Ведение в теорию массового обслуживания - Гнеденко Б.В., Коваленко И.Н.

Автор: Гнеденко Б.В. Коваленко И.Н.
Теги: математика аналитика
Год: 1964
Похожие
Теория массового обслуживания
Системы массового обслуживания
Теория массового обслуживания
Текст
                    ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ БИБЛИОТЕКА ИНЖЕНЕРА
Б. В. ГНЕДЕНКО, И. Н. КОВАЛЕНКО
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ
МАССОВОГО
ОБСЛУЖИВАНИЯ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВ А 1966

617.8
Г 66
УДК 5199
2-2-3
г 66-66

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение 5
Глава 1. Задачи теории массового обслуживания в
простейших предпосылках 12
§ 1.1. Простейший поток 12
§ 1.2. Обслуживание с ожиданием 24
§ 1.3. Процессы гибели и размножения 37
§ 1.4. Использование процесса гибели и размножения
в теории массового обслуживания 47
§ 1.5. Система с ограниченным временем ожидания . , 60
§ I.Q. Системы с ограниченным временем пребывания . 72
§ 1.7. Обслуживание с преимуществом 83
Глава 2. Изучение входящего потока требований 92
§ 2.1. Несколько примеров 92
§2.2. Простейший нестационарный поток 101
§ 2.3. Свойство стационарных потоков 109
§ 2.4, Общая форма стационарного потока без
последействия 116
§ 2.5. Функция Пальма — Хинчина 128
§ 2.6. Элементы теории восстановления 137
§ 2.7. Предельные теоремы для суммарного потока . . 151
§ 2.8. О классе предельных распределений для сумм
независимых процессов восстановления 162
§2.9. Предельная теорема для редеющих потоков ... 170
§ 2.10. Предельные распределения для редеющих
процессов восстановления 175
Глава 3. Некоторые классы случайных процессов 181
§ 3.1. Метод Кендалла. Полумарковские процессы.
Линейчатые процессы 181
§ 3.2. Кусочно-линейные марковские процессы 201
Глава 4. Применения процессов восстановления* линейчатых
процессов, вложенных цепей Маркова 230
§ 4.1. Однолинейная система с ожиданием. Интегро-
дифференциальное уравнение 230
§ 4.2. Распределение периода занятости и длины очереди 243
§ 4.3. Рассмотрение задачи в нестационарном случае 255
§ 4.4. Однолинейная система в условиях большой
загрузки .,...,, 262
1*

4 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 4.5. Однолинейная система с ожиданием при учете
возможности выхода прибора из строя и
восстановления 266
§ 4.6. Обслуживание с преимуществом 290
§ 4.7. Смешанные системы обслуживания 297
§ 4.8, Многолинейные системы без информации . . . 310
§ 4.9. Входящий поток с ограниченным последействием;
показательно распределенная длительность
обслуживания 322
§ 4.10 Системы с ограничениями 329
§ 4.11 Теоремы об аналитическом виде характеристик
однолинейных систем 343
Глава 5. Применение более общих методов 354
§ 5.1. Однолинейная система с ожиданием при входящем
потоке с ограниченным последействием и
произвольно распределенной длительностью обслуживания 354
§ 5.2. Многолинейная система с ожиданием 366
§ 5.3. Применение общих процессов загрузки 373
§ 5.4. Системы с потерями: общая теорема, применения
к теории надежности 381
§ 5.5. Исследование систем массового обслуживания
в условиях малой загрузки 404
§ 5.6. Применение метода Монте-Карло 411
Литература 421
Предметный указатель 429

ВВЕДЕНИЕ
Практические требования телефонного дела, физики и
рациональной организации массового обслуживания
(билетные кассы, магазины, автоматы и пр.) выдвинули в начале
нашего столетия ряд интересных математических задач
нового типа. Первоначально эти задачи касались
преимущественно вопросов обслуживания абонентов телефонной станции,
расчета запасов магазинов для бесперебойного снабжения
покупателей, а также установления наиболее рационального
числа продавцов и касс в торговых предприятиях. На
первичное развитие этой теории особое влияние оказали работы
известного датского ученого А. К. Эрланга (1878 —1929) —
многолетнего сотрудника Копенгагенской телефонной
компании. Основные его исследования в этой области относятся
к 1908—1922 гг. С того времени интерес к проблемам,
выдвинутым Эрлангом, необычайно возрос. В результате
значительно увеличилось число математиков и инженеров, а
также экономистов, интересующихся и разрабатывающих
подобные проблемы. Оказалось, что задачи типа телефонных
возникают в самых разнообразных направлениях
исследований: в естествознании, в технике, экономике, транспорте,
военном деле, организации производства.
Требования практики выдвигают перед теорией массового
обслуживания большое число новых постановок задач.
Рассмотрение их необходимо для приложений, для постепенного
приближения условий, в которых они решаются, к истинной
картине изучаемых явлений; с другой стороны, это
поучительно для выработки методов исследования и для создания
стройной теории, которая даст возможность решать все эти
частные задачи почти автоматически. Нужно аознаться, что
такая теория в полной мере еще не создана, но в тех
попытках, которые уже имеются, особую роль играют случайные

6
ВВЕДЕНИЕ
процессы, в особенности процессы Маркова и различные их
обобщения.
Прежде чем переходить к систематическому изложению
материала курса, рассмотрим несколько областей применения,
не вдаваясь при этом в подробности.
Предположим, что на телефонную станцию в случайном
порядке поступают вызовы. Если в момент поступления
вызова на станции имеются свободные линии, то происходит
подключение абонента к свободной линии и начинается
разговор в течение того времени, которое необходимо для его
завершения. Если же на станции все линии заняты, то
возможны различные системы обслуживания абонентов. В
настоящее время особенно хорошо разработаны две системы
обслуживания: система с ожиданием и система с потерями.
При первой системе обслуживания вызов, поступивший на
станцию и нашедший все линии занятыми, становится в
очередь и ожидает, когда все поступившие ранее требования
будут обслужены. При второй организации работы каждый
вызов, поступивший в момент, когда все линии заняты,
получает отказ (происходит потеря требования) и все
дальнейшее течение обслуживания происходит так, как будто
бы этот вызов вообще не поступал.
Заметим, что только что описанные системы
обслуживания отличаются не только техническими особенностями, но
и характером возникающих при их изучении задач.
Действительно, для оценки качества обслуживания системой с
ожиданием особенно существенно определение среднего
времени ожидания начала обслуживания. Для
систем с потерями время ожидания не представляет ни
технического, ни математического интереса. Здесь важна
другая характеристика —вер о я тн о ст ь отказа (потери
требования). Но если во второй постановке задачи
вероятность отказа дает достаточно полное представление о том,
на что можно рассчитывать при данной организации и
технике обслуживания, то в первой задаче положение
оказывается более сложным. Средняя длительность ожидания
является важной, но не исчерпывающей характеристикой
работы систем. Весьма существенно выяснить также
возможный разброс фактических длительностей ожидания около их
среднего значения. Далее представляет интерес средняя
длина очереди и распределение длины о ч е-

ВВЕДЕНИЕ
7
реди. Важно также выяснить, насколько загружены
обслуживающие приборы.
Нет нужды говорить, что ситуация, которая создается
около театральной кассы (как, впрочем, и около иной кассы),
когда в нее обращаются за билетами, весьма напоминает
описание системы обслуживания абонентов на телефонной
станции. Если только в первоначальной постановке задачи
шла речь о телефонных линиях, то теперь вопрос касается
занятости кассира. Стремление рационально обслуживать
потребителей приводит к необходимости изучения
закономерностей образования очередей. Знание этих
закономерностей должно, в частности, помочь решению вопроса о
числе касс, которые рационально установить для продажи
билетов на железнодорожной станции или в магазине.
Содержание каждой кассы вызывает некоторые расходы, но и
потеря требований также наносит некоторый ущерб.
Возникает вопрос о разыскании некоторого оптимума. Быть может,
в экономическом отношении еще важнее вопрос организации
на крупных предприятиях пунктов выдачи инструмента. Если
такой пункт один, то квалифицированные рабочие теряют
много времени на получение необходимого им инструмента
и, кроме того, простаивают станки, которые могли бы в это
время работать. Если же таких пунктов много, то их
работники будут слабо загружены. Само собой разумеется, что
только что затронутые вопросы имеют общий интерес и
возникают при расчете пропускной способности
аэропортов, подъездных путей, шлюзов, портовых причалов,
больниц и пр.
В тридцатые годы в связи с автоматизацией станков
в промышленности наметился переход на обслуживание одним
рабочим нескольких станков. Станки в случайные моменты
времени в силу тех или иных причин выходят из строя и
требуют к себе внимания рабочего. Длительность операции
по приведению станка в порядок, вообще говоря, не постоянна
и является случайной величиной. Спрашивается, как велика
вероятность того, что в определенный момент времени (при
заданном режиме работы станка и рабочего) будет ожидать
обслуживания то или иное число станков из общего числа
порученных рабочему? Дальнейшие естественные и важные
для практики вопросы таковы: как велико среднее время
простоя станков при том или ином числе станков, порученных

8
ВВЕДЕНИЕ
рабочему? Сколько станков при заданной организации
труда экономически оправдано поручить одному рабочему?
Как рациональнее организовать обслуживание: поручить ли
п станков одному рабочему или ns станков 5 рабочим? Мы
не станем сейчас продолжать перечисление дальнейших
вопросов, которые возникают при глубоком анализе проблемы
обслуживания нескольких станков.
Известно, что в ряде отделов современного
естествознания, в частности в ядерной физике, широко используются
так называемые счетчики Гейгера —Мюллера. Одна из
особенностей работы этого прибора состоит в том, что частица,
попавшая в счетчик, вызывает в нем разряд. В первом
приближении можно считать, что этот разряд продолжается
некоторое определенное время т, в течение которого вновь
попадающие в счетчик частицы уже не регистрируются
счетчиком. По этой причине счетчик показывает, как правило,
не истинную картину, а несколько искаженный ход явлений.
В связи с этим возникает задача построения поправок к
показаниям счетчиков. На первое место при этом выдвигается
подсчет вероятности потерь того или иного числа частиц при
регистрации их счетчиком за определенный промежуток
времени t. Другая важная задача для многих конкретных
вопросов состоит в том, чтобы по показаниям счетчика
восстановить истинный поток частиц, поступающий в счетчик.
Для многих реальных задач научного, производственного
и экономического характера естественны не только задачи,
в которых рассматривается обслуживание с потерями и
ожидание без ограничения времени. В самом деле, мы по себе
знаем, что зачастую мы отказываемся от обслуживания
только из-за возможной длительной задержки с началом
обслуживания. Так, если мы видим, что в очереди к продавцу
имеется более пяти покупателей, то мы уходим из магазина
и откладываем предполагаемую покупку. Точно так же, сделав
заказ на междугородный телефонный разговор, мы нередко
ограничены временем и предупреждаем, что если разговор
не будет дан до определенного момента, то наше требование
должно быть снято. Несколько иная ситуация может
создаваться, когда ограничено не время ожидания, а время пребывания в
системе обслуживания. С такой постановкой задачи приходится
встречаться при продаже скоропортящихся продуктов: от
момента изготовления до употребления должно пройти не более

ВВЕДЕНИЕ
9
чем т единиц времени, так как иначе эти продукты теряют свои
ценные качества и могут представлять угрозу для здоровья
потребителя.
В качестве другой реальной иллюстрации такой
постановки вопроса мы приведем обслуживание лиц, попавших
в уличную катастрофу. Для них время пребывания в системе
обслуживания ограничено и при том ограничено случайной
величиной т, поскольку способность лица дождаться конца
обслуживания зависит от полученной травмы и от его
физических качеств. Под временем нахождения в системе
обслуживания мы должны понимать все время от момента аварии
до момента излечения (т. е. ожидание кареты скорой
помощи, транспортировку, осмотр врачом, операцию и
излечение). Хорошо известно, что не каждое потерпевшее лицо
способно дождаться конца обслуживания, а иногда даже его
начала.
Таким образом, вполне естественна постановка следующей
группы близких по характеру задач. Требования,
поступающие для обслуживания, остаются в очереди, если число
ранее прибывших и ожидающих обслуживания требований
не превосходит заданного числа к, в противном случае
требование теряется. Каждое требование остается в
обслуживающей системе не более чем время т, даже если началось
его обслуживание. Возможна также и третья постановка
вопроса: ограничено время ожидания величиной т, но если
до истечения этого срока обслуживание началось, то оно
доводится до конца. Во всех трех случаях особый интерес
представляет вычисление среднего числа потерь за
определенный промежуток времени, среднего времени ожидания
начала обслуживания или потерянного времени на
ожидание. Во второй постановке задачи естественно различать
среднее число потерь не совсем обслуженных требований,
обслуживание которых все-таки было начато.
В только что обрисованных, но еще недостаточно строго
математически поставленных задачах мы исходили из
предположения, что обслуживающие приборы обладают абсолютной
надежностью и сами никогда не выходят из рабочего
состояния. Известно, что такое положение несколько
идеализирует реальные системы. В результате возникает естественная
и важная задача учета влияния на эффективность системы
обслуживания порчи обслуживающих приборов. Изучение

10
ВВЕДЕНИЕ
этой задачи началось совсем недавно. Возможное
разнообразие практически интересных вопросов здесь совершенно
не ограничено. Для примера укажем на такую задачу:
самолеты после каждого вылета проходят профилактический
осмотр, а затем с некоторой вероятностью а направляются
в ремонт или с вероятностью 1—а возвращаются в строй
действующих.
Учет выхода обслуживающих приборов из рабочего
состояния для некоторых постановок задач можно включить
в иную задачу, которая получила название обслуживания
с преимуществом. Эта задача состоит в следующем: в
систему обслуживания поступает не один, а несколько потоков
требований. Требования потоков с меньшими номерами
пользуются преимущественным правом обслуживания и
становятся при появлении в очередь впереди всех ранее
поступивших требований с более высокими номерами породивших
их потоков. Здесь приходится рассматривать две постановки
вопроса: требование высокого ранга не прерывает
обслуживания требований менее высоких рангов; требование высокого
ранга прерывает уже проводящееся обслуживание более
низкого ранга. Во втором случае приходится различать две
возможности: при возвращении вытесненного требования
в обслуживающий прибор предыдущая работа
забывается и обслуживание начинается сначала; ранее
произведенная работа не забывается. С обеими последними
постановками вопроса приходится встречаться, например,
в работе вычислительных машин. Назовем поломку или сбой
машины преимущественным требованием, тогда могут
представиться оба случая: предыдущая работа была проделана
хорошо и вычисления после восстановления машины могут
начинаться с того места, на котором они были прерваны;
сбой машины ввел ошибку в предшествующие вычисления,
их нужно проделать заново. Этим примером мы одновременно
пояснили, как в систему обслуживания с преимуществом
можно включить задачу учета поломки обслуживающих
устройств.
Задача, в которой следует принимать в расчет
преимущественные требования, встречается постоянно:
междугородный вызов прерывает местный телефонный разговор, к
зубному врачу вне очереди принимаются больные с острой
зубной болью и т. д.

ВВЕДЕНИЕ
II
Можно указать множество других постановок задач
реального содержания, которые в своей математической
части сводятся к вопросам теории массового обслуживания.
Но в столь подробном перечислении нет никакой
необходимости, так как математическая теория не может претендовать
на перечисление всех частных и даже только важнейших
прикладных проблем, к которым она может применяться.
Задача математической теории состоит в первую очередь
в выработке общих методов, применимых не только к
решению тех частных задач, на базе которых была начата
ее разработка, но и множества других, быть может, даже
очень далеких по своей формулировке от первоначальных.
В последние годы появилось несколько монографий и
учебных руководств по теории массового обслуживания.
Мы упомянем в первую очередь книги А. Я. Хинчина [1],
А. Бодино и Ф. Брамбилла [1], Л. Такача [1], Р. Сиски [1],
Т. Саати [1], Дж. Риордана [1], В. Бенеша [1], Ле Галля
[1]. Среди названных своей полнотой выделяются книги
Сиски, Саати и Ле Галля. Книги Хинчина, Такача, Бенеша
и Ле Галля отмечены глубиной математического анализа.
В книгах Сиски, Саати, а также в книге Баруча-Райда [1]
имеются прекрасные библиографические сводки. Им во многих
отношениях уступает даже специальная библиография,
составленная Алисой Дойг [1].

ГЛАВА 1
ЗАДАЧИ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
В ПРОСТЕЙШИХ ПРЕДПОСЫЛКАХ
§ 1. 1. Простейший поток
1. Исторические замечания. Первичной задачей, с
которой должно начаться каждое серьезное исследование по
теории массового обслуживания или же по конкретным ее
применениям, нужно считать изучение того потока требований,
который поступает на обслуживающий прибор. Так, для
расчета потерь частиц счетчиком необходимо знать, как
поступают эти частицы в счетчик извне. Точно так же при
организации работы телефонной станции нужно учитывать
особенности потока вызовов, поступающих от абонентов на
станцию.
В подавляющем большинстве работ по теории массового
обслуживания, как тех из них, которые послужили базой
построения теории, так и современных, рассматривается
простейший случай потоков, когда вероятность
поступления в промежуток времени t ровно k требований
задается формулой
ли-<#.-.
где Х>0 — постоянное число, смысл которого вскоре будет
изучен. Поступающий поток при этом считается таким, что
для любой конечной группы непересекающихся отрезков
времени числа появившихся на их протяжении требований
представляют собой взаимно независимые случайные
величины.
Попытка указать достаточно общие условия, при
выполнении которых такой поток действительно имеет место, были

§ 1.1]
ПРОСТЕЙШИЙ ПОТОК
13
предприняты давно. Так, в §§81 и 82 известной книги Торн-
тона Фрая [1] даны понятия случайности в индивидуальном
и коллективном смысле слова и показано, что при совместном
их выполнении поток требований должен бытьпуассоновским
только что указанного вида. Нельзя сказать, что рассуждения
Т. Фрая были исчерпывающими, но они указывали практикам
достаточно широкие условия, при которых простейший
поток оказывается единственно возможным. Несколько иные
условия ранее рассмотрены М. Смолуховским и А.
Эйнштейном [1] в их работах, посвященных теории броуновского
движения. В монографии А. Я. Хинчина [2] эти условия были
приведены к трем следующим: стационарность, отсутствие
последействия, ординарность. Четвертое условие (см. стр. 16),
которое постоянно отмечается в учебной литературе по теории
вероятностей, как показал А. Я. Хинчин, является следствием
перечисленных. В настоящем параграфе мы изучаем только
этот подход.
В последние годы появился ряд других подходов к
получению потока Пуассона. С ними можно познакомиться пора-
ботам Дж. Дуба [1], Р. Л. Добрушина [1], Бреймана [1].
О работах и результатах А. Я. Хинчина [2], Г. А. Ососко-
ва [1], А. Реньи [1], 10. К. Беляева [1] будет
сообщено ниже.
2. Качественные предпосылки. Перейдем к краткому
анализу только что перечисленных трех условий, обращая
при этом особое внимание на их содержательный, физический
смысл. Такой анализ крайне необходим, особенно если мы
учтем важность тех выводов теоретического характера и
практических приложений, которые базируются на указанных
предпосылках.
Стационарность потока означает, что для любой
группы из конечного числа непересекающихся отрезков
времени вероятность появления в них соответственно kv къ, ...
.. ., кп требований зависит только от этих чисел и от длин
указанных промежутков времени, но не зависит от их
расположения на оси времени. В частности, вероятность
появления к требований в промежутке времени (Г, T-\-t) не
зависит от Г и является функцией только переменных к и t.
Отсутствие последействия состоит в том, что
вероятность поступления к требований в течение промежутка
времени (7, T-\-t) не зависит от того, сколько требований

14 ЗАДАЧИ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ [ГЛ. 1
и как поступали до этого промежутка. Таким образом, это
предположение означает, что условная вероятность
поступления k требований за промежуток (Г, T-\-t)t вычисленная
при произвольном предположении о поступлениях требований
до этого промежутка времени, совпадает с безусловной
вероятностью того же события. В частности, отсутствие
последействия означает взаимную независимость появления
того или иного числа требований на обслуживание в
неперекрывающихся отрезках времени.
Ординарность потока требований выражает
собой условие практической невозможности появления двух
или нескольких требований в один и тот же момент времени.
Это условие точнее сформулируем следующим образом:
обозначим через P^i(h) вероятность появления в промежутке
длины h двух или более требований. Условие ординарности
потока состоит в том, что при h —► О
или, как мы станем записывать впоследствии,
/>>!(*)= о (А).
Поток требований, удовлетворяющий трем
сформулированным условиям, принято называть простейшим
потоком.
3. Анализ предпосылок. Перейдем теперь к анализу
высказанных условий, определяющих простейший поток.
Экспериментальная проверка, предпринятая в различных
областях знаний — физике, телефонном деле, теории
надежности (отказы элементов систем), транспорте, торговле и
пр., — показала, что простейший поток наблюдается не так
часто, как это предполагалось первоначально. Собственно,
такого заключения можно было ожидать и до получения
результатов экспериментальных исследований. Действительно,
предположение стационарности в реальной обстановке
является довольно сильной абстракцией. На самом деле оно
нарушается в силу большого числа различных причин.
В явлении радиоактивного распада необходимо учитывать,
что со временем масса вещества, способного к распаду,
уменьшается и тем самым стационарность в строгом
смысле этого слова отсутствует. Поток вызовов, поступающий

§ 1.1]
ПРОСТЕЙШИЙ ПОТОК
15
на телефонную станцию, не может считаться вполне
стационарным, так как в течение суток режим работы станции
существенно меняется. Поток вызовов скорой медицинской
помощи, оказывается, также существенно зависит от
времени суток. Однако если рассматривать явления в
сравнительно ограниченные промежутки времени, то предположение
стационарности может служить достаточно
удовлетворительным первым приближением.
Гипотеза отсутствия последействия во многих случаях
также должна считаться недостаточно обоснованной.
Имеются многочисленные явления, в которых наступление одного
события влечет за собой появление других. Скажем, один
телефонный звонок может повлечь за собой большое число
звонков к другим абонентам. Другой пример —
радиоактивный распад. В случае, когда имеется большое количество
нераспавшегося вещества, то распад атома может вызвать
распад других, в результате чего произойдет цепная
реакция. Однако если взято небольшое количество вещества,
то гипотеза отсутствия последействия достаточно
удовлетворительна. Цепная реакция телефонных звонков оказывает
на работу станции ничтожное влияние из-за наличия
огромного числа других абонентов.
Предположение ординарности потока во многих случаях
оказывается выполненным далеко не с полной строгостью.
Известно, например, что в магазины и в билетные кассы
обращаются сразу группами. В речной порт под разгрузку
поступают не только самоходные баржи, но и караваны
барж, приводимых одним буксиром. К шлюзу подходит не
только отдельный пароход, но и буксир с баржами.
Подобные же появления групп событий наблюдаются и во
многих физических явлениях.
Несмотря на то, что три условия, о которых только
что шла речь, как правило, не выполняются со всей
определенностью, они могут служить хорошим отправным
пунктом для изучения реальных потоков. Позднее мы выясним,
какое влияние оказывает на характер потока каждое из
указанных условий.
4. Вывод уравнений простейшего потока. Обозначим
через Pk (t) вероятность того, что в течение промежутка
времени длительности t к обслуживанию будут предъявлены к
требований. В силу стационарности потока эта вероятность

16 ЗАДАЧИ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ [ГЛ. 1
не зависит ни от выбора начала отсчета, ни от всей его
предыстории. Условия, определяющие простейший поток,
позволяют однозначно, с точностью до одного параметра,
найти формулы для вероятностей Pk(t).
Для простоты рассуждений добавим к трем
перечисленным предположениям еще одно, согласно которому
P1(A) = U + o(A), (1)
где X — некоторое постоянное число. Позднее мы докажем,
что это предположение является следствием трех ранее
сделанных.
Прежде всего определим вероятность того, что в
течение промежутка времени t-\-h поступит ровно k
требований. Это событие может осуществиться k-\-\ различными
способами. Действительно, мы можем отметить следующие
несовместимые возможности:
1) за промежуток времени t наступят все к требований,
а за промежуток /г—-ни одного;
2) за промежуток длительности t наступят к—1
требований, а за промежуток длительности h — одно; ...;
&+1) за промежуток длительности t не наступит ни
одного требования, а за время h—все к требований.
Мы воспользуемся теперь формулой полной вероятности,
которая при учете отсутствия последействия принимает
такой вид:
Pk{i + h) = %Pj{t)Pk_j{h).
Введем обозначение
/=о
и оценим эту сумму, заметив, что величины Pk (t), как
вероятности, не могут превосходить единицу. Таким образом,
/=0 S=2
Распространив суммирование в правой части неравенства до
бесконечности, мы можем только усилить предыдущее
неравенство, т. е.
Rk<flPs(h) = P>Ah).

§ 1.1]
ПРОСТЕЙШИЙ ПОТОК
17
Согласно условию ординарности потока
P>i(h)=o(h).
В результате получаем равенство
Pk(t + h)=Pk{t)P0{h)+Pk_,(i)Px{h) + o(h). (2)
В этом равенстве мы можем заменить P1(h) на ХА +
-\-o{h) в силу дополнительного условия (1), о г которого
позднее мы освободимся.
Кроме того ясно, что
Л. (А) =1-2 Pt(h)=\-Pl(h)-fi Ps{h).
S-l S=2
Следовательно,
P0(A) = i_ Xh + o(h).
Теперь равенство (2) переписывается в виде
ЯЛ(/ + А)=/>Л(0(1-^А)+РЛ.1(/)ХА + о(А),
из которого следует, что
R'V+hl-p'W=-XPk(t) + XPk_l(t)+o{\).
Заставим теперь h—+0. Так как предел правой части
существует, то существует и предел левой части последнего
равенства. В результате предельного перехода находим, что
^I=_^(o + XPft_1(0. (3)
При выводе этого уравнения мы предполагали, что
А^1. Придавая к различные значения, мы получим
бесконечную систему уравнений для определения бесконечного
числа неизвестных нам вероятностей Pk(t). Таким образом,
уравнение (3) на самом деле представляет собой
бесконечную систему дифференциально-разностных уравнений.
К этой системе мы должны добавить еще одно уравнение,
которому удовлетворяет функция P0(t). В силу условия,
которым определяется простейший поток, имеем равенство
p0(t+h)=p0(t)p0(h).
На основании уже проделанных подсчетов это равенство
можно заменить на следующее, ему эквивалентное:
P0(t + h) = P„{t)(\-U + o(h)).

18 ЗАДАЧИ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ [ГЛ. 1
Предельным переходом находим теперь уравнение для
определения Р0 (t):
^Ml=-xp0(t). (4)
5. Решение уравнений. Последнее уравнение, как легко
убедиться, имеет решение
P0(t) = Ce~xt. (5)
Для определения постоянной С воспользуемся
равенством (1), из которого следует, что
Р0(0) = 1.
В то же время согласно (5)
я„(0) = с.
Сравнение последних равенств приводит нас к тому, что
я0(*) = «-х*. (6)
Подстановка PQ {t) в уравнение для определения Рг (t)
приводит к решению
РгУ) = Ме-™.
Последовательной подстановкой уже найденных
вероятностей в уравнение (3) мы можем получить вероятности
Pk (t) с произвольными индексами. Несложный расчет
показывает, что при любом k^O
Pk(t) = {+fe-". (7)
В вычислительном отношении решение системы наших
уравнений становится совсем простым, если ввести замену
Pk(t) = e-Xtvk(t).
В терминах функций vk (t) уравнения (3) и (4) принимают
такой вид:
vk{t)=lvk^{t), fe-1, 2, ....
и
г>о(0 = 0.
Начальные же условия даны равенствами
«о(0) = Яв(0)=1,
^(0)=РА(0)=0, Л = 1, 2, ...

§ 1.1]
ПРОСТЕЙШИЙ ПОТОК
19
При учете начальных условий уравнения для vk (t) приводят
нас к равенствам:
«6(0 = 1, М0 = Н va{t) = №,
и вообще при любом k ^ О
Возвращение к функциям Pk (t) приводит нас к
равенствам (7).
6. Вывод дополнительного предположения из трех
остальных. При выводе уравнений, посредством которых
был найден общий вид простейшего потока, мы ввели
временно условие (1). Наша ближайшая задача вывести это
условие из трех основных. С этой целью рассмотрим
промежуток длительности 1 и обозначим через Э вероятность того,
что за этот срок не появится ни одного требования, т. е.
9 = Р0(1).
Разобьем наш промежуток времени на п равных частей.
Для того чтобы за весь промежуток времени не поступило
требований, необходимо и достаточно, чтобы они не появились
ни в одном из п частных промежутков. Отсюда и из
предположений стационарности потока и отсутствия в нем
последействия получаем равенство
е =
Следовательно,
л,
Вероятность отсутствия требований в промежутке времени
к
длительности — равна
Пусть t — некоторое неотрицательное число. Для любого
t можно найти такое целое k, что при заданном п
выполняются неравенства
П ^ П

20 ЗАДАЧИ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ [ГЛ. 1
Так как вероятность PQ (t) есть невозрастающая функция
времени, то
Таким образом, функция PQ (t) удовлетворяет неравенствам
Пусть теперь п стремится к бесконечности, тогда
& k 1
t lim — = lim — t
Я->00 П Я-> 00 П
и из предыдущего вытекает равенство
/>„(/) = е*.
Так как Р0 (/), как вероятность, удовлетворяет
неравенствам
0<Я0(<)<1,
то могут представиться три возможности: 1)9 = 0, 2) 0=1,
3) 0<6<1. Два первых случая малоинтересны. В первом
из них при любом t имеет место равенство Р0 (t) = 0 и,
значит, вероятность получить за промежуток времени любой
длительности хотя бы одно требование равна единице. Иными
словами, с вероятностью 1 в промежутке времени любой
длительности появляется бесконечное множество требований.
Во втором случае PQ (t) = 1 при любом t > 0 и, следовательно,
никакого потока требований нет. Для теоретических и
практических целей интерес представляет только третий случай.
В этом случае мы положим 9 = е~\ где К — некоторое
положительное число.
Итак, из предположений стационарности и отсутствия
последействия мы нашли, что
P0(*) = *-Xt' (8)
Заметим, что при выводе этой формулы мы совсем не
предполагали, что поток ординарен.
Последнюю формулу мы должны трактовать так:
вероятность того, что промежуток времени между двумя
последовательными моментами наступления событий стационарного
потока без последействия превзойдет t, равна (8). Значит,

§ 1.1]
ПРОСТЕЙШИЙ ПОТОК
21
функция распределения длины промежутка между двумя
последовательными наступлениями событий потока равна
/=■(0=1—e"xt. (9)
Так как за промежуток времени t какое-то число
требований наступает, то
При малых t из условия ординарности потока и из (8)
находим, что
Р1(0 = 1-^+о(/).
Это равенство и условие ординарности приводит нас к (1).
Требуемое доказано.
7. Одно свойство простейшего потока. Предположим,
что в промежутке времени длительности t произошли п
требований простейшего потока. Докажем, что для каждого из
этих требований вероятность наступления в промежутке
длины т, принадлежащем отрезку t, пропорциональна т и
не зависит от положения этого промежутка. Кроме того,
каждое требование наступает в промежутке длины т
независимо от расположения остальных п — 1 требований. Это
свойство Т. Фрай ([1], стр. 172) назвал случайностью в
индивидуальном смысле.
В силу стационарности простейшего потока в качестве
промежутка t мы можем выбрать (0, t). Обозначим через
В событие, состоящее в попадании п требований в (0, t).
Из предыдущего мы знаем, что
pw-ag-V».
Поскольку мы уже знаем, что в (0, t) попали п
требований,' можно их индивидуализировать и сосредоточить
внимание на определенном из них. Обозначим через А
событие, состоящее в том, что это требование попало в
промежуток (а, Ь), принадлежащий (0, t). Наша задача состоит
в определении вероятности Я{Л|Б} — вероятности события
А при условии, что В наступило. В силу теоремы
умножения имеем

22 ЗАДАЧИ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ [ГЛ. 1
Нам нужно определить Р(АВ). С этой целью рассмотрим
событие Csr, состоящее в том, что: а) в промежуток (0, а)
попадут какие-то 5 требований, но среди них не будет
интересующего нас; Ь) в промежуток (а, Ь) попадут г требований
и среди них интересующее нас; с) в (&, t) попадут
остальные п— s — г требований. Очевидно, что для различных пар
(г, s) события Csr несовместимы и поэтому
п-1 n-s
S =0 Г=1
Вероятность получить г каких-то требований в
промежутке (я, b), s каких-то требований в (0, а) и п—r — s
каких-то требований в (&, t) для простейшего потока равна
MJ е-ка [Ь(Ь-а)]г е-х Ф-а). [%(t-bW~s'r e_x {t_b)
s\ r\ (n — s—r)\
Выписанное выражение, однако, отлично от вероятности
события С5Г, так как мы не учли необходимости попадания
интересующего нас требования в отрезок (а, Ь). Таким
образом, только что написанное выражение мы должны еще
умножить на вероятность того, что среди попавших в (я, Ь)
требований содержится именно это требование. Эта
вероятность равна отношению числа способов выбора г — 1
требований из п — 1 нас неинтересующих к числу способов
выбора г требований из п возможных, т. е.
сг-\
Таким образом,
Р(АВ) = ХЧ-» у У L **-<* (*-»)-;-,
х ; a.* Lu п s! г\ (п — г — s)\
s= о r-i
Простые алгебраические преобразования приводят нас к
равенству
v ' t п\
Собрав вместе результаты подсчетов, находим, что
Ь — а
Р(А\В) =
t

§1.1] простейший поток 23
Полученное равенство доказывает сформулированный
результат.
8. Интенсивность и параметр потока. Нам необходимо
провести несколько несложных подсчетов. Прежде всего легко
подсчитать, что для простейшего потока среднее число
требований, поступающих за время t, равно
xtv^ ,.(*')*.
AfM<) = £*P*(') = «-"£.*
U.
/г = 1 k = i
Мы здесь через \i (t) обозначили истинное число требований,
поступивших за промежуток времени t.
Математическое ожидание числа требований, поступающих
за единицу времени, называется интенсивностью
потока. Обозначим интенсивность буквой \i. Для простейшего
потока
jut = Я.
Величина К носит название параметра потока.
Из последнего равенства видно, что для
простейшего потока интенсивность совпадает с
параметром потока.
Обозначим через nt(t) вероятность поступления за
промежуток времени t хотя бы одного требования, т. е. положим
nl(t)=^Pk{t)=\-P0(t).
Для простейшего потока имеет место следующее предельное
равенство:
Нт^ = Х. (10)
Это равенство будем считать определением параметра потока.
Для произвольного стационарного потока (для которого
предел (10) существует) выполняется неравенство
Действительно, для стационарного потока
00 СО
MVL(t) = Vit='2>kPk(t)^2lpk(t)=nl(t).

24 ЗАДАЧИ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ [ГЛ. 1
Отсюда находим, что при любом t
Ясно, что это неравенство доказывает наше утверждение.
§ 1.2. Обслуживание с ожиданием
1. Постановка задачи. Мы изучим здесь классическую
задачу теории массового обслуживания в тех условиях,
в каких она была рассмотрена и решена К. Эрлангом. На
п одинаковых приборов поступает простейший поток
требований интенсивности л. Если в момент поступления
требования имеется хотя бы один свободный прибор, оно немедленно
начинает обслуживаться. Если же все приборы заняты, то
вновь прибывшее требование становится в очередь за всеми
теми требованиями, которые поступили раньше и еще не
начали обслуживаться. Освободившийся прибор немедленно
приступает к обслуживанию очередного требования, если
только имеется очередь. Каждое требование обслуживается
только одним прибором, и каждый прибор обслуживает
в каждый момент не более одного требования. Длительность
обслуживания представляет собой случайную величину с одним
и тем же распределением вероятностей F(x). Предполагается,
что при х^О
F(x)=\-e-™> (1)
где v > 0 — постоянная.
Только что описанная задача представляет значительный
прикладной интерес, и результаты, с которыми мы
познакомимся, широко используются для практических целей.
Позднее мы рассмотрим схематически пример такого рода. Нет
нужды говорить, что реальных ситуаций, в которых
возникают подобные вопросы, исключительно много. Как уже
было упомянуто во введении, К. Эрланг решил эту задачу,
имея в виду постановки вопросов, возникших к тому времени
в телефонном деле.
Выбор распределения (1) для описания длительности
обслуживания произведен не случайно. Дело в том, что в
этом предположении задача допускает простое решение,
которое с удовлетворительной для практики точностью
описывает ход интересующего нас процесса. Мы увидим, что

§ 1.2] ОБСЛУЖИВАНИЕ С ОЖИДАНИЕМ 25
распределение (1) играет в теории массового обслуживания
исключительную роль, которая в значительной мере вызвана
следующим его свойством:
при показательном распределении длительности
обслуживания распределение длительности оставшейся части работы
по обслуживанию не зависит от того, сколько оно уже
продолжалось.
Действительно, пусть fa (t) означает вероятность того,
что обслуживание, которое уже продолжается время а,
продлится еще не менее чем t, В предположении, что
длительность обслуживания распределена показательно,
fQ(t) = e~*. Далее ясно, что
f0(a) = e-« и fQ(a + t) = e-^+t\
А так как всегда
/о (*+ ')=/о («)/«(<),
ТО
*-*<«+*> = е-*«/в(/)
и, следовательно,
/в (О = *-* = /„(<).
Требуемое доказано.
Несомненно, что в реальной обстановке показательное
время обслуживания является, как правило, лишь грубым
приближением к действительности. Так, нередко время
обслуживания не может быть меньше, чем некоторая определенная
величина. Предположение же (1) приводит к тому, что
значительная доля требований нуждается лишь в
кратковременной операции, близкой к 0. Позднее перед нами возникает
задача освобождения от излишнего ограничения,
накладываемого предположением (1). Необходимость этого была ясна
уже самому Эрлангу, и он в ряде работ делал усилия найти
иные удачные распределения для длительности обслуживания.
В частности, им было предложено так называемое
распределение Эрланга, плотность распределения которого
дается формулой
Фл(*) = 0 ПРИ *<°>
4*V) = vjjr^\e~* при <> 0,
где v > 0, а & — целое положительное число.

26 ЗАДАЧИ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ [ГЛ. 1
Распределение Эрланга представляет собой распределение
суммы к независимых слагаемых, каждое из которых имеет
распределение (1).
Обозначим для случая распределения (1) через г| время
обслуживания требования. Тогда средняя длительность
обслуживания равна
Afrj = \ х dF (х) = v V хе-'х dx = — .
о о
Это равенство дает нам способ оценки параметра v по
опытным данным. Как легко вычислить, дисперсия длительности
обслуживания равна
Dr\ = Мц2 — (Afrj)2 = ~ .
2. Процесс обслуживания как марковский случайный
процесс. В указанных нами предположениях о потоке
требований и о длительности обслуживания задачи теории
массового обслуживания приобретают некоторые черты,
облегчающие проведение исследований. Мы отмечали уже
вычислительную простоту. Теперь отметим более
принципиальное соображение, которое станем развивать
применительно к изучаемой задаче.
В каждый момент наша система может находиться в одном
из следующих состояний: в момент t в системе находится
к требований (£ = 0, 1, 2, ...). Если к^п, то в системе
находятся и обслуживаются к требований, an — к приборов
свободны. Если & > п, то п требований обслуживаются, а
к — п находятся в очереди и ожидают обслуживания.
Обозначим через Ek состояние, когда в системе находятся к
требований. Таким образом, в нашей задаче система может
находиться в состояниях £0, Ev £2, . .. Обозначим через
ps(t) — вероятность того, что система в момент t окажется
в состоянии Es.
Сформулируем, в чем заключается особенность изучаемых
нами задач в сделанных предположениях. Пусть в некоторый
момент tQ наша система находилась в состоянии Et.
Докажем, что последующее течение процесса обслуживания не
зависит в смысле теории вероятностей от того, что
происходило до момента t0. Действительно, дальнейшее течение

§ 1.2]
ОБСЛУЖИВАНИЕ С ОЖИДАНИЕМ
27
обслуживания полностью определяется тремя следующими
факторами:
моментами окончания обслуживании, производящихся в
момент t0;
моментами появления новых требований;
длительностью обслуживания требований, поступивших
после tQ.
В силу особенностей показательного распределения
длительность остающейся части обслуживания не зависит от
того, как долго уже продолжалось обслуживание до
момента t0. Так как поток требований простейший, то прошлое
не влияет на то, как много требований появится после
момента tQ. Наконец, длительность обслуживания требований,
появившихся после t0, никак не зависит от того, что и как
обслуживалось до момента t0.
Известно, что случайные процессы, для которых будущее
развитие зависит только от достигнутого в данный момент
состояния и не зависит от того, как происходило развитие
в прошлом, называются процессами Маркова или же
процессами без последействия. Мы доказали
сейчас, что система с ожиданием в случае простейшего
потока и показательного времени обслуживания представляет
собой случайный процесс Маркова. Это облегчает
дальнейшие наши рассуждения.
3. Составление уравнений. Наша задача теперь состоит
в том, чтобы найти те уравнения, которым удовлетворяют
вероятности Pk{t). Одно из уравнений очевидно, а именно
для каждого t <»
2^(0 = 1- (2)
/е = о
Найдем сначала вероятность того, что в момент t-\-h все
приборы свободны. Это может произойти следующими способами:
в момент t все приборы были свободны и за время h
новых требований не поступало;
в момент t один прибор был занят обслуживанием
требования, все остальные приборы свободны; за время h
обслуживание требования было завершено и новых требований не
поступило.
Остальные возможности, как-то: были заняты два или три
прибора и за время h работа на них была закончена— имеют
вероятность о {к), как легко в этом убедиться,

28 ЗАДАЧИ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ [ГЛ. 1
Вероятность первого из указанных событий равна
PQ(t)e-xh = PQ(t)(\-Xh + o(h)),
вероятность второго события
Р1 (t) e-Kh (1 - е-"1) = Рх (t) vh+o (h).
Таким образом,
P0(t + h) = P0(t)(\-U) + vhP1(t) + o{h).
Отсюда очевидным образом приходим к уравнению
PoW^ — bPoW + vPA*). (3)
Перейдем теперь к составлению уравнений для Pk (t) при
k^\. Нам придется отдельно рассмотреть два различных
случая 1<]&<# и kT^n. Пусть вначале 1^&<л. Мы
перечислим только существенные состояния, из которых мы
можем прийти в состояние Ек в момент t-{-h. Эти состояния
таковы:
В момент t система находилась в состоянии Ek, за время h
новых требований не поступило и ни один прибор не окончил
обслуживания. Вероятность этого события равна
Pk (t) e~lh(e-*h)k = Pk (*)(l-XA-*vA + o (/г)).
В момент t система находилась в состоянии Ek_ly за
зремя h поступило новое требование, но ни одно ранее
находившееся требование не было закончено обслуживанием.
Вероятность этого события равна
P%_1(t)(\-e-™)(e-4h)*-i = ,khPk_1{t) + o(h).
В момент t система находилась в состоянии Ек+1, за
время h новых требований не поступило, но одно требование
было обслужено. Вероятность этого^ равна
Pk+1(t)e-lhC1k + 1(e-'"t)k(\-e-'"')=Pk+1(t)(k+\)v + o(h).
Все остальные мыслимые возможности перехода в
состояние Ек за промежуток времени h имеют вероятность,
равную о (/г).
Собрав воедино найденные вероятности, получаем
следующее равенство:
Pk(t + h)=Pk(t)(\-Xh-kvh) + 'khPk_l(t) +
+ {k+l)vhpk+i(t) + 0(h).

§ 1.21
ОБСЛУЖИВАНИЕ С ОЖИДАНИЕМ
29
Несложные преобразования приводят нас от этого
равенства к такому уравнению для 1 ^ к < п:
Pk(t) = -(X + kv)Pll(t) + kPk_1(t) + (k + \)vPk+1(t). (4)
Подобные же рассуждения для к~^п приводят нас к
уравнению
P'k{t) = — {b + nv)Pk(t) + kPk.1(t) + nvPk+1(t). (5)
Для определения вероятностей Рк (t) мы получили
бесконечную систему дифференциальных уравнений (2) — (5). Ее
решение представляет несомненные технические трудности.
4. Определение стационарного решения. В теории
массового обслуживания обычно изучают лишь установившееся
решение для t—►оо. Существование таких решений
устанавливается так называемыми эргодическими теоремами,
некоторые из них позднее будут нами установлены. В нашей
задаче, оказывается, эти предельные или, как говорят обычно,
стационарные вероятности существуют. Введем для них
обозначения: Рк% Заметим дополнительно, чего мы также сейчас
не станем доказывать, что Pk (t)—*0 при t—>-оо.
Сказанное позволяет нам заключить, что уравнения (3),
(4), (5) для стационарных вероятностей принимают
следующий вид:
-ЯРо + vP^O, (6)
при 1 < к < п
^-iM* + H^^*+l)vPft + 1==Of (7)
при к ^ п
^-i-(* + ™)Pfc + /ivP* + 1 = 0. (8)
К этим уравнениям добавляется нормирующее условие
Для решения полученной бесконечной алгебраической
системы введем обозначения: при 1^&<я
** = ^-i-*vP„
при k^n

30 ЗАДАЧИ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ [ГЛ. 1
Система уравнений (6)—(8) в этих обозначениях
принимает такой вид:
4 = 0, zk — zk+l = 0 при А>1.
Отсюда заключаем, что при всех k~^\
т. е. при 1 ^ k < п
и при k~^n
:0,
^Рк = КРк_,.
(Ю)
(И)
Введем для удобства записи обозначение
X
r v
Уравнение (10) позволяет нам заключить, что при
1 < * < п
Ру =
kV о-
(12)
При k^n из (11) находим, что
**=Нг
к-п
и, следовательно, при k^n
k • h—n 0'
(13)
Нам остается найти Р0. Для его определения в (9)
подставляем выражения Pk из (12) и (13). В результате
,£й+*ё(*)"1->-
Так как бесконечная сумма, стоящая в квадратных
скобках, сходится только при условии, что
Р<л, (И)
то при этом предположении находим равенство
Л пп +1
т'-Ef
k = Q
k\ ' я!(я —р) '
(15)

§ 1.2] ОБСЛУЖИВАНИЕ С ОЖИДАНИЕМ 31
Если условие (14) не выполнено, т. е. если р^#, то
ряд, стоящий в квадратной скобке уравнения для
определения Я0, расходится и, значит, Р0 должно быть равно 0. Но
при этом, как это следует из (12) и (13), и при всех k^\
оказывается Pk — Q. Этот результат очень важен, и мы
сформулируем его словами:
Во всех случаях, в которых pj^tf, очередь на
обслуживание неограниченно растет со временем.
Поясним полученный результат на нескольких
практических примерах, которые покажут, что обычные в
практической деятельности подсчеты, основанные на чисто
арифметических соображениях, при которых не учитывается специфика
случайных колебаний в поступлении требований на
обслуживание, приводят к серьезным просчетам.
Пусть врач успевает удовлетворительно осмотреть
больного и заполнить его историю болезни в среднем за 15
минут. Планирующие органы из этого обычно делают вывод:
за четырехчасовой рабочий день врач должен принимать
16 человек. Однако больные приходят в случайные моменты
времени. В результате при таком подсчете пропускной
способности врача к нему неизбежно скапливается очередь, так
как при проведенном подсчете р принимается равным 1. Те
же заключения относятся и к расчету числа коек в
больницах, числа работающих касс в магазинах, числа официантов
в ресторанах и т. д. К сожалению, некоторые экономисты
совершают такую же ошибку и при расчете погрузочных
средств в карьерах, числе приемщиков на элеваторах, числе
причалов в морских портах и пр.
Во всем дальнейшем мы предполагаем, что условие (14)
выполнено.
5. Некоторые подготовительные результаты. Во
введении к книге мы уже говорили, что для задачи с ожиданием
основной характеристикой качества обслуживания является
длительность ожидания требованием начала обслуживания.
Длительность ожидания представляет собой случайную
величину, которую мы станем обозначать буквой у. Рассмотрим
сейчас только задачу определения распределения
вероятностей длительности ожидания в уже установившемся процессе
обслуживания. Обозначим далее через P{y>t) вероятность
того, что длительность ожидания превзойдет t, и через
Pk {у > t] вероятность неравенства, указанного в скобке,

32
ЗАДАЧИ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ [ГЛ. 1
при условии, что в момент поступления требования, для
которого мы подсчитываем длительность ожидания, в очереди уже
находится k требований. В силу формулы полной вероятности
имеем равенство
00
к — п
Прежде чем преобразовать эту формулу к виду, удобному
для использования, мы приготовим некоторые необходимые
нам для дальнейшего сведения. Прежде всего для случаев
п—\ и я = 2 найдем простые формулы для Р0. Несложные
преобразования приводят нас к таким равенствам: при п—\
Л>=1-Р, (17)
а при /г = 2
Р»=22?Р- (18)
Вычислим теперь вероятность того, что все приборы
будут заняты в какой-то наудачу взятый момент. Очевидно,
что эта вероятность равна
п~ Z*^k nlZd\n) 'о (л_!)| („_р). ЧУ)
Эта формула для п—\ принимает особенно простой вид:
л = р, (20)
при п = 2
П = 2Т~Р- (21>
Напомним, что в формуле (19) р может принимать любое
значение от 0 до п (исключительно). Так что в формуле (20)
р< 1, а в (21) р<2.
6. Определение функции распределения длительности
ожидания. Если в момент поступления требования в очереди
уже находились k—п требований, то, поскольку
обслуживание происходит в порядке очередности, вновь поступившее
требование должно ожидать, когда будут обслужены k — /z+ l
требований. Пусть qs(t) означает вероятность того, что за
промежуток времени длительности t после поступления инте-

§ 1.2] ОБСЛУЖИВАНИЕ С ОЖИДАНИЕМ 33
ресующего нас требования закончилось обслуживание ровно 5
требований. Ясно, что при k^n имеет место равенство
k-n
s=o
Так как распределение длительности обслуживания
предположено показательным и не зависящим ни от того, сколько
требований находится в очереди, ни от того, как велики
длительности обслуживания других требований, то вероятность
за время t не завершить ни одного обслуживания (т. е.
вероятность того, что не освободится ни один из приборов)
равна
<1о«) = е-пП.
Если все приборы заняты обслуживанием и еще имеется
достаточная очередь требований, которые ожидают
обслуживания, то поток обслуженных требований будет
простейшим. Действительно, в этом случае все три условия —
стационарность, отсутствие последействия и ординарность —
выполнены. Вероятность освобождения за промежуток
времени t ровно 5 приборов равна (это можно показать и
простым подсчетом)
Итак,
s = o
и, следовательно,
k-n ч ' S=0
Но вероятности Pk нам известны,
поэтому
P{4>t} = Pne-»«±(i)k-nk£
k-n
k-пчг^ (nvt)s
2 Б. В. Гнеденко, И. Н. Коваленко

34 ЗАДАЧИ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ [ГЛ. 1
Очевидными преобразованиями приводим правую часть
последнего равенства к виду
-v- Ш i (I)'"""*-
s=o k=n+s ч '
** si
- Pn r-n* V(^)J= Pn c-(Bv-X>t
1 P s! i P
1 — -*- s = o 1 *-
n n
Из формул (13) и (19) следует, что
поэтому при t > О
/>{Y>*} = ne-(nv-X)t. (22)
Само собой разумеется, что при t^.0
P{V>t} = \.
Функция Р{у > t] имеет в точке /==0 разрыв
непрерывности, равный вероятности застать все приборы занятыми.
7. Средняя длительность ожидания. Формула (22)
позволяет находить все интересующие нас числовые характеристики
длительности ожидания. В частности, математическое
ожидание длительности ожидания начала обслуживания или,
как предпочитают говорить, средняя длительность
ожидания равна
а = My = — J tdP {у > t) = я J t (/iv - Я) e-<»v-x>* л.
о о
Несложные вычисления приводят нас к формуле
а =-7^—:• (23)
Дисперсия величины у равна
Формула (23) дает нам среднюю длительность ожидания
одного требования. Найдем среднюю потерю времени требо-

§ 1.2] ОБСЛУЖИВАНИЕ С ОЖИДАНИЕМ 35
ваниями, пришедшими в систему обслуживания в течение
промежутка времени Т. За время Т в систему поступает Я Т
требований в среднем; общая потеря ими времени на
ожидание в среднем равна
аХГ = -^Ц=^И. (24)
v (п — р) п — р х '
Мы приведем небольшие арифметические подсчеты,
которые продемонстрируют нам, как быстро возрастают суммарные
потери времени на ожидание с изменением величины р. При
этом мы ограничиваемся случаем Г=1 и рассматриваем лишь
самые малые значения п: п= 1 ил = 2. При л=1 в силу (20)
аХ
1-Р'
В табл. 1 приведены значения аХ с точностью до четырех
знаков для небольшого числа значений р.
Таблица 1
р
а%
0,1
0,0111
0,2
0,2000
0,3
0,2667
0,5
0,5000
0,6
0,9000
0,7
1,6333
0,8
3,2000
0,9
8,1000
При /2 = 2 в силу (21)
аК
4 —р2'
В табл. 2 приведены значения аК для некоторых допустимых
значений р.
Таблица 2
р
а%
0,1
0,0003
0,2
0,0020
1,0
0,3333
1,2
0,6750
1,5
1,3500
1,6
2,8444
1,8
7,6737
1,9
17,5872
Приведенные таблицы иллюстрируют хорошо известный
факт относительно большой чувствительности систем
обслуживания, уже достаточно сильно загруженных, к возрастанию
загрузки. Потребитель при этом сразу ощущает значительное
2*

36 ЗАДАЧИ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ [ГЛ. 1
возрастание длительности ожидания. Этот факт обязательно
следует учитывать при расчете загрузки оборудования в
системах массового обслуживания.
8. Пример. Мы приведем теперь небольшой пример
использования полученных результатов. Этот пример носит
схематический характер, однако не составляет трудностей доведение
его до реальных расчетов. При проектировании морского
порта можно: 1) либо строить два порта и в каждом из
них устроить по одному причалу и приписать к каждому из
этих портов одинаковое число судов, 2) либо построить один
порт с двумя причалами, 3) либо, наконец, построить один
порт с одним причалом и все механизмы для погрузки и
выгрузки сосредоточить в этом порту. Какой из предложенных
проектов следует признать оптимальным с точки зрения
минимизации потерь времени на ожидание погрузочно-разгру-
зочных операций?
Обработка реальных данных по ряду портов показала,
что гипотезу простейшего потока приходящих в порт судов,
так же как гипотезу показательного распределения
длительности погрузочно-разгрузочных операций, в первом
приближении, можно принять с достаточной точностью (Б. В. Гнеденко,
М. Н. Зубков [1]).
Пусть интенсивность всего потока судов равна 2Х, тогда
по первому проекту в каждый из двух портов поступают
потоки интенсивности X; по второму и третьему проектам
в порты поступают потоки интенсивности 2Х. Если параметр v,
характеризующий скорость разгрузки по первому и второму
проектам, равен v, то по третьему проекту он равен 2v.
Таблица 3
р
I
II
III
0,1
0,0222
0,0020
0,0111
0,5
1,0000
0,3333
0,5000
0,6
1,8000
0,6750
0,9000
0,7
3,2660
1,3451
1,6330
0,8
6,4000
2,8444
3,2000
0,9
16,2000
7,6737
8,1000

§ 1.3] ПРОЦЕССЫ ГИБЕЛИ И РАЗМНОЖЕНИЯ 37
В табл. 3 мы сводим результаты расчетов. В качестве
параметра выбрано отношение р = — . Варианты 1—3 указаны
в соответствующих строках та.блицы — I, II, III, в которых
указаны средние потери времени всеми судами, пришедшими
за единицу времени.
При расчетах мы воспользовались табл. 1 и 2.
Сравнение показывает, что первый вариант неудачный, а
второй — самый удачный. Сравнение второго и третьего
вариантов следует продолжить дальше, поскольку нужно
учитывать затраты на строительство.
§ 1.3. Процессы гибели и размножения
1. Определение. Задачи, рассмотренные нами в
начальных параграфах книги, привели к поразительно близким
системам дифференциальных уравнений, и методы получения
этих уравнений были почти одинаковы. Естественно
возникает мысль о том, что мы рассмотрели два частных случая
одной общей теории. Действительно, в теории вероятностей
известен класс случайных процессов марковского типа, в
который укладываются как только что изученные задачи, так
и множество других. Этот класс процессов начали изучать
в связи с биологическими постановками вопросов о
численности популяций, распространения эпидемий и т. п. Это
обстоятельство привело к тому, что процессы, о которых
речь пойдет дальше, получили наименование процессов гибели
и размножения. Поскольку математическая схема, изучаемая
в них, носит достаточно общий характер, процессы гибели
и размножения получили широкое применение во многих
прикладных вопросах, по своему физическому характеру очень
далеких от биологических. В частности, многие задачи теории
надежности, например теории резервирования, часто
рассматривают с позиции этого типа процессов.
Представим себе, что интересующая нас система в
каждый момент времени может находиться в одном из состояний
£0, Ev E2, ..., множество которых конечно или счетно.
В силу ряда причин состояния системы со временем
изменяются, причем за промежуток времени длительности h
система из состояния Еп в момент времени t с вероятностью
^nh + o(h) переходит в состояние Еп + 1 и с вероятностью
уп^Л-о{к) — в состояние En_v Вероятности того, что за про-

38 ЗАДАЧИ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ [ГЛ. 1
межуток времени (t, t -f- h) система перейдет в состояние En + k
или в состояние En_k при k > 1, бесконечно малы по
сравнению с h. Отсюда, в частности, следует, что вероятность за
тот же промежуток времени остаться в состоянии Еп равна
\ —Xnh — vnh-\-o(h)t Постоянные Кп и vn предполагаем
зависящими от /z, но не зависящими от f и от того, каким
путем система пришла в это состояние. Теорию, которая
будет здесь изложена, можно, впрочем, распространить и на
тот случай, когда кп и vn зависят также от t.
Случайные процессы только что описанного типа и
являются как раз процессами гибели и размножения.
Если под Еп понимать событие, состоящее в том, что
численность популяции равна /г, то переход Еп—>Еп+1 означает,
что численность популяции увеличилась на единицу. Точно
так же на переход Еп—^Еп_1 следует смотреть как на
гибель одного члена популяции.
Если при любом п ^ 1 имеют место равенства vn = Q,
т. е. если возможны только переходы Еп—> En + V то процесс
называется процессом размножения (чистого
размножения). Если же все Хп = 0 {п = 0, 1, 2, . . .), т.е. переходы
Еп—>Еп+1 невозможны, то процесс называется процессом
гибели.
Процесс, рассмотренный нами в § 1,1, представляет собой
процесс размножения: для него Кп = X при всех п^О.
Процесс обслуживания с ожиданием, рассмотренный нами
в § 1.2, является процессом гибели и размножения. Для него
Хп = X при п ^ О, \k = kv при 1 ^ k ^ n и vk = nv при k^n.
2. Дифференциальные уравнения процесса. Обозначим
через Pk(t) вероятность того, что система в момент /
находится в состоянии Ek. Теперь уже привычными нам
рассуждениями мы приходим к следующей системе
дифференциальных уравнений:
PiO^-VoO + vAW (1)
и при k ^ 1
P'k (t) = -(K + v*) Рк «) + K-iPk-г (<) + v*+1P*+1 (0- (2)
Наши обозначения несколько неудачны, поскольку мы не
отметили, из какого состояния Ei начала изменяться система.
Так что исчерпывающие обозначения были бы такие: Pij(t) —
вероятность того, что система окажется в момент t в состоя-

§ 1.3] ПРОЦЕССЫ ГИБЕЛИ И РАЗМНОЖЕНИЯ 39
нии Е>, если в момент 0 она находилась в состоянии Е{.
В задачах, рассмотренных в § 1.1 и 1.2, мы предполагали,
что начальное состояние системы было Е0.
Уравнения (2) и (1) особенно простой вид принимают
в случае, когда при всех к ^ 1 имеют место равенства vk~ О,
т. е. для процессов чистого размножения. В этом частном
случае путем последовательного интегрирования удается
найти одну функцию вслед за другой. Без труда можно
выписать общее решение и убедиться, что функции Pk(t)
неотрицательны при любых к и t. Однако если Xk при
возрастании к растут слишком быстро, то может случиться, что
k = 0
3. Доказательство теоремы Феллера. Для того чтобы
при всех значениях t решения Pk(t) уравнений чистого
размножения удовлетворяли соотношению
2/>*(<) = 1,
необходимо и достаточно, чтобы расходился ряд
00
2 хг\
k = 0
(3)
-
(4)
Доказательство. Рассмотрим частичную сумму
ряда (3)
Sn(t)=P0(t)+...+Pn(t). (5)
Из уравнений размножения вытекает, что
S'n(t) = -kPa{t).
Отсюда находим, что
t
\-Sn(t) = XnlPn(t)dX (6)
о
(если вместо начального условия Я0(0) = 1 мы возьмем
другое, а именно Я£ (0)=1, то это равенство имеет место
при n^i).
Так как все члены суммы (5) неотрицательны, то при
каждом фиксированном значении t сумма Sn(t) с возрастанием

40 ЗАДАЧИ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ [ГЛ. 1
п не убывает. Следовательно, существует предел
Hm(l-$„(*)) = МО- <7)
/г-> со
В силу (6) мы заключаем, что
t
о
Отсюда ясно, что
t
fs.Md*>M<) (£+...+£).
о
Так как при любых t и п имеет место неравенство Sn(t) ^ 1,
то
<>ио (£+.-+£).
Если ряд (4) расходится, то из последнего неравенства
вытекает, что при всех t должно быть выполнено равенство
jx(^) = 0. Вспомнив равенство (7), мы убеждаемся, что
расходимость ряда (4) приводит к (3).
Из (6) ясно, что
t
0
а следовательно,
о
В пределе при п—>-оо получаем
t
S[i-ii (о]л< s^1.
о " = о
Если \х (t) — 0 при всех /, то левая часть неравенства равна /,
а поскольку £ произвольно, то ряд, стоящий в правой части,
расходится. Теорема доказана.
В теореме §1.1 мы имели дело с простейшей задачей
чистого размножения; там мы имели дело со случаем Xrt = X
при всех п^О. Для этого случая ряд (4) расходится.

§ 1.3] ПРОЦЕССЫ ГИБЕЛИ И РАЗМНОЖЕНИЯ 41
Из теоремы вытекает, что при \п = п2, я^О, обяза-
00
тельно должно быть выполнено неравенство 2 ^я (0 < *■
л = о
со
На сумму 2^ (О можно смотреть как на вероятность
/2=0
того, что за время t произойдет лишь конечное число измене-
00
ний состояния системы. Таким образом, разность 1— ^jPn(t)
п = о
следует интерпретировать как вероятность бесконечного
числа изменений состояния за время t. В явлении
радиоактивного распада такая возможность означает взрыв.
Изложенная теорема была найдена и доказана В. Фел-
лером [3].
4. Ненагруженный резерв без восстановления.
Представим себе, что у нас имеется система, состоящая из одного
основного элемента и п эквивалентных ему элементов,
находящихся в ненагруженном резерве. Основной элемент
находится под нагрузкой и в промежутке времени (/, t-^h)
может отказать с вероятностью Xh-\-o(h). Как только
основной элемент откажет, ему на смену в работу включается
один из резервных, который, таким образом, становится уже
основным. Система отказывает, как только откажут все
элементы — основной и все резервные.
Обозначим через Ek событие, состоящее в том, что в
системе отказали к элементов. В момент времени ^ = 0
система находится в состоянии Е0. Наша задача состоит
в том, чтобы определить вероятности состояний Ек в момент
времени t. Вероятность состояния Еп+1 в момент t означает,
что система отказала до момента t.
Заметим, что в нашей задаче мы имеем случай процесса
чистого размножения, причем Aft = A при 0^&^#иАА = 0
при & > я. Ряд (4) расходится, поскольку имеются Xft = 0.
Таким образом, в. нашей задаче равенство (3) обязательно
выполнено.
Уравнения (2) и (3) для нашей задачи принимают такой вид:
P0(t) = -XP0(t),
при 1 <&<я
Pk{t) = -и>кМ + ЬРк-гУ)9

42 ЗАДАЧИ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ [ГЛ. 1
при k = п-\-1
Pn + i(t) = bPn(t).
Последовательное решение нашей системы уравнений и
использование начальных условий приводит нас к системе
равенств
P0(t) = e-U,
Рх (0 = lte-u,
6 = 0
Обозначим через £л длительность жизни &-го элемента
в период работы. Очевидно, что длительность жизни всей
системы равна
п + 1'
Так как средний срок жизни одного элемента в работе равен
ae~kt dt-.
$•
-и ., 1
то средний срок жизни зарезервированной системы равен
(/г+1)Д, т. е. пропорционален общему числу элементов
в системе.
5. Нагруженный резерв без восстановления. Мы
рассмотрим еще одну простую задачу теории резервирования.
Основной элемент снова имеет п резервных, но все резервные
элементы находятся в том же состоянии, как и основной.
Каждый из элементов за промежуток времени (t, t + h)
отказывает с вероятностью Kh-\-o(h). Система в целом
отказывает в момент, когда откажут все элементы. Мы вновь
имеем дело с процессом чистого размножения^ для которого
ХА = (л+1—*)Х при 0<£</z, Хй+1 = 0.
Уравнения задачи принимают такой вид:
P'oV) = — {n+\)\P0(t),

§ 1.3]
ПРОЦЕССЫ ГИБЕЛИ И РАЗМНОЖЕНИЯ
43
при 1 ^^^л
Pk(t) = — {n+\-k)XPk(t) + (n-k + 2)XPk_l(t)
и при k~n-\-1
Pk+1{t) = XPJt).
Решение выписанной системы уравнений приводит нас к
равенствам:
P1(t) = (n+\)e-nU(\-e-u),
Pn(t) = (n+\)e-^V-e-xt)n,
Вычисление средней длительности жизни резервированной
системы мы проведем следующим способом: отметим на оси
абсцисс моменты последовательных отказов tv t2J . . . , tn+1.
Введем обозначения т1=/1, т2 = /2 — tlf . . . ^n + i = tn+l — tn.
Поскольку в первом интервале у нас работает п-\-\
элементов, вероятность того, что не откажет за время t ни
один из них, равна PQ(t) — e~(n + l)U, Во втором интервале
работает только п элементов. В силу свойства
показательного распределения вероятность того, что они все
проработают без отказа время t, считая от момента t0 равна e~xt.
Наконец, в последнем интервале работает только один
элемент. Вероятность того, что после момента tn он
проработает время t, есть e~xt. Среднее время работы системы равно
л+1 n+i
k=i k=i x '
Если п велико, то известно, что
1+у+... +^==1п(л+1) + С,
где С = 0,5772157...—постоянная Эйлера.
Сравнение формул для средней длительности безотказной
работы системы в случае ненагруженного и нагруженного
резерва дает нам
Т1== (п+1)
Га In (n + i) #

44 ЗАДАЧИ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ [ГЛ. 1
Этот выигрыш растет с увеличением кратности резервиро-
Т
вания. Так, при п = 2 имеем ^ ^2,72, а при п = 4 имеем
Л 9
J* да 3,12.
* 2
6. О существовании решений уравнений гибели и
размножения. В случае процесса чистого размножения система
уравнений (1) —(2) разрешалась очень просто путем
последовательного интегрирования, поскольку дифференциальные
уравнения имели вид рекуррентных соотношений. Общие
уравнения процесса гибели и размножения имеют иную
структуру и последовательное определение функций Pn(t)
уже невозможно. В настоящее время условия существования
и единственности этой системы хорошо выяснены работами
Феллера [1] и [2], Карлина и Мак-Грегора [1], [2] и
Ройтера [1]. Оказалось, что равенство
2 рк (t) = 1
k = o
выполнено не всегда. Для того чтобы это было так,
достаточно расходимости ряда
Если вдобавок ряд
00 k
k
сходится, то существуют пределы
£,П^ (9)
Pk=l\mPk(t) (* = 0,1, •••). (10)
/-►СЮ
Это условие, в частности, выполняется во всех случаях,
когда, начиная с некоторого у, выполнено неравенство
-Ь-<а<1.
Как правило, это неравенство в задачах теории массового
обслуживания выполняется. Оно, в частности, выполнено для
рассмотренной нами задачи обслуживания с ожиданием.

§ 1.3] ПРОЦЕССЫ ГИБЕЛИ И РАЗМНОЖЕНИЯ 45
Интуитивно эти условия ясны: они означают, что
поступление в систему обслуживания не должно слишком быстро
возрастать по сравнению с возрастанием быстроты
обслуживания. По частному поводу в п. 4 § 1.2 об этом уже была речь.
Чтобы определить пределы (10), достаточно решить
алгебраическую систему, которая получается из (1)—(2),
если в них положить Р' (t) = 0 и заменить Р{ (t) на Р{. Эта
система уравнений имеет, следовательно, вид
~(h + vk)Pk + h-iPk + vk+1Pk+1 = 0 (*>1). (11)
Введем обозначение
4=-KPk + ^ + iPk+v * = 0,1, ...
В этих обозначениях уравнения (11) принимают вид
*о = 0, V-**-i = °-
Отсюда следует, что при всех k ^ 0
zk = 0.
Находим, что
^-Чг^-х-П^-1/».. (12)
со
Из условия нормировки У\ Рк=1 определяем Р0:
/г = о
Л>
(13)
Для частного случая эти вычисления уже были проведены
нами в § 1.2.
7. Уравнения, обращенные в прошлое. Уже было
сказано в п. 2, что обозначение Рк (t) для вероятности
состояния в момент t неудачно, поскольку оно не отражает того,
в каком состоянии находилась наша система в момент £ = 0.
Было бы естественнее ввести более полное обозначение Ptj(t),
из которого было бы сразу видно, что вероятность перехода
за время t из состояния Et в состояние Ej равна Pij{t).
Однако ради краткости записи, пока не было опасности
ошибки, мы использовали упрощенное обозначение. Если

46 ЗАДАЧИ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ [ГЛ. 1
состояние в момент t = 0 нам было известно, то P(j(t)
представляет собой абсолютную вероятность системе в
момент t находиться в состоянии £,. Если, наконец, нам известно
только распределение вероятностей nt начального
состояния Е(, то вероятность находиться в состоянии Ej в момент t
равна по формуле полной вероятности
яу(*)=2я,р,у(*).
i
Начальные условия для системы уравнений (1)—(2), если
мы имеем лишь распределения состояний системы в начальный
момент, могут быть записаны в таком виде:
Я17(0) = я£> если /=*, /=1, 2, ...
В частности, если в начальный момент система находится
в состоянии Еь то
( 1 при /' = /,
Р,Л0) = < J
lJ w \ 0 при ]фи
Уравнения (1)—(2) были получены посредством сравнения
вероятностей в моменты t и t-\-h. Мы шли, так сказать,
из прошлого в будущее. В ряде случаев представляет интерес
иная задача: известно состояние системы в момент времени £,
спрашивается, какова вероятность, что система пришла в это
состояние из состояния Е{?
Составление новой системы уравнений для нас не
представит труда, если мы заметим правило их составления:
момент t мы фиксируем и затем сравниваем способы перехода
в состояние Ej из различных состояний в моменты t = h и
/ = 0. Мы приведем эти уравнения без вывода, поскольку
вывод не вызывает затруднений,
Pol(t)=-X0P0/(t) + XPv(t), (14)
при / ^ 1
Pif(t)= -(X/ + vi)^y(0 + XJP,+lf/(#)+|i,P,.ll/(0. (15)
Для сравнения выпишем уравнения (1)—(2) в полных
обозначениях:
Р'ю (t)=-hPtoV) + ViPnV), ■(!')
при /^ 1
Ptl(t)= -fr/+V/)Pij(t)+b,-iPi,,-At)+Vj+iPt,/+i(t)- (2')

§ 1.4] ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПРОЦЕССА ГИБЕЛИ 47
Полученные уравнения представляют собой частный случай
известных уравнений А. Н. Колмогорова, которые управляют
непрерывным случайным процессом марковского типа.
Для примера рассмотрим простую задачу Kt = К при / ^ О,
V; = 0; в момент t в системе имеется п требований. Найти
вероятность того, что в момент времени 0 в системе
находилось то или иное число требований. Мы имеем процесс
чистого размножения, поэтому / может принять только
значения 0, 1, 2, ..., п. Система (14)—(15) принимает
следующий вид:
Pnn(t)=-bPnn(t),
при 0 ^ i ^ п — 1
я;я«)=-^я(о+^£>||.1(о.
Начальные условия задачи: Рпл(0)=1, Р/п(0) = 0, 1фп.
Решение дается формулами
^B(0 = e-", Pn-i,«V) = M*-xt. ...
§ 1.4. Использование процесса гибели и размножения
в теории массового обслуживания
1. Система с потерями. Имеется п обслуживающих
приборов, каждый из которых доступен, когда он свободен, для
каждого из поступающих в систему требований и
одновременно способен обслуживать только одно требование. Время
обслуживания случайно, и его длительность имеет
показательное распределение с параметром v. Поток требований —
простейший с параметром Я. Каждое требование,
поступившее в систему, начинает обслуживаться немедленно, если
в ней имеется хотя бы один свободный прибор. Если же все
приборы заняты, то требование теряется-, получает отказ.
Как мы уже говорили во введении, основной
характеристикой качества обслуживания для систем с отказами является
вероятность отказа (вероятность потери требований).
Если под Ек понимать то состояние системы, когда в ней
находится к требований, то наша система может находиться
лишь в состояниях E0l Ev ..., Еп. Вероятность перехода
из состояния Ек в состояние Ек+1 (при к < п) за время h
равна Xh-\-o(h), остаться в состоянии Ek (при k^.n) за тот
же промежуток времени равна 1-—Xft—-JfeAv-i-o(A), перейти

48 ЗАДАЧИ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ [ГЛ. 1
из состояния Ek в состояние Ek_x (при k > 0) равна
kvh-\-o (h). Мы находимся в условиях схемы процессов
гибели и размножения, для которой Xk = X при к < п и Хл = 0
при k^n, vk =0 при & = 0 и /г > я, vft == 6v при 1 < k < п.
Легко составить дифференциальные уравнения задачи,
подставив в уравнения (1)—(2) § 1.3 только что выписанные
значения Kk и vk. Стационарные решения мы получаем из
равенств (12) § 1.3, а именно:
величина Я0 определяется из равенства
fe = o
Подстановка сюда значений Рк их (1) дает нам
где р = —.
Таким образом, при 0^/г^я
Полученные формулы носят наименование формул Эрлан-
г а по имени впервые нашедшего их Эрланга. Со времени
работ Эрланга было предпринято большое число попыток
обобщения результата Эрланга в различных направлениях.
Позднее мы докажем один общий результат, полученный
Б. А. Севастьяновым и подготовленный многими
исследователями, согласно которому (2) сохраняют для задачи с
потерями свой вид при любом распределении длительности
обслуживания, лишь бы его среднее значение было равно — .
При k — n формула (2) дает нам вероятность того, что
в данный момент приборы системы заняты обслуживанием

§ 1.4] ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПРОЦЕССА ГИБЕЛИ 49
и, следовательно, каждое требование, поступившее в этот
момент, получит отказ. Итак, вероятность отказа равна
Обратим внимание на то, что если в системе
обслуживания имеется бесконечно много приборов, то
и, стало быть,
^ = ИР*е"Р- (*)
Эта формула может быть полезна при вычислении
вероятностей Рк при больших п и не слишком больших р. Заметим,
что в формулах (2) и (3) величина р может принимать любые
значения ^ 0.
Формулы (2) позволяют найти среднее число загруженных
приборов
«п=2^ = рО-Л,)- (5)
/е = 0
Для иллюстрации быстроты возрастания вероятности
потерь с увеличением загрузки (величины р) приведем
небольшие таблички. Мы ограничиваемся случаем только п = 2 и
п = 4 и выбираем при этом такие значения р, чтобы они
соответствовали одинаковой интенсивности потоков,
приходящихся на один прибор.
/2 = 2
р
\Рп
0,1
0,0045
0,3
0,0335
0,5
0,0769
1,0
0,2000
2,0
0,4000
3,0
0,5294
4,0
0,6054

50 ЗАДАЧИ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ [ГЛ. 1
л = 4
р
Рп
0,2
0,0001
0,6
0,0030
1,0
0,0154
2,0
0,0952
4,0
0,3107
6,0
0,4696
8,0
0,5746
Из табличек мы замечаем, что при малых загрузках
большое число приборов существенно уменьшает вероятность
потерь. Например, при й = 2 и р = 0,3 вероятность потери
равна 0,0335, в то время как при п = 4 и р = 0,6
вероятность потери лишь 0,0030, а при « = 6и р = 0,9
вероятность потери только 0,0003. Если же загрузки велики, то
положение почти выравнивается и мы получаем такие данные:
л = 2, р = 3, Рп = 0,5294, ап = 0,9412;
п = 4, р = 6, Рп = 0,4696, ап = 2,1216;
/1 = 6, р = 9, Рп = 0,4405, ап = 3,3570.
2. Системы с ограниченным числом мест ожидания.
Предположим теперь, что в нашей системе массового
обслуживания созданы некоторые удобства для требований,
заставших все приборы занятыми обслуживанием ранее прибывших
требований. Для них имеется ограниченное число мест
ожидания: некоторое число кресел, в которых клиенты
парикмахерской могут подождать приближения своей очереди;
определенного объема бункерные устройства, в которых ожидают своей
очереди обработки на станке детали, и т. д. Пусть таких
мест т. Если требование застает хотя бы один свободный
прибор или хотя бы одно свободное место ожидания, то оно
остается в системе, в противном случае происходит потеря
требования. Остальные условия сохраняются такими же, как
и в предыдущем разделе.
Мы вновь находимся в условиях теории процессов гибели
и размножения. У нас Хк = Х при 0^.k <я + т, ^ = 0 при
k^n + m; v0 = 0, vk = kv при \^.k^.n; vk = nv при
n^k^n-\-m, vk = Q при k>n-\-m. Уравнения (12) § 1.3

§ 1.4]
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПРОЦЕССА ГИБЕЛИ
51
приводят нас к формулам:
Рк = £Ро (1<*<л),
п\ гг
Л> =
Lfc = o s=i ч '
(6)
(7)
(8)
Легко убедиться, что при т = 0 равенства (6)—(8)
приводят нас к формулам Эрланга, а при т=оо — к (12), (13),
(15) § 1.2. Вероятность
pti+m
~ п\ пт
k = 0
является, очевидно, вероятностью потери требования.
Среднее число занятых приборов в установившемся
процессе обслуживания равно
n-l m
V р 1 (р)" v />У
k=l
k = n + l
*-> kl^ n\ *-*\n J
k=0 S=l Ч '
Мы приведем небольшие таблички, которые для случаев
#=2, т—\ и /z = 4, m=l при выбранных в предыдущем
разделе значениях р дают значения вероятностей потери
требований.
п = 2, т= 1
р
^2 + 1
0,1
0,0002
0,3
0,0033
0,5
0,0188
1,0
0,0909
2,0
0,2857
3,0
0,4426
4,0
0,5477

52 ЗАДАЧИ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ [ГЛ. 1
/г = 4, т=\
р
^4 + 1
0,2
0,0000
0,6
0,0004
1,0
0,0038
2,0
0,0454
4,0
0,2447
6,0
0,4133
8,0
0,5345
Таблицы показывают, что даже одно место ожидания
позволяет значительно уменьшить вероятность потери
требований при не очень больших загрузках. Легко подсчитать,
что при наличии мест ожидания увеличивается средняя
загрузка приборов.
3. Распределение времени ожидания начала
обслуживания. Сохранив обозначения п. 6 § 1.2, можно почти без
изменения повторить проведенные там рассуждения и
получить следующие формулы:
n+m-i n+m-i k-n
P{y>t}= S Р*Рк{у>*)= 2 П2?Л0 =
k = n k — n s= о
s=o k = s s=o k = s
-v^-g^ ((*)'-(*)")• (.0)
p
где nn m = UL— . При т = оо вновь получается формула
1—-£-
(22) § 1.2.
Несложные вычисления позволяют получить среднюю
длительность ожидания
%-Ьт>'>*-^[>-»(*)'+(*п-<">
о
Заметим, что рассмотренную постановку задачи
естественно обобщить в таком направлении: поступающие
требования обслуживаются немедленно, если имеется хотя бы один
свободный прибор. Если в момент поступления требования
все приборы заняты и, кроме того, уже имеется очередь на

§ 1.4]
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПРОЦЕССА ГИБЕЛИ
53
обслуживание, состоящая из k—п единиц, то вновь
поступившее требование остается в очереди с вероятностью bk,
зависящей от числа требований, уже находящихся в очереди.
В такой постановке в ряде случаев задача ближе к реально
возникающим вопросам. Действительно, каждый из нас знает
по себе, что зачастую при входе в парикмахерскую или в
магазин мы остаемся в очереди лишь с известной
вероятностью, зависящей от величины очереди. Мы не будем
останавливаться на решении возникающих здесь вопросов,
поскольку принципы их решения достаточно ясны из
предыдущего изложения.
4. Обслуживание станков бригадой рабочих. В
тридцатые годы, когда наметился массовый переход на
автоматические станки и связанный с этим процесс увеличения числа
станков, поручаемых одному рабочему, появился ряд
интересных задач теории массового обслуживания. Эти задачи
в различных условиях служат и теперь поводом серьезных
исследований. Здесь мы рассмотрим решение в предпосылках,
предложенных шведским исследователем Пальмом [1].
Бригада из г рабочих обслуживает п однотипных станков
или иных механизмов (г^п). Каждый из этих станков в
случайные моменты времени может потребовать к себе
внимания рабочего. В ткацком деле, например, существуют
особые бригады наладчиков, которые по мере надобности
обслуживают порученные им станки. Предположим, что
каждый рабочий может обслуживать в каждый данный момент
не более чем один станок и каждый станок обслуживается
только одним каким-либо рабочим. Станки выходят из
рабочего состояния независимо один от другого. Вероятность
того, что станок, работавший в момент t, потребует к себе
внимания до момента t-\-h, равна Xh-\-o(h). Вероятность
того, что станок, работоспособность которого
восстанавливается в момент ty будет восстановлен к моменту t-\-h,
равна vh^-o (h). Параметры Я и v не зависят ни от ty ни от /z,
ни от числа восстанавливаемых станков.
Обозначим через Ек событие, состоящее в том, что в
момент t неисправны k станков. Очевидно, что наша система
может находиться только в состояниях EQy Elt E2i ..., Еп.
Легко понять, что мы имеем дело с процессом гибели и
размножения, для которого Xk = (n — k) К при 0 <;&<#,
Я„ = 0; v0 = 0, vk = kv при 1 <! & ^ г; vk = rv при r^k^n.

64 ЗАДАЧИ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ [ГЛ. 1
Формулы (12) и (13) § 1.3 приводят нас к равенствам: при
1 <&<г
при r^k^n
р "! (ьУг
Л» =
Р
+ У nl
^\^ r\r*~r(n —
(n — k)\
-i
В частности, при г = 1 для 1 ^ k <^ п
п\
k (л —Л)!
_/Л1 Р Я0>
Ро =
2В
п!
L«=o
(n—fe)!
(12)
(13)
(14)
(15)
(15')
5. Числовой пример. После того как нами получены
общие формулы, мы можем решать многие частные задачи,
естественно возникающие при организации производства.
Рассмотрим один из такого рода примеров.
Обслуживание восьми станков поручено двум рабочим.
Как рациональнее организовать работу: поручить ли все
станки обоим рабочим с тем, чтобы по мере надобности к
остановившемуся станку подходил один из свободных
рабочих, или же каждому из рабочих поручить по четыре
определенных станка? Вычисления мы проведем в
предположении, что р = 0,2. Результаты расчетов собраны в таблички.
Число
неработающих
станков
0
1
2
з
1 4
Число
станков,
ожидающих
обслуживания
0
0
0
1
2
л = 8
Число
свободных
рабочих
2
1
0
0
0
г =
Рк
0,2048
0,3277
0,2294
0,1417
0,0687
= 2,
Число
неработающих
станков
5
6
7
8
Р = 0,2
Число
станков,
ожидающих
обслуживания
3
4
5
6
Число
свободных
рабочих
оооо
Рк
0,0275
0,0083
0,0017
0,0002

§ 1.4] ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПРОЦЕССА ГИБЕЛИ 55
Среднее число простаивающих в каждый момент станков
из-за того, что рабочие заняты другими станками, равно
8
2 (к - 2) Pk = 0,3045.
Иными словами, в течение рабочего дня все станки
непроизводительно простаивают (в ожидании начала
обслуживания) меньше одной трети рабочего дня. В среднем за
рабочий день все вместе взятые станки простаивают из-за
восстановления и ожидания начала восстановления
8
2 ftPft= 1,6875.
Мы видим, что на прямые простои затрачивается
сравнительно небольшая доля времени.
Среднее свободное время рабочих равно
2 • 0,2048 + 0,3277 = 0,7373.
Иными словами, каждый рабочий свободен 0,3686 рабочего
дня от обслуживания станков.
я = 4, г=1, р = 0,2
оз
Число н
ботающ
станков
0
1
2
■ - >»
Число с
ков, ож
ющих о
живани
0
0
1
6 <я
« р.
Число с
бодных
бочих
1
0
0
Рк
0,3984
0,3189
0,1914
1 ,
их
Число ь
ботающ
станков
3
4
1 i • >»
Bet;
Л С[ о
Число с
ков, ож
ющих о
живани
2
3
О 03
па
Число (
бодных
бочих
0
0
Рк
0,0760
0,0153
Средние потери рабочего времени каждыми четырьмя
станками на непроизводительные простои (из-за ожидания
начала обслуживания) равны
1-0,1914 + 2.0,0760 + 3-0,0153 = 0,3893.
Вся группа из восьми станков потеряет 0,7786 рабочего
дня одного станка, т. е. потери рабочего времени из-за
ожидания возрастут более чем в два с половиной раза.
Общее потерянное время на восстановление и на ожидание

56 ЗАДАЧИ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ [ГЛ. 1
каждой группой из четырех станков равна в среднем
Ь 0,3189 + 2 • 0,1989 + 3 • 0,0760 + 4-0,0153 = 0,9909.
Все восемь станков теряют, таким образом, 1,9818 рабочего
дня одного станка. Рабочий в среднем свободен 0,3984
рабочего дня. Таким образом, хотя при этом методе организации
работы станки простаивают больше, рабочий занят меньше.
Мы не занимаемся здесь другими интересными вопросами:
каково экономически оправданное число станков, которое
следует поручать рабочему; как организовать
восстановление станков — в порядке очередности потери
работоспособности или же в порядке близости остановившегося станка
к ремонтному рабочему и др.?
6. Дублирование с восстановлением (ненагруженный
резерв). Мы используем теперь процессы гибели и
размножения для рассмотрения важной задачи теории надежности,
которая была рассмотрена в работе Б. Эпштейна и Т. Хос-
форда [1]. Некоторое устройство в процессе работы может
выходить из рабочего состояния. Для того чтобы
поддерживать рабочий режим непрерывно, имеется тождественное
дублирующее устройство, которое немедленно включается
в работу, как только основное устройство отказывает.
Отказавшее устройство сразу же начинают восстанавливать.
После восстановления оно полностью восстанавливает свои
свойства. В резервном состоянии устройство не портится.
Длительность безотказной работы устройства подчинена
распределению F (х) = 1—е-^х. Длительность
восстановления случайна и имеет распределение G(х) = 1—e~vx.
Спрашивается, как распределено время безотказной работы
дублированной системы, если отказ системы наступает тогда,
когда оба устройства находятся в нерабочем состоянии?
Мы можем указать три состояния системы: £0, Ех и Е2 —
в системе имеются 0, 1 и 2 отказавших устройства.
Вероятности переходов из одного состояния в другое за
промежуток времени h таковы:
P{E0(t)-,E1(t + h)} = Xh + o(h),
P{E1(t)-+E0(t + h)} = vh + o(h)i
Р {E^t) -+ E2(t + h)} = M + о (/г),
P{E2(t)-,E1(t + h)} = o(h).

§ 1.4]
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПРОЦЕССА ГИБЕЛИ
57
Таким образом, в нашем процессе гибели и размножения
X =А1=Х, v1 = v и v2 — 0; все остальные Xk и vk равны 0.
Уравнения (1) — (2) § 1.3 для нашей задачи принимают
следующий вид:
Po(f) = -XP0(0 + vP1(0,
P1(t) = -(X + v)P1(t) + KP0(t),
P2(t) = ^P1(t).
Начальные условия задачи: Я0(0) = 1, Р1(0)=0, Я2 (0) — 0.
Подстановка PQ (t) из второго уравнения нашей системы
в первое приводит нас к такому уравнению относительно
Pi(t):
Р\ (t) + (2Х + v) P[ (t) + WPl (t) = 0.
Его решение, удовлетворяющее начальному условию, имеет
вид
' Px(t) = Ce K J [еУ 4 -е У 4 J.
Теперь находим, что
р.(о-с-^)'[(|+/17^)/=;?'+_
VlXv + v2 '
Искомая вероятность безотказной работы дублированной
системы, как легко видеть, равна
«<<) = '>,(<>+'М<) = «
-ю<
ch-|-]/"4Xv + v2 +
/4b + v2 2
При v = 0 мы получаем систему без восстановления. Как
следует из последнего равенства, в этом частном случае
R(t) = e-K(\+\t).

