4
вмк
В. Ф. МАТВЕЕВ, В. Г. УШАКОВ
Системы массового обслуживания
ИЗДАТЕЛЬСТВО МОСКОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
В. Ф. МАТВЕЕВ, В. Г. УШАКОВ
Системы массового обслуживания
Допущено Министерством высшего и среднего специального образования СССР в качестве учебного пособия для студентов вузов, обучающихся по специальности «Прикладная математика»
ИЗДАТЕЛЬСТВО МОСКОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА 1984
УДК 519 21
Матвеев В. Ф., Ушаков В. Г. Системы массового обслуживания — М.: Изд-во МГУ, 1984 — 240 с.
В основу книги положен курс лекций, читавшихся авторами в течение ряда лет на факультете вычислительной математики и кибернетики МГУ. На примерах различных типов систем обслуживания развиваются математические методы их исследования. Впервые в учебной литературе рассмотрены системы обслуживания с приоритетами при достаточно общих предположениях о входящем потоке.
Книга может быть полезна аспирантам, научны^ сотрудникам и инженерам, занимающимся вопросами теории массового обслуживания и ее применений
Рецензенты:
кафедра вычислительной математики Университета дружбы народов им. П. Лумумбы, проф. И. А. Ушаков
м 1502000000-081
1 Т ж -	' ' м О ж
077(02)—84
(g Издательство Московского университета, 1984 г
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие........................................... 8
Введение ........................................... Ю
§ 1.	Описание систем массового обслуживания ...	10
1.	Примеры систем обслуживания................. 10
2.	Структура СМО............................... 10
3.	Дисциплина обслуживания.......................И
4.	Характеристики СМО...........................12
5.	Задачи теории массового обслуживания ....	13
6.	Примеры задания СМО и их основных характеристик ........................................ 13
§ 2.	Некоторые факты теории вероятностей	14
1.	Вероятностное пространство ................. 14
2.	Случайные величины, их представление, свойства 14
3.	Условные вероятности и условные математические ожидания.................................. 17
4.	Случайные последовательности и процессы ...	18
5.	Введение дополнительных событий..............19
6.	Задачи.......................................21
§ 3.	Элементы теории входящего потока .............21
1.	Определение потока событий...................21
2.	Пуассоновский поток..........................22
3.	Рекуррентный поток...........................25
4.	Просеивание потоков..........................27
5.	Наложение потоков, поток Бернулли............29
6.	Обозначения потоков при задании СМО ....	29
7.	Задачи.......................................30
§ 4.	Некоторые сведения теории случайных процессов 31
1.	Процессы восстановления.....................31
2.	Регенерирующие процессы......................33
3.	Марковские процессы..........................35
4.	Цепи Маркова ................................35
5.	Задачи.......................................36
§ 5.	Формула Литтла ...............................37
1.	Вывод формул Литтла.........................37
2.	Аналоги формулы Литтла.......................38
§ 6.	Статистическое моделирование СМО..............38
1.	Существо статистического моделирования ...	38
2.	Унифицированная модель конкретной СМО ...	39
3.	Моделирующий алгоритм.......................40
4.	Адекватность, точность, эффективность ....	40
Глава 1
Марковские СМО....................................... 42
§ 1.	Процессы гибели и размножения.................42
3
I.	Определения и обозначения.....................42
2.	Основные свойства процессов гибели и размножения .........................................43*
3.	Примеры систем обслуживания, описываемых процессами гибели и размножения.................48
4.	Задачи....................................... 58
§ 2.	Примеры марковских СМО, не описываемых процессами гибели и размножения.......................59
1.	Введение..................................... 59
2.	Примеры...................................... 59
3.	Задачи........................................65
§ 3.	Метод этапов Эрланга......................... 67
1.	Введение......................................67
2.	Система обслуживания 1 |оо....................67
3.	Система обслуживания £\|М| 1 |оо..............69
4.	Заключение................................... 71
5.	Задачи........................................72
Глава 2
Системы обслуживания М | G11..........................73
§ 1.	Дисциплины FIFO и LIFO........................73
1.	Описание дисциплин............................73
2.	Описание системы. Основные	обозначения ...	74
3.	Период занятости..............................75
4.	Длина очереди.................................78
5.	Виртуальное время ожидания....................82
6.	Метод вложенных цепей Маркова.................88
7.	Задачи........................................94
§ 2.	Дисциплина разделения времени ............... 95
1.	Введение. Описание системы....................95
2.	Период занятости..............................96
3.	Длина очереди.................................97
4.	Виртуальное время ожидания....................99
5.	Метод вложенных цепей Маркова................100
6.	Задачи.......................................102
§ 3.	Дисциплина разделения процессора.............102
1.	Описание	дисциплины.........................102
2.	Основные	результаты.........................103
§ 4.	Дисциплины пакетной обработки требований . . 106
1.	Введение.	Описание дисциплин.................106
2.	Основные	обозначения........................107
3.	Совместное распределение времени начала обслуживания	Л/-го пакета и числа требований в нем 108
4.	Виртуальное время пребывания в системе в момент t.........................................110
5.	Заключение...................................119
6.	Задачи.......................................119
4
Глава 3
Одноканальные приоритетные системы обслуживания с пуассоновскими входящими потоками..................120
§	1.	Система Л4Г| Gr 111 оо. Длина очереди........120
1.	Описание системы............................120
2.	Основные обозначения........................121
3.	Вспомогательные результаты..................121
4.	Основные результаты.........................128
5.	Задачи......................................138
§	2.	Виртуальное время ожидания...................139
1.	Определения и обозначения...................139
2.	Основные результаты.........................140
3.	Задачи.....................................149*
§	3.	Метод вложенных цепей Маркова................150
1.	Определения и обозначения...................150
2.	Основные результаты.........................151
3.	Задачи......................................159
§ 4.	Дисциплины SPT и LPT в системе с относительным приоритетом...................................159
1.	Описание системы............................159
2.	Основные обозначения. Предварительные результаты ..........................................160
3.	Виртуальное время	ожидания..................162
4.	Длина очереди...............................167
5.	Задачи......................................171
§ 5.	Оптимальное назначение приоритетов...........173
1.	Постановка задачи...........................173
2.	Описание оптимальной	функции переключения 174
3.	Задачи......................................178
Глава 4
Системы обслуживания с непуассоновскими входящими потоками ............................................179
§ 1.	Система обслуживания НМ | Gr 111 оо с относительным приоритетом...................................179
1.	Описание системы.............................179
2.	Основные обозначения.........................180
3.	Предварительные результаты...................181
4.	Основные результаты..........................185
5.	Заключение...............................  .	195
6.	Задачи.......................................195
§ 2.	Система Er | Gr 111 оо с относительным приоритетом 196
1.	Описание	системы.............................196
2.	Основные	обозначения........................197
3.	Предварительные результаты...................198
4.	Основные	результаты.........................198
5.	Задачи.......................................204
5
Глава 5
Многоканальные системы обслуживания...................205
§	1.	Система обслуживания	A4|G|oo..............205
1.	Описание системы.............................205
2.	Основные результаты..........................206
3.	Задачи *.....................................211
§ 2.	Система обслуживания с бесконечным числом приборов и неординарным	входящим потоком . . . 211
1.	Описание	системы.............................211
2.	Основные	результаты.........................211
3.	Задачи.......................................213
§ 3.	Система обслуживания	GI | М | оо............213
1.	Описание	системы. Основные	обозначения	.	.	.	213
2.	Основные	результаты......................214
3.	Задачи...................................215
§ 4.	Система обслуживания GI | М | п 10. Задача Пальма 216
1.	Описание	системы. Постановка	задачи	....	216
2.	Предварительные результаты...............216
3.	Основные	результаты......................216
4.	Задачи...................................218
§ 5.	Система обслуживания М | G | п 10.............219
1.	Описание	системы. Основные	обозначения	.	.	.	219
2.	Основные	результаты......................219
3.	Заключение...............................221
§ 6.	Система обслуживания GI | М | п | оо..........221
1.	Описание системы. Основные обозначения . . . 221
2.	Вспомогательные результаты...................222
3.	Основные результаты..........................224
Приложение
§ 1.	Представление распределений некоторых классов случайных величин и их свойства...................228
§ 2.	Интеграл Стилтьеса............................230
§ 3.	Преобразования Лапласа и Лапласа — Стилтьеса 232
§ 4.	Сведения из теории функций....................234
Литература............................................236
Предметный указатель..................................237
ОБОЗНАЧЕНИЯ
Используются общепринятые в литературе по теории вероятностей сокращения:
ф. р. — функция распределения,
сл. в. — случайная величина,
СМО — система массового обслуживания,
ПЛС — преобразование Лапласа—Стилтьеса.
Для математического ожидания и дисперсии используются символы М и D, а для свертки — обозначения вида
t
Л*В (/) = J Л (/ - х) dB (х); В*"(/) = В**"-1* *В (/), /г > 2, О
в*1 (/) = в (о.
Векторные величины в тексте и в формулах выделены жирным шрифтом. При оперировании с векторами используются следующие обозначения. Если
а= (аь ..., ап), Ь= (йь ..., Ьп), с= (сь ..., сп), то п
(а, Ь) = £ afii — скалярное произведение векторов а и i=i
п	С	Ct	Сп
“‘“ГН'.	2 = Е	S •
i=l	a=b at=bi	ап=Ьп
ab= (аь .... ап, bi,bn).
При рассмотрении векторов, составленных из части компонент векторов а=(аь ап), b= (bi...... bn), используются обо-
значения
а,= (аь..., а,), а‘= (ai+i,ап), Icicn—1,
(а, Ь)< = (а„ b£) = £ afc, (а, Ь)‘ = (а', Ь‘) = £ а,Ь,;
/=1	/=ж
а,Ь' = (аь а,-, Ьм,Ьп).
Кроме того, полагаем 1 = (1,	1), 0= (0, ..., 0).
ПРЕДИСЛОВИЕ
Исследование систем массового обслуживания (СМО) — ‘Специального класса математических моделей — существенно при анализе функционирования таких сложных систем, как автоматические телефонные станции, автоматизированные информационные системы, системы связи, ЭВМ, различные диспетчерские службы, системы снабжения, медицинского обслуживания, транспортные системы, поточные линии и т. п. Во всех этих случаях мы имеем дело с массовой «обработкой» («обслуживанием») некоторых объектов при учете влияния случайных факторов.
Для повышения эффективности работы реальных систем бывает необходимо определять такие характеристики СМО, которые учитывают наличие очередей, ожидание начала обслуживания, простои системы и др. Эти характеристики описываются случайными процессами и случайными величинами.
Разработкой методов исследования СМО занимается специальный раздел теории вероятностей — теория массового обслуживания.
При подготовке специалистов по прикладной математике и целому ряду инженерных специальностей в университетах и вузах страны в учебные программы включается теория массового обслуживания либо как отдельный курс, либо как особый раздел некоторого более общего курса.
В Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова на факультете вычислительной математики и кибернетики годовой курс «Системы массового обслуживания» слушают студенты кафедры математической статистики, а также студенты, специализирующиеся по различным вопросам разработки систем вычислительных комплексов и их математического обеспечения.
Первым прочитал этот курс Г. П. Климов. Основная часть его содержания сохранилась и до настоящего времени. В течение ряда лет курс читают авторы. Тексты лекций легли в основу глав 1, 5 и частично глав 2 и 3. Глава 4 и частично главы 2 и 3 предназначены в качестве пособия по специальным курсам для старшекурсников и аспирантов, специализирующихся в данном направлении.
Учебное пособие также будет полезно студентам, выполняющим задания по анализу СМО в рамках практикума работы на ЭВМ.
Предполагается, что читатели изучили курс теории вероятностей в рамках вузовской программы.
Авторы стремились на примерах конкретных простых СМО продемонстрировать методы определения различных характеристик системы. При усложнении систем сохраняются основные
методологические приемы их исследования, что позволяет проводить математические преобразования и приводить выражения для нестационарных характеристик и конечномерных распределений процессов без излишних словесных обоснований. Включенные в книгу результаты имеют конструктивный характер. Стационарные и частные распределения, числовые харак-теристки получаются из общих формул после простых преобразований.
В учебном пособии отсутствуют ссылки на первоисточники. Список литературы по главам содержит минимальный набор книг и лишь в исключительных случаях журнальные статьи, которые могут дополнить и разъяснить содержание соответствующих разделов.
В книге приняты следующие рубрики: глава, параграф, пункт. Нумерация утверждений и формул своя в каждом параграфе. При ссылке на соответствующий результат из другого параграфа той же главы	применяется	двойной	номер	(так,
ссылка на формулу (3.2)	означает формулу (2)	из §	3).	При
ссылке на результаты из	другой главы	используется	тройная
нумерация (так, теорема	2.3.1 означает	теорему	1 из	§ 3	гла-
вы 2).
Авторы пользуются случаем выразить глубокую благодарность Ю. В. Прохорову, постоянная поддержка которого определила успешное развитие исследований по теории массового обслуживания на кафедре математической статистики факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ; Б. В. Гнеденко, который доброжелательным участием и готовностью оказать помощь постоянно придавал силы и стимулировал дальнейшие работы по изучению СМО; Г. П. Климову, многогранное влияние которого в наибольшей степени определило научные интересы и исследования авторов, содержание настоящего учебного пособия; а также поблагодарить за помощь в оформлении рукописи Г. Есиналиеву, Т. Попову, Л. Туркову и И. Харитонцеву.
Самые добрые чувства испытывают авторы ко всему коллективу кафедры математической статистики, без дружеской поддержки которого работа не была бы завершена.
Введение
Данный раздел содержит .описание основных понятий, приводятся определения и факты теории вероятностей, необходимые для исследования систем массового обслуживания. .
§ 1.	ОПИСАНИЕ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
1.	Примеры систем обслуживания. Рассмотрим несколько ситуаций, которые описываются СМО.
Пример 1. Справочная телефонная служба — телефонистка отвечает на вопросы абонента. В соответствующей СМО вопросы абонентов моделируются потоком требований, а работа телефонистки — прибором.
Пример 2. Работа кассиров в универсаме. Покупатели образуют поток требований, прибор моделирует работу кассира.
Пример 3. Функционирование взлетно-посадочной полосы аэродрома. Требования — самолеты, требующие посадки или взлета, работа прибора — резервирование взлетно-посадочной полосы за определенным самолетом.
Пример 4. Автоматизированная информационная система. Требования — запросы, прибор — вычислительный комплекс, обеспечивающий ответ на запрос.
Пример 5. Работа ЭВМ в режиме разделения времени. Требования — программы, обрабатываемые ЭВМ, прибор — процессор ЭВМ.
Перейдем к описанию СМО — математических моделей реальных систем обслуживания.
2.	Структура СМО определяется заданием потока требований, количества приборов в системе, длительностей обслуживания требований, числа мест ожидания *.
2.1.	Поток требований. Однородный поток требований полностью характеризуется случайными моментами их поступления в систему и описывается соответствующим случайным процессом. Иногда выделяют случаи наложения нескольких потоков, обычно разнотипных требований, и потоки с конечными источниками. Исследованию потоков требований посвящен § 3.
2.2.	Приборы (линии, каналы). При параллельной установке приборов и обслуживании требований на одном из свободных приборов говорят о многоканальной (многолинейной) СМО, при единственном приборе — соответственно об одноканальной (однолинейной) СМО. При последовательном обслуживании требований на разных приборах различают многофазные СМО, когда одновременно на разных приборах могут об-
♦) При рассмотрении сложных СМО понятие структуры включает задание алгоритма прохождения требованиями различных приборов системы. В данной книге такие СМО не исследуются.
10
служиваться несколько требований, и многоэтапные СМО, когда единовременно возможно обслуживание лишь на одном приборе. В общем случае приборы СМО образуют сеть массового обслуживания.
2.3.	Длительности обслуживания. Интервалы обслуживания последовательных требований на приборе задают поток обслуживания, который как математическое понятие аналогичен потоку требований.
2.4.	Различают СМО с ожиданием, которые характеризуются количеством имеющихся мест ожидания для требований, и СМО с потерями, когда можно считать, что число мест ожидания равно нулю.
2.5.	Структуру СМО принято обозначать последовательностью символов А\В\п\т, где п — число приборов в СМО, т — количество мест ожидания (если число мест ожидания не ограничено, т = оо, то символ т обычно опускают); значение символов А и В, задающих потоки требований и обслуживания соответственно, будет разъяснено в § 3.
3.	Дисциплина обслуживания. В СМО с ожиданием и однородными требованиями применяют различные схемы определения порядка обслуживания требований: прямой, инверсионный, случайный, с разделением времени, с разделением процессора, пакетный и др. При наличии разнородных требований приходится дополнительно учитывать приоритет: относительный, абсолютный, чередующийся, в порядке возрастания или убывания длительности обслуживания и др.
3.1.	Прямой порядок обслуживания, или обслуживание в порядке поступления в СМО. Такую дисциплину иногда обозначают FIFO (First In First Out).
3.2.	Инверсионный (обратный, стековый) порядок обслуживания характеризуется выбором на обслуживание требования,, поступившего в СМО последним. Такую дисциплину иногда обозначают LIFO (Last In First Out).
3.3.	При случайном порядке обслуживания с равной вероятностью может быть выбрано на обслуживание любое из имеющихся в очереди требований.
3.4.	Обслуживание в режиме разделения времени характеризуется тем, что вся длительность обслуживания разбивается на кванты, этапы, и после завершения обслуживания некоторого этапа тем или иным образом выбирается одно из находящихся в СМО требований для обслуживания очередного этапа.
3.5.	Обслуживание в режиме равномерного разделения процессора связано с одновременным обслуживанием прибором (процессором) нескольких требований. При этом интенсивность (скорость) обслуживания каждого требования уменьшается во столько раз, сколько требований обслуживается одновременно.
3.6.	Пакетное обслуживание требований обычно рассматривается с естественным правилом формирования пакетов. В пакет, поступающий на обслуживание, включаются все требования,
11
находящиеся в СМО на момент освобождения прибора от предыдущего пакета, либо требования, поступившие в свободную систему.
Приоритетные правила приписывают каждому типу требований приоритетный индекс, обычно в порядке убывания приоритетов.
3.7.	Относительный приоритет. При завершении обслуживания очередного требования из очереди на обслуживание выбирается требование с наивысшим приоритетом.
3.8.	Абсолютный приоритет. При поступлении в СМО требования более высокого приоритета, чем требование, обслуживающееся на приборе, происходит прерывание обслуживания, начинает обслуживаться поступившее требование, а прерванное либо теряется, либо возвращается в очередь с последующим дообслуживанием или обслуживанием заново.
3.9.	Чередующийся приоритет предусматривает закрепление за требованиями того типа, который находится на обслуживании наивысшего приоритета. После обслуживания всех имеющихся в СМО требований этого типа из очереди на обслуживание выбирается следующее требование, как правило в соответствии с относительным приоритетом.
3.10.	Обслуживание в первую очередь требований с наименьшим временем обслуживания является оптимальным в смысле минимизации среднего времени пребывания в системе требований при отсутствии задержек и потерь из-за переориентации и изменения порядка обслуживания. К сожалению, в большинстве случаев неизвестна длительность обслуживания до его завершения.
4.	Характеристики СМО. Для повышения эффективности функционирования реальных систем у соответствующих моделей массового обслуживания необходимо уметь рассчитывать характеристики, связанные с наличием очередей, вынужденным ожиданием начала обслуживания, простоем приборов и т. п. При этом различают характеристики СМО нестационарные (для произвольного момента времени) и стационарные (для достаточно удаленного момента времени).
4.1.	Очень часто представляют интерес следующие вероятности состояний СМО:
—	вероятность застать систему в свободном состоянии;
—	вероятность потери требования из-за занятости системы;
—	вероятность ожидания требованием начала обслуживания в очереди при поступлении в систему;
—	вероятность застать в СМО определенное количество требований.
4.2.	Обычно при исследовании СМО определяют распределения вероятностей
—	длины очереди;
—	количества требований, находящихся в системе;
—	времени ожидания начала обслуживания;
12
—	времени пребывания требования в системе (в очереди и на приборе);
—	виртуального времени ожидания начала обслуживания, т. е. времени ожидания начала обслуживания требованием, искусственно привнесенным в СМО в выбранный момент времени;
—	виртуального времени пребывания требования в системе;
—	периода занятости системы, т. е. интервала времени с момента поступления в свободную систему требования до первого последующего момента освобождения системы от требований;
—	потока потерянных требований.
4.3.	Для анализа СМО важно выявить взаимосвязь между характеристиками. При этом рассматривают
—	зависимости между различными числовыми характеристиками системы (например, формула Литтла, § 5);
—	совместные распределения различных характеристик системы;
—	совместные распределения характеристик в разные моменты времени.
5.	Задачи теории массового обслуживания. Параметры и искомые характеристики СМО в общем случае — случайные процессы. Поэтому основные задачи и методы исследования СМО по своей сути вероятностные. Можно выделить несколько основных классов задач.
5.1.	Выяснение условий существования стационарных распределений искомых характеристик. Как правило, используются критерии существования стационарных распределений соответствующих случайных процессов.
5.2.	Нахождение значений определенных вероятностей, распределений вероятностей и их числовых характеристик. При этом, как правило, применяют аналитические методы теории вероятностей.
5.3.	Оценивание характеристик СМО осуществляется при помощи статистических методов по реальным данным наблюдений за системой, либо по данным имитационного статистического моделирования.
5.4.	Сравнение и оптимизация СМО по различным критериям за счет соответствующего выбора значений числовых параметров системы, законов их вероятностных распределений либо порядка обслуживания требований.
5.5.	Исследование асимптотического поведения характеристик систем обслуживания при стремлении параметров к каким-либо граничным значениям.
6.	Примеры задания СМО и их основных характеристик. Вновь обратимся к примерам, приведенным в начале параграфа, и опишем возможные модели СМО для указанных ситуаций.
Пример 1. А | В1110 — однолинейная СМО без ожидания.
13
Потерянные требования могут образовывать поток повторных: требований. Нас может интересовать вероятность потери первичного требования. Здесь и далее способы задания потоков требований и обслуживания оставляем до § 3.
Пример 2. Л|В|/г|ли — /г-канальная СМО с т местами для ожидания в очереди. Интерес представляет время ожидания начала обслуживания требования.
Пример 3. Л|В|1 — однолинейная СМО с ожиданием. Важнейшие характеристики: вероятность застать систему (взлетно-посадочную полосу) свободной и время ожидания начала обслуживания требования (самолета).
Пример 4. Л|В|1|т — одноканальная СМО с т+1 одиночным источником требований. Основная характеристика — время пребывания требования в системе (время реакции системы) .
Пример 5. А | В11 — одноканальная СМО с ожиданием и циклическим обслуживанием в режиме разделения времени. Нас может интересовать виртуальное время пребывания требования в системе.
§ 2.	НЕКОТОРЫЕ ФАКТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Основные методы исследования СМО — методы теории вероятностей. Ниже приводятся некоторые, наиболее часто используемые при анализе СМО, факты теории вероятностей, вводятся применяемые в дальнейшем обозначения, понятия и их свойства.
1.	Вероятностное пространство. Предполагается, что все случайные процессы, рассматриваемые при исследовании конкретной системы массового обслуживания, заданы на общем вероятностном пространстве (Q, S, Р).
2.	Случайные величины, их представление, свойства. Особенность случайных величин, описывающих параметры и основные характеристики СМО, — их неотрицательность. Это определяет некоторую специфику применяемых вероятностных методов.
2.1.	Для неотрицательной случайной величины а, а: (Q, S)->(R+, В)
функция распределения Д(х)=Р(а<х) принимает нулевое значение для отрицательных значений х. В дальнейшем это, всегда подразумевается и не указывается явно.
Математическое ожидание сл.в. а будем записывать
Ма = J xdA (х).
о
Если £(*) — борелевская функция, то
о*
М£(а) = $ g (х) dА (х).
о
14
О свойствах интеграла Стилтьес, стоящего справа, см. Приложение, § 2.
Распределение сл.в. полностью определяется преобразованием Лапласа—Стилтьеса (ПЛС)
00
a (s) = М ехр (—за) = ехр (—sx) dA (х),
6
которое широко используется при анализе СМО. О свойствах ПЛС см. Приложение, § 3. Отметим здесь лишь следующие свойства. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины а определяются дифференцированием ее ПЛС по формулам
Ma —— а'(0), Da = a"(0) — (Ма)2.
Моменты любого целого порядка также определяются дифференцированием по формулам
Man= (—l)na(n)(O).
Если L — целочисленная сл. в., то ее распределение вероятностей {P(L = k), k = 0, 1, ...} полностью определяется производящей функцией
L (г) =MzL = £P(L = k) гк. k=0
Заметим, что математическое ожидание и дисперсия сл. в. определяются формулами
ML = Z/(1), DL = L"(1)+ML(1—ML).
В Приложении, § 1, для наиболее употребительных при анализе СМО случайных величин приведены: распределения сл.в., их представления, основные характеристики, некоторые свойства.
2.2.	Особую роль при исследовании СМО играют случайные величины с показательным распределением. Во многом это связано со следующим замечательным свойством.
Лемма 1. Если a — случайная величина с показательным распределением Р(а<х) = 1—е~ах, то
Р(а>/+т|а>т) = Р(а>0, />0,	(1)
для любой неотрицательной случайной величины т, независящей от а.
Замечание 1. Указанное свойство показательного распределения часто называют либо основным свойством, либо свойством отсутствия последействия, либо свойством отсутствия памяти, либо свойством отсутствия старения. Это свойство можно записать в виде
Р(а>/ + т) =Р(а>/)Р(а>т), />0.
15
Замечание 2. Аналогичным свойством обладает только целочисленная случайная величина L с геометрическим распределением:
Р(Л = &) =pqk~\ &>1, р + ^=1.
Доказательство (1) проводится непосредственной проверкой
гь/ \	, I \	Р(а>/ + т,а>т)
Р (а > t + т а > т) = —п=
17	Р (а > т)
f Р(а>/ +«)JP(t<w)
= Р(а>/-Ьт) = о =
Р (а>т)	00
V 7	f	P(a>w)dP(r Си)
'	о
р_0(,+“>Л>(т<и)
= ---------------= e-“t = Р (а > /). 
"e-au <№ (т< и)
О
2.3. Если случайные величины си и а2 имеют одну и ту же ф. р. будем называть их эквивалентными (стохастически эквивалентными) и использовать обозначение ai~a2. Класс эквивалентных случайных величин характеризуется функцией распределения, неотрицательных сл.в. — также преобразованием Лапласа—Стилтьеса, а целочисленных — еще и производящей функцией. При исследовании СМО, как правило, мы будем находить одно из этих представлений интересующих нас случайных величин.
2.4. Если заданы две независимые сл.в. и g2,
: (й, S)-* (X,., АД £ = 1.2,
и g(&i, Ь) — почти всюду конечная (либо неотрицательная) сл. в. &>) : (Я, S)->(R, В), то <p(xi) =Mg(xb £2) — Агиз-мерима по х\, и
М<р(У = М^(У Ъ), т. е. Mg (у У =M61|(Mbg(y У).
Для независимых в совокупности неотрицательных сл. в. {ct/e, ^>1} и независимых в совокупности целочисленных сл.в. {Ln, /г>1} отметим следующие свойства. Распределение сл.в. a = ^задается преобразованием Лапласа—Стилтьеса в ви-^>1 де
Мехр(—sa) |~|Мехр(—sak).
k^\
Распределение сл. в. L — Ln задается производящей функ
16
цией в виде
MzL = п MzLn-
3.	Условные вероятности и условные математические ожидания.
3.1.	Рассмотрим событие BeS, Р(В)>0, тогда условная вероятность события Л, относительно события В определяется как
Р (А\В) = Рв (Л)'= Р (АВ) .
Если а — случайная величина, а: (й, S)->(R, А), и F(х) = = Р(а<х) — ее функция распределения, то условная функция распределения случайной величины а относительно события В определяется соотношением
Е(х|В)=Рв(а<х).
3.2.	Теперь можно определить условное математическое ожидание сл.в. а относительно события В:
м (а \В) = J а (®) Рв (dw) = yL- j а (©) Р (d<o) = [ xdF (х| В). 2	В	R
Если {Вп, п>1} — полная группа событий, т. е. ВтПВл = 0, если m=jkn, |j Вп — £ Вп = Q, Вп е S, и для всех п Р(Вп)>0, п>\
то справедлива формула полной вероятности для математического ожидания а:
Ма = £ Р(В„)М (а|В„).
Интересен случай, когда Вп= (со : т) = хп) — события, которые соответствуют постоянным значениям дискретной сл.в. ц.
3.3.	Если g и т) — случайные величины, g :(12, S)->(X', В'), ц:(Й, S)->(R, В), Fn(x) = Р(ц<х) — функция распределения случаййой величины тц то условным математическим ожиданием случайной величины % относительно случайной величины т] называется случайная величина М(£|ц), для которой
1)	существует борелевская функция g(x) такая, что
М(£|т]) =g (п);
2)	для любого ВеВ
jM(g|n = x)dFn(x) = p(<o)P(d<o), в
где
йв = {<о : т) (со) еВ}.
А
17
В частности,
Mg = J М (g In = x) dF^ (x) = M^g (n) = Мл (M (g| n)) • R
3.4.	Отметим следующие свойства условного математического ожидания:
а)	если £ и т] — независимые сл.в., то М(£|т])=МН;
б)	для любых сл.в. g, Гц, т]2 М(М(£|(т]1, П2)) hi) =М(£|т]1);
в)	если £ и т] — независимые сл.в. и £ = <р(£, т]) — интегрируемая борелевская функция, то
М(ф(£, п) 1п=*) = мф(^ *), и поэтому
Mq> (g. Т» = [ Мер (g, х) dFn (х) = Мп (М5ф (g, п)). R
v
3.5.	Рассмотрим ап— сумму случайного числа неотри-п=0	•
дательных случайных величин, причем
1)	случайные величины {v, ап; п>0} — независимы в совокупности;
2)	ап~а, я>0;
3)	а($)^=Мехр(—sa), /7(г)=Мгу.
V
Тогда преобразование Лапласа—Стилтьеса сл.в. ап опрело деляется соотношением
Мехр s JT ап^ = F (a (s)). п=0
Действительно,
М^ехр^ — ап^ |v =	= [a (s)p,
п=0
поэтому
Мехр(—s£ a„) =Mv[a(s)]v = F(a(s)). п=0
4.	Случайные последовательности и процессы.
4.1.	Большинство характеристик СМО описывается случайными процессами {£(/), где параметр t соответствует изменению времени, Т= [0, оо). Напомним, что у случайного процесса {g(/)=g(f, со); t^T, ©efi} при каждом t^T 5(^о, со) — случайная величина, а при фиксированном со0^0 g(7, (Оо) — траектория случайного процесса. Особенностью про-18
цессов массового обслуживания является то, что их траектории, как правило, не имеют разрывов второго рода.
Чаще других рассматриваются марковские процессы, процессы восстановления и регенерирующие процессы. Основные сведения из теории таких процессов приводятся в § 4.
4.2.	При исследовании СМО часто рассматривают кусочно-постоянные, в частности, полумарковские процессы, что естественно приводит к исследованию случайных последовательностей =	п>0}. Важнейший класс таких последователь-
ностей — цепи Маркова — также рассмотрен в § 4.
4.3.	Для анализа СМО необходимо знание вероятностного распределения исследуемых характеристик, причем достаточно определить распределение представителя класса стохастически эквивалентных объектов. Поэтому при изучении поведения системы в установившемся режиме, как правило, довольствуются слабой сходимостью £(/)	(£ (/)—-►•£) при /~>оо, которая
характеризуется как раз сходимостью вероятностных распределений.
4.4.	Распределения характеристик, зависящих от времени /, во многих случаях удобно представлять в виде преобразований Лапласа или Лапласа—Стилтьеса.
Заметим, что преобразование Лапласа и преобразование Лапласа—Стилтьеса для одной и той же функции Л(/), если они определены, связаны соотношением
J ехр (— st) dA (t) — s J exp (— st) A (t) dt. o—	o—
5.	Введение дополнительных событий. Как уже отмечалось, во многих случаях при изучении СМО достаточно найти представление искомых распределений в виде преобразований Лапласа—Стилтьеса или производящих функций. Использование этих преобразований часто облегчается, если иметь в виду их удобную вероятностную интерпретацию при искусственном введении в функционирование СМО дополнительных событий.
5.1.	Вероятностная интерпретация для действительных положительных s значения преобразования Лапласа—Стилтьеса a(s) функции распределения A(t) неотрицательной случайной величины а связана со следующим. Одновременно с рассмотрением реализации случайной величины а будем наблюдать за наступлением происходящего независимо от нее, дополнительного, искусственно введенного, случайного «события». При этом считаем, что нам известно, что это «событие» произойдет через случайный интервал времени Л, имеющий показательное распределение с параметром s>0, т. е. Р(Х>/)=ехр(—st), t^O.
Лемма 2. Значение преобразования Лапласа—Стилтьеса функции распределения неотрицательной случайной величины а при s>0 равно вероятности того, что до завершения реализа
19
ции случайной величины а не наступит «событие», т. е.
М ехр (—set) = Р (а<л).
Доказательство. Утверждение леммы прозрачно, если записать его в виде
j ехр(—st)dA(t) =Р(а<Х) о
и иметь в виду вероятностную интерпретацию интеграла Стилтьеса, согласно которой
<М(0 = Р(аеф> t + dt)).
Того же результата можно достичь формальными преобразованиями
Р(а<л)=М/(а<Л)=М(М(/(Х>/)/а = /)) =
= М(Р(Л>//а = /)) =М(ехр(—st)/a = t) = М exp (—set),	Я
здесь ЦВ) — индикатор событий В.
Замечание 1. При исследовании СМО рассуждения облегчаются образной интерпретацией наступления «события» как наступления «катастрофы». Тогда Р(а<л) — вероятность того, что до завершения реализации а «катастрофа» не произошла.
Замечание 2. Иногда удобно рассматривать последовательность, поток «катастроф», происходящих через независимые интервалы времени, эквивалентные Л. В этом случае ввиду основного свойства показательного распределения, начиная с любого фиксированного момента времени, например с начала реализации сл.в. а, следующая «катастрофа» произойдет через случайный промежуток времени, стохастически эквивалентный Л.
5.2.	Вероятностная интерпретация для ze(0, 1) производящей функции L(z) распределения вероятностей {P(L = n);
>0} целочисленной сл.в. L, объясняется следующим. Значения случайной величины L почти всегда можно рассматривать как количество некоторых объектов, учтенных за определенный временной интервал. Одновременно с учетом избранных объектов будем считать, что независимо от их числа при учете каждому объекту случайным образом с вероятностью z приписывается метка «Л» и с дополнительной вероятностью 1—z — метка «С». Таким образом, одновременно с L мы можем рассматривать еще две сл.в. LK и LC, которые при фиксированном значении L имеют биномиальное распределение: L/C—Bi(L, z) и LC^ ~Bi(L, 1—z).
Лемма 3. Значение производящей функции распределения вероятностей целочисленной случайной величины L при z^ е(0, 1) равно вероятности того, что при реализации L не было объектов с меткой «С», т. е. MzL = P (LC = 0).
20
Доказательство. Утверждение сразу становится понятным, если расписать подробно последнее равенство и воспользоваться формулой полной вероятности:
MzL = £ Р (L = п) zn =
= £ P(L = n)P(LK~-=L/L = n) = P(L = LK) = P(LC = 0).  n^O
Замечание. При анализе СМО принято приписывание меток «К» и «С» интерпретировать как окрашивание объектов в красный и синий цвет соответственно. Тогда значение производящей функции распределения вероятностей случайной величины L равно вероятности того, что среди реализаций L не было синих. Иногда применяют и другие трактовки этих меток.
6.	Задачи.
Задача 1. Пусть v, {ап; п>1} — независимые в совокупности случайные величины, ал~а, м>1, v — целочисленная. Показать, что
М J? ап — MaMv.
л=0
Задача 2. Пусть v(Z) — случайный процесс, ^(/) = P(v(/)eX).
Дать вероятностную интерпретацию функции
фл (s) = s e-st Fa (t) dt. о
§ 3.	ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВХОДЯЩЕГО ПОТОКА
1.	Определение потока событий.
1.1.	Рассматриваются однородные события, требования, вызовы, заявки, запросы, клиенты и т. д.
Определение 1. Потоком (однородных) событий называется случайный процесс {v(/), />0}, принимающий целые неотрицательные значения, траектории которого не убывают и v(0)=0.
Значение v(/) имеет смысл числа событий, наступивших за временной интервал [0, /)•
Если	— последовательные моменты наступления
одиночных событий и /о = О, то {zk = tk—&>1} — интервалы времени между последовательными моментами наступления событий. Поток событий можно определять, задавая случайные последовательности {tk\ £>1} или {zk\ &>1}.
Определение V. Потоком событий называется последовательность неотрицательных случайных величин {zk\ fe>l}.
21
Исходя из смысла случайного процесса v(t) и последовательности {zk', ^>1} можно показать, что определения 1 и И приводят к одному и тому же классу объектов.
Определение 2. Говорят, что задан поток событий, если либо а) заданы конечномерные распределения последовательности {zk, т. е. для любого целого п>1 задано распределение случайного вектора (zb ..., zn), либо б) заданы конечномерные распределения процесса v(/), т. е. для каждого целого п>А и любого набора неотрицательных чисел ть ..., хп задано распределение случайного вектора (v(ti), ..., v(rn)).
Определение 3. Два потока событий v'(t)((zk', &>1)) и v"(0 ((z/z, &>1)) будем называть эквивалентными, если у них совпадают соответствующие конечномерные распределения.
1.2.	Мы будем в основном иметь дело с потоками, у которых {zk, £>1} — независимые в совокупности случайные величины. Такие потоки полностью определяются набором функций распределения {P(z*</), &>1}.
Определение 4. Рекуррентным потоком с запаздыванием, определяемым функциями распределения ЛДО и A(t), называется поток событий, у которого
1)	{zk, £>1} — независимы в совокупности.
2)	zn~a, п^2, A(t) = P(a<t),
3)	Д1(/) = Р(г1</).
Если у рекуррентного потока с запаздыванием Л1(/)=Д(^), то задан рекуррентный поток, определяемый функцией распределения A (t).
1.3.	В том случае, когда некоторые zk равны нулю, т. е. одновременно наступает несколько событий, мы имеем дело с неординарным потоком. Различные моменты времени поступления групп событий или отдельных событий называют вызывающими моментами. Если вызывающие моменты образуют рекуррентный поток, задаваемый ф. р. Л (0, а количества событий, поступающих в разные вызывающие моменты, — независимые в совокупности случайные величины, стохастически эквивалентные случайной величине L, L(z) =tAzL, то такой поток называют квазирекуррентным, задаваемым функциями*' (A(t), L(z)).
2.	Пуассоновский поток чаще других применяется при анализе СМО.
Определение 5. Пуассоновским потоком с параметром а называется рекуррентный поток, определяемый показательной функцией распределения, т. е.
P(zk<t) = \—e~at, k>\.
Случайный процесс пуассоновского потока с параметром а будем обозначать Х(а, /) или иногда Л(0-
Широкие приложения пуассоновского потока обусловлены его замечательными свойствами.
Лемма 1. а). Поток помеченных с вероятностью z собы
22
тий пуассоновского потока с параметром а является пуассоновским с параметром za.
б)	. Для каждого t^Q сл. в. л(а, t) имеет пуассоновское распределение с параметром at, т. е.
= ехр (— а (1 — z) /)*, или Р (X (а, /) = k) = exp (— at), k\
Так как МХ(а, t)=at, то а имеет смысл интенсивности — среднего числа событий, поступающих за единицу времени.
в)	. Объединение двух независимых пуассоновских потоков с параметрами а\ и а2 дает пуассоновский поток с параметром ах + а2, т. е. K(alt t) + h(a2, t)~k(a{ + a2, t).
г)	. Процесс h(t) пуассоновского потока стационарен, т. е. для любого с>0 поток h(t+c)—К(с) эквивалентен потоку ио-
д)	. Процесс h(t) является процессом с независимыми приращениями, поэтому говорят, что пуассоновский поток обладает свойством отсутствия последействия.
е)	. Пуассоновский поток — ординарный, т. е.
Р(Х(/г)>2|Л(/1)>1)->0 при /ь->0.
ж)	. Если известно, что к(Т)=П, то для t<T ft(t) имеет биномиальное распределение;
Р(Х(а, t) = k/k(a, Т) =N) = Cn (1 — -у)"Л k = QjT.
з)	. Следующие утверждения эквивалентны:
1)	поток событий — пуассоновский с параметром а;
2)	поток событий — простейший, т. е. стационарный, ординарный, без последействия, и имеет интенсивность а;
3)	начиная с произвольного момента времени Т следующее событие наступит в промежутке [Г, T + h) с вероятностью ah + + o(h), при h-+0, не зависящей от траектории процесса X(t) до момента Т;
4)	начиная с произвольного момента времени Т следующее событие наступит через случайное время, распределенное по показательному закону 1—ехр (—at), независимо от того, как наступали события до момента Т.
Доказательство, а). Пусть {а*, £>1} — интервалы между наступлениями событий потока %(а, t), а {а/, п>1} — интервалы между последовательными моментами наступления помеченных событий. Убедимся, что поток помеченных событий — рекуррентный, а затем покажем, что а/ имеют показательное распределение с параметром za. Действительно, для каждого п существует такой номер k' и целочисленная случайная величина L, что
L
< = £ ^+k.
k=\
23
Здесь L равно количеству наступлений событий основного потока, прежде чем событие будет помечено, считая и помеченное событие. Легко убедиться, что сл.в. L имеет геометрическое распределение: P{L = m) = z(l—z)m~\ т>1. Так как случайные величины {а*, £>1} и L независимы в совокупности, то последовательность {а/, п>1} задает рекуррентный поток.
Определим распределение а/. Заметим, что а*—а, &>1, и Мехр(—$а) =а/(а+$). Поэтому, учитывая вид производящей функции геометрического распределения, имеем
L
..	/	\ т / а \	гаЦа 4- s)
Мехр — s V а*'.* = L -------- =----------——-------=
V 4J / U + J	1 - (1 - 2)а/(а + s)
k—\
= azj (az + s),
а это — ПЛС показательного распределения с параметром az, б). Найдем производящую функцию	Используя ме-
тод введения дополнительного события и лемму 2.3 находим, что она равна вероятности того, что за время t не наступит синих событий. FJo свойству а) поток синих событий — пуассоновский с параметром (1—z)a. Следовательно,
М2х<"’/) = Р(Х(а(1—z), /)=0)=ехр(—а(1—z)0, что эквивалентно утверждению б) леммы.
в). Пусть {а/, и {amz/, т>1} — интервалы между событиями потоков Х(аь /) и А,(аг, 0 соответственно, a {a*, k>->1} — интервалы между последовательными моментами наступления событий объединенного потока. Тогда из леммы 2.1 следует, что для каждого существуют и т>1 такие, что a* = min (а/, а/), т. е. последовательность {а*, £>1} образует рекуррентный поток. Завершает доказательство цепочка равенств
Р (a*>x) = Р (min (а/, а/) >%) = Р (ап'>х, а^">х) =
= ехр (—aix) exp (—а2х) = exp (— (ai + а2) х).
Утверждения г) и д) леммы следуют из основного свойства показательного распределения.
е). Пусть {а*,	— интервалы между последовательными
моментами наступлений событий потока А(/). Из определения потока Х(/)> следует, что
P(X(/i)>/) = P(ai</i) = l— ехр(—ah),
P(A(/i) >2) = P(ai + a2</i) <P(«i</i, a2<h) =
= (1—exp (—ah) )2,
поэтому, при /i->0,
P(M/i) >2|X(ft) > 1) = p^((^ < 1 -exp(-ah)-+o.
24
ж). Это свойство проверяется простыми преобразованиями
Р (X (0 = k I X (Т) = N) = ?(>А‘) = ЬЛ(Т)=К)_ = v '	Р (А. (Г) = N)
= P^(t)=k)Pq(T-t)=N-ky, = c_nt (at)k c_a(T_i} x “ “	"	k\
P(X(T) = ^
[a(T_Q]"-* I c_aT (aT)N I-'
(Af — k)l I Nl I
N—k
Утверждение з) леммы составляет содержание задачи 1. Ц
3.	Рекуррентный поток. Найдем распределение числа событий рекуррентного потока, поступивших за временной интервал [О, О-
3.1.	Сначала введем обозначения и сформулируем общее утверждение. Как и далее, последовательные моменты наступления событий потока v(/)	дополняем точкой te = O.
Поток событий задается последовательностью {tn, 1}, либо последовательностью интервалов между поступлениями событий {zn = tn—tn-\, л>1}. Обозначим
Лп(/) = P(/n</), an(s) = Мехр(—stn) •
Нас интересуют для каждого />0 вероятности
Pn(0 = P(v(0=n),	п>0,
или преобразования Лапласа—Стилтьеса от производящей функции v(/):
л (z, s) = s J exp (— st) Mzv(z) dt.
о
Теорема 1. Для произвольного потока событий л(г> $) =£ zn[a„(s)— a„+1(s)J.	(1)
Доказательство. Так как Mzv(/) = у Pn(t)zn, доста-п^О
точно показать, что для м>0
s f ехр (— st) Рп (t) dt = ап (s) — an+1 (s). б
Последнее равенство сразу следует из соотношения
An(t)=Pn(t)+An+l(t),	(2)
которое вытекает из того, что
Лп(/) = Р(/п</) = Р(у(О>п) и
P(v(O>n) = P(v(/)=n) + P(v(O>n+l).	
25
3.2.	Для рекуррентного потока v(/), определяемого функцией распределения Д(/), интервалы между событиями стохастически эквивалентны, и независимы, т. е. поток полностью задается распределением Д(/)=Р(а<7). Обозначим
a(s) =Мехр(—sa).
Следствие 1. Для рекуррентного потока событий
s Сехр (— st) N\z'(t) dt = •1 ~ a . J	1 — za (s)
о
Доказательство. Так как /rt = zi +...4-zrt, и в нашем случае an(s) = [a(s) ]", ao(s) = l, то для доказательства достаточно подставить в (1) a„(s)-an+i(s) = [1—a(s)] [a(s)] n и свернуть сумму геометрической прогрессии. Ц
3.3.	В случае рекуррентного потока с запаздыванием, задаваемого функциями Ai (t) = P(zi<0 и Л(/)=Р(а<0, >2, {zk, k^\} — независимы в совокупности. Обозначим
ai (s) =Мехр(—szi), a(s) =Мехр(—sa).
Следствие 2. Для рекуррентного потока с запаздыванием
s f ехр (— st) Mzv(/) dt = 1 — 04 (s) + za. (s) 1 ~~ a .
J	1 — za (s)
о
Доказательство. В нашем случае an(s)=ai(s) [a(s)]n-1,	п>1.
Для доказательства достаточно подставить в (1) a0(s)—си (s) = 1—щ (s), an (<$)—an+i (s) =ai(s) [1—a(s)] [«(s)]”-1,	n>l,
и свернуть сумму геометрической прогрессии. Ц
3.4.	В случае квазирекуррентного потока событий ц(/), за~ даваемого функциями (Д(/), Ф(г)) и согласованного с рекуррентным потоком v(t) (т. е. рекуррентного потока, задаваемого ф. р. Д(/)), справедливо	»
Следствие 3. Для квазирекуррентного потока событий ц(0, согласованного с рекуррентным потоком событий v(t)y а) М^') = м[Ф(г)р(О;
б) s С ехр (—st) MzW> dt = —1 ~	.
7 J V 7	1 —(D(z)a(s)
о
Доказательство. Сначала убедимся в справедливости а) и затем воспользуемся следствием 1. 26
а)	. Воспользуемся вероятностной интерпретацией производящих функций. Каждое событие помечается в красный цвет с вероятностью z и синий — с вероятностью 1—z. Поэтому M2**<0=p (за временной интервал [0, /) не поступило синих событий).
События поступают в вызывающие моменты, образующие рекуррентный поток v(Z). В каждый вызывающий момент поступает случайное число событий L с производящей функцией MzL = O(z). Заметим, что Ф(г)=Р (в вызывающий момент не поступило синих событий). Теперь пометим вызывающие моменты. Вызывающему моменту припишем с вероятностью 1 — —Z\ метку «синий», если хотя бы одно событие из поступивших в этот вызывающий момент помечено в синий цвет. Заметим, что 21 = Ф(г). Тогда Mz!vW = P (за временной интервал [0, /) не поступало синих вызывающих моментов). Утверждение а) обосновывается очевидным соотношением: Р (за временной интервал [0, /) не поступило синих событий) =Р (за временной интервал [0, t) не поступило синих вызывающих моментов).
б)	. Завершает доказательство простая цепочка равенств, следующая из а) и утверждения следствия 1:
оо	оо
s J ехр (— st)	dt = s J exp (— st)	=
о	о
= jl — a(s) =	1 — a (s)	_
1 — zxg (s)	1 — Ф (z) g (s)
4.	Просеивание потоков.
4.1.	Введем для потоков событий v(0 операцию просеивания. При вероятностной интерпретации производящих функций мы уже столкнулись с необходимостью рассматривать не весь поток, а лишь его часть — помеченные события.
Пусть для потока v(t) {tn, п>1} — последовательные моменты наступления событий, {zn, п>1} — интервалы между событиями.
Определение 6. Просеянный поток ц(/) для потока v(t) определяется последовательными моментами наступления событий просеянного потока {tmf, m^\} и соответствующими интервалами {zm', ги>1}, для которых выполнено условие: {tm\ m>l}cz{/n, п>1}, т. е. для каждого существует такой номер Пт, что tnm =im И
пт~~ пт-1
Zm= £ 4n-l+b П0 = °’ ,	fe=l
4.2.	Заметим, что построение из основного потока просеянного — операция просеивания — полностью определяется последовательностью целочисленных сл.в. {Lm, пг>1}, такой, что
1^т = Пт Пт—\,
27
Таким образом, операция просеивания задается конечномерными распределениями последовательности положительных целочисленных сл.в. {Lm, т>1}.
4.3.	Будем рассматривать только рекуррентную ' операцию просеивания, когда {Lmi т>1} независимы в совокупности и стохастически эквивалентны, т. е. Lm^L, m>A. Тогда операция просеивания определяется распределением сл.в. L и будем задавать его производящей функцией MzL = L(z).
Теорема 2. Поток, полученный из рекуррентного потока, определяемого сл. в. а, при помощи рекуррентной операции просеивания, заданной сл. в. L, есть рекуррентный поток, определяемый сл. в. р, преобразование Лапласа—Стилтьеса который имеет вид
Мехр(—s(3) =Л(Мехр(—5а)).
Доказательство. Рекуррентность просеянного потока следует из представления
Lm
<n = £2"m-i+*’	«о = О,
k=\
независимости в совокупности сл.в. {Lm, zn\ п>1} и стохастической эквивалентности Lm^L, m>l, п>1. Из пункта 3.5 § 2 следует, что ПЛС случайной величины z/ определяется формулой, указанной в формулировке теоремы. 
4.4.	Рассмотрим некоторые примеры применения последней теоремы.
Пример 1. Основной поток — пуассоновский с параметром а, рекуррентная операция просеивания простейшая, определяемая сл. в. L, имеющей геометрическое распределение P(L = zn) =pqm~\ L(z)=pz/(\—qz). Тогда ПЛС функции распределения интервала между наступлением событий просеянного потока определяется соотношением
fi <s)« l «х в) - ,
1 — qal(a + s) pa -f- s
т. e. есть ПЛС показательного распределения с параметром ра.
Замечание. Простейшая операция просеивания задает введенное ранее «окрашивание» событий, а просеянный поток в этом случае — поток помеченных событий. Наш пример совпадает с утверждением а) леммы 1.
Пример 2. Основной поток — рекуррентный, задаваемый сл.в. а, рекуррентная операция просеивания задается константой, т. е. имеет производящую функцию L(z)=z< Тогда просеянный поток — рекуррентный, задаваемый сл.в. В, имеющий ПЛС
P(s) = [a(s) ]k, где a(s) =Мехр(—sa).
В частности, если а имеет показательное распределение с параметром а, то р имеет распределение Эрланга порядка k.
28
5.	Наложение потоков. Поток Бернулли.
5.1.	Другой важной операцией над потоками является наложение потоков.
Пусть заданы два потока v'(t) и у" (О,	^>1} и {tm",
>1} — соответствующие упорядоченные последовательности моментов поступления событий. Объединенным потоком, полученным в результате наложения (суммирования, суперпозиции), будем называть поток у(/), для которого верно представление
v(/)=v'(/)+v"(/).
Этот поток определяется упорядоченной последовательностью {tk, &>1}, элементы которой получены в результате объединения (с повтором для совпадающих значений) двух последовательностей {//, AZ>1} и {tmr\ m^l}.
5.2.	Утверждение в) леммы 1 показывает, что наложение двух независимых пуассоновских потоков вновь дает пуассоновский поток с параметром, равным сумме параметров составляющих потоков.
5.3.	Рассмотрим объединение N независимых потоков vi(/), ..., vjv(/), каждый из которых является потоком от источника с одним требованием, причем момент поступления требования является сл.в., равномерно распределенной в [О, Т]. По-v
току(/) = S Vk(t) называют потоком Бернулли.
k=\
Поток Бернулли обладает следующими легко проверяемыми свойствами:
а)	для каждого [О, Г] v(/) имеет биномиальное распределение:
P(v(0 = z>)^Cft4^7i-^r-\ * = 0JV; i /	I /
б)	если интервалы Дь ..., Дп не пересекаются, [О, Т] = =Д1 + ...Дп, за временной интервал [О, Т] поступает N требований от независимых одиночных источников, в моменты времени, равномерно распределенные на [О, Г], и у (Др — число требований, поступивших в интервале Д/, 1 = 1, п, то случайный вектор (у(Д1), ..., у(Дп)) имеет полиномиальное распределение.
6.	Обозначения потоков при задании СМО.
6.1.	Поток обслуживания. Обслуживание требований в СМО также описывается потоком событий. Как правило, обслуживание однородных требований отдельным прибором на одном периоде занятости системы — рекуррентный поток. Моменты окончания обслуживания соответствуют моментам наступления событий в потоке обслуживания. Но даже для простейших классов СМО число обслуженных требований за временной интервал [0, t) не будет рекуррентным потоком.
6.2.	При задании основных типов СМО символами Л|В|/г|т, описанными в § 1, символы Л и В характеризуют потоки требований и обслуживания соответственно. Если на мес
29
те символа А стоит буква G, то входящий поток — произволь- ; ный, если стоит набор символов, отличный от G, то — рекур- ; рентный, причем GI означает произвольное распределение интервалов между поступлениями требований,
М — показательное распределение (пуассоновский поток), Ek — распределение Эрланга порядка k (эрланговский поток) ,
HMk — гиперэкспоненциальное распределение порядка k, D — постоянные (неслучайные) интервалы между поступлениями (регулярный поток),
U — равномерное распределение.
Символ В характеризует поток обслуживания. В настоящей книге во всех рассматриваемых системах предполагается, что длительности обслуживания однородных требований — независимые в совокупности одинаково распределенные случайные величины. Поэтому буква G означает произвольное распределение длительности обслуживания (часто при таких предположениях используется обозначение G/, а символ G оставляется для произвольным образом зависимых длительностей обслуживания). Для конкретных типов распределений длительности обслуживания используются те же символы, что и для входящего потока.
Для систем обслуживания с несколькими типами требований используются обозначения вида:
Дг|Вг|и|т,
где ЛГ(=(Л<1), ..., Л<г))) означает, что имеется г типов требований, поток требований f-го типа характеризуется символом Л<0; ВГ(=(В(!), ..., В(г))) означает, что ф.р. длительности обслуживания требования зависит от его типа.
В частности, символы Мг на месте А означают, что в систему поступают г пуассоновских потоков требований.
