Б. Л. ДУБРОВИН, С. П. НОВИКОВ, Л. Т. ФОМЕНКО

СОВРЕМЕННАЯ

ГЕОМЕТРИЯ

МЕТОДЫ ТЕОРИИ ГОМОЛОГИИ

Допущено Министерством высшего

и среднего специального образования СССР

в качестве учебного пособил для студентов

физико-математических специальностей университетов

МОСКВА «НАУКА»

ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1984
22.151

Д79

УДК 513

Дубровин В. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная
геометрия. Методы теории гомологий. М.: Наука. Главная редакция физико-
математической литературы, 1984. — 344 с.

За последние 10 лет методы топологии оказали большое влияние на разви-
тие наиболее передовых областей математики, механики, современной теорети-
ческой и математической физики.

Книга, опирающаяся на учебник тех же авторов «Современная геометрия»,
изданный в 1979 г., содержит доступное изложение методов теории гомологий,
освобожденное от утомительного языка абстрактной гомологической алгебры.
Более сложная часть книги содержит введение в современные методы вычисления
гомотопических групп и классификации многообразий.

Для научных работников различных специальностей: математиков, механи-
ков, физиков-теоретиков.

п 1702040000—114

Д 053(02)-84

КБ-7-40-84

(g) Издательство «Наука*.

Главная редакция
физико-математической литературы,
1984
ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие ......................................................... 5

Глава 1. Гомологии и когомологии. Рецепты их вычисления. ...	7

§ 1.	Группы когомологий как классы замкнутых дифференциаль-
ных форм. Их гомотопическая инвариантность....................... 7

§ 2.	Гомологии алгебраических комплексов....................... 22

§ 3.	Снмплицнальные комплексы. Их гомологии и когомологии.

Классификация двумерных замкнутых поверхностей ....	28

§ 4.	Операция приклейки клетки к топологическому пространству.

Клеточные пространства. Теоремы о приведении клеточных
пространств. Гомологии и фундаментальная группа поверх-
ностей н некоторых других многообразий..................... 42

§ 5.	Сингулярные гомологии н когомологии. Их гомотопическая
инвариантность. Точная последовательность пары. Относи-
тельные гомологии .............................................. 56

§ 6.	Сингулярные гомологии клеточных комплексов. Их совпаде-
ние с клеточными гомологиями. Двойственность Пуанкаре для
снмплицнальных гомологий ....................................... 67

§ 7.	Гомологии прямого произведения. Умножение в когомоло-
гиях. Когомологии //-пространств н групп Лн. Когомологии
унитарной группы ............................................... 76

§ 8.	Гомологии косых произведений (расслоенных пространств) 87

§2.9	. Задача о продолжении отображений, гомотопий и сечений.
Препятствующий класс когомологий................................ 99

§ 10.	Гомологии и методы вычисления гомотопических групп. Тео-
рема Картана—Серра. Когомологические операции. Вектор-
ные расслоения................................................. 105

§ 11.	Гомологнищи фундаментальная группа ...................... 133

§ 12.	Когомологии гнперэллнптнческнх римановых поверхностей.

Торы Якоби. Геодезические на многоосных эллипсоидах. Связь
с конечнозоннымн потенциалами............................. 140

§ 13.	Простейшие свойства кэлеровых многообразий. Абелевы торы 152

§ 14.	Гомологии с коэффициентами в пучках...................... 157

Глава 2. Критические точки гладких функций и гомологий...........	164

§ 15.	Функции Морса и клеточные комплексы...................... 164

§ 16.	Неравенства Морса........................................ 169

§ 17.	Правильная функция Морса—Смейла. Ручки. Поверхности 175

§ 18.	Двойственность Пуанкаре.................................. 186

§ 19.	Критические точки гладких функций и категория Люстер-
ннка—Шннрельмана .............................................. 191

§ 20.	Критические многообразия и неравенства Морса. Функции
с симметрией................................................... 204

§ 21.	Критические точки функционалов и топология пространства
путей QM....................................................... 211
4

ОГЛАВЛЕНИЕ

§ 22.	Применения теоремы об индексе........................... 222

§ 23.	Периодическая задача вариационного исчисления..........	229

§ 24.	Функции Морса на трехмерных многообразиях и диаграммы
Хегора ........................................................ 238

§ 25.	Унитарная периодичность Ботта н многомерные вариационные
задачи......................................................... 243

§ 26.	Теория Морса и некоторые движения в плоской задаче п тел 264

Глава	3. Кобордизмы и гладкие структуры........................ 277

§ 27.	Характеристические числа. Кобордизмы. Циклы и подмного-
образия. Сигнатура многообразий................................ 277

§ 28.	Гладкие структуры на семимериой сфере. Проблема классифи-
кации гладких многообразий нормальные инварианты). Круче-
ние Райдемайстера н основная гипотеза комбинаторной топо-
логии ......................................................... 300

Литература ....................................................... 311

Приложение 1. Аналог теории Морса для многозначных функций.
Некоторые свойства скобок Пуассона. С. П. Но-
виков ............................................................ 314

Приложение 2. Задача Плато, бордизмы и глобально минимальные
поверхности в римановых многообразиях. А. Т. Фо-
менко ............................................................ 327

Предметный указатель.............................................  342
ПРЕДИСЛОВИЕ

Традиционно теория гомологий играет фундаментальную роль
в изложении начал топологии. Начиная с А. Пуанкаре, создав-
шего основы топологии, теория гомологий рассматривается как
первичная начальная основа методов алгебраической топологии.
Из теории гомотопий к числу таких начал традиционно относились
только фундаментальная группа и накрытия. Практически все
классические начальные учебники топологии (среди которых
наилучшим, по мнению авторов, является Книга Зейферта и
Трельфалля «Топология») начинаются с изложения теории гомо-
логий того или иного класса комплексов. Лишь на более позднем
этапе рассматривается (к тому же под углом зрения теории гомо-
логий) теория расслоенных пространств и общая задача о клас-
сификации гомотопических классов отображений (теория гомо-
топий). Вместе с тем методы топологии дифференцируемых мно-
гообразий, начавшие интенсивно развиваться с 30-х годов (Уитни
и др.), позволяют полностью перестроить изложение фундамен-
тальных основ современной топологии. С новой точки зрения,
более близкой к классическому анализу, первичной оказывается
элементарная теория гладких многообразий, основанная на ней
теория гомотопий*) и гладких расслоенных пространств. Более
того, в течение 70-х годов выяснилось, что именно этот комплекс
топологических идей и методов имеет фундаментальные при-
ложения в различных разделах современной физики. Вследствие
этих причин авторы считают общенеобходимым учебным тополо-
гическим материалом в первую очередь именно основы теории
гладких многообразий, теории гомотопий и расслоенных про-
странств, и включили этот материал в учебное пособие:
Б. А. Дубровин, С. П. Новиков, А. Т. Фоменко, «Современная
геометрия», часть II. В данной книге мы предполагаем известным
этот материал.

Решение более сложных задач самой топологии (вычисление
гомотопических групп, классификация гладких многообразий

*) По-внднмому, первые идеи топологии, восходящие к Гауссу, Риману
и Пуанкаре, возникли также на этой базе. Однако в те времена такое построение
топологии оказалось невозможным. Пуанкаре открыл теорию гомологий снмплн-
цнальных комплексов, позволившую дать совершенно другое точное построение
основ алгебраической топологии.
и т. д.), а также многочисленные приложения алгебро-тополо-
гической техники в задачах алгебраической геометрии и комплекс-
ного анализа требует далеко идущего развития методов именно
теории гомологий. В современной топологической литературе
полностью отсутствуют книги, по которым можно было бы освоить
комплекс методов теории гомологий в их внутритопологических
приложениях, упомянутых выше. Настоящая книга имеет своей
целью частично восполнить этот пробел.

В изложении теории гомологий авторы старались избежать,
по возможности, абстрактного языка гомологической алгебры,
чтобы читатель все время помнил, что гомологии, циклы и гра-
ницы — это конкретные геометрические образы. В некоторых
случаях —например в разделе, посвященном спектральной по-
следовательности, это самоограничение приводит к некоторым
трудно истребимым дефектам изложения. Одиако последователь-
ное изложение языка и методов современной гомологической ал-
гебры, как показывает опыт, приводит к еще худшим дефектам,
затрудняя понимание геометрического смысла теории гомологий.
Некоторые фундаментальные методы современной алгебраической
топологии (техника спектральных последовательностей и кого-
мологических операций) изложены без полных обоснований,
которые потребовали бы кардинального увеличения объема.
Напомним, что использование этих методов базируется лишь на
формально-алгебраических свойствах входящих в них величин
и не использует явных конструкций этих величин, дававшихся
в процессе обоснования. В конце книги методы алгебраической
топологии применяются к изучению глубоких свойств харак-
теристических классов и гладких структур на многообразиях.
По замыслу авторов данная монография должна подводить чи-
тателя к чтению современной топологической литературы.

Большой вклад в формирование книги внес редактор Виктор
Матвеевич Бухштабер. Благодаря ему целый ряд мест был пере-
делан/ улучшены многие доказательства. Авторы благодарят
В. М. Бухштабера за эту большую работу.
Глава 1

гомологии и когомологии.

РЕЦЕПТЫ ИХ ВЫЧИСЛЕНИЯ

§ 1. Группы когомологий как классы замкнутых
дифференциальных форм. Их гомотопическая инвариантность

Один из важнейших гомотопических инвариантов многообра-
зия — это его группы гомологий, которые уже использовались
в § 19 и §§ 24, 25 ч. II книги [11, и к систематическому определе-
нию их мы сейчас перейдем.

Имеется несколько способов определить группы гомологий.
Мы рассмотрим первоначально определение гомологий через
дифференциальные формы (см. [1], ч. II, §25).

Рассмотрим замкнутые дифференциальные формы степени k
на многообразии Мп (напомним: индекс п указывает на размер-
ность многообразия), имеющие локально вид:

со = S а{ .^‘Д ... /\dx‘b, dco = O. (1)

Замкнутая дифференциальная форма называется точной (или
когомологичной нулю), если со = da', где со' —форма степени
k — 1 (напомним, что d (da') =0 ([1], ч. I, §25)).

Определение 1 *).Группой (линейным пространством)
когомологий Нк (Мп\ R) называется факторгруппа всех замкну-
тых форм степени k по подгруппе точных форм. Другими сло-
вами, Нк(Мп-, R) есть классы эквивалентности замкнутых форм
с точностью до точных:

сох ~ <в2, если сох — со, = da'.	(2)

Простейшим свойством групп когомологий является сле-
дующее

*) В дальнейшем нам встретятся различные определения групп гомологий
н когомологий с теми нлн иными коэффициентами. Учитывая тот факт, что эти
определения приводят к одному н тому же результату (см. ниже §§ 6, 14), мы
сознательно не вводим никаких индексов, указывающих на происхождение тех
или иных гомологий.
Утверждение 1. Для любого многообразия Мп группа
Н° (Мп-, R) есть линейное пространство размерности q, равной
числу связных кусков (компонент), из которых состоит много-
образие.

Доказательство. Формы степени 0 — это скалярные
функции f (х) на многообразии. Если форма степени 0 замкнута,
то df (х) = 0. Это означает, что функция / (х) локально постоянна,
т. е. постоянна на каждом связном куске многообразия. Замкну-
тые формы степени 0 — это просто наборы из q коистаит, где q —
число кусков. Утверждение доказано, так как точных форм
здесь нет.

Если имеется гладкое отображение многообразий f: Mt -► Мг,
то определено отображение форм со -» f* (со) такое, что d (/*со) =
= f* (dot) ([1 ], ч. I, § 25). Поэтому определено отображение групп
когомологий

f: Hk(M2, R) — Нк(Мй R),	(3)

так как классы эквивалентности переходят друг в друга (при
отображении f* замкнутые формы остаются замкнутыми, а точ-
ные — точными). Отображение/* является гомоморфизмом групп
когомологий.

Имеет место следующая

Теорема 1. Если заданы два гладких отображения

fc Mt-+ М2 и f2: Mi -* М2,

и эти отображения гомотопны, то отображения групп когомо-
логий и ft совпадают: fi = fi' Hk (М2\ R) -► Hk (Mi, R).

Доказательство. Пусть задана гладкая гомотопия F:
Mi X I -* Мг, где I — отрезок, 1 < I < 2, и F (х, 1) = fi (х),
F (х, 2) = /2 (х). Любая дифференциальная форма й степени k
на М X I имеет вид

Й = <В| 4- ®2 Д di, Й = toi (/о)>	- (4)

где <й1 — форма степени k, не содержащая среди дифференциа-
лов dt, и со2 — форма степени k — 1, не содержащая среди диф-
ференциалов dt (локальные координаты в X I выбираются
всегда в виде (х1, ..., х", t) = (х, t), где (х1, ..., х") — локальные
координаты на Л1). Пусть со —любая форма степени k на много-
образии Мг. Тогда форма F* (со) = Й = со2 + со2 д dt, где ло-
кально мы имеем

<»2= Е	Jx,/)dv'i Д ... Д d-A-i,

S . bii.../h(x, t)dx^/\ ... /\dx'*.

ti< ••• </fc
Определим форму D й степени k — 1 следующей формулой (ло-
кально):

(2	\	2

J ! (х, t) dt I dx‘l Д ... Д d/*-1 = J tDj dt.
i ' J	i

(5)

DQ —это форма степени /г — 1 на многообразии Мк X /. Имеет
место важная

Лемма 1. Верна формула «алгебраической гомотопии»
(см. § 2):

d (D (F* (со))) ±D(d (F* (со))) = /2* (со) - А* (<о).	(6)

Доказательство. Покажем, что для любой формы й
на Afj X / верна формула

dD(Q)±D(dQ)= й |/=2 — й	(7)

Вычислим dD (й), где Й = Их + со2 д dt. Локально мы имеем,
по определению,

(2	\

dtjdx1' /\.dx1/\ ... Kdx^,

_ _ 1 ?

DdSl — D (d^i) + D (Л02 A di) —

V1< •••</* «

+ У*,	• • A^U

/1<-</а	/

+ Ч У	...

Vi<	P	/

Отсюда мы видим, что

dD^ + (— 1)‘+I DdQ = ±	2 (feZi.../ft(x, 2)-

4< "

—	l))^1 A • • • Adx/ft =Q|<=a —Q|t=i.

Формула (7) доказана. Если теперь Й = F* (и), то Й |/=2 =
— [2 (и), й|<=1 = [* (<в). Лемма доказана.
Вернемся к доказательству теоремы. Пусть задана замкнутая
форма со на М2 (т. е. da> = 0). Тогда имеет место равенство

f2 (и) — fi (и) = dDF* (<в) ± DdF* (<о).

Однако dF* (со) = F* (da) — 0. Поэтому мы имеем /г (ш) —
— Д (со) = dDF* (со), т. е. разность форм точна. 9to и озна-
чает, по определению, что гомоморфизмы

fi: Нк(Мг-, R)-»-tf*(Mi: R), и /2‘: Нк(М2, ^)^Нк(Мй R)
совпадают на классах эквивалентности (когомологий). Теорема
доказана.

Напомним (см. II ], ч. II, § 17), что два многообразия назы-
ваются гомотопически эквивалентными, если найдутся такие
(гладкие) отображения /:	-► Мг, g: Мъ -* Mlt что обе супер-

позиции fg: Мг -* М2 и gf: М^-*- гомотопны тождественным
отображениям:

- Mt (х х), Мг - М2 (у у).

Например, евклидово пространство Rn (или диск Dn =
{п	1\

Е (Л2 < /?2Н гомотопически эквивалентно точке. Дока-
а=1	J /

зательство состоит в том, что Еп(или£>п) деформируется по себе
к точке. Точно это значит, что тождественное отображение 1:
R" -► R", где х и-> х, гомотопно постоянному отображению R" -► 0
(в точку).

Теорема 2. Гомотопически эквивалентные многообразия
имеют одинаковые группы когомологий.

Доказательство. Пусть отображения /: Мк -* М2,
g: М2-*- Mt устанавливают гомотопическую эквивалентность.
Рассмотрим отображения /*: Нк (Мг) -► Нк (Afx) и g*: Нк (М.^ -*
-* Нк (Л12). Так как отображения fg и gf гомотопны тождествен-
ным, то гомоморфизмы Qg)* — g*f* и (gf)* — f*g* в точности
являются тождественными гомоморфизмами групп когомологий
по теореме 1:

1 = нк (Мг) — Нк (М2),

Нк (М,) — Нк (Mx).

Отсюда следует, что сами гомоморфизмы f* и g*—это изо-
морфизмы, причем взаимно обратные: f* = (g*)”1- Теорема до-
казана.

Замечание. Согласно доказанной теореме» можно опреде-
лить группы когомологий для всех пространств X, для которых
найдется многообразие М гэ X, которое к этому пространству
стягивается, полагая

Я‘(Х; R) = Нк(Мп; R).

(8)

Например, восьмерка —это не многообразие, но для нее
можно определить группы когомологий — те же, по определению,
что и для области R2 \ (Qx U Q2) (см. рис. 1).

Следствие 1. Группы когомологий евклидова простран-
ства R" или диска Dn те же, что и у точки, т. е. Hk (R") — три-
виальна при & > О, № (R") = R — одномерное линейное про-
странство.

Из этого факта следует так называемая «лемма Пуанкаре»:
локально, в области около любой точки на многообразии М", всякая
замкнутая форма со (dco=0) является точной: со = dco', degco > 0.
Действительно, выберем диск Dn в ло-
кальных координатах с центром в точ-
(П	Ч

2 (х“—х“)2 < е? и применим
а=1	J

к диску следствие 1 о том, что
Я* р”) = 0 при k > 0.

Для k = 1 лемма Пуанкаре хорошо известна из курса анализа.

Для 1-форм со = fkdxk, dat — 0, мы имеем: со = dF, где F (Р) =ч
р

— j fkdxk по пути, идущему из точки Q в точку Р в диске D".
а

Вычислим теперь когомологии окружности S1.

Утверждение 2. Группы когомологий окружности S1
имеют вид

Hk(S'-,R) = Q, k>\-,

Hl (S1; R) = R; №(S!; R) = R.	U

Доказательство. Очевидно, когомологии S1 три-
виальны (равны 0), если k > 1. Далее, Н° (S1) = R, так как ок-
ружность связна. Для вычисления группы Н1 (S1) мы введем
координату <р, где ср и ср + 2лл представляют одну точку окруж-
ности при целых п. Форма степени 1 —это форма вида
а (ф) dtp — со, где а (ф) — периодическая функция а (ф + 2л) =
= а (ф). Всегда dco = 0, так как размерность окружности равна
единице. Когда форма а (ф) dtp точна? Sh'o значит, что а (ф) сйр =
= dF, где F (ф) — периодическая функция. Очевидно, F (ф) =
ч>

= Ja (ф) Яф + const. Итак, функция F (ф) периодична тогда
2л

и только тогда, когда выполнено условие J а (*ф) сРф *= 0, или
о

j со = 0.

з»

Следовательно, форма степени 1 со = а (ф) dtp на окруж-
ности точна, если и только если выполнено условие J со = 0.

з«

Поэтому две формы сох = а (<p) dtp и со2 = b (<p) dtp определяют
один и тот же класс когомологий тогда и только тогда, когда
J сох = J со2. Поэтому мы получаем, что Н1 (S1; R) = R. yr-
s’ з«
верждение доказано.

Следствие. Группы когомологий евклидовой плоскости
без точки R2 \ Q (или кольца) те же, что и у окружности и имеют
вид:

Hk(R2\Q) = 0, Л>1; № (R2\Q) = //°(R2\Q) = R. (10)

Замечание. Укажем еще один способ вычисления кого-
мологий окружности. Каждой форме со (ср) = а (ф) dtp сопоста-
вим <усредненную> форму

2Л

6 = 4rf0)((P + T)dT = -2r
о

'2л

j a (q> -f- т) dr

-о

dtp.

Утверждение 3. Форма со когомологична форме <Ь.

Доказательство. Форма со (ф + т) индуцирована отоб-
ражением ф н-> ф + т окружности S1 в себя. Это отображение
гомотопно тождественному. Поэтому со (ф) ~ со (ф -|- т). Интег-
ральная сумма для & имеет вид

У, “ (Ф + т«) дтс ~ ® (ф) *	У,	= со (ф).	(11)

i	i

Любая такая интегральная сумма, следовательно, когомоло-
гична со. Утверждение доказано. Форма со имеет вид

2л

&(ф) = ас/ф, где а = const — J а (ф) dip.
о

Действительно:

<й'(ф) =

1
2л

'2л+<р

J а(Ф)^Ф

_ ф

"2л

j а (ф) dф dtp.

-о


(Говорят, что форма <Ь (<р) инвариантна относительно вращений:
<в (<р + ф0) = <й (ф).)

Итак, каждому классу когомологий со мы сопоставили инва-
риантную (относительно вращений) форму 6, т. е. вещественное
число. Это соответствие, очевидно, взаимно однозначно, и мы
получаем Н1 (S1) = R.

Ниже будет показано, как можно обобщить приведенное рас-
суждение для вычисления когомологий компактных однородных
пространств.

Утверждение 4. У ориентируемого замкнутого ри-
манова многообразия Мп группа когомологий Нп (Мп) нетри-
виальна.

Доказательство. Рассмотрим элемент объема Q,
где (локально) имеем: й = 7/1 g | dx1 А • • • A dxn. Если набор
областей локальных координат выбран в соответствии с ориен-
тацией (т. е. все якобианы функций перехода положительны),
то Q — это дифференциальная форма степени л, причем мы имеем
J Q > 0 (это объем многообразия М"). Очевидно, dQ = 0, так
мп
как степень формы Q равна п. Если бы было Q — d<&, то по фор-
муле Стокса мы бы имели

j <в= Jdco = |й==0	(12)

дМп Мп М?

(так как М" замкнуто и не имеет границы). Получаем противо-
речие. Утверждение доказано.

Замечание. Если замкнутое многообразие Мп неориен-
тируемо (например, Л1’= RP2), то группа Нп (ЛГ; R) три-
виальна—это будет доказано в § 3. В частности, элемент объема
Q = Vig! dxx Д ... Д dxn при заменах с отрицательным яко-
бианом ведет себя не как’дифференциальная форма.

Л

Пусть Н* (Мп} = £ Нк (Мп) — прямая сумма групп кого-
Л==0

мологий. Введем в группе Н* (Л4Л) структуру кольца.

Утверждение 5. Пусть (ь1г <вг —замкнутые формы.
Тогда формы <вх A “a « (“i + d®') А “а замкнуты и когомоло-
-еичны.

Доказательство. Согласно формуле Лейбница (см.
[1], ч. I, §25) имеем:

d (со' А ша) = dca' А ®а± <&' A d<>h = dca' А “а-	(13)

Поэтому

(ей! + dco') А “a = “i Л + А “а)-	(14)

Утверждение доказано.
Согласно этому утверждению внешнее произведение форм
корректно задает умножение в Н* (Мп). Мы получаем, таким
образом, кольцо когомологий многообразия Мп. Если а»! £ Нр (Мп)>
сог £ Н" (Мп\ то произведение <в1<в2 лежит в пространстве
Я,’+’(Л1П). Это произведение обладает следующим свойством
косокоммутативности:

<ва<В1 = (—1)'”со1со2.	(15)

Поясним геометрический смысл групп гомологий; точные опре-
деления дадим в следующих параграфах.

Если Мп — произвольное многообразие, и со — замкнутая
форма степени k, то определены ее «интегралы по циклам». Это
можно понимать, например, так. Пусть Мк —замкнутое ориен-
тируемое 6-мерное многообразие. Под «циклом» в многообразии Мп
мы понимаем пока гладкое отображение f: Mk Мп, т. е. пару
(Мк, fi.

Определение 2. Периодом формы со по циклу (М*, /)
мы назовем интеграл J /*со.

мк

Пусть — произвольное ориентированное многообразие
с краем Мк = dNk+l. Край —это замкнутое ориентированное
многообразие (быть может, состоящее из нескольких кусков). Под
«пленкой» будем понимать отображение F:	-> М". Имеет

место следующая

Теорема 3. а) Для любого цикла (Mk, f) период точной
формы со = dco' равен нулю.

б) Если цикл (Mk, f) является границей пленки (jV*+1, F),
где Mk — граница Nk+l и F\Mk — f, то период любой замкнутой
формы по такому циклу (Мк, f) равен нулю.

Доказательство, а) Если со = dco', то по формуле
Стокса мы имеем

J /*ш = J f*(dco') = J d(f*co') = J /*(со') = О, . (16)
м« Л»	Mk	дмь

так как многообразие Мк не имеет границы.

б) Если Мк — граница JV*+1 (с учетом ориентаций), и =
= /, то имеем по формуле Стокса:

J /*со== J dF*(ca) — J F*(dco) = 0.	(17)

Теорема доказана.
Приведем без доказательства важный факт: если периоды замк-
нутой формы по всем циклам равны нулю, то форма является
точной (см. ниже § 14).

Пример. Если Мп = S" — сфера, то Нк (S") = 0 при
k 7^ 0, п.

Доказательство. Если k > л, то утверждение оче-
видно по определению. Если 0 < k < п и (М*, /) —любой цикл,
то по теореме Сарда (11 ], ч. II, § 10) образ f (Мк) не покрывает
хотя бы одной точки Q £ S'*. Поэтому цикл (Мк, f) фактически
лежит в R” = Sn \ Q. Мы уже зиаем (лемма Пуанкаре), что
в R" любая форма точна. Поэтому все периоды равны нулю при
0 < k < п. Следовательно, Нк (Sn) = 0 при„ 0 < k < п.

Другой вывод этого факта можно получить из рассуждения,
аналогичного вычислению когомологий окружности S1 (выше).
Используя группу движений SO (п + 1) на сфере Sn, можно свести
любой класс, когомологий к инвариантной относительно SO (п+1)
замкнутой форме на сфере S". Инвариантная форма со опреде-
ляется значением в одной точке сферы и в этой точке должна быть
инвариантна относительно стационарной группы SO (п) с
с: SO (п. + 1). Таких форм со нет, кроме размерностей нуль
и п (проверьте!).

Вычислим аналогичным методом когомологии групп Ли и
симметрических пространств.

Напомним (см. [1 ], ч. II, § 6), что однородное пространство М
группы О с группой изотропии Н называется симметрическим,
если в группе G задана «инволюция» —т. е. автоморфизм /:
G -> G, 1* = 1 такой, что /1« = 1 (точки подгруппы Н неподвижны
относительно автоморфизма /). При этом уравнение I (х) = х
для х близких к единице задает только элементы, из подгруппы Н,

На таком однородном многообразии М определяется «сим-
метрия» sx относительно любой точки х, где s* = 1. Отображе-
ние sx многообразия М в себя задается так: пусть g (х) — любая
точка из М; полагаем

£ (х)зж (Я (*)) = /(£)(*); sx(x) = x (при£=1); (18)

g—любой элемент из группы G, действующей на М.

Отображение sx для любой точки х определено корректно,
причем (Sx)* является отражением касательного пространства
в точке х относительно начала координат (см. [1], ч. II, §6).
В частности, каждая компактная группа Ли G является симмет-
рическим пространством группы G X G. Действие группы GxG
определяется так:

Тщ. h)(x) — gxh \

(19)
Инволюция Н имеет вид: 1 (g, h) — (h, g). Подгруппа H —это
диагональ {(g, g)|. Симметрия sx относительно единицы группы G,
х = е имеет вид

(g) = g'1-	(19')

На любом однородном пространстве выделены инвариантные
дифференциальные формы такие, что g*<B = <в, g —любой эле-
мент из G.

Дифференциал d<a инвариантной формы снова является ин-
вариантной формой:

g*dat = dg*<a = du.	(20)

Произведение ©j Д со2 двух инвариантных форм также ин-
вариантно:

g* (“i А ®з) = Д g*o)2 = <»i Д <в2.	(21)

Поэтому определено кольцо инвариантных форм однородного
пространства М. Оказывается, для любого однородного простран-
ства компактной связной группы Ли кольцо когомологий может
быть вычислено только с помощью инвариантных форм. При этом
для симметрических пространств имеет место более сильное
утверждение:

Теорема 4. Пусть М —компактное симметрическое про-
странство связной компактной группы Ли G. Тогда:

а)	любая инвариантная форма на М замкнута;

б)	любая замкнутая форма на М когомологична инвариантной;

в)	инвариантная (ненулевая) форма никогда не когомологична
нулю.

Доказательство, а) Пусть со — инвариантная форма
ранга k. Рассмотрим форму sxco = &. Покажем, что форма &
также инвариантна. В силу равенства (18) будем иметь:

s^Tg — T/^x (Te~g).	(22)

Действительно, если у — Th (х), то

h (х) = ТjgTIh (X) = Тugh) (х),
и

sxTgTh (х) = sxTgh (х),

SxTgh(x) — TJ(gh) (X) +-* SXTg(y) — TigSx (y).

Тогда

Tg& = T*gS*xtb = (SxTg)* CO « SxTfg(H — &,

т. e. форма & инвариантна.

Так как sx определяет отражение на касательном простран-
стве в точке х, то <& U — (—1)*со|ж.
Так как формы б и со инвариантны, то .последнее равенство
выполняется для любой точки х:

& =	(23)

Поэтому da = (—l)*dco. Но формы da и dco ранга k 4- I
также инвариантны, причем s‘xda — d&.

Поэтому

d& = (— l)*+l da	(24)

в силу тех же рассуждений, что и выше (ранг этих форм равен
k + 1). Значит da = 0, первая часть теоремы доказана.

б)	Пусть форма а на многообразии М замкнута: da — 0.
На группе G в силу компактности существует инвариантная
метрика (метрика Киллинга) (см. [1], ч. I, § 24 и ч. II, § 8).
Эта метрика определяет инвариантный элемент объема, который
мы будем обозначать через dp (g):

d\i (hg) = dp (g).	(25)

Нормируем элемент объема на группе G так, чтобы объем всей
группы был бы равен 1:

Jdp(g)=l.	(26)

а

Определим по форме св форму б, полагая
б = f T^odp(g).

(27)

Проверим, что форма ©инвариантна и когомологична форме со.

Вычислим форму Тьа. Будем иметь:

T*ha = j T‘hga dp (g) = ( T*hga dp (hg) == J Tg- a dp (g') = 6, (28)
g	g	a

где мы положили g' = hg, — такая замена переменных гладкая
и обратимая.

Итак, форма б инвариантна. Покажем, что формы б и со кого-
мологичны. Отображение Tg многообразия М в себя гомотопно
тождественному. Действительно, пусть g (/) — кривая в группе G,
соединяющая точку g с единицей группы (напомним, что группа G
связна). Тогда —искомая гомотопия. Поэтому формы Tga
и а когомологичны в силу теоремы 1: Tga ~ а. Следовательно,
б = J7^adp(g)~ j©dp(g)==© fdp(g) = ©.	(29)

G	a	Q

Вторая часть доказана.
в)	Докажем теперь, что инвариантная форма на компактном
симметрическом пространстве не может быть когомологичной нулю
(если она ненулевая). Вспомним, что на многообразии М можно
ввести риманову метрику инвариантную относительно дей-
ствия группы G (см. (1 ], ч. II, § 8). Риманова метрика на много-
образии определяет скалярное произведение форм на этом мно-
гообразии. Скалярный квадрат формы ш равен

(ш, ш) =	(30)

Эта величина всегда больше нуля при со 0. Действительно,
если со =	£ а/ ... dx‘l Д ... Д dx‘k, то

‘i<	<,„	1 к

j со Д * со = J h‘ifi.. .hl^ati... ,-ft	dx1 Д ... Д dxn> 0

(здесь hli — матрица, обратная К; Лг/, h — det (/i/;), п = dim Л1).

Пусть со — инвариантная форма. В силу инвариантности
метрики (hi}) все операторы T*g коммутируют с оператором*.
Поэтому форма ♦ со тоже инвариантна, а значит, замкнута:
d * со = 0.

Допустим, со = dco'. Тогда d (со' Д *со) = dco' Д *со±
± со' Д d * со = со Д * со. Поэтому в силу формулы Стокса по-
лучаем

(со, со) = (со Д * со = j d (со' Д * со) = 0.	(31)

м	м •

Значит, форма со есть тождественный нуль. Теорема полностью
доказана.

Рассмотрим теперь примеры.

Пример 1. Тор Т" = Rn/r, где Г — целочисленная ре-
шетка в R", порожденная п линейно независимыми векторами.
Тор является компактной абелевой группой Ли.

Пусть х1, ...,х" — евклидовы координаты в R". Все формы
вида dx1 Д ... Д dx к —это инвариантные (относительно сдви-
гов) формы на R". Поэтому они определяют инвариантные формы
на торе Г". Если форма со = а/х... lk (х) dx11 Д ... Д сЬ/* на торе
инвариантна, то это означает, что

а11...1к(х + у) = а11...1к(х),	(32)

т. е. коэффициенты формы со постоянны:

%...сл= const.	(33)
Итак, любая инвариантная форма на Т" есть линейная комбина-
ция с постоянными коэффициентами внешних произведений
форм dxl, dx2, dxn.

Вывод. Кольцо когомологий тора Н* (Т") есть внешняя
алгебра д (eL, еп) с образующими ......еп степени единица.

Здесь е{ —класс когомологий формы dx1.

Пример 2. Компактная группа Ли. Инвариантные формы
на G —это двусторонне инвариантные дифференциальные формы
на группе (относительно левых и правых сдвигов)..

Рассмотрим сначала левоинвариантные формы на группе G.
Приведем пример векторнозначной левоинвариантной 1-формы,
принимающей значения в алгебре Ли g группы G: со (g) = g~zdg.
Для матричной группы G, где g = (gth), dg = (dgih) — это мат-
рица с компонентами dgih, со —это тоже матрица из 1-форм,
со = (coift).

Другая конструкция этой же формы со не использует матрич-
ную реализацию группы и пригодна поэтому для любой группы G.
Пусть вектор £ касается группы G в некоторой ее точке g. Подей-
ствовав на 5 левым сдвигом получим вектор из касатель-
ного пространства в единице группы, т. е. из алгебры Ли д.

Каждая компонента формы со левоинвариантна:

“ (ftg) = g-'lr'd (hg) = g*dg = co (g).	(34)

Пусть 0l, ..., Qn—базис в пространстве левоинвариантных
1-форм. Для матричной группы в качестве форм 0* можно взять
компоненты формы со = (coift) = g~r dg, выбирая среди них ли-
нейно независимые. Например, для группы G — SO (п), где
матрица (co/ft) кососимметрична, в качестве базиса можно взять
формы со/й, где i < k.

Лемма 2. Число N, tn. е. размерность пространства лево-
инвариантных 1-форм, равно размерности группы.

Доказательство. Любая левоинвариантиая 1-форма 0
полностью определяется своим значением на касательном про-
странстве в единице'группы, причем это значение может быть
любым. Лемма доказана.

Следствие. П ространство левоинвариантных \-форм сов-
падает с пространством д* всех линейных функций на алгебре
Ли д группы G.

Здесь алгебра Ли рассматривается как касательное простран-
ство в единице группы.

Лемма 3. Любая левоинвариантная k-форма со имеет вид

“ = S ^....с^А ...	(35)

где aiv..ik —констанам.
Доказательство. В силу' леммы 2 в единице группы
форму <в можно представить в виде:

*>(*) = S Ъ	... де'че)- (36)

4<"<‘ъ 1	*

В силу левоинвариантности форм <в и 0* равенство (36) справед-
ливо в любой точке группы. Лемма доказана.

Следствие. Алгебра левоинвариантных форм на группе
Ли G изоморфна внешней алгебре Д (д*) над пространством д*
линейных функций на алгебре Ли д. Другими словами, эта ал-
гебра совпадает с пространством кососимметрических полили-
нейных функций на алгебре Ли д.

Выясним, какие из левоинвариантных форм являются и пра-
воинвариантными. Заметим, что при правых сдвигах на /Г1 форма
со = g~'dg преобразуется следующим образом:

со (gft-1)-1 d (gft-1) = ЛсоЛ-1.

Следовательно, справедлива

Лемма 4. Кососимметрическая полилинейная функция
ср (Xlt .... Xft) из (д*) отвечает правоинвариантной форме,
если и только если верно равенство1.

Ф W1, ...» йХ^/г1) = ф (Xlt ...» X*)	(37)

для любого элемента h из группы G.

Вывод. Кольцо когомологий связной компактной группы
Ли G совпадает с кольцом Динв (д*) полилинейных кососим-
метрических функций на алгебре Ли д, инвариантных относи-
тельно внутренних автоморфизмов.

Пусть ( , ) — означает форму Киллинга на алгебре Ли д
группы G. Определим 3-линейную функцию Q (X, Y, Z) на ал-
гебре Ли д, полагая

Q(X, У, Z) = ([X, У], Z).	(38)

Эта форма кососимметрична в силу инвариантности формы Кил-
линга (см. [1 ], ч. I, § 24). Кроме того, в силу равенства [йХй-1,
ЙУЙ-1 ] = h [X, У ] h"1 форма Q инвариантна относительно внут-
ренних автоморфизмов группы G. Поэтому справедливо

Утверждение 6. Группа Н3 (G) нетривиальна для
любой компактной группы Ли G с невырожденной формой Кил-
линга (т. е. неабелевой группы).

Пример 3. Пусть М — симметрическое пространство груп-
пы G, Н — группа изотропии. Фиксируя точку х в многообра-
р .

зии М, мы получаем отображение G -* М, где элемент группы g
переходит в р (g) — Tg (х). Вся подгруппа Н (и только она)
переходит в точку х. Если <в — некоторая форма на многообра-
зии М, то определена форма р*са на группе G. Эта форма обра-.
щается в нуль на касательном пространстве к подгруппе Н.
Любой правый смежный класс {gfi} по подгруппе Н переходит
в одну точку при отображении р. Поэтому форма р*<в инвариантна
относительно правых сдвигов на элементы из группы Н.

Пусть со —инвариантная форма на многообразии М. Тогда
форма р*<& на группе G левоинвариантна.

Теорема 5. Кольцо инвариантных дифференциальных форм
на однородном пространстве М группы G с группой изотропии Н
изоморфно внешней алгебре Дивв ((g/Л)*) (здесь h —алгебра Ли
подгруппы Н), т. е. алгебре кососимметрических полилинейных
функций на д, обращающихся в нуль на h, инвариантных отно-
сительно внутренних автоморфизмов на элементы из Н.

Доказательство. Каждой инвариантной форме со
на М сопоставим форму р*со на группе G. Форма р*со левоин-
вариантна и обращается в нуль на п, поэтому определяет неко-
торый элемент из Д ((g//i)*)- Форма р*со инвариантна и отно-
сительно правых сдвигов на элементы из группы Н. В силу ле-
воинвариантности для этого достаточно, чтобы форма р*со была
инвариантна относительно внутренних автоморфизмов на эле-
менты из группы Н. Теорема доказана.

Пример 4. Вычислим кольцо когомологий комплексного
проективного пространства:

СР" = U (п + 1)/£7 (1) X U (п).	(39)

СР" —компактное симметрическое пространство. Группа U (л+1)
также связна и компактна. Поэтому кольцо когомологий СР"
определяется через инвариантные дифференциальные формы.

Пусть (z°, ..., г")—однородные координаты на СР", т. е.
координаты на C”+I \ 0, определенные с точностью до ненуле-
вого комплексного множителя^ Рассмотрим в С"+1 вещественную
дифференциальную 2-форму

0 = 4-S dzk /\dzk.	.	(40)

z k

n

Ограничение этой формы на сферу S2"+I: £|а*|2==1 также
fc=0

обозначим через Q. Форма Q инвариантна относительно группы
U (п + 1). Покажем, что эта форма получается из некоторой
формы О на СР" : Q = р*со, где р: S2"+1 -»-СРв —естественная
проекция.

Нужно проверить, что при преобразованиях

+	'	(41)

г*-»е“'фЛ dzk-> e~l<t (dzk — izk dtp) (41')
п

Форма Q переходит в себя. На сфере S2n+\ где £ z*z* = 1,
л==о

мы имеем: £ zk dzk 4- Ez* dzk = 0; поэтому

4 dzk A dzk + 4 2 dzk /\ dzk + i dtp A 2 (^dzk + zkdzk) =
=4-5^* ^к.

Итак, мы получаем инвариантную 2-форму со на симметри-
ческом пространстве СР". Ее внешние степени со* все отличны
от нуля при k « п, так как отличны от нуля соответствующие
степени формы Q (проверьте!).

Вывод. В алгебре когомологий Н* (СРЛ) комплексного
проективного пространства СР" содержится алгебра много-
членов С [со] от образующей со размерности 2, причем со”+1 = 0.

В § 4 будет показано, что других элементов в Н’ {СРп) нет.

§ 2.	Гомологии алгебраических комплексов

Определение!. Аддитивно записанная абелева группа С
называется комплексом (комплексом цепей или коцепей), если:

1)	Группа С представлена в виде прямой суммы С — Е Ск
своих подгрупп Ск размерности или степени k (говорят, что
группа С градуирована).

2)	Задан линейный оператор (гомоморфизм) д: Ск -* Ck±\
такой, что дд = 0; гомоморфизм д повышает (или понижает)
размерность на единицу одновременно для всех k: d(Ck)czCk+i
[или д(Ск) с: Ck_t]. Если дСк с: Сй+1, то говорят о комплексе
«коцепей». Если дСк с: Сй_ь то говорят о комплексе «цепей».

Определение 2. 6-мериой группой гомологий Нк (С)
комплекса цепей С называется факторгруппа группы 6-мерных
циклов = Ker д (т. е. dZk = 0) по подгруппе границ Вк =
= 1тд = дСк+1 (Bk с= Zh):

Hk(C) = Zh/Bk.	(1)

Группой когомологий комплекса коцепей называется фактор-
группа коциклов Zk = Кег д по кограницам Вк — дСк^:

Hk(C) = ZkfBk.

(2)

Полной группой гомологий Н* (С) или когомологий Н* (С)
называется прямая сумма: Н* (С) = Е Нк (С), или Н* (С) =

= Е нк (С).
Пример 1. С каждым многообразием Мп связан комплекс
п

дифференциальных форм С — S Ch на этом многообразии. Здесь
k=0

Ch — это все (гладкие) 6-формы на многообразии Л4"; опера-
тор д: -* Ck+i — это оператор внешнего дифференцирова-
ния d = д. Гомологии такого комплекса назывались в § 1 кого-
мологиями многообразия.

Пример 2. На группе Ли, или на симметрическом про-
странстве, определен комплекс инвариантных дифференциальных
форм. Все такие формы замкнуты, поэтому оператор д = d здесь
тривиальный —нулевой. Из теоремы 1.4 вытекает, что гомоло-
гии такого комплекса совпадают (для симметрического про-
странства) с гомологиями комплекса всех дифференциальных
форм.

В следующих параграфах встретится ряд примеров комплексов.

Пусть даны два комплекса (С(1), д(1)), (С(2), д(2>)-

Определение 3. Сохраняющий градуировку гомомор-
физм f: С(1) -> С(2) называется гомоморфизмом комплексов, если
он перестановочен с действием дифференциалов:

^(,)=д(2)Л / (Cl1 ’) cz С12),	6 = 0, 1, ...	(3)

Имеет место простое

Утверждение 1. Гомоморфизм f алгебраических комп-
лексов индуцирует гомоморфизм f групп гомологий:

f-. Hh{Cw, д(1))^Ял(С(2), д(2)),	6 = 0,1,..'.	(4)

Доказательство. Гомоморфизм f переводит циклы Z1”
в циклы Z*2), и границы В*1’ —снова в границы в£2) для лю-
бого 6. Поэтому он корректно определяет гомоморфизм групп
гомологий. Утверждение доказано.

Например, гладкое отображение многообразий f: M-+N
определяет отображение f* комплексов дифференциальных форм
иа этих многообразиях, действующее в обратную сторону:

f*: С (N)-* С (М).

Это отображение линейно и перестановочно с дифференциалом:
f*d(a = df*ce> для любой формы ®. Поэтому f* является гомо-
морфизмом комплексов дифференциальных форм.

Определение 4. Пусть f: С(1) -> С(2), g: С(1) -> С(2) —
два гомоморфизма алгебраических комплексов. Эти гомоморфизмы
называются (алгебраически) гомотопными, если задан гомомор-
физм D: С(,) -> С(2) такой, что

Dd(l) ± dmD =f -g.	(5)
Если операторы д(1>, д(2) повышают (понижают) градуировку,
то отображение D понижает (повышает) градуировку:

D(C'k)<zC{\ или D(C{)cC^.	(6)

Утверждение 2. Гомотопные отображения комплексов
индуцируют одинаковые гомоморфизмы групп гомологий:

f = g- ЯЙ(С(1), d([})-+Hk(Cw, д(2)).	(7)

Доказательство. Если ск £ Cf ’ — цикл, д(1)с* = О,
то:

f (<*) - g (ch) = Ddwch± д™ Dc„ = ± d(2)Dch,

t. e. f (ch) ~ g (ch) в группе гомологий Hh (C<2>, d(2)). Утвержде-
ние доказано.

Пример алгебраической гомотопии и был построен при дока-
зательстве гомотопической инвариантности когомологий в тео-
реме 1.1. Другие примеры встретятся в следующих параграфах.

Определение 5. Пусть Ьк — ранг группы Hh (С, д).
Альтернированная сумма вида

X (С, д) = S (- 1)4 = Е (-1)* rang Hk (8)

называется эйлеровой характеристикой комплекса (С, д).

Утверждение 3. Эйлерова характеристика комплекса
(С, д) равна следующему числу: .

Х(С d)=S (—l)*rangCh.	(9)

Доказательство. Пусть zft — ранг группы циклов Zft,

—ранг группы границ Вк. Тогда мы будем иметь для этих
рангов соотношения:

bk=zk-h,	(10)

₽л = rang Ck+1 - zM	(11)

(где оператор д понижает градуировку). Поэтому

Ьк — zh + zk+l ~ гап8 Cft+l
и

S (- 1)4 = ZO + S (- l)ft+1 rang CM.

Утверждение доказано, так как z0 = rang Co (очевидно, доказа-
тельство верно и в том случае, когда оператор д повышает гра-
дуировку на 1).
Пусть' G — произвольная абелева группа (записанная адди-
тивно). Определен комплекс С ® G = £ Ск ® G — комплекс
*>0

.«цепей с коэффициентами в группе G». [Напомним, что тензорное
произведение двух абелевых групп А ® В состоит из всевоз-
можных конечных сумм вида Sat ® bt, at £ A, bt £ В, причем
для символа ® должны выполняться следующие требования:

(ах + «а) ® b = a'L ® b -j- <z3 ® Ь,
а ® (^i + = а ® + а ® Ь2.

Отсюда сразу вытекает полезное соотношение: та ® b = а ® mb,
где т — любое целое число.

Задача 1. Доказать, что для любой группы G: G ® Z = G.
Вычислить тензорное произведение конечных циклических групп
Zm ® Zn. Доказать, что тензорное произведение любой конеч-
ной абелевой группы на группу вещественных (или рациональных)
чисел равно нулю.]

Оператор д на цепях вида ch ® g, ck £ Ck, g £ С, действует
так: д (ск ® g) = dck ® g. На всю группу С ® G он продолжается
линейно. Соотношение дд = 0 здесь очевидно. Гомологии комп-
лекса С ® G называются также гомологиями комплекса С с ко-
эффициентами в группе G и обозначаются так:

Hk(C-, G) = Hh(C®G).

Пусть G — аддитивно записанная абелева группа и (С, д} —
комплекс цепей. Введем сопряженный комплекс коцепей —
линейных форм (гомоморфизмов) С* со значением в G, обозна-
чаемый в алгебре через Hom (С, G). Мы имеем естественное раз-
ложение в сумму

C‘«SC;	(12)

*>о

(Ck — это линейные формы на Сй) и граничный оператор д*,
сопряженный к д:

д : Ck-*- Ck+i, д: Ck-+ Ck-i >
где

(д*х, с) = (х, <3с); с£С, х£С*.	(13)

Имеем: д*д* = 0. Группы когомологий Нк (С*, д*) обозна-
чаются обычно через Нк (C't G) и называются когомологиями комп-
лекса С со значением в G.

Пусть G = к — поле (например, действительные числа к = R,
комплексные к = С, рациональные к = Q или конечное поле
к — Zp из р элементов, где р — простое) и С — комплекс ко-
нечномерных линейных пространств Ск над полем к. Имеет место

Теорема 1. Линейные пространства Нк (С; к) и Hk (С)
взаимно сопряжены; в частности, они имеют одинаковую раз-
мерность.

Доказательство. Будем считать, что оператор д
понижает градуировку. Докажем, что элемент ск из С* является
коциклом в комплексе С*, если и только если (с4, Bft) = 0, где
Вк с: Ck — подгруппа границ. Действительно, для любого эле-
мента с*+1 из группы C*+i мы будем иметь: 0 — (д*ск, 5*+i) =
= (с*, dCk+\)- Обратно, если (с4, дск+\) = 0 для любого элемента
Ck+i из CA+i, то д*ск принимает нулевые значения на любом
таком элементе сй+1.

Итак, мы получили, что пространство Z* коциклов комп-
лекса С* совпадает с пространством линейных форм, обращаю-
щихся в нуль на подпространстве границ Вй. В силу конечно-
мерности каждого пространства Ск комплекс (С*)* совпадает
с комплексом С. Поэтому мы имеем: пространство циклов Zk
совпадает с пространством линейных форм на С*к, обращающихся
в нуль на подпространстве границ В*. Другими словами, В* —
это линейные формы, обращающиеся в нуль на Zk.

По доказанному, каждый элемент с4 из Ск, где д* ск = О,
определяет линейную форму на гомологиях Нк (С). Кроме того,
размерности пространств Нк (С; к) и Нк (С) совпадают. Тео-
рема доказана.

Определим операцию тензорного произведения С = С(1) 0 С(2)
двух комплексов (С(,), д(1)) и (С<2), д(2>)-

Напомним, что тензорным произведением А 0 В двух ли-
нейных пространств Л и В с базисами (cj..as), (bu ..., bp)

называется пространство с базисом аг 0 bj, i = 1, ...,s, / =
= 1, .... р, и условием 4- К^а^ 0 b = )^aL 0 b 4- A^a, 0 Ь
и а 0 (Xjbi + А^Д) = A^a 0 bt 4- X^a 0 b2- (Здесь Хт, A~j — ска-
ляры. Возможно, что речь идет о любых аддитивно записанных
абелевых группах А и В; тогда X — это только целые числа (см.
с. 25)).

Полагаем С = S Сй, где

с, = (с'"®св),= s С">0С“,	(14)

дн1» 0 42>) =	0 с™+(- 1)₽ 4” 0	(15)

Легко проверить, что дд =* 0.
Теорема 2. Пусть С(1) и Ст — комплексы линейных
пространств над любым полем к. Для гомологий тензорного про-
изведения имеет место формула

Я*(С(1) ®С(2)) = S ЯР(С(,))®#ДС(2))	(16)

р+?=*

(будут важны случаи k = R, С, Q, Zp).

Для доказательства теоремы докажем сначала вспомогатель-
ное утверждение.

Лемма. Пусть С=2 Сп —комплекс линейных пространств
п>0

над полем к. Тогда в каждом пространстве Сп можно выбрать
канонический базис (хп, ;,уп,в котором действие опера-
тора д имеет вид

дхп,1 = уп_1,{, дуп,/ = О, dhn,(—0.	(17)

Доказательство. Из формул (17) видно, что век-
торы уп, j — это границы, векторы An> t — циклы, не являющиеся
границами и тем самым дающие базис в гомологиях Нп (С); нако-
нец, векторы xn>i — базис в пространстве цепей, не являющихся
циклами. Поэтому нужный нам базис легко строится по индук-
ции, начиная с пространства Со.

Доказательство теоремы. Выберем канониче-
ские базисы (Хр \ ур\ hp}) и (42), у^\ /гр2)) во всех простран-
ствах Ср } и Cq2) (индексы, нумерующие базисные векторы одного
пространства, будем опускать). Построим канонический базис
для пространства С* = £ Срп ® Cq2). Первая группа векторов
р-г?=а

(не циклы):

xPq = хр ’ ® <2); арч =-§-14° ® У? + (~ l)P~‘4-i ® 4+iL

ар? = х<*> ® Л<2); рр, = (- 1)р h™ ® х<2)	(18)

(всюду в этих формулах, а также ниже, р 4- q = k).

Базис границ:

^=^I®42l1-(-i)P+141)®42);	,1Q.

УрЧ = У^®У^ ЪЧ=-У^®^\	(1У)

Векторы (18), (19) линейно независимы (проверьте!), и чтобы по-
лучить базис в пространстве Ск, нужно добавить еще векторы
вида ftp0 ® 42)> Р + Я — k. Вычислим действие оператора д в
построенном базисе. Из формул (15), (17) сразу получаем, что

dXpq — bpq~i, dOpq = Ур-\ q> dcipq ~ У p-1 q> ^Pp<7 = ^pq-l>

dbpq = dypq = dyPq = d8pq = d ® ft<2)) = 0,
т. е. построенный базис действительно канонический. Таким об-
разом, векторы ЛрП ® Л‘2) с р 4- q = k дают базис в пространстве
ЯЙ(С(,) ® Ст), что и требовалось доказать.

§ 3. Симплициальные комплексы, Их гомологии

и когомологии. Классификация

двумерных замкнутых поверхностей

Изложим теперь другой подход к определению и изучению
групп гомологий и когомологий, который сильно расширяет воз-
можности их применения.

Определим л-мерный симплекс. 0-мерный симплекс —это точка
1а0]; 1-мерный симплекс—это отрезок 1осооех); 2-мерный сим-
плекс — это треугольник [a0aja81; 3-мерный симплекс — это
тетраэдр [a0axa2a3] (рис. 2).

3-мерный

Рис. 2. Симплексы.

По индукции, если n-мерный симплекс ап — [айаг... ап]
определен и лежит в л-мерном пространстве R", то для построе-
ния (л + 1)-мерного симплекса надо взять новую вершину an+lj
вне этой гиперплоскости Rnc:Rn+1 и рассмотреть совокуп-
ность всех точек, лежащих на отрезках, соединяющих эту новую
вершину an+i с точками симплекса [а0... ап]. Полученное тело
и будет (л + 1)-мерным симплексом [а0 ... an+il = а’4'1.

Более общо, л-мерным симплексом мы будем называть выпук-
лую оболочку (л + 1)-й точки (вершины) евклидова пространства.

Грани л-мерного симплекса [a0.'..an]—это симплексы,
натянутые на вершины [а0 ... а^], [аоа! ... ап_гап], ...
.... [ах... ап ]. Таким образом, i-я грань получается удалением i-й
вершины at из набора [a0...an] и противоположна этой вер-
шине: i-я грань симплекса а" есть

[ао ... а,-...	(1)

(i-я вершина удалена).

Грани меньшей размерности формально получаются из симп-
лекса [а0 ... an] удалением какого-то числа любых вершин.
Определение 1. Ориентированная граница симплекса
д" = («о ••• ®п] есть формальная линейная комбинация его гра-
ней вида:

. ап] = S (- 1/(00 ... а, ... а„] = £ (- 1)'<^.
i=0	!<=0

(2)

Например, для 0-, 1- и 2-мерных симплексов мы имеем:

д[ао] = О,	(3)

д [<Xoail = [aj - [а0],	(4)

д [ссо^аг] = [а^] — [а^]	[etoO^J.	(5)

Из рис. 2 видно, что грани входят с правильными знаками.

Лемма 1. Для п-мерного симплекса имеет место формула
дд [а0 ... ап] = 0.	(6)

Доказательство состоит в прямом вычислении. Например,
для п = 2 мы имеем

д [ctoOiOg] = [а^] — [aoocg] + [OoaiJ,

дд [OoOiaj] = {[aj - [aj} — {[aj — [«oJ} -f- {[ad - [<XoH = °-

(Л	\

S (—1)* a<o* IJ

J
в эту сумму грань ог"^ (вершины at, aj удалены) входит дважды—
в границу да'ц? и до?/?1 —с противоположными знаками.

Определение 2. Симплициальяый комплекс —это сово-
купность симплексов произвольной размерности, обладающая
свойствами:

1)	вместе с любым симплексом его грани всех размерностей
принадлежат этой совокупности;

2)	два симплекса могут пересекаться (иметь общие точки)
только по целой грани какой-то размерности, и при этом только
по одной грани<

Конечный симплициальный комплекс состоит из конечного
числа симплексов.

Перенумеруем как-то все вершины конечного симплициаль-
ного комплекса а0, а1( ..., aN. Тогда r-мерные симплексы
. . . а1г] определяются некоторыми подмножествами вер-
шин в данной нумерации.

Пусть G — любая коммутативная группа, где групповой закон
записывается как сложение (+). Цепи размерности k в симпли-
вдальном комплексе—это формальные конечные линейные ком-
бинации вида ck « S gtOi, гдео4 —различные k-мерные симплексы,
записанные в данной нумерации вершин комплекса, gt — произ-
вольные элементы группы G. Сложение.цепей определяется так:
если ск = 'EgiCi, ck == S gM, TO ck + 4 = S (gi + gifo- Цепи
образуют абелеву группу.

Граница цепи дск — это цепь размерности k — 1, определяе-
мая формулой

дск = S gi^i-	(7)

i

Очевидна формула (по лемме 1): ддск — 0.

Циклы —это такие цепи сй, что дск — 0. Циклы также обра-
зуют группу Zk. Циклы, гомологичные нулю (ограничивающие),—
это такие циклы ch, что = дсм. Эти циклы образуют группу
границ Bfc.

Определение 3. Группой гомологий Нк (М, G) симпли-
циального комплекса М называется факторгруппа группы Zk
всех циклов размерности k по. циклам Вк, гомологичным нулю
(два цикла эквивалентны, если и только если ск — ск — dc*+i).

Интересны случаи G = Q (рациональные числа), G = С, G — Z
(целые числа), G = Z2 (вычеты по модулю 2) и вообще G = Zm
(вычеты по модулю т, особенно когда т — простое число и Zm —
поле). При G — R все Я, (М, R) являются линейными простран-
ствами над полем R. Размерность Ь, пространства Н{ (М, R)
называется i-м числом Бетти комплекса М.

Для конечного симплициального комплекса определяется эйле-
рова характеристика:

если у/ —число симплексов размерности i в комплексе М,
то эйлерова характеристика комплекса М равна

%(M)=S(-1)4-.	(8)

Теорема 1. Пусть bt—размерности пространств
Hi (AI; R) (числа Бетти). Тогда имеет место равенство:

X(M)=S(-1)^==S(-1)'^	(9)

Оо	Оо

Доказательство. Группа i-мерных цепей Ct — это
линейное пространство размерности у,. Поэтому доказательство
вытекает из утверждения 2.3.

Замечание. Эйлерова характеристика Х (AI) может быть
определена (см. [1 ], ч. II, § 15) как сумма особенностей вектор-
ного поля (или гладкой функции). Мы получаем возможность
вычислять % (AI), исходя из гомологий.

Определим теперь сопряженные объекты, fe-мерная коцепь
с*—это линейная функция на ^-мерных целочисленных цепях
комплекса М со значениями в группе G. Таким образом, ко-
k	.

цепь с сопоставляет каждому fe-мерному симплексу элемент
ск (ог) из группы G, причем

(ааа + &oi2) = а? (стц) + Ьск (а12),

а, b — целые числа. Сумма таких линейных функций — снова
коцепь, поэтому коцепи образуют группу.

Кограница 6с* любой коцепи с* — это (k + 1)-мерная ко-
цепь, определяемая равенством

6с* (о;) = с* (6о;)	(10)

(или 6 — д* в обозначениях § 2), где —любой симплекс раз-
мерности £ 4* 1- Заметим, что 66 = 0. Действительно,

66с* (стг) — 6с* (dty) = с* (ддсг/) = 0.

Коциклы —это коцепи с* такие, что 6с* — 0. Коциклы, эквива-
лентные (когомологичные) нулю, имеют вид с4 — 6с4-1.

Определение 4. Группа когомологий Я* (М; G) —это
факторгруппа группы коциклов по подгруппе коциклов, экви-
валентных нулю (с4 ~ с4', если с4 —с4' = 6ck~l).

Комплекс коцепей сопряжен к комплексу симплициальиых
цепей. Для случая, когда G = к — поле, из теоремы 2.1 мы по-
лучаем

Следствие. Размерности пространств Hi (М; к) и
И1 (М; к), где к —поле, совпадают.

Рассмотрим случай G = Zm (вычеты mod т), особенно если
т — р — простое число, когда G = Zp — поле. Пусть
х £ Hq (Af; б) и х —целочисленная цепь, дающая цикл х —
= х (mod т). Мы имеем

з-	дх

дх = ти, или и — —
т

в целочисленных цепях. Если элемент х меняется в классе гомо-
логий х С Hq (М, Zm)t х -+ х + ду + тг, то мы получаем

дх	дх	.	дду	. з,	дх	, ,	.	,

---->•-------- -4-	dz ==-1- dz — и 4- dz.

т	т	т	1	т	Г	•

При этом ди = 0.

Таким образом, возникает корректно определенный однознач-
ный «гомоморфизм Бокштейна»:

*-*—> где x(modm)~x£Hq(M; Zm), (И)

Н^М-Л^Н^М-, Z).
Аналогично, в когомологиях получим гомоморфизм

77’(М; Z„,)-^//’+1(M; Z).

(12)

Утверждение h Для любого элемента х £ Hq (М; Zm)
д*х = о в На-1 (М-, Z), если и только если х получается из эле-
мента у С	приведением (modulo т):

х — у (mod т) «--> д*х = 0.

Аналогично в когомологиях: х — у (mod т) *-> б#х = 0. (Здесь
х € Нч (М; Zm), У £ Нч (М-, Z).)

, Доказательство. Если х = у (mod т), то можно
дИ

выбрать цепь х так, что дх — 0 и д*х — — = 0 в (М, Z).

дх

Обратно, если д*х = 0 в (М, Z), то — = дг для неко-
торой цепи г. Полагаем у — х —тг. Мы имеем ду — 0 и
у (mod т) = х. Утверждение доказано.

Таким образом, знание <5# и 6* позволяет распознать в гомо-
логиях mod т образы целочисленных. Другое применение:
образ д*Н„ (М, Zm) в группах (М, Z) выделяет элементы и,
и £ Нц-i (М, Z) такие, что ти = 0 (кручение).

- Действительно, д* (тх) = т (д*х) = 0 по определению. Об-
ратно, если то = 0 для о £	(М, Z), то то = дх для цело-

численной цепи х, и мы имеем элемент х = х (mod т) такой, что
X С н. (М, Zm) и д*х = о.

Пример. Для М = RP2 имеем х £ Нг (RP2, Z2) = Zj,
х=^0. При этом' д*х Ф 0 в Нг (RP2; Z) = Z*.

Задача 1. Для всех неориентируемых многообразий имеется
цикл £Л1"] = х в группе Нп(Мп, Z2) такой, что д*х =£ 0 и эле-
мент д*х С Hn_i (Мп, Z) порядка 2.

Для когомологий наоборот: имеем и £ Н1 (RP2, Z2), где
Ф 0 и имеет порядок 2 в Я2 (RP2, Z).

Пусть многообразие Мп разбито на симплексы и превращено
в симплициальный комплекс. Тогда у него можно определить и
вычислить группы гомологий и когомологий.

Гладкий симплекс о* размерности k —это дифференцируемое
вложение симплекса (вместе с некоторой открытой окрестностью
симплекса в о* в пространстве R*) в многообразие Мп. Мы будем
считать многообразие триангулированным, если оно разбито
в симплициальный комплекс с помощью гладких симплексов.

Сформулируем два важных факта (доказательство пункта А
будет дано в § 6):

А.	Группы гомологий и когомологий не зависят от триангу-
ляции многообразия и гомотопически инвариантны.
В.	Для G = R группы когомологий совпадают с темп, которые
вводились через дифференциальные формы (см. § 14).

Поясним последнее утверждение. Пусть оА —гладкий ^-мер-
ный симплекс в многообразии Мп-, ah —дифференциальная форма
степени k. Определен интеграл формы ®А по симплексу ак:

(<оА, п*) = j ®ft.	(13)

°*

Если сА — £	— цепь с вещественными коэффициентами,

I

то можно определить интеграл формы по цепи ск:

. (®h>ch) — 2 ri j <Bft’	(14)

‘ ai

В силу формулы Стокса (см. [1 ], ч. I, § 26) верно равенство:

(J«A, с)=((о, Эс)** J w.	(15)

с дс

Любая замкнутая форма ®, где da = 0, определяет поэтому
линейную функцию на классах симплициальных гомологий:
если clt с2 — гомологичные циклы, сх = с2 + дс’, то

(со, сх) = (со, с2) 4- (dco, с') = (со, с,).

Любая точная форма со, где со = da', обращается в нуль на
любом цикле (проверьте).

Вывод, Каждый класс когомологий Нк (Л1; R), опреде-
ленных через дифференциальные формы, определяет линейную
функцию на группе симплициальных гомологий Hh (М\ R).

Сформулированное .выше утверждение В означает, что так
получается любая линейная функция на группе Hh (Af; R) и не-
тривиальная (ие точная) замкнутая форма всегда дает нетриви-
альную линейную форму на Hh (М; R).

Пусть Afrt —замкнутое связное многообразие. Легко видеть,
что любая его триангуляция (разбиение на симплексы) обладает
следующим свойством: любой симплекс размерности п — 1 яв-
ляется гранью ровно двух л-мерных симплексов.

Теорема 2. Имеет место равенство

Ип(М"-, Z.) = Z2

(здесь Z2 —группа из двух элементов —вычеты по модулю 2).

Доказательство. Рассмотрим цепь г = £ п?, где

i

суммирование ведется по всем л-мерным симплексам, причем их
ориентация произвольная. Над полем 7^ верно равенство цепей:

' п

доп=^<^-\	(16)

»=0

2 Б. А. Дубровин н др.
где о? 1 — грани симплекса ап. В сумме дг = £ да" каждый
i

(п — 1)-мерный симплекс встретится ровно два раза. Поэтому
дг = 0. Ясно, что других ненулевых /г-мерных циклов здесь нет.
Теорема доказана.

Пусть теперь многообразие Мп ориентировано.

Утверждение 2. Для замкнутого связного ориентиро-
ванного многообразия п-я группа гомологий Нп (Мп; G) равна G
(G —любая группа).

Доказательство.
В каждой точке многообра-
зия Мп задай класс ориента-
ции касательных реперов.
Ориентируем n-мерные симп-
лексы в соответствии с ори-
ентацией этих реперов. Пусть
симплексы of и о? граничат
по симплексу o'*-1 (см. рис. 3
для п — 2). Этот симплекс
входит в границы до? и до?
с противоположными зна-
ками. Следовательно, цепь
[Мл] — 2 о? (сумма по
i

всем n-мерным симплексам) является циклом. Ясно, что любой
другой «-мерный цикл имеет вид г — g [Afn 1, где g — элемент
из группы G. Поскольку п-мерных границ не бывает, то утвер-
ждение доказано.

Утверждение 3. Пусть G — Z — группа целых чисел.
Тогда для неориентируемого п-мерного связного замкнутого много-
образия будем иметь:

Нп (М", Z) = 0, Нп (Мг Z-J« Z2.

Доказательство. Любой n-мерный цикл должен иметь
вид г =	а”, где X =# 0 — целое число, а симплексы а" под-

i

ходящим образом ориентированы. Если симплексы о? и а? грани-
чат по симплексу о"-1, то этот симплекс входит в да'} и до? с раз-
ными знаками, если и только если симплексы о? и о? в многообра-
зии Mrt ориентированы одинаково (проверьте). Поэтому дг = 0,
если и только если иа всех симплексах а" можно выбрать единую
ориентацию, т. е. если многообразие Мп ориентируемо. Утвержде-
ние доказано.

Следствие. Пусть [Мп] .= S о? — сумма всех п-мер-
ных симплексов неориентируемого многообразия Мп (образующая
в группе Нп (Мп, Z4)). Тогда

д* [Мп] Ф 0 в группе (Мп, Z) и 2d* (MrtJ — 0.
Перейдем теперь к триангуляции двумерных гладких много-
образий и их классификации с помощью симплициальных ком-
плексов.

Дадим классификацию двумерных гладких компактных связ-
ных замкнутых многообразий. На протяжении всей оставшейся
части этого параграфа мы будем рассматривать только такие много-
образия, а поэтому мы не будем всякий раз оговаривать пере-
численные выше ограничения, наложенные на многообразия.

Лемма 2. Любое двумерное гладкое многообразие Л42 можно
гладко триангулировать (т. е. разбить гладкими кривыми на глад-
кие треугольники такие, что любые два треугольника этого раз-
биения либо не пересекаются, либо имеют одну общую вершину,
либо —одну общую сторону)-

Доказательство. Вложим ЛГ в конечномерное евкли-
дово пространство (см. [1], ч. II, §9). Тогда на Л12 возникает
индуцированная риманова метрика. Для достаточно малого г > О
любые две точки х, у £ Мг, для которых р (х, у) < г (р — рассто-
яние иа М2, порожденное римановой метрикой), соединяются
единственной кратчайшей геодезической уХ1У. Покроем М2
конечной системой дисков радиуса <e/2:DltD2, ...;DN. Диск£>!
может быть гладко триангулирован с помощью геодезических.
Для распространения триангуляции на диски, имеющие непустое
пересечение с Dx (например, на D3), достаточно заметить, что
геодезическая, принадлежащая Di П Д2, построенная ранее в Dlt
является также геодезической и с точки зрения дискаД2, и потому
триангуляцию можно продолжить в дискО 2 (быть может, предва-
рительно измельчив триангуляцию HaDj). Процесс заканчивается
через конечное число шагов. Лемма доказана.

Дадим первоначально описание всех типов двумерных много-
образий. Первая серия —это сфера с g ручками MJ; g — род
поверхности. Эти многообразия появляются, например, при изу-
чении римановых поверхностей алгебраических функций вида
ш e ± Рп (г) (полином Рп не имеет кратных корней). На-
помним, то Mg равно совокупности нулей уравнения
w2 —Pgg+i (г) = 0 в СР2 (г, о>). Эти многообразия можно гладко
реализовать в R3 в виде поверхностей, показанных на рис. 4
(см. подробнее [1 ], ч. II, § 4).

Вторая, серия многообразий (будем обозначать их через М^)
получается, если из сферы S2 выбросить р попарно непересека-
ющихся дисков D2 и на границе каждого из получившихся отвер-
стий отождествить диаметрально противоположные точки
(см. рис. 5, а). Эта операция называется «заклейкой сферы S2
р пленками Мёбиуса».

В частности, при р = 1 поверхность М» —это вещественная
проективная плоскость RP2 (рнс. 5, б), при р = 2 поверхность М^
называется бутылкой Клейна. Отметим, что в [1], ч. II, § 18
бутылка Клейна определялась, как фактор плоскости по
Рис. 4. Сфера с g ручками S2 + (g) = М* (на рисунке g — 3).

Рис. 5. а) Многообразие = S* + (р) (на рисунке р = 4) получено заклейкой
сферы S1 р пленками Мёбиуса; б) Af* = RP’ — вещественная проективная
плоскость; в) — бутылка Клейна.

Рис. 6.

Рис. 7. Сфера S2 с «вывернутой руч-
ной?,

Рй?. 8.
некоторой дискретной группе движений. Совпадение такой ее
реализации с видно из рис. 5, в.

Apriori могла бы иметь право на независимое существование
также и «смешанная» серия: сфера S®, к которой приклееноg ручек
и р. пленок Мёбиуса. Однако эта «смешанная» серия полностью
содержится в серии М^. Действительно, рассмотрим S®, к которой
приклеена одна ручка и одна пленка Мёбиуса (см. рис. 6). Но
для бутылки Клейна имеет место диффеоморфизм, изображенный
на рис. 7.

Таким образом, приклейка к S2 одной ручки и одной пленки
Мёбиуса эквивалентна приклейке к S2 трех пленок Мёбиуса
(см. рис. 8). Следовательно, в присутствии хотя бы одной пленки
Мёбиуса каждая ручка может

быть диффеоморфно заменена
двумя пленками Мёбиуса.

Как мы сейчас строго дока-
жем, многообразия М® действи-
тельно полностью описываются

этими двумя бесконечными	рис. 9

сериями: Л1| и

Рассмотрим произвольноеМ® (см. ограничения в начале раз-
дела) с гладкой триангуляцией (см. лемму). Разрежем 7И® вдоль
всех ребер этой триангуляции, поставив предварительно на обеих
сторонах каждого разреза одинаковые буквы (различные для
разных разрезов) и фиксировав на обоих берегах разреза одина-
ковую ориентацию (см. рис. 9).

Тем самым мы превратили 7И® в набор треугольников, на сто-
ронах которых отмечены буквы и задано направление; каждая
буква входит в этот набор ровно два раза, причем две одинаковые
буквы всегда принадлежат различным треугольникам. Начнем
обратный процесс склейки Af®, требуя, однако, чтобы каждый
раз после приклейки к уже полученной области нового треуголь-
ника область оставалась бы плоской. Очевидно, что в результате
этой процедуры (и указанных свойств нумерации сторон) мы
получим связный плоский многоугольник, стороны которого
занумерованы буквами и снабжены ориентациями (каждая буква
встречается ровно два раза). Этот многоугольник назовем фунда-
ментальным многоугольником (он. определен по данной триангу-
ляции неоднозначно). Фиксируем на многоугольнике W ориента-
цию и сопоставим ему слово, которое естественно возникает при
обходе границы W (начиная с какой-то вершины, все равно с ка-
кой): последовательно выписываем буквы, нумерующие стороны
W, причем в слово помещаем букву в степени +1, если ориентация
стороны совпадает с ориентацией, индуцированной ориентацией
JF,. и в степени —1, В противном случае. См. пример на
Итак, мы сопоставили каждому М* (неоднозначно) некоторое
слово W = а**а,* ... a**; k—четное число сторон W; каждая
буква аа входит в W ровно два раза. Эти «слова» кодируют {ЛР};
каждому отвечает бесконечное множество таких кодов. Будем
теперь перестраивать эти коды элементарными операциями (по-
рождающими гомеоморфизмы ЛР), чтобы привести их к канони-
ческой форме. Оказывается, существуют только три канонические
формы (они и дают классификацию {М2}).

Рис. ю.

Лемма 3. Слово W можно перестроить так, что все вер-
шины W (т. е. вершины многоугольника) склеятся в одну точку.

Доказательство. Предположим, что существует по
крайней мере два непустых класса эквивалентности вершин:
(Р| и {Q}. Можно считать, что существует такое ребро а £ dW,
что его концевые точки принадлежат разным классам: (Р| и
Выполним следующую элементарную операцию (см. рис. 11).
(Жирными отрезками обозначены те ребра из dW, которые нас
сейчас не интересуют.)

Рис. 11.

Ясно, что эта операция переклейки многоугольника W соот-
ветствует гомеоморфизму ЛР. С другой стороны, эта перестройка
уменьшила число вершин — представителей класса |Р] на еди-
ницу и увеличила число вершин — представителей класса {Q}
на единицу: ({Р}, {Q}) -* ({Р} —Г, + 1). Таким образом,
мы постепенно уничтожаем класс {Р}, «перекачивая» вершины
этого класса в другие классы. Последним шагом будет операция
уничтожения последней вершины класса {Р| (см. рис. 12). (От-
метим, что в процессе уничтожения класса {Р}, классы {Q},
в которые перекачиваются вершины класса {Р}, могли меняться.)
Многоугольник (или слово) W, у которого только один класс вер-
шин, называется обычно «приведенным»,
Лемма 4. Пусть слово W имеет вид W = — аа~х —. Тогда
существует гомеоморфизм, переводящий слово W в эквивалентное
слово W = — 1 —.

Доказательство. См. рис. 12.

Лемма 5. W = —а—а —	— —аа—:

Рис. 12.	Рис. 13.

Доказательство. См. рис. 13.

Осталось переобозначить с через а. Лемма доказана.

Лемма 6. W = —а— b — а~1 — Ь-1 —~ W =—aba-1b-1 —

w-
I!

-— HcfW
♦ ♦
ab

Рис. 14.



Доказательство. См. рис. 14. Лемма доказана.

Лемма 7. Если W = — а — а-1 —, где множество- букв
а =/= 0, то тогда существует b £ а такая, что Ь-1 £ а:

W = — а—Ь— а-^ — Ь-1—.

а

Доказательство. Допустим противное: пусть для
любого b С a, b"1 С “• Но тогда в множестве вершин W возни-

Рис. 15.

Рис. 16.

кает по крайней мере два класса неэквивалентных вершин, так
как вершины £а, взаимодействуют (склеиваются) только с вер-
шинами £а (см. рис. 15). Так как а 0 и IF \ {a |J « I)
U а-1} =5^ 0 (см. лемму 4), то получаем противоречие с утвержде-
нием леммы 3, согласно которой мы считаем W приведенным
многоугольником. Лемма доказана.

Лемма 8. W = —aba^b'1 — сс—aaW = — а2—Ь2— с2.

Доказательство. См. рис. 16. Лемма 8 окончательно
следует из леммы 5.

Итак, нами доказана следующая теорема.

Теорема 3(о классификации двумерных поверхностей).
Любое двумерное гладкое компактное связное замкнутое много-
образие М2 диффеоморфно одному из многообразий, определяемых
следующими словами (кодами) W:

1)	W = аа-1;

2)	W = ах^аГ'&Г'аг&глГ'ЬГ1 agbgaY'bl'-,

3)	W = № ... <*.

Любое гладкое двумерное связное компактное многообразие
с краем получается из двумерного диска D2 путем следующих
операций: а) выбрасыванием конечного числа точек (т. е. конеч-
ного числа дисков достаточно малого радиуса); б) приклейкой
конечного числа ручек; в) приклейкой конечного числа пленок
.________________	Мёбиуса. При этом перечис-

т	ленные операции не должны

<Г" “	== ( ^а* )й(	затрагивать границу исход-

V ) \ J ного диска Dг.

----'------------------/ Опишем более наглядно
рис. 17.	структуру многообразий М2

в соответствии с этой клас-
сификацией.

Многообразие типа 1) диффеоморфно сфере S2 (см. рис. 17).ч

Многообразие типа 2) диффеоморфно сфере S2 с g ручками
(ориентируемые многообразия Mg). См. рис. 18.

Многообразие типа 3) диффеоморфно сфере S2 с р пленками
Мёбиуса (неориентируемые многообразия М^). См. рис. 19.

Замечание 1. Элементарным упражнением является
вычисление групп гомологий многообразий типа 1), 2), 3) (напри-
мер, с целыми коэффициентами). Вычисление показывает, что все
перечисленные канонические формы не гомеоморфны между собой.

Замечание 2. Существуют и другие удобные способы
кодировать {Л!2}. Любое М2 можно представить в следующем
виде:

W —	••• ’ба ••• a^—iay, s =	1.

где е = —1 тогда и только тогда, когда М2 = Mg —ориентиру-
емое многообразие (тогда N = 2g четно); в = -f-1 (N любое)
тогда и только тогда, когда М2 = Л1£ — неориентируемо.

Доказательство. Рассмотрим случай Mg. W = аг ...
... ака~1 ...аы-щы", N = 2g. Приведем W с помощью элемен-
тарных преобразований (см. выше леммы 3—8) к канонической
Рис. 20.
форме Mg (см. предыдущую теорему). Это приведение будем осу-
ществлять, последовательно отщепляя стандартные ручки вида
aba~lb~l. Рассмотрим

W = a1a3a3...	... ах-

II II ’“o’^ll II   Т~'
a b a~lb~l

Далее см. рис. 20.

Таким образом, мы в явном виде выделим первую ручку:
d^cdcr1, не изменив при этом отрезков Р и Q. Продолжая операцию
выделения ручек- и вспоминая, что N — 2g четно, приходим
к слову W ==	... agbga^bg1 т Mg. Таким образом, мы

представили все ориентируемые многообразия. Для «ориентиро-
ванного случая» теорема доказана. Для «неориентируемого слу-
чая» доказательство совершенно аналогично (см. леммы 3—8),
а потому мы его опустим (проведите это доказательство само-
стоятельно!).

§ 4. Операция приклейки клетки к топологическому
пространству. Клеточные пространства. Теоремы
о приведении клеточных пространств. Гомологии
и фундаментальная группа поверхностей и некоторых
других многообразий

Пусть X — топологическое пространство, D я — л-мерный
диск; S'*’1 = dDn —его граница — (л — 1)-мериая сфера. Мы
считаем фиксированной ориентацию диска Dn\ эта ориентация
индуцирует ориентацию границы S'*-1. Пусть задано отображение
этой сферы в пространство X:

/: S^-’-X.	(1)

Построим новое пространство Д'* U/X, отождествляя каждую
точку х на сфере S'*"1 с точкой f (х) в пространстве X. Говорят,
что пространство Д'* |J / X получено из пространства X при-
клейкой л-мерной клетки (Д'*, /).

Топология в пространство Д'* |J / X вводится следующим
образом. Множество К с Д" U / X называется замкнутым, если
замкнуто его пересечение К П X, а также полный прообраз
пересечения КПД" замкнут в диске Д'*.

Пример 1. Сфера S'* получена из точки * приклейкой
л-мерной клетки: S'* = Д'* Ц-у *, где /: S'*-1 -* * — отображе-
ние в точку.

Пример 2. Вещественное проективное пространство
можно рассматривать как диск Д'*, у которого склеены диаме-
трально противоположные точки на границе S'*-1. Заметим, что
сфера S'*’1 с отождествленными диаметрально противополож-
ными точками e<!tb RP'1'1. Следовательно, RR" можно рас-
сматривать как RP'1’1 с приклеенной л-мерной клеткой

ррп==рп u/nRp„-i.	(2)

Здесь отображение fn: S'1*1 -* RP"'1 —стандартное накрытие.

Лемма 1. Если отображения f, g: Sn~l -* X гомотопны,
то пространства Dn U, Х^и Dn U g X гомотопически эквива-
лентны.	'

Д о к а з а т'е л ь с т в о. Пусть отображение Р: S"*1 X
X I -► X задает гомотопию отображений f и g, где / — единич-
ный отрезок. Приклеим к пространству X произведение Dn X I
по отображению F части его границы:

X = (D"X/)UfX.	(3)

Тогда пространства Dn U/Хи/? Ug А лежат в X:

Dn UfX^UP" х 0) U/X)cX, Dn UgX = ((D” x 1) Uf*)<=X.

(4)

Пусть <pt — гомотопия, стягивающая Dn x 1 на Dn J S'1-1 XI
по лучам, проведенным из точки * (см. рис. 21). Гомотопия <р{
постоянна на Dn J Sn~l х I, поэтому определяет гомотопиче-
скую эквивалентность X ~ Dn (j f X. Аналогично, X ~ Dn (Jg X.
Лемма доказана.

Определение 1. Про-
странство X называется кле-
точным, если оно получено
из конечного набора точек
итерированием операции
приклеивания клеток раз-
личных размерностей.

. Первоначальный набор точек также можно считать' О-мерными
клетками.

Замечание. Для клеточных пространств с бесконечным
числом клеток мы потребуем, чтобы они имели конечное число
клеток в каждой размерности.

Определение 2. Клеточное пространство X называется
клеточным комплексом, если каждая клетка приклеена к клеткам
меньшей размерности.

Объединение всех клеток размерности k < п мы будем назы-
вать л-мериым клеточным остовом комплекса X. Обозначим
л-мерный клеточный остов комплекса X через Хп. Получаем
систему вложенных остовов:

ХосХ1с...сХ„с...сХ.	(5)

Замечание. Частным случаем клеточного комплекса
является симплициальный комплекс, л-мерный остов симпли-
циального комплекса — это совокупность всех его симплексов
до размерности п включительно.

Теорема 1. Любое клеточное пространство гомотопически

эквивалентно клеточному комплексу.

Доказательство. Достаточно показать, что любое
отображение сферы S* в клеточный комплекс Y гомотопно
отображению S* в его A-мерный остов Уь. Тогда в силу леммы
1 результат каждой приклейки клетки будет гомотопически экви-

гладким (см. [1],

валентен клеточному комплексу.

Итак, пусть Y —клеточный комп-
лекс, /: S* -> Y — отображение. Образ
сферы Sk прн отображении f пересекается
лишь с конечным числом клеток. Если
образ / (S*) пересекается с внутренностью
какой-то клетки Dn, где п > k, то эту
часть образа можно вытеснить на гра-
ницу. Действительно, отображение f на
полном прообразе внутренности клетки
f"1 (Dn) можно заменить гомотопным ему
ч. II, § 12), и по теореме Сарда этот образ не

покрывает хотя бы одной внутренней точки Р в Dn. Проектируя
Dп \ Р из точки Р на границу, мы и вытесняем часть образа
f (Sft) на границу, т. е. в остов yn_r (см. рис. 22).

Повторяя это рассуждение для всех клеток размерности больше
k, мы в конце концов затянем образ / (S*) в остов Yh комплекса Y.

Тем самым теорема полностью доказана.

Определение 3. Отображение /: X -> Y клеточных
комплексов называется клеточным, если оно переводит k-мерный
остов Хк комплекса X в A-мерный остов Yk комплекса Y (А любое).

Теорема 2. Любое непрерывное отображение клеточных
комплексов гомотопно клеточному отображению.

Доказательство этой теоремы (теоремы о «клеточной аппрокси-
мации») полностью аналогично доказательству теоремы 1, и мы

оставляем его читателю в качестве задачи.

Пусть X —клеточный комплекс; Xh_L и Хй_2 его
(k — 1)-мерный и (А —2)-мерный остовы. Заметим, что простран-
ство Xft_£ / Xk_2, где Xh_2 отождествлено в точку, есть просто
букет (А — 1)-мерных сфер (по одной для каждой клетки D4"1).
Приклейке А-мерной клетки (Dk, f) отвечает отображение

S^-^X^-^X^/Xb.,

(6)

сферы S**1 в букет (А — 1)-мерных сфер.

Пусть о* = (£>*, /), а*-1 = (D*-1, /<) —клетки размерно-
сти А и (А — 1). Определим «коэффициент инциденции» —число
[а*: ст*-1] для пары клеток ак и а*-1: это степень отображения
(6) на i-e слагаемое букета Хк-г/Хк-ч (сферу S* \ отвечающую
клетке а?*1).

Определим теперь комплекс клеточных цепей комплекса X,
обозначаемый через С (X; G) = У! Ck (X; G). Клеточная цепь
»о

размерности k —это формальнаяЧцинейная комбинация клеток:
ch = S giol, где а* — клетки размерности k, gt — элементы
произвольной абелевой группы G, записанной аддитивно. Опре-
делим граничный оператор д формулой

А? =£[</:

(7)
д- Ck(X-G)-^Ck-dX-,G).

(На любые цепи оператор д продолжается линейно.)

Замечание 1. Если X — симплициальный комплекс, то
определенный здесь оператор д совпадает с граничным оператором
из § 3 (проверьте).

Замечание 2. Для G = Z (целочисленные цепи) имеем
отображение ль (Xft, Хл-1) — > Ch (X; Z) на всю группу цепей.

Лемма 2. дд — 0.

Доказательство. Можно считать, что каждая клетка
o*:D* -» Xft представляет элемент [ст*] из относительной группы
лл (Хл, Xft_!) (см. [11, ч. II, §21). Граничный оператор д поро-
жден, как очевидно следует из его определения, граничным гомо-
морфизмом точной.последовательности пары (Хй, Хк_1)

д: nft(Xft,Xft_1)->nft_1(Xft_1) '	(8)

'и гомоморфизмом /: лл_! (Xh_i) -*	(Xft_1( Xfe-2) (см. [1],

• ч. II, §21). Мы имеем для а* как цепи из Ck (X; Z):

д (а‘) = а (р [ст?]) € Cft_! (X; Z).	(9)

В силу тождества dj = 0 мы получаем дд = 0 для целочисленных
цепей. Клетки а* дают базис также для цепей с любой группой
коэффициентов G. Лемма доказана.

Теперь можно обычным образом определить гомологии и ко-
гомологии комплекса клеточных цепей. Мы получим клеточные
гомологии и когомологии. Для симплициальных комплексов эти
гомологии совпадают с симплициальными.

Примеры клеточных комплексов.

Пример 1. Сфера S'*. Мы уже видели, что сфера S'* полу-
чается приклейкой одной n-мериой клетки а" к нульмерной а®.
Здесь мы имеем: да® = 0, дап = 0. Последнее очевидно для всех
п > 1. Для п = 1 граница клетки а1 — это нульмерная сфера S®
“ (пара точек), причем эти две точки входят с разными знаками.
Отсюда получаем:

Яо (Sn; G) = G, n 1,

Нп (S"; G) = G,	, >	(Ю)

Hh (Sn\ G) — 0, k 0, n.

Если имеется букет q сфер S"f), n 2s 1, j = I, 2, q, соединен-
ных в одной точке, то имеется одна вершина а® и q n-мерных кле-
ток а’, .... где да1? —0. К такому букету стягивается область,

Рис. 23. Тор. Рис. 24. Бутылка Рис. 25. Проективная
Клейиа №.	плоскость.

полученная из евклидова пространства R"+1 выкидыванием на-
бора q точек. Обозначим этот букет через К1}. Мы имеем:

Но G) = G,

Нп (К"; G) = G 4- G 4- ... +G (<? штук), (11)

Ht (IQ, G) = 0, 1=£0, п.

Пример 2. Клеточное разбиение тора. Здесь имеем клетки;
a0, aj, 02, о2 (см. рис. 23), причем да0 = да! = dal — да2 = 0;

/70(T2)=G, Я1(Т2) = 0 4-0, Я2(Т2) = С. (12)

Пример 3. Бутылка Клейна имеет следующие клетки:
а0, а}, а!, а2 (см. рис. 24), причем да0 = да{ = да! = 0, да2 =
= 2а}

tfe(№;Z) = Z, tfa(№;Z) = 0, /Л (№, Z) = Z + Z2;

Я2 (№; Z2) = Z2.	(13)

Пример 4. Проективная плоскость RP2. Здесь имеем
3 клетки: а®, а1, а2; да® = да1 — 0, да2 — 2а1 (см. рис. 25),

Яо (RP2; Z) = Z, /71(RP2;Z) = Z2, Н2 (RP2, Z) = О'.	(14)

Пример 5. Ориентируемая поверхность рода g: имеем
4^-угольник (см. рис. 26 для g = 2). Клетки: а0, а}, .... а2г, а2.
Границы всех клеток нулевые. Имеем гомологии (G = Z): Нл =
= Z, = Z 4- ••• 4- Z (2g слагаемых).

Пример 6. Проективное пространство RP". Выше мы ви-
дели, что RP" = Dn (J /„ RP’1"1, где fn : S'1*1 -> RP"-1 —стандарт-
ное накрытие. Получаем по одной клетке ак = (Dk, fk) в
каждой размерности k: а®, ..., ал. Покажем, что да2*+1 = О,
do2* = 2а2*-1. Отображение границы Sm клетки ат+1 в /п-мер-
ный остов проективного пространства — это стандартное накры-
тие Sm -> RPm. Поэтому нужно вычислить степень отображения

Sm^RPm^RPm/RPm-'l==Sm.	(15)

Это отображение изображено на рис. 27. Оно является суммой
(в смысле группы nm(Sm)) двух отображений Sm в Sm. При нечет-
ном т оба эти отображения имеют степень 4-1, поэтому dom+1 =
= 2am. При т четном знаки степеней противоположны, и
Jgm+l __ Q

Итак, получаем вид гомологий проективного пространства
RP” для G = Z и G = Z2:

( 0, п = 2k,

а)	Но (RP"; Z) = Z, Нп (RP- Z) = [ п = 2k

( 0, k — 2l

Zs, ^ = 2/4-!, где Q<k<n.

Ь)	Нк (RP"; Z2) == Z2, k = 0, 1.n.	(17)

Пример 7. Комплексное проективное пространство СРЛ.
Пусть (z0, ...,zn)—однородные координаты в СРЛ. Уравнение
га — 0 определяет в СРЛ подмногообразие, совпадающее с СР"*1.
Разность СРЛ \ СР'-1 есть п-мерное комплексное пространство
Сл(с координатами Zi/Zj, .... zn/z0). Поэтому разность СРЛ\СР'*-1
определяет 2л-мерную клетку а2л. Продолжая этот процесс, мы
получим разбиение комплексного проективного пространства СРЛ
иа четномерные клетки а®, а2,.... а2л. Очевидно, здесь все границы
нулевые. Поэтому Htk (СРЛ; G) = G, 0 < k < п, (СРп;
G) = 0.

Клеточные комплексы удобно использовать и для вычисления
гомотопий. Напомним, что пространство X называется л-связным,
если Ойо линейно связно, и все группы nt (X) — 0 при i < п.

Теорема 3. Всякий п-связный клеточный комплекс К
гомотопически эквивалентен клеточному комплексу К с единствен-
ной вершиной о® и без клеток размерностей 1, 2, ..., ц,
Прежде чем давать доказательство теоремы, мы разберем
два примера.

Пример 8. Пусть п = 0. Приведение линейно связного
комплекса К к одновершинному К таково: если имеется ребро
а} (1-мерная клетка), у которого граница да\ — а°£ (J о& состоит
из двух различных вершин а?£ =/= о®/, то мы накладываем отожде-
ствление, стягивая все ребро а) в одну точку а?£ = а^, которая
будет вершиной. Остальные клетки не меняем. Получается новый
комплекс /(' с меньшим числом вершин и т. д., пока не придем
к одновершинному. Комплексы К и К' гомотопически эквива-
лентны (доказательство будет ниже). В результате получаем
комплекс К с одной вершиной а®, 1-клетками~а£ и 2-клетками а£.
1-остов Ki является букетом окружностей а£: Ki— SJ V ••• V S)v,
где W — число 1-клеток ait i = l, ...Д. Группа (KJ сво-
бодна с образующими (б£| == at (см. [11, ч. II, § 19). Клетки 5/
приклеиваются с помощью отображений границы S’ — да] -* Klt
дающих некоторые элементы Vj из свободной группы л^Сй^)
с образующими аъ ..., aN. Группа лг (К) задается тем самым
образующими ...,aN и соотношениями Vj = 1 для всех 2-кле-
ток а] в комплексе К (с одной вершиной). Переходя к группе
Нг (К", Z), мы получим базисные циклы [ах], ...,	] и соотно-

шения Vj = 0 (в аддитивной записи) в коммутированной группе.
Тем самым оправдано определение группы гомологий Нг (К',
Z) = лх (К)/[л! (Д), л£ (К) ], данное в [1], ч. II, § 19.

Пример 9. Если п > 0, то группы Яп+1 (К; Z) и лп+1 (К)
обе коммутативны. Они заданы одними и теми же образующими
а, —(п + 1)-клетками о£+1 в К (i = 1, ..., М) и одинаковыми
соотношениями из границ (п + 2)-клеток о/+2. Получаем:

Следствие (теорема Гуревича). Имеет место равенство
л п+1 (Ю = ^n+i (К, Z) для п-связного комплекса (л > 0).

Доказательство. Каждое отображение (л 4- 1)-мерной
сферы в клеточный комплекс К гомотопно отображению в
(л 1)-мерный остов (см. теорему 2). Поэтому любое такое
отображение представляется в виде линейной комбинации с
целыми коэффициентами клеток а"+1 в К (i = 1,..., М). Каждое
соотношение S Х;о£+1 ~ 0 в группе лп+1 (К) есть отображе-
i

ние диска Dn+2 в комплекс К такое, что его ограничение
на границу Sn+1 есть линейная комбинация У! %>а?+1.

С

Такое отображение гомотопно отображению, переводящему
Dn+2 в остов размерности п 4- 2, причем гомотопия постоянна
на границе Sn+1 (доказательство полностью аналогично доказа-
тельству теоремы 1). Поэтому каждое соотношение вида %{a"+l
гомотопно нулю» в группе лп+1 (К) эквивалентно соотношению
гомологично нулю» в группе Нп^ (К; Z). Следствие
доказано.

Задача 1. Докажите обратное утверждение: пусть —
связный односвязный клеточный комплекс. Если Нк (К', Z) = О
при 0 < k < п, то лк (К) = 0 при тех же k и лп (К) — Нп (K't Z).

Доказательство теоремы 3. Фиксируем одну
вершину а°; соединим ее путями у, со всеми остальными верши-
нами а?. Можно считать, что эти пути
целиком лежат в одномерном остове
клеточного комплекса /С. Приклеим
к комплексу К полукруги по каж-
дому пути Yf. Получим новый клеточ-
ный комплекс К, который содержит
комплекс /С и, кроме того, клетки
о} и о| (см. рис. 28). Внутренности
клеток а} не пересекаются, по-
этому их объединение стягиваемо
в К. Значит, факторпространство К —

— К/ (Jn'< полученное стягиванием всех клеток о) в а°, гомото-

пически эквивалентно К. С другой стороны, комплекс К стяги-
вается на К (полукруг стягивается на диаметр), поэтому ~
~ К ~ ~К. Комплекс К имеет ровно одну нульмерную клетку
(вершину).

Далее, пусть комплекс К имеет одну вершину и уже не со-
держит клеток размерности 1, 2, .... k — 1, k < п. Тогда й-мерный
остов комплекса К — это букет A-мерных сфер S*. Каждая сфера
S( гомотопна нулю в К в силу n-связности, поэтому ее можно
заклеить диском D*+1 (можно считать, что диск Df+1 лежит
в (k + 1)-мерном остове комплекса Д'). Приклеим по отображению
диска D*+1 диск DA+2 (по половине границы). Тем самым мы
получим комплекс К, гомотопически эквивалентный К, содер-
жащий по лишней клетке а*+| и а*+2 на каждую Л-мерную клетку
в /(. Объединение клеток а*+1 стягиваемо в К, поэтому К —
= К / U а*+! ~ К ~ К- Комплекс К гомотопически эквивален-
I i

тен /С и не имеет клеток размерности 1, 2, ..., k— 1, k. Теорема
3 доказана.

