы у не был предельным циклом с одной стороны,
и, его можно сдвинуть в эту сторону.)
Определение 2. Элемент у^Л1(ГТ) называется исчезаю-
щим циклом слоения, если сдвиг на любой достаточно близкий
слой делает его гомотопным нулю на этом слое, в то время как
7=^1 в Л1 (Ж).
Например, для слоения Риба (см. рис. 156) имеем W = Г2.
Элемент у2 можно сдвинуть на слои внутрь области D2 X S1 и
сдвиг будет гомотопен нулю на всех близких слоях (все близкие
слои диффеоморфны R2).
Замечание. Известны следующие факты: а) любое гладкое
слоение коразмерности 1 на S3 имеет односторонний предельный
цикл и поэтому неаналитично, б) Любое гладкое слоение кораз-
мерности 1 на S3 имеет замкнутый слой, диффеоморфный Т2 и
ограничивающий область D2 X 51 со слоением Риба. в) Если уни-
версальная накрывающая М трехмерного многообразия М нестя-
688
ГЛ. 7. ПРИМЕРЫ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ И СЛОЕНИЙ
[Ч. II
гиваема и не диффеоморфна S2 X R, то любое слоение коразмер-
ности 1 на М имеет нетривиальные исчезающие циклы, г) Если
слоение коразмерности 1 на трехмерном многообразии М не име-
ет предельных циклов, то найдется абелева накрывающая
М такая, что Mr = W X R1^) и слои слоения на — это
поверхности х = const. Таким образом, М = Ж х R/Z Ф ... ф Z.
Топологически эти слоения устроены так же, как слоения, зада-
ваемые замкнутой невырожденной 1-формой (см. выше). Этих
фактов мы не доказываем.
§ 30. Вариационные задачи с высшими производными.
Гамильтоновы полевые системы
1. Гамильтонов формализм задач с высшими производными.
На любом многообразии в принципе может быть поставлена ва-
риационная задача отыскания экстремумов величины S = j Ldt,
где лагранжиан L является скалярной функцией не только ско-
рости v — х, но и высших производных по времени: локально,
в области координат ж1, ..., хп будем иметь L = L(x, х, х, ...
a dqxa
..., х‘т}). Пусть vq = ——. Следующая лемма показывает, что в
dt4
этой ситуации также возникает уравнение Эйлера — Лагранжа.
Лемма 1. Уравнение 6S = 0 эквивалентно следующему урав-
нению Эйлера —. Лагранжа;
Доказательство леммы производится обычным интегрированием
по частям. Имеем
Здесь предполагается, что вариация 6za(£) бесконечно диффе-
ренцируема и обращается в нуль вне избранной малой окрестно-
сти. Далее по определению имеем
6^=~(6х“(0)- (3)
dt4
Интегрируя q раз по частям слагаемое с множителем &Vq (£)»•
получим
Ч. II] § зо. ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ G ВЫСШИМИ ПРОИЗВОДНЫМИ 689
65
(г)
Отсюда, как и в § 31 части I, ввиду произвольности вариаций
Ъха следует уравнение (1).
Лемма доказана.
называется вариационной
производной.
Замечание. Для лагранжианов в теории поля мы уже
встречали вариационный принцип Гильберта для уравнения Эйн-
штейна, в котором
S = §R V~gd*xt
и R зависит от полей gab(z) со вторыми производными. Однако
здесь вторые производные входили линейно. Можно избавиться
от них с помощью несущественных добавок под интегралом.
Кроме того, все другие лагранжианы, содержащие кривизну,
также содержали вторые производные. Например, лагранжианы,
имеющие тождественно нулевую вариационную производную,—
характеристические классы (см. § 42, часть I и § 25).
Таким образом, из уравнений (1) видно, что они, вообще
говоря, имеют порядок 2т, где т — число производных в L. Ока-
зывается, имеется некоторый аналог преобразования Лежандра,
в невырожденном случае приводящий систему к гамильтоновой
форме на пространстве размерности 2тп, где п — размерность
исходного многообразия М (теорема Остроградского). Имея в ви-
ду интересные приложения вариационных задач с производными
больших порядков, мы рассмотрим лишь случай п = 1, где мы
имеем дело с одной координатой и и ее производными и', .и(т}.
Независимую переменную (время) мы будем далее обозначать
через х, и = —. Рассмотрим лагранжиан на прямой
L = L(u, и, ..., u(m>). (5)
Введем переменные
Яг = и, Яъ=^ и', • • - > Ят = u^-V;
р = — — fY + 4- (— l)m~2 ( ¥m~2) /g\
du* [du") ••• WTn7 w w
— dL
Pm ~
Пусть
H(p, q) = L-u'pi-u''pi-...-a(m'pm. (7)
690
ГЛ. 7. ПРИМЕРЫ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ И СЛОЕНИЙ
(Ч. 1Г
Определение 1. Лагранжиан Ци, и', и(т}) называет-
ся невырожденным, если уравнения (6) могут быть однозначно
разрешены в виде
и = и(р, q), и = u'(p, д), ..и*2”1-1’ = и*2”1-11 (р,
Лемма 2. Если лагранжиан L имеет вид
L == а(и{т})2 + Е(и. и, и0"-1’)', (8)
то он невырожден.
Доказательство. Очевидно, что последнее из уравнений
(6) в данном случае однозначно разрешимо в виде
рт = 2аи{т},
Для рт-! имеем
/’т-1 = ди^-^ ~ \9и<т)) = дг/”1-1) ~~Рт = 5и(т-1) — аи • ( )
Заметим, что u(a) = ga+1, а — 0, ..., т — 1. Поэтому pm-i = f(qh ...
**', Qm)“2au(m+1) или u(m+1) =pm_i/2a+f(gb ..qm). Очевидно,
что так мы решим рекуррентно всю систему (6). Лемма доказана.
Наконец, имеет место
Теорема 1 (Остроградский). Для невырожденных лагран-
жианов уравнение Эйлера — Лагранжа эквивалентно системе Га-
мильтона
Яа = —, Ра —--------* а=1, (10)
дРа дЧа
где Н(р, q)= L — u'pt — и "рг —... — u<m)pm.
Доказательство для простоты вычислений дадим в случае
тп = 2. Пусть L = L(u, и', и"). Уравнение Эйлера — Лагранжа
имеет вид
dL d dL d2 dL _______ ~ ..
'dilh? + = U'
Канонические переменные таковы:
Qj == u. q2 и „
ar н ar ar <12>
u Lt d и Lj О Lt
du1 dx du,n du!1*
Потребуем, чтобы из последнего уравнения можно было выразить
и” в виде
и" =/(?!, 9г, Рг)
(условие невырожденности лагранжиана). Гамильтониан имеет
вид
Н = Pju' + p2u’ — L (ux и”) = р& + p2q2 — L (gn q2, q'2) =
= Pi<h + ф (?n ?2. Рг^
Ж nJ 6 30. ВАРИАЦИОННЫЕ задачи с высшими ПРОИЗВОДНЫМИ 691
Из формул (12), очевидно, имеем
дН ' „ ЭН
q1 — u—g2 — dp^ q2 — u—-^-f
>___±(д£_\ дН
dx J = *** эи' = ддг '
dpA dL f
Из (И) следует, что-^ = ^; поэтому рг ==
дН
и мы полу-
чаем гамильтонову систему (10) в фазовом пространстве с ко-
ординатами gt, д2, Теорема доказана.
2. Примеры. Пусть S’ = — ^ + и (х) — оператор Штурма —
Лйувилля с гладким потенциалом и(х), Особенный интерес пред-
ставляют случаи:
/ 00
а)и(ж)->0 при |а:|оо (если J |u(x)| (1 + [x|)dx< оог
\ —оо
то этот потенциал называют быстр оу бывающим);
б) u(x+T)=u(x) (периодический потенциал}.
Рассмотрим пока чисто формально дифференциальное урав-
нение
S’lp^Xip, гр = гр (х, X),
(13>
где X — «спектральный параметр». Уравнение (13) при замене-
/ а \ . d In ib
Х(хЛ X) — — г ~~н приводится к виду Риккати:
*х' + ха = А- - и-
(14}
Пусть X = кг. При X-* оо уравнение (14) имеет решение в виде
формального ряда по переменной УХ — к:
Х(*,
к) = к +
у М1)
ntl
(15>
Подставляя (15) в уравнение Риккати (14), мы увидим еле*
дующее:
а) все Хп(^) являются многочленами от и, и', и", ..., utk>
с постоянными коэффициентами;
б) все являются полными производными и чисто мни-
мы; это отражает тот факт, вытекающий из уравнения Риккати
(14), что
Xlm= — у (1П Хне)',: (16)
где X = Хк« + fXlm;
€92
ГЛ. 7, ПРИМЕРЫ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ И СЛОЕНИЙ
[Ч. II
в) первые из полиномов x2m+i(^) с точностью до полных про-
изводных и несущественных множителей имеют вид
Xi (я) = и (х) + /i, Хз (х) = и2 + f'3t
Х6 (*) = + /5,
X? (*) = U— — у и*и" + 4 +
Введем лагранжианы
Lq (и, и', и, ...) = х29+3 (х) + fzq+3- (18)
Можно показать, что все лагранжианы Lq невырождены. Изучим
лагранжианы Лд = х2д+з(и, и', и", ...) при q < 2. Эти лагран-
жианы обладают замечательным свойством: для каждого числа
q > 0 найдется дифференциальный оператор Ад порядка 2q + 1,
коэффициентами которого служат полиномы от u, и', и", . ..
(с постоянными коэффициентами), такой, что коммутатор [S’,
Л q] = 3?Ад — Aq3? есть оператор умножения на скалярную функ-
цию /д(и, и', и", ,,.):
[S’, Aq] = fq (и, и , и , . . . ) = {х} ’ = У (^)
Мы не доказываем здесь эти факты в общем виде. При q =
— О, 1, 2 они проверяются прямым вычислением, которое приво-
дит к следующим результатам:
d
[S’, Ло] = 3?А0 A^Z = fG = и = -^
$о= J* T dx' А° — аР
я 65
IS-, л j - гл, - л,г - л - Вии' - - А 55^,
IS-, л,|_гл,-л,г-/,-^й^5,
Sa = j Lzdx = j (-т;-u2u + у u4 J dx,
4 = 16-^ - 20 (u —3 + u) + ЗОи^-и + 5(u"f + /-A
2' l дх3 дх3 I dz 1 \ dz 1 dx )
Таким образом, можно составить «уравнение коммутативности»:
[^, Aq + +. •.+ Мо] = 0- (20)
Я. II] § 30. ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ С ВЫСШИМИ ПРОИЗВОДНЫМИ 693
Еще в 20-х гг. было открыто любопытное свойство коммутирую-
щей пары операторов: они связаны алгебраическим соотношением
R(S\ Л) = 0, определяющим некоторую риманову поверхность.
Уравнение коммутативности является лагранжевым (это — совре-
менное наблюдение):
° = ^>
= J
(21)
п
S = Sq + 2 ciSq—i.
Окончательно имеем уравнение коммутативности в виде
= о, где S = Sq + CjSq-i + . . . + CqS0 + Cq+iS-i,
причем S_x = —J и dx. Исследуем это уравнение при q ^2. Здесь-
лагранжиан L зависит от и, и', и": L — L(u, и'9 и"). Итак, име-
ем лагранжианы
(A) L = Lq + CiL-t = и2 + Cju;
/2
(Б) L = + с2Л_! = у + и3 + с±и2 + с2и;
(В) L = L2 + + c2Lq + с3А_1 =
„^2 г г / „'2 \
= ~2--4 и" и2 + -2 и4 + сх + и3 j + c2u2 + c3u.
Уравнение коммутативности
-А-Сг^ = 0 (22)
Ou (х) J ' 7
принимает следующий вид:
с
(А) и = — у, если 7 = 0,
(Б) и” = 3u2 + 2cjU + с2 = — — V = и3 + С1Ц2 + сги
или
^-^=1^=4— <23>
J У u3 + c1u24-c2u + d
(удвоенная эллиптическая функция Вейерштрасса 2$ (я)), если
7 = 1. Делая замену и и + const, мы без ограничения общности
можем считать Ci = 0.
(В) При 7 = 2 систему удобно записать в гамильтоновой фор-
ме, следуя (6) и (7):
Я (р, 7) = L - и pi -и" р2- ... - u(m)pm, (24)
он • дН
Р ” ^а’ q ~ дРа
694
ГЛ. 7. ПРИМЕРЫ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ И СЛОЕНИЙ
(Ч. II
Для интегрирования необходим еще один интеграл. Оказывается,
в уравнениях коммутативности (21) имеется весьма интересная
«скрытая симметрия», приводящая к полной интегрируемости.
3. Гамильтонов формализм полевых систем. При отсутствии
диссипации энергии и термодинамической необратимости физиче-
ские системы являются «консервативными». Современные пред-
ставления о физически осмысленных системах состоят в том,
что консервативные системы должны быть гамильтоновы. Однако,
как показывают примеры, гамильтонов формализм может быть
нетривиальным, не сводящимся к лагранжеву формализму. Да-
дим здесь некоторые сведения о теоретико-полевом гамильтоно-
вом формализме. В его основе, как и в конечномерном случае,
лежит важное понятие «скобки Пуассона». Рассмотрим далее
функциональные пространства, состоящие из С“-гладких функ-
ций и’(х\ ..., я71) от п переменных, не уточняя их области оп-
ределения и граничных условий. При этом будем использовать
такое соглашение, что интеграл по всему пространству j (. .,)/х
от полной производной (полной дивергенции) всегда равен нулю
в этом формальном исчислении, так как мы не обсуждаем гра-
ничных условий и все вариации финитны.
Скобка Пуассона определяется для функционалов от полей
и1, ..., ит. Однако, следуя принятому в теоретической физике
формализму, ее удобно записывать через «точечные функциона-
лы», сосредоточенные на одном из полей в одной точке. Фор-
мально определяем скобку Пуассона как операцию {,}, задавае-
мую формулой
{иг(гг), и’(у)} = Fij(x, у). (25)
где кроме обычных i, / имеются непрерывные индексы х, у. Скоб-
ка Пуассона должна быть линейна по каждому аргументу, дол-
жна обладать свойством Лейбница (28.7), быть кососимметрич-
ной и, наконец, удовлетворять тождеству Якоби (28.8) (см. § 28).
Напомним, что тождество Лейбница состоит в следующем:
{/g, М = fig, h) 4- g{/, h}. Пусть J = j P (w, Vu, ...) dnу — произ-
вольный функционал. Вычислим скобку Пуассона {и'(х), 7}. Вви-
ду линейности имеем
{«’• (х), J Р dny} = f к (х), Р (у)}<Гу,
(l? (х), V (у) 1 = ~к {и (х), V (у)}.
Пусть далее для упрощения обозначений в вычислениях рассмат-
ривается случай одного поля и и одной переменной х, хотя
это и не важно. Из свойства Лейбница вместе с линейностью
ч. II] § 30. ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ С ВЫСШИМИ ПРОИЗВОДНЫМИ 695
вытекает
(и (х), Р (у)} = {и (х), и (у)} (у) +
+ {и (х), и' (у)} U (у) + ... + (у) {и (х), UW (z/)h
Имеем
{и (х), Р (у)} = 2 № Th {“ <*)’ и &)}•
Ь>0 аи ау
Так как (fg)r = fg + fg\ окончательно получим
(u (z)t JPdy} = J {и (z), и (у)} 2 (- l)ft dyf
ИЛИ
{!? (z), J] = [ {!? (Z), Uh (I/)) dny. (26)
J 6uK (y)
Формула (26) верна для любого числа полей и любого числа
переменных. Доказательство полностью аналогично.
Из формулы (26) вытекает такая формула для скобки пары
функционалов J2:
{Ju J2} = f {u> (z), uh (t/)l dnxdny, (27)
J 6i?(s) oir (y)
где
6 J = f bid (z) dnx
J Ъи} (x)
(по определению все вариации 6uj(x) финитны) .
Определение 2. Скобка Пуассона (25) называется ло~
калънощ если она задана конечной суммой
{i/(z), и}(у)] = Fl}(x, У) = '2iBh$&{x — y},- (28)
й
где к = (&!, ..кп), kj> 0, 5х = djx = djdx}. Символ
п
6 (х — у) = Ц б (х* — уг) представляет собой обычную б-функ-
i=i
цию (ядро единичного оператора)
J / (z) б (z — у} dd х = f (y)f
J / (x) dhxb (z - y) dnx = (- l)hl+-+hn^/ (y).
Мы воспринимаем здесь все эти символы формально-алгебраиче-
ски, не обсуждая функциональных пространств. Набор коэффи*
€96
ГЛ. 7. ПРИМЕРЫ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ И СЛОЕНИЙ
ГЧ. II
циентов Bk должен зависеть от полей и только в точке х и от
конечного числа их производных в той же точке («принцип ло-
кальности»).
Обозначим через А дифференциальный оператор
h
тде сумма считается конечной. Из формулы (26) имеем
J) = [ {и* (х), и3 (у)] -^—dny =
J би’ (у)
= f (А? 6 (х — г/)) dnу =
J (у)
= f 6 (х — у) ( А* (Ру = (Л*)°
J \ Ъи(у)} » 3 Ьи,(у)
тде Л* — сопряженный оператор, (у(я)д3)* = — д^и(х)..,). Учи-
тывая косую симметрию скобки Пуассона /1*=-Л, получаем
= (29)
6uJ (z)
Аналогично для пары функционалов в силу (27) верна формула
{/1’ = (30>
J Ou (х) OuJ (х)
где интегрирование по у выполняется тривиально в силу свойств
^-функции. Проверка тождества Якоби для произвольной скобки
Пуассона вида (30), заданной матричным оператором А = (Лг’),
сложнее. Ясно, однако, что Для операторов Л, коэффициенты ко-
торых «постоянны» — т. е. не зависят от полей и и их произ-
водных (они могут явно зависеть от х),— тождество Якоби вы-
полнено. Это — буквальный аналог скобок Пуассона с постоян-
ными коэффициентами в конечномерном случае.
Простейшие примеры. Постоянные скобки.
1. Лагранжева скобка. Пусть заданы поля ..., рп, ql, ...
_.., qn со скобками
{Pi (*), Pi (у)} = W (*), ^(у)} = °» (31)
{?’ (Д Pj (у)] = 6}6(х — у).
Такая скобка Пуассона возникает из невырожденных функцио-
налов вида
5{?}=Ул(?,|р xdt>
{ ч 5Л Ч dqj
Piix)^-^ ^ = дГ-
dq J
ч Ш § 30. ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ С ВЫСШИМИ ПРОИЗВОДНЫМИ 697
Согласно формулам (6), (7) можно легко обобщить это и на
лагранжианы с производными больших порядков. Если взять
гамильтониан
Ро = ж = f T*dnx = У {p-qi - Л) dnx, (32)
то уравнения Эйлера — Лагранжа приобретут гамильтонов вид
(проверьте!)
69 w (33)
'№ =
Компоненты полного импульса
Ра = j f П Л = А [ Pi dnX (34)
с J с J дх
являются генераторами групп сдвигов по координатам ха, если
принять их за гамильтонианы (проверьте!).
2. Уравнение Кортевега— де Фриза (КдФ). Мы имеем одно
поле и(х) и скобку
{и(х), и(у)} = 5' (х-у). (35)
Эта скобка обладает «аннулятором» 70, т. е. таким функционалом,
что
{и(х), 70} = О, 70 — ^udx.