6.3.	Примеры. Набор символов М | G11 означает однолинейную СМО с пуассоновским входящим потоком и произвольным распределением длительности обслуживания, а £2|£>з|3|5 — трехканальную СМО с рекуррентным эрланговским входящим потоком порядка 2, постоянным временем обслуживания на каждом из имеющихся трех приборах и пятью местами для ожидания.
7.	Задачи.
Задача 1. Доказать утверждение з) леммы 1.
Задача 2. Пусть случайные величины аир независимы и имеют показательное распределение с параметрами а и b соответственно. Показать, что
Р(а<Р) =
а
b
30
Задача 3. Пусть k(t) — пуассоновский поток с параметром а, а — неотрицательная сл.в., не зависящая от k(t), a(s)=Mexp(—sa). Показать, что
Mzx<a) = a(a — az).
Задача 4. Пусть v(/) — квазипуассоновский поток с параметрами (а, Ф(г)); а и v(t) независимы, a(s)=Mexp(—sa). Показать, что
Mzv(a) = a (а — аФ (z)).
Задача 5. Пусть v(t) — квазирекуррентный поток, определяемый функциями (Л(/), Ф(2)), A(t) =P(a</), (D(z)=MzL, сл.в. р имеет показательное распределение с параметром Ь; р и v(0 независимы. Показать, что
M2v(0) = __1	---
1 — Ф (z) a (b)
§ 4. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
Ниже приводятся, в основном без доказательства, факты теории случайных процессов наиболее широко применяемые при исследовании СМО. Выделены процессы восстановления, регенерирующие процессы, марковские процессы и цепи Маркова.
1. Процессы восстановления.
1.1. Рассмотрим систему с отказами, в которой {zn, п>1} — последовательность времен безотказной работы системы. Вышедший из строя элемент заменяется мгновенно. Случайная последовательность {zn, п>1} задает поток отказов (или поток восстановлений) системы. Случайный процесс v(/), задающий этот поток, называют процессом восстановления. Как всегда, v(t) — число восстановлений элементов до момента времени t.
Обычно и всюду ниже рассматриваются рекуррентные процессы (потоки) восстановления с запаздыванием, задаваемые функциями
Л1 (/) = P(zi</), А (/) = Р(а</), zn~a, п>2,
{zn, п>1} независимы в совокупности. Кроме того, считаем, что для всех й>1 P(Z£ = O)<1.
Легко показать, что для рекуррентного процесса восстановления с запаздыванием существует такое число ©о>О, что для каждого Mexp(0v(/))<oo. Отсюда следует, в частности, существование конечных моментов всех порядков.
1.2. Функцию Н1 (/) = Mv (/) называют функцией восстановления.
С рекуррентным процессом восстановления с запаздыванием v(/), задаваемым функциями Л1(/) и Л(/), естественным образом связан рассматриваемый параллельно рекуррентный, процесс восстановления ц(/), задаваемый функцией A(t). Соот-
31
ветствующую функцию восстановления обозначим //(/) = k
= Mp.(f). Если обозначить через /0 = 0, tk — J? zn,	мо-
n=l
менты восстановления, Ak(x) = P(tk<x), £>1, то функция восстановления обладает свойствами
1. Н^)=^ л*(')-
2 (уравнения восстановления).
а)	//1(/)=Л1(/)+//1 *Д(0,
б)	H(t)=A(t)+H *A(t),
в)	//1(/)=Л1 (/)+// *Л1(0.
Для ПЛС функции восстановления из них следуют соотношения
hAs) = _^L_ „ ft(s) = _^_.
1V 1—a(s)	'	1— a(s)
1.3.	Элементарная теорема восстановления.
Теорема 1. Для рекуррентного процесса восстановления с запаздыванием
1 • (О
lim ----- = а, t
где a-1 = Ma, zk—а, &>2, причем если Ма= + оо, полагаем а = 0.
1.4.	Теорема Блекуэлла.
Определение 1. Точка х называется точкой роста ф. р. Д(/), если для любых а и Ь, таких, что а<х<Ь, справедливо неравенство А(Ь)>А(а).
Определение 2. Пусть X — множество точек роста ф. р. A(t). Функцию распределения A(t) называют арифметической, если существует такое число у>0, что для любой точки х^Х найдется такое целое п, что х = пу.
Теорема 2. Если А — неарифметическая ф. р., то для любого h при t-^oo
H(t + h)— H(t)-+ah,	a-1 = Ma.
1.5.	Узловая теорема восстановления.
Теорема 3. Пусть Q(t) — непосредственно интегрируемая по Риману функция на [0, оо).
а)	. Если A(t) — неарифметическая ф.р., то
lim Q * Нг (/) = a f Q (и) du.
б)	. Если A(t) — арифметическая ф.р., то
lim I Q * Н. (t) —ah\\Q (nh + I — | h\ I = 0. L	\ I n j ) j
n^O
32
Замечание. Определение непосредственно интегрируемой по Риману функции на [0, оо) см. в Приложении § 2.
2.	Регенерирующие процессы.
2.1.	При исследовании СМО многие характеристики можно представить через регенерирующие процессы. Центральное место в теории регенерирующих процессов занимает предельная теорема.
Определение 3. Циклом длины z называется пара (г, £(/)), где z — неотрицательная случайная величина, {Ш, ^[0, Z]} — случайный процесс со значениями в измеримом пространстве (X, В).
Определение 4. Случайный процесс {£(/), /ее [0, оо)} со значениями в (X, В) называется регенерирующим с моментами (точками) регенерации	, если существует такая
последовательность независимых циклов {(z&, £*(0), /?>1}, для которой выполнены условия: 1) zk = tk~- tk-\,	/о=О;
2)	P(z, = 0)<l, Р(г/е<оо) = 1;
3)	все циклы, начиная со второго, стохастически эквивалентны;
4)	l(t) — ^-i), если	tk)f й>1.
Замечание. Отметим, что последовательность {zk, £>1} образует рекуррентный процесс восстановления с запаздыванием, задаваемый функциями
Л1(/) = Р(г1</), Л(/) = Р(а</),	£>2.
2.2.	Для теории регенерирующих процессов центральный вопрос — найти условие существования предела
limP(g(/)GEB), ВеВ,	(1)
t~>oo
и вычислить его значение.
Предельное распределение при определенных условиях удается вычислить через соответствующее распределение на отдельном цикле регенерации. Обозначим
2.3.	Предельная теорема для регенерирующих процессов. Существование предела (1) связано с выполнением одного из условий:
У1) функция цв(0 интегрируема на любом конечном интервале;
У2) существует такой номер /г, что An(t) — функция распределения случайной величины tn = Zi + ...-\-zn — абсолютно непрерывна.
Теорема 4. Если A(t) — неарифметическая ф.р., и выполнено одно из условий У1 или У2, то для регенерирующего процесса %(t)
lim Р (g (/) €Е В) а ; Щ) да, а~} ~ Ma, zk— a, k Э2.
2 В Ф Матвеев, В Г Ушаков
33
2.4.	Примеры применения предельной теоремы для регенерирующих процессов.
Пример 1. Рассмотрим процесс восстановления v(0, за-
даваемый не арифметический ф. р. Л (0- Пусть tn = J? zk, zk^ar k=\
моменты восстановлений. Рассмотрим длины интервалов £(/), начинающихся с произвольно взятого момента времени t до ближайшего последующего момента восстановления, и л(0, начинающихся с момента восстановления, непосредственно предшествовавшего моменту времени /, и заканчивающихся в момент t. Найдем стационарное распределение этих процессов.
Замечание. Наш пример можно интерпретировать как модель движения автобуса мимо остановки. Тогда £(/) — время ожидания автобуса в момент Z, т](/) — время отсутствия автобуса относительно момента времени t.
Решение. Легко проверить, что £(/) и т](/) — регенерирующие процессы. Покажем, что
Игл PQ (/) < х) = lim Р (п (/)< х) = а С [1 —A(u)]du, агх = Ма*
/-►ОО	/-♦>00	J
Действительно, для процесса £(/)
у,(и) = Р(£(и) <х, 2\>и) =P(u<Z\<u+x) = =Л (х + и)—А (« + 0).
Условия теоремы 4 выполнены и
lim P(g(Z) < /-►оо
х) = a J [Л’(х + и) — А (и'+ 0)] du = и
= a J [I —Л (и)] du. о
Для процесса л (О
у (и) = Р (л (и) < х, zr>u) = Р (и < х, гг>и) =
( 1 —А (и + 0), и< х, (О,	и > х.
Условия теоремы также легко проверяются, поэтому lim Р (л (/) < х) = a f [1 —А (и)] du.
Пример 2 (продолжение). Предположим, что независимо' от процесса восстановления рассматривается пуассоновский поток Х(Ь, t). Рассмотрим процесс Л(Ь, л(0)- Требуется определить распределение этого процесса при М-оо.
34
Замечание. Если интерпретировать Х(&, t) как поток пассажиров и предположить, что прибывающий автобус вмещает всех пассажиров, то Х(&, т](/)) — количество пассажиров, собравшихся на остановке к моменту времени t.
Решение. В данном случае процесс Х(Ь, л(0) — регенерирующий,
Ш («) = Р(Ь (&- и) =k> ^>u)= <^Ъи^~ [1 —Л («)].
Условия теоремы 4 выполнены, поэтому
00
pk = lim Р (X (b, т] (/)) = k) = a f e_fcu [I — A (u)] du.
t-+*>	J	kl
0
3.	Марковские процессы.
Определение 5. Марковским процессом называется случайный процесс X(t), feTczR, со значениями из измеримого пространства (Е, В), удовлетворяющий марковскому свойству, т. е. для каждого набора Л<^2<-..<^ж<— моментов времени из Г и любого множества ВеВ
P(<+1)eB|X(6),..., X(tn)) = P(X(tn+i)t=B\X(tn)).
Примером марковского процесса служит случайный процесс {Х(а, /), ^>0} пуассоновского потока событий, который называют пуассоновским процессом. Марковское свойство этого процесса легко проверяется с учетом основного свойства показательного распределения. Специальный класс марковских процессов — процессы гибели и размножения — рассматривается в гл. 1, § 1.
Марковский процесс X(t), t^l\ у которого Тс={1, 2, ...}, называют цепью Маркова. То же название связывают с марковским процессом с не более чем счетным множеством значений. Такие цепи Маркова рассматриваются в п. 4 настоящего параграфа.
При исследовании СМО, когда характеристики системы не описываются марковским процессом, вводят дополнительные компоненты, чтобы сделать получаемый векторный случайный процесс марковским.
4.	Цепи Маркова. Приведем некоторые понятия и факты теории цепей Маркова. Будем рассматривать однородные цепи Маркова X(t), t^T, с множеством состояний Е = {0, 1, 2, ...} и либо дискретным, Т = {1, 2, ...}, либо непрерывным Т = [0, оо) временем. Для описания цепей Маркова особую роль играет набор Pkn — вероятностей перехода из состояния k в состояние п за время, t. Они удовлетворяют уравнению Колмогорова—Чепмена
Р^3 = £ Р{пР3пт.
п~^0
2*
35
Важным понятием является стационарное распределение л=(ло, Л], ...), л^>0, /е>0, nk = 1, которое по определению /г^О
для всех /г>0 и t^T удовлетворяет соотношениям
я^Р}т.
/г^О
Цепь Маркова называется эргодической, если для всех состояний k
lim P*kn — л/2, п 0. f ->оо
Мы будем рассматривать обычно неразложимые (неприводимые) цепи Маркова, т. е. такие, у которых для любой пары состояний k и п существует t<^T, такое, что Pknl>0-
Цепь Маркова называется сжимающей, если для каждой пары состояний k и п существует состояние т и время такие, что Pkrn>0 и РПгп>0.
Для неразложимых цепей Маркова с дискретным временем это понятие эквивалентно непериодичности цепи.
Однородная сжимающая цепь Маркова с конечным множеством состояний всегда эргодическая. Если цепь Маркова сжимающая, то для любых состояний k и п существует предел lim Pkn- Если кроме сжимаемости цепь неразложима и имеет стационарное распределение, то она эргодическая и lim Р[п = t-*OO
=	> 0 для всех k и п из Е. Если у сжимающей цепи Марко-
ва не существует стационарного распределения, то для всех пар состояний k и п lim Pkn = 0.
/-►оо
При исследовании СМО часто необходимо выяснить условия существования стационарного распределения. При этом бывает полезной теорема (приводимая ниже без доказательства), содержащая достаточные условия существования стационарного распределения цепей Маркова.
Теорема 5. Для того чтобы однородная неразложимая сжимающая цепь Маркова имела стационарное распределение, достаточно существования s^T, конечного множества Еос=Ел действительного числа 8>0 и набора неотрицательных чисел Хо, *1, ..., таких, что
Рo'Xj /^о
PSijXj < 4- оо, i е Eu.
1	/>о
5.	Задачи.
36
Задача 1. Найти функцию восстановления, если at
а)	Л (0 = J ue~adu\ о
б)	A(t) = р(1 — е~а^ + ?(1 — р + q = 1.
Задача 2. Поток автобусов на остановку — рекуррентный, определяемый ф. р. Д(/), поток пассажиров — квазипуас-соновский с параметрами (&, Ф(г)), L(t) — число пассажиров на остановке в момент времени t. Показать, что
lim =
/-►оо	г?(1 — Ф(г))Ма
Задача 3. Периоды работы некоторого устройства чередуются с периодами его восстановления и образуют независимые рекуррентные процессы восстановления, определяемые функциями распределения Л(/) и &(/) соответственно. Предположим, что A(t) и В (/) — неарифметические ф. р. Найти стационарную вероятность того, что устройство находится в рабочем состоянии.
§ 5.	ФОРМУЛА ЛИТТЛА
1.	Вывод формулы Литтла. Для СМО достаточно общего вида будем рассматривать усредненные f характеристики и попытаемся установить для стационарного режима зависимость между интенсивностью входящего потока, временем пребывания в системе одного требования и количеством требований, находящихся в системе.
1.1.	Введем обозначения:
v(0 — входящий поток требований;
p(Z)—поток требований, покидающих СМО;
L(/)=v(0—ц(/) — число требований, находящихся в СМО в момент времени /,
— оценка интенсивности входящего потока на интервале (0, t).
1.2.	Оценим время пребывания в СМО отдельного требования. Для каждого фиксированного требования а определим
— количество времени, проведенного им в СМО на интервале (0, /), тогда yz =	— суммарное количество времени,
а
проведенного в СМО на интервале (0, t) требованиями, поступившими в систему на этом интервале.
Заметим, что, зная траектории процессов и p(Z), можно вычислить реализацию у* по формуле
t у* = L (и) du.
6
Теперь можно получить V* = yVv(0 — оценку среднего количества времени, проведенного в СМО на интервале (0, /) некото
37
рым требованием, поступившим в систему на этом интервале.
1.3.	Оценку среднего числа требований, находившихся в СМО на интервале (0, t), можно также получить через величи-ну	t
L‘ - yt/f г1 J L (u) du.
О
1.4.	Предположим, что существуют пределы
1-	/ г *(0
lim af = lim—— = a, t
lim U = lim—I L (u) du = L, тогда существует и предел Z->QC	f->QO t J
0
lim V7 = lim y . = V, f-oo	v(/)
причем из и = а1У{ следует L = aV (формула Литтла).
Замечание. Последнее соотношение показывает, что в стационарном режиме среднее число требований, находящихся в СМО, равно произведению интенсивности входящего потока на среднее время пребывания в системе одного требования.
2.	Аналоги формулы Литтла. Аналогично доказываются формулы:
a) N = aW,
где N — средняя длина очереди, W — среднее время ожидания в очереди;
б)М = аВ,
где М — среднее число работающих приборов, В — среднее время обслуживания одного требования на одном приборе.
§ 6.	СТАТИСТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СМО
1.	Существо статистического моделирования.
1.1.	Анализ реальной системы может основываться на результатах натурных экспериментов или исследованиях моделей рассматриваемой системы. Следует различать физические и математические модели, а также моделирующие алгоритмы для имитационного (статистического, машинного) моделирования на ЭВМ.
В этой книге СМО, как математические модели реальных систем, исследуются аналитическими методами теории вероятностей. Как правило, основные задачи сводятся к рассмотрению соответствующих случайных процессов и определению их свойств, распределений или числовых характеристик.
В ходе машинного моделирования для конкретных наборов параметров имитируются траектории случайных процессов, точнее их значения в некоторых точках. По реализациям траекторий статистическими методами оцениваются значения искомых характеристик.
38
1.2.	Статистическое моделирование реальной системы включает в себя: формулировку задачи исследования, выбор или построение ' модели (обычно выбирают некоторую математическую модель и для нее строят моделирующий алгоритм), составление плана имитационного эксперимента, непосредственное моделирование функционирования системы (имитацию), обработку результатов моделирования, их анализ и интерпретацию.
Конкретная задача исследования, как правило, требует моделирования семейства СМО или некоторого неопределенного заранее представителя этого семейства. В связи с этим важными и не всегда простыми становятся вопросы выбора модели.
Остановимся на проблемах, связанных с моделированием конкретной системы обслуживания.
2.	Унифицированная модель конкретной СМО.
2.1.	Для произвольной СМО можно дать унифицированное описание, удобное для построения моделирующего алгоритма. При этом учитывается следующая особенность систем обслуживания. Траектории случайных процессов, описывающих изменения значений характеристик системы, — кусочно-линейные, т. е. на конечных интервалах времени некоторые характеристики не меняют своих значений, другие же изменяются пропорционально течению времени. В моменты времени, соответствующие концам этих интервалов (поступление в систему или окончание обслуживания требования и т. п.), характеристики могут скачком изменить свое значение.
2.2.	В связи с этим будем считать, что СМО состоит из некоторого набора элементов {Л^; £>1} (Элементы могут представлять источник требований, конкретные требования, очередь, прибор обслуживания и т. п.) Элемент Ak в каждый момент времени находится в некотором состоянии еь из заданного набора состояний. Причем все состояния делятся на активные и пассивные (так, например, для прибора: обслуживание — активное состояние, ожидание поступления в свободную систему требования — пассивное состояние). Состояние системы характеризуется набором состояний элементов. Каждое состояние ek описывается набором характеристик Xk = {х*/; ^0}, которые принимают для данного состояния некоторое фиксированное значение, либо линейно изменяются с течением времени. У активных состояний имеются активные характеристики, которые с течением времени линейно изменяют свои значения до некоторой фиксированной величины — границы, достижение которой может вызвать изменение состояния элемента и системы в целом.
Каждая активная характеристика определяет момент времени, когда она может достичь границы. Оставшееся время до ближайшего достижения границы одной из активных характеристик состояния 6k задает остаточное время активного состояния и приписывается характеристике У пассивных состояний значение хы> полагается равным бесконечности (при ма
39
шинном представлении — наибольшим представимым в машине числом), A = min{xfe0; &>1} определяет остаточное время эволюции системы, по истечении которого возможны изменения состояний элементов, изменения скачком их характеристик и сам набор характеристик.
3.	Моделирующий алгоритм.
3.1.	Моделирующий алгоритм СМО представляется программой ЭВМ, и его схему можно представить в виде выполнения следующих этапов.
Этап 1. Фиксация начального состояния системы.
Этап 2. Определение шага моделирования. Иногда шаг моделирования фиксирован, как один из параметров системы. Более эффективно за шаг моделирования брать остаточное время эволюции системы.
Этап 3. Определение нового состояния СМО по истечении времени ее эволюции. Изменения состояний элементов определяются исходя из свойств конкретной СМО. При этом для некоторых элементов бывает необходимо генерировать значение активной характеристики, как значение случайной величины с заданным законом распределения, при помощи датчика псевдослучайных чисел.
Этап 4. Промежуточная обработка данных. На каждом шагу моделирования мы определяем значения характеристик (траекторий) СМО. Сохранение всех этих значений до конца моделирования нецелесообразно. Поэтому с учетом предстоящей статистической обработки данных моделирования выполняются промежуточные вычисления.
Этап 5. Проверка условий окончания имитации. В качестве критериев принимают либо достижение заданного времени моделирования, либо обслуживание определенного числа требований, либо достижение фиксированной точности. Если моделирование не закончено, следует перейти к этапу 2.
Этап 6. Статистическая обработка данных. Представление результатов моделирования.
3.2.	Составление программы моделирующего алгоритма трудоемко и существенно влияет на эффективность моделирования задачей. Помогают ее решать специальные языки моделирования SIMULA, G^SS и др., накапливаемое проверенное программное обеспечение, современные диалоговые системы программирования.
4.	Адекватность, точность, эффективность.
4.1.	При моделировании всегда стоит проблема проверки адекватности модели реальной системе. В нашем случае следует принимать во внимание еще следующие факторы:
моделирующий алгоритм строится часто по математической модели, а не по реальной системе;
параметры СМО, как правило, либо оцениваются, либо выбираются произвольным образом из возможного множества значений;
40
датчики псевдослучайных чисел не обеспечивают независимости значений серий, строгого соответствия заданным законам распределения.
4.2.	Стандартные методы статистической обработки данных, как правило, предполагают их независимость и во многих случаях специальный вид распределения (гауссовский). При имитации СМО значения характеристик, получаемые на каждом шаге моделирования, этим свойством не обладают. Это может приводить к значительным ошибкам получаемых оценок. В связи с этим необходимо предпринимать специальные меры. Один из подходов — интервальное моделирование на интервалах регенерации или достаточно больших временных отрезках, что позволяет принимать получаемые данные как независимые. При сравнении значений характеристик при разных параметрах рекомендуют брать совпадающие серии псевдослучайных чисел, чтобы на разность не накладывались ошибки генерируемых чисел. Следует отметить, что обоснование этой рекомендации имеет умозрительный, эвристический характер.
4.3.	Эффективность имитационного моделирования зависит от взвешенного обоснованного выполнения всех этапов моделирования, начиная с определения набора оцениваемых характеристик и выбора модели и кончая интерпретацией результатов моделирования.
Повышению эффективности исследования реальных систем, в том числе сложных СМО, должно способствовать сочетание аналитических методов исследования их математических моделей с оценкой отдельных характеристик имитационным моделированием и обоснованием их точности на основе результатов, полученных аналитическими методами.
Литература: [1, 7, 8, 9, 11, 12, 17, 21].
Глава 1. Марковские СМО
Марковские системы массового обслуживания — наиболее простой и полно изученный класс СМО. Методы анализа таких систем основаны на марковском свойстве основных случайных процессов, характеризующих СМО. Это позволяет использовать хорошо развитый математический аппарат исследования марковских процессов с дискретным фазовым пространством.
Несмотря на то что в настоящее время разработаны методы и довольно полно изучены классы СМО, значительно более общие, чем класс марковских СМО, отдельное изучение последних имеет важное значение. Это объясняется, с одной стороны, тем, что некоторые методы и приемы исследования марковских систем оказываются применимыми (в модифицированном виде) к более общим системам и, с другой стороны — простотой и наглядностью формул, выражающих характеристики системы через ее параметры. Это позволяет глубже понять качественное поведение процессов обслуживания, оценить влияние изменения параметров системы на интересующие нас характеристики.
Обычно класс марковских СМО выделяется указанием тех случайных процессов, характеризующих функционирование системы, которые должны быть марковскими. Мы будем называть марковскими те СМО, в которых процесс L(t) — число требований в системе в момент t (или в случае неоднородных требований L(/) = (Li(Z), ..., Ln(0), ^’(0 — число требований Z-го типа в системе в момент t) — является марковским процессом.
В первом параграфе данной главы изучается класс марковских процессов гибели и размножения, с помощью которого можно изучить многие марковские СМО.
Во втором параграфе рассматриваются марковские СМО, в которых процесс L(t) представляет собой некоторое обобщение процессов гибели и размножения.
Третий параграф посвящен изложению метода этапов Эрланга в применении к системам 2И|£'^| 1 |оо и Ek\M111 оо.
§ 1. ПРОЦЕССЫ ГИБЕЛИ И РАЗМНОЖЕНИЯ
1. Определения и обозначения. Процесс L(/) — число требований в системе в момент времени t — во многих марковских СМО является частным случаем изучаемого ниже так называемого процесса гибели и размножения. В литературе даются различные определения этого процесса. Мы будем использовать следующее
Определение. Случайный процесс {v(/), t>0} называется процессом гибели и размножения, если:
42
1)	множество его значений содержится в множестве целых неотрицательных чисел /={0, 1, 2,
2)	время пребывания в состоянии i^I подчинено показательному распределению 1—е~ачх с параметром а/>0, не зависящим от траектории процесса до попадания в это состояние;
3)	из состояния teZ, г>1, процесс переходит в состояния г+1 и i—1 с вероятностями pi и qi = \—Pi. В состоянии 0 процесс остается с вероятностью ?о и с вероятностью ро переходит в состояние 1 (мы будем рассматривать в дальнейшем два крайних случая ро=1, ?о = О и ро = 0, <7о=1)-
Очевидно, v(0 является однородным марковским процессом со счетным множеством состояний (однородной цепью Маркова с непрерывным временем).
Положим
рк (0 = Р (V (0 = k), pk (s) = J е~«Рк (t) dt,
0
ai = aipi> bi = (uqi9
2.	Основные свойства процессов гибели и размножения.
Теорема 1. Пусть po=h 0<р/<1 для всех
а)	Функции Pk(t) удовлетворяют системе дифференциальных уравнений
Po'(O=-aoPo(O+&iPi(O>
Pk (t) —ak-iPk-i (0 — (cLk + bk) Pk(t) +bk+iPk+i (0,	1.
б)	Пусть начальное состояние процесса v(t) задается распределением вероятностей
P40)=P(v(0W)=<p*.
Тогда при Res>0 функции Pk(s) удовлетворяют системе линейных уравнений
spQ ($) —фо = — aQpQ (s) + &1Р1 (s),
spk ($) — Ф* = ak-ipk-\ ($) — (ak + bk)pk (s) + bk+ipk+i ($), k> 1.
в)	Для любого существуют пределы
lim Pk(t) t-+oo
не зависящие от начального состояния процесса v(t), причем 00
если ряд £ Рй расходится, то n* = 0 для всех в протйв-k=0
оо
ном случае л*>0 для всех &>(),	=	Здесь
k—0
Ро= 1,
43
Теорема 2. Пусть множество состояний процесса v(t) совпадает с множеством {0, 1, 2, ... п} и pof=l, 0<pt-<l при Icfcn—1, рп = 0-
а)	Функции Pk(t) удовлетворяют системе дифференциальных уравнений
P^t)=-a.PQ(t)+bxP^t^
Pk (t) =ak-\Pk-i (0 — (ak + bk) Pk(t) +bk+iPk+i (/), Ic/ecn—1,
Pn'(t) = an_xPn—i (t) — bnPn (0 •
б)	Если начальное состояние процесса v(t) задается распределением
<p/2 = P(v(O) = &), k = 0, n, то при Res>0 функции Pk(s) определяются из системы линейных уравнений
sp0 ($) — фо = — аоро (s) + &ipi (s), spk(s) — Wk = ak-ipk-i(s) — (ak + bk)pk(s) + + bk+ipk+i (s),	1 cUn-1,
spn (s) — фп = an-\pn-\ (s) —bnpn (s).
в)	Для любого	существует
=ju>0, Z->oo
причем n
ni = noP/> no = P/j , /=° где
p0 = l, p/=Al-aM 01 • •• 0/ Теорема 3. а) Пусть po=0, 0<р/<1, i>l, тогда функции Pk(t) удовлетворяют системе дифференциальных уравнений
Ро'(t)=b\P\(t),
Pi'(t)=-(ai + bi)Pi(t).+ b2P2(t),
Рь (0 — Uk-\Pk-i (0 — (ak + bk) Pk(t) +bk+\Pk+i (J), ^>2, а функции Pk(s) при Res>0 — системе линейных уравнений sp0(s) — (pQ=blpl(s), spi (s) — <P1 = — (ai + bl )pi (s) + b2p2 (s), spk (s) — <p* = a*-ipft-i (s) — (ak + bk)pk (s) + bk+ipk+\ (s), й>2, где <j>, = P(v(O) =t).
б) Пусть множеством состояний процесса v(t) является множество целых неотрицательных чисел {О, 1, 2, п} и ро—
44
= О, 0<рг<1 при Icfcn—1, рл = 0, тогда функции Pk(t) удовлетворяют системе дифференциальных уравнений
Pq (t) =b\P\(t),
P1/(/)=-(a1 + fe1)P1(/)+fe2P2(O,
Pk (t) = ak-\Pk-\ (t) — (ak + bk) Pk(t) +bk+\Pk+\ (O> 2<£<n—1,
P n (0 = ^n—\Pn—\ (t) bnPn(t) , а функции Pk(s) при Res>0 — системе линейных уравнений spo(s) — <po = ^ipi(s),
spi(s) — <pi = — (ai + Z?i)pi(s) + b2p2(s), spk(s) — (pk = ak-ipk-i(s) — (ak + bk)pk(s) + + bk+\Pk+\ (-s), 2^k^n—1, spn (s) — <pn = an-\Pn-i (5) — bnpn (s), где q)i = P(v(O) =f), i = O,n.
Замечание. В условиях теоремы 3 состояние 0 является поглощающим. При <ро = О функция biPi(t) представляет собой плотность распределения интервала времени до попадания в поглощающее состояние. При изучении систем обслуживания, описываемых процессами гибели и размножения, эта теорема дает возможность определить характеристики периода занятости.
Доказательство теоремы 1. а). Рассмотрим изменения состояний случайного процесса v(Z) в интервале (/, /+Д), А> >0, имеем при А->0
PQ(t+b)=PQ(t) [1—а0А] + Pi(/)M + o(A),	(1)
Pk(t+b)=Pk(t) [1-(^ + ^)А] +
+ Pfc-1	+	(0 Ь/г+1А + о(А),	(2)
где о(А)/Д->0 при А->0.
Докажем, например, соотношение (2). Положим Pz/(^,A)=P(v(^ + A)=/7v(/)=f).
Тогда по формуле полной вероятности
Pk (t + А) = Pk (0 Pkk (t, A) + Pk-x (0 Pk-x k (t, A) +
“b Pk+i (f) Pk+ik (ЛД)+	£ РДОР/ИЛА).
j&k-l, k, k+\
Найдем условные вероятности, входящие в правую часть последнего соотношения.
1. Так как изменения состояний процесса гибели и размножения происходят единичными скачками, а время пребывания в каждом состоянии имеет показательное распределение, то при \k—/| >1 Pjk(t, Д)=о(Д) при А->0.
45
2. Из свойств 2) и 3) процессов гибели и размножения и свойства отсутствия последействия показательного распределения
Pkk (t, Д) =	4- о (Д) = 1 - айД + о (Д) = 1 - (ak+bk) Д+о (Д)>
Pk-ik V, Д) = Pk-i (1 - е“а*-1д) + о (Д) = а^А + о (А),
Рц-n (t, Д) = <7Ж (1 - е-“Ч-1д) + о (Д) = Ь^А + о (Д).
Таким образом, соотношение (2) доказано. Из (2) имеем
Pk(t+&)-Pk(t) д
— ak-i?k-i (О — (ak + bk) Pk (?) +
+ WW0 + ^-.	(3>
Соотношение (3) справедливо для любых f>0, Д>0. Полагая t=x—Д, получаем
Pfe(T)-yT-A)- = а^Р^ (т - Д) - (ak+bk) Pk (т - Д)+
+	н-1 (г А) Н—
или, полагая Д=—h,
Pk(t+h)-Pk(r) = ак1Рк1 {x + h)_ {ак + Pk (т + Л) + п
+ (4>
Последнее соотношение справедливо при т>0, Л<0, т+/г>0. Так как Pk(t) ограничены при любых и (Рл(0 — вероятность), из (3) и (4) следуют непрерывность и дифференцируемость функций Pj(t) ПРИ ^>0 и существование правосторонней производной Pi(t) в точке i=0. Переходя к пределу при Д—>0, Л—>0 в (3) и (4), имеем
Р/(0 —cik-iPk-i (0 — (cik+bk) Pk(t) + bk+iPл+i (0•	(5)
Из (1) находим
P0'(i)=-a0P0(t)+blPl(t).	(6)
б). Система линейных уравнений для определения P/(s) получается из доказанной системы дифференциальных уравнений для Pj(t) с помощью равенств
Je^P'ttydt^spj^-P^Q),
о
справедливых при Res>0.
46
в). Цепь Маркова v(/) является сжимающей и неразложимой. Действительно, в силу определения v(t) Pij{>0 при всех i, j и t>0
(Pl7 = P(v(0==/|v(0)=i)).
В силу теоремы 4.5 Введения отсюда следует существование пределов
lim Pk(t) = t-+OO
причем в силу неразложимости цепи возможен только один из двух случаев
1) л^ = 0 для всех &>0; оо
2)	> 0, JT nk = 1 и {jtfc, & > 0} является единственным
/2=0
стационарным распределением.
Из существования пределов limP^(Z) и из (5), (6) следуют существование	и равномерная ограниченность
Pk'(t) по t Отсюда следует, что limP/(/)=0. Переходя в (5) /->о и (6) к пределу при Л->оо, получаем
—йк)Ло + & i Д1 = 0,
+ bk) Я/t + ьJTjfe+i = 0,	1.
Полагая xk = ak-\itk-\— bkftk, &>1, имеем
*1 = 0, xk — Xfc+i=0, &>1.
Отсюда %ai = 0 для всех Следовательно,
CLk-l^lk-l — bkitk = Q, т. е. ak-i —	7 ^k-i — 9k' о•
bk co	co
Отсюда следует, что если nk = 1, то JT p* < oo. /2=0	k=0
Для доказательства теоремы осталось показать, что из схо-оо	оо
димости ряда £ следует nk = 1. k—Q	k=Q
Процесс v(0 является регенерирующим, моментами регенерации служат моменты попадания в состояние 0.
Пусть g — длительность периода регенерации, g*, &>!, — длительность интервала времени до момента первого попадания процесса в состояние 0, если в начале интервала он находился в состоянии k\
4(x)=P(g<x), /b(x)=P(g*<x).
47
Из определения процесса v(Z) имеем
Л (х) = j Лх (х — и) aQe-a°udu,	(7)
о
Лх (х) =р± J Л2 (х — и) ^r^du + qY (1 —	(8)
о
Дь (%) = Pk J ^/г+i (-^ a*k е	du^+
о
+ qk J А-1 (к — и) ak<r'v du, £ > 2.	(9)
О
Так как g (и g&) — неотрицательная случайная величина, то либо Mg<oo, либо Mg = + oo. Из (7) —(9) получаем
Mg = Mg1 + a0~1,
Mgi = PiMg2 + ai-1,
Mg^ =	+ а*-1, &>2.
Отсюда
Pk-
k=l
Поэтому из сходимости ряда J? pk следует конечность Mg.
k=0
Таким образом, § — собственная сл.в. Из (7) следует, что Л(х) — абсолютно непрерывная ф.р. (и, следовательно, неарифметическая). Таким образом, из теоремы 4.4 Введения следует существование
lim Р (v (/) = /г) = [Mg]-1 Г щ (х) dx > О, i -* оо	J
о
где ^(х)=р(¥(х)=£, g>x/v(0) =0).
Теорема доказана. И
Доказательство утверждений теорем 2 и 3 составляет содержание задачи 1.
3. Примеры систем обслуживания, описываемых процессами гибели и размножения.
Пример 1. Система Л1|Л1| 11 оо. Пусть а — интенсивность входящего потока, В(х) = 1—е~Ьх — ф.р. длительности обслу- t живания.
Для рассматриваемой СМО мы
а)	покажем, что процесс L(t) — число требований в системе в момент t — является процессом гибели и размножения, найдем его параметры и стационарное распределение;
48
б)	используя пункт б) теоремы 1, найдем распределение L(t) в произвольный момент времени
в)	используя теорему 3, найдем распределение периода занятости;
г)	покажем, как, зная распределение L(t), можно найти распределение виртуального времени ожидания.
а)	. Покажем, что L(t) является процессом гибели и размножения, и найдем значения параметров а/, pi, qt.
Пусть в момент t система стала свободной (т. е. L(t) равным нулю). Изменение состояния процесса L(t) в этом случае произойдет, когда поступит очередное требование. Так как интервалы времени между поступлениями требований имеют показательное распределение 1— е~ах, то время пребывания процесса L(t) в состоянии 0 имеет показательное распределение 1—е~ах, после чего он переходит в состояние 1. Отсюда ао = а, Ро= 1.
Пусть теперь в момент t процесс попал в состояние k, 6>1. В этом случае изменение состояния процесса произойдет когда или поступит еще одно требование, или требование, находящееся на приборе, закончит обслуживание (одновременное осуществление этих событий имеет вероятность 0). Пусть g/ — время до поступления очередного требования, тр — время до окончания обслуживания требования, находящегося на приборе. Тогда g/ и тр независимы и имеют показательные распределения 1—е~ах и 1—е~Ьх соответственно. Время до изменения состояния процесса равно min(gf, тр) и, следовательно, имеет показательное распределение 1—е~^а+ь^х. После истечения времени min(gf, тр) значение процесса будет равным 6+1 или k—1, в зависимости от того g/<Tp, или %t>v]t (как уже отмечалось Р(^ = т)0 =0)- Найдем
P(min(g6 r]t)<x, ^<тр) и P(min(g6 тр)<х, g/>T]f): P(min(g/, тр) <x, gf<rp) = P(gf<x, =
= J P (П/ > u) d (1 — e~au) = о
x
= J e~bud (1— e~au) = —(1 —	.
о	L
Аналогично
P (min (£,, T}<) < x, h > nz) = -7- (1 — e_<a+6>x).
Отсюда вытекает, что L(/) является процессом гибели и размножения, определяемым параметрами
ао = а, р0 = 1,
ak = а 4- b, pk =
а а-\-Ь
Ь Д 1 a+b
49
и, следовательно, ak = a, fe>0, bk = b, k>A.	<
Используя теорему 1, находим, что стационарное распреде- < ние существует при а/&<1 и является геометрическим:
/1 а \ [ a \k , А Ла =	1---------- ,
\ Ъ ) \ Ъ )
б)	. Найдем другие характеристики рассматриваемой системы обслуживания. Пусть
оо
Pk (/) = Р (L (0 = k), pk (s) = [ e~stPk (0dt,
6
life — длительность периода занятости системы, начавшегося с k требований, т. е. промежутка времени, начинающегося с обслуживания одного из k требований, имеющихся в системе, и заканчивающегося, как только система освободится от требований,
Ги0=Р(Пй<0, ^(s) = Me-s4
W(t) — виртуальное время ожидания в момент /, т. е. время, которое ждало бы до начала обслуживания требование, если бы его поместили в систему в момент t (при нахождении этой характеристики считаем, что обслуживание требований происходит в том порядке, в котором они поступают в систему),
Г(х, t)=P(W(t)<x).
При определении Pk(t), Pk(s) и №(х, t) будем считать, что в начальный момент времени t = 0 система свободна, т. е. £(0)=0 с вероятностью 1. В данном случае уравнения для определения Pfe(s) из пункта б) теоремы 1 записываются в виде
spo(s) — 1 =— apQ(s) +&pi(s),
(Ю)
spk(s) =apk-i(s) — (a + b)pk(s), + bpk+\ (s), £>1.
oo	z
Положим p(z,s)=£ zkpk(s). Тогда из (10) получаем
k=0
p(z,s)=	•	(11)
sz—(1—z)(b—az)
Функция p(z, s) ограничена при \z\<1, Res>0. Но знаменатель в правой части (11) обращается в нуль при
def
= Yi (s)>
z =
a-±-b-\-s— V(a	-t- s)2j—bab
2a
причем |vi(s) |<1 при Res>0. Отсюда следует, что и числитель в (11) должен обращаться в нуль при z = yi(s). Следовательно, Vi (s)—Ь(1—Vi (s))po(s) =0, или
Ро («) =
Yi (s)
Ь (1 — Yi («)) ’
50
Отсюда
sz—(1—г) (ft—az)
Преобразуем выражение для p(z, s):
г—(1—г) Jjjw-
P(Z,S)_— '-><=> „ sz—(1—z)(b—az)
__________z—Vi(s)
(1 —Yi(s)) [sz—(1—z) (6—az)]	a( 1— y^s) )(y2(s)—z) ’
" 1
где
„ /<л _ a+b+s+/ (а-ЬЬ-И)2—4а6 Y2 __
2а
(yi(s) и уг($) — корни квадратного трехчлена в знаменателе выражения в правой части (11)). Разлагая 1/(72(«)—2) по степеням z, имеем
2
р (г, s) = [а (1 — Y1[(s)) у2 (s)]-1 V] Г —М*
L Y2(s) J fc=0
Отсюда
Ph(s) = [л(1— yi(s)) (уг(5))ft+1]-‘.
Так как yi(s) и уг(з) — корни уравнения sz—(1—z) (b—az) = = 0, то yi (s)T2(s) =bla. Следовательно, выражение для p*(s) можно переписать в виде (при этом учитываем, что lyi(s), 1<
ft(s,=^s^SIVi(s)I'
/=0
/=*+1
;=fe+l
Из последнего представления для pk(s) можно получить явные выражения для Pk(t)- Так как
1-1
2а
есть преобразование Лапласа функции
i	__
t-4t (2Vabt)
I
51
(Ii(z) — функция Бесселя первого рода:
Л (г)

/ Z \/+2^
\Т/
^!Г(/-гЛ+1)
получаем
Pk(t) =
Ц&УаЬ t).
в). Для нахождения функций Щ(/) и n^(s) будем считать состояние ,0 поглощающим. Тогда Щ представляет собой время до попадания в поглощающее состояние исходя из состояния k. В силу утверждения а) теоремы 3 и замечания к ней nAi(s) = = bpi(s) (отметим, что функции Pk(t) и p*(s), вводимые при изучении периода занятости, не те, что были раньше). Сейчас мы рассматриваем другой процесс гибели и размножения, а именно определяемый значениями ао = а, ро = О, а^ = а + &, pk = = a/(a + b), £>1), где функции pk(s) определяются из системы линейных уравнений
spi(s) = —(a + Z?)pi(s) + &p2(s),
(12)
spn(s) — 6n,k = apn-\ (s) — (a + b)pn(s) +bpn+i(s), n^2.
Положим
P (2, S) = J Znpn (S) . n=\
Тогда из (12) получаем
z[sz— (/—z) (b—az)]p(z, s)=zk — bpi(s),	(13)
Уравнение (относительно z) sz—(1—z) (b—az) =0 имеет корни z = yi(s) и г = у2(5), где yi(s) и y2(s) вводились при нахождении распределения сл.в. L(t). Так как |yi(s) |<1 при Res>0, а функция p(z, s) ограничена при |г| <1, из (13) находим bpi (s):
bpi($) = h>i («)]*= W«)4y2 ($)]“*•
Отсюда
nft(0=4v) e'(a+b>tl]/ y) kt-4k(^Vab t) =
IkWab t).
В частности, при k=l
Г h p—(a+b)t	-
П (0 = V — '	 hPVab t).
fat
52
г) Для нахождения ф. р. виртуального времени ожидания заметим, что
О , если L (t) = О,
W) =
k
£ , если L (/) = k,
S=1
где gi,— длительности обслуживания k требований, находящихся в системе в момент t. Таким образом,
со	k
W(x,t)=p0(t) +	(И)
6=1
где Ik независимы и одинаково распределены по показательному закону 1—е~Ьх, а функции Ph(t) соответствуют процессу гибели и размножения, введенному при изучении L(t). Положим
со* (%, s) = J e-st W (х, t) dt. о
Тогда из (14)
(Л (х, 8) = р0 (з) +£ pk (s) Р (£ &< х) . k=\	1=1
Но k	bx
Z=1	о
pk (s) = [«(1 — Yi (S)) (y2 (s))*+4 -1, 6 > 0.
Значит,
co* (x, s) = [a(1 —Yi (s)) Y2 («) ] -’ x oo	bx
X (1 + У] [Ys (s)P f ™ * e-u du [ ’=
= [a(1 — Y1 (s))Ys(s)]-1 1 + ~evl. .------- •
I	Y2(S)—1	)
Из (14) следует, что при a/b< \ существует
lim W(x, t) = W*(x), t-+oa
причем oo	bx
F’(x) = (1 — — V1 + V (—Г f  uk'1— e-“ du] = \	. ь ) I 4J \ b J J (k-1)! J
fe=l	о
53
1 а — (1 — -г-) х = 1------е v ь' .
ь
Пример 2. Система Л4|Л4|оо. Обозначим: а — интенсивность входящего потока, В(х) = 1—е~Ъх — ф. р. времени обслуживания на любом приборе. Длительности обслуживания требований — независимые в совокупности случайные величины.
В рассматриваемой системе обслуживания время ожидания любого требования равно нулю. Изучим случайный процесс L(t) — число требований в системе в момент времени t.
Покажем сначала, что L(t) является процессом гибели и размножения. Если процесс L(t) попал в состояние 0, то изменение его состояния произойдет с поступлением очередного требования, т. е. через случайное время с показательным распределением 1—Таким образом, время пребывания процесса в состоянии 0 — показательно распределенная с параметром а сл.в., после чего процесс переходит в состояние 1.
Если процесс L(t) в момент t попал в состояние k, то время до изменения его состояния можно найти следующим образом. Пусть g< — время до поступления очередного требования, тц(1), 'П^(2)> —»Ф(Л) — времена дообслуживания k требований, находящихся в системе. В силу свойства отсутствия последействия у показательного распределения и предположений относительно входящего потока и длительностей обслуживания, g* тц(1)> — ..., Tp<fe) независимы в совокупности и показательно распределены (gi с параметром а, с параметром Ь). Далее, gt = = min(gi, тц^, ..., причем если
g/<min(T]f(1),..., тц(А:)),
то по истечении времени & процесс перейдет в состояние й+1, а если gf>min('qi<1),..., Tp<fe>), то — в состояние k— 1. Так как
P(g,<x) = l-P(gf>x) =
= 1 — P(gf>x,	..., T]f(^)>x) =
k
= 1 — P (g, > x) П P (np > X) = 1 — i=l
И
P(gf<x, gf<min(r]/1),...,	=
=3 —— (1  £— (a+kb)x\ a+kb V
P(gf<x, gf>min(r]/1),..., T]f(fe))) =
= - kb (1 — е-(а+^)л)> kb~\~CL
то процесс L(t) является процессом гибели и размножения, 54
определяемым параметрами
ао = я, Ро — 1,
ak = а + kb, pk = —-—, qk =	> 1,
*	™ a+kb	a+kb
ak = a, k^O,	bk = kb, k^\.
Замечание. Один и тот же процесс гибели и размножения может описывать процесс L(t) в различных системах обслуживания. Например, полученный процесс возникает и при анализе длины очереди в системе Л1|Л1| 1 |оо, в которой интенсивность обслуживания Ьп зависит от числа требований в системе п следующим образом: bn = nb. Распределения L(t) в этих двух системах (М |Л4| оо и описанной системе Л4|Л4| 11 оо), очевидно, совпадают, чего нельзя сказать о распределениях других характеристик. Например, процессы виртуального времени ожидания существенно различны.
.Используя теорему 1, находим, что стационарное распределение процесса L(t)—ль — существует при а<оо, Ь<оо и является распределением Пуассона
nk = е-а>ь k^O. k	k\
Для нахождения Pk(t) изучим систему дифференциальных уравнений из пункта а) теоремы 1 в случае рассматриваемого процесса гибели и размножения, в котором она имеет вид
Po'(O=-^o(O+W>i(O,
Pk'(t)=aPk-l(t)-(a+kb)Pk(t) + (k+ \)bPk+i (t), Ы.
Положим
00
P(z,t) = £ zkPk(t).
Тогда
= (1-г) dt
-aP[(z,t)+bdP(2d’zt} у
(15)
Для решения этого дифференциального уравнения в частных производных первого порядка необходимо задать начальные и краевые условия. Будем считать, что в начальный момент времени система свободна, т. е. Ро(О) = 1, Рь(О)=О при &>1. Тогда P(z, 0) = 1. Далее, так как P(z, t) — производящая функция вероятностного распределения, то Р(1, /) = 1. Общее решение (15) записывается в виде
Р(г, 0 =ехр {(ajb)z}g((\—z)e~bt),
где g(u) — произвольная функция. При t = 0
P(z, 0) =exp{(a/b)z}g(l— z) = 1.
55
(1—//), Отсюда
Полагая 1—z=y, имеем g(y) = ехр I------—
I b
P(z,t) = exp [4-z — -J-U “(1 “2)e-W)|. ( о b	)	I
Это решение, очевидно, удовлетворяет и краевому условию: Р(1, /) = 1. Переписывая выражение для P(z, t) в виде
Р (z, t) = ехр
e~bi} ехр
и разлагая P(z, t) в ряд по степеням z, получаем
Р(г, /) = ехр
e-bt-
а	ы \k
— (\_e-bt)
О	J A
-----------------
k=0

Отсюда
Pk (0 = exp
Способ нахождения распределения периода занятости с помощью теоремы 3 показан в примере 1. Здесь мы укажем общий способ нахождения ПЛС ф. р. периода занятости в широком классе систем с пуассоновским входящим потоком.
Пусть Po(t) — вероятность свободного состояния системы в момент времени t при условии, что Ро(О) = 1 и
00
Po(s) = j e-s'P0(t)dt, О
П — длительность периода занятости, начавшегося с одного требования, n(s)=Me-SJT. На параметры системы (длительности обслуживания, ограничения на время пребывания и время ожидания и т. п.) наложим единственное ограничение: их распределения-не зависят от t. Из этого предположения вытекает, что длительность периода занятости, начинающегося в момент времени Т, не зависит от Г и что процесс L(/) является регенерирующим (точки регенерации — моменты освобождения системы) ,
Справедливо соотношение
ЗД) (s) = "4— 4---~ я ® spo	(16)
«+я	s-}-a
где а — интенсивность входящего пуассоновского потока. Для доказательства (16) воспользуемся методом введения дополнительного события. Будем считать, что в систему наряду с требованиями поступает пуассоновский поток «катастроф» с ин
56
тенсивностью s>0. «Катастрофы» не нуждаются в обслуживании и не влияют на обслуживание требований. Тогда
spo(s) = J Ро(О —e-s<) О
можно интерпретировать как вероятность того, что первая «катастрофа» поступила в свободную систему, jt(s) — как вероятность того, что за период занятости «катастрофы» в систему не поступали. Соотношение (16) вытекает из следующих рассуждений. Для того чтобы первая «катастрофа» поступила в свободную систему, необходимо и достаточно, чтобы:
1) либо из суммарного потока требований и «катастроф» первой поступила «катастрофа» (напомним, что, по предположению, в начальный момент времени t = Q система свободна); вероятность этого события равна s/(s-\-a);
2) либо первым поступило требование, в последовавшем периоде занятости «катастрофы» не поступали, и в дальнейшем первая «катастрофа» поступила в свободную систему; так как процесс L(t) регенерирующий, вероятность описанного события равна a(s4-a)_1n(s)spo(5).
Таким образом, (16) доказано. Из него находим л(5):
n(s) = (s+«)Po(s)-l .	(17)
apo(s)
ПЛС длительности периода занятости П<^), начавшегося с k требований (л(/г)($) =fAe~sll{k)), можно найти, если известная вероятность Po^(t) того, что в момент t система свободна, при условии, что в момент t=0 в системе k требований. Действительно, если обозначить
р-'?(*>(/) d/, о
то	sp0(A;)(s) =rt(*)(s)spo(s),
т. е. <kx / \ л(/?) (s) =-------------------------.
V	Po(s)
Вернемся к нашему примеру. Для вероятности Pk(t) мы получили выражение
[— (1-е-^) Г
A(0=exp[—2-(l-e-«))-L±_ ---------------U
( b	j	kl
Следовательно,
Р0(/) = ехр(-4-(1-е-Д |
57
— — (1 — Ь	'
и
00
Ро (s) = [ e-sl exp
0
Отсюда и из (17) можно найти л($).
Пример 3. Система Л4|М|и|0.
Так же, как и в предыдущих примерах, показывается, что процесс L(t) является процессом гибели и размножения. Множеством состояний в данном случае является множество чисел {О, 1, 2, ...,м}. Параметры процесса следующие:
Ро = i> «о = «>	= а + bi, Pi =
a+bi
qt = —, 1 < i < n — 1, a„ = nb, pn = 0. a~rbi
В силу теоремы 2 стационарное распределение процесса L(t) существует при любых 0<а<оо и 0<Ь<оо и равно
Другие примеры систем обслуживания, в которых процесс L(t) является процессом гибели и размножения, содержатся в задачах.
4. Задачи.
Задача 1. Доказать утверждения теорем 2 и 3.
В задачах 2—5 нужно показать, что в указанной СМО процесс L(t) является процессом гибели и размножения, найти его параметры, стационарное распределение и условия его существования.
Задача 2. Система Л1| М\ п\ оо.
Задача 3. Система Л4|Л4|п|т, 0<т<оо.
Задача 4. Система М | М111 оо, в которой интенсивность входящего потока определенным образом зависит от числа требований, находящихся в системе, а именно; если в течение некоторого промежутка времени [/, t+T) в системе находится k требований, то интенсивность входящего потока на этом промежутке равна afe = a/(fe+l), & = 0, 1, 2,....
Задача 5. Система М | М111 оо с дополнительным предположением: время пребывания требования в очереди ограничено сл.в. с ф. р. 1—e~vx, после чего оно теряется.
В задачах 6—8 для указанной системы обслуживания найти ПЛС длительности периода занятости.
Задача 6. Система А1|Л1|2| оо.
Задача 7. Система Л4|М|2|0.
Задача 8. Система М | М1112.
58
§ 2. ПРИМЕРЫ МАРКОВСКИХ СМО, НЕ ОПИСЫВАЕМЫХ ПРОЦЕССАМИ ГИБЕЛИ И РАЗМНОЖЕНИЯ
1. Введение. Класс процессов гибели и размножения можно значительно расширить, если допустить возможность изменения состояний процесса на величины, отличные от +1 и —1 (см. условие 3 в определении процесса гибели и размножения). Другое обобщение заключается в расширении множества значений процесса, а именно в рассмотрении многомерных аналогов процессов гибели и размножения.
К сожалению, условия, обеспечивающие существование стационарного распределения и вид этого распределения, не удается выразить в достаточно простой форме при произвольных обобщениях указанного выше типа. Мы поэтому ограничимся рассмотрением нескольких примеров.
2. Примеры.
Пример 1. Система обслуживания с групповыми поступлениями.
Рассмотрим систему обслуживания, состоящую из одного прибора, в которую поступает пуассоновский поток групп требований с интенсивностью а. Число требований в одной группе является сл. в., стохастически эквивалентной сл. в. G с распределением £ь = Р(6 = &), k=l, оо. Количества требований в разных группах — независимые сл. в. Требования обслуживаются по одному; В(х) = 1—е~Ъх — ф.р. длительности обслуживания. Число мест ожидания не ограничено.
Пусть L(t) — число требований в системе в момент времени t. Используя рассуждения, аналогичные тем, которые проводились при рассмотрении примеров в § 1, легко показать, что случайный процесс L(t) обладает следующими свойствами:
1)	множеством его значений является множество целых неотрицательных чисел /={0, 1, 2,...};
2)	время пребывания процесса в состоянии i>l подчинено показательному распределению 1—е_<а+ь)х, а в состоянии 1 = 0— показательному распределению 1—е~ах\
3)	из состояния процесс переходит в состояния i—
Z + 2,... с вероятностью b(a + b)'\ a(a + b)-1gi, a(a + b)~'g2i...; из состояния i = 0 процесс переходит в состояния 1, 2, 3,... с вероятностями gi, g2, gs,....
Положим
£(z)=Mzg, Pk(t) =Р (L(t) =k).
Так же, как в § 1, выводится система дифференциальных уравнений для Ph(t):
ро,(О=-^^о(О+ьв1(О,
рп (/) = - (а + Ь) Рп (/) +	Pt (/) + ЬРп+1 (О,
«=о
59
Так же, как в § 1, показывается, что при aMG/&<l существуют
lim Pk (t) = nk > 0, £ лк = 1, /г—О
limP/(0=0, k=0, 1,2,.... /-►оо
Будем считать неравенство aMG/b<i выполненным. Тогда из (1) имеем
—ало + &Л1 = 0,
п— 1
— (а + Ь) лп +	+ Ьлп+1 = 0, п > 1,	(2)
/=0
1=0
Положим л (z) = JT znTtn. Из (2) находим
п=0
[а — ag(z) + &— fez-1] л (г) = (Ь— Ьг-1)л(0).