58 ЗАДАЧИ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ [ГЛ. 1
Понятно, что тот же результат можно получить и из
формул, найденных нами в п. 4 § 1.3.
Средняя длительность безотказной работы дублированной
системы равна
О
Первое слагаемое в этой сумме представляет собой
среднюю длительность безотказной работы дублированной
системы в случае, когда нет восстановления. Второе слагаемое
представляет собой добавок к длительности безотказной
работы, который дает восстановление. Чем больше v, т. е.
выше интенсивность восстановления, тем значительнее эффект
от восстановления. Обычно v значительно больше, чем X, т. е.
восстановление протекает быстрее, чем заканчивается
период безотказной работы, тем самым эффективность от
восстановления бывает велика.
7. Дублирование с восстановлением (нагруженный
резерв). Мы перейдем теперь к рассмотрению следующего
зажного частного случая дублирования, в котором
резервный элемент находится в том же состоянии, что и рабочий.
Остальные условия таковы же, как и в п. 6. Для этой
задачи мы должны в уравнениях гибели и размножения
положить Х0 = 2Я, Ях = Я, А2 = 0, v1=v, v2 = 0. Уравнения
гибели и размножения, следовательно, принимают такой вид:
p;(o=-2xp0(o+vp1(o,
/);(o=-(^+v)p1(o+2xp0(o.
Обычная вычислительная процедура приводит нас к
такому решению:
-(3b + v)4- , г
A (t) = . 4 е sh 4 V^ + 6Xv + v2
и
-(зЯ+v^-r t r
P0(t) = e |ch|j/> + 6Av+v2 +
v-vb sh t yX2 + 6Xv + v*]

§ 1.4] ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПРОЦЕССА ГИБЕЛИ 59
Таким образом, вероятность безотказной работы системы
равна
__ зЯ+у
R(t)=e 2 rchyl/> + 6Av + v2 -f
зх+v— sh'yy + exv + v»!
В частном случае отсутствия восстановления находим, что
#(*)=2«-*'— *-■**.
Средняя длительность безотказной работы равна ^+тр .
Второе слагаемое оценивает эффект восстановления. В случае
нагруженного резерва эффект от восстановления в два раза
меньше, чем в случае резерва ненагруженного.
8. Дублирование с восстановлением (облегченный
резерв). Оба случая резервирования можно объединить,
рассмотрев облегченное резервирование, при котором резервное
устройство может отказывать с какой-то интенсивностью Xv
Если принять, что Х1 = 0, то мы получим случай
ненагруженного резерва; если же выбрать XX = X, то мы приходим
к нагруженному резерву. Для нашей задачи в уравнениях
гибели и размножения мы должны положить Х0 = Я. + А.1э
Х1 = Х, Х2 = 0, vx = v, v2 = 0. Дифференциальные уравнения
задачи имеют такой вид:
Р\ (t) =-(X + v)P1 {t) + (X + Х±) Р0 (t).
В результате решения этой системы уравнений
находим, что вероятность безотказной работы резервированной
системы равна
R(t)=e ^ 2j [ch±Vb\ + 2v(2X + X1) + v* +
V l\ + 2v(2X + X1) + v^ l \

60 ЗАДАЧИ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ [ГЛ. 1
Несложные подсчеты дают нам для средней
длительности резервированной системы формулу
о
Все формулы, полученные нами в пп. 6 и 7, являются
частными случаями только что выписанных.
Заметим, что задачи, рассмотренные нами в пп. 6—8,
могут быть обобщены на случай произвольного числа
рабочих и резервных устройств. Решение такой обобщенной
задачи в условиях схемы гибели и размножения приводит
не к принципиальным, а лишь к техническим трудностям.
§ 1.5. Система с ограниченным временем ожидания
1. Постановка задачи. Мы рассмотрим теперь задачу,
о которой уже упоминали во введении к книге. Несмотря
на то, что условия, в которых эта задача рассматривается,
близки к тем, о которых шла речь раньше, мы вынуждены
будем для нее искать другого пути решения, отличного от
использования теории процессов гибели и размножения.
Предположим, что в системе обслуживания имеются п
приборов, эквивалентных между собой. На эти приборы
поступает простейший поток требований, параметр которого
равен К. Длительность обслуживания представляет собой
случайную величину с одним и тем же распределением
вероятностей Н (х) = 1 — е~^х. Каждое требование, поступившее
в систему обслуживания, остается в ней и либо начинает
обслуживаться сразу, если имеется хотя бы один свободный
от обслуживания прибор, либо остается ожидать своей
очереди на обслуживание. Но при этом ожидание ограничено
определенным временем т. Если требование за время т со
времени его поступления не начало обслуживаться, то оно
теряется. С постановкой задачи в таком плане приходится
иметь дело достаточно часто. Например, лица, пришедшие
на телефонную станцию, имеют лишь ограниченное время
для ожидания соединения с интересующим их абонентом.
Еще пример: скоропортящиеся продукты, поступившие в
магазин, пригодны для продажи лишь определенный срок т.
Если за это время они не проданы, то становятся непри-

§ 1.5] СИСТЕМА С ОГРАНИЧЕННЫМ ВРЕМЕНЕМ ОЖИДАНИЯ 61
годными к употреблению. Еще более существенное значение
приведенная постановка задачи имеет для технических,
технико-экономических и военных целей. В одной из статей
американского исследователя Д. Баррера [1] отмечается,
что «атакующий самолет, обслуживаемый зенитными или
управляемыми снарядами, пригоден для обслуживания только
ограниченное время».
Естественно, что основными характеристиками качества
обслуживания в рассматриваемой задаче будут среднее число
потерь (или, что то же самое, вероятность потери), а также
средняя длительность ожидания начала обслуживания теми
требованиями, которые начинают обслуживаться.
В настоящем параграфе мы изучим как случай Д.
Баррера— т= const, так и другой случай, представляющий
реальный интерес,—т является случайной величиной с
распределением G(x) = Р{% < х} = 1 — е~[кх.
2. Случайный процесс, описывающий состояние
системы при т = const. Метод случайных процессов гибели и
размножения, которым мы до сих пор пользовались, уже
не применим в нашей задаче. Действительно, в случае
т = const число требований, находящихся в системе в
данный момент, уже не является даже марковским процессом.
Действительно, если нам известно, что в момент времени t
в системе обслуживания находится т требований, то
состояние в момент времени t-\-h при любом h > О зависит не
только от т и t, но и от того, как долго ждут
требования, поступившие до момента t. При изложении мы
воспользуемся методом, предложенным И. Н. Коваленко [1],
поскольку метод Д. Баррера в математическом отношении
небезупречен. Впрочем, результаты, полученные Баррером
для этой задачи, верны. Случайный процесс, с которым
нам придется иметь дело, будет более сложной структуры.
Рассмотрим /г-мерный случайный процесс !■ (t) = {^ (t),
..., %n(t)}, где \j(t) означает время, которое должно
протечь от момента t до освобождения прибора с номером /
от обслуживания требований, поступивших ранее t. Если
в момент t прибор с номером / свободен и в системе нет
требований, ожидающих обслуживания, то g.(^) = 0.
Вектор g (t) со временем изменяется следующим
образом: все компоненты, отличные от нуля, уменьшаются на
длину промежутка времени, протекшего с момента t, если

62 ЗАДАЧИ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ [ГЛ. 1
только не появилось новое требование или же какая-либо
из указанных разностей не стала меньшей нуля. Если же
в момент ^ > t какая-нибудь разность обратилась в 0, то
Рассмотрим теперь, что происходит с вектором \ (t)
в момент 5, если в этот момент поступило первое после t
требование. В предыдущем абзаце мы определили вектор
£(/) для всех значений аргумента до п включительно.
Определим теперь £(s + 0). С этой целью рассмотрим
величину £ (t) = min lt(t). Если £($ —0) = 0, то поступив-
шее требование начинает немедленно обслуживаться
свободным прибором (при наличии нескольких свободных
приборов обслуживающий прибор выбирается из их среды
наудачу). Соответствующее J-f- от значения 0 при 5 — 0
возрастает до величины, равной длительности обслуживания
вновь поступившего требования при 5 + 0. Если же
£ (s — 0) Ф 0, то нужно рассмотреть два случая: £ (s — 0) > т
и £($ —0)^ т. В первом случае появление нового
требования никак не сказывается на векторе £($ + 0), так как
оно покинет систему, не дождавшись начала обслуживания.
Во втором случае та компонента, для которой g£ (s — 0) =
— £ is — 0), увеличивается на длительность обслуживания
вновь поступившего требования.
Пусть длительность обслуживания требования,
поступившего в момент 5, равна т|, тогда все три только что
рассмотренных случая могут быть объединены формулой
g/(s + 0) = Ey(s-0) + i[l+sign(T- £(*-0))]т|. (I)
В самом деле, если £ (s — 0) = 0 или же 0 < £ (s — 0) ^т,
то sign (t—£) = 1 и £у увеличивается на т]. Если же
£(s — 0) > т, то sign (т —£ (s — Q)) = — 1 и согласно
формуле (1) величина скачка равна 0.
Для того чтобы составить общее представление о
процессе, мы составим себе графическое представление об
одной из его компонент. Пусть это будет компонента £,- (t).
Требование, поступившее в момент t, выбирает прибор
с номером / тогда и только тогда, когда
|/(<-0)=mlngfc(#-0).
к

К 1.5] СИСТЕМА С ОГРАНИЧЕННЫМ ВРЕМЕНЕМ ОЖИДАНИЯ 63
Пусть на /-й прибор требования поступают в моменты tir
t ..., а необходимые для их обслуживания длительности
времени' равны соответственно T|/V y]iV . . . Пусть для
определенности в момент t = 0 прибор с номером / был свободен.
Функция li(t) до момента tix равна 0, в момент tix она
испытала скачок, равный т^, далее, она убывает на
длительность протекшего промежутка времени до тех пор, пока эта
разность положительна, или же до очередного момента
поступления требования. Если в момент поступления нового
требования l{(t) была
меньше, чем т, то в этот
момент она возрастает
скачком на
соответствующую величину Y]. Если же
l{(t) больше т, то
поступившее в этот момент
требование теряется,
получает отказ.
На рис. 11 дан
набросок одной реализации
процесса £,. (t). В точках
Рис. 1.1.
t;
'/■■
tf
■7 > **V "iV **4 П0СТУПИЛИ
требования на обслуживание. Из них второе требование было
потеряно, поскольку в момент его поступления £,. (t) > т и,
значит, длительность ожидания начала обслуживания для него
больше т.
Из приведенного описания мы видим, что состояние
процесса l(t) в момент s>t полностью определяется его
состоянием в момент t. Таким образом, процесс g (t) является
марковским.
3. Система интегро-дифференциальных уравнении за-
л Г> 14- a* v ^
дачи. Введем в рассмотрение функции Pk {t, xv
*k)
равные вероятности того, что в момент t заняты k
приборов с номерами д, у2, ..., Д, причем lA{t)< xv ♦ ..,
Б/* (')<**> а ПРИ l^h U=L 2> •■-. *) Sf О = °- Здесь
положено, естественно, 1<*<л, xJt>0; в силу
предположения об эквивалентности приборов функции Pk (t, xlt
.. ., xk) не зависят от номеров д, д, . . ., Д. Через PQ (t)
обозначим вероятность того, что l(t) = 0.
Рассмотрим вероятность
P{t, х( = 0 при 1ф]$, 1<5<А, */,<&/,(')<*/.+*}•

64 ЗАДАЧИ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ [ГЛ. 1
В силу предположения о показательности времени
обслуживания эта вероятность меньше, чем (vh)k. Полученное
неравенство показывает, что функции Pk (t, xv ..., xk)
абсолютно непрерывны в соответствующих областях ^-мерного
пространства (&=1, 2, . .., п). Таким образом, доказано
существование плотностей pk (t, xv ..., xk) у
распределений Pk{ty хг, ..., xk). Мы приступим теперь к выводу тех
уравнений, которые управляют изученным нами случайным
процессом.
Начнем с p0(t). Состояние ^{t-{-h) = 0 возможно лишь в
одном из следующих предположений: 1) ^(/) = 0 и за время h
не поступило новых требований; 2) в момент t был занят один
прибор, но он освободился до момента t-\-h. С точностью
до бесконечно малых высших порядков эти вероятности
соответственно равны р0 (t) (1—Xh) и hnp1 (ty 0)*). Отсюда
P0(t + h)=p0(t)(\-M) + nPl(t, 0)h + o(h).
Привычные преобразования приводят нас к уравнению
P0(t)=-bPo(*) + nPiV> 0). (2)
Рассмотрим теперь случай \ ^.k<Cn. Система в момент
t + h может оказаться в состоянии £Уд (t + h) = xs) 1 ^ s ^.k;
^i(t + h)~-=0 при 1ф]8 только в одном из следующих
предположений: 1) ljs (t) = xs + hy l{ (t) = 0 при 1ф]$, 1 <Х&,
и новых требований не поступит за время /г; 2) в момент t
в системе находились к-\-\ требований, причем одно за
время h "было обслужено; 3) в момент t в системе были
заняты к—1 приборов, причем \.^i) = xx-\-h, ..., itji_l(t) =
=xi_l + hilh + At) = xui + ^ --ilkW^Xk + h' 3a время/г
поступило требование, для обслуживания которого нужно
время xh 1 ^ / ^ к. Легко понять теперь, что мы
приходим к следующему равенству:
Pk(t + h, xl9 ..., xk)=pk(ty xx-\-h, ...,xk + h)(\—Kh) +
+ (n — k)pk+1(t, xx + hy ..., xk + h, 0)h +
k
+ n-k+lhlLiPk-i(t, *i + A» •••.*/-! + *,
lx)+1 + h,..., xk + h)e-"i + o(h). (3)
*) Мог освободиться любой из п приборов, свободных в
момент t-\-h.

§ 1.5] СИСТЕМА С ОГРАНИЧЕННЫМ ВРЕМЕНЕМ ОЖИДАНИЯ 65
Аргументы Xj функций в правой части равенства больше,
чем соответствующие аргументы в левой части, по той
причине, что за время h длительность пребывания в системе всех
требований уменьшается на я. Множитель я— k во втором
слагаемом вызван тем, что освободиться мог любой из я — k
свободных в момент t-\-h приборов. Делитель я — k-\-\
в третьем слагаемом объясняется тем, что вновь
поступившее требование наудачу выбирает один из свободных
/г — /г + 1 приборов.
Заметим теперь, что
Pk(t + h, xv ..., xk)-pk(t, xx + hy ..., xk + h) =
= pk(t + h, x1} ..., xk)-pk(t, xl9 ..., xk)-
k
- 2 [ftfeC, ■*! + *• ...,*,• + *,*/ + !, ...,Xk) —
—Pk(*> *i + h> •••> */-i + *. xt, ..., xk)].
Использование последнего тождества и переход к
пределу при я—*0 превращает равенство (3) в следующее
дифференциальное уравнение: при 1 ^ к < п
^-gf——gf—^ + C*-*)P*+i(^--.,^o) +
k
+ „_\V+lXfl*-i(*i» -.., */-i, xi+v .... хк)е-™'. (4)
i = l
Последнее уравнение, когда все приборы заняты
обслуживанием, представляет некоторые особенности, поэтому о них
следует сказать особо. Мы хотим составить уравнение для
Рп(*1 xv •••» хп)- При этом существенно различать два
случая: min (xv . .., хп) ^ т и min (xlt . . ., хп) > т. В
первом случае вновь пришедшее требование останется в
системе, поскольку длительность ожидания для него не
превосходит т. Во втором случае, поступит требование или не
поступит — на состоянии системы не сказывается, поскольку
оно все равно покинет систему раньше, чем в ней
освободится хотя бы один прибор. Напишем соответствующие
равенства в первом и втором случаях.
3 Б. В. Гнеденко, И. Н. Коваленко

66 ЗАДАЧИ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ [ГЛ'1
Если m = min(A:1, ..., хп)^%, то
pn(t + h, хъ ..., хп) = (1 - Щрп {ttxx + ht ..., xn + h) +
п
+ Ыг 2 Pn + i(t* ЧЛ-h Х/.1 + Л, */ + 1 + /г> ••■» *и + Л) *""''*' +
п m
/ = 10
В первом слагаемом правой части равенства стоит
множитель 1 — Х/г, чтобы подчеркнуть то обстоятельство, что за
период (ty t-\~h) новых требований не появилось.
Последнее слагаемое означает, что система в момент t была занята,
но на приборе с номером / была занятость лишь на срок z,
в промежутке (t, t + h) прибыло требование, которому нужно
для обслуживания время xi — z. Понятно, что z может
меняться от 0 до min(t, xv ..., хп) (при z > т вновь
прибывшее требование теряется).
При min^. >т в написанном равенстве остается неиз-
/
менным все за исключением первого слагаемого, поскольку
в этом случае безразлично, появится или не появится за
промежуток времени (t, t-\-h) еще новое требование,—оно
все равно теряется. Таким образом, вместо первого
слагаемого правой части предыдущего равенства мы должны
поставить другое, а именно pn(t, xx-{-h, ..., xn + h). Оба
случая можно объединить единой записью, если вместо
1—Kh в первом случае и 1 во втором в качестве
множителей перед функцией рп поставить множитель
1 + sign {т—min xt)
!_ЯА _-J .
Переход к пределу при h—>0 приводит нас в
результате к уравнению
1 + sign (т—min*/)
д1л_д_Рп_ _^ = __;n L__i_
dt дх± ' ' ' дхп *р* 2 ~1~
п
+ b2P„-i(^ *1. •••> */-!> ■*/ + !» - ••, *n)e~VXi +
i=l
п m
+ ьХЦр»(*1 •«м.г.%1- ...,xa)e-*<H-*dz. (5)

§ 1.5] СИСТЕМА С ОГРАНИЧЕННЫМ ВРЕМЕНЕМ ОЖИДАНИЯ 67
Для п—\ это уравнение было выделено первоначально
С. М. Броди [1], [2].
Можно доказать, что при t—► () для любого
фиксированного начального состояния системы £ (0) распределение
вектора %(t) сходится к предельному — стационарному
распределению. Общие приемы доказательств такого рода
теорем будут даны позднее, в главе 3, поэтому сейчас мы опустим
необходимые рассуждения. Обратимся к отысканию
стационарного решения, в котором функции pk уже не зависят от t.
Уравнения (4) —(5) при этом упрощаются, поскольку в них
исчезнет слагаемое -^, к—\, 2, ..., п. Функция р0 (t)
превращается в постоянную р0.
4. Определение стационарного решения. Поскольку
распределение длительности обслуживании показательное,
то при t = 0
Рк(хъ ..., *Л) = аЛ*-*<*+---+Ч (6)
где ak — постоянная. Для определения постоянной ak
обратимся к уравнениям (2) и (4), положив в них, конечно,
-^ = 0. Из уравнения (2) находим, что
dt
X
Подставив найденное значение ах в уравнение (4) для
функции pv найдем постоянную а2. Последовательно этим путем
найдем значения ak при всех к{\ ^к^.п). Общая формула
имеет следующий вид:
o^k^Po ^f-^-
Таким образом, при 1 ^ к < п находим:
~ _ - ^ (n — k)\ e-v{Xl+...+Xk) (7)
- *п) =
\п
= pQ 11_- e-v (xt+ ... +Xi-l + xl + i+ ... +*n) # (g)
Нам остается найти функцию рп. Можно доказать, что
уравнение (5) имеет единственное решение. Укажем его.
3*
и
Pn(*V "
П
■ • > Xi-V
', j
о,
го п\
xl+v ...,

68 ЗАДАЧИ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ [ГЛ. 1
Непосредственной проверкой легко убедиться, что функция
Pn = (Xv ..., AT;z)=JP0^^-v^+---+^)+^min(T, xx *„) (9)
удовлетворяет уравнению (8).
Для нахождения постоянной р{) мы определим сначала
вероятности застать то или иное число занятых приборов,
т. е. вероятности застать одно из состояний Ev Е2, ..., Еп.
Очевидно, что при 1 ^ к < п
со со со
со со со
-c^^Jl--^-v(xi+-+^.'-^=^
/V
(Ю)
Мы получили формулы (12) § 1.2. Собственно, этого и
следовало ждать, поскольку условия нашей задачи и задачи
§ 1.2 при k < п совпадают. Теперь
p{En}=j£- С .. . f e-v(*1+...+*n)+bmin(t,*1 *n)dx1...dxn =
— p" г p0, если лфпу,
n\ v k — nv * °' -7-1
1+Я.т „ «
n!
Для /?0 получаем теперь следующую формулу:
Л6
V = ]
V Р* , Ри Xe"v(,,-P>T —«v л ,
7 и ГТ + П л , еСЛИ A=^=/2V,
+-* k\ l tl\ % — tlV ' ^ '
/г = 0
S |]+^"(1+Хт)' еСЛИ X==nv'
(12)
5. Различные характеристики обслуживания. Для
рассматриваемой системы особый интерес представляет
интенсивность потока отказов. Обозначив эту величину

§ 1.5] СИСТЕМА С ОГРАНИЧЕННЫМ ВРЕМЕНЕМ ОЖИДАНИЯ 69
через Х0, получим:
СО оо
h = bp{li>%, i = \, ..., л} = ^5 .. . \рп{хг, . .., хп)Х
X^1...^„ = ^-r-e-»v(n-o)Po. (13)
Несмотря на ряд ошибок, допущенных Д. Баррером
в процессе решения задачи, он нашел правильные формулы
для р0 и к0.
Не представляет труда найти распределение
длительности ожидания в установившемся процессе.
Прежде всего ясно, что ожидание равно 0, если свободен
хотя бы один прибор. Вероятность этого равна
П- 1 и
Г
6 = 0
p{Y = 0}=£|rp0 = a. (14)
Из условий задачи ясно, что
Р{у>т} = 0.
Вероятность того, что ожидание продлится время т, равна
P{y = r} = P{li>x,i=\, ...,«} = £«-"<"-». (15)
Далее при 0 < х < т
P{y<x} = a + P{mm(lv ..., ln) < х]. (16)
Использование формулы (9) и последующие вычисления
кратных интегралов приводят нас к равенствам: при 0 <
<*<т
я + ^г—— Ро при X=^/zv,
P<V<*H „^ Р . (17)
vxpQ при K = nv.
Отсюда уже просто получаем среднее время ожидания
начала обслуживания
( £!,пу-,-^-^[пу + Кт(пу-Х)} Л
{ lnx[l+T)P° при * = *v-

70 ЗАДАЧИ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ [ГЛ. 1
6. Длительность ожидания ограничена случайной
величиной. Мы перейдем теперь к несколько измененной
постановке задачи и предположим, что требование, попавшее
в систему и заставшее все приборы в занятом состоянии,
ожидает, но длительность ожидания ограничена случайной
величиной т, распределение которой G(x) = Р{% < х} =
= 1—е'^х Покажем, что при этом предположении мы вновь
оказываемся в условиях теории гибели и размножения.
Действительно, поскольку распределение G(x) обладает
свойством «отсутствия памяти», знание того, что система
в момент t находится в состоянии Ek, определяет полностью
вероятность системе находиться в состоянии Ej в момент
t-\-h. Эта вероятность не изменяется от того, что нам
становится известно, как долго ожидали требования,
находящиеся в системе до момента /.
Подсчитаем величины кк и vk для нашей задачи.
Поскольку на приборы поступает пуассоновский простейший
поток, Хк = к. Если мы находимся в состоянии Ек и 0 <
<&^#, то в состояние Ек_г можно перейти за время h
только одним способом — на одном из приборов будет
завершено обслуживание за этот срок. Таким образом, при
0<&^/z имеем равенство vk = kv. Если & = 0, то ясно,
что v0 = 0. При к > п переход из состояния Ek в
состояние Ek_± за время h может произойти двумя путями: за
этот срок на одном из п обслуживающих приборов
обслуживание требования было завершено; срок ожидания одного
из к— п ожидающих требований истек. Таким образом,
vk = nv + (k — n)\i.
Из формул (12) § 1.3 находим, что при k^.n
V J ?*>
при к > п
и, наконец,
/V
Xkp0
v"Ml
П ((i — n)\x-\~nv)
/V
fe=i
1
,-V+
ft! V V J ^V"rt'
k =rt+l
%k
П (('-«) ti+"v)J

§ 1.5] СИСТЕМА С ОГРАНИЧЕННЫМ ВРЕМЕНЕМ ОЖИДАНИЯ 71
7. Вычисление интегралов. Нам нужно теперь
вычислить интегралы, которые нам встретились в п. 5. Прежде
всего рассмотрим
/„(*; я> v> т) =
со со
= f ... [ e~v (Xt + ...+xn) + X min (t, xt, .... xn)^x , , dX ,
X X
где О^лг^т. Следующая цепочка равенств очевидна
со со min (т, хх, .... xn_i)
/п=1 -• [e~v{Xl + '"+Xn)\ [ e^~^xndxn +
XX О
со
_|_ f еЯт1п(т. xt ^n-i)-^n^l dXx. . .***„_! =
min (t, *i *n-i)
-^I-^r)/»-i^:?l-V'V'T)~v''-4^-v)==
X . . g 2e(X-«v)*
==хЦХ-2у>)'"-^Х' Л V' V' ' v"-1(^-2v)~"
-vB-x(X_V_1)v)A(^ Х-(л-1) v, v, t)-
(rt—l)e^-(«-i)v)x
_ v""1^ —(Л—1)V) '
При Хф/iv
CO
/ — Г e-v;:1 + (^-(rt-i)v)min(T, *i) ^ —
л:
T со
= f e&-™)xidx1+ £ ^-^i + (^-(/i-i)v)t^i==
_e<K-nv)x(X — (n— l)v) g(x-»v>*
v(A,-—rcv) X — nv
Окончательно,
/„(*; X, v, т) = vn(X__nv) • (19)
При K = nv
Т со
1г = f ^ + J *-v*1+<*-(«- i)v)*dx1 = (x-x) + ±-,
т < \ \ k(T — x)+\ ,om
/„ (x; X, v, t) = v,/— . (20)

72 ЗАДАЧИ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ [ГЛ. 1
В частности,
V"a-yiv) при x=^nv>
/B(0;XfvfT) = j Ц\ ^
[ —^г- при X = nv.
Это равенство приводит к (11) —(12).
При выводе формулы (17) нам нужно было вычислить
вероятность
Pjmin^, ...,£„)<*}= J ...J pn(xl9 ...9xn)dxx.:.dxn =
min Xi <Cx
i
= -^fPo(^(0; X, v, т) —/„(*; Я, v, т)).
Из предыдущего получаем
/„ (0; X, v, т) -/я (*; X, v, т) = I u
{ ^гм ПРИ X = /iv.
Таким путем получаем (17).
§ 1.6. Системы с ограниченным временем пребывания
1. Постановка задачи, предположения. Каждое
требование, поступающее в систему обслуживания, может
находиться в системе не более чем время т. Таким образом,
могут представиться три следующие несовместимые
возможности: время ожидания и период обслуживания требования
меньше, чем т (требование было полностью обслужено);
время ожидания оказалось меньше, чем т, но оставшегося
до т времени не хватило, чтобы полностью завершить
обслуживание. В результате требование было потеряно, не
будучи полностью обслуженным. Наконец, мыслима третья
возможность, когда время ожидания оказалось большим,
чем т, и произошла чистая потеря без затраты времени на
его обслуживание.
С описанной системой обслуживания приходится иметь
дело достаточно часто, мы ограничимся здесь
рассмотрением следующего чисто качественного примера. Имеется
зона действия некоторого прибора (счетчика частиц,
орудия и пр.). Каждое требование, проходящее через эту зону,

§ 1.6] СИСТЕМЫ С ОГРАНИЧЕННЫМ ВРЕМЕНЕМ ПРЕБЫВАНИЯ 73
может быть обслужено прибором, если только прибор не
занят. Время нахождения требования в зоне равно т. За
пределами зоны прибор уже лишен возможности обслуживать
требования. В каждый момент прибор может обслуживать
только одно требование. Прибор от обслуживания одного
требования без затраты времени переходит к обслуживанию
другого. Каждое требование обслуживается только одним
прибором.
Если требования обслуживаются в порядке очередности
их поступления, то чистых потерь не может быть.
Действительно, мы предполагаем поток ординарным, и поэтому
любые два требования поступают в систему раздельно.
Пусть какие-нибудь два требования поступили
соответственно в моменты tx и t2. Если t2— tl > т, то второе
требование поступает в систему тогда, когда предыдущее ее
уже покинуло. Если же t2— tx ^ т, то первое из
требований покидает систему самое позднее в момент ^-f-т,
поэтому второе требование обслуживается по меньшей мере
с момента tx-\-x (оно обязано покинуть систему в момент
t2+T).
Разумеется, все три случая, о которых мы говорили,
возможны, если обслуживание происходит не в порядке
очередности, а в порядке случайного выбора из среды
ожидающих.
Рассмотрим случай упорядоченного обслуживания
простейшего потока п одинаковыми приборами. Распределение
длительности обслуживания — показательное с параметром v.
Мы рассмотрим два случая: т= const и т — случайная
величина с распределением G(x) = 1 — е-^х.
2. Случайный процесс, описывающий обслуживание.
Как и в предыдущем параграфе, мы сталкиваемся с
необходимостью рассмотреть более сложный случайный процесс,
чем процесс гибели и размножения для случая т = const,
поскольку знания того, сколько требований находится в
системе в данный момент, совершенно недостаточно для
заключения о том состоянии, в каком она будет находиться
в последующие моменты времени. Судьба каждого
требования в значительной мере определяется моментом его
поступления.
Обозначим через % i(t) случайную функцию,
определенную посредством следующего условия: £/(0=0, если в

74 ЗАДАЧИ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ [ГЛ. 1
момент t i-Pl прибор свободен, в остальных случаях %j(t)
равно времени, которое должно пройти с момента t до того
момента,' когда прибор с номером / освободится от
обслуживания требований, поступивших до момента t. Из
постановки задачи, которая была нами описана, вытекает, что
при любых t выполнено неравенство £r-(tf)^T« Составим
представление о геометрической структуре процесса £,- (t).
С этой целью отложим по оси абсцисс время /, а по оси
ординат Оу — функцию £/(*)• Отметим моменты tis, в
которые поступают требования на f-й прибор. Пусть до момента
tfl прибор был свободен. Это означает, что до этого
момента 1( (/)=0, а в момент tlx функция £,.(/) испытала
скачок. Если необходимая длительность обслуживания т)^
равна или меньше т, то ^-(^+0) = т|*1, а если ц^ > т,
то li(til+0) = r. При возрастании времени функция %{(t)
убывает на величину протекшего периода до тех пор, пока
Г~
%
_£_
\ %
N. i
\ 1
__j \_j
у=*
(К
J \
U
Рис. 1.2.
она не обратится в 0 или же до ближайшего момента
появления у прибора нового требования. Рис. 1.2 дает
представление о течении процесса £/(/).
Введем теперь в рассмотрение я-мерный случайный
процесс
5С) = &(<), •••> 5»(')}•
Из определения ясно, что если в момент t в систему
поступило требование, то время ожидания начала
обслуживания для него равно
£(0= min £,(*)■

§ 1.6] СИСТЕМЫ С ОГРАНИЧЕННЫМ ВРЕМЕНЕМ ПРЕБЫВАНИЯ 75
Таким образом, процесс J- (t) дает нам необходимые
сведения о том, что ожидает поступившее в систему
требование. Если имеется несколько приборов, для которых ^i(t-O)
достигают минимума, то требование выбирает любой из них
наудачу.
Процессы ^(t)y определенные нами в § 5 и здесь,
словесно описаны абсолютно одинаково. Однако особенности
постановок задач существенно на них отразились, как это
наглядно видно из сравнения рис. 1.1 и 1.2: на одном из
них функция %. (t) может принимать любые
неотрицательные значения, тогда как на другом она ограничена сверху
величиной т.
Рассмотрим теперь два каких-нибудь момента времени
tx и t1-\-t2. Если в промежутке между этими моментами
новые требования в систему не поступали, то при любом /
имеет место равенство
E|.(/a + ^i) = max{0,E/Ui + 0)-M- 0)
Если же в момент t1-\-t (t<Ct2) поступило новое
требование и длительность его обслуживания равна т], то это
требование попадает на прибор с номером у, для которого
t/(t1+t-0) = mmti(t1+t-0).
i
В момент поступления требования процесс определяется
посредством равенств
fe, [t + u) - j min {T) Xj {t _ 0) + л} при t =y> V)
Соотношения (1) и (2) показывают, что распределение
£ (и) в каждый момент и полностью определяется тем
состоянием, в котором система была в момент t < и, но не
изменяется от того, что нам становятся дополнительно
известны состояния системы в моменты, предшествовавшие t.
Таким образом, £ (t) является марковским процессом. Этот
процесс однороден по времени, поскольку как поступающий
на обслуживание поток, так и сам процесс обслуживания
не изменяются во времени.
Из постановки задачи ясно, что если в течение
промежутка времени (/, tf-f-т) в систему обслуживания требования

76 ЗАДАЧИ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ [ГЛ. 1
не поступали, то при всех /(1^/^/г)
t,(t + x) = 0.
Но так как в это состояние процесс мог прийти и другими
путями, то ясно, что для любого допустимого значения
вектора £ (t) = £0 выполняется неравенство
P{Z(t+*) = {o, ...,0}|&(*) = Ы>«-**-
Как мы увидим позднее, это неравенство обеспечивает
существование предельного распределения при t—*оо.
3. Некоторые особенности процесса \(t).
Предположим, что в момент t = 0 система обслуживания находится
в состоянии
Si(0) = alf £я(0)=аа> ..., £в(0)=ая.
Рассмотрим вектор х=={х1, ...,#„}, для которого 0^
^лг^^т; при определенных ij(\ ^j^k) xtj > 0 и Х; — 0
при i=^=ij (X^i^n). Зафиксируем теперь некоторый
момент ^>тахос/ и обозначим через Uj момент поступления
в систему обслуживания требования, которое
характеризуется следующими условиями: 1) поступило до момента t\
2) поступило для обслуживания на прибор с номером ij\
3) из всех требований, удовлетворяющих первым двум
условиям, поступило последним. Обозначим через Vj время,
необходимое для обслуживания этого требования.
Предположим, наконец, что в момент t система находится в состоянии
g (t) = х, где вектор х был только что определен.
Относительно каждого из требований, находящихся в
системе обслуживания, имеются, как мы говорили, лишь
две возможности:
1) оно будет обслужено полностью,
2) оно будет обслужено лишь частично.
В первом случае при изменении ujy а во втором — при
изменении Vj на достаточно малое Д на столько же
изменяется и £>ij(t). Отсюда
Р{*, = 0 при 1ф1;, 1<7<А; */,<Ь,(*)<*0+Д}<
<тах(Х*, vk)Ak.
Полученное неравенство показывает, что
рассматриваемые вероятности абсолютно непрерывны в соответствующих

§ 1.6] СИСТЕМЫ С ОГРАНИЧЕННЫМ ВРЕМЕНЕМ ПРЕБЫВАНИЯ 77
/е-мерных областях. Это означает, что существуют функции
PkVv ••■>*'*; xv •••> xk) такие> чт0
Urn P{lh(t)>aj, 1</<й; £,(0 = 0,/=^/y> 1<У<*} =
t —>• ос
00 CO
= I • • • $ />* ('V • • • > 'V. *i> • • • > xk) dxi. • • <***
«1 flfc
при любых #y^ 0.
В силу симметрии условий, в которых находятся все
приборы, функция pk(ilt . ..,/Л; -^1,...,^) остается одной и
той же при любом выборе чисел iv . .., lk. В связи с этим
повсюду дальше мы станем опускать эти индексы и
соответствующую плотность обозначать короче — черезpk (xv ..., xk).
Таким образом, р1(х1) означает плотность вероятности того,
что работает только один прибор и в данный момент он
имеет загрузку только на период времени хг. Символ р0
означает вероятность того, что в рассматриваемый момент
все приборы свободны.
4. Вывод уравнений, определяющих процесс. При
выводе уравнений мы ограничимся рассмотрением только
стационарного решения, и поэтому наши уравнения не будут
зависеть от t.
Для вывода интересующих нас уравнений сравним
состояния процесса в моменты t и t-\-h (при этом не станем
забывать, что мы рассматриваем стационарное решение и
поэтому рассматриваемые числа и функции не зависят от t).
Для того чтобы в момент t -f- h были заняты 0 приборов,
необходимо и достаточно выполнение одного из следующих
событий (если не учитывать события с вероятностями
порядка о (к)):
в момент t система была свободна и за промежуток
времени h новых требований не поступило;
в момент t обслуживалось одно требование (одним из
приборов) и время его пребывания в системе было меньше,
чем h. Вероятность первого события равна р0(1—Х/г),
вероятность второго — пр± (0) /г; в обоих случаях мы
ограничиваемся членами первого порядка относительно h. Таким
образом,
Po=PoO-M) + */>i(°)A + 0(A)-

78 ЗАДАЧИ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ [ГЛ. 1
Отсюда находим первое уравнение
ЬРо = пр±(0). (3)
Для 0 < к < п имеет место равенство
Pk(xv •• •,^) = (l-^)P*Ui + A. x2 + h, ...,xk + h) +
+ (n — k)pk+1{x1 + h, x2 + h, .. .,xk + h,Q)h +
k
+n^k+\ S^-i (*i + A. • • •. ЛГ/-1+А, */+i+A, • - •, **+*) X
Xe~v**A + o (/г),
которое означает приравнивание плотностей вероятностей
следующих двух событий: 1) в момент времени t-\-h заняты
к приборов и времена, необходимые для их освобождения,
равны соответственно xv x2i ...,xk; 2) в момент t система
находилась или в состоянии (x1-}-hy . . ., xk-\- h) и за срок h
новых требований не поступило, или были заняты к-\-\
приборов, причем один из них освободился за срок /г, или были
заняты к— 1 приборов и за срок h подошло новое
требование, длительность обслуживания которого равна xt. При
этом мы предполагали, что 0^х{ < т при 1^л^& и
1 <£ <п.
Несложные преобразования, уже проведенные нами в п. 3
§ 1.5, превращают предыдущее равенство в следующее
уравнение: для 0 < х{ < т и 1^&<я (l^i^k)
к
£^?-*/>*(*i» *2> "-fXk) + (n-k)pk+1(xv ...,xk, 0) +
к
+ я-Гш1л-1^1 *м.*1+1 **)«-«« = 0. (4)
/ = 1
Наконец, при 0 < х{ < т (1</</г)
Pn(xv •-,xn)=:(l-Xh)Pn(xi + h> ...,*„ + *) +
п
+ 'KvhYiPn-i(xi + h> ■■■,xt_1 + h, xi+1 + h, ..., xn + h)x
i = i
minxs
n s^zi
xe-vxi + kvh^ J pn(x1 + h,...,xt + h,z,xui + h,...

§ 1.6] СИСТЕМЫ С ОГРАНИЧЕННЫМ ВРЕМЕНЕМ ПРЕБЫВАНИЯ 79
В этом равенстве пояснения может потребовать лишь
последнее слагаемое. В момент, когда были заняты все
приборы, появилось новое требование. Оно поступило на
прибор / с минимальной занятостью 2, длительность
обслуживания вновь поступившего требования равна xi—z\
величина z может изменяться в пределах от 0 до min х ■.
Преобразования и предельный переход приводят нас
к уравнению
п
Zufa^^^Pn (XV • ' ' > Хп) ""
i-l l
п
— ^YiPn-i(xv ■•■,xi.1,xuv ...,хп)е-^-
i = l
min Xj
n jjci
— Ь £ S Pn (xv ■ ■ •. xi-v *> **+i> • • •> xn) e~v {Xi~z) dz. (5)
1 = 1 0
5. Определение решений уравнений (3)—(5). Наши
решения должны удовлетворять некоторым граничным
условиям, к формулировке которых теперь и перейдем. Положим
по определению, что
/^(...,т, ...) = lim />*(••-. xv ...)=Р*(---,т —О,...)-
Xi -> Т - О
Поскольку в состояние |/(^)=т процесс может прийти
только в том случае, когда прибывшее в момент t
требование не может быть обслужено до конца, то при \^к <^п
рк(т,х2, • ..,*J==„_^+1lfe-i(*2> ...,**) e"vt (6)
(в момент t поступило требование, нуждающееся для
обслуживания во времени большем, чем т) и
рп (т, *а> ..., хп) = Хрп_г (*2> ...,*„) г-** +
min(*2 хп)
+ Х J Pn(z,x2, ...,Jf„)e-v(t-*)dz. (7)
О
Непосредственной проверкой убеждаемся, что при 0 <
< х{ < т функции
Pk(xv...,xk)=p0Xk{n-k)le-v^'--+xk) (1<*<Л) (8)

80
ЗАДАЧИ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
[ГЛ. 1
(в частности, для случая /2=1 получается особенно
простая формула рг (х) = р0Хе~^-^х) удовлетворяют системе
уравнений (3) — (5) и граничным условиям (6)— (7).
Полученные формулы позволяют найти все характеристики
процесса, которые нас могут интересовать.
6. Распределение числа занятых приборов. Обозначим
через nk (t) вероятность того, что в данный момент t
заняты к приборов и
nk= lira nk(t).
t^*- CO
Очевидно, что
я^0 = ^{ 2 sign !,(*) = *}
и соответственно
тск= lim P
t -► со
{J siga !,(') = *}■
Эти вероятности легко записываются посредством
функций pk. Действительно,
nk
= Ckn\...\pk {xl9 ...,xk)dxl... dxk,
поскольку подынтегральная функция показывает, что занято
ровно к приборов; интегрирование означает, что нам
безразлично, сколько времени будет занят прибор, и
умножение на Сп показывает, что нам безразлично, какие к из п
приборов заняты.
Согласно предыдущему
л*=ро И' i e'v u,+"'+Хк) dXi • ■ ■dXk=
о о

§ 1.6] СИСТЕМЫ С ОГРАНИЧЕННЫМ ВРЕМЕНЕМ ПРЕБЫВАНИЯ 81
Далее
^п п А -V (лгг+ . . . +хп)+К min atj
пп = Ро^у--]е ' dx1...dxn =
О О
= р0Хп^ . . . fg-v (*»+.. .+xn-t) + (k-v)xnX
х > *t > х2 > . . . > хп > о
т
X d*! . • • dX„ = (B_yv»-i J e<""V) * ['-V* - C""I""1 <**• (1
0
При X = v эти формулы принимают более простой вид:
(l-e-VT)*
Т X
nk = Po-
kl
X
я- -л (5^1)15 [»-"—-i"-1^.
О
Вероятность р0 определяем из равенства
п
/г = о
7. Различные характеристики обслуживания. Среди
возможных характеристик качества обслуживания особый
интерес представляют: вероятность полного обслуживания
требования, вероятность частичного обслуживания,
распределение длительности ожидания начала обслуживания.
Если требование поступило в момент t, то длительность
ожидания начала обслуживания равна
C(/)=min{E1(0,...,E„(')}.
Если имеется хотя бы один свободный прибор, то g(f) = 0.
Таким образом, в стационарном случае
lim я{£(*)==о}=1-яи.
Из постановки задачи вытекает, что
*>{£(*) >*} = о.
Для случая 0 < х < т имеем
P{l(t) <x}=P{m\nli(t)<x}.

82 ЗАДАЧИ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ [ГЛ. 1
Для стационарного случая
F{x)= \xmP{lijt)<x}=\ ... \p„(x1,...,xn)dxv..dxn =
min xt < x
XX X
О •*■?!—1 -^П—2 %2
X
= Pov»-.^_1)1Jg(X-v)x»[g-w—g""]"-1^»-
0
Отсюда
/(*) = ^ (*) =Po v»-ifr_l)l ^"^ [e-^-e-'T"1- (I2)
Для определения вероятности того, что требование,
поступившее в систему, будет обслужено полностью, нам нужно
учесть, как распределено время ожидания. Если в момент
появления требования в системе был свободный прибор, то
требование будет обслужено полностью, если необходимое
для обслуживания время меньше т. Если же время ожидания
оказалось равным х, то для полного обслуживания нужно,
чтобы время, необходимое для обслуживания, оказалось
меньше т — х. Отсюда ясно, что искомая вероятность равна
?„ = (1-я„)(1-«"") +
+ v.^y_ I), f *'X-V)* [«-" - «-"Г11 * - е-4*'*] dx. (13)
О
При /z=l выражение для qn принимает простой вид. Из
формул (12) находим необходимые нам величины: при Я Ф v
при X = v
Ят
Теперь по формуле (13) находим:
/ v(e(X-v)x_1)
—Ц при А фу,
Rl~ | u при A, = v.
V 1 + А,т

§ 1.7] обслуживание с преимуществом 83
Понятно, что при упорядоченном обслуживании
требований, которое мы только и рассматривали, вероятность
частичного обслуживания требования равна 1—qn.
Изложенный здесь метод решения был предложен И. Н.
Коваленко [1]. Первоначальное решение Д. Баррера [1] и [2]
содержало как теоретико-вероятностные, так и аналитические
ошибки.
8. Длительность пребывания в системе ограничена
случайной величиной. Во введении было сказано, что в ряде
задач практического характера естественно считать т не
постоянной величиной, как мы это делали до сих пор, а
случайной. В предположении G (х) = Р {т < х} = 1 — е~^х
задача сводится к рассмотрению схемы гибели и размножения,
для которой lkk='k при k^O, v0 = 0 при \ ^k^.nyvk =
= /5 ((X -f-v) и, наконец, vk = k\i + nv прикуп. Формулы
(12) —(13) § 1.3 приводят нас к равенствам: при k^.n
_ 1 / к \k
при k^n
ti%
Pk = k »
n\(\i + v)n П (Ф + iv)
i = n + i
00
6 = 0
Мы не станем здесь искать различных характеристик для
рассмотренной системы обслуживания.
§ 1.7. Обслуживание с преимуществом
1. Постановка задачи. Имеется большое число реальных
ситуаций, когда в потоке требований могут содержаться
требования нескольких типов, причем требования первого
типа обслуживаются вне всякой очереди, если только в
очереди нет требований того же типа. По отношению к
требованиям третьего и следующего типов правом преимущества
пользуются требования второго типа и т. д. В качестве
хорошо известного примера приведем обслуживание на
телеграфе: срочные телеграммы передаются раньше
обыкновенных даже в том случае, когда простые телеграммы сданы
ранее срочных. В совсем недавнем прошлом телеграммы были

84 ЗАДАЧИ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ [ГЛ. 1
трех типов: молнии, срочные и простые. Каждый из
названных типов телеграмм пользовался преимуществом по
сравнению с последующими. Точно так же междугородный
разговор пользуется столь большим преимуществом по сравнению
с разговором внутригородским, что начало междугородного
разговора прекращает разговор между двумя абонентами,
находящимися в одном и том же городе.
Возникающие перед исследователем задачи при изучении
обслуживания нескольких потоков весьма разнообразны.
Действительно, по-разному решаются задачи, если
требование первого типа застает все приборы занятыми, в
различных реальных условиях. Во-первых, изучались такие системы
обслуживания, в которых требование старшего ранга не
прерывает уже начатых обслуживании (английский термин —
heed of the line), но становится впереди всех требований,
низших рангом. Во-вторых, изучались системы, которые
прерывают обслуживание требований низших рангов
(английский термин — preemptive priority). Вторая схема в свою
очередь подразделяется на две категории: в первой из них
при возобновлении обслуживания прерванного требования
учитывается время, ранее затраченное на его обслуживание
(preemptive resume), во второй (preemptive repeat) это время
теряется и обслуживание начинается сначала. С таким
положением дел приходится встречаться, например, при работе
вычислительных машин, когда одни отказы только прерывают
вычисления, но не требуют после своего исправления
производить ранее сделанные расчеты заново; отказы же
другого типа вносят ошибку в ранее полученные вычисления и
требуют проведения всех расчетов заново.
Естественно, что для обслуживания нескольких потоков
приходится рассматривать не только задачу обслуживания
с ожиданием, но и задачу с потерями. В последнее время
в задачах телефонного обслуживания появилась
необходимость рассмотрения такой задачи: на систему приборов
поступают два потока, из которых преимущественный поток
обслуживается по схеме систем с потерями, а поток без
преимущества — по схеме систем с ожиданием. Понятно, что
все ранее рассмотренные нами постановки задач могут быть
перенесены на случай потока, состоящего из требований
различной срочности. Мы не станем перечислять все
мыслимые постановки вопросов и разного типа характеристики

§ 1.7] обслуживание с преимуществом 85
эффективности обслуживания требований, принадлежащих
разным типам.
В настоящем параграфе мы затронем лишь некоторые
постановки задач, стремясь в первую очередь только к
демонстрации подхода к их решению в рассматриваемых нами
простейших условиях. При этом мы имеем в виду, что
аналогичные задачи будут нами рассмотрены позднее в более
общих предпосылках. Тогда же будут даны и краткие
библиографические указания.
2. Задача с потерями. Остановимся на следующей
задаче: на п одинаковых приборов поступают два независимых
простейших потока требований с параметрами Кг и Я2.
Каждое требование, поступившее в момент, когда свободно хотя
бы одно обслуживающее устройство, начинает обслуживаться
немедленно. Если требование первого типа поступает в
систему в тот момент, когда все приборы заняты, но часть
из них обслуживает требование второго типа, то один из
этих приборов немедленно переключается на обслуживание
вновь пришедшего требования высокого ранга, а
обслуживавшееся им ранее требование второго потока теряется,
оставшись недообслуженным. Таким образом, требования
второго типа могут теряться не только тогда, когда все
приборы заняты, но и тогда, когда в момент обслуживания
требования второго типа все приборы заняты и появилось
требование первого потока. Требования первого типа также
могут получить отказ, но только в том случае, когда все
приборы заняты обслуживанием требований этого же типа.
До начала формального решения ясно, что первый
поток обслуживается так, словно второго потока вовсе не
существует. Это замечание позволяет нам получить до всяких
вычислений вероятность потери требования первого типа.
Она равна
РпО— п л ' Pi" ^Г-
у.Pi
Мы предположим, что требование первого типа для своего
обслуживания нуждается во времени, распределенном по
показательному закону с параметром vr Время обслуживания

86 ЗАДАЧИ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ [ГЛ. 1
требований второго типа также распределено показательно,
но с параметром v2.
Известно, что если на обслуживание поступают два
независимых простейших потока с параметрами Хг и Я2, то
общий поток будет также простейшим с параметром 'к1-\-^2'
Действительно, вероятность того, что за промежуток
времени длительности t поступит k каких-то требований, может
быть представлена по формуле полной вероятности как
сумма произведений вероятностей того, что за этот
промежуток времени поступят s требований первого типа и k — 5
требований второго типа по всем возможным значениям s.
Эта вероятность равна
y(M)yxt,(M)*-'g-M
2и s\ e (*-s)! e
s = o
Согласно формуле бинома Ньютона эта сумма равна
k\
Требуемое доказано.
Обозначим через ptj- (t) вероятность того, что в момент t
заняты обслуживанием требований первого типа / приборов
и второго типа j приборов. Если учесть, что число занятых
приборов не может превзойти общего числа приборов, то
всегда должны быть выполнены неравенства 0^/+/^#-
Положим далее
n-i
pi.(t)=I,Pi/(t)
и /=0
1 = 0
Очевидно, что pi%(t) npt/(t) означают вероятности того,
что в момент t обслуживаются / требований первого типа,
соответственно j требований второго типа.
Мы уже говорили, что рп0 (t) означает вероятность
потери требования первого типа, которое прибыло в момент t.
Сумма
S Рим

§ 1.7] обслуживание с преимуществом 87
представляет собой вероятность потери требования второго
рода, поступившего в момент t. Вероятность потери
обслуживаемого требования второго рода, если в момент t
поступило требование первого рода, равна, как легко видеть,
разности
2 Pl/W-PnoV)-
3. Уравнения для определения Рц(?). Мы не будем
останавливаться на выводе уравнений для определения
вероятностей pjj{t), поскольку это не добавит нам ничего
к тому, что нам уже известно из теории процессов гибели
и размножения. Ограничимся приведением их в готовом виде:
/>'оо (0 = — (K + h)Poo С) + v^xo (<) + vsp01 (t); (1)
при l <; / < п
Pio (t) = - (K + h + "i)Pio (O + V.-i.o (<) +
+ (' + l)v1P,+wW + v1p,1(<), (2)
Pno (t) = -nvlPn0 (t) + Kx [p„_lt0 (*)+/>„_!,! (*)]; (3)
при 1 < ;' < n
Poi (t) = — {\1 + X2 +/v2)p0/ (t) + KP«j-i (0 +
+ v1ft/(') + vi(y+l)/>0./+i(0, (4)
p;n(0 = -^i+«v,)pe(,(<) + ^o,»-i(0; (5)
при /5*1, /Ssl, i+j<n
P'll(t)=-fri+K + toi+JVi)PtfV) + KPt-i,jV) +
+ hPi,j-i(t) + (i+VViPi+i,j(i)JrViPi,j+i(tY> (6)
при />0, />0, i + j = n, 1фп, j-фп
p.. (t) = -(K + /vx + ;v2)pi7 (0 + Яа [P/_lf;. (/) +
+P/-i,/+iW] + ^P(-1,y(<). (7)
В результате суммирования уравнений (1), (4) и (7) по
всем значениям j от 0 до п, многочисленных сокращений и
перехода к обозначениям, введенным в п. 2, получаем
уравнение
PQAt)=-KPo-(t) + vlPl.(t). (8)

88 ЗАДАЧИ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ [ГЛ. 1
Суммирование уравнений (2), (6) и (7) по j от 0 до
п — /, сокращение одинаковых членов и переход к
обозначениям Pi.(t) приводят нас при 1^/<# к уравнениям
p;.(<)=-(*i+'Vi)a.(o+*iP/-i.(')+
+ (i+])vlPi+1.(t). (9)
Уравнение (3), очевидно, может быть записано в форме
Р'пЛ^)- -nV^.W + KPn-l.^)' (Ю)
Полученные уравнения (8)—(10) лишь обозначениями
отличаются от дифференциальных уравнений процесса гибели
и размножения для обычной задачи с потерями при наличии
только преимущественного потока требований.
Суммирование уравнений (1), (2) и (3) по / приводит
к равенству
Р.й (<) = ~К (Р.о (t) -PnO (0) + КРп-1, 1 О + V,p#1 (*)•
Суммирование (4), (6) и (7) по /для 1 ^у'<я дает нам:
P., (t) = - (К +/V*) [Л/ О -Pn-j, J V)] +
+ К [P-J-l V) -Pn-J+1, j-X V)] + U+ 1) Vj/>./ + 1 (t) -
-M-/P/(')-U-/,y(') + VH.il/+i(<).
Уравнению (5) можно придать такой вид:
р'.п (t)=-(K + пуг) P.n(t) + K [P.n О -Pi, „-г (0].
Выписанные уравнения показывают, что для второго
потока положение резко отлично от положения первого потока:
на состояние требований второго потока решающее влияние
оказывает первый поток. Это заключение было нам ясно и
интуитивно.
4. Рассмотрение частного случая. Мы изучим теперь
в больших подробностях случай /2=1. Здесь вычисления
могут быть доведены без всяких затруднений до конца.
Система уравнений (1)—(7) сводится к следующим трем:
Роо W = — (^i + К) Роо (0 + Угр10 (t) + v2p0l (/),
Р'10 (*) = - ViPio С) + К (Роо (*)+Рог (*))>
р01 V) = - (*i + va) Poi (t) + hPoo V).

§ 1.7] обслуживание с преимуществом 89
Решение этой системы уравнений не представляет
трудностей, поэтому мы ограничимся приведением окончательных
результатов. Мы предполагаем при этом, что
Роо(0)=1.
Рю(0) = 0,
Poi(0) = 0.
Имеем:
„ ц\ bZi 1 hb. e-a1+vIx_
PmV)- (X1 + v1)(b1 + X2 + v3) ^ (K + ^i)(^ + V2-Vi)
_ i b^i i hh I e-(K+^+v2)t
—v
Poo W - (X1 + Vl) (Xx + Xt + v.) ^ t^ + vx) (X2+v2-Vi) +
Xx + Vi V^i + Xa + v2TX2 + v2 —
Отсюда
Po.«)-P..(0+P.i(0 = ^ + T^e-<x'+^',
P1.(')=P1o(') = 5^r1(l-e-(»'*+v*)<);
„ m X1(X1 + X2 + y2) + v1(X1 + vi)
P.oW- (X1+x1)(X1+X2+v2)
g-(^l + ^2+V2) f
^2 e-(U + Vi)t +
(^i + VxJ^a + Va-Vx)
Xi + Vx V^l+^2 + V2 ^2 + V2 — Vi
P.i(0=Poi(') = (^i+Vi)(^Xi+Vi) +
g-(hi + A,2 + v2)*
Aj_A.
2 e-{K + Vi)t —
r(^l + Vi)(A2 + V2 — VX)
—b_i ^ L- к I e-(K^2+V2)t
Ai + Vj \A! + A2 + V2 A2 + V2 — Vi /
Из выписанных формул видно, что решения при
увеличении t до бесконечности очень быстро приближаются к

90 ЗАДАЧИ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ [ГЛ. 1
предельным значениям
^00 Wi + ViXXx + ^ + Va)»
^oi-^-i-(Xi + Vi)(Xi + A2 + V2),
A,! (Xj + К + V8) + Vl (^1 + V2)
Ло (^i + ViXXx + ^ + Va) '
Пусть в данный момент обслуживается требование
второго типа. Чему равна вероятность того, что оно будет
обслужено до конца? Это случится тогда и только тогда,
когда на обслуживание потребуется меньше времени, чем до
момента поступления требования первого типа. Если на
обслуживание необходимо время х, то обслуживание будет
благополучно доведено до конца, если в течение срока х
не появится ни одного требования первого типа.
Вероятность этого равна v2e~V2Xe~^xdx; по формуле полной
вероятности искомая вероятность равна
00
J 2 ^1 + V2
О
Таким образом, вероятность того, что требование второго
типа, принятое на обслуживание, не будет обслужено до
Я*
конца, равна -г—р— .
5. Учет возможности выхода обслуживающих
приборов из рабочего состояния. Задачи, описанные в
настоящем параграфе, могут быть интерпретированы несколько
иначе. Для большого числа практически важных вопросов
приходится учитывать возможность выхода из рабочего
состояния самих обслуживающих приборов. На телефонной
станции может выйти из строя линия, и для восстановления
нормального обслуживания необходимо затратить время на
ее ремонт. Погрузочные средства в порту могут нуждаться
в восстановлении, и для того чтобы они приняли участие
в разгрузке судна, необходимо затратить некоторое время,
вообще говоря, зависящее от случая. В сложных
радиотехнических устройствах из-за отказа того или иного элемента
может наступить отказ всего устройства, в результате чего
приходится прекратить обслуживание поступающих
требований до обнаружения неисправности и до ее ликвидации.

§ 1.7] ОБСЛУЖИВАНИЕ С ПРЕИМУЩЕСТВОМ 91
Важность рассмотрения задач теории массового
обслуживания с учетом возможности выхода обслуживающих
приборов из рабочего состояния, в результате чего сам
обслуживающий прибор начинает требовать обслуживания, очевидна.
Имеется большое число постановок вопросов, в которых
необходимо учитывать возможность выхода обслуживающего
прибора из рабочего состояния. Различие происходит из-за
того, что в одних случаях требования остаются ожидать
окончания восстановления, как бы долго ни продолжалось
ожидание. В других случаях требование теряется мгновенно,
как только обслуживающий прибор потерял способность
работать. В третьих — время пребывания в системе
обслуживания не превосходит некоторого времени т. Различие
может происходить и по иным причинам. Так, например,
обслуживающий прибор выходит из рабочего состояния
только во время работы, в других —одинаково возможен
его выход из строя как во время работы, так и во время
ожидания требования. Возможны также случаи, когда
вероятность выхода из строя в период рабочего состояния
больше, чем в период ожидания работы. Заметим, что
требование, которое обслуживалось на испортившемся приборе,
может теряться независимо от того, имеются или не имеются
в системе свободные приборы. Но может быть и иная система,
когда требование с испортившегося прибора переходит на
любой из свободных приборов. Здесь нет нужды говорить
о других ситуациях. Задача, которая была изучена в
настоящем параграфе, может быть интерпретирована как задача
учета поломок обслуживающих устройств. Действительно,
достаточно рассматривать поток поломок как поток первого
типа. В этом случае каждому ясно, что поток поломок
имеет приоритет. Поломка нетерпелива и не дожидается
конца проводящегося обслуживания. Мы вдобавок считали,
что во время ремонта новых поломок в ремонтируемом
приборе не возникает (требование первого типа теряется, если
прибор занят обслуживанием требования первого типа).
Рассмотренный нами выход приборов из рабочего состояния
одинаково возможен как в период работы, так и в период
бездействия. Позднее мы вновь вернемся к этим задачам,
но в более общих предположениях.

ГЛАВА 2
ИЗУЧЕНИЕ ВХОДЯЩЕГО ПОТОКА ТРЕБОВАНИЙ
§ 2.1. Несколько примеров
1. О понятии входящего потока. Первичным понятием
теории массового обслуживания, которому в последнее время
уделяется большое внимание, является понятие потока
требований, поступающих в систему обслуживания. В главе 1
мы познакомились с простейшим потоком, который в теории
массового обслуживания до последнего времени играет
центральную роль. С позиций специалиста в области теории
вероятностей простейший поток представляет собой очень
важный, но частный случай так называемых дискретных
случайных процессов. В последнее время выяснилось, что
и в приложениях простейший поток является не
единственным, с которым приходится иметь дело. Однако все потоки,
до сих пор изучавшиеся в теории массового обслуживания,
представляют собой те или иные дискретные случайные
процессы, принимающие лишь неотрицательные
целочисленные значения. В дальнейшем, ради краткости выражений,
мы будем говорить о входящем потоке, понимая под
этим ту закономерность, которой подчиняется поступление
требований в систему обслуживания во времени.
Обозначим через х (t) число требований, поступивших
в систему от момента 0 до момента t. Если в момент t
в систему поступает новое требование, то величина x(t)
его не учитывает. Таким образом, х (t) ~x(t — 0). Для
каждого момента t число требований, поступивших в момент
t, равно разности х (t + 0)— x (t — 0). Функция x(t) изменяет
свои значения скачками в моменты поступления требований,
и в зависимости от того, сколько требований поступает в
момент t, х (t) меняет свое значение на соответствующее

§ 2.1]
НЕСКОЛЬКО ПРИМЕРОВ
93
число единиц. Пуассоновский поток, являясь ординарным,
при каждом скачке меняет свое значение лишь на единицу;
для него расстояния между точками скачков являются
независимыми случайными величинами, распределенными по
закону F(x) — 1 — е~Кх. В общем случае, чтобы задать
поток x(t), мы должны для любой последовательности
значений tv t2, ..., tn (n=\, 2, ...) указать функции
распределения векторов (x(tx), x(t2), ..., x(tn)). Однако в
нашем случае мы можем пойти и по другому пути, указав
распределения иных величин.
Будем считать, что интересующий нас процесс
начинается в момент / = 0и, следовательно, х (—0) = 0. Обозначим
последовательность моментов появления требований через
Т1> Т2> Т3' • • • И чеРез Vl> V2> V3> * • • ЧИСла ПОСТУПИВШИХ
в эти моменты требований. Для простейшего потока vx =
= v2 = v3 = . . . = 1, но, вообще говоря, эти числа случайны.
Например, если мы регистрируем подходящие к речному
шлюзу суда, то нам придется отмечать наряду с
подходами одиночных судов (v/=l) также подходы буксиров
с баржами, и при этом число барж может быть различным,
скажем, от одной до шести (соответственные vz-, таким
образом, будут принимать значения от 2 до 7). Точно так же
число пострадавших в уличной катастрофе может быть
различным. Положим z0=^tv zk = rk+1— xk при k^\.
Убедимся, что входящий поток требований можно
задавать двумя эквивалентными способами: 1) как случайный
поток x(t)t 2) как последовательность распределений
векторов (z0vlt z1v2, ..., zn_1vn) для всех значений п^\.
Для практических целей такое задание потока представляется
особенно естественным. Для потоков ординарных в том
смысле, что в каждый момент xk появляется одно и только
одно требование, очевидно, нужно задавать только
распределения векторов (z0J zv ..., zn_1).
Как мы знаем, для простейшего потока длины
промежутков zk независимы в совокупности и вероятность того,
что длительность такого промежутка превзойдет t, задается
формулой
P{zk>t} = e-K
Легко убедиться, что знание этого распределения позволяет
получить вероятность появления к требований в промежутке

94 ИЗУЧЕНИЕ ВХОДЯЩЕГО ПОТОКА ТРЕБОВАНИЙ [ГЛ. 2
(^о> ^о + 0- Действительно, в наших предположениях
вероятность появления требований в промежутках (tly t1Jrdtl))
(t2i t2-\-dt2), ..., (tk) tk-\~dtk) и отсутствия требований
в других точках промежутка (t0, t0-}-t) с точностью до
бесконечно малых высших порядков равна
Следовательно, вероятность появления k требований в
какие-то моменты этого промежутка времени равна
to + tto + t t0 + t
Pk(to,t0 + t) = e-vx> $ J ... J dtkdth_r...dtx.
Несложный подсчет приводит нас к известной формуле:
Пусть в каждый момент xk появляется только одно
требование; так как х (t) означает число требований,
поступивших от 0 до t, то неравенства xk < t и x(t)^k
выражают собой одно и то же событие. Точно так же события
хг<Сиг и х(иг)^г при 1^г^& эквивалентны при
любом k и при любом наборе чисел uv u2, ... Итак,
распределения векторов (Tlf т2, ..., xk) и \х(их), х(и2), ...
..., x(uk)) могут быть найдены одно посредством другого.
А поскольку при любом k > 0
k-i
^k = 2 zv
1 = 0
распределения векторов (т1} т2, ...,xk) и (z0, zv . . . ,zk_1)
позволяют определить друг друга однозначно, то
безразлично, заданы нам распределения первых или вторых векторов.
Таким же путем проверяется эквивалентность двух
подходов к определению потоков и в общем случае, когда
потоки могут быть неординарными.
2. Поступление деталей из бункерного устройства.
Автоматизация технологических процессов в
машиностроении, приборостроении и многих других областях
промышленности выдвинула интересные задачи автоматического питания
станков деталями (штучными заготовками). Одним из
распространенных и удачных решений задачи является устройство

§ 2.1]
НЕСКОЛЬКО ПРИМЕРОВ
95
1 \ зу 1
1 1
VZ7 СП
Рис. 2.1.
системы бункерного питания. Простейший тип такого
устройства автоматического питания станков имеет вид,
схематически изображенный на рис. 2.1. В бункер Б навалом
закладывается большое число деталей, откуда они должны
по одной в
ориентированном положении поступать
на загрузочное
устройство ЗУ, которое
передает их в магазин или
накопитель Н. Накопитель
имеет определенную
вместимость. Если он
заполнен, то новых деталей
больше не принимает. Детали поступают в карманы
загрузочного устройства только при условии, что они получили
необходимую ориентировку. Может случиться, что в том момент,
когда карман проходит под выходом из бункера, деталь
не подается, так как она приняла неудачное положение.
В этом случае карман придет к накопителю пустым. Детали
в бункере путем систематических встряхиваний меняют
ориентировку, и к моменту подхода следующего кармана
деталь может принять необходимое положение и выйти из
бункера. Можно считать, что имеется определенная
вероятность р того, что карман, проходящий под бункером, будет
заполнен деталью. Спрашивается, какой вместимости
необходимо сделать накопитель, чтобы станок с достаточно
большой вероятностью без перерывов снабжался
деталями?
Мы столкнулись с типичной задачей теории массового
обслуживания, рассмотренной нами в других предпосылках
в предыдущей главе: на п приборов (мест) поступает поток
требований. Если требование поступает в момент, когда
хотя бы один из приборов свободен, то оно немедленно
начинает обслуживаться. Если же все приборы заняты
обслуживанием, то вновь поступающее требование получает
отказ. Вероятность отказа при определенных условиях,
которым удовлетворяют входящий поток требований и процесс
обслуживания, была найдена Эрлангом. В данном случае
под обслуживающим прибором мы должны понимать место
в накопителе. Если накопитель не заполнен, то деталь,
прибывшая в кармане заполнителя, поступает в накопитель.

96 ИЗУЧЕНИЕ ВХОДЯЩЕГО ПОТОКА ТРЕБОВАНИЙ [ГЛ. 2
Если же накопитель заполнен, то вновь прибывшая деталь
получает отказ и остается в кармане заполнителя.
Сейчас для нас особый интерес представляет то, что
детали поступают к накопителю в случайном порядке, но
закономерность их отлична от простейшего потока.
Карманы загрузочного устройства в определенные моменты
подходят к бункеру и при каждом подходе с вероятностью р
могут получить деталь, если предыдущий карман ушел
пустым или же был заполнен при подходе. На эту простую
закономерность, однако, накладывается еще то
обстоятельство, что в карманах загрузочного устройства могут
оставаться детали, которые не были своевременно переданы в
накопитель, поскольку он был занят. Это создает
последействие прошлого.
3. Регулярный поток требований. Зачастую приходится
иметь дело с входящим потоком требований иного типа:
требования на обслуживание поступают через равные
промежутки времени. По этому принципу посылаются сигналы
радиолокаторов. Такие потоки требований называются
регулярными.
Предположим, что требования поступают в моменты О,
/г, 2/г, ..., а время обслуживания распределено по
показательному закону с параметром v. Предположим далее,
что требование теряется, если оно застает прибор в состоянии
занятости. * Если в некоторый момент ih требование,
поступившее в систему, начало обслуживаться, то с вероятностью
1—e~vh его обслуживание будет закончено к моменту
(/+1)й и, следовательно, с этой вероятностью начнется
обслуживание требования, поступившего в момент (i-\-\)h.
В рассматриваемом примере вероятность освобождения
прибора не зависит от момента начала обслуживания. Возможен
другой случай, когда в момент ih продолжается
обслуживание ранее поступившего требования. На основании хорошо
известного нам свойства показательного распределения
вероятность того, что обслуживание этого требования не
будет закончено к моменту (i-\-\)h, также равна e~vh.
Таким образом, вероятность потери требования при всех
условиях оказывается равной e~vh.
Пусть в промежутке времени длительности t произошло
п появлений требований. Согласно известным формулам
Бернулли вероятность того, что за этот срок произойдет щ

§ 2.1] НЕСКОЛЬКО ПРИМЕРОВ 97
потерь, равна
Рт (f) = Cn e~™h (i _e-mvh)n-mm
Среднее число потерь за указанный срок равно
где и означает истинное число потерянных требований, а
дисперсия
DK = ne-"h(\-e-"h).
Предположим теперь, что время, затрачиваемое на
обслуживание, равно постоянному числу т. Понятно, что если
т < /г, то потерь требований не будет; если же т > /г, то
будут систематические потери. В предположении, что
(&—1)/г<т<М, обслуживаться будет только каждое &-е
требование и, следовательно, из каждых k требований,
поступивших в систему обслуживания, будут потеряны k — 1
и только одно обслужено.
4. О потоках требований при обслуживании
последовательно расположенными приборами. Мы рассмотрим теперь
потоки требований, с которыми приходится встречаться во
многих реальных задачах, ограничиваясь при этом лишь
общими соображениями. Предположим, что обслуживание
организовано таким образом: требование, заставшее занятым
первый по порядку прибор, поступает на второй прибор; если
второй прибор также занят, то оно переходит к следующему по
порядку прибору. Если все приборы заняты, то оно теряется.
Простейший поток, поступающий на первый прибор, этим
прибором обслуживается не полностью. Часть требований теряется
для первого прибора и поступает на второй. Потоки
требований, поступающих на второй, третий и последующие
приборы, будут уже отличны от простейших. Действительно,
пусть поток, поступающий на первый прибор, простейший
и его интенсивность равна X, а время обслуживания каждого
требования постоянно и равно т. Вероятность того, что на
второй прибор за время t не поступит ни одного
требования, как мы покажем, равна
я.(о=*-м£х>(<-(*Г1)т)>> п>
/г = 0
где число п определяется посредством неравенств
4 Б. В. Гнеденко, И. Н. Коваленко

98 ИЗУЧЕНИЕ ВХОДЯЩЕГО ПОТОКА ТРЕБОВАНИЙ [ГЛ. 2
Из формулы (1) ясно, что вероятность n0(t) не может
быть представлена при любых t в виде е~^ с некоторым
постоянным Kv Отсюда вытекает, что поток требований,
поступающий на второй прибор, уже не будет простейшим.
Мы перейдем теперь к выводу формулы (1), предположив
для определенности, что в момент t = 0 первый прибор был
свободен. Начнем с рассмотрения случая t^x. В этом
предположении nQ (t) находится непосредственно. Действительно,
на второй прибор не поступит ни одного требования тогда
и только тогда, когда на первый прибор поступит только
одно требование или не поступит ни одного. Согласно
предположению вероятность этого события равна
п0 (t) = e~xt + Xte~li = e'li (1 + kt).
Пусть теперь t^h. Для того чтобы за промежуток
времени t-\-h на второй прибор не поступило ни одного
требования, необходимо выполнение одного из следующих двух
несовместимых событий:
за время t на первом приборе не было потерь, а за
время h не поступило новых требований;
за время t — х на первом приборе не было потерь, в
промежутке от t— х до t на первый прибор требований не
поступало, а в промежутке от t до t-\-h поступило новое
требование.
В результате получаем равенство
я0 (t + h) = л0 (0(1— Я/г) + я0 (t — т) е-и Kh + o (А),
которое приводит к следующему
дифференциально-разностному уравнению:
я'0 (t) = — Хп0 (t) + Хе~Хтл0 (t — x). (2)
Подстановкой
п0 (t) = e"u и (t)
уравнение (2) приводится к более простому виду:
u'{t) = \u{t-x).
Так как для 0 ^ t ^ т
«(0 = 1+М,
то в отрезке т ^ t ^ 2т функция и (t) удовлетворяет
уравнению
«'(*) = Я [1+Х(/-т)].

§ 2.1]
НЕСКОЛЬКО ПРИМЕРОВ
99
Интегрирование этого уравнения по t в пределах от
/ = т до t приводит нас к равенству
u(t) = \+U + ^(t-^- = t »«-%-"* .
fc = o
Методом полной индукции легко доказать, что при любом
п > 0 в отрезке (п— 1)т^/^#т имеет место равенство
«(о=Е^"(Л"1)т)*
fc = 0
Этим доказательство формулы (1) завершено.
5. О повторяемости землетрясений. В работе А. А.
Ляпунова и С. М. Фандюшиной [1] был рассмотрен интересный
пример входящего потока. Вопрос, который они перед собой
поставили, состоял в следующем: рассматриваются моменты
появления землетрясений с эпицентрами в определенной
области. Спрашивается, какая из трех гипотез отражает ближе
всего истинную картину явления— возникновение
землетрясения в промежутке времени (tv t2) 1) стимулирует, 2)
препятствует, 3) не оказывает влияния на появление землетрясения
в последующем промежутке времени (t2l t3)}
Первая гипотеза справедлива в тех случаях, когда
возникновение землетрясения, вызванного некоторым нарушением
равновесия земной коры, влечет за собой появление нового
нарушения равновесия где-то в окрестности этого очага.
Вторая гипотеза осуществляется в том случае, когда для
возникновения землетрясения необходимо накопление
неустойчивости, которое разрешается в момент землетрясения и
затем отсутствует в течение какого-то времени, когда
накапливаются новые причины, способствующие нарушению
состояния равновесия. Третья гипотеза оказывается верной в том
случае, когда физические условия, описанные в двух
предыдущих случаях, как бы уравновешиваются.
Авторы указанной работы обработали обширный материал
сейсмических станций по семи районам Средней Азии для
проверки гипотезы, что поток землетрясений является
простейшим. Их вывод таков: гипотеза простейшего потока не
подтвердилась. Более того, они считают, что опытный
материал говорит в пользу первой гипотезы.
4*

100 ИЗУЧЕНИЕ ВХОДЯЩЕГО ПОТОКА ТРЕБОВАНИЙ [ГЛ. 2
Приведенный пример должен не только расширить наши
представления о многообразии реального воплощения
понятия потока, но и показать недостаточность принятого нами
определения потока требований (событий), поскольку в ряде
задач необходимо изучать поток не только во времени, но
и в пространстве. Так, при изучении потока землетрясений
указание только момента землетрясения недостаточно,
поскольку необходимы также координаты его эпицентра: ср,
0, h—широта, долгота и глубина.
6. О более широком подходе к понятию входящего
потока. В связи с последним замечанием естественно
возникает мысль о целесообразности такого определения потока
событий, которое применимо не только при рассмотрении
потоков событий во времени (чем мы исключительно
занимались до сих пор и будем использовать впоследствии), но
и в более широких условиях.
Пусть задано множество элементарных событий X, а также
а-алгебра его измеримых подмножеств 21х. Случайным
потоком ц(Л) с фазовым пространством (X, Шх)
называется система случайных величин ц(А), определенных на
элементах множества Щх (А £ $1х) и обладающих двумя
следующими свойствами:
1) ц(А)—абсолютно аддитивная функция множества,
2) ц(А) принимает лишь неотрицательные целочисленные
значения.
Для приведенного только что примера потока
землетрясений в качестве множества X следует принять множество
точек (t, ф, 8, А), где 0 < t < с», 0 < ф < 2я, 0 < 6 < я,
0 < h < 6000 км.
Важным частным примером случайного потока событий
является пуассоновский поток. В соответствии с только что
предложенным общим подходом, пуассоновским
потокам следует дать такое определение. Пусть т] (А) —
абсолютно аддитивная, неотрицательная функция множества А,
определенная на А £ 31х. Для любой системы А1У Л2, . . ., Ап
попарно непересекающихся множеств величины т) (Л^,
f)(A2), ..., Ц(Ап) взаимно независимы и для каждого
допустимого множества имеют место равенства
Р{т1(Л) = й} = 1-^И%-мл> (А = 0, 1,2, ...)•

§ 2.2] ПРОСТЕЙШИЙ НЕСТАЦИОНАРНЫЙ ПОТОК 101
Не изменяя рассуждений § 1.1, легко доказать, что
поток Y] (А) тогда и только тогда определяется равенствами
Р{Л(Л) = *} = (-^Л%-М.4, (ft = o, 1,2, ...),
где Я > 0 —постоянная, |Л|—мера множества Д когда
выполнены условия «стационарности», ординарности и
«отсутствия последействия». При этом под стационарностью
здесь мы станем понимать независимость вероятностей Pk (A)
от положения множества А в пространстве ^и от его
«формы», а зависимость этих вероятностей только от k и \А\.
Под ординарностью станем понимать выполнение условия
lim \A\ °*
Наконец, под отсутствием последействия будем понимать
независимость Y] (Лх), т](Л2), ..., Y] (Ап) для непересекающихся
множеств А1у Л2, . . ., Ап. И в общем случае такие потоки
естественно назвать простейшими.
Рассмотренные примеры достаточно убедительно
показывают необходимость исследования потоков не только
простейших, но и более общей природы. Последние годы этим
вопросам уделялось большое внимание. Здесь будут изложены
лишь некоторые полученные к настоящему времени
результаты и представляющие интерес для теоретических и
практических целей классы потоков.
§ 2.2. Простейший нестационарный поток
1. Определение простейшего нестационарного потока.
Во многих задачах физические условия появления требований
таковы, что предположения об их ординарности и отсутствии
последействия совершенно естественны. В то же время
предположение стационарности внушает серьезные сомнения, а
иногда оказывается и заведомо ошибочным. Настоящий
параграф посвящен изучению ординарных потоков без
последействия, но нестационарных. Для краткости мы станем называть
такие потоки простейшими нестационарными
потоками.
Так как поток нестационарен, то вероятность получить k
требований за промежуток длительности t зависит не только

102 ИЗУЧЕНИЕ ВХОДЯЩЕГО ПОТОКА ТРЕБОВАНИЙ [ГЛ. 2
от t, но и от момента tQy являющегося началом этого
промежутка. Позднее мы станем обозначать эту вероятность
через pk(t0, t0 + t).
В частности, pQ (/0, tx) есть вероятность того, что за
промежуток (/0, t) не поступило ни одного требования, а
p1(tQ, t) есть вероятность того, что за промежуток
времени (tQl t) поступило ровно одно требование.
Введем в рассмотрение, подобно тому как мы это
делали в § 1.1, функции
00
J4 (*о» 0 = 2 Pk Со> ') = 1 — Ро Co. f)
k=l
и
CD
M'o»') = 2РлСо» 0=1—РоСо» 0—Pi('o» О-
&=2
Первая из них означает вероятность того, что за
промежуток времени (^0, t) поступит хотя бы одно требование,
а вторая — вероятность поступления за тот же промежуток
хотя бы двух требований.
Требование ординарности потока в количественных, а не
в описательных терминах состоит в том, что мы при любом
постоянном t^O предполагаем выполненным равенство
Итмм+*)=0 (1)
Мы предположим далее, что для любого t ^ О
существует предел
lim *l{i\t + h) = k(t), (2)
ft-* о h
являющийся мгновенным значением параметра.
2. Уравнения для определения вероятностей pk(t0, t).
Для определения общей формы потока мы должны
составить уравнения, которым удовлетворяют функции pk(tQ, t).
Предпосылки, сформулированные в предыдущем разделе, для
этого вполне достаточны.
За промежуток времени (/0, t-\-h) не поступит ни одного
требования в том и только том случае, если требования не
поступят как за промежуток времени (tQ, t), так и за
промежуток (ttt-\-h). В силу предположения об отсутствии

§ 2.2] ПРОСТЕЙШИЙ НЕСТАЦИОНАРНЫЙ ПОТОК 103
последействия можно написать равенство
P0{t0,t + h)=p0(t0,t)p(t9t + h). (3)
Согласно условию (2) для t > 0 имеет место равенство
п±у, t + h) = k(t)h + o(h),
откуда вытекает, что
pQ(t9 * + й) = 1—я^*, * + й) = l—X{t)h + o{h). (4)
Мы можем теперь равенство (3) записать в виде
Ро('о^ + А)-Ро('о.')= —^(ОРо('о^)А + о(А).
После почленного деления на h и перехода к пределу
при h—»0 получаем уравнение
d^^ = -X(t)p0(t0,t). (5)
Заметим, что существование производной доказывается
автоматически из факта наличия предела правой части
допредельного уравнения.
Аналогично тому, как в § 1.1 мы вывели уравнения для
разыскания вероятностей, определяющих простейший поток,
могут быть выведены уравнения для вероятностей рк (t0, t)
при k > 0. Очевидно, что в условиях настоящего параграфа
имеет место равенство
к
p* Co. <+*) = 2 р.(<о> <)/>*—(', <+*)■ (в)
Так как при малых h из соотношений (1) и (2)
вытекает, что
яа(*, / + А) = °(А)
и
jMM + A) = M')A + o(A),
то выражение (6) можно переписать и в таком виде:
Pk^J + h)=pk{tQJ){\-l{t)h)+Pk_1{tQJ)\{t)h + o{h).
Отсюда
p^MHOzZiM.=_X(t){Pk{to, t)-Ph_x(t0! t)) + o{\).

104 ИЗУЧЕНИЕ ВХОДЯЩЕГО ПОТОКА ТРЕБОВАНИЙ [ГЛ. 2
Предельный переход при h—>-0 приводит к уравнению
dpk (to, t)
dt
■ = ^(0[P*-i(<o.')-P*('o.')]. (7)
Если ввести в рассмотрение функцию P-1(t0, t),
определив ее посредством равенства
/>-i('o, 0-0,
то уравнения (4) и (7) можно объединить в уравнение (7),
рассматриваемое при всех значениях k^O.
3. Решение системы уравнений (7). Система
уравнений (7) решается без труда, если использовать метод
производящих функций.
Пусть случайная величина !■ может принимать только
значения 0, 1, 2, ... и вероятности этих значений
соответственно равны р0, ръ р2, ... Производящей
функцией случайной величины J- называется ряд
00
4>{x)=Po+PlX+P2x2+ ••• = 2/V**.
/2=0
Этот ряд наверняка сходится при |л;|^1, кроме того,
ф(1)=1.
Введем теперь обозначение
со
ф ('о. '. *) = 2 Рк Со» *) х"-
k=0
Помножим уравнение (7) на xk и просуммируем полученные
равенства по всем k от 0 до оо:
со оо
k=o
Так как
k=o fc = o
2**ft-i('o» 0 = *ф('о. *. ■*)
*=0
V ~kdpk(to,t) __d<p(tQtt,x)
£*X dt " dt
fc = o

§ 2.2J ПРОСТЕЙШИЙ НЕСТАЦИОНАРНЫЙ ПОТОК 105
ТО
*2 = (*-1)Х(*)ф.
Это уравнение может быть записано в виде
а1пф^м) = (*-1)М<)Ф(<.,*,*).
Отсюда находим, что
t
ln<p(/0, *, д:) —In ф(/0, *0> *)«=(*—1) J X (г) ^.
Так как из определения производящей функции и
условий задачи вытекает, что
ф('о> ', *)=М'о> 'о)=1»
то
In ф(*0, t, х) = (х — 1) j X (z)dz.
to
Введем обозначение
Л(*0, *) = 5м*)<**- (8)
to
Из предыдущего следует, что
ф (*0> /, X) = e(*-D Л ('о. О = е-А (/о. *>£ [Л(*0.Ц] дД
/г = 0
Сопоставив полученное равенство с определением
функции ф(/0, t, x)y находим, что для всех значений k^O имеют
место равенства
Р*(<о,0 = 1А%^«-А('-<). О)
Мы видим, что и в нестационарном случае ординарный
поток без последействия является процессом Пуассона; только
в этой предпосылке параметр потока X (t) уже не будет
постоянной величиной.
Легко подсчитать, что функция Л (f0, t) равна среднему
числу требований потока, поступивших за промежуток (tQy t).

106 ИЗУЧЕНИЕ ВХОДЯЩЕГО ПОТОКА ТРЕБОВАНИЙ [ГЛ. 2
4. Мгновенная интенсивность потока. Как мы только что
сказали, математическое ожидание числа требований,
поступивших за период (^0, t), равно
00
М'о,')=Е*М'о.') = Л(*0>*).
fc = o
Средняя интенсивность потока за промежуток (/0, t) равна
to
Если мгновенный параметр X (t) в промежутке (tQ, t)
постоянен К (t) = X, то и средняя интенсивность в этом
промежутке постоянна и равна К.
Определим мгновенную интенсивность
потока (i (/0) как предел
М0 г*~го
В силу известных свойств определенного интеграла в
точках непрерывности функции X (t) имеем:
t
|x(/0) = lim у-Ц- tk(z)dz = k(t0).
Таким образом, мгновенная интенсивность ординарного
потока без последействия совпадает с мгновенным значением
параметра. В частном случае этот результат мы получили
в § 1.1; тогда дополнительно мы предполагали, что поток
обладает и стационарностью.
Если относительно К (t) предполагать только
суммируемость, то, как известно из теории интеграла Лебега,
последний результат имеет место почти всюду.
Сделаем еще два замечания.
Из определения функции Л(/0, t) следует, что если
t0<x<t, то
Л(*0, *) = Л(*0,т) + Л(т, t).
Без всякого изменения вычислительной стороны дела
можно обобщить теорему, доказанную в п. 7 § 1.1. В условиях

§ 2.2] ПРОСТЕЙШИЙ НЕСТАЦИОНАРНЫЙ ПОТОК 107
настоящего параграфа имеет место следующий результат.
Если известно, что в отрезок времени (/0, t) попали п
требований ординарного потока без последействия, то каждое
из требований располагается в этом отрезке независимо от
остальных и вероятность того, что оно попадет в отрезок
(а, Ь) (t0^a<b^t), равна д((^ ^ ■
5. Примеры. Зачастую потоки имеют ярко выраженную
периодичность. К таким потокам относятся, например, потоки
вызовов на телефонную станцию, потоки грузовых судов,
потоки вызовов в станции скорой помощи и т. д. В первом
случае существенна периодичность в течение суток, во втором —
годичная, в третьем — суточная и на протяжении недели. Поток
покупателей в магазины тоже носит четко выраженный
периодический характер. Учет этой особенности потоков
представляет большое практическое значение, так как позволяет
своевременно принять меры для рационального обслуживания
требований.
Пусть для примера
К (t) = 2Х sin2 at = к (1 — cos 2at).
Средняя интенсивность потока за промежуток времени
(/0, t), как легко подсчитать, равна
V (/„, t) = k[\ -Sina°(l7jo) cos a (t + *„)] .
В рассмотренном примере средняя интенсивность с
возрастанием промежутка времени до бесконечности стремится
к постоянному значению X. Этот вывод сохраняет силу для
любых периодических функций X (t).
В качестве второго примера рассмотрим параметр А(/),
стремящийся с ростом t к постоянному значению %. С такого
рода потоками приходится встречаться достаточно часто.
Заметим, что для таких потоков сохраняют все выводы,
сделанные нами в главе 1.
Само собой разумеется, что изучение задач теории
массового обслуживания для общих простейших нестационарных
потоков приводит к значительным аналитическим трудностям.
В то же время составление систем дифференциальных
уравнений, с которыми мы познакомились в главе 1, может быть

108 ИЗУЧЕНИЕ ВХОДЯЩЕГО ПОТОКА ТРЕБОВАНИЙ [ГЛ. 2
проведено без всякого труда и для произвольного
простейшего нестационарного потока. Мы предоставляем читателю
возможность убедиться в этом самостоятельно.
6. Общая форма потоков Пуассона без последействия.
Естественно спросить себя теперь об общей форме всех
потоков Пуассона без последействия. Сводятся
ли они к простейшим нестационарным потокам? Интуитивно
ясно, что нет, поскольку для такого типа потоков
функция Л(^=Л(0,/) абсолютно непрерывна (как интеграл от
некоторой функции). Естественно ожидать, что произвольный
пуассоновский поток без последействия должен иметь
следующую общую форму. Пусть A(t) — некоторая
неубывающая функция от ^(Л(/) = 0при ^^0). Вероятность
появления k (k ^ 0) требований в промежутке времени а^/<Р
вычисляется по формуле
рЛа, р) = [Л(Р)-Л(а)]%_[Л(Р)_Л(а)1
Строение пуассоновских потоков без последействия было
выяснено А. Я. Хинчиным [1]. Мы ограничимся здесь только
формулировкой полученного им результата.
Отметим точки разрыва функции Л(/) буквами tv t2y...
Эти моменты играют в дальнейшем существенную роль. Поток
называется сингулярным пуассоновским, если он
обладает следующими свойствами:
1. События потока могут наступать только в
заранее определенные моменты времени tt (/=1,2, ...),
а числа событий, наступающих в различные моменты tiy
являются взаимно независимыми случайными величинами.
2. Вероятность наступления k событий в момент ti равна
ak
e~aiT\ (ai>°> k = °> 1.2,...).
3. Ряд
c(*)~ S ai
o<7]</
сходится при любом t > 0.
Легко подсчитать, что производящая функция этого
потока имеет вид
Г (х; а, Р) = ехр [с (р) - с (а)] (* - 1).