Импульс (генератор сдвигов по х) имеет вид
P = ^tPdx, {и(х),Р} = д£. (36)
Гамильтониан вида (37) порождает известное уравнение КдФ
— 3$ = J (-L и2х + и3 + — и*\ dx. (37)
Уравнение КдФ таково:
и (х) = {и (х), Ж} = — -A = 6““х ~ “жжж + CUx- @8)
Задача. Докажите, что все величины (17) порождают за-
коны сохранения для КдФ, т. е. для Sq = \ Lqdx в силу КдФ
имеем == 0. Докажите, что {5g, SJ = 0, Йз =* + eS0.
Как и в конечномерном гамильтоновом формализме (см. § 34
части I), основным нетривиальным свойством скобок Пуассона,
для которого нельзя обойтись без тождества Якоби (кроме осталь-
ных, более простых свойств), является следующее. Пусть име-
Б. А. Дубровин и др.
698 ГЛ. 7, ПРИМЕРЫ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ И СЛОЕНИИ Н. П
ются три функционала Jj, J2, Js — ^Ji, Л?* Они задают три га-
мильтоновых векторных поля («потоки») на функциональном
пространстве по формуле
= {!?(*), Ja], а = 1,2,3.
Тогда коммутатор первых двух потоков равен третьему. Если
{Ji, J2) = 0, то порожденные ими потоки коммутируют.
«Аннулятором» скобки Пуассона называют совокупность
функционалов, имеющих нулевую скобку с любым функциона-
лом. Невырожденные скобки не имеют нетривиального аину-
лятора.
Интересные примеры скобок Пуассона возникают в гидроди-
намике. Будем исходить из алгебры Ли Ln векторных полей в
R", состоящей из полей с нулевой дивергенцией:
Имеем (см. § 23 части I)
[у, ip]a —
где и = w ~ wxeu [еъ е;] — 0. На языке структурных констант
для набора компонент — полей ^(^), w3(y)—их коммутатор
таков:
[i>, ip] (z) = j j ckij (x, у, z) иг (x) ip’ (у} eh(Txdnyf (39)
поэтому
(X’ У’ z) = 81j8(x — z) 6; (x — y) — 6; 6 (y — z) 6;- (y — x). (40)
Сопряженное пространство имеет своими координатами поля
Рз(х), где выражения (скалярные произведения)
J pj (х) и3 (х) dnx (41)
не меняются при гладких заменах переменных х. Таким обра-
зом, величина р~(р^ .рп) с точки зрения теории тензоров
является плотностью ковектора, которая при заменах х(х') до-
полнительно умножается на якобиан J. Будем называть величи-
ну р плотностью импульса. Скобка Пуассона имеет вид
{pt С4, Pi О)} = J СУ U, У< Z) Ph (2) dnZ =
= рЛу)£>з(х — у) — РзМЫу — 02)
Сопряженное пространствоимеет вид фактора:
LQn = 2= d/p), (43)
так как для плотностей вида Рз = d/р имеем
J (^ф) в dnx = 0
Ч. II] § 30. ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ С ВЫСШИМИ ПРОИЗВОДНЫМИ 699
в силу условия djVj = 0 для и е . Уравнения гидродинамики
несжимаемой жидкости с плотностью р = const задаются гамиль-
тонианом
= (44)
на фазовом пространстве = О, при условии pi — рг/ в
евклидовой метрике. Эти уравнения пишут обычно на всем Ln
в виде системы
Pi = ру1 = р (у^л) Vi + у djpy2 + д,Р, (45)
djV' = О,
где Р — давление, определяемое из формулы (45).
Для сжимаемой жидкости следует рассмотреть расширение
алгебры Ln «внутренними переменными». На языке полей сле-
дует добавить новые полевые переменные — плотность массы р
и плотность энтропии $ — со скобками
{Pi(.r), р (г/)} = р (х) б{(z — у),-
{Pi(z), s(y)} = s(z)6i(z — у), (46)
{s (z), s (г/)} = {p (x), p (г/)} = {s (x), p (г/)} = 0.
Гамильтониан имеет вид (в евклидовом пространстве)
^ = + е0(р. s)^dnz, pVi = Pi.
j
Задачи. 1. Покажите, что {i>i (z), Vj (у)} = — — djVi)S(x —
“ uV
2. Рассмотрим подстановку («переменные Клебша»)
Pi = pdfip + sdttz
в размерности п = 2. Покажите, что скобки имеют вид (выписа-
ны все ненулевые)
(р(-г). Ф(у)} = {«(х), а(г/)1 = б(х- у).
Исследуйте вопрос о возможности глобального задания перемен-
ных Клебша.
3. Для п = 3 рассмотрим подстановку
Pi = рддр +
со скобками (выписаны ненулевые)
{рО)> Ф(у)} = Ь(*), а(у)} = {0(х), у (у)) = б(х- у).
Покажите, что эта скобка Пуассона согласована с (46). Иссле-
45*
700
ГЛ. 7. ПРИМЕРЫ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ II СЛОЕНИИ
[Ч. [I
дуйте «калибровочную группу» — неоднозначность введения пере-
менных Клебша р, ф, s, а, [3, у.
4. Пусть га = 3 и жидкость баротропна, т. е. е0 = Е0(р)т и в
изучаемых процессах энтропия исключается как полевая пере-
менная. Пусть = рд*ф + адф. Исследуйте возможность глобаль-
ного введения переменных Клебша р, ф, а, [3.
Для любого тензорного поля Т (х) можно ввести скобки Пуас-
сона {pt(z), Т(у)}, исходя из такого требования «вмороженно-
сти»: любой гамильтониан вида
Жо = J w1 (х) pi (х) dnx
порождает для поля Т (у) уравнение
Т(х)={Т(х),ЗЮ =LwT(x), (47)
где правая часть является производной Ли тензорного поля Т
вдоль поля w. Дополняя (47) требованием {Т(х), Т(у)}=0^ мы
получим расширение алгебры скобок Пуассона однозначным об-
разом. Особо интересный случай — это магнитное поле Т =
(замкнутая 2-форма в R3). Плотности массы и энтропии — это
3-формы в R3. Их отношение sp’1 — это скаляр в R3. Гамильтони-
ан (48) вместе с указанной скобкой порождает уравнения маг-
нитной гидродинамики, где поле «вморожено» в жидкость,
П_2 гг2 \
^ + en(p, + (48)
Рассмотренные здесь скобки Пуассона являются частным слу-
чаем более общих «дифференциально-геометрических» скобок.
Определение 3. Однородные дифференцильно-геометриче-
ские скобки для набора полей и\х)ь ..., ип(х) имеют вид
{и(х\ и3 (у)} = (и (х)) даЬ (х — у) 4- Ъг^а(и(х))иаЬ(х^ у),
(49)
где Ua “ dauk (х\ х = х\ ..., я™, а ~ 1, ..г, / = 1, ..., га.
Неоднородные дифференциально-геометрические скобки зада-
ются формулой
{иг (х), и3 (у)] =
= gi3,a> (и (х)) да& (я — у) + [ bl3'a (и (х)) Ua + сгз (и (х)) ] 6 (х — у\ (50)
Функционалами гидродинамического типа естественно называть
величины вида
= J h (и) dx
с плотностью, не зависящей от производных. Такие гамильтониа-
ны вместе со скобкой (49) порождают уравнения гид родинами-
Ч. II] § 30. ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ С ВЫСШИМИ ПРОИЗВОДНЫМИ 701
ческого типа
и = [и1 (х), (51)
Скобки (49), класс функционалов гидродинамического типа и
уравнения вида (51) инвариантны относительно локальных за-
мен переменных п = п(и), не содержащих производных.
Лемма 3. При локальных заменах и = и(и) все gi3'a
(при фиксированном а) преобразуются как тензоры типа (2,0)
в и-пространстве, а компоненты преобразуются как симво-
лы Кристоффеля bkia = £и’аГ^а, если gij'a невырождена.
Лемма легко следует из свойства Лейбница.
Рассмотрим более детально одномерный по х случай тп=1.
Пусть det gt3 =/= 0.
Теорема 2. Скобка Пуассона (49) обладает всеми свойства-
ми (включая тождество Якоби) тогда и только тогда, когда «мет-
рика» gij симметрична, связность согласована с этой метри-
кой и имеет нулевую кривизну и кручение.
Следствие. Скобки Пуассона вида (49) при тп = 1 опреде-
ляются одним инвариантом (локально) — сигнатурой метрики
gij = det gij =И= 0. Найдутся локальные координаты в и-про-
странстве такие, что gx3 const, bk = 0.
Доказательство этих фактов мы не приводим; оно требует
некоторых вычислений. Оказывается, гамильтоновость систем ви-
да (51) для тп => 1 вместе с «диагонализуемостью», т. е. приводи-
мостью матрицы а} (и) к диагональному виду в целой области,
достаточна для интегрируемости уравнений вида (51) по Лиу-
виллю в некотором точном смысле. Для случая п = 2 (двухком-
понентные системы) ряд фактов известен еще с XIX века (по-
видимому, начиная с Римана); они сводятся к простому утвер-
ждению:
Задача. 1) Докажите, что для функций х = х(и\ и2), t =
“t(u4, и2) уравнения (51) линейны (преобразование годографа),
2) Докажите, что при п = 2 система (51) диагонализуется ло-
кальной заменой и (и).
Для числа полей п > 2 обобщение метода годографа найдено
совсем недавно и в отличие от классического случая п == 2 су-
щественно опирается на гамильтоновость. Рассмотрим две ком-
мутирующих гамильтоновых системы вида (51) для тп = 1:
Щ = v}(u)u3x,
ut = w}(u) и3х,
где и] диагональна, v] = (и), vl ^=v2 ,,, ^=vn. Тогда w] (и)
также диагональна (проверьте!). Следующая система уравнений:
и/ (и) = иг (и) х + t, где w} = (52)
702
ГЛ. 7. ПРИМЕРЫ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ И СЛОЕНИЙ
Ч. Щ
определяет набор функций
и\х, £),..., ип(х, t). (53)
Оказывается, набор функций (53) — решений системы (52) —
удовлетворяет уравнению и} — v} (и) и3х. Это и есть обобщенный
метод годографа.
Для неоднородных скобок (50) при т = 1 и условии detg1J 0
верна
Теорема 3. Величина cij(u) имеет вид
с13 (и) = ChUk + с‘о, (54)
где ctf =* consf, Cq = const в координатах и\ где g13 — const,
При этом clk3—/тензор структурных констант полу про-
стой алгебры Ли с метрикой Киллинга gij, а — коцикл на этой
алгебре, т. е, верно тождество
с№ + // + = 0. (55)
Доказательство этой теоремы несложно провести в координа-
тах, где gij« const, Ьъ = 0.
Многомерный случай и другие обобщения этой теории мы
здесь обсуждать не будем.
Глава 8
ГЛОБАЛЬНАЯ СТРУКТУРА РЕШЕНИЙ
МНОГОМЕРНЫХ ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДАЧ
§ 31. Некоторые многообразия
общей теории относительности (ОТО)
1. Постановка задачи. Задача ОТО с точки зрения геометрии
состоит в нахождении четырехмерных многообразий 7И4 с метри-
кой gab сигнатуры (+, —, —, —), удовлетворяющей уравнению
Эйнштейна
(1)
где Таъ — тензор энергии-импульса материи. С общей точки зрения
имеется лишь одно ограничение на тензор 7\ь: если £ = —
любой времениподобный вектор, %%bgab > 0, то должно быть
Таь^а^ь > 0 (условие положительности плотности энергии).
Фактически мы будем рассматривать главным образом лишь
так называемый гидродинамический тензор энергии-импульса
(см. § 39 части I)
Tab = (р + е) UaUb ~ Pgab, (2 J
важный для отыскания гравитационных полей макроскопических
тел; здесь и = (иа) — вектор 4-скорости, <u, == 1, р — давление,
е — плотность энергии.
Вообще говоря, анализ уравнений (1) представляет собой
трансцендентно сложную задачу. Однако в ряде случаев, когда
отыскивается метрика с большой группой движений G, действую-
щей на уравнение (1) в удобной локальной системе коорди-
нат приводится к сравнительно простому виду, допускающему
точное решение или хотя бы качественное исследование. При
этом всегда возникает вопрос о том, в какой мере полно мы на-
шли решение: найдено все многообразие 7И4 или только область на
нем? Простейшим и весьма фундаментальным случаем, когда
чисто координатный подход привел к нахождению лишь одной
области на Л/4, является релятивистский аналог поля точечной
массы—«решения Шварцшильда» (см. § 39 части I), Дадим не-
которые определения.
704
ГЛ. 8. РЕШЕНИЯ МНОГОМЕРНЫХ ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДАЧ
[Ч. И
Определение 1. Функция /(х) на Л/4 называется а) вре-
мениподобной; б) пространственноподобной; в) световой или изо-
тропной в точке х Л/4, если:
а>8“^т?>0'
в) £аь^4;пг = 0’ т-е- <v/,v/> = o.
дх дхи
Здесь v/ = grad/.
Например, если /(х) = ха, то
<v/,v/> = gnb^-^=gaa.
Скалярный квадрат <v/, v/> мы будем часто обозначать
через gf}.
2, Сферически симметричные решения. Определение 2.
Многообразие Л/4 с метрикой Эйнштейна gab называется сфериче-
ски симметричным, если оно обладает группой движений G —
— 50(3) с двумерными орбитами 52. Эти орбиты обязательно про-
странственноподобны, так как стационарная подгруппа группы
50(3) действует на касательном пространстве к точке сферы 52
изотропно, в то время как времениподобное направление одно-
мерно. Факторпространство ЛГ4/5О(3) обозначим через М2 — это
двумерное пространство параметров, нумерующих орбиты груп-
пы. Получаем расслоение
р: М^М2 (3)
со слоем S2 = p~l(x), х^М2, где 52 —орбиты группы 50(3) на
Л/4. На расслоении (3) имеется связность: горизонтальные пло-
щадки этой связности по определению ортогональны к слоям —
орбитам 50(3) в метрике gab.
Лемма 1. Эта связность тривиальна, т.е. интегрируема.
Доказательство. Рассмотрим точку у Л/4. Пусть Ну о:
<=5О(3) — стационарная подгруппа точки у. На орбите группы
50(3) неподвижная точка у группы Ну изолирована. Неподвиж-
ные точки группы Ну образуют двумерную поверхность в Л/4,
ортогональную к слоям. Тем самым мы «проинтегрировали» се-
мейство ортогональных площадок к слоям (орбитам). Лемма
доказана.
Пусть U сМ2 — окрестность точки базы х М2 с координа-
тами т, R и метрикой вида
good?2 + gndR2, goo > 0, gH < 0 (4)
(т. е. т и R ортогональны). Такие координаты в области на Мг
Ч. П]
§ 31. НЕКОТОРЫЕ МНОГООБРАЗИЯ ОТО
705
всегда можно выбрать. Пусть 0, ф,— стандартные координаты на
сфере 52, в которых dQ2 = dQ2 + sin2 0d<p2 — метрика единичной
сферы, инвариантная относительно 50(3). В силу леммы 1
во всей области р-1 ([/)<= Л/4 вводятся координаты т, Z?, 0, <р та-
кие, что'метрика Эйнштейна имеет вид
g00dT2 + gHd/?2-rW, г = г(Я, т), (5)
где goo и gu зависят только от (Z?, т) и г—«размер орбиты».
В силу леммы 1 формула (5) дает локально общую'50(3)-сим-
метричную метрику па Л/4, так как метрику базы М2 всегда мож-
но записать в виде (4).
При выводе решения Шварцшильда уравнения Эйнштейна (1)
с ТаЬ = 0 мы полагали (пусть с = 1)
т = 2, R = r (6)’
и получили ответ в виде (см. § 39 части I)
л а 1
^ОО 1 S11
!-Т
(7)
Эта формула действует корректно только при г>а («область
внешнего наблюдателя»). Формально можно рассмотреть эту фор-
мулу и при г < а. Здесь мы имеем:
а) функция г (радиальная координата) становится времени-
подобной: gTT > 0;
б) функция t (временная координата) становится простран-
ственноподобной: gu < 0.
При г -> а из внешней области имеем
gTT -> 0, gu -> о°, г->а. (8)
Таким образом, функция t на Л/4 вообще не может иметь смысла
при г = а. Функция г на Л/4, если имеет смысл, является свето-
вой при г = а. Впрочем, формулы (7) показывают, что сами коор-
динаты 2, г, 0, ф при г = а не имеют смысла. Однако коорди-
наты т, R на базе М2 можно выбрать иначе, чем в решении
Шварцшильда (7). Решая уравнения Эйнштейна в пустом про-
странстве
Xab-±Hgab = 0 (9)
или
Ла*=0,
можем, без ограничения общности, выбрать т так, чтобы goo s 1.
Этот выбор возможен, поскольку любая метрика на базе М2 мо-
жет быть приведена к виду dx2 + gnd/?2, gu < 0. Решение уравне-
ний (9) не вызывает затруднений. Выписывая символы Г£с
и Rob по общим формулам (см. §§ 29, 30 части I), получим
706
ГЛ. 8. РЕШЕНИЯ МНОГОМЕРНЫХ ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДАЧ
[Ч. II
уравнения на параметры v, X, р- (см. (17))
Zoo = Л — 8ц = А Г2 =
д (р д (р / __ л
= ^=<h £оо = 1-
Решение удобно записать в параметрическом виде:
г 1 (R2 . л \ > 4 х
— = ~2 I — + 1 (! — cos П),.
а * \ а /
т 1 (R2 \3/2
— = + 1 (л — Л + sin т]),
а * \ а /
0 т] 2л.
(10)
(И)
Устройство полного «многообразия Крускала» показано па
рис. 159. При г = 0 орбиты группы 50(3) сводятся к точкам.
Рис. 159. Изображена (Я, т)-пло-
скость. Заштрихована «бессмыс-
ленная» область г 0. Жирными
линиями показаны кривые уров-
ня г (Я, т) = const. Пунктирными
линиями показаны кривые уров-
не t(R, т) — const. При г—а
имеем |£| = оо, исключая точку
пересечения двух линий (седло-
вую). Здесь имеется неопреде-
ленность — сюда входят все ли-
пни t = const. Точка т ~ 0, R =
дг дг
— 0 седловая; здесь= 0.
На линиях г = а имеем <Vr,
Vr> — 0. Области I и Г изомет-
ричны (/?->-—/?); области II и
1Г также изометричны (т->-—т).
В этих точках метрика Mi имеет особенность,
внешнего наблюдателя в области 1 (области
имеет вид
г = rQ > а, —< t < оо,
G = 90, ф = (р0.
Внешний наблюдатель может получить сигнал
Мировая линия
Шварцшильда)
(12).
из области 1Г
Ч. Ш
s 31. НЕКОТОРЫЕ МНОГООБРАЗИЯ ОТО
707
(«белая дыра»), но не может послать обратно сигнал в 1Г. На-
против, внешний наблюдатель может послать сигнал в область И
(«черная дыра»), но не может получить сигнал из II. Никакая
посылка сигналов из I в Г и обратно невозможна. Нарисуйте
самостоятельно световые конусы на (т, R)-плоскости.
Важным применением решений Шварцшильда — Крускала
является задача о коллапсе сферически симметричной массы
(коллапсирующая звезда, или «коллапсар»).