Так как л (1) — лп = 1 и g' (1) = MG, то л (0) =
п=0
Следовательно,
1 MG. ь
а
1——MG) b
л (г) =
а—ag(z)-\-b-bz-1
(3)
Явные формулы для пк получаются очень громоздкими. Однако моменты числа требований в системе в стационарном режиме получаются из (3) просто. В частности, математическое ожидание равно
МЮ+зд-(1) .	(4)
2|6—дМС)
Пример 2. Двухфазная система обслуживания.
Рассмотрим систему обслуживания, состоящую из двух приборов, в которую поступает пуассоновский поток требований с интенсивностью а. Каждое требование обслуживается сначала на первом приборе, потом — на втором. Перед каждым прибором допускается неограниченная очередь. Время обслуживания на первом приборе имеет показательное распределение 1—e-b*x, на втором — 1—е-Ь2Х.
Пусть Li(t) — число требований перед f-м прибором (включая и то, которое находится на обслуживании) в момент t,
P(ni, п2, /) =P(Li(/)	L2(t) = п2).
60
Двумерный случайный процесс L(f) = (Li(Z), L2(t)} обладает следующими свойствами.
1.	Множеством его состояний является множество пар неотрицательных целых чисел /х/={(0, 0), (0, 1), (1, 0),...}.
2.	Время пребывания
а)	в состоянии (/г±, /22), /21>1, /22>1 — сл.в. с показательным распределением 1—ехр {— (а + &1+&2) х};
б)	в состоянии (лгА, 0), /21>1 — сл.в. с показательным распределением 1—ехр{—(a+^i)x);
в)	в состоянии (0, п2), п2>1 — сл.в. с показательным распределением 1—ехр{—(а + Ь2)х}\
г)	в состоянии (0, 0) — сл. в. с показательным распределением 1—ехр{—ах}.
3.	Из состояния (/Z1, /г2), /21>1, /22>1 процесс переходит в состояния («1+1, /г2), (Mi—1, п2+ 1), (Hi, п2—1) с вероятностями
al (a + b\ + b2), b\l (а + b\ + b2), Ь2/(a-\-b\-[-b2).
Из состояния (Hi, 0), /21 >1 процесс переходит в состояния (/21+1,0) и (/21—1,1) с вероятностями а/(а + &1) и bi/(a + &i). Из состояния (0,/г2), /г2> 1 процесс переходит в состояния (1, п<>) и (0, п2—1) с вероятностями а/(а + &2) и Ь2Ца + Ь2). Из состояния (0,0) процесс переходит в состояние (1,0).
Свойство 1 очевидно.
Пусть процесс L(Z) попал в состояние (/2i, /г2), /21>1, п2>1. Обозначим через g время до поступления очередного требования, Гц — время дообслуживания требования на первом приборе и т]2 —^на втором. В силу отсутствия последействия у показательного распределения и предположений относительно входящего потока и длительностей обслуживания, тц и т]2 независимы и показательно распределены с параметрами а, Ь^ и Ь2 соответственно. Время пребывания процесса L(£) в состоянии (/21, /22) равно £=min(g, 1% 132), причем если g<min(T]i, т]2)» то процесс перейдет в состояние (/2i+1,/22), если r]i<min(g, т]2) — в состояние (/2±—1, /22-'г1) и если r)2<min(£, Ц1) — в состояние (/2Ь ^2—1). Так как при
Р(£<0 =P(min(g, t]i, т|2) <0 = 1 — ехр {—(a + ^i + ^K),
PC < *, К min (Пр Пг)) = —, А , . (1 - ехр{—(а+^4-^) /}),
(5)
Р С < /, Th < П1 in (I, П2)) = —(1 — ехр {— (а + bx+b2) t}), а + &! + &2
РС< Л Т|2< mine, Hl)) = -	(1 — ехр{- (а+^ + ^О)»
а + bi + Ь2
то время пребывания процесса L(£) в состоянии (/и, п2) имеет показательное распределение 1—ехр{—(a+&i-j-&2)0, после чего он переходит в состояния («14-1, «г), («1—1, «гЧ-О и («I, «г—1)	с вероятностями а/(fl+&i+^2), fei/(a-|-^i4-&2),
61
f)z/(a + bi + b2). Аналогично доказываются остальные свойства процесса L(t).	.
Исходя из свойств 1—3 процесса L(t) выводится система дифференциальных уравнений
Р'(0, 0, t) =—аР(0, О,/) + Ь2Р(0, 1,/),
Р'(«ь 0, 0 = — (a+bt)P(ni, 0, /) + Ь2Р(пь 1, /) +
+ аР(п\—1, 0, /),	«1>1,	(6)
P'(0,n2,t)= — (a + b2)P(0,ti2,t)+biP(l, п2—1, 0 +
+ ^2^(0, «2*1*1, /),	«2>1,
P'(ni, п2, t) = — (a + b1 + b2)P(ni, п2, t) +
+ biP(«1 +1, «2—1, t) +b2P{tii, n2+l, t)+aP(tit—1, «2, t),
«1>1,	«2>1.
Процесс L(Z) является регенерирующим (точки регенерации — момента освобождения системы). Используя теорему 4.4 Введения, так же, как в § 1, доказываем, что при max[a/&i, a/b2] < 1 существуют
оо 00
lim Р (п^гц, t) = л (nv п2) > О, Г Г п (ni> nz) — 1 >
limP'(«i, «2,/) =0 при всех «1>0, «2>0.
/—►со
Переходя к пределу при /-►оо в (6), получаем
—ал (0, 0) + Ь2л (0, 1) = 0,
— (а + &])л («1, 0) +Ь2л{п\, 1) +ал(«1—1, 0)=0, nt>l,
— (а + Ьг)л:(О, «2)+Ь]Л (1, «2—1) + Ь2л(0, «2+1)=0, «2>1,
— (a + fti + b2)n(«i, «2) +&1л(«1 + 1, «2—1) +
+ 62n(ni, «2+1)+ал(«1—1, «2) =0, «1>1, «2>1,
У £ n(«v«2)= 1.
0 п2=0
Решение этой системы линейных уравнений имеет вид
Пример 3. Простейшая система обслуживания с абсолютным приоритетом.
Пусть в однолинейную систему обслуживания поступают два пуассоновских потока требований с интенсивностями и а2 соответственно. Время обслуживания требований первого потока — сл.в. с показательным распределением 1—е~ь^х > второго — с показательным распределением 1—е~Ьг х. Требования первого потока имеют преимущество перед требованиями вто
62
рого. Это преимущество заключается, во-первых, в том, что требования первого потока становятся в очереди впереди требований второго, и, во-вторых, в том, что если во время обслуживания требования второго потока в систему поступает требование первого, то происходит прерывание обслуживания, и прибор занимает поступившее требование. Требование второго потока, обслуживание которого было прервано, возвращается в очередь впереди всех требований второго потока, и при новом поступлении на прибор дообслуживается. Пусть
L(/) = (Li(0, L2(/)), P(n1,n2J) = P(L1(0=n1, L2(f)=n2).
Процесс L(Z) обладает следующими свойствами.
1.	Множеством его состояний является множество пар неотрицательных целых чисел {(и, fe); 6>0, 6>0).
2.	Время пребывания процесса L(/)
а)	в состоянии (0,0) — сл.в. с показательным распределением 1—ехр{—(at 4-х};
б)	в состоянии (0, 6), 6>1, — сл.в. с показательным распределением 1—ехр{—(ai + a2-\-bz)x};
в)	в состоянии (6, 6), 6>1, 6>0 — сл.в. с показательным распределением 1-^ехр{—(ai + a2+bi)x}.
3.	Из состояния (0, 0) процесс переходит в состояния (1,0) и (0,1) с вероятностями ai/(ai + a2) и a2/(ai+a2). Из состояния (0,6), /2>1 процесс переходит в состояния (0,6—1), (0,6+1)> (1,6) с вероятностями
Ь2/ (#i + #2 + Ь2), ^2/(^1 + #2 + ь2), cL\j(fli + а2 + Ь2) •
Из состояния (6,6), 6>1, 6>0 процесс переходит в состояния (6 + 1, 6), (6—1, 6), (6, 6+1) с вероятностями
#1/(#1+ #2 +&1), b\l (#i + #2 +	, а2! (ли +#2 + Ь\).
Указанные свойства процесса L(^) доказываются так же, как в примере 2. Исходя из свойств 1—3 легко выводится система дифференциальных уравнений для P(ni, n2| t)z
Р'(0, 0, /) = — (ai + a2)P(0, 0, t) +&iP(l, 0, 0 + 62Р(0, 1, 0,
Р'(0, n2, t) = — (ai + a2 + b2)P(0, n2, t) + P(0, n2—1, t)a2 +
+ P(0, n2+l, 0&2 + P(l, n2, t)bh n2>l,	(7)
P' (/11, /l2, t) = — (6Z1 + 6Z2 + 61) P (/21, /l2, t) +
+ P(/2i + 1, /12, /)&i+P(Mi — 1, /12, /)#i +
+ (1— 6n2,o)P(/ii, n2—1, t)a2, ni>l, n2>0.
Для решения этой системы уравнений необходимо задать еще начальные условия. Будем считать, что в момент t = Q система свободна, т. е. Р(0, 0,0) = 1. Положим
р (zx, z2, s) = J e~st M z^2(/)].
0
63
Тогда из (7) получаем
[s + а{ + а2 + b{ — bizr1 — 0i£i — 02^]р(^ь z2, s) +
+ [b2 — b2z2~x A-b\zr{ — bi]p(0, z2, s) =
= l + (fe2 — b2z2~x)p(Q,Q, s).	(8)
Рассмотрим систему уравнений
s -г ci\ + ci2 + b\ — b\Z\~i — &\Z\ — d2z2 — 0, b2 — b2z2~x + b]Zi~1 — b\ = 0.
Покажем, что она имеет единственное решение £1 = 71(5), z2 = = y2(s), причем yi(s), y2(s) аналитичны в области Res>0, и в этой области |vi(s) |<1, |уг(5) |<1. Преобразуем к виду
zi =------------,
&1~|~S— ^1^1Ч-^2 #2^2
систему
(9)
склады-
(10)
и х ана-
<01 + 02 = |х|.
^2~rs+ ai—<2121+^2—a2z2
Умножая первое уравнение на 01, а второе — на а2 и вая их, получаем ,	а2Ь2
Л —	,
^l+s+^1+^2—х	, &2+$+^1+^2—х
где положено x = ai2i+a222.
Функции (от х)---------—-----------1------—--------
—х	62+s+0i+02—х
литичны в некоторой области, содержащей круг |х| <014-02,
причем (если Res>0) на границе круга (т. е. при |х| =01+02):
aibi । а2Ь2 ^1+s4“<21+^2-х ^2_hs4-^l+^2----Х
В силу теоремы Руше функции х и albi।fl2^2 ^l+S+al+a2---------------------Х ^2+S4"01+a2-----Х
внутри круга |х|<01+02 имеют одинаковое число нулей, т. е. ровно по одному. Таким образом, уравнение (10) при каждом 5, Res>0, имеет единственное решение x=x(s), такое, что |x(s) | <0i+02. В силу теоремы о неявной функции x(s) — аналитическая функция при Res>0.
Подставляя найденное значение х в правые части (9), находим
bl+S+al+^2--X(S)
bl +$+fll +fl2—Х ( S)
64
Неравенства |yi(s) | <1 и |y2(s) | <1 вытекают из полученного представления yi(s) и y2(s) через х($) и доказанного неравенства |x(s) | <fli+a2. Аналитичность yi(s) и y2(s) при Res>0 является следствием аналитичности x(s).
Функции p(zb z2, s) и р(0, z2, s) ограничены при |zi|cl, |z2|<l. Следовательно, из (8), подставляя Zi = yi(s), 22 = y2(s), получаем
1+/?2(1-[у2(5)]-1)р(0, 0,$)=0,
пли
р (0, 0, s) =
Y2(s)
Рассмотрим квадратный трехчлен от Zi:
(s + а 1 + b 1 + (i2 — #2^2) %\ — #i2i2 — Ь\.
Один из его корней
_   X ___________ s4-<2i+a2—а222 + ^1— Y (s+fll+02—a2224"^l)2—^al^l
Z1 — VZ2’ —	Z
2aY
при |z2|<l, Rez>0 удовлетворяет неравенству |6i(z2, s) | <1. Подставляя в (8) zi = 6i(z2, s), получаем
[b2 — b2z2~x — bi + bx (61 (z2, s) )~[]p(0, z2, s) =
Отсюда находим
- 1 +(1-^)
Y>(s)
1 — Y2(s)
p(0,z2, s) =
i+G-z?1)
yjs)
1 — Y-2(s)
b2-b2zf -b^b^Z;, s)]-i
Теперь из соотношения (8) можно найти p(zi, Z2, s). Можно показать, что стационарное распределение процесса L(t) существует при tzi/bi+ tz2/b2< 1. Его производящую функцию P(zh z2) можно найти из соотношения
P(zi, z2) =lim sp(zi, z2, s).
s I 0
Значительно более общие модели систем обслуживания с приоритетами будут изучены в главах 3 и 4.
Другие примеры марковских систем обслуживания, не описываемых процессами гибели и размножения, содержатся в задачах.
3. Задачи.
Задача 1. Найти стационарное распределение L(t) в однолинейной СМО, в которую поступает пуассоновский поток требований с интенсивностью а. Требования обслуживаются группами по k (или меньшего объема, если в системе
3 Ь Ф. Матвеев, В. Г. Ушаков
65
нет k требований). Время обслуживания группы требований' имеет показательное распределение 1—е~Ьх.	*
Задача 2. Рассмотрим однолинейную систему обслуживания с неограниченным числом мест для ожидания, в которую поступают два пуассоновских потока требований с интенсивностями и а2 соответственно. Время обслуживания требований i-ro потока имеет показательное распределение 1 —е~ь*х. Требования первого потока имеют преимущество перед требованиями второго потока, которое заключается в следующем: а) требования первого потока становятся в очереди впереди требований второго потока;
б) требования первого потока прерывают обслуживание требований второго потока. Требование второго потока, обслуживание которого было прервано, теряется.
Пусть Li(t) — число требований /-го потока в системе в момент времени /, L(/) = (Ai(/), Лг(/)). Найти
1)	[ М [zf-<o 2«й] dt\
6
2)	условие существования стационарного распределения процесса L(/);
3)	limM^^z^];
4)	HmMLz(/), i= 1, 2.
Задача 3 (продолжение). Пусть в однолинейную систему с неограниченным числом мест для ожидания поступают г>1 пуассоновских потоков требований с интенсивностями а^, ..., аг. Время обслуживания требований /-го потока имеет показательное распределение!—e~bi*. При i<j требования f-го потока имеют преимущество перед требованиями /-го потока, задаваемое условиями а) и б) задачи 2.
Пусть Li(t) — число требований Z-го потока в системе в момент времени /, L(/) = (Li(/),Lr(t)). Найти:
1)	условие существования стационарного распределения процесса L(/);
2)	lim MzL(Z), z = (zp ... , zr)\
t-+Ofb	___
3)	lim ML, (Z), i=\,r.
Задача 4. Рассмотрим систему обслуживания, состоящую из конечного числа приборов, занумерованных числами 1,..., k. Каждое поступающее требование обслуживается после- ; довательно на 1-м, 2-м,..., к-м приборах. Время обслуживания требования на /-м приборе — сл.в. с ф.р. 1—е~Ъ‘х. Перед каждым прибором допускается неограниченная очередь. Входя- < щий поток требований — пуассоновский с интенсивностью а. Пусть Li(t) — число требований перед /-м прибором (включая 66	'
и то, которое находится на обслуживании) в момент /, L(/) =
= (Li (/),Lk (/)). Показать, что при max — < 1
U i<k bi
k
lim P(L(/)=n) = f|
/-»oo	ж	Di / bi /
i = l
где n= nk).
§ 3	МЕТОД ЭТАПОВ ЭРЛАНГА
1.	Введение. В этом параграфе мы изучим системы обслуживания, в которых либо интервалы времени между поступлениями требований, либо времена обслуживания распределены по эрланговскому закону.
Процесс L(t) (число требований в системе в момент t) в этих случаях не является марковским. Поэтому, исходя из определения, данного в начале главы, такие системы не являются марковскими. Тем не менее в силу большого сходства применяемых здесь методов с методами анализа марковских систем и близостью рассматриваемых моделей к системам с групповым поступлением или групповым обслуживанием данный параграф помещен в главе, посвященной марковским СМО.
Идея применяемого в данном параграфе метода основывается на следующем свойстве распределения Эрланга. Пусть £ — случайная величина, имеющая распределение Эрланга порядка k. Тогда
g = gi + ... + £*,	(1)
где gi,..., независимы и одинаково распределены по показательному закону.
2.	Система обслуживания М | Eh 111 оо.
Пусть а — интенсивность входящего потока, В (х) = kbx
= I -----— e~udu--ф. р. времени обслуживания. Как мы уже
о
отмечали, в случае процесс L(t) не является марковским. Однако, используя свойство (1) эрланговского распределения, можно свести изучение процесса £(/.) к изучению марковского процесса v(/), к описанию которого мы сейчас перейдем.
Из представления (1) вытекает, что время обслуживания каждого требования можно представить в виде суммы «этапов обслуживания», которые независимы и показательно распределены. Каждое требование начинает обслуживание с 1-го этапа и покидает систему, как только завершится k-и этап. Такая интерпретация процесса обслуживания позволяет ввести следующий марковский процесс v(/) (который полностью определяет А(/)): будем считать, что в систему через показательно распределенные с параметром а интервалы времени поступают
3*	67
некоторые фиктивные требования — «этапы». Их поступление производится группами объема k. Длительности обслуживания этапов — показательно распределенные с параметром kb случайные величины. Этапы обслуживаются по одному. Процесс v(t) определяется как число этапов обслуживания в системе в момент t. Из определения процесса v(t) вытекает справедливость следующих соотношений, связывающих распределения сл. в. v(/) и L(t):
P(L(0=0) = P(v(/)=0),
P(L(0 = 0 = £ P(v(O = j), i= 1,2............
/=(i-l)*+l
ло = ИтР(£(0=0)=Иш P(v(/)=O)=po,	(2)
/-►OO	t-+OO
л,- = lim P (L (/) = i) = f->oo ik '*	ik
=	£ lim P (v (/) = /) =	£ pj, i = 1,2, ....	(3)
Для нахождения pj воспользуемся результатами § 2, в котором была изучена система с групповыми поступлениями требований. Пусть
Р (Z) = £ Z'pj,
/=о
тогда при а/Ь<1 (так как распределение v(t) совпадает с распределением числа требований в системе М | М111оо с групповым поступлением фиксированного объема k)\
р = kb(l-afb)(l-z)
kb + azk+l — (a -f- kb) z
Для нахождения pj представим знаменатель в выражении для P(z) в виде
kb + azk^[—(a + kb)z = (1—z) [kb—a(z + z2 + ... + zk)].
Обозначим через Zi,zk корни многочлена
kb — a(z + z2 + ... + z/i).
Тогда
(1 —Zlh) ... (1— Z!Zk)
Отсюда k	k
i=\	n=\
nyzi
68
Из последнего соотношения находим
Ро= 1—а/Ь, k	k
Pi = (1 — a/b) V] z~i |“] -—Ц-, f= 1,2, .... had	1 — zi/zn
i=l n=\ n ti
Используя (2) и (3), получаем
ло= 1—a/b,
k 1 Z^ k
Л,. = (1 —ajb) y\z-ik —П -—.
4^	1 — Z/ 1 1 1 —Zi/2n
Z=1	n=l
n^l
3.	Система обслуживания. Efe|M|l|oo.
В этом случае ф. р. интервалов между поступлениями требований имеет вид
akx
А(х)= I ---------e~udu,
J (k— 1)! о
ф.р. времени обслуживания В(х) = 1—е~Ьх.
Процесс поступления требований в рассматриваемую систему обслуживания можно интерпретировать следующим образом: каждое требование при своем поступлении проходит k «этапов поступления». Время пребывания требования на каждом этапе является случайной величиной с показательным распределением 1—e~hax. Поступление каждого требования начинается с первого этапа, и, как только истечет время пребывания на этапе k, требование поступает в систему. Такая интерпретация процесса поступления позволяет следующим образом интерпретировать процесс обслуживания. Будем считать, что каждое требование содержит в себе столько этапов, сколько «этапов поступления» оно прошло. В частности, требование, уже находящееся в системе, содержит k этапов. Пусть ц(£) — общее число этапов в системе в момент времени t. Из определения процесса |i(Z) вытекают следующие соотношения:
W+D-1
P(L(0 = 0= £ P(H(O = J).
/=и
fc(Z+1)-l	W+D-l
л,- = limP(L(/) =0 = £ lim Р(ц (/) = /) = V ps. ,=ki	~ki
Кроме того, процесс ц(/) можно рассматривать как число требований в момент t в следующей системе обслуживания: входящий поток — пуассоновский с интенсивностью ka\ требования обслуживаются группами объема k\ длительность обслу-
69
живания группы требований — случайная величина с показав тельным распределением 1—е~Ъх\ если в системе находится Г, i<k, требований, то их обслуживание не производится до тех пор, пока число требований в системе не станет больше или равным k.
Легко видеть, что процесс ц(/) является однородной марковской цепью с непрерывным временем и обладает следующи-; ми свойствами.
1. Множеством его состояний является множество целых не-! •отрицательных чисел.	j
2. Время пребывания процесса ц(/) в состоянии i, ей—1, является случайной величиной с показательным распре-; делением 1—e~hax, после чего он переходит в состояние f-M-j Время пребывания процесса ц(/) в состоянии i, — сл.в. с показательным распределением 1—e_(fea+d)x, после чего процесс переходит в состоянии i-H и i—Ь	с вероятностями
ka/(ka + b) и b/(ka-[-b).
Положим Pi(t) = Р = i). Исходя из свойств 1, 2 процесса jLt(/) выводится система дифференциальных уравнений
Pi' (/) = —kaPi (0 + kaPi^ (t) + bPi+k (t), 1	<k—1,
P'(t) = — (ka + b)Pi(t)+ kaPi_x (0 + bPi+k (/), i^k. Если а/&<1, то существует limP£-(/) =pf, и pt удовлетворяют системе линейных уравнений
kapQ=bpk,
kapt = kapi^\ + bpi+i., !</</?—1,	I
(ka + b)pi = kapi-i + bpi+k, i^>k,	|
oo
i=0
Положим P(z) V zip;. Тогда
/=0
A—1
(l-^)V ,ipj
где p = ajb. Знаменатель в правой части (4) представляет собой многочлен по z степени &+1, поэтому он имеет &+1 корень. Один из них равен 1. Используя теорему Руше, можно показать, что в области |z|<l находится ровно k корней, а в облает» | z| < 1 — k—1 корень (обозначим их 2Ь ...,	. Таким'обра-
зом, один из корней многочлена (обозначим его z0) удовлетво? ряет условию | z01 > 1. Так как функция P(z) ограничена прй |z| <1, числитель в (4) должен обращаться в нуль в точках
70

..., Zk-i и 1. Так как все корни многочлена zk—1 равны по модулю единице, zb zh_{ должны быть корнями многочлена
k-\
/=0
Таким образом, (4) можно переписать в виде
р (z\ _	0 — zh) Pk-i р — z,) ... (z — zfe.,) =
(г — 1) (г — z0) (г — Zj) ... (г — zw)
=	(1 — zfe)Pfe-i
k?(l — г)(1 — z/z0)z0 ’
Гак как Р(1) = 1, то --------------- = 1 или = -----------------.
*Р (1 — z^Zo	k?zo k(\ — г”1)
Следовательно,
р (2) =	(l-z*)(l-z^)	_	|	_ (fez0)-i |
'	Л(1 — z)(1 — г/г0)	’ [ 1— z	1—z/Zoj’
.Разлагая P(z) no степеням z, находим
P‘ | p(z0 —	1, j ^k.
Напомним, что
W+D-l
л, = lim P(L(f) ==i) = у Pj. ‘	j^kt
Отсюда
I 1 — p, t=0, Л‘ ~ t P(zo~ 1)27W’ t = 1>2, ....
4. Заключение. Заметим, что метод этапов Эрланга, использованный при анализе систем обслуживания М | Ek 111 оо и £\|Af| 11 оо, фактически является частным случаем метода дополнительных компонент, который систематически будет использоваться в последующих главах. Поясним это на примере системы М |Eft| 11 оо. Введем случайный процесс /(/) следующим образом: если в момент t система занята и требование, находящееся на приборе, проходит /-й этап обслуживания, полагаем j(/) = k—/4-1. Если в момент t система свободна, полагаем /(/) =0. Из свойства отсутствия последействия у показательного распределения следует, что процесс (L(/), /(0) яв‘ ляется однородной марковской цепью с непрерывным временем, множеством состояний которой является множество пар неотрицательных целых чисел (f, /), где f = 0, 1, 2, ...,/ = 0,	Пе-
71
ренумеровав состояния процесса следующим образом: (0,0)—О,
(г, /) — ki+j, i>0, />1, получаем процесс v(t).
Аналогичный метод применим к анализу и других систем обслуживания (см. задачу 2).
5. Задачи.
Задача 1. Найти limML(Z) в системах ТИ|Т?2| 1|оо и
Ez\M 111 сю. Сравнить с аналогичной характеристикой системы Л1|Л1| 11 оо.
Задача 2. Найти стационарное распределение процесса L(t) в системах
a) Ek\Er\ 1 |оо; б) Ek | HMr | 11 оо; в) HMk | Er 11 | оо;
г)
Литература: [3, 6, 12]
Глава 2. Системы обслуживания М |G| 1
В предыдущей главе мы изучили системы обслуживания, в которых интервалы времени между поступлениями требований и длительности обслуживания имели показательные распределения. Одно из основных свойств показательного распределения — отсутствие последействия — обеспечивает сравнительную простоту изучения таких систем. Если отказаться хотя бы от одного из этих предположений (о показательном распреде-нии интервалов между поступлениями или показательном распределении длительности обслуживания), анализ становится существенно более сложным. Это связано с тем, что многие важные случайные процессы, характеризующие поведение системы обслуживания, становятся немарковскими. Одним из способов исследования таких систем обслуживания является сведение изучения ее характеристик к другим, которые описываются марковскими процессами. Наиболее распространенными такими методами являются метод дополнительных компонент, ме-юд вложенных цепей Маркова, метод виртуального времени ожидания. Все эти методы оказываются наиболее эффективными в случае однолинейных систем с пуассоновскими входящими потоками, изучению которых и посвящена данная глава.
Функционирование любой системы обслуживания помимо ее параметров (входящего потока, длительностей обслуживания, числа приборов, ограничений на длину очереди, время пребывания и ожидания и т. д.) существенно зависит от способа ор* ганизации обслуживания (дисциплины обслуживания). Дисциплина обслуживания указывает, в каком порядке обслуживаются поступающие в систему требования и каким образом влияет на данное требование наличие в системе других. В этой главе будет рассмотрен ряд дисциплин обслуживания, которые имеют большое значение при изучении реальных систем, в частности вычислительных комплексов. Таковыми являются, например, дисциплины пакетной обработки, дисциплины разделения времени и процессора. Многие из них позволяют организовать более эффективное функционирование системы (в определенном смысле), чем просто обслуживание в порядке па-ступлени.я
§ 1.	ДИСЦИПЛИНЫ FIFO и LIFO
1.	Описание дисциплин. Наиболее простыми и легко реализуемыми на практике дисциплинами обслуживания являются следующие:
FIFO * — требования обслуживаются по одному в том порядке, в котором они поступают в систему; прерываний дбслу-
♦) Часто используются также обозначения FCFS — first come, first serve и LCFS — last come, first serve.
73
живания не допускается, наличие других требований в системе не влияет на длительность обслуживания данного требования:
LIFO * — каждое поступающее в систему требование становится в начале очереди, которая есть в системе в момент его поступления; после окончания обслуживания требования следующим на прибор поступает то, которое находится на первом месте в очереди; остальные предположения те же, что и для дисциплины FIFO.
2.	Описание системы. Основные обозначения. Система обслуживания состоит из одного обслуживающего прибора, на который поступает пуассоновский поток требований с интенсивностью а. Длительности обслуживания — независимые в совокупности случайные величины, стохастически эквивалентные случайной величине В, имеющей функцию распределения В(х) = Р(В<х). При доказательстве некоторых утверждений мы будем предполагать существование плотности распределения времени обслуживания &(х). Число мест для ожидания не-ограничено. Если не указано противное, будем предполагать, что в начальный момент времени / = 0 система свободна.
Основными объектами изучения будут следующие случайные процессы:
L(0 — общее число требований в системе в момент t\
W (t) — виртуальное время ожидания в момент времени t, т. е. время, которое ждало бы до начала обслуживания требование, если бы его поместили в систему в момент /;
V(t) — виртуальное время пребывания в системе в момент времени Z, т. е. время, которое находилось бы в системе требование, если бы его поместили в систему в момент /;
U7n, Vn — соответственно время ожидания до поступления на прибор и время пребывания в системе n-го требования (нумерация требований в каждом случае оговаривается особо).
Требование, которое мы помещаем в систему в момент t при определении W(/) и V(/), является фиктивным, в том смысле, что оно берется не из входящего потока.
Положим
Р(п, О = P(L(0 = п), Р(п, х, t) =J-P(L(t)=n, x(t)<x),
где х(/)=0, если в момент / система свободна, и в противном случае x(t) равно времени, которое прошло до момента t с начала обслуживания требования, находящегося в момент t на приборе,
р (z, s) = f e-^Niz^dt, Ро (0 = Р (0, /), ри (s) - р (О, S),	,
6
Р (z, x, s) = f e-s'M \zL^I (х (t) < X)] dt.
0
P(s)=Me~sB, p, = MS‘.
74
3.	Период занятости. Одной из важных характеристик функционирования системы обслуживания является период занятости II, т. е. промежуток времени, начинающийся с поступления в свободную систему требования и кончающийся в момент первого после начала периода занятости освобождения системы. Помимо того что период занятости имеет самостоятельный интерес (в основном для проектировщиков системы), он существенно используется при определении многих других характеристик системы обслуживания.
Наряду с периодом занятости П мы будем использовать следующие промежутки занятости системы:
II(V) — период занятости, начавшийся со случайного числа требований v, — промежуток времени, в начале которого в системе находится v требований, одно из которых начинает обслуживание, и кончающийся, как только система станет свободной;
Щ — период занятости со случайной задержкой £. Сл.в. П& определяется следующим образом: в течение времени £ поступающие требования не обслуживаются (накапливаются в очереди), в начале отсчета £ система свободна. Щ начинается с началом g и заканчивается, как только закончится g и система станет свободной.
Положим
П (х) = Р (П < х), n(v) (х) = Р (Пм < х), Ц (х) = Р (П^ < х), л (s) = Me~sn, ft(v> (s) = Me-sn<v), л^ (x) = Me-srV
Теорема 1. а) Функция л($) является единственным решением функционального уравнения
л($) =p(s + a — алЦ)), аналитическим в области Res>0.
б) Если afhc 1, то л( + 0) =П(4-оо) = 1, в противном случае л( + 0)<1, П(+оо)<1.
в) Если api> 1, то МП = оо, в противном случае
МП = 01/(1—api),
□П ----------------------
(1 -ар,)3	(1-ар>)2
Доказательство теоремы 1 основывается на следующих двух леммах, представляющих и самостоятельный интерес.
Л е м м а 1. а). Функциональное уравнение
cp(s) + —flqp(s))
определяет единственную функцию cp(s), аналитическую в области Res>0, в которой |<р($)|<1. Если то <р(+0) = 1, в противном случае q?(+0) < 1.
(1)
75
б). Функция <p(s) может быть представлена в виде
(p(s) = J e~std®(t), о
где Ф(/) — неубывающая функция ограниченной вариации, причем при apid Ф(+оо) = 1, при ар±> 1 Ф( + оо)<1.
Замечание. Часть утверждений леммы 1 не понадобится нам для доказательства теоремы 1. Такие свойства, как ^аналитичность n(s) при Res>0, представление
л (s) = j* e~sfdn (t),
6
вытекают из вероятностного смысла П(/) и л($). Однако методы доказательства всех утверждений леммы 1 понадобятся нам в главах 3 и 4.
Лемма 2. Справедливы следующие соотношения;
а)	П = В + П<Ч
где v — число требований, поступивших за случайное время В; при фиксированном значении у В и n(v> независимы;
б)	П<*) = П1+ ... +щ,
П1,..., ГЦ независимы в совокупности и стохастически эквивалентны П;
в)	n6=g+w,
где ц — число требований, поступивших за время I; при фиксированном значении pg и П(^ независимы. При $ = В отсюда следует ПВ = П.
Доказательство леммы 1, а). Возьмем любое комплексное число s, такое, что Res>0, и рассмотрим уравнение z=P(s + a — az).	(2)
Левая и правая части этого уравнения аналитичны в некоторой области, содержащей круг |z|<l. При |z| = 1 имеем Re(s+ -J-a—az) >0. Поэтому
|p(s + a — az) |<P(Re(s + a — az))<l = |z|.
По теореме Руше отсюда следует, что функции z и z—p(s + + а—az) имеют одинаковое число нулей в области |z| <1, т. е. по одному нулю. Мы показали, таким образом, что уравнение (2) имеет для любого s, такого, что Res>0, единственное решение z=<p(s), причем |<p(s) | <1. По теореме о неявной функции <p(s) — аналитическая функция в области Res>0.
б). Рассмотрим <p(s) для действительных s>0. Построим последовательность фп($), полагая <po(s)=0,
Фп+1($) =p(s + a — aqpn(s)).	(3)
Очевидно, 0<фп($) «рпм($) <1, и фп($) — вполне монотонная. функция (см. Приложение 3.2) при п>1. Из монотонности последовательности фп(^) и соотношения (3) следует, что ф(5) = )
76
= limq)n(s), и так как фп($) вполне монотонны, то и qp(s) впол-П ОО
не монотонна. Отсюда вытекает существование неубывающей функции Ф(/), такой, что
<p(s) = f е-’^ф(0.	(4)
6
Используя принцип аналитического продолжения, убеждаемся, что представление (4) справедливо в области Res>0.
Далее, так как существует конечный или бесконечный предел
НтФ(/) =ф( + оо), t-^co
то существует lim <p(s) =<р(+0), и при этом s | О
ф( + 0) =р(а —жр( + 0)).
Легко видеть (так как apt — значение производной функции Р(а—az) в точке z=l—0), что уравнение
2 = р(ц — az)	(5)
при aPi<l имеет единственное решение на отрезке [0, 1], равное 1, при api> 1 — два решения Zi = p и 22=1, 0<р<1. Заметим, что уравнение (5) в круге |z|d на комплексной плоскости имеет только действительные решения и, значит, совпадающие с найденными. Итак, при apid Ф(+оо) =ф( + 0) = 1. При «Р1>1 имеются две возможности ф( + 0) = 1 и ф( + 0)=р. На самом деле справедлив второй случай. Это следует из того, что любой корень уравнения (5) больше корня уравнения
Ф(е) =Р(е + а — аф'(е))
при любом Е>0.
Доказательство леммы 2. Утверждения а) и в) являются тривиальными следствиями определения сл. в. П, II(V), П5. Докажем б). Легко видеть, что длительность промежутков П, n(v), Щ не зависит от того, в каком порядке обслуживаются требования. В частности, можно считать, что принята дисциплина обслуживания LIFO. Промежуток начинается с обслуживания одного из k имеющихся в системе требований (назовем их начальными). В силу того что принята дисциплина LIFO, следующее начальное требование сможет поступить на прибор только тогда, когда в системе останутся k—1 (начальные) требования. Так как эти k—1 начальные требования не влияют на длительность интервала между поступлением на прибор первого и второго начальных требований, этот интервал имеет то же распределение, что и П. Таким образом,
причем в силу свойства отсутствия последействия у пуассоновского потока и независимости длительностей обслуживания
77
разных требований П и П^-1) независимы. Отсюда следует б).
Доказательство теоремы 1. Из леммы 2 вытекают следующие соотношения:
из б) Tt(/i)(s) = [л($)Р при неслучайном k, из а)
л (s) = j e~(s+fl)x	л(*>	(%).
0	k=0
Используя равенство л(к)($) = [л (s)]\ имеем
л (s) = j (?-(*+<>)* у dB = 0	fr=0
M
= J r's+“-*»4B (x) = p (s + a — an (s)). 0
Таким образом, утверждения а) и б) теоремы 1 вытекают из леммы 1.
Моменты периода занятости при а01<1 находятся из соотношений
МП = —	, Dn =	— (МП)2, л
ds s=o	ds2 s=o
4. Длина очереди. Распределение случайной величины L(t) — общего числа требований в системе в момент времени t — одинаково при дисциплинах FIFO и LIFO. Доказательство этого свойства, а также вывод соотношений для определения
p(z, s) = ^e~stMzLlt>dt О
содержится в теореме 2.
Теорема 2. Функция p(z, s) при |z| <1, Res>0 определяется по формуле
/	\ г	/м 1 (i ,	1 — Р(s + а — az)
р (z, s) = [s -t- a — an (s)]“1 11 + a-—--L x
(	s + a — az
x z — л (s) I
1 — z~1 (3 (s + a — az) J
Доказательство. Рассмотрим двумерный случайный процесс (£(/), х(/)). В силу выбранной дисциплины обслуживания (FIFO или LIFO) и того, что входящий поток пуассоновский, этот процесс является марковским. Рассматривая изменения состояний процесса (L(/), х(/)) в интервале времени (/, /+Д), имеем
Р(п, х + Д, ^ + А) =Р(п, х, t) [1 —(а + ц (х)) А] +
78
+ (1— Ьп,\)аР(п— 1, х, /)Д + о(Д),	(6)
где о(Д)/Д->0 при Л->0,
^ = | л’ -Z-’ К'ммв-м-1.
I 0, i^]
t
₽(О, t + А) = Р(О, /)[1— аД] + j Р(1, х, Оп(х) dx\ + о(А), о
(7)
A	t
j Р(/?, и, t -j к) du = J Р (п + 1, х, /)T](x)dxA + о	о
+ 6п,1Р(0, /)аА + о (А).	(8)
Действительно, т] (х)А4-о(А) — условная вероятность того, что длительность обслуживания требования лежит в интервале (х, х+Д), при условии, что оно не обслужилось за время х. Теперь соотношение (6) (после умножения его на dx) вытекает из следующих рассуждений. Для того чтобы в момент Ц-Д в системе было п требований и х(/+А)е(х + А, x + A-j-dx), необходимо и достаточно, чтобы:
1)	либо в момент t ,в системе было п требований, х(/)е е(х, x+dx), за время А требование, находящееся на приборе, не обслужилось, и новые требования в систему не поступали; вероятность этого события равна
Р(п, х, t)dx[l — (а + т](х))Л] +o(A)dx;
2)	либо в случае п>2 в момент t в системе было п—1 требование, х(/)е(х, x + dx), за время А поступило требование, а требование, находящееся на приборе, не обслужилось; вероятность этого события равна
(1—6?г,1)яР(п—1, х, /)dxA + o(A)dx;
3)	либо переход в состояние
{£(/ + А) = и, х(/ + А)е(х + Д, x + A + dx)}
произошел отличным от 1—2 способом; вероятность этого равна o(A)dx.
Так как события в 1—3 попарно несовместны, отсюда вытекает (6).
В левой части (7) стоит вероятность того, что в момент времени /-f-Д система свободна. Для выполнения этого события, необходимо и достаточно, чтобы:
1)	либо в момент времени t система была свободна и за время А требования в систему не поступали; вероятность этого события равна Р(о, /)[1—аД]+а(А);
2)	либо в момент времени t в системе было одно требование и за время А оно обслужилось; вероятность этого события
79
равна
t
У P(l, %, /)л (x)dx А + о (А); е
3)	либо переход в состояние {L(/+A) =0} произошел способом, отличным от 1 и 2; вероятность этого равна о (А).
Из 1—3 вытекает соотношение (7).
д
Наконец (8), следует из того, что j Р(п, и, t + \)du— ве-o'
роятность того, что в момент времени /+А в системе п требо-
ваний и х(/ + А) <А; J Р (п + 1, х, Г) л (х) dx Д + о (А)— вероят-о
ность того, что в момент времени t в системе было п-\-\ требований и за время А одно из них обслужилось; Р(0, ^)аА + + о(Д) — вероятность того, что в момент t система была свободна и за время А поступило требование.
Из (6) — (8) следует, что
дР (п, х, /) , дР (п, х, t)	г , ^ / к -I п /	,
---\	' = — [а + Л (х)]Р(п, х, t) + dt	дх
+ (l-6n,i)P(«-\,x,t)a,	(9)
t
др(9.’ 0 =—aP(O,t)+\P(l, х, t) г) (х) dx, (10) dt	J
о
t
P(n, + 0, /) = j’P(n + 1, x, t) r\(x) dx + ЬпЛаР (0, /)• UO 0
Так как в момент t=0 система свободна,
Р(п, х, 0)=0 и Р(0, 0) = 1.
Переходя в (9) — (11) к производящим функциям и преобразованиям Лапласа по t, имеем
dp(z, x,s) _ — rs_|_a_az_|_^ (х)] p x s), dx
(s + a) p0 (s) = j p* (1, x, s) n (x) dx + 1,
0
оо	м
p(z, 0, s) = z-‘ f p(z, x, s)T](*)d* — Jp‘(l> s)n (x)dx + azp0(s),
6	0
где
p*(l, X, s) = p-s'P(l, X, t)dt.
0
80
Подставляя выражение для [ р* (1, х, s) т] (х) dx из второго 6 уравнения в третье, имеем
др Х' s) = — [s + а — az + n (х)] р (z, х, s), ox
(12)
p(z, 0, s) = z-1 J p(z, x, s)f\(x)dx + 1 —(s + a — az) p0(s). (13) о
Решение дифференциального уравнения (12) записывается в виде
p(z, х, s) = [1—В (x)]e_(s+a-az)xp(z, 0, s).
Подставляя полученное выражение для p(z, х, s) в (13), имеем p(z, 0, s) [1— 2-^(5 +a — az)] = 1 — (s + a — az)p0(s).
В силу теоремы 1
1—z-1P(s4-a — az)—О при z=jt(s), и, так как |л($) | <1, то при 2=л($) p(z, 0, s) ограничена. Следовательно,
1 — (s + a — ал($))р0($) =0,
т. е.
Отсюда
po(s) = [s + a — an(s)]-1.
р (z, 0, s) = [s + а — ал (s)]-1-——-----------
7	1	V l_z~ip(s + a-az)
Используя теперь очевидное соотношение
р (z, s) = p0(s) + J р (г, х, s) dx о
и подставляя в него найденные значения Po(s) и p(z, х, s), получает утверждение теоремы.
Следствие. Пусть pi = a£i<l, тогда:
a) L(t)=>L при t-^oo, причем
p*(z) = NizL
определяется по формуле
р* = (1-Р1) (z-l)p(a-az). г — р (а — аг)
б)
KA T
ML = pj h-----,
H1 2(1 -P1) a4₽2
DL = а3Рз + flP2 a2p2P1
3(1 -Pi) 2(1—pj)2 1- pl
81
+ огР2 + -- °2Рг ' 4 Р1-(М1Л
2 U — Pi)
Доказательство. Случайный процесс L(t) является регенерирующим, точками регенерации служат моменты окончания периодов занятости. Цикл регенерации представляет собой сумму двух независимых сл.в. — времени до поступления требования А и периода занятости П. Так как сл.в. А абсолютно непрерывна, длительность цикла регенерации Л + П также абсолютно непрерывная сл. в. В силу теоремы 4.4 Введения существует предел L(t)=>L при t^oo. Причем если М(Л + П)<оо (т. е. при а01<1), то р^=Р(L = k)>0 для любого м
/г>0,	/^ =1. Из существования предела L(t)=>L следует
k=0
существование
lim sp(z, s) = MzL. s I 0
Таким образом, соотношение для определения P*(z) непосредственно следует из теоремы 2. Утверждение б) следствия вьь текает из формулы для P*(z).
5. Виртуальное время ожидания.
5.1. Не менее важными, чем L(t), характеристиками системы обслуживания являются виртуальное время ожидания W(t) и виртуальное время пребывания в системе V(t).
В теореме 3 рассматривается один из методов получения распределений этих характеристик, основанный на использовании распределения случайного вектора	найденного
в предыдущем параграфе. В теореме 4 на примере дисциплины FIFO иллюстрируется другой метод. В этой теореме также найдено совместное распределение W(ti),..., W (tn) в произвольные моменты времени ti<t2< ... <tn-
Положим
co(s, q) = j* e-qt VAe~sW^ dt, v(s, q) = e~qt PAe-sVW dt. 6	о
Теорема 3. Функция co(s, q) определяется no формулам; а) при дисциплине FIFO
<o(s, q) = [<7 + а — an (?)]-* [1 +	|
(	q — s a — ар (s) )
б)	при дисциплине LIFO
а> (s, q) = [q + a — ал (q) ] X
X f 1 g0 —"(?))	л (s) — P (?)	|.
I 1 — P (?)	? — s — a + an (s) J ’
в)	для обеих дисциплин
v(s, q) = w(s, ?)₽(s).
82
Доказательство. Рассмотрим каждую дисциплину обслуживания отдельно.
а). Дисциплина FIFO. Если в момент времени t система свободна от требований, то W(t)=0, если же занята, время ожидания складывается из длительности дообслуживания требования, находящегося на приборе в момент t, и длительностей обслуживания требований, находящихся в момент t в очереди. Следовательно,
Р (W (0 < х) = р. (О + £ J Р (п, у, t) [В**-" * Ву] (х) dy, (14) О
где Ви(и) — условная ф.р. длительности дообслуживания требования при условии, что оно уже обслуживалось время у:
В (и) = В (и.у)— В (у) '	1-В(у)
Из (14) получаем
оо
W (з, <7) = Ро (<7) + Р (Р (8), У, q) dy,
о
где
J e~s“duB(u + y)
Из доказательства теоремы 2 следует, что
р (z, у, q) = [ 1 —В (у) ]	X
X [<7 + а — ал (<?)]“1---..-1?.^--------
1 — z-ipfa + a— az)
Po(q) = [q + a — ал(у)]~‘. Следовательно,
<o (s, q) = [q + a — ал (<?)]-1 (1 + -
I J  P (? + g — gp (s)
₽(S)
OO OO
XIPWI-'JJ-"	+ y)dy} =
0 0
= [</ + a — ал (<?)]-1 (1 -г ---;
lV	J I p (*)-₽(? +a-a0(s))
OO	V
x J e~~sv dB (v) e-(<7-s+a—a₽(s))x dx^ =
0	6
= [q + a - ал (<?)]-1 (1 +	j
I 4 — $ + a — <ф (s) ) Утверждение а) доказано.
83
б). Дисциплина LIFO. Если в момент времени t система свободна (L(/)=0), то W(t)=0. Если £(/)>0, то где g — время дообслуживания требования, находящегося на приборе в момент t. Отсюда, учитывая утверждение в) леммы 2,. имеем	;
Р(1Г (t) <Х)=РО (t) + £ у, t) х
П—1 6	1
х j е~аи X лг- {х ~и} лв»(м) dy-О k=o
Отсюда
оо	оо о*	'
Ю (S, <7) = Ро (я) + | Р (1. У’ Я) [ ) e-s<"+“) х
6	0 0
оо
х X е~аи^Г~ dBy	d^k} (и) dy =
/?-0
= Ро (я) + j Р (1 > У> я) J е-О+а-“(S>Jи dBy (и) dy. о	о
.Но из доказательства теоремы 2 следует, что
р(1- Я) = [1 — W)]e~w at1‘ZpJl(g))1 + а —ал(9)]-*. Следовательно,
® (S, я) = [<7 + а — ал (су)]—1 j 1 +	X
оо оо
X J j e-qyе-^а~ап^иdtlB (и + у) dy^ = о о
= [q + а - an (q)]-' (1 + -fl(1	.
1	1 — Р (<7) q — s — а + an (s) /
в). Справедливость соотношения, связывающего функции (o(s, q) и y(s, (?), следует из равенства
V(t) = W(t)+B
(W(t) и В — независимы, В — длительность обслуживания требования), справедливого для обеих дисциплин FIFO и LIFO.
Следствие. Пусть pi = a0i< 1, тогда существуют
V(t)=>V, t—oo, причем функции
со (s) = Me~sVr, v (s) = №e~sV определяются no формулам:
84
а)	при дисциплине FIFO
O)(s) = (l- P1)-------1-Т7Г’	(I5)
s — a + ap (s)
v(s) = w(s)p(s);
б)	при дисциплине LIFO
(0(5) = (1 -P1) +	,	(16)
s + a — ал. (s)
v(s) =(o(s)P(s).
5.2. Доказательство теоремы 3 основывалось на знании распределения случайного вектора (L(/), В теореме 4 на примере дисциплины FIFO мы продемонстрируем другой метод, для которого знание указанного выше распределения не требуется. В следующей главе этот метод будет применяться в более общей ситуации (для систем с приоритетами) как в случае дисциплины FIFO, так и LIFO.
Введем следующие обозначения:
№(л)(*/1, ..., Z/n, T1, ..., Tn) =P(W(T1) <4/1,
w (Ti + r2)<y2, ... ,W ((£ T,.) < t/n),
/=1
®(n) (Si...sn, qv ... , qn) = [ ... J exp {— £ q^ X
6	0
X M [exp {— (sxIF(tJ + s2W (rx + r2) + ... + s„№(£ x»))}] dxi  dxn-i=l
Теорема 4. При дисциплине FIFO функции ci)<n>(Si,... ..., sn, qi,...,qn) определяются из рекуррентных соотношений
<o(l)(si, qi) =(o(sb qi) = [<?i + a — aji(^i)]-‘X
x L + a IP to) - л (?1)] |
I	<7i — Si + fl — flP to) J ’
(0<n>(si,..., Sn, qi, qn) = [qn — Sn + a — ap(sn)]-1X
X f <o(n-1) (sp .... sn-2, sn-t + sn, qt, ... , <?n_i) — ——-—— x
I	Qn + a — an (qn)
X ............Sn—2, Sn_i + qn +a — cm(qn), qv ... ,<7„-t)|, n >2.
Доказательство. Найдем сначала распределение сл.в. IF(Z), если W'(O) =х (в условиях теоремы 3 VF(O)=O, так как предполагалось, что в начальный момент система свободна). Положим
©w (s, 0 = М [e-^w/IF (0) = х],
85
со<*> (s, q) = f e~^ (o(x) (s, t) dt.
6
Докажем, что
t
(s, /) = e(s-a+o|3(w e-sx — s j Pq} (u) e^-a+a^s^-^ du,	(17)
X
где
I 0.	“<'
I P(IT(u)=0/IT(0)-x), u>x.
Воспользуемся методом введения дополнительного события. Будем считать, что в систему поступает пуассоновский поток «’катастроф» с интенсивностью s>0, который не требует обслуживания и не влияет на обслуживание требований. Тогда p(s) можно интерпретировать как вероятность того,, что за время обслуживания требования в систему не поступали «катастрофы».
Условимся называть каждое поступающее требование «хорошим», если за время его обслуживания не поступали «катастрофы», и «плохим» — в противном случае. Тогда каждое требование является «хорошим» с вероятностью 0(s) независимо от остальных. Следовательно, потоки «хороших» и «плохих» требований являются пуассоновскими с интенсивностями а0($) и а[1—P(s)] соответственно.
Соотношение (17), переписанное в виде
t
e-fl(l-P(s))/ e-sx = е-^х)	J pW е-а(\-ши-и) d (1 — e-su),
х
вытекает теперь из следующих рассуждений. Для того чтобы за время t не поступали «плохие» требования и за время х — «катастрофы» (вероятность чего равна e~a{i-^st^e~sx), необходимо и достаточно, чтобы:
1) либо «катастрофы» не поступали за время	ве-
роятность этого события равна
e~s/(i)Jx)(s, t);
2) либо первая «катастрофа» поступила в интервале (и, -\-du), x^u<t, причем в этот момент система была свободна (и, следовательно, все поступившие до момента времени и требования, а они уже обслужились, «хорошие») и за время t—и не поступали «плохие» требования; вероятность этого события равна
j (и)	d (1 -e-su).
X
86
Умножая (17) на e~qt и интегрируя по t от 0 до оо, получаем m \ e~SX ~ Sp‘°X> (<7) ® (s’ =-----------------------------5------Г77
q — s + а — яр (s)
(18)
где
оо
<’(<?) = ^e-otp^dt.
О
Рассмотрим уравнение (относительно s) : q—s-|-a—ap(s)=O. Очевидно, функция s(q)=q-[-a—an(q) является его решением. Так как при Re<?>0 Re(p-Ra—ал(р))>0, то co(x)(s, q) при s = q + a—an(q) ограничена. Но это возможно только в том случае, когда
e~sx— spo{x)(q) =0 при s = q + a — ax(q).
Отсюда находим р0(х)(р):
Po(Y)(^) = [q + a — атх(у)]~[е~^+а~а*Шх.
Подставляя найденное значение ро(х)(^) в (18), получаем
z	— (q+a—ax(q)) х ,
<dW (s, q) = [<7 — s + a — a₽ ($)]“1 e~sx-----------— •
I	Q + a —	(Q) )
Легко показать, что W(t) — однородный марковский процесс. Следовательно,	/) = Р(№(/) <у\ №(0) =х) представляет
собой его переходную функцию и
F(n’(z/i,..., уп, Т1, ..., тп) =
= j w(u} (ун, хп) duW{n~'} (z/p . . . , Уп-2, и,хг.т„_,). (19)
о
Полагая ш(п’ ^(Si,	sn—2, уп-\, q\,^n-1) =
— f • • - J exp {— £ <7л} M [exp {— (sjUZ (T1) + s2IF (tx + x2) +
6	0	i=l
+ ... + Sn_2W	I Ti) Уп— 1) j • • • dxn_ 1,
1=1	i=l
из равенства (19) получаем
(sp ... , sn, qv ... , qn) = f e~s^y^ (sn, qn) X
6
X	) (Sp • • • > sn_2, Уп—ь ?p • • • > qn—i)-
Ho
r	—(<z+a—an(«))x )
®(x) (s, q) = [q — s + a — af} (s)]~1 e~sx-------------} •
l Я + a — an (?) I
87
Следовательно,
io<n>(si,s„, <7i,..., qn) =
= [<7„ — sn + a — ap (s„)]~1 {J | е~{3п-1Уп-^пУп-^ — 0
__________SJ1_______e-sn_i^n-i е-^п+а-а^п^Уп.1 I x qn a — ал (qn)______j
X dyn^ti) ) (sp . . . , Sn—2, Уп—ъ Qi> ...» Qn—1) | =
[Qn $n ~b #	(2^ (SAI)] 1	1) (Sp ... , Sn—2, sn—i 4"Sn, Qi> ... , Qn— 1) "
— an(Qr^ qlt ... ,(?n_i)j.	
6. Метод вложенных цепей Маркова. Одним из наиболее распространенных методов исследования систем массового обслуживания является метод вложенных цепей Маркова. Сущность метода заключается в рассмотрении изучаемого случайного процесса (вообще говоря, немарковского) в специально подобранные моменты времени, значения процесса в которые оказываются связанными в цепь Маркова.
В этом пункте этот метод будет использован для анализа системы М | G111 оо при дисциплине FIFO.
Занумеруем требования в том порядке, в котором они поступают в систему. Пусть /v(N=l, оо) — момент окончания обслуживания Мго требования, /о=О, Т№=6г—/я-i, Af>l.