§ 2.3] свойство стационарных потоков 109
По заданной функции Л(/) определим точки ее разрыва
tv t2l ..., величины скачков а{ = A(^-f-O) — Л (tt — 0) и
функции
c(t)= У <V. Лх (*) = Л(*)-*(*)■
Функция Ax(^) непрерывна при всех значениях t. Построим
случайный процесс с производящей функцией
Ф±(х; а, Р) = ехр [Лх (P)-Ax (а)] (х- 1).
Этот процесс является пуассоновским без последействия.
Он ординарен в том смысле, что при любых t > 0 и 8 > 0
найдется такое б > 0, что для 0<а<р<а+б<^ имеет
место неравенство
я2(а> РХеМа> Р)-
Такие процессы Хинчин назвал регулярными.
Мы видим, что любой пуассоновский процесс без
последействия представляет собой сумму двух независимых
потоков без последействия, из которых один пуассоновский
регулярный, а другой — пуассоновский сингулярный.
Как показал А* Я. Хинчин, это свойство является
характеристическим.
§ 2.3. Свойство стационарных потоков
1. Существование параметра. В § 1.1 было доказано,
что для любого стационарного потока без последействия
имеет место равенство
Ро(')=1—№ + *(*),
в котором X — некоторое постоянное число. Отсюда
вытекает, что для любого стационарного потока без
последействия существует предел
ит *-*£>=я,
t-+Q l
названный нами параметром потока.
А. Я. Хинчин [2] показал, что для существования
параметра потока предположение об отсутствии последействия
излишне и его использование было вызвано не существом
дела, а использованным методом.

110 ИЗУЧЕНИЕ ВХОДЯЩЕГО ПОТОКА ТРЕБОВАНИЙ [ГЛ. 2
Задача настоящего параграфа состоит в доказательстве
следующего положения.
Теорема. Для любого стационарного потока существует
/-►0 1
причем случай X=-f-°° не исключается.
Доказательство этого предложения опирается на один
элементарный аналитический результат, к формулировке и
выводу которого мы переходим.
2. Лемма. Рассмотрим неотрицательную и
неубывающую в отрезке 0^.х^.а функцию /(х), удовлетворяющую
соотношению
f{x+y)<f{*)+f(y), (1)
для всех х и у, принадлежащих вместе с суммой х-\-у
f (Х)
отрезку 0<х^а. В указанных условиях -^ при х—+0
либо безгранично возрастает, либо стремится к некоторому
конечному пределу. Этот предел может равняться 0 только
в случае /(а) = 0.
Доказательство. Из неравенства (1) с очевидностью
вытекает, что для любого целого положительного m при
произвольном х (0 < х ^ а)
/(*)<*»/(-). (2)
В частности, при х=а
а
m
Если f(a) Ф 0, то
а
>'-Р (/«=1,2,3,...).
г.— f (х) / (а) . л
причем, конечно, возможен и случай а=+сх>.
Рассмотрим сначала случай а< -f-oo. В этом
предположении найдется такое с > 0, что при заданном 8 > 0
выполняется неравенство
Ш>а_е.
С ^

§ 2.3] СВОЙСТВО СТАЦИОНАРНЫХ ПОТОКОВ 111
Пусть теперь х заключено в отрезке 0 < х < с. Определим
целое т^2 из неравенства
с ^ . с
т ^ т— 1 *
В силу монотонности функции f(x) и выбора числа т имеет
место неравенство
f(x) > / УШ
А так как согласно (2)
то
f(x)>m-\f(c)
х ^*" т с
i^-xi
Таким образом, на основании выбора числа с
■ — )(а-е).
Так как е находится в нашем распоряжении и мы можем
его выбрать сколь угодно малым, а т—► оо при х —* 0, то
lim m. = a.
х-* 0 *
Рассмотрим теперь случай а=+°°' Пусть А —
произвольное большое число. Выберем с так, что
С ^
Рассуждениями, подобными проведенным, можно доказать,
что
х ^ т
Отсюда вытекает, что при х—► О
X '
Лемма доказана.
3. Доказательство теоремы. Для доказательства
сформулированной в п. 1 теоремы А. Я. Хинчина достаточно

112 ИЗУЧЕНИЕ ВХОДЯЩЕГО ПОТОКА ТРЕБОВАНИЙ [ГЛ. 2
обнаружить, что функция ^(t) удовлетворяет условиям
только что доказанной леммы.
Очевидно, что я1(^)^0 и с возрастанием t не может
убывать. Если отбросить потоки, в которых требования вообще
не поступают (и для которых, следовательно, р0(^)=1, а
я1(/) = 0 при любых t), то при некотором а>0 должно
быть также и я1(а)^0. Если в промежутке (0, t1~\-t2)
произошло хотя бы одно требование, то хотя бы одно
требование должно было наступить в одном из
промежутков (О, /х) и (tv t1 + t2) и, значит,
ni(^l+'2)<niW + «2('2)
('l>0, *2>0, /!+/2>0).
Мы видим, что все предпосылки леммы для функции
ях(/) выполнены. Теорема, таким образом, доказана.
В главе 1 (п. 6 § 1) было доказано, что для любого
стационарного потока без последействия
р,(*)=1-*-м.
а следовательно,
n1{t)=\—e-xt.
Если исключить потоки, для которых в любом промежутке
времени с вероятностью единица либо не поступает ни одного
требования, либо поступает бесконечное их число, то в
последней формуле величина Я отлична от 0 и +°°-
Отброшенные потоки не представляют интереса, и мы их не
рассматриваем.
4. Пример стационарного потока с последействием.
В случае, когда стационарный поток допускает последействие,
параметр потока может обращаться в +00- Для
доказательства этого утверждения рассмотрим пример.
Пусть параметр z простейшего потока представляет собой
случайную величину с функцией распределения ^(а:)
(/?(_j_0)=0, F (+ оо) = 1). Если параметр принял
значение лс, то условная вероятность того, что за промежуток
времени t поступят k требований, равна

§ 2.3] свойство стационарных потоков 113
Следовательно, полная вероятность поступления k требова
ний за промежуток времени длительности t равна
со
О
Ясно, что
со со со со
Ep*w=E^e-*<dF(j:)=Jd/7(jf)=i.
k = o /г = о
Так как
ni(t) = ](\-e-xt)dF(x),
ТО
О
В предположении, что
со
^ xdF (х) < + °°,
о
из неравенства
!—*-**<**
вытекает соотношение
со
^<Глг^(лг).
о
Мы заключаем отсюда, что в указанном предположении
параметр потока конечен.
Пусть теперь
со
^xdF(x) = +00.
о
Как бы мало ни было 8 > 0, найдется столь большое Д
что
А
1
§xdF(x)>±.

114 ИЗУЧЕНИЕ ВХОДЯЩЕГО ПОТОКА ТРЕБОВАНИЙ [ГЛ. 2
Но
МО
t ■
и
А
-xt
-xt
lim \ — dF(x)=\xdF (х),
о о
поэтому, каково бы ни было 8 > О,
lim *&-!
Отсюда
t ^ e '
Ко г
Таким образом, в указанном предположении параметр потока
бесконечен.
Легко проверить, что параметр Я рассмотренного нами
потока в обоих случаях равен
00
Я = J xdF (x).
о
5. Частные случаи. В 'качестве частных примеров
рассмотрим несколько случаев выбора функции F(x).
а) Функция F(x) растет только в двух точках а и Ь;
скачок в точке а равен р, а скачок в точке b равен
<7=1—р. В этом случае
Pk«)=p!$e-« + q<!£'-" (*-<>. 1,2, ...).
Для иллюстрации такого типа потоков можно привести
такую ситуацию: некоторые изделия поставляются двумя
заводами. Вероятность того, что за срок работы t не
откажет изделие первого завода, равна e~at, такая же
вероятность для изделий второго завода равна е~ы. Доля
продукции первого завода равна р, доля продукции второго
завода равна q. Продукция перемешана и из этой смеси
наудачу выбраны к изделий. Вероятность того, что все
выбранные изделия откажут за время ty равна выписанной
нами вероятности.
Для рассмотренного примера k = ap + bq.

§ 2.3] свойство стационарных потоков 115
б) F(x) = l—e-
Несложный подсчет приводит к равенствам
Pk{t)= at\ (ft = 0, 1, 2, ...).
Полученное распределение носит название распределения
Паскаля. Нетрудно подсчитать, что для него Х = а~1.
в) Функция F(x) растет во всех целочисленных точках
и только в них; скачок в точке г равен . Для этого
случая
00
r=i v ' '
Параметр этого потока бесконечен, так как
00 СО
О г-1
6. Исследование характера потока, рассмотренного
в примере. Стационарность потока, изученного в пп. 4 и 5,
ясна. Ординарность потока вытекает из равенства
я2
из
Л*)--
_у Mxtfe-
-xt
-dF(x) = t2
которого, очевидно, аытекает
lim^b
t-*Q l
'=4
= 0.
-xt
— X2
dF(x),
Таким образом, поток не может быть потоком без
последействия, так как иначе он был бы простейшим.
Для второго примера п. 5, в частности,
,, у atk _ t*
Для этого примера в наличии последействия легко
убедиться и непосредственно. Подсчитаем с этой целью
вероятность отсутствия требований в промежутках (/Oi'o + 0»

116 ИЗУЧЕНИЕ ВХОДЯЩЕГО ПОТОКА ТРЕБОВАНИЙ [ГЛ. 2
Со + <, h + t + h) и (t0, to + t + h):
Равенство
p0(t + h)=pQ(t)p0(h)
выполняется лишь в одном из двух случаев: при t = О или
при /г = 0. Следовательно, рассматриваемый поток должен
быть потоком с последействием.
Пример п. 4 для прикладных целей может представлять
значительный интерес, поскольку он позволяет строить
большое число разнообразных потоков.
§ 2.4. Общая форма стационарного потока
без последействия
1. Постановка задачи. В настоящем параграфе мы
ставим перед собой естественную общую задачу: дать полное
описание, потоков, обладающих только двумя свойствами —
стационарностью и отсутствием последействия. Мы знаем,
что если к этим двум свойствам добавить третье —
ординарность, то единственными потоками, удовлетворяющими им
всем, будут простейшие потоки, отличающиеся друг от друга
лишь значениями параметра.
В главе 1 было доказано, что для любого стационарного
потока без последействия (как ординарного, так и
неординарного)
Po(*) = e-xt.
Отсюда, в частности, вытекает, что для любого
стационарного потока без последействия
n1(t) = \-p0(t) = \-e-'t
и что, следовательно, результат предыдущего параграфа для
таких потоков получается без всяких дополнительных
рассуждений.
В настоящем параграфе значительную роль будут играть
вероятности поступления в промежуток времени t по
меньшей мере k требований при & = 0, 1, 2, ...
i-k

§ 2.4] ОБЩАЯ ФОРМА СТАЦИОНАРНОГО ПОТОКА 117
Ясно, что вероятности nk (t) и pk (t) связаны между
собой простыми равенствами
Позднее будет доказано, что для любых стационарных
потоков без последействия существуют пределы lim -AL2 при всех
k > 0. Для простейшего потока
lim^ = Jtf lim^ = 0 при*>1.
Содержание настоящего параграфа, доказанные в нем
лемма и теорема принадлежат А. Я. Хинчину [2]. Иная
характеристика стационарного потока без последействия была
дана Редхеффером [1].
Лемма. Если функция f(x) неотрицательна, не у$ы-
/ч ^ ^- f (х)
вает в отрезке 0<л;^#, в этом отрезке отношение'-^-^
ограничено и при любом натуральном п для некоторого
постоянного с > 0 выполняется соотношение
f(nx)^nf(x) + cn2x\ (1)
то существует предел
lim LW^/^o.
Х-+0 Х
Доказательство. Обозначим
Мы можем считать, что />0, так как в случае / = 0
утверждение леммы тривиально.
Положим в (1) z=nxy тогда
/(*)<«/(£)+«».
Отсюда
' г
^^ш_С2.
z ^ г
п

118 ИЗУЧЕНИЕ ВХОДЯЩЕГО ПОТОКА ТРЕБОВАНИЙ [ГЛ. 2
Выберем е > 0 достаточно малым и z < — так, чтобы
г ^
Пусть 0 < х < г. Определим целое п > 1 посредством
неравенства
— ^ х <
п ^ я—1'
Так как по предположению о характере функции f(x)
то
Mf) ._,/(£)
л; z п 2
я—-1 я
и, следовательно, для достаточно малого х
X П \_ Z JV П J Z
^(l-7)(/-e)-e>/-3e-
Но для любого е > 0 при каждом достаточно малом дг
выполняется неравенство
Отсюда вытекает, что
х '
lim ■&> = /.
Лемма доказана.
2. Доказательство существования пределов lim Пк w .
Мы можем теперь перейти к доказательству
сформулированного нами предложения о существовании пределов
отношений lim Пк} ' при любом k^\. Для этого нам достаточно
лишь проверить, что функции nk (t) удовлетворяют всем
требованиям леммы. Из определения функций nk (t) выте*

§ 2.4] ОБЩАЯ ФОРМА СТАЦИОНАРНОГО ПОТОКА 119
кает, что при любом k ^ 1 они неотрицательны и не
убывают. Из того, что
а
вытекает ограниченность k ' в любом промежутке 0 < / <#.
Остается проверить, что nk(t) удовлетворяют
неравенству (1).
С этой целью введем в рассмотрение величину gk —
верхнюю грань отношения *у ' в области 0<£<оо— и
рассмотрим число
k
\ = 2 &&-/■
* = 1
Докажем, что при любых t и натуральных п
nk(nt)^nnk{t) + Akn-^LtK (2)
Этим будет завершена проверка выполнения условий леммы.
При п— 1 неравенство (2) тривиально. Допустим теперь,
что оно имеет место для некоторого п. Чтобы в отрезке
(О, (#+1)/) длины (я + 1) t = nt-\-1 появилось не менее k
требований, необходимо поступление не менее / (*'= 0, 1,
2, ..., k) требований в промежутке (0, /) ине менее k — /
требований в промежутке времени (t, (n+\)t). Таким
образом, имеет место неравенство
k
= яо (0 nk И) + nk (*) ло И;+ 2 я/ (0 яЛ_/ («о <
Л-1
£=1
Л-1
<nk(nt) + nh(t)+nt* % gigk-i = nk(nt) + nk(t) + Aknt*.
1 = 1
Но согласно предположению
%

120 ИЗУЧЕНИЕ ВХОДЯЩЕГО ПОТОКА ТРЕБОВАНИЙ [ГЛ. 2
поэтому
nk((n+\)t)^(n+l)nk(t) + Akn-^±^t\
Итак, доказано, что функции удовлетворяют
неравенству (2). Мы убедились, что условия леммы выполнены и,
следовательно, существуют пределы lim */ .
Так как lim -^—' = Л, то существуют и пределы
lim 2A-L2. Поскольку />л (0 = я* (0 —ял + 1(/), предыдущее
доказывает и существование пределов
Обратим внимание на то, что отношение /J есть
вероятность получить /г требований, если известно, что
в этом промежутке времени поступило хотя бы одно
требование. Предел этого отношения при t—>-0 естественно
трактовать как вероятность получения k требований в
определенный момент при условии, что в этот момент вообще
поступили требования. Такое наглядное представление
смысла ak нам будет полезно. Отметим, что
00
2 ** = 1-
3. Уравнения, определяющие общий стационарный
поток без последействия. Напишем уравнения для
определения функций pk(t) в общем случае стационарного потока
без последействия. Известно, что для таких потоков при
любых t > О и h > О имеют место равенства
k
й(' + *)-2а(<)Ры(*) (* = 0, 1,2, ...).
Так как для потоков без последействия
Ро (<) = *-",
то при h—>0
ро (/г) = 1 — M + o(h).

§ 2.4] ОБЩАЯ ФОРМА СТАЦИОНАРНОГО ПОТОКА 121
Таким образом, при k > О
pk(t + h) = (l-Xh)pk(t)+ 2М')Р*-/(А) + о(Л)
/ = 0
и, следовательно,
pk{t+hl-pk(t)=-^(t)+j:PiWEHB+o^ <*>
i = o
Мы знаем, что при h—► ()
h h TLi(h) k~1' * '
Отсюда вытекает, что при k^\ имеют место равенства
k-i
P'k(t)=-bPkV) + b 2 **-*/>/('). (3)
f = 0
Существование производных pk (t) доказывается
автоматически.
Добавим к системе уравнений (3) еще одно уравнение,
определяющее pQ(t):
p0(t)=-KPo(t). (4)
Совокупность уравнений (3) и (4) дает возможность
однозначно определить интересующие нас вероятности p£(t).
4. Решение системы уравнений (3) и (4). Замена
pk(t)~e-xtuk(t)
позволяет свести интересующую нас систему уравнений
к более простой. Как легко убедиться путем
непосредственной подстановки, для функций uk (t) получаются
уравнения:
«'„(*) = о
И При k^z 1
uk (i) = К (аЛ_х (/) + a2uk_2 (*)+...+ аки0 (t)). (5)
Из того, что
Ро С) - e-xt,
вытекает равенство
«о(0)=Ро(0)=1-

122 ИЗУЧЕНИЕ ВХОДЯЩЕГО ПОТОКА ТРЕБОВАНИЙ [ГЛ. 2
Так как при любом t ^ О
00
fc=0
то ясно, что при любом k ^ 1 имеет место равенство
«*(0)=Р*(0) = 0.
Выпишем несколько первых уравнений системы (5):
u'1(t) = Xa1u0(t),
u2(t)^X(alUl(t) + a2u0(t)),
uz (t) = X (аги2 (t) + агих (t) + a3u0 (t)).
Подстановка в первое из уравнений явного выражения
функции #0(^) = 1, а также учет начального условия для их
приводят к равенству
их (t) = Xaxt.
Подстановка во второе из уравнений уже известных
выражений для uQ(t) и u1(t)1 а также учет начального
значения для иг приводят к равенству
Подобным же путем находим:
«а (0 = ^ + (W) (*«.') + W-
Выпишем еще выражение для функции w4 (t)
w4 (0 = —jj 1 2!— 2 + "ТГ 3 + ~~2! *" *Л '
Общую формулу для uk(t) мы не приводим, так как она
достаточно сложна. Искомые вероятности принимают
следующий вид:
Ро (') = «"".
pl{t) = alXte-u,
P.(0 = eJire-X4a,We-M,
Рз (О = «! ^ •-" + 2аЛ <*£ е"« + *,**-",
P4(0-eJ^*-M + 3e;a,l||2.-" +

§ 2.4] ОБЩАЯ ФОРМА СТАЦИОНАРНОГО ПОТОКА 123
Полученным формулам можно дать наглядное
вероятностное толкование. Для примера рассмотрим вероятность
Pt(t). В промежутке времени длины t четыре требования
могут наступить следующими несовместимыми способами:
1) были четыре момента времени, в каждый из которых
поступило по одному требованию;
2) были три момента времени, в которые поступили
требования: в двух из них по одному и в третьем сразу два;
3) было лишь два момента, когда поступали требования:
в одном одно требование, в другом сразу три;
4) требования поступили дважды, каждый раз по два;
5) был единственный момент, когда поступили
требования, но сразу четыре.
5. Рассмотрение частного случая. Рассмотрим теперь
частный случай
а1=ру a2 = \—p~qy <*k = 0 при k^3.
Этот случай может представлять и непосредственный
прикладной интерес: при рассмотрении физических явлений
спонтанного деления частиц, в экономических операциях и
в производстве.
Уравнения для определения функций uk(t) при k^2
принимают весьма простой вид:
uk(t) = X (яА_! (t) + a2uk_2 (/)).
Непосредственной проверкой убеждаемся, что функция
i = 0
удовлетворяет как дифференциальному уравнению, так и
начальному условию. Отсюда находим формулу для искомых
вероятностей
z = o
Число моментов, в которые появляются требования,
представляет собой простейший поток с параметром X, а в

124 ИЗУЧЕНИЕ ВХОДЯЩЕГО ПОТОКА ТРЕБОВАНИЙ [ГЛ. 2
каждый из этих моментов появляется одно или два
требования соответственно с вероятностями р и q. Характер
потока в данном частном случае достаточно ясен.
6. Производящая функция потока. Исчерпывающее
решение системы уравнений (3) — (4) мы получим с помощью
производящих функций. Положим
F(t, x)=^Pk{t)xk.
k = o
Из соотношений (3) и (4) путем умножения на
соответствующие степени хк и последующего суммирования по k от
О до оо находим, что
со k
= - KF+ К fj ai S P/ (') *'+/ =-^F + KF (t, x) 2 aiX{.
i=i / = o t=i
Обозначим
®w=S aixt>
i=i
d£^X[G>(x)-\]F
d\nF
тогда
или
dt
= Х[Ф (*)-!].
Отсюда
F(t, х) = С(х)еМфЮ-Ч*.
А так как при любом х
F{0, А:)=р0(0) = 1,
то
F(t, *) = еМФ(*>-1]<. (6)
Известно, что для производящей функции F(t, x) при
любом t
k = 0

§ 2.4] ОБЩАЯ ФОРМА СТАЦИОНАРНОГО ПОТОКА 125
Следовательно, в силу (6)
k=i
Это равенство было обнаружено нами ранее.
Формула (6) дает нам общий вид производящей функции
любого стационарного потока без последействия. Легко убе-
диться и в обратном: если Я >0, #,-^0, 2ai~ *> т0 СУ~
ществует стационарный поток без последействия,
производящая функция которого задана формулой (6).
Пусть моменты времени, в которые поступают
требования, образуют простейший поток с параметром Я. В
каждый момент поступления требований может поступить с
вероятностью ak любое число к требований, независимо от
того, сколько требований уже поступило до этого момента,
каков этот момент и в каком порядке поступали эти
требования. Таким образом, определенный поток будет,
очевидно, стационарным потоком без последействия. Легко
убедиться, что производящая функция этого потока имеет
вид (6).
Действительно, вероятность поступления за промежуток
времени t точно k требований равна
г = о
(вероятность того, что за время t случилось г моментов
поступления требований, равна —~ е по «предположению;
Pr{k) означает вероятность того, что в эти г моментов
поступят k требований. Понятно, что Pr(k) = 0 при k < г).
Теперь
F(t, Х) = ±Рк«)Х>> = ±Щ^±РгЩхк.
/г = о r = o k = o
00
Но ^ Pr(k)xk есть производящая функция случайной ве-
личины, равной числу требований, поступивших за г
моментов, в которые поступают эти требования. Так как числа

126 ИЗУЧЕНИЕ ВХОДЯЩЕГО ПОТОКА ТРЕБОВАНИЙ [ГЛ. 2
поступлений требований за различные моменты
представляют собой независимые случайные величины, то в силу
известного свойства производящих функций
S Pr(А)хк = [Ф(х)У = \% в,*']'.
k=o L7=i J
Таким образом,
7. Заключительные замечания. Сформулируем
окончательный вывод о строении стационарных потоков без
последействия. Для любого стационарного потока без
последействия моменты поступления требований образуют
простейший поток. В каждый момент поступления требований
с определенной вероятностью ak поступает точно k
требований. Таким образом, каждый стационарный поток без
последействия полностью характеризуется числами X —
интенсивностью потока моментов появления требований и
вероятностями ak поступления в каждый из них ровно к
требований
Для простейшего потока интенсивность X произвольна,
а1=1, ak = 0 при &> 1.
Равенство (6) для производящей функции дает
возможность получить вероятности pk(t) поступления за
промежуток времени t ровно k требований. Для первых четырех
значений k эти формулы приведены в п. 5 настоящего
параграфа.
Естественно поставить такой вопрос: каков будет тип
потоков, которые обладают только свойством отсутствия
последействия? Таким образом, если отказаться не только от
ординарности, но и от стационарности потока, то можно
ли найти достаточно прозрачное описание всех мыслимых
потоков? Эта задача была поставлена и решена А. Я. Хин-
чиным [3]. Мы не будем приводить решения этой задачи и
ограничимся лишь описанием полученного им результата.
Ведущей функцией потока назовем математическое
ожидание требований, поступивших за время (0, t); обо-

§ 2.4] ОБЩАЯ ФОРМА СТАЦИОНАРНОГО ПОТОКА 127
значим ведущую функцию через Л(/). Поток назовем
финитным, если для любых t имеет место неравенство A(^)<-f-°°-
Обозначим через pk (t, т) вероятность получения k
требований в промежутке (/, т). Момент t назовем регулярной или
сингулярной точкой потока в зависимости от того, предел
\\mpQ(t — A, t + h)=p0(t)
Л->о
равен или меньше 1. Если у потока все точки регулярны,
то такой поток назовем регулярным.
Производящая функция регулярного потока без
последействия имеет следующий вид ((a, (J) — интервал времени):
Ф(х; а, р) = ехр{|;ЫР)-Х*(а)]**}.
где функции %k (t) (%k (0) = 0) обладают следующими
свойствами:
1) непрерывны при всех значениях t;
2) монотонны (неубывающие при k > 0 и невозрастающие
при & = 0);
3) ряд ^k%k(t) сходится при любом t;
00
4) при любом t ^ 0 имеет место равенство 2 %k (0 = О*
Про поток S мы скажем, что он сингулярен, если:
1) его события наступают лишь в определенные моменты
времени, образующие конечное или счетное множество:
*1» *2» • • • »
2) числа событий, происходящих в различные моменты tt>
представляют собой взаимно независимые случайные
величины;
3) вероятность того, что в момент ti наступят k
событий потока S, равна q$\ при любом t ^ 0 они удовлетворяют
неравенству
2 2 k$ < <*>•
o^T^t k=i
Общая теорема, доказанная А. Я. Хинчиным [3], состоит
в следующем:
Каждый финитный поток без последействия
представляет собой объединение (сумму) двух независимых
потоков того же типа, один из которых регулярен, а другой-
сингулярен. Точки появления событий сингулярного потока

128 ИЗУЧЕНИЕ ВХОДЯЩЕГО ПОТОКА ТРЕБОВАНИЙ [ГЛ. 2
совпадают с сингулярными точками исходного потока и
соответствующие вероятности q^ определяются посредством
равенств
qt]= UmpkVi — h, tt + h).
Л->о
§ 2.5. Функции Пальма — Хинчина
1. Определение функций Пальма — Хинчина. Для
исследования стационарных потоков Пальмом [2] была введена в
рассмотрение функция ф0(^), примененная им самим и рядом
других авторов с явным успехом к решению задач теории
массового обслуживания. Сам Пальм определял функцию
ф0 (t) как условную вероятность отсутствия требований в
промежутке (/0, ^0 + 0> если известно, что в момент
^требование поступило. В силу того, что условие, при котором
определяется вероятность, в наиболее интересных случаях
имеет вероятность 0, данное определение не имеет строго
определенного смысла. Вот почему А. Я. Хинчин [1] был
вынужден уточнить это понятие; им же было предложено
рассматривать не одну, а бесконечную последовательность
функций, подобных функции Пальма. Вот почему функции
фд, (/), к определению которых мы переходим, мы станем
называть функциями Пальма—Хинчина.
Пусть к промежутку времени длины т примыкает справа,
но не пересекается с ним промежуток времени длины t.
Обозначим через Hk (т, t) вероятность следующего
сложного события;
за промежуток т поступит по меньшей мере одно
требование:
за промежуток t поступит не более k требований.
Вообще говоря, эти события зависимы между собой.
Так как согласно введенным нами ранее обозначениям
вероятность первого события равна пх (т), то отношение
представляет собой условную вероятность второго из
указанных событий при условии, что первое произошло.
Иными словами, указанное отношение представляет собой
вероятность появления в промежутке t не более ft требований

§ 2.5] ФУНКЦИИ ПАЛЬМА ХИНЧИНА 129
при условии, что в промежутке т произошло по меньшей
мере одно требование.
Докажем, что при каждом к для стационарного потока
с конечным параметром X существует предел
Естественно, что этот предел можно назвать условной
вероятностью поступления в промежутке t не более k
требований при условии, что в начальный момент этого
промежутка поступило требование.
Из того, что Hk (т, t) как функция t не возрастает, а
лх (т) от t не зависит, то каждая из функций Фк (t)
также не возрастает в области О < t < оо.
Положим теперь при к > О
Ал(т, t) = Hk(%, ^-/^(т, *); А0(т, t) = HQ(x, t).
Очевидно, что hk(x, t) есть вероятность того, что 1) в
промежутке т поступит по меньшей мере одно требование,
2) в промежутке t поступит ровно k требований.
Введем обозначения:
Фо(') = Фо(<)> ф*(0-Ф*(0-Ф*-1(0 (*>0). (2)
Из предшествующего ясно, что
<Р*^)=И»Л-Й? (*=0, 1, 2, ...). (3)
Функции фл(0 назовем функциями Пальма — Хинчина.
Согласно предыдущему функцию фЛ (t) можно толковать
как вероятность поступления в промежутке t ровно k
требований при условии, что в начальный момент этого
промежутка требование поступило.
2. Доказательство существования функций Пальма —
Хинчина. Мы ввели определение функций Пальма —Хинчина,
но не доказали их существования. Покажем, что для
любого стационарного потока с конечным параметром
функции фЛ (t) существуют. С этой целью проверим, что
вероятность Hk (т, t) как функция т удовлетворяет всем
требованиям леммы, доказанной в § 3 настоящей главы.
Действительно, неотрицательность и монотонность этой функции
очевидны. Нам нужно проверить, что функция Hk(x, t)
5 Б. В. Гнеденко, И. Н. Коваленко

130 ИЗУЧЕНИЕ ВХОДЯЩЕГО ПОТОКА ТРЕБОВАНИЙ [ГЛ. 2
удовлетворяет также третьему требованию леммы, т. е. что
для нее
Hk(r± + x2t 0<Ял(т1э t)+.Hk(x%, t).
С этой целью разобьем промежуток т на две части, хг и т2,
причем пусть тх предшествует т2. Если выполнено хотя бы
одно из следующих событий:
Л — в промежутке т2 появится по меньшей мере одно
требование, в промежутке t появится не более k
требований (вероятность события Д очевидно, равна Hk(x2, t))\
В—в промежутке х± появится по меньшей мере одно
требование, а в промежутке x2-\-t появится не более чем
k требований (вероятность события В равна Hk(xv T2-f-f)),
то наступит сложное событие, вероятность которого
обозначена через Н(х, t). Так как события А и В
совместимы, то имеет место неравенство
Hk(x, t)^Hk(x2, t).+ Hk(%l9 x2 + t).
Поскольку при фиксированном т функция Hk (x, t) с
ростом t может только убывать, то
Нк^ь ■*, + *)<Иk(xlt t).
Таким образом,
Нк(х, tXHk(xlt t) + Hk(x2, t).
В силу упомянутой леммы существует предел
lim "^ *>
(может быть и бесконечный). Но так как всегда
ni (т)
и по предположению отношение при т—^0 сходится
к конечному пределу Я, то конечным обязан быть и предел
lim И* <*' *>,
Отсюда, поскольку
Hk (т, Q = Нк (т, t)/x
% (0 ЯХ (Т)/Т '

§ 2.5] ФУНКЦИИ ПАЛЬМА —ХИНЧИНА 131
вытекает существование предела
Ok(t)=lim ^Л,
k т->о я1(т)
Пример. Рассмотрим простейший поток с параметром Я.
Так как в этом случае
k
пх (х) = 1 - е-*, Hk (т, t) = nt (х) £ Ш. е~",
1 = 0
ТО
1 = 0
3. Формулы Пальма — Хинчина. Приводимые здесь
формулы были выведены в случае k = 0 Пальмом [2] и в
случае *>1 А. Я. Хинчиным ([1], § 10).
Предположим, что данный поток стационарен, ординарен
и имеет конечный параметр X. Рассмотрим промежуток
времени длины т-f-*, состоящий из промежутка длины т и
непосредственно следующего за ним промежутка длины i.
Обозначим через пг число требований, поступивших за
промежуток времени т, и через п2 — поступивших за
промежуток времени t. Очевидно, что
к
откуда в силу ординарности потока при достаточно малых т
рк(х + t) = P{nl = 0, п% = к] + Р{п1=\, n2 = k—\} + o(x).
А так как всегда
Р{п1=0, n% = k)=P{ni = k}-P{nl> 0, /г2 = й} =
=P*U)-A*(t, t)
и
Р{п1=\, n2 = k-\} = P{n1>0> n2 = k — \}-
-Р{пх> 1, nt = k-\} = hk_x(x, t) + o(x),
то
Pk(x + t)=pk(t)-hk(x, t) + hk.l(x, t) + o(x).

132 ИЗУЧЕНИЕ ВХОДЯЩЕГО ПОТОКА ТРЕБОВАНИЙ [ГЛ. 2
Отсюда
Pk (t + *) — Pk (0 = hk_x (т, 0 щ (т) hk (т, О Л! (т) о (1)
т ях (т) т их (т) т ' '
и, следовательно, в пределе (k > 0)
PH') = 4<P*-i(0-q>*(')]. (4)
Подобным же путем находим, что
М/) = —Хф0(/). (5)
Введем обозначение
m = o
Суммирование равенств (4) и (5) приводит нас к
уравнениям
<£(*) = —Ясрл(*) (ft = 0, 1, 2, ...). (6)
Мы нашли дифференциальные уравнения, Определяющие
через функции Пальма — Хинчина вероятности появления
в данном промежутке времени длины t не более k
требований. Эти уравнения полезно записать в иной форме.
Проинтегрируем (6) по t от 0 АО t
t
vk(+0)-vk{t) = X$<pk(z)dz (k = 0, 1, 2, ...).
0
Но при любом k ^ 0
vk ( + 0) > v0 ( + 0) = р0 ( + 0) = 1 -я, ( + 0).
А так как в силу конечности параметра потока ■' * * -+ А, < + оо
при t—*0, то я1(+0)=0 и, значит,
**(+0)=1.
Таким образом, при любом / > 0
t
\-vk(t) = x\yk{z)dz, (7)

§ 2.5) ФУНКЦИИ ПАЛЬМА — ХИНЧИНА
133
откуда непосредственно вытекают равенства
t
р0 (О = 1-Х$Ф„ (*)<**, (8)
О
t
/>*(') = * S[q>*-i(')-<p*(<)]<«, (9)
о
устанавливающие простые связи между вероятностями pk (t)
и функциями Пальма — Хинчина.
В качестве иллюстрации найдем функции Пальма —
Хинчина для примеров, рассмотренных нами в п. 5 § 2.3.
Поток определен формулами
pk(t) = —2L_ (fc = 0, 1, 2, ...),
где а — положительная постоянная.
Согласно предыдущему
b<pk(t)= — vk(t).
Для рассматриваемого потока
х-± . ^-.-EMo-i-y,)-,
i=k+i ч ' J
поэтому для него функции Пальма — Хинчина определяются
равенствами
<fk{t) = (k+\)a* '* (4 = 0,1,2,...).
(а+0 +
В качестве второго примера рассмотрим поток, для
которого
Pk(t)=p^e-°<+gV£e-» (4 = 0,1,2,...),
где a, b, p, q—положительные постоянные, причем p-\-q = 1,
Для этого потока параметр равен K = ap-{-bq.
Согласно (6)
_/* pak+ie-at+qbk+1e-bt

134 ИЗУЧЕНИЕ ВХОДЯЩЕГО ПОТОКА ТРЕБОВАНИЙ [ГЛ. 2
В случае & = 0, а = Х находим, что
„<<>=#.-».
Этот результат был нами указан несколько раньше.
4. Интенсивность стационарного потока. Мы
условились в главе 1 интенсивностью стационарного потока
называть математическое ожидание числа требований, которые
поступают за единицу времени. Интенсивность потока мы
обозначили буквой \i. В силу стационарности
рассматриваемого потока при любом t > О
и<=2 kPk{t).
/г = 1
Для простейшего потока, как мы это видели в § 1
главы 1, интенсивность потока и его параметр связаны
зависимостью |х = А, а для произвольного стационарного потока
всегда имеет место неравенство \л^Х. Естественно спросить
себя о тех условиях, которым должны удовлетворять
стационарные потоки, чтобы для них выполнялось равенство
jx = X? Такой вопрос тем более уместен, что нередко как
в прикладных, так и в теоретических работах предполагают
это равенство выполненным без всяких обоснований.
Следующее предложение дает простые условия для проверки
этого равенства.
Теорема. Если стационарный поток имеет конечную
интенсивность |х, то равенство |Л —А влечет за собой
ординарность потока.
Доказательство. Предлагаемое здесь
доказательство было дано Ф. Зитеком [2]. Пусть \х = Х. Так как
(А* =2 kPk{t)
fc = l
и из определения параметра X следует, что
м= 2 р* О+ <>('),
k=l
то
2 (k-\)Pk(t)=o(t).
Ъ— о

§ 2.5] ФУНКЦИИ ПАЛЬМА—ХИНЧИНА 135
Из того, что все pk (t) неотрицательны, следует неравенство
o<Sa(')<2 (k-\)Pk(t).
Таким образом,
£pk{t)=o(t).
Это означает, что поток ординарен.
Зитек заметил, что если интенсивность потока бесконечна,
то из равенства |л —А ординарность потока не следует.
Действительно, пусть для некоторого стационарного потока
Х = оо. В силу неравенства \х^Х должно быть и jx=:cx).
Рассмотрим теперь новый поток, в котором одновременно
с приходом каждого требования первого потока появляются
сразу два требования и в иные моменты требования этого
потока не появляются. Ясно, что для второго потока Х = сх)
и этот поток неординарен.
5. Теорема Королюка. В. С. Королюк заметил,
что ординарность любого стационарного потока влечет
за собой равенство \х = Х (при этом не исключается и
случай \i = k = oo).
Согласно определению интенсивности потока
k=i k-lr=k k=i
= 2 [i-«*(i)]
fc = o
и, следовательно, в силу (7)
i
|i = *2 \<pk(u)du. (10)
*=o 0
Ho
/ \ f ht, (x, u)
при любых k^O и и > 0
k
у ht (т, и) = Нк (т, и) < 1
^ я1(т) М*) ^

136 ИЗУЧЕНИЕ ВХОДЯЩЕГО ПОТОКА ТРЕБОВАНИЙ [ГЛ. 2
В пределе при т—►О получаем, что
k
£ = 0
и, следовательно, при любом k^O
к 1
f = o 0
Отсюда вытекает, что
' = 0 0
Из (10) при этом заключаем, что X^\i. А так как всегда
(х^А, то равенство fx = X доказано. В доказательство тре- *
бование ординарности вошло не непосредственно, а через
формулы Пальма — Хинчина.
Результаты двух последних разделов настоящего
параграфа позволяют сформулировать следующую теорему:
Для любого стационарного потока с конечной
интенсивностью \х необходимым и достаточным условием
ординарности этого потока является равенство К = \i.
Отсюда вытекает, что среди стационарных потоков без
последействия только простейшие потоки удовлетворяют
условию (л = Я.
Действительно, для выполнения равенства [д, = Х
необходимо и достаточно, чтобы поток был ординарным. А всякий
ординарный стационарный поток без последействия является
простейшим.
6. Случай неординарного потока. Для неординарных
потоков даже с конечным параметром нетрудно построить
стационарные потоки, у которых соотношение между параметром
и интенсивностью будет произвольным. Чтобы убедиться
в этом, нам достаточно рассмотреть стационарные потоки
без последействия. Поскольку для всех таких потоков
p0{t)=\-e-Kt,
параметр потока равен К. Однако интенсивность потока
будет заведомо иной, если только этот поток не простейший.
За отрезок длины единица появится случайное число
моментов, в которые возникнут требования. Обозначим это число

§ 2.6] ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВОССТАНОВЛЕНИЯ 137
через т]. В каждый из таких моментов возникнет случайное
число требований. Пусть число требований, возникших в
момент tj, равно £,-. Тогда общее число требований, появившихся
за промежуток времени длины единица, равно
»1 Т Ь2 "Ь ' ' ' Т Ьт)>
если г)^1,и0, если т] = 0. Так как по свойству отсутствия
последействия величины £• и ц независимы, то
li = Af(g1 + g,+ ...+!4) = ME1Afii
(см., например, Б. В. Гнеденко [1], § 28, следствие 2
теоремы 2). Но согласно результатам § 1.4
00
Mil = 2 kak>
k-i
а
Afif| = X,
поэтому
со
\1=Х% kak.
k=i
Соответствующим подбором величин ak можно добиться, чтобы
сумма *y>kak приняла любое значение, большее 1. В част-
ности, если ak = ^y то эта сумма становится беско-
нечной и мы получаем стационарный поток с конечным
параметром и бесконечной интенсивностью.
§ 2.6. Элементы теории восстановления
1. Определение процессов (потоков) восстановления.
Представим себе, что некоторое устройство в случайные
моменты времени может отказывать, т. е. теряет способность
выполнять порученные ему функции. В момент отказа
прежнее устройство заменяется новым, которое в случае отказа
вновь заменяется на новое, и т. д. Отметим на оси времени
моменты последовательных отказов: tv t2, t3, ... На них
естественно смотреть как на моменты восстановления
работоспособности устройства. Рассмотрим последовательность
случайных величин

138 ИЗУЧЕНИЕ ВХОДЯЩЕГО ПОТОКА ТРЕБОВАНИЙ [ГЛ. 2
представляющих при k > 1 расстояния между последующими
моментами восстановлений. Величина zx играет несколько
иную роль, поскольку в момент ^ = 0 могло и не быть
восстановления. Обозначим для дальнейшего через Fk(x)
функцию распределения величины zk.
Точно так же, если наблюдать за потоком вызовов,
поступающих на телефонную станцию, то их можно
упорядочить по времени поступления, подобно тому как мы это
сделали с моментами отказов устройства. Примеров такого
рода, где события того или иного рода (происшествия,
моменты изготовления изделий, моменты приземления самолетов
и т. д.) следуют друг за другом в случайные моменты, можно
привести очень много. В связи с этим последнее время их
изучению уделяется большое внимание. Если до самого
последнего времени под процессом (потоком) восстановления
понималась лишь последовательность моментов tk, при
условии, что величины zk независимы и одинаково распределены,
то теперь появился ряд работ, в которых рассмотрен случай
разнораспределенных неотрицательных величин zk, как
независимых, так и связанных в цепь Маркова.
Последовательность моментов tk, образованных
независимыми величинами (неотрицательными) zk с распределениями
Fk(x), А. Я. Хинчин назвал потоком с ограниченным
последействием. Стационарный ординарный поток
с ограниченным последействием он назвал потоком типа
Пальма. Терминология, предложенная А. Я. Хинчиным,
широко используется в работах советских авторов. Если все
Fk(x), за исключением, может быть, Fx(x), совпадают, т. е.
Fk(x) = F(x), A>2, причем F(+0)< 1,
говорят, что последовательность {tk}t=i образует процесс
восстановления. Таким образом, процесс
восстановления — более узкое понятие, нежели поток с ограниченным
последействием.
Легко понять, что для стационарных потоков
восстановления функции Fk (x) должны быть одинаковы
при k^\\ для дальнейшего мы введем обозначение
F(x)=P{zh<x} = Fk(x) (ft = 2, 3, ...)•
Величина zx и, тем самым, функция F±(x) играют особую
роль, как мы об этом уже говорили. Позднее мы найдем

§ 2.6] ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВОССТАНОВЛЕНИЯ 139
связь между F1(x) и F(x), существующую для
стационарных потоков восстановления.
Для теории восстановления представляет интерес
случайная величина Ntl равная числу восстановлений до
момента t, т. е. наибольшее /z, для которого
tn = z1 + z2+ ...+zn<t.
Математическое ожидание величины Nt называется
функцией восстановления и обозначается символом
H(t) = MNt.
Значительное большинство приложений теории
восстановления связано с этой функцией и ее асимптотическим
поведением при t —> оо.
Теории восстановления посвящено большое число
исследований. Хорошим введением в эту теорию могут служить
книга Д. Кокса [2] и статья В. Смита [1].
В дальнейшем, если не будет специально оговорено что-
либо иное, мы будем предполагать, что в каждый момент
восстановления происходит только одно событие нашего
потока.
2. Одно свойство потоков восстановления. Для любого
ординарного стационарного потока восстановления при всех
г > 0 для и—+0
пг^(и)^пг(и)о(\),
где, как всегда в настоящей книге,
00
пг(и) = ^р%(и),
т. е. вероятность наступления за промежуток времени и по
меньшей мере г событий потока.
Доказательство. Так как событие tr+1<C.u всегда
влечет за собой следующее сложное событие: tr < и и
zr+1<u, то
nr+1 {u)=P{tr+1 <u}^P{tr< и, zr+1 < и}.
Отсюда в силу независимости величин tr и zr+1 находим, что
nr+1{u)^nr(u)Fr+l(u).

140 ИЗУЧЕНИЕ ВХОДЯЩЕГО ПОТОКА ТРЕБОВАНИЙ [ГЛ. 2
Таким образом, для доказательства нашего
предложения достаточно обнаружить, что при и —-► 0 также
Fr+1{u)-+ 0.
Пусть а > 0 столь велико, что яг (я) > 0. Пусть, далее,
лг>0 мало, а п таково, что (я — 1) х < а < пх.
Рассмотрим отрезки вида ((& — 1)лг, &л;) при & = 1, 2, . .. , п.
Если tr<xn и гГ+1 < л:, то моменты tr и £г+1 отстоят на
расстоянии, не большем чем л;, и находятся либо в одном
из указанных п отрезков, либо в двух соседних (при этом
возможно попадание точки tr+1 в отре'зок (пх, (п-\-\)х).
Поэтому по меньшей мере в одном из отрезков
((ft-l)*f (k+\)x), ft=l, 2, ... , /г,
длины 2х содержится более одного требования. Известно,
что если некоторое событие С влечет за собой наступление
по меньшей мере одного из событий Лх, Л2, .. . , Лп) то
Р(С)<Я(Л1)+Р(Л2)+...+Р(Лп).
Обозначим через Ak событие, состоящее в наступлении
более чем одного требования в отрезке ((&-— 1) х, (&+ 1) х).
Из предыдущего тогда вытекает неравенство
P{tr<nx, zr+1<x}^ %P{Ak}.
В силу стационарности потока Р{АХ] —Р {А2} = ... = Р{Ап};
к тому же вероятность появления по меньшей мере двух
требований в отрезке длины 2х равна л2 (2л:). Таким образом,
Р {tr < пх, zr+1 < х} < ля2 (2л:).
Но
P{/r</z*, 0г+1<х} = Р{/г<^}/7г+1(^) = яг(^)/='г+1(х),
поэтому
^ пя2(2х) __ 2пх я2 (2дс) 2(а + х)л2 (2х)
гг + 1(Х)^ Пг(пх) — Пг(пх) 2х ^ я,(а) 2х '
В силу ординарности потока
^|^—0 (* —0).
Доказательство завершено.

§ 2.6) ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВОССТАНОВЛЕНИЯ 141
Заметим, что для простейшего потока указанное свойство
немедленно вытекает из формул
/>*(«)=^-V-
3. Связь с функциями Пальма — Хинчина. Поток
восстановления или, по терминологии А. Я. Хинчина, поток
с ограниченным последействием определяется заданием
функций распределения Fk(x) случайных величин zk. Для
стационарных потоков восстановления, названных А. Я. Хинчиным
потоками типа Пальма, как мы сейчас увидим, достаточно
знания одной-единственной функции Пальма—Хинчина. Этот
результат содержится в следующей теореме.
Теорема. Для стационарных потоков восстановления
имеют место равенства
X
Fx (х) = X J Фо (и) du (1)
О
и при k^2
Fk(x) = F(x)=\-y0(x). (2)
Доказательство. По определению Fx(x) есть
вероятность наличия требований в отрезке (0, а:) и,
следовательно, равна
л1(х)=\—р0(х).
формула (5) § 2.5 приводит нас к равенству (1). Обратим
внимание на то, что из (1) вытекает равенство
со
l^0(t)dt^F1(+оо)=\, (3)
О
устанавливающее связь между параметром потока и
функцией <р0{*).
Докажем теперь равенство (2) для случая k = 2. С этой
целью рассмотрим вероятность /*0(т, t) того, что в
промежутке т требования поступили, а в смежном последующем
промежутке длины t требований нет. Если в промежутке т
имеется ровно k требований, то из того, что в промежутке
t требований нет, вытекает неравенство zk+1 > t.
Вероятность этого неравенства равна 1— Fk+1(t) и потому
М*. 0<SP*(T)[l-/7ik+1(<)]<P1(T)[l-F2(0]+rt,(T).

142 изучЕние входящего потока требований [гл. 2
Но при условии, что в промежутке т имеются k требований,
из неравенства ^+i>^+t вытекает, что в промежутке t
требований нет, и поэтому
Таким образом,
Заметив, что при т—► ()
"ЦЗ-^О, *-$—1, МЕ10-^«р0(0,
лх (т) ' ях (т) ' Jti(T) то v п
из предыдущих неравенств путем деления на ях (т) и
перехода к пределу находим:
1-/?,(< + о)<ф0(0<1-/78(0-
Отсюда заключаем, что во всех точках непрерывности
функции F2 (t)
^.(<) = 1-Фо(')-
Остается доказать, что при любом /г > 2 имеет место
равенство F2(t) = Fk(t). Это становится очевидным из
следующего замечания: в силу стационарности потока
распределение длительности промежутка между двумя первыми
требованиями, следующими за любым моментом а > 0,
совпадают с F2(t), т. е. с распределением расстояния между
первыми двумя требованиями, которые следуют за моментом
t = 0. Но если в отрезке (0, а) уже имеются k требований,
то расстояние между двумя первыми требованиями,
следующими за а, равно zk + 2 и его функция распределения равна
Fk+2(t). Отсюда в силу формулы полной вероятности
00
FAt)=^Pk^)Fk+t(t). (4)
Теперь находим, что
со
/7a(0 = Po(fl)/72(0+Pi(«)'?8(')+SP/H/7/+2(0
/ = 2
или, что то же самое,
00
ni(a)Fa (а) - ях (a) F3(a) = — я2 (a) Fz (t) + ^Ру И *=)+»(*)•
/=2

§ 2.6] ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВОССТАНОВЛЕНИЯ 143
Но
со со
2 Р/ (а) /7+2 (а) < 2 Р/ (<*) = nj И-
/ = 2
Таким образом,
'?l«)-/78«)=-^fi^8(') + tl
2>y(a)F/+2(/)
при а—► 0.
Пусть теперь уже доказано, что
F2(t) = F3(t)=...=Fk+1(t),
тогда из (4) вытекает, что
= - ял+1 (a) Fk+2 (t) + 2 Pj(a) F/+2 (t),
откуда, подобно предыдущему, заключаем, что Fk+2 (t) =F2 (/).
Теорема доказана полностью.
Заметим, что, как следует из формул (1) и (2), функции
F1(x) и F(x) связаны равенством
х
F1(x)^X^[\^F(u)]du1 (5)
о
если только рассматриваемый нами поток является
стационарным потоком восстановления.
Естественно поставить вопрос об особенностях тех
потоков, для которых F1(x) = F(x). Если это равенство
выполнено, то в силу (5)
х
Я ^[\-F(u)]du = F(x).
0
Дифференцирование по х приводит к равенству
X[l-F(x)] = F'(x),
откуда
\-F(x) = Ce-x*.

144 ИЗУЧЕНИЕ ВХОДЯЩЕГО ПОТОКА ТРЕБОВАНИЙ [ГЛ. 2
Отсюда, поскольку /7(+сю) = 1, находим, что С=1.
Таким образом,
F(x) = \—e-'kx.
Мы знаем, что эта функция определяет простейший поток.
4. Определение функций Пальма — Хинчина для ста*
ционарных потоков восстановления. Поскольку
стационарные потоки восстановления полностью определяются
заданием функции ф0 (/), все остальные функции Пальма —
Хинчина должны выражаться через эту функцию. Укажем
прием, который позволяет вычислить любую из функций <pft (t).
Вычислим сначала вероятность того, что в отрезке (0, t)
появится точно одно требование, т. е. вероятность p1(t).
Одно требование в этом промежутке времени может
появиться в том и только том случае, когда до некоторого
момента х < t требования не появлялись, в момент х
требование появилось, а следующее требование появилось лишь
после окончания промежутка (0, t). При этом следует учесть,
что х может принять любое значение между 0 и t. В силу
формул (1) и (2) можно написать равенство
Pi (0 = * J Фо W Фо ('- *)<**•
о
Согласно формуле (9) § 2.5
t
Pi С) = * S [4>o (■*) - 4>i (•*)] dx-
о
Сравнение двух последних формул приводит нас к равенству
t t t
[ фг (х) dx= \ ф0 (х) dx— J Ф0 (х) ф0 (* —*) dx
0 0 0
и формуле
t
<Pi (■*) = Фо (*) - Jt I Фо (*) Фо (* — х) dx-
о
Точно так же находим, что
/ t-x
ft(')=—*S<Po(*) S Фо(' — x-y)d% (y)dx.
о о

§ 2.6] ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВОССТАНОВЛЕНИЯ 145
Равенства (9)§ 2.5 и только чтополученное позволяют написать:
/ t-x
d
Ф2
(О = и J [ф! (*) - ф0 (*) 1 Ч>оУ-х-У)Л%(у)^ dx =
о о
t t-x
= Ш§У»(Х) [1_(Ро ('-■*)+ J Фо('-*-\У)<*ф0(.у)] ^.
о о
Подобным же путем можно вычислить функции Пальма —
Хинчина с любыми индексами.
В качестве примера рассмотрим стационарный поток
восстановления, для которого
7'(*) = {
О при х < О,
хе~х при x^z 0.
Легкий подсчет приводит нас к равенству
/7(а:) = 1 — е~х(\+х) при * > 0.
Согласно формуле (2)
ц0(х)=е-х(\+х).
Отсюда по (3) Х = -о-» а п0 0)
Можно подсчитать, что функции Пальма —Хинчина имеют
вид
, Г £2« ^2П+1 И
5. Формулировки некоторых теорем о стационарных
процессах восстановления. Случайная величина Nt, равная
числу восстановлений за промежуток времени от 0 до /,
имеет моменты всех порядков. Докажем это утверждение.
По условию Р(+0)<1; следовательно, найдется такое
а > 0, что P{zt > а} = (J > 0. Определим теперь новый
процесс восстановления
к

146 ИЗУЧЕНИЕ ВХОДЯЩЕГО ПОТОКА ТРЕБОВАНИЙ [ГЛ. 2
где
если zn ^ а,
если zn > а.
. Г о,
Z^\ a,
Тогда с вероятностью 1 будет tk^.tk, т. е.
P{Nt^k}^P{Nt^k}>
где Nt обозначает число восстановлений, соответствующих
процессу {tn}.
Но P{Nt = k} есть вероятность того, что в k
независимых испытаниях с вероятностью успеха |$ произойдет ровно
/ успехов, где /= — , и после этого произойдет еще один
успех:
рШ'-ь\-\ с£р'+1(1-Р)*-', еслиА^/,
и№-*)-\ о , если к<1.
Имеем
M[Nty= S*rcip'+1(i-P)ft-'< 2(*+/)'+/(i-P)*;
данный ряд, как известно, сходится, что и доказывает
требуемое утверждение.
Подобным же образом доказывается и более сильный
результат: для каждого распределения F(x) можно найти
такое число а > О, что при любом s, вещественная часть
которого не превосходит а, существует MesNK
Одним из первых общих результатов, относящихся к
функции восстановления H(t), является так называемая
Элементарная теорема восстановления
Я (0 1 ,
_Г—__ nput-+oot
где
со
a = Mz2 = ^xdF(x).
о
Этот результат сохраняется и при а=оо.

§ 2.6] ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВОССТАНОВЛЕНИЯ 147
Если распределение F (х) нерешетчатое, т. е. точки роста
функции не укладываются в некоторую арифметическую
прогрессию, то имеет место
Теорема Блекуэлла:
#(/ + а)—//(/)—*■£, *-+оо.
Пусть распределение F (х) имеет конечный второй момент
\i2 = Mz22, тогда имеет место.
Теорема Смита. При t—>■ оо
Пусть Q(x) — любая неотрицательная функция,
определенная при положительных х, невозрастающая и
интегрируемая в пределах (0, оо). Как доказал Смит, при этих
условиях имеет место следующая
Предельная теорема. При t—► оо
§Q(t-u)dH(u)-+ \^Q{x)dx. (6)
о о
Этот результат Смит назвал узловой теоремой
восстановления. Из нее в качестве частных случаев
при соответствующем подборе функции Q (л;) получаются все
ранее сформулированные результаты. Если \хг < оо, то
DNt = b=±t + o(t).
Если же Af|^213 < оо, \i3 = Mz32, то
пкг -to~*t+№-*!}*-**.)+ о(\)
UINt— & 1^г\№ Заз 2а2/^ К >'
Для многих задач теории восстановления полезно
следующее очевидное тождество:
Р{*п<*} = РМ>>а}- (7)
Если (i2 < оо и а2 = щ — а2, то
\ — оо

148 ИЗУЧЕНИЕ ВХОДЯЩЕГО ПОТОКА ТРЕБОВАНИЙ [ГЛ. 2
Поскольку tn = z1 + z2+ . . . +zn, мы имеем следующее
равенство:
Fn(t) = P{tH<t}=\jFn_1(t-x)dF(x)
U
при всех /z^2. Из соотношения (6) следует, что
P{Nt = n} = Fn(t)-Fn+l(t).
Отсюда
//(*) = AWt=2 n [Fn(t)-Fn+1(t)] =2 /="„(/) =
/2=1 я=1
= ^1(0+S )Fn_1(t-x)dF(x) =
п = г 0
= М0+$ 2 /7п-1(^-Аг)^(л:) =
О " = 2
= /?i (0+J# (' — x)dF(x).
о
Мы получили важное интегральное уравнение
H(t) = Fx (0 + \ Н (t - х) dF {x). (8)
о
Интересно отметить один важный результат, немедленно
следующий из формулы (6).
Обозначим через у (t) время с момента t до следующего
восстановления; через у* (t) — время, прошедшее от
последнего восстановления, имевшего место ранее t, до этого
момента времени. Таким образом, если п определено условием
ТО
Y (') = <„+!-'. Y*«) = '-'„.
Пусть Fy{x, t) и Fy* (дг, ^) обозначают функции
распределения случайных величин у (t) и y*(0 соответственно.

§ 2.6] ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВОССТАНОВЛЕНИЯ 149
Зададимся целью найти пределы Fy (x, t) и Fy* (лг, t) при
t—► оо, считая, что интервалы между восстановлениями
обладают конечным математическим ожиданием.
Событие {y (t) < x) может произойти двумя взаимно
исключающими способами:
1) *<*! <t + x;
2) в некоторый момент т < t произошло восстановление;
время до следующего восстановления лежит в пределах от
t — т до t — т + х. Формула полной вероятности с учетом (1)
приводит нас к соотношению
F1(x,t)=P{y(t)<x} =
t
= F1(t + x)-F1(t) +\[F(t-T + x)-F(t-T)]dH(x).
О
Первое слагаемое при t—► оо становится бесконечно
малой величиной; для второго слагаемого условие
теоремы Смита не выполняется: F(t-\-x) — F(t) не обязательно
неубывающая функция. Однако можно записать:
F, (*, t) ^F^t + x)- F, (t) + R, (t) - R2 (t), (9)
где
t
0
t
Rt(t)=[[\-F(t-T + x)\dH{x).
0
В обоих последних выражениях ядро 1 —F(. . .)
удовлетворяет всем условиям теоремы Смита. Но тогда
00
О
оо
J[l-F(T)]dT
**lt)i?.-k№-F{X + X)]dX = - : '
J[l-f(x)]dt
О

150 ИЗУЧЕНИЕ ВХОДЯЩЕГО ПОТОКА ТРЕБОВАНИЙ [ГЛ. 2
так что
X
$[l-F(T)]dx
F (jc, t) ,—>■ ° . (10)
J[l-F(T)]dt
о
Полученное предельное распределение является
непрерывным. Как видно из выражения правой части формулы (10),
плотностью предельного распределения у (t) при t—у оо
служит функция
, . 1— Fix) /11X
J[l-F(T)]dT
о
Ранее это соотношение было доказано для стационарных
потоков однородных событий.
Предлагаем читателю подобным же способом доказать
следующий факт. Случайная величина у* (t) имеет при t—► оо
то же предельное распределение, что и y(t).
Отметим, что если / (s) — преобразование Лапласа—■
Стилтьеса распределения F(x), то
00
§e-"p1ix)dx — l-^$. (12)
О
Отсюда, в частности, следует, что случайная величина
у с функцией распределения F(х) = lim F(x, t) имеет на
один момент меньше, чем случайная величина z2. Так, если
время безотказной работы элемента в системе, где
предусмотрена замена элементов, имеет плотность вероятности
то предельная плотность вероятности времени с момента t
до следующего отказа будет иметь вид
т. е. средний остаток исправной работы элемента,
работающего в момент /, будет вместе с t расти до бесконечности.

§ 2.7] ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ СУММАРНОГО ПОТОКА 151
§ 2.7. Предельные теоремы для суммарного потока
1. Постановка задачи. Мы уже говорили, что
подавляющее число исследований по теории массового обслуживания
исходит из предположения, что входящий поток требований
является простейшим. В то же время в ряде случаев сами
исходные предположения, послужившие определением
простейшего ncfroKa и изученные нами в главе 1, не вытекают
из рассмотрения физической картины явления. И
действительно, в некоторых практических задачах наблюдаются
отклонения истинных потоков от потоков простейшего типа.
Казалось бы, что в силу огромного разнообразия условий
протекания реальных явлений такие уклонения должны быть
правилом, а не исключением. Однако оказывается, что
большие расхождения наблюдаются несравненно реже, чем это
можно было бы ожидать, исходя из априорных соображений.
Таким образом, наряду с задачей выяснения причин, в
силу которых могут появляться потоки, отличные от
простейших, возникает и прямо противоположная задача:
объяснить, почему так часто простейший поток хорошо
согласуется с течением реальных потоков. Ответу на этот вопрос
посвящено несколько работ: Пальма [2], А. Реньи [1],
А. Я. Хинчина [1], Г. А. Ососкова [1], Б. И. Григелиониса [1].
Исходной мыслью указанных исследований было
предположение, что наблюдаемые потоки представляют собой суммы
большого числа независимых потоков малой интенсивности,
каждый из которых предполагается ординарным и
стационарным. Относительно отсутствия последействия никаких
гипотез не делалось. При несколько более общих условиях
задача рассматривалась Б. И. Григелионисом; речь об этом
будет позднее.
С суммарными потоками приходится иметь дело очень
часто. Действительно, поток вызовов, поступающий на
телефонную станцию, представляет собой сумму потоков,
исходящих от отдельных абонентов. Поток судов, прибывающих
в какой-либо порт, является суммой потоков судов, которые
отправляются из различных других портов. Поток
требований на ремонт оборудования ремонтная бригада получает из
различных источников: каждый прибор, каждый механизм
являются таким элементарным источником требований на
обслуживание; общий же поток требований, поступающий

152 ИЗУЧЕНИЕ ВХОДЯЩЕГО ПОТОКА ТРЕБОВАНИЙ [ГЛ. 2
в ремонтную бригаду, является суммой элементарных потоков.
Мы можем продолжать перечисление конкретных примеров,
но в этом нет необходимости, поскольку каждый читатель
может добавить к ним собственные, связанные с его
деятельностью.
Мы увидим, что при весьма широких условиях
относительно исходных потоков суммарные потоки будут близки
к пуассоновским, в том числе и к простейшим. Изложение,
которого мы здесь придерживаемся, следует идее,
высказанной Б. В. Гнеденко и осуществленной Б. И. Григелионисом
в работе [1]. Эта идея близка той, которая почти двести
лет является руководящей во многих применениях теории
вероятностей: в теории ошибок наблюдений, молекулярной
физике, теории стрельбы и многих других. А именно,
наблюдаемое воздействие рассматривается как сумма элементарных
воздействий, каждое из которых является случайной
величиной, независимой от остальных; при этом каждое из
слагаемых оказывает в некотором смысле малое влияние на
сумму.
В работах И. Б. Погожева [1] и Б. И. Григелиониса [2]
изучен и ' другой важный вопрос: сумма большого числа
потоков, каждый из которых оказывает на сумму лишь малое
влияние, близка к потоку Пуассона; спрашивается, как быстро
сближаются функции распределения сумм с соответствующими
функциями для предельного потока? Позднее мы
сформулируем некоторые из найденных результатов.
2. Определения и обозначения. Мы скажем, что
случайный процесс x(t) является ступенчатым, если при
£ ;> s > О приращения х (t) — x (s) могут принимать лишь
неотрицательные целочисленные значения. Мы будем
предполагать, что л:(0) = 0; это соответствует тому, что процесс
начался лишь в момент t = Q. Значение процесса x(t) можно
интерпретировать как число некоторых событий,
происшедших до момента t. Такими событиями могут быть вызовы
абонентов, поступающие на телефонную станцию, отказы
элементов сложного устройства, появление в приемном покое
больницы больных, требующих стационарного лечения, и т. д.
Пусть
г=1

§ 2.7] ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ СУММАРНОГО ПОТОКА 153
где xnr(t) — независимые между собой ступенчатые процессы.
Очевидно, что процесс хп (t) также является ступенчатым.
Мы скажем, что последовательность процессов хп (t)
сходится при п—> оо к процессу x(t), если функции
распределения векторов
при любом выборе к и tx, t21 . . ., tk сходятся в каждой
точке непрерывности к значению функции распределения
вектора
В § 2.2 мы ввели понятие пуассоновского
процесса x(t) с ведущей функцией Л (t) как процесса,
который имеет независимые приращения и при всех s < t для
любых неотрицательных целых к
Р{х {t)-x (s) = k} = [Л(%Л(5)1*в~[Л {t)~A (s)1- (1)
Функция A(f), которую А. Я. Хинчин назвал ведущей,
неотрицательна, непрерывна слева, конечна и Л(/) = 0 при
Введем следующие обозначения:
P„,(*,M) = /){^(0-^W = *b s<tik = 0t 1,2, ...,
ля(м=2а.г0; *> *). (2)
fi„('^) = S(1-Pnr(0;',5)-plir(l;^5)). (3)
Про процессы л;яг(*)(г=1, 2, . .., kn) мы скажем, что
они бесконечно малы, если при любом фиксированном t
lim max [\-pnr(0; t, 0)] = 0. (4)
Иными словами, процессы лг„г(0 бесконечно малы, если для
любого 8 > 0 и произвольного фиксированного t можно
указать такое я, что для всех г сразу (г=1, 2, ...,&J
Р{*ЯГ(0>0}<е.
3. Формулировка основного результата и
доказательство необходимости. Мы сформулируем теперь теорему,
доказанную Б. И. Григелионисом, и дадим доказательство

154 ИЗУЧЕНИЕ ВХОДЯЩЕГО ПОТОКА ТРЕБОВАНИЙ [ГЛ. 2
необходимости ее условий, основываясь на предельной теореме
для сумм независимых случайных величин, доказанной почти
одновременно и независимо друг от друга Б. В. Гнеденко [4]
и Марцинкевичем [1].
kn
Для сходимости сумм хп (t) = ^ хпг (0 независимых и
бесконечно малых случайных процессов xnr (t) к процессу
Пуассона с ведущей функцией A (t) необходимо и достаточно,
чтобы при любых фиксированных s и t (s < £) были
выполнены соотношения
UmAn(t,s) = A(t)-A(s) (5)
lim Bn(t, 0) = 0. (6)
/Z-*CD
Доказательство необходимости условий основано на
следующем предложении теории суммирования независимых
случайных величин Б. В. Гнеденко ([1], стр. 141). Если
случайные величины хп1, хп2, . .., xnk независимы и бесконечно
малы, * т. е. при любом е>0 и /z —> оо
sup Я{|*яЛ|>е}-*0,
то, чтобы функции распределения сумм
Sn = Хп1 "Ь Хп2 + • • • + Xnkn
при п—► оо сходились к распределению Пуассона
k\
o^.k<.x
необходимо и достаточно выполнение следующих условий:
при каждом е (0 < е < 1) и п—+оо
!•£ J^nftW —0; 2.2 J dFnk(x)-+l;
P{x)= 2 ^e"
k=1 Rt * = 1|*-i|<e
3-Е J xdFnk{x)-^ 0;
k=l
X\<1
*-z
|*Г<е \|*f<e
fc=l

§ 2.7] ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ СУММАРНОГО ПОТОКА 155
Здесь введены обозначения: Fnk (x) = P{xnk < л;}, Rt —
область, которая получается из бесконечной прямой
посредством выбрасывания из нее отрезков \х\ <е и \х— 1|<е.
Заметим, что в теореме Григелиониса мы должны
положить
b = A(t)-A(s), J dFnk(x)=pnk(\;t,s),
\Х-1 | <8
S dFnk{x) = \-pnk{0;t,s)-pnk(\;t,s).
R
е
Таким образом, первое и второе условия только что
сформулированной теоремы Гнеденко—Марцинкевича в точности
совпадают с условиями (5) и (6) теоремы Григелиониса.
Третье и четвертое условия теоремы
Гнеденко—Марцинкевича для ступенчатых процессов выполнены автоматически,
поскольку в отрезке |л;|<е их функции имеют
единственную точку роста л; = 0.
Необходимость теоремы Григелиониса вытекает, таким
образом, из того, что если сходятся процессы, то должны
сходиться их одномерные распределения. Сходимость же
одномерных распределений была исследована раньше.
4. Доказательство достаточности. Нам нужно
обнаружить теперь, что условия (4)—(6) обеспечивают как
асимптотическую независимость приращений процесса xn(t), так
и сходимость одномерных распределений к соответствующим
пуассоновским. Впрочем, вторая часть нашей программы
вытекает из теоремы Гнеденко —Марцинкевича и из
установленной нами тождественности условий этой теоремы
с условиями (4)—(6). Мы тем не менее проведем еще раз
необходимые рассуждения, поскольку они просты и не
потребуют от нас большого труда. При доказательстве мы станем
использовать основные теоремы теории характеристических
функций.
Введем в рассмотрение такие векторы:
где /v^0 — целые числа,
0 = (0, О, . .., 0), ^ = (0^..^), 1,0^. ..^0),
т v -1 т - v
T=(t0,tlt ...,*„),

156 ИЗУЧЕНИЕ ВХОДЯЩЕГО ПОТОКА ТРЕБОВАНИЙ [ГЛ. 2
О ^ /0 < /, < ... < tт — произвольные действительные числа
а=(а„ а2, . .., ат), .
Введем дополнительно обозначения:
т
/«г(а> 7) = Afexp/(а, л;„г(Г)),
/„(а, Л = Лехр/(а, *Я(Л)-
Для сходимости распределений векторов хп(Т) к
соответствующим распределениям пуассоновского процесса
достаточно сходимости их характеристических функций. Перейдем
к доказательству этого факта.
В силу независимости процессов xnr (t) имеем:
/„(а, 7) = £[/„, (а, Т).
Но
fnr («, Т) = 2рпг (Л 7) е< й й = 1 + 2 Р„, (Л Л (е< <*• 7) - 1),
/ 1ф О
где символ 2 означает суммирование по всем возможным
7
целочисленным векторам / с неотрицательными компонентами.
При малых х
поэтому
/„, (а, 7) = ехр {£ />„, (7, 7) (е< <«•"« _ i) + о (£ раг (2, 7))*} =
( m - _
=6хр { 2 Рпг (С л и* -1)+* / 2 /v (/, m +
XV = 1 , 2, . . ., ГП /
+ о(2рпЛЪ t)V\-

§ 2.7] ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ СУММАРНОГО ПОТОКА 157
Очевидно, что
2pnr(T, 7) = \-P{xnr(tm)-xnr(t0) = 0}^
^\-P{xnr(tm) = 0} = \-pnr(0, tm,0),
_ 2_ РпМ T) = P{xnr{tm)-xnr(tu)^2}^P{xnr(tm)^2},
I =^=0' бу
v=i, . . ., т
чг% — т - —
_2_/>„,С, Л< 2 Рпг(*„ T) + P{xnr{tm)>2). (7)
Заметим, что
Рпг(1'> ',. <,-l)=P„r(«». Л=^{*»,(М--«№(<,-1) = 1,
(*„, e,-i) - *«■ е.))+(*», е.) - *„, ел) ф о} <
</5Кг(^)>2}. (8)
Соотношения (7)—(8) позволяют нам переписать иначе
найденное нами ранее представление функции fnr (а, Т):
_ ( m
/„(a, 7) = exv\2pnr{V,t„t,_1)(e'"*-l) +
lv=i
+ O(x„VJ^2) + oU\-p„r(0;tm,0)J2p„(\;t,J,_1)\\.
Отсюда заключаем, что
fn(a, T) = exp)2An{t„t,_1)(e«*-\) + O{Bn(tm,0)) +
\V=1
+ ОГ max (1—ряг(0; 'я,0)п1.
Ll</<An J J
Теперь условия теоремы приводят нас к следующему
предельному соотношению: при п—► оо
m
/»(«. П — Л expUAtg-A^^Ketov-l)}.
V=l
Теорема доказана.
5. Случай стационарных и ординарных слагаемых
потоков. Перейдем теперь к случаю, рассмотренному А. Я. Хин-
чиным и Г. А. Ососковым, когда слагаемые потоки xnr(t)

158 ИЗУЧЕНИЕ ВХОДЯЩЕГО ПОТОКА ТРЕБОВАНИЙ [ГЛ. 2
стационарны и ординарны. Мы предположим, таким образом,
что при t—>0
P{xnr(t)^2} = o(t).
В силу стационарности существуют пределы
% ^р{1^(01>о}
Kr= hm ; »
t-+0 1
которые были нами названы параметрами потоков xnr(t): для
ординарных потоков Хпг = Мхпг(\), т. е. параметр потока
равен его интенсивности.
Предположим, что при больших п интенсивности
равномерно малы:
lim max Х„г = 0. (9)
Так как
\-Pnr{0;t,o)^Mxnr(t) = kart9
то из (9) вытекает бесконечная малость слагаемых
процессов xnr(t).
Для формулировки последующих результатов мы
воспользуемся введенным нами ранее аппаратом функций Пальма —
Хинчина. Как мы знаем, функцией Пальма — Хинчина порядка k
называется предел
,, ,ч ,. p{xnr (t + t)-xnr(x) = k;xnr(%)>0\
ф (k, t)= lim - .
Теорема. Для сходимости последовательности процессов
хп (0= S xnrW K пР°ЧессУ Пуассона с параметром А необ-
ходимо и достаточно, чтобы при каждом фиксированном t
k *
lim 2Х»Дф»г((),и)А' = Л* (10)
и
t
lim 2*B,fq>»r(i.")<*«=o. (ii)

§ 2.7] ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ СУММАРНОГО ПОТОКА 159
Доказательство. Мы знаем (§ 2.5, формулы (8) и (9)),
что
Р„г(°^0) = 1-Ляг£фяг(0, u)du (12)
о
и при k ^ 1
Рпг (*5 '. 0) = Кг I [фяг (* — 1, И) — Фиг (*. ")] dtt.
о
Использовав стационарность процессов xnr(t), определение
функций Ап (t, s) и Вп (t, 0), а также только что выписанные
формулы Пальма—Хинчина, находим:
An(t + sis) = An(t>0) =
= 2 ^«г Фяг(0,и)Л- 2?W \ <p„r(l,«)dfl
Г= 1 v Г=1 «У
о о
И
Отсюда и из теоремы п. 3 настоящего параграфа
заключаем как о необходимости, так и о достаточности условий
(10) и (И).
Если предположить, что существует предел
Ит^Я„г=Л (13)
( в работах А. Я. Хинчина и Г. А. Ососкова предполагалось,
что ^-^ЯГ = Л ), то условия только что доказанной теоремы
Г=1 /
могут быть записаны в более простой форме.
Теорема Хинчина —Ососкова. Если условие (13)
выполнено, то для сходимости процессов хп (t) к процессу

160 ИЗУЧЕНИЕ ВХОДЯЩЕГО ПОТОКА ТРЕБОВАНИЙ [ГЛ. 2
Пуассона с параметром Л необходимо и достаточно, чтобы
при любом фиксированном t и п—+ оо
£ *„r J Ф„, (0, u)du-+M. (14)
Г =1 0
Доказательство. Из определения функций Пальма —
Хинчина вытекает, что
фиг(0, «) + фиг(Ь ")<!•
Отсюда и из соотношений (13) и (14) заключаем, что
К t
lira £ Хйг $фЙГ(1, «)dtt<
rt^°°r=l 0
kn / t \
< Hm 21 Хяг (/ — J Фяг (0, и)АН = 0.
л -*« r==1 \ о /
Мы убедились, что (13) и (14) влекут за собой оба
условия первой теоремы настоящего раздела. Наша теорема
тем самым доказана.
6. Дополнительные замечания. Мы видели, что при весьма
общих условиях суммы независимых малых потоков близки
к пуассоновскому потоку. Возникает вопрос о быстроте
сближения в зависимости от числа слагаемых. Его изучению
главным образом в связи с задачами теории надежности
были посвящены в последние годы работы И. Б. Погожева [1]
и Б. И. Григелиониса [3], [4]. Мы ограничимся здесь
формулировкой лишь некоторых результатов.
Теорема Григелиониса. Для процесса xn(t),
являющегося суммой бесконечно малых независимых
случайных процессов, имеет место неравенство
J"P|/=•„(*. Т)-Рп(х, 7)|< .
<2»5>„(<vl K_1) + 2(m+\)Bn(tm, t0),
V = l
в котором введены следующие обозначения: Fn(x>
T)—функция распределения вектора хп(Т), х = (х1У х2> ..., хт)>
т
V = l

§ 2.7] ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ СУММАРНОГО ПОТОКА 161
где
о < к <С х
/•= 1
/?л есть m-мерное пространство.
Случай одинаково распределенных независимых процессов
восстановления был изучен П. Франкеном. Введем
необходимые обозначения. Пусть задана последовательность
независимых одинаково распределенных случайных величин xv
х2, ..., для которых F(x) = P{ х{ < х}. Для каждого
tf>0 определяем процесс восстановления N(t)t равный
п
максимальному значению /z, для которого 2uxi^^- ФУНК~
/= 1
ция восстановления H(t) = MN(t) и функция F(x) связаны
между собой, как мы знаем, соотношением
х
H(x) = F(x) + lH(x — u)dF(u).
о
Определим для каждого п и функций Fn(x) = Fni(x)y
Hn(x)=zHni(x), /=1, 2, ..., я, процессы восстановления
Nni(t), независимые для всех / при каждом данном п.
Относительно Нп (t) мы предположим, что при всех nut
выполняется равенство
H{t) = nHn{t).
Положим
п
i- 1
Теорема, доказанная П. Франкеном, состоит в следующем:
Теорема. Пусть Fn( + 0) < 0,5. Тогда
0<fc <Х 0 <£ <* L ' = 1 J
где
\h (fc) =[Я (s+1]~~ H (s)]fe c-f" c+fl-tf (»>i,
/21
a Qj(k)—некоторые многочлены от k.
6 Б. В. Гнеденко, И. Н. Коваленко

162 ИЗУЧЕНИЕ ВХОДЯЩЕГО ПОТОКА ТРЕБОВАНИЙ [ГЛ. 2
§ 2.8. О классе предельных распределений для сумм
независимых процессов восстановления
В § 2.7 мы уже рассматривали ситуацию,- когда имеется
последовательность серий независимых потоков однородных
событий и требуется изучить предельное поведение
суммарного потока в каждой серии. Здесь мы будем решать
задачу в более общей постановке, а именно: мы зададимся целью
описать класс всех возможных предельных потоков и
выяснить условия сходимости сумм потоков к любому
конкретному представителю этого класса (см. И. Н. Коваленко [10]).
1. Предельные формы процесса восстановления. В
данном пункте будет рассматриваться процесс восстановления,
для которого F1(x) = F(x).
Мы до сих пор считали F(x) собственной функцией
распределения, подчиненной условию /7(-)-0) = 0.
Спрашивается: какие процессы (потоки) можно получить, если
рассмотреть различные предельные случаи? В строгой
формулировке наш вопрос принимает следующую форму. Пусть
{F} — множество функций распределения, для которых
F(-{-0) = 0) {XF}— множество соответствующих процессов
восстановления. Введем в множестве {XF} топологию,
считая, что последовательность потоков, соответствующих
функциям распределения F1)F2)...iFn,...1 сходится к потоку
XFot если для любого т для почти всех (хъ x2i ..., хт)
™п \Z1 < Xl> Z2 < Х2у * • • i Zm < Хт\ ~Т*1
п -► со
—-Я0{*1<*1. *«<*«.•■■. *«<*„} (1)
п —> со
(через Рп (п^О) обозначена вероятность, соответствующая
потоку Л>п; напомним, что гл —момент &-го события
потока). В заданной топологии множество {XF} не будет
замкнутым. Ставится вопрос об описании замыкания этого
множества, которое мы обозначим {XF}.
Замечание. Сходимость (1) эквивалентна сходимости
последовательности функций распределения { Fn(x)} к
функции распределения F0 (x) в каждой точке непрерывности
последней.
Необходимость этого условия следует из соотношения
Рш{*1<*1}пТа,Р°1г1<ХЛ'

§ 2.8] О КЛАССЕ ПРЕДЕЛЬНЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ 163
достаточность —из соотношения
Ра{*1<Х1> *2<*2> • • •>*m<Xm}=Fn(*l)Fn{X2) - Гп(*т)-
Из этого простого замечания можно сделать следующий
вывод. Топологическое
пространство {Хр }
совпадает с пространством
{Х~р\, где F — либо
функция распределения
с условием F( + 0) = 0,
либо предел
последовательности таких
функций в смысле
сходимости в каждой точке
непрерывности.
В соответствии с этим
рассмотрим возможные
пределы
последовательности [Fn (x)}. Прежде
всего, предельная
функция FQ (х) должна быть
неубывающей. Различные
случаи, которые могут
представиться, показаны
на рис. 2.2.
В случае а)
предельная функция является
функцией распределения,
причем F0( + 0) = 0.
Соответствующий ей
процесс Xf0 будет
процессом восстановления в
нашем обычном
понимании.
В случае б) мы будем
иметь неординарный
поток с ограниченным
последействием: с вероят-
«)
в)
в)
г)
4
Рис. 2.2.
ностью / каждый интервал между событиями потока может
оказаться равным 0.
6*

164 ИЗУЧЕНИЕ ВХОДЯЩЕГО ПОТОКА ТРЕБОВАНИЙ [ГЛ. 2
Случай в) интерпретируется следующим образом. После
каждого события потока бросается жребий. С вероятностью,
равной р, следующее событие произойдет через конечное
случайное время, распределенное по закону у ^; с
вероятностью 1 — р следующего события вообще не
произойдет. Таким образом, общее число событий потока конечно
и имеет геометрическое распределение.
Случай г) охватывает более общую ситуацию, когда
наряду с возможностью обрыва потока присутствует еще
неординарность.
Последний случай д) соответствует полному отсутствию
потока.
После того как природа каждого из возможных случаев
раскрыта, мы можем описать замыкание класса процессов
восстановления, для которых Fx (х) = F(x), при помощи
функции F(x). Это теперь не обязательно функция
распределения, а любая неубывающая, непрерывная слева функция
со свойствами
/7(0) = 0, F(oo)<l.
Коль скоро конкретный вид функции F(х) задан, мы сможем
установить, какой из случаев а) — д) налицо.
Будем называть F-u о т о к о м любой из потоков с
заданной функцией F, которая удовлетворяет сформулированным
свойствам.
2. Предельная теорема для потока первых событий.
Рассмотрим последовательность серий процессов
восстановления:
^21> ^22'
(2)
где
*п* = №><^><--- <<й?<...}. (3)
Обозначим

§ 2.8] О КЛАССЕ ПРЕДЕЛЬНЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ 165
Тогда последовательности серий процессов (2) будет
соответствовать последовательность серий пар функций
распределения {F$(x), Fnk(x)} • В данном пункте мы рассмотрим
поток, образованный только первыми событиями каждого
из потоков Xnk(\ ^.k^.n), а именно:
Лг l nk J * = Г
Теорема. Если при п—► оо выполняются условия
п
2>#(*)<С (я=1, 2, ...) (4)
k=i
и
max Fg) (x) —■ 0, (5)
1</г</2 я -► оо
го при я—► оо /гото/с Л"* в интервале времени (О, лс) сбли-
жается с классом пуассоновских потоков без последействия.
Для того чтобы имела место сходимость
последовательности {X*} к потоку указанного класса с ведущей
функцией A(t), в условии (5) необходимо и достаточно равенство
п
Vf(i)(^) -*А(*)
для каждой точки t отрезка (О, л:), где A(t) непрерывна.
Доказательство. Требуется установить
существование такой последовательности ведущих функций {Ли(/)},
что если А — произвольное событие, связанное с
расположением точек потока в интервале (0, х) и его подынтервалах,
а Рп (А) и Qn (A) — соответственно вероятность А для
потока Хп и для пуассоновского потока без последействия
с ведущей функцией An(t), то при п—► оо
Pn(A)-Qn(A)-+0. (6)
Выберем Ли (t) в виде
п
A»W=EW). (7)
Достаточно проверить теорему для событий А вида

166 ИЗУЧЕНИЕ ВХОДЯЩЕГО ПОТОКА ТРЕБОВАНИЙ [ГЛ. 2
где /я 2^ 0, Д1э Д2, *.., Дот —непересекающиеся интервалы,
принадлежащие интервалу (0, л:), vA. — число событий
рассматриваемого потока, попавших в интервал Д/#
При /я = 0 утверждение теоремы очевидно: событие Л0
достоверно и Рп (Л0) = Qn (Л0) = 1. Применим индукцию по т.
Пусть известно, что для всех Am_.L справедливо
соотношение (6) при An(t)y выбранном в соответствии с формулой (7).
Докажем это соотношение для Ат.
Очевидно,
^{AJ^M.-iJ'MvA.-ft.M-i}. (8)
Событие Ат , может осуществиться тт z ; различ
ными способами; каждому из них соответствует попадание
в интервалы Д1? Д2, ..., Дт_! фиксированных гл^; это
событие мы обозначим Bh понимая под / совокупность
индексов k, для которых t{nl G Д1U Д2 U • • • U Am-i- По
формуле полной вероятности,
1
Р \^т = KIK-i) = ЪР{BilA*-x) РКя = кяЩ. (9)
Обозначим через р{п\ апостериорную вероятность
события {t{nk €&т} ПРИ условии В;. Тогда
10 , если& £ /,
$ dF^i (t)\ Г1 - J dF^it)], если k J L
Так как по условию (5) max F{nk(x)—+ 0 при п—♦ 00, a
TO
) dF%(x) </*¥(*),
AiUA.U-. UAW_!
S ^$(0

§ 2.8] О КЛАССЕ ПРЕДЕЛЬНЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ 167
С другой стороны,
И Р{п1<(Ьг + к%+. .. +км_г) max/ЭД (х) — О,
k € I l^k^n /2-х»
так что, во-первых,
где j dA(/)^C, и, во-вторых,
Am
max p{nl —>0.
Мы находимся в условиях применимости предельной
теоремы Пуассона для распределения числа редких событий.
Можно заключить, что
-X.,,„[] <"">]'*
P{v.„-*./B,}-» *■ Ч , 0.
Поскольку последняя оценка, как видно из
доказательства, равномерна по / и ^Р{В(/Аттт1} = 1, мы немедленно
i
приходим к равенству
Г Г [ dA(t)]km
- JdA(t) J w
что равносильно утверждению о сближении потоков Хп с
пуассоновскими потоками. Что касается второй части
теоремы, то она очевидна в силу того, что ведущая функция
пуассоновского потока определяется единственным образом.
Теорема доказана.
3. Описание класса предельных потоков. Будем
говорить, что поток принадлежит классу /Г, в
следующем случае.
Задается распределение
Я{<1<*}=1— е~А«\
гдеЛ(/) — произвольная конечная неубывающая, непрерывная
слева функция; Л(0) = 0. Каждому t £ (0, х) ставится в со^
ответствие вероятностная мера \it на множестве {F}
неубывающих, непрерывных слева функций; F (0) = 0 <[ F (оо) ^ \л

168 ИЗУЧЕНИЕ ВХОДЯЩЕГО ПОТОКА ТРЕБОВАНИЙ [ГЛ. 2
При этом класс измеримых подмножеств {F} должен быть
борелевским полем, содержащим все множества вида
{F(x) <у}, где 0 ^ х < с», 0 <у ^1. Функции \xt{F(x) <у}
должны быть измеримы при фиксированных х и у по мере,
порожденной функцией A(t).
Поток строится следующим образом.
Пусть Ха)— пуассоновский поток без последействия с
ведущей функцией Л(/). Предположим, что в результате
реализации этого потока однородные события произошли
в моменты t[1] ^ t^ ^ . . . ^ t^ ^ .. . Тогда из класса
{F} случайным образом выбираются функции F1(x),
F2(x), ..., Fn(x), . .., причем функция Fn (x) выбирается
в соответствии с вероятностной мерой |x^(d (гС^\). Строится
п
последовательность независимых /^потоков (см. выше),
откладываемых на оси времени, начиная с моментов №
t{2\ •••> *1Я)> ••• Поток, который нас интересует,
определяется как объединение множества точек {/„ } и
построенных потоков.
Поскольку приведенное описание несколько тяжеловесно
для читателя, незнакомого с теорией меры, мы дадим
другое описание, исходящее из физического примера.
Пусть имеется большое число элементов, выходящих из
строя в соответствии с нестационарным потоком Пуассона
без последействия с ведущей функцией A(t). Всего
элементов N типов. Для элементов 1-го типа (\^i^n) имеется
неограниченный запас резервных элементов, длительность
исправной работы которых распределена по закону Ft (x).
Всякий раз, когда элемент отказывает, он заменяется
резервным. Таким образом, если фиксированы первые моменты
отказов элементов, то после каждого из них образуется
процесс восстановления моментов отказов последовательно
заменяющих его элементов.
Допустим теперь, что первый отказ некоторого элемента
произошел в момент t. Тогда существуют вероятности
\it (i) того, что этот элемент был i-ro типа. В соответствии
с этим вероятность того, что функция распределения
времени до следующего отказа будет равна Fj(x), составляет
\it(i). Ввиду того, что с теоретической точки зрения
естественно рассматривать бесконечное множество типов эле-

§ 2.8] О КЛАССЕ ПРЕДЕЛЬНЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ 169
ментов, приходится рассматривать вместо конечного набора
чисел {\JLt(i)}fLi общую меру \xt.
4. Предельная теорема. Введя класс К потоков, мы
можем теперь установить предельную теорему. Следует
только договориться, чтб понимать под сходимостью
потоков однородных событий.
Пусть, как и выше, Рп (zx < xl9 z2<x2y . . ., zm < xm)
обозначает вероятность события, записанного в скобках,
для потока ХпУ где п ^ 0.
Будем считать, что последовательность потоков [Хп}™=1
слабо сходится к потоку Х0, если имеет место
сходимость
"п \Z1 ^ XV Z2 ^ *2> • • ' » Zm < Хт) *"
/2->00
* "о \Z1 ^ XV Z<L ^ Х2> • • • i Zm ^ Xm)
rt-X»
в любой точке (xv x2, ..., xm), где функция Я0(...)
непрерывна.
Теорема. Пусть Hnk{t) — функция восстановления
процесса восстановления Xnk из серии (2), Хп = Хп1~\-. . . +
-\-Хпп. Тогда, если выполняются условия
2//„,(*)< С, п=\, 2, ..., (10)
max Hnk(x)->0, (11)
то при п —* оо поток Хп сближается с классом К в смысле
слабой сходимости. Для слабой сходимости серии (2) к
потоку X из К, характеризуемому ведущей функцией A (t) и
мерой \хи при условии (11) достаточно, чтобы при любом
т^\ и произвольных хъ . . ., хт; у1У . . ., ут
t t
I 2 dFnk (т)-> J \xx(F(xi) <Уп 1 <*</») tfA(T). (12)
0 Fnk(Xi)<yi /1-х» Q
Доказательство. Из условий (10) и (11), очевидно,
следуют (5) и (4). Но тогда, как мы видели в пункте 2,
поток первых событий сближается с классом потоков
Пуассона без последействия. Если определить ведущую функцию

170 ИЗУЧЕНИЕ ВХОДЯЩЕГО ПОТОКА ТРЕБОВАНИЙ [ГЛ. 2
п
потока класса К в виде Л (*) = 5] Fnk(t), а меру \it — как
произвольную измеримую относительно Л(*) функцию,
удовлетворяющую соотношению
t t
S 2 dF nk (т) = I \ix (F (xt) < yiy 1 < / < m) dK (t),
о Fnk^xXVi о
то, как легко видеть, справедливо неравенство
|Р„(*1<*1. •••> Zm<Xm)-Q(Zl<Xl> ••-, **<*«)!<
<m max /=;,(*), (13)
где Рп — вероятность, соответствующая потоку Хп> Q—
вероятность того же события в случае построенного потока
из класса /С. В самом деле \it(A) подобрана таким образом,
что при совпадении первых моментов потоков-слагаемых
распределение последующих моментов совпадает. В силу (5) из (13)
следует, что потоки Хп с;ближаются с классом потоков К.
Так как при доказательстве использовался конкретный вид
A(t) и \it, то вторая часть теоремы также установлена.
§ 2.9. Предельная теорема для редеющих нотоков
1. Постановка задачи. В ряде практически важных
задач приходится встречаться с такой ситуацией, когда
первоначальный поток требований, проходя через ряд
последовательных обслуживающих приборов, теряет некоторую
долю составляющих его элементов. Так, если в массовом
производстве деталь обрабатывается на ряде станков и
после каждой операции отбрасываются детали и не
проходят дальнейшей обработки, когда в них обнаружены
дефекты, то первоначальный поток деталей редеет. Подобная
же картина имеет место, когда мы даем править опечатки
нескольким корректорам. После каждого корректора число
пропущенных опечаток, оставшихся в тексте, уменьшается.
Уже неоднократно возникал вопрос: нельзя ли высказать
какие-либо общие предложения относительно таких
редеющих потоков? Этот вопрос законен, поскольку описанная
только что схема может иметь многочисленные физические
и технические применения. В семинаре по теории массового

§ 2.9] ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА ДЛЯ РЕДЕЮЩИХ ПОТОКОВ 171
обслуживания Института математики АН УССР в связи с
исследованием потоков деталей, наблюдающихся на
автоматических линиях, было высказано предположение, что при
широких условиях редеющий поток будет приближаться к
пуассоновскому. Приблизительно тогда же А. Реньи [1]
доказал первую теорему в этом направлении. Он изучил следующую
схему: рассматривается произвольный поток восстановления;
каждое требование сохраняется в потоке с вероятностью qu
исключается из потока с вероятностью 1—q=p. За счет
изменения масштаба времени сохраняется интенсивность
потока. Эта операция последовательно производится много
раз. А. Реньи доказал, что так преобразуемый поток
действительно сближается с простейшим*).
Мы видим, что простейший поток получается не только
в результате суммирования бесконечно малых независимых
потоков. К нему приводят и другие предельные процессы.
Как для теоретических, так и для практических целей
представляет несомненный интерес изучение таких моделей,
которые приводят к простейшему потоку.
2. Преобразование Лапласа для преобразованного
потока. Поток восстановления, для которого F± (x) = F(x),
подвергается следующей операции разрежения: каждое
требование потока остается в нем с вероятностью q и
выбрасывается из потока с вероятностью р= 1—#. Одновременно
с процессом разрежения производится другой процесс —
изменение масштаба времени: за единицу масштаба считается
промежуток длины q~x. Назовем только что описанное
двойное преобразование преобразованием Тд.
Обозначим через tl9 t2, ... последовательные моменты
появления требований потока. По предположению случайные
величины
независимы и одинаково распределены, их функция
распределения равна F(x). Введем обозначения
к
F1(x)=F(x), Fa(x) = lFa_1(x-z)dFl(z) при я = 2,3, ...
О
*) Класс предельных распределений для редеющих потоков
изучается, в частности, в статье И. Н. Коваленко [9].