Рассмотрим времениподобную мировую линию
7 частиц в координатах т, R (при всех 0, ф)
вида, показанного на рис. 160. Это объединение
мировых линий 7 при всех 0, ф дает трехмер-
ную^ поверхность ST <= разделяющую М4 на
две области: А — внешняя и В — внутренняя.
Коллапс звезды описывает сферически симмет-
ричное решение уравнений (1) со следующими
свойствами:
a) gab такое же, как в многообразии Крус-
кала в области Л, Rab = 0;
б) gab удовлетворяет уравнению (1) с гидро-
динамическим тензором энергии-импульса (2)
в области В, где задано «уравнение состояния»
Рис. 160
е = е(р);
в) граница звезды (кривая 7 на (т, R) -плоскости) пересекает
при t -> +00 «линию горизонта» г = на которой grr = 0; при
£—оо граница звезды ни разу пе пересекала линию горизонта.
Итак, мы должны решать уравнение (1) в области В, где
Tab 0. Из сферической симметричности следует, что могут быть
ненулевыми только
Т°О^Е, Т°, То, Т^-р. (13)
Выберем сопутствующую систему координат, в которой и=(1, 0),
Тг0 = Ti = 0. Тогда
^ = 8, ^ = ^ = 0, ^ = -р, (14)
и метрика будет иметь вид (5).
Замечание. Вообще говоря, сопутствующая система отсче-
та, в которой временная координата т ортогональна простран-
ственным координатам /?, 0, ф, не является «синхронной»,
т. е. £оо=^1.
Законы сохранения = 0 дают: если == ev, gi{ = —е\
rz = е", то
’--ЙТ ft + 2« - - (15)
708
ГЛ. 8. РЕШЕНИЯ МНОГОМЕРНЫХ ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДАЧ
[Ч. II
Из соотношений (15) следует
— gnr4 = ехр {— 2 [ ехр ср (R),
( г 7 <16)
goo = ехр2 J ехргр(т).
Выбор функций ф(7?) и г|Дт) в (16) окончательно фиксирует
локальные координаты г, R и позволяет исключить е, р из урав-
нений (1).
После вычисления символов Rab и Г£с в координатах у° = т,
г/1 = R, г/2 = 0, г/3 = ср уравнения (1) приобретут вид:
\ 8nG ml А X f pi f --*v / 1 3 --П,
a) — — [y + м )—e — -ypv + Tp2J — e ц;
6) - ^T\ = ±e->-(2v’ + v'2+ 2ц" + p'2-p'X'-v'k' + p'v) +
+ -^e-v(iv + pv — ip — 2X — %2— 2ц — p2); (17)
B) 8^ zo = _ e-x / " + 3 ^2 \ + 1 e-^ Л ; + Z V е-ц.
r) T’J = 0 = -^-е~к(2ц' + pp' — ip' — v'p).
c
Положимgrr = 1---где а = а(т, R). Для решений Шварц-
шильда мы имели а = const = 2MG/c\ где М — масса тела. В об-
щем случае уравнение
а(т, Я)=г(т, R) (18)
задает «горизонт» gTT = 0, где г(т, R) становится изотропной
функцией, <Vr, Vr> = grr = 0.
Замечание. Уравнения Эйнштейна (см. (17)) после под-
становки связи (16) с ф = чр^О могут быть получены из лагран-
жиана «двумерной теории поля»
S = J AdRdv,
где Л = Л(Х, р, X, р, V, р') = Л + Т2 + U,
^1Х+(Й+1)Ц / /2 \
7’1 = —е (—5—I р (&А, + 2А;р')1,
-5—lx+(l-h)|X / • 2 . . \ Ц4+Ьц
Т2 = е 2 l-t- + р%), 77 = 2е 2
Формальный тензор энергии-импульса для функционала 8, опре-
Ч. II] § 31. НЕКОТОРЫЕ МНОГООБРАЗИЯ ОТО 709
деленный в § 37 части I, имеет такой вид:
?? = - л + i + п = т2 - тг - tz,
дК дц
l/Д, и [Л
= + Ш-1' — — + 2Ан')нХ
Т° = г - + и
д\ дц
Уравнения Эйнштейна (17) сферически симметричной материи
с гидродинамическим тензором энергии-импульса приобретут вид
dS = 0 на поверхности связей Т$ = = 0. Использование функ-
ционала 8 удобно для исследования решений, не зависящих от
т = или 7? = V’ Если Х'=/=0, ц=/=0, р/=/=0, то уравнения
=® = 0 решаются, и уравнения Эйнштейна ‘ (17) сведутся,
как мы увидим, к системе первого порядка (24),
Из уравнений (17) вытекает (проверьте!)
да (т, R) _ 2 SnG
дх дх с4 ’
Л л с г (19)
да 9 dr 8jtG 7
д о = 8Г ТБ —Т ,
dR дЯ с4 1
где е и р связаны с метрикой соотношениями (16). Так как е —
плотность энергии, то 4ner2dre~x — энергия сферического слоя.
Сумма энергий сферических слоев имеет вид
2полн = J 4jier2e~Kdr.
Однако, из (19) видно, что интегралом системы является другая
величина
Яполн = j 4 л er2 dr, (20)
совпадающая па поверхности связи Zj ==* 7^ — 0 с гамильтонианом
двумерной теории поля с лагранжианом А (выше). Итак, мы по-
лучили «гравитационный дефект энергии»
ТОПОЛИ. =^2 ПОЛИ*
Рассмотрим случай р = 0 (пылевидное вещество). Тогда из (19)
и (16) имеем
а = а (2?); g00 = const.
(21)
710
ГЛ. 8. РЕШЕНИЯ МНОГОМЕРНЫХ ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДАЧ
-ч и
Пусть goo = l. По определению имеем (см. (16))
Л ПП2) 11/2 ( $ Г ( (? Г )
1-------- сг°°г2 4- р11}' г = —• г = —
г ё ь \ <И’ ад/’
gee = ехр {- 2 J ехр if (т),
ёи = ехр {— 2 j ехр ф (Я),.
где g00 = —, g11 = —, причем
*00 ёц
. f 4
1 ас
g"____________e==T78SS-
Отсюда получаем ('ф(т)^ 1, g00 s 1)
; = У l-^ + (a'W(^p. (22)
Мы знаем, что а = — рг2г = 0 (см. (19)).
С
Это уравнение интегрируется одной квадратурой и дает из-
вестное «решение Толмена», приводящее либо к коллапсу, либо
к разлету пылевидной материи, так как г не может менять знак
при!-----—>0, если метрика неособа. В области вне горизонта
имеем
г = ГФ(г, /?) = Tgrr+lgnr'2l =/=0, grr>0. (23)
Отсюда следует, что при отсутствии особенностей метрики и плот-
ности энергии 0 < е < «> вне горизонта знак величины г менять-
ся не может.
Для общих уравнений (19) при р = кг, O^fcCl, из (16)
имеем
2* Зяб
а = — ргг
с
а = ег2г —, (24)
с
2k 2
j___= /2е&+1____ г'2Г4Е^1+1
г ’
если ф ~ = 0. Исключая е, представим уравнения в виде
г == УФ (г, г', а, а') = V(g"+ l/VE^+'lJe-2^1,
а=-*-^-/ф, 0С*<1. (25)
Ч. П)
§ 31. НЕКОТОРЫЕ МНОГООБРАЗИЯ ОТО
711
Таким образом, решение (кроме знака г) полностью определяется
заданием г(7?, 0) и a(R, 0). Вне горизонта grr > 0 имеем тот же
вывод, что и для р = 0: неизменность знака г ввиду 0>grr > 0.
Вывод. Если метрика и плотность энергии е > 0 не имеют
особенностей, происходит монотонный коллапс (или разлет)
материи.
Замечание 1. Более простой вид уравнения (25) имеют
в случае «предельно жесткого уравнения состояния», т. е. при
к = 1. Здесь
1------ = е (г2 — г'2г4). (26)
Замечание 2. Уравнения (24) при ср ф 0 обладают
группой масштабных преобразований:
г Хг, а Ха, т ат,
(27):
R [}/?, 8 уе, р г* ур,
2
_—а 1 k + 1 л —2
где 2 X i у л
Р
Можно искать «автомодельные решения», инвариантные отно-
сительно однопараметрических подгрупп этой группы, имеющих
вид а = X = Рт, у = ——. Эти инвариантные решения
имеют вид
г = (X), а = Ryax (X)i: е = &i (X)t X = (28)
Уравнения (24) имеют решения вида (28) только при s =
В этом случае уравнения (24) определяют систему обыкновенных
уравнений (динамическую систему)
т 2 8л(7
dar
dX
dA = Vi (Jri - S'^J
ai
7^ \ t/Л J 8
Исследование стационарных решений (не зависящих от т) и ре-
шений, не зависящих от R, также приводит к динамическим си-
стемам. которых мы здесь не приводим.
712
ГЛ. 8, РЕШЕНИЯ МНОГОМЕРНЫХ ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДАЧ
[Ч. II
Постановка краевой задачи для уравнений (24) может быть
такова. В начальный момент т = 0 мы требуем выполнения сле-
дующих условий:
а) г > 0, а > 0 (сферические слои материи упорядочены по
радиусу г и е > 0).
б) На краях должно быть г(7?о) = О, а(/?о) = О и г->оо?
а -> а0 при R -> Тогда допустимая область изменения сопут-
ствующей (лагранжевой) координаты R есть RQ R < Ri4 в то
время как 0=^г<«\ Возможно, интервал по R также бесконе-
чен (это несущественно). Уравнения (24) верны всегда, но экви-
валентны уравнениям (17) лишь при е =£ 0, г'=/= 0, г=^0. При
г -> оо отсюда следует е -> 0, так что интеграл сходится: а0 =
С 2 ,
= — erd dr < оо, поскольку а0 = лполн ’ const.
*0
в) При т = 0 должно быть г(7?) = г(7?> 0)> a(R), R>RQ.
Условие в) возникает из требования, чтобы в начальный момент
т = 0 вся материя была наблю-
даемой (рис. 161).
0) ' 3. Аксиально симметричные
решения. Рассмотрим теперь
аксиально симметричное ста-
Xх ционарное решение, описываю-
/ щее гравитационное поле «вра-
а t)________________________ щающейся черной дыры»,— так
------а(Я,О) называемое «решение Керра».
Определение 3. Метри-
-------------------------ку gab сигнатуры (+, —, —, —)
Я Я/ 00 на многообразии Л/4 назовем
рис. 101-----------------аксиально симметричной и ста-
ционарной, если в некоторой
локальной системе координат она не зависит от времени t и угло-
вой (простраиственноподобной) координаты 0=^ф^2л. В част-
ности, на многообразии действует коммутативная группа движе-
ний G^RxS1, где орбиты Kx(s0) времениподобны, а орбиты
tQ X 51 пространственноподобны.
Решение Керра уравнений (1) в пустом пространстве ТаЬ = 0
определяется в координатах, обозначаемых через г, 6, ф, t, фор-
мулой (с = 1)
ds2 = dt2 — dr2 4- 2а sin2 0 dr йф + (г2 + a2) sin2 0 сйр2 +
+ р2 dQ2 + ~^~(dr + a sin2 0 йф + d£)2j, (29)
где р2 = г2 + a2 cos2 0, а — const. Обычные координаты х, у, z s R3,
Ч. II]
§31. НЕКОТОРЫЕ МНОГООБРАЗИЯ ОТО
713
имеют вид
х= У г2 + a2 sin 0 cos^tp — arctg-“-j,;
у = У72 + а2 sin 0 sin ^ф — arctg (30)
2 = г cos 0, 0^0^ л, 0<ф<2л.
Таким образом, поверхности уровня г = const, t ™ i0 ~ это сплюс-
нутые по оси 2 эллипсоиды. Поверхности 0 = 0о, t = — это одно-
полостные гиперболоиды вида
2 I 2 2
+ У Z __ -
2 • 2 л 2 2 «
a sin 0 a cos 0
(31)
В частности, координата г может быть отрицательной, как
будет видно ниже.
Введем обозначения
А = г2 — 2тг 4-
dt* = dt — 2mr (32)
dtp* = dtp +
В новых координатах г, £*, ф*, 0 метрика (29) приобретет вид
(проверьте!):
ds2, = — dr2 — p2d02 4- (г2 4- a2) sin2 0 (йф*)2 —
— (a sin2 0 dtp* + dt*)2 + (dt*)2. (33)
Группа G действует преобразованиями
i* -> t* 4- const, ф* -> ф* 4- const.
При а — 0 из формул (33) получим метрику Шварцшильда
(6), (7).
Задача. Покажите, что при т = 0 эта метрика эквивалентна
метрике Минковского.
Для непулевых компонент gab метрики (33) имеем
(с = 1, G = l)
= 4- (rS + °2 + е)>
-/Л. -еи-4,
р р
__ = 1 /1 _ 2mr\
Д sin2 0 \ р2 / ’
(р*(Ф 4тга
S “ 2~'
Р А
46 Б. А. Дубровин и др.
714
ГЛ. 8. РЕШЕНИЯ МНОГОМЕРНЫХ ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДАЧ
[Ч. II
Как и для решения Шварцшильда, горизонт определяется усло-
вием grr = 0 или Д = 0:
Д = г2 — 2тг + аг ~ 0,
________________ (35)
г± = т ± У т2 — а2.
Возникает два случая:
1) а > т — корни комплексны;
2) а < т — корнш вещественны и положительны.
Разберем сначала случай 1) (быстрое вращение). Здесь Д^О
для вещественных г и метрика (33) всегда имеет смысл. Горизонт
отсутствует, так как gTT < 0 для всех г. Всегда имеем g00 > 0.
Метрика имеет особенности при г = 0, cos2 0 = 0 (и любых t*
и ф*). В координатах х, у, z множество особенностей задается
уравнением
х2 + у2 = а2, 2 = 0, t* любое. (36)
Эта особенность наблюдаема извне (т. е. из области г->оо) — она
«голая». Вне особенности метрика регулярна. Уравнение#^ =0
дает
г2 — 2mr + a2 cos2 0 = 0, г = т ± У т2 — a2 cos2 0.
Это — «эргосфера». Внутри эргосферы градиент функции ф* вре-
мениподобен.
Линии г = const, 0 = const, t* = const координаты ф* являются
замкнутыми и времениподобными в области
(о । о । Qmra sin 0 ] л
г2 + а2 + ----2---- > 0. (37)
Р 7
При cos 0 = 0 это — линии г2 = Го < та.
Рассмотрим теперь случай 2) (а<т). Область внешнего на-
блюдателя — это область
(7) г > т + Ут2 — а2 = г+; (38)
функция г в этой области пространственноподобна. Имеются так-
же области
(77) г_.<г<г+ (39)
(г времениподобна),
(777) — оо<г<г_ (40)
(г пространственпоподобна). Если из области 7, то
goo Поэтому время внешнего наблюдателя t* имеет смысл
лишь в области 7. Координата г является световой при г = ?±
(на горизонте).
Ч. II]
§ 31. НЕКОТОРЫЕ МНОГООБРАЗИЯ ОТО
715
Метрика имеет особенность в области III. В области III цикл
изменения ф* (г — г0 < 0, 0 = const, f* = const) является замкну-
тым и времениподобным (проверьте!). Построение полного много-
образия. склейкой областей типа /, II, III можно произвести
по аналогии с многообразием Крускала (см. (И)). 1) К обла-
сти I при г-> г+ могут быть приклеены 2 области типа II («белая
дыра» при t —оо и «черная дыра» при t +«>, как и для реше-
ния Шварцшильда выше); 2) к области типа II могут быть при-
клеены: а) две области типа III, где б) две области ти-
па I, где г->г+; 3) к области типа III могут быть приклеены
две области типа II при г г_. Склейка условно рисуется диа-
граммой (рис. 162).
Локальные системы
коороинат Vn,
охватывают
внутренности
четверок
Ф(тип I-I)
область Vn
Область Т
(линии уровня ?•)
Область И
(линии уровня Г)
(тип 1~Ш)
область Wn
Область Ж
(линии уровня
Рис. 162
Координаты в каждой четверке типов I—II и II—III
(см. рис. 162) аналогичны координатам Крускала (см. рис. 159).
Аналитически здесь, однако, более утомительно производить
склейку, но она может быть проведена по аналогии со сферически
симметричным случаем. Заметим, что преобразование В, переводя-
щее Vn в Vn+1 и Wn в Wn+1, является движением. Мы можем по-
этому построить «неодносвязное решение Керра», полагая
ЛР = МЧВ
для любой точки х е Л/4. Набор возможных переходов в будущее
46*
716
ГЛ. 8. РЕШЕНИЯ МНОГОМЕРНЫХ ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДАЧ
(Ч. II
по времениподобным линиям таков:
область (Vn, I) -*• область (V7n+1, II) область (Vn, II),
область (И7П, II) -+ область (Vn, I),
область (V7n, III) область (РИП, 11)^ область (Vft, II).
Таким образом, в неодносвязном многообразии Л/4 имеются вре-
мениподобные циклы, начинающиеся и кончающиеся в области I
внешнего наблюдателя.
Замечания. Решения Шварцшильда и Керра (в случае 2)
обладают таким свойством: поверхность горизонта не является
особенностью метрики в Л4. Как говорят, в этих решениях пет
«голой сингулярности», которая бы непосредственно могла наблю-
даться. Имеются теоремы, показывающие единственность этих
метрик в определенных классах решений уравнений Эйнштейна
Rab = 0 с указанным свойством: метрика Шварцшильда — един-
ственное решение среди статических метрик в координатах х, у,
z, £, где go» = 0, асимптотически тривиальное при г -+ оо и имею-
щее неособую поверхность горизонта в (х, у, z)-пространстве, вне
которых они определены; метрика Керра — единственное решение
среди стационарных метрик goct ¥= 0, неособых вне поверхности
горизонта. Мы не приводим здесь доказательства этих важных
теорем единственности.
Существует гипотеза, согласно которой всякая коллапсирую-
щая масса конечной величины асимптотически по времени при
t -* оо создает метрику Шварцшильда или Керра (в области
внешнего наблюдателя). При этом предполагается, что начальная
метрика при t = 0 не имела особенностей.
4. Космологические модели. Другой класс задач ОТО связан
с построением и изучением свойств эволюционных моделей, кото-
рые могли бы дать определенные представления об эволюции гло-
бальной метрики Вселенной «в целом». Соответствующие четы-
рехмерные многообразия ЛР с метрикой gab называются космоло-
гическими моделями. Ввиду трудностей, связанных с невозмож-
ностью сформулировать какие-либо универсальные граничные
условия для уравнений Эйнштейна в этом случае, мы ограничим-
ся рассмотрением так называемых однородных космологических
моделей, где предполагается, что метрика (в данный момент вре-
мени) в некотором смысле одинакова во всех точках простран-
ства. Более точно это формулируется так.
Определение 4. Четырехмерное многообразие с метри-
кой gab. удовлетворяющей уравнению Эйнштейна (1), называется
однородной космологической моделью, если задана группа движе-
ний G, действующая на Л/4 (пусть слева) и имеющая трехмер-
ные пространственноподобные орбиты.
В дальнейшем всегда выбираются локальные координаты та-
кие, что х\ х2, х3 направлены касательно к орбитам группы G
*1. Il]
§ 31. НЕКОТОРЫЕ МНОГООБРАЗИЯ ОТО
717
(они называются «пространственными»), а временная координа-
та х* направлена трансверсально к орбитам группы G. Если коор-
дината = ct ортогональна к орбитам и g00 = 1, то это — син-
хронная система отсчета. Мы будем в основном рассматривать
однородные модели в синхронной системе отсчета. Наиболее об-
щие однородные модели имеют трехмерную группу движений G
(классификация их алгебр Ли приведена в § 24 части I).