Теорема классификации замкнутых поверхностей (см. § 3)
позволяет указать стандартное представление М* в виде объеди-
нения клеток: Л12 = a® U f U U о2, где а° — точка; к ней при-
\ « /
клеен букет окружностей VSi, а затем к этому букету в соответ-
а

ствии со словом W приклеен диск D2 (двумерная клетка о2) (см.

рис. 29).

Частный случай Ml при g = 1 показан на рис. 30.

Таким образом, окружности можно занумеровать бук-

вами alt аг, ..., ап(п = 2g для М% и п — у, для M%), а фундамен-

0*

«2

Рис. 29.

тальный многоугольник W можно
отождествить с двумерной клет-
/ п \

кой о2. Так как группа Л1 V Sa)
свободная с образующими
а1, .... ап, то приклейка клетки а2
по слову IF — ... a“t вносит

единственное соотношение в
nj (Al2).

Итак, фундаментальная группа (/И2) допускает следующее
представление образующими и соотношениями:

Л1(М2) =

1 для S2;

Рис. 30.

(18)

Задача 2. Доказать изоморфизм следующих групп, соответ-
ствующих разным представлениям лг (Al2):

1.	a)at, blt ..., ag, bg, W = a^ai'bi1 ... aeb/Tgb~g.

6)	alt 6lt ..., ag,5g-, W = аг ...	...	... а^б}1.

2.	a) alt .... aM; W = a?... a%.

6)	a1,61,...,ah,6/t; W = a^a^ ... а^а^бь, k = p/2,
p четно.	=	=	= =	- =

в)	p любое; at, ..., IF =1^ ... а^аГ1 ... ag-iaM.

Задача 3. Доказать, что для разных поверхностей группы
nJ (А12) и даже (Af2) = nj/fnj, лг] неизоморфны.
Задача 4. Дать классификацию всех двумерных гладких
связных поверхностей (некомпактных).

Задача 5. Доказать, что необходимым и достаточным усло-
вием реализации двумерного ориентируемого гладкого связного
многообразия М2 (открытого или с границей) в виде плоской
области является равенство нулю индекса пересечения любых
двух одномерных циклов. (Плоское двумерное многообразие авто-
матически ориентируемо.)

Задача 6. Для того чтобы открытое двумерное многообра-
зие Ма было гомеоморфно открытой области в компактном замкну-
том двумерном многообразии, необходимо и достаточно, чтобы
группа (М2; Z) (или (Л12)) имела конечное число образу-
ющих. Докажите это.

Задача 7. Доказать, что любое открытое связное двумерное
многообразие Ма имеет свободную фундаментальную группу
и что такое многообразие Ма гомотопически эквивалентно либо
k

конечному букету V S} (k < оо), либо бесконечному букету
»=1
сю

окружностей V S-.

Замечание. На каждом компактном связном гладком
замкнутом двумерном многообразии можно ввести риманову
метрику постоянной кривизны. При этом на сфере S2 и проектив-
ной плоскости RP2 можно ввести метрику постоянной положи-
тельной кривизны (это утверждение очевидно); на торе и на бу-
тылке Клейна можно ввести метрику нулевой кривизны. Суще-
ствование такой метрики на торе следует из представления: Т2 =
= К2/Г, где группа Г = Z (а) ф Z (Ь) имеет две образующие а, Ь,
действующие на R2 как трансляции. Ясно, что группа Г пред-
ставлена изометриями евклидовой плоскости R2. Аналогичная
ситуация имеет место и в случае бутылки Клейна, допускающей
представление вида R2/r, где группа движений Г порождена
преобразованиями

Л (х, у) = (х, у + 1), Tt(x,y) = (х+4-, -у),

связанными соотношением 7,i17,17,27,1 = 1.

На всех остальных двумерных многообразиях (связных ком-
пактных гладких замкнутых) можно ввести риманову метрику
постоянной отрицательной кривизны. Для этих многообразий М2
существует представление: Л42==Ь2/Г, где L2 —плоскость Лобачев-
ского (снабженная, следовательно, метрикой постоянной отрица-
тельной кривизны), Г — группа, изоморфная л2 (ЛР) и действу-
ющая на L2 изометриями (движениями) (см. [1], ч. II, §20).

Сделаем полезное дополнение по поводу введенных выше
операций приклейки ручки и приклейки пленки Мёбиуса. Оказы-
вается, эти операции являются частными случаями более общей
операции —так называемой «связной суммы двух многообразий
одинаковой размерности». Опишем эту операцию более подробно.

Пусть Л4? и —два гладких замкнутых многообразия одина-
ковой размерности. Вложим многообразия Л4? и Л4? в евклидово
пространство R\ где N достаточно велико, и расположим
и М% в R" таким образом, чтобы пара точек: х £ М2 и у £ Мг
оказались друг от друга на расстоянии е, где е > 0 —достаточно
мало, причем их касательные плоскости Тх и Ту параллельны
друг другу. При этом можно считать, что Мг и Л12 не пересекаются
друг с другом с Rw, — например, лежат по разные стороны от
гиперплоскости R'v-‘ с. R'v (рис. 31).

Рис. 32.

В силу параллельности касательных плоскостей Тх и Ти эти
две n-мерные плоскости можно включить в (п + 1)-мерное евкли-
дово подпространство Rn+1 cz Rw, причем можно считать, что
отрезок [х, у], соединяющий точки х и у в Rn+1, ортогонален
Тх (в точке х) и Ти (в точке у). Теперь можно рассмотреть цилиндр
достаточно малого радиуса 8 > 0 с осью [х, у ], основания кото-
рого — сферы S'*'1 — расположены в Тх и в Ту (центрами сфер
являются точки х и у). Построим новое n-мерное многообразие
(обозначим его через # Л42), вырезав из ML и М2 диски ра-
диуса 8 с центром в х и с центром в у и соединив получившиеся
(п— 1)-мерные сферы построенным выше цилиндром (см. рис. 32).

Отметим, что полученное многообразие М2 # Л12 определено
однозначно (если М2 и М2 связны) в следующем смысле: при за-
мене точек х, у на другие точки х' £ Mlt у' £ М2, многообразие
ML # М2 заменяется на диффеоморфное. Ясно, что операция #
ассоциативна: (Л1 # N) # Q «=> М #	# Q) (диффеоморфизм).

Кроме того, операция # коммутативна.

Рассмотрим теперь с точки зрения операции взятия связной
суммы введенные ранее операции приклейки ручки и пленки
Мёбиуса. Ясно, что операция приклейки стандартной ручки
аЬа-Цг1 эквивалентна взятию связной суммы исходного много-
образия Мг и тора Т2. Далее: операция приклейки пленки Мё-
биуса эквивалентна взятию связной суммы исходного много-
образия М2 и проективной плоскости RP2 (см. рис. 33).

Ясно, что М2 # S2 «а А2 (диффеоморфизм); Mg. # Мъ.

& Al|1+g,; Ml, # Ml, ~ ММ2 # М2=1 # М2»^ ~ М> #
# Мц=з-

Так, например, бутылка Клейна есть связная сумма двух
проективных плоскостей RP2 (см. выше).

Таким образом, множество классов диффеоморфных много-
образий М2 (многообразия предполагаются компактными замкну-
тыми связными) превращается	—.

в абелеву полугруппу Р с двумя /С^\Ручка ин ТоР
образующими: а (тор Т2) и Ь (про-
ективная плоскость RP2), между
которыми есть одно соотноше-
ние: a^kb = b^+b^b. (Дока-
жите, что других соотношений
нет.) В качестве нулевого элемента
в полугруппе Р выступает дву-
мерная сфера.

Используя клеточные разбие-
ния поверхностей, полученные
выше, не представляет труда
вычислить гомологии всех дву-
мерных замкнутых поверхно-
стей, а также фундаментальную
группу:

1.	С ф е р a S2. Гомологии ее
уже были вычислены: Но (S2;

Z) = Н2 (S2; Z) = Z, Нг = 0. Далее, мы знаем, что лх (S2) = 0
и л2 (S2) = л3 (S2) = Z.

2.	Ориентируемые поверхности Mg. В силу
ориентируемости имеем: Нг (Л4|; Z) = Но (Л1|; Z) = Z. Фунда-
ментальная группа задается в этом случае 2g образующими
«1. ...» ag, blt ..., bg, и соотношением	... agbga~glbgl — 1.

В коммутированной группе Дх (ЛЕ; Z) = лх/(лх» «11 эт0 соотно-
шение исчезает, и мы получаем Hi(Mg,Z) = Z +	+ Z (2gсла-

гаемых).

3.	Неориентируемые поверхности М£. Здесь
Яо (Ml; Z) = Z, Н2 (Ml; Z) = 0 в силу неориентируемости
(см. § 3). В фундаментальной группе лх (М$ имеется р образу-
ющих Дх, ..., ам, связанных соотношением а?а2... al = 1. В гомо-
логиях Дх (Ml; Z) = лх/1лх» «11 образующие alt ...,а^ коммути-
руют и связаны соотношением 2(ах + ... + flg) = 0. Поэтому
Hi (М£; Z) ** Z +	+ Z + Z2. Здесь образующие в группах

Z— это alt ..., ag_j; образующая в группе Z2 — это ат ам.
Рассмотрим теперь так называемое «линзовое пространство» Lp,
которое получается из сферы S3: | |2 -h | z2|2 = 1 факториза-
цией по действию группы Zp:

(2Ш 2ni\

21* Р . 2^” ).

(19)

Р>0. ^-<

Рис. 34.

При р — 2 мы получим трехмерное проективное пространство
RP3.

Для построения клеточного разбиения линзового пространства
Lp разобьем сначала сферу S3 следующим образом: пусть q =
= 0, .... р — 1. Клетки ст^ —такие точки (zx, z2), что z2 = ре1’,
Ф < 2л (Я.+.!!.; стз—такие точки (zx, z2), что
z2 = ре'*’’, р > 0, <р = ctJ — такие точки
, п.	.„ 2ло	2я (<? 4- 1) о

(zb 0), что z1=e‘<₽,	< ф < —; о? —

точки , о).

Это клеточное разбиение схематически изо-
бражено на' рис. 34, где сфера S3 отожде-
ствлена с трехмерным пространством, компак-
тифицированным бесконечно удаленной точкой
(р = 3).

При надлежащей ориентации этих клеток мы будем иметь:
dtjq — 0^+1 — СТ$, до% = Оо -|- • • • 4* Op, d(Jq~ Oq+1 — Oq- (20)

(Здесь (р + 1) приводится по модулю р.) После отождествления
по действию группы Zp клетки Oq, Oq, Oq, o°q при разных q склеятся
в одну. Мы получим клеточное разбиение линзы L„, состоящее
из четырех клеток: а3, а2, ст1, ст®, причем из формул (20) вытекает,
что до3 = 0, дст2 = рст1, до1 — 0.

Отсюда следует:

Н3 (Lp, Z) = Z = Но (Lp; Z), Нг (Lp, Z) = 0, Н, (Lp, Z) = Zp. (21)
Для коэффициентов Zp будем иметь:

Ht (Lp, Zp) = Zp, i = 0, 1, 2, 3, ...	(22)

Задача 8. Найти группы’ когомологий Hl (Ls, Z).

Общим линзовым многообразием размерности 2п — 1 назы-
вается фактор сферы S2"-1 по действию группы Zm, где действие
образующей имеет вид

2ni

(21,

2nif,
е т z2

е т 2п

(23)
При этом все числа qlt qn.t должны быть взаимно просты
с т, чтобы фактор пространство было многообразием (проверьте).
Это многообразие обозначается так:

S^/Z^L2"-^..........qn.x).	(24)

Очевидно, мы имеем (L2"-1) = Zm.

Задача 9. Постройте на сфере S2"-1 клеточное разбиение,
для которого группа Zm действует, переставляя клетки свободно
(т. е. порождает клеточное разбиение линзы). Вычислите гомоло-
гии линзовых многообразий.

Задача 10. Покажите, что для qr — q2 = ... = qn_t = 1
линзовое пространство является гладким расслоением с базой—
СР"-1 и слоем —окружность S1

L2"-*(l...1)— -СР"'*,	F = 5l.	(25)

Задача 11. Вычислите кольцо когомологий линзовых про-
странств (с коэффициентами в группе G = Zm).

Представляет интерес клеточное разбиение ряда гладких
расслоений. Рассмотрим здесь простейшие случаи, когда слой F —
это сфера S"'1, разбитая на клетки of U ар"’ = S"'1. Важным
примером является многообразие линейных элементов:

М2п~' — -А4",	слой F — S"-*.

Если база Мп разбита на клетки а’, то клетки в расслоении А!2"*1
определяются из условия

р-1	(o°F U ар-1),	(26)

так как расслоение иад диском тривиально (прямое произведе-
ние) — см. [1], ч. II, § 24. Итак, мы имеем клетки в Л!2"'1

oJxg°f, g^-XOf'1,	(27)

где а/ —любая клетка (размерности q) в базе Мп. Однако вы-
числить граничный оператор от этих клеток трудно. Мы рас-
смотрим пример — пространство М* линейных элементов к за-
мкнутой поверхности Л4| рода g> 0, со стандартным клеточным
разбиением (см. выше):

М,/ = 1....2g} U а2-	(28)

В пространстве М3 мы получим клетки размерностей 0, 1, 2, 3
а® х а} ха?, а2 х а?,

(29)
а0 х ар, а) х Of. а2 х а?.

Вершина —одна а® Ха?, все одномерные клетки —это циклы.
Многообразие М* ориентируемо. Поэтому трехмерная клетка
а* X а? — это цикл. Проверьте, что клетка а* х и? в слое —
это также цикл в гомологиях; однако в (М3) граница д (а} X
X а₽) дает коммутатор путей а} и а}?. Клетка а2 X <Jf уже ока-
зывается не циклом. Имеет место формула

д(а2 х o°f) = [(да2) х 4] U (а0 X (<£)м*]•	(30)

Символ (of)2 2* означает, что в границу клетки а2 X a°F одно-
мерный цикл а}? входит, пройденный 2 — 2g раз (при подходящей
ориентации). Для да3 мы имеем, выбрав одно из разбиений в базе
М2:

да2 = Й	= W (a, b),	(31)

где пути аг представлены клетками а}, а пути bt — клетками
в базе M2g.

Задача 12. Докажите формулу (30) для границы клетки
а2 х а£, используя векторное поле на Л4Д, имеющее ровно одну
особую точку со степенью 2 —2g (см. П ], ч. II, § 15).

Для группы Л1(Л1’) имеем образующие alt ..., аг, blt ..., Ьг, у
(здесь у — слой F = S1) и соотношения

[аг, у] = а.уа.-’у1 = 1, [bt, у] = ^ydiV1 = h	(32)

T2-2ff = w (а by = ц (а^Ь?) == П [ah &;].	(33)

»=i	/=1

Проверьте, что гомологии Ht (Л13) имеют вид:

Но = Z, НJ = Z+ ••• +Z + Z»g_2, Н2 = Z+- • +Z, Н3 = Z. (34)
2g штук	2g штук

§ 5. Сингулярные гомологии и когомологии.

Их гомотопическая инвариантность. Точная
последовательность пары. Относительные гомологии

Наиболее общий способ гомотопически инвариантного опре-
деления гомологий и когомологий, который мы здесь изложим,
не требует ни структуры многообразия, ни структуры симплици-
ального или клеточного комплекса.

Пусть X — любое топологическое пространство.

Определение 1. Сингулярным k-мерным симплексом
называется пара (а4, /), где f:	X —непрерывное отображение

^-мерного стандартного симплекса а= [a0...aft] в простран-
ство X. Сингулярной k-мерной цепью называется формальная
конечная линейная комбинация ck — S gt (a*, ft), где gt —эле-
i

менты аддитивно записанной абелевой группы G, а (a*, ft) — син-
гулярные симплексы размерности k,	
Границей сингулярного симплекса называется формальная
линейная комбинация вида

где а*'1 = [а0 ... aq ... aft] —q-я грань стандартного симплекса,
/I 4-1 —ограничение отображения f на грань ст,’1 (грань
I ° я

сингулярного симплекса, сама являющаяся сингулярным сим-
плексом). Граница сингулярной цепи имеет вид, по определению:

дск — S gid(aki,fi)-
I

Из леммы 3.1 вытекает, что ддск — 0. Сингулярный цикл —
это цепь ск такая, что дск = 0. Сингулярная граница — цепь ск
такая, что ск — дск+1. Сингулярная граница является циклом.
Группы сингулярных (симплициальных) гомологий Нк(Х-, G) —
это классы эквивалентности ^-мерных циклов с точностью до
границ.

Группы сингулярных когомологий Нк (X; G) определяются
как и в § 2: коцепи —это линейные формы на цепях, и оператор б
сопряжен к д. Удобство использования сингулярных гомологий
состоит в том, что для любого непрерывного отображения про-
странств q>: X -* Y индуцированные гомоморфизмы ф* и ф* групп
сингулярных гомологий и когомологий

ф*: Нк (X; G) - Нк (Г; G),	(1)

Ф*: Hk(Y\ G) -> Нк (X; G)	(Г)

строятся очевидным образом. Здесь сингулярная цепь ск —
— S gi (о*. /г) переходит в сингулярную цепь ф* (ск) = S gi (<&
Ф о ft). Когомологии отображаются в обратную сторону: ф*:
Нк (Y, G) -> Нк (X; G), где коцепь ск переходит в ф* (с*), причем
(ф* (с*), ск) == (&, ф* (cft)) по определению. Отображения ф* и ф*
на цепях и коцепях перестановочны с граничным оператором
и поэтому определены на классах гомологий и когомологий.

Из определения сингулярных гомологий (когомологий) оче-
видно следует, что топологически эквивалентные (гомеоморфные)
пространства имеют одинаковые гомологии и когомологии. До-
кажем более сильное утверждение: гомотопическую инвариант-
ность сингулярных гомологий (для когомологий все рассуждения
аналогичны).

^Теорема 1. Пусть ф0: X -* Y, фх: X -* Y —гомотопные
отображения. Тогда индуцированные гомоморфизмы групп гомо-
логий ф0#, фи: Нк (X; G) Нк (Y; С) совпадают-. ф0!(. = ф^,
(для когомологий фо = фГ).
то вершины в цилиндре ст

Рис. 35. Разбиения цилин-
дров над симплексами.

Доказательство. Пусть / — отрезок [0, 1 ]; Ф — го-
мотопия, связывающая отображения <р0 и <рх:

Ф (х, t): X X / -> Y, Ф.| /=о = <ро. Ф | /=1 = Фи 0 < t < 1, х £ X.

(2)

Для любого сингулярного симплекса (а, /) определено отображе-
ние цилиндра ст X / в пространство У:

Ф(/ X 1) (ст, О =Ф(/ (ст), /): ст х /-> X X / — Y. (3)

Разобьем цилиндр а X 1 на симплексы: если ст = [а0 ... ah],
X / будут иметь вид а? (нижнее основа-
ние) и а} (верхнее основание). Симп-
лексы цилиндра ст X / имеют вид

ст, = 1а?... а°аЭД+1-аИ’ ? = °.k

(4)

(см. рис. 35 для k = 1,2). Отображение
Ф (/ X 1) =f определяет сингулярную
симплициальную (k + 1)-цепь D (ст, /):

4
D(CT,/)=(-i)*-«s(-im,r). (5)
<7=0

Получаем гомоморфизм групп сингулярных цепей:

О: СА (X)-> СА+1 (У).	(6)

Лемма 1. Имеет место тождество:

Dod-H— I)**1 д о D = фи — фо*.	(7)

Доказательство. Обозначим через d [а0 ... аА] сумму
симплексов вида (4):

d[a0...aft] = (-l)‘->S (-1)«[а? -	... 41-	(8)

<7=0

Кроме того,

д[а0 ... аА]= £ (—1)Ч«о ... aj ... аА].	(9)

»=о

Тогда

dd[ao ... ak] + (— 1)*"* dd[во ... аА] = [aj... аА] — [ао ... аА]. (10)
Это равенство геометрически очевидно: граница цилиндра [<х0 ...
... аА] х / состоит из цилиндра над границей симплекса д [а0 ...
... аА] и верхнего и нижнего оснований с учетом знака. Из этого
равенства вытекает утверждение леммы. Из леммы следует (см.
§2), что гомоморфизмы групп гомологий фад,, a = 0, 1, совпадают
(для любого цикла zA имеем ф0*гА —фигА = dDzk). Теорема до-
казана.
Следствие. Гомотопически эквивалентные пространства
имеют изоморфные группы сингулярных (симплициальных) гомо-
логий (когомологий).

Пример 1. Любое стягиваемое (по себе) пространство X
гомотопически эквивалентно точке. Найдем сингулярные сим-
плициальные гомологии точки (X = ♦).

Сингулярные ft-симплексы точки * = X:

f: ck —> *;

(ID

мы имеем по одному сингулярному симплексу для каждой раз-
мерности k. (так как отображение f всего одно). Граница симплекса
(а*) имеет вид:

а (а*) = 2 (-!)’«').	(12)

«=о

Поэтому мы имеем:

( 0, если k нечетно нли fc = 0;
d(ok, f) = , . , _

' I (ok~l,f), если k четно.

(13)

Отсюда: Ho (*; G) = G, Hh (*; G) =0 при k > 0 (цикл (a4-1, f)
при четных k является границей цепи (a4, [)).

Пример 2. Если пространство X линейно связно, то Но (X;
G) = О. Действительно, все нульмерные цепи являются циклами.
Цепь вида S gt (°°, ft)> fi (ст°) ж xt £ X является границей, если
i

и только если Е gt » 0. Любые два нульмерных симплекса
(o’, f) и (о®, g), Да®) =«= g (а®) «« хг гомологичны: если <р: [0,
1 ] -♦ X — кривая, соединяющая точки и х„ то

(о0, g) (a®. D ” д (о1, ф).

Поэтому цикл S gt (а0, ft) гомологичен циклу (SgJ (о9, f). Следо-
вательно, Н9 (X; G) = G.

Аналогично доказывается, что для пространства X, состо-
ящего из п компонент линейной связности, группа Но (X; G)
является прямой суммой п экземпляров группы G.

Для некоторых целей более удобны сингулярные кубические
гомологии и когомологии. Дадим их определение.

Стандартный единичный n-мерный куб 1п — это множество
точек (х1г ..., хп) в пространстве Rn, удовлетворяющих соотноше-
нию 0 < xt < 1. Если п — 0, то /® —одна точка. Грань куба
Х®/л (1 = 1, ..., п, е = 0, 1) —это куб Г'1, где xt — е. Всего
куб имеет 2п граней 1®/л.

Сингулярный n-куб в пространстве X —это пара (Zn, f),
Где [' ГX — непрерывное отображение,
Грани сингулярного куба (/", /) имеют вид по определению
X?	i — 1, .... л, е = 0, 1.	(15)

Они называются i-й нижней (е = 0) и i'-й верхней гранями
сингулярного куба (/л, /). При i < / имеет место простое тожде-
ство:

=	8, т] = 0, 1.	(16)

Пусть С,( (X; G)—группа сингулярных кубических цепей
размерности п с коэффициентами в группе G, т. е. группа формаль-
ных конечных линейных комбинаций вида

Сп=^ё.(1п,Ы, gi^G.	(17)

Граница сингулярного куба имеет вид

д /)=£(- 1/ U! (/" *. /) - А? (Г1, /)]•	(18)

Оператор д продолжается на все цепи линейно. Из тождества (16)
вытекает, что дд (Jn, f) — 0. Сингулярный п-куб (/”, f) называется
вырожденным, если отображение /: 1п-*Х разлагается в супер-
позицию проекции на грань 1п~* 1п~1 и отображения g: 1п~х -+Х.

Линейные комбинации вырожденных л-мерных сингулярных
кубов образуют подгруппу Dn (X; G) в группе цепей Сп (X; G).
Так как оператор д переводит вырожденный куб снова в-вы-
рожденный, то можно, факторизуя по вырожденным сингулярным
кубам, определить группу «нормализованных» сингулярных ку-
бических цепей Сп (X; G), полагая

Сп (X; G) = Сп (X; G)/Dn (X; G),	(19)

и граничный оператор д: Сп (X; G) -* Cn-i (X; G) (который
также будет обозначаться буквой д). По-прежнему дд = 0. По-
этому можно определить группу сингулярных кубических гомо-
логий как группу нормализованных циклов с точностью до цик-
лов, гомологичных нулю (аналогично определяются когомологии).
Покажем, что построенные группы гомологий также гомо-
топически инвариантны.

Теорема 2. Гомотопные отображения ф0, Ф1: X -* Y
топологических пространств индуцируют одинаковые гомо-
морфизмы фо*> Ф1*; Нп (X; G) -* Нп (Y; G) групп сингулярных
кубических гомологий и одинаковые гомоморфизмы групп куби-
ческих когомологий фо = ф?-

Доказательство этой теоремы полностью аналогично доказа-
тельству аналогичной теоремы для симплициального случая
(выше). Необходимо построить оператор D алгебраической гомо-
топии, сопоставляющий каждому «-мерному сингулярному кубу
В пространстве X (« 4- 1)-мерныД сингулярный куб в прострад-
стве Y. Если Ф: / X X -* Y — гомотопия между отображениями
Ф». Фг> то операторР определяется так:

D (Jn, f) = (In+i, Ф (1 X /)),
так как

/пи = j х i х f. /я+1	7 х X.

Оператор D переводит вырожденные кубы снова в вырожденные
(проверьте). Поэтому он определен и на группе нормализованных
цепей.

Равенство

Dd ± dD = фи — ф0*

доказывается полностью аналогично лемме 1. Доказательство
завершается, как для случая сингулярных симплициальных
гомологий.

Пример 3. Вычислим сингулярные кубические гомологии
точки X — * (и, тем самым, гомологии любого стягиваемого
пространства).

В каждой размерности п мы имеем ровно по одному кубу
(In, fn), где fn (1п) — *. При п > 0 все такие кубы вырождены.
Поэтому группы нормализованных кубических цепей имеют вид

Со (X; G) = G = Но (X; G), Сп (X; G) ~ 0 при п > 0.
Значит, кубические гомологии точки такие же, как в построенных
выше симплициальных гомологиях.

Замечание. Если построить гомологии Нп (X; G), исходя
из полных групп сингулярных кубических цепей Сп(Х\. G), то
гомологии точки в такой теории будут нетривиальны.

Задача 1. а) Найти группу Яп(*; Z); б) доказать, что
Нп (Х-, Z) — 2 Яп_к(Х, Нк (», Z)) для любого пространства X.

Л>0

Определим теперь относительные сингулярные гомологии.
Определения здесь одинаковы и для симплициальиого и для
кубического вариантов.

Пусть • X — топологическое пространство, Y — его подпро-
странство. Тогда группы сингулярных цепей Ск (У) лежат в груп-
пах Ск(Х). Рассмотрим группу относительных цепей Ck (X, Y) =
= Ск (Х)/Ск (У) (коэффициентов G мы здесь явно не пишем, группа
G произвольна). Граничный оператор д переводит Ск (У) в Ск_г (У),
поэтому ои определяет некоторый граничный оператор Ск (X,
У) —► Ск_г (X, У) для факторгрупп. Этот гомоморфизм также
обозначим через д. Мы имеем комплекс относительных цепей*
и сопряженный комплекс коцепей.

Как и ранее, мы определяем относительные циклы Zk (X, У),
для которых дск = 0. Относительные границы Вк (X, У) с;
с Zk(X, Y) имеют вид ск — дск+1. Факторгруппа Нк (X, Y) ==
— Zk (X, Y)/Bk (X, У) называется группой относительных гомо-
логий (размерности k).

Группа гомологий Нк (X) имеет естественное отображение
в группу относительных гомологий: каждый цикл из Нк (X) можно
рассматривать как относительный. Получаем гомоморфизмы

Нк(Х)~-*Цк(Х, У),	Нк(Х, Y)— -Нк (X).	(20)

Кроме того, вложение пространств Y X, обозначаемое бук-
вой I, определяет «гомоморфизм вложения»

Hk(Y)± -Нк(Х),	Hk(X)—-Hk(Y). (21)

Построим теперь граничный гомоморфизм д*, ото-
бражающий группу Нк (X, У) в группу Hk_t (У)
(для когомологий — гомоморфизм 6*, ото-
бражающий Нк'х (У) -► Нк (X, У)). Пусть ск £
С Ск (X, У) —относительный цикл. Можно

Рис. 36. рассматривать его как обычную (или «абсолют-
ную») цепь, т. е: как элемент из Ск (X),
определенную с точностью до произвольной цепи из Ск (У). Гра-
ница ск_х — дск—это (k —1)-мерный цикл в У. Тогда д* (ск)
соответствует классу гомологий цикла =» дск по определе-
нию (см. рис. 36). Класс гомологий д*ск не зависит от выбора
представителя в классе ск (проверьте). Получаем корректно
определенный гомоморфизм

д,-. Нк (X, У) -* Нк_х (У).	(22)

Комбинируя гомоморфизмы / и д*, получаем последователь-
ность гомоморфизмов

нк (У) -- Нк (X) -1- Нк (X, У) Нк.г (У) — ...

...->Д0(У)->Яв(Х)->Д0(Х, У)->0.	(23)

Тео р е м а 3, Последовательность (23) 'точна, т. е.

a)	Ker i* = Im д„ б) Кег / — Im i*, в) Ker 5* = Im /.

Доказательство, а) Проверим,'что ядро Ker i, совпа-
дает с образом Im д*. Пусть ск_х £ Ск_г (У) — цикл такой, что
(ck-i) = 0- Это означает, что в пространстве X найдется цепь
ск € Ск W такая, что дск — ск_х. Цепь ск является поэтому отно-
сительным циклом, и класс гомологий цикла ск_х совпадает с <3* (ск)
по определению. Пункт а) доказан.

б)	Пусть ск — цикл в пространстве X такой, что / (ск) = 0.
Это означает, что дск = 0 и найдутся цепь ск+1 в пространстве X
И цепь Cft в пространстве У такие, что
Тогда дск — дск — 0, поэтому ск — цикл в пространстве Y, гомо-
логичный циклу ск. Мы показали, что класс гомологии цикла ск
имеет представителя в пространстве Y, т. е. ск £ Im г*. ’

в)	Пусть ск — относительный цикл в Ск (X, Y), причем д*ск — О
в группе Нк_! (У). Это означает, что цикл дск гомологичен нулю
в пространстве У: дск = дск, ск—цепь в Ск (У). Тогда цепь
ск —ск является «абсолютным» циклом в пространстве X и за-
дает элемент, эквивалентный циклу ск в относительной группе
Нк(Х, У). Таким образом, цикл ск ~ ск—ск лежит в образе
гомоморфизма /. Точность в члене Но (X, У) проверьте самосто-
ятельно. Теорема полностью доказана. Для когомологий постро-
ение последовательности и проверка точности проводится ана-
логично.

Точная последовательность (23) называется точной (гомоло-
гической) последовательностью пары (X, У).

Обратим внимание, что если У — симплициальный (клеточ-
ный) подкомплекс в симплициальиом (клеточном) комплексе X,
то гомоморфизмы гомологической (и когомологической) последова-
тельности пары для симплициальиых и клеточных гомологий
определяются очевидным образом. Проверку точности получа-
ющихся последовательностей, полностью аналогичную доказа-
тельству теоремы 3, оставляем в виде упражнения.

Следствие. Из точной последовательности пары следует
равенство:

Нк(Х, *) = Нк(Х), k>0,

Н0(Х, *) = 0,	6 = 0,	(2 '

где X —линейно связное пространство.

Доказательство. Действительно, при k > 0 имеем:

Нк(*)-+Нк(Х)-+Нк(Х, ^^Нк_^)-^Нк_1(Х)-^ ...

При k—1 = 0 вложение Но (*)-*• Но (X) есть изоморфизм, как
показывалось ранее. Поэтому для всех k > 0 имеем точную по-
следовательность

0->Нк(Х)-^Нк(Х, *)-> 0.

(25)

Это немедленно дает изоморфизм этих групп, так как Кег / = 0
и Im / =« Нк (X,#).

Для k — 0 имеем точную последовательность

Я0(*)-^Яв(Х)->Я0(Х, ♦)->0,	’ (26)

где i* — изоморфизм. Поэтому следствие доказано.
(31)

(32)

Чрезвычайно важным свойством относительных гомологий
(когомологий) является их «естественность»: при непрерывных
отображениях пар

.	(X, Х')-^(У, У'),	(27)

где X' с X, Y' с Y и f (X') a Y', мы имеем отображения

Нк (X) -> Нк (У), Г: И* (У) -> Я* (X),	(28)

Z.: Hk(X, X')-*-Hk(Y, У'), f: Hk(Y, Y)-+Hk(X, X'), (29)

Як(Х')-Ял(П. /*: Я‘(П-^Я‘(Х').	(30)

Все построения гомоморфизмов точной последовательности были
«естественными» —коммутировали с непрерывными отображениями.
Поэтому имеется гомоморфизм точных последовательностей

Hk (X') Нк (X) Нк (X, X')	(X') ->

If.	If.	I/.

i	I .	I	I

— Нк (У') Нк (Y) Нк (У, У') Нк_х (У') +

Для когомологий имеем аналогично:

Нк (X, X') Нк (X) Нк (X') Нк* (X, X') ->
t	t	t	t

Iм	r	r • r

—^Hh(Y, Y-)-^Hk(Y)^Hk(Y')^Hk^(Y, У')->

Это свойство весьма полезно. Например, имеет место такое

Утверждение 1. Пусть имеется отображение пар
f:(X, Х')->(У, У'),	(33)

где гомоморфизм f* является изоморфизмом для

Нк(Х)^Нк(У) и Нк(Х')!?Нк(Г).	(34)

Тогда относительные группы Нк (X, X') и Hk(Y, У') также
изоморфны, и f* дает их изоморфизм (аналогично для когомоло-
гий).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим диаграмму (31). Если
а £ Hk (X, X') и f*a = 0, то мы имеем:

f*d*a =	= 0.	(35)

Поэтому (д*а) = 0, где д^а £ Нк_г (X'). Из условия (мы
знаем, что Hh_! (X') ->	(У') есть изоморфизм) полу-

чаем (д*а) == 0 =► д*а == 0. Поэтому а = j (0). Так как
L (а) = 0, то мы имеем f J (0) = i (L (0)) = 0 и поэтому L (0) =
=	(у). Рассмотрим 6 = /71 (у) £ Нк (X').. Тогда 0 = i* (6)

и а==/Тш(б) = 0. Поэтому а = 0, если /*(а)==0.
Докажем, что любой элемент у из группы Нк(у, Y') имеет
внд у = /.(6). Если д.у = О, то y = j(0). Рассмотрим элемент
/7;‘(Р) = «. Мы имеем /, (а) = у. Если д.у^.О, то введем эле-
мент f-'д, (у) = д.0. Тогда образ (0) таков, что d, (/. (0) — у) — 0.
Тем самым утверждение доказано.

Замечание. Утверждение и его доказательство остаются
верны в такой форме: если потребовать изоморфность отображе-
ний в гомологиях на любой паре из трех групп Я* (X), Яф (Х')>
нах. X'), то третье отображение в гомологиях также будет
изоморфизмом. Для когомологий все аналогично.

Далее будет показано, что сингулярные гомологии совпадают
с клеточными и симплициальными для клеточных и симплициаль-

Рис. 38.

ных комплексов, используя формальные свойства гомологий, уста-
новленные выше, и одно важное их свойство, которое мы сейчас
докажем.

Имеет место следующая

Теорема 4. Пусть К — клеточный комплекс, L — его под-
комплекс. Тогда верно равенство

Нк {К, L) = Hk (K/L), k > 0.	(36)

Через KJL обозначено факторпространство, полученное стяги-
ванием всего L в точку. Заметим, что KJL гомотопически экви-
валентно клеточному комплексу K\}CL (см. рис. 37), где CL —
конус над L, получающийся из LxI стягиванием верхнего основа-
ния в точку.

Дадим доказательство для симплициальных (сингулярных) го-
мологий. Введем оператор барицентрического подразделения.

Определим подразделение симплекса [а0 ... afc ] — о*. Под-
разделением одномерного симплекса называется его разбиение на
два с новой вершиной в центре. Чтобы подразделить двумерный
симплекс (a0axa2] (треугольник), подразделим сначала все од-
номерные грани. Возьмем затем новую вершину в середине тре-
угольника и соединим со всеми вершинами на гранях —старыми
и новыми (см. рис. 38). Дальше поступаем аналогично: берем точку
в центре fe-мерного симплекса; грани уже подразделены. Совокуп-
ность лучей, соединяющих эту новую вершину с симплексом и*'1
на границе и дает новые симплексы и? в барицентрическом подраз-
делении.

3 Б. А. Дубровин и др.
Пусть (ок, f) —сингулярный симплекс в пространстве X
Пусть о*, •••. o,v—все fe-мерные симплексы барицентрического
подразделения симплекса о*. Обозначим через 0 (о4, f) цепь вида

N

₽(<Л f)=S(a?. /Ы

\	Г* /

(37)

Рис. 39.

(сумма берется по всем симплексам подразделения о4). Оператор 0
продолжается линейно на всю группу сингулярных снмплицналь-
ных цепей Ck (X):

0: Ck (X) -> Ch (X),

fe = 0, 1, ...	(38)

Имеет место

Лемма 2. Опера-
тор 0 коммутируете гра-
ничным гомоморфизмом д
и алгебраически гомотопен
тождественному опера-
. тору.

Доказательство.
Равенство др = 05 оче-
видно («внутренние» грани

подразделения симплекса входят в цепь 50 дважды с раз-
ными знаками). Построим алгебраическую гомотопию D та-
кую, что 50 ±05 — 0 — 1. Определим для этого триангуля-
цию прямого произведения о4Х I симплекса ок на отрезок /
такую, что о4х 0 есть один симплекс, а о4х 1 есть барицентриче-
ское подразделение о4. Для k = О, 1, 2 триангуляция о4Х /
указана на рис. 39. В общем случае триангуляция о4Х / строится
так: пусть построена триангуляция симплекса ст4"'Х /; тем самым
боковые грани в о‘х / уже триангулированы. Нижнее основа-
ние а*Х1 оставляем без изменений; на верхнем основании возь-
мем барицентрическое подразделение. Теперь уже вся граница
5(ст4х/) триангулирована. Соединяя центр верхнего основания
со всеми вершинами триангуляции границы 5(ст4Х /), получим
триангуляцию/о4 х I.

Пусть f)—сингулярный симплекс в пространстве X.
Определено «тривиальное» отображение:

f:o*X/-»-X, Цх, t)=f(x).

(39)

Обозначим через D (ak, f) (k + 1)-мерную цепь (ст*х/, Г) —
— D (ст4, /), где ст4х I триангулировано так, как указано выше.
Оператор О по построению задает искомую гомотопию. Лемма
доказана.
Доказательство теоремы. В силу гомотопической
инвариантности гомологий имеем равенство:

Нк (К U CL, CL) = Hh (К U CL, *),

так как конус CL стягивается в точку. Кроме того,

Нк (К U СL, *) = Нк (К U CL) = Нк (K/L)

при 6>0 (см. следствие из теоремы 3). Достаточно доказать, что

Нк (К U CL, CL) = Нк (К, L).	(40)

Пусть ск — любой 6-мерный относительный
цикл в Нк (К U CL, CL). Построим цикл,
гомологичный ck, лежащий в группе
Нк (К, L).

Разобьем конус CL на две половины
CjL и CaL (см. рис. 40). В силу леммы 2
можно заменить цикл ck на гомологичный
ему цикл $Nck, у которого симплексы будут
мелки. Увеличивая N (итерируя подразде-
ление), получим, что симплекс, пересекаю-

щийся с CtL, целиком лежит в конусе CL. Выкинем все симплексы,
пересекающиеся с СгЬ. Этим мы не изменим класса относительных
(modulo CL) гомологий цикла pwc* ~ (fi. Полученный цикл
лежит уже в группе Нк (К U CtL, C2L) — Hh {К, L) (так как C2L
стягивается на L). Тем самым построен цикл ifi в группе Нк (К, L),
гомологичный циклу (fi.

Если цикл (fi для пары (К, L) гомологичен нулю в группе
Нк (К U CL, CL), то идентичное рассуждение применяется для
того, чтобы «снять» ограничивающую цепь с верхней вершины ко-
нуса — подразделяя с* и ограничивающую его цепь.

Теорема доказана.

§ 6. Сингулярные гомологии клеточных комплексов.
Их совпадение с клеточными гомологиями.

Двойственность Пуанкаре для симплициальных гомологий

Вычислим сингулярные гомологии сфер Sn, п = 1, 2, ... Всюду
в этом параграфе в качестве группы коэффициентов мы будем
брать группу целых чисел.

Теорема 1. Имеет место равенство при /г > 0

[ Z, i = 0, i~n,
W,(S-;Z)-=(o. ^0, п.	<•>

Доказательство. Пусть п = 1. Вычислим гомологии
окружности S1 из точной последовательности пары (D1, dD1),
з*
где dD1=S° — двоеточие, причем Hh (D\ S°) = Hh (S1) в силу тео-
ремы 5.4. Имеем:

fix (D1) - Нг (D\ 5°) -> HQ (S°)-> /70 (D‘) - 0.	(2).

Ho Hx (О1) = О, Но (D^j — Z, Но (S°) = Z@ Z, поскольку S°
состоит из двух связных компонент. Поэтому последователь-
ность (2) принимает вид

Нх (S1) Z © Z	Z -+0, '	(3)

откуда Нх (S1) = Z. При k > 1 имеем-

Hh (О1) Нк (D\ S°) Нк_х (S°),

(4)

где Hk (О1) = Hk_x (S°) = 0, значит, Нк (D\ S°) = Hh (S1) = 0.
Гомологии окружности вычислены.

Пусть для гомологий сферы S'1-1 теорема уже доказана. Из
точной последовательности пары (Dn, S'1’1) мы будем иметь

(D’) - Нк (Dn, S«->) - Hh_x (S'"’) -> Hh_x (Dty •	(5)

При k > 1 мы получаем точную последовательность вида
0(S-)(S--’)	0,	(6)

откуда Нк (Sn) — Hk_x k > 1. При k = 1 получаем по-
следовательность

Нх (О") -> Нх (Dn, S'"’) -> Но (S'"1) Но (О")	0,

т. е.

0 -> Нх (Dn, S'"1) Z -> Z 0.

В силу точности этой последовательности гомоморфизм Z Z
является изоморфизмом, поэтому Hx(Dn, S'"1) — 7Л (Sn) = 0.
Отсюда следует справедливость утверждения теоремы и для
сферы S'1. Теорема доказана.

Замечание. Отождествим n-мерный симплекс о" с дис-
ком £>"; тогда тождественное отображение оп -+ оп определяет
относительный сингулярный цикл в группе Hn(Dn, S"-’) =
г= Нп (Sn). Этот цикл — образующая в группе сингулярных го-
мологий Нп (Sn).

Задача 1. Пусть ст' = [а0...ап] — n-мерный 'симплекс;
Р —некоторая перестановка вершин а0 ... а,. Р определяет ото-
бражение ап ап. Вычислить соответствующий элемент в группе
Я„(5").

Следствие 1. Сингулярные гомологии букета п-мерных
сфер S”, ..., SJy имеют вид:

нк(У5^ = о, k^o, п, H0(ysT)=z, Нп

S^ = z©---©Z.'
N раз
До казательство. Рассмотрим пару: ( U Df — К,

(J dD" = iy Очевидно, мы имеем Hj(K, L) = S Hj(Dn, dDn).
При / > 0, согласно теореме, имеем Hj (D”, dDn) ~ Н} (Sn).
Следствие доказано.

Следствие 2. Отображение f: S”-> Sn степени deg/
определяет гомоморфизм f*: Нп (Sn) -> Нп (Sn), являющийся ум-
ножением на число deg/.

Доказательство. Отображение / степени k — deg/
сферы Sa. в себя можно построить так, как показано на рис. 41
(любое другое отображе-
ние степени k гомотопно
этому). Здесь все сферы зя	&П

букета отображаются в	, <^*^)

одну, тождественно на
каждом слагаемом. Отоб-
ражение сферы в букет k	'J s"

сфер переводит образую-	*

щую группы Нп (Sn) — Z	Рис- 41-

в сумму всех образующих
букета. Отображение букета сфер в сферу переводит каждую
образующую в л-мерных гомологиях букета в образующую
группы Нп (S'1). Поэтому сквозное отображение Нп (Sn) -*-Нп (Sn)
умножает образующую группы Нп (Sn) — Z на k — deg /. Отсюда
вытекает требуемое следствие.

Следствие 3. Для клеточного комплекса К имеем

Kn_i) =

j^n,

(7)

Z© • • • © Z, / — n,

где число слагаемых равно числу п-мерных клеток.

Доказательство немедленно вытекает из следствия 1 и тео-
ремы 1.

Теорема 2. Сингулярные гомологии клеточного комплекса
совпадают с клеточными гомологиями.	'

Следствие. Клеточные гомологии гомотопически инвари-
антны. Симплициальные гомологии являются частным случаем
клеточных и тем самым также совпадают с сингулярными и гомо-
топически инвариантны.

Первоначально мы дадим доказательство теоремы для симпли-
циальных комплексов, которое весьма просто следует из уже до-
казанных фактов. Каждый симплекс может рассматриваться как
сингулярный симплекс (а4, /). Это дает вложение комплекса сим-
плициальных цепей в сингулярные
которое, очевидно, коммутирует с граничным оператором д.
Поэтому имеем отображение гомологий

^и“пл(К)-^//Гг(/<).	(9)

Если L —симплициальный подкомплекс в К, то имеем отобра-
жение относительных групп

НТ™(К, L)-+Hck"”r(K, L)	(10)

и всей точной последовательности пары (/С, L). Пусть, по индук-
ции, теорема доказана для комплексов размерности сп—1.
Для п-мерных комплексов Кп имеем отображение точных последо-
вательностей

ууСНМПЛ	д’, //СИМПЛ	1 * //сиипл (/^П) _>

l’ I I

(г, г4) -> ягг U"-*) -* #/инг (яп) -*

____ ууСИМПЛ	/усимпл (у^п"1) __►

I . I	(11)

-* Н?яг (Кп, Г'1) — Д/-1г (Г'1) -*

Мы знаем следующее: а) по индукции /7=11мпл (Л?*1)«
//синг (К*-1);	‘

б) Я“ (К", Л"-1) = Я/С,:нг (/С, /Г'') = |	~

I д-|-	-|-д, /=п

(число слагаемых равно числу симплексов размерности п) как по-
казано выше. Вследствие этого, имея отображение точных после-
довательностей (И), мы заключаем, что отображение

//СИМПЛ

(Г)-> яГг(Л

(12)

есть изоморфизм для всех / (см. утверждение 5.1).

Для симплициальных комплексов теорема доказана.

Доказательство. Пусть К — общий клеточный ком-
плекс, К.п —его n-мерный остов, т. е. объединение всех клеток
размерности не выше п. Тогда Кп!Кп-х есть букет n-мерных сфер,
по одной сфере на каждую n-мерную клетку. Из теоремы 5.4
и теоремы 1 получаем:

Нп(Кп, Кп-') = Сп(К), Ht(Kn, Я',-1) = 0.	(13)

(коэффициенты целые), где Сп (К) — группа клеточных цепей.
Определен гомоморфизм д=]-д*

С„(К) ^Нп (Кп, К-1)2*Яп_1(К''->, К-2) Cn_t(K) (14)
как суперпозиция

Нп(Кп,	К"'2)-

Лемма 1. Оператор д: Сп (К)Cn_t (К), задаваемый
формулой д = jd*, совпадает с граничным оператором в комплексе
клеточных цепей.

Доказательство. Пусть о" — n-мерная клетка в
комплексе К. Она является образующей в группе Нп (оп, do"-1) с
с НЛ (Кп, К"'1) = Сп (К). При граничном гомоморфизме
Нп (оп, даП) Ял-j (S'1-1) о‘ перейдет в образующую группы
Яд-НЗ"-1). Ее образ в ‘ группе Нп_, (К""1, К-2) =	(К)

имеет вид

аа',= 21а'’:о?-’]аГ’

i

(15)

(сумма по всем клеткам размерности п — 1) в силу следствия 2
нз теоремы 1. Здесь [ая : о,7’1] — коэффициент инцидентности
клеток, вычисляемый как степень отображения дап Кп-Л1Кп~2
на i-м слагаемом (см. § 5). Формула-(15) совпадает с определенным
ранее в § 4 граничным оператором в клеточных цепях. Лемма
доказана.

Клеточные гомологии обладают свойствами:

а)	они-равны нулю в размерностях, больших, чем размерность
комплекса Н'/яег (Кп) = 0, / > п.

б)	группа Я“” (№) изоморфна группе циклов 7*лет с
с. Сп (Кп), так как границ нет.

в)	группа Я“лет (К") зависит только от остова K/+I, т. е. эта
группа одна и та же для К'41, К’+2, .... К"-1, Кп-

Пусть, по индукции, для комплексов размерности <л — 1
совпадение клеточных и сингулярных гомологий уже доказано.
Рассмотрим пару (К", К"*1):

ягг (Г-1) -^яГг (Г)

НЧ™Г (Кп, /Г’) -^Я;_Т (Г4) —.	(16)

Мы имеем Я/,,иг (К“, К"-’) = 0 при / ф п. Поэтому нз (16) мы
заключаем

(Г) = Я;синг (К"'1) при / ф п - 1, п. (17)

Отсюда имеем

Я“«Г(К',) =

о,	i'^n +1>

Я/сииг (к*-1)=я;лст (к“-*), j < п - 2.

Остаются размерности j = п, п — 1.
Имеем из (16):

о -> я'ВЙГ (К") — Н™'г (Г, /Г') — Яп-Г (Г*1)

о _ я“"г (К*) — СГТ (К*) л Z*-F (Г’*)

— Я“г (Г) -* нйп”.т (Г, /Г1)

— таг (г) — о.

Отсюда получаем вывод, используя лемму 1 о совпадении гра-
ничного гомоморфизма д в клеточных цепях с гомоморфизмом

/а.: я‘ииг (Г, Г4)	(к*-*) ЯГ-Г (Г. к*-1):

а)	группа Я™иг(/С) лежит в С“е*(^п) как ядро д —т. е.
совпадает с Н„лег (Кп)'

б)	группа НпИ.яг(Кп) совпадает с Zn-7/Im д и тем самым сов-
п~1 (Д )•

Теорема доказана.

Доказательство теоремы' для когомологий полностью анало-
гично.

Важное замечание. Для приведенного здесь доказа-
тельства теоремы о совпадении клеточных гомологий с сингуляр-
ными симплициальными явная конструкция этих гомологий не-
существенна. Важны лишь формальные свойства этих теорий гомо-
логий.. Выделение этих свойств в чистом виде позволяет
дать «аксиоматическое» определение теории гомологий (Стинрод—
Эйленберг). Это определение таково.

а)	Теорией гомологий назовем «функцию» (по-другому: «функ-
тор»), сопоставляющую каждому клеточному комплексу К. (или
каждой паре (К, L), где L с. К — подкомплекс) набор абелевых
групп Hi (К) (или Hi СК, £)), i = 0, 1, 2, ..., и каждому непрерыв-
ному (можно считать его клеточным) отображению комплексов
/: К -> К' (или /: (К, L) -> (К', L'), где / (L) с L') набор гомо-
морфизмов

/#:Яг(К)->Яг(К').	. 0 . „

f*: Ht(K, L)-^Hi(K', L'),

Требуется, чтобы суперпозиции отображений соответствовала су-
перпозиция гомоморфизмов



(19)
тождественному отображению должен соответствовать тождест-
венный гомоморфизм: 1* = 1.

б)	Введенная /теория гомологий должна обладать следую-
щими свойствами («аксиомы теории гомологий»):

1.	Гомотопическая инвариантность. Если отображения f и g
гомотопны, то гомоморфизмы и g* совпадают:

2.	Определены граничные операторы

д: Нп(К,	/п=1, 2, ....

где L — подкомплекс в комплексе К, коммутирующие с непре-
рывными отображениями пар комплексов, т. е.

df, = f: (К, L) + (К', L'), f (L) с L'.

3.	Точность. Обозначим через i, / очевидные вложения

L с К с (К, L).

Требуется, чтобы последовательность групп и гомоморфизмов
------- Ят+1 (К. L) Л Нп (L) —	(*) —

— ffOT(K, £) —
была точной.

4.	Вырезание. Нт (К, L) = Я,„ (KJL,' *), где L — подком-
плекс в К, K/L —факторкомплекс, где L стянут в точку *.

5.	Нормировка. Нт (*) = Опри/п> 0(здесь » —однаточка).

Задача 2. Докажите, что перечисленными свойствами тео-
рия гомологий определяется однозначно, если Яо(*)=О —
заданная группа.

Для клеточных и сингулярных гомологий все эти свойства
выполняются (см. §§ 4, 5); именно поэтому они и совпадают между
собой. В § 5 обсуждался также пример кубических сингулярных
гомологий (не приведенных), где не выполняется аксиома норми-
ровки (гомологии точки нетривиальны в положительных размер-
ностях).

Если отбросить в определении теории гомологий условие нор-
мировки, то получится определение экстраординарной теории
гомологий. Кубические сингулярные гомологии — это «тривиаль-
ный» пример экстраординарной теории гомологий (см. задачу
в § 5). Другой гораздо более сложный (и более важный) пример
экстраординарной геории гомологий —теория бордизмов —встре-
тится в гл. 3.

По аналогии с определением теории гомологий дается аксио-
матическое определение теории когомологий (точную формули-
ровку аксиом, а также доказательство теоремы единственности
теории когомологий мы оставляем в виде упражнения). На этом
Рис. 42. Исходная триангуля-
ция At2 показана сплошными
линиями; двойственное разбие-
ние — прерывистыми линиями.

пути можно получить доказательство совпадения когомологий
многообразий, определенных в § 1 через дифференциальные формы,
с другими видами когомологий. Нужно лишь превратить любой
комплекс в многообразие, беря малую окрестность его вложе-
ния в евклидово пространство. Мы не проводим здесь аккурат-
но таких рассуждений, так как в § 14 будет указан другой
более конструктивный путь доказательства совпадения когомо-
логий, определенных через формы,
с другими видами когомологий.

Укажем одно приложение опе-
ратора барицентрического подраз-
деления симплициального комплекса
в случае многообразий—«двойствен-
ность Пуанкаре» — см. также § 18.
Пусть гладкое многообразие триан-
гулировано— т. е. превращено
в симплициальнын комплекс, состо-
ящий из гладких симплексов. Пред-
положим, что подразделение доста-
точно мелко (если нужно, произ-

ведем для этого
барицентрическое

несколько раз
подразделение).

£)(оа) = да~к> являющиеся

Пусть Оа — симплекс в Мп. Опреде-;
лим двойственные многогранники
клетками размерности п—k.

а)	n-мерному симплексу аа двойственна вершина Daa бари-
центрического подразделения, лежащая в центре симплекса аа,

б)	0-мерному симплексу о.” двойственна n-мерная клетка
(многогранник) Day, представляющая собой сумму всех симплек-
сов барицентрического подразделения с вершиной о® (см. рис. 42
для п — 2).

в)	ребру oj в Мп соответствует (п —1)-мерная клетка Dal,
являющаяся суммой всех симплексов размерности п — 1 бари-
центрического подразделения, имеющих центр ребра al своей
вершиной и подходящие трансверсально к этому ребру;

г)	грани о""1 в Мп соответствует 1-мерная клетка По?"1,

состоящая из всех (в данном случае двух) 1-мерных симплексов
барицентрического подразделения, имеющих центр о?-1 верши-
ной и трансверсально подходящие к о?'1 (см. рис. 42).

д)	Дальнейшее обобщение очевидно: симплексу о? в Мп двой-
ственна клетка Da* размерности п—k, являющаяся суммой всех
симплексов подразделения, имеющих центр oj своей вершиной
и трансверсально подходящих к этому центру. Клетки Dak
разбивают Мп в комплекс (многогранников).
Свойства оператора D .

1)	Пересечение о* 0, Оа? есть одна точка (центр а?).

2)	Если не следить за знаками, верно равенство

(до*) П DoT' = a, f) (аОо?'1) (mod 2).	(20)

Свойства 1) и 2) непосредственно очевидны для размерностей
п = 1, 2, 3. Легко понять, что они верны и для всех п > 3.

Свойство 1) позволяет нам определить билинейное скалярное
произведение а о Ь, где а £ С/ (Мп) — цепь, и b £ Cd'1 (Мп) —
коцепь на двойственном комплексе из клеток а~

i

b — £ iikDa’k- (В последнем равенстве подразумевается, что клет-
k

ке Da^ сопоставлена коцепь, обозначаемая тем же символом, ко-
торая имеет значение 1 на одной этой клетке и 0 на остальных.
Такие коцепи Do'k образуют базис в группе Сд'О

Пусть X и р — вычеты modulo 2. Полагаем

ot о Da'k — 6/А (mod 2),	(21)

(22)

Из свойства 2) следует, по определению,
(да)о& = ао(<?6),	(23)

т. е. граничные операторы сопряжены. Из (23) следует:

D

Hj (М"; Z2) = Нп~! (М«; Z8),	(24)

так как оба комплекса являются клеточными разбиениями одного
и того же многообразия Мп и имеют одинаковые гомологии в каж-
дой размерности. Это— следствие теоремы о гомотопической ин-
вариантности клеточных гомологий. Изоморфизм (24) называется
«двойственностью Пуанкаре». Для ориентируемых многообра-
зий (23) и (24) имеют место над Z. Ниже — см. § 18 —двойствен-
ность Пуанкаре будет выводиться несколько иначе.

Мы неоднократно, еще до точного определения групп гомоло-
гий, использовали термины «fe-мерный цикл» и «(/г + 1)-мерная
пленка» в многообразии Мп, понимая под этим следующее:

«цикл» задается как (Мк, f), где Мк—ориентированное зам-
кнутое многообразие и его отображение f: Мк М”.

«пленка» (Wk+t, f) задается как ориентированное компактное
многообразие Wk+l с краем и отображение f: Wk+i Мп. «Пленка»
имеет границу

d(Wk* f) = (dWk*	(25)
«Группа циклов» —это формальные суммы «циклов»

S А).	(26)

i

Факторизуя по циклам, эквивалентным нулю, —т. е. грани-
цам (25), мы получим группы наподобие гомологий, именуемые
«бордизмами», и обозначаемые через Q* (Мп). Можно определить
бордизмы для любого комплекса (X), естественно вводятся
«относительные бордизмы» (X, У). Для бордизмов верна
теорема о гомотопической инвариантности, имеет место точная
последовательность пары (X, Y) и даже свойство Й* (X, У) =
= Q* (Х/Y). Однако для стягиваемых пространств (например,
точки *) бордизмы оказываются нетривиальными в положи-
тельных размерностях. Причина очень проста: далеко не каждое
замкнутое многообразие Мк является границей (k + 1)-мерного
многообразия с краем. Например, если многообразие М4 является
краем пленки I75, то класс рг (М4) = 0. В частности, СР2 не яв-
ляется краем (детали см. в § 27).

Аналогично определяются «бордизмы по модулю 2» или
«неориентируемые бордизмы», где циклы (Мк, f) —это отобра-
жения Mk-t+X всех замкнутых многообразий (не только ориен-
тированных), н пленки также берутся неориентированными. Они
обозначаются через Nk (X).

Задача 3. Докажите, что RP2 не является краем ника-
кого 3-мерного многообразия. Докажите, что все его прямые
произведения на'себя RP2x • • • xRP2 также не являются краями.

Задача 4. Докажите, что если многообразие Мк есть край,
т. е. Мк =	то эйлерова характеристика % (Мк) четна.

Имеются естественные гомоморфизмы

Qk (X) Нк (X; Z) Hk (X; R), Nh (X) Нк (X; Z,). (27)

Говорят, что классы гомологий из образа этих гомоморфиз-
мов — это «циклы, реализуемые в виде непрерывного образа
многообразия», т. е. то самое, что интуитивно мы понимали под
циклом раньше. Однако исследование самих бордизмов и задач,
где они используются, более сложно (см. § 27).

§ 7. Гомологии прямого произведения. Умножение
в когомологиях. Когомологии Я-пространств и групп Ли.
Когомологии унитарной группы

Пусть Kj. и Kt —клеточные комплексы. Их прямое произве-'
дение Ki X К2 снова является клеточным комплексом, его клетки —
это произведения клеток комплексов Ki и Х2. Поэтому группа
целочисленных клеточных цепей C’„(X1xX2'> Z) имеет вид

Сп (Кг X Кг, Z) = Б Ch (Кг, Z) ® Ct (Кг, Z).

k-^ri—n
Граница произведения двух клеток о’Хо/ находится по формуле
д (а1 х o') = (do*) X о' U (—1){ а1 х (до>)

(знак (—1)‘учитывает ориентацию). Отсюда получаем

Утверждение 1. Комплекс целочисленных цепей пря-
мого произведения KiXK2 клеточных комплексов является тензор-
ным произведением комплексов С (Кх; Z) и С (Ка; Z):

С (Кг х К2; Z) = C(Ki, Z) ® C(Kt-, Z)

(см. § 2).

Этот факт верен, очевидно, и в том случае, когда вместо це-
лых чисел в качестве коэффициентов взято произвольное комму-
тативное кольцо с единицей, в частности, поле. Применяя тео-
рему 2.2, получаем;

Следствие. Для гомологий с коэффициентами в поле k
верно равенство

Нт (Кг X Кг, k)= S Нт (Кг, k) ® Ht (K2, k).

m+l^n

Вообще говоря, для любого кольца G определен гомоморфизм
(не изоморфизм), задаваемый тензорным умножением циклов:

2 Нк (Кг, G) ® Н{ (Кг, G) Нт (Кг X Кг, G).	(1)

Здесь циклы сч — сг = переходят в цикл Ci ® с2 =
i	i

— S afii (°$ X CT/) • Имеем:

i. /

д (Ci ® ca) — дсг ® Сг + (— 1)* Ci ® dc2.

Поэтому цепь ® fa является циклом. Изменив q на сг + дс,
мы заменим цикл сг ® са на гомологичный (сх + дс) ® с2 —
= Сг ® Сг +' д (с ® са). Построенное отображение (1) корректно.
Если G = k — поле, то тензорное умножение задает изоморфизм.

Аналогично определяется тензорное умножение в когомоло-
гиях с коэффициентами в кольце:

Б Я* (Кг, G) ® Н1 (Кг, G)~^Hn (Кг X Кг, G)

(изоморфизм, если G = k — поле).

Диагональное отображение &:К-+-КхК, где х переходит
в (х, х), индуцирует гомоморфизм когомологий:

Я* (А х К-, G) ^Н*(К-, G).

Теорема 1. Пусть G —ассоциативное коммутативное
кольцо с единицей. Тогда сквозное отображение

К*(а®Ь) = аЬ-. Нк(К; G) ® Н‘(К; G)-*

-* Я*+' (К хК; G) (К\ G)
задает в прямой сумме групп когомологий Н* (К', G) —	G)

i>0

структуру ассоциативного косокоммутативного кольца с едини-
цей, 1 € Л°(А; G), ba = (— \)klab.

Доказательство. Ассоциативность и косокоммута-
тивность следует из следующих очевидных свойств тензорного
произведения:

а)	Ассоциативность. Если сг £ Hk (Ку, G), с2 £ Н1 (Ку, G),
с3 £ Н? (Ку, G), то элементы (сг ® с2) ® с3, сд ® (г2 ® с3)
в группе Hk+t+m (Kj. х К2 X Ку, G) совпадают.

б)	Косокоммутативиость. Если с £ Hk (К), с' £ Н‘ (К)
и f: КхК К к К —отображение f (х, у) — (у, х), переставляю-
щее сомножители, то f* (с ® с') — (—\)kl с' ® с. Нужно исполь-
зовать тот факт, что при перестановке клеток о* х о1 о1 х о*
ориентация произведения меняется на множитель (—1)А(.

Единицей в кольце Н* (К', G) будет элемент 1 £ G = Я0 (* ;
G). Действительно, проекция диагонали А на сомножитель

К-^КхК-^К, р(х, у) = х

является тождественным отображением. Поэтому А* (а ® 1) = а.
Теорема доказана.

Замечание 1. Для дифференциальных форм на много-
образиях All и М2 все аналогично: если заданы две формы й =
= Е dxll/\---/\ dx‘k>	dy>1 A • • • A dy‘, то оп-

ределено их тензорное произведение со® со как форма на Л1дХЛ12,
со = со ® и = pi (©) A р2 (а) = (% fir..1 kdx{1 A • • • A dxk) /\

/\(И g^.-iidy1 ,\--'/\dy'‘),
где pi: AfiXAf2 Mlt p2: MyxM2 M2—проекции. Любая
гладкая форма на AfiXAl2 может быть разложена в сходя-
щийся ряд из произведений форм на сомножителях Мд и М2.
Тензорное произведение двух замкнутых форм замкнуто в Mr X Му,
тензорное произведение замкнутой формы на точную,есть точная
форма. Определение внешнего умножения форм можно понимать
так: если Mt = М2, то имеем диагональ А = {(х, х)} = Мд с
cz МухМ± и ограничение на диагональ А* (со®со) = со Д со
(в Мд), со Д со = (—!)*'и А и.

Замечание 2. Для конечных симплициальных комплек-
сов К умножение симплициальных коцепей можно определить
так: упорядочим все вершины комплекса К', «о. ai> аг.a.v-

Любой симплекс ok с. К записывается тем самым в виде упорядо-
ченного набора вершин

°* — (% ‘ где /о < /1 < • • • < /*•
Пусть а — коцепь размерности k и р — коцепь размерности I
(т. е. числовые функции от симплексов размерностей k и I соответ-
ственно). Определяется коцепь размерности k + I следующим
образом:

(а ₽, оА+/) = (а, а?) (₽,	(2)

где ak+l = (а.а^ ... a/ftJ,

а* = (%% • • • “//<)•	°’ *	• • • аМ J •

Единицей этого умножения коцепей а р является коцепь,
имеющая значение 1 £ G на каждой вершине (G — коммутатив-
ное кольцо с единицей). Очевидно, это коцикл. Умножение коце-
пей не является косокоммутативным.

Задача 1. Проверьте равенство (формула Лейбница):

6 (а Р) = (6а) Р + (—l)des “а (6р).

Задача 2. Докажите, что следующая разность двух произ-
ведений когомологична нулю, если аир — коциклы:

ач>р —(—1)^рч>а = бу, k — deg а, / = degp, ба = бр=0.
Поэтому мы получаем косокоммутативное кольцо когомологий
(с единицей 1 € Я0 (X; G) = G) Н* (К', G) = £ Н» (К; 6).

?>о

Задача 3. Докажите, что это умножение в когомологи ях
совпадает с тем, которое было введено выше.

Умножение целочисленных коцепей позволяет определить
важную операцию высечения. Если zk+l —цепь из Ch+t (К', Z),
аир — коцепи соответственно из Ck Z) и С1 (К; Z), то мы по-
лагаем, по определению,

(а^Р', zft+z) = (a^2ft+z, Р9-	(3)

Формула (3) для всех р' при фиксированных а* и zk+l определяет
цепь размерности I:

zi~akryzk+t (z.Ci(K', Z).

Задача 4. Докажите, что операция высечения из цикла
zk+i коциклом ак корректно определена на группах гомологий

Hk(K; Z)~HM(K\ Z)azHl(K; Z).

Задача 5. Докажите, что при непрерывных отображе-
ниях комплексов K.—*L мы имеем (в гомологиях):

f*(/*(a)r'z)=a^/#(z).

Задача 6. Докажите, что оператор D (см. § 6) задается
высечением a >—> a П IM"], где IM"] = z — сумма всех n-мер-
ных симплексов.
В случае, когда группа коэффициентов G — поле, простран-
ства Нк и Нк сопряжены и операция высечения выражается через
умножение в гомологиях. Однако для целочисленных гомологий
она оказывается полезной.

Пример. Вычислим кольцо когомологий комплексного'
проективного пространства СР" с вещественными коэффициен-
тами. Гомологии СР" иам уже известны (см. § 1), поэтому мы имеем:

= 0,

Л2* (СР", ₽) = Я2Й(СР'1, P.) = R, k<n. (4)
В § 1 была указана 2-форма clt порождающая кольцо многочле-
нов от образующей ct £ Н2 (СР", R) с соотношением с"+1 — 0.
В силу (4) это подкольцо совпадает со всем кольцом Н* (СР", R).
Итак, получаем: для СР" кольцо Н* (СР", R) есть «усеченные
полиномы» от одной образующей (\ размерности 2

Я* (CPn, R) = R [cl/сГ1 = 0,	deg с, = 2.	(5)

Пусть /: К L — непрерывное отображение. Это отобра-
жение можно считать клеточным в силу теоремы 4.2. Оно порож-
дает отображение прямых произведений

F — fxf: KxK-^LxL,

полагая F (х, у) = (/ (х), / («/)). Отображение F сохраняет диаго-
наль F (Д) с Д и переводит тензорное произведение классов
гомологий (когомологий) в тензорное произведение их образов.
Отсюда вытекает важный вывод: так как умножение в когомоло-
гиях определено формулой ab —	(а®Ь) в обоих комплексах К.

и L, то непрерывное отображение / коммутирует с операцией ум-
ножения классов когомологий, т. е.

Г (ab) = f* (а)	(&).

Тем самым /•: Н* (L)Н* (К) —гомоморфизм колец когомо-
логий.

Применим этот результат к изучению колец когомологий групп
Лн (и, более общо, //-пространств). Напомним (см. (1 ], ч. II,
§ 22), что общее //-пространство X обладает непрерывным умноже-
нием хо. у=ф (х, у) £ X (или ф: ХхХ X) с «гомотопической
единицей» —т. е. выделенным элементом х0 £ X таким, что
отображения произведения иа х0

ф(х0, х);Х->-Х,

ф (х, х0): X -> X

оба гомотопны тождественному. Введем полезные алгебраические
определения.

Определение 1. Пусть Н = S Нк — градунроваиная

А>0

косокоммутативная алгебра с единицей: НкН1 с Нк+1, ух =
= (—1)4/ ху, где х £ Hk, у £ Hl. Н называется «алгеброй Хопфа»,
если задан сохраняющий размерность гомоморфизм

• Н —>• Н®Н X (х) = х ® 1 -j- 1 ® х -j- Xj ® уi -j- • • • Xft ® у tit
где 0 < deg xlt deg yt < deg x. Этот гомоморфизм 1 часто име-
нуется «диагональю» алгебры Н.

Пример 1, Пусть Н = R [х ] —алгебра многочленов
с вещественными коэффициентами от образующего х. Будем
считать, что размерность элемента х четна и положительна. По-
лучаем градуированную алгебру, которая, очевидно, удовлетво-
ряет условию косокоммутативиости. Зададим на Н структуру
алгебры Хопфа, полагая X (х) = х ® 1 + 1 ® х. Тогда, очевидно,

*-i

X (х4) = х4 ® 1 -и 1 ® х4 + £	® х^1.

i=i

Пример 2. Пусть Н — /\ [у] —внешняя алгебра от од-
ного образующего у, где размерность у нечетна и положительна.
Это тоже градуированная косокоммутативная алгебра. Структура
алгебры Хопфа задается формулой X (у) — у ® 1 + 1 ® у.

Пример 3. Свободной косокоммутативной алгеброй назы-
вается такая, где в подходящем базисе нет никаких нетривиаль-
ных соотношений; такими являются примеры 1 и 2 алгебры поли-
номов и внешней алгебры. Общая свободная косокоммутатнвная
градуированная алгебра Н — Нк, где все Нк — конечномер-
но

иые линейные пространства и Но —это поле коэффициентов
(HQ = R), имеет вид

R [Хь ..., хк, ...] ® Д [«/1( ..., у„, ...],
где размерности deg х, образующих х4 четны, а размерности
deg у/ все нечетны. Попросту говоря, мы имеем образующие
(xj, Уч) и никаких нетривиальных соотношений, кроме косоком-
мутативности, откуда следует

.	Уч = ~Уч = 0,

У1У) = — У1У1, ytXj = Xjyt, xtXj = XjXi.

Требуется, чтобы число образующих данной размерности было ко-
нечно. В такой алгебре Н можно определить структуру алгебры
Хопфа бесчисленным количеством способов *): полагаем для об-
разующих

X (х;) = х/ ® 1-|-1 ® X, -j- 5	® о}0,

i

ЧУч) ~ Уч ® 1 + 1 ® Уч 4- S ®

*) Напомним, что мы не требуем «ассоциативности» диагонального отобра-
жения X.
где deg и'0, degj?/0, deg u£°, deg > 0 и deg u/’ + deg v}0 =
== deg xj,_ deg^uj0 + deg vj0 = deg yq (в остальном элементы
и)0, v\l\ «4°, произвольны). Так как алгебра Н свободная, то
из условия мультипликативности и аддитивности гомоморфизма 1
следует, что элементы % (х), % (у) определяют гомоморфизм Н ->
-+Н®Н.

Теорема 2 (Хопф). Алгебра когомологий Н-простран-
ства К является алгеброй Хопфа, т. е. имеется гомоморфизм

X: Я*(Д, R)-> Н*(Х, ₽)®Я*(Д, R),
где

л (х) = х ® 1 + 1 ® * + 2 х<0 ® yW,
i

degx<‘>, deg > 0

для любого элемента х £ № (X, R), q > 0. (Мы считаем, что Н-
пространство является клеточным комплексом.)

Доказательство. Так как Н* (X X К', Р) т И* (К',
R) ® Н* (X', R), то умножение ф: Х^-Х X определяет гомо-
морфизм

Ф*: Я*(X; Р)->Я*(К; К)®Я*(X; R).

Положим Х=ф* и проверим его свойства. Имеем: ф*х =
= х<°) ® 1 + 1 ® Ут + 2 х<‘> ® у<‘\ где deg х<‘\ deg у№ > о.
Рассмотрим вложение 1 Xi: /<Хх0 <= Х~хХ. Так как ф (х, х0)
гомотопно тождественному отображению, то (1 Xi) *ф*х — х ==
— х<°> ® 1. Следовательно, х(0> = х; аналогично, г/<°> = х. Тео-
рема доказана.

Применение доказанной теоремы основано на следующем ал-
гебраическом утверждении, описывающем структуру алгебр
Хопфа над вещественными числами.

Теорема 3. Любая алгебра Хопфа над полем характери-
стики нуль — т. е. рациональных комплексных вещественных
чисел является свободной косокоммутативной алгеброй (см. при-
мер 3 выше).

Следствие. Алгебра когомологий любой (конечномерной)
группы Ли является внешней алгеброй Д .... уп]-

Доказательство следствия. Рассмотрим сво-
бодные образующие (х/, уч). Если имеется хотя бы один четномер-
ный, то в алгебре имеются элементы сколь угодно большой размер-
ности. Этого не может быть в когомологияхТсонечномерного ком-
плекса (многообразия). Следствие доказано.

Пример 1. Окружность S1 есть группа Ли. Имеем:

H*(S1, R) = A[z/iJ, degyt=l-
Пример 2. Вычислим когомологии унитарной группы U (л).
Покажем, что имеет место равенство

Я*(Я(л), R) = A(yb у3, ..., у^], йе§у4 = «.

Доказательство. Унитарная группа эквивалентна (как
многообразие) прямому произведению U (л) = S1XSU (п) (см.
(1 ], ч. II, § 22), поэтому достаточно доказать, что

Я*(5(/(л), R) = A(y3...(6)

При п = 2 группа SU (2) как многообразие совпадает со сферой X3,
поэтому в этом случае равенство (6) очевидно.

Имеем стандартное расслоение SU (л) —- S2n~l, где
сфера X21'1 есть однородное пространство группы SU (л) и слой
SU (л — 1) есть группа изотропии.

Построим клеточное разбиение пространства7Х(7 (л), исходя
из клеточного разбиения сферы Х2л~‘ и слоя SU (л — 1). Раз-
берем сначала случай л — 3. Имеем расслоение SU (3) —(2)- X3.
Фиксируем вершину о® на сфере S5. На полном прообразе этой
точки — слое SU (2) = X3 возьмем стандартные клетки Xs =
= о® U а3. Над дополнением этой точки X5 \а® расслоение три-
виально (см. (11, ч. II, § 24), т. е. на нем можно ввести коорди-
наты прямого произведения: /Г1 (Х5\а°) = (Х3\О)Х317 (2). Но
Х3\о® есть пятимерный диск D3, поэтому р'1 (S3\tf°) = D3xX3.
Это произведение разбивается на клетки следующим образом:
Z?3XX3 = a3 U о®, где а8 = Z?3XZ?3. Итак, клеточное разбиение
группы SU (3) состоит из четырех клеток: SU (3) = о® J o’ U
U а5 U а8. Поэтому в когомологиях этого пространства имеем:
Н° (SU (3), R) - Н3 = Н3 = Н8 = R, остальные — нули.

Согласно теореме Хопфа, можно выбрать образующие £
€ Я3 (SU (3), R), у5 £ Я5(ХЯ(3), R) такие, что Уз=Уз = 0
и УзУз = — УьУз Ф 0 есть образующие в группе Я8 (Х</ (3), R).

Рассмотрим теперь общий случай. Пусть для когомологий
Я* (X С/ (л — 1), R) равенство (6) уже доказано. Клеточное раз-
биение группы SU (л) порождено расслоением SU (л) у X2'1'1
со слоем F = SU (л — 1), разбитым на клетки о? с одной верши-
ной Ор в слое. Клетки в базе — это о3 и о2"-1. Так как р~1 (о°) = F
и р~1 (о2'-1) = cr2’-1xF, мы имеем клетки в SU (л)

ОС W „О	„ОС . z 2л-1	/«уч

of X о,	Of X а •	(7)

По индукции имеем: число клеток в SU (л — 1) равно числу ли-
нейно независимых коциклов, а также:

Я* (ХД (л - 1), R) = Д [у3, ..., у^-з].

Покажем, что клетки о? х о° и Op х о2"-1 — все коциклы. Для
(а“хо°), представляющих элементы yt в слое, это очевидно, так
как новая клетка появляется в размерности 2п — 1. Остальные
клетки в слое представляют их произведения (по индукции).

Пусть i/jn-i = (of ха2"*1) — коцепь, сосредоточенная на одной
этой новой клетке. Если fyfa-i =# О в С* (SU (п)), то в алгебре
Н* (SU (n), R) мы получили бы нетривиальное соотношение на
внешние образующие у3, .... уг„^. Это противоречит теореме
Хопфа. Далее, в силу теоремы Хопфа, алгебра Н* (SU (л), R)
содержит внешнюю алгебру Д [ys, .... Ранг этой алгебры
в каждой размерности совпадает с числом клеток (7). Тем самым
Я* (SU (п, R)) = Д (t/!...г/^].

Доказательство теоремы 3. Пусть хь хг, ... —
однородные элементы алгебры Н, х С Я*1'8 х*, где 0 < deg х, <
< deg xh i < /;	— минимальная система образующих ал-

гебры Хопфа Н. Это означает, что любой элемент алгебры Н
представляется в виде многочлена Р (хъ х2, ...) от образующих
(возможно, не однозначно), причем никакой из элементов хк
нельзя представить в виде многочлена от меньших х}: xh ф
#= Р (xi, ..., x*-i). Для образующего х( рассмотрим его степени х}.

Пусть s. — минимальное число такое, что Xs.1 = 0. Например,
для любого нечетномерного элемента хг мы имеем: s, = 2. Если
любая степень образующего xt отлична от нуля, то мы будем счи-
тать, что s, = оо.

Докажем сначала, что в алгебре Хопфа не может быть других
соотношений, кроме соотношений вида х*1 = 0 н соотношений,
вытекающих из косокоммутативности.

Лемма. Одночлены вида	. х1^1, где 0 < г. < s.,

линейно независимы и образуют базис векторного пространства Н.

Доказательство. Любой одночлен можно привести
к виду, указанному в лемме, в силу косокоммутативности. Такие
одночлены будем называть нормальными. Степень (размерность)
нормального одночлена определяется выражением n=rft deg	..

• • •+ П deg Xi.

Линейную комбинацию нормальных одночленов будем называть
нормальным многочленом. Нужно доказать, что нетривиальный
нормальный многочлен не равен нулю. Доказательство будем
вестй индукцией по степени многочленов. Допустим, для степе-
ней утверждение о независимости нормальных одночленов
в Н уже доказано. Отсюда следует, в частности, что тензорные
произведения вида а ® Ь в алгебре Н ® Н, где а и b — нормаль-
ные одночлены степени меньшей, чем п, также линейно независимы.

Пусть Р (xft, .... *i) — нормальный многочлен степени п. Со-
берем вместе члены с наибольшей степенью переменного xh и вы-
несем эту степень за скобку. Получим:

Р(Хк, .... X1)=--4Q(X4-1,	Х1) + ₽(Х*....*1),	(8)
где в многочлен R переменная xk входит уже в меньшей
степени.

Допустим, мы имеем соотношение вида Р (хк, .... Xi) = О,
где г — минимально возможное. Докажем, что г = 1, Q — const.
Пусть /)(_! — идеал в алгебре Я, порожденный элементами xlt ...
..., хй-1. Тогда мы имеем:

(Х*<2 (Х4-1 > •••> *1)) =

Г—1

= 4 ® Q + (сМ 0 -<') (1 0 Q) (mod /4_! ® Я), '

причем 1 (R (х*, ..., xi)) не содержит членов вида х‘ка ® x>kb,
где i -f- j = г. Если deg Q > 0, то deg xrk и deg Q меньше n,
поэтому выражения, входящие в 1 (Р (х)о .... х^), линейно неза-
висимы по предположению индукции. Значит, deg <2 = 0; можно
считать, что Q = 1, г degxft = п. Если г > 1, то в выражение

X«) = £ сХ ® (mod Ik.i ® Я)

входят линейно независимые члены, которые ии с чем не могут
сократиться в 1 (R (хй, ..., Xi)). Значит, г = 1, и соотношение (8)
имеет вид xft = — R (хк_г, ..., х^, что невозможно ввиду минималь-
ности системы образующих. Лемма доказана.

Покажем теперь, что если степень deg xk четна, то xl #= О
прн любом s. Действительно, если уже доказано, что х*'1 Ф О,
то в выражение X (хй) входят члены вида Clsxlk ® х^‘> отличные
от нуля при 0 < i < s. Эти члены независимы и не могут уничто-
житься с остальными слагаемыми в 1 (xjJ (проверьте).

Итак, мы доказали, что для минимальной системы образующих
в алгебре Хопфа Я нет других соотношений, кроме антикоммута-
тивности. Четномерные образующие порождают в Я подалгебру
многочленов R [х[, х£ ... 1; нечетномериые — внешнюю подал-
гебру A [x"i, Xi, ...]. Вся алгебра Я является, очевидно, их тен-
зорным произведением. Теорема доказана.

Укажем другие примеры Я-пространств.

Пример 1. Если Я— комплекс, то можно определить
пространство путей £2 (К, х0) = X, начинающихся и кончаю-
щихся в точке х0 (см. (1 ], ч. II, § 22). Здесь имеется умножение
путей, гомотопическая единица х0. Более того, это умножение
«гомотопически ассоциативно» и обладает «гомотопически обрат-
ным элементом» х х;

а) отображения (х о у) о z: X х X X X X и х о (у о z):
X X X X X X гомотопны; б) отображение х->хох: X -> X
гомотопно постоянному X -> х0.

Пример 2. Кроме групп Ли, закон умножения с едини-
цей можно ввести’ на 7-мерной сфере S7, исходя из так называв-
мых чисел Кэли: пространство R8 является алгеброй с делением
(ио неассоциативной). Билинейное умножение задается так:
если (<7i, q-i) — пара кватернионов, (q{, q'z) —рруггя пара, то мы
полагаем

(</ь q^‘(q'\, qi) — (qiqi — qiq2, qiqi-{- qzq’i).

Кроме групп Ли G и произведений GxS7x ••• xS7 не известно
других примеров односвязных конечномерных //-пространств.
Например: если имеется умножение на сфере S'1-1 с единицей
х £ S'*-1, то мы имеем отображение умножения:

S'1-1 х S'*'1	S"'1,	(х, у)—+хоу.

Далее,

S21'1 _ fin х 5п-1^ J p.-i х дп)

(склейка по общей границе S"'1 xS'1'1). Отображение ф можно
продолжить до отображения

/(Ф): S2'*-I=(D'* х S'*-1) (J (S'-1 х Dn)-^Sn,

где S""1 — это экватор в S ' (проделайте это).

Рассмотрим комплекс

Kn = Sn U /(Ф)£>2л

с клетками ст0, ст", а2п. Поэтому

(О, ] =/= 0, п, 2п,
"Hz. М 2п.

Пусть ип £ Нп (Кп, Z»), «2л С Н2" (Кгл) — базисные классы
когомологий (mod 2).

Задача 7. Покажите, что = «2л, если умножение об-
ладало единицей, т. е. ф: S'*'1 X S'*-1 -*• S'*-1 имело степень +1
на каждом сомножителе.

Мы знаем примеры умножения на сферах S’1'1 для п — 1, 2,
4, 8 (вещественные числа R, комплексные С, кватернионы Н
и числа Кэли К). Имеется трудная теорема (Адамс) о том, что для
других п Ф 1, 2, 4, 8 таких комплексов не существует (Kt —
=	= СР2, = HP2, К8 = КР2).

Дадим еще одно применение когомологического умножения.
Докажем, что группа л2п_г (Sn) бесконечна для четных п.

Рассмотрим S'*xS'*, где п четное. В кольце Н* (S^XS")
выберем базнс 1, 1 ® и, и ® 1, « ® и, где и С Нп (Sn) —базис-
ный элемент. Рассмотрим отображение букета ф:

S'* V S'* с S'* х S'*,	S'* VS'* = (S'* x x0) U (x0 x Sn),

ф: S'* V S'*-> S'*

степени 1 на первом слагаемом и степени р на втором.
Мы имеем <р* (и) = 1 (и ® 1) + (1 ® и) р.

Так как и~ =0= О, мы получаем, что при р, 1 -0= О отображение <р
не продолжается до отображения ф: S1 х $л-+ Sn, поскольку
из условия и2 = 0 следовало бы ф* (и)2 — 0. Однако ф* (и2) =
= 21ри ® и 0= 0. Клеточное разбиение S^xS1 таково:

S" х Sn = (a° U оп U оп U o2") = (S'‘ V 5n) U D2n-

Отображение S2"-1 = dD2n —* Sn V S'1 Sn не гомотопно
нулю при любых р, 1 =0= 0, поскольку иначе отображение продол-
жалось бы на диск Z?2" и тем самым на все S^xS1.

Задача 8. Докажите, что число 1р является аддитивным
инвариантом гомотопического класса построенного отображе-
ния S2'1’1 -* Sn для любых четных п.

Задача 9. Постройте отображение ф: S'1’1 х S"'1 -> S
для любых четных п с 1 = 2, р = —1.

Задача 10. Пусть S2"1'1 —* S'1 правильно в точках ху,
х, С Sn (см. .[1 ], ч. II, § 10) и МГ1 = Г' (*о), М’Г' = Л1 (xi) -
замкнутые подмногообразия. Пусть (Л!?'1, Л!"'1)—их коэффи-
циент зацепления (см. [1 ], ч. II, § 15) *). Положим

у={МГ‘, Мз'1)-

Докажите, что для построенных выше отображений / = / (<р)
имеет место равенство у = 21р.

Докажите, что для комплекса К = S" U D2n, где склейка
произведена по отображению /: S2”-1 Sn, мы имеем да =
= уи2, в кольце Я* (К, Z).

Задача 11. Докажите, что для любого гладкого расслоения
S2«-1 S"

коэффициент у = ±1.

§ 8. Гомологии косых произведений (расслоенных
пространств)

Связь гомологий слоя, базы и пространства для расслоения
несравнимо более сложная, чем для прямого произведения. Мы
будем считать коэффициенты полем, не оговаривая этого дальше.
Пусть имеется расслоение £—со слоем F, где все Е, В, F
являются клеточными комплексами или им гомотопически экви-
валентны. Клеточное разбиение пространства Е уже указывалось
выше (§7):

♦) Коэффициент зацепления в [1] был определен лишь для замкнутых кри-
вых в Rs. Однако совершенно аналогично определяется коэффициент зацепления
для подмногообразий М*, М« в ₽2*+1(или в 52А+1)как индекс пересечения одного
из иих с пленкой, натянутой на другое.
если а{? — клетки слоя F и с в — клетки базы, то прооб-
раз р~1 (рв) есть прямое произведение а% х F, и мы имеем клетки
в Е

g’e4 = <JB X Of.

Таким образом, клеточное разбиение формально такое же, как
и в прямом произведении. Однако граничный оператор устроен
гораздо более сложно. Мы уже приводили пример (см. § 4) прост-'
ранства линейных элементов к поверхности рода g, на котором
видны эти усложнения. Перечислим простые свойства граничного
оператора в Е.

1)	Если о°в — вершина в базе, то для клеток а{- — вв X оЕ
мы имеем очевидное равенство:

до'Е = ов х (Зо$).

2)	Если а£+/ = ов х Of, то граница имеет вид

дор"' = а’вх (Зо{?) + А.	(1)

где Д — клетки из полного прообраза р~1 (Зав), причем под до9в
понимается топологическое замыкание образа сферы S'7-1 —
границы двв в базе В. Во всяком случае, Д az р~{ (В7-1), где В7-1—
остов базы размерности q — 1.

Задача 1. Пусть база В —одиосвязна, имеет одну вер-
шину о% и не имеет клеток размерности 1. Тогда верна формула
дор1 = as х (За£) + (-1/ (Зав) X + Аь -	(2)

где Л^а:р~' (Bv~2).

Мы будем предполагать далее, что рассматриваются расслое-
р

ния Е—’-В, где формула (2) верна. Например, эта формула оче-
видно верна в том случае, когда в базе нет клеток размерности
<7—1. Это верно для B = Sn(n>l), В = СРп, В = НРЛ,
а также, если В есть комплексное грассманово многообразие,
букет сфер, прямое произведение сфер и ряд других.

Замечание. Фактически, рассуждения, которые мы про-
ведем, и выводы, которые мы получим, будут верны (после неко-
торых усложнений) в более общем случае: группа ях (В) должна
тривиально действовать на группах Я* (F). Для расслоений
линейных элементов это означает, например, что база — ориен-
тируемое многообразие (слой сфера). Если слой сфера, то такое
условие будет всегда выполнено для Я* (F, Za), независимо от
ориентируемости базы и расслоения, так как Я* (Sn, Zs) вообще
не имеет нетривиальных автоморфизмов. Поправки, возникающие
в том случае, когда ях (В) нетривиально действует на Я* (F),
будут указаны в § 11 (ниже).
Итак, мы изучаем класс расслоений, для которых верна фор-
мула (2).

Разложим границу в ряд по остовам базы:

da£+/ = a& X (5ctf) + (—l)z(5ab) х Of-j-da +<Эз+ •••,
где dk — S ХаоЬ?! X HftV’, — числа, состоит из произведе-
а

ний (q — &)-мерных клеток базы на (j -f- k — 1)-мерные клетки
слоя. По определению, имеем:

да"^ = -j- -f- ^2 4~ ’ • • >
до —al х	й = ± (dal) X aiP.

Для комплекса цепей мы имеем

С„(£) = S C?(B)0C,(F).

<7+/=л

Оператор границы имеет вид

ds (а ® Ь) — а 0 dfb ± (d^fi) 0 b 4- д2 (а 0 Ь) 4- • • •,	(3)

где

dh(a®b) tC^QC^F)

для а С Cq (В), b С Cj (F).

Обратим внимание на то, что операторы д9 и di здесь такие же,
как и в прямом произведении £в — В X F. Операторы dh при
k >• 2 в прямом произведении равны нулю. Они характеризуют
степени «перекашивания» граничного оператора в комплексе
С (£) по сравнению с прямым произведением £0 = В х F.

Для исследования гомологий Я* (£) используется «метод
просеивания» или «метод последовательных приближений» по-
следовательно по k = 0, 1, 2, 3, ... (называемый спектральной
последовательностью Лере). Суть этого метода состоит в .следую-
щей процедуре:

Ш а г 0. Так как д20 = 0, то мы можем вычислить «гомологии
нулевого приближения» относительно только этого «оператора
границы в нулевом приближении». дй. Мы получаем:

Нп (С (£), д0) = S С„ (В) 0 Hj (F) = S E^j.
«+/='»	я+i—n

Таким образом, Нп (С, do) — это цепи в базе В со значением
в гомологиях слоя F: E^j — Cq (В, Hj (F)).

Шаг 1. На с^-циклах по модулю границ Im d0 (т. е. на груп-
пах Я* (С, do)) корректно определен оператор dlt который обла-
дает свойством d2 = 0. Имеем комплекс

d,-. £»',	/•
При наших гипотезах гомологии в первом приближении — т. е.
для комплекса (£'”, dx)— совпадают с гомологиями прямого
произведения (см. вид д0 и <ЭХ):

Нп (£(l), dx) = S Нч (В, Н} (F)) = £ Я? (В) ® Н} (F) =Н.(В® F).
я \-i=n

Оператор dx — это граничный оператор на цепях в базе В с коэф-
фициентами в Я* (F).

Имеется очевидное прямое разложение

Нп (Eai, dx) = 2 Я, (В) ® Hj (F),
q-ii=n

где слагаемые представлены di -циклами z $ Е^/ = С9(В, Н/ (F))
с точностью до dx-границ Im dx. Группы d-гомологий Нп (£(I), dx)
обозначаются через

Е(п2)= S E^='%Hv(B)®Hi(F)=Hn(Bx F).
q+j=n

Для прямого произведения Еа = В X F на этом вся проце-
дура кончается. Для косого произведения возникают следующие
шаги, использующие дг, д9, ...	;

Шаг 2. Оператор дг порождает граничный оператор d3 на
гомологиях «первого приближения» £(2) = Я* (£(1), dx) и обла-
дает свойством д2, = 0. Возникают гомологии «второго при-
ближения»

Е? = Я„ (£(2), d,) = S И,, t (£(2), d,),

£(3)=S£(3)>	£<3)= ,S £(3)/#

л>0	q-Yjati

Нал имеем

- d2: Б™/ -> £<222, /+1, Е^, = Hq (B) ® Hf (F).

Элементы групп £$2)/ = Я?. / (£<2), d2) представлены элементами
^-циклами) z £ E^i = Нч (В) ® Я/ (F) с точностью до «^-гра-
ниц.

Эта последовательность «просеиваний» продолжается и дальше:
возникают комплексы £<л) =	Е1^, с граничным оператором

dr-. E^j E^lr, j+r-i и £(г+1) = S Е^ = Я. (£(r), dr).

Очевидно, все группы £^’/ при q < 0 или прн / < 0 равны нулю
для всех г > 0. Поэтому оператор dr = 0 на группах Е^,-, если
q < г.
В этом случае иг^еем
p(f) _________	~ ... =	п г

I-q, 1 — ^q. 1 — t-’q. 1 —	—	/> Ч •

Эти группы обозначаются через Е^°].

Теорема (Лере) *).

1)	Все дифференциалы dr корректно определены и d, = 0.

2)	Прямая сумма £{,оо) = £ Е{™} изоморфна группе Нп (Е)
?-г/~ Я
для поля коэффициентов.

3)	Группы Е{^1 изоморфны группам Hq (В) ® Hj (F).

Итак, в результате всех просеиваний мы получили циклы
в пространстве Е (как ядра всех гомоморфизмов dr по модулю
образов предыдущих) с точностью до границ.

Следствие. В косом произведении ранги групп гомоло-
гий, вообще говоря, меньше, чем в прямом (т. е. числа Бетти
bk (Е) с bh (Ео) для всех k, Еа = В х F). Это следует из того,
что уже Е^ = Нп (Ео); затем происходит ^просеивание» части
циклов операторами d2, dz...отбирая только их ядра (dr-циклы),

факторизуя по dr-границам, затем переходя к dr+1 и т. д.

Дадим определение операторов d2 на группах Е^/. Так как
дв — д0 4- di 4- д2 + ... и двдЕ = 0, мы получаем равенство

0 = dg = до 4~ (дод[ 4- д[д0) 4- (д? 4~ ^сдг 4“ Фгдо) 4"

4~ (д[дг 4- дгд1 4~ додз 4- дздо) 4" (^2 4~ дзд[ 4~ д[дз 4~ до^4 4~ дцдц) 4~ • • •

(4)

Применяя общее равенство (4) к группам С?>/(Е) по отдельности,
получим цепочку равенств

0 = до: Cq, j —> Cq, i—2,

0 = дД 4“ dido.' Cqt j -*-Cq_i, y_j,

0 = д[ 4~ dodj 4~ ^гдо: C?, / —> C4—2, /,	(5)

'	0 = djda 4- djdi 4~ додз 4~ дзд0,

0 = ^4"	4- &3di 4" dfld< 4- d^Q.

1) Рассмотрим оператор di на d0-циклах (д0 = d0) mod d0-rpa-
ниц — т. e. на do-гомологиях Е^/.

Если dqX = 0, то мы имеем

di (х 4- дох) = dtx 4- didox — д^х — дй (дгх).

