Автор: Тюлин А.Е.   Бетанов В.В.   Кобзарь А.А.  

Теги: электротехника   геофизические науки   монография   астрономия   ракетная техника   космос   космонавтика   навигация  

ISBN: 978-5-93108-168-7

Год: 2018

Похожие

Навигационно-баллистическое обеспечение полета ракетно-космических средств. Системный анализ НБО. Книга 2

Основные концептуальные положения баллистико-навигационного обеспечения полетов автоматических космических аппаратов

Баллистико-навигационное обеспечение полётов автоматических космических аппаратов к телам Солнечной системы

Методика расчета параметров лазерных систем инициирования пиротехнических устройств ракетно-космической техники: Учебное пособие

Текст 
                    А.Е. Тюлин, В.В. Бетанов, А.А. кобзарь
S'
* /
Книга 1
НАВИГАЦИОННО-
БАЛЛИСТИЧЕСКОЕ
ОБЕСПЕЧЕНИЕ
ПОЛЕТА
РАКЕТНО-
КОСМИЧЕСКИХ
СРЕДСТВ
Методы, модели и алгоритмы оценивания
параметров движения
РАДИОТЕХНИКА

А.Е. Тюлин, В.В. Бетанов, А.А. Кобзарь
НАВИГАЦИОННО-БАЛЛИСТИЧЕСКОЕ
ОБЕСПЕЧЕНИЕ ПОЛЕТА
РАКЕТНО-КОСМИЧЕСКИХ СРЕДСТВ
Методы, модели и алгоритмы
оценивания параметров движения
Книга 1
Москва
Радиотехника
2018

УДК 621.3; 629; 681; 316
ББК 26.2
Т98
Рецензенты:
Д.А. Ловцов - заслуженный деятель науки Российской Федерации,
д-р техн, наук, профессор, заместитель генерального директора
ФГУП «ИТМ и ВТ им. С.А. Лебедева РАН»
В.В. Васильев - д-р техн, наук, гл. научный сотрудник
ОАО НПЦ «Арминт»
Тюлин А.Е., Бетанов В.В., Кобзарь А.А.
Т 98 Навигационно-баллистическое обеспечение полета ракет-
но-космических средств. Методы, модели и алгоритмы оцени-
вания параметров движения. В 2-х кн. Кн. 1. Монография. - М.:
Радиотехника, 2018. - 480 с.
ISBN 978-5-93108-168-7
Рассмотрены цели и задачи навигационно-баллистического обеспечения ис-
пытаний и эксплуатации космических средств. Значительное внимание уде-
лено методам оценки измерений текущих навигационных параметров для
определения траектории движения объектов. Предложено решение задач
экспериментальной баллистики ракетно-космических средств. Показаны фи-
зико-статистические методы комплексного оценивания летно-технических
характеристик летательных аппаратов в условиях неопределенности исход-
ных данных и измерительной информации. Дан системный анализ некор-
ректных и обобщенно некорректных задач оценивания.
Для совершенствования компетенции специалистов в области навигацион-
но-баллистического обеспечения космической техники. Может быть полез-
на студентам и аспирантам, обучающимся по специальности «Навигаци-
онно-баллистическое обеспечение космических объектов», а также «Дина-
мика и управление полетом ракет и космических объектов», «Системный
анализ, управление и обработка информации».
УДК 621.3; 629; 681; 316
ББК 26.2
© А.Е. Тюлин, В.В. Бетанов, А.А. Кобзарь, 2018
© АО «Российские космические системы», 2018
ISBN 978-5-93108-168-7	© ООО «Издательство «Радиотехника», 2018

Оглавление
Введение................................................10
ГЛАВА 1
Навигационно-баллистическое обеспечение
ракетно-космических объектов........................    13
1.1.	Навигационно-баллистическое обеспечение
управления космическими объектами......................16
1.1.1.	Цели и задачи
системы баллистического обеспечения................16
1.1.2.	Аппаратно-программные средства
автоматизированной системы
баллистического обеспечения...................23
1.1.3.	Аппаратно-программные средства
баллистического центра наземного
автоматизированного комплекса управления...........28
1.1.4.	Аппаратно-программные средства
информационно-баллистического комплекса
баллистических отделений...........................31
1.1.5.	Программные средства
баллистического обеспечения........................33
1.1.6.	Система сбора измерений....................42
1.2.	Навигационно-баллистическое обеспечение
в летном эксперименте..................................44
1.3.	Контур управления
сложными динамическими объектами.
Инвариантный контур управления.....................49
1.4.	Оценка эффективности испытаний
ракетно-космических объектов...........................54
1.5.	Морфологическая схема измерительных задач........70
1.5.1.	Математические модели движения
космических аппаратов..............................72
1.5.2.	Классификация измерительных задач..........77
----- 3

Оглавление
1.5.3.	Типовая постановка задач
статистического оценивания и идентификации
динамических систем..................................78
1.5.4.	Характеристика структурных элементов задач СОИ
динамической системы.................................79
1.5.5.	Типовое представление начальных условий
движения космических объектов
в автоматизированном комплексе программ..............84
1.6.	Программно-математическое обеспечение
навигационно-баллистического обеспечения
управления космическими объектами........................92
1.6.1.	Построение комплекса
программно-математических средств....................92
1.6.2.	Структура автоматизированного комплекса
программно-математических средств....................96
1.6.3.	Автоматизированный банк баллистических данных.109
1.6.4.	Навигационно-баллистические комплексы,
ориентированные на большие объемы
формально публичной информации....................  118
1.7.	Центры компетенции навигационно-баллистического
обеспечения космическими средствами.....................123
Литература..............................................133
ГЛАВА 2
Методы статистического оценивания и идентификации
сложных динамических объектов............................135
2.1.	Оценки и их свойства...............................137
2.2.	Метод наименьших квадратов. Общее определение........141
2.3.	Метод наименьших квадратов
в линейных задачах оценивания...........................142
2.3.1.	Линейная регрессионная задача
статистического оценивания и идентификации..........142
2.3.2.	Типовая задача определения параметров движения
центра масс космических аппаратов...................143
2.3.3.	Геометрическая интерпретация
метода наименьших квадратов.........................145
2.3.4.	Алгоритм линейной задачи
метода наименьших квадратов.........................147
2.3.5.	Точность МНК-оценок.........................148
2.3.6.	Статистические свойства МНК-оценок..........149
4 ----

Оглавление
2.4.	Метод наименьших квадратов
в нелинейных задачах оценивания.....................153
2.5.	Метод наименьших модулей.........................157
2.6.	Метод максимального правдоподобия.
Условия оптимальности ММП-оценок....................162
2.7.	Метод минимального риска.........................170
2.8.	Метод максимальной апостериорной вероятности.....175
2.8.1.	Общие свойства ММАВ-оценок..............  180
2.8.2.	Особенности и дополнительные свойства
ММАВ-оценок.....................................184
2.9.	Рекуррентные алгоритмы
метода максимального правдоподобия..................185
2.10.	Динамическая фильтрация сигналов................192
2.10.1.	Марковские процессы.
Классификация случайных процессов...............192
2.10.2.	Математические модели
стохастических динамических систем..............197
2.10.3.	Структурная схема фильтра Калмана-Бьюси..204
2.11.	Применение алгоритмов фильтрации
калмановского типа при определении параметров
движения летательных аппаратов на этапе посадки..213
Литература.............................................232
ГЛАВА 3
Задачи экспериментальной баллистики
ракетно-космических средств.....................      235
3.1.	Определение параметров движения РКС
на активном участке траектории.......................236
3.1.1.	Особенности движения РКС
на активном участке траектории...................236
3.1.2.	Определение параметров движения РКС
сглаживанием результатов
внешнетраекторных измерений.................238
3.1.3.	Определение скоростных параметров методом
скользящего численного дифференцирования.........240
3.2.	Динамические характеристики
ракетно-космических систем...........................247
3.2.1.	Анализ движения РКС и подходы к их решению.247
3.2.2.	Удельная тяга двигательной установки.......249
5

Оглавление
3.2.3.	Определение динамических характеристик РКС
по избыточному числу измерений.....................252
3.2.4.	Определение характеристик системы управления РКС
по результатам измерений...........................255
3.3.	Неуправляемое движение РКС вне атмосферы..........263
3.3.1.	Алгоритм определения параметров
неуправляемого движения РКС
методом наименьших квадратов.......................264
3.3.2.	Безитерационный алгоритм оценивания
параметров эллиптической орбиты....................266
3.3.3.	Анализ наблюдаемости параметров
вращательного движения РКС вне атмосферы...........268
3.4.	Наблюдаемость параметров
вращательного движения РКС по различному составу
телеметрической информации.........................274
3.5.	Неуправляемое движение РКС в атмосфере............278
3.5.1.	Определение параметров движения РКС
в атмосфере по результатам измерений...............278
3.5.2.	Определение параметров движения
при баллистическом спуске РКС в атмосфере
методом динамической фильтрации....................284
3.5.3.	Модель возмущенного движения РКС............288
Литература.............................................290
ГЛАВА 4
Методы комплексного оценивания
летно-технических характеристик ракетно-космических средств
в условиях неопределенности исходных данных
и измерительной информации..........................    291
4.1.	Комплексное оценивание
летно-технических характеристик РКС....................293
4.1.1.	Исследуемые задачи анализа
летно-технических характеристик РКС................293
4.1.2.	Анализ условий проведения летных испытаний..297
4.1.3.	Типовые математические постановки задач оценивания
летно-технических характеристик РКС................301
4.2.	Концептуальная модель системы анализа результатов
летных испытаний РКС...................................312
4.2.1.	Структурно-иерархическая схема
анализа результатов летных испытаний...............312
6------

Оглавление
4.2.2.	Задачи системы анализа,
решаемые на подготовительном этапе...................314
4.2.3.	Оценка летно-технических характеристик
ракеты-носителя при проведении пуска
в реальном масштабе времени
(задачи репортажа)...............................315
4.2.4.	Экспресс-анализ результатов пуска..............315
4.2.5.	Анализ летно-технических характеристик РКС
по результатам полной обработки
измерительной информации.........................315
4.3.	Метод скользящей области оценок......................319
4.3.1.	Оценивание летно-технических характеристик РКС
при неопределенности исходных данных
и измерительной информации.......................319
4.3.2.	Метод скользящей области оценок................321
4.3.3.	Унифицированные методы оценивания
отдельной характеристики РКС на основе метода
скользящей области оценок..........................
4.4.	Коэффициент динамической связи.......................352
4.4.1.	Анализ состояния динамической системы..........352
4.4.2.	Математическая модель
прямой функциональной зависимости
параметров движения РКС.........................358
4.4.3.	Физические закономерности
коэффициентов динамических связей....................360
4.4.4.	Алгоритм выбора оцениваемых параметров РКС....361
4.4.5.	Алгоритм определения устойчивости
функционирования динамической системы................363
4.4.6.	Алгоритм определения причин нештатной ситуации
с использованием критерия устойчивости...............365
4.4.7.	Алгоритм восстановления оценок параметра РКС
при отсутствии результатов его измерений.............365
4.4.8.	Алгоритм чистовой отбраковки
аномальных измерений.................................366
4.4.9.	Алгоритм оценивания
летно-технических характеристик РКС
при наличии систематических
составляющих погрешностей результатов обработки
измерительной информации.............................374
4.5.	Метод динамических связей...........................375
4.5.1.	Математическая постановка задачи..............377
7

Оглавление
4.5.2.	Определение параметров модели................378
4.5.3.	Алгоритм физико-статистического метода
комплексного оценивания элементов
динамической системы на основе учета
функционально-динамических связей между ними.........382
4.5.4.	Методика комплексного оценивания
динамических характеристик РКС
на основе метода динамических связей................386
4.5.5.	Комплексное оценивание кинематических параметров
движения ракеты-носителя при выведении РКС на орбиту
на основе метода динамических связей................391
Литература...............................................397
ГЛАВА 5
Некорректные задачи оценивания.........................  405
5.1.	Регулярность и корректность измерительных задач.....407
5.2.	Задачи статистического оценивания
и идентификации динамических систем.................'...414
5.3.	Обобщенная корректность задач
в технологическом цикле
навигационно-баллистического обеспечения............423
5.3.1.	Нештатные ситуации, приводящие к возникновению
некорректности решения задач НБО.....................423
5.3.2.	Области некорректности
на различных участках полета РКС.....................424
5.3.3.	Объединение «задача НБО - инструмент решения
(АС НБО)» как объект-система.........................426
5.3.4.	Развитие определений корректности/некорректности
задачи (подход Бетанова, 1994 г.)....................431
5.3.5.	Факторы корректности/некорректности задач
навигационно-баллистического обеспечения.............433
5.3.6.	Управление решением обобщенных
некорректных задач в технологическом цикле
навигационно-баллистического обеспечения.......436
5.3.7.	Научно-методический аппарат А.В. Чечкина
для описания обобщенной корректности задач...........440
5.6. Использование метода регуляризации
при решении задач определения движения
космических аппаратов...............................454
Литература................................................460
8 ---

Оглавление
Приложение 1
Этапы жизненного цикла сложных динамических объектов.463
Приложение 2
Метод минимальной дисперсии. Минимаксный метод.......467
Список основных сокращений...........................474
9

Введение
Система навигационно-баллистического обеспечения (НБО)
Единого Государственного наземного автоматизированного ком-
плекса управления (НАКУ) космических аппаратов (КА) и изме-
рений, как подсистема НАКУ, представляет собой сложную тер-
риториально-распределенную и функционально-единую систему
с централизованной иерархической структурой, состоящую из
совокупности информационно-вычислительных средств, средств
обмена, программно-математического обеспечения и соответст-
вующих баллистических и технических подразделений. Осущест-
вленный к середине 1990-х гг. всесторонний системный анализ
накопленного опыта различных видов обеспечения автоматизи-
рованного управления PH и КА ракетно-космической отрасли,
позволил сформулировать комплекс фундаментальных проблем и
задач, составляющих теоретические основы разработки навига-
ционно-баллистического обеспечения космических полётов.
В последующие годы были проанализированы специфические
черты и особенности НБО как сложной системы, выполнен струк-
турно-функциональный анализ технологического процесса НБО
объектов различного назначения. Подобный подход позволил в
целом решить важнейшие вопросы повышения уровня автомати-
зации совокупности отдельных технологических операций (суть -
решение конкретных баллистических задач и их отдельных ком-
понентов) не только на этапе оперативного решения целевых за-
дач, но и на этапе баллистического проектирования при разработке
конкретных космических аппаратов и космических систем.
Системное рассмотрение целей и решаемых задач автомати-
зированной системой навигационно-баллистического обеспече-
ния (АС НБО) управления космическими объектами позволило
определить место НБО в летно-баллистическом эксперименте,
ю-----

Введение
Анализ инвариантного контура управления сложными ди-
намическими объектами, вообще, и обобщенного инвариантного
контура управления космическими аппаратами, в частности, со-
вместно с морфологической схемой измерительных задач опре-
делил возможность рассмотрения принципов построения ком-
плекса программно-математических средств НБО, структуры
автоматизированного комплекса программ, инфологической
структуры банка баллистических данных, а также технологиче-
ских требований к рассматриваемым комплексам программ, ори-
ентированным на большие объемы формально публичной ин-
формации.
Особое место при рассмотрении общей характеристики и со-
временного состояния системы НБО ракетно-космических объек-
тов занимают вопросы повышения конкурентоспособности органи-
заций ракетно-космической промышленности на основе создания
и применения ключевых компетенций, к которым непосредст-
венно относятся наукоемкие компетенции специалистов навига-
ционно-баллистического обеспечения. Разработанная стратегия
управления конкурентоспособностью корпораций ракетно-косми-
ческой промышленности Российской Федерации на основе соз-
дания и применения ключевых компетенций базируется на фор-
мировании центров компетенции, в том числе в навигационно-
баллистической области.
Целью деятельности Центра компетенций навигационно-
баллистического обеспечения космических средств является
сбор, хранение, защита, распространение и создание новых зна-
ний НБО КС, а также нахождение способов их максимально эф-
фективного применения, координации научно-исследовательских
и опытно-конструкторских работ организации (корпорации) по
направлению создания программно-аппаратных средств НБО.
Рассмотрение задач, решаемых отмеченным центром, как особой
структурной единицы организации, позволяет контролировать
важнейшее направление деятельности в разрезе баллистических и
навигационно-баллистических компетенций.
Авторы признательны рецензентам работы Д.А. Ловцову и
В.В. Васильеву за внимание и доброжелательную критику.
------ 11

Введение --
В процессе написания книги авторы консультировались и
обсуждали содержание работы со многими ведущими специали-
стами, в том числе с теми, кто внес существенный вклад в раз-
витие теории и практики навигационно-баллистического обес-
печения и его элементов. Авторы выражают им свою искрен-
нюю благодарность за поддержку и помощь.
В заключение авторы хотели бы отметить, что написание
книги, особенно на завершающем этапе ее отработки, потребо-
вало от них детального совместного обсуждения всех включен-
ных в работу материалов. Отдельные разделы книги написаны
совместно с кандидатом технических наук В.Е. Вовасовым
(п. 2.15) и инженером А.В. Бешановым (п.п. 1.6, 2.14, 5.5.8).
Замечания и пожелания по книге просьба направлять по
адресу'. 111250, г. Москва, ул. Авиамоторная, д. 53, АО «Россий-
ские космические системы».
12 -----

ГЛАВА 1
Навигационно-баллистическое
обеспечение
ракетно-космических объектов
Понятие навигационно-баллистическое обеспечение (НБО), также как и
эквивалентное ему понятие баллистико-навигационное обеспечение (БНО) к
настоящему времени «устоялось» [1, 2, 7] и является наиболее употребитель-
ным среди специалистов по разработке и управлению полетом космических
объектов.
В 1990-х гг. под руководством ведущих ученых и практиков Централь-
ного научно-исследовательского института машиностроения, Российского
научно-исследовательского института космического приборостроения, Глав-
ного испытательного центра по испытанию и управлению космическими
средствами, 50 ЦНИИ КС Министерства обороны, а также специалистов -
педагогов МГТУ им. Н.Э. Баумана, Московского авиационного института,
Военной академии им. А.Ф. Можайского, Военной академии им. Ф.Э. Дзер-
жинского произведен всесторонний системный анализ накопленного огром-
ного опыта различных видов обеспечения автоматизированного управления
ракет-носителей (PH) и космических аппаратов (КА), а также уникальных ле-
тательных аппаратов в период максимального развития ракетно-космической
отрасли в СССР и России.
Впервые проанализированы специфические черты и особенности НБО
как сложной системы, рассмотрен структурно-функциональный анализ техно-
логического процесса НБО объектов различного назначения. Подобный подход
позволил в целом решить важнейшие вопросы повышения уровня автоматиза-
ции совокупности отдельных технологических операций (суть решения кон-
кретных баллистических задач) не только на этапе оперативного выполнения
целевых задач, но и на этапе навигационно-баллистического проектирования
при разработке конкретных космических аппаратов и систем.

Глава 1
Рассмотрение наземного автоматизированного комплекса управления
(НАКУ) КА как большой системы потребовал разработки различных мето-
дик, как правило, реализованных в виде множества алгоритмов, адаптивного
распределения выполняемых задач, прежде всего, навигационно-баллистиче-
ского обеспечения, между различными подсистемами НАКУ КА.
В эти годы значительное развитие в теоретическом и практическом
плане получили задачи управления маневрами КА как задачи условной оп-
тимизации, разработаны алгоритмы одно-, двух- и трехимпульсных маневров
для различных вариантов управления КА ближнего космоса. Новые теорети-
ческие идеи в этой области нашли отражение в работах специалистов Балли-
стического центра НАКУ [26,27] и других исследователей, в частности, в из-
даниях РАН и Министерства обороны.
Впервые были предложены методы:
-	разделение переменных, позволившее упростить исходную задачу оп-
тимизации для всех вариантов маневров путем трансформации ее на две не-
зависимые;
-	оптимизация с восстановлением связей на корректируемые элементы
орбиты, упрощающая не только алгоритм расчета одноимпульсных вариан-
тов маневров, но и обеспечивающая восстановление связей на каждом шаге
алгоритма, что позволяет получать оптимальные по энергетике решения;
-	пошаговая оптимизация с сохранением связей, состоящая из одной
достаточно простой итерационной процедуры;
-наискорейшее восстановление связей, обеспечивающее расчет всех
вариантов маневров (при более одном количестве импульсов) с наименьшим
уклонением от оптимального по энергетике вектора параметров управления с
высоким быстродействием.
Предложенные методы, методики и алгоритмы были реализованы в ав-
томатизированных комплексах программ маневров КА ближнего космоса и
доказали на практике свою надежность и эффективность.
Накопленный опыт разработки определяющих элементов специального
математического обеспечения Баллистического центра НАКУ позволил сис-
тематизировать его в монографиях, учебниках и учебных пособиях РАРАН,
Военных академий РВСН им. Петра Великого и Военной академии им. А.Ф. Мо-
жайского, МГТУ им. Н.Э. Баумана (например, в [1,2,7,13-20] и др.).
На современном уровне развития НБО, занимающее одно из централь-
ных мест в структуре существующих видов обеспечения управления космиче-
скими полетами (КП), продуцирует следующую основную информацию [1]:
-	баллистическая схема полета, разрабатываемая из условия надежного
решения целевых задач с наименьшими затратами;
14------

Глава 1
-	параметры расчетной траектории выведения и орбиты КА, опреде-
ляемые принятой баллистической схемой полета и текущими условиями;
-	параметры фактической орбиты, эфемериды, трасса спутника («след»
орбиты на поверхности Земли), данные на спуск КА с орбиты, рассчитывае-
мые заранее, а также оперативно по результатам измерений текущих навига-
ционных параметров и их прогнозируемые значения на текущий момент
времени;
-	параметры планируемых маневров и коррекций орбиты в виде физи-
ческих величин и уставок (время включения, продолжительность работы
двигателя и направление его тяги), данные на сближение и сборку космиче-
ских систем (КС) на орбите, желательную ориентацию КА для различных
этапов его функционирования;
-	планирование и результаты решения навигационных задач;
-	баллистическая информация, необходимая для оперативного плани-
рования полета (периоды радиовидимости, условия освещенности интерва-
лов орбиты и/или трассы, время существования КА на орбите, условия сбли-
жения, восполнения структуры группировки или облета других КА, условия
наблюдения поверхности Земли и небесной сферы);
-	баллистические данные, необходимые для проведения научных ис-
следований и экспериментов;
-	целеуказания для наведения антенн наземных станций и антенных ра-
диосистем КА, КС или межпланетных станций на наземные станции и спут-
ники-ретрансляторы;
-	данные по выявлению влияния не учитываемых возмущающих фак-
торов, наличия многочисленных ограничений, установочных параметров для
бортовой аппаратуры, а также данные соответствия характеристик бортовых
и наземных систем заданным тактико-техническим требованиям и др.
Перечень перечисленных элементов информационного обеспечения КП
отражает содержание специального раздела космической баллистики, услов-
но называемого исполнительной баллистикой [1], и составляет основу опе-
ративного навигационно-баллистического обеспечения (ОНБО) [7-9].
----- 15

Глава 1 -
1.1. Навигационно-баллистическое
обеспечение управления
космическими объектами
1.1.1. Цели и задачи
системы баллистического обеспечения
В понятии «навигационно-баллистическое обеспечение»
имеются два ключевых термина - баллистика и навигация.
Баллистика (от греч. ballo - бросаю) - наука о движении тел, брошен-
ных в пространстве под углом к горизонту. Она занимается, главным
образом, исследованием движения пуль и снарядов, выпущенных из
огнестрельного оружия, ракетных снарядов и баллистических ракет.
Направления (разделы) баллистики
в зависимости от объекта и этапа его движения
1.	Внутренняя баллистика, занимающаяся исследованием
движения снаряда (пули) в стволе орудия.
2.	Промежуточная баллистика, исследующая прохождение
снаряда через дульный срез и поведение в районе дульного среза.
Она важна специалистам по точности стрельбы, при разработке
глушителей, пламегасителей и дульных тормозов.
3.	Внешняя баллистика, исследующая движение объекта в
атмосфере или в пустоте под действием внешних сил. Ею поль-
зуются, когда рассчитывают поправки на превышение, ветер, де-
ривацию и др.
4.	Экспериментальная баллистика - научная дисциплина об
определении и анализе движения летательного аппарата (ЛА)
по результатам измерений, изучающая методологические основы
и соответствующее методическое обеспечение для решения при-
кладных баллистических задач, возникающих в ходе подготовки
и проведения летных испытаний ЛА, а также при анализе резуль-
тата натурных экспериментов на основе полученной измеритель-
ной информации.
16---

Глава 1
5.	Баллистика управляемых и корректируемых ракет и сна-
рядов, изучающая движение баллистических ЛА по траекториям,
реализация граничных условий которых определяется принятым
законом наведения или коррекции и условиями последующего
свободного движения в безвоздушном пространстве и/или в ат-
мосфере.
Навигация - это процесс вождения подвижных объектов
(ПО). Предметом изучения навигации как научной дисциплины
являются методы и средства вождения ПО. В качестве обеспечи-
ваемых в навигационном отношении ПО могут выступать объек-
ты на земной поверхности, на акваториях морей и океанов, в воз-
душном и космическом пространстве.
Основной задачей навигации является вывод подвижного объекта по
оптимальной (наивыгоднейшей для данных условий) траектории в за-
данную точку или область пространства в заданный момент времени.
Решение этой общей задачи подразделяется на ряд частных задач,
разнообразных по характеру и методам решения.
Навигационно-баллистическое обеспечение (НБО) приме-
нения космических средств - комплекс научно-методических,
организационно-технических мероприятий и информационно-
расчетных работ по решению задач планирования применения
космических средств, вывода космических аппаратов на орбиты,
формирования и поддержания орбитальных структур космиче-
ских систем, управления движением КА, определения простран-
ственно-временных характеристик движения КА для обеспече-
ния работы бортовых систем, средств наземного автоматизиро-
ванного комплекса управления, специальных целевых ком-
плексов.
НБО проводится с целью своевременного и надежного определения с
требуемой точностью навигационно-баллистических данных для
обеспечения управления космическими средствами и предусматрива-
ет неоперативное и оперативное решение навигационно-баллисти-
ческих задач испытаний и применения космических средств (см. так-
же п. 1.2).
----- 17

Глава 1
Основные задачи оперативного
навигационно-баллистического обеспечения (ОНБО)
	Навигационно-баллистическое обеспечение выведения КА
на заданную траекторию движения.
	Определение и прогнозирование параметров движения КА.
	Навигационно-баллистическое обеспечение проведения ди-
намических операций.
	Создание, поддержание, восполнение орбитальных группи-
ровок КА.
	Спуск и посадка КА (или его элементов).
	Контроль работы систем КА.
	Определение навигационно-баллистических параметров для
планирования средств, привлекаемых для управления служб.
	Навигационно-баллистическое обеспечение научно-приклад-
ных экспериментов.
	Тщательный навигационно-баллистический анализ испыта-
ний и эксплуатации космических объектов.
ОНБО занимает особое место в автоматизированной системе управ-
ления космическими аппаратами (АСУ КА), так как ему присущи все
универсальные черты самостоятельного контура управления, реали-
зующего совокупность информационных технологий по планированию
и проведению измерений текущих навигационных параметров КА, их
обработке, расчету данных для планирования работы бортовой аппа-
ратуры, выработки и реализации управляющих воздействий на КА.
Реализация этих технологий осуществляется на основе дан-
ных, получаемых в процессе решения множества баллистических
задач, которые условно можно разделить на четыре класса.
Классы баллистических задач
1. Задачи определения параметров движения и уточнения
параметров математической модели движения КА. Математи-
ческая модель учитывает работу системы управления по коррек-
ции движения центра масс, системы ориентации и стабилизации:
-	статистическая обработка измеренных текущих навигаци-
онных параметров (ИТНП) для определения вектора состояния
18 ---

Глава 1
КА, корректирующего импульса и согласующих коэффициентов,
используемых в математической модели движения;
-	расчет данных для проведения динамических операций,
связанных с проведением коррекции траектории;
-	расчет данных на проведение спусков.
Результаты решения этих задач зависят от характеристик бортовой
аппаратуры, измерительных средств, массово-габаритных характери-
стик КА и являются исходными данными для решения всех других
классов задач.
Особенность таких задач заключается в том, что они реша-
ются в определенной последовательности, часто путем много-
кратных приближений, по оперативно выбираемой стратегии с
использованием методов оптимизации и, как правило, в жестком
временном режиме, часто при противоречивых ограничениях.
2.	Задачи оценки летно-технических характеристик КА,
точностных характеристик результатов решения задач первого
класса, а также характеристик наземных и бортовых измери-
тельных средств навигационного обеспечения'.
-	априорная (апостериорная) оценка точности определения и
прогнозирования движения КА;
-	оценка точности работы двигательной установки, систем
ориентации и стабилизации;
-	контроль и оценка точности работы бортовых алгоритмов
решения навигационно-баллистических задач;
-	оценка точности реализации коррекции, спусков и других
операций.
Как правило, решение этих задач основано на применении
статистических методов, методов математического моделирова-
ния и осуществляется непосредственно после решения соответст-
вующих задач первого класса.
3.	Задачи расчета данных для планирования работы назем-
ных служб, участвующих в управлении и контроле КА :
- расчет зон радиовидимости, целеуказаний, времени балли-
стического существования КА, освещенности, положения КА на
траектории в заданных точках, положения и ориентации КА от-
--------------------------------------------------------- 19

Глава 1
носительно заданных ориентиров, форм обмена между взаимо-
действующими организациями, данных для ввода баллистиче-
ской информации в бортовую аппаратуру и других условий.
4.	Задачи для обеспечения целевого применения КА.
ОНБО как самостоятельному контуру управления в АСУ КА
присущ целый ряд специфических свойств и особенностей:
-	оперативность;
-	высокая точность и надежность результатов;
-	циркуляция больших массивов информации;
-	массовый характер расчетов;
-	большое число взаимодействующих организаций;
-	высокая технологичность;
-	разнообразие технических средств;
-	четко определенная область информационного обеспечения.
Оперативность получения результатов диктуется потребно-
стями технологических процессов управления КА более высокого
иерархического уровня и, в первую очередь, работой его борто-
вых систем и средств.
Высокая точность результатов решения баллистических за-
дач вытекает из необходимости обеспечения наилучшего качест-
ва управления.
В самом деле, например, неудовлетворительная точность оп-
ределения движения КА приведет и к некачественному слежению
за КА с помощью наземных или плавучих измерительных средств,
так как целеуказания для антенных систем будут содержать боль-
шие погрешности. Кроме того, планирование и реализация управ-
ления полетом также будут выполняться некачественно, поскольку
время входа в зоны радиовидимости станций слежения будет вы-
числено с большой погрешностью. При расчетах параметров ма-
невров КА погрешности знания траектории приведут к ошибкам
их исполнения и отразятся на затратах бортового топлива, так как
погрешности выполнения маневров должны компенсироваться из-
менением параметров последующих маневров.
Высокая надежность результатов баллистических расчетов
необходима в связи с тем, что их погрешность приводит к необ-
ратимым процессам на борту КА и, как следствие, влияют на ка-
чество выполнения программы полета.
20 ---

Глава 1
Так, например, сбои в расчетах времени радиовидимости КА
со станции слежения приводят к срывам сеансов связи с КА и
программ управления, реализуемых во время этих сеансов.
Циркуляция в контуре ОНБО больших массивов информа-
ции вызывается тем, что ежесуточно в контур могут поступать
сотни сеансов измерений текущих навигационных параметров
(ИТНП) и выдаваться потребителям десятки форм обмена.
Баллистические расчеты имеют массовый характер, так как
проводятся одновременно по многим КА, зачастую в реальном
масштабе времени.
Технологическая цикличность процессов ОНБО вызвана от-
носительной стабильностью перечня решаемых задач для кон-
кретного типа КА.
Использование большого комплекса разнообразных технических
средств, включая ЭВМ, средств приема и передачи данных, отобра-
жения и контроля, обеспечивает автоматизацию обработки информа-
ции и расчета требуемых баллистических данных.
И, наконец, четко определенный предмет навигационно-
баллистического исследования существует как самостоятельный
системный раздел управления и информационного обеспечения
АСУ КА.
Анализ особенностей и специфических черт контура ОНБО
показывает, что ему присущи все признаки сложной системы,
 ОНБО включает большое количество различных элементов.
 Контур ОНБО является информационной сетью, в которой
циркулируют большие потоки информации.
	В контуре существует замкнутое поле управления со связя-
ми с внешней средой - сверхсистемой, под которой подра-
зумевается АСУ КА.
	Посредством управляющей информации в системе ОНБО
осуществляется саморегулирование.
	ОНБО обладает свойством эмерджентности по отношению к
подсистемам, анализ которых возможен только при изуче-
нии всей системы как целостного образования.
----- 21

Глава 1
	ОНБО представляет собой иерархическую структуру, в ко-
торой сочетаются принципы централизованного и децентра-
лизованного управления.
И, наконец, в системе ОНБО имеются входы и выходы. На
вход поступают заявки на проведение расчетов по НБО КА, сеан-
сы ИТНП (или данные аппаратуры спутниковой навигации -
АСН), исходные баллистические данные (ИБД), а на выходе - ре-
зультаты решения баллистических задач.
Отметим также, что важным признаком контура ОНБО, как
системы, является наличие людей как активных элементов.
Система ОНБО - комплекс средств, функционирующих под единым
управлением с целью получения в течение заданного времени и с за-
данной точностью совокупности навигационно-баллистических дан-
ных, необходимых для обеспечения выведения, управления и спуска
(прекращения активного существования) КА различного целевого на-
значения и его элементов.
В заключение отметим, что работы по НБО обычно осуще-
ствляются в три этапа.
Этап 1. Подготовительный (предшествующий запуску):
-	определение времени запуска КА и номинальных значений
параметров орбит КА;
-	расчет параметров орбит КА, уставок, параметров выведе-
ния разгонных блоков и КА;
-	подготовка данных, необходимых для управления полетом
КА и планирования работы средств наземного комплекса управ-
ления.
Результаты расчетов используются при подготовке КА к за-
пуску, для составления рабочих программ управления полетом
КА и планирования работы средств НАКУ при запуске и выведе-
нии КА на орбиту.
Этап 2. Оперативный (от момента запуска КА до момента
прекращения его активного существования):
-	обработка измерений текущих навигационных параметров
движения КА (ИТНП), данных АСН;
-	определение параметров движения разгонных блоков и КА;
22 ---

Глава 1
-	расчет параметров коррекций различного вида и назначения;
-	уточнение величины и ориентации вектора тяги и времени
работы двигательных установок;
-	оценка качества ИТНП, данных АСН;
-	расчет зон радиовидимости, целеуказаний и т.д.
Результаты работ, проводимых на оперативном этапе, ис-
пользуются для оперативного планирования, управления полетом
КА, работы бортовой аппаратуры и средств НАКУ.
Этап 3. Заключительный'.
-	систематизация и анализ данных по точности выведения КА;
-	проведение маневров;
-	определение и прогнозирование параметров движения КА,
а также точность и надежность работы средств НАКУ;
-	выпуск отчетов по результатам баллистического обеспече-
ния управлением полетом и использования КА по целевому на-
значению.
1.1.2. Аппаратно-программные средства
автоматизированной системы
баллистического обеспечения
Управление полетом КА (КС) осуществляется посредством
наземного автоматизированного комплекса управления (НАКУ).
Автоматизированная система баллистического обеспече-
ния (АСБО) является подсистемой НАКУ и представляет собой
территориально-распределенную систему с централизованной
иерархической структурой, состоящую из совокупности инфор-
мационно-вычислительных средств, средств обмена, программно-
математического обеспечения и соответствующих баллистиче-
ских и технических подразделений.
Подсистема обмена информацией между средствами АСБО
представляет информационно-вычислительную сеть с коммута-
цией пакетов данных, интегрированную со средствами сбора и
обработки измерений текущих навигационных параметров
(ИТНП), вычислительными средствами решения специальных за-
дач навигационно-баллистического обеспечения.
---- 23

Глава 1 -
Основные задачи автоматизированной системы
баллистического обеспечения
	Оперативное навигационно-баллистическое обеспечение
управления КА и КС.
	НБО подготовки и запуска КА и РБ.
	НБО планирования применения и непосредственно приме-
нения средств управления, измерения и связи НАКУ.
	Информационное обеспечение анализа обстановки, принятия
решений и планирования применения сил и средств НАКУ.
	Оценка состояния баллистических структур космических
систем, разработка рекомендаций по их восполнению и
функционированию.
	Отработка, испытание и внедрение в НАКУ методов, алго-
ритмов и программ решения задач навигационно-баллисти-
ческого обеспечения.
	Оперативный и надежный обмен баллистической и техноло-
гической информацией между элементами АСБО, а также
АСБО и внешними потребителями.
Основные элементы структуры АСБО
	Баллистические центры (БЦ) с соответствующими сектора-
ми навигационно-баллистического обеспечения управления
КА различного типа.
	Баллистические секторы (БС) центров управления полетом
(ЦУП).
	Баллистические секторы различных запасных, региональ-
ных, резервных пунктов управления КА (КС).
	Баллистические отделения ОКИК с соответствующими ин-
формационно-вычислительными комплексами (ИВК).
	Траекторные измерительные средства НАКУ и отдельные
измерительные средства государственных испытательных
космодромов (ГИК).
	Система обмена баллистической информацией (БИ) между
элементами АСБО, а также АСБО и внешними потребите-
лями.
Главными элементами АСБО являются баллистические цен-
тры и, в частности, БЦ НАКУ.
24 ---

Глава 1
Функции ИВК БЦ
	Сбор измерений текущих навигационных параметров (ИТНП)
от измерительных средств (ИС).
	Обработка поступающих в БЦ измеренных текущих навига-
ционных параметров.
	Прием БИ от ИВК других БЦ, баллистических секторов ЦУП,
баллистических отделений ОКИК и внешних организаций.
	Решение баллистических и других задач, возлагаемых на БЦ.
	Выдача БИ элементам АСБО и внешним организациям.
	Хранение, отображение и документирование баллистиче-
ской информации.
	Отображение процесса функционирования БЦ на средствах
отображения информации коллективного пользования.
Технические средства ИВК БЦ (ЦУП), созданные на базе
локальных вычислительных сетей (ЛВС)
	«Большие» ЭВМ, существовавшие до появления ПЭВМ, со
штатным программным обеспечением.
	ПЭВМ для решения баллистических задач определённого
класса.
	ЭВМ для управления ресурсами БЦ.
	Интерфейсные процессоры связи (ИПС) на базе ПЭВМ и
адаптерные платы сопряжения «больших» ЭВМ с ЛВС.
	Аппаратура сопряжения с автоматизированной системой
обмена информацией (АСОИ) с целью получения ИТНП на
серверах сбора измерений.
	Абонентские комплекты модемной связи (АКМС) для связи
с внешними абонентами.
	Рабочие места передачи данных (РМПД) на средства НАКУ.
	Стенды рабочих мест баллистических отделений (РМБО)
ОКИК.
	Рабочие места администраторов АСБО и БЦ.
	Серверы баз данных и обмена.
	ПЭВМ для управления средствами отображения информа-
ции (табло).
Наибольшее распространение получили сети типа клиент-
сервер, особенно сети с выделенным сервером; В общем случае
---- 25

Глава 1
«большая» ЭВМ может подключаться к сети ПЭВМ через
шлюз, который организует обмен данными между сетевыми
объектами, использующими различные протоколы обмена дан-
ными. Эти ЭВМ используются, главным образом, для обеспе-
чения работы с разработанным в 1980-1990 гг. программным
обеспечением.
Сопряжение ПЭВМ с физической средой ЛВС осуществля-
ется через сетевые адаптерные платы. В качестве среды передачи
данных для ЛВС могут использоваться витая пара, коаксиальный
кабель, оптоволоконный кабель, радиоволны в микроволновом
диапазоне.
Недостатком витой пары является высокий коэффициент за-
тухания сигнала и большая чувствительность к электромагнит-
ным помехам, что ограничивает расстояние для ее применения до
100...150 м.
Коаксиальный кабель во многих случаях является более устойчивым к
помехам, чем витая пара. Однако его использование ограничено стро-
гими требованиями к волновому сопротивлению, отклонение которо-
го от номинала приводит к замедлению передачи сигналов или к пол-
ной неработоспособности сети.
Оптоволоконный кабель обеспечивает высокую помехозащищен-
ность, скорость передачи данных до 2 Гбит/с и возможность защиты
передаваемой по сети информации. Затухание сигнала в оптиковоло-
конной сети очень мало, поэтому сети на основе оптоволокна могут
прокладываться на расстояние до 100 км.
Беспроводные локальные вычислительные сети на основе радиоволн в
микроволновом диапазоне считаются перспективными, однако не по-
лучили широкого распространения ввиду плохой совместимости с
другими сетями. В АСБО беспроводные локальные вычислительные
сети не используются.
Функции информационно-вычислительный комплекс
(ИВК) БО ОКИК
	Прием баллистической информации от БЦ.
	Хранение, отображение и документирование баллистиче-
ской информации.
26 ----

Глава 1
	Решение баллистических задач, возлагаемых на ОКИК.
	Выдача баллистических данных (целеуказаний, зон види-
мости и др.) на перфоленты, принтеры или непосредствен-
но на измерительные станции (ИС) по автоматизированным
каналам.
	Выполнение задач в интересах анализа задействования и
планирования средств ОКИК.
ИВК БО ОКИК включает рабочие места баллистического обеспече-
ния, объединённые ЛВС, с подключенными к ним АЦПУ, перфорато-
ром ленточным и фотосчитывающим устройством. Сопряжение
ПЭВМ с внешними устройствами при необходимости осуществляется
с использованием специальных адаптерных плат и коммутационных
устройств.
Состав программно-математического обеспечения
РМБО
	Решение баллистических задач.
	Формирование и выдача целеуказаний (ЦУ) на внешние уст-
ройства.
	Обмен данными по каналам связи.
	Программное обеспечение сеансовой службы (СС) сети АС-
БО и агента-пользователя сервера электронной почты.
Абоненты АСБО
	Пункты анализа, планирования и принятия решений.
	Секторы и центры управления полетом КА различного типа.
	Секторы главных конструкторов КС и другие организации -
потребители баллистической информации.
Совершенствование и дальнейшее развитие АСБО предполагает
комплекс мероприятий, связанных с внедрением ПЭВМ, созданием
для них базового программного обеспечения, реализацией надеж-
ных и оперативных автоматизированных трактов информационного
обмена.
---- 27

Глава 1
1.1.3. Аппаратно-программные средства
баллистического центра наземного
автоматизированного комплекса управления
Навигационно-баллистическое обеспечение КА представляет
собой совокупность научно-методических и организационно-
технических мероприятий, обеспечивающих решение баллисти-
ческих задач при подготовке к запуску, запуске и управлении КА.
Функции НБО
	Создание и поддержание орбитальных структур КС.
	Определение пространственно-временных параметров дви-
жения КА.
	Обеспечение работы бортовых систем КА, наземных управ-
ляющих и специальных комплексов.
 Решение задач в интересах планирования программ работы и
применения космических средств.
Решение задач НБО возложено на баллистический центр
(БЦ) НАКУ, который является головным подразделением НАКУ
по НБО летных испытаний и штатной эксплуатации космических
комплексов (КК) и космических систем (КС).
Основные задачи НБОуправления КА
(на всех этапах его существования, решаемые БЦ НАКУ)
 Сбор измерений текущих навигационных параметров (ИТНП).
 Предварительная обработка, оценка и анализ качества
ИТНП.
	Определение (уточнение) начальных условий (НУ) движе-
ния КА и моделирование параметров его орбиты.
	Расчет баллистических данных на проведение динамических
операций с КА, уточнение вектора и ориентации тяги двига-
тельных установок.
	Решение задач вторичной баллистики.
	Организация и осуществление информационного обмена с
ЦУП и баллистическими секторами ЦУП.
	Взаимодействие по вопросам НБО с внешними организа-
циями, участвующими в испытаниях, и применения КА и
средств НАКУ.
28 ---

Глава 1
	Оценка работы средств ПАКУ в режиме ИТНП.
	Статистическая обработка и анализ результатов испытаний и
эксплуатации СПО, а также опытных данных, полученных
при НБО КА (КС).
В баллистический центр НАКУ функционально объединены
аппаратно-программные средства приема и передачи баллистиче-
ской информации, решения баллистических задач для обеспече-
ния функционирования элементов космических комплексов, а
также средства связи с элементами и абонентами АСБО.
Отдельные баллистические задачи (задачи вторичной балли-
стики) решаются на пунктах управления КА (ЦУП, БС ЦУП) для
планирования работы бортовой аппаратуры КА и средств НКУ в
соответствии с заявками частей и организаций-потребителей спе-
циальной информации.
Технические средства
информационно-вычислительного комплекса (ИВК) БЦ
	ПЭВМ для решения баллистических задач различного
класса.
	Управляющие серверы и серверы баз данных.
	Абонентские комплекты системы обмена на базе ПЭВМ для
сопряжения с автоматизированной системой обмена инфор-
мацией с целью приёма ИТНП.
	Абонентские комплекты модемной связи (АКМС) для обме-
на БИ с потребителями.
	Рабочие места передачи данных (РМПД) для выдачи началь-
ных условий на ОКИК, в ЦУП.
	ПЭВМ для управления средствами отображения информа-
ции.
	Средства отображения информации (табло).
В БЦ используются глобальные и локальные базы баллисти-
ческих данных. Обмен данными с глобальной базой идет с каж-
дого рабочего места несколько раз в сутки, в зависимости от ре-
шаемой на рабочем месте задачи.
Исходная информация - измеренные текущие навигацион-
ные параметры (ИТНП) - поступает в локальную базу данных
дискретно, с различными промежутками времени.
---- 29

Глава 1
Перекачка ИТНП из абонентского комплекта системы обме-
на данными в локальные базы данных проводится по мере их на-
копления.
Так как специализированное программное обеспечение НБО ориенти-
ровано на ресурсы ПЭВМ и локальные базы данных на каждой
ПЭВМ, то основные вычисления могут проводиться на отдельных ра-
бочих местах - на ПЭВМ, а результаты решения баллистических за-
дач записываться в локальные базы данных. Обмен данными с базой
данных на существующих ЭВМ (или на сервере на основе ПЭВМ)
идет с каждого рабочего места по директивам оператора технологиче-
ского цикла НБО.
Функции рабочего места системы обмена данными
	Прием ИТНП от измерительных средств ОКИК.
	Обслуживание абонентов БЦ.
	Взаимодействие с оператором.
Абонентские комплекты модемной связи (АКМС) обеспечи-
вают прием и выдачу баллистической информации по каналам
модемной связи. АКМС предназначен для построения системы
межцентрового взаимодействия (СМЦВ) на базе ПЭВМ, муль-
типлексоров, модемов, выделенных и коммутируемых каналов
связи. СМЦВ образуется сетью ПЭВМ, каждая из которых одно-
временно выполняет функции коммутационного процессора свя-
зи и интерфейсного процессора связи.
Каждый АКМС является как средством построения сети передачи
данных с коммутацией пакетов и требуемой структурой связи, так и
средством подключения к этой сети территориально рассредоточен-
ных центров, взаимодействующих друг с другом.
Для организации передачи начальных условий на ОКИК ис-
пользуются рабочие места передачи данных (РМПД) на основе
ПЭВМ с телеграфными модемами и преобразователями напряже-
ния для подключения к телеграфным каналам.
Комплекс средств обмена данными (СОД) совместно с ЛВС
предназначен для объединения функциональных элементов ком-
30 —

Глава 1
плекса технических средств в единую информационно-вычисли-
тельную систему.
Подключение ПЭВМ секторов к ЛВС осуществляется по-
средством специальных адаптеров, обеспечивающих стыковку с
линией связи ЛВС.
1.1.4.	Аппаратно-программные средства
информационно-баллистического комплекса
баллистических отделений
Функции информационно-вычислительного комплекса
(ИВК) БО ОКИК
	Прием БИ от элементов АСБО.
	Хранение, отображение и документирование БИ.
	Решение баллистических задач, возлагаемых на ОКИК.
	Выдача баллистических данных на носители информации
или непосредственно на измерительные станции (ИС) по
каналам связи.
	Выполнение задач в интересах планирования средств ОКИК.
ИВК БО ОКИК первоначально создавался на базе ЛВС и
включал технические средства:
	рабочее место оператора баллистических задач (РМО БЗ);
	рабочее место оператора управления внешними устройст-
вами (РМО УВУ);
	абонентский комплект (АК) системы обмена для сопряже-
ния с автоматизированной системой обмена информацией
(АСОИ) (системой сбора ИТНП).
В связи с возросшими аппаратными и программными воз-
можностями ПЭВМ эти рабочие места объединены в одно - ра-
бочее место баллистического обеспечения (РМБО) ОКИК.
Программные компоненты ИМО РМБО
	Комплекс программ решения баллистических задач.
	Комплекс программ формирования и выдачи ЦУ на внешние
устройства.
	Комплекс программ обмена по телеграфным каналам связи.
-----31

Глава 1
	Программы сеансовой службы (СС) сети АСБО и агента-
пользователя сервера электронной почты.
Комплексы программ работают под единым монитором РМБО.
Начальные условия, поступающие из баллистического цен-
тра по телеграфным каналам, записываются с помощью про-
граммных средств непосредственно в базу данных. Для обеспе-
чения оперативного автоматизированного выбора НУ из базы
баллистических данных (ББД) в комплексе программ баллистиче-
ских задач ведется журнал начальных условий движения КА. По-
сле получения НУ оператор формирует оперативный план со-
гласно суточному плану задействования средств на ОКИК в двух
режимах: с подключением постоянных заявок (ПЗ) и без их под-
ключения.
Исходные данные для формирования журнала
расчета баллистических данных (ЖРБД)
	Сформированный на дату задействования оперативный план
(ОП).
	Активные на время задействования НУ.
Процесс формирования ЖРБД прекращается при исчерпа-
нии всех заявок. При возникновении ошибок выдается предупре-
ждающее сообщение, а формирование ЖРБД продолжается со
следующей заявки. Расчет баллистических данных организуется в
соответствии с ЖРБД. После формирования ЖРБД он доступен
для просмотра и редактирования оператором. Оператор может
произвести расчет ЖРБД в автоматизированном и специальном
режимах, причем во втором случае необходимо задавать все ис-
ходные данные с панели диалога. ЖРБД служит исходной ин-
формацией для комплекса формирования конечной информации -
целеуказаний измерительным средствам.
Обмен БЦ с ОКИК баллистической и произвольной информацией
проводится в виде файлов с использованием помехоустойчивого про-
токола дуплексного обмена. Со стороны БЦ обмен с ОКИК возлагает-
ся на рабочее место передачи данных (РМПД).
Дальнейшее развитие информационно-вычислительных комплексов
баллистического обеспечения ОКИК предполагается проводить со-
вершенствованием его аппаратных и программных возможностей.
32 ---

Глава 1
Основные функции ИВК БО ОКИК
	Обмен баллистической и служебной информацией в виде
текстовых файлов информации со всеми элементами АСБО.
	Рациональное хранение, отображение и документирование
принятой и передаваемой баллистической информации.
	Решение полного объема баллистических задач, возлагаемых
на ОКИК.
	Оценка качества работы измерительных средств ОКИК.
	Выдача целеуказаний непосредственно на измерительные
средства по автоматизированным каналам связи.
	Контроль целеуказаний и баллистических данных, рассчи-
тываемых на отдельных командно-измерительных станциях.
1.1.5.	Программные средства
баллистического обеспечения
Современное программное обеспечение АСБО и, в частно-
сти, БЦ НАКУ состоит из общего, общесистемного и специаль-
ного программного обеспечения.
Состав общего программного обеспечения
	Операционные системы.
	Сетевая математика.
	Системы программирования.
Требования к операционной системе выделенного сервера
ЛВС БЦ
	Приоритетная многозадачность.
	Встроенная сетевая поддержка.
	Защищенность.
	Многопоточность.
	Поддержка широкого спектра компьютерных платформ.
	Возможность выполнения приложений, написанных для
других операционных систем.
	Поддержка нескольких файловых систем.
	Удобный и понятный интерфейс.
----- 33

Глава 1
Составные серверной группы ЛВС БЦ
	Файл-сервер.
	Сервер приложений.
	Сервер удаленного доступа.
	Сервер баз данных.
	Сервер обеспечения безопасности данных.
	Сервер резервирования данных.
	Сервер связи.
	Сервер вспомогательных служб.
Требования к операционной системе
для рабочих мест ЛВС БЦ
	Высокая производительность и надежность.
	Простота в освоении.
	Удобное использование.
	Включение механизма удаленного администрирования ра-
бочего места.
	Должна быть универсальным сетевым клиентом, способным
работать с самыми различными сетевыми средами.
	Должна иметь встроенную поддержку распределенных се-
тей, электронную почту и т.д.
Общесистемное программное обеспечение - совокупность программ-
ных средств, предназначенных для создания операционной среды вы-
полнения функциональных задач на вычислительных средствах АСБО,
реализации процессов приема и передачи БИ, обеспечения взаимодей-
ствия операторов с целевыми задачами, а также задач между собой.
Основные компоненты ОСЛО баллистического центра
	ОСПО ЭВМ.
	Сетевое ПО и ПО средств передачи данных (СППД).
	Распределенный банк и архив НБД.
	Тестовое программное обеспечение.
Основные элементы структуры сетевого ПО
	Программное обеспечение сеансовой службы, теста сеансо-
вой службы.
	Программное обеспечение передачи сообщений и файлов.
34 ---