Так как входящий поток пуассоновский, последовательность {LN, N>1}, LN = L(tN+O), образует цепь Маркова. Положим
Ро (*) =
pN (k) = Р (Ln = k), PN (z) = MzLn,
p(w, z) = £ wnPn (z), w=o
P$(kv ... ,k,„ ult...,un) =
— P (Ln =	... » L,M-\-n—1 ~	> • • • » ^N-\-n—1 < ^n)>
(z1( ... ,zn>Sl, ... , Sn) = M [П A w+i“‘ exP {— £ W+/-1}]. i=l	/=1
W'.y и Kv — соответственно время ожидания до начала обслу-88
живания и время пребывания в системе N-ro требования, (0V (S) = !Ae~s^N, vN (s) = Me~sVN,
(0* (w, s) = WNWn(s'), V* (w, s) = WNVn(s).
N=\	N=\
Теорема 5. а). Функции PN(z), u)n(s) u vn(s) удовлетворяют соотношениям
zPN+i(z) = [PN(z)—PN(0)+zPN(0)]$(a—az),	(20)
w(s) = [₽(s)]“‘^v(l-(s/a)),	(21)
vN(s) = ww(s)p(s).	(22)
б)	. При Res>0, |z|cl, | w| < 1 функции p(w,z), m*(®,s) и v*(w,s) определяются no формулам
n _ Z + (z-l)»P(g-fl-)[l —(pH]'1	/9 ox
{Wt s) = ^[^.0	,	(24)
a — s —	(s)
у*(до, s) = о>*(до, s)P(s),	(25)
где ф(до) — единственное решение функционального уравнения ф(до) = до£(а— охр (до)), аналитическое в области |до|<1, где |ф(до) | <1.
в)	Функции pN(n) (zi,zn, sn) определяются из рекуррентных соотношений
рО) (2, $) = [/>„_. (z)—Pn—i (0)]	+
+ Pw_i(0)—— p(sna-a2).	(26)
s -f- a
pb(n)(Zi, Zn,	S„) =
= [pW<n-‘>(Zi, .... £„-2, Zn-iZn, Si, Sn-i)~
-(zp ... , г„_2, о, sp ... , s„_,)]	+
+ Pn~'} (21> • • • - 2«-2> 0, S1( . . . , s„_!) —-— P (s„ -T- a — az„).	(27)
Sn 4- a
г)	. Если pi = api<i, существуют пределы Ln=^L, Wn^W, Vn=>V, N-+00, lim pN‘n> (Zi, zn, Si,sn) =p(n)(zi,zn, sn), (V-> =»
причем функции P(z)=NlzL, ш (s) = Me~sU7, n($)=Mrsl' onpe-
89
деляются соотношениями
Р (z) = (1	OP (° — аг) (	(28)
z — (3 (а — az)
“(s)= —(1~F1)ft\ ’ v ® = <0 (29> s — а -г ар (s)
а функции p(n)(zi,zn, Si,sn) определяются из рекуррентных соотношений
p('\(z> s) = (1 —p1)z-'p(s + a— az) I .(г-1)р(а-аг) + ~~--J I
I 2 — р (а — az) s-^a |
(30) p‘n)(zi,.... zn, sltsn) =
= [p'"-’) (Z1,	Z„-2. Zn-lZn, S|, Sn—1) —
- p<-') (Zp ... , Zn_.2, 0, Sp ... , Sn_,)] Pfa + a-^) +
._.p(n-i)(Zp ... .z„_2, 0, Sp ... ,sn_i)—-—₽(s„ + a — azn). (31)
Sn + Л
Замечание. Функция ф(^), введенная в формулировке утверждения б) теоремы, представляет собой одну из важных характеристик изучаемой системы обслуживания — производящую функцию числа требований, обслуженных за период занятости (см. задачу 5).
Доказательство теоремы 5. а). Докажем сначала, что
Pn+\ («) = V Pn (/г) е~а* { \ dB (х) + ^rJ	’	(/г — k + 1)!
/г-1	0
90
+ Рлг(О) \e-^№-dB(x).	(32)
I	п\
о
Пусть Р^} = Р (La4i = ЦЬн = 1), тогда по формуле полной вероятности
п+1
pN+i (п) = £ pN (k) р№ I- pN (0) р№, k=\
но
С е-- z(gy~^'- dB (х) = Ркп, 1 < k < п + 1.
J (п —/?+ 1)! о
Действительно, при (7V-]-l)-e требование находится в системе в момент окончания обслуживания TV-го. Поэтому для того, чтобы после окончания обслуживания (Л^4-1)-го требова
90
ния в системе стало п требований, надо, чтобы за время обслуживания (TV-Fl)-ro требования поступило п—&+1 требований (действительно, k было, одно (TV-pi-e) обслужится, и, чтобы стало п, надо, чтобы поступило п—&+1).
Аналогично
Pijn’ = f е-ах dB (х) = Рйп.
J п\ о
Итак, (32) доказано. Умножая его на zn и суммируя по п от О до оо, получаем
Pw+i (г) = V zn У pN (k) f (Qr) ,  + dB (х) + А-J	1	(n — k+\y.
n=0 k=\	0
+ PN (0) ( V	e-°* dB (x) =
J J n\ 0 n=0
k=\	n=k— I 0
oo
+ Pn (0) e^a~a^xdB (x) =
0
= z^ [PN(z)~PN(0)]$(a—az) + Pv(0)p(a—az),
что эквивалентно (20).
Докажем теперь, что
PN (z) = (Ojv (a—az) 0 (a—az).	(33)
В силу того что принята дисциплина FIFO, требования, которые остаются в системе после окончания обслуживания TV-ro, поступили в систему после него, но до его ухода из системы, т. е. за время ожидания и время обслуживания TV-го требования. А именно этот факт (в терминах производящих функций) и выражает соотношение (33). Полагая а—az=s, получаем (21). Соотношение (22) является тривиальным следствием того, что время пребывания в системе TV-ro требования представляет собой сумму двух независимых случайных величин: его времени ожидания и времени обслуживания.
б). Умножая (20) на и суммируя по АТ от 0 до оо, получаем
z(p(w, z)— 1) =wp(w, z)fi(a—az) +
4- (z—\)$(a—az)wp(w, 0), или
p = z+	Q) .
z — (a — az)
91
Рассмотрим уравнение (относительно z):
z=w$(a—az).
Используя теорему Руше, легко показать, что оно имеет единственное решение z = q(w) в области |до|<1, причем в этой области |p(w)|<l. По теореме о неявной функции (p(w) — аналитическая функция при |w|<l.
Функция p(w, z) ограничена при |z| <1, в частности при z=q(w). Но это возможно только в том случае, когда
q (w) + (ф(с^) — 1)0 (а—aq(w))wp(w, 0) =0. Отсюда
p(w, 0) = [1—<p(w)]-1.
Соотношения (24) и (25) являются тривиальными следствиями (21 )и (22) и принципа аналитического продолжения.
в). Докажем соотношение
P# (k, и) = У pN^ (п) I e~ax	dB (х) +
4J	J	(k — п-j-l)!
п= 1	О
и u—v
+ P/V-1 (0) J \ е-ах—e-av).	(34)
0(u) 0(х)
В левой части (34) стоит вероятность того, что после окончания обслуживания W-го требования в системе осталось k требований и интервал времени между уходом из системы N—1-го и TV-го требований меньше и. Это событие осуществляется в том и только в том случае, когда:
1) либо после окончания обслуживания N—1-го требования в системе осталось п (п>1) требований; тогда интервал между уходом из системы N—1-го и TV-го требований равен длительности обслуживания N-ro требования, и необходимо, чтобы это время было меньше и и за него поступило k—n-f-l требований; вероятность описанного события равна
п=\	•- О
2) либо после окончания обслуживания N—1-го требования система стала свободной. Тогда интервал между уходом из системы N—1-го и ЛТ-го требований равен сумме двух случайных величин: интервалу времени между поступлением W—1-го и Лг-го требований и времени обслуживания N-ro требования. Сумма этих времен должна быть меньше ц, и за время обслуживания должно поступить k требований; вероятность описанного в 2 события равна
и U—V
pN-i (0) j f е~ах dB (х) d (1 - e~av).
0(у) 0(х)
92
Из (34) получаем
у zk С e-^duP{S(k, и) = k=0 о
00	00	ь 11
“ £ г‘ !>- (") (^w7r'„+„. dBM +
МШ	yfi - Ц, —|— 1 j J
fc=0 n=l	О
ОО	оо	и
+ Pn^\ (0) У zk J e~sa ае-а^и-х) е~ах dB (х) du.
k 0 0(u)	0(х)
Отсюда
pfl (z, s) = [PN_X (2) - PN-X (0)]	+
+ PN_X (0) p (s -ь a - az), s+ a
что доказывает (26). Доказательство (27) аналогично.
г). Как уже отмечалось, последовательность {LN, Af>l} образует цепь Маркова. При выводе соотношения (32) мы нашли матрицу вероятностей перехода (Pjj) за один шаг этой цепи:
оо
Poi= \е~аХ	j^O,
О
м
ра = ( е~ах ~(^ +>1), dB W при / > г — 1, i 1, о
Рц = 0 при j<i—1.
Отсюда следует, что рассматриваемая цепь Маркова однородна, неразложима (так как из любого состояния i с положительной вероятностью можно перейти за один шаг в состоянии i—1 (при f>l) i, и за конечное число шагов в состоянии i—2, i—3,..., 0) и непериодична (так как в каждом состоянии i можно с положительной вероятностью остаться на следующем шаге). Положим Хг = ф1>0. Тогда при f>0
Рцхз ~ № 1 + Pi ~ Ф1 Pi О aPi) ~ xi е» /=®
где e = Pi (1—afh) >0 при a0i< 1. Далее, при i = 0
£ PojXj = atf < оо.
/=о
Следовательно, выполнены условия теоремы 4.5 Введения. Отсюда следует существование предела LN=>L, N-^oo, причем
£ P(L-^) = 1. fe=0
93
Отсюда следует существование limPA,(z)=P(z), Р(1) = 1,
и в силу (21), (22), (26), (27) существование VN=>V, N^oo, lim pv'"' (г,, ..., zn, Si..sn) =p<n>(z,,..., zn, si,..., s„).
N -* oo
Переходя к пределу при tV->oo в (20), имеем р = |Р(0) (z-l)P(a-a?) z — (3 (а — а~)
Так как Р(1) = 1, отсюда следует, что Р(0) = 1—a0i. Далее, из! (21) имеем (при 0<s<a)
®(S) = [р(S)]-• Р |Т — — j == -(1~,gpl)s а / s — а + ар (s)
Используя принцип аналитического продолжения, доказываем справедливость этого соотношения при всех s, таких, чтя Res>0. Остальные утверждения пункта г) теоремы являются простыми следствиями (28), (26) и (27).	
7. Задачи.
Задача 1. Доказать, что ПЛС длительности периода занятости системы М | G1111 определяется по формуле
Я ( = .(* ,+ ?) P(?± g\ s + ар (s + а) Задача 2. Найти ПЛС длительности периода занятости системы Д41 G1112. оо
Задача 3. Найти p(z, s) = f e~stMzL{t)dt в системах:
a) Af| G| 1|0, б) М| G| 111.
Задача 4. Найти MIF, DW7 в системе Л4| G|/|oo.
Задача 5. Рассмотрим систему М | G| 1|оо. Пусть Ф — случайное число требований, обслуженных за период занятости, ф/, = Р(Ф = /г), ф(г)=Мгф.
Доказать, что ф(г) удовлетворяет уравнению	
ср(г) =гр(а —аф(г)).
Задача 6 (продолжение). Показать, что при	•
ч n / \	1 hr	1	1 I а	. a —2k-H	;
a)	В x = 1 - e~b* ф,. --- — C1-'	— . I 1-r- — !	;
k 1 \ b	b
б) В (X) -	0,	x < b-1	a k—i l*T'	I
	1,	x >b-'	k\	c
94
Задача 7. Используя пункт г) теоремы 5, найти ПЛС интервалов времени между последовательными уходами из системы требований.
Задача 8. Используя метод вложенных цепей Маркова, найти стационарное распределение числа требований в системах:
a) AI|G|1|1, б) Af|G| 1 |2, в) Л11 G11 | п, п>1.
§ 2.	ДИСЦИПЛИНА РАЗДЕЛЕНИЯ ВРЕМЕНИ
1.	Введение. Описание системы. Одной из интересных и важных дисциплин обслуживания является дисциплина разделения времени. Ее описание следующее. Каждому требованию, поступающему на прибор, выделяется некоторое, вообще говоря, случайное время (квант), в течение которого оно обслуживается. Если в течение этого кванта времени требование не успело обслужиться, оно возвращается в очередь (мы будем рассматривать случай возвращения в конец очереди) и ожидает до тех пор, пока не используют свои кванты времени требования, находящиеся в очереди перед ним. При новом поступлении требования на прибор ему выделяется новый квант, и оно продолжает обслуживание. Если за этот квант требование закончит обслуживание, оно покидает прибор, в противном случае возвращается в очередь, и т. д.
Наиболее простая математическая модель соответствует случаю, когда кванты времени, выделяемые требованиям, являются независимыми и одинаково распределенными сл.в. и для полного обслуживания одного требования необходимо случайное число квантов v, имеющее геометрическое распределение:
P(v = fe) = (l— р)р*~\	£>1.
Именно такую модель системы с разделением времени мы изучим в данном параграфе. Другой очень важный специальный случай дисциплины разделения времени будет изучен в следующем параграфе.
Пусть а — интенсивность входящего потока, В(х) — ф.р. кванта времени, выделяемого каждому требованию при его поступлении на прибор.
Рассматриваемую дисциплину обслуживания можно интерпретировать следующим образом (этой интерпретации мы в основном и будем придерживаться в дальнейшем). Длительность обслуживания каждого требования есть сл.в., стохастически эквивалентная сл. в. В,
В(х) = Р(В<х), p(s) =№e~sB.
После окончания обслуживания принимается решение: считать требование обслуженным или отправить его в систему для повторного обслуживания, причем с вероятностью 1—р каждое
95
требование считается обслуженным и с вероятностью р направо ляется на повторное обслуживание, независимо от остальных; требований и числа предшествующих поступлений на прибор' данного требования.
Полное время пребывания требования на приборе (или, в старой интерпретации, его время обслуживания) имеет ф. р. Я(х), преобразование Лапласа — Стилтьеса которой h(s) равно
Определения случайных процессов L(t), W(t), V(t) и периода занятости такие же, как в § 1. Определения процессов {Ln}, и {Vn} несколько отличаются. Определение {LN} будет дано в п. 5.
В этом параграфе мы ограничимся изучением процессов £(/), №(t) и {Ljv} и периода занятости. Исследование процессов V(/), {ITjv} и {Vjv} существенно более сложно.
Для характеристик указанных процессов сохраним обозначения § 1.
2.	Период занятости. Уравнения для определения преобразования Лапласа — Стилтьеса длительности периода занятости jt(s) и многие его свойства аналогичны свойствам периода занятости системы М | G111 оо с дисциплиной FIFO. Основные результаты, относящиеся к периоду занятости, содержит
Теорема 1. а). Функциональное уравнение
л($) =p(s + a —шг($)) [рл($) + (1— р)]	(1) :
определяет единственную функцию n(s), аналитическую в области Res>0, в которой |n(s) | <1. Если	1—р, то л(4-0) =
= 1, в противном случае л(+0)<1.
б)	. Функция n(s), определяемая уравнением (1), может быть представлена в виде
л (s) = e~st аП (/),
6	j
где П(/) — неубывающая функция ограниченной вариации, причем при aPid—рП( + оо) = 1, при api> 1—р П( + оо)<Ц
в)	. Функции П(/) и л(5) имеют смысл соответственно функ-ции распределения (при api>l—р — несобственной} и пре^ образования Лапласа — Стилтьеса длительности периода заня< тости.	’
г)	. Математическое ожидание длительности периода занятое-* ти равно 4-оо при яР1>1—р и равно	।
Pi[l—р — tfpi]”1 при «Р1<1—р.	j
Доказательство. Для любого s, Res>0, рассмотрим] уравнение
z = p(s + a — az) (pz+ (1 — р)).	(2)1
96
Левая и правая части аналитичны в области, содержащей круг [z| <1. При |z| = 1 Re(s-|-a—az)>0 и, следовательно,
|0(s + a — az) (pz+(l — р)) |<p(Re(s + a — az)) < 1 = \z\.
По теореме Руше отсюда следует, что функции z и z—0($ + -)-а—az)-(pz+(\—р)) имеют одинаковое число нулей (т. е. ровно по одному) в круге |z| <1. Следовательно, при Res>0 уравнение (1) определяет единственную функцию л($), такую, что |л(«) |<1. По теореме о неявной функции л($) — аналитическая функция в области Res>0.
Вводя последовательность функций (для действительных 5>0)
jto(s)=0,
Лп+1(«) =₽(s + a —ann(s)) (pnn(s) + (1— р)), n^>Q, точно так же, как в теореме 1.1, доказываем вполне монотонность n(s) и, следовательно, существование неубывающей функции П(0, такой, что
n(s) = p-s'dn(/).
6
Докажем, что л($) представляет собой ПЛС длительности периода занятости. Это можно сделать многими способами. Наиболее прост, по-видимому, следующий. Очевидно, длительность периода занятости не зависит от порядка обслуживания требований. В частности, можно считать, что требование, для которого необходимо повторное обслуживание, становится в начало очереди и, следовательно, сразу же поступает на прибор. Таким образом, распределение периода занятости в рассматриваемой системе совпадает с распределением периода занятости системы М | G111 оо с дисциплиной FIFO, в которой интенсивность входящего потока равна а, а ф. р. времени обслуживания — Я(х). Из теоремы 1.1
л($) = h(s + a— ajt(s)), где
Ms) = jb£m. ’ 1—pp(s) Отсюда
л (s) ~	^—P)P(s+a—an(s))
1—p0(s-|-a—an(s)) что эквивалентно (1). -
3. Длина очереди.
Теорема 2. Функция p(z, s) при |z|<1, Res>0 определяется по формуле
p(z,s) = [s + а — ал, (s)]-1 (1 + а ^~^(s'^a~az^ х (	s-\-a—az
х __________z—n(s)_________1
1— 2-1(гр+(1— p))p(s+a—-az) /’
4 В Ф Матвеев, В. Г. Ушаков
97
Доказательство. Рассматривая изменения состояний процесса (L(/), x(t) в интервале (/, ^+А) и устремляя А->0^ так же, как при доказательстве теоремы 1.2, получаем
дР(п, х, t) , дР(п, х, t) г , /мп/	,
— ' '	+------~~  = — а + Т] %) Р (п, х, t) +
dt	dx
+ (1 — dn,i )аР(л—1,х,/),	(3>
t
dP(0,f) = _aP(Qt + (1 _p) | p(i>x>/)T)(A;)dX)	(4)
dt	J
0
f
P (n, +0, t) = p P (n, x, t) t](x) dx 4-
.	6
t
+ (1 — p) j P(n + 1, x, t)r\(x)dx + 6„,i aP(0, t),	(5)
oi
P(n, x, 0)=0, P(0, 0) = l.	(6)
Переходя в (3) — (5) к производящим функциям и преобразованиям Лапласа по t и учитывая (6), имеем
Х’ S) = — [s + a — az + r](x)]p(z, x,s),	(7>
dx
p (г, 0, s) — z-1 [pz + (1 — p)] j p (г, x, s) n (x) dx + о
+ 1 — (s + a — az)p0(s).	(8>
Решение (7) имеет вид
p (z, X, s) = [1 —В (x) ] e~(s+a-az)Xp	Q, s) .
Из (8) получаем
p(z, 0, s) [1 — г-1 (pz+ (1 — p))'P(s + a — az)] =
= 1—(s + a —az)po(s).
В силу теоремы 1 отсюда получаем po(s) = [s + a —ал(з)]-1, p{z о з) =_____________________a{z-n(s))---------------..
v ’	[s+a—an(s)][l —г-1(рг+(1—p))P(s-ba—az)]
Используя соотношение
p (z, s) = Po (s) + j P (z’ s)dx^ Q
получаем утверждение теоремы.
98
Следствие. Пусть a£i<l—р, тогда а) существует предел
L(t)=>L, >оо,
причем производящая функция числа требований в системе в стационарном режиме — P*(z)=JAzL — определяется по формуле
Р* (г) = (1 — р —a0j)
(z—1) ft (a—az)
2—[pz+(l—p)]p(a—az)
б) первый момент числа требований в системе в стационарном режиме равен
2(1—р—ар2)
+
Доказательство проводится точно так же, как доказательство следствия к теореме 1.2.
4.	Виртуальное время ожидания.
Теорема 3. Функция ш(s, q) определяется по формуле
<> («> Я) = [<7 + а — ал (q)]-1 [ 1 +	X
(	q—s-f-a—ap(s)
• х p(s)-P(<7+a-ap(s))	)
0(s)—P(q+a—aP(s))lpP(s)+(l—P)]J’
Доказательство. Очевидно, соотношение, связывающее функции P(IF(/)<x), Р0(О и Р(п, у, t), будет точно таким же, как в системе М | G111 оо с дисциплиной FIFO (см. (1.14)):
P(UZ(0<x) = Po(0+£ [P(n,y,t)x n=l О
х [В*("-» * BJ (x)dy.
Отсюда
® (S, Я) = ро (я) + J Р (Р (s). у. я) dy. о
Но
Ро(я) = [я + а — ал(у)]~{, p(P(s),y, q) = [1 — В(у)]ехр (q + a — a0(s))y)X _________;_________e(P(s)--X<?))________________
X [q+a_an(q)][l_(₽(s))-i(pp(s) + (l_p))p(q+a-a₽(S)) *
Следовательно,
<o (s, q) = [q 4- a — ал (q)]-1 f 1 + —-«(P(s)—я(<7))--------x
I P(s)-[pP(s)+(l-p)]p(<7+a-aP(s))
4*
99
X J J e-su e~^+a~a^s'>’>y duB (u + y)dy — [<7 + a — ал (<?)]-* {1 j-0 0
q(P(s)-n(g))	p(s)-p(9+a-ap(s))	j
q—s^a—af>(s)	₽(s)—[p₽(s)+(l—p)] 0(p+a—a₽(s)) J ’
что и требовалось доказать.
Следствие. Пусть а01<1—р, тогда существует предел
W(t)=>W, t-+oo, причем функция
(о($)=Ме-^ определяется по формуле
= (1 -p-afi,) [1 +	X
I (S-----a-raP(s))
P(s)—P(a—gp(s))	I
P(s)—P(a—aP(s))[pP(s) + (l—p)] Г
5.	Метод вложенных цепей Маркова. Как мы уже отмечали, определение случайной последовательности {Ln,	не-
сколько отличается от данного в § 1. Это отличие заключается в том, что мы будем рассматривать число требований в системе в моменты окончания квантов обслуживания. Пусть Л, tz, tn,... — последовательные моменты окончания квантов обслуживания, /о=О. Положим LN = L(tN + 0) (т. е. LN — число требований в системе сразу после окончания N-ro кванта; если требование, которое находилось на приборе в течение этого» кванта времени, требует повторного обслуживания, оно входит в Ln).
Обозначения характеристик последовательности {LN, Л^1} те же, что в § 1, т. е.
Pn (n) = Р (L^= п), PN (z) = Mz£jv,
p(w,z) = wnPn(z), n=o
p(n) = lim pjv(a), P(z) = lim Pjv(z).
N-+-
Теорема 4. а). Функции Pn(z) определяются из рекуррентных соотношений
Po(z) = l,
zPn+i (z) = [Ря (z) — Pn (0) + zPn (0) ] X
X0(a — az) [pz+(l — p)],	N>0.
б)	. Функция p(w, z) определяется no формуле
.	г+(г—l)w0(a—аг)[рг+(1—p)][l—(pfsn))-1
z—ьу[рг+(1—p)]₽(a—az)
100
где ф(а») — единственное решение функционального уравнения ф(к>) = w [рф (w) + (1 —р) ]р(а— аф(до)), аналитическое в области |о<| <1, в которой |ф(а>)|<1.
в)	. Пусть api< 1—р, тогда существует предел Ln=>L, N-*-oo,
причем
Р (т\ =	- (1—Р—аР1)(г-1)Р(д—аг)[рг+(1—р)]
1 ’	г- [рг+(1-р)]р(д—аг)
Доказательство, а). Пусть р&* (£=0, оо) — вероятность того, что за время обслуживания одного требования поступило k требований. Как мы уже видели,
о
Тогда, используя определение последовательности {Ln, и формулу полной вероятности, имеем
гг-4-l
pN+1 (п) = £ pN (k) p;_fe+1 (i — р)+ fe=l
n+1
+ Е ph*)pup+pHO)[p;(i - р) + p;_ip], п > 1, (9) fe=l
Ры (0) = [РУ (1) (1 - р).+PN (0) (1 - р) ] ро*. (10)
Умножая (9) на zn, суммируя по п от 1 до оо и прибавляя (10), получаем
zPN+i (z) = [Py(z) — Py(0).+ zPy(0)J X
XP(a — az) [pz+1 — p)].	(11)
б). Умножая (11) на &yN+1 и суммируя no N от 0 до оо, получаем
/	. = F z+(z—l)wP(a—az)[pz+(l—р)]р(а>, 0)
z—tt>[pz+( 1—р)]Р(а—az)
Используя теорему Руше, легко показать, что уравнение z=w[pz+ (1 — p)]p(a — az)
имеет единственное решение z=q>(w) в области |w|<1, где |ф(да)|<1. По теореме о неявной функции ф(&у) аналитична при |<1.
Так как функция p(w, z) ограничена при |г|<1, необходимо, чтобы
ф(аи) + (ф(а>) — 1)дор(а — аф(ш)) X X (РФ(ау) + (1 — р)]р(ш, 0) =0,
10J
отсюда
p(w, 0) = [1—ф(ау)]-1.
в). Цепь Маркова {Ln} однородна, неразложима и непериодична (это следует из вида матрицы (Рц) вероятностей ; перехода за один шаг, которая фактически получена при выводе соотношений (9) и (10)). Положим xi = ifit. Тогда при i>0
£ Puxf = (i + apj ₽r — (1 — p) 0! =	— (1 — p — apj) Pi = xt — e,
/=o
где e=(l—p—aPi)Pi>0 при ap±<l—p. Далее, очевидно,
oo	*
?oixi < °°>
/=o	:
и, следовательно, выполняются условия теоремы 4.5 Введения. Отсюда следует существование пределов
Ln=>L, TV-^oo, £p(L = £) = l,	j
k=Q	j
lim Pn(Z)=P (г), P(l) = l.	!
2V->OO	i
Следовательно, используя уже доказанное утверждение а) тео j ремы, имеем
р м = (z-l)P(a-az)[pz+(l-P)]P(O)	!
Z— [pz+(l— p)]₽(a—az)	’	1
Из условия Р(1) = 1 находим Р(0) :Р(0) = 1—р—a0i.
Замечание. Из результатов теоремы 4 и следствия к> теореме 2 следует, что стационарные распределения процессов) L(t) и {Ln} не совпадают.	-
6. Задачи.
Задача 1. Найти DII, DL, JAW и D№.	’
Задача 2. Найти производящую функцию числа квантов j обслуживания, выполненных.за период занятости.
§ 3. ДИСЦИПЛИНА РАЗДЕЛЕНИЯ ПРОЦЕССОРА
1. Описание дисциплины. Рассмотренный в предыдущем па-| раграфе частный случай дисциплины разделения времени не-сколь'ко искусствен. Его отдельное изучение объясняется, с одной; стороны, относительной простотой анализа и, с другой, — иными' интерпретациями этой системы обслуживания (одна из которых указывалась в предыдущем параграфе), имеющими больший самостоятельный интерес.
Анализ систем обслуживания с дисциплиной разделения времени при общих предположениях относительно распределе-102
ния времени обслуживания и величин квантов обслуживания очень сложен. В этом параграфе мы рассмотрим важный частный случай дисциплины разделения времени — дисциплину разделения процессора (в литературе ее также называют дисциплиной равномерного разделения процессора или прибора). Неформально эту дисциплину обслуживания можно описать следующим образом: величина кванта обслуживания в дисциплине разделения времени, выделяемого каждому требованию, устремляется к нулю. Это приводит к одновременному обслуживанию всех находящихся в системе требований, причем если в течение некоторого времени Т в системе находится k требований, то оставшееся время обслуживания каждого из них убывает на величину T/k. Другими словами, общий ресурс обслуживающего прибора равномерно распределяется между всеми требованиями, имеющимися в системе.
Более точно дисциплину разделения процессора можно описать с помощью понятия скорости обслуживания (с помощью этого понятия можно ввести большое число дисциплин обслуживания, представляющих значительный интерес при изучении работы вычислительных систем).
Скажем, что требование, поступившее в систему в момент t, обслуживается со скоростью с(х), если время его пребывания в системе V связано с временем его обслуживания В (при изучении описываемого класса дисциплин В чаще называют длиной требования) равенством
J с (х) dx = В. t
Дисциплина обслуживания задается набором скоростей {^1п, ^2п, •••» Спп\ П= 1, 2, ...},
где Chn — скорость обслуживания £-го по порядку поступления требования, когда в системе находится п требований, причем п
cin = 1. Последнее условие означает, что ресурс прибора
постоянен и распределяется между имеющимися в системе требованиями пропорционально cin.
В множестве введенных дисциплин обслуживания изученная ранее дисциплина FIFO, например, задается набором скоростей с1п=1, с2п= ... =спп = 0. Дисциплина разделения процессора задается набором скоростей с1п = с2п= ... = сПп=11п.
2. Основные результаты. Пусть L(t) — число требований в системе в момент времени Z, хД/) — остаточные времена обслуживания требований, находящихся в системе в момент времени t (1=1, п, если А(/) =м),
Pk(t) = P(L(t)=k),
Pk (хр ... ,xkt) = dk .— Р (L (0 = k, ху (tj<xv ... , xk(t)<xk), дхг ... дхь
103
a — интенсивность входящего потока, В(х), Ь(х) и 0£ — соответственно ф. р., плотность распределения и i-й момент времени обслуживания требования.
Теорема 1. Если a0i< 1, то существуют
lim Pk(t)=Pk /-►оо
lim Ра (%],xk, t)=pk(xi...xft),
/-►oo
причем
pk= (1 —001) [«01]k,
k
Pk (xv .... X*) = (1 — O0i) ak П [1 — В (xf)].
1=1
Доказательство. Легко показать, что случайный процесс
(L(0, х,(/),...,х£(0(0)
является однородным марковским процессом. Рассматривая возможные изменения его состояний в интервале (t, Н-Д), имеем
Pk (xv . •. , Ха ,t + Д) = Ра(хх + — k д + — У f Ра-х (хх + — 4		— k Ла J к1\ 1 k	. k(k—1) /=1 0 . А ,	« X/+1+ k + k(k-l) ’•••’**+ fe-H A/(fe+l) + ^-)d(l-e-’“)+ j] J Ра+1| /=1	0 + 	+ Отсюда k дРк(хх	xk,t)	1_ dt	k L /=1 k =-aPA(xlt ...,Xa,O + -^J]^ /=1 H-l ...,Xa,O&(X/)+	УРа+1(Х; к-f-1 /=1	, ... ,Xa + —, Л [1 — аД] + л / х. . А +	а	 ’rl k	k{k—\) ' — +			, t\b(xJ + k	k(k—1)	) \ 1 f , A—и	Л , A—и /1+ [k '	X/-11 ~ k 'u' t}dt + o(&). dPk(xi, ... ,xk,t) _ dx/ ^-i (xi> • • • >	x/+i» • • • p ...»X/-i> 0, Xy, ... , xkf t).
104
Случайные процессы L(t) и Xi(t),являются регенерирующими, точками регенерации служат моменты окончания периодов занятости. Легко показать, что выполняются условия теоремы 4.4 Введения. Отсюда следует существование пределов
limPft(0=Pfe, /-►ОО
limPft(xi...xk, t)=pk(xi....xk),
t~+oo
причем при a0i<l 2рь=1. В силу равномерной ограниченности k=0
(по t) Pk(xi,..., Xk, t) (которая следует из (1)) отсюда следует существование
lim dPk{X1....= 0.
/-►оо	dt
Пусть условие a₽i<l выполнено. Переходя к пределу при /->оо в (1), имеем
k
 1 у	_ api (Xj.....Х1) +
К Лш	OXi
/=1 k
+ Y S Pk"L(X1.....Х'-р Х'+1> - --’xk)b	+
/=1 k+1
Ч—^+i (xi> • • • » xj-i> xb • • • » xk) •	(2)
/=1
Так как oo	oo
Pk = f • • • ^Pk(xv • • .,xk)dxl... dxk, 6	0
TO OO oo	00
•••	...,xk)dx1...dxk, = l.	(3)
fc=OO	0
Решение (2) записывается в виде k Pk(xv ... ,xk) = cakY}[\—B(xi)]	(4)
t=l
(это легко проверяется непосредственной подстановкой (4) в (2)). Из условия (3) находим с:с=1— afh. Как уже отмечалось, оо	оо
Pk = [ • • • J Pk (*i. ... ,xk)dx1... dxk. о	о
105
Подставляя сюда полученное в (4) выражение для ... ...,х&), имеем
pk= (1 — a₽i) [a₽i]k.	
§ 4.	ДИСЦИПЛИНЫ ПАКЕТНОЙ ОБРАБОТКИ ТРЕБОВАНИЙ
1.	Введение. Описание дисциплин. Широкий класс дисциплин обслуживания, имеющих важное значение при моделировании реальных систем, образуют так называемые дисциплины пакетной обработки. Сущность дисциплин пакетной обработки заключается в следующем: все поступающие в систему требования объединяются в группы требований — пакеты. Обслуживание пакетов происходит в порядке их формирования. Среди требований одного пакета принимается какая-либо дисциплина обслуживания. В этом параграфе >мы рассмотрим следующие дисциплины внутри пакета: LIFO {инверсионный порядок), RS {случайный порядок), дисциплину разделения процессора и дисциплину дифференцированного обслуживания (точные определения будут даны ниже).
На функционирование системы обслуживания с пакетной обработкой, помимо дисциплины обслуживания внутри пакета, существенное влияние оказывает способ формирования пакета. В данном параграфе мы рассмотрим один из наиболее важных и распространенных способов — естественное формирование, которое заключается в следующем: требования, находящиеся в системе в момент / = 0 (если они есть), образуют нулевой пакет. Если в момент / = 0 система свободна, нулевой пакет образует первое поступившее требование. Пакет с номером N ,{N^\) составляют требования, поступившие за время обслуживания {N—1)-го пакета, а если ни одного требования за это время не поступило, первое требование, поступившее после окончания обслуживания {N—1)-го пакета.
Как уже отмечалось, требования пакета с номером N—1 обслуживаются раньше требований пакета с номером N. Для требований одного пакета будем рассматривать следующие дисциплины:
LIFO — требования одного пакета обслуживаются в порядке, обратном их поступлению в систему;
RS— требования одного пакета обслуживаются в случайном порядке, а именно: пусть пакет состоит из k требований. Тогда с вероятностью 1/fe первым будет обслуживаться любое из них, вторым — с вероятностью 1/(6—1) любое из оставшихся и т. д.;
дисциплина разделения процессора — все требования одного пакета обслуживаются одновременно со скоростью (относительно понятия скорости обслуживания см. § 3) 1/&, если одновременно обслуживаются k требований;
дисциплина дифференцированного обслуживания — каждому требованию, входящему в пакет с вероятностью р, при-106
св айв а е тс я первый приоритет и с'вероятностью 1—р — второй независимо от остальных требований. Требования первого приоритета обслуживаются раньше требований второго. Требования одного приоритета обслуживаются в порядке их поступления в систему.
2.	Основные обозначения. Пусть а — интенсивность входящего потока, длительности обслуживания требований — независимые в совокупности случайные величины, стохастически эквивалентные сл. в. В,
P(s)=Me‘sB,	Р/ = МВ\
7(2) — момент начала обслуживания, а т(г)— момент окончания обслуживания /-го пакета, —число требований, входящих в i-й пакет, V(t) —виртуальное время пребывания в системе в момент /, т. е. время, которое находилось бы в системе требование, если бы его поместили в систему в момент времени t.
При рассмотрении дисциплины разделения процессора будет также изучаться случайная величина Vx(t)—виртуальное время пребывания в момент t для требования с временем обслуживания х, а при рассмотрении дисциплины дифференцированного обслуживания—%•(/) —виртуальное время пребывания в -системе в момент t для требований /-го приоритета, / = = 1, 2.
Пусть L(t)—число требований в системе в момент t. Положим
Qjmw (//) =,Р (7W<u, ЛГ(ЛО = jf L (Z)-до,
Л=[Л°), TW) |^(°) = m, Г°) = 0) при />1,
QOmW(u) = P(x^<ut L(T^-1))=0, L(0=#0, te[r<0),T^-1))|7V(°) = zn-, F°) = 0)>
^jm (s) = J e~sudQ^ (“)’ № (s. z) = g z>q^ (s), V (y, t) == P (V (t) < y),'~ vS.s, q)^e-4tJAe-sV{t) dt.
о
Краме того, для дисциплины разделения процессора
У(у, х, t) = P(Vx(t) <у),
v (s, х, q) = e~qt JAe dt, о
а для дисциплины дифференцированного обслуживания
V,(M)=P(V/(0<iO,
107
v^s,q) = Je-^Me~sVi(i)dl. о
Пусть, далее,
V(y, t) = P(O<V(t)<y, L(r)>0, tg[O,/)|L(O) = 1),
V(y,x, t) = P(O<Vx(t)<y, L(t)>0, tg [0, O|L(0) = l), Vi(y, t)=P(0<Vi(t)<y, L(t)>0, t«=[0, t) |L(0) =1), v(s, q) = Je-4iM [e-sV& I (L (т) > 0, те [0, t))/L (0) = I] dt, 0
a (s, x, q) = J M [e~sV^l) I (L (т) >0,те [0, t))/L (0) = 1] dt,
^.(S, q) = Je-«M[e-sV'<z,/(A(T)>0,Te[01 t))/L(0) = oj
3.	Совместное распределение времени начала обслуживания N-ro пакета и числа требований в нем. Функция введенная в п. 2, определяется по одним и тем же формулам для всех рассматриваемых дисциплин обслуживания внутри пакета и существенно используется при определении виртуального времени пребывания в системе.
Введем последовательность функций
йо($, z) = z,
Лп+i (5, z) = р (s + а — ahn (s, z)), n>0.
Лемма 1. Функции qm{N}(s, z) определяются no формулам
4^Hs,z)=h^(s,z)—h^_l(s,Q),
Доказательство. Доказательство леммы разобьем на несколько этапов.
1.	Докажем, что функции qm(N)(s, z) удовлетворяют рекуррентным соотношениям
(s, z) = q£-» (s, р (s + а — az)) — q<"-» (s, 0),
?(0)(v)=z«	(1)
Докажем первое соотношение (второе очевидно). Воспользуемся методом введения дополнительного события. Будем считать, что в систему поступает пуассоновский поток «катастроф» с интенсивностью s>0. Тогда qjm{N)(s) можно интерпретировать (как вероятность того, что TV-й пакет состоит из / требований (при /^1), до момента начала его обслуживания
108
система не освобождалась и в нее не поступали «катастрофы», при условии, что в момент t=0 началось обслуживание нулевого пакета, который состоял из т требований. Функция ^om(2V)(s) имеет следующий вероятностный смысл: это вероятность того, что после обслуживания (W—1)-го пакета система впервые освободилась, до этого 'момента не поступали «катастрофы», при условии, что нулевой пакет состоял из т требований и его обслуживание началось в момент / = 0.
Справедливо соотношение
ОО	00
(8) = S (8) f ^<s+a)0	dB’‘ (v),	(2)
/= i	b
Введем события Ai = {N^N~^ = lf до начала обслуживания (N—1)-го пакета не поступали «катастрофы» и система не освобождалась, за время обслуживания (N—1)-го пакета не поступали «катастрофы» и поступило / требований}.
Тогда, очевидно,
Ai(]Aj = 0 при Z=/=/,
<?<">(s) = Ер (ЛХО> = т> Т™ = °)-z=i
Но при /^1
P(Ai/NM = m, Т<<» = 0) =
= ?ta-1)(s) f e-(s+a)0	(и),
о
Таким образом, (2) доказано. Умножая (2) на zi и суммируя по j от 0 до оо, получаем (1).
2.	Докажем теперь, что
hN(s, z) =hN_x (s, p(s + a — az)).	(3)
Воспользуемся методом математической индукции. При Af=l
(s, z) = p(s + a —аЛ0($, z)) = p(s + a —az) =
= /io(s, P(s + a — az)).
Предположим, что (3) выполняется при N = k, и докажем, что оно выполняется при М = &+1. Действительно,
/i^(s, p(s + a —az)) ==p(s + a —ай*_1($, p(s + a — az))).
По предположению индукции
hk-i(st fi(s + a— az)) =-hk(s, z).
109
Следовательно,
hk(s, p(s+a— az)) = p(s + a— ahk(s, z)), и, значит,
hk(s, p(s + a —az)) =/ift+i(s, z).
3.	Докажем теперь утверждение леммы. Воспользуемся методом 'индукции. При JV= 1 из (1) имеем
(s, Z) =	(s, p (s + a — az)) —(s, 0) ,
но qmm(s, z) =zm, следовательно, qmw(s, fi(s+a —az)) = [$(s + a —az)]m, qmw(s, 0) =0.
Далее, hi (s, z) =p($ + a — az), ho(s, 0)=0.
Следовательно,
qm(l)(s, z) =him(s, z) — hom(s, 0).
Предположим, что для всех k^N
(s> z) = h™ (s, z) — h™_x (s, 0).
Докажем, что
<4T+1) (s, z) = Л«+1 (s,[z) — h™ (s, 0).
Из (1) имеем
(s, z) = qW (s, p (s + a —») — qW (s, 0).
В силу предположения индукции
(s> z) = h™ (s, z) — h™_x (s, 0).
Следовательно,
q<£} (S/P (s + a — az)) =	(s, p (s + a — az)) — h™_x (s, 0),
^>(s,0) = /i-(S, 0)-ft-_1(s,0).
Отсюда	'
<7*пЛ'+1) (s«z) = hN (s> P (s + a — az)) — h™ (s, 0).
В силу (3), hN(s, P(s-j-a — az)) =hN+i(s, z) и, следовательно, <4JV+1) (s, z) = h^+l (s, z) — h™ (s, 0)	fl
4.	Виртуальное время пребывания в системе в момент t. Теорема 1. а). Для дисциплины LIFO
v (s, q) =-----! 1 -|----------------X
[g+a—an(q) (	q—s—a+ap(s)
X J hn (q, p (s + a — ap (s))) — hn (q, p (<?))] j n=0
110
v(s,q) = [q + a — an (q)]-1
P(s)
i (s> Я) =	,
q+a—an(q)
a
\fl—s+ap—ap$(s)
б). Для дисциплины RS
v (s, q) =--—----[ 1 н--------!-----X
q+a—an(q) (	(q—s)(l — ₽(s))
0(1—₽(S)) oo
X J У PM<7.P(* + Y)) — hn(q, p(<7 + y))Ny}. 0	n=0
в). Для дисциплины разделения процессора
P(s)+^-£ Je’s‘x
n=O0
x [hn (g, p (s + a — ay (s, x))) — hn (</,'0 (q + a — ay (s, x)))] dB (x) j,
где у (s, x) = J dB (y) + e-sx [1 — В (x)].
0
г). Для дисциплины дифференцированного обслуживания v
х 2 [hn (q, р (s)) — hn (q, $(q + ap — apfi (s)))] j n=0	*
v2 (s, q) =--------11 H-------------------------X
q+a—an(q) [	q—s+a(l— p) —a(l—p)p(s)
GO
x 2 [hn (q, P(s + ap — apfy (s))) — hn (q, p(g + a — ap (s)))] }. n=0
Доказательство теоремы 1 основывается на следующих леммах.
Лемма 2.
а)	. Для дисциплины LIFO
м
»(s> = ------1 У fAn (9. Р (s + a — ap (s))) — hn (q, p (?))].
q—s—a+ap(s)
n=p
б)	. Для дисциплины RS
_	a[l-p(s)J o.
V^S’ = PhS) rz и f У	P(s+Y)) — Ш P(<7+Y)>]dy.
(q—s)a[l— p(s)]	J
0 n=o
в)	. Для дисциплины разделения процессора
00
v (s, х, q) =	У [hn(q, p(s+a—ay(s, x)))—h„(q, $(q+a—ay(s, x)))].
q—S
n=Q
111
г)	. Для дисциплины дифференцированного обслуживания j 00
(s. q) =----, P(S) ft, . У lhn	P (*)) —hn{q, ${q+ap — ap$ (s)))], ’
q—s-\-ap—app(s)
n=0
q—s-ba( 1—p) —a( 1—p)₽(s)
00
x 2 ^hn № + aP—(s)))—hn (q> P (q + a — aP («)))]• n=0
Лемма 3. Для дисциплин LIFO, RS и разделения процессора
v(s, q) = [q+a — ajt(q)]~‘ {fi(s)+av(s, q)};
для дисциплины дифференцированного обслуживания
vt(s, q) = [q+a — an(q)]-1 {0(s) +au,(s, q)}, i= 1, 2.
Доказательство леммы 2. Рассмотрим каждую дисциплину отдельно.
а)	. Дисциплина LIFO. Докажем справедливость соотношения
СО ОО ОО t t-±-y
n—Oj—\k=OQ t
X ta(0-<)]. B’(*+D (t + у — v) dQff («) dv B'i (v — u).	(4)
В левой части (4) стоит вероятность того, что виртуальное время пребывания в системе в момент t меньше у и до момента t система не освобождалась, при условии, что в момент / = = 0 в системе было одно требование. Это событие эквивалентно объединению следующих попарно непересекающихся собы- } тий Anj, (п^О, /^1) :АП] = {в момент t происходит обслуживание п-го пакета, состоящего из j требований, 0<V(t)<y> i L(t)>0, te[0, t)/L(O) = 1}. Но так как функция распределения длительности обслуживания пакета, состоящего из / требований, есть	и время пребывания в системе виртуаль-
ного требования складывается из его времени обслуживания и длительностей обслуживания требований, поступивших после момента /, но до момента окончания обслуживания п-го пакета.
оо t
f	'“V* x
~ J (u) J (о)	Ы
k=0 0 t
X	(t + у — v)dQ}p (u)dvB'! (v — u).
112
Из (4) находим
ОО ОО 00 оо оо
»<“•’)-SSSLL,,£”'e”’x
п= 0 /=1 £=0 О О
t t+y
х f f	g—a(o—0	d «♦(*+!) (t + у _ у) x
J(u) J(u)	kl
0 t
X dQff (u)d0B*> (v—u)dt.
Меняя порядок интегрирования, получаем
V
V
п=0/=1/г=0 0	и и v—t
X e-a^-t)	dyB^k+" (t + у —v) dQW (и) d0B*i (v — u)dt.
Отсюда oo 00 00 oo	v
’(s' ’>= £ S L, JM L> e“'s+°'“w'”’ x n=0 /=1 0	и	и
X	s—a+afi(s) )₽ 0 (s) rfQjn) („) dj>B4 (V — u) dt,
ИЛИ
?M =----------ew^yyc f e-«x
,q—s—a+aP(s)	J	(u) J (o)
n—0 /=10 и
X [e-(s+a-a₽(s))(»-«) _ g—<7(0—u)] dQW («) dvB"> (v — u) =
----E Mn> (?.₽(« + «- «₽ (8))) - q[n> (<b ₽ (<?))] .
q—s—a+flp(s) 4J
л=0
Воспользовавшись леммой 1, получаем
v (s’	=--------«7 T У1Л" (‘Z. ₽ (s + « — op (s))) - hn (q, 0 (9))].
q—s—a+ap(s) м
n=0
б)	. Дисциплина RS. Для данной дисциплины V(y, t) определяется формулой
__	4Ю ОО ОО t t-\-y
=	f,_, fw «-'"-X
п=0 /=1/г=0 0 f.
x [Q(V~K)1' .-l—[B(t + y-v) + B*2(t + y-v)+ ... +
kl	k-J-1
11a
+ (t +у — v)] dQj? (и) dvB*> (v — u).
Отсюда
oo oo
*(s’= ---------ПтЦтГГ И E ’(<?) x
(q—s)a[l— P(s)] AJ JU '*
n=Q /=1
x f [e-s* — e-^] 	dB,j (y)
' J	V
Ho
a(l-p(s))
1-exp {-Q(l-P(s))v} = J e-t^dy.
0
Следовательно, a[l—p(s)) oo oo
(s’ = ~1—ПГЧ77Г =	i	E E qn ’ W x
(<?—s)u[l—0(s)J	J	XJ ''
0 n=O/=l oo
X f [e-<s+v)« _ e-(<7+v)p] dB'i (u) dy =
J (o> 0 a[l—P(s)] oo
- (,-,).uL|>(.)i j JWMHWii+m 0	n=0
и в силу леммы 1
_	а[1—p(s)] oo
^(s>	= i—/п	u f S	P(s+y))—Ш ₽(<m))l dy.
(?—s)a[l—P(s)]	J
0	n=0
в)	. Дисциплина разделения процессора. Пусть некоторый^ пакет 'состоит из &+1 требования, одно из которых имеет время обслуживания х (х-требование). Обозначим через ^(х)^ время пребывания х-требования в системе начиная с момента' начала обслуживания пакета, которому оно принадлежит.! Тогда
оо оо о© I t-\-y
V(9,x./)= £££ j J,„ е-'”> X n=O/=lfe=OO t
X	Р (VA (X) < t 4- у - V) dQW (Ы) dvB'i (v - и).
Отсюда
оо ОО оо ОО ОО V
F(S.x.,)= L s L ,f(. Jm J,,/-" х
п=0 /=1 k=0 0 и и
114
X	dQ}? (u) dvB,f (v —u) di. (5>
k\
Найдем Me-S0*(x>. Случайную величину Vk(x) можно найти следующим образом: если т из k требований имеют время обслуживания меньше х (обозначим эти времена через Xi,...,xm) и k — т больше или равно х, то
vk(x) =Xi + ...+Xm+ (/г + 1 — т)х.
Далее, т требований из k имеют время обслуживания меньше х с вероятностью
Cft"’[B(x)]”’[l— В (х) ]*-"*,
и при выполнении этого события х\,...,хт независимы в совокупности и одинаково распределены с ф. р. B(i/)/B(x), OsQ/< <х. Следовательно,
Ме-”*(ж) = £ СГ[В (х)Г [1 - В (х)]*-" П	=.
т=0	/=1
= ersx {В (х) Me-sx‘ 4- e~sx [1 — В (х)]}\ но
Me-sx, _	(х)]-1 J e~sy dB(у), значит,
о
Me“so*w =e-sY(s,x), где
у (s, х) — J e~s« dB (у) + er~sx [1 — В (х)]. о
Подставляя найденное значение Me—S0*w в (5), имеем
y(s, х, q) =	(д) x
n=0 /=1
X [р/ (s + a — ay (s, x)) — P' (q + a — ay (s, x))] —
=	y,	a _ ay (s>	+ д _	(S> X))J ]
q—s лшЛ
n=o
г)	. Дисциплина дифференцированного обслуживания. Для данной дисциплины обслуживания справедливы следующие соотношения:
Ов ОО ОО t t~\-y ]w^a('-u)x n=0 j=\ k=0 0 t
115
1=0
X	y—v)dQW(u)d0B-i (v — u).	. (6j
oo oo oo oo t t~\~y wi=EE E EL, V-"-’x n=0/=l ^=0 fe2=0 0 t
fe2
,„, [3(„-f)|^ yc, , _
»,!	kJ. Zj
z=o
X В*(*НЖ) (f + у — v) dQ<ff (u) dvB't (v — u).	(7):
Переходя в (6) и (7) к преобразованиям Лапласа по t и преобразованиям Лапласа—Стилтьеса по у и произведя необходимые преобразования, получаем утверждение леммы 2 для дисциплины дифференцированного обслуживания.	
Доказательство леммы 3.
а)	. Дисциплины LIFO, RS и разделения процессора. Пусть Ро(О—вероятность свободного состояния системы в момент времени /, Р (и) du — вероятность поступления требования в; свободную систему в интервале (u, u-\-du).
Для всех рассматриваемых дисциплин справедливо соотно--шение
V (у, t) = Ро (/) В (Р)+ J Р(и) V (у, t- и) du, о
откуда
u(s, <7)=po(p)p(s)+p(p)u(s, q),	(8)
где	i
Ро (?) = f Ро (t) dt, p(q) = ] e-«t P (t) dt. о	0
Функция po(q) одинакова для всех рассматриваемых дисцип-^ лин и совпадает с аналогичной функцией для дисциплины FIFO:
Po(q) = [<74-а — ал(р)]-1,	/
где Ji(q)—преобразование Лапласа—Стилтьеса длительности периода занятости.
Найдем p(q). Так как у(0, q) = l/q, то
. (9) v(0, q)	V .
Из леммы 2 следует, что для всех рассматриваемых дисциплин
и (0, <7) = q-1 \hn (q, 1) — hn (q, 0 (<?))). n=0
116
Из пункта 2 доказательства леммы 1 следует, что
hn(q, p(<7))=/in+i(<7. 1)
Кроме того, из определения последовательности функций hn (•$, z) следует, что
lim ftn(s, z) =n(s) и ho(s, 1) = 1. n-><®
Следовательно,
v (0, q) =---—.
q
Подставляя найденное значение £>(0, q) в (9), получаем
p(q)—a[q + a — алО?)]"1.
Теперь из (8) имеем
v(s, q) = [q + a — an(q)]~‘ {0(s) + au(s, q)}.
б)	. Доказательство в случае дисциплины дифференцированного обслуживания аналогично.	И
Доказательство теоремы 1.
а)	. Дисциплины LIFO, RS и дифференцированного обслуживания. Утверждение теоремы получается после подстановки значений v(s, q), Vt(s, q) и v2(s, q), полученных в лемме 2, в соотношения, связывающие v(s, q) с v(s, q) и о<($, q) с Vi{s, q) из леммы 3.
б)	. Дисциплина разделения процессора. Утверждение теоремы является следствием лемм 2, 3 и соотношения
оо
v (s, q) = j" v (s, х, q) dB (х). Ц о
Следствие. Пусть ар,< 1.
а)	. Для дисциплин LIFO, RS и разделения процессора существует предел
t^oo,
а для дисциплины дифференцированного обслуживания — пределы
Vi(l)=>Vi, /->оо, i=l,2, причем функции
v" (s) = Me-sV, v* (s) = Me-sV('
определяются no формулам:
al) для дисциплины LIFO
ц; (s) = (i - ap,) ₽ (s) [ i - -- g x
l s 4- a — ap (S)
117
х £ [hn (0, 0 (s + a - O₽ (s))) - hn (0, 1)] j; n=0
a2) для дисциплины RS
V* (s) = (1 - apj P (s) {1 - [s (1 - p (S))]—1 x
a[l-₽(s)] о»
x J £ [M0,₽(s + y))-M0. P(y))Ny}; 0	n=0
аЗ) для дисциплины разделения процессора
и* (s) = (1 — api) (р (s) — as-1 £ J e~sx x
X [hn (0, p (s + a — ay (s, x))) — hn (0, p (a — ay (s, x)))] dB (x)|; a4) для дисциплины дифференцированного обслуживания ^(з) = (1 — apx)p(s) [1-—-х
I $-----&Р “г ^РР ($/
х £ [hn (0, Р (s)) - hn (0, р (ар - apt (s)))]), п=0
а
V2 (s) = (1 — apj Р ($) [1--------------------------------—— X
I s— a(l— p) + a(l — p)p(s)
X
2 [Лл (0. Р (s + ар — app (s))) — hn (0, р (а — ap (s)))] j. n=0
б)	. Среднее виртуальное время пребывания в системе стационарном режиме равно
61)	для дисциплин LIFO и RS
MV=p1 +------&----;
Н1Т 2(1—apj)
62)	для дисциплины разделения процессора
14-4ау х[1—В(х)] dB(x)
JAV = pl +----^2---------5----------------;
K1 2(1 -арх)	1 + аРх
63)	для дисциплины дифференцированного обслуживани для первого приоритета
MVX = рг +-----^2----1±£РР1_.