*) Из приведенного в этой книге материала эта теорема дает нам первый
важный случай, когда доказательство без серьезного использования языка гомо-
логической_~алгебры_невозможио.
(д4дох = 0). Тем самым оператор dz = dz — d\d^'ld\ определен
корректно на группах Е™,- и обладает свойством dzd2 = 0.

3) Оператор dz на группах £,3)/ = Я,. /(£(2), dz) определяется
так же, исходя из оператора дя на таких цепях х Э Cq, t (£),
где d^x = 0, drx — doy, дгх — дуу — dqz + diw и где dow = 0
(dg-циклы), с точностью до объединения образов dt, i < 2, границ
всех предыдущих операторов dh Не проводя вычислений, мы
укажем сразу, что все операторы <4 можно определить корректно,
поправляя оператор дг, действующий из Сч,} в С^г, добавки
из образов д0, dlt .... дг_ь по аналогии с d2. При этом мы будем
иметь drdr = 0 и dr: Eq,yE^lr, f+r-i по определению. Точный
вид оператора dT нам не важен.

Объясним идею доказательства теоремы Лере (выше) для того
частного случая, когда все dt при i 3 тривиальны. Здесь, не
привлекая языка гомологической алгебры, можно проверить все
до конца прямым вычислением. Корректность оператора d2 уже
проверена. Нужно доказать, что гомологии Ht (£(2>, dz) = Я(,3) —
= Е’00) совпадут с гомологиями Н, (£) над полем коэффициентов.

Пусть х — элемент из Нп (£), представленный циклом —
цепью х £ Сп(Е)— £ С?1} (£). Мы будем называть «фильтра-
цией» элемента х £ Н* (£) такое минимальное число q, что х
может быть реализован циклом х из полного прообраза р~1(Вч)
^-мерного остова базы и не может быть реализован цепью из
р-'СВ’-1):

х ~xq 4“ xq-l 4" • ' • 4“ *0 ~xq 4“	1 (В9 *),

где

Xj Cqt j," Xq-1 С Cq-1, /+1> • • , Xq £ Cqt n.

Так как dEx = 0, мы имеем (dE = д0 4-	4- дг) разложение дЕх

по группам Cq,

дЕх — dqXg (diXq 4- dqX^i) -j- (dzXq 4- dix?_j 4- 5oX?_a) 4-

4- (daX?-1 4- drxq_z 4- ЗоХ?_з) 4- • • • = 0.

Из условия dEx = 0 имеем

doXq = G, д1х9 = —дохя_1,	—доХч_г.

Отсюда мы имеем вывод, что цепь х, является циклом диффе-
ренциалов do, dx, dz, так как

d0 = д0 (xq) = 0, di = di (хч) = —д0 (x,_i),

= d^cq — did^ldiXq = d2Xq 4-	== — <5oX?_2.

Итак, циклу x фильтрации q соответствует цепь xq £ С?, > (£),
определяющая цикл всех дифференциалов dr, г = 0, 1, 2, ...
Поэтому х9 остается в группах Eq“] (в нашем случае £(<ю) = £(3’)*
(dtdox = 0). Тем самым оператор d2 = д2— dtd^'di определен
корректно на группах Eg,f обладает свойством dzd2 = 0.

3) Оператор da на группах Eg?j = Hq, /(Е(2}, d2) определяется
так же, исходя из оператора дя на таких цепях х Э Cq, j
где ддХ = 0, дгх = дйу, д2х — дуу — ддг + дую и где dgW — 0
(г4-циклы), с точностью до объединения образов dit i < 2, границ
всех предыдущих операторов dh Не проводя вычислений, мы
укажем сразу, что все операторы <4 можно определить корректно,
поправляя оператор дт, действующий из Cq,} в С- г, добавки
из образов д0, di, .... дг_ь по аналогии с d2. При этом мы будем
иметь drdr = 0 и dr: Eg?,f+r_i по определению. Точный
вид оператора dr нам не важен.

Объясним идею доказательства теоремы Лере (выше) для того
частного случая, когда все dt при i 3 тривиальны. Здесь, не
привлекая языка гомологической алгебры, можно проверить все
до конца прямым вычислением. Корректность оператора d2 уже
проверена. Нужно доказать, что гомологии Н, (£(2>, d^ =	—

— £(.°°) совпадут с гомологиями Н, (£) над полем коэффициентов.

Пусть х — элемент из Нп (£), представленный циклом —
цепью х £ С„(£) = £ С?1} (£). Мы будем называть «фильтра-
цией» элемента х £ Н* (£) такое минимальное число q, что х
может быть реализован циклом х из полного прообраза р~1(Вч)
^-мерного остова базы и не может быть реализован цепью из

х ~xq 4“ xq-l 4" • ' • 4" *0 ~Xq 4" А> А С Р ' (В9 *),
где

xq С Cq> J* Xq-1 С Cq-1> /+1> • • • ’ xg £ Со, л-

Так как дЕх = 0, мы имеем (дЕ = д0 4-	4- д2) разложение дЕх

по группам С?,

дЕх — dt)X4 (д±Хд -]- doXg-t) (d^Xg 4- 5iX?_i 4“	4~

4“ (dtfiq-l 4~	4“ ' ‘ ' == 0-

Из условия дЕх = 0 имеем

доХд = 0, д1Хд = —д0Хд_1, dzXgt^ — diXg^ —ддХд_2.

Отсюда мы имеем вывод, что цепь х, является циклом диффе-
ренциалов 4)>	<4> так как

d$ = до (Хд) = 0, dl = dl (Хд) = dg (Xg_l),
d2Xg = dzXg — did^'diXg = d2Xg -f- di*.?-! = — doXg-2-

Итак, циклу x фильтрации q соответствует цепь xq £ С?, f (£),
определяющая цикл всех дифференциалов dr, г = 0, 1, 2, ...
Поэтому Хд остается в группах Ед“] (в нашем случае £(<ю) = £(3’)*
Покажем, что xq не является границей ни одного из дифферен-
циалов dr (г = 0, 1, 2) и тем самым дает ненулевой элемент в Е1"}.
Если хч = doZ = dtf для г С Сч, i+l (Е), то фильтрация эле-
мента х = х — дЕг менее, чем q, так как

х = (xq - d^z) + (х?_! — ахг) Н-,

причем — до? == 0. Поэтому х9 =4= doz, так как по условию q
минимально, и цикл х нельзя снять с остова В4. Пусть xq — drv,
где dov = 0 и v С Cq+i, ] Опять легко проверяется, что цикл
х — dEv имел бы фильтрацию <q. Поэтому хч =4= dt (Ker d0).
Далее, если xq = d2w = d2w — did^'diw для w £ С?д-2, /-i (где
dow — 0, <Э2а» = 5eu), то мы снимаем х с ^-мерного остова х -> х —
— dEw. Это противоречие показывает, что цикл всех дифферен-
циалов xq £ Cq. f (Е) переходит в Eq™} и не равен нулю в Е£°/,
если фильтрация класса гомологий х £ H„+j (Е) есть точно q.
Имеем вложение:

Нп (£)-> £ Е^}.

ч+1=п

Обратно, пусть задан цикл всех дифференциалов dr-. xq G Cq,, (Е),
не равный нулю в Е£“/. Мы знаем следующее (пусть все д, = 0
при i > 3):

доХя = 0,	= доу,

dzxq — дЕу = doz + drw, dqw = 0,	.

2 C O?_2, j+i, у £ C9_i, j+i, w G C9_i, J+1.

Положим

x = xq 4- xq_L + xq_2 + хч_2 + • • •,

где x7_i = — (у 4-й»), xq_2 = —z,

dEx — doXq 4- (d1xq — doy — dow) 4- (d2xq — doz — dty — d^w) 4- Д = Д,

где Д G P~l (Д'-3). Меняя представителя xq, а также у, w, z,
мы получим в силу соотношений (4)—(5), при условии dt = О,
i 3, цикл х фильтрации q.

Итак, каждый элемент из групп Е(^°} = £ Ej“} предста-
?+/=«

вляет элемент из Нп (Е).

Дополнения (без доказательства).

1)	Элементы фильтрации q = 0 — это всегда циклы всех dr,
г 1; группы Е^п изоморфны Нп (Е). Группы Ео“« — это фак-
торгруппы; гомоморфизм Нп (F) -» Ео“« с Нп (Е) совпадает с го-
моморфизмом вложения слоя i: F->E.

2)	Элементы-фильтрации п (j = 0) не могут быть границами;
здесь Е<2,>о = Нп (В) и ЕП с Нп (В).	.
Гомоморфизм проектирования на слагаемое / = О

S £<“} = Нп (£) Е{~\ с Нп (В)

совпадает с проекцией на базу: 

Р*: ЯЛ(£)-Я„(В).

3)	Для когомологий все аналогично: имеется последователь-
ность (£?'1, 6Г), где

а)	6Г: £’• '-^Е9г+т’ '~г"\ 6,6,= О,

£,*+1-//•(£„ 6,);

б)	S £? ' = Нп (В х F) = £ Н9 (В) ® Н1' (F);
»+/=«

в)	У. £« 1 = Н* (£) (как группа);
о. i

г)	все группы Е* н операторы 6Г сопряжены с (£(.r), dr) в го-
мологиях. Однако здесь имеется важное новое свойство:

д)	все £* = £ £?’1 являются косокоммутативными кольцами,
причем Н* (В х F) = £г как кольцо; если а £ Е9'0 £ Е9’
то а0 С ,+l> «₽ = (—1)('7+/) (’+;)0а; для 6Г имеет место фор-
мула Лейбница

6Г (а0) = (6,а) 0 ± а (6,0)

(заметим при этом, что кольцо ££, не изоморфно кольцу Н* (£),
вообще говоря; исключением является случай, когда £» есть
свободная косокоммутативная алгебра; тогда это верно и для
Я* (£))•

Мы этих фактов доказывать не будем, хотя и используем
(особенно д)) в вычислениях ниже.

Разберем несколько примеров применения теоремы Лерэ.
Как будет видно, конструкция операторов dr, г 2, не играет
никакой роли в вычислениях — важны только их формальные
свойства.

Пример 1. Пусть £ = S2,1+1 -» СР" = В со слоем F = S1 —
стандартное расслоение (см. 11), ч. П, § 24). Вычислим кольцо
Н* (СРП), используя информацию об Н* (S1) и Н* (S2"+1) и
условие «1 (В) = 0.

В члене £J — Н* (В) ® Н* (F) — см. рис. 43 (все ненулевые
клетки из £?’' имеем при j = 0, 1). Здесь Н* (S1) = Д lu),
и2 = 0, deg и = 1 и Н* (В) неизвестна, кроме условия Л1 = 0.
Группы Е9’' нетривиальны лишь при j = 0, 1. Поэтому только
8, =/= 0; при i 3 все = 0 по соображениям размерности, так
как ЪГЕ9'1 a E9+r‘ i~r+'. Группа Е9’0 есть циклы всех 6Г, г ^2.
Элемент (и) £ Н* (СР”) = £+ 0 порождает группу № (СРП);
иначе мы бы имели либо Я1 (£) = И1 (S1)	0, либо Я2 (Е) О,

что невозможно. Пусть v = 62 (и) =/= 0. Для uv имеем

62 (uv) = у2, 62 (uvk) = у*+1.

Из условия \Hl (Е) = 0 при i < 2л, заключаем: И2'*1 (СР") == 0,
Я2/ (СРп) —одномерное пространство, порожденное элементом v’
при / < п. Здесь мы используем кольцевую структуру диффе-
ренциала 62 (см. рис. 43).

Пример 2. Пусть Е —► Sn — расслоение Серра со слоем
F = Q (S'1, ха) (петли на сфере). Здесь Е стягиваемо и Я* (Е) = 0.
Для базы В = S'1 имеем Яо (Sn) и Нп (S'1) — одномерные" про-
странства; остальные Яу (S'1) = 0, / =/= 0, п. Гомологии слоя F

пока неизвестны.

В члене Е™, = Hq (В) ® Я/ (F) (см. рис. 44) мы имеем един-
ственный нетривиальный дифференциал
dn'. u->ui,
dn: vt^u^Uz,

< (8)

d„:
Вид дифференциала dn (см. (8)) немедленно получается из тео-
ремы Лере вместе с условием //* (Е) = О и видом гомологий
базы В = S’. Поэтому гомологии4-//* (F) имеют вид:

//Mn_t) (F) — одномерное пространство,

//j(F) = O, /#=*(п-1).

Задача 2. Применяя когомологическое умножение, до-
кажите: (коэффициенты — поле R, С, Q.

а)	Н* (Q (S'1)) — кольцо полиномов от одной образующей и
размерности п — 1, если п нечетно;

б)	Н* (Q (Sn)) = Д [«) ® R [о], deg и — п — 1, deg и =
= 2п — 2, п четно.

Задача 3. Докажите, что если из тройки пространств (£,
F, В) любые два обладают одним из следующих свойств, то третье
также обладает этим свойством (предполагается, что расслоение
Е В удовлетворяет условиям теоремы Лере):

а)	группы гомологий-//* с коэффициентами в каком-либо
поле равны нулю;

б)	группы гомологий //* имеют конечное число образующих
в каждой размерности;

в)	все целочисленные группы гомологий являются конеч-
ными группами (т. е. гомологии с коэффициентами в R, Q или С
равны нулю);

г)	все целочисленные группы гомологий конечны и не имеют
элементов порядка р, где р — простое число (т. е. гомологии
с коэффициентами в поле Zp равны нулю).

Задача 4. Исследуйте дифференциалы dr, 6, в расслоениях:

a)	RP2n+1 -> СР* (слой S1) с коэффициентами в полях Zj,
Zp, р > 2, R или Q;

б)	SU (л) - S2"-1 (слой SU (п — 1));

в)	SO (л) -> Sn~l (слой SO (л — 1));

г)	S4n+3 -> НРЛ (слой S®);

Д) Vn,k ->Sn-‘ (слой V«_i,ft_i);

е)	]fi.k ->Gn, к (слой

ж)	-*Gn,k (слой SO(k)).

Используйте кольцевую структуру в когомологиях для приме-
ров б)—ж).

Задача 5. Докажите следующие факты:

а)	Если все гомологии односвязного комплекса К конечны
(т. е. Hq (К, R) = 0 для q > 0), то все гомотопические группы
конечны;

б)	все группы ял+1- (Sn) конечны (кроме i = 0 н i = п — 1,
если п четно).	""~

Указание. Рассмотрите расслоение Серра Е-^К со слоем
Q (К, й0), где Е стягиваемо. Итерируйте это расслоение. Для изу-

4 Б. А. Дубровин н др.
чения групп (К) пользуйтесь равенством	(Q (Х))=...

Для 1-й нетривиальной гомотопической группы используйте
равенство: если л„ (X) = 0, q < i, то (X) = Hi (X, Z). Пере-
ходите к универсальному накрытию, если встретится группа лх
(см. задачу 7 ниже).

Имеется процедура «превращения отображения в расслоение»,
сохраняющая гомотопические типы:

а)	если X cz L — вложение, то берется пространство Е (К, L)
путей, начинающихся в X и кончающихся где угодно в L. Оче-
видно, Е (К, L) ~ К (стягивается к X). Имеем отображение
Е (К, L) L, ставящее пути в соответствие его конец. Это рас-
слоение Серра (докажите);

б)	для общего отображения	надо рассмотреть «ци-

линдр» С/ = (X х / (0, 1)) [J t £> где (х, 1) =* f (х). Очевидно,
Cf ~ L. Далее, С/ => X X 0 = X. Применяя к паре (С/, X X 0)
конструкцию а), получаем расслоение

Х~Е(Х, L)-^Cf~L.

Легко видеть, что р гомотопно /. Используя эти конструкции,
решите задачи:

Задача 6. Докажите, что если отображение f односвяз-
ных комплексов индуцирует изоморфизм групп гомологий
R)~*X*(L, R), то отображение / индуцирует изомор-
физм групп гомотопий

л, (X) ® R «=> л, (£) ® R.

Примените это к случаю, когда Х = S3 X Ss х ... х 52/г~|
и L = SU (п). Постройте отображение X -» L, пользуясь умно-
жением в SU (л).

Задача 7. Если X — это Я-пространство (например, X =
= Q (X)), то для всех q > 0 докажите равенство

ЯДХ, Р)=Я?(Х, R),

где X — универсальное накрытие. Пусть D = ях (X) и X (О, 1) =
= В — такое пространство, что лх (В) = D и лх.(В) = 0, i > 1
(см. §10 ниже). Рассмотрите отображение Х-^*В, лх (X)
& лх (В) = D. Превратите его в расслоение. Найдите слой.

Задача 8. Рассмотрите естественное вложение S" V S'1 ->
_> Sn X Sn. Превратите его в расслоение. Найдите гомологии
слоя F. Найдите гомотопические группы лх (Sn V Sn) ® R == ?

Задача 9. Пусть X односвязно и Я* (X, R) — свободная
алгебра" (косокоммутативная). Найдите группы nt (X) ® R. ,

Задача 10. Пусть лг (X) = 0 при i < л — 1. Докажите
•равенство Я/ (X, R) s лу (X) ® R при / < 2л — 1.
§ 9. Задача о продолжении отображений, гомотопий
и сечений. Препятствующий класс когомологий

А. Поставим следующую задачу: пусть заданы клеточный
комплекс X и его подкомплекс L с. К, (например, L =	—

остов комплекса К). Пусть задано отображение L-^-Х. Для
упрощения алгебраической стороны предположим, что X — одно-
связное пространство (или гомотопически простое — такое, что
(X) — абелева группа и тривиально действует на всех груп-
пах nt (X)).

Можно ли продолжить отображение f: L -> X до отображе-
ния F: К -> X?

Пусть о‘ — клетка в К. такая, что до‘ cz L. На границе ди‘
мы уже имеем отображение f: L -> X. Это отображение опреде-
ляет элемент а (а\ /) С «t-i (X):

Очевидно, следующее: отображение / можно продолжить на
клетку и‘, если и только если а (о‘, /) = 0 в группе (X).
В частности, продолжить всегда возможно, если (X) = 0.
Если a (of, f) Ф 0, то продолжить отображение / на клетку ст‘
нельзя (а есть «препятствие»).

В общем случае, начав продолжать отображение с первой
размерности такой, что имеются клетки в К, не лежащие в L,
при некотором i натолкнемся на нетривиальное «препятствие»:

o' -> a (о1, f) £	(X).

Это — коцепь в (X, L) или в группе коцепей С* (К, L, (X)).
Мы обозначим эту коцепь через af.

Имеет место

Лемма 1. Коцепь а; является коциклом.

Доказательство. По определению, имеем: ба/ (ог+1) =
= af (ди‘+1). Докажем, что коцепь af обращается в нуль на d<rf+l.
Напомним, что af определялось через отображение до‘ -»Х.
Пусть, для простоты, К и L — симплициальные комплексы;
тогда 5ст‘+1 и до‘ — сферы, лежащие в К, где о4 — симплекс
размерности q. Возникает следующая универсальная ситуация:
для симплекса <т‘+1 имеется отображение его (i — 1)-мерного
остова в X (Л1 (X) = 0 или nj не действует на группах л;_1).
Пусть a,j £ nt.i (X) представлен отображением границы грани
с номером /: если о‘+1 = (0.i + 1), то /-я грань есть (0, 1, ...

.... /.i + 1) (номер j вычеркнут).

Задача I. Доказать равенство
ж

Sa,(-!)'• = 0 Е лиЛХ)	(1)

/==0

для любого X.
Фактически, дело в том, что каждая грань размерности i — 1
дважды входит в сумму (1) и при этом с противоположными зна-
ками (группа лг_г (X) абелева). При этом из наших условий сле-
дует, что начальная точка в определении л/л (X) ие существенна.
Поэтому af — коцикл.

Лемма 2. Если а.) = бр для некоторой коцепи
Р £ С'-1 (X, L, П}_1 (X)), то отображение f можно так изме-
нить на (i — 1)-мерном остове Х‘~1. не изменяя его на (i — 2)-
мерном остове X'-2 и на всем L, что для нового отображения f
будем иметь а? = 0.

Доказательство. При условиях леммы мы меняем
отображение f на клетке ст-1 на новое отображение f: ст'-* -> X,
так что они совпадают на до1-1; при этом пара отображений /, f
клетки ст1'-1 определяют вместе отображение S‘~l -> X, дающее
элемент —Р (ст‘“‘) в группе л(_! (X). После такого изменения
отображения f мы получим для нового отображения f, что aj =
= af — бр = 0.

Лемма доказана.

В результате лемм 1 и 2 мы получаем

Вывод. Определено «первое препятствие» к продолжению
отображения af £ Н: (К, Ц (X)) при попытке продолжить
отображение f с подкомплекса L U X1-1 на комплекс L U Х‘-
Его равенство нулю достаточно для продолжения (см. лемму 2).
Продолжение, очевидно, возможно, если л<л (X) = 0.

Задача 2. Пусть (X) = 0 при i < q и /: X7 -> X —
отображение ^-мерного остова. Пусть X не имеет клеток раз-
мерностей 0 < р < q — 1 (приведенный комплекс — см. § 4).
Тогда любая клетка оч из комплекса X определяет элемент
Р (о?) £	(X) отображением ст? -> X. Докажите, что препят-

ствие к продолжению этого отображения на остов X74" есть
коцепь а} = бр. В частности, отображение / продолжается на X74"1,
если р — коцикл.

Б. Рассмотрим «препятствие к гомотопии» двух отображе-
ний / и gi К ->Х, которые уже совпадают на остове X7-1. На
остове X7 на любой клетке ст? ед X7 имеем два отображения /, g:
ст? -> X, совпадающие на границе: / |dJ? = g |d017. Совместно f
и g дают отображение сферы S’ -» X. Это «различающий элемент»
а (а9< g) € л? (X). Итак, имеем «различающую коцепь»

« (&, f, g) €	(X).

Задача 3. Покажите, что ба — 0. Покажите, что для слу-
чая а = бр гомотопию между f и g можно изменить на остове X7-1,
не трогая осте® X7-2, после чего будем иметь а = 0. Поэтому
различающая лежит в Я? (X,	(X)).

Задача 4. Пусть имеется пара (X, L), L сХ, и задано
отображение f: L -*Тп в л-мерный тор. Необходимое условие
продолжения отображения f с L на К таково: если у £ лх (М
и вложение 1: L -> К обращает этот элемент в единичный, i* (у) =
= 1, то должно быть и f* (у) = 1 в торе Т'. Докажите, что это
условие достаточно для продолжения. Докажите, что для про-
должения отображения достаточно также аналогичного условия
в гомологиях, т. е. для у £ /Д (Ь). Такая ситуация возникает,
например, в теории узлов (см. [1], ч. II, §26).

Задача 5. Найдите множество л (К, Тп) гомотопических
классов отображений К -* Тп (в частности, для п = 1 в S1).
Более общо: пусть X = К (D, п) — такое пространство («комплекс
Эйленберга—Маклейна»), что л, (X) — 0, i Ф п. и лп (X) = D —
абелева группа. Докажите, что л (/<, X) = Нп (К, D). Для п = 1
проверьте, что Я1 (К, D) и л (X, X) определяются гомоморфиз-
мами Л1 (X) -+D. Этот результат о л (К, X) верен и для неабе-
левых D при п = 1. Примеры:

п=1: D = Z, X(Z, l^S1,

D = Z X x Z, X(D, 1) = ТЛ,

D = ni(.V/|), K(D, 1) = M2g (поверхность рода gsa 1),

D = Zm, KtDAj — S^/Zm (для tn —2 имеем X(Z2, 1) =
=RP°° или RPW, X->oo),

D — F (свободная группа), К(F, 1) = S1 V • •• \/ S1 (бу-
кет окружностей).

Примеров пространств К (D, 1) с разными группами D =
— л2 (X) очень много. Единственным просто строящимся про-
странством К (D, 2) является (см. [1 ], ч. II, § 24) случай п — 2,
D = Z, К (D, 2) = СР00 =

Задача 6. Пусть Кп — комплекс размерности п. Найдите
гомотопические классы отображений Кп -* Sn. Докажите ра-
венство

л (Xя, $я) = Яя(Хя, Z).

В. Совершенно аналогичной является задача о построении
и гомотопии сечений расслоений Е —* В со слоем F, где база В
представлена в виде симплициального или клеточного комплекса.
Опять, для простоты, мы предположим, что база В односвязна
(или, более слабо, П1 (В) не действует на группах ni (Г) перено-
сами) и слой F также односвязен или гомотопически прост.

Пусть задано сечение ф на остове Вч~1 cz В. Над симплек-
сом ач cz Вч имеется прямое произведение p~l (o’) = а» х F.
На границе дач = S?-i имеется сечение <р: дач _> дач х F,
где /?ф = 1. Поэтому определено отображение дач = S?-i -+F,
задающее элемент а (ач, ф) £ n9_x (Г) (препятствующая коцепь).
Задача 7. Докажите, что 6а = 0.

Задача 8. Докажите, что для а — 6(J можно изменить
сечение на остове В9"1, не трогая его на В9”2, что а = 0 Тем
самым Я? (В,	(F)).

Задача 9. Пусть слой есть сфера S9-1 = F. Покажите,
что препятствие [а £ Нч (В, n9_t (F)) есть ’«эйлеров класс» рас-
слоения (см. (1 ], ч. II, § 25), определявшийся с помощью связ-
ности в расслоении при нечетных q — 1 для расслоений с груп-
пой G = SO (q) как элемент из Н<< (В, R).

Задача 10. Рассмотрите препятствие к гомотопности двух
сечений <pi и <ps: В -+Е, где = р<р2 = 1. Пусть сечения сов-
падают на остове В9-1 cz В. Определите препятствие к гомото-
пии и исследуйте его свойства

“ (<Р1> *Ра) €	(В)).

Пример 1. Пусть слой стягиваем, nf (F) = 0 для всех t;
тогда сечение всегда существует, и все сечения'гомотопны. На-
пример:’	Г

a)	F есть множество положительных римановых метрик (в дан-
ной точке) на многообразии Мп. Мы знаем (см. [11, ч. II, § 8),
что сечение — метрика — всегда существует, и два сечения (две
положительных метрики) гомотопны — их можно соединить пу-
тем. Если метрика индефинитна (например, типа (р, q)), то этот
результат неверен? Каковы группы лг (F) для этого случая?
Заметим, что F = GL (п, R)/O (р, q), p'+'q = п.

б)	F есть множество «горизонтальных площадок» в данной
точке расслоения Е -> В или связностей (см. [11, ч. II, §24,
где доказывалось существование связности).

Пример 2. Пусть Е-^В — расслоение с группой G =
= О (п) и слоем R". Рассмотрим ассоциированное расслоение
^-реперов (ортонормированных). Ek-^B, слой Fh=Vn>k (мно-
гообразие Штифеля й-реперов в Rn). В частности, для k — п
имеем Fn — О (л) и для k = 1 имеем = Sn~x. Сведения о
гомотопических группах слоя мы получаем из [1], ч. II, § 24:

л) = о, i<n-k,

( Z, п — k нечетно,
Лп-fe (Уп, h) = I л_£четно>

Препятствующий класс когомологий для построения сечения этих
расслоений имеет вид («первое препятствие»)

aft еНп-к+1(В, пп_к(уп,ъ))

для всех fejs; 0, 1, 2, ..., л — 1.
Определение 1. Класс <хк (mod 2) называется «клас-
сом Штифеля—Уитни» расслоения и обозначается через

1У? = ал-<1+1 (mod 2) € Hq (В, Z2), <? = 1.п.

По определению" полагают Ц70 = 1 и составляют «полином Шти-
феля—Уитни»

F(0 = i+W+...+r/+

где t — формальная переменная. Классами Штифеля—Уитни
гладкого многообразия Мп называют классы его касательного
расслоения.

Задача 11. Докажите, что равенство Wr — 0 необходимо
и достаточно для ориентируемости многообразия М*. Покажите,
что Wn есть эйлерова характеристика (mod 2).

Задача 12. Докажите, что для прямых произведений
многообразий (или для прямых произведений расслоений) мы
имеем	_

W (0 = W- (t) W (О

(произведение в кольце когомологий Н* ( , Z2) и W, W — поли-
номы Штифеля—Уитни сомножителей).

Задача 13. Докажите, что для стандартного одномерного
нетривиального расслоения г] над RPn («листа Мёбиуса» — см. [1 ],
ч. II, § 24) мы имеем

W (0 = 1 + Wjt,	(RP", Z2) = Z2, Wl 0.

Вычислите полином Штифеля—Уитни касательного расслоения т
над RP", используя следующий результат: т © 1=т)©../©я
(см. задачу 1 из [1], ч. II, § 24).

Задача 14. Рассмотрите k векторных полей Лп •••> Лл
на многообразии Л1‘ (в общем положении). Возникает «цикл
особенностей», где эти поля линейно зависимы. Покажите, что
это — цикл (mod 2) в группе Hk_r (Мп, Z2), двойственный по
Пуанкаре классу Штифеля—Уитни

Пример 3. Рассмотрим комплексное расслоение Е-^ В
со слоем С" и группой G — U (п) и ассоциированные расслоения
унитарных ^-реперов (комплексных) в нем Ек-^В, слой F* = V„, к.
Мы знаем гомотопические группы (см. [1], ч. II, § 24):

Л2(л-А)+1 (Ул, ») = Z.

Первое препятствие к построению сечения расслоения Ек-^-В
есть элемент из целочисленных когомологий

с„_*+1 6 Н2п~2к+2 (В, л2„_2А+1 (У£ *)) = Я* (В, Z).
Определение 2. Класс c-j называется «классом Чженя»
(q = 1, ...,) расслоения Е—^В. Если В — М2п— комплексное
многообразие, то классы Чженя касательного расслоения назы-
ваются классами этого многообразия. Вводится «полином Чженя»

с (t) — 1 4- Cit 4- ... 4- cqt4 4- ...,

где t — формальная переменная.

Задача 15. Покажите, что для произведения расслоений
(или многообразий) справедлива формула

с(0 = с (I) c(t),
где с, с — полиномы Чженя сомножителей.

Задача 16. Покажите, что для стандартного t/j-расслое-
ния т] над СРп мы имеем

с (t) — 1 4- с it,
где Ct £ Н2 (СР'\ Z)—базисный элемент.

Найдите полином Чженя касательного расслоения т над СРп,
пользуясь тем, что т©1	(докажите! см. 11],

ч. II, § 24).

Задача 17. Покажите, что для комплексных многообра-
зий М2п класс сп совпадаете эйлеровой характеристикой. Найдите
полиномы Чженя римановых поверхностей.

Задача 18. Покажите, что структурную группу U (п)-
расслоения можно свести к SU (п), если и только если q = 0._

Задача 19. Для комплексно-сопряженного расслоения g
к расслоению g с базой В (см. [1], ч. II, § 24) докажите равен-
ство

С (t, l)=C (-t, g)
или

(5) — c2i (g) >
^И+1© = —C’2i+1 (I).

Задача 20. Докажите, что классы Чженя ^/рассмотренные
в группе H2q (В, R), совпадают с теми, которые определяются
через связности в расслоениях (см. [1], ч. II, § 25). Особенно
просто это для класса cv Тем самым ранее определенные классы
как выражения от тензора кривизны (после нормировки) имеют
всегда целочисленные интегралы по циклам в любом расслоении.

Задача 21. Докажите, что полином Чженя (mod 2) комп-
лексного расслоения g определяет полином Штифеля—Уитни
этого же расслоения как вещественного — или расслоения rg,
где г — операция «овеществления» — см. [1], ч. II, §24.

Пример 4. Рассмотрим вещественное О (п)-расслоение т].
Можно «комплексифицировать» это расслоение (см. [ 1 ], ч. 11, § 24)-.

П -> ci] = g.
Расслоение £ — cq имеет группу G — U (п) и является «само-
сопряженным». Это означает, что расслоения £ и j изоморфны:
£ t (проверьте).

Определение 3. Классы Чжепя (—l)‘c2i комплексного
расслоения £ = cq называются характеристическими классами
(Понтрягина) вещественного расслоения q и обозначаются через
Pl (q) е н» (в, Z).

Из изоморфизма g g мы получаем

C2l(£)=C2i (s) = Pih)>
G;+1 (t) = — c2f+i (s),

и тем самым 2cii+1 = 0. Поэтому классы c2i+1 не рассматриваются
в вещественном случае.

Задача 22. Вычислите классы pt (СР'1 *).

Задача 23. Найдите класс (М^) для неособого много-
образия М4, заданного в СР3 одним уравнением (в конечной
области С3 с: СР3) степени п.

Задача 24. Докажите совпадение классов /?,• с классами,
определенными через связности в расслоениях (см. 11), ч. II,
§ 25).

Задача 25. Докажите, что если ориентируемое многооб-
разие .-И4 является краем ориентируемого многообразия, т. е.

— dW3, то р! (Л44) = 0. Более общо: если Мп = dlP1*1, то
всякий полином размерности п от классов Wq и р3 тривиален
(для неориентируемого случая —только от IF,). Выразите классы
ps (mod 2) через Wq.

§ 10. Гомологий и методы вычисления гомотопических
групп. Теорема Картана — Серра. Когомологические
операции. Векторные расслоения

I. Понятие когомологической операции. Примеры.

Проблема вычисления гомотопических групп многообразий и

конечных комплексов является чрезвычайно трудной. Для неод-
носвязных комплексов, где группа действует на всех эта
проблема является алгоритмически неразрешимой в самом силь-
ном смысле математической логики. Даже для наиболее важного
и простого случая односвязных комплексов (например, сферы)
конкретное вычисление гомотопических групп оказывается очень
трудной нерешенной проблемой. Прямые геометрические методы
позволяют получить отдельные результаты о гомотопических

группах (см. [1 ], ч. II) в некоторых частных случаях. Регуляр-
ные методы вычисления гомотопических групп удается построить
на базе гомологической теории расслоенных пространств вместе
с теорией гомотопий, уже изложенных выше. Мы укажем здесь
способ получения информации о бесконечных частях гомотопи-
ческих групп л, (А') ® Q, где Q—поле рациональных чисел,
для односвязных комплексов, который уже частично обсуждался
в задачах к § 8. Заметим, что вычисление конечной части (круче-
ния) гомотопических групп л, (А), как будет видно ниже, требует
развития несравнимо более сложных методов. В основе всех ал-
гебраических методов вычисления гомотопических групп, кроме
уже изложенной теории гомологий, лежат так называемые «кого-
мологические операция», т. е. отображения 0: Нч (К, L\ G^) ->
-* Нр (К, L\ G3), обладающие такими свойствами:

а)	Отображение 0 определено для всех комплексов К, L и
гомотопически инвариантно;

б)	отображение 0 «естественно» (другие термины — «функ-
ториально» или «ковариантно»): это означает, что оно коммути-
рует с непрерывными отображениями f: (К., L) -+ (К', L')

= f*0.

Пример 1.0 (х) = х'п, где х £ Нч (К, L-, GJ. Здесь р —
= mq. Для G2 = Gj = Zp, где т = р — простое число, мы имеем
0 (х -г у) = х-’ -г у°, 0 (ах) — Х0 (х), так как = л. В этом
случае 0 —это линейное отображение. Для рационального
поля Q = Gi = G2 отображение 0 не является гомоморфизмом.

П ои мер 2. 9 (х) = 6* (х), где х $ Нч (К, L; Z„), б* (х) с
Е Нч* (К, Ц Zr).

Определение гомоморфизма 6* было дано в § 3: если элемент х
представлен целочисленной коцепью х £ Ср (К, L; Z), х =
= х mod р, то б^х — (~6х) modulo р.

Имеется естественное обобщение б2, б3, ..., бй гомоморфизма
бх = 6*: если х £ Кег 6*,*т. е. коцепь (-^-бх) mod р когомо-
логична нулю, то — бх — ру 4- бг. Поэтому определено соот-
ветствие

«/(modp) = 62 (х) = -у (у- бх — 6z) .

Задача 1. Проверьте, что б2 — это корректно определен-
ный гомоморфизм

Нч (К, L; Zp) с Ker 6j—Нч* (К, Ц ZP)/Im 6Ъ
коммутирующий с непрерывными отображениями, т. е. f*62 —
= 62f*. Постройте аналогично; высшие гомоморфизмы г
6ft: П ?Кег;бг->’Д«+1 / U Im6f.

i<k	I i<k

Гомоморфизмы 6ft при £	2 не всюду определены и неоднозначны.

Поэтому их называют «высшими» или «частичными» когомологи-
ческими операциями. Значение гомоморфизмов бл таково: если
нам известна структура Н* (К, L; Zp) и действие операторов 6ft,
то мы можем восстановить целочисленную группу когомологий
Н* (К, L; Z)/rp, где Гр — периодическая часть порядка, взаимно
простого с р.

Задача 2. Ядро всех на Н* (К; ZP) есть результат при-
ведения mod р целочисленной группы Н* (К:, Z).

Задача 3. Если х — Ьку и хф 8qz для q < k, то элемент х
представляет образующий элемент х £ Н* (Л'; Z) порядка рк.

Таким образом, знание операторов 6ft для всех р в когомоло-
гиях Н* (/<; Zp) (или в гомологиях Н* (К; ZP), где они сопря-
жены когомологическим) позволяет восстановить целочисленные
гомологии и когомологии.

Операторы 6ft обладают следующими свойствами:

а)	онн определены на группах Я» для всех q (или на их под-
группах) и являются гомоморфизмами;

б)	они коммутируют с гомоморфизмом 6 точной последова-
тельности пары (проверьте!)

ЯЧЛ, Ц	(К, L- Zp),

66ft = М-

При k= 1 операция 6Х = б* всюду определена и однозначна.

Определение 1. Операции 0, обладающие свойствами а)
и б), называются «стабильными».

Главной причиной, облегчающей вычисления гомотопических
групп я, (Я) ® Q, является отсутствие нетривиальных (не сво-
дящихся к операции возведения в степень) когомологических
операций в рациональных когомологиях Н* ( ; Q) (это будет
доказано ниже). Единственной «стабильной» когомологической
операцией на рациональных (вещественных, комплексных) кого-
мологиях является операция умножения на число (скаляр):

0 (х) = Хх: Нч -* Hq.

Пример оператора 6* показывает, что в когомологиях
Н* ( ; Zp) есть нетривиальные стабильные когомологические
операции. Без доказательства укажем, что в когомологиях
modulo р имеется много нетривиальных стабильных операций
(см. [45]).

Теорема 1 (Стинрод). 1) Пусть р — 2. Для любого числа
i 0 имеется стабильная когомологическая операция 0, обозна-
чаемая через Sq‘, дающая гомоморфизм

Sqi-. Нч (К, L; ZJ -> Нч« (К, L\ Za)

для всех q. Операция Sq‘ обладает свойствами

a)	Sql (х) = 0, если q < t;

б)	Sq* = 1;

в)	Sql (х) = х2, q = i;
г)	Sq‘ (ху) = S Sqi (х) Sqk (у);

д)	Sql (х) = д* х.

2) Пусть р > 2. Для любого I jss 0 определены стабильные
операции Sip

St‘: Я’ (Д', L- Zp) -> Я’"1' ('”!) (Д’, L; Zp)

такие, что

a)	StLp (х) ~ 0, q < 2/;

б)	Sip - 1;

в)	Stp (х) — хр, q = 21;

г)	St‘p (ху) = V Sf'p (х) Sip (у).

Все стабильные операции выражаются через произведения
(суперпозицию) операций Стиирода (это сложная теорема). Между
ними имеются нетривиальные алгебраические соотношения: вся
эта структура, как будет ясно далее, создает сложный процесс
вычисления конечной части гомотопических групп. Заметим, что
простейшей иллюстрацией возможности такого применения яв-
ляется структура двуклеточного комплекса: элемент х £ nh+q (S9)
определяет двуклетсчный комплекс



такой, что

Н< (Дх; Gx) = Gn (Дх; G2) = G,

(образующие соответственно z и to). Для случая <? = и, k 4- q 4-
4-1---2/i такой комплекс обсуждался § 7.

Лемма 1. Если найдется нетривиальная когомологическая
операция 0: Я’ ( ; GJ -* Я’+4+1 ( ; С2) такая, что 9 (?)	0,

то элемент х == 0, где х £	(S’).

Доказательство. Гомотопический тип комплекса К.х
длях = 0 имеет вид букета Дх ~ S’+i+1 V S’. Рассмотрим отоб-
ражение Дх —- S’, тождественное на одном слагаемом S’ и проек-
тирующее второе слагаемое SA+’+1 в одну точку. Так как S’ cz Кх,
мы имеем проекцию Дх —- Кх такую, что

л*=1: Я’->Я’,

л* = 0: Я’+А+1->Я’+4+1.

Так как 9 (л*г) = л*9 (г) по определению когомологической
операции, то мы имеем 0 = 9 (л*?) = 9 (z). Лемма доказана.
Тривиальный пример: q = л, х — это умножение на 2s £ 7,—
= лп (S"); 6 = 6S: Ял (Х-, Z,) -> Н^1 (К; Z2).

II. Комплексы Эйленберга — Маклейна и операции.

.Мы уже вводили «комплексы Эйленберга—.Маклейна» X Р, п)~
= X такие, что

л„ (X) — D, п} (X) = 0, / у= п

(см. §9). Примем как факт, что такие комплексы существуют
(.см. 145]) для всех (D, п) и являются клеточными комплексами
или им гомотопически эквивалентны.

Очевидно следующее:

X (Dj х D.,, ri) = К (Db ri) х X (Т>2, л),

Q (X Р, л)) = X Р , п - 1).

Действительно, используем следующее равенство (см. [1],
ч. II, § 24): я, (Q (.¥)) = яу+1 (X).

Имеет место следующая

Теорема 2. Для любого клеточного комплекса X гомотопи-
ческий класс отображения f: X -* X р , п) полностью опреде-
ляется некоторым элементом группы когомологий х £ Нп (X;D);
верен канонический изоморфизм [Л'; X р, n)J #=« Нп (X\D).

Доказательство, а) Пусть задана коцепь х £ Сп (X;D).
Зададим отображение остова ХЛ’! в одну точку. На остове Хп
отображение зададим так: клетке ап с: Хп поставлен в соответ-
ствие элемент х (ол) £ яп (Д р, n)) = D. Граница дап уже
отображена в точку. Отображаем клетку ап -> X Р, л) в соот-
ветствии с элементом х (ол) из л„ (X р, л)). Продолжим отобра-
жение на остов Х"+1. Это возможно, если и только если 6х = 0
(см. § 9). Далее, предположим по индукции, что на остове Хл+1+‘
уже построено отображение f: Xn+l+iX (Р , п). Так как
я,- (X Р, «)) = 0 при / у=п, препятствие к продолжению отобра-
жения f равно нулю, и мы продолжаем отображения по остовам
на все X.

б) Пусть заданы два отображения f: X —> X, g- X —> X,Достро-
енные по двум когомологичным коциклам х, х, .. —х = 8у;
можно в соответствии с § 9 изменить отображение / на остове раз-
мерности п — 1 так, что х -+ х — ду. После этого будем иметь
х = х. Из равенства нулю всех групп я, (X) при j > п следует,
что отображения гомотопны.

Теорема 2 доказана.

Теорема 3. Множество всех когомологических операций 0:
Нп (М, L,D) -»	(М, L; G) находится в естественном взаимно

однозначном соответствии с элементами группы Не (X; G) =
= Н» (Хр, n)-,G).
Доказательство. Рассмотрим «канонический» эле-
мент и С Нп (К (Р, n)\D), определяемый так: по теореме Гуре-
вича имеем Нп (X. (D, л), Z) = лп —D. Далее, Нп (X', GJ —
= Hom (D, Gj), где Horn (D , GJ — гомоморфизмы абелевой груп-
пы/) bGp Если D = Glt то в множестве Нот (D ,D) имеется
«единичный» элемент и £ Hom (D ,D) —тождественный Гомо-
морфизм. Мы видим из доказательства теоремы 2, что соответ-
ствие Нп (X,D)	[X, X 1 устанавливается так: если задано

отображение /, го

1/1 **/*(«) G (X-D).

Докажем теорему 3. Если задана когомологическая опера-
ция 6, то определен элемент 0 (u) £ Нр (X', G). Имеем соответ-
ствие 9 -> 9 (и).

Пусть задан элемент 9 (//) g Нр (X; G) и любой комплекс X.
Фиксируем элемент х £ Нп (X.\D). Имеем в силу теоремы 2
отображение /: X -> X, где f *u — х. Полагаем 9 (х) = 9 (/*«) =
— f*Q (и). Теорема 3 доказана.

Теорема 4. Для любой конечно порожденной абелевой груп-
пы D кольцо когомологий Н* (X (D , и); <Q) является свободной
косокоммутативной алгеброй, порожденной образующими из ли-
нейного пространства D* = Hom (D , Q) = Нп (Х‘, Q.

Доказательство. Группа/) есть прямая сумма цикли-
ческих групп D = Z х ...XZ X Z.t:, х Zm, X ... Для D — Zm
мы докажем сейчас, что //? (X (D, п); Q) = 0, q > 0. Для X —
= Д(/);1)это установлено в §9, так как

X\D, l)=STO/Zm = L^'(1.1). Х-^оо.

Пусть это уже доказано для р < п.

Рассмотрим расслоение Серра:

Е —Д(/),л), F — X(D,n—\),

Л] (Е) = 0, j > 0. Из спектральной последовательности в кого-
мологиях И* ( ; Q) мы имеем Ef’ ? = 0, если q > 0, Eq' 0 =
— Нч (В-, Q). Поэтому все d2 = 0 при г^2 и Е%>° = Ечг' 0 —
= Нч (Е; Q) = 0. Поэтому Е%0 = Hq (В) = Н" (X (D, п)) = 0.
Для D = Zm и поэтому для /) = Zmj X ... х Zmft имеем

(X (D , п); Q) = 0 для всех q > 0.

Пусть D = Z. Рассмотрим расслоение Серра, предполагая
по индукции, что теорема доказана для всех р < п. Имеем два
случая:

а)	п четно, Н* (X (D, п — 1); Q) = Д

б)	п нечетно, Н* (X (D, п — 1); Q = Q [un_i ].
Из этого и из условия Но (Е; Q) = 0 при q > 0 мы должны из-
влечь, что спектральная последовательность выглядит одним
из двух способов:

d-t = 0, i^2, i =f= tv,
dn (и) = v,
dn (о) = 0.

Здесь существенно используется когомологическое умножение
в спектральной последовательности. После этого нужный резуль-
тат почти очевиден из указанных таблиц, поскольку в обоих слу-
чаях мы имеем Еп+? = 0 для всех р, q.

Так как D = Z х ... х Z х 2^ X ... х Zmft, теорема 4
доказана.

III.	Вычисление гомотопических групп лг ® Q.

Теорема 5 (Картан—Серр). Пусть кольцо когомологий
односвязного (или гомотопически простого) пространства X над
Q до размерности k изоморфно свободной косокоммутативной
алгебре со свободными образующими х} G Hai (X; Q), где ctj < k.
Тогда верны следующие утверждения:

а)	гомоморфизм Гуревича

Н : л, (Х) ®Q->//;(X; Q)

имеет нулевое ядро для всех l<,k— 1.
б)	образ Н (л; (X) ® Q) имеет нулевое скалярное произве-
дение со всеми элементами х £ Н* (Х\ Q, которые нетривиально
разлагаются в произведения х — yz, deg у > О, deg г > 0.

в)	группа л,- (X) ® Q изоморфна (сопряжен^} фактору
Н‘ (X; С)/Г, где Г состоит точно из всех элементов, нетривиально
разложимых в произведение, i < k — 1.

Доказательств о. В силу теоремы 4 наше утверждение
верно для комплексов X (D, п) и тем самым для любых прямых
произведений (здесь k = оо):

х = К (Р\, <Zj) х х (Ог, а2) X X (О.ч, а..) X	(*)

«1 < а2 < аз <•••

Зададим отображение XX, где X построено в виде (*)
для набора свободных абелевых групп/); рангов, равных числу
свободных образующих х} в размерности а,-. Отображение f в силу
теоремы 2 берем таким, что /*: X* (X; Q) -* Н* (X; С) есть изо-
морфизм до размерности k, по условию теоремы. Согласно про-
цедуре, указанной в § 8, превратим отображение f в расслоение /:
X -* X, слой F, где X гомотопически эквивалентно X.

Так как [* — изоморфизм в размерностях меньше k, то из
спектральной последовательности этого расслоения немедленно
следует: Н* (F; Q) — 0 в размерностях, меньших чем k —1.
Для односвязных X можно считать, что группа D2 не свободная
абелева, а совпадает точно с первой нетривиальной гомотопи-
ческой группой комплекса X. Поэтому f* —изоморфизм на
группе л2 (X) -* л2 (X). Поэтому мы будем иметь л2 (X) = 0 из
точной последовательности расслоения (см. [1], ч. II, §22).

Лемма. Если когомологии (F; Q) односвязного простран-
ства F тривиальны при q < k — 1, то л, (X) ® Q = 0 при
i <k —1.

Доказательство леммы. По теореме Гуревича
первая нетривиальная группа ла, (X) конечна. Рассмотрим отоб-
ражение (расслоение) f: F К (ла, (X), 2) со слоем Х3. Так как
И* (X (ла, (X), 2); Q = 0, мы из спектральной последователь-
ности видим Н* (Х3; Q) = Н* (F-, Q. При этом пространство Х3
имеет уже нулевую группу ла, (Х3) = 0, л, (Х3) = 0, / < а,.
По индукции мы сводим лемму к обычной теореме Гуревича.
Лемма доказана.

Доказательство теоремы К а р т а н а—С е р р а.
Из леммы мы получаем, что л; (X) ® Q = 0 для всех i < k — 1.
Теорема об изоморфизме групп nf (X) ® Q л, (X) ® Q сле-
дует теперь из точной последовательности гомотопических групп
расслоения.

Следствие 1. Для любой группы Ли гомотопические группы
Л; (G) ® Q нетривиальны только при нечетных i = 2q — 1 и
точно соответствуют свободным образующим кольца Н* (G; Q) =

Следствие 2. Для сферы Sn имеем *

п = 2k: я„ (S") ® Q = Q, я2п_! (S'1) ® Q = Q, •

ni (S'1) ® Q — о, j=£n, 2/1—1.

п — 2k + 1: пп (Sn) 0 Q — Q,

лу (S") 0 Q = 0, / п.

Доказательство следствия 2 вытекает из следующего факта
(СМ. § 7):

1 QP-n-iJ, n = 2k+l,

Следствие 3. Если X — (п — \)-св.язный комплекс (т. е.
Kj (X) — 0 при j < и), то для всех групп лч (X) для q <2п — 1
мы имеем изоморфизм

Н: л, (X)	(X) 0 Q.

Доказательство сводится к тому, что произведения когомо-
логий могут возникнуть лишь в размерности 2л. Поэтому до раз-
мерности 2п — 1 кольцо Н* (X; Q) для (п — 1)-связного комп-
лекса всегда свободно.

Задача 4. Вычислите гомотопические группы букетов
сфер 3* у 3’, лг (3* V S’) 0 Q.

Во всех случаях вычисление групп лг (X) 0 Q для односвяз-
ных комплексов сводится к вычислению рациональных когомо-
логий Н* (Й (X); Q), так как это кольцо —свободная косоком-
мутативная алгебра в силу § 7.

Следствие 4. Если X имеет гомотопический тип Н-про-
странства до размерности N, то Н* (X; Q) —свободная алгебра
до размерности N — 1 и имеет место изоморфизм

( 2 МХ)®$Г= 2 /Д(Х;С>)/Г,

X14.V-2	/	i^N-2

где Г состоит из всех нетривиально разложимых в произведения
элементов и М* —сопряженное пространство к М.

IV.	Применение к векторным расслоениям. Характеристичес-
кие классы.

Рассмотрим естественное отображение Gk>N X GltM—-
—--'Giu.i'iv+M, порожденное прямой суммой линейных пространств.
Здесь GklN —одно из вещественных, комплексных и кватернион-
ных грассмановых многообразий? Устремляя N -> оо, М. -* оо,
получим отображение

G/,, оо х Gft оо * Gk+it оо
или (см. [i 1, ч. II, § 24)

BGk х BGi~~В (G^.),

где BGn — классифицирующее (универсальное) пространство
группы Gn и Gn —это одна из групп О (п), SO (n), U (n), Sp (/г).
Заметим теперь, что согласно результатам [1], ч. II, § 24 при
вложениях О (п) ст О (п + 1), SO (п) cz SO (п + 1), U (п) с
cz U (п + 1). Sp (я) с: Sp (п + 1) гомотопический тип «стаби-
лизируется»: точно это означает, что для любого комплекса X
размерности <Х имеется изоморфизм гомотопических классов
отображений IX, BG1

[X, G.;, о,) = [X, Ga+i, оо],

где X = k для G — О (/г), SO (п),

N •— 2k для G — U (п), SU (л),

N — 4k для G — Sp (п).

Строго говоря, в [1 ], ч. II, § 24 это доказывалось для [X, GJ.
Так как (G) — ni+1 (BG), то из равенства л, (Gx, G2) = 0 для
вложения (группового) G., сд Gj следует

л,+1 (BG1; BG,) = О

для тех же значений i. Поэтому вложение BGt -> BG2 для ука-
занных пар (Glt G,) стабилизирует гомотопический тип.

Можно ввести «предел» Gx = 0, SO, U, SU, Sp:

0=ПшО(1)сО(2) cz ... czO (N) cz ...,

30 = Jim SO (1) cz SO (2) cz ... cz SO (N) cz...,

U = Jim 0(1) cz U (2) cz ... cz U (N) cz....

SU = Jim SU (1) cz SU (2) cz ... cz SU (N) cz ...,

Sp = lim Sp (1) cz Sp (2) c:... cz Sp (N) cz ...

4V-*oo

Для групп Goo универсальные пространства BG«, уже являются
//-пространствами

GM х Go»—^Goo (прямая сумма),

ВО X ВО—-ВО,

BSO х BSO— -BSO,

BU XBU--+BU,

BSU х BSU~-BSU,

BSp х BSp~~* BSp,
где роль «единицы //-пространства» х0 BG^ играет любая фик-
сированная точка (проверьте!). Можно сказать иначе: ВО (п)
имеет гомотопический тип //-пространства до размерности N = п,
BSO (п) —до N — п, В U (п) п BSU (п) —до размерности # =
— 2п, BSp (и) —до размерности У — 4п. Позднее (см. §25)
будет показано, что BU Q (//), BSp sn Q (Q (Q (SO))), BSO =*
sn Q (Q (Q (Sp))).

Мы знаем кольца //* (G; Q) для G = SO, U, SU, Sp —cm.
§ 7. Тем самым, в силу теоремы Картана— Серра, мы знаем группы
л/ (G) ® Q — см. следствие 1 выше. Тем самым группы
л<+1 (SG) ® Q лг (G) ® Q нам также известны. При. этом
базис сопряженных пространств (л, (BG) ® Q* Д° размерности N
совпадает с мультипликативным базисом кольца Н* (BG; Q)
до размерности N (см. выше), так как BG имеет гомотопический
тип //-пространства в этих размерностях.

Впрочем, кольца Н* (BG-, Q) всегда и во всех размерностях
оказываются свободными косокоммутативными алгебрами, даже
если BG и не является //-пространством. Это вытекает из такой
задачи (теорема Бореля):

Задача 5. Пусть задано расслоение Серра Е —► В, слой
р

F = Q (В), где Е стягиваемо и В односвязно. Если //* (В; Q) —
внешняя алгебра, то //* (В; Q—алгебра многочленов. Для
случая Н* (F; Q) = Д [х ] эта теорема была доказана выше.
Докажите сначала этот факт для Н* (F-, Q = Д х2], затем для
Д U1)ar2, х3] и т. д.

Для групп G имеем:

//* (BS0 (2&); Q) =Q[Pi, .... р^, %], deg pt = 4i,

degx = 2fe, pA = x2;

//* (BSO (2k + 1); Q = Q [px, ..., pft],	deg Pi = 4i;

Я* (BU (k); Q) =Q[c1; .... cft],	degc; = 2i,

H* (BSU (k); Q) = Q[c2, ...,	deg<?i = 2i;

H*(BSp(ky, Q) = Q(Ti....yj, degy; = 4i

При этом из явной конструкции характеристических классов
Чженя ct (и вытекающей из нее явной конструкции всех осталь-
ных классов —см. §9) мы знаем, что классы с(, х, Рь У> цело-
численны, т. е. принадлежат образу Н* (BG\ Z) Н* (BG\ Q).
Следуя гомологическому аналогу обычной техники теории групп
Ли, связанной с картановской (максимальной коммутативной)
подгруппой, рассмотрим также случай максимального тора Тп с: G:
i

TkczSO (2k),

Tk<LsO(2k± 1),

Tk U (k),

Tk-1 cz SU (k).

TkczSp (k).

Для Gn — Tn мы имеем согласно результатам § 7 (выше):

BGn —ВТп— СР°° х-’-хСР" и H*(BTn;Q) —

=<Ж,..., U, 1^№(ВТ“-, Z).

Задача 6. Докажите, что отображение

H*(BG\ Q) — H*(BT"- Q)

не имеет ядра (мономорфизм) и образ Im i* состоит в точности
из многочленов, инвариантных относительно группы Вейля.
Для U (п) группа Вейля состоит из всех перестановок образу-
ющих tt. Для SO (2п) группа Вейля содержит также еще отраже-
ния пар (tit tj)i—*(—(,, —tj). Для SO (2л + 1) группа Вейля
содержит также все отражения tt i—> —tt.	*

Для Sp (и) группа Вейля такая же, как и для SO (2п + 1).
Итак, образ Im i* (Н* (BG; Q)) cz Н* (ВТ?', Q) имеет вид:

a) SO(2k), i*(p9) =	2	Г(Zft) = /,...tk-

б)5О(2й+1),Г(р,)=	2	/?.../?;

в) U(k), i*(Cj)=	£	, ck = y;,

r) Sp (k), i (fi) =	2 tl • - •

Сравните эти формулы с [1 ], ч. II, § 25, где выбирался базис
«полиномов Ньютона»: 2#* =

Задача 7. Выведите формулы связи между классами с,
и ст. Найдите формулы для классов р, (г?) для овеществления
(7-расслоения ? через классы сч (£).

Задача 8. Выведите приведенные факты о когомологиях
И* (BG; Q из спектральных последовательностей, подобрав
нужные расслоения.

Задача 9. Докажите, что для комплекса X размерности
<А( гомотопические классы отображений [X, BG„] — или классы
эквивалентности «стабильных» векторных расслоений со слоем
R”, С", Н" (Н — кватернионы) — образуют абелевы группы,
так как BG — это //-пространство (N = п для О, SO; N = 2п
для U, SU; N = 4га для Sp). Сложение отображений X —► BG
порождается умножением ф в BG (или прямой суммой расслое-
ний — см. выше).

Докажите равенства

IX, BGn] 0 Q ~ Нот (Д* (BGn- Q), Д* (X; Q))

(имеются в виду гомоморфизмы колец) или, что то же самое:
с точностью до элементов конечного порядка в группе [X, BGn 1
векторные расслоения полностью определяются характеристиче-
скими классами.

Прямая сумма расслоений определяется блочным вложением
(аналогично для О, SO, SU, Sp):

U (т) X U (п) cz U (т + п).

При этом максимальные торы прямо перемножаются. Наборы
образующих t\, t'm g Н- (ВТт; CJ для U (т) и И, . . ., t'n С
£ И'2 (ВТп; С) Для U (п) составляют набор образующих tlt ...

^m+n € Д2 (ВТт+п-, Q) для группы U (т + п). Здесь G = t't
для 1 с i < т и tj.Lm = t"j для 1 с j с п.

Разлагая элементарный симметрический полином cf (/х./л+,„)

через с,- (/[, .... t'm) = с] и cq = c4(t\, , . fn), мы получаем фор-
мулы сложения, указанные в § 9 без доказательства:

Ci = CjCq.

Или, для величины с (z) — J^CtZ1, с (г) = Sc)z', с (z) — JlcqZ9,
Со = 1, имеем:

С (г) = с' (z) с" (Z).	(1)

Рассмотрим теперь «характер Чженя» (G = U (п)):

1=1	1=1 'т=0	'

Для суммы £ ф т) мы имеем

ch (g + tj) = ch % + ch tj.	(2)

Задача 10. Выведите формально (2) из (1) и наоборот, не
прибегая к образующим /г в максимальном торе.

Тензорное произведение расслоений £ 0 т] определяется вло-
жением (аналогично для О, SO) -

U (tn) X U (п) -> U (тп).
При этом максимальные торы связаны более сложно: имеется
отображение торов

х 37"-^

ВТтп

такое, что

Ф* (4*) = tj + tk,	(3)

где

tjk е Н2 (ВТ"т-, Q), tj С № (ВТ”; Q),

Q).

Формула (3) немедленно следует из явной формулы для отобра-
жения <р на диагональных матрицах (проверьте!).

Из формулы (3) вытекает

eft (£ 0 щ) = eft £ eft т],	(4)

поскольку

ch £ ch т] = ( £ exp (z/J)) ( g exp(z$) j =

= S exp {z(t’i 4- ЭД = ф* / S exp
i. I	\i. i	/

Для комплексных проективных пространств СР" имеем (см.
задачу в [1 ], ч. II, § 24)

т(СРП) ф 1 = т] ф.. .ф т](л + 1 слагаемое), (5)
где ct (п) = t t Я2 (СР"; Z), т (СРП) — касательное расслоение.
Из формулы (5) вместе с (1) получаем

С (Z) = (1 + zOn+! = 1 + cxz 4--h cnz",

p(z) = (l-z2pr+* = i4-P1z2+...4-pftz«4- ...

Здесь 4=4 = • • • = 4+i = t для расслоения т © 1 и р,- (т) =
= (—l)‘c2i(T ф т); по определению классов р, (у) = (—1)£^(су);
однако для у = имеем су = erg = £ ф | (см. [1], ч. II, § 24).
Так как ct (f) = (—l)£cf (g), мы получаем:

Pi (П) = —Ci (П © tj) = P, Pi (tj) = 0, i > 1.

Отсюда следует

Рг(т) = (—О'сг^тфт),

(1 + S Pi (r) Z2/) = (1 - ^2)»+' = P (CP«).	(

Задача 11. Найдите характер Чженя симметрических сте-
пеней S‘£ и внешних степеней Л££ [/-расслоения £.

Задача 12. Найдите классы и характер Чженя для прямых
произведений СР"1 х • • • х СР"*.
Задача 13. Исследуйте класс ci для многообразий Х*-’,
заданных в СР" одним алгебраическим (неособым) уравнением
степени k. Докажите, что условие ci (X*-1) = 0 равносильно
k = п + 1.

Задача 14. Найдите эйлерову характеристику % (Х*-1)
и число (сТ\ (Х*—*])-

Задача 15. Исследуйте случай k = 4, k — 3. Найдите
гомологии X;.

Задача 16. Докажите, что гиперповерхности, заданные
неособым уравнением в СР", односвязны.

V. Классификация операций Стннрода в малых размерностях.

Мы попытаемся продемонстрировать метод вычисления гомо-
топических групп сфер, опирающийся на факт существования
спектральной последовательности с ее формальными свойствами
(см. теорему Лере), существование и формальные свойства опера-
ций Стннрода Sql и Stp, а также комплексов Эйленберга—Мак-
лейна К (л, п) для л — Z, Zp.i (и тем самым для всех абелевых
групп с конечным числом образующих). Для этой цели необходимо
сначала вычислить все когомологические операции mod р. По-
строим комплекс К — К (л, п) для любой абелевой группы по
следующей схеме:

а) имеется всего одна клетка о0 с К (л, п);

Г [б) нет клеток размерностей i, где 1 < i < п — 1;

в)	клетки а" находятся во взаимно однозначном соответствии
с образующими xs £ л;

г)	клетки Ofc+‘ приклеиваются к уже построенному остову К"
согласно соотношениям на образующие xf группы л,

Х"+‘ = их"»
' *	/ vft

Чь = | Ja KjkXf = 0, 'kjk — целые числа |, у*:	-» X". Для

остова Л?+! мы получаем

Я;(^+') = 0, /<я,

МГ+') = л.

Выберем какой-либо базис образующих элементов a.j £
€ я»+1 (Х"+!) и совершим приклейку клетки (см. § 4)

/U о/4'2') иХ',+1“Хя+2>
\ / /

а/ don+2->/<"+1.
Мы получим остов Кп+2. Из общих теорем клеточной аппрокси-
мации мы имеем, согласно § 4:

лЖ‘1!) = >ч(Л'"+’). /<».

0 =	(«’”) =л„,	«.....).

Итерируя эту конструкцию, мы «убиваем» группы л,+2 (К”+2),
переходя к К”г3, затем убиваем ла+3(КПг'*), переходя к /С'*++,
п т. д. В пределе n + g -> со мы получим бесконечный клеточный
комплекс К (л, п).

Однако само построение К (л, п) для нас пе важно — важно
только, что этот комплекс существует. Мы знаем следующее:

a)	K(Z, 2) = СР“, //’(СР00; Zp) = Zr,[/], teH2(CP”, 2„)для
всех р^2.

б)	K(Zph, l) = S°7Z,ft= Um L^+1 (1, 1......1}. Мы имеем

расслоение (см. § 4)

л2Г’(1. 1,..., 1) v с?л<’	(8)

которое получается нз обобщенного расслоения Хопфа ([1],
ч. И, § 2)

факторизацией сферы s2N+l = Jz0, ..., zN, S|zy|2 ~ Н по группе
Zph: (zo, .... z,v) —> (exp [2л<7рЛ]а0, ..., exp [2ni/pAlzy). Вычис-
ляя когомологии расслоения (8) из спектральной последователь-
ности над Z, мы имеем

Поэтому

РРЦК-, Z)-Zoh,	g=l, 2,3,...

Н2«+‘(К; Z) = o,	g>0.

Над полем Zp мы имеем:

djtt = O, d2o = 0, Е2Р,‘' = £?,‘’ = ££<'-
Мы имеем следующее кольцо:

#*(/<(?₽*> 9» zr)=Al»l®Vl

— свободная алгебра (так как присоединенная алгебра £« сво-
бодна, то и сама Н* (К., Zp) свободна). Из информации о цело-
численных когомологиях мы имеем в Н* (/<; ZJ():

(uvk) = 0, j < h, 84 (□*) = 0 (для всех q),

8hu — v, 8h (uu*) = ул+' .

Кстати, отметим свойство

бл(«и) = (блы)ц±ы(блц),

если оба («), 6,. (и) определены. Это свойство немедленно выте-
кает из определения 6Л через граничный оператор иа целочислен-
ных коцепях.

Задача 17. Используя приведенную информацию, дока-
жите, что Я* (Д'(Z,ph, n), Z?) а 0, если р и q взаимно просты.

В спектральной последовательности любого расслоения с одно-
связной базой (см. § 8) в когомологиях мы имеем

Е^’° = НЧ{В), E°24=H4(F\

Имеем отображения р: Е -»В, it F -> Е,

р*: Н" (В) —► Hq (Е, F) — «проекция»,

Г: Hq (Е) —► HQ (F) — «ограничение».

Можно определить многозначное отображение — трансгрессию

Hq(F) => А"	w«+i

где б: Нч (F) -+	(Е, F) и

Д’ = б-Г (pHq+Y (В) П Im 6)

— область определения многозначного и не всюду определенного
гомоморфизма т. Очевидно, А4 Im i* и при этом] т (Im i*) = 0.
Определение трансгрессии через дифференциалы dr таково:

Aq = П Ker dr =	<= Нч (£),

т = dq+i на группе А”.
Так как операции Sq', St‘r, 6, 6Л все коммутируют с непрерыв-
ными отображениями р*0л= Ор*, а также с гомоморфизмом^/):
Hq (F) -> В’*"1 (В, F) в Zp-когомологиях, мы имеем: все стабиль-
ные операции 5, б/;, Sq‘, Stp коммутируют с трансгрессией т0 =
= 0т. Это означает, что для элементов х £ А9, где трансгрессия
определена («трансгрессивных» элементов), их образы 0х £ Л’+/
также находятся в области определения трансгрессии («транс-
грессивны»), и при этом верно равенство:

От — тО,

0 = 6, бЛ, Sq‘, Sip.

(9)

Вычислим теперь некоторые «стабильные» когомологии ком-
плексов К, (Z, п) и К. (Zph, п).

Случай К. — К, (Z, п), р — 2. Для п = I, 2 ответ известен,
Н* (К (Z, 2); Z2) == Z2 («], deg и = 2. Рассмотрим спектральную
последовательность расслоения Е -+ К. (Z, 3), F = Q (В) = К (Z,
2). В члене В2’ ’ мы имеем В®’9 = Н* (F; Z2). Мы знаем, что эле-
мент « €	{F' Z2) трансгрессивен но тривиальным причинам,

и при этом т (и) = d3 (и) = о t Н3 (В‘, Z2) = Zs. В силу свойств
операций Sq‘ (см. п. I этого параграфа и свойства трансгрессии)
элементы Sq2 (и) = и2, Sq*Sq2 (и) = (и2)2 = и* трансгрессивны,
и при этом

Za),

T(«8) = S<74S<72(v)e//9(B; Z3)	(Ю)

Отсюда немедленно следует, что алгебра Н* (В; Z2) имеет вид
алгебры многочленов от образующих т

И* (В; ZJ = Za [и, Sq-v, Sq*Sq2v,...],
В3 = В = К. (Z, 3),	= 0, Sq3v = и2.

Перейдем теперь к следующим расслоениям:

В -+Вп, F= К (Z, п- I), Вп = К (Z, п).

При переходе от F—E (Z, 3) к В = В4 = К. (Z, 4) мы аналогично
получим старые трансгрессивные элементы в В2 9 = Н9 (F; Z2):

v, Sq2v, ..., Sf'Sq*-1 ... Sq2v,
а также новые, получающиеся из старых возведением в степень
вида 2‘: v2 = Sq'h), о‘ — Sq^Sq^v, ... Итерируя эту процедуру,
мы получим первые когомологии H!l'q (К (Z, n); Z?) для q < п
(указаны образующие)

<7 = 0	1	2	3	4
и	0	Sq-u	Sqau	Sq*u
<7 = 5	6	?	8	9
Sq*u	Sqeu  SqiSq-u	Sq'u  Sq°Sq2u	Stfu  SqsSq2u	Sifu  Sq7Sq2u  SqBSifii

Для К. = К (Z2, п) рассуждение полностью аналогично, но на-
чинается с расслоения

£_^B==7((Z2( 2), F = K(Z2, 1) = RP”.

Здесь трансгрессивны элементы

и g Н1 (F; Z2), Sqhi = б#ц = и2,

Sq'-SqHi = (и2)2,.... Sq2iSq2i~l... Sq-Sq^u. = ((и2)2... )2.

Итерируя рассуждение, получим таблицу «стабильных» групп
Нп+д (К (Zt, п); Za), q < п

4 =	0	1	2	3	4	S	6
	u	Sqhi	Sq2u	Sq*u  StpStfu	Sq*u  Sq3Sq1u	Sq*u  SqiSq1u	Sq°U  SifSqhi  Sq*Sq2u

Замечание. В дальнейших вычислениях мы используем
только группы /Г+<7 (£; Za) при малых q < 7, поэтому доказатель-
ства деталей приведенных утверждений нам не нужны: при малых
q < 7 все эти утверждения проверяются элементарным рассмо-
трением спектральных последовательностей (см. выше).
Укажем также Н”'11 (К (Z2.-;, n); 7-), q < п:

Я = о	1		3	4
и		S</2u	StpH  Sq-&hU	Sq*U  Sq^hU

Мы не приводим полностью аналогичное рассмотрение случая

(для h = 1 имеем — 6*).

Итак, мы видим, что все «стабильные» когомологические опера-
ции 0 в указанных размерностях сводятся к итерациям квадратов
и степеней Sql, Stlp, где

6:	L-,	Ц Zp),

и коммутируют с кограничным гомоморфизмом. Что же касается
стабильных операций вида

0: Н*(К, L;	L; Zp),

0: Нп(К, L;	I; Zp),

то все они сводятся к операциям Stlp, Sql, б, (после приведения
по модулю р) и кроме того — операциям того же вида, приме-
ненным к элементу бйм.

' Стабильная операция 0: Нп (X; Zp) -> На+<’ (X; Zp) имеет,
как говорят, «размерность» q:

deg 0 — q.
Все стабильные операции образуют градуированную «алгебру
Стннрода» АР

лр = л = 1. л",

где /1° — скаляры и Л’ состоит из всех операций степени q.

Из наших результатов (см. таблицы выше) мы получаем базис
алгебр Ар — А в малых размерностях д:

Р = 2  <1 = 0	1	2	3	4	5	6	7
1	Sq1	Sq2	Sq3  ScfSq1	Sq*  Sq’Sq1	S<?5  Sq*Sq*	5/ SqiSq1 Sq*Sq-	Sq2 Sq‘Sq1 Sq-Sq2 Sq*Sq2Sq1

р>2

q = 0	1	2	. ..	2p - 2	2p - 1
1	6*	0	0	4	s4fi.

Обратим внимание на любопытное следствие полученных ре-
зультатов, которое уже весьма существенно для р = 2: базис
операций меньше, чем всевозможные произведения (суперпози-
ции) операций Стннрода SgllSg‘2... Sg'k. Это означает, что между
произведениями операций Sq‘ имеются нетривиальные соотно-
шения. Идея нахождения этих соотношений такова: рассмотрим
произведения RPf X ... X RP" и элемент

X---XRP”; Z2),

Q =А= tt Q Н1 (RP?, Z2) = Z2.

Для элемента t{ имеем Sg*ti — t2, Sqott = tit Sq’ti = 0 при
j=A=O, 1. Отсюда вытекает, что любую операцию вида Sq1*... Sg‘h (u),
можно вычислить, исходя лишь из формальных' свойств
операций Стннрода Sq1 (ху) = S (х) Sgk (у). При этом
окажется, что все базисные операции 0 < Ип~^ (К (Z2, n); Z2)
при q < п нетривиально действуют на элемент и: 0 (и) О,
если 0 =/= 0.

Мы проверим это напрямик для q с 9:

q—l: Sq'tt = ( S

q — 2: Sq2u =	w;

q — 3: Sq3u=( 5	»;

Sq2 Sqlu — ( У t,и — а^..и.

/Пусть Oj — 2j /^.../.. — элементарный симметрический

\	‘i	1	1

многочлен.)

q — 4: Sqiu=( J]	u —J-t:,

Sq3 Sq3u —	;

<	7 = 5: S<t5u=ct5zz, SqiSqlu — а^и;

q = 6t Sq'u = otiu, S(f Sq1u —

Scfu — <J,!W,	(11)

<	7 = 7: Sq’u — а7и, Sq6 Sqlu — o3(jtu-,

Sq5 Sq-u = o5o2w, Sqi Sq2 Sqlu — о4сг2орг,

<	7 = 8: Sqsu = Sq7 Sqlu = cfjOjU,

Sep Sq2u = <7во2н; Sq5 Sq2 Sqlu = а^(>2сг..ч.

Как видно из приведенной таблицы, все базисные операции
0 £ А4 = Ач. при q < 8 линейно независимо действуют на
элемент и:

0 (и) = 0 *- 0 = 0.

Мы видим, что для базиса в алгебре Стинрода А = Аг достаточно
произведений вида

S^...SA	(12)

где ik	i 2ik—2, ‘««т	2ц.

Все произведения вида (12) линейно независимы и дают пол-
ный аддитивный базис в алгебре Л2.

Будем искать соотношения вида

Sq'Sq^ £ Х{а\ i S<f Sqb,
a>2b

где a > 2b, 0 < i < 2/.
Задача 18. Найдите коэффициенты Хд, * для всех q.

Для q с 8 прямым вычислением из таблицы (11) получаем
Ха. ь =	(это верно всегда). Итак, мы имеем таблицу

соотношени й

Sq1 Sql 62 -= 0,

Sq1 Sq- = Sq3,

SqlSq3 = 0, Sq'Sq^^Sq-^1,	(13)

Sq- Sq- = Sq3 Sq1, Sq- Sq1 — Sq3 Sq1,
Sq" Sq3 ~ Sq3 Sq1.

VI. Вычисление первых нетривиальных стабильных гомото-
пических групп сфер.

Рассмотрим отображение S'1 —* Д (Z, п) = Д. Превратим это
отображение в расслоение, не меняя гомотопических типов;
здесь /* —изоморфизм между Нп (S’; 2) и Нп (К (Z, n); Z)-=
= Z. Для слоя F = У7! получим из точной последователь-
ности: л; (Д) = 0, i < п, л( (Д) = Л; (S'1), i п 4- 1. В размер-
ности п -j- q < 2п спектральная последовательность расслоения
сведется к точной последовательности (т — это трансгрессия)

0-^Дп^(Д)^Д'1+’ н(Д; Z„)^0 при <7>0,
так как £ Ер, 4 = Е?'0 + В°2‘т для р + q < 2п и Hn+q(Sn) =
P+q=m

= 0 при q > 0, Нп (Sn) Н" (К).

f*

Итак, имеем:

д>о

Hn+«(F- Zp) Z Нп^+' (К- Zp),

где xSq1 — Sqlx,

тбй = 6ftT, rStp = StpT, H' (F; Zp) = 0, /с n.

Из таблицы групп fin+o (Д'; Zp) следует результат для /7П+? (Д;
Zp):

Р>2					
<? = 0		I		2р - 3	2р - 2
0		0	0	V	6,V
В ы в о д. Для всех р > 2 в группах ля+(7 (F) — лп+ч (Sn)
при 0 < q < 2р — 3 < п пет нетривиальных р-компонент; группа

4^-. (F) - л‘%Р_з (S'1) О,
так как 6*и	0; в размерности 2р — 3 мы имеем

(F; Z) = - л^р-з (Л-

Для р — 2 это рассуждение действует так же, причем S* =
— Sq1 (2р — 3 — 1 для р = 2):

е\=о. р>2.

Получаем когомологии Н* (F; Д4) вместе с действием операций
Стннрода:

Hn’r‘l(F; 7.>) = Я"+’’н1 (Z((Z,, л); Z.,) = Aei.

(J =	I	о	з	4	5	6
	V	Sq'v	Sq-v = 0	Sq^w = — Sq-Sq'-v	Sq2w	J Sq°v

Здесь т (у) = Sq-u, т (а>) = Sq3u. В силу соотношения Sq2Sq2 =
= Sq'Sq1 имеем вместе с условием Sqtu = 0:

Sq2v = 0.	(15)

Так как S^Sq4 = Sq^Sq1 + Sqa, верно соотношение

3^2и» = Scfu.	(16)

Из равенства Sq2Sq3 = Sq5 + SqiSq1 вытекает

Sq'w = Sq2Sq1v.	(17)

Перейдем к следующему шагу. Рассмотрим отображение (рас-
слоение)

Ft=F^K{Zt, л-f-l),

где лп+1 (F) -> лп+1 (К. (Z2, л + 1)) есть изоморфизм. Мы
получаем

(Fi) = 0, / < п + 1,

(Л) = Л; (Fj) = Л; (S'1), / > Л 4- 1.
Спектральную последовательность и трансгрессию т удобно
в стабильном случае изобразить в виде точной последовательности
Я«+»(Г; 22)-^Я"+’(Г2; ZJ-^A^H^+^F-, Z»)-^

H*+o+l (Fa Z2),
причем i* и т оба коммутируют с операциями Стинрода, /Р —
= fjn+y+i (% п _р j). 2,). ЦрИ отображении /* фундамен-
тальный класс и £ Нп+{ (X (Z2, п + 1), Z2) переходит в v,
f* (и) = V.

Поэтому образ f*A состоит из операций Стинрода, примененных
к элементу v

ГА« = A<i(v).

Вместе с таблицей Н* (F; Z2) (см. выше) мы получаем таблицу
гомологий Н* (Fa Z2)

q =	2	3	4	5	6
	X	W  SqTx	3 о «S' II II <3 ч гч el СО СО	Sq-й)  Sq3x 0	(18)  Sifw	v 7  Sq*x

Здесь w = i* (w), и х = т1 (Sq2u), так как мы имели Sifv = 0
и v = /* (и), то /* (Sq2u) = 0. Поэтому Sq2u = т (х), х С
С Нп±2 (Fa Z^. Далее Sq2 (Sq2u) = Sq3Sq1u =/= 0. Поэтому

Г (Sq2Sq2u) = т (Sq2x), Sq2x £ (Fa ZJ.

Соотношение Sq'w = 0 возникло в таблице (18) вследствие соот-
ношения Sq1® = Sq2Sqiv в таблице (14), так как Sq2Sqlv =
= f* (Sq-Sfa). ;

Пусть а = Sq2Sqlv = Sq'w = ^w, b — Sq2x — t"1 (Sq2Sq2u)=
— x~1Sql (Sq2Sq1u). Имеет место следующее общее утверждение:

Лемма 2. Если а = f* (а) — bhw и b =	(а), то эле-

менты b, w = i*w в Н* (Fa Z2) таковы, что b — bMw.

Доказательство леммы следует из элементарных свойств по-
граничного гомоморфизма в комплексе цепей С* (Е; Z). Мы остав-
ляем детали читателю.

Опираясь на лемму 2, мы получаем: Sq1 = б* = 6Ь а =
— Sq'w, b = Sq2x, Sq2x — Поэтому, в частности, имеем
S(fx —	= 0.

. Вывод. Так как Sqxx — б2х =/= 0, получаем результат
(яп+г (Pi) ~ Нп+г (Ft\ Z)):

л,+2 (Sn) =	(5я) = л^2 (F2) = Z2.

5 Б. А. Дубровин и др.
Перейдем теперь к третьему шагу. Рассмотрим отображение
(расслоение)

F2	К (Z2, п 4~ ->). слой Д-

Отображение [+{лп+, (р.> есть изоморфизм. Для F3 из точной
последовательности гомотопических групп вытекает:

я; if -з) = 0,	/ с п 4- 2,

л, (^з) = лнГ2) = л7- (S':), / п Д 3.

В стабильном случае q < п спектральная последовательность
опять сведется к точной

/Г+’(Л; 7^--Hn'q(F3, Z>)	Z.4-\

где А’-' = (К (Z2, п 4- 2); Z2).

По определению х — f* (и), где и — фундаментальный класс
в когомологиях Нп^2 (К (Z2, п 4- 2); Z2). Следовательно, полу-
чаем

/• (А«-‘) =/Ь’-1 (х).

Для когомологий Нп^я (Д; Z2) получим таблицу

я —	2	3	4	5
	0	W	6зШ	Sq-w

Здесь w = i*w и б3к) = т’1б2а/ согласно лемме 2 (см. выше).

Вывод. Группа

л^з (S'1) = л^3 (Fз) = Я<21з (Fз; Z) - Z8,

так как 6sa>#=0. Так как л^з (S“) = Z3, Лл+з(5л) = 0 при
р > 3, окончательно получаем

Теорема 6. Стабильные гомотопические группы nn+tr (S’1)
при q < п — 1 имеют следующие значения (для q 2 см. также
[1], ч. II, § 23):

лп(5!*) = 2, лп+1 (S") = Z2, л„+2 (S'1) — 4, лп+3 (S'1) = Zar

Задача 19. Вычислите группы лп+? (S'1) для q с 9. При
q 10 возникают более серьезные затруднения. Преодоление
этих затруднений возможно. Это позволяет весьма трудоемко
вычислить все группы лп+? (S'1) для q с 30 (примерно). Однако
общий ответ для всех q вряд ли возможен в хорошем виде, хотя
в настоящее время в литературе можно найти много качественных
сведений о высших гомотопических группах.
VII. Стабильные гомотопические классы отображений кле-
точных комплексов.

Нередко возникает такая ситуация: задан (/г — 1)-связный
клеточный комплекс К. Пусть комплекс X не имеет клеток раз-
мерностей 1 < i с п — 1; говорят, что требуется вычислить
стабильные гомотопические классы отображений комплекса X
в X, если dim X < 2/г—1.	|

Другой вопрос: исследовать препятствие а (/) к продолжению
отображения /: Х"^ -> X ^на (n + q + 1)-мерный остов при
q < п — 2. Мы уже видели, что для расслоенийЕ-ХВ, где слой F
и база В (п — 1)-связны, спектральная последовательность в го-
мологиях до размерности 2п — 2 сводится к точной

ЕР (Е) — IP <Е) - ы- (В) II* (Е).

Мы видим, что сложность теории гомологий косого произведения
в «стабильных» размерностях такая же, как и для групп гомото-
пий. Можно сказать, что в размерностях k < 2п — 2 теория гомо-
логий расслоения Е —* В такая же, как и пары (Е, F), причем
В ~ Е/F, так как нетривиальные клетки в Е, не лежащие в В
или F, впервые могут появиться в размерности 2п (произведение
клеток базы и слоя). Итак, в стабильных размерностях все упро-
щается.

Лем м а 3. Стабильные гомотопические классы отображений
образуют абелеву группу [X, /С1.

Доказательство. Рассмотрим два отображения /, g

f:	X X, g- X К,

и их прямое произведение

f х g: X X х X,

где [f X g-] (х) = (f (х), g (х)).

Комплекс X X X (п — 1)-связен; он не имеет клеток размер-
ностей 1 < i < п — 1 и образ (/ X g) (X) лежит при клеточном
отображении в остове размерности k < dim X. При k < 2п — 2
образ (/ X g) (X) попадает в букет X V X cz X X X, так как
«лишние» клетки в X X X, не лежащие в X V X, появляются
в размерности 2п. Это же относится к образу в X X X любой
гомотопии отображений: она лежит в X V X- Имеется очевидное
отображение «складки»

х: X V К X,

тождественное на каждом слагаемом.

Определим сумму гомотопических классов

f, g € [X, К], f + g = n(f xg),
считая / и g клеточными и dim X < 2л — 2. Групповые свойства
и абелевость этой операции очевидны (проверьте).

Л ем ма 4. Пусть,задано стабильное отображение f: Х'Н _>
-> К и препятствие к продолжению отображения а ([) £
£	(Xft-H+!, л„х,. (/<)) (см. §9) на остов Х“+«+1.

Тогда препятствие а (/) аддитивно зависит от элемента f £
С IX, XI и а (X/) = Ха(/).

Доказательство. Препятствие а (/) имеет значение на
определяемое отображением

При сложении отображений f + g -= х (/ ,< g) гомотопические
классы отображений	-> X, порожденные / и g, также

складываются, по определению сложения в группах л} (здесь,
в стабильной ситуации, заботиться о начальной точке и дейст-
вии П1 не нужно).

2п -1

Мы уже построили отображение /: X -* П X (Dj. nJ, по-

рождающее изоморфизм Q-когомологий и групп гомотопий
Л/(X) ® Q до размерности 2л — 2 — см. выше, п. III. Здесь
группы Dj свободные абелевы.

Построим «обратное» отображение остова

,2п—I	 2л—2

g:	I П К (Dy. njj ->Х.
rljin	'

так что f*g* = X Ф 0 в Q-когомологиях и гомотопиях л; ® Q
при / < 2л — 2, т. е. (х) = kx, gj* (у) = ку. Будем строить
такое «обратное» отображение g индукцией по остову. Сделаем
индуктивную гипотезу, что возникающее препятствие к продол-
жению уже построенного отображения g^ с (л + ^-мерного
остова на (л + q + 1)-мерный остов является классом когомоло-
гий конечного порядка р,. После этого, пользуясь леммами 3 и 4,
переходим к отображению р.-£п+9 и, изменив его на (л 4- q)-
мерном остове, придем к нулевому препятствию (см. § 9.) Про-
должая отображение класса (р£п+9) на остов размерности л 4-
j- q + 1, получим отображение gn+4+i и т. д. В конечном счете
мы придем к отображению g. Докажем конечность порядка класса
когомологий препятствия а на остове п + q для отображения gп+г
Остов/ П K(Dj, njV"-2 гомотопически эквивалентен остову

\ni>n	)

букета V (X (Dj, Л;))2"-2. Каждый комплекс (X (Dy.nJ)2"-1
Пу> п

имеет элементы бесконечного порядка только в когомологиях
первой нетривиальной размерности л, согласно результатам
п. V о рациональных когомологиях комплексов типа X (л, л).
При построении обратного отображения gn¥q мы строим все
отдельно на каждом слагаемом букете \/ (К (Djt . По-
/

этому мы встретим лишь препятствие конечного порядка.
Отсюда следует такое утверждение.

Теорема 7. Для любого комплекса X стабильные гомото-
пические классы отображений X в (п — \)-связный комплекс
К (dim X < 2п — 2) образуют абелеву группу [X, /<], для кото-
рой имеет место равенство

	[X, К] ® Нош (/7*(Х;	/Г(Х, О).

Это означает следующее: с точностью до элементов конечного
порядка гомотопический класс определяется гомоморфизмом
Q-когомологий; при этом любой чисто алгебраический гомомор-
физм а*: И* (Д'; Z) -> И* (X; Z) или а*. Н* (X; Z) -+Н* (К; Z)
можно умножить на ненулевое число X 0, а*—>Ха*, a*f—>Ха*,
так что гомоморфизм Ха* (или Ха*) реализуется непрерывным ото-
бражением f: X -> К.

§ 11. Гомологии и фундаментальная группа

Пусть имеется неодносвязный комплекс (клеточный или даже
симплициальный) К с фундаментальной группой D =	(К).

Рассмотрим универсальное накрытие

К-^К,

где группа D свободно и дискретно действует на X, переводя
симплексы (клетки) друг в друга. Каждой клетке в Д’ соответ-
ствует набор клеток

(оу) = <Иу U О2У U • • • '

в числе, равном числу элементов из D =	(X). Группа D, дей-

ствуя на р-1 (оу), определяет перестановку клеток а‘а7. Выберем
в прообразе р~' одну клетку и обозначим ее через Оу.

Все клетки из К получатся в виде

огау = й'(сгу)> g^D=ni(K),

причем все клетки g'(oy) различны. Любая цепь в К имеет вид
a=SW/(4 a€Cz(X),	(1)

/. v

где XJV — целые числа.

Граничный оператор д в Д коммутирует с действием группы D
на клетки и умножением на числа Х7; естественно ввести «группо-
вое кольцо» Г — Z \D ], элементами которого являются конечные
суммы	— числа, gj С D и умножение имеет вид

S (S = S kKgigk-

Из вида цепей (1) в комплексе К видно, что это — цепи с коэф-
фициентами в кольце Г (возможно, некоммутативном, если
группа D некоммутативна).

Гомоморфизм р: Г ->Г' в любое кольцо Г' позволяет рассмо-
треть комплекс цепей с коэффициентами в Г' для К: ''

р(<?) — Е Р S ^/7> giv'j °*7’

есть цепь с коэффициентами в Г'. Далее, разрешается умножать
цепи р (а) на любые элементы из Г'; это умножение коммутирует
с д. Гомологии этого комплекса называются гомологиями с коэф-
фициентами в представлении р: Г ->Г', Г = Z Ьи (К) 1 и обо-
значаются через Н” (К).

Пример 1. Если Г' = Г и р = 1, то мы имеем, по опреде-
лению,

#?(#) = //, (К).

Пример 2. Если Z = Г' и р: Г -> Z имеет вид
р (Е^) = Е^-.
то мы имеем

я?(Ю=н»-(Ю.

Проверьте это равенство.

Пример 3. Если К — иеориентируемое многообразие,
К = Мп, то имеется понятие «ориентации пути», т. е. гомо-
морфизм ai(K)-^Z«= |±1| (см. (11, ч. П, § 17); возникает
гомоморфизм

р: Г->2,
где

p(SW*) = ЕМ>Ш

Гомологии Н? (К) называются «гомологиями с локальными коэф-
фициентами». Когомологий Нр (К) определяются очевидным обра-
зом через сопряженный комплекс.

Задача 1. Докажите, что для замкнутого многообразия Мп
имеем Нп(Мп) = Z.

Пусть имеется расслоение Е В со слоем F и (В) = D
действует по группе Hq (F) переносами g: Hq (F) -> Hq (F),
g € D. Тем самым мы вводим действие кольца Г = ZLD1 на
Hq (F) — Mq. Более общо: пусть элементы кольца Г действуют
как операторы в линейном пространстве М (или задано представ-
ление р кольца Г в виде линейных преобразований А1 * М).
Определим гомологии Я? (В, М). Пусть В = К и задан комплекс
Г-цепей К (см. выше). Формально определяются цепи со шаче-
нием в М‘.

i

и действие кольца Г на этих цепях

g(a) =

где g (m) определено в силу представления р. Это действие ком-
мутирует с границей д, которая определяется естественно

Возникают гомологии, обозначаемые через Нр (В, Л/), где Г
действует па М представлением р (или, как говорят, .И есть Г-
модуль). Когомологии Нр (В, М) определяются, как всегда через
сопряженный комплекс копепей.

Для расслоений В—*В со слоем F группы Hj (В) есть Г-мо-
дули в силу действия лх (В) на слое параллельными nepeiiiилмп.
Имеем гомологии Нр (В, Н{ (В)).

Замечание. В теореме Лере (см. § 8) для неодносвязной
базы В^’у Hq (В, Hj (В)). Следует изменить это на =
= Hq (В, Hj (В)). Представление р измеряет спсрекаипч аиие»
оператора dx. Все остальное остается верным.

Пример. Для накрытия Е —* В со слоем из k точек В —
= Pi U ••• U Ph. имеем

Я?(В) = 0,	<7=0=0.

Но (F) = М имеет ранг k.

Группа лх (В) действует на слое В и на группах М = Н0(Е) •
Задача 2. Докажите равенства

Нр (В, Но (В)) = Hq (В), Н< (В, Н° (В)) = Нч (В).

Задача 3. Вычислите группы Hq (В, М) и Н° (В< ^),
где р — любое представление Г в автоморфизмы линейного >Ф°*
странства.

Задача 4. Вычислите гомологии линзового пространства
(см. § 4) L„~l (<7i....<7n-i)	для представления р: яцт.) =

= Zm -* (корни m-й степени из единицы, действующие на С в /VI).

Постройте такие линейные представления

р: Zm-+GL(k, С),
что

....<7«-i)) = 0

для всех q = 0, 1, 2, ... Сделайте это первоначально для tl =2
(трехмерные линзы).
Задача 5. Найдите явно клеточное разбиение сферы
инвариантное относительно действия группы Zm, где базисное
преобразование Т действует так:

т / 2Л1	2:x‘Qn-l \

(гх...—r\em zlt е m z2,..., е ™ гп)

(I zi I2 ~г • • • -j-1 zn 1)

(cm. § 4). Для n = 2 это клеточное разбиение имеет клетки

Т;'оа, T‘<r, Tia2, T‘g:'",	j-=Q, 1.. in	— 1,

и граничный оператор

do0 = 0, do1 = (1 — Т) о0,

до2 = (1 + Т + . •  4- 7^~') о1, do3 = (1 —	g2.

Используя такие линейные представления группы л1( что все
Н% (Мп, Сп) = 0, построим интересный топологический инва-
риант — «кручение Райдемайстера»: рассмотрим комплекс цепей
представления р. Группы цепей—это комплексные линейные
пространства с отмеченными базисами (клетками о?,). В силу
условия //., — 0, q 0 имеем точную последовательность цепей

о—* с,?Сп-!СуО,

где в каждом С/ есть отмеченный базис = 1<4Ь Произвол
в выборе Оу таков: о\. -> +g (о(), g € ль Произведем такую
процедуру: выберем в C%-t другой базис; первая часть его —
это базис в группе дС„, полученный из о". Вторая часть выби-
рается произвольно в пространстве С!]_|/1т д.

Обозначим новый базис в C„_i через ёп~'. Имеется детерминант
перехода det (ei, ё1') от одного базиса к другому. Базис ё'во вто-
рой части Cn-2/Ini д переходит в Сп-2 с помощью д; там этот ба-
зис дополняется до полного базиса в Сп-2 выбором базиса
в Сп-гДт д. Возникает базис ёп~~ в Сп-2- Имеем детерминант
перехода det (еп~2, ё') от старого базиса в С£_2 к новому («ста-
рый» базис в С% фиксирован клетками!). Далее, переходим к Сп-з
и т. д. Получаем базисы ёк во всех С? и набор чисел det (ек, ёк).

Рассмотрим число

7? (С, р) = det ё'г~!) det (еп~2, ёп~2)'~1. ..

... det (е'!-\	... det (г°,

Это число называется «кручением Райдемайстера» 7?. Произвол
в выборе базисных клеток и их ориентаций ведет к изменению
R -+XR, где X = ±det р (лг).
Оказывается, это число (с точностью до умножений R ->XR,
X = + det р (Л])) не зависит от триангуляции и является то-
пологическим (кусочно-линейным) инвариантом комплекса и инва-
риантом диффеоморфизма многообразия. Мы этого не доказываем
(см. [63]).

Задача 6. Вычислите кручение R для трехмерных лииз

Lp (q), где q — вычет (mod р), если р: Zp у 1 , М = С с дей-
т	Р'Т~

ствием Zp в виде умножения на j 1 .

Кольцо когомологий линзы Lp (7) при нечетном р и любом q
имеет две образующие и £ Н1, v у Н~:

H^L, Zp)-Zp,

T?1(L, Zp) = Zp(n).

Я- {L, Zp) ~ Zp (v — 6*» uiod p),

H3(L, Zp)==Zp(w)

(±да приведенная mod p образующая группы № (Л, Z) = Z).
Задача 7. Докажите, что произведение в Н* (L, ZP) имеет
вид:

ми = qw.	(2)

Напомним, что линза L = L3P (q) строилась так: L = S3/Zp,
где образующая g £ Zp действует на сфере S3 так (см. § 4):

(~Т> г.2)-Де р <>, е р qzJ, Ы2 + 1 W=l-

Так как 8*и = v и ю определен однозначно с точностью до знака,
то произвол в выборе числа q возникает из-за преобразований
и -*\и, w -* ±w (X взаимно просто с р). При этом из (2) полу-
чим:

м->Хм, v ->Хи, w-++w,
uv -> ±Х27®.