Глава 1
	Программное обеспечение службы электронной почты.
	Программное обеспечение доступа к удаленной базе данных.
	Программное обеспечение сервера базы данных.
	Программное обеспечение шлюза с «большой» ЭВМ.
ПО сеансовой службы является резидентным ядром сети.
Функции ПО
	Контроль наличия и доступ к адресатам по их логическим
именам.
	Взаимодействие каждого абонента с несколькими адресата-
ми одновременно.
	Сохранение логической связи между взаимодействующими
абонентами при всех изменениях структуры связей в сети, не
приведших к изоляции этих абонентов.
	Автоматическое проявление конфигурации сети и знакомст-
во при включении в сеть новых физических абонентов.
Интерфейс взаимодействия с ПО сетевой службы обеспечивает дос-
туп к услугам сети для пользовательских программ, реализованных на
языках высокого уровня, что позволяет создавать сетевые комплексы
программ различного назначения.
Банк баллистических данных предназначен для приема, хра-
нения, обработки и выдачи баллистической информации внеш-
ним абонентам.
Компоненты банка баллистических данных
	База данных СППД.
	База данных на «большой» ЭВМ.
	Локальные базы данных на рабочих станциях.
	Базы данных на сервере локальной вычислительной сети.
	Архив баллистической информации.
Функции локальных баз данных на рабочих станциях
(в соответствии с выбранной стратегией построения
банка баллистических данных)
	Хранение данных по отдельным объектам и системам в те-
чение заданных временных интервалов.
---- 35

Глава 1
	Получение данных из центральной БД.
	Хранение промежуточных результатов вычислений.
	Хранение информации, необходимой пользователю рабочей
станции.
	Подготовка информации для записи в центральную БД.
Архив баллистической информации (АБИ) предназначен для
долговременного хранения начальных условий и ИТНП. Каталог
и буфер АБИ являются оперативной частью архива и хранятся
либо на сервере в формате ЦБД, либо на отдельной ПЭВМ ЛВС в
формате ЛБД.
Функции организации АБИ
	Долговременное хранение массивов ИТНП и НУ, принятых
в СППД БЦ, в соответствии со временем хранения, опреде-
ленным администратором БНБД.
	Режимы выгрузки массивов и каталога ИТНП и НУ из АБИ
по указанию администратора, загрузка массивов ИТНП и НУ
из АБИ в БД по запросам пользователей.
	Ведение и поддержание каталога массивов ИТНП и НУ,
хранящихся в АБИ (обеспечение соответствия каталога со-
держимому архива), автоматизированный и операторский
режимы выгрузки массивов БИ из БД в АБИ по команде
оператора для всех КА, стоящих на обслуживании, с воз-
можностью коррекции списка выгружаемых массивов.
	Ведение таблицы условий хранения, определяющей режимы
записи и хранения массивов ИТНП в АБИ.
	Запись и хранение БИ в АБИ в соответствии с таблицей ус-
ловий хранения.
	Реализация функции реорганизации буфера и каталога БИ в
БД в автоматизированном (неоперативном) режиме в соот-
ветствии с таблицей условий хранения.
При реорганизации решения, связанные с удалением инфор-
мации из БД, принимаются администратором.
Критерии реорганизации решения
	Достижение максимального времени хранения массивов БИ
для конкретного типа КА.
36-----

Глава 1
	Достижение максимального количества сеансов ИТНП и НУ
по конкретному типу КА.
	Достижение максимального количества массивов БИ в БД.
По мере заполнения буфера или по истечении заданного
промежутка времени (см. приведенные выше критерии) инфор-
мация из буфера сбрасывается системным администратором (от-
ветственным за ведение центральной БД) на сменные носители
информации в виде таблиц БД или файлов. Переписанная на
сменные носители информация удаляется из архива, причем в от-
дельной таблице (каталоге) архива делается запись о типе ин-
формации, записанной на носитель (НУ или ИТНП), начальной
дате записанной на носитель информации, конечной дате запи-
санной на носитель информации и серийном номере сменного
носителя.
Предусматриваются также процедуры восстановления по
ключам информации из архива на сменных носителях в архив БД
и БД текущей БИ. Таким образом, производится резервное дуб-
лирование поступающей информации и облегчается процедура
поиска нужной информации в архиве на сменных носителях.
Удаление информации в БД текущей БИ осуществляется с рабо-
чих станций пользователями, использующими данную информа-
цию, либо автоматически по истечению срока хранения. Удале-
ние информации из архива (в том числе и по истечению срока
хранения) осуществляется только системным администратором.
Специальное ПМО представляет собой совокупность мето-
дов, моделей, алгоритмов баллистико-навигационных задач и
средств автоматизации их решений, реализованных в виде уни-
версальных автоматизированных комплексов программ.
Основные характеристики специального ПМО
	Эргономичность работы оператора-баллистика с задачами
комплексов в условиях регулярно повторяющихся техноло-
гических циклов НБО сопровождаемых типов КА.
	Высокая оперативность проведения всего ТЦ НБО и реше-
ния отдельных баллистических задач; заданная точность па-
раметров решения задач НБО.
	Возможность получения решения при нештатных ситуациях.
---- 37

Глава 1
	Высокий уровень автоматизации за счет максимального ис-
ключения ручных операций по подготовке исходных данных.
	Контроль исходных данных и результатов принятия решения
в штатных и нештатных ситуациях.
	Мобильность комплексов за счет их максимальной инвари-
антности относительно структуры технологического цикла.
	Открытость комплексов за счет реализации принципов
структурного программирования и функциональная избы-
точность.
	Унификация и стандартизация способов запуска отдельных
задач.
	Унификация и стандартизация представления входных и вы-
ходных форм.
	Обеспечение возможности автоматизации сбора и хранения
в ББД данных решения задач, оперативного и надежного
манипулирования ими, а также многократного их исполь-
зования.
	Исключение несанкционированного доступа.
Функциональная структура комплексов программ НБО объ-
единяет общесистемные и специальные компоненты:
	диспетчер ТЦ БНО;
	база баллистических данных;
	специализированные пакеты программ решения НБЗ.
При этом в математических моделях движения КА, реализо-
ванных в комплексах программ, учитываются:
	гравитационное поле Земли, представленное разложением
геопотенциала в ряд по сферическим функциям до 32-го по-
рядка зональных, секториальных и тессеральных гармоник;
	гравитационное притяжение Солнца, Луны и планет;
	сопротивление и движение атмосферы Земли;
	давление солнечного света;
	прецессии и нутации земной оси;
	воздействие электродинамических сил;
	ускорение, обусловленное работой корректирующих двига-
тельных установок и двигателей малой тяги;
	приливные эффекты в земной коре;
	неравномерность вращения Земли.
38 ---

Глава 1
Все специализированные комплексы программ строятся на
единых принципах, что позволяет унифицировать и оптимизиро-
вать взаимодействие составных частей АСБО.
Основу всех задач НБО составляет математическая модель движения.
Модели, методы и алгоритмы, реализованные в математической мо-
дели движения, а также функциональные структуры реализующих их
подсистем, являются основой построения функционального ядра,
обеспечивающего проведение НБО.
Особенностью функционирования ММД на ПЭВМ является
разделение функций подготовки (или настройки) ММД и осуще-
ствления непосредственно вычислительного процесса интегриро-
вания СДУД. Это позволяет реализовать принцип «черного ящи-
ка», чем обеспечивается выполнение различных требований к
модели движения со стороны целевых баллистических задач без
непосредственного управления ее структурой при различных на-
вигационно-баллистических и гелиогеофизических исходных
данных. Важным свойством ММД является возможность под-
ключения в правых частях СДУ различных статических и дина-
мических моделей плотности верхней атмосферы Земли.
Математическое моделирование измерений текущих навига-
ционных параметров осуществляется с помощью функциональ-
ного модуля моделирования.
Функциональный модуль моделирования ТИП предназначен
для математического моделирования расчетных значений изме-
ряемых параметров, их первой производной по времени и изо-
хронных частных производных от измеряемых параметров по на-
чальным условиям в неособенных переменных на моменты изме-
рений.
Расчетные параметры
	Наклонная дальность, азимут, угол места.
	Радиальная скорость, высота над общим земным эллип-
соидом.
	Угловые измерения в системе карданного подвеса.
	Прямое восхождение, склонение.
----- 39

Глава 1
	Высота над геоидом, приращение дальности.
	Время на параметре, вектор состояния КА в заданной систе-
ме координат на требуемые моменты времени.
Модель и алгоритм функционального модуля моделирования
(ФММ) должны позволять оптимизировать процедуры вычисле-
ния расчетных значений ТИП.
В функциональном модуле моделирования должен быть решен вопрос
обеспечения всеми необходимыми данными задач предварительной
обработки ТИП и определения вектора состояния КА. Эти данные
включают совокупность расчетных значений величин измерений, их
первых и вторых производных по времени, изохронных частных про-
изводных от измеряемых параметров по начальному вектору состоя-
ния КА.
С точки зрения системного подхода, задача определения
вектора состояния КА по ИТНП относится к классу задач оцени-
вания вектора состояния динамических систем. В большинстве
прикладных задач обработки ИТНП составление точного закона
распределения ошибок оказывается практически невозможным.
При разработке математического обеспечения решения задачи ОВС
КА по ИТНП может быть применен хорошо зарекомендовавший себя
на практике подход, основанный на принятии гипотезы о близости за-
конов распределения погрешностей измерений к нормальному.
В этом случае для характеристики рассматриваемого мно-
гомерного закона распределения достаточно задать два первых
момента рассматриваемого многомерного распределения - мате-
матическое ожидание и корреляционную матрицу. Обычно пола-
гается, что измерения каждого сеанса ИТНП являются некорре-
лированными и равноточными.
В качестве модели навигационных измерений должна использоваться
нелинейная модель. Наиболее часто для ОВС КА используется метод
наименьших квадратов, применение которого требует минимальной
информации о векторе ошибок измерений (достаточно знать матема-
тическое ожидание и вторые моменты).
40-----

Глава 1
Исследования показывают, что точность, а порой и сама
возможность получения вектора поправок зависят в значительной
степени от качества матрицы частных производных.
При определении ВС КА по выборке ИТНП ограниченного
объема, сформированной в условиях неполной реализации штат-
ного РКО, матрица частных производных оказывается неполного
ранга или близкой к вырожденной. В этом случае задача ОВС КА
по ИТНП принадлежит классу некорректных задач, когда реше-
ние является неустойчивым по отношению к погрешностям в ис-
ходных данных.
Для повышения надежности определения ВС КА в условиях неполной
реализации штатной схемы РКО может быть использован подход, ос-
нованный на применении декомпозирующих преобразований линей-
ной модели оценивания.
Реализация этих требований дает возможность получать решение за-
дачи ОВС КА по ИТНП с достаточной для практики точностью не
только в условиях штатных схем РКО, но и при существенных огра-
ничениях на процесс реализации получения и сбора ИТНП.
Это важно в современных условиях функционирования назем-
ного контура управления КА, предъявляющих высокие требования
к оперативным и точностным характеристикам системы ОБНО.
Требования при разработке автоматизированного ТЦ БНО
 Необходимость автоматизации решения наиболее часто вы-
полняемых задач.
	Оптимизация набора однотипных данных.
	Автоматизация контроля результатов решения.
	Автоматизация формирования и выдачи форм обмена.
Требования к программному обеспечению НБО ОКИК
	Обеспечение приема и обработки НУ и ЦУ.
	Обеспечение обработки оперативных планов.
	Хранение, отображение и документирование баллистиче-
ской информации.
	Решение баллистических задач, возлагаемых на ОКИК.
----- 41

Глава 1
	Контроль целеуказаний и баллистических данных.
	Использование совершенных и надежных протоколов ин-
формационного обмена.
	Обеспечение расчета баллистических данных для РТС и сис-
тем управления антеннами, не имеющих в своем составе
ПЭВМ.
	Передача баллистических данных на РТС по каналам связи.
Обеспечение расчета и выдачи баллистических данных для
РТС, имеющих в своем составе ПЭВМ.
1.1.6.	Система сбора измерений
Общие требования к построению системы сбора ИТНП предполагают
создание коммуникационной подсистемы, которая может быть ис-
пользована не только для БНО управления КА, но и для обмена теле-
метрической и командно-программной информацией между ОКИК
(ОИП) и центрами обработки информации.
Коммуникационная подсистема может быть развернута с
использованием каналов связи, которые сейчас заняты системой
на основе телеграфных каналов, иметь такую же структуру и об-
служивающий персонал. Сеть передачи данных АСБО обеспечи-
вает информационный обмен между её элементами и доступ раз-
личных комплексов баллистических задач к совместным инфор-
мационным ресурсам. Модернизированная система сбора ИТНП
основывается на сервере сбора измерений пункта (ССИ-П).
Основные функции
	Сбор измерений по телеграфным (телефонным) каналам от
РТС ОКИК и полигонов.
	Архивация принятых ИТНП в локальной базе данных.
	Выдача ИТНП покодограммно и помассивно клиентам через
сеть АСБО.
Клиентами ССИ-П могут быть РМО обмена объектов АСБО и внеш-
них абонентов. ИТНП из ССИ-П можно передавать через сеть АСБО
по модемным каналам связи и записывать в базу данных РМО обмена,
где хранятся измерения, поступающие из существующей системы.
42 ---

Глава 1
Таким образом, обеспечивается сбор ИТНП в единых базах
данных и сохраняется существующая технология решения балли-
стических задач, когда комплексы баллистических задач по за-
просам получают ИТНП из базы данных рабочего места обмена.
В качестве среды передачи данных можно использовать сеансо-
вую службу АСБО.
В такой системе сбора ИТНП целесообразно использовать ПЭВМ,
мультиплексоры, модемы, телеграфные адаптеры и ЛВС. При созда-
нии системы сбора ИТНП следует в максимальной мере использовать
программное обеспечение, разработанное при создании АСБО.
Технология сбора ИТНП может быть близка к существую-
щей технологии. Сервер сбора измерений пункта может вклю-
чаться в сеть АСБО через модем и телефонный канал связи.
Функции сервера сбора измерений
	Подключение к системе сбора ИТНП ОКИК (ОИП), где на-
ходятся необходимые измерительные средства.
	Архивация ИТНП от РТС ОКИК (ОИП) в локальной базе
данных.
	Выдача ИТНП в виде массивов и кодограмм абонентам
(клиентам) сети АСБО по их запросам.
Центральным элементом системы сбора ИТНП может быть
ЛВС на ОКИК, включающая аналог АКМС и сервер сбора изме-
рений центра. РМО типа АКМС реализует функции коммутатора
пакетов и маршрутизатора и обеспечивает информационный дос-
туп ко всем элементам сети АСБО. Сервер сбора измерений по
постоянно установленным запросам получает ИТНП от серверов
ОКИК, архивирует ИТПН от всех ОКИК и ОИП в своей базе
данных. Комплексы баллистических задач БЦ являются в этом
случае клиентами своего сервера.
Такое построение системы сбора ИТНП позволяет повысить надеж-
ность решения задачи сбора ИТНП за счет резервного хранения архи-
вов ИТНП в каждом сервере сбора измерений.
----43

Глава 1
1.2.	Навигационно-баллистическое обеспечение
в летном эксперименте
Этапы жизненного цикла создания, испытания и эксплуата-
ции сложных динамических объектов ракетно-космической тех-
ники приведены в приложении 1. Реализация укрупненных эле-
ментов жизненного цикла объектов РКТ представлена на рис. 1.1.
На каждом этапе используются автоматизированные системы на-
вигационно-баллистического обеспечения различного рода слож-
ности (в зависимости от решаемых задач) разработки, испытаний
и эксплуатации объектов.
Как известно, для летно-баллистического эксперимента
(ЛБЭ) КА основной является задача определения и анализа дви-
жения по результатам опытных данных. Однако с целью удобства
математической формализации и алгоритмизации вычислитель-
ного процесса, теоретического и практического исследования
данную задачу разделяют на две: задача определения движения и
_________________________Рисунок 1.1__________________________
Реализация этапов жизненного цикла
объектов ракетно-космической техники:
НИИ - научно-исследовательские институты; КСА - комплекс средств
автоматизации; АСИИ - автоматизированная система научных исследо-
ваний; АНИК - автоматизированный наземный испытательный ком-
плекс; НАКУ КА - наземный автоматизированный комплекс управле-
ния; РКТ - ракетно-космическая техника
44 ----

Глава 1
задача анализа движения [1,2]. Такой подход к решению двуеди-
ной задачи оправдан теми особенностями, которые присущи этим
задачам. Не исключены, конечно, случаи совместного решения
задачи определения и анализа движения. Однако, как правило,
здесь рассматриваются сравнительно несложные варианты таких
задач.
Задача определения движения, по существу, сводится к оп-
тимальному (с точки зрения некоторого критерия) оцениванию
параметров движения для любого момента времени на заданном
интервале. При этом задача ставится и решается на базе некото-
рой математической модели движения (ММД) посредством об-
работки результатов измерений, полученных в реальных услови-
ях, соответствующими методами.
Заметим, что если результаты измерений заданы на некото-
ром конечном интервале времени [0, 7], то:
1)	при t < Т имеем задачу сглаживания;
2)	при t=T имеем задачу фильтрации;
3)	при t>Tимеем задачу предсказания (прогноза).
Так как движение объекта складывается из поступательного
движения центра масс (ЦМ) и вращательного движения вокруг
него, то в общем случае число параметров движения, оценивае-
мых по данным ЛБЭ, должно охватывать эти два вида движения.
К этим параметрам движения можно отнести координаты и со-
ставляющие вектора скорости, характеризующие положение и
скорость движения в некоторой системе координат, углы Эйлера,
направляющие косинусы и их производные во времени (угловые
скорости), которые характеризуют ориентацию и вращение объ-
екта в принятой системе координат.
Другими словами, параметры движения - это такая необхо-
димая совокупность информационных параметров, которая дает
возможность экспериментатору представить реальную картину
движения как центра масс, так и вокруг центра масс объекта. На
практике, как правило, задачи определения движения центра масс
и вокруг него рассматривают раздельно.
На стадии ЛБЭ КА или в процессе нормальной эксплуата-
ции объекта важно не только определить опытные значения па-
раметров движения и найти отклонения этих параметров от рас-
--- 45

Глава 1
четных, но и выявить те факторы, те причины, которые обусло-
вили эти отклонения. К таким факторам относятся отклонения
расчетных начальных условий движения, несоответствие дейст-
вительных характеристик объекта и его систем номинальным
значениям, отличие реальных условий от принятых за нормаль-
ные. Например, это могут быть отклонения от номинальных
значений параметров, характеризующих форму, размеры, массу
и распределение массы объекта, или параметров, характери-
зующих функционирование бортовых систем, например двига-
тельной установки и т.д.
Обычно параметры, характеризующие объект, модель дви-
жения, условия среды, называют характеристиками движения.
Термин характеристики движения следует рассматривать как
наиболее общий. В частном случае его можно заменить на тер-
мин параметры модели движения. Однако данная терминология,
в отличие от термина параметры движения, с которым ассоции-
руется задача определения движения, предопределяет некоторым
образом задачу анализа движения.
Задача анализа движения - получение оптимальных в при-
нятом смысле оценок характеристик движения по обработке ре-
зультатов опытных измерений.
По существу это задача идентификации, т.е. уточнения неко-
торой модели с целью наилучшего (в смысле выбранного крите-
рия) ее приближения к реальной.
Решение задачи определения движения и задачи анализа
движения требует предварительного рассмотрения целого ряда
вопросов, от глубины проработки которых предопределяются по
сути дела качественные и количественные показатели решения
этих задач. Перечень указанных вопросов (подчас достаточно
сложных самостоятельных задач) многообразен. Выделим наибо-
лее важные.
1.	Выбор и обоснование математической модели движения.
В основу решения этого вопроса должна быть положена це-
левая функция конкретной прикладной задачи ЛБЭ КА. Матема-
тическая модель должна строиться на основе всестороннего ана-
лиза объекта и условий полета. При этом она должна быть доста-
точно полной, чтобы адекватно описывать реальный процесс
46 ---

Глава 1
движения, и в то же время достаточно простой, чтобы составлен-
ные алгоритмы можно было реализовать на ЭВМ.
2.	Проверка принципиальной возможности решения основ-
ных задач ЛБЭ по опытным результатам измерений.
К решению этого вопроса подходят с позиции теории на-
блюдаемости (и ее расширения - теории обобщенной наблюдае-
мости (см. гл. 5) [7, 9, 11]. Решение рассматриваемого вопроса
имеет не столько математическую, сколько практическую цен-
ность, так как в практике летно-баллистического эксперимента
(ЛБЭ) уравнения движения и уравнения измерений часто могут
быть не согласованы между собой.
3.	Анализ условий проведения ЛБЭ.
Под условиями проведения ЛБЭ понимают: совокупность
сведений о погрешностях результатов измерений, о способе их
комбинации с измеряемыми функциями; априорные данные об
оцениваемых параметрах и другие сведения.
Полнота и информативность таких сведений во многом определяет в
конечном счете качество решения задачи определения и анализа дви-
жения КА.
4.	Выбор критерия качества решения.
В задачах определения и анализа движения критерий качест-
ва не имеет того ясного физического смысла, который имеется в
задачах выбора оптимального движения (минимум времени, ми-
нимум расхода топлива и т.п.), а представляет собой меру откло-
нения получаемого решения от требуемого.
Критерий качества определяет смысл оптимальности полу-
чаемых оценок и поэтому в математической статистике метод об-
работки результатов измерений получает свое название обычно
по критерию качества. Строгих теоретических обоснований по
выбору критерия качества нет.
Выбор критерия качества осуществляется в какой-то мере произволь-
но, с учетом основных положений, выработанных в теории статисти-
ческих решений. При этом принимается во внимание сложность мо-
дели движения, характер измеряемых функций, полнота и качество
---- 47

Глава 1
(информации об условиях проведения эксперимента, требования к вы- I
числительной процедуре.	|
Существуют различные методы и способы обработки ре-
зультатов измерений в условиях неполной информации о по-
грешностях результатов измерений, которые не имеют ясного
критерия не только с физической, но и с математической точки
зрения. Вместе с тем, в теории оценивания существуют достаточ-
но наглядные свойства оптимальности оценок: несмещенность,
эффективность, состоятельность.
Эти свойства иногда называют вторичными критериями
оптимальности решения, в отличие от первичных, которые свя-
заны с методами решения.
Связь между первичными и вторичными критериями изуче-
на слабо. Например, известно, что оценка по методу максималь-
ного правдоподобия, если она единственная, является состоя-
тельной.
При некоторых более жестких требованиях на функцию правдопо-
добия оценка по методу условного математического ожидания яв-
ляется эффективной, но может быть смещенной и даже несостоя-
тельной.
Задача выбора критерия качества, как правило, решается в сфере при-
ложений. Успех решения этого вопроса зависит от умения экспери-
ментатора четко сформулировать цель решения и наиболее всесто-
ронне учесть целевые характеристики в критерии решения.
5.	Выбор (нахождение) метода обработки измерительной
информации при выбранном критерии и разработка алгоритма
решения задачи.
Выбор того или иного метода обработки измерительной ин-
формации определяется, главным образом, наличием априорных
данных как об измеряемых параметрах (о результатах измере-
ний), так и о параметрах, подлежащих оцениванию.
Например, установлено, что метод наименьших модулей дает
лучшие оценки (по сравнению с другими методами обработки -
МНК, ММП и других) в том случае, когда измерительная инфор-
48 ----

Глава 1
мация содержит аномальные результаты. Этот метод более ус-
тойчив по отношению к отклонению закона распределения по-
грешностей результатов измерений от нормального. Практически
этот метод можно применять без предварительной отбраковки
аномальных результатов измерений.
Оптимальность же метода наименьших квадратов, обосно-
ванного с позиций принципа максимального правдоподобия, в
значительной степени связана с нормальностью закона распреде-
ления погрешностей результатов измерения.
6.	Получение решения и оценка его точности. Проверка пра-
вильности постановки задачи.
7.	Планирование ЛБЭ, под которым понимается отыскание
оптимального в некотором смысле решения задачи определения и
анализа движения КА при наиболее приемлемых затратах (с точ-
ки зрения принятого критерия планирования) путем нахождения
наилучших вариантов в рассматриваемых вопросах.
1.3. Контур управления
сложными динамическими объектами.
Инвариантный контур управления
В виду универсальности рассматриваемого контура управ-
ления (рис. 1.2) в разделе понятие КА заменим более широким
понятием - сложный динамический объект (СДО).
Обобщенный инвариантный контур управления КА пред-
ставлен на рис. 1.3.
На рис. 1.4 показано место информационно-расчетного
обеспечения (НБО и ИТО) в контуре управления КА.
На рис. 1.5 представлена организационная структура НБО.
Баллистический центр (БЦ) играет роль информационно-расчётного
средства, выполняет роль как главного (ГБЦ) или дублирующего цен-
тра (ДБЦ), а также роль информационно-аналитического центра
(ИАЦ) в конкретных лётных испытаниях.
----49

Глава 1
_______________________Рисунок 1.2 ______________________
Универсальный контур управления С ДО:
X(t) - входная информация; Y(t) - выходная информация; Р} - оператор,
характеризующий измерения, которые проводят службы, над СДО (опе-
ратор измерений); Р2 - оператор оценивания (обработка измерений и
оценка некоторых параметров); Р3 - оператор идентификации (есть сис-
темы ДУ движения СДО, но неточно известны баллистический коэффи-
циент S& и коэффициент светового давления К; на высоте 1000... 1500 км
валяние светового давления соизмеримо с влиянием атмосферы; путём
ввода дополнительных параметров можно уточнить (идентифициро-
вать) 5б и X). Оператор идентификации нужен не всегда; Р4 - оператор
управления (условно); и - управляющее воздействие; Р5 - оператор ор-
ганизационного управления; Р6 - оператор информационного обмена
(операционный обмен должен быть «виден» другим элементам)
50-----

Глава 1
________________________Рисунок 1.3 ________________________
Обобщенный инвариантный контур управления КА:
ИРО - информационно-расчётное обеспечение;
ИТО- информационно-телеметрическое обеспечение;
КПО - командно-программное обеспечение;
ПС ИО - подсистема информационного обмена;
ДС - дежурная смена
----- 51

Глава 1
_________________________Рисунок 1.4________________________
Информационно-расчетное обеспечение (НБО и ИТО)
в контуре управления КА:
ОКИК - отдельный командно-измерительный комплекс; ТГУ - техно-
логический график управления; ТмД - телеметрические данные; НБД -
навигационно-баллистические данные; СпИ - специальная (целевая)
информация; СпЦУ - специальный центр управления (наземный специ-
альный комплекс - ИСК) - для решения целевых задач
52 -----

Глава 1
Космодромы
________________________Рисунок 1.5 ________________________
Организационная структура НБО:
БО - баллистическое отделение; БГ ЦУП - баллистическая группа
ЦУП; ИП - испытательный полигон
НБО
Фундаментальная
часть НБО
Прикладная
часть НБО
•	Развитие теории
полета искусственных
небесных тел
•	Исследование свойств
околоземного КП
(магнитосферы,
радиационных поясов
и др.)
•	Уточнение ГПЗ
•	Исследование
и уточнение
эфемерид планет
•	Организация
международного
исследования КП
Исследование
баллистических
вопросов при
разработке СТО
и ТТТ на
разрабаты-
ваемые
комплексы
Баллистическое
проектирование
КА
Оперативное НБО
управления КА
СМО БЗ
•	Выведение
•	Орбитальный полет
•	Динамические
операции
•	Специальные
операции для
выполнения
целевых задач
•	Спуск
•	Анализ результатов
полета
________________________Рисунок 1.6 _______________________
Структура НБО как учебно-практическая дисциплина
---- 53

Глава 1
1.4. Оценка эффективности испытаний
ракетно-космических объектов
Показатели и критерии эффективности испытаний целесооб-
разно рассматривать на основе контура управления создаваемого
объекта. На рис. 1.7 представлен выбранный функциональный
показатель качества W, характеризующий целевое применение
испытываемого объекта, а Д W разность, показывающая несоот-
ветствие рассматриваемого показателя качества требуемому.
Рассматриваемый показатель качества (или его векторный
вариант) не является единственным. При создании СДО, как пра-
вило, исследуются три группы показателей: функциональные W,
стоимостные С и временные Т. В целом они могут быть записаны
в виде некоторого общего векторного показателя качества:
~W~
С .
Т
Обычно в практике решения задач при оптимизации с ис-
пользованием векторного показателя качества используется под-
ход сведения одним из способов [10] векторного показателя каче-
ства к скалярному. При этом оставшиеся показатели относят в
разряд ограничений. Примерами таких подходов могут служить
следующие два критерия:
54 ----

Глава 1
1) С->min, W>W3aJV Г<Гзад;
2) Т—>min, W>W^ C<C^.
Первый, как правило, реализуется при серийном производ-
стве авиационной и ракетной техники. Второй - при реализации
приоритетных программ создания уникальных объектов и про-
грамм (например, полет на другие планеты и др.).
Отработка инструментария, реализующего автоматизиро-
ванную систему навигационно-баллистического обеспечения
(или его элементов) предполагает рассмотрение как общих пока-
зателей качества на все его подсистемы (О - оперативность рас-
четов; Т - точность определения параметров движения; Н - на-
дежность расчетов; С - стоимость создания объекта), так и част-
ных показателей, представленных на рис. 1.8.
Элементы показателей качества
о, т, н, с отдельных		1		
элементов задачи НБО	Математическая	Техническая -составляющая	асаиичсскоя ~ (методы, модели,	составляющая	Емкость, - быстродействие, долговечность,
	алгоритмы)	зашумленность
	Языковые	Полнота, удобство,
	средства	- модифици-
	(лингвистическая	руемость,
	составляющая)	адаптируемость
	Коммуникабельность,	ит.д.
	мобильность,	Тестируемость
Программный _	_ модульность,	Метрологическое	технических и
комплекс	гибкость,	обеспечение "	“ программных
	сопровождаемость,	средств,
	эргономичность	модульность, совместимость
Информационное _	_	Правовое Достаточность,	обеспечение -1	Юридическая ь обоснованность
	. стандартизованность,	и достаточность,
обеспечение	контролируемость, обновляемость	авторские права
Организационный
элемент
Укомплектованность,
обученность,
сбалансированность
_	___________________Рисунок 1.8 _______________________
Элементы показателей качества ПМО НБО
---- 55

Глава 1
Многокритериальная задача выбора формулируется в сле-
дующем виде [17]*.
Дано\ множество допустимых альтернатив, каждая из кото-
рых оценивается множеством критериев.
Требуется определить наилучшую альтернативу.
Решение. Основная трудность состоит в неоднозначности
выбора наилучшего решения.
Для ее устранения используются две группы методов. В ме-
тодах первой группы стремятся сократить число критериев, для
чего вводят дополнительные предположения, относящиеся к про-
цедуре ранжирования критериев и сравнения альтернатив. В ме-
тодах второй группы стремятся сократить число альтернатив в
исходном множестве, исключив заведомо плохие альтернативы.
Методы первой группы (рис. 1.9)
	Метод свертки.
	Метод главного критерия.
	Метод пороговых критериев.
	Метод расстояния.
Следует отметить, что строгое обоснование этих методов от-
сутствует, и их применение определяется условиями задачи и
предпочтением лица принимающего решения (ЛПР).
Метод свертки_________________________________________
Состоит в замене исходных критериев (локальных или част-
ных) Kj одним общим критерием К. Эта операция называется
сверткой или агрегированием частных критериев. Метод целе-
сообразно применять, если по условиям задачи частные критерии
можно расположить по убыванию важности так, что важность
каждой пары соседних критериев различается не сильно, либо,
если альтернативы имеют существенно различающиеся оценки
по разным критериям. Наиболее часто используются аддитивная,
мультипликативная и максиминная свертки.
Далее описание вопросов многокритериальных задач выбора с
небольшими изменениями взяты из [17].
56 ---

Глава 1
_______________________Рисунок 1.9 _____________________
Классификация методов решения многокритериальных задач
(критериальный подход)
----- 57

Глава 1
Аддитивная свертка (от англ, addition - сложение)
п
K(x) = ^ajKj(x),	(1.1)
У=1
где К(х) - общий критерий для альтернативы хеХ, показываю-
щий ее пригодность для достижения цели; Kj (х) - набор исход-
ных критериев; п - число исходных критериев; aj - относитель-
ный вес (важность) частного критерия А/(х).
Для весов выполняется условие нормировки
п
7=1
которое необходимо для того, чтобы результаты, полученные в
разных условиях, были сопоставимы.
Наилучшее решение определяется выражением
х* = argmax К(х),	(1.2)
хеХ
т.е. наилучшим считается решение, которому соответствует мак-
симум общего критерия на множестве альтернатив.
Мультипликативная свертка
(от англ, multiplication - умножение)
Применяется в двух формах
К(х)=ПК“1(х)	(1.3)
J=1 J
или
n
К(х)= П ajK (x),	(1.4)
7=1
где П- знак произведения.
Первая из этих форм используется гораздо чаще, чем вторая.
Наилучшее решение определяется выражением
х* =argmaxAT(x).	(1.5)
хеХ
58 ---

Глава 1
Максиминная свертка
(выбор по наихудшему критерию) ___________
К(х) = иппа К (х).	(1.6)
J
Эта свертка учитывает критерий, имеющий наименьшее зна-
чение. Иногда при ее применении полагают, что веса критериев
близки друг к другу, либо все критерии имеют одинаковую важ-
ность, т.е. = const(j) = 1 / п. В этом случае она называется
сверткой без учета веса критериев и принимает вид
К(х) = min К} (х),	(1.7)
причем множитель \/п не имеет значения, так как сравнение аль-
тернатив выполняется в шкале порядка. Наилучшее решение оп-
ределяется выражением (1.5). Подставив в (1.5) выражение (1.6),
получим
х* = argmaxmina.X\,	(1.8)
хеХ j J J
поэтому эту свертку называют по основным операциям макси-
минной.
Использование того или иного типа свертки отражает пред-
ставление ЛПР о стратегии (способе достижения целей). Наряду с
рассмотренными имеются и другие типы сверток.
Метод главного критерия___________________________
Если исходной информации достаточно, чтобы из множества
исходных критериев Kj(x) выделить главный (основной) А?0(х),
т.е. такой, который значительно превосходит по важности все
другие критерии (на практике в три и более раз), то наилучшее
решение определяется в виде
х* = arg max Ко (х),	(1.9)
х<=Х
при дополнительных условиях К} (х) > Kjnopor для всех осталь-
ных критериев, т.е. их значения должны быть не меньше некото-
рых пороговых значений.
---- 59

Глава 1
Метод пороговых критериев______________________________
Часто применяется в задачах обеспечения (удовлетворения),
например при планировании и проектировании, когда ограниче-
ния задаются в виде
К^х)>К^	(1.10)
где KjQ(x) - пороговые значения критериев.
Их совокупность обычно характеризует некоторый аналог
(базовый уровень). Образуем свертку
ад = тт(^.(х)/^0),	(1.11)
тогда наилучшее решение определяется выражением вида (1.5).
Метод расстояния_______________________________________
Метод состоит во введении метрики (расстояния) в про-
странстве критериев. Пусть исходной информации достаточно,
чтобы определить идеальное (эталонное) решение, соответст-
вующее точке абсолютного максимума в пространстве критериев.
Обозначим ее как х0(АГ01,Л?02,...,ЛГ0л) . Отметим, что идеальное
решение на практике не достижимо и определяется лишь теоре-
тически.
Введем для каждой альтернативы х е X расстояние до точки
абсолютного максимума J(x). Наилучшее решение определяется
как наиболее близкое к идеальному:
х* = argmin<7(x).	(112)
jceX
В качестве меры расстояния используются различные функ-
ции, например Махалобиса, Минковского. При использовании
функции Минковского
г „	у/р
ад=| дрс,.(х)-/с07.|р	(1.13)
или, с учетом веса критериев,
60----

Глава 1
J(x) =
« I
^ajKj^~ajKoj
(1-14)
При p = 1 получаем расстояние Хемминга, при р = 2 - евк-
лидово расстояние, при р = оо - расстояние по максимальному
различию, прир = -оо - расстояние по минимальному различию.
Выбор параметра р зависит от условий задачи и предпочте-
ний ЛПР. Если в качестве идеального решения использовать не
абсолютный максимум, а абсолютный минимум, то в выражении
(1.12) операция min изменится на операцию max.
Множество Парето______________________________________
Наряду с методами первой группы, использующими свертку
в пространстве критериев, применяются методы второй группы
(рис. 1.9), основанные на сужении множества альтернатив, в ко-
торых пытаются уменьшить число возможных вариантов реше-
ний, исключив заведомо «плохие». Один из подходов, обладаю-
щий большой общностью, был предложен итальянским экономи-
стом В. Парето в 1904 г. и называется методом, основанным на
принципе Парето (метод Парето).
Он применяется, когда число альтернатив велико, и альтер-
нативы имеют противоречивые оценки по разным критериям. В
этом случае применение методов первой группы может привести
к ненадежным решениям, и необходим неформальный анализ
множества альтернатив. Для уменьшения числа альтернатив ис-
ходного множества строят множество Парето, являющееся под-
множеством исходного. Определим множество Парето в виде
хп = {х„ 6X: VxеX,	(xj > 3jKj(x„) > Kj(x)}.
(1-15)
(Альтернатива принадлежит множеству Парето, если она не хуже дру- I
гих по всем критериям и хотя бы по одному критерию лучше.	|
Альтернативы из множества Парето называются парето-
решениями, эффективными или недоминируемыми (непревосхо-
Димыми) альтернативами.
-----61

Глава 1
При решении многокритериальных задач используется
принцип Парето, заключающийся в том, что наилучшее решение
следует выбирать среди альтернатив, принадлежащих множе-
ству Парето.
Этот принцип выполняется в большинстве практических ситуаций,
когда альтернативы оцениваются по противоречивым критериям. Он
позволяет сузить исходное множество альтернатив, причем оконча-
тельный выбор остается за ЛПР.
Альтернативы, входящие в множество Парето, попарно не
сравнимы друг с другом, т.е. по одним критериям лучше одна
альтернатива, по другим другая и т.д., и их невозможно улучшить
одновременно по всем критериям.
Анализ множества Парето позволяет найти компромисс между проти-
воречивыми требованиями, и дает ЛПР возможность судить о том, ка-
кова цена увеличения одного из критериев, и как это скажется на
ухудшении остальных.
После того как построено множество Парето, для определе-
ния наилучшего решения из оставшихся применяются в зависи-
мости от условий задачи методы первой группы', метод свертки,
метод главного критерия и т.п., либо графические методы, на-
пример метод диаграмм. Схема поиска наилучшего решения
представлена на рис. 1.10.
(Решение многокритериальных задач выбора еще более усложняется, |
если изучаемая система взаимодействует с окружающей средой [17]. j
Задача. По результатам опроса экспертов-баллистиков со-
ставлена таблица оценок т вариантов решения задачи разработки
(выбора) комплекса программно-математического обеспечения
НБО КС по п критериям. Использованы бальные оценки в пяти-
бальной шкале и словесные оценки, причем большей оценке со-
ответствует лучшее значение критерия.
По данным таблицы, считая все критерии одинаково важны-
ми, требуется выделить множество Парето-решений, определить
наилучшее решение и оценить достоверность выбора.
62 ---

Глава 1
________________________Рисунок!.10________________________
Схема поиска наилучшего решения
Цель задачи состоит в освоении методов построения множе-
ства Парето и методов выбора наилучшего решения. В реальных
задачах выбора всегда приходится сокращать число исходных
альтернатив, путем построения множества Парето. Это множе-
ство состоит из попарно несравнимых альтернатив.
Рассмотрим пример.
ПРИМЕР, По результатам опроса экспертов составлена таблица
оценок пяти вариантов, разработанных различными коллективами
автоматизированных комплексов программ НБО по восьми крите-
риям (см. табл. 1.1). Использованы балльные оценки в пятибалль-
ной шкале и словесные оценки, причем большей оценке соответст-
вует лучшее значение критерия. По данным таблицы, считая все
критерии одинаково важными, требуется:
1)	выделить множество Парето-решений;
2)	представить результаты сравнения оставшихся вариантов в
виде диаграммы в полярных координатах (каждая координата -
отдельный критерий);
3)	используя диаграмму, определить, какой вариант (варианты
решения) является предпочтительным;
4)	проверить результат выбора, используя подходящую свертку
критериев;
5)	оценить ошибку выбора, если ошибка оценок таблицы со-
ставляет, например, 1,2 балла.
-----63

Глава 1
___________________ Таблица 1.1 ___________________________
Исходные данные
для рассматриваемого примера исходной задачи
Вариант решения	Значение критерия							
	к.	к2	к3	к4	К5	Кб	Ki	к»
В1	Высокое	Среднее	4	3	3	5	Среднее	Очень высокое
В2	Среднее	Низкое	2	4	4	4	Среднее	Среднее
В3	Среднее	Очень низкое	2	3	3	4	Среднее	Среднее
в4	Низкое	Низкое	2	3	3	4	Среднее	Среднее
В5	Среднее	Низкое	1	3	2	3	Низкое	Низкое
Решение. Пользуясь данными табл. 1.1, выделим множество
Парето.
По определению, множество Парето состоит из вариантов ре-
шений, которые по всем критериям не хуже остальных и хотя бы
по одному критерию лучше остальных.
Один из способов построения множества Парето заключается, в
попарном сравнении вариантов. Сравнение осуществляется после-
довательно, начиная с варианта В], т.е. он сравнивается с вариан-
тами В2, В3 и т.д. Затем В2 сравнивается с вариантами В3, В4 и т.д.,
причем дальнейшие действия на каждом шаге зависят от результа-
та сравнения.
При сравнении произвольной пары вариантов, например i и у,
возможны три случая:
1)	вариант i не хуже варианта j по всем критериям и хотя бы по
одному критерию лучше; тогда вариант j исключается из дальней-
шего рассмотрения, а вариант i сравнивается с оставшимися вари-
антами;
2)	вариант j не хуже варианта i по всем критериям и хотя бы по
одному критерию лучше; тогда вариант i исключается из дальней-
шего рассмотрения, а вариант j сравнивается с оставшимися вари-
антами;
3)	по одним критериям вариант i лучше варианта у, а по дру-
гим - вариант у лучше варианта z; тогда варианты i и j считаются
несравнимыми и оба должны сравниваться с оставшимися вари-
антами.
Поясним эти случаи примером, позволяющим действовать фор-
мально.
64 ---

Глава 1
Случай 1 представлен ниже в виде табл. 1.2.
_______________________Таблица 1.2______________________
Случай 1: вариант i не хуже варианта j по всем критериям
и хотя бы по одному критерию лучше
Вариант	Значение критерия							
	к,	к2	к3	к.	к5	К6	к,	Ks
Z	5	4	3	ОВ	с	4	5	3
j	4	4	2	в	н	4	5	3
Примечание'. ОВ - очень высокое значение, В - высокое, С - сред-
нее, Н - низкое.
Условимся, что если i > j по какому-то критерию, например по
Л*з, то ставится знак + в столбце К3 в строке z; если j > i по какому-
то критерию, то знак + ставится в строке j в столбце данного кри-
терия; если же j = z, то ничего не ставится. Проведем сравнение: по
Ку. i>j- ставим + в клетке (z, A\); по К2: i =j - ничего не ставим;
по Ку. i>j- ставим + в клетке (z, Л*3); по Ку. i>j- ставим + в клет-
ке (z, Л*4); по Ку. i>j- ставим + в клетке (z, Л*5); по Л*6, К], Ку. i=j -
ничего не ставим. Таким образом, имеем таблицу сравнения вари-
антов, приведенную ниже.
_______________________Таблица 1.3_______________________
Случай 1: конкретизация таблицы 1.2
Вариант	Значение критерия							
	Кг	к2	К,	К<	к5	К6	к7	К«
Z	+		+	+	+			
J								
Так как все + сосредоточены в строке z, то вариант j отбрасыва-
ется. Делается запись: г и / —»/ отбросить.
Случай 2 (i и j меняются местами) представлен в табл. 1.4.
Действуя по правилу, изложенному выше, представим результа-
ты сравнения вариантов в виде табл. 1.5.
Так как все + находятся в строке j (в строке z нет ни одного +),
то вариант г отбрасывается и исключается из рассмотрения. Дела-
ется запись: z и / —> z отбросить.
---- 65

Глава 1
Случай 3 представлен в табл. 1.6.
Действуя, как и выше, представим результаты сравнения вари-
антов в виде табл. 1.7.
_______________________Таблица 1.4______________________
Случай 2: вариант j не хуже варианта i по всем критериям и хотя
бы по одному критерию лучше
Вариант	Значение критерия							
	Ку	Кг	к3	к4	К5	К6	к7	Кя
i	4	3	4	с	3	2	3	3
j	4	3	5	в	4	2	3	4
________________________Таблица 1.5_______________________
Случай 2: конкретизация таблицы 1.4
Вариант	Значение критерия							
	к	к2	К3	к4	К5	Кб	к7	Кг
i								
j			+	4-	+			+
_______________________Таблица 1.6______________________
Случай 3: по одним критериям вариант г* лучше варианта у,
а по другим - вариант/ лучше варианта i
Вариант	Значение критерия							
	Ку	К2	Кз	к4	Кз	К6	К7	Кг
i	5	4	3	с	4	5	4	3
j	4	4	3	в	3	4	4	3
________________________Таблица 1.7_______________________
Случай 3: конкретизация таблицы 1.6
Вариант	Значение критерия							
	Ку	К2	Кз	К4	Кз	Кб	К7	Кг
i	+				+	+		
j				4-				
66 ----

Глава 1
Так знак + есть и в строке i и в строке j (неважно сколько их в
той и в другой строке), то варианты i и j не сравнимы (ни один из
них отбросить нельзя). Делается запись: i и / —> не сравнимы.
Те варианты решения, которые останутся после завершения
процедуры сравнения, образуют множество Парето. В нашем при-
мере множество Парето состоит из вариантов Вь В2. Следователь-
но, варианты 3, 4, 5 можно исключить из дальнейшего рассмотре-
ния.
Если исходное множество состоит из большого числа вариан-
тов, то их непосредственное сравнение по всем критериям может
оказаться утомительным.
Рекомендуется следующая процедура.
1.	Для каждого критерия выписываются все варианты решения,
имеющие по нему наивысшую оценку. Результаты сводятся в таб-
лицу. Для данного примера
/СрВь К5: В2
К2: Вь К6: В]
К2. Вь К2: Вь В2, Вз, В4
Л-4: В2, Л*8: Bj
2.	Определяется наиболее часто повторяющийся вариант, т.е.
встречающийся в наибольшем числе критериев (если таких вари-
антов несколько, и они встречаются в разных критериях, то выби-
рается любой из них; если же они встречаются только в одних и
тех же критериях, то их надо сравнить попарно по оставшимся
критериям, пользуясь схемой, изложенной выше). Этот вариант
включается в множество Парето. В нашем примере это Вь
3.	Анализируются варианты решений (для каждого критерия в
отдельности) для тех критериев, в которые не входит выбранный
наиболее часто повторяющийся вариант. В нашем примере это
критерии А*4 и #5, каждому из которых соответствует всего один
вариант В2. Этот вариант можно сразу же включить в множество
Парето. Если какому-то критерию соответствуют несколько вари-
антов решений, то они сравниваются попарно между собой (срав-
нение проводится только для вариантов, соответствующих одному
и тому же критерию).
При сравнении двух вариантов, например i и у, возможны рас-
смотренные выше три случая, в каждом из которых делается соот-
ветствующий вывод. Те варианты решений, которые останутся по-
сле завершения изложенной процедуры сравнения, включаются в
множество Парето.
После того как построено множество Парето, оно записывается
в окончательном виде. В нашем примере п = {Вь В2}. Остальные
---- 67

Глава 1
варианты оказались исключенными из дальнейшего рассмотрения.
Если сравнить между собой оставшиеся варианты (В] и В2), то они
окажутся несравнимыми. Если же сравнить их с отброшенными
альтернативами (В3, В4, В5), то обязательно один из оставшихся
вариантов (Bj или В2) не хуже их (или одного из них) по всем кри-
териям и хотя бы по одному критерию лучше.
Для выбора наилучшего решения к оставшимся альтернативам
применяется в зависимости от условий задачи один из методов
первой группы (метод свертки, метод главного критерия, метод
пороговых критериев, метод расстояния и т.д.) либо графические
методы, например метод диаграмм.
Для определения наилучшего варианта из двух оставшихся по-
строим диаграмму в полярных координатах.
Нарисуем круг и в нем восемь равномерных шкал (по числу
критериев), на которые нанесем числовые и словесные оценки для
каждого варианта таким образом, что лучшие значения располага-
ются дальше от центра, а худшие - ближе к нему (рис. 1.11). В
принципе, не имеет значения, как проградуированы шкалы, глав-
ное, чтобы было видно постепенное изменение критериев, отра-
жающее тенденцию к ухудшению при движении от периферии к
центру. После нанесения оценок по критериям на соответствую-
щих шкалах соединяем точки на осях для каждого варианта замк-
нутой ломаной линией {полигоном).
_______________________Рисунок 1.11______________________
Сравнение вариантов с помощью диаграммы
68 -----

Глава 1
На рис. 1.11 получились два многоугольника: первому варианту
соответствует сплошная линия, а второму - пунктирная. Теперь
сравниваем на глаз площади многоугольников. Большей площади
соответствует лучший вариант решения, причем это различие
должно быть явно заметным, так как метод является приближен-
ным. Если площади примерно одинаковы, то оба варианта практи-
чески эквивалентны. В нашем случае предпочтительным (наилуч-
шим) является Bi, так как соответствующий ему многоугольник
явно превышает по площади многоугольник для В2.
Для уточнения решения в данной задаче рекомендуется исполь-
зовать аддитивную свертку. Так как все критерии считаются оди-
наково важными, то общий критерий равен среднему значению ча-
стных критериев для каждого варианта. Подсчитаем для каждого
оставшегося варианта величину
7^ = 1/8 £ К}.
7=1 J
Чтобы провести расчеты, преобразуем словесные оценки в
балльные по следующему правилу (один из вариантов):
очень высокое значение (очень большое)....................5
высокое (большое).........................................4
среднее...................................................3
низкое....................................................2
очень низкое..............................................1
Тогда получим:
ДВ1) = (4 + 3 + 4 + 3 + 3 + 5 + 3 + 5)/8 = 30/8 = 3,75;
ДВ2) = (3 + 2 + 2 + 4 + 4 + 4 + 3 + 3)/8 = 25/8 = 3,125,
т.е. предпочтителен первый вариант, что совпадает с результатом
по диаграмме. Может возникнуть вопрос, зачем применять метод
диаграмм, если проще использовать аддитивную свертку.
Метод диаграмм - это приближенный метод, что является его
преимуществом, так как позволяет нивелировать (сгладить) ошиб-
ки в оценках вариантов по критериям, приведенным в табл. 1.1.
Подсчитаем ошибку выбора. Обозначим ошибку оценок табли-
цы s. Тогда среднеквадратическая ошибка определения общего
критерия составит
SK =s / Jn ,
где п - число исходных критериев (в нашем примере п = 8), а дове-
рительная ошибка равна (при вероятности Р = 0,95) А7€ = 2SK.
На такую величину могут отличатся друг от друга значения
A?(Bj), Л*(В2), К(В3) и т.д. по случайным причинам. Следовательно,
---- 69

Глава 1
если для какой-то пары вариантов разность значений общего кри-
терия К меньше АХ, то эти варианты равноправны между собой
(равноценны). Поэтому нет необходимости очень точно рассчиты-
вать значение общего критерия для каждого варианта решения.
Если же разность значений общего критерия К больше АХ, то ва-
рианты различаются значимо, и лучше тот, у которого значение
критерия больше.
Проведем расчеты. В нашем случае ошибка оценок таблицы со-
ставляет s= 1,2, поэтому доверительная ошибка
АХ-0,75-0,8 (и = 8).
Сравним разность X(Bj)-X(B2) с ошибкой (сравнивать нужно
по модулю, чтобы разность была всегда положительной). Так как
разность меньше ошибки, то решения В! и В2 являются равноправ-
ными с учетом ошибки. Хотя точный расчет дает, что В] лучше В2,
однако достоверность такого вывода сомнительна, так как значе-
ния общего критерия для этих вариантов различаются незначимо.
1.5.	Морфологическая схема
измерительных задач
Морфология - раздел теории систем, занимающийся изуче-
нием общих принципов строения сложных объектов.
Рассмотрим с этих позиций состав элементов, входящих в
контур (задачи) статистического оценивания и идентификации
динамических систем (СОИ ДС), и связи между ними. При этом
изучение любого сложного образования может вестись на двух
уровнях: первый как объект - система; второй как модель -
система.
С точки зрения описания измерительных задач на уровне
объект-системы [7, 9] основными составляющими являются сле-
дующие элементы:
1)	движущийся объект - летательный аппарат (ЛА) или
динамическая система (ДС);
2)	полигонный измерительный комплекс (ПИК) и/или назем-
ный автоматизированный комплекс управления (НАКУ), вклю-
чающие совокупность измерительных средств;
3)	организации, участвующие в получении измерительной
информации, ее обработке и принятии решений (человеко-ма-
70 ----

Глава 1
План измерений Ошибки измерений
_______________________Рисунок 1.12______________________
Основные элементы измерительной задачи
шинный объект) - интеллектуальная часть рассматриваемой
сложной системы.
Перечисленным элементам соответствуют определенные ма-
тематические модели [1, 7, 9]:
1)	математическая модель динамической системы (ММ ДС);
2)	математическая модель измерительной системы (ММ ИС);
3)	комплекс критериев, методов обработки, алгоритмов и
программ вычислений, процедур принятия решений, которыми
руководствуются специалисты в своей деятельности.
Представленные на рис. 1.12 элементы измерительных задач
находятся в соответствующих отношениях друг с другом и связа-
ны каналами передачи информации.
Летательный аппарат - математическая модель
динамической системы (ЛА-ММДС)
Характеризуется параметрами состояния x(t) и функцио-
нирует под действием основных и возмущающих факторов.
----- 71