Совокупность орбит образует одномерное многообразие («вре-
менная ось»), и имеется естественное отображение
р:
слои p"l 2(io) которого — орбиты группы G, Выбор временной оси,
например синхронной системы отсчета, вводит связность в это
расслоение, причем кривизны нет ввиду одномерности базы. Пусть
группа G трехмерна. В этом случае удобно выбрать представление
метрики многообразия М4: рассмотрим лево инвариантные вектор-
ные поля (не путать их с генераторами группы G) Хо, Хъ Х2, Х3,
где Х& трансверсально, a Xt, Х2, Х3 касательны к орбитам груп-
пы G, Наложим требования, чтобы коммутаторы векторных полей
Ха имели вид (a, [J = 1, 2, 3):
[Хо, Ха] = 0, [Ха, Х3] = c^Xv; (41)
здесь сХр —структурные константы алгебры Ли группы G, не за-
висящие от времени. При этом (в синхронной системе отсчета)
мы требуем, чтобы Хо было ортогонально орбитам группы и
,g00 = 1. Метрика описывается скалярными произведениями
== <Ха, Хр>,
(42)
goo = 1» £oci = O при а = 1,2,3.
Ввиду однородности модели метрика ga$(t) зависит лишь от вре-
мени t, где линии времени идут вдоль поля Хо.
Уравнения Эйнштейна с гидродинамическим тензором энер-
гии-импульса ТаЪ = (р + е) uaub — pgab приобретут вид системы
уравнений второго порядка на симметрическую матрицу gap(£),
если в них исключить и, е, р посредством законов сохранения
и связей
= 0, (и, u> = 1, р = р (е). (43)
Как и ранее, считаем, что р = /се, где 0 к 1 (особенно инте-
ресны случаи р = 0 и р = е/3, где Та = 0). После этого исклю-
чения получим динамическую систему в фазовом пространстве
(gap(^), £а₽(^)) размерности 12, точнее, в области этого простран-
ства, выделяемой условиями:
1) < 0 (пространственноподобность орбит);
2) e(gap, £ар)^0 (положительность энергии).
718
ГЛ. 8. РЕШЕНИЯ МНОГОМЕРНЫХ ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДАЧ
(Ч. II
Эту область мы назовем «физической областью» в фазовом про-
странстве (gap, gap) = K12 и будем обозначать ее буквой 5. Урав-
нение Эйнштейна будет рассматриваться как динамическая систе-
ма в физической области 5 фазового пространства. Каждая ее ин-
тегральная траектория представляет метрику gap(i) и тем самым
однородную космологическую модель с данной (трехмерной)
группой движений G, т. е. многообразие 7И4.
Среди общих однородных моделей выделяются такие метрики
gap(i), для которых истинная группа движений G, т. е. полная
группа движений многообразия ЛР, является более широкой:
G —> G. Рассмотрим максимальную группу движений G => G, имею-
щую те же самые орбиты, что и G, Таким образом, группа G яв-
ляется группой движений на каждой орбите M3(t) группы Gt
M3(t)=G/H,
где Н — стационарная подгруппа точки. Очевидно, что пересече-
ние СП Н трехмерной группы G с Н дискретно. Для размерно-
стей имеем
dim G = 3 + dim Я.
Замечание. В принципе возможен случай, когда однород-
ная модель Л/4 с группой G размерности >3 имеет трехмерные
пространственноподобные орбиты 7U3 (i), по G не имеет ни одной
трехмерной подгруппы G, транзитивно действующей на M3(t).
Мы этот случай рассматривать не будем.
Задача. Найдите все группы движений трехмерных много-
образий, не содержащие транзитивных трехмерных подгрупп.
В общем случае, зависящем от максимального количества
параметров и покрывающем все наиболее интересные примеры,
имеется трехмерная транзитивная подгруппа G <= G.
Если размерность dim G > 3, то_ метрика gap(i) однородного
пространства M3(t), определяемая в силу однородности матрицей
скалярных произведений в одной точке (при данном i), не может
быть произвольной. Действие группы H^G, сохраняющее эту
точку, накладывает ограничения на матрицу gap(i), а также па
матрицу ga₽(i). Так как gaPgagp < 0, группа Н является подгруп-
пой группы SO (3)=> Н. Поэтому возможны два случая:
а) Н = SO(3) (полная изотропия);
б) H = SO(2) (аксиальная изотропия в одной плоскости).
Следовательно, размерность группы G может быть равна
либо 6 (случай а)), либо 4 (случай б)).
5. Модели Фридмана. Однородными и изотропными моделями
(или моделями Фридмана) называются модели с группой G раз-
мерности 6 (случай полной изотропии). Эти модели легко изуча-
ются и имеют фундаментальное значение в релятивистской кое-
Ч. II]
§ 31» НЕКОТОРЫЕ МНОГООБРАЗИЯ ОТО
719
мологии, Астрономические наблюдения показывают, что на со-
временной стадии Вселенная «в среднем» имеет однородное и
изотропное распределение материи, если провести усреднение по
достаточно большим масштабам, которые тем не менее пренебре-
жимо малы по сравнению с Метагалактикой, т. е, наблюдаемой
сегодня частью Вселенной (размер Метагалактики ~1028 см; го-
воря об изотопии в распределении материи, следует провести
усреднение по масштабам «скоплений Галактик», т. е. 1025—
1О20 см. Однако анизотропия в реликтовом излучении пока не
найдена; напомним, что на более ранних стадиях эволюции Все-
ленной плотность энергии реликтового излучения превосходила
плотность материи).
Имеется всего три однородных и изотропных односвязных
трехмерных многообразия М3 с группой G размерности 6. Это —
сфера S3, евклидово пространство R3 и пространство Лобачевско-
го L3 (ср. §§ 9, 10 части I, где рассмотрен двумерный случай).
Метрика этих пространств может быть записана в виде (t —
параметр):
dl2 (t) = a2 (Z) d% =
m2(dZ2 + sin2ZdQ2(S3)),;
ti2«+x2dQ2(R3)),
.a2 (<fy2 +sh2 x dQ2 (L3)),
(44)
dQ2 = d02 + sin20d(p\
где a2 — масштабный множитель, dQ2 — обычная метрика единич-
ной сферы S2. В соответствии с этим метрика многообразия ЛГ4
в синхронной системе отсчета может быть записана в виде
ds2 = с2 dt2 - dl2 (t)= (dzQ)2 - a2 (Z) dl%. (45)
Далее, скорость материи и обязана в полностью изотропном
случае быть тривиальной,
а = (1, 0, 0, 0),
так как ненулевая пространственная скорость нарушала бы пол-
ную изотропию. Введем новую временную координату ц, полагая
cdt = adt]. (46)
После этого имеем
ds2 = а2 (т|) (dr]2 + dll). (47)
Вычисляя й R в случае сферы S3 по общим формулам
(см. § 30 части I), имеем
а' = 7^. Я = -^г(а + А Л» = -7
720
ГЛ. 8. РЕШЕНИЯ МНОГОМЕРНЫХ ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДАЧ
[Ч. II
Так как » = (1, 0, 0, 0), имеем
Уравнения Эйнштейна сведутся к одному уравнению
do 1 d mg
^о---2* К = * °*
В случае сферы S3 это дает уравнение
^е = 4(а'2 + а2)- (48)
с а
Из соотношения
W = О
для всех трех случаев S3, R3, L3 имеем
“7^7 = М Ь at (49)
ИЛИ
31па-------------------+const.
J р+е
Зная уравнение состояния р(е), из (48) и (49) получаем пол-
ное решение задачи об определении метрики ds2, т. е. функ-
ции a(i).
Для случая р = 0 имеем е = цс2, где ц — плотность массы.
Величина М = ца3 является интегралом уравнений (48).
1) В случае сферы S3 получаем
а = а0 (1 — cost)),;
* =-у-(n —sinr])-
При малых временах, т. е. при т) 0,
(проверьте!). При а-*0 метрика имеет особенность.
2) В случае L3 аналогично получаем
3 In а = — f —------1- const,
J р + е г
= 4 («'2-«2). (51)
с а
а
а = а0 (ch г) — 1),, t = — (sh г) — г|).
4. 1IJ
§ 31. НЕКОТОРЫЕ МНОГООБРАЗИЯ ОТО
721
Заметим, что при ц О мы имеем для плотности массы преж-
нюю асимптотику (50):
и, ~ —— i-2
3) В случае R3 имеем (р = 0)
3 In а = — I —-------И const,
J Р + е
8лб 3 f da\2 о .
— е =-j ( —I ,, |ш3 = const, (52)
а = const *i2/3.
При ц 0 имеем опять
ц ~ 1 /-2
Для уравнения состояния р = е/3 легко получить аналогичные
формулы, но интеграл здесь имеет вид еа4 = const. Считается, что
при е надо пользоваться именно этим уравнением состояния
вместо р = 0. Отметим в виде задачи интересное свойство.
Задача. Докажите, что метрика изотропной модели «кон-
формно плоская» (т. е. конформно эквивалентна метрике Мин-
ковского) .
Световые лучи во всех трех случаях, как легко видеть, рас-
пространяются по линиям (ср = 0 = const)
Х = ±ц +const. (53)
В силу нестационарности метрики частота света со не являет-
ся интегралом движения; вместо этого вдоль луча верно равен-
ство соа = const.
Задача. Рассмотрите уравнение Максвелла в изотропной
метрике вида ds2 = а(ц) (dr]2 — dlty, где а(ц)— произвольная
функция. Найдите решения (приближенные) вида
А (я, t) = eia>t А (х), с dt = а с/ц, со > а-1.
Докажите, что соа = const.
Если соо — частота в
в момент наблюдения ц
момент испускания
имеем
« (П — X)
со = соп----—.
0 «(П)
Цо = ц — X света, то
(54)
Графики величины а(ц) в трех рассматриваемых случаях (можно
также заменять t —i, ц ч—ц) имеют вид, показанный на
рис. 163. Астрономические наблюдения показывают, что Вселен-
ная расширяется: непосредственно наблюдается величина
Н = с^ =
а2
d In а
' dt А
(55)
722
ГЛ. 8. РЕШЕНИЯ МНОГОМЕРНЫХ ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДАЧ
[Ч. II
именуемая «константой Хаббла». Величина Я"1 имеет размерность
времени и сегодняшние ее оценки таковы:
Я"1 - 13 • 109 лет ± 25%. (56)
Отсюда следует, в частности, конечность времени от момента а =»
= 0 до момента i0, где i/H имеет сегод-
няшнее значение (56). Мы можем полу-
чить соотношения
д л
S3: i = -f-(n-sinri) = -l-g(T1) =
_ 1 sin т] (Ц — sin тр
Н (1 — COS Т])2 *
О?3: £ =(57)
д .4
L3: t = —- (sh т) — т]) = -^-/(т]) =
1 sh Л (sh л — Л)
н (ch Ц — I)2
2 2
Так как -д-</(ц)< 1, 0 < g (ц) <-у, во всех
случаях приходим к общему выводу: вре-
мя tQ от момента а = 0 до сегодняшнего
значения Н не превосходит Я”1 (в изо-
тропной модели Фридмана с р = 0). Рас-
смотрение уравнения состояния р = е/3 не
меняет существенным образом этих оценок
(проверьте!).
п гт .ЗЯ2
Задача. Покажите, что для ц >
ЗЯ2
имеем случай S3, для Ц = g^g имеем слу-
имеем случай Л3(р = 0).
6. Анизотропные вакуумные модели. Возникает естественный
вопрос: в какой мере важнейшие выводы, сделанные при рассмот-
рении однородных и изотропных моделей, сохраняются в более
общих решениях. С этой целью рассматриваются различные клас-
сы возмущений изотропных моделей. Общие однородные (но
анизотропные) модели — это единственный класс «больших» воз-
мущений изотропной модели, который является к настоящему
времени достаточно хорошо изученным. Наиболее важными во-
просами являются следующие:
1. Имеется ли особенность в общем решении пли это специ-
фика изотропной модели?
/Л
Рис. 163
„ з//2
чаи Вс,- для т?
Ч. П]
§ 31. НЕКОТОРЫЕ МНОГООБРАЗИЯ ОТО
723
2. Можно ли утверждать в каком-либо смысле, что достаточно
общие начальные состояния для метрики в процессе эволюции
приведут к «изотропизации», которая наблюдается на современ-
ной стадии?
По поводу существования особенности легко доказать следую-
щее: пусть g = det(ga&(i)) и do = V—- gd^x— элемент объема
на Л/4. Из уравнений Эйнштейна вместе с положительностью
плотности энергии Гоо > 0 легко выводится, что существует точ-
ка tQl в которой g(^o)=O. Для некоторых однородных моделей
вывод этого утверждения будет дан ниже. Однако это еще не
означает наличие особенности для многообразий Л/4 с метрикой gab
сигнатуры (+, —, —, —). Мы работали в синхронной системе от-
счета, где «пространственная» часть — это орбиты группы и вре-
мя t ортогонально к орбитам.
Рассмотрим новую временную координату -х0, не ортогональ-
ную (но трансверсальную) к орбитам, при переходе к которой
метрика gab приобретет, например, вид
r g 6 00 ^01 0 o 1
10 ^11 * 12 *13
S ab — 0 ^21 *22 *23
.0 *31 *32 *33
gab — gba*
(58)
Пусть goi 0. Можно выбрать, например, «световую» координа-
ту х°, для которой goo = 0. Имеем, строго говоря, новые лево-
инвариантные поля Ха, тоже удовлетворяющие соотношениям
(41). Если Хо — световая геодезическая, то g00 = 0, g01 = 7 = const.
Если при t = tQ
gii = gl2 = gl3 = 0,
то ограничение метрики gab на орбиту M3(Z0) будет вырождено.
В этом случае, если перейти к синхронной системе отсчета, будем
иметь g — 0. Такая ситуация называется «фиктивной особен-
ностью» и может возникать уже в аксиально симметричных воз-
мущениях изотропной модели.
В отличие от изотропного случая для однородных анизотроп-
ных моделей имеется ряд нетривиальных «вакуумных» решений,
т. е. решений, в которых е = 0. Приведем простейшие из них.
1) Решение К а з н е р а. Здесь G == R3 (тип I по классифи-
кации п. 5 § 24 части I); метрика имеет вид (с = 1)
з
ds2 = dt — 2 ^2pa(d^a)2. (59)
a=i
724
ГЛ. 8. РЕШЕНИЯ МНОГОМЕРНЫХ ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДАЧ
[Ч. II
Выполнение следующих двух условий равносильно уравнению*
Эйнштейна в пустом пространстве:
3 3
Rab = 0 -«-* 2 Ра = 1т 2 Ра = 1»
а=1 а=1
Задача. Покажите, что метрика Казиера (59) для = 0.
р2 = 0, рз = 1 заменой координат приводится к метрике Минков-
ского. Таким образом, в этом случае особенность i = 0 «фиктив-
на». Здесь поля Ха коммутируют и дают координатные оси
Как выглядит в пространстве Минковского действие груп-
пы G = R3?
2) Решение Тауба — Мизнера. Здесь G = SU (2)
(тип IX). В синхронной системе отсчета мы будем считать мат-
рицу ga$(t) диагональной: gap = Пусть ql = а, ql = b, q23 =
= с. Случай Тауба — Мизнера выделяется условиями:
а) аксиальная изотропия, а = Ь (здесь полная группа G четы-
рехмерна и изоморфна SU(2) X SO (2));
б) е = 0.
Уравнения Эйнштейна Rab = 0 для такого случая интегрируются
точно. Решение имеет вид (в синхронной системе отсчета)
fl2=fo2 = Р СЬ(2РТ+б1)
2 ch2 (рт + б2)
2__ 2р di __ 1
С ch (2рт + б-Э 1 dt abc'
Пространственные орбиты — это M3(t) = SU (2) = S3. При t О
линейные размеры на орбите по одному направлению стягивают-
ся к нулю, как это видно из формул (60). Это означает, что
в синхронной системе отсчета получаем отображение стягивания
i-^О, р: 53-^52 = 2И3(0) = 53/51 = 5С7(2)/5О(2)
со слоем S1. Это — расслоение Хопфа над 52. Казалось бы, воз-
никает особая сфера S2 при t = 0. Однако можно ввести новые
поля Ха, удовлетворяющие требованиям (41) со световой коор-
динатой Х^, в которых метрика неособа при f = 0 и имеет вид
(0 ±1 0
± 1 0
° 0 Иг’
ООО
~(±) = п2 = + 1 4jg2*2
qi B(4BV + 1) ’
Это — метрики Тауба — Мизнера,
0 \
0 \ _ _
0 = <Х*хХ?>л (61>
₽(±) /
*33 /
И* ’ = Из’ = Bt2 + 4J.
Ч. II]
§ 31. НЕКОТОРЫЕ МНОГООБРАЗИЯ ОТО
725
Задача. Докажите, что метрики (61) и (60) определяют
одно и то же многообразие Л/4 в области t > 0. Выразите поля
Ха через Х~ в виде матрицы Л(£), gn)>0.
На орбите t = 0 интегральные линии поля Хр в SU(2) =
= Л/3(0) являются замкнутыми световыми линиями.
Задача. Покажите, что линии старой (синхронной) коорди-
наты х° из области £>0, t = x°/c наматываются на эти окружно-
сти как на предельные циклы. Это — топологически бесконечные
линии конечной длины («неполнота» индефинитной метрики).
Замечание. Интересно обратить внимание на такое свой-
ство метрик Тауба — Мизнера g(Jb\ являющихся аналитическим
продолжением одной и той же метрики Тауба в синхронном вре-
мени (t) из области t > 0: замена переменных в этой области^
переводящая g^? в g^\ аналитически пе продолжима на все
многообразие. Более того, метрики g^b* и й^вообще не изоморфны
на всем многообразии Л/4, так как изометрия между этими метри-
ками в области i>0 единственна, и матрица A(t) перехода от
полей X а к полям Ха неаналитичпа при i = 0 (i — синхронное
время). Таким образом, аналитическое продолжение за фиктив-
ную особенность пе единственно.
Удивляться свойствам метрики Тауба — Мизнера не приходит-
ся; рассмотрим простой пример двумерной метрики на двумерном
многообразии с координатами х, т в области т>0:
т2
ds2 = dx2----г- dx2.
4
Эта метрика допускает группу G: х-^х + х^. Будем считать коор-
динату х циклической: х — х + 2л. Таким образом, здесь G =
= 50(2). Эта метрика синхронна и имеет смысл только при
т > 0. Зададим два продолжения, сделав замены:
т = 2 /п+, х = In и+ —
Т = 2 X = In + l?_.
В координатах (u±, v±) имеем
ds\ = ± 2du±dv± — (dv±yz.
Матрица g^? имеет вид
Координата v± циклическая, —oo < ц,± < co. Замена переменных
от g(^:) к gai? в двумерном случае существует и имеет вид
и+ = v+ = —v_.
Эта замена не обобщается на решение Тауба — Мизнера.
726
ГЛ. 8. РЕШЕНИЯ МНОГОМЕРНЫХ ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДАЧ
[Ч. II
В двумерном примере метрик (ds±)2 линия и±=0 есть пре-
дельный цикл для линий х = const синхронного времени, ортого-
нальных орбитам группы G = SO (2)
(рис. 164).