Вывод. Поскольку кольцо когомологий и операторы 6*,
d,f гомотопически инвариантны, вычеты q и q = ±Х27 эквивалентны
если рассматривать гомотопические инварианты линз. Например:

а)	р = 3, q = 1 или q = 2. Вычеты вида ±Х2 — это 1 и 2
в Zp (X Ф 0).

б)	р = 5, q = 1, 2, 3, 4, X2 = (1, 4, 9з4, 42 = 16 = 1).
Вычеты вида ±Х2: (1,*4) в Z6.

Поэтому L? (1) и L3 (2) гомотопически не эквивалентны.

в)	р — 7, q = 1, 2, 3, 4, 5, 6,

X2 = 1, 4, 2, 2, 4, 1,

—X2 = 6, 3, 5, 5, 3, 6.
Здесь гомотопический инвэршгиг (~?Л/) ничего не дает, так
как (±V) — это все вычеты (mod 7), не равные нулю.

Задача 8. Выясните, какие из линз для р — 7 топологи-
чески различны, используя кручение R. (Интересно, что здесь
впервые появляются топологически различные замкнутые гомо-
топически эквивалентные многообразия. Для одпосвязных много-
образий этот вопрос сложнее.)

Гомологии и когомологии с коэффициентами в представлении
р для Г = Z 1 появляются также в задачах о продолжении
отображений с подкомплекса L -> А' па комплекс ко L, если
лг (X) действует на ля (X) и при продолжении сечений расслое-
ний, — см. § 9, где эти задачи рассматривались в одпосвязном
случае.

Рассмотрим в виде интересного примера вопрос о построении
на n-мерном (например, на 4-мерном многообразии ;И4) метрики
сигнатуры (-г--------). Так как гомотопически внутренность

светового конуса в пространстве Минковского Р1>3 стягивается
к одномерной временной оси канонической деформацией, то мно-
жество возможных световых конусов (т. е. форм gah типа (->--

—)) в к1 гомотопически эквивалентно множеству направлений
Р.Р3 (для R” имеем RP*»-1). Поэтому наша задача эквивалентна
задаче о построении поля одномерных направлений на /И4, т. е.
сечения касательного расслоения

Е—	-ЛГ, слой F = ₽.Р3.

Так как особенности типичного векторного поля сосредоточены
в изолированных точках (т. е. для векторных полей препятствие
возникает лишь при продолжении поля на 4-мерный остов с 3-мер-
ного), то это же верно и для полей направлений. Мы имеем пре-
пятствующую коцепь а (см. § 9), а £ С4 (/И4, л3 (F)) — С4 (Л!4,
Z), так как л3 (RP3) = л3 (S3) = Z. Однако эту коцепь правильно
рассматривать как класс когомологий из группы Яр (Л44, л3 (Г)),
где лх (/И4) действует на л3 (F).

Задача 9. Покажите, что если а ~ 0 в группе Яр (Ai4,
л3 (F)), то можно изменить сечение (поле направлений) на 3-остове
базы так, что а ~ 0 и сечение можно построить на всем Л44.

Далее имеем два случая.

1)	Многообразие Л44 ориентируемо и компактно. Здесь дей-
ствие лг (Л!4) на л3 (RP3) = Z тривиально, Яр (Л!4, Z) = Z.

Задача 10. Докажите, что а = % (М4) — эйлерова харак-
теристика (как и для векторных полей).

2)	Многообразие Л44 неориентируемо. Здесь мы имеем а С
£ Яр (Л44, Z) = Z, где р — нетривиальное представление лх (Al4)
на л3 (F) = Z.

Задача 11. Докажите, что и в этом случае а — х (Af4).
Итак, в обоих случаях построение поля направлений (метрики
сигнатуры +----------) равносильно условию х (А!4) = 0.
Для незамкнутых многообразий интересно построить на А44
метрику gab, которая вне компактного множества близка к ме-
трике Минковского. Тем самым открытое многообразие Л14 (то-
пологически) допускает компактификацию одной точкой оо до
многообразия Al4 zd Л44. В самой точке оо £ /И4, в силу свойств
метрики Минковского, имеем особую точку степени 2 искомого
поля направлений (докажите!). Можно ли построить на Mi поле
направлений, имеющее только одну особую точку степени 2?

Задача сводится к предыдущей, но требуется % (А14) = 2 пли

Х(АР) = 1.	'	.	'	’

Задача 12. Докажите,
что гомотопические классы
полей направлений (или
метрик типа (n, 1)) на много-
образии Mn+l определяются
гомоморфизмами .ij (Л1п+:)->
-> Za — (±1) (замкнутые

о	1	г г

Рис. 45. Действие: х ,—> х + 1.

пути, обнос вдоль которых

меняет направление стрелок, дают—1), а также еще одним клас-

сом когомологий



Пример. Пусть из R3 удалены прямая и точка. Остав-
шаяся область Дел R3 имеет гомотопический тип S2 V S1 (букет).
Пусть задано поле направлений в области U

U-- RP2.

Гомотопический класс [/] определяется гомоморфизмом: (Д) —
= Z —- Z2 —	(R/32) и еще классом когомологий (±у)

±Y € Я2 (Д, п2 (RP2)) = Щ, (S2 V S1, Z) = Z,

где jtj. (Д) = Zдействует на л.2 (RP2) в силу того, что Д, (n+fU)) cz
cz (RP2). В данном случае происходит обращение ориентации
(действие р нетривиально). Накрытие К над К = S2 V S1 имеет
вид, показанный на рис. 45. Все 2-коцепи—коциклы, некогомоло-
гичные нулю. С2 (X) — Нр (К) = Z (проверьте).

Рассмотрим в качестве полезного примера задачу о гомото-
пических классах отображений тора У2 в проективную пло-
скость RP2:

72_L^RP2.

Простейшим гомотопическим инвариантом отображения f является
индуцированный гомоморфизм фундаментальных групп

n1(T2)=Z + Z^n1(RP2)=Za.
Если гомоморфизм тривиален, то отображение f на одномерном
остове может быть стянуто в точку. Гомотопические классы таких
отображений (где (nJ = 0) сводятся к гомотопическим классам
отображений сферы S2 в RP2 и определяются однозначно степенью
отображения (проверьте!). Более интересен тот случай, когда
гомоморфизм нетривиален. Без ограничения общности можно
считать, что Д, («) = 1, Д, (Ь) = 0, где а и b — параллель и ме-
ридиан тора. Рассмотрим два отображения fug: Т2 -* R/32 такие,
что f* ~ g*. Считая тор разбитым в стандартное клеточное раз-
биение

I:	!	1,2

о , о, •-= a, — о ,

мы, исходя из условия f* = gr, приводим гомотопией отображе-
ния f и g к тому, что они совпадают на одномерном остове. Пара
отображений f и g на клетке о2, совпадающих на границе <Эо2,
определяет «различающий элемент» из группы л2 (RP2) = Z,
обозначаемый через а — а (о2, f, g) £ 2 = л2 (RP2), который
представляет собой элемент группы когомологий

Н* (Т*- л., (RP2))-

(3)

Здесь р = Д, = g,.

Задача 13. Докажите, что группа (3) равна Д2, если р
нетривиален.

Таким образом, мы имеем не более двух различных гомото-
пических классов отображений f: Т2 -* RP2 при фиксированном
гомоморфизме Д, фундаментальных групп.

§ 12. Когомологии гиперэллиптических римановых
поверхностей. Торы Яксби. Геодезические па многоосных
эллипсоидах. Связь с коиечнозонными потенциалами

Гиперэллиптическая риманова поверхность рода g задается
уравнением

w'2 — Ptg+t (?) = 0 или w- — P.2g+, (г) = О,

где Р.2«+1 (z), P2g+., (z) — многочлены без кратных корней (см. [1 ],
ч. П, § 4).

На любой римановой поверхности R определены голоморфные
дифференциалы <о (дифференциалы первого рода), имеющие в ло-
кальных координатах z = и + iv вид

со = f (z) dz,

где f (z) — комплексно-аналитическая функция от г. Возможный
вид f (z) мы выясним ниже.
В важном примере гиперэллпптических римановых поверх-
ностей Rg рода g > 0 голоморфные дифференциалы имеют вид:
/л	*-1

сп*	-— dz --	dz, k = 1, 2.....g, (1)

2«-4

где поверхность задана многочленом P-ig+i (z) = П (z — z,)
4=1

степени 2g 4- 1 •

Проверим голоморфность этих дифференциалов. Вне точек
z = г,- (нулей многочлена P2g+1) и z = <» голоморфность оче-
видна. В окрестности точки z = z,- за локальный параметр можно
принять £ — у z —zh Тогда z = %2 4* z;, dz — 2£ d£, и выра-
жения (1) принимают вид

поэтому дифференциалы со* при z — zt также голоморфны. В бес-
конечно удаленной точке z — оо локальным параметром служит
_	1	I	2сс

£ =	2 = — az = —-ту, откуда

V z	О	4»

—

(3)

и со* также голоморфны при k < g.

Любой голоморфный дифференциал со является локально точ-
ным: со = f (z) dz = df (z), где f (z) —первообразная функции
f (z) — также комплексно-аналитическая функция. Поэтому 1-
форма со на поверхности R является замкнутой: dco — 0. Ненуле-
вая форма со никогда не является точной, поскольку rta компакт-
ной поверхности R нет нетривиальных голоморфных функций
(см. [ 1 ], ч. II, § 4). Аналогично, форма со = f (z) dz также зам-
кнута и не является точной.

Формы соп ..., со* для гиперэллиптической поверхности
Rg линейно независимы (над комплексными числами). Поэтому
формы Re со,, = (со* 4- <ч*), Im оз* = (со* — со*) обра-
зуют базис в группе когомологий Н1 (Rg\ R) = R 4- • • • 4- R
(2g слагаемых).

Замечание. Группа когомологий Н1 (R', R) любой ри-
мановой поверхности R определяется через голоморфные диф-
ференциалы. 14х существование является трудной теоремой (см.
[19]).

Задача 1. Докажите, что любые g 4- 1 голоморфных диф-
ференциалов па римановой поверхности рода g линейно зависимы.
Выберем базис циклов я;, Ё>(, i 1, g, в гомологиях
Яг (Rg, Z) такой, чтобы их попарные индексы пересечений имели
вид (см. 11], ч. II, § Ь):

aioaj = blobj = 0, а^Ь^Ьц, i,j=l,...,g.	(4)

Разрезав поверхность Rg по этим циклам, мы превратим ее в 4g-
угольннк Rg (см. § 3).

Определены периоды любого замкнутого дифференциала по
циклам ait bp.

Jio^B,-, i=l,...,g,

\ V;	ь';

\У	®

\j Пусть co' —другой замкнутый дифферен-
та. циал, Ai, Bi —его А- и В-иерноды.

/ ‘ Лемма 1. Справедливо соотношение:

М	j о)Ло/= 4(Д^_ад).	(6)

Я,	<-|

Доказательство. В ^-угольнике R3 замкнутая
форма со является точной: со = df. Поэтому со Д° со' = d (/со'),
и в силу формулы Стокса

J со Д со' = J /со.

Пусть Q и Q' —точки на ребрах at и aj1 4^-угольника Rg, пере-
ходящие в одну на поверхности Rg. Тогда QQ' — это цикл на
поверхности Rg, гомологичный циклу bf (см. рис. 46), поэтому
имеем:

J со = /((?')-/((?) = ]со = В;-.

QQ'	Ь;

Аналогично, для точек R, R', склеивающихся на берегах Ьр ЬЦ\
получим:

/т -ш) = -Ар

Отсюда вытекает равенство

I =

= J	/со' + J /со'	- j	(/ 4- В;) со'	- J	(/ - Аг) о/ = АгВ • - вл;-,

ai	bi	ai	bt

что и доказывает лемму.
Теорема 1. Для периодов (До Д) и (Д,-, Д) голоморфных
дифференциалов со, со' выполняются следующие соотношения
(билинейные соотношения Римана)-.

g

£ (Д^-влд;е) = о,	(7)

ktz I

1 я _	„

(ДЛ - BhA„) > О,	(8)

*=i

если дифференциал ю не равен нулю.

Доказательство. Если (локально) со = f (z) dz, to' =
— g (z) dz —голоморфные дифференциалы, то co Д co' = fgdz Д
Д dz = 0. Поэтому в силу леммы

£ (Дк-S/j — В^А'ф — 0.
k

Первое соотношение доказано.

Рассмотрим теперь такой интеграл: —J со Д со. По-

скольку со Д со = —21 |/|а dx Д dy, где со = / (z) dz, этот инте-
грал положителен при со 0. Поэтому будем иметь, применяя
лемму к случаю со' = со:

0<-4 JcoA «= /\dy = ~±-^\(AkBh-AhB„).

‘ *g	Rg 

Теорема доказана.

Пусть coj, ..., cog —базис голоморфных дифференциалов на
гиперэллиптической римановой поверхности Rg. Пусть

До=^©(1 i, / = 1, .... g.	(9)

ai

Из доказанной теоремы вытекает.

Следствие 1. Матрица Ац невырождена.

Доказательство. Из формулы (8) следует, что голо-
морфный дифференциал с нулевыми Д-периодами тождественно
равен нулю. Если бы матрица До- была вырождена, то можно
было бы построить ненулевой голоморфный дифференциал с ну-
левыми периодами. Следствие доказано.

Согласно следствию 1 можно выбрать новый базис

Ф* = ^L^dpldz = £ с;йсог_г+1, k = l,...,g, (10)

V H-2g+l(Z)	(=i
такой, что Л-псриоды имеют вид

^<pf = 6i7, i,/ = 1.п. .	(11)

Пусть Ви ~ j <рг — матрица В-периодов, построенная по этому
bi

базису. Из теоремы 1 вытекает

Следствие 2. Матрица Ви симметрическая с положи-
тельно определенной мнимой частью.

Доказательство. Симметрия В,7- вытекает из (7)
при со = <р;, со' — с|у. Применим теперь неравенство (8) к голо-
морфному дифференциалу со —	-4- •  • 4- xgcfg, где хк —

действительные числа. Для этого дифференциала периоды Дл
имеют вид Ак = хк и периоды Вк имеют вид Вк = xtBlk + •••-{-
-г xgB.,k. Отсюда следует неравенство:

i g ___________________

О < -у- 2 ^Вгк +... -Т XgBgt,) хк -|- ... -|- xgBgk) \ —
* £=1

---= 2 XjXk 1тВл,
k. Г-М

что и доказывает положительную определенность матрицы Im BJk.
Следствие доказано.

Построим по матрице (В,,) целочисленную решетку Г в про-

странстве С?, порожденную линейно независимыми векторами

Рис. 47. Циклы на эллипти-
ческой римановой поверх-
ности Ri. ш2 = (z — Zi) (z —
— z2) (z — z3). Пунктиром
обозначена часть цикла Ьъ
лежащая на втором листе.

Cj, ..., e..g, где (ек)‘ (eg+ъУ Bik,
k = 1, 2, .... g.

Решетка f определяет 2^-мерный
тор • Т2* = О/Г (см. [1 ], ч. II, § 4),
называемый тором Якоби (пли много-
образием Якоби) римановой поверх-
ности Rg.

Вывод. Тор Якоби Т2« является
абелевым тором (см. [1 1, ч. II, § 4).

Разберем в виде примера случай

поверхностей рода 1 («эллиптических
кривых»): w1 — Р3 (г) = (г —zj (z — г.,) (г —z3). В этом случаё
имеется два цикла bt (см. рис. 47).

Здесь имеется один голоморфный дифференциал <р =

= с dz/V Р3 (z), где число с выбирается из условия Фф= 1.

Положим т = Bu = J <р, где Im т > 0. Векторы 1, т опреде-
ляют двумерный тор Якоби Т2 римановой поверхности Rt. Сама
поверхность эквивалентна тору (как многообразие; см. [1 ],
ч. II, § 4).
Эга эквивалентность строится так. Фиксируем точку Ро на
поверхности Для произвольной точки Р на определим
величину А (Р), полагая

р р

•4 (Р) - j ф = f

с dz

(12)

Путь интегрирования, ведущий на римановой поверхности из
точки Рп в точку Р, определен неоднозначно, с точностью до
прибавления любого цикла. Поэтому величина А (Р) определена
лишь с точностью до целочисленной линейной комбинации А-
и В-периодов дифференциала ф:

А (Р) ~ А (Р) + п  1 + /n-т, п, т. целые, (13)

Таким образом, определено отображение А (Р) эллиптической
римановой поверхности в ее тор Якоби Т-.

Утверждение 1. Отображение А (Р) всюду регулярно,
т. е. его дифференциал нигде не обращается в нуль.

Доказательство очевидно.

Следствие. Отображение А (Р) является (комплексно-
аналитическим) изоморфизмом.

Доказательство. Из предыдущего утверждения сле-
дует, что А (Р) — накрытие. Ясно, что А (Р) переводит образу-
ющие b-t группы (Pj) в образующие группы лг (Т2). По-
этому накрытие А (Р) тривиально (см. [1 ], ч. II, § 19). Следствие
доказано.

3 а м е ч а н и е. В теории комплексно-аналитических функций
доказывается, что любой комплексный тор Т2 является тором
Якоби эллиптической римановой поверхности.

Для случая гиперэллиптических поверхностей Rg, где g> 1,
для любого набора точек Qlt ..., Qg поверхности Rg определен
вектор A (Qj, ..., Qg) = (А1, ..., А&), где

A*(Q1...Qg)= }фА-г + I Фю k—l,-...,g.	(14)

Qo	Qo

Здесь фх, ..., ф£ —стандартный базис голоморфных диффе-
ренциалов, нормированных условием J <р>: — 6ih. Пути инте-
at

грирования от фиксированной точки Qo до точек ..., Qg выби-
раются согласованно. Эти пути определены лишь с точностью
до целочисленной комбинации циклов

g	g

QvQii ~ QoQ/t + X iniat 4- Xi
/=1

(15)
Поэтому величины Л4 (Qt> Qa) определены с точностью до
периодов голоморфных дифференциалов:

(Qi. Qg)~ A* (Qi.	U ™Да 4- S njBhh (16)

i

ИЛИ

S	&

A (Qi, .... Qg) ~ A (&,	Q3) 4- £	+ S п^,	(17)

где 61,	с.:!,, —построенные выше векторы, —образующие

решетки Г. Поэтому вектор-функция A (Qit Qg) принимает
значения в торе Якоби T2g ----- О.Г римановой поверхности Rg.
Это отображение называется отображением Абеля.

Утверждение 2. Отображение Абеля обратимо (ло-
кально), если среда точек Qlt .... Qg нет совпадающих.

Доказательство. Для простоты вычислений будем
считать, что среди точек Qlt ..., Qg нет точек ветвления. Тогда
в окрестности точки Qh в качестве локального параметра можно
взять координату z = zh. Вычислим якобиан преобразования
A (Qi, ..., Qg) —det (dAi (Qt. Qgldz^))- Вычисление удобно

произвести в базисе coj. со, (формула (1)). Тогда будем иметь:

дА1 zf1

i,k= i,..., g.

Для искомого якобиана получим отсюда:

, , / дА> \	1	, ,

det -д— = —-------------------det

П Pig+i (za)

П (Zi - Zj)

ft КP2g*l (zft)

A—1

1 ... 1

a=i

(Мы использовали известное из алгебры выражение для «детер-
минанта Вандермонда».) Видно, что этот якобиан отличен от
нуля, если числа гь ..., zg попарно различны. Утверждение до-
казано.

Замечание. Задача обращения отображения Абеля из-
вестна в геометрии римановых поверхностей как «задача обра- ’
щения Якоби». Эта задача допускает явное решение: любая сим-
метрическая функция от координат zlt .... zg точек ..., Qg
выражается через 0-функцию Якоби—Римана (см. [1], ч. II,
§ 4), построенную по (абелеву) тору Якоби T2g. Не давая здесь
общих формул, приведем формулу для вычисления суммы коорди-
нат	+ zg точек Qlt .... Qg:

?i+ ••• +ze=dFln 9(г/г, .... yg) +c,	(18)

d.

где оператор имеет вид

X £ = +**-&’ (19).
причем

14 = clk, ft = 1, g	(20)

(величины cjk определены формулами (10)), с — константа.

Сами точки Qlt ..., Qg определяются из уравнений A(Qlt ...
..., Qg) — y однозначно с точностью до перестановки.

Применим преобразование Абеля к интегрированию уравне-
ний Ковалевской для движения тяжелого твердого тела с закреп-
ленной точкой. Уравнения задачи Ковалевской имеют вид (см.
131])

2г = <7г,	Xi = ry.,-q^,

2q = — pr-^3, Y2 = py3-r7i,	(21)

г = РУ-.	Уз = <7Yi - /77а,

р = const.

Уравнения (21) могут быть записаны в гамильтоновой форме, но
мы ее не приводим (см. ниже Приложение 1). Эти уравнения
имеют следующие интегралы:

Н = 2 (р2 + q~) + г2 —2рух (энергия),	(22)

L = 2 (рух + qy2) + гу3 (момент),	(23)

Л’ = (р2 — 72 + рух)2 + (2р7	ру2)2 (интеграл Ковалевской). (24)

Кроме того, выполнено условие связи у? + у! + Уз = 1-

Рассмотрим совместную поверхность уровня этих интегралов:
Н = 6h, L = 21, К = ft2, где h, I, ft2 — константы.

При выполнении условия связи у( + у! + Уз = 1 уравнения
(22)—(24) задают двумерную поверхность (инвариантное много-
образие динамической системы (21)).

Введем координаты slt s., на этой поверхности (переменные
Ковалевской), полагая

_ or । К (*1, х-i) + V~R (Xi) R (х2)

где xlt 3 = р ± iy, R (z) = —z4	6hz2 -f- 4p/z -f- p2 — ft2, R (xb x2) ==

= —X\X2 -p 6hxYx2	2p I (Xx 4~ -A) 4~ p” — .

Задача 2. Докажите, что в переменных Sj, s2 уравнения
(21) запишутся в виде

_ t /Ф (sQ _ i /Ф (S.,)

51	-‘-2(S1-S2)’	^2(31-32)’

(25)

где Ф (z) —многочлен пятой степени, имеющий вид

Ф (z) — \z [(z —3h)2 + p2 —ft2] —

— 2p2Z2} (z — 3ft — ft) (z — 3h + ft). (26)
Замечали е. Уравнение (25) совпадает с указанным в [ 1 ],
ч. II, § 30 уравнением коммутативности на поверхности уровня

двух интегралов.

’ Правые части уравнений (25) являются однозначными функци-
ями на гиперэллиптическон римановой поверхности рода 2, зада-
ваемой уравнением w1 = Ф (z). Поэтому мы получаем движения
пары точек (Ръ Р2) по этой римановой поверхности.

Пусть, например, все корни многочлена Ф (z) вещественны и
различны. Обозначим их через аи < щ < а2 < аз < а4- Если
начальные данные для системы

Рис. 48.

(25) выбрать вещественными и та-
кими, что ar < Sj < а2, а3 < s.2 <
< а4, то в любой момент времени
t Si(i) будут вещественными и
удовлетворять таким же неравен-
ствам. Точки Pj = Р2 (f), Р.2 —
— Р., (/) будут двигаться на рима-
новой поверхности по циклам, ле-
жащим над отрезками [аг, а, ] и
[й3, а4 ] (см. рис. 48). Эти циклы склеены из двух экземпляров
1а1? а2]+ и [ат, а-Д", 1а3, а4]+ н [о3, а4]“ по концам соответствую-
щих отрезков. «Фазовая точка» (Plt Р2) движется по двумерному
(вещественному) тору. Для интегрирования уравнений (25) при-
меним к ним преобразование Абеля, построенное по гиперэллип-
тической кривой рода 2, задаваемой уравнением ш* — Ф (z). Здесь

мы имеем два независимых голоморфных дифференциала:

dz

zdz

Положим

(27)

“о	Р<1

Pl

А2 (Л, PJ = j

z dz

1/фД)

(Ри — любая точка римановой поверхности).

Утверждение 3. После преобразования (27) уравнения
Ковалевской (25) переходят в линейную систему с постоянными
коэффициентами следующего вида:

— A^PAiY PAt)) = 0,
4ачЛ(0. ЗД)=~Ь

(28)

Доказательство. Будем считать, что точки Рг (I),
Р2 (0 отличны от точек ветвления а0, ..., а4. Тогда локальные па-
раметры в окрестности этих точек —это sr, s.2. Поэтому в силу
уравнений (25) будем иметь:

-^-АЧЛ(/),ЗД =

__ ‘ Иф (st)i Vф (s->) __ n
ИфЪ) Иф^) 2 Иф^Г) 2 Иф'К)

А.4= (Л(О, РЛ^

S1S,
Иф(*1)

рфД7)

Утверждение доказано.

Задача 3. Докажите, что система вида

dSj_ — 52	(S1) ds-’ __ S1 ИФ (S-2)

di Si — s2 ’ dt s-> — st	'

при преобразовании Абеля также переходит в систему с постоян-
ными коэффициентами.

В силу утверждения 3 мы имеем:

Р-1 (0) =

(30)

А2 {Р, (0, р2 (0) = А2 (Р1 (/о), Р, -г -t (/ - to).

Таким образом, после перехода на многообразие Якоби система
уравнений Ковалевской полностью решается. Чтобы получить
явную зависимость от времени t переменных slt $2, нужно обратить
замену переменных (27), т. е. решить задачу обращения Якоби.

Вывод. Инвариантное многообразие \Н = 6/i, L = 21,
К — уа = 1( задачи Ковалевской является (при продолжении
в комплексную область) тором Якоби У4 римановой поверхности
\w* = Ф (Z)}.

Приведем теперь другие примеры гамильтоновых систем, допу-
скающих интегрирование с помощью преобразования Абеля, т. е.
таких систем, инвариантные торы которых при продолжении
в комплексную область являются торами Якоби римановых по-
верхностей.

Пример 1. Напомним (см. [1 1, ч. II, § 30), что «уравнение
коммутативности»

\S, А2 4~ qA^ с2А2 1 = 0,	(31)

где S — —d2idx2 4- и (х) —оператор Штурма —Лиувилля, Ао,
Ах, Аг —дифференциальные операторы по х первого, третьего и
пятого порядков, Cj, с2 — константы, может быть записано в ла-
гранжевом виде

_^_ = 0
би (X) и

(32)
с лагранжианом

L = L (и, и', и")	- -J- ч”и2 4- и* су 4- с?) +

4- с2«2 4- сзы; сз = const. (33)

Решения системы (32) —это конечнозонные (двухзонные) перио-
дические и почти периодические потенциалы оператора S (см. 11 ],
ч. II, § 30). Соответствующая гамильтонова система с двумя сте-
пенями свободы имеет два независимых интеграла J2, </2 в инволю-
ции, т. е. является вполне интегрируемой. Явные координаты у.,
у, на поверхностях уровня этих интегралов имеют вид (для случая
= 0)

« = —2 (Y1 4- у3), •

4 (3«2 - »") -	- 4- S КЧ (34)

где Хо, ..., Х4 —корни многочлена, Р6 (Х£) ~ 0; выражение коэф-
фициентов многочлена Ръ (X) через константы сх, с2, с3 и интегралы
дано в формулах (30.30) части II книги [I 1. В этих коорди-
натах уравнение (32) запишется в виде, совпадающем с (25) после
переобозначения з,- -*• у,-, t -* х (111, ч. II, уравнения (30, 33)) и
поэтому также интегрируется заменой Абеля. (Риманова поверх-
ность рода 2 задается в этом случае многочленом Р& (X).)

Обратим внимание, что формулы (29) описывают временную
зависимость и (х, /) решений уравнения КдФ (см. [1], ч. II,
§ 30), где -> у, (проверьте!).

Замечание. Уравнения коммутативности высших по-
рядков также интегрируются преобразованием Абеля и тем самым
имеют инвариантными многообразиями (в комплексной области)
торы Якоби гиперэллиптических римановых поверхностей выс-
ших родов.

Пример 2. В задаче Неймана о движении частицы на дву-
мерной сфере

х2 = S х; = 1	(35)

i=0

под действием квадратичного потенциала

,	2

U (х) = -5- S а(х2, at = const,	(36)

2 1=0

уравнения движения имеют вид

Х{ — — а,хг + X (/) хг, х = 0,1,2,	-	(37)

2

х3=£х?=1,	(37')

с=о
где X (?) —множитель Лагранжа, возникающий из-за изложения
связи (35). Система (37), (37') может быть получена из гамильто-
нова потока на го с гамильтонианом

2

я = а‘х‘ ~Т (-х'У2 - (ХУ)2)
1 1=4)	Z

(38)

ограничением на сферу х2 = 1.

Задача 4. Докажите, что функции

F,, (х, у) -= х! -

at — ак
i тк

А = О, 1, 2,

(39)

являются системой независимых интегралов в инволюции для си-
стемы с гамильтонианом (38).

Сам гамильтониан И имеет вид

(40)

“ i=o

Задача 5. Проверьте, что преобразование

*' = У- у’ -= •- х, Д' = S a~i'Fi	(41)

<=о

переводит построенный гамильтонов поток в геодезический поток
на трехосном эллипсоиде («задача Якоби»)

1

(42)

(геодезические на трехосном эллипсоиде найдены Якоби).

Покажем, что задача Неймана (а, значит, и задача Якоби)
интегрируется преобразованием Абеля. Мы сведем задачу Ней-
мана, следуя современным работам, к уже разобранной задаче
о двухзонных потенциалах («уравнения коммутативности» (32)).

Пусть ф0, ф1( ф2 —собственные функции оператора 2? —
= —d2/dx2 + и (х) с собственными значениями а0, alt а2 соответ-
ственно, т. е. решения дифференциальных уравнений

^ф,- — а;ф;, I — 0, 1,2.	(43)

Уравнения (43) переписываются в виде

ф7 = — а;ф; 4- и (х) ф;, I = 0, 1, 2,	(44)

совпадающем с уравнениями (37) задачи Неймана после переобо-
значения х-»-/, ф, -► х;, и (х)	% (/) (множитель Лагранжа).

Осталось удовлетворить уравнению связи Х1 — 1- Для этого
выберем потенциал и (х) двухзонным, причехМ так, чтобы нули
Хо, .... Х4 соответствующего многочлена Рь (X) (см. выше) имели
вид:

Хд —=	Хх Х2   С1\ Х4   t?o>

Л (X) = П (X - X,)

(45)

(«правые концы лакун» в спектре оператора S’ см. [1 ], ч. II, § 30).
Оказывается, нужные нам решения уравнений (43) просто выра-
жаются через переменные уъ у,, определенные равенствами (34).

Задача 6. Докажите, что функции вида

(.V) = щ V (и; — у! (X)) (О; - у2 (.г)), г = 0, 1,2,	(46)

где а; — константы, удовлетворяют уравнениям (43), если и =
= -2 (Yi + Ъ) + £ Х(>
1=0

yi = 2i у Л(У1)/(Т1 - Т-J. Ъ = 2i V	— Yi)-

Задача 7. Докажите, что если выбрать константы а0, а1(
а., в виде

ГП (н;* = М,2,	(47)

то для функций фг вида (46) выполняется условие связи

Фэ-Mi-Ml = 1.	(48)

Формулы (46), (47) дают полное сведение задачи Неймана
(а, значит, и задачи Якоби) к задаче обращения Якоби для рима-
новой поверхности рода 2 с точками ветвления (45).

Любопытно отметить, что несмотря на совпадение инвариант-
ных торов и потоков на них (даже в комплексной области!) для
уравнения (32) двухзонных потенциалов, а также для задач
Неймана и Якоби, все эти три гамильтоновы системы не являются
канонически эквивалентными (проверьте!).

Разобранные нами детально системы Неймана и Якоби с двумя
степенями свободы почти автоматически переписываются для
больших размерностей. Интегрирование этих систем всегда может
быть сведено с конечнозонным потенциалам.

§ 13. Простейшие свойства кэлеровых многообразий.

Абелевы торы

Определение 1. Комплексное многообразие М2п с эрми-
товой метрикой ds2 — ga$ dza dz&, где ga$ — gpo, называется
кэлеровым, если соответствующая вещественная 2-форма Q =
= -5- Е А замкнута: dQ = 0. Имеет место утвержде-

1 а<₽
ние (см. [1], ч. I, § 27): для кэлеровой метрики форма й'! =
= Й Д ... Дй (п сомножителей) является непулевым кратным
элементом объема:

Qn — с dV — сdet g^dz1 Д ... /\dzn /\dzl Д ... /\'dzn, с =£ 0.

(П

Следствие. Формы й‘, г = 1, п, на компактном кэ-
леровом многообразии не когомологичны нулю. Поэтому группы
Н2‘ (М2п, R) нетривиальны.

Доказательство. Если форма Й точная, Й = do),
то и форма йп точная, йп = d (со Д й Д ... Дй). Но на компакт-
ном многообразии имеем:

] й” = с j dV#=0.

Значит, форма й не является точной. Следствие доказано.

Пример 1. Любая риманова поверхность является кэле-
ровым многообразием по соображениям размерности.

Пример 2. Эрмитова метрика на СРп получается из формы
п	. п	\ . п	.

ds2 — У dzkdz,: — У, zk dzk dz'	(2)

*=о	\*-.о	/ '/=о	'

в пространстве Сп+!, которую будем рассматривать как форму
на сфере S2n+I: | z° |2 + •••-)- | zn\2 — 1. Проверим, что форма ds2
инвариантна относительно преобразований

zk >—> ei(f,zk, zk ।—

При указанном преобразовании будем иметь:

dzk >—> е'® (dzk -j- izk dtp), dzk > e~i<2 (dzk — izk d<{),

так что

2 dzk dzk >—> У, dzk dzk -f- i Г S (zk dzk — zk dz4)] dtp -j- drp2,

У zk dzkr-> 2 zk dzk —- i dtp,	dzi h—> 2 dz' +l’ dtp.

k	k	i	i

Следовательно:

2 dzk dzk — 2 z>i dzk^ ( 2 dz')

~	i—> 2 dzk dzk — ( 2 z<! dzk^ 2 z' dz').

Таким образом, форму ds2 можно рассматривать как метрику на
СРп. Определяемая этой метрикой форма Й имеет вид:

Q = -^-^dzk/\dzk-^-(^zi^dz^/\(^zkdzk).	(3)
На сфере S2"+I мы имеем: У zkzk — 1, откуда2 z'! dzk + dzk —
--= 0. Поэтому ограничение формы £2 на сферу дает

=	(4)

Эта форма замкнута (она рассматривалась в § 1 при изучении
кольца когомологий пространства СРп), поэтому многообразие
СР“ кэлерово.

Пример 3. Приведем теперь пример компактного комплекс-
ного многообразия, не допускающего кэлсровой структуры, —
многообразия Хопфа. Обозначим через Г группу, действующую
на пространстве С"\0, порожденную преобразованием z г—> 2z..
Ясно, что фактор (С"\0)/V по этому действию является компакт-
ным комплексным многообразием, гомеоморфным прямому произ-
ведению S* X S'-n~l. Тогда Н2 (S1 X S2"-1, R) — 0 (и > 1),
и на этом многообразии нельзя ввести кэлеровой структуры при
п > 1 •

На кэлеровом многообразии определены периоды формы £2 —
ее интегралы по двумерным циклам из Нг (М~п, 2). Говорят, что
многообразие М2п ходжево, если все периоды формы £2 целые (или
становятся целыми после умножения на одно и то же число, £2
-> Х<2).

Например, для многообразия СРп мы знаем, что Нг (СРп, Z) =
= Z, поэтому можно умножить метрику ds2 на подходящее число,
чтобы единственный период формы £2 стал целым числом.

Задача 1. Образующая в группе Н.2 (СРп, Z) —это под-
многообразие СР1, задаваемое в СРп уравнениями г2 = ••• =
, л

= zn — 0. Вычислить период формы £2 = ~ 5 dzk Д dzk по
k =0

этому циклу (нормировочный множитель).

Утверждение 1. Комплексно-аналитическое подмного-
образие N2m кзлерова многообразия М-п кэлерово. Если М2п —
ходжево, то и N2m ходжево.

Доказательство. Пусть f: N2m -*• Л42п — вложение,
ds2 —эрмитова метрика, дающая на М2'1 кэлерову структуру,
£2 —связанная с ней замкнутой форма. Тогда ds2 индуцирует эр-
митову метрику /* ds2 на N2m и связанная с ней форма равна /*£2
и также замкнута. Поэтому многообразие №т — кэлерово. Если
с —любой двумерный цикл на многообразии №т, то верно равен-
ство

/*£2 = Jfi.

с	f »с

Для целочисленного цикла с цикл f^c также целочисленный,
поэтому j £2 — целое число для ходжева многообразия /И2'1. От-
f*c

сюда вытекает ходжевость N2m. Утверждение доказано.
В многообразии СРп выделены компактные комплексные и
алгебраические подмногообразия. Простейший класс таких мно-
гообразий задается набором уравнений («полные пересечения»)

Л(г0, •••> Zn) = 0,

ЕДг0. .... z„) = О,

(5)

где все функции Fj, Fh —однородные многочлены:

F;(cz0...сгп) == c“F,-(z0, .... zn).

Следствие. Все неособые комплексные подмногообразия
в СР" являются многообразиями Ходжа.

Замечание. Каждое такое подмногообразие определяет
цикл №т с СР". Для компактных алгебраических подмного-
образий этот цикл никогда не когомологнчен нулю. Действительно,
пусть /: .V2'" -* СР" вложение; Q — стандартная форма на СР".
Тогда — 2-форма на №т, связанная с индуцированной кэле-
ровой метрикой. Поэтому (/*Q)m — ненулевое кратное элемента
объема на Х2т. Ввиду компактности будем иметь:

J (fQ)«y=0,

А-"1

откуда ] Йт 0. Цикл ц№т не является границей в СР",
f,N2m-

потому что форма Qm замкнута, и интеграл ее по любой границе
равен нулю в силу формулы Стокса.

Разберем теперь вопрос о ходжевости комплексных торов
Т2п — С"/Г, где решетка Г порождена 2п линейно независимыми
векторами elt ..., е2п- Кэлерова метрика на торе Т2п получается,
если взять в С" любую эрмитову метрику с постоянными коэффи-
циентами. Если на Т2п задана какая-то кэлерова метрика, то ее
можно усреднить (проинтегрировать) по тору Т2п и получить ме-
трику с постоянными коэффициентами.

Задача 2. Докажите, что если первоначальная метрика
была ходжевой, то и после усреднения получится метрика Ходжа
с теми же периодами (мы считаем, что объем тора Т2п равен 1).

Итак, достаточно рассмотреть случай метрик с постоянными
коэффициентами. Каждая такая метрика определяется некото-
рым эрмитовым скалярным произведением в Сл = R2":

п

Н(Х,у)= S	X = (Z“), у = (2₽),	(6)

а, 3=1

Йро — Йор.
И (х, у) можно рассматривать как комплекснозначпую билиней-
ную функцию на R2"Xk-'’', удовлетворяющую соотношениям:

Н (у, х) = И (х, у), И (ix, у) = iH (х, у).	(7)

Если Н (х, у) = F (х, у) + iG (х, у), где F (х, у) и G (х, у) ве-
щественны, то из равенств (7) следует, что F (х, у) = F (у, х),
G (х, у) = — G (у, х), F (х, у) — G (ix, у). Поэтому форма F (х, у)
положительно определена, и вся форма определяется одной мни-
мой частью G (х, у).

Утверждение 2. Тор Т2п = Сл/Г является ходжевым
тогда и только тогда, когда существует вещественная кососимме-
тричная форма G (х, у) = —G (у, х) такая, что:

1) форма F (х, у) = G (ix, у) симметрична и положительно
определена.

. 2) G (еа, ер) есть целое число для любых двух векторов решетки Г.

Эти условия называют соотношениями Фробениуса.

Доказательство. В силу приведенных выше рассу-
ждений достаточно доказать, что условие 2) эквивалентно ходже-
вости метрики на торе Т2", определенной эрмитовой формой
Н (х, у) = G (ix, у) 4- iG (х, у). Мы знаем, что ранг группы
/Д (7'2л, Z) равен = п (2п — 1) (число сочетаний), где базис
двумерных циклов в Т2'1 имеет вид сор = (Хеа + ре₽), 0 < л,
|х < 1 (а < Р). Форма G —это форма, связанная с кэлеровой ме-
трикой, поэтому тор 7'2" является ходжевым тогда и только тогда,
когда интегралы формы G по всем циклам сор целые.

Ограничение формы G на цикл сар равно G (еа, eg) dX Д dii,
и интеграл по этому циклу равен G (еа, ер). Утверждение дока-
зано.

В § 4 ч. II книги [I] был введен важный класс абелевых
комплексных торов. Если мы определим матрицу (BhJ) равен-
п

ствами en+k = JjBkjCj, 1 k < п, то для абелева тора матрица
7=1

(Bw) должна быть симметрической и иметь положительную мни-
мую часть. В частности, в предыдущем параграфе было показано,
что торы Якоби римановых поверхностей абелевы. Имеет место

Утверждение 3. Любой абелев тор является ходжевым.
Доказательство. Зададим эрмитову форму Н (х, у)
равенством

И (х, у) =	x=(z{, .... г”), y = (z2, ..., Z2).	(8)

Здесь матрица (pw) обратная к положительно определенной
матрице Im В. Мнимая часть формы Н (х, у) имеет вид

G (х, у) = Im 1Т(х, у) = -L - 2Й1)	(9)
в силу симметрии матрицы (рй;). Проверим, что кососимметри-
ческая форма G (х, у) принимает целые значения на базисе elt ...
..., е>;, решетки Г. Имеем при т, I < п:

G е,) = 4-рл; (6,16; - 6'61) = О,

G (е,„, г„+;) = J (61В/У - В/76*„) =

/

=•= — 6.1 рл,-(Iш В)л = -616/1Z = — 6„1Z = - G(e,1+/, ет),

1

G (е„+,„, еп+1) = У1 р,:; (В„,Д; - ВиВтк} --

— Pl.;	bmkblj) — 0;ln blui ~ 0>

*. i

где введены обозначения b'ik — Re B;7i, B"jh = Im Bjk. Итак,
форма G (x, у) целочисленна на торе T-’1 == О/Т. Очевидно, эр-
митова метрика (8) положительно определена. Утверждение дока-
зано.

Задача 3. Доказать справедливость обратного утверждения:
любой ходжев тор является абелевым.

В заключение отметим, что важность класса ходжевых (или
абелевых) торов заключается в том, что любой абелев тор может
быть явно, с помощью 9-функций, реализован как неособое алге-
браическое подмногообразие в комплексном проективно.м про-
странстве (Лефшец). Эта теорема верна для всех ходжевых много-
образий (Кодаира; см. [21]).

§ 14. Гомологии с коэффициентами в пучках

Уместно описать еще один вид гомологий, который имеет су-
щественное значение в различных областях математики (но не
в рамках материала данной книги).

Пусть X — пространство, покрытое открытыми областями
Ua, Ua = X.
а

Будем требовать, чтобы покрытие \Ua\ было «локально ко-
нечным» (т. е. пересекаться могут только конечные наборы об-
ластей U а).

Определение 1. а) Предпучком F называется соответ-
ствие, которое-каждой области U а X сопоставляет абелеву
группу (кольцо, поле) Fv-, требуется, чтобы вложению U сд V соот-
ветствовал гомоморфизм «ограничения»

iyv: FyJ-»- F(j.	(1)
Если U <= V rz 17, то iuw — iUyiv-iv- Предпучок F определяет
предпучок Е|у на любой области U ~ А'.

б) Предпучок F называется пучком, если он обладает следую-
щими свойствами:

1)	Пусть область U представлена в виде объединения областей
иа-.

U=\JUa.

а

Тогда, если iyau (J) — 0 для всех а, то элемент f £ должен
быть нулем.

2)	У любой точки имеется некоторая достаточно малая окрест-
ность U такая, что набор «согласованных» элементов fa £ Fya
представляет собой совокупность ограничений одного общего эле-
мента f t Fy. Здесь

u = \jua, и^или^и.;л, .

'4pL'p^ =	(«согласованность»),

= /“•

Пустому множеству 0 всегда соответствует нуль: F0 ~ 0.

С покрытием |(7а} связывается симплициальный комплекс —
«нерв покрытия», обозначаемый через N

1)	вершины Од соответствуют областям Са;

2)	ребра oip соответствуют парам (Ua, t/p), если пересечение
непусто, Q t/p 0;

3)	треугольники Стар? соответствуют тройкам (Ua, U§, U,;),
где пересечение непусто, Ua Q (/р р U.. #= 0;

4)	симплексOaoaL... afe соответствует набору областей (£/<х0, 
..., таких, что пересечение Ua<) П ••• П Ua.k непусто.

Возникают «когомологии покрытия» с коэффициентами в пред-
пучке F: fe-мерные коцепи —это линейные функции на симплек-
сах Оа0... ah размерности k в нерве N ) Ua\ со значением в группах
^(уа0П ••• rWaft)- Здесь у коцепей на каждом симплексе своя об-
ласть значений. Коцепи ck соответствует ее кограница

(б?, Оа+0\.. akj) == £,(— 0" Ц (с‘> °аа.й.д ... afe+1)>

где

(c\<40...«?...Oftti) лежит в группе Еу?>
t/ = t/aon •••

t/ct/9=t/0on ••• п£4n
(область Uaq вычеркнута из пересечения).
Когомологиями покрытия называются фактор-группы коцик-
лов по кограницам:

Н'Г(Х {Да|, F) = Кег б/ Im б =

Пусть покрытие {ГД «вписано» в {Ua\\если пересечение Ур П
П Ua непусто, то РД целиком лежит в Ua. Легко проверить, что
возникает симплициальное (симплекс переходит в симплекс) ото-
бражение нервов этих покрытий:

Ф/Д-'

Тем самым, используя (1), имеем отображение коцепей и кого-
мологий:

F) — -Я*(Х{)ДД, F).

Вся эта структура (для достаточно «мелких» покрытий) опи-
сывает когомологии с коэффициентами в пучке: Я* (X, F) —это
«предел спектра» (<pyi ) всех покрытий пространства X.

Элементы х этого «предела спектра» представлены всевозмож-
ными элементами Ху £	(/V { Ua}, F) для всевозможных покры-

тий \иа\.

Элементы хи £ Н (N \ Ua\, F) и xw F Н« (/V {ГД, F) пред-
ставляют один и тот же элемент из Я« (X, F), если и только если
для некоторого более мелкого покрытия V, вписанного в U и
в W, имеем

(fuvXy = <fwvXw = Ху = H‘!(N {УД, F).

Пример 1. Постоянный пучок. Пусть Fy = G (абелева
группа, одна и та же для всех t/ =/= 0); отображения iuv тождест-
венны

iyy - 1: G G.

Если X = Мп — многообразие,, и покрытие таково, что все
множества 4/а П ••• Г) Uak стягиваемы (например, Ua—малые
по размеру выпуклые фигуры в метрике Мп), то верно равенство

H*(N{Ua\, G) = H* (Мп, G).

Задача 1. Докажите, что нерв в этом случае — комплекс,
гомологически эквивалентный Мп.

Пример 2. Непрерывные (функциональные) пучки. Здесь
Fy —это кольцо (линейное пространство) функций какого-то
класса: непрерывных, гладких, голоморфных, алгебраических
и т. д. в области' U аХ.

Задача 2. Докажите, что Н° (X, F) —функции того же
класса, определенные глобально на всем многообразии Х= Мп
и Fy = Н° (U, F |у).
Общее определение. Пучком F, определяемым пред-
пучком F, называется новый предпучок такой, что Fir — Н° (U, F |L>)
для любой области U.

Группа Н1 (X, F) возникает, например, в такой задаче: пусть
задан набор «главных частей» fa функции f в областях Ua, где
U Ua = X. Здесь X = /И2'1 — комплексное многообразие,
а

Главные части fa —это, например, лорановские части'неизвест-
ной функции / около полюсов. Нужно найти мероморфную функ-
цию f на X такую, что функции {/ —/а) голоморфны в областях
Ua. Разумеется, необходима «согласованность» — т. е. fa —
— fp = gap голоморфны в пересечениях L/a Q Up. Укажите
связь этой задачи с когомологиями Н1 (X, F) в пучке, где F (U) —
= Н° (U, F) —это линейное пространство голоморфных функций
в области U. Докажите, что задача разрешима, если Я1 (X, F) =0.

Пример 3. Еще один пример пучка: пусть X —- У — не-
прерывное отображение. Области U ст У соответствует /-1 (U с)
ст X. Полагаем

Возникают когомологии Нч(У, F1), /	0, q дз 0. В наиболее

общем варианте теоремы Лере (см. § 8) следует £?• i заменить на
Hi(Y, F<). Все остальное остается верным. Если X—-Уесть
расслоение, где база — клеточный комплекс и односвязна, то мы
имеем

H«(Y, Fi) = Hi(Y, Hi (F)),

где F = р"1 (у) —слой. Докажите это.

Пример 4. Пример пучка (вообще говоря, некоммутатив-
ных групп) дает задача о классификации расслоения с базой X
и структурной группой G, обсуждавшаяся в § 25 ч. II книги [I ]
с другой точки зрения. Пусть задано расслоение Е X с группой
G и слоем ?. Если \Ua\ — покрытие X, где /Г1 (Ua) — UaXF,
то структура расслоения определяется «отображениями склейки»
(см. Ill, ч. II, § 24)

^ = А(,О: Ua П Up-^G.	(2)

При этом для Ua 0 Up П имеем

^aP^Pv^va ~ 1 •	(3)

Условие (3) означает, что набор (%ар) есть 1-мерный коцикл в по-
крытии \Ua} со значением в пучке F, F (Ua)—непрерывные
функции на Ua со значением в G. Если расслоение — прямое, то
найдется (возможно, надо сначала измельчить покрытие) набор
функций фо: Ua-+ G такой, что = фй’фр. Тем самым классы
расслоения — это элементы из И1 (X, F). Это не группа, если G
неабелева.

Задача 3. Вычислить Н1 (X, F), если G—абелева
группа.

Задача 4. Докажите, что пучок F над гладким многообра-
зием, где Fu — линейное пространство гладких функций в обла-
сти U (более точно — гладких в замкнутой области U лэ U),
имеет тривиальные когомологии при q > 0: Но (Мп, F) = 0,
с/> 0; На (Мп, F) = С* (АН) — кольцо функций на Мл. Над
комплексными многообразиями имеется голоморфный пучок, для
которого этот факт неверен.

Задача 5. Аналогично, если задано векторное расслоение
с базой В = М”: пусть Fy —это гладкие сечения расслоения над
областью U. Докажите равенство (в голоморфном варианте это
будет неверно):

Н» (А4/!, F) = 0, q > 0,

Н° (Мп, F) — пространство сечений расслоения.

Указание. Воспользуйтесь тем, что гладкую функцию
можно с области U продолжить на все многообразие Мп.

Задача 6. Пусть Fm, F<‘>, F& — три пучка, где для всех
достаточно малых шаровидных областей U имеем точную последо-
вательность групп:

— Ж—

причем все аи и коммутируют с отображениями iuv: F^-^-F^
k = 0, 1,2. Постройте «точную последовательность когомологий

0 — Н° (М'\ F<°>) — - На (A4n, F<1 >) JL

—- Н° (Мп, F<2>) — - И1 (Мп, F<°>) —-

—-Я1 (Ж F^—^H1 (АН, F<2>) — -

Пример 1. Пусть Fy — гладкие вещественные функции
в области U, F'u’ — постоянный пучок F^” = Z и F[F —функ-
ции со значением в G = Sl = R/Z. Вычислите Н1 (Мп, F<2>);
используя задачи (см. выше), дайте классификацию расслоений
с группой G1 = S1.

Пример 2. Пусть Fu} — линейное пространство голоморф-
ных функций в области U, F(?) = Z — постоянный пучок, F& —
группа по умножению голоморфных функций в U, не обращаю-
щихся в нуль. Отображение a: Z-> Fy> —вложение констант,
6 В. А. Дубровин и др.
отображение J5:	Fy1 имеет вид ехр(2л1/)> запись пуч-

ка Л2> мультипликативна.

Задача 7. Докажите, что группа У/1 (Мп, F<2)) классифи-
цирует голоморфные 1-расслоения (см. [1], ч. II, § 25). Какова
связь группы Н1 (АР, F<’>) с классификацией голоморфных рас-
слоений, являющихся топологически (т. е. без комплексной
структуры) прямыми произведениями?

Пример 3. Тензоры — это, по определению, сечения раз-
личных тензорных степеней касательного расслоения векторов и
ковекторов. С тензорами связаны пучки, где Fv—это гладкие
тензорные поля над областью U cz Мп в базе Мп. В том случае,
когда берутся кососимметрические тензоры (с нижними индек-
сами), т. е. дифференциальные формы, мы можем определить
пучки F‘, где Fy—формы над областью U <zzMn. Возникает
«точная последовательность пучков» (т. е. групп Fy для всех ма-
лых шаровидных областей U с АР):

d d	d

---------------------F”—-0.	(4)

Здесь 7? —постоянный пучок (константы), и оператор d в любой
области U переводит формы степени I в формы степени i + 1.
Точность последовательности пучков (4) вытекает из следствия 1
теоремы 1.2, утверждающего, что для малых шаровидных областей
U каждая за^мкнутая форма <о с deg <о > 0 локально точна, т. е.
из da = 0 и deg ш > 0 следует <в = da'. Выделим пучок замкну-
тых форм Zu с Fy, где Zu = Ker d (замкнутые 1-формы в области
U а Мп). Имеем точную последовательность пучков, по определе-
нию:

0 — £ _F<°> — - Z] —-0. ‘

Рассмотрим точную последовательность когомологий этих пучков:

Используя результат задачи 4 (см. выше), имеем Н1 (Мп, F0) =
= 0. Поэтому имеем отображение на («эпиморфизм»):

Н9 (Мп, Z1) —- И1 (М\ R) — 0.
Ядро отображения б имеет вид df, f —гладкая функция. Отсюда
заключаем

FI1 (АР, R) = Ker d/Im d = Н° (Мп, Zl)/(d[)

(т. е. классы замкнутых форм по точным).

Усложняя это рассуждение, можно получить уже упоминав-
шуюся «теорему де Рама» (см. § 6): группы когомологий, опреде-
ленные через дифференциальные формы, совпадают с симплициаль-
ными Я’ (Мп, R) для всех q. Продемонстрируем это для q < 2.

Рассмотрим пучки

a) Ffr/R = Ffr б) Zb = d'(Fb)

— замкнутые 2-формы.

Имеем две последовательности пучков

a)

б)	О—-F°/R — -~Fl — Z2-----0.

Из точной последовательности когомологий для а) заключаем,
используя результат задачи 4 (см. выше):

а)	Н1 (Мп, F°/R) Н2 (М'\ R).

Из точной последовательности б) имеем:

б)	Я0 (.VP, Z2)/(df) s* Н\(Мп, F°/R).

Так как Я° (Мп, Z2) есть замкнутые формы, то окончательно мы
имеем:

Z2	Н2 (Мп, R).
Г л а в a 2

КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ ГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ
И ГОМОЛОГИИ

§ 15. Функции Морса и клеточные комплексы

Предположим, что на гладком компактном многообразии М
задана функция Морса (т. е. все ее критические точки невырож-
дены). Изучим структуру поверхностей уровня fc = \f (х) — с)
и областей меньших значений Мс = {f (х) «с1,.

Лемма t (М. Морс). Пусть f (х) —гладкая функция на М,
х0 —невырожденная стационарная или критическая точка для
f. Можно найти такие локальные координаты у1, .... уп в окрест-
ности точки х0, что в этих координатах функция f запишется
в виде: f (у1, .... уп) = -г- (у1)2 — ... — (у*-)2 + (у^)2 -с ...
----F (уп)2- (Число X называется индексом критической точки.)

Доказательство. Проведем доказательство сначала
при п — 2; для больших п рассуждения совершенно аналогичны.

В силу локального характера утверждения леммы, можно
считать, что f (хх, х2) задана в диске/) 1 (0) радиуса е > 0, f (0) =
= 0, где 0 — критическая точка для f. Существуют гладкие функ-
ции glt g2 такие, что f = xlgL + x2g2; gt (0) = ®.

В самом деле, имеет место равенство:

I

\~Ht*)dt = f(\:x)-f(O.x) = f(x).
о

Далее

f W = J X«dt = X*\ dt = X*ga (X),
о x	0 x

где

о

Ясно, что ga.(0) = 0, так как grad f (0) = 0. Следовательно, су-
ществуют гладкие функции (х) такие, что ga (х) = x₽/ia₽ (х).
Итак: f (х) = x®xf)/iap (х), где можно

Далее: h (0) = |	(0) [ -	В

считать, что
самом деле:

/lof, — fyia

о	о

dx U = X₽J J dx dt = ha, (x) -x».
J  oo

Отсюда

M(0)

_ <W)
dx“ dx$'

Далее ведем доказательство леммы при п = 2. В локальных
координатах (х1, х2) функция f имеет вид:

/ = (х1)2 Ли + 2xlx2hv, + (х2)2/г22.

Можно считать, что /ги (0)	0. В самом деле, матрица || ha& (0) ||

симметрична и невырождена, а потому линейной заменой коорди-
нат ее можно привести (в одной точке — 0) к диагональному виду.
Так как можно было бы с самого начала считать координаты (х1, х2)
такими, что i| /iaP (0) j| диагональна, то можно считать, что hu (0) =/=
=/= 0. Тогда /iu (х) =/= 0 и в некоторой открытой окрестности точки 0,
и в этой окрестности имеем:

Л„ ((х')=+2Л'5н + (х’)=й) +М‘(Л., -	_

Так как /iu/i22 —fe ¥= 0 в некоторой окрестности точки 0 (ма-
трица К /гар (0)|| невырождена), то, делая замену

У = /|Ли|(хЧ-^);

получаем:

Г(у1,у2) = ±(^)2±&2)2.

Так как замена координат, очевидно, локально невырождена, то
тем самым лемма доказана.

Приведем доказательство леммы Морса в случае произволь-
ного п.

Напомним, что введенная выше матрица ||/iap (0) || симметрична.
Далее доказательство будем вести по индукции. Пусть функция f
в координатах ух, у2...уп уже имеет вид:

Г (У) = ± (уУ- ± • • • ± (Ук~х )2 + I УаУ^Ра^ (У),

а, ₽>*
где функции Рар (у) образуют симметричную и невырожденную
в точке 0 матрицу. Ясно, что при k = 1 это предположение индук-
ции выполнено (см. построение матрицы играющей роль
матрицы |-Рвр | при kj= 1). Перепишем функцию f (у) в следую-
щем виде:

f (у) = ± (*/')’ ± • • • ± (^-')2 + Рпк Ш + S y^Pvt (У)
а, ₽>*

(а#=Р прн Р = £)

(пХп)-матрица ЦРаР (#)Ц изображена на рис. 49. Так как Ц Ра31|
симметрична и невырождена, то существует линейная замена пере-
менных у*, у*+1, .... уп такая, что в одной точке (в начале коор-
динат) матрица j Рор (0) Q приведется к диагональному виду;

b'zy) -

1 0 0	0
0	Ч. ° 0

Рис. 50.

в частности, можно сразу считать, что координаты yk, ..., уп вы-
браны именно таким образом и, следовательно, Рък (0) ф 0. Рас-
смотрим функцию q (у) — У [ Pkh (у) | и сделаем замену перемен-
ных: (у1) -> (г‘) по формулам

г1 = у1 при I < i < k — I; k -j- I < i < n,



Найдем якобиан замены (у)
„	di?*

Ясно, ЧТО —Г-
Эу® о

(г) в точке. 0 (см. рис. 50).

= Я (0) = К| Ркк (0) | ¥=0, т. е. det I (г, у) =

 *

=	теоРеме о^неявных функциях функции (г1,.

являются локальными координатами в некоторой достаточно
малой окрестности точки 0 (что, впрочем, в силу треугольности
матрицы замены координат очевидно). Итак, получаем:

i>k

(2>йг)'+!>'*+

+ У ^9PaP=±(z')2±.-'- ±(^+ 2 Z«Z₽Pap.

a. ₽>*+!	a. кй+1
Шаг индукции завершен, что и доказывает требуемое утверждение

при произвольном п.

Замечай и е. Доказанная лемма, впрочем, не очень суще-
ственна при изучении поверхностей уровня функции f (х) в окрест-
ности критической точки. Заранее ясно, что топология уровней
определяется формой d2/ в силу ее невырожденности.

Лемма 2. Пусть f (х) — гладкая функция на компактном,
замкнутом многообразии Мт и пусть отрезок [а, Ы (где а <Ь)
не содержит критических значений функции f (т. е. в множестве
f~x la, b] нет критических точек). Тогда многообразие fa диффео-
морфно fb и многообразие (с краем) Ма диффеоморфно Мь.

Доказательство. В силу компактности М сущест-
вует е > 0 такое, что отрезок (а — е, Ь + е ] также не содержит

критических значений функции
/ (х). Можно считать, что на М
задана положительная риманова
метрика; тогда рассмотрим век-
торное поле grad f (х) = v (х).
На многообразии (с краем)
f~x [а—е, b+ъ] это поле ие имеет
особенностей и v (х) ортогонально

к гиперповерхностям уровня

f~x (а), а < а < Ь. Рассмотрим интегральные траектории поля <о (х),
начинающиеся на (Ъ) и кончающиеся на f'1 (а), см. рис. 51.

В силу компактности М, можно осуществить гладкую дефор-
мацию поверхности f'1 (b) вдоль интегральных траекторий поля
©(х) на поверхность f1 (а). Днффеоморфность f1 (b) и Г1 (а)
очевидна. Аналогичным приемом устанавливается диффеомор-
физм между Ма и Мь, так как полный прообраз f1 [а, b ] диффео-
морфен faXl, где I — отрезок. Лемма доказана.

Теперь рассмотрим поведение поверхностей уровня около
критических точек функции f (х).

Пусть х0 £ Мп — невырожденная критическая точка для
f (х), где f (х0) — 0. Тогда в силу леммы I (Морса), в достаточно
малой окрестности U (х0) точки х0 можно ввести криволинейные
координаты х1, .... х" такие, что f (х) — — (х1)2 — ... — (хх)2 +
+ (хх+*)2 + • • • + (хя)2- Мы считаем, что центр 0 окрестности
U (х0) помещен в х0 и f (0) = 0. Рассмотрим три гиперповерхности;
/0, /е» f-в, где е > 0 достаточно мало. Они задаются уравнениями
(в области U)

(-Х<)2-

— (Х^)2 + (*х+1)2 + • • * + (хп)2 =

е.

е

Здесь X — индекс критической точки. Ясно, что в координатах
(х1...хп) поверхность f0 является конусом с вершиной в 0, а обе

поверхности: /±е — гиперболоидами (см. рис. 52).
Лемма 3. В том случае, когда f'1 [—е, е] — Al+e\ALe со-
держит только одну критическую точку индекса Л, многообразие
М+е имеет ’гомотопический тип клеточного комплекса, получаю-
щегося из М_е путем приклейки к М_Е одной клетки ак (размерности
X, где X — индекс критической точки х0) к границе f_e — дМ_Е.

Доказательство. Мы построим деформацию ср,:
Л4+е М+е, где <р0 — I, и q>x: Mt£ ->Л1_8 (J о\ тождествен-
ную на ЛДЕ; существование такой деформации доказывает лемму.

Рис. 52.

Рассмотрим векторное поле <о (х) = —grad f (х) и в качестве ср(
рассмотрим деформацию точек х вне М_Е и вне окрестности U
вдоль интегральных траекторий поля с(х). В окрестности U в ка-
честве <pt рассмотрим деформацию, показанную на рис. 53. Здесь
отрезок АВ условно изображает диск DK (х1..хх), граница

которого (сфера S?-_|) гладко вложена в край [_е области М_е
(на рисунке X = 1 и граница — сфера S0 есть пара точек А и В).

Результат деформации показан на рис. 54.
Лемма доказана.

Теорема I. Любое гладкое ком-
пактное связное замкнутое многообразие
Мп имеет гомотопический тип клеточного

Рис. 54. комплекса, в котором каждой критической
точке Рк индекса X соответствует клетка
размерности X, где {РД — критические точки некоторой функ-
ции Морса на М.

Доказательство. Рассмотрим на М функцию Морса,
где на каждом критическом уровне f находится ровно одна критиче-
ская точка. Таких функций достаточно много (см. [1 ], ч. II, § 10).
Таким образом, теорема следует из предыдущих лемм и теоремы 5
из § 10 ч. II книги [1 ].

В ряде случаев дополнительные аналитические свойства функ-
ции f накладывают ограничения на индексы критических точек.

Задача 1. Если f = Re F (г1, ..., zn) — вещественная часть
комплексно-аналитической функции в Сп, то в любой невырож-
денной критической точке (z‘,..., z") — z0 индекс равен п.
Задача 2. Если f — гармоническая функция в то ин-
декс невырожденной критической точки не может быть равен О
или п (принцип максимума).

На компактном многообразии, однако, не бывает комплексно-
аналитических и гармонических функций. Укажем одно тополо-
гическое применение результата задачи I: пусть М2п — ком-
пактное комплексное подмногообразие в CPV — C‘v (J СР»-1 •
Тогда «конечная часть» V многообразия М2п лежит в Cw. Пересе-
чение W = СРх~г П Л!2" есть «гиперплоское сечение». Вещест-
венная часть одной из комплексных координат в CN дает функцию
Морса f на конечной части V многообразия ;И2п. Все критические
точки для f имеют индекс п. Отсюда и из теоремы легко извлечь, что
многообразие М2п гомотопически эквивалентно клеточному ком-
плексу [RZ j ст'/ U ... J a*] U ст2", где k — число критических
точек функции f в конечной части V с: CjV. (Докажите аккуратно.)
Отсюда следуют равенства:

щ (Г) = (ЛР‘), i</i —1,
Hi (W) = Hi (Л12п), i</i —1 или и <t <2/i.

Вложение Нп_х (U/) -> Нп_х (М2п) есть гомоморфизм на (эпи-
морфизм).

§ 16. Неравенства Морса

Существует тесная связь между числом стационарных (кри-
тических) точек функций f (х) на гладком замкнутом многообразии
Мп и топологическими инвариантами многообразия — группами
гомологий, эйлеровой характеристикой и др.

В § 15 ч. II книги [1] устанавливалась теорема о том, что
число S (-1)^ (/) не зависит от функции Морса f на Мп и совпа-
;.>о

дает с эйлеровой характеристикой. Здесь (/) — число крити-
ческих точек индекса Л для /. Используя результаты § 15, мы по-
лучим также следующее утверждение:

Теорема 1. Если bh (Мп) — ранги групп гомологий много-
образия Мп (с любым полем коэффициентов), то имеют место нера-
венства (Морса) для любой функции (Морса) f на Мп (т. е. имею-
щей лишь невырожденные критические точки):

Их (/) 3= Ьк (Мп)

для всех X = 0, 1..п.

Доказательство. Согласно теореме 15.1 этой главы,
функция f порождает на многообразии Мп структуру клеточного
пространства. Это означает, что многообразие Мп гомотопически
эквивалентно клеточному пространству К, получаемому последо-
вательным приклеиванием клеток /(i+1 = Ki U причем сум-
марное число клеток данной размерности X точно равно числу
рх (/) критических точек f индекса X. Как уже доказывалось в § 4
(см. теорему 4.1), такое клеточное пространство гомотопически
эквивалентно клеточному комплексу К. .с числом клеток р>. (/)
размерности X. Тем самым К гомотопически эквивалентно Мп и
Я?(К) = Нч (/И'* 1) для всех <? и всех коэффициентов G. Так как
ранг группы гомологий Ях (К) всегда не более, чем число клеток
размерности X, то теорема доказана.

Эта теорема однако, не дает полного набора связей между чис-
лами цх (/), идентифицируемыми просто с числами клеток комплек-
са К ~ Мп, и числами Бетти (.'И") = (ранг Ях (М")). Мы знаем
еще одно соотношение (см. § 2)
®S(~1)X^=S(-1)XP>.(/). (1)

f -'(.«'t) e.t x>°

-7- a-f(x,) Полный набор таких связей удобно
алгебраически выразить так: со-
л е ставим производящие функции
Р (Мп, 0= S b,tK (полином Пуан-
рис щ	каре многообразия Л4Л) н Q (М11, f,

О = S Нх (/) ^ (полином Пуанкаре
функции f), определяемый фактически для любого клеточного
комплекса К, где jx?, — число клеток размерности X. Тогда из

(1) следует, полагая t = — 1, что разность Q — Р делится
на (1 4- 0. Оказывается, отношение (Q — Р)/1 4- t имеет неотри-
цательные (целые) коэффициенты. Доказательство будет дано
ниже в более общем виде. Удобно также обобщить нера-
венства Морса на [функции с вырожденными критическими точ-
ками.

Пусть f (х) — бесконечно дифференцируемая функция.

Определение 1. Точка х^ £ М называется топологиче-
ски регулярной точкой для функции / (х), если существует открытая
окрестность U = U (х0), гомеоморфная прямому произведению
(см. рис. 55) поверхности уровня иа отрезок (а)} X I [—е, s]
(где а — / (х0)). Прн этом требуется «послойность» этого гомео-
морфизма, чтобы поверхности (f-1 (а), 0 совпадали с поверхно-
стями уровня (о 4- 0 в окрестности U.

Определение 2. Точка х0 £ М называется бифурка-
ционной точкой (точкой бифуркации) для функции /, если х0 не яв-
ляется топологически регулярной точкой.

Рассмотрим примеры. Если х0 £ М — невырожденная крити-
ческая точка функции Морса f (х) на М, то, очевидно, Xq — би-
фуркационная точка (см. рис. 56).

Однако вырожденная критическая точка х0 гладкой функции /
не всегда является бифуркационной точкой.
Пример. Рассмотрим М — R1 (х), f (х) = х3, х0 = О С R1»
Тогда х0 — вырожденная критическая точка для f, однако, в то же
время, х0 — топологически регулярная (не бифуркационная)
точка для f (см. рис. 57).

Пусть Мп — гладкое компактное замкнутое многообразие
и гладкая функция f (х) допустима, т. е. имеет конечное число би-
фуркационных точек (например, f — функция Морса на М).

и

Пусть Ci, с2..Cff (N < oo) — критические значения для

функции f (т. е. (са) содержит по крайней мере одну бифурка-
ционную точку). Так как f имеет только конечное число бифурка-
ционных точек, то все они — изолированы. Пусть {х}а множество
бифуркационных точек на уровне (х) = со}. Рассмотрим МСа =
=	(х) < со}. Относительные группы гомологий Нк(МСа,

Л4Са\{х|а) представляют собой важнейшие инварианты бифур-

кационных точек функции f. (Под группой Нк (МСа, Л1Са\{х}а)

можно понимать, в силу изолированности точек {х}а, группу
Нк (МСа,	{х}а), где U {х}а — набор достаточно малых

открытых окрестностей точек |х}а).

Определение 3. Поли-
номом Пуанкаре функции f: М ->
-> R1 назовем полином

Q(M, А /) =

W п

= %%bk (М М\\х}а)	. j {	• Рис. 57.

0=1 Ь=Л	'	'	••

где bk(X, Г)’= dim’tfA (X, Y).

Теорема 2. Пусть Р (М, t) и QJM, f, t) — введенные
выше полиномы Пуанкаре. Тогда разность Q — Р делится на 1 *+. t,
и отношение (Q — Р)/1 + t имеет неотрицательные целые коэф-
фициенты.	)

Лемма 1. Пусть а < b — два такие числа из'области
значений функции f: М -►К1, что на] отрезке [а, Ы нет
критических значений f. Тогда Ма стягивается к Мъ, и
Н*(Ма, Мь) = 0.

Доказательство леммы было дано в § 15 для функций Морса.
Общее доказательство мы опускаем.
Лемма 2. Имеет место равенство

bk (^са>	х}а) ~ Ьк (Мса+е’ Мса-г)

для некоторого достаточно малого е> 0.

Доказательство. Достаточно доказать, что изоморфны
сами группы Hk(MCa, А1С(х\{х|а) и Hh (Л1Са+£, МСа_е). Это
последнее утверждение следует из определения группы
Hk (AfC(x,	и из предыдущей леммы. Рассмотрим

теперь три полинома типа Пуанкаре специального вида:
Р (Ма) = £bk (Ма) tk; Р (Mb, Ма) = S Ьк (Л1Ь, Ма) Р, где
<*) <*)

а <Ь (т. е. Мь о Ма); Р (1т д)dim (1т дк+1) !к, где
оператор дк+1: Нк+1 (Мь, Ма) -> Hk (Ма) является граничным
оператором в точной последовательности пары (Мь, Ма) — см.
§5.

Лемма 3. Имеет место равенство

Р (,ИЬ,	- \Р (Мь) - Р (М,,)} = (I -Н) Р (Im д).

Доказательство. Рассмотрим точную гомологическую
последовательность пары (Мь, Ma)t

Нк+1 (Мь, Ма)-^Нк(Ма) Нк (Мь) ± Нк (Мь, Ма)(Ма).

Из точности последовательности следует следующая система соот-
ношений:

Ьк (Мь, Ма) = dim (Im (j)) dim (Im (дк))-,
dim (Im (j)) = bk(Mb) — dim (Im (t)) =

== bk (Mb) — {6ft (Ma) — dim (Im (dft+i))} =

= \bk (Mb) - bk (O| +- dim (Im (5fe+1));

bk (Mb, Ma) - dim (Im (/)) = bk (Mb, Ma) - \bh (Mb) - bh (Mu)} -

— dim (Im (dft+1)) = Rk — dim (Im (dft+1)) = dim (Im (dh)),

где Rk = bk (Mb, Ma) - \bk (Mb) - bk (Ma)\,

Итак: Rk = dim (I m (dft+1)) -f- dim (Im (dk)),

tkRk = tk dim (Im (dfe+1)) +1 (tk~' dim (Im (dh))),

T. e. S lkRk = (I + t) P (Im 5), что и доказывает лемму.
(*)

Переходим теперь непосредственно к доказательству теоремы.
Рассмотрим все критические значения съ с2, .... cN (N < оо) для
функции f (х) (т. е. такие, что f-1 (ct) имеется хотя бы одна точка
бифуркации функции /). Рассмотрим далее числа а0,	....aN,

aN+i такие, что < си at < cf+1 < ai+i; < aN+i (т. е. некри-
тические значения разделяют критические значения (сг|;
см. рис. 58).
Из предыдущих лемм получаем:

Р (Ма. Mat) - {Р ~ Р (Mfl£)) = (1 +0 Р (Ьп д)(.

Суммируя эти равенства по i от 0 до N 4 1, очевидно, получаем:

Q (М, t)-P 4- Р (Мав) = (1+ /) К it),

где полином К (/) имеет неотрицательные коэффициенты. При этом
мы воспользовались тем фактом, что:

_ Р(.Ии.т1, ЛЦ) = Р (ЛЦ, Ме.\{4)

(это следует из предыдущих лемм). Заметим теперь, что
Р	= Р (М), так как aw+i можно считать настолько

большим, что адм.1 > max f (.г), а поэтому Ма„ , = М; далее:

х £ М	1

Р (Ма,) = 0, так как ай

можно считать выбранным —°—•---------°---•—

так, что а0 < min f (х),	°	‘

х£М

т. е. /Иа. ~ 0, а в опре-	₽ис- S8-

делении полинома Пуан-

каре суммирование по k начиналось с k — 0.
тельно, Q (А1, /) — Р (М) = (1 4- /) /< (г), что

^4 ^i+i

Итак, оконча-
и доказывает

теорему.

Теперь рассмотрим следствия из этой теоремы. Пусть в ка-
честве группы коэффициентов G взята группа R вещественных
чисел. Тогда числа Ьк = ранг (Нк) называются числами Бетти
пространства М. Пусть теперь f — допустимая гладкая функция
иа многообразии М; запишем полином Пуанкаре для / (.г) в виде
Q (А1, /) = S ЦаР, а полином Пуанкаре для М в виде Р (М) =
= L Числа щ будем называть «числами Морса» гладкой
ft>0	• '

функции f; (особенно наглядная интерпретация этих чисел возни-
кает в том случае, когда f — функция Морса на М). Тогда, в силу
доказанной выше теоремы, получаем:

Q(M, f) — P(M) = S(Hft-bft)/ft = (l+0X(0.
(*)

Отсюда получаем, что полином 2 (pft — Ьк) tk имеет неотри-
(ft)

цательные коэффициенты, т. е. Ьк. Таким образом, числа
Бетти Ък многообразия М оценивают снизу числа Морса Далее,
L М4 = S hi" 4- (1 + 0 К(/); при t = — 1 получаем £ (—1 )* щ =
<ft)	(*)	‘	(*)

= У, (—l)*dfe, где справа стоит эйлерова характеристика много-
(ft)

образия М. (альтернированная сумма чисел Беттн: х (^) =
—	(—1)* &л. Таким образом, альтернированная сумма чисел

<*>

Морса для произвольной допустимой функции f на М оказы-
вается гомотопическим инвариантом многообразия М (в частности,
она одна и та же для произвольной гладкой функции /).

Далее, разложим (1 4- tf1 в ряд по t:

(1 -Н)-« =	(-!)*/“;

<Z=Q
тогда

\ (*)	/ а=0

т. е. ряд слева имеет своими коэффициентами (после приведения
подобных членов) неотрицательные числа. Отсюда, фиксировав
какое-нибудь X, получаем систему следующих неравенств:

(Ио - М (-1)* + (их - W ( - 1)*-* +

+ (Из -- Ьз) (-1)’-2 + • • • -HJ4 - Ьк) О,
т. е.

Их ~ iix-1 4* Рх-з — • • • ± Ро 5= \ — ^л.-1 -|- i’x-a — • • • ± ьо.

Пусть теперь f (х) — функция Морса на компактном много-
образии М. В этом случае числа приобретают особенно про-
зрачный геометрический смысл. Пусть хй — критическая невырож-
денная (а, следовательно, и бифуркационная) точка для функции
f (х) (пусть (индекс х0) = X). Найдем размерности групп Я* (Afc,
А!с\(х0)) = Я* (А1с+е, Aff_e), где 8 > О достаточно мало, с =
= f (х0) — критическое значение: кроме того, пусть х0 — един-
ственная критическая точка на критическом уровне (с).

Так как для пары клеточных комплексов (X, Y) (где Y — под-
комплекс комплекса X) выполнено тождество Н* (X, У) ss
з* Я* (Х/У, * ), то Я* (Afwe, МС_Е) а Я* (MCJMC_E, *). В силу
изученной ранее гомотопической эквивалентности	IJ ох

(где ох—клетка размерности X), получаем, что Я* (А[с+е/А[с_Е, *)s
si Я* (а*75а\ ♦) si Я* (S\ ♦), где oVdox =SX — сфера размер-
ности X. Итак,

( R, если k = X,
нк (М., я •) = („, кл„ х.

Рассмотрим несколько поучительных примеров, когда х0 —
вырожденная критическая точка для f (х). Пусть, например,
/ (х, у) = Re (z«), где z = х + iy. На рис. 59 показано поведение
уровней f. Таким образом, Afc+8/Afc_8 ^'SW/'S1.

Как мы уже демонстрировали ранее, вырожденные'критиче-
ские точки можно, путем малых возмущений функции f, превра-
щать в объединение невырожденных критических точек. В разоб-
ранном примере точка 0 для Re (z11) распадается в объединение
(п — 1) невырожденных особенностей (см. подробности выше).
Это наблюдение является отражением общего утверждения: по-
лином Q (М, f) не меняется при достаточно малом возмущении

Рис. 59.

функции /. В самом деле. Q (М, /) выражен в терминах групп от-
носительных гомологий Я* (Мс+Е, Мс_8), которые, очевидно, не

меняются прн достаточно малом возмущении функции f. Таким

образом, полином Q (Л1, [) со-
общает нам, какое количество
невырожденных критических
точек каждого индекса А. появ-
ляется при распаде вырожден-
ных особенностей функции f

УЛ

(прн ее достаточно малом воз-	Рис. 60.

мущеиии).

Рассмотрим в заключение еще один пример вырожденной осо-
бенности f. Пусть f (х, у, z) = х3 — Зх (у2 -f- Z2).	ЕЙй

Предоставляем читателю убедиться, используя рис. 60, что для
этого случая М^/М^ ~ S1 V S2, и вычислить гомологии

§ 17. Правильная функция Морса — Смейла. Ручки.

Поверхности

Можно доказать, что на любом компактном гладком связном
замкнутом многообразии всегда существует функция Морса,
имеющая только один минимум и только одни максимум.

Например, для двумерных ориентируемых многообразий Mg
такую функцию можно обнаружить среди функций высоты для
«хороших» вложений поверхности в R® (см. рис. 61).

Можно показать, что на многообразии всегда существуют функ-
ции Морса, у которых критические значения упорядочены относи-
тельно индексов, т. е. f (хх) .= f (хм), где А. = р и f (хх) > f (х^),
где 1 > р, А., р — индексы точек х>. и хм соответственно. Эти
функции иногда называют «правильными» функциями (или функ-
циями Смейла). Такие функции Морса уже не будут всюду плотны
в пространстве всех гладких функций на М в отличие от общих
функций Морса.

Т-е о р е м а 1. На любом компактном гладком замкнутом
многообразии всегда существует правильная функция Морса, имею-
щая ровно одну точку максимума (точка индекса К = п =dim /И)
и ровно одну точку минимума (точка индекса 0).

Если теперь, согласно теореме из § 15, восстановить по пра-
вильной функции Морса клеточное разбиение Мп, то на каждом
шаге будут приклеиваться
клетки размерности боль-
шей, чем размерность преды-
дущих клеток.

Доказательство теоремы.
Введем полезное вспомога-
тельное понятие: градиентно-
подобное поле для гладкой
функции f (х) на Мп. Че-
рез В (/) будем обозначать
производную функции f вдоль
поля В.

Определение 1.
Гладкое векторное поле В

на М называется градиентно-подобным, если: 1) В (/) =#= 0 на
множестве Л4\{хь .... x.vl, где {хД критические точки для
функции Морса f; 2) для любой точки xt существует открытая
окрестность U (х,) такая, что в любой системе координат, в ко-
торой

f (*) |ц ео=f (Xi) - s (х*)2 + s т

*=1	*=Н-1

поле В имеет внд

В (х) = (—х1,..., —хх; хх+‘,..х").

Ясно, что для любой функции Морса f на М существуют такие
поля В (например, В = grad f относительно какой-нибудь римано-
вой метрики на М).

Пусть Xi М — критическая точка для f, (индекс хг) = А.
и В — градиентно-подобное поле для f. Рассмотрим так называе-
мую сепаратрисную диаграмму точки xt, т. е. совокупность всех
интегральных траекторий поля В> входящих или выходящих из
точки х(. Тогда в окрестности U (xt) эта диаграмма имеет вид,
показанный на рис. 62.

Входящие траектории заполняют диск Dx (х1...хх); выходя-

щие— диск Dn~k(xk+l, ..., хп).

Рассмотрим две сферы: S*-1 = DK Q \f (x) = f (xf) — e};
S'»-*-' = Dn~x f| \f (x) = / (xf) + в} для достаточно малого 8.
Можно считать, что S)-1 = dD\ Sn~-~l = dDn~'~l в окрест-
ности U (хг); см. рис. 63.
Рис. 62.

Рассмотрим «раздувание» дисков DK (x,) и Dn~K (xt) вдоль ин-
тегральных траекторий поля g; тогда сферы S’-"1 (х{) и Sn"x-1 (xf)
также будут каким-то образом гладко деформироваться, двигаясь
вдоль траекторий поля £ без самопересечения до тех пор, пока они
не встретят какую-нибудь другую критическую точку Ху. (Ясно,
что траектории поля g могут пересекаться только в критических
точках функции f.)

Лемма 1. Пусть в слое
Мь'\Ма- — f'1 [а’, Ь']есть только
две критические точки х0 и уй
функции f, причем а' < а —
= f (л'о) < f (Уо) = Ь < Ъ’\ пусть
£ — градиентно-подобное поле
для f. Предположим, что в слое
f'1 [а', b' J выполнено соотношение

D’1'' (х0) П (у0) = 0 (здесь
А. = ind (х0); X' = ind (z/0)). Тогда
на многообразии М:' существует

новая функция Морса g такая, что f = g вне [а', 6'1, при
этом g имеет те же критические точки на М, что и функция f;
поле £ является градиентно-подобным и для функции g; g (х0) >
>g(yo)', g — f + const в окрестностях U (x0), U (y0).

f- f(cc)+e

f - f(*i)

f-

Рис. 63.

Рис. 64.

Доказательство. Из условий леммы вытекает, что
в слое f-1[a', b' ] сепаратрисные диаграммы точек х0 и уа не пере-
секаются (см. рис. 64), т. е. (Dn~K (х0) |J £>'- (х0)) Q (Dn~K' (у0) (J
U Dh' (z/0)) = 0- Обозначим: W =	6'1;

А = (Хо) J (Хц); В = JJn-V (уо) J (yj.

Тогда, очевидно,

№\(Я IJ в) ^.(f"1 (Ь')\((А и В) П т х 7 [«'- Ь'\ =

^(/-1(«')\((Л и в) П Г1 («'))) х /[а', У].

Это же соотношение можно записать так: дополнение 1F\(4 (J В)
диффеоморфно прямому произведению

(/-• (6')\ (S'-•'-> (уп) U S"-*-1 (х0))) х / (а', b'\

(J-' (a')\(SK'~l (у0) U S’-1 (х0))) X I [а', Ь’],
Рис. 65.

где / [а', Ь'] — отрезок. (Для простоты будем считать, что
а' = 0; &' = 1.) В частности, диффеоморфизм между много-
образием (b')\ (S"-’-'-* (у0) (J S'1-*’-* (х0)) и многообразием
f~l (а (у0) U S'--1 (х0)) осуществляется вдоль интегральных
траекторий у поля Рассмотрим гладкую функцию а (х) на f"1 (а')
такую, что а (х) = 0 в достаточно малой окрестности A f| f"1 (а‘)
и а (х) = 1 в достаточно малой
окрестности В П /-1 (а'). Это
можно сделать, так как А (] В —
= 0. По функции а, заданной
на /-1 (а'), построим гладкую
функцию а (х) на всем W, про-
должая а постоянными значе-
ниями вдоль интегральных траек-
торий поля В (эти траектории не
пересекаются вне A U В). Полу-
ченная функция а (х) на W посто-
янна вдоль любой траектории у,
не входящей в открытую окрест-
ность A (J В, а — 0 в U (Л) и
а = 1 в U (В).

,ию р (х, у) = z, задаваемую гра-

фиком на рис. 65.

На рис. 66 показана эволюция линий пересечения графика
z--p(x, у) с плоскостью у ='t (const) при изменении t от 0 до 1.

Рассмотрим гладкую

Рис. 66.

Формальные условия, наложенные на функцию р, запишем
в следующем виде:

1)	(р (X, у}) > 0 при всех (х, у) и р (х, у) возрастает от
0 до 1, когда х возрастает от 0 до 1;

2)	р (а, 0) = Ь; р (Ь, 1) = а;

3)	"5F (Р	1 ДЛя всех * в окрестности а; ^-(р(х, 1)) =

= 1„для всех х в окрестности Ъ (см. рис. 67).
Определим теперь искомую функцию g (х) = р (f (х), а (х)),
X е Г Тогда g (х0) = р (/ (х0), а (х0)) = р (а, 0) > р (6, 1) =
= Р (J <Уо), “ (Уо)) = g (Уо)- Итак, g (х0) > g (уй). Из условий
1)—3) иа функцию р следует, что функция g (х) удовлетворяет всем
требованиям, сформулированным в условии леммы. Лемма до-

казана.

Лемма 2. Рассмот-
рим W = f-1 [а', Ь' ]. Пусть
Хо. Уо, € W;f (х0) < f (у0)
и X (х0) = (индекс f в точ-
ке х0) з* 1 (у0) — (индекс f
в точке у0). Тогда суще-
ствует функция Морса g
на М такая, что g’(x0) >
>g(y0)‘, g имеет те же
ция g (x) удовлетворяет
леммы.

£.1 Рис. 68.

критические точки, что и /; функ-
всем другим условиям предыдущей

Доказательство. В случае, когда 4^5 = 0, лемма
доказана (см. предыдущую лемму). В общем случае А [\ В^0.
Редуцируем этот случай к ситуации: A f) В = 0. Рассмотрим
поверхность \f (х) = 1/2} = V (мы считаем а' = 0; b' = 1;
0 < f Uo) < 4 < f <&>) < 1)- Положим X = % (Хо)( v = А, (у0). Пусть
поверхности V Sn~K~l (х0) П
Л Sv-> (у0) =£ 0, см. рис. 68.
(В самом деле, если это пере-
сечение пусто, то А Л В =я
= 0.) Так как (1/2) С la', b' 1
не критическое значение, то
Vn~l — (п— 1)-мерное глад-
кое многообразие, а сферы
(х0) и S*'~' (Уо) -
гладкие подмногообразия
на V.

‘ Так как dim (х0) + dim SK'~'(y0) = п — X — 1 +
-f- X' — 1 = и — (X — X') — 2 < п — 1, то из общей теоремы
о /-регулярности (см. [1], ч. II, § 10) следует, что существует
сколь угодно малая изотопия вложения it SK'~l -> V в близкое
вложение, которое уже будет иметь пустое пересечение со сферой
5П-Х-1 (л-о) Ясно, что эту изотопию можно продолжить в малую
окрестность поверхности V, сделав ее (изотопию) тождественной
вие этой’окрестности. Подвергнув искомой изотопии градиентно-
подобное поле 5, мы получим уже две непересекающиеся сепара-
трисные диаграммы А л В (см. рис. 69).

Мы редуцировали ситуацию к случаю A Q В = 0. Лемма
доказана.
• Тем самым утверждение теоремы о существовании правильной
функции Морса полностью доказано. Вторую часть утверждения
теоремы (о существовании правильной функции Морса с одним мак-
симумом и с одним минимумом) мы оставляем читателю в качестве

полезного (и довольно простого, особенно для двумерных много-
образий) упражнения.

• Рассмотрим теперь более подробно процесс приклейки клетки
ак к границе многообразия Л1_Е (см. выше). Выясним, что происхо-
дит с многообразием ЛЬе после

«подъема за критическую точку
х;_» с дифференциальной точки
зрения, т. е. как меняется много-
образие с точки зрения так
называемой операции приклейки
ручек.

Рассмотрим прямое произве-
дение Я" — DK X где D" —

диск размерности q. Многообразие (с краем) И'1 называется ручкой
индекса X. Ясно, что граница дН” имеет вид дН* = (dDx) X
X Dn~k U £>’' х (dD’t~>) = (S’ "1 х D'-’) 'J (D;- X S',-x“‘). Опре-
делим операцию приклейки ручки Н" к многообразию /С'
с краем У'1-1 = дКп. Пусть S’""1 cz V"1-1 — гладко вложенная
сфера такая, что достаточно малая трубчатая окрестность Те (Sx-1)

Рис. 71.

(радиуса е > 0) представляется в виде прямого произведения
Те (Sx~‘) sS’-1 X Dn~\ где |s X Dn~K], s £ Sx“', — нор-
diff

мальные диски (радиуса е) к сфере S’~‘ (см. рис. 70).

Тогда можно построить новое гладкое многообразие Кп с краем
у"*1 = 9Кп, рассмотрев склейку К" с по отображению х:
S'-1 х D'’~x -> Те (Sv-1) £sS’~‘ х D'‘-x, являющемуся диффео-
dlff

морфизмом SX“I X £)п~х (части границы дН") на трубчатую
окрестность T8(SX~I). На рис. 71 показана операция приклейки
ручки Н2 при п = 2.

Сглаживая «углы», возникшие в точках х £ дТг (Sx~’) =
= S’“‘ X S'’-’-1, получаем гладкое многообразие Кп с глад-
ким краем У"- . (На рис. 72 это сглаживание показано пунк-
тиром.)

На рис. 72 показана операция приклейки ручки № к №•

На рис. 73 показана операция приклейки ручки Н'1 и №.

Рис. 72.

Теорема 2. Любое гладкое компактное связное замкнутое
многообразие Мп диффеоморфно объединению ручек {//£!, где Р>.—
критические точки некоторой функции Морса на Мп; % — индекс
Р}_, и каждой точке Pk соответствует ручка Hl-

Рис. 73.

Доказательство. Так как диффеоморфно
при а < Ь, если на отрезке [а, b ] нет критических) значений функ-
ции f (х), то достаточно изучить изменение М_г при переходе через
критическую точку №.. Рассмотрим гладкую деформацию Мг -»
-»/И_е (см. лемму 15.3), но теперь изменим ее так, как показано
на рис. 74.

Результат деформации показан на рис. 75.

Ясно, что «осью» ручки Hi является диск DK(xl, ..., х’),
состоящий из интегральных траекторий поля v (х) = —grad f (х),
выходящих из особой точки поля ®(х). Теорема доказана.
Если, наоборот, задано разложение многообразия М в сумму
ручек {/Ух), то можно восстановить некоторую функцию Морса
f (х) на Мп такую, что ассоциированное с ней разложение М
в сумму ручек совпадает с исходным разбиением М в объединение
ручек {Я'х[. Доказательство проводится индукцией по числу ру-
чек и их индексу. Ручки [Но} можно отождествить с дисками О'1,
центры которых можно объявить критическими точками индекса
0. Функцию f (х) будем строить, предъявляя ее гладкие поверх-
ности уровня fc (функция f (х) будет определена неоднозначно).
Тогда в качестве поверхностей \[с\ в дисках {£)"} = [Но] возьмем

Прежняя f(i)
Рис. 76.

концентрические сферы с центром в локальных минимумах функ-
ции f (х). Пусть f (х) уже построена на гладком многообразии [f <
< а} с краем V'*-1 — \f = а| и пусть ручка Н* приклеена к краю
У*-'. Требуется продолжить f (х) на ручку Я*. Продолжение по-
казано^на* рис. 76.

Полеченная функция g (х) снова оказалась постоянной на
краю многообразия [f < а\ U Н%, поэтому процесс можно про-
должить.

Рассмотрим двумерные многообразия {Л4а| и рассмотрим их
разложения в суммы ручек [Н1\ в соответствии с доказанными
выше теоремами. Попутно мы еще раз докажем теорему класси-
фикации двумерных поверхностей (см. § 3).

s _ Рассмотрим на Мг правильную функцию Морса f (х); пусть
х0—точка минимума (единственная точка индекса 0); xlt .... хя—
точки индекса 1; x.Y+1 —точка максимума (единственная точка
индекса 2), причем f (х;) < f (xi+1), 0 < i < N. Будем считать,
что 0 < f (х) < N + 1 и / (хг) = i. Тогда множество 0 < / <
< в < 1 является ручкой Н% (гомотопически эквивалентной точке
о0 —нульмерной клетке). При переходе через критическое зна-
чение f (xj = 1 возникает приклейка ручки Н\ (см. рис. 77).

При п = 2 существуют только два способа приклейки ручки Я?
к Яд (см. рис. 78).

Гомотопически оба^способа приклейки эквивалентны, однако
они различны, если рассматривать диффеоморфизмы получен-
ных многообразий с краем: Яд J i Я? as S1 X D1 (цилиндр);
Н3 U и Н2 (лист Мёбиуса). В первом случае получается ориен
тируемая поверхность (с краем), во втором — неориентируемая.

Продолжая процесс и переходя к точкам х2, х3, ..., хк, мы на
каждом шаге приклеиваем одномерную клетку o’, 1 < i < N;
а в терминах ручек — либо приклеиваем S1 XD1, либо прикле-
иваем лист Мёбнуса. После перехода через точку xN (f (xN) = N)
с гомотопической точки зрения мы получаем букет окружностей:
N

V S’; каждая окружность S’ —ст’ (J а° соответствует критиче-
ской точке Xi (индекса 1). Последний шаг заключается в при-
клейке ручки Н2 а* £)\ т. е. двумерной клетки о2, гомеоморфной

Рис. 78.

Рис. 77.

диску Таким образом, Л12 гомотопически эквивалентно кле-
точному комплексу: a0 (J o’ (J ... (J алг U о2 н диффеоморфно:
Н* U Hl (J ... Ц Н* (J Щ. Приклейка клетки (ручки) D2 = Н2

N

к полученному на (W + 1)-м шаге многообразию К2 с краем
S1 = дК? может быть осуществлена уже только одним способом:
по тождественному отображению 1$«: 3D3 -> <?№.

Клетка о2 D3 может быть отождествлена с фундаментальным
многоугольником W, полученным нами $анее при доказательстве
теоремы классификации {Л42|, а букет V S} можно отождествить
с границей многоугольника W, на которой все вершины уже
отождествлены в одну вершину.

На рис. 79 показан последовательный процесс восстановления
тора Т2 — Mg=i для стандартного его вложения в R3 такого, что
f (Р) = z (функция высоты) является функцией Морса с 4 крити-
ческими точками: х0. (min); хъ х2 (седла индекса 1); х3 (max). Для
g > 1 аналогичная функция высоты на M3g имеет 2g + 2 невыро-
жденных критических точек: х0 (min); xlt .... (седла);
Xtg+i (max).