Глава 1
В ряде случаев действие возмущений в ММ ДС не учитывается,
поэтому ММ ДС может быть либо стохастической, либо детер-
минированной.
Измерительный комплекс - математическая модель
измерительной системы (ИК-ММ ИС)
Использует в качестве исходной информацию о функциони-
ровании ЛА-ДС. Причем в состав измеряемых величин парамет-
ры функционирования ЛА-ДС могут входить как непосредствен-
но (прямые измерения), так и после некоторого аналитического
преобразования у = ф(х,Г) (косвенные измерения).
В любом случае результаты z измерений будут содержать
ошибки, которые обычно моделируются некоторым стохастиче-
ским процессом, поэтому ММ ИС всегда описывается стохасти-
ческими уравнениями. Работа измерительной системы планиру-
ется либо человеко-машинной системой (см. рис. 1:12), либо
звеньями более высокой степени иерархии.
Человеко-машинная система (ЧМС)
Перерабатывает полученную измерительную информацию с
целью непосредственного управления движением объекта или
принятия каких-либо обоснованных решений, поступающих в
высшие (низшие) звенья более общей системы (полигонного из-
мерительного комплекса, наземного автоматизированного ком-
плекса управления или элементов государственной системы).
При этом может учитываться различного рода априорная (до-
опытная) информация.
1.5.1. Математические модели
движения космических аппаратов
При изучении реально существующего или мыслимого тех-
нического объекта (ТО) математические методы применяют к его
математической модели (ММ). Это применение будет эффек-
тивным, если свойства ММ удовлетворяют определенным требо-
ваниям [24]. Подобное утверждение в полной мере относится к
изучению процесса движения космического объекта и описания
72 ---

Глава 1
его математической моделью движения (ММД), например кос-
мический аппарат.
Понятие математической модели в настоящее время широко
используется в различных научно-практических дисциплинах.
Понятию ММ можно противопоставить понятие закона в
науке. Закон может быть либо абсолютно верен, либо безусловно
неверен и тогда он безусловно отвергается. Иные требования
предъявляются к ММ, применяемой для описания сложных сис-
тем. В данном случае модель может давать лишь какое-то пред-
ставление о поведении системы. Одни и те же аспекты системы
можно описывать различными моделями.
Математическая модель строится на основе всестороннего анализа
поведения системы и широкого использования результатов проведен-
ных ранее статистических исследований. Она должна быть достаточ-
но полной, чтобы адекватно описывать систему, но также и достаточ-
но простой, чтобы получающиеся алгоритмы можно было реализовать
на вычислительной технике.
Применительно к КА дадим следующее определение ММД КА.
□ ММД КА - объективная схематизация математическими методами
действительного движения космического аппарата в форме, по-
зволяющей производить необходимые вычисления с требуемой
точностью.
Основные свойства, которым должна удовлетворять
ММД КА [1, 24]
Полнота ММД__________________________________________
Позволяет отразить в достаточной мере именно те характе-
ристики и особенности космического объекта и процесса его
движения, которые интересуют нас с точки зрения поставленной
Цели проведения вычислительного эксперимента. Например, мо-
дель движения центра масс КА может достаточно полно описы-
вать его перемещение в пространстве и во времени, но не отра-
жать габаритные или стоимостные показатели.
---- 73

Глава 1
Математическая модель движения космического объекта должна, с
одной стороны, в полной мере включать основные возмущающие
факторы, влияющие на характер движения КА с заданным типом
орбиты, а именно: возмущения за счет нецентральное™ гравита-
ционного поля Земли (ГПЗ), учета возмущающего влияния атмосфе-
ры, светового давления, притяжения планет солнечной системы,
учета прецессии и нутации Земли и пр., с другой стороны, соответ-
ствовать решаемой целевой задаче с требуемой точностью описа-
ния движения.
Точность ММД____________________________________________
Дает возможность обеспечения приемлемого совпадения
реальных и найденных при помощи ММД значений выходных
параметров космического объекта, составляющих вектор со-
стояния х.
Точность ММД может быть проконтролирована с помощью реального
эксперимента - проведением траекторных измерений (ИТНП) и ре-
шением измерительной задачи. Отмеченные элементы, являются цен-
тральными задачами экспериментальной космической баллистики.
Погрешности ММД могут быть описаны, в частности:
1)	средней арифметической оценкой;
2)	средней квадратической погрешностью относительно по-
линома, аппроксимирующего сеансы измерительной информации
(ИТНП);
3)	средней квадратической погрешностью относительно ор-
биты, построенной на основе ММД КА и другими оценками по-
грешностей.
Адекватность ММД________________________________________
Это способность ММД описывать параметры движения с
относительной погрешностью, не превышающей некоторых за-
данных значений.
ММД КА, удовлетворяющие условию адекватности в одних условиях,
могут оказаться не адекватными в других условиях, в том числе в
особых областях пространства и интервалах времени. Поэтому целе-
74 —

Глава 1
сообразно вводить соответствующие характеристики, ограничиваю-
щие области адекватности ММД при заданных условиях в конкрет-
ных областях пространства и времени.
Так, на отдельных участках траектории движения объекта
эффект применения ММД может оказаться неадекватным. На-
пример, если на участке функционирования корректирующей
двигательной установки (КДУ) используется модель движения
КА без ее учета, либо с учетом параметров КДУ, значительно от-
личающихся от реальных.
Эта ситуация может произойти при нештатной работе КДУ. Подоб-
ный эффект наблюдается при решении задачи определения парамет-
ров движения с высокой точностью на отдельных участках траекто-
рии, например для юстировки измерительных средств. При этом важ-
но обеспечить адекватность ММД только на этих участках полета.
Экономичность ММД_______________________________________
Ее оценивают затратами на вычислительные ресурсы (ма-
шинное время и память), необходимыми для реализации ММД на
ЭВМ в виде, как правило, специализированных пакетов программ
(СПП). Эти затраты зависят от числа арифметических операций
при использовании модели, от размерности пространства фазо-
вых переменных, от особенностей применяемой ЭВМ и других
факторов.
Требования экономичности, высокой точности и достаточно широкой
области адекватности ММД (например, унификации применительно к
различным классам орбит) противоречивы и на практике могут быть
удовлетворены лишь на основе разумного компромисса.
Свойство экономичности ММД часто связывают с ее про-
стотой.
Робастность ММД
(от англ, robast - крепкий, устойчивый)
Это устойчивость по отношению к погрешностям исходных
данных, способность нивелировать эти погрешности и не допус-
----------------------------------------------------------- 75

Глава 1
кать их чрезмерного влияния на результат вычислительного экс-
перимента.
Причины низкой робастности ММД
	Необходимость при ее количественном анализе вычитания
близких друг к другу приближенных значений величин.
	Деление на малую по модулю величину для скалярных ве-
личин или обращения матриц с детерминантом, близким к
нулю - для векторных величин.
	Использование в ММД функций, быстро изменяющихся в
промежутке, где значение аргумента известно с невысокой
точностью и др.
Иногда стремление увеличить полноту ММД приводит к снижению ее
робастности вследствие введения дополнительных параметров, из-
вестных с невысокой точностью или входящих в слишком прибли-
женные соотношения.
Продуктивность ММД_____________________________________
Этот показатель связан с возможностью оперировать доста-
точно достоверными и точными исходными данными (например,
точными измерениями текущих навигационных параметров при
решении задачи уточнения начальных условий движения КА).
Описание ММД КА должно использовать параметры, значе-
ния которых получены значительно точнее, чем данные, которые
рассчитываются в процессе применения математической модели.
Например, коэффициенты модели гравитационного поля Земли
должны быть определены заранее с высокой степенью точности
для решения различных задач прогнозирования параметров дви-
жения исследуемых объектов.
Дело осложняется, если в ММД используются неточные (или даже
грубые) характеристики (параметры). Например, неточное знание
баллистического коэффициента или коэффициента светового давле-
ния в модели движения КА при точном задании входных параметров
(НУ движения) делает эту ММД непродуктивной. Ее можно исполь-
зовать лишь для оценки характеристик некоторого класса КА с гипо-
тетическими исходными данными.
76 ---

Глава 1
Наглядность ММД______________________________________________
Это желательное, но необязательное свойство ММД. Тем не менее,
использование ММД и ее модификаций упрощаются, если ее состав-
ляющие (например, отдельные члены уравнений) имеют ясный со-
держательный смысл. Это обычно позволяет ориентировочно предви-
деть результаты вычислительного эксперимента и облегчает контроль
их правильности.
На этапе разработки (отработки) ММД характеристика на-
глядности играет не последнюю роль с точки зрения оперативно-
сти и надежности ее создания. Яркий пример - использование
математической модели движения КА в системе смеси кеплеро-
вых элементов орбиты (неособенных переменных^ Л-пер сменных),
которые не просто «физически» представить при разработке и
отладке соответствующего комплекса программ и сверки резуль-
татов расчета. Эта характеристика моделей движения, безуслов-
но, не является главной (иногда подобные показатели называют
вторичными),
В дальнейшем на конкретных примерах будут проиллюстри-
рованы отмеченные свойства ММД.
1.5.2. Классификация измерительных задач
Рассмотрим математические модели динамической и изме-
рительной систем.
х = /(х, Л, й, й, t); х0 = x(tQ )	ММ ДС,
у - ф (х, t); у* = ^(у, h)	ММ ИС,
где х - вектор параметров состояния; 2 - параметры модели;
и - управляющие сигналы; 3) - шум модели; у - измеряемые
параметры; у* - результаты измерений (измеренные парамет-
ры); h ~ шум измерений.
В зависимости от неизвестных величин можно рассмотреть
следующие измерительные задачи.
---- 77

Глава 1
1.	Определение начального состояния ДС х0 (для детерми-
нированных и полудетерминированных систем, когда й = 0) -
задача статистического оценивания состояния динамических
систем.
2.	Определение текущего состояния динамических систем
(ДС) x(t) (как правило, для стохастических ДС) - задача дина-
мической фильтрации.
3.	Определение постоянных параметров модели А - задача
параметрической идентификации динамических систем.
4.	Определение (уточнение) вида (свойств) u(t), й(/),/0,
^(•), (/(•), й (г) - задача структурной идентификации динамических
систем.
1.5.3. Типовая постановка задач
статистического оценивания
и идентификации динамических систем
Общая математическая постановка задачи статистического
оценивания и идентификации (СОИ) параметров динамической
системы (ДС) может быть представлена в следующем виде [4, 9].
ДАНО:
1.	ММ ДС: Уравнение функционирования G: х = /(•).
2.	ММ ИС:
а)	план измерений Р: {/, }*, у ;
б)	уравнение измерения S: y = <j>(x,t);
в)	информация об ошибках измерений:
-	способ комбинации ошибок измерений (аддитивный, муль-
типликативный или комбинированный);
-	вероятностные свойства ошибок Q.
3.	Выборка результатов измерений Z: z={y*(rz)} с учетом
общей размерности N = тк.
4.	Априорная информация об определяемых параметрах А.
5.	Критерий оценивания К - правило оптимальности оценок.
78 -----

Глава 1
Требуется определить оптимальное значение оценок из соот-
ношения
£0 = argextra(x0,i0).
Показатель качества a(xQ,x0) должен удовлетворять требовани-
ям соответствия реальной задаче, полноте, критичности, содержа-
тельности, а также вычислимости.
Задачи параметрической идентификации динамических систем
имеют такую же математическую постановку, только вместо х0 в
них определяются параметры модели Л .
1.5.4. Характеристика структурных элементов
задач СОИ динамической системы
Математические модели процесса движения
1.	Обыкновенные дифференциальные уравнения:
- нелинейные.
x = f(x,t),	(1-16)
причем x(Z0) = x0.
ПРИМЕР 1. Математическая модель движения материальной
точки (центра масс ЛА)
V	+	+	r=v.
-линейные:
х = Л(0х(0+ *(')>
причем х(/0) = х0.
(1.17)
ПРИМЕР 2. Линеаризованная ММД примера 1
Ду
ДЙ
Fvlm
Е
2.	Аналитические уравнения:
- нелинейные:
x(t) = F(x0,t,t0)
----79

Глава 1
аналитическое решение систем обыкновенных дифференциаль-
ных уравнений (1.1);
- линейные’.
t
x(Z) = Лф,Г0)х0 + f M(t,T)b(f)dT
zo
решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений
(1.17) с использованием матрицанта системы.
Математические модели процесса измерений
1.	План измерений:
1)	временные программы'.
-	Т = {zj* - спектр измерений (для дискретных измерений);
-	T’ = [z0,/A_] - интервал измерений (для непрерывных изме-
рений).
2)	состав измеряемых параметров’.
У = {У1’У2’-^Ут} ~ углы, угловые скорости, кажущиеся па-
раметры движения и т.д.
3)	программа измерений - распределение измерений во вре-
мени.
2.	Уравнения измерений:
-	нелинейные'.
у^ = ф(х,Г).
ПРИМЕР 3. Типовая станция измерений для определения век-
тора состояния ДС (параметров движения) х проводит измерения
вектора у :
х = г ; у = [d,a,y] ,
где d - измерение дальности; а - измерение азимута; у - измере-
ние угла места.
-	линейные, в том числе линеаризованные модели измерений
=	(1.18)
3.	Информация об ошибках измерений:
 Структура ошибок измерений
80 ---

Глава 1
=4ист(о+4Л (о+4н(о •
Систематическая (сингулярная) составляющая hcw^(t) обу-
словлена неполнотой учета в уравнениях вида (1.18) некоторых
важных факторов, что приводит к плавному, монотонному харак-
теру этой ошибки.
Случайная (регулярная) составляющая hcn(f) вызвана не-
учетом второстепенных факторов (например, флуктуации пара-
метров атмосферы, тепловые шумы и вибрации в измерительной
аппаратуре и т.д.), которые обычно представляются случайными
процессами и величинами.
Аномальная (грубая) ошибка hm(t) появляется вследствие
сбоев в работе аппаратуры или неправильных действий операто-
ра. Обычно она моделируется отдельными редкими выбросами.
В практике летных испытаний (ЛИ) содержание аномаль-
ных ошибок может составлять от 7 до 20%.
1.	Способ комбинации ошибок измерений.
Обычно рассматривают два способа комбинации ошибок с
измерительными параметрами:
-	аддитивный у^ (Z) = у(t) + hj (t), где j = 1, 2,..., w;
-	мультипликативный у* (/) = [1 + (/)] У) (0? гДе7 = 1,2,..., m.
2.	Свойства ошибок измерений.
Систематическая составляющая ошибок измерений счита-
ется либо постоянной, либо представляется каноническим разло-
жением (суммой произведений) неизвестных постоянных коэф-
фициентов и заданных функций.
Наиболее полной формой описания случайной составляю-
щей является вероятностный закон ее распределения, например
нормальный или гауссовский закон.
При этом параметры задаются следующим образом:
-	для некоррелированных ошибок
й,а,.)еЛГ(0,<т|);
-	для автокоррелированных ошибок
й,.={йу(0„..,АуО*)},4еад^);
----- 81

Глава 1
—	для ошибок, обладающих взаимной корреляцией
К =	hj е N(Q,kh).
В отдельных задачах может задаваться только класс воз-
можных распределений или ковариационная матрица ошибок. В
ряде случаев информация может вообще отсутствовать.
Аномальная ошибка, как правило, моделируется резкими
случайными выбросами
й07.) = (1-^)йсл(О + ^ап(/,.),
где £ - число, характеризующее малую вероятность появления
аномальных измерений.
Выборка результатов измерений
В зависимости от вида измерений (непрерывные, дискретные)
выборка представляется либо набором реализаций случайных про-
цессов z(t) = {у*(О)Г размерности ш, либо последовательностью
реализаций случайного вектора z = {у * (^)у * (t2 )...у * (tk)} раз-
мерностью N=mk.
Априорная информация
об оцениваемых параметрах____________________________
В качестве примера рассмотрим задачу статистического
оценивания параметров динамической системы, т.е. задачу опре-
деления вектора начального состояния системы х0. Если ДС опи-
сывается детерминированной моделью, то априорная информа-
ция о начальных условиях (НУ) может либо отсутствовать, либо
задаваться в виде расчетного вектора х$. а также может описы-
ваться некоторым множеством х0 е х0 .
Если динамическая система имеет полудетерминированный
вид, то в наиболее полной форме априорная информация может
быть представлена вероятностным законом, например
х0 g N{pxQ,kxo). а в частных случаях - классом распределений или
моментными характеристиками.
82 ---

Глава 1
Критерии качества оценивания
Критерии качества оценивания - это правило получения
оценок, которое лежит в основе выбора того или иного метода
оценивания.
В свою очередь, каждый метод оценивания может быть реа-
лизован с помощью различных вычислительных процедур - ал-
горитмов оценивания. В результате оказывается, что одна и та же
задача оценивания способна решаться довольно значительным
числом способов, причем результаты ее решения не будут тожде-
ственными.
В частности, существует несколько принципиально отлич-
ных подходов к выбору критерия качества оценивания:
1)	принцип оптимальности, в основе которого лежит поло-
жение о том, что получаемые оценки должны быть наилучшими
среди множества возможных оценок заданного класса;
2)	принцип адаптивности, в соответствии с которым оценки
должны уметь «настраиваться» на свойства получаемой измери-
тельной информации. Его называют также принципом самоорга-
низации'.
3)	принцип робастности (устойчивости): оценки не должны
существенно проигрывать при несовпадении фактических
свойств измерительной информации с планируемыми, априор-
ными допущениями о них, которые формулируются на этапе ма-
тематической постановки задач;
4)	принцип инвариантности (независимости): вид оценок
должен позволять успешно решать задачу определения интере-
сующих параметров вне зависимости от конкретных свойств
процесса измерений.
В настоящее время в теории оценивания наибольшее распространение
получили лишь принципы оптимальности и адаптивности. Робастно-
му подходу внимание стали уделять с середины 1960-х гг. Теория ин-
вариантности оценок находится в стадии становления.
Кроме того, в рамках оптимального оценивания также существуют
различные способы формирования критерия оптимальности оценок, в
частности, на основе геометрических образов, физических свойств и
аналогий, вероятностной точки зрения, математических положений
теории принятия решений, теории информации и других.
-----83

Глава 1
1.5.5. Типовое представление
начальных условий движения
космических объектов
в автоматизированном комплексе программ
Типовой вариант представления начальных условий движе-
ния космического объекта в комплексе программ навигационно-
баллистического обеспечения (НБО) сложной структуры приве-
ден в табл. 1.8.
Тип космического объекта (7ко) указывает в какой области
космического пространства находится (используется, будет ис-
пользоваться или уже использовался) рассматриваемый КО:
1	- объект ближнего космоса
2	- объект среднего космоса
3	- объект дальнего космоса
В процессе навигационно-баллистических расчетов следует
выделить использование нескольких видов начальных условий
(Гну), записываемых в баллистическую базу данных (ББД). Это,
как правило, файлы промежуточных и основных НУ:
О - промежуточные НУ
1 - основные НУ
В область текущих начальных условий движения КО запи-
сываются данные, получаемые в процессе текущих этапов рас-
четов.
Так, например, в процессе решения центральной задачи
технологического цикла НБО - краевой задачи или задачи опре-
деления вектора состояния динамического объекта - может воз-
никнуть множество решений (НУ), связанных с различными ва-
риантами использования полученной информации текущих нави-
гационных параметров, ее объемом, типом измеряемых
параметров, привлекаемых в процесс решения, использованием
измерительных средств с тем или иным пространственным рас-
положением, видом используемой априорной информации, мето-
дами обработки измерений и др.
84 --

Глава 1
________________________Таблица 1.8________________________
Представление начальных условий движения КА
в автоматизированном комплексе программ
навигационно-баллистического обеспечения
Параметр	Содержание параметра (массива)
Тко	Тип космического объекта
Ину	Вид начальных условий
Мео	Номер КО
УНу	Номер НУ (в баллистической базе данных)
УвЦ (БЦ)	Номер вычислительного (баллистического) центра
Утну	Номер типа НУ
Л/тну	Модификатор типа НУ
Ув(Ц) УНУ	Номер витка (цикла) уточнения НУ в предыдущем этапе расчетов
Мск	Номер системы координат НУ
Мв(ц) ну	Номер витка (цикла) текущих НУ
ПР	Признак размерности
fay	Дата и время (московское) НУ (при представлении в ЭВМ время отсчитывается от заданной эпохи)
г, г’	Параметры движения НУ (шесть параметров движения в заданной системе координат)
Sa	Баллистический коэффициент
X	Коэффициент светового давления
лше	Логическая шкала сил: внешняя (упрощенная) - для информирования оператора-баллистика и пользовате- ля; номер внутренней (полной) ЛШС - для расчетов «внутри» ЭВМ
дд	Дополнительные данные (для КО дальнего космоса)
Из множества таким образом полученных различных уточ-
ненных промежуточных начальных условий движения КО выби-
раются основные начальные условия движения, удовлетворяющие
определенным (объективным, а иногда и субъективным) требова-
ниям. Те и другие НУ «записываются» в соответствующие облас-
ти баллистической базы данных.
В этот идентификатор могут быть включены файлы специ-
альных НУ, выделяющих в специальную группу начальные усло-
----------------------------------------------------- 85

Глава 1
вия, характеризующие отдельные важные этапы полета космиче-
ского объекта.
Заметим, что для упрощения параметр вида начальных условий мож-
но не вводить. При этом информацию о принадлежности НУ к теку-
щим или основным НУ можно получить через номер начальных усло-
вий. Например, номера текущих НУ (можно условиться) будут начи-
наться с 10 000. Однако в ряде ситуаций такой подход может
оказаться не приемлемым.
Номер космического объекта (Ако) служит для его иденти-
фикации (по аналогии с присвоением номеров космических аппа-
ратов).
Заметим, что в прошлом каждому КА присваивался не один,
а несколько номеров (заводской, «ТАССовский», номер КА, ис-
пользуемый специалистами-управленцами). Здесь, как правило,
используется последний вариант нумерации.
Номер НУ (Ану) в баллистической базе данных изменяется
каждый раз при очередной записи данных в файл начальных уст
ловий, присвоение номера осуществляется системой управления
базой данных (СУБД).
Номер вычислительного (баллистического) центра Авщбц)
важно знать оператору-баллистику при анализе и обработке
данных.
При необходимости может быть установлена необходимая
оперативная связь для консультаций и обсуждений.
Введение номеров типов НУ (АТНу) обеспечивает возмож-
ность автоматизации процесса обработки НУ, получаемых потре-
бителями из вычислительных или баллистических центров (на-
пример, срочные НУ, уточненные НУ после проведения динами-
ческих операций, обрабатываемые в первую очередь).
Модификаторы типов НУ (Мту) позволяют различать ва-
рианты НУ, в основе которых, лежат одни и те же номера НУ
(например, для расчета прогнозируемых НУ с различным спек-
тром возмущающих факторов, НУ с расчетным импульсом кор-
рекции и др.).
Номер витка уточненных НУ в предыдущем цикле расчетов
(Авуну) указывает анализатору (например, оператору-баллисти-
86 ---

Глава 1
ку) насколько «далеко» по времени находился момент уточнения
начальных условий движения КО, которые уточняются (опреде-
ляются) в настоящий момент времени.
Признак размерности П? указывает в какой физической раз-
мерности и в каком виде представлены (используются) параметр
времени, скоростные параметры, параметры движения космиче-
ского объекта и связанные с ними баллистический коэффициент
Sa коэффициент светового давления %.
Структура признака размерности имеет вид
TVP,
где Т - признак размерности параметра времени:
О - время задается в секундах с долями от заданной эпохи;
1	- параметр времени задается в виде декретной даты и дек-
ретного московского времени:
ДЕНЬ. МЕСЯЦ. ГОД;
ЧАСЫ. МИНУТЫ. СЕКУНДЫ, ДОЛИ СЕКУНД;
2	- параметр времени задается среднесолнечными сутками с
долями от заданной эпохи;
V - признак размерности скоростных параметров:
О - скоростные параметры, м/с;
1	- скоростные параметры, км/с;
2	- скоростные параметры, задаются в десятках тысяч кило-
метров/ среднесолнечными сутками;
Р - признак размерности параметров движения:
О - кинематические параметры, м;
1	- кинематические параметры, км;
2	- кинематические параметры, задаются в десятках тысяч
километров;
Логическая шкала сил (ЛШС) предназначена для передачи
потребителям НУ сведений о поле сил, в котором решалась зада-
ча определения вектора состояния (краевая задача).
ЛШС имеет две части. Первая содержит явное описание уп-
рощенной ЛШС, вторая - номер полной логической шкалы Улшс-
-------------------------------------------------------- 87

Глава 1
Предполагается, что все ВЦ и потребители НУ имеют согласо-
ванный перечень ЛШС, что позволяет передавать необходимую
информацию с помощью одного номера ЛШС. Кроме того, пред-
полагается, что некоторая стандартная ЛШС используется в слу-
чае, если Ушис в НУ опущен.
Порядок использования ЛШС
для задачи прогнозирования параметров движения
1.	При отсутствии в НУ данных о ЛШС используется стан-
дартная для данного типа КО шкала.
2.	При наличии обеих частей (упрощенной и номера полной
шкалы) используется шкала с Улшс- Упрощенная шкала служит
при этом для передачи информации оператору.
3.	При отсутствии Удшс упрощенная шкала сравнивается со
стандартной. В случае несоответствия используется упрощенная
шкала.
Структура упрощенной шкалы
AABBCDEFG,
где:
АА - порядок зональных гармоник, учитываемых в математиче-
ской модели движения (ММД);
ВВ - порядок тессеральных и секториальных гармоник, учиты-
ваемых в ММД;
С - номер варианта учета модели атмосферы:
О - атмосфера не учитывается;
1	- статическая модель атмосферы - СМА-62 (АН-62);
2	- статическая модель атмосферы (ГОСТ 4401-81);
3	- динамическая модель атмосферы (ГОСТ 22721-77);
4	- динамическая модель атмосферы (ГОСТ 25645.115-84);
5	- динамическая модель атмосферы (ГОСТ 25645.166-2004,
национальный стандарт-РФ);
9	- резерв;
D - номер варианта формирования баллистического коэффициента:
0 - Sa не учитывается (Sa = 0);
1 -Sa- const;
88 ---

Глава 1
9 - резерв;
Е - признак учета влияния Солнца, Луны и светового давления:
О - перечисленные факторы не учитываются;
1	- учитывается влияние Солнца;
2	- учитывается влияние Луны,
4	- учитывается влияние светового давления.
Признак учета комбинированного влияния перечисленных
факторов формируется путем сложения в двоичном исчислении
соответствующих единичных признаков (например, 011 - учет
влияния Солнца и Луны);
F - признак учета влияния планет:
0 - не учитывается;
1 - учитывается.
G - признак учета работы ДУ:
0 - не учитывается;
1 - учитывается.
Пример записи НУ движения КА в относительной гринвич-
ской системе координат (ГСК) приведен в табл. 1.9.
________________________Таблица 1.9________________________
Пример записи начальных условий движения КА
в гринвичской геоцентрической системе координат
Параметр	Содержание параметра	Примечание
1	2	3
Дсо	1	КО ближнего космоса
Гну	0	Промежуточные НУ
Мео	213	Номер КО равен 213
•Уну	3	Номер НУ в ББД равен 3
^ВЦ(БЦ)	25	Номер вычислительного центра
МнУ	9	Прогнозируемые НУ
.-^ГНУ		0	
Ув(Ц)УНУ		32	
---- 89

Глава 1
Окончание табл. 1.9
1	2	3
Аск	1	Параметры в ГСК
№(Ц) НУ	33	
пр	111	Признак размерности
	13.06.15; 19.30.43,456	Дата и время в дате
Vx	1,9604102000	км/с
Уу	0,6732058600	км/с
vz	7,2036365000	км/с
X	2238, 8514800	км
У	-6410,8514800	км
Z	0	км (НУ на момент пере- сечения плоскости эк- ватора)
Sa	0,0001	
X	0	
ЛШС	101;020011000	Номер полной ЛШС 101
ДД	-	Доп. данные отсутству- ют
Примечание. Упрощенная ЛШС (020011000), приведенная в при-
мере, означает, что при решении задачи определения вектора состояния
(ОВС) использовалась ММД КА, учитывающая сжатие Земли (порядок
зональных гармоник равен 2,0), статическую модель атмосферы и по-
стоянство баллистического коэффициента Sa.
Из табл. 1.11 видно, что НУ движения приведены по КО с
номером 213, рассчитанные в ВЦ (Авц = 25) путем прогнозирова-
ния параметров движения (Атну) от начальных условий с номе-
ром 3 и витка НУ с номером 32, до витка с номером 33. Коорди-
наты КА (КА, Vy, Vz, х, у. z) представлены в относительной грин-
вичской системе координат - ГСК (NCK= 1) на момент времени
Гну (московское).
Структура внутренней (полной) логической шкалы сил при-
ведена в табл. 1.11. Для краткости даны следующие сокращения:
ПВ - периодические возмущения, КПВ - короткопериодические
возмущения.
90 ---

Глава 1
_______________________ Таблица 1.11______________________
Структура внутренней (полной) логической шкалы сил
1	2	3	4	5
Номер внут- ренней ЛШС	Полное имя внешней ЛШС	Номер мо- дуля интег- рирования	Учет зо- нальных гармоник	Степень учиты- ваемых зональ- ных гармоник
6	7	8	9	10
Номер моду- ля учета зо- нальных гар- моник	Учет тес- сераль- ных гар- моник	Степень учитывае- мых тессе- ральных гармоник	Номер мо- дуля учета тессераль- ных гармо- ник	Учет сопротивле- ния атмосферы (СА)
11	12	13	14	15
Номер моду- ля учета СА	Номер модуля расчета ^БАЛ	Учет при- тяжения Луны (ПЛ)	Номер мо- дуля учета ПЛ	Учет притяжения Солнца (ПС)
16	17	18	19	20
Номер моду- ля учета ПС	Учет приливов	Учет свето- вого давле- ния (СД)	Номер мо- дуля учета СД	Учет активных сил (АС)
21	22	23	24	25
Номер моду- ля учета АС	Учет прецес- сии и ну- тации (ПН)	Номер мо- дуля учета ПН	УчетКПВ отС2о	Номер модуля учета короткопе- риодических воз- мущений (КПВ) от С20
26	27	28	29	зо
Степень Спо в периодиче- ских возм. (ПВ)	Учет ПВ от резо- нанса	Учет ПВ от с ^пт	Номер мо- дуля учета ПВ от С„т	Учет ПЛ, ПС, СД, АС
31	32	33		
Номер моду- ля учета ПЛ, ПС,СД,АС	Номер модуля учета ПВ от резо- нанса	Номер плоскости расчета для прогноза		
----- 91

Глава 1
1.6. Программно-математическое обеспечение
навигационно-баллистического обеспечения
управления космическими объектами
1.6.1.	Построение комплекса
программно-математических средств
Процесс жизненного цикла программно-математических
средств (ПМС) подразделяют на фазы (этапы) разработки, произ-
водства и эксплуатации. На этапе разработки, который для ПМС
занимает 40...45% относительных затрат всех этапов жизненного
цикла, выделяют стадии проектирования, программирования, ис-
пытаний и фондирования. Этап производства (5... 10% относи-
тельных затрат) включает тиражирование, поставку и ввод в экс-
плуатацию. При эксплуатации ПМС баллистико-навигационного
обеспечения (около 50% относительных затрат) принято отдель-
но рассматривать стадии научно-технического сопровождения й
снятия с эксплуатации.
На стадии проектирования программно-математических
средств БНО проводится системный анализ и выработка общих
требований к программно-математическому обеспечению, а так-
же осуществляется разработка отдельных алгоритмов баллисти-
ко-навигационного обеспечения, в которую входят:
	уточнение постановки и математической формулировки за-
дачи;
	выбор (разработка) метода решения задачи;
	разработка математического алгоритма и его эксперимен-
тальная проверка.
Исключительное значение в процессе эксплуатации про-
граммно-математических средств (ПМС) навигационно-балли-
стического обеспечения играет его научно-техническое сопро-
вождение (НТС), заключающееся в оценке выполнения ПМС его
целевого назначения, а также в развитии и совершенствовании
математических методов, моделей и алгоритмов, внесение изме-
нений в программы с целью улучшения эксплуатационных харак-
теристик и устранения ошибок.
92 --

Глава 1
Научно-техническое сопровождение ПМС БНО
	Оценка выполнения целевого назначения специальным про-
граммно-математическим обеспечением (СПМО) в процессе
его эксплуатации.
	Устранение ошибок, выявленных в процессе эксплуатации
СПМО.
	Проведение доработок, направленных на повышение эффек-
тивности СПМО.
	Внесение в программы изменений, связанных с изменениям
числовых значений констант или реализации требований но-
вых нормативных документов.
	Проведение типовых испытаний.
	Внесение изменений в программную документацию по мере
доработки СПМО.
Как правило, научно-техническое сопровождение программно-
математических средств баллистико-навигационного обеспечения
осуществляет организация-разработчик с участием пользователей
специального математического обеспечения.
Специфика БНО накладывает определенный отпечаток на
архитектуру баллистических комплексов и определяет ее осо-
бенности по сравнению с другими комплексами прикладных
программ.
Особенности
	Наличие единой для всех целевых задач баллистической ба-
зы данных (ББД).
	Наличие большого библиотечного набора подпрограмм, яв-
ляющихся общими для большинства целевых задач (ЦЗ).
	Наличие развитых языковых средств общения операторов с
комплексом, позволяющих порождать ЦЗ, передавать им ис-
ходные данные (параметры) и настраивать на определенный
вариант решения.
	Высокие требования к оперативности решения ЦЗ.
	Тесное взаимодействие с операционной средой, внешними
устройствами ЗВМ, каналами связи и т.д. для реализации
---- 93

Глава 1
интерактивных языков взаимодействия и режимов реального
или близких к реальному времени.
При создании автоматизированных комплексов программ
(АКП) учитывают опыт разработки, внедрения и эксплуатации
существующих баллистических комплексов, а также тенденции к
усложнению решаемых задач и схем полетов.
Составляющие основных принципов,
применяемых при реализации АКП НБО
1.	Принцип коммуникабельности, предполагающий простоту
и удобство взаимодействия с комплексом, что подразумевает
реализацию развитых языков общения оператора и комплекса.
2.	Принцип конструктивной универсальности, означающий
разработку универсальной структуры комплекса, обеспечиваю-
щей решение различных баллистических задач по общим (для
данного класса) правилам.
3.	Принцип модульности построения, означающий дискрет-
ность структуры комплекса и необходимость унификации его
программных единиц.
Модули должны обладать свойствами функциональной замкнутости,
означающей выполнение каждым модулем определенных, только ему
свойственных функций, и структурной замкнутости, которая означает
независимость структуры комплекса от структуры отдельного модуля и
наоборот.
4.	Принцип стандартизации взаимодействия, предпола-
гающий унификацию взаимодействия целевых программ ком-
плекса с центральной управляющей программой (монитором),
единую методику и единый механизм их взаимодействия между
собой, с данными и монитором комплекса.
5.	Принцип расширяемости комплекса как по вертикали, так
и по горизонтали.
Расширение комплекса по горизонтали предполагает подключение к
нему дополнительных специализированных пакетов программ (на-
пример, пакетов приема-передачи данных, астрономического ежегод-
94-----

Глава 1
ника и других), а расширение по вертикали - подключение отдельных
модулей к имеющимся пакетам программ (например, модуля учета
возмущений от сопротивления атмосферы в правых частях системы
дифференциальных уравнений движения КА в специализированном
пакете программ математической модели движения).
6.	Принцип параметрической универсальности, предпола-
гающий, что текущее значение ряда параметров в целевой задаче
задается при ее непосредственной генерации для решения. При
этом целевые задачи должны уметь настроить себя для работы с
заданными параметрами.
Тесно связан с этим принципом - принцип умолчания, когда
ряд значений параметров и режимов задаются без участия опера-
тора по умолчанию (например, интервал прогнозирования пара-
метров движения заданного типа КА). В то же время оператор
при необходимости может изменить эти значения и режимы.
7.	Использование при разработке и эксплуатации целевых
задач единой баллистической базы данных, хранящей информа-
цию по КА, стоящим на обслуживании (начальные условия, об-
щие исходные данные, результаты решения целевых задач и т.д.),
а также баллистической экспертной системы.
Для реализации принципов построения автоматизированно-
го комплекса программ БНО должна быть разработана концепция
его создания. В наиболее завершенном виде она может быть от-
ражена в многослойном подходе к построению специализирован-
ных пакетов программ (СПП) БНО.
Указанная концепция предполагает разделение модулей раз-
рабатываемой СПП на горизонтальные слои по степени их мо-
бильности и зависимости от других модулей. При этом каждый
слой взаимодействует лишь с соседними слоями, а изменения ос-
тальных являются для него «прозрачными». Одновременно в
структуре СПП выделяются вертикальные линии, каждая из ко-
торых проходит через все слои, обеспечивая какой-либо конкрет-
ный технологический процесс.
I Многослойное построение СПП обеспечивает мобильность и гибкость I
системы, так как модификации одних линий, как правило, не затрата- |
----95

Глава 1
вают соседние линии. Наконец, открытость системы обеспечивается
за счет добавления новых вертикальных линий при сохранении ста-
рых неизменными.
1.6.2.	Структура автоматизированного комплекса
программно-математических средств
Для управления современными и перспективными КА тре-
буется создавать программное обеспечение (ПО) в десятки мил-
лионов операторов языков высокого уровня. Такие большие объ-
емы программ требуют рационального подхода при обосновании
и создании ПО.
При разработке ПО НБО важно найти общие методы и подходы, ко-
торые позволят унифицировать программное обеспечение относи-
тельно КА различного целевого назначения, а также применяемых
технических средств, включая внешние к вычислительным средствам
периферийные устройства.
Использование одинаковых методов при проектировании
ПО обусловлено общими свойствами, присущими процессу
управления различными КА:
	необходимость автоматизации и централизации процесса
решения задач НБО;
	планирование вычислительного процесса;
	наличие общих математических методов, описывающих
баллистические задачи;
	объективная связь баллистических задач между собой по ис-
ходным данным и результатам решения;
	наличие общих законов движения КА;
	наличие одинаковых астрономических и географических
констант.
Методы, на базе которых реализуется программное обеспечение
управления КА, должны обеспечить автоматизацию НБО, учесть во-
просы унификации и стандартизации, что позволит мобильно исполь-
зовать данное ПО для различных КА.
96----

Глава 1
Программное обеспечение решения навигационно-баллисти-
ческих задач упорядочено на три основные группы:
1)	общее программно-математическое обеспечение (ОПМО);
2)	общесистемное программно-математическое обеспечение
(ОСПМО);
3)	специальное программно-математическое обеспечение
(СПМО).
В состав общего программно-математического обеспечения
входят операционные системы, сетевая математика и системы
программирования.
Требования к операционной системе
выделенного сервера локальной вычислительной сети (ЛВС)
баллистического центра (БЦ)
	Приоритетная многозадачность.
	Встроенная сетевая поддержка.
	Защищенность.
	Многопоточность.
	Поддержка широкого спектра компьютерных платформ.
	Возможность выполнения приложений, написанных для
других операционных систем.
	Поддержка нескольких файловых систем.
	Удобный и понятный интерфейс.
В серверной группе ЛВС БЦ должны выделяться:
	файл-сервер;
	сервер приложений;
	сервер удаленного доступа;
	сервер баз данных;
	сервер обеспечения безопасности данных;
	сервер резервирования данных;
	сервер связи;
	сервер вспомогательных служб.
Для рабочих мест ЛВС БЦ должна использоваться операци-
онная система, которая:
1)	обладает высокой производительностью и надежностью;
2)	проста в освоении;
3)	удобна при использовании;
---- 97

Глава 1
4)	содержит механизм удаленного администрирования рабо-
чего места;
5)	является универсальным сетевым клиентом, способным
работать с самыми различными сетевыми средами;
6)	имеет встроенную поддержку распределенных сетей,
электронную почту и т.д.
Общесистемное программно-математическое обеспечение
представляет собой совокупность программных средств, пред-
назначенных для создания операционной среды выполнения
функциональных задач на вычислительных средствах автома-
тизированной системы навигационно-баллистического обеспе-
чения (АС НБО), реализации процессов приема и передачи нави-
гационно-баллистической информации (НБИ), обеспечения
взаимодействия операторов с целевыми задачами, а также задач
между собой.
Основные компоненты ОСПМО баллистического центра
 ОСПМО «больших» ЭВМ.
	Сетевое ПО и ПО средств передачи данных (СППД).
	Распределенный банк и архив НБД.
	Тестовое программное обеспечение.
Элементы структуры сетевого ПО
1.	Программное обеспечение сеансовой службы, теста сеан-
совой службы.
2.	Программное обеспечение передачи сообщений и файлов.
3.	Программное обеспечение службы электронной почты.
4.	Программное обеспечение доступа к удаленной базе дан-
ных.
5.	Программное обеспечение сервера базы данных.
6.	Программное обеспечение шлюза с «большой» ЭВМ.
ПО сеансовой службы является резидентным ядром сети.
Функции программного обеспечения
1.	Контроль наличия и доступ к адресатам по их логическим
именам.
2.	Взаимодействие каждого абонента с несколькими адреса-
тами одновременно.
98 ---

Глава 1
3.	Сохранение логической связи между взаимодействующи-
ми абонентами при всех изменениях структуры связей в сети, не
приведших к изоляции этих абонентов.
4.	Автоматическое проявление конфигурации сети и знаком-
ство при включении в сеть новых физических абонентов.
Интерфейс взаимодействия с ПО сетевой службы обеспечивает дос-
туп к услугам сети для пользовательских программ, реализованных на
языках высокого уровня, что позволяет создавать сетевые комплексы
программ различного назначения.
Специальное ПМО представляет собой совокупность мето-
дов, моделей, алгоритмов навигационно-баллистических задач и
средств автоматизации их решений, реализованных в виде уни-
версальных автоматизированных комплексов программ.
Основные характеристики ПМО
1.	Эргономичность работы оператора-баллистика с задачами
комплексов в условиях регулярно повторяющихся технологиче-
ских циклов НБО сопровождаемых типов КА.
2.	Высокая оперативность проведения всего технологическо-
го цикла (ТЦ) НБО и решения отдельных баллистических задач.
3.	Заданная точность параметров решения задач НБО.
4.	Возможность получения решения при нештатных ситуациях.
5.	Высокий уровень автоматизации за счет максимального
исключения ручных операций по подготовке исходных данных.
6.	Контроль исходных данных и результатов принятия ре-
шения в штатных и нештатных ситуациях.
7.	Мобильность комплексов за счет их максимальной инва-
риантности относительно структуры технологического цикла.
8.	Открытость комплексов за счет реализации принципов
структурного программирования и функциональная избыточ-
ность.
9.	Унификация и стандартизация способов запуска отдель-
ных задач.
10.	Унификация и стандартизация представления входных и
выходных форм.
---- 99

Глава 1
11.	Обеспечение возможности автоматизации сбора и хране-
ния в ББД данных решения задач, оперативного и надежного ма-
нипулирования ими, а также многократного их использования.
12.	Исключение несанкционированного доступа.
Функциональная структура комплексов программ НБО объ-
единяет общесистемные и специальные компоненты.
Составные комплекса
	Диспетчер ТЦ НБО.
	База баллистических данных.
	Специализированные пакеты программ решения баллисти-
ко-навигационных задач.
При этом в математических моделях движения КА, реализо-
ванных в комплексах программ, учитывается:
	гравитационное поле Земли, представленное разложением
геопотенциала в ряд по сферическим функциям до N поряд-
ка зональных, секториальных и тессеральных гармоник;
	гравитационное притяжение Солнца, Луны и планет;
	сопротивление и движение атмосферы Земли;
	давление солнечного света;
	прецессии и нутации земной оси;
	воздействие электродинамических сил;
	ускорения, обусловленные работой корректирующих двига-
тельных установок и двигателей малой тяги;
	приливные эффекты в земной коре и неравномерности вра-
щения Земли.
Все специализированные комплексы программ строятся на единых
принципах, что позволяет унифицировать и оптимизировать взаимо-
действие составных частей АС НБО.
Основу всех задач НБО составляет математическая модель
движения (ММД). Модели, методы и алгоритмы, реализованные
в ММД, а также функциональные структуры реализующих их
подсистем, являются основой построения функционального ядра
(ФЯ), обеспечивающего проведение НБО.
Особенностью функционирования ММД на ПЭВМ является
разделение функций подготовки (или настройки) ММД и осуще-
100 ---

Глава 1
ствление непосредственно вычислительного процесса интегриро-
вания систем дифференциальных уравнений движения. Это по-
зволяет реализовать принцип черного ящика, чем обеспечивается
выполнение различных требований к модели движения со сторо-
ны целевых баллистических задач без непосредственного управ-
ления ее структурой при различных навигационно-баллисти-
ческих и гелиогеофизических исходных данных. Важное свойст-
во ММД связано с возможностью подключения в правых частях
систем дифференциальных уравнений различных статических и
динамических моделей плотности верхней атмосферы Земли.
Математическое моделирование измерений текущих навигационных
параметров, как правило, осуществляется с помощью функционально-
го модуля моделирования.
Функциональный модуль моделирования ИТНП предназна-
чен для математического моделирования расчетных значений из-
меряемых параметров, их первой производной по времени и изо-
хронных производных от измеряемых параметров по начальным
условиям в различных системах координат (например, в неосо-
бенных переменных) на моменты измерений.
Расчетные параметры
	Наклонная дальность.
	Азимут, угол места, радиальная скорость.
	Высота над общим земным эллипсоидом.
	Угловые измерения в системе карданного подвеса.
	Прямое восхождение, склонение, высота над геоидом.
	Приращение дальности, время на параметре.
	Вектор состояния КА в заданной системе координат на тре-
буемые моменты времени.
Модель и алгоритм функционального модуля моделирова-
ния должны позволять оптимизировать процедуры вычисления
расчетных значений ИТНП.
IB функциональном модуле моделирования должен быть решен вопрос |
обеспечения всеми необходимыми данными задач предварительной |
----- 101

Глава 1
обработки ИТНП и определения вектора состояния КА. Эти данные
включают совокупность расчетных значений величин измерений, их
первых и вторых производных по времени, изохронных производных
от измеряемых параметров по начальному вектору состояния КА.
С точки зрения системного подхода, задача определения
вектора состояния КА по ИТНП относится к классу задач оцени-
вания вектора состояния динамических систем (см. гл. 2). В
большинстве прикладных задач обработки ИТНП определение
точного закона распределения ошибок оказывается практически
невозможным. При разработке математического обеспечения ре-
шения задачи нахождения вектора состояния (ОВС) КА по ИТНП
может быть применен хорошо зарекомендовавший себя на прак-
тике подход, основанный на принятии гипотезы о близости зако-
нов распределения погрешностей измерений к нормальному. В
этом случае для характеристики рассматриваемого многомерного
закона распределения достаточно задать два первых момента рас-
сматриваемого многомерного распределения - математическое
ожидание и корреляционную матрицу.
Обычно полагается, что измерения каждого сеанса ИТНП
являются некоррелированными и равноточными. В качестве мо-
дели навигационных измерений должна использоваться нелиней-
ная модель. Наиболее часто для ОВС КА используется метод
наименьших квадратов, применение которого требует минималь-
ной информации о векторе ошибок измерений (достаточно знать
математическое ожидание и вторые моменты).
Исследования показывают, что точность, а порой и сама возможность
получения вектора поправок зависят в значительной степени от каче-
ства матрицы производных. Как показывают результаты исследова-
ний, при определении вектора состояния КА по выборке ИТНП огра-
ниченного объема, сформированной в условиях неполной реализации
штатного цикла измерений, эта матрица оказывается неполного ранга
или близкой к вырожденной.
В этом случае задача ОВС КА по ИТНП принадлежит к
классу некорректных задач, когда решение является неустойчи-
102 -----

Глава 1
вым по отношению к погрешностям в исходных данных. Для
повышения надежности определения вектора состояния КА в
условиях неполной реализации штатной схемы измерений могут
быть использованы подходы, основанные на применении идей
академика А.Н. Тихонова и парадигмы академика В.Н. Страхова
[9, Ю].
Реализация этих требований дает возможность получать решение за-
дачи ОВС КА по ИТНП с достаточной для практики точностью не
только в условиях штатных схем измерений, но и при существенных
ограничениях на процесс реализации получения и сбора ИТНП.
Указанное является особенно важным в современных усло-
виях функционирования НАКУ, предъявляющих высокие требо-
вания к оперативным и точностным характеристикам НБО.
Требования к разработке
автоматизированного технологического цикла НБО
	Необходимость автоматизации решения наиболее часто вы-
полняемых задач.
	Оптимизация набора однотипных данных.
	Автоматизация контроля результатов решения.
	Автоматизация формирования и выдачи форм обмена.
Требования к программному обеспечению НБО
измерительных пунктов
	Обеспечение приема и обработки начальных условий (НУ) и
целеуказаний (ЦУ) измерительным средствам.
	Обеспечение обработки оперативных планов.
	Хранение, отображение и документирование навигационно-
баллистической информации; решение навигационно-балли-
стических задач, возлагаемых на измерительные пункты.
	Контроль целеуказаний и навигационно-баллистических
данных (НБД).
	Использование совершенных и надежных протоколов ин-
формационного обмена.
	Обеспечение расчета НБД данных для радиотехнических
средств и систем управления антеннами.
----- 103

Глава 1
В современных комплексах НБО используются не просто проверен-
ные методы, модели и алгоритмы, а и отработанные программы и
программная документация (требования на ПО, кодовые листинги,
протоколы верификации, имитационные модели, а также средства со-
провождения ПО).
Наиболее популярным методом использования «готового» к
применению ПО является повторное использование отдельных
модулей, когда модуль интегрируется во вновь создаваемый ком-
плекс. Как правило, действующие внутренние стандарты жестко
регламентируют все, что касается характеристик модулей ПО:
допустимые «размеры», особенности входных и выходных пара-
метров, порядок обращения и т.д. Поэтому в пределах разработок
одной организации «перемещать» модули несложно. Более слож-
ной является многократность применения на системном уровне -
необходимо «заставить» программную систему выполнять другие
функции по другим наборам исходных данных. В таком случае
приходится брать всю архитектуру ПО целиком, так как передел-
ка ее перечеркивает все преимущества многократности.
Требования к характеристикам
многократно используемого ПО (в порядке значимости)
^Независимость применения ПО (от баз данных, систем-
ных библиотек, микрокодов и архитектуры вычислительных
средств, алгоритмов их работы).
Требование может обеспечиваться за счет преемственности ар-
хитектуры ЭВМ (что является наиболее простым вариантом), либо
за счет реализации ПО, независимого от операционной системы и
аппаратуры, что для программирования задач НБО далеко не все-
гда возможно. Представление данных и алгоритмов в обоих случа-
ях следует выполнять машиннонезависимым.
2.	Доступность программной документации всех стадий
разработки для максимального ее использования, в т.ч. выбо-
рочного.
Требование осуществляется на основе полноты программной
документации (от требований к исходным данным до текстов ко-
довых программ), подкрепленной хорошим графическим иллюст-
104---

Глава 1
ративным материалом, тщательным ведением библиотек, полным
комментированием текстов программ.
3.	Полнота объема функций программного обеспечения.
Все функции вновь разрабатываемого ПО должны «вкладывать-
ся» в комплекс (модуль) многократного применения.
4.	Универсальность.
Многократность применения должна претендовать хотя бы на
несколько перспективных поколений вычислительных средств,
иначе применение многократной технологии не оправдано.
5.	Модульность.
Логически независимые модули ПО должны легко перемещать-
ся и заменяться, стыки программных интерфейсов легко перена-
страиваться.
6*	Ясность документации.
Форма построения документов и метод изложения должны быть
легки для понимания и внесения изменений.
7. Самоописательность документации.
Программное обеспечение и документация на него должны со-
держать сведения о целях, допущениях, ограничениях, особенно-
стях переработки входной и выходной информации и т.д. Это дос-
тигается с помощью программирования на языках высокого уров-
ня и (или) высокой культурой комментариев в тексте программ.
8. Простота.
Достигается методами структурного программирования и нис-
ходящего (сверху-вниз) проектирования архитектуры ПО.
Главной проблемой при повторном использовании ПО является гаран-
тия надежности вновь создаваемого комплекса в целом. Сами повторно
используемые модули безусловно надежны - они прошли полный цикл
обработки и функционируют в реальных комплексах. Но они создава-
лись под определенный набор требований, а использоваться будут в
комплексах, разрабатываемых по другим требованиям. Это таит в себе
угрозу внесения проектной ошибки. Решение данной проблемы и есть
главная задача технологии многократного применения ПО.
----- 105

Глава 1
При разработке автоматизированного комплекса программ
(АКП), состоящего из ОСПМО (монитора, ББД, СУБД и др.) и
СПМО (набор целевых задач) необходимо ответить на следую-
щие вопросы.
1.	Выбрать структуру АКП НБО.
2.	Использовать базовые возможности операционной систе-
мы для создания типовой операционной среды, позволяющей
эффективно адаптировать АКП.
3.	Обосновать функциональные элементы, входящие в со-
став АКП.
4.	Выбрать языковые средства для создания СПМО и ОСПМО.
За основу построения АКП может быть принята иерархиче-
ская структура (рис. 1.14) с двумя уровнями иерархии.
Первый уровень составляет главная управляющая программа
(монитор) комплекса.
Второй - динамически образуемое множество программ
решения целевых баллистических задач, «подчиненных» мони-
тору.
Основной особенностью построения является то, что мони-
тор кроме своей основной традиционной задачи - реализации
удобных интерактивных языковых средств общения с комплек-
сом, организации и управления решением баллистических задач,
организации взаимодействия с терминальным оборудованием
вычислительных средств - является для целевых задач универ-
сальным интерфейсом с операционной системой и ЭВМ.
Требования к автоматизированному комплексу
программ НБО, выполненному на основе такой структуры
	Обеспечение одновременного обслуживания КА различного
целевого назначения.
	Обеспечение сбора и переработки ИТНП путем автомати-
ческого запуска задач в соответствии с технологическим
циклом.
	Обеспечение автоматизированной выдачи результатов ре-
шения целевых баллистических задач на устройства вывода,
в баллистическую базу данных (ББД) и потребителям.
106---