172 ИЗУЧЕНИЕ ВХОДЯЩЕГО ПОТОКА ТРЕБОВАНИЙ [ГЛ. 2
Известно, что Fn (х) является функцией распределения
суммы п независимых случайных величин с функциями
распределения, равными F(x). Таким образом, на F2 (x) можно
смотреть как на распределение длительности промежутка
времени, прошедшего между появлением &-го и (&-f~!2)-ro
требований. Вообще Fn (x) представляет собой функцию
распределения промежутка времени между поступлением &-го
и (k-\-n)-ro требований.
Обозначим через TqF(x) функцию распределения между
последовательными требованиями потока, полученного в
результате применения к первоначальному потоку,
трансформации Т . Докажем, что при любом х > О
00
TqF{x) = Y.qPn~lFn{^)- 0)
Действительно, после преобразования Т в потоке
останутся с вероятностью q соседние по времени поступления
требования, с вероятностью pq — требования через одно, ...,
с вероятностью pn~xq будут пропущены (откинуты) п — 1
последовательных требований и т. д. А так как
распределения промежутков между последовательными поступлениями
указанных требований равны соответственно Fx (л:), F2 (л;), . . .
..., Fn(x)y ..., то в силу формулы полной вероятности
имеет место равенство (1).
Обозначим через ф (s) преобразование Лапласа для
функции F(x), т. е. положим
q>(s) — \e-xsdF(x).
Докажем, что для преобразованного потока
соответствующее преобразование Лапласа равно ^
Ta<f(s) = . 9<р(?,. (2)
? т х ' 1 —pep (qs) v '
В самом деле, из теории преобразований Лапласа известно,
что преобразование суммы независимых слагаемых равно
произведению преобразований Лапласа для слагаемых. Таким
образом, преобразование Лапласа функции TqF (x) согласно

§ 2.9] ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА ДЛЯ РЕДЕЮЩИХ ПОТОКОВ 173
формуле (1) равно
00
Tq<p(s)=q2tpn-1<("(qs).
/2=1
После очевидных алгебраических преобразований приходим
к равенству (2).
3. Некоторые свойства операции 7. Докажем, что
последовательное применение к потоку преобразований Т и Т
эквивалентно одному преобразованию Tgig2.
Согласно формуле (2)
и, значит, х
<7а</1ф (?iW)
Т (Т to tell = 1~Р1Ф(^1^) = Я1ЯгЧ(Я\Я&)
q%\ q^\ 9) ЯхЧ(Я1Я**) 1-$-Я1Я*)Ч(Я1Я%*)'
1— Pi<P(<M2s)
Требуемое доказано.
В силу взаимно однозначного соответствия между
функцией распределения и ее преобразованием Лапласа отсюда
заключаем, что
TqTqF{x)=TMF{x).
Преобразование Tq не изменяет среднего значения
длительности промежутка времени между последовательными
требованиями потока.
Это свойство доказывается на основании известного
равенства
00
\xdF{x) = — q/(0).
о
В результате элементарного подсчета получаем!
\ltTmis))] = \ Ч'У'Ш 1 =?V(01 = <p'(0)
Требуемое доказано.
4. Преобразование 79 для простейшего потока. Пусть
исходный поток является простейшим и его интенсивность

174 ИЗУЧЕНИЕ ВХОДЯЩЕГО ПОТОКА ТРЕБОВАНИЙ [ГЛ. 2
равна X. Для такого потока
F(x)=\ — e~Xx,
00
\ xdF(x) = у.
о
Легко подсчитать, что преобразование Лапласа для этой
функции F (х)
Покажем, что преобразование Т не изменяет
простейшего потока. Действительно,
X
я-
_ . . X + qs Xq X . ч
5. Предельная теорема Реньи. £сли к какому-либо
потоку А восстановления с конечной интенсивностью X
последовательно применить преобразования Т Т Т . . . и
при п—+оо
то поток TqnTgn_l . . . TQl стремится при п—► оо к
простейшему потоку с той же интенсивностью X.
Доказательство. Согласно предыдущему
TqnTqn_t ... Tqx= Tqh.
Имеем:
Qn^( ,"l-(l-Q«)9(Qn(s))'.
А так как
T m/?\= Ф«М <P(QkS)
''9) b^£) + (p(Qn(s)) я>(°)-Ф(^) + Ф(д..)
и в силу конечной интенсивности потока производная
функции ф (s) существует, то
Нш111Ф(Оа!)= ,(0) .

§2.10] РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДЛЯ РЕДЕЮЩИХ ПРОЦЕССОВ 175
Таким образом, при п —* оо
Это соотношение доказывает теорему.
§ 2.10. Предельные распределения для редеющих
процессов восстановления
Теперь нам представляется естественным решить задачу,
подобную рассмотренной в § 2.8 для редеющих процессов
восстановления. В отличие от постановки предыдущего
параграфа, где требовалось установить вид предельного потока
при заданных свойствах исходного потока, здесь нас
интересует иная задача: выяснить, какие вообще могут быть
предельные потоки при бесконечном разрежении процесса
восстановления?
Пусть ф (s) — преобразование Лапласа — Стилтьеса
распределения F(x). Допустим, что точки восстановления
оставляются с вероятностью е и выбрасываются с вероятностью
1—8. Тогда, как было установлено, преобразование
Лапласа—Стилтьеса <ps(s) распределения интервала между
точками восстановления для разреженного потока имеет вид
Ф.(*)= 1-о-е)ф(«)- (1>
Строгая формулировка задачи сводится к следующему.
Описать класс всевозможных пределов функций вида cps (8s)
при б—>0, гдеф6($) задается формулой (1), а 0<е =
= е(б)—>0. Напомним, что ранее между е и б
предполагаемо
лась самая простая связь: 8== б.
Обозначим
Фо (s) = lim е (6) Ф (6s) /ov
Y0 e->ol —(1—в(6))ф(6в) ' [Z}
Теорема. Введенная функция может иметь только
следующий вид:
Фо(*) = прсЗ' Res>0, (3)
где 0 < Р < 1, либо
Фо(*) = 1. (4)

176 ИЗУЧЕНИЕ ВХОДЯЩЕГО ПОТОКА ТРЕБОВАНИЙ [ГЛ. 2
Для того чтобы ф0 (s) имела вид (3), необходимо и
достаточно выполнение равенства
q>(s) = \—a(s)s? + o(a(s)s?) (s-+0, s>0)9
где a (s) > 0 — медленно меняющаяся функция при s—►О
а ($6) = i a ($) 6? (1+0(1)) (s —0).
Для того чтобы ф0 (s) имела вид (4), необходимо и
достаточно равенство
1—<p(6s) = o(e(6)) (6-*0).
Доказательство. Запишем (2) в следующем виде:
Фп (s) = lim i ггт •
^е (6)q>(6s)
При б—>0 также ф(б$)—И (если 5 фиксировано).
Поэтому
где
a(s)=llmLz£iM. (б)
Пусть a (s) Ф0 при s > 0 (невырожденное распределение).
Тогда
/* <ч 1—ф (6— S ] 8 ( б —
a(s)-;Z в(й) вТ» „fs^ в (в)
6-* о bw в->о е е
г)
S
8
:a(s)Hm 8(6) = a(g)fe(j)- (7)
Поскольку a (5) при Res> 0, очевидно, аналитическая
функция, мы можем применить формулу Тейлора:
a (s') = a (5) + a' (5) (5' — 5) + 0 {s' — 5).
Подставив это равенство в (7), получим:
a'(s)(s'-s) = a(s) [ft (у)- l] +0 (s'-s).

§2.10] РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДЛЯ РЕДЕЮЩИХ ПРОЦЕССОВ 177
Разделив это равенство на a(s) (sr — s) и устремив s' к 5,
придем к уравнению
a" (s) _ Р /оч
a(s) s ' к '
где
Решение уравнения (8) имеет вид
a(s) = Cs^ (10)
где С—произвольная постоянная.
Вспомним теперь, что ф0($)= ————преобразование
Лапласа — Стилтьеса неотрицательной невырожденной
случайной величины. При s > 0 ф0 (s) должна быть убывающей
функцией. Подставим (10) в (5):
Для этого необходимо, чтобы Cs$ > 0. Но при С < 0, (J < 0
функция (11) будет иметь полюс в точке s= (— ^-] > 0,
что невозможно. Остается только случай С> 0, Р > 0.
Далее, поскольку при s > 0 ф0 (s)—выпуклая функция, не
может быть Р> 1, иначе ф0 (0) = 0 ^ф0 (s) ^0, а
следовательно, ф0($)=1. Таким образом, С>0, 0<Р^1.
Если подставить (10) в (7), мы придем к формуле
s
откуда k(z) = z$ или, что то же,
1- 8(&Z) «
6->о 8(б)
Проверим теперь достаточность условия теоремы.
Пусть
ф (s) = 1 — a (s) s$ + о [a (s) s$],
где a (s) — медленно меняющаяся функция. Тогда
Ф.(-^-1|а(бз)бС-

178 ИЗУЧЕНИЕ ВХОДЯЩЕГО ПОТОКА ТРЕБОВАНИЙ [ГЛ. 2
Положим
е = ±а(6)№.
Так как a (s) — медленно меняющаяся функция при s—► О,
то a (6s) ~ а (б) (б—* 0) и
что и требовалось.
Случай сходимости к вырожденному распределению (4)
тривиален, и мы не будем на нем останавливаться.
Следствие. Предельное распределение для редеющего
потока будет показательным (при соответствующей
нормировке) тогда и только тогда, когда — ф'(0)<оо, т. е.
интервалы между восстановлениями исходного процесса имеют
конечное математическое ожидание.
Возникает вопрос: существуют ли распределения
неотрицательных случайных величин, для которых 1—cp(s) =
= s$a (s) + o[s$a (s)] ($—►(), s > 0), где a (s) — медленно
меняющаяся функция, а |$ принадлежит интервалу (0, 1).
Ответ получается положительный. Проще всего в этом
убедиться, рассмотрев распределение с плотностью
( 0 , если х < 1,
В этом случае
С e~sx
Подставим в эту формулу s' вместо s и сделаем замену
s'x = sy. Получим:
«У»
Ф(*') = (тП Ф(5) —Pj Jft*'
Произведя предельный переход при s'—>s, придем к
дифференциальному уравнению
<р'(5)=1Ф(5)-1е-'.
Положим
q)(s)=l-s?/(s).

§ 2.10] РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДЛЯ РЕДЕЮЩИХ ПРОЦЕССОВ 179
Тогда легко получим:
/'w=^(«"-i>—§-+»(i) (5^0)*
откуда
И
ф (S) = 1 —Cs? + о (5) (5 —*0),
СфО, поскольку в противном случае было бы
ф (5) =1+0 (5),
в противоречии с расходимостью интеграла
1
К этому же выводу можно было бы прийти и на
основании тауберовой теоремы.
В действительности сходимость к предельному процессу
восстановления с функцией F (х), преобразование Лапласа —
Стилтьеса которой имеет вид (3), имеет место в значительно
более широком классе случаев, чем в предположении о том,
что исходный процесс—-процесс восстановления. Однако мы
не имеем возможности здесь на этом останавливаться.
Интересна также следующая постановка. Исследовать
класс £ распределений, получающихся в результате
предельного процесса:
Эта постановка аналогична задаче нахождения предельных
распределений для последовательностей серий независимых
бесконечно малых случайных величин.
Класс предельных распределений в данной постановке
значительно шире, чем в предыдущем случае. Мы
ограничимся только тем, что приведем две интересные леммы.
Лемма 1. Если л>1, С, > 0, 0 < 0, < 1, 1</<л, го
ФоИ = 1 €$.
i+2^
1=1

180 ИЗУЧЕНИЕ ВХОДЯЩЕГО ПОТОКА ТРЕБОВАНИЙ [ГЛ. 2
Лемма 2. Если (p(s) —преобразование Лапласа— Стил-
тьеса неотрицательной случайной величины, то
ФоИ = 1+С[11-ф(5)] €* где с>°-
Лемма 1 вряд ли требует объяснения. Докажем лемму 2.
Возьмем в качестве ц>п (s) функцию
Фя(*) = 1-уя + уяф(*Ь 03)
где 0< у„< 1, ф($)— преобразование Лапласа—Стилтьеса
некоторой неотрицательной случайной величины. Формула (12)
приводит к равенству
Фо(*)= lim Z Г^П) ■ (14)
Положим теперь уя = ^8Я и заставим гп стремиться к нулю
при п—► оо. В пределе получим ф0 (s) = {1-|-С[1—ф(^)]}"1.
Лемма доказана.
Небезынтересно отметить, что в случае
последовательности серий для сходимости предельного процесса к потоку
Пуассона существование математического ожидания
интервала между восстановлениями исходного процесса не является
необходимым. Более того, может существовать
положительная вероятность того, что интервал между восстановлениями
будет равен оо. Чтобы убедиться в этом, возьмем срл (s)
в виде
Ф-^^Ттё" (°<Y<1) (15)
(«случайная величина» с вероятностью 1— уп равна
показательно-распределенной случайной величине и с
вероятностью уп равна бесконечности). Подстановка (15) в (12) дает
равенство
Если еп-+0 и уп=:0(еп) (я—>оо) (например, Y* = en)»
то Ф0($)= 1 . • • При каждом фиксированном п процесс будет
обрывающимся, но при неограниченном возрастании п момент
обрыва с вероятностью 1 уходит в бесконечность.

ГЛАВА 3
НЕКОТОРЫЕ КЛАССЫ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
Для теории массового обслуживания представляют
особый интерес случайные процессы марковского типа. По
главе 1 читатель мог убедиться в том, что при помощи
марковских процессов с конечным или счетным множеством
состояний описываются процессы массового обслуживания
в системах весьма широкого класса, но в, так сказать,
максимальных аналитических предпосылках: как появление
новых требований, так и окончание обслуживания
требований, уже имеющихся в системе, не должно зависеть от
предшествующей истории. Нет необходимости доказывать, что
подобного рода предпосылки в большинстве ситуаций,
встречающихся на практике, далеки от действительности. В связи
с этим приходится использовать случайные процессы более
сложного характера. На основных классах процессов,
плодотворно используемых в теории массового обслуживания,
мы и остановимся в настоящей главе.
§ 3.1. Метод Кендалла. Полумарковские процессы.
Линейчатые процессы
1. Определения. Общей тенденцией в теории массового
обслуживания является нахождение такого случайного
процесса, связанного с процессом массового обслуживания, который
можно было бы рассматривать как марковский процесс.
Обозначим через v (/) некоторый процесс, в любой
момент времени описывающий состояние системы массового
обслуживания; предполагается, что по реализации случайной
функции v (t) можно проследить за всеми изменениями,
которые происходят в системе: моментами появления требований,
моментами окончания обслуживания и т. п. Примером про-

182 некоторые классы случайных процессов [гл. 3
цесса v(^) может служить число требований, находящихся
в системе в произвольный момент t. Иногда естественно
рассматривать процесс v (t) как совокупность нескольких
параметров, имеющих тот или иной физический смысл. Так,
например, при рассмотрении систем с приборами, которые могут
выходить из рабочего состояния, имеет смысл считать
процесс V (t) двумерным:
v(0 = {vi(0, v8(/)},
где v1(^) —число требований в системе в момент /, v2 (t) —
число неисправных приборов в тот же момент времени.
С рядом примеров описания функционирования системы
обслуживания при помощи случайных процессов мы познакомим
читателя в этой и следующих главах.
Коль скоро заданы вероятностные законы, управляющие
входящим потоком требований, а также известны
распределение длительности обслуживания и порядок обслуживания
требований, v (t) становится определенным, как случайный
процесс. Один из наиболее выдающихся специалистов в
области теории массового обслуживания Д. Кендалл предложил
метод вложенных цепей Маркова. Этому
посвящена основополагающая работа Д. Кендалла [I]. Смысл
метода вложенных цепей Маркова состоит з следующем.
Выбираются такие моменты времени {tn} (tn < tn+1), что
значения процесса {v(tn)} образуют цепь Маркова. Затем
методами, обычными для цепей Маркова, исследуется
распределение случайных величин v (tn). Наконец, по этому
распределению делают выводы о свойствах исходного процесса v(^);
во многих случаях этот последний этап исключается,
поскольку сами величины v (tn) дают исчерпывающую
информацию о функционировании системы массового обслуживания.
Чаще всего рассматривается случай, когда множество
возможных значений процесса v(t), а следовательно, и
вложенной цепи Маркова, конечно или счетно. К подобной
ситуации сводится большое число постановок задач. Однако это
совсем необязательно: можно рассматривать также
непрерывное множество состояний. С этой точки зрения метод
вложенных цепей Маркова (метод Кендалла) охватывает
теорию случайных блужданий, применение которой к
задачам массового обслуживания будет неоднократно
использоваться в последующем изложении.

§3.1]
МЕТОД КЕНДАЛЛА
183
Таким образом, вложенная цепь Маркова — это
последовательность значений процесса в специально выбранные
моменты времени {tn)\ эти значения образуют цепь Маркова.
Подчеркнем, что моменты {tn}) как правило, оказываются
не детерминированными, а случайными, зависящими от
поведения самого процесса v(t). О моментах [tn] здесь ничего
не говорится. Вложенная цепь Маркова может быть
определена и в том случае, когда моменты {tn} образуют сложную
статистическую связь, которая не может быть описана цепью
Маркова. Важный частный случай выделяется посредством
определения полумарковского процесса, которое
мы приведем, следуя работе В. Смита [1].
Пусть N—некоторое конечное или счетное множество и
пусть для каждого / из этого множества определены:
вероятности перехода p{j- со свойствами
распределение вероятностей F( (х) положительной
случайной величины 1{1):
Fi(x) = P{l{l)<x}; Ft( + 0)=0, l£N.
Будем считать также заданным распределение случайного
вектора (£0, v0), первая компонента которого —
неотрицательная случайная величина, а вторая может принимать значения
из множества N. Полумарковский процесс конструируется
из введенных объектов по следующему принципу.
Пусть случайный вектор (£0, v0) принял некоторое
значение (х, i) в соответствии с распределением, о котором
говорилось выше. Тогда определим v (t) в интервале
времени от 0 до £0 как v0:
v (/) = *', 0</<л:;
затем из случайной совокупности TV выбирается значение vx;
вероятность того, что будет выбрано именно v1=ji равна p{j
(напомним, что / — значение, принятое v0). После этого
выбирается значение случайной величины ^x=y в соответствии
с законом распределения Fj(x), что позволяет определить
процесс v (t) в более широком промежутке времени:
v (*)=/, x^t <х+у.

184 НЕКОТОРЫЕ КЛАССЫ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ [ГЛ. 3
Вслед за этим производится новый выбор элемента v2
из множества N. На этот раз вероятность того, что v2
примет значение &, равна pjki k£N. Коль скоро стало
известно, что v2 = &, выбирается значение случайной
величины !2 —^ в соответствии с распределением Fk(x), что
дает:
v (*) = *, x+y^t <x+y+z,
и т. д.
В результате проведенного построения случайный
процесс v(^) определится в интервале времени (0, ^*), где
t* = x+y + z+...
Чаще всего /* = оо, так что процесс определяется при
всех / > 0.
Это и будет полумарковский процесс.
Интересным примером использования полумарковского
процесса для описания системы массового обслуживания
может служить работа В. С. Королюка [1]. В ней методами
полумарковских процессов решены важные задачи теории
надежности.
Наконец, дадим еще третье определение: линейчатый
процесс.
Пусть имеется полумарковский процесс v (/), причем
с вероятностью единица он продолжается неограниченно
долго, т. е. согласно приведенной конструкции v(t)
определяется при всех t > 0. Тогда для любого t > 0 можно
определить случайную функцию у* (\) как время,
прошедшее с момента последнего выбора случайной величины vn.
Более точно,
Y*(0 = '-(6o + £i+•••+£„),
где п находится из условия
go + 6i+...+E„<*<£o + £i+--.+&„ + gB+l
(чтобы это определение годилось всегда, положим, что при
t<U Y* (<) = <)•
Легко видеть, что двумерный случайный процесс {v (t),
Y*(0} будет марковским. Действительно, пусть известно,
что при фиксированном t v(tf) = /, y*(t)z=x. Это означает,
в частности, что последний «цикл» длится уже х единиц

§ 3.1]
МЕТОД КЕНДАЛЛА
185
времени. Но тогда вероятность окончания цикла в интервале
(t, t-\~y) составляет:
Fi(x + y)-Fj(x)
\-Fi(x)
До окончания цикла процесс v(^) не изменит своего
значения, а процесс у* (t) будет все время возрастать с
единичной скоростью. Если же цикл окончился, то мы знаем, что
может произойти дальше: с вероятностью р^ процесс v (t)
переходит к значению v(t)=j\ и все дальнейшее
определяется независимо от того, что было до момента t.
Сделаем еще одно очевидное, но полезное замечание.
Если для некоторых / из множества N функция
распределения F( (х) имеет вид
Fi(x) = \—e-b*, x>0,
то при v(t) = i не нужно определять вторую компоненту
процесса, т. е. у* (0: остаток длительности цикла, как легко
видеть, зная основное свойство показательного
распределения, не зависит от y*(t).
Таким образом, можно рассматривать процесс £*(£),
в который обязательно включается компонента v (t); вторая
компонента, именно y*(t), определяется лишь для тех
случаев, когда Ft(x) имеет вид, отличный от показательного.
Процессы £*(0 описанного типа изучались рядом
авторов. В статье [2] Ю. К. Беляев предложил для них
название «линейчатых процессов»; этого термина мы и будем
придерживаться. Мы видим, таким образом, что линейчатый
процесс — функционал от полумарковского процесса. Это
обстоятельство будет нами использоваться в дальнейшем*).
Помимо только что определенного класса линейчатых
процессов, часто в теории употребляют процесс иного типа.
Именно, пусть v (t) — полумарковский процесс. Обозначим
через у (t) время с момента t до момента окончания цикла
*) В цитированной работе Ю. К. Беляева допускаются также
спонтанные изменения состояний процесса. В конце настоящего
параграфа мы покажем, как учесть возможность этого явления,
не выходя за рамки введенного выше определения линейчатого
процесса.

186 НЕКОТОРЫЕ КЛАССЫ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ [ГЛ. 3
(см. выше), длящегося в момент t. Тогда двумерный
случайный процесс
£(<)-{v(<), y{t)}
также будет марковским. (Здесь также можно извлечь пользу
из замечания, что в случае показательного распределения
у (t) определять излишне.)
Мы будем употреблять термин «линейчатый процесс»
также для процесса £(/).
Интересно отметить, что, хотя процессы £* (/), с одной
стороны, и £(tf), с другой, очень близки по определению,
в поведении их траекторий имеется существенное различие.
Так, для первого процесса характерно «непрерывное
вмешательство случая»: в принципе в любой момент времени
процесс v* (t) может перейти в другое состояние; напротив,
для процесса второго типа характерно «дискретное
вмешательство случая»: если у (t) =т, то достоверно, что на
протяжении времени т после момента t значение v(t) останется
неизменным. Случай вмешивается только в те моменты
времени, когда у (t) обращается в нуль.
(Образный термин «случайные процессы с дискретным
вмешательством случая» принадлежит А. Н. Колмогорову.
Далее мы увидим, что это понятие хорошо отражает
специфику очень широкого класса процессов, связанных с
массовым обслуживанием.)
2. Некоторые результаты из теории цепей Маркова.
Возможность решения задач теории массового
обслуживания методом вложенных цепей Маркова, вскрытая Кендал-
лом, послужила стимулом к разработке методов в теории
цепей Маркова, отражающих специфику данного прикладного
направления. В первую очередь теорию массового
обслуживания интересуют эргодические теоремы, согласно которым
можно делать выводы о существовании установившегося
режима системы, не зависящего от начального ее состояния.
Рассмотрим однородную цепь Маркова, состояния
которой мы будет обозначать символами v0, vv . . ., vn, ...
Так, v0 будет считаться начальным состоянием, vn —
состоянием на п-м шаге или в п-ft момент времени. Множество
состояний будем считать конечным или счетным; обозначим
это множество через N={1}.

с 3.1] МЕТОД КЕНДАЛЛА 187
Пусть рц—вероятность перехода из состояния / в
состояние у за один шаг, p\f — вероятность подобного же
перехода за п шагов. (В частности, p{j и р\}] обозначают
одно и то же.)
Нас интересует условие эргодичности цепи {v^},
которое здесь будет пониматься в следующем смысле.
При п—► оо существуют пределы вероятностей перехода,
не зависящие от начального состояния:
W"»^«/. i'JW (1)
причем
(исключается случай так называемого ухода процесса в
бесконечность, если / понимать как числовой параметр).
Прежде чем дать условие эргодичности цепи Маркова,
сформулируем два требования к цепям Маркова,
существенных для выполнения данного условия.
1) Неприводимость: из любого состояния / возможен
переход в любое другое состояние у (за какое-то число
шагов). Более точно, для произвольных состояний / и у
найдутся такие состояния /1? /2, . . . , 1п (где п может
зависеть от i и у), что вероятности перехода за один шаг
из / в /х, из 1г в /2, . . . , из in_1 в /л, наконец, из in в у
положительны.
2) Непериодичность: наибольший общий делитель целых
положительных /z, для которых рц > 0, равен 1 (для всех
i и Л-
Цепь Маркова со свойствами 1) и 2) называется
неприводимой непериодической цепью.
Условия эргодичности неприводимых непериодических
цепей выводились многими авторами в нескольких различных
вариантах. Желающим подробно ознакомиться с этим
вопросом рекомендуем книгу В. Феллера [3] (гл. 15), Сарым-
сакова [1],,а также статью Фостера [1]. Мы не будем здесь
излагать общие эргодические теоремы, которые могли бы
показаться трудными читателю-инженеру. Вместо этого мы
сформулируем теорему, полезную для теории массового
обслуживания. С точки зрения общей теории цепей Маркова
эта теорема представляется весьма частной; однако она

188 НЕКОТОРЫЕ КЛАССЫ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ [ГЛ. 3
охватывает многие приложения к теории массового
обслуживания; к тому же условия данной теоремы имеют простой
вероятностный смысл и легко проверяются.
Пусть каждое состояние цепи i£N может быть
представлено в виде вектора
где ix принимает значения 0, 1, 2, 3, . . ., а ^ —
дополнительный параметр, множество возможных значений которого при
любом фиксированном ix является конечным.
(В частности, дополнительный параметр может
отсутствовать.)
Сформулируем условие: существует такая случайная
величина Y] с отрицательным математическим ожиданием, что
если ix ^ Му то
P{vri)-v<n)<y|v<"> = /1( У<л) = /2}>Я{л<Л (2)
(здесь через v, , г — 1, 2, обозначены компоненты вектора vn).
Теорема. Если цепь Маркова {vn} неприводимая,
непериодическая и удовлетворяет условию (2), тогда эта цепь
будет эрг одинее кой.
Доказательство мы приводить не будем; заметим только,
что основная идея доказательства—использование
результата Линдли [1]. Цепь Маркова {v„} при состояниях с
достаточно большими значениями координат ix как бы
мажорируется более простой цепью, рассмотренной в цитированной
работе Линдли.
В практических задачах важно знать не только эргоди-
ческое распределение, но также и то, насколько быстро
допредельное распределение сходится к предельному, На
инженерном языке эта проблема называется временем
вхождения в стационарный режим.
Наибольший интерес представляет тот случай, когда
можно получать экспоненциальные оценки вида
|^;)-яу|<ЛГ,7Я?/, (3)
где постоянные Х^ меньше 1.
Если выполнено условие (2), то говорят (термин Кен-
далла), что имеет место геометрическая эргодичность.
Выяснению условий геометрической эргодичности посвящена
работа Кендалла [2].

§ 3.1] МЕТОД КЕНДАЛЛА 189
Новозеландский математик Д. Вир-Джоунз [1] доказал
теорему о возможности замены оценки (2), где постоянные X(j
могут, вообще говоря, зависеть от / и у, равномерной
оценкой
{рУ-пЛКМцЬ». (4)
Если для данного состояния / справедлива оценка
\р%)-п,\<Мп\?1,
то это состояние называется геометрически эргодическим.
Результат Вир-Джоунза формулируется следующим образом:
Теорема. Если все состояния неприводимой
непериодической цепи Маркова являются геометрически эргодиче-
скими, то справедлива оценка (4) при некотором X < 1.
В статье Вир-Джоунза [2] автор применяет свой
результат к исследованию времени вхождения систем
массового обслуживания в стационарный режим.
Полезно также привести соответствующую теорему для
случая, когда число возможных состояний цепи Маркова
конечно. В этой ситуации геометрическую эргодичность
состояний не нужно специально доказывать.
Теорема. Если цепь Маркова неприводимая,
непериодическая и если множество N ее состояний конечно,
справедлива оценка (4) при некотором К < 1.
Доказательство см. в книге Феллера [3], гл. 16.
3. Основные соотношения для полумарковских и
линейчатых процессов. Зададимся целью найти вероятность
того, что полумарковский процесс v (t), определенный
в п. 3.1.1, в момент t принимает фиксированное значение.
Введем специальное обозначение:
Л(/, t)=P{v(t) = i}, t>0y i£N.
Вспомним, что в определение полумарковского процесса
входят две группы характеристик: это, с одной стороны,
переходные характеристики Ft (x) и р^., которыми
определяется все течение процесса, и, с другой стороны,
начальное распределение случайного вектора (£0, v0).
Назовем моменты времени {tn}, о которых шла речь выше,
моментами восстановления (полумарковского или
линейчатого процесса).

190 НЕКОТОРЫЕ КЛАССЫ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ [ГЛ. 3
Введем функцию Bj(iy t), имеющую следующий смысл.
Bj (i, t) — это вероятность того, что v(f) = /, при условии,
что восстановление произошло в момент t = 0 n после этого
восстановления процесс v (t) принял значение у. Ясно, что
если с вероятностью 1 случайный вектор (£0, v0) принимает
значение (0, у), то
A(i,t)=k^P/kBk(i,t);
если же (g0, v0) = (т, у), то
(1, если t < т, / = у;
0, если t <т, 1ф]\ (cv
^//,^(U-t), если *> т. (5)
Таким образом, зная распределение случайного вектора
(£0, v0), легко выразить интересующую нас функцию A(i,t)
через {Bj(i> t)}. Именно,
A(ttt)=P{l0>t,v0 = l} +
t
+ Е S PyASB*^'-T)d^{Eo<^V0=y}. (6)
f€A/ йбЛ/ о
Первый член формулы (5) соответствует тому случаю,
когда за время t не произошло ни одного восстановления
процесса. Понятно, что тогда в момент t процесс v {t)
будет иметь то же значение, что и в момент 0. Второй член
(сумму) можно объяснить следующим образом. С
вероятностью dzP{l0 < т, v0=y} в интервале времени (т, x + dr),
где т < t, произойдет восстановление и при этом будет v0=y.
Но тогда с вероятностью Pjk процесс примет значение k.
После восстановления, когда процесс принял значение ky
искомая вероятность будет определяться функцией Bk. Так
как уже прошло т единиц времени, в качестве второго
аргумента следует взять t — т.
ь Как найти функции Bk (/, t)l
Выберем распределение случайного вектора (£0, v0)
следующим образом:
• г , 1 \ °' если Jq¥=J>
^v.=y..6e<*} = (FyWf если л=/

ft 3.1] МЕТОД КЕНДАЛЛА 191
Тогда функция A(i, t) будет в точности равна Bj(i, t).
Приняв это во внимание, из формулы (5) немедленно находим:
BJ(l,t) = [\-Fj(t)]6i/+2Ap/klBk(i,t-%)dFJ(T). (7)
keN о
Полученное соотношение является уравнением Вольтерра.
Как известно, при абсолютно непрерывных Fj(x) подобная
система уравнений обладает единственным измеримым решением,
которое является непрерывным. Таким образом, при конечных t
функции Bk(i, t) можно находить, непосредственно решая
систему уравнений (5), например, методом численного
интегрирования. Если ядра данных интегральных уравнений,
т. е. функции F/(t), имеют вид смеси экспоненциальных
функций, то решение системы уравнений (6) представимо в
замкнутом виде: в этом случае путем конечного числа
дифференцирований можно свести систему уравнений Вольтерра
(6) к системе обыкновенных дифференциальных уравнений с
постоянными коэффициентами.
Систему (6) решают методом преобразования Лапласа.
Обозначим:
сю
J e~%{i, t) dt = b, (i, s), Re s > 0, (8)
0
00
\e-stdFJ(t) = hJ(s), Res>0. (9)
0
В преобразованиях Лапласа, поскольку свертке функций
соответствует произведение их изображений, соотношения (6)
запишутся в следующем виде:
bJ{i,s) = ^[\-hj{s)]biJ + YdPjkbk^^)hj{s). (10)
keN
При фиксированном 5 соотношения (9) представляют
собой систему линейных алгебраических уравнений.
Предположим, что s — положительная величина; устремим
ее к бесконечности. Тогда при всех у, очевидно, hj(s)
будет стремиться к нулю. Вследствие этого определитель
системы (10) будет стремиться к 1. Поскольку этот
определитель, как легко видеть, при Res > 0 является аналитической

192 НЕКОТОРЫЕ КЛАССЫ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ [ГЛ. 3
функцией, он может обращаться в нуль лишь в отдельных
точках (иначе он равнялся бы нулю тождественно, что, как
мы убедились, не может иметь места). Это говорит о том,
что система (9) обладает единственным решением, которое
можно найти по правилу Крамера.
Внимательный читатель мог заметить некоторый пробел
в нашем рассуждении. В самом деле, все изложенное
справедливо лишь в том случае, когда за конечное время с
вероятностью 1 происходит конечное число восстановлений.
В противном случае нельзя говорить о значении процесса v (t)
в момент t, так как он может быть неопределенным. Однако
можно ввести некоторый элемент Ф, не входящий в
множество yV={v}, и считать v(t)=z(D в случае, когда в
интервале времени (0, t) произошло бесконечное число
восстановлений. Уравнения (9) сохраняют смысл и в этом вырожденном
случае, однако может быть
^£,(U) = 1-P{v(/) = <I>}<1.
Чтобы исключить возможность подобной ситуации,
достаточно потребовать, чтобы нашлось такое положительное е,
что при любом j справедливо неравенство
fy(8)< 1—8.
В практических задачах это неравенство всегда выполняется.
Предлагаем читателю вспомнить по этому поводу теорему
Феллера, приведенную в главе о входящих потоках.
Небесполезно привести другой подход, также
приводящий к уравнениям (9).
Рассмотрим линейчатый случайный процесс
l(t) = {v(t), y(t)},
определенный в п. 3.1.1. Определим функции
A(i,t,x) = P{v(t) = i, y{t)<x].
Последние дают больше информации о процессе v(t),
чем A(i, t). В самом деле, справедливо соотношение
A(iJ) = A(i,t, oo). (11)
Таким образом, по Л(/, t, х) можно судить не только
о распределении v(t), но также о распределении остатка

§3.1] МЕТОД КЕНДАЛЛА 193
цикла, длящегося в момент t. Это бывает важно во многих
прикладных вопросах. Например, в теории надежности важно
знать не только о состоянии элемента в момент /, но также
о том, сколько времени данный элемент еще проработает.
Как и в случае вывода уравнений для A(i, t), мы
можем легко найти зависимость функции А (/, t, x) от
распределения случайного вектора (|0, v0), коль скоро известны
функции
Sy(M,*) = P{v(/) = /, Y(')<*l5o = 0, v( + 0)=y}.
Совершенно аналогично формуле (5) соотношение
i4(U>*) = P{*<60<' + *, v0 = *} +
t
+ £ Y*pABk(i,t-r,x)dxP{t0<x, v0=j}. (12)
j'G.Nk€N 0
Возьмем теперь в качестве распределения случайного
вектора (£0> v0)
Df . г . г / 0, j0¥=j,
p^=J»b<*) = \Fj{x),j9=J.
При этом условии уравнение (11) примет следующий вид:
В, (i,t,x) = [Fj (t + x)- Fj (t)} 6,7 +
t
+ S Цр/А(М-тд)^(т). (13)
Определим двойное преобразование Лапласа — Стилтьеса
00 00
bj(i, s, u)=l \e-si-axdxBj{i, t, x)dt. (14)
О О
Если применить это преобразование к (12), получим
следующую систему уравнений:
bj(i, s, ц)=М*)^М">6/7+£ pJkbk(t, s, tt)hj(s). (15)
Легко видеть, что при подстановке в эту систему значения
и = 0 получается та же система, что и (9). Это вполне
7 Б. В. Гнеденко, И. Н. Коваленко

194 НЕКОТОРЫЕ КЛАССЫ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ [ГЛ. 3
естественно, поскольку
00 СО
bj(t9 s, 0) = \e-stdt\dxBj(i, t, x) = bf{l, s). (16)
о о
Кстати, это замечание является доказательством
невырожденности системы уравнений (14): ее можно решить по
правилу Крамера.
Уравнения (12) являются обратными уравнениями
марковского процесса, или, по терминологии Феллера [3],
уравнениями, обращенными в прошлое. Займемся теперь
составлением прямых уравнений.
Обозначим через dA (/, t) вероятность того, что в
интервале (tyt-\-dt) произойдет восстановление, после чего
процесс перейдет в состояние /.
Легко видеть, что моменты, когда происходят подобные
переходы, образуют процесс восстановления. Если
обозначить через Ht (t) функцию восстановления данного процесса,
то мы будем иметь:
t
H{{t)=\dA(i,%). (17)
О
В силу свойств функции восстановления, установленных
в § 3.1, из (17) следует, что с d~A{i, t) можно
оперировать, как с подынтегральным выражением интеграла Стилтьеса;
например, законно применение преобразования Лапласа —
Стилтьеса.
Событие {у (t) <dt,v{t-\-dt) = i}y вероятность которого,
согласно определению, составляет dA (/,/), может произойти
двумя несовместными способами:
1) до момента t восстановлений вообще не было; £0
лежит в пределах от t до t-\-dt\ в момент £0 произошел
переход из состояния v0 в состояние /, время пребывания
в котором больше t-\-dt — £0;
2) в некоторый момент т < t произошло восстановление
с переходом процесса в состояние у; время пребывания
в последнем лежит в пределах от t — т до t — x-\-dt\
следующий переход — в состояние /.
Принятое нами условие, согласно которому Fj{ + 0) = О,
делает излишним рассмотрение остальных случаев: они бу-

§ 3.1] МЕТОД КЕНДАЛЛА 195
дут иметь вероятность, бесконечно малую по сравнению
с dA (/, /).
Формула полной вероятности приводит нас к равенствам:
dA(i9 t) = P{t0^l0<t + dt, v0 = /} +
t
+ J^P/i$dAU, t)dFj(t-%). (18)
/ о
Применим к системе (17) преобразование Лапласа —
Стилтьеса
со
u(i,s)=le-stdA(i,t)- №)
о
Имеем:
3 (/, s) = М{е-** 6,Ve} + %Pjt а (у, s) hj (s). (20)
j
Подобно предыдущему система (20) не вырождена; ее
можно решить по правилу Крамера.
Зная функции Э (/, s), нетрудно найти распределение
процесса v (t) и линейчатого процесса {(t) или %* (t).
Покажем, как 3fo сделать.
Очевидно,
A(i,t,x) = P{t^l0<t + x] v0 = /} +
t
+ ^[Fi(t + x-r)-Fi(t-x)]dA(i,x), (21)
0
откуда
CD 00
a (i, s, it) == I e~stdt J e-uxdA(i, t, x) =
0 0
=^zrs M Ue_sSo - e""4 6'v.}+nh I*' (S)-A' (u)ls ('>s) -(22)
Аналогично, если A* (i, t, x) = P {v (t) — I, Y* (t) < x}, то
+ J [1-/^-т)]^Л(/,т); , (23)
t-x
7*

196 НЕКОТОРЫЕ КЛАССЫ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ [ГЛ. 3
последнее уравнение также исследуется при помощи
двойного преобразования Лапласа—Стилтьеса
00 СО
а* (j, s, и) = J J est-ux d^A* (/) ^ х) dL
о о
Прямые уравнения более удобны для исследования
предельного поведения процесса v(t) или линейчатого процесса
£(*)(£•(/)) при t-+oo.
Замечание. Из выведенных уравнений немедленно
следуют уравнения для B-(i, t, x). В этом случае £0 = 0;
в уравнении (21) следует положить первое слагаемое
правой части равным —— [hj (s) — hj (и)] 6^. В уравнении (19)
первое слагаемое примет вид hj{s)b(j. Выпишем для
полноты соответствующие уравнения:
~bj (/, s) = hj (s) б,7 + 2JpwI, (ft, s) hk (s), (24)
k
bj (i, s, u) = J-a {[hj (s) - hj (u)] 6,y. + [A, (s) - ht (u)] bj (i, s).
(25)
Здесь символами Ь* (. . .), bj{.. .) мы обозначили
функции а (...)» #(...) при условии £0 = 0, v( + 0)=/.
4. Интегро-дифференциальное уравнение и его
интерпретация в обобщенных функциях. Рассмотрим два
соседних момента времени: t и t—h. B-(i, t, x) есть вероятность
события {v(^) = /, y(t)<x}. Какие события, относящиеся
к моменту / — /г, благоприятствуют появлению данного
события?
Возможны два случая:
1) за время от t — h до t не было восстановления. Тогда
в момент t — h процесс v(/) должен был иметь то же
значение, что и в момент t. Что касается компоненты у (/), то
последняя в интервалах между восстановлениями убывает
с единичной скоростью. Следовательно, для того чтобы было
У (t) < *, необходимо и достаточно выполнение неравенства
h <y(t — h) <x + h
(ограничение h<y(t — h) существенно по той причине, что
если у (t — h) < /г, в интервале (t — h,t) непременно
произойдет восстановление);

§ 3.1] МЕТОД КЕНДАЛЛА 197
2) за время от t — h до h произошло хотя бы одно
восстановление. В этой ситуации значение v(t — h) может
в принципе быть любым элементом к множества TV; для того
чтобы после восстановления процесс принял значение /,
должно произойти случайное событие, вероятность которого
составляет pki. Если восстановление фактически произошло
в момент времени ^ + т, то при этом условии неравенство
Y (t) < х эквивалентно неравенству у (t + T + 0) <x-\-h — т,
вероятность которого составляет F((x-\-h— т).
Строго говоря, мы не учли еще возможности двух, трех
или большего числа восстановлений в интервале (t — /г, t).
Заметим, что вероятность подобного события составляет
0[Fk{h) Bk(i, t, к)] (нужно, чтобы, во-первых, за время от
t — /г до t произошло восстановление и, во-вторых, за это
же время успел закончиться только что начавшийся цикл).
Формула полной вероятности приводит нас к равенству
Яу(/, /, x) = Bj(i, t-h, x + h)-Bj(i, t-h, h) +
EpJsV
keN Ко
\
+ 0[Fi(h)BJ(i,t,h)]\. (26)
Его можно переписать следующим образом:
1[Ву(/, t,x)-Bj(l,t-h,x+h)] = — ±Bj(i,t-h,h) +
h
+ ll<Pki\\Fi^ + h-T)dBj{k,t-h,T) +
keN о
+ ±0[Fi(h)BJ(i,t,h)]. (27)
Предположим, что функции F{(x) непрерывны и что
существуют правосторонние производные функции B-(i,t,x)
по х при лг=:0, причем в соотношении
д B.(i,t, 0) ВЛ1, t,h)
—J— = lim -^—г
дх h_^Q h
стремление к пределу равномерно по t в конечном
интервале. Далее, от функций Bj (/, t,x) потребуем
существования и непрерывности их частных производных первого
порядка по переменным tux,

198
НЕКОТОРЫЕ КЛАССЫ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
[ГЛ. 3
Тогда равенство (26) при h—> 0 перейдет в интегро-диф-
ференциальное уравнение
dBj(i, t, х) dBj(i, t, х) dBj(i, tt 0)
Ft = дх дх . +
, ^ dB,(k, tt 0)
+ 1й/Л f/(4 (28)
Начальным условием для этого уравнения будет
BJ(i,0,x) = FJ(x)6iJ.
Применение двойного преобразования Лапласа — Стилть-
еса к системе (27) с условиями (28) снова приводит к
системе уравнений, эквивалентной (23) —(24); предлагаем
читателю убедиться в этом, произведя интегрирование
соотношения (27) в бесконечных пределах с весом e~si~tlx.
Сделаем следующие замечания.
Уравнения (23)—(24) были нами установлены в самом
общем случае; никаких предположений относительно
аналитических свойств функций Fj(x) и Bj(it ty x) мы не
принимали. Теперь же мы пришли к уравнениям (23) — (24), исходя
из интегро-дифференциальных уравнений, которые
справедливы не всегда, а только в определенных аналитических
условиях. Это несоответствие устраняется при помощи
обобщенных функций (см. И. М. Гельфанд и Г. Е. Шилов [1]).
Можно считать, что уравнения (27) справедливы всегда,
но не в обычном, а в обобщенном смысле. С другой
стороны, если подобного рода уравнение, полученное при
определенных аналитических условиях относительно входящих
в него функций (непрерывность, существование
производных), приводит к уравнениям для преобразований Лапласа,
то эти последние сохраняют смысл и в более общем случае,
когда исходные аналитические предпосылки не выполняются.
Отсюда можно получить удобный метод составления инте
гро-дифференциальных уравнений, оперировать с которым
в некотором отношении проще, чем с интегральными
уравнениями. При выводе интегро-дифференциальных уравнений
можно пользоваться аналитическими предпосылками о
функциях, не заботясь о их обосновании; но следует помнить,
что решение будет иметь лишь обобщенный смысл.

§ 3.1]
МЕТОД КЕНДАЛЛА
199
Ю. К. Беляев нашел условия, при которых
рассматриваемые производные *) не обобщенные, а обыкновенные.
Условия Беляева вполне естественны с физической точки
зрения: достаточно потребовать определенной гладкости
начального распределения и распределения времени между
восстановлениями.
5. Учет спонтанных изменений состояний процесса v (t).
Выше был изучен линейчатый процесс, как функционал от
полумарковского процесса, переходящего в моменты
окончания циклов из состояния к состоянию в соответствии
с матрицей вероятностей перехода ||р/.-||; длительность цикла
в состоянии / распределена по закону Ft (х). Представим
себе теперь более общую ситуацию: в дополнение к
описанной возможности изменения процесса v (t), если v(t) = i,
то за время dt может произойти переход в состояние j
с вероятностью hydt (£\у <С оо). При этом оставшаяся
1
длительность цикла в связи со спонтанным изменением
состояния остается той же.
Пусть нас интересует вычисление вероятности события
p{v(t) = l}) которую мы обозначим pi (t). Покажем, как
построить линейчатый процесс без спонтанных изменений, по
которому можно определить интересующие нас функции
Обозначим через tx < t2 < ... < tn < . . . моменты
перехода процесса v (t) из состояния в состояние. Введем
новый процесс V (t), который, подобно процессу v (t)y
принимает постоянные значения в каждом из интервалов (0, ^),
(*1> *г)> • • •> (*л» *n + i) и т- д- Если * принадлежит интервалу
(tn1 tn + 1) (считаем ?0 = 0), положим
V(t) = {v(t), v{tn+1 + 0)},
т. е. процесс v'(tf) — это совокупность значений процесса v(t)
в момент t и в момент перехода к следующему циклу.
Обозначим через Fk (х) функцию распределения
длительности цикла, начавшегося в состоянии k, для процесса v' (t),
через Pki — вероятность перехода из состояния k в
состояние / в момент окончания цикла. Пусть k = (it j). Это
означает, что указанный цикл начался в состоянии / и закон-
*) Для процесса £* (0 вместо нашего £(*).

200 НЕКОТОРЫЕ КЛАССЫ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ (ГЛ. 3
чился в состоянии у процесса v (t). Но тогда
Fk(x)—условная вероятность того, что случайная величина т] с функцией
распределения Ft (х) меньше х при условии, что за время т]
процесс v (t) в результате спонтанных изменений и перехода
в конечный момент времени перейдет в состояние у. Можно,
таким образом, записать:
X
^.л(*)=- *- , (29)
V о
где 1|);/'(.у) — вероятность перехода процесса из / в у в
результате спонтанных скачков за время у. Для этих функций
имеем уравнения
Ьг (У + Ь) = Ьг 00 [1 - * S V/-] + А 2 ЬггЪг + о W
или
Ьг 00 + Ч»/у 2 V/-=2 V/'%r (30)
с начальными условиями
Ъг(0) = 6ц>; (31)
(30) —(31) полностью определяют {г|),/ (у)}> откуда по
формуле (29) немедленно находим F{it f-)(x).
Замечание. Поскольку в результате решения
системы (30) с условиями (31) получаем ф/уОО» как линейную
комбинацию экспонент (возможно, с полиномиальными
множителями), нахождение преобразования Лапласа —Стилтьеса
функций распределения F^ij)(x) сводится к линейным
дифференциальным операторам конечного порядка от
преобразования Лапласа — Стилтьеса F{(x).
Найдем постоянные рм. Пусть & = (/, у), 1—(м,п).
Тогда, очевидно,
Pkl = bjmPmn- (32)
Таким образом, мы полностью определили v' (t) как
полумарковский процесс. В частности, изложенными в
предыдущих пунктах методами можно найти функцию
восстановления этого процесса: Hk(t) =Нц, />(*)> как математическое

§ 3.2] КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ 201
ожидание числа скачков в интервале (0, t)y
заканчивающихся переходом процесса v' (t) в состояние (/, у). Пусть теперь
требуется найти р( (t) = P{v(/) = /}.
Имеем
t
Pi{*) = 2l*mi(t-*)[i-FmV-*)]dH{m,n)(z). (33)
m, n 0
Столь же просто находим и
t
P{v{t) = i, Z(t)<x}=2^mi(t-x)[Fm(t-z + x)-
т,п о
-F(t-z)]dH^n)(z). (34)
Не представляет труда найти также уравнения для
интегральных преобразований выписанных характеристик.
§ 3.2. Кусочно-линейные марковские процессы
1. Вступительные замечания. В настоящем параграфе
будет предложена обобщенная математическая схема
случайных процессов, при помощи которой можно описать очень
широкий класс систем массового обслуживания.
Необходимость в разработке такой схемы возникает в связи со
следующими причинами. Во-первых, благодаря непрерывному
усложнению реальных систем массового обслуживания
отдельные конкретные схемы (с ожиданием, с потерями и
т. п.) уже не в состоянии охватить постановки задач,
интересующие практика; требуется развитие аналитического
аппарата, дающего возможность учитывать большое
разнообразие действующих факторов. Во-вторых, нужно выяснить
возможности определения важных в практическом
отношении характеристик массового обслуживания в заданном
аналитическом виде (подобно тому как существует теория
интегрирования радикальных выражений, теория разрешимости
алгебраических уравнений в радикалах и т. д.); подобная
теория невозможна без четкого указания класса объектов,
с которыми она оперирует. В-третьих, обобщенная схема
нужна для алгоритмизации приближенных вычислений и
моделирования систем массового обслуживания с применением
метода Монте-Карло. Наконец, имеется большое число
задач синтеза оптимальных систем массового обслуживания,

202 НЕКОТОРЫЕ КЛАССЫ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ [ГЛ. 3
которые не могут быть оформлены в стройную теорию без
подходящей общей схемы.
Мы убеждены, что в настоящее время в связи с
внедрением большого числа различных кибернетических систем
алгоритмический подход должен стать основным в теории
массового обслуживания; достижения в решении конкретных
задач следует осмысливать с точки зрения построения
алгоритмов, которые при помощи найденного метода давали бы
решение целого класса задач.
Очерченная нами задача рассматривалась многими
авторами; в литературе существует много обобщенных
математических схем для описания процессов массового
обслуживания. Наиболее плодотворной из них является, как нам
кажется, схема Д. Кокса [1].
Предлагаемая ниже обобщенная схема является
некоторым обобщением модели Кокса. Мы нашли ряд интересных
в практическом отношении постановок, которые не
сводятся к схеме Кокса, но зато включаются в нашу схему. С
другой стороны, предложенное обобщение не сужает
возможности применения аналитического аппарата.
Предлагаемую схему *) мы назовем «кусочно-линейные процессы»;
просим рассматривать этот термин как рабочую гипотезу.
2. Кусочно-линейные процессы. Рассматриваемый ниже
процесс, соответствующий данному названию, будет
обозначаться символом £(/).
Как и линейчатый процесс, кусочно-линейный процесс
имеет дискретную компоненту и непрерывные компоненты
(теперь не обязательно одну, в отличие от линейчатых
процессов). Дискретная компонента, которую мы обозначим
v(t), принадлежит конечному или счетному множеству N.
Каждому v£N поставлено в соответствие неотрицательное
целое число | v|. При этом | v | = 0 только для одного состояния,
которое мы будем называть нулевым состоянием и
обозначать v = 0. Для всех остальных состояний дискретной
компоненты | v | > 0.
Кусочно-линейным процессом будет
называться марковский случайный процесс
t(t) = {v(t); £,(*), l2(t), ..., £,V(oi(0}. 0)
*) Данная схема была предложена в работах И. Н.
Коваленко [6], [7]; см. также [8].

§ 3.2] КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ 203
Если этот процесс исследуется в интервале времени
(t0, Г), то следует задать его начальное распределение, т. е.
^{v(g = v; ЪгУ0)<х, |2(/0)<*2> •••}•
После момента t0 изменение процесса £ (t) происходит в
соответствии со статистическим законом, который мы
сейчас опишем.
Для каждого v Ф 0 задан постоянный вектор
<*v ={aVl, . . ., avlV|}. (2)
В состоянии v(t) = v переменные h-(t), l^/^|v|,
убывают со скоростями, равными соответственно
Если \j (t) обратилась в нуль и при этом было состояние
V, то новое значение v(t) становится равным jx с
вероятностью pvl, где {pvjl} — распределение вероятностей на N=
= {v}. Обратившаяся в нуль компонента вектора (1)
вычеркивается в его записи; таким образом, непременно
I И-1 = I ^ | — 1.
Кроме изменения по закону (3) и скачков в моменты
достижения переменными нулевого значения, могут происходить
спонтанные скачки процесса £(£). За малое время h система
может с вероятностью fkVVih-\- o(h) перейти из состояния v
в состояние [X, где |[a|>|v|. (Обозначим ^V = 2XVM/.) При
и
этом к переменным £х(^), £2(0> •••> S|v| (0 справа
дописываются неотрицательные переменные гц, т)2, . . . ,T|jм-1 — I*vI»
независимые от течения процесса до рассматриваемого
момента времени и распределенные по закону
//(*!, ДГ2, ...) = Р{1\г< *i, Т|2 < *2> ' • • }■
От последнего мы потребуем выполнения следующего
свойства. При любых х, а, Р, /, j будет Р{ах\{ + $x\j=x} = 0.
Таким образом, не нужно специально задавать закон
изменения процесса в случае, когда одновременно обращаются
в нуль две или большее число непрерывных компонент.

204 НЕКОТОРЫЕ КЛАССЫ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ [ГЛ. 3
В частности, если случайные величины г^, т]2, ...
обладают многомерной плотностью, это условие будет выполнено.
Закон изменения процесса £ (t) описан полностью.
3. Пример из теории надежности. В настоящем пункте
мы хотим дать содержательную интерпретацию построенной
формальной модели. Будет рассмотрен пример
формализации процесса, связанного с функционированием системы из
элементов, подверженных случайным поломкам. Этот пример
охватывает большое число интересных для практики
частных случаев.
Будем рассматривать системы, сконструированные из
конечного числа элементов (единственно возможный случай
для реальных систем). Каждый элемент может пребывать в
конечном множестве состояний. Если элементы
пронумеровать натуральными числами: 1, 2, ..., /z, то состояния
/-го элемента (* = 1, 2, ..., п) можно обозначить:
pi -pi pi
Условимся считать, что *-й элемент в состоянии Е*0
исправен. Состояния Е10, где /=т^0, соответствуют разного рода
неисправностям данного элемента или стадиям устранения
неисправности. Если рассматривать процессы работы
системы, то состояния ее элементов будут функциями времени;
обозначим их E((t). Состояние всей системы в момент t
можно записать как случайный вектор
v(t) = {E1(t), Et(t), ..., En(t)}.
Таким образом, если известно v(/) при t~t0, то можно
определить, какие элементы в данный момент времени будут
находиться в неисправном состоянии и какие операции
осуществляются для устранения этих неисправностей. Если
известна реализация функции v (t) при tQ < t < tl9 то тем
самым определяется процесс функционирования элементов
системы в интервале времени (tQ) tj (моменты отказов
элементов, моменты восстановления, длительности ожидания —в
пределах данного интервала и т. д.).
Особое состояние системы (назовем его нулевым
состоянием V3u0) соответствует тому случаю, когда все элементы
исправны. В записи (4) это будет:
\^о> ^о» • • • > £<)/•

§ 3.2] КУСОЧНО-ЛИЛЕЙНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ 205
Предположим теперь, что каждая неисправность любого
элемента системы связана с требованием на выполнение того
или иного вида восстановительных работ или, проще,
обслуживания. При v = 0 требований нет. Все остальные
состояния из множества возможных состояний N
характеризуются наличием хотя бы одного требования. Каждому
v^O будет соответствовать положительное число \v\
операций, которые нужно выполнить для устранения всех
неисправностей, соответствующих состоянию v.
Возьмем для примера вычислительное устройство,
собранное из п стандартных блоков. При возникновении
неисправности в любом блоке требуются три вида операций:
отыскание неисправности, замена отказавшего блока
запасным, ремонт отказавшего блока. Пусть состояние v = v*
характеризуется тем, что неисправны два блока, причем
один из них в данный момент заменяется резервным, а в
другом неисправность еще не обнаружена. Тогда |v*|=5.
В самом деле, число операций, связанных с первым и
вторым блоками, равно соответственно двум и трем.
Однако простое перечисление требующихся операций еще
не полностью определяет, что может произойти после
данного момента времени. Так, если некоторая операция
длится уже значительное время, то, вероятно, она скоро
закончится*). Таким образом, необходимо характеризовать
операции некоторыми дополнительными переменными (термин
Кокса). В теории массового обслуживания чаще всего
пользуются временным показателем—фиксируют, сколько
времени прошло с начала операции обслуживания либо
сколько осталось до конца операции. С подобным подходом
читатель уже знаком (линейчатые процессы). Нам
представляется более удобной энергетическая интерпретация: каждая
операция, на которую в данный момент времени имеется
требование, характеризуется требуемой величиной работы
по выполнению этой операции после рассматриваемого
момента времени. Это позволяет охватить широкий класс
случаев, когда производительность обслуживающих устройств
может меняться во времени. В подобной ситуации термин
*) Это справедливо не при всяком распределении
длительности обслуживания. Так, если последнее имеет вид F(t) =
= ^(1+^)"1, то чем больше длится обслуживание, тем больше
вероятность, что оно будет продолжаться еще в течение времени т.

206 НЕКОТОРЫЕ КЛАССЫ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ [ГЛ. 3
«длительность обслуживания» теряет непосредственный смысл.
С другой стороны, в большинстве случаев темп
обслуживания рассматривается как постоянная величина. Тогда
«временная» и «энергетическая» интерпретации
эквивалентны; различие будет лишь в выборе единицы измерения.
Пусть v(^) —v. В состоянии v имеется требование на
осуществление | v | операций. Определим %,j{t), 1 ^/'^
^|v(tf)|, как величину работы, которую необходимо
затратить после момента t для завершения у-й из них.
Таким образом, мы определили физический смысл
процесса
C(') = {v('); EiС), 5а(0, ..-, £iv«>i(')b
Что собой представляют постоянные av/,
упоминавшиеся в формулировке обобщенной схемы? av/, l^y^|v|,
интерпретируется как скорость выполнения у-й операции в
состоянии v. Таким образом, если требование находится в
очереди, а также если прибор; которому поручено
выполнить данное требование, неисправен, соответствующее
отравно нулю.
Мы рассматриваем пример из области надежности. В
соответствии с этим необходимо схематизировать процесс
возникновения отказов, т. е. в формальном понимании
перехода элементов из одних состояний в другие, или,
поскольку состояние системы определяет и состояния
элементов, требуется задать закон перехода системы из одних
состояний в другие. Будем считать, что если в момент t0
система находится в состоянии v из множества N, то за
малое время h может возникнуть отказ, который вызовет
переход в состояние [х, с вероятностью A,VMA-|- о (h).
Естественно принять предположение, что | |х | > | v |
(каждый отказ лишь увеличивает число требований).
Допустим, что указанный переход действительно
произошел в момент tQi и пусть
t(to-0) = {v; ^tfo-0), ..., £|v</.-o)|('o-0)}.
Тогда значение процесса £ (/) в момент /0 + 0
определяется следующим образом:
*=№; £i(*o —о), - - -,Eiv к^о—°); Ли л2> •••» Л1»м-м}.

§ 3.2] кусочно-линейные марковские процессы 207
Мы видим, что в данном выражении к значениям %j(t0 — 0),
l^/^|v|, приписаны справа новые величины: г^, г]2, ...,
riuui-ivi- Эти величины характеризуют работу, которую
необходимо выполнить для устранения отказа, возникшего в
момент t0. Они подчинены закону распределения
P{r\t<xh l<*'<HHv|}=//V|i (■*"!, *2> •> x\n\-\v\ )
и при условии, что v(^0 — 0) = |л, v(/0 — 0)=v, не зависят
от событий, связанных с течением процесса £(f) до
момента t0.
Таким образом, мы определили, как возникают отказы
и с какой скоростью выполняются операции по их
устранению, а также как распределена величина работы, идущей
на подобные операции. Предположим, что в момент т
некоторая операция закончена, т. е.
£у(т-0) = 0.
Спрашивается: в какое состояние должна перейти система
в момент т? Из практики нам известны примеры, когда
после устранения отказа система переходит не в
детерминированное, а в случайное состояние. Следовательно, нужно
задать статистический закон
p</i=P{v(t + 0) = |i|v(T-0T=v; gy(t-0) = 0}.
Мы видим, таким образом, что все элементы
предложенной обобщенной схемы имеют простую интерпретацию в
прикладных задачах.
Рассмотрим еще несколько частных примеров.
Пример 1. Имеется п станков, обслуживаемых
бригадой N рабочих (N^.n). Каждый рабочий может
одновременно обслуживать один неисправный станок.
Длительность обслуживания — случайная величина с функцией
распределения Н(х). Отказавшие станки поступают в общую
очередь.
В данном случае можно понимать под v (t) число
неисправных станков в момент t. Обозначим через \{ (t) величину
работы, которую необходимо выполнить для
восстановления /-го станка из числа станков, находящихся в момент
t в неисправном состоянии (1 ^ / ^ | v (t) |). cev/ можно

208 НЕКОТОРЫЕ КЛАССЫ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ [ГЛ. 3
определить следующим образом:
__ ( 1, если / ^ N,
av' \ 0, если i>N.
Последняя запись означает, что в случае v(t)^>N
первые N станков восстанавливаются с единичным темпом,
а остальные находятся в очереди. Если принять обычное
предположение относительно закона выхода из строя
станков (вероятность того, что за малое время h выйдет из
строя любой фиксированный станок, составляет Х/г + о (/*)),
то постоянные XVM, будут иметь следующий вид:
J k(n—-v), если [x = v+l,
Х^ = \ 0 , если \i=£v+\
(после восстановления станка система переходит во вполне
определенное состояние).
Пример 2. Усложним предыдущую постановку, считая,
что из п станков т находятся в нагруженном состоянии,
а (п — т)—~ в ненагруженном («холодный резерв»). В нена-
груженном состоянии станки выходить из строя не могут.
Длительность переключения предполагается равной нулю.
Тогда по сравнению с предыдущим примером изменятся
только AVM,, а именно:
j mk, если v<!# —m,
w~\ (n — v)A, если v>/z — m.
Пример 3. Если в формулировке примера 2 учитывать
конечное время переключения станка из ненагруженного
состояния в нагруженное, то для описания процесса
функционирования системы требуется расширить множество
состояний. Определим v (t) как пару случайных величин:
v(*) = {M0, *«(')}.
где kx(t) — число станков, находящихся в неисправном
состоянии, k2(t) — число станков, находящихся в состоянии
переключения.
Пусть k1(t)=ui k2(t)=v. Тогда величину работы,
которую необходимо выполнить с момента t для восстановления
1-го станка, мы обозначим через !;(*), где 1^/^и;

§ 3.2] КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ 209
времена до окончания переключения тех станков, которые
в момент t уже переключались, — %• (t), u+\, ^.i^u + v.
Выпишем значения определяющих параметров кусочно-
линейного процесса:
/ 1, если 1 </< и, /<N,
0, если N < / ^ и,
av/ =
^V|U :
1, если и < I ^ u-\-v,
1, если w-f-t/< / ^ 2и + ^>
тХу если v = (и, v), \i = (и + 1, v),
n — u — v^m*,
(n—-u — v)X, если v = (u, v), \i = {u + 1,v),
n — u — v < m\
0 в остальных случаях.
Если обозначить функцию распределения длительности
переключения элемента из ненагруженного состояния в
нагруженное через Н1 (х) и принять предположение, что время
переключения не зависит от времени восстановления, то все
функции HV[X (• • •) будут иметь вид
Предлагаем читателю выписать формулу, определяющую
постоянные р^, и убедиться в том, что последние в данной
конкретной задаче могут принимать значения, равные либо 0,
либо 1 (переходы детерминированы).
4. Линейчатый процесс как кусочно-линейный.
Небесполезно указать способ вложения линейчатых процессов в
схему кусочно-линейных процессов. Это можно сделать в
общем случае многими способами; мы изложим один из
возможных способов.
Пусть v — возможные состояния процесса v(f),
участвующего в определении линейчатого процесса £(f). Будем
считать одно из них отмеченным; пусть это будет v = v0.
Пусть фиксирован момент t. Обозначим моменты
восстановления после t через tx < t2 < . . . < tn < . . . Пусть п
определяется тем условием, что в момент tn происходит
первый после t переход процесса v(t) в отмеченное
состояние v0. Обозначим, далее, через v,- значение процесса v(t)

210 НЕКОТОРЫЕ КЛАССЫ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ [ГЛ. 3
в момент // + 0. Тогда в каждый момент времени t можно
будет определить многомерный случайный процесс
£(') = {v(0; п\ vv v2, ..., vn_1) t1-t1 t2-t, ..., tn-t}.
Это будет кусочно-линейный процесс. Правда, у него
нет нулевого состояния; однако можно считать, что этот
процесс пребывает в нем нулевое время, именно в моменты,
предшествующие переходу v (t) в состояние v0. Таким образом,
интенсивность перехода из нулевого состояния в состояние v0
следует положить равной бесконечности.
Интересно отметить, что
| 1, если i=\,
avi = \ 0, если /> 1
(с течением времени переменная tx — t уменьшается,
переменные же t2— tl9 ..., tn — tn_1 остаются неизменными до
тех пор, пока tx — t не обратится в нуль; после этого
|v| = /z уменьшится на 1, место обратившейся в нуль
переменной t1 — t займет t2— tv ..., место tn_1 — tn_2 займет
5. Эргодическая теорема. При исследовании
функционирования сложных систем основной интерес представляет
изучение установившегося режима процесса £ (t). Поэтому
необходимо знать условия, при которых такой режим
существует. Приводимая ниже теорема позволяет в рамках
кусочно-линейных процессов делать заключение о
существовании стационарного режима. Более того, последний,
оказывается, не зависит от начального состояния процесса.
Заметим, что настоящей теоремой впервые дается общий
способ установления существования эргодических
распределений для процессов, связанных с массовым
обслуживанием *).
*) Общая теорема о существовании эргодического распределения
марковского процесса доказана Б. А. Севастьяновым [1]. Однако
Б. А. Севастьянов не ставил своей целью формализацию систем
массового обслуживания, и применение теоремы Б. А.
Севастьянова в конкретных случаях может быть сложной задачей для
инженера. Предлагаемая нами теорема имеет целью именно выделить
широкий класс процессов массового обслуживания.

§ 3.2] кусочно-линейные марковские процессы 211
Введем обозначения:
X = {xv X2, . . ., JC|V|}, (5)
f(v, U x) = F(v, t;xltx2J .. Ufxlv\)=P{v(t) = v;lj(t) <xJy
l<y<|v|}, (6)
d|v|F(v, t\ xlt x2t ..., *|V|)
/<v.'.*) = Wto.-ax,- ' <7>
т. e. /^(v, tf, jc) — многомерный закон распределения, а
/(v, tf, л:) —многомерная плотность случайного вектора %(t).
Справедлива следующая теорема.
Теорема*). Если множество состояний процесса v(t)
конечно и если для любого v=£0 справедливо неравенство
|v|
причем все ть имеют конечные математические ожидания,
то существует эргодическое распределение процесса £(t)
F(v,x) = l\mF(v,t,x); V lim F(v,x) = l. (8)
/->» v Д^, Xz, ...->-QO
Чтобы дать читателю возможность хорошо понять
существо теоремы, мы дадим два доказательства: первое очень
простое и наглядное, но справедливое лишь в
дополнительных аналитических ограничениях; затем второе — вполне
строгое; но оно читателю может показаться более трудным.
6. Доказательство при дополнительных
предположениях. Допустим в дополнение к условиям теоремы, что
функции распределения Ял,м,(а:1, лг2, .. ., -^i^i-ivi) случайных
векторов (r\lt т]2, . . ., T),n|_|V|) обладают следующим
свойством. Для любого /, 1^/^|[х| — |v|, найдутся такие
Z> О И 8 > О, ЧТО
P{4i<xi + *\v\i^xh i\x = Xv ^=х2> ...
• • • » 'Y]i-iz=xi-ly r\i + l==xi + V •••i}^6 (9)
при любых положительных х1У х2, . . .
Предположим временно, что речь идет не о величине
работы, а о длительности обслуживания. Тогда (9)
означает следующее. Сколько бы времени ни продолжалось
*) Теорема впервые изложена в работе И, Н. Коваленко [8].

212 НЕКОТОРЫЕ КЛАССЫ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ [ГЛ. 3
обслуживание данного требования (и других поступивших
вместе с ним требований), вероятность того, что данное
обслуживание закончится за фиксированное время z, не
может стремиться к нулю. Заметим, что условие (9)
выполняется не для всех распределений. Так, например, пусть
случайная величина ц может принимать лишь значения 1,
4, 9, 16, ..., /г2, ... Тогда для любого фиксированного z
всегда найдется такое N, что
Р{ц <n2 + z\r\^n2} = 0
при п ^N (достаточно взять п > -^— ] . Тем не менее
большинство распределений, которые встречаются в
практике, свойством (9) обладают.
Итак, предположим, что (9) выполняется, и докажем
утверждение эргодической теоремы.
Процесс £ (/) — регенерирующий; интервалы между
моментами восстановления обладают плотностью. Обозначим
через Н(t) функцию восстановления, т. е. математическое
ожидание числа моментов восстановления в интервале (0,t).
Логически возможны два случая:
1) limi^X),
2) lim Щ^ = 0.
Из первого условия немедленно следует, что
математическое ожидание интервала между восстановлениями
конечно; в этой ситуации теорема Смита позволяет сделать
заключение о существовании зргодического распределения
процесса £(/). Докажем, что в действительности, имеет
место первый случай.
Пусть o0(t) — математическое ожидание суммарного
времени в интервале (0,/), когда процесс v(^) принимает
значение 0:
t
где 6V(W),o — символ Кронекера.

§ 3.2] КУСОЧИО-ЛИНЕЙПЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ 213
Можно записать:
Nt-i I Nt
iwt-i ' nt
где Nt — число восстановлений в интервале (0, t), ^—
длительность /-го интервала пребывания процесса в
состоянии 0. Случайные величины {£,-} независимы в совокупности;
каждая из них распределена по показательному закону с
параметром
^•о— 2 ^°и>
т. е.
Значит, если мы сможем доказать соотношение
Нт?о(0 = б>0, (10)
то, как,следует из элементарной теоремы восстановления,
lim ^ = Я06>0,
и наша теорема будет установлена.
Имеем:
о
Но
P{v(0 = 0} = JP{v(0 = 0|C(0) = ^}P0(^), (И)
где Р0 (йд:) — начальное распределение вероятностей
процесса £(/). Возьмем такое ^, что
J Я0 (Ак) > 0.
{*i < *}
Заметим, что
P{v(t) = 0}^ J P{v(t) = 0\Z(0) = x}P0(dx)^
{xi<x}
S* inf P{v(t) = 0\Z(0) = x}$P0(dx).
{xt<x} {*<<Х\

214 НЕКОТОРЫЕ КЛАССЫ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ [ГЛ. 3
Если х{ < X, то распределение случайного вектора £ (0)
также будет удовлетворять условию (9) (по крайней мере
при г> X). Тогда, каким бы ни было распределение
случайных величин £,i(t), t^O, всегда будет выполняться
неравенство
я {£,(')<*} г* е. (12)
Последнее неравенство позволяет вывести следующее
соотношение:
||v(Ol \
Р[ 2 li(t)<nz^bn (13)
(в силу неравенства (9)). Здесь через п обозначен max|v|.
V
|v (01
Но коль скоро V£; (t)<nz, то, учитывая, что при любом
v=7^=0 minavy->0, мы можем сделать следующее заключе-
/
ние. Если за время nz/a, где a = minminav/, в систему
vjto j
не поступит ни одного требования (чему вероятность
d ^ ехр <^ —— max Av > J , то v 11 + — J = 0.
Следовательно, при t > nz/a
P{v(t) = 0}7s**nd,
откуда
aQ(t) ^end(t — nz/a).
Из этого неравенства выводим (10) при 6^=End.
Читатель, вероятно, заметил, что неравенство
1- Я(0 ^ Л
lim —— > 0
следует из неравенства (10) лишь при условии, что Х0 > 0.
Если же Х0 = 0, то мы можем считать, что после
достижения процессом значения v=0 появляются требования (с любой
положительной интенсивностью), но длительность их
обслуживания равна нулю. Тогда Х0 можно считать
положительным и все наши рассуждения останутся в силе.

§ 3.2] КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ 215
7. Полное доказательство эргодической теоремы.
Обозначим
t
sk (t) = } j 6, v (и) i, k du, 0 < k < n. (14)
0
Предположим, вопреки утверждению теоремы, что с
положительной вероятностью для некоторого k^ 1 и некоторой
последовательности [tn]—► оо
< k-г
.S «/«»)-* О,
1=0 /1->со (15)
sk{tn)-+b>0.
Пусть (ah b{)y i ^ 1, — интервалы пребывания процесса
v (t) в состояниях v с |v|^&. Таким образом,
|v(a,-0)|>ft, |v(a, + 0)|<ftf |v(*,-0)|<ft,
|v(ft, + 0)|>ft.
Если |v(0)|^&, положим ^ = 0. Будем считать для
определенности, что аг < Ьх < а2 < Ь2 < . . . < а( < bt < ...
Введем обозначения:
хп — число интервалов (<2£., £z), полностью
укладывающихся на отрезке (0, tn):
bxn<tn^bXn+i;
уп — число перерывов интервалов (а-, Ь{) интервалами,
когда | v (t) | < /г, на отрезке (0, tn).
Установим следующее предельное соотношение:
yn = o(tn) (п-+ оо). (16)
Так как интервал пребывания процесса в множестве
состояний {v; | v | < k) больше или равен интервалу J- до
поступления первого требования, а последний удовлетворяет
вероятностной оценке
Р{1>*}>^{- maxXv},
lv \^k

216 НЕКОТОРЫЕ КЛАССЫ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ [ГЛ. 3
то из соотношения уПк > etn}t для е > 0 и
подпоследовательности {tn]i} последовательности {tn} следовала бы оценка
k-i
lim 2 si (*пк)^ e/max Xv>
k -> oo / = 0 | V | ^ Л
противоречащая условию (15). Это доказывает формулу (16).
Относительно последовательности {хп} возможны два
случая: либо хп = o(tn) (n—►ос), либо для некоторой
подпоследовательности {tnjf} хПк > etnk, k^k0, где е > 0.
В первом случае мы можем прийти к следующему выводу.
За время tnsk(tn) обслужено требований не больше
1(хп~^~Уп) — ° Уп)> где / — максимальное число требований
в системе, т. е. / = max|v|. Но в силу (15)
V
'Л ('„) > 64,. п>4- (17)
Поскольку a = min minav/. > 0, а число состояний про-
vjto j
цесса v (t) конечно, то длительность обслуживания
требования, поступающего в систему в произвольном ее состоянии,
аппроксимируется снизу случайной величиной J- с конечным
математическим ожиданием. Далее, в вероятностью 1 число
mt требований, поступающих за время ty удовлетворяет
оценке
ТЕ ^^X= maxXv. (18)
Из нашего предположения о том, что xn~o(tn), в силу-
(17) и (18) вытекает, что существуют последовательность
одинаково распределенных независимых неотрицательных
случайных величин
Si» Ъ2> • • • > Ъи» • • •
и две такие последовательности {nk}—►oo, [mk]—юо, что
2 Ъпк>Ь"т» k>k0, 6">0, (19)
Пк~тк
причем
2 \ = o(mk) (*-+оо). (20)
-Применим широко известный в теории вероятностей прием
разложения случайных величин: положим
h == Ь + Ь э

§ 3.2] КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ 217
где
£„ если Б,<С,
fe'~* 0, если g.>C. l '
Тогда
tnit
пк^тк пк^тк K nkf£mk K nk^mk " t = i
(22)
Выберем С таким образом, чтобы
tl=]xdFt(x)<6"/2.
М
Тогда вследствие усиленного закона больших чисел (теоремы
Хинчина) будем иметь с вероятностью 1
£&<£«А, *>*i- (23)
1 = 1
Далее, так как ^J ^Сс вероятностью 1 и в силу оценки (20)
Е ln„<C £ К у*»*. *>*2- (24)
Сложив (23) и (24), получим, что при k^m&x(kl9 k2)
2 U<6'4.
пк^тк
в противоречии с оценкой (19).
Остается исследовать второй случай: xn>etn, n^n,
где е > 0 (очевидно, рассмотрение последовательности вместо
подпоследовательности не ограничивает общности; просто
мы изменили обозначения). Пусть z$.— число различных
требований, которые обслуживались в интервалах вида (ah bt),
где at < tn. Как и в первом случае, мы видим, что не может
быть zn = о (tn). Пусть zn ^ 6^„, п ^ nv Подсчитаем, сколько
требований из zn закончили обслуживаться при | v (t) | > к.
Обозначим это число через z". За каждый интервал времени,
когда | v (t) | < k, может быть обслужено не более / уже
имевшихся требований; следовательно, с вероятностью 1
гп > гп - 1Уп > в2'„. п > л2, (25)
где б2 > 0.

218 НЕКОТОРЫЕ КЛАССЫ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ [ГЛ. 3
Каждое из z рассматриваемых требований оказывается
в одной и той же ситуации: когда это требование
обслуживается, появляется новое требование (по закону Пуассона
с параметром, зависящим от состояния процесса v (t)) до
того, как первое будет обслужено.
Мы приходим к следующему выводу. Найдутся такие
последовательности {nk}—*оо, {mk}—»-оо и {тл^0}, что
k -> 00 k -+■ СО
для независимых случайных величин ^, где
P{h<x} = F^-^, x^Tk)k^\, (26)
СО
^[\-F(x)]dx<oo, /40) = О,
О
и независимых случайных величин £&, где
P{h<x}=\-e-lx, *^0,
будут выполняться неравенства
£.fc^5;fc> ь^\у (27)
причем
2 1^68mftl k^k3. (28)
яА г? тк
(Постоянные т; играют роль величины работы,
выполненной по обслуживанию требования до того, как процесс
пришел в состояние v с |v| = &.)
Из формулы (26) ясно, что если xk ^ с, то
p{tl<£k\>o.
Следовательно,
2 1=0 К) (А-* оо),
*пк^с> пк^тк
иначе совместное осуществление неравенств (27) было бы
невозможно.
Отсюда следует, что для любого фиксированного с > О
2 1~ 2 1 (А—* оо). (29)
Пк*?™к ХПк> с, пк^тк
Но, с другой стороны,
2 1< S *• (3°)

§ 3.2] КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ 219
Выберем с из условия
\-F(c)<63.
Тогда вследствие усиленного закона больших чисел, а также
формул (29) и (30) будем иметь:
что противоречит неравенству (28).
Теорема доказана полностью.
8. Основные соотношения для кусочно-линейных
процессов. Выше было установлено, что в довольно широких
предпосылках кусочно-линейный процесс £(f) обладает эрго-
дическим распределением. Это означает, что с течением
времени устанавливается стационарный режим для системы
массового обслуживания, функционирование которой
описывается данным процессом; при этом зависимость от
начального состояния с течением времени ослабевает. Для
практических приложений в первую очередь важно находить
эргодическое распределение. В настоящем пункте будет дана
методика определения эргодического распределения (в
предположении, что оно существует) посредством рекуррентных
соотношений.
Выше были определены функции
F(vy x)=l\mP{y(t) = v\ lj(t)<xp l<y<|v|}.
t -> oo
Можно было бы составить рекуррентные соотношения для
этих функций; однако они будут довольно громоздкими.
Вид формул упрощается, если ввести в рассмотрение
дополнительное распределение
Fc(v, x) = Fc(v; xv x2, ...) =
= lim P{v(*) = v; lf(t)>x/y l<y<|v|}.
t -> oo
Легко видеть, что F{v, x) однозначно определяется через
введенные функции. Так, можно записать:
F (v; х1У х2, . . ., AT|V|) =

220 НЕКОТОРЫЕ КЛАССЫ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ [ГЛ. 3
Возможно также представление в виде конечной суммы;
например, при |v| = 2
F(v; xv x2)^Fc(v; 0, 0)-Fe(v; xv 0)-Fc(v; 0, x2) +
+ Fc(v; xv x2).
Обозначим также
Н\\Л \X\i X2, -.., ^|jx|-|v|) =
К X 00
— J J ••• J dH^(XH X2> '•> -^IjjlI-Ivi)-
XXX2 *||i|-|v|
Теорема. Если кусочно-линейный процесс t (t) обладает
эргодическим распределением, то справедлива формула
00
Fc(v, *)=2 ^m,(v, х), (31)
m=i
где
00
F?>[y, x) = (\-p)X0^e-K'Hcov(Xl + ant, .... лгы +
+ a4Wt)dt, v^O, (32)
00
ff>(v, x)= £ ^Je-VFr-^di; ^ + «^, ...
lUl < |V| 0
• • • >^|p.l+aviu!0^|Llv («^|ji|+i+av» Ijtl +1 ^ • • • » -^ivI+^lvlO^
IHl = M + i / = i о
..., ^y-i + a,,;.^, и, Xy + a^jt, . . . , *ivi+avlvl/)]B=0<tf,
w>2, v=£0. (33)
Постоянная p = \ — F (0) определяется условием
1-P+ S^(v, 0)=1. (34)
Доказательство. Дадим вероятностную
интерпретацию функций /^m) (v, jc). Предположим, что в некоторый момент
времени процесс перешел из нулевого состояния в состояние
v ф 0. В этом случае будем говорить, что начался первый
цикл.. Переход к следующему циклу происходит в момент,

S 3.2] КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ 221
когда v (t) принимает новое значение, т. е. когда происходит
одно из двух событий: либо поступает новое требование,
либо заканчивается какая-либо операция. Если процесс
перешел в нулевое состояние, то счет циклов прекращается;
затем, при поступлении очередного требования снова
начинается первый цикл и т. д.
Обозначим через Вт событие, состоящее в том, что
в рассматриваемый момент времени (в стационарном режиме)
длится m-й цикл (т=\, 2, ...). По формуле полной
вероятности при v Ф О
Fe(v, *)=P{v(0 = v; lj[t)>xj, l<y<|v|} =
= S ^{v(0 = v; \j(t)>xJt l<;<|v|; BJ. (35)
m = i
/w-й член последнего ряда мы и обозначим через F{cm) (v, х),
откуда получим формулу (31). Если мы установим
рекуррентное соотношение, составляющее содержание теоремы,
то будет получен способ приближенного вычисления
распределения Fc(v, х). В самом деле, если обозначить
га
F<m)(v, x)=2lF(cl)(v, x), (36)
1 = 1
то при достаточно большом т будем иметь:
Hm)(v, x)-Fc(v, x)\<e, (37)
где 8 — сколь угодно малое положительное число.
Приступим к доказательству формулы (33).
Переход от (т— 1)-го к т-ыу циклу может произойти
двумя способами: когда в систему поступает новое
требование либо когда заканчивается некоторая операция.
Если v(t) = v; %>j(t)^Xj, l^/^|v| и при этом длится
m-й цикл, то (т--1)-й цикл мог закончиться в любой
момент до t. Примем гипотезу, что (т — 1)-й цикл закончился t
единиц времени назад. (Поскольку речь идет о стационарном
режиме, в обоих случаях можно писать тот же символ t.)
Так как в состоянии v в единицу времени случайные
величины £>j(t) уменьшаются на avy-(l ^/^ | v |), то для того,
чтобы было lj(t)^Xj, l^/^|v|, t единиц времени назад

222 НЕКОТОРЫЕ КЛАССЫ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ [ГЛ. 3
должны были выполняться соотношения
lj>xj + *,jt, l<y<|v|*).
Кроме того, за время t не должно было поступить ни
одного требования (иначе (т—1)-цикл закончился бы
раньше). Вероятность этого события равна е~К*.
Теперь поставим вопрос: какое состояние было у
процесса v (t) в момент, предшествующий переходу от (т— 1)-го
к m-му циклу? Обозначим это состояние через |х. Если
в этот момент поступило требование, то |ji|<|v|; если
же переход произошел вследствие окончания некоторой
операции, то |х может быть только таким, что | (л | = | v | + 1.
(Напомним, что в силу принятого нами соглашения
одновременное окончание двух операций имеет вероятность нуль.)
Разберем каждый случай в отдельности.
Если |u|<lvl> то в момент перехода от (т—1)-го
цикла к т -му появилось требование на |v| — | (л | операций;
при этом по у-й из них (l^/^|v| — |(л|) за время t было
выполнено aVj/4^, t единиц работы; следовательно, для того
чтобы в некоторый момент времени при данной гипотезе
выполнялись неравенства
lj(t)>xp l<y<|v|,
нужно, чтобы t времени назад было
lj(0)>Xj + 4jt, 1<У<||1|,
и, кроме того,
Л/ > хи\*\ + av,/+i^> 1 < *' < | v | — | |г |.
Итак, условная вероятность события {£;(0^-*7>
l^y^|v|}, сочетаемого с переходом из состояния (л в
состояние v при условии, что такой переход произошел за
t единиц времени до рассматриваемого момента, равна
e-VFr^Ui + cW, ..., ^,,i + avl,,0^v(^,+1 +
+ av, IjjlI + I^i ' • • » ^Ivl+ttvlvl*)-
*) При рассмотрении события {%j(t)<xjt 1 ^ / ^ [ v |} мы
имели бы более сложную систему неравенств:
av/ < lj < xj+ av/, К / < | v |.