На любом можно построить гладкую функцию высоты
f (х) в R3 с 4 критическими точками (min, max и два седла). Эти
седла будут вырождены при g> 1. Искомое вложение Л4|-»- R®
показано на рис. 80,
Седла л'х, х2 вырождены при g > 1, и функция высоты в окре-
стности точек xlt х2 устроена как функция Re (х + iyY+s (см.
рис. 80). Далее, на любом М2 (M2s>0 или М^) существует гладкая
функция f (х) с тремя критическими точками: min, max, седло
(вырожденное). (Докажите, что эта функция для Alg>0 не может
быть реализована как функция высоты при некотором вложении

Рис. 79.

Mg -*• R3.) В самом деле, рассмотрим симметричную канс..иче-
скую форму Afg (или /Иц): W — а\ ... а,у-а”1 ... aN-\d^1 (см.
о существовании такой формы § 3). Искомая функция f (х) задана
на рис. 81 своими линиями уровня (неоднозначно): слева от ab —
max, справа — min, вырожденное седло — в вершине фундамен-
тального многоугольника. Функция f (х) имеет в малой окрестно-
сти этого вырожденного седла вид Re (х + iy)k (найдите k как

Рис. 80.

функцию от g или р). Распад этой вырожденной особой точки
в объединение невырожденных особенностей продемонстрирован
на рис. 82. Распад продемонстрируем в терминах соответству-
ющего векторного поля grad f\ критические точки f совпадают
с особенностями поля grad f.

Положим f(x, у) = Re(z*) (где z = х + iy). Тогда точка
0 £ R2 (х, у) — вырожденная критическая точка f (и вырожден-
ная особенность для поля я(х, у) = grad Re (г*)). На рис. 82 по-
казана картина интегральных траекторий поля V.
Рис. 83.
k

Рассмотрим малое возмущение f (х, у) -»• Re (г—еь),
tt=l

где е{ =/= e.j при i j. На рис. 82 показан распад вырожденной
особенности в объединение k — 1 невырожденных особых точек.

Замечание. При построении на многообразии /И2 глад-
кой функции f с тремя критическими точками мы воспользовались
следующим представлением /И2: W — а\а> ... ада?1 а?1 ...

и разбили многоугольник W отрезком («&) так, чтобы по одну сто-
рону от (ab) не было пары сторон, занумерованных одной и той же
буквой а,-. Это нам было необходимо для того, чтобы избежать
(при построении функции) появления непрерывного множества
вырожденных критических точек (см. рис. 83).

§18. Двойственность Пуанкаре

В топологии, алгебраической геометрии и гомологической
алгебре под одним общим термином «двойственность Пуанкаре»
понимают совокупность утверждений об изоморфизме гомологий
и когомологий дополнительных размерностей в различных ситу-
ациях. Простейшая теорема (Пуанкаре) утверждает, что для
замкнутого компактного гладкого связного многообразия Мп
имеет'место изоморфизм: Нк (М-, R) г* Нп.к (/И; R), где Н* (М;
R) — группы гомологий с вещественными коэффициентами, п —
— dim Мп. Этот изоморфизм, очевидно, эквивалентен условию
Ьк (М) = Ьп_к (Л4) на числа Бетти многообразия М. Если много-
образие М иеориентируемо, то тогда двойственность Пуанкаре
имеет место для гомологий по модулю 2: Нк (М; Z8)	(Л1;

ZJ. Мы будем рассматривать ориентируемые многообразия. Не-
ориентируемый случай исследуется аналогично.

В основе двойственности лежит следующее.

Мы построим два клеточных разбиения: К и К многообразия
Мп, двойственных друг другу. Более точно, мы сопоставим каж-
дой„клетке о‘ £ /С (с помощью некоторого соответствия D: К ~*
-* К) некоторую (л — г)-мериую клетку D (<jz) = ап~1 (т. е.
клетку дополнительной размерности), причем соответствие D
будет удовлетворять следующим условиям:

1.	D —взаимно однозначное соответствие между клетками
комплекса К и клетками комплекса К-

2.	Для любых двух клеток <з1, ст1-' £ К их коэффициент
инцидентности 1<тг: о'-’] с точностью до знака, зависящего
только от размерности I, равен коэффициенту инцидентности кле-
ток 5л—‘, бп~1+', соответствующих . исходным клетисм при
соответствии £>; т. е. [о1 : а‘~Ч = ± [5”-1+1 : 5п~‘]. Напом-
ним, что мы рассматриваем ориентируемый случай. В случае
же неориентируемого многообразия коэффициент инцидентности
следует брать по модулю 2, т. е. в неориентируемом случае будет
выполняться равенство [о'‘ : <т{-1] = [5"-/+’ : 5Л-Ч mod 2.

Рассмотрим на Мп правильную функцию Морса f (х), крити-
ческие точки которой упорядочены относительно своих индексов,
т. е. f (х,) f (х>), если Аг > А/. Существование такой «правиль-
ной» функции Морса было доказано нами выше.

Зададим на Мп ориентацию и рассмотрим наряду с функцией f
функцию — f — g. Ясно, что если xt —критическая точка для f
индекса Ап то хг —критическая точка и для g — —f индекса
п —Аг.

Возьмем в качестве клеточного разбиения К многообразия М
разбиение, порожденное функцией f (см. выше), а в качестве К —
разбиение, порожденное функцией —f.

Рассмотрим более внимательно связь \	\у/

между комплексами Д’ и К. Имеем малую	JL3”*

окрестность U (xf) точки х(, и ее разложе- S X />.
ние с помощью функций f и —f (см.	'

рис. 84).	~' рис. 85.

Построим теперь искомое соответствие

(отображение клеток) D, где D:	К..

Положим D (ак) — б"-*- (см. рис. 85). Клетки для функции f
и 5п~к для функции g в —f были определены в § 15.

Изучим теперь связь между коэффициентами инцидент-
ности: [стх : <тх-1 J и [а',-х+| ; 5Л~Х].

Рассмотрим клетку а} (I — номер клетки) и клетку aj 1;
число [ffj1: (Ту-1] есть, по определению, степень отображения

-* S/“', где S;~' = д (о)) (т. е. граница клетки ст*);
pKtJ совпадает с композицией характеристического отображения
до; КУ'~\ ограниченного с о* на ее границу <?of, н проекции
фактор-комплекса К''~л]Кк~2 = V Sf-1 на J-е слагаемое этого
букета Sf~l (см. рис. 86).

Полученное число (см. [1], ч. П, § 15) совпадает с индексом
пересечения сферы Sf-1 = dof с клеткой (см. рис. 87).

Ясно, что индекс пересечения сферы Sf~' с клеткой о"-’"1
равен коэффициенту зацепления сферы Sf~' со сферой —
— дап/~)'+> (мы опустили здесь обозначение характеристиче-
ского отображения). Обозначим этот коэффициент зацепления
через w (Sf~'; Итак, доказано, что [of : ст/~*] = ®(Sf~‘;

Рис. 86.	Рис. 87.

S/-x). Совершенно аналогично получаем, что [о/~х+1 : о?-1] =
= w (S/“x; Sf-1). Сравнивая две последние формулы, пблучаем
окончательно, что комплексы К и К двойственны, т. е. [ох : ох-1[ =
= ± [а/!~л—1 _• о”—*].

Таким образом, оператор двойственности £>: К -> К обладает
тем свойством, что клетки of и of-1 = D of пересекаются только
в одной внутренней точке и при этом трансверсально (для ориен-
тируемых многообразий Мп при выбранной ориентации клеток
этот индекс пересечения равен +1). Остальные пары клеток
вообще не пересекаются. Клетки дают базис целочисленных
(и других) групп цепей С?. (К) и Сц (К). Тем самым между груп-
пами Цепей установлено невырожденное билинейное скалярное
произведение а о Ь, называемое «индексом пересечения»: если
а е (К) и b 6 Сп_к (К), то

of о — 8itl, а о b = £ afij (of о of"*)
i. 1

(в нёориеитируемом случае по модулю 2); здесь

а= S a,of, b = S Ь,д]~к.
i	I

Было доказано свойство сопряженности

(да) о b = а о (дй),
где а £ С;. (Д')- b С С/г-?.-1 (Л), поскольку : о) =
= [Doh ОоГ‘1-

Тем самым комплекс (С(ЛЛ)> д) сопряжен к комплексу (С (К), д).
Отсюда следует:

Теорема 1. Имеет место канонический «изоморфизм
двойственности Пуанкаре»'.

- Hh (Мп) s* Hn~k (мп),

где Мп — замкнутое ориентируемое гладкое многообразие. В ча-
стности, для чисел Бетти имеем

bk = bn_h

(ранги Hk, Hn_k совпадают). Между гомологиями дополнительных
размерностей Hh и Hn_h построена невырожденная (для цело-
численных гомологий унимодулярная) билинейная форма, имену-
емая «индексом пересечения циклов». Если п — 2k, то п —k — k
и мы имеем невырожденную форму на Hk GW): а о b — (—1)кЬ о а.

Доказательство теоремы немедленно следует из предыдущего
вывода с дополнительным замечанием, что оба комплекса К и К
гомотопически эквивалентны /И" и имеют поэтому одинаковые
гомологии и когомологии согласно результатам § 5.

Пример 1. Для любого ориентируемого связного много-
образия Мп имеем Но = Z — Нп(Мп).

У неориентируемого многообразия имеем Но (Мп, Z) = Z
(всегда), но Н„ (Мп, Z) = 0. По модулю 2 имеем Но (Л!", Za) =
= Za = HQ (М", Za).

Пример 2. Пусть п = 2 и /И2 —ориентируемо. Группа
Нг (М2, Z) имеет невырожденную кососимметрическую форму —
индекс пересечения. Поэтому размерность bL четна и имеется
канонический базис циклов а1г ..., ag, Ьи ..., bg, где

at oaj = bi о bj = O, а,оЬ} = Ьц.

Группа Нг (/И2; Z) не имеет кручения, и все циклы a,, bt можно
выбрать целочисленными.

Пример 3. Пусть /И2 = RP2 (иеориентируемо). Группа
Ht (RP2, Za) = Za с одной образующей х (проективная прямая
RP1 с RP2). Из невырожденности формы а о b (mod 2) на
группе Hi (М2, Za) получаем

х о х = 1 (mod 2).

Пример 4. Пусть М* ориентируемо. В многообразии
Мп X Мп имеем цикл А = (х, х) —диагональ, А £ Нп (Мп X
X Мп). Индекс пересечения А о А равен эйлеровой характери-
стике, так как это число А о А совпадает с суммарной особен-
ностью векторного поля (см. [1 ], ч. II, § 15). В группах Hk (Мп X
X Мп, R) = S (Мп) ® Ht (Мп) имеется базис циклов zt ®
® Zj, где {?<} —базис в группе Н* (Мп). Индекс пересечения здесь
имеет вид

(?< ® zf) о (г'ь ® z't) = (?,• о zk) (г, о ?,);

он нетривиален, только если dim zi + dim z'k — n, dimz/ +
4- dim z'i — n (проверьте!)

Задача 1. Пусть задано отображение f: М"-+ Мп и изве-
стны все отображения Д, / Нк (Мп, R) Нк (Мп, R). Вычислите
индекс пересечения Д о Ду в М" X Мп, где Д/ = (х, f (х)) —гра-
п

фик. Докажите формулу (Лефшеца) Д о Д, = £ (—!)* Sp Д,

(Для неориентируемых многообразий нужно заменить R на Z2.)
Число Д о Ду дает алгебраическое число неподвижных точек
отображения f (см. [1], ч. II, § 15). Рассмотрите сначала более
простые случаи: Мп = Sn, Л1л= Тп, Мп — RPn, Ма — Mg. В ча-
стности, если f гомотопно отображению в точку, то Д* = 0 при
k > 0 и fQ* тождественно. В этом случае Д о Ду = 1 — Sp /0+,
что совпадает с результатом § 15 ч. II книги [1 ].

Задача 2. Доказать, что двойственность Пуанкаре в ко-
гомологиях АГ* (Л’!'1) задается когомологическим умножением.
Точно это означает, что форма

(ab, [Мп ]) = {а, Ь)

невырождена; здесь а £ Нч(Мп), b С Нп'~^(Мп), коэффи-
циенты — поле. Если речь идет о целочисленных гомологиях
и когомологиях Н* (Мп\ Z) и Н* (Мп; Z), где есть кручение, то
здесь закон двойственности Пуанкаре удобно получать из «опе-
ратора высечения» (см; § 7)

Da = а [Мп ],	(1)

где а £ Нк (Мп\ Z), а а [Мп 1 £ Hn_k (Мп; Z). Для] полей
коэффициентов в силу формулы

((а^ 1М"1), b) = (ab, [/М"1)	(2)

и взаимной сопряженности Hq и АГ’ формула (1) не дает ничего
содержательно нового.

Задача 3. Пусть М zz К, причем М и К — конечные кле-
точные комплексы и М \ К — открытое гладкое ориентируемое
многообразие. Доказать равенства:

Ht (М, Z) s Hi (М/К-, Z) Нп~‘ (М\К, Z),	i > О,

Н1 (М, AC; Z) ss № (M/К, Z) s* Hn.t (Af\AC; Z),	i> 0

(двойственность Лефшеца). Разобрать специальный случай: i — 0.

Задача 4. Пусть АС” с S'* (т < п) — вложение конечного
клеточного комплекса Кт в сферу S'*. Доказать равенства

Ht\Xm', Z) Н”-1-' (Sn\Km\ Z), i > 0,
Hi (Кт-, Z) а Я,.,.! (5Л\^; Z), i > 0
(двойственность Александера). Разобрать специальный случай:
i = 0.

Задача 5. Пусть М" — гладкое компактное замкнутое
ориентируемое многообразие (АР; Z) = R* ф 7* — разложе-
ние групп Hk в прямую сумму свободных абелевых групп Rk
и абелевых групп конечного порядка Тк. Тогда имеют место сле-
дующие изоморфизмы: Rk = Rn_K, Tk— Tn_h_i.

Замечание. Соотношения: Rk s Rk, Tk =$ T*+1 выпол-
нены для любого конечного клеточного комплекса.

Напомним, что эйлеровой характеристикой многообразия М’1
ч

называется следующая альтернированная сумма: У, (—l)z	=

>=о

= х (At"), где л = dim At"; 0, — dim Ht (Mn-, Z2) — числа Бетти
mod 2 многообразия Mn. Из двойственности Пуанкаре (для за-
мкнутых многообразий) получаем:	а потому для не-

четномерных многообразий /И2А+1 имеем: % (Af2A+1) = S(—=
’= 0 (для ориентируемых Мп можно пользоваться числами Бетти
с G = R).

§ 19. Критические точки гладких функций
и категория Люстерника — Шнирельмана

Если f — функция Морса, т. е. критические точки иевыро-
ждены на многообразии Af, то число критических точек функции /,
как мы уже знаем из § 16, оценивается снизу: щ bk, где pfe —
число критических точек индекса k и Ьк—число Бетти: Ьк =
= dim Нк (Af; G), где G — R, либо G = Z> (или Zp, p — простое).
Так, например, на любой двумерной поверхности типа А1| любая
функция Морса имеет не менее (2g -f- 2) критических точек.
Однако ситуация резко усложняется, если мы попытаемся оце-
нить снизу число критических точек для произвольной гладкой
функции /, которая уже не обязана быть функцией Морса. Как
показывают простейшие примеры, число вырожденных особен-
ностей может быть значительно меньше. Как было отмечено ранее,
при деформации функции f в пространстве гладких функций
невырожденные особенности могут сливаться друг с другом,
образуя вырожденные особенности. Такие взаимные слияния
уменьшают число критических точек. В то время как функция
Морса иа Afj обязана иметь не менее 2g + 2 критических точек,
на любом Afg существует гладкая функция с тремя критическими
точками, из которых одна вырождена (и распадается в 2g не-
вырожденных при подходящем возмущении), а две другие яв-
ляются точками минимума и максимума. Неравенства типа J

(*>

все равно выполнены (см. § 16) и в том случае, когда f
не является функцией Морса; однако теперь числа щ не имеют
того смысла, какой они приобретали в невырожденном случае
(т. е. числа невырожденных особенностей индекса k). Теперь
числа р* описывают «степень сложности» критических точек, кото-
рая уже не связана прямо с их количеством. Более того, как было
показано ранее, не каждая критическая точка (вырожденная)
обязана быть точкой бифуркации (см.“§ 16 выше), а потому не-
равенства S рА > Е bk могут не учитывать некоторых выро-
W w

ждеиных особенностей. Таким образом, это не дает возможности
произвести оценку снизу числа особенностей произвольной глад-
кой функции f на заданном многообразии Мп. Оказывается, су-
ществует некоторый топологический инвариант многообразия Мп
(называемый категорией Люстерника — Шнирельмана) — cat (.М"),
оценивающий снизу число критических точек функции f. Перейдем
к описанию этого инварианта.

Пусть X — топологическое (хаусдорфово) пространство, A cz
г- X —произвольное замкнутое подмножество в X.

Определение 1. Категорией catx (Л) замкнутого под-
множества А относительно пространства X называется мини-
мальное число k, для которого существуют замкнутые подмноже-
ства Лп .... Ak в X такие, что А = U Ait и каждое подмноже-
ство А, стягивается по пространству X в точку.

Замечание. Связность подмножеств (Лг) не предпола-
гается. Само пространство X будем, для простоты, предполагать
связным. Если А = X, то будем (по определению) считать, что
catx (X) = cat (X). Это число и называется категорией Люстер-
ника— Шнирельмана. Категория catx (Л) может принимать
значения: 1, 2, 3, ...

Перечислим и докажем основные свойства catx (Л).

Лемма 1. Если A cz В с X, то catx (Л) catA (В).

Доказательство. Пусть q = catx (В), т. е. суще-
ствуют замкнутые подмножества Вг, 1 < i < q, такие, что В —
= U Вг и каждое Bt стягивается по X в точку. Рассмотрим за-
l = i	,

мкнутые подмножества Лг = Л f| Вг, 1 < i < q. Тогда, оче-
Q

видно, Л = U At и каждое из Л; стягивается по X в точку.
i=\

Следовательно, catx (Л) < q = catx (В), что и требовалось
доказать.

Лемма 2. Пусть А и В — два произвольных замкнутых
подмножества в X. Тогда cat^ (Л (J В) < catx (Л) + catx (В).

А	р

Доказательство. Пусть Л = U Лг и В = (J Bf,
i=i	/=i

Р+А

тогда A U В = U Са, где Са = Аа при 1 < а < k и Са =
а=1
= Ba..h при £-f-l<a<:fe-|-p. Так как Л£ и В< стягивались
по X в точку, то Са стягиваются в точку и catx (С) < k -f- р =
= catx (Л) + catx (В). Лемма доказана.

Лемма 3. Пусть А с В —замкнутые подмножества в X.
Тогда catx (В \ А) catx (В)—са1х(Л), где через В \А
обозначено замыкание множества В \ А в X.

Доказательство. Так как В = A (J (В \ Л), то,
в силу леммы 2, получаем cat.< (В) < catv (Л) + catx (В \ А).
Лемма доказана.

Рис. 88.

Лемма 4. Пусть А с: В —два замкнутых подмножества
в X и пусть множество В непрерывно деформируется в подмно-
жество А (т. е. существует гомотопия <р£ отображения вложе-
ния I: В -* X в такое отображение фх: В -* X, при котором
срх (В) S Л. Тогда catv (Л) catA- (В). (Множество <рх (В) с X
может быть не гомеоморфно В.)

Доказательство. Пусть catx (Л) = k. Рассмотрим

покрытие Л = U At, где все Л£ стягиваются по X в точку. Так
4 = 1 .

как <pi (В) £= А, то можно рассмотреть Rj — <рх (В) П Л у, 1 <
< j < k. В силу условия леммы существует непрерывное отобра-
жение a: i (В) -* <рх (В), где подмножество i (В) гомеоморфно В.

k

Положим В, = a-1 (Rj), 1 < / < k. Ясно, что В = (J В/. Далее,
•/=1

применив к В/ гомотопию <р£, мы продеформируем В; по X в под-
множество <pi (В/) = Rj с Л у, т. е. R/ стягивается по X в точку;
тем самым каждое By стягивается в точку по X; следовательно,
cat< (В) с k. Лемма доказана. См. рис. 88.

Лемма 5. Пусть Л с X, Л —компакт и X —много-
образие. Тогда существует е > 0, такое, что catA (UZA) =
= catx (Л), где через U& (Л) обозначена замкнутая е-окрестность
подмножества А с X. Число & зависит от А.

Доказательство. Так как А с £/еЛ, то по лемме 1
получаем: catx (Л) < catx (t/еЛ). Докажем обратное неравен-

7 Б. А. Дубровин и др.
k

ство. Пусть catx (Л) = k и А = U Ait где каждое At стяги-
вается по X в точку. Так как X — многообразие, то, очевидно,
существует 8> О такое, что Us (Л,) стягивается (вслед за А,)
k

в точку по X (1 < i < k). Так как Ut. (Л) = U U. (Лг), то
|г=1

catx (t/e (Л)) < k = catx (Л). Лемма доказана.

Замечание. Если X — не многообразие, то лемма 5
не верна (см. рис. 89).

Лемма 6. Предположим, что X —многообразие. Пусть
А, Вп (п = 1, 2, ...) —замкнутые подмножества в X и А =
= lirn Вп, т. е. р (Л, Вп) -* 0 при п -* оо, где X предполагает-
л-*оо

ся метрическим пространством, р (С, D) = sup (inf р (х, у)) -f-
х£ С y(ZD

+ sup (inf р (х, у))-, р (х, у) —расстояние в X между точками х
у^а х^.с

и у. Предположим, что catx (Вп) k. Тогда и catx (Л) 2= k.

Доказательство. В силу леммы 5 существует 8 > О
такое, что catx (ПеЛ) == catA- (Л). Так как р (Л, Вп) -> 0, то су-
ществует номер N такой, что Вп сг USA для всех п> N. Тогда
имеем: k catx (Bn) < catx (ПеЛ) = catx (А). Лемма дока-
зана.

Теорема 1. Пусть М”—гладкое компактное связное
замкнутое многообразие и f (х) — гладкая функция на Мп. Тогда
выполнено неравенство k cat (.М'!), где k—число различных
критических точек функции f. (В частности, k может равняться
бесконечности.)

Фактически теорема верна для точек бифуркации функции /,
т. е. р 2* са1(.'Ия), где р равно числу различных бифуркационных
точек функции f. Обсудим сначала одну аналогию, имеющуюся
между поведением категории множества критических точек функ-
ции f и поведением собственных чисел билинейной формы в Rn.

Рассмотрим стандартное вложение сферы S'1'1 в Rn (х1, ..., х”),
т. е. S'1-1 = {х £ Rn; |х| = 1}. Пусть В (х, у) —симметричная
билинейная вещественная форма в Rn. Рассмотрим ассоциирован-
ную с ней гладкую функцию / (х) на сфере S'1-1, задаваемую
формулой f (х) = В (х, х), |х| = 1. Найдем все критические
точки функции /. Пусть х £ Sn~l, а £ Тх (S'1’1); рассмотрим
производную | х функции f в точке х по направлению а. Пусть
х (0 —любая гладкая кривая на сфере S'1-1 такая, что х (0) =
= х, х (0) = а; тогда

= 4<вч')-чо>|ы.
где через В: R" -* К'! обозначен симметричный (относительно
евклидова скалярного произведения ( , )) оператор, ассоцииро-
ванный с формой В. Далее

£ I х = <Вх 0)’ х	I <=0 = <Вх’	+ (Вх’ х> = 2 <вх- б>-

Следовательно, точка х0 £ S'1-1 является критической тогда
и только тогда, когда (Вх0, а} = 0 для любого вектора а £
£ Tx0Sn-1. Это условие эквивалентно следующему: вектор Вх0
ортогонален плоскости TXaSn-i, т. е. Вх0 — Хх01 где X —веще-
ственное число.

Пусть е0, ех, е», .... е„_х — собственные векторы формы В,
и Хо, ..., Х,._х—соответствующие собственные числа. В силу
симметрии оператора В все векторы е0, ех, .... еп^ попарно орто-
гональны (будем считать их единичными), а числа 2.0, Хх, .... Хл_х
вещественны. Напомним, что f (еа) — (Веа, еа) — (Хаеа, еа) —
— еа) — ^а- Будем считать, что числа Аа (и векторы еа)
упорядочены по возрастанию, т. е. Хо < Хх с ... с Хл_х.

Рассмотрим в сфере S'1"1 всевозможные t-мерные экваторы S‘,
т. е. сечения сферы Sn~l плоскостями размерности i + 1, про-
ходящими через начало координат. Обозначим множество всех
этих «экваторов» через М( (т. е. М, — {$'}). Фиксируем произ-
вольный экватор S‘ cz S"-1 и рассмотрим max f (х). Тогда из
х € s*

теории квадратичных форм хорошо известно, что имеет место
равенство Д — inf (max / (х)); 0 < i с п — 1. (Предлагаем
читателю самостоятельно доказать это соотношение.) Ясно, что
приведенная выше формула согласована с фиксированным упоря-
дочением: Хо с Хх < ... с Х„_х. Отметим, что группа SO (п)
транзитивно действует на каждом классе Mt (любой экватор S'
получается из одного фиксированного экватора S‘ путем не-
которого вращения g £ SO (п)).

Предложение 1. Число различных критических точек
функции f (х) = {Вх, х) на сфере Зп~1 не меньше удвоенного
числа классов {А1Д, пг. е. числа 2п.

Доказательство. Если все собственные числа (ХД
формы В различны, то критическими точками функции / являются
в точности точки (т. е. концы векторов ±еа, 0 < а <
< п — 1). Так как число таких точек равно 2п, то п равно числу
классов {дИД, 0 < i < п —1. Если же нашлась такая пара
индексов i < /, что Д = Д, то тогда сфера Si~l целиком состоит
из вырожденных критических точек функции / и так какэтих
точек — континуум, то искомое утверждение, очевидно, вы-
полнено.

Замечание. Так как функция /(х) = (Вх, х) инва-
риантна относительно отражения х	—х, то / (х) является фак-
тически функцией J на проективном пространстве RP”-*; для
функции f доказанное выше предложение переформулируется
так: число различных критических точек функции f на RP'1’1
не меньше числа классов {Л4г}, т. е. числа п.

После этих предварительных замечаний перейдем к изучению
критических точек гладкой функции / на произвольном гладком
компактном замкнутом многообразии Мп. Мы сделаем следующие
замены в изложенной выше конструкции.

Сферу Sn мы заменим на многообразие М; форму В (х, х) за-
меним на произвольную гладкую функцию / (х), х £ М; вместо
вращений g £ SO (п), сохранявших каждый класс Л1г (см. выше),
мы рассмотрим непрерывные гомотопии, которые, как будет
показано, сохраняют некоторые классы замкнутых подмножеств —
аналоги классов А4;; вместо собственных чисел формы В мы рас-
смотрим некоторые их аналоги, строящиеся по классам замкну-
тых подмножеств. Перейдем к подробному изложению.

Пусть Мп — гладкое компактное связное замкнутое много-
образие. Через Mi обозначим класс всех замкнутых подмножеств
X с Мп таких, что catjV (X) i. Ясно, что Л4г s Mi+1. Обозна-
чим через 0 (Л1П) пространство всех замкнутых подмножеств
в многообразии Мп. Пространство 0 (Aln) превращается в метри-
ческое пространство путем введения метрики

р(Х, У) = sup (inf р (х, у)) + sup (inf р (х, у)),
х£Х у £ У	у С. Y х£Х

где р —расстояние на Мп. Будем говорить, что У = Нш Хр,
если limp (У, Хр) — 0; У, Хр £ 0.

р-*оо

Лемма 7. Каждый класс подмножеств M-t с0 (Мп) является
замкнутым относительно операции предельного перехода Нш
и относительно гомотопии подмножеств по многообразию М.

Доказательство. Пусть Хр £ Мр, р ~ 1, 2, 3, ...;

X = lim Хр\ cat^n (Хр) i (по определению класса Л4г). Тре-
р~*оо

буется доказать, что ,cat*p (X) г. Это немедленно следует из
леммы 6. Далее: пусть X £ Mt и У = <ргХ аз Мп — подмноже-
ство, полученное из X путем непрерывной деформации <рг: X -*
-* Мп. Так как cat^n (X) 5> i, то в силу леммы 4 саКм" (У) 5* i,
т. е. У £ Mt, что и требовалось. Лемма доказана.

Таким образом, Mt —замкнутые подмножества в 0 (/Ия).

Пусть фиксирован класс Mt и пусть X £ Mt. Рассмотрим
число = inf (max f (x)). Это определение чисел Хг воспроиз-
Х£Мг-х£Х

водит соответствующую теорему из теории квадратичных форм
(см. выше).

Обозначим через N категорию МП: cat (Mn) = N. Ясно, что
N < оо. Из определения классов Mi получаем: 0 = Мо = Мг 5
5 Мг 5 ... 5 MN. Здесь 0 = Мо =? {X £ 0; cat^n (X)	0};

ясно, что cat.vn (X)	0 для любого X £ 0. Совпадение классов

Мо и Mt очевидно; в частности, Хо = Хх. Класс MN содержит
многообразие Мп. На классе MN цепочка подмножеств |Л1г}
обрывается.

Каждая гладкая функция f на многообразии Мп определяет
набор функций /0, Д, .... Ду, где функция ft (0 « i < N) опре-
делена на множестве ЛД и задается формулой: Д (X) — max / (х),
х £ л

где X $ Л4г. Тогда Хг = inf (Д(Х)). Так как ЛД 5 Мм, то

с ростом i числа Хг могут только возрастать: Хо = Хх < Х2 <
с ... < XlV; здесь N = cat (Мп). Поскольку классы M-t с 0

замкнуты относительно предельного перехода (см. лемму 7), то
в каждом Mt (0 < i < N) существует элемент X? такой, что
ft (Х®) = Х;. Иными словами X® —такое замкнутое подмножество
в Мп, что X,- = max / (х).

х € X®

Лемма 8. Рассмотрим поверхность уровня ft = {х £-
£ Мп | f (х) = ХД Тогда на поверхности fxl существует по
крайней мере одна критическая точка функции f.

Доказательство. Допустим противное: пусть на по-
верхности Д. нет критических точек функции f. Рассмотрим класс
Mi и пусть X? £ Mt —такое замкнутое подмножество в Мп,
что max (/ (х)) = X,-, т. е. Д (X?) = Хг. Ввиду замкнутости X?

*€х®

существует точка х° £ X® такая, что f (х®) = Х;, т. е. х® £ Д..
Так как, по предположению, grad f (х) #=0 для любого х £ Д.,
то (в силу компактности Мп) существует достаточно малая де-
формация поверхности Д( вдоль интегральных траекторий вектор-
ного поля (—grad /) (мы считаем, что на Мп аадана риманова
метрика) в область меньших, чем Хь значений функции f (см.
рис. 90).

Так как Мп—компактное гладкое многообразие, то суще-
ствует гладкая изотопия Мп по себе, постоянная вне малой окре-
стности слоя: Хг — 8 < f (х) < Х; и переводящая \f = ХД в \f —
= X, — е(. Пусть Х° — образ подмножества Х° при этой дефор.
мании. Так как Х° получено из Х° гомотопией по Мп, то, в силу
леммы, catA,n (Х'() catM„ (%?) (в действительности имеет место
равенство). Следовательно, catAI,2 (Х£) i, т. е. Х° £ ЛГ,-. От-
сюда получаем, что sup f (х) Х; — е < X,, а это означает, что

inf / sup / (х)\ < sup f(x) сХ; — е<Х;, что невозможно по опре-

делению X,. Лемма доказана.

Л ем м а 9../7редположим, что X, — Xi+P, где р > 0. Обозна-
чим через S множество критических точек функции на поверхности
и s уровня /?..= |/ = Х,-}. ТогдаcatM„ (S)
р -ь1 •

_______________11 Доказательство. Уместно
отметить в этом месте аналогию с пове-
'' '___________дением критических точек функции

'	на сфере S'1-1: если Хг — Х,-+Р, то

эллипсоид формы В, являясь эллипсо-
Рис- 91-	идом вращения вдоль собственных

направлений е;, ei+1, ..., ei+p, порож-
дает множество критических точек функции /, гомеоморфное
сфере Sp. Переходим к доказательству леммы. Так как S
замкнуто, то существует 8 > 0 такое, что catiVI„ (S) = catM„ ((76S)
(см. лемму 5). Допустим противное: что catMfl (S) < р. Рассмо-
трим цепочку классов М{ => ЛГ,-+1 => ... о Mi+P. Пусть X°i+P С
€ Mi+P — такое замкнутое подмножество, что sup f (х) = Х£+р =

____________

= Х£. Рассмотрим замкнутое множество Х° = ХГ-+Р\(Х^р Я UsS)
(см. рис. 91). Тогда

са^мл (-^°) catM« (^?+р) — catAIn (Х£+р Я UsS) cat^zi (Х£+р) —

cat^n (UeS) = catM„ (Х£+р) — catAjn (S) i -q- p — p — i.

Таким образом, catM„ (X°) i, t. e. X° £ Mt. Далее,

K = ^i+p= sup (/(X)) sup (/(x))^Xz=Xf+p= sup (f(x)).

Таким образом, доказано, что sup (f (х)) = Хг, а потому множе-
x£x«

ство Х° можно считать одним из компактов X? в классе /И,-. С дру-
гой стороны, X’ f] S = 0 (где Х° = Х°) по построению Х°.
Это противоречит лемме 8, согласно которой множество X? должно
содержать по крайней мере одну критическую точку х° £ S (т. е.
на поверхности />..), Полученное противоречие доказывает лемму.

Доказательство основной теоремы.
Итак, пусть f (х) — гладкая функция на компактном гладком
многообразии Мп. Требуется доказать, что число различных
критических точек функции f не меньше, чем cat (.Ч'!). Рассмотрим
цепочку классов: 0 = Л10 = о => ... => Му, где N =
= cat (Мп). Сначала рассмотрим случай, когда Хо —	<

< ... < X,v, т. е. Xz Ф Kj при i /, 1 < i, / < У. Тогда, в силу
леммы 8, на каждом критическом уровне Д., 1 < i < У, имеется
по крайней мере одна критическая точка функции f (х); следова-
тельно (поскольку критические поверхности Д. различны при
1 < i < N), число различных критических точек не меньше,
чем N — cat (/И"). Итак, в предположении: Х; X, (I < i, j < N),
теорема доказана.

Рассмотрим теперь общий случай: пусть среди {Х;| есть совпа-
дающие числа; например, Хг = Х/+р. Сколько критических
точек (различных) можно выбрать на поверхности Д; = hl+p?
Из леммы 9 получаем, что catMn (S) р + 1, где S — множество
критических точек на поверхности Дг. Так как catvl„ (S) р +
+ 1, то в S можно выбрать по крайней мере р 4- 1 различных то-
/	р+1

чек IS= (J 5а, где каждое Sa стягивается по Мп в точку; доста-
\	а—1

точно выбрать по одной точке в каждом множестве Sa). Тем самым
«однократное» значение (т. е. такое, что ХЛ1 < X, < Ху+1)
дает вклад в виде по крайней мере одной критической точки,
а каждое «(р + 1)-кратное» значение Х; (т. е. Х;-1 < Х; = Xi+1 =
= ... = Xi+P < Х;+р+1) дает вклад в виде по крайней мере
(р + 1)-й критической точки. Это и доказывает теорему в общем
случае.

Как видно из доказательства, аналогичное утверждение спра-
ведливо и для бифуркационных точек гладкой функции / на Мп.
Детальное проведение рассуждений мы оставляем читателю.

Перейдем к рассмотрению конкретных примеров. Первый
вопрос, который следует изучить, — является ли полученная
выше оценка наилучшей (в общем случае), т. е. существуют ли
такие функции / и такие многообразия Мп, для которых число
критических точек равно категории cat (Мп). Уже простейшие
примеры показывают, что такие пары (Mn, /) существуют.

Предложение 2. Пусть М2 — двумерное гладкое ком-
пактное замкнутое многообразие. Тогда cat (/И2) = 2, если М2
гомеоморфно S2 и cat (/И2) = 3, если М2 не гомеоморфно сфере.

Доказательство. Если М2 гомеоморфно сфере, то
утверждение очевидно. Пусть теперь М2 не гомеоморфно сфере.

П ffa U «Л
я

т. е. к букету окружностей V Sa приклеена одна клетка ст. Обо-
значим через Ue (V Sa^ достаточно малую е-окрестность одномер-
ного остова V Si в многообразии /VI2 и пусть D2 = ЛР\
\t/e (V Sa) — замкнутый диск (см. рис. 92).

Представим М2 в виде объединения трех замкнутых подмно-
жеств: М2 — Аг U Л2 j А3, где = D2 (стягивается по себе
в точку), а множества Л2 и Л3 показаны на рис. 93. Здесь Л2 =
= Us (V S1) Л (a°), где Wn (о0) — диск радиуса г) с центром
в точке о0 (число т] предполагается достаточно малым); Л3 =
= Uz (V Sa) \ Л2 (замыкание).

Ясно, что Л2 стягивается по себе в точку, а Л3 стягивается
по себе в набор q точек, а потому стягивается в точку по М2. Итак,
утверждение доказано.

Легко проверить, что если cat (ЛР) = 2, то М2 гомеоморфно
сфере.

Теперь рассмотрим гладкие функции f на М2. Для сферы S2
стандартная функция высоты имеет ровно две критические точки,
что равно категории сферы. Если М2 не гомеоморфно сфере, то,
как было показано выше, на М2 существует гладкая функция /
с тремя критическими точками, что равно категории cat (ЛР).
Итак, мы доказали, что нижняя грань — cat (ЛГП) — достигается.

Вычисление cat (Мп) является нетривиальной задачей; этот
инвариант с большим трудом поддается точному вычислению.
Получение оценок сверху на cat (ЛР) обычно не жредставляет
труда для конкретного многообразия Мп — достаточно предъ-

Н
явить какое-либо конкретное стягиваемое покрытие Мп = (J А(.
1=1
Более сложным вопросом является получение нижних оценок на
cat (Мп). Сейчас мы предъявим один такой способ оценки снизу
cat (ЛР).

Рассмотрим кольцо когомологий Н* (Мп; Z). Все нижеследу-
ющие конструкции дословно повторяются для кольца Н' (ЛР; Zp).
Число k называется «когомологической длиной многообразия М"»,
если k есть максимальное из всех чисел р со следующим свой-
ством: существуют элементы аь ар £ Н* (Л4Л; Z) такие, что
произведение Oj • ... • ар отлично от нуля в И* (М’’\ Z).
Под «произведением» мы понимаем здесь обычное умножение
в кольце'когомологий.

Предложение 3. Имеет место неравенство: cat (Л4Л)-^
k + 1, где k — когомологическая длина многообразия Мп.

Доказательство. Пусть D: Hk (Мп\ Z) -> На_к (Мп;
Z) — двойственность Пуанкаре, устанавливающая изоморфизм
между указанными группами. Напомним, что если а, fJ £ И* (Мп;
Z) — два коцикла и а • (J — их произведе- _______

ние в кольце Н*(Мп‘, Z), то D (аф) =	'(

= D(a) П D (₽), где через D (a) f| D ф) ( (
обозначено пересечение циклов D (a) и	X	)

D ф) (операция пересечения двойственна
когомологическому умножению). Для
наглядности можно представлять, что	ис’ 94 

циклы 71 = D (а) и у2 — D (₽) реализо-
ваны в Мп в виде подмногообразий (или подмногообразий с особен-
ностями); тогда цикл Yt f| у2 получается как пересечение этих
двух подмногообразий (после приведения их в общее положение;
см. рис. 94). Рассмотрим произведение ai-a2- •••	=# 0 длины k

в Д’ (Л4Л; Z) и пусть уг = D (аг), 1 < i с k. Тогда D (ai-a2-
•...•ал) = Yi П у2 П ... Г) Yfe==Y, где цикл у не гомологичен нулю
(напомним, что D — изоморфизм). Предположим теперь, что
cat (Мл) с k. Это означает, что существуют такие замкнутые

подмножества Лх, ..., A, (s « fe) в Мл, что Мп = (J Ah и каждое
1=1

А( стягивается по Af” в точку. Без ограничения общности можно

считать, что А4Л = (J А,, где все At стягиваются в точку по Мл.
1=1

Достаточно в 'качестве Л3+1, .... Ак (если s< k) взять произволь-
ные (k — s) точек в Мл. Далее считаем, что s = k. Сопоставим
каждому циклу (1 < i < k) подмножество А,. Так как At
стягивается в точку по Мл, то (М; Z) вкладывается в Н* (М,
Ар, Z) (где * > 0).

Отсюда получаем, что каждый цикл уг гомологичен циклу
у,- <= М \ Ai, 1 с i с k (т. е. цикл у£ можно «снять» с подмно-
k

жества Л£ с: М). Но в таком случае П уг с одной стороны гомо-

k	k	k

логичен П Yi — У» а с другой стороны, П Y; с П (Af \ А,) =
г=1	/=1	r=i

/ k	\	k

М \ U At = 0, так как М = U А,. Это означает, что
Ч=| ./	1=1
7 гомологичен нулю, что противоречит условию теоремы. Дока-
зательство окончено.

Применим доказанное утверждение к задаче конкретного вы-
числения cat (Мп). Так, например, если двумерное замкнутое
компактное многообразие М2 не гомеоморфно сфере, то cat (Л1г) ys
3. Доказательство немедленно следует из уже известной нам
информации о строении Н* (ЛР; Z) и Н* (Af2; Z2).

Докажем, что cat (RPn) — п + 1. Получим сначала верхнюю
оценку: cat (rP") < n+ 1. Рассмотрим стандартное разложение
" л-Н

г.Рп — U A'it где А} — открытые «-мерные диски, определяемые
<=1

• так: A’t — {X (х1, ..., х1, ..., хл+1); х1 0}, где jx“}, 1 < а <
< п + 1, — однородные координаты на Г:РЛ (см. [1 ], ч. II, § 2).
Так как {Л<} — открытое покрытие ₽РЛ, то в каждое множество
Ai можно вписать такой замкнутый диск Л;,_что их объединение
будет по-прежнему образовывать покрытие RPn (достаточно не-
много уменьшить диски Л J). Так как каждый диск Л, по себе
стягивается в точку, то мы получили искомую верхнюю оценку.

Докажем теперь, что cat (РРЛ) :=> л — 1. Для этого доста-
точно доказать, что когомологическая длина КРЛ (с коэффициен-
тами в 2г) равна п. В самом деле, Н* \^.РГ-, Zi) = Z2 [Х1]/(хл+|),
т. е. кольцо когомологий изоморфно кольцу усеченных полиномов
от образующей х1 (степень Xi равна единице); через (xi1*1) обозна-
чен идеал, порожденный элементом хл+1. Тем самым произведе-
ние х1 —xt- ... -ду («раз) отлично от пуля. Итак, cat (₽РЛ) = « 4- 1.

Докажем, что cat (Тп) = п~г 1, где Тп — «-мерный тор. Так
как Н* (Тп\ Z) = Д (хь х2, .... х.т) — внешняя алгебра от одно-
мерных образующих хь 1 < i < п, то произведение x^xz- ... -хп
отлично от нуля и, следовательно, cat (T")5>«4- 1. Докажем,
что cat (Тп) с п + I. Так как Тп = S1 х Т"-1, то Тп можно
представить в виде Тп = (Sl V У’1-1) (J ол. Общее утверждение:
cat (X \/ Sn) == cat (X), если cat (X)	2, где X \/ Sn — «букет»

сферы S" и произвольного линейно связного клеточного ком-
k

плекса X. В самом деле, пусть cat (X) = k и X = U Ait где
»=i

каждое А£ стягивается по X в точку. Пусть х0 £ X —точка, в ко-
торой произведена склейка букета: X \/ S".

Представим Sn в виде объединения двух замкнутых дисков:
8Л = D” U О.?, где х0 £ Df; х0 & Df. Рассмотрим А£, такое, что
х0 £ Л(л; положим Ва = Ла, где а =£= i0 и а =£ j0, где /0 — любой
фиксированный индекс, отличный от ic: Bio — Aio (J D"; В10 —
= А1а (J Df. Отметим, что Л,» (1	= 0 (см. рис. 95).

п

Таким образом, X \/ Sn = U Bh где каждое Bt стягивается
4=1

по X V S’ в точку. Итак: cat (X V Sn) — cat (X). В качестве
элементарного упражнения мы оставляем читателю доказатель-
ство следующего более общего утверждения: cat(X \/ У) =
= max (cat X, cat Y), где X и У — произвольные линейно связ-
ные пространства. Формула cat (X V Sn) = cat (X) (если cat (X)

2) есть частный случай этого утверждения. Возвращаясь
к подсчету cat (Г"), получаем: cat (Тп) = cat ((Тп~1 Ху' S1) U
U о”) с cat (Г"*1 V •$’) + 1- Так как cat (Г1-1 V &) -
= cat и так как cat (Tz) == 3, то, по индукции, получаем:
cat (Т,1+!) < п 4- 1, что и требовалось доказать.

Пусть р: Е —> В— расслоение со слоем F в смысле Серра,
т. е. выполнена аксиома о существовании накрывающей гомо-
топии.

Предложение 4. Имеет место неравенство-, cat (Е) -с
с catE (В)-cat (В), где F cz Е —слой расслоения р: Е -> В.

Доказательство. Требуемое утверждение мы получим
как частный случай более общего утверждения: пусть Y cz В —
замкнутое подмножество в базе В, р-1 (У) cz Е — его полный
прообраз в Е; тогда выполнено неравенство: cats (р-1 (У))
< catE (В) catB (У). Ясно, что положив В — У, получаем
искомое утверждение.

Рассмотрим сначала случай, когда catB (У) = 1. Следует
проверить неравенство cats (р"1 (У ) ) < cats (В). Стягивая У
по базе В в точку, мы можем (по аксиоме о накрывающей гомо-
топии) накрыть эту деформацию деформацией подмножества
р-1 (У) по Е в слой F. В силу леммы 4 cats (р-1 (У)) с catE (В),
что и требовалось.

Теперь рассмотрим общий случай: пусть catfi (У) = k. Тогда

У ?= U Ait где каждое Лг стягивается по В в точку. Положим
/=1
~	*-i

У = U Ар, А — Ak-, тогда У — У U А, где catB (У) с k — 1,
r=i

catE (Л) — 1- Требуется проверить неравенство: catE (р-1 (У J
U Л)) с catE (B)-catE(y U Л). Имеем:

catE (p-i (У U Л)) = catB (р-1 (У) U Р-1И))<

« cats (р-1 (У)) + cats (р-1 (Л)).
Искомое неравенство будет следовать из следующего неравенства:
catE(р-1 (У)) + catE(р-1 (Л)) < catE(F)-catB(y (J Л) = 6-catE (£).

Так как catE (р-1 (Л)) < catE (F) (Л стягивается по В в точку),
то достаточно доказать более сильное неравенство catE (р-1 (У)) +
+ cats (F) < cats (F)-k, т. е. catE (р-1 (У)) < catE (F)-(k — 1).
Это неравенство, в свою очередь, следует из еще более сильного
неравенства: cats (р-1 (У)) < catE (F)-catB (У), так как catE (У) <
< k— 1. Однако последнее неравенство можно считать выпол-
ненным в силу предположения индукции, где индукция ведется
по ^catE (У) (первый шаг индукции catE (У) = 1 был разобран
ранее). Утверждение доказано.

р

Существуют расслоения р: Е —> В, для которых неравенство
cat (£) < catB (Л)-cat (В) превращается в равенство. Например,
рассмотрим расслоение Хопфа: р: S3—тогда 2=1-2, где
cat (S3) = 2, cat (S2) = 2, cat$3 (S1) = 1 (так как слой S1 стяги-
вается_по S3 в точку).

§ 20. Критические многообразия и неравенства Морса.

Функции с симметрией

Важным случаем вырожденных критических точек гладких
функций / на многообразии Мп являются так называемые «не-
вырожденные критические многообразия». Это означает следу-
ющее: а) уравнение grad f = 0 должно задавать набор гладких
подмногообразий Wh cz Мп размерностей аА; б) требуется допол-
нительно, чтобы дифференциал d2f в любой точке подмногообра-
зия Wk был квадратичной формой ранга п — ак, т. е. форма d?f
должна быть невырождена на линейном пространстве векторе®,
нормальных к Wk в Мп в некоторой римановой (положительной)
метрике.

Функции такого типа естественно возникают в случае, если
на многообразии действует группа Ли, и функция инвариантна
относительно преобразований группы. Другой пример дают функ-
ции f, полученные из многообразий меньших размерностей при
отображении Мп Л4Л'|?, как функции вида f (х) — g (ф (х))
для функций Морса g (х) на многообразии Мп-ч, если ранг
<р = п — q.

Определение 1. Индексом связного критического много-
образия Wk называется число А, отрицательных квадратов формы
d2f (которое не зависит от точки из Wk в силу невырожденности
формы d?f на нормальной плоскости).

Как и в § 16 этой главы, основными инвариантами критиче-
ского многообразия являются (предполагая, что на одном уровне
находится лишь одно связное критическое многообразие) локаль-
ные числа Бетти — ранги относительных гомологий

bk (Maj, Ма. \ Fz) = ранг Нк {М0}, Maj \ W,),

где Ма — область меньших значений f (х) < а\ Wj— критиче-
ское многообразие на уровне f (х) = ар Как и в § 16, мы имеем

bk(Maj+s, MOj-e) = bk(Maj, Maj\Wf),

если'в интервале значений [а; — е, а} + е] нет других критиче-
ских точек, кроме WНеравенства типа Морса уже выводились
в § 16:

S Ьк(Ма.+6, Maj.&)^bk{Mn).

В случае невырожденных критических многообразий эти нера-
венства становятся эффективными, если известна топология самих
критических многообразий W, и их индексы

Теорема 1. а) Имеет место равенство

=	Ма..ъ)	(1)

{берутся числа Бетти по модулю 2).

б) Если многообразие Мп ориентируемо и критическое много-
образие Wj односвязно, то равенство (1) верно для чисел Бетти
с вещественными коэффициентами R.

Для доказательства теоремы следует более четко представить
топологическую картину, отвечающую критическому многообра-
зию Wj cz Мп. Достаточно малая е-окрестиость многообразия W/,
обозначаемая через U {Wj), диффеоморфна нормальному рас-
слоению (см. [11, ч. II, §7) над

U{Wj)-^W}

со слоем — диск Dn~ai (радиуба е). В каждом слое — нормаль-
ной плоскости Rnx'ai к любой точке х £ W j — квадратичная
форма d2f имеет положительное подпространство Ri размерности а
и отрицательное Ri размерности Ь, где b — к~а + b — п — а,.
Мы имеем разложения нормального расслоения' к Wj в прямую
сумму

Rnx~aJ = R+x® R~, b — К. - dim R~.

Объединение областей радиуса в вокруг нуля в каждом слое
расслоения со слоем Ri мы обозначим через U~ (Wj), а в рассло-
ении со слоем Ri — через U+ {Wj). Имеем естественное вложение

U~{Wj)c:U+{Wj)ciMn.
Ограничение функции / на U~ (W7,) имеет максимум на самом
Wj cz U~ (Wj), вложенном как нулевое сечение (0 в каждом
слое Rx). Совершенно аналогично теореме нз § 15 этой главы до-
казывается

Лемма 1. Для малого 6 > 0 многообразие М„.+й стяги-
вается к комплексу Mo._e J U~ (U^), предполагая, что на уров-
1 ф

нях [а; — 6, Uj 4- 6l нет других критических точек, кроме Wj,
Склейка производится по отображению <y: dU~ (Wj) —» дЛ1„._л.

Доказательство леммы повторяет рассуждение из § 15. Вместо
приклейки одной клетки о’1-' в изолированной невырожденной
критической точке х, индекса %; здесь приклеивается целое много-
образие LC (Ц7у), представляющее, по определению, агпараметри-
ческое (параметр — точка из W j) семейство клеток а’>, где ?.,—
индекс критического многообразия Wj. Лемма 1 из § 15 о воз-
можности точного приведения (локально) функции f к квадратич-
ному виду несущественна для результатов § 15. Более важно то,
что в силу невырожденности формы d2f топология поверхностей
уровня функции / около критической точки определяется формой
d-f, что очевидно. В данном случае невырожденность формы def
на всех нормальных плоскостях к Wj обеспечивает все топологи-
ческие свойства уровней функции f в области U (1ГУ) полностью
аналогично.

Граница dU~ (Wj) представляет собой расслоение со слоем —
сфера S'’7"1. Это — семейство границ клеток о'Л зависящее от
параметра, где параметр пробегает все точки из Wj. Расслоения
U~ и dU со слоями D^J и S4-'*1 могут быть нетривиальны. Если
база Wj односвязна, то эти расслоения — ориентируемы (и само
Wj ориентируемо в силу односвязности). Именно это и будет
использовано при доказательстве п. б).

Замечание. Фактически можно просто в формулировке
теоремы заменить требование п. б) на требование ориентиру-
емости Wj и U~ (Wj}.

Докажем следующее утверждение.

Лемма 2. Пусть U~ (W j) — расслоение со слоем D'i и ба-
зой Wj. Для относительных гомологий (U', д1Г) имеют место
равенства

HKi+4(U~, dU~) — Hq(Wj),

H4+q(U~, dU-) = Hq(Wj).	(2)

Если U~ и Wj ориентируемы, то равенство (2) верно и для G =
= R, Z.

Доказательство. Мы имеем следующие изоморфизмы
двойственности Пуанкаре (см. § 18):

1)	Du. ((/’)	(U~, ди-) (см. задачу 4);
2)	: Hq (Ц/;) s (Wj) (см. теорему 18.1) (размерность

есть s'.;, размерность U~ есть а, -R Х>). Рассмотрим суперпози-
цию D(jDw. Мы получаем изоморфизм:

Dl;Dw:	dU~).

Лемма доказана, учитывая изоморфизм Н* (U~)	(Wj).

Из теоремы 4 § 5 мы получаем («теорема факторизации» или
«вырезания»):

НММ’-, =	ди-).

\	7 ф	J /

Так как Н*(Ма.^,	= Н* (U~, dU~), мы из лемм полу-

чаем и доказательство теоремы.

Пример 1. Пусть задана поверхность .И1 2 вращения в R3
вокруг оси z и / — функция высоты (координата г на .И2). Крити-
ческие многообразия W, — это окружности S1, где а,- = 1. Число
Х7 либо 0 (локальный минимум), либо 1 (локальный максимум).
.Могут быть такие изолированные критические точки (локальные
минимумы или максимумы), если они лежат на самой оси г.

Пример 2. Рассмотрим расслоения с базой — сфера S"
вида (см. [ 1 ], ч. II, § 24):

1) SO (п + 1) Sn

2) U (л)	S2"-'

3) Sp (л)	S4*-'

(слой SO (л));

(слой U (n — 1));

(слой Sp (п — 1)).

На сфере Sn, S2”~', Sin'1 возьмем функцию g (х) с одним
минимумом х0 и одним максимумом Xi. На пространствах рас-
слоений 1), 2), 3) возникает функция

/ W = g (Р W).

Мы будем иметь два критических многообразия для f вида Ц70 =
= р-1 (х0) и Wi = р'1 (%1) индексов Xj = п (или 2п — 1, 4л — 1
соответственно) и Хо = 0 (максимум). Из теоремы 1 получаем:

b, (SO (п + 1)) < bj.„ (SO (л)) + b, (SO (п));

bj(U (п)) <.Ь^(^и (п - \)) ~-b;(U (п - I))-,	(3)

bi(Sp(n)) bj ,(4n-i)(Sp (п — 1)) -r b} (Sp (n - 1)).

Проверьте, что здесь все ориентируемо (см. замечания к доказа-
тельству теоремы выше), и неравенства (3) применимы не только
для G = Z2, но и для G = Z, R.

Задача 1. Докажите, что неравенства (3) являются равен-
ствами при j < п для SO (п + 1), / < 2л — 1 для U (л) и / <
< 4л — 1 для Sp (л).
Из более точных результатов § 7 следует, что для U и Sp не-
равенства (3) являются равенствами для всех /. Более трудная
задача: неравенства (3) являются равенствами для SO при G —
— Z2 (всегда) и при G — (для нечетных л).

П р и м е р 3. Рассмотрим однородное риманово пространство
Мп с группой движений D, где М:‘ == D/Н, Н — стационарная
подгруппа точки х0 с Мп, Нх0 = х0.

Рассмотрим функцию / (х) = р2 (х, х0), где р (х, х0) — рима-
ново расстояние от точки х до точки х0. Очевидно, функция f (х)
инвариантна относительно группы Н: f (Дх) = / (х).

Задача 2. Изучить критические многообразия функции
f (х) = р2 (х, 1) для Мп — SO (л) или U (л), Sp (п). Здесь груп-
па D = SO (ri) ',< SO (ri) для двусторонне инвариантной мет-
рики р,

Dtx^gpcg?, (gi.gij-D.

Функция / (х) инвариантна относительно преобразований под-
группы Н — SO (ri') = (g, g) x: D, так как при x0 = 1 имеем
g-'-'og'1 = *o- Тем самым функция р2 (х, 1) = / (х) инвариантна
относительно внутренних автоморфизмов / (gxg-1) = / (х).

Пример 4. Пусть Q — группа Ли и Т: Q -> GL (п-, к) —
ее матричное представление. Характер имеет вид / (х) =	(х) —

= Sp (Тх), х £ Q.

Характер %r (х) = f (х) дает другой пример функции, инва-
риантной относительно внутренних автоморфизмов f (gxg~l) =
= f W-

Задача 3. Изучить критические многообразия функции
f (х) для Q = SO (ri) или U (ri), Sp (ri) и их неприводимых пред-
ставлений. Рассмотрите случаи Q — S0(3), SO (4), S/7(3). Для
группы SO (2) все нетривиальные вещественные неприводимые
представления двумерны и имеют вид

Тп(ч) =

cos (n<p), sin (п<р)

—sin (лф), cos (шр)

fn (ф) = Хг (ф) = 2 cos (Пф).

Рассматривая задачи нз примеров 3 и 4, полезно сначала разо-
браться, какие орбиты имеет группа внутренних автоморфизмов
для SO (ri), U (ri), SU (ri). Для группы SO (3) и групп SU (2) =
= Sp (1) дело обстоит просто.

Задача 4. Докажите, что все орбиты группы внутренних
автоморфизмов есть S2 кроме центра (центр равен 1 для SO (3)
и равен (1, —1) для SU (2) = Sp (1)). Орбита точки из центра
одноточечна.

Для группы U (п) каждая матрица А £ U (ri) внутренним
автоморфизмом А -> gAg'1 для g £ U (ri) может быть диагонали-
зована. Для диагональных матриц все зависит, очевидно, от ко-
личества различных совпадающих собственных значений.

Пусть матрица разложена на блоки вида

(4)

о

где = exp (2ni<p,) и \} встречается lj раз, Z2 + ... + Z4 = п.

Задача 5. Докажите, что орбита gAg 1 матрицы А вида (4)
такова: U(n)/U(li) X ... X U(lk).

Орбиту общего положения мы получим, когда все собственные
числа различны	... =/=Х>;. В этом случае (7(Z;) = (7(1) =

= S1, и орбита имеет вид

(7(л)/(7(1) X ... X (7(1) = (7(/1)/Т'.

Таким образом, в этих примерах мы имеем функции с непре-
рывной симметрией — группой Q преобразований Мп -> Мп, оста-
вляющей функцию f неизменной: f (gx) — f (х). Различные ор-
биты группы недиффеоморфны друг другу; поэтому факторпро-
странство М М/Q не является многообразием. Хотя функция
f (х) и получается как / (х) = <р (рх) из некоторой функции ср
на М/Q, но пользоваться неравенствами типа Морса на M/Q
нельзя, поскольку это пространство — не многообразие.

Пример 5. Интересный класс примеров такого рода с ди-
скретной группой Q мы получаем из так называемых кристалло-
графических групп — см. [1 ], ч. I, § 20. Пусть К. — некоторая
дискретная подгруппа связной части группы движений Gn евкли-
дова пространства R" (кристаллографическая группа для п — 3).
Согласно известной теореме (см. [1 ] , ч. I, §20), в группе
имеется нормальный делитель N конечного индекса, состоящий
из трансляций. Группа G,f есть полупрямое произведение SO (п)
на л", причем трансляции R" cz Gn есть нормальный делитель,
a SO (п) = G,,/E" (см. [1], ч. I, §4). Дискретная подгруппа
KcG, п ее нормальный делитель М cz где N — К Q R",
определяют конечную факторгруппу = KIN, представляющую
все вращения вокруг разных точек из имеющиеся в К- Мы
имеем компактное многообразие — тор Тп — №.nIN (N — свобод-
ная абелева ранга п) и действие конечной группы D;< на торе
Г’-. g (х) = gxg'1 (mod N) для g О К.

Любой функции F на Р4, инвариантной относительно кристал-
лографической группы К ~ G,,, соответствует (та же самая)
функция, рассматриваемая ла торе Т:‘ — P.nIN, обозначаемая
через f (у), у G. Т'1. При этом функция f (у) на торе Т’1 инвари-
антна относительно преобразований из конечной группы О>(.
Мы приходим к следующей задаче: имеется компактное риманово
пространство Мп, конечная группа движений D: /И" -»/И" и
функция Морса f (х) на M!i, инвариантная относительно группы/).
Как можно уточнить неравенства Морса для данной ситуации?

Лемма 3. Пусть Wd сс М'г — подмногообразие в М'1, со-
стоящее из целой связной компоненты множества всех неподвижных
точек элемента d D, d~e-]. Ограничим функцию f на Wd.
Если точка х0 £ является критической для f на Wd, то эта же
точка является критической и для f на всем ЛР'.

Д-о казате л ь ство. Рассмотрим | (х) = grad f (х) как
вектор в ЛГ, используя метрику. Из инвариантности метрики
относительно движений группы Ь следует, что преобразование
d G D переводит вектор £ (х) = grad f (х) в вектор grad f (dx)-.
g (х) -> g (dx). Если х £ Wd, то х = dx. Разложим вектор g (х)
в сумму £i + g2 = S, где gt касателен к Wd и g2 нормален к Wd.
Очевидно, d: -+ h. Напротив, d (§2) ф. g2, если |8 =# 0. Иначе
многообразие Wd не исчерпывало бы всей связной компоненты
множества неподвижных точек элемента d £ D — оно расширя-
лось бы по направлению вектора |2. Тем самым вектор | (х) —
— Si (х) — grad f (х) касателен к Wd. Лемма доказана.

Уточнение неравенств Морса при исследовании конкретного
многообразия (Мп, D) и функции f требует знания неподвижных
многообразий элементов d, £ D, взаимоотношения этих много-
образий для разных d и гомоморфизма вложения их гомологий
в Мп. В частности, если х0 — изолированная неподвижная точка
элемента d £ D, то точка х0 является критической точкой функ-
ции f (х) на Мп.

Рассматривая один элемент d £ D, d=£ 1, мы имеем непо-
движное многообразие Wd. В силу неравенств Морса для Wd
мы имеем для fWd = f/Wd,

Заметим, что индексы критической точки на Wd и на Мп могут ие
совпадать. Даже для циклической группы D порядка т с обра-
зующей d неравенства Морса могут быть улучшены, если знать
вложения

Особый пример мы получим в случае, если D = Z2, и не-
подвижное многообразие Wd элемента d 1 имеет размерность
п — 1 и разделяет многообразие /И'1 на две диффеоморфные части.
/VI" = Mi IJ М2, где d/Vli = дМг — Wd. Действие элемента d
таково:

d: Mt. - М.2,

d: Мг ->М1я dldMi = ШдМг = 1.

Рассмотрим точную последовательность пары (Л1, W):

НЧ+1(М, W) Hq(W) -> H4(Mi)	Ю л-

Определим числа

б, (М,, 1Г) = b„ (М.2) - ранг (?Д (Л1Ь r)/Im j,J.

Задача 6. Докажите, что число критических точек функ-
ции / индекса k на Л4 (включая и/’) не менее, чем bk F).

§ 21. Критические точки функционалов и топология
пространства путей Й/И

Естественный аналог теории Морса и Люстерника—Шни-
рельмана возникает на бесконечномерных гладких многообра-
зиях /VI00. Одним из таких «многообразий» является, например,
пространство кусочно-гладких путей Q (Л4, р, q), идущих на ко-
нечномерном многообразии М от точки р до точки q. На много-
образии М00 можно рассмотреть функцию F (у), где у С М™.
Такие функции обычно называются функционалами. Понятие
«критической точки» у0 для F (у) естественно, но «индекс критиче-
ской точки» нуждается в обосновании.

Мы не будем здесь знакомиться с теорией бесконечномерных
многообразий и ограничимся пространством путей й (р, q, М)
из точки р в точку q.

Пусть р, q £ /VI —две фиксированные точки, у: [0, 1 ]->
-> М — кусочно-гладкий путь, у (0) = р, у (1) = q, т. е. сущест-
вует подразделение 0 = t0 <	< • • • < tk = 1 отрезка L0, 1 ]

такое, что у ([4 ^+11) (0 с i < k — 1) —гладкое отображение,
а в целом у непрерывно. Множество всех таких путей обозначим
через й (/И, р, q). Кусочная гладкость (а не гладкость) рассматри-
ваемых траекторий у (t), у (0) = р, у (1) = q оказывается тех-
нически полезной при доказательстве теоремы о разложении про-
странства й в сумму «клеток», по аналогии с тем, как это происхо-
дило в конечномерном случае. С каждой точкой у £ й (М, р, q)
мы свяжем некоторое бесконечномерное линейное простран-
ство T.Q, которое можно естественно представлять себе как
«касательное пространство» к й в «точке» у g Q.

Определение 1. Касательным пространством T..Q к О
в точке у назовем линейное пространство всех кусочно-гладких
векторных полей о вдоль пути у, для которых v (0) = 0, v (1) = 0.

Вариацией по параметру и, —е < и < е, пути у, оставляющей
точки р и q неподвижными, назовем отображение отрезка й:
(—е, +е) -> Q (е > 0 —достаточно мало) такое, что й (0) = у;
существует подразделение 0 — t0 < tT < • • • < th = 1, для ко-
торого а (и, /), определенное формулой а (и, t) = а (ы) (f), на
каждой полосе tt < t < ii+1 является гладким отображение?,!
в М (см. рис. 96).

Так как при каждом фиксированном и (—е < и < е) мы полу-
чаем кусочно-гладкий путь й (и) (t), то й можно рассматривать
как траекторию в пространстве Q (см. рис. 97). Поэтому можно
рассмотреть вектор скорости траектории й {и) в точке у = й (0).
По определению, положим: и	0, поле ° = v (0 является

кусочно-гладким векторным полем вдоль у (/) и, следовательно
(по определению касательного пространства Т., Q), принадле-
жит Т?Й. Легко проверить и обратное: если задано произвольное
поле v g	(т. е. поле v (/) вдоль у (/)), то всегда существует

траектория й (и) g Q такая, что -^-й (0, t) = v (/). Поле v (t)
в вариационном исчислении обычно обозначается через бу.

Пусть F (у) — вещественнозначная функция на Q. Рассмотрим
путь у £ Й и поле v = бу £ TVQ. Рассмотрим производную

F (й (и)) |ц==о> предположив, что эта производная существует.
В тех конкретных примерах функционалов F (у), с которыми мы
будем иметь дело, существование производной будет очевидно.
Отметим, что данное выше определение производной F (й (и))
в точности скопировано с «конечномерного» определения произ-
водной по направлению от гладкой функции на конечномерном
многообразии. Следуя и далее этой аналогии, дадим определение
критического пути для F (у). Будем говорить, что путь yQ С й
критический для F (у), если F (й (и)) |и=0	0 для любой
вариации а (и) пути у0 (или вариационная производная-^-равна
нулю).

Сейчас нас будут интересовать совершенно конкретные функ-
ционалы на Q. Это —действие пути: Е (у) = |	и

о
1

длина пути: L (у) =||-~-|л, уже изучавшиеся в книге [1 1
о

(см. [1], ч. I, гл. 5). При этом мы считаем, что Л'1 —риманово
многообразие. Между функционалами L и Е существует следую-
щая связь: L2 < Е, причем равенство достигается тогда и только
тогда, когда [у | = const, т. е. параметр t (на у (t)) пропорциона-
лен длине дуги (натуральному параметру).

Напомним теперь некоторые сведения о вариационных произ-
водных функционалов L (у) и £ (у). Пусть а (и) —вариация
пути у; v = v (t) =	(0, t) — векторное поле бу вариации а (и)

(вдоль у (г)); у (0--вектор скорости траектории у (Г); а (/) =
— V? (V) —вектор ускорения траектории, Ду (/) = у (Г) —
— у (Г), т. е. скачок вектора скорости в точке t. Справедлива сле-
дующая теорема (формула первой вариации) — см. [1 ], ч. I, § 31.

Теорема 1. Имеет место равенство:

i

4 4г Е (а (и)) U=o = ~ 2	~ I (/)’ й ^dt’

(О	о

где а (/) —вариационная производная функционала Е —гладкая
функция.

В силу кусочной гладкости пути у (/) имеем: Ду (/) = 0 для
всех t, кроме конечного числа значений t (точек разрыва производ-
ной).

Как мы уже отмечали ранее, из формулы первой вариации
следует утверждение.

Теорема 2. у0 Е & является критической точкой для
функционала Е (у) тогда и только тогда, когда у0 —геодезическая.

В самом деле, если у0 (t) — геодезическая, то Ду (/) = 0;
a (t) = 0, т. е. 4 £ (а (и)) [и=0 = 0. Обратно:	пусть

-^•Е (а (и)) |и=о = 0 для любой вариации а (и) пути у0 (i). Рас-
смотрим вдоль у0 (/) векторное поле v (t) = g (t)-a (/), где функ-
ция g (t)	0, причем g (t) = 0 только в тех точках /,• £ [0, 1 ],

в которых Ду (tt) 0. Итак:

1

0 = Е 1“=°= а s (0

о
т. е. а (/) = 0 вдоль у0 (/). Так как а (г) — \\„ (у„), то это озна-
чает, что каждый гладкий отрезок траектории у0 (Г) является гео-
дезической. Выберем теперь а (и) так, чтобы v (t;) — Ду (/J;
тогда

0 ~ 4 4г Е (»)) 1-0 = - 2 <Av (Л). Ау (М).
(‘д

т. е. Ду((,) — 0 для всех i, а потому Уо (0 —гладкая траектория
(не имеет точек излома). Теорема доказана.

Напомним теперь формулу второй вариации (см. II], ч. I,
§ 36) для функционала Е. Пусть Oj, и., £ 7'.Л2 —два векторных
поля.

Рассмотрим двупараметрическую вариа-
цию a: UX [0, 1 ] М, где U (ult и.2)—
открытая окрестность точки (0, б) £
€ R®(«x, м2); / £ 10, 1]; а (0, 0, 0=Т(0;

(0, 0, 0 = ох(/); ~(0. 0, I) = vt (0. Лег-
ко проверить, что для любой пары полей ух,
у., £ TS1 такая вариация существует
(см. рис. 98).

Гессианом функционала Е в критической точке у0 (t) £ Q
назовем выражение вида:

Здесь a (tii, и-,) (t) = а (ux, uit t). Справедлива следующая фор-
мула второй вариации функционала Е (см. [1], ч. I, § 36).

Теорема 3. Пусть у0 С Q — геодезическая (т. е. крити-
ческая тонка для Е (у)) и a (и2, м2) — двупараметрическая вариа-
ция пути у0; vi — 4г"№’ 0)’ 1 = 2- Тогда

т 0)—S (/,)’ 4 <''»> -

(О

1

— J («2 (0.	(t) + R (уо, У1) y0)dt,

о

где Д (Vf.oi (t)) — Vt.°i (t+) — Vt.o2 (Г) — скачок производной
Vt.oi (0 в одной из ее точек разрыва; R — тензор кривизны.

Выше было показано, что геодезические у0 (i) не имеют точек
излома, а потому можно ограничиться вариациями а, для кото-
рых ох (t) и о2 (() не имеют точек излома. Тогда:

1

°) = - J <°2> Vt.Vt.oi + ]? (у0, о,)уо) dt.
Напомним, что векторное поле v (t) вдоль геодезической уи
называется якобиевым, если оно удовлетворяет дифференциаль-
ному уравнению Якобн: (\\„)2у + R (у0, у) у0 = 0 (см. [1J,
ч. I, § 36). Это уравнение удобно записывать в координатах в сле-
дующем базисе: выберем вдоль у0 (?) п ортонормальных (для каж-
дого t) параллельных вдоль у0 векторных полей: (0, ...,en(t)
(т. е. (0 = 0). Тогда v (0 — vlet (t), и мы получим:

Я

У Ri (t) и1 (П = 0, где Ri (0 = (R (у0, ez) у0, е<).

I*1	jwaad

/=!

Таким образом, якобиево поле (как решение этой системы) одно-
значно определяется следующими начальными данными: v (0),
\\оу (0) €	(0) (-И'1). Напомним теперь определение сопряжен-

ных точек вдоль геодезической у0 (i). Пусть для пары точек А,
В С 7о (О существует ненулевое якобиево поле v (I) вдоль у0 (/)
такое, что у |Л = v |в = 0 (т. е. поле v (t) обращается в нуль
в точках А и В). Тогда точки А и В называются сопряженными
вдоль геодезической у0. Кратностью пары сопряженных точек А,
В С у0 (вдоль у0) называется размерность линейного пространства
всех таких якобиевых полей (вдоль уи).

Рассмотрим d2E (У|, у2); пусть IV\O cz TV(Q —линейное под-
пространство в Т^Й, состоящее из всех тех векторных полей их
таких, что d2E (vx, у«) = 0 для любого Уг € TVaQ. Подпростран-
ство W,.g иногда называется нулевым подпространством гесси-
ана d*E в точке у0 £ Й, или ядром гессиана d2E. Степенью вырож-
дения гессиана d2E называется dim ITVo (в критической точке
То е. Q).

Теорема 4. Пус/пь у0 — геодезическая на М из точки р
в точку q; тогда о £ 1Г7о (т. е. принадлежит ядру гессиана d2E)
в том и только в том случае, когда о —якобиево поле вдоль у0
(в частности, v |р — v |? = 0).

Таким образом, ядро Wf, гессиана d2E отлично от нуля тогда
и только тогда, когда концы р и q геодезической у0 сопряжены
вдоль уо- Размерность ядра (т. е. степень вырождения гес-
сиана d2E) равна кратности сопряженных точек р и q
вдоль у0.

Доказательство. Пусть у — якобиево поле вдоль у0
такое, что у |р = у |? = 0. Тогда у С Ту<&- Так как у0 — глад-
кая траектория, то Д (V\oo (0) = 0 (нет изломов). Так как у (0 —
якобиево поле, то (V^)ay (0 + R (уо. у) уо = 0 и, следовательно,
из формулы второй вариации функционала Е получаем:

1

d*E(y, у) =5 (6(0, 0) + J (0(0, 0) dt = 0.

(О	о
Итак, v £ 1Г7о (ядру d2E). Обратно: пусть v £ Wy„. Требуется
доказать, что v (/) — якобиево поле вдоль у0 (г). Так как поле v (I)
кусочно-гладкое, то отрезок [0, 1 1 можно разбить конечным чис-
лом точек 0 —	< 4 <• • • < 4 = 1 на интервалы It),

па которых поле v (/) гладко. Как и раньше, построим гладкую
функцию f (/) на [0, 1 ], равную нулю в точках {tt, 0 < i < k}
и положительную во всех остальных точках. Рассмотрим поле
7 - Z((Vy0)2v + R (Уо, о) Vo). Подставляя его в d2E, получаем:

t

— — у* 1, (7- 4 (Vf0, Г’)) — | /• I (VVo)2v + R (у,э, у) Yo 'fdt = 0.

(I)	о

Так как q (tt) — 0, 0 < i < k, то первое слагаемое равно нулю,
и поскольку f (t) > 0 при t =£ ti, 0 < i < k, то (V7o)2o -г R (ус,
и) у0 = 0 на каждом интервале tt ]. Таким образом, v — яко-
биево поле вдоль каждого интервала /г 1. Докажем, что’и —
якобиево поле вдоль всей траектории уи. Для этого достаточно до-
казать, что VVo (о) не имеет точек разрыва на отрезке [0, 1 ].
В самом деле, допустим противное: пусть Д (V?0o).<. = (tf) —
— Vy„y (t7) — скачки в точках /,: тогда можно рассматривать век-
торное поле g (/) вдоль у0 (/) такое, чтобы g (/<•) = Д (У7оу).‘..
Тогда получаем:

k-i	1

-±-d2E(y, g) = £| дсад,.|2 + J(g, (аду + /?(у0,у)уоИ-о
i=l	о

в силу того, что v £ Ker (d2E). Второе слагаемое в этой сумме равно
нулю (см. выше), а потому £|Д(адч|2 = 0, т.е. Д(ад,. = 0
при всех i. Итак, VVoo не имеет точек разрыва, и, следовательно,
v —якобиево поле вдоль всей траектории у0.

Замечание. Размерность ядра гессиана d2E всегда ко-
нечна, так как она равна числу линейно независимых якобиевых
полей вдоль у0 (аннулирующихся в точках р и q).

Среди различных вариаций траекторий у0 выделен класс так
называемых геодезических вариаций, т. е. таких гладких отобра-
жений а: (—е, 4-е) X [0, 1 ] М, при которых а (0, t) = у0 (f)
и каждая траектория а (и) (напомним, что а (и) (/) = а (и, /))
является геодезической (т. е. в процессе возмущения геодезиче-
ской у возмущенные траектории по-прежнему остаются геоде-
зическими). Рассмотрим «вектор скорости» таких траекторий а
в пространстве Q, т. е. —векторное поле вдоль у0. Мы ут-
верждаем, что это поле якобиево вдоль yQ.
Действительно, так как все траектории а (и) — геодезиче-
ские, то V г-а (тд) = 0’ следовательно, равно нулю следующее
выражение:

Ъ.	+ ?г)тг-

ди \ di	/ dt \ ди	/

Так как	V - (-—V то

\ dt /	\ ии / ’

du	dt

/ V da А2 / да \ । Р f да дл \ За п

\	\ ди ) 1 л \ dt ’ ди / dt ~

т. е. поле ------якобиево поле.

ди

! Верно и обратное: любое якобиево поле вдоль геодезической у0
можно получить с помощью некоторой геодезической вариации.
В самом деле, предположим сначала, что геодезическая у0 соеди-
няет две достаточно близкие точки р' и q', расположенные в не-
котором диске/)" cz АР достаточно малого радиуса е > 0. Тогда
можно считать, что любая пара точек а, р £ Dn соединяется един-
ственной геодезической, содержащейся в области Dn. Докажем

сначала существование якобиева поля вдоль у0 (от р' до q'), имею-
щего в точках р' и q' произвольные заданные значения (см.
рис. 99). Рассмотрим в точках р' и q' произвольные касательные
к М векторы а и b и построим якобиево поле вдоль у0 с началь-
ными данными: а в точке р' и b —в точке q'. Через точку р'
проведем гладкую кривую а (и) такую, что —— а', анало-
гично — через точку q' проведем траекторию b (и) такую, чтобы
= Ь. Искомое семейство геодезических мы получим, соеди-
нив геодезическими точки а (и) и b (и) (такая геодезическая един-
ственна). Меняя и, получаем искомое возмущение геодезической у0
от точки р' до точки q' с заданными начальными значениями а
и b (см. рис. 100). Искомое якобиево поле вдоль у0 от р' pjo q'
получается дифференцированием по параметру и построенной
выше геодезической вариации. Так как якобиево поле однозначно
определяется своими значениями в точках р' и q', то любое яко-
биево поле вдоль Yo от точки р' до точки q' можно получить ука-
занным способом. Отметим, что линейное пространство всех яко-
биевых полей вдоль у0 от р' до q' изоморфно (2л)-мерному линей-
ному пространству: Тр- (Мп)ХТ^ (Л1"). Вообще, очевидно, верно
и более общее утверждение: якобиево поле вдоль геодезической у0
от точки р до точки q (где р и q — не обязательно близки) одно-
значно определяется своими двумя значениями в двух несопряжен-
ных (вдоль 70) точках.

Докажем теперь существование геодезической вариации, по-
рождающей заданное якобиево поле v уже на всей геодезической у0
от р до q. Для этого рассмотрим пару точек р', q' С То» располо-
женных внутри достаточно малого шара D'1, и зададим в точ-
ках р' и q' следующие векторы: а == v |р-, b = v j,». Далее: строим
геодезическую вариацию, порождающую якобиево поле v вдоль у0
от точки р' до точки q' (см. построение выше), и продолжаем по-
строенное семейство геодезических за пределы диска Dn, что и
дает искомую геодезическую вариацию уже вдоль всей геодези-
ческой у0.

Изучим связь между сопряженными точками вдоль у0 и свойст-
вами гессиана d~E. Напомним, что индекс X гессиана сРЕ есть мак-
симальная размерность подпространств в Т:£1, на которых
форма сРЕ отрицательно определена. Имеет место следующее
важное утверждение.

Теорема 5. Индекс квадратичной формы. d2E в крити-
ческой точке у0 £ Q равен числу точек на геодезической у0 (t),
О < t < 1, сопряженных вдоль у0 (/) начальной точке р = у0 (0)
{каждая точка у0 (/), сопряженная с у0 (0) = р, учитывается
столько раз, какова ее кратность). Индекс X = X (у0) всегда ко-
нечен.

Замечание. Если точки р и q не сопряжены вдоль у0,
то тогда можно рассматривать всю траекторию у0 (/), 0 < t с 1.
В этом случае Кег (сРЕ) = 0 и £ Q — невырожденная крити-
ческая точка индекса X.

Из теоремы, в частности, вытекает, что каждый отрезок гео-
дезической у0 содержит только конечное число точек, сопряжен-
ных с точкой р = Уо (0).

Прежде чем переходить к формальному доказательству тео-
ремы, дадим наглядное пояснение, показывающее, что сопряжен-
ные точки определяют такие вариации а {и) в пространстве Й,
вдоль которых квадратичная часть функционала Е убывает. Бу-
дем считать, что на многообразии М задана положительно оп-
ределенная риманова метрика и V—риманова связность, сог-
ласованная с этой метрикой.

Пусть х0 £ уо — точка, сопряженная с р = у0 (0) вдоль уй (t).
Тогда вдоль отрезка [р, х0] геодезической у0 существует X (х0)
якобиевых полей (А. (х0)	1), аннулирующихся в точках р и х0.

(Эти поля могут, конечно, обращаться в нуль и в некоторых вну-
тренних точках отрезка [р, х0].) Рассмотрим геодезическую вариа-
цию а (и) отрезка [р, х0] в направлении какого-либо якобнева
поля вдоль [р, х'о ], аннулирующегося ври х0. Это означает, что
существует бесконечно малое «вращение» геодезической [р, х0],
оставляющее неподвижными точки р и х0 (см. рис. 101).

Рас. 101.

Рис. 102.

Рассмотрим геодезические а (и) (?), определяющие эту геоде-
зическую вариацию, 0 < t < /0, где /0 соответствует точке х0 ~
£ Уо- Тогда можно рассмотреть следующий гладкий путь ф (и)
в пространстве Q: ф (и) (?) = а (и) (t) при 0 < t < t0\ ф (и) (?) —
= у0 (?) при ?,<?<! (см- рис. 102).

В силу выбора ф (и) можно считать, в первом приближении,
что длина уо от р до q равна длине а (и) (?) от р до ,г0 плюс длина у0
от д0 до q, т.. е, можно считать, что функционал Е не меняется при
достаточно малом смещении вдоль траектории ф (ы), 0 < и < е.

Рис. 103,

z

Рис, 104.

Так как якобиево поле полностью определяется своими на-
чальными данными, то в точке х0 угол между векторами скоростей
траектории у0 и траектории а (и) (i) отличен_от нуля (см. рис. 103).

Теперь мы построим новую траекторию ф (и) в пространстве Й,
выходящую из точки Уо, вдоль которой квадратичная часть функ-
ционала Е будет строго убывать, т. е. вектор скорости ф (и) |и=0
будет принадлежать подпространству, на котором гессиан d2E
отрицательно определен. Построение вариации ф (и) показано
на рис. 104.

Так как в достаточно малом треугольнике xoyz выполнено стро-
гое неравенство: длина (х0, у)+_длина (х0, z)> длина (z, у), то
и длина траектории ф (и) (?)(ф = (pz) + (zy) + (yq)) строго
меньше длины ф (и) (t), т. е. длины у0 (от р до q). Здесь мы, ко-
нечно, использовали положительную определенность римановой
метрики. Итак, каждое якобиево поле на отрезке рх0, аннули-
рующееся в точках р и .гм, дает единичный вклад в индекс гесси-
ана d2E в точке у0.

Доказательство теоремы. Рассмотрим такое (до-
статочное мелкое) разбиение отрезка [0, 1 ] точками 0 = t0 <
< ti <• • •< tk — I, чтобы каждый отрезок [у0 (G-i), То (6) 1
геодезической у0 был минимальным геодезическим отрезком,
соединяющим точки у0 (f^) и у0 (/г) в достаточно малом шаре, со-
держащем эти точки.

Пусть Тъ Щ то Т?о —векторное подпространство в 7'..,,
состоящее из всех векторных полей у (7) вдоль у0 (t) со следую-
щими свойствами: а) поле о (/) якобиево вдоль у0 на каждом от-
резке [/f.j, ti ], 1 < i < fe; 6) v (0) = 0, v (1) = 0 (см. рис. 105).

Рис. 105.

~'WU)

Рис. 106.

Иными словами, ТУа {/<} — пространство всех ломаных яно-
биевых полей вдоль траектории у0 (0 (точки излома — (гД).
Наряду с подпространством Ту, мы рассмотрим в 7\ЭП еще
одно подпространство, QVo, состоящее из всех полей v (z), для ко-
торых v (ti) — 0, 0 < i < /г.

Лемма. Касательное пространство ТУД1 распадается
в прямую сумму двух своих подпространств: Ty,Q = Ту„ {/,) ©
ф QVo, причем подпространства ТУа \tt} и Qy, ортогональны от-
носительно скалярного произведения, задаваемого в ТУо& гессиа-
ном d2E (т. е. а2Е (их, о2) — 0, если Pi £ ТУа {/,}> у2 € С?о).
Далее, ограничение гессиана d2E на подпространстве Qy, положи-
тельно определено, т. е. индекс d2E в TVoQ равен индексу а2Е
в Tf, {/<}. Так как ТУя —конечномерное линейное простран-
ство, то индекс гессиана d2E всегда конечен.

Доказательство. Пусть v £ Туу, рассмотрим векторы
v (tj), 1 < i < Е, тогда существует и единственно такое ломаное
якобиево поле у', что v (t{) = v' (tt), 1 < i < k; следовательно,
(v —v') (tt) — 0, t. e. v" = v —v' = QVo. Итак, для любого
v £ ТУя существует и единственно разложение вида о = и’ + v",
где о’ t ТУа {tt}, а р" £ Q7,. Итак, ТУа разлагается в прямую
сумму двух подпространств: ТУо [t,} и QVo. Докажем их ортого-
нальность. Из формулы второй вариации имеем:

I

4-d2£ (a', v") = —	(v", Д (Щ,у')) - j (v", 0) dt = 0,

(Z)	о

что и требовалось доказать,
Докажем теперь, что ограничение РЕ на Q?o — положительно
определенная форма, т. е. РЕ (и, о) 0, если v £ QV., причем
равенство нулю имеет место тогда и только тогда, когда « = 0.
Рассмотрим вариацию й (и) пути у0, порождающую поле v £ Qv~.
Так как поле v (/) аннулируется в точках 1< i .< k, то оче-
видно, можно считать, что й (и) (/,) ~ 0 для любого и, 1 < i < k
(см. рис. 106).

Так как каждый отрезок геодезической у0 от точки у0 (/г-1)
до точки Уо (?,) (1 < I с k) минимален, то для соответствую-
щего отрезка пути а (и) (z) от значения tt_L до значения /г выпол-
t-

нено неравенство: £/. Ja (и) (/))	Е;‘.^ (у0 (?)); следовательно:

Е (й (и) (/)) Е (у0 (/)”) = Е (й (0) (/)). Так как значение РЕ (и, и)
можно понимать как вторую производную от Е (й (и) (/)) в точке
и — 0,. то, тем самым, наличие локального минимума для
Е (й (ц) (г)) означает, что РЕ (v, v) 0.

Осталось доказать, что d2E (и, о) > 0, если v 0 и и £ Qv„.
Предположим, что РЕ (г, v) --•= 0. Докажем, что тогда РЕ (гр, v) —
— 0 при любом ср 4 Т7,. Так как гр = ср' 4- гр", где <р' £ Т7. {р\,
а ф" € Qv„ то

РЕ (гр' 4- ср", и) = РЕ (гр', и) 4- РЕ (ср", v) = РЕ (ср", о),
так как РЕ (ср', v) = 0 (напомним, что подпространства TVo
и QYj ортогональны относительно формы РЕ). Так как (агр" 4-
4- о) 4 QVo для любого вещественного и, то имеем: РЕ (аср" +
4- v, аср" 4- v) р, т. е. а2й2£ (<р", ср") 4- РЕ (v, и) 4- 2ай2£ (ср",
а) = а2а2£ (ср", ср") 4- 2ай2£ (ср", и) 0, т. е. в силу произволь-
ности а получаем: РЕ (ср", и) = 0. Итак, РЕ (ср, и) = 0 при лю-
бом ср 4 Л’»> т- е. v £ Кег {РЕ). В то же время Кег (РЕ) состоит
только из якобиевых полей, а так как подпространство QVo со-
держит только нулевое якобиево поле, то окончательно получаем,
что РЕ (и, и) > 0 на Q7o. Лемма доказана.

Доказанная лемма позволяет ограничиться при подсчете ин-
декса РЕ вдоль у0 только ломаными якобиевыми полями, отве-
чающими достаточно мелкому разбиению {/,•} отрезка [0, 1 ].
Рассмотрим геодезическую у0 (t) на интервале от 0 до t0, где 0 <
< t0 < 1. Обозначим через X (t0) индекс гессиана РЕ вдоль от-
резка геодезической [0, f01. Ясно, что X (t0) —монотонная функ-
ция, т. е. X (to) « A (to), если to < t'Q. Это следует из того, что
любое якобиево поле на [0, /0] аннулируется в точке t = 0 и
в точке t = а, где а < ta, а потому каждое такое поле продол-
жается до якобиева поля вдоль отрезка [0, t'o], если положить
его равным нулю на отрезке [a, (см. рис. 107). Далее, из ло-
кальной минимальности геодезической у0 (t) следует, что X (tQ) = 0
при достаточно малых t0. Если t0 — не сопряженная точка на у0 (t),
то функция X (t) локально постоянна в достаточно малой окрест-
носги /0, так как множество не сопряженных точек вдоль у„ (?) -
открытое множество. Таким образом, скачки функции X (t) .могут
происходить только в тех точках /0, которые сопряжены точке
То (0) — Р- Характер этого скачка мы фактически уже изучили
ранее. Этот скачок равен числу линейно 'независимых якобневых
полей, аннулирующихся в точках у0 (0) и у0 (f0) (г. е. индексу
сопряженной гонки у» (/0))- В самом деле, каждое такое якобиеьо

Рис. 107.

Рис. 108.

поле определяет вариацию й (и) траектории То (0 в простран
стве £2, вдоль которой гессиан а2Е отрицательно определен.-Этот
эффект мы уже демонстрировали ранее; здесь мы только напом-
ним его (см. рис. 108). Тем самым, проходя через каждую сопря-
женную точку (0, мы добавляем к функция A (t) индекс этой сопря-
женной точки, и, следовательно, дойдя до точки q = у0 (1) (кото-
рая предполагается не сопряженной с р == у0 (0)), окончательно
получаем, что значение А (1) как раз и равно сумме индексов
(т. е. кратностей) всех точек, сопряженных с точкой р = у0 (0)
вдоль геодезической у0 (/).

Теорема об индексе функционала Е доказана.

§ 22. Применения теоремы об индексе

Используем теперь доказанную в § 21 теорему (об индексе)
для изучения топологической структуры пространства петель
Q (/И), где ЛР — гладкое компактное многообразие. Мы будем
поступать по аналогии с конечномерной теорией, которая позво-
ляет по заданной функции Морса на конечномерном многообразии
построить клеточное разбиение этого многообразия. Теперь вместо
конечномерного многообразия мы возьмем «бесконечномерное
многообразие» Q (М) = Q (Л!, р, q) кусочно-гладких путей из
точки р в точку q.

Рассмотрим функционал действия Е (у), где у £ Q/И; этот
функционал будет «функцией Морса», если все его критические
точки (т. е. геодезические из точки р в точку <?) будут невырож-
дены. Как мы уже выясняли, это будет в том и только в том слу-
чае, когда точки р и q не сопряжены друг другу (вдоль любой
геодезической, соединяющей р и q). Далее, в каждой критической
точке у0 С функционала Е возникает целое число —индекс
этой критической точки, т. е. индекс геодезической у0 (от точки р
до точки <?). Следовательно, по аналогии с конечномерным случаем,
можно ожидать, что на каждой критической точке (т. е. геодези-
ческой у0) «повиснет» одна клетка размерности, равной индексу
этой критической точки (т. е. индексу геодезической у0). Тем са-
мым возникает клеточное разбиение пространства Q/И на клетки,
число и размерность которых определяется числом и индексами
геодезических, соединяющих точки р и q (если р и q не сопряжены).

Так как мы рассматриваем римановы многообразия Л1", то
между любыми двумя путями , у._> £ QzM" можно определить
расстояние

d(Ti, у2) = max р (?1 (/), у2 (?)) 4- jj - -^-)2dtj ,
где зг (/), s2 (t) —длины дуг вдоль уг (0 и у2 (/); р (х, у) — расстоя-
ние на Мп между точками х и у (в заданной римановой метрике).
Для каждого а > 0 рассмотрим область	сд Q.V1, т. е. множество

всех точек у £ Q.W, для которых Е (у) < а. Оказывается, мно-
жество можно (в некотором точном смысле) аппроксимировать
гладким конечномерны?*! многообразием.

Фиксируем некоторое разбиение отрезка Ю, 1 ] точками 0 —
— to < Ч <• • • < к == 1 и обозначим через Q (t0, ..., tk) подпро-
странство в Q.W, состоящее из всех кусочно-гладких геодезиче-
ских, имеющих точки излома только при значениях параметра t,
равных t0, tlt ..., tk. Через Qa (/0, ilt th) обозначим пересе-
чение Йа П О (А»> •••> М: т. е. точками йа (t0, ..., th) являются
все кусочно-геодезические линии, вдоль которых Е < а.

Л е м м а 1. Пусть /И" —компактное многообразие и Qa =/=
Ф 0. Тогда для всех достаточно мелких разбиений (t0, ..., th)
отрезка [0, 1] множество Q (/0, ..., th) f] (£ < а) можно снаб-
дить структурой гладкого конечномерного многообразия.

Доказательство. Пусть е > 0 — такое достаточно
малое число, что для любой пары точек, отстоящих друг от друга
на расстояние, не превосходящее е, существует единственная гео-
дезическая, соединяющая их в шаре радиуса е. Разбиение (t0, ...
..., tk) выберем так, чтобы для всех i: tt—< e2/a. Тогда каж-
дая геодезическая у £ Qe (t0, ..., tk) однозначно определяется
набором из k—1 точек: у (Ч), •••, У Отображение у-*
-* (У (^i)> •••> У устанавливает гомеоморфизм между Q (/0, ...
.... tE) П (£ < а) и открытым подмножеством прямого произве-
дения МХ---ХМ (k—1) раз. Лемма доказана.

Рассмотрим функцию Е' — ограничение функционала Е с про-
странства Qa на гладкое конечномерное многообразие О (tQ, ...
.... th) П (Е <а).

Лемма 2. Функция Е' является гладкой функцией Морса
на конечномерном многообразии £2 (/0, ..., tk) [) (Е < а). Крити-
ческими точками этой функции являются в точности критические
точки функционала Е на Q (f0, ..., tk) Q (£ < а), т. е. геодези-
стг.е Q* вводится с помощью метрики max р (yt (t), у2 (/)),
где Ti, у2 < Q*, а р — расстояние на римановом многообразии /И".
(Иногда ->ту токологию называют компактно-открытой тополо-
гией.) Из сравнения топологий на Q и Q* (см. выше) легко следует,
что отображение вложения i непрерывно.

Л е м м а 3. IIространства S2 и Q* гомотопически эквивален-
тны.