7. Более общие модели. Известен
ряд других, более сложных однород-
ных моделей с ненулевой материей
которые также обладают «фик-
тивной особенностью» и продолжают-
ся в область, где орбиты группы не
пространственноподобны (там эти ре-
рис шения могут иметь весьма сложное
поведение). Наибольший интерес пред-
ставляют однородные модели с группа-
ми типов I, V, VII и IX (см. § 24 части I), алгебры Ли кото-
рых описываются следующими формулами:
JR3 (тип I), [Ха, ХД = 0;
<j5 (тип V), [Хп Х2] ~ Х2, [Х2, Х3]=0, [Х3, ХД = - Х3;
(тип VII), [Хп Х2] = аХ2 + Х3, [Х2, Х3] = 0,
[Х3, ХД — Х2 йХ3;
<Jo (тип IX), [Хп ХД = Х3, [Х2, Х3] = Х1? [Х3, ХД = Х2.
Эти модели интересны в первую очередь, поскольку в них
содержатся как частный случай изотропные модели Фридмана и
имеем смысл говорить об «изотропизации» метрики прп расши-
рении Вселенной. Простейшим решением такого рода, дающем
«наивное» решение проблемы изотропизации в частном случае,
является метрика Гекмана — Шюкинга (тип I)
з
ds2 = dt2 -- 2 (t + £0)4/3 2Рг dx^
v=i (62)
Ci >0, Pi + p2 + Рз = Pi + P:z + Рз = I*
При t 0 имеем асимптотику решения Казиера (выше), а при
t -> оо асимптотику решения Фридмана.
Для изотропных моделей алгебры Ли их групп движений
имеют вид
G = G±: [Хй ХД = ^kXk, [Уй УД = е^У„,
[Хй УД — 0 (случай S3);
G G*- [Хй ХД = е^Х„ [Хй УД = е£ЛУ/;г
[Уь уд = о (случай R3);
G = GL = si (2, С) (случай L3).
Ч. II]
§ 31. НЕКОТОРЫЕ МНОГООБРАЗИЯ ОТО
727
Укажем в этих алгебрах Ли подалгебры G размерности три
типов I, V, VII, IX, которые транзитивно действуют на много-
образиях 53, R3., L3:
I: [УЙУ,] = О, Z, J = 1,2, 3;
V: [Хп Х2] = Х2, [Х2, Х3] = О, [Х3, XJ = - Х3;
VII: [Хп Х2] = аХ2 + Х3, [Х2, Х3] = 0, [Х3, XJ = Х2 - аХ3;
IX: [Хй Х>] = EijkXk, i, j, к = 1, 2t 3.
Итак, решения Фридмана для изотропного случая являщтся
частным случаем однородных моделей типов I, V, VII и IX, ко-
торые благодаря этому пригодны для исследования их однород-
ных возмущений. (В множестве возможных структурных констант
типы I и V «предельны» для типов VII и IX.)
Оказывается, что решения с фиктивной особенностью не яв-
ляются общими в моделях типов I, VII и IX (и, вероятно, V)
и исчезают при малых возмущениях (они «нетипичны»). Имеется
целый ряд нетривиальных асимптотик при t 0, из которых
наиболее сложной является так называемый «осцилляционный
режим», открытый сравнительно недавно. Эта тема интенсивно
развивалась с конца 60-х годов, и мы не будем здесь входить
в современные вопросы, связанные с «осцилляционными режи-
мами», с проблемой возникающей здесь теории уравнений Эйн-
штейна как качественной теории динамических систем.
В течение 70-х годов было проведено глубокое исследование
эволюции Вселенной в однородных моделях на ранних стадиях
эволюции методами современной многомерной качественной тео-
рий динамических систем. Эти исследования завершили пред-
шествующие работы физиков, открывших первоначально более
элементарными методами сложный осцилляционный режим эво-
люции метрики при сжатии Вселенной к сингулярности, дали
классификацию всех других режимов на ранних стадиях и по-
зволили четко поставить и решить (в рамках теории однородных
космологических моделей) следующий вопрос: как точно опреде-
ляются «типичные начальные состояния» метрики на ранних
стадиях эволюции (по отношению к процессу расширения) и
какими они фактически являются.
В случае модели типа IX (группа G = SU (2))’, если материя
«в среднем» не движется, ц = (1, 0, 0, 0), то метрику простран-
ства можно во все моменты времени считать диагональной в син-
хронном времени:
£оф (0 = (/абар*
Если то уравнения Эйнштейна после замены
времени t т, qhdx = dt, где q = приобретут вид гампль-
728
ГЛ. 8. РЕШЕНИЯ МНОГОМЕРНЫХ ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДАЧ
[Ч. II
тоновой системы с гамильтонианом Н (проверьте!),
Н “ “7Т (ра£а) + ^2 (#«))? pi “ i
. я (64>
3 3
^2 (^1? ^2» ^з) = ^a*
a<f3 a=l
Замечание. В случае I
ся и гамильтониан имеет вид
Имеется связь между Н и
типа система также диагонализует-
Н (р, q) = —---------Ц— Р2 (paqa).
4(Мг?з)
е:
е(£1Мз)1+*== Л ==Я(р, q)>0.
Поэтому «физическая область» 5 cr R6(p, q)
условиями
qa > 0, Н(р, д)>0.
Имеется масштабная группа преобразований:
qa -* Ра Xpa, Н -* А,34-1#.
Для элемента объема q = У—g = qiq^q^ имеем
9=4 (Р191 + ^2 + Рз9з)-
(65)'
выделяется
(66)
(67)
(68)
Отсюда следует, что если g(i0)<0, то q(t)<0 для всех t > t0,
причем —а(?1/3) = — ЯПо?1/3/3<О. Поэтому, направляя время в
dt
сторону сжатия, неизбежно получим точку ij, в которой ?(ii) = 0
(особенность или «фиктивная особенность»). Направляя время
обратно, в сторону расширения, будем изучать стадию q > 0 и
q > 0. Аксиально изотропный случай получим на фазовой поверх-
ности q2 = q3 (или = ?з, Р2 = Рз). Используя масштабную груп-
пу (67), в этом случае можно свести уравнение Эйнштейна к
трехмерной динамической системе. Выбирая координаты
2
?1?1 />191 Чги>
-----Г2------= W = о-------, V =
Р292 + ?39з 2Р292 2р292 ?1
(69)
мы получим систему
= 'и = - ip2 + 2у2 - 2UV1 + (2и - 1)Я2,
ОТ
w = w (и — 1 + 2Н2 — 2i?2),
V = ± V (— к - (1 - к) {и - I)2 - (1 - к) w2—iki>2), (70)
4. HI
§ 31. НЕКОТОРЫЕ МНОГООБРАЗИЯ ОТО
729
при условии положительности метрики и энергии:
И2 > 0, w < 0, v < 0.
(71)
На «границе», где v == 0, получаем в координатах u, ip, v ин-
вариантное многообразие размерности 2 с координатами и, w,
в которых система имеет вид
й = — ip2 + (2u— 1)Я2, w = w(u— 1 + 2Я2),
(72),
Н2 = Ц^(1-(и-1)2-^).
Особые точки имеют координаты:
Ф (седло) и = 1/2, w = 0, v = 0;
С (седло) и = 2, w = 0, v = 0;
N (фокус) и = w = — V\1 + 3/с)(1 — к), v = 0;
О — К о — К
Т (узел) и = w = v = 0.
Картина поведения траекторий (72)’ имеет вид, показанный на
рис. 165. Общая траектория (при сжатии) в силу свойства г?/и<
< 0 стремится к поверхности v = 0. Вся физическая область
в координатах u, w, v имеет вид Н2 > 0, w < 0, v < 0. Прибли-
жаясь к границе и = 0, траектория при-
мерно повторяет картину траекторий т ф &
на границе ^ = 0 (см. рис. 165). Сена- <зг-------?
ратрисы («усы»), входящие изнутри 1Х / /'"“"Х /
физической области в особые точки ти- \\ ( (\ /
нов Ф, 2V, Г, дают решения уравнений vLx/ / z
Эйнштейна, где при t -> 0 метрика име- ---
ет асимптотику
д Рис. 165
(Ф) 9i^cii3(1“fe)
(в частном случае здесь имеем решения Фридмана 71 = 72 = 73);
(Г) д^с^2, =
(в частном случае при q2 = qz здесь имеем решение Тауба);
1-k З-t-k 34-Ь
(TV) q^crtr+k, q2^c2t2(l+h\ q3^c3t2<~1+h).
Таким образом, имеется достаточно много асимптотик типа Г,
дающих фиктивную особенность в том более слабом смысле,' что
метрика gafJ может быть лить непрерывно продолжена (без вто-
рых производных). Плотность энергии имеет «слабую» особен-
ность (тип Т) е ~ r_(1+A>(e(g1g2g3)1+A = const).
47 Б. А, Дубровин и др.
730 ГЛ. 8. РЕШЕНИЯ МНОГОМЕРНЫХ ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДАЧ [Ч. II
Без гипотезы аксиальной изотропии тип Т уже не будет «об-
щим» в модели типа IX.
Для более простых I и V типов, если материя не движется
(u° —1 ииа = 0 при а = 1, 2, 3), исследование уравнений Эйн-
штейна без гипотезы аксиальной изотропии сводится к динами-
ческой системе на фазовой плоскости.
Подробное описание этих и других результатов теории одно-
родных космологических моделей читатель найдет в книге [49]г
см. также [50]. Обсуждение ряда важных физических аспектов^
релятивистской космологии содержится в книгах [38], [39], [47].
Проведенное выше качественное исследование динамики одно-
родной аксиально изотрбПйбй модели типа IX на ранней стадии
эволюции методологически. весьма интересно. Оно показываем
что «типичные» состояния, отвечающие процессу сжатия (окрест-
ность типа Г), не совпадают с «типичными» состояниями, отве-
чающими процессу расширения (окрестность типа /V). Это сразу
же видно из рис. 121, где стрелки отвечают процессу сжатия.
Строго говоря, термин «типичные состояния» здесь означает сле-
дующее. Если взять случайное начальное условие и решать урав-
нения Эйнштейна в сторону сжатия, то достаточно близко к осо-
бенности с вероятностью 1 мы окажемся в фазовой окрестности
типа Т в этой модели. Для процесса расширения точное опреде-
ление типичного состояния более сложно. Здесь уместно восполь-
зоваться построенным выше трехмерным фазовым многообразием
в координатах и, у, ip, где возникают «бесконечно ранние» со-
стояния; им отвечает кусок плоскости и = 0, #2^0, так как
и -> 0 при сжатии пространственного объема к нулю. Учитывая
этот ансамбль бесконечно ранних состояний (которых, строго го-
воря, нет в физической области фазового пространства р>0,
Н2 > 0), получаем естественный подход к определению понятия
типичного состояния метрики на ранней стадии эволюции Вселен-
ной по отношению к процессу расширения (а не сжатия!). Сле-
дует задать случайное начальное условие па некотором малом
расстоянии е>0 от границы, например, где |р|=е. Затем, ре-
шая уравнения Эйнштейна в сторону расширения, нужно по-
смотреть развитие компонент метрики; пе исключено, что за ма-
лое время £0(е) компоненты метрики успевают сосредоточиться
в некоторой более узкой части фазового пространства, в окрестно-
сти определенных режимов, где £0(е)->0 при е -> 0. Выделенные
таким образом режимы (при естественных гипотезах на распре-
деление начальных данных при |и|=е) назовем «типичными
ранними состояниями», отвечающими процессу расширения Все-
ленной в данной космологической модели. Как видно из рис. 121^
после поворота стрелок в аксиально изотропной модели типа IX
процессу расширения будут отвечать типичные состояния в ок-
рестности типа N в отличие от сжатия, которому соответствует
класс типичных состояний в окрестности типа Т.
Ч. И]
§ 32. ГЛОБАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ЯНГА — МИЛЛСА 731
Анализ полностью анизотропных космологических моделей
приводит к более сложным динамическим системам. Итоги этого
анализа (и он сам) обсуждаются в книге [49]. Во всех достаточно
сложных однородных космологических моделях процессу сжатия
с вероятностью 1 отвечает осцилляционный режим Белинского —
Лифшица — Халатникова (БЛХ) (см. также конец книги [38]),
которому соответствует в качественной теории весьма интересный
в некотором смысле «странный» аттрактор динамической систе-
мы Эйнштейна, лежащий на границе (после построения правиль-
ных координат) физически допустимой области фазового про-
странства, куда скатываются все траектории при уменьшении
объема (стремлении к особенности).
Заметим, в частности, что в ОТО без космологической по-
стоянной процесс сжатия не может быть устойчиво изотропным
и флуктуации неизбежно выведут на сложные режимы типа БЛХ,
которые упираются в аналитически сложную, никуда не продол-
жаемую особенность. Из этого вытекает, в частности, неправо-
мочность рассмотрения какой-либо «предшествующей» стадии
жизни Вселенной, где сжатие предшествовало расширению.
Процессу расширения, как оказывается, отвечают совсем дру-
гие, более регулярные типичные ранние состояния эволюции; их
•определение аналогично аксиально изотропной модели типа IX
(см. выше), но более сложно. Среди этих состояний имеются
только степенные асимптотики — квазиизотропные типа Ф, ти-
пов A, Z1 и некоторые другие. В некоторых случаях эти степенные
асимптотики носят промежуточный характер и до двух-трех раз
успевают сменить друг друга на ранней стадии. Они довольно
слабо зависят от типа однородной модели. Можно утверждать, что
в итоге с большой вероятностью уже весьма рано (в точном смыс-
ле, указанном выше) успевает установиться квазиизотропный
режим типа Ф, где темп расширения «почти», т. е. в главном чле-
не асимптотики, изотропен, хотя сами компоненты метрики мо-
гут не быть изотропными. Настоящей, точной изотропизации
Вселенной — стремления уже на ранней стадии именно к модели
Фридмана с подавляющей вероятностью — из классической ОТО
не следует. Таковы современные итоги теории однородных космо-
логических моделей.
Общее исследование моделей IX и VII типов приводит
к асимптотическим режимам, которые уже на ранней стадии рас-
ширения «изотропизуются» в некотором слабом смысле [49].
§ 32. Некоторые примеры глобальных решений
уравнений Янга — Миллса. Киральные поля
1. Общие замечания. Решения типа монополей. Напомним,
что поле Янга — Миллса Ад(х) со значением в алгебре Ли груп-
пы G — это просто локальная форма записи связности в расслое-
47*
732
ГЛ. 8. РЕШЕНИЯ МНОГОМЕРНЫХ ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДАЧ
(Ч. II
нии со структурной группой G. Здесь х — локальные координаты
в области U базы главного расслоения р: Е М, над которой за-
дано разложение в прямое произведение (см. § 24)
Мы будем рассматривать далее группу G = SU(2) и базу U —
— Кп=М,где п = 3, 4, причем связность «тривиалиэуется» при
Ы -> оо. Это значит, ЧТО при Ы оо
(1)
дх
где g(z) — функция со значениями в G. Кроме поля Ла(х), будем
рассматривать также поле ф(я) со значениями в векторном про-
странстве V, на котором задано линейное представление груп-
пы G. Для простоты будем считать, что V — это также алгебра
Ли группы G, на котором алгебра Ли действует по формуле
А ad А: ф -> [Л, ф]
(присоединенное представление). Лагранжиан поля ф в отсут-
ствие связности должен иметь вид
L (ф) = у di|)> — и (| |2),: (2)
где скалярное произведение в пространстве V определяется фор-
мой Киллинга (см. § 3), скалярное произведение <дф, дф> опре-
деляется формой Киллинга на V и метрикой базы gab(x). В при-
сутствии связности Ла(я) следует сделать замену
да -> да — ad Аа (х) = Ve, (3J
и ввести полный лагранжиан полей ф и Л (см. § 42 части I)
L ('l’. А) = у <v4>, V4’> — и (| р) + 1 Sp (FabFab)t (4)
где
3Ah dA
Fab = ~dTa~dJ + (Ла’ Ль1'
Переходя к постановкам глобальных задач, следует считать поле
ф(я) сечением некоторого векторного расслоения со слоем V и
структурной группой G. О базе этого расслоения, если это не об-
ласть в мы отдельно скажем потом.
О функции и мы предположим, что и>0 и ее график имеет
вид, показанный на рис. 166.
Нас будут интересовать случаи п = 3 и п = 4.
Рассмотрим сначала случай п = 3. Пусть G=5t7(2), ф(я) —
трехкомпонентное вещественное поле, операция в алгебре Ли —
векторное произведение, база — евклидово пространство R3. Рас-
Ч. II] § 32. ГЛОБАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ЯНГА — МИЛЛСА 733
сматриваем стационарную задачу для величины
S (ф, 4} = J <Рх [А <V4>* W> ~ u (I I2) + 4 Sp (F»bFab)}. (5)
R3
Определение. Вакуумным решением уравнения 65 = О на-
зывается поле (гр, Л) такое, что:
a) Fa& = 0;
б) н(|гр|2) = min, гр = const = гр0;
в) <v4\ V*P=0-
Поскольку метрики базы R3 и слоя V = R3 евклидовы, из этого
определения следует, что для всех х
a = 1,2,3,
дх
(в):
[4a(x), ф] = 0.
Поэтому поле Ла(х) направлено по оси гр = гр0 в алгебре Ли и
является градиентом числовой функции Ла(х) = аа(х)гр0, аа(х) =
= Добавляя к Аа градиентное слагаемое, мы сделаем поле
дх
А а нулевым.
a 5
Рис. 166
Множество вакуумных решений образует сферу 52 векторов
гр0 е V = R3, задаваемых условием
1гро12 = 1 (7)
в силу свойств функции и» В этом случае говорят, что вакуум
«вырожден».
Класс допустимых полей (Л, гр) в постановке вариационной
задачи 65 = 0 для функционала (5) определяется требованием:
при 1x1 -> оо поля (Л, гр) должны стремиться к «вакуумным»
решениям, у которых 4 = 0 и гр = гр0. При этом вектор гр0 не обя-
зан быть одним и тем же для всех направлений ухода
734 гл. В. РЕШЕНИЯ МНОГОМЕРНЫХ ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДАЧ
(Ч. II
Если ipo зависит только от направления х = 1x1 |п| =1, 1р0 =*
= ipo(n), то имеем отображение
ip0: S2 -> S\ (8);
которое направлению n&S2 сопоставляет точку 'фо(п) из «ваку-
умного» многообразия u(lip0l2) = min. Отображение яро определяет
«граничные условия» на бесконечности для полей (тр, Л). Степень
отображения tp0: Sz -> S2 дает нам целочисленный топологический
инвариант вариационной задачи в R3.
Лагранжиан (5) инвариантен относительно калибровочных
преобразований
Аа (х) g (х) Аа (х) g-1 (х) — g-1 (х),
дх
(9)
m-1 = rg(ip),
где функция g(x) со значениями в G определена на всем R3 и
при 1x1 -> <», х = 1x1 • п, имеет предел:
g(x)»goo(n): 52->G. (10)
Используя этот произвол, можно менять отображение 1ро5
52 -> 52, определяющее граничные условия на бесконечности.
Лемма. Если отображения S2~>S2 и гро2): S2->S2 го-
мотопны {и только в этом случае), можно найти такое отобра-
жение g^: S2 -> G, гомотопное нулю (или продолжаемое на все
R3), что
г|’о2) («) = Tg^) ^г) (га) = gTO (га) (га) g'1 (га), (11)
где п — единичный вектор из 52.