§ 3.2] КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ 223
Учитывая теперь, что вероятность перехода из jli в v за
время dt есть X^dt, находим полное объяснение слагаемому
2 ... в правой части формулы (33).
|ц|< |v|
Разберем теперь случай, когда переход от [т— 1)-го
цикла к т-щ произошел вследствие окончания некоторой
операции. До перехода состоянием процесса могло быть
любое (1, удовлетворяющее соотношению | \х | = | v | + 1.
Значит, в момент перехода одна из координат ^(t), £2 (/), ...
• • • > Iijjli (0 исчезает. Пусть это будет у-я координата. Для
того чтобы такое событие произошло в интервале от t до
t-\-dt единиц времени до рассматриваемого события, нужно,
чтобы \:{i) в начале этого интервала лежало в пределах
от 0 до a^jdt. Поскольку все сказанное при разборе
первого случая об изменении £,•(£), i=jf=j, за время t и
непоявления новых требований остается в силе и здесь, мы
находим, что вероятность перехода от (т— 1)-го к т-му
циклу в интервале времени (i, t-\-dt) до рассматриваемого
момента времени, с фиксированными (л, у, v, в сочетании
с событиями %>i(t)^xi9 l^/^|v|, составляет:
e-Vf/^-1^; х±+а^у ..., Xj^ + a^j^i, О,
•*7 + <V> •■•) — Ff'^iP* *i + avi', ..., */-i+av,y-i*,
avdt.xj + aj,.. •)]= -^e-V^Ff-^ (|i; ^ + a^f...
... , *y-i + a,f/-i', "> */ + av/. ••• >*ы+а*ы')] <«*).
(38)
Учитывая, что если в состоянии fi закончилась у-я
операция, то при этом вероятность перехода в состояние v есть
Pm'vi и» проинтегрировав полученную формулу в пределах
от 0 до оо по всем переменным х.} затем просуммировав
*) Абсолютная непрерывность рассматриваемых функций
устанавливается индукцией по т. При т = \ с использованием
неравенства
-#cov(*b ...,*у_ь *у+й, */+ь ...)<^/(*/+Л)-/7ч W
подстановка в формулу (32) приводит к оценке
F<x) (v; ... . *у, ...J-F^tv; ..., ху+Л. ...) = 0(/i).

224 НЕКОТОРЫЕ КЛАССЫ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ [ГЛ. 3
по всем допустимым \i и у, получим окончательное
выражение в виде последнего слагаемого правой части формулы (33).
Докажем формулу (32).
Процесс £(f) периодически переходит из состояния v = 0
в множество состояний {v Ф 0} и обратно. Пусть А и В
обозначают соответственно математическое ожидание времени
пребывания процесса в состоянии v = 0 и множестве
состояний {v=^=0}. Тогда из общих зргодических соображений
очевидно, что в стационарном случае
p==p{v(0 = 0} = -
' А + В'
Значит, вероятность процессу попасть в состояние v и при
этом войти в первый цикл за время dt составляет (1 — р) A0v dt.
Чтобы за время t после этого не было ни одного перехода
из состояния v в какое-либо другое состояние и при этом
оказалось, что £у(/)^л;у., l^/^|v|, нужно, чтобы в
момент перехода из 0 в v было
lj(t)>xj + a,jtt l<y<|v|,
и чтобы (с вероятностью e-V) за время t не поступило ни
одного требования. Формулу (32) получим путем
интегрирования по t в пределах от 0 до оо,
Формула (34) очевидна ввиду того, что
Km P{v(t)=v}=Fe (v; 0, ..., 0) (v=^0),
t -> oo
после чего остается применить формулу полной вероятности.
Так как после вычислений по формулам (32) и (33)
каждая из функций Fcm) (v, х) будет содержать
неопределенный множитель (1—р), формула (34) позволяет найти этот
множитель.
В большинстве практических задач можно считать, что
распределения // (...) обладают многомерными
плотностями AvfJL (...)> причем для любых х1У дг2, ..., X\ll[^.\v\
выполняется неравенство
h^(xlt *» .... *Ul-lvl><£<00t (39)
Wvn(*i. Ч> •••. -^1 м- l-l v t)

§ 3.2] КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ 225
В этой ситуации легко устанавливается существование и
ограниченность многомерной плотности
/(v; xv х2, ..., a;,v,) = ^ ^ ^ ^ ^(v; л^, х21 . ,.,a;,v,) =
= ^-1>',''ax1ax1...ax,/^v; ^' *«• •••• *•»'>•
Доказательство буквально такое же, как приведенное в
п. 6 доказательство эргодической теоремы при
дополнительном аналитическом условии*).
При условии (39) функции F{m) (v, лг), F{cm) (v, *), fm (v, x),
Fcm)(v, x) будут абсолютно непрерывными. Пусть F с
некоторыми индексами — любая из выписанных функций. Ее
смешанную производную по всем переменным обозначим
символом / с теми же индексами. Для функций / можно
выписать соотношения, аналогичные формулам (32) — (34). Так,
/(v, *)=2 /(W)(v, х). (40)
где
/a>(vf х) = (\-р)Х0^е-К%,(х1 + а^, ...
о
..., *h,i+avlv,0d', v^O; (41)
/w (v, x)= S V ? «-V/<-» (ц; *x + avl*, .. .
I Hl<Iv | "J
+ 2 ' ^ /#4/ I e-KtJ^-» ( . * + a <f. . .
•••»-*7-i + av,/-i'» 0, Xj + av-t, ..., *lvl + avlvl*)d*,
v=^0, m>2; (42)
QD CO CO
l—p+ 2 [[ ■■■[f(v;xvx2, ...,xWi)x
v±o J ^ •*
Xdxxdx2 ... d*|v, = 1. (43)
'*Lo о
*) На самом деле существование плотности имеет место и в
более общем случае; однако мы этот вопрос здесь не
рассматриваем.
8 Б. В. Гнеденко, И. Н. Коваленко

226 НЕКОТОРЫЕ КЛАССЫ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ [ГЛ. 3
Используя аналогичные рассуждения, легко вывести
рекуррентные формулы также для нестационарных
вероятностей P{v(t) = v; %j{t)^Xj, l<y<|v|} и их плотностей.
Поскольку принцип вывода подобных соотношений
достаточно ясен из приведенных выкладок, мы на этом
останавливаться не будем.
9. Случаи, когда стационарные вероятности
выражаются в замкнутом виде. В главах 4 и 5 будет исследован
широкий класс случаев, когда стационарные характеристики
систем массового обслуживания, описываемых с помощью
кусочно-линейных марковских процессов, выражаются в
заданных классах аналитических формул. Здесь же мы
укажем на один, так же важный в практическом отношении,
случай подобного рода безотносительно к системам
массового обслуживания.
Именно, предположим, что множество состояний {v=£0}
процесса v(t) конечно и частично упорядочено в следующем
смысле. Если процесс в некоторый момент времени
пребывает в фиксированном состоянии V, то после выхода из него
он не может возвратиться в то же состояние до тех пор,
пока не произойдет попадания в нулевое состояние.
В данных условиях число циклов с вероятностью 1 не
превосходит числа состояний v=^0. Таким образом,
м _
^(v, *)= 2 /tV,*). (44)
m=i
Последовательно проведя вычисления по рекуррентной
формуле (33) с условиями (32) и (34), мы убеждаемся в том, что
^•(v> х)> а следовательно и F (v, x), представляется в виде
/4v,*) = (l-p) 2 *ovxX
v"v' vm
00 00 00
X \ \ . . . \ ^V!V2 ... V„ V^ll» *^12» • • • > "^21» "^22» • • • ) X
0 0 О
X dH0Vl (xlv х12, .. .) driVlV% (x21f х22, • • •)
. .. ^^vA1_i vM (хм-1*> D XM-U 2' •••)• (45)
В формуле (45) функции ^'х) (...) являются ку-
1 2 '" М
сочно-непрерывными. Пространство векторов {Хц}
разбивается гиперплоскостями на многогранники, в каждом из
которых данная функция имеет вид линейной комбинации

§ 3.2] КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ 227
выражений вида ^
(иногда с полиномиальным множителем). Коэффициенты
уравнений разделяющих гиперплоскостей рациональным образом
зависят от х.
Сформулированное утверждение легко доказывается по
индукции. Формулой (45) можно воспользоваться при
вычислении характеристик систем массового обслуживания с
помощью метода Монте-Карло.
Заметим, что рассмотренным случаем охватываются многие
задачи теории резервирования. Если резерв не
восстанавливается до полного его исчерпания, то мы будем иметь схему
с ограниченным числом циклов, так что в этом случае
справедлива формула (45).
10. Построение вложенной цепи Маркова по кусочно-
линейному марковскому процессу. В настоящем пункте
будет доказана теорема, в какой-то степени раскрывающая
внутреннюю сложность задач массового обслуживания. Стало
традицией считать, что сложные многолинейные системы
массового обслуживания можно исследовать только при помощи
марковского процесса или вложенной цепи Маркова, вообще
говоря, с непрерывным множеством состояний. Мы докажем,
что для произвольного кусочно-линейного марковского
процесса возможно построение «сопровождающей» вложенной
цепи Маркова со счетным множеством состояний. Таким
образом, оказывается возможным исследовать очень
широкие классы задач методами теории цепей Маркова. При
этом отпадают трудности, связанные с обоснованием интег-
ро-дифференциальных уравнений, доказательством
аналитических свойств их решений и т. д. Конечно, предлагаемый
подход не может быть рекомендован как универсальный
вычислительный алгоритм, но во многих случаях он,
безусловно, способствует более глубокому пониманию задач
массового обслуживания.
Теорема. Пусть ^(t) —кусочно-линейный марковский
процесс с распределением P0(dx) начального значения £(0).
Тогда существует счетное множество I, цепь Маркова {уп}, п^О,
со значениями из I, вероятностями перехода /fy(/, /€/),
распределением начального состояния у0, и функция vh i £ /,
со значениями из множества состояний процесса v\t), со
следующими свойствами.,
8*

228 НЕКОТОРЫЕ КЛАССЫ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ [ГЛ. 3
1. Если tv t2l ..., tn, ...—последовательные моменты
перехода процесса v (t) из состояния в состояние, ^0 = 0, то
для любого п и любых v0, vlf v2, ..., vn справедливо
равенство
^tt(0) = v0> C(/1 + 0) = v1> ..., t{tH + 0) = vn} =
= P{vyo = vQy ..., vVn = va}. (47)
2. Если £ (0) фиксировано, то при любых i и j из I
найдутся такие т, т\ что р^ представляется в виде т-крат-
ного интеграла
СО 00 СО
0 0 0
k
X JJ dHVi.qm.q(xr.jqi xr.jq+li ..., Хцд+1 — 1), (48)
где
Функция ty{j (xv х2, . .., лс^) ижеет вид экспоненты,
умноженной на полином, в каждом многограннике, образованном в
результате разбиения пространства переменных (xv х2, ..., хт)
т! гиперплоскостями.
Доказательство. Первая часть теоремы
доказывается очень просто. В качестве / возьмем множество
конечных упорядоченных наборов
i=(Vi, va, ..., v,) (*>1) (49)
и положим для каждого такого /
и1 — vs'
Положим, далее,
{ -P{v(^+,+1 + 0) = v,+1|v(^+0) = 0f
v(^+i + 0) = vi. •••- *('*+, +°) = v,b
если i = (v1? Vj, ..., \s),
p \ /=(Vi, v„ .... v„ v,+1), vs+1=^0,
" Я{г(^+,+1 + 0) = 0|г(^+0) = 0,
v(tN+1 + 0) = v1, ..., v(^„ + 0) = vf),
| если / = (Vi, v2, ..., v,), y'=(0),
(Ов остальных случаях.

§ 3.2] КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ 229
По самому определению вероятности перехода за любое
число шагов цепи Маркова {уп} и случайной
последовательности {v(tn-{-0)} будут совпадать. В качестве
начального распределения естественно выбрать
^ty„ = (v)} = P{£(0) = v}.
Перейдем к доказательству второй части теоремы.
Расширим множество состояний /, задаваемых формулой (49),
таким образом, чтобы фиксировались не только переходы
из одних состояний в другие, но также номера
обращающихся в нуль координат \j(t) при подобных переходах.
Рассмотрим состояние процесса £(*) в момент ^„ + 0.
Если известна его компонента v(/rt-r-0), то вероятность
перехода в то или иное состояние в момент tn+1 зависит
только от следующего: какая из координат £/U„ + 0)
минимальна; если min £,-(/„+ 0) = £у (*„ + 0)> то успеет ли за
i
время £y(f„ + 0)/av(*/z+0), J поступить некоторое
требование. Если фиксировано значение уп1 то мы можем вычислить
условную вероятность каждого из указанных событий и,
таким образом, перейти к распределению v(//1 + 1 + 0).
Поскольку все условия относительно фигурирующих в
рассуждении случайных величин сводятся к тому, в каком порядке
одно событие следует за другим, вероятности перехода
будут зависеть от выполнения определенной системы
линейных неравенств; в эту систему будут входить как
случайные величины ть, так и показательно распределенные
случайные величины. Вероятность p.j можно, таким образом,
записать в виде конечной суммы интегралов вида
J J ' • * J ^"'VtM.i (*11» *^12' • • •) "^V2H2 V-^21» *^22> • • •)
R
• • . е-** v[n[x'r\n'2x'>... dx[dx'2
где R — многогранник в пространстве переменных {х;., х\].
Проинтегрировав данное выражение по переменным а:/, не
совпадающим ни с одной из переменных х^, придем к
формуле (48). Очевидно, после интегрирования область в
суженном пространстве также будет представлять собой
совокупность многогранников.

ГЛАВА 4
ПРИМЕНЕНИЯ ПРОЦЕССОВ ВОССТАНОВЛЕНИЯ,
ЛИНЕЙЧАТЫХ ПРОЦЕССОВ,
ВЛОЖЕННЫХ ЦЕПЕЙ МАРКОВА
В настоящей главе читателю будет предложен ряд
применений процессов восстановления, линейчатых процессов,
вложенных цепей Маркова, теория которых была
рассмотрена в предыдущей главе. Читатель увидит, что эти методы
позволяют исследовать весьма широкий класс задач
массового обслуживания. Сюда включается, в частности, теория
однолинейных систем массового обслуживания в довольно
общем смысле. Объединяя в одной главе применения
марковских процессов с одной непрерывно меняющейся
координатой, мы вместе с тем старались классифицировать
материал по типам систем массового обслуживания. Этим
может воспользоваться читатель, которого интересует
определенная конкретная система.
Однако наша главная цель состояла в том, чтобы
читатель смог овладеть общим теоретическим аппаратом и
самостоятельно решать нужные ему задачи.
§ 4.1. Однолинейная система с ожиданием.
Интегро-дифференциальное уравнение
1. Постановка задачи и обозначения. Теория,
развернутая нами в § 1.5 главы 1, исходит из весьма
ограничительного предположения: поток требований является
простейшим, длительность обслуживания имеет показательное
распределение. Уже Эрланг делал попытки отказаться от
второго условия и рассмотрел случаи, когда обслуживание
требует времени, которое подчинено равномерному в
некотором отрезке (а, &), или же эрланговскому распределению

§ 4.1] ОДНОЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА С ОЖИДАНИЕМ 231
при некотором целом k. Давно было ясно, что не только
для развития теории, но и для целей практики
исключительно важно рассмотреть задачу обслуживания с
ожиданием в общих предположениях как относительно потока
требований, так и относительно распределения
длительности обслуживания. Долгое время существовало мнение,
что поток с очень хорошим приближением можно считать
простейшим, по крайней мере в задачах телефонии, и что
особенно существенно научиться изучать проблемы
возникновения и обслуживания очереди, когда длительность
обслуживания имеет произвольное распределение. Как мы уже
говорили, для системы обслуживания с ожиданием (с
очередью) особый интерес представляет изучение
распределения длительности ожидания начала обслуживания. В этом
вопросе, которому посвящено большое число работ,
получено весьма существенное продвижение, особенно в том
случае, когда имеется один обслуживающий прибор. Мы
ограничимся этим случаем и изучим вопрос о разыскании
распределения времени ожидания начала обслуживания в таких
условиях:
1) требования обслуживаются в порядке очередности
появления;
2) поток требований простейший; его интенсивность
равна X;
3) распределение длительности обслуживания произвольно;
в дальнейшем мы будем обозначать его через И (х):
Н(х) = Р{ц<х},
где х\ — длительность обслуживания;
4) имеется один обслуживающий прибор, который не
портится и способен немедленно после окончания
обслуживания одного требования приступить к обслуживанию
следующего.
Первое решение задачи в этих условиях было найдено
А. Я. Хинчиным [4] в 1932 г., а затем им же несколько
изменено в неоднократно цитированной нами монографии [2].
В более широких предположениях эта задача позднее
изучалась иными приемами Д. Линдли [1], В. Смитом [1],
Ф. Поллачеком [2], Л. Такачем [1] и др. Мы изложим здесь
подход Такача; распределение длины очереди будет
выведено, исходя из метода линейчатых процессов; изучение

232 ПРИМЕНЕНИЯ ПРОЦЕССОВ ВОССТАНОВЛЕНИЯ [ГЛ. 4
задачи в нестационарном случае будет сведено к сочетанию
метода Такача с методом линейчатых процессов.
2. Построение случайного процесса. Обозначим через
у (t) случайный процесс, равный в каждый момент t
промежутку времени, которое должно протечь от момента t до
полного освобождения прибора от обслуживания
требований, поступивших в очередь до момента t. Если в момент t
прибор свободен, то y(t) = 0.
Обозначим через tv /2, t3, ... моменты прибытия
требований потока (tt < t2 < . . .). Тогда для tn < t < tn+1
процесс у (0 определяется посредством равенств
f 0, если y(tn)^t-tn,
У() \ У(*п)-(*-*п),*С™У(*п)>*-*п-
Для t = tn имеет место равенство
y(tn + 0) = y(tn-0) + r]n,
где \]п обозначает длительность обслуживания требования,
поступившего в момент tn.
Общий вид процесса у (t) изображен на рис. 4.1.
Процесс скачком изменяет свою величину в моменты прибытия
требований, остается неизменным до прибытия очередного
требования, когда он достиг нулевого значения, убывает
по прямой, параллельной биссектрисе второго
координатного угла в тех отрезках, где он положителен.
Убывание процесса происходит в связи с тем, что со
временем увеличивается длительность уже произведенного
обслуживания, а следовательно, уменьшается остаток
обслуживания (рис. 4.1).
Процесс у (О В сделанных нами предположениях
оказывается марковским. Действительно, сколько требований
поступит от момента t до момента t-\-s, не зависит от
того, как много требований поступило до момента t.
Значение Y^H-5) определяется, во-первых, величиной y(^)>
во-вторых, числом требований, которые поступили в
промежуток (t, t-\-s), и, в-третьих, длительностью обслуживания
этих вновь поступивших требований. Все три величины не
изменяются оттого, что станут известными значения y (t)
в моменты т, предшествующие t.

4.1] ОДНОЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА С ОЖИДАНИЕМ 233
Для полной определенности процесса положим, что
у(0) = 0;это условие можно трактовать как соглашение
о начале процесса обслуживания в момент / = 0.
Рис. 4.1.
Процесс у (t) можно очень изящно представить в виде
решения стохастического дифференциального уравнения.
Обозначим через К(t) суммарную длительность
обслуживания требований, поступивших в систему до момента t.
Реализация К (t) будет иметь вид, показанный на рис. 4.2.
щ
г
-W
Рис. 4.2
\х I
Пусть, как обычно, sign* обозначает -—L при хфО
при х = 0. Тогда процесс у (t) можно рассматривать
решение стохастического дифференциального уравнения
dy(t) + (s\gny(t))dt = dK(t).
и О
как
(*)
В самом деле, если y(t)>Ot то sign y (t) = 1 и мы
имеем случай убывания у (t); если же y (0 = 0, то и sign y (*) = 0;

234 ПРИМЕНЕНИЯ ПРОЦЕССОВ ВОССТАНОВЛЕНИЯ [ГЛ. 4
в этом случае у (t) остается неизменным, пока не поступит
следующее требование.
Последнее уравнение имеет место в самой общей
ситуации, когда поступление требований подчинено какому угодно
закону; это же относится и к распределению длительности
обслуживания. Это уравнение относится к каждой
фиксированной реализации процесса у (t).
Отметим одну интересную аналогию, когда то же
уравнение служит адекватным описанием совершенно другого
физического процесса.
В водохранилище в моменты tlt t2, ..., tnt ...
поступают порции воды объема г}1? т]2, ..., цпУ ...
соответственно (tn — это моменты открытия шлюза). Сток воды
равномерный; в единицу времени вытекает единичный объем
воды. Тогда у (t) будет равно объему воды в водохранилище
в момент t.
Отметим также аналогию с задачами автоматического
регулирования. Представим себе, что некоторая система,
описываемая координатой y = y(t)i испытывает случайные
толчки в моменты tn, в результате которых у (t)
претерпевает разрывы величины \)п. Для возвращения системы в
исходное положение некоторое регулирующее устройство
заставляет у (t) в моменты между разрывами с постоянной
скоростью убывать. Наконец, поставлен ограничитель, не
позволяющий у (t) становиться отрицательным. Тогда
уравнение (*) будет служить также моделью регулируемого
объекта.
3. Интегро-дифференциальное уравнение процесса.
Введем в рассмотрение функцию распределения
F(t, *) = P{Y (*)<*}■
Наша задача состоит в выводе интегро-дифференциаль-
ного уравнения, которому удовлетворяет функция F(t, x).
Сразу же делаем замечание, что уравнение имеет место
лишь в некоторых аналитических предпосылках, которые
выполняются не всегда. Ниже мы дадим интерпретацию
интегро-дифференциального уравнения в терминах теории
обобщенных функций. В обобщенных функциях уравнение
справедливо в самом общем случае. Теперь же мы примем
без обоснования следующее предположение. F(t, x)
обладает в области t > О, х^О непрерывными частными про-

§ 4.1] ОДНОЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА С ОЖИДАНИЕМ 235
сле-
Х = 0
изводными по обоим аргументам, причем —^ -
r F(t, h)—F(t, + 0)
дует понимать, как lim —- ' v—■—'.
л-», о п
(ft>o)
Теорема. В сформулированных условиях функция рас-
пределения F(t, х) при ^>0 удовлетворяет интегро-диффе-
ренциальному уравнению
X
d-^^ = d-L^1-bF(t,x)+^H{x-y)dyF{t) у). (1)
0
Доказательство. Рассмотрим событие у (t + h) < х.
Оно может произойти несколькими несовместными
способами. Мы укажем только те из них, которые имеют
вероятности не высшего порядка малости, нежели h.
1- y{t)<x-\-h\ в отрезке (t, t-\-h) не поступило ни
одного нового требования. Вероятность этого события равна
(1—Х/г)/7^, x + h) + o(h).
2. y(t)—y (0 <у < х); в отрезке (t, t + h) поступило
новое требование, которое для своего обслуживания
требует времени ц < х—у. Вероятность этого сложного
события равна на основании формулы полной вероятности
х
U^H(x-y)dyF(t,y).
0
Так как остальные возможности связаны с вероятностью
порядка о (/г),то
F(t + h, at) = (1 — M)F(t, x + h) +
X
+ Xh^H(x-y)dyF(y, f) + o(h). (2)
0
Равенство (2) можно переписать в следующем виде:
i[F(t + h9 x + h)-F(t, x + h)] = ±[F(t + h, x + h)-
X
—F(t + h, x)]-XF(t, x + h) + k^H(x-y)dyF(t,y) + o(\).

236 ПРИМЕНЕНИЯ ПРОЦЕССОВ ВОССТАНОВЛЕНИЯ [ГЛ. 4
Согласно только что сделанному предположению
*[F{t + h,x + h)~F{t,x + h)]-+¥&£,
-jr[F(t + k, x + h)-F(t + h,x))-+dM^.
В результате мы приходим к уравнению (1).
Обратим внимание на то, что весь вывод сохраняет свою
силу и в том случае, когда параметр Я является функцией t.
4. Преобразование Лапласа — Стилтьеса для функции
F(t9 x). Рассмотрим функции
Ф(М)=5*-~^(^*),
о
h(s) = le-**dH(x),
(3)
являющиеся преобразованиями Лапласа — Стилтьеса функций
распределения F (t, x) и Н(х). Согласно широко известным
в теории преобразований Лапласа правилам уравнение (1)
в терминах преобразований Лапласа принимает такой вид:
d.±p±>=;(S)(s,t)[s-X(\-h(s))}-sF(t, +0), (4)
где F(t, +0) = 'lim F(ty x) представляет собой скачок
х->+ о
функции F(t, 0) при х = 0 (реальный смысл этого скачка —
вероятность в момент t застать прибор свободным от
обслуживания).
Для определения функции Ф(s, t) мы получили линейное
уравнение, коэффициенты которого являются непрерывными
функциями. Из предположения F(0, х) = 0 при л;^0 и
F(Q,x)=l при х > 0 вытекает равенство Ф (s, 0)=1. При
этом начальном условии уравнение (4) имеет единственное
решение
t
Q>(s, t) = est-^-h^^t[\—s^e-su + ^-h^^uF(u1 +0)du]. (5)
о
Известно, что по преобразованию Лапласа Ф (s, t)
функция F(t} x) определяется однозначно. Таким образом, мы

§ 4.1] ОДНОЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА С ОЖИДАНИЕМ 237
можем считать, что задача определения функции F(t, x)
решена. Правда, при этом остается еще найти F(t, -{-0).
Это может быть сделано из других соображений,
осуществление которых временно отложим.
Заметим, что наше предположение относительно системы
обслуживания в момент ^ = 0 необязательно; все результаты
тривиальным образом обобщаются и на тот случай, когда
у (0) имеет произвольное распределение ^(О, х). Формула (5)
при этом заменяется следующей:
t
Х[Ф($, 0) — s^e-8U+^'h^kuF(u, +0)du]. (5a)
0
В том случае, когда параметр X является функцией от t или
(еще более общий случай) входящий поток требований
следует нестационарному пуассоновскому процессу без
последействия с ведущей функцией Л(/), формула для Ф($, t)
будет иметь вид
ф($, *) = е**-[1-Ч(8)]л<Ох
t
Х[Ф($, 0)— s\e-su+li-hWMu)F(u, +0)du]. (56)
о
В случае однородного потока имеем A(t)=Xt, где Л
—параметр потока, и (56) переходит в (5а).
5. Обоснование интегро-дифференциального уравнения.
Выведем уравнение (5а), исходя из вероятностных
соображений. (Небольшим видоизменением рассуждений можно было
бы вывести и (56).)
Прежде всего установим, что F(t, + 0) непрерывно
зависит от t. Напомним, что F(t, +0) есть вероятность
свободного состояния обслуживающего прибора в момент t.
Можно записать:
t
- F(tt +0) = e-*<t + X^e-b(t-»)F1(u)du=:
о
= *-*'< 1+ [e^F^duV (6)
где Fx(t) — вероятность того, что если в момент ^ = 0
поступило требование, заставшее прибор свободным, то в момент t
прибор будет свободен. Из (6) непосредственно очевидно,

238 ПРИМЕНЕНИЯ ПРОЦЕССОВ ВОССТАНОВЛЕНИЯ [ГЛ. 4
что F(ty +0) непрерывна и, более того, абсолютно
непрерывна.
Запишем уравнение процесса у (t) в следующем виде:
uj-JA-J Y(')-A+A(/fA)f если Y (')>*,
Y( +/г)~\ Д(/, А)-0/г, если y(t)<h. ()
Здесь мы обозначили через А(/, Н) суммарную длительность
обслуживания требований, поступивших в систему от t до
t-\-h. 0 обозначает величину, относительно которой можно
сделать заключение, что О^0^1.
Вспомним, что Ф(я, t)=Me-sWK Применив к обеим
частям равенства (7) оператор математического ожидания,
придем к соотношению
р ft СО -ш
ф(*,* + й)= \ dF{t,x) + \ e-4*-h)dF(t,x)\ X
L-o ft J
X[1-XA(1—A(*)) + o(A)]. (8)
Имеем:
ft со ft
J dF^JO + Je-e^-^H*, x)= $[1 — *"s<*->*>] d/7 (/,*) +
-o ft -o
со
-f J e-«(*-A)dF(/, л:) = (1 -еуЛ) f (/, + 0) +
-0
+{1_eeft) [f (^ A) _ F (ty + о)] + в«*ф (5j <) =
= Ф(«, *) + *Л[Ф(5> <)-/>(*, + 0)] + o(A).
Подставив это равенство в (8), получим:
Ф(з, t + h) = {<b(s, t) + sh[<b(s, t)-F(t, + 0)]}х
X(l -ХА (1-А (*))] + о(А),
откуда
1[Ф(5, < + А)-Ф(М) = Ф(*. *)[*-М1-А(*))]-
— */'(*, +0) + о(1).
При А —► 0 получим:
?*i!il) = ©(5,<)[s_X(l-A(s))]-*F(<, +0), .

§4.1] ОДНОЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА С ОЖИДАНИЕМ 239
что совпадает с формулой (4). Таким образом, интегро-диф-
ференциальное уравнение (1) нами строго обосновано в
обобщенном смысле.
Предлагаем читателю показать, что при произвольном
начальном условии функция F(t,x) обладает производной
(в обычном смысле) по направлению, параллельному
биссектрисе второго координатного угла.
6. Теоремы о стационарном решении. Мы перейдем
теперь к нахождению предела функции F(t, х) при t—+ оо.
Зачастую практика интересует именно это предельное
стационарное (т. е. не зависящее от времени) решение.
Исчерпывающий результат в этом направлении содержится в
следующем предположении.
Теорема. Если распределение Н (х) имеет конечный
первый момент
r=^[\—H(x)]dx
и Хх < 1, то существует предельное распределение
lim F(t, x) = F(x),
которое не зависит от начального распределения FQ (x),
удовлетворяет интегро-дифференциальному уравнению
F'(x) = X \F(x)- \H(x-y)dF(y)[
(9)
при х > 0 и равенству
F(0)=\—Kt.
Если же Хх ^ 1, то \imF(t, x) = 0 для всех х (это означает,
что со временем длительность начала обслуживания по
вероятности растет до бесконечности).
Доказательство. Моменты {tn}} когда прибор
переходит из занятого состояния в свободное, образуют
процесс восстановления. Действительно, коль скоро
Y(^) = 0, дальнейшее течение процесса не зависит от
событий, связанных с поведением процесса до момента t.
Далее,

240 ПРИМЕНЕНИЯ ПРОЦЕССОВ ВОССТАНОВЛЕНИЯ [ГЛ. 4
где \п — случайная величина, распределенная по
показательному закону с параметром X— это время с момента tn_1
до момента поступления следующего требования; £п —
независимая от £л случайная величина, равная длительности
периода занятости прибора.
Из (10) сразу вытекает, что £„ + £л обладает плотностью.
Докажем, что при Хх < 1 эта случайная величина имеет
конечное математическое ожидание. Пусть Nt — число
требований, поступивших в систему за время от 0 до Т\
обозначим через у\1у тг]2, ..., у)мт их длительности
обслуживания. Тогда общее время занятости прибора в отрезке (0,7)
П=1
(неравенство пишется потому, что не обязательно все
требования будут обслужены до момента Т; остаток
как раз и составляет у (/)). Значит, время, на протяжении
которого прибор свободен,
NT
Тс>Т-^У]п-у(0).
На основании усиленного закона больших чисел заключаем,
что 2 f\JT —+ А,т (поступает примерно XT требований;
на обслуживание каждого из них тратится в среднем время т).
Отсюда
lim -^- ^ 1 — Хт.
Пусть пт — число интервалов занятости, заканчивающихся
до Г. Тогда
tlj nj + l
П=1 П=1
Поскольку М£л = -«--> тоиз последнего неравенства следует
оценка
lim HL = X
Г0-)-оо Тс

§ 4.1] ОДНОЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА С ОЖИДАНИЕМ 241
(элементарная теорема теории восстановления; см. § 3.1),
Но тогда
Xlim -^= lim _^>1—Хт.
Последняя оценка согласно той же теореме доказывает
конечность математического ожидания £„ + £„•
Далее,
F(t, + ())=$«-*«-«><///(«),
о
где H(t) — функция восстановления процесса {tn}. По
теореме Смита существует положительный предел этого
выражения при t—> оо. Указанная теорема позволяет сделать
заключение также о существовании эргодического
распределения процесса y(t). Найдем это распределение.
Примем, что FQ (х) совпадает с эргодическим
распределением F(x). Тогда будет F(t, x) = F(x), /^0 и
уравнение (4) примет вид
<b(s)[8-X(l-h(8))]=SQ9
где
Ф(^)~ lim Ф($, t),
t-*cc
р = lim F(t, + 0)
(существование и положительность р нами уже установлены).
Следовательно,
S
При s—+ 0 будет ~~ —► т; стало быть,
р = 1 — Хт.
Окончательно,
Ф(') = ,1ГНШ- (и)
s
Формула (11) была выведена А. Я. Хинчиным; ее обычно
называют формулой Хинчина.

242 ПРИМЕНЕНИЯ ПРОЦЕССОВ ВОССТАНОВЛЕНИЯ [ГЛ. 4
Применяя обычные правила действий с преобразованиями
Лапласа, легко убедиться, что функция F(x),
преобразование Лапласа— Стилтьеса которой дается формулой (11),
удовлетворяет уравнению (9) (почти всюду). Из этого, в
частности, следует абсолютная непрерывность функции F(x), *>0.
7. Рассмотрение случая А/r^l. Установим
справедливость второй части теоремы п. 6, т. е. докажем, что при
Ат^1 имеет место соотношение
\imF(x, t) = 0.
Для доказательства установим две леммы.
Лемма 1. Если Кх < 1, то имеет место неравенство
F(x)^(\—Xx)eKx.
Действительно, согласно (6)
откуда
F(x)^F( + 0)ekxi
что и доказывает требуемое неравенство, если заметить, что
F( + 0) = \—Xt.
Лемма 2. Пусть имеются два процесса у (t) и у'(t),
соответствующих функциям распределения времени
обслуживания, Н(х) и Н' (х) и одинаковым начальным условиям.
Тогда, если И (х) ^ Н' (л:) для всех х, то при всех t > О
и для всех х
P{y(t) <x} = F(x, t)^F' (х, t) = P{y' (t)<x}.
Доказательство. Каждый из процессов y(t), у' (t)
определяется заданием последовательности моментов
поступления требований и последовательности их времен
обслуживания. Установим между реализациями случайных процессов
у (t) и у'(t) взаимно однозначное соответствие.
Если реализация процесса у (t) характеризуется
последовательностью {tn} моментов поступления требований и
последовательностью {уп} времен обслуживания, то условимся
ставить ей в соответствие реализацию процесса у' (t), для
которой моменты поступления требований те же, а времена

§ 4.2] РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРИОДА ЗАНЯТОСТИ 243
//'(*)={
обслуживания у'п определяются посредством равенства
где OLy—случайная величина, равномерно распределенная на
отрезке [Я(y), #(y + 0)] (в частности, если Н (х) непрерывна
в точке y> то этот отрезок вырождается в точку). При таком
соответствии время обслуживания каждого требования в
первом случае будет больше или равно времени обслуживания
во втором случае. Очевидно, тогда для любого t > О будет
иметь место неравенство
У (*)>?{*)■
Поскольку это неравенство справедливо для любой
реализации y(t) и у' (t) в силу установленного соответствия, то
F(t,x) ^>F' (t,x), что и требовалось доказать.
Вернемся теперь к доказательству теоремы. Пусть Хт^ 1.
Если И(х) — функция распределения времени обслуживания
для данной системы, то обозначим
■//(*), х<^х0У
1, Х > Х0у
причем х0 выберем таким образом, чтобы
со
l>XT' = X$[l--//'(*)]rf*>l--e,
о
где е — сколь угодно малое положительное число.
Тогда по лемме 1 будет иметь место неравенство
F' (х) < ееЧ
Следовательно, при достаточно большом t F' (xyt) ^ 2геКх.
По лемме 2, тем более, будет F (x,t) ^ 2ге%х. Поскольку х
и е — любые положительные числа, то
lim/=■(*, t) = 0,
f->co
что и составляет утверждение теоремы.
§ 4.2. Распределение периода занятости
и длины очереди
1. Период занятости. Одной из наиболее важных в
практическом отношении характеристик работы системы
массового обслуживания является период занятости прибора.
В предыдущем параграфе была рассмотрена последователь-

244 ПРИМЕНЕНИЯ ПРОЦЕССОВ ВОССТАНОВЛЕНИЯ [ГЛ. 4
ность моментов tki в которые обслуживающий прибор
переходит из занятого состояния в свободное. Пусть
tk — моменты времени, когда прибор переходит из
свободного состояния в занятое. Тогда разность между tk и
наибольшим из не превосходящих его t'k называется периодом
занятости прибора. Изучение периода занятости
представляет интерес там*, где необходимо учитывать технические
особенности прибора, его возможности с точки зрения
непрерывной работы. Читатель-инженер, вероятно, в своем
опыте уже сталкивался с подобного рода проблемами.
Займемся математической стороной вопроса.
Если обозначить через £л последовательные во времени
периоды занятости прибора, то легко видеть, что {£fe}
представляет собой последовательность независимых,
одинаково распределенных случайных величин.
Займемся отысканием функции распределения периода
занятости
0{x) = P{tk<x}.
2. Интегральное уравнение. Изучим структуру периода
занятости. Предположим, что он начался в момент времени
/ = 0. Это означает, что в данный момент времени поступило
некоторое требование и оно застало прибор свободным.
С этого момента начинается обслуживание. Допустим, что
его длительность равна у. Возможны два случая: 1) за
время у в систему не поступило ни одного требования и
2) за это время поступило п > О требований. В первом
случае период занятости в момент у заканчивается; во
втором случае будет более сложная картина. Чтобы
объяснить ее, удобно ввести некоторое соглашение о порядке
обслуживания. Предположим, что требования обслуживаются
в порядке, обратном порядку поступления их в систему.
Ясно, что при таком порядке обслуживания период
занятости будет иметь такое же распределение, как и при
исходном обслуживании, —в порядке очереди.
Итак, примем, что требования обслуживаются в порядке,
обратном порядку их поступления, и предположим, что за
время у, о котором шла речь, в систему поступило п
требований. Тогда легко заметить, что первое из них будет
обслужено в момент окончания периода занятости (следст-

§ 4.2] РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРИОДА ЗАНЯТОСТИ 245
вие из принятого порядка обслуживания). Если же
обозначить через /х, /2, ..., /„ расположенные в порядке
возрастания моменты окончания обслуживания всех п
требований, то мы видим, что //+1 —// будет временем, за
которое обслужено (п — /)-е требова-ние и все требования,
поступившие после него. Другими словами, структура
интервала //+1—1{ та же, что и структура периода
занятости. По самому построению интервалов li+1 — I- видно,
что эти интервалы независимы. Следовательно, при условии,
что за время у в систему поступило п требований, период
занятости равен у плюс сумма п независимых случайных
величин, распределение каждой из которых то же, что и
у периода занятости. Поскольку вероятность условия равна
^-Ц-е-^х (так как поток простейший), мы получим
интегральное уравнение
х °°
G{x) = ^e-by{^LGn(x-y)dH{y), (1)
о п = о
где обозначено
3. Функциональное уравнение. Введем преобразование
Лапласа —Стилтьеса для распределения периода занятости,
т. е.
00
T(s) = ^e~sxdG(x).
о
Применив преобразование Лапласа—Стилтьеса к обеим
частям равенства (1), будем иметь:
оо се
г (s) = 2 [г (*)Г 5 e-i4-b*(kx)"dH(x) =
/г = о о
/2 = 0
Итак, справедлива формула
Г($) = й[$+Х —ХГ(*)]. (2)

246 ПРИМЕНЕНИЯ ПРОЦЕССОВ ВОССТАНОВЛЕНИЯ [ГЛ. 4
Возникает вопрос, может ли служить эта формула для
фактического нахождения Г (s), т. е. обладает ли
уравнение (2) единственным решением. Ответ содержится в
следующей теореме.
Теорема. Функция Г (s) является единственным
аналитическим решением функционального уравнения (2) при
Re 5 > 0, подчиненным условию | Г (s) | ^ 1 и вещественным
для всех вещественных s > 0. Обозначим черезр* наименьшее
положительное число, для которого выполняется условие
h[K(\—p*)]=p*. (3)
Тогда
\\mG{x)=p*. (4)
X -► 00
Если Ят^1, то^р*—\ и G(x) является собственной
функцией распределения; если же Хт > 1, то р*<1, и
тогда G(x) — несобственная функция распределения, т. е.
период занятости может быть бесконечным с вероятностью
1-р*.
Доказательство. Установим, что уравнение (2)
имеет единственное решение при условиях
Res>0, |Г(*)|<1.
Обозначим временно
s + X — XT(s)=:x
и рассмотрим уравнение (2) при вещественных
положительных s. В новом обозначении нужно доказать, что уравнение
'-±jb£-A(*> '(5)
имеет при s > О единственное решение по х, подчиненное
условию
На рис. 4.3 изображены левая и правая части
равенства (5) при вещественных х. Когда х = s, то левая часть
больше правой; поскольку прямая, изображающая левую
часть (5), имеет отрицательный наклон, a h (x) непрерывна
и положительна, то найдется точка, в которой прямая
пересечется с кривой; эта точка и будет соответствовать
корню нашего уравнения. Так как h (x) выпукла, то другого

§ 4.2]
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРИОДА ЗАНЯТОСТИ
247
вещественного корня не существует. Следовательно, Г (s)
на вещественной положительной оси определена
единственным образом. По принципу аналитического продолжения
можно эту функцию единственным образом продолжить на
Рис. 4.3.
всю правую полуплоскость. Вторая часть теоремы следует
из того, что
UmT(s) = G(oo).
S-* О
4. Пример на решение функционального уравнения.
Пусть время обслуживания распределено по показательному
закону с параметром а"1. Тогда преобразование Лапласа —
Стилтьеса распределения времени обслуживания запишется
в виде
w 1 + as '
а уравнение (2) принимает вид алгебраического уравнения
второй степени:
г./,л l + a(s + M± ^[l + a(s + b)]2-4?ux
1 [S} - 2Ы
(6)
Поскольку интересующее нас вероятностное решение должно
удовлетворять условию | Г (s) | ^ 1, то мы должны в
выражении (6) выбрать при вещественных 5 знак «—».
Предлагаем читателю построить обращение формулы (6) и
найти явный вид функции распределения интервала
занятости через специальные функции.
5. Распределение длины очереди. Ограничимся случаем
р<1 и изучим распределение случайной величины v(t)}

248 ПРИМЕНЕНИЯ ПРОЦЕССОВ ВОССТАНОВЛЕНИЯ [ГЛ. 4
равной числу требований, находящихся в системе в
момент t. Случайный процесс v (t) будет марковским лишь в
том случае, когда длительность обслуживания требования
распределена по показательному закону. В остальных
случаях процесс не будет марковским. Введем случайный
процесс:
( 0, если v(*)=0,
i() \ {v(f), £(')}, если v (*)><>, ( }
где %(t) — время с момента t до момента окончания
обслуживания.
Процесс £ (t) будет кусочно-линейным процессом (см.
главу 3). В точности повторяя те же рассуждения, которые
были нами приведены при исследовании процесса у (t),
убеждаемся, что процесс £ (t) обладает зргодическим
распределением. Определим последнее характеристиками
Фо = Шп Я {v (/) = ()},
ф£ (х) = lim P {v (/) =k,l(t)<x} (ft > 1). (8)
Обозначим также
рл = lim/>{v (*) = *}, ft>0,
так что, в частности, р0 = ф0.
Теорема. Введенные функции удовлетворяют системе
дифференциальных уравнений
*<Po=4>i(°). (9)
Ф; (х) - хф1 (х) - Ф; (о) + Ф; (о) н (х)+хФо н(х)=о, (iо)
Ф;(д;)-яФп(х)-Ф;(о) + Ф;+1(о)Я(х)+яФ„_1(х)=о (ii)
(л>2).
Доказательство. Проще всего доказать формулу
(9). Пусть v(tf + A) = 0. Тогда либо v(/) = 0, и при этом
за время h ни одно требование не поступило, либо в
момент t в системе находилось одно требование, которое
за время h должно было покинуть систему (v(^)=l,
|(/)</г). Остальные события имеют вероятность порядка
малости более высокого, чем h. Поэтому формула полной
вероятности дает:
ф0 = (1 — Щ ф0+ Фх (А) + о (А),

§ 4.2] РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРИОДА ЗАНЯТОСТИ 249
ИЛИ
Яф.-«^ + 0(А).
Устремив А к нулю, немедленно приходим к
формуле (9). Одновременно автоматически получается
существование производной ф'х (0).
Положим п— 1. Коль скоро v(t-\-h) = \ и £(*)<#, то
это означает (если пренебречь событиями с общей
вероятностью более высокого порядка малости), что осуществилось
одно из трех несовместных событий:
1. За время от t до t-\-h не поступило ни одного
требования; в момент t в системе находилось одно
требование; до конца обслуживания этого требования в момент t
осталось время, меньшее х + А, но большее А (иначе
обслуживание этого требования закончилось бы до момента t-\-h).
2. В момент времени t в системе находились два
требования, но то из них, которое находилось на
обслуживании, уже должно было не позже, чем через А,
покинуть систему; для обслуживания требования, которое в
момент t находилось в состоянии ожидания, необходимо
время, меньшее х — 0 -f- /г (0 обозначает время с момента /
до момента поступления указанного требования).
3. В момент t в системе не было требований; за время
от t до t-\-h поступило одно требование, длительность
обслуживания которого меньше Н(х).
Пусть х — точка, в которой функция распределения
времени обслуживания И(х) дифференцируема. Тогда
//(* + А) =//(*) +о (А),
и по формуле полной вероятности получим:
Ф1и) = (1-ХА)[ф1(* + А)-ф1(А)] + ф2(А)//и) +
4- ХАф0 Н(х) + о (А),
или
vi(*+b)-K(*)__.Xyi{x+h)_2iE +
+ Ч1ШН(х) + цоН(х) = 0(?1). (12)
Из формулы (12) можно получить два следствия.

250 ПРИМЕНЕНИЯ ПРОЦЕССОВ ВОССТАНОВЛЕНИЯ [ГЛ. 4
А. Разностное отношение
<Pi(* + ft) —<Pi(*)
h
ограничено сверху равномерно по всем дг^О.
Действительно, отбросив в левой части (12) некоторые
неотрицательные слагаемые, придем к неравенству
<Pi(* + ft)-<Pi(*)<?i | <PiW , 0/А)
Так как существует предел отношения ^ ' , равный
Ф;(0), то
9i(* + Q-<Pi(*)<Ci> *>0.
Легко видеть, что это неравенство справедливо при
всех л;, а не только при тех, при которых существует
Н' (х).
Б. Для почти всех х > 0 справедлива формула (10).
В самом деле, Н(х) и ф (х)/ц> (оо)— функции
распределения; следовательно, почти для всех точек х существует
производная как у той, так и у другой функции. Пусть
х — именно такая точка. Тогда в формуле (12) можно
перейти к пределу при h—* 0, и мы получим соотношение
(10). Аналогичным путем по индукции доказываются
соотношения (11) при я ^2, а также доказывается ограничен-
Фл (x~\-h) — ф» (х)
ность при каждом # разностного отношения ^-±—-—£—^п v .
6. Решение системы уравнений (9) —(11). Исследуем
указанную систему методом преобразования Лапласа. Для
применения этого метода к дифференциальным уравнениям
вовсе не обязательно, чтобы эти уравнения выполнялись
при всех х; достаточно потребовать только, чтобы
уравнения выполнялись почти всюду, но тогда для обоснования
метода требуется абсолютная непрерывность функций,
входящих в дифференциальные уравнения. Известно, что
если разностное отношение
q>(x + h) — q>(x)
h
ограничено, то функция ф (х) будет абсолютно непрерывной.

§ 4.2] РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРИОДА ЗАНЯТОСТИ 251
Таким образом, следствия из доказанной в предыдущем
пункте теоремы обосновывают применимость к исследованию
системы уравнений (9) —(11) обычных правил для
преобразования Лапласа.
Введем сначала производящую функцию
00
А {г, х) = ^цп(х)гп (Фо (*) = <р0).
П = 0
Тогда из системы (9) — (11) получается уравнение для
производящей функции
дА (г, x)_X{l_z)A{Zi x)=z
дх
дА(г, 0) Г1 Н(х)1 « 1Л ЧГ1 _,, ч1
= дх L1 —г-J—Я(ро (1 ~z) f1 -яwi-
Теперь введем преобразование Лапласа производящей
функции
со
a (z, s) = J e~sx Л (z, х) dx.
о
При помощи этого преобразования предыдущее уравнение
приводится к виду
[s-k(l-z)]a(z, s) =
=|{a^[i-^H^ (13)
В левой части (13) стоит произведение s — X(l— z) на
функцию, аналитическую в правой полуплоскости, т. е. при
Re {s} > 0. Следовательно, при s = X (1 ~—z) левая часть
обращается в нуль. Записав условие равенства нулю для
правой части этого равенства при тех же s и z, будем
иметь:
+ ЯФо(1-г) = 0,
откуда
дА (z, 0) _ zh {% (1 — 2)) Хф0 (1 -z)
дх h{X(\-z))-z

252 ПРИМЕНЕНИЯ ПРОЦЕССОВ ВОССТАНОВЛЕНИЯ [ГЛ. 4
Используем также результат предыдущего параграфа:
ф0 = 1 — р. В результате подстановки в равенство (13)
получим:
[s-K(\-z)]a(z, ,) = h!k=(U!l=L)x
X
ЩЭД.-^]->+*<*>} + ,-8. „4,
Вспомним теперь, что
<pk(x) = P{v(t) = k, l(t)<x].
Если положить дг = оо, то
4k(oo)=P{v(t)=k} = ph.
Это относится и к случаю & — 0.
С другой стороны, из теории преобразования Лапласа
известно, что если ф (х)— функция, ограниченная при всех
х и стремящаяся к конечному пределу при х—>*оо, a a(s)—
преобразование Лапласа этой функции, то справедлива
формула lim {5 а (5)} = ф (оо). Поэтому
s-> о
оо
lim {sa (z, s)} = 2 A,**.
s-> 0 /1=0
Умножив обе части равенства (14) на 5 и перейдя к
пределу при 5—►(), получим формулу для производящей
функции числа требований, находящихся в системе в
произвольный момент времени при стационарном режиме:
V пгл. . (l-p)(l-*)/*(Ml-z)) Mw,
Формула (14') носит название формулы Поллачека —
Хин чин а. Применив обычные правила, по этой формуле
легко найти моменты числа требований в системе (или, как
говорят более коротко, длины очереди), а также вероятность
того, что очередь не превосходит заданный уровень.
7. Вывод формулы Поллачека — Хинчина методом
вложенных цепей Маркова. Обозначим через tn момент
окончания обслуживания /z-го требования (я=1, 2, 3, ...).
Пусть
v„ = v (*„ + <»,

§ 4.2] РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРИОДА ЗАНЯТОСТИ 253
т. е. vn — число требований, оставшихся в системе после
ухода из системы /г-го по счету требования. Легко видеть,
что последовательность {v„}*=1 образует цепь Маркова.
Если vn_!^l, то vn = vn_l + An— 1, где Д„ — число
требований, поступивших в систему за время цп
обслуживания п-го требования. Если же v^.-^O, то vn~An.
Найдем распределение случайной величины Дп. При
условии, что цп = ху вероятность поступления k
требований составляет:
(М* р-кх.
k\ e •
усреднение по распределению случайной величины цп
приводит к следующему равенству:
00
P{vn = k}=-L§(\x)ke-*xdH(x)=fk, ft = 0, 1, 2,... (15)
Матрица перехода цепи Маркова {vn} имеет вид
/о /i /2 /з
/о Л /2 /з
л л л
/о Л ••
/о •
(16)
Обозначим
nk= limP{vn = /2}, /e = 0, 1,2,... (17)
Тогда, как известно из теории цепей Маркова, {nk}
определяются системой уравнений
00
я*=2РА * = 0, 1, 2, ..., (18)
/ = о
где /?уЛ — элементы матрицы Р, с дополнительным условием
2я*=1.
*=о
(19)

254 ПРИМЕНЕНИЯ ПРОЦЕССОВ ВОССТАНОВЛЕНИЯ [ГЛ. 4
В нашем случае в силу (16) уравнения (18) имеют
следующий вид:
k
я*=2Мк-/+1+Ляо. * = 0, 1, 2,... (20)
i = o
Систему уравнений (19)—(20) удобно исследовать методом
производящих функций. Обозначим
я*)=2/**\
оо
л (z) «= 2 *V*.
fc=o
Умножим обе части формулы (20) на я* и просуммируем
по всем k:
оо /г
я (*)= 2 ** 2 /,**_t+i + ne/(*) =
- 2 /^ 2 г*-Ч-»+1+я</(г) = -^[я(г)-(1-г)я»];
отсюда
n(z) = n0£f^. (21)
При г—*1 f(z)— z~{\— z)[\— /'(!)], так что
1=я(1) = я01_^(1) ,
откуда
я0 = !-/'(!)
Поскольку
/(*)=2/**\
fc = o
имеем:
00
= 5е-Хх<1-г>йГЯ(л;) = /г(Х(1-г)). (22)

§ 4.3] ЗАДАЧА В НЕСТАЦИОНАРНОМ СЛУЧАЕ 255
Перестановка суммы и интеграла законна, поскольку
и при достаточно больших к
k=*n + i 0
Продифференцировав выражение (22), получим:
f{z)=-\h'(\(\-z)),
откуда
1 —/' (1)= 1—Ят= 1—р,
и, окончательно,
„ ^ __ (1—р)(1—Z)/k(^(l —2Г» т)
Пусть /л — момент поступления в систему #-го по счету
требования. Обозначим
v; = v(^-0).
Поскольку процесс v (t) за любое время Т столько же
раз переходит из состояния к-\-\ в к, сколько из
состояния к в &+1 (с точностью до величины очереди в
момент Г), то, очевидно,
lim P{v'n = k}= \imP{vn = k} = nk, ft = 0, 1, 2,... (24)
Формула Поллачека—Хинчина теперь немедленно следует
из математического закона стационарной очереди (глава 2),
поскольку правые части формул (23) и (14) совпадают.
§ 4.3. Рассмотрение задачи в нестационарном случае
Преобладающее большинство систем массового
обслуживания, подвергавшихся математическому анализу,
исследовалось только в установившемся режиме. Переход к
нестационарному случаю, т. е. к изучению различных
характеристик обслуживания в зависимости от времени, связан,
как правило, с большими аналитическими трудностями.

256 ПРИМЕНЕНИЯ ПРОЦЕССОВ ВОССТАНОВЛЕНИЯ [ГЛ. 4
Система, которую мы сейчас рассматриваем, т. е. один
прибор с простейшим потоком требований, изучена и
в нестационарном случае.
В п. 1 настоящего параграфа мы изложим результат,
принадлежащий Э. Рейчу [1]. Он позволяет в самом общем
случае, т. е. когда параметр потока является произвольной
функцией времени, находить характеристики длительности
ожидания. В п. 2 будет предложено решение другой задачи,
живо интересующей прикладников: параметр потока остается
постоянным, процесс начинается с момента ^ = 0, когда
прибор свободен. Спрашивается: когда система войдет
в стационарный режим. В п. 3 мы исследуем асимптотику
F{t, + 0) при р=1.
1. Теорема Рейча. В § 4.1 был введен случайный
процесс у (/), определенный как 0, если в момент t прибор
свободен, и как время с момента t до момента
освобождения прибора от требований, поступивших раньше /, если
в этот момент прибор занят. Для преобразования
Лапласа — Стилтьеса распределения случайной величины у (t)
справедлива формула (56) § 4.1. Для удобства читателя
перепишем эту формулу:
ф(я} *) = в**[1-л<»)]Л(«[ф(^ о) —
— S^e-su + [l-h(s)]A(u)F(Ui +Q)du\ (*)
Как было отмечено в § 4.1, для использования этой
формулы надлежит определить F(u, + 0)» т. е. вероятность
того, что система обслуживания в произвольный момент
времени и будет свободна от требований. В этом и будет
состоять результат, который мы рассмотрим.
Примем такие предположения.
1. Длительность обслуживания обладает плотностью, т.е.
х
[Hx)^\h*{t)dt,
о
причем h* (x) обладает тем свойством, что при некотором
с^0 функция
e-cxh*{x)
интегрируема с квадратом в интервале (0, оо).

§ 4.3] ЗАДАЧА В НЕСТАЦИОНАРНОМ СЛУЧАЕ 257
2. Параметр входящего потока к (t) интегрируем с
квадратом в интервале (0, оо).
Теорема. В принятых предположениях функция
F(t, -\-0) определяется как единственное непрерывное
решение уравнения Вольтерра второго рода
t
g'(t) = F(t,+0)+\k{t, и) F(и, + 0)Ai,
о
где
x + iM
k(t, U)= ttU 4t lim [ e«-«)s-[A(0-A(«)][i-fc(s)]^l
zm at м _^ де J s
x- iM
*® = ш4г 1 Ф(*. 0)в'-и-*(.)]А(«*.
В последнем интеграле должно быть х^>с.
Доказательство мы приводить не будем, отсылая
читателя к статье Рейча [1]. Прокомментируем условия
приведенной теоремы. Условие 1 вполне естественно с физической
точки зрения. В реальных устройствах, где время
обслуживания по своей природе непрерывно (например,
продолжительность телефонного разговора), можно предполагать
существование плотности этой случайной величины. Что
касается условия 2, то оно менее естественно: возможны
ситуации, когда Л(/) имеет резко выраженные скачки и
хорошо аппроксимируется скачкообразной функцией.
Возможна модификация уравнения Рейча (склеивание
интервалов абсолютной непрерывности Л(£)), при которой удается
учесть возможность разрывов ведущей функции. Наконец,
требование интегрирования с квадратом X(t) в интервале
(О, оо) можно, очевидно, ослабить, потребовав
интегрируемости только в интервале, в котором требуется определить
F(t, + 0), а с учетом намеченной модификации — в
подынтервалах этого интервала, где A(t) абсолютно непрерывна.
2. Нестационарный режим системы обслуживания при
простейшем входящем потоке. Пусть известно, что при
^ = 0 прибор свободен. Обозначим через tn момент
окончания я-го периода занятости прибора (n^zi). {tn} —процесс
восстановления. Для того чтобы в момент t прибор был
9 Б. В. Гнеденко, И. Н. Коваленко

258 ПРИМЕНЕНИЯ ПРОЦЕССОВ ВОССТАНОВЛЕНИЯ [ГЛ. 4
свободен, необходимо и достаточно выполнения одного из
следующих несовместных событий:
1) за время от 0 до t не поступило ни одного требования;
2) в некоторый момент т < t закончился некоторый
период занятости; после этого в течение t — т единиц
времени в систему не поступило ни одного требования.
Обозначим через H(t) функцию восстановления
процесса [tn]. Тогда вероятность свободного состояния прибора
t
F(t, + 0)=,e-xt + ^e-k{t-UH(%). (1)
о
Найдем функцию восстановления процесса {tn}. Случайная
величина zn — tn — tn_1 (где положено ^0 = 0), по смыслу
процесса, равна сумме двух независимых случайных
величин: интервала \п от момента tn_1 до момента поступления
следующего требования и интервала занятости £л. В
соответствии с этим, если Г (s) определяется формулой (6) § 4.2,
т. е. Г (s) — единственное аналитическое решение
функционального уравнения
r(s) = h(s + K — XT(s))
при условии | Г (s) | ^ 1 в правой полуплоскости и
вещественности при вещественных s ^ 0, тогда
Д|в-.и=Ш£. (2)
Согласно уравнению (8) § 2.6 Н (s) имеет в качестве
преобразования Лапласа — Стилтьеса
(3)
Взяв преобразование Лапласа обеих частей уравнения (1),
с учетом (3) получим:
Je-^> + 0)rf/=jlx[l+jT^^],
о
^-'*«, + 0)* = s+3JM,(,). (4)
ИЛИ

§ 4.3] ЗАДАЧА В НЕСТАЦИОНАРНОМ СЛУЧАЕ 259
Если мы возьмем обратное преобразование Лапласа от
правой части равенства (4), то мы будем иметь искомую
функцию F(t,-}-Q). Можно также подставить (4)
непосредственно в формулу (*); тогда получим двойное
преобразование Лапласа переходного распределения длительности
ожидания.
Можно показать, что F(t, + 0) является убывающей
функцией времени. Ее предел при t—► оо равен 1—р.
Асимптотическое поведение F(t,-\-Q) при t—► оо легко
исследуется при помощи тауберовой теоремы (см.
В. А. Диткин и А. П. Прудников [1], стр.. 133).
Приведем необходимую нам теорему.
Теорема. Пусть
f(s)=^e"aiF(t)dt
о
1) f(s) имеет изолированные особые точки
—алгебраические особенности (полюсы и точки ветвления),
2) функция f(s) в полуплоскости Res>0 равномерно
относительно args стремится к 0 при \s\—►оо,
3) число особых точек s = s( с наибольшей
действительной частью конечно; разложение f(s) в окрестности s —s,-
дается рядом
Д<*"(*-*<) * (—^<х«',<я1/><... <^)--too).
Тогда асимптотическое представление F(t) при t—* оо
будет иметь вид
оо q{1)
где
~*Y(-%f)A) + 1
Г(-А<<->) '
если ЯГ = 0, 1,2,...
Пусть h (s) в окрестности точки s = 0 допускает
разложение по степеням s. Тогда также Г (s) в некоторой
окрестности нуля будет допускать разложение, которое легко
9*

260 ПРИМЕНЕНИЯ ПРОЦЕССОВ ВОССТАНОВЛЕНИЯ [ГЛ. 4
получить непосредственной подстановкой разложения
s-\-K — кГ (s) с неопределенными коэффициентами по
дробным степеням s в функцию h (...), также разложенную по
степеням s, и приравниванием коэффициентов при
одинаковых степенях s в разложениях обеих частей равенства
r(s) = h(s + X — №(s)).
Если при этом для коэффициентов получается несколько
значений, то нужные значения выбираются из условий, что
при любом п
lmja^ + a2sk*+ . . . + anskn}=zo (sK*) (s —*0)
и при достаточно малых по модулю s
| 1 + dyS*-* + a2sK* +...-)- ansKn |^1.
Формула (4) немедленно дает разложение преобразования
Лапласа функции F(t, +0) в виде
00
j е-stF (t, + 0) dt = -Ц^- + b^ + bt& + Vя* + • • • (5)
0
Согласно упомянутой тауберовой теореме при t—► оо
F(t> + 0)~\~p+1^ + 1^ + -£T+... (6)
Та же теорема позволяет сделать вывод, что в случае,
если Г (s) аналитична в области s >—с, где с > О, то
справедлива оценка
О < F(t, + 0) - (1 - р)< ate-< u-e>',
где е—любое, хотя бы и сколь угодно малое
положительное число, ае — постоянная, зависящая от 8. Более точно
оценить поведение F(t, +0) при t—► оо можно,
отправляясь от разложения Г (s) в окрестности особой точки
(точек) с наибольшей действительной частью.
Соответствующая формула получается из той же тауберовой теоремы.
3. Поведение процесса при критической загрузке. Мы
знаем, что при критической загрузке, т. е. при р = 1,
очередь по вероятности стремится к оо при t—*оо. Таким
образом, проектировать такие системы в расчете на
длительное использование в стационарном режиме нет смысла.
Однако бывают ситуации, когда система массового обслу-

§ 4.3] ЗАДАЧА В НЕСТАЦИОНАРНОМ СЛУЧАЕ 261
живания рассчитывается на обслуживание кратковременного
потока (автобусы должны перевезти к месту работы за
30 минут определенное число людей). В таком случае может
оказаться выгодным сделать р равным или даже ббльшим
единицы. Но при этом важно знать, как будет вести себя
распределение F(t, х) при увеличении t. Как мы знаем,
формула (56) § 4.1 дает возможность легко находить
преобразование Лапласа функции F(t, x), коль скоро известна
F(t, + 0). Нашей целью будет исследование предельного
поведения F(t,-\-Q) при t—> оо в условии р = 1.
Предположим, что распределение И(х) обладает конечными
моментами до достаточно высокого порядка. Установим, что для
функции
00
(p(s) = \le-stF(t! + 0)dt
О
выполняются условия цитированной выше тауберовой
теоремы. Прежде всего, Г (s) — распределение случайной
величины, имеющей плотность:
00
T(s)=^e-sx^(x)dx.
о
Пусть s:=G-|-/r, где о и /-—-вещественные числа. Тогда
со
Г (s) = \^е~ах (cos rx — I sin rx) i|) (x) dx.
о
При Re s^ О, s—*оо этот интервал равномерно стремится
к нулю: при | г | —► оо и 0 < а < а0 в силу известной леммы
Римана — Лебега, а при о—*оо в силу оценки
оо е
о о
Далее, ввиду того, что мы имеем дело с нерешетчатым
распределением, |Г(/г)|<1, откуда
1ФИК1—1^- ;
это означает, что на мнимой оси больше нет полюсов
функции cp(s), кроме полюса в точке s = 0.

262 ПРИМЕНЕНИЯ ПРОЦЕССОВ ВОССТАНОВЛЕНИЯ [ГЛ. 4
Исследуем поведение Г (s) при s—^0. Положим Г (s^l—е.
Подстановка в функциональное уравнение для Г (s)
приводит к равенствам
1 — e = A(s + A. —Я. (1 — е)) = А(^ + Я.е) =
= 1 _т (S + Хг) + -^ (s+Хг)* + о ((з + кг)*)у
где
со
о
Так как в нашем случае Хт = р = 1, находим:
Т8 = -^(8 + Хе)* + о((8 + Хе)*)у
откуда
e=*/g[i+*(D].
Имеем разложение
откуда по тауберовой теореме
'7С + 0)=/^+в(71Т) «-оо). (7)
Подобным же образом легко получить уточнение формулы (7),
используя разложения более высоких порядков.
§ 4.4. Однолинейная система в условиях большой загрузки
1. Загрузка прибора. При исследовании систем с
ожиданием особую роль играет параметр р = Хт, где Я
—параметр входящего потока, т — среднее время обслуживания.
Результаты § 4.1 и 4.2 показывают, что при р < 1
определенные случайные процессы, связанные с работой системы
обслуживания, обладают эргодическим распределением, в то
время как при р ^ 1 система обслуживания
характеризуется тем, что с вероятностью, сколь угодно близкой к 1,
требованию, которое поступит достаточно поздно, придется
ждать начала обслуживания сколь угодно долго. Было
доказано также, что доля времени, на протяжении, которого

§ 4.4]
ОДНОЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА
263
прибор занят, при р ^ 1 равна р. Поэтому величина р
называется загрузкой прибора.
2. Предельные теоремы. Интересно исследовать тот
случай, когда загрузка не в точности равна 1, но близка
к 1. Именно, предположим, что р = 1—е, 8 > 0, и
исследуем тот предельный случай, когда е—*0. Математическое
ожидание при этом будет расти до бесконечности, имея
порядок —. Поэтому вместо времени ожидания у и числа
требований в системе v будем рассматривать
нормированные величины
Теорема. При р —► 1 и конечной дисперсии о2 ере*
мени обслуживания функция распределения случайной
величины у сходится к функции распределения показательного
закона:
_ 2ХХ
Р{у>х}-^е °2+*\ (1)
Доказательство. Эргодическое распределение
времени ожидания, как показано в § 4.1, имеет следующее
преобразование Лапласа — Стилтьеса:
фы= tl£. .
() 1-х 1=*<й
S
Характеристическая функция этого распределения,
равная значению преобразования Лапласа — Стилтьеса при чисто
мнимых значениях аргумента
Ф(/) = Ф(—«),
имеет вид
Ф(') = ,'7-4,(0 №(<) = *(-")). (2)
1 — il\i
Известно, что если последовательность
характеристических функций сходится к некоторой характеристической
функции, то последовательность функций распределения,
соответствующая последовательности характеристических
функций, сходится к функции распределения,
соответствующей предельной характеристической функции. На основании

264 ПРИМЕНЕНИЯ ПРОЦЕССОВ ВОССТАНОВЛЕНИЯ [ГЛ. 4
этого факта для доказательства теоремы достаточно уста
новить, что при р—И характеристическая функция слу
чайной величины у сходится к выражению
1
,_«(*±г)
(3)
представляющему характеристическую функцию
показательного закона распределения с математическим ожида-
нием —^—. Для доказательства заметим, что умножение
случайной величины на постоянную соответствует
умножению на ту же постоянную аргумента характеристической
функции. Поэтому, если ср (t) — характеристическая функция
случайной величины у, то
Et Et
Так как согласно предположению время обслуживания
имеет конечную дисперсию, то характеристическую
функцию этой случайной величины в окрестности нуля можно
представить по формуле Тейлора
Подставив в предыдущее выражение и перейдя к
пределу при е—*0, получим выражение (3). Теорема доказана.
Аналогичный результат справедлив и для распределения
числа требований, находящихся в системе в произвольный
момент времени в установившемся режиме.
Теорема. При р —► 1 и конечной дисперсии о2
времени обслуживания функция распределения случайной
величины v сходится к функции распределения показательного
закона:
2Х2Х
1 JQ-* 1
Доказательство. Воспользуемся формулой Полла-
чека— Хинчина производящей функции распределения числа

§ 4.4]
ОДНОЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА
265
находящихся в системе требований:
Sp/ =
(1 — р) (1 — 2Г) fe (X (1 —2))
Л(М1—*)) —*
Если п (z) — производящая функция некоторой
случайной величины, а ф (t) — характеристическая функция, то
последняя равна
q>(t) = n(eif).
Следовательно, характеристическая функция случайной
величины v имеет вид
(l-_p)(l_gft)ftft(l_g«))
к(к(\—еп)) — еп
Если обозначить через l(t) характеристическую функцию
случайной величины v, то получим:
е(1—e/te)A[Ml—erte)J
l(t)
Л[Ч1 —О]—*
it*\} 0it*
Поскольку согласно предположению время обслуживания
обладает конечной дисперсией, то при любом конечном t
и 8—>о имеет место разложение по формуле Тейлора
h (к (1 - еш)) = 1 + iteXx—— (K\i2 + r) + o (e2).
Подставив в предыдущую формулу и устремив 8 к нулю,
получим:
Ит7(0= 5М^~ '
2т2
что и требовалось.
Замечание. В§ 1.2 было доказано, что при
показательно распределенной длительности обслуживания время
ожидания в стационарном случае имеет в качестве закона
распределения экспоненту со скачком в нуле, а
вероятности распределены по геометрическому закону. Доказанные
теперь предельные теоремы показывают, что в условиях
большой загрузки прибора, т. е. в том случае, когда 1—-р
можно считать малой величиной, распределения времени

266 ПРИМЕНЕНИЯ ПРОЦЕССОВ ВОССТАНОВЛЕНИЯ [ГЛ. 4
ожидания и числа требований в системе в пределе имеют
столь же простую структуру.
Теоремы подобного типа, выясняющие характер
предельного поведения процесса обслуживания при загрузке,
стремящейся к критическому значению, справедливы при
значительно более общих условиях, чем те, которые были
приняты в настоящем параграфе. Ниже этому вопросу будет
уделено внимание при исследовании более сложных систем.
§ 4.5. Однолинейная система с ожиданием
при учете возможности выхода прибора
из строя и восстановления
1. Возможные постановки задач. Большую важность
для практических приложений представляет обобщение
изученной в предыдущих параграфах схемы массового
обслуживания на тот случай, когда обслуживающий прибор выходит
из строя, требуя ремонта (восстановления). Действительно,
a priori очевидно, что существуют системы обслуживания,
для которых при данной интенсивности входящего потока
время ожидания и величина очереди обладают эргодическим
распределением; если же учесть, что определенная доля
времени идет на ремонт прибора ввиду систематических
поломок, то очередь в самом деле будет расти до
бесконечности. Поэтому необходимо уметь устанавливать условия,
эргодичности и находить различные характеристики
обслуживания также для «ненадежных» приборов.
С практической точки зрения интересны несколько
различных математических постановок, схематизирующих выход
прибора из строя и его восстановление, а также правила
обслуживания требований, которые застают прибор в
нерабочем состоянии. Прежде всего, прибор может выходить
из строя либо только при обслуживании требований, либо
только в свободном состоянии (когда требований в системе
нет), либо как в том, так и в другом состоянии. Очевидно,
в каждом из этих случаев должен быть сформулирован
статистический закон, согласно которому происходит выход
из строя. Во многих случаях хорошее согласие с реальной
ситуацией дает предположение о том, что прибор выходит
из строя чисто случайно, т. е. выход из строя за
время h может произойти с вероятностью ah-\-o(h)} незави-

§ 4.5] ОДНОЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА С ОЖИДАНИЕМ 267
симо от того, что было до этого времени. Можно считать
параметр а переменной величиной, равной av если
прибор в рассматриваемый момент времени занят обслуживанием
некоторого требования, и равной а0, если прибор
находится в свободном состоянии.
Сформулированное предположение равносильно тому, что
время непрерывной работы (срок службы) прибора в
занятом или свободном состоянии имеет показательное
распределение,
В более общем случае время непрерывной работы прибора
представляет случайную величину с законом распределения, не
обязательно сводящимся к показательному. Возникает
также вопрос, каким образом отсчитывать время непрерывной
работы. В реальных системах обслуживания иногда
представляет интерес схема, согласно которой прибор может
выйти из строя за время от t до t-\- h с вероятностью,
зависящей от того, сколько времени прошло от начала
периода занятости, длящегося в момент t. В схеме,
рассмотренной Т. П. Марьяновичем, указанная вероятность
зависит от иной величины, а именно, от времени, прошедшего
с момента начала обслуживания требования, которое в
момент t находится на обслуживании. Зачастую играет роль
только время, прошедшее с момента последнего
восстановления прибора.
Длительности восстановления прибора после
последовательных выходов из строя обычно считаются независимыми
и одинаково распределенными. Их распределение может,
однако, зависеть от того, вышел ли прибор из строя в
момент времени, когда он был занят обслуживанием
требования, или это произошло, когда прибор был свободен.
В большинстве работ предполагается, что время
восстановления прибора распределено по показательному закону:
с точки зрения приложений важно освободиться от такого
допущения.
Предположим, что в момент выхода прибора из строя
производилось обслуживание некоторого требования. После
окончания ремонта прибора требование вновь поступает на
прибор для окончания обслуживания: в первой схеме время
обслуживания требования после восстановления прибора не
зависит от ранее затраченного времени, во второй схеме это время
«запоминается» и остаточное время обслуживания сокращается.

268 ПРИМЕНЕНИЯ ПРОЦЕССОВ ВОССТАНОВЛЕНИЯ [ГЛ. 4
Возможны, конечно, и промежуточные схемы.
Представляет интерес также схема обслуживания, в которой
требование может вообще покинуть систему с некоторой
вероятностью, если во время обслуживания этого
требования прибор вышел из строя.' Такая постановка
исследована Т. П. Марьяновичем. Ниже мы рассмотрим различные
постановки из очерченного круга, начав с самой простой.
2. Выход из строя в свободном состоянии. Допустим,
что прибор может выйти из строя только тогда, когда он
не занят обслуживанием требований. Если в момент t
закончился период занятости прибора и до момента t-\-x
другие требования не поступили, то за это время прибор
х
может выйти из строя с вероятностью D0 (х) = \ dQ (t) dt.
о
Стало быть, D0 (x) — функция распределения срока службы
прибора в свободном состоянии. Время восстановления
прибора предположим случайной величиной с функцией
распределения R0(x) и конечным математическим ожиданием т0.
Для параметра входящего потока, распределения времени
обслуживания и загрузки прибора мы сохраним те же
обозначения, что и в предыдущих параграфах.
Практически важными характеристиками обслуживания
являются следующие величины:
распределение времени ожидания в произвольный момент
времени, т. е. времени с момента t до того момента, когда
прибор сможет обслужить требование, которое поступило бы
в момент t\
вероятность того, что прибор в данный момент времени
свободен;
вероятность того, что прибор в данный момент времени
находится в исправном (или неисправном) состоянии.
Все указанные характеристики обслуживания можно
изучить, воспользовавшись соответствующим образом
построенным марковским процессом. Рассмотрим случайный процесс
£(<) = {'('), Y(0}.
Первая компонента этого процесса, т. е. /(£), может
принимать только два значения: 0 и 1. Если /(/) = 0, то
это означает, что в момент t прибор находится в исправном
состоянии и, кроме того, в этот момент в системе отсут-

§ 4.5] ОДНОЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА С ОЖИДАНИЕМ 269
ствуют требования. Если же прибор в момент t находится
в неисправном состоянии или занят обслуживанием
требования, то l(t) = 1.
Вторая компонента у (t) имеет различный физический
смысл в зависимости от того, равна первая компонента о
или 1. В первом случае y(t)— это время с момента t до
того момента, когда прибор вышел бы из строя, если
после t поток требований прекратится; во втором случае
у (t) — время с момента t до того момента, когда прибор
начнет обслуживание требования, если бы это требование
поступило в момент t. Обозначим
Ft(x, t) = P{l(t) = i, y(t)<x}; F{(x)=:lim Ft(x, t). (1)
Ограничившись стационарным случаем, докажем теорему.
Теорема. Предел в (1) всегда существует. При р^1
этот предел равен О при любом конечном х; если р < 1,
то Ft(x) удовлетворяют системе интег ро-дифференциальных
уравнений
F'o (х) _ XF0 (х) + F\ (0) D0 (x) = F0 (0), (2)
X
F\ {x) -%F1 {x) + %\h(x -y) dF1 (y) + F'0 (0) R0 (x) +
0
+ XFQ(oo)H(x) = F'1(0) (3)
с дополнительным условием
/7o(oo) + /71(oo)^l, Fq(0) = F1(0) = 0. (4)
Доказательство. Предположим, что р<1.
Установим, что случайный процесс £(t) обладает эргодическим
распределением. Для этого понадобятся две леммы.
Лемма 1. При р < 1 период занятости прибора для
системы, в которой прибор не может выходить из строя,
обладает конечным математическим ожиданием.
В самом деле, по формуле (2, § 4.2) преобразование
Лапласа — Стилтьеса распределения периода занятости
удовлетворяет уравнению
r(s) = h[s+k — XT(s)].
Продифференцировав по s, получим:
Г' (s) = h'[s + k-Xr (s)] [ 1 - КГ {s)]

270 ПРИМЕНЕНИЯ ПРОЦЕССОВ ВОССТАНОВЛЕНИЯ [ГЛ. 4
или
W [s+A, —AT(s)]
Г (s) =
l+Mi'ls + k — kTis)] '
Поскольку по теореме § 4.2 при р^1
limO(^) = l,
X -> 00
то Г (0) = 1. Подставив в предыдущую формулу $ = 0,
будем иметь:
Г'(0)= *'(0)
1 [V) l-f-M'(O)'
т. е. математическое ожидание периода занятости для
системы, в которой прибор не может выходить из строя, равно
1—- < °°-
Возвратимся теперь к нашей системе обслуживания,
в которой возможен выход прибора из строя. Под периодом
занятости прибора будем понимать такой интервал времени,
в начале и в конце которого /(^) = 0, а для всех t из этого
интервала /(/)=£0.
Лемма 2. При р < 1 период занятости для
рассматриваемой системы обслуживания обладает конечным
математическим ожиданием.
Доказательство. Пусть tQ — момент окончания
некоторого периода занятости и £ — длительность следующего
периода занятости.
Возможны два взаимно исключающих друг друга случая:
1) после момента tQ поступит требование, причем прибор
до этого еще не выйдет из строя;
2) прибор выйдет из строя раньше, чем в систему
поступит требование. Так как функция распределения времени
непрерывной работы прибора равна DQ (х)у а поток
требований— простейший, то вероятности, с которыми
осуществится первый и второй случаи, равны соответственно
со со
X^e-KX[\—D0(x)]dx и x\e-XxDQ{x)dx.