Доказательство. Построим непрерывную функцию g
на ‘.2*, 0 с g (у) с 1, такие, что из неравенства |Z—t' ] <
< 2g (у) следует: точки у \t) и у (/') соединены единственной
минимальной геодезической. Пусть /: /И”	10, 1 ] — произволь-

ная непрерывная функция на компактном многообразии М“,
принимающая значения от 0 до 1. Через ег (г) (где г £ 10, 1 ])
обозначим наибольшее действительное число такое, что любая
пара точек из /-1 Ю, г], расположенных друг от друга на рас-
стоянии, не превосходящем в! (г), соединены единственной мини-
мальной геодезической. Ясно, ч~о с ростом г rx(z) — монотонная
невозрастающая функция. Рассмотрим функцию е2 (г) такую, что
0 < е2 (г) <	(г). Положим е (у) — (max /у (z)); получаем не-

прерывное отображение е: Q* -> R. По построению функции е.,
мы имеем, что любая парь точек на кривой у с Мп, расстояние
между которыми не превосходит е (у), соединена единственной
минимальной геодезической. Рассмотрим новую функцию:

т(у, а) = (а — 1)е(у) + max р(у(О, у(Г));

I t-r | < а

здесь т: Q*X [0, 1 ]-»-R. Функция т строго монотонно возра-
стает при изменении аргумента а от 0 до 1 и т (у, 0) < 0 < т (у, 1).
Следовательно, для каждого у £ Q* существует единственное
а0 t (0, 11 такое, что т (у, сс0) = 0. Окончательно, положим
а0 = 2g (у). Если а = | / — l' | < а0 — 2g (у), то т (у, а) <
< т (у, а0) = 0, т. е. т (у, а) = (а — 1) е (у) + max р (у (Z),
у (О) < о» т- е. р (у (/), у (/)) < 0 — а) е (у) < е (у), следова-
тельно, у (Z) и у (/') соединены единственной минимальной гео-
дезической (см. выше определение е (у)). Построение функции g (у)
закончено. Определим непрерывное отображение г: Q* -> Q,
положив: г (у) — однозначно определенный путь такой, что
г (у) совпадает с у при значениях параметра t = 0, g (у), 2g (у), ...
..., k-g (у) и при t = 1; здесь k — [\lg (у) ] (целая часть); траекто-
рия г (у) является геодезической иа каждом интервале tp-g(y),
(р + l)g(y)l, 0 с р < k — 1. Как и выше, непосредственно
проверяется, что отображения ir и ri гомотопны тождественным
отображениям (см. рис. 110). Лемма- доказана.

Итак, окончательно доказана следующая теорема.
стг.е Q* вводится с помощью метрики max р (yt (t), уг (/)),
о «и «и

где у1( у.. < Q*, ар — расстояние на римановом многообразии /И".
(Иногда ->ту токологию называют компактно-открытой тополо-
гией.) Из сравнения топологий на Q и Q* (см. выше) легко следует,
что отображение вложения i непрерывно.

Л е м м а 3. IIространства S2 и Q* гомотопически эквивален-
тны.

Доказательство. Построим непрерывную функцию g
на ‘.2*, 0 с g {>)	1, такую, что пз неравенства |Z — z'] <

< 2g (у) следует: точки у (?) и у (t') соединены единственной
минимальной геодезической. Пусть /: Мп -> 10, 1 ] — произволь-
ная непрерывная функция на компактном многообразии М“,
принимающая значения от 0 до 1. Через ех (г) (где г £ 10, 1 ])
обозначим наибольшее действительное число такое, что любая
пара точек из /-1 10, г), расположенных друг от друга на рас-
стоянии, не превосходящем &L (г), соединены единственной мини-
мальной геодезической. Ясно, что с ростом г ех(г)— монотонная
невозрастающая функция. Рассмотрим функцию е2 (г) такую, что
0 < е2 (г) < ех (г). Положим е (у) -= е2 (max /у (z)); получаем не-
прерывное отображение е: Q* -> R. По построению функции е.,
мы имеем, что любая парь точек на кривой у с Мп, расстояние
между которыми не превосходит е (у), соединена единственной
минимальной геодезической. Рассмотрим новую функцию:

т(у, а) = (а—1)е(у)4- max p(y(Z), y(f));

I t-t' | « a

здесь т: fi*X [0, 1 ] R. Функция т строго монотонно возра-
стает при изменении аргумента а от 0 до 1 и т (у, 0) < 0 < т (у, 1).
Следовательно, для каждого у £ Q* существует единственное
а0 € (0, 11 такое, что т (у, а0) = 0. Окончательно, положим
а0 = 2g (у). Если а = | t — l' | < а0 — 2g (у), то т (у, а) с
< т (?> ао) = 0, т. е. т (у, а) = (а — 1) е (у) + max р (у (Z),
у (/)) < 0, т. е. р (у (Z), у (/)) < (1 —а) е (у) с е (у), следова-
тельно, у (/) и у (/') соединены единственной минимальной гео-
дезической (см. выше определение е (у)). Построение функции g (у)
закончено. Определим непрерывное отображение г: Q* -> Q,
положив: г (у) — однозначно определенный путь такой, что
г (у) совпадает с у при значениях параметра t = 0, g (у), 2g (у), ...
.... k-g (у) и при t = 1; здесь k — [1/g (у) ] (целая часть); траекто-
рия г (у) является геодезической иа каждом интервале Ip-g(y),
(р + 1) g (у) 1, 0 с р < k — 1. Как и выше, непосредственно
проверяется, что отображения ir и ri гомотопны тождественным
отображениям (см. рис. 110). Лемма- доказана.

Итак, окончательно доказана следующая теорема.

8 Б. X. Дубровин II др.
Теорема 1. Пусть /VI"—компактное {или полное) ри-
маново многообразие; р и q —пира точек на Мп, не сопряженные
ни вдоль какой геодезической. Тогда пространство непрерывных
путей Q* (Л1", р, q) {гомотопически эквивалентное пространству
<2 (.11", р, и)) имеет гомотопический тип счетного клеточного ком-
плекса, в котором каждой геодезической из точки р в точку q с ин-
дексом л соответствует в точности одна клетка размерности %.

Замечая» е. Если фикси-

рована геодезическая у„,
ответствующая клетка сФ
индекс у0) возникает ка

то со-

мно-

жество траектории, получающихся
из у0 путем возмущения у0 в на-
правлении всех якобпевых полей
вдоль у0 (см. рис. 111).

Продемонстрируем некоторые
приложения доказанной теоремы.

Прпмеиим эту теорему к задаче о вычислении групп целочислен-
ных гомологий (и когомологий) пространства петель QS'1, где S" —
л-мерная сфера. Введем на сфере 5" стандартную риманову ме-
трику, и пусть р и q —две достаточно близкие точки на сфере S.
Тогда можно считать, что р и q не сопряжены нп вдоль какой гео-
дезической на 5" (например, с точкой р сопряжена только одна
точка на сфере — это диаметрально противоположная точка —р).

Рис. 111. Индекс л ='3. Этой
геодезической у0 соответствует
трехмерная клетка а3.

Рис. 112.

Тогда точки р п q соединены счетным числом геодезических
у0, уь у,... где у0 — кратчайшая дуга большого круга, на ко-

тором лежат точки р и q (см. рис. 112). Обозначим окружность
большого круга через d; тогда ух = d + у0; у, = d + d 4- у0;
у3 = d + d + d + Уо и т. д. Ясно, что индекс X (у/{) геодезиче-
ской у;< равен k (п — 1). Здесь мы использовали тот факт, что
точки р и —р сопряжены с кратностью п — 1: существует п—1
геодезических вариаций (поворотов) дуги большого круга, со-
единяющей точки р и —р. Из доказанной ранее теоремы выте-
кает, что пространство петель QS" имеет гомотопический тип кле-
точного комплекса, у которого в каждой из размерностей О,
п — 1, 2 (/г — 1),. 3 (п — 1), ... имеется ровно по одной клетке
(в других размерностях клеток нет). Отсюда мы можем получить
информацию о гомологиях Н* (OS"; Z). Предположим сначала,
что п > 2; тогда каждая из указанных выше клеток {о* <'*—п!,
k = 0, 1, 2, ..., является (ко)цпклом (поскольку две соседние
размерности вообще не содержат клеток), т. е.

[ Z, если р = k (п — 1), k = 0. 1, 2, 3.

II Z) — >
‘	(0 при всех других значениях р.

В частности, Нр (QSn’, Z) =s Нр Z). При и = 2 рассужде-
ния несколько усложняются. В этом случае в каждой размер-
ности: 0, 1,2, 3, 4, ... имеется ровно по одной клетке, поэтому
тривиальность граничного оператора д: Ср -* СР_Л уже не выте-
кает из приведенных ранее соображений. Изучим более подробно
структуру трехмерного остова (QV2) пространства петель Q (S2).
Из доказанного выше получаем: (й£2)(3-> — о0 (J °' U о2 U ff3-
о

Напомним, что из стандартного расслоения Е—*52 (где Е — про-
странство путей на S2, выходящих из фиксированной точки на S2)
вытекает соотношение: л( (S2) = л,_г (й), i^l. Как показано
в § 21 ч. II книги [11, л2 (S') = Z, т. е. (й) = Z. Далее (см.
[1 ] ч. II, § 22), л3 (S2) = Z (т. е. л2 (й) = Z). Так как /Д (й;
Z) = (прокоммутированная группа гц (й)|, то Hi (й; Z) = Z.
Следовательно, граница клетки о3 стягивается по S1 = о° (J о1
в точку, т. е. двумерный остов (й)(2> гомотопически эквивалентен
букету S1 V S2 (см- § 4)- Так как л2 (Й) = 2, то трехмерная
клетка о3 при приклейке к S1 \/ S2 должна уничтожить действие
фундаментальной группы яд (51) на л2 (S2 \/ S1) = Z, следова-
тельно, (й)'3> гомотопически эквивалентен произведению S1XS2.
Так как двумерные (ко)гомологии ЙЗ2 полностью определяются
трехмерным остовом (Й52)(3), то получаем, что Я2 (ЙЗ2; Z) = Z
и Я2 (й; Z) = Z. Обозначим образующие групп когомологий
/Д(Й; Z) и № (й; Z) через а п b соответственно (deg (а) = 1;
deg (6) = 2). Ясно, что а2 = 0 в кольце Н* (й; Z).

Напомним определение //-пространства. Топологическое про-
странство Y называется //-пространством, если определена опе-
рация умножения р: Y X Y -> У, обладающая «гомотопической»
единицей (см. § 7). Рассмотрим отображения

Y^YxY^Y,

Y-^Y xY-^Y.

Здесь Д (у) = (у, у0), j2 (у) = (у0, у), у0 t Y — «гомотопиче-
ская единица». Отображения [Лу гомотопны тождественному отоб-
ражению Y -> Y.
Напомним также, что проа равство петель Ш/ является //-
пространством. Отображение и: ЙЛ1У ЙЛ1 Q.W задается про-
изведением путей (см. § 7)

/О£ = р(/, g),
т. е. двум петлям ставится в соответствие петля, получаемая по-
следовательным прохождением обеих нетель.

Согласно теореме Хопфа (см. § 7) алгебра когомологий лю-
бого //-пространства над полем рациональных чисел изоморфна
тензорному произведению Д (xlt .... xt) $$ Q [z/j........ у. ],

где Д (ад...х{) — внешняя алгебра от нечетномерных образую-

щих Xj, .... ху, Q [z/j, ..., z/J — алгебра полиномов от четномер-
ных образующих ........ys. В частности, если //-пространство

конечномерно, то его алгебра когомологий изоморфна внешней
алгебре Д (ль....х,).

Так как пространство Q (S2) является //-пространством,
то Н* (Q ''S2)) за Д (Хх..%,) @ Q (Уг> •••. У*)- Мы уже предъ-

явили две образующие: xt = a (deg (а) = 1), уг = b (deg (Ь) = 2);
следовательно, все степени Ъ'!, k — 1, 2, 3, ..., отличны от нуля
в алгебре //* (Й (5’-))1и, следовательно, И* (Q (88))^содержит
следующую подалгебру: Д (а) ® Q [Ь]. Мы утверждаем, что эта
подалгебра полностью исчерпывает всю алгебру Н* (й (S2)).
В самом деле, подалгебра Д (a) (g> Q [bl содержит в каждой раз-
мерности по одной аддитивной образующей: Ь? (в размерностях
вида 2q, q = 1, 2, 3, ..,) или а-Ь1 (в размерностях вида. 2q 4- 1,
q — 0, 1, 2, 3, ...). С другой стороны, ранее было показано, что
клеточное разбиение пространства й (S2) содержит ровно по
одной клетке в каждой размерности; следовательно, предъявлен-
ные выше коциклы полностью исчерпывают всю алгебру
И* (й (S2)). Отсюда следует, в частности, для целочисленных
гомологий: Нр (Й (S2); Z) = Z при любом р = 0, 1, 2, 3, ...,
поскольку все клетки с‘ — циклы.

Окончательный ответ:

[ Z, если p = k(n — 1), /г = 0, 1, 2, 3,...»

1)	7/^(8"); Z)= п	1

v '	(0 при всех других р\

2)	//-(Й(82'Н-‘); Q) = Q[b2;i];

Н’ (й (S2”); Q) = Д (a2n-i) ® Q- [Ь,п_2].

Продемонстрируем также, как информация о гомотопиях и
гомологиях многообразия М позволяет делать вполне определен-
ные высказывания о поведении (и существовании) геодезических
на римановом многообразии Мп. Используем, например, получен-
ную выше информацию о гомологиях пространства петель й (8П);
л 2а 2.
Предложение 1. Пусть М'г — риманово многообра-
зие, гомотопически эквивалентное сфере S", п 2. Тогда любые
дсе несопряженные точки р, q АР‘ соединены бесконечным чис-
лом геодезических.

Это предложение немедленно следует из доказанной выше ос-
новной теоремы о структуре пространства петель ЙАП и из ин-
формации о гомологиях этого пространства.

Замечание. Геодезические, существование которых уста-
новлено в настоящей теореме, являются различными точками функ-
ционального пространства ЙАП, однако геометрически (после
их реализации в виде гладких кривых на ЛГ‘) некоторые из них
могут совпадать (см., например, геодезические на сфере S'1).
Вопрос о выяснении числа геометрически различных геодезиче-
ских требует, вообще говоря, дополнительного исследования.

Пусть Мп — компактное гладкое многообразие и пусть i > 0 —
первый номер группы лг (АР") такой, что (М11) =£ 0. Тогда
для любых двух несоиряженных точек р, q - М” сущест-
вует соединяющая их геодезическая индекса i. В самом деле:
так как л,: (АР) = Л;., (ЙЛГ1), то и группа //г_г (й (АН)) отлична
от нуля; следовательно, по теореме о клеточном разложении про-
странства петель получаем, что функционал Е на ПАР'1 должен
иметь по крайней мере одну критическую точку (т. е. геодезиче-
скую) индекса i. Утверждение доказано.

Если многообразие имеет отрицательную (неположительную)
кривизну по всем двумерным направлениям, то (как будет пока-
зано в § 23) все критические точки функционала Е на й (АР", р, q)
имеют индекс 0 (локальные минимумы).

Задача 1. Выведите отсюда, что геодезические, соединяю-
щие точки р и q, находятся в естественном взаимно однозначном
соответствии с элементами группы nj (АР).

§ 23. Периодическая задача вариационного исчисления

Ранее мы подробно рассмотрели одномерную вариационную
задачу на римановом многообразии Мг-, связанную с функцио-
налами длины L (у) н действия Е (у), где у £ й (АР1, р, q), р, q —
фиксированные точки на Мп. Эта вариационная задача называется
«задачей с закрепленными концами», так как у (0) = р, у (1) = q,
у £ й (Af”; р, q). Важное значение имеют так называемые «замк-
нутые экстремумы», к изучению которых мы сейчас и переходим.
Изучение этой задачи несколько отличается от «задачи с фикси-
рованными концами».

Периодическая задача ставится следующим образом. Рассмо-
трим компактное гладкое риманово многообразие Му через
П (Мп) мы обозначим пространство всех замкнутых гладких
кривых на Мп, т. е. точка пространства П (АР") есть гладкое
отображение у: S1 -> Мп, где S1 = S'(t), 0 < t < 2л, — окруж-
ность, отнесенная к стандартной угловой координате /, при этом
начальная точка не фиксируется.

Зам еч а н и е. Пространство П (/И") (топология в псп вво-
дится точно так же, как и в пространстве Q (Мл, р, q). см. выше),
отличается от пространства U Q (ЛИ; р. р) = П (Л!), т. е. р = q;

р

имеется отображение (не расслоение!) П (М'\ р, /?)->-П (.И"),
где прообразом точки является окружность. Множество линейно
связных компонент пространства П (/И'!) — это, по опреде-
лению, множество «свободны?:» гомотопических классов отобра-
жений 51~*Л4'7. Согласно § 17 ч. II книги [1 ]. гомотопические
классы определяются классами сопряженных элементов в группе
Л1 (Мп).

Вывод. Допустимые функционалы на путях многообра-
зия Мп имеют обязательно минимумы в каждой линейно связ-
ной компоненте пространства П (/И"). Следовательно, число
минимумов не менее числа классов сопряженности в группе л, (Mg).

В настоящем параграфе мы будем широко использовать раз-
работанный выше аппарат изучения экстремалей на простран-
стве Q (Л1!, р, q), а потому не будем повторять построение анало-
гичных конструкций.

Пространство П (.И'1), как и пространство] Q (Л1Я, р, q), мо-
жет быть естественным путем превращено в «бесконечномерное
многообразие»; если у П (.VI'1)—замкнутая траектория (на-
помним, что под термином «траектория» мы понимаем траекторию
с параметризацией; т. е. траектории с разными параметризациями
являются разными точками пространства П (/И)), то «касательное
пространство» ГуП (.И) к «многообразию» П (Л1) в точке у £
£ П (Л1) состоит из всех гладких векторных полей вдоль у (т. е.
периодических векторных полей). На пространстве П (.VI) оба функ-
ционала: L (у) и Е (у) (длина пути и действие пути) определены
точно так же, как и в случае пространства Q (AI, р, q). Изучим
экстремали функционалов Е и L.

Лемма 1. Если у0 £ П (/И) — замкнутая экстремаль функ-
ционала Е, то у0 — замкнутая геодезическая, отнесенная к пара-
метру, пропорциональному натуральному.

Доказательство немедленно вытекает из соответствующих
теорем для экстремалей из пространства Q (Л4, р, q). Если у (/) —
периодическая экстремаль для функционала длины L, то все
траектории у (/'), получаемые из у (t) с помощью гладких замен
параметра t -> t', также являются экстремалями функционала L.
Следовательно, «критические точки» функционала L не являются
изолированными в пространстве П (М); в частности, они ни в ка-
ком смысле не могут быть «изолированными н невырожденными»
критическими точками для функционала Е.

Поэтому (как и в случае пространства S2 (М, р, q)) основное
внимание мы сосредоточим на изучении экстремалей функцио-
траектории яв-

Рис. 113. Двукрат-
ная геодезическая.

нала Е. Отметим, что замкнутая геодезическая уа (/) £ II (.VI)
.может быть кратной, в том смысле, что с изменением t от 0 до 1
множество (У (/)} АР', являющееся гладкой кривой, пробе-
гается несколько раз; см. рис. 113. Геодезические у (/), изобра-
жаемые в Мп гладкой кривой, пробегаемой один раз, называются
простыми (однократными) геодезическими.

Обратно, если задана некоторая простая замкнутая геодезиче-
ская, то она определяет бесконечную дискретную последователь-
ность замкнутых геодезических, получающихся из исходной много-
кратным пробеганием (с большими скоростями, чем скорость
пробегания исходной геодезической). Все эти
ляются различными точками прострат:сгва11(Л1).
Если, например, исходная траектория у0 (О
определяла ненулевой элемент фундаменталь-
ной группы .-ц (.V!) (более точно: ее класс со-
пряженности отличен от единичного элемента),
то описанные выше кратные ей траектории
принадлежат уже другим классам сопряжен-
ности ГруППЫ (.И).

Как и в случае геодезических с фиксиро-
ванными концами, с каждой замкнутой гео-

дезической можно естественно связать некоторое целое число,
которое по аналогии с предыдущим случаем мы также назовем
степенью вырождения геодезической. Определение будет сейчас
дано; если же степень вырождения будет равна нулю, то тогда
геодезическая будет называться невырожденной.

Для того чтобы корректно определить степень вырождения
замкнутой геодезической, рассмотрим гессиан сЕМ (см. его оп-
ределение и свойства выше — в параграфе, посвященном изуче-
нию геодезических с фиксированными концами). Нами была до-
казана ранее так называемая «формула второй вариации», имею-
щая следующий вид:

1

х£г(0’ 0) = ~ J <U2>	Yi)Yo)rf/.

о

где R — тензор кривизны Римана, у0 — вектор скорости геодези-
ческой у0> а векторные поля vY и и2 описывают двупараметрическую
вариацию, т. е. пару «касательных векторов» к бесконечномер-
ному многообразию ПА! в точке у0. Как было отмечено выше,
векторные поля щ и определены вдоль всей траектории у0>
являются гладкими и периодическими. Поскольку гессиан (ЕЕ
определяет билинейную симметричную форму на касательном
пространстве Т?о (ПА4), то, следовательно, эту форму можно
однозначно задавать соответствующим ей линейным дифферен-
циальным оператором, который, очевидно, имеет следующий
вид: D = — (Vy„)2 — R (yo, ) Yo- Здесь мы поступаем по анало-
гни с конечномерным случаем, когда задать билинейную форму
означает задать линейный оператор D, с помощью которого иско-
мая форма В определяется формулой В (х, у) — (х, Dy).

В нашем случае действие оператора D на «касательные век-
торы» v t Ту (и.И) (т. е. па гладкие периодические векторные
поля, определенные вдоль замкнутой геодезической у0) осуществ-
ляется по следующей формуле:

D (у) = — (V^)2 у — Я (уо. у) Уо = — [(fy0)2 4- Я (уо, ) уо] (у).

Напомним, что «касательный вектор» v (т. е. периодическое
векторное ноле) называется якобиевым, если это поле аннули-
руется оператором D, т. е. является решением следующего диф-
ференциального уравнения: D (у) = — (VVo)2y— Я (уо, у) Уо = 0.
Ясно, что это определение полностью копирует ситуацию геоде-
зических с фиксированными копнами. Таким образом, якобиевы
поля (якобиевы «касательные векторы») являются элементами
ядра линейного оператора D, действующего на касательном про-
странстве Ту, (ПЛ1).

Определение 1. Степенью вырождения замкнутой гео-
дезической уо назовем размерность ядра оператора D.

Точно так же, как в случае геодезических с закрепленными
концами, доказывается, что это число конечно (см. выше).

Определение 2. Замкнутую геодезическую будем на-
зывать невырожденной, если ее степень вырождения равна нулю.

Для простоты ограничимся в дальнейшем рассмотрением,
в основном, замкнутых невырожденных геодезических. Оказы-
вается, с каждой такой геодезической естественно связано целое
число, называемое «индексом геодезической». Для его определе-
ния снова обратимся к оператору D. Индекс может быть опреде-
лен несколько иным образом. В само.м деле, поскольку индекс
был равен числу отрицательных квадратов после приведения гес-
сиана сРЕ к каноническому виду на касательной плоскости
TVa (П/W), то, следовательно, вдоль каждого «касательного век-
тора» у £ Т7а (ПЛ4), отвечающего одному из отрицательных
квадратов формы сРЕ, эта форма отрицательно определена, сле-
довательно, этот «касательный вектор» является собственным зна-
чением оператора’# с собственным числом 1 < 0. Таким образом,
индекс гессиана (РЕ можно было бы определить просто как число
линейно независимых решений следующего дифференциального
уравнения: D (у) = Ху, X < 0 (это система дифференциальных урав-
нений с параметром %, который является собственным числом).
Таким образом, решениями уравнения D (у) = Ху, X < 0, являются
гладкие периодические векторные поля вдоль геодезической у0
(если, конечно, эти решения вообще существуют). Ситуация
здесь отлична от случая якобиевых «касательных векторов» —
там всегда существует хотя бы нулевое решение однородной си-
стемы; в случае же X < 0 решение может не существовать: в этом
случае мы будем говорить, что индекс замкнутой геодезической
равен нулю.

Определение 3. Индексом невырожденной замкнутой
геодезической называется число линейно независимых решений
системы дифференциальных уравнений

D (г) = - (Vv,r v - R (уо, v) уо - 0.

В случае геодезических с закрепленными концами это опре-
деление также применимо.

Важное замечание. Конечно, определенный нами
выше индекс замкнутой геодезической также связан с распреде-
лением вдоль этой геодезической точек, сопряженных к выбранной
начальной точке на геодезической, однако эта взаимосвязь
носит более сложный характер, чем в случае геодезических с зак-
репленными концами, а потому мы не будем здесь вдаваться в эти
детали.

Задача 1. Докажите, что индекс не меньше числа сопря-
женных точек (но может быть не равен).

В некотором смысле изучение «периодической задачи вариа-
ционного исчисления» более сложно, чем изучение геодезических
с закрепленными концами. Характер возникающих трудностей
в достаточной степени иллюстрируется наличием кратных геоде-
зических; например, задача о нахождении количества простых
(т. е. некратных) замкнутых геодезических далеко не тривиальна.

Для того чтобы упростить задачу изучения замкнутых гео-
дезических, мы разберем здесь только один пример: случай ри-
мановых многообразий отрицательной кривизны, т. е. таких
многообразий, на которых все кривизны по всем двумерным на-
правлениям отрицательны. Примеры таких многообразий нам из-
вестны, такими многообразиями являются: плоскость Лобачев-
ского, снабженная стандартной метрикой постоянной отрицатель-
ной кривизны; двумерные гладкие замкнутые многообразия, по-
лучающиеся путем факторизации плоскости Лобачевского по
действию дискретных групп, действующих изометриями на плос-
кости Лобачевского и изоморфных фундаментальным группам
поверхностей (см. [1 ], ч. II, § 20 о кристаллографических группах
на плоскости Лобачевского). Для простоты мы будем предпола-
гать иногда компактность изучаемого многообразия.

Теорема 1. Пусть М—компактное риманово гладкое
многообразие отрицательной кривизны. Тогда в каждом свободном
гомотопическом одномерном классе существует единственная замк-
нутая геодезическая.

Доказательство. Рассмотрим какой-либо фиксиро-
ванный класс свободных замкнутых петель, гомотопных друг
другу. Будем считать, что мы рассматриваем только гладкие
замкнутые траектории; сопоставим каждой траектории значе-
ние функционала на этой траектории; рассмотрим число с, равное
нижней грани всех этих значений; тогда существует, вообще го-
воря, бесконечная последовательность замкнутых петель, длины
которых сходятся к числу с. В силу компактности многообразия
из этой последовательности можно выбрать последовательность
кривых, которые поточечно сходятся к некоторой гладкой кри-
вой уо, которая, как легко проверить, будет замкнутой геодези-
ческой, и значение функционала Е на этой геодезической будет
равно числу с. Осталось доказать единственность этой геодезиче-
ской. Для этого нам потребуется важная лемма, значение кото-
рой не исчерпывается только доказательством нашей теоремы.

Лемма 2. П уапь у0 — замкнутая геодезическая на много-
образии М отрицательной кривизны (здесь многообразие Л1 можно
не предполагать компактным). Тогда ста геодезическая нсвырож-
дена и ее индекс равен нулю, т. е. иными словами, дифференциаль-
ные уравнения D (и) r.v, X < 0, не имеют ни одного решения,
а уравнение D (у) = О имеет только нулевое решение.

Доказательство. Рассмотрим сначала случай уравне-
ния D (у) = 0. Надо доказать, что оно не имеет ненулевых реше-
ний. Пусть V — ненулевое решение. Тогда имеем: (Д)2у-г
-г R (у<-> v) V) '-= 0. отсюда: ((V<..)“ у, v) = — (R (ус, v) уг„ у) >0,
так как величина (R (у0, о) у0, как раз и является кривизной
по двумерному направлению, задаваемому в каждой точке траек-
тории Уо двумя векторами: у0 и у. Отсюда:

v) = Vt.(Vt.v, =

= ((W о, и) -i- (Vv,y. Vv.u) = v, u) -b | \\av |- > 0,
т. e. функция (?уЛ'> v) строго монотонно возрастает с ростом t
вдоль уо(0-

Рассмотрим на траектории у0 (/) произвольную фиксированную
точку, например, точку у0 (0). Решение v (t) является функцией
параметра t; изучим поведение этого решения с изменением t.
Первый случай: в точке у0 (0) выполнено неравенство (V^y,
у) |/=0	0. Тогда имеем:	(у, у) = VVo (у, у) = 2 (VV11y, у) >

> 0 при Есех t > 0, так как (V^y, у) — строго монотонно
возрастающая функция. Второй случай: в точке у0 (0) выполнено
неравенство (\\,у, у) |<=о < 0. Тогда рассмотрим вместо тра-
ектории уо (0 траекторию у0 (—t), заменив параметр t\ при этом
в каждой точке вектор скорости у0 заменится на противополож-
ный, — у0; следовательно:

(у, у) , = 2 (V?, (-оу; у) — 2 (V^.,y; у) > 0

при всех t > 0. Таким образом, можно считать, что либо вдоль
траектории у0 (i) (т. е. с положительным направлением пара-
метра), либо вдоль траектории у0 (—f) (т. е. с отрицательным на-
правлением параметра) модуль вектора v строго монотонно воз-
растает; но так как траектория замкнута, то через некоторое время
мы снова вернемся в исходную точку, но с возросшим модулем
вектора v, поскольку функции v предполагалась гладкой вдоль у0,
то получили противоречие. Лемма доказана для уравнения!) (и) —
= 0. Теперь рассмотрим уравнение: D (и) = Ли, Л < 0. Так как
D (у) = — (\ у)- v — R (уь; v) уо — Ла, то

t V?,)J v	R (уо, f) уо — —Ли;

i’> = —t’)Vo. v) —Л(и, o)>0,

так как л < 0. Именно здесь мы использовали то обстоятельство
что Л < 0. Дальнейшие рассуждения в точности повторяют пре

дыдущие; отсюда следует,
что уравнение Dv = Ли не
имеет решений. Лемма
полностью доказана.

Рис. 114.

Вернемся к доказательству теоремы. Рассмотрим замкнутую
геодезическую у0 в данном свободном гомотопическом классе
(см. доказательство выше). Из доказанной леммы следует, что
эта геодезическая невырождена; в частности, она изолирована.
Так как, в силу леммы, индекс ее равен нулю, то, следовательно,
функционал Е, рассматриваемый как функция на пространстве
замкнутых кривых, имеет в точке у0 локальный минимум. Допу-
стим, что в данном гомотопическом классе есть несколько таких
локальных минимумов (т. е. несколько замкнутых геодезических).
Выберем любые две замкнутые геодезические: yj и yj. Поскольку
обе они невырождены, то они изолированы, и функционал Е
имеет в них строгий локальный минимум (см. рис. 114). По-
скольку уо и yj принадлежат одному свободному гомотопическому
классу, то существует траектория т, соединяющая эти две точки
в пространстве П/W, т. е. существует гомотопия, переводящая у0
в yj. Рассмотрим поведение функционала Е, ограниченного на
траекторию т. Поступая по аналогии с конечномерным случаем,
получаем, что существует такая траектория т, вдоль которой функ-
ционал Е имеет между точками yj и yj еще одну критическую сед-
ловую точку — а; см. рис. 115. Однако эта точка уже не может
быть точкой локального минимума, что противоречит доказанной
выше лемме. Следовательно, точки у0 и yj совпадают. Тем самым
в свободном гомотопическом классе имеется только один локаль-
ный минимум; он же — и абсолютный минимум, причем других
геодезических (кроме кратных) нет. Теорема доказана. Из дока-
занной выше леммы вытекают полезные следствия и для некомпакт-
ных многообразий отрицательной кривизны.

Теорема 2. Пусть — гладкое многообразие, имеющее
отрицательную кривизну по всем двумерным направлениям.
Тогда никакие две точки многообразия М не сопряжены ни вдоль
кикой геодезической.

Доказательство. Следует доказать, что уравнение
D (о) — 0 не имеет никаких решений, кроме нулевого. Это мгно-
венно вытекает из леммы, что и завершает доказательство.

Теорема 3. Предположим, что Л1 — односвязное глад-
кое многообразие отрицательной кривизны (по всем двумерным
направлениям), любые две точки которого могут быть соединены
геодезической. Тогда любая пара точек многообразия М соединена
единственной минимальной геодезической. Многообразие М диф-
феоморфио евклидову пространству.

Доказательство. Поскольку Л! односвязно, то про-
странство £2 (/И; р, q) связно. Ввиду отсутствия сопряженных
точек (см. выше), каждая геодезическая имеет индекс, равный
нулю. Из теоремы Морса следует, что пространство й (/VI; р, q)
имеет гомотопический тип клеточного комплекса, размерность ко-
торого равна нулю, и каждой геодезической отвечает одна нуль-
мерная клетка (точка). В силу связности й (Л1; р, q) имеется только
одна вершина, а потому точки р и q соединены единственной гео-
дезической. Следовательно, экспоненциальное отображение ка-
сательного пространства на многообразие — взаимнооднозначно,
что и доказывает теорему.

Оказывается, тот факт, что некоторая группа является функ-
даментальной группой многообразия отрицательной кривизны,
накладывает довольно сильные ограничения на эту группу (на-
помним, что любая конечно порожденная группа может быть реа-
лизована как фундаментальная группа компактного четырех-
мерного многообразия; в то же время, далеко не каждая группа
может быть фундаментальной группой трехмерного компактного
многообразия, например, группа Z © Z © Z © Z). Имеет место
следующее утверждение.

Теорема 4. Пусть М — многообразие отрицательной
кривизны. Если два элемента фундаментальной группы лх (Л4)
коммутируют между собой, то оба они принадлежат к одной
циклической подгруппе в группе П! (Л4).

Доказательство. Пусть а и b — два коммутирующих
элемента. Если они принадлежат к одной циклической подгруппе,
то утверждение доказано. Пусть они не принадлежат к одной цик-
лпческой подгруппе. Тогда можно построить гладкое отображе-
ние в многообразие М. двумерного тора Т2, реализующего условие
коммутирования указанных двух элементов а и Ь. Действительно,
условие коммутативности, записанное в виде aba'1!)"1 — 1, и оп-
ределяет отображение тора Т1 в М (см. рис. 116). При этом комму-
тирующие элементы а и b оказываются меридианом и парал-
лелью этого тора (стандартно вложенными в этот тор). Оказы-
вается, что условие отрицательности кривизны позволяет осу-
ществить гладкую деформацию этого тора в такой тор, который
будет вложен в М как вполне геодезическое подмногообразие.
Для этого следует рассмотреть такое положение тора в М, при ко-
тором он имеет минимальную площадь. Эту теорему существо-
вания минимального тора мы принимаем без доказательства, по-

P1IC. 116.

скольку факт существования минимального решения достаточно
нетривиален и составляет содержание известной задачи Плато.
Указанное выше минимальное положение будет задавать тор как
двумерное минимальное подмногообразие в /И; поскольку тор —
двумерен, то на нем можно выбрать конформные координаты,
относительно которых отображение вложения тора в М станет
гармоническим отображением (это — специфика двумерных мно-
гообразий, для которых имеет место теорема униформизацни).
Отсюда уже довольно легко усмотреть, что тор будет вложен
в М как вполне геодезическое подмногообразие, т. е. как такое
подмногообразие, каждая геодезическая на котором (в индуци-
рованной римановой метрике) является, в то же время, геодези-
ческой и в объемлющем римановом многообразии. Поскольку объ-
емлющее многообразие имело отрицательную кривизну, и так
как тор — вполне геодезичен, то, следовательно, мы получили
на двумерном торе индуцированную риманову метрику отрицатель-
ной гауссовой кривизны (напомним, что гауссова кривизна дву-
мерной поверхности является внутренним инвариантом и совпа-
дает с ее скалярной кривизной, т. е. в данном случае — с кривиз-
ной по двумерному направлению, совпадающему с касательным
направлением к этому тору). Но на двумерном торе нельзя ввести
такой метрики, поскольку тогда интеграл гауссовой кривизны
по тору был бы отличен от нуля, что противоречит формуле
Гаусса—Бонне, согласно которой этот интеграл совпадает с эйле-
ровой характеристикой тора (после деления интеграла на 2л),
равной нулю. Полученное противоречие и доказывает теорему.
§ 24. Функции Могса на трехмерных многообразиях

н диаграммы Хегора

Рассмотрим трехмерное гладкое компактное связное замкнутое
многообразие Л13 (для простоты предположим ориентируемость
многообразия М3); пусть / (х) — гладкая функция Морса на этом
многообразии, имеющая ровно один минимум (он же — абсолют-
ный), один максимум (он же — абсолютный) и некоторое количе-
ство точек индексов 1 и 2. Как было доказано выше, среди всех
таких функций Морса можно выбрать такую, что ее критические
точки будут упорядочены в том смысле, что значения функции f
на М пробегают отрезок [0, 1]; f (/?) = 0, f (р') = 1, где р и
р' — точки минимума и максимума соответственно; затем, все
критические точки индекса 1 расположены на поверхности уровня
f = 1/3; все критические точки индекса 2 расположены на поверх-
ности уровня f ~ 2/3. Обозначим критические точки индекса 1
через Xj,....а точки индекса 2 — через Ун ..., yq„. Из двой-

ственности Пуанкаре (для целых коэффициентов в случае ориенти-
руемого многообразия) сразу следует, что qt = q2, т. е. число
критических точек индекса 1 равно числу точек индекса 2.

Рассмотрим поверхность уровня .И2 =	~ -^-1; так как на

I. 2 J

ней нет критических точек и так как размерность ее равна 2, то .VI2
диффеоморфно двумерному гладкому компактному связному
замкнутому многообразию. Так как /И2 является поверхностью
уровня и краем трехмерного многообразия, задаваемого неравен-
ством — < f « 1, то М2 — ориентируемая поверхность, т. е.
гомеоморфна сфере с некоторым количеством ручек. Пусть г — род
(т. е. число ручек) поверхности М2. По построению, М2 — это
многообразие, являющееся одновременно краем двух трехмерных
многообразий: (1/2 < [ < 1| и (0 < f < 1/2), которые обозначим,
соответственно через ГЬ и П2. Для наглядности можно рассматри-
вать каждое из Пг (кстати, они гомеоморфны) как трехмерное
заполнение двумерной поверхности М2 (рода г), стандартно вло-
женной в трехмерное евклидово пространство. Итак, мы доказали
следующее утверждение.

Теорема 1. Любое трехмерное гладкое компактное связное
замкнутое многообразие может быть (неоднозначно) представлено
в виде «склейки» двух трехмерных многообразий Пг-, i = 1,2, с краем,
каждое из которых гомеоморфно стандартному трехмерному
многообразию П — области, ограниченной в трехмерном евклидо-
вом пространстве стандартно вложенной в него поверхностью
рода г (для некоторого г). При этом склейка многообразий Hi
и П2 производится по некоторому диффеоморфизму а границы
(границей является поверхность рода г).
Это представление многообразия М3 в виде склейки П, и П>;
Л43 = П| U П2, где а: М2 -> М2Г, конечно неоднозначно и, кроме
а

того, число г также зависит от выбора функции Морса на Л1а. Это
представление Л1а в виде склейки двух заполненных поверхностей
рода г часто называется «диаграммой Хегора» многообразия М3;
поскольку описанная выше склейка задается диффеоморфизмом а:
М2 -> М2, то иногда говорят, что задана диаграмма Хегора, если
задан диффеоморфизм а. Ясно, что если два диффеоморфизма cq
и а2 гомотопны в классе диффеоморфизмов, то соответствующие
трехмерные многообразия Л13 (ах) и Л4а («•>) (полученные склейкой
по «! и по аг) диффеоморфны.

Обратно, пусть задана некоторая диаграмма Хегора и М3 (а) —
соответствующее ей трехмерное многообразие. Тогда на этом
многообразии ЛР (а) можно построить правильную функцию Морса
А которая определит (см. выше) разбиение Л13 (а) в объединение
двух многообразий Hi и П2, совпадающее с исходной диаграммой
Хегора. В самом деле, поскольку /И3 (а) = Пх (J П2, то достаточно
a

построить на Щ и на П2 стандартные функции Морса А и /2 с кри-
тическими точками индексов 1 и 2 соответственно и одной крити-
ческой точкой индекса 0 для функции Д, и одной критической
точкой индекса 3 для функции Д; при этом функции А п Д следует
выбрать так, чтобы они были постоянны на краях Пх и П2. Склеив
П1 и П2 по заданному диффеоморфизму, мы и получаем на ЛР
гладкую функцию Морса со всеми требуемыми свойствами.

Число г (род поверхности Л1;) называется родом диаграммы
Хегора.

Доказанная выше теорема может быть переформулирована
следующим образом:

Утверждение. Любое трехмерное связное гладкое ком-
пактное многообразие может быть представлено в виде объединения
двух трехмерных шаров с ручками, поверхности которых отожде-
ствлены посредством некоторого гомеоморфизма (диффеоморфизма).

Связь с предыдущей формулировкой осуществляется так:
каждое из многообразий 1Д и П2 гомеоморфно шару с г ручками.

В том случае, когда г — 0, многообразие М3 (а) получается
склейкой двух трехмерных шаров по диффеоморфизму а их гра-
ниц, т. е. по диффеоморфизму двумерной сферы на себя. Ясно, что
тогда М3 (а) диффеоморфно стандартной трехмерной сфере. Рас-
смотрим более нетривиальный случай и опишем все диаграммы
Хегора рода 1, т. е. опишем все те трехмерные многообразия, кото-
рые получаются путем склейки двух полных торов: Uj = S1 X D2,
П2 = S1 X D2 по некоторому диффеоморфизму их границ, т. е.
по диффеоморфизму а: Т~ ->• Т2, где Т2 — двумерный тор. .

Теорема 2. Любое трехмерное гладкое компактное связное
замкнутое многообразие, допускающее диаграмму Хегора рода 1,
гомеоморфно (и, следовательно, диффеоморфно) одному из следую-
щих трехмерных многообразий: 1) стандартная сфера X3; 2) Xх X
X X2; 3) линзовые пространства L3 (1, k), где многообразие L3 (1,
k) получается из трехмерной сферы Xs путем ее факторизации по
гладкому действию группы Zp, задаваемому следующей формулой:

(2.U"	2.11'.'г	\

е р -г; е р -wj:

здесь (z, w) — комплексные координаты в С2 s= R4; X3 = (|z|2 +
+ | w |2 = 1}. Линза L3 (1, 1) = S3iZt диффеоморфна проектив-
ному пространству RP3 (при p — 2).

Доказательство. В силу предыдущей теоремы доста-
точно дать классификацию всех классов изотопий диффеоморфиз-
мов двумерного тора на себя. Поскольку тор является простран-
ством типа К (л, 1), то гомотопическая классификация непрерыв-
ных отображений тора на себя дается множеством гомоморфизмов
фундаментальной группы лх (Xх X Xх) в себя; так как мы хотим
ограничиться только диффеоморфизмами, то достаточно описать
все изоморфизмы группы Jtj (Xх X Xх) на себя. Так как группа
Л1 (Т2) изоморфна Z © Z, то, следовательно, множество всех
диффе°М0РФ1!ЗМ0в а Т0Ра иа се$я (сохраняющих его ориентацию)
задается унимодулярными целочисленными матрицами
ad — be — 1; если же диффеоморфизм меняет ориентацию, то
ad — be = —1. Будем считать, что на торе фиксированы стандарт-
ные параллель и меридиан, образующие базис в фундаментальной
группе (она же — группа гомологий), относительно которого н
выписывается матрица аФ = |“ ^|- Найдем фундаментальную
группу многообразий А43 (а), где а* = |“ *|, 'ad — be = 1. Так
как М* представлено в виде склейки двух полноторий (полных

торов), каждое из которых гомотопически эквивалентно окруж-
ности, то фундаментальная группа М* получается так: нужно рас-
смотреть образующие уг и у2 и задать соотношение между уг и у2,

имеющее в данном конкретном случае вид yf = уг = 1 (запись
группы — мультипликативная). Отсюда следует, что (М3 (а)) =
= Zc. Так, например, если матрица |“ имеет вид °|, то
соответствующее многообразие М3 гомеоморфно прямому произве-
..................................0	—1"

, то М3 гомеоморфно

дению Xх X X2; если же

1	0

сфере Xs. В первом случае лх (М3) = Z, во втором лг (Л43) = 0.
Приведенные сейчас два гомеоморфизма геометрически очевидны:
в первом случае окружность Xх соответствует оси одного из полных
торов, а двумерная сфера возникает в результате отождествления
двух двумерных дисков по тождественному отображению их
границ (см. матрицу склейки); во втором случае два полных тора
склеиваются так, что параллель и меридиан меняются местами
(с сохранением ориентации тора); соответствующее разбиение трех-
мерной сферы в сумму двух полных торов может быть задано так:

Пх-З9п {|г| М; п2-ззп Нг1« к'П;

существует ортогональное преобразование сферы, переводящее
П'х в П2 (и наоборот) и задающееся формулой (г, а?) ->• (па, г).
Итак, мы нашли фундаментальную группу многообразий Л13 (а),
где а задает диаграмму Хегора рода 1. Если группа «j (/И3 (а))
тривиальна, то ЛР (а) — гомотопическая сфера (что сразу следует
из двойственности Пуанкаре) и, будучи представлена в виде
склейки двух полных торов, гомеоморфна стандартной сфере.

Если Л] (.И3 (а)) — Z, то с — 0, т. е. ad = 1; отсюда либо
а — d = 1, либо а — d = —1 (значение b — несущественно).
Ясно, что многообразие Л13 (а), задаваемое целочисленной матри-
цей Ц гомеоморфно S1 X S2.

Если же rtj (/И3 (а)) нетривиальна и изоморфна Zc, где с #= О,
1, то переходя к накрытию М3 (а), получаем, что это накрытие
также допускает диаграмму Хегора рода 1, поскольку накрытие
над тором регулярно и является снова тором; так как, кроме того,
М3 (а) имеет тривиальную фундаментальную группу, то в силу
предыдущего рассуждения М3 (а) гомеоморфно стандартной сфере.
Отсюда следует, что исходное многообразие М3 (а) получается из
стандартной трехмерной сферы путем ее факторизации по действию
группы Zc (действие было описано выше). Теорема доказана.

Такой простой ответ может быть получен только для диаграмм
Хегора рода 1; если же многообразие М3 не допускает ни одной
диаграммы Хегора рода 1, то описание УИ3 резко усложняется.

Дополним информацию о линзовых многообразиях L3 (1, k).
Как видно из определения гладкого действия Zc на S3, фактор-
пространство является многообразием, а проекция S3->L3(1,
k) — накрытием (действие группы Zc на S3 свободно и эффек-
тивно). Ясно, что все линзовые многообразия допускают диаграмму
Хегора рода 1. В самом деле, уравнение | г | — | w( задает разбие-
ние S3 в сумму двух стандартных полноторий (см. описание выше):

/	2.TZ/8	\

S3 = Пг U П2. При действии (z, to) -> \е с z, е с -w] группы
Zc тор | z | = fto | переходит в себя, а потому при факторизации S8
по действию Zc тор |z| = | w | проектируется на тор, являющийся
тором диаграммы Хегора многообразия L3 (1, k). Ясно, что возни-
кающее отображение тора на себя (накрытие) может быть записано
в терминах матрицы *|.
Легко показать, что линзовые многообразия L"'1 1 (ptр„)
и L2""1 (pi, .... рп) (задаваемые действием группы Zc на S2n“'
по формуле:

/ 2я<р,	2-1 ip,	2л‘Рп

(гх,.. .,zn)-> \е с -Zi, е с -г^ ..	е~'~-zn

гомеоморфны, если для каждого I сумма р; + р, или разность
Р» — Pi кратна с.

Задача классификации всех трехмерных многообразий не
только не решена, но неизвестно даже, является ли она в некотором
точном смысле алгоритмически разрешимой (наподобие того, как
алгоритмически разрешима ^задача классификации двумерных
многообразий).

Рис. 117.

Как было показано выше, для создания списка, содержащего
заведомо все трехмерные многообразия (это задача не совпадает
с проблемой классификации, являясь более простым вопросом),
достаточно составить список классов изотопных диффеоморфизмов
поверхности рода г на себя. Оказывается, такой список может быть
построен. На рис. 117 изображена двумерная поверхность рода г
с тремя ориентированными семействами окружностей cit eit
Операцией Tf(s = ± 1), соответствующей окружности s на
поверхности М2, назовем следующий диффеоморфизм 7^: Л12->
-> М.2. Обозначим через Us замкнутую ^.-окрестность окружности
s, т. е. U, диффеоморфно S1 X [0, 1 ]. Определим Т* тождествен-
ным отображением на /И2\ Us, а диффеоморфизм Tf: Us -> Us
строим, поворачивая окружность Sx X t на угол 2л/, причем
знак в зависит от направления вращения. Имеет место следующий
весьма важный и нетривиальный факт (доказательство которого мы
опускаем): всякий класс изотопных диффеоморфизмов двумерной
поверхности М2 на себя содержит представителя, разлагающегося
в произведение (композицию) операций вида 7t, где s — любые из
окружностей трех систем: ct, eit Отсюда вытекает следствие:
можно составить список классов изотопных диффеоморфизмов
двумерной поверхности М*, рассматривая всевозможные конечные
произведения вида П 71!/, где s} ({сД, {е,}, {/,}).

/

§ 25. Унитарная периодичность Ботта и многомерные
вариационные задачи

В этом параграфе мы докажем важный топологический факт,
обычно называемый «периодичностью Ботта»; для простоты остано-
вимся только на теореме периодичности для унитарной группы
(так называемая ортогональная периодичность Ботта доказывается
по той же схеме, что и унитарная периодичность, но с большими
техническими сложностями).

I.	Теорема унитарной периодичности.

Теорему периодичности мы докажем в ее классическом варианте
в виде периодичности гомотопических групп стабильной унитарной
группы, не вникая здесь в изучение роли теоремы периодичности
в теории векторных расслоений.

Теорема унитарной периодичности. Имеет
место изоморфизм.-. nt^SUtm^t xMSUtm при 1 < i < 2т. Если
U — lim U,n (где Um cz i/m+1 — стандартное вложение), то

= л;+1£/ при i 1 и n2nU = 0; л2п+1(/ = Z.

Рассмотрим специальную унитарную группу SUSm и через
й (SU2m; Е2т; — Е1т) (гдеЕ1т £ SU2,a — тождественное преобра-
зование) обозначим функциональное пространство кусочно-глад-
ких путей, идущих в группе SU2m из точки Е2т в точку —Eim.
Через Й* (SU2m', Е2т, —Е2т) обозначим полное пространство всех
непрерывных путей из Егт в —Е2т; тогда вложение Q ->• й*
является гомотопической эквивалентностью (см. выше элементы
общей теории Морса для пространства петель на гладком много-
образии).

В пространстве й (SU2m; Е2т, —Е2т) рассмотрим подпростран-
ство Й, образованное всеми минимальными геодезическими у
(т. е. геодезическими наименьшей длины), идущими из точки
Е2т в точку — Е2т.

Лемма 1. Пространство Й гомеоморфно комплексному мно-
гообразию Грассмана G^m. т> пг. е. многообразию т-мерных ком-
плексных плоскостей в комплексном линейном пространстве С2”.

Доказательство. Как было доказано в ч. I книги [11,
геодезическими на группе Ли (относительно римановой связности,
согласованной с инвариантной метрикой на группе) являются все
однопараметрические подгруппы и их сдвиги с помощью какого-
либо произвольного элемента группы. Поэтому для того, чтобы
описать все геодезические, соединяющие иа группе SUSm точки
Etm и —Eiin, достаточно описать все однопараметрические под-
группы, выходящие из точки Еат и заканчивающиеся в точке—Ег,п.
Так как любая такая одномерная подгруппа у (/) в SUSin имеет
вид exp tX, где матрица X косоэрмитова (т. е. принадлежит
алгебре Ли sutm группы Sf/am), то, считая, что параметр t изменя-
ется от 0 до 1, получаем условие: у (0) = Е?гл, у (1) = exp X —
= — Etn,. Рассмотрим присоединенное действие Ad группы SUam
на ее алгебре Ли; тогда хорошо известно (хотя бы из классического
процесса ортогонализации в унитарном случае), что существует
такое унитарное преобразование g0 £ SU2m, что g^Xg^ = Хо, где

о

Т1 + • • • + фат = 0.

0

I

Другими словами, матрица Ха принадлежит так называемой карта-
новскон подалгебре алгебры suim (т. е. максимальной коммутатив-
ной подалгебре в sutni). Применяя преобразование Adg<) к геодези-
ческой у (/), получаем:



go (exp X)gj' = exp (goXgo ’) =

0

~ go ( go = E^m'

0

Отсюда <р/ = nkt, kt — 2lt + 1, 1 < i < 2m, lt £ Z; kt + ... 4-
+ kim = 0. Тем самым мы описали все геодезические, соединяющие
точки Еа;л и —Ein в SUam. Осталось выбрать из-них геодезические
наименьшей длины. Так как отображение ехр осуществляет изоме-
трию при отображении прямой tX на геодезическую exp (tX), то
достаточно найти длину соответствующего отрезка в алгебре Ли,
чтобы подсчитать расстояние от Etm до —Е3т вдоль геодезической
exp (tX). Форма Киллинга на алгебре Ли suim имеет вид Sp XY7 —
— (Х,У); следовательно, длина геодезической exp (tX) от Е3т
до —Еат равна

V{X, X)-]/ SpXXr

/2л

S (ki)2.

Отсюда ясно, что наименьшая длина геодезической равна я у/ 2т,
2т

т.	е. когда k, — ±1. Так как, кроме того, Sp Х = л £	— 0, то

/=i

матрица X имеет на диагонали равное число+1 и —1. Таким
образом, мы доказали, что все матрицы X такие, что exp X — —Е2т
и exp tX — минимальная геодезическая получаются из одной
фиксированной матрицы

путем применения к ней внутренних автоморфизмов вида: Хо ->
где элемент g пробегает всю группу SU2m. Следова-
тельно, мы установили гомеоморфизм между множеством всех
минимальных геодезических и множеством матриц вида gX^1,
neg С С другой стороны, это множество матриц, очевидно,
гомеоморфно однородному пространству SUiJCX^, где через СХй
обозначена стационарная подгруппа матрицы Хо (т. е. подгруппа,
составляющая матрицу Хо на месте при присоединенном действии
группы SU2r,y Так как, очевидно, имеется изоморфизм: СХ0 —
— S (Um х U„,), то пространство SU2nJCX0 гомеоморфно комплекс-
ному многообразию Грассмана Gsm.m- Лемма доказана.

Лемма 2. Каждая минимальная геодезическая у (0, соеди-
няющая точку Е2т с точкой —Е2т, однозначно задается своей
серединой, т. е. точкой у (1/2). Таким образом, множество мини-
мальных геодезических, т. е. множество их середин, гомеоморфно
многообразию Грассмана и, с другой стороны, совпадает с пересе-
чением группы SU2m с ее алгеброй Ли su2rn. При этом мы считаем,
что как группа SU2m, так и алгебра Ли su2m реализованы как
подмножества в евклидовом пространстве Я2"1* комплексных
матриц размера т X т.

Доказательство. Первая часть утверждения, а именно,
то, что каждая минимальная геодезическая однозначно задается
своей серединой, вытекает из формулы: exp (tX) = (cos nt) Eim +
+ (sin nt) X. При t = 0 получаем Eim, при t = 1 получаем точку
—Elm, а при t = 1/2 — матрицу X. Таким образом, середина
геодезической у (0 совпадает с матрицей X. Ясно, что множество
матриц X вида gXog 1 совпадает с множеством тех косоэрмитовых
матриц, которые являются еще и унитарными, т. е. являются
решениями матричного уравнения X2 — —Eim. Отсюда в част-
ности, видно, что грассманово многообразие б^п. т может рас-
сматриваться как множество всех унитарных комплексных струк-
тур в пространстве С2"*. Ясно также, что пересечение унитарной
группы SUim с линейным подпространством suim совпадает с мно-
жеством матриц X таких, что Л'2 = —Егт. Лемма доказана.

Лемма 3. Каждая неминимальная геодезическая у, соеди-
няющая точку Егт с точкой —Eim на группе SUim, имеет индекс
не меньший, чем 2т + 2.

Доказательство. По определению индекса геодези-
ческой мы должны сосчитать число точек, сопряженных с .точкой
Eim вдоль геодезической у (на ее отрезке от Etm до —Е2т). Исходя
из явной формулы для уравнения Якоби (решениями которого
являются якобиевы поля вдоль геодезической), получаем, что все
сопряженные точки определяются положительными собственными
числами линейного преобразования Кх' suim ->• suim, где оператор
Кх (У) — Я (Х> У) X ~	порожден оператором

римановой кривизны (сводящимся для случая группы к тройному
коммутатору (см. [1], ч. I, §§ 30, 36). Как было показано выше,
можно считать, что матрица X дпагопальна и имеет вид

0

где

k{ ^i+1-

inkzm I

Из явной формулы для коммутатора получаем: [X, К] = || in (k} —
— ki) Ун т- е- Кх (У) = | (kj — kt)z Уд j. Прямое вычисле-
ние показывает, что значения параметра t, при которых точка
у (t) является сопряженной с точкой Eim (вдоль у), задаются сле-
дующими формулами: t =	~1^Г> ~k£kT ’ - <для

каждой пары :, /). На интервале (0, 1) число этих сопряженных
точек (при фиксированных I, j) равно -Г— 1. Считая, что
kj > kt, получаем, что индекс геодезической у задается формулой
Н= S {kj-kt-2).

kjy-ki

Из этой формулы видно, что для минимальной геодезической индекс
равен 0. Пусть геодезическая неминимальная; рассмотрим по
отдельности два случая: а) среди чисел kt по крайней мере т + 1
чисел имеют один знак; б) среди чисел kt есть ровно т положи-
тельных чисел и т отрицательных, но не все они равны ±1. Полу-
чаем, что р э» 2т + 2. Лемма доказана.

Переходим к доказательству теоремы унитарной периодич-
ности, а именно: стабильные гомотопические группы пе-
риодичны с периодом 2. Группы naU = ntU = atU = ... три-
виальны, а группы ntU — ntU — xtU = ... изоморфны группе Z.

Лемма 4. Рассмотрим вложение множества минимальных
геодезических (гомеоморфного комплексному грассманову многообра-
зию Gam, щ) в пространство путей Q (SU2m; Е2п„ —Е1т). Тогда
это вложение индуцирует изоморфизм гомотопических групп
во всех размерностях, не превосходящих 2т. Так как имеет место
равенство п$1Х — xi+1X, то получаем окончательно, что

Доказательство. Рассмотрим на пространстве путей
й (SUsm, Eim, —ESm) функционал действия; его критические
точки (на которых функционал достигает наименьшего значения)
являются минимальными геодезическими, соединяющими точки
Etm и — Ein, на SUtm; следовательно, это множество минимумов
функционала гомеоморфно многообразию G?m, т. В то же время,
как было доказано выше, индекс всех других критических точек
функционала (отличных от минимальных геодезических) не меньше,
чем 2т + 2. Применяя к этому функционалу теорию Морса (для
случая вырожденных критических точек, заполняющих невырож-
денные критические подмногообразия), получаем, что пространство
путей й (SUtm; Егт, —Etm) (рассматриваемое как бесконечный
клеточный комплекс) получается из многообразия абсолютных
минимумов функционала действия путем приклейки к этому много-
образию (гомеоморфному G&n, т) клеток размерностей, не меньших,
чем 2т + 2. Отсюда и следует, что гомотопические группы про-
странства й Eiin\ —Егт) размерностей i < 2т совпадают
с гомотопическими группами многообразия абсолютных минимумов
функционала действия. Лемма доказана.

Лемма 5. Имеет место изоморфизм: nt^Um — п^т, т
при i < 2т.

Доказательство (см. [1 ], ч. II, § 24). Рассмотрим
Um

стандартное расслоение Um±\ ~♦S2'"+I; из его точной гомотопиче-
ской последовательности сразу получаем, что лг_! (Um) =
=	(t/n+1) при i < 2т. С другой стороны, из точной гомотопи-

ческой последовательности расслоения Uim —* Utm/Um теперь
получаем, что «j (U^IU^ = 0 при i <. 2т, что эквивалентно
утверждению леммы. Доказательство закончено.

Собирая теперь вместе все эти утверждения, мы и получаем,
наконец, теорему унитарной периодичности:

nt—[Um	П/Gim, т

ЗТгй* (SUtmi ^2т> ^sm) — ni+lSUtm ~ ni+lUtm-

Выпишем в явном виде эту цепочку изоморфизмов. Пусть
Л-r Sl~'-+Uin-непрерывное отображение, представляющее
гомотопический класс 1/1 G ^i-iUm. Построим по этому отобра-
жению отображение /<+1: 5‘+1 -> SUtn- Для этого представим
группу SUt как группу [матриц {р}, где р = |_? |’|, |а|2 +
+ |₽|2 = 1. и выделим в группе SU2 подмножество — двумерный
диск 'D2, задаваемый Следующим условием: р £ 'D2, 0 £ R,
0	0. Затем вложим этот двумерный диск 'D'2 в группу SUtm

с помощью формулы

0£т



&Ет

h: ст ->

Далее, на диске 'D2 рассмотрим гладкую кривую 'у (0) — {р (а,
0)| а = гг, т £ R, т > 0}; положим у (0) = / ('у (0)). Точки
грассманова многообразия G^n,m будем изображать инвариант-
ными плоскостями, отвечающими собственному значению А = i
операторов g: C2m-* С2'”, g £ SUim, g2 =—Ein>. Тогда для
точки у t у (0) мы имеем: у2 = — Е2т, т. е. у (0) £ G^,. т cz SU2m
при О<0<1. Рассмотрим в G^m.m множество элементов g
следующего вида:	,

g=g(o, it, 0) = [£m ® [Г-i (ст)]-[р(гт, 0) ® £mb(£m ® /z-i(ff)].
где ст £ S‘~', ft.! (ст) £ Um. При 0 = 1 мы получаем отображение
сферы S'-1

0	А_1 (а) I

° Г

а при 0 < 0 < 1 множество {g(o, it, 0)} представляется в виде
образа сферы 5‘, причем ' (ст, /т, 0)} f G£n,m, д [S'] = [A J
(где д: л,Gto. «л,-.,(/,„).

Теорема 1 (Фоменко). Пусть S‘~' -► Um представляет
какой-либо элемент гомотопической группы В силу теоремы
периодичности, группы л^и^ и л(+1и„ изоморфны. Явная
формула этого изоморфизма имеет следующий вид: -* Д+1, где
fM:	fi+x: Si+I -> ^(<т, a, 0)} c SU2fn:

IaEm 0/i-l(o)8

-WT2,<«> I’

m. e. соответствие -> fl+l, сопоставляющее элементу гомото-
пической группы лг_х1/т некоторый ,элемент гомотопической
группы лми»т, и задает изоморфизм периодичности.

Доказательство. Рассмотрим множество (о, а, 0)},
где

g(а, а, 0) = [£„, ф f71\ (ct)J• [р (а, 0) ф'£т] [Ет ® Д_| (ст)];

тогда {g(o, а, 0)| можно, очевидно, представить как образ сферы
Si+I при непрерывном отображении /г+1: Sf+I -»• \g (ст, «. ₽)! с:
cz SUilu. Таким образом, если (ст) £ Um представляет собой
некоторый элемент гомотопической группы то f(+rS‘+l cz
cz SUim, и из описанной выше явной конструкции (с учетом клас-
сических изоморфизмов периодичности) сразу следует, что соот-
ветствие fi-! -* //+1 и порождает изоморфизм унитарной периодич-
ности. Явная формула:

. й	РЛ-1 (ч) I

g(a, a, p) = f/+1(S )=|_р/^1(а) &Ет I

получается путем комбинирования граничного оператора (см. его
явную запись выше) с отображением, сопоставляющим каждому
<сфероиду» (т. е. отображению сферы), образованному пучком
минимальных геодезических, идущих из точки Е1т в точку —Eim,
сфероид, составленный из всех середин геодезических этого пучка;
этот сфероид расположен в многообразии Грассмана. Теорема
доказана.

Таким образом, с геометрической, наглядной точки зрения
изоморфизм периодичности устроен достаточно просто.

Шаг 1. Нужно взять сфероид Д_г из группы Um и путем
рассмотрения граничного оператора д:	т ->• пере-

вести этот сфероид в сфероид, вложенный в многообразие Грас-
смана (явную формулу см. выше). .

Ш а г 2. Нужно взять получившийся сфероид в многообразии
Грассмана, представить это многообразие как пересечение группы
SUiin с ее алгеброй Ли sutm (прн их вложении в линейное про-
странство всех комплексных матриц размера 2т X 2т), восполь-
зоваться тем, что это пересечение в точности совпадает с мно-
жеством середин всех минимальных геодезических, идущих на
группе SUim из точки Е.т в точку —Etm, и рассмотрев все геодези-
ческие, середины которых заполняют сфероид в грассмановом
многообразии, получить сфероид (на единицу большей размер-
ности) уже в группе SUim. Этот сфероид и является образом исход-
ного сфероида при изоморфизме периодичности. Доказанная
выше теорема задает этот изоморфизм явной формулой.

Если т = 2, то за исходное отображение /3: Ss -+SU2 можно
взять тождественное отображение f3 (а) = |_\ ?|, |2 + |# |® —
= 1; тогда [/J = 1 £ HiSUt. Переходя теперь к т = 22, 2s, 2*.
получаем отображение f^. S2k+i -*• SU2k> где [/й+1) = 1 €
€ n23n-iSU2k, k >> 1. Отметим, наконец, что отображение /2л+1
совпадает с известным в теории клиффордовых алгебр и спинорных
представлений ортогональной группы отображением «двойствен-
ности» ай+1, если только в определении этого отображения за-
менить поле коэффициентов С на поле ’ вещественных чисел R.

Мы приведем это сопоставление, так как это дает еще одну
явную формулу для изоморфизма унитарной периодичности, еще
более упрощая геометрическую картину. Отображение «2/1+1
построим следующим образом. Пусть /: S"-1 GL (N-, €), g-.
Sm~'-* GL (М; С) — два непрерывных отображения. Так как
S'1-1 с: R”, S'”-1 cz Rm, то отображения / и g можно продолжить
(по однородности) на евклидовы пространства R” и R"1 соответ-
ственно. Определим отображение w: R',+m\0 -> GL (2MN; С),
положив

[*g =

—En ® g* (у) Я

/* (х) ® En || ’

где/’ == fT, g’ = gT; (х, у) с: R" х Rm, (.г, у) =£ (0, 0). Так как
(a~f*g определено на R''+"’\0, то возникает отображение
Sr’+m_I GL (2MN-, С). Если a: S1 -> GL (1; С), а (г) = z,
|z| = 1, то 'cuft+i = а*а* • • • *а (2k 4- 1 раз). Если в качестве
a2ft+i взять отображение S2A+1 -> SU.2k, соответствующее отобра-
жению 'a2h+1, то, очевидно, получим тождество ай+1 = /2)1+1.

II. Унитарная периодичность с точки зрения многомерных
вариационных задач.

Описанная выше теорема периодичности основана на теории
одномерных функционалов (а именно, функционала действия,
определенного на траекториях в унитарной группе). Оказывается,
более естественным образом изоморфизм периодичности возникает
при рассмотрении многомерной (в данном случае — двумер-
ной) вариационной задачи.

При классическом подходе изоморфизм унитарной периодич-
ности распадается в композицию двух изоморфизмов, каждый из
которых повышает размерность гомотопической группы на еди-
ницу. Тот факт, что требуемое повышение размерности на две
единицы получается в результате выполнения этих двух шагов
(см. их описание в предыдущем параграфе), вполне соответствует
методу классического доказательства, использующего одномерные
функционалы действия и длины, определенные на пространствах
отображений одномерного диска D1 (отрезка). Рассмотрим этот
процесс более подробно. Пусть фиксирован одномерный диск D1;
дЬ1 = S0 (нульмерная сфера); тогда Пх — П* (SUlm; Е2т, —Е2т)
есть пространство непрерывных отображений / диска D1 в группу
SUtn, при которых / |s. = t0 |з«, где i0S° = (Eln,, —E3m), т. e.
граница диска все время переходит в одну и ту же пару фиксиро-
ванных точек. Функционал действия Е на пространстве П( =
= Q (SU2m; Е2т, —Е2т) определяется так:
где со (0) = Eim-, со (1) = —Eim. С этим функционалом естественно
1

связан функционал длины Lq (ш) — j | ’37“ Как было пока-
о

зано в ч. I книги III, изучение критических точек (экстремалей)
функционала L сводится к изучению свойств и экстремалей
функционала Е. Множество точек (траекторий), на которых функ-
ционал действия Е (а, следовательно, и функционал длины L)
достигает абсолютного минимума, есть некоторое подпространство
в пространстве Hi, гомеоморфное многообразию Грассмана G?,n. m,
а потому (как это следует из одномерной теории .Морса) (2m)-мер-
ный остов пространства Пх гомотопически эквивалентен (2m)-мер-
ному остову пространства G^n. т. Иными словами, можно сказать,
что аналитическая часть изоморфизма унитарной периодичности
заключена в изоморфизме

(G^n. ш) = Л/ (П|) = Л; (ПО — Л,'4-1 {SUim),

поскольку следующий шаг: л, (G^, m) = л,_] (t/m) является
следствием уже чисто гомотопического факта, не имеющего какого-
либо отношения к функционалу Е.

Описанный выше геометрический механизм изоморфизма пе-
риодичности наводит на мысль о возможности получить этот изо-
морфизм не в два шага, а в один шаг, если использовать вместо
одномерной вариационной задачи — двумерную, т. е. подобрать
подходящий двумерный функционал. Оказывается, эта возмож-
ность действительно имеется; в частности, это еще более упростит
геометрическую картину изоморфизма периодичности. Перейдем
к изучению многомерной вариационной задачи.

Мы получим изоморфизм ^периодичности, рассматривая двумер-
ные функционалы на специально подобранном пространстве отобра-
жений. Рассмотрим в группе SUim вложенную окружность

So=|“fm -2 1,	|сс|=1,

| 0	a£m8’	if’

являющуюся однопараметрической подгруппой, и зафиксируем ее.
Здесь мы поступаем по аналогии с одномерным случаем, когда
в группе SUim фиксировалась нульмерная сфера S° = {Eim,
—Еат}. Пусть D2 есть двумерный диск с границей S1 в своей
стандартной евклидовой метрике; фиксируем отображение jn:
Sl-*SUam, переводящее окружность S1 изометрично на окруж-
ность So-

Через П2 обозначим топологическое пространство всех непре-
рывных отображений f: D* -> Si/2m таких, что f |s« = Простран-
ство Па имеет гомотопический тип клеточного комплекса. Рас-
смотрим подпространство П2 cz П2, образованное всеми отображе-
илями f из функционального пространства Я? (D2), где простран-
ство Н2 (Я2) определено ниже, для аккуратности и точной поста-
новки задачи.

Пусть G есть область в евклидовом пространстве Rv(x', xv).
Мы скажем, что функция и: G -* R принадлежит классу функций
Нт (G), если и только если: 1) и £ Lp (G), т. е. суммируема в р-й
степени; 2) существуют «обобщенные производные» Dau, т. е.
такие функции ra £ LP (G), а = (ах.....av), 0 < |а| < т, что

для любой бесконечно гладкой финитной функции g верно тожде-
ство:

( g (х) га (х) dx = j | Dag (x) | и (x) dx.
G	G

Здесь |а| = ах + а2 + ... + av; Dag = ^a|(g)/(dx‘)“l ... (<?xv)“v.
Если m = 1, to |a| = 1.

Если f: if -* SUim, to f £ H2 (if) в том и только в том случае,
когда порожденные этим отображением координатные функции
принадлежат Н2 (if). Требованием принадлежности отображения /
к классу Н2(О2) мы заменяем требование кусочной гладкости
отображения / в одномерном случае (необходимым для построения
одномерной теории Морса).

Определим на пространстве П2 функционал Дирихле D:
П2 -* R, сопоставляющий каждому отображению f С Пг значение
интеграла Дирихле D If ] на отображении / (см. определение ниже).
Этот функционал Дирихле является двумерным аналогом одно-
мерного функционала действия, в то время как функционал дву-
мерной площади — аналог одномерного функционала длины (см.
[11, ч. II, § 32). Напомним определение функционала Дирихле.
Функции ra (х), a = (ax, ..., av), называются производными функ-
ции и и обозначаются Da (и) или и, а’> если a = 0, то и,а = и.
Пусть теперь М и V суть римановы многообразия с метрическими
тензорами gi} (х), х М\ (0. « € V. С каждым отображением
f: V -*• М, где f £ Н2 [7, М ], связываются тензоры смешанного
типа; так, например, х‘а = х*,а, где х1 —локальные координаты
точки х = f (v) С М, а дифференцирование понимается в указан-
ном выше смысле. Через Va будем обозначать полную ковариант-
ную производную от смешанного тензора. Определим скалярное
произведение двух тензоров х^ иу'р, положив (х„,у^) = gapgi/Xaffp-
Пусть теперь f £	[V, М ]; положим

v

где dv есть элемент риманова объема на римановом многообразии
V, а п = dim V. Отображение / £ И" [V, Ml называется гармо-
ническим, если 5D (/; т) ] — 0 для любого векторного поля т] (f)
класса Hi, определенного на f (V). Соответствующее уравнение
Эйлера для функционала Dt/J имеет следующий вид: V“Vaxz=
= 0. Этот факт проверяется прямым вычислением.

В нашем случае в качестве многообразия V мы возьмем двумер-
ный диск D--, тогда (о) = S“®, и функционал Дирихле (двумер-
ный аналог функционала действия) D If 1 принимает вид

01/1 = 4 J х‘) + Х^ dv^ J Si‘<х>х' "Ь х«х^ dv’

V	V

где gi] — метрика группы SUim.

При этом группа реализована в пространстве и метрика
gl} есть ограничение евклидовой. Первая вариация 6D функцио-
нала D имеет вид 8D[f; т] ] = [ (A, V&q') dv. Если двумерный
г

диск Ds параметризован с помощью евклидовых координат и
и и, то получаем:

D [/] = J [(*«. *«) + (х0, -v0)j du dv, х = (х1....'хр),

v

p = dimAf; 5D[f; я) —

v '

На пространстве отображений nj рассмотрим еще один функ-
ционал А [/], сопоставляющий каждому отображению / £ Пг
значение следующего интеграла: j ]Aiet Q du dv, где

•	Q __ | (Xui xu) (xUf Хд) I

I (Xu, Хд) (.Хд^Хд) | ’

т. e. функционал A [/ ] является функционалом двумерной пло-
щади. ^Хорошо известно (см. [1], с. 363), что имеет место нера-
венство A [fl <D [f], причем равенство достигается в том и
только в том случае, когда отображение f обобщенно-конформное.
Например, для случая двумерных минимальных поверхностей
в трехмерном евклидовом пространстве это означает, что минималь-
ный радиус-вектор поверхности всегда гармоничен в конформных
координатах (т. е. в таких, в которых индуцированная риманова
метрика имеет диагональный вид). Отметим, что здесь также наблю-
дается аналогия с одномерным случаем (см. выше пространство
путей с фиксированными концами), а именно: функционалы дей-
ствия Е и длины L связаны аналогичным соотношением: L2 (со) <
с Е (<о), причем равенство достигается в том и только в том слу-
чае, когда отображение со задает минимальную геодезическую
(отнесенную к натуральному параметру), идущую из точки <о (0)
в точку (1).

Точно так же, как и функционал действия Е, двумерный функ-
ционал Дирихле D позволяет отбросить все те отображения f,
которые отличаются от гармонического отображения fg только
непрерывной заменой параметров в диске D2, что не меняет значе-
ния функционала площади, но меняет, вообще говоря, значение
функционала Дирихле.

Отметим для дальнейшего, что имеет место изоморфизм 02:
ns (П2) ss jts+2 (SU.im) и что пространство П2 гомотопически экви-
валентно пространству П2 всех непрерывных отображений S2 -*
-> SU-im с фиксированной точкой. Первое утверждение является
очевидным следствием точной последовательности расслоения
двукратных петель.

Теорема 2 (Фоменко). Рассмотрим группу SU2m и функ-
циональные пространства П2 и П2. В пространстве П2 рассмотрим
подмножество W, состоящее из всех точек (т. е. непрерывных
отображений) f, на которых функционал Дирихле D[f] достигает
абсолютного минимума. Тогда выполняются следующие утвержде-
ния’.

а)	множество W гомеоморфно (как топологическое пространство)
группе Um;

б)	вложение i: W -* П2 -* П2 индуцирует изоморфизм гомото-
пических групп i*: n,Um -* л5П2 при s < 2т; поэтому (2т)-мер-
ный остов пространства П2 гомотопически эквивалентен {2т)-мер-
ному остову группы Um, и композиция p2ot*.’ nsi/m—♦ ne+2Si/2m
является изоморфизмом унитарной периодичности при s < 2т.
Таким образом, использование двумерного функционала Дирихле и
рассмотрение множества его абсолютных минимумов позволяет
получить изоморфизм унитарной периодичности в один шаг
(сразу с повышением размерности гомотопических групп на две
единицы), в отличие от «.двух шагов» при использовании одномерных
функционалов действия и длины.

Доказательство теоремы проведем в виде цепочки нижеследую-
щих лемм. Сначала рассмотрим в группе S(/2OT двумерную сферу,
задаваемую формулой:

й=1-рй. «:l- ,^r.

Одна из ее полусфер, а именно, полусфера, задаваемая неравен-
ством 0 з> 0, совпадает с двумерным диском Do, вложение которого
в группу SU.,m было осуществлено выше. Экватором {0 — 0}
сферы So является окружность So. Поскольку вложение сферы
So -* SU2m продолжается до вложения SU2 -> SU^m, то сфера So
является вполне геодезическим подмногообразием в группе S(/2n„
и тем более — минимальным подмногообразием. Напомним, что
подмногообразие называется вполне геодезическим, если любая
геодезическая, касающаяся в какой-то точке этого подмногообра-
зия, целиком в нем лежит. То, что любое вполне геодезическое
подмногообразие локально минимально, следует из явного вида
тензора кривизны Римана, ограниченного на вполне геодезическое
подмногообразие. В группе Ли тензор кривизны Римана на вполне
геодезическом подмногообразии является частью тензора Римана
в объемлющей группе, распадающегося в прямую сумму.

Таким образом, и диск является вполне геодезическим под-
многообразием в группе SU2m. Рассмотрим множество W вполне
геодезических дисков D2 (х) cz SU,m, имеющих вид D2 (х) =
= xDcX-1, где х £ SUim и xsx~‘ = s при любом з С So-

Лемма 6. Множество IF' гомеоморфно пространству Um.

Доказательство. Пусть D2 (х) £ IF'; тогда xs = sx
для любого s С 5^. Так как Si = Ia£m + аЕ,п, |а| = !}, то
отсюда следует, что х =* А ф D, где A, D £ Um, т. е. х = (Ет ф
фРЛ-1) (4 ф А) ~ Xi (А ф A), xt — Ет ®DA~l. Поскольку
(4 ф A) d = d-(A ф А) при любом d £ Dq и любом 4 € Umt то

C = D4-.

Так как 0	0, то этим условием матрица С определяется одно-

значно. Итак, каждому дискуD 2 (х) мы сопоставили элемент С С
С Um, где С — С [D2 (х) ]. Пусть С ID2 (х) ] = С [D2 (х') ];
тогда очевидно, что х'-лг1 £ |4 ® 4}, а потому диски D2 (х)
и D2 (х') совпадают. Обратно, если С £ Um, то С = С [D2 (х) ],
гдех — Ет ф С, т. е. построенное соответствие D2 (х) -* С [D2 (х) ]
и является требуемым гомеоморфизмом между IF' и U,„. Лемма
доказана.

Построим теперь вложение t: Um -* Пг. Пусть g £ £/m; тогда
по этому элементу однозначно строится двумерный диск

причем, если g^g., то D2 (Ет ф gx) Q D2 (Ет ф g2) = So-
Пу сть i0: D2-*-D q есть наше фиксированное отображение. Положим
‘ (gH = (£m © gHo (£)‘(£m ©5Г1). где t £ D2. Ясно, что I:
g i (g) есть искомое вложение Um -* Пг. Из доказанной выше
леммы следует, что множество отображений i ({/„,) с П2 совпадает
с множеством отображений вида Adx о i0, где элемент х пробегает
всю группу G = |Л ф Л| с G ss Ura, т. е. множество i (Um)
является орбитой точки t0 £ llj при присоединенном действии
группы G на множестве отображений Па.

Лемма 7. Гомоморфизм 0а о z*: ns ((/„,) -> п3+2 (SU2m)
совпадает с изоморфизмом унитарной периодичности.

Доказательство. Пусть /: Ss->Um,f С I/] € л, (U,n),
а £ S3. Тогда

№)0<.1(/)(0)-ОЧ£., Ф/К1-|_^Г(О) 1£’|.

Из предыдущего параграфа и из одномерной теории Морса немед-
ленно следует, что гомоморфизм 02 о ц. совпадает с изоморфизмом
унитарной периодичности, если s с 2т.. Поскольку |32 является
изоморфизмом в любой размерности, то отсюда следует, что
гомоморфизм t*: п3 (Um) -*• п, (П2) тоже является изоморфизмом
при з < 2т, а потому (2/п)-мерный остов П2 гомотопически экви-
валентен (2/и)-мериому остову i (Um). Лемма доказана.

Итак, вложение i: Um -* П2 удовлетворяет всем необходимым
требованиям. Осталось показать, что выполнено равенство:
i (U„) = W.

Рассмотрим евклидово пространство R8m‘, отождествляемое
с комплексным пространством С4т' всех комплексных матриц
размера 2т X 2т, снабженным билинейной формой <р (А, В) =
— Re (Sp АВ*), В* = ВТ. Тогда группа SUim изометрично
вкладывается в сферу S8"*'-1 радиуса у' 2т как гладкое подмного-
образие, на котором индуцируется специальная риманова метрика,
инвариантная по отношению к правым и левым сдвигам на группе
SU2rn. Эта метрика, очевидно, совпадает с метрикой Киллинга.
Поэтому многие метрические соотношения в группе SUim выгодно
рассматривать с точки зрения объемлющей сферы S8™’-1. Извле-
чем первое следствие из существования такого изометричного
вложения группы в сферу. Так, например, в группе St/2m не
существует бесконечно малых вариаций (возмущений) двумерного
дискаDq, оставляющих границу этого диска Sj = dD2 неподвиж-
ной, таких, чтобы возмущенный диск Do был бы минимальным
диском в группе Si/2m, но не вполне геодезическим. В самом деле,
пусть такая вариация существует. Заметим, что окружность
So <= SUim cz S8"**-1 является окружностью большого круга
в сфере S8"”-’, а диск Do является центральным плоским сечением
сферы З8'"'-1 трехмерной плоскостью, проходящей через начало
координат в R87"'. Так как диск Do не является (по предположе-
нию) вполне геодезическим в группе SU2m, то он не вполне геоде-
зический и в сфере S8"1*’1, т. е. он не получается из диска Do
путем поворота вокруг окружности So. Из этого следует, что его
площадь строго больше площади диска D2 в линейном приближе-
нии, т. е. 64 > 0. Поэтому диск Do не является минимальным
диском, что противоречит предположению. Итак, любая вариация
любого диска D2 (х) £ W либо оставляет диск D2 (х) вполне геоде-
зическим (и тогда эта вариация сводится к повороту диска вокруг
его граничной окружности So с помощью какого-то внутреннего
автоморфизма объемлющей группы SU2m), либо разрушает его
локальную минимальность (по крайней мере, в одной внутренней
точке).

Лемма 8. Имеет место включение', i (Um) с. W.

Доказательство. Поскольку каждое отображение
f t ‘ (^m) имеет вид f — Adxi0, х £ G, то достаточно проверить,
что точка i0 является точкой абсолютного минимума для функ-
ционала Дирихле D. Так как SU.im с S8™’’1, и диск Do есть
центральное плоское сечение сферы S3"12'1, то отображение i0
является точкой абсолютного минимума для функционала пло-
щади А. Так как любой минимальный вектор является и гармони-
ческим (в соответствующих локальных координатах), то это
отображение i0 является критической точкой и для функционала
Дирихле D (отметим также, что обобщенная гармоничность отобра-
жения 10 следует и из явной конструкции отображения г0; см.
выше). Так как всегда выполнено неравенство А [/]<£) [/], то
ясно, что отображение ia является точкой абсолютного минимума
для функционала Дирихле D. Лемма доказана.

Лемма 9. Имеет место равенство i (Uni) — W, где W есть
множество точек абсолютного минимума функционала Ди-
рихле D.

Доказательство. Пусть f: D2 -* Si/2m, f | $ = j0 есть
точка абсолютного минимума функционала Дирихле D. В предыду-
щей лемме было доказано, что значение функционала D в точках
абсолютного минимума равно D [ц], и что это значение равно
A [ц]. Так как А [/] < D [/1 = D [i0] — A [i0], то A If] <
< A li01, но поскольку это соотношение можно рассматривать
в стандартной метрике сферы S8"11*1, то очевидно, что А [/ ] =
= A [t0 ], а тогда fD2 с. S8"12'1 является центральным плоским
сечением; кроме того, отображение f гармонично. Продолжим
вполне геодезический диск fD2 до сферы S2, являющейся вполне
геодезической сферой в сфере S8™2’1 (и тем более —вполне геоде-
зической в группе St/2m). Мы получили в группе SU2rn две вполне
геодезические сферы: So и S2, причем S2 П S2 зэ So Э E2„t.
Минимальными подгруппами, содержащими эти сферы So и S2,
являются подгруппы Gj и 62, изоморфные группе SU2. Два вложе-
н ия ах: Gj -> SUm; а2: Gs -* SU.lm определяют два точных пред-
с тавления группы SU2 в группу SU,,n. Так как ранг (SU2) = 1, то
можно считать, что окружность So является образом максималь-
ного тора Т1 = S1 сз SU2, причем So cz Т~'п *, где Т2т 1 —
максимальный тор в группе SU2:n. Так как два представления /х
и /3 совпадают на торе Tl (Т1 является .максимальной коммутатив-
ной подгруппой в группе SU2; в данном случае этот тор одномерен
и гомеоморфен окружности), то они эквивалентны, т. е. существует
элемент х t SU2m такой, что выполнено равенство: Д = Adx-/2.
Две сферы So и xS2x'!, вложенные в группу Glt можно совместить
еще одним внутренним автоморфизмом Adx,; тогда в сфере So
мы получаем две геодезические: So и х1х5ох'1хГ1. Следовательно,
существует элемент х2 £ Gt такой, что So = x2x1xS^x‘1xi’1X21.
Поэтому автоморфизм Adj,, где у = x2XjX, переводит отображение f
в отображение <0, оставляя на месте окружность So, т. е. / £
€ г (£/т). Лемма доказана.

Тем самым доказательство теоремы полностью закончено.

Отметим, что все точки множества W являются не просто мини-
мальными точками для обоих функционалов А и D, но даже
«вполне геодезическими» точками (т. е. вполне геодезическими
отображениями). Это обстоятельство имело место и в одномерном
случае, но там минимальность какой-либо траектории автомати-
чески влечет за собой ее геодезичность; в двумерном же случае
из минимальности двумерного дискаР f вовсе не следует его полная
геодезичность в объемлющей группе. Более того, единственными
вполне геодезическими дисками D2 с границей So являются диски
множества W; иными словами, если отображение/’ £ П2 является
критической точкой для функционала D и если, кроме того, диск
fD2 —вполне геодезический, то имеем: / £ IF.

III. Ортогональная периодичность с точки зрения многомер-
ных вариационных задач.

Теорема, аналогичная доказанной выше теореме унитарной
периодичности, имеет место и для ортогональной группы (и назы-
вается, соответственно, теоремой ортогональной периддич-
ности) Ботта.

Теорема 3. Имеет место изоморфизм п,- (О) & я<+8 (О),
где О—стабильная ортогональная группа-. О lim 0п; 0п cz
cz On+i—стандартные вложения. Кроме того,, стабильные
гомотопические группы ортогональной группы имеют следую-
щий вид-.

no=Zt,	л3 = 0, ns = Z, л4 = л3 = пв = 0,

П2 == Z, П; = n,+g.

Мы докажем только первую часть этого результата, причем
сразу применим аппарат многомерных вариационных задач. Дело
в том, что стандартное доказательство теоремы ортогональной
периодичности, использующее одномерную теорию Морса, состоит
из восьми шагов (по аналогии с тем, как из двух шагов состояло
стандартное доказательство унитарной периодичности), в то время
как применение функционала Дирихле, определенного на про-
сфанстве отображений восьмимерных дисков (вместо двумерных
дисков унитарной периодичности), позволит нам сразу, т. е.
в один шаг, получить изоморфизм: п, (О) = ni+8 (О) (хотя и не-
сколько нестрого).

Рассмотрим евклидово пространство RpI вещественных матриц
размера р X р; евклидово скалярное произведение может быть
записано в виде: <р (А, В) = Sp (АВТ). Тогда группа S0p изо-
метрнчпо вкладывается в стандартную сферу Sp’"1 радиуса j/p
(с центром в точке 0) как гладкое подмногообразие, на котором
евклидова метрика <р (А, В) индуцирует двусторонне инвариантную
риманову метрику, совпадающую с формой Киллинга. Алгебра Ли
sop группы SOp вложена в пространство R₽* как подпространство
матриц X, Хт — —X, и пересечение so,, f] SO,, является компакт-
ным симметрическим пространством SOpiUipw, если р четно.
Обозначим пересечение sop f) SOP через (р); тогда очевидно,
что многообразие (р) состоит в точности из тех элементов g £
£ S0p, для которых выполнено равенство g2 = —Е, т. е. (р)
совпадает с множеством комплексных структур в R₽. Положим
теперь р = 16г; тогда в группе SOWr существуют восемь антиком-
мутирующих «комплексных структур», т. е. операторов, которые
мы обозначим через Ju J2, ..., Js; J2 = —E, JsJk + JkJs = 0,
k #= 8. Все векторы Js (1 < s < 8) лежат в плоскости soier и,
в силу условия антикоммутативности, все они попарно ортого-
нальны. Кроме того, каждый вектор JT ортогонален вектору
Е £ SOltT, поэтому сфера 3® =	€ 3O16r | х — а°Е + a1 Jt +

+ ... + aaJB', (а0)2 + ... 4- (а8)2 = 1} является плоским сечением
сферы 3? (где q — 256г2 — 1), проходящим через начало коорди-
нат, и, следовательно, вполне геодезична в сфере 3’ и в группе
SOlBr cz S’. Ясно, что выполнено равенство 3® f| soler = So П
П Qi (16г) = So, где So —вполне геодезический экватор, задавае-
мый уравнением а° = 0. Фиксируем в группе SOIer вполне геоде-
зическую сферу So = U = а°Е + a1 J, + ... + а7/7; (а0)2 +
+ ... + (а')2 = 1); сфера So является границей вполне геодези-
ческого восьмимерного диска D® cz So, D® = U € Зо; a8 0}.
Пусть D8 —стандартный восьмимерный диск в евклидовой ме-
трике, 3’ = dDa, i" —стандартное отображение D8 на полусферу,
тождественное на границе дЬа, I' — единственное изометричное
вложение полусферы i*Da в группу 301вг, совпадающее на сфере
("S’ с . фиксированным изометричным вложением /0: S’ -* SJ.
Положим i0 — i' о i", t0: Da -* 501вг. Рассмотрим пространство
П3 всех непрерывных отображений f: D8 -* SOler таких, что
/ Is’ = /о- Пусть Щ с. П8 — подпространство, состоящее из всех
отображений f класса //®(О8) диска D® в группу SOlBr. На про-
странстве Ш рассмотрим два функционала: .4 [/] —функционал
площади A If] — ) ] det Q dv и функционал Дирихле

/>

D[/1= j[4(4

D>

dv.

Тогда A [fl < D If ] при любом f £ Ш.

Через p8 обозначим стандартный изоморфизм гомотопических
групп ns (П8) =* ла+8 (S018,).

Теорема 4 (Фоменко). Рассмотрим группу S0ier и функ-
циональные пространства П8 и Г(8 отображений восьмимерных
дисков в ортогональную группу. В пространстве П8 рассмотрим
подмножество IV', состоящее из всех тех точек (отображении) f,
на которых функционал Дирихле D [/] .достигает абсолютного
минимума. Тогда имеем:

а)	множество W гомеоморфно ортогональной группе 0г;

б)	вложение 1: W -* Щ -*• П8 индуцирует изоморфизм гомотопи-
ческих групп i*: ns (0r) -» л, (П8) при s < г — 2; поэтому
(г — Т)-мерный остов пространства П8 гомотопически эквива-
лентен (г — 2)-мерному остову группы 0г и композиция |38 о I*:
па (Ог) — ' лз+з (SOier) является изоморфизмом ортогональной
периодичности при s < г — 2.

Доказательство теоремы. Так как группа
л2 (Uim) тривиальна, то пространство П2 связно. Так как
л8 (501вг) — Z>, то пространство П8 несвязно и состоит из двух
связных компонент; как будет видно ниже из доказательства,
множество W также состоит из двух связных компонент, причем
каждая компонента пространства П8 содержит ровно по одной
компоненте множества IF и стягивается (при г -> со) именно на эту
компоненту связности.

Рассмотрим теперь в группе SOler подмножество Q8, состоящее
из всех комплексных структур J, которые антикоммутируют со
структурами Jlt J2, ..., Ji (см. их описание выше), т. е. антикомму-
тируют, тем самым, с каждой точкой шестимерной стандартной
сферы So сд So, задаваемой уравнением а° = 0. Так, например,
ясно, что J8 £ Q8. Прямое алгебраическое вычисление показывает,
что пространство П8 состоит из двух компонент связности и, кроме
того, гомеоморфно группе ОТ. Далее, пространство Й8 содержится
целиком в плоскости, ортогональной ко всем векторам Е, Jlt ..., Js.
Ясно, что. So f] Й8 = {J8; —J8}, а потому пересечение D® П
П Й8 = /8 есть одна точка.

Поставим в соответствие каждой точке х £ Q8 вполне геодези-
ческую сферу S8 (х), имеющую своим экватором стандартную сферу
So- Если х С й8, то вектор х ортогонален векторам Е, Jlt ...,
(xJa — —J,x, 1 < s < 7, а вектор Е ортогонален всем комплекс-
ным структурам). Поэтому сфера, натянутая на базисные векторы
{Е, Jr, .... J7, л}, является центральным плоским сечением в сфере
S4 и вполне геодезична в группе SOUr. В сфере 38(х) рассмотрим
диск

=	€58(х); 4,х=/Е+...+^ + /х; t/8^0|.

Тогда каждому вектору х ( Й8 однозначно соответствует вполне
геодезический дискО8 (х) такой, что dDa (х) = 3$, и если Xi #= х2,
то О8 (xi) П £>8 (х2) = So- Точно так же, как и в случае унитар-
ной периодичности, можно определить вложение i: От —' П8 —'
-* П8 -* П8, так как для каждого дискаП8 (х), х £ Пв, существует
единственная изометрия и (х): Г: £>8 -*£>8 (х), и (х) о /"|$» = /0;
тогда i (х) = со (х) о I".

Лемма 10. Вложение i: Ог -> П8 индуцирует изоморфизм
гомотопических групп до размерности г — 2.

Доказательство. Пусть отображение /: 3s -* Ог пред-
ставляет элемент гомотопической группы: [/] £ л, (О,); тогда
в группе SO1Gr мы получаем множество (£>8(х)},

П8 Э 1 (*)• Так как сфера So фиксирована, то в группе SOt&
возникает подмножество S= U D8 (х), которое определяетотоб-
*6/(3s)

ражение F: Ss+8 -* SOl6r такое, что F L, — f (сфера 3s —эква-
тор в сфере Ss+8). Теперь рассмотрим последовательность нуль-
мерных сфер S* = {Jk, —Jft}, 1 < k < 7. Фиксировав сферу S?,
мы можем построить соответствие у7: х -* D1 (х), где точка х £ П8,
траектория D1 (х) есть минимальная геодезическая из точки J7
в точку —J7, середина которой есть точка х. Тогда D1 (х) £ П7)
и существует отображение Г7: Ss+‘ -* П7 такое, что имеет место
соотношение:

F.Ss+1= U D‘(x), F7Ls=/,
*€f(ss)

причем из одномерной теории Морса следует, что соответствие
f^-F^ определяет изоморфизм гомотопических групп

ns+i (й7). Фиксировав нульмерную сферу S8, получаем соот-
ветствие: у#: у -+D1 (у), у £ Q7; ясно, что существует отобра-
жение

F«: Ss+2->Q0; F„Ss+2= U Dx (jr); F„|ss+1=F7.

Продолжая этот процесс, мы получаем соответствия: у7, уа, ...

Тх, То» где Е = Jo; отображение Fo: Ss+8-*Q0 = SOlfir, причем
отображение Fo соответствует отображению f при изоморфизме

9 Б. А. Дубровин и др.
периодичности; F0Ss+8 = FS’+8, так как U [у0 о ух о ...
_	х € f (s’)

... о у,(х)1 = S. Поэтому можно считать, что Fo = F. Это завер-
шает доказательство леммы, поскольку я4 (П8) & ns+e(SOier).

Тем самым для подпространства i (0г) с П8 выполнены все
утверждения пункта б) доказываемой нами теоремы. Осталось
доказать, что выполнено равенство W — i (0г).

Лемма 11. Имеет место соотношение', i (0г) с 1Г.

Доказательство. Поскольку диск i (х) (D8) является
центральным плоским сечением, то утверждение настоящей леммы

доказывается точно так же, как соответствующее утверждение
в теореме об унитарной периодичности, т. е. следует из нера-
венства A [fl <D Ifj.

Лемма 12. Верно соотношение: i (0г) — W.