К1	1.2(1- api) 1 + арх
118
для второго приоритета
MV2 = рх +
002
2(1-000
1+(1 +p)a0t
1 + <201
5. Заключение. Предложенный в этом параграфе метод изучения систем с пакетной обработкой применим также к анализу других характеристик, например длины очереди и других дисциплин обслуживания внутри пакета. Одна из таких дисциплин в более общей системе, нем Л4| G| 11 оо, будет рассмотрена в следующей главе.
6. Задачи.
Задача 1. Доказать сходимость рядов, фигурирующих в формулировках теоремы 1, лемм 2 и 3 и следствия.
Задача 2. Найти DV, DV,.
Задача 3. Сравнить MV при дисциплинах RS и разделения процессора, когда
Ьх
а)	В (х) = j* e~udu, о
б)	В (х) = £ Pf (1 — е ь‘х), р(>0, j = 1, п, £ Pi = 1. i=i	i-i
Задача 4. Сравнить DV при дисциплинах LIFO и RS.
Литература: [2, 3, 10, 15, 18].
Глава 3. Одноканальные приоритетные системы обслуживания с пуассоновскими входящими потокам]
В предыдущей главе были изучены СМО с различным! дисциплинами обслуживания. Во всех этих системах неравно, правив требований возникало либо за счет того, что они посту пали в разные моменты времени, либо за счет разных реализа ций длительностей обслуживания.
Вместе с тем существует широкий класс реальных систем в которых неравноправие требований предполагается заранее! независимо от моментов поступления и длительностей обслу< живания. Примерами могут служить телеграммы различных категорий срочности, междугородные и внутригородские телефонные разговоры, отладочные и счетные программы на ЭВМ и т. д.	;
Математической моделью таких реальных систем служак системы массового обслуживания с приоритетами.
К настоящему времени построена достаточно полная тео^ рия одноканальных систем обслуживания с приоритетами и пуассоновскими входящими потоками. Анализу именно таких моделей и посвящена данная глава.
В первых двух параграфах вводятся различные приоритет-* ные правила и анализируются наиболее важные случайные процессы, характеризующие функционирование системы обслуживания. В § 3 иллюстрируется применимость метода вложенных цепей Маркова к анализу приоритетных систем» В § 4 рассматриваются две дисциплины обслуживания в приоритетных системах, использующие информацию о реализациях^ длительностей обслуживания. В последнем, пятом, параграфе главы решается простейшая задача об оптимальном назначе-i нии приоритетов.
§ 1. СИСТЕМА Мг | Gr 11 | оо.
ДЛИНА ОЧЕРЕДИ
1. Описание системы. В одноканальную систему обслуживания поступают г независимых пуассоновских потоков требований с интенсивностями а2, соответственно. Длитель-' ности обслуживания требований — независимые в совокупности случайные величины, стохастически эквивалентные для требований i-ro потока сл. в. Bit имеющей ф. р. ВДх) = Р(Вг<х) и плотность распределения b/(x), /=1, г.
Требования f-го потока имеют более высокий приоритет,, чем требования /-го потока при /</. Мы будем рассматривать следующие приоритетные правила.
1. Относительный приоритет (схема 0). Прерываний обслуживания не допускается. После окончания обслуживания сле-120
дующим на прибор из очереди выбирается требование наивысшего приоритета.
2. Абсолютный приоритет. Выбор требований из очереди после окончаний обслуживания происходит так же, как при относительном приоритете. Кроме того, если во время обслуживания некоторого требования >в систему поступает требование более высокого приоритета, происходит прерывание обслуживания, и прибор занимает поступившее требование. С требованием, обслуживание которого было прервано, можно поступать по-разному. Мы будем рассматривать следующие три возможности:
2а) прерванное требование теряется (схема А1),
26) прерванное требование возвращается в очередь на первое место среди требований одного с ним приоритета и при новом поступлении на прибор обслуживается заново (с новой реализацией времени обслуживания) (схема А2),
2в) прерванное требование возвращается в очередь на первое место среди требований одного с ним приоритета и при новом поступлении на прибор дообслуживается (схема АЗ).
Итак, требования разных потоков обслуживаются в порядке, определяемом выбранной системой приоритетов. Требования же одного потока обслуживаются в соответствии с принятой дисциплиной обслуживания. В этом и в двух последующих параграфах мы будем рассматривать две дисциплины: FIFO (прямой порядок) и LIFO (инверсионный порядок).
Если в формулировке какого-либо результата нет указания на дисциплину обслуживания, подразумевается, что он -справедлив для любой из двух указанных дисциплин.
2. Основные обозначения. Наличие требований разных приоритетов обусловливает необходимость более детального изучения состава очереди, чем это было в предыдущей главе. Пусть
L(0 = (A1(0.-, МО).
где Li(t)—число требований ьго потока (приоритета i) ® системе в ^момент времени t. Положим
P(n, t) =P(L(Z) =n), n= (m,tir),
p (z, s) = J e~stMzLw dt, z = (zr ... , zr), о
О/ = 01 +... + О(, <Tr = (T, О1 = Я/+1 +... + Or,
(a, z), = aiZi + ... + a1z,-,	(a, z)r= (a, z),
(a, z)‘ = a,+1zl+i + ... + arzr.
3. Вспомогательные результаты. В этом пункте будут введены и изучены различные функции, которые в дальнейшем
121
будут использованы при анализе длины очереди и времен^ ожидания. Кроме того, будет выяснен вероятностный смысл введенных функций.
Лемма 1. Система функциональных уравнений	i
k	_____ 1
(s) = ft (s + <тА — £ Я/Л*/®), i = \,k,	!
/=! ,
определяет единственные функции лн($), аналитические в об-< k	<r
ласти Res>0, в которой | лы(з) | < 1. Если pkl =£ a.Pii ’С 1 i=l
то Tiki (+0) = 1, в противном случае л/и(+0) < 1.
Лемма 2. Система функциональных уравнений k	i-i
ai( (s) = Pi (s + ck —	a/nki (s)) — у арП/,,- (s) x
/=i	/=1
1 — Pi (s + ak — 2 lainki (s))	_
X----------------, i = 1 ,k,	(1>
s + a* — 2 ajnkj (S)	.
i—i
определяет единственные функции лм(з), аналитические в об^ ласти Res>0, в которой |л*,(з)|<1. Если	'
Рн = а1₽и + ^[1-₽8(^)] + Oi	a*_i
то n*t-(4-0) = 1, в противном случае лм(+0) <1.
Лемма 3. Система функциональных уравнений
k
(s) = Pi (s + — У ai^kj(s)^ + Л*£ (s) X
k
i-i	1 — ₽i(s + afe —	________
X ^ainki (s)-----------, i = 1, k,
/=1	s+cr* —
/=*
определяет единственные функции аналитические в области Res>0, в которой | ям (s) | < 1 • Если
Pfci = aiPn Н [ “Т"7_"7	1 "I + . . . Н-— Г ——-- — 1 I < 1,
L Рг (а1) J	&k-i L Р/г (а/г-1) J
то n*i(4-0) = 1, в противном случае л*г(+0)<1.
Замечание. Решения трех разных систем функциональ-» ных уравнений мы обозначили одинаково. Как, будет показано.;
122 ,
позже, все они имеют одинаковый вероятностный смысл, но > при различных приоритетах. Поэтому без особых пояснений будет ясно, о каких именно функциях Tiki (5) будет идти речь в каждом конкретном случае.
Доказательство лемм 1—3.
1. Полагая
k
**(*) = У-^(5). Ok i=l
находим, что	__
лаДз) =Pi(s + cr^ —i= 1, k,
где ttft(s) удовлетворяет соотношению k
(s) = 2 aA(s +	(s)).
i=l
Поэтому утверждения леммы 1 вытекают из леммы 2.1.1 при а = а, p(s) = £ [a£/<r*]p( (s).
1=1
2. Пусть $ — действительное число, $>0. Положим
k
ng+,) (s) = pt. (s + <jk —	a/ЛМ (s)) +
7=i
Z-1	1 - pz (s + ak - 2 a/47 (s))	__
+ 2 a^i(s)--------------’ 1 = 1 ’ k' n > °-	(2)
/=1	« + <ТЛ— 2
/=<
Тогда 0 <	(s)	Jig.+1> (s) < 1, и ng> (s) — вполне монотонные
функции. Действительно, указанные неравенства выполняются при п = 0 (так как jig> (з) = 0,-(з + о*) и 0<р£(з+ал) <1) и nkt (s) — вполне монотонная функция.
Предположим, что указанные утверждения справедливы при n = N— 1, и докажем их для n=N. Имеем
k
л^+» (s) = р{ (з + ак —	(s)) +
/=i
f-1	1 — ₽z (S + ak — 2 а1я V’(s))
+ S<(«)-------------------->
z=i	s+ok — 2 a/4/,) (s)
123
(в силу 'предположения индукции	и	свойств функций pt (s)) |
k	z-i	1
+	+£МгЛ-1)(5) Х '
i=i	/=1
l-₽z(s+aft-S aX7-»(s))	'*
X ------------------------- = nW (s)-	i
s + ak — 2 ainkj~1} (s)
Кроме того, так как nW (s) — вполне монотонная функция (nd предположению индукции), то из (2) следует, что и п]^+Ч вполне монотонна.
Неравенство n^+1) (s) < 1 вытекает из предположения индукции	и цепочки неравенств
< Pi ($ + <Ть) +
s + Ok
k	i—1
Pi (s +	2	(s)) + S ainki’(s) x
Ш	/=<	/=1
l-pz(s + a*-2 a^(s)) x--------------------------
s+ok — 2 ainkp(s) j=i
'C Pi ($ + °л) + i — Pi (s +	= i •	!
Итак, существует предел
lim nW (s) = nki (s),
W->00	i
причем	Ttki(s) — вполне монотонная функция и
Kki(s) удовлетворяет системе уравнений (1). Доказательство: единственности этого решения при действительных s>0 вытекает из вида правой части в системе (1) и свойств функций' Pi(5).
Используя теорему о неявной функции и принцип аналитического продолжения, получаем существование, единственность и аналитичность решения в области Res>0.
Остальные утверждения леммы 2 доказываются так же, как в лемме 2.1.1.
3. Доказательство леммы 3 аналогично доказательству леммы 2.	|
В условиях лемм 1—3 функции льДз) могут быть представлены в виде
(s) = J e~stdnki (0> О
124
где Щг(О—«некоторая ф. р. (при ры> 1—несобственная). Это утверждение вытекает из доказанной в леммах 1—3 вполне монотонности функций llki(s).
Для того чтобы выяснить смысл ф. р. ЩДО» определим различные промежутки занятости рассматриваемых систелМ обслуживания (большинство из них будут использоваться при анализе длины очереди в системе с абсолютным приоритетом и дообслуживанием прерванной заявки (схема АЗ)):
П — период занятости — промежуток времени <с момента поступления некоторого требования <в свободную систему до следующего непосредственно момента освобождения системы;
Hk — k-цикл — промежуток времени, начинающийся с поступления на прибор требования приоритета k и заканчивающийся, как только система освободится от этого требования и всех требований более высокого приоритета;
Щ — k-nepuod— промежуток времени с момента поступления на прибор некоторого требования более высокого приоритета, чем 6-{-1, 'при отсутствии в системе других требований приоритетов 1, k, до момента освобождения системы от требований приоритетов 1, k\
ITfei — ki-период — 6-период при условии, что он начался с обслуживания требования приоритета i\
IWn) — kkn-nepuod — промежуток времени, начинающийся с поступления на прибор одного из п требований приоритета 6, находящихся в системе, и заканчивающийся, как только система станет свободной от требований приоритетов 1, k.
Легко видеть, что 6-период есть период занятости системы, в которую поступают только первые 6 потоков. Пусть П(0> Щ(<), Hk(t)—ф. р. периода занятости, 6-периода и 6-цикла соответственно,
п (s) = Me~sn, nk (s) = Nle~sY\ hk (s) =
В приводимой ниже лемме 4 устанавливаются полезные соотношения, связывающие функции л^(5), hk(s) и n^z(s) (функции 7tki(s) определены в леммах 1—3).
Лемма 4. а). Функции ЩДО и ftki(s), определенные в леммах 1—3, имеют смысл соответственно ф. р. и преобразования Лапласа—Стилтьеса ki-nepuoda для схем О и АЗ в условиях леммы 1, схемы А1 в условиях леммы 2 и А2 — леммы 3.
б). Для всех схем О, Al, А2, АЗ
k
nk (s) = У]—nKi (s)-i=l
в). Функция hk(s) определяется no следующим формулам: в схемах О и АЗ
hk(s) =$k(s+Qk-i — oc-iiTfe-i ($));
125
в схеме Al
hk($) = Ms +	+ [1 — Ms + <^*-1)] - -z'* 1— Jife-i(s);
s + ал-1
в схеме A 2
hk (s) = Ms + <U) [ 1 ~ q*-f*-1(s) {1 - Ms + ^-i)} s + a^-i
Доказательство. Утверждение а) леммы составляет содержание задачи 1.
Утверждение б) непосредственно следует из определения ял(5), ллДз) и формулы полной вероятности.
Докажем в).
в1. Схемы О и АЗ. Легко видеть, что в схемах О и АЗ распределения введенных промежутков занятости совпадают. Поэтому рассмотрим 'только схему 0.	;
На распределение длительностей £-цикла и k — 1-периода не влияет порядок обслуживания (в схеме 0) требований потоков 1, k—1. Поэтому при нахождении распределения этих промежутков занятости мы можем считать, что требования этих потоков имеют одинаковый приоритет и обслуживаются в инверсионном порядке.
Рассмотрим сначала промежуток занятости П^, начщ нающийся с обслуживания одного из N требований потоков
1, k—1, имеющихся в системе, и заканчивающийся, как толь^ ко система освободится от требований указанных потоков; Справедливо соотношение
Пл—1 = П1,л—1 + • • • + П^л—1,	(Зи
где {Пг,л-г,	независимы в совокупности и одинаково
распределены с ф. р. Щ-Дх). Действительно, так как выбрай инверсионный порядок обслуживания требований потоков
1, k—1, после поступления на прибор одного из N требований (назовем их начальными) следующее начальное требование может начать обслуживание только тогда, когда в системе останутся N—1 начальные требования. Очевидно, интервал времени 'между началом обслуживания первого и второго на* чальных требований имеет ф. р/Пл-1(х). Отсюда легко выводится (3).
Рассмотрим теперь структуру й-цикла. Его составляют, во-первых, длительность обслуживания требования приоритета k, с которого он начинается, и,.во-вторых, промежуток занятости системы обслуживанием требований приоритетов 1, k—1. Если; за время обслуживания требования приоритета k поступит /^1 требований приоритетов 1, k—1, то указанный промежу-^ ток занятости есть, очевидно, Пл-i, а если не поступит ни од-*
126
кого, то он равен 0. Следовательно,
X	оо X
Hk (х) = J е-а^а dBk (и) + £ ( е~°^и X о	z=l о
X Р (nl'L, < х - и) dBk (и).
Используя (3), отсюда получаем утверждение в) леммы для схем О и АЗ.
в2. Схема А1. В данном случае 6-цикл имеет значительно более (простую 'структуру, чем в предыдущем: если за время обслуживания требования приоритета 6, с которого начинается 6-цикл, не поступит требование более высокого приоритета, то по его окончании закончится и 6-цикл. Если же за время'обслуживания поступит требование более высокого приоритета, то 6-цикл состоит из времени с начала обслуживания до момента прерывания плюс длительность последовавшего затем 6— 1-периода. Итак,
X	’ X
Hk (X) = f e-W dBk (и) + j [ 1 - Bk («)] n*_! (x - u) d (1 - e'°^u). b	о
Отсюда
hk (s) = ’₽ft (s + <Tfe—i) + J e-sx J [1 — Bk («)] x о 0
X (x — u) d (1 —	(s + ak-1) +
+ 0к_1е~ак-1и [1 —Bk(u)]e-sudu^e-s^dxnk-i (x — u) = о	и
= Pft (s + (fk-1) +  1~P^s + (Tfe-^ Jtfe_i (s).
вЗ. Схема A2. Этот случай отличается от предыдущего тем, что если за время обслуживания требования приоритета 6 поступит требование более высокого приоритета, то, так как прерванное требование возвращается в очередь, 6-цикл Hk представим в виде
Ни —	+Нк',
где — время до прерывания, Щ-i — длительность последовавшего за прерыванием 6—1-периода, Нк — сл. в., стохастически эквивалентная Hk. Действительно, после окончания 6—1-периода прерванное требование вновь поступает на обслуживание (с новой реализацией длительности обслужива-
127
ния), т. е. мы находимся в этот момент в том же положении что и при первом поступлении.
Из сказанного следует, что	<
Hk(x) = ^e-a^udBk(u)+	.
о	
+ f [1 - Вк («)] П,_! * Hk(x - и) d (1 -
6
где Щ-1*Яй(х) —свертка Щ_](х) и Яь(х). Отсюда	j
hk (s) = Ра (s + Gfe-i) + [1 — P* (s + <Ta—i)]  °*~1 Лй-i (s) hk (s), | s + °k-l
ято эквивалентно утверждению леммы.
4.	Основные результаты. Как уже отмечалось, при исследо вании приоритетных СМО имеет большое значение более де тальное изучение состава очереди. Во многих случаях важн^ знать не только общее число требований в системе, но и сколь ко из них имеют определенный приоритет. Это приводит к не обходимости изучения многомерных случайных процессов В приводимой ниже теореме 1 и следствии к ней изучены ос новные характеристики случайного процесса L(Z) = (Li (/),.; ..., Lr(t)). Показано, что метод дополнительных компонент, ко торый мы использовали при анализе длины очереди в систем! Af I G| 11 оо, применим и к приоритетным системам.
В предыдущем пункте мы отмечали, что для одинаковых щ смыслу характеристик (но определяемых, естественно, из раз ных соотношений) для разных приоритетных дисциплин мы используем одинаковые обозначения. Поэтому в приводимых ре< зультатах надо брать именно то определение характеристики которое имеет место для данной приоритетной дисциплины.
Теорема 1. При	i=l, г, Res>0 функция p(z
s)	определяется по формулам:	’
а)	для схемы О	;
р(z, s) = [s 4- (Г— (ГЛ (s)]~1 [1 + У] +,?-<*> z)) Pi {г, s)),
I XJ s + a — (a, z)	J 1
i=i	।
где pi(z, s) определяются из рекуррентных соотношений
£ [ 1 - z-1 Pi (S + <7 — а/ (s, z'))] Pi (z, s) = az (s, z') — <гл (s), ;
«=Ж
где a/(s, zO =a;n/(s + a; —(a, z)/) + (a, z)^;	;
б)	для схем Al и A2
p (z, s) = [s + a — ал (s)]—1 [ 1 + V 1	p. (Z> S)L
I	s + d— (a, z)1*1	)
i=l
128
где Pi(z, s) определяются из рекуррентных соотношений
У {1 — гГ1 Р. (S 4- СТ — (a, z)‘-’) - zf	х
|	1 [s 4- a — (a, z)‘ 1
i=/+l
i—1
x I”сГ/л, (s + o' — (a, z )')’+	tzzzz | Pi (z, s) =
/=/+•
= O’/Л/ (s + o' — (a, z)') + (a, z)'\— m (s), j = 0, r — 1,
(0, для схемы Al,
1,	для схемы A2\
в)	для схемы АЗ
p(z, s) = [s + o— on(5)J-1 [l+on(z, $)], где on(z, s)=ornr(z, s), a n^(z, s), k=\, г, определяются из рекуррентных соотношений
Oknk (z, S) = Gk-^k-1 (z, s) +-- ^(Z’S) -— X
Zft— hk(s-\-ak x — (a, z)* i)
X{akzk + ok-\nk-\ (s + afe-' —(a, z)*-1) — — СТАЛА: (s+cfe — (a, z)*)},
kt (Z, S) = z. М.М^-1-М»)) x M(s + o*-'-(a. )*->
Х{1 +о^-1Л^-1 (z, <$)}, ]Ил. (s) = s + Ok-\ — Ok-\nk~\ (s), ^(5) =p^(|i4s)), no(z, s) =0. Следствие. Пусть pri<l, тогда существует предел L(/)=^L, /->00,
причем функция P(z)=MzL определяется соотношениями: а) в случае схемы О
р(z) = (I -рГ1) J1 - у .L-Mg-fr,?)) (Zj 0)|.
I	о — (a, z)	)
1=1
б)	в случае схем А1 и А2
Р (z) = (1 - рГ1) [ 1 - у	Pl (Z, 0)|;
I лшл о — (a, z)l~l	I
5 В ф Матвеев, В Г «Ушаков
129
в)	в случае схемы АЗ	I
P(z) = (1-Ph)[1+™(z,0)].	5
Доказательство теоремы 1.	Рассмотрим каждую прщ
оритетную дисциплину отдельно.	’
а). Схема О. Рассмотрим случайный процесс
(L(0, %(/), г(0),
где х(0 —время, (прошедшее до момента t с начала обслуживания требования, находящегося в момент t на приборе, еслв L (/)#=() и 0 — в противном случае; i(t) —номер потока, требо< вание которого обслуживается в момент t. Если в момент i система свободна, полагаем f(/)=0.
Так как входящие потоки — пуассоновские, введенный случайный процесс является марковским. Рассматривая измене^ ния состояний этого процесса в интервале времени (/, Н-Д). имеем
(РДп.х,/) = JLp(L(0 = n,	i(t) = i)]:
Pl (n, x + A, t + A) = Pi (n, x, t) [1 — (<r + T]t- (x)) A] +
+ £ (1 — S„.,o) OjPi (n — 1 j, x, t) A +
+ (1 - dn.,0 aPi (n - lt, X, t) A + о (b),	(4
где 1{=(0,...,0, 1, 0,...,0)—вектор размерности г, у которой: на i-м месте стоит единица, а на всех остальных — нули,
т).(О=Мх) [1 -
Р(0, / + А)=Р(0, /)[1— <тА] +
+ £ J Pi (If, X, t) П; (х) dxk + о (А),	(5
i=l О
Д г	г t	j
Pt (n, и, t + A) du = J? J Pi (n + I,-, x, t) T], (x) dxA +
0 1=1	1 = 1 0	I
-г£ ПЧ°Ч1а<Р(0’ОД + o(A).	(6)
i=l M‘	I
Из (4) — (6) имеем '	!
OP. (. X. о +	h W]Pi ln X1I} +
dt	dx
+ £ (1 -6„.,о)а/РДп- 1/, x, t) + (1 -д„.,1)аЛ(п- h. 0> (7) M*
130
= - <тР (О, /) + £ j Pi (hx.t) Л, (х)dx,	(8)
1 = 1 о
£ Pi (n, + 0, 0 = £ J Pi (n + 1,. X, t) П£ (x) dx 4-1=1	i=l 0
+ £ П^Ал^(0>0-	(9)
t=l /^fei
Переходя в (7) — (9) к производящим функциям и преобразо-
ваниям Лапласа по /, имеем
(р. (Z,
dp£(z, х, s) дх
= — [s + сг — (a, z) + л,- (х)] р{ (z, х, s),
(Ю)
£ р( (z, 0, s) = £ z-1 ( р( (z, х, s) л,- (х) dx + i=l	t=l о
+ 1 — (s + ст — (a,z))po(s).	(11)
Решение системы дифференциальных уравнений (10) записывается в виде
Pi (z, X, s) = [1 — Bi (x)] e-(s+<T-(a,z))x p. (Zj 0( s)
Подставляя полученное выражение для p,(z, х, s) в (11), получаем
£ U —zf’Ms+tf —(a, z))]Pi(z, 0, s) = 1 — (s + <r —(a, z))p0(s). (12) i=l
В силу того что требования Z-го потока имеют относительный приоритет перед требованиями /-го потока при К], функция Pi(z, 0, $) >не зависит от zh	Действительно, Рг(п,
+0, /)Д есть (с точностью до, о (А)) вероятность того, что в момент t началось обслуживание требования Лго приоритета и в этот момент в системе находится tij требований /-го приоритета, /=1, г. Если существует /=1, i—1, такое, что П/>0, то РДп, +0, t)=0, так как тогда в момент t были бы требования более высокого приоритета, чем i, и началось бы обслуживания не f-го приоритета, а более высокого. Отсюда вытекает, что р4 (z, 0, s) не зависит от гг_1.
Рассмотрим систему уравнений
zt = pt (s + o — (a, z)), i= 1, j.
5*
131
В силу леммы 1 она имеет единственное решение
<i=n/i(s + o7 — (a, z)7),	г/ = л//(5 + о7 —(a, z)7),
причем | ^//(s + o7 — (a, z)') | <1. При таких	функции
Р\ (z, 0, s),р) (z, 0, s) ограничены. Следовательно, подставляя в (12) вместо	соответственно .T/i(s + (j7—(a, z)7),...
л, /(s + o7 —(a, z)7), получаем
£ П — (s + О’ — °’/л/ (s + °' — (а- z)0 — (a, z)')] р, (z, 0, s) = i=/+i
= 1 — (s + о — Q/Л/ (s + o’ — (a, z)') — (a, г)1) ра (s).
Отсюда при j = r находим
p0(s) = [s + o — on(s)]-1.
Далее, из определения функций p(z, s), p0(s) и p;(z, + s) имеем
Р (z, s) = р0 (s) + £ J pt (z, x, s) dx, 1 = 1 0
или, используя представление p;(z, x, s) через pi(z, 0, s),
p(z, s) = p0 (s) + V1	<a’z)). p (Z, o; s).
4J s + o —(a, z) 1=1 '
Для доказательства утверждения а) теоремы осталось положить
* б). Схемы А1 и А2' Проведем доказательство для схемы А1, доказательство для А2 аналогично. Рассмотрим такой же * случайный процесс	;
(t(0, ^(0, ^(0),
как «в предыдущем пункте доказательства теоремы. Сохраним прежние обозначения.
В данном случае функции РДп, х, t) и Р(о, t) удовлетворяют следующим соотношениям:
Л(п, х + Д, / + Д) =РДп, х, t) [1 — (or+ v)z(х))Д] +
-Г £ (1 — ёП/,о)а/Р(п—1/, х,/)Д 4-
+ (1 —	— lz. X, ОД -г о(А),	(13)
132
P(0, t + А) = Р(0, /) [1 — <тД] +
+ f х> ОЛ,(x)dxh + о(А),	(14)
1 = 1 о
Ar	г t
J J (n’	+ A) du = j Pi (n + Ip x, t) T]f (%) dx& +
0 1-1	1=1 о
r i—1	t
+ £ £ (1 — 6n.,o)6Z/ J Pi (n + lf — 1/, x, t)dxA + i=2 /=1	0
+ S П^;.,о6„.,1а£Р(0,/)А + о(А).	(15)
i=l j#i
Из (13)—(15) получаем
dPi(n,x,i) , dPi(n,x,t) r ,	/ M n / jx .
dt ' + —-	' =-[(*+ n(- (X)] Pi (n, x, t) +
+ £ (1 - 6n;,o) afi (n - l/( x, t) + (1 -6„.(1) afi (n - 1 h x, t),
(16)
(17)
_ «Р (0, /) + J] j P. (1;, x, t) i),. (x) dx, i=\ 0
J] Pi (n, + 0, t) = j pi (n + Ip x, t) nf (X) dx + i=l	’	1=1 0
+S Sai (I _ pi (n+^ - ipx’ *)dx + i=2 /=1	, 0
+ J] П ^.obn.^iP (0, t).
(18)
Переходя в (16) — (18) к производящим функциям и преобразованиям Лапласа по t, получаем

- 1	? = — [s + о — (a, z)i-1 + t)z (х)] Pi (z, х, s),	(19)
дх
Pi (z, 0, s) =- g z-' J Pi (z, X, s) T]; (X) dx + i = l	i = l	0
oo
(a, z)t_i z-1 j Pi (z, x, s) dx + 1 — (s + o— (a, z)) p0 (s). (20)
1=2	0
133
Решение системы уравнений (19) имеет вид	(
р (z, х, s) = [1 —(х)]	pi (z, 0, s).
Подставляя полученное выражение в (20), получаем
J] Р — z-'P; (s + а — (a, z)t—1) — (a, z),_i z~x х 1=1
X .	+	р (z, 0, s) = 1 — (s + о — (a, z)) р0 (s).
s + a —(a, z)* 1 j
В силу леммы 2 левая часть последнего равенства обращается" в нуль при Zi = 7tri(s)f i=l, г. Отсюда получаем
Pq(s) = [s + o — сегЦз)]-1.
Далее, как и при относительном приоритете, показывается, чтгг функции рг(г, 0, 5) не зависят от zb..., Zi_\. Следовательно, по-, лагая
Z\ =nz-i (s + oz — (a, zp),..., Zj = na(s-Y(5j — (a, zp)
и используя лемму 2, имеем
[1 “ z~'Pi (s + <* — (а. г)1-1) ‘=/+iL
1 — Pt (s + а —• (a, z)**1) s 4- cr — (a, z)1’”1
X
__ (j/Я/ (s + & — (a* z);) + (a, z)/ — ал (s) s + а — ал (s)
Для доказательства утверждения б) теоремы достаточно . воспользоваться равенством
Г ОО
р (z, s) = р0 (s) + £ J Pt- (z, S) dx
i = l 0
и положить
pt- (z, 0, s) =-Pi(z\s^--.
s + a — ал (s)
в). Схема АЗ. Метод, использованный при изучении схем О, А1 и А2, непосредственно неприменим для схемы АЗ. Это связано с тем, что процесс (L(f), х(/), i(t)) не является в данном случае марковским: в момент t в системе могут быть требования, обслуживание которых было прервано, и необходимо иметь информацию о том, сколько им еще осталось дбслужи-ваться.
134
При изучении схемы АЗ будет использован другой метод, который применим и к изученным ранее моделям, но требует введения дополнительных понятий. Суть метода состоит в установлении зависимости длины очереди на различных промежутках занятости, введенных в пункте 3. Если про какой-либо промежуток говорится, что он отдельно взятый, -то время отсчитывается с начала указанного промежутка. Отдельно взятые 6-цикл и 6-период начинаются с одного требования, 66п-период — с п требований приоритета 6.
Для доказательства различных соотношений мы будем использовать метод введения дополнительного события. Считаем, что каждое требование «окрашивается», причем требование приоритета i (/-требование) считается «красным» с вероятностью Zi и «синим» — с вероятностью 1 — независимо от «цвета» остальных требований. Кроме того, считаем, что в систему поступает пуассоновский поток «катастроф» с параметром $>0, который не влияет на процесс обслуживания требований и сам не нуждается в обслуживании.
Используя дополнительные события — «окрашивание» и «катастрофы», функции p(z, s) можно придать следующий вероятностный смысл: sp(z, s) —вероятность того, что первая «катастрофа» поступила в систему, когда в ней не было «синих» требований. Пусть n(z, s), n*(z, s), s) имеют тот же смысл на отдельно взятых периоде занятости, 6-периоде и 6-цикле соответственно.
Докажем сначала соотношение
, .	1 4- ал (z, s)
р (z, s) = ———-——.
s + а — ал (s) Переписанное в виде
sp (z, s) ------1----—sn (z, s) H---— n (s) sp (z, s),
s + a s a	s+a
оно вытекает из следующих рассуждений. Для того чтобы первая «катастрофа» поступила, когда в системе нет «синих» требований (вероятность чего равна sp(z, s)), необходимо и достаточно выполнения одного из следующих попарно несовместных событий.
а)	Первой в систему поступила (напомним, что, по нашим предположениям, система свободна в начальный момент времени / = 0) «катастрофа» (тогда в системе нет не только «синих», но и вообще никаких требований). Так как поток «катастроф»— пуассоновский с интенсивностью s, а суммарный поток требований всех приоритетов — пуассоновский с интенсивностью а, вероятность указанного события равна s/(s4-a).
б)	Первым в систему поступило требование (с вероятностью о/($+а)); при этом возможны две ситуации:
1) «катастрофа» поступила в последовавшем периоде занятости, когда в системе не было «синих» требований (вероятность чего равна sn(z, s));
135
2) «катастрофы» в период занятости не поступали (с веро: ятностью	а поступили позже. Вероятность того, что по-
сле первого периода занятости «катастрофа»*поступит, когда в системе нет «синих» требований, равна sp(z, s). Это следует из того, что процесс L(/) регенерирующий, у которого точками регенерации являются моменты окончания периодов занятости.
Докажем теперь соотношение	\
<W(z. s) = Gk-iKk-i (z, s) -i---------—
г* —Ms + a* l — (a, z)*’i) I
+	(s <jk~l — (a, z)*-1) — <jknk (s + ck — (a, z)ft) 1. (2 Г
Введем функции s) и л^(п)(г, s), имеющие тот же вероятностный смысл, что и p(z, s), но на отдельных &£-периоде и Л/т-периоде (п — неслучайное число) соответственно. Тогда
(г, s) = hk (z, s)	+	’
Zk — hk(s + ak l—(a, z)'' i)
n<«>(z, S) =hk(z, s)
2fe — [nkk (s + a* — (a, z)»)]« z* — Ms + aw — (a, z)*~l)
(22$
(23У
Доказательство соотношений (22) и (23) составляет содержание задачи 5.	'
Докажем теперь, что
sn,k (z, s)	(z, s) + — snkk (z, s) + .
OO	QO
s4fe(z, s) f exp{—(s
о* ЛЛ	J
n=l	0
+ <jk — (a, z)*) u}
(aku)n n!
e~akudnk_i (и) J
(24Й
В левой части соотношения (24) стоит вероятность того, что' на отдельно взятом ^-периоде первая «катастрофа» поступила, когда в системе нет «синих» требований. Для выполнения этого события необходимо и достаточно, чтобы:
а)	либо требование, с которого начался ^-период, было требованием приоритета k (с вероятностью ; в этом случае-ft-период представляет собой ^-период, и внутри него первая^ «катастрофа» поступила, когда в системе нет «синих» требо-* ваний (вероятность равна sn^/Jz, s));
б)	либо требование, с которого начался ^-период, было тре-* бованием приоритета выше k (с вероятностью Ok-i/ck)- Тогда ^-период состоит из k—1-периода плюс kkN-период, где N—( число (случайное) требований приоритета й, поступивших за k—1-период. Первая «катастрофа» может поступить либо в k—1-периоде, когда в системе нет «синих» требований (вероятность чего равна sn^-Jz, s)), либо внутри ££М-периода, когда в системе нет «синих» требований. Вероятность последнего
136
события равна
snj$ (z, ^s) exp {— (s + ak — (a, z)*) u} e-~akudT}k-i (u).
n=l	о
Действительно, во-первых, за k—1-период не должны поступать «катастрофы» и «синие» требования приоритетов k-\--f-1, г, во-вторых, должно поступить какое-то число rf>l требований приоритета k (иначе ^-период закончится, и за него «катастрофа» не поступит), и в последовавшем /гйп-периоде первая «катастрофа» должна поступить, когда в системе нет «синих» требований.
Итак, соотношение (24) доказано. Для доказательства (21) достаточно подставить (22) и (23) в (24).
Для доказательства теоремы осталось показать, что
h (7	7	1 — Pfe (Hfe (* +	— (а, z)*"1) г 1	( u
\Z’ Ч s) — zk	,	...	.	.. n \1 ’	(Z, s)).
МНС* г — (a, z)*-1)
Это -соотношение, переписанное в виде
shk (z, s) = f [ 1 — Bk (x) ] exp {— (a*-1 — (a, z)*-1 + о
Jr (Jk-i (1 — (s 4- О*-1 — (a, Z)*-’)) X} x
X d (1 — e~sx) + 2^л*_1 (z, s) J [1 — Bk (x)] X
6
x exp{ — (s + Gk-X — (a, z)*-1 4-	(1 — (s +
+	— (a, z)fe-1)))x}o'^_idx,
вытекает из следующих рассуждений. Для того чтобы первая «катастрофа» внутри отдельного /хцикла поступила, когда в системе нет «синих» требований, необходимо и достаточно, чтобы:
1) либо первая «катастрофа» поступила, когда обслуживалось требование приоритета k, причем его обслуживание уже продолжалось время х, х^О, это требование было «красным», за время х не поступали «синие» требования приоритетов k, г и требования приоритетов 1, k—1, такие, что за начинающиеся с них k—1-периоды поступали «катастрофы» или «синие» требования приоритетов k, г (мы назовем такие требования приоритетов 1, k — 1 «плохими»); вероятность описанного события равна
Ч j (1 —	(х)] ехр{— (CTfe-‘— (a, z)*-1 + or^Jl —
о
137
— jtjfe-i (s +	1 * * * 5 — (a, z)*-1)) x}d(l — e~sx);
2) либо первая «катастрофа» поступила во время одного из1 k—1-периодов, которые начинаются после прерываний обслуживания требования приоритета k. Пусть первая «катастрофа» поступила на k—1-периоде, начавшемся, когда требование приоритета k обслуживалось время х, х^О. Тогда необходимо, чтобы за время х не поступали «катастрофы», «синие» требо-j вания приоритетов k, г, «плохие» требования приоритетов
1, k — 1; за время х обслуживание ^-требования не закончи-; лось, оно было «красным» и в k—1-*периоде (рассматриваемом' как отдельный промежуток), «катастрофа» поступила, когда Bi системе нет «синих требований; вероятность этого события*
равна	’
zkSTLk-i (z, s) f exp (—'(s + a*-1 — (a, z)*-1 + ek-i (1 — b
— Jtfe-i (s + a*-1 — (a, z)*-1))) x) [ 1 — Bk (x)] dx). fl
5. Задачи.
Задача 1. Доказать утверждение а) леммы 4.
Задача 2. Для всех схем О, Al, А2, АЗ найти МЩ, ВЩ, DHk, МЩг, Dllfef.	;
Задача 3. Пусть Фг—число требований приоритета Z, обслуженных за период занятости,	j
Ф= (Фь ..., Фг), (p(z,s)=M[z°e-SITJ.	।
Доказать, что:
а) для схем О и АЗ функция <p(z, s) удовлетворяет урав-’ нению	’
<кр (z, s) = £ (s + or — <7<р (z, S));
1=1
б) для схем А1 и А2 функция <р( z, s) определяется из ре-^ куррентной системы функциональных уравнений
ф(г, s) =<pr(z, s),	j
s) = £ а.Фи (z, s),	$
1=1
Ф*,(г, s) =фй_и(г, s + ak — ak<pkk(z, s)), qkk(z, s)=hk(z, s + ak — ak<pkk(z, s)), для схемы Al
hk (z, s) = (s + H------------------[1 — pfc(s + cxfe—i)] Ф*_1 (z, s),
s + Gkrl
138
для схемы А2
hk (z, s) = г£к (s + а*_1) [ 1-^=1— [ 1 — ₽A (s + (Jk-1)] <Pfe—i (z, s)}- ’.
Задача 4 (продолжение). Для всех схем найти МФг-, Dd\, i=l,r.
Задача 5. Доказать соотношения (22), (23), связывающие распределение Ь(/),на бЬг-периоде с распределением L(£) на &-цикле.	*	__
Задача 6. Найти МАг-, DLit i= 1, г.
Задача 7. Пусть в схемах Al, А2, АЗ Т/ — число прерываний обслуживания требований приоритета i в течение периода занятости,
Т=(ТЬ...,ТГ).
Найти
*ф (z) = Mzw.
§ 2. ВИРТУАЛЬНОЕ ВРЕМЯ ОЖИДАНИЯ
1. Определения и обозначения. В этом параграфе будет изучаться та же система обслуживания, что и в предыдущем, но нас будут интересовать другие характеристики. Не менее важными, чем рассмотренный в параграфе 1 случайный процесс L(/) = (Lj (/),...,	являются величины, характери-
зующие процесс ожидания. В данном параграфе будут изучены две из них: виртуальное время ожидания требования до первого поступления его на прибор и виртуальное время пребывания требования в системе. Определения этих величин следующие:
Wk(t) — виртуальное время ожидания в момент времени t для требований приоритета k — время, которое будет ждать до начала своего обслуживания требование приоритета k, если его поместить в систему в момент
Vk(t)—виртуальное время пребывания в системе в момент t для требований приоритета k — время, которое будет нахок диться в системе требование приоритета k, если его поместить в систему в момент t.
Заметим, что требование, которое мы помещаем в систему в момент времени t при определении величин Wk(t) и Vh(t), фиктивное, в том смысле, что оно берется не из входящего потока. В следующем параграфе мы укажем, как находить время ожидания и время пребывания для настоящих требований, т. е. требований из входящего потока. При этом окажется, что стационарные распределения виртуальных и действительных времен ожидания совпадают. К сожалению, это совпадение имеет место не для всех систем обслуживания. Тем не менее (и при исследовании других систем обслуживания) изучение виртуальных времен ожидания не лишено смысла, так как они не
139
сут в себе достаточно много информации о действительном процессе ожидания, а во многих случаях дают возможность и полностью его определить.
Положим
<ок (S, О = JAe~sW^\ vk (s, t) = Me-sV*(/),
(s. Q) — J e~qt (s> 0 df, vk (s> Q) = J e~vt vk (s> 0 dt. о	о
He оговаривая особо, будем использовать результаты и обозначения из § 1.
2. Основные результаты. Поведение случайных процессов IFfe(Z) и Vk(t) изучается в приводимых ниже теоремах 1 и 2 и' их следствиях.
Теорема 1. Функции a>k(s, t) и Wh*(s, q) определяются соотношениями:
а) в случае относительного приоритета (схема О) при дисциплине FIFQ
<оА (s, 0 = е*№‘ 11 —	(s) J Ро (х) £?-’t’*(s>x dx —
О
- £ [1 -
/=*+1	о
®I(S. q) =
= [<7 — Фл (s)]"1 {1 — Ms) Ро (<7) — £ [ 1 — ₽/ (Ий (s))] Pi (<7)}.
/=*+i
при дисциплине LIFO
O)A (s, t) = e^‘ {1 - m+1 (s) J Po\W е-^х dx -0
-£ [1 -P/^+i(s))] JP/W^^dx}, l=k	0
< (s- q) = [q — ф* (s)]~1 {i — Hfc+i (s) Po (<?) —
— £ U — 0/ (мж (s))] Pi (?)} > /=*
где
tpft(s) =s — flt+atMuHs)),
<p*(s) =s + flfe — a*₽fe(kU+i(s)),
140
pfe(s) =$ + 0^-1 —	hi (s) =s,
OO	«0
д функции p0 (<?) = J e~QX Po (x) dx и p, (q) = j e~qx P, (x) dx onpede-o	. о
ляются из рекуррентных соотношений (одних и тех же для обеих дисциплин FIFO и LIFO)
Ро (<7) + У 1 ~ Р/ (9)> pj (q) = |1Г+! (q), k = 677;
(<7)
7=н-1
б)	в случае абсолютного приоритета (схемы Al, А2, АЗ) при дисциплине FIFO
(S, /)j= e^5)t {1 -s$PQ (х) e~a*(s)x dx -о
t
 - (1 - Jifc—! (s)) j e~a^xP1 (x) dx), 0
®fc(s, q) =[<7 —afe(s)]-1{l — sp0 (<?) — ( 1 — nk_i(s))p1(q)};
при дисциплине LIFO
t	oo
(s, t) = Po (t) + j Pl («) du j exp {— (s + ak — akjtkk (s))’,(v 4-0	/—u
oo
+ и — /)} rfn*_i (v) + j P2 (u) du j exp {— (s + ak — 0	t—U
- aknkk (s)) (v + u — t)}dHk(v),
< (s. q) = Po (q) + Pi (<?) nk~'(s + gfe	{q) +
4 — s — ak-paknkk(s)
+ »,w-
q — s — ak + ahnkk (s)
где
ak(s) =s — ak +,akhk (s),
Po (P) = J e~Q> Po (0 dt =	(q),
0
Pi (<?) = J ^Qt Pl (t)dt = {l— Л*-! (q + ak — aknkk (<?))}-1 x
0
X [1 — (q + ak — aknkk (q)) p0 (<?)],
141
Р-l (?) = ( e~qt Рг (t)di = {l — qp0 (q) — (1 — nfe-i (q)) pr (q)} X
0
X [1 -hk(q)]->.
Следствие. Пусть ры<1, тогда для всех схем О, А1, А2„ АЗ существуют пределы
Wk(t)=>Wkl t-+oo,
причем функция (Dft(s) =Me~sWfe определяется по формулам: а) в случае относительного приоритета
при дисциплине FIFO
(l-prl)m(s)+ 2 ММ/М))) “Л (s) = ------------^±1------------------>
s —	(nft (s))
при дисциплине LIFO
(1 - Pn) Hhi (s) + 2 ai (’ - ₽/ (P*+i («)))
(s) =----------------—-----------------’
s + ak~ aftPfc(p.fe+i (s))
б) в случае абсолютного приоритета при дисциплине FIFO
<0* (s) = (I - pftl)
при дисциплине LIFO
(Ofe(s) = (1 -ptt) [ 1 + <jk^ 1--Jtto(s+^-_^?y(s)) 1 +
L	s + ak ak^kk (s) J
+ gfe П — flfefe ($)] ( s 4" flfe (s)
Теорема 2. Функции vk(s, t) связаны c t) следующими соотношениями:
а)	схема О
Vk(s, t) =<oft(s,
б)	схема Al
vk (s, t) = tok(s, 0 (pft (s + afe_i) + [1 — P* (s +	j7*-1 );
I	S + Ck-l J
в)	схемы A 2 и АЗ
Vk(s, t) =mk(s, t)hk(s).
Доказательство теоремы 1. Рассмотрим каждую схему отдельно. При доказательстве будем использовать метод введения дополнительного события.
142
а). Схема О. Дисциплина FIFO. Пусть Wk(t)—время, отсчитываемое с момента t до первого после t момента, когда система освободится от требований приоритетов 1, k, поступив-ших до момента /, и от требования приоритета i (i = ^+l, г), если оно обслуживалось в момент /, при условии, что после момента t доступ требований в систему прекращен. Другими словами, Wk(t) —виртуальное время ожидания в момент t для требований приоритета k, если после t доступ требований в систему прекращается. Положим
(^(s, /) = JAe~swk^.
Пусть, далее, Po(t) —вероятность свободного состояния системы в момент t и Pj(x)dx — вероятность того, что в интервале времени (х, x+dx) началось обслуживание требований приоритета /.
Докажем, что
k	_
ехР {— £ «.• (1 - Pt (s)) *} = e~st(i>k (s, t) + i=l
t	k
+ j Po (x) exp {- £ a{ (1 - & (s)) (t -x)ld (1 -	+
0	i=l
r t	k
+ £ j^/(w)exp{— ga,(l—	«)}dux
/=fe+l 0	i=l
(1)
и
Все поступающие до момента t требования приоритетов 1, k разобьем на два класса: «плохие» и «хорошие». Требование назовем «хорошим», если за время его обслуживания не поступает «катастрофа», и «плохим» — в противном случае. Тогда каждое требование приоритета i (i=l, k) является «хорошим» с вероятностью Pi(s) и «плохим» — с вероятностью 1 — — |М$) независимо от остальных требований. Отсюда вытекает, что потоки «хороших» и «плохих» требований приоритета i являются пуассоновскими с интенсивностями a<lMs) и аИ1 — — ₽г (s) ] соответственно.
В левой части соотношения (1) стоит вероятность того, что за время t в систему не поступали «плохие» требования приоритетов 1, k (событие 4(s, /)). Это событие является объединением следующих непересекающихся событий:
а)	«катастрофы» в систему не поступали ни за время /, ни за время Wk(t) (вероятность чего равна	/)). Действ и -
тельно, обслуживание всех требований приоритетов 1, k, по-
143
ступивших до момента /, закончится к моменту	(это
следует из определения ш&(0), и поэтому если за время /+ -]-Wk(t) «катастрофы» не поступали, то они не поступали и за время обслуживания требований приоритетов 1, k, поступивших в систему в интервале [0, /), и, следовательно, эти требования — «хорошие»;
б)	«катастрофа» поступила в систему за время
.при этом для того, чтобы выполнялось событие X(s, /), надо, чтобы:
61) либо первая «катастрофа» поступила в интервале (х, x-]-dx)f x<t, в этот момент система была свободна и за время t — х «плохие» требования приоритетов 1, k в систему не поступали (вероятность равна
t	k
J Ро (х) ехр {— £ а{ (1 — (s)) (/ — х)1 dj( 1 — e~sx)); О	i=l
62) либо первая «катастрофа» поступила в момент х, х>0, когда обслуживалось требование приоритета ниже k\ при этом его обслуживание началось в интервале (и,	u<t, и за
время t— и в систему не поступали «плохие» требования приоритетов \tk (вероятность равна
£ J Pj («) ехр {— £ а, (1 — Р, (s)) (/ — u)| du х
/==*+! 0	i=l
x^[l—Bj(x — u)]d(l—e-sx)). и
Итак, соотношение (1) доказано. После несложных преобразований из (1) получаем
_	k
(s, t) = exp ((s — £ a,- (1 — Pi («))) /} x 1=1
t	k
X {1 — s | PQ (x) exp {— (s — £ (1 — p, (s))j x}} dx — 0	1=1
r	t	k
— £ (1 — p, (s)) J Р,- (x) exp (— (s — £ <( 1 — (s))j x) dx. (2) /=fe+l	0	1=1
Заметим, что соотношение (2) доказано нами при 6=1, г. Однако если под й0(/) понимать время, отсчитываемое от момента t до освобождения прибора от требования (если таковое имеется), обслуживаемого в момент /, то это соотношение будет справедливо и при /? = 0.,Это утверждение нам понадобится при изучении Wk(t) при дисциплине LIFO.
144
В соотношениях (1) и (2) неизвестными остаются функции Ро(х) и Pj(x) (/=1, г). Покажем, как их найти непосредственно из уравнения (2). Так как функция (от s) s—	а£(1 —
i=i
— Pi (s))->oo при $->оо, существует s0, такое, что при s>s0 k
s_£a.(l_p.(s))>0. 1=1
Так как Wk(s, 0 для таких s ограничена (при всех /), а k
ехр — £ Of (1 — Р, («»)*} t ->ос, 1=1
то
г	t	k
— £ (i-Ms))f p/WexP {—(s~ £ Mi—Ms)>) *}<**] = °-j=k+U	0	i=l
k
Положим q = s — £ (1 — (s)), тогда q>6 и s = [ik+i(q). i=i
Следовательно,
i —	(?) Po (?) — £ [i — P/(mi(?))]p/l(?).= o,
i=k+A
Докажем, что
(Ofc(S, t) =co*(pfe(s), t).	(3)
Для этого заметим, что длительность промежутка Wk(t) не изменится, если требования приоритетов 1, k, поступившие до t и оставшиеся в системе к этому моменту - времени, будут обслуживаться раньше требований этих потоков, поступивших после т. е. если поступающие после t требования могут начать обслуживание (в порядке, определяемом системой приоритетов и дисциплиной обслуживания) только после окончания промежутка Wk(t). Используя это замечание, (3) легко доказывается методом введения дополнительного события.
Соотношение для определения <Ofe*(s, q) в этом и во всех остальных случаях является непосредственным следствием соотношений, определяющих co/Js, t).
Схема О. Дисциплина LIFO. Заметим прежде всего, что длительность промежутка Wh(t) не зависит от того, какая дисциплина — FIFO или LIFO — выбрана среди требований приоритетов 1,/г—1. Поэтому можно считать (при определе
145
нии <ofe(s, t) и o)fe*( s, q)), что среди требований каждого и$ потоков 1,6—1 принята дисциплина FIFO. Пусть соь-1 (s, t)$ имеет тот же смысл, что и раньше. Тогда из последнего нашего предположения 'следует, что со&—i (5, t) определяется формулой (2). Далее, легко показать, что
co/г (s, t) =со/г-1 (p/t+i (s), t).
Отсюда вытекает утверждение теоремы в случае относительного приоритета.
б) Схемы Al, А2, АЗ. Дисциплина FIFO. Доказательство для всех схем проводится одинаково. Назовем 6-циклом, свя-‘ занным с данным требованием приоритета k, 6-цикл, который с него начинается. Требование приоритета k назовем «хорошим», если за связанный с ним 6-цикл не поступали «катастрофы», и «плохим» — в противном случае. Тогда каждое требование приоритета k является «хорошим» с вероятностью^ Afe(s) и «плохим»—с вероятностью 1—hk(s) независимо от остальных требований. Следовательно, потоки «хороших» и «плохих» требований приоритета k являются пуассоновскими с интенсивностями dkhk(s) и а&[1—hk(s)] соответственно. Далее, так как требования приоритетов 6+1, г не оказывают ни-* какого влияния на время ожидания требований приоритета 6, это время будет тем же самым, если рассматривать систему, в которую поступают только первые 6 потоков. В остальной* части доказательства это предположение будем считать выполненным.	’
Пусть Ро(О—вероятность того, что в момент времени t система свободна; P\(x)dx — вероятность того, что в интервале времени (х, x+dx) произошло поступление требования из-потоков 1,6—1 в свободную систему (т. е. в этом интервале начался с поступления требования в свободную систему 6— 1-период). Докажем следующее соотношение: 4
ехр {— ak (1 — hk (s)) t} = e~st <ak (s, t) + t
+ JP0(x)exp{—ak(\ - hk(s))(t — x)}d(l — e~sx) + 0
t
+ f Pl (u) exp {— ak (1 — hk (s)) (t — u)} du x 6
X J[1 — n*_i (x — u)] d(l — e~sx).	(4)
u
В левой части (4) стоит вероятность события C(s, /)={за время t не поступали «плохие» требования приоритета 6}. Событие' C(s, t) эквивалентно объединению следующих событий:
а)	«Катастрофы» не поступали за время	вероят-
ность этого события равна e-s*cofe(s, /));
146
б)	первая «катастрофа» поступила в интервале (х, x-\-dxjr x<t, в момент х система свободна, и за время t — х не поступали «плохие» требования приоритета k (вероятность равна
f Ро (X) ехр {- ak (1 - hk (s)) (t - x)} d (1 - e-“));
6
в)	первая «катастрофа» поступила в интервале (х, x+Jx)r х^О, во время k—1-периода, начавшегося в интервале (и, и-{-+du), u<t, с поступления в свободную систему требования приоритета выше k, й за время t — и не поступали «плохие» требования приоритета k (вероятность равна
t
f Л (w) ехр {— ak (1 — hk (s)) (t — и)} du x
6
x J [1 - П*-! (x- «)]d (1 - r-“)). u
Соотношение (4) доказано. Из него после несложных преобразований получаем выражение для «^(s, t), указанное в формулировке теоремы. Осталось найти функции Л>(0 и Pi(t). Что касается
Po(q) = ]e~^P0(t)dt, о
то она была найдена в предыдущем параграфе (при изучении длины очереди). Так же, как при нахождении функций РДх) в случае относительного приоритета, имеем
f ехр {— (s — ak — akhk (s)) x} Po (x) dx + 1	x
J	$
0
oo
x j exp {— (s — ak + a-Jtk (s)) x} Pr (x)dx = s~1. о
Положим q = s — ak + akhk(s), тогда s = q + ak —	и
f e-^ Po (x) dx + 1	^ + ak — a^kk(4)) у
J	<? + ak — акпкк (q)
о
oo
x j e~vx Pt (x) dx = [<7 + ak - aknkk (<?)]-1.
0
Отсюда определяется P\(q).
147
Рассмотрим теперь случай дисциплины LIFO в системе с абсолютным приоритетом. Пусть Ро(О и Р[(и) имеют тот же смысл, что и в случае дисциплины FIFO (очевидно, в случае дисциплины LIFO они определяются по тем же формулам, что: и при FIFO), a P2(u)du— вероятность того, что в интервале (и, u-\-du) началось обслуживание требования приоритета k и тем самым в этом интервале начался некоторый й-цикл.