§ 4.5] ОДНОЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА С ОЖИДАНИЕМ 271
Следовательно,
Щ = *■ J е~'"Х П - А> (*)] dx M&+ X $ е->лО0 (*) dxM&,
О О
где Л1г-£ — условное математическое ожидание £ при условии,
что осуществился /-й случай (/ = 1 или 2).
Очевидно, М£ совпадает с математическим ожиданием
периода занятости для системы, в которой прибор не
может выходить из строя, т. е.
УИХС = i—5— -
lt5 l —p
Что касается М2£, то эта величина равна
GO
/1=0
где рп — вероятность того, что за время восстановления
в систему поступит ровно п требований, тп — математическое
ожидание £ при этом условии.
Очевидно, что тп равно сумме математического
ожидания времени восстановления прибора и математического
ожидания п периодов занятости для прибора, не выходящего
из строя. Итак,
о ^ л = о '
со
= ${че1х + -^-/х}е-1хс1Я0(х) =
О
О
Окончательно получим:
со
Ml = пг-р + ь=7х le~kX D°{x) dx ^т^ тах <Т- Т° > <со-

272 ПРИМЕНЕНИЯ ПРОЦЕССОВ ВОССТАНОВЛЕНИЯ [ГЛ. 4
Возвратимся теперь к доказательству теоремы. Процесс
£(/) является регенерирующим процессом; моментами
регенерации 5того процесса будут те моменты времени tn,
когда /(*„-())= 1, l(tn + 0) = 0. Интервал ta = tn+1-tn
между двумя последовательными моментами регенерации
складывается из времени до первой поломки или
поступления требования (в зависимости от того, что произойдет
раньше) и последующего периода занятости. Значит,
00
Mt„ = §e-"[\-D0(x)]dx + T^ +
О
00
+ Т^ х I e~Xx Do (■*) dx < оо.
О i
Первое из случайных слагаемых, составляющих £я,
обладает плотностью как минимум двух независимых случайных
величин, каждая из которых обладает плотностью. Мы
находимся в условиях применимости зргодической теоремы
для регенерирующих процессов и, следовательно, можем
заключить, что случайный процесс Q(t) обладает эргоди-
ческим распределением.
Для доказательства той части теоремы, которая
касается случая р < 1, достаточно показать, что эргодическое
распределение удовлетворяет системе интегро-дифференци-
альных уравнений (2) —(3) с условиями (4). Для этого
выясним некоторые свойства процесса £(£) = {/(£), y(t)}.
Прежде всего, вторая компонента у (t) непрерывно убывает
со скоростью, равной 1. В самом деле, у (t) всегда
означает время с момента t до момента окончания некоторого
события. Если в систему поступает требование, время
обслуживания которого равно у, то у (t) получает
приращение, равное y> в том случае, когда непосредственно перед
этим было l(t)=\, и просто принимает значение у в том
случае, когда перед этим моментом прибор был свободен.
Когда период занятости заканчивается, то у (t) принимает
значение, равное времени до следующей поломки. Что
касается первой компоненты процесса Z>(t), то закон ее
изменения ясен из определения этой случайной величины.
Из изложенного ясно, что коль скоро х— точка, в
которой функции FQ(x), Fx(x), D0(x), R0(x) и Н (х) имеют

§ 4.5] ОДНОЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА С ОЖИДАНИЕМ 273
производные, то справедливы формулы
FQ (х) = [FQ (x + h)- F0 (h)] (1 - Щ + Fx (h) D0 (x) + o(h),
x
F1(x) = [F1(x + h)-F1(h)](\-Xh) + Xh[H(x--y)dFi(y) +
+ F0(h)R0(x) + UF0(oo)H(x) + o(h),
переходящие при h—►() в уравнения (2) и (3).
Условие (4) непосредственно очевидно из вероятностных
соображений. Случай р ^ 1 исследуем так же, как и в § 4.2.
Перейдем теперь к определению функций F0 (x) и Fx (x).
Так же как и в более простом случае, когда прибор
предполагался абсолютно надежным, устанавливается
абсолютная непрерывность функций FQ(x) и Рх{х). Значит,
выведенные уравнения можно решать, используя обычные
правила для преобразования Лапласа.
Введем обозначения:
00
Ф,.(5)= \e-sxFl{x)dx (/=1, 2),
О
00 СО
До (*) = S «"'* d0 (*) dx, P0 (s) = $ e~sx dR0 (x),
0 0
00
h(s) = S\)e-sxdH{x).
0
Применив к обеим частям уравнений (2) и (3)
преобразование Лапласа, получим:
фо(,)(1-А) + ^(0)д-^ = ^)
<Di(s)[l
ИЛИ
Fo(0)-F'1(0)Ao(s)
Ф0 (s) = j—^ , (5)
л, , Fi (°)-fo (°) Po M-bF0 (oo) h (s)
Ф1 ^S) = s-Ml-Ms)] (6)

274 ПРИМЕНЕНИЯ ПРОЦЕССОВ ВОССТАНОВЛЕНИЯ [ГЛ. 4
Уравнения (5)—(6) определяются преобразованиями
Лапласа — Стилтьеса искомых функций F0(x) и F1(x)1 если
известны постоянные F0 (0), Fx (0) и F0(oo). Эти
постоянные можно определить как из вероятностных
соображений, так и чисто аналитически. Опишем второй способ.
Левая часть равенства (5) определяет аналитическую
функцию в полуплоскости Re{s}>0. Следовательно, в
точке, где знаменатель правой части этого равенства
обращается в нуль, должен обратиться в нуль и числитель.
Отсюда имеем соотношение
М0) = Д0(Х)К(0). (7)
Обратимся к равенству (6). Левая часть его ограничена
при Re {s} > 0. Знаменатель правой части при s = Q
обращается в нуль. Записав условие равенства нулю в этой
точке для числителя правой части, получим:
F1(0)^F0(0) = kF0(oo). (8)
Из уравнений (7) и (8) можно выразить F0 (0) и Fx (0)
через одну неизвестную постоянную F0(oo):
го^- 1_д0(Х) '
Подставив эти соотношения в (5) и (6), получим:
ф , MA0(X)-A0(s)]F0(oo) ,Q.
0,,~ (s —Л.)[1 —А0(Х)1 * <9)
ф /,ч_д 1-*(«) + AqW[A(»)-Pq(s)] р ,. nm
Ф1(*)-А' {8_Х[1-Л(8)]}[1-Д0(Х)] F»(0°)- (10)
Используем теперь условие (4), из которого следует, что
Фо(0) + Ф1(0) = 1. в окрестности нуля преобразования
Лапласа— Стилтьеса распределений И(х) и R(x) допускают
разложение
h(s) = \—xs + o(s), P0(s) = \-t0s + o(s).
Если подставить эти соотношения в два равенства и
перейти к пределу при s—+0> то получим:
Ф0(0) = ,Р0(оо),
Ф1(0)-Х(1-р)[1-Д.(Л)/«(оо)-

§ 4.5] ОДНОЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА С ОЖИДАНИЕМ 275
Из условия (4) вытекает равенство
или
Окончательно подстановка в формулы (9) и (10) дает:
CD (Л- Х(1 —р)[Д0(Х) —Ap(s)] мп
%^-^Ч[1-д0(Ц(1-и0)] ' {il)
(h /M-^(1-p){1-/t(s) + Ao(^)[/t(s)-po(s)]} по\
^iW— {s—X [1—/г (s)]} [1 —A0 W (1 —Xr0)J • ^'
Таким образом, найден вид преобразований Лапласа —
Стилтьеса распределения случайного процесса £(£) в
установившемся режиме.
Располагая формулами (11) — (12), можно легко
определить наиболее интересные характеристики обслуживания;
некоторые из них мы вычислим.
1. Пусть Ф(^) — преобразование Лапласа— Стилтьеса
распределения ожидания G>(f). Очевидно, если /(^) = 0, то
также о)(0 = 0; если же l(t) = \, то ю(/)=у(0- Значит,
Q)(s) = Me-si»W =Ф0(0) + Ф1(5).
2. Вероятность того, что прибор в установившемся
режиме свободен и находится в исправном состоянии, нам уже
встречалась. Она равна
фо(0) = ро{оо)-——j—-^ ,
3. Вероятность того, что прибор в установившемся
режиме находится в неисправном состоянии, можно вычислить
следующим образом,
Вспомним, что £(*) — регенерирующий процесс, а
моменты окончания периодов занятости являются его
моментами регенерации. Математическое ожидание интервала
между последовательными моментами регенерации равно
Mta = §e-"[l-D0(x)]dx+r^+xf=± j ег* D0(x)dx =
о ' о
1-(1-Хт0)Л0Щ
М1-Р)

276 ПРИМЕНЕНИЯ ПРОЦЕССОВ ВОССТАНОВЛЕНИЯ [ГЛ. 4
На протяжении указанного интервала времени прибор
может выйти из строя с вероятностью
00
X^e-lxD0(x)dx = A0(X).
о
Время пребывания в неисправном состоянии равно времени
восстановления прибора; его математическое ожидание было
обозначено через т0.
Следовательно, средняя доля времени, на протяжении
которого прибор находится в неисправном состоянии, или,
что то же, вероятность пребывания прибора в неисправном
состоянии в установившемся режиме, равна
а,т0А0Щ(1-р)
1-(1-Ьт0)Д0(Ь) *
3. Выход из строя в занятом состоянии. Совершенно
ясно, что схема обслуживания, подробно изученная в
предыдущем пункте, является очень частной; для приложений
важно сделать такое ее обобщение, в котором учитывается
возможность выхода из строя прибора в моменты времени,
когда он занят обслуживанием требований. Однако для
широкого класса постановок об обслуживании ненадежным
прибором можно пользоваться предыдущим результатом;
необходимо только по-иному интерпретировать время
обслуживания.
Поясним сказанное на примере. Предположим, что во
время обслуживания требования прибор может выйти из
строя за малое время h с вероятностью аг/г + о(/г),
независимо от того, что было до этого. Время восстановления
предположим случайной величиной с функцией
распределения Rx{x). Относительно выхода прибора из строя в
незанятом состоянии сохраним те же предпосылки, что и в
предыдущем пункте. Пусть в момент t0 началось
обслуживание некоторого требования. Обозначим через р время
от момента t0 до того момента, когда прибор будет
способен к обслуживанию следующего требования. Время р
может состоять из времени обслуживания требования,
поступившего на обслуживание в момент t0 (это произойдет
в том случае, когда прибор за время обслуживания не
выйдет из строя); если же прибор за это время вышел

§ 4.5] ОДНОЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА С ОЖИДАНИЕМ 277
из строя п раз, то Р будет состоять из времени
обслуживания и п времен восстановления прибора. По формуле
полной вероятности
П = 0 О
где R\ (x) — функция распределения суммы п независимых
случайных величин с функцией распределения /?! (.*:), если
п ^ l,/?i0)= 1. Очевидно, что для времени ожидания
произвольным требованием начала обслуживания в высшей
степени безразлично, какая доля времени истрачена прибором
на обслуживание и какая — на восстановление, важно лишь
то, через какое время после начала обслуживания того
или иного требования прибор приспособлен к обслуживанию
следующего требования. Следовательно, если под временем
обслуживания понимать случайную величину р, то время
ожидания произвольного требования в установившемся
режиме будет определяться формулами (11) — (12), в которых
h (s) заменена преобразованием Лапласа — Стилтьеса hAs)
случайной величины р.
В приведенном примере
Ар (s) = s§ в— JLJ£ J"/?!"' (x-y) ^f- е-УЦН[у)\ёх =
о ^п=оо '
= h(s + a-P1(s))1
где P±(s) — преобразование Лапласа —Стилтьеса
распределения времени восстановления прибора при условии, что
выход из строя произошел во время обслуживания
требований. Можно вывести условие, при котором случайный
процесс £(/) обладает эргодическим распределением. Для
этого вычислим математическое ожидание случайной
величины р, взяв производную от функции h^(s) no s при
М?= —Щ (0) = —А' (0) [1 — аР[ (0)] =т [1 + ахг].
Немедленно выводим, что условием эргодичности процесса
£(/) является неравенство
Хт[1 +ат1]=р [1 +atj < 1.

278 ПРИМЕНЕНИЯ ПРОЦЕССОВ ВОССТАНОВЛЕНИЯ [ГЛ. 4
Как и следовало ожидать, при некоторых значениях
параметров процесс, обладающий зргодическим
распределением при абсолютно надежном приборе, теряет это свойство,
когда прибор подвержен случайным поломкам.
Прием, которым мы только что воспользовались,
позволяет столь же просто рассмотреть и другие постановки.
Сформулируем простую, но полезную теорему.
Теорема. Пусть время р, через которое прибор
способен к обслуживанию следующего требования, не зависит
от событий, предшествовавших обслуживанию некоторого
требования, если известно, что это обслуживание началось
в данный момент времени. Пусть h* (s) — преобразование
Лапласа—Стилтьеса распределения случайной величины р.
Тогда необходимым и достаточным условием существования
эргодического распределения процесса £ (t) является
неравенство » . _.Q . ,
р* = Шр < 1.
Если это условие выполнено, то преобразование Лапласа —
Стилтьеса эргодического распределения случайного процесса
£(t) определяется формулами (11)— (12), в которые в
качестве h(s) подставлено преобразование Лапласа—Стилтьеса
случайной величины Р, а параметр р заменен на р*.
Ряд подстановок такого рода рассмотрел Т. П. Марья-
нович. Пользуясь иным методом, он определил
распределение числа требований, находящихся в системе в
установившемся режиме, и вероятность пребывания прибора в
неисправном состоянии.
4. Изучение влияния частичного выхода из строя. До
сих пор мы рассматривали приборы, которые могут
находиться лишь в двух состояниях: исправном и неисправном.
В исправном состоянии прибор способен к обслуживанию
требований в одинаковой степени в любой момент времени
(это отражено в том, что длительности обслуживания
различных требований одинаково распределены и независимы);
в неисправном состоянии прибор безусловно не способен
к обслуживанию и требует ремонта (восстановления).
Однако в реальных ситуациях обслуживающий прибор может
быть способным к обслуживанию требований в большей
или меньшей степени в тот или иной момент времени. Для
примера представим себе, что обслуживание — это передача
каких-либо донесений по радио. С течением времени изме-

§ 4.5] ОДНОЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА С ОЖИДАНИЕМ 279
няется уровень внешних помех, что ведет к изменению
скорости передачи информации. Еще один пример доставляет
система передачи информации, предусматривающая несколько
способов передачи, каждый из которых характеризуется
своей скоростью передачи информации; при выходе из строя
одного устройства переходят на другое.
Учет данного обстоятельства вносит большое
разнообразие в математические постановки задач массового
обслуживания. Здесь мы ограничимся лишь одним из возможных
подходов, который, как нам кажется, еще не отражен в
литературе.
Примем «энергетическую» интерпретацию обслуживания:
обслуживание каждого требования будем интерпретировать
как выполнение прибором некоторой работы, причем
величины работы, соответствующие различным требованиям,
предположим независимыми, одинаково распределенными
случайными величинамиwlt w2, .. ., wni ... с общей функцией
распределения Н(х). Предположим далее, что почти в каждый
момент времени прибор обладает мощностью E(t),j. е. с
момента t до момента t -J- h прибор может выполнить Е (t) h-\-o (h)
единиц работы. Если допустить, что мощность прибора
постоянна: E(t)=zE, постановка в точности будет сводиться
к задаче об обслуживании с ожиданием, причем функция
распределения времени обслуживания будет равна И{Ех).
Рассмотренная ранее постановка с выходом прибора из
строя также вкладывается в новую энергетическую
постановку. В самом деле, в моменты, когда прибор находится
в неисправном состоянии, естественно считать мощность
равной нулю; исправному состоянию прибора припишем
ненулевую мощность.
Схема обслуживания будет описана полностью, если мы
зададим закон, по которому мощность прибора изменяется
с течением времени. Примем следующее предположение.
Прибор может находиться в каждый момент времени в
одном из п состояний: 1-м, 2-м, ..., я-м; i-щ состоянию
соответствует значение мощности, равное Е(. Переход из
состояния в состояние происходит случайным образом: если
момент t прибор находится в i-ы состоянии, то за малое
время h он может перейти в у-е состояние с вероятностью
qi;h-{-o(h). Другими словами, состояния прибора образуют
однородный марковский процесс / (t).

280 ПРИМЕНЕНИЯ ПРОЦЕССОВ ВОССТАНОВЛЕНИЯ [ГЛ. 4
В данной постановке нас будут интересовать
следующие характеристики обслуживания:
распределение величины работы, которую должен
выполнить прибор с момента t для окончания обслуживания тех
требований, которые к моменту t уже имелись в системе;
распределение времени ожидания требования, которое
поступило бы в момент i\
вероятность того, что в данный момент времени система
свободна от требований и прибор находится в заданном
состоянии.
При изучении системы с ожиданием особую роль играл
параметр
т. е. загрузка системы. В настоящей постановке также
можно ввести понятие загрузки, от величины которой
будет существенно зависеть характер процесса обслуживания.
Прежде всего заметим, что процесс / (t) не зависит от
процесса обслуживания. Предположим, что из любого
состояния i возможен переход в любое другое состояние j за
некоторое время. Тогда согласно эргодической теореме § 3.1
существует эргодическое распределение процесса /(/),
задаваемое вероятностями
рд.= lim p {/(/) = /}, 1 ^/ ^.п.
Предположив, что в момент t распределение l(t)
совпадает с зргодическим распределением, и рассмотрев
распределение l{t-\-h), получим соотношения
Pi = ( 2 Яцк) Pi + 2 Pflnb + o(h), 1 < / < л,
из которых в пределе при /г —*0 получается система
уравнений
Условие нормировки
t = l
определяет единственное решение этой системы, имеющее
интересующий нас вероятностный смысл.

§ 4.5] ОДНОЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА С ОЖИДАНИЕМ 281
Определим теперь среднюю мощность прибора как
Е=% EiPi.
1 = 1
Из эргодической теоремы, о которой мы упоминали,
вытекает, что
lira Р{\1г[ Е(t) dt —Ё\> г\ = 0;
это оправдывает понятие средней мощности.
Введем теперь загрузку системы р посредством
соотношения ..
л Mwf
Г Е
Последующее рассмотрение покажет роль, которую
играет это понятие.
Введем случайный процесс Y*(0> определив его как
величину работы, которую должен выполнить прибор с
момента t для окончания обслуживания тех требований,
которые к моменту t уже имелись в системе (ясно, что если
прибор в данный момент времени свободен, то у* (t) ■=()).
Рассмотрим теперь двумерный случайный процесс
l*(t) = {l(t), y*(t)}.
Очевидно, что £* (t) представляет собой марковский
процесс. Действительно, коль скоро фиксирована первая
компонента, дальнейшее изменение ее после момента t уже не
зависит от прошлого; если первая компонента после момента /
реализовалась в виде некоторой функции /(т), то вторая
компонента будет зависеть только от потока требований
после момента t и требуемых величин работы, которые
также не зависят от того, что происходило до момента t.
Распределение процесса £* (t) в любой момент времени
зададим функцией
F\(x, t)=P{l(t) = l, Y* (*)<*}.
Теорема. Необходимым и достаточным условием
существования эргодического распределения процесса £* (t)
является неравенство
р<1.

282 ПРИМЕНЕНИЯ ПРОЦЕССОВ ВОССТАНОВЛЕНИЯ [ГЛ. 4
При выполнении этого условия пределы
F* (х) = lim F\ (х, t)
tf->oo
удовлетворяют системе интегр о-дифференциальных
уравнений
X
Eft (х)- (*+2 q<j)Fi {x)+JlS Н1*~У) dFi Су) +
+ 2 ЯцР, {х) = 0 (1 < i < n). (14)
Доказательство. Вывод уравнений (14) ничем не
отличается от вывода уравнения (3) для функции
распределения времени ожидания F{. Несколько иным будет
лишь доказательство того факта, что при р < 1 случайный
процесс £* (t) обладает зргодическим распределением*
Чтобы убедиться в этом, заметим, что данный процесс
является регенерирующим процессом. В качестве моментов
регенерации можно выбрать такие моменты времени tni, для
каждого из которых
Y*(*B/-0)>0, Y* (<„* + <>) = 0, /(*„,) = '.
где / — любое, но фиксированное состояние процесса /(/).
Пусть L —наибольшее из чисел Ev E2, ..., Еп% Обозначим
в=х-(1—р)
и докажем, что при Т—> оо отношение суммы длин тех
интервалов времени, в которых y(t) = Q и которые
расположены от / = 0 до/ = Г, к Г с вероятностью 1 больше,
чем е.
Для строгого доказательства нам понадобится одно
обобщение эргодической теоремы § 3.1, которое
формулируется следующим образом: пусть имеется однородный
марковский процесс с конечным множеством состояний,
причем из любого состояния возможен переход в любое
другое, и пусть Xk(t) —суммарная длина тех промежутков
времени от О до t, когда система находится в состоянии k.
Тогда с вероятностью 1 выполняется предельное соотношение
lim \xk(t)=Pk, 1<А<л. (15)

§ 4.5] ОДНОЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА С ОЖИДАНИЕМ 283
Воспользовавшись этой теоремой в применении к
процессу l(t), найдем, что
t
lim -i [E(x)dx = E. (16)
*->«> % J
0
Согласно усиленному закону больших чисел, а также
свойству простейшего потока для величины а(^) работы,
которую должен затратить прибор на обслуживание
требований, поступивших в интервале (0, t), выполняется
предельное соотношение
lim £iL) = XAfw/.
Следовательно, если а0 (t) — величина работы, которую
мог бы выполнить прибор за ту долю времени из интервала
(О, Г), на протяжении которой он свободен, то
lim ^ojQ^E—XMw^ (17)
Так как L — максимальное из возможных значение
мощности прибора, то доля времени, на протяжении которого
прибор свободен, в пределе не меньше, чем
—— 1==Е-
Поскольку математическое ожидание времени
непрерывного пребывания в соотношении y*(t) = Q конечно (это
время ограничено промежутком времени между двумя
событиями простейшего потока), то отсюда следует, что
среднее число моментов регенерации за единицу времени
с вероятностью 1 положительно.
Так как интервал между двумя последовательными
моментами регенерации раскладывается в сумму независимых
случайных величин, первая из которых распределена по
показательному закону, то весь этот интервал обладает
плотностью. Следовательно, все условия эргодической
теоремы для регенерирующих процессов § 3.2 выполнены.
Следовательно, процесс £* (t) обладает зргодическим
распределением, что и требовалось доказать.
Займемся теперь явным решением системы интегро-диф-
ференциальных уравнений (14), используя как аналитические,
так и вероятностные соображения.

284 ПРИМЕНЕНИЯ ПРОЦЕССОВ ВОССТАНОВЛЕНИЯ [ГЛ. 4
При помощи приема, который уже использовался
несколько раз на протяжении этой главы, легко установить
абсолютную непрерывность функций F( (х) и, таким
образом, обосновать законность применения к
исследованию системы (14) преобразований Лапласа. Обозначим
00
Ol(s)=le-"dFi(x), 1</<л, a, = Ft(0), 1<«<я;
О
оо
h(s)=\e-*xdH(x).
о
Применив к системе (14) преобразование Лапласа,
получим:
Ф, (s) {sE; _ X [ 1 - А (*)] - 2 qu) + 2 Чц Фу = satEit
1 7= i i ^ i
1 </</*. (18)
Система уравнений (18) имеет единственное аналитическое
решение Ф,-(s), 1 ^г'^/z при Re {s} > 0, если постоянные
ah фигурирующие в правых частях этих уравнений,
действительно соответствуют своему вероятностному смыслу,
т. е. равны вероятностям F((0). В самом деле, одно такое
решение непременно существует: это преобразование
Лапласа —Стилтьеса распределений F((x); мы докажем, что
в окрестности точки s = 0 определитель системы (18) не
обращается в нуль (если исключить саму точку s = 0); из
этого будет следовать единственность решения в
окрестности нуля, а затем по принципу аналитического
продолжения это решение единственным образом аналитически
продолжается на всю правую полуплоскость.
Итак, необходимо установить, что в некоторой
окрестности точки s = 0 определитель
\sE1 — X[l-A(s)] —2?i/ •■■fin I
i^1
qln. . . sEn-\[\-h(s)] — %qnJ\
(19)
не обращается в нуль.

§ 4.5] ОДНОЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА С ОЖИДАНИЕМ 285
При 5 = 0 данный определитель равен нулю (сумма
элементов каждого столбца этого определителя равна
нулю). Вычислим теперь производную Д' (s). Согласно
правилу дифференцирования определителей производная
определителя п-то порядка равна сумме п определителей,
/-й из которых имеет в качестве элементов i-Pi строки
производные от элементов /-й строки исходного
определителя; все остальные строки /-го определителя совпадают
с соответствующими строками исходного определителя,
1^/^/г. Следовательно,
A'(s) = [E1 + \h'(s)]
sE2-X[\-h(s)]-^q2J ... qx
л2
+ [E9 + W(s)}
q2n ... sEn-X[\-h(s)]-^qnj.
i t= n
sEl-X[\-h{s))-^qXJ
I * n
4nl
+
\Яы ••• sEa-\[l-h{s)]—^ga/
Подставив 5 = 0, получим:
+ ...
Д'(0) = [£1 + ЛА'(0)]
\2?v ••• ?»s
Чгп
; 5= я
+ [Ег + кк'(0)]
+
2«ч
19= 1
ЧпХ
Яш
1 7= п
+
или, если обозначить в этом разложении коэффициент
при [Et + Xh' (0)] через А,.,
Д'(0) = 2[^ + М'(0)]Д,.
Вспомним систему уравнений, из которой определяются р,-;
п
pi 24ij=^pj9ji, i < i < я, 2л=l•

286 ПРИМЕНЕНИЯ ПРОЦЕССОВ ВОССТАНОВЛЕНИЯ [ГЛ. 4
Так как процесс I (t) — эргодический, то эта система
имеет единственное решение. Но тогда из первых п
уравнений этой системы можно отбросить одно уравнение таким
образом, что оставшаяся система будет обладать тем же
единственным решением. Следовательно, по правилу Крамера
Pl:p2: ... :р„ = д;:(-д;): ... :(-\)п+1А*п,
где Д* — определитель матрицы, которая получится в
результате зачеркивания /-го столбца и последней строки в
матрице рассматриваемой системы п уравнений.
Непосредственно по виду Д*, с одной стороны, и ДЛ с другой
стороны, можно заключить, что для всех /, заключенных
между 1 и я, Д/ = (— 1)ПД*, либо для всех таких /
Д; = ( — 1)"+1 Д*. Но тогда Д|. = сор|.,где со — некоторый
множитель пропорциональности, Ф 0.
Заметим, что
1=1 i=1
и получим
Д' (0) =со [Ё+ М' (0)] = ®Ё (1 — р) ф 0.
Следовательно, при достаточно малых s=^=0
определитель не обращается в нуль, что и требовалось доказать.
Для полного решения задачи необходимо определить
постоянные аь 1^/^/z. Ради простоты выкладок
ограничимся случаем п = 2. Рассмотрение задачи для
произвольного п принципиально ничем не отличается и может
быть осуществлено по той же схеме.
При п = 2 определитель Д (s) имеет вид
\sE1-K[\-h(s)]—q12 q21 I
Я i2 sE2 — \[\—h(s)]-q2iy
A (s)
Поскольку функции Ф; (s) и, в частности, Фх (s) ана
литичны при Re {s} > 0, то в выражении для Фх (s
ввиду (18)
I «1^1 л Я 21
Ф г ч I а^Е2 sE2 — I [1 — h(s)]— q21
ll )~~\sE1-K[\-h(s)\-qu q2i
I Яи sE2 — %[\—h(s)] —q2l
(20)

§ 4.5] ОДНОЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА С ОЖИДАНИЕМ 287
Там, где знаменатель обращается в нуль, числитель
также должен быть равным нулю. Заметим, что
Д(0) = 0, Д'(0) = ^£(1—р)<0, Д(+оо)=+оо.
Pi
Значит, найдется такое положительное sQi при котором
Д (s) = 0. Отсюда получаем условие:
а2Е2 s0E2 + X [1 — h (sQ)]—q21 \
или
а1Е1 {s0E2 — %[\—h (sQ)] — q21} = a2E2q21.
Таким образом, получено одно соотношение между ах
и а2. Другое соотношение можно вывести из вероятностных
соображений. Действительно,
Ф1(0) + Фа(0)=/71(оо) + /?я(оо) = 1,
2W \s1E1 — Ml—Ms)] — <7i2 ^21 ' V '
так что если записать
| sEl — X [1 — h(s)] — q12 axEx
Ям
. —' . ..
q12 sE2 — X[\—h(s)] — q21
и найти пределы выражений (20) и (21) при s~> 0, то
получим:
Ф1(0)=Л[£(1-р)]л1£1+аа£я,
Ф2{0)^р2[Е{\^-9)]а1Е1-\-а2Е2,
откуда
a1£1 + fl2£2 = £(l— p).
Из этих двух полученных уравнений определяем ах и а2:
а = <?2i£(l —р)
1 ^{so^ + ^Il—/z(s0)]} '
а = ^(1 —Р)
2 ^2 {s0^x + ^ [1—^ (s0)]f "
Если подставить полученные выражения в формулы (20)
и (21), то получим окончательные выражения для Ф± (s) и
Ф2(*Ь

288 ПРИМЕНЕНИЯ ПРОЦЕССОВ ВОССТАНОВЛЕНИЯ [ГЛ. 4
Остановимся кратко на определении функции
распределения времени ожидания.
Если требование поступило в систему в момент
времени t, то время ожидания до начала обслуживания будет
зависеть от состояния прибора в данный момент времени
и той работы, которую должен выполнить прибор для
окончания обслуживания требований, уже имевшихся в
системе. Значит, если у (t)— время ожидания до начала
обслуживания и
G (*) = lim Я {у (*)<*}.
t ->■ со
ТО
со
Q(*) = S J G^x, y)dF{{y),
1 = 1 о
где
0,{х, у) = l\m P{у (t)^x\l(t) = l, y*(t-0)=y).
t -* со
Функции Gi (х,у) удовлетворяют системе
дифференциальных уравнений:
У T^i У 5= I
(22)
Эта система получается из следующего соображения.
Предположим, что l(t) = i в момент t, y*(t)=y и что при
этом y(t)^.x. Если за время от t до t-\-h прибор не
изменил состояния, то у (t-\-h) ^ x — h; y*(t-{-h) =
—y — Ejh) в противном случае y(t-\-h)^x—/г,
Y* (t + h)=y + 0(h). Снова предположим для простоты,
что # = 2.
Для отыскания функций Gx (а:, у) и G2 (x, у) будем
иметь два уравнения:
Щ^+Е1Щ^1) + д1Л01(х> y)_0t{Xt у)] = оЛ
tb££ + E,2^ + qn[0tixt y)-Gl(x, y)} = 0.
Предположим также, что Ег > Е2 > 0. Потребуем, чтобы
искомые функции Gx и G2) кроме того, удовлетворяли
некоторым граничным условиям.
(23)

§ 4.5] ОДНОЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА С ОЖИДАНИЕМ 289
\
Для области Е2 х < у < Ег х такими граничными
условиями (пределами функций при приближении точки области
к ее границе) будут следующие соотношения:
G1(xi E1x) = e-(i"x
(если у* (t) близка к Ехх, то для того, чтобы у (t)
превзошла х, достаточно, чтобы на протяжении времени х
произошел хотя бы один переход процесса l(t) в
состояние 2; поэтому с вероятностью, сколь угодно близкой к 1,
событие {у (t) > x} произойдет лишь в том случае, когда
за время х процесс I (t) ни разу не перейдет в состояние 2);
Gx (xy Е2х) = 1 (24)
(если у* (t) близка к Е2х, то с вероятностью, близкой к 1,
время ожидания будет меньше, чем х: противоположная
вероятность меньше вероятности того, что за малый
промежуток времени процесс перейдет в состояние 2);
02(х, Е2х)=\-е-^\
а2(х, ад = о [ZD)
(доказательство последних двух условий аналогично
доказательству первых двух).
Вне области Е2х <у < Ехх, т. е. при у <Е2х и при
у > Егх, функции Ох и G2 имеют значения, очевидные из
вероятностных соображений, а именно:
О,-(*, .У) = 1 ПРИ У<Е2х, * = 1, 2;
G{ (х, у) —0 при у > Ехх, i—\, 2.
Для определения этих функций внутри области
Е2х <Су < Ехх применим преобразование Лапласа. Обозначим
оо Е±х
gi(s, *) = $ e~"dx J e-tyQ^x, y)dy, i = \, 2.
о E2x
Тогда из (23) получим:
(s + tE1 + q12)gt(s, t)—q12g2(s, t) +
00
+ (E2-E1)\e-*(s+t^01(x, E2x)dx = 0,
0
(s+tE2 + q21)g2(s, t)—q21g1(s, t) +
00
+ (E2 — E1) J e~* <s + ^ G2 (x9 E±x) dx = 0.
0
10 Б. В. Гнеденко, И. Н. Коваленко

290 ПРИМЕНЕНИЯ ПРОЦЕССОВ ВОССТАНОВЛЕНИЯ [ГЛ. 4
Использовав условия (24)—(25), будем иметь:
(s + tEl + q12)g1(s, t) — q12g2(s, t) = (Ex —Е2) -^щ ,
(s + tE2 + q21)g2(s, t) — q21g1(s9 t) = 0,
откуда непосредственно определяются требуемые
преобразования Лапласа.
§ 4.6. Обслуживание с преимуществом
1. Предпосылки и обозначения. В § 1.7 была выяснена
практическая важность рассмотрения систем массового
обслуживания, характеризующихся преимущественным
обслуживанием требований одного типа перед требованиями
других типов. Там же были перечислены основные постановки
задач об обслуживании с преимуществом. В настоящем
параграфе мы исследуем более общие постановки в
соответствии с назначением данной главы, имеющей целью
обобщение аналитических результатов главы 1 на случай, когда
длительность обслуживания имеет произвольное
распределение.
Рассмотрим три различные постановки задач об
обслуживании с преимуществом.
1. При поступлении требования первого типа
обслуживание требования второго типа прерывается: после того
как все имеющиеся требования первого типа обслужены,
прибор возобновляет прерванное обслуживание требования
второго типа, причем оставшееся время обслуживания этого
требования уменьшается на то время, на протяжении
которого это требование обслуживалось до момента поступления
требования первого типа.
2. То же, с т^м лишь отличием, что при возобновлении
обслуживания требования второго типа время, ранее
потраченное на его обслуживание, не учитывается; все
обслуживание начинается заново.
3. При поступлении требования первого типа
обслуживание требования второго типа полностью прекращается и
это требование теряется.
Кроме того, предположим, что во всех трех схемах
преимущественного обслуживания требования первого и
второго типов образуют независимые простейшие потоки с па-

§ 4.6] ОБСЛУЖИВАНИЕ С ПРЕИМУЩЕСТВОМ 291
раметрами Хг и Я2 соответственно. Время обслуживания
требования /-го типа, / = 1, 2, представляет случайную
величину с функцией распределения Ht (х) и преобразованием
Лапласа — Стилтьеса
hi{s) = \e-sxdHi{x).
Обозначим через х{ математическое ожидание времени
обслуживания требования 1-го типа и предположим, что т1
и т2 конечны.
Пусть y((t) — время ожидания начала обслуживания для
требования /-го типа при условии, что это требование
поступило бы в момент t\ y{ (t) — время ожидания окончания
обслуживания того же требования, т. е. время с момента t
до того момента времени, когда указанное требование
покинет систему.
Нашей целью будет определение следующих
статистических характеристик:
Fz.(*) = lim ЯМ'Х*Ь '=1>2;
t -> 00
Г.(х) = \ш P{Y* (/)<*}, /=1,2.
t -> со
Эти функции будут определены посредством преобразований
Лапласа — Стилтьеса:
со
d>l(s) = le-"cdFi(x), / = 1,2;
О
со
Ф;(*)=$е-** <//=•;(*), / = 1,2.
О
В случае третьей схемы представляет интерес также
величина (л, равная вероятности того, что произвольное
требование второго типа будет потеряно.
Во введенных обозначениях мы не будем указывать
зависимость их от схемы (1, 2 или 3), приняв такое
изложение, при котором смешение невозможно.
2. Обслуживание требований первого типа. Требования
первого типа обслуживаются совершенно независимо от
требований второго типа; поэтому случайный процесс yx(t)—
той же природы, что и процесс y{t), подробно изученный
10*

292 ПРИМЕНЕНИЯ ПРОЦЕССОВ ВОССТАНОВЛЕНИЯ [ГЛ. 4
нами в § 4.1. Согласно формуле Хинчина (8) § 4,1 будем
иметь:
S
если только выполняется условие
Далее для требований первого типа всегда время
ожидания окончания обслуживания равно времени ожидания
начала обслуживания плюс длительность обслуживания;
ввиду независимости слагаемых преобразование Лапласа —
Стилтьеса суммы будет равно произведению преобразований
слагаемых, т. е. мы получим
Ф*/..ч_.(1 —kiTi)Ms)
1-Ь2 —
(конечно, снова в предположении, что Х1т1 < 1).
Более сложно исследовать соответствующие
характеристики по отношению к требованиям второго типа; этим
вопросом мы и займемся в следующих пунктах.
3. Метод исследования. Для изучения характеристик
обслуживания требований второго типа, по существу, уже
имеется разработанный математический аппарат: теория
систем обслуживания с ненадежным прибором, подробно
развитая в предыдущем параграфе. Действительно, станем
на точку зрения требований второго типа. С этой точки
зрения обслуживание требований первого типа эквивалентно
выходу прибора из рабочего состояния. Таким образом,
вместо того чтобы рассматривать обслуживание требований
двух типов с преимуществом, можно рассмотреть схему
обслуживания требований только одного типа, именно
второго, а обслуживание требований первого типа
интерпретировать как выход прибора из строя.
Закон «выхода из строя» в нашем случае (во всех трех
рассмотренных схемах преимущественного обслуживания)
таков, что выполняется условие теоремы п. 3 § 4.5: если
в данный момент началось обслуживание требования второго
типа, то длительность времени (J до того момента, когда
прибор сможет начать обслуживание следующего требования

§ 4.6] ОБСЛУЖИВАНИЕ С ПРЕИМУЩЕСТВОМ 293
второго типа, не зависит от событий, предшествовавших
первому моменту времени. Следовательно, если обозначить
00
h,(s)=le-sxdP{f><x},
О
то при выполнении условия
Х2Лф < 1
будет иметь место формула
ф ( , 1-^2 (1 —^х2) {Хх [1 —P0(s)] + ^2 [1—^(s)]}
где т3 — математическое ожидание времени пребывания
прибора в «нерабочем состоянии», если выход из строя
произошел во время отсутствия в системе требований (второго
типа).
Так как указанное случайное время совпадает с периодом
занятости прибора требованиями первого типа, то
т = Tl
3 1 — XjTa '
Из тех же соображений PQ (s) равно преобразованию
Лапласа—Стилтьеса распределения периода занятости прибора
требованиями первого типа, т. е. согласно теореме п. 3
§ 4.2 Р0 (s) определяется как единственное аналитическое
и вещественное при положительных 5 решение
функционального уравнения
P0(s)^h1[s + l1-K1P0(s)]. (2)
4. Определение функции /Ц(з). В результате
произведенных выкладок указанная функция является теперь
единственной неизвестной функцией, от которой в силу
формулы (1) зависит искомая функция Ф2($)- Рассмотрим
каждую из намеченных схем обслуживания с преимуществом
в отдельности.
Схема 1. Если интерпретировать начало периода
занятости прибора требованиями первого типа как выход
прибора из строя, а окончание этого периода — как
восстановление, то данная схема обслуживания будет в точности.

294 ПРИМЕНЕНИЯ ПРОЦЕССОВ ВОССТАНОВЛЕНИЯ [ГЛ. 4
соответствовать схеме с выходом прибора из строя,
рассмотренной в виде примера в п. 3 § 4.5. Использовав
выведенную там формулу, получим:
h9(s) = h2(s + \1^K1PQ(s))9
где P0(s), как и выше, определяется формулой (2). В
частности, если h1(s) — h2(s)1 то в силу той же формулы
hp(s) = P0(s).
Схема 2. В данном случае время Р, распределение
которого мы исследуем, можно представить себе следующим
образом. Пусть
Yi. Y2> •••> Y„. ■•■.
I» t>2» • • • > т»гс> • • • >
1> &2' * * * » &n» • ' •
— три независимые последовательности независимых
случайных величин, причем все yt имеют в качестве преобразования
Лапласа—Стилтьеса их распределения h2(s)t все £;—
функцию P0{s), а все gf распределены по показательному закону
с параметром Кг.
Если Yi^£i> P=Yi (за вРемя обслуживания требования
второго типа не поступило ни одного требования первого
типа; в этом случае требование второго типа покинет
систему в точности через время, равное длительности его
обслуживания;
если g!<Yi, Y2<^2> T0 P = £i + £i + Y2 (за вРемя об"
служивания требования второго типа поступило требование
первого типа через время ^ после начала этого
обслуживания; затем время, равное £1} длился период занятости
прибора требованиями первого типа; после окончания этого
периода обслуживание требования второго типа
возобновилось, и до его окончания в систему не поступило ни одного
требования первого типа);
если ii<Yi, £2<Y2> •••> l„<
™ P = &i + £i + i2 + £s+... + £„ + £B + Y„+i;
I
I

§ 4.6] ОБСЛУЖИВАНИЕ С ПРЕИМУЩЕСТВОМ 295
В силу сказанного получим по формуле полной
вероятности
J4P<*}=JS/&<Y/, !<;<"; yn+x<ln+v
6i + Bi + 6, + b+...+g„ + t, + Y»+i<*}- (3)
Если заметить, что
00 СО
J e-'dffaKx, h<yi} = K J е-**{\ -H2(x))e-^dx =
00 00
J e-sxdxP{yi < x, у, <U = J e-4+^'dHt (x) =A, (s + XJ,
0 . 0
то формула (З) после применения преобразования Лапласа —
Стилтьеса получит следующее выражение:
со
^(s) = l£<{^1[l-h2(s+X1)]P0(s)Уh2(s + Xl) =
6 = 1 Yl'
Схема 3. Воспользовавшись случайными величинами у,-,
£,., gf, введенными при исследовании предыдущей схемы,
можем записать:
если Yi<£i>
если I < Yr
Но тогда легко видеть, что
^(s)^h2(s + K1) + ^[\-h2(s + X1)]P0(s).
5. Определение функции Фг(5). Для схем 1 и 2 время
с момента t до момента окончания обслуживания требования
второго типа равно Уг(0 + Р- Так как эти случайные
величины независимы, то в обоих случаях справедлива формула
Ф» = Ф2(*)/ф).
Схема 3 допускает потери требований второго типа.
Очевидно, любое требование будет потеряно в том и только

296 ПРИМЕНЕНИЯ ПРОЦЕССОВ ВОССТАНОВЛЕНИЯ [ГЛ. 4
том случае, когда за время его обслуживания в систему
поступит хотя бы одно требование первого типа; отсюда
следует, что вероятность потери
|Л = Р {^ < Yl} = 1 — ^2 (^l)"
Далее ясно, что в данной схеме обслуживания
Y2(0 = Y2(0 + min{g1> Yi}-
Поскольку
СО
Se-'*dx/>{mln{£1> Yi}=*} =
О
= ht{s + K1) + ^[\-ht{s + \1)},
ТО
ф; (,)=ф8 (S) {н2{8+^+^-[1 -а, (*+*!)]}.
6. Условие эргодичности. Все формулы, выведенные
в предыдущих трех пунктах, справедливы только в
предположении, что процесс обладает эргодическим
распределением. Поскольку существование такого распределения
равносильно выполнению неравенства
XaAfp<l,
то, воспользовавшись полученными выражениями для
преобразований Лапласа—Стилтьеса распределения случайной
величины р в каждой из трех схем обслуживания, получим:
Схема
| 1
2
3
Математическое
ожидание 0
ч
\ — \\хх
l-M^i)
%! (1 — XiTi)/la(kl)
1-Mbi)
Условие эргодичности
Х2т2 < 1 —K^Zi
^[i-^(y]<^(i-Mi)/i2W
k%l\-h%(K1))<Klll^%1x1)

§ 4.7) СМЕШАННЫЕ СИСТЕМЫ ОБСЛУЖИВАНИЯ 297
7. Дополнительные замечания. Имеется обширная
литература, в которой рассматриваются различные постановки
задач об обслуживании с преимуществом. Укажем здесь на
статьи Миллера [1], Стефана [1]. В большинстве работ
для математического исследования различных характеристик
обслуживания используется метод Кендалла. В случае
простейших входящих потоков нам представляется более
простым метод интегро-дифференциальных уравнений, которого
мы и придерживаемся там, где это возможно. Все
аналитические свойства рассматриваемых функций, необходимые для
обоснования интегро-дифференциальных уравнений,
устанавливаются либо непосредственно, либо следуют из общей
теории процессов восстановления, а также линейчатых,
кусочно-линейных и регенерирующих процессов.
Область применимости методов, с которыми мы
познакомили читателя, не исчерпывается рассмотренными
постановками задач. Не вызывает затруднений исследование
случая, когда имеется не два, а произвольное число потоков,
обладающих различными типами преимуществ; затем можно
исследовать случай непрерывающего преимущества, когда
однажды начавшееся обслуживание требования
произвольного типа не может прерываться до полного окончания,
и т. п.
§ 4.7. Смешанные системы обслуживания
1. Смешанная система с постоянной скоростью
обслуживания. Читатель уже знаком с постановкой задачи, в
которой требования могут становиться в очередь в том
случае, когда общее число требований, находящихся в
очереди, не больше чем т\ каждое требование, прибывшее
в момент, когда в очереди уже находится т требований,
не ожидает обслуживания и теряется. Представляет интерес
также общая постановка, в которой требование может
остаться в очереди или потеряться с вероятностью,
произвольным образом зависящей от длины очереди.
Данная задача до конца рассмотрена В. Н. Ярошенко
в предположении, что имеется один обслуживающий прибор,
поток требований — простейший, а длительность
обслуживания имеет произвольное распределение с конечным
математическим ожиданием. Приведем здесь результат, полученный
В. Н. Ярошенко [1]; отступление от системы изложения

298 ПРИМЕНЕНИЯ ПРОЦЕССОВ ВОССТАНОВЛЕНИЯ [ГЛ. 4
автора вызвано лишь соображениями методического
характера.
Введем обозначения:
bk — вероятность того, что требование присоединяется
к очереди, если в момент поступления этого требования
в системе находилось к требований (включая то требование,
которое в этот момент обслуживалось прибором);
v(^) — число требований в системе в момент t\
\(t) — время с момента t до того момента времени,
когда требование, находящееся на обслуживании в момент t,
покинет систему;
£(0 = {v(0, К*)}, cp0=limP{v(*) = 0},
t -+ 00
GO
<pk (x) = lim P {v (t) = ft, I (t) < *}, Фк (s) = J e-'*d<pk (x).
t-+ со 0
Пусть, как обычно, К обозначает параметр входящего
потока требований, И(х) — функцию распределения
длительности обслуживания, т —математическое ожидание
длительности обслуживания и
00
h(s) = \e-sxdH(x). (1)
О
2. Условие существования эргодического
распределения. Выясним условия, при которых случайный процесс
£(*) обладает эргодическим распределением. Начнем с
интуитивных соображений. Предположим, что существует
предел
b = limbk. (2)
k -*■ со
Это означает, что если очередь достаточно велика, то
поступление дальнейших требований в систему происходит по
закону, близкому к закону образования простейшего потока
с параметром ХЬ; поэтому представляется естественным,
что если %Ьх > 1, то процесс £(f) будет вести себя так
же, как и в случае системы с ожиданием, т. е.
эргодического распределения не будет; если же Х£т<1, то
интуитивно понятно, что очередь не может систематически
возрастать, иначе «почти» для всего времени было бы v{t)y>Ny
а следовательно, в единицу времени в систему поступало

§ 4.7] СМЕШАННЫЕ СИСТЕМЫ ОБСЛУЖИВАНИЯ 299
бы в среднем приблизительно Kb требований, так что за
большое время Т прибор был бы свободен приблизительно
(1 —КЬх) Г единиц времени, что представляется
противоречащим предположению.
Эти интуитивные соображения можно строго обосновать.
Основной интерес представляет случай, когда КЬт < 1, или,
более общо,
Кх lim bk < 1. (3)
Данный случай полностью охватывается следующей теоремой.
Теорема. Если выполнено условие (3), случайный
процесс £ (t) обладает эргодическим распределением.
Указанное распределение является единственным ограниченным
абсолютно непрерывным решением системы
дифференциальных уравнений:
ц>'п (х) — КЬпцп (х) + КЬп_^'п _! (х) = )
= 4>'n(0)-<f>n+i(0)H(x) I
(Я>2)' ! (4)
фх (х) - КЬ1Ц)1 (х) =
= ф1(0)-ф',(0)ЯИ-Х*0ф0//(л),
^оФо = ф1 (0), '
при дополнительных условиях
q>„(0) = 0 (Л>1), (5)
Фо+2 ф„(°°)=1. (6)
/1=1
Доказательство этой теоремы мы опускаем.
Существование зргодического распределения для процесса £(/) можно
установить при помощи зргодической теоремы для
регенерирующих случайных процессов, неоднократно
использовавшейся выше для подобных целей. Вывод уравнений (4)
требует лишь незначительной модификации рассуждений
п. 5 § 4.2. Остановимся только на способе фактического
определения зргодического распределения.

300 ПРИМЕНЕНИЯ ПРОЦЕССОВ ВОССТАНОВЛЕНИЯ [ГЛ. 4
Применив к системе (4) преобразование Лапласа, с
учетом условия (5) получим:
(s-Xbn)On(s) + Xbn_1On_1(s) = ^n(0)-^n+1(0)h(s)
(л>2), (7)
(s - Ux) Фх (s) = ф; (0) - Ф; (0) h (s) - U^0h (s). (8)
Положим s=^Kbni n=\, 2, ... Тогда последние
формулы дают:
Уп(0)-у'п + 1(0)к(ХЬп) = ХЬп_1Фп_1(ХЬп) (л>2),
ф! (0) - Ф2 (0) h (\Ь±) = ^оФо/г (ХЬХ).
Таким образом, зная фп и Ф„_!, можно определить
фп+1(0), а затем, подставив полученное выражение в
правую часть (7), получим Фп (s) для всех s, Re {s} < 0.
Поскольку
ф'х (0) = Х^0ф0
и, следовательно,
O1(s) = (s-Kb1)-^b0if0[\-h(s)-l-^)h(s)\t
то мы можем последовательно определить все Фп (s), n = 2,
3, . . . Как обычно, постоянная ф0 определяется
нормирующим условием (6).
Если Фп (s) уже определены, то легко найти
распределение очереди. Действительно,
со
limP{v(0=/i} = S^»(*) = <D»(0), .л>1,
*->оо 0
lim Р{г(/) = 0} = ф0.
Вероятность того, что произвольное требование будет
потеряно, можно определить по формуле полной
вероятности, зная, что вероятность потери при условии, что в
системе находится п требований, равна (\—Ьп), а
вероятность условия есть Фп (0). Итак, вероятность потери

§ 4.7] СМЕШАННЫЕ СИСТЕМЫ ОБСЛУЖИВАНИЯ 301
произвольного требования определяется выражением
00
1-*оФо-2 *„Ф„(0).
/2=1
Представляет интерес также определение характеристик
времени ожидания произвольного требования. Если
требование поступило в момент времени, когда число требований
в системе было равно я, и если это требование осталось-
в очереди, то его время ожидания до начала обслуживания
складывается из времени £(f) до окончания обслуживания,
которое уже началось, и времени обслуживания остальных
п—1 требований. Ввиду независимости указанных времен
преобразование Лапласа — Стилтьеса условного
распределения времени ожидания требования, поступившего при п
находящихся в системе требованиях и оставшегося в
очереди, имеет вид
Ф„(0)Л W-
Предоставляем читателю возможность вычислить
самостоятельно преобразование Лапласа — Стилтьеса
безусловного распределения времени ожидания.
3. Смешанная система с переменной скоростью
обслуживания. В. А. Ивницкий решил ряд задач, относящихся
к однолинейным системам с потоками случайной
интенсивности и переменной скоростью обслуживания. Сформулируем
одну из постановок, рассмотренных В. А. Ивницким [1],
[2], и приведем его результаты.
Опишем систему массового обслуживания.
В произвольный момент времени t система характеризуется
числом требований, находящихся в ней, которое мы
обозначим через v(^).
Если v(t) = k, то за малое время h может поступить
дополнительное требование с вероятностью Xkh-\-o(h).
Величина работы по обслуживанию требования зависит от
числа требований, которые находятся в системе сразу после
начала интересующего нас обслуживания. Далее, при
состоянии процесса v(t)=ky где k =1,2, ..., скорость
обслуживания равна ak. Например, если в момент t в систему
поступает требование с необходимой величиной работы по
его обслуживанию х и в этот момент времени система была

302 ПРИМЕНЕНИЯ ПРОЦЕССОВ ВОССТАНОВЛЕНИЯ [ГЛ. 4
свободна, а также до окончания обслуживания другие
требования в систему не поступают, то данное обслуживание
закончится в момент t-\—*).
ai
Нашей задачей будет разыскание стационарного
распределения длины очереди
p*=limP{v (*)=*}, А = 0, 1, 2, ...
В случае, когда v(t)^\, а следовательно, в момент t
прибор обслуживает какое-то требование, обозначим через
£ (i) величину работы, которую прибору еще осталось
выполнить после момента t для окончания этого обслуживания.
Обозначим, далее, через £ (t) составной случайный процесс
I 0, если v(*) = 0,
U )_\ {v(t),l(t)}> если v(*)>0.
Этот процесс принадлежит к классу кусочно-линейных
процессов, введенных нами в главе 3. Обозначим его
стационарное распределение следующим образом:
F0=\imP{v(t) = 0},
/->оо
Fk(j$)=xlimP{\(t) = k,l(t)<Je}, k7st\.
t-+C0
Обозначим также
pk= lira P{v(t) = h}, k^O.
t-+cc
В частности, pQrsiF0. (Условия существования предельных
распределений будут выяснены ниже.)
Введем преобразования Лапласа—Стилтьеса
00
Л,- (s) = le->*dH{(x), (9)
dFi(x). (10)
Ф/(*) = $
*) Легко видеть, что система с ограничениями, рассмотренная
в предыдущих двух пунктах настоящего параграфа, является
частным случаем системы Ивницкого; этому случаю соответствуют

§ 4.7] СМЕШАННЫЕ СИСТЕМЫ ОБСЛУЖИВАНИЯ 303
Пусть, наконец,
т/=г J xdHi (x) < оо.
Справедлива следующая теорема.
Теорема. Если процесс £ (t) обладает стационарным
распределением, то для р{ и ф£. (s) имеют место
рекуррентные соотношения (i ^ 2)
Рг
Р/-.1 —Ф/-1
Ч£
Ф<- (s) =-^^Xi [Ki-iPi-i-XiPihi <s)- *f-i9i-i И],
где
'V
^oPo
/V
1-Й!
*A Й
Ф1 (*):
KPo
». f
S-*H
(diS —Я1) /l!
*1
01)
(12)
(11a)
(12a)
Доказательство. Сначала докажем, что функции
Fk (x) удовлетворяют системе дифференциальных уравнений
Х0Фо = ^(0), (13)
а^'г (х) - К^ (х) - а/, (0) +
+ а2К(0)Н1(х) + ХоЪН1(х) = Оу (14)
aiF'i(x)-kiFi(x)-aiF'i(0) +
+ ai+1F(+l{0)Hi(x) + Ki_1Fi_1(x) = 0, />2. (15)
Формула (13) доказывается следующим образом. Пусть
v (t-f-h) = 0. Тогда либо v (t) = О и за время от t до f + h ни
одно требование не поступило, либо в момент t в системе
находилось одно требование, которое за интервал времени
длительности h должно покинуть систему (v (t) = 1, £ (t) < axh).
Остальные события имеют вероятность порядка малости

304 ПРИМЕНЕНИЯ ПРОЦЕССОВ ВОССТАНОВЛЕНИЯ [ГЛ. 4
более высокого, чем h. Формула полной вероятности
дает:
f0 = (l-X0A)f0+F1(o1A) + o(A)
ИЛИ
Устремив h к нулю, немедленно придем к формуле (13).
Одновременно устанавливается существование производной
ф! (о).
Рассмотрим случай /=1. Коль скоро v(t + h) = \ и
£ (t) < х, то это означает (если пренебречь событиями с
общей вероятностью более высокого порядка малости), что
осуществилось одно из трех несовместных событий:
1. За время от t до t-\-h не поступило ни одного
требования; в момент t в системе находилось одно требование
и остаток работы, необходимой для обслуживания этого
требования, составлял величину, меньшую x-\-axh, но не
большую aji (иначе обслуживание этого требования
закончилось бы до момента t-\-h).<
2. В момент времени t в системе находились два
требования, но для того из них, которое уже обслуживалось,
остаток работы составлял не более а2А единиц; для
обслуживания требования, которое в момент t находилось в
состоянии ожидания, необходимо выполнить работу, меньшую
x-\-ax{h — 6) (0 обозначает время с момента t до момента
окончания обслуживания рассматриваемого требования;
О<0</г).
3. В момент времени t в системе не было требований;
в интервале (t, t-\-h) поступило требование, для
обслуживания которого нужно выполнить работу, меньшую, чем
Ar + ai(^~0i)j гДе ^1 также лежит в пределах от 0 до h.
Если л; —точка, в которой И1(х) дифференцируема, то
H1(x + a1(h-Q))=H1(x) + o(h)f
H1(x + a1(h-Q1)) = H1(x) + o(h).
По формуле полной вероятности
F1(x) = (l-kh)[F1(x + *1h)-F1(*1h)] +
+ F2 (a2h) H± (x) + khF^ (x) + о (ft),

§ 4.7] СМЕШАННЫЕ СИСТЕМЫ ОБСЛУЖИВАНИЯ 305
ИЛИ
+ ^^fi1(x) + X0F0H1{x) = O(h). (16)
Выбрав в качестве х точку, где не только Н1(х)} но и
F1 (x) дифференцируема, приходим к равенству (14).
Аналогичным путем доказываются соотношения (15)
(*>2).
Из вывода следует, что эти уравнения выполняются для
почти всех х. Однако, поскольку мы теперь знаем, что
функции Ft (x) дифференцируемы в нуле, можно сделать
заключение об ограниченности разностных соотношений
Fi{x + h)-Fi(x)
h
Например, при i = \ можно воспользоваться оценками
Я1(л:)^0, Fx (х + OL±h) ^ 1, подстановка которых в
равенство (16) дает следующую оценку:
M*+M)-M^<Xi + aif;(0) + o(1).
аналогичный вывод легко получается и при / = 2,3, ...
Это показывает, что функции Ft (х) абсолютно непрерывны;
следовательно, к уравнениям (13)—(15) законно применение
аппарата преобразования Лапласа — Стилтьеса.
Положив в равенствах (13)—(15) х—► оо, получаем:
^o'7o = ai/7i(0).
— X±FX (оо) -а^'г (0) + a2F2 (0) + X0F0 = 0,
-kiFi(oo)-aiF'i(0) + ai + 1Fi+1(0) +
Складывая первое уравнение со вторым, получившееся в
результате уравнение с третьим, и т. д., находим, что
a,./7,' (0) = ki_1Fi_1 (оо). Очевидно, что Fi(oo)=pi, Поэтому
aiFi(0) = Xi_1pi_v
►(17)

306 ПРИМЕНЕНИЯ ПРОЦЕССОВ ВОССТАНОВЛЕНИЯ [ГЛ. 4
Для i^2 при помощи преобразования Лапласа
уравнение (15) преобразуется к следующему виду:
(ais — Xi)(fi(s) = aiFi(0)--ai + 1Fi+1(0)hi(s) — Ki_1(fi_1(s)==
В левой части стоит произведение а^ — К( на функцию,
заведомо аналитическую при Re {s} > 0. Следовательно, при
srr^/a; левая часть обращается в нуль. Записав условие
равенства нулю для правой части этого равенства, будем
иметь:
или
h-iPt-i-btPtht
b,--i[p/-i-<P/-i(|
Pi
**(£
/>2.
(19)
Подставив значение/^- в равенство (18), определим фг- (s):
(X/S-
X- [Л-/-1Р/-1 — VA (*) - */-1<Р/-1 (s)] =
V
"a,-s— X/
P/-i/l
ft/(s)
м'£
+
41) J
(20)
При /=1
(axs — Xx) фх (s) = «jf i (0) — a2F'2 (0) /4 (s) — X^h^ (s) =
= Я0/70(1-А1(*))-Х1р1А1(*)- (21)
Отсюда
Pi1
.4HS]
Xi/li
Ф1 \ь) — д~^
Теорема доказана.
(22)
(22а)

§ 4.7]
СМЕШАННЫЕ СИСТЕМЫ ОБСЛУЖИВАНИЯ
307
Таким образом, по рекуррентным формулам (19) и (20)
можно последовательно находить р{ и ср,- (s). Например,
/V
^ДоРо
W? К
<*i
My)-Al(!r
«1
a2
Хг
аД
1^2
a2
-*i
(23)
Все р; и фг. (s) будут иметь в качестве сомножителя FQ=p0.
Эта постоянная определяется нормирующим условием
2Рг
* = 0
:1.
В частности, из полученных формул легко следует
формула Поллачека — Хинчина.
Интересно исследовать, чему равна постоянная р0.
Напомним читателю, что если 'ki^X и а,-=1, Н{(х)^Н(х),
причем
Хт^1, где x = ^[\—H(x)]dx, то
р0 = \—Хт.
Теорема. Для однолинейной системы массового
обслуживания с ожиданием и Xh ah зависящими от I,
справедливо равенство
со ^
/ = 1
Доказательство. Сложив уравнения (13), (14) и
(15) при всех /, получим равенство
i=i
2 a/f;W=S^i(0) [I «//MW1 +
+ a1/M0)[l-tf1(*)]. (25)
Поскольку в обеих частях равенства (25) стоят ряды
из неотрицательных функций, мы вправе почленно
проинтегрировать оба равенства в пределах от 0 до оо. Так как
00
^Fi(x)dx = Fi(oo)=pi,
о
оо
\[\-Hl(x)]dx = th

308 ПРИМЕНЕНИЯ ПРОЦЕССОВ ВОССТАНОВЛЕНИЯ [ГЛ. 4
в результате интегрирования получим:
00 СО
2 а,-А- = 2 aft (0) г,.! + axF\ (0) тг
« = 1 1 = 2
Но, так как согласно предыдущему а1-/7/'(0) = Я1._1р|._1,
/^1, имеем:
со со
2 &iPi= 2 а/Р/^/ + ^оРоТ0)
* = 1 1 = 1
что, очевидно, эквивалентно требуемому равенству (24).
Изучим теперь вопрос о существовании эргодического
распределения процесса £(/). (Очевидно, ответ заведомо
положителен, если для некоторого п будет К( = 0 при i^n
и все а{ > 0.) Ответ на этот вопрос дает следующая
элементарная
Теорема. Пусть at > О для любого i. Тогда для
существования эргодического распределения достаточно,
чтобы постоянная p0i определенная равенством (24), была
положительна и чтобы VX/"2=cx).
Доказательство. Если условие теоремы выполнено,
то последовательность функций [F( (x)}, найденных по
приведенным выше рекуррентным формулам, определяет
собственное распределение вероятностей. Непосредственной
подстановкой в уравнения процесса можно убедиться в том,
что это распределение — стационарное. Поскольку по условию
теоремы состояния—сообщающиеся, то данное
распределение является эргодическим.
Тот же результат получается из теории регенерирующих
случайных процессов. Действительно, процесс £(f) —
регенерирующий. Если р0 > 0, то это означает, что если взять
в качестве начального распределения {F{(x)}y то
математическое ожидание интервала между моментами регенерации
процесса конечно. Поскольку стационарное распределение
характеризуется тем, что р{ > 0, коль скоро X^ — Я/_1 > О,
а из состояний v = i, для которых Х0Хг .. . Х^-^^О, по
условию теоремы процесс за конечное время попадает в
состояние j с Х0 . .. Яу._х > 0, то математическое ожидание
интервала между регенерациями конечно при произвольном
начальном распределении. Тогда по теореме Смита
(учитывая еще непрерывность распределения данного интервала)
получаем, что существует эргодическое распределение.

§ 4.7] СМЕШАННЫЕ СИСТЕМЫ ОБСЛУЖИВАНИЯ 309
Обозначим
/>,=£-'. (25)
Ро
р. определяются рекуррентными соотношениями (11)—(Па),
если вместо" р0 подставить 1. Тогда, как следует из
приведенного рассуждения, р0 > 0.
р0 > 0 тогда и только тогда, когда ряд из р( сходится.
Достаточное условие для этого дается следующим
предложением.
Лемма. Для сходимости ряда 2р/ достаточно, чтобы
а( — KfCi ^ с0 > 0 для достаточно больших L
Доказательство. Из равенства (24) следует
00
Vi 2 Pi (a- - bfii)
= 1=1 >
00 СО "^
2 pi Sft
1=0 /=0
П0 со
> — i = n0+i ,™
•"^ П0 со х /
/ = о / = /г0+1
Пусть ряд 2 Р/ расходится. Тогда левая часть (26)
равна 0, а правая равна с0 > 0. Это противоречие и
доказывает требуемое утверждение.
4. Пример. Для иллюстрации применения рекуррентных
формул (11) — (12) рассмотрим следующую систему массового
обслуживания, имеющую приложение в теории надежности.
Два одинаковых устройства подвержены случайным
отказам. В случае отказа они поступают к одному рабочему,
где восстанавливаются в порядке очереди. Длительность
непрерывной работы каждого устройства независима от
состояния другого устройства и распределена по
показательному закону с параметром X. На восстановление одного
устройства требуется г] единиц работы, где
P{i\<x} = H(x).
Когда неисправно одно устройство, рабочий восстанавливает
его со скоростью av когда неисправны оба устройства —
со скоростью а2. Подобный эффект часто соответствует

310 ПРИМЕНЕНИЯ ПРОЦЕССОВ ВОССТАНОВЛЕНИЯ [ГЛ. 4
действительности. Обозначим через pt вероятность
неисправности / устройств (в стационарном режиме). Формулы (11) —
(12) дают (здесь Х0 = 2Я, Я1==Я):
pi ~ 7Y7\ Ро>
Ра=:
Х0т-
(ах—Xi%) X{
•Н£)Г
М
Ро>
Ро =
(,М'-'Й)Г*. '--^''['-'Й)])
Г
х.,/1
*i
а,М (Ь)
-1
(как обычно, обозначено h(s)=\e sx dH (х), т = —К (0)).
§ 4.8. Многолинейные системы без информации
1. Многолинейные системы. В настоящем параграфе мы
начнем исследование многолинейных систем массового
обслуживания. Под этим названием понимаются системы,
состоящие не из одного, а из нескольких обслуживающих
приборов. Примеры многолинейных систем были приведены в главе 1.
Понятно, что все рассмотренные обобщения схемы с
ожиданием и схемы обслуживания с отказами, такие, как
обслуживание с преимуществом, учет выхода из строя и
восстановления обслуживающих приборов и другие, могут
сочетаться с наличием не только одного, но и нескольких
обслуживающих приборов. Системы массового обслуживания,
которые могут встретиться в практике, представляют как бы
двумерное многообразие. С одной стороны, если рассмотреть
один отдельный прибор, входящий в систему, то для него
возможны различные способы обслуживания требований и
предыдущие параграфы могут дать представление о
возможном многообразии способов обслуживания, с другой стороны,
количество обслуживающих приборов, возможные способы
их взаимодействия и способ, согласно которому требования

§ 4.8] МНОГОЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ БЕЗ ИНФОРМАЦИИ 31 1
распределяются между приборами, являются вторым
источником многообразия.
Обслуживающую систему обычно можно представить
в виде схемы (рис. 4.4).
Входящее требование поступает на распределительное
устройство, которое решает, какой прибор (или группа
приборов— в более общей
постановке) будет назначен для
обслуживания данного
требования. С обслуживающих
приборов может передаваться ин- —
формация на распределитель-
ное устройство; эта
информация учитывается при
последующем распределении
требований между приборами: Рис. 4.4.
например, если стало известно,
что на каком-либо приборе скопилась большая очередь, то
последующие требования некоторое время не следует
посылать на этот прибор; возможно, что и часть очереди целе*
сообразно «перебросить» на другие приборы.
Примером такой многолинейной системы с информацией
является система с ожиданием, уже изученная в главе 1
в простейших аналитических предположениях. Действительно,
можно вообразить себе устройство передачи информации,
которое немедленно сообщает об освобождении того или
иного прибора, и туда сразу же устремляется требование,
стоявшее во главе очереди.
В предприятиях массового обслуживания роль подобного
устройства передачи информации обычно играет визуальное'
наблюдение потребителей, так как очередь движется у всех
на глазах; в сложных кибернетических устройствах
употребляются специальные датчики, посылающие сигналы о
перегрузке или простое приборов. Как правило, передается не
вся информация (точные моменты занятия и освобождения
приборов, длительность обслуживания каждого требования
и т. д.), а лишь некоторые усредненные характеристики.
Помимо этого, существует некоторое запаздывание в
передаче информации. Чем сложнее само обслуживающее
устройство, тем труднее технически осуществить полную передачу
и обработку информации. При разумной математической

312 ПРИМЕНЕНИЯ ПРОЦЕССОВ ВОССТАНОВЛЕНИЯ [ГЛ. 4
Рис. 4.5.
схематизации реальной операции должен существовать
оптимальный объем информации, подлежащей передаче в
распределительное устройство.
2. Системы без информации. Мы ограничимся только
системами без информации, схематическое изображение
которых дано на рис. 4.5.
Из математической схематизации таких систем, которую
мы предлагаем, видно, что многие кибернетические
устройства непосредственно
подходят под нашу схему.
Поток требований
представляет собой смесь
конечного числа независимых
простейших потоков. Требования
могут различаться между
собой параметрами. Возможные
значения параметров
требований а образуют множество
А = {а}. Интенсивность
простейшего потока требований с параметром а равна Яа;
я= 2 К-
аел
Распределительное устройство работает как
вероятностный автомат. Под этим понимается следующее.
Состояние распределительного устройства в любой момент
времени характеризуется некоторым целочисленным параметром /
1 ^ / ^ т.
Если в данный момент поступает требование с параметром а,
то пара (а,/) определяет вероятность, с какой
распределительное устройство переходит в то или иное состояние /',
а также вероятность, с какой поступившее требование
посылается для обслуживания на у-й прибор, 1 ^y'^/z. Таким
образом, все возможные в нашей схеме способы
распределения требований по приборам можно задать как
распределение вероятностей на парах (/', у), \ ^.i' ^.т, 1^у^/г;
это распределение зависит от а£А и / (\^.i^.m) как от
параметров.
Если распределительное устройство перешло в состояние/,
а поступившее при этом требование было направлено на у-й

§ 4.8] МНОГОЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ БЕЗ ИНФОРМАЦИИ 313
прибор, то длительность обслуживания этого требования
представляет случайную величину с функцией распределения
ti\!) (л:), математическим ожиданием т/у и преобразованием
Лапласа — Стилтьеса
со
hf{s) = \ e-sxdtfin(x)*).
О
Длительности обслуживания различных требований
независимы.
Введем соглашение, что требования, попавшие на
определенный (любой) прибор, обслуживаются в порядке очереди.
Время ожидания начала и окончания обслуживания и
величина очереди ничем не ограничиваются. Обслуживающие
приборы предполагаются абсолютно надежными. Этими
соглашениями полностью определяется статистический
характер процесса обслуживания.
3. Система интегро-дифференциальных уравнений для
распределения времени ожидания. Обозначим через yiJ) (t)
случайную величину, равную 0, если в момент t у'-й прибор
свободен, и в противном случае равную времени с момента t
до момента окончания обслуживания данным прибором тех
требований, которые поступили до момента t.
Под v (t) будем понимать состояние, в котором
находится в момент t распределительное устройство.
Легко сообразить, что случайный процесс
при любом фиксированном j(l^j^n) будет марковским
процессом.
Обозначим:
/f>(*, t) = P {v (t) = i, g(/) (*)<*}, 1</<т, 1<У<л,
F{{J)(x)= lim/f >(*,*), (1)
00
<Dlp{s) = le-s*dFp(x). (2)
0
*) Может показаться, что функцию Н*р (х) следовало бы
снабдить еще одним индексом — параметром входящего требования а.
На самом деле это не внесет большей общности: можно настолько
расширить понятие состояния распределительного устройства, что
этим состоянием будет определяться и параметр а.

314 ПРИМЕНЕНИЯ ПРОЦЕССОВ ВОССТАНОВЛЕНИЯ [ГЛ. 4
Введем обозначения, имеющие вероятностный смысл ввиду
принятой схемы работы распределительного устройства:
a\kh-\-o(h) — вероятность того, что если в момент t
распределительное устройство находилось в состоянии г, то за
малое время от t до i-\-h поступит некоторое требование,
которое распределительным устройством будет направлено
на прибор с номером j'ф. у, и распределительное устройство
перейдет при этом в состояние k\
X\k h + о (h) — вероятность того, что в тех же условиях
требование будет направлено на у'-й прибор и
распределительное устройство перейдет в состояние k.
Очевидно, что если обозначить через qikoij условную
вероятность того, что после поступления требования с
параметром а распределительное устройство перейдет в
состояние к, а само требование будет обслуживаться у-м прибором
при условии, что до этого состояние распределительного
устройства было /, то мы будем иметь:
aik = Zj ^a ^J Qikaj' — hiky (3)
a e A /' = i
*Я> = 2 KQlkah (4)
aeA
Обычным путем убеждаемся в справедливости для всех
положительных х и индексов / и у, заключенных в
соответствующих пределах, системы интегро-дифференциальных
уравнений:
dF\n(x, t) dF\f)(x,t) л m "L (i) (f)
m x
+ £ till J Hin (x -y) dFf (y). (5)
k = l 0
Заметим, что состояние распределительного устройства
образует во времени однородный марковский процесс с
конечным числом состояний. Если обозначить через я(
стационарную вероятность события v(/) = / (1^/^/я), то nt

§ 4.8] МНОГОЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ БЕЗ ИНФОРМАЦИИ 315
будет определяться системой уравнений:
т
k = l
т
(j может быть любым числом, от 1 до п). Методом,
который неоднократно применялся в предыдущих параграфах,
можно доказать следующую теорему.
Теорема. Если
т
р,У)= 2 *Мя,<1, (6)
k, i=i
то процесс EU) (t) обладает эргодическим стационарным
распределением.
Последнее описывается набором функций F\! (x),
определенных равенством (1); для них удовлетворяется система
интегро-дифференциальных уравнений:
m
If (x) - Uf (х) + £ {a</)f(/> (x) +
fcs=l
X
+ X#} S tip (x -y) dFf (y) = 0 (7)
0
(#>0, 1</</и, 1</<я).
4. Решение системы (7). В преобразованиях Лапласа—
Стилтьеса система (7) принимает следующий вид:
m
фО) (s) (s _ Я) + 2 ФУ> (s) [afl + X*W (s)\ = sb\n, (8)
k=l
где
b\n = F¥)( + 0). (9)
При фиксированном j система (8) представляет собой
систему алгебраических уравнений относительно Ф\ (s).
Определитель этой системы имеет вид
\s-X + aui + kU)h(i){s) . # . aM + MWis)
а% + ХЫП(*)
Д'л (s) =
a^m + X^h^is) . . . $—X + a%n + №nl№{s)

316 ПРИМЕНЕНИЯ ПРОЦЕССОВ ВОССТАНОВЛЕНИЯ [ГЛ. 4
Произведение элементов A(y)(s), стоящих на его главной
диагонали, есть
{s-\ + a£ + X[W(s))(s-\ + aint + \iW{s))...
...(s-X + alll)m + Xll)mhgy(s)) = sm + o(sm),
когда s—> оо.
Если раскрыть определитель Д(У^ (s) в виде суммы
произведений элементов, то мы увидим, что, кроме выписанного
произведения, в этой сумме не будет слагаемых,
содержащих 5 в т-й степени. Так как | h{p (s) | <! 1 при Re {s} ^ О,
то
Д<Л (s) = sm + о (sm) (s -* оо, Re {s} > 0).
Последнее соотношение показывает, что Д(У) (s) —
функция, не обращающаяся в нуль тождественно. Ввиду
непосредственно очевидной аналитичности Д(У) (s) в правой
полуплоскости, из этого следует, что Д(У) (s) может обращаться
в нуль лишь в исключительных точках. Но тогда система
уравнений (8) будет иметь единственное решение почти для
всех значений 5 из правой полуплоскости. Но для
окончательного определения Ф^ (s) недостает знания постоянных Ьь
1^/^/я, входящих в правые части уравнений системы (8).
Использовав свойство аналитичности функций Ф,у) (s) в
правой полуплоскости, можно получить соотношение между
постоянными Ь{.
5. Обслуживание в циклическом порядке. Чтобы
объяснить общий метод, мы доведем выкладки до конца в
одном частном случае. Предположим, что распределительное
устройство работает как счетчик по модулю /г, отсылая на
у-й прибор требования с номерами у, j-\-n, j-\-2n, ...
Подобный способ" распределения будет обладать тем
свойством, что количество требований, обслуженных различными
приборами, во все время работы устройства будет
отличаться не более чем на п—1. Предположим далее, что
имеется всего один входящий поток с параметром X.
Рассмотрим систему уравнений (8) при каком-нибудь
фиксированном j (для простоты этот индекс опустим;
излишним также оказывается индекс / при hi (s) ввиду того,
что входящий поток всего один).

§ 4.8] МНОГОЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ БЕЗ ИНФОРМАЦИИ 317
Распределительное устройство может пребывать в
состояниях 1,2, . . . , п. Договоримся считать, что если состояние
есть пу то требование, поступившее при этом, посылается
на данный прибор; если же состояние есть одно из 1, 2,...
..., п — 1, то требование посылается на какой-либо другой
прибор. В любом случае поступление требования
сопровождается изменением состояния распределительного устройства
на одну единицу, отсчитываемую по модулю п. Итак,
aiti+1 = X, если 1^/^/z —1,
Хп1 = Х.
Во всех случаях, не охватываемых этими двумя
формулами, aki и Xki равны нулю. Следовательно, система
уравнений (8) в рассматриваемом случае примет вид
<3)i(s)(s-X) + Xa>i_1(s) = sbh
<D1(s)(s-k) + №n(s)h(s)=sb1.
2</<л
•}
(Ю)
Легко видеть, что Я; = — , 1^£^#. Поэтому условие
существования эргодического распределения примет вид
1
или
00
Хт < п, где т = ^ xdH (x).
В дальнейшем это условие будем считать выполненным.
Рассмотрим определитель An(s) системы уравнений (10):
s — X Xh(s)
к s-X
X s-X
*»(*) =
X s-X
Раскрыв Д„ (s) по элементам его первой строки, получим:
An(s) = (s-W—(-X)nh(s). (11)
Лемма. Ап (s) в полуплоскости Re s^O имеет п нулей;
из них один есть s = 0; этот нуль —простой*

318 ПРИМЕНЕНИЯ ПРОЦЕССОВ ВОССТАНОВЛЕНИЯ [ГЛ. 4
Рис. 4,6.
Доказательство для простоты проведем только для того
со
случая, когда при некотором т] > 0 существует \ еХ[ХdH(x).
о
Из теории функций комплексного переменного известно,
что если имеются две аналитические в области D функции:
f(s) и g(s), причем на границе области Д во-первых,
/(5)^= 0 и, во-вторых, \g(s) | < \f(s) |, то функция f(S)—g(s)
имеет в области D столько же нулей,
сколько и функция f(s).
Обозначим
f(s) = (s-\)n, g(s)^(-K)nh(s)y
тогда
f(s)-g(s) = A„(s).
Область D выберем как полукруг
достаточно большого радиуса, один
из диаметров которого расположен
между точками Л и В (рис. 4.6).
В области D функция f(s),
очевидно, имеет п нулей; все они расположены в точке s = X.
Далее, на границе области D
|/(5)|>(X + e)" = X"[l+^ + o(e)].
С другой стороны, при Re s^ — в
со со
\g(s) \ = Хп | J e-sxdH{x) | < Я" \ etxdH(x) =
= Я"[1+вт + о(в)].
Из последних двух оценок получается следующая оценка:
|/(*)|-к(*)|>^(-£-т) + о(е).
Вспомним, что по предположению Хт < /z, а следовательно,
на границе области D
\/(s)\-\g(s)\>0,
если только 8 выбрано достаточно малым. Отсюда следует,
что Ап (s) имеет внутри области D ровно п нулей. Непо-

§ 4.8] МНОГОЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ БЕЗ ИНФОРМАЦИИ 319
средственной проверкой убеждаемся, что один из нулей
лежит в точке 5 = 0. Продифференцировав выражение (11),
будем иметь:
д;(0) = (—X)""1 (п-кх) ф0,
т. е. данный нуль —кратности 1. Лемма установлена.
Запишем теперь выражение для Ф„($). Применив к си*
стеме (10) правило Крамера, будем иметь:
ф„(*>
.A„(s)
" Д (s) '
(12)
где
An(s) = s
s-k
X s — K
X s — K
К
■я. ь.
Раскрыв определитель Ап (s) по элементам последнего
столбца, получим:
Лв(*) = (-1)""1*{*1^"1 + ^""8(*-Л)+...
...+bn(s -Я)""1},
откуда
(-l)«-is {М,я-1 + &2Ья-* (s-b) + ...+&„ (s-X)"-1}
ф„(ф
A(s)
Использовав тот факт, что Д (s) имеет п—1 нулей
в полуплоскости Re 5^0, исключая точку 5 = 0, получим
п— 1 независимых соотношений вида
b1Xn-i + biXn-*(s2-X)+...+bn(sr-\)n-i = 0.
Из этой системы уравнений определим bv b2l ..
в виде
■. к
■ cbin
и ^о» 1<*<я,
где с — произвольная постоянная.
После этого можно решить систему уравнений (10).
В результате получим:
Ф1.(5) = сФ/0(5), 1<*<Я.

320 ПРИМЕНЕНИЯ ПРОЦЕССОВ ВОССТАНОВЛЕНИЯ [ГЛ. 4
Окончательно с определяется условием нормировки:
с_1=2Ф/о(0),
так как очевидно, что
2ф*(о)=1.
6. Система с потерями. В настоящем пункте будет
изучена система, которая в точности соответствует системе,
рассмотренной выше, с тем лишь отличием, что в случае,
если прибор, на который требование послано
распределительным устройством, занят, требование теряется. По типу
(7) имеем:
т
FF (х) - KFJn (x) + 2 («# + Ф If (*) =
т
= 2*M)( + o)[i-/#)(*)]=o (13)
k=i
(*>0, 1 </</», 1</<л),
или в преобразованиях Лапласа —Стилтьеса*)
т
(s - X) Ф, (s) + 2 («*,- + hi) Ф* (*) =
k=i
= 3jFk(+0)[\-hi(s)] + sFl(+0) (14)
(1</<т).
Определитель системы (13) имеет вид
Д(5) =
#12 + ^12 022 + ^22 + S — ^ ••• ат2-\-^т2
а1т~\-к1т
Если ввести матрицу
^21 +^21 ^22 + ^22 •'
М =
amm'\-'bmm-\~S — ,k
а1т + Кт
am\ + ^ml am2+h
ml
mm > mn
*) Здесь и в дальнейшем для простоты индекс / опускается.

§ 4.8] МНОГОЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ БЕЗ ИНФОРМАЦИИ 321
то получим
A(s) = det(Af + (s —Я,)/),
где /—единичная матрица.
Исследуем свойства матрицы М. Все ее элементы
неотрицательны и, сверх того, сумма элементов каждой строки
равна А. Следовательно, матрица вида
является стохастической матрицей. Имеем:
A(s) = },mdztiN-(\ -|Л Д.
Известно (см. Ф. Р. Гантмахер [1]), что все
характеристические корни стохастической матрицы не превосходят по
модулю 1, так что Д (s) может обращаться в нуль лишь
^1, откуда следует, что Re s^O.
при
1--
1 X
Итак, Д (s) имеет т корней sv s2, . .., sm в правой
полуплоскости. Один из этих корней равен 0. Он (пусть
это будет sm) соответствует корню характеристического
многочлена стохастической матрицы TV, равному 1. Если
марковский процесс Я (t) обладает эргодическим
распределением*), то указанный корень имеет кратность 1 (см.
Ф. Р. Гантмахер [1]).
Решив систему (14) по правилу Крамера, получим:
т
Ф, (s) = А"1 (*)!>/*(*)/У+О), (15)
где ®ik (s) — некоторые известные функции.
Подставив s = Sj(\ ^j^m— 1), получим систему
уравнения для определения Fk(+0)
т
%(oik(sj)Fk(+0) = 0 (1<у</»-1,1 <*•</»)**). (16)
*) Это означает, что если Т достаточно велико, то
распределительное устройство побывает сколь угодно много раз в любом
из своих состояний.
**) В том случае, если некоторый корень Sj имеет кратность
г> 1, имеют место также дополнительные соотношения, которые
легко найти дифференцированием.
11 Б. В. Гнеденко, И. Н. Коваленко

322 ПРИМЕНЕНИЯ ПРОЦЕССОВ ВОССТАНОВЛЕНИЯ [ГЛ. 4
Решение системы (16) имеет вид
Ft( + 0) = cbt, 1</<т.
Подставив это решение в правую часть формулы (15)
и заметив, что
т
2Ф,(0) = 1,
i = i
окончательно получим:
т
ф (S) = *il .
* v ' mm
[А'(О)]"1 2 2<*(0)**
Знаменатель последнего выражения вычислен по правилу
Лопиталя, так как при s = Q A(s) имеет простой нуль.
§ 4.9. Входящий поток с ограниченным последействием;
показательно распределенная длительность
обслуживания
1. Построение вложенной цепи Маркова. Системы
массового обслуживания очень общей структуры при входящем
потоке с ограниченным последействием и показательно
распределенной длительностью обслуживания требований
поддаются исследованию методом вложенных цепей Маркова
(методом Кендалла).
Примем следующие предположения.
Система массового обслуживания описывается случайным
процессом v(t). Возможные значения процесса v (t) — целые
неотрицательные числа 0, 1, 2. В моменты {/т}, образующие
поток с ограниченным последействием, в систему поступают
требования. Если в момент tm = 0 состояние процесса было /,
то в момент t процесс переходит в состояние j с
вероятностью p{j, где
00
/5р,/=1,
независимо от любых случайных событий, связанных с
поведением процесса до момента t. В интервалах между {tm}
процесс v(^) является однородным марковским процессом

§ 4.9] ПОТОК С ОГРАНИЧЕННЫМ ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ 323
с интенсивностями перехода Х^-. Для полной определенности
процесса v (t) как случайного процесса задается либо его
начальное распределение
Pk(0)=P{v(0)=k}9 ft = 0, 1, 2, ... ,
либо распределение в момент, предшествующий первому
восстановлению
p;(l)=P{v(^ —0)=ft}f ft = 0, 1, 2, ...
Пусть {tm} — процесс восстановления, т. е.
= Fi(x)bml + F(x)(\-6ml), m>l. (1)
Обозначим
v„ = v(*e-0), « = 1, 2, ...
Нас могут интересовать следующие характеристики:
pk (m) = P{vm = k}, Р*к= lim Р; (ж),
т -> оо
/ -► СО
Если F(л;) —нерешетчатое распределение*), обладающее
конечным первым моментом т, то из существования
собственного распределения i р*Л немедленно вытекает (в силу
теоремы Смита из теории регенерирующих случайных процессов)
существование собственного распределения {Pk}> причем
00 со со
' '* = Т$Ё P'i%Pt/Mt)[^-F(t)]dt, (2)
о i=o /=а
где fjk (t) — вероятность того, что однородный марковский
процесс с интенсивностями перехода \^ перейдет за время t
из состояния j в состояние к. (Предполагается, что для
00
любого t будет 2 fjk (0 < °°•) Если же J р* 1 — несобственное
*) В случае решетчатого распределения имеет смысл
рассматривать предел
p<f>= lim Pk(nh + b),
П -*> CO
где h — максимальный шаг распределения, Q<;& < h.
11*

324 ПРИМЕНЕНИЯ ПРОЦЕССОВ ВОССТАНОВЛЕНИЯ [ГЛ. 4
распределение, то {pk} также будет несобственным;
формула (1) применима и в этом случае, причем
СО 00
Из этих рассуждений можно сделать вывод, что для
исследования стационарного режима процесса v(t) достаточно
изучить цепь Маркова {vm}. Выведем формулу для
вероятностей перехода этой цепи
nij = P{vm+1=J\vm = l}.
Ввиду того, что при условии tm + l — tm = t вероятность
перехода совпадает с функцией /•. (t), а случайная величина
zm+1 = tm+1 — tm имеет распределение F(t), находим:
со
nu=lfu(t)dF(t). (3)
О
Стационарное распределение для цепи Маркова {vn}
(финальные вероятности) находим из соотношений
[ . Pl=^^ikPn k = °> Ь 2> ■••»
\ k=o
Мы видим, таким образом, что вероятности состояний системы
массового обслуживания могут быть получены как
характеристики линейчатого случайного процесса или вложенной цепи
Маркова.
2. Пример. Рассмотрим систему с ожиданием, состоящую
из п одинаковых приборов. Пусть поток требований образует
процесс восстановления [tm) в соответствии с формулой (1).
Длительность обслуживания предположим показательно
распределительной случайной величиной с параметром (л.
Будем понимать под v (t) число требований в системе
в момент t. Найдем характеристики процесса.
Очевидно,

§ 4.9] ПОТОК С ОГРАНИЧЕННЫМ ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ 325
т. е. в момент tm случайная функция v (t) претерпевает
скачок, равный 1. Далее, при j"^n
( 0, если у>/,
/VW = |(^QLV*«, если /</ Ю
(поскольку в интервале между tm и tm+1 число требований
в системе может лишь убавиться, следуя процессу чистой
гибели с параметром п\х, пока существует очередь).
Рассмотрим случай, когда 0^/</z. Существуют две
возможности: 1) i^n, 2) / > п. Исследуем каждую из них
в отдельности.
1) i^n. Тогда первое требование будет обслужено
через время |1? распределенное по показательному закону
с параметром i\i, следующее —через время Jji+J-2» где £2
не зависит от |х и распределено по показательному закону
с параметром (/— 1)(л, и т. д.; наконец, (/ — у)-е
требование—через время li + ^2+•••+li-y» гл-е параметр \t_j
равен (/—у+1)М" При условии v (0)= / событие {v(f)^y}
эквивалентно событию {S1 + S2+ • • • +lf-/ < *}•
Следовательно, при j^l^.n
/1/(*)=Р{Ь1 + Ь+"-+Ьч<*}-
-P{h+l>+---+lt-/+i<t}- (5)
Если положить
со
4,j(s) = le-*df,j(t), Res^O,
0
то из формулы (5) получим:
*> (* — 1) М- (/ —/)fx /l^'-^s Л __1 fi
Преобразованию Лапласа — Стилтьеса вида (6)
соответствует функция
этот результат очевиден и непосредственно.

326 ПРИМЕНЕНИЯ ПРОЦЕССОВ ВОССТАНОВЛЕНИЯ [ГЛ. 4
2) / > п. Тогда
fij(t) = P{U + ii+ •••+?„-/< <}-
-P{lo+li+..-+ln.J+l<t}, (7)
гДе So — время, за которое в условиях полной занятости
всех приборов будет обслужено / — п требований.
Аналогично предыдущему имеем:
WU(S)= Е : ТТ . (8)
В данной задаче основной интерес представляют не
стационарные характеристики процесса v (t), а характеристики
цепи Маркова {vn}. Зная переходные вероятности этой цепи,
заданные формулой (3), где f(j(t) нами найдены, можно
решить систему уравнений, определяющую предельные
вероятности. Д. Кендалл [2] показал, что в условиях, когда
существует эргодическое распределение, справедливы
формулы
«, ( \iki если k^n — 2,
Pk = \ Xk'n+\ если А>л—1,
где \xk — некоторые постоянные, Я —единственный корень
уравнения
00
о
в интервале 0 < X < 1.
Пусть Qm обозначает величину очереди в момент tm — О,
т. е. Qw=min{0, vw — /z}, через Q случайную величину,
которая имеет распределение, совпадающее с предельным
распределением Qm(m—*oo). Тогда имеет место
интересный факт. Если известно, что Q>0, то при этом условии
данная случайная величина имеет геометрическое
распределение:
P{Q=k\Q>0} = (l-k)\k-\ k=l, 2, 3, ... (9)
Подробные выкладки можно найти в цитированной работе Кен-
далла, а также в более поздней работе Такача [1]. Здесь же
мы приведем доказательство существования эргодического

§ 4.9] поток с ограниченным последействием 327
распределения цепи Маркова {vm} при условии
яц \[\-F(x)]dx> 1. (10)
О
Прежде всего, условие (10) имеет тот же физический
смысл, что и условие р < 1 для однолинейной системы
с простейшим входящим потоком (§ 4.1). Действительно,
в единицу времени поступает в среднем М [1 — F(x)] dx
требований, средняя длительность обслуживания одного
требования равна fi"1, так что обратную величину к левой
части неравенства (10) естественно считать загрузкой
обслуживающего прибора.
Для доказательства воспользуемся эргодической
теоремой, относящейся к цепям Маркова со счетным числом
состояний (§ 3.2). В частном случае, когда рассматривается
одномерное блуждание, данную теорему можно
перефразировать следующим образом.
Пусть {vm}—~неприводимая апериодическая цепь
Маркова со значениями 0, 1,2,... Тогда, если существует
такая случайная величина (J с отрицательным
математическим ожиданием, что при / > TV для любого k
^{v-+1-v.>*|v. = i}<P{P>ft},
цепь {vm} обладает эргодическим распределением.
В случае рассматриваемой системы массового
обслуживания можно записать:
где $т— число требований, обслуженных в интервале
времени (tm_v ta). Пусть известно, что vm = i>ni!Ltm — tm^=x.
Тогда для любого k^i — n
^{р.> *}=«-"*" L-^ (id
i-k
(до тех пор, пока существует очередь, выходящий поток
ведет себя, как поток Пуассона). Обозначим теперь через

328 ПРИМЕНЕНИЯ ПРОЦЕССОВ ВОССТАНОВЛЕНИЯ [ГЛ. 4
$х случайную величину, имеющую следующий закон
распределения:
/>{Р?=о}=1-— £*¥*.
i=i
Тогда в силу равенства (11) будет справедливо неравенство
P{tm>b\*m = i, t.-tm-i = *}>P{tf>b}
при всех & —0, 1, 2, ..., если только t^N+n.
Пусть Р^ — случайная величина с распределением
00
P{p*=k} = lP{tf=k}dF{x).
О
Имеем
00 n-i k
M$"=n\i S xe-nlLX £ {Jtjr dF(x).
О fe = o
При N—>-oo это выражение стремится к
СО CD СО
л|1 \xe-"»xYt(jl^<lF(x)==n\!L\[\-F(x)]dx.
о &=о о
Следовательно, ввиду условия (10), найдется такое N, что
Л1р^=1+8> 1.
Но тогда при i^N + n
причем
M{\-$N} = — е <0.
Далее, неприводимость и апериодичность цепи Маркова {vw}
не вызывает сомнений, поскольку
*{Р. = 0}>0, P{PW=1}>0, anpHV^^l
также P{PW = 2}> 0.
Все условия эргодической теоремы для цепей Маркова
оказываются выполненными.