Доказательство. Группа G = SU(2) транзитивно дейст-
вует на сфере 52. Рассмотрим расслоение л: GXS2 S2XS2, где
отображение л задано формулой л(^, n) = (gn, п). Определим
отображения Ч^, 4rt: SZ-+SZXSZ следующим образом:
Ч'о (га) = W” (га), ipo1’ (га)), (га) = (^2> (га), ’ (га)).
Из гомотопности ~ г|)<2) вытекает гомотопность отображений
Ч'о и Ч^. Гомотопию УИ *, связывающую эти два отображения,
можно накрыть гомотопией Ф t в пространстве расслоения G X S2,
причем полагаем (по определению), отображение Фо: S2-> GXS2
имеет вид
Т0(га) = (1,^1)(га)),; лФ0 = Чг0.
Тогда отображение S*-+GXSZ имеет следующий вид:
п)> гДе S^(u) и есть искомое отображение g^:
Ч. И] § 32. ГЛОБАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ЯНГА — МИЛЛСА 735
S2 -> G. Из построения очевидно, что гомотопно отображению
в единицу группы. Лемма доказана^
Вследствие леммы 1 отображение гр0: S2 -> S2 можно заменять
на любое• гомотопное ему. Таким образом, граничное условие
определяется гомотопическим классом
к = [!р0] 6= л2 (S2) = Z.
Примеры. 1) При к == 0 калибровочным преобразованием
можно сделать гро — const (Ы ->о°). Можно считать, что гр0 =
= (0, 0, 1).
В этом случае говорят о «потере симметрии» теории (остается
только группа SO(2)c=G вращений в плоскости векторов (1, 0, 0)
и (0, 1, 0)— «малая группа вакуума»). С целью дальнейшего по-
строения теории возмущений около вакуумного состояния, делают
замену гр = гр0 + гр, fa(x) = (Аа(х) )3, - (В1)а = (Аа)1, (В2)а = (Аа)2.
Получим новый лагранжиан
Г(/а, В\ Z?2, гр) = £(гр, А).
Если потенциал u(£)=u(lxp!)2 имел вид, показанный на
рис. 166, а, и п^(1)=т2>0, то получаем (положив гр1 = хр2 = 0
и разлагая и в ряд по £ в точке гро=(0, 0, 1)—см. задачу ниже}
ь = у 2 М)2 - 2т2Ф + Т (I в112 + I5212) -
а
— у (| rot В112 4- I rot В212 4- I rot f I2) + ...
где остаток состоит из членов 3-го порядка и выше по полям /,
В. хр = гр3.
Задача. Покажите, что калибровочным преобразованием
можно добиться хр1 = гр2 == 0.
2) При к=\ можно считать, что гр0(п)==п для отображения
хр0: S2-> X2. Это отображение «сферически симметрично». Физика-
ми найдено интересное сферически симметричное решение урав-
нений Янга— Миллса 65 = 0 для функционала (5):
Аа = О, (Г) QaijXfo
грг = хг^-^, г == | х 02)
при г-> оо и(г)-+и^ а(г)~>----
при и (г)—>-const* г, а (г) -> const.
Так как граничное отображение на бесконечности
хр0: 52 5% гр0 (n) = п g= R3 = (гр\ гр% гр3)г
736
ГЛ. 8. РЕШЕНИЯ МНОГОМЕРНЫХ ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДАЧ
(Ч. ГТ
имеет степень 1, то его продолжение до гладкого поля ф (х)
в R3 — (х1,х8,х3) должно иметь точки, где ф = 0. Итак, существу-
ет гладкое решение L4a(x), ф(х)}, где ф(х) неизбежно обращает-
ся в нуль в R3 в некоторой точке х0 (пусть эта точка одна).
Имеется . интересное отображение, сопоставляющее паре
(Яа, ф) скалярное поле /а(х), которое удовлетворяет уравнениям
Максвелла в пустом пространстве всюду, где ф¥= 0 (т. е. вне
точки х0):
дх$ дха'‘
= рф~[ Ф*^а6 I |з ег^Фг (Уаф>) (урФ/г)
(13)
Из вида этого отображения и из (12) следует, что интеграл от
„ _ dfa
ПОЛяЯар д^ дхЛ
по сфере большого радиуса равен 4л. Поэто-
му из несингулярного решения уравнений Янга — Миллса по-
лучается так называемый «магнитный монополь». Отображение
(13) сопоставляет паре (Ла, ф) расслоение в области R3\x0, где
Ф(яо)=О, с абелевой структурной группой 50(2) = 51, причем
решение уравнений Янга — Миллса переходит в решение уравне-
ний Максвелла для стационарного магнитного поля Я= (Яа^)=«
дх$ дха
2. Уравнение дуальности. Перейдем теперь к случаю п = 4.
Вообще говоря, рассмотрение возникающих в физике лагранжиа-
нов требует решения уравнений Янга — Миллса типа 65 = О
в пространстве Минковского К? для полей Ла(х) и некоторых
полей ф (возможно, тензорных или спинорных). Уже само «чи-
стое» уравнение Янга — Миллса при отсутствии других полей ф
является нелинейным и довольно сложным в отличие от обычных
уравнений Максвелла. Для пространства Rf нетривиальные ве-
щественные решения этих уравнений не известны. В физической
литературе найдены серии решений для евклидова пространства
RS некоторые из них мы далее опишем. Считается, что они так-
же могут оказаться физически полезными. Кроме того, эти реше-
ния весьма интересны с чисто математической точки зрения и
имеют глубокий геометрический смысл. Будем рассматривать да-
лее функционал Янга — Миллса 5 = J Sp(Fa^Fa&)d4XB евклидо-
ва
вом пространстве R4 с евклидовыми координатами х1, х2, х3, х\
При |х| ©о мы будем требовать, чтобы
F ab Qg (*^)
dg (J)
дха
g 2(х).
(14)
Ч. II] § 32, ГЛОБАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ЯНГА — МИЛЛСА 737
Фактически мы будем требовать, чтобы при вложении R4 в 84
в качестве дополнения к верхнему полюсу в Si связность Аа(х}
гладко продолжалась в этот верхний полюс; расслоение со связ-
ностью в R4 является частью расслоения с базой 84, рассмотрен-
ного на области R4 cz 84. Топологический инвариант расслоения
с группой G~SU(2) задается степенью отображения
83->8C/(2)^G, degg^w, (15)
где при |х| ©о и х = |х| • п имеем
ОХ
Другая запись этого числа в виде «характеристического класса»
обсуждалась также в § 25:
т {F} = Sp [ -Ц F^F^d^x = Sp [ -Ь Fab (*F)ab d*xt (16)
J 8 л J 4л
R4 K4
ИЛИ
TO{F}= Д [Sp(F/\*F) (17)
4л J
R4
на языке форм (*F —- это «дуальная» форма к F ~ Fabdxa Д
Д dx\ *F =^eabcdFabdxc Д dxd}* В евклидовой метрике величина
Г = I f Sp [Fab - (*F)ab] [Fab - (*F)ab] d*x (18)
« J
R4
является неотрицательной, T 0.
Пусть выполнено уравнение
Fa6 = (*F)rt; (19);
это равенство равносильно равенству Т = 0. Далее,
Т = IJ Sp (FabFab) &х + | J Sp (*Fab) (*Fab) d*x -
R4 R
— J Sp (F^F^} d*x = S{F} — Wm {F) > 0.
R4
Так как m{F} — характеристический класс, получаем:
1) уравнения 8Т = 0 и 68 = 0 эквивалентны;
2) более того, так как Г^=0, то выполнение уравнения Fab~
= *Fab для поля Янга — Миллса равносильно тому, что мы имеем
абсолютный минимум функционала 8(F) при заданном числе
ттН/?} — тп и этот минимум равен иг.
738 ГЛ. 8. РЕШЕНИЯ МНОГОМЕРНЫХ ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДАЧ [Ч. II
Итак, если мы найдем для каждого числа т хотя бы одно ре-
шение уравнения Fab = *Fat>, то тем самым мы строго докажем,
что минимумы функционала S {2^} = Sp j Fa^F^d^x при указан-
ий
ных граничных условиях описываются уравнением (19).
Задача. Докажите, что решения уравнения (19) удовлетво-
ряют также уравнениям Янга — Миллса.
Для m == 0 имеем «тривиальное» решение ^a& = 0.
Для т = 1 будем искать «сферически симметричные» реше-
ния в виде (G = SU (2))
(20)
± 4 = у (2“ ± 4 еш4'), 4' e SO (4).
Ответ мы окончательно получим такой («инстантон»):
4 = / (Г) (х*8а — Х;6а),: Г = | X |,
= г2 ^2-
Для любого т > 1 известны решения вида
АИ = —^ 2 (х —\)2 \
(21)
(22)
Паули (см. § 14 части I). Общее решение (зависящее от 8т — 3
параметров) пока в хорошем виде не получено, хотя здесь имеет-
ся ряд глубоких результатов. Заметим, что лагранжиан Янга —
Миллса (точно так же, как и для обычных уравнений Максвелла;
см. § 42 части I) конформно инвариантен. Поэтому можно перей-
ти от R4 к сфере на которой метрика является конформно
евклидовой (группа конформных преобразований сферы изо-
морфна 0(5, 1); см. § 15 части I).
Имеется естественное расслоение
р-.
со слоем 5й (см. § 24). Напомним его построение. Группа 50(2)
действует на С4 = С2 Ф С2 обычным образом на каждом слагае-
мом С2;
g
(z1, z2, u?1, u?2)-*(g(z1, z2), g(u?\ u>2)), g^5O(2).
По определению
CP’ = (C4\{0})z(5O (2) X R+\
S* = (C4\{0})/(SC7(2) x R+\
Ч. II] § 32. ГЛОБАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ЯНГА — МИЛЛСА 739
Поскольку 5О(2)с= SU(2), возникает расслоение р:
Слои р-1 (х) = СР1 СР3 лежат в СР3 как проективные прямые.
Решением «уравнений дуальности» (19) является связность в не-
котором расслоении т) над 54 со слоем С2 и структурной группой
G = SU(2). Рассмотрим расслоение р*(л) над СР3 с поднятой
связностью (тривиальной над слоями р~*(х)). Во всяком комп-
лексном (не обязательно голоморфном) расслоении со связностью
над комплексным многообразием (здесь над СР3) имеется,«квази-
комплексная» структура. Это означает, что в пространстве Е рас-
слоения р*(л) связность естественным образом порождает «гори-
зонтальные» направления и тем самым операторы «ковариантной»
производной, действующие в функциях на Е, Пусть U — область
в базе U а СР3 с комплексными координатами z1, z2, z3, za =
n т • г>4-я у у д д д
= х + ixa+ , и операторами дифференцирования —
dz ' dz dz
Локально имеем р-1 (U) с Е, р-1 (U) = С2 X U. Координаты в С2
обозначим через w1, w\ Имеем набор операторов, задающих
«квазикомплексную структуру»,
d d D D D
dv* D?' D?1 Ъ?' ( 1
ГДе D? = 7? + Aa = “ 1 d^+3 + Aa ~ lAa+3‘ Условие интег'
рируемости означает, что все операторы (23) коммутируют.
В этом случае в пространстве расслоения Е возникает структура
комплексного многообразия с локальными комплексными коор-
динатами z, w, Само расслоение р: Е~> СР3 окажется тогда голо-*
морфным (т. е. отображение р голоморфно).
Задача. Покажите, что уравнение дуальности для расслое-
ния т) над 54 эквивалентно коммутированию операторов (23) в Е
пад СР3.
Таким образом, задача нахождения решений уравнения дуаль-
ности сводится к теории голоморфных расслоений над СР3, где
с успехом применяются методы алгебраической геометрии.
3. Киральные поля. Интеграл Дирихле. К числу нелинейных
полей, интересных физически и таких, в которых возникают то-
пологические явления, относятся так называемые киральные поля.
Наиболее общим (локально) киральным полем является функ-
ция 4'(x) на пространстве !]?11 со значениями в некотором нели-
нейном многообразии М. Глобально такое поле может быть сече-
нием некоторого расслоения со слоем М,
Фактически, интересные киральные поля являются в ситуа-’
ции, когда М — однородное пространство группы Ли,
740 ГЛ. 8. РЕШЕНИЯ МНОГОМЕРНЫХ ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДАЧ f4. II
Главными киральными полями называются такие, у которых
M — G (группа Ли). Будем считать эту группу компактной и
фиксируем на ней двусторонне инвариантную метрику. Другой
важный тип киральных полей — это случай, когда М = G/Н яв-
ляется симметрическим пространством компактной группы G
со стационарной подгруппой H<=G (см. § 6). Простейший пример
такого рода:
M = S* = SO(q+l)/SO(q).
Будем представлять сферу как множество единичных векторов
В этом случае имеем, как говорят, «n-поле» п(х).
Киральным полям отвечают лагранжианы, имеющие в важ-
нейших случаях следующий вид:
а) Случай главного кирального поля g(х) GL Положим
Ла (#) == g~x (х) (это — элемент алгебры Ли),
дха
S = j 4 (Аа(х), Аа(х)) dx1 [\dx- /\dxa Д .. . Д dx\ (24)
Для G — SO(2) поле Аа имеет вид градиента скалярной функ-
ции <р(х):
g(x) = exp{i<p(x)}t
Уравнение 65 = 0 сводится к уравнению Лапласа.
Для G — SU(2) это уравнение не столь тривиально. Пусть
Аа(х) = XiAl(x)^ где Л4— скалярные функции и Х2, Х3 —
базис алгебры Ли, в котором [Хь Х2] == Х3, [Х2, =
[А3, Xj = X2. Можно считать, что поля Ла(я) составляют связ-
ность нулевой кривизны:
дА дАк
^оь = -та-—ь + Ма,А] = °. (26)
дх* ах
Уравнения 65 = 0 сведутся, кроме (26), к такому соотношению:
<9 Л
н=0 (27>
дха
(докажите это). На компактной некоммутативной группе G лю-
бой размерности имеется стандартная двусторонне инвариантная
3-форма Q, определявшаяся в точке g = 1 на алгебре Ли с по-
мощью коммутатора [,] и формы Киллинга < , >:
Q(X, У, Z)=<[^, У], Z> (28)
(смешанное произведение). Здесь X, У, Z — элементы алгебры
4. Ill § 32. ГЛОБАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ЯНГА — МИЛЛСА 741
Ли, рассматриваемой как касательное пространство к группе G
в точке g=l (см. § 3). Форма Я замкнута (это легко проверить
непосредственно; впрочем, это вытекает из ее двусторонней ин-
вариантности) и никогда не эквивалентна нулю в когомологиях,
т. е. Я^йЯ7. Для случая G = SU(2) форма Я есть элемент объ-
ема на SU(2) = S3, где J Я = 1.
S3
Для главного кирального поля g(x) на R3, у которого g(z)^,
go при g оо, имеем топологический инвариант
Иел3(С).
(Для G = SU(2) этот инвариант совпадает со степенью отображе-
ния R3 U{°°} = *53—>53и вычисляется по формуле [g] = j g* (Я).)
r3
Напомним, что функционал Дирихле имеет вид
S{g} = 4j (29)
[R3
где
и уравнение 6S = 0 таково:
57(5г"И) = 0 (30>
Для функционала Дирихле (29) нет, однако, никаких «топологи-
ческих» оценок на абсолютный минимум при заданном [g], ана-
логичных случаю R2 (см. ниже). Рассмотрим «подправленный»
киральный лагранжиан («модель Скирма»)
{g (*)} = 4 J <Л- А> + 62 <м, А], [А, 4]>, (31)
R3
где [Л, А]аь = [Ла, Аь] — форма степени 2 (кососимметрический
тензор) со значением в алгебре Ли. Как найти минимум при за-
данном топологическом инварианте d= deg[g(^): (R3 (J oo)->G] для
случая G = SU (2) и функционала *Sa? Рассмотрим новый функ-
ционал
S6 + Т = 4 j <4. + б8аЬс [Ди Ас],. Аа + 6е<^ [Аь, Ас]> d3x
742
ГЛ. 8 РЕШЕНИЯ МНОГОМЕРНЫХ ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДАЧ
•14. U
или
$6 4- j 26 (Аа, еаЬс [А, Л]> d3x = S6 4- const d >0. (32)
R3
Для минимума мы должны иметь (если этот минимум дости-
гается при нулевом значении (32)):
Аа 4- аеаЬс[Лд, Лс] = 0.
Получаем систему уравнений на функцию g(x):
At = —а[Л2, Л3],
Л2 = +а[Л4, Л3],
Л3 = — a[Ah Л2],
(33)
где
Аа = д-^е-Цх\
дх
дА dAh
Отсюда следует, что /1а(^)=0, так как Л = 6го1.Л.
Вывод. Для подправленного кирального лагранжиана мини-
мум (если он достигается при заданном d) больше, чем он был
бы, исходя из «тривиальной» оценки (32). При отыскании мини-
мумов нельзя заменять оценку на точное равенство в отличие от
поля Янга — Миллса в К4 и n-поля в К3 (см. ниже). Подправ-
ленный киральный лагранжиан (31) не является конформно ин-
вариантным, а поэтому его рассмотрения для S3 и R3 дают раз-
личные результаты. Для №, например, тождественное отображе-
ние 53 -* S3 дает минимум, удовлетворяющий равенству (33)»
Проверьте это.
б) В случае n-поля п (х) е cz имеем простейший лаг-
ранжиан («интеграл Дирихле»)
S{n(x)} = (34)
д \ дх дх /
R& А
Для случая k = q, вводя граничные условия n(x}-+nQ при
Ы-*оо, мы получим топологический инвариант поля — степень
отображения Sq -*
d = deg n = J n* (Q)
R?
(cm. § 13) , где [ Q = 1 — элемент объема на Sq.
Sq
Ч. II] § 32. ГЛОБАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ЯНГА— МИЛЛСА 743
Рассмотрим случай q = к = 2 и решим задачу на нахождение
абсолютных минимумов действия 5 при заданной степени Л. Если
ua(a= 1, 2) — локальные координаты на сфере S2 и х,1(а = 1, 2) —
координаты на плоскости то
S {п (х)} = [ g<*ga₽ д£ dx1 A dx\ (35)
J ох ох
R®
где g“b = Sab — метрика на R2 и gap — метрика сферы S2 в коорди-
натах и2, а отображение п(х) задается формулой
n(x)={ua(x‘, х2), a=l, 2).
Замечание. Формула (35) определяет «интеграл Дирихле»
5{п) для любого отображения пл М N, где (ха) — локальные
координаты М. gab — метрика в М, (иа)— локальные координаты
в gap — метрика в 2V.
Задача. Если N = G — группа Ли с двусторонне инвариант-
ной метрикой, то интеграл Дирихле приобретает вид (29) для
действия главного кирального поля.
Вернемся к случаю М = R2, N = S\ где х\ х2 — евклидовы
координаты в R2. Пусть и1, и2 — конформно евклидовы координа-
ты в 52\<», в которых метрика имеет вид (см. § 13, часть I)
- J rrj а 4 (du1)2 + 4(du2)2 4dzdz
gapdu du - (1 + (ц1)2 + (ц2)2)а - (1 + ( z
где z — z? + ш2, w = x1 + ix\ Отсюда
I I2 । I ^z I2
S {n} = 2i f ------LM dwdw. (36)
' < (1 + UI22 v ’
Rz
Степень отображения n: S2 S2 вычисляется по формуле
R2 \ /
= 4- --V2dx dy^ (37)
"J(1+ И88 '
где и = v = u2, x = x1, у = x2. Разность
S{n} — 2л deg n
имеет вид
5 — 2л deg n = j" ^+^+.t’»)2l dxdy >0. (38)
B?2
Отсюда имеем вывод:
744
ГЛ. 8. РЕШЕНИЯ МНОГОМЕРНЫХ ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДАЧ
[Ч. II
1) Для отображений п(х) степени d имеется неравенство
5 — 2л deg п = S — 2nd > 0.