Доказательство. Пусть f £ W, т. е. функционал D
принимает на отображении f свое наименьшее значение. Пусть 10:
if -> D8 (см. выше); тогда очевидно, что A [z0J — D [i0L Так
как A [fl <D [/] —D [z0J = A Uo], то точно так же, как и
при доказательстве соответствующей леммы унитарной перио-
дичности, устанавливается, что диск f (D8) является центральным
плоским сечением, содержащим сферу S8 в качестве своей гра-
ницы. Пусть х £ f (Da) и пусть вектор х ортогонален всем век-

торам £, Ji, ..., J7; тогда имеем: х = у ('5“)’ где ? есть геоде’
зическая на диске f (D8), у (0) = Е, у (1) = —Е. Длина L (у)
равна L (у'), где геодезическая у' содержится в диске f(£>8) и
такова, что у' (0) — Е, у' (1) = —Е, у' (-5-) == Л- Поэтому у —

минимальная геодезическая из точки Е в точку — £ в группе
SOur- Отсюда имеем: х = у (-у) € £2Г, т. е- х2 = —Е. Так

как вектор х ортогонален всем векторам J, (1	7), то

т. е.

(х + J,) С £21. т. е. -у (х 4- J,)2 = —Е. Следовательно,
xJs 4- Jsx — 0, т. е. х £ Q8. Поэтому f £ i (0г), так как f (D8) =

= £>8(х). Лемма доказана. Тем самым
нальной периодичности завершено, хотя

доказательство ортого-
и нестрого, без отсылки

к «одномерной» теории Морса.

Ясно, что совершенно аналогичная теорема имеет место и
в случае симплектической группы 5рл. Мы опускаем формули-

ровки и доказательство, предоставляя их читателю в качестве

полезного упражнения на технику многомерных вариационных

задач.

Задача 1. Выведите следующие гомотопические эквива-
лентности: a) BSp — QQQ SO; б) ВО — QQQ Sp тем же ме-
тодом. Извлеките из этих равенств первые восемь гомотопиче-
ских групп: Z2, Z2, 0, Z, 0, 0, 0, Z.
В случае унитарной периодичности мы имели следующее по-
лезное утверждение: множество i (Um) с: П2 является орбитой
гочки i0 £ П2 при присоединенном действии группы G с U2m,
где G Um, на множестве отображений П2. В случае ортого-
нальной периодичности аналогичное утверждение справедливо
цля i (0г), хотя этот факт мы и не использовали при доказатель-
стве теоремы.

Утверждение 1. Множество W — i (0г), вложенное
з пространство П8, является орбитой точки i0 с: П8 при при-
соединенном действии группы G сг <$0Иг на множестве всех отоб-
ражений П8, где G — JBQB 0г.

Доказательство. Достаточно установить, что для
любого вполне геодезического диска D8 (х), где х С Н8, суще-
ствует элемент g £ S01Br такой, что выполнены равенства: gJa =
= Jsg (1 < s < 7) и gxg-1 — JB. Рассмотрим g £ S01Br, gJa =
= Jag (1 < s < 7); тогда g^sT1 &8 и (gD^1) f] Qg == gJag'1,
t. e. gDs (x) g-1 —Ds (gxg~l). Пусть R есть подгруппа всех эле-
ментов g £ SOur таких, что gja = Jag (1 < s < 7), и пусть p (g) =
— gJsg~l —естественная проекция p: R -* П8. Рассмотрим в груп-
пе SOiCr сдвиг g-> Jag. Пусть g £ R, g —expA, A £ T£R.
Так как gJa = Jag, to AJa — JaA. Тогда легко видеть, что J»g
антикоммутирует с J, (1 < s < 7), т. е. Jsg £ П8, JBR cz П8.
Обратно, пусть JB exp А Q Q8; тогда A J, = J,A (1 < s < 7),
или gJ, = Jsg, где g = exp А (т. e. g £ R, JBR П8). Отсюда
получаем: Q8 = JBR. Поэтому проекция p является диффеомор-
физмом и для любого х t Й8 существует элемент g £ R такой,
что х — gJBg~l- Предложение доказано.

Вывод. Из теорем, доказанных выше, следует, что меха-
низм возникновения как унитарной, так и ортогональной перио-
дичности — один и тот же, а окончательный результат зависит
только от того, на каком пространстве мы рассматриваем много-
мерный функционал Дирихле; в случае пространства отображений
двумерных дисков мы получаем унитарную периодичность, а в слу-
чае пространства отображений восьмимерных дисков — ортого-
нальную.

Было бы интересно получить прямое доказательство этих
двух теорем, не использующее никакой информации, связанной
с одномерными функционалами действия и длины. Прямое дока-
зательство немедленно следовало бы из факта стягиваемости
(2/п)-мерного остова пространства П2 (соответственно, (г — 2)-
мерного остова пространства П8) на подпространство i (Um)
(соответственно, I (0Т)), являющееся множеством точек абсолют-
ного минимума функционала Дирихле. Именно соответствующая
теорема стягиваемости для одномерного функционала действия
(см. классическую теорию Морса на пространстве петель) и позво-
ляет осуществить переход: n,_i	nt_i (П1). Аналогич-

ное утверждение для многомерных вариационных задач пока
отсутствует. Это связано с типичными трудностями, возникаю-
щими при изучении многомерных задач «типа Плато», когда мно-
гомерный функционал может вырождаться на некоторых подмно-
жествах положительной меры, содержащихся в экстремальных
подмногообразиях.

§ 26. Теория Морса и некоторые движения
в плоской задаче п тел

В этом параграфе мы рассмотрим с точки зрения теории Морса
некоторые движения плоской задачи п. тел. Как известно, в пер-
вом приближении можно считать, что реальные планеты солнеч-
ной системы движутся в одной плоскости, называемой плоскостью
эклиптики. Центр масс всей этой системы можно с большой сте-
пенью точности считать совмещенным с положением Солнца.
Движение системы управляется ньютоновским потенциалом сог-
ласно законам классической механики. Как обычно, движение
системы определяется начальными данными: надо задать поло-
жения гравитирующих масс и их скорости в начальный момент
времени. Хорошо известно, что общие решения этой системы
весьма сложны (например, согласно классической теореме Брун-
са—Пуанкаре система не допускает лишних аналитических ин-
тегралов движения).

Однако, несмотря на сложность общей задачи, можно выде-
лить некоторые естественные подклассы в множестве всех реше-
ний, которые допускают достаточно простое описание. Одним из
таких подклассов являются так называемые «твердотельные ре-
шения», т. е. такие частные решения, при которых движение всей
системы тел изображается как одновременный поворот всех масс
системы на один и тот же-угол в плоскости эклиптики. Другими
словами, вся система, как твердое тело поворачивается вокруг
своего центра масс; в этом частном случае взаимные положения
всех тел системы не меняются, не зависят от времени. Такие
периодические решения системы иногда называют в литературе
«круговыми траекториями». Замечательным фактом оказывается
то обстоятельство, что описание таких «твердотельных решений»
задачи п тел сводится к описанию критических точек некоторой
функции Морса, причем топологическая информация, естественно
связанная с функциями Морса на гладких многообразиях (см.
выше), позволяет сделать важные качественные высказывания
о геометрической структуре этих круговых решений. Например,
весьма интересен вопрос: какова конфигурация, Образованная
в двумерной плоскости п телами системы, движущимися в соот-
ветствии с «твердотельным решением» системы. Ясно, что далеко
не каждая конфигурация из п точек на плоскости способна поро-
дить круговые траектории системы. Как оказывается, такие осо-
бые конфигурации определяются набором масс тел системы, и
в том случае, когда все массы, кроме одной, равны, задаются
некоторыми дискретными группами симметрий.

Такие конфигурации иногда называются относительными рав-
новесиями системы.

Перейдем теперь к точной постановке задачи. Плоская задача п
тел небесной механики полностью определяется набором п веще-
ственных положительных чисел mit пц, ..., тп. Будем считать,
что все п тел изображаются п точками двумерной евклидовой
плоскости. Пусть начало координат —точка 0 — совмещена с цен-
тром масс системы п тел. Положение каждой /-й точки на плоско-
сти зададим одной комплексной координатой Z; = х} + iyt\ по-
п
скольку 0 — центр масс системы, то имеем соотношение: £ т}г} =
/я»!

= 0. Следовательно, конфигурационным пространством системы
является линейное подпространство М2п~2 (комплексная гипер-
плоскость) в евклидовом пространстве С" = R2n:

М2п~2 — «?!, ..., zn) С R2" I S трз = о).

I	/=> J

Фазовым пространством системы является касательное расслое-
ние ТМ — М х М (прямое произведение).

Кинетическая энергия системы К задается по формуле

п

К’(») = 4"2 /ni|tMa>
s -

п

где. v—вектор скорости, £ тм — 0, I v( I — евклидова длина

вектора в плоскости R2, R2n « R2 х ... х R2 (п раз).

В конфигурационном пространстве системы мы рассмотрим
особое подмножество, состоящее из  набора «биссекторных» ги-
перплоскостей, а именно:

Ам = {(Zi. • • zn) С Сп |z« = гД; Д = U Д^.
«./

Потенциальная энергия системы задается как функция на конфи-
гурационном пространстве, М \ Д, где

....SnfSjr
t+i

Классические уравнения Ньютона задают, тем самым, векторное
поле X на ко касательном расслоении Т = Т (М \ Д). Конфи-
гурационное пространство системы — (М \ Д), а фазовое —
Т* (Л4 \ Д).
Полная энергия £: Т -* R1 задается по формуле: Е = X -R V.
В координатах (z, и) имеем: Е (z, 0 = К (о) + V (z); функция
Е (z, о), определенная на Т* (.И \ А), является первым интег-
ралом потока X, т. е, функция Е (z, v) постоянна на каждой ин-
тегральной траектории (z (/), и (/)) системы X. Наряду с этим
интегралом система X допускает и еще один интеграл (функцио-
нально не зависящий от интеграла Е в точках общего положения
на Т (М \ А))—момент импульса, обозначаемый через J н
задаваемый по формуле:

J (г, о)=£ m^zt /\ vf],
где через [zt Д ot ] обозначено векторное произведение (или
внешнее произведение двух 1-форм):

zjoj — Zfu', где Zi = (z), z<); oz = (oj, о?)

— декартовы координаты векторов гг и в плоскости R2.

Рассмотрим на R2 стандартное действие группы G — S1 (вра-
щения вокруг центра масс); тогда это действие порождает оче-
видное покоординатное действие на /И с R2fl = R2 х ... X R2
(л раз) и на касательном расслоении ТМ. При этом группа G
сохраняет (переводит в себя) «биссекторные» плоскости Аг; =
= (z; = z}); следовательно, группа G оставляет инвариантными
М \ А, Т (М \ А), К, J, V, Е, X. Таким образом, поток'Х есте-
ственно определяет динамическую систему иа факторпростран-
стве: Т (М \ &)IG = Т ((М \ A)/G). Так как можно еще допол-
нительно профакторизовать по действию группы растяжений
z lz в С", то, окончательно, мы можем редуцировать систему
к системе на Т (СР'1-1 \ А), где А —фактор А по двум указан-
ным выше действиям групп: вращений и растяжений. Этой фак-
торизацией мы воспользуемся позже, а сейчас вернемся к исход-
ной системе на Т (М \ А).

Наличие двух интегралов Е и J позволяет определить отобра-
жение /: Т -> к’= R1 X R1 по формуле: / (?) — (Е (|), J (|))£
£ R2, где £ = (z, 0 ,£ Т (Л4 \ А) = Т. Отображение /: T-*R’
является гладким; рассмотрим расслоение многообразия Т на
прообразы /е, р (с, р), где (с, р) £ R2; Е (|) = с, J (|) = р.
Прообразы /е, р являются (для почти всех точек (с, р)£ R2
гладкими подмногообразиями коразмерности 2 в многообразии
Т = Т (М \ А). Из определения / ясно, что все поверхности 1С,Р
являются совместными поверхностями уровня двух интегра-
лов: Е и J и имеют (в точках общего положения) размерность
4л — 4 — 2 = 4л — 6, так как di m Т = 4л — 4.

Л е м.м а 1. Многообразия Iл> р инвариантны относительно
действия группы G = S1 и относительно потока X. ’

Доказательство сразу следует из описания действия 51. на
С" \ А и на Т (Сп \ А).
Так как /с, р (т. е. поверхность постоянной энергии Е — с
и постоянного момента импульса J — р) инвариантна при дей-
ствии S1, то корректно определено факторнространство 7С1Р —
= Л.р/s1.

Одна из задач, решаемых в рамках классической небесной
механики, заключается в том, чтобы дать описание топологиче-
ской структуры поверхностей /С1Р и ТСгР. Теперь рассмотрим
круговые траектории в задаче п тел.

Пусть фиксированы массы /nlt ..., ш», тогда конфигурация
z = zn) (задаваемая положением точек zlt .... гп, где
y.m.tZi — 0) называется относительным равновесием (совокуп-
ность таких конфигураций обозначается через Re), если стандарт-
ное действие S1 на R2 (и, следовательно, на С") индуцирует дви-
жение z (t) — (Zj (t), .... zn (t)), удовлетворяющее уравнениям дви-
жения Ньютона. Другими словами, каждая точка zt описывает
окружность г, (0, причем взаимные расположения точек zlt .... zn
сохраняются.

Множество Re с М \ Д, очевидно, инвариантно относительно
действия S1 и умножения на скаляр (т. е. относительно преобра-
зования z>—>lz,	0), поэтому корректно определено множе-

ство Фп классов эквивалентности в Re (две конфигурации гиг'
считаются эквивалентными, если их можно совместить путем
ортогонального поворота и умножения на скаляр).

Оказывается, при малых п множество Фп может быть эффек-
тивно описано (см. об этом ниже).

Перейдем теперь к описанию относительных равновесий через
критические точки функции V (потенциала).

Рассмотрим в с С" = R2n скалярное произведение < , ),
задаваемое симметричной формой К (£, т]) =	(К — кине-

тическая энергия системы); обозначим через Sk = Sx-1 единич-
ную сферу в М относительно этого скалярного произведения
< , ): Sk = {z £ М | К (z, z) = 1}. При этом мы пользуемся
тем, что М изометрично каждому своему касательному простран-
ству (мы используем то, что М \ Д — 2/г-мерная область в ли-
нейном пространстве R2n). Через \ Д обозначим дополнение
в SK к биссекторным плоскостям Д, т. е. \ Д._= \ (Sx (]
П Д). Отметим, что в терминах многообразий SK \ Д можно
описывать поверхности уровня 1С) р. В самом деле, рассмотрим
для примера частный случай: движение системы по поверхности
уровня /с,о, отвечающей нулевому значению момента количества
движения. Если J (z, v) = 0, то имеем:	zn, [гг Д vt ] =

— 2 mt (z}v? — Ziv}) = 0. Отсюда вытекает следующее геометри-
ческое утверждение.

Предложение 1 (Смейл). В плоской задаче п тел
с массами mlt ..., тп движение динамической системы с. нулевым
моментом импульса происходит по поверхности уровня двух
первых интегралов Е — с — const, J = р — 0, т. е. по интеграль-
ной поверхности 1С, 0, где поверхность 1С, 0 имеет следующую топо-
логическую структуру:

а)	если энергия Е = с неотрицательна, то 1С> 0 диффеоморфно
прямому произведению 32"~4 X (Sx \ Д) X R1; размерность 1С,О
равна (2п — 4) + (2п — 2 — 1) + 1 — 4п — 6;

б)	если энергия Е — с отрицательна, то поверхность ICi0
диффеоморфна прямому  произведению R2"-3 X (Sx \ Д); раз-
мерность /с,0 равна (2п — 3) -г (2п — 2 — 1) = 4п — 6.

Поверхности 1с,р, отвечающие постоянным значениям энер-
гии и момента (уже при произвольных значениях сир), также
могут быть довольно просто описаны в терминах некоторых рима-
новых расслоений над пространством Sx \ Д. Поскольку топо-
логическая структура ICiP не будет использоваться в дальнейших
конструкциях, то это описание мы опускаем.

Теперь сформулируем основную теорему настоящего параграфа.

Теорема I (Смейл). Пусть задан произвольный набор масс
т1г ..., mlt, определяющий плоскую задачу п тел. Рассмотрим
многообразие Sx: \К (z) = 1}; dim Sx — 2п —3, и рассмотрим
на многообразии SK \ А гладкую функцию являющуюся огра-
ничением на Sx \ Д с М \ Д потенциала V, заданного на
М \ пусть точка z £ М \ Д такова, что К (?) = 1, т. е.
можно считать, что z £ Sx\ Д. Тогда точка (конфигурация п тел)
z является относительным равновесием тогда и только тогда,
когда z является критической точкой для функции Vs на Зх \ Д.
Так как относительные равновесия z и z' — \z мы считаем экви-
валентными, то в каждом классе изФп обязательно имеется точка z
такая, что К (?) = 1, поэтому критические точки функции
на многообразии Зх \Д описывают всё Фп, т. е. классы экви-
валентных относительных равновесий.

Доказательство этой теоремы будет дано ниже. Сейчас мы
(без доказательства) предъявим некоторые результаты класси-
фикационного характера о классах эквивалентных относитель-
ных равновесий.

В случае задачи двух тел (п — 2) имеется только один класс
эквивалентных относительных равновесий. Для трех тел (п — 3)
имеется пять классов эквивалентных относительных равнове-
сий. Два класса отличаются друг от друга ориентацией и геоме-
трически изображаются вершинами равностороннего треуголь-
ника (так называемый случай Лагранжа). Три других класса
образованы так называемыми коллинеарными относительными
равновесиями (случай Эйлера). Это означает, что все три точки ?ъ
?2, ?8 расположены на одной прямой, и имеется три различных
способа расположения точек zlt ?2, ?3 на прямой, удовлетворяю-
щих уравнениям движения Ньютона.

Нерешенный вопрос: для любого ли- набора масс пц, ..., тп
множество Фп (т. е. множество различных классов эквивалентных
относительных равновесий) конечно? Во всех известных примерах
(до конца исследованных) множество Фп конечно.

Перейдем к доказательству основной теоремы. Она является
следствием одного общего результата из теории гамильтоновых
систем.

Пусть М — гладкое многообразие — конфигурационное про-
странство некоторой механической системы, Т = ТМ — фазовое
пространство системы; кинетическую энергию К можно интерпре-
тировать как риманову метрику на многообразии М, т. е. форму Лг
можно понимать как скалярное произведение в касательном
пространстве ТгМ. Полную энергию Е запишем в виде Е =
= К + V. Считая все определенные выше величины заданными,
мы можем с помощью уравнений Гамильтона (или Лагранжа)
определить обыкновенные дифференциальные уравнения на ка-
сательном (или кокасательном) расслоении, т. е. гладкое вектор-
ное поле на Т — TV. Эти же уравнения можно интерпретировать
как дифференциальные уравнения второго порядка на многооб-
разии М (см. [1], ч. I, гл. 5).

Предположим теперь, что эта лагранжева система обладает
некоторой конфигурационной группой симметрий. Это означает,
что на многообразии М гладко действует некоторая группа Ли G,
сохраняющая риманову метрику /С и потенциальную энергию V
(заданную «почти всюду» на многообразии Л4). Другими сло-
вами, G—подгруппа группы изометрий римановой метрики К;
описанные выше условия означают, что группа G сохраняет и
соответствующую гамильтонову систему (порожденную К, V).
В частности, потенциал V постоянен на орбитах группы G.

Утверждение 1. Пусть М, К, V, G—механическая
система с группой симметрий G, М. —конфигурационное про-
странство, К — кинетическая энергия (она же — риманова мет-
рика), V — потенциал на_М \ Д, где vol (Д) — 0; К и V инва-
риантны относительно G. Пусть X £ д, где g —алгебра Ли
группы G. Элемент X можно интерпретировать как гладкое
векторное поле X на многообразии М; через ф* обозначим интег-
ральные траектории потока X, т. е. решения системы z — X (г).
Через ф« обозначим интегральные траектории исходной механи-
ческой системы, т. е. решения на многообразии М уравнения
второго порядка, определяемого полной энергией Е — К + V.
Тогда решение уt (г) совпадает с решением (г) (т. е. для всех t:

(2) = <pt (2)) тогда и только тогда, когда начальная точка г
является критической точкой функции f на многообразии М,
которая задается формулой f (г) — V (г) — К (X (?)). При V = 0
мы получаем описание тех геодезических (метрики К}, которые
совпадают с орбитами действия некоторой однопараметрической
подгруппы группы изометрий.

Доказательство этого факта элементарно следует из того, что
наше условие —это просто условие касания гамильтонова потока
на Т (Л/) с потоком X, поднятым в Т (М). Продемонстрируем
теперь, как отсюда следует основная теорема этого параграфа.

Наряду с функцией V на М рассмотрим новую функции Vp,
определенную на множестве М \ А и задаваемую формулой
Vp (г) = V (?) +	(г), где р —момент импульса.

Мы ввели выше пространство SK =	(z) = 1}; из опреде-

ления М следует, что М \ 0 диффеоморфно R4 X Sx, где че-
рез R* обозначена положительная вещественная полуось; иско-
мый диффеоморфизм f: М \ 0 -> Sx X R+ задается формулой:

/(г) = (/ОД z//W)); /W € R+. *//ОД С $х-

Ясно, что ограничение отображения f на пространство М \ Д
переводит Л1 \ Д диффеоморфно в R+ X (SA- \ Д). Рассмотрим
функцию Vs на Зх \ Д как ограничение потенциала V на под-
многообразие Sx \ Д cz М \ Д; пусть a (d) —обозначение мно-
жества критических точек отображения d.

Докажем следующие два соотношения:

А. о (Ур) = {(/, х) С (М\Д) ъ R+ х ($Х\Д) | х $ a (Vs),

t = —p2/2V(x)\

где t $ R+, х £ SK \ Д, z = (t, x),

В. a (V- К (X)) = {z = (/, x) £ (Af \Д) R+ x (5Х\Д) | x £ a (Vs),
t = p-V(x)/2K(X)}.

Отметим, что выполняются следующие очевидные равенства:
К (z) = /а (см. представление точки z в виде (t, х)), V (z) = V (t, х) —
= V (x)/t (см. явную формулу для потенциала V (z) в плоской
задаче п тел). Докажем соотношение А.

Точка z = (/, х) является критической для функции V„ тогда
и только тогда, когда равны'нулю частные производные: dtvp = 0,
dxVp = 0 (где di — дх = Отсюда получаем:
a,vrv. x)-a,(vW+^)=s,(^+4) =

т. е. имеем: t = —pa/2V (х). Далее, вычисляя dxVp (/, х), полу-
чаем:

dxVp (z) = 4 (dxV (х)) + дх (-£-) = -LdxV (х).

Итак, grad Vp (t, x) = 0 тогда и только тогда, когда dxV (х) = 0
и t = —ра/2и (х), что и доказывает равенство А.

Докажем соотношение В. Ясно, что

(V-K(X))(z) = V(t,x)-K(x\t,x)Y,	,
отсюда получаем:

dt[V(t, x)-X(X(t, x))]=df[Z£L_ W(X(1, x))] ==

= _ XgL _ 2tK(X (x)) = 0, где X (x) = X (1, x).

Поскольку t £ R+, t. e. t > 0, то отсюда следует:

<з. V (*)

2tf(X(x))'

Подсчитывая далее дх (V — X (X)) (t, x), получаем:

p-F*- - w = тдх w - Pd* & (x <*))i=°-

Так как векторное поле X порождено элементом X алгебры Ли
группы изометрий, то поле X сохраняет (с точностью до ска-
лярного множителя) риманову метрику X- Отсюда .следует
дх (К (X (х)) 1 — 0. Итак, окончательно, дх V (х) = 0.

Условие: grad (V —X (X)) (t, х) = 0 выполняется в том и
только в том случае, когда = —V (х)/2Х (X (х)); дх ( V (х)) =
= 0. Последнее условие означает, что gradx‘V (х) = 0, где V (х) =
= Vs(x)—ограничение потенциала V с многообразия М \ Д
на подмногообразие SK \ Д.

Итак, оба равенства А и В доказаны.

Доказательство теоремы 1. Пусть z = (t, х)
и X (г) — 1. Тогда точка z является, в силу утверждения 1, точ-
кой, через которую проходит орбита некоторой однопараметри-
ческой подгруппы группы изометрий, совпадающая с некоторой
интегральной траекторией динамической системы, в том и только
в том случае, когда точка z — критическая для функции V (z)—
— X(X(z)). В силу равенства В множество критических точек
функции V —X (X) (где X (z) = 1) совпадает-с множеством кри-
тических точек функции Ks на SK \ Д. Но критические точки,
описанные в утверждении 1 порождают проходящие через них
орбиты (окружности) однопараметрических групп изометрий.
В случае плоской задачи п тел эти орбиты, являясь интегральными
траекториями динамической системы, задают множество поло-
жений относительного равновесия системы. Собирая, наконец,
вместе всю полученную информацию, мы видим, что точка
z £ М \ Д, X (z) = 1, является относительным равновесием
в том и только в том случае, когда она есть критическая точка
ограничения на SK \ Д потенциала V. Теорема 1 доказана
полностью.

Теперь мы можем перейти к изучению специального класса
относительных равновесий — так называемым коллинеарным отно-
сительным равновесиям, т. е. таким,, когда все п тел расположены
в плоскости на одной прямой. Мы вычислим точное число таких
специальных положений равновесия для произвольного п, ис-
пользуя полученную выше информацию о критических точках
потенциальной энергии.

Теорема 2 (Мультон). Для любого заданного набора масс
«1, .... тп в плоской задаче п тел всегда существуют в точности
nl/2 классов коллинеарных относительных равновесий системы,
т. е. существуют п!/2 классов относительного равновесия, когда
все точки г, (задающие положения тел системы) расположены на
одной прямой, проходящей через центр масс, и в процессе движе-
ния эта прямая вращается вокруг центра масс (начала коорди-
нат)', при этом каждая точка описывает круговую траекторию
(окружность с центром в начале координат).

Пусть в плоскости системы R2 выбрана некоторая прямая I.
Она однозначно определяет подмножество Mt а М тех точек
z — (?|, zn), для которых все координаты zf принадлежат
прямой I. Как и раньше, выделим подмножество Д биссекториых
плоскостей и построим следующие подмножества: Sz = SK f| Mlt
S{ \ Д = Sz \ (S{ f) Д). Рассмотрим действие окружности
S1 гиа множестве SK; ясно, что множество Sz остается на
месте только при повороте плоскости на угол л. Следовательно,
на множестве St естественно действует группа второго порядка Zt.
Рассмотрим факторпространство Sz/Z2, где I — фиксированная
ранее прямая в двумерной плоскости. Так как фиксация такой
прямой однозначно определяет в каждой комплексной прямой
(т. е. двумерной вещественной плоскости) в С"-1, проходящей
через начало координат, некоторую вещественную прямую,
то множество всех таких вещественных прямых (возникающих
при рассмотрении всех комплексных прямых) естественно отож-
дествляется с вещественным проективным пространством, что
дает следующий диффеоморфизм: Sz/Z2 = RP'1-2. При этом
описанное выше вложение каждой вещественной прямой в соот-
ветствующую ей комплексную прямую можно рассматривать
как комплексификацию этой вещественной прямой, т. е. вложе-
ние Sz/Z2 = RPn“2 -* СР"-2, возникающее при переходе от
прямой I к плоскости R2, совпадает со стандартным вложением
вещественного проективного пространства в комплексное проек-
тивное’ пространство. Следовательно, возникает индуцированное
вложение RP'*—2 \ (К f| RPn—2) -► СР”-2 \ Д. На СРп~2 \ Д
мы рассмотрим гладкую функцию V: СРг‘-2\ Д -* R1, индуци-
рованную потенциалом V: М \ Д -* R1, где Д = Д/S1.

Лемма 2. Число классов относительного равновесия в точ-
ности равно числу критических точек гладкой функции V:
СР"-2 \ Д -* R1.

Доказательство. Из определения класса (см. выше)
следует, что каждый класс относительных равновесий однозначно
определяется содержащимся в нем нормированным относитель-
ным равновесием, а эти последствия, в силу теоремы 1, однозначно
соответствуют критическими точкам функции V. При этом мы
используем тот факт, что при повороте двумерной плоскости
относительное равновесие переходит снова в относительное рав-
новесие, т. е. ортогональные преобразования переводят класс
таких равновесий в себя.

Утверждение 2 (Смейл). Классы коллинеарных отно-
сительных равновесий находятся во взаимно однозначном соот-
ветствии с критическими точками гладкой функции V'- СР"~2\
\Д—► К1, которые лежат на подмногообразии Р.Рп~2 \ (Д П
q R/’"-2) с СР"“2 '\ А с СР1-2 {стандартное вложение было
описано выше).

Доказательство. Если относительное равновесие (т. е.
конфигурация), задаваемое набором чисел z = (z,, ..., zn) колли-
неарно, то все эти комплексные числа расположены на одной
прямой, и путем ортогонального преобразования двумерной
плоскости все их можно перевести на выделенную (и фиксиро-
ванную) прямую / £ R2 = С1. При этом, с одной стороны, мы
не вышли из пределов одного класса коллинеарных относитель-
ных равновесий, а с другой стороны, оказались в критической точке
ограничения потенциальной энергии на вещественное подмного-
образие ₽РП“2\(Д fl RP'1-2), стандартно вложенное
в СР’~2 \ Д. Утверждение доказано.

Таким образом, для описания коллинеарных равновесий до-
статочно описать все те критические точки потенциала, которые
оказались расположенными на вещественном подмногообразии —
вещественном проективном подпространстве. Для описания таких
точек удобно изучить все критические точки ограничения по-
тенциала на это вещественное подмногообразие. В общем случае,
конечно, критическая точка ограничения функции на подмного-
образие отнюдь не обязана быть и критической точкой самой
функции на всем объемлющем многообразии (обратное, конечно,
верно). Однако, как мы сейчас докажем, в данном конкретном
случае, имеется взаимно однозначное соответствие между крити-
ческими точками ограничения потенциала на вещественное под-
пространство и критическими точками «полного» потенциала,
расположенными на этом вещественном подпространстве.

Утверждение 3. Если г £ RP7*-2 \ (Д f| RP”-2) —
критическая точка ограничения потенциала V на подмногообра-
зие RPa~2\ (% П RPn“2) cz СРЛ~2 \ Д, то эта точка z яв-
ляется критической и для «полного» потенциала V: СР”-2 \
\ Д - R1.

Доказательство. Рассмотрим фиксированные массы
«j...тп н потенциал V (г) =— 2 тгту/|гг —z,|. Тогда имеют
место следующие формулы: 1) первый дифференциал функции V
равен

dV (г) (v) = J]	~ z}, vt - ,

«V/

где о E Af; 2) второй дифференциал функции V имеет вид

(z) (v, w) == - 2<* - ** vi - v}) -
i+i

— (vt - Vj, wt - Wj)} = Qz (v, w),
где v, w £ M. Здесь через ( ,) обозначено евклидово скалярное
произведение векторов на плоскости R2; 3) второй дифференциал
сужения функции V на Sx\ Д равен

d2V |(5л\л)	= & & ш) + v <г) * (°>

Здесь через обозначена кинетическая энергия системы, рас-
сматриваемая как скалярное произведение, определяемое задан-
ными массами mlt тп. Все эти формулы получаются прямым
вычислением, сводящимся к последовательному дифференциро-
ванию в локальных декартовых координатах, поэтому мы опустим
подробности, предоставляя проверку указанных формул чита-
телю.

Для каждого vt £ R2 положим о,- = (о?, vt), где v> £ I и
v"i £ в плоскости R2. Тогда для вектора v можно записать
разложение: v = (v't v"), где v’— (v{,	v'n). Указанное раз-

ложение имеет место для любого вектора о £ М.Еслиг £ S,czSx,
z & Д, то TZSK — {о £ М\ v J_ z}; TzSt — {o' £ Af,: v' J_ z},
где на многообразии M фиксировано скалярное произведение К,
определяемое заданными массами точек системы. Если v £ TZSK
и v = (o’, v"), то o' TzSh так как К (v, z) — К (o', z). Из полу-
ченных выше формул 1)—3) следует, что если z £ SZ\A,
v € TZSK, то dV (z) (v) — d V (г) (o'). Но тогда из равенства
dV (г) (o') = 0 получаем, что dV (z) (о) = 0. Это последнее ра-
венство и доказывает наше утверждение. .

Лемма 3. Многообразие RPn~2 \ (&. П RPn~2) имеет п\/2
компонент линейной связности.

Доказательство. Это геометрическое утверждение сле-
дует из определения биссекторных плоскостей. В самом деле,
фиксируем точку z = (zb .... zn) £ S{ \ Д и будем считать, что
zt < ... < zn, zt £ R (прн этом мы пользуемся тем, что среди
этих координат нет ни одной пары совпадающих чисел). Пусть
теперь задана произвольная перестановка о = (ц.....in) чи-

сел (1,2, .... п). Применяя эту перестановку к координатам
исходного вектора z, мы переводим его в другую компоненту ли-
нейной связности, очевидно, однозначно определяемую данной
перестановкой (поскольку для всех векторов, принадлежащих
одной компоненте связности, упорядочение координат вектора
по их величине — одно и то же и определяется данной переста-
новкой). Таким образом, множество состоит из л! компо-
нент связности, следовательно, факторпростраиство RP”-2 \
\ (Д П RP"-2) состоит из л!/2 компонент. Лемма доказана.

Лемма 4. Если точка z RPn-2\ (Д f| RP”-2) яв-
ляется критической точкой ограничения потенциала V на
₽РЛ-2\(Д П RP’’-2), то точка z является невырожденным
максимумом.

Доказательство. Воспользуемся формулой 2), полу-
ченной выше. Тогда, очевидно, нз этой формулы следует, что для
функции V: Sz \ Д-> R второй дифференциал dsV|(sz\A) (*)
является отрицательно определенной формой, что и доказывает
лемму.

Доказательство теоремы о коллинеар-
ных равновесиях. Из явной формулы, определяющей
потенциал V, следует, что эта функция стремится к —оо, как только
точка z стремится к множеству Д; это означает, что на границе
каждой компоненты линейной связности множества RP"-2 \
\ (Д f| RP"-2) функция V стремится к —оо, а потому на каждой
компоненте имеет максимум. Из теории Морса немедленно сле-
дует, что двух критических точек на каждой компоненте линейной
связности быть не может, поскольку каждая такая точка была бы
невырожденным максимумом, и это породило бы по крайней
мере еще одну седловую критическую точку, не являющуюся
локальным максимумом. Полученное противоречие доказывает,
что на каждой компоненте имеется ровно один невырожденный
максимум (и больше никаких других критических точек нет).
Поскольку число компонент нам известно и равно п!/2, то это
и завершает доказательство теоремы.

Из доказанной теоремы отчетливо видно, что предположение
о коллинеарности всех тел системы (расположение их на одной
прямой) было очень существенно в нескольких узловых местах
доказательства; именно это и позволило нам полностью подсчи-
тать число всех таких положений равновесия.

Если же мы вернемся к более общей задаче о подсчете числа
классов относительных равновесий (без условий коллинеарности),
то мы должны уметь описывать индексы и количество критиче-
ских точек потенциала уже не на вещественном проективном
пространстве, а на комплексном, что является уже значительно
более трудной задачей.

Группа вращений S1 действует на SK, оставляя инвариантным
особое множество Д и потенциал V (см. об этом выше). Как
мы уже видели, факторпростраиство SK/Sr естественно отож-
дествляется с комплексным проективным пространством СРп~-'
а особое множество А = Д/S1 можно рассматривать (в СР"*2)
как объединение комплексных проективных подпространств. Снова
рассмотрим функцию V: СР"*2 \ А -* R, индуцированную ис-
ходным потенциалом V.

Гипотеза. Для почти всех значений масс (ш,........тп)

в плоской задаче п тел потенциал V, индуцированный исходным
потенциалом V, является функцией Морса, т. е. все критические
точки этой гладкой функции невырожденны.

Эта гипотеза пока что не доказана и не опровергнута. Ее
роль заключается в том, что она возникла из вопроса о том, ко-
нечно ли число классов относительного равновесия (для почти
всех наборов масс). Можно доказать (мы опускаем доказатель-
ство), что функция V не имеет никаких критических точек в не-
которой открытой окрестности особого множества А в многооб-
разии СР"'2. Отсюда, если сформулированная выше гипотеза
верна, сразу следует, что число критических точек функции V,
т. е. число классов относительных равновесий, конечно (для
почти всех наборов масс).

Укажем на еще одно следствие из гипотезы. Если гипотеза
верна, то для почти всех наборов масс число классов относитель-
ных равновесий можно оценить следующим образом. Сопоставим
каждому относительному равновесию неотрицательное число —
индекс критической точки (индуцированного потенциала V),
соответствующей этому классу относительных равновесий (см.
теорему выше). Тогда количества классов относительных равно-
весий, имеющих данный индекс, связаны соответствующими
неравенствами Морса (см. элементарную теорию выше) с числами
Бетти (т. е. с рангами групп вещественных гомологий) простран-
ства СР"*2 \ А. В частности, достаточно богатые группы гомо-
логий пространства СР"*2 \ А позволяют доказывать существо-
вание нетривиальных классов относительных равновесий. Кольцо
когомологий пространства СР"*2\ А можно вычислить в яв-
ном виде (Арнольд), а именно, это кольцо изоморфно кольцу
когомологий достаточно простого топологического пространства
X — прямого произведения букета двух окружностей на букет
трех окружностей на букет четырех окружностей и т. д. на букет
п — 1 окружностей. В явном виде полином Пуанкаре простран-

_	п—1

ства СР"*2\ А выглядит так: П (1 + а(), т< е.

Я’(СР"*2\Д) = /Г((S1 V S’) х (S1 V S1 V S’) x • • •)•
Глава 3

КОБОРДИЗМЫ И ГЛАДКИЕ СТРУКТУРЫ

§ 27. Характеристические числа. Кобордизмы. Циклы

и подмногообразия. Сигнатура многообразий

I. Постановка задачи. Простейшие сведения о кобордизмах.
Сигнатура.

Используя развитый в предыдущих главах аппарат, мы рас-
смотрим здесь некоторые задачи теории гладких многообразий.

1.	Задача о кобордизме. Пусть задано замкнутое
гладкое многообразие Мп. В каком случае оно является границей
гладкого компактного многообразия с краем Мп = dIFn+1?
Аналогичный вопрос, если оба Мп и предполагаются ориен-
тируемыми.

2.	Задача о реализации циклов подмногообра-
зиями. Пусть х £ НЦМ"; Z) или у £ Hi (ЛГ’; Zt). В каком
случае найдется замкнутое подмногообразие М‘ с Мп, представ-
ляющее цикл у (или х, если М1 ориентировано)?

3.	Какие циклы — непрерывные образы
многообразий? Пусть х £ Я,- (X; Z) или у £ Н, (X, Z2)—
элементы гомологий какого-либо клеточного комплекса X. В ка-
ком случае найдется «сингулярный бордизм» (Л4‘, f) — т. е. мно-
гообразие Mi и отображение f: М‘ -* X такое, что [А1* ] = у
(или f* [ЛР ] = х для ориентируемого многообразия Л4'Р Ана-
логичные вопросы ставятся в относительном случае.

Пусть х £ Hi (X, Y; Z) или у £ Hi (X, Y; Zt)- Нужно найти
многообразие М1 с краем 1Г/-1 и отображение пар /: (ЛР, М{~1) -*
-* (X, Y), такое, что f* [ЛР, IT1'-1 ] = у (или х в ориентируемом
случае).

Естественно определяются группы «сингулярных бордизмов»:
сингулярный бордизм—это пара (ЛР, f), как описано выше,
где М‘ —замкнутое многообразие. Цикл —это формальная ли-
нейная комбинация сингулярных бордизмов.

Сингулярная пленка—это пара (W‘,f), где W' —многооб-
разие с краем. Граница сингулярной пленки —это сингулярный
цикл. Факторгруппа группы всех i-мерйых циклов (сингулярных
бордизмов) по границам (t + 1)-мерных пленок является «группой
бордизмов» и обозначается через й? (X). Группы й? (X, У) опре-
деляются аналогично: циклы —это отображения многообразий
с краем, где образ границы лежит в У с X, а пленки вводятся
естественно.

Исходя из класса ориентируемых многообразий и пленок,
строят аналогично «ориентируемые бордизмы», которые обозна-
чаются через Qf° (X) и й|° (X, Y). Имеются очевидные отобра-
жения

Й?(Х)->Я, (Х; Z2),

Й?(Х, У) — Н^Х, У; Z2),
Qf°(X) —Я,(Х; Z),

Qf°(X,	Y, Z2).

По самому своему определению группы й° н й|° гомотопически
инвариантны. Для стягиваемого пространства X (или точки)
группы й? и могут оказаться нетривиальными. Эти группы й°
и й|° называются классическими группами кобордизмов. Прямое
произведение многообразий вводит в них структуру косокомму-
тативиых колец:

й?й/ сг Й?+/, ху = ух,

с Й?£, ху = (-1)" ух.

В группах й° = £ й? верно тождество
«>о

2х = 0.

Это, очевидно, следует из равенства

д(М‘ х 1) = М‘ U М‘ = 2М‘.

При учете ориентации мы получим в й50 = £ й?°

i>0

3(А1'х/) = <иЯ

Это означает, что многообразие с противоположной ориентацией
дает обратный элемент в группах й?°, так как сумма дается фор-
мальным объединением многообразий.

Элементарные сведения:

a)	йо° = 2;

б)	й? = й?° = 0;

в)	й2° = 0 (из классификации поверхностей видим, что все
ориентируемые многобразия М2 лежат в R3 и ограничивают
область IT3).
Вычислим группы 0,2-

Лемма 1. Если замкнутое многообразие М‘ является краем,
т. е. М‘ =	то его эйлерова характеристика четна:

X (ЛГ) = 2т.

Доказательство, а) Пусть i = 2k 4- 1. Тогда х (М1) —
— О силу двойственности Пуанкаре в гомологиях, б) Пусть i—2k.
Рассмотрим удвоение

у2*-н _ дег2*+1 J дег2&4-1
м™

Из определения х через триангуляцию комплекса следует:
х(Х у У)=х(Х) + х(У)-%(£).

где L = X П Y-
Мы получаем:

0 = х(ИАИ) = 2х(^’)-х(Л12А).

Лемма доказана.

Так как х (R/32) = 1, то мы получаем:

Легко строится пленка W3 такая, чтосЛГ3 = № (бутылка Клейна).
(Найдите эту пленку!) Из классификации поверхностей (см. § 3)
мы зиаем: любое иеориентируемое двумерное замкнутое много-
образие есть либо RP2 4- (ручки), либо № 4- (ручки).

Отсюда получается результат:

= 2г (базисный элемент [RP2]).

Развивая геометрическую технику, можно доказать, что =
= Of0 = 0 и — Z (Рохлин). Мы получим как эти резуль-
таты, так н много других из теории (Тома), использующей гомо-
логические методы; изложенные выше. Развитием леммы 1 яв-
ляется следующая

Лемма 2 (Понтрягин), а) Если замкнутое многообразие М‘
является краем в теории 0-бордизмов Q?, то все его стабильные
характеристические числа (т. е. стабильные характеристиче-
ские классы размерности i) равны нулю modulo 2. 

б) Если замкнутое ориентируемое многообразие М1 является
краем в теории SO-бордизмов (т. е. краем ориентируемого много-
образия Wr‘+1), то дополнительно все его стабильные характери-
стические числа (т. е. классы размерности i) в когомологиях над
полем рациональных чисел Q равны нулю.

Доказательство. Касательное расслоение (с помощью,
например, вложения ЛГ' с: RJV, N -» оо) получается танген-
циальным отображением в базу универсального расслоения (обоб-
щенное гауссово отображение М'~ Git ы — BOi). Характери-
стический класс mod 2 определяется любым элементом w £

Н* (GltN; Z?) (ср. [11, ч. II, §25). По определению, полагаем:
w (;И‘) — т* (to).

«Стабильные» характеристические классы w £ Н* (ВО{) полу-
чаются ограничением

to — Х*а>,

где w £ Н* (ВОМ), X: ВО (Г) -» ВО (i 4- 1). Аналогично опре-
деляется понятие стабильного характеристического класса для
BSOh BUt, BSPi.

Если Л1‘ = dIF‘'rl, то мы имеем х’(ЛГ) = т.м (to) = т.мХ’ (to);
to(!T1+1) = тг (й). Обозначим вложение М‘Wi i l через /.
Ограничение расслоения имеет вид Tr|AIf — j*iw = ти ф {.Пусть
dim w = i. Тогда

to (/И1) = т^Х* (й>) = /’тг (w).

Так как [/И‘] = 0, поскольку М‘ — д^+’, мы для ска-
лярных произведений получаем:

(/*тг (to), [ М‘ ]) = (тг (to), j* [Af’J) = 0.

Тем самым пункт а) доказан.

Доказательство пункта б) полностью идентично предыду-
щему с заменой Zs-гомологий на гомологии над Q и учетом факта,
что в ориентируемом случае равенство [АР ] == 0 в Hi (U^'+1)
верно в рациональных гомологиях. Лемма 2 доказана.

Примером нестабильного характеристического класса явля-
ется x(M‘j- Классы Штифеля—Уитни wq £	и все

полиномы от них размерности I, а также классы Понтрягина
pq £ Я4<? (М1, Q) и все полиномы от них размерности i (если
i — 4k) дают нам полный набор стабильных характеристических
чисел для'£2? и

Пример 1. М2 = RP2; здесь w (z) = (1 4- zt)3 = 1 4-
+ w^z + atjZ2, где t £ H1 (RP2; Za), t =£ 0. Поэтому wj Ф 0
и W2 Ф 0 (mod 2). Одиако группа = Z2. Поэтому имеем: —
— wt = 0 (mod 2).

Пример 2.	— СР2, ориентация естественна; здесь p (z) =

= (14- z2t2)3 = 1 4- ppi1- Поэтому Pi (CP2) — 3 (полином Пон-
трягина p (z) указан в § 9 для CPn), t £ H2 (CP2; Q) — ба-
зисный элемент группы H2 (СР2; Z).

Пример 3. a) Mi =СР\ ориентация естественна. Здесь
р (z) = 1 4- Piz2 4- P2Z4 = (14- Рг2у = 1 4- 5t2z2 4- lOPz4, t —
базисный элемент группы Я2 (СР4; Z).

Для характеристических чисел получаем:

р2 = 25,- Р2=Ю,
б) — СР! х СР|. Здесь р (z) — 1 + pi?2 + /?2^4 — (1 +
+ tfr)3 (1 + &2)3 = 1 + 3 (Н 4- t$ z- 4- 9/2/2z‘, где tt £ Я2 (СР2; Z)-
базисные элементы.

Далее имеем: (d)2 = 0, (/г)2 = 0, (fi 4- tl)2 = 2^. Харак-
теристические числа имеют вид

р! = 18, р2 = 9.

Кроме характеристических чисел имеется еще один интерес-
ный инвариант SO-кобордизма для ориентируемых многообразий
размерности 4k, называемый «сигнатурой» многообразия. В силу
двойственности Пуанкаре (см. § 15) на группе гомологий сред-
ней размерности определена билинейная унимодулярная цело-
численная форма, симметричная для размерностей 4k и кососим-
метричная для размерностей 4k 4- 2 (например, для ориентируе-
мых поверхностей при k = 0). Эта форма порождена «индексом
пересечения» циклов на группе гомологий H2k (М*к; Q) или
умножением коциклов на группе Н-к (М44; Q ==« Н2к (;И44; Q),

{х, У) = (ху, [/И44]),
х, у £ №к (Л144; С),
или (это одно и то же)

(х, у} — х о у (индекс пересечения),
х, у С ^(M44; Q).

Определение!. Разность числа положительных и отри-
цательных квадратов указанной формы на группе Нгк (Л444; Z)
называется «сигнатурой» многообразия. При изменении ориен-
тации М>—>—Mik форма и сигнатура меняют знак. Сигнатура
обозначается через т IM44].

Лемма 3 (Рохлин). Сигнатура ограничивающего многооб-
разия равна нулю и определяет корректно линейную форму

т:

Задача 1. Доказать, что сигнатура прямого произведения
многообразий равна произведению сигнатур.

Тем самым мы получаем гомоморфизм колец
т:Й^°=
1^0

где т(1) — 1,	0,' если i не делится иа 4.

Доказательство леммы 3. По тривиальным при-
чинам сигнатура несвязного объединения многообразий есть сумма
сигнатур. Докажем, что сигнатура ограничивающего многообра-
зия равна нулю. Пусть Mik = dWAk+l. Обозначим через j вло-

10 Б. А. Дубровин |и др.
жение Л14*	1F4**1. Мы имеем /# [.И4* ] = 0 в группе

Я4/( (H74*+I; Q). Если два коцикла х, у получаются ограниче-
нием коциклов х, у £ Н2к (W4**4; Q), то (х, у) — 0. Действи-
тельно, если х — j* (х), у = /* (у), то

(х, у) = (ху, [Л14*])--=(/* (х#), m) = (x£, /*[Л14*]) = 0.

(Для циклов х, у это означает наглядный факт: если оба цикла
гомологичны нулю в В74*+1, то их индекс пересечения равен
нулю.) Докажем, что размерность подгруппы j*H2k Q) cz
c: H2k (Mik; Q равна ровно половине размерности группы
Я2А (7И4А; Q). Напишем две точные последовательности пары
(At4*; №«+>) в рациональных когомологиях и гомологиях, двой-
ственные друг другу по Пуанкаре:

№* Д Д24	Д H2k+i	М'к)—

|о	|о	D

Я№+1 (IF4*+1, Л14*) — H,k (М4*)	Hik (Wik^) —

В силу оператора двойственности Пуанкаре гомоморфизм /*
переходит в д и гомоморфизм 6 переходит в j*. Поэтому опера-
торы /* и 6 сопряжены друг другу, где группа №*+' (JF4ft+1, Л144)
сопряжена к H2k (IF4A+1), и H2k (M4k) изоморфно своему сопря-
женному (№* (Л14*))* == Н.л (Mik) с помощью невырожденной
формы (х, у). Отсюда вытекает чисто алгебраически совпадение
рангов групп Im/* и Im 6. В силу точности последовательностей
ранг образа Im/* равён половине ранга группы Н2к (7И4А; Q.
Из невырожденности формы (х, у) и факта существования нуль-
пространства I m /* половинной размерности мы заключаем, что
т == 0. Лемма 3 доказана.

Уже упоминалось выше, что й4° — Z (будет позднее дока-
зано, что Ф Q = Q). В примере 2 вычислялось число
pt [СР21 — 3 #= 0. Заметим, что т (СР2) — 1, так как форма
(х, у) йа группе Н2 (СР2; Q) = Q имеет вид (х, х) — 1 (это оче-
видно следует из структуры кольца Н* (СР2, С) — см. § 7).
Так как т — 1, элемент ICP* 1 не является ничьим кратным в груп-
пе — Z и любой элемент х £ П40 имеет вид х = X [СР2].
Из этого немедленно вытекает такое следствие (формула Тома—
Рохлина): для любого ориентируемого многообразия верна фор-
мула

т[Л14] = 4-/МЖ	(*)

Действительно, для СР2 мы имеем

Pi[CP2]=3, т[СР2] = 1.
Величина pt — Зт тривиальна для СРг и тем самым для всех эле-
ментов х С $4°. так как х = X [С/”1. Достаточно доказать, что

0 Q Q. Позднее мы вычислим группы Qf° ® Q и полу-
чим обобщение формулы (*) —формулу Хирцебруха.

Подобно эйлеровой характеристике, сигнатуру можно опре-
делить и для незамкнутых многообразий. Действительно, если
М =	— гладкое ориентированное многообразие с краем

V = y4*-i = U ... (J Vm, то определена, вообще говоря, вы-
рожденная форма пересечений на группе циклов //2ft (Mik, Q).
Сигнатура этой формы и называется сигнатурой многообразия
т (Af4*). Имеет место следующее «свойство аддитивности» (Нови-
ков-Рохлин).

Аддитивность сигнатуры. Пусть М4к и М2Л —
гладкие многообразия с краями

/ «
и И1А-’ = Имеет место равенство

т(М1‘ и М^)=т(М/А) х-т(мГ).

Таким образом, сигнатура аддитивна при склейке двух много-
образий вдоль целой компоненты границы. Аналогичный факт
верен для эйлеровой характеристики четномерных многообра-
зий: действительно,

х (mF у Mi') = х(м?') + х(Mi') -

где х (У1) = 0, так как — нечетномерное замкнутое многооб-
разие.,

Докажем аддитивность сигнатуры. Группы гомологий Я2а (М|а)
и H2k (М^) представляются в виде Hik (М4к) = As ф Bs,
В3== Im is„ где is: Vt = IF, -> s = 1, 2.

Форма пересечений сосредоточена целиком на подпростран-
стве Л s- Таким образом, т (Mi4) = т (Л3). Группа H2k(M.\k U М24)
представляется в виде

Дал (Mi U М4) = Ai ф А2 ф С1 ф Са ф D ф F,
где

Bi = Ci ф D = Imi'i*: Д2л(У1) —(Mi),

Ва = Са ф D = Im ig*: ^2a(IFi)—►//2ft(M2),

В ф Ci ф Cj ф D —	— HikO^i)’

E = Ker iu f) Ker iu <=. Hifl (Fi),

D = Im (Vi) Нл (Mi U M,)).

io*
Подгруппа F изоморфна пересечению

F' = Ker П Кег с Н.А^ (%) = Я^.х (W\),

причем две пленки в Mt и М2, натянутые на один и тот же цикл
из F’ с Ягн-х (Их), дают вместе цикл из группы F с Нгк (Мг (J
(J Mt). Форма пересечений на группе H2k(ML U Afj) имеет
вид блочной матрицы, где а) Сг ф Ct — аннулятор формы;
б) на всех пространствах Ct, С2, D, F форма по отдельности
тривиальна, но пространства F и D сопряжены друг к другу;
в) подпространства Alt Ла ортогональны в силу этой формы
друг другу и всем остальным. Проверьте эти простые факты.
Отсюда вытекает

т рИх U — т (41) + т (А,).

Утверждение доказано.

11. Комплексы Тома. Вычисление кобордизмов (по модулю
кручения). Формула сигнатуры. Реализация циклов подмногооб-
разиями.

Рассмотрим связное замкнутое гладкое многообразие В и
векторное расслоение § с базой В, слоем R" и группой 0 = 0 (л),
SO (л), U (п/2) и др.

В:Еу В, F = Rn.

Рассмотрим в слоях векторы длины <1. Их совокупность обра-
зует расслоение Ё -» В со слоем F' =Dn с. Rn. Граница дЁ
есть расслоение со слоем S'*-1.

Определение 2. Комплексом Тома М (|) расслоения £
называется факторкомплекс

М®~Ё/дЁ,

где дЕ стянуто в одну точку.

Лемма 4. Имеется естественный изоморфизм

ч-.н^в^Ип+ам®),

Н1 (В) -> Яп+‘ (М ®),

где i 0 —любое и п = dim F. Этот изоморфизм верен для
гомологий mod 2, если 6 = 0 (п), и для гомологий над Z, Q, Zp,
если 6 = SO (п). (Наглядно изоморфизм <р очевиден: для любого
цикла г в базе В цикл <р (г) определяется как полный прообраз
Ф (г) = /Г1 (г) mod дЁ.)

Доказательство леммы 4 уже было дано (см. § 17, лемма 2)
для эффективизации неравенств Морса в случае критических много-
образий. Напомним, что изоморфизм ф есть суперпозиция двух
операторов двойственности Пуанкаре

(Px=DeDb

вместе с замечанием, что Е имеет гомотопический тип В и
Я’ (М (?)) = Но (Е, дЕ), g > О,

DB. Нч (В) -> Нт~о (В), т = dim В,
Оъ:Н-о(Ё)^Нп+т^(Ё,дЁ).

Н"*~о(В)

В когомологиях комплекса Тома М (?) есть «фундаментальный
класс» <р (1) С Нп (М. (?)). Кроме того, в комплексе М (?) лежит
сама база В с М (?) как нулевое сечеиие расслоения ?. Нормаль-
ное расслоение к В в М (?) есть точно ?, а дополнение М (?)\В
стягивается к одной точке * £ М (?).

Первым применением комплексов Тома является установление
связи классов Штифеля—Уитни £ Н‘ (В; Z2) для любого
векторного расслоения ? с базой В с квадратами Стннрода Sq1.

Определение 3. Классом £ Нс (В\ Z^ называется
элемент ф-15^ф (1), где

Ф: Но (В; Z0 Нп+о (М (?); Z&

Для установления связи этого определения с тем, которое
было дано ранее, следует проделать некоторые вычисления в ко-
гомологиях классифицирующих пространств Н* (BSO (n); Z»)
и Н* (ВО (п); Z2). В группе О (п) имеется подгруппа диагональ-
ных матриц D (п) с: О (п), имеющих вид

±1 о
±1.. ,
о	’±1

D (п) — Zt X ... х Z& Тем самым имеется отображение класси-
фицирующих пространств

ВД(п)=₽РГх---х₽Р*ЛВО(п)

и отображение когомологий

И* (ВО (п); Z2)-- Я* (BD (п)-, ZJ.

Задача 2. По аналогии с группой U (п) докажите такие
факты: образ Imi* в точности совпадает с симметрическими
многочленами от xit хп, где 0 хг £ Я1 (RP?-, Z:t). При
этом I* — не имеет ядра (мономорфизм).
Классы Штнфеля — Уитни получаются как элементарные
симметрические многочлены

i*K)= S ^...х^.

Задача 3. При отображении BSO (п) ВО (п) образ
Im/* есть эпиморфизм («отображение на») в Z2-когомологиях,
и ядро порождается как идеал элементом wr £ Н1 (ВО (п); Z2).

Задача 4. Рассмотрим комплексы Тома универсального

расслоения £ над ВО (п) и вложение ВО (п) с: М (£). Дока-
жите, что отображение

Г:	Л) -> Я* (ВО (n);Z2)

не имеет ядра и образ I m f* состоит из всех полиномов от клас-
сов u)h делящихся на wn £ Нп (ВО (п); Z2), где i*wn — хг ... хп.
Докажите, что /*<р (1) = wn и f* <p (u>() = Sq1 (wn) = wtwn. Во-
обще, верна формула

/*Ф (х) = хшп

(докажите).

Получите аналогичные результаты для Н* (BSO (n); Z2). Вы-
числите операции Sq‘ в Н* (МО (п); ?Z2), аналогично [§ 10.
Исследуйте гомотопические группы

ял+/ (М (£)), / < п — 1,

используя результаты § 10.

Задача 5. Исходя из формулы = <p-1Sg‘<p (1), докажите,
что классы Wj £ Н> (Мп; Z2) гомотопически инвариантны для
замкнутых многообразий, используя связь касательного расслое-
ния с окрестностью диагонали в Мп х Мп.

Задача 6. Для класса a>lt который обращается в нуль тогда
и только тогда, когда многообразие ориентируемо, имеет место
формула

DW1 = в* [ЛР], 6* : Нп (Мп,	(Мп, Z&

где 6* —оператор в гомологиях, описанный в § 3. Докажите
эту формулу независимо от задачи 5.

Для базы В = BG для G = O (п), SO (п), U (п/2), SU (п/2),
Sp (п/4) и универсального расслоения £ со слоем Rn комплекс
Тома М (I) обозначается обычно через МО (п), MSO (п), MU (п/2),
MSU (п/2), MSp (п/4).

Если G = е (единичная группа), то универсальное расслое-
ние 5 тривиально, база BG = * (одна точка), но слой есть R?.
Мы получаем

Me = Sn.

В частности, SO (1) = е и MSO (1) = S1. Далее: О (1) — {±.1},
ВО (1) = RP00 (или RPW при большом N); универсальное рас-
слоение т] с группой О (1) имеет вид нормального расслоения
к RP-V в RP"+1:

£-^RPw, слон F=R'.

Пространство Ё расслоения со слоем D1 = 1 —векторов длины
<1 в слое есть «лист Мёбиуса» (см. (1 ], ч. II, § 2). Граница дЁ
есть сфера SN, накрывающая RP,V. Поэтому пространство Тома
М (tj) имеет вид

М (ц) = МО (1) = Ё,дЁ = RP-V+1 о RP,V = В.

Для G = SO (2) мы имеем аналогично

MS0 (2) = CPN+i о CPN = В, N->oo.

AfJ(l)

Фундаментальный класс в этих случаях есть базисный элемент
групп

й = Ф(1)СЯ1(51; Z) для М50(1) = 5\

ы = ф(1) £Hl(RPx; Zj) для Л4О(1) = RP";

и = ф (1) С Н2 (СР"; Zj) для MS0 (2) = СР".

Эти пространства являются комплексами типа (л, п) для п =•
= 1, 2, л = Z, Z2; элемент и = ф (1) совпадает с фундаменталь-
ным элементом комплекса К (л, п) —см. § 10.

Имеет место простая

Лемма 5. Комплексы Тома М (£) односвязны при п > 1.

Их простейшие гомотопические группы имеют вид:

(М (£)) =0, 1 j < п;

(М zt\\ _ / расслоение неориентируемо,
Пп (лт (5)) — I 2, расслоение ориентируемо.

Доказательство. Клеточное разбиение М (5) полу-
чается нз' клеточного разбиения базы В умножением на одну
клетку (слой)

В с а/1—> ф (а/) == /г* (ц/) = а"+/.

Кроме того, имеется одна нульмерная клетка о0 с: М (£), полу-
. ченная из дЁ стягиванием в точку. Поэтому лу (М (|)) = 0 для
j < п (в этих размерностях нет клеток). Пусть В имеет только
одну нульмерную клетку (для связного В к этому случаю всегда
можно свести, как показано в § 4); тогда в М (£) имеется всего
одна клетка размерности п (это —слой над одной точкой). Итак,
группа лп (М (£)) циклическая. Для неориентируемого расслое-
ния в базе найдется замкнутый путь (который можно считать
одной клеткой а *), который обращает ориентацию слоя. Для такой
клетки а1 ее прообраз р-1 (а1) = <р (а1) — о',+1 есть клетка в М (?)
такая, что

дап +1 = 2а".

Это геометрически очевидно в расслоении над S1. Если расслое-
ние ориентируемо, то границы всех клеток р"1 (о)) в комплексе
М (?) равны нулю. Поэтому цикл (а” 1 бесконечного порядка.
Лемма доказана, так как Нп (М (?)) = лп (М (?)).

Имеет место следующая важная

Теорема 1. Группы кобордизмов £2®, Qf° канонически
изоморфны стабильным гомотопическим группам

tin+i(MO(n))^Q° и nn+i(MSO (n))^Qi°

для i < п — 1 (ср. [1 ], ч. П, § 23, где была установлена связь
между группами яп+1 (Sn) — ля+, (Me) и кобордизмами оснащен-
ных многообразий).

Доказательство, а) Рассмотрим замкнутое многооб-
разие М1 cz R”+‘, где i < п — 1. Все вложения М‘ cz Rn+;
изотопны (см. [1], ч. II, § 11), и нормальное расслоение к
в R”+/ не зависит от вложения. Обозначим его через v. Возникает
отображение в универсальное расслоение

М1-*-ВО(п),

v->?,

где ? — универсальное расслоение со слоем R”. Пространство
расслоения v —это окрестность М‘ в R”+/ cz: Sn+£, а ее образ
покрывает все тело £. Продолжим это отображение на все допол-
нение к окрестности так, чтобы все это дополнение переходило
в одну клетку а0 £ М (5), полученную стягиванием дЕ. Мы полу-
чаем отображение сферы

Sn+' -- М (I).

Это отображение трансверсально регулярно на подмногообразии
ВО (п) cz М (?) и f-1 (ВО (п)) = М1. Понятие трансверсальной
регулярности вдоль подмногообразия ВО (п) с: М (?) состоит
в следующем: в любой точке х € Г1 (ВО (п)) образ касательного
пространства R2+I при линейном отображении df трансверсалей
к касательной плоскости подмногообразия ВО (п) cz М (?), т. е.
совместно линейные пространства df (R2+‘) и т/ (х) (ВО (п))
порождают все касательное пространство к Af (?) в точке / (х)
(см. [1], ч. II, § 10).

Кобордизм (пленку) 1F‘+1, где dIFi+1 » М{ (J М1., мы рас-
положим в произведении Rzl+‘ х 1 (0, 1) так, что М[ <£ R”+< X 0,
ЛЦ cz: Rn+; X 1 и Wi+l нормально подходит к краям. Повторив
предыдущую конструкцию для нормального пучка v к Wi+t cz
с: Rn+1 X 1, мы получаем гомотопию

S:i+i X / (О, 1) -> М (£).

Итак, построено соответствие (гомоморфизм)
(м0 <"))> i < л — 1.

Аналогично строится гомоморфизм

Qf° и-> nn+i (MSO (л)),	i < п — 1.

б) Покажем, что построенное соответствие есть изоморфизм.
Пусть дан элемент а £ nn+i {МО (л)), представленный отобра-
жением

f: Sn+i-+MO(n).

Можно считать, сделав малое возмущение (см. [1], ч. II, § 10),
что отображение f трансверсально регулярно вдоль подмного-
образия ВО (п) с: МО (л). Полный прообраз f*1 (ВО (п)) — М1
есть гладкое неособое подмногообразие М1 с: Rn+‘ cz S”+‘. Образ
нормальных л-плоскостей к М‘ в R”+< при отображении df транс-
версалей к ВО (л). Элементарной деформацией отображения этот
образ всюду вдоль ВО (л) может быть сделан нормальным к ВО (п),
а все дополнение к окрестности многообразия М1 в Sn+i можно
стянуть в точку а0, полученную из дЕ в МО (ri). Отсюда следует
доказательство теоремы 1 для Q?. Для все аналогично.

Теорема доказана.

Теорема 2. а) Цикл х £ Hi (Mn+l\ Zt) тогда и только
тогда реализуется замкнутым подмногообразием М1 с: Мп+1,
когда найдется отображение Mn+t f-*MO (л) такое, что f*u —
— Dx, где и £ Нп (МО (л); Za) —фундаментальный класс и
D —оператор двойственности Пуанкаре.

б)	Пусть Мп+‘ —ориентированное многообразие. Цикл х£
£ Ht (Мп+1\ Z) тогда и только тогда реализуется замкнутым ориен-
тированным подмногообразием М1 с: Mn+t, когда найдется ото-
бражение f: Mn+l -*• MSO (л) такое, что f*u =Dx.

в)	Цикл х £ Hi (Mn+i; Z) тогда и только тогда реализуется
замкнутым ориентированным подмногообразием с тривиальным
нормальным расслоением М‘ cz Мп+‘ (т. е. заданным набором
неособых уравнений Ф1 = 0, ....	= 0 в Мп), когда найдется

отображение f: Mn+i -* Me — Sn такое, что f*u =D x.

Замечание. Аналогичная теорема верна для возмож-
ности реализации цикла подмногообразием с предписанным нор-
мальным расслоением со структурной группой U (п/2), SU (п/2),
Sp (л/4) и)Гт. д. Отображение многообразия Мп+‘ в MU (п/2),
MSU (п/2),‘ MSp (л/4) и т. д. порождает такую реализацию.
Группы лп+/ (МU (п12)) = й/, nn+f (MSU (nl2))=Qs(u,
nn+i (MSp (n!4)) = естественно можно истолковывать как
комплексные (унитарные) специально комплексные и кватернион-
ные кобордизмы й^, Й5£/, й5р. Особенно важны унитарные
кобордизмы. Каждое комплексное и квазикомплексное многооб-
разие имеет класс коборднзмов в группах й«.

Доказательство теоремы 2 д л я G — О (л).

Пусть задано подмногообразие М‘ cz Мпи. Нормальное рас-
слоение определяет уже изложенной конструкцией отображение
АР+<—+А1О (л), где М‘ -> ВО (п); все дополнение к окрестности
многообразия М‘ в Af',+< переходит в точку о0, полученную стя-
гиванием дЁ при построении Af (£). Легко видеть, что

fu = D[Al‘],

Обратно: если задано трансверсально регулярное вдоль ВО (п) с
с: МО (п) отображение f; Mn+i -*• МО (л), то полный прообраз
М1 = f-1 (ВО (л)) таков, что f*u —D [АР ]. Для G = SO (п)
и др. все аналогично.

Теорема доказана.

В некоторых случаях комплексы МО (i), MSO (i) являются
комплексами типа (л, л). Это случаи:

MSO (\) — Me ~ S1 = К (Z, 1), nz = 0, />1,

MO(1) = RP» = /((Z>, 1), л/ = 0, />1,
AfSO(2) = CP- = K(Z,2), nz = 0, j#=2.

При этом элемент <р (1) = и £ Нп (MG) совпадает с фундамен-
тальным классом комплекса К (л, п) в этих трех случаях *).
Согласно теореме из § 10 мы получаем набор следствий из теоремы 2.

Следствие 1. а) Любой цикл х £ Нп (Мп+]; Z2) при
всех п реализуется замкнутым подмногообразием.

б) Любой цикл х £ H,t (Мп+{\ Z) и х С Нп(Мп+2-, Z) при
всех п реализуется замкнутым ориентируемым подмногообра-
зием.

Вывод следствия из теоремы 2 сводится к тому, ,что коцикл
Dx — у для этих случаев представляется в виде образа f*u,
.согласно основному свойству К (л, л), так как МО (1), MSO (1),
MS0 (2)—это комплексы К (л, 1).

Следствие 2. Если i < л/2, то для любого цикла
х £ Ht(Mn\ Z) найдется число X 0 такое, что цикл Ах пред-
ставляется подмногообразием Ml с. Мп*1.

Это следствие извлекается из теоремы 2 с помощью резуль-
татов § 10: было^ установлено, что_в стабильных размерностях

•) Более сложная теорема (Тома) утверждает, что все комплексы МО (п)
до размерности 2п — 1 гомотопически эквивалентны прямому произведению
комплексов типа A (Zt,mz), где т/ > п.
любой комплекс (здесь —MSO (л)) «устроен так же, как произ-
ведение комплексов типа К (л, т), где т п, если все умножить
тензорно на поле Q».

Следствие 3. Для любого цикла х £ Ht (X, Z) найдется
число X О такое, что цикл кх есть образ многообразия М‘,

<р: М< X,

Ф* [М‘ 1 = х.

Доказательство состоит во вложении X a RN+i и в рассмотре-
нии многообразия с краем U гэ X, которое стягивается к Х-.
U ~ X. После этого цикл Хх £ Hi(U) Н^Х) реализуется
на основе следствия 2 как подмногообразие с помощью отобра-
жения (U, dU) MSO (N), где dU переходит в точку и f*u =
— D ьич.

Следствие 4. Естественный гомоморфизм
(X,	(X, У; Q)

групп бордизмов в гомологии является «эпиморфизмом* (отобра-
жением на все).

Для комплексов без нечетного кручения в гомологиях
Я* (X, У; Z) верна теорема (Новиков), устанавливающая анало-
гичный факт без тензорного умножения на поле Q, —т. е. циклы
реализуются образами многообразий без кратностей.

Перейдем теперь к следствиям теоремы 1 и теоремы Картана—
Серра (см. § 10). Кольцо Н* (BSO (л); Q) порождается харак-
теристическими классами и является кольцом полиномов от
элементов (классы Понтрягина и класс Эйлера—Пуанкаре):

Л СЯ«(В5О(л); Q),

Хе^»(В5О(2л); Q).

При этом для / < л и j =£ 4k имеем:

Нп^ (MS0 (л); Q) = 0.

Ранг стабильных групп

Н“ (BSO (л); Q) X Нп^ (MSO (л); Q)

для 4k < л равен числу разбиений числа k на слагаемые, k —
= /Лх + •   + тч, поскольку базис состоит из одночленов z —
— pm^Pm* pmq (совпадения mt = nt] возможны), deg z =
= 4 (mj + • • • + mq).

Для размерностей 4k — 4,8 мы выписали выше (см. п. I)
характеристические числа многообразий (СР2 ] £ &4° и (СР212,
[СР41 е Йв°-
Из теоремы 1 вместе с теоремой Картава—Серра следует

Теорема 3. Группы QSj° ® Q = О для j =£ 4k;	® Q —

это группа ранга, равного числу возможных линейно независимых
векторов —характеристических чисел многообразий Млк. Для
4k = 4,8 из вычислений (см. выше) следует, что набор характери-
стических чисел в Q-когомологиях полностью определяет класс
кобордизмов х £ с точностью до кручения *).

Задача 7. Проведите вычисление векторов характеристи-
ческих чисел произведений СР2"1 х ... х СР^к и покажите,
что все эти векторы линейно независимы.

Следствие. Сигнатура т [ЛР* 1 является линейной фор-
мой от векторов характеристических чисел.

Доказательство. Мы знаем, что т —это линейная
форма Qff ® Q, согласно лемме 3 (см. выше), в то время как
характеристические числа дают полный базис форм. Следствие
доказано.

Для 4k — 4,8 мы имеем:

А= 1: /?![CP2J == 3, tJCP2] —1;	=

Вывод:	T=T^'	0)

k — 2: мы уже получили матрицу (см. п. I):

	[СР*]Х [СР2]	[СР4]
р1	18	25
Pi	9	10
X	1	1

Вывод. Имеет место формула

(2).

Можно получить общую формулу для всех k в удобной аналити-
ческой форме (Хирцебрух).

Уместно поставить более общую задачу: пусть задана про-
извольная числовая характеристика на кобордизмах Q# —

- для G — U, SO

В:

такая, что В(1) = I, В (AfJ (J М£) =* В (Af?) + В (AfJ),

. *) Полную информацию о структуре колец Qso, читатель может
найти в обзоре [60].
В (М'[ X Mg) — В (MJ) В (Mg), т. е. аддитивная и мультипли-
кативная (относительно прямого произведения многообразий).
Фактически, нам интересно только кольцо ® Q, которое опре-
деляется характеристическими числами — полиномами от ct или
pt- Для любой четной размерности п — 2k в случае G = U мы
имеем полином Вй (q, ..., ск) такой, что В [М2* 1 = (Bfe (q.ск),

[М2*]), где М2к—«унитарное» многообразие (т. е. многообра-
зие, в стабильное нормальное расслоение которого при вложе-
нии М' с: К2Л'-/ введена структура 67-расслоеиия; в частности,
67-структура получается как слабое отражение комплексной
(или квази комплексной) структуры многообразий, «помнящее»
характеристические классы). Для G = SO мы имеем полиномы
Вй(ръ •••. ри) Для всех размерностей п =s 4й такие, что

В [M“J - (В* (р,..рА), [МН).

Случай G = SO сводится к G — U дополнительным требова-
нием Взл+1 (ci> • ••> css+i) = 0. как будет видно далее.

Последовательность многочленов (Во = I, Blt В.,, .... Bft, ...)
не произвольна, а сильно связана требованием мультипликатив-
ности В (М2* X М2') = В (М2к) В (М21).

Будем искать ответ в следующем виде: задан формальный ряд

В (z0 = 1 + ajt + a.ft2 4- ... == £ Bft (n) zk, t£H- (CP00; Z),
k^O

с числовыми коэффициентами, определяющий характеристиче-
ский класс В для одномерных 67-расслоений. Полагаем

Bft (q,..., q) = П
u=i

В (z0) В (z0)... В (ztn) к = Bft (cq..ak),

где Oj, ..., ак —элементарные симметрические полиномы
от 0, ....

Для случая G — SO ряд В (zt) следует брать в виде В (г/) —
— Р (г2/2), классы рк имеют вид рк ак (Ц, ..., t2n) — см. выше.
Согласно формуле Коши мы можем написать
Bft(q,...,q)=-?^-	ПВ(г61)...В(г/в)-^г (п>й).

| Z 1=8 ,=1	2

Для СР» мы имеем, согласно формулам характеристических
классов касательного расслоения,

4 «t2 = ... == tn+1 = t е Я2 (CPn; Z),
тСР„ ф 1 =т]ф ... ф т] (п + I слагаемых),
В (т]) = £ (n) zk, В (тс/л) == В (i])n+1.
Для числа В [СР" ] мы имеем

(f B(z)"+>-A-
|г| = е	г

(n-я компонента ряда по г).

Пример I. В ICP2" ] — I, В [CP2n+1 1 = 0. Здесь В (?/) =
— z^/th (zt). В этом случае В совпадает с сигнатурой т:

В = т, Bfe==£fc(p1(.. pkY

Это дает общую формулу для полиномов Хирцебруха

T = (Lh(pi...ph),

Пример 2. В (СР") = I для всех п. Здесь

В (zt) — zt!(\ —exp (— zt)).

Это—так называемый «род Тодда» Т [М2п] алгебраических
(комплексных многообразий): согласно теореме (Хирцебруха)
Т 1М2п 1 = V (—1)‘л<> Где rt — размерности пространств чисто
голоморфных дифференциальных форм на многообразии М2п;

То=1, 7^4-с,, Т..=-^(с2 ±сг), Тз^-^с^.

Выведем общую формулу для ряда В (z) в случае произвольной
характеристики В: “* С. Введем каждый формальный ряд
У* 1, \CPn]zn и его «интеграл» g (z) — У*,	। zn+l. Сопоставим

л>0	л>0

этому ряду значение характеристики В:

gB(z) = У? В (СРП) гп+1 .

/1 + 1
п>0 т

Мы имеем

В<СР“>=ТЯГ ф
11 = е

ф(вргра=.
л>0	л>о|и>|=е

_ 1	£ В (w)/w	, __ 1	£ dw__________

~ 2л/	I—zg(tr)/» W 2л1 у Wi$(w) — г ’

I аг | = г	I ш | = е

I гв М !<- ]

I Ш |

Поэтому

«B(z) = -L.f £	I zl <-|  —I.

2ni J Ф (w/B(w))-v ’ l‘slp g(w) |-

»е
Интегрируя по и, находим:

так как этот интеграл изображает обратную функцию. Итак, мы
получили общий ответ (Новиков):

B(z) = —,	(3)

д '	g-1 (z)	4 '

где
gB(z) =
n -t- *
;i>0

III. Некоторые применения формулы сигнатуры. Сигнатура
и проблема инвариантности классов.

Покажем, что на базе понятия сигнатуры могут быть опре-
делены и сами характеристические классы ph в Q когомологиях.

Рассмотрим цикл х £ Ht, (Мп) и вычислим скалярное про-
изведение (ph, х) только через сигнатуру. Можно считать, что
4k < m2 — I (если это не так, перейдем от многообразия Мп
к Мп х Sv). Коцикл у —D (х) £ Нп~*к (Мп) можно, умножая
на А О, реализовать в виде образа при отображении

f: Мп -+ Sn~ik = Ж
Г* («) = Ху.

Это следует из результатов п. II. Полный прообраз f-1 (х0) пра-
вильной (регулярной) точки х0 £ S'1-44 есть подмногообразие
с тривиальным нормальным расслоением

I: Mik х R"*44 cz Ж,
где ц [Ж 1 = Ах £ Hik (/И").

Для k = 1 мы полагаем:

(А- х) = -1-(Л-	= “ГЗт <

на основании формулы (I) и тривиальности нормального расслое-
ния к Mik cz Мп.

Это дает новое определение класса pt. Аналогично для класса р.2
из (2) имеем:

(Рг, х) = 4- (р2, Ах) = ~ [45т (/И44) + (р?. Ах)[.

Из общей формулы Хирцебруха можно извлечь, что для всех k
класс рк можно выразить через т (Л/44) и произведение классов
низших размерностей. Эго дает новое определение классов pk.
«Сигнатурное» определение позволяет без труда доказать инва-
риантность рациональных классов pk при кусочно-линейных
(кусочно-гладких) гомеоморфизмах (идею см. ниже) и играет
важную роль в доказательстве инвариантности классов pk отно-
сительно любых непрерывных гомеоморфизмов. Сигнатурное опре-
деление, как видно, существенно рационально: в нем содержатся
«необходимые» знаменатели — например, 1/7 для класса рй. Это
имеет последствия: целочисленные классы ph £ Я4* (Mn; Z),
которые, по определению, являются инвариантами диффеомор-
физма, иногда бывают элементами конечного порядка; 7-кручение
класса /?г оказывается неинвариантным относительно непрерыв-
ных гомеоморфизмов.

Рассмотрим кусочно-линейное (триангулированное) многообра-
зие Мп и его симплициальное отображение в сферу МпSn~ik.
Тогда полный прообраз внутренней части симплекса о"-44 с S'1-44
имеет вид (проверьте!)

o'»-4* х р~1 Q/о) == f~l (о:1~4к) = o’1-44 х М14 сг М, у0 £ о"-44,

где /И44 — это также триангулированное многообразие или хотя
бы комплекс, для любой точки которого х0 £ М4к мы имеем
«локальные гомологии сферы»

ЯДАР4, М44\а-о) = О, i^\k,
Н>к(М4к,М4к\хй)===г.

Задача 8. Докажите, что для гомологических многообразий
(4) верна двойственность Пуанкаре в гомологиях, определена
сигнатура т (ЛР4) с обычными свойствами: если M4k — dWik+l,
где оба — гомологические многообразия, то т — 0.

Эти свойства позволяют дать чисто симплициальное (и комби-
наторно-инвариантное) определение классов pk £ Я* (М; Q)
(Том, Рохлин — Шварц) на базе формулы сигнатуры. Класс
р2 £ Я8 (Л4; Z) не допускает комбинаторного определения и
комбинаторно (топологически) неинвариантен (Милнор, Кервер).

Переходя к проблеме топологической инвариантности классов
Pk €	(М; Q), можно без ограничения общности считать все

многообразия M4k X R” с мп+4к односвязными. Пусть п :> 2.
Рассмотрим вложение тора Tn~l х R с R" и открытую область
в изучаемом многообразии:

М4к х Тп~{ х R с: М4к х R" с Ма+4к.

В любой гладкой структуре область

М4к х Тп~1 х Rc М4к х Rnc Л4п+44‘

есть гладкое многообразие. Используя более сложную технику
классификационной теории гладких односвязных многообразий,
распространенную на случай многообразий со свободными абе-
левыми группами — Z X ... X Z, доказывается такое утверж-
дение (простейший вариант): если пг (М4к) = 0, то гладкое уни-
версальное накрытие над открытым гладким многообразием
М4к X Тп~' X R (заданным в любой гладкой структуре) диффео-
морфноМ4* х R'1—- /И4* X R х Т"*1, где Л44* —гладкое много-
р

образие. Отсюда индукцией по k выводится утверждение, что
величинах (Л14*) = т (Mik) определяет характеристические классы
Pi. • рк топологически инвариантным образом (Новиков).
До сих пор неизвестны никакие доказательства этой теоремы, где
удалось бы избавиться от, казалось бы, искусственного исполь-
зования вспомогательных областей со свободной абелевой груп-
пой л4 в этой «чисто односвязной» проблеме, по постановке не
связанной с гц.

Отметим, что уже класс pr £ Д4 (Mk; Q, в отличие от гомо-
логий и классов Штифеля — Уитни, ие является гомотопическим
инвариантом (Дольд). Рассмотрим расслоения (пусть х = 0 при
п = 4) над сферой S4 со слоем Sn~', группой G — SO (п) и все-
возможными классами рг (£) £ Я4 (S4; Z). Пространство такого
расслоения Е —• S4, F = Sn~l имеет клетки а°, о4, о"'1, сгп+3,
где до4 — до"-1 — 0, до'1*3 — 0. Поэтому Е имеет вид

Е — (S4 V S'1-1) (J оп+3,
а

где а £ л/1+2 (S4 V 5'1'1).

Задача 9. Докажите, что элемент а имеет вид

а = [щ, a„-i 1 -г Ь,

где b £ лп+2 (5п1)< 1а> Н — произведение Уайтхеда (см. (1],
ч. II, § 22), а4 £ л4 (S4) и an-i 6 n«-i .(S'1*1) —образующие.
При п = 5, b £ л, (S4) = Z ф (конечная группа) лежит в ко-
нечной части.

Далее, мы знаем из § 10 (следствие теоремы Картана —
Серра), что группа л„+2 (S'1*1) при п =/= 5 конечна. (Более того,
в § 10 эта группа была вычислена для п > 5, где л„+2 (S'1’1) —
— Z24). Итак, имеется не более конечного числа замкнутых много-
образий Е с точностью до гомотопического типа (при п > 5 их
не более, чем 24). Эти многообразия имеют размерность п > 6..
Что же касается диффеоморфизма, то класс (|) является инва-
риантом многообразия Е, поскольку рг (Е) — р*рх (5) (про-
верьте!).

Итак, уже класс рг гомотопически неинвариантен для много-
образий размерности s>6. Для многообразий М* этот класс гомо-
топически инвариантен в силу формулы (см. выше)

pt = Зт [Af41.

Рассмотрим случай п = 5. Базисный цикл х £ Я4 (Л1®; Z) может
быть в соответствии со следствием 1 из п. II представлен в виде
ориентируемого подмногообразия, локально разделяющего ориен-
тируемое многообразие М2 на две части (по глобально не разде-
ляющего). Рассмотрим минимальное накрытие

Ms--»Af5
р

такое, что (AP),Dx) — 0, и эта формула определяет накры-
тие гомотопически инвариантно. Геометрически это накрытие
строится так: многообразие АР разрезается вдоль М*; получается
пленка W2 такая, что
г

I	1	dW2 = Af4 U М*

Рис. 118.

(две компоненты края). На-
крытие имеет вид (см. рис.
118): берется бесконечное
количество экземпляров W2,
обозначаемых через W2.

Далее, полагаем

•И5- ... и FF и и Я. •.
Afj	М$

Группа монодромни накрытия равна Z и действует так:

Вложение /И4 -*• М2 обозначим через I. Мы имеем цикл х =
= ц [Af41 £ Hi (ЛР). Очевидно, мы имеем Т*х — х. Пусть а,
b £ Н2 (М2-, Q). Введем форму

{а, Ь)~ — {ab, х).

Л е м м а 6. Форма {а, Ь)~ сосредоточена на некотором ко-

нечномерном подпространстве А с Н2 (/И5); это означает, что
Н] (М2) — А + В и {В, Ь)х ~ 0 для любого b £ Н2 (М2).

Доказательство немедленно следует из компактности много-
образия М* (цикла х), так как (ab, х) = ((i*a)	[Af4]).

Определение 4. Сигнатура формы {а, Ь)~ на конечно-

мерном пространстве А называется сигнатурой цикла т (х).

Теорема 4 (Новиков). Имеет место формула

(Pi (Af8), х) = Зт (х).

Следствие. Класс рх (М2} £ Н* (M2,t Q) гомотопически
инвариантен.
Доказательство теоремы. Цикл М* с: М* делит
на две части М* — (J А12. Имеем два вложения: ix: ЛР -* Aflt
ц: Л1* -* Л/2. Сигнатура цикла т (Л) совпадает с сигнатурой
формы на На (Л14; Q), ограниченной на подпространство Im»*,
поскольку (ab, х) — О, если i*a — 0 или i*b = 0. Очевидно, мы
имеем

Im i* — Im i’ fl Im ij.

В гомологиях Нг (M\ Q имеются следующие подгруппы:

Lo = Кег /*, Ц — Кег й, — Lo -4- Ni,
Z<2 ~ Кег й, = L,q -j- Л21

L3 — Im i* cz Н3 (.Й5; Q.

Индекс пересечения обращается в нуль на подпространствах Lt
и Lz (циклы, гомологичные нулю в пленке, имеют нулевое пере-
сечение). Поэтому в базисе

Д2 (Л!4; С) = (Lo, Л\, Л2, L3)

форма имеет матрицу вида (блочную):

У, Nt L,

Lo 0 0	0 X

N, 0 0 Q

N, О Q* 0

L, X* Y* Z*

Y
Z

где W — W*. Сигнатура такой формы совпадает с сигнатурой
формы иа подпространстве L3 (т. е. для матрицы W).

Далее, сигнатура формы на подпространстве £3 с: Я2 (М*; Q)
совпадает с сигнатурой формы (ab, [ЛИ]) на подпространстве
Im <* (№ (Л15)) и тем самым совпадает с сигнатурой т (х). Теорема
доказана.

.Таким образом, в неодносвязных замкнутых многообразиях
между рациональными характеристическими классами и фунда-
ментальной группой возникает глубокая связь, исследование
которой к настоящему времени далеко не является завершенным.
Наиболее общая «гипотеза о высших сигнатурах» состоит в сле-
дующем: имеется запас классов когомологий, связанных с фунда-
ментальной группой лх (Мп) — л; этот класс получается как
образ Im/*, где /: Мп -* К (л, 1) —каноническое отображение.
Если х £ Hn~ik (л, Q) *), то предполагается, что скалярное про-
изведение полинома Хирцебруха от характеристических классов
Понтрягина с циклом Dj* (х) гомотопически инвариантно:

*) В алгебре когомологии комплекса К (л, J) называются когомологиями
группы л и обозначаются через Н* (л, Q).
(Lk (pi, pk), Dj*(x)), где D —двойственность Пуанкаре.
Для свободных абелевых групп — т. е. если х есть произведение
одномерных классов —эта гипотеза доказана (Новиков, Рох-
лин, Каспаров, Чанг, Фарелл). Она доказана также, когда л
есть фундаментальная группа компактного риманова многообра-
зия отрицательной кривизны (Люстиг, Мищенко), а также в ряде
случаев илн алгебраическим образом сводящихся к этим, или
в некотором смысле аналогичных этим (Кеппелл, Соловьев).
Никаких других гомотопических инвариантов замкнутых много-
образий из рациональных (вещественных) характеристических
классов—т. е. из тензора кривизны—составить невозможно.

§ 28. Гладкие структуры на семимерной сфере.

Проблема классификации гладких многообразий
(нормальные инварианты). Кручение Райдемайстера
и основная гипотеза комбинаторной топологии

Мы рассматриваем бесконечно дифференцируемые многообра-
зия. Известно, что многообразие класса гладкости k 1 экви-
валентно (и при этом единственному) бесконечно дифференцируе-
мому и даже вещественно аналитическому многообразию (Уитни).
Формально можно определить также чисто непрерывные много-
образия, где замены координат при переходе от одной коорди-
натной карты к другой негладки. Можно рассматривать также
(что встречается гораздо чаще) чисто непрерывные гомеоморфизмы
гладких многообразий. До 50-х годов считалось «ясным», что
на любом непрерывном многообразии можно ввести структуру
гладкого многообразия и что два непрерывно гомеоморфных
гладких многообразия на самом деле также диффеоморфны. Это
очевидно для п — I, без труда доказывается для п — 2; с боль-
шими затруднениями, но прямыми элементарными методами эти
факты удается установить для трехмерных многообразий (Мойс).

Одно из самых удивительных следствий изложенного выше
аппарата алгебраической топологии состоит в обнаружении среди
довольно простых многообразий такого, которое непрерывно го-
меоморфно обычной семимерной гладкой сфере S’, но не диффео-
морфно сфере S’ (Милнор). Как будет видно далее, этот эффект
приводит к открытию многообразий, не допускающих введения
никакой структуры дифференцируемого многообразия.

Напомним, что с помощью кватернионов (см. [1 ], ч. II, § 24)
мы строили «кватернионное расслоение Хопфа»

S’-^S4, слой F = S3.

Это—главное расслоение с группой Ss = SU (2), состоящей
из кватернионов q, | q | = 1, действующих так на сфере

S’ — \(qi, д2), | Qi |2 + Ы2 = Ц- (<71. <h) ** (<№ ЯЯг),
где qlt q2, а — кватернионы. Так как SU (2) с SO (4) — SU (2) X
X (SU (2)/(—1, 1)), то можно говорить о классах (х, рг). Мы будем
изучать аналогичные расслоения с группой SO (4). Такие рас-
слоения мы будем реализовывать как расслоения со слоем D4
и базой S*:

£--S4, F = D\ G = SO(4).

(1

Число х равно, по определению, индексу самопересечения S* о S4,
где S4 с Е как нулевое сечение (см. II], ч. II, § 24). (Точнее,
X —класс когомологий базы S4, х € Н* (S4; Z) такой, что (х,
[S4 ]) = S4oS4.

Лемма 1. Пространство дЕ расслоения (1) со слоем S3
гомеоморфно сфере S'1 тогда и только тогда, когда х = !•

Докажем, что дЕ имеет гомотопический тип сферы S’ тогда
и только тогда, когда х = 1. Рассмотрим точную последователь-
ность

.. .-> л; (дЕ)	л( (S4) ± л^ (S3) ->...

Для i — 4 гомоморфизм д: л4 (S4) -* л3 (S3) вычисляется так:
будем строить ненулевое сечение расслоения (1) со слоем D*.
Теперь ясно, что индекс самопересечения S4 о S4 совпадает с крат-
ностью, с которой цикл S3 (слой) входит в границу д [сг4 ] в дЕ.
Итак, д IS4] = 1 [S31 (см. 11 ], ч. II, § 22). Если х #= 1. то мы
имеем

0 Zx л3 (дЕ) -* л3 (S4).

П
о

Поэтому л3 (дЕ) = Zx. Если х == 1» то л} (дЕ) — 0 при j < 4,
как следует из точной последовательности. Так как дЕ имеет
только клетки а0, а3, а4, а’ и л} — 0 при j < 4, то на самом деле
мы имеем

Hj (дЕ) = л; (дЕ) — 0, / < 7, л7 (дЕ) — Z.

Базисный элемент а £ л7 (дЕ) — Z представляется отображе-
нием a: S’ -* дЕ, которое и индуцирует изоморфизм групп гомо-
логий (и, следовательно, гомотопических групп). Итак, дЕ ~ S’.

Имеется общая теорема (Смейл, Столлингс, Уоллес), что при
п 5 многообразие гомотопического типа S" гомеоморфно Sn.
Из этого, конечно, следует лемма 1. Можно, не используя этой
теоремы, конкретно построить некоторые из расслоений через
кватернионы и напрямик указать ’ гомеоморфизм дЕ S’, явно
предъявив функцию Морса, которая имеет только один минимум
и один максимум (см. ниже). При фиксированном х = 1 мы имеем
расслоения с различными классами pt.
Лемма 2. Для любого k существует расслоение £ такое,
что pi = 2k, % = 1 (точнее, pi — 2ku, у, — и, где и £ И* (S*-,
Z) —базисный элемент).

Перед доказательством леммы 2 мы продемонстрируем меха-
низм, приводящий к возникновению нетривиальных гладких
структур на сфере S’.

Рассмотрим класс(Е) — p*pi (5), так как те = т$< ф р* (%).
Поэтому

pi (Е) == p*pi (£) = 2kp*u = 2fai,

где и — р*и £ И* (Е; Z) —базисный элемент. Для цикла S4 с: Е
мы имеем

54OS4 = 1 = (х, IS4]).

Поэтому сигнатура т (Е) — 1.

Рассуждение от противного: если край дЕ — обычная сфера
S’ = dDa (как гладкое многообразие), то мы имеем гладкое много-
образие

E8 = E|JPS, где dE—dD*.

Далее, Hi (Es) = Ht(E) при i < 7,

pi (E«) == pi (E) == 2kv,
t (E) = 1 = t (Ё8).

Для замкнутого гладкого многообразия Е8 гомотопического
типа НЕ4 (кватернионной проективной плоскости) мы можем
применить формулу сигнатуры (см. § 24):

Рг = 4_ (45т + Р‘)'

При этом число (ps, [Е8 ]) должно быть целым! В нашем случае
г = 1, Pl = 4&2,

4А2 + 45
р» =----?----

Для k — 1 мы имеем: р3 — 7 для обычной кватернионной проек-
тивной плоскости НЕ4. Для k — 0, 2, 3, 4, ... и т. д. имеем:
р2 — число не целое! Противоречие с гладкостью Е8.

Вывод. При всех k, когда рг — дробно, многообразие дЕ
не диффеоморфно сфере S’ (хотя и гомеоморфно S’).
Известно, что классы pq £ Н4д (Мп-, Q) — инварианты не-
прерывных гомеоморфизмов (Новиков). Отсюда, конечно, следует,
что многообразие Е9 при k — 0, 2 не допускает введения гладкой
структуры. Действительно, наличие гладкой структуры для Ё*
противоречило бы инвариантности класса (Е), так как т, оче-
видно, инвариантно. Впрочем, детальный анализ показывает, что
для некоторых других примеров можно обойтись и более про-
стыми средствами, чем использование топологической инвариант-
ности классов ря (Кервер).

Обратимся теперь к доказательству леммы 2.

Рассмотрим сначала SO (3) — расслоение над S4. Так как
SO (3) — SU (2)/Z», мы имеем отображение (превращенное в рас-
слоение)

BSO(3)->K(Z2, 2); F — BSU (2),

причем Л! (В) = 0. Спектральная последовательность в Z-гомо-
логиях имеет вид Ер., = Нр (В; Н„ (Е)) = Е“„ р + q < 5:

4	и	0	«1	0	«а	«3
	0	0	0	0	0	0
0	1	0	и	0	W	X
	0	I	2	3	4	5

djx = 0, так как 2u 0, 2х = 0, откуда следует, чтол4 (BSO(3))—*

— Ht(BSO (3); Z) не есть отображение «на», Coker Н — Z».

Класс рг Н* (BSO (3), Q) таков, что

(pl, и) = 2,

где и —базисный элемент группы cz (BSO (3); Z). Таким
образом, для G — SO (3) число (pt, (S* ]) пробегает все четные
значения для расслоений £ над S4.

Вкладывая SO (3) в SO (4), мы переходим от § к~£ ф 1, где
Pi (I Ф 1) = Pi (5). Х(6 Ф 1) = 0.

Рассмотрим теперь SO (4) = (SU (2) х SU (2))/(—1, —1) и
отображение (расслоение)

BSO (4) К (Z9, 2), Е = BSU (2) х BSU (2).
В спектральной последовательности для Z-гомологий, учитывая,
что Л1(В) = 0, имеем:

Здесь 2х = 2v = 2w = 0, d^x — 0, так как 2и 0, 2у =/=().
Отображение Н: л4 (BSO (4)) -* Я4 (BSO (4); Z) не является
изоморфизмом Coker Н — Zs.

Вывод. Так как х —базис в сопряженном простран-
стве Нот (Я4, Z), то х может принимать любые целые значения
для расслоений над S4, a pi четные.