Глава 1
________________________Рисунок 1.14______________________
Иерархическая структура АКП
----- 107

Глава 1
 Возможность иметь различные режимы функционирования:
— автоматический (выключение задач по истечении задан-
ного времени);
-централизованный (формирование и запуск задач в соот-
ветствии с технологическим планом (циклом));
- автономный (запуск задач оператором-баллистиком в ин-
терактивном режиме).
	Возможность иметь простой и инвариантный язык взаимо-
действия оператора с комплексом.
	Обеспечение мультидоступа оператора к АКП в терминаль-
ном режиме в соответствии с его приоритетом.
	Обеспечение взаимодействия целевых баллистических задач
с баллистической базой данных, а также сбор и хранение
информации, поступающей по каналам связи, с ведением
протоколов взаимодействия.
	Функционирование в операционных средах различных ЭВМ.
	Функционирование при помощи аппарата приема-передачи
данных в сети ЭВМ.
	Гарантия надежного функционирования и независимости от
несанкционированного доступа.
	Обеспечение универсальности структуры комплекса относи-
тельно различных целевых баллистических задач.
Требования к управляющей программе (монитору)
комплекса
	Обеспечение мультипрограммного режима запуска и реше-
ния задач.
	Обеспечение сетевой (многотерминальной) работы операто-
ров в соответствии с их приоритетами.
	Возможность вывода результатов решения задач на устрой-
ства отображения информации.
	Ориентирование на интерактивное взаимодействие операто-
ра с целевыми баллистическими задачами с помощью удоб-
ного набора простых директив.
	Централизация работ в соответствии с алгоритмом последо-
вательности решения задач.
	Организация аппарата ведения протокола о работе АКП и
получения о нем статистических данных.
108 --

Глава 1
	Возможность использования средств операционной системы
на уровне команд, экстракодов.
	Гарантия минимальных временных характеристик синхрони-
зации, диспетчеризации, инициализации и завершения задач.
	Возможность подключения библиотечного набора программ.
Языковые средства для создания специального и общесистем-
ного программно-математического обеспечения имеют большое
значение при разработке АКП. Это связано с тем, что они сущест-
венно влияют на такие характеристики ПО как объем, наглядность и
удобство; мобильность; инвариантность; надежность; временные
характеристики, а также уровень использования возможностей ОС
для обеспечения работы АКП и решения баллистических задач.
При выборе языковых средств АКП предпочтение отдается языку вы-
сокого уровня, с помощью которого можно описать алгоритмы обра-
ботки данных комплекса. Но элементы специального и общесистем-
ного программно-математического обеспечения неадекватны. Специ-
альное программно-математическое обеспечение (целевые задачи)
носит характер вычислений различных параметров с высокой (необ-
ходимой) точностью и обладает сравнительно несложной логикой.
В то время как общесистемное программно-математическое обеспе-
чение строится на логических алгоритмах управления целевыми зада-
чами и их интерфейса с ОС. В этой связи специальное и общесистем-
ное программно-математическое обеспечение реализуются с помо-
щью разнородных языковых средств.
1.6.3. Автоматизированный банк
баллистических данных
Дальнейшее развитие, повышение эффективности и уровня
автоматизации систем управления КА вызвало настоятельную
необходимость разработки и использования автоматизированных
банков данных.
Автоматизированный банк данных (БнД) - организационно-
техническая система, представляющая собой совокупность баз
данных пользователей, технических и программных средств
формирования и ведения этих баз и коллектива специалистов,
обеспечивающих функционирование системы.
---- 109

Глава 1
Массив данных (точнее — именованная совокупность данных,
отображающая состояние объектов и их отношений), хранимый в
вычислительной системе, называют базой данных. База данных
вместе с системой управления ею является составной частью
банка данных (рис. 1.15).
Банк баллистических данных предназначен для приема, хра-
нения, обработки и выдачи баллистической информации внеш-
ним абонентам.
Компоненты банка баллистических данных
	Базы данных СППД.
	База данных на «большой» ЭВМ.
	Локальные базы данных на рабочих станциях.
	Базы данных на сервере локальной вычислительной сети.
	Архив баллистической информации.
Персонал
______________________Рисунок 1.15_____________________
Традиционный состав банка данных
ПО ---

Глава 1
В соответствии с выбираемой стратегией построения банка
баллистических данных локальные базы данных на рабочих
станциях могут использоваться, главным образом, для следую-
щих функций.
1.	Хранение данных по отдельным объектам и системам в
течение заданных временных интервалов.
2.	Получение данных из центральной БД.
3.	Хранение промежуточных результатов вычислений.
4.	Хранение информации, необходимой пользователю рабо-
чей станции.
5.	Подготовка информации для записи в центральную БД.
Архив навигационно-баллистической информации (АНБИ)
предназначен для долговременного хранения начальных условий
и ИТНП. Каталог и буфер АНБИ являются оперативной частью
архива и хранятся либо на сервере в формате центральной БД,
либо на отдельной ПЭВМ ЛВС в формате локальных БД. При
любом варианте организации АНБИ должен обладать функцио-
нальными возможностями, обеспечивающими:
1)	долговременное хранение массивов ИТНП и НУ, приня-
тых в СППД баллистического центра, в соответствии со време-
нем хранения, определённым администратором БнД;
2)	режимы выгрузки массивов и каталога ИТНП и НУ из
АНБИ по указанию администратора, загрузку массивов ИТНП и
НУ из АНБИ в БД по запросам пользователей;
3)	ведение и поддержание каталога массивов ИТНП и НУ,
хранящихся в АНБИ (обеспечение соответствия каталога содер-
жимому архива), автоматизированный и операторский режимы
выгрузки массивов НБИ из БД в АНБИ по команде оператора для
всех КА, стоящих на обслуживании, с возможностью коррекции
списка выгружаемых массивов;
4)	ведение таблицы условий хранения, определяющей режи-
мы записи и хранения массивов ИТНП в АНБИ;
5)	запись и хранение БНИ в АНБИ в соответствии с табли-
цей условий хранения;
6)	реализацию функции реорганизации буфера и каталога
НБИ в БД в автоматизированном (неоперативном) режиме в со-
ответствии с таблицей условий хранения.
----- 111

Глава 1
При реорганизации решения, связанные с удалением инфор-
мации из БД, принимаются администратором.
Критерии реорганизации решения
	Достижение максимального времени хранения массивов
НБИ для конкретного типа КА.
	Достижение максимального количества сеансов ИТНП и НУ
по конкретному типу КА.
	Достижение максимального количества массивов НБИ в БД.
По мере заполнения буфера или по истечении заданного
промежутка времени информация из буфера сбрасывается сис-
темным администратором (ответственным за ведение централь-
ной БД) на сменные носители информации в виде таблиц БД или
файлов.
Переписанная на сменные носители информация удаляется
из архива, причем в отдельной таблице (каталоге) архива делает-
ся запись о типе информации, записанной на носитель (НУ или
ИТНП), начальной дате записанной на носитель информации, ко-
нечной дате записанной на носитель информации и серийном но-
мере сменного носителя.
Предусматриваются также процедуры восстановления по
ключам информации из архива на сменных носителях в архив БД
и БД текущей НБИ. Таким образом, производится резервное дуб-
лирование поступающей информации и облегчается процедура
поиска нужной информации в архиве на сменных носителях.
Удаление информации в БД текущей НБИ осуществляется с рабочих
станций пользователями, использующими данную информацию, либо
автоматически по истечению срока хранения. Удаление информации
из архива (в том числе и по истечению срока хранения) осуществляет-
ся только системным администратором.
Для обеспечения гибкости использования данных необходи-
мо учитывать два аспекта разработки баз данных.
1. Данные должны быть независимы от программ, исполь-
зующих их для того, чтобы данные можно было бы добавлять
или перестраивать без изменения программ.
112 ---

Глава 1
2. Должна быть обеспечена возможность запрашивать и
отыскивать информацию в базе данных без трудоемкого написа-
ния программ на обычном языке программирования.
Пользователей банка данных можно разделить на две груп-
пы по признаку постоянства общения с БнД (постоянные и разо-
вые пользователи). Пользователей БнД различают по уровню
компетенции, по форме представления запросов, с которыми они
обращаются к системе, а также по форме представления затребо-
ванной информации.
По этим признакам всех пользователей разделяют на поль-
зователи-задачи и пользователи-люди (пользователи-прикладные
программисты и пользователи-непрограммисты). У казанные
группы пользователей называют внешними пользователями БнД.
Основные требования внешних пользователей
к банку данных
	Обеспечение заданного уровня достоверности хранимой ин-
формации и ее непротиворечивость.
	Доступ к данным только пользователей с соответствующими
полномочиями.
	Удовлетворение актуальным информационным потребно-
стям внешних пользователей.
	Возможность хранения и модификации больших объемов
многоаспектной информации.
	Возможность поиска информации по произвольной группе
признаков.
	Удовлетворение заданным требованиям производительности
при обработке запросов.
	Возможность реорганизации и расширения при изменении
границ предметной области.
	Выдача информации пользователям в различной форме.
	Простота и удобство обращения внешних пользователей за
информацией.
	Одновременное обслуживание большого числа пользователей.
Банк данных - это информационная система, реализующая
Централизованное управление данными в интересах всех пользова-
телей автоматизированной системы, в состав которой она входит.
----- 113

Глава 1
Исходя из специфики организации и проведения вычислительных ра-
бот при решении задач НБО должна быть разработана информацион-
ная структура баллистической базы данных (ББД), состоящая из от-
дельных файлов данных, не связанных в сеть.
Состав баллистической базы данных
	Файл измерений текущих навигационных параметров
(ИТНП).
	Каталог исходных ИТНП.
	Файл обработанных ИТНП.
	Каталог обработанных ИТНП.
	Файл полиномной среды, полученной на основе аналитиче-
ской или численно-аналитической математической модели
движения КА.
	Файл таблиц узловых значений (ТУЗ) параметров движения
КА в некоторой системе координат, полученных на основе
численной математической модели движения (ЧММД) КА.
	Файл основных начальных условий (НУ).
	Файл промежуточных (текущих) начальных условий движе-
ния КА.
	Файл координат Луны, Солнца и других планет.
	Файл координат фазовых центров антенн траекторных изме-
рительных средств (ТИС).
	Файл форм выдачи результатов расчетов.
	Файл логических шкал сил (ЛШС).
	Файл текущих данных о КА.
	Файл параметров моделей атмосферы и гравитационного
поля Земли (ГПЗ).
	Файл технологических данных о системах КА.
	Каталог архива ИТНП.
Общая информационная и логическая (инфологическая) мо-
дель ББД приведена на рис. 1.16.
В качестве примера рассмотрим подробнее состав файлов
исходных ИТНП и полиномной среды.
Структура построения таблиц узловых значений и логиче-
ских шкал сил в начальных условиях движения КА представлены
ранее.
114 ---

Глава 1
________________________Рисунок 1.16_______________________
Модель предметной области оперативного НБО
----- 115

Глава 1
Файл исходных ИТНП состоит из справочных данных о се-
ансе (карточки) и собственно сеанса ИТНП.
Ключевые параметры, по которым данные
могут быть выбраны из ББД
	Номер сеанса ИТНП и номер КА.
	Номер витка и тип траекторно-измерительного средства.
	Номер измерительного пункта (ОКИК).
	Дата проведения сеанса ИТНП.
Структура файла исходных ИТНП представлена в табл. 1.12.
______________________ Таблица 1.12______________________
Вариант представления файла исходных данных ИТНП
Содержание поля записи	Тип поля
Номер сеанса ИТНП Номер КА Номер витка Тип ТИС Номер НИП Дата проведения сеанса Количество посылок Номер полукомплекта (ствола) ТИС Признак дополнительной записи сеанса Время включения специализированной ЭВМ ТИС Массив необработанных ИТНП	Ключ Ключ Ключ Ключ Ключ Ключ
Файл полиномной среды
	Справочные данные (номер КА, номер НУ, время НУ от вы-
бранной эпохи, например, 2010 г. и т.д.).
	Параметры движения КА (например, в неособенных пере-
менных) на некоторое фиксированное число интервалов.
	Интерполяционные коэффициенты.
	Время начала каждого интервала.
	Аргументы широты начала интервалов.
	Время начала и окончания всех интервалов (шагов).
Ключевыми параметрами файла полиномной среды являют-
ся номер КА и номер НУ. Логическая структура данного файла
представлена в табл. 1.13.
116---

Глава 1
Таблица 1.13______________________
Вариант представления файла полиномной среды
Содержание поля записи	Тип поля
Номер КА Номер НУ Время НУ от некоторой эпохи (например, 2010 г.) Время начала полиномной среды (начало первого интервала) Время окончания полиномной среды (начало последнего интервала) Число интервалов Номер витка НУ движения КА Аргумент широты Средние неособенные переменные, соответствующие НУ движения КА Номер витка, соответствующий началу каждого интервала в полиномной среде Полиномная среда	Ключ Ключ
При рассмотренном составе ББД в автоматизированном
комплексе программ БНО обеспечивается достаточная гибкость и
удобство пользования хранимыми данными.
Так, считывание карточек сеансов ИТНП можно произво-
дить по различным критериям поиска (ключевым параметрам),
например:
1) по номеру КА и интервалу номеров сеансов;
2) по номеру КА и интервалу дат.
При необходимости можно задать требуемый номер НИП,
тип измерительного средства, проводившего сеанс ИТНП. При
записи исходных ИТНП в баллистическую базу данных номер се-
анса, как правило, формируется автоматически, выдается на эк-
ран оператора-баллистика, а также документируется вместе с ха-
рактеристиками сеанса.
Задача ведения файла начальных условий позволяет выдавать на эк-
ран и на печать вычислительного средства основные и промежуточ-
ные (текущие) НУ в различных формах, переводить НУ из промежу-
точных в основные, удалять начальные условия из ББД.
----- 117

Глава 1
Область памяти в ББД для хранения промежуточных НУ ис-
пользуется в процессе решения баллистических задач, когда в
ходе варианта расчета (уточнения, определения, вычисления) об-
разуются новые начальные условия.
После тщательной проверки их качества полученные (вы-
бранные) НУ могут быть переведены в разряд «основных» и со-
ответственно переведены в область памяти в ББД основных на-
чальных условий.
Размер области памяти основных НУ существенно меньше области
памяти промежуточных (текущих) начальных условий, что способст-
вует существенному упрощению работы оператора-баллистика и
улучшению контроля над ключевыми параметрами орбиты в задан-
ные моменты времени.
Для каждого файла ББД должна быть разработана целевая задача со-
провождения файла, позволяющая визуально контролировать данные
файла с экрана вычислительного средства комплекса, в том числе, при
необходимости вносить изменения и удалять данные.
1.6.4. Навигационно-баллистические комплексы,
ориентированные на большие объемы
формально публичной информации
Требования к технологии
навигационно-баллистического обеспечения
в распределенной среде_________________________________
Интеграция информационных и вычислительных ресурсов в
единую среду и организация доступа к ним является одним из
важнейших направлений развития современных информацион-
ных технологий. Стремительное развитие глобальных информа-
ционных и вычислительных сетей ведет к изменению фундамен-
тальных парадигм организации и технологии НБО вследствие
развития распределенных информационно-вычислительных ре-
сурсов.
Технологии их использования получают все больший при-
оритет в практике НБО [7, 25]. При этом наблюдаются тенденции
исключительно к распределенной схеме создания, поддержания и
118 ---

Глава 1
хранения ресурсов БНО и выполнения на их базе вычислений. В
то же время, существует стремление к виртуальному объедине-
нию информационных и вычислительных ресурсов БНО на уров-
не предоставления доступа к ним.
На базе ресурсов сети единого поля информационных и вычислитель-
ных ресурсов НБО, способного стать универсальным и машинно-
независимым носителем баллистических данных и средством их об-
работки, можно постулировать принцип формирования.
В связи с этим одним из требований к автоматизированным
системам (АС) НБО является необходимость разработки меха-
низмов, обеспечивающих функционирование общей информаци-
онно-аналитической рабочей среды НБО. Острота вопроса наи-
более сильно ощущается в крупных АС НБО (больших системах),
а также в случаях, когда ресурсы распределены географически.
Следует напомнить о направлении создания так называемых
мобильных комплексов программ навигационно-баллистического
обеспечения (в том числе, например, о разработанном мобильном
языке программирования Фортран-ядро), проводившегося более
четверти века назад и позволившего в целом создавать автомати-
зированные комплексы программ НБО, легко переносимые на
вычислительные средства очередных поколений. В то время речь
шла о сокращении затрат и усилий на создание подобных ком-
плексов программ, ориентированных на конкретный тип вычис-
лительных средств. Здесь же обсуждается, прежде всего, пробле-
ма технологии использования и применения баллистико-навига-
ционных комплексов.
Тесная кооперация информационных технологий и предметных об-
ластей НБО способствует реализации процессов и их взаимодействия
на более глобальном уровне. Здесь информационные технологии иг-
рают важную роль в разработке базовой инфраструктуры реализации
технологического цикла НБО, в том числе в обеспечении среды для
представления результатов решений.
К настоящему времени большинство АС НБО формировали и про-
должают формировать информационные ресурсы исходя из принципа
----- 119

Глава 1
их приватности и ориентированности на внутреннее использование. В
условиях же реализации проектов, ориентированных на большие объ-
емы формально публичной информации, возникают проблемы опера-
тивного доступа к ресурсам и результатам.
Аналогичные проблемы существуют и в отношении вычис-
лительных ресурсов, которые, вследствие отсутствия надлежа-
щих сервисов, являются труднодоступными для большинства по-
тенциальных пользователей и поэтому часто остаются недогру-
женными, в то время как потенциальным потребителям
приходится довольствоваться своими локальными ресурсами, по-
рою плохо приспособленными с точки зрения технологии реше-
ния задач НБО.
Создание универсальной технологии, обеспечивающей доступ к сис-
темам хранения, поиска и обработки информации на основе распреде-
ленных информационно-вычислительных ресурсов, является одной из
важнейших задач интеграции информационной и вычислительной
среды НБО.
В рамках этой задачи помимо проблем модификации пер-
вичных информационно-вычислительных ресурсов организаций в
направлении их интеграции в единое информационно-
вычислительное пространство, стоит проблема разработки ос-
новных принципов организации такой среды с целью ее эффек-
тивного использования.
Соответствующая распределенная система организации дан-
ных и ресурсов НБО и реализация сервисов доступа к ним требу-
ет:
1)	создание служб, обеспечивающих публикацию баллисти-
ческих данных, поддержку их качества и аутентичности;
2)	поиск информации и доступ к метаданным;
3)	единый доступ к разнородным информационным и вы-
числительным ресурсам;
4)	контроль аутентификации и разграничение доступа;
5)	мониторинг ресурсов, анализ их загруженности и эффек-
тивности использования;
120 ---

Глава 1
6)	распределенное выполнение запросов и анализ распреде-
ленных данных.
Указанные механизмы составляют основу конвертирования данных
НБО в систему электронных библиотек данных, метаданных, алго-
ритмов и программ, вычислительных ресурсов. Создаваемые техноло-
гии должны предоставлять возможность для точного и адекватного
удовлетворения потребностей пользователей, формально обращаю-
щихся к одному и тому же ресурсу.
Комбинация возможности доступа к данным через базу метаданных,
службы каталогов и зарегистрированный набор методов обработки
позволяют решать задачи для создания единой среды обработки
данных.
Технологические аспекты реализации сервисов
навигационно-баллистического обеспечения
В современных условиях одним из актуальных и общих тре-
бований к автоматизированным системам НБО является опера-
тивность получения потребителями требуемой баллистической
информации в распределенной среде. Иными словами, возникает
необходимость создания эффективной системы обеспечения по-
требителей баллистической информации (ПБИ) сервисами НБО.
Функции сервиса НБО
	Выполнение в интересах ПБИ решений задач НБО.
	Непосредственное выполнение ПБИ операций, связанных с
решением задач НБО с использованием ресурсов АС.
	Доступ ПБИ к базе нормативно-справочной информации АС
НБО.
Архитектурные решения существующих АС НБО базируют-
ся, как правило, на реализации технологии клиент-сервер в рам-
ках архитектуры толстого клиента [7, 5]. Существенным недос-
татком указанного подхода к реализации АС НБО является необ-
ходимость инсталляции специального программного обеспечения
на компьютере клиента. Как правило, клиентская часть в этом
случае представляет собой отдельное программное обеспечение,
установка и поддержание которого в рабочем состоянии требует
-------------------------------------------------------- 121

Глава 1
также определенных затрат, установки драйверов для обращения
к серверу базы данных и т.д.
Результаты расчетов в виде обменных форм отправляются
потребителям с использованием также специальных систем пере-
дачи данных, применение которых обусловлено характеристика-
ми архитектурно-технологических решений АС НБО.
Особенности математических моделей, используемых в комплексах
программ потребителей, вызывают, в некоторых случаях, необходи-
мость решения в баллистическом центре специальных задач согласо-
вания математических моделей движения.
В последнее время увеличилось множество несовместимых
аппаратных архитектур, каждая из которых поддерживает мно-
жество несовместимых операционных систем, которые, в свою
очередь, управляют несовместимыми графическими пользова-
тельскими интерфейсами. Задача создания распределенных кли-
ент-серверных сред сталкивается с проблемой интеграции подоб-
ных разрозненных продуктов. В качестве альтернативы может
быть предложено технологическое решение, базирующееся на
архитектуре тонкого клиента, предполагающей выполнение всех
вычислений на высокопроизводительном сервере.
Одним из возможных и эффективных решений указанной проблемы
является использование Java-технологии [25] компании Sun
Microsystems, торговой маркой которой стал лозунг «The Networkls
The Computer» (Сеть - это компьютер).
Преимущества и особенности Java-технологии
1.	Цикл разработки программных средств с использованием
языка Java значительно сокращается в силу того, что Java являет-
ся интерпретируемым языком. Процессы компиляции, сборки и
загрузки модернизированы: теперь программу надо только от-
компилировать и «сразу» запускать.
2.-----Приложения переносимы на многие платформы. Однажды
написанное приложение не придется модифицировать под другие
платформы: оно будет работать без каких-либо изменений на
различных операционных системах и аппаратных архитектурах.
122 	

Глава 1
3.	Приложения надежны - Java «контролирует» обращения к
памяти.
4.	Приложения высокопроизводительны: несмотря на то, что
язык Java - интерпретируемый, код Java программы оптимизиру-
ется до фазы исполнения.
5.	Поддержка системы многопоточности позволяет создавать
параллельно исполняемые взаимодействующие «легковесные»
процессы.
6.	Приложения настраиваемы под изменяющееся окружение:
возможна динамическая загрузка программных модулей из любо-
го места в сети.
7.	Пользователи могут быть уверены в безопасности прило-
жений, даже если в них загружен программный код из любого
места в Internet. Исполняющая система Java имеет встроенную
защиту от вирусов и попыток взлома.
В качестве базовой технологии для реализации сервисов НБО в рас-
пределенной среде может быть использована Java Platform Enterprise
Edition (Java EE). Java ЕЕ определяет стандарт для разработки много-
уровневых корпоративных приложений, а также упрощает разработку
распределенных приложений за счет использования стандартизован-
ных модульных компонент и обеспечения полного набора сервисов
для этих компонент.
1.7. Центры компетенции
навигационно-баллистического обеспечения
космическими средствами
В работах [3-5] предложена стратегия управления конкурен-
тоспособностью корпораций ракетно-космической промышлен-
ности (РКП) РФ на основе создания и применения ключевых
компетенций.
Цели и задачи стратегии
1.	Обеспечение рационального распределения бюджетных и
инвестиционных ресурсов на основе применения разработанных
--- 123

Глава 1
инструментов и усовершенствованных экономических методов
управления компетенциями и конкурентоспособностью.
2.	Создание методологии, позволяющей эффективно управ-
лять конкурентоспособностью и компетенциями и вести оценку
проводимого в соответствии с этим инструментами и механизма-
ми управления.
3.	Разработка инструментов и механизмов управления кон-
курентоспособностью корпораций ракетно-космической про-
мышленности РФ на основе создания и применения ключевых
компетенций.
4.	Развитие сети центров компетенций в РКП.
5.	Адаптация передового мирового опыта управления, кон-
курентоспособностью, знаниями и компетенциями в РКП с уче-
том российских реалий и опыта передовых российских корпо-
раций.
Этапы порядка реализации стратегии
Этап 1. Разработка поправок в нормативно-правовые и ме-
тодические документы на уровне корпораций, которые бы дали
основу для внедрения вышеизложенных принципов.
Этап 2. Должна быть создана информационная база знаний
и компетенций на уровне корпораций РКП или (что представля-
ется наилучшим) на уровне отрасли.
Этап 3. Разработка и апробирование плана мероприятий,
которые обеспечат внедрение в практику инструментов и эконо-
мических методов.
Комплекс мер по повышению конкурентоспособности в рамках ком-
петентностного подхода к осуществлению инновационных разработок
и генерации новых идей может быть разбит на укрупненные катего-
рии, каждая из которых использует определенные организационные
средства и механизмы. Базовым элементом стратегии является созда-
ние центра компетенций.
Центр компетенций - особая организационно-структурная
единица, выполняющая функции по сбору данных, информации и
знаний в рамках какой-либо компетенции и координация их
трансфера всем заинтересованным сторонам в рамках как реак-
124 --

Глава 1
тивной (в ответ на запросы), так и реализующей принцип перти-
нентности (ответа на имплицитные потребности, скрытые за за-
просом) и проактивной (полностью инициативной) модели.
Информационной основой деятельности центра компетен-
ций являются три взаимосвязанных гиперкуба, объединяющих в
системе компетенций все основные виды информационных ре-
сурсов - данных, информации и знаний.
Компетенция - это синергетическая система знаний, правил,
нормативных регламентов и методов достижения определенных
целей и задач.
Данные являются наиболее простым видом информационных ре-
сурсов. Хранилище данных представляет собой гиперкуб, система-
тизирующий данные в разрезе организационных субъектов, кадров,
объектов.
В качестве значений (объекта хранения) в хранилище ис-
пользуются разнообразные факты (показатели): стоимость, тру-
доемкость, ресурсоемкость, объем производства, численность за-
действованного персонала, данные контроля качества, исполь-
зуемые нормативы й т.д.
Хранение информации организовано также в виде гиперку-
ба, причем в нем сохраняются все базовые измерения, как и в
предыдущем случае, но его содержание обычно имеет текстовый
формат представления.
Наибольший интерес представляет третий гиперкуб, кото-
рый содержит компетенции в форме документированных проце-
дур выполнения процессов, методик, инструкций, методов реше-
ния различных задач и проблем. Главная проблема в том, что
компетенция не является синонимом определенной методики или
навыка, она позволяет эффективно решать большой круг близких
задач, значит, относится одновременно к нескольким процессам,
методикам и т.д. В таких ячейках куба данных хранятся фреймы
знаний.
В гиперкубе «Данные» знания имеют свое однозначное ме-
сто с привязкой к соответствующему процессу, подразделению,
ресурсу и т.д.
----- 125

Глава 1
В гиперкубе «Информация» одно и то же знание может от-
носиться к разным категориям (измерениям), т.е. многократно
дублироваться в ячейках гиперкуба.
Наконец, компетенции вообще не могут быть однозначно
привязаны к измерениям. Этот процесс носит динамический ха-
рактер, когда некое знание, изначально привязанное к определен-
ным измерениям (обычно по факту основного применения), мо-
жет быть привязано к другим знаниям путем занесения соответ-
ствующих данных в слоты.
Использование технологии многомерных кубов позволяет получать
срезы данных в любом измерении и фиксировать данные одновремен-
но по данным, информации и компетенциям.
Создание центра компетенций, вообще, и центров компетен-
ции навигационно-баллистистического обеспечения космических
средств, в частности, является ключевым для реализации сле-
дующих элементов стратегии:
 создание исследовательских и производственных консор-
циумов;
	организационная поддержка современных методов генера-
ции идей;
	внедрение элементов корпоративного венчуринга;
	создание системы лицензирования;
	организация бизнес-процессов с целью повышения конку-
рентоспособности конкретных производств и производст-
венных линеек.
Комплекс мер по повышению конкурентоспособности в рамках пол-
ного жизненного цикла может быть разбит в соответствии со стадия-
ми разработки и эксплуатации изделий. Для повышения конкуренто-
способности важно в той или иной степени внедрить описываемый
комплекс.
Центр компетенций навигационно-баллистического обеспе-
чения космических средств (Центр компетенций НБО КС) - это
особая структурная единица Организации, контролирующая важ-
126 ---

Глава 1
нейшее направление деятельности в разрезе баллистических и
навигационно-баллистических компетенций.
Целью деятельности Центра компетенций НБО КС является сбор,
хранение, защита, распространение и создание новых знаний НБО КС,
а также нахождение способов их максимально эффективного приме-
нения, координации НИОКР корпораций по направлению создания
программно-аппаратных средств НБО.
В своей деятельности Центр компетенций руководствуется
действующим законодательством, настоящим положением, ло-
кальными нормативными актами, приказами и распоряжениями,
действующими в Организации, указаниями ее генерального ди-
ректора.
Центр компетенций возглавляет руководитель центра. Руководитель
Центра компетенций назначается на должность и освобождается от
занимаемой должности генеральным директором корпорации. На
должность руководителя Центра компетенций назначается лицо,
имеющее высшее профессиональное образование и опыт работы по
руководству разработкой и эксплуатацией программно-математиче-
ских комплексов навигационно-баллистического обеспечения косми-
ческих средств.
Состав Центра компетенций, как правило, утверждается генеральным
директором или уполномоченным им лицом. Центр компетенций НБО
КС не имеет внутренних подразделений. В его состав входит Совет
Центра компетенций, состоящий из высококвалифицированных спе-
циалистов-баллистиков предприятий интегрированной структуры,
имеющих многолетний опыт работы по созданию программно-
математического обеспечения комплексов НБО. При необходимости
на базе Центра компетенций формируются рабочие группы специали-
стов по отдельным направлениям выполняемых проектов.
Основные типовые задачи
Центра компетенций НБО КС
1.	Разработка программно-математического обеспечения
(ПМО) НБО навигационных КА глобальных навигационных
спутниковых систем (системы ГЛОНАСС, GPS, Compass/Beidou,
SBAS, IRNSS).
----- 127

Глава 1
2.	Разработка ПМО НБО низкоорбитальных геодезических
космических систем типа Гео ИК, Муссон-П, Ресурс-П.
3.	Решение задач орбитального построения спутниковых
систем.
4.	Разработка методов определения орбит и требований к
измерительному комплексу.
5.	Решение задач маневрирования на орбите (задач целена-
правленного изменения характеристик орбитального движения.
6.	Разработка схемы полета (траектории движения) КА.
7.	Расчет освещенности, трассы и положения КА относи-
тельно небесных тел.
8.	Решение задач краткосрочного и долгосрочного прогнози-
рования орбит, срока существования на орбите.
9.	Расчет орбит КА с учетом действия возмущений гравитаци-
онного поля, атмосферы, солнечного давления и других факторов.
10.	Расчет районов посадки в штатных и нештатных ситуа-
циях при возвращении спускаемых аппаратов с орбит.
11.	Решение баллистических задач по приведению отделяе-
мых блоков PH и частей в заданный район.
12.	Решение задач спуска с орбиты пилотируемых и беспи-
лотных ЛА.
13.	Расчеты по баллистическому проектированию систем
аварийного спасения, определения режимов движения спасаемой
части.
14.	Баллистический анализ нештатных ситуаций на участке
выведения, разработка баллистических схем выхода из них.
15.	Расчет попадающих траекторий ракет космического на-
значения и полетных заданий.
16.	Расчет районов падения отделяемых частей ракет-
носителей.
17.	Исследование и расчет рассеивания характеристик дви-
гательных установок, обоснование функционалов, управляющих
работой двигателя.
18.	Анализ возмущающих факторов и возмущенных траек-
торий движения.
19.	Расчет предельных возможностей ЛА (дальности полета,
диапазона достижимых высот при маневре, гарантийных запасов
топлива).
128 ---

Глава 1
20.	Оценка влияния малых изменений основных проектно-
баллистических параметров на ТТХ космических средств.
21.	Расчет программных функций для управления движени-
ем центра масс на активных участках полета (при выведении, ор-
битальном маневрировании).
22.	Расчет программных функций для управления угловым
движением (относительно центра масс) на активных участках по-
лета.
23.	Расчеты по обоснованию основных проектно-баллисти-
ческих параметров.
24.	Уточнение параметров геофизических моделей внешних
сил (гравитационного поля, атмосферы Земли и других) и реше-
ние других задач.
Основные направления исследований
Центра компетенций НБО КС
1.	Разработка, внедрение и сопровождение методического
обеспечения по способам построения автоматизированных ком-
плексов программ систем НБО на основе применения современ-
ных методов космической баллистики, современных и программ-
но-аппаратных средств, способов информационного обмена, ме-
тодов оценки экономической эффективности.
2.	Определение параметров движения КА и РБ по измерени-
ям наземных командно-измерительных комплексов, автономной
системы радионавигации КА, с возможностью комплексирования
измерений различных средств.
3.	Высокоточное определение координат наземных объектов
по сообщениям спутниковых навигационных систем.
4.	Расчет параметров орбитальных маневров при межорби-
тальных перелетах, коррекции траектории, спуске с орбиты при
использовании двигательных установок различных типов.
5.	Высокоточное прогнозирование параметров движения
различных типов КА с учетом заданных требований по точности
и оперативности.
6.	Расчет унифицированных видов баллистической и навига-
ционной информации для планирования управления и примене-
ния КА, сопровождения КА наземными и орбитальными средст-
вами, оценки космической обстановки и ее сопровождения.
--- 129

Глава 1
7.	Контроль состояния баллистических структур систем КА,
расчет параметров управления движением КА для решения задач
приведения, удержания, защитного маневрирования и перехвата.
8.	Расчет баллистических и навигационных данных для ком-
плексной оценки наземной и космической навигационной обста-
новки в интересах потребителей.
9.	Оценка точности измерений наземных и бортовых
средств, юстировка измерительных средств.
10.	Оценка точности геодезической привязки измерительных
средств, уточнение фазовых центров антенн.
11.	Комплексный анализ по системному развитию коорди-
натно-временного и навигационного обеспечения гражданских и
специальных потребителей с использованием КА ГНСС.
12.	Исследование влияния на точность прогнозируемой ко-
ординатно-временной информации (КВИ) различных способов
учета возмущающих факторов, в том числе неопределенного или
стохастического характера и оптимальных условий использова-
ния априорных оценок при определении искомых параметров
модели движения КА.
13.	Исследования и разработка перспективных методов и
технологий определения эфемеридно-временной информации
(ЭВИ) и частотно временных поправок НКА ГНСС.
14.	Разработка методик и технологий мониторинга качества
эфемеридно-временной информации навигационных космических
аппаратов (НКА) отечественных и зарубежных ГНСС.
Функции Центра компетенций
для выполнения возложенных на него задач
1.	Мониторинг актуального состояния управления знаниями
в организации в части баллистики и навигационно-баллисти-
ческого обеспечения и предоставление соответствующих мате-
риалов потребителям, допущенным ими пользоваться.
2.	Выявление, формализация и распространение неявных
или новых знаний организации по НБО.
3.	Слежение за новшествами в баллистических технологиях
и появлением новых тенденций в навигационно-баллистическом
обеспечении космических средств.
130 --

Глава 1
4.	Сбор и описание знаний, полученных холдингом в ходе
выполнения конкретных проектов по НБО.
5.	Создание и управление базами баллистических данных и
базами баллистических знаний организации: их ведение, обнов-
ление, интеграция, создание удобных поисковых механизмов и
картотек.
6.	Обеспечение коммуникаций между допущенными пользо-
вателями и экспертами, которые владеют необходимыми знания-
ми.
7.	Обеспечение защиты интеллектуальной собственности
холдинга.
8.	Обучение новых сотрудников организации, передача им
накопленного опыта.
9.	Распространение накопленных центром знаний по всей
организации как в инициативном порядке, так и в случае их вос-
требованности.
10.	Участие в определении текущей потребности в высоко-
квалифицированных кадрах в части НБО на основе изучения и
анализа бизнес-процессов в организациях интегрированной
структуры.
11.	Поддержка постоянной связи с соответствующими орга-
низациями и высшими учебными заведениями по вопросам под-
готовки и повышения квалификации специалистов по НБО.
12.	Участие в организации корпоративных мероприятий по
НБО.
Обязанности, права и ответственности должностных лиц Центра ком-
петенции НБО космических средств (КС) определяются, как правило,
специальным Положением Центра компетенции навигационно-
баллистического обеспечения КС.
Осуществленный к середине 1990-х гг. всесторонний системный
анализ накопленного опыта различных видов обеспечения автоматизи-
рованного управления PH и КА ракетно-космической отрасли, позволил
-----131

Глава 1
сформулировать комплекс фундаментальных проблем и задач, состав-
ляющих теоретические основы разработки навигационно-баллисти-
ческого обеспечения космических полётов.
В последующие годы были проанализированы специфические черты
и особенности НБО как сложной системы, выполнен структурно-
функциональный анализ технологического процесса НБО объектов
различного назначения. Подобный подход позволил в целом решить
важнейшие вопросы повышения уровня автоматизации совокупности
отдельных технологических операций (суть - конкретных баллистиче-
ских задач и их отдельных компонентов) не только на этапе оператив-
ного решения целевых задач, но и на этапе баллистического проекти-
рования при разработке конкретных КА и систем.
Системное рассмотрение целей и решаемых задач автоматизирован-
ной системой навигационно-баллистического обеспечения управления
космическими объектами позволило определить место НБО в летно-
баллистическом эксперименте.
Анализ инвариантного контура управления сложными динамиче-
скими объектами, вообще, и обобщенного инвариантного контура
управления космическими аппаратами, в частности, совместно с
морфологической схемой измерительных задач определил возмож-
ность рассмотрения принципов построения комплекса программно-
математических средств НБО, структуры автоматизированного ком-
плекса программ, инфологической структуры банка баллистических
данных, а также технологических требований к рассматриваемым
комплексам программ, ориентированным на большие объемы фор-
мально публичной информации.
Особое место при рассмотрении общей характеристики и современ-
ного состояния системы НБО ракетно-космических объектов занимают
вопросы повышения конкурентоспособности организаций РКП на осно-
ве создания и применения ключевых компетенций, к которым непо-
средственно относятся наукоемкие компетенции специалистов навига-
ционно-баллистического обеспечения.
Разработанная в [3-5] стратегия управления конкурентоспособно-
стью корпораций ракетно-космической промышленности Российской
Федерации на основе создания и применения ключевых компетенций
базируется на формировании центров компетенции, в том числе в рас-
сматриваемой предметной области.
Целью деятельности Центра компетенций навигационно-баллисти-
ческого обеспечения космических средств (НБО КС) является сбор,
хранение, защита, распространение и создание новых знаний НБО КС,
132 ----

Глава 1
а также нахождение способов их максимально эффективного примене-
ния, координации научно-исследовательских и опытно-конструктор-
ских работ организации (корпорации) по направлению создания про-
граммно-аппаратных средств НБО.
Рассмотрение задач, решаемых отмеченным центром, как особой
структурной единицы организации, позволяет контролировать важней-
шее направление деятельности в разрезе баллистических и навигаци-
онно-баллистических компетенций.
Литература
1.	Лысенко Л.Н., Бешанов В.В., Звягин Ф.В. Теоретические основы
баллистико-навигационного обеспечения космических полетов. М.:
МГТУ им. Н.Э. Баумана. 2014. 518 с.
2.	Тюлин А.Е., Бешанов В.В. Летные испытания космических объек-
тов. Определение и анализ движения по экспериментальным дан-
ным. Научная серия. Редактор серии А.Е. Тюлин. М.: Радиотехника.
2016. 332 с.
3.	Тюлин А.Е. Теория и практика управления компетенциями, опреде-
ляющими конкурентноспособность интегрированных структур. М.:
Спектр. 2015. 312 с.
4.	Тюлин А.Е. Повышение конкурентоспособности инновационно ак-
тивных предприятий на основе создания и применения ключевых
компетенций. Дисс. на соискание уч. степени д.э.н. М.: РУДН.
2017. 383 с.
5.	Тюлин А.Е., Островская А.А., Чурсин А.А. Основы управления ин-
новационными процессами в наукоемких отраслях промышленно-
сти. М.: Инновационное машиностроение. 2015. 290 с.
6.	ГЛОНАСС. Принципы построения и функционирования / Под ред.
А.И. Перова, В.Н. Харисова. М.: Радиотехника. 2012. 797 с.
7.	Байрамов К.Р., Бешанов В.В., Ступак Г.Г., Урличич Ю.М. Управ-
ление космическими объектами. Методы, модели и алгоритмы ре-
шения некорректных задач навигационно-баллистического обеспе-
чения. М.: Радиотехника. 2012. 360 с.
8.	Бешанов В.В., Янчик А.Г. Навигационно-баллистическое обеспече-
ние испытаний и применения космических аппаратов. Учеб, посо-
бие / Под ред. Б.И. Глазова. М.: РВСН. 1993. 176 с.
9.	Бешанов В.В. Введение в теорию решения обобщенных некоррект-
ных задач навигационно-баллистического обеспечения управления
космическими аппаратами. М.: РВСН. 1997. 365 с.
10.	Бешанов В.В., Кудряшов М.И. Практические подходы к решению
некорректных задач с приложениями к навигационно-баллисти-
---- 133

Глава 1
ческому обеспечению управления космическими аппаратами. На-
учно-метод. материалы. М.: РВСН. 1997. 134 с.
11.	Иванов Н.М., Лысенко Л.Н. Баллистика и навигация космических
аппаратов. М.: Дрофа. 2004. 544 с.
12.	Основы испытаний летательных аппаратов / Под ред. Е.И. Кринец-
кого. М.: Машиностроение. 1989. 312 с.
13.	Элъясберг П.Е. Определение движения по результатам измерений.
М.: Наука. 1976. 416 с.
14.	Ломако Г.И. Экспериментальная баллистика космических аппара-
тов. СПб.: ВИККА им. А.Ф. Можайского. 1997. 454 с.
15.	Брандин В.Н., Васильев А.А., Куницкий А,А. Экспериментальная
баллистика космических аппаратов. М.: Машиностроение. 1984.
264 с.
16.	Разоренов Г.Н. Введение в теорию оценивания состояния динами-
ческих систем по результатам измерений. М.: МО. 1981. 272 с.
17.	Романов В.Н. Техника анализа сложных систем. СПб.: ЛЕМА.
2011.287 с.
18.	Степанов М.Г. Введение в теорию смещенного оценивания пара-
метров движения космических аппаратов по ограниченным дан-
ным. СПб.: ВИККА им. А.Ф. Можайского. 1993. 135 с.
19.	Практикум по дисциплине «Баллистическое обеспечение космиче-
ских полетов». СПб.: ВИККА им. А.Ф. Можайского. 1995. 124 с.
20.	Худяков С.Т., Жданюк Б.Ф., Брандин В.Н. Летные испытания ракет
и космических средств. Учебник. М.: В А им. Ф.Э. Дзержинского.
1968. 588 с.
21.	Вейцелъ В.А., Поваляев А.А., Жодзишский А.И. и др. Радиосистемы
управления. Учебник для вузов. М.: Вузовская книга. 2014. 416 с.
22.	Макаренко Д.М., Потюпкин А.Ю. Системный анализ космических
аппаратов. Учебное пособие. М.: МО РФ. 2007. 331 с.
23.	Чечкин А.В. Математическая информатика. М.: Наука. 1991. 416 с.
24.	Зарубин В.С. Математическое моделирование в технике. Учеб, для
вузов. Изд. 3-е. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана. 2010. 495 с.
25.	Бешанов В.В., Байрамов К.Р., Кудряшов М.И. О дополнительных
технологических требованиях к навигационно-баллистическим
комплексам, ориентированным на большие объемы формально
публичной информации // Изв. РАРАН. 2009. № 4(62).
134 -----

ГЛАВА 2
Методы
статистического оценивания
и идентификации
сложных динамических объектов
Определение движения космических аппаратов по измерениям текущих
навигационных параметров (ИТНП) эквивалентно столь же широко исполь-
зуемому понятию определения их вектора состояния по результатам внешне-
траекторных измерений.
Целевая задача определения параметров движения (ОПД) КА реализу-
ется на основе применения специализированного пакета программ (СПП),
предназначенного:
-	для определения (уточнения) параметров движения КА по измерени-
ям текущих навигационных параметров в различных вариантах и режимах;
-	для вычисления статистических характеристик сеансов ИТНП отно-
сительно прогнозируемой орбиты;
-	для расчёта и выдачи отклонений параметров уточненной орбиты
(траектории) от параметров прогнозируемой.
Как правило, при решении задачи ОПД накладываются ограничения на
количество используемых сеансов измерений текущих навигационных пара-
метров, на количество измерений в отдельном сеансе и спектр учитываемых
возмущений, который определяется используемой математической моделью
движения (ММД) КА, а также на состав компонентов оцениваемого вектора
состояния (ОВС) и др.
В качестве исходных данных для определения параметров движения
используются:
-	прогнозируемые (расчетные) начальные условия (НУ) движения КА;

Глава 2
-	прошедшие предварительную обработку (ПрО) сеансы ИТНП («обра-
ботанные» сеансы измерений);
-	координаты измерительных средств;
-	дополнительные данные (параметры ММД, технологические данные
по КА и др.).
Выходные данные целевой задачи
определения параметров движения КА
-	Уточненные начальные условия движения КА и другие заданные для
расчета параметры вектора состояния (например, баллистический коэффици-
ент, коэффициенты модели гравитационного поля Земли, параметры отра-
ботки включения двигательной установки и др.).
-	Суммарные поправки к уточняемым параметрам (по всем итерациям).
-	Характеристики качества сеансов ИТНП.
-	Прогноз движения КА на заданный интервал времени (для низкоор-
битальных КА, как правило, 8.. .9 витков).
Основным элементом СПП определения параметров движения КА яв-
ляется управляющий модуль (программа), который осуществляет обращение
к вычислительным модулям в соответствии с алгоритмом решения, взаимо-
связь с программой-монитором (управляющей программой всего автомата’
зированного комплекса программ НБО), базой баллистических данных и
СПП ММД. Модуль управления организует расчеты на очередном шаге (ите-
рации) задачи ОПД.
Взаимодействие между оператором и программным комплексом осу-
ществляется посредством данных, задаваемых в установках комплекса перед
запуском (для организации расчетов «по умолчанию») и директиве операто-
ра-баллистика на запуск целевой задачи в решение (при использовании бал-
листической экспертной системы (БЭС)) и за счет диалога, возможного после
завершения очередной итерации (сближения).
Основные принципы разработки методов, моделей, алгоритмов, а также
программ для решения задачи ОПД КА непосредственно связаны с требова-
ниями, предъявляемыми к характеристикам решения, и с различными осо-
бенностями реализации общей схемы их нахождения.
Как правило, требования к решению задачи определения параметров
движения КА по точности, оперативности и надежности в общем случае не-
совместимы и противоречивы, что является одной из главных причин боль-
шого многообразия различных методов решения рассматриваемой задачи.
136------

Глава 2
2.1.	Оценки и их свойства
□ Оценка - численное значение функции результатов измерений,
построенной в соответствии с некоторым методом их обработки.
Найденные конкретные значения оценок параметров дви-
жения объектов являются случайными величинами, меняющи-
мися при повторных измерениях в соответствии с функцией рас-
пределения этих случайных величин. Поэтому задача оценивания
параметров движения включает не только определение по данной
выборке конкретных значений оценок, но и определение функции
плотности вероятностей этих случайных величин или хотя бы не-
которых параметров этой функции.
Поскольку оценка является статистикой (функцией измери-
тельной информации), то для описания ее свойств применима и
характеристика статистик - состоятельность, несмещенность,
эффективность и др.
Состоятельность________________________________________
Оценка qQ называется состоятельной, если при неограни-
ченном увеличении объёма выборки измерений она стремится по
вероятности к действительному значению оцениваемого пара-
метра q$:
lim(P|<7o-?o|<£) = l-
TV—>оо v
Метод оценивания называется состоятельным, если оценки,
получаемые с его помощью, сходятся к действительному значе-
нию с увеличением числа наблюдений. Поскольку состоятель-
ность в значительной мере является асимптотическим свойством,
то отсюда не следует, что точность - монотонная функция объема
выборки N, т.е. даже если оценка состоятельна, добавление неко-
торого числа наблюдений отнюдь не всегда увеличивает точ-
ность. Рисунок 2.1 иллюстрирует состоятельность по вероятно-
сти. Для любых ц > 0 и е > 0 может быть найдено такое N , что
----- 137

Глава 2
^|?о-?о| е
I-------+“
N*
N3
________________________Рисунок 2.1 ______________________
Графическое представление изменения вероятности погрешности
оценки с увеличением объема выборки измерений
кривая расположится ниже значения ту при всех N > N*. Для вы-
бранных е и г/, N2 и N3 удовлетворяют определению, а еще
недостаточно велико.
Несмещённость_________________________________________
Оценка называется несмещённой, если выполняется условие
т.е. математическое ожидание оценки q0 равно истинному значе-
нию оцениваемой величины qQ.
Оценка является асимптотически несмещённой в случае, ес-
ли выполняется условие
Шп(Л/{?0}) = ^0.
/V—>оо
Может показаться, что несмещенность и состоятельность связаны
друг с другом, но на самом деле это различные, не следующие одно из
другого свойства оценок (рис. 2.2).
Следует иметь в виду, что площадь под графиком распреде-
ления вероятности остаётся равной единице, т.е. кривые на гра-
фиках изображены в различном масштабе.
138 ---

Глава 2
______________________Рисунок 2.2 ___________________
Плотность распределения вероятности оценок,
иллюстрирующая их свойства
Эффективность__________________________________________
Различные методы оценивания дают возможность получать
оценки различной точности и с различными свойствами. Метод
оценивания, позволяющий оценивать параметры с минимальной
дисперсией, «дает» эффективные оценки.
Несмещённая оценка qQ называется эффективной, если её
дисперсия минимальна на множестве всех возможных методов
статистической обработки данной выборки измерений:
П(<7о)=>пйп и M(q0) = q0.
Асимптотическая эффективность
Оценка называется асимптотически эффективной, если
lim (Z){<70}) = min.
Чем меньше дисперсия оценки, тем с большей определенно-
стью можно сказать, что оценка находится вблизи действитель-
-------------------------------------------------------- 139

Глава 2
ного значения оцениваемого параметра (если пренебречь смеще-
нием).
Любая оценка является случайной величиной.
ПРИМЕР. Рассмотрим задачу оценивания высоты полёта КА,
находящегося на круговой орбите по измерениям высоты полёта h
в А точках.
Дано:
Пусть действительная высота полета КА имеет значение h, при-
чем измерения имеют вид
й, =h + Sh^ i = l,2,...,N
и математическое ожидание случайного процесса шумов измере-
ния имеет нулевое значение M[£fy] = 0, а дисперсия - некоторое
заданное значение D [<5Д- ] = <т2.
Требуется оценить свойства оценки величины h.
В качестве оценки будем использовать среднее арифметическое
измеряемых величин:
причем ее математическое ожидание равно истинной высоте:
м[й]=1£а/[м=й.
Отсюда видно, что получаемая оценка не смещена.
Дисперсия оценки
1 N	2
ф]АУ О[й,] = —, lim £>[й] = 0 .
N2 А ' N n^>
/=1
Применим известное неравенство Чебышева:
Р(|Х-7ИХ|>
8
тогда
р(1й-й|>^)<-А,
8 N
т.е. оценка h состоятельна.
140 -----

---- Глава 2
2.2.	Метод наименьших квадратов.
Общее определение
Метод наименьших квадратов (МНК) широко используется
при обработке результатов экспериментов и наблюдений в раз-
личных прикладных задачах (например, [1, 15]). В эксперимен-
тальной баллистике этот метод нашел применение при определе-
нии траекторий полета ракет и космических объектов. МНК ис-
пользуется также при решении разнообразных навигационных
задач.
Широкое распространение МНК объясняется тем, что он [15] сравни-
тельно прост в вычислительном отношении, требует для своего ис-
пользования минимальной информации об условиях эксперимента (в
частности, при обработке результатов измерений не требуется знать
закон распределения ошибок измерений) и при определенных услови-
ях обеспечивает получение несмещенных оценок, обладающих также
и другими оптимальными свойствами.
Идею метода наименьших квадратов выдвинули независимо
друг от друга выдающиеся математики К. Гаусс и А. Лежандр,
впервые применившие этот метод для решения задач определения
орбит небесных тел по результатам наблюдений. В 1805 г. в работе
«Новые методы определения орбит комет» А. Лежандр писал:
«После того как полностью использованы все условия задачи, не-
обходимо определить коэффициенты так, чтобы величина их
ошибок была наименьшей из возможных. Для этого нами указан,
вообще говоря, простой метод, который состоит в отыскании
минимума суммы квадратов ошибок».
Другими словами, А. Лежандр определял неизвестные парамет-
w
ры из условия минимизации суммы вида	где под ц в со-
г=1
временной терминологии понимаются невязки. В те времена ис-
пользовались и другие подходы к решению подобных задач. Так, в
1792 г. П. Лаплас применял критерий, согласно которому неиз-
вестные параметры следует находить из условия
тт£|7,|.
/=1
----- 141