Назовем /гй-периодом, связанным с данным требованием приоритета k, fefe-период, начинающийся с обслуживания этого* требования. Требование приоритета k будем называть «хорошим», если за ^-период, связанный с ним, не наступали «ка-< тастрофы». В противном случае требование будем называть «плохим».	\
Соотношение
t	во
ю* (s, t) = Ро (t) + j (и) du $ ехр {— (s + ak —	(s)) x
0	t—Il
t	oo
X (v + и — t)} dMk-i (v) + J P2 (и) du j exp {— (s + ah —
0	t—и
— aknfck(s))(v + u — t)}dHk(v)	i
вытекает 1из следующих рассуждений. Для того чтобы за вре- ; мя Wk(t) не поступали «катастрофы» (вероятность чего равна
/)), необходимо и достаточно, чтобы:	j
1)	либо в момент времени t система была свободна (с ве-роятностью Ро(О)> тогда W\(/)=0, а «катастрофы» за интер-? вал времени нулевой длины поступить не могут;	<
2)	либо в момент t протекает k—. 1-период, который на-чался в интервале (u, u-\-du), u<t, с поступления в свободную : систему требования приоритета выше k в продолжается до • момента времени, лежащего в интервале	v-\-u-\-du), <
v^t — и; за время v-\-u — t не поступали «катастрофы» и пло-хие требования приоритета k (вероятность равна
j Р, (и) du J ехр {— (s 4- ak — акикк (s)) (»-*«-/)} с!ГЦ_1 (f));
0	t--lL
3)	либо в момент t протекает й-цикл, который начался в интервале (w, u-\-du), u<t, и продолжается до момента времени, лежащего в интервале (<?+г/, v-\-u-\-du), v^t— и, за время v-\-u— i ве поступали «катастрофы» и плохие требования приоритета k (вероятность равна
j Р2 (и) du j ехр {— (s - ак — акпкк (s)) (v + u — /)} dHk (y)). 0	t—u
Для доказательства теоремы осталось показать, что
P^q) ={1 — qpo(q) — (1 —Л*-1(<7))Р1 (?)}(! — hk(q))~l. (5)
148
Это равенство можно доказать разными способами. Продемонстрируем один из них. Для функции (o/Z(s, q) справедливо соотношение (непосредственно вытекающее из формулы для определения (о/Дх, /))
q) =p0(q) + [q — s — ак + аклкк (s) ] X
X {pi (q) [л*-1 (s + ah — аклкк (s)) — n*-i (q) ] +
+ p2(q) l^kk(s) — hh(q)].
Так как
w’ (0, q) = J е~<>‘ (i)k (0, t) dt = J е~ч* dt — q~x, о	о
имеем
q~'=po(q) +q~x {p\{q){\ — ^k-i(q)) +
+ pi(q) [1 — hk(q)]},
что эквивалентно (5).
Заметим, что мы доказали утверждения теоремы при q>Q и s>s0>0, однако, используя принцип аналитического продолжения, получаем «их справедливость для всех s и q, таких, что Res>0, Reg>0.	
Утверждения следствия можно получить предельным пере-ходОхМ при /->оо -в соотношениях, определяющих со^(5, t).
Доказательство теоремы 2. Утверждения теоремы 2 вытекают из следующих свойств процесса Vk(t).
Для системы е относительным -приоритетом
где Bh— длительность обслуживания требования приоритета k, для которого ищется время пребывания.
Для системы с абсолютным приоритетом:
схема А1
Vk{t) = Wk(t) +min[B*, А*],
где Bk — время обслуживания требования приоритета k, Ah — интервал времени между поступлением двух последовательных требований объединенного потока требований приоритета выше k;
схемы А2, АЗ
где Нк — длительность й-цикла, который начинается с требования приоритета k, для которого ищется время пребывания.	Ц
3.	Задачи.
Задача 1. Найти co/t(s) предельным переходом при t-^oo в соотношениях, определяющих w/Js, t).
149
Задача	2. Найти №Wh,	DWh,	k = l,r.	|
Задача 3. Доказать соотношения (из доказательства тео^ ремы 2):	1
а)	для схемы О	'
Vk(t)	= Wk(t)+Bk-,	•
б)	для схемы А1
Vk(t) =Wk(t) +min[Bt, Ak];
в)	для схем А2, АЗ	<
Vk(t) = Wk(t)+Hk,	‘г
,	j
связывающие виртуальные времена ожидания	и	пребывания	»
системе для требований k-ro приоритета.	’•
Задача 4. Показать, что при рм<1 существуют	предельи
Vk(t)=>Vk, k=~r.	i
Найти	j
Me-slXMVA,DVft.	j
§ 3. МЕТОД ВЛОЖЕННЫХ ЦЕПЕЙ МАРКОВА	J
1. Определения и обозначения. Метод вложенных цепеий Маркова, использованный при анализе распределений длиньк очереди и времени ожидания в системе 7И | G\ 11 оо, без сущест-ч венных изменений применим и к приоритетным системам! Mr|Gr|l|oo.	;
В этом параграфе мы ограничимся изучением системы с от* носительным приоритетом. Занумеруем все поступающие тре^ бования в том порядке, в котором они поступают на обслужи-1 вающий прибор, т. е., так как не допускается прерываний об-i служивания, в том порядке, в котором они покидают систему.. Пусть tN (Af=l, 2,...)—момент ухода из системы N-ro требой вания, /о = О, XN = tN — tN-b Li№=Lf(^+O), где — число требований i-ro приоритета в системе в момент t\ •
Ljv= ..., LrN),	i
WiN— время ожидания до начала обслуживания Af-ro требой вания при дисциплине FIFO при условии, что оно является требованием приоритета i,	|
pN (k) = Р (U = к), PN (z) = MzL-v,
p,,v (к) = Р(Lw = k П (W-e требование имеет приоритет i)), J Aw(z) = М [zLjv I (N-e требование имеет приоритет t)], j
(k(1).k<n>, ub ..., un) = P (Ln =k(*>,...	-j
150
LjVH-n—1 — к(п), Тдг <C tl\,	Tyv4-n—1 Un) ,
где
k(/)	... ,ArZ)), j = ~n,
Pn} (z(l) , ... , z(n), sp ... , sn) = М[П [z</) X /=i
X exp{— Y. s‘TAr+<-1}]’ i=l
z(0 = (z{°, ... , z(rl))t i = 17n.
Таким образов, {р^(к)} представляет собой совместное распределение числа требований приоритетов 1,г сразу после ухода из системы Af-ro требования, а {Лу(п)(к(1),k<n\ uh...
Un)} — совместное распределение числа требований приоритетов 1,г в моменты ухода Af-ro, У+1-го,Л/+п—1-го требований и интервалов времени между уходом из системы JV—1-го и Л^-го, N-ro и TV+1-го,— 2-го и N-\-n—1-го требований.
Положим
WiN (и) = Р (WiN < и), vlN (s) = Me~sWiN,
(0,zz) = (0, ,,, , 0,2(+1.zr), Ог = (0, . , 0), (Ooz°) = z.
i
Будем использовать обозначения и результаты предыдущих параграфов данной главы.
2. Основные результаты.
Теорема 1. а). Функции Pn(z), Puf(z) и определяются из рекуррентных соотношений
Pn (z) = £ [Pat_! (O^z*-1) - Ру_, (0(z')] X «=1	ч
X гг’рДо-(a, z)) + PN^ (ог) -у ft (<r- (a, z)), 2V>2,	(1)
i==l
PJz) =у]-7₽.(<т-(а.г)),	(2)
1=1
Pw(z) = [Pjv-! (Ot-.1z'-1) — PN-\ |o,z')] x
x г~* p, (<r —(a, z)) + Pw_i (Or)—(a —(a, z)), i = 177,	(3)
151
Л-лф.....1.1-77.1..--.i)
a‘N (s) =	P,.w(l,..., 1) P,(s)	•	(4>-
r
б)	. Если pn = JT at.pn < 1, то существуют пределы i=i
ПтЛу(г) =P(z), limP^(z) =A(z), Л’ —► 00	00
lima»iW(s) = io,(s),	(5)
N-*<x>
причем
(l-Prt)Ms)+ £ a/(l-₽;(H,(s)))
®‘(S) =----------n’ <6>
sH-az—azPi(Hi($))
Л (z) = [P (O^z'-i) - P (Ozz')J -Pfc^iZlL +
+ (1-Pn)— ₽i(tf-(a,z)),	(7>
a
a P(z) определяется соотношениями
P(z)={i_2ripi(a^(a,z))Hx	j
X {—£ ^W') [z?' РД(Г- (a, z))—z^+ipi+1(<7 —(a, z))] + 1=1
+ P(Or)[ST’p‘(<T-(a,z))_z“I₽r(<T_(a’z))]}	(8)'
P(Or) = l-pri,	(9>'<
P (0£z‘) = {1 - z-;> ft+1 (H.+1 - (a, z)'))}-1 x r	’
X {— J] p (O/Z') [z-1 Р,- (|xi+1 ((J1— (a, z)‘)) — /=i+l
- z-^ p/+1 (pi+1 (<r‘ - (a, z)‘))] + P (Or) [ J] T X 7=1	'
X ₽/ (Ht+i (o' — (a, z)')) — Z71 pr (p.i+1 (<t' — (a, z)')) j j.	(10>
Теорема 2. Пусть pri < 1, тогда существует
lim pA'(n)'(z<'),.... zi"), 5i,..., sn) =p(’1)(z(1),..., z<n>, Si,..., sn),
00
152
причем'pw (z(’\ ...,z(n), sb...,sn) определяется из рекуррентных соотношений
р^ (z, S)= 52 im-iZ'-1) -р(о^)] х
X zn$i (S + or-(a,z)) + (1 - Prl) y_^_p.(s + 0r_(a>z)> (11) s+a t=i
p(«) (z(i) , . . . , z(n) , sp . . . , sn) — 52 [p(rt—(z(1) , . . ., t=i
Z(n-2), 0/-1 [z(n-1)z(n)] z’-1, Si,..., Sn —1)—
— p<n~V(z^\ ...,z^-2>, Ozfz^-1)^)]^ Si, ..., sn_j)] [£/(")]-!X
XPz(sn + a —(a, z(n))+p(n~1)(z(1),z(n~2\ 0f, $i,sn-i) X
Z? —Ms«+<Ma.zw))’O2,	(12)
Sn+a i=i
где
[Z^-D^n)]/-! =	^7° zffi, . . . , гГ14П)).
Доказательство теоремы 1. а). Докажем сначала соотношение (3). Воспользуемся методом введения дополнительного события. Каждое поступающее в систему требование приоритета i (4=1, г) будем считать «красным» с вероятностью Z; и «синим» — с вероятностью 1—гг- независимо от остальных требований. Тогда P2w(z) можно интерпретировать как вероятность того, что Af-e требование имело приоритет i и в момент его ухода в системе не осталось «синих» требований. Далее,
Pn-\ (Oz-ч z*-1) — PN-{ (0/ z‘)
есть вероятность того, что в момент ухода N—1-го требования в системе не осталось требований приоритетов 1,4—1, осталось по крайней мере одно требование приоритета i и все оставшиеся требования — «красные».
Pi (<т — (a, Z)) =	... £ Z? ... z'/ х
/1=0	/г=0
х Jе-с» ир . . . Мр. dB.
о	1	г
153
вероятность того, что за время обслуживания требования прй оритета i не поступали «синие» требования.
Соотношение (3) вытекает из следующих рассуждений Для того чтобы TV-е требование было требованием приоритета i и в момент его ухода в системе не осталось «синих» требова-ний, необходимо и достаточно, чтобы:
1) либо после ухода N—1-го требования система стала свободной, первым после этого в систему поступило требова? ние приоритета i и за время его обслуживания не поступал^ «синие» требования (вероятность этого события равна
Pn—\(Or)~ (a-(a, z))); а
2) либо после ухода N—1-го требования система не осво^ бодилась. При этом в системе не осталось требований приоритетов l,f—1, осталось хотя бы одно требование приоритета все оставшиеся требования, за исключением требования прио-ритета I, которое поступает на обслуживание, «красные», и за время обслуживания N-то требования не поступали «синие> требования (вероятность этого события равна	•
[P^-i (Oz-j z-i) -	(0/ z‘) ] zr1 ₽/ (о - (a, z))).
Соотношение (1) получается суммированием (3) no i от Г до г. Соотношение (2) следует из того, что первое требование' (в силу того, что в момент t = 0 система свободна) поступает! в свободную систему, и, следовательно, очередь, остающаяся* после его ухода из системы, образуется из тех требований, ко-;! торые поступили за время его обслуживания.
Для доказательства (4) покажем, что	*
P,w(l,..„ 1, zif 1,..., 1)= .	,
= PtW(l,..., i)a)<w(a/ — ад)рг(аг — aiZi).	(13)
Соотношение (13) вытекает из того, что при дисциплине FIFO очередь из требований приоритета i, остающихся в системе по-’ еле ухода некоторого требования приоритета f, образуется из] тех требований, которые поступили в систему в интервале^ между поступлением и уходом из системы данного требования! приоритета f, т. е. за время его обслуживания и время его* ожидания. В соотношении (13) слева стоит вероятность того/ что N-e требование имеет приоритет i и после его ухода в си-  стеме не остается «синих» требований того же приоритета, а , справа—вероятность того, что TV-е требование имеет приори-; тет f, за время его ожидания и обслуживания не поступали ’• «синие» требования приоритета L Полагая в (13) s = di— diZ^' получаем (4) при O^s^dj. Используя принцип аналитическое^ го продолжения, доказываем соотношения (1) — (4) приг |zj|^l, / = 1, г, Res>0.
154
б). Последовательность {L^-, TV^l} образует цепь Маркова. Докажем, что при рн < 1 существует стационарное распределение этой цепи. Занумеруем состояния цепи (их счетное число) числами 1, 2,... так, чтобы состоянию {и=о} соответствовало число 1, в остальном нумерация произвольна. Если состоянию {Ljv = k} соответствует число s, будем писать s = s(k). Рассматриваемая цепь однородна, неразложима и непериодична. Положим для каждого состояния s = s(k)
y$ = &iPn + ... + &г0и,
которое можно интерпретировать как среднее время, необходимое для обслуживания k\,...,kr требований приоритетов 1,... ...,г. Пусть Pst — матрица переходных вероятностей рассматриваемой цепи (явный вид ее нам не понадобится, а те свойства, которыми мы будем пользоваться, легко доказываются). Тогда
£ PstDt — среднее время обслуживания требований в си-?=i
стеме после одного шага, если в его начале было состояние s = s(k). Если k=(0, ...,0,	...,£г), причем то
Е Pstyt = Е (аДх) р(1 + (kt - 1) pzi + Е M/i =
i=l	1=1	/=Ж
'	= ^/Р/1	[1 ai Pil] У$
j=l	i=l
где
е = min Р/i [1 — pri],
и так как pri< 1, е>0. Далее,
оо	Г	Г
Spi^=SvS(a‘₽ft)₽,i<00-f=l	l=A	i=l
Таким образом, видим, что выполняются условия теоремы 4.5 Введения. Следовательно, для любого к= (&ь..., kr) существует
.m pv(k) = р(к) >0,
Л -*ое
причем
Е Р (к) = 1.
к=0
Отсюда следует существование
limPw(z)=P(z), Р(1) = 1.
155
Следовательно, из (3) и (4) вытекает существование пределов^ lim P/V(z) =Pi(z) и lim o)zv(s) ==(ox(s).
V -+ ос	N-+ос
Переходя к пределу при /V->oo в (1), имеем
P(z) = ^[P(O1.1Z'-1)-P(O1.Z')] ..
х z-'₽i(a-a,z))+ P(0f) ^Ap.(0r_(a,z)).	(14)!
1=1	i
Отсюда вытекает (так как по определению jP(Ooz°) =jP(z)) (8)м Рассмотрим систему уравнений (относительно zb..., zt-)	;
1 —	(a,z))=0,	S
гг1 Pi (or — (a, z)) —22"1 ₽2(a —(a, z)) =0, ............................................ I
^-r1 pz-i (o — (a, z)) — zr1’ ₽/ (o — (a, z)) = 0.
В силу леммы 1.1 она имеет единственное решение	|
Zi = ли (а* — (a, z)‘), о.., zz=nzf(oz — (a, z)*)-	j
Подставляя эти значения zb...,Zj в (14), получаем (10). Най-| дем теперь Р(0г). Перепишем соотношение (8) в виде	?
P(z)[l — zripi(or— (a, Z))] 4-	j
г-1	j
Р (OfZ‘) [z-‘Pi (а — (a, z)) — zr^ pi+1 (о — (a, z))] = j j г	j
= P(Or)[S^ РДсг —(а> z)) —(а» z)) j (15)1 1=1
Продифференцировав (15) по Zj, / = 1,г, подставив z=l и положив
х( = Р(0, ... ,0,1,	, 1)— Р(0, .... 0, 1, .... 1) +	,
—7=—-	—--- °
получим систему линейных уравнений
«1 Ух.-Ри^!- —НОЛ »
«2 5]^,!= Л-2--^Р(0Д	(16)
156
откуда
ar V xtPn = xr - — P(0r), V Xi = 1, CT	“
4=1	4=1
Р(0,) = 1-рГ1. ix; = A о
P(0, .. . ,0, 1, ... , 1) = 1— — pn. (5
Соотношение (7) является непосредственным следствием (3). Докажем (6). Из (4) при /V—юо (существование пределов нами уже доказано) получаем
?/(1.....1-—. 1 ••• . 1)
cot- (s) =-------=---—------------.
₽/(1) (Ш
Заметим, что, как следует из определения хг- и из (7) при z = = h pi(y)_=Xi = aila.
Найдем pi(l,..., 1, 1—5/ай 1,..., 1). Подставляя в (7) Zi = z2=...
... =Zi-i=zj+1= ... = zr=l, получаем
P,(l, ..., 1, Zi, 1,..., 1) =
= [P(0,..., 0, zi, 1,..., l)-P(0, ...,0, 1,..., 1)]X
X z-1 P, (a, - a,z,) + (1 - pn) — P, (ai — a^) (J
Отсюда
p,(1,.... 1,	1,..., 1) =
= az₽,(s)
(7
P(0.......0,1 — —, 1...........1)— P(0.........0,	1,...,1)
* 1	' ai	'	'
t—1 I
a, — s
4 — 1
Далее, так как P(0, ... , 0, 1, ... , 1) = 1 — — prl, У O/₽/(Ri(s))= £	/=i
=	(s), из (10) получаем
p(o,...,o, i - —, i,..., i) = [i —	x
a,	I	a, — s J
X { - J I 1 — -у Pn ) IP/ (Hi (Д) — P/+1 (P. (s)] — /=i-H
-0-^Рнф“Л(М5))--Рж(МД)| -d-Pn)x
\	! ।	5	J
157
X Г a‘-in!-£L + у3L р.(|Х.(S))_ рг(И. (S)) 11 = L о	a	J J
i—i
=	{(1_ра) ^-1(£L+ £ ^Х
a‘~S *	°	/=44-1 °
х ₽/ (ц£ ($)) + (1 - Ра) р£ (н£ (s)) - (1 - -у P'l) azP^i~}
Отсюда
р{ (1,... ,1,1 -—,1,... ,1} =--------— X
\	а,	/ s—a£+a£₽z(|j.((s))
X |(l_.pj£±2£=l=££zl^+ V Ч. (1 -p; (p£S))))).
j=i+l
Следовательно,
(S) = —7—?Pz(Rs);-; п [ о — Pn) Pi СО + a[s—az+a£pz(|v(s)) |
+ E о/d - Р/(М*)))] [—Pi (s))'1 = w	J I a J
/=Ж
(1-рп)м«)+ 2 “Л1-мм®») -----H---------^±1-----------------. s —a/ + a,pz(p,/(s))
Теорема доказана.
Доказательство теоремы 2. Докажем сначала, что
рО) (Z> s) = £	(O(..1Z'-1) -p„_, (0(z')] X
x z-p^i (s + (Г— (a, z)) + Рдг_1 (О,) У —(s 4- a — (a, z)). (17 s+a
i=l	|
Используя дополнительные события — «катастрофы», поток которых пуассоновский с интенсивностью s>0, и «окрашивав ние» требований, функции	s) можно придать следуют
щий вероятностный смысл: Pn<°(z, s)—вероятность того, что| в момент ухода из системы ^-тo требования в ней не остается «синих» требований и за время между уходом N—1-го и N-rq требований не поступали «катастрофы». Для этого необходимо и достаточно, чтобы:	>
158
1) либо после ухода из системы N—1-го требования система освободилась, после этого >из суммарного потока требований и «катастроф» первым поступило требование и за время его обслуживания не поступали «катастрофы» и «синие» требования
(вероятность этого события равна
г
PN^ (Ог) У ft (s + а - (a, z)));
s+a
f=i
2) либо после ухода N—1-го требования система не освободилась (т. е. N-e требование уже/находится в системе и сразу поступает на обслуживание), все оставшиеся требования, кроме N-ro, являются «красными» и за время обслуживания Af-ro требования не поступали «катастрофы» и «синие» требования (вероятность этого события равна
£ [P„_t (O.-jZ'-i) - PW_1 (Of z'j] р,. (s + <т - (a, Z)). i=l
В теореме 1 было доказано, что при рн<1 существует предел limPN(z) —Р(г). Отсюда и из (17) следует существование'
N —►оо
предела limpjV<1)(z, s)=p(l)(z, s). Отсюда следует (11). Соот-jV->oo
ношение (12) доказывается аналогично.	В
Замечание. Результаты теоремы 2 дают возможность найти различные характеристики суммарного выходящего потока требований всех приоритетов в изученной системеобслуживания (см. задачи 2, 3).
3. Задачи.
Задача 1. Доказать соотношение (12) из теоремы 2.
Задача 2. Используя результаты теоремы 2, найти
Задача 3 (продолжение). Найти
lim Мтлг,	lim Dtw, lim cov(tw, tw+i).
yV-*OO	^->oo	JV->oo
§ 4.	ДИСЦИПЛИНЫ SPT и LPT В СИСТЕМЕ С ОТНОСИТЕЛЬНЫМ ПРИОРИТЕТОМ
1. Описание системы. В одноканальную систему обслуживания поступают г (г^1) 'независимых пуассоновских потоков требований с интенсивностями #i,...,ar соответственно. Длительности обслуживания — независимые в совокупности случайные величины, стохастически эквивалентные для требований к-то потока (^-требований) сл. в. Bk) Bk(t) = Р .
159
Число мест для ожидания неограничено. В начальный момент' времени / = 0 система свободна.
Пусть в момент 7\<0) в системе ЛУ0)^1 6-требований и’’ впервые 6-требование поступило на прибор. Эти Л\(0) 6-требо-^ вания образуют 60-поколенйе (нулевой пакет 6-требований)J Пока требования 60-поколения не отслужатся, новые 6-требо-| вания на прибор не поступают, т. е. 6-требования, поступаю-j щие в систему после формирования нулевого пакета, накапли-; ваются в очереди и не могут поступить на прибор, пока не об-служатся 6-требования нулевого пакета.
Пусть — первый из моментов поступления на прибор, k-требования, не принадлежащего 60-поколению, находящиеся' в системе в момент	6-требования образуют 61-по-:
коление (первый пакет 6-требований). Пока требования 61-no-i коления не покинут систему, новые 6-требования накапливаются в очереди и на обслуживание не поступают.
Аналогично определяются бУ-поколение и сл. в. Nk{N\ Tkm.\
Внутри очереди 6-требований одного поколения приняты1 дисциплины LPT и SPT:
LPT(SPT) означает, что из очереди 6-требований 6я-поко-| ления первым на обслуживание принимается требование с наи-1 большей (наименьшей) длительностью обслуживания, потом—j следующее по длительности и т. д.	:
Между требованиями разных потоков принята дисциплина^ относительного приоритета, причем потоки перенумерованы р] порядке убывания приоритетов.
2.	Основные обозначения. Предварительные результаты.; Пусть Щ, Щ; и Hh — длительности 6-периода, 6/-периода и’ 6-цикла соответственно (определения см. в § 1),	j
Ш/(0 = Р(П^<0, Щ(/)=Р(1Ъ<0, ЯИ0 = Р(Л\<0,
nkj (s) = Me-sn*/, л* (s) = Me-sn*, hk (s) = Me~s/4	I
П (/) = П, (/), л (s) = лг (s), (s) =	I
Эти характеристики для дисциплин SPT, LPT и FIFO совпа-t дают и изучены в параграфе 1. В частности,	• I
Ы*) =MlMs)), pr+i(s) =p(s),	I
U«(S) = S ~Ь O>—1 — (5k_x^k-\ (s).	г
В дальнейшем мы будем рассматривать дисциплину SPT.; Результаты для дисциплины LPT вынесены в задачи.
Положим	?
<21$ («) = р (7T4 С U,	/, L, (t)	0,	|
/е [7Т’> П?’)'ЛТ =	0),	;
L (/) = (Z,,	(/)),	<
160
где Li(t) —число требований приоритета i в системе в момент /,
4/2(s) = J (u), О
q{km (s, г) = у1 4/2 (S) г'.
/=о
е, (z, s) = g,. (s + ст"1 — (a, z)'-1), ak (п, t) = е'а*‘ 1^, пл
(z, s) = ехр (— [s 4- ok — (a, z)fe] u) ak (nk, u) dnw (u).
6
Введем последовательность функций hhn(s, z): hM (s, z) = z, hkn+i (s, z) =hk(s + ak — akhkn (s,z)),	n>0.
Лемма 1. Функции qkm-N}(s> ?) определяются no формулам
(s>г) = hkN (s-2) - hkN-l <s> °) • '
Пусть, далее, Wk(t, x)—виртуальное -время ожидания в момент t для /^-требования с длительностью обслуживания х. Положим
Wk(ty x,y) = P(Wk(t. x)<y)f
(Dk (q, x, s) = J e-qt Me~sWk(t'x) dt, 0
₽./	p(/ =£ afiij, pk = 1 — pfcl,
t<x,
0 t > x.
Pt (x> «) = J е-^Вк (x, t), hk (x, s) = 0ft (x, щ (s)), 0
yk (X, s) = akBk (x) [ 1 — hk (x, s) ],
Zk = hk(s + yk(x, $)), гк =hk(q + yk(x, s)), Znk Uk	akhkn (q, zk),
z nk ~ик Ukh-kn (.q, z k) •
ВДх, 0-
6 E Ф Матвеев, В Г. Ушаков
161

Используется обозначение:	=/(₽) —/(а).
3.	Виртуальное время ожидания.
Теорема 1. Функция х, s) определяется по фо\ муле
(0fe (q, х, s) = [<7 — s]-1 [ak [p( hkn(q,z)\2zZ~z- + n=0	k
+ [p О?)]'1 [У Л*-! (vn) \Vvn2~n'k + Л;,-! (U + yk (X, S)) |“=H + L	n nk	’ ]
n=0
+ £ pj(q) [P/GM« + YfcCM)) |“z; + /=*+1
00	и _~	«
+ Y Р/ + »„)) \vZ~nk]\ + [R
~0	n nk 11	,
где функции pj(q) определяются из рекуррентных соотношений
MP (9)]'1 £ \hkn (q, 1) — hkn (q, hk (9))] +
n=0
+ [h(<7)]_1 {1 —	— akhkn(q, 1))— j
n—0	f
— «fc-ife —аЛл(?,АД?)))]) 4- £ Pj(q){l — P/(pH0)4-	1
/=fc+!
+ £ [Р/ (Ш (q + a\ — akhkn (q, 1))) — p, (p.* (q + ak —	|
n=0	1
—akhkn(q,	(^))))]}= 1 — ?[м(<7)]“г-	'
Следствие. Пусть pri< 1, тогда
а)	существует предел
Wk(tix)=>Wk(x)i t-^oo,
и функция <o/i(x, s) =Me-sW/z(x) определяется no формуле
Mk (x, S) = p, {1 + a^-1 £ hkn (0, u) * +
n=Q	k
+ «W1 K-1 (u + yk {x, s)) |“z? + £	(«„)+
n=0
162
+ S’1 £ ai {₽/ О1* (“ + Ук (x, s))) |“^ + £ p; (и))
/=fe+l	.	n=O
где
z"k = hk(yk(x, s)), 4й = Сй-аЛп(0,г'\),
^nk ~ Clk Clkhkn (0, Zk) ,
б)	первые два момента виртуального времени ожидания а стационарном режиме для k-требований с длительностью обслуживания х определяются по формулам
(О» (х)= ( 1 +	j -----РГ2----- '
\ Pi-1 / %Pk(2?k-i—9k)
(ffl (х} = aka2k(x)?r2___|_______ali(x)____ J Ргз I
k2( '	pLi-(P*-i-p*)2 + pLi-(p*-i-pa)3 I 3 +
H 2	7^--------77" [PiPi'12 + Pi2 (Pi’l Pi)]
Pfe—i—(p*-i—P*)2
где
„ /v\ _ i i 3aieii(A)	3aie!i(x)
aiiW — 1 н---------7---------1-------2-----•
iPi-1	Pi—1
( „\ _ £ik(x) , eii(x)Pi-12
a2i W - ~2---------1-----.
Pk— 1	Pi—1
e,iU)= \ u‘dBk(u), i,>l. 0
Доказательство теоремы 1. Введем следующие величины: Pj(t)dt — вероятность поступления в свободную систему /-требования в промежутке [/, t-\-dt), Pj(t)dt— вероятность попадания начала обслуживания /-требования в промежуток К/-НО,
Pi(s)= J
e-st Р,- (/) dt, р/ (s) = J e-stPj (t) dt, 0
Wnk(t,x,y) =P(0<Wk(J,x)<y, Lft(r)^0, те(0,Z] |L(0)=n),
(t, x, у) = P (0< Wk (t, x) <y, u (t) #=0, те (0, /] | Lj (0) = mf>j,k, j=l,k).
Докажем сначала, что Wk(i, x, у) и WV (t, x, у) связаны соотношением
i t _
UZA (s, x, y) = £ j Pj (u) w'p (t — u, x, y) du + /=1 0
6*
163
+ i, j',.,	<“) i x
/=*+1 0 к	nfe=0
n**°
X p| [ai(VJ)]n‘ Г" (/ - v), x, y)dvB, (y - u) du + 1=1	z’
k	n. У'+t
Г7 [flz(u—u)] 1	. e-ak(x—v)
1 1	J (T)
1=1	V
oo	nk^
x ^Ы.-«)1' ^qt+i№W|. x
Z=0	1=0
X II - Bk (x)p+'-‘ [ЯА]П (x, у + t - r) du x
, XdvBj(v — u)dxMk-i (n, t— y)+Po(O> где
AWn, t) = (nW1f"‘ * ... * [Пн^М),
♦ — знак свертки, a /7ь(х, t)—ф. р., преобразованием Лаплас са—Стилтьеса которой является fih(xt s) (Hk(x, t)—ф. p^ Л-цикла, при условии, что время обслуживания 6-требования, с которого начинается 6-цикл, 'не превосходит х).	i
Справедливость соотношения (1) вытекает из следующих рассуждений. Событие A = {Wk(t, х)<у} эквивалентно объединению следующих 'непересекающихся событий:	\
41	= {система свободна в момент t}\	>
42	= {в момент времени, лежащий в интервале [и, u + du),\ G^u<Ct, в свободную от требований систему поступило < j-требование, / = 1, k} А {0< Wk (t — и, х)<у,	U(r)#=0, те .
G=[0, t—и) |L(0) = l/};
43	= {в момент времени, лежащий в интервале [и, 0с/2</, началось обслуживание /-требования, / = 6+1, г, | которое продолжалось до момента, лежащего в интервале* [у, v + dv),	за время v — и поступило nz>0 /-тре-7
бований (Z=l,6), ni + ... + nk>0}(}{0<Wk(t — V, х)<у, U(x)=#j =#0, те [0, t—v) | L(0) =n};	’
44	= {b момент времени, лежащий в интервале [и, u-]-du),' началось обслуживание /-требования, / = 6+1,г, кото-' рое продолжалось до момента, лежащего в интервале [у,
164
4-d^), t^v<y+t', за время v — и поступило п^О /-требований, Z=l,6, (k—1, Z)-периоды, связанные с /-требованиями^ i=l,k—1, поступившими за время v — и, продолжались до момента, лежащего в интервале [т,т+йт), v^i<y+t\ за время т — у поступило />0 ^-требований, из пк+l ^-требований ir i = 0, rik+l, имеют время обслуживания х, и суммарная длительность 6-циклов, связанных с ними, не превосходит y-\-t— — т}.
Далее,
k t _	~
Р (Л,) = Ро (О, Р (Л2) = £ f Р/ (U) W'ki (t - и, х, у) du, /=16
р№>= £ L/,./<<“) Ёх
/—/гЦ-1 0	и	п^=0
nfe*°
ni
X |~|	— ц/J (/ — и, х yj В. (v —
r t H-f	oo
pw- £ L,	'
l=k-^\0	t	nk=Q
fe
x ГЧ [flz(v-u)) '	•	e~a*(T-0) x
1 1	«/! J (t)
1=1	v
x £	2 c^+; [Bk (x)jz [ j _ Bk (x)p+'-- X
z=o	z=o
X [Дт£ (x> У + — T) du dvBj (v — u) dxMk.r (n, r — v).
4
Пользуясь тем, что A = и л,, и Л,ПЛ; = 0 при /=#/, полу-1=1
чаем (1).
Докажем теперь, что
_	- t	z _
Wnk(t,x,y)= £ ^е-^и-^-Wnk>‘+‘(t-u,x,y)dMk.l(n,u) + i=6nk.oo
» y-Sf-t	nk+l
+ £	e-^	£ C‘ k+l [Bft (x)p 11 - Bk (х)П+/_/ X
/=0 Z	x=0
X [/7*]*‘(x, y + t — u)dMk-\(n, u).
165
.Действительно, событие
В = {0<Г,(Лх)<у, L*(tM0, те (0, t] | L(0) =п}	*
эквивалентно объединению следующих событий:	______
B\={k—1/-периоды, связанные с /-требованиями, i=l,k—1, находившимися в системе в момент / = 0, продолжались до момента времени, лежащего в- интервале [а, u + du), за время и поступило / ^-требований, / = 6п^,о, °°}П{0< <Wk\t—u, х)<у,	Lfe(r)^0, те (О, t—и] |L/(0) = (nfe + l)6/fe,
j=M};	______
B2—{k—1/-периоды, связанные с /-требованиями, /=1, k—1, находившимися в системе в момент / = 0, продолжались до момента, лежащего в интервале [и, u-\-du),	за
время и поступило />0 ^-требований; / из пк + 1 ^-требований/ /=0, rtk + l, имеют, время обслуживания и суммарная длительность ^-циклов, связанных с ними, не превосходит y-\-t—и}. Так как
Р(ВХ) = J] ^e-a^,-^Wnkk+l(t-u,x,y)dMk.1(n,u), Z=6rtft.0 0
00 У+t	J
P(B2) = £	x
1=0 t
Hk+l
2 C‘ft+< [Bfe (x)]‘ [1 - Bk «*+г-' X 1=0
X [Я*]*‘(х, y + t — u)dMk-i(n, и)
и Bi{jB2=B, Bi(]B2=0, соотношение (2) доказано. Докажем теперь, что
ОО о» t y+t
^М)=УУ[ С e-a^-u> X
J (и)
/=1 n=0 0 t
x [Hkr‘ (x, у + t - v) dQtfm (u) d [Hkp (v-u).
Справедливость (3) следует из того, что событие C^{0<Wk(t,x)<y, U(t)^0,
(3)
те (0, /] | Lj (0) = tnbj,k, j= 1 ,k}
эквивалентно событию
166
Ci = {момент времени, лежащий в интервале [и, u+du), Octz</, является моментом окончания жизни kn—1-поколения и началом жизни /ш-поколения; /m-поколение состоит из / (/>1) требований, и время его жизни продолжается до момента времени, лежащего в интервале [a, v + dv), tcu<y-\-t\ за время v—и поступило i (i>0) ^-требований, I из	&-тре-
бований имеют время обслуживания <х, и суммарная длительность связанных с ними ^-циклов не превосходит y + t—у}, и того, что
м <* t y+t ₽(C->=SSL, x /=1 n=0 0 t
00	z
X £ (afe(7“)[‘ 2 q	(х)Г [i - Bk (x)F-' [Hk]-‘ (x, у +1 - V) X
t=0	z=o
xdQ^m(u)d [Hk]*l (v — u).
Для доказательства теоремы достаточно взять преобразование Лапласа — Стилтьеса по у и преобразование Лапласа по t в соотношениях (1) — (3) и воспользоваться равенством
Pi(d) =а/[ц С?)]-1.
Система уравнений для определения Pj(q) вытекает из соотношения
х, 0)=q~\	
4.	Длина очереди.
Теорема 2. Функция p(z, s) определяется из соотношений
p(z, s)= [p(5)]-1{l+<m(z, 5)},
(тл (z, s) = £ а*лЦ> (z, s) + £ or*-! £	(z, s) (z, s),
k=l	k=2 nk=\
л<7> (z, s) = £ £ jqW (s + a'— (a, z)‘) x
k=Q /=1
oo	у
X f [z£ (1 -	(i/)) + j e-^'dBi (X)]'-1 x
0	6
x £ j exp {_ (s+a‘~l ~ (a- z)''z)u)x
lz=l nl=\ 0
X a,-t (nlt u) (z, s) du (и, у) +
167
______Рг2____
2рН2р*_1—р*]
+ , Zi.---r[l— exp{— (s b er — (a, z))z/}] j
s+a—(a, z)	J
«•
где yik(s‘ y)= | e-*“durik(u, y) = 0
Следствие. Пусть pri< 1, тогда
а)	существует предел
L(0=>L,	/—>oo,
причем функции P (z) =MzL определяется no формуле
P(z) = (1 — рг1){1+ол(z, 0)};
б)	среднее число k-требований в системе в стационарном режиме определяется по формуле
со	•
2а* J и [1 — Bk (u)] dBk (и) О
Доказательство теоремы 2. Воспользуемся методом введения дополнительного события. Будем «окрашивать» требования, причем любое требование приоритета i объявляется «красным» с вероятностью 2; и «синим» — с дополнительной вероятностью 1—гг- независимо от «цвета» остальных требований. Кроме того, считаем, что в систему поступает пуассоновский поток «катастроф» с интенсивностью $>0.
Функцию sp(z, s) можно интерпретировать как вероятность-, тогр, что в момент поступления первой «катастрофы» в системе, нет «синих» требований. Пусть sjt(z, s) и sjTu(n)(z, s) имеют; тот же смысл внутри одного периода занятости и шг-периода.,
Процесс L(Z) является регенерирующим, точками регенера-, ции служат моменты окончания периодов занятости. Пусть sp(z, s) имеет тот же смысл, что и sp(z, s), но на отдельно взятом периоде регенерации. Справедливость соотношения
sp (z, s) = sp (z, s) H-— л (s) sp (z, s)
s-!-n
вытекает из следующих рассуждений. Для того чтобы первая «катастрофа» поступила, когда в системе нет «синих» требований, необходимо и достаточно, чтобы:
1) либо первая «катастрофа» поступила на первом периоде регенерации, когда в системе нет «синих» требований (вероятность этого события равна sp(z, $));
2) либо за первый период регенерации «катастрофа» не поступала (с вероятностью —— л($) ),а’ поступила позже. Ве-\ /
роятность того, что первая «катастрофа» после первого периода регенерации поступила, когда в системе нет «синих» требова
168
ний, равна sp(z, s) (это следует из того, что процесс L(/) регенерирующий).
Далее, sp (z, s) = —----------------1----— sn (z, s).
s-hj s+a
Действительно, для того чтобы первая «катастрофа» на периоде регенерации поступила, когда в системе нет «синих» требований, необходимо и достаточно, чтобы:
1) либо она поступила в свободную систему (тогда в системе нет не только «синих», но и вообще никаких требований), вероятность чего равна s/(s + o);
2) либо в свободную систему «катастрофа» не поступила и в периоде занятости первая «катастрофа» поступила, когда в системе нет «синих» требований. Вероятность этого события равна	.	>
[cr/(sH-a)]sn(z, s).
Пусть sjti(z, s) имеет тот же смысл, что и sp(z, s), но внутри отдельно взятого /-периода. Докажем соотношение
snt (z, s) = — snip (z, s)+ sni-1 (z, s) 4-cr	0/
+ ‘^=L У. (Z,s)sn7z) (z, s).	(4)
O'/ A* n—l	*
В левой части (4) стоит вероятность того, что первая «катастрофа» внутри /-периода поступила в момент, когда в системе не было «синих» требований. Для выполнения этого события, необходимо и достаточно, чтобы:
1) либо требование, с которого начался /-период, является /-требованием и в последовавшем //-периоде первая «катастрофа» поступила в момент, когда в системе нет «синих» требований (вероятность этого события равна
snip (z, s));
2) либо требование, с которого начался /-период, является /-требованием, /=1, /—1. При этом рассматриваемый /-период имеет следующую структуру: сначала следует /—1-период и затем — /m-период, где n-число /-требований, поступивших за /—1-период. Возможны два случая:
а)	первая «катастрофа» поступила в /—1-периоде, когда в системе нет «синих» требований (вероятность этого события равна
sn^ (z, s));
169
б)	первая «катастрофа» поступила в //n-периоде, когда в системе нет «синих» требований (вероятность этого события равна
У (z, s) sn'"'’ (z, s)).
i CF i	i
n
Учитывая, что sn(z, s)=snr(z, s), и последовательно применяя (4), получаем
on (z, s) = £ akn$ (z, s) + £ <тА_г £ d'"*’ (z, s) n£*’ (z, s). k—\	k=2 nk=^
Далее, используя формулу полной вероятности, имеем
(z>s) = £ Е (s + — <а> z)‘) Pii (z>s)’
fe=O /=1
где spo(z, s) — вероятность того, что первая «катастрофа» поступила внутри f-поколения, состоящего из / /-требований, когда в системе не было «синих» требований. Но
/ оо	хт	х,
pl7(z,s)=y f	f	...V	—L
т=1 0	0	О
ехр {— е£ (z, s) £ х;) [1 — В,- (хт)]'-т х 1=1
х {£ Е fexp<s + 01’1 ~ (а> Z)I’Z)ы>а<-‘ и)х
Z=1 л/==1 6
т+1
— ехр {—(s + o —(a, z)) хт}]} dB (xi)... dB (хт).
Соотношение (5) вытекает из следующих рассуждений. Событие, заключающееся в том, что первая «катастрофа» внутри /-поколения, состоящего из / /-требований, поступила в момент, когда в системе не было «синих» требований, эквивалентно следующему событию: за первые т—1 /-цикл, т=1, /, не поступали «катастрофы» и не поступали «синие» /-требования, / = /, г, а первая «катастрофа» поступила в /n-м /-цикле, когда в системе не было «синих» требований.
Так как совместное распределение длительностей обслуживания первых т /-требований /-поколения, состоящего из j
170
/-требований, имеет вид
.. /!	[1 — Bi	(х,) . . . dBi (х,„)
(/—т)!
где xi<x2< ... <хт и 0 — в противном случае, то
/ о° хт	хг
Ра (z. s)= V (	[	... f —• х
J {хт} ’ (х ) J (xt) (/—т)!
т=1 0	0	О
т—1
ехр f — е, (z, s)	xz} z{-m[ 1 — В,- (хт)]/-т х
1=1
p{im} (Хт, z, s) dB{ (xj ... dB{ (хт),
где 8р^тЦхт, z, $) — вероятность того, что первая «катастрофа» внутри /-цикла поступила в момент, когда в системе нет «синих» требований, при условии, что длительность обслуживания /-требования, с которого начинается /-цикл, равна хт.
Аналогично доказательству соотношения (4) показывается, что
P<'")(xm, z, s) = £ £ J ы) ехр {—(s+<T!-'—(a, Z)z-')«}x /=1 о
х zi-m (z, s) dj’il_l_i (и, x,„) + z/—m+l
+ , *—-[1 — exp{— (s + <t — (a, z))xm]. s+a—(a,z)
Для доказательства теоремы осталось воспользоваться равенством
/	6	^m-l	t
f f ••• f	f{tm)dtl...dtm =-^—\\f(x)dx\m
J (6) J (W J (/™)	m! I । J
0	0	0	0
и произвести элементарные преобразования в (5).	
5.	Задачи.
Задача 1. Доказать утверждение леммы 1.
Задача 2. Доказать, что для дисциплины LPT остаются справедливыми утверждения теоремы 1 и следствия к ней с заменой
hk(x, s) на hk(x, s),
Ya>(x,s) на afe[l — Bfc(x)] [1 — Mx, $)],
е(7г (x) на j u‘dBk (u).
X
171
Здесь
hk(x, s) =p*(x, p*(s)), 00 * ~
$k(x, s) — \ e-sldt Bk(x,t), 0
Й (Y M - I Bk (“M1 ~ Sft Wb U > X’ Dk Vx> u) — \	~
I	0,	u<x.
Задача 3. Доказать, что среднее время ожидания в стационарном режиме для k — требований определяется по формулам:
а) для дисциплины SPT
^>=v +
б) для дисциплины
/
“11 = (1
2ak [ U[l-Bk(u)]dBk(u)\
О I Рг2.
РЛ-1	/ 2р*(2рЛ_!—pk)
LPT
00
2afc \ uBk(u)dBk(u)\
0 I Рг2
Pfc-i / 2о^(2р/г_1—pfc)
Задача 4 (продолжение). Показать, что СО1^! = (<х>°Лг1 +(О2й1)/2, ’	0)°/г1 Cd)1/?!
где — среднее время ожидания для /^-требований в стационарном режиме в системе Afr|Gr|l|oo с относительным приоритетом и дисциплиной FIFO.
Задача 5. Доказать, что первые два соотношения теоремы 2 справедливы для дисциплины LPT, а функция ли(п)(г, •$) удовлетворяет соотношениям
Л!?’ (z> S) = £ £ Ц’/n (s + а' _ (а’ Z)Z) ' [z‘Bi + /г=0 j=i	О
е~е‘{г,5)х dBi (x)j;—1	£ |’ехр{—(s + ст—(a, z)'-')u} X
у	I— 1	6
х а,-; (П , U) (z, S)	(а, у) +
+ ——; [ 1 - ехр {— (s + ст — (a, z)) у s+o—(a, z)
Задача 6. Пусть Vi — стационарное время пребывания /-требования в системе, Li — число /-требований в системе в

172
стационарном режиме. Показать, что для дисциплин SPT и LPT справедлива формула Литтла, т. е.
§ 5. ОПТИМАЛЬНОЕ НАЗНАЧЕНИЕ ПРИОРИТЕТОВ
1. Постановка задачи. В предыдущих параграфах были достаточно полно изучены системы обслуживания Mr | Gr 111 оо с относительным и абсолютным приоритетами. Интерес к таким системам обусловлен не только тем, что они довольно часто встречаются на практике, но также и тем, что эти приоритетные дисциплины являются оптимальными для некоторых критериев эффективности работы системы.
В этом параграфе мы рассмотрим класс систем Mr | Gr111 оо, в которых не допускается прерывания обслуживания, и докажем, что для определенного ниже критерия эффективности дисциплина относительного приоритета является оптимальной.
Пусть fli,..., аг — интенсивности входящих пуассоновских потоков требований, Bi(x),..., Вг(х) — ф. р. длительностей обслуживания требований 1-го,..., r-го потоков соответственно. Обслуживание требований организовано следующим образом. Если в момент поступления в систему некоторого требования прибор свободен, то оно сразу же начинает обслуживаться. Если какое-либо требование начало обслуживаться, то вне зависимости от изменения длин очередей оно будет обслуживаться до конца (т. е. прерывание обслуживания не допускается). После завершения обслуживания требования выбор следующего производится на основании длин очередей в этот момент. Точнее, каждому набору 1= (Zi,...,/г), /1+ ... + Zr>0, сопоставляется число w(l), принимающее значения от 1 до г, причем если u(l)=k, то Z&>0. Тогда если после 'завершения обслуживания какого-либо требования в системе остается Zi,..., Zr требований потоков 1,...»г, то следующим на обслуживание выбирается требование из потока с номером и(1). Требования каждого потока обслуживаются в соответствии с дисциплиной FIFO.
Пусть Ci — стоимость за единицу времени пребывания требования f-го потока в системе, Z=l, г, с= (ci,..., cr); L(Z) = = (Li(Z),..., Lr(t)), Li(t) — число требований f-ro потока в системе в момент Z. Если через /(L(Z)=n) обозначить индикатор события {L(Z)=n},
г/1	\	( Ь если НО = п>
т. е. 7(L(/) = n) =	v /
I 0, если L (/) Ф п; и т о
173
то суммарные потери до момента Т равны
£ (с,п)Хп(Т). п=0
Средние потери в единицу времени до момента Т равны
ОО	7 О.
м (Т S(с’п) Хп (Г)) = Т f S(с’п) м (/ (L = п)) dt = п=0	0 п=0
Г оо	Т
= Т j £(с’п) р (L (/) = n) dt = Т J*(с’ML (/)) dt’ О п=0	О
где
ML(0 = (MLj(/),...,
Для стационарного режима (т. е. когда L(/)=>L при /->оо) средние потери за единицу времени равны т
J = lim — I (с, ML (/)) dt = (с, ML), Т-+оо Т J о
где ML= (МЛЬ..., МЛГ), МЛ/ — математическое ожидание число требований i-ro потока в системе в стационарном режиме.
Очевидно, значение J зависит от выбора функции и(1) (будем называть ее функцией переключения). Наша задача заключается в том, чтобы выбрать такую функцию переключения и(1), при которой J минимально.
В дальнейшем будем предполагать существование первых двух моментов длительностей обслуживания, т. е. для любого I, Icfcr, М[Вгр<оо, /=1, 2, где Bi — сл. в. с ф. р. Вг(х). Кроме того, будем предполагать, что
Рг1=£«.р.1<1. р(/ = м[в,.р. 1=1
2. Описание оптимальной функции переключения
Теорема 1. Положим Ri^Cilfyi. Пусть Ri.^Ri^ ... > , где (и, 1*2, Л) — перестановка чисел (1, 2,..., г). Тогда оптимальная функция переключения имеет вид
f iv если lix > О,
если = О, > О,
и{\) =
к
Л-р если = ir, если ,
  = Ч-. - о. > »•  - Ч_, -= »• > »
174
Замечание. Указанная оптимальная функция переключения реализует дисциплину относительного* приоритета, причем требования потока имеют наивысший приоритет, потока 12 — следующий и т. д.
Доказательство теоремы 1. Чтобы не загромождать изложение, рассмотрим случай г=2. Общий случай составляет содержание задачи 1.
Анализируя доказательство теоремы 1.1, видим, что при выводе соотношений
'	p(^,s) — p0(s) + £ jp,(z, x,s)dx,
i=i 6
pi(z,x, s) = [1— Bj(x)]exp{— (s+a — (a, z))x}p<(z, 0, s),
£ p,- (z, 0, s) = £ z~' j pt. (z, x, s) rjz (x) dx + i=l	i=l 0
+ 1 —(s + cr —(a, z))p0(s),
Po(s) = [$ + (j-(jji(s)]-1
мы пользовались только тем, что не допускается прерывание обслуживания. Наличие дисциплины относительного приоритета использовалось только при выяснении характера зависимости рДг, 0, s) от 21,..., zr. Далее, при любом выборе функции переключения и(1) процесс L(Z) является регенерирующим, у которого точками регенерации являются моменты окончания периодов занятости. Кроме того, длительность периода занятости не зависит от выбора и(1). Таким образом (см. § 1, следствие к теореме 1.1), в силу теоремы 4.4. Введения при pri< 1 для любой функции переключения u(Z) существует предел
L(Z)=>L, Z->oo,
причем функция P(z)=MzL удовлетворяет соотношениям
р (z) = (1 - Рп) + У 1—Pz(p—(a, z)) р. (z)> а—(a, z)
1=1
у [1 — 2-‘рДсг—(a, z))]P, (z) = [(a, z) — cr] (1 — рг1). 1=1
Рассмотрим случай г = 2. Тогда P(z) =P(zi, z2), Pt-(z) = = Pz(zi,z2), /=1,2 и
P(zv z2) = (1 -pn - a2p21) + Px (21, z2)	+
+ p2 (2p z2) l-p2(a1-ti1z1+fl2-a2z2) ,	(1)
flj —£7jZj-|-G2—^2^2
175-
[1 — zr1 Pi(aI — alz1 + a2 — a2z2)]Pl(zI, z2) +
+ [1 — z2-' p2(ai — alzl + a2 — a2z2)]P2(zi, z2) =
= [atzt —at + a2z2 — a2] (1 — афп — a2p2i).	(2)
Так как ML, = J?Pfe’A>_. I , H ML2 = ^P(Z1'Za) L1=I из (1)
<?-l |zs=l	C>2.2	|г,=1
находим
МТ, = ₽1Л1	+	р2(1,1),
ML2 = ₽ux12 + 021x22 + Pi (1 - 1)+ ^P2(l. 1).
где x(/= --Pz(-1’-?2) L,=i > i = 1,2; / = 1,2.
|z2=l
Далее, дифференцируя (2) no в точке zi = z2=l и по z2 в точке Zi = z2=l, получаем
(1 — ^lpll)Pl (1, 1)— Л1Р21^2 ( 1, 1) = 01 (1 — 01Р11 — О2Р21) ,
—ЛгРн^! ( 1, 1 ) + ( 1 — О2р21)	1, 1 ) = Л2 ( 1 — 01Р11 — ЯгР21) •
Из этих двух соотношений находим
Pi(l, 1) =oi, Р2(1, 1)=а2.
Отсюда, в частности, следует, что Pi (1,4) и.Р2(1, 1) не зависят от выбора функции переключения о(1).
Далее, дифференцируя (2)
а)	два раза по zb
б)	по zt и по z2,
в)	два раза по z2,
в точке zi = z2=l получаем следующие три соотношения:
(—2 + 2огР11 — oi2 pi2)oi +2 (1 — О1рц)хц +
+ 02 [—Oi2 Р22]+2 (—О1Р21)х21 = 0,	(3)
(Я2Р11 — Я1Я2Р12) &i + (1—Oi Pi 1) %12 + (—о2рц)хц +
+ (Л1 р21 — Л1Л2Р22) #2+ ( 1—Л2Р21) *21 + (—^1Р21)*22= 0,	(4)
—о22 Oi Pi2 + 2 (—o2Pi 1) Xi2 + 2 (1—o2p2i)x22 +
+ (—2 + 2o2p2i — о22р22)о2 = 0.	(5)
Из (3) и (5) находим
г 	 QgPai	у	—L- —	а1 [^Рхг+^гРзг]	- -1- п
11 ~	1 п R 1 —а1Р11	Л21 Л	2(1-а1₽ц)	"Г «!•
		Я2[Я1Р12+£20221	
Х22	«	Q 1	^2г21	*12 +	2(1—a2p2i)	4" ^2'
176
Подставляя полученные выражения для Хн и в (4), имеем
*12__I_____*21	__ ^1а2[Д1Р12~ЬД2р22] Г 1	._____1	1
1—^2021	1—01Р11	2(1—010ц—02021) I 1—<21011	1—<*2021 J
Используя полученные результаты, функционал J можно записать в виде
/ = C1MLt + с2М£2 = сЛ1₽и + С1₽21х21+	+
2
!	^2022^ _
2	“
= -рпЛр2'^1 + С!₽21х21 + С2рпх12 + с2р21	д-х12 +
1—01Р11	1—02021
где ф зависит от сь с2, 0i, а2, 0н, 012» 021, 022, но не зависит от функции переключения.
Преобразовав выражение для 7, получаем
Т — Гб?1^21 Y I С20Д1 - у I «ь
J ~~ 7—77” *21 + П—7r“^i2 + т-
1 <*1011	1—<*2021
Кроме того, %2i и х12 связаны соотношением
*12	(	*21	' ..