2) Для абсолютных минимумов функционала S в гомотопиче-
ском классе d > 0 это неравенство является равенством 5mln а=в
= 2лД которое равносильно равенствам
их = иу, иу = —их (39)
(т. е. уравнениям Коши — Римана). Наоборот, если (39) верно
и deg п = d, то имеем минимумы функционала S в этом гомотопи-
ческом классе. Итак, минимумы функционала S — это голоморф-
ные отображения гг. S2S2 и только они: z = Р (w)/Q(w), где
Р, Q — многочлены. Этот важный результат, полученный сначала
в геометрии, а затем в физике, применялся в теории ферро-
магнетизма.
Разберем тот же самый пример с другой точки зрения. Сфе-
ра 52 есть однородное пространство
52 = 5О(3)/5О(2) = 5О(2)/О(1) = О/Я,
и, более того, симметрическое пространство (см. § 6). Точно это
означает, что алгебра Ли группы G разлагается в сумму L =
= L0 + Lt, причем [£о, Lq] = Lq, [Lo, LJ с и [Д, Lj с= £0;
здесь Z/o — алгебра Ли стационарной подгруппы Н G. Подпро-
странства Lo и Li ортогональны относительно формы Киллинга.
Другое изложение теории n-поля таково: рассмотрим поле
g(x)^G и будем считать эквивалентными поля g(x) и e^{x)g(x)
для любой функции ег<р(х) «= //. Переход g(x) e^{x)g(x) является
«калибровочным» преобразованием. Фактически классы эквива-
лентности— это поля n(x)^G/li. Рассмотрим «киральный лаг-
ранжиан»
S{g(x)} = 4- <Л, (40)
где Аа (х) =
дт
ние, совпадающее на
Киллинга и нулевое
(х), <Л, означает скалярное произведем
подпространстве алгебры Ли L с формой
на Lq. При калибровочном преобразовании
g(z)-> ei<f{*'g(x) = g(x)
имеем
Л = eMxMe-1<F(x) + Г?ф,
(41)
где компонента i^cp лежит в LQ. Следовательно,
S{g(z)} =S{g(x)}
и лагранжиан (40) корректно определен на классах эквивалент-
ности G/Н. В нашем случае G = 5O(3), 11 = SO (2), и поле Ла
Ч. Il] § 32. ГЛОБАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ЯНГА— МИЛЛСА 745
в; = Ai - iAi„
__ 54»
^аЬ л b я а •
дхи дх
имеем
трехкомпонентпо, Аа = + Ааег + Л^2, где
1^0» ^11 = ^1» 1^1» €%] = в0, [б?2» £?о] =
<^0, eQ)Li = о, <elt er)Li = <б?21 е2>^ = ls (42)
<ei9 ej>Li = Ot i¥=b
Вектор eQ порождает £0, векторы eit e2 порождают Lit Уравнения
Fab = 0 имеют вид
лд$ дА&
7ьП--Н + Иа,4,р = 0); (43)
где а = 1, 2, 0 = 0, 1, 2. Положим
= Аа “h iAat,
Аа = ifa,
Из соотношений (43) при [3 = 0
fab = const -(BJ3* — В2В*) (45)
(напомним, что мы работаем в двумерном пространстве, а = 1, 2),
Из (43) при р = 1, 2 получаем
дВ дВ
-А-^ = В^-ВЛ (46)
дх дх
Введем «ковариантные» производные
Очевидно, что
D А - ВгВ, = 0, (47)
и,варьируя функционал (34), получаем
дВа
~^ = 2faBa' (48)
Поле tfa^Aa является калибровочным, так как согласно (41)
имеется градиентное преобразование
/а“>/а + -“и
ох
Ва е*Ва.
Итак, мы свели теорию n-поля к уравнениям комплексного век-
торного поля (Ва), взаимодействующего с калибровочным по-
лем /о, где на тензор напряженности /о6 наложена дополнитель-
48 б. А. Дубровии и др.
746
ГЛ. 8. РЕШЕНИЯ МНОГОМЕРНЫХ ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДАЧ
14. II
пая связь:
df« dfh / *
lab = т-ь — r~a = const • — BiBl). (49)
дх дх
Топологический инвариант n-поля определяется в этих пере-
менных интегралом от напряженности
J /udx1 А = 27 ф (М*1 + А^2) =
R2 ГиГ^,
5 = const • f — В2В*) dx1 Д dx2;
R2
здесь контур Гм есть окружность большого радиуса R -> <»,
аГ = U Гй где Г<—мелкие контуры размера е-> 0, охватываю-
i
щие особые точки и имеющие правильную ориентацию. До-
пущение особенностей в конечных точках необходимо для соот-
ветствия с теорией n-поля п(х): точки х< = тг1 (°°) будут выгля-
деть как особые в нашей записи. В этих точках поля (Z?a, /а)
могут быть не определены, так как отображение n: S2 -> № не на-
крывается глобально отображением g: 52->5О(3) (или SU{2)) —
в одной точке °° е 52 сечение расслоения S3 -> S2 становится
многозначным и вместе с ним становятся многозначными функ-
ции g(x) ДЛЯ Х^П~1(°°У'
Если z — комплексная координата на 52\оо, то SO(3)-ин-
вариантная 2-форма имеет вид (см. § 13 части I)
Q = 7 ^2 • (50)
(1 + UI)2
Форма n*(Q) имеет вид
n* (Q) = const (BrB2 — В^) dx1 Д dx2 = co Д co, (51)
co = B^dx1 + B2dx2.
Если w = x1 + ix2 — комплексная координата в R2 и отображение
л = z(w) голоморфно, то
л /гл\ I dz I2 dw Д dw A —
n* (Q) = — ----------5-5- = Ш Д Ш. (52)
7 I du’l (1 + \г(ш) I2)2 M 7
Можно проверить, что форма <в = Badxa имеет вид
ю = £ГнД5 * = Badxa' +
Действительно, голоморфные n-поля z(w) дают абсолютные мини-
мумы функционала
5 = J <Аг А>Li d2x = j BQBQdw f\dw = [ (BxBr 4- B2B^ dw Д dw
R2 Ra Ra
(53)
Ч, Щ § 32. ГЛОБАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ЯНГА — МИЛЛСА 747
при условии
J n* (Q) = A, J (^1^2 — ^2^1) dw f\dw = d.
R2 R2
Рассмотрим величины
5+4" f n* (Q) = С (В1В1 + В2В2 + i (В.В, — BJ3J) dw f\dw «
A J J
Ra Ra
= У (Br + iB2) (Br — iB2) dw f\dw^ 0.
Ra
Для минимумов имеем S + J n*Q = 0 или
Bi + iB2 = 0.
Отсюда следует, что
Badtf = (Bx — iB2) A = Brdz.
Легко проверить равенство
n _________________________ const dz
1 — 1 + | 2 l2
(54)
(55)
(56)
(57)
Форма jidx'+ jidx* является связностью в расслоении п*(т])г
где л — стандартное хопфовское расслоение S3 S2 с груп-
пой G — S1.
Рассмотрим теперь уравнение 6S = 0 для всех экстремумов
действия S вида (35). Извлечение из современной литературы:
эта задача сводится к теории уравнения «sin — gordon», уже воз-
никавшего (см. § 30 части I) как уравнение вложения поверхно-
сти постоянной отрицательной кривизны в евклидово простран-
ство R3. Пусть метрика плоскости R2 является метрикой Минков-
ского R?. В переменных ц, где dsz — d^dx]J функционал 5
имеет вид
5{n} = f (58)
^2 \а=1 /
при условии n2 = 1. Выведем уравнение Эйлера — Лагранжа.
Пусть ц — произвольная неизвестная пока функция (множитель
Лагранжа). Рассмотрим функционал
= j (<"ь пъ> — н <n> п» J Ац (n, пц) dr\d%. (59)
R2
Уравнение- 6S = 0 имеет вид (см. § 37 части I)
д /д\Д , д /5Лц\ дЛ , „ „
\ дп1 / + / дп-а * а - 2’ (60>
48»
748
ГЛ. 8. РЕШЕНИЯ МНОГОМЕРНЫХ ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДАЧ
[Ч. II
при условии <n, пУ = 1, Отсюда
тг?п = pnat а = 1, 2, 3, (61)
или ввиду <п, пУ ® 1
n6n=<n6Tl, пУп, ц=<п, (62)
Покажем, что величины |n6|, |nj являются «интегралами», т. е.
д | nt I д I и 1
-W1-», Аг-°- <ю>
.Действительно,
1 д /ти, П*\
-у----= <п^, п) <П£, п> = О
в силу (62), так как ортогонально п. Таким образом, |п6| =
= /(£), IrcJ = Произведя подстановку
для величины <о получим из (62) уравнение
я2
^ = tesin<0. (65)
Локальной заменой <П“>Т/('П) сведем уравнение (65)
к виду «sin — gordon»
Фбп = sin ф. (66)
Исследование этого уравнения значительно труднее, чем приве-
денное выше исследование минимумов S при заданной степени.
§ 33. Минимальность комплексных подмногообразий
Напомним, что комплексное многообразие М называется кэле-
ровым, если его метрика g^dz'diP определяет замкнутую форму
<о = -у gijdz1 Ndz -
Теорема 1. Пусть М—кэлерово многообразие комплексной
размерности га, X <= М — его комплексное k-мерное подмногообра-
зие. Рассмотрим следующий класс вещественных вариаций Y под-
многообразия X в М, Вариация Y—вещественное 2к-мерное под-
многообразие в М, совпадающее с X вне компактной области
(на X). При этом требуется, чтобы была задана «деформация»
в виде вещественного ориентированного (2k + 1)-мерного много-
образия z с краем dZ — X U (-Y), где (-Y) есть Y с противо-
положной ориентацией (рис. 167).
Тогда объем v(X) многообразия X не более объема v(Y^
(если X и Y не компактны, то имеются в виду объемы тех об-
ластей, где X и Y различны). Если объем Y совпадает с объ-
емом X, то Y тоже комплексно.
ч. ii] § зз. минимальность комплексных подмногообразий 749
Таким образом, в кэлеровых многообразиях компактные ком-
плексные подмногообразия являются глобально минимальными
подмногообразиями (т. е, экстремалями многомерной вариацион-
ной задачи на минимум объема). Так, например, в СРп глобально
минимальными подмногообразиями являются комплексные под-»
многообразия. Кэлеровым многообразием является также комп-
лексное пространство Сп, а потому любое комплексное подмного-
образие X в Сп минимально относительно возмущений, неподвиж-
ных вне некоторой ограниченной области в X. Напомним, что все
комплексные подмногообразия в С некомпактны.
Перейдем теперь к доказательству теоремы 1.
Лемма 1. Для произвольной внешней 2-формы ю на R2
можно выбрать такой ортонормированный базис е^, е2п, в ко-
тором форма ю имеет вид ш2 + • • • + Xnca2n+i А ш2т где
Xi, .Хп—неотрицательные числа, а й)п —базис, сопря-
женный базису et, е2п в R .
Доказательство. Рассмотрим в R2n произвольный орто-
нормированный базисв!, ..е2п. Для заданной 2-формы ю по-
строим матрицу А =(ац), где ej). Назовем матрицу А
матрицей, ассоциированной с формой ю. Поскольку форма ю пол-
ностью определяется своими значениями на базисных векторах,
то она полностью определяется своей матрицей А (с указанием
соответствующего ортонормированного базиса elf ..., е2п). Ясно,
что А — кососимметрическая матрица. Следовательно, для А
существует такой ортонормированный базис е1э .ein, в котором
матрица А принимает вид
750
ГЛ. 8. РЕШЕНИЯ МНОГОМЕРНЫХ ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДАЧ
[Ч. II
где Хй ...1 Хп — неотрицательные числа. Пусть coi, ..., ы2п— со*
пряженный базис к базису е2п. Тогда очевидно, что
(О = 2 Хаюа А юа+1*
а=1,3, ...,2п—1
Лемма доказана.
Лемма 2. Пусть в пространстве R2n «Сп задана эрмитова,
метрика (gij). Пусть, далее со — внешняя 2-форма, соответствую-
щая метрике ga, г. е. определяемая формулой со (гл, и2)=<Л01, у2>»
Положим = =тгмДшД,11Д(о. Тогда выполнено не*
h
равенство 1щ(гл, ..v2h) I 1, где vt, ..р2А — произвольная орто*
нормированная система векторов eR2n. Кроме того, равенство
Icfa(Pi, ..., v2h) I 1 достигается тогда и только тогда, когда ...
Г.v2h порождают комплексное подпространство в R21i (г. е.
когда вещественная линейная оболочка векторов vt, ..v2h ин*
вариантна относительно умножения на i).
Доказательство. 1. Случай k ~ 1. Пусть Vi, v2 е R2n —
ортогональные векторы длины 1. Ясно, что I со (гл, v2) I =
= I<ггл, р2>1 lipj • Ip2I e 1. Равенство достигается тогда и толь*
ко тогда, когда ±р2“/гл, т. е. векторы гл, v2 порождают комплекс-
ное одномерное подпространство (вещественной размерности 2).
2. О б щ и й случай. Пусть V cz R2n— подпространство, порож-
денное гл, v2h. Обозначим сужение co|v через со. Согласно
лемме 1 можно выбрать ортонормированный базис ..., e2h под-
пространства V и сопряженный ему базис со4, ..., со2А такие, что
ы= Xi(Oj Д со2 + ... + Xft(o2ft—1А ^2й,где Х4, ..ХА — неотрицатель-
ные вещественные числа. Ясно, что co(e2p-i, е2р) = ХР (1=^р=^&).
Отсюда согласно случаю к — 1 получаем, что Хр 1, причем
ХР ~ 1 тогда и только тогда, когда ie2P-i == ±е2р. Обозначим огра-
1 й
ничение формы Ой= ур со на подпространство V через щ. Тогда
Ir^' I I I
J crft (ех, ..., e2ft)| = |‘fcp(o (ег, .е2ь) = Xi... равенство до-
стигается тогда и только тогда, когда Хр ™ 1 (1 < р < к), т. е.
тогда и только тогда, когда ie2P-i — ±е2р (1<р<&). Последнее
равенство в точности означает, что V — комплексное подпростран-
ство пространства R2n. Лемма 2 доказана.
Доказательство теоремы 1. Пусть ср — внешняя форма
степени I на R2rt, а V — линейное Z-мерное подпространство про-
странства R2n; пусть гл, ..., Vi и Pi, .. ., Vi —произвольные орто-
иормированные базисы пространства V одного класса ориентации.
Из закона преобразования /-мерной внешней формы в /-мерном
пространстве (а именно: умножение на определитель линейного
преобразования) сразу следует, что <р(г?и ...,Vi) = ср (уи ... л.v]).
Я. Щ § 33. МИНИМАЛЬНОСТЬ КОМПЛЕКСНЫХ ПОДМНОГООБРАЗИЙ 751
Поэтому форму ф можно корректно определить как функцию на
множестве классов ориентированных ортонормированных базисов
одного и того же подпространства (при изменении подпростран-
ства будет меняться и функция ф). Другими словами, /-форма ф
на евклидовом пространстве R2n определяет функцию (обозна-
чаемую той же буквой ф) на многообразии Грассмана G2n,i ориен-
тированных /-мерных подпространств в (см. § 5). Класс
ориентированных ортонормированных базисов подпространства V,
т. е. точку из G2n, 1, обозначим через У.
---Y~X
Y“X----
Рис. 168
Пусть теперь X — комплексное подмногообразие в М и пусть
У — допустимая вариация. Обозначим, как и прежде, через ТхХ
(соответственно TyY) касательное пространство к подмногообра-
зию X (соответственно У) в точке х (соответственно у). Пусть
Z — подмногообразие в М такое, что dZ = XU(—У) (рис. 168).
Пусть со — Д dz} —определенная выше замкнутая 2-форма
•1 ' л
на Л/, и пустьа/! = -тгсо • Тогда очевидно и doA = 0. По формуле
Стокса
О = J dah = [ ah = J ah = J oh — J ah, t. e. J ah = J ah.
Z dZ XU(-Y) X Y AY
Обозначим 2&-мерные внешние формы объема подмногообразий X
и Y через dx и dy соответственно. Тогда
j = j ah(TxX)dx; j ah = j ah \tvY} dy
Так как X — комплексное подмногообразие в М, т. е. ТхХ —
комплексное подпространство в = Cn = R2n, то согласно лем-
ме 2 0h(7VX)sl, оА(Т\У)С1 (напомним, что У — не обязательно
комплексное подмногообразие). Отсюда
v(X) = j dx = j ak(txX)dx = J ofe(?yy) dy^ J dy = р(У).
Таким образом, первая часть утверждения теоремы доказана. Да-
лее, очевидно, что равенство у (X) = v (У) достигается тогда и
752
ГЛ. 8. РЕШЕНИЯ МНОГОМЕРНЫХ ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДАЧ
(Ч. II
только тогда, когда на множестве полной 2/с-мерной меры выпол-
нено тождество oh(TvY)s= 1, Согласно лемме 2 это последнее тож-
дество равносильно тому, что TVY — комплексное подпространство
для y^Y (для почти всех точек y^Y), т. е. Y—комплексное
многообразие в Л/. Теорема доказана полностью.
Из доказательства теоремы видно, что предположение о не^-
особости подмногообразия X cz М не является существенным
ограничением. Доказательство (в терминах подмножеств полной
меры) проходит и для алгебраических комплексных поверхностей
X cz М (т. е. задаваемых системой полиномиальных уравнений
на М) несмотря на то, что такие поверхности могут иметь особые
точки (например, типа конусов над гладкими многообразиями).
В этом случае условие бордантности X и У следует заменить бо-
лее общим соотношением: X гомологично У в группе дХ)г
т. е. X и У определяют один и тот же элемент в группе
Н2к(М, дХ).
В QP™ подмногообразие QPh (1 С к С п) реализует образую-
щую в группе Н2к (CPn, Z) = Z и является глобально минималь-
ным в этом гомологическом классе. Можно доказать (это уже
менее тривиальный факт), что еслиУсСР71—какое-нибудь
2А-мерное подмногообразие, реализующее образующую 1 е Z =
=#2ь(СРп; Z) и такое, что v F) = у(СР*), то существует пре-
образование СРп QPn из группы SU(n+ 1), переводящее У в
СР*. Другими словами, подмногообразие СР* cz QPn является
единственным (с точностью до изометрий) решением много-
мерной вариационной задачи (на абсолютный минимум) в классе
гомологий 1 eZ =Я2Ь (CPn; Z).Более того, оказывается, что если
У реализует элемент т е Z = H2h (CPn; Z), тп=#±1, то
и(У)>^(СР*). Мы не будем здесь доказывать все эти утверж-
дения.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
I. Книги учебного типа по геометрии и топологии
1. Рашевский П. К. Римаиова геометрия и тензорный анализ,™ Мл
Наука, 1967.