Глава 2
а в 1831 г. О. Коши предложил принцип минимакса, в соответствии
с которым неизвестные параметры находятся из условия миниму-
ма величины максимальной невязки.
Первая работа К. Гаусса по применению метода наименьших
квадратов была опубликована в 1809 г., однако сам Гаусс настаи-
вал на своем приоритете использования этого метода с 1795 г. В
дальнейшем он внес большой вклад в исследование и обоснование
свойств оптимальности оценок, получаемых по методу наимень-
ших квадратов, а также разработал удобную вычислительную схе-
му для данного метода, широко применявшуюся вплоть до середи-
ны XX в., когда появление цифровых машин революционизирова-
ло технику вычислений.
Немалую роль в развитии метода наименьших квадратов сыгра-
ли также отечественные ученые. Так, А.А. Маркову принадлежит
доказательство в достаточно общем виде знаменитой теоремы об
оптимальных свойствах оценок метода наименьших квадратов
(теорема Гаусса-Маркова). В 1946 г. академик А.Н. Колмогоров
предложил геометрическую интерпретацию идеи метода наи-
меньших квадратов на языке многомерной геометрии.
2.3.	Метод наименьших квадратов
в линейных задачах оценивания
2.3.1.	Линейная регрессионная задача
статистического оценивания и идентификации
Дано:
1.	ММ ДС G:
х = Л(/)х(/), x(r0) = x0 gXcR\
Матрица Л/(/,г0) характеризует аналитические свойства систе-
мы (модели движения):
x(t) = A/(r,Z0)x0.
2.	ММ ИС
1)	план измерений Р:
y(/) = B(z)x(/), у(/) = Л?(/,/0)х0,
где
142 -----

Глава 2
5? = {5?(Л)>5?(^)>	-
Размерность вектора измерений у п = кт.
2)	Условия опыта Q:
-	способ комбинации ошибок измерений у = у + h ;
-	структура оценок измерения h = ЛСист + Д>луч»
-	свойства ошибок измерений:
вариант 1:
относительно Л информация отсутствует;
вариант 2:
л/[4луч] = о;
вариант 3:
известна корреляционная матрица ошибок измерений Кн;
вариант 4:
/2сист либо неизвестна, либо ее величина равна нулю.
3.	Выборка результатов измерений Z:
Z = {zx,z2,...,zk}.
4.	Априорная информация А:
как правило, отсутствует.
5.	Критерий качества К:
«мнк =	=> min >	(2-1)
где p = z-y - невязка; W - весовая матрица.
Схема измерительной задачи представлена на рис. 2.3.
2.3.2.	Типовая задача определения параметров движения
центра масс космических аппаратов
Типовая задача определения параметров движения центра
масс КА, реализуемая на практике, как правило, в виде специали-
зированного пакета программ в автоматизированном комплексе
программ (АКП) навигационно-баллистического обеспечения
(НБО), это:
1)	определение (уточнение) параметров движения центра
масс (ЦМ) КА по измерениям текущих навигационных парамет-
ров (ИТНП) в различных вариантах и режимах;
----- 143

Глава 2
Рисунок 2.3
Схема задачи оценивания (измерительной задачи):
x(f) - вектор состояния. Метка * означает реальное движение КА и ре-
альный процесс измерений; z (/) - вектор измерений; р(х) - плотность
распределения вероятности исходных параметров движения (или их
оценок); ХО - моделированные измерения в z-й момент времени; р(Н) -
плотность распределения вероятности погрешностей измерения;
а(х,/) - показатель качества оценивания; х0 - оценка начальных зна-
чений (условий) вектора состояния х0.
144------

Глава 2
2)	расчет суммарных поправок к параметрам орбиты;
3)	вычисление статистических характеристик сеансов ИТНП
относительно прогнозируемой траектории и аппроксимирующих
полиномов;
4)	расчёт параметров прогноза движения на заданное число
витков (как правило, на интервал витков между циклами уточне-
ния параметров орбиты).
При решении задач определения параметров движения
(ОПД) накладывается ряд ограничений на совокупность задавае-
мых данных:
1)	максимальное количество используемых сеансов ИТНП;
2)	максимальное количество измерений в сеансе;
3)	спектр учитываемых возмущений, определяемых исполь-
зуемой математической моделью движения КА;
4)	состав оцениваемого вектора состояний и другие.
Как правило, вектор состояния КА включает 6 параметров
движения. При решении задачи идентификации в вектор состоя-
ния дополнительно включается баллистический коэффициент,
коэффициент светового давления и др. Входные и выходные па-
раметры при решении краевой задачи представлены на рис. 2.4.
2.3.3.	Геометрическая интерпретация
метода наименьших квадратов
Геометрическая интерпретация метода наименьших квадра-
тов, предложенная А.Н. Колмогоровым (1946), кратко может
быть сформулирована следующим образом.
1.	Измеренный вектор у и оцениваемый вектор у могут
быть получены из следующих соотношений:
у = Фх0;	(2.2)
у = Фх0,	(2-3)
£1 - A-мерное пространство; N = к*т , к- число моментов изме-
рений, т - размерность вектора измерений.
2.	Из рис. 2.5 видно, что у и у лежат в одной плоскости
А-мерного пространства.
----- 145

Глава 2
ПНУ	Краевая задача (задача ОВС)	УНУ. дополнительные параметры
Обработанные ИТНП		j=l
Координаты		
измерительных средств Дополнительные данные у*		Характеристики сеансов ИТНП (<Tq, Д, аи)
		ПРГ УНУнаДУв
_________________________Рисунок 2.4 ________________________
Состав входных и выходных данных
при решении краевой задачи (задачи ОВС):
ПНУ (прогнозируемые начальные условия движения), обработанные
ИТНП, координаты ОКИК (отдельных командно-измерительных ком-
плексов); УНУ - уточнённые НУ. Дополнительные параметры:
i
S6 или К; Дх, - сумма поправок в ПНУ; / - число итераций краевой
задачи; <т0 - среднеквадратическое отклонение относительно орбиты;
ап - относительно номинала; Д - среднеарифметическая составляю- .
щая; ПРГ - прогноз движения по УНУ; АУВ - число витков;
ОВС - определение вектора состояния
________________________Рисунок 2.5________________________
Геометрическое представление
формирования МНК-оценок
146 -----

Глава 2
3.	Вектор НУ х0 можно было бы найти из соотношения (2.2)
обратным преобразованием. Но истинное значение у неизвестно.
В нашем распоряжении только у* =y + h (где у* - конкретная
реализация измерительных функций, далее обозначается z ).
4.	Оценка х0 может быть получена из (2.3), но для этого на-
до первоначально определить у.
5.	Правило нахождения у возможно с использованием мето-
да наименьших квадратов. Оценка вектора измерений опреде-
ляется проектированием y*(z) на гиперплоскость L{. В евклидо-
вом пространстве эта операция (нахождение проекции) заключа-
ется в опускании перпендикуляра из конца вектора у на
плоскость L,. Тогда вектор невязок ту перпендикулярен плоско-
сти Ц. Перпендикулярный к данной плоскости вектор ту имеет
наименьшую длину среди всех возможных векторов, откуда сле-
дует условие
=> min,
что является частным случаем критерия качества (2.1) при W= Е.
2.3.4.	Алгоритм линейной задачи
метода наименьших квадратов
В векторно-матричном виде критерий МНК выглядит так:
ifWfj => min,
где fj - вектор невязки измерений; W - матрица весовых коэф-
фициентов, характеризующих «долю участия» разноплановых
измерений (различного типа с различными погрешностями изме-
рений). При формировании оценки уточняемых параметров
«МНК = hTWh=(z-y) w(z-у) = (г-Фх0) №(г-Фх0),
= б;=>ФтИ'(г-Ф5о) = О=>ФтИ/Фхо =ФТИ7? ,
йх0
----- 147

Глава 2
откуда
V(®W‘ фти^,
где Фт1ГФ = смнк - матрица Грама (симметричная матрица).
Матрица существует не всегда (например, при detCMHK = 0).
При реальных испытаниях эта ситуация может возникнуть, например,
когда неверно выбран спектр измерений. При этом система в терми-
нах теории динамических систем может оказаться ненаблюдаемой.
Варианты применения метода наименьших квадратов
Вариант 1. Измерения одного типа проводятся в одинаковых ус-
ловиях одинаковыми средствами. Тогда можно считать, что W=Е,
*0 =
^МНК = ФТФ
Вариант 2. Измерения разного типа, проводятся различными
измерительными средствами в различных условиях. Обозначим
матрицу корреляции погрешностей измерений Кн. Тогда
W = K^,
*0 ~ ^КШкФТ^Н^>
где Смнк = ФТ£ЯФ.
2.3.5.	Точность МНК-оценок
Считаем, что погрешность измерения
h = £ИРТ + £TIVU
Обозначим
Д = С^КФТ^;
х0 = Dz = Dy*,
где у - эвентуальное (виртуальное) зашумлённое измерение;
z - его конкретная реализация из выборки у = у + йсист + h№ri.
148 --

Глава 2
Оценим математическое ожидание:
Лфо} = DM{у*} = Dy + DM{hmcT} + DM {йИ1уч};
^{^сист} — ^СИСТ ’ ^{^случ}- О'
Тогда
М{i0} = (ф W)'1 Фт^ф4 + DhCKC1 = х0 + DhCHCT .
Оценка по МНК смещённая, так как есть hCHCT. Математиче-
ское ожидание не совпадет с истинным значением.
Определим корреляционную матрицу:
Ki0 =	-*о)(А> - *о )Т } = м {(Ду* -*о)Т} =
= М|(Dy + Dhcsly4 -х0)(рр + ПЛслуч - х0)Т};
Ду = £>Фх0=х0;
=м{(^)(р4луч)Т} = ^{йслучйстлуч}/>т =DKHD\
Выберем W = Кн} ; тогда
*4 = DKHDy = КцКн ^^Ф^мнк = СмнкОлнк Ошк = Ошк •
Е	Е
При равноточных измерениях W=E, Смик = ФТФ.
Если известна точность измерительных средств, разброс
оценок может быть определён заранее (до проведения сеансов
измерений) и будет равен См’нк.
2.3.6.	Статистические свойства МНК-оценок
1.	Несмещённость МНК-оценок. Как следует из результата
анализа математического ожидания МНК-оценок, в линейной за-
даче МНК-оценивания оценки не смещены, если отсутствуют
систематические составляющие ошибок измерений.
----- 149

Глава?
2.	Эффективность оценок. Согласно теореме Гаусса-Мар-
кова, несмещённые МНК-оценки обладают минимальной диспер-
сией, т.е. являются эффективными в классе всех линейных не-
смещённых оценок. Другими словами, в принципе можно оты-
скать оценки лучше, чем МНК-оценки (при соблюдении
исходных допущений относительно условий опыта), но только в
нелинейных задачах оценивания.
3.	Закон распределения МНК-оценок. Так как оценка пред-
ставляет собой случайную величину, то наиболее полные сведе-
ния о ней заключены в вероятностном законе распределения. При
произвольном распределении ошибок измерений, о законе рас-
пределения оценок однозначно судить невозможно. Однако, как
видно из формулы расчетов, в линейной задаче оценивания
МНК-оценки определяются в результате линейного преобразова-
ния измерительной информации
z: х0 = Dz ,
где D - известная несмещённая величина.
В теории вероятностей доказывается, что если вектор z рас-
пределён по нормальному закону, то его линейное преобразова-
ние приводит к тому, что и оценка х0 также нормально распреде-
лёна. Для других законов распределения вектора z подобные за-
ключения не получены. Однако известно, что, в соответствии с
центральной предельной теоремой, при большом числе измере-
ний, когда N -» оо (N - число измерений), распределение оценок
х0 является асимптотически нормальным.
Для выполнения центральной предельной теоремы необхо-
димо также, чтобы:
1) ошибки измерений были попарно независимыми;
2) ошибки измерений имели примерно одинаковые диспер-
сии.
Во многих практических ситуациях знание математического ожида-
ния и ковариационной матрицы оказывается достаточным для
полной характеристики вектора оценок х0.
150------

Глава 2
Примеры линейных задач МНК-оценивания
Простейшая задача регрессионного анализа
Дано:
1. ММД:
G: х = 0, х(/0)=х0=а0;
2. ММ ИС:
S: y(t) = x0=a0= const;
Р: Га ={/,.}*; m=l;
Z: z = {zt}k;
Q: <r% (дисперсия погрешности измерений) - известна.
«мнк =2^(2/ -а0)2 =>н™ ;	= 0;
м	da0
-2X(z--ao)=O; =Zz<-; ao=|2Lz- •
/=1 /=1 к /=1
Таким образом, метод наименьших квадратов для данного при-
мера совпадает с методом арифметического среднего, причем
Геометрические пояснения
к простейшей задаче регрессионного анализа
----- 151

Глава 2
Классическая задача линейного регрессионного анализа_________
Дано:
1. ММД
G: x = ai; х(?0) = а0.
2. ММ ИС
S: y(t) = a0 + att.
Введем вектор х0={а0,а1}; размерность векторов измерения и
оценивания т = 1; п = 2;
Z: z={z(}*;
Q: crj* - известна.
«МНК =S(Z' ~Я'/))2 =S(Z/	-Я]/,)2 =>min;
z=l	i=l
d<?MHK _q. даМнк _q.
da0	daj
к классической задаче регрессионного анализа
152 -----

Глава 2
к
Z=1
к
. /=1
* h
i=l
к	к
ъ и
. Z=1	Z=1
тогда
к	(к • Y
A = det^ = k^tf -
z=l	V Z=1 >
Видно, что МНК-оценки в данном примере неравноточны и
коррелированы.
2.4.	Метод наименьших квадратов
в нелинейных задачах оценивания
Нелинейная регрессионная задача
статистического оценивания динамической системы
Дано:
1.	ММ ДС G:
х = f(x,t) -система нелинейных ДУ;
х0 - неизвестен или неизвестно его начальное приближение.
------------------------------------------------ 153

Глава 2
2.	ММ ИС:
План измерений Р:
Ги =	“ интервал измерений;
- момент измерений;
y{t) - вид измеряемого параметра.
Уравнение измерений S:
=	; dimy = y = THx£,
где т - размерность вектора измерений; к - число моментов изме-
рений.
Под сеансом ИТНП понимается сеанс измерений одного типа
(например, только дальности до объекта), проведенных одним из-
мерительным средством в сеансе связи с КА. Практика обработки
ИТНП показала эффективность такой технологии расчетов. По-
добный подход связан с возможностью классификации погрешно-
стей измерений, следовательно, отбраковки аномальных и прида-
ния веса отдельным однотипным измерениям, проведенным в оди-
наковых условиях.
3.	Условия опыта Q:
у (О = у(/) + Л(/); М/) = ЛСИСТ+Л ,
где у* (г) - теоретическая модель измерения; z - реальный вектор
измерений.
4.	Выборка результатов измерений Z:
5.	Априорная информация А: обычно отсутствует.
6.	Критерий качества оценивания К:
Требуется:
найти х0 => min амнк , W ~ К]} .
Общий вид алгоритма оценивания
«мнк = rfwn =(z -y)TW(z - j?) = (f -	))т W(z -	)),
77 - вектор невязок;
154 -----

Глава 2
д^(£(£0,/0),^)
жот
^[z-^(x(x0,/0),?,)] = 6
у = <р{х} = (р[х^)+^-	(x-xjz))+... - разложение в ряд Тей-
5*0 . .</)
*0 хо
лора;
где Az = 0>(хо) - приращение измерений; I - номер итерации.
«мнк О) = [дг -Ф(/)Ах^]Т К~н' [Д2-Ф(/)Дх^]; =>
Дх« = [ф^^я’Ф0’]'1
В итоге формируется оценка на очередной итерации
хГ=х« + Дх«.
Схема алгоритма получения нелинейных МНК-оценок пред-
ставлена на рис. 2.8.
На практике используют, как правило, три критерия завершения
итерационного процесса:
1)	одновременное выполнение всех неравенств
|Дх^|<г(у = й);
2)	выполнение неравенства
(когда х0 содержит однородные компоненты, например, когда х, у, z);
3)	выполнение неравенства
<Еа.
Причины «расхождения» («несхождения»)
процесса формирования оценок
1.	Неверный выбор первого приближения хОнач.
2.	«Плохая» обусловленность матрицы Грама. Оинк может
не существовать (т.е. не обращаться). При этом целесообразно
анализировать характеристику матрицы Грама - Cond С.
----- 155

Глава 2
_______________________Рисунок 2.8______________________
Алгоритм получения нелинейных МНК-оценок
156 -----

Глава 2
Cond С — число обусловленности матрицы как отношение
максимального собственного числа матрицы к её минимальному
значению.
3.	Наличие аномальных измерений.
4.	Неверные априорные данные об ошибках измерений и
ММД.
5.	Некорректный выбор метода расчёта частных производ-
ных.
6.	С целью снижения вычислительных затрат матрицу влия-
ния на каждой итерации не рассчитывают (элементы уточняют не
на каждом шаге, а несколько реже), что приводит к дополнитель-
ным ошибкам.
2.5.	Метод наименьших модулей
Закон распределения Лапласа*
Предположим, что относительно ошибок измерений, пред-
ставленных случайной величиной Л, ничего неизвестно, кроме
того, что они случайны, аддитивны и обладают постоянной дис-
персией , математическим ожиданием mh = 0.
В теории информации степень неопределённости характери-
зуется энтропией
Н= J p(h)]np(h)dh,
p(ti) - плотность распределения случайной величины h.
Задача сводится к описанию такой функции плотности веро-
ятности случайной величины й, при которой энтропия будет мак-
симальной:
рх (й) = arg тахЯ(р(й)).
Пьер Симон Лаплас (1749-1827), Франция. С 1802 г. - почётный член
Санкт-Петербургской академии наук. В 1792 г. предложил МНМ.
----- 157

Глава 2
Необходимо также учесть некоторые ограничения:
px(h) > 0 при -оо < h < оо ;
оо
| px{h)dh = 1;
-оо
оо
Jhpx (h)dh = 0 (т.е. математическое ожидание nh - 0 );
—00
00
Jh2px (h)dh = <j% = const.
-00
Нормальный закон распределения Гаусса
Заменяя интегралы на суммы и пользуясь методом неопре-
делённых множителей Лагранжа, при поиске максимума функции
//можно получить решение
h2
Р\^ = ~Т=—е 2°h •
л/27ГСТл
Будем считать, что теперь переменная.
Такая модель процесса измерений имеет полное право на существова-
ние, поскольку на практике часто точность измерительных средств не
остаётся постоянной, а изменяется случайным образом под влиянием
внешних воздействий. Проблема под держания стабильности характе-
ристик измерений является одной из важнейших практических задач,
решение которых пока ещё далеко от завершения.
Если пользоваться рассмотренным выше подходом к опре-
делению закона распределения случайной величины h в
новых условиях, то, прежде всего, следует восстановить вероят-
-	..	2
ностныи закон изменения ее дисперсии crh при условиях, кото-
рые были описаны:
158 -----

Глава 2
= <^р >
О
где Pd^) - плотность вероятности распределения дисперсии.
В условиях минимальной информации закон распределения
дисперсии pD(<Tfy) должен быть похожим на нормальный закон
Гаусса:
Так как дисперсия сг^ случайной величины h - переменная,
необходимо провести осреднение всех возможных функций точ-
ности распределения р(л,сг^) по параметру
p2W) = ^p(h,a2h)pD(cr2h)d<T2h,
о
Решая эту задачу, получим закон распределения Лапласа:
W
р2(й) = —-—е /'ср (-оо<Л<оо).
2%
Алгоритм метода наименьших модулей
На основе критерия
«МНМ
/=1	V=1
—>min,
где - вес; aiv - частные производные от измеряемого пара-
метра, был предложен a-алгоритм Ремеза (1957 г., доклад акаде-
мии наук УССР). В.И. Мудров и В.Л. Кушко в 1970-е гг. на ос-
нове результатов Е.Я. Ремеза предложили свой алгоритм обра-
----------------------------------------------------- 159

Глава 2
ботки данных. При этом критерий обработки был модифициро-
ван:
амнк
wi
п
zi ~~
v=l
(2-4)
где к - число измерений; V] -
- весовой множитель
(в более сложном случае - матрица).
При переходе к решению задачи (2.4) веса оказываются неизвест-
ными, поскольку зависят от определяемых параметров х0, но они мо-
гут быть найдены в процессе решения задачи оценивания по МНК,
только поиск этого решения становится многошаговым.
Алгоритм метода наименьших модулей
Этап 1. Для вектора определяемых параметров х0 задаётся
начальное приближение	• Счётчик обнуляем: I := 0.
Этап 2. Вычисляется приближение для весовых коэффици-
ентов:
где
с - const,
с = 0,
если
если
1‘1 <
1*1 > £.
Этап 3. Решается задача оценивания по МНК и находится
очередное приближение Хц+}^, удовлетворяющее критерию (5.4)
при весовых коэффициентах, полученных на этапе 2.
160 --

Глава 2
Этап 4. Определяется рассогласование	.
Этап 5. Проверяется условие окончания итерационного
процесса, например,
H?l< ^V(vv=i,«) •
Если все неравенства выполняются, то процесс уточнения
начального приближения для х0 завершается, в противном слу-
чае изменяется значение счётчика I := I +1 и осуществляется пе-
реход к этапу 2.
Эффективность метода наименьших модулей
Известно, что для линейных задач оценивания при соблю-
дении условий центральной предельной теоремы МНК-оценки
обладают минимальной дисперсией (теорема Гаусса-Маркова).
В иных ситуациях эффективность методов оценивания можно
определять, сравнивая дисперсию оценки с показателем
Рао-Крамера:
ст?
r _ Qmin
где ст? - дисперсия полученной оценки уточняемого параметра
а; ст?^ - нижняя граница дисперсии оценки.
_______________________Таблица 2Л _______________________
Асимптотическая эффективность методов обработки
с использованием МНК и МНМ
Метод обработки	Закон распределения погрешности измерения	
	Гаусса	Лапласа
МНК	1	0,5
МНМ	2 — «0,0637 л	1
----- 161

Глава 2
При оценке некоторого параметра а
IptapW'l .(АМ1
J к да J
—00 
* к да J
Из данных табл. 2.1, полученных на основе обработки изме-
рений различными методами, видно, что МНМ-оценки обладают
большей робастностью (устойчивостью к изменению исходных
данных), чем МНК-оценки.
2.6.	Метод максимального правдоподобия.
Условия оптимальности ММП-оценок
Рассмотрение метода получения оценки максимального
правдоподобия начнем с определения.
Оценка х0 называется оценкой максимального правдоподо-
бия (МП-оценкой), если величина х0 удовлетворяет условию
£(x0) = max£(x0|z),
хо
где XQ - множество возможных значений, которые, по условию
задачи, могут быть приписаны параметру х0, а х0 - оценка па-
раметра х0.
Смысл этого критерия состоит в том, что если оцениваемому
параметру х0 приписать значение х0, то плотность вероятности
имеет максимальное значение при фиксированной реализации
выборки (реально полученной в эксперименте).
Полученная выборка измерений становится максимально правдопо-
добной. Следовательно, в принципе МП отражена идея полного дове-
рия, с которой исследователь относится к полученным эксперимен-
тальным данным z.
162------

Глава 2
Плотность вероятности выборки измерений может рассмат-
риваться в двух аспектах:
P(x0/z) —► х0 -> var, z -> const, тогда она рассматривает-
\	ся как функция правдо-
\	подобия £(x0/z)
х0 —> const, z —> var
Укажем лишь на отличия данной постановки задачи (ПЗ) от
аналогичной ей, которая была сформулирована для задачи МНК в
линейной регрессионной задаче статистического оценивания ди-
намических систем (СО ДС).
1. В ММ ИС, где рассматривались условия опыта Q. свойст-
ва случайных ошибок измерений заданы в наиболее полном виде,
а именно: известен вероятностный закон их распределения p(h).
2. Вследствие предыдущего отличия в постановке задачи
изменён и критерий качества оценивания - максимум функции
правдоподобия
«ммп = £(*o/z) тах Р(Л) •	(2.5)
Исходя из этого условия требуется найти оптимальную
оценку вектора начального состояния х0.
Сформированная ПЗ позволяет сделать вывод о том, что структура ал-
горитма оценивания ММП зависит от вида функции правдоподобия
(2.5), которая, в свою очередь, определяется принимаемым законом
распределения ошибок измерений р (h).
В качестве примера рассмотрим некоторые возможные вари-
анты законов распределения ошибок измерений.
Алгоритм линейного оценивания
методом максимального правдоподобия
в предположении нормального закона распределения
погрешности измерений___________________________________
Известно, что функция плотности многомерного нормального
закона распределения имеет вид
----- 163

Глава 2
р(Л) = (2л-) 2 |Х’Н| 2 ехр|-—hTKH}hj,	(2.6)
где = б - математическое ожидание случайного вектора h;
Кн - известная ковариационная матрица этого вектора.
Используя информацию об аддитивности ошибок измерений
z={y*}; у =y+h
и линейную структуру уравнений измерений
S: у = Фх0; ^ = Ф*0,
сделаем замену переменных:
Л=у*-ФЯ0
и от ошибки измерений перейдём к невязке:
7 = 2-Фх0.
Запишем функцию правдоподобия в виде
г(£0/г)=ПНЯ);
z=l
/а / \	_1	(1 j
£(x0/z) = (2тг) 2 |Л?Я| 2 ехр|-—7jTKH[h\ =
JV _1	( 1	т	1
= (2л-) 2 |^я| 2 ехр|--(г-Фх0) /Ся(г-Фх0)|.
Поскольку нормальный закон имеет функцию плотности экспо-
ненциального вида, перейдём к ее натуральному логарифму:
«ммп = 1п£(4Л) =
V	1	1	Т	(2.7)
= -—1п(2л-)--1прС„|--(г-Фх0) ^'(2-Фх0)^шах;
Z	Z	Z
dlnr(i0/z)
5i0T
Так как первые два слагаемых постоянны, то уравнение правдо-
подобия принимает достаточно простой вид:
^(-2)Фт^(г-Фхо) = О(
откуда получаем оцениватель ММП:
164 -----

Глава 2
^СммпФ^Л	(2.8а)
гДе СММП=ФТ^'Ф.
Сравнивая полученный результат с алгоритмом оценивания
МНК для случая, когда известна ковариационная матрица оши-
бок измерений, легко заметить их полную идентичность. Анало-
гично можно показать, что точность ММП оценок описывается
ковариационной матрицей:
Ч=Сммп-	(2.86)
Иногда встречается утверждение, что МНК - это частный случай
ММП при нормальном законе распределения ошибок измерений. На
самом деле это не так, поскольку совпадают только алгоритмы оцени-
вания одного из вариантов МНК и одной из реализаций ММП.
Кроме того, МНК и ММП основываются на совершенно различных
критериях оценивания: у МНК критерий имеет геометрический
смысл, а ММП исходит из критерия вероятностной природы.
Если предположить, что закон измерения распределён по Лапласу,
то алгоритм получения оценки совпадает с методом наименьших
модулей.
Алгоритм линейного оценивания
методом максимального правдоподобия
в предположении закона Лапласа
распределения ошибок измерений
Для упрощения анализа предположим, что измерительный вы-
ход в линейной задаче оценивания одномерен. Напомним, что за-
кон Лапласа для скалярной случайной величины описывается
функцией плотности
p(ti) = —-—е СТАср .
2%
Совместная плотность распределения вектора ошибок Л =
на дискретном спектре моментов измерений в условиях повторной
выборки записывается таким образом:
----- 165

Глава 2
*	( к	А	Г к I/» I
И/0=Пр(м=2~* П< ехр’
/=1	\ /=1	/	( /=1 ^ср,-
где к - число моментов измерений.
Функция плотности также экспоненциального типа, поэтому
целесообразно записать натуральный логарифм функции правдо-
подобия:
- ошибка измерения
^i=y*-yi=yi -E"'vxov;
- невязка
п
V—1
£(хоЛ)=П;’(77-);
/=1
£(x0/z) = 2-‘[jJ£r^LXp.	 =
\ i-l )	/=1	^ср,-
ехр
п
Zi ~	' ^iv^Ov
v=l
k
£(xo/z)=~k ln 2 - Eln %,
7=1
Воспользоваться необходимыми условиями экстремума этой
функции в данной задаче не представляется возможным, посколь-
ку она не дифференцируема по своим аргументам xOv, (v = l,w).
Вместе с тем, нетрудно заметить, что ln£(x0/z) —> max , когда
к
п
. ^iv^Ov
К 1	п
7=1 ^р,-	V=1
Вводя весовые коэффициенты (по очевидным соображениям)
1
,
ahcpi
166 —

Глава 2
получим
к
аммп2 =
/=1
=> min,
*0
что полностью совпадает с критерием МНМ.
Метод максимального правдоподобия
в нелинейных задачах оценивания
Непосредственная проверка показывает, что ММП в нели-
нейных задачах оценивания приводит к таким же сложным вы-
числительным процедурам как и МНК, МНМ.
Действительно, например, для ММП в предположении нор-
мального закона распределения ошибок измерений критерий
оценивания (2.7) принимает вид
«ММП = -у 1п(2я-)	|	-> max,
где 7 =	- нелинейная невязка.
Невязка - нелинейная и неявная функция оцениваемых пара-
метров. Очевидно аммп достигает максимума, когда минимальное
значение принимает величина «ммп = ifK^rj, что приводит к изу-
ченному ранее итеративному алгоритму МНК при W = Kf.
Условия оптимальности ММП-оценок
Сформулируем без доказательств обязательные требования к
функции правдоподобия, при которых ММП-оценка скалярного
вида будет наилучшей (оптимальной). Эти требования называют
ещё условиями регулярности функций правдоподобия или усло-
виями оптимальности ММП-оценок. Они состоят в следующем:
если £(#/z) - функция правдоподобия, построенная на повтор-
ной выборке z, то:
1ЧЖ	51п£	д21п£	~
1) функции —должны существовать, быть не-
д0 д&2
прерывными и ограниченными для любых г и 0;
----- 167

Глава 2
2) функция - ф 0;
502
3) функция —у—
д0}
должна существовать и быть ограниченной.
Общие свойства ММП-оценок__________________________
При соблюдении сформулированных условий регулярности
ММП оценки независимо от закона распределения ошибок изме-
рений обладают следующими статистическими свойствами.
Свойство 1. ММП-оценка 0 скалярного параметра 0 суще-
ствует и сходится к истинному значению параметра с вероятно-
стью />->1 при увеличении выборки измерений N ->оо (т.е. зада-
ча оценивания по ММП является регулярной), при этом оценка
находится из уравнения правдоподобия вида
£(#/z)—>тах или	= 0-
Свойство 2. Решение уравнения правдоподобия асимптоти-
чески нормально со средним значением м{в} = 0 (асимптотиче-
ские свойства нормальности и несмещённости оценки).
Свойство 3. ММП-оценка асимптотически эффективна; бо-
лее того, если эффективная оценка вообще существует, то она
может быть получена из уравнения правдоподобия. Таким обра-
зом, в общем случае ММП позволяет получать хорошие оценки в
условиях больших выборок.
Свойство 4. ММП-оценки обладают свойствами инвариант-
ности, т.е. если параметры 0 и q связаны взаимо-однозначной за-
висимостью q - Q(0), то такая же связь устанавливается и между
оценками этих параметров q = Q.{e).
Если процесс оценивания для параметра q по каким-то причинам за-
труднён, то задача оценивания ММП может быть решена для пара-
метра в (если она выглядит проще), а затем оценки пересчитываются
с помощью функциональной зависимости q = Q(0).
168------

Глава 2
Свойства ММП-оценок
в линейных регрессионных задачах оценивания
при нормальном законе распределения ошибок измерений_
Из вида оценок (2.8) и теоремы Гаусса-Маркова следует, что
при сформулированных допущениях ММП-оценки являются
наилучшими в классе линейных несмещённых оценок.
Покажем их совместную эффективность.
В соответствии с критериями (2.3) можно записать
In£(x0/z) = const - ^-(z - Фх0) K~^ (z - Фх0),
откуда
31п£	/к-
—3—-Ф Л?я(^-Фх0);
-3—Зу--Ф ^/7Ф“СММП-
UXqUXq
Информационная матрица Фишера примет вид
t(z\ |э21п£
Jlx0 \ = М\——^7-
ммп
или
J Л^о)” Оимп •
То, что	1(х0), говорит о совместной эффективности
ММП-оценок в линейных задачах оценивания в условиях нормально-
го закона распределения ошибок измерений (т.е. при соблюдении ис-
ходных предпосылок центральной предельной теоремы).
----- 169

Глава 2
2.7.	Метод минимального риска
Априорная информация________________________________
Рассмотрим байесовский подход к учёту априорной инфор-
мации.
□	Термин априорная информация понимается как в узком, так и в
широком смысле; в широком понимании - это все сведения до-
опытного характера (в том числе и математические модели ДС и
ИС), в узком понимании - это информация об определённых ве-
личинах, которой располагает исследователь до проведения
эксперимента (именно так будет использоваться этот термин и в
дальнейшем).
Способы представления априорной информации
	В виде области, ограничивающей возможные значения оп-
ределяемого параметра.
	В форме расчётных значений определяемого параметра.
	В виде законов распределения и др.
Однако в теории байесовского оценивания принято рассмат-
ривать такие динамические системы, у которых математическая
модель детерминирована, а вектор начального состояния случаен.
Тогда априорная информация об этом векторе должна иметь вид
вероятностного закона распределения.
При получении основных результатов теория байесовского
оценивания опирается на формулу Байеса.
Формула Байеса______________________________________
Впервые проблема учёта априорной информации была сформу-
лирована английским статистиком Томасом Байесом в его по-
смертно вышедшей работе «Попытка решения задачи в проблеме
случая» (1763). В законченном виде математический аппарат, по-
зволяющий учесть априорное распределение искомых параметров,
появился гораздо позже, уже в 1930-1940 гг. как часть теории ста-
тистических решений. Однако в честь его первооткрывателя он
был назван байесовским оцениванием.
Рассмотрим исходную предпосылку байесовских методов
оценивания - правило пересчёта априорной (доопытной) веро-
170 --

Глава 2
ятпности случайного события в её апостериорную (послеопыт-
ную) вероятность, - которое задаётся формулой Т. Байеса.
Пусть А, В - некоторые случайные события, зависимые меж-
ду собой, характеризующиеся в отдельности вероятностями по-
явления Р{Л} и Р{В}. Тогда вероятность совместного появле-
ния Р{Л,В} указанных событий
Р{А,В} = Р{А/В}Р{В} = Р{В/А}Р{А},	(2.9)
где Р{А/В], Р{В/А} - соответственно условные вероятности
появления события А при условии, что событие В уже наступило,
и наоборот.
Из (2.9) можно, например, записать
(2.10)
Р{В}
Если событие В произошло, то (2.10) можно использовать
для уточнения (пересчета) вероятности события А, которое связа-
но с событием В. Поэтому вероятности Р{А}, Р{В} называют
априорными вероятностями, а Р[А/В] - апостериорной веро-
ятностью события.
Использование формулы Байеса
в задачах оценивания динамических систем
Предположим, что динамическая система характеризуется
некоторым набором величин	(НУ параметров мо-
дели), которые непрерывным случайным образом могут изменять
свои значения.
До проведения эксперимента была известна совместная
плотность их распределения Ра(§). В результате измерений (на-
блюдений) получена выборка опытных данных z (некоторым об-
разом связанных с параметром §), с совместной безусловной
плотностью распределения вероятности PH(z), которая может
быть получена при известных статистических свойствах ошибок
измерений.
----- 171

Глава 2
Считается, что измеряемые и определяемые величины связа-
ны взаимно однозначной функциональной зависимостью, что по-
зволяет рассчитать условную плотность распределения вероятно-
сти Pac(z/o). Требуется на основе имеющихся данных уточнить
вероятностное распределение вектора в и получить апостериор-
ную плотность /^((9/z) при условии, что выборка результатов
измерений (наблюдений) z приняла фиксированное значение.
При решении сформулированной таким образом задачи бу-
дем исходить из того, что принятие случайной величиной непре-
рывного типа некоторого значения в малой окрестности этого
значения можно характеризовать вместо вероятности данного со-
бытия величиной функции плотности распределения вероятно-
стей. Тогда, по аналогии с формулой Байеса, запишем:
=	(2.11)
1рЛ2>
Условная плотность вероятности появления фиксированной
выборки z при конкретном составе параметров вектора в \
Рлс (г/0) есть не что иное как функция правдоподобия, поэтому
Р^/2) = ^Ы^ 	(2.11а)
На основе введенного понятия апостериорной плотности ис-
комого вектора 0 могут быть предложены различные критерии
оценивания (следовательно, и методы оценивания состояния ДС).
Рассмотрим универсальный подход к созданию таких алго-
ритмов СО динамической системы, который в литературе назы-
вается методом минимального риска (ММР).
Универсальный критерий байесовского оценивания
Метод минимального риска разрабатывался основополож-
ником современной теории статистических решений А. Валь-
дом в 1940-х гг. В его основу положен критерий универсально-
го вида:
172 ---

Глава 2
7?cpU) = j jr($,0)p(0,z)d0dz —>min,
ZQ
(2-12)
где p{o,z) - плотность вероятности совместного распределения
выборочных значений z е Z и оцениваемых параметров в е Q;
V(#,#) - функция потерь (штрафа, платы, риска) - известная де-
терминированная функция случайных аргументов в. в ; ^ср($) -
средний риск - безусловное математическое ожидание функции
потерь на множестве всех возможных значений z е Z и 0 е Q.
По аналогии с вышеуказанными формулами можно записать
P(0,z) = £(0/^Рл (0) = Рас (0/z)PH (z).
Подставляя данное выражение в (5.12), получаем
(2.12а)
zLq
Ввиду неотрицательности функции PH(z) при всех значени-
ях выборки z g Z минимум среднего риска будет при тех же зна-
чениях 0 g Q, что и для внутреннего интеграла, поэтому ММР-
оценка может быть получена из условия
Лусл(^=	(2.13)
Q
Функцию 7?усл($) называют условным риском, поскольку с
точки зрения теории вероятности она представляет собой услов-
ное математическое ожидание функции потерь (при фиксирован-
ной выборке результатов переменной z).
ММР не является методом статистического оценивания в привычном
понимании этого термина, поскольку его реализация зависит от выбо-
ра конкретного вида функции потерь .
----- 173

Глава 2
Виды функций потерь__________________________
В практике теории оценивания встречаются различные
функции потерь (рис. 2.9).
1.	Простая функция потерь
г(^)=1-^Л),
О, Ъ* 0,
<
00, 0 = 0
где £(#,#)
(является обобщением простой функции
потерь).
2.	Прямоугольная функция потерь
при |#у-6>„|<£v, Vv = l,n;
в противоположном случае.
3.	Квадратичная функция потерь
у(ё,ё} = (ё-0? w($-0),
где W - весовая матрица.
Несколько реже используются модульная, экспоненциаль-
ная, логарифмическая и другие функции потерь.
174 -----

Глава 2
Условия, которые необходимо соблюдать
при выборе функции потерь
Существование и единственность решения в задаче оцени-
вания (решаемость задачи).
Удовлетворительные статистические свойства оценок (каче-
ство оценок).
Простота вычислительной процедуры и ее устойчивость
(корректность задачи) и др.
Выбор функции потерь не может быть осуществлен заранее, посколь-
ку в задаче оценивания присутствуют и другие факторы (различные
законы распределения случайных величин).
2.8. Метод максимальной
апостериорной вероятности
Общая характеристика метода____________________________
Максимальное значение функции распределения вероятно-
сти принято называть модой.
ММАВ исходит из достижения максимума функции плотно-
сти апостериорного распределения вероятностей, т.е. оценка счи-
тается оптимальной при выполнении условия
0MMAB = argmax Рас (в/z).
(2-14)
________________________Рисунок 2.10______________________
Апостериорная плотность вероятности
----- 175

Глава 2
К критерию (2.14) можно прийти двумя различными путями.
1. ММАВ рассматривается как частный случай ММР при
простой функции потерь:
Тогда минимизация условного риска
(#/z)d0 =
=	р(^^)рас(^)^ = 1-Рас(ед^.
Q	Q
В силу свойства плотности функции и фильтрующего свой-
ства дельта-функции Дирака, исходная задача оценивания ММР
сводится к поиску наибольшего значения апостериорной плот-
ности.
2. ММАВ можно рассматривать как обобщение ММП, поль-
зуясь некоторой аналогией между критерием (2.14) и критерием
оценивания ММП:
0 =arg max£(#/x).
Q
Действительно, из формулы Байеса для задач статистическо-
го оценивания динамических систем (СО ДС) видно, что макси-
мум апостериорной плотности
Р.сШ =
£(г/0)Ря(0)
достигается в той же точке векторного пространства Q, что и
числитель этого выражения, поскольку знаменатель при фикси-
рованной выборке z обращается в положительное число, поэто-
му критерий (2.14) может быть записан также в виде
ЯммАВ =агё max{£(z/0)pa(0)}.	(2.15)
Q
176 -----

Глава 2
Другими словами, априорные сведения об оцениваемых па-
раметрах можно рассматривать как дополнительные измерения,
точность которых можно ввести в обобщенную функцию правдо-
подобия:
Л (#|z) = £{e\z}pb (в) = ср*. (<?|z).
При большинстве видов функции рас (#|z), а также в условиях не-
линейных задач построение алгоритма оценивания приводит к доста-
точно сложным вычислительным процедурам. В общем случае - это
задача нелинейного программирования поиска максимума функции
нескольких переменных.
Когда функция p^tflz) дифференцируема по всем компо-
нентам вектора 0, можно решать эквивалентную задачу отыска-
ния корней системы нелинейных уравнений, если исходить из
необходимого условия экстремума этой функции.
Метод максимальной апостериорной вероятности
в линейных задачах оценивания
при нормальном законе распределения вероятности
Рассмотрим один из возможных видов алгоритмов оценива-
ния ММ АВ.
В качестве исходной возьмем математическую постановку
задачи МНК в линейных задачах оценивания и внесем в нее не-
которые изменения.
1. В условиях опыта зададим функцию плотности вероятно-
сти ошибок измерения, считая, что математическое ожидание
ph = б равно нулю:
/?(а) = (2яг) 2 |£я| 2 ехр(2.16)
2. Априорную информацию представим для случайного век-
тора начального состояния ДС х0 априорным распределением
п	1
р(х0) = (2л-Гг |а:хо|~2 ехр
•	(2-17)
----- 177

Глава 2
При этом параметры законов (2.16), (2.17) считаются извест-
ными, а сами случайные векторы Xq и h статистически незави-
симыми.
Критерий оценивания выберем в форме (2.14):
Рас (*о |f)	тах х0 -> max (х01z).	(2.18)
Как и прежде решается задача определения х0 и Kz .
*0
Алгоритм оценивания ММАВ_______________________________
Как было показано ранее, задача максимизации апостериор-
ной плотности pac(x0|z) эквивалентна задаче максимизации
функции правдоподобия расширенной выборки:
4(xo|z) = £(xo|z)Pa(xo)’
Здесь х0 считается переменным параметром, поэтому заме-
ним его на х0. Запишем исходную функцию правдоподобия
£(x0|z) для нормального закона:
—	— f 1	1
r(x0|z) = (2fl-) 2 |/Ся| 2 ехр|--77%/,7|,
где вектор невязок fj = z - Фх0.
Считая независимыми ошибки измерений if и оцениваемого
параметра х0, перейдем к построению функции правдоподобия
расширенной выборки:
£,(x0|z) = Со х
хехр {-|(z - Ф£О)Т К]} (z - фД>) + (х0 -	)Т Я'1 (х0 -	)},
JV+1 1	1
где Со = (2яг) 2	2 |Х^| 2 = const.
Запишем
178 --

Глава 2
ln£1(x0|z) = lnC0-
_(z - Ф£оГ (z -	) + (*о “ )Т (*о “)_
и воспользуемся необходимыми условиями экстремума этой
функции:
ain£|(i0|z)
-|[-2Фт^’ (* - фД>) +	(£0 - )] = о.
Раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые, получаем:
Фт^’г - Фт*й'фД) -	+ <Л0 - 0;
(фт^‘ф - к;о1 )i0 = Фт^й+.
Алгоритм оценивания ММАВ примет вид (оцениватель):
К =См’мав(фТ^+ <Де0),	(2-19)
где СММАВ - Ф7 КН}Ф-КХ^ = Сммп + Кх°.
Видно, что оценки линейны по отношению к результатам
измерений z:
Xq = Dz + d ,
где D = С^МАВФТКнх; d =	.
Таким образом, разброс оценок может быть определен толь-
ко по первому слагаемому:
Ч = DK^ = DKh^ = См'мавФ^й^я^ФС^дв =
- СмМАвФТ^//1Ф^ММАВ = ^ММАВ^ММП^ММАВ •
Окончательно:
----- 179

Глава 2
= ^ММАВ^ММП^ММАВ’	(2.20)
где Сммп = Ф К^Ф, Сммдв ~ Оммп +	•
Формульные зависимости (2.19), (2.20) можно считать одними из ва-
риантов алгоритма ММАВ, а именно: его реализацией для линейных
задач оценивания в условиях нормального вероятностного закона.
2.8.1. Общие свойства ММАВ-оценок
Свойства ММАВ-оценок байесовского типа
Байесовские оценки обладают одной важной особенностью:
они рассматриваются одновременно в двух вероятностных про-
странствах, отличающихся размерностью:
1) в пространстве выборок Z;
2) в пространстве оцениваемых параметров £2.
Таким образом, вероятностное распределение оценки 0 за-
висит как от статистических свойств ошибок измерений h (или
результатов измерений z ), так и от вида априорного распределе-
ния определяемых параметров 0.
В теории вероятностей характеристики совместного распределения
(математическое ожидание, ковариационные матрицы и другие) могут
рассматриваться как в условном, так и в безусловном смысле.
Условные характеристики распределения оценки 0 получа-
ются:
1) при фиксированной выборке z путем усреднения функ-
ции плотности по параметру 0 в результате многомерного ин-
тегрирования ее в пространстве £2•
2) при фиксированном значении случайного вектора опреде-
ляемых параметров 0 путем усреднения функции плотности по
всем возможным выборкам z в результате многомерного интег-
рирования ее в пространстве Z.
180 ---

Глава 2
Безусловные характеристики распределения оценки в под-
считываются усреднением функции плотности как по параметрам
в, так и по параметрам z .
Примерами сказанного служат понятия среднего и условно-
го риска, взятого в качестве характеристики совместного распре-
деления Z и в .
В литературе по теории вероятностей и математической ста-
тистики безусловные характеристики распределений и безуслов-
ные статистические свойства специально подчеркиваются терми-
ном «в среднем», например, «несмещенность в среднем», «эф-
фективность в среднем» и так далее.
Условные и безусловные свойства байесовских оценок могут
отличаться весьма значительно, поэтому при сравнении их с оцен-
ками, полученными другими методами, необходимо обязательно
уточнять, в каком смысле понимаются байесовские оценки.
В частности, статистические свойства ММП-оценок имеет
смысл сравнивать только с условными свойствами байесовских
оценок, так как функция правдоподобия в ММП строится на ос-
нове условной плотности распределения £j(f|#) = p(z|0), где z -
фиксированная выборка.
Условные статистические свойства ММАВ-оценок
Поскольку критерий максимальной апостериорной вероят-
ности может быть получен на основе критерия оценивания мак-
симального правдоподобия для расширенной выборки, доста-
точно сформулировать условные статистические свойства
ММАВ-оценок независимо от вида закона распределения веро-
ятностей.
Если функция правдоподобия расширенной выборки удовлетворяет
условиям регулярности, то доказывается, что при соблюдении тре-
бований адекватности в отношении свойств ошибок измерений,
ММАВ-оценки должны быть состоятельными, асимптотически не-
смещенными, асимптотически эффективными и асимптотически
нормальными.
----- 181

Глава 2
Условные статистические свойства ММАВ-оценок
при нормальном законе распределения вероятностей
Рассмотрим оценку ММАВ вида
Xo=Dz + d,
(2-21)
где D - СммлвФ1^/1 '•> d - СммавА^Ао > ^ммав - ^ммп + ^4 ’
СММП = ФТ^дФ •
Зафиксируем значение вектора начального состояния ДС х0
и найдем условное математическое ожидание и условную
ковариационную матрицу оценки (2.21).
В линейной задаче оценивания z = Dx0 + h, поэтому
- Фх0, так как p.h = б. Тогда
= Л/{ЯО} = m{Dz + d} = Dflz+d =
= ^ММАвФТ^яФ^0 +^’мМАВ^х01Ах0 =
- СмМАВ (ОшП*0 + Ао ) * *0-
Таким образом, ММАВ в условном смысле смещена. Одна-
ко, если = х0, то
= ОшАВ (^ММП +	)*0 “ ОшАвОшП^О = *0
и ММАВ-оценка будет несмещенной.
Матричная характеристика разброса - ковариационная мат-
рица оценки - плохо поддается анализу, поэтому вместо нее
часто используют скалярный показатель - определитель кова-
риационной матрицы |^о|, называемый еще обобщенной диспер-
сией. Сравнив по критерию обобщенной дисперсии ММАВ-
оценки и ММП-оценки получим, что
|/Сл 1<К I’
I ХОММАВ I I °ММП |
182 ---

Глава 2
Раскроем эти ковариационные матрицы:
IGAiAB^MMH^MMAbI < кммп| |ОшАв||04Мп||ОшАв| < |Ошп| ?
I^MMAB I > |^ММП I |ОлМП +	1 > Fmmii
Так как матрица KXq положительно определена (как любая
ковариационная матрица), то матрица также является поло-
жительно определенной, следовательно, полученное неравенство
должно выполняться всегда, а это доказывает, что в условном
смысле разброс ММАВ-оценок меньше разброса ММП-оценок.
Несмотря на то, что ММП-оценка несмещена, а ММАВ-оценка явля-
ется смещенной из-за учета априорной информации, разброс ММАВ-
оценок меньше и поэтому она может оказаться в некоторых ситуациях
лучше, чем ММП-оценки в смысле максимума концентрации. Следо-
вательно, как видно из анализа смещенности ММАВ-оценки, этот ме-
тод целесообразно применять в том случае, когда учет априорной ин-
формации не ведет к большому смещению оценки.
Безусловные статистические свойства ММАВ-оценок
Рассмотрим теперь свойства ММАВ-оценок в среднем, т.е.
на всем множестве возможных реализаций выборок z опреде-
ленных параметров х0. Из уравнения измерений в линейной за-
даче оценивания следует
Д = М{фх0 + h] = ФМ{х0} + Л/{й} = ФД0,
так как Д = 0, а х0 - случайный вектор.
С учетом этого
= -^{*о}= ДД + ^ = CmUb®T*h ФД„ + СммдвДсо До -
= Q1MAB (^ММП +	) До = ОлМАвОлМАвДо = &хо •
----- 183

Глава 2
Таким образом, оценка не смещена в среднем.
Определим теперь разброс оценок в среднем, характеризуе-
мый ковариационной матрицей :
K<?=DKZDT -DT>{z}Dr =£ХР{Фх0 + h}DT =
= Г)(фт^оФ + Kh)dt = Г>Ф£ХОФТ£)Т + DKHDy =
= £)ФК ФТГ>Т+Я7СЛ.
*0	XQ
Таким образом, по разбросу ММАВ-оценка в среднем хуже,
чем условная оценка.
2.8.2. Особенности и дополнительные свойства
ММАВ-оценок
Особенности ММАВ-оценки в задаче оценивания
1.	Линейно зависят от результатов измерений: х0 = Dz + d .
2.	Имеют нормальный закон распределения.
3.	Из уравнения =СММП + А^)1 видно, что обобщенная
матрица Грама невырождена даже при линейно зависимых функ-
циях влияния, значит, ММАВ-оценки можно получить даже в ус-
ловиях нерегулярных задач оценивания.
4.	При правильном учете априорной информации ММАВ-
оценки позволяют компенсировать (хотя бы частично) влияние
систематических составляющих ошибок измерений.
5.	В условиях равномерного закона априорного распределе-
ния оцениваемых параметров ММАВ- и ММП-оценки совпадают,
что фактически равносильно отсутствию априорных сведений.
6.	При априорной неопределенности, когда До -> б, а
KXQ —> оо (поэлементно), ММАВ-оценки стремятся к ММП-оценкам.
7.	При большом «шуме» измерений, когда	(поэле-
ментно), получаем СММАВ ->	, а х0 -> ДХ(), т.е. оценки при-
ближаются к своим априорным значениям.
184 -----

--- Глава 2
2.9. Рекуррентные алгоритмы
метода максимального правдоподобия
Условие задачи________________________________
Рассмотрим линейную задачу оценивания начального со-
стояния ДС:
G: x = A(t)x(t); x(t) = M^XqP ; Ги={г,}* - дискретный
спектр;
S: y(t) = B(t)x(t) или на спектре Р:у = Фх0 с учетом реше-
ния ЛСО ДУ G;
Q- У =у + /г,где h = {hi,h1,...,hk\, h,eN(o,Kh).
В этих условиях оценка начального состояния ДС х0 полу-
чается по формулам обработки в соответствии с ММП:
|о=5’4=	>	<2-22)
яхи nxN'^Nxl
где С^, = Ф^я Ф •
«хи >?x2V ДхДГ
При отсутствии автокорреляции
^=diag{^}±1.
тхт
Нетрудно установить, что размерность обращаемых матриц
Кн и С . Если, например, т = 6 и к = 100, то при автокоррели-
рованных ошибках следует обратить матрицу 600x600. Немало
времени займет и перемножение матриц Ф . Однако нет никакой
Nxn
необходимости ждать окончания сеанса измерений, чтобы найти
оценку х0 по выборке полного объема z . Покажем, как вывести
Nxl
алгоритмы оценивания для выборки нарастающего объема (ре-
куррентные алгоритмы оценивания).
----- 185

Глава 2
Рекуррентный алгоритм оценивания
начального состояния динамической системы
Постановка задачи
Пусть на момент времени по выборке z,_] решена задача
оценивания и получены оценка х0/,_] и ее ковариационная матри-
В следующий момент времени К: поступает новая пор-
х0//-1
ция результатов измерений ?(/,), полученных с точностью, ха-
рактеризуемой ковариационной матрицей Kh. Требуется вывести
алгоритм определения i0/. и АГ- через Х0/м и К:
x0/i	*0//-1
Структура алгоритма
Сначала воспользуемся алгоритмом (2.22) и запишем его для
двух моментов времени:
h-х-Кн-х.	(2.22а)
6: i0// =	, Kk/i = (Ф^Й’Ф, f ,
(2.226)
ф01)
ф('1)
где Ф;_] =
фЫ.
0 - Kh
ФЫ
. ф('/)
, следовательно, Ф, =
0 ••• Kf, 0
0	0 к,,
ф0Д
, следовательно, Кн =
_<Z
; ф/ =
Kf, 0 0
5(М
z(/,)

, следовательно, zi

186 -----

Глава 2
Тогда матрицу Грама можно представить в виде
С^Ф^'Ф,
= £ФТ]Ф
0 Ф/ч
кЛ-’]1ф('/).