----------7-----Г” = V»
1—01011
1 —02021
где
___ 0102[а1012~~Ь020221
2(1----010Ц----02021)
1
1
_ 1—а1011	1—<*2021 J
Полагая
l-a2₽2i	У12’

имеем
(6)
(7)
7 = ^1021^/21 + ^2₽llf/12 + ^, f/12 + f/21 = Y-
//i2>0, //21>0. Из (7) У12=у—У21' Следовательно,
7= (^1021 — ^2011) f/21 +Ф + ^2011У>
причем 0<//2iCy.
Итак, J представляет собой линейную функцию по //2ь Ее минимум на отрезке [0, у] достигается либо либо в точке у21 = у (что эквивалентно //12 = 0) в того,
Кроме того,
в точке z/2i = 0, зависимости от
^1021 — ^2₽11>0 ИЛИ С1021 — ^2₽11<0, С1/₽11>С2/₽21 ИЛИ С1/₽11<С2/₽21.
т. е.
7 В ф Матвеев, В. Г. Ушаков
177
Для определенности рассмотрим какой-нибудь один из этв случаев, например сц/Ри>с2/р21. Тогда Хц>0, Х22Х), Xi2>i
Х21 = 0. Вспоминая, что
r = dP^zlt z2) I	*
l/	dZj	’	Л
a Pi(ziy z2) — совместная производящая функция числа требой ваний первого и второго потоков в момент начала обслуживав ния требования f-ro потока, видим, что (так как *21 = 0, а все; коэффициейты разложения Pz(zi, z2) по степеням zt и z2 неотрицательны) P2(zi, z2) не зависит от это эквивалентно тому, что требования первого потока имеют относительный приоритет, перед требованиями второго потока.	ф
3. Задачи.
Задача 1. Доказать утверждение теоремы 1 для произвольного г>2.
Задача 2. Доказать, что утверждение теоремы 1 остается справедливым, если функция переключения выбирается в зависимости от траектории процесса L(/) от /=0 до момента принятия решения включительно.
Литература: [2, 4, 5, 13, 16]
Глава 4. Системы обслуживания с непуассоновскими входящими потоками
В предыдущих главах были изучены различные модели систем массового обслуживания, при этом предполагалось, что входящий поток требований является пуассоновским. Отказ от этого предположения приводит к существенному усложнению задачи. Даже для рекуррентных входящих потоков в приоритетных системах обслуживания изучено очень мало характеристик.
В данной главе будут рассмотрены два частных случая рекуррентных потоков: эрланговские и гиперэкспоненциалъные. С одной стороны, такие потоки часто возникают в реальных системах, с другой — ими достаточно точно можно приблизить широкий класс рекуррентных потоков. В частности, во многих случаях для получения необходимой точности достаточно приблизить первые два момента интервалов между поступлениями требований. В этих случаях при <у>т можно взять гиперэкспоненциальный поток, а при в<т — эрланговский, где т — математическое ожидание и о2 — дисперсия интервалов между поступлениями требований.
§ 1. СИСТЕМА ОБСЛУЖИВАНИЯ HM|Gr|l|oo С ОТНОСИТЕЛЬНЫМ ПРИОРИТЕТОМ
1.	Описание системы. Рассматривается одноканальная система обслуживания с г (г>1) приоритетными классами требований. Длительности обслуживания — независимые в совокупности и не зависящие от входящего потока случайные величины, стохастически эквивалентные для гго приоритетного класса сл. в. Bit pi(s)=Me-sB\
Входящий поток требований — рекуррентный, определяемый плотностью распределения интервалов между поступлениями требований вида
а (0 =
' N
JF qay ехр {—«у/}, / > О, /=1
N
где ау при i=£ j, >0, J? ct = 1.
z=i
Поступившее требование направляется в f-й приоритетный класс с вероятностью рг (р = (pi,рг)) независимо от остальных требований. Рекуррентный входящий поток, задаваемый плотностью распределения (1), эквивалентен следующему: интервалы времени между поступлениями требований независимы в совокупности и показательно распределены со случай
7*
179
ным параметром а, принимающим значения сц с вероятностям^! Рг, г=1, N, причем значение а определяется непосредственно! перед началом отсчета времени до следующего поступления и] не меняется между двумя поступлениями. Событие {/(0=/}1 будет означать, что в момент времени t а — а^.
Сделаем некоторые замечания о характере дисциплины вы-1 бора требований из очереди на обслуживание. Мы будем пред-7 полагать, что эта дисциплина не допускает прерывания обслу-й живания. Многие результаты будут справедливы для всегоу; класса систем без прерывания обслуживания. Наиболее де-^ тально будет изучена система с конкретной дисциплиной без^ прерывания — дисциплиной относительного приоритета. Не| ограничивая общности (при исследовании систем с относительЛ ным приоритетом), будем предполагать, что приоритетные^ классы перенумерованы таким образом, что классу с меньшиц! номером соответствует более высокий приоритет.	|
Предполагаем, что в начальный момент времени / = 0 сис-^ тема свободна от требований.	Я
2.	Основные обозначения. Для характеристик длительности! обслуживания требования будут использоваться следующий обозначения: ВДО — функция распределения, bi(t) — плот< ность распределения, — /-й момент, =	и 0г($) —|
преобразование Лапласа — Стилтьеса, рг- (s) =Me~sB i, длительЛ ности обслуживания требования Г-го приоритетного класса. - |
Введем следующие случайные процессы и величины, которые! будут основными объектами исследования:	ж
L(0 = (Li(0,£.(/))>	|
Lf(/) — число требований f-го класса в системе в момент t, Д
П(п°) — длительность периода занятости, начавшегося cqt случайного числа требований п0, т. е. случайного интервала! времени, начинающегося с обслуживания одного из п° требовав ний и кончающегося в момент первого освобождения системы! <р(2)=М2п°.	|
Пусть, далее, i(t) — номер приоритетного класса, требовав ние которого обслуживается в момент времени L и z(t) — вре< мя, прошедшее с начала обслуживания этого требования до мо4| мента t (если в момент t система1 свободна, полагаем i(t) z(t) равными нулю).
Кроме того, введем следующие обозначения:
Р(и, /) = Р(L(/) = п), Ро(/) =Р(0, /),
.	p(z, s) = Je~stMzL^di,	J
°	1
Po(s) = p(0, s), Т],(х) =bt(x) [1—Bi(x)]-1,	I
Л/ (n, x, t) = P (L (/) = n, j (/) = j, i (t) = i, z (t) < x), I
180
Pti (z> X, s) = J e~st M [zLW I (j (t) = j, i (/) = i, z (0 < x)] dt, 0
Po/ (/) = P (L (0 = 0, j (/) = /), poj (s) = J e~st Poi (t) dt, о
Pu(z, 0, s) =pu(z;+0, s),
Пл(п°Л)^ = Р(П(п°)е(^ t + dt), /(0=/|/(0)=v),
n/v(n°, s) = [ ^-s/n;v(n°, t) dt,
6
N	1
Pi/ — eiai~l] £ Pv0v/« 1=1	v—1
3.	Предварительные результаты. Ниже будут введены и изучены функции pi(z) и pi*(s), i=l, N, через которые выражаются основные характеристики рассматриваемой системы обслуживания.
Функции pi(z),pjv(z) определяются следующим образом. Рассмотрим уравнение (относительно р)
п (и + а,) = A (z)£ Cfa,- П (Н + «.)>	(2)
/=1 ijkj
где функции A(z) удовлетворяет следующим условиям:
A(z) аналитична в области |z/|<l и непрерывна при
Iz/lcl, j=l,r, А (1) = 1, И (z) |cl,	j=l,r. (3)
Так кай
N	N	*
П (и + ас) — А (z) £ ciat П (и +а.)
1=1	/=1	1>/
является по ц многочленом степени Nf то указанное уравнение имеет N решений для любого z. Обозначим их pi(z),..., px(z). Кроме того, Л(г) непрерывна при |zj| < 1, /=1, г, поэтому можно считать функции gi(z) непрерывными в той же области.
Лемма 1. Функции pi(z), i=l, Nt обладают следующими свойствами:	ч
а)	одна и только одна из функций p;(z) обращается в нуль в точке z== 1;
б)	для любой функции A(z), удовлетворяющей условиям (3), и для любых Zj, таких, что | Zj | с 1, /=1, г,
Re(Mt(z))cO, 1=1777?
181
в)	функции jxi(z) и juij(z) при i^=j могут совпадать лишь на конечном числе множеств вида A(z) =с.
Доказательство. Докажем сначала свойство а). Уравнение (2) при z = l преобразуется к виду
лг
р, + £ а^~2 +	£	+ ... +
1=1	1<G<i2<N
+ 	£	а»-. £ca[hw-2 + £^<-3 +
/=1	i&i
+ S aifliJ^N~4 + ... +	£ a£l... aiJV_2]} = 0.
Отсюда получаем, что решениями уравнения (2) при z=l являются |л = 0 и решения уравнения
w
ц"-1 + £ а£р"-2 + ... +	£ aii...alN_x-
i=l	N
JV
-£ C/О/ [nw~2 + £ WN~3 + • • • + /=1
+ JP ait... aiN__2] =
Kh<.. .<1дг 2<^ /=1, N—2
Однако последнее уравнение число нуль своим корнем не имеет.
Итак, утверждение а) леммы доказано.
Вместо б) докажем несколько более об!цее утверждение, а именно; докажем, что б) выполняется без требования А(1) = 1 N
и при единственном ограничении на с£: £ с(= 1. Восполь-1=1
зуемся методом математической индукции. При #=1 уравнение (2) имеет вид
H.+ai = 4(z)ai
и его решение p(z) =—ai(l—Д(г)) имеет неположительную действительную часть при |z,-| cl, /=1, г, в силу того что ai>0 и | A (z) | < 1 для указанных z.
Предположим, что утверждение выполняется при N—k—1,
т. е. для любых ai......ak-i', аг>0, Ь=1, k—1, и Ci,.... cft_i,
k—i
£ с( = 1, для любой функции Л(г), удовлетворяющей усло-i=i
182
вию |Л(г)|<1 при |zj| <1, /=1, г, и для любых zj, |zj| <lt действительные части решения уравнения
k— 1	k—\
П (и + ai) = A'(z) £ ciai П (и + а.) £=1	/=1
неположительны.
Докажем это утверждение для N=k. Будем доказывать методом от противного. Предположим, что существуют di,..., du} _______________ * _
ai>0, i=l, k, Cit...,Ckf J? = 1, функция A(z) и точка z0, i=l
такие, что существует решение g(zo) уравнения k _	_ k_______	_
П (и + °.) = А (z<>) £ 'ciai П (и + ai). ‘•=1	/=1 W
имеющее положительную .действительную часть. Так как к _	___
ct = 1, то по крайней мере одно из чисел ci, i=l, k, поло-i=l
жительно. Предположим для определенности, что сл>0. Имеем
_ k 	_	_
П (|* (zo) + ai) = А (zo) [и (zo) + ak]~l £ CjOj П (H (Zo) + «;)•
i=l	/=1
Отсюда Л—1	k— 1
П & + “J = (zo) J] c^i П <z«) + + i=i	j=i	' i^j
'	+~ЛЩ^ П<Й(го)+ *»)>
H(z») + a* .=1
ИЛИ
fi <H(zo) +	+ x
j=1	+	— ^(z^ciflk
ft-1
X 2 77^-П (Й (zo) + /=1	t
Отсюда вытекает, что JC(zo) является решением уравнения
k—i	_	= л—_
П (н + ai) = А (zo) g ci ai П (н + а{), i=l	/=1	i#/
где Q = ё/ [1 — СаГ1,
183
1
Л (z) =	+	A (z).
H(zo)+.aft — Afa)ckak
Заметим, что если Re(p(z0)) >0, то |Л(г)|<1 при |zjcl, /= = 1, г. Отсюда в силу предположения индукции должно быть J Re(jx(z0)) <0. Противоречие. Утверждение б) доказано.	!
Докажем теперь свойство в). Заметим, что если zt и Z2 таковы, что A(zt)=^=A(z2), то pi(Zi)=7fcpj(z2) для любых i и /. Пусть pi(zo) =Pj(z0) =p.(Zo) при i#=/ в некоторой точке z0. '• Тогда, во первых, p,(z) =pj(z) для всех г, таких, что A(z) = = Л(г0), и, во-вторых, p.(zo) является решением уравнения j
£ П(н + о<)—с/а/£ П(н + а>) = °- i /=1 i#/	/=1 Ц+j
i^l
Следовательно, p(z0) одновременно удовлетворяет двум соотно- /, шениям
П (и (zo) +а») = А (zo) £ ciai П (и (\) + “.)•
t=i	/=1	i#/	*	;
N	N
£ П (h(zo) + ai) =^(zo)£ с/а/£ П (и (zo) + ai)-	(
/=1 i#/	/=1	J
Отсюда вытекает утверждение в).	
Нумерацию функций p.i(z) выберем таким образом, чтобы , Р1(1)=0. Положим
М z) = П (На (z)’— И Л( z)) •
Лемма 2. При каждом kt k=lt Nt система функциональ- * ных уравнений	;
Z/=₽/(s — p*(z)), /=м,	(4) 
имеет единственное решение
== (zl, s), Z = 1, i,
(z^ (zS s) = (z<^ (zz, s), ... , z<^(zz, s)), аналитическое в области |z,+1| <1,.... |zr| <1, Res>0, причем в этой области Iz^^z', s) | < 1, 1=1, i. Если
N	г
184	I
то z/1>(O)=l, в противном случае Zrj(1)(O)<l, /=1, г. Кроме того, при	|zr/ft)(0)|<1, /=1, г.
Доказательство. Совокупность систем функциональных уравнений (4) при Л=1, N эквивалентна системе
N
П (X +	=Л (Pi (s— х), ... , Р,. (s — х), zi+i, ... ,zr)X
N
X £.с/а/П(* + а/)>	(5)
/=> i*j
Z/=P/(S — X),	j=r~i.
По теореме Руше в области Res>0, |zi+i| <1,|zr| <1 первое уравнение системы (5) имеет N решений
z‘), ...,x^(s, z‘),
причем в этой области
Re xa(s, zf) сО.
По теореме о неявной функции эти решения являются аналитическими функциями в указанной области. Искомые функции Zi/ft)(zz, s) получаются после подстановки найденных значений х в соотношения zj = Pj(s—х).
Остальные утверждения леммы являются следствием свойств функций p/(z), доказанных в лемме 1.	
Положим
dik (z, s) = 1 — zr1 ₽/ (s —	(z)),
P**($) =^(zr(*)(s)),	(6)
<P (s) = {S ciai П <s + «/} П Is — Pv (s)]"1-/=1 &i	v=i
4. Основные результаты. Как уже отмечалось выше, основная цель параграфа заключается в изучении свойств процесса МО и случайной величины П(п°), представляющих собой число требований в системе в момент t и период ч занятости рассматриваемой системы обслуживания. Результаты о поведении этих характеристик содержатся в приводимых ниже теоремах 1—3 и их следствиях.
В тех случаях, когда мы будем пользоваться результатами лемм 1 и 2, будем полагать Л(г) = (р, z).
Если в формулировке результата нет указания на приоритетную дисциплину, это означает, что он справедлив для всего класса систем без прерывания.
Напомним обозначения основных характеристик:
185
p(z, s.) — преобразование Лапласа производящей функции | совместного распределения длин очередей из требований при- 4 оритетных классов 1, г;	>
po(s) — преобразование Лапласа вероятности свободного состояния системы;
л3„(п°, 5) — преобразование Лапласа плотности распределения длительности периода занятости, начавшегося с п° требований и такого, что в момент его начала a=av, а в момент окончания a = a3.
Теорема 1. а) Функции p(z, s) и рц(г, х, s) определяются по формулам
N г
Р (z, S) = р0 (з) + [(р, z) — 1] £ £	(z, s) X
k=\ i=l
X [ 1 — р£ (s — и* (z))Ji[p* (z) (s — (z))]- !,	(7)
П
Pel (z, X, s) = [1 — Bi (x)] (p, z) Cj £ [p* (z) + «/]-! X fe=l
X (z, s) exp {— (s — pfe (z)) x},	(8)
где
N	N
№ (z, s) = a?1 (z) П (M* (z) + a/) У	,	(9)
(z) + at /==1
и Pi<ft)(z, s) удовлетворяют соотношениям
f	N
£ dik (z, s) (z, s) = af' (z) <p (s) П [|*a (z) —	(s)].	(10).
1=1	v=i
б). Функции poj(s) определяются из системы линейных уравнений
N	N—f
У [С/ - (5 + at) pol (S)]	£ П аи =
1=1	K/iC.-.C/yy-fCW i=l
lk^l, fe=l, N-j
N—j	N—j	N
g [(- 1)"-' П Hz’ (s)-n aJ} £ avpov(s). (11)
1=1	i=l	V=1
N
в). Функции p0(s) и £ avpov(s) определяются no формулам
V=1
p0 (s) = s-1 [1 - (- l)w(p (s) П «г’н* (s)], i=l
N
£ avpOv(s) =<p(s).
V—1
(12)
186
Замечание. Поясним смысл утверждений теоремы 1. Утверждения б) и в) показывают, что функции poj(s) и po(s) не зависят от приоритетной дисциплины и могут быть определены из соотношений (11) и (12). В отличие от poj(s) и po(s) функции p(z, s) и pij(z, х, s) существенно зависят от приоритетной дисциплины. Утверждение а) показывает, что зависимость функций p(z, s) и Pij(z, х, s) от pij(z, 0, s) одинакова для всех систем без прерывания и выражается формулами (7) — (9). Кроме того, определенные линейные комбинации функций p/j(z, 0, s) (соотношения (10)) также не зависят от приоритетной дисциплины.
Теорема 2. Функции njv(n°, 5) определяются из системы линейных уравнений
N
У а> niv(n°,s)=	-q>(z<*)(s)), k = TTN, (13)
(s) + aj	(s) + av
в частности,
N ttv(n°, s) JT Jt/v(n°, s) = /=1
=e <p (z<*> (s)) п «г1 (h; (s) + «j П h; (s) [h; оо - н: («)]-*. (Н) k=\	1-&V	j&k
Следствие, а). Функция ji(s) — преобразование Лапласа — Стилтьеса ф. р. длительности периода занятости системы П, начавшегося с поступления требования в свободную систему, — определяется по формуле
N
n(S) = i-(-i)" п«да (15)
/=1
б). Если pri<l, то первые два момента длительности периода занятости определяются по формулам '
N	N
мп = (-1)"-1 П «Г*	П (°)’	(16)
Z=1	Г i—2
N
МП2 = (— 1)"-* П а-1 [i=i
Рг2_____। Рг1
(1-рг1)3	(1- рп)3
187
N (I) -^2^ггГЬ;(0).	(17)
/=2	/>/
в противном случае МП = МП2=оо, где
{2 W П (H/(0).+ a,)}2 г
рЯ = —V—-------------------[ s <- М ’
2 ciai П (И/* (0) + щ)г £=i /=1 W
P/(s)= i = ~r. ds
Теорема 3. В случае дисциплины относительного приоритета функция p(z, s) определяется по формуле (7), где s) находятся из рекуррентных соотношений
^(z>s)P<iv)(-lv,s)>	(18)
V=1
£ dik (• ik, s) ₽}*> (• ik, s) = аГ1 (• ik) <P (s) П	(• «) - К (s)] > (19)
j=i	v—1
где
(Z, s) a,-, (z) «.(.,) П ЛИ Г 	<20>
ryViv' Щ\‘ il) l&v
азапись (-ik) означает вектор	(z£—1, s) z1’-1.
Замечание. Поясним алгоритм нахождения функции p(z, s), задаваемый соотношениями (7), (18), (19). Сначала из соотношения (19) при i = r находим ${rk) (-rk> $)• Зная Р^(-^, s), из соотношения (18) определяем
р<*> (z, s), ₽<fc) (. r_lk, s), P(r*> (• r_2ft, s)..... p<ft> (• 2>, s).
Далее, из (19) при i~r—1 находим i(-r-ik, s) (это можно сделать, так как р!*’(• r_lk, s) уже известно), а затем из (18) — P*-i(z, s), р5—1(-г—2fe, s), ... , P^i(-2fe, s). Повторяя эту процедуру, находим p’k)(z, s) для i=l, г и по формуле (7) — p(z, $).
Следствие. При pri< 1 существует предел
L(/)=>L,	/->оо,
причем в случае дисциплины относительного приоритета функция P(z)=MzL определяется по формуле
P(z) = (1 —pri) + [1 —(Р, z)] X
188
X £ £ 0<fe>(Z)иг2 (z) [I — (— M*(z))L £=1 1=1
(21)
где PjW(z) находятся из рекуррентных соотношений
p!ft)(z) = £ 4(z>0)pr)(-.v),
V=1
£ dik (• гk, 0) ₽<*’ (• ift) = (1 - рп) аГ1 (• ik) X i=i N	N
x п г—к (О)]-1 П{Мни ^)-p;(O)D>	(22)
1=2	/=1
здесь запись (-ik) означает z^ (z*-1,0) z'-1.
Доказательство теоремы 1. Рассматривая возможные переходы системы из состояния в состояние за интервал времени (/, Z+Д), получаем
Л/(п, х+Д, Л-Д) = Р(п, х, t) [1 —(а/ + тр(х)) Д] +
г
+ с/£ £ avPiv(n — lk, х, t)f£kpkb + о (A),	(23)
k=\ v=l
где о(Д)/Д->0 при Д->0, а
Разделив обе части (23) на Д и переходя к пределу рри Д->0, получаем
<?P,7("’X’ 9 + дР^'х’{1 = - (а, + (х)) P{i (n, x, t) + dt	dx -
r N
+ С/У У avPlv(n —!*, x,t)z^ pk.	(25)
k—l V=1
Из начальных условий следует, что
Pij(n, X, 0) =0.
Переходя в (25) к производящим функциям и преобразованиям
Лапласа по получаем
дрц(г x,s) = _ [S +	+ л. pi. (Z> х s) +
dx
N
+ q(p, z) ^<zvp^(z, x, s).	(26)
v=l
189
Аналогично для Poj(t) получаем систему интегродиффереиИ циальных уравнений	Я
г|	
~М):~ = ~ afPol (0 + £ f Ри (1., х, t) (x)dx. (27Д i=l О	Ж
Кроме того, в силу начальных условий	ж
^0;(0)=Q.	(28>|
Положим
p'ffz, х, i) = Y znP£/(n,.x, f). n=0	j
Докажем, что
У P'i(z> °> 0 = £ г-1 j P} (z, x, On£(x)dx — i=l	i=l 0
r t	N	\
— £ J Рц (Ip x, /) nt- (x) dx + Cj (p, z) £ avPov (0-	(29>
i=l 0	V=1
Умножим обе части (29) на Д — произвольное сколь угодно ; Малое положительное число. Тогда с точностью до величин порядка о(Д) при Д->-0 слева будет стоять вероятность того,; что в интервале времени (t, £+Д) началось обслуживание некоторого требования, все требования, находящиеся в этот момент в системе, являются «красными», и а=а}. Для выполнения этого необходимо и достаточно, чтобы:
1) либо в интервале времени (t, t+A) закончилось обслуживание некоторого требования, система не оказалась свободной, все оставшиеся в системе требования «красные» и а=а^ (вероятность этого события равна
Г	t	г t
z, х, t) г)£ (х) dxA — £
i=l 0	i=l О
Е’Т’Г'М
J Ра (lt-, х, t) T]£ (X) dx\ + о (Д)>
2) либо в интервале (/, /+Д) произошло поступление / «красного» требования в свободную систему и а приняло зна- , чение aj (вероятность этого события равна
cf (р, z) £ avPOv (t)& + 0 (Д)).
V=1
Переходя в (29) к преобразованию Лапласа по t и учитывая (27) и (28), получаем
Г	Г	00
У Ра (z, о, s) = £ Zf1 J Pn\(z, X, s)^i (x)dx 4-i=l	i=l	0
190
N
+ Cj — (s + Oj) poj (s) + Cj (p, z) £ OvPov (s).	(30)
v=l
Решение системы (26) записывается в виде я
Pii (z, X, s) = [1 — Bz (х)1 Cj £ у(А) (z, s) х '	fe=i
X [p*(z)+а;]-1 ехр{— (s — |Aft(z))x),	(31)
где у/й)(г, $) — произвольные функции. Подставляя (31) в (30), имеем
f [pfc(z) + a/]-1^(z,s)=f/(z,s), / = TjV, (32) fe=i
где
(z, s) = £ dik (z, s) y<ft> (z, s), i=l
N
fl (z, s) = 1 — (s + a,) cfpQj (s) + (p, z) £ azpoz (s). l=\
Для определения 8k (z, s) мы получили систему линейных уравнений с матрицей Коши. Решение этой системы записывается в виде
ЛГ	'N
б* (Z, s) = £ /z|(z, s) a^1 (z) П Km (z) + fl/) (pz (z) + az)] X z=i	/=1
njkl
Вспомним, что функции pj(z), f=l, N, являются решениями уравнения
W	N
П (м + Oj) = (р, z)£ czaz П (и + a/)-/=1	z=i	mz
Следовательно, NN	N
П (и + «/) — (р> z) £ cia> П (и + a/) = П (и—m (z)). (зз) /=1	/=1 м/	v=l
Подставляя в (33) р= —щ, имеем N
(— i)w П (и/ (z) + ai) = — (р« z) cfii П (а/—а/)-/=1	MZ
191
Отсюда находим,	что	'fl
n	I
П (н	(z) + at) П <а1 — ап)~' = Cflt (Р> Z).	I
/=1	|
Следовательно,	*
N
d* (z, s) = a-1 (z) (p, z) {£ Cial П (pfe(z) + a;) [1 — (s + at) c^pol (s)] + ' 1=1 mi	i
N	N
+ П (p* (z) + °/) E avPov (s).	(34) •
/=1	V—1
В силу леммы 2 бь (z, s) обращается в нуль при z=zrW(s), поэтому из (34) получаем
б* (z, s) = (р, z) ос^1 (z) avPov (s)l П (И* (z) — И* (s)).	(35) ’
4=1	j /=1
Сравнивая два представления для 6fe(z, s) ((34) и (35)), получаем систему линейных уравнений (11) и из нее получаем (12). ;
Из определения функций p(z, s), po(s) и Pij(z, х, s) следует, что
г N
p(z, s)==p0(s) + £	х, s)dx.	(36)
i=i /=1
Положим -fiW{z, s) = (p, z)pj(ft)(z, s). Тогда из (31) вытекает (8). Подставляя (8) в (36), получаем (7).
Осталось показать, что
N	N
(z, s) = a?1 (z) П (р, (z) + a,) V а^ (г’0’.А.
1	Х	р/г(г) + а/
/=1	1=1
Из (8) вытекает, что
У pft>(z,s) = pz/(z,o,s)	(37) .
Zj ji4(z) + aj с; (р, z) k=l
Заметим, что система уравнений (37) (относительно s)) имеет ту -же матрицу коэффициентов при неизвестных, что и система (32), следовательно,
(z, s) = У Лг(г’0’^- П (Mz) + av) X
Ci (p, z) 11 1=1	y=l
Xa*-‘(z) [p*(z)+az]-1cza;(p, z).
192
"4 i
Отсюда
N	N
P<?>(z, s) = аГ1 (z) П (Ш(z) + «/) V a'Pz,.("\°,S) •	
11	l^k(z) + ai
j=i	l=l
Доказательство теоремы 2. Покажем сначала, что соотношение (14) вытекает из (13). Умножив обе части (13) на Г1 (р* (s) + az), получаем i=i n	.
У, ai П (н! (s) + а/) Л/v (п°, s) = av П (hZ (s) + ai) <Р (z<*> (s)). (38) /==1 I* j	hftv
Рассмотрим многочлен по р степени N—1 вида w
£ ai П (и + ai) niv (n°> s)-	(39)
/=1 I*i
Соотношение (38) показывает, что в точках ц.=рл*($), k=l, N,. многочлен (39) принимает значения
av П (Р-И5) + az)<P(^(s)). l&V
Из вида многочлена (39) вытекает, что его свободный член равен
N N
П«.£ n/v(no, s>-i=l /=1
Отсюда следует (14). Докажем теперь (13). Для этого рассмотрим процесс изменения длины очереди на периоде занятости. Введем следующие функции:
(П, X, i, П°) = 4- Р (L = п> г V < х’ 1 ® j = /’ дх
L(T)^0, те [0, 0 |/(0) =v, L(0)=n°), pff (z, x, s, n°) = J znPj/) (n, x, /, n°) dt. 0	n=0
Аналогично тому, как это делалось в доказательстве теоремы 1, выводится система дифференциальных уравнений для определения р{У) (z, х, s, п°):
dPij (Z X, S, п ) = _	+	(д_. ] у	S( п0) +
ПУ. 1
193
+ С/ (Р> z) atptf (Z) x> s> n0),	(40)
Z=1
£ Ptf (z, o, s, n°) =
= £ zr1 J p(v) (z, X, s, n°) Л,- (X) dx + d/,v<P (z) — n/v (n°, s). . (41) i=l 0
Заметим, что система дифференциальных уравнений (40), (41) имеет тот же вид, что и система (26), (30) с заменой crfj(z, s) на 6jlVq)(z)—njv(n°, s). Используя рассуждения, аналогичные доказательству теоремы 1 (а именно способу нахождения функций Poj(s)), легко показать, что
N
S[6/.v<P(z) - л/v(n°, s)]	°'. -
Hfc (z) + ai
/=1
обращается в нуль при z = zr(ft>(s). Отсюда получаем (13). В Доказательство следствия к теореме 2. Из определения функции n(s) вытекает, что
N
л (s) = £ с^л(,(п°, s) при Ф (z) = (р, z).	(42)
V=1
Подставляя (14) в (42) и произведя элементарные преобразования, получаем (15).
Соотношения (16) и (17) (при pri<l) получаются из (15) по формулам
МП = — -^-	, МП2 = d2jt ^-1 .	
ds s=o	ds2 |s=o
Доказательство теоремы 3. В силу леммы 2 из (10) вытекает [19]. В теореме 1 было доказано соотношение, связывающее р/А)(г, s) и po(z, 0, $):
«й (z) Pifc) (z, s) = £ at П (p* (z) + a,) ptl (z, 0, s).	(43)
z=i
Дисциплина относительного приоритета характеризуется тем, что pa(z, 0, s) не зависит от z,_i, отсюда и из (43) следует, что
N
J] Ol П № + а') <Z’ °’ S) =
194
v=l	l&v
Подставляя полученное выражение для
У ai п Wz) + at) p(l (г, 0, s) /=1 i*l
в (43), получаем (18).	
5. Заключение. Методы, использованные в данном параграфе, могут быть применены при анализе более сложных систем, чем рассмотренная. В частности, можно предполагать ненадежность обслуживающего прибора, наличие «разогрева», неординарность входящего потока и др.
Полученные результаты для длины очереди и периода занятости дают возможность изучить и другие, не менее важные характеристики рассмотренной системы обслуживания, такие как время ожидания, время пребывания в системе, число требований, обслуженных за период занятости. Соотношения,, справедливые для всего класса систем без прерывания, можно использовать для решения задачи об оптимальном назначении приоритетов при различных критериях эффективности.
6. Задачи.
Задача 1. Положим Р,-(z;) = MzJ-/, L, — число требований /-го приоритетного класса в системе в стационарном режиме. Доказать, что при рн<1
N
= Р/г->(1 -г,)2£ рГ(-/)Р/(-нИ-/))нГ2 (•/).
Л=1
где
1,2;, 1,„. ,1).
1	'	г—~\
Задача 2 (продолжение). Найти функцию Pj(Zj) в случае N=1 (пуассоновский входящий поток). Доказать, что в этом случае первые два момента стационарного распределения числа требований /-го класса в системе определяются по формулам
Рг2
NlLj — а,; В/i Н—-------------,
ш 2 = а2- Г__________—__________I_______PrzPj-M_____
'	1 I 3 (1 - p/_u) (1 - рд) 2 (1 - РМ1)3 (1 - рд)
।	РггР/Т	I________РггР/2__________। о
(1 - Р/1)(1 - Р,-н)	2(1-рМ1)»(1-рд)»	Н'2.
+ а! [ Р/1 + "ГЛ----Т77------ Г I •
L	(* — Pji) v — Р/-и/ J
195
Задача 3. Рассмотрим следующее обобщение изученной в данном параграфе системы обслуживания. Пусть закончилось обслуживание требования f-ro приоритетного класса, тогда с вероятностью Рг*(п) образуется rii+ ... +пг требований и п5 из них направляются в /-й класс, / = 1, г,
P‘(z) = J z"p’(n), р'(0)>°-п=0
а)	Доказать, что при каждом &=1, N система функциональных уравнений
z/ = P/*(z)₽/(s —p4z)), i = TTi, имеет единственное решение z/fe)(z\ s), аналитическое в области |zi+1| <1,..., |zr| <1, Res>0.
б)	Положим
dik (z, s) = 1 — zrx Pt* (z) (s — рл (z)).
Пусть pfe*(s) и cp(s) определяются по формулам (6), если подставлять в них функции Zi(ft)(z\ s), определенные в пункте а) задачи. Доказать, что теоремы 1—3 остаются справедливыми и для рассматриваемой в задаче системы обслуживания, если в них подставить значения Zj(fe)(z\ s), dikfa s), ць*($), <p(s), определенные в данной задаче.
Задача 4. Показать, что все результаты параграфа справедливы, если Ci — произвольные действительные числа, такие, что
N	N
Ci =# 0, £	= 1. £ Cflf Ф о
1=1	'	1=1
и
С/йу ехр {— a ft} 0 при t 0. /=1
§ 2.	СИСТЕМА Ег | Gr 111 оо С ОТНОСИТЕЛЬНЫМ ПРИОРИТЕТОМ
1.	Описание системы. Рассматриваемая в этом параграфе система обслуживания отличается от рассмотренной в § 1 только входящим потоком и распределением требований по приоритетным классам.
Будем предполагать, что в систему поступают г независимых эрланговских потоков требований с параметрами (&г, а;), f=l, г. Требования f-го потока образуют f-й приоритетный класс.
196
Поступление требований f-го потока можно интерпретировать следующим образом. Введем вспомогательный марковский процесс /г (0, принимающий значения 1, 2,ki. Длительность пребывания процесса /Д/) в состоянии I — показательно распределения с параметром аг- случайная величина, после чего он переходит в состояние /+1 при l<ki и 1— при l = ki. Требования Z-го потока поступают в момент перехода процесса /ДО из состояния ki в состояние 1.
Предполагаем, что в начальный момент времени t = 0 система свободна и /\(0) = 1, /=1, г.
2.	Основные обозначения. Для параметров длительностей обслуживания сохраним обозначения предыдущего параграфа.
Введем случайные процессы:
L(/) = (L1(0,..,Lr(0).
где Lift) — число требований i-ro класса в системе в момент времени t;	1
ift) — номер приоритетного класса, требование которого обслуживается в момент времени t, и zft) — время, прошедшее с начала его обслуживания (если L(/)=0, полагаем i(/)=0 и 2(0=0);
j(0 = (ji(0,-./>(0);
П(п°) — длительность периода занятости, начавшегося со случайного числа требований п°; <p(z)=Mzn°,.
Положим
Р (п, 0 = Р (L (/) = л), р (z, s) = j Г- MzL(/) dt, о
Л (П, X, t, j) £= -j- P(L(0 = n, zft) < x, ift) = i, j (0 = j).
p, (z, x, s, j) = J er~st JF znPt. (n, x, t, j) dt, 0	n=0
Po(tj)=P(L(O=O, j(O=J)>
Po(s. j) = j e-stP0(t, j)dt, о
П(п°Д, j,v)^=P(n(n°)e(Z, t+dt), j(O=j|j(0)=v),
л (n°, s, j, v) = J e-rfn(n°, t, j, v)dt, о
° = £ 4, Pii = £ i=0	1=1
197
3.	Предварительные результаты. В этом пункте будуЯ введены и изучены функции zu(z\ s, m), через которые выраЯ жаются характеристики рассматриваемой системы обслужив^ НИЯ.	h
Пусть z=|z|ei<₽ — некоторое комплексное число, тогд^ через z(k, j), j=l, k, будем обозначать /-е значение корня k-й степени из z, т. е. число
k __
z(k, j) = у I г I ехр {i [ср + 2л (/ — 1 )]/&}.	_
Лемма 1. При каждом наборе mt,mr\	i=
система функциональных уравнений
= ₽/ (s + £ at О — zt тМ), i = TL i=i
имеет единственное решение Zi=Zii(zi, s, m), I—I, i, zt (z‘, s, m) = (zn (z*, s, m),zn (z‘, s, m)), аналитическое в области |Zj+i| <1,...» |zr| <1, Res>0, причем в этой области |z«(z*, s, m) | < 1. Если pri<l, to zr(0, 1) = 1, u» в противном случае — zTj (0,1 )<1, кроме того, |zrj(0, m)|<l при m=#l.
Положим
di(z, s, m) = 1 — zrl Pi(s + o — (a, z(k, m))), (z(k, m) =zi (ki, mi),..., zr(kr, mr)).
Значение Zj(k,, m,) при zj=ztj(z\ s, m) будем обозначать. Zijfz4, s, m).
4.	Основные результаты. Содержание данного пункта составляют теоремы 1—3, в которых изучено поведение сл. в. L(f),i(O, j(/) и П(п°).
Теорема 1. а) Функции p(z, s) и pi(z, х, s, j) определяются по формулам
k	г к
p(z, S) = £p0(s, j) + 2 2 /=1	i—1 m=l
'r
X ft (z, u=i
1— ₽z(s+o — (a,z(k,m))) -----— .
s + a —(a, z(k, m))
—1~гц—,..	(1>
1—гц(йц>тИ)
p£ (z, X, s, j) = [1 — Bi (x)] £ [z(k, m)]k-i x m=l
X P< (z, s, m) exp {— [s + a — (a, z (k, m)) ] x),
где
Pi (z, s, m) = П & £ [z (k> m)]v-k р,- (z, 0, s, v),	(3>
H=1	V=1
198
a pt(z, s, m) удовлетворяют соотношениям
£ s, m)pt (z, s, m) = П ^^(k, m)[,-k x f=l	Ц=1
к
X 11 — (s + a — (a, z (k, m))) [z (k, m)]*-1 p0 (s, v).	(4)
V=1
б). Функции po(s, j) определяются из системы линейных уравнений
£ fl [ггр (s, m)p-1 Ро (s, v) = {s + a - £ a^rp (s, m))"1. (5) v=l p=l	p=l
Теорема 2. Функции л(п°, s, j, v) определяются из системы линейных уравнений
£ л(п°, s, j, v) П [Zrp(s, =<p(zr(s, m)) f] [z,p(s, m)]Vp-1. 1=1	P=1	P=1
(6)
Теорема 3. В случае дисциплины относительного приоритета функция р{г, s) определяется по формуле (1), где 0t(z, s, m) удовлетворяют соотношениям (3), a Pi(z, 0, s, j) находятся из системы линейных уравнений
£ П lz/p(z/’s-m)p_l П [z//nz)P-1 х v=l р=1	/=/4-1
г
X £ dt (zz (z', s, m) zz, s, m) pt (z, 0, s, v) = r=/+i
к
= 1 — [s + Y/ (z', s, m)] 2 Po (s> v) X
V=1
x П k₽(z/> s-m)]Vp_1 П m/)]V/_1,	(7)
p=l	/=/4-1
где
I	_	r
У/ (zi, s, m) = £ (au — a^in (zz, s, m)) + £ (ag — a^ (Z>g, mg)).
U=1	u=/+l
Доказательство теоремы 1. Рассматривая изменения состояний процесса (L(Z), i(Z), j(f), z(f)) в интервале (t, ^+Д) w устремляя Д—>0, получаем
+ № <п.х.М) = _ (а +	х
dt	дх
199
X Pt (n, X, t, j) + 2 (1 — 6/ft.i) akPt (n, X, t, j — 1*) + k=\
+	6/vл ОуРi (n lv»	jv—l^vjV) eHy,
v=l
£ P* (z, О, /, j) = £ z-1 J P* (z, x, t, j) т]. (x) dx — i=l	i=l 0
— £ J Pi (Ip *> t> j) 4 (x)dx + £ d/v,i avzvP0 (t ,/v-iMv), i=l 0	v=l
(9)
= -<jP0 (t, j) + J] (1 -6/p)ak x k—\
r t
xP0(t, j-lfc) + £ jp.tlpx,/, i)ri.(x)dx. (10> i=l 0
В силу сделанных предположений о начальном состоянии системы
Р,- (п, х, 0, j) = 0, Ро(О, j) = П 6/z.b	(11)
1=1
В соотношениях (8), (9)
Р\ (z, х, /, j) = J? znPt. (n, x, /, j). n=0
(i)	( 1
4 = | l-\.b k = i.
Переходя к производящим функциям в (8) и взяв преобразование Лапласа по t в получаемом при этом соотношении и в (9), (10), получаем
apz(z, х, s. j) = _ js + +	s, j) +
дх
+ U — akPi (z, х, s, j — lft) 4-k=l
>/v.l avZvPi (Z, X, S, jv_i &vjv),
(12)
200
2 pi (z, о, s, j) = J г-1 j Pi (z, x, s, j) T)f (X) dx +
i=l	£=1	0
+ П --------(S + tf) Po (S> j) +	(1 -akPo(.S> j U) +
k=\	fe=l
+ £ S/v3avZvP0 (S, jv-l&vjv),	(13)
V=1
Решение системы (12) записывается в виде
к
Pi (z, х, s, j) = [1 — Bi (x)] 2 Pi (z> s> m) X m=l
X [z(k, m)]k~Jexp{—[s + <r — (a, z(k, m))]x},	(14)
где p,(z, s, m) — произвольные функции. Подставляя (14) в (13), имеем
J [z (к, пт)]к—J б (z, s, m) = / (z, s, j),	(15)
т=1
где
г
d(z, s, т) = £ dt (z, s, т) 0, (z, s, m),
r=i
f(z, s, j) = П — (s + °f)Po(s> j) + £ U — f>lk.i)ak X fe=l	k=l
X Po(s, j — k) + £ S/v,iavZvPo(s. jv-iMv)‘
Решая (15) относительно 6(z, s, m), получаем к
d (z, s, m) =	— (s + o' —(a, z(k, m)))£ [z(k, m)]v“1p0(s, v)| X
V=1
x[fl ^(z(k,m))k-']-1.	. (16)
Ц=1
Из соотношения (14) при х = 0 вытекает
Pi(z, 0, s, j) = £ Pi(z, s, m)[z(k, m)]k~<	(17)
m=l
201
Решая (17) относительно p/(z, s, m), получаем
г	к
Pi (z, s, m) = П [z(k, m)p-k Pi (z, 0, s, v).
U=1	v=l
В силу леммы 1 6(z, s, m) обращается в нуль при z = zr(s, m). Следовательно, из (16) вытекает (5).
Осталось доказать, что выполняется соотношение (1). Из определения функций p(z, s), p0(s, j) и pt(z, х, s, j) следует, что
k	г k оо
p(z. S) = J Ро (S, j) + £ £ f Pt (z, x, s,'j) dx, i=l j=l 0
но, как показано выше,
k
Pi (z, x, S, j) = [ 1 — Bi (x)] £ Pi (z, s, m) x m=l
X [z (k, exp {— [s + о — (a, z (k, m))] x}. Следовательно,
V f p, (z, X, s, )) dx = V	x
J	s + cr —(a,z(k, m))
j=l 0	m=l
k xpi(z, s, m)^[z(k, i=l
HO k	r
2 [z (k, m)]k-j = П £ [2/ (klt =
j=i	»=i /,=i
П1 — [zi(kh mj)]ki = r~T 1—zt	—
1 — z/ (fy, m/)	* '	1 — 21 (ki, mi)
1=1 1=1
Доказательство теоремы 2. Введем следующие функции:
Л(п,х^,п°, j,v) = (<WP(L(0=n, г(/)<х, j(O=j> i(0=G L(t)^0, tg=[0, 0|L(0)=n°, j(O)=v),
Pi (z, X, s, n°, j, v)= J zn^i (n> Xt n°’ b v)dt 0	n=0
Функции pt (z, x, s, n°, j, v) удовлетворяют системе дифференциальных уравнений
dpi(z, x, $, u°, j, v)]
dx
= — [s + a + T]i (X)] Pi (z, x, s, n°, j, v) +
202
r s
Pi (z, x, s, n°, j, v) t]£ (x) dx +
+ J] (1 — akPi (z, x, s, n°, j — v) + fe=l
+ aiziPi (z> x> s> n°. h-ЛЕ v)>	(18)
Z=1
Pi (z, X, s. n°, j, V) = £ f£ 1
Z=1	i=l 0
+ Пд//^ф(г) —л(п°, s, j, v).	(19)
Z=1
Решение системы (18), (19) записывается в виде
к
Pi (z, х, s, п°, j, v) = [1 — Bi (x)] £ y£ (z, s, V, n°, m) x m=l
X [z (k, m)]k~J exp {— [s + a — (a, z (k, m))] x}, где Yi(z, s, v, n°, m) удовлетворяют соотношениям
2 dt (z, s, m) Yi (z, s, v, n°, m) = f"|	1 [z (k, m)]’-k x
f=l	Й=1
x 2 lz(k> {П^фФ—n (n°> s> )• *)}• j=i	/=i
Отсюда, используя лемму 1, получаем (6).	Ц
Доказательство теоремы 3. Соотношения (1) и (3) доказаны в теореме 1 для любой дисциплины без прерывания, в том числе для относительного приоритета. Кроме того, в силу этой теоремы p,(z, s, m) удовлетворяют соотношениям
2 (z, s, m) p£ (z, s, m) —	1 [z (k, m)]’~k x
t=i	ii=i
X (1 — (s + a — (a, z (k, m))) ]T [z (k, m)]v-’ p0 (s, v).	(20)
v=l
Используя лемму 1 из (20) получаем
Г
£ d( (z; (zz, s, m) z1, s, m) p£ (z, (z1, s, m) z1, s, m) = <=/+i
= П V П [2/z (z/> s> m)]1-*' X
H=1	/=1
X ri lzp №p’	{1 — [s + Y/ (Z7, S, m)l x
p=/+i
203
х £ Po(s> *)П 6>(z/’ s’m)]Vp 1 fl	(21
t v=f	p=l	/=74-1	I
В случае дисциплины относительного приоритета p,(z, 0, s, jf не зависит от z4-i.	Следовательно,	из	(3)	имеем	f
г	к	$
P,(zz (z1,	s,	m) z>, s, m) = П	& £	Pi (z-	0, s, v) X	?
U=1	V=1	4
X П [z/p(z',s,m)]v₽-*p П /n()]v'_‘> i>/+ 1. p=i	/=/4-1
Подставляя полученное выражение для Pz(z/(z/, s, m)z\ s, m) в (21), получаем (7).	Ц
5. Задачи.
Задача 1. Доказать лемму 1.
Задача 2. Рассмотрим следующее обобщение изученной системы. После окончания обслуживания требования i-го класса с вероятностью pi*(n) образуется ni + ...4-nr требований и п/ из них направляются в /-й приоритетный класс. Будем пред* полагать, что pt*(0)>0. Положим
Р’ (z) = £ Znpj (n). n=0
Доказать, что при каждом наборе mlt mr, l^m^ki, система функциональных уравнений
г/ = P'j (z) pz (s + £ az (1 — zz (kt, tn^, / = ITT, l=\
имеет единственное решение z:(zz, s, m), аналитическое в области 12/4-11 <1, |zr|<h Res>0.
Задача 3. (продолжение). Пусть 2//(zz, s, m) есть значение Zi(ki, rm) при zx = z//(zz, s, m), где z/t (zz, s, m) определено в задаче 2, и
dt• (z, s, m) = 1 — гг1 Pt* (z) pz (s 4- о — (a, z (k, m))).
Доказать, что теоремы 1—3 справедливы для описанной в задаче 2 системы обслуживания с соответствующей заменой функций
zn(zi, s, m), z/t(z/, s, m) и dz(z, s, m).
Задача 4. Доказать, что при ри<1 существует стационарное распределение случайного вектора L(/). Найти его в случае дисциплины относительного приоритета.
Литература: [19, 20].
Глава 5. Многоканальные системы обслуживания
В предыдущих главах были изучены одноканальные системы обслуживания при различных предположениях о входящем потоке и распределении длительности обслуживания. При анализе реальных систем часто возникает задача исследования характеристик систем обслуживания с многими приборами. Примерами таких систем могут служить многомашинные комплексы ЭВМ, системы связи, транспорта и др.
В главе 1 мы видели, что если входящие потоки пуассоновские, а длительности обслуживания распределены по показательному закону, исследование многоканальных систем можно проводить теми же методами, что и одноканальных. Если же хотя бы одно из этих предположений не выполняется, методы, развитые в главах 1—4 для одноканальных систем, оказываются вообще говоря, неэффективными при анализе многоканальных систем.
В первых трех параграфах данной главы исследуются системы обслуживания с бесконечным числом обслуживающих приборов. Конечно, на практике мы всегда имеем конечное (может быть, и очень большое) число приборов. Тем не менее исследование систем с бесконечным числом приборов не лишено смысла: характеристики слабозагруженных систем с большим числом приборов могут быть достаточно точно аппроксимированы характеристиками бесконечнолинейных систем, а соотношения для определения последних имеют значительно более простой и пригодный для вычислений вид.
За исключением бесконечнолинейных систем, при достаточно общих предположениях относительно входящего потока или распределения длительности обслуживания изучено немного классов многоканальных систем. К ним относятся системы с потерями, в которые поступают пуассоновские потоки, и системы с рекуррентным входящим потоком и показательным распределением времени обслуживания. Такие системы рассмотрены в § 4—6.
§ 1.	СИСТЕМА ОБСЛУЖИВАНИЯ M|G|oo
1.	Описание системы. Система обслуживания состоит из бесконечного числа одинаковых приборов. Длительности обслуживания требований — независимые в совокупности сл.в., стохастически эквивалентные сл.в. В, имеющей ф.р. В(/) = Р(В< </. Входящий поток требований — пуассоновский с интенсивностью а. Мы будем изучать свойства случайных процессов v(/) и ц(/), где v(t) — число требований в системе (или, другими словами, число занятых приборов) в момент времени t
205
и ц(0 — число требований, обслуженных системой в интервале [0, 0.
В силу того что все обслуживающие приборы одинаковы, алгоритм, по которому поступающее требование выбирает прибор, не влияет на поведение процессов v(t) и |i(0. В дальнейшем мы будем выбирать этот алгоритм исходя из удобств решения каждой конкретной задачи.
Предположим, что v(0)=0, ц(0)=0. При	поло-
жим
лг
ф (Zp ... ,zN, , ..., tN) = M П z^’.
i=l
N
.....Zw, tv ... , tN) = M П •
2.	Основные результаты. Основное содержание параграфа составляют приводимые ниже две теоремы.
Теорема 1. Распределения случайных величин v(t) и ц(0 являются пуассоновскими:	*
Р (V (0 = k) = lp(W e-pw, k 0,
P (p (t) = n) =	, n o,
n\
t
где p (0 = a j [1 — В (u)] du. о
Следствие. Пусть р = а!ЛВ<.оо, тогда
lim P(v (0 = k) = e-p f—*0*	kl
Теорема 2. Функция <p(zb ..., zNi tb ..., определяется no формуле
N	i-1
<P (*1..zN, tv ...,tN)= exp (zf — 1) П Z/p (ti) —
z=i	/=i
N-1	G-l
-£ E (l-z.Jd-zr,) П ZiP^-t^}.
Доказательство теоремы 1. Обозначим через Лл(0 событие, заключающееся в том, что в интервале [0, 0 поступило п требований. Тогда
Р(Д„(/)) = е-“'-^.
206
По формуле полной вероятности
оо
Р (V (/) = k) = V]	Р (V (/) = k I Ап (t)),	(1)
Р(ц(О = *)-J]e-azJ^-p(p(O = ^14(/)).	(2)
n=k
Одним из свойств пуассоновского потока является следующее: если известно, что в интервале [0, /) поступило п требований, то моменты их поступления независимы в совокупности и равномерно распределены в указанном интервале. Следовательно, при выполнении An(t) вероятность того, что любое из п требований не обслужится (обслужится) до момента /, равна
t	t
О	о
t
^B(t-u)-~ = ~-^B(u)du=l —р(Оу
'	о	’о
и останется или нет каждое требование (из этих п) в системе до момента /, не зависит от судьбы остальных требований. Отсюда вероятность того, что k из п требований не обслужатся (обслужатся) до момента t, равна
Cnk[p(t)]k[i-P(t)]n^k
(Cnk[l — p(t)]k[p(t)]n~k).
Но эта вероятность равна
P(v(0=*Mn(0) (Р(р(0=*Ип(0)).
Подставляя полученные выражения для P(y(t)=k/An(t)) и Р(ц(0 =k/An(t)) в (1) и (2) соответственно, получаем
Р (V (0 = k) = £ e.~at С\ [р (OF [1 - р (0Г* = n=fe
= е-л Пр (0J* у П0-Р(0)р-* = e_aW) Пр (01*
61 Li (n—k)\	k\ '
n=k
и аналогично
Р (р. (/) = k) =	[aZ(1	.
Ho atp(i)=p(t), отсюда вытекает утверждение теоремы. В
207
Доказательство теоремы 2. Пусть	Л, t,) — •
число требований, поступивших в интервале [Л-i, Л) и поки- л. нувших систему после I/ (/о = О,
Очевидно,
v(/2)=n(0, 6, t2) 4-т] (6,^, t2),
vIJn) =t] (0, t\, tn) + ...4-T) (^v-i, /лг, tn).
Кроме того, случайные величины
П(0, tv tjj, t» */,)» • • • , n^v-b *n)
независимы в совокупности для любых ji>l, /2>2, ..., jy-i> —1. Отсюда
qp(zi,...» Zyy, /i,...,	=
N	N
= м П z™’*^ n	=
h=l	/t=2
ЛГ
= M П z^^Nl П	.
1 1 /i	1 1 it	tv
/1=1	/1=2
Далее, в силу стационарности входящего потока, распределения случайных величин Л*> //) и т] (0, ti—ti-i, t,—ti-\) совпадают. Отсюда
ф (zv ... , zN, tv ... ,tN) = M П X /.=i
7i=2
Итак, достаточно найти M Р[ zp^’^’V .
7=i
Из определения величин tj(0, £i, £/) имеем Р(т](0, Л, Л) =fei,... ..., т] (0, t\, tN) =kN) =0, если fei,..., kN не удовлетворяют неравенствам	При выполнении этих неравенств по
формуле полной вероятности
Р (П (0, tlt = klt ... , т) (0, tv tN) - M = £ x n—kt
x P (T) (0, tlt t1)=k1........T) (0, tv tN) = kN\An (/,)), (3)
n\
где событие An(t) означает поступление ровно п требований в интервале [0, t). При выполнении события	моменты
208
поступления этих п требований независимы и равномерно распределены в интервале [0, /1).
Пусть Ро(Л, О, Л) — вероятность того, что одно фиксированное из п требований, поступивших в интервале [0, ^), обслу-жится в этом же интервале, Л, t\, /2) — в J интервале [6, /2), ...» Pn{1\, tN, оо) — в интервале [^, оо). Очевидно, t, '
Ро О, А) = J В А - и)	Jb (u) du,
О	о
Л dv tv tz) = f [В (t2	u)]	,
J	n
0
Pn-x (tv tN_x, tN) = j [B (tN - и) - В (tN_x - u)] 0
PN(tx, tN, oo) = J[i-B(/„-u)]-^-.