2. Рашевский П. К. Курс дифференциальной геометрии.™ Мл. Гостех-
издат, 1956.
3. Погорелов А. В. Дифференциальная геометрия.™ Мл Наука, 1974.
4. Погорелов А. В. Внешняя геометрия выпуклых поверхностей.— М.:
Наука, 1969.
5. Александров А. Д. Внутренняя геометрия выпуклых поверхно-
стей.— М.; Л.: Гостехиздат, 1948.
6. Е ф и м о в Н. В. Высшая геометрия.™ Мл Наука, 1971.
7. Н о р д е н А. П. Теория поверхностей.— Мл Гостехиздат, 1956.
8. Ф и н и к о в С. П. Курс дифференциальной геометрии.™ Мл Гостех-
издат, 1952.
9. Зейферт Т., ТрельфалльВ. Топология,—М.; Лл ГОНТИ, 1938.
10. Зейферт Т., Трельфалль В. Вариационное исчисление в целом.—
Мл ИЛ, 1947.
11. Милнор Дж. Теория Морса.— Мл Мир, 1965.
12. Милнор Дж. Особые точки комплексных гиперповерхностей.— Мл
Мир, 1971.
13. Понтрягин Л. С. Гладкие многообразия и их применения в теории
гомотопий.— Мл Наука, 1985.
14. П о н т р я г и н Л. С. Непрерывные группы.™ Мл Наука, 1984.
15. С е р р Ж,- П. Алгебры Ли и группы Ли.— Мл Мир, 1969.
16. Спрингер Дж. Введение в теорию римановых поверхностей.— Мл
ИЛ, 1960.
17. Ном ид зу К. Группа Ли и дифференциальная геометрия.— Мл ИЛ,
1960.
18. Ч ж э н ь Ш э и - ш э н ь. Комплексные многообразия.— Мл ИЛ, 1961.
19. Бишоп Р., Криттенден Р, Геометрия многообразий.— Мл Мир,
1967.
20. Г р о м о л Д., К л и н г е н б е р г В., Мейер В. Римаиова геометрия
в целом.— Мл Мир, 1971.
21. Хелгасон С. Дифференциальная геометрия и симметрические прост-
ранства.— Мл Мир, 1964.
22. С т и н р о д Н. Топология косых произведений.— Мл ИЛ, 1953.
23. РозендорнЭ. Р. Задачи по дифференциальной геометрии.— Мл На-
ука, 1971.
24. Н о в и к о в С. П., Мищенко А. С., Соловьев Ю.П., Фоме н-
к о А. Т. Задачи по геометрии.— Мл Изд-во Моск, ун-та, 1978.
25. Гильберт Д., Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия. — Мл Нау-
ка, 1981.
26. Р о х л и н В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геомет-
рические главы.™ Мл Наука, 1977.
27. Л е ф ш е ц С. Алгебраическая топология.— Мл ИЛ, 1949.
28. Д у б р о в и н Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная
геометрия. Методы теории гомологий.-^ Мл Наука, 1984.
754
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
II. Книги по дифференциальным уравнениям и классической механике
29. П о н т р я г и н Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения.—
М.: Наука, 1969.
30. А р н о л ь д В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения.— М.:
Наука, 1974.
31. А р н о л ь д В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных диффе-
ренциальных уравнений.— М.: Наука, 1978.
32. А р н о л ь д В. И. Математические методы классической механики.—"
М.: Наука, 1974.
33. К о д д и н г т о н Э. А., Л е в и н с о н Н. Теория обыкновенных диффе-
ренциальных уравнений.— М.: ИЛ, 1958.
34. Л а н д а у Л. Д., Л и ф ш и ц Е. М. Механика.— М.: Наука, 1973.
35. Г о л у б е в В. В. Лекции по интегрированию уравнений движения тя-
желого твердого тела около неподвижной точки.— М.: Гостехиздат, 1954.
III. Дополнительная литература
36. А х и е з е р А. И., Б е р е с т е ц к и й В. Б. Квантовая электродинамика.—
М.: Наука, 1969.
37. Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В. Введение в теорию квантован-
ных полей.— М.: Наука, 1984.
38. Л а н д а у Л. Д., Л и ф ш и ц Е. М. Теория поля.— М.: Наука, 1973.
39. Ми зн ер Ч., Торн К., Уилер Дж. Гравитация.—М.: Мир, 1977.
40. Седов Л. И. Механика сплошной среды.— М.: Наука, 1983, 1984.
41. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика сплошных сред.—М.: Гос-
техиздат, 1954.
42. Пай ер л с Р. Квантовая теория твердых тел.— М.: ИЛ, 1956.
43. Ф е й н м а н Р., Л е й т о н Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по
физике.— М.: Мир, 1977.
44. У и н т н е р А. Аналитические основы небесной механики.— М.: Наука,
1967.
.45. Славнов А. А., Фаддеев Л. Д. Введение в квантовую теорию ка-
либровочных полей.— М..* Наука, 1978.
46. Делоне Б. Н., Александров А. Д., ПадуровН. Н. Математи-
ческие основы структурного анализа кристаллов.— Л.; М.: ОНТИ, 1934.
47. 3 е л ь д о в и ч Я. Б., Новиков И. Д. Строение и эволюция Вселен-
ной— М.: Наука, 1975.
48. Теория солитонов/Под ред. С. П. Новикова.— М.: Наука, 1979.
49. Богоявленский О. И. Методы качественной теории динамических
систем в астрофизике и газовой динамике.— М.: Наука, 1980.
50. Нелинейные волны.— М.: Наука, 1979, с. 60—72.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абелев тор 438
Алгебра Ли 199, 426
---полупростая 429
---простая 429
----градуированная 450
Алгебраическое число неподвижных
точек (число Лефшеца) 523
Аннулятор скобки Пуассона 698
Аффинная группа 41
База накрытия 537
— расслоения 574, 596
Белая дыра 706
Биголоморфная эквивалентность 433
Бутылка Клейна 530
Вакуумное решение 733
Вариационная производная 289, 336,
689
Вектор 29, 412
— времениподобный 62
— изотропный (световой) 62
— пространственноподобный 62
— скорости кривой 25, 28
— энергии-импульса 296
Векторное поле левоинвариантное
208
— — линейное 206
— произведение 56
Вектор-потенциал электромагнитно-
го поля 309
Включение электромагнитного поля
309, 390
Вложение многообразия 475
Внешний дифференциал формы 220
Внешняя алгебра 157
Времениподобная функция 704
Вторая квадратичная форма поверх-
ности 83
Гамильтониан 304
Гамильтонова система 313
Гармонический радиус-вектор 357
Гауссово отображение 234, 491
Геодезическая 263
— медленная 297
Гессиан 83, 485
Гиперповерхность 73
Гиперэллиптическая кривая 108
Гипотеза Эйнштейна 297
Главная нормаль 57
Главные кривизны 83, 86
— направления 85
Гомотопическая эквивалентность 534
Гомотопия 496
— относительная 498
Гравитационный коллапс 707
— радиус 377
Градиент кососимметрического тен-
зора 218
Градиентная система 312
Граница области 19
Группа 37
— Вейля 640
— Галилея 49
— голономий 603
— гомологий одномерная 550
— движений 38
— зацепления 654
— изотропии 443
— калибровочная 393
— когомологий 643
— кос 655
— Ли 420
---комплексная 436
---простая 429
— Мёбиуса 561
— преобразований дискретная 544
— Пуанкаре 63
— симметрии кристалла 171
— структурная расслоения 596
— трансляций кристалла 169
— узла 650
— унитарная 100
— фуксова 556
— фундаментальная 531
Группы гомотопические 567
---относительные 570
Движение 38
— собственное 42
Двусторонняя гиперповерхность 420
Действие 286
— группы на многообразии 442
----------свободное 597
— —-------транзитивное 442
— для гравитационного поля 349
---электромагнитного поля 344
Дивергенция 218, 222
Динамическая система 658
Дираковское сопряжение 388
Диффеоморфизм 192
756
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Дифференциал отображения 192
Дифференциальная форма 154
Дифференциально-геометрическая G-
связность 623
Длина кривой 25, 33
Евклидова топология 409
Закон Гука 146
Замкнутое множество 409
Замкнутые косы 656
Зеркальное вращение 46
Изотопия узла 649
Изотопные вложения 498
Изотропная функция 704
Изотропный (световой) конус 61
Импульс 289
Инвариант Хопфа 92
Инвариантное подмножество дина-
мической системы 659
Инварианты электромагнитного по-
ля 184
Инверсия 130
Индекс критической точки 485
— особой точки векторного поля 514
— пересечения 520
Индуцированная топология 409
Инстантон 738
Интеграл векторного поля 196
— Дирихле 742
— от кососимметрического тензора
229
----------по многообразию 468
----функции по поверхности 230
— по антикоммутирующим пере-
менным 157
Интегралы Лапласа — Рунге — Лен-
ца 318
Интегральная кривая 192
Исчезающий цикл особой точки 617
----слоения 687
Канторово множество 665
Карта 408
Картановская подалгебра 640
— связность 397
Касательный вектор кривой 25
Квадратичная форма (на векторах)
31
Кватернионы 124
Ковариантно постоянное векторное
поле 261
Ковариантное дифференцирование
256
Ковектор 30
Коммутатор векторных полей 197
Комплексно аналитическая замена
координат 104
-----функция 104
Константа Хаббла 722
Координатные окрестности 408
— — расслоения 597
Координаты декартовы 17
— евклидовы 24, 34
— изотермические 110
— конформные 109
— полярные 22
— псевдоевклидовы 35
— псевдосферические 36
— сферические 23
— цилиндрические 23
Космологическая модель 716
Кососимметрический линейный one*
ратор 161
Коэффициент зацепления 525
Кривизна гауссова 83, 86
— кривой 52, 55
-ориентированная 52
— римаиова 272
— скалярная 277
— средняя 83, 86
Критическая точка 477
— — невырожденная 484
Критическое значение 477
Кручение кривой 57
Лагранжиан 289
— невырожденный 304, 690
— поля векторного комплексного
367
— — скалярного действительного
367
— — — комплексного 365
— сильно невырожденный 304
Линейный оператор 141
Лист Мёбиуса 529
Локальные координаты 408
— — на поверхности 73
Магнитный монополь 736
Матрица Якоби замены координат 21
Матрицы Паули 125, 383
Метрика евклидова 34
— Киллинга 209
— кэлерова 248
— Лобачевского 94
— — в модели Клейна 96
----------Пуанкаре 95
— на многообразии 413
— — поверхности 76
— псевдоевклидова 35
— псевдориманова 35
— римаиова 32
сферы 91
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
757
Метрика Шварцшильда 377
— эрмитова 247
Минимальная поверхность 356
Мировая линия точечной частицы 18
Многообразие 407
— Грассмана 446
— замкнутое 415
— комплексно аналитическое 433
— Крускала 7,06
— кэлерово 748
— линейных элементов 458
— неориентируемое 418
— ориентированное 411, 418
— ориентируемое 418
— оснащенное 586
---с краем 586
— с краем 415
— симплектическое 460
— флагов 447
— Штифеля 444
Многообразия диффеоморфные 412
Множество меры нуль 477
Модели Фридмана 718
Модель Скирма 741
Момент импульса 303
Монодромия 545
Надстройка 590
Накрывающая гомотопия 539, 573
Накрытие 537
— регулярное 544
— с ветвлением 542
— универсальное 541
Натуральное уравнение кривой 58
Натуральный параметр 28
Невырожденные точки кривой 57
Неособая поверхность 70, 72
’— точка поверхности 70, 72
— — системы координат 21
Неравенство треугольника 410
Нормальное расслоение 461
Область без границы 19
— с границей 19
Овеществление 97
Ограничение тензора 190
Одномерное слоение 660
Однопараметрическая подгруппа 124,
426
Оператор Якоби 331
— » 162
Опускание индексов 160
Оснащение 586
Особая точка векторного поля 513
----------невырожденная 513
Открытое множество 409
Отображение голоморфное 433
— многообразий гладкое 411
непрерывное 409
Отображение расслоений 600
Параллельный перенос вектора 262
Первая квадратичная форма поверх-
ности 76
Переменные «действие — угол» 673
Перестановка индексов 148
Площадь области на поверхности 70
Поверхность лагранжева 323
---коническая 327
Погружение 415, 475
Подмногообразие 414
Поднятие индексов 160
Поле гравитационное 297
---слабое 297
— калибровочное 393
— киральное 739
--- главное 740
— электромагнитное 184
— Янга — Миллса 401, 73J
Поливектор 157
Полином Александера 651
Полный поток тензорного поля че-
рез поверхность 233
Полуспинорное представление 387
Правильное значение 480
Предельный цикл 661
— — слоения 686
Представление алгебры Ли 430
— группы 430
— точное 431
Преобразование гиперболическое 562
— годографа 701
— — обобщенное 702
— калибровочное 393, 626
— каноническое 320
— конформное 43, 129
— Лежандра 304
— локсодромическое 562
— Лоренца 63
— — собственное 66
— области 37
— — комплексного прострапства 106
— ортохронное 65
— параболическое 562
— симплектическое 321
— унитарное 99
Приведение в общее положение 483
Примитивная ячейка решетки 165
Принцип Мопертюи 310
— наименьшего действия 289
— — — релятивистский 295
— Ферма 311
Проекция накрытия 537
— расслоения 574, 596
Произведение Уайтхеда 583
Производная Ли 195
Производящая функция канониче-
ского преобразования 323
758
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Пространственная группа решетки
169
Пространственно-временной интер-
вал 36
— континуум 18
Пространственноподобная функция
704
Пространство евклидово 24
— кокасательного расслоения 460
— компактное 410
— линейно связное 410
— метрическое 409
— Минковркрго 36
— накрывающее 537
— однородное 442
---” главное 442
— отображении 410
— паракомпактное 468
— проективное 421
— расслоения 574, 596
— симметрическое 448
---1-го типа 452
---2-го типа 452
— топологическое 409
— хаусдорфово 410
— n-мерное декартово пространство
18
Пространство-время плоское 348
Прямая сумма расслоений 614
Пфаффиан 312
Радиус кривизны 52, 55
Разбиение единицы 467
Размерность пространства 18
Распределение 679
— интегрируемое 679
Расслоение ассоциированное 598
— векторное 614
— главное 597
— гладкое 596
— индуцированное 610
— комплексно аналитическое 615
— путей 574
— Серра 573
— универсальное 610
— Хопфа 604
---кватернионное 609
---обобщенное 604
— п-универсальное 610
Регулярная точка 480
Решение Казнера 723
— Керра 712
— Тауба — Мизнера 724
— Толмена 710
Решетка Браве 166
— кристалла 164
Риманова поверхность 107, 439
Род узла 652
Ротор 218
Свертка 149
Связность в расслоении (общего ви-
да) 601
— гомотопическая 574
— дифференциально-геометрическая
257
— симметрическая 258
— , согласованная с метрикой 264
Сечение расслоения 614
Сила 289
Символы Кристоффеля 256
Симметрический линейный оператор
161
Синхронная система отсчета 717
Скалярное произведение 24, 33, 142
— — вектора и ковектора 150
--- евклидово 24
--- ковекторов 142
— — эрмитово 99
Скобка Пуассона 314, 668
— — невырожденная 669
---полевая 694
-------дифференциально-геомет-
рическая 700
— — — локальная 695
— Пуассона — Ли 669
Скользящее отражение 42
След линейного оператора 149
Слоение 679
— Риба 685
Слой накрытия 537
— расслоения 574
Собственное время 63
— отображение (гомотопия) 498
Собственные значения квадратич-
ной формы 161
Сопряженные точки 333
Сопутствующая система координат
707
Сохраняющийся ток 366
Спинорное представление группы
вращений 385
-------Лоренца 386
Степень отображения 499
Стереографическая проекция 91, 94
С<Ьера Римана 434
Сферически симметричное многооб-
разие 704
Тензор 142, 414
— деформации 145
— кручения 258
— малой деформации 146, 198
— момента импульса 341
— напряжений 145
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
75£>
Тензор Римана 272
— Риччи 277
— энергии-импульса 338
---сплошной среды 379
— — электромагнитного поля 189,
347
Тензорное произведение расслоений
614
— умножение 149
Тетрадный формализм 274
Тождество Бьянки, 284, 635
— Якоби 199
---обобщенное 584
Тор комплексный 437
Точечная группа решетки 171
Точка ветвления 542
Точная гомотопическая последова-
тельность пары 572
------- расслоения 575
Трансверсаль динамической системы
660
Трансверсально регулярное (^регу-
лярное) отображение 481
Трансверсальное пересечение 483
Тривиальная связность 626
Тривиальное накрытие 538
— расслоение 596
Трубчатая окрестность 495
Тэта-функция 439
Углы Эйлера 120
Угол между линиями 26, 33
Уравнение Вейля 389
— Гамильтона — Якоби 324
------- укороченное 326
— Дирака 389
— дуальности 737
— Клейна — Гордона 366
— коммутативности 692
— Кортевега-де Фриза 697
— Лиувилля 114
— состояния 707
— структурное 633
— Эйлера — Лагранжа 289
— sin-gordon 283
Уравнения Гамильтона 305
— гидродинамического типа 701
— Кирхгофа 670
— Коши — Римана 104
— Максвелла 224
— Петерсона — Кодацци 282
— Пфаффа 681
— Эйлера 670
— Эйнштейна 349
Усреднение по группе 473
Фазовое пространство 304, 313, 668
Фокальная точка 494
Форма голоморфная 247
— Киллинга 429
— — симметрического пространства
454
— кривизны 233, 394
---в пространстве расслоения 633
— типа (р, q) 155
Формула вычетов 238
— Стокса 237, 469, 472
— Эйлера 87
Формулы Кристоффеля 265
— Френе 52, 57
Фронт волны 328
Фундаментальная область 553
Функции перехода 408
— склейки расслоения 596
Функционал Дирихле 359
Функция Арфа 593
— высоты 491
— Морса 485
Характер представления 430
Характеристический класс 402, 637
------ топологический 643
Хронологическая экспонента 628
Центр группы 431
Циклическая координата 291
Циркуляция векторного поля 233
Черная дыра 706
Число вращения 663
— Уитни 509
Эйлерова характеристика 522
Эквивалентность расслоений 600
Экспонента векторного поля 194
— от матрицы 122
Экстремаль 288
Электромагнитные волны 190
Элемент объема 155, 414
— — на группе инвариантный 473
Энергия 289
Якобиан 21
— комплексный 105
Якобиево поле 333
G-сводимость 603, 622
/t-поле 740
//-пространство 581
•у-матрицы 385
4-вектор тока 344
Борис Анатольевич Дубровин
Сергей Петрович Новиков
Анатолий Тимофеевич Фоменко
СОВРЕМЕННАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Методы и приложения
Редакторы Д. Б, Фукс, В. В, Донченко
Художественный редактор Т, Н, Колъченко
Технический редактор Л. В, Лихачева
Корректоры О. М. Березина, И. Я, Кришталь
ИБ № 12693
Сдано в набор 02.04.85. Подписано к печати 28.01.86. Формат
бОхЭО’Лб. Бумага тип. № 2. Гарнитура обыкновенная. Печать
высокая. Усл. печ. л. 47,5. Усл. кр.-отт. 47,5. Уч.-изд. л. 47,3,
Тираж 16 000 экз. Заказ № 690. Цена 1 р. 90 к.
Ордена Трудового Красного Знамени
издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15
4-я типография издательства «Наука»
630077 Новосибирск 77, Станиславского, 25