ФГч К-н\, Фм
Ф('/)Т][ K-hl Ф(г,.)
=ф7 ф, ,
I—J «1-1	/—1
+ФТ('М'Ф(',)=
= с,._.+Фт(/()^1Ф(/,.)=^, +Фт(/,.)^-1Ф(/,).
Аналогично преобразуем вектор-столбец:
ф(/,.)т^'=[фм Фт (0] Кн“
L 0
=ф^Ля‘.Л/-1+фТ(г<)^(^)=
0 Г Z,._! '
= C,J0/M +ФТ	(/,) = ^>, ^0//_1+фТ
Но если левую часть формулы умножить на Clt, то получим
фм^я--Л'-1= Ci-i*o/i-i» а с учетом второго уравнения (2.22а)
<№>, =	+ Фт	.
Подставим все полученные зависимости в (2.226):
лЛ*С.+фТ('^,фНЛ
(2.23)
Формульную схему (2.23), в принципе, можно использовать
как рекуррентный алгоритм оценивания. Он требует обращения
матриц размерности и Kh , однако таких матриц в алгорит-
ме (2.23) целых три, причем две матрицы нужно обращать на ка-
ждом такте процесса измерений z,(z = l,£). Указанное обстоятель-
ство может привести к большим вычислительным затратам и ни-
велировать все полученные преимущества.
Попробуем упростить выражение (2.23), воспользовавшись
известным матричным тождеством:
----- 187

Глава 2
(к~' +	1 = К - KF1 (.FKF7 + н) ' FK .	(2.24)
Сравнивая его со второй зависимостью системы (2.23), ви-
дим полную аналогию, поэтому запишем:
Kz = Kz
xQ/i х0//-1
-К.
х0//-1
^фТ('')+Я1ф('Л.и-
Обозначим /у=^Ф(/,)^ |Фт(/, ) +1 и подставим этот ре-
зультат в первое уравнение системы (2.23):
-,]К+фТ('М'2 «)]-
Е
=^/м +^,,ф (()^Ф(<)7Ч;,.Ф
-ф('О V.	=
=Vi+^)/._1фТ(<)Ф(<)-ф(^ VJ
Обозначим через 7(r/) = z(/z)-O(/z)f0/z_1 - невязку измерений
на момент zz.
Тогда, с учетом всех ранее полученных выражений, рекур-
рентный алгоритм оценивания начального состояния ДС примет
вид:
^(() = г(()-ф(Фо/,-1>
Кн = 4//-1 + Kkii_ ,фТ (?,)^(/,),
К. =К.	Г£-Фт(/.)Р'ф(/.)^	1
*0/1	х0Л-1 L	V 7	' 1 '	х0//-1 J
(2-25)
188 -----

Глава 2
^^р^кгорняДС
_________________________Рисунок 2.11_________________________
Иллюстрация схемы «работы» алгоритма (2.26):
истинное значение вектора начального состояния ДС х0, которое неизвестно;
истинная фазовая траектория ДС; оценка вектора НУ x0/-_j и ее разброс, ха-
рактеризуемый ковариационной матрицей t на момент ; уточненные
параметры х0//,	, по результатам вновь поступивших измерений 2(4) с
коэффициентов Р. . Продемонстрировано, что при уточнении (пересчете) па-
раметров х0, эллипс рассеивания оценки уменьшается: кроме того, в
нормальных условиях этот эллипс на каждом шаге процесса с заданной дове-
рительной вероятностью должен «закрывать» истинные значения НУ х0
Видно, что алгоритм включает только одну операцию обра-
щения матрицы т*п.
Число операции можно еще сократить, введя замену
Р, Фт (t^P', тогда

(2.26)
----- 189

Глава 2
Сравнение алгоритмов оценивания (2,22) и (2,26)
1.	Алгоритм (2.26) получен из алгоритма (2.22) в результате
эквивалентных преобразований, которые оставляют все сформу-
лированные ранее свойства оценок в силе.
2.	Алгоритм (2.22) содержит два обращения матриц размер-
ности пх п9 NxN, а алгоритм (2.26) - всего одно обращение мат-
рицы, имеющей размерность т х т, но зато эта операция должна
выполняться на каждом шаге процесса измерений ti.
3.	Из последнего уравнения системы (2.26) видно, что диа-
гональные элементы ковариационной матрицы оценок с течением
времени уменьшаются, следовательно, повышается точность
оценок.
4.	Из системы (2.26) следует, что матрица Pt определяет до-
лю участия невязок ?/(/,) в формировании новых значений оце-
нок начальных условий х0, поэтому ее еще называют весовой
матрицей коэффициентов усиления алгоритма.
5.	Алгоритм (2.26), как всякий рекуррентный алгоритм, тре-
бует задания «разгонных» значений хо/* и Kz , которые
обычно получают по формулам (2.22) из условия, что N* >п, т.е.
.♦ Г П 1
I > — +1 .
Рекуррентный алгоритм оценивания текущего состояния
динамической системы_________________________________
Постановка задачи
Обобщим полученный в предыдущем пункте результат.
Пусть требуется знать оценку параметров состояния на каж-
дый момент сеанса измерений tt.
Эту задачу можно свести к предыдущей задаче: определить
сначала х0//ч, по алгоритму (2.26), а затем с помощью
дискретного аналога ММ ДС осуществить прогноз на момент :
=	Мт(/,,/0). (2.27)
190 --

Глава 2
Однако задачу получения рекуррентного алгоритма непо-
средственного оценивания текущего состояния ДС поставим по
результатам измерений, минуя стадию оценивания начального
состояния.
Структура алгоритма
Поскольку на момент времени /0 не наложены специальные
условия, за начальный момент можно принять, вообще говоря, и
момент . Тогда, объединив алгоритмы (2.26) и (2.27), получим:
Xi/i-V =	’ 6-1 ) Xi-1/j-1»
> - прогноз поведения
*4,,, =М(Мч)^м„ЛТ(М-');.|
> - коррекция
ХШ = Xi/i-A +
(2.28)
Формульная схема (2.28) представляет собой рекуррентный
алгоритм оценивания текущего состояния динамической системы.
Анализ алгоритма
Алгоритм (2.28) отличается от алгоритма (2.26) двумя пер-
выми зависимостями, которые называются алгоритмом прогноза
поведения ДС, в отличие от последующих четырех уравнений,
которые представляют собой алгоритм коррекции оценок. Таким
образом, на каждом шаге процесса измерений осуществляются
как бы два «под-шагивания» - прогноз-коррекция. Такой прин-
цип используется и при решении некоторых других задач мате-
матики.
Эллипсы рассеивания, показанные на рис. 2.12, должны, во-
обще говоря, охватывать истинные значения параметров состоя-
ния ДС в соответствующие моменты времени. Эта погрешность
рис. 2.12 продиктована возможностью его прочтения.
----- 191

Глава 2
2.10. Динамическая фильтрация сигналов
2.10.1. Марковские процессы.
Классификация случайных процессов
Многие реальные явления развиваются во времени и не мо-
гут быть предсказаны с необходимой степенью точности. Для их
описания используется математический аппарат теории случай-
ных (стохастических) процессов. Регистрация процесса может
производиться непрерывно или в дискретные моменты времени;
его значения также могут быть произвольными либо фиксиро-
ванными на определенных уровнях. В связи с этим вводится
классификация случайных процессов.
192 --

Глава 2
Ниже будут рассматриваться случайные процессы, у кото-
рых значения сигнала принимают непрерывные значения - слу-
чайные последовательности и непрерывные случайные процессы.
Марковский процесс_____________________________________
Этот класс случайных процессов впервые был введен А.А. Мар-
ковым для случайных цепей. На непрерывные процессы он был
распространен академиком А.Н. Колмогоровым. Но в честь перво-
открывателя все типы случайных процессов (рис. 2.13), которые
обладают определенными свойствами, называются марковскими
процессами.
Указанное характерное свойство называется отсутствием
последействия. Рассмотрим его на примере непрерывных процес-
сов и случайных последовательностей.
Значение процесса (сигнала)
Дискретные
Непрерывные
х
о
S
1 H+4-I-H-I i I -I 1->^
Случайные цепи
» l i < и ГН 1-НН-------
Случайные последовательности
Q.
Я
Дискретные случайные процессы
t
Непрерывные случайные процессы
______Рисунок 2.13_____
Виды случайных процессов
----- 193

Глава 2
Пусть задан непрерывный случайный процесс х(г) = {х(/)}
как множество всех его возможных реализаций. В произвольном
временном сечении t известна функция плотности распределения
вероятностей значений p(x,t). Во многих задачах используется
плотность нормального закона:
/?(х,/) = -y_J_—Д 2<Тх Л
Тогда процесс называется нормальным.
Если же на интервале Т зафиксировать к произвольных сече-
ний tx < t2 < ••• < tK и ввести условную плотность вероятностей пе-
рехода изу-го состояния в z-e состояние p{xi9ti/xj9tj^9 то процесс
будет марковским, когда плотность вероятности перехода из пер-
вого сечения в последнее p(xx,xk;txtk) выражается формулой
^p(xx,t\)p(x2,t1lx{,tx)p{x3,t3lx2,t2)...p(xk,tk/xk_x,tk^'). (2.29)
Чтобы знать распределение в момент времени tk достаточно задать
распределение в начальный момент tx и совокупность условных рас-
пределений вероятностей перехода из предыдущего временного сече-
ния в последующее. Иначе говоря, чтобы спрогнозировать вероятно-
стные свойства процесса в будущем, нужно знать свойства этого про-
цесса в настоящем и совсем не обязательно знать всю предысторию
рассматриваемого процесса.
Условие (2.29) называют условием марковости. Оно может
быть сформулировано не только в терминах функций плотности
вероятностей, но записано и через корреляционную функцию про-
цесса	- обобщение коэффициента корреляции для двух
случайных величин на два произвольных временных сечения t и т
(очевидно, что при t = т 7?(/;r) = 1). Тогда при tx < <tt< tj < tK
справедливо
194 ----

Глава 2
R^tj^R^R^jy	(2.30)
Если процесс стационарен (не изменяет своих вероятност-
ных свойств во времени), то корреляционная функция зависит в
фиксированный момент времени лишь от одного аргумента - от-
клонения времени Д/ (например, см. рис. 2.14) и условие (2.30)
принимает вид
Я(/ + Д,) = Я(/)Я(А/).	(2.30а)
Наиболее важные практические применения
случайных процессов
1. Нормальный белый шум . Его можно считать вырож-
денным случаем непрерывного марковского процесса. Корреля-
ционная функция белого шума имеет вид
. . (1, Д/ = 0,
R(&) = \	(2.306)
|0, Д^О.
Очевидно, что эта функция удовлетворяет условию (2.30а).
В каждом временном сечении нормальный белый шум имеет
распределение Гаусса:
где = 0, сг| = const.
Однако в любые сколь угодно близкие моменты времени t и
t+/Si, как следует из рис. 2.15, значения процесса некоррелирова-
ны. Мощность такого сигнала практически не ограничена, так как
_______________________Рисунок 2.14_____________________
Корреляционная функция
----- 195

Глава 2
Я(Д')А
А
О	Д/
_________________________Рисунок 2.15_______________________
Корреляционная функция белого шума
два его соседних значения теоретически могут отличаться на бес-
конечно большую величину. В природе сигналов такой процесс
не встречается, но с математической точки зрения он представля-
ет очень удобную модель.
2. Винеровский процесс Назван в честь американского
ученого - основателя кибернетики Р. Винера (1894-1964), посвя-
тившего ряд работ его исследованию. Данный процесс относится
к классу нормальных непрерывных случайных процессов и имеет
корреляционную функцию
я(/,дО=——.
v 7 t+\t
В каждом временном сечении его плотность имеет вид
Г
yj СУ
где = 0, сг^ =	(/).
Отличительной особенностью винеровского процесса является то, что
его реализации, хотя и непрерывны, но не дифференцируемы в любой
момент времени. Это свойство позволяет рассматривать винеровский
процесс как интеграл от нормального белого шума, однако сам инте-
грал при этом не может быть понимаем в обычном смысле, так как
изобразить белый шум невозможно даже графически.
Винеровский процесс является процессом с независимыми
приращениями, поскольку его приращение за интервал времени
At полностью не зависит от значения сигнала в момент /, т.е
196 ---

м{^(/)[£(/ + Д/)-<(/)]} = 0.
Отсюда легко получить следующий результат для любого
процесса с независимыми приращениями, раскрывая записанное
условие:
м{^(/)^(?+дг)}-м{^2(?)}-0,
сг^ (z)cr^ (z + Az)7?(z,Z 4- Ar) - cr^ (z) = 0,
Эта корреляционная функция удовлетворяет условию (2.30).
Пусть рассматривается нормально распределенная случай-
ная последовательность
x(zz) = |x(zz)|, i = 1,к .
Исходя из уравнения Колмогорова-Чепмена доказывается,
что эта последовательность обязательно будет марковской при
выполнении условия
Pij = PijPij ,i<i<l<j<k.	(2.31а)
Если последовательность стационарна, то pz у = р = const,
|р| < 1 и из (2.31) следует
Ри=РН,	(2316)
где р - коэффициент корреляции между двумя соседними чле-
нами последовательности. Сравнивая уравнения (2.31а) и (2.316)
с (2.30) и (2.30а), нетрудно заметить аналогию.
2.10.2. Математические модели
стохастических динамических систем
Существуют два способа описания стохастических динами-
ческих систем - прямое и косвенное.
----- 197

Глава 2
Прямое описание
стохастических динамических систем
Здесь устанавливается связь между значениями входных и
выходных сигналов в форме функциональной зависимости (диф-
ференциальных, конечно-разностных и др. уравнений).
1.	Стохастические дифференциальные уравнения (модели):
-нелинейные х = f(x,t) + g(t);
-линейные x = A(t)x(t) + ^(t);
x^N^K^y,
х(/0) = x0 ? £G) “ векторный нормальный белый шум.
В дальнейшем будем рассматривать только линейные моде-
ли, поскольку в случае нелинейных зависимостей к ним легко пе-
рейти, используя метод линеаризации.
2.	Модель динамической системы в квадратурах
После формального интегрирования СОДУ получим
t
xG) = х0 + (г)х(т)б/т + <^G),
*0
t
где <^G) - винеровский процесс; ^(z) =	- стохастический
'о
интеграл Ито.
3.	Аналитическая модель динамической системы
Рассмотрим однородную СОДУ x(Z) = A(t)x(t) и получим
решение в форме матрицанта:
х(Г) = М(М0)х0.
Тогда решение исходной СОДУ может быть представлено в
виде
t
*(0 = M(t,t0)x0 +	.
*0
198 -----

Глава 2
4.	Конечно-разностное описание
стохастических динамических систем
Рассматривая предыдущее решение в дискретные моменты
[ti ] , получим конечно-разностную форму модели:
х,.=ВД.1+£,	(2.32)
где Q - винеровская последовательность.
Во всех приведенных примерах правые части представлены
двумя слагаемыми, одно из которых детерминировано и опреде-
ляет основное поведение динамической системы, а другое носит
стохастический характер, моделируя действующие возмущаю-
щие факторы. Можно установить, что под влиянием нормально-
го белого шума в правой части линейной СОДУ процесс функ-
ционирования ДС приобретает вид смещенного (с ненулевым
математическим ожиданием) винеровского процесса, который
является одним из представителей класса нормальных марков-
ских процессов.
Косвенное описание
стохастических динамических систем
При этом подходе устанавливается связь между вероятност-
ными характеристиками входных и выходных сигналов (функ-
циями плотности, моментными характеристиками и.т.д.).
1.	За исходную возьмем аналитическую модель динами-
ческой системы:
х(О = М(Мо)*о+ <(')•
Применим к ней операцию математического ожидания
px(t) =	по определению (2.32) и операцию
дисперсии:
Kx(t) -	+	.	(2.33)
Эти моментные характеристики являются исчерпывающими
в условиях нормального закона Гаусса. Здесь первое слагаемое
может быть легко получено, но определение второго слагаемого
------------------------------------------------------ 199

Глава 2
связано с некоторыми предварительными преобразованиями, так
как изначально известна лишь ковариационная матрица нормаль-
ного белого шума = const, из которой необходимо найти ко-
вариационную матрицу винеровского процесса с перемен-
ными элементами.
Воспользуемся формальным определением винеровского
процесса как стохастического интеграла от нормального белого
шума и применим обратную операцию - дифференцирование и
формулу (2.33)
+4ia w] •
at at	at
Сначала рассмотрим первое слагаемое. Так как элементы
матрицы Кх0 постоянны, то с учетом свойства матрицанта
at
получим
1==
При преобразовании второго слагаемого воспользуемся оп-
ределением ковариационной матрицы (точнее ковариационной
функции):
K^t) = M^ft)} = ]M(t,T)M{^T)f(T)}M\t,T)dT =
= ^M(t,r)K^MT (t,T)dr.
z0
Известно следующее правило дифференцирования выраже-
ний, стоящих под знаком интеграла с переменным верхним пре-
делом:
200 -

Глава 2
*0	z0
отсюда
-_z mz ,/Т/ ч	__ __Tz х 7
—- =	(Z,r) + I---—-KM1 (t,r)dT +
dt	'	J dt
?o
+ jM(t,T)Kf M ^dT = Kt + A(() ^M(t,r)K^Mr (t,r)dr +
*0	*0
+ fw(t, (t, T)dT  A1 (t) = K^ + A(t)K^ (t) + (t)AT (t).
*0
Объединяя полученные результаты, запишем
dK	т
—— = A{t)M(t,t(j')KM Т(МО) +
dt	и
+M(tAo)KXoM\tAo)A\to) + K^+A(t)K((t)A'T(t).	(2.34)
Приводя подобные (вынося общие сомножители в правой
части уравнения), с учетом формул (2.33) имеем окончательно с
начальными условиями Kx(tQ) = KXq
^ = A(t)Kx(t) + Kx(t)A(t) + K{.	(2.35)
dt	9
Формула (2.35) называется матричным уравнением Риккати.
Данное выражение описывает изменение меры разброса по-
ведения стохастической ДС во времени, причем первые два сла-
гаемых правой части определяются динамическими свойствами
детерменированной системы вида х = A(x)x(t), а последнее сла-
гаемое выражает стохастические свойства шума модели £(t).
Матричное уравнение Риккати нелинейно и должно решать-
ся численными методами, однако для него получены специаль-
ные вычислительные процедуры.
----- 201

Глава 2
2. Рассмотрим дискретный аналог предыдущего примера.
Принимая за текущий момент времени момент , получаем
Pxj ~ Мij-yPxj-i •
Формулу (5.34) запишем в конечных разностях:
откуда, полагая формально Az = 1, получаем
Kg, ~ Kg. j + j + Kg, + K^ при i = 1 Kg, i=0.
Аналогично поступаем с формулой (2.35):
+ 4-А-, + ^41 +	при i = 1 KXi t = О. (2.36)
Тот же результат можно получить иным путем из формулы
(2.33), записанной в дискретном виде:
+К^-
Вычтем из левой и правой частей матрицу Кх, и разделим
все выражение на интервал времени Az = 1
кХ1-KXi{ -KXi l +Mi>i lKXi iMrXi i |
At	At	At
Обозначим ДК = Kx. - Кх
Известный матрицант линейной системы обыкновенных
дифференциальных уравнений (СОДУ) представим разложением
в ряд Тейлора:
м ш=е+A(t0)+1( д/0)+4, a0))(z - /0)2+...,
которое также может быть переписано в дискретной форме:
Ч./-1 = Е+4-iAz+|(4i+41 )Д/2+-
202 ----

Глава 2
Пренебрежем в разложении всеми нелинейными членами:
мц-\ =Е + А^&.
На основе теории Ито можно считать, что
кс._х = K^At.
Тогда
АЕХ,- = ~Kxi x + (Е + Д-^К-! (^ + 4-Х + ^/-1
Д/	Д/	At
Раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые, перепи-
шем это выражение:
AKxi	A^K^At + Kxi^At + Д,^AZ2 । KQ X
\t	\t	\t
При AZ 0 получим формулу (2.36).
1.	Прямое описание линейной стохастической ДС имеет сле-
дующий вид:
-	в непрерывном времени'.
x(t) = M(t,t0)x0 + C(t);
НУ: х0 е N(pX0,KXQ); f(t) <= N(0,K^(t));
dK,	т
(Z)Z(Z) +	;
НУ: E^(Z0) - 0 ;	= const;
-	в дискретном времени:
xi ~ ^Ai,i-lxi-l + ^/’(0 ’
НУ: i = 1 х0 6 N(pxo ,КХ0); ^(/) е У(0,^; (/)) ;
Ч +А1-гК^ +К^+К^’
НУ:/ = 1Е£ =0.
---- 203

Глава 2
2.	Косвенное описание линейной стохастической ДС имеет
следующий вид:
-	в непрерывном времени*.
цх = M(t,t0)px0;
= A(t)Kx (t) + Хх (t)AT (t) +	;
at
Hy-.Kx(t0) = Kx0;
-	в дискретном времени'.
№xl ~ Mij-\Pxi-\ .
НУ:1 = 1,//х0;
Kxi — Kxi-\ +	’
НУ: г = 1, АГх0.
2.10.3. Структурная схема
фильтра Калмана-Бьюси
Фильтр Р. Калмана________________________________________
Фундаментальной основой динамической фильтрации послужи-
ла теория марковских случайных процессов, которая была заложе-
на в 1910-1930-х гг. и применялась сначала для описания ряда фи-
зических явлений. В алгоритмическом, вычислительном отноше-
нии дискретные динамические фильтры случайных сигналов
можно рассматривать как распространение идеи рекуррентного
оценивания на класс стохастических динамических систем (ДС).
Рекуррентные формы записи алгоритмов статистического оцени-
вания применяли еще в 1920-х гг., а первые работы в области тео-
рии динамической фильтрации (ДФ) появились в конце 1930-х -
начале 1940-х гг. В частности, в 1939 г. А.Н. Колмогоровым был
получен линейный оптимальный фильтр для дискретного времени
наблюдения, а в 1942 г. Н. Винер разработал аналогичный фильтр
для непрерывного времени, правда, его труды были связаны с за-
крытыми исследованиями американских ученых по определению
204 ---

Глава 2
траектории движения самолета с помощью радара, поэтому в от-
крытой печати они появились после окончания второй мировой
войны, в 1945 г.
Следует особо подчеркнуть, что и А.Н. Колмогоров и Н. Винер
рассматривали стационарные случайные процессы, бесконечный
интервал времени наблюдения и весовую функцию фильтра (ко-
эффициент усиления сигнала), не зависящую от времени. В каче-
стве критерия качества задачи оценивания выбиралась минималь-
ная среднеквадратическая ошибка оценивания. Неизвестной счи-
талась весовая функция фильтра, которая определялась, исходя из
заданного критерия качества. Для непрерывного фильтра, напри-
мер, необходимое и достаточное условие оптимальности весовой
функции описывалось интегральным уравнением Винера-Хопфа,
строгий метод решения которого в частотной области был пред-
ложен Н. Винером.
Характерной особенностью фильтров Колмогорова и Винера
являлось то, что они были сформулированы в терминах косвенно-
го описания стохастических ДС и в этом смысле были очень не-
удобны.
В 1950-х гг. делались многократные попытки снять различные
ограничения, принятые в ДФ Винера-Колмогорова. Так, в 1952 г.
Р. Бутон обобщил исходное интегральное уравнение Винера-Хоп-
фа на класс нестационарных процессов и записал его для фильтра,
зависящего от времени. Однако его результаты носили сугубо тео-
ретический характер и при практической реализации встретили
ряд затруднений.
В 1955 г. Дж. Фолли и др. рассмотрели задачу ДФ для ограни-
ченного, конечного времени наблюдения, при этом было обнару-
жено, что весовая функция фильтра остается зависимой от времени
даже в условиях стационарного случайного процесса.
В 1953 г. Ф. Леганом и Р. Парксом теория ДФ была распростра-
нена на нелинейные задачи оценивания, но по-прежнему проблема
оптимальной фильтрации сигналов связывалась с необходимостью
решения интегрального уравнения относительно ковариационной
функции, представленной к тому же в спектральной форме. Это
делало результат крайне ненаглядным, неудобным и порождал
много проблем при переходе к технической реализации фильтра.
Поэтому дальнейшие поиски ученых были направлены на получе-
ние решения задачи ДФ в терминах прямого описания стохасти-
ческих динамических систем.
Принято считать основоположником теории ДФ в ее современ-
ном виде американского ученого Р. Калмана, который в 1960 г.
---- 205

Глава 2
______________Таблица 2.4______________________
Основные этапы развития
теории динамической фильтрации
Способ описания стохастических динамических систем	Вид задачи оценивания	
	Линейная (ЛЗО)	Нелинейная (НЗО)
Косвенное описание	Работы А.Я. Хинчин (1938) А.Н. Колмогоров - 1939 (дискретный фильтр) Н. Винер-1942 (непрерывный фильтр)	Р. Бутон, 1952 - обоб- щение на класс неста- ционарных процессов Ф. Леган, Р. Паркс, 1953 - нелинейные за- дачи оценивания Дж. Фолли и др., 1955 - конечное время на- блюдения
Прямое описание	Р. Калман - 1960 (дискр.) Р. Калман и Р. Бьюси (непрерывный фильтр) -1961	Р.Л. Стратонович - 1959 г, Г. Кушнер - 1964 г, Р. Бьюси - 1965 г.
	В.С. Пугачев - 1970-1990 (условно оптимальная фильтрация) Р.Ш. Липцер, 1975 г. - вопросы регуляризации при вырождении шумов Сэйдж Э., Меле Дж., 1976 - обобщение теории оценивания Ярлыков М.С., 1980 - марковская теория нели- нейной фильтрации Браммер К., Зифлинг Г. 1982 - обобщение функции Калмана, Тихонов В.И., Кульман Н.К., Харисов В.Н.- фильтрация дискретно-непрерывного процесса Шахтарин Б.И. -2000 - расширение версии цифровых фильтров Синицын И.Н. 1992-2007 - условно-оптималь- ная фильтрация Степанов О. А. 2010-2012 - теория оценивания с приложениями к навигации многие другие авторы	
206 ----

Глава 2
опубликовал работу, где задача оценивания была решена в линей-
ной постановке для дискретного времени, но в терминах перемен-
ных состояния ДС. В частности, им приводились уравнения рекур-
рентного вида для оценки, ее дисперсии и коэффициента усиления
(весовой функции) фильтра. Полученный результат был справед-
лив как для стационарных, так и для нестационарных векторных
случайных процессов (сигналов) при любой длительности времен-
ного интервала их наблюдения.
В 1961 г. Р. Калман и Р. Бьюси обобщили уравнения фильтра-
ции на случай непрерывных измерений, при этом интегральное
уравнение Винера-Хопфа преобразовалось в систему обыкновен-
ных дифференциальных уравнений, методы решения которых и
приборная реализация просты и хорошо изучены.
Необходимо заметить, что более общий подход к проблеме ДФ
нормальных марковских сигналов был предложен еще до появле-
ния работ Р. Калмана и Р. Бьюси, в 1959 г. нашим соотечественни-
ком Р.Л. Стратоновичем, который рассматривал нелинейную зада-
чу фильтрации сигнала в непрерывном времени. Однако его выво-
ды содержали некоторые теоретические неточности, вызванные
неправильной трактовкой винеровских процессов и не были при-
няты научной общественностью. Эти погрешности в 1964 г., были
исправлены американцем Г. Кушнером, однако и его доказательст-
во носило достаточно формальный характер, поскольку не опира-
лось на понятие стохастического интеграла Ито. Окончательное
строгое решение для указанного случая принадлежит Р. Бьюси
(1965 г.).
Исторический аспект развития теории и алгоритмов фильтрации
может быть условно представлен табл. 2.4.
Математическая постановка задачи
Дано:
1.	ММДС G:
i = A(t)x(t) + £ (/); £(0 е N(d,;
= W/^/-i)xM(0+^(0; <(ОеЖ^),
где = 0.
При/=1НУхоеЖо,^);
K(j =K(ii +Ai_iK(t_l +K(i lA^]+K( .
2.	ММ ИС
--- 207

Глава 2
а)	план измерения Р: {fj* ,у(^) >
6)	уравнение измерений S: y(/z) = Ф(0*/ J
в) информация об ошибочных измерениях
Q: z(Zf.) =	+ hitj), h(tt) g N(o, Kh) .
3.	Выборка Z: z =	.
4.	Априорная информация h: fi.K.
5.	Критерий оптимальности оценок К:	->min.
Требуется определить:
дА.,^ .
хщ
Запись z/z означает, что оценка рассчитывается в z-й момент
времени по измерениям, полученным также в z-й момент времени.
Алгоритм расчета оценок фильтром Калмана
Этап 1. Ц = ^itiA +	,
где - оценка, спрогнозированная с прошлого момента вре-
мени; - невязка измерений.
Этап 2.	.
Этап 3. Матричный весовой коэффициент
Р, =^_Фт(г,.)[Ф(О^/(._ Фт(0 + ^]-’.
Этап 4.
<Невязка> = <измерения> - <то, что должны получить>.
Этап 5.
Kz = К:	+
Этап 6. Корреляционная матрица ошибки оценки
208 ---

Глава 2
% 
Естественно, этапы 1-6 алгоритма, записанные в рекуррент-
ном виде, работают, если заданы начальные условия (НУ):
*0/0 = Ло ’ ^0/0 = KXQ •
Из структуры системы видно, что этапы 2 и 5 осуществля-
ют прогнозирование. А этапы 1, 3, 4, 6 представляют идею кор-
рекции.
Был сделан прогноз, но он не совпадает с реальностью. Кор-
рекция прогноза осуществляются за счёт приходящих измерений
и сформированных невязок.
Нетрудно заметить, что этапы 2, 3, 5, 6 не зависят от резуль-
татов измерений и могут быть рассчитаны на этапе предвари-
тельных вычислений (до начала процесса расчета).
Традиционная структура формирования измерительной по-
следовательности и фильтра Калмана представлена на рис. 2.17.
_______________________Рисунок 2.16______________________
Представление элементов вектора состояния
и его корреляционной матрицы
для двух рядом стоящих моментов времени
---- 209

Глава 2
Традиционная структура формирования
измерительной последовательности и структура
дискретного фильтра Калмана: ПСЧ - псевдослучайные числа
Расхождение процесса оценивания фильтром Калмана
Практическая работа с алгоритмами динамической фильтра-
ции показывает, что процесс фильтрации зачастую неустойчив,
т.е. погрешность оценивания на определенных этапах может пре-
вышать некоторые допустимые пределы. Процесс фильтрации на
достаточно большом интервале времени, как правило, проходит
через три стадии (см. рис. 2.18):
1)	приспособление (настройка);
2)	устойчивая работа;
3)	расхождение.
Предполагается, что величина погрешности оценивания, ле-
жащая в интервале И, не приводит к нарушениям в системе
управления более высокого ранга.
210 ----

Глава 2
Ar
________________________Рисунок 2.18______________________
Пример изменения
погрешности оценки фильтром Калмана
(скалярный случай)
Причины неконтролируемого нарастания
ошибок оценивания
(расходимости процессов фильтрации)
Неадекватность использованных математических моделей. В
особенности сильно сказываются несоответствия принятых вероят-
ностных свойств случайных процессов реальным условиям опыта.
Неточность задания априорных значений параметров, ис-
пользуемых при описании модели системы и модели измерений.
Влияние аномальных ошибок измерений, которые не могут
быть выявлены и исключены из обработки, поскольку алгоритм
фильтрации не обладает памятью (не хранит измерительную ин-
формацию).
Нарастание вычислительной погрешности из-за ограничен-
ной разрядной сетки ЭВМ (особенно сильно сказывается при об-
ращении матриц).
Методы устранения расходимости алгоритмов фильтрации
приведены на рис. 2.19.
Простейшим способом устранения расходимости за счет
различных причин является перезапуск фильтра, который может
быть предусмотрен в автоматическом режиме. Детальный анализ
представленных методов «борьбы» с расходимостью приведен в
[1, 15].
----- 211

Глава 2
Методы устранения расходимости
алгоритмов фильтрации
калма новского тина
I
1
Методы учёта
неопределённостей задачи
Эвристические
методы
Методы
ограничения
коэффициента
усиления
Адаптивно-
игровые
методы
Методы учёта
старения
данных
Методы учета
погрешностей расчета
ЭВМ
Методы
включения в
вектор
состояния
ошибок
округления
Методы
решения
некорректных
задач
Способ
перезапуска
фильтра
Ачгоритмпчес-
кпе методы
Минимаксные
методы
Адаптивные
методы
Мегоды
компенсации
погрешностей
от
нелинейности
г
________________________Рисунок 2.19_______________________
Методы устранения расходимости
алгоритмами ФКТ
Анализ оценок измерений показывает, что для описания их
свойств применимы известные характеристики статистик: со-
стоятельность, несмещенность, эффективность и другие. При-
чем, несмещенность и состоятельность связаны друг с другом,
но на деле это различные, не следующие одно из другого свой-
ства оценок.
Рассмотренные методы статистического оценивания и иден-
тификации: метод наименьших квадратов (МНК), метод наи-
меньших модулей (МИМ), метод максимального правдоподобия
(ММП), метод минимального риска (ММР), метод максимальной
апостериорной вероятности, методы динамической фильтрации -
используют различные виды априорных данных относительно
212 ---

Глава 2
погрешностей измерений и знания моделей оцениваемого про-
цесса (в терминах динамических систем - моделей системы).
При применении МНК в различных вариантах задач исполь-
зуется минимум априорных данных. Знание о наличии или отсут-
ствии систематических составляющих ошибок измерений обес-
печивает возможность получения несмещенных оценок измеряе-
мых параметров.
Методы динамической фильтрации позволяют получать
оценки вектора состояния динамического объекта (например,
оценки параметров движения космического объекта) в реальном
(или близком к реальному) масштабу времени путем рекуррент-
ной обработки измерений. В практике навигационно-баллисти-
ческого обеспечения наземная обработка ИТНП ведется посеанс-
но (измерения одного вида, проведенные одним измерительным
средством), и необходимость применения рекуррентных методов
обработки, обладающих повышенной «чувствительностью» к
аномальным измерениям и точности задания априорных данных,
возникает, как правило, только на отдельных этапах выполнения
программ полета и участках траекторий движения - на этапах за-
пуска, проведения динамических операций, спуска возвращаемых
элементов и др.
2.11. Применение алгоритмов фильтрации
калмановского типа при определении
параметров движения летательных аппаратов
на этапе посадки
Рассмотрим задачу оценки параметров движения возвра-
щаемого ракетного блока (ВРБ). Оценка навигационных опреде-
лений, вычисление времени, координат и составляющих вектора
скорости ВРБ будем осуществлять по измерениям, например
псевдодальностей (ПД), псевдоскоростей (ПС) и псевдофазы
(ПФ) с использованием навигационного поля глобальных навига-
ционных спутниковых систем (ГНСС) ГЛОНАСС, GPS.
---- 213

Глава 2
Это задача вторичной обработки и ее решение определяется
принимаемыми моделями оцениваемых и мешающих параметров.
Использование различных моделей приводит к разным алгорит-
мам обработки.
Требования получения оцениваемых параметров движения в
реальном масштабе времени приводит к необходимости приме-
нения алгоритмов фильтрации калмановского типа (ФКТ). Здесь
следует учесть, что наблюдения могут быть искажены или отсут-
ствовать в некоторые периоды времени. ФКТ позволяют спра-
виться с указанной проблемой.
Выбор вторичной обработки измерений
навигационного приемника_____________________________
Рассмотрим полиномиальную модель движения ВРБ. Для
обеспечения высокой точности фильтрации оцениваемых навига-
ционных параметров фильтр должен иметь минимально возмож-
ную матрицу шума модели. В этом случае, в связи с возможными
неучтенными изменениями ускорений, будут возникать переход-
ные процессы, которые могут привести к срыву слежения за оце-
ниваемыми параметрами ВРБ. Для предотвращения срывов сле-
жения калмановский фильтр должен включать в себя некий адап-
тивный элемент, описание которого приведено ниже. Для
получения вектора ускорений необходимо использовать данные
от системы управления (СУ).
В данной ситуации наиболее применима запись уравнений
движения в геоцентрической подвижной системе координат, же-
стко связанной с Землей, тем более что в этой системе коорди-
нат определяются координаты потребителя (т.е. возвращаемый
ЛА (ВЛА), на борту которого установлен бортовой комплекс
спутниковой навигации (БКСН).
Выбор геоцентрической подвижной системы координат с
моделью гравитационного поля Земли ПЗ-90.02 для фильтра кал-
мановского типа в данной ситуации обеспечивает возможность
использование линейной связи оцениваемых и измеряемых пара-
метров. Это приводит к уменьшению ошибок фильтрации, свя-
занных с нелинейностями различного рода.
214 ---

Глава 2
Данный алгоритм является адаптивным, что означает воз-
можность изменения параметров динамической модели в реаль-
ном времени при изменении конкретных условий.
В данном разделе рассмотрены общие принципы построения
ФКТ, включающего в себя адаптивный элемент. Результаты его
тестирования с помощью компьютерного моделирования остав-
ляем в качестве самостоятельной работы читателю.
Выбор оцениваемого и измеряемого вектора ФКТ
На всех участках полета ВЛА необходимо использовать по-
линомиальную модель движения, которая соответствует равноус-
коренному движению и представляется в виде:
dx	dy	.	dz — = VY = x, — = V= у, — dt	dt y	dt	= Vz=z,	(2.37)
dV	.. dV —- = a = x, —- = a=y9 dt x	dt y	dV —- = a=z, dt	(2.38)
da	dav	da ——^- = 0,	— = 0,	^- = 0. dt	dt	dt		(2.39)
Таким образом, исходя из уравнений движения, можно запи-
сать требуемый вектор состояния в виде
х = (x,y,z,x,y,z9x,y,z)T ,	(2.40)
где х у z - координаты приёмника; х у z - составляющие век-
тора скорости приёмника; х у z - составляющие вектора ускоре-
ния приёмника.
Известно, что навигационное решение приемника по ПД и
ПС подразумевает определение смещения шкалы времени при-
емника относительно систем GPS и ГЛОНАСС (AGPS, Агл -
смещение шкалы времени, умноженное на скорость света) и ско-
рости смещения этих шкал (А - скорость смещения шкал вре-
мени, умноженная на скорость света). Так как смещение шкал
происходит медленно и вероятностное поведения их известно, то
желательно и их ввести в вектор состояния.
---- 215

Глава 2
Окончательно получим расширенный вектор состояния, со-
стоящий из 12-ти параметров:
X = (x,y,z,x,y,z,x, y,z, ДГЛ,Д ,AGps)T •	(2.41)
Однако разные системы координат (с моделью ПЗ-90.02 для
ГЛОНАСС и моделью WGS-84 для GPS) обычно приводят к не-
обходимости раздельного расчета для данных полученных от
GPS и ГЛОНАСС. Предлагается использовать пересчет коорди-
нат (2.42), (2.43) и вектора скорости (2.44), (2.45) спутников сис-
темы GPS в систему ПЗ-90.02 в два этапа.
Этап 1
X		1,1		1	0,9696 Ю-6	0	X	
У	=	0,3	+ (1 + 0,12-106)	-0,969610“6 1	0	У	
Z	ПЗ-90	0,9		0	0	1	Z	WGS-84
(2-42)
X У	—	-1,07 -0,03	+ (1-0,22-10 6)	1	-0,6303-10’6 +0,6303-10-6 1	0 0	X У	
Z	ПЗ-90.02	0,02		0	0	1	Z	ПЗ-90 (2-43)
Этап 2
X		1	0,9696-10'6	0	X	
У	= (1 + 0Д2-10-6)	-0,9696-1О-6 1	0	У	, (2.44)
z		0	0	1	z	
	ПЗ-90				WGS-84
X		1	-0,6303-1 о-6	0	X		
У	= (1-0,22-10~6)	+0,6303-1О-6 1	0	У		(2-45)
Z	ПЗ-90.02	0	0	1	Z	ПЗ-90	
В силу ряда причин (например, вследствие избирательности
диаграммы направленности применяемых антенн на борту ВРБ)
216 ---

Глава 2
число видимых спутников может быть меньше минимально не-
обходимого для получения навигационного решения. В этом слу-
чае можно использовать смещение шкалы GPS относительно
ГЛОНАСС, которое передается в эфемеридных данных ГЛО-
НАСС для получения априорных координат ВРБ даже в случае,
если измерения системы ГЛОНАСС не позволяет получить нави-
гационное решение. Так как в процессе оценивания это смещение
будет уточняться, целесообразно в вектор состояния включить
оба параметра AGPS, Агл.
Будем считать, что изменение скорости смещения шкал вре-
мени полагаются винеровскими процессами с малой скоростью
дрейфа, которое характеризуется двусторонней спектральной
плотностью формирующего шума. Переход к моделям смещения
часов в дискретном времени получается в результате интегриро-
вания соответствующих непрерывных уравнений на интервале
времени дискретизации. В нашем случае время (интервал) дис-
кретизации для вторичной обработки будет соответствовать ин-
тервалу выдачи ПД и ПС и равно для конкретности, например,
0,1 с:
Д*=Д*_1+ГЛ-1+^л-1’	<2-46)
- ^к-\ +	>
(2-47)
где Д4 - уход часов приемника на к -й момент времени; Т - ин-
тервал времени между отсчетами; At - скорость ухода часов
приемника; £д к_х - шумовая ошибка часов приемника; £д ~
шумовая ошибка скорости ухода часов приемника.
Таким образом, вектор формирующих шумов £к =
^,к
пред-
ставляет из себя белый гауссовский шум с матрицей дисперсий
(2.48)
---- 217

Глава 2
где - скорость света; N^v - спектральная плотность формирую-
щего шума опорного генератора; - шум.
В качестве вектора измерений следовало бы брать
z =(x,y,z,x,y,z,\GVS,\VJi,'\f.	(2.49)
Однако такой вектор измерений требует получения навига-
ционного решения, которого может не быть даже при совмеще-
нии данных двух антенн по обеим системам. В результате нави-
гационная информация, содержащаяся в измерениях, в данный
момент времени не будет использована.
Для формирования навигационного решения необходимо
включать ПД (Z>7) и ПС (Z>7) от спутников с минимально иска-
женным сигналом:
Z ~ ^GPS * ’ ’ ^GPS ’ ^ГЛ ‘ ’ ^ГЛ ’ ^GPS * ’ * ^JGPS ’
т	С2’50)
~>ДГЛ ”'^ГЛ ’AGPS>ADPAGPS>ADl) >
где JGPS - число спутников GPS с минимально искаженным сиг-
налом; <7ГЛ - число спутников ГЛОНАСС с минимально иска-
женным сигналом.
Выражение для модели ПД приёмника запишем в следую-
щем общем виде [2, 3], справедливом для произвольных собст-
венных часов приёмника:
Dj =R[(t^ + c(\Tb(t^-\TJ (/^ес) +
(2-51)
“^atm 1h 7mp M Д
где RJb(t^) - истинная дальность до j-го спутника на момент вре-
мени - i -й момент измерения в бортовом приемнике; с -
скорость света; \Tb j - уход шкалы времени приемника отно-
сительно системного времени; АГ7 (^гес) - уход шкалы времени
218 ----

Глава 2
у-го спутника относительно системного времени; z^rec - момент
предшествия моменту для у-го спутника; - атмосферные
ошибки; 7^’7 - аппаратурные ошибки; - ошибки многолу-
чёвости; /Л7 - ошибки слежения за фазой;
j -	? J - ‘Asps + •Л л •
Для псевдодоплеровского смещения	несущей
частоты, измеренной в приемнике по у-му спутнику в момент
времени , согласно [28], можно записать следующее выраже-
ние:
RJ
Fb" Ю =	~	+	’	(2-52)
AJ
где R} ь - радиальная скорость приемника относительно у-го
спутника в момент ; А7*7 - номинальная длина волны несущей
у-го спутника; к™ - постоянный коэффициент, равный отноше-
нию номинальной частоты f^om несущей у-го спутника к номи-
нальной частоте fmo задающего генератора приемника; s f^mo -
смещение частоты задающего генератора приемника относитель-
но своего номинального значения в момент	- ошибка
измерения псевдодоплеровского смещения несущей частоты в
приемнике; 7 - индекс, принимающий значение 1 или 2 для диа-
пазона L\ и£2 соответственно.
С учетом введенных обозначений уход шкалы времени и
скорость смещения шкал можно записать в виде:
Д = сДТд(^),	(2.53)
(2.54)
---- 219

Глава 2
Умножая левую и правую части выражения для доплеров-
ского смещения на длину волны у-го спутника (Л77), получаем
выражение для ПС Z)y бортового приемника:
Dj - -R{ b - m*£f*mo +		(2-55)
Выражение для радиальной скорости приемника относи-
тельно у-го спутника
W)=
= (х™ - х)(х™ - х) + (j,*1 - у)(>7 - у) + (z;cn - z)(z7 - z) (2-56)
RJb(tb
। |	| j	|	I I « IJ •
где х}- , yj , Zj - координаты у-го спутника; Xj у- Zj - со-
ставляющие вектора скорости у-го спутника; х у z - координаты
приёмника; х у z - составляющие вектора скорости приёмника;
сп - индекс, обозначающий со спутниками какой системы (ГЛО-
НАСС или GPS) работаем.
При этом
RJb (tb = ^-x)2+(yf-y)2+(z^-z)2 .	(2.57)
Уравнения фильтра калмановского типа
Для решения поставленной задачи используется фильтр
калмановского типа (ФКТ) [4].
Уравнение экстраполяции вектора состояния
хмн = хш + f(xifi) М + Л(х;7,)7(х,7/)А/2 / 2 + 5,	(2.58)
где х/7/ - оценка вектора xz-, полученная на основании измере-
ний, проводившихся вплоть до z-го момента; А/ - интервал дис-
кретизации; - шум модели;
7ft/,) = *///>	(2.59)
220 --

Глава 2
^(•^/7/) “ -j х=хч- *
ОХ 7/
(2.60)
При этом должны выполняться условия:
1) математическое ожидание шума модели
Ж£) = 0,	(2.61)
2) дисперсия шума модели
<2-62)
где - матрица шума модели; 8у - коэффициент, принимаю-
[ 1, i = j
щии значения <
,J [О, i*j
Если в качестве измеряемого вектора ввести вектор z, то связь
оцениваемых и измеряемых параметров можно записать в виде
Z,. =hi(xi) + £i,
(2.63)
где i - дискретный момент времени, в который производятся из-
мерения.
При этом выполняются условия:
1) математическое ожидание шума измерений
ад=о,	(2-64)
2) дисперсия шума измерений Е(^) = ЛЦ,.,	(2.65)
где Ni - матрица интенсивности шума измерений.
Уравнение коррекции вектора состояния
xi+l/i+l = xi+l/i + ^/+1 [^/+1 ~	’	(2.66)
где Wi+i - матрица коэффициентов усиления фильтра; zi+x - век-
тор измеряемых параметров; й(х/+1//) - уравнения связи оцени-
ваемых и измеряемых параметров.
---- 221

Глава 2
Матрица коэффициентов усиления фильтра определяется как
^+1	+NMYl,	(2.67)
где PM/i - матрица ковариаций ошибок, связанная с оценкой xifj ;
Нм - производная измеряемых параметров по оцениваемым.
HM=—r-r .	(2.68)
Уравнение экстраполяции матрицы ковариаций
^+1/-ФЛ,фГ+Й-	(269)
Здесь Ф, - переходная матрица:
Ф-У + Дх,/,.^,	(2.70)
где I - единичная матрица.
Уравнение коррекции матрицы ковариаций
^+1/1+1 = (^ ~ ^-+1 Нм)Рмн.	(2.71)
Для предотвращения расходимости ФКТ введен адаптивный
элемент в виде пересчета в каждый момент времени z матрицы :
Qi+VM =Qmin +°ЛЙ +
+0,7diag{^.+1 [z;.+1 - h(x,+1/,)]}T{wM [zj+1 - Л(х/+1/,)]},
где Qj - матрица шума модели (выбирается экспериментальным
путем).
Все параметры вектора состояния непрерывно уточняются по
мере поступления измерений ПД и ПС по НКА ГЛОНАСС и GPS.
Определим матрицы Hi+i , а также вектор h(xMH). С учетом
приведенных уравнений и некоторых допущений ПД и ПС связа-
ны с оцениваемым вектором следующими соотношениями:
D°rS -7(x7s-x)2+(^GPS-y)2+<S-z)2 +	• (273)
222 ----

Глава 2
dgps =
(xGPS - x)(xGPS - x) + (yGPS - y)(>GPS -y) + (zGPS - z)(zGPS - z)
A/(xGPS-x)2+(^GPS-y)2+(zGPS-z)2
+^GPS>
(2.74)
o™ = ;(x7-x)2+(>.™-y)2+(z7-z)! + Лгл ,	(2.75)
6™ =
	-х)(х,гл	-Х) + (УРЛ -У)(У7ГЛ ->) + (2РЛ -z)(z™	-z) 	L
+Агл’	dgps р,гл	х7гл-х)2+(у7гл-у)2 + (27гл-2)2	I (2-76)
Л(х) =	Z>GPS ’ £>;л	j = \Nsv,	(2.77)
где Nsv - число спутников по каждой системе;
Я*(х) =												
	дР™	dDjK	dP°PS	0	0	0	0	0	0	0	0	1
	дх	ду	dz									
	5D7rJ1		дРрл	0	0	0	0	0	0	1	0	0
	дх	Sy	dz									
	dbfs	дР°к	дР^	db™	дЬ™	db™	0	0	0	0	1	0
	дх	ду	dz	дх	Sy	dz						
		dbjn	дР™	дРгл	дРрл	дЬрл	0	0	0	0	1	0
	дх	ду	dz	дх	Sy	dz						
(2.78)
---- 223

Глава 2
Элементы	матрицы Нк(х) определяются по следующим	
формулам:		
GPS/ГЛ	(xGPS/rJI -х)	(2.79)
дх	RJ	
^pGPS/ГЛ	(^GPS/ГЛ _у)	(2.80)
Оу	R]	
GPS/ГЛ	(z™ _z)	
j			v J		(2.81)
dz	RJ	
Rj = ^(Л™_х)2+^GPS/ГЛ _		y)2+(Z™_z)25	(2.82)
GPS/ГЛ	(х™-х) ^(х™-х) 	:		 - —	:		 ,	(2.83)	
дх	RJ	RJ	RJ
GPS/ГЛ	^GPS/ГЛ	kj(y	GPS/ГЛ _ x L(2-84)
Оу	Rj	RJ	RJ
^GPS/ГЛ		 ~		 ,	(2.85)	
dz	RJ	RJ	RJ
GPS/ГЛ	(xGPS/rJ1 -x)	(2.86)
дх	Rj	
^GPS/ГЛ	(^GPS/ГЛ _y}	(2.87)
Оу	Rj	
gpGPS/ГЛ	(zT-z)	(2.88)
dz	Rj	
^GPS/ГЛ _ ^GPS/ГЛ _ -) +		
	RJ	
+(у™ - JOO™ - у} +		
				—	(2.89)
+(гОР8/ГЛ_г)(. GPS/ГЛ
Матрица Л(х,7/) определяется так:
224 ----

Глава 2
	0	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	
	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0	
	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0	0	
							0	0	0	0	0	0	
			Вщ-Х				0	0	0	0	0	0	
	0	0	0	0	0	0	0 0	0 0	0 0	0 0	0 0	0 0	(2.90)
	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	
	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	
	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0	1	
	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	
	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0	1	
Вектор f(xin) равен
У(^7/.) = |х у Z х у z О О О Агл О AGPS|T, (2.91)
Для полиномиальной модели движения матрица раз-
мерностью 3x6 равна нулю.
Априорная матрица ковариации вектора состояния равна
	1000	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
	0	1000	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
	0	0	1000	0	0	0	0	0	0	0	0	0
	0	0	0	0,09	0	0	0	0	0	0	0	0
	0	0	0	0	0,09	0	0	0	0	0	0	0
^0/0 -	0 0	0 0	0 0	0 0	0 0	0,09 0	0 500	0 0	0 0	0 0	0 0	0 0
	0	0	0	0	0	0	0	500	0	0	0	0
	0	0	0	0	0	0	0	0	500	0	0	0
	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1000	0	0
	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0,09	0
	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1000
(2.92)
	0,01	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	
	0	0,01	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	
	0	0	0,01	0	0	0	0	0	0	0	0	0	
	0	0	0	0,01	0	0	0	0	0	0.	0	0	
	0	0	0	0	0,01	0	0	0	0	0	0	0	
ZA			0	0	0	0	0	0,01	0	0	0	0	0	0	
t>min ~	0	0	0	0	0	0	0,03	0	0	0	0	0	9
	0	0	0	0	0	0	0	0,03	0	0	0	0	
	0	0	0	0	0	0	0	0	0,03	0	0	0	
	0	0	0	0	0	0	0	0	0	#и	#12	0	
	0	0	0	0	0	0	0	0	0	#21	#22	#21	
	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	#12	#11-	
(2.93)
---- 225