0 Кроме того,
Р(т](0, Л, М = Ь,..., Л(0, tb tN) =kN\An(t[)) =
=_________________________________ X
(n _ kJ. (*! - k2)\ . . .	- kNy. kNl
x [Bo dv 0, A)]"-*- [Bi dv tlt X ... X
X [Bn_! (A, tN_x, tN)]k^-kN [PN (/p tN, oo)]4	• (4)
Из (3)' и (4) имеем oo	oo	oo
nnc'? = X	£	  £ z!'-"z«"x
/=1	feyy=O kj^j_ki=k2
Zj V 17 (n-k^Uk.-k,)!	’
n—kt
Отсюда
М 1Д2р(0'Ч->	j? ...	[^iPo^.Q.G)]/jV+1 x
J=1	/,=0	/дг_|-1=0
[aZxZiPj (ti, tlt	[atxZi ... zNPN (h,tN, oo)]'1
X ’	; j	X • • • X	~
8 В Ф. Матвеев, В. Г. Ушаков
209
— exp {—at14-at\P$(ti, 0, t\) 4-at\Z\P\ (t\, t\, /2) + 4-...4-at\Z\ ... Zn-\Pn_\ (/1, //у-i, In) 4-4-a/jZi ... zNPN (/1, //v, 00)}.
Ho
atГРО (tv 0, tt) ~ a В(u) du = atr — p (ZJ,
6
а/jPi (Zp Zp Z2) = a J [B (Z2 — и) — В (Zt — «)] du =
0
= IpUi) — p(Z2)+p(Zz — />)],
fl
aZjP/v-i (Zp Zw_|, tN) = a j [B (tN — u)—B (tN_} — u)] du =
0
= [p(^-1) — p(G-i — t\) — p(/w) + p (6v — /1) ], л
at^N^, tN, 00) = a j [1 — B(tN — u)]du = [p(Z.v) — p(Z,v — ZJ].
0
Следовательно,
М П = exp {— p (Zj)} exp {zY [p (ZJ — p (Z2) + Z=i
+ p (Z2 - Z,) ]} exp {ziz2 [p (Z2) — p (Z2 — Zi) — p (Z3) + 4-p (/3 — /1) ] } ••• exp {z\ ... Zaz-i [p (6v-i)— p (tu_\ — /1) — — p(G) 4-p— Л) ]} exp {zi ... zN [p(Z/v) — p— Л) ] } —
= exp{(zi — 1) p (Л) +^i (z2— l)p(/2) + .•• +
4-21 ... Zn-\ (zn — l)p(/;v) 4-21 (1 — 22)p(^2 — 6) +
4-2122(1 — 2з)р(/з — t\) + ...4" 2122 ... 2^_2 ( 1 — 2/v-i) X Xp(//V-1 — / J +2i ... 2дг—1 (1 — 2;v)p(/zV — Л)}.
Отсюда
N	/—1
q>(Zp ... ,zN, tv , tN)= exp{£ (Zj — 1) p (ZJ f] zz + /=i	z=i
+ £ (1 — Zj)p(ti — Zj) П 2Z + £ (Zy —l)p(^ —^1)П z/+ j=2	Z=1	j=2	1=2
N	/-1
+ У* (1 — 2y) p (t j — t2)	4 ... 4 (^jV—i — 1) p (Cv_i Cv—2) -t-
/=3	1=2
210
-г Zn—\ (zn — 1) p (t^ —	4- z^i (1 —Zn) p (tu — /w-i) 4-
4- (zN — 1) p (t^ — /лг-л)}.
Отсюда после несложных преобразований получаем утверждение теоремы.	Ц
3. Задачи.
Задача 1. Пусть v (0) = I. Доказать, что
Mzv(#) = {В (/) 4-г [ 1 — В (/) ]}' ехр {р (/) [г — 1 ]}.	.
Задача 2. Найти функцию ф(гь..., zNt
Задача 3. Найти cov(v(/z), v(//)).
§ 2. СИСТЕМА ОБСЛУЖИВАНИЯ С БЕСКОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ ПРИБОРОВ И НЕОРДИНАРНЫМ ВХОДЯЩИМ ПОТОКОМ
1.	Описание системы. Рассматриваемая в данном параграфе система обслуживания отличается от системы § 1 только входящим потоком. Будем предполагать,- что требования поступают группами, поток групп требований — пуассоновский с интенсивностью а>0. Количества требований в группах — независимые в совокупности сл.в., стохастически эквивалентные сл.в. Q с распределением p^ = P(Q = ^), &=1,оо и производящей функцией O(z)=MzQ. ПустьВ(х) — ф. р. длительности обслуживания требований, у(1) — число требований в системе в момент времени /, ц(/) — число требований, обслуженных системой в интервале [0, /),
ф(г, /) =Mzv(0, ф(г, t)
2.	Основные результаты. Содержание параграфа составляет теорема 1, в которой выводятся соотношения для определения <p(z, t) и ф(г, t).
Теорема 1. Функции <p(z, t) и t|)(z, t) определяются по формулам
t
' <pz, t) = ехр (а j [ф(а(г, и)) — 1] du, о
t
(z, t) = ехр J [ф(Р (z, и))) — 1] du, о
где
a(z, и) =В(и) 4-z[l —В(и)],
P(z, и) = 1 —В (и) +zB(u).
Доказательство. Исходный поток можно представить в виде суперпозиции независимых потоков Lb L2, ..., Ln,- ..., таких, что требования потока Lt поступают группами объема i
8*
211
в моменты, образующие пуассоновский поток с интенсивностью api. Как уже отмечалось в § 1, процессы v[t) и ц(/) не зависят от того, какой из свободных приборов выбирается для поступающего требования. Мы будем считать, что обслуживающие приборы разбиты на бесконечное число групп приборов Г1, Г2, ., Гн, ... . Каждая группа состоит из бесконечного числа приборов, и приборы из Г/ обслуживают требования только потока Li. Пусть Vk(t) и р*(/) — соответственно число занятых приборов в группе Г/г в момент t и число требований, обслуженных приборами группы Г* в интервале [0, /). Тогда, очевидно,
v (0 = £ (0> н (0 = £ ш (0> fe=l	k=\
причем последовательности vi(Z), v2(0, •	v*(/), ... и
pi(/),	•••> цИО, ••• состоят каждая из независимых в сово-
купности сл. в. Отсюда
Mz'W = П Mzvft(/),
k=\
« (1)
Mz«» = П MzM*(0.
k=\
Итак, изучение исходной системы сведено к системе, в которой требования поступают группами фиксированного объема &>1. Пусть Cn(t) означает событие, заключающееся в поступлении за время t п групп требований. По формуле полной вероятности
м zv*u) = £ е~арк* -(аРУ)— М [zvb{t} I Сп (/)], п—0
м = У e~at>hi М [z“*w I Сп (0]. п\
п=0
Если произошло событие Сл(/), то моменты поступления групп требований независимы в совокупности и равномерно распределены в интервале [0, /).
Рассмотрим одну группу требований. Вероятность того, что / требований из этой группы не обслужатся (обслужатся) до момента /, равна
t
J Clk [ 1 - В (t - и)Г [В (t - «)]*“* о
t
( j Clk [В (t - «)]' [ 1 - В (t - u)]ft-z j. о
212
Следовательно, производящая функция числа требований одной группы, не обслужившихся (обслужившихся) до момента t, равна
t
-Ьу{В(и) 4- г[1 -B(u)])Mu
О
/
_L j- {1 _ в (и) + zB (u)}k du}.
О
Так как моменты поступления групп требований (при условии Cn(t)) независимы и одинаково распределены, отсюда получаем
t
М (zv*(Z) I Сп (t)] =. [-j- J {В (и) + z (1 - В	du\\
а t
М 1 Сп (/)] = [ J- J.{1 - в (и) 4- ZB («)}* du\n.
О
Следовательно,
t
М zv*(/) = ехр |— apk [t — j* {В (и) + г (1 — В (u))}* du^, о
t
= ехр^ — apk(t — [{1 — В (и) + zB(u)}kdu}Y о
Подставляя полученные выражения в (1), получаем утверждение теоремы.	|
3.	Задачи.
Задача 1. Найти совместное распределение v(Z) и ц(0-Задача 2. Найти конечномерные распределения процессов v(/) и и(0.
Задача 3. Найти
Mv(0, Мм(/), Dv(0, Dp(/), cov(v(6), v(/2)),	cov(p(6), p(/2)).
§ 3. СИСТЕМА ОБСЛУЖИВАНИЯ GI|M|oo
1. Описание системы. Основные обозначения. В систему обслуживания, состоящую из бесконечного числа одинаковых приборов, поступает рекуррентный поток требований, определяемый ф.р. A(t). Длительности обслуживания распределены по показательному закону с параметром Ь.
213
Пусть v(/) — число занятых приборов в момент времени t Введем следующие обозначения:
Po(0=P(v(/)=/|v(O)=O,
P,(z, 0=M[?'W|v(0) = j], a(s) =
0
p (z, s) = f e-s/ Po (z, t) dt, pk (s) =• [ e~st Pok (t) dt, 0	0
B(z, /) = PO(1 + z, /) = £
A’ O
(s) = f Bk (0 dt, p (z, s) = f е~« В (z, t) dt. 0	6
2. Основные результаты. Свойства введенного в пункте 1 случайного процесса т(/) описываются утверждениями приводимой ниже теоремы 1.
Теорема 1. а). Функции Pi(z, Z),	0 и B(z, t) удов-
летворяют следующим соотношениям:
Pi(z, t) = [1 — e~bt + ze~bt] 1Ръ(г, /),	(1)
t
P0(z, t) = 1 — A(t) + f P0(z, t — u) [1 —	+ ze-w-“)] dA (u), (2)
6
t
B(z, t) = 1 — Л(0 + f B(z, t- u)[l + ze-b«-^]dA(u).	(3)
0
6).
p(z, s) = s-' + a(s)z (z-l)p(z, s + b),	(4)
1 — a (s)
p (г, s) = s~1 + | a (s) zp (z, s + b).	(5)
1 — a (s)
в).	Po(s)=s-1,
pft(s) =a(s) [1 —a(s)]-’ p^—i ($ + b) =
_ a (s)«(s + &)	a (s+ b(fe — I))1
1 — a (s)	1 — a (s + b)	1 — a (s + b (k — 1)) s + bk
Рок^) = ^Си-1)‘~кВЛ()-	(7)
i^k
Доказательство. Перенумеруем все обслуживающие^ приборы числами 1, 2,	. Если в момент времени / = 0в систе
214

ме находится i (f>l) требований, будем считать, что они занимают приборы с номерами 1, 2, ..., i Поступающие в систему после Z = 0 требования будем направлять на приборы с номерами, большими, чем i.
Введем понятие состояния прибора с номером i ti(t) в момент I:
1, если в момент t i-й прибор занят,
О, если в момент t i-й прибор свободен.
Пусть v/(/) — число занятых приборов в момент t при условии, что v(O)=j. Очевидно.
v/(/)=gi(/)+... + g/(O+vo(O,	(8)
причем ..., ?/(/), vo(0 независимы в совокупности. Учитывая, что
Mzv/(/) = P/(z, t), из (8) получаем (1).
Далее, пусть в момент t = 0 система свободна. Возможны два случая:
1) до момента t ни'одно требование не поступит (с вероятностью 1—Л(/)), тогда в момент t система будет свободна: 2) первое требование поступит в момент u<t. Направим его на первый прибор, а все остальные требования будем направлять на приборы с номером, большим 1. Тогда
v0(/) =gi(/ — и) +vo(/ — и).
Следовательно, t
P0(z, t) = 1 — Л (/) + у Ро (z, t — и)1Л dA (и), О
что эквивалентно (2).
Соотношение (3) вытекает из (2) и определения B(z, /). Уравнения (4), (5) получаются из (2), (3). Разлагая левую и правую части (5) в ряды по степеням z и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получаем (6). Соотношение (7) вытекает из равенства Pq(z, t)=B(z—1, t).
3. Задачи.
Задача 1. Доказать, что
lim Mv(/) =a!b,
Задача 2. Пусть Л(/) = 1—e~at, fe = l. Показать, что BlV} - JiltrWL.
V ’	k\
215
§ 4.	СИСТЕМА ОБСЛУЖИВАНИЯ GI|M|n[0. ЗАДАЧА ПАЛЬМА
1.	Описание системы. Постановка задачи. Рассмотрим систему обслуживания, состоящую из п приборов. Длительности обслуживания требований — независимые в совокупности сл. в. с показательным распределением с параметром Ь. Входящий поток — рекуррентный с ф.р. интервалов между поступлениями требований A(t). Поступающее требование занимает любой свободный прибор и теряется, если свободных приборов нет.
Задача Пальма заключается в определении потока потерянных требований.
2.	Предварительные результаты. Пусть /2, •••>	••• — пос-
ледовательные моменты потерь поступающих требований (т. е. моменты поступления требований, заставших все приборы занятыми),
zk = tk —	/?>1, /о=0.
В силу того что потери требований происходят в моменты поступления, а также в силу отсутствия последействия у показательного распределения (которое имеют длительности обслуживания) сл.в. Zi, z2, ..., zn, ... независимы и сл.в. z2, ..., zn, ... одинаково распределены. Таким образом, поток потерянных требований является рекуррентным потоком с запаздыванием. Для того, чтобы полностью определить такой поток, достаточно найти две ф. р.
F(/) = P(z1</) и G(0 = P(^</), /г>2.
Для нахождения функций F(t) и G(t) вместо исходной системы рассмотрим следующую: если в некоторый момент в системе находится п требований и поступает и + 1-е, то система переходит в состояние п+ 1 и остается в нем все последующее время. До попадания в состояние /г+1 описываемая система функционирует так же, как и исходная. Под состоянием системы будем понимать число занятых приборов г, при Осгсп. Состояние /г+1 определено выше. Пусть в начальный момент времени 1 = = 0 система находится в состоянии г. Положим
f(s) = ]e^dF(t), о
g (s) = J e-st dG (/), a (s) = J e-* dA(t). 0	0
3.	Основные результаты.
Теорема 1. Функции f(s) и g(s) определяются по формулам
f(s) = Ф,(s) [Фп+1 («)]->, g(s) =Фп(з) [Фп+1 ($)]
216
!i где
‘ I	1
Ф, (s) - £ Cih (s) 4 (s -1- b)... x0 (s + (/ -1)6), /=0
Фо(5) = 1, Xo(s) = [a(s)]-1-1.
Доказательство, а). Обозначим через Az7 длину промежутка времени, за который система переходит из состояния i в состояние />/, при условии, что промежуток времени начинается или с момента t = 0, или с момента поступления требования. Положим
ДУ(/) = Р(А,•/</),	Вг(0=В1Ж(0,
₽,•/ (s) = MTS4 Р, (s) =- pll+i (s), i = 0, n.
Так как промежуток Az/ заканчивается в момент поступления требования и в силу свойства отсутствия последействия у показательного распределения
Az / = Ац+i + A/-}, j z+2 +... + А /_ 1 /, где сл.в. Azz+i, •••> А/-1/ независимы в совокупности. Отсюда
P.;(S) = П₽/ (S).
l=i
Кроме того, очевидно, f(s)=Pin+l(s), g(*)=Pn(s).
б)	. Итак, задача свелась к определению функций Докажем, что
в0(0=Л(0,	(1)
1 - В( (0 = 1- В.-1 (0 + f (1 - ?~bx) [ 1 - В( (t - х)] dB,_, (х). (2) о
Заметим прежде всего, что функции Bi(t) будут одни и те же для систем с j приборами, / = i+l,n. Соотношение (1) очевидно. Докажем (2). Рассмотрим сначала случай 1<п—1. В момент начала промежутка Azz+i (для определения ВДО отсчет времени начнем с этого момента) в системе находится i требований. Выделим один из занятых приборов. В течение промежутка Аг Z-+-1 все поступающие требования будем посылать на остальные п—1 прибор (это предположение не влияет на Bz(/)). Рассмотрим п—1 невыделенные приборы. В момент начала промежутка А« z+i на этих приборах находится i—1 требование, и этот момент можно считать началом промежутка А,-н на этих п—1 приборах.
217
Соотношение (2) при i<n—1 вытекает теперь из того, что, во-первых, промежуток Azz+i не может закончиться раньше Az-п и, во-вторых, если промежуток Л,—п закончился в интервале (х, x + dx), то для того, чтобы не закончился промежуток Az ,+i, надо, чтобы до момента х закончилось обслуживание требования на выделенном приборе. В этом случае оставшаяся часть (после х) A, ,+i—A'z имеет то же распределение, что и Az z4-i- Случай i = n доказывается аналогично.
Из (1) и (2) получаем
Po(s)
1 - ₽, (s) = 1 —	! (s) + [ 1 - p, (s) ] [p,-i (s) - p,_! (s + b) ],
откуда
Po(s) = a(s),
Pz-1 (s + b)
P, (S) = ------- , I = 1 , П.
1 — P/-1 (s) + pz-l (s + b)
(3)
Положим
(Do(s) = l, Ф<(5)=р,($)Фж($).
Тогда из (3)
Ф,-1 (S+Ь)
ф/ (s)	=__________Ф, (s + b)______
Ф/+1 (S) J  Ф,-1 (S)	Ф/.1 (5 + b)
(DZ(S) Ф<(5 + &)
откуда
Ф/4-1 (3) - Ф/ (S) __ Ф/ СО - Ф<-1 (S)
ФД$4-&)	Ф/_1(«+ь)
Ф((«) = [a(s)]->.
Отсюда
Ф/+1 (s) — Ф/ (s) Ф/(«+б)
Ф1 (S) — Фр (s)
Фо(* + Ь)
= [a(s)]-' — 1 =X0(s),
или
Ф/4-1 (S) =Фг ($) +Х0(5)Ф, (S + &),	1 = 0, П.
По индукции отсюда получаем
I
ФДз) CU0(s)X0(s + b)... X0(s + (/ — 1)6]. П /=0
4.	Задачи.
Задача 1. Найти математическое ожидание и дисперсию интервала времени между двумя последовательными моментами потерь требований.
218
Задача 2. Пусть А (/) = 1—e~ut. Доказать, что G(t) представима в виде
и
G(/) = 1-£ Pie~K‘‘,
i-0 п
где Pi > 0, pi - 1, a л. — различные неотрицательные 1-0
числа.
§ 5.	СИСТЕМА ОБСЛУЖИВАНИЯ M|G|n|0
1.	Описание системы. Основные обозначения. Система обслуживания состоит из /г>1 обслуживающих приборов. Длительности обслуживания — независимые в совокупности случайные величины с ф.р. В(х) и плотностью распределения Ь(х). Входящий поток — пуассоновский с интенсивностью а. Если в момент поступления требования все приборы заняты, оно теряется.
Пусть L(t) — число занятых приборов в момент Р4/)=Р(А(/)=Й),
Pk = Hm Pk(t), 0, = IxdB(x), о
р = а0ь т](х) =&U) [1 —В(х)]-'.
2.	Основные результаты. В приводимой ниже теореме 1 найдено стационарное распределение процесса L(t).
Теорема 1. Пусть Pj<oo, тогда
Доказательство. Обозначим через хь xi)dx\.. .. dXi вероятность того, что в момент времени t в системе i требований и с начала их обслуживания прошло цремя, лежащее в интервалах (хь xi + dxi), ..., (х/, Xi + dx;). Справедливы следующие соотношения:
P0(t-r Д) = Ро(011-аД]	J РД/, х)т)(х)</лД + о(Д), (1)
о
(t + А, хх -4- Д, .. . , xf -г Д) = Pi (t, хр .. ., xj р — (а + i	i
г £ П (х,)] д] + J Л-1 (Л хр ... , хр у) т] (у) dy\-r о (Д), /=1	о
219
— 1,	(2)
Pn (t А, Xi Ч- A,	x n 4~ A) — P n (t, X[,..., Xn) X
X p — £ n(*/) A] + o(A),	(3)
/=i
Д
J Pt (t + A, u) du = aP0 (t)A + o (A), 0
A
J Pi (t + A, Xj + A.......Xi_, + A, u) du =
о
= Pi-i{t, xb x,-i)aA + o(A).	(4)
Из (1) —(4) получаем t
- - aP0 (0 + j<P1 (t, x) n (x)dx,	(5)
о
dPj(t, xi.....xd уч dPj(t,Xi...........Xj) _
dt	21 dxj
= — a + £t|(x/)
Xi,y)4(y)dy, (6)
dPn(t, xlt ... , xn) . VI dPnlt, xlt ... , xn) _
dt	2^ dxj
i=i
n
= — J] n (Xj) Pn (t, xp ... , xn),	(7)
/=i
Pi(t, 0)=aPQ(t),
Pi(t, Xi,...,Xi-i, Q)=aPi-i(t, Xi,x,_i).	(8)
Положим
p, (xl; ....х,) =limP,(<, xi, ...,x,). /-►oo
Тогда из (5) —(8) получаем
aPo == J Pi (x) Я (x) dx,	(9)
о
j_ [a + £n(x()]	(x,....Xi) +
i=l	x'	/=1
220
+ Jpi+i(xv ... ,xt, y)T](y)dy,	(10)
0
n	n
£	>Xn)  = - £ n (x;.) Pn <xx,..., Xn),	(id
Pi(0) =ap0
p, (xi,..., x,_i, 0)=ap,-i(Xi,x,-i).	(12)
Кроме того,
P°+ £ J ••• J ... .x.Jdx, ... dXt = 1.	(13)
1=1 о 0
Решение системы (9) — (12) имеет вид
рДх1( ... ,х£) = f][l — В(ху)]^-р0.
/=1
Из условия нормировки (13) находим р0:
НЁГ
1=о
Утверждение теоремы вытекает теперь из равенств
Pi = [ ... ^Pi(xv ... ,xi)dx1. ..dXf.	я
о 6
3. Заключение. Утверждение теоремы 1 показывает, что стационарное распределение процесса L(t) — числа занятых приборов в момент t — не зависит от вида ф. р. длительности обслуживания. Эта теорема нами доказана в предположении, что существует плотность распределения времени обслуживания. Можно показать, что это предположение несущественно. Кроме того, результат теоремы остается справедливым, если длительности обслуживания требований являются определенным образом зависимыми сл.в.
§ 6. СИСТЕМА ОБСЛУЖИВАНИЯ GI|M|n|oo
1. Описание системы. Основные обозначения. В систему обслуживания, состоящую из п приборов, поступает рекуррентный поток требований, определяемый ф.р. A(t), Длительности обслуживания — независимые в совокупности, показательно распределенные с параметром b случайные величины.
221
Обозначим через pkn вероятность того, что п-е требование (нумерация требований производится в порядке их поступления в-систему) в момент своего поступления застанет в системе k требований; W„(l)(t) — функция распределения времени ожидания начала обслуживания для {ребования с номером п (при дисциплине FIFO, если 1=\ и при дисциплине LIFO — если 1 = 2). Положим
а-1 - f tdA(t).
6
2. Вспомогательные результаты. Пусть в некоторый момент времени Т в системе находится п—1 требование и поступает /7-е. В этот момент времени все приборы становятся занятыми и в силу отсутствия последействия у показательного распределения, длительности дообслуживания требований, находящихся на приборах в момент Г, имеют показательное распределение с параметром Ь.
Рассмотрим интервал времени, начинающийся с момента Т, до первого момента, когда число требований в системе станет меньше п. Обозначим это время через П. В силу того, что в течение времени II все приборы заняты, и в силу свойств показательного распределения, а именно свойства отсутствия последействия и следующего свойства- если Si, S2, •••> In — независимы и показательно распределены с параметрами Ьх. Ь2, .... Ьп соответственно, сл.в. S= min g, имеет показательное распре-деление с параметром 4-Z?2+распределение промежутка П совпадет с распределением периода занятости системы G/|A1| Ц оо с ф. р. интервалов между поступлениями A(t) и параметром показательного распределения времени обслуживания nb.	<
В приводимой ниже лемме 1 найдено преобразование Лапласа—Стилтьеса ф.р. длительности периода занятости системы G/|Af|l|oo.
Лемма 1. Рассмотрим систему обслуживания G/|M| 1 |оо. Пусть A(t) — функция распределения интервалов между поступлениями требований, В(1) = 1—e,[t, ср>0, функция распределения длительности обслуживания, и — функция распределения длительности периода занятости. Тогда если
л (s) == j* e-s/dll (/), a(s) = \e-stdA(t), 6	о
л (s) <PU-Y(s)]l s-<p[l— y(s)
y(s) =a(s + (p —
причем эти условия определяют единственную пару функций 222
7($) и n(s), аналитических в полуплоскости Res>0, в которой |Y(s) I < 1 и |л(5) I <1.
Доказательство. Обозначим через Щ длину промежутка времени, начинающегося с момента поступления некоторого требования, заставшего в системе k требований, до следующего непосредственно момента освобождения системы. Очевидно, По есть период занятости системы. Положим
щ(0 = Р(п.<0.
Докажем соотношение
1-ПД/) = [1-г-Л(/)] [^Чф/е-* + ...+
t
+	| + f I е-*и {1 — Пн. (t—u)} +
Л! I J I 0
+	— П*(/ — u)} + ... +	1 —
— П, (f — м)}]	Л>0.	(1)
Действительно, в левой части равенства (1) стоит врроятность того, что длительность промежутка Щ не меньше t. Для выполнения этого события, необходимо и достаточно, чтобы
1)	либо за время t не было поступлений и обслужилось ве более k требований (вероятность этого события равна
{1 —А (/)] [ е~& + ср/е-ф* 4- ... 4	1 j;
L	k\ \)
2)	либо первое поступление произошло через время, лежащее в интервале (u, w4hdw), за которое прибор обслужил i требований, i = k, и начинающийся после i—и промежуток Ш+1-i был не меньше I—и вероятность этого события равна
t
J {1 - Пй+1 (t — и)} +	{1 - П,г (t — и)} +
О
+ ...
k\	J
Положим
П(2.0 = £2Hi-nft(0J, л (z, s) = J (z, t), b
223
тогда из (1) получаем
л (г, s) [z — a (s + ф — <pz)] = ———------- х
(1—z)(s4-T—фг)
X [1 —a(s4-<p — qpz) ] — a(s + qp — (рг)л(О, s).	(2)
Рассмотрим уравнение (относительно г)
z = a(s4-q) — qpz).
Используя теорему Руше, получаем, что оно имеет единственное решение y(s) в области Res>0, причем |y(s) | <1 в указанной области. Аналитичность y(s) следует из теоремы о неявной функции. Полагая в (2) £ = y(s), находим
л (0, s) =---------.
s+ф—<py(s)
Но из определения функции л (0, s) следует, что л($) — 1 —л (0, $).
Отсюда
л(5) =..,<pU-v(s)]
s+<p[l-Y(s)]
Л
3.	Основные результаты. В приводимой ниже теореме 1 найдено стационарное распределение времени ожидания и длины очереди.
Теорема 1. Если a/(nb) <1, то:
а)	существуют пределы
Vmpkn = pk, lim =
не зависящие от начального состояние системы, при этом
где
pk>0, £ pk = 1, k=0
Pk+n-l = cpk, M,
рк = £(-1у-кС*и{, k =
i—k
(3)
(4)
224
С/ = —. .. —, a,- — a (ift), 1 i—ai	1—a, 1	’
a p — единственный корень уравнения p = a(nb — nbp),
лежащий в интервале (О, 1).
б)	.
Ц7(1) (/) = 1--£₽_е-пь(1-р)г)
1—р
def “
<d<2> (s) = te-sldWW (/) =
О
= (1 — cp(l — p)->) + cp(l — p)-1 Л(5), я (s) = nfe-Hl-Yfs)]
V ’	l+nbs-41—y(s)l ’
a y(s) — единственное решение функционального уравнения y(s) =a(s + n& —nby(s)),
аналитическое в полуплоскости Res>0, где |y(s) | <1.
Доказательство, а). Пусть /2, •••, tn, ... — последовательные моменты поступления требований; /о = О, v(t) — число требований в системе в момент
'Vn = v(/n 0) ,	Pkn = Р {Уп ~ k) •
Тогда последовательность {vn, образует цепь Маркова. Из состояния i за один шаг система может перейти с положительной вероятностью лишь в одно из состояний 0, 1, ..., Z+1. Положим
^/=P(Vn+l=/|vn = l), тогда
qij = O при />г+1,	(5)
9i/=4+ij I1—	i+1-’e-b‘‘dA(t),	(6)
о
{ ((nb‘\i+Z e'nbtdA^’ »</<»'+ Г (7)
J 0 + 1—/)! 0
ЯИ = С^е^‘
n 1 I J (i— n)l 0	0
X (e~by — e-bt^n-j nbdy]dA (/),	/<n<r+ 1,	(8)
и ao
P/n+1 У PinQij •	(9)
z=0
225
Пусть
p; = limp;„.	(10)
n-*00
Так как рассматриваемая цепь однородна, неразложима и непериодична (это вытекает из (5) — (8)), то пределы (10) существуют. Следовательно, из (9) получаем
р/=	£ Pi4a-	(Н)
i=max(0,/—1)
Рассмотрим сначала (11) при j^n. В силу (7) соотношения (11) для таких / записываются в виде
Pj = X Pi	(12)
t =/— 1	о
Будем искать р/ для —1 в виде pj = cp!. Из (12) имеем
ф' - Ё 1=/-1 о 1
Отсюда
<= Ё р,+Ч !"+C>i 1-/-1	о
=	-JP-M)1 е-пь* dA (t) = a(nb — nbp).
i=0 о
Рассмотрим уравнение
p = a(nb—nbp).
Докажем, что в условиях теоремы (т. е. при a/(nb)<\) это уравнение имеет единственное решение в интервале (0, 1). Рассмотрим функции qpi(p)=p и ф2(р)=а(пЬ—nbp) на отрезке [0, 1]. Так как a(s) — преобразование Лапласа—Стилтьеса неотрицательной сл.в., то фг(р) — непрерывная, монотонно возрастающая функция, для которой
ф2(0) =a(nb) >0,	ф2(1) =a(0) = 1
и Ф„(р)>0 ПРИ [0, 1]. Очевидно, функция ф1 (р) также непрерывна и монотонна и
Ф1 (0) =0, Ф1(1) = 1.
Таким образом, на отрезке [0, 1] функции ф1 (р) и ф2(р) принимают одинаковые значения в точке р=1. Наличие или отсутствие еще одной общей точки в интервале (0, 1) (если такая точка есть, то из указанных выше свойств функций фДр) и ф2(р) следует, что она единственная) определяется поведением функции ф2(р) вблизи точки р=1. Если ф2'(1)<1 (т. е. а/(/г6)>1),
226
то больше общих точек нет, а если фг'(1) > 1 (т. е. a!(nb) <1), то такая точка существует.
Далее, рассматривая уравнение (11) для /= 1, ..., п—1 и оо
уравнение JT Pj ^ 1, получаем систему уравнений относительно
но р0, •••, рп-2 и с, решение которой имеет вид (4).
Утверждение б) теоремы вытекает из следующих рассуждений. В случае дисциплины FIFO, если требование поступает в момент, когда в системе не более п—1 требования (т. е. есть хотя бы один свободный прибор), то его время ожидания равно нулю (вероятность того, что в стационарном режиме в системе не более п—1 требования, как показано выше, равна 1—ср/(1 — —р)), если же оно поступает, когда в системе n + k—1 требование (&>1), то время ожидания равно времени, за которое k из этих п-\ k—1 требований покинут систему (ф.р. этого интервала времени имеет вид (1—е-пьиу*у т е является /е-кратной сверткой показательной ф.р. с параметром nb). Учитывая, что вероятность нахождения в системе в стационарном режиме n + k—1 требований при £>1 равна cpk, а также то, что
nbu
Р г*”1
(1 — e-nbuyk = I —------e~xdxt
J (k-1)! о
имеем
ОО	nbi
U7O (/) = 1 —	j	;	e-'dx	-=
k=\	о
nbt СО
О k=0 nbt
= 1------—---Ь ср I dx = 1-------------——]-
1—р	J	1—р
о
'___. [1____e-nW(i-P)i = ।£Р
1—Р	1—р
В случае дисциплины LIFO, если требование поступает в систему, когда в пей есть свободный прибор, то время ожидания равно нулю. В противном случае, как легко видеть, время ожидания имеет распределение, совпадающее с распределением случайной величины П, введенной и изученной в п. 2 настоящего параграфа.	Ц
Литература: [3, 9, 11, 14].
ПРИЛОЖЕНИЕ
§ 1. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ СЛУЧАЙНЫЙ ВЕЛИЧИН И ИХ СВОЙСТВА
Класс эквивалентных случайных величин задается вероятностным распределением. Для используемых при исследовании СМО неотрицательных сл.в. ниже приводятся: функция распределения на положительной полуоси (для дискретных сл.в.— распределение вероятностей), представление рассматриваемой сл. в. через другие случайные величины, преобразование Лапласа—Стилтьеса или производящая функция, числовые характеристики, важнейшие свойства.
1.	Показательное (экспоненциальное) распределение сл.в. а: а—М(а).
Функция распределения: Р(а<х) = 1—ехр(—ах), х>0, а>0. Преобразование Лапласа—Стилтьеса: Me-sa = a/(a4-s). Моменты: Ma = a-1, Da = a~2, JAak = k\a~k. Свойства:
P(a>/ + s|a>s) = P(a>/) = exp(—at), для любых s>0, />0. Если ab ..., an независимы, a^Af(a), to ai +... 4- an^En (a).
2.	Эрланговское распределение порядка k сл.в. a:
a^Ek^Ek(a). k
Сл. в. a представима в виде a — £ a£, где симы и для каждого п ап^М(а). Функция
{a/; i=l, k} незави-
распределения:
ах
Г U*'1
J (*—1)!
о
4-1 e-udu = 1 — е-ах	.
1=0
Преобразование Лапласа—Стилтьеса: fAe~sa = f-----j . Мо-
\ a+« /
менты: Ma=£a~1, Da = ka~2. Свойства: если E*(a) и Еп(а) независимы, то Ек(а) +En(a)'^Ek+n(a).
3.	Равномерное распределение на отрезке [0, Г] сл. в. а: а~Т].
Функция распределения:
—, хе[0,Т], Р(а<х) = . Т
1. х>Т.
л	1 — e-sT
Преобразование Лапласа—Стилтьеса: Me~sa =-------—. Мо-
менты: Ma = 772, Da = Т2/12.
228
4.	Гиперэкспоненциальное распределение сл.в. а: р), где а=(аь ..., afe), р= (pi, ..., pk)-
Функция распределения: k
Р(а<х) = £ р.(1-.е-^), 1=1 k
Щ Ф ah i^zj, 0 < р, < 1, £ Рс = 1 • 1=1
k
Преобразование Лапласа—Стилтьеса: Me~sa = У Мо-1=1	1
менты:
k	k	t k
Ма= £ р(а-', Da = 2 £ pp-2 — (£ pLav' )2 z=l	1=1	i= 1
5.	Пуассоновское распределение сл.в. a:
—Z,(a).
Распределение вероятностей:
Р(а = ^)=-^-е-й, 6=0, 1,2....a > 0.
Производящая функция: Mza = e~a(1-Z). Моменты: Ma = = а, Da = a. Свойства: если X(fli) и Х(аг) независимы, то %(ai) + 4" % (02) (#i + #2) •
6.	Геометрическое (отрицательное биномиальное) распределение с параметрами (1, р) сл.в. а:
a^Bi(l, р).
Распределение вероятностей:
P(a = £) = pqk~x, 6=1,2,..., Ocpcl, р + ?=1.
Производящая функция: Mza = -p-z . 1—qz
Моменты: Ma = 1 Ч——t Da — — + (— j2 . P	p \ p )
Свойства: для любых целых неотрицательных k и т
P(a>^ + m|a>m) =P(a>£) =qk>
7.	Биномиальное распределение с параметрами (/V, р) сл. в. а:
a—Bi(M р).
Распределение вероятностей:
Р(а = к)=С^р^^к, £ = 0JV, Ocpcl, р + р=1.
229
Производящая функция: Mza= (pz-\-q)N.
Моменты:	= T)a = Npq.
Свойства: если Bi(TVi, p) и Bi(zV2, p) независимы, то
BL (Л/ь p) + (Л/2, p) - B: (AT! + AC, p).
.V
Сл.в. а может быть представлена в виде а = ач, где
____	п—1
= 1, Лг} независимы, c'n~-Bi(l, р).
§ 2.	ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА
Определение матемагического ожидания случайной величи-ны g(a) через А (х) — Р (а<х):
Mg (a)- f g (а (<о))Р (Жо)-- [ g(u)dA(u) Ь
вводится посредством интеграла Лебега—Стилтьеса. При исследовании СМО в большинстве случаев, имеющих практическое значение, интеграл Лебега—Стилтьеса совпадает с интегралом Стилтьеса, который допускает удобную вероятностную интерпретацию.
Ниже приводится конструкция построения интеграла Стил-тьсса.
1.1.	Построение интеграла Стилтьеса. Рассмотрим заданные на отрезке [а, Ь] функции g(x) и Л(х). Предположим, что неубывающая функция А (х) имеет ограниченную вариацию и непрерывна слева Разбиение отрезка [а, Ь] определяется точками {xk, & = 0, п} \ а = х0<Х]<...<хп = Ь.
Обозначим Д* = [Х/г—1, Х/г), I А/е | = Ха>—Xk-l,
А = max |Afe|.
Рассмотрим сумму
п
[А(хк)-А(хк.г)],
А-1
где	— произвольно выбранная точка из А&. Обозначим
I = {g/e, k=\,n}. Будем изменять разбиние отрезка [а, Ь] {xkm, k = 0,n} так, чтобы для Аш-~- max (х«т—xk-\”') limAm =
X^k^tr	m-+oo
= 0. Тогда естественно, и /г->оо. Заметим, что /п = Jn(fn, q) . Если существует предел
lim Jn (rzz, J) =/, m -► oo
230
который не зависит от выбора последовательности разбиений и выбора £, то этот предел обозначают
п	b
limV £(У И(Ч.)— Л(х,.1)] = [ g(x)dA(x)
П-+&> Г-,	J л
k=\	а—О
и называют интегралом Стилтьеса функции g(x) по функции А (х) на отрезке [а, Ь].
Всегда считаем ь	ь
^g(x)dA(x) — j g(x)dA(x) а	а—О
По определению оо	b
J g(x)dA(x) — lim \g(x)dA(x). a
1.2.	Свойства интеграла Стилтьеса.
а)	. Интеграл Стилтьеса существует, если функция g(x) ограниченная и имеет не более чем счетное число точек разрыва, а А(х) имеет ограниченную вариацию.
б)	. рД(х) = А(Ь)— А (а — 0). а
Если А (х) — функция распределения случайной величины а, то ь
J dA (х) = Р (а < а < Ь). а
При рассмотрении интеграла Стилтьеса удобно иметь в виду, что в нем дифференциал dA(x) строился как предельное значение приращения Л(хЧ-А)—А (х) = Р(хса<х+А) при А->0 или
dA (х) = P(xca<x + dx). bn	п	b
в)	. gk(x)dA(x) = yi gk(x)dA(x). a k=\	k=\ a
г)	. Если функция Д(х) почти всюду имеет производную а(х) = = А'(х) и а(х) — интегрируемая функция, то
ь	ь
j g (х) dA (х) = j g (x) a (x) dx. a	a
д)	. Формула интегрирования по частям ь	ь
\g(.x)dA{x)=g(x)A(x) ]ba—^A(x)dg(x), а	а
если указанные интегралы существуют.
231
2. Непосредственное интегрирование по Риману на [0, оо).
В теории процессов восстановления и регенерирующих процессов используется понятие непосредственной интегрируемости функции по Риману на [0, оо).
Пусть f(x) — измеримая по Борелю функция, определенная на [0, оо). Положим Да>=[(&—1)/г, kh), й>0, тогда
, o°) = 2^ Обозначим k^\
mfe = inf (f (x); х^Д^),
Предположим, что ряды
Л £ тк •= smh,
сходятся абсолютно.
Определение. Функция
А: := Slip (/(х) ; Х^Д/J.
h £ Мk = SMh
f(x) называется непосредст-
венно интегрируемой по Риману на [0, оо), если
lim (SMh — smh) =0.
/!-►<»
При этом полагают
•О
С f(x)dx = lim smh = limSAf^. J	/w-О	h-+0
Замечание. Отметим, что для монотонных и финитных функций непосредственная интегрируемость совпадает с обычной интегрируемостью по Риману.
§ 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА И ЛАПЛАСА—СТИЛТЬЕСА
1. Преобразование Лапласа. Для всякой функции A(t) действительного переменного /, удовлетворяющей условиям:
1) Л(/)=0 при /<0, и на всяком отрезке [0, Т] А(1) имеет ограниченную вариацию;
2) существуют действительные числа s0 и Л, такие, что
| А (/) |
существует интеграл Лебега
J е-** А (0 dt = <р (s) о
при Res>s0.
Функция cp(s) называется преобразованием Лапласа (ПЛ) функции A(t). Преобразование Лапласа cp(s) обладает следующими свойствами:
232
а)	функция <p(s) аналитична в полуплоскости Res>s0;
б)	если epi (s) и <p2(s) — ПЛ функций ЛД/) и Л2(^) и cpi(s) = = <p2(s) при Res>s0, то во всех точках непрерывности Л (0 и Л2(/) выполняется равенство Лi (/) =Л2(/);
в)	пусть cp(s) — преобразование Лапласа функции Л(/), тогда
а-Н»
А (0 = —5— f est <р (s) ds
J
а—zoo
для любого a, Rea>s0.
1.2. Преобразование Лапласа—Стилтьеса. Пусть функция Л (/) удовлетворяет условиям 1), 2), тогда для любого 7’>0 определен интеграл Лебега—Стилтьеса
т
ат (s) = e'sidA (t).
в
Функция
a(s) = lim ar(s) = f e-stdA(t) = s f e~st A(t)dt (1) T->OC	•	
о	0
называется преобразованием Лапласа—Стилтьеса (ПЛ С) функции A(t). Из представления (1) и свойства б) ПЛ следует, что если «i(s) и a2(s) — ПЛС функций A}(t) и A2(f) соответственно, и cti(s)=a2(s) при Res>s0,*TO во всех точках непрерывности Л1(7) и Л2(0 выполнено равенство A^t) =A2(t). Далее, если существует конечный или бесконечный предел ИтЛ(/) (ИтЛ(/)), то существует предел lima(s) =
t->oo	t-*0	s-»- О
= lim A(t) (lima(s) =lim X(/)). t—^oo	s->oo	t—>-0
При изучении СМО часто используются ПЛС ф.р. неотрицательных случайных величин. Пусть сл.в. % имеет ф.р. A(t) = = P(g</). ПЛС a(s) функции A(t) будем также называть ПЛС случайной величины
Для преобразований Лапласа—Стилтьеса неотрицательных случайных величин имеют место следующие свойства: а) a(s) = Me~sF-;
б) если gi, ...,	— независимые случайные величины, ctz(s) =
= то a(s) — ПЛС случайной величины £ = +	—
равно
п
a(s) = П ai(s);
1=1
в) пусть M|g|fe<oo, тогда
233
2. Вполне монотонные функции. Заданная на [0, оо) функция ф называется вполне монотонной, если она имеет производные всех порядков и
^0) з>0. dsn
, Функция <р является вполне монотонной тогда и только тогдау когда существует неубывающая функция ограниченной вариации F(x), такая, что
ср (s) = [ e-s*dF(x). о •
Вполне монотонные функции обладают свойствами: а) если сриф вполне монотонны, то <рф вполне монотонна; б) если ср вполне монотонна, а ф> — положительная функция с вполне монотонной производной, то <р(ф) вполне монотонна.
§ 4.	СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ
1.	Принцип аналитического продолжения. Пусть на комплексной плоскости заданы две области Si и S2, имеющие общую часть 512 = 51П52. Пусть аналитические функции Л (г) и f2(z) заданы соответственно в областях Si и S2 и /i(z)=/2(z) при zeSi2. Тогда функция F(z), определяемая соотношением
F(Z) =(	zesl’
1 /2 (z), Z e S2,
является аналитической в области S = SjJS2 и совпадает с f\(z) в Si и с /2 (^) в S2. Функция F (z) называется аналитическим продолжением функций /1(2) и f2(z) на S. Такой способ продолжения аналитической функции на более широкую область является частным случаем так называемого принципа аналитического продолжения. Аналитическое продолжение F (z) функции /i(z) (и f2(-2)) единственно. Это вытекает из следующей теоремы.
Теорема едиственности. Пусть функции f\(z) и /2(2) являются аналитическими в области S. Если в S существует последовательность различных точек {zn}, сходящаяся к некоторой точке a^S, такая, что fi(zn) =f2(zn), то /i(z)=f2(z) для всех Z(=S.
2.	Теорема Руше.
Пусть f(z) и g(z) — аналитические функции в замкнутой области, ограниченной жордановой (простой) кривой Г, и пусть |g(z) | < |/(z) | на Г. Тогда функции f (2) и f(z)±g(z) не имеют нулей на Г и имеют одинаковое число нулей в области, орга-ниченной Г.
234
3.	Теорема о неявной функции.
Пусть вектор-функция F(z, w) = (F1(z, w), ..., F\(z, w)), z = = (2b zk), ............. wn), аналитична в некоторой окрест-
ности точки (a, b), a=(tfi, ..., afi),
Ь ~(Ь., . .. ,Ь,), и det [—F,(a,b) | =/=0,
I диц	J
'тогда существует единственная вектор-функция w = w(z), такая, что:
1)	w(a) = b;
2)	w(z) аналитична в некоторой окрестности а;
3)	в некоторой окрестности (э, b) F(z, w(z))=0.
4.	Формула обращения Лагранжа. Рассмотрим уравнение
= (1)
Предположим, что функция /(z) аналитична в некоторой окрестности точки z*=0 и /(0)=^0. Тогда в некоторой окрестности точки ^ = 0 уравнение (1) имеет единственное аналитическое решение z = z(w), причем
где
G 1. k\ dzk~l
Если, кроме того функция g(z) аналитична в окрестности точки z = 0. то в некоторой окрестности точки w = 0
g(z(w)) =g(0) -4- £ bkwk,
k^\ где
^ = -Ттггк'(2)/«'М’ k\ dzk~l
ЛИТЕРАТУРА
1.	Боровков А. А. Теория вероятностей. — М.: Наука, 1976.
2.	Гнеденко Б. В., Даниелян Э. А., Димитров Б. Н, Климов Г. П., Матвеев В. Ф. Приоритетные системы обслуживания. — М.: Изд-во Моск, ун-та, 1973.
3	Гнеденко Б. В., Коваленко И. Н. Введение в теорию массового обслуживания. — М.: Наука, 1966.
4.	Даниелян Э. А., Ушаков В. Г. Дисциплины SPT и LPT в системе Mr|Gr|l|oo с относительным приоритетом. — Уч. зап. Ер ГУ. Сер. математика, 1975, № 2, с. 3—16.
5.	Д мейсу о л Н. К. Очереди с приоритетами. — М.: Мир, 1973.
6	Ивченко Г. И., Каштанов В. А., Коваленко И. Н. Теория массового обслуживания. — М.: Высшая школа, 1982.
7.	Калашников В. В. Организация моделирования сложных систем. — М.: Знание, 1982.
8.	К ё н и г Д., Ш т о й я н Д. Методы теории массового обслуживания. — М.: Радио и связь, 1981.
9.	Клейнрок Л. Теория массового обслуживания. — М.. Машиностроение, 1979.
10.	Клейнрок Л. Вычислительные системы с очередями. — М.: Мир, 1979.
И. Климов Г. П. Стохастические системы обслуживания. — М • Наука, 1966.
12.	Климов Г. П. Теория вероятностей и математическая статистика. — М.. Изд-во Моск, ун-та, 1983.
13.	Климов Г. П. Системы обслуживания с разделением времени. — Теор. вер. и ее примен., 1974, т. 19, № 3.
14.	Klimov G. Р. Bedienungsprozesse. — Berlin: Academie—verlag, 1978.
15.	Климов Г. П., Ляху А. К., Матвеев В. Ф. Математические модели систем с разделением времени. — Кишинев: Штиинца, 1983.	'
16.	Конвей Р. В., Максвелл В. Л., Миллер Л. В. Теория расписаний. — М.: Наука, 1975.
17.	Севастьянов Б. А. Курс теории вероятностей и математической статистики. — М.: Наука, 1982.
18.	Соловьев А. Д. Анализ системы М | G111 оо для различных дисциплин обслуживания. — В кн.: Сб. трудов IV школы-семинара по ТМО. — М ВНИИ системных исследований, 1981, с. 172—178.
19.	Ушаков В. Г. Система обслуживания с эрланговским входящим потоком и относительным приоритетом. — Теор. вер. и ее примен., 1977, т. 22, № 4, с. 860—866.
20.	У ш а к о в В. Г. Однолинейная система обслуживание с относительным приоритетом. — Изв. АН СССР, техн, киберн , 1978, № 1, с. 76—80.
21.	Хин чин А. Я. Работы по математической теории массового обслуживания. — М/ Физматгиз, 1963.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Аналитического продолжения принцип — 234
арифметическая функция распределения — 32
Вероятности состояний СМО — 12 вероятностное пространство — 14 виртуальное время ожидания — 23, 74, 139
— — пребывания — 74, 139
вполне монотонная функция — 234 вызывающий момент — 22
Дисперсия сл. в. — 15
дисциплина (порядок) обслуживания — 11, 73
— — дифференцированная 106
-----FIFO — 73, 121
-----LIFO — 74, 106, 121
-----LPT — 159
— — инверсионная — 11
-----обратная — 11
----- пакетная — 106, 159
-----приоритетная — 120, 159, 179, 196
-----прямая — 11
— — разделения времени — 95 -------процессора — 102, 106
-----случайная — 11, 106
-----SPT — 159
----- стековая — 11
дополнительные события — 19 Задача Пальма — 216
задачи теории массового обслуживания — 13
Интеграл Стилтьеса — 230 ^Катастрофа» — 20
Математическое ожидание сл. в. — 14, 230
метод вложенных цепей Маркова — 88, 100, 150
— дополнительных компонент — 71, 128
— этапов Эрланга — 67, 71 моделирующий алгоритм — 40 момент регенерации — 33 Наложение потоков — 29 непосредственное интегрирование по
Риману — 232
Окрашивание — 21
операция просеивания — 27
-----простейшая — 28
—	— рекуррентная — 28 оптимальная функция переключе-
ния — 174
оптимальное ' назначение приоритетов — 173
отсутствие последействия — 15, 23 Период занятости — 13, 75, 125
ПЛС — преобразование Лапласа—
Стилтьеса — 15, 19, 233
поток Бернулли — 29
—	гиперэкспоненциальный — 179
— катастроф — 20
—	квазирекуррентный — 22, 26
—	обслуживания — 11
—	однородный — 10
—	ординарный — 23
—	потерянных требований — 216
—	просеянный — 27
—	простейший — 23
— пуассоновский — 22
— рекуррентный — 22, 25, 26
— с запаздыванием — 22, 26
—	событий — 21
—	требований — 10
—	эрлаиговский — 179
преобразование Лапласа — 19, 232 приоритет абсолютный — 12, 120 — относительный — 12,	120,	159,
179, 196
— чередующийся — 12
производящая функция — 15
просеивание потоков — 27
процесс восстановления — 31
—	— рекуррентный — 31
---— с запаздыванием — 31
—	гибели и размножения — 42
—	марковский — 35
—	пуассоновский — 35
—	регенерирующий — 33
Распределение биномиальное — 229
—	вероятностей — 15
—	геометрическое — 229
—	гиперэкспоненциальное — 229
— отрицательное биномиальное 229
—	показательное — 228
—	пуассоновское — 229
—	равномерное — 228
—	экспоненциальное — 228
—	эрланговское — 228
Свойство отсутствия памяти — 15
237
— — последействия — 15, 23
—	—t старения — 15
сеть массового обслуживания — И скорость обслуживания — 103 слабая сходимость — 19
сл в — 14
—	— целочисленная — 15
—	последовательность — 18
случайного процесса траектория — 18
случайный процесс — 18
—	— стационарный — 23
СМО бесконечнолинейные — 205
-	Еь |Л1| 1 — 69
— — длина очереди — 71
— £ft|G/Jl, приоритетная — 196
--------длина очереди — 198, 199
— GI | М11 период занятости — 222
----GI\M\k — 221
— — время ожидания — 225
---- длина очереди — 224
—	GI | W|0 — 216
—	GI | AI | оо — 213
—	— число занятых приборов — 214
—	/7А/| Gk\ 1 приоритетная — 179
--------длина очереди — 186, 188, 189
— — — период занятости — 187
—	марковская — 42
—	М\Е1{ 11 — 67
----длина очереди — 68, 69
- M|G| 1, FIFO, LIFO —74
----— — виртуальное время ожидания — 82, 85
----------время ожидания — 89, 90
— — — — длина очереди — 78, 81, 89, 90
---------- период занятости — 75
— — — — число требований обслуженных за период занятости — 90, 89, 94
—М| G11 пакетное обслуживание — 106
---------- виртуальное время пребывания — ПО, 111, 117, 118
---------- длина пакета — 108
— Mk | Gk 11 приоритеты — 120
----виртуальное время ожидания — 139, 140
— — виртуальное время пребывания — 142, 150
----время ожидания — 152
----длина очереди — 128, 129, 151, 152
— А4Л | Gh 11 приоритеты пакет SPT — 159
------------ — виртуальное время ожидания — 162
------------- длина очереди — 167, 168
----— — — длина пакета — 161
— М| G11 разделение времени — 95
----------виртуальное время ожидания — 99, 100
----------длина очереди — 97, 99, 100, 101
— — — — период занятости — 96
— А!1G11 разделение процессора — 102
— — — — длина очереди — 104
— A4|G|£|0 - 216
— — число занятых приборов — 216
— Al|G|oo — 205
---- число занятых приборов — 206
— Af|G|oo квазипуассоновский поток — 211
---------- число занятых приборов — 211
— М|М|1 — 48
— — виртуальное время ожидания — 53
----длина очереди — 50, 52, 55, 57
— — период занятости — 52
— Л11М11 квазипуассоновский по-
ток — 59
---------- длина очереди — 60
— М1М | k 10 длина очереди — 58
— М|М|оо — 54
----длина очереди — 55, 57
---- период занятости — 57, 58
— М|М| 1->Л4| 1 — 60
---- длина очереди — 62
— /И2|/И2| 1 абсолютный приоритет — 62
— многоканальная — 10, 205
—	многофазная — 10
— одноканальная — 10, 73, 120, 179
—	с ожиданием — 11
—	с потерями — 11
—	с приоритетами — 120
статистическое моделирование — 38, 39
стационарное распределение цепей Маркова — 36
— -------- достаточное условие су-
ществования — 36
структура СМО — 10, И
Теорема Блекуэлла — 32
— единственности — 234
—	о неявной функции — 235
— предельная для регенерирующих процессов — 33
—	Руше — 234
точка регенерации — 33
—	роста — 32
Унифицированная модель СМО — 39
условная вероятность — 17
— функция распределения — 17
238
условное математическое ожидание — 17
уравнение Колмогорова — Чепмена — 35
уравнения восстановления — 32
Формула Литтла — 37, 38
— обращения Лагранжа — 235
— полной вероятности для математи-
ческого ожидания — 17
ф. р. — 14
функция восстановления — 32
— Бесселя — 52
Характеристики СМО — 12
---нестационарные — 12
—	— стационарные — 12
Цикл — 33
цепь Маркова — 35
—	— неприводимая — 36
—	— неразложимая — 36
---сжимающая — 36
—	— эргодическая — 36
Число требований в системе — 74
Эквивалентность сл. в. — 16
— потоков событий — 22
элементарная теорема восстановления — 32
Виктор Федорович Матвеев, Владимир Георгиевич Ушаков
СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
Зав. редакцией С. И. Зеленский
Редактор Г. Е. Горелик
Художественный редактор Л. В. Мухина
Технический редактор М. Ю. Завражнова Корректоры Л. А. Айдарбекова, Т. С. Милякова
ИБ № 1849
Тематический план 1984 г. № 90
Сдано в набор 02 11.83
Подписано к печати 29 10 84
Л-79892 Формат 60X90/16 Бумага тип № 3
Гарнитура литературная. Высокая печать
У\л печ. л 15,0 Уч.-изд л 16,52
Тираж 4120 экз Заказ 260
Цена 55 коп Изд № 3191
Ордена «Знак Почета» издательство Московского универси 103009, Москва, ул Герцена, 5/7.
Типография ордена «Знак Почета» изд-ва МГУ.
119899, Москва, Ленинские горы