§ 4.10] СИСТЕМЫ С ОГРАНИЧЕНИЯМИ 329
§ 4.10. Системы с ограничениями
1. Различные виды ограничений. В §§ 1.8 и 1.9 были
рассмотрены две постановки на обслуживание с
ограничениями: система с ограниченным временем ожидания начала
обслуживания и система, характеризующаяся ограниченным
временем пребывания (т. е. ожидания плюс обслуживания)
требований в системе. Мы получим немедленное обобщение
каждой из этих постановок, если положим, что время
ожидания (соответственно время пребывания) ограничено не
обязательно постоянной т, а некоторой случайной
величиной с функцией распределения А(х).
Затем можно рассмотреть следующую постановку задачи.
Предположим, что прибор обладает некоторой зоной
действия, так что он может обслуживать требования только
тогда, когда они находятся в этой зоне. Через зону
требования движутся с постоянной скоростью, например,
равной 1. Когда требование начало обслуживаться, то
скорость его становится равной а. Легко видеть, что при
а = 0 получается обслуживание с ограниченным временем
ожидания (требование «приостанавливается» до окончания
обслуживания), при а=\ мы имеем обслуживание с
ограниченным временем пребывания в системе; представляет
интерес и тот случай, когда а < 1.
2. Схематизация ограничений. Все перечисленные виды
ограничений и некоторые другие их разновидности можно
охватить единым методом, если ввести следующие
численные характеристики ограничений:
Б (х) — вероятность того, что произвольное требование
сможет ожидать начала обслуживания время, не
превосходящее х. Если на протяжении времени х обслуживание не
наступило, то именно - с такой вероятностью требование
теряется;
G(x, у)— условная вероятность того, что если
требование ожидало начала обслуживания время, равное у, и
если после этого началось ожидаемое обслуживание, то
ожидать окончания обслуживания требованию можно не
больше х единиц времени.
Введенные функции по самому их смыслу —неубывающие
и принимающие значения; заключенные между 0 и 1, но
это не обязательно функции распределения, так как

330 ПРИМЕНЕНИЯ ПРОЦЕССОВ ВОССТАНОВЛЕНИЯ [ГЛ. 4
возможно, что В (оо) < 1илиО(оо, у) < 1. Всякий раз будем
предполагать G(x, у) измеримой по у.
Убедимся теперь, что сформулированные выше
постановки об обслуживании с ограничениями являются частными
случаями постановки, описанной в терминах функций В(х)
и G(x, y)\ вместе с тем выясним, какие условия
необходимо наложить на функции В(х) и G(x, у), чтобы
получить ту или другую частную схему.
Схема 1. Каждое требование, застав прибор занятым,
становится в очередь и ожидает, пока к нему обратится
прибор для обслуживания; начатое обслуживание длится
до полного окончания.
Очевидно, в рассматриваемом случае
В(х) = 0, Q(x, у) = 0.
Схема 2. Время до начала обслуживания ограничено
случайной величиной с функцией распределения А(х)\
начатое обслуживание длится до полного окончания.
По самому определению функции В (х) следует выбрать
В(х) = А(х).
Поскольку при произвольном времени у ожидания
начала обслуживания ограничение на время ожидания
окончания обслуживания отсутствует, то
Q(x, У) = 0
для любых х, у.
Схема 3. Время пребывания требования в системе
ограничено случайной величиной с функцией распределения
А(х). Если требование может пребывать в системе лишь
время, не большее х, то время ожидания начала
обслуживания'также будет ограничено х, значит,
В(х) = А(х).
Определим теперь G(x, у). Если 0 — максимально
возможное время пребывания в системе, а время ожидания
начала обслуживания равно у, то максимально возможное
время ожидания окончания обслуживания распределено как
случайная величина Р при условии {Р>^}. Итак,
п* лЛ^В{х + у)-В{у)_А(х + у)-А{у)
а1*' У)- 1-Я О/) ~ \-А(у)

§ 4.10] СИСТЕМЫ С ОГРАНИЧЕНИЯМИ 331
Схема 4 (см. п. 1). Если обозначить через А(х)
функцию распределения времени пребывания требования
в зоне действия прибора, то, очевидно,
В(х) = А(х),
niv *л — А(ах + У)-л(У)
<Л*. Я- 1 —Л(у)
3. Основной случайный процесс. Предположим, что
в систему обслуживания, состоящую из одного
обслуживающего прибора, поступает простейший поток требований
с параметром А; требования обслуживаются в порядке их
поступления в систему. Время, необходимое для
обслуживания отдельного требования, представляет случайную
величину с функцией распределения Н(х). Кроме того,
предположим, что время ожидания начала и окончания
обслуживания подчинено ограничениям, которые согласно п. 2
можно выразить функциями В(х) и G\x, у). В этих
условиях можно определить марковский процесс, по
распределению которого находятся основные характеристики
обслуживания. Именно, пусть %(t) обозначает:
0, если в момент t прибор свободен,
время с момента t до того момента, когда прибор
освободится от требований, поступивших раньше t, если
в момент t такие требования в системе имеются.
4. Особенности процесса \(t). Предположим, что
в некотором интервале времени (tv t2) требования в
систему не поступают. Тогда на протяжении всего этого
интервала функция J- (t) убывает со скоростью, равной 1,
пока не достигнет значения, равного нулю; если в
некоторый момент времени %(t) = 0, то в дальнейшем изменение
1(f) прекращается. Короче говоря, поведение процесса | (t)
в интервалах времени, в которых требования не поступают,
ничем не отличается от поведения процесса y(t),
рассмотренного в § 4.1 при исследовании системы с ожиданием
(теперь — схема 1).
Предположим теперь, что в момент t в систему
поступило требование. Если время, необходимое для
обслуживания этого требования, равно у, максимальное время, на
протяжении которого это требование может ожидать начала
обслуживания, равно а и при условии, что фактическое
время ожидания начала обслуживания будет х, требование

332 ПРИМЕНЕНИЯ ПРОЦЕССОВ ВОССТАНОВЛЕНИЯ [ГЛ. 4
сможет ожидать окончания обслуживания время, равное
§ху то при всех этих условиях момент времени s, когда
рассматриваемое требование покинет систему, полностью
определяется значением £(/ — 0). Действительно, возможны
следующие три случая:
1. а<£(£ — 0). В этом случае поступившее требование
покинет систему, не дождавшись начала обслуживания, т. е.
s = t-\-a.
2. a^g(/ — 0), P|(^-o)<Y* Требование дождалось
начала обслуживания, но оставило систему до полного его
окончания; следовательно,
*=' + £('-о) + р6(,-о>.
3. а^£(^ — 0), P|(/-o)S^Y- Этот последний случай
соответствует полному обслуживанию требования,
поступившего в момент t. Так как требование покинет систему
через у после окончания обслуживания предыдущих
требований, то
s = t + l(t-0) + y.
Мы видим, таким образом, что если в момент t
поступило требование и если известно значение \(t — 0), то
этим полностью определяется распределение момента s,
когда данное требование покинет систему. Далее очевидно,
что
£(* + 0) = тах{£(*-{», s-t]
по определению £(/). Как следует из сказанного,'£(/)—■
однородный марковский процесс. Читатель видит также,
что в случае схемы 1 (обслуживание с ожиданием) процесс
%(t) сводится к процессу y[t), положенному в основу
изучения этой схемы в § 4.1. В случае схемы 2 и
специального выбора функции В (х)
\ 0 (*<т),
в<н>(*>,)
этот метод был применен С. М. Броди [1], [2]. Общий
подход был предложен И. Н. Коваленко [2].

§ 4.10] СИСТЕМЫ С ОГРАНИЧЕНИЯМИ 333
5. Существование эргодического распределения.
Обозначим
Р(х, t)=P{l(t)<x},
F(x)= UmF(x, t).
t -> 00
В § 4.1 было доказано, что в случае схемы 1 при
условии
J СО
X \xdH{x) < 1
о
случайный процесс £ (t) обладает эргодическим
распределением. Для систем обслуживания с ограничениями
практически наиболее интересен тот случай, когда в результате
имеющихся ограничений на ожидание начала и окончания
обслуживания общее время пребывания требования в системе
с вероятностью 1 не больше Т < оо (условие *).
Теорема. Если выполнено условие (*), то процесс
| (t) обладает эргодическим распределением.
Доказательство почти тривиально. Действительно, при
условии (*)
P{l(t)<1T}=l.
Следовательно, если за время от t до t-\-T в систему
не поступит ни одного требования, то необходимо будет
%(t -f-7) = 0. Так как вероятность отсутствия новых
требований в интервале (t, t-\-T) равна е~Хг, то выполняется
оценка
P{t(t + T)=0\t(t)=x}^e-^, 0<*<Г.
Последнее означает, что математическое ожидание числа
восстановлений регенерирующего процесса J- (t) в единицу
времени не меньше Хе~^т > 0. Это возможно только в том
случае, когда математическое ожидание длительности
интервала между восстановлениями процесса конечно. Очевидно
также, что указанная длительность обладает плотностью.
Стало быть, применив теорему Смита, можно сделать вывод
о существовании эргодического распределения.
Приведем более тонкий признак существования
эргодического распределения, подмеченный Л. Г. Афанасьевой;
мы приведем его в несколько измененной форме.

334 ПРИМЕНЕНИЯ ПРОЦЕССОВ ВОССТАНОВЛЕНИЯ [ГЛ. 4
Прежде всего заметим, что если g (/) ==j;, то в случае
поступления нового требования в момент t будет £(/ + 0) =
=у-]~ц где Цу— случайная величина, независимая от
{£(т), т^^}. Данная случайная величина имеет
распределение
Ly(x) = P{4y<x} = l-[\-B(y)][\-G(x,y)][\-H(x)}.
Теорема. Если при у^у0
Fy(x)^M(x),
а при у <у0 при некотором с > О
Ly(x)^M(cx),
где М (х) — функция распределения со свойством
00
x\[\-M(x)]dx<\,
О
то процесс £(/) обладает эргодическим распределением.
Доказательство. Обозначим через %у(у^Уо)
математическое ожидание продолжительности времени,
которое протекает с того момента, когда %У)=у, до первого
момента, когда этот процесс примет значение у0. Из оценки
Fy(x)^M(x)
следует, что
где Т —величина, определяемая аналогично ху1 но для
однолинейной системы с ожиданием при простейшем потоке
с параметром К и законе распределения М(х) для
длительности обслуживания требования.
Выведем уравнение для Т используя для этого процесс
y(t), рассмотренный в § 4.1. Если y(t)=y, то с
вероятностью (\ — Xli)-{-о (h) будет у (t-\-h) =y — h и с
вероятностью Xh + o(h) у (t-\-h)=y + v\ + o (/г), где ц — случайная
величина с функцией распределения М(х). Это рассуждение
приводит к соотношению
00
Ту = h + (1 - Щ Ty_h + П J Ту+Х dM (х) + о (А),
О

§ 4.10] СИСТЕМЫ С ОГРАНИЧЕНИЯМИ 335
что эквивалентно следующему равенству:
00
О
Устремив h к нулю, придем к уравнению
dT
Чу
y + XTy = X§Ty+xdM(x).
Из данного уравнения могут быть только два вывода:
либо 7^ = 00 для любого у, либо наше уравнение имеет
единственное непрерывное решение при условии 70 = 0*).
Первое исключается, поскольку -
]тхйМ{х)
О
есть математическое ожидание периода занятости прибора,
равное
00 /00 ч
$[1 — M(x)]dx\\\ — X J [1 — Л1 (*)]</*> <oo.
о l> о '
Непосредственной подстановкой убеждаемся в том, что
решением интегро-дифференциального уравнения служит
функция
где
00
р=±:Х5 [\—M(x)]dx.
о
Исследуем теперь математическое ожидание т
длительности интервала, когда %,(*)> У о- Имеем:
т= \rxdR(x),
*) Это уравнение принадлежит к типу интегро-дифференциаль-
ных уравнений типа свертки на полуоси (см. М. Г. Крейн [1]).

336 ПРИМЕНЕНИЯ ПРОЦЕССОВ ВОССТАНОВЛЕНИЯ [ГЛ. 4
где R{y) —функция распределения случайной величины
l(t + 0) при условии, что |(* — ОХ.у0 и %(t + 0)>y0.
Из условия
Ly(x)^M(cx)
вытекает неравенство
1 -Я (*)<sup [1 -L (*-.Уо)] < 1 -iW(c (л:-Л)),
так что
00
j xdR(x) < оо.
Но в силу полученной оценки
т = С xx dR (дг)< f 7;<*Л (дг) = j-L- f дг d/? (дг).
*/о Уо Уо
Таким образом, математическое ожидание длительности
пребывания процесса %(t) выше уровня у0 конечна. Из этого
немедленно следует, что либо £■(/) = 0, либо математическое
ожидание времени между моментами регенерации процесса
%(t) конечно. Теория регенерирующих процессов, как
известно, в подобной ситуации позволяет делать вывод о
существовании эргодического распределения.
Теорема доказана.
6. Уравнение для стационарного распределения. Будем
считать, что процесс £(t) обладает стационарным
распределением (для этого, конечно, не обязательно, чтобы
выполнялось условие (*). Предположим, что в момент t %(t)
распределено в соответствии с этим стационарным
распределением. Выразив вероятность события {£ (t + h) < л;}
через распределение £ (t) и вероятности событий, которые
могут произойти в интервале (t, t-\-h), получим:
h x+h
P{x) = (\ — Xh)F(x + h) + bldz $ {B{y-z) +
+ [l-B(y-z)]0(x-y + h,y + h) + [\-B(y-z)]x
x[l-0(x-y + h, y-z)]H(x-y + h)}dF(y) + o(h). (1)
Первое слагаемое в правой части этого соотношения
соответствует тому случаю, когда за время от t до t-\-h

§ 4.10] СИСТЕМЫ С ОГРАНИЧЕНИЯМИ 337
в систему не поступило ни одного требования.
Интегральный член соответствует случаю, когда за это время в
систему поступит ровно одно требование; подынтегральное
выражение имеет три слагаемых, каждое из которых
охватывает один из трех случаев, рассмотренных в п. 4.
Наконец, последнее слагаемое представляет о (h) ввиду
свойства ординарности простейшего потока.
Теорема. Если стационарное распределение существует»
то оно определяется постоянной А и функцией р (х):
х
F(x) = A+lp(t)dt, х>0,
0
где А и р(х) удовлетворяют интегральному уравнению
X
Р(х)-Х J [1 -В (у)] [1-0(х-у, у)] [\-Н(х-у)] X
XP(y)dy = lA[\-G(x, 0)][l-H(x)], (2)
справедливому почти при всех х > 0.
Доказательство. Подынтегральное выражение в
правой части формулы (1) не превосходит 1, поэтому
\F(x) — (\—Xh)F(x + h)\^M + o(h)
или
F(*+l*-FVi<2X + o{h)t
откуда следует абсолютная непрерывность функции F(x)
при х > 0, а значит, существование таких Л и р (лг) ^ 2Я,
что при х > 0
х
F(x) = A+[p(t) dt.
о
Тогда равенство (2) следует из (1), если в этом
последнем перейти к пределу при h—+0.
Заметим, что при А фиксированном (2) представляет
уравнение Вольтерра с ограниченным ядром; известно, что
такое уравнение может иметь только одно интегрируемое
решение в любом интервале (0, Т). Так как интересующее
нас вероятностное решение, очевидно, интегрируемо, то

338 ПРИМЕНЕНИЯ ПРОЦЕССОВ ВОССТАНОВЛЕНИЯ [ГЛ. 4
это решение определяется с точностью до постоянного
множителя А. Последний определяется условием нормировки
00
A+lp(t)dt=\.
о
7. Выражение различных характеристик обслуживания
через F(x). Рассмотрим следующие функции и постоянные,
связанные со стационарным процессом обслуживания:
Fx{x) — функция распределения времени пребывания
требования в системе до начала обслуживания (для схемы
1—-функция распределения времени ожидания);
F2 (х) —функция распределения времени пребывания
требования в системе;
^з (■*) — функция распределения «степени обслуженности»
требования, т, е. отношения фактического времени
обслуживания требования ко времени, необходимому для полного
обслуживания;
^4 (*)■— вероятность того, что требование будет
полностью обслужено, если необходимое для этого время
равно х\
а±—вероятность чистой потери (требование покинет
систему еще до начала обслуживания);
а2 — вероятность частичной потери (требование будет
обслуживаться, но покинет систему до полного окончания
обслуживания).
Теорема. Введенные функции и постоянные определяются
соотношениями:
F1(x) = F(x) + [\-F(x)]B(x),
F2(x) = F(x)-\-*p{x) + B(x)[\-F(x)],
СО 00
F,{x)=\-H[\-0(xz, y)]dF(y)dH(z), 0<x<\,
О О
со
Ft(x) = $[\-0{x, y)]dF{y),
О
со
a1=lB(y)dF(y),
О
00 00
o, = S[l-50')]Jo(z, y)dH(z)dF(y).
О О

§ 4.10] СИСТЕМЫ С ОГРАНИЧЕНИЯМИ 339
Доказательство всех формул, составляющих
содержание теоремы, можно провести аналогичным образом.
Действительно, всякий раз речь идет о длительности и
качестве обслуживания произвольноготребования,поступающего
в систему при установившемся режиме. Но эти характеристики
определяются, коль скоро известны значение процесса g (t)
и момент поступления требования. Так как стационарное
распределение характеризуется функцией F(x), то все
указанные характеристики получаются по формуле полной
вероятности.
Например, формулу для а2 можно вывести следующим
образом. При условии, что %(t)=y, а время, необходимое
для обслуживания требования, поступившего в момент t>
равно z, вероятность частичной потери равна
[\-B(y)]Q(z, у).
Безусловная вероятность а2 получается посредством
интегрирования, Fx(x)y F2(x), alf a2 являются
общеупотребительными характеристиками обслуживания; F3 (х)
может оказаться полезной при исследовании систем
обслуживания, для которых имеет смысл говорить об убытке от
частичного обслуживания в зависимости от степени обслу-
женности требования. Функция F±(x) полезна при решении
следующей интересной задачи.
Имеется несколько приборов, обладающих различными
характеристиками В (х) и G(x} у), а также Н(х). Поток
требований — простейший, но не однородный; каждому
поступающему требованию соответствует некоторое значение
параметра со, по которому можно определить, насколько
быстро требование может быть обслужено каждым из
приборов. Требуется рассчитать распределительное устройство,
которое в зависимости от со направляло бы требование на
тот или иной прибор. Потоки требований, поступающих
на различные приборы, будут простейшими; следовательно,
можно определить вероятность потери для требований с
заданным значением параметра. В зависимости от со потеря
требования связана с определенным убытком. Необходимо
выбрать наивыгоднейшее разбиение параметрического
множества fi = {co} на классы, соответствующие различным
приборам. Весьма близко к описанной схеме подходит задача

340 ПРИМЕНЕНИЯ ПРОЦЕССОВ ВОССТАНОВЛЕНИЯ [ГЛ. 4
об оптимальном распределении работы между станками с
различными характеристиками.
8. Исследование конкретных схем. Как уже отмечалось,
схема 1 совпадает с системой обслуживания с ожиданием,
изученной в начале этой главы; поэтому мы не будем здесь
к ней возвращаться.
Схема 2. Как было установлено,
В(х) = А(х)9
О{х,у) = 0,
где Л (л:) —вероятность того, что если обслуживание не
начнется через х единиц времени после поступления
требования в систему, то это требование будет потеряно.
Подставив эти выражения в уравнение (2), получим:
х
p(x)-kl[\-A{y)][\-H(x-y)]p{y)dy = M[\-H(x)].
0
(3)
Предположим, что А(х) — ступенчатая функция, т. е.
для некоторых
*1, *8, Х3, ..., Хп (0 <Х1 < Хг < . . . < Х„),
Л(л;1 + 0)-Л(а;1) = Д1, А(х2 + 0)-А(х2) = А2, ...
А(хп + 0)-А(хп) = Ап,А1 + А2 + ...+Ап=\.
В интервале (0, х-^ уравнение (3) имеет вид
X
p{x)-'k\[\-H{x-y)]p{y)dy='kA[\-H{x)). (4)
0
Для того чтобы можно было применить преобразование
Лапласа, рассмотрим функцию f(x), которая удовлетворяет
уравнению (4) на всей полупрямой х > 0, а на отрезке
(0, ATj) совпадает с р(х).
Обозначив
00 СО
ф (s) = 5 e-sxf(x) dxy h (s) = J е~9ХйН{х),
о о
получим:
/ . %Ah{s)

§ 4.10J СИСТЕМЫ С ОГРАНИЧЕНИЯМИ 841
Посредством обратного преобразования Лапласа
определим р (х) в интервале (0, хх). Рассмотрим теперь
уравнение (3) в интервале (xv x2):
X
p(x)-X(\-A1)l[\-H(x-y)]p(y)dy =
= \Al.\-H(x) + J[\-H(x-y)}p-f-dy\.
^ 0 '
Можно снова распространить это уравнение на
интервал (хг, сю) и, воспользовавшись тем, что в интервале
(О, хг) уже известно/?(х), решить его в интервале (х1,х2).
Этим же способом можно последовательно определить р(х)
во всех интервалах (хт, хт + 1). Когда р (х) станет известно
в интервале (0, хп), то при х > хп остается применить
формулу
p(x) = xl[l-A(y)][\-H(x-y)]p(y)dy + \A[\-H(x)].
О
Постоянная А находится из условия нормировки.
Схема 3. В данном случае уравнение (2) запишется так:
X
p{x)-K[\-A(x)]l[\-H(x-y)]p(y)dy =
О
= ХА[1—А(х)][\—Н(х)].
Если Л(х) — ступенчатая функция, то р(х) можно
определить так же, как и в случае схемы 2. Не вдаваясь в
подробности, отметим один простой частный случай. Пусть
время пребывания требований в системе ограничено
постоянной т > 0. Тогда, если f(x) — решение уравнения (3),то
/ с/(х), лг<т,
р(х) = <
* 0, л;> т.
Постоянная с находится из условия
A+}p(x)dx=l.

342
ПРИМЕНЕНИЯ ПРОЦЕССОВ ВОССТАНОВЛЕНИЯ
[гл. 4
Схема 4. Теперь уравнение (2) будет иметь
следующий вид:
X
P(x)-X^{\-B[ax + (\-a)y]}[\-H(x-y)]p(y)dy =
= ХА[\—В(ах)][\—Н(х)].
Укажем способ решения этого уравнения для того
частного случая, когда
V ' И, *>т,
положив для определенности а> 1. В этом случае
предыдущее уравнение перепишется следующим образом:
X
p(x)-\^[\-H(x-y)]p(y)dy = XA[\-H(x)]
О
(0<*<-1), (5)
X
Р(х)-Х J [\-H(x-y)]p(y)dy = 0 (ъ<х<%У (6)
ах-х
а-1
Распространив уравнение (5) на полупрямую х > 0, можно
определить р (х) при 0 < х < — . Затем уравнение (6) в ин-
/т (2а—1)т\
тервале ( — , ^— 1 следует представить в виде
p(x)-k^[\-H(x~y)]p(y)dy = X j [\-H(x-y)]p(y)dy
ах-х
a-l
и найти решение для значений х > —.
Продолжая этот процесс до бесконечности, можно
последовательно определить р (х) в интервалах
(Х2, Х3), (ATg, ЛГ4), ..., \-^п-1' ■*»)» #,,э
где

§ 4.11] ХАРАКТЕРИСТИКИ ОДНОЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 343
Число итераций, необходимое для приближенного
вычисления р(х) с заданной степенью точности, можно оценить,
воспользовавшись неравенством р (х) ^ 2л.
§ 4.11. Теоремы об аналитическом виде характеристик
однолинейных систем
1. Постановка задачи. Имеется большое число работ, в
которых получены аналитические формулы для стационарных
и нестационарных вероятностей состояний различных
однолинейных систем массового обслуживания; некоторые из
подобных результатов были приведены выше. Эти
результаты, § также новые решения, изложенные в настоящей
главе, показывают, что стационарные распределения
получаются в виде рациональных функций от преобразования
Лапласа— Стилтьеса распределения длительности
обслуживания. Так, в случае однолинейной системы с простейшим
входящим потоком и произвольно распределенной
длительностью обслуживания производящая функция распределения
длины очереди имеет вид
V л yi (l-U)(l-2)ft(Ml-z)) ,
hPn " A(Ml-z))-z ' '7^lf
где h(s) — преобразование Лапласа — Стилтьеса
распределения длительности обслуживания. Из этой формулы видно,
что любое рп может быть выражено в виде рациональной
функции от h (s) и ее производных в точке■ $ = А.(1—z).
Далее, в §§ 4.6 и 4.7 мы видели, что стационарные
распределения смешанных систем массового обслуживания и
систем с преимуществами также выражаются в виде
суперпозиций преобразований Лапласа — Стилтьеса длительностей
обслуживания требований различных типов.
В случае многолинейной системы с выходящим потоком
с ограниченным последействием и показательно
распределенной длительностью обслуживания также имеет место формула
для производящей функции длины очереди, сводящаяся к
алгебраическим операциям над преобразованием Лапласа —
Стилтьеса распределения длительности интервала между
поступлением в систему требований. Естественно возникает вопрос:
насколько широк класс систем массового обслуживания, для
которых имеет место аналогичное обстоятельство? Вполне

344 ПРИМЕНЕНИЯ ПРОЦЕССОВ ВОССТАНОВЛЕНИЯ [ГЛ. 4
понятно, что такой вопрос имеет смысл лишь в применении
к строго очерченному классу систем массового
обслуживания или, что то же, к классу сопоставленных этим системам
случайных процессов.
В главе 3 был введен и изучен класс кусочно-линейных
марковских процессов £(f). Процесс £ (t) определен нами
как случайный вектор
£(') = {v(*)! liV), bit), -J,
где v (t) — параметр, принимающий значения из конечного
или счетного множества, а £,•(*), *^1,— непрерывно
меняющиеся функции, в интервалах между спонтанными
изменениями процесса изменяющиеся по линейному закону*
'fa — av/, J— А, А • ••,
до момента достижения переменной \j(t) нулевого значения.
В реальной интерпретации av/ — скорость выполнения у-й
операции в состоянии v. Вполне естественно выделить
однолинейные системы тем соглашением, что в каждом состоянии,
отличном от нулевого, выполняется точно одна операция.
Таким образом, вводится следующее
Определение. Система массового обслуживания,
функционирование которой описывается кусочно-линейным
процессом £(f), называется однолинейной, если для каждого
v=t^=0 существует v, l^v^v(v), и av > О такие, что
__ /otv, если y=v,
av~\0, если j^v. (Ц
Для сокращения записи будем также писать pV]X вместо pw.
Понятно, что одной и той же реальной системе иногда
можно поставить в соответствие и однолинейную, и
многолинейную модель. Но поскольку наше определение относится
к свойствам случайного процесса с заданными
характеристиками, оно вполне однозначно.
Оказывается, что соглашения об «однолинейности»
недостаточно для того, чтобы получать стационарные
вероятности в «рациональном» виде. Именно, с формальной точки
зрения однолинейные системы являются настолько же общими,
как и многолинейные системы, т. е. кусочно-линейные процессы

§ 4.11] ХАРАКТЕРИСТИКИ ОДНОЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 345
самого общего вида. Существует прием, сводящий любую
систему к однолинейной; состоит он в следующем.
Представим себе «блуждающий» прибор, все время
переходящий от обслуживания одних требований к другим в
циклическом порядке. Если в состоянии v должно
выполняться |v| операций со скоростями соответственно Ovi,
aV2, •••, otv|vh то прибор последовательно переходит от
обслуживания /-го требования к (/ + 1)"МУ (от | v (-го — снова
к первому). На каждой операции прибор задерживается
показательно распределенное время с математическим
ожиданием т. Таким образом, на каждое требование прибор
тратит приблизительно (l/|v|)-ro часть времени. При этом
скорость выполнения у-й операции в состоянии, когда
прибор обслуживает соответствующее требование, положим
равной |v|-av/(l ^У^ |v|). Представим себе, что т —> 0; тогда
в пределе «скачкообразное» обслуживание перейдет в
непрерывное и однолинейная система выродится в многолинейную.
(Непосредственное применение закона больших чисел
показывает, что при предельном переходе указанного вида
основные характеристики однолинейной системы сходятся к
соответствующим характеристикам предельной системы, если
речь идет о характеристиках поведения процесса v (t) при
/^Г<оо. Применяя эргодические теоремы, можно
распространить подобный предельйый переход и на
стационарные характеристики.) Известно, что многолинейные системы
требуют для своего исследования существенно более
сложного аналитического аппарата, чем рациональные операции
над преобразованием Лапласа — Стилтьеса распределения
длительности обслуживания. Например, в случае
однолинейной системы с входящим потоком типа Пальма и общим
распределением длительности обслуживания формула для
производящей функции распределения длины очереди включает
операцию факторизации. По-видимому, подобные же
трудности должны встретиться и при исследовании
многолинейных систем с конечным числом возможных состояний.
Сказанное свидетельствует о необходимости введения
дополнительного ограничения, которое исключило бы
возможность ситуации «блуждающего прибора».
Примем предположение, состоящее в следующем. Пусть А
и Б — любые две операции обслуживающего прибора. Тогда,
если в момент начала операции Б требование на операцию Л

346 применения процессов восстановления [гл. 4
уже имелось, то А не может начаться до тех пор, пока Б
не закончится. Назовем это предположение «условием
упорядоченности».
Для того чтобы проиллюстрировать, как выполняется
условие упорядоченности, рассмотрим систему с
преимущественным обслуживанием. Ясно, что если преимущественное
требование Б начало обслуживаться, когда прервалось
обслуживание непреимущественного требования Л, то
невозможно, чтобы прервалось обслуживание Б для
возобновления обслуживания А.
Конечно, условие упорядоченности, сформулированное
выше как «взаимоотношение» требований, можно
перефразировать как чисто алгебраическое свойство определяющих
характеристик кусочно-линейного процесса ^(t). Мы не будем
этого делать, так как для доказательства нашей основной
теоремы это не понадобится.
2.Теорема о стационарном распределении. Будем считать,
что рассматриваемая система — однолинейная; выполнено
свойство упорядоченности; множество состояний процесса конечно.
Предположим также,что для любых v и (л, коль скоро AVM, > О,
R
/А,* (*)= 2 СУ11ГН} {хг) H2r (*a).. .tf^Hv| (xM4v{) *), (2)
где CV[lr — неотрицательные постоянные, Hsr (x) — одномерные
функции распределения; /^( + 0) = 0;
00
5 [1 —Hsr (х)] dx<oo, 1 < г < R.
о
Мы будем рассматривать «рациональные суперпозиции»
наборов функций распределений {Fi(x)\u констант {а;}. Этому
понятию мы будем придавать следующий точный смысл.
Предположим, что име.ется расширяющаяся последовательность
множеств А0 ^ Аг^ А2 ^ ..., каждое из которых может
иметь в качестве элементов постоянные а и функции ф (s)
комплексной переменной s. При этом А0 = {а-}. При любом
п^\ Ап отличается от Ап__1 наличием конечного числа
дополнительных элементов gny которые строятся по следующим
правилам.
*) Сверху стоят индексы, а не показатели степени.

§ 4.11] ХАРАКТЕРИСТИКИ ОДНОЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 347
Если gn— константа, то либо gn = )fix)dFi{x)i где
о
f(x)— функция, преобразование Лапласа ф (s) которой входит
в Ап_ъ либо gn — результат рациональной операции над
константами из Ап_19 либо gn — результат подстановки в функцию
из Ап_1 константы (принадлежащей Ап_х или независимой от
{Fi(x)}, {#,})• Если же gn= gn(s)—функция, то либо
£*(*) = Ф1(*)ф2(*)> ™е <Pi(*) и ф2(5)€^-1, либо gn(s)—
рациональная функция переменной 5 и констант из Ап__1, а
также, возможно, констант, не зависящих от {Ft(x)}y {#,}.
Назовем константы, входящие во множества Ап, п^О,
рациональными суперпозициями наборов функций
распределений {F((x)} и констант [а{).
Теорема. В сформулированных условиях существует
эргодическое распределение процесса v (t):
Pv=limP{v(0 = v}, (3)
где {pv} —рациональные суперпозиции функций распределения
{Нг (х)} и параметров {XV|U}, {av}.
Прежде всего, существование эргодического
распределения следует из эргодической теоремы для кусочно-линейных
марковских процессов (глава 3). Докажем аналитическую
часть теоремы.
Для доказательства понадобится расширение множества
состояний процесса. Для сокращения записи обозначим
исходный процесс v(t) через v*(f), а его состояния — через
v*, (х* и т. д. Под v (t) будем понимать процесс с
расширенным множеством состояний. Потребуем, чтобы
выполнялись два условия:
1. v(/) однозначно определяет состояние процесса v* (t)
в момент t и (в случае v* (t) Ф 0) его предыдущее
состояние (из которого этот процесс перешел в
состояние v*(t)).
2. v (t) однозначно определяет число требований в
момент t, которые находятся в системе, обслуживались до
момента t и в данный момент не обслуживаются (обслуживание
прервано).
В условиях 1 и 2 вместо HV[X (x) можно писать просто
И]Х{х). Можно пойти еще дальше. Как видно из формулы

348 ПРИМЕНЕНИЯ ПРОЦЕССОВ ВОССТАНОВЛЕНИЯ [ГЛ. 4
(2), данное распределение является смесью компонент
Нг1(х), Иг2(х). . . Если ввести в определение состояния
дополнительный индекс г, то мы можем ограничиться одним
слагаемым:
HVL(x) = Hl(x)fiJl(x).
(4)
В случае, если при переходе в состояние \i начинается
обслуживание какого-либо из требований, не
обслуживавшихся ранее, будем обозначать соответствующую функцию
распределения величины работы также Н^{х)\ это не может
вызвать неопределенности. Ввиду конечности множества {v*}
множество состояний {v} расширенного процесса может быть
также сделано конечным, что мы и предположим.
Обозначим через | v | число прерванных обслуживании в
данный момент времени, если v(f) = v (v(0)^0). Очевидно,
возможные значения v: 0, 1, 2, ..., /. Если v = 0
(согласимся считать это эквивалентным v* = 0), положим | v | = — 1.
Процесс v (t) имеет следующую структуру (рис. 4.7):
интервалы занятости (| v (t) | ^ 0) сменяются интервалами
wo
8
д
I I
_i-Lj L.
а о a'j b) q, Ь7 b0
Рис. 4.7.
-**£
незанятости (|v(f)| =— 1). Каждый интервал занятости
состоит из интервалов (а, Ь) (на рисунке они разделены
вертикальными черточками), где а и b—моменты начала и
окончания обслуживания одного и того же требования.
Примыкающие друг к другу интервалы типа (я, Ь) образуют
цикл порядка 0. Таким образом, если (а0, Ь0) — цикл

§ 4.11] ХАРАКТЕРИСТИКИ ОДНОЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 349
порядка 0, то
|vK-0)| = |v(*o+0)| = -l, (5)
|v(a0 + 0)| = |v(*0 —0)1 = 0. (6)
Внутри цикла порядка 0 могут быть расположены циклы
порядка 1, примеры которых — (аг, Ьг) и (a'v b'J на рис. 4.7.
Каждый из них начинается переходом | v (t) | из состояния 0
в состояние 1 и заканчивается обратным переходом.
Аналогично определим циклы порядка к, где 1 < к ^ /, как
интервал пребывания | v (t) | в состояниях ^ к. Каждый цикл
порядка к состоит из одного или нескольких интервалов,
начинающихся и заканчивающихся, когда соответственно
начинается или заканчивается обслуживание некоторого
требования.
Обозначим:
LV[idt — вероятность возникновения за время dt в
состоянии v цикла порядка |v| + l, после окончания которого
процесс перейдет в состояние |д, (| \х | = | v |);
Т^' — математическое ожидание времени пребывания
процесса v (t) в состоянии v' (| v' j > |v |) на протяжении цикла
порядка | v | + 1 > начавшегося с ухода процесса из состояния v и
закончившегося переходом в состояние \i (| \i \ = \ v |);
/VM,— вероятность того, что если в начале обслуживания
требования было v (t + 0) = v, то сразу после окончания
обслуживания этого требования процесс перейдет в состояние [х(||л| =
= | v| или | v |— 1);
t^ —условное математическое ожидание времени
пребывания процесса в состоянии v' (| v' | > | v |) в течение
интервала (я, Ь), где v(tf + 0) = v, v (b + 0) = \i] а и b —
моменты начала и окончания обслуживания одного и того
же требования, причем |[x|=|v| или |v|—1.
Из общих зргодических соображений (или из теоремы
Смита для регенерирующих процессов) вытекает равенство
Р,= *о/Л, v=£0 (7)
(действительно, в интервале между началом двух
последующих циклов порядка 0 процесс v (t) находится в
состоянии v в среднем 7^о и в состоянии 0 в среднем г- единиц
времени).

350 ПРИМЕНЕНИЯ ПРОЦЕССОВ ВОССТАНОВЛЕНИЯ [ГЛ. 4
Мы видим, что постоянные Т^0 полностью определяют
стационарное распределение, если к (7) добавить условие
нормировки
v
откуда
Ро1=\ + К S 7оо. (8)
V'yC 0
Ниже будет изложен способ рекуррентного определения
постоянных 7^. Прежде всего,
00
'vn= Ц Pv*$tv\i'(x)dH,(x), (9)
||i'| = |v| О
где /VUL (л;) — условная вероятность того, что обслуживание,
начавшееся в состоянии v, закончится в состоянии \i при
условии, что величина работы, необходимой для выполнения
данного обслуживания, составляет х единиц.
Составим систему дифференциальных уравнений, которым
удовлетворяют функции 1^(х).
Переменная х у нас будет играть роль «времени», она
показывает величину работы, уже выполненной по
обслуживанию данного требования. Если в состоянии |д/ данное
требование обслуживается со скоростью а^', то «время» течет
со скоростью 1/ар/; циклы более высоких порядков в
данном масштабе времени как бы происходят мгновенно; на это
время переменная х прекращает возрастание. Вследствие
этого в произвольный момент «времени» х с вероятностью 1
| v (#) | (обозначение понятно) равно | v |. Возникновение цикла
порядка |v| + l в псевдовремени л; равносильно спонтанному
изменению параметра процесса v(x). Таким образом, легко
вывести соотношение
'„(^+*) = '„w(i-^*) +
откуда обычным путем находим:
а* in' i=i vi V

§ 4.11] ХАРАКТЕРИСТИКИ ОДНОЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 351
Функции 1ш(х) удовлетворяют начальному условию
М0)=6*^ (и>
где 6V[JL—символ Кронекера. В преобразованиях Лапласа
уравнения (10) имеют вид
(5 + VzV)/- (s)= £ V;+V»V(*)+^,
4 * ' in'l = ivl V
li'^n |v|—i^|^|^|v|^ (12)
где
00
/"«(*) = $'-%*(*) **• (13)
0
Система уравнений (12), рассматриваемая при
фиксированном v и |fi| = |v|—1, имеет определитель
Д, v, (s) =sglv i + о (/' v I) (s —кх>, Re s > e > 0),
где q\v\ — некоторое положительное число. Поэтому данная
система имеет единственное решение, которое является
дробно-рациональной функцией переменной s и постоянных
Но тогда сами функции /Vtt (х) представимы в виде
M*) = 2V6v^"°v< (14)
где b —целые неотрицательные числа. Ограниченность
/V{JL (х) при х > 0, очевидная из вероятностных
соображений, имеет следствием неравенство
Repvvir>0. (15)
Тогда формула (9) приводит к равенству
I* = 2 /Vn2 a^r (~ i)6v^^)(p ). (1б)
lM/T=|v| r
Как известно из теории линейных систем с постоянными
коэффициентами постоянные р^г (характеристические числа)
являются алгебраическими функциями коэффициентов
уравнений. Следовательно, /V{JL выражаются в виде,
удовлетворяющем условию теоремы, через постоянные
и •
V V

352 ПРИМЕНЕНИЯ ПРОЦЕССОВ ВОССТАНОВЛЕНИЯ [ГЛ. 4
Постоянные t*' можно найти следующим образом. Пусть
v (л;) — значение процесса v(^) в момент, когда выполнено л:
единиц работы по обслуживанию требования, которое начато
в состоянии v. Если v(a;) = v', то от х до х -\-h, где h —
малая величина, пройдет — единиц времени пребывания
av/
процесса в состоянии v' (с вероятностью 1 + о (1)).
Далее, между х и x-\-h может иметь место цикл
порядка |v(a:)|+1; если v(a;) = v1, to вероятность
происшествия цикла, после которого будет v (x-\- h) = v2, равна
LVlv2h/aVl-{-o(h); за время такого цикла процесс будет
находиться в состоянии v' в среднем 7^'v единиц времени.
Заметим, далее, что ^'/VHL есть математическое ожидание
времени пребывания в состоянии v', умноженного на индикатор
события, состоящего в переходе после окончания
обслуживания в состояние (л*). Следовательно,
X
iv'I
= 2 PV* <*НЧ{Х) \-!—lvv'(y)lv'iL'(X— У) +
+ L 1^^К,ЛУ)1^ЛХ-У))с1у. (17)
I Vl | = l v2 l = | v I vi )
Ввиду того, что 1^(х) имеют вид (14), их свертка под
интегралом в правой части формулы (17) также будет
суммой подобных функций, следовательно,
Ov, = 2<CAfv^ (р ). (18)
Г
Выразим теперь L^ и 7^ через l^^ и i*", ,. Это
сделать значительно проще, чем было вывести формулы (16)
и (18). Так,
IH'1 = 1 v| + i
где L^ — вероятность того, что цикл порядка v,
начавшийся в состоянии v, закончится переходом в состояние |х,
IH=M-i.
*) Индикатором события А называется случайная
величина, равная 1, если А произошло, и равная 0 в противном случае.

§ 4.11] ХАРАКТЕРИСТИКИ ОДНОЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 353
Для нахождения Lvlx имеем систему уравнений:
^ = ^+, .2, .'vu'Vn, (20)
ln'l = |v|
которая согласно общей теории цепей Маркова имеет
единственное решение; последнее, очевидно, представляет собой
рациональную функцию параметров {/Vn'}-
Подобным же образом
ЛуТуу— 2и ^-VM/Mi'M.» (21)
где постоянные Т%^- определяются системой уравнений
1м/1 = М
Таким образом, мы получим рекуррентный процесс: 1^
и tv' определяются посредством формул (16) и (18) через
LVilll и Ту' , где | vx | = | v |, формулы (19)—(22) позволяют
находить L^ и 7^ через /Vl|il и 7^, где | vx | = | v | + 1.
Поскольку выведенные нами формулы требуют операций,
удовлетворяющих условиям теоремы, ее утверждение
доказано полностью.
Замечание. Наша теорема позволяет делать выводы
об аналитическом виде стационарного распределения лишь
в случае конечного числа состояний процесса v(^). Однако
путем предельного перехода тем же методом можно
исследовать и бесконечные системы уравнений.

ГЛАВА 5
ПРИМЕНЕНИЕ БОЛЕЕ ОБЩИХ МЕТОДОВ
В настоящей главе будет рассмотрено решение ряда
задач теории массового обслуживания, требующих более
сложных методов исследования, чем в предыдущей главе.
§5.1. Однолинейная система с ожиданием при входящем
потоке с ограниченным последействием и произвольно
распределенной длительностью обслуживания
1. Основное рекуррентное соотношение. Рассмотрим
однолинейную систему массового обслуживания с
ожиданием. Предположим, что входящий поток — с ограниченным
последействием. В начальный момент система свободна.
Требования поступают в моменты tx ^ t2 ^ ... ^ tn ^ ...,
величины zn = tn — tn_1 независимы в совокупности и
обладают одним и тем же законом распределения
0(х)=Р{гп<х], л>2. (1)
Длительности обслуживания требований — независимые в
совокупности случайные величины цп с распределением
Н(х) = Р{цп<х}, л>1. (2)
Обозначим также
се
С, = Л„-1-г», K(x)=P{ln<x} = l[\-0(y-x)]dH(y).
О
(3)
Предполагается, что последовательности [zn] и {х\п} взаимно
независимы.
Обозначим через уп длительность ожидания п-ro
требования. Очевидно, что Yx = 0.

§ 5.1J
ОДНОЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА
355
Рассмотрим, следуя Д. Линдли [1], как образуются
последовательные значения уп.
Если бы #-е требование поступило в систему сразу вслед
за (п — 1)-м, то ему пришлось бы ожидать Yrc-i + 'Hn-i еди"
ниц времени; за время zn это количество уменьшится на zn
единиц, т. е. длительность ожидания /z-ro требования должна
составлять Yw-i + ^n-i — гп=:Уп-1^г^п единиц времени.
Однако здесь нужно сделать некоторую оговорку.
Если отрезок zn будет достаточно большим, уп + £>п
может стать отрицательным. Легко видеть, что в этом
случае действительное время ожидания п-го требования равно 0.
Это можно записать в виде рекуррентного соотношения
Y* = max{Y„-i+£„, 0} (4)
или, в символической записи,
Уп = &п-х+и+- (5)
Обозначим
РП(Х)=Р{УП<Х}- (6)
Тогда соотношение (4) или (5) можно переписать в
функциях распределения следующим образом:
х
^+iW= \?п{х-У)ЛК{у), если *>0, л>2,
(7)
Fn+1(x) = 0, если л:<0, я>1.
Формулы (7) вместе с очевидным соотношением
/1^-( 1, если х> 0, W
позволяют в принципе находить рекуррентным образом
распределение длительности ожидания любого требования.
Д. Линдли сделал важное замечание, которое
выяснилось благодаря удачному выбору случайной
последовательности.
Формулы (7) сохраняют смысл и в том случае, когда
{ЛлЬ izn} — зависимые последовательности случайных
величин. Важна лишь независимость в совокупности
случайных величин {£„}. Кстати, существуют реальные примеры,
когда £я можно считать взаимно независимыми, тогда как
zn явно зависит от tjw-1.
12»

356 ПРИМЕНЕНИЕ БОЛЕЕ ОБЩИХ МЕТОДОВ [ГЛ. 5
Дадим, следуя Д. Линдли, две интерпретации
полученных рекуррентных формул.
Первая интерпретация — случайное блуждание с
задерживающим экраном.
Представим себе блуждающую частицу, координата
которой в момент п равна хп. В начальный момент п=\
Y^ = 0. В каждый последующий момент п к координате
частицы добавляется £и, где t,n не зависит от £х, £2,
..., Zn-i и имеет распределение G(x). Если на каком-
либо шаге частица уходит в область отрицательных
значений координаты, она немедленно возвращается в нуль. Тогда
распределение координаты частицы в момент п совпадает
с распределением длительности ожидания п-го требования.
Эгот факт непосредственно очевиден ввиду соотношения (5),
представляющего формальную запись закона блуждания
с задерживающим экраном.
Вторая интерпретация, также приводящая к
распределению длительности ожидания, — случайное блуждание с
поглощающим экраном. Снова рассматривается блуждающая
частица с координатой хп на п-м шаге; х± = 0. Имеем
•*„ = #„_!+£„, п^2. Ставится поглощающий экран на
уровне х. Если в какой-либо момент времени хп^х,
частица поглощается.
Утверждается, что вероятность непоглощения частицы
за п шагов совпадает с Fn (x)—P{yn < х}. Другими
словами, для неограниченного блуждания
р{Уп<х)=рI max *i<*\»
11 < i < n f
т. е. уп можно интерпретировать как max x(. Доказа-
l^ i ^ п
тельство этого утверждения осуществляется по индукции.
При /z—1 оно выполнено тривиальным образом. При п > 1
имеем:
{тах(0, х2), если max (x( — *2)<0,
з ^ с < п
тах(0, х±) + max [0, (х£ — хг)], (9)
если max (#,• —л^) > 0.

§ 5.1] ОДНОЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА 357
Но распределение max {xt — х2) совпадает с распреде-
з < i < п
лением случайной величины max х{ (ввиду однородности
1 ^«<: я -1
блуждания). Обозначим Ln(x) — P{ max х(<х}. Тогда
1 ^ * < п
из (9) выводим следующие формулы:
х
Ln(x)= S Ln_1(x-y)dK{y), x>0,
— 00
Ln (x) = 0y х^О.
Эти формулы эквивалентны формулам (7), но, поскольку
последние однозначно определяют Fn (x), имеем совпадение
Ln (х) = Fn (x) при любом п^\.
2. Интегральное уравнение. Существование
предельного распределения. Только что был установлен факт,
эквивалентный равенству
Fn(x) = P{ max xt<x}\ (10)
i <; i ^ n
отсюда следует, что при любом п ^ 2
Fn(x)>Fn-1(x);
стало быть, существует
/>(*)= lim/="„(*) (И)
П-+ 00
в смысле слабой сходимости. Функцию F(х) можно
доопределить по непрерывности слева. По теореме Лебега о
возможности перехода к пределу под знаком интеграла мы
можем в (7) устремить п к бесконечности, что приведет
к интегральному уравнению
/ х
F(x)JiF{X-y)dKW> X>°> (12)
I 0, л;<0.
Уравнение (12) представляет собой интегральное уравнение
на полуоси с ядром, зависящим от разности аргументов.
Общая теория подобных уравнений развита в известной
статье М. Г. Крейна [1]. Решение находится посредством
факторизации преобразования Фурье ядра интегрального
уравнения.

358
ПРИМЕНЕНИЕ БОЛЕЕ ОБЩИХ МЕТОДОВ
[ГЛ. 5
Займемся вопросом: является ли F(x) функцией
распределения, что сводится к следующему: чему равно
F(oo)= lim F(x)7
Теорема. Пусть существует математическое ожидание
конечное или бесконечное, но определенного знака *). Тогда:
1) при a < О F(oo)= 1,
2) при а> О /7(сх)) = 0|
3) при a = 0 F(oo) = Ot за исключением случая,
когда Си = 0.
Доказательство. Можно записать:
F(x) = P{ max xt<x}% (13)
i<: / < od
куда включается и случай
max xi = оо.
1 ^ / < GO
Рассмотрим первый случай: а < 0. Согласно усиленному
закону больших чисел положительными могут оказаться
лишь конечное число xh откуда следует конечность
максимума с вероятностью 1.
Во втором случае ответ также дается усиленным
законом больших чисел: хп—► оо с вероятностью 1, так что
п -> оо
тем более max х{ = оо и F(x) = 0 при любом х.
i < i < оо
Займемся третьим, наиболее трудным, случаем. Возможны
две альтернативы: /7(0) = 0 и /7(0)>0. Если /7(0) = 0, то
из уравнения (12) получаем:
О со
J F{-y)dK{y) = -\F{y)dK(-y) = 0. (14)
— оо О
Здесь в свою очередь имеются две возможности: £„ = 0
с вероятностью 1 и £ ^ 0.
В первом случае все уп совпадают с вероятностью I.
*) Исключается случай, когда
О оо
К (x)dx = С[1 — К (х)] dx=oo.
— оо О

§5.1] ОДНОЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА 359
Во втором случае, учитывая, что Ж£п = 0, найдем
о
такое е > 0, что J dK(y) > 0. Но тогда из равенства (14)
-е
следует, что F(y) = 0 при у < е. Подставив в
уравнение (12) х = г' < е, получим, что F(y) — 0 при<у<е + е/;
последовательно применяя тот же прием, приходим к
выводу, что F(y) = 0. Пусть теперь /7(0) = б>0. Пусть
Y/i — Y/2 = • • • = Y/n ~ • • • == 0| а промежуточные y«
положительны. Тогда разности *2 —Ч, *з—*2» •••» *n—
— '"л-i» •••—независимые, одинаково распределенные
случайные величины. Из теории цепей Маркова получаем,
что /7(0) = б>0 может быть лишь в том случае, когда
М{*„—-*„_i}< °°- Усиленный закон больших чисел
приводит к выводу: если тп— число равных нулю Y/>
1^/^я, то ——►б. Обозначим через £„ время между
^/п_, и ^/n» К0ГДа прибор свободен. Все gn одинаково
распределены и (при £ ^ 0) с положительной вероятностью
положительны. Следовательно,
2£/>сл, О О, я>я0. (15)
/г
Однако Yn^YiH- 2 £/ + ]££/• Согласно усиленному закону
больших чисел,
2£, = 0(л) (л^оо);
/=2
в сочетании с оценкой (15) это дает:
У>^п, пр*п19
откуда F(x) = 0 для любого х. Теорема полностью
доказана.
Установим теперь эргодичность предельного
распределения: при любом у
^{Yn<*lYi=.v} — F(x).
П-У СО
Пусть сначала а<СО. Тогда с вероятностью 1 наступит
такой момент времени, когда ут = О (следствие усиленного

360 применение более общих методов [гл. 5
закона больших чисел). Имеем:
Р{Уп<х\Уг=У}= 2 ^{Y2>0, .... Y-i>0,
У, = 0\у1=у} Р{уп<х\уя = 0} +
+ Р{у2>0, ..., y„-i>0, 0<Y„<^} =
= 2 ^{y«>o, .... v.-i>o, у«=о|^=^}х
m< n0
ХР{уп<х\ут=0} + ОР{у2>0, ..., yno>0}, (16)
где 0^0^ 1. Выберем л0 таким образом, чтобы
2 Р{у»>0 Y—1>0, Ут<=0\У1=у)> 1-8,
т < л0
так что
Р{Уг>Ъ Y«„>0}<e.
Затем возьмем N настолько большим, чтобы
I ^ {Y» < -^|Ym = 0 } — /=■ (лг) | < е при т < л0, л>ЛГ.
Подставив эти оценки в (16), получаем:
P{y«<x\yi=y} = (l-Qiu){F(x) + *i*) + b*, n>N,
(17)
где 0^0/^1, /=1, 2, 3. Поскольку е произвольно,
приходим к соотношению
/4Y„<*lYi=.V}— f(*)>
что и требовалось доказать.
Пусть теперь а^О, £Л =£ 0. Очевидно, при у^0
0^Р{уп< х\уг =у } < Р { уп < х\уг = 0}. (18)
Правая часть неравенства (18) при п—*оо по доказанному
стремится к нулю; тот же предел будет иметь и
В единственном случае: а = 0, £п = 0 — эргодичность
не будет иметь места; y„ = Yii #^1.
Замечание. Обозначим
P=^f- О"»

§ 5.1]
ОДНОЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА
361
Тогда
1 а
откуда р<1, р=1 или р>1 в зависимости от того,
какое из неравенств а<0, а = 0, а>0 имеет место.
Таким образом, эргодическое распределение случайной
последовательности {уп} существует при р<1, заведомо
не существует при р > 1 и существует лишь в
вырожденном случае Я{£я = 0) = 1 при р=1. Постоянная р,
определенная равенством (19), имеет тот же вероятностный
смысл, что и к в случае системы с простейшим входящим
потоком: это загрузка системы.
3. Свойство сильного перемешивания для случайной
последовательности {уп}. В работе Д. Вир-Джоунза [2]
на основании теоремы этого автора, приведенной нами
в § 3.1, для некоторых систем массового обслуживания
доказана экспоненциально-быстрая сходимость
распределения величины очереди к предельному распределению. Здесь
мы установим аналогичный факт для рассматриваемой
однолинейной системы массового обслуживания.
Теорема. Пусть выполнены следующие условия: р < 1;
найдется такое б > О, что
00
\еЪх dK{x) <oo. (20)
о
Тогда при некотором е > 0, где для любого у найдется
% такое С > О, что при всех х
\Р{Уп<х\У1=У}-Г(х)\<Се-вп- (21)
Доказательство. Пусть
Фп(х)=Р{у2>0, ■■-, Y„-i>0, Y„<*lYi=0}. (22)
Имеем:
Фа{х)^Р{Ъ + 1г+---+Ь,-1>0}. (23)
Известно, что для любой случайной величины £ справедливо
неравенство
Р{\щ^х}^е~»*Ме»\ . (24)
где (л^О. Возьмем в качестве случайной величины 2- сумму
I — Ь2 + £з "Ь • • • + £я-1»

362 ПРИМЕНЕНИЕ БОЛЕЕ ОБЩИХ МЕТОДОВ [ГЛ. 5
где, как и выше, а = М£/<0. Тогда
P{g>0}<(AW*&)»-i. (25)
При условии (20) Ме№\ будет аналитической функцией
переменной fx в области 0 < Re \л < б, в то же время
в окрестности нуля справедливо разложение
Me^t =: \+a\i+о (\i) (И>—0), (26)
где согласно предположению а < 0. Следовательно, при
достаточно малых положительных |ы
Ме№ = е-* < 1,
и согласно (25) и (23)
Фп(х)^е-^п-1\ (27)
Далее, можно записать:
п
?п (*) = 2 Фп-i (*) +9 (*) Ф»+1 (0). (28)
где O<0(Ar)<l; tt/ = /7,(+0), />1, и0=\. Обозначим
для сокращения записи
// = Ф»-1(+0), л>1, /0 = 0.
Тогда согласно теории рекуррентных событий (см. Фел-
лер [3], гл. XIII) имеем:
*/(*) = , 1
l-F(z) >
где j
£/(*)= 2 и»*". F(z) =%/„?.
Из равенства (27) выводим, что функция F(z) аналитична
в круге | z | < ее . Тогда из последней формулы следует,
что функция U(z) аналитична при 0<|г|<е8, а в точке
z=l имеет простой полюс. Тогда функция
2 (F(+0)-un)zn
будет аналитичной в области |z|Oe в силу соотношения
00
2 л/„=то),

§5.1] ОДНОЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА 363
очевидного из эргодических соображений. Из
аналитичности функции
со
2 (F(+o)-«„)zn
п = о
и неотрицательности всех ип — /7(+0) следует, что
0<tt„-F(+0)<C're'"( e'<e, п^\. (*)
Теперь равенство (28), с учетом (27) и (*) можно
переписать следующим образом:
п
Fn(x) = F(+0)2l&((x) + O(e-*'") =
= F(x)~ 2 Ф1(х) + О(е-*'")=Г(+0) + О(е-*'"),
или, что то же,
О < Fn (х) — F (х) < Се-*'п.
Теорема доказана для тото частного случая, когда ^ = 0.
Общий случай исследуется подобным же образом; при
этом оценку (25) следует заменить на
Р { £2 + U + • • • + L-i > -У } < е»у (Ме№)п-К
4. Функционирование системы в условиях большой
загрузки. Нам понадобится некоторая общая предельная
теорема теории вероятностей; ее доказал А. Я, Хинчин [5]
в связи с исследованием второй проблемы диффузии.
Пусть имеется последовательность случайных величин
$о» 5i> 52» • • • » sm •••! образующая цепь Маркова
с распределением вероятностей перехода за один шаг
T(x,y)=P{sa<y\sn_1 = x}
и некоторым начальным состоянием sQi a^.s0^b. Пусть,
далее, имеются два барьера на уровнях а и Ь.
Спрашивается: чему равна вероятность F(x) того, что
при условии s0 = x из этих барьеров первым будет
достигнут верхний (х = Ь)?
Теорема. Пусть F(x, у) зависит от некоторого
параметра е, причем при е —► 0 имеют место предельные

364 ПРИМЕНЕНИЕ БОЛЕЕ ОБЩИХ МЕТОДОВ [ГЛ. 5
соотношения *)
M{sm- sm_l\sm_1 = x}=sa (x) + o (e),
M{(sm-sm_1)*[E(sm-sm_1-r) +
+ E(t-sm + s9_1)]\su = x} = o(b) (29)
при любом x > О, где f(x) = | ' ^ ' a (a;) w P (a;) —
непрерывные функции, причем о (е) равномерно по х.
Тогда F(x) при е—>0 сходится к решению
дифференциального уравнения
аМш + т$м&=° (30)
со следующими граничными условиями:
tr(fl) = 0, tf(*) = l. (31)
Заметим, что подобный же результат справедлив и для
случая, когда нижний барьер уходит в —сю, если только
а (а:) и р (х) удовлетворяют некоторым дополнительным
аналитическим условиям (ограниченность роста v(a) при
а—■> — оо; ограниченность сверху и снизу р (х)).
Сформулированная теорема позволяет исследовать
однолинейную систему массового обслуживания, рассмотренную
выше, в условиях большой загрузки (р—»1, оставаясь
меньше 1).
Допустим, что случайная величина t>m, определенная
в начале этого параграфа, зависит от малого параметра е,
так что
М1я=*-г, (32)
£>C. = o«e, а2>0, (33)
М{&[Е(Ъя-т) + Е{х-1т)]} = о(в)**). (34)
Как было показано выше, стационарное распределение
длительности ожидания произвольного требования равно
распределению максимума сумм независимых случайных
величин gn при условии, что £0 = 0. Следовательно, мы
*) (29) носит название условия Линдеберга; оно играет
важную роль в предельных теоремах теории вероятностей.
**) Очевидно, в этих условиях р—► 1.

§5.1] ОДНОЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА 365
имеем случай, когда нижний барьер находится в точке —оо,
а верхний в точке х. Можно, однако, считать я =—оо,
Ь = 0; тогда будем иметь 1— F(x)=v(—х). Подставим
в уравнение (30) формулы (32) и (33), которые дают
а(х) = — 1, Р(*):=а2
*(0) = 1, I *
*(-ОО)=0. J (36)
Уравнению (35), общее решение которого имеет вид
v(x) = Ce°*+Cv
с учетом граничных условий (36) удовлетворяет
единственная дважды непрерывно дифференцируемая функция
v (х) = е°2,
откуда 2Х
F (х) = 1 - v (— х) = 1 - е'^^ (37)
Мы видим, что в условиях большой загрузки
распределение длительности ожидания приближается к показательному.
К настоящему времени уже имеется немало работ,
в, которых исследуются системы массового обслуживания
в условиях «большой» (р|1), «критической» (р = 1) и
«сверхкритической» (р > 1) загрузки. Основные методы —
асимптотический анализ явных аналитических выражений
для характеристик обслуживания и общие предельные
теоремы теории вероятностей, в особенности теория
диффузионных процессов. Последний метод, элементарный
пример применения которого продемонстрирован выше,
представляется нам более приспособленным к исследованию
неоднородных блужданий {например, систем с
ограничениями), а также нестационарных распределений. Оставляя
в стороне рассмотрение других задач, связанных с большой
загрузкой, укажем на основные работы, к которым
читатель может обратиться. Это—статьи А. А. Боровкова [1],
Ю. В. Прохорова [1], Ю. В. Прохорова и О. В. Вискова [1],

366 ПРИМЕНЕНИЕ БОЛЕЕ ОБЩИХ МЕТОДОВ [ГЛ. 5
Кингмена [1], Раиса [1]. Кроме того, недавно А. А.
Боровков [4] рассмотрел весьма общую схему задач
массового обслуживания и нашел предельную теорему о
поведении широкого класса систем в условиях большой
загрузки. Приведенные нами соотношения являются весьма
частным случаем результатов А. А. Боровкова.
§ 5.2. Многолинейная система с ожиданием
1. Многомерное случайное блуждание. В настоящем
параграфе будет рассмотрена система массового
обслуживания с ожиданием с п обслуживающими приборами.
Входящий поток с ограниченным последействием, Н(х)—
функция распределения цт, где г\т — длительность
обслуживания т-го требования, 0(x) = P{zm < х}, где zm —
длительность интервала между поступлением в систему
(т— 1)-го и т-то требований. Будем считать случайные
величины {т|м} и {zm} независимыми в совокупности.
Обозначим через ут длительность ожидания т-м
требованием начала обслуживания, m^l. При п > 1 не
удается непосредственно связать ут с Ym-r Приходится
рассматривать многомерное случайное блуждание.
Введем случайную величину у1т, равную времени с
момента tm до момента окончания обслуживания /-м
прибором (\^.i^.n) требований, поступивших до момента tm.
Если все такие требования к моменту tm уже обслужены,
положим ут = 0. Длительность ожидания связана с {у(п }
самым непосредственным образом. Каждое требование
поступает на тот прибор, который освободится раньше
всего; следовательно,
YOT = min{Ym, Ут ... , Ym }• 0)
Обозначим для сокращения записи
gm = {yn> Ym, ... , Ym }.
Последовательность {gm} связана в однородную цепь
Маркова. Очевидно, ^ = 0. Посмотрим, как происходит
переход от gm к gm + 1. Введем еще вспомогательные
случайные величины Ym, где у1т — остаточная длительность

§ 5.2] МНОГОЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА С ОЖИДАНИЕМ " 367
обслуживания после момента tm требований, поступивших
не позднее tm (включается и /w-е требование);
Обозначим через Jm номер того прибора, который
обслуживает т-е требование (1^/да^л, т^\). Тогда, очевидно,
-' =1 Ym + *U, если t=ja, (2)
Ут \ Ут если 1ф]м.
Далее, для любого 1У 1</<я, Ym + i —это ут, уменьшен-
i / Ут-Zm+v если Ym-г^О,
Ym+1~\ 0, если Ym-^<0.
Итак, мы определили, как строится случайный вектор gm+l
по случайному вектору gm и случайной величине £м+1.
Осталось определить правило выбора jm% Здесь возможны
различные случаи. Когда все у1т попарно не равны, jm
равно тому индексу /, для которого значение у1т
наименьшее. Если же некоторые ут совпадают (в частности, когда
свободны два или большее число приборов), требуется
дополнительное условие, на какой прибор должно поступить
требование. Какое бы ни было правило, на распределение
длительности ожидания оно не оказывает влияния. Поэтому
можно без ограничения общности предложить, что в
подобной ситуации всегда выбирается прибор с наименьшим
номером. Это можно записать в виде формулы
/я=т1п Н:у1т= min yf\. (4)
к; < п \ к/<т т(
Предлагаем читателю рассмотреть рис. 5.1, на котором
показана возможная реализация случайного блуждания
(п = 2). В начальный момент система была свободна, так
что g'i^O. Затем поступает первое требование, которое
согласно нашему условию занимает первый прибор;
блуждающая частица попадает в точку glt расстояние которой
от начала координат составляет т|1. Из gx происходит
переход в ^2, где расстояние от gx до g2 равно zv В момент t2

368 ПРИМЕНЕНИЕ БОЛЕЕ ОБЩИХ МЕТОДОВ [ГЛ. 5
поступило второе требование. Ясно, что оно занимает
второй прибор. Отрезок g2g2 равен т]2, отрезок g2g3 —
гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами, равными z3.
Следующее требование поступает снова на второй прибор
и т. д. Всякий раз, когда gm лежит под биссектрисой
t
9а
/\
I&
Чг
\тш—ш—шшшш—
г2
» о
*-
Рис. 5Л.
первого координатного угла, следующий скачок будет вверх;
в противном случае скачок происходит вправо.
Изложенное описание процесса обслуживания посредством
многомерного случайного блуждания представляет
самостоятельный интерес даже без каких-либо аналитических
выводов: им можно воспользоваться для статистического
моделирования процесса. Для этого требуется генерация
случайных величин {цт}у {zm} и непосредственное вычисление
Ym, Ym, jm по формулам (2), (3), (4), реализуемым в
цифровой машине очень просто.
Замечание. При /z^2 существенны обе случайные
величины Г[т и zm + li а не только их разность.
2. Эргодическая теорема Кифера и Вольфовица. Дж.
Кифер и Дж. Вольфовиц [2] установили необходимое и
достаточное условие существования и эргодичности
предельного распределения случайных векторов gm при т—*оо;
Теорема. Пусть
x=Mr\m< оо, X-1 = Mzm, р = Хт. (5)

§ 5.2] МНОГОЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА С ОЖИДАНИЕМ 369
Тогда:
1) если р < Пу случайная последовательность {gm}
обладает эргодичесшм распределением;
2) если р > п, при любых ух, у2, . . ., уп, х
Р{Ут<х\У\=^У^ YJ=^2» •••> У1=Уп}-—>0; (6)
3) если р — п и с положительной вероятностью Цтфпгт1
выполняется условие (6);
4) если р — п и y]m = nzm с вероятностью 1, величины
ylm детерминированы и ограничены; ут периодически (с
периодом п) зависят-от gv
Доказательство. Упорядочим {ylm} в порядке
возрастания и для сокращения записи в дальнейшем будем
понимать под у1,п именно упорядоченные величины.
Обозначим
Fm(xv х2, ..., хп\ух, у2, . .., уп) =
= P{yim<Xi,l<ii<:in\yi1=yh 1 </</»},
Fm(Xl>X2> •••> Xn) = Fm(XV Х2> •'•> Хп\°> °> •■•, 0), ПС^\.
Случайное блуждание, определенное выше, имеет
«монотонный» характер: если {zm} и {r\m} фиксированы, а наборы
{.У|}?=1, {yi}?=i удовлетворяют соотношениям
yi<y'h 1</<л,
то для любых xh 1^/^/г, и любого т^\
<Fm(XV Х2> •"> ^«1^11^2. --мЛ)- (7)
Поскольку блуждание начинается из точки 0, в силу
неравенства (7) находим:
Fm(*b Х2> ■•■» ^J^^m + l^l. *2. •-•, *„), Л* 2*1.
Это говорит о том, что существует предел
F(xlt x2, ..., xn) = l\mFa(xv x2i ..., хп). (8)
Подобно тому как это было сделано в случае л=1,
необходимо исследовать, в каких случаях предел (8)
представляет собой функцию распределения.

370 ПРИМЕНЕНИЕ БОЛЕЕ ОБЩИХ МЕТОДОВ [ГЛ. 5
Исследуем случай р < 1. Рассмотрим вспомогательную
последовательность g*m = {ym1, У*т, • ., У*т}> где Yi = Yi»
gm+i выражается через gm по формулам (2), (3), в которых
Ут и Ут заменены соответственно на у*т* и ут1\ правило (4)
определения jm заменено следующим: если т = кт-\-гу где
& — целое число, 1 ^r^/w, то jm = r. Следовательно, {gm}
соответствуют процессу обслуживания с циклическим
распределением поступающих требований.
Легко видеть, что при любом т^\ и фиксированных
{'ПдаЬ {zm\> {Yi} справедливо неравенство
JjYm^JWm - (9)
(каждое требование при циклическом распределении будет
ожидать дольше или столько же, сколько при наличии
общей очереди). Из (9) вытекает следующее неравенство:
Р{Чт<Х, 1 </</*}> l-2P{Ym^ Л*}- (Ю)
Но согласно нашей конструкции ут1— это длительность
ожидания ( — + 1 1-го требования в однолинейной
системе с загрузкой — < 1. В силу теоремы § 5.1 получаем,
что Р{ут^пх] равномерно по т. Тогда оценка
(10)-приводит к неравенству
Fmixi> *2> •••> *я)>1—в, m=l, 2, ...,
при т'тх;^1л. Приходим к выводу, что F(xv х2, . . ., хп) —
распределение вероятностей. Следствие — существование
предельного распределения Y/»==== niin Y/w
i < / < п
Установим, что Fm (xv x2i .. ., хп \yv у2, .. ., у ) ►
т —> со
-+F{xl9 х2, . . ., хп) независимо от у19 у2, . . ., уп.
Если р < 1, то это означает, что с положительной
вероятностью цт < z2 + z3 + • • • "т-^л+г Найдутся такие е>0
и б > 0, что
Я{г]ш</ш-е}>6, Р{гт^а}^69 (11)

§ 5.2] МНОГОЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА С ОЖИДАНИЕМ 371
Предположим теперь, что у'щ^х, 1<!/^я, и что r\si
zs+1 при s^m удовлетворяют неравенствам (11). Тогда за
f- 1 шагов очередь исчезнет; при этом распределение
случайного вектора g"OT+ [- 1 уже не будет зависеть
от gm.
Далее, очевидно,
Fm(xv *2> •••. *п\У1> Л. •••> Уп)>
>Fm(xi-%yh *2-2л» •••);
\ i = l t = 1 /
отсюда выводим, что равномерно по т при фиксированных у(
^т(*ъ*2> •••> *п\Уи У» •■-,Л)>С>0 (12)
при достаточно большом jr. Обозначим через Ат событие
<Ym<*, 1<*</и; т^<яа —е, zs+1^a, /я<><—+1>.
События {Лот} будут рекуррентными (см. Феллер [3]), так
что можно записать:
т __
+ 0РЙЙ2 ... Лв), (13)
где
/ = -^+1, О<0<1,
Ф(*1, *2> •••» ■*«)"условное распределение случайного
вектора w* = {wi}fszli где ^-—расположенные в порядке
возрастания случайные величины
i
wf = T|f — 2*Л+1, 1</<л, (Н)
при условии, что для всех г]/ и яЛ+1 в формуле (14)
выполнено условие (11).

372 ПРИМЕНЕНИЕ БОЛЕЕ ОБЩИХ МЕТОДОВ [ГЛ. 5
При некотором а и достаточно малом е ввиду
неравенства
*т\Х1> Х2> • ' ' ) ^ ' т + 1 \ХЪ Х2> •••)
последовательность
{Fw_l(...)d©(...)b
стоящая в правой части формулы (13), будет невозрастающей.
Поскольку, далее, в силу оценок (11) и (12)
РЙЙ2 ... Ая) ►О,
т -> оо
получим:
lim Fm(xl9 ..., хп\У1, у2, ..., уп)=:
т -> оо
= lim $/=•,,(*!, ..., atJ^l ...)<*Ф(^;,^, ..-).
m -> со •*
В частности, подставив j;1=>y2= . . . =^ = 0, будем иметь:
lim Fa(x1,x2, ...,xn\yl9y2, > . .,yn) = F(xl9 x2i ...,*„).
m -> оо
Это говорит о том, что предельное распределение является
эргодическим.
В случае, когда р^1, утверждения теоремы
проверяются почти так же, как при /z=l. (Случай р = 1 требует
некоторой модификации наших рассуждений: доказывается,
что равномерно по т
Р{\Ут-у!т\<Х} М,
и тогда вопрос сводится к изучению случайного блуждания
Наконец, утверждение теоремы в случае, когда р=1,
r\n = nzm+ly m^\ непосредственно очевидно.
3. Рассмотрение случая большой загрузки.
Использование неравенства (14) и более сильного неравенства
M{lYm~Yml}<C, /»>1, (15)
справедливого в предположении конечности дисперсий гц
и zm) позволяет обобщить предельную теорему предыдущего
параграфа на случай я>1. Сформулируем эту теорему.

§ 5.3] ПРИМЕНЕНИЕ ОБЩИХ ПРОЦЕССОВ ЗАГРУЗКИ 373
Теорема. Пусть
и пусть выполнены условия (5.1.32), (5.1.33), (5.1.34).
Тогда предельное распределение длительности ожидания ут
при т —► оо совпадает с предельным распределением в
случае /г=1, вид которого дается теоремой п. 5.1.4.
Ввиду громоздкости доказательства, мы его полностью
не приводим. Основная идея доказательства — рассмотрение
одномерного блуждания
m
i = i
Если vm^e, то с вероятностью, близкой к 1, все
компоненты вектора gm будут больше zm + 1; в этом случае
О. + Х^. + Т-*-!- (16)
В силу оценки (15) во время блуждания над уровнем е
для последовательности vm будет с большой вероятностью
выполняться формула (16); время пребывания ниже уровня 8
при малом 8 будет также мало.
§ 5.3. Применение общих процессов загрузки
1. Определение общей функции загрузки и
виртуального времени ожидания. Недавно появилась монография
В. Бенеша [1], в которой задачи массового обслуживания
исследуются с весьма общих позиций. Этот автор отказался
от обычного предположения о независимости длительностей
обслуживания различных требований и ограниченности
последействия входящего потока. Оказалось, что
содержательную теорию (различные соотношения между
характеристиками обслуживания, эргодические теоремы и т. п.) можно
строить в значительно более общей ситуации, чем в
предположении о статистической независимости. С другой
стороны, при рассмотрении общих процессов, как мы покажем
ниже, нет столь резкого различия между однолинейными и
многолинейными системами.
В основу рассмотрения Бенеш кладет функциюзагруз-
ки обслуживающего-прибора K(t). По определению K(t)

374 ПРИМЕНЕНИЕ БОЛЕЕ ОБЩИХ МЕТОДОВ [ГЛ. 5
есть суммарная длительность обслуживания тех требований,
которые поступили в систему до момента t. Функция K(t)
остается постоянной в интервалах, где требования не по^
ступают. В момент поступления требования K(t)
увеличивается на величину, равную длительности обслуживания
данного требования. Сюда включается также случай, когда
в один и тот же момент поступает несколько требований;
тогда скачок функции будет равен суммарной длительности
их обслуживания.
От функции загрузки мы потребуем выполнения
следующих свойств. K(t) в любом конечном интервале [О, Т) имеет
конечное число положительных скачков, 0^K(t)^oo.
Функция K(t) непрерывна слева в каждой точке t > 0;
в точке / = 0 она непрерывна справа. Точками роста K(t)
являются только моменты скачков этой функции. Функция
загрузки определяется как детерминированная функция. Если
в самом деле загрузка имеет случайный характер, требуется,
чтобы сформулированные выше свойства K{t) выполнялись
для почти всех реализаций. Вид K(t) показан на рис. 5.2.
K(t)
т
г"
I —^t
Рис. 5.2.
Введем функцию у (t), которую мы назовем
виртуальным временем ожидания (для сокращения иногда мы
будем говорить просто: длительность ожидания).
Эта функция определяется последовательно в интервалах
постоянства K(t). Пусть t1 < t2 < t3 <.. . < tn<.. . —точки
роста последней функции. Тогда
Y(0) = tf(0), (1)
y(ia) = y(tn-0) + K(tn)-K(tn-0) (2)

§ 5.3] ПРИМЕНЕНИЕ ОБЩИХ ПРОЦЕССОВ ЗАГРУЗКИ 375
(т.е. скачки у (t) совпадают со скачками К (t) в
интервалах, где К (^) = const);
vlt -4-М —/V С.)-А. если Y('»)>A. /оч
УК*п + п)-\ о , если у('я)<А- 1)
Вид функции у (t) изображен на рис. 4.1. Из содержания
§ 4.1 ясно, что y(t) имеет следующий смысл. Если в момент
t поступает требование, то его длительность ожидания
равна y(t). Последняя величина также равна суммарному
времени, которое прибор должен выполнить после момента t
для окончания обслуживания требований, поступивших до
этого момента времени.
2. Основные формулы для виртуального времени
ожидания. В настоящем пункте мы выведем некоторые формулы
для y(t), заимствованные из монографии Бенеша [1].
Обозначим
если х < О,
если а:^0.
•">-{?:
Тогда формально y(t) определяется через K(t) как решение
интегрального уравнения
t
y(t) = K(t)-t+\E(-y(u))du, *>0. (4)
О
Для доказательства заметим, что соотношение (4)
эквивалентно следующему:
t
y(t)-y(x)^K(t)-K(x)^t + x+\E(^y(u))dui (x<t).
к
(5)
Если на отрезке [т, t] функция K(t) постоянна, равенство
(5) принимает вид
t
Y(0-Y(*)=${£(-Y («))-!}<*«. (6)
Если во всем интервале (х, t) у (и) > 0, имеем Е (— у (и)) = О,
откуда
Y(')-Y(*)=-('-*),
что равносильно (3). Если же у(и0) = 0, то будет также
у(и) = 0, uQ<u^t. Тогда Е( — у (и)) = 1 и (6) можно

376 ПРИМЕНЕНИЕ БОЛЕЕ ОБЩИХ МЕТОДОВ [ГЛ. 5
записать следующим образом:
"о
y(t)-y(x) = y(u0)-y(x) = l[E(-y(u))-\]duy
х
так что данный случай сводится к предыдущему. Итак, в
интервалах постоянства K(t) виртуальное время ожидания
удовлетворяет интегральному уравнению (4). Далее,
интегральный член в правой части (4) непрерывен, поскольку
IЕ (0 ~~ 1 | ^ 1» так что скачки у (t) равны скачкам К (t) в
соответствующих точках. Наконец, подставив в формулу (4) / = 0,
приходим к равенству у (0) = К (0). Формула (4) доказана.
Оказывается, решение выведенного интегрального
уравнения можно выразить в виде простого функционала от
функции загрузки.
Справедливо следующее утверждение:
/ K(t) — t, если при 0 < х < t
v(t)=\ К(х) —х не имеет нулей, tj\
sup {К (t) — К (х) — t + x} в противном случае.
\ o<x<zt
Доказательство. Если К (х)—х > 0 при всех х
из интервала (0, t), то это означает, что прибор все время
в этом интервале занят. Но тогда за время t функция у (t)
уменьшится на величину t, т. е. у (t) = K(t) — t.
Рассмотрим второй случай: в интервале (0, t) функция
К(х) — х имеет нуль. Так как последнее слагаемое правой
части формулы (5) неотрицательно и у (х) ^ 0, приходим
к неравенству
t
y(t)^K(t)-K{x) + \E(-y(u))(lu, 0<x<t,
х
откуда
Y (t) > sup {К (t)-K(x)-i + x]. (8)
0<X<t
Пусть теперь ^=sup {u:0 < и < t, у(и) = 0}. Тогда
t
y(t) = K(t)-K(z)+lE(-y(u))du9
г
так что
- у (t) < sup {K(t) -K(x)-t + x). (9)
o<*<*
Неравенства (8) и (9) приводят к равенству (7).

§ 5.3] ПРИМЕНЕНИЕ ОБЩИХ ПРОЦЕССОВ ЗАГРУЗКИ 377
Выведем следующее полезное свойство: у (t) равна
О в том и только том случае, когда
K(t)^t (10)
и
suv{K(t)-K(x)-t + x}^0. (И)
о<*</
В самом деле, если K(t)>t} то из уравнения (4) следует
неравенство у (t) > 0. Значит, условие (10) необходимо для
неравенства нулю y(t). Из (10) следует, что К(х) — х
имеет в интервале (0, t) нуль. В таком случае
y(t) = sup{K(t)-K{x)-t + x],
o<x<t
откуда следует необходимость и достаточность условия (11).
Пусть теперь K(t)-— случайная функция. Обозначим
FK(t, x) = P{K(t)^x}, (12)
F(t, x) = P{y(t)^x], (13)
R(t, uy x) = P{K(t)-K(u)-t + u^x\y(u)=zO}. (14)
Тогда справедливы следующие формулы:
t
F(t, x)=FK(t, x + t)-l^R(t, u, x)F(u, 0)du, (15)
0
t+x t + x
J Fk (t; u)du= J R (t, u, x) F («, 0) du. (16)
0 0
Последнее соотношение представляет собой уравнение
Вольтерра первого рода при — /^лг^О.
Уравнения (15) и (16) доказываются очень просто, исходя
из следующего общего принципа, который мы ради
простоты изложим для случая конечного набора случайных
величин. Пусть £1? £2, ... , £и — случайные величины,
определенные на одном и том же пространстве элементарных
событий: ^ = ^((0), £2 = £2(а>), ... , £„ = £„(<*>), и
требуется доказать некоторое соотношение
Q>(F19 F2, ... , Fn) = 0, (17)
где Ft (х) = Р{%{ ^х}. Для этого достаточно показать, что
равенство (17) выполняется для произвольного о, если

378 ПРИМЕНЕНИЕ БОЛЕЕ ОБЩИХ МЕТОДОВ [ГЛ. 5
в нем Ft (х) заменить функциями
F?(x) = i lj если h(®Xx>
если £. (о) > лг.
В нашем случае элементарным событием будет реализация
процесса K(t). В соответствии с этим, например,
равенство (15) эквивалентно следующему тождеству относительно
K(t) и y(t):
E(x-y{t)) = E(x + t-K(t)) —
t
-ш1Е{~У{и)) E(x-K(t) + K(u) + t-u)du. (18)
О
Возьмем для определенности у (t) и проверим равенство (18).
В данном случае Е(х — y(t)) = 1. Как было доказано выше,
K(t) — t^y(t), откуда получаем, что E(x + t — K(t)) = l.
Остается показать, что в этих условиях
t
a=s£§E(-y{u))E{x-K(t) + K(u) + t-u)du = 0. (19)
о
Можно записать:
т
где Д,— интервалы, в которых у(и) = 0, 0 < и < tf. Для
всех At-, кроме Ат (считаем их расположенными на оси
времени в порядке возрастания), можно записать:.
K(t)-K(u) + t-y<y(t)-C (21)
(С—длина Д^). Отсюда
^J E{x-K(t)+K(u) + t-u)du = 0.
А*
Остается интервал Дт = (и0, ах). Имеем:
x-K(t) + K(u) + t-u>0
и при и из интервала (и0, и^
x — K(t)+K(u) + t—u =
=x-K(t) + K(u0) + t-u0 + (u0-u)>e;

§ 5.3] ПРИМЕНЕНИЕ ОБЩИХ ПРОЦЕССОВ ЗАГРУЗКИ 379
отсюда немедленно вытекает, что
jj>E(x-K(t) + K{u) + t-u)du = u1-u0, ^j ...du = 0,
Д т Am
что равносильно (19).
Подобным же образом легко установить и формулу (16).
В. Бенеш в цитированной книге приводит иные
доказательства—на наш взгляд, несколько более сложные.
Пользуясь вероятностными рассуждениями, Бенеш установил
также уравнение для e~s^^K Приведем это уравнение
e-sv<0 =e-s I* <«-*! < 1 — s $ e-s I* <">-«]£(— y(u))du\ . (22)
Если перейти к математическому ожиданию, получаем
отсюда преобразование Лапласа — Стилтьеса случайной
величины у (t). В частности, если К (£)-—процесс с
независимыми приращениями, у которого в единицу времени происходит
конечное число скачков (по терминологии А. Я. Хинчина—
обобщенный пуассоновский процесс), приходим к формуле
Такача из гл. 3.
Далее Бенеш обобщил теорему Рейча. Этот его
результат состоит в следующем. Функция Е(—у (и))
удовлетворяет уравнению Вольтерра первого рода
t
max {0, t - К (<)} = J Г (t, и) Е (— у (и)) du, (23)
о
где
/ 1, если K(t)-K(u)-t + u<0,
Г (*,«) = J 4" . если K{t)-K(u)-t + u = 0, (24)
{ О, если K{t)-K(u) — t + u>0.
Подобные формулы открывают широкие возможности
исследования зргодических свойств систем массового
обслуживания, вывода аналитических формул в конкретных
случаях и т. д. У Бенеша имеется большое число результатов
подобного рода. Мы не будем их приводить, отсылая
читателя к оригинальному источнику.

380 ПРИМЕНЕНИЕ БОЛЕЕ ОБЩИХ МЕТОДОВ [ГЛ. 5
3. Обобщение на случай п приборов. Рассмотрим
многолинейную систему, состоящую из п приборов с ожиданием,
и попытаемся применить к ней результаты В. Бенеша.
Для /-го прибора (1^/^я) имеем согласно (4)
t
yi(t)=Ki(t)-t+lE(—yi(u))du, (25)
о
где Kt (t) — часть загрузки, попадающая на /-й прибор.
__ Очевидно, для любого t^O
2K{(t) = K(t). (26)
В свою очередь Kt (t) также удовлетворяют некоторым
уравнениям. Последние имеют вид*)
i
Ki(t) = Ki{0) + \ П E(Kj(u)-Ki(u))dK(u)* (27)
о « ^ /
Виртуальное время ожидания определяется как
minlvxW, Y2C), • , Y«(')}.
Докажем еще аналог формулы (7). Для простоты
выкладок ограничимся случаем, когда К(0) = 0. Тогда
y(t) = min sup {K{(t)-K(x)-t + x}.
l^Zi^n о < x<t
Предположим теперь, что K((t) не обязательно
удовлетворяют уравнениям (27), а распределение загрузки по
приборам осуществляется в произвольном порядке. Тогда
у (t) может лишь увеличиться.
Каждый способ распределения загрузки характеризуется
разбиением полупрямой {t~^0} на п непересекающихся
множеств Ah 1^/^/z. В том случае, когда t £ Д/э
требование, поступившее в момент t, обслуживается l-ы
прибором. Таким образом, можно записать:
y(t)~ min min sup I \ E{ (u) dK(u) — t + x\ ,
l^i^n Alf A2 Art 0 <*</ I % J
(28)
*) Здесь, для того чтобы избежать тривиальных усложнений,
мы предполагаем, что случай равных загрузок двух приборов
исключается.