Лемма доказана.

Прямое построение расслоений (Милнор). Вспомним (см. [1 ],
ч. II, § 24), что SO (4)-расслоения над сферой «нумеруются»
элементами группы л3 (SO (4)) = Z + Z, т. е. парами целых
чисел (ft, j). Явная конструкция соответствующих отображений
fhi: S3 -* SO (4) дается через кватернионы:

fni (и) v = uhvu>,

где и, v £ Н = R4, | и | = 1 (т. е. и С S8). Через
соответствующее расслоение над S*.

Задача 1. Докажите, что

X (Ihj) — h + b Pi (Ihj) = ±2 (й - /)•

обозначим

Пусть числа ft и j таковы, что ft + j — 1, ft — / = ft. Обозна-
чим через Ml пространство расслоения tw (где в слое — сфера S3).
Это многообразие может быть склеено из двух экземпляров
R4 х S3 склейкой подмножеств (R4\0) X S3 по диффеомор-
физму

,	\	, г	(и UhVUl \

(и, v)^(u, v) = ^-jVr “ТИН

(проверьте!).

Задача 2. Проверьте, что функция f вида
,,	. Ret?	Re и’

l(U> V>~ (j +|И|»)>/2 ~ (1 + |„*р)1/« ’
где и" = и' (и')-1 имеет на Ml ровно 2 критические точки (и, v) —
— (0, ±1), и они невырождены.

Отсюда вытекает, что все многообразия Ml гомеоморфны
сфере S’. Из задачи 1 и рассуждений этого параграфа (выше) сле-
дует, что при k? й 1 (mod 7) многообразие Ml не диффеоморфно S’.

Итак, мы видим, что бывают нетривиальные многообразия

гомотопического типа сферы («гомотопические сферы»). Совокуп-
ность многообразий гомотопического типа Sn замкнуто относи-

тельно операции «связной суммы» многообра-
зий (см. § 4):

М" # М'< ~ Sn.

Определение 1. Два замкнутых мио*
гообразия Mi и М" (любого гомотопического
типа) называются h-кобордантными (илн
J-эквивалентными), если найдется пленка tTn+1,
dWn+l — М" J М", причем пленка Wn+l стя-

м”

гивается к каждому из своих краев.	м"

Лемма 3. Классы h-кобордизма гомото- Рис. 119.

пических сфер образуют группу 6".

Доказательство: ассоциативность связной суммы

верна всегда (не только для гомотопических сфер); рассмотрим
сумму ориентированной гомотопической сферы М^ и ее же с про-
тивоположной ориентацией (Af!J) # (/Ия) = МЪ. Многообра-
зие М% —граница следующего многообразия 1Гя+‘ (см. рис. 119).

Из произведения М" X I (0, 1) удалено произведение D£ х I,

где£>2 cz М" — малый открытый шар радиуса е. Сгладив углы,
заметим, что д1Гя+1 =	# М", и 1Гя+‘ стягиваемо.

Удалив из IFn+1 малый открытый шар D", получим h-
кобордизм между д1Гя+1 и обычной сферой S".

Лемма доказана.

Введем следующие обозначения: дРп+1 — подгруппа в 0я,
состоящая из границ параллелизуемых (л + 1)-мериых много-
образий; Jn cz nN+n (SN), n < N — 1 — подгруппа, состоящая
из оснащений на обычной сфере Sn cz RA/+'1 (см. [1 ], ч. II, § 23).
Имеет место такой факт:

Любая гомотопическая сфера Мп при вложении в RA'+n имеет
тривиальное нормальное расслоение (для п = 4k это следует из
периодичности Ботта —см. § 22, н формулы сигнатуры для р/<,
учитывая, что т (S") = 0; для п =/= 4k, 8k + 1. 8k 4- 2 это след-
ствие того, что гомотопические группы лп (SO) = 0; при п —
— 8k + 1, 8k + 2 это — теорема Адамса, вытекающая из более
современной техники алгебраической топологии).

Поэтому, учитывая произвол в выборе оснащения на уИя cz
cz Rv+«, мы получаем гомоморфизм 0я -*• nw+n (S")/Jn. Ядро этого
гомоморфизма есть группа дРя+1 (проверьте!).
Для группы дРп~1 имеются следующие результаты:
а) дР**' — 0, если п четно,

О, п = 2, 4, 6,

б) дРп+х =

п = 10,

нли Z2, если п == 4Л 1,

в) дРл+1 равна циклической группе некоторого конечного
порядка, равного 28 для п = 7 (в сущности, мы уже построили
выше нетривиальный гомоморфизм 67-*Z7). Особый случай
п — 3 не рассматривается. Группы Гп= лЛЧп (5Л')//Л и 0я
имеют вид:

Л «=	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Гп =	0	0	za	0	0	0	0	0	za	(za)‘	za
0я -	0	0	0	?	0	0	0	Zm	(Z,)s	(Zj	Za

Таковы факты (Милнор, Кервер) о группах гомотопических сфер 0я.
Имеет место теорема (Смейл): для односвязных многообразий
размерности п St 5 любой Л-кобордизм IF"*1 тривиален IF"-1-1 =
=s Мп X I. Поэтому группы 0я дают классификацию гладких
структур на сферах, исключая размерности п — 3, 4.

Гладкие структуры на сфере и классификации многообразий
гомотопического типа сферы — это одна и та же задача при п +
+ 3, 4. Группа 0s неизвестна, но нетривиальных гладких струк-
тур на S8 нет. Группа 04 = 0 известна, ио неизвестно, имеются
ли нетривиальные гладкости на

Изложим теперь классификационную теорию гладких замкну-
тых одиосвязных многообразий размерности п 5 (Новиков,
Браудер) *). Естественно возникает вопрос: какими инвариан-
тами, кроме гомотопического типа и класса эквивалентности каса-
тельного расслоения, определяется гладкое замкнутое многооб-
разие? Для частного случая гомотопических сфер мы указали
теорию (Милнора—Кервера), решающую эту задачу. Подход к этой
задаче для общих многообразий таков: будем работать со стабиль-
ным нормальным расслоением vN при вложении Мп cz R^,
которое однозначно определяется касательным расслоением т”
при JV > л + 1 в силу равенства

тя ф ~ 0.

*) Для л — 4 из этой теории вытекает только утверждение, что гомотопи-

чески эквивалентные многообразия являются Я-кобордаитиыми.
Гладкие многообразия любого несферического гомотопиче-
ского типа, разумеется, не образуют никакой группы. Оказывается
чрезвычайно полезным рассмотрение комплекса Тома М (vN).
Имеется естественное вложение АР с М (vN) и отображение це-
лой окрестности U многообразия Мп в R«i-* с: $л+л':

U -* М (v-v),

где dU переходит в одну точку. Окрестность U —это и есть
пространство расслоения vN. Отображение пар (U, dU) -*
-* (М (vN), *) продолжается естественным образом до отображе-
ния сферы, переводя дополнение к области U в сфере 5У+л
в точку *:

Ф = фмя: S‘v+n -> М (v'v).

Для отображения ф — фмЯ имеем

Ф* [5"+л] = Ф [АР] с Hn+N (М (у")).

Итак, цикл а [Мп ] сферический. Далее, группа (Af (ул); Z)
равна Z, п < /V + 1. В качестве следствия результатов § 10 мы
имеем:

Лк+п(М (v*)) = Z + D,

где D — конечная абелева группа.

Многообразию Мп в силу этой конструкции отвечает эле-
мент фЛ1п (; ял/+л (Af (yN)) такой, что ф# [5л/+л] = <р [ЛГл].
Поэтому фмп = 1 + а, а £ D. Имеет место следующее

Утверждение 1, (Новиков), а) Каждому многообра-
зию М", для которого задана сохраняющая нормальное расслоение
и ориентацию гомотопическая эквивалентность Af?t—> Af" (deg/ —
— 4-1, /Ч^я =*мл),	элемент фЛ.я 6 лу-н (Af (v*))

вида 1 + а, а £ D (хотя, вообще говоря, и не один). Для п

4k + 2 верно и обратное утверждение. Для п — 4k + 2 чреа-
лизуемые» элементы 1 + а могут пробегать подгруппу а £
£ D с. D, где либой — D, либо D имеет индекс 2.

б) Если два таких многообразия М* и М$ попали в один класс
1 + « € nn+N (М (vN)), то найдется сфера Милнора Q £ дР2п+1
такая, что АГ? # 0 = АГл.

Следствие. При фиксированном гомотопическом типе и
касательном расслоении (или его инвариантах—классах ph С
£ Н* (Мп‘, Q)) может быть только конечное число попарно не-
диффеоморфных гладких односвязных многообразий размер-
ности л 5 (все построенные инварианты диффеоморфизма
принимают значение в конечных абелевых группах).

Другая теорема (Браудер, Новиков) показывает, какие век-.
торные расслоения 5 над гладким многообразием АГ? могут быть
реализованы как нормальные расслоения М* с Rn+W какого-то
другого многообразия Af" гомотопического типа А1?:

а)	Для этого необходимо, а при п = 6, 14 и всех нечетных
п — 2k + 1	5 и достаточно, чтобы цикл ф [Af? ] £ Hn*N (М (|))

был сферическим (образом сферы 5А,+Л).

б)	При п = 4k для достаточности надо добавить условие,
чтобы полином Хирцебруха от классов рг (£), .... рк (?) совпадал
с сигнатурой т [Af? ]. Необходимость этого условия очевидна —
см. выше формулу сигнатуры.

Эта теорема, на самом деле, может быть сформулирована более
общим образом (Браудер): можно предполагать, что A1J — это
не многообразие, а только комплекс, в целочисленных когомоло-
гиях которого (не локальных, а только глобальных) имеется
двойственность Пуанкаре. Спрашивается — когда комплекс А!?
имеет гомотопический тип гладкого замкнутого многообразия Af??
Для этого необходимо и достаточно, чтобы нашлось стабильное
расслоение § над Af?, где цикл ф (Af?) —сферический и выполнены
условия а) и б).

При п = 4k 4- 2 варианты всех этих теорем также правильны,
но они более сложно формулируются; мы их не приводим
здесь.

Задача 3. Докажите, что для случая сферы Мп — Sn
мы имеем:

M(yN)*=SN V $л+п.

«yw(A<(v*))»Z + %t,(S*)(

т. е. D = nN+n(S").

Для вычисления степени неоднозначности этого «нормального
инварианта! £ л^+п (М (vy)) нужно рассмотреть группу
гомотопических классов отображений нормального расслоения,
имеющих степень 4-1 на базе:

Мп —*А4Я, vN —*-vw.

Эта группа действует на комплексе Тома Af (yN), орбиты дей-
ствия на допустимых элементах вида 1 4- а из nw+n (Af (vN))
точно соответствуют многообразиям с точностью до прибавления
сфер Милнора из подгрупп 5P"+I: Af?-> Af? # dP"+1 •

Задача 4. Докажите, что для Мп = Sn степень неодно-
значности сводится к факторизации лу+п (SN)lJn. Вычислите
группу гомотопических классов автоморфизмов многообразия
с нормальным расслоением для Af4, (Af4) = 0; покажите, что
она транзитивно действует на множестве элементов вида 1 4- а-
Вычислите эти группы для СРл,и 3* X S'.
Обратим внимание на такое весьма любопытное (и элементарно
устанавливаемое) свойство гомотопических эквивалентностей, со-
храняющих стабильное нормальное расслоение.

Теорема 1 (Мазур). Если f:	-* Af? гомотопическая

эквивалентность такая, что = v^, то пространства Е2
и Е„ расслоений v? и v?' со слоем R,v диффеоморфны (односвяз-
ность здесь не предполагается), N > п + 2.

Доказательство. Рассмотрим аппроксимацию ото-
бражения f: Мг{ -* М" cz Е, с помощью гладкого вложения
f: М" cz Е, и аппроксимацию g: Мг cz Е1 «обратного» отобра-
жения g: M<i -* Al? с Еи где fg ~’1 и gf ~ 1. Считаем, что
N > п 4- 1. Нормальные расслоения к образам f (Al?) cz Е„ и
g (М”) cz Ех есть v? и у? по условию. Поэтому имеется диффео-
морфизм областей D™ иЬ?\ образованных векторами длины <1
в обоих расслоениях Е2, Et на е-окрестностн иг и вложений
I (М") cz Е2 и g (М?) cz Ер

D^-^UiCzEt, D^^U2czEx.

Заметим^следующее: Ui czD{2}, U2czD{1\ Определены ото-
бражения: GF: £>i(1)	FG:D{2) Можно считать, что

окрестность содержит М2 и окрестность U2 содержит М"
вместе с их 6-окрестностями D& иЩ11 соответственно прн до-
статочно малых 6. В самом деле, обратим внимание, что окрест-
ность U2 содержит диффеоморфный образ G?(£>i(l)). При этом
образ нулевого сечения гомотопен ему самому. Поэтому диффео-
морфизмом всего многообразия Е1( неподвижным для всех векто-
ров длины 1/2 и изотопным тождественному, этот образ можно
совместить с окрестностью нулевого сечения (см. (1 ], ч. П,§ 10).
Здесь существенную роль играет условие стабильности N > п 4-2,
позволяющее применить теорему Уитни. (Впрочем, читатель
легко увидит, что это утверждение вытекает из сформулирован-
ной выше теоремы Смейла в односвязном случае. Однако мы
приводим доказательство теоремы Мазура и для неодносвязных
многообразий.) Мы имеем диаграмму диффеоморфизмов и вло-
жений
Однако D[n каноническим растяжением Е, — - Е, в 6‘1 раз диф-
феоморфно Dp, причем размер U-t также увеличивается в б*1
раз. Мы получаем, итерируя растяжение многократно:

4’ = <4 " 4‘’ =	« «А ~	.

Так как U — Ех — U D'-}, то распухающая последова-
/ _/

тельность диффеоморфизмов F^lj-. U2 -+D^j в пределе дает
диффеоморфизм £i-> Е«. Теорема доказана.

Следствие I. Комплексы Тома расслоений vj', v;v над
многообразиями и М1! непрерывно гомеоморфны:

М. (у») & М. (xf).

Доказательство очевидно.

Задача 5. Если п — 3, то все ориентируемые многообразия
параллелизуемы (докажите!).

Следствие 2. Линзовые многообразия Lp (q}) (j — I, 2),
если они гомотопически эквивалентны (т. е. qx — Wq», где qlf qit X
ненулевые вычеты modulo р, р простое) имеют дйффеоморфные
прямые произведения на R", п 5 (см. § 11) R6 х Lp (<7i) —
= Lp (q2) X R5, qx = a^2.

Комплексы Тома тривиальных расслоений М (vj и М (v2)
гомеоморфны.

Важный факт (Милнор): в комплексе Тома М (v) имеется
особая точка (*)с: М (v), которая комбинаторно устроена (при
симплициальном разбиении) как конус над границей «звезды» —
пространством расслоения v7 со слоем S'1'1; комбинаторные
инварианты границы звезды являются инвариантами самого
комплекса. Если сфера S'*-1 четна, и расслоение vy — прямое
произведение, то кручение Райдемайстера имеет вид

R (L3 (q) х S'"1) = R (L3P (q)) x X (S'"1),

где X—эйлерова характеристика (проверьте!). В частности,
возможна ситуация, например, для р = 7:

Я (L3 fa)) X х (S'"1) #= R (L3 (^) х х (S"'1).

где х (S'*'1) = 2. Поэтому комплексы Тома М (vx) и М (v,) комби-
наторно не эквивалентны, хотя и гомеоморфны.
ЛИТЕРАТУРА

1.	Дубровин Б. А..Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная
геометрия. — М.: Наука. 1979.

2.	Р а ш е в с к и й П. К- Курс дифференциальной геометрии. — М.: Гостех-
нздат, 1956.

3.	Р а ш е в с к и й П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ. — М.:
Наука, 1967.

4.	Погорелов А. В. Дифференциальная геометрия. — М.: Наука, 1974.

5.	П о г о р е л о в А. В. Внешняя геометрия выпуклых поверхностей. — М.:
Наука. 1969.

6.	А л е к с а и д р о в А. Д. Внутренняя геометрия выпуклых поверхностей.—
М.: Л.: Гостехиздат, 1948.

7.	Е ф и м о в Н. В. Высшая геометрия. — хМ..- Наука, 1971.

8.	Норзен А. П. Теория поверхностей.—М.: Гостехиздат, 1956.

9.	Фиников С. П. Курс дифференциальной геометрии. — М.: Гостехиздат,
1952.

10.	К о б а я с и Ш., Н о м и д з у К. Основы дифференциальной геометрии.—
М.: Наука, 1981.

11.	Зейферт Т., Трельфалль В. Топология.—хМ.; Л.: ГОНТИ,
1938.

12.	3 е й ф е р т Т., Трельфалль В. Вариационное исчисление в целом.—
М.: ИЛ, 1947.

13.	Милнор Дж. Теория Морса. — М.: Мир. 1965.

14.	Милнор Дж. Особые точки комплексных гиперповерхностей. — М.:
Мир, 1971.

15.	Милнор Дж. Теорема об Л кобордизме. — хМ.: хМир, 1969.

16.	П о и т р я г и н Л. С. Гладкие многообразия и их применения в теории
гомотопий.—М.: Наука, 1976.

17.	П о и т р я г и и Л. С. Непрерывные группы. — М.: Наука, 1973.

18.	С е р р Ж-—П. Алгебры Ли и группы Ли. — М.: хМир, 1969.

19.	Спрингер Дж. Введение в теорию римановых поверхностей. — М.:
ИЛ, 1960.

20.	Н о м и д з у К. Группы Ли й дифференциальная геометрия. М.: ИЛ; 1960.

21.	Чжень Шэн-шэнь. Комплексные многообразия.—М.: ИЛ, 1961.

22.	Б и ш о п Р., Криттенден Р. Геометрия многообразий. — М.: Мир,
1967.

23.	Г р о м о л Д., К л и и г е и б е р г В., М е й е р В. Риманова геометрия
в целом. — М.: Мир, 1971.

24.	X е л г а с о и С. Дифференциальная геометрия и симметрические про-
странства. — М.: Мир, 1964.

25.	Стинрод Н. Топология косых произведений.—М.: ИЛ, 1953.

26.	Р о з е и д о р и Э. Р. Задачи по дифференциальной геометрии. — М.:
Наука, 1971.

27.	Н о в и к о в С. П., Мищенко А. С., Соловьев Ю. П., Фо-
менко А. Т. Задачи по геометрии. — М.: Изд. МГУ, 1978.

28.	Г и л ь б е р т Д., Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия.—М.:
Наука, 1981.
29.	Рохля н В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геометриче-
ские главы. — М.: Наука, 1977.

30.	Лефшец С. Алгебраическая топология.—М.: ИЛ, 1949.

31.	Г о л у б е в В. В. Лекции по интегрированию уравнений движения тяже-
лого твердого тела около неподвижной точки.—М.: Гостехиздат, 1953.

32.	X у С ы • ц з я н. Теория гомотопий. — М.: Мир, 1964.

33.	Д о л ь д А. Лекции по алгебраической топологии. — М.: Мир, 1976.

34.	С п е н ь е р Э. .Алгебраическая топология.—М.; Мир, 1971.

35.	Хилтон П., Уайли С. Теория гомологий. — М.: Мир, 1966.

36.	М и л н о р Дж., Ст а шеф Дж. Характеристические классы. — М.:
Мир, 1979. (См. также лекции Милнора в сб. переводов Математика, 3, № 4,
с. 3—53; 9, № 4. с. 3—40.)

37.	С т о н г Р. Заметки по теории кобордизмов. — М.: Мир, 1973.

38.	X и р ц е б р у х Ф. Топологические методы в алгебраической геометрии.—
М.: Мир, 1973.

39.	Расслоенные пространства и их приложения: Сб. переводов. — М.: ИЛ, 1958.

40.	Фукс Д. Б., Ф о м е н к о А. Т.,Гутеимахер В. Л. Гомотопическая
топология. — М.: Изд. МГУ, 1969.

41.	Хьюзмоллер Д. Расслоенные пространства. — М.: Мир, 1970.

42.	М о ш е р Р., Т а и г о р а М. Когомологические операции и их приложения
в теории гомотопий. — М.: Мир, 1976.

43.	Вейль А. Введение в теорию кэлеровых многообразии. —М,: ИЛ, 1961.

44.	Мищенко А. С., Фом енко А. Т. Курс дифференциальной геометрии
и топологии. — М.; Изд. МГУ, 1971.

45.	С т и и р о д Н., Эпстейн Д. Когомологические операции. — М.:
Наука, 1982.

46.	Теория солитонов/Под ред. Новикова С. П. — М.: Наука, 1979.

47.	К л и и г е и б е р г В. Лекции о замкнутых геодезических. — М.: Мир, 1982.

48.	Гр и^р ф и т$с П., Харрис Дж. Принципы алгебраической геометрии.—

49.	Атья М. Лекции по К-теории. — М.: Мир, 1967.

50.	Б р а у д е р У. Перестройки односвязных .многообразий. — М.: Наука,
1983.

51.	Болтянский В. Г., Ефремович В. А. Наглядная топология. —
М.: Наука, 1982.

52.	Т о д а М. Композиционные методы в теории гомотопий. — М.: Наука, 1982.

53.	A d a m s J. F. Stable homotopy theory. — Berlin, Springer Verlag, 1966
(Leet. Notes, N 3).

54.	Morse M. The calculus of variations in the large. — Amer. Math. Soc.
Colloq. Publ., 18, N. Y., 1934.

55.	А л ь б e p С. И. О периодической задаче вариационного исчисления в це-
лом. — УМН, 1957, 12, № 4, с. 57—124.

56.	Л ю с т е р н и к Л. А., Ш и и р е л ь м а н Л. Г. Топологические методы
. в вариационных задачах. — Труды научно-исследовательского института
математики и механики.—М., 1930.

57.	Л ю с т е р н н к Л. А., Шн ирельман Л. Г. Применение топологии
к экстремальным задачам. Труды 2-го Всесоюзного математического съезда,
1935, т. I, с. 224—237.

58.	Н о в н к о в С. П. Гомотопически эквивалентные гладкие многообразия,
I. — ИАН СССР, сер. матем., 1964, 28, с. 365—475.

59.	Новиков С. П. О многообразиях со свободной абелевой фундаментальной
группой и их применениях. — ИАН СССР, сер. матем., 1966, 30, с. 207—246.

60.	Нов н ков С. П. Новые идеи в алгебраической топологии. — УМН,
1965, 20, Ns 3, с. 41-66.

61.	Фоменко А. Т. Периодичность Ботта с точки зрения многомерного
функционала Дирихле. — ИАН СССР, сер. матем., 1971, 35, с. 667—681.

62.	Фоменко А. Т. Многомерная задача Плато в римановых многообра-
зиях. — Матем. сб., 1972, 89, № 3, с. 475—520.
63.	Милнор Дж. Кручение Уайтхеда. —Математика (сб. переводов), 1967,
11, № 1, с. 3—42.

64.	Милнор Дж. О многообразиях, гомеоморфных семимерной сфере. —
Математика (сб. переводов), 1957, 1, № 3, с. 35—42.

65.	М и щен ко А. С. Эрмитова К-теория. Теопия характеристических клас-
сов, методы функционального анализа. — УМН, 1976, 31, Ns 2, с. 69—134.

66.	Бухштабёр В. М..М ищеико А. С., Н о в и к о в С. П. Формаль-
ные группы и их роль в аппарате алгебраической топология. — УМН, 1971,
26, №^2, с. 131—154.

67.	Р о х л и и В. А. Теория внутренних гомологий. — УМН, 1959, 14, № 4,
с. 3—20.

68.	Р о х л и и В. А. 3-мерное многообразие — граница 4-мерного. — ДАН
СССР, 1951, 81, № 3, с. 355—357.

69.	Атья М. Ф. Пространства Тома. — Математика (сб. переводов), 1966,
10, № 5, с. 48—69.

70.	Милнор Дж. Дифференциальная топология. — УМН, 1965, 20, № 6,
с. 41—54.

71.	Смейл С. О строении многообпазнй. — Математика (сб. пепеводов),
1964, 8, № 4. с. 95—108.

72.	Смейл С. Топология и механика. — УМН, 1972, 27, № 2, с. 77—133.

73.	Лекции иа математическом семинаре по гомотопической топологии. — УМН,
1966, 21, У» 5, с. 117—248.

74.	К е г v a i г е М. A. A manifold which does not admit any differentiable
structure.—Comment. Math. Heiv., 1960, 34, .Vs 4, p. 257—270.

75.	К e г v a i г e M. A., M i 1 n о г J. Groups of homotopy spheres, 1. — Ann.
Math., 1963, 77, p. 504—537.

76.	Milnor J. Two complexes which are homeomorphic but combinatorially
distinct. — Ann. Math., 1961, 74, p. 575—590.

77.	Serre J. P. Cohomology modulo 2 des complexes d’Eilenberg. — McLane.—
Comment. Math. Helv., 1953, 27, p. 198—231.

78.	C a r t a n H. Algebres d’Eilenberg—McLane et homotopie. — Seminaire H.
Cartan, Ecole Norm. Super. (7e annee), 1954/1955.

79.	M i 1 n о r J. A survey of cobordism theory'. Enseign. Math., 1962, 8, № 1—2,
p. 16—23.

80.	Novikov S. P. Pontrjagin classes, the fundamental groups and some prob-
lems of stable algebra. — Ess. on topology and rel. topics. Memories dedies
a Georges de Rham. — Berlin—Heidelberg—New York: Springer-Verlag, 1970.

81.	A d a m s J. F. Stable homotopy and generalised homology. — Chicago Leet.
Notes in Math., 1974.

11 Б. A. Дубровин н др.
с. п. новиков

Приложение 1

АНАЛОГ ТЕОРИИ МОРСА ДЛЯ МНОГОЗНАЧНЫХ ФУНКЦИЙ
НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА СКОБОК ПУАССОНА

Пусть М — гладкое замкнутое многообразие конечного или
бесконечного числа измерений (например, какое-либо простран-
ство путей, соединяющих две точки х0 и гладкого многообразия
Wm, или пространство замкнутых направленных кривых —
гладких отображений окружности в На многообразии М
зададим замкнутую 1-форму со; найдется (бесконечнолистное)
накрытие М I—- М такое, что форма	является дифференциалом

функции (простейший пример —это со = dtp на /?2\0 = М,
где М —это риманова поверхность логарифма):

р*со = aS.	(1)

Мы будем называть величину S «многозначной функцией» на
многообразии М. В бесконечномерном случае мы будем предпо-
лагать, что в критических (стационарных) точках (dS = 0 или
со = 0) функция S имеет второй дифференциал d2S, обладающий
конечным числом отрицательных квадратов («индекс Морса»)
и конечной степенью вырождения. Фактически мы будем рас-
сматривать только случай, когда все критические точки либо
невырождены, либо образуют невырожденные критические много-
образия (см. § 3). Мы будем предполагать также, что величина S
обладает корректно определенным «градиентным спуском», — т. е.
на многообразии М любое компактное множество при спуске по
градиенту S либо повисает на критической точке, либо проходит
последовательно все уровни функции S «вниз».

Задача — построить аналог теории Морса для оценки числа
стационарных точек многозначной функции S (т. е. замкнутой
1-формы со) любого индекса Морса i. Мы обозначим число ста-
ционарных точек с индексом Морса i через mt (S) или mt (со),
р*со = dS.
В группе Hl(M, Z) можно выбрать такой базис (ylt ..., yh,
Ум....Ух), что

г (0>	/ Ss k + 1,

Jw==(x^0, j<k,	(2)

причем все числа х;- при / =	линейно независимы с ра-

циональными (или целыми) коэффициентами. Число k — 1 называ-
ется «степенью иррациональности» формы «. Группа монодромии
минимального накрытия р: М-+ М, превращающего а в диффе-
ренциал однозначной функции dS ~ р*а, точно равна Z* —
свободной абелевой группе с k образующими tlt ..., ih, действую-
щими как сдвиги на

t,: М-»М.

Фактически показателем иррациональности является точка
проективного пространства

х = (хх: хг: х3:... : xft) £ RP*'1.

Особо простым и интересным случаем является k = 1, когда форма
(о дает элемент целочисленной группы когомологий [<о] £

(М, Z). В этом случае величина exp {2niS} является одно-
значной комплекснозначной функцией, по модулю равной еди-
нице, — т. е. отображением

/ = ехр {2niS}: M-t-S1.	(3)

Задача о построении аналога теории Морса для критических
точек таких отображений, безусловно, выглядит как классическая,
однако эта задача никогда не рассматривалась в литературе
до самого последнего времени (до 1981 года).

Рассмотрим бесконечномерные примеры «многозначных функ-
ционалов», которые естественно приводят к поставленным выше
задачам. Пусть Wm — риманово многообразие с полной метрикой
gn (х), на котором задана замкнутая 2-форма Q, dQ = 0. Зададим
покрытие IT'" = U Ua таким семейством областей, что
а

а)	форма Q точна на любом {/а:

Й|уа==^фа,	(4)

б)	для любого гладкого отображения у отрезка / или окруж-
ности S1 в Wm найдется такая область Ua, что у целиком лежит
в Ua.

Рассмотрим многообразие М = Q (х0, xlt Wm) путей, соеди-
няющих две точки, или М = Q+ (Wm) замкнутых направленных
кривых и покроем его областями М — U Na, где состоит из
а

всех кривых у с Ua. Каждое пересечение f] представля-
11*
ется в виде Na Q Лр = U Лар, где 7 — номер класса гомологий
я

кривой в //L (f/a П R)( замкнутой или с двумя концами х0, хх.
На каждом множестве Na зададим однозначный функционал

$<в> {у} = J - фа).	(5)

?

Лемма 1. В пересечениях N$ для каждого q разность
функционалов S(a) jy} —S^> {у} является константой.

Действительно, разность функционалов представляется в .виде

=	(6)

V

где Д'а = ^Ф₽- Поэтому для каждого класса гомологий q этот
интеграл есть константа. Лемма доказана.

Тем самым набор функционалов Sw определяет «многозначный
функционал» S такой, что <5£ есть глобально определенная 1-форма
на бесконечномерном многообразии М.

Этот пример естественно обобщается: пусть задай какой-либо
достаточно регулярный однозначный функционал Sn {у} для
гладких отображений у: V1 -> W"‘ двух полных римановых много-
образий, пусть задана замкнутая (/ 4- 1)-фсрма Q на Wm, dQ = О
и покрытие Wn = U Ua такое, что

а)	£2|ца = <Л|>а.

б)	Для любого у найдется номер а такой, что образ у лежит
целиком в области t/a.

Полностью аналогично предыдущему на многообразии М всех
отображений V1 -* Wm («киральных полей») возникает «много-
значный функционал» S — So + j фа (см. [4], § 5).

v

Вернемся к случаю I = 1, когда для полных римановых метрик
gtj на многообразии Wm и любой 2-формы Q индексы Морса всех
стационарных точек конечны, н поток градиентного спуска на М
корректно определен. Такая ситуация возникает для аналога так
называемого «функционала Мопертюи—Ферма»: траектории дви-
жения заряженной частицы в потенциальном поле сил и (х) и
магнитном поле Q на римановом многообразии Wm (здесь т = 2
или 3) при фиксированной энергии Е определяются как экстре-
мумы функционала

S{y\-\(dlE-A}dxf),	(7)

?
где

{dl£)2 — 2т (Е — и (х)) gtJ-dx{ dx',	(8)

d{Ajdx') — Q
(см. (1], ч. I, § 33)., Магнитное поле Й считается здесь точной
2-формой. Для неточных 2-форм й мы приходим к многозначным
функционалам. Требование полноты метрики 1Е мы всегда будем
предполагать выполненным в дальнейшем. На компактном много-
образии Wm это эквивалентно условию

Е > шах и (х).	(9)

Для нсодносвязных многообразий Wm (например, для тора Wm =
= Тт) возможна такая ситуация: несмотря на все предыдущие
построения и неточность формы Q, a posteriori 1-форма 6S ока-
жется точной просто потому, что само пространство путей М
односвязно. Для точности 1-формы (<5S) и однозначности функ-
ционала 5 достаточно, чтобы форма й на универсальном накрытии
стала точной q:	Wm, q*Q — d§. Это верно, если класс кого-

мологий формы [Й ] С Д2 (W"1, R) содержится в подгруппе,
связанной только с фундаментальной группой:

[й] С #2(Л1. R)c/j'2(^, R).

Задача 1. Найти достаточное условие того, что функционал
S на пространстве замкнутых кривых принимает сколь угодно
большие отрицательные значения (условие на группу и класс
гомологий [й ] £ Н2 (ях, R)).

Для односвязных многообразий Wm такого быть не может.
Интегралы от 1-формы (dS) по базисным циклам в М и степень
иррациональности формы со = (SS) определяются набором инте-
гралов 2-формы й по базисным 2-циклам в Н2 (IF"1, Z) и совпадают
с ними.

К экстремалям функционалов вида (7) сводятся некоторые
важные системы классической механики (Новиков—Шмельцер):

1.	Задача Кирхгофа о движении твердого тела в идеальной
жидкости, движение которой потенциально и которая покоится
на бесконечности;

2.	Задача о движении твердого тела вокруг неподвижной точки
в осесимметричном, — в частности, постоянном — гравитацион-
ном поле (волчок, гироскоп и др.).

Обе эти задачи описываются уравнениями, представляющими
собой после некоторых преобразований гамильтоновы системы на
алгебре Ли L = Е (3) группы движений евклидова трехмерного
пространства, где фазовым пространством является сопряженное
пространство L*. Выбрав базис (в/), в L* мы представляем любой
элемент в виде

i»=SW,	(Ю)

причем It £ L — линейные формы на L*, L = (L*)*. По определе-
нию, скобка Пуассона для любых функций f (/*) на L* определя-
ется, исходя из следующих требований,
1.	Скобка Пуассона двух линейных функций иа L* —т. е.
элементов алгебры Ли L —совпадает с их коммутатором в L:

(П)

2.	Скобка Пуассона любых функций на L* определяется тре-
бованием 1 вместе с общими аксиомами, которым удовлетворяет
скобка: билинейность, кососимметричность, тождество Якоби и
формула Лейбница для произведения функций

Vg,h\-=\hh}g+\g,h\f.	(12)

Вообще говоря, скобка Пуассона любых функций на много-
образии № с локальными координатами (х1, ..., х«) определяется
тензором h‘i (х) — —h'1 (х) по формуле

<13>

Требование, чтобы формула (13) задавала скобку Пуассона, т. е.
было верно тождество Якоби, накладывает ограничения на тензор
ft1'/ (х): если det ft1'/	0, то обратная к тензору h‘i 2-форма h =

=	h;j dxl /\ dx! должна быть замкнутой: dh — 0, hi Jr* — 6*.

Простейший случай h‘> — const появлялся в классическом
гамильтоновом формализме, возникающем из вариационного
исчисления (см. (I 1, ч. I, §33). Следующий случай ft'/ —линейной
функции от х — интенсивно обсуждался в литературе в течение
последних 15 лет, так как К11 (х) = с^х*, где eV оказывается
набором структурных констант алгебры Ли (это следует из тожде-
ства Якоби для скобки).

По-видимому, случай квадратичных по х скобок hl> —
оказался также весьма интересен и начал сейчас изучаться (Скля-
нин, Фаддеев).

Нам важен «линейный по х» случай алгебр Ли, более узко—
алгебры L = Е (3). Выберем стандартный базис генераторов этой
алгебры (Mlt Mit М3, plt рг, р3), где генераторы pt отвечают
трансляциям и Mt —вращениям. Скобка Пуассона (11) согласно
определению имеет вид коммутаторов в L = Е (3):

{Мь М}} = S ьикМк, — sgn (’	,

{Мь рА = S г^Рь,	<14)

{Рь Р/}=0-

Гамильтониан системы Н (М, р) в задаче Кирхгофа совпадает
с энергией системы тело—жидкость и является положительной
квадратичной формой от переменных (М, р) на пространстве L*
(возможны линейные члены в И, если твердое тело неодносвязно):

Н = S + £ btjMiPj + 2 c4PiPp	(J5)
Для движения твердого тела (волчка, гироскопа) в осесимметрич-
ном гравитационном поле U (?) вокруг неподвижной точки гамиль-
тониан на пространстве L* имеет вид

+ W	(1б)

где d‘ — константы, определяемые положением центра масс, и
точки закрепления. Квадратичная форма 2	всегда пред-

полагается положительной. В случае (16) имеются ограничения
типа неравенств на эту форму, которых нет в задаче Кирхгофа (15).
Уравнения движения имеют вид

Я = {Я, ЛМ, рг = {^,рг}-	(17)

Кроме энергии Н — Е сохраняющимися величинами (интегра-
лами) общего вида для систем (17) являются такие функции
fi (Л4, р), что

\fltMi} = {Л,	=0	(18)

для всех i — 1, 2, 3 (т. е. аннулятор скобки Пуассона). Эти вели-
чины, лежащие, как оказывается, в центре так называемой «обер-
тывающей алгебры» алгебры Ли, в данном случае сводятся к двум
величинам («интегралам Кирхгофа»):

A=Sp!,	(19)

(проверьте (19) элементарным вычислением).

В задаче о волчке (гироскопе) величины pt таковы, что Д = 1
всегда. Интеграл Д называется в этом случае «константой площа-
дей». На поверхностях уровня Д = const = ps скобки Пуассона
задаются формулами (14), и матрица h.‘i (х) на этом четырехмерном
многообразии при р Ф 0 невырождена: det № =/= 0. Поэтому опре-
делена «симплектическая» 2-форма h = hijdx1 Д dx', htjh.,k = 6/,
где dh = 0. Форма h зависит от величины уровней Д = pi, f2 == ps.
Имеет место следующая важная

Лемма 2. Замена переменных

y\=Q, у’- = у, & = рв, с2 = рф, Т = у->

р sin 6 = рз,

р cos 6 cos ф = р2,
pcos9sin<p = /h,

0 С ср < 2л,------

2	2	(20)

М3 -урз = — pv,

АД - чрг = tg 0 sin ср + р9 C0S <р,

Afi - YP1 = РФ tg 6 cos ф - р0 sin ф

приводит скобку Пуассона на поверхностях уровня fi = p2^= 0,
Д = ps к виду

{уа,уь\ = ь, \уаЛь\ =6“. {51. М = scose. (21)
При этом симплектичсская 2-форма приобретает вид

2

h = U dija /\ d^a + s cos 0 dQ /\ dtp — hQ -f- Q,
a=l

где Q —замкнутая форма на S2.

Топологически поверхность уровня f2 = р2 =# 0, f2 = ps диф-
феоморфна Т* (S2) —касательному расслоению над сферой S2.
Интеграл от формНий по базисному циклу [S2 ] С Н2(Т* (S2)) =
= Z имеет вид

J j h = j j Q — 4^s =	•

S’ [S’J

Доказательство этой леммы получается прямым вычислением.
Топологическая структура орбит ^ — р-, f> — ps почти очевидна
из вида интегралов /у, /2.

Мы сталкиваемся со скобками Пуассона на Т* (Мп) вида
h = h0 4- Й, где й —замкнутая 2-форма в базе ЛИ. Такая скобка
Пуассона эквивалентна включению в систему формального магнит-
ного поля П. Таким образом, траектории движения в задачах
Кирхгофа и волчка (гироскопа) могут быть получены из принципа
«Мопертюи—Ферма», т. е. из функционала вида (7), который
является многозначным при s =£= 0 или f2 0 (для классического
гироскопа «константа площадей» отлична от нуля). Гамильтониан
Н на поверхностях /х = р2 =/= 0, /2 — ps в переменных (20) имеет
вид

Н = 4- S (</) Шъ + Аа (у) l0 + U (у),

и скобка Пуассона определяется формулами (21). Эта система
эквивалентна в области Ua = 52 \(РХ U Р2) (Рх и Р2 — верхний
и нижний полюса) лагранжевой системе, определяемой функциона-
лом механического действия

$<“> {т| = j (-L- gabyayb — U(y)~ Аа (у) уа — s sin Э<р) dt, (22)
V

где

gabgac = ti, лаГ=лс, ?=0, р2=<р,
с/ = (у--гЛаЛ^)-

Функционал 5 имеет вид функционала действия заряженной ча-
стицы на сфере S2 с метрикой gab в потенциальном поле U (х)
и в магнитном поле й12 = д2А2 — д2А2 нетривиального «монополя»,
поскольку при s #= 0 «магнитное поле» топологически нетри-
виально. Роль номера а для области Ua на сфере S2 играет пара
противоположных полюсов

а = (Pi U Ра)-
Для покрытия S2 == U Ua выполнены те требования (см. выше),
а

с помощью которых определялся многозначный функционал. Итак,
в нашем случае S —это многозначный при s # 0 функционал
действия этой системы, зависящий от уровня (р, s).

При фиксированной энергии Е траектории движения можно
получить из функционала Мопертюи—Ферма, тоже многозначного,
где 6S — замкнутая бесконечномерная 1-форма

= J (dlE - A™ dya),
v ________________ (23)

dlE = /2(£ - U)gabyayh.

Для Е > шах U (у) метрика 1Е полна.

s*

Выделим явно важное свойство однозначного или многознач-
ного функционала вида (7):

на пространстве’замкнутых'направленных кривых М — Q+ (S2)
одноточечные кривые образуют невырожденное критическое много-
образие локальных минимумов. Мы будем нормировать функ-
ционал S на бесконечнолистной накрывающей р\ М -> М (где
S — однозначна) таким образом: на одной компоненте (пусть
нулевой) из полного прообраза р-1 (S2) = (J многообразия
одноточечных кривых функционал равен нулю,

S(So)=O,

S(S*) = n (fn = 4.™s.	(24)

s*

Обобщение этого свойства на любые многообразия Wm самооче-
видно.

Используем эти свойства пространства замкнутых кривых.
Соединим отрезком I (0, 1) две компоненты локальных минимумов
на накрывающей /И так, что точка 0 лежит в So и точка 1 лежит
в S? с М. Начнем монотонно сдвигать этот отрезок «вниз» по
градиенту S, получая отрезок Д, т дэ О, /0 — I. Мы видим сле-
дующее:

а)	края неподвижны при всех т;

б)	max S(/t) 5s4ns, так как на краях —локальный минимум.
T=const

Из этого вместе с известным принципом минимакса следует
существование седловой критической точки, имеющей индекс
1 в невырожденном случае.
Итак, верна следующая

Теорема 1 (Новиков). Для всех значений параметров (Е,
р, s) при условии (9) существует траектория в задаче Кирхгофа
и движения волчка (гироскопа), периодическая в системе, связан-
ной с телом.

3 а м е ч а н и я. а) Ряд механиков методами теории возмущений
получали более явно такие семейства вблизи интегрируемых слу-
чаев. Возможность продолжения этих семейств на значения пара-
метров, далекие от интегрируемых случаев, оставалась недоказан-
ной; б) для нулевой константы площадей s = 0 в задаче о гироскопе
возникает однозначный функционал на S2 эквивалентный метрике
в силу принципа Мопертюи—Ферма. Этот результат другим мето-
дом был получен ранее (Козлов, Харламов). Здесь для Е >
> max U (х) можно использовать уже известные теоремы Люстер-
ника—-Шннрельмана; для Е < max U исследование проведено
Козловым.

Обратимся теперь к чисто топологической задаче о построении
аналога теории Морса, для замкнутых 1-форм со на гладких
замкнутых конечномерных многообразиях М = АР. В простей-
шем случае, если форма со представляет целочисленный класс
когомологий [<£> ] £ И1 (Мп, R), мы приходим к отображению
в окружность

f = exp (2niS):	S = /: M->R.

Рассмотрим этот случай. Если критических точек нет, то
отображение f определяет гладкое расслоение с базой В — S1.
Циклическое Z-накрытие М Мп строится таким образом:
реализуем подмногообразием N^-1 цикл D [со] £ Hn-i (Мп, Z),
где О —оператор двойственности Пуанкаре. Разрезав многообра-
зие Мп по циклу Nn-1, мы получим пленку Wn с двумя краями
dW == U МГ1, диффеоморфными Nn'1 (см. также § 27).
Возьмем бесконечное число экземпляров этой пленки W W(
с границами dWi = N(, 0 U N(ll, диффеоморфными Nn~l. Склеим
их друг с другом вдоль краев согласно указанным номерам ком-
понент границы

М= □ Wlt М/_1(0=М/,1,	— 00<1<00,

оо>/>—оо

Можно считать, что многообразие М"’1 = Мо’1 выбрано как
поверхность уровня функции S (или полный прообраз точки при
отображении / = exp (2niS)). Оператор монодромии действует так:

t: Wi: >Wi+l, Nii0-+- Nlt t = Mi+1, о

M — M.

(25)
В соответствии с общими принципами функция S должна по-
рождать клеточный комплекс (см. § 15). Однако в нашем случае не
выполнено важнейшее требование, на котором основывалась обыч-
ная теория Морса: в этой теории всегда требовалось, чтобы области
меньших значений Sea были относительно компактными —
в конечномерном или бесконечномерном случае. В нашем случае
это неверно. Однако и в нашем случае из каждой критической
точки индекса I выходит «вниз» по уровням «поверхность наиско-
рейшего спуска», которую (или ее малое шевеление, если необхо-
димо) естественно считать «клеткой». Однако эта «клетка» может
тянуться по уровням S до —оо; в ее алгебраическую границу может
входить бесконечное число таких же «клеток» размерности i — 1.
При сдвиге t: М -> М функция S переходит в себя с добавлением
константы, переводя критические точки в критические точки.
Итак, мы приходим к выводам:

а)	каждая критическая точка определяет свободную образую-
щую в интересующем нас комплексе;

б)	граница клетки может быть бесконечной линейной комбина-
цией клеток этого комплекса, лежащих «ниже» по уровням функ-
ции S, т. е. уходящих в оо только в одну сторону в М\

в)	все «клетки» получаются из конечного числа базисных
всевозможными сдвигами на элементы tmi группы Z, действующей
на М.

Введем кольцо, состоящее из лорановских рядов вида

S mfl,	(26)

—ОО <const</

с целыми коэффициентами т>, обращающимися в нуль для всех
достаточно больших отрицательных j. Обозначим это кольцо через
Z+ It, Г1 ] — К. Клеточный комплекс, порожденный многознач-
ной функцией на многообразии Мп, или функцией S на накрытии
М -► Мп, мы будем рассматривать как свободный комплекс
K-модулей С с конечным числом образующих (так как число
критических точек конечно). Комплекс С имеет вид

—СлЧ------------Сх—-Со—О,

где д — гомоморфизм K-модулей. Заметим, что в отличие от обыч-
ной теории Морса здесь возможна ситуация Со = 0, Сп — 0.
Более того, на любом многообразии Мп существует замкнутая
1-форма любого нетривиального класса когомологий [со] £
£ Н1 (Мп, Z) такая, что локальных минимумов и максимумов
вообще нет (т. е. Со — Сп = 0).

Для косых произведений Мп с базой S1 существует форма ы без
критических точек, т. е. Сп = Ся_х — ... = Со = 0.
Имеет место следующая

Л е м м а 3. Гомологии комплекса К-модулей С, порожденного
любой гладкой замкну той 1-формой со, гомотопически инвариантны.

Не доказывая эту простую лемму, мы видим, что инварианты
этих групп гомологий могут быть использованы для получения
аналогов неравенств Морса в случае многозначных функций,
порождающих отображение в окружность

exp(2mS):

Кольцо Д' является гомологически одномерным (если коэффи-
циенты рядов (26) являются элементами поля, то /< также является
полем). Следовательно, подмодули свободных модулей являются
всегда свободными. Это позволяет выбрать свободные базисы
в группах (модулях) «циклов» Д — Кег д cz Сп и «границ»
Bk cz Zk. Разность рангов этих модулей мы назовем «числом
Бетти» и обозначим через bk(Mn, а), где а — Г<о].

bk (Мп, а) = rang Zk - rang Bk.

Аналоги чисел кручения qk (.И", а) определяются так: можно
выбрать свободные базисы (<?[, ..., е'ц) модуля Zk и (4, ..., e'L),
подмодуля Вк, где N —- L = bk с такими свойствами:

e'i — (nj + S прфк\ ej 4* S Ча (0 ei>

причем: 1) число п} делится на число п/+1; 2) степени всех членов
рядов qtj (t) неотрицательны; 3) числа qi} (0) #= 0 и делятся на
для всех I, j (если ряд qi} не обращается в нуль тождественно).

Общее число индексов ] таких, что п} 1, называется числом
кручения и обозначается через qk to). Число qk 4- bk совпа-
дает с минимальным числом образующих модуля Hk — Zk!Bk.

Теорема 2. Имеют место следующие аналоги неравенств
Морса для чисел пц (S) или т, (со) критических точек индекса i
для отображения в окружность ехр (2л iS) или замкнутой \-формы
со, где [со] £ (Мп, Z):

^i(S)>fe;(M", М) 4- qi (Мя, [<о]) - дг_1(М,».	(27)

Доказательство этой теоремы несложно получить из предыду-
щего.

Заметим, что полученные нами аналоги неравенств Морса
аналогичны классическим, но входящие в них топологические
инварианты имеют более сложный геометрический смысл.

Для многообразий с лх (Ж) — Z имеет смысл вопрос о точ-
ности неравенств (27), аналогичный известной теореме Смейла об
однозначных функциях на односвязных многообразиях. Можно
построить без труда одну поверхность уровня М”*1 cz Мп, которая
дуальна классу [со] £ Н1 (Л1п, Z) и является связной и одно-
связной (во всяком случае, для 5). Далее, используя функцию
Смейла на пленке Wn с двумя краями dWn — Nn~l jj Nn~l,
полученной из Мп разрезанием, можно «минимальным» образом
(используя функцию Смейла на Wn) продолжить поверхность
уровня АЛ1-1 на все многообразие /И'1 и получить форму со на Мп
и функцию S на накрытии М -> Мп. Однако эта форма (или много-
значная функция) может быть далеко не минимальной по числу
критических точек. Построение минимальной 1-формы со требует
выбора в некотором смысле «минимального» начального много-
образия Nn~l с Мп, если этот выбор вообще возможен. Было бы
интересно разобрать этот вопрос до конца для многообразий
с группой nJ (Afn) = Z. (Эта задача решена Фарбером в 1983 г.)

Сделаем несколько замечаний, относящихся к более сложному
случаю k > 1, т. е. когда форма со имеет по меньшей мере два
рационально независимых интеграла по одномерным циклам,

х, ~ ф io, Yj.ум, .... ух — базис Н1(Мп, Z),

Х1 0,	0,	2 /П;Х, О,

гпг — любые целые числа. Возникает накрытие М—^Мп, где
р*(Л = dS и группа монодромин — свободная абелева. Введем
кольцо Kv., состоящее из рядов д £ Лх с целыми коэффициентами

таких, что

1.	Ьт = 0, если 2 mini достаточно велико по модулю и отри-
цательно.

2.	«Устойчивость» по х —т. е. для любого ряда b найдутся
такие числа е > 0 и N, что Ьт = 0, если выполнены условия

S т,х* < — N, где 2 | х’ — хг | < е.

Замкнутая 1-форма со определяет клеточный комплекс, рас-
сматриваемый как комплекс ЛИ’м°ДУлей. Гомологии этого комп-
лекса гомотопически инвариантны, и могут служить базой для
построения неравенств типа Морса. Интересно исследовать зави-
симость возникающих здесь комплексов и гомологий от х, если
форма <о мало меняется, и критические точки, по существу, оста-
ются прежними.

Если критических точек форма со совсем не имеет, то много-
образие М" имеет вид

Мп = M/Zk = (N х R)/Zk,
Задача 1. Можно ли среди поверхностей X, содержащих А
и таких, что сингулярный бордизм (A, t) эквивалентен нулю в X,
найти такую поверхность Хо, которая обладала бы свойствами
минимальности?

Тождественное отображение е: А -> А определяет элемент
о С М). Ясно, что введенный выше класс поверхностей X
характеризуется тем, что ца = 0, где i*:	(Л) -*	(X) —

гомоморфизм, индуцированный вложением г. А -> X,

Задача 2. Можно ли среди всех сингулярных многообразий
(У, g), g: V Af, бордантных (эквивалентных) данному сингуляр-
ному многообразию (V', g'), g': V -* М, найти такое сингулярное
многообразие (lz0, g„), чтобы поверхность Хо = g0 (Iz0) обладала
свойствами минимальности?

Наряду с группами _г и .VA_i мы будем использовать группы
Qf_[ сингулярных бордизмов по модулю р. Группы Q., .V,, Q?
удовлетворяют шести (из семи) аксиомам Стинрода—Эйленберга,
т. е. являются экстраординарными, обобщенными теориями гомо-
логий. Но, в отличие от обычной теории гомологий, группы бордиз-
мов точки, вообще говоря, нетривиальны в положительных раз-
мерностях. В этом —существенное отличие от обычной теории
гомологий, поскольку обычные гомологии точки равны нулю во
всех размерностях кроме нулевой.

Поскольку минимальные поверхности обладают, вообще го-
воря, особенностями (и эти особенности могут быть чрезвычайно
сложны), то для использования теории бордизмов в вариационных
задачах потребовалось расширить область определения этой теории
с класса клеточных комплексов на класс поверхностей (т. е.
измеримых компактов в римановом многообразии). Этот процесс
аналогичен построению спектральных гомологий в случае обычной
теории гомологий.

В дальнейшем, говоря о бордизмах поверхностей, мы будем
постоянно иметь в виду именно спектральные бордизмы. Так
как группы У* и являются компактными группами (в случае
конечных клеточных комплексов), то их распространение на класс
поверхностей не встречает препятствий. С теорией бордизмов Q*
нужно поступить более осторожно, а именно, следует рассмотреть
группы = Q* ®z где Qp — группа целых р-адических
чисел. Подробности см. в [11*].

III. Формулировка теоремы существования глобально мини-
мальных поверхностей, реализующих абсолютный минимум функ-
ционала многомерного объема.

Пусть М — компактное гладкое замкнутое риманово много-
образие, h —одна из перечисленных выше теорий бордизмов,
А —фиксированная поверхность—контур в многообразии М.
Рассмотрим класс поверхностей X в многообразии М, определен-
ный выше 'в задачах 1 и 2. Этот класс назовем вариационным и
обозначим через В. В случае задачи 1 поверхности из класса
А. Т. ФОМЕНКО

Приложение 2

ЗАДАЧА ПЛАТО, БОРДИЗМЫ И ГЛОБАЛЬНО МИНИМАЛЬНЫЕ
ПОВЕРХНОСТИ В РИМАНОВЫХ МНОГООБРАЗИЯХ

I. Локально минимальные поверхности.

Как отмечалось в [1 ], ч. I, §37, хорошей наглядной физической
моделью двумерных минимальных поверхностей являются мыль-
ные пленки, затягивающие фиксированный проволочный контур
в трехмерном евклидовом пространстве. Напомним определение
функционала многомерного объема. Пусть Vk — гладкое компакт-
ное подмногообразие в римановом многообразии Мп, пусть D с
с У — компактная область на этом подмногообразии и gt} —
индуцированная на V риманова метрика. Тогда определено число
volfejD, называемое й-мерным объемом области на подмногообразии
относительно метрики gf». Если подмногообразие компактно, то
получаем соответствие V -> volft V, задающее функционал рима-
нова объема на классе й-мерных подмногообразий. Экстремали
этого функционала и называются локально минимальными поверх-
ностями. Например, для случая гиперповерхности V, вложенной
в евклидово пространство R", уравнение Эйлера—Лагранжа для
этого функционала, решениями которого являются локально ми-
нимальные поверхности, было выведено в [1 ], ч. I, § 37. Условие
локальной минимальности гиперповерхности V в R" можно за-
писать на языке локальных инвариантов вложения этой поверх-
ности в евклидово пространство. Напомним классический резуль-
тат (доказательство см., например, в [1], ч. I, § 37):

Предложение 1. Пусть Vn~x с R" — гладкая гипер-
поверхность (возможно, с непустым краем). Средняя кривизна Н
этой гиперповерхности равна тождественно нулю тогда и только
тогда, когда эту поверхность можно представить в окрестности
каждой ее внутренней точки в виде графика экстремальной функции
для функционала объема (т. е. в виде решения уравнения минималь-
ной гиперповерхности).

Двумерные минимальные поверхности в трехмерном простран-
стве допускают довольно простое аналитическое описание. Пред-
положим, что поверхность У2 задается радиус-вектором г: D (и,
v) -* R3, г = г (и, и), где D —область на плоскости, отнесенной
к декартовым координатам и, и. Легко проверить, что если и и v
являются конформными координатами на поверхности (т. е.
индуцированная на поверхности риманова метрика имеет вид
X (и, и) (dir 4- du")), то радиус-вектор будет гармоническим, т. е.
его координаты являются гармоническими функциями (относи-
d'2	, д \	f,	-

тельио оператора	Подробности см. в [1], ч. I,

§ 37. Обратное, вообще говоря, неверно, т. е. поверхность, заме-
таемая гармоническим радиус-вектором, не обязана быть мини-
мальной. Топологическая структура двумерных минимальных
поверхностей достаточно сложна, в частности (несмотря на су-
ществование минимальной поверхности, затягивающей любой
кусочно-гладкий замкнутый контур), нет теоремы единственности
минимальной поверхности с заданным фиксированным граничным
контуром (краем поверхности). Кроме того, минимальные пленки
могут иметь особенности.

«Задача Плато» —это термин, объединяющий серию задач,
связанных с изучением экстремалей и абсолютных минимумов
функционала fe-мерного объема, определенного на классе ^-мерных
поверхностей, вложенных в объемлющее риманово многообразие
и удовлетворяющих тем или иным граничным условиям. В богатой
истории развития вариационных задач этого вида естественно
выделяются несколько периодов, характеризующихся существенно
различными подходами к самим понятиям «поверхности», «гра-
ницы», «минимизации» и, соответственно, —различными методами
получения минимальных решений. Исторически первой была
поставлена и решена задача Плато для двумерной поверхности
с краем в R3 (а затем и в Rn). В параметрическом виде эта задача
может быть сформулирована так.

Пусть г (и, V) — радиус-вектор поверхности Vs в R", т. е. f:
D -* Rn задает (локально) регулярное отображение двумерной
области D с R2 в пространство Rrt. Тогда vol2 f (D ) =
— J j/EG — F2 du dv. Вопрос: можно ли найти поверхность
Ъ

Xl = f0 (D) (и отображение /0) такую, чтобы она имела в качестве
границы заданный контур Л, т. е. систему вложенных в R" непере-
секающнхся окружностей, причем чтобы площадь этой искомой
поверхности была наименьшей по сравнению с площадями всех
других поверхностей вида X2 = f (D), ограниченных этим же кон-
туром (т. е. имеющих тот же край)? Кроме этой задачи о нахожде-
нии абсолютного минимума (в классе всех поверхностей с заданной
границей), рассматривалась также и задача о нахождении мини-
мума в данном гомотопическом классе, т. е. в классе поверхностей
(с фиксированной границей), задаваемых гомотопными друг другу
отображениями. Оказывается, в двумерном случае эти задачи
решаются в положительном смысле (см., например, обзоры в [1*],
[2*]). Отметим, что минимальная пленка Хо = Д (О) может иметь
самопересечения и другие сингулярные точки (в зависимости от
конфигурации граничного контура). Литература по этой двумер-
ной задаче и по связанным с ней вопросам огромна, но поскольку
нашей основной целью является обзор многомерной проблемы
Плато, то мы отсылаем читателя, интересующегося «двумерной
тематикой», к обзорам 15*], [6*].

Для того чтобы перейти к анализу многомерной задачи, нам
потребуются некоторые понятия, связанные со второй фундамен-
тальной формой риманова многообразия.

Пусть /: Mk -> Wn —гладкое вложение гладкого многообра-
зия Мк в гладкое ориентируемое связное замкнутое риманово
многообразие Wn. Через ТМ обозначим касательное расслоение
многообразия Л1. Пусть TthM —касательная плоскость к М
в точке tn £ М. Через (г, у) обозначим скалярное произведение
векторов х, у £ ТтМ, индуцированное заданной на W римановой
метрикой. Пусть v —симметричная риманова связность на TW,
согласованная с этой метрикой. Как обычно, для произвольного
тензорного поля Р через vxP обозначим ковариантную производ-
ную вдоль векторного поля X на W для связности v. Если х —
значение векторного поля X в точке m (т. е. вектор из плоскости
TmW), то ковариантную производную поля Р вдоль направления
х обозначим через т?хР.

Для краткости обозначим подмногообразие f (Мк) cz снова
через Мк, тогда наряду с касательным расслоением ТМ определено
нормальное расслоение NM, поскольку в каждой точке tn £ М
определена плоскость ортогональная к плоскости ТтМ.
Вложение М -> W порождает естественные римановы связности
на ТМ и на NM. Пусть Y — гладкое векторное поле на подмного-
образии М и х £ ТтМ —произвольный касательный вектор.
Положим, по определению, \/xY — tXxY)T, где через V обозна-
чена риманова симметричная связность, заданная на объемлющем
многообразии W, а ( )г — ортогональное проектирование на
касательную плоскость Т,.гМ. Легко проверяется, что эта опера-
ция является римановой связностью без кручения на ТМ, одно-
значно определяемой римановой метрикой на М, индуцированной
вложением М -*• W. Точно так же определяется связность на нор-
мальном расслоении NM. Рассмотрим произвольное гладкое сече-
ние V расслоения NM, т. е. зададим в каждой точке m £ М
нормальный вектор V (m) £ NmM. Мы получаем гладкое вектор-
ное поле V, определенное на подмногообразии М. Если х £ ТтМ,
то положим = ($XV)N, где ( )N —ортогональная проекция
на плоскость ХтМ. Эта операция является римановой связностью
без кручения на NM. Перейдем к построению второй квадратичной
формы подмногообразия М (произвольной коразмерности).
Определение 1. Пусть х £ ТпМ, v £ Л\ПМ. Включим
вектор v в произвольное гладкое векторное поле V на многообразии
W так, чтобы поле V было ортогонально к подмногообразию Л1
в некоторой окрестности точки tn. £ М. Определим линейное отоб-
ражение О": ТтМ -> Т„,М по формуле: Q° (х) — —(VxV)r. Это
отображение оказывается симметричным и, следовательно, опре-
деляет некоторую билинейную форму которая и называется
второй фундаментальной формой подмногообразия М cz W.

В действительности мы определили целое семейство Q форм Qv,
в котором вектор и £ NmM играет роль параметра, Q = {Q0}.
Оказывается, Q корректно определена, т. е. не зависит от способа
включения вектора и в векторное поле V на многообразии W и
гладко зависит от всех своих аргументов. Эквивалентным образом
Q может интерпретироваться как билинейная симметричная форма
на касательном пространстве 7’тМ со значениями в нормальном
пространстве МтМ. В самом деле, если х, у £ ТтМ, то можно
определить форму Q (.г, у) £ Л'тЛ1 равенством: (Q (х, у), и) —
= (0% у}- Включим вектор у в гладкое векторное поле Y на
многообразии W, касательное к подмногообразию AL Тогда имеем:
Q (х, у) = (VXY)N. С помощью формы Q можно теперь определить
среднюю кривизну подмногообразия М.

Определение 2. Рассмотрим вторую фундаментальную
форму, представленную в виде формы Q на касательном простран-
стве ТтМ. Так как на ТтМ определено скалярное произведение,
то можно рассмотреть след формы Q, являющийся (в каждой
точке tri) некоторым вектором из NmM. Итак, след формы Q изобра-
жается гладким сечением Н нормального расслоения ММ. Это
сечение и называется средней кривизной вложенного подмного-
образия М с W.

Если М — гиперповерхность в многообразии W, то получаем
скалярную среднюю кривизну Н — Sp R~rQ, где R и Q —- матрицы
первой и второй квадратичных форм соответственно.

Определение 3. Подмногообразие М с W называется
локально минимальным, если его средняя кривизна И тождественно
равна нулю (во всех точках этого многообразия).

Существует тесная связь между обращением в нуль средней
кривизны подмногообразия и обращением в нуль первой производ-
ной функционала объема. Пусть задана гладкая гомотопия Д:
М -* W, 0 с t с 1, такая, что каждое отображение ft является
вложением, причем /о = f, где f — исходное вложение. Такие
гомотопии иногда называются изотопическими вариациями. Из-
вестно следующее утверждение.

Предложение 2. Пусть М — компактное подмного-
образие в W и vk (/) = volft ftM. Подмногообразие М локально
минимально тогда й только тогда, когда = 0 для
любой изотопической вариации подмногообразия М, обращаю-
щейся в нуль на границе дМ.

Таким образом, подмногообразия нулевой средней кривизны —
это экстремали функционала объема. Термин «локальная мини-
мальность» означает, что объем подмногообразия «не изменяется
в первом приложении» (т. е. первая его производная равна нулю)
при бесконечно малых по амплитуде и по носителю вариациях.
Если вариация имеет конечную величину, то объем может умень-
шиться. Например, это имеет место для экватора в стандартной
сфере, который, конечно, локально минимален (он даже вполне
геодезическое подмногообразие), но стягивается в точку по сфере,
а потому не является глобально минимальны?,! подмногообразием.
Напомним, что любое вполне геодезическое подмногообразие
локально минимально, поскольку в этом случае вторая фундамен-
тальная форма тождественно равна нулю. Понятие глобальной
минимальности само по себе нетривиально, поскольку требует
рассмотрения «больших вариаций». Дадим одно из определений
таких «больших вариаций».

Определение 4. Пусть Mk с Wn — компактное ориен-
тируемое замкнутое подмногообразье. Мы скажем, что задана его
бордизм-деформация, если задано (k + 1)-мерное гладкое компакт-
ное ориентируемое подмногообразие Z4+' сп Wn с краем dZ =
= М U (—Р), где (—Р) —это подмногообразие Р с обратной
ориентацией. При этом многообразие Рк мы назовем бордизм-
вариацией многообразия Мк. В случае некомпактного подмного-
образия М аг W будем говорить, что задана его бордизм-деформа-
ция, если в W задано подмногообразие Рк, совпадающее с Мк вне
некоторой компактной области и, кроме того, задано, (k + 1)-мер-
ное подмногообразие Z с кусочно-гладким краем dZ с М U (—Р).

В [1 ], ч. I, § 37 мы привели пример глобально минимальных
поверхностей; это —комплексные подмногообразия в кэлеровом
многообразии.

II.	Многомерные вариационные задачи и теория бордизмов.

Рассмотрим классические постановки задач, о нахождении
абсолютных и относительных минимумов в классе поверхностей
определенного топологического типа. Выделим в многообразии Мп
фиксированное (й — 1)-мерное гладкое компактное замкнутое
подмногообразие Ак~1, которое будем в дальнейшем для кратко-
сти называть «контуром». Рассмотрим всевозможные пары вида
(W, f), где W — гладкое компактное многообразие размерности k
с краем dW, гомеоморфным контуру А, а /: W -> М — непрерыв-
ное (или кусочно-гладкое) отображение, тождественное на крае dW.

Задача 1. Можно ли среди пар вида (W, f), где W — все-
возможные многообразия с краем А, а /: W -> М — отображе-
ния W в М, тождественные на крае А, найтн пару (Ц70, /0) такую,
чтобы отображение /0 или пленка Хо — f0 (Wo), являющаяся
образом многообразия Wo в М, обладали разумными свойствами
минимальности? В частности, должно выполняться неравенство:
vol* Хо с vol* X, где X — f (!'/) — любая пленка из указанного
выше класса, a vol* — либо риманов объем, либо стандартная мера
Хаусдорфа.

Под «разумными свойствами минимальности» пленки Хо =
~ fo (^о) в многообразии М, в дополнение к неравенству vol Хо <
< vol X, можно, например, понимать следующее: существует
нигде не плотное в пленке Хп подмножество Z особых точек (сингу-
лярных точек) такое, что каждая неособая точка Р £ X0\Z
обладает окрестностью U в М, для которой пересечение (Хо\ Z) П
П U состоит из гладких подмногообразий размерностей, не
превосходящих числа k, причем все Va являются минимальными
подмногообразиями в смысле классической дифференциальной
геометрии, т. е. их средняя кривизна равна нулю.

Задача 2. Пусть (И, g) — пара, где У — Vk — компактное
ориентируемое замкнутое fe-мерное многообразие, g: V -* М — его
непрерывное (или кусочно-гладкое) отображение в многообразие
Л4П, а X = g (V) —образ V в XI. Мы скажем, что пара (V',g')
является бордизм-вариацией пары (V, g), если существует компакт-
ное многообразие Z с краем dZ = И U (—V') и непрерывное отобра-
жение F: Z -* М такое, что = g, F^ = g'. Можно ли среди
всех пар (V, g) указанного вида найти пару (V0,g0) такую, чтобы
образ Хо = g0 (/0) обладал разумными свойствами минимальности,
в частности, чтобы выполнялось неравенство: vol* Хо < vol* X,
где X ~ g (V) —любая пленка (поверхность) из указанного класса?

Задача 2 ставит вопрос о нахождении абсолютного минимума
функционала объема в классе всех бордизм-вариации заданной
пары (V, g).

Наряду с этими двумя задачами о нахождении абсолютного
минимума естественно формулируются две задачи о нахождении
относительных минимумов.

Задача Г. Можно ли среди всех пар вида (W, f), где W —
некоторое фиксированное (!) многообразие с краем A, a f : W -►
-* XI — всевозможные непрерывные (или кусочно-гладкие)
отображения, гомотопные некоторому фиксированному отображе-
нию /' и тождественные на крае А (т. е. совпадающие с фиксиро-
ванным гомеоморфизмом края), найти такую пару (W, f0), чтобы ото-
бражение или пленка Хо — /0 (W), являющаяся образом W
в М, обладали бы свойствами минимальности, т. е. чтобы
vol* Хо < vol* X, где X — f (W) — любая пленка- из данного
гомотопического класса?

Это —задача о нахождении минимума функционала объема
в каждом -гомотопическом классе, т. е. задача об относительных
минимумах, в отличие от предыдущей задачи о нахождении абсо-
лютного минимума —по всем гомотопическим классам.

Задача 2'. Можно ли среди отображений g: Vk -* Мп
(где V —фиксированное замкнутое многообразие), гомотопных
некоторому исходному отображению /: V -* М, найти такое
отображение ga, которое обладало бы свойством минимальности,
т. е. чтобы volft g0 (V) < уо1к g (V)?

Мы начнем описание результатов с задач о нахождении абсо-
лютного минимума. Задачи 1 и Г мы будем называть для краткости
задачами «заклейки контура», а задачи 2 и 2' —задачами реализа-
ции (циклов). Минимальные поверхности таких типов (если они
существуют) назовем глобально минимальными. Теоремы их
существования будут приведены ниже.

Опишем теперь эффект появления неустранимых стратов малых
размерностей при минимизации многомерного функционала
объема. Этот эффект не влияет на процесс минимизации функ-
ционала двумерного объема vol.,, но играет существенную роль

в больших размерностях. На рис. 120 изображен контур”'Я и
пленка Xt — ft (U^), стремящаяся занять в R3 положение, отве-
чающее наименьшей ее площади. Ясно, что в некоторый момент
времени происходит «схлопывание», склейка пленки. При этом
вместо тонкой трубки Т на рисунке появится отрезок S. В двумер-
ном случае от него легко избавиться, непрерывно отобразив его
в двумерный диск, заклеивающий данный контур. При этом (что
важно) мы не утрачиваем параметризации пленки: получившаяся
пленка по-прежнему является образом некоторого двумерного
многообразия с краем.

Ясно, что в больших размерностях при k > 2 возникновение
ситуации, аналогичной описанной, резко усложняет задачу мини-
мизации. По мере того как й-мерный объем деформирующейся
пленки Xt = ft (W) стремится к минимуму, в этой пленке начина-
ются склейки, т. е. отображение Д: W -* М, гомотопное исходному
отображению f = f0, уже не только не обязано быть вложением или
погружением, но даже может понижать размерность образа на
некоторых открытых в W подмножествах. Это приводит к появле-
нию в образе = ft (W) кусков (стратов) S размерностей s, где
s с k — 1. В отличие от двумерного случая такие «маломерные
страты» нельзя, вообще говоря, ни отбросить, ни непрерывно
отобразить в «массивную часть» (т. е. в й-мерную часть) Х^
пленки X, поскольку при этих операциях может быть утрачено
основное свойство пленки — быть непрерывным образом некото-
рого гладкого многообразия W с краем А. Так как наша цель —
найти минимум в классе пленок вида X = f (W), т. е. допускающих
непрерывную параметризацию с помощью многообразия W, то
при любом варианте устранения «маломерных стратов» мы должны
были бы гарантировать, чтобы пленка X, получившаяся в резуль-
тате такой перестройки, по-прежнему допускала такую параметри-
зацию (быть может, с помощью другого многообразия). Однако,
как показывают простые примеры, ни отбрасывание маломерных
стратов, ни попытки отобразить их в массивную часть Х*^ пленки
А’ (с помощью какого-либо непрерывного отображения, определен-
ного на всей пленке) не сохраняют в общем случае свойство пленки
допускать непрерывную параметризацию. Можно было бы в целях
упрощения задачи временно игнорировать страты малой размер-
ности, ограничившись пока лишь рассмотрением функционала
volft, с точки зрения которого все маломерные страты несущест-
венны (их A-мерная мера равна нулю). Однако, как оказывается
(см. детали в [7*]—[9*]), даже в этом упрощенном случае нахожде-
ние минимума требует получения обширной информации о поведе-
нии маломерных стратов, гарантирующих параметризацию пленки.

Опишем постановку задачи Плато на языке обычных гомологий.
Вследствие указанных выше трудностей минимизации многомер-
ных пленок возникла необходимость в разработке нового, более
грубого языка, который позволил бы устранить влияние стратов
малых размерностей. Необходимые шаги были предприняты
в серии работ, обзор которых см. в [1*]—[4*]. Пусть (Л) —
группа спектральных (k — 1)-мерных гомологий (с коэффициен-
тами в группе G) замкнутого (k — 1)-мерного многообразия —
контура А в римановом многообразии М. Пусть А с X с Л4,
где X —произвольная ^-мерная поверхность в М. В дальнейшем
в качестве «поверхностей» мы будем все время рассматривать изме-
римые (по Хаусдорфу) компакты в римановом многообразии. Пусть
{X} — класс всех таких поверхностей X, для которых гомомор-
физм i#: Нъ-! (Л) -*	(X), индуцированный вложением г.

А -* X, аннулирует всю группу гомологий Hk_t (Л). Положим

— inf volft X, где volh X обозначает, как и выше, /г-мерную
*€{*}

меру Хаусдорфа или риманов объем (если он определен). Тогда
оказывается (см., например, [1*]—[4*]), что всегда существует
минимальная поверхность (в указанном выше смысле), т. е. всегда
существует ^-мерный компакт Хо £ {Х| такой, что volh Хо =
В рамках этого подхода выделилось два направления: более
геометрическое (см. [2*], [3*]) и более функциональное (см.
[1*]. 14*J). В результате были доказаны замечательные теоремы
существования абсолютного минимума в классе обычных гомо-
логий, а также — почти всюду регулярность минимальных ре-
шений (Федерер, Флеминг, Альмгрен, Райфенберг и др.).
При таком подходе существенно использовалось то обстоятель-
ство, что если X до Y — Y, где dim Х\У < k, та Нк (А') ==
= Нк (У) и vol* X = voU Y. Зто означает, что не возникает
проблемы неустранимых маломерных стратов — они несущест-
венны как с топологической, так и с метрической точек зре-
ния. Однако это использование обычных гомологий для опреде-
ления понятий «границы» и «заклейки контура» удалило
нас от описанной ранее классической постановки, поскольку, если
контур А является (k — 1)-мерным подмногообразием в М и Хо —
минимальная поверхность, гомологически заклеивающая контур
А, то, вообще говоря, не существует такого многообразия W
с краем А, чтобы поверхность Хо имела вид Хо = f (W). Другими
словами, поверхность Хд может не допускать непрерывной пара-
метризации многообразием. Подробности см. в [7*]—[9*].

Вернемся теперь к классическому пониманию задачи Плато
в классе поверхностей — пленок, параметризованных многообра-
зиями. Мы изучим поведение таких пленок во всех размерностях,
а не только в максимальной. Для реализации этой программы
нужен язык более гибкий, чем язык обычных гомологий. В связи
с этим напомним некоторые определения, использующиеся при
создании такого языка. Пусть Y та Z — пара топологических
компактных пространств.

Определение 5. Ориентированным (k—1)-мерным
сингулярным многообразием пары (У, Z) назовем пару (Р-!, Д,
где Ук~{ — компактное ориентированное многообразие с краем
dV, af—непрерывное отображение (V, dV)(Y, Z), т. е.
f (V) с Y, f (dV) <та Z. Если Z = 0, то полагаем дУ = 0. Сингу-
лярное многообразие (V, f) называется бордаитным нулю (экви-
валентным нулю), если существуют компактное ориентированное
многообразие Wk и непрерывное отображение F: W -* Y такие,
что: а) многообразие V является регулярным подмногообразием
края dW и б) ориентация V совпадает с ориентацией, индуцирован-
ной на нем ориентацией W, причем F \у — f, F	с Z.

Операция несвязного объединения многообразий индуцирует
операцию несвязного объединения сингулярных многообразий.
Два сингулярных многообразия (Ух, Д) и (У2, Д) называются
бордантными, если их несвязное объединение (Ух Q У2, Д (J Д)
бордантно нулю.

Множество классов бордизмов (k — 1)-мерных сингулярных
ориентированных многообразий пары (У, Z) образует абелеву
группу (У, Z). При отказе от условия ориентируемости анало-
гичная конструкция приводит к группам АД_г (У, Z) неориентиро-
ванных бордизмов. Описанные выше задачи 1 и 2 могут быть теперь
переформулированы так. Пусть Ак~1 — компактное замкнутое ори-
ентированное подмногообразие в М и i: 4 -* X —вложение; где
X — поверхность в М.
Задача 1. .Можно ли среди поверхностей X, содержащих А
и таких, что сингулярный бордизм (Л, I) эквивалентен нулю в X,
найти такую поверхность Хо, которая обладала бы свойствами
минимальности?

Тождественное отображение е: А -» А определяет элемент
ст £ Й/,.1 (Л). Ясно, что введенный выше класс поверхностей X
характеризуется тем, что = 0, где i*:	(Л) -*	(X) —

гомоморфизм, индуцированный вложением i: Л -> X.

Задача 2. Можно ли среди всех сингулярных многообразий
(И, g), g: V -* М, бордантных (эквивалентных) данному сингуляр-
ному многообразию (V, g"), g': V -* М, найти такое сингулярное
многообразие (Уа, £й), чтобы поверхность Хо = gQ (Iz0) обладала
свойствами минимальности?

Наряду с группами л и Х.^ мы будем использовать группы
Qf-t сингулярных бордизмов по модулю р. Группы Q., .V,, Q?
удовлетворяют шести (из семи) аксиомам Стинрода—Эйленберга,
т. е. являются экстраординарными, обобщенными теориями гомо-
логий. Но, в отличие от обычной теории гомологий, группы бордиз-
мов точки, вообще говоря, нетривиальны в положительных раз-
мерностях. В этом —существенное отличие от обычной теории
гомологий, поскольку обычные гомологии точки равны нулю во
всех размерностях кроме нулевой.

Поскольку минимальные поверхности обладают, вообще го-
воря, особенностями (и эти особенности могут быть чрезвычайно
сложны), то для использования теории бордизмов в вариационных
задачах потребовалось расширить область определения этой теории
с класса клеточных комплексов на класс поверхностей (т. е.
измеримых компактов в римановом многообразии). Этот процесс
аналогичен построению спектральных гомологий в случае обычной
теории гомологий.

В дальнейшем, говоря о бордизмах поверхностей, мы будем
постоянно иметь в виду именно спектральные бордизмы. Так
как группы X* и являются компактными группами (в случае
конечных клеточных комплексов), то их распространение на класс
поверхностей не встречает препятствий. С теорией бордизмов Q*
нужно поступить более осторожно, а именно, следует рассмотреть
группы = Q* ®z где Qp — группа целых р-адических
чисел. Подробности см. в [11*].

III.	Формулировка теоремы существования глобально мини-
мальных поверхностей, реализующих абсолютный минимум функ-
ционала многомерного объема.

Пусть М — компактное гладкое замкнутое риманово много-
образие, h — одна из перечисленных выше теорий бордизмов,
А —фиксированная поверхность—контур в многообразии М.
Рассмотрим класс поверхностей X в многообразии М, определен-
ный выше 'в задачах 1 и 2. Этот класс назовем вариационным и
обозначим через В. В случае задачи 1 поверхности из класса
В заклеивают контур А в смысле бордизмов; в случае задачи 2
поверхности из класса В реализуют некоторый нетривиальный
элемент группы бордизмов многообразия А!. Тогда в каждом таком
вариационном классе возникает задача нахождения минимальной
поверхности. Для каждой поверхности X из класса В построим ее
стратификацию X = A (J Sfe U 3й"1 II •••> где S,e — максималь-
ное подмножество в множестве Х\А, имеющее в каждой своей
точке размерность й; затем 3й-1 — максимальное подмножество
в Х\А\3Й, имеющее в каждой своей точке размерность k — 1,
и т. д. (см. [7*], 18*], Ill*]). Подмножества S£ мы назовем стра-
тами. Если они измеримы, то определен стратифицированный
объем ЗУ (X) = (vol* Sk, volft-xS'4”1, ...), изображаемый векто-
ром с k координатами. Варьируя поверхность X в классе допусти-
мых вариаций, т. е. оставаясь все время в вариационном классе В,
мы изменяем вектор стратифицированного объема поверхности.
Задача заключается в нахождении поверхности с наименьшим
стратифицированным объемом в заданном классе В. Наименьший
вектор объема SVB = (dk, d:,,lt ...) мы понимаем в следующем
лексикографическом смысле. Сначала минимизируем первую коор-
динату ЗУ (X), т. е. ищем в классе В поверхность Хй, для которой
выполнялось бы равенство:

voh. 3й — vol* Х‘\А = d,; = ini vol Y \A.

Y £ и

Если такие поверхности Хк существуют, то приступим к миними-
зации второй координаты вектора объема ЗУ (X). Для этого
будем искать в классе поверхностей Хк с уже минимальной первой
координатой (т. е. таких, что vol* Х\А ==ck) такую поверхность
Х*_1, для которой

volA_i Xft_!\A\SA ~ d^i = inf volft.i Х*\А\3Й.

Эта поверхность имеет минимальными уже две первые координаты
вектора объема. И так далее. Каждый раз мы минимизируем сле-
дующую координату стратифицированного объема при условии,
что все предыдущие его координаты уже минимизированы и фикси-
рованы. Если этот процесс корректно определен (а именно это и
утверждается теоремой существования, см. ниже), то тогда он
завершится на некоторой поверхности, стратифицированный объем
которой уже глобально минимален в классе всех стратифицирован-
ных поверхностей из данного вариационного класса В. Числа
di — di (В) зависят, конечно, от класса В. Центральным моментом
этой постановки и решения задачи Плато в терминах бордизмов
является введение автором настоящего Приложения понятия
стратифицированного объема и разработка методов его минимиза-
ции во всех размерностях (см. 17*]—[9*], [11*]). В частности,
дальнейшее развитие этой идеи позволило затем доказать существо-
вание глобально минимальных поверхностей в каждом гомотопи-
ческом классе (см. [12*] Дао Чонг Тхи).

Теорема 1 (основная теорема; см. [7*]—[9*], 111*]).
Пусть А1'1 —компактное гладкое замкнутое многообразие такое,
что (Л1) = я., (А1) = 0, где л;(/И) —гомотопические группы М
и A cz XI —фиксированный контур —поверхность. Рассмотрим
произвольный непустой вариационный класс В, определенный
с помощью бордизмов (см. выше). Тогда в классе В всегда существует
глобально минимальная поверхность Хо, стратифицированный
объем которой SV' (Х'о) = (dk, d^, ...) — SVB является наимень-
шим. Эта поверхность имеет однозначно определенную стратифи-
кацию (т. е. разбиение на страты) Хо = A (J Sk (J Sk~~l (J ...,
где каждое подмножество S': является, за исключением, быть может,
множества i-мерной меры нуль, состоящего из особых точек, глад-
ким минимальным I-мерным подмногообразием в многообразии М
(т. е. средняя кривизна равна нулю). При этом dt = volf Sl.

Следствие 1. Пусть выполнены предположения теоремы 1
и В —вариационный класс из задач 1 и 2 (см. выше). Тогда в этом
классе существует глобально минимальная поверхность (быть
может, с особенностями, заполняющими множество меры нуль
в каждом страте), являющаяся решением задачи Плато: а) в случае
задачи 1 эта поверхность минимальна среди всех поверхностей,
заклеивающих контур А в смысле бордизмов, т. е. допускающих
непрерывную параметризацию с помощью серии многообразий
с краем А ; б) в случае задачи 2 эта поверхность минимальна среди
всех поверхностей, реализующих данный элемент группы бордизмов
объемлющего многообразия.

Эти результаты являются в действительности следствиями из
существенно более общей теоремы существования глобально мини-
мальных поверхностей, доказанной в [7*], [8*], [11*] для случая
так называемых экстраординарных (обобщенных) теорий (ко) го-
мологий. Мы не будем здесь на этом останавливаться, так как
описание экстраординарных теорий потребовало бы привлечения
дополнительного материала. Приведем здесь только один пример
многомерной вариационной задачи, сформулированной в терминах
экстраординарных когомологий.

Пусть на многообразии М задано стабильно нетривиальное
векторное расслоение £. Рассмотрим вариационный класс всех
поверхностей X cz М таких, что ограничение £ на X по-прежнему
стабильно нетривиально. Тогда среди таких поверхностей обяза-
тельно найдется глобально минимальная (вымысле стратифициро-
ванного объема).

Выше мы рассматривали две отдельные задачи: заклейки кон-
тура и реализации циклов. Однако наиболее естественной является
смешанная задача, в которой ищется минимальная поверхность,
одновременно заклеивающая контур и реализующая некоторые
циклы в объемлющем многообразии. Опишем вкратце решение этой
смешанной задачи Плато.

Пусть h —одна из теорий бордизмов (см. выше) и пусть L =
= {Lp} —фиксированный набор подгрупп Lp с hp (Л), где р —
целые числа. Пусть, далее, L' =	—фиксированный набор

подгрупп L'q сг hq (М).

Определение 6. Через В (A, L, L') обозначим класс
всех поверхностей X в многообразии М таких, что: 1)Л с X с М,
2) L с: Кег z*, 3) L' elm ]*, где i: А -> X и /: X -* Af — вло-
жения.

Ясно, что классы В (0, О, L') и В (A, L, 0) совпадают с вариа-
ционными классами В, введенными нами выше в задачах 1 и 2.
Оказывается, в каждом из классов В (A, L, L') всегда имеется
глобально минимальная поверхность, стратиифицрованный объем
которой является наименьшим в лексикографическом смысле.

Поскольку эта теорема (см. [7*], [8*], [11*]) утверждает
существование поверхности, минимизирующей стратифицирован-
ный объем, составленный из последовательности объемов стратов
поверхности, то мы сформулируем этот результат также в виде
последовательности утверждений о минимальности этих стратов.

Пусть выполнены предположения теоремы 1 и пусть В (A, L,
L') — В — произвольный непустой вариационный класс, состоя-
щий из поверхностей указанного топологического типа. Пусть
k—наименьшее из целых чисел s, s < п, для которых d, =
= ds (В) < оо, 3 < k < п. Тогда выполняются следующие после-
довательные утверждения.

1)	Существуют поверхности, старший объем которых (т. е.
объем volA) глобально минимален. Более точно, если —
класс всех поверхностей X таких, что X £ В и voU Х\Л = dk —
= inf vol* У\Л, то мы утверждаем, что этот класс непуст и что

dk < оо. В том случае, когда dk > 0, каждая поверхность X из
вариационного класса содержит однозначно определенное
^-мерное (т. е. имеющее размерность k в каждой своей точке)
подмножество с: Х\Л такое, что A J S* —компакт в объемлю-
щем многообразии. При этом ^-мерный страт поверхности X, т. е.
множество SA содержит подмножество Zk (возможно пустое),
где voU Zk = 0 и Sk\Zk — гладкое ^-мерное подмногообразие
в М, без края и всюду плотное в Sk. Множество Zk является
множеством всех ^-мерных сингулярных особых точек поверх-
ности X. При этом vol4 Sk — volfe Х\ А — dk. Если же de = 0, то
положим 54 — 0. В этом случае поверхность не имеет страта
размерности k.

2)	Существуют поверхности, у которых глобально минимальным
является не только старший объем, но и следующий за ним объем
на единицу меньшей размерности. Этот следующий объем подсчи-
тывастся для страта соответствующей размерности, содержаще-
гося в поверхности. Более точно, если cz есть класс
всех таких поверхностей X, что X б В, volA X \,4 — dk, т. е.
X £ |X}ft и, кроме того,

уоЦ.-! A’\H4\SA—<4..i — inf vob_i Б\Л'\ Sft,

то мы утверждаем, что этот класс {Х};г_г непуст и dh.A <
< оо. В том случае, когда cL...i > 0, каждая поверх-
ность из этого класса содержит однозначно определенное
(k — 1)-мерное подмножество SwcX\X\S4 такое, что A U
US‘U S*"1 —компакт в объемлющем многообразии. Множество
S’1-1 содержит подмножество Zk-i (возможно, пустое) меры нуль,
т. е. volk-iZfi-i = 0 и, кроме того, дополнение к Z,.^ в Sk~l, т. е.
подмножество S’,-1\Z^ является гладким Ik — 1)-мерным под-
многообразием в объемлющем многообразии, не имеющим края и
всюду плотным в Sk~l. При этом выполнено равенство volZc_i SA-1 =
= vob{_i Х\Д \ S'1 = dk_i > 0. Если же = 0, то положим
S*-' = 0.

И так далее вниз по размерностям. На следующем шаге обнару-
живается, что существуют поверхности, у которых минимальны не
только два первых их объема (т. е. старший и следующий за ним по
размерности вниз), но и третий объем размерности k —2, подсчи-
танный для соответствующего страта размерности k — 2. Другими
словами, каждый следующий объем оказывается минимальным при
условии фиксации всех предыдущих минимальных объемов.
Наконец, поверхности, составляющие класс {X}i, являются уже
глобально минимальными во всех размерностях, т. е. объемы всех
их стратов минимальны. Более того, каждый страт Sc за исключе-
нием, быть может, множества особых точек меры нуль, является
в действительности гладким минимальным подмногообразием
размерности I.

В заключение сообщим о теореме существования глобально
минимальных поверхностей в каждом гомотопическом классе.
Введение нового понятия стратифицированного объема и разра-
ботанная в [7*], [8*], [11*] методика его минимизации позволили
затем решить задачу Плато в каждом вариационном классе поверх-
ностей, получающихся гомотопией какого-то фиксированного
отображения f: V -* М. Оказывается, в каждом таком классе есть
глобально минимальная поверхность (см. [12*]). При этом поня-
тия стратифицированной поверхности и стратифицированного
объема были реализованы на функциональном языке варифолдов,
в терминах которого и получена теорема существования и почти
всюду регулярности минимальных решений. Таким образом,
в настоящий момент установлено не только существование абсо-
лютных минимумов, но и относительных (в каждом гомотопическом
классе).
1*. Federer Н. Geometric measure theory. — Berlin: Springer, 1969.

2*. Morrey Ch. B. Multiple integrals in the calculus of variations. — Berlin:
Springer, 1966.

3*. R e i n f e n b c r g E. R. Solution oi the Plateau problem, for m-dimen-
slonal surfaces of varying topological type. — Acta Math., 1960, 104, N 1,
p. 1—92.

4*. A 1 m g r e n F. J. Existence and regularity almost every where of solutions
to elliptic variational problem among surfaces of varying topological and
singularity structure. — Ann. Math., Ser. 2, 1968, 87, N 2, p. 321—391.

5*. Оссерман P. Минимальные поверхности. — УМН, 1967, 22, №4.
6*. Osserman R. Global properties of minimal surfaces in E3 and EnAnn.
Math., 1964, 80, N 2, p. 340—364.

7*. Ф о м e н к о A. T. Многомерная задача Плато в римановых многообра-
зиях, — Матем. сб., 1972, 89 (131), № 3, с. 475—520.

8*. Фоменко А. Т. Минимальные компакты в римановых многообразиях
и гипотеза Райфенберга. — ИАН СССР, 1972, 36, № 5, с. 1049—1080.

9*. Ф о м е и к о А. Т. Многомерные вариационные методы в топологии экстре-
малей. — УМН, 1981, 36, №6, с. 105—135.

10*. Фоменко А. Т. Периодичность Ботта с точки зрения многомерного
функционала Дирихле. — ИАН СССР, 1971, 35, «Vs 3, с. 667—681.

11*. Фоменко А. Т. Многомерные задачи Плато на римановых многообра-
зиях и экстраординарные теории гомологий и когомологий. Часть I. — В кн.:
Труды семинара по вект. и тёнз. анализу, 17. М.: Изд. МГУ, 1974, с. 3—176;
часть II — В ки.: Труды семинара по вект. и тенз. анализу, 18, М.: Изд.
МГУ, 1978, с. 4—93.

12*. Дао Чонг Тхи. Мультиварифолды и классические многомерные задачи
Плато. — ИАН СССР, i960, 44, «Vs 5, с. 1031—1065.

13*. Фоменко А. Т. О минимальных объемах топологических глобально
минимальных поверхностей в кобордизмах. — ИАН СССР, 1981, 45, Ns 1,
с. 187—212.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЕ

Аксиомы теории гомологий 11

Алгебра свободная косокоммутативная 81

— Стинрода 125

— Хопфа 81

Барицентрическое подразделение 68

Билинейные соотношения Римана 143

Бордизм сингулярный 277

Бордизмы 76

—	неориентнруемые 76

Букет сфер 46

Вполне геодезическое подмногообразие 237

Вторая фундаментальная форма 330

Вырезание 73

Высечение 79

Геодезическая вариация 216

Голоморфный дифференциал 140

Гомологии (когомологии) комплекса симп-
лицнальиого 30

----сингулярные кубические 59

------- симплициальные 57

—	комплекса цепей 22

-------о коэффициентами в группе 25

—	о коэффициентами в представлении
134

—	— локальными коэффициентами 134

Гомологий полная группа 22

Гомологическое многообразие 296

Гомоморфизм Боиштейна 31

—	комплексов 23

Гомотопическая сфера 305

Гомотопически эквивалентные многообра-
зия 10

Гомотопия алгебраическая 23

Границы 22

Группа бордизмов 277

Групповое кольцо 133

Группы кобордизмов классические, 278

Категория Люстерннка— Шннрельмана 19-»

Класс Понтрягина 105

—	Чженя 104

—	Штифеля — Уитни 103

Клеточное отображение 44

—	пространство 43

Когомологии комплекса коцепей 22

—	— цепей со значениями в группе 25

—	. определенные через дифференциальные

формы 7

—	с коэффициентами в пучке 159

Когомологий полная группа 22

К-гомологическая длина многообразия 201

—	операция 106

---- стабильная 107

—	— частичная 106

Кограница 22

Комплекс алгебраический 22

—	дифференциальных форм 23

—	клеточный 43

—	— п-связиый 47

—	клеточных цепей 45

—	симплициальный 29

—	сингулярных цепей 57

—	Тома 284

—	Эйленберга—Маклейна 101

Коцикл 22

Коэффициент инциденции 44

Кручение Райдемайстера 136

Кэлерово многообразие 152

Двойственность Александера 191

—	Лефшеца 190

—	Пуанкаре 74

Диаграмма Хегора 239

Задача Кирхгофа 317

—	Ковалевской 147

—	Неймана 150

—	обращения Якоби 146

». Якоби (геодезические на эллипсоиде)

 151,

Индекс замкнутой геодезической 233

—t критической точки 164

— пересечения 188

Лемма Морса 164

— Пуанкаре 11

Линзовое пространство 54

Локально минимальное подмногообразие
330

Многообразие Хопфа 154

— Якоби 144

Неравенства Морса 169

Нерв покрытия 158

Нормальный инвариант 308

Операции Стинрода 108

Остовы клеточного комплекса 43 -

Отображение Абеля 146

Периодичность Ботта ортогональная 258

—	— унитарная 243

Полином Пуанкаре многообразия 170

—	— функции 170

—	Чжеия 104

—	Штифеля—Уитни 103

Предпучок 157

Пучок 158

Род Тодда 294
Связная сумма 53  Сигнатура 281  Симплекс 28  — сингулярный 56  Сингулярная пленка 277  Скобка Пуассона 318  Соотношения Фробениуса 156  Спектральная последовательность Лере 89	Формула сигнатуры (Хирцебруха) 294  Функционал Дирихле 252  — многозначный 317  — Мопертюи—Ферма 316  Функция высоты 183  Характер Чженя 117  Характеристические классы стабильные 280
Тензорное произведение абелевых групп 25 	 комплексов 26  Теорема Гуревича 48  —	Картака—Серра Н1  —	Лере 91  —	об индексе 218  —	Стннрода 107  —	Хопфа 82  Точка топологически регулярная 170  —	бифуркационная 170  Точная гомологическая (когомологическая) последовательность пары 63  Трансгрессия 121	— числа стабильные 279  Ходжево многообразие 154  Цикл 22  Числа Бетти 30  Экстраординарная теория гомологий 73  Эйлеров класс расслоения 102  Эйлерова характеристика комплекса 24
Уравнения коммутативности 149	Л-кобордизм 305  Н-пространство 80