Глава 2
где элементы матрицы <7ц—определяются так:
<7и=<^у,	(2.94)
#12 ~ #21 = °v >	(2-95)
#22	•>	(2.96)
оу = ylc2N^ = 0,008	м/с.	(2.97)
Дифференциальный режим
определения навигационных параметров
Согласно рекомендациям (RTCMSC-104), дифференциаль-
ные поправки (ДП) следует рассчитывать как разницу измерений
ПД и дальности, вычисленной на основе известных координат
ККС и координат НКА, полученных по бортовым эфемеридам.
В этой общей формулировке не раскрывается конкретный алго-
ритм вычислений, который должен учитывать:
1) необходимость масштабирования дифференциальной по-
правки вследствие влияния разности шкал времени опорной
станции и СРНС;
2) необходимость отбраковки аномальных измерений.
По своей сути, дифференциальные поправки являются оцен-
ками погрешностей измерений. Примем следующую модель для
погрешностей измерений:
-Dci (2.98)
^Д	(2.99)
где , ^Д - погрешность измерения ПД и ПС по /-му НКА;
D™. Ь™ - измерения ПД и ПС по z-му НКА; D? , Ь? - даль-
ность и скорость до /-го НКА, вычисленные на основе известных
координат навигационной антенны и эфемерид НКА; - влия-
ние разности шкал времени навигационной системы и опорной
226 ---

Глава 2
станции, одинаковое для всех НКА на данную эпоху; \d - ско-
рость изменения величины Ad.
Необходимо отметить, что значения &d для измерений, по-
лученных одновременно по НКА ГЛОНАСС и GPS, будут раз-
личными. А значение \d можно считать одинаковым для изме-
рений ПС по НКА ГЛОНАСС и GPS.
Участвующие в формулах (2.98) и (2.99) величины , Ь™
и D-, Ь- могут считаться известными параметрами, а вот значе-
ния Ad и Ad необходимо определить дополнительно. При от-
сутствии аномальных ошибок измерений, на каждую измери-
тельную эпоху параметры Ad и Ad могут быть оценены сле-
дующим образом:
N	N
м^р^-о^Г^р? ,	(2.Ю0)
z=0	/=0
м	М ,
bd = ^Р°ф™-фф^Р? ,	(2.101)
z=0	z=0
где i - порядковый номер НКА; N - число НКА данной системы
на текущую измерительную эпоху; М - общее количество НКА
на текущую измерительную эпоху; Р& - вес z-ro измерения ПД;
- вес z-ro измерения ПС.
Формулы (2.100) и (2.101) являются первым шагом в алго-
ритме вычисления ДП.
Вес для измерений ПД и ПС следует назначать в соответст-
вии с предполагаемыми погрешностями измерений:
Р° =1/[а?]2,	(2.102)
Р° =1/[а°]2,	(2.103)
где а?, erf - оценки суммарного влияния погрешностей изме-
рений, эфемерид, ЧВП для ПД и ПС соответственно для НКА с
номером z.
---- 227

Глава 2
Величины сг^, аР для каждого конкретного НКА рассчи-
тываются с учетом следующих факторов:
1)	принадлежность к НКА (ГЛОНАСС или GPS);
2)	отношение сигнал/шум;
3)	угол места.
Значения дифференциальных поправок, полученные по
формулам (2.98) и (2.99), нельзя считать окончательными, по-
скольку в них может присутствовать влияние измерений с ано-
мальными ошибками. Для обнаружения таких измерений необхо-
димо проверить выполнение следующих критериев:
у
(2.104)
/=0
N
^Р^Ь2<Х2,	(2.105)
/=0
где Z1 и /2 - некоторые предельные величины, выбираемые
согласно закону распределения %2 в соответствии с заданной
доверительной вероятностью и заданным числом степеней сво-
боды.
Если критерии (2.104) и (2.105) выполняются, то предпола-
гается, что на данную эпоху измерения с аномальными погреш-
ностями отсутствуют, тогда значения Ad и Ad запоминаются до
следующей измерительной эпохи, а значения Д считают-
ся окончательными.
Если критерии (2.104) и/или (2.105) не выполняются, следу-
ет вывод о наличии измерений с аномальными ошибками среди
измерений данной эпохи. Это означает, что величины Ad и Ad
были оценены некорректно.
Тогда оценку Ad на текущем шаге j необходимо получить
по данным предыдущего измерительного сеанса j - 1:
\d = bdj = Ad^ + Adj_x,	(2.106)
228 ----

Глава 2
\d = \dj = \d_j
(2.107)
где Д/ - интервал времени между эпохами (моментами j nj - 1).
После получения по формулам (2.106) и (2.107) новых оце-
нок \d и Дd следует снова рассчитать ДП по формулам (2.98) и
(2.99) и проверить каждую из них на соответствие критериям:

(2.108)

(2.109)
где tx и /2 _ коэффициенты, выбираемые согласно нормальному
закону распределения, в соответствии с заданным значением до-
верительной вероятности (Ф > 0,9).
Для тех измерений, для которых критерии (2.108) и/или
(2.109) не выполняются, следует произвести коррекцию весов
следующим образом:
Р?=&,	(2.110)

(2.111)
После чего с новыми величинами следует повторить вычис-
ления по формулам (2.100) и (2.101), а также (2.98) и (2.99). По-
лученные таким образом значения дифференциальной поправки
можно считать окончательными, а значения \d и Дб/ следует
запомнить до следующего шага.
Режим определения навигационных параметров
с учетом СДКМ _____________________________________
Задача системы дифференциальной коррекции и мониторин-
га (СДКМ) - определение ионосферных поправок, поправок к ча-
сам и параметрам орбитам навигационного КА (НКА), определе-
ние пригодности НКА и точности измерения дальностей до НКА
и передача этой информации пользователям.
Поправки, формируемые СДКМ, делятся на медленные и
быстрые.
---- 229

Глава 2
Быстрая коррекция проводится с целью компенсации быст-
ро меняющихся ошибок, таких как быстрый уход часов НКА.
Медленная коррекция предусматривается для компенсации
стабильных уходов часов НКА и эфемеридных погрешностей.
Быстрая коррекция часов НКА вычисляется по формуле
ДТНКА = dA0+dAI(f-^) + dA2(t-^)2,	(2.112)
где dA^dAy, dA2 - коэффициенты полинома, используемые для
вычисления поправок к часам.
Коррекция координат НКА вычисляется по формуле
ДХ,- = ДХ,СДКМ + ДХ,СДКМ (Z - /ом ),
Д1< = Д^сдкм + ду^дкм (/ - ),	(2.113)
az, = дг,сдкм + дг,сдкм (t - %),
где ДХ,СДКМ, Д^сдкм, Д7;сдкм - поправки к координатам НКА,
передаваемые в сообщении СДКМ; ДХ,СДКМ, Д1<сдкм, Д7,сдкм -
поправки к составляющим вектора скорости НКА, передаваемые
в сообщении СДКМ; t - текущее время; - опорное время мед-
ленной коррекции.
Определение ошибки в измерении дальности, вносимой ионосферной
рефракцией, в системе СДКМ основывается на данных об ионосфер-
ных ошибках, вычисленных для сети опорных точек. При вычислении
пользователь выбирает ближайшие к нему опорные точки (число их 3
или 4) и проводит интерполяцию данных.
Ионосферная ошибка находится при помощи формулы
^ион “ V^^UIVE •>
, f7?ecos£7f I 2
(2.И4)
(2.115)
230 ----

Глава 2
где FpP - фактор наклонения; Re - радиус Земли; hj - высота слоя
максимальной электрической плотности, равная 350 км; Е1 - угол
возвышения спутника над горизонтом, выраженный в градусной
мере.
Величина cruIVE вычисляется на основе интерполяции дан-
ных от опорных точек ионосферной сетки [27, 28].
Помимо корректирующих поправок, сообщение СДКМ содержит
данные о точности измерения дальности до спутников - UDRE (User
Differential Range Estimate), что позволяет потребителю определить
точность навигации.
Анализ оценок измерений показывает, что для описания их свойств
применимы известные характеристики статистик: состоятельность, не-
смещенность, эффективность и другие. Причем несмещенность и со-
стоятельность связаны друг с другом, но на деле это различные, не
следующие одно из другого свойства оценок.
Рассмотренные методы статистического оценивания и идентифика-
ции: метод наименьших квадратов (МНК), метод наименьших модулей
(МНМ), метод максимального правдоподобия (ММП), метод минималь-
ного риска (ММР), метод максимальной апостериорной вероятности,
методы динамической фильтрации - используют различные виды апри-
орных данных относительно погрешностей измерений и знания моде-
лей оцениваемого процесса (в терминах динамических систем - моде-
лей системы).
При применении МНК в различных вариантах задач используется
минимум априорных данных. Знание о наличии или отсутствии систе-
матических составляющих ошибок измерений обеспечивает возмож-
ность получения несмещенных оценок измеряемых параметров.
Методы динамической фильтрации позволяют получать оценки
вектора состояния динамического объекта (например, оценки пара-
метров движения космического объекта) в реальном (или близком к
реальному) масштабу времени путем рекуррентной обработки изме-
рений.
В практике навигационно-баллистического обеспечения наземная
обработка ИТНП ведется посеансно (обрабатываются измерения одного
---- 231

Глава 2
вида, проведенные одним измерительным средством), и необходи-
мость применения рекуррентных методов обработки, обладающих по-
вышенной «чувствительностью» к аномальным измерениям и точности
задания априорных данных, возникает, как правило, только на отдель-
ных этапах выполнения программ полета и участках траекторий дви-
жения - на этапах запуска, проведения динамических операций, спус-
ка возвращаемых элементов и др.
Литература
1.	Лысенко Л.Н., Бетанов В.В., Звягин Ф.В, Теоретические основы
баллистико-навигационного обеспечения космических полетов. М.:
МГТУ им. Н.Э. Баумана. 2014. 518 с.
2.	Иванов Н.М., Лысенко Л.Н, Баллистика и навигация космических
аппаратов: учебник для вузов. Изд. 3-е, перераб. и доп. М.: МГТУ
им. Н.Э. Баумана 2016. 523 с.
3.	Тюлин А.Е., Бетанов В.В, Летные испытания космических объек-
тов. Определение и анализ движения по экспериментальным дан-
ным / Под ред. А.Е. Тюлина. М.: Радиотехника. 2016. 332 с.
4.	Разоренов Г.Н. Введение в теорию оценивания состояния динами-
ческих систем по результатам измерении. М.: МО. 1981. 272 с.
5.	Байрамов К.Р., Бетанов В.В., Ступак Г.Г., Урличич Ю.М. Управ-
ление космическими объектами. Методы, модели и алгоритмы ре-
шения некорректных задач навигационно-баллистического обеспе-
чения. М.: Радиотехника. 2012. 360 с.
6.	Булычев Ю.Г., Васильев В.В., Джуган Р.В. и др.; Информационно-
измерительное обеспечение натурных испытаний сложных техни-
ческих комплексов / Под ред. А.П. Манина и В.В. Васильева. М.:
Машиностроение-Полет. 2016.440 с.
7.	Бетанов В.В., Янчик А.Г. Навигационно-баллистическое обеспече-
ние испытаний и применения космических аппаратов. Учебное по-
собие / Под ред. Б.И. Глазова. М.: РВСН. 1993. 176 с.
8.	Бетанов В.В., Кудряшов М.И. Практические подходы к решению
некорректных задач с приложениями к навигационно-баллисти-
ческому обеспечению управления космическими аппаратами. На-
учно-метод. материалы. М.: РВСН. 1997. 134 с.
9.	Эльясберг П.Е. Определение движения по результатам измерений.
М.: Наука. 1976. 416 с.
10.	Ломако Г.И. Экспериментальная баллистика космических аппара-
тов. СПб.: ВИККА им. А.Ф. Можайского. 1997. 454 с.
232 ----

Глава 2
11.	Брандин В.Н., Васильев А.А., Куницкий А.А. Экспериментальная
баллистика космических аппаратов. М.: Машиностроение. 1984.
264 с.
12.	Бетпанов В.В. Введение в теорию решения обобщенных некоррект-
ных задач навигационно-баллистического обеспечения управления
космическими аппаратами. М.: РВСН. 1997. 365 с.
13.	Степанов М.Г. Введение в теорию смещенного оценивания пара-
метров движения космических аппаратов по ограниченным дан-
ным. СПб.: ВИККА им. А.Ф. Можайского. 1993. 135 с.
14.	Баллистическое обеспечение космических полетов. Практикум по
дисциплине. СПб.: ВИККА им. А.Ф. Можайского. 1995. 124 с.
15.	Худяков С.Т., Жданюк Б.Ф., Брандин В.Н. Летные испытания ракет
и космических средств. Учебник. М.: В А им. Ф.Э. Дзержинского.
1968. 588 с.
16.	Бешанов В.В., Лысенко И.В. Решение задач экспериментальной
баллистики в ходе летных испытаний образцов ракетно-
космической техники. М.: РВСН. 1999. 35 с.
17.	Куприянов А.И., Дун Ге. Радиоэлектронные системы космических
комплексов. Учебное пособие. М.: МАИ. 2015. 324 с.
18.	Вейцелъ В.А., Поваляев А.А., Жодзишский А.И. и др. Радиосистемы
управления. Учебник для вузов. М.: Вузовская книга. 2014. 416 с.
19.	Березин Л.В., Вейцелъ В.А. Теория и проектирование радиосистем.
М.: Сов. радио. 1977. 546 с.
20.	Бешанов В.В., Кутин Д.Б., Ступак Г.Г. Определение и прогнозиро-
вание параметров движения разгонных блоков по ретрансляцион-
ным измерениям. М.: РВСН. 1998. 108 с.
21.	Экспериментальная баллистика ракетно-космических средств.
Учебник / Под ред. Л.Н. Лысенко, В.В. Бешанова, И.В. Лысенко.
М.: РАРАН. 2000. 286 с.
22.	Горшунов В.Т., Жданюк Б.Ф., Куницкий А.А. и др. Баллистическое
обеспечение и анализ функционирования радиотехнических и вы-
числительных систем. Учебное пособие. М.: МО. 1978. 227 с.
23.	Карпушкин Н.А., Куницкий А.А. Основы баллистического обеспе-
чения измерений. Учебное пособие. М.: МО. 1983. 228 с.
24.	Макаренко Д.М., Потюпкин А.Ю. Системный анализ космических
аппаратов. Учебное пособие. М.: МО РФ. 2007. 331 с.
25.	Чечкин А.В. Математическая информатика. М.: Наука. 1991. 416 с.
26.	Карутин С.Н., Власов И.Б., Дворкин В.В. Дифференциальная кор-
рекция и мониторинг глобальных навигационных спутниковых
систем. М.: Издательство Московского университета; ГАЛЕРИЯ.
2014. 464 с.
---- 233

Глава 2
27.	ГЛОНАСС. Принципы построения и функционирования / Под ред.
А.И. Перова, В.Н. Харисова. М.: Радиотехника. 2012. 797 с.
28.	Поваляев А.А. Спутниковые радионавигационные системы: время,
показания часов, формирование измерений и определение относи-
тельных координат. М.: Радиотехника. 2008. 328 с.
234 ----

ГЛАВА 3
Задачи
экспериментальной баллистики
ракетно-космических средств
В настоящем разделе содержится систематизированный материал по
анализу фаз полета. Первые два параграфа посвящены рассмотрению движе-
ния летательного аппарата (ЛА) на активном участке траектории по резуль-
татам траекторных измерений. Анализируются особенности определения и
анализа движения ЛА на указанном участке, приводится общая математиче-
ская постановка задачи и рассматриваются различные варианты определения
динамических характеристик ЛА различного типа.
В третьем параграфе описаны алгоритмы оценивания начальных усло-
вий движения ЛА вне атмосферы различными методами. Особое внимание
уделено описанию алгоритма обобщенного метода наименьших квадратов
обработки измерений текущих навигационных параметров.
Заключительный пункт раздела содержит материал по определению и
анализу неуправляемого движения ЛА в атмосфере. Детально изучаются ал-
горитмы оценивания параметров движения методом динамической фильтра-
ции при баллистическом спуске ЛА в атмосфере.

Глава 3
3.1.	Определение параметров движения РКС
на активном участке траектории
3.1.1.	Особенности движения РКС
на активном участке траектории
Решение задач экспериментальной баллистики по отноше-
нию к участку управляемого полета РКС затруднено в силу ряда
причин объективного характера.
Причины
1.	Большая часть активного участка траектории (АУТ) на-
ходится в атмосфере, где подробное и точное описание дейст-
вующих на РКС сил и моментов весьма проблематично. Для ком-
пенсации возникающих возмущений специально создается сис-
тема управления (СУ), обеспечивающая достижение заданной
цели полета. Поэтому математическая модель движения РКС
включает в себя совокупность большого числа стохастических
обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) вида
X = f(x,u,M,t) с НУ X(to) = X'0,
где X (/) - вектор параметров состояния; U(/) - набор управле-
ний детерминированного вида или функций параметров движения;
Л(/) - совокупность параметров РКС и среды полета; £ (г) - слу-
чайные функции возмущающих сил и моментов; - случайный
вектор возмущающих начальных условий движения РКС.
Математическая модель данного вида обладает слабой
прогностической способностью при отдельных реализациях
входящих в нее аргументов, поэтому использование ее в зада-
чах оценивания и идентификации даже в форме алгоритмов
стохастической аппроксимации или динамической фильтрации
нецелесообразно ввиду неопределенной реакции СУ на множест-
ве возникающих воздействий.
236 --

Глава 3
Наиболее эффективным приемом к решению задачи определения
движения следует признать формальную аппроксимацию результатов
внешнетраекторных измерений (ВТИ).
2.	Помимо обычной задачи восстановления опытной траек-
тории движения РКС по результатам внешнетраекторных изме-
рений, на активном участке траектории решаемая задача иденти-
фикации очень большой размерности, так как определяемыми
параметрами являются многочисленные характеристики РКС, его
двигательная установка (ДУ), система управления и другие сис-
темы, а также параметры внешней среды полета. Эта проблема
решается совместной обработкой траекторных и телеметриче-
ских измерений (ТМИ).
Большинство задач параметрической идентификации не связаны с ре-
акцией СУ (часто далее используют результаты прямых, а не косвен-
ных измерений), поэтому для их решения применяются методы стати-
стического оценивания.
3.	Решение задач определения и анализа движения РКС на ак-
тивном участке траектории во многом затруднено особенностями
процесса измерений на этом участке: задействуется большое число
разнородных измерительных средств, значительная часть экспери-
ментальных данных имеет аномальный характер и т.д.
4.	Большинство аварийных ситуаций приходится как раз на
управляемый участок полета, где объект движения имеет наибо-
лее сложную структуру. Для всестороннего и достоверного ана-
лиза причин происшедших аварий должны быть созданы специ-
альные методики, содержание которых не рассматривается ввиду
слабой отработки указанного направления экспериментальной
баллистики.
Перейдем непосредственно к задаче восстановления опыт-
ных траекторий управляемого движения РКС по результатам
внешнетраекторных измерений.
----237

Глава 3
Общая постановка задачи определения движения РКС
на активном участке траектории
Рассмотрим особенности математической постановки за-
дачи (МПЗ) определения параметров поступательного движения
РКС на АУТ по результатам ВТИ (см. также §1.5).
Дано:
1.	ММД РКС: G: не рассматривается
2.	ММ измерительной системы:
b ___________
1)	уравнения измерений S: (/
/=1
2)	спектр измерений: Т:	;
3)	информация об ошибках измерений Q:
способ комбинации ошибок с измеренными параметрами:
вероятностные свойства ошибок измерений:
Л,еУ(0Лп); ^=diag{ay^.
, _ Ч к
3.	Выборка результатов измерений Z:	| .
4.	Априорная информация А: отсутствует.
5.	Критерий качества оценок К: МНК-критерий.
Требуется: восстановить по результатам внешнетраекторных
измерений опытную траекторию движения РКС.
3.1.2.	Определение параметров движения РКС
сглаживанием результатов внешнетраекгорных измерений
Рассмотрим эту задачу на примере обработки результатов
измерений, полученных с помощью РТС.
Пусть в моменты времени {?,}* известны параметры
COS0V(/,.); cds®v(z,),(v = x,z)}
co случайными некоррелированными ошибками сгд,сг^ и т.д.
Требуется оценить параметры движения РКС в абсолютной
геоцентрической системе координат: (/,), <9га (г;).
238 ---

Глава 3
Алгоритм оценивания____________________________________
Этап 1. Каждый измеряемый параметр £>(/,), и т д-
сглаживается с использованием процедуры формальной аппрок-
симации. В результате применения одного из алгоритмов сглажи-
вания исключаются аномальные результаты измерений, и осуще-
ствляется фильтрация случайных ошибок
Этап 2. Определяются параметры относительного движения
в системе координат измерительного средства (пунктовой СК):
cos©^ (t;) - ^l-cos20x(z/)-cos20z(z/);
Уи (ji) =	)cos0J, (z,);	zu (ji) = b(tt )cos0z (/, );
qOTH
^XU
)

) = Ь(/,. )cos0x (z;) + Z)(z, )cos0x (z,);
U) = /tyOcos©, (zj + D(z,)cosG>y (z,);
(z,) = £>(z,)cos0z (z,) + D(z/)cos0z (z,)>
где
cos0v (z.) =----——x
cos©y(z,.)
x £cos @x (/;) cos ®x (/,.) + cos ®z (/;) cos ®z (zz) j .
Этап 3. Параметры движения пересчитываются в абсолют-
ную геоцентрическую систему координат:
«9Г U) =	GWJ tOTH U);
---- 239

Глава 3
i™ (',)=Ы )[лг„, (Л Д.)".™ )+Г];
4^<-г ~ Дг<-га ’ ^т<-и = ^<—г ’
где А<-га(^/)? Л<-г(^иА)? определяются по формулам,
полученным в задаче расчета целеуказаний измерительному
средству.
Этап 4. Определяется оценка абсолютной скорости в абсо-
лютной геоцентрической системе координат:

где Яаер (Л ) =
^з^га О/)
О
~«Vra('i)
3.1.3.	Определение скоростных параметров
методом скользящего численного дифференцирования
Подробно методы скользящей области оценок будут рас-
смотрены в разделе 4.
Условия задачи_____________________________________
Для некоторых типов измерительных средств алгоритмом
оценивания параметров движения РКС, аналогичных рассмот-
ренному выше, не представляется возможным, в том случае, если
измеряются координатные параметры, а определяются скорост-
ные параметры движения (например Зхга, <9^,	). В этих слу-
чаях для получения оценок Ь, у, а можно воспользоваться ме-
тодом скользящего численного дифференцирования результатов
измерений D, у, a .
Рассмотрим суть этого метода на примере произвольного
измеряемого параметра у скалярного вида.
Пусть yi - расчетное значение координатного параметра у в
момент времени Zz, причем интервал дискретности А/ - tin - =
240 --

Глава 3
= const, z7 = yt + hi - результат измерения этого параметра со слу-
чайной ошибкой , дисперсия которой постоянна = const и
известна. Измерения полагаются некоррелированными.
Требуется численным дифференцированием определить
производную (скоростной параметр) с максимально возмож-
ной точностью в данных условиях.
Алгоритм оценивания__________________________________
Для решения сформулированной задачи воспользуемся идеей
разложения функции в ряд по степеням аргумента (ряд Тейлора) и
рассмотрим временную последовательность у19 у2,...» У/_/,
У,,-,Ум’Ук-ъУк (рис. 3.1).
Для произвольных моментов времени ti+t можно запи-
сать
Ум = У> + jP (/Д')+ ^Л-2) (/д')2 + Л(3) (/А03 + • • •’
ум =У1 -Л/д0+^у!2)(/д')2 ~Л3)(/д03+... •
Вычитая из первого уравнения второе, получаем
Ум ~ Ум = 2Л (М +	(/д')3 + • • •,
у1+п Ук-1 Ук
1
ДГ
i-n i-L z-1 i z+1 z+Z,
-7ДГ IM
i+n k-\ к
_____Рисунок 3.1 ________________________
Временная последовательность
расчетных значений параметров
----- 241

Глава 3
откуда
2ISt 3! ' '	'
Отбросив второе и последующие слагаемые, в первом при-
ближении можно записать:
Л ~	2/Д/
с погрешностью, описываемой остаточным членом
„«Лрпфд,)2,
(3.1)
(3-2)
где
^(З)шах
= тах
(3)
Я-! ’
У^

Так как истинные значения координатного параметра у в
формуле (3.1) неизвестны, то в качестве оценки скоростного па-
раметра у в момент времени t можно принять
f]^zM~zi-l
2lAt
(3.3)
Случайные составляющие ошибки оценивания
Точность получения оценки вида (3.3) характеризует дис-
персия
7	4 (ZAr)
zt2
_ 2crh _ crh
4(1 At)2	2(1 At)2
(3.4)
По формуле (3.3) могут быть получены 1= оценок и
найдена средневзвешенная оценка с весами, обратно пропорцио-
нальными дисперсиям (3.4):
242 ---

Глава 3
п
#р=±±.-------,	(3.5)
/=1
где бУ7 = —^-вес I -й оценки.	(3.5*)
Точность такой средневзвешенной оценки (3.5), в свою оче-
редь, характеризуется дисперсией
С учетом выражений (3.5’), (3.4) получим
1
2Д/
/=1
1
Так как
/2 _»(и + 1)(2п + 1) то	Зег2
6	у? Д/2и(и + 1)(2и + 1)
(3.6)
Методическая составляющая ошибки оценивания
Из анализа формулы (3.6) следует, что с увеличением числа
привлекаемых опытных данных п дисперсия средневзвешенной
оценки (3.5) скоростного параметра у уменьшается по нелиней-
ному закону, что является очевидным с точки зрения математи-
ческой статистики. Однако здесь речь идет лишь о случайной со-
---- 243

Глава 3
ставляющей ошибки оценивания. Вместе с тем, существует и ме-
тодическая составляющая, обусловленная отбрасыванием оста-
точного члена разложения в ряд Тейлора (3.2), и она должна воз-
растать с увеличением числа п, поскольку пропорциональна
квадрату интервала /А/. По аналогии с формулой (3.5) введем
средневзвешенный остаточный член разложения вида
п
,	(3-7)
7=1
где
(3.7-)
вес I -го остаточного члена с учетом выражений (3.2), (3.5’). Под-
становкой формул (3.2), (3.7’) в выражение (3.7) получим
@(СР) =.
1	п
Так как
Д/2(Зп2+Зп-1).
то получаем
0‘Р=±у(3)
'	30 '
max
(3.8)
Анализ суммарной ошибки
численного дифференцирования
Пользуясь аналогией задачи численного дифференцирова-
ния результатов измерений и задачи их рациональной аппрокси-
мации, можно записать выражение для суммарной ошибки чис-
ленного дифференцирования:
244 ---

Глава 3
^sum ~ ^мет + 0 ^сл > 0 < < 1,
(3.9)
где в качестве составляющих этой ошибки Дмет и Дсл могут быть
взяты, например:
Лмег= (©/”); Асл=(з<Т,ср^ •
Тогда, как следует из характера зависимости (3.9), представ-
ленной на рис. 3.2, должно существовать число п результатов
измерений, включаемых в обработку при решении задачи оцени-
вания скоростного параметра у.
Очевидно, что с учетом формул (3.6), (3.8), (3.9)
и* = /|£,Дг,сгл,
^(3)max
. Объем выборки = 2п +1.
ПРИМЕР, Пусть измерительный процесс описывается функ-
циональной зависимостью вида у(/) = а0+а^ + а2^2+^3/3, тогда
у® = 6а3 = const. Положим, для определенности, £ = 0,5 и будем
исследовать зависимость п = /(Д/,сгл) при различных значениях
величин А/,сгл и коэффициента а3. Результаты представлены в
виде двух таблиц, которые соответствуют значениям а3 =0,01
(табл. 3.1) и а3 =0,1 (табл. 3.2).
_________________________Рисунок 3.2 _______________________
График зависимости суммарной ошибки от числа измерений
---- 245

Глава 3
________________________Таблица 3.1 ______________________
Результаты расчетов для а3 =0,01
	At = 1	А/= 2	А?=3	Аг = 4	Аг = 5
1	6	3	2	1	1
2	7	4	2	2	1
3	8	4	3	2	2
.4	8	4	3	2	2
5	9	5	3	2	2
					
10	11	6	4	3	2
________________________Таблица 3.2______________________
Результаты расчетов для а3 = 0,1
	А1= 1	А/ = 2	AZ = 3	А/ = 4	Аг=5
1	3	1	1	1	1
2	3	2	1	1	1
3	4	2	1	1	1
4	4	2	1	1	1
5	4	2	2	1	1
					
10	6	3	2	1	1
Анализ показывает, что с увеличением а3 и А/ резко возраста-
ет методическая ошибка численного дифференцирования (следо-
вательно, число включаемых в обработку измерений уменьшает-
ся), а с увеличением уровня шума стп необходимо, напротив, рас-
ширять объем выборки.
246 ----

---- Глава 3
3.2.	Динамические характеристики
ракетно-космических систем
3.2.1.	Анализ движения РКС
и основные подходы к их решению
Возмущающие факторы
на участке управляемого полета
Состав и содержание задач оценивания движения РКС на
АУТ во многом определяются рассматриваемым комплексом
возмущающих факторов.
Наиболее существенные возмущающие факторы
1.	Случайный разброс начальных значений параметров дви-
жения в характерные моменты времени (старт, разделение ступе-
ней ракеты).
2.	Отклонение массово-инерционных характеристик РКС от
их номинальных значений.
3.	Отклонение тепловых характеристик ДУ (удельной тяги,
секундного расхода и др.) от их номинальных значений.
4.	Отклонение аэродинамических характеристик РКС (коэф-
фициентов сил и моментов, положения центра давления и др.) от
их номинальных значений.
5.	Вариации термодинамических параметров атмосферы и
нерасчетные ветровые воздействия.
6.	Влияние аномального гравитационного поля (отличие по-
ля притяжения Земли от принятой модели).
7.	Инструментальные погрешности элементов СУ РКС
(ошибки начальной выставки осей чувствительности гироинте-
граторов, погрешности горизонтирования гиростабилизирован-
ных платформ (ГСП), уходы комплексов командных приборов
(ККП), отклонения коэффициентов усиления системы стабилиза-
ции РКС от номинальных значений, погрешность частоты борто-
вых источников питания и др.).
8.	Методические ошибки алгоритмов управления (прибли-
женных характер бортовых алгоритмов, вычислительные ошибки
БЦВМ, динамические ошибки процесса регулирования и др.).
--- 247

Глава 3
Влияние некоторых факторов (п. 6-8) в принципе не может быть вы-
явлено и компенсировано в процессе полета РКС однако и действие
других факторов в отдельных случаях может приводить к большой
нагрузке на органы управления, а при неблагоприятном стечении об-
стоятельств - к аварийному завершению полета. Поэтому выявление
реальных причин появления возмущений в движении РКС представ-
ляет собой весьма актуальную задачу летных испытаний, в особенно-
сти для участка управляемого полета, где комплекс таких причин
наиболее представлен.
Возмущенное движение РКС
на активном участке траектории
Современное состояние теории не позволяет, к сожалению,
рассматривать проблему анализа возмущенного движения РКС
как единое целое. Единственно приемлемым способом ее реше-
ния остается пока приближенная декомпозиция, т.е. разделение
и изолированное изучение отдельных частных задач анализа,
таких как:
	определение массово-инерционных характеристик РКС;
	определение тяговых характеристик ДУ;
	оценивание параметров и инструментальных погрешностей
СУ и т.п.
Разумеется, при таком подходе вносится дополнительная
методическая ошибка, обусловленная не учетом взаимного влия-
ния возмущающих факторов. Значение этой ошибки тем выше,
чем теснее связь между причинами возмущенного движения и
чем больше значение каждого из указанных факторов.
При малых отличиях возмущенного движения РКС от рас-
четного (модельного) задача анализа решается наиболее просто и
сводится к классической проблеме параметрической идентифи-
кации модели динамической системы заданной структуры.
Обычно при этом используются те же методы и алгоритмы стати-
стической обработки избыточного количества измерений (стати-
стическая избыточность экспериментального материала позволя-
ет уменьшить влияние случайных ошибок измерений), что и в за-
дачах оценивания состояния динамической системы. Более того,
при очень малых ошибках измерений вполне оправдывают себя
248 ---

Глава 3
методы, опирающиеся на минимально допустимый объем выбор-
ки (т.н. достаточное число измерений), поскольку при этом алго-
ритмы оценивания являются наиболее простыми и легко интер-
претируемыми.
Совершенно иной характер носит ситуация, когда отклонения пара-
метров возмущенного движения РКС от расчетных значений стано-
вятся весьма значительными. Такие задачи анализа баллистических
моделей относятся к классу задач структурной идентификации, уни-
версальных методов, решение которых в настоящее время еще не по-
лучено. Наиболее ярким представителем здесь является задача анали-
за причин аварийного пуска, которая, в силу недостаточной методиче-
ской отработанности, подробно не рассматривается.
Более детально остановимся на нескольких примерах реше-
ния задач определения массовых и тяговых характеристик по
достаточному и избыточному числу измерений.
3.2.2.	Удельная тяга двигательной установки
Рассмотрим движение ракеты в атмосфере. Расчетные зна-
чения параметров движения считаются известными, а возмущен-
ное движение полагается незначительно отличающимся от рас-
четного. Требуется по выборке минимального допустимого объ-
ема оценить удельную тягу ДУ в пустоте.
Определение удельной тяги
на основе обработки телеметрических измерений
Пусть с помощью телеметрической аппаратуры на борту ра-
кеты производятся измерения весового секундного расхода топ-
лива G(/), кажущейся скорости движения Wx (/). В качестве ис-
ходной ММД ракеты необходимо взять динамическое уравнение
продольного движения центра масс:
=	(3.10)
где Р(г) - тяга ДУ; (/) - осевая (продольная) аэродинамиче-
ская сила.
---- 249

Глава 3
Известно, что
P(t) = Pn(t)-SaPh(t),
(3.11)
где P„(z) -тяга ДУ; Sa - площадь выходного среза сопла; Ph(t) -
атмосферное давление;
p„(0=-W(')>	<3-12)
где Р - удельная тяга в пустоте;
=	(3.13)
ИЛИ
G(z)= p(z)dz,	(3.14)
о
где G(z) - вес ракеты; g0 - const.
Подставляя формулы (3.11)—(3.13) в исходное уравнение
(3.13), преобразуем его:
^О^уд.п
, ft(') -
G(r) g° ° G(l) S° G(l) '
Переходя к дифференциалам, получаем
^-s^^-gA^dt-gc^d,
G	G(ZJ	G(ZJ
или в форме квадратур
('2) - ('1)=-?»г,».п ь- sA <* -
В этом уравнении значения кажущейся скорости являются
результатами некоррелированных измерений с помощью ГИЛУ,
250 --

Глава 3
вес ракеты определяется путем численного интегрирования по
формуле (3.14) результатов измерений весового секундного рас-
хода, а последние два интеграла могут быть рассчитаны по про-
граммным значениям входящих в них параметров, т.е. оконча-
тельно имеем:
Wx М-^х, 01)
1V 7--+ AR + AR
go P
(3.15)
где

Очевидно, при рассмотрении движения 2-й ступени ракеты,
совершающей полет вне земной атмосферы, следует положить
AF=0;	AF=0.
Определение удельной тяги на основе обработки
телеметрических и внешнетраекторных измерений
В этом случае вместо исходного уравнения движения ракеты
вида (3.10) необходимо использовать уравнение в действитель-
ных параметрах:
= P(/)-Jf1(/)-w(/)g(?)sin^(/),	(3.16)
где g(z) - закон изменения ускорения силы притяжения Земли;
(/) - зависимость для угла тангажа.
Аналогичные §2.2 операции приведут к уравнению вида
М':)-Ш+дс.
go___________
1аШ
g('2)
(3.17)
----- 251

Глава 3
где проекция скорости на продольную ось ракеты VXy (г) опреде-
ляется по данным ВТИ:
1 t2
=— (ФМпр('И-
3.2.3. Определение динамических характеристик РКС
по избыточному числу измерений
В условиях предыдущей задачи требуется определить, по-
мимо удельной тяги, весовой секундный расход топлива и на-
чальную массу ракеты, используя избыточность измерительной
информации. Математическая постановка задачи выглядит сле-
дующим образом.
Дано:
1.	ММД РКС G: m{t)WXx=Yn,
/ X C(z)
где Pw = -РудnG = const, m(t) = —, для ЖРД
So
G(t) = Go + Gt, W	(3.18)
Cr0 + CrZ
2.	ММ ИС:
1)	уравнения измерений:
Wx’(r) = lKXi(/) + ^(/); G*(r) = G(r) + ^(r).
Если измеряются (z), то (z) находятся методом сколь-
зящего численного дифференцирования;
2)	спектр измерений:
{Mb {<;
3)	условия опыта:
Q: Ай,={йй,(г1),-,^(41)}; йй=[йд(г1),--,/гй(гк2)};
h* е N(0;Kh^, причем	= <?2hwE ;
h6 eN(0;KK), причем Kh6 = <т2аЕ.
3.	Выборка результатов измерений Z:
('*>)); ^={G*M,-,G\Tk2)}.
252 ----

Глава 3
4.	Априорная информация об оцениваемых параметрах А: от-
сутствует.
5.	Критерий оптимальности оценок К: ММП критерий.
Требуется определить Рудг1,Ст0,Ст - постоянные неизвестные
параметры модели. Таким образом, рассматривается задача пара-
метрической идентификации динамической системы.
Алгоритм оценивания____________________________________
Для получения алгоритма оценивания динамических харак-
теристик РКС а = {Рудп,(70,(?} воспользуемся общим алгорит-
мом ММП:
« = См’мпфХЧ2, ^=СммП>	(3-19)
где Сммп - ФТКИФ; Kh -
О 1	О
KhG] _ 0 a2h<iEk2
вариационная матрица ошибок измерений блочного диагонально-
го вида размерности К} х К2;
$0i) 02 01) $00
о
Ф,2
Ф22
01 (**! ) 02 (% ) 03 (% )
О 0	1
- матрица функций
О 0	1
влияния размерности (А^хХ^хЗ блочного вида с элементами
dW	dW
dG
(определяются с по-
мощью функций (9)), ------= 0;
^Руд.п
5G Л dG Л
---= 0; — = 1 - элементы по-
асо dG
следних К2 сток-матрицы Ф .
Таким образом, матрица Грама ММП будет иметь следую-
щий вид:
---- 253

Глава 3
О
Ф11
О
Ф12
Ф22
1
2~Ф11
&hw
1
~~Ф12
&kw
Ф]2
Ф22_
(3.20)
—2~фцфц	——ФПФ12
°hw
—2-ф12Ф11 —“Ф12Ф12 +—~ Ф22Ф22
^hw	^hw	CT/iG
Преобразованный вектор результатов измерений в формуле
(3.19) определяется следующим образом:
т -1 -
Ф Khz =
1
—ф11
^hw
1
— ф12
ahw
1 Т -
—*11*1
ahw
1 Т -	1 Т —
“2“ф1271 +-2—°22Z2
ahG
(3.21)
Анализ алгоритма_____________________________________
1.	Легко убедиться, что матрица Грама - невырожденная, так
как (СммлНО. Это означает, что решение задачи оценивания
существует и получается однозначным способом.
2.	Из формулы (3.21) видно, что матрица Грама недиаго-
нальная, таким образом, точность полученных оценок не харак-
теризуется полностью их дисперсиями (диагональными элемен-
тами матрицы Ка, с одной стороны, и, с другой стороны, не-
смотря на прямой характер измерения весового секундного
расхода, оценку этого параметра можно уточнить, если привлечь
дополнительные измерения кажущегося ускорения.
254 ----

Глава 3
3.	При Ф22 = 0 (используются только измерения кажущегося
ускорения) задача оценивания в исходной постановке становится
ненаблюдаемой, так как |Сммп| = 0. Действительно, пользуясь
формулой Шура для блочной матрицы имеем
В отношении матрицы Грама вида
,	_ 1	®H®12
ММП	у’	т>
°Лй'[_Ф12<1)11 ^12^12
можно найти
|Сммп| “
х Ф12Ф12
\/q+X2
\^hw J
|фпФц|х
-Ф^Фп®!! (Фп) ФГ1Ф12
-0.
1
3.2.4.	Определение характеристик системы
управления РКС по результатам измерений
Коэффициенты системы стабилизации ракеты
Модель работы системы стабилизации
Рассмотрим уравнения работы системы стабилизации раке-
ты, имеющей исполнительные газодинамические органы управ-
ления в виде 4-рулевых двигателей, расположенных крестообраз-
но в основной и главной плоскостях симметрии (рис. 3.3).
Управление движением ракеты осуществляется в трех орто-
гональных направлениях:
1)	по нормали к траектории движения ракеты путем откло-
нения рулевых двигателей на угол тангажа 8Т , уравнение работы
системы стабилизации по каналу тангажа (нормальная стабили-
зация) имеет вид
Т2иЗт + Т”8т + 8Т = ^Дц + а"Дц	;	(3.22а)
---- 255

Глава 3
Условное представление системы стабилизации ракеты
2)	по бинормали к траектории полета путем отклонения ру-
левых двигателей, находящихся в плоскости симметрии I-III на
угол рыскания 8Р, уравнение работы системы стабилизации по
каналу рыскания (боковая стабилизация) записывается аналогич-
но (3.22а):
Т? 8р + Т? 8Р+8Р =
\ ф	ft.	(3-226)
= а*Д'Р1 + а1тДЧ,1 -a?Sz-c$WZx-
3)	по касательной к траектории полета путем изменения се-
кундного расхода топлива, уравнение работы канала системы
стабилизации можно представить следующим образом:
КрксДС + Дё = -аРксД»;кс,	(3.22в)
где рассогласование кажущейся скорости Д^ркс, измеренное из-
мерителем линейных ускорений ГИЛУ, имеет несколько состав-
ляющих:
А^ркс =	+ А^РКС + Д^ + Д^ •	(3.22г)
256 ----

Глава 3
Обозначения, использованные в формулах (3.22а)-(3.22г)
означают следующее:
Т, а - передаточные коэффициенты автомата стабилизации;
д^=ад-М')
ATj =^(0-^(0
> - рассогласование между текущими
значениями углов тангажа (рыскания) и их программными значе-
ниями;
Wy}. WZx,	, SZ} - отклонение проекций кажущейся скоро-
сти и кажущегося пути от программных значений;
АИ^ = AFTXj (/) - А^пр (г) - отклонение продольной состав-
ляющей кажущейся скорости от программной функции;
AG - отклонение весового секундного расхода топлива от
номинала;
АГГ^ИСТ - систематическая ошибка измерителя линейных ус-
корений (ГИЛУ);
А^ - относительная погрешность масштабного коэффици-
ента измерителя;
А&2 - временной сдвиг программы РКС.
Моделирование работы системы стабилизации в условиях
возмущенного полета показывает, что довольно часто изменение
коэффициентов Т2 в уравнениях (3.22а)-(3.22в) в широких преде-
лах несущественно сказывается на качественных характеристи-
ках процесса регулирования, поэтому первыми слагаемыми в
этих формулах можно пренебречь, особенно если речь идет о за-
даче идентификации СУ по результатам измерений.
Упрощая задачу в еще большей степени, т.е. не рассматри-
вая динамику процесса регулирования, заключенных в производ-
ных углов 8т,8р, А<^, АЧ^, получают приближенные (так назы-
ваемые «балансировочные») зависимости на базе уравнений
(3.22а)-(3.22б). Таким образом, в первом приближении можно
записать
Зт (/)«	(Z) - a"cSyi (/) - a™Wyi (/),
(3.23а)
---- 257

Глава 3
(О’
(3.236)
AG(/)«-aPKCA^pKC(i)
(3.23в)
причем Д»Уркс (t)« AWXt (?).	(3.23г)
Наряду с временным осреднением процесса регулирования
рассмотренным выше можно осуществить приближенную деком-
позицию модели работы системы стабилизации по составляющим
ее подсистемам: автомат угловой стабилизации АУС и система
стабилизации движения центра масс, например:
-	автомат угловой стабилизации (АУС):
(0 ~	(О’
др(0 ® ао	(О’
(3.24а)
-	автомат стабилизации центра масс (АСЦМ):

(3.246)
В зависимости от вида решаемых задач и необходимой при этом сте-
пени детализации работы системы стабилизации, модель ее функцио-
нирования может включать различное число параметров и иметь
структуру различного уровня сложности.
Особенности задачи
параметрической идентификации
модели системы стабилизации
При рассмотрении задачи параметрической идентификации
модели вида (3.22), (3.23) или (3.24) на первый взгляд она может
показаться достаточно простой и доступной для решения обыч-
ными методами теории статистического оценивания, такими как
МНК, ММП и др.
Действительно, большинство параметров в этих моделях мо-
гут быть измерены непосредственно с помощью датчиков углов,
258 --

Глава 3
угловых скоростей, ГИЛУ и др., а неизвестные коэффициенты
системы стабилизации можно полагать постоянными на длитель-
ные интервалы времени. Более подробный анализ исходных
уравнений измерений, например первой формулы (3.24а), пока-
зывает, что рассматриваемая здесь задача параметрической иден-
тификации является задачей неклассического типа, поскольку
функция влияния (в данном случае, так как все уравнения линей-
ны, это функции, стоящие сомножителями при неизвестных па-
раметрах) сами являются результатами измерений, т.е. содержат
случайные ошибки.
Нетрудно показать, что вследствие этой причины увеличивается не
только разброс полученных оценок, но принципиальным образом мо-
гут измениться все их статистические свойства.
Возьмем в качестве примера уравнение (3.24а):
$т (0 ~	(0 •
Пусть углы Зт и измеряются датчиками в дискретные
моменты времени {/J* со случайными аддитивными, некоррели-
рованными, несмещенными, равноточными и нормально распре-
деленными ошибками. Для оценивания коэффициента усиления
а$ воспользуемся алгоритмом ММП:
(^ = (ф7’ф)’1ф7’7,
где
a^*(z2)
---- 259

Глава 3
В результате получаем
к
-----------------
ZK(<
/=1
Ввиду нелинейного характера этой зависимости	,
следовательно, оценка является смещенной с неконтролируемой
величиной смещения, хотя, как известно, при несмещенных
ошибках измерений классическая МНК-оценка должна быть не-
смещенная.
Дисперсия оценки определяется формулой а2^ =(фгф)
ао '	'
или в скалярном виде
ЕИМ
ы
однако в условиях случайного характера функций (/) эта ве-
личина не может служить мерой разброса оценки, которая более
корректно должна получиться методом статистических испыта-
ний.
Анализируя остальные задачи параметрической идентифи-
кации модели системы стабилизации, приходим к такому же ре-
зультату с единственным отличием, касающимся размерности за-
дачи (числа оцениваемых параметров).
Подобные задачи оценивания и параметрической идентификации, где
функции влияния определяются по результатам измерений, относятся
к разделу теории оценивания. Методы решения подобных задач со-
ставляют отдельный предмет рассмотрения.
260 ----

Глава 3
Инструментальные ошибки
автомата управления дальностью
Состав инструментальных ошибок
автомата управления дальностью
Рассмотрим схему АУД, когда измерители (ГИЛУ) разме-
щаются на ГСП и их оси чувствительности выставляются в опре-
деленных направлениях. Охарактеризуем примерный состав ин-
струментальных ошибок для одного из них (рис. 3.4).
Все ошибки измерителя можно разделить на две группы:
1) собственные измерительные погрешности;
2) ошибки ориентации его оси чувствительности в инерци-
альном пространстве.
Для ГИЛУ, ориентированного в направлении А, можно за-
писать:
Д^(г) = Д^ги(/) + Д^(^),	(3.25а)
где AFFrH(7) - составляющая ошибки ГИЛУ, обусловленная соб-
ственными инструментальными погрешностями, в качестве кото-
рых выступают, например, смещение гироинтегратора (система-
тическая погрешность) А И^ист и ошибка масштабирования А^га,
Примерный состав инструментальных ошибок
----- 261

Глава 3
пропорциональная величине кажущейся скорости ; Д^(г) -
составляющая ошибки ГИЛУ, обусловленная ошибками ориента-
ции его оси чувствительности Д^ (/), в частности, систематиче-
ской ошибкой выставки ГИЛУ на ГСП ДЯ^СТ и случайными раз-
личными уходами оси чувствительности в процессе полета (из-за
трения подвесов ГСП, из-за перегрузок, динамического воздейст-
вия на ГИЛУ, пропорционального величине перегрузки в направ-
лении Л, и др.).
Исходя из сказанного
А^ги (0 = Ф> (О А^“ст + Ф1 (О А^™;	(3.256)
(?) = ДССТ + «('Ля) = МГ +	+ «1 — >	(3.25в)
go
следовательно,
А^ (0 = Фз (О А4Г + Фь (0«0 + Ь ('Ц >	(3.25г)
где «о,»! - постоянные параметры уходов; ^(z) - функции
влияния.
Особенности задачи идентификации
инструментальных погрешностей А УД
Структура уравнений (3.25) свидетельствует о том, что, как
и в случае оценивания коэффициентов системы стабилизации, мы
имеем дело с конфлюэнтной задачей параметрической идентифи-
кации, поскольку функции влияния (сомножители при неизвест-
ных погрешностях автомата управления дальностью (АУД)) по-
лучаются с помощью результатов ВТИ и ТМИ.
Наряду с этим, имеется еще одна особенность, на которую
следует обратить внимание. Она связана с присутствием в модели
инструментальных погрешностей ККП, различного рода система-
тических ошибок, пренебречь влиянием которых в большинстве
случаев нельзя.
С другой стороны, о величинах этих систематических оши-
бок имеется, как правило, априорная информация, полученная в
ходе подготовки ККП.
262 ---

Глава 3
Необходимость учета этих априорных сведений при стати-
стической обработке результатов измерений приводит к выбору
методов байесовского типа, таких как ММАВ и др.
Очевидно, что эти методы, так же как и классические мето-
ды оценивания, должны быть модифицированы применительно к
условиям конфлюэнтного анализа.
3.3.	Неуправляемое движение РКС
вне атмосферы
Задачи, связанные с определением и анализом
неуправляемого движения РКС вне атмосферы
по результатам измерений
	Прогнозирование движения РКС.
	Уточнение используемых ММД.
	Исследование процесса функционирования системы отделе-
ния РКС от ракеты-носителя и др.
В силу большой важности перечисленных проблем этими задачами
стали заниматься практически с моментов первых запусков КА и на-
чала летных испытаний ракет и до настоящего времени они остаются
наиболее распространенными задачами экспериментальной баллисти-
ки, хотя методы их решения за прошедшие годы претерпели сущест-
венное изменение, так как значительно увеличилось число типов КА,
сменилось несколько поколений ЭВМ и существенно изменились
возможности вычислительной техники, возросли требования к точно-
сти прогнозирования движения, появились качественно новые подхо-
ды к исследованию околоземного пространства с помощью КА (на-
пример, уточнение структуры гравитационного поля Земли посредст-
вом анализа возмущенного движения спутников) и т.д.
В принципе, для орбитального участка траектории полета
РКС характерны те же самые вопросы, которые были присущи
управляемому движению (восстановление опытной траектории
РКС по результатам ВТИ, идентификация параметров ММД (ха-
рактеристик РКС и среды полета) и др.), однако разрешаются они
принципиально иными способами. Это обусловлено, с одной сто-
---------------------------------------------------- 263

Глава 3
роны, свойствами модели движения РКС вне атмосферы, с дру-
гой стороны, особенностями процесса измерений на орбитальном
участке.
Известно, например, что вне атмосферы можно отдельно
рассматривать поступательное движение центра масс и угловое
движение РКС относительно него, причем структуры этих моде-
лей изучены с достаточно высокой степенью подробности.
Для решения задач прогнозирования полета РКС на орбитальном уча-
стке достаточно знания начальных условий поступательного движе-
ния или постоянных параметров орбиты, поэтому задача определения
движения РКС не представляет особых сложностей в методологиче-
ском отношении, так как сводится к классической задаче оценивания
начального состояния динамической системы и использует при этом
только ВТИ.
Задача анализа вращательного движения РКС по результатам ТМИ,
выглядит еще проще, поскольку эти измерения получаются в ходе
прямых наблюдений интересующих нас параметров. Однако здесь
должна быть предварительно решена проблема наблюдаемости иско-
мых параметров по конкретному составу измерений.
Рассмотрение решения указанных задач было в значитель-
ной мере осуществлено ранее. Здесь лишь отметим ряд особенно-
стей практического применения задач оценивания параметров
движения на основе метода наименьших квадратов и безитераци-
онного алгоритма оценивания параметров эллиптической орбиты.
3.3.1.	Алгоритм определения параметров
неуправляемого движения РКС
методом наименьших квадратов
Накопленный опыт практического применения алгоритма
МНК в задачах экспериментальной баллистики позволил выявить
ряд особенностей его реализации в условиях нелинейных задач
оценивания.
1.-----Итерационный процесс поиска оптимального решения не
является, безусловно сходящимся, причины его расходимости
весьма разнообразны (большая погрешность задания начального
264 	

Глава 3
приближения, топологические особенности поверхности отклика,
неадекватность математических моделей движения РКС и усло-
вий опыта и др.); причем область устойчивой работы алгоритма
оценивания, как правило, удается определить лишь эксперимен-
тальным путем.
2.	Для обеспечения «нормальной» работы алгоритма требу-
ется построение и использование специальной процедуры выяв-
ления аномальных результатов измерений (и их обработки), к ко-
торым МНК весьма чувствителен.
3.	Алгоритм МНК, реализованный в задачах оценивания на-
чальных условий орбитального движения, рассчитан на примене-
ние высокопроизводительных ЭВМ (специализированных или
универсальных), так как количество циклов итерационного про-
цесса может превышать 10. Характерно, что при обработке ре-
зультатов наблюдений за КА (ИСЗ) число итераций уменьшается
от витка к витку вследствие постепенной отбраковки аномальных
результатов.
Значительное количество машинного времени на каждом
цикле расходуется на обращение матрицы Грама и особенно на
вычисление элементов матрицы функций влияния. Иногда ее
элементы «замораживают» на несколько циклов, но такой подход
может привести к затягиванию вычислительного процесса в ре-
зультате ухудшается сходимость.
4.	В ряде задач матрица функций влияния может быть полу-
чена в аналитическом виде. Это легко заметить, если воспользо-
ваться ее разложением
(3.26)
- измерительная матрица, элементами которой яв-
ляются частные производные от измеренных параметров по те-
кущим значениям параметров движения.
Как правило, зависимость	имеет конечно-ана-
литическую форму, поэтому вид частных производных может
---- 265

Глава 3
быть определен заранее; М =
дх
йх0
- матрица движения (матри-
ца частных производных от текущих параметров движения по
начальным условиям) для некоторых схем полета (Галилея, Кеп-
лера) также может быть получена в аналитическом виде.
3.3.2.	Безитерационный алгоритм оценивания
параметров эллиптической орбиты
Этот алгоритм разработан в начале 1980-х гг. А.А. Васильевым
и изложены в монографии Брандина В.Н., Васильева А.А., Куниц-
кого А.А. Экспериментальная баллистика космических аппаратов.
М.: Машиностроение. 1984 г. [13].
Он основан на идее приближенной декомпозиции исходной за-
дачи оценивания и применении нетрадиционных методов кон-
флюэнтного анализа - метода статистик Вальда и модификации
МНК - МНК с (коррекцией) смещением оценок (МНКК).
Декомпозирующее преобразование выбирается исходя из гео-
метрического представления оцениваемых орбитальных парамет-
ров О, i, а), р, е, t*, так как долгота восходящего узла Q и на-
клонение орбиты i задают пространственное положение ее плос-
кости, то, основываясь на геометрии оценок МСВ, можно
экспериментальные точки, полученные по результатам измерений,
разделить на два подмножества, найти их центры группирования и
через три точки (в качестве третьей точки выступает центр притя-
жения) провести опытную плоскость орбиты, определив таким об-
разом Q и i .
Оставшиеся четыре уравнения кеплерова движения разделяются
на две подсистемы: 3 уравнения связывают параметры а>,р,е
(момент прохождения через перицентр орбиты входит только в
4-е уравнение). Из первой подсистемы находятся, таким образом,
а), р, ё.
При этом используется один из методов конфлюэнтного анали-
за, так как функции влияния при известных включают ранее полу-
ченные оценки О и i . Наиболее простым в аналитическом плане
представляется МНКК.
Последний параметр определяется из уравнения Кеплера, где
он выражается в явном виде Z*z для моментов измерений ti
266 ----

Глава 3
(j = 1, kj, поэтому оценка 4 находится простым усреднением всех
1 к
значений/*,:
Таким образом, безитерационный алгоритм оценивания пара-
метров эллиптической орбиты структурно может быть представлен
в виде последовательности блоков (или модулей):
Блок 1. Оценивание долготы восходящего узла и наклонения
орбиты Q, i
Блок 2. Оценивание аргумента перицентра, фокального пара-
метра и эксцентриситета эллиптической орбиты й, р, ё с исполь-
зованием одного из методов конфлюэнтного анализа.
Блок 3. Оценивание момента прохождения через перицентр ор-
биты tK простым усреднением экспериментальных значений >
определенных по результатам измерений.
Особенности применения
безитерационного алгоритма оценивания
Эффективность разработанного алгоритма оценивания опре-
делялась итерационным моделированием. Данные статистиче-
ских испытаний позволили установить следующее.
1.	Качество получаемых оценок практически соответствует
МНК оценкам, определяемым для тех же условий опыта.
2.	Отсутствие итерационной процедуры снимает проблему
сходимости алгоритма.
3.	По вычислительным затратам безитерационный алгоритм
дает лишь небольшой выигрыш в сравнении с традиционными
методами оценивания (МНК, МНМ) ввиду объемной формульной
схемы.
4.	Данный алгоритм применим только к эллиптической фор-
ме траектории РКС, и в этом смысле обладает меньшей универ-
сальностью, чем рассмотренные ранее методы.
5.	Алгоритм целесообразно использовать для восстановле-
ния траектории движения спускаемого аппарата вне атмосферы
или для оценивания поступательного движения ИСЗ, если изме-
рения производятся на коротком временном интервале, а прогно-
зирование полета осуществляется при помощи математической
модели, более адекватной, чем схема Кеплера.
---- 267

Глава 3 -
3.3.3. Анализ наблюдаемости параметров
вращательного движения РКС вне атмосферы
Уравнения вращательного движения РКС
вне атмосферы_______________________________________
Динамические уравнения вращательного движения
в схеме Эйлера-Пуансо
На внеатмосферном участке пассивного полета РКС момент
активных сил отсутствует, так как гравитационная сила G при-
ложена к центру масс и момент не создает. Поэтому в относи-
тельной системе отсчета, связанной с движущимся РКС, динами-
ческие уравнения вращательного движения на основании теоре-
мы об изменении момента количества движения принимают вид
=0.	(3.27)
Здесь Кх - вектор момента количества движения (главного кине-
матического момента); Кх =	, где - вектор угловой ско-
рости; - матрица моментов инерции, определенных относи-
тельно осей выбранной системы координат. Будем полагать, что
эти оси направлены по главным осям эллипсоида инерции, тогда
матрица имеет диагональный вид
*1
о о
4 0
0 4
0
0
По свойству векторного произведения двух векторов
“(А Л'1)<эяй,чх1 +(Л! Л,	+(уп Л, )c0x}a>y}zl
268 ----

Глава 3
и с учетом постоянства основных моментов инерции РКС J, Jn,
J уравнение (3.27) может быть переписано следующим образом:

Jy\ ®у\ ~ (A ^1 )
Л, _ Л1)	
Приводя систему однородных дифференциальных уравне-
ний к форме Коши и переобозначив постоянные коэффициенты в
правых частях уравнений
1 - Jy' Jzl •	1 - Z1	» 1 - xi	<3 281
х'	J	1У\ ~ j	’	1Ъ ~	т	’	(3.26} Jy\	Jzx
окончательно запишем:
(3.29)
=1.^-
Система уравнений (3.29) описывает динамику вращатель-
ного движения РКС при отсутствии моментов внешних сил.
Кинематические уравнения в форме Эйлера
Для определенности выберем в качестве параметров ориен-
тации РКС тройку эйлеровых углов (^;	с последова-
тельностью поворотов, показанных на рис. 3.5.
Исходное дифференциальное уравнение, связывающее век-
тор угловой скорости вращения РКС с составляющими его угло-
выми скоростями трех независимых поворотов, имеет вид
= у/х + $.	(3.30)
Его проектирование на оси связной системе координат РКС
s*! дает систему из трех скалярных уравнений, которая может
быть представлена в матричной форме записи:
---- 269

Глава 3
________________________Рисунок 3.5 _______________________
Тройка эйлеровых углов
с последовательностью поворотов
				sin^	0	Г
ШУ1	-A		, где A =	COSi^ COS^J	sin^	0
		A.		— cosi9j sin^j	cos$	0
Для записи кинематических уравнений в форме Коши необ-
ходимо обратить матрицу А, так как
А =л-1
,^J	®Z|
(3.31)
где А 1 - О
COS^i
COSi^
sin (f\
-tg£\ cos^
sin^
COSi^
cos^
-/gi9sin^
270 ----

Глава 3
	sin	COS 19, cos $	- cos^ sin$
	0	sin$	cos^j	;
	1	0	0
	0	COS^i	-sin^
А* =	0	cos sin	cos cos ;
	cos <9,	-sini9| cos^	sin6\ sin^
|Л| = cos			
Уравнение (3.31), как и всякие кинематические уравнения в
форме Эйлера, имеют вырожденный случай при cos = 0.
Элементы теории наблюдаемости
динамической системы_______________________________
Напомним ряд положений теории наблюдаемости (см. также
§1.2, 5.4.2).
1.	Наблюдаемость определенных параметров в задачах оце-
нивания, использующих косвенные измерения, является фунда-
ментальным структурным свойством и определяет регулярность
(правильность) постановки типовых задач. При отсутствии на-
блюдаемости решение либо отсутствует, либо трактуется неодно-
значно. Поэтому проверка наблюдаемости всегда должна пред-
шествовать непосредственному применению методов статистиче-
ского оценивания.
2.	С математических позиций свойство наблюдаемости озна-
чает существование взаимно однозначного соответствия между
множеством измеряемых и множеством оцениваемых парамет-
ров, вследствие чего теоретической базой для построения крите-
риев наблюдаемости послужил математический аппарат анализа
иньективности (взаимной однозначности и взаимной непрерыв-
ности) отображений.
3.	В линейных задачах оценивания (при линейных структу-
рах ММ ДС и ММ ИС) свойства наблюдаемости и ненаблюдае-
мое™ носят взаимоисключающий характер. Для нелинейных за-
дач оценивания наблюдаемость может быть локальной, т.е. вы-
полняться в малой окрестности точки множества оцениваемых
----- 271

Глава 3
параметров, или в глобальной, т.е. будут соблюдаться для всего
рассматриваемого множества, причем из локальной наблюдаемо-
сти в каждой точке множества определяемых параметров сущест-
вование глобальной наблюдаемости совсем не следует. Классиче-
ским примером здесь является периодическая зависимость между
измеряемыми и оцениваемыми параметрами, восстанавливаемая
на интервале длительности более периода. Для линейных задач
оценивания ненаблюдаемость влечет за собой отсутствие реше-
ния. Для нелинейных задач оценивания ненаблюдаемость в ка-
ждой точке множества (глобальная ненаблюдаемость, т.е. отсут-
ствие локальной ненаблюдаемое™ на всем множестве значений
определяемых параметров) также свидетельствует о принципи-
альной невозможности получения решения. Вместе с тем, отсут-
ствие глобальной наблюдаемости/ненаблюдаемости динамиче-
ской системы говорит лишь о неоднозначности получаемого ре-
шения.
4.	Наблюдаемость/ненаблюдаемость устанавливается при
помощи системы специально разработанных критериев (правил).
Для линейных задач оценивания эти условия наблюдаемости
имеют необходимый и достаточный характер. В условиях нели-
нейных задач оценивания они могут быть только необходимого
или только достаточного типа, поэтому здесь критерии исполь-
зуются, как правило, в комбинации.
Вид применяемого критерия диктуется рядом факторов:
	линейность/нелинейность задачи;
	автономность/неавтономность динамической системы и
др.
Наиболее простым критерием достаточного типа для про-
верки локальной наблюдаемости динамической системы в нели-
нейной задаче оценивания служит условие |А/| * 0, где

М =
ах0
- матрица наблюдаемости.
Матрица наблюдаемости М не во всех случаях совпадает с
матрицей функций влияния Ф (хотя внешне они выглядят по-
хоже), поскольку матрица М обязана быть квадратной. Условие
272 --

Глава 3
невырожденности матрицы наблюдаемости аналогично необхо-
димому условию существования экстремума функции у(х):
dy к
— = О, которое помимо экстремальных точек указывает еще на
dx
точки перегиба функции.
Чтобы убедиться окончательно в отсутствии наблюдаемости опреде-
ляемых параметров (если это не подтверждается физическими сооб-
ражениями), нужно дополнительно воспользоваться одним из крите-
риев достаточного типа.
5.	Для задач параметрической идентификации динамической
системы понятие наблюдаемости и идентифицируемости являет-
ся тождественным. При их проверке используется один и тот же
аппарат.
6.	Конкретных причин отсутствия наблюдаемости оцени-
ваемых параметров может быть несколько: линейная зависимость
функций влияния; неправильный состав измеряемых параметров;
недостаточное число измерений; неверная (вырожденная) про-
грамма измерений и др.
На вопрос о причине отсутствия или неоднозначности реше-
ния теория наблюдаемости динамической системы не отвечает,
она позволяет лишь констатировать факт возможности (или не-
возможности) получения единственного решения в рассматри-
ваемой задаче оценивания при выбранном составе измеряемых
функций, программе измерений и т.д.
7.	Все сказанное выше относилось к понятию теоретической
наблюдаемости при отсутствии шумов измерений. Анализ воз-
можности получения решения в условиях помех (практической
наблюдаемости) является более сложной в методологическом от-
ношении задачей, которая здесь не рассматривается ввиду неза-
вершенности ее разработки.
---- 273

Глава 3
3.4. Наблюдаемость параметров
вращательного движения РКС
по различному составу
телеметрической информации
Проверка наблюдаемости
динамических параметров______________________________
ЗАДАЧА 1. Пусть с помощью датчика угловой скорости изме-
ряется продольная составляющая угловой скорости у =
Можно ли по результатам измерений оценить все три проекции
Решение. Так как матрица наблюдаемости должна быть квад-
ратной, расширим состав измеряемых параметров, использовав
метод численного дифференцирования результатов измерений:
_ г	\	оу
у = \сох ,<пх ,сох [. Для построения матрицы М = —
1 1	1 и	дх
ВОСПОЛЬЗут
емся системой однородных дифференциальных уравнений (3.29):
= L соЛ! ;
Я *1 Я я ’ -
= L (йХ, 6Л. + 6УЛ, ] = LtiK \	+ l7d>~ ).
Я Я \ Я z} У! / Я Я \ Я z\ Я я )
Тогда
1
О
М =
lY (lv со2. +L a)2v
Я \ Я Я Я я
О
^я^я
^х/я^Я^Я
О
^х/я^Я^Я
определитель матрицы наблюдаемости равен
И = 2l2lna>Xl6>2-2121хЛ^ = 212хЛ -lz02n).
Параметры х = ,d?Vi ,6/я j локально наблюдаемы по измере-
ниям сигнала соХ] и его производным, если:
1)	I ф 0 или как следует из уравнения (3.28), J ф - РКС не
должен быть телом вращения относительно свой продольной оси,
ориентация осей>>1 и zx не определена;
274 ---

Глава 3
2)	й)Х1 * 0 - когда отсутствует закрутка вдоль оси хь нет полез-
ного сигнала;
3)	I а)2^ - нетривиальный результат.
При нарушении одного из перечисленных условий наступает
глобальная наблюдаемость динамической системы.
ЗАДАЧА 2. Пусть с помощью ДУС измеряется нормальная со-
ставляющая угловой скорости у =	|. Можно ли по результатам
измерений восстановить все три проекции угловой скорости, если
РКС обладает свойством продольной симметрии, т.е. /Х1 =0,
I =1 =П
У\
Решение. Как и в задаче 1, расширим состав измеряемых пара-
метров, применяя метод численного дифференцирования посту-
пающего сигнала:
Уравнения (3.29) помогают определить
“>п	=1(0^
Матрица наблюдаемости принимает вид
	0	1	0
м=	Ч	0	ч
			0
Определитель этой матрицы равен |Л/| = 213соХ]	. Составляю-
щие угловой скорости могут быть найдены если:
1)	I 0, т.е. РКС не должен иметь шарообразную форму;
2)	0 - должен поступать полезный сигнал;
3)	a)Xi Ф 0 - необходима закрутка РКС относительно продольной
оси - не тривиальный результат.
Проверка наблюдаемости
кинематических параметров________________________________
ЗАДАЧА 3. Пусть тремя ДУС, установленными вдоль осей
связной системы координат РКС, измеряются проекции угловой
------------------------------------------------------ 275

Глава 3
скорости у =	, ял j. Можно ли по результатам этих измере-
ний определить ориентацию РКС в пространстве х =	?
Решение. Как видно из структуры динамических уравнений
вращательного движения (3.29), отсутствует зависимость
у = ^(х). Использование же кинематических соотношений (3.31),
т.е. применение операции численного интегрирования измеряемых
сигналов, приводит к неоднозначному ответу из-за отсутствия ап-
риорной информации о начальной ориентации РКС	, *91(), |,
таким образом, по параметрам х0 динамическая система ненаблю-
даема.
ЗАДА ЧА 4. Обратим предыдущие условия. Пусть теперь датчи-
ками углов измеряются параметры ориентации у = {^, , Йо}.
Требуется по ним восстановить три проекции угловой скорости
Решение. Несмотря на то, что число определяемых параметров
совпадает с числом измеряемых параметров, напрямую построить
матрицу наблюдаемости не удается, так как отсутствуют аналити-
ческие зависимости вида у =ф (х). Поэтому расширим состав из-
меряемых и определяемых параметров:
и построим матрицу наблюдаемости блочного вида:
м \Е™	01
м =
ЛУ21	-^22
В соответствии с матричным тождеством для определения
блочной матрицы находим
|М| = |Л/,. I (|м22| - |м12| |м,, Г>211) = |Л/22|,
где
д{^1;А;й}
|л/22| -
U-4--L——
I I |Л| cos <
Таким образом, задача принципиально не может быть решена,
когда cos <9j = 0 (складывание рамок у ГСП).
276 ----

Глава 3
Идентификация осевых моментов инерции РКС
ЗАДАЧА 5. Требуется определить, возможно ли восстановить
постоянные параметры динамической модели вращательного дви-
жения (3.29) xQ ={7^;/^;/^} по измерениям трех составляющих
угловой скорости РКС у = |б9Х1;	% | ?
Решение. Поскольку между составом параметров у и х0 нет
аналитической зависимости, расширим оба вектора:
у={71; Уг}={«х,;	; ®х,;	;
*о={*; *2}={®х,;	} •
Тогда матрица наблюдаемости будет иметь блочную структуру
Как и в предыдущей задаче
V,	0
0	«х,^,
О	О
Локальная наблюдаемость (идентифицируемость) параметров
модели (3.29) будет иметь место только при наличии всех трех
сигналов с датчиков угловых скоростей.
ЗАДАЧА 6. Можно ли однозначно определить осевые моменты
инерции РКС по известным параметрам модели (3.29) / ;7 ;7Zj ?
Решение. Хотя это и опосредствованная измерительная задача,
применим формализм теории наблюдаемости. Имеем:
Тогда может быть построена матрица наблюдаемости
		1	1
	А	л	л
м =	1 X	А ~Л| л	1 А
	1	1	л -л Х1 71
	л	"а	л
---- 277

Глава 3
Находим определитель этой матрицы:
A Jxx	Jy{ JZx	JXx
J I2 J	T2 I J	I I J2
J^\Jy\-\	JxXJy\Jz\
После приведения подобных членов получаем |Л/| = 0.
Эта задача является принципиально неразрешимой, следовательно, не
могут быть однозначно определены моменты инерции и по измерени-
ям проекций угловой скорости движения РКС.
3.5. Неуправляемое движение РКС
в атмосфере
3.5.1.	Определение параметров движения РКС
в атмосфере по результатам измерений
Движение РКС на атмосферной части
пассивного участка траектории
Данный раздел дополняет рассмотрение соответствующей
задачи в §2.17. Определение и анализ движения РКС по результа-
там измерений на неуправляемом атмосферном участке полета
связаны с преодолением ряда проблем объективного характера.
1.	Невозможность адекватного описания движения с помо-
щью детерминированных математических моделей ввиду недос-
таточно полной изученности процессов, протекающих в атмо-
сфере, и особенностей воздействия газовой среды с РКС, движу-
щимся с большой скоростью. Создать аналогичные процессы в
лабораторных условиях пока не представляется возможным.
2.	Большое число оцениваемых параметров как следствие
указанной выше причины. Многоразмерные задачи оценивания
являются, как правило, нерегулярными.
3.----Невозможность строгой декомпозиции задач оценивания и
анализа движения центра масс и относительно него из-за сугубо
278 	

Глава 3
нелинейного вида математической модели движения (аэродина-
мическая сила зависит от параметров ориентации РКС; а пара-
метры углового движения, в свою очередь, через аэродинамиче-
ские моменты - от высоты и скорости полета), сложность правых
частей дифференциальных уравнений движения, кроме того, усу-
губляется присутствием стохастических составляющих, которые
моделируют возмущающие силы и моменты, а также выбором
относительных систем отсчета.
4.	Разнообразные сложности измерительного процесса, обу-
словленные высокой динамикой полета РКС, наличием продол-
жительного плазменного участка, составом и характеристиками
технических средств измерений и т.д.
Математическая постановка задачи
Дано:
1.	ММД нелинейного вида
1)	уравнение движения
G: х =/(x,2,z) + £(f),
где х - параметры движения; А - постоянные параметры модели;
£ (/) - ошибки моделирования (шум модели) вероятностного ха-
рактера. Например,
С(Уотн)	^пер (^отн ) +
+7гар (Ятн) + Ла (О
г — и
'отн ^отн ’
-й, х+л7" (^,^,71)+
+^R (Яп,> Ъгн > ) + Ял (О
/1
/j - параметры ориентации РКС.
Таким образом, ММД является система стохастических диффе-
ренциальных уравнений порядка п > 12 ;
2)	свойства ошибок моделирования
R-. £(r)etf(0;^);
2.	Математическая модель измерительной системы
1)	уравнение измерений
m
---- 279

Глава 3
S:Dj(t) = у/(*(') - xuj )2 + (0 - уи} )2 + «О - zuj )2 > j = ^M,
где М- число радиодальномеров; ruj = ^xuj;yupzuj^ - координаты j-
гоИС; г = {x(z);y(/);z(z)} - координаты ЦМ РКС;
2)	свойства ошибок измерений
Q-. heN(0-,Kn)-, M{hi(t\,hT(r)}=KnS(t-T).
3.	Результаты измерений Z:	{zj}*'.
4.	Априорная информация К: х0 е N( j.
5.	Критерий оценивания К: ММП.
Требуется определить:
1)	опытную траекторию полета x(z) - задача динамической
фильтрации (при Z(z) = O - задача статистического оценивания
ну х0);
2)	характеристики РКС и среды полета Л - задача параметри-
ческой идентификации.
Анализ задачи________________________________________
Сформулированная задача является комплексной задачей оп-
ределения и анализа движения, так как включает в себя ряд взаи-
мосвязанных и различных по содержанию и сложности задач оце-
нивания и идентификации стохастических динамических систем.
Действительно, вид ММД свидетельствует о том, что точная
декомпозиция на модели меньшей размерности (как это было
сделано на внеатмосферном участке полета) здесь невозможна.
Параметры поступательного движения РКС должны оцениваться
по результатам косвенных измерений средств ВТИ. Параметры
движения относительно центра масс могут оцениваться по ре-
зультатам прямых измерений средств телеметрических измере-
ний (ТМИ), которые, кроме того, имеют лучшие точностные ха-
рактеристики.
Задача оценивания движения должна решаться, как правило, методами
динамической фильтрации с учетом ошибок моделирования; задача
анализа движения (определение характеристик РКС и среды полета),
280 -----

Глава 3
напротив, часто ставится как задача параметрической идентификации,
которая решается классическими методами теории статистического
оценивания, но она, с другой стороны, является многоразмерной, по-
этому матрицы Грама этих методов оказываются плохо обусловлен-
ными (с определителем, близким к нулю) вследствие квазилинейной
зависимости функций влияния.
Таким образом, по сложности рассматриваемая задача при-
ближается к аналогичной задаче определения и анализа движения
РКС на управляемом участке полета. Но наиболее существенным
отличием от нее является отсутствие управляющих сигналов и
специальных алгоритмов их функционирования (модели работы
СУ). Это способствовало применению на атмосферной части
ПУТ для решения задач экспериментальной баллистики нефор-
мальных методов оценивания параметров движения таких, как
методы динамической фильтрации, методы байесовского типа,
классические методы статистического оценивания (в предполо-
жении е = 0), которые являются более строгими, чем методы
сглаживания и учитывают динамику процесса движения.
Методы оценивания параметров движения РКС
в атмосфере по результатам измерений
Динамический фильтр Калмана предназначен для восстанов-
ления параметров состояния линейных статистических динамиче-
ских систем, когда шум модели аддитивен, стационарен, некор-
релирован, несмещен и нормален (так называемый нормальный
белый шум) и измерения производятся в дискретные моменты
времени при тех же допущениях относительно ошибок измере-
ний (шума измерительной системы). Характеристики шумов (ко-
вариационные функции) известны. Задана априорная информация
об оцениваемых параметрах в виде Ji, К . Критерием оценива-
ния является минимум дисперсии оценки.
Исходная модель линейной стохастической ДС:
х = Л(г)х(г) + £ (/),
где £ (/) g ) - нормальный белый шум.
----- 281

Глава 3
Данная модель преобразуется в разностный аналог
G : xt= Ми_х х х^х +	(3.32)
с начальными условиями
Хо
где Mi i_i - переходная матрица состояния (дискретная форма
матрицанта исходной модели на интервале	- нор-
мальная винеровская последовательность, полученная в резуль-
тате стохастического интегрирования нормального белого шума
на указанном временном интервале, причем
(3.33)
Таким образом, последовательность нестационарна в отли-
чие от £ (/) и ее ковариационная матрица К^_ может быть опре-.
делена из решения матричного уравнения Риккати вида:
—= А (/,.) К^. +	Ат (/,) + i = \,k	(3.34)
с начальными условиями К^. =	(tj).
Уравнения измерений также имеют линейный вид:
S:	i =	(3.35)
с условиями опыта
Q- +
где Л/ eN(b;Kh).
Здесь характеристики измерительной задачи К^,Кп и апри-
орная информация /7^,^ считаются заданными. Требуется по
Г _ * Ч к
выборке результатов измерении ^Zi? | из условия минимума
282 ---

Глава 3
дисперсии оценки восстановить фазовую траекторию ДС Хф в
каждый момент времени и оценить меру разброса полученной
оценки, т.е. К~. .
xi/i
Алгоритм Калмана ориентирован на реализацию в дискет-
ных вычислительных и измерительных системах, поэтому рабо-
тает по точкам (шагам), совпадающим с моментами проведения
измерений. На каждом такте работы Zz_i осуществляются два
подшага.
1. Прогноз имеющейся оценки х^^ и ее ковариационной
матрицы на следующий такт с помощью модели (3.32),
т.е. определение Хф_х, К^,_х.
2. Коррекция (уточнение) спрогнозированных таким образом
оценок по результатам поступающей в момент Z, информации Z*
опытного характера (результатов измерений), т.е. определение
Х-Д-! , и Т.Д.
Алгоритм прогноза
1. Хф_} =	- экстраполяция оценки.
2. К^._1 = МЦ_ЛК~, у.~хМТ+К^. - экстраполяция ее кова-
риационной матрицы.
Алгоритм коррекции
1.	rj. = z* -Врсф-х - вычисление текущей невязки.
2.	Р- = К^._ХВТ В? + Кп j - расчет весовой матрицы
фильтра.
3.	Хф = Хф_х + Pirji - уточнение оценки.
4.	К% = (Е - PjB^K* - уточнение ковариационной мат-
рицы оценки, начальные условия при i = 1 х0/0 = pXQ;	= KXq .
---- 283

Глава 3
3.5.2. Определение параметров движения
при баллистическом спуске РКС в атмосфере
методом динамической фильтрации
Постановка задачи____________________________________
РКС совершает неуправляемый спуск в атмосфере с нуле-
вым углом атаки. На конечном участке траектории полета радио-
высотомером в дискретные моменты времени производятся изме-
рения высоты и по результатам измерений оценивается скорость
движения РКС, необходимая для расчета требуемой величины
тормозного импульса перед мягкой посадкой. Требуется разрабо-
тать оперативный алгоритм оценивания на основе метода дина-
мической фильтрации, считая, что ошибки моделирования и из-
мерений описываются нормальным белым шумом.
Модель расчетного движения РКС
Схематизация движения________________________
В целях создания оперативного алгоритма оценивания полу-
чим аналитическую модель баллистического спуска РКС в атмо-
сфере. Для этого примем следующие допущения (рис. 3.6):
1)при полете в плотных слоях атмосферы аэродинамическое
торможение во много раз превышает влияние гравитационной силы;
2)	характеристики РКС остаются постоянными в процессе
движения, в том числе при большой скорости движения постоян-
ными можно считать и аэродинамический коэффициент лобового
сопротивления;
284 ----

Глава 3
3)	модель атмосферы Земли - изотермическая, плотность
воздуха изменяется по экспоненциальному закону;
4)	поверхность Земли можно считать плоской в силу незна-
чительной величины участка баллистического спуска;
5)	траекторию движения РКС по этой причине можно пред-
ставить в виде прямой.
Исходные уравнения движения
Исходные дифференциальные уравнения движения могут
быть сразу записаны в скалярной форме:
\а = _0_.
< тп'	(3.36)
Н = »9sin ©;
начальные условия:
5(?0)^^вх; Я(?О) = ЯВХ,
где
Q = CX(SMq-	р(Н) = рое~РН;
& = ©вх = const; Р = const.
Подставляя указанные зависимости в исходные уравнения
(38) и вводя обозначения для баллистического коэффициента
Сб =—-—, получаем
т
(3.37)
Н = <9sin©BX.
Данная СОДУ не допускает аналитического решения, по-
скольку модель (3.37) не декомпозируется на отдельные незави-
симые уравнения. Перейдем к новой независимой переменной -
плотности воздуха по следующей схеме:

---- 285

Глава 3
Из второго уравнения системы (3.37) находим dH =
= i9sin@BXdt, а из уравнения для плотности изотермической мо-
дели атмосферы после дифференцирования получаем
dp = -pp0QPHdH = -fipdH.
Таким образом, t/p = -/?pi9sin@BXdz, откуда сразу получается
dt 1	1
dp	/?sin®BX р&
Второе уравнение определяется из системы (3.37) для скоро-
сти полета заменой переменной интегрирования:
"=с6Х----------’---= с° ,с-
dp 2 psm&mp& 2^sm0BX 2/?|sm0BX|
Введем обозначения:
Q	1
к =—г-2—г;	д=—--------г»
2^|sin0BX|	Z?|sin0BX|
тогда преобразованная система уравнений баллистического спус-
ка примет вид:
\d&
---= -х\9;
< dp	(3.38)
dt 1	v ’
---= и---.
dp	р9
Начальные условия: & (рвх ) = 5ВХ; t (рвх) = tQ
где Рт = Р^рНю 
Полученная модель легко декомпозируется и позволяет по-
лучить аналитическое решение.
Аналитическое решение для параметров
баллистического спуска РКС в атмосфере
Решая первое уравнение системы (3.38), получаем:
^- = -Kdp или InS-ln^ = -к(р-рвх),
286 --

Глава 3
& = &™е^р~р^
Подставляя найденное решение во второе уравнение модели
(3.38) и разделяя переменные, запишем
^Р ^.р-ры.} - Р
(3.38а)
dt- и^- ——е к^р —
Р ^вх	^вх
^е’^вх
---- I—^Р-
«9ВХ J Р
Рвх
Интеграл в правой части не берется и может быть получен
путем разложения подынтегральной функции в ряд почленного
интегрирования, в результате чего определяем
~ip
р

Рвх
п=\
-*Рвх
Первое слагаемое In р \рр можно преобразовать, так как
In-— = In	=ln —-1п^- =
Рвх \А) Рвх )	Ро Рвх
= -/зн+рнъ^р{нт-н\
поэтому
е-/фвх
Z = Zn Н--:---------
>9|sin©BX|
(3.386)
С достаточной степенью точности можно принять N= 2. Та-
ким образом, уравнения (3.38а,б) представляют аналитическую
модель баллистического спуска РКС в атмосфере, так как для
любого момента времени из уравнения (3.386) методом простой
итерации получается переменная р,, а по ее значению из уравне-
ния (3.38а) - скорость движения i9z в этот момент времени.
Начальное приближение для метода простой итерации легко
определяется из условия равномерного движения на интервале
---- 287

Глава 3
[W,L //,,O)=//w+^sin0BXO,p!o>=p0e-^O).
Процесс последовательных сближений заканчивается, когда
следовательно, модель (3.38) может быть использована в алго-
ритмах динамической фильтрации для построения опорной тра-
ектории полета.
3.5.3.	Модель возмущенного движения РКС
Исходные уравнения движения
Вновь вернемся к исходной СОДУ (3.38) и запишем ее таким
образом:
— - -к&;
< dp	(3.39)
. dp РР
Поскольку исходные уравнения движения весьма прибли-
женно описывают полет на основе системы (3.38а), построим мо-
дель возмущенного движения:
— = -к<9*+£,	(3.40)
dp
где Е, -шуммодели.
Уравнения в отклонениях в конечно-разностной форме
Преобразуем уравнение (3.40) к виду, применяемому в тео-
рии динамической фильтрации. Уравнение в отклонениях в ко-
нечно-разностной форме имеет вид
d&&	* П е
----= -кЛЗ + Е,
dp
где Ai9 = i9*
288 ---

Глава 3
Его решение
A &i = А	е^( А "А-‘> + £.	(3.41)
Таким образом, переходная матрица /Ч имеет вид
М: = .
ч* 1 I
Основными задачами экспериментальной баллистики ракетно-кос-
мических средств являются задачи экспериментального определения и
анализа движения летательных аппаратов на различных участках тра-
ектории полета, предварительной обработки измерений текущих нави-
гационных параметров, баллистического обеспечения процесса изме-
рений, оптимального (рационального, приемлемого) планирования
процесса измерений и т.д. Процесс решения перечисленных вопросов
имеет различную степень сложности в зависимости от фазы полета и
требуемой точности результата. Для современных РКС характерными
основными участками движения являются:
1) участок активного, управляемого движения;
2) участок пассивного, неуправляемого движения вне атмосферы;
3) участок пассивного, неуправляемого движения в атмосфере.
Эти фазы полета отличаются не только составом основных возмущаю-
щих сил и моментов, но и используемыми техническими средствами изме-
рений (составом измеряемых параметров, точностными характеристиками
и др.), а также объемом априорной информации. Вследствие этого возни-
кает необходимость использования различных методов статистического
оценивания и построения специфических процедур анализа движения.
Рассматривается методика определения параметров движения РКС и
его динамических характеристик по результатам внешнетраекторных
измерений, методики анализа неуправляемого движения РКС вне атмо-
сферы и в атмосфере. Особое место уделено определению и анализу
движению РКС на активном участке траектории. Исследуются и клас-
сифицируются возмущающие факторы управляемого участка полета,
причем задачи решаются на основе обработки как телеметрических,
так и внешнетраекторных измерений.
Указываются особенности решения задач методом наименьших
квадратов. Оригинальные результаты связаны также с применением
безитерационного алгоритма оценивания движения РКС. Приведены
различные примеры использования соотношений динамической фильт-
рации в задачах оперативного оценивания параметров движения.
---- 289

Глава 3
Литература
1.	Военный энциклопедический словарь ракетных войск стратегиче-
ского назначения / МО РФ. Большая Российская энциклопедия.
1999. 632 с.
2.	Космонавтика: Энциклопедия. М.: Советская энциклопедия. 1985.
3.	Технические основы эффективности ракетных систем / Под ред.
Е.Б. Волкова. М.: Машиностроение. 1990.
4.	Аппазов Р.Ф., Сытин О.Г. Методы проектирования траекторий но-
сителей и спутников Земли. М.: Наука. 1987.
5.	Основные понятия баллистического и астрономо-геодезического
обеспечения ракетно-космических средств / Под ред. В.В. Бешано-
ва. М.: Военная академия им. Ф.Э. Дзержинского. 1997.
6.	Бетанов В.В., Лысенко И.В. Решение задач экспериментальной
баллистики в ходе летных испытаний образцов ракетно-косми-
ческой техники. М.: РВСН. 1999.
7.	Экспериментальная баллистика ракетно-космических средств.
Учебник / Под ред. Л.Н. Лысенко, В.В. Бешанова, И.В. Лысенко.
М.: Военная академия РВСН. РАРАН. 2000.
8.	Бетанов В.В. Введение в теорию решения обобщенных некоррект-
ных задач навигационно-баллистического обеспечения управления
космическими аппаратами. Монография. М.: РВСН. 1997.
9.	Волков Л.И., Прокудин А.И., Гаврилов В. С., Макаров Г.Н. Точность
межконтинентальных баллистических ракет / Под ред. Л.И. Волко-
ва. М.: Машиностроение. 1996.
10.	Кендал М., Стьюарт А. Статистические выводы и связи / Пер. с
англ. М.: Наука. 1973.
И. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. Для научных работ-
ников и инженеров / Под ред. И.Г. Арамоновича. М.: Наука. 1978.
12.	Худсон Д. Статистика для физиков / Пер. с англ. В.Ф. Грушина^ под
ред. Е.М. Лейкина. М.: Мир. 1967.
13.	Брандин В.Н., Васильев А.А., Куницкий А.А. Экспериментальная
баллистика космических аппаратов. М.: Машиностроение. 1984.
290 ----

ГЛАВА 4
Методы комплексного оценивания
летно-технических характеристик
ракетно-космических систем
при полигонных испытаниях
в условиях неопределенности
исходных данных
и измерительной информации
Завершающим этапом перед принятием РКС в эксплуатацию является
этап полигонной летной обработки. Следовательно, эффективность решения
задач целевого применения создаваемых комплексов во многом зависит от
качества выполнения целей и задач летных испытаний.
В главе приведен новый унифицированный метод статистического оце-
нивания летно-технических характеристик РКС при неопределенности ис-
ходных данных и измерительной информации (метод скользящей области
оценок). Проведен анализ поставленной задачи и обоснован выбор локально-
сплайновой модели оцениваемого параметра. Описан алгоритм определения
оценок летно-технических характеристик РКС на основе сглаживающего ло-
кального сплайна с использованием принципа скользящего среднего, кото-
рый позволяет определять оценки параметров, в том числе и на длительных
участках «сбоя» измерительной информации, при ее значительном разбросе
по амплитуде, при отсутствии априорных данных о вероятностных характе-
ристиках оцениваемого параметра и погрешностей измерений, сохранить

Глава 4
объем выборки, что немаловажно для решения других задач анализа, свести к
минимуму влияние «человеческого фактора» на результат, исключить выро-
ждаемость матрицы наблюдаемости и при этом повысить точность и досто-
верность результатов оценивания. Обсуждается унифицированная методика
оценивания отдельной характеристики РКС, разработанная на основе метода
скользящей области оценок.
Рассмотрена математическая модель прямых функционально-динами-
ческих зависимостей отдельных ЛТХ РКС - коэффициент динамической свя-
зи. Описаны физические закономерности, присущие ему в различных усло-
виях летного эксперимента. Приводятся разработанные на этой основе мето-
ды, способы и алгоритмы решения задач, позволяющие восполнить пробелы
в существующей системе анализа:
-	алгоритм выбора элементов исследуемой динамической системы -
оцениваемых параметров РКС;
-	метод определения устойчивости функционирования динамической
системы;
-	алгоритм определения причин нештатной ситуации с использованием
критерия устойчивости;
-	метод восстановления оценок параметра РКС при отсутствии резуль-
татов его измерений;
-	алгоритм «чистовой» отбраковки аномальных измерений;
-	алгоритм оценивания ЛТХ РКС при наличии систематических состав-
ляющих погрешностей результатов обработки измерительной информации.
Реализация алгоритмов и способов решения рассмотренных задач по-
зволяет восполнить существующие пробелы в процессе анализа и, в итоге,
повысить точность и достоверность его результатов.
292 ----

---- Глава 4
4.1.	Комплексное оценивание
летно-технических характеристик РКС
4.1.1.	Исследуемые задачи анализа
летно-технических характеристик РКС
Как известно, завершающим этапом перед принятием объек-
тов ракетно-космической техники (РКТ) в эксплуатацию являет-
ся этап полигонной летной отработки. Следовательно, эффектив-
ность решения задач целевого применения объектов РКТ во мно-
гом зависит от качества выполнения целей и задач летных
испытаний. Объем и содержание целей и задач для всего цикла
летных испытаний и на каждый запуск (пуск), в отдельности, оп-
ределяются соответствующими программами.
Основные задачи при проведении
летных испытаний на полигоне
	Моделирование условий штатного применения РКС при
стрельбе на минимальную, среднюю и максимальную даль-
ность.
	Определение возможностей РКС по выполнению задач целе-
вого применения в этих условиях.
	Проверка соответствия характеристик испытываемых РКС
заданным требованиям.
	Проверка адекватности параметров математической модели
движения РКС реальным значениям, определяемым по ре-
зультатам запуска (пуска).
Решение указанных задач находится в прямой зависимости
от качества проводимого на космодроме (полигоне) анализа ре-
зультатов испытательного пуска, который предполагает опреде-
ление оценок отдельных летно-технических характеристик испы-
тываемого образца и характера функционирования РКС в целом в
различных условиях по полученной измерительной информации.
Недостоверность результатов анализа снижает качество выпол-
нения задач ЛИ и эффективность целевого применения РКС.
--- 293

Глава 4
I Обеспечение достоверного анализа ЛТХ РКС по результатам измере- I
ний является одной из наиболее важных задач при проведении ЛИ.	|
Весь процесс анализа результатов ЛИ, сравнимый с функ-
ционированием сложной системы, состоит из совокупности ре-
шений отдельных частных задач:
	предварительный анализ параметров математической моде-
ли (ММ) функционирования РКС в полете по материалам
расчетной документации, поставляемой разработчиком;
	проверка соответствия расчетной ММ целям и задачам ЛИ;
	оценка возможности и объема выполнения задач ЛИ РКС
при реализации расчетной схемы построения схемы запуска;
	оценка соответствия ММ формулярным данным на изделия;
	оценка безопасности проведения запуска (пуска);
	оценка достаточности планируемых измерений для выпол-
нения задач летных испытаний;
	подготовка исходных данных для обработки измерительной
информации и анализа результатов пуска;
	анализ состояния баллистического объекта (БО) в полете,
функционирования его узлов и систем в соответствии с за-
данной программой полета в реальном масштабе времени
при ведении репортажа;
	экспресс-анализ полученной в результате пуска измеритель-
ной информации, в ходе которого определяются приближен-
ные оценки ограниченного числа параметров по выборочной
измерительной информации, на основании которых форму-
лируется в общем виде вывод о степени выполнения целей и
задач испытаний;
	определение числовых значений отдельных ЛТХ РКС по ре-
зультатам измерений, сравнение их фактических значений с
требуемыми, расчетными или допустимыми значениями;
	обобщение характеристик на основе анализа физических
связей отдельных параметров;
	оценка характера функционирования элементов целевого
оснащения в целом;
	выявление причин имевших место отклонений;
	выпуск технического отчета о подготовке и проведении пус-
ка, формирование выводов о соответствии принятых мате-
294 —

Глава 4
матических моделей (ММ) РКС, его отдельных подсистем
реальному процессу функционирования в полете и выдача
рекомендаций по их усовершенствованию.
Налаженная и эффективная система полного анализа результатов ЛИ,
объединяющая частные задачи анализа на всех этапах его технологи-
ческого процесса, требует постоянной модернизации и совершенство-
вания. В свою очередь, отдельные задачи анализа решаются по мере
их возникновения, что в целом приводит к снижению качества их вы-
полнения.
Помимо этого [43-47], существующее методическое обеспе-
чение не в полной мере адаптировано к современным условиям
проведения ЛИ и не позволяет решить ряд задач анализа:
1)	анализ расчетной документации, поставляемой на космо-
дром (полигон) разработчиком;
2)	определение устойчивости функционирования РКС в по-
лете;
3)	определение причин нештатных ситуаций;
4)	выделение систематических составляющих погрешностей
измерений и др.
В представленном материале приводится концептуальная
модель перспективной системы анализа, определяются частные
задачи, эффективный методический аппарат для их решения, ос-
нованный на новых научных подходах.
Основой для решения задач анализа всегда являются результаты из-
мерений. Причем, как показали исследования [44, 45], существую-
щее методическое обеспечение решения данного класса задач при
проведении ЛИ ориентировано на использование надежной измери-
тельной информации. Однако в силу объективно сложившихся в на-
стоящее время условий проведения ЛИ, это требование не всегда
выполняется.
Результаты измерений отдельных параметров могут отсутствовать
или иметь длительные участки сбоев, значительный разброс по ам-
плитуде относительно своего математического ожидания, различную
структуру и состав, что, в целом, можно охарактеризовать как неоп-
ределенность измерительной информации.
----295

Глава 4
Помимо этого, при решении задач анализа ЛТХ РКС по ре-
зультатам летных испытаний возникают дополнительные про-
блемы, связанные с неопределенностью исходных данных, кото-
рая состоит из четырех составляющих.
1.	Неопределенность параметров расчетной математической
модели движения РКС:
-	физические процессы функционирования РКС на атмо-
сферной части ПУТ имеют сложный характер;
-	некоторые параметры математической модели движения
РКС принимаются приближенными и корректируются по резуль-
татам ЛИ;
-	значения ЛТХ РКС в расчетных материалах задаются в виде
диапазонов возможных реализаций, иногда достаточно широких;
-	априорные данные о вероятностных характеристиках оце-
ниваемых параметров часто неизвестны или неточны;
-	наличие быстроменяющихся параметров.
2.	Техническая неопределенность РКС:
-	отличие реальных характеристик опытного образца от рас-
четных;
-	проведение летных испытаний РКС различного назначения.
3.	Неизвестность условий функционирования РКС, сформи-
ровавшихся в полете:
-	случайный характер начальных условий движения в атмо-
сфере за счет возмущений при отделении;
-	случайный характер возмущающих факторов при полете
РКС в атмосфере;
-	неопределенность устойчивости функционирования.
4.	Неопределенность параметров атмосферы на финишном
участке траектории.
Физические процессы функционирования РКС на атмосфер-
ной части ПУТ, особенно в режимах, близких к предельным, ко-
торые моделируются при проведении ЛИ, имеют весьма сложный
характер, отразить который в детерминированных уравнениях
движения практически невозможно.
|При использовании классических подходов к задаче оценивания не- |
обходимо принимать ряд приближений и допущений, которые заве- |
296 --

Глава 4
домо приводят к дополнительным погрешностям оценивания, что
противоречит задачам летных испытаний.
Постоянное совершенствование, создание новых образцов РКС требу-
ет разработки унифицированного методического аппарата оценивания
их ЛТХ. Следовательно, научная проблема совершенствования мето-
дического аппарата определения точных и достоверных оценок ЛТХ
РКС с учетом всех отмеченных выше фактов становится особенно ак-
туальной.
Дополнительные исследования решения
поставленной научной проблемы
	Определение общих условий проведения ЛИ, объективно
существующих в настоящее время на полигоне.
	Выявление состояния и работы средств ПИК, определение
объема и выявление качества результатов обработки измери-
тельной информации, а также особенности измерительной
информации.
	Нахождение типовых математических постановок задач
оценивания характеристик РКС и существующих методов их
решения.
	Выявление нештатных ситуаций, возникающих при прове-
дении ЛИ новых образцов ракетной техники и существую-
щих способов определения причин их возникновения.
4.1.2.	Анализ условий проведения летных испытаний
Общие условия проведения летных испытаний
Особенности, прямо или косвенно влияющие
на качество выполнения целей и задач испытаний
1.	Совершенствование образцов РКС, расширение и повы-
шение требований к ним, возможность их применения в услови-
ях, не предусмотренных требованиями.
2.	Случайная природа оцениваемых параметров.
3.	Законы распределения оцениваемых параметров и по-
грешностей измерений принимаются на уровне гипотез с вероят-
ностью, отличной от единицы.
---- 297

Глава 4
4.	Существующие средства полигонного измерительного
комплекса могут не обеспечивать требуемую точность измерений
в интересах решения ряда задач.
5.	Точностные характеристики измерительных средств могут
изменяться от эксперимента к эксперименту.
6.	Неточность или отсутствие априорной информации о па-
раметрах принятой математической модели функционирования
РКС.
7.	Могут быть не получены результаты измерений отдель-
ных параметров.
8.	Наличие участков отсутствия измерительной информации,
иногда достаточно длительных.
9.	Отсутствие эффективных методик определения вероятно-
стных характеристик оценок, в том числе и на участках РКС из-
мерительной информации.
10.	Отсутствие специалистов с высоким уровнем теоретиче-
ских знаний и практическим опытом работы.
11.	Значительный разрыв между результатами современных
научных исследований и их практическим применением при ре-
шении задач оценивания характеристик РКС.
12.	Отсутствие эффективных методов анализа соответствия
характеристик РКС заданным требованиям, исключающих влия-
ние человеческого фактора на качество оценки.
13.	Расширение задач, решаемых межвидовым полигоном.
14.	Отсутствие алгоритмов определения причин нештатных
ситуаций.
15.	Централизация системы анализа.
16.	Сокращение общего количества испытаний, требующее
повышения точности, достоверности и полноты анализа ЛТХ
РКС в отдельных испытательных пусках.
Существующее методическое обеспечение не в полной мере адапти-
ровано к современным условиям проведения летных испытаний. Сле-
довательно, для обеспечения требуемой точности оценивания при ре-
шении задач анализа результатов испытательного пуска необходимо
учитывать все указанные факты в комплексе.
298 ---

Глава 4
Объем и качество результатов обработки
измерительной информации__________________________
Результаты работы технических средств ПИК (регистрация,
передача, сбор и обработка измерительной информации при про-
ведении экспериментального пуска) не всегда позволяют решать
задачи анализа результатов ЛИ в полном объеме.
Примеры невозможности оценки ряда характеристик при за-
пусках (пусках) РКС из-за отсутствия полного объема измери-
тельной информации представлены в таблице 4.1.
_______________________Таблица 4.1_______________________
Примеры невозможности определения ряда характеристик РКС
Динамические характеристики				Аэродинамические характеристики			Траекторно- баллистические характеристики	
Wx	Nx	Wp	Np	Сх	Су	Cd	а	V
+	+	4-	4-	4-	4-	нет	4-	4-
+	+	нет	4-	4-	4-	4-	4-	4-
нет	нет	нет	нет	4-	4-	+	4-	4-
+	+	+	+	4-	+	нет	4-	+
+	+	+	+	4-	4-	нет	+	4-
+	+	+	+	4-	+	нет	4-	+
нет	нет	нет	нет	4-	нет	нет	нет	4-
4-	+	+	+	4-	+	нет	4-	4-
нет	нет	нет	нет	+	нет	нет	нет	4-
нет	нет	нет	нет	4-	нет	нет	нет	4-
нет	нет	нет	нет	нет	нет	нет	нет	нет
4-	+	нет	4-	+	нет	нет	нет	4-
+	4-	+	4-	4-	4-	4-	+	4-
Как видно из приведенных данных, более 20% измерительной инфор-
мации, необходимой для определения оценок отдельных ЛТХ РКС, по
тем или иным причинам не было получено. Это приводит к невыпол-
нению задач летных испытаний не только в части оцениваемых пара-
метров, но и множества других, для которых они являются исходны-
ми данными для расчетов, что совершенно недопустимо в условиях
сокращения общего количества испытаний.
---- 299

Глава 4
Особенности измерительной информации
Рассмотрим научно-методический аппарат, позволяющий в
значительной степени восполнить частично отсутствующую из-
мерительную информацию.
Особенности измерительной информации,
получаемой при проведении летных испытаний
1.	Погрешности измерений имеют различную дисперсию и
автокоррелированы, причем могут содержать как быстроменяю-
щиеся, так и неизвестные медленноменяющиеся составляющие.
2.	При определении характеристик РКС по косвенной изме-
рительной информации дополнительно появляются неизвестные
мешающие параметры (другие характеристики РКС, параметры
среды и действующих возмущений):
Chx = z8-	(4-О
3.	Модель изменения характеристик РКС во времени и в
пространстве часто неизвестна (обычно характеристики являются
реализацией случайных функций или полей), что требует допол-
нительных ограничений и допущений при обработке измерений.
4.	Априорные данные о статистических характеристиках по-
грешностей измерений и оцениваемых параметров часто неиз-
вестны или неточны.
5.	На интервале получения измерительной информации
имеются значительные участки сбоев:
{W*} - {Wi} Щ^2}	(4.2)
{/о } А {/1, /2} А •• • A	, tk} = 0.
6.	Результаты измерений имеют значительный разброс отно-
сительно своего математического ожидания, что значительно за-
трудняет получение достоверных оценок. На рис. 4.1 приведены
результаты измерений поперечной перегрузки, полученные при
проведении летных испытаний.
7.	Результаты измерений дискретны, причем в общем случае
шаг дискретности ] нестационарный, что приводит к слу-
чайному характеру получаемых оценок.
300 --

Глава 4
________________________Рисунок 4.1 ______________________
Вид измерительной информации:
t - время; Z - результаты измерений
8.	Результаты измерений параметров могут быть получены
на различных временных интервалах, что делает невозможным
последующую совместную обработку:
{*!Л+1} п {‘т,tm+i} = 0, / = 1,L, т = 1, М,
где L - число интервалов измерений у-го параметра; М - число
интервалов измерений у+1-го параметра.
Существующая физико-математическая модель, используемая в зада-
чах оценивания траекторных характеристик баллистических объектов
на основе комплексной обработки измерительной информации (вос-
становление траектории) предусматривает наличие синхронизирован-
ных исходных данных. В противном случае испытываемый образец
исключается из состава анализируемых и, соответственно, его харак-
теристики не оцениваются на соответствие техническим требованиям,
что в условиях сокращения общего количества испытаний является
некорректным.
4.1.3.	Типовые математические постановки
задач оценивания летно-технических характеристик РКС
Практическое применение оценок ЛТХ РКС, полученных по
результатам обработки данных ЛИ, определяется их общими ста-