§ 5.4]
СИСТЕМЫ С ПОТЕРЯМИ
381
где
,1, если и^Д,,
Et (u)={ —
10, если u£Ah 1</</г.
Поскольку уравнения (27) позволяют разделить загрузку
и исследовать статистические свойства Kt (t) по свойствам
K(t)y можно надеяться, что такой путь приведет к
некоторым результатам для многолинейных систем массового
обслуживания.
Подобным же образом исследуются и задачи с
ограничениями на длительность ожидания или пребывания
требований в системе. Возьмем, например, ограничение
длительности ожидания требования, поступившего в момент и,
постоянной величиной та. Тогда можно записать:
t
1 AC
*?(<) = $П E(KJ(u)^Ki(u))\\^ilE(yj(t)--xa)
о 1Ф1 L /=i
§ 5.4. Системы с потерями: общая теорема, применения
к теории надежности
1. Теорема Севастьянова. Рассмотрим систему
массового обслуживания с потерями, состоящую из п
одинаковых приборов. Длительность обслуживания требования
— случайная величина с функцией распределения И(х).
Требование удовлетворяется (осуществляется обслуживание)
тогда и только тогда, когда в момент его поступления
в систему свободен хотя бы один прибор. Если это
условие соблюдено, то требование отсылается на один из
свободных приборов, выбранный наудачу.
Как видим, описанная система обслуживания должна
содержать в качестве необходимого элемента устройство
передачи информации, посредством которого в любой
момент времени становится известным, какие приборы свободны,
а какие —заняты.
Предположим, что длительность обслуживания
отдельного требования распределена по произвольному закону;

382 ПРИМЕНЕНИЕ БОЛЕЕ ОБЩИХ МЕТОДОВ [ГЛ. 5
И (л:) — функция распределения длительности обслуживания,
т — ее математическое ожидание.
Основной интерес представляют стационарные
характеристики
pk=\im pk(t), 0</г<л,
где pk (t) — вероятность того, что в момент времени t заняты
обслуживанием требований к приборов. В главе 1 показано,
что если время обслуживания имеет показательное
распределение, т. е.
\-Н{х) = е-™ (*>0), (1)
и
то имеют место формулы Эрланга
Pk = -7^—. 0<£<я. (2)
/«О1
Заметим, что для показательного распределения вида (1)
1
математическое ожидание равно т = —; можно переписать
формулу (2) следующим образом:
Рь = ~Т^ . 0<*<л. (3)
V (И7
Результат, который мы желаем установить, состоит в том,
что формула (3) справедлива при произвольном Н(х).
Пусть v (t) обозначает число приборов, в момент t
занятых обслуживанием требований. Предположим, что в
некоторый момент времени v (t) приняла значение k(\ ^k^.n)
(стало быть, v (t — 0) фк). Присвоим тем приборам, которые
заняты в момент t, индексы от 1 до к в случайном
порядке. Представить себе это можно следующим образом.
В урну кладутся к шаров с номерами занятых приборов.
Затем из нее случайным образом извлекается один шар;

§ 5.4] системы с потерями 383
если на нем стоит номер д, то д-му прибору присваивается
индекс 1, а сам шар в урну не возвращается. Второму
шару будет соответствовать индекс 2 и т. д., пока все
шары не будут извлечены. Присвоенные таким образом
индексы будут иметь силу, пока v(^) не примет нового
значения. Обозначим теперь через ^ (t) длительность времени с
момента t до того момента, когда прибор с индексом J
закончит обслуживание, длящееся в момент t. Случайный процесс
CW = {v(<); 1Л*), ••• , !,«>(*)}
в последующем рассмотрении будет основным.
Введем обозначение
Fk (t) xv лг2, ... , xk) =
=Р {v (t) = k\ \x (t) < xv t2{t)<x2i ... ,lk (t) < xk}
(0 <*</*).
Ясно, что
РкУ) = рк№ oo, oo, ... , oo),
а значит,
Pk=l{m Fk№ oo, oo, ... , oo), (4)
t-* со
так что нахождение функций Fk (...) решит поставленную
задачу.
Теорема. Если т < оо, то случайный процесс £(t)
обладает эрг одическим стационарным распределением.
Доказательство. i(t) — кусочно-линейный процесс.
Если отождествить длительность обслуживания с величиной
работы, то мы придем к выводу, что скорость
обслуживания каждого требования равна 1. Тогда утверждение теоу-
ремы немедленно вытекает из эргодической теоремы для
кусочно-линейных марковских процессов.
Приступим к выводу аналитического вида эргодического
распределения.
Обозначим
Fk(xv х2, ... , xh)=\\m Fk(t, xv *2, ... , xk).
t-+ со
Изучим поведение процесса £ (t) в установившемся режиме.
Пусть хх > 0, х2 > 0, ... , xk > 0. Введем в рассмотрение
событие Л, состоящее в том, что
v (t+h) = k; liV+h) <xv %2 (t+h)<x2)... , lk(t+h) <xk.

384 ПРИМЕНЕНИЕ БОЛЕЕ ОБЩИХ МЕТОДОВ [ГЛ. 5
Предположим, что за время от t до t ~\-h не было
поступления требований. Чтобы v(t) за это время не изменило
своего значения и при этом выполнилось событие Д
необходимо и достаточно, чтобы
v(*) = A, A <£i (')<*! + *, А<Ба(*)<*я + А, ...
... , h^lk(t)<xk + k.
Возьмем такой случай. За время от t до t-\-h одно
требование было обслужено. Это возможно лишь при условии,
что некоторое из £f- (t) удовлетворяет неравенствам
о < Ь (t) < h.
Третий возможный случай сводится к тому, что в интервале
времени (t, t-\-h) поступило новое требование. Если
прибору, взявшему это требование на обслуживание, приписан
индекс /, то длительность обслуживания должна быть не
больше, чем х(-\-&к(0 < В < 1); эта величина определяется
моментом поступления требования внутри интервала (ty t-\-h).
Наконец, остальные случаи, благоприятствующие
событию Л, сводятся к тому, что за время h либо поступило, либо
обслужено более одного требования, либо требования и
поступили, и обслуживались. Как хорошо известно, для
простейшего входящего потока вероятность поступления двух
или большего числа требований за время h есть о (А); что же
касается возможности окончания обслуживания более одного
требования или окончания обслуживания в сочетании с
поступлением требования, то необходимая оценка получается
из следующего неравенства:
p{v(t) = k; *!<&! (*)<*i +A, *a<ga(')<*a + A, ...
... , ^<6,(0<^ + A}<(XA)*II[l-«U/)]. (5)
Неравенство (5) доказывается очень просто: для того
чтобы в системе присутствовало требование, необходимо,
чтобы оно поступило в некотором интервале (и, u-\-du)
(и переменная и отсчитывается от момента t в
отрицательном направлении. Если требование поступило в момент t — и,
то из неравенства х{ ^£,- (t) <Zx{+ /г вытекает, что
произошло событие с вероятностью
//(« + *, +А)-//(и+ *,.).

§ 5.4] системы с потерями 385
Следовательно, левая часть формулы (5) оценивается сверху
выражением
и{х][Н(и + Х1 + 11)-Н(и + х()}<1и}~
k xi + fl k
i = i Xi i = i
В качестве следствия из неравенства (5) выводим, что
последняя группа событий, благоприятствующая событию Л,
имеет вероятность о (А).
Обычным методом, учитывая, что \t (t) убывают во
времени с единичной скоростью, а также учитывая оценку (5),
приходим к соотношениям*):
Fk(xv *8, ..., xk) = [\-K(\-bkn)h]x
XP{V (*) = *; A<££(/)<*i + A, \<t<k} +
+(ft+i)P{v(/) = *+i; A<£,(*)<*i + Af
(0<А<л). (6)
Из неравенства (5) вытекает следующая оценка!
P{v (*) = *; ft<S,-(0<^ + *, l</<fe} =
«Z^ + A, ..., ** + A)-
— S^^i» ■•■» *J-i' h> **+i' ■•■' **) + <>(*)• (7)
Точно так же,
P{v(f) = 6+1; KW'X*i + *. 1<*<*; ^+i(0<A} =
= ^+i(^i> *2> •••> **> *) + o(A);
p{v(*) = ft-i; A<g£(o<^ + A, *¥=;} =
*) Здесь использована симметрия распределения относительно
переменных, очевидная при равновероятностном законе занятия
свободных приборов.
13 Б. В. Гнеденко, И. Н. Коваленко

386 ПРИМЕНЕНИЕ БОЛЕЕ ОБЩИХ МЕТОДОВ [ГЛ. 5
Подставив эти выражения в формулу (6), получим:
Fk(xlt x2, ..., ^) = [1-Х(1-6Ля)А]/?л(^1 + А> *а + А,.
•••> xk + h) + (k+\)Fk + 1(xv дга> ..., хь h) +
k
Xh
+ 1X^1(^1, ...,^--i, *, + 1, ...>^)//(*/ + в£А) + о(А)
или, иначе,
Х^С^ + А» ^г + А, ..., xk + h) — Fk{xv xv ..., xft)] =
= -\(\-bkn)Fk(Xl + h, x2 + h, ..., xk + h) +
~h~~fi~Fk+i(xi> x2> •••> xk> A)+
k
+ tH/7*-i(*i- •••^,-i>%„ ...,*4)Я(*, + в,А) + о(1).
(8)
Поскольку Fk(xlt x2, ..., xk)/Fk(oo, 00, ..., 00) —
многомерная функция распределения, то при фиксированном
значении {xt, 1ф}\ почти всюду существует-г-^ . Значит, в
общем счете для почти всех xlf х2, ..., xk (в смысле меры
Лебега в пространстве k измерений) справедливо равенство
k
j[Fk^ + h, x, + h, ...)-Fk(xv *,, ...)]_*2S-<9>
Взяв xv x2, ..., xk из условия, чтобы в этой точке
существовали частные производные функции Fk и для всех i,
\^i^k, Н(х{ + И) = Н(х{)-\-о(\), (А—*0), придем к
равенствам, справедливым почти всюду:
k k
х х\Н(х\-УдРк(Хъ "- Х/-1' °' Х/+ъ ""Ч) 1
Xj+v • ••> xk)tt (Xj) — 2^ fo- h
/=1 J
+ (k+\)dFk+i(Xud*2' •••' **' Q). (10)

§ 5.4]
СИСТЕМЫ С ПОТЕРЯМИ
387
Строго говоря, на основании предыдущего можно
утверждать лишь о существовании предела левой части
формулы (10), но не каждой из производных
dFk(xlt ..., xf_lt 0, х/+1, ..., xk)
dXj
в отдельности: речь идет о ^производной в фиксированной
точке; а это не следует из ее наличия почти всюду. Эту
трудность легко преодолеть, прибегнув к вероятностным
соображениям. В самом деле,
*k(xv •••» xj-v ""> xj + i> ••"» xk) =
00
~ ] tyk, j (w» xv •••» xj-v xj + v •••» xk) *
x[H(u + h)-H(u)]du,
где, как легко видеть, в силу оценки (5) tyki j — функция
ограниченной вариации по и на каждом конечном интервале.
Но тогда
dFk(*i */-i> °> х/+ъ •••> xk)
dXj
со
О
что и требовалось.
Непосредственной подстановкой убеждаемся, что системе
уравнений (10) удовлетворяет (почти всюду)
неотрицательное, абсолютно непрерывное решение вида
Fk(xv xv ..., xk) = %F0f[\[l-H{u)]du. (11)
Так как
*im Fk (*i. *2> • • •. xk) = ~W F*>
то при нормирующем условии
k = 0
13*

388 ПРИМЕНЕНИЕ БОЛЕЕ ОБЩИХ МЕТОДОВ [ГЛ. 5
формулы (11) доставляют зргодическое распределение
процесса £ (t). В частности, устремив к бесконечности все
координаты, придем к формулам (3).
Первое строгое доказательство формул (3) было дано
Б. А. Севастьяновым в работе [1]. Основные идеи этого
доказательства были использованы в нашем последнем
рассуждении, хотя и в несколько измененном виде. В
предположении, что распределение длительности обслуживания
абсолютно непрерывно, обобщение формул Эрланга получил
Р. Форте [1].
2. Элементарное доказательство формул Севастьянова.
В настоящем пункте мы дадим доказательство формул
Б. А. Севастьянова для вероятностей состояний
многолинейной системы с потерями, не использующее никаких
предельных переходов, а лишь действия с конечными наборами
случайных величин.
Обозначим через tm момент поступления в систему т-то
требования (m^l). Пусть F%ittit tk(xi> •••> xk) об°"
значает вероятность события, состоящего в следующем.
В момент tm~0 заняты к приборов, а именно приборы
с номерами /1? *2, ..., ik\ до окончания текущих
обслуживании осталось менее xlt х2, ..., хк единиц времени. Мы
уже отмечали, что использование нашей теоремы,
относящейся к кусочно-линейным процессам, дает возможность
установить существование эргодического распределения
процесса £ (/). Докажем теперь, что F™; llt iz ih (xv ..., xk)
также имеют пределы, не зависящие от начального
состояния. Пусть Рт(А) — вероятность любого события,
связанного с £ (tm — 0). Тогда
т
Pm(A)^P^(A)+2PjP^-i(A),
/=1
где Рщ0) (А) — вероятность А в сочетании с событием «за
время поступления т требований система ни разу не
освобождалась полностью»; р.- — вероятность того, что в момент
tj — 0 система свободна; Р^ — условная вероятность
события {£(^+1-0)6Л; v(*a-0)^0, v(*3-0)=^0, ...
..., v(^-~ 0)=7^=0} при условии, что v(ti — 0) = 0.
Поскольку очевидно (в силу той же зргодической теоремы),
что математическое ожидание числа требований, обслужи-

§ 5.4]
СИСТЕМЫ С ПОТЕРЯМИ
389
ваемых в течение интервала, когда v (t) > 0, конечно и с
положительной вероятностью данное число может оказаться
равным 1, мы получаем:
т о»
Pff (А) — О, S P/m-i (А) —СЕ Р\Х) (А) =Р(А),
/=1 1=0
так что
РЛ(А)-+Р{А).
Согласно математическому закону стационарной очереди,
установленному нами в главе 3,
lim P{Z(t)GA}=P{A).
t -> GO
Далее, поскольку распределение —эргодическое, для
доказательства формул Б. А. Севастьянова достаточно
показать, что если Рт_1(А) задаются этими формулами, то
Рт (А) будут иметь тот же вид.
Обозначим
Ofe; ix /2 ... ik (XV X2> • • • » Xk) ==
= dxldx2 ... dxkFk; 'i '• •• • 'fc^i' **' •'••» xk)
и положим *)
k
Так время между поступлением требований распределено
по показательному закону с параметром X, то
Pk\ /j i2 . . . ffc («^l» -^2» • • \i Xk) ~
00
•) Очевидно, Р- (...)= J РЙМ,... »*<■••) =
iX t, ... rffc
— ^nrk; l, 2. .... Л

390 ПРИМЕНЕНИЕ БОЛЕЕ ОБЩИХ МЕТОДОВ [ГЛ. 5
где ц>к (t; xl9 х2У ..., xk) — условная вероятность
интересующего нас события при условии, что tm — tm_1 = t.
Формула полной вероятности приводит нас к равенству
со
= (n-k)lle-uLn-k\\ dt +
о
Л-1 у «
r—k о
где для сокращения записи обозначено:
* к
L=\[\-H(x)]dx, П = ПП-'7(< + ^)].
о i=1
С помощью интегрирования по частям выводится равенство
СО 00
5 е-"Н (t) LTUdt = l e~li LTU dt -
0 0
k dH(t + xj)
ffl+1
S.-u«-"n[x*+Li=?#fg?i.
Подстановка последнего равенства в нашу исходную
формулу дает:
Гот fej **■ 1* • * • '* ^1' *^2> ' ' * » Xfe) ==
О /=1
(л^*)!Х*-* J tf (е-мП) =
О
= _(я-Л)1Х*-1в-мД [!-"(< + **)]
* = 0
= (л-*)!Л*-1П[1-//(*,)].
Формулы Севастьянова доказаны.

§ 5.4]
СИСТЕМЫ С ПОТЕРЯМИ
391
3. Формула Марьяновича. В настоящем пункте будет
рассмотрена одна задача теории надежности,
математическое решение которой можно осуществить по той же
схеме, что и доказательство формул Эрланга, данное
в предыдущем параграфе. Этот результат получен в статье
[3] Т. П. Марьяновича.
Имеется сложное устройство, состоящее из п
«основных» элементов. Для нормального функционирования
устройства необходимо, чтобы все п элементов находились
в исправном состоянии. Каждый элемент за время h может
с вероятностью \1г-\-о{Н) выйти из строя независимо от
остальных элементов и длительности времени, которое он
уже пребывает в исправном состоянии. Имеется резерв из
т-\-г элементов, причем для т из них («горячий резерв»)
закон выхода из строя тот же, что и для «основных»
элементов; остальные же г элементов находятся в
«холодном резерве»; в этом состоянии выход из строя невозможен.
Вышедшие из строя элементы поступают в ремонтное
устройство. Длительность восстановления одного элемента
предполагается случайной величиной с функцией
распределения Н(х). Наконец, допустим, что всегда имеется
достаточное количество рабочих-ремонтников, так что очередь
образовываться не может; вышедший из строя элемент
немедленно начинают восстанавливать. Если какое-то число
основных элементов вышло из строя, то они заменяются
элементами из горячего резерва, а последние — элементами
из холодного резерва. Обозначим через pk (t) вероятность
того, что в момент t в ремонте находится к элементов
(О ^k^n-\-m-\-r). Тогда, очевидно, надежность системы
(более точно — коэффициент готовности системы, если
придерживаться принятой терминологии по теории надежности)
можно охарактеризовать выражением
т + г
Действительно, если в ремонте находится не более т-\-г
элементов, то п основных элементов исправны, и наоборот.
Для нахождения стационарных характеристик
pk = l\mpk(t)
(0<6<я +т + г)

392
ПРИМЕНЕНИЕ БОЛЕЕ ОБЩИХ МЕТОДОВ
[ГЛ. 5
введем случайный процесс
C(*) = {v(*); lAt), g8C), •••. Iki*)},
где v (t) — число элементов, находящихся в момент t в
неисправном состоянии; ^(t) — время, которое прошло
к моменту t с начала ремонта этих элементов.
Относительно нумерации (т. е. какому элементу какой присвоить
индекс /) примем то же соглашение, что и в § 4.10. Не
представляет сложности доказательство существования
эргодического стационарного распределения для марковского
процесса £ (t). Обозначив
F0= lim P{v(t)=0},
=^m>{%(0 = ft;*E1(^)<^1>ga(0<^, ..., lk(t)<xk}
(1</г</г + т + г),
\kh-\-o (h) — вероятность выхода из строя какого-нибудь
элемента в тот момент, когда уже имеется k неисправных
элементов, будем иметь:
*k \хъ х2> • • • » xk)=
= (1-ХАА) [F^ + h, лг2 + Л, .... ** + А)-
— .Zi ^k (xi> • • • » -*/-i> А» */+i» • • •» ■**)] +
Н £ 2j ' fc-1 (*1> • • • э Xi-V Xi + 1> • * • » Xk)X
xH(x{+Qh) + o(h).
В тех же предположениях, что и в предыдущем пункте,
устремив h к нулю, получаем систему уравнений: *
i=l
k
dFk(xlf ..., */_!, 0, xi+l, ..., xk)
Z* Ox; '
. /Л . !\ dFk+i(^ x2, ..., xfe, 0)
+ Vi J^-i^i* ■••• *i-i»**+i' -..,**)#(*/) = О (13)

§5.4]
СИСТЕМЫ С ПОТЕРЯМИ
393
Непосредственной подстановкой легко проверить, что
системе (13) удовлетворяет следующее вероятностное
решение:
к х±
где
Fol= lim
хи хг Хп + т + г-
J\\[\-H(u)]duF0i (14)
/i + m + r
fc = o
/i + m + r
= £ i^pblt*. (15)
/г=0
Ввиду эргодичности £(*) формулы (14) —(15)
представляют собой выражения для эргодического распределения.
Нетрудно убедиться, что в рассматриваемом случае
X (п + т), если к <г,
к * X ((/* + /») + /■ — £),если 6>г.
Тогда (14) примет следующий вид:
[b(n + m)]k
Fk (■*!» -^г» • • • 1 -^fc) — i
k\
Jl\[\-H(u)]duF»
если A^r+lf
/г!
X
k *l
X
1 = 1 о
если r + 2^k^n-{-m + r,
Если положить ^.= 00, 1 ^/ ^n-\-m-\-r, то получим
искомые стационарные вероятности состояний:
(Kx)k(n + m)r+1(n + m—\) ... (n + m + r — k + 1) _
/V
V
/г! °'
если г 4- 2 ^&^я + /я-|-г.

394 ПРИМЕНЕНИЕ БОЛЕЕ ОБЩИХ МЕТОДОВ [ГЛ. 5
Мы пришли к решению несколько более общей задачи, чем
поставленная вначале: постоянные Kk могут быть
произвольными. Это обстоятельство также заметил Т. П. Марьянович.
4. Один результат Ярошенко. Часто встречаются
системы, в которых при возникновении неисправности
требуется немедленное вмешательство оператора: если в
системе появляется неисправность в тот момент, когда все
операторы заняты, что ведет к определенному убытку для
системы. Если длительность отдельного обслуживания
представляет собой случайную величину с конечным математическим
ожиданием, а поток неисправностей — простейший, то
стационарное распределение вероятностей состояний системы
можно получить по формуле (3).
Предположим теперь, что система состоит из нескольких
подсистем, в каждой из которых могут возникать
неисправности, и что для ремонта имеется бригада из некоторого
числа рабочих. Спрашивается: как выгоднее распределить
рабочих по подсистемам? Если прикрепить к каждой
подсистеме определенное число рабочих, то систематической
причиной отказов будет такая ситуация, когда в одних
подсистемах рабочие перегружены, а в других —простаивают.
Поручить же всем рабочим всю систему без всякого
разделения невозможно, в частности, по техническим причинам;
следовательно, нужно выбрать какой-то разумный способ
частичного закрепления. Одна из возможных подстановок
исследована В. Н. Ярошенко.
Система состоит из двух подсистем с параметрами
потоков неисправностей Хх и Х2 и функциями распределения
длительностей восстановления Нх{х) и И2{х)\ обозначим
00
х1=\ xdH^x), /=1, 2. К первой подсистеме прикреплены
о
пг рабочих, ко второй п2 рабочих; nlf 2 рабочих могут
обслуживать как первую, так и вторую подсистему. Рабочий
третьей группы подключается к /-й подсистеме только в том
случае, когда все рабочие из числа п1 заняты (/=1, 2).
Обозначим через F(j(xlt . .., х(; уг, ..., yj) вероятность
сложного события, состоящего в том, что в первой
подсистеме занято / рабочих, во второй подсистеме j рабочих
и время до окончания длящихся в данный момент
восстановлений не превосходит хг, ..., yj соответствен-

§ 5.4] системы с потерями 395
но*). Если в момент t имело место означенное событие, то за
время от t до t-\-h обслуживание в первой подсистеме
может начаться только в том случае, если
/ < пх или i^nx и /Zi + zz^ — i — max [0, у — п2] > 0. (а)
Точно так же во второй подсистеме условием возможности
начала обслуживания будет:
j<n2 или у>я2 и /г2 + /г12 — /— max [0, / — /гх] > 0. (б)
Обозначим
{1, если выполнено условие (а),
0 в противном случае;
| 1, если выполнено условие (б),
^ ( 0 в противном случае.
Для отрицательных значений хотя бы одного из
аргументов определим At (i> j) как нуль. Тогда будем иметь:
Fif(xl9 ..., xt\ yv ..., ^у) = {1-А[Д1(«, j) +
+ А2(/, y)]}^l7K + A, ..., ДГ/ + А; .Ух + А, . ..,^/ + А) —
i
— Jj *ij(xv • • •» -^i'-i» A, AT/' + ll . .., л^-; д^, . .., д/у)
+(;+i)^,/+i(^i- •••. *,;*. ---.У/, ^) + Ml('~1'/)x
X }► i /_i,y (-^i, . . . , ^t'-li Xi' + ly • • • » «*£» ^1> • • • » .У/) X
i' = l
х/^жг + е/г) +М2(';/~1)х
х Л Z7,,y_i(Jflf .... *,•;ylt ...,yr-u Уг+i, • • •. У/)х
X Я2'Й- + 9А) + о (h) (0 < г < пх + пп; 0 < У < л, + яя).
*) Мы ограничимся рассмотрением стационарного
распределения. Его существование и свойства эргодичности доказываются
так же, как и выше.

396 ПРИМЕНЕНИЕ БОЛЕЕ ОБЩИХ МЕТОДОВ [ГЛ. 5
Устремив h к нулю, придем к системе дифференциальных
уравнений (далее всюду невыписанными значениями
аргументов будут хг, .. ., х£; у1У ..., yj):
i'=i /'=1
-Б
i
dFif(xl9 ..., xr_v 0, xr + lt ..., xt\ yl9 ...9yf)
dxt
/
dFu(xl9 ..., Xj\ yl9 ..., yf._v 0, yr + v ..., yy)
ayr
SaF<7(*lt ..., xt\ ylt ..., y^, 0, yy-, + 1, ..., yy)
dFi+i /(*i> •••» */» 0l Уъ •••» У/)
+(/+1) ,; —^—-—J+
oxi+l
dFltJ+l{xlt ..., x(\ yl9 ..., y/t 0) ^A^Z-1, /) ^
дуу+l /
I ^A2(/, /-1) yi p ,
/"=1
..., jfy,.!, j/,<+1, ..., yf)H2[yr) = 0
(o </</*!+л12; о</<л2 + л12).
Решение данной системы уравнений будет иметь вид:
fyto, ..., ^;^> ■■•> ^) = -7Т7Г2П1 J [l-H±(u)]dux
о
х П ( V-Ht(u)]du U АЛ*', О) П А2(/, f)Fw
/'=1 £ '" = о Г=о
(0<<<л1 + л12, 0<у<я2 + л12).

§ 5.4]
СИСТЕМЫ С ПОТЕРЯМИ
397
Из условий (а) и (б), определяющих функции Д^ (/, /),
следует, что
Д ЛИ*", 0) = Д,(/-1, 0); П А2(/, J') = A2(i,j-\);
A1(i-\,0)Ai(i,j-\) = A2(i, y-1).
Подставив эти значения в предыдущую формулу и
устремив все Ху, у у к бесконечности, получим выражение для
вероятности того, что / рабочих обслуживают первую
подсистему, a j рабочих —вторую подсистему:
Постоянная F00 определяется из условия нормировки.
5. Необходимое и достаточное условие разрешимости
уравнений состояний системы в постоянных. Во всех
примерах, приведенных выше, мы сталкивались с одним и тем
же обстоятельством: стационарные вероятности состояний
системы определялись интенсивностью потока и средней
длительностью обслуживания. Интересно выяснить, для
каких систем вообще справедливо то свойство, что
стационарные вероятности инвариантны относительно вида
функции распределения длительности обслуживания, коль скоро
фиксирована средняя длительность обслуживания.
Для некоторой общей схемы этот вопрос выяснен
И. Н. Коваленко [4]. Формулировка полученного
аналитического результата может быть дана в терминах теории
надежности.
Представим себе сложное устройство, состоящее из
групп элементов, которые могут выходить из строя. Если
какой-нибудь элемент вышел из строя, то его сразу же
начинают восстанавливать. Функция распределения Н; (х)
времени восстановления может зависеть от номера группы /,
к которой принадлежит восстанавливаемый элемент.
Закон выхода из строя мы зададим следующим образом.
Пусть в некоторый момент t вне строя находится kx
элементов первой группы, k2 второй, ..., ks элементов 5-й
группы. Тогда вероятность того, что за время от t до
t-\-h выйдет из строя еще один элемент из у-й группы,
имеет вид
*/(*!, *«> •••» b8)h + o(h);

398 ПРИМЕНЕНИЕ БОЛЕЕ ОБЩИХ МЕТОДОВ [ГЛ. 5
два или большее число элементов могут выйти из строя за
это время лишь с вероятностью порядка о (h).
Таким образом, в общем случае на надежность
элементов какой-либо группы может влиять то, сколько элементов
данной и других групп находятся в нерабочем состоянии.
Если всего элементов конечное число, то легко доказать
существование и эргодичность стационарного распределения
процесса
v(*) = {vi(*), v2(*)f ..., vs(t)},
где Vj'(t) — число элементов у'-й группы, которые в момент
t находятся в неисправном состоянии.
Обозначим
P(kl9 fta, ..., ks)=llmP{v(t) = {kv fta> ..., ks}}.
t -► со
Теорема. Для того чтобы все P(klt k2, ..., ks) не
зависели от функционального вида Нх (х)9 Н2(х), .. ., Hs (x),
коль скоро фиксированы
со
Т; = J хйН({х), 1 ^/</z,
о
необходимо и достаточно, чтобы для любого N, любого
упорядоченного набора натуральных чисел
(m1> m2, .. ., mN),
где все nil ^ s, и любой перестановки этого набора
{mto rnh, ..., mlN)
выполнялось равенство
N /H-i м-— 1 ц-1
11 mu.[ 2j *1> f"v> 2j °2> my» • • •» 2j °s, /
i=l \V=1 V=l V=l
= П ^miA 2 fii.mp 2 62,m/v, ..., 2 6s, miv ). (16)
|U=1 \V = 1 V=l V = l
£сли это условие выполнено, то P(kl9 k2i ..., ks)
определяются no формуле
Я(*х ks) = kl\k2\...ks\^ (0, 0, .... 0) Ml, 0,.... 0)...
...М^-1,0, ••-, 0)^(^,0 0)Х2(й1; 1,0, ...,0)...
... M*i> *,-1, 0, .... 0)М*1( *„ 0, .... 0) ...
... M*i. *„ .... *,-!, А,-1)Я(0, 0, .... 0). (17)

§ 5.4] системы с потерями 399
Условие теоремы, имеющее столь громоздкий
аналитический вид, объяснить очень просто. Его смысл состоит
в том, что в любой ситуации вероятность того, что в
интервале (t — h, t) выйдет из строя некоторый элемент /-й
группы, а в интервале {ty t-f-h) — некоторый элемент у-й
группы, с точностью до о (h2) та же, что и вероятность
выхода из строя в интервале (t — /г, t) элемента у-й группы
и в интервале (t, t-\- h) — элемента /-й группы. Предлагаем
читателю убедиться в том, что постановки пп. 1—4
включаются в рассмотренную схему в виде частных случаев.
Приведем доказательство сформулированной выше
теоремы, впервые полученное И. Н. Коваленко [4], [5] и
независимо от него Д. Кенигом.
Необходимость. Предположим, что Р (kl9 k2i ..., ks)
при некоторых фиксированных {Яу- (klt &2> • • •, ks)} и {ту.}
не зависят от вида законов распределения {Hj{x)}, коль
скоро фиксированы математические ожидания
00
\[\-Hj{x)}dx = xp 1<У<*.
О
Зададим {Hj(x)} в следующем виде:
Hj (х) = 1 — ехр {— x/Tj}, ]ф /; Н{ (х) = 1 — \i ехр {— [хлг/Т;},
0<|i<l, х>0. (18)
Другими словами, длительности восстановления тъ элементов
всех групп, кроме г-й, распределены по показательным
законам, а тъ представляет собой смесь показательной и
вырожденной случайных величин: с некоторой вероятностью
длительность восстановления равна нулю; если же она
оказалась положительной, то ее условное распределение
—показательное.
Для сокращения дальнейших формул введем векторную
символику. Будем обозначать одной буквой к набор {kv . . .
...,&J; тогда можно писать К; (/г) = Х/(/г1, &2, . . .), P(k) —
= P(k1 ...). Через ej обозначим вектор вида
1 ,
{О, 0, ..., О, 1, 0, ..., 0}.
Если мы будем употреблять обозначение суммы векторов,
то будет иметься в виду обычное сложение
соответствующих компонент.

400 ПРИМЕНЕНИЕ БОЛЕЕ ОБЩИХ МЕТОДОВ [ГЛ. 5
Поскольку в принятых предпосылках (18) процесс v (t)
будет марковским, обычными методами для него
составляются уравнения, связывающие вероятности различных
состояний. Следует только помнить, что в данном случае
возможны сразу два перехода процесса из состояния в состояние
в один и тот же момент времени: элемент вышел из строя,
но длительность восстановления оказалась равной нулю.
Поскольку, однако, при этом происходит возвращение
в исходное состояние, подобных переходов можно вообще
не учитывать. Система уравнений, относящаяся к
стационарному случаю, имеет следующий вид:
р^+2^+м*)|*+Ем*)1р(*)=
+Ki(k-ei)lip(k-ei)+%XJ(k-eJ)p(k-eJ). (19)
При этом следует принять:
hj(k)p(k) = 0t если k=sz{kv k2y ...,&$} и min kf < 0.
J 1 ^ / < s У
Это соответствует вероятностному смыслу постоянных p(k).
Сравнив коэффициенты при \i в обеих частях равенства (19),
получим:
[^ + Xi(k)jp(k)=^p(k) + Xi(k^ei)p(k^ei). (20)
Если фиксировать kjy где ]фь, то система уравнений (20)
будет иметь решение
Kr r = i
Фиксировав затем в (21) все kj, кроме kt и &,', можем
выразить p(k) через p(k — kiei — ki'ei') и т. д.
Окончательно получаем:
s rki ъ + ...+k, / « ("J \
р(*)=Дхг П к (2^/2в/.'« Jp(°). (22)
где [lv /2, . . ., /*t + ...+*,} ~~ набор целых чисел, из
которых ровно &• равны у, где у —любое число от 1 до s,

§ 5.4] СИСТЕМЫ С ПОТЕРЯМИ 401
равные между собой элементы данного набора расположены
в нем рядом. Поскольку f, /' и т. д. можно выбирать
в произвольном порядке, формула (22) (при не равном нулю
р(0), что, очевидно, имеет место) непротиворечива тогда и
только тогда, когда выполнена система уравнений (16).
Достаточность. Эргодическая теорема для кусочно-
линейных марковских процессов позволяет сделать вывод,
что случайный процесс
l(t) = {v(t); ltJ(t), l<y'<v,., l<i<s},
где v (t) = {vx (t), . .., v5 (t)} — процесс, определенный выше;
^ij(t) — время с момента t до момента окончания
восстановления у-го элемента /-й группы, является эргодическим.
В точности повторяя рассуждения, использованные при
элементарном доказательстве формул Севастьянова,
приходим к выводу, что распределение, задаваемое формулой
P{v (/) = *; lu(t)<xip l<y<ft/> 1 </<*} =
-Д^г{П|11-«(')]л}х
kt + . . , + k ,
X П S Ч(2 by 2 в/, Jp(0), (23)
является эргодическим распределением кусочно-линейного
процесса £(t). Перейти к формуле (22) очень просто: в
формуле (23) следует положить дг^.г^оо, l^y^&j, 1 ^/4^s.
6. Дальнейшие обобщения. Кениг и Маттес обнаружили
весьма интересный факт: формулы Севастьянова остаются в
силе, если отказаться от предположения, что длительности
обслуживания различных требований взаимно независимы.
Последние, оказывается, могут быть произвольно
связанными случайными величинами, обладающими эргодическим
распределением.
Далее, Кениг и Маттес ввели в рассмотрение
«маркированное обслуживание»: обслуживание каждого требования
состоит из нескольких этапов, которым приписаны
определенные признаки. Тогда формула для вероятностей
состояний с учетом признаков обслуживаемых требований будет
зависеть лишь от математических ожиданий длительности

402 ПРИМЕНЕНИЕ БОЛЕЕ ОБЩИХ МЕТОДОВ [ГЛ. 5
различных этапов во время отдельного обслуживания. Мы
заметили, что формула (17) (при условии (16)) также
допускает обобщение на случай, когда длительности
обслуживания произвольно связаны (с условием эргодичности)
и обслуживание разбивается на ряд этапов.
Доказательство данного факта весьма громоздко; оно
требует оперирования с инвариантными мерами в
пространстве бесконечных последовательностей. Поэтому
ограничимся случаем, когда в условиях теоремы предыдущего
пункта длительность обслуживания г\ , требования у-го типа
может складываться из нескольких этапов.
Пусть (Г, Г+Л/)— интервал обслуживания требования
у-го типа. Предположим, что для всех t из этого
интервала определен процесс a (t) со значениями av а2, . . ., ат,. . .,
причем длительность пребывания в состоянии ат имеет
в качестве математического ожидания %, ( 2 Тут = Ту).
Формула (17) дает суммарную вероятность
обслуживания требований различных типов. Пусть известно, что
обслуживается некоторое требование у-го типа. Тогда
условное распределение остатка времени обслуживания согласно
(23) будет иметь плотность
-L[\-Hj(x)], x>0. (24)
Вычислим условную вероятность при этом условии того,
что a(t) = m, т=\, 2, . . . Проще всего это сделать,
применив идеи теории восстановления.
Как известно, для процесса восстановления с F(x) = H(x)
плотность вероятности времени до ближайшего
восстановления имеет вид (24). Следовательно, вероятность попасть
на тот или иной участок r\j такая же, как если бы имел
место процесс восстановления
где т|/ — независимые реализации случайной величины ть.
Но тогда вероятность попасть в точку, где a(t) = m,
равна отношению среднего времени пребывания в этом
состоянии ко всему времени:
P[a(t) = m} = X-£-.

§ 5.4] системы с потерями 403
Таким образом, можно найти как суммарные вероятности
обслуживания, так и условные вероятности пребывания
в различных состояниях av a2, ... Задача решена
полностью.
Пример 1. Имеется система массового обслуживания
с потерями; п приборов; поток — простейший с
параметром Я. Длительность т)0 обслуживания требования —
случайная величина.
Если в момент / началось обслуживание требования,
то в предположении, что ц > дг, прибор может выйти из
строя до момента t-\-x с некоторой вероятностью. (Время
безотказной работы обозначим гц). В этом случае
требование теряется, а прибор начинают восстанавливать.
Длительность восстановления — случайная величина т]2. Как
подсчитать вероятности состояний?
Положим
_ / г)о, если т]0 < T|lf
Г]~\ Л1 + Л2, если т|о>т|г
Тогда г] будет длительностью занятия прибора. Обозначим
В этом условии вероятность занятости, k приборов найдем
по формулам Севастьянова
/ =0
Теперь условная вероятность того, что из k занятых
приборов / обслуживают требования, a k — /
восстанавливаются, равна
где
а— Мц
min (y]0, т|1) — время, на протяжении которого прибор
обслуживает требование. Если rj0, т^ и т)2 заданы своими
распределениями, нетрудно найти интегральное выражение для
а и т, что полностью решает задачу.
Данный пример рассмотрен Марьяновичем [1].

404 ПРИМЕНЕНИЕ БОЛЕЕ ОБЩИХ МЕТОДОВ [ГЛ. 5
Пример 2. В последнем параграфе предыдущей главы
была изучена так называемая однолинейная система,
характеризующаяся процессом v(^). Читатель помнит, что можно
определить циклы пребывания процесса в состояниях
с lv(0l>0- Предположим теперь, что в условиях теоремы
предыдущего пункта гъ соответствует циклу, когда
| v (t) | > 0. Тогда согласно предыдущему, если известно,
что длится обслуживание, условные вероятности событий
v (t) = v пропорциональны соответствующим вероятностям
в случае однолинейной системы. Комбинируя теорему об
однолинейных системах с теоремой предыдущего пункта,
приходим к следующему выводу. В принятых условиях
вероятности состояний системы (в стационарном случае)
имеют аналитический вид, о котором говорится в условии
теоремы § 4.11.
§ 5.5. Исследование систем массового обслуживания
в условиях малой загрузки
1. Вступительные замечания. В § 5.1 была
рассмотрена теория систем массового обслуживания с большой
загрузкой. Эта теория применима в практических проблемах,
для которых характерно накопление больших очередей.
С другой стороны, существуют многочисленные проблемы,
где, напротив, накопление очереди недопустимо: оно может
привести к большим материальным затратам, авариям и
другим нежелательным последствиям. Особый интерес
представляет подобная постановка задачи в теории надежности,
коль скоро ставится задача синтеза высоконадежных систем.
Для оценки эффективности подобных систем существенно
изучение картины явления в условиях, когда интенсивность
входящего потока намного меньше, чем критическое
значение, после которого уже не будет стационарного режима.
Далее, важно знать не только численное значение
эффективности при определенном наборе значений параметров
(таких, как интенсивность входящего потока требований),
но также поведение эффективности, как функции
параметров, при переменных значениях последних. Это необходимо
для оптимального выбора характеристик системы. В
настоящем параграфе мы изложим один из возможных подходов
к решению этой задачи.

§ 5.5 J ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ 405
2. Малый параметр в характеристиках
кусочно-линейных марковских процессов. Пусть £ (t) — кусочно-линейный
марковский процесс, для которого выполняются условия
теоремы п. 3.3.5, обеспечивающие существование эргоди-
ческого распределения. Тогда, как было нами установлено,
характеристики эргодического распределения определяются
равенством
Fc= 2 F(cn\ (l)
где Fcm) выражаются через Fc~x)-
Поставим следующую задачу. Пусть справедливо
равенство
XV|i = cV|ier^, ' (2)
где с^ — неотрицательные постоянные, г^=\, 2, 3, ...,
8 — положительный малый параметр. Обозначим Fc(v, х)
при фиксированном значении 8 через FCt s(v, x),
(Вспомогательные функции, служащие для вычисления FCie(vy x),
мы также снабдим индексом «8».) Требуется исследовать
асимптотическое поведение FCy e (v, x), как функций е,
при 8 —*0.
Для наших целей удобно несколько видоизменить
формулы (3.3.31—3.3.34). Именно, введем новые функции
фе (v, x), (fem) (v, x) посредством соотношений
Fe, е (V, *) = (1—pe)<Pe(V, *)»
/^(v, *) = (l-pe)^m)(v, х). (3)
Тогда формулы (3.3.31—3.3.34) преобразуются к
следующему виду:
00
<Pe(V, *)=2 фГ'К X), (4)
Фе1'^, х) = X0v ) е~ V/y£v (хх + avlt х\ v | + av, v \t) dt,
v-фО, (5)

406 ПРИМЕНЕНИЕ БОЛЕЕ ОБЩИХ МЕТОДОВ [ГЛ. 5
1 СО
T I n К I v I J
lli|<|vl0J
X П^ V («*| JLt | + 1 + &V, I JLt |+1^, • • • , X\ V 1+&V 1 V|*) ^"
I v l + i
v X
•^-1фет_1)((А; л^+а^, •... *y-i + a,,y-i*, «.
I H 1 = 1 V | + 1 / = 1 „
X
du
■«/ + «»/ ^i»i+a»!,i4=o^. m>2, v=^0, (6)
(1 —Pe) Г1 + 2 <p.(v, 0)1 = 1. (7)
L v ?r о J
Введенные функции имеют простую вероятностную
интерпретацию. Рассмотрим цикл пребывания процесса v (t)
в множестве состояний {v^=0}. Тогда cpe(v, л;) —
математическое ожидание длины интервалов времени,
укладывающихся в цикл, на протяжении которых v(^)=v, \{t)^ x
(где неравенство векторов понимается как совместное
осуществление неравенств для соответствующих координат).
Подобным же образом, фет) (v, x)—-математическое
ожидание длины такого интервала между (т—- 1)-м и т-и
изменением состояния процесса v (t) с начала цикла (считается,
что в этот момент происходит первое изменение состояния).
Процесс v(/) можно «мажорировать» соответствующим
процессом, определенным для однолинейной системы
массового обслуживания с простейшим входящим потоком.
Обозначим
X = maxAv, a = minavy, (8)
V ?Ь 0 V, /
Н(х)= min $$...$ анчр{х1>х*--чх\*\-\ч\)- (9)
v*°-'**i+...+*|,iMv|<*/«
Примем X и Н (х) в качестве параметра входящего потока
и соответственно функции распределения длительности
обслуживания. Поскольку число различных состояний v
конечно и при любых v, \i Я^(...) обладает конечным

§ 5.5] ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ 407
первым моментом, мы будем иметь:
00
$[1— H(x)]dx = x < оо. (10)
о
Рассмотрим интервал занятости однолинейной системы,
и пусть Ogm) — математическое ожидание остатка этого
интервала после т-го изменения состояния (первое изменение —
в момент начала интервала занятости).
Справедливо следующее соотношение:
i>f(v, агХФГ0. (И)
k—m
Неравенство (11) можно установить следующим образом.
Если рассмотреть процесс образования загрузки исходной
и вспомогательной однолинейной системы (процесс у (t),
равный величине работы, которую необходимо выполнить
после момента t для окончания обслуживания требований,
поступивших до t), то между реализациями этих двух
процессов легко установить соответствие, сохраняющее
вероятностную меру, при котором интервал занятости во втором
случае будет всегда больше; это же относится и к
интервалу после т-го изменения состояния. Всегда при этом
у (t) в случае однолинейной системы будет не меньше
соответствующей величины для исходной системы*). Читатель
может легко в этом убедиться, заметив, что согласно
формулам (8) и (9) в случае однолинейной системы требования
будут появляться чаще, работа по обслуживанию требований
будет большей, а темп обслуживания — меньшим.
Итак, займемся оценкой постоянных Ф(ет). Пусть т)2,
т]2, ... —длительности обслуживания требований,
поступающих с начала интервала занятости, £15 £2, ... —интервалы
между поступлением этих требований в систему. До момента tm
т-го изменения состояния могло поступить к требований
(не считая первого) и закончиться / обслуживании, где
k-\-l-{-\—m. Но l^.k+\, откуда к^~о—1. В то же
время
'* + !-'«< тах Л/,
1 ^ t ^ m
*) До окончания интервала занятости.

408 ПРИМЕНЕНИЕ БОЛЕЕ ОБЩИХ МЕТОДОВ [ГЛ. 5
так что Ogm) — d>gm+1) не превосходит математического
ожидания случайной величины *)
[■-Л
max
1 s^i^m
( ™ Ч Ч\
м = 1 i=i /»
где
Е(х)= J 6 (*)<«.
Распределение максимума независимых случайных величин
задается формулой
х
Р{ max v]i<x} = [H(x)]m = m\[H(t)]m-1dH(t). (13)
1</<т
Заметим далее, что для любого z при условии {y]w = a;}
справедливо неравенство
Р {Д Л/ <4 > Р{ Д Л* + * <*} • (И)
С помощью соотношений (13) и (14) выражение (12)
оценивается следующим образом:
1 (• -[-■?] \\
AM max t|/£ 2 Л,— 2 MN
<»5**Ч,2 л/+*- 2 £/>о[[я(*)]—»йя(л).
(15)
*) Мы не можем взять вместо — 1 —~- просто -~—1 ,
поскольку [х] непрерывна справа, а в нашем случае требуется
непрерывность слева.

§ 5.5] ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ 409
Предположим, что для некоторого б > 0
00
\e*xdH(x)<oo. (16)
о
Тогда из (15) непосредственно следует, что Ogm) =
-О (Л'"?]) . Следовательно, в силу неравенства (11)
асимптотическое поведение функций фе (v, х) с точностью
до е L 2 J определяется только конечной суммой
2 Ф?} (V, х); (17)
k=i
более точно,
-[•-т]
п-1 _ 1
=1 J8=0
о(,-[-т])
+ OVe L и;. (18)
Производные по параметру 8, фигурирующие в правой части
последней формулы, можно найти, продифференцировав
правые части (5) и (6) под знаком интеграла (это законно,
поскольку в силу условия (16) наши распределения имеют
все моменты).
Теперь остается найти асимптотическое разложение для
1 — рв. Это можно сделать, подставив в (7) разложение cpt(v,0).
Таким образом, получен конечный алгоритм разложения
по степеням малого параметра стационарных распределений
кусочно-линейных процессов. Более точные оценки
остаточного члена имеются в работах И. Н. Коваленко [6], [7].
Тем же методом решается и такая задача. Имеется
система массового обслуживания, характеризующаяся набором
параметров {Xv|i} и характеристиками эргодического
распределения F(v, x). Пусть теперь рассматривается другая
система, у которой {Хш} заменены немного измененными
значениями: к^-{- а^гг^.
Спрашивается: как найти поправки к F(v, х),
учитывающие конечность е?

410 ПРИМЕНЕНИЕ БОЛЕЕ ОБЩИХ МЕТОДОВ [ГЛ. 5
3. Формула Ивницкого. В качестве примера применения
разложения по степеням малого параметра приведем формулу,
полученную В. А. Ивницким [1].
Рассмотрим однолинейную систему массового
обслуживания, в которую поступает поток, образованный
выходящими из строя элементами некоторого сложного
оборудования. Всего элементов /г, так что в состоянии, когда
k элементов уже отказали, вероятность выхода из строя
какого-нибудь элемента за время dt составляет (п — k) sdt.
Длительность обслуживания распределена по произвольному
закону с преобразованием Лапласа—Стилтьеса h (s), /z'(0) =—т.
Требуется найти вероятности
Pk=limP{v(t) = k}, k=*0, l, 2, ....
t -► СО
где v (t) — число неисправных элементов в системе в
момент t. Если п—*оо, гп—>-А, то вероятности pk сходятся
к определяемым формулой Поллачека — Хинчина.
Интересно исследовать отклонение pk от этих предельных
значений.
Обозначим
ч>(*)=2р***, 1*1<1-
k = o
Тогда при п—► оо, гп—► Я справедливо разложение в виде
абсолютно сходящегося ряда:
$(*) = %{*) + ^i(z)+...+b%(z)+...,
где {(рт (z)} удовлетворяют рекуррентному соотношению
постоянные /><m> удовлетворяют равенствам

§ 5.6] ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА МОНТЕ-КАРЛО 411
Функции ат (г, s) находятся по рекуррентной формуле
1 / X(1 -г) p[m\zh(X(\-z))-h(k(\ -г)) + z-zh(s)}
~S[S—X(l—2)] I h(K(\—2)) — Z
дат_г(г, s)\
[z-h(s)]z(\-z)
dz
S=l(l-Z)
/i(Ml-z))-*
Функции г|з0(г), a0 (z, s) равны соответственно
,h lr\- (l-^)(l-2)/2(Ml-2))
4W)- /l(X(l-2))-Z
fl /* M Ml ~^T) (1-2) / /,(X(1—2T))[Z —/E(S)! 1
tto(^ 5)~ s[s-X(l-2)] 1 *(b(l-z))-z 1+*(*)} +
, 1-U
^s-X(l-z) •
§ 5.6. Применение метода Монте-Карло
В настоящем параграфе будут изложены теоретические
основания применений метода Монте-Карло (метода
статистических испытаний) к решению задач теории массового
обслуживания.
Метод Монте-Карло в настоящее время широко
используется для исследования реальных систем. Накоплен
большой практический опыт. Методы моделирования многих
классов систем изложены в большом числе журнальных
статей, а также в недавней монографии Н. П. Бусленко [2].
В настоящем параграфе мы не будем касаться вопросов,
связанных с практическим моделированием сложных систем;
мы остановимся лишь на наиболее важных общих вопросах.
1. Существо метода и его основные достоинства. Пусть
требуется приближенно оценить некоторую величину а,
непосредственное вычисление которой практически
затруднительно. Предположим, что существует пространство
Q = {co} с борелевским полем 31=:{Л} подмножеств и
определенным на 31 вероятностным распределением {Р(Л)},
а также существует Sl-измеримая функция /(со) с тем
свойством, что ее математическое ожидание с практически
достаточной точностью приближает искомую величину а.

412 ПРИМЕНЕНИЕ БОЛЕЕ ОБЩИХ МЕТОДОВ [ГЛ. 5
При этом практическая сложность вычисления /(со) при
любом со g Q или, по крайней мере, при со из
высоковероятного множества Q* cz Q должна быть меньше, чем оценка
а другими методами. Далее предполагается, что
существует некоторый случайный генератор, позволяющий
получить реализации cOj, co2, ..., со„, ... независимых
элементов пространства Q с заданным распределением Я. Тогда,
очевидно, при достаточно большом п среднее
арифметическое
|[/К)+/(0)2)+...+/((0„)]
будет со сколь угодно высокой точностью приближать
величину а*).
Описанный метод оценки а и носит название метода
Монте-Карло.
В том случае, если случайный генератор вырабатывает
реализацию случайной величины, он называется датчиком
случайных чисел.
Приведем пример решения математической задачи с
помощью метода Монте-Карло.
Пусть требуется вычислить определенный интеграл
ь
\ f (х) dx,
а
где /(л;) —заданная измеримая функция, удовлетворяющая
& интервале (#, Ь) неравенствам
c</(*)<d.
Посредством линейного преобразования
искомый интеграл приводится к следующему виду:
ь 1
$/(*)</*= (А-<х) (d-c)\g{t)dt + c(b-a)\
а о
*) В действительности, требование независимости реализаций
излишне. Требуется лишь эргодичность случайного процесса
Ля = f ((?„). Во всяком случае имеется в виду, что по числу
реализаций мы можем дать вероятностную оценку ошибки среднего
арифметического.

§ 5.6] ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА МОНТЕ-КАРЛО 413
таким образом, остается вычислить интеграл \g(t)dt, где
о
0^g"(0^1 ПРИ всех * из интервала (0, 1).
Определим функцию ф (х, у) следующими условиями:
1, если у <g(x),
ф(*> У): ,
\0, если у ^g{x).
Тогда можно записать:
1 11
\g(t)dt = J 5ф(дг, y)dxdy,
О 0 0
или, что то. же,
1
где £, г] —независимые случайные величины, равномерно
распределенные в интервале (0, 1). Если теперь датчик
случайных чисел выдает реализации из со^ ш2, о)3, .. .
случайной величины с указанным распределением, мы можем
ВЫЧИСЛИТЬ ф1 = ф(©1, 0)2), ф2г=ф(0)3, Ш4), фз = ф(0)5, 0)6),...
и составить среднее арифметическое
7г(ф1+ф2+---+Ф*)>
1
приближенно оценивающее интеграл \g{t)dt.
о
ъ
Если требуется получить оценку интеграла \ f(x) dx
а
с точностью Д, мы должны задаться некоторым
коэффициентом доверия 1-е. Тогда, исходя из гауссовой
аппроксимации биномиального закона и воспользовавшись
оценкой D(f (£, Л)^"!"' П0ЛУЧИМ Для требуемого числа п
испытаний следующее неявное выражение:
АУп А К/l+i
2 ф-а) (d-c) 2 ф-а) {d-c)

414 ПРИМЕНЕНИЕ БОЛЕЕ ОБЩИХ МЕТОДОВ [ГЛ. 5
так что п легко найти по таблице гауссова
распределения.
На этом примере отчетливо видны преимущества метода
Монте-Карло: вычислять значения функции f(x), как
правило, легче, чем интеграл от этой функции.
В среде исследователей операций придают термину
«метод Монте-Карло» несколько более узкий смысл.
Пусть I (t) — некоторый марковский случайный процесс,
характеристики которого подлежит определить. Например,
пусть требуется найти вероятность попадания £(t) в
множестве состояний Л при условии, что£(0)—л;. Если
исключить практически редкий случай, когда решение можно
найти аналитически, эту задачу можно решить двумя
способами, а именно:
1. Составляются интегральные или интегро-дифференци-
альные уравнения для вероятностей перехода процесса £ (t).
Эти уравнения численно решаются путем перехода от t
к t + hy где h > 0 — некоторый шаг изменения времени.
2. С помощью случайного генератора вырабатываются
независимые реализации случайного процесса £ (t);
интересующие нас характеристики находятся путем усреднения
по множеству реализаций.
Второй метод обычно называют моделированием
случайного процесса £(t) (или реальной системы,
функционирование которой этот процесс отражает).
Основное преимущество метода Монте-Карло — экономия
памяти ЭВМ и объема вычислительной работы. Дело в том,
что при решении задачи Коши для функции вероятностей
перехода нужно держать в памяти распределение
вероятностей в фазовом пространстве Q; переход на один шаг
по времени означает необходимость пересчета всего
распределения. Напротив, при моделировании достаточно
запоминать одно состояние процесса; разыгрывается случайная
ситуация, в результате которой на протяжении времени h
этот процесс перейдет в какое-то другое состояние. -
Для того чтобы сравнить сложность решения той и
другой задач, рассмотрим пример, ограничившись для
большей ясности случаем дискретной системы массового
обслуживания.
Представим себе систему с потерями, в которую
поступают требования, следующие потоку восстановления с ди-

§ 5.6] ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА МОНТЕ-КАРЛО 415
скретным распределением интервалов zn между двумя
последующими требованиями. Это распределение задается
постоянными pk:
P{zn = kh}=pki k=\, 2, ..., /и,
где h > О — некоторая постоянная. Длительность
обслуживания Y] также предположим дискретной случайной величиной
с распределением
P{r\ = kh}=qk, ft=l, 2, ..., т.
Система состоит из п обслуживающих приборов.
Необходимо найти распределение числа потерянных требований
за время Nh.
Попытаемся сравнить сложность решения этой задачи
с помощью непосредственных вычислений по рекуррентным
формулам теории цепей Маркова и, с другой стороны,
с помощью метода Монте-Карло.
Фазовое пространство состоит из множества векторов
{ #> b0> bli Ь2> • • • » bk Ь
где k, O^k^n, — число присутствующих в системе
требований, £0 — число дискретных единиц времени /г, прошедших
с момента поступления в систему последнего требования.
£,-, 1 ^ / ^.k, — число единиц времени, прошедших с
момента начала обслуживания /-го требования из числа
находящихся в системе*). Число различных точек фазового
пространства при больших тип имеет порядок mn**).
Таким образом, при вычислении по рекуррентным формулам
мы должны иметь порядка тп ячеек памяти, в каждой
из которых запоминалась бы вероятность соответствующего
состояния. Таков же порядок количества вычислений на
каждом шаге: нужно перебрать все возможные состояния из
фазового пространства.
Применим теперь к той же задаче метод Монте-Карло.
В памяти теперь нужно держать лишь одно состояние
{&, Ёо> Бц 5г> •■•» \кЬ для этого нужно порядка п log2 m
двоичных ячеек.
*) Легко видеть, что в некоторых случаях £0 = £/.
**) Правда, возможно «склеивание» состояний, несколько
сокращающее это число.

416 ПРИМЕНЕНИЕ БОЛЕЕ ОБЩИХ МЕТОДОВ [ГЛ. 5
Покажем, что переход к состоянию в момент t-\-h
от состояния в момент t также не представляет трудностей.
Пусть {kly £0, £1? £2, ..., gft} — состояние системы
в момент t, {/, y]0, т)!, Y]2, ..., Y]^} —состояние системы
в момент t-\-h.
Напомним, что £0/г — это время с момента поступления
в систему последнего требования до момента t.
Вероятность того, что очередное требование поступит в систему
в момент t-\-h, составляет:
l-(Pi+... + PU'
Если это событие произойдет, то мы будем иметь г)0 = 0;
в противном случае т]0=г|0-)-1. Таким образом, для
нахождения т)0 достаточно реализовать случайное испытание
с двумя исходами и с вероятностью успеха, равной
Рр +1
г-——-ц2—-ц—-, и произвести одну арифметическую
операцию.
При /^1 £,./г обозначает время, прошедшее с момента
начала обслуживания /-го требования до момента t, К
моменту t*\-h требование будет обслужено с вероятностью
Таким образом, для определения «судьбы» требований,
находившихся в системе в момент t, нужна реализация к
независимых случайных испытаний с вероятностями успеха
l-(<h+... + <^) ^ ^
Предположим, что в результате этих испытаний оказались
необслуженными $ требований с номерами jv y2, ..., js.
Тогда полагаем:
В том случае, если т]0 > 0, полагаем l = s; если же Ло — О
(в момент t-\-h поступило новое требование), полагаем
7 = 5+1, ^8 + 1 = 0. Этим закон преобразования состояния
фазового пространства за время h описан полностью.

§ 5.6] ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА МОНТЕ-КАРЛО 417
Мы надеемся, что на этом примере отчетливо видно
отмеченное выше достоинство метода Монте-Карло.
2. Моделирование процессов массового обслуживания.
Б настоящем пункте мы дадим общую схему моделирования
кусочно-линейных марковских процессов, определенных
в главе 3 нашей книги.
Напомним, что кусочно-линейный процесс представляется
в виде
E(') = {v(*); Ex (О, Б2('), •■■> Eiv(«i},
где v (/) — дискретный параметр, а £,.(/) —непрерывные
параметры, равномерно убывающие со скоростями aV(0/
(1<*<|V(<)|).
Основной интерес для практики представляют
функционалы от процесса £(£), связанные с изменением дискретного
состояния v(/). Поэтому, если обозначить через tn,
п=\, 2, ..., моменты изменения v(t), можно вместо
процесса v (/) моделировать последовательность { £ (tn —- 0)}
или {2 (*„ + ())}. Покажем, как это сделать, ограничившись
для определенности второй из этих последовательностей.
Пусть
e(<„ + 0) = {v; Б1э ga, ..., g, vj},
S('„+i + 0) = {|i; Гц, Л2> •••, 4ui}-
Покажем, как перейти от одного к другому.
Сначала вычисляем
*j=jr.. »<y<|v|.
Ту — это время до достижения у'-й непрерывной координатой
процесса £(£) нулевого значения.
Вычисляем
т— min {т/}-
К / < I v I
Если за время т не произойдет ни одного спонтанного
изменения состояния, то tn + 1 = tn-}-T.
Реализуем случайную величину £0 с показательным
распределением
Р{Ъп<х} = 1-е-*, х>0.
14 Б. В. Гнеденко, И. Н. Коваленко

418 ПРИМЕНЕНИЕ БОЛЕЕ ОБЩИХ МЕТОДОВ [ГЛ. 5
Затем вычисляем:
Возможны два случая: а) т0 > т, б) т0 < т. (Случай точного
совпадения имеет нулевую вероятность.)
Рассмотрим каждый случай в отдельности.
а) то > т- Тогда в интервале (tni tn+1) спонтанных
изменений процесса не будет. Пусть / определяется
равенством
х{= min { т,} .
К / < I v |
Разыгрывается случайное испытание, исходы которого —
возможные значения \х дискретного параметра v(/).
Вероятность исхода \i полагается равной pW. В качестве \х берем
исход этого случайного испытания. Затем полагаем:
б) t0 < т. В таком случае реализуем случайное
испытание, в результате которого может появиться любое
значение |x£{v(/)} с вероятностью pVJLl. Затем реализуется
случайный вектор (у19 у2, ..., Yi м-1 — |v|) B соответствии
с многомерным распределением HV]X (xlt х2, . . ., Y| м- | — | v |).
Окончательно состояние процесса в момент ^„+i = ^n + t0
формируется следующим образом: \i — результат описанного
выше случайного испытания;
Л,- = £/ —*. 1</<|v|;
4/ = Yi-iv|, |v| </<||i|.
Для того чтобы полностью задать процесс, остается
выбрать начальное состояние в соответствии с заданным
распределением вероятностей.
3. Сочетание метода Монте-Карло с другими методами.
Потребности современной техники требуют развития теории
оптимальных методов исследования эффективности сложных
систем. Разработка таких методов позволит ответить
на вопрос о том, в каких случаях целесообразно
использовать метод Монте-Карло, а в каких —другие вычислительные
методы. В настоящее время такой теории не существует.
Не ставя своей целью разработку общих положений, мы

§ 5.6] ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА МОНТЕ-КАРЛО 419
ограничимся приведением одного примера, на котором
видна целесообразность комбинирования метода Монте-Карло
с аналитическими методами.
Пример взят из теории надежности. Пусть
рассматривается система, состоящая из п элементов, каждый из
которых отказывает по закону Пуассона с параметром X.
Длительности восстановления элементов — независимые
случайные величины с общим распределением Н{х). Пусть
в момент t в состоянии отказа находится к элементов,
причем время, прошедшее с момента их отказов, равно
соответственно т1} т2, . .,, xk. Тогда вероятность отказа
системы в интервале (t, t-\-dt) составляет \ik (rv r2, . . ., xk)dt,
причем для к </w</z, ^ (т1? т2, ..., xk) ф 0, \im(Tv
т2, ..,, xk) ф 0, \ik (tlf т2, .. ., xk) — произвольная
положительная симметричная функция. Требуется найти
максимальное t, для которого вероятность безотказной работы
системы в интервале длительности t при условии, что в начале
этого интервала все элементы исправны, составляет 0,9.
При общем виде функций \1к(т1У т2, , . ., rk), т^к^п,
сформулированная задача трудно поддается аналитическим
методам расчета. Покажем, что при малых К
непосредственное моделирование системы также не эффективно.
Пусть, для определенности, Я(1)=:0, #(1+0) = 1,
т. е. длительность восстановления с вероятностью 1 равна 1.
Чтобы наступил отказ системы, необходимо (но не
достаточно) иметь к отказов элементов в интервале длительности 1.
Вероятность того, что в течение времени t найдется хотя бы
один интервал длительности 1, внутри которого было к отка-
п(п-\).. . (n-k + \)tf .
зов, асимптотически эквивалентна —* —,. 1ч, !—-—т.
(к—1)!
По условию, имеем:
п(п-1) ... (n-k+l)tf ,^л
.^ 0,1 (Л—1)! , 1ч_Л о
откуда />———Л—ф——(п\) *. За это время про-
л'*^ 0,1 (/г— 1)!
изойдет примерно nkt ^ —; тт у1—. , 1Ч отказов отдель-
г г ^ п(п—1) ... (я— k-\-\)
ных элементов.
Если к = 4, Х = 0,08, то это означает, что одна
реализация требует просмотра порядка 5000 элементарных
14*

420 ПРИМЕНЕНИЕ БОЛЕЕ ОБЩИХ МЕТОДОВ [ГЛ. 5
ситуаций (связанных с отказами отдельных элементов). Для
получения устойчивого среднего потребуется еще во много раз
больше работы. Для преодоления этой трудности
естественно предложить следующий путь.
Воспользуемся тем фактом, что £х, £2, ..., £fe, ...
— независимые случайные величины, показательно
распределенные с параметрами Х1? Я2, ..., Xki ... . Тогда, если
max { Х(} —+ оо, при условии, что £х + £2 +...+£*< 1 <
< £i + £2+ • • • +tk + lk+i> Si, £2> • • •» Ik распределены
асимптотически равномерное интервале (0, 1) (точнее, как
упорядоченная выборка из k независимых равномерно распределенных
случайных величин).
Обозначим через y)j интервалы между событиями,
состоящими в том, что в интервале длительности 1 произойдет т
отказов элементов. Тогда г),- будут асимптотически показа-
л п(п — \) ... (n—k + \)Xk ,л
тельны с параметром А0= — f ib — W 1 ——*
Интервалы между отказами системы будут также асимптотически
показательными с параметром Х0р, где 0</г^1. Для
вычисления р применяется метод Монте-Карло. Покажем, как
это сделать. В интервале (0, 1) возьмем k—1 независимых
равномерных случайных чисел; упорядочив их, получим
(о;<(о;<...<ш;_1. тогда
р=\— MexpJ— $ [**(«» и — со*, ..., и — ul-Jdu
так что вычисление р по методу Монте-Карло не
представляет никакого труда.
Заметим, что \ik + 1 (т1э т2, . . .), И-л+2 (Ti. т2> • • •) н^
входят в полученное выражение. Это объясняется тем, что
событие, состоящее в сочетании в единичном интервале &+ 1
или более отказов, имеет вероятность более высокого
порядка малости, чем Х0р.

ЛИТЕРАТУРА
Л. Г. Афанасьева
1. О существовании предельного распределения в системах
массового обслуживания с ограниченным временем
пребывания, Теория вероятностей и ее применение X, № 3, 1965,
570-678.
Д. Б а р ре р (D. Y. Barrer)
1. Queuing with impatient customers and indifferent clerks,
Oper. Res. 5, № 5, 1967, 644-649.
2. Queuing with impatient customers and ordered service,
Oper. Res. 5, № 5, 1957, 650-656.
Баруча-Райд (А. Т. В h a r u с h a-R e i d)
1. Elements of Markow processes and their applications, McGraw-
Hill, 1960.
Г. П.Башарин
1. О многомерном предельном распределении чисел занятых
линий в коммутаторах второго каскада телефонной
системы с отказами, ДАН СССР 121, № 2, 1958, 280—283.
2. Теоретико-вероятностное исследование двухкаскадной
телефонной системы с отказами, работающей в режиме
свободного искания, ДАН СССР 121, № 1, 1958.
3. О предельном распределении времени занятости
полнодоступного пучка линий, Теория вероятностей и ее
применение V, №2, 1960, 246-252.
4. Об аналитическом определении и методах вычисления
вероятностей потерь в коммутационных схемах, в сб.
«Проблемы передачи информации», вып. 9, М., АН СССР, 1961,
5-47.
6. Таблицы вероятностей и средних квадратических
отклонений потерь на полнодоступном пучке линий, Изд-во АН
СССР, 1962.
6. О сложных системах массового обслуживания с
несколькими конечными очередями и нетерпеливыми заявками,
в сб. «Кибернетику — на службу коммунизму», т. 2, М.—Л.,
Изд-во «Энергия», 1964, 274—302.
7. Один прибор с конечной очередью и заявки нескольких
видов, Теория вероятностей и ее применение X, № 2, 1965,
282-296.
Ю. К. Беляев
1. Предельная теорема для редеющих потоков, Теория
вероятностей и ее применение VIII, №2, 1963, 175—184.

422
ЛИТЕРАТУРА
2. Линейчатые марковские процессы и их приложение к
задачам теории надежности, Тр. VI Всесоюзного совещания
по теории вероятностей и математической статистике, 1960.
Вильнюс, Гос. изд-во политической и научной
литературы Литовской ССР, 1962, 309—323.
3. Производительность при наличии двух типов отказов,
Сб. «Кибернетику — на службу коммунизму», т. 2, М.—Л.,
Изд-во «Энергия», 1964.
B. Бенеш (V. Е. В е n e S)
1. General stochastic processes in the theory of queues, Addison—
Wesley Publishing C°, Massachusetts, 1963.
2. General stochastic processes in traffic systems with one
server, Bell. System Techn. J., v. XXXIX, № 1, 1960, 127-160.
А. Бодино, Ф. Брамбилла (G. A. Bodino, F. Bram-
billa)
1. Teoria delle code, Milano, 1959, p. 219.
А. А. Боровков
1. Предельные теоремы для нагруженных многоканальных
систем массового обслуживания, Теория вероятностей и ее
применение IX, № 2, 1964.
2. О дискретных системах массового обслуживания, Теория
вероятностей и ее применение VIII, № 3, 1963, 251 —
263.
3. Асимптотические методы теории массового обслуживания,
Лекции школы по теории вероятностей в Ужгороде, 1964.
4. Некоторые предельные теоремы теории массового
обслуживания, Теория вероятностей и ее применение IX, № 4,
1964, 608—625 и X, № 3, 1965, 409—436.
Л. Брейман (L. Breiman)
1. The Poisson tendency in traffic distribution, The Ann. of
Math. Statist., v. 34, № 1, 1963, 308—311.
C. М. Броди
1. Про iHTerpo-диференцдальне р1вняння для систем з
т-чеканням, Доп. АН УРСР 6, 1959.
2. Об одной задаче массового обслуживания, Тр. V
Всесоюзного совещания по теории вероятностей и математической
статистике, Ереван, Изд-во АН Арм. ССР, 1960, 143—147.
3. Однолшшна система з т-чеканням i ерланпвським вх1дным
потоком, Доп. АН УРСР, 1962.
Н. П. Бусленко
1. Решение задач теории массового обслуживания методом
моделирования на электронных цифровых вычислительных
машинах, Сб. «Проблемы передачи информации», в. 9, М.,
АН СССР, 1961, 48-69.
2. Математическое моделирование производственных
процессов, Изд-во «Наука», Москва, 1964.
Н. П. Бусленко, Ю. А. Шрейдер
1. Метод статистических испытаний, Физматгиз, М., 1961,
Д. Вир-Джоунз (D. A. Vere-Jones)
1. Geometric ergodicity in denumerable Markov chains, Quart.
Math. 13, № 49, 1962, 7-28.

ЛИТЕРАТУРА
423
2. Rate of convergence problem in the theory of queues,
Теория вероятностей и ее применение IX, №4, 1964, 104—112.
О. В. Висков
1. Две асимптотические формулы теории массового
обслуживания, Теория вероятностей и ее применение IX, 1, 1964,
177-178.
Ф. Р. Гантмахер
1. Теория матриц, Физматгиз, М., 1953.
И. М. Гельфанд, Г. Е. Шилов
1. Обобщенные функции и действия над ними, Изд. 2-е,
Физматгиз, М., 1959.
Б. В. Гнеденко
1. Курс теории вероятностей, Изд. 3-е, Физматгиз, М., 1961.
2. Несколько замечаний к двум работам Д. И. Баррера,
Buletinul institutuli din Jasi, т. 5, № 1—2,1959, 111—117.
3. Uber einige Aspecte der Entwicklung der Theory der Warte-
schlangen, Math. Technik Wirtschaft, H. 3, 1960, 162-166.
4. К теории предельных теорем для сумм независимых
случайных величин, Изв. АН СССР, серия матем. (1939),
181-232.
Б. В. Гнеденко, М. Н. Зубков
1. Об определении оптимального числа причалов, Морской
сборник, 1964.
Б. В. Гнеденко, И. Н. Коваленко
1. Лекции по теории массового обслуживания, Киев, 1963.
Б. Григелионис
1. О точности приближения композиции процессов
восстановления пуассоновским процессом, Литов. матем. сборник,
т. II, № 2, 1962, 135-143.
2. Уточнение многомерной предельной теоремы о сходимости
к закону Пуассона, Литов. матем. сборник, т. II, № 2,
1962.
3. О сходимости сумм ступенчатых случайных процессов
к пуассоновскому, Теория вероятностей и ее применение VIII,
№ 2, 1963.
4. Предельные теоремы для сумм процессов восстановления,
Сб. «Кибернетику — на службу коммунизму», т. 2, Изд-во
«Энергия», М.—Л., 1964, 246—265.
A. Д ой г (A. D о i g)
1. A bibliography on the theory of queues, Biometrika 44,
№ 3-4, 1957, 490-514.
B. А. Диткин, А. П. Прудников
1. Интегральные преобразования и операционное исчисление,
Физматгиз, М., 1961.
Р. А. Добрушин
1. О законе Пуассона для распределения частиц в
пространстве, УМЖ 8, 1956, 127-134.
Дж. Л. Дуб (J. L. Doob)
1. Stochastic processes, Jhon Wiley and Sons, New York, 1953.
Русск. перевод; «Вероятностные процессы», Изд-во ин. лит..
1959.

424 ЛИТЕРАТУРА
Е. Б. Дынкин
1. Об одной задаче из теории вероятностей, УМН 4, в. 5(33),
1949, 183—197.
Ф Зитек (F. Z i t e к)
1. Заметка к одной теореме Королюка, Чехосл. матем.
журнал, т. 8 (83), 1958, 448—459.
2. К теории ординарных потоков, Чехосл. матем. журнал,
т. 8 (83), 1958, 448 — 460.
B. А. Ивницкий
1. Асимптотическое исследование стационарной очереди в
случае обобщенного входящего потока, Кибернетика, №5, 1965.
2. Однолинейная система с очередью и переменными
интенсивностью входящего потока и скоростью обслуживания,
Литов. матем. сборник, т. VI, № 1, 1966.
C. Карлин, Мак-Грегор (S. Karlin, J. McGregor)
1. The classification of birth and death processes, Trans. Amer.
Math. Soc. 86, 1957, 366 — 400.
2. The differential equations of birth and death processes and
Stieltjes Moment Problem, Trans. Amer. Math. Soc. 85, 1957,
489 — 546.
Д. Кен дал л (D. G. Kendall)
1. Stochastic processes occuring in the theory of queues and
their analysis by the method of the imbedded Markov chains,
Ann. Math. Statist., v. 24, 1953, pp. 338 — 354.
Русск. перевод: Стохастические процессы, встречающиеся
в теории очередей, и их анализ методом вложенных цепей
Маркова, Сб. «Математика» 3:6, 1959, 97—111.
2. Geometric ergodicity and the theory of queues,
«Mathematical methods and Social Sciences», Stanford, 1960.
3. Some problems in the theory of queues, J. Roy. Statist. Soc,
Ser. B, v. 13, no. 2, 1951,- pp. 151 — 185.
Дж. Кифер и Дж. Вольфовиц (J. Kiefer, J. Wolfo-
w i t z)
1. On the characteristics of the general queueing process with
application to random walks, Ann. Math. Statist., v. 27, no.
1, 1956, pp. 147-161.
2. On the theory of queues with many Servers, Trans. Amer.
Math. Soc. 78, 1955 pp. 1 — 18.
И. Н. Коваленко
1. Исследование многолинейной системы с очередью и
ограниченным временем пребывания в системе, УМЖ XII, №3,
1960.
2. Некоторые задачи массового обслуживания с ограничением,
Теория вероятностей и ее применение VI, № 1, 1961,
222-228.
3. О системе массового обслуживания с ограничением на время
ожидания, Киев, 1961.
4. Sur la condition pour que, en regime, stationnaire, la
distribution soit independante des lois des durees de
conversation, Ann. des telecommunications, t. 17, № 7 — 8, 1962,
190-191,

ЛИТЕРАТУРА
425
5. Об условии независимости стационарных распределений от
вида закона распределения времени обслуживания, Сб.
«Проблемы передачи информации», вып. II, М., АН СССР,
1963.
6. Некоторые аналитические методы в теории массового
обслуживания, Сб. «Кибернетику — на службу коммунизму»,
т. 2, М.—Л., Изд-во «Энергия», 1964.
7. Некоторые вопросы теории надежности сложных систем,
Сб. «Кибернетику —на службу коммунизму», т. 2, М.—Л.,
Изд-во «Энергия», 1964.
8. О некоторых классах сложных систем, Изв. АН СССР,
Техн. кибернетика, № 6, 1964; № 1, 1965; № 3, 1965.
9. О классе предельных распределений для редеющих потоков
однородных событий, Литов. матем. сборник, т. V, 4,
1965.
10. О классе предельных распределений для
последовательности серий сумм независимых процессов восстановления,
Литов. матем. сборник, т. V, 4, 1965.
Д. Кокс (D. R. Сох)
1. The analysis of non-Markovian Stochastic processes by the
inclusion of Supplementary variables, Proc. Cambr. Phil.
Soc, v. 51, pt. 3, 1955, pp. 433—441.
2. Renewal theory, Methues monografs on applied probability
and Statistics, London, 1962.
В. С. Королюк
1. Время пребывания полумарковского процесса в
фиксированном множестве состояний, УМЖ, № 3, 1965, 123—128.
Ф. Кингмен (F. С. Kingman)
1. On queues in heavy traffic, J. Roy. Statist. Soc, ser. B, 24»
1962, 381-392.
Г. П. К л и м о в
1. Экстремальные задачи в теории массового обслуживания,
Сб. «Кибернетику —на службу коммунизму», т. 2, М.—Л.,
Изд-во «Энергия», 1964, 310—325.
М. Г. Крейй
1. Интегральные уравнения на полуоси, УМН 13, 5 (83),
1961, 35-150.
Ле Галль (Le Gall)
1. Les systemes avec ou sans attente et les processes stochas-
tiques, t. 1, Paris, Dunod, 1952.
Д. Линдли (D. V/ L indley)
1. The theory of queues with a single server, Proc. Cambr.
Phil. Soc, 48, 1952, 277-289.
А. А. Ляпунов, С. М. Фандюшина
1. К вопросу о повторяемости землетрясений, Изв. АН СССР,
серия географ, и геофиз., т. 6, 1950, 547—552.
Марцинкевич (J. Marcinkiewicz)
1. Quelques theoremes sur les fonctions independantes, Studia
Math. 7, 1937, 104-120.

426
ЛИТЕРАТУРА
Т. П. Марьянович
1. Обобщение формул Эрланга на случай, когда приборы
могут выходить из строя и восстанавливаться, УМЖ XII,
№ 3, 1960.
2. Надшшсть системи при наявност1 резерву, Доп. АН УРСР,
№ 7, 1961.
3. Надшнкть системи 3i зм1шаним резервом, Доп.
АН УРСР, № 8, 1961.
4. Однолинейная система массового обслуживания с
ненадежным прибором, УМЖ XIV, № 4, 1962.
5. Обслуживание с учетом выхода прибора из строя, Тр. VI
Всесоюзного совещания по теории вероятностей и
математической статистике, Вильнюс, 1962.
6. Некоторые вопросы надежности резервированных систем,
УМЖ XV, № 2, 1963.
К. Маттес (К. М a 11 h e s)
1. Zur Theorie des Verlustverkehrs. Vortrag auf dem Math.,
Sump, anlafilich der 150-Jahr-Feier der Humbold-Univers, zu
Berlin, 1960.
2. Zur Theorie der Bedienungsprozesse Publisching, Prague,
1964.
P. Г. Миллер (R. G. Miller)
I. Priority queues, Ann. Math. Statist, v. 31, no. 1, March,
1960.
T И. Насирова
1. Об одном обобщении задачи Эрланга. Труды вычисл.
центра АН Азерб. ССР, т. 2, 1963, 3-13.
Г. А. Ососков
1. Одна предельная теорема для потоков однородных событий,
Теория вероятностей и ее применение 2, 1956, 274—
282.
Пальм (С. Palm)
1. The distribution of repairmen in servicing automatic
machines, Industritidn. Norden, v. 75, 1947, 76—80, 90—94,
119-123.
2. Intensitatsschwankungen in Fernsprechverkehr, Erisson
Technics 44, 1943, 1-189.
Ф. Поллачек (F. Pollaczek)
1. Problemes stochastiques poses par le phenomene de
formation d'une queue d'attente a un guichet et par des pheno-
menes, apparentes, Memorial des Sciences Mathematiques,
Gauthier—Villars, Paris, 1957.
И. Б. Погожев
1. Оценка отклонений потока отказов в аппаратуре
многоразового использования от пуассоновского потока, Сб.
«Кибернетику— на службу коммунизму», т. 2. М.—-Л., Изд-во
«Энергия», 1964, 228—245.
Ю. В. Прохоров
1. Переходные явления в процессах массового обслуживания.
Литов. матем. сборник, т. III, № 1, 1963, 199—206.

ЛИТЕРАТУРА
427
Ю. В. Прохоров, О. В. Висков
1. Вероятность потери вызова при большой интенсивности
потока, Теория вероятностей и ее применение IX, № 1,
1964, 99-104.
Райе (О. R i s е)
1. Single server systems, The Bell System technical journal,
Jan., 1962, 269-278.
P.M. Редхеффер (R. M. R e d h e f f e r)
1. A note on the Poisson law, Math. Magazine 26, 1953, 185—188,
Э. Рей ч (Е. Reich)
1. On an integrodifferential equation of Takacs, I, Ann. Math.
Statist., v. 29, 1958, pp. 563-570.
A. P e н ь и (A. R ё п у i)
1. Poisson-folyamat egy jemllemzese, Труды Мат. института
АН Венгрии I, 4, 1956, 519-527.
Риордан (J. Riordan)
1. Stochastic service systems, Wiley and Sons, 1962.
Рой тер (G. E. H. R e u t e r)
1. Denumerable Markov processes and the associated
contraction semigroups, no. 1, Acta Math., v. 97—98, 1957, pp. 1—46.
Т. Саати (Т. S a a t у)
1. Elements of queueing theory with applications, McGraw-
Hill, New York, 1961.
Т. А. С а р ы м с а к о в
1. Основы теории процессов. Map ков а, М., 1954.
Б. А.Севастьянов
1. Предельная теорема для марковских процессов и ее
приложение к телефонным системам с отказами. Теория
вероятностей и ее применение II, № 1, 1957, 106—116.
2. Формулы Эрланга в телефонии при произвольном законе
распределения длительности разговора. Тр. 111
Всесоюзного матем. съезда, 1956, т. 4, М., АН СССР, 1959, 68—70.
Р. Си ски (R. Sy ski)
1. Introduction to congestion theory in telephone systems,
Oliver and Boyd, Edinburgh and London, 1960, p„ 742.
B. Смит (W. L. Smith)
1. Renewal theory and its ramifications, J. Roy. Statist. Soc,
Ser. B, v. 20, no. 2, 1958, pp. 243—302. Русский перевод:
Сб. «Математика» 5:3, 1961, 95—150.
Ф. Ф. Стефан (F. F. Stephan)
1. Two queues under preemptive priority, Oper. Res. 6, 1958,
399-418.
Л. Такач (L. Takacs)
1. Introduction to the theory of queues, Oxford University
Press, 1962.
В. Фел лер (W. Feller)
1. On the integro-differential equations of purely
discontinuous Markoff processes. Trans. Am. Math. Soc, 48, 1940,
488-515.
2. On boundary conditions for the Kolmogoroff differential
equations. Annals of Math., v. 65, 1957, 527-57Q.

428 ЛИТЕРАТУРА
3. An introduction to probability theory and its applications,
v. 1, New York 1950 (first edition), 1957 (Second edition).
Русский перевод: Введение в теорию вероятностей и ее
приложения, 1-е изд. Изд-во иностр. л., 1952; 2-е изд., Изд-во
«Мир», 1964.
Ф. Ф остер (F. G. Foster)
1. On stochastic matrices associated with certain queueing
processes. Ann. Math. Statist., v. 24, 1953, 355—360.
P. Форте (R. M. Fortet)
1. Random distributions with an application to telephone
engineering, Proc. Berkley Sympos. Math. Stat, and Prob., v.
2, Berkly —Los Angeles, 1956, 81—88.
Т. Фрай
1. Теория вероятностей для инженеров, М., Гостехиздат, 1934.
А. Я. X и н ч и н
1. Работы по математической теории массового обслуживания,
М., Физматгиз, 1963.
2. Математические методы теории массового обслуживания,
Труды Матем. ин-та им. В. А. Стеклова, т. 49, изд.
АН СССР, 1955.
3. О пуассоновских потоках случайных событий, Теория
вероятностей и ее применение I, № 3, 1956, 320—327.
4. Математическая теория стационарной очереди. Матем.
сборник 39, № 4, 1932, 73—84.
5. Асимптотические законы теории вероятностей, ОНТИ, 1936.
A. Эйнштейн, М. Смолуховский
1. Сборник статей по теории броуновского движения, ОНТИ,
1936.
Б. Эпштейн, Т. Хосфорд (В. Epstein, T. Hosford)
1. Reliability of some two unit redundant systems, Proc. 6-th
Nat. Symposium on Reliability and Quality Control, 1960,
466—476.
B. Н. Ярошенко
1. Про одну задачу масового обслуговування, Доп. АН УРСР,
№2, 1962, 153—156.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Автомат вероятностный 312
Бесконечно малый процесс 153
Блекуэлла теорема 147
Ведущая функция 126, 153
Вероятностный автомат 312
Виртуальное время ожидания
374
Вложенных цепей Маркова
метод 182
Вольфовица — Кифера эргоди-
ческая теорема 368
Восстановления момент 188
— поток 138
— процесс 138
— узловая теорема 147
— функция 139
— элементарная теорема 146
Входящий поток 92
с ограниченным
последействием 322
Гибели и размножения
процесс 38
— процесс 38
Григелиониса теорема 153, 160
Длины очереди распределение
247
Длительности ожидания
распределение 69
Длительность ожидания 374
Дублирование с
восстановлением 56, 58, 59
Загрузки функция 373
Ивницкого формула 410
Индикатор события 352
Интенсивность потока 23
мгновенная 106
— — отказов 68
Кендалла метод 182
Кифера — Вольфовица эргоди-
ческая теорема 368
Королюка теорема 135
Кусочно-линейный процесс 202
Линейчатый процесс 184
Маркова процесс 27
Марьяновича формула 391
Мгновенная интенсивность
потока 106
Мгновенное значение
параметра 102
Многолинейная система 310
с ожиданием 366
Момент восстановления 189
Нагруженный резерв 41, 58
Ненагруженный резерв 41, 56
Нестационарный простейший
поток 101
Облегченный резерв 59
Обслуживание с ожиданием 24
преимуществом 83
Однолинейная система 344
— — в условиях большой
загрузки 262
с ожиданием 230, 266,
354

430
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Ожидания виртуальное время
374
— длительность 374
Ординарность потока 14
Ососкова — Хинчина теорема
159
Пальма поток 138
формулы l3l
— — функции 128
Пальма— Хинчина теорема 158
Параметр, мгновенное
значение 102
— потока 23, 109
Период занятости,
распределение 243
Поллачека — Хинчина
формулы 252
Полумарковский цроцесс 183
Поток без последействия пуас-
соновский 108
стационарный 116
—-, ведущая функция 126
— восстановления 138
— входящий 92
—, интенсивность 23
— класса К 167
—, мгновенная интенсивность
106
—, ординарность 14
—, отсутствие последействия
13
-—, параметр 23, 109
— первых событий 165
—, предельная теорема 164,
169, 170, 174
— простейший 12, 14
нестационарный 101
— пуассоновский 13, 100
— регулярный 96
— редеющий 170
— с ограниченным
последействием 138
—, слабая сходимость 169
— случайный 100
—, стационарность 13
— типа Пальма 138
— F 164
Предельная теорема 164, 169,
170
Производящая функция 104
Простейший нестационарный
поток 101
— поток 12, 14
— —, уравнение 17
Процесс без последействия 27
— бесконечно малый 153
— восстановления 138
— гибели 38
— кусочно-линейный 202
— линейчатый 184
— Маркова 27
— полумарковский 183
— пуассоновский 153
— размножения 38
— регулярный 109
— ступенчатый 152
Пуассоновский поток 100
— — без последействия 108
— процесс 153
Размножения процесс 38
Распределение длины очереди
247
— длительности ожидания 69
— периода занятости 243
— Эрланга 25
Регулярный поток 96
— процесс 109
Редеющий поток 170
Резерв нагруженный 41, 58
— ненагруженный 41, 56
— облегченный 59
Рейча теорема 256
Реньи предельная теорема 174
Севастьянова теорема 381
Система без информации 312
— обслуживания
многолинейная 310
, нестационарный режим
255
■ смешанная 297
— с ограничением 329
ограниченным временем
ожидания 60
— — — — пребывания 72
— числом мест
ожидания 50
потерями 47, 320
Случайный поток 100
— процесс с дискретным
вмешательством случая 186

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
431
Смешанные системы
обслуживания 297
Смита теорема 147
Стационарность потока 13
Стационарный поток без
последействия 116
Ступенчатый процесс 152
Узловая теорема
восстановления 147
Феллера теорема 39
Франкена теорема 161
Хинчина формула 241
Хинчина — Ососкова теорема
159
Хинчина — Пальма формулы
131
функции 128, 158
Хинчина — Поллачека
формулы 252
Элементарная теорема
восстановления 146
Эрланга распределение 25
— формулы 48
Хинчина теорема 110, 127
Ярошенко формула 394

Борис Владимирович Гнеденко,
Игорь Николаевич Коваленко
Введение в теорию массового обслуживания
М., 1966 г., 432 стр. с илл.
Редактор А. П. Черенков
Техн. редактор С. Я. Шкляр
Корректор Н. Д. Дорохова
Сдано в набор 29/VI 1966 г. Подписано к печати
14/Х 1966 г. Бумага 84Xl08V82- Физ. печ. л.
13,5. Условн. печ. л. 22,68. Уч.-изд. л. 21,78.
Тираж 12 000 экз. Т-12768. Цена книги 1 р. 49 к.
Заказ № 563.
Издательство «Наука».
Главная редакция
физико-математической литературы.
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15.
Первая Образцовая типография им. А. А.Жданова
Главполиграфпрома Комитета по печати
при Совете Министров СССР.
Москва, Ж-54, Валовая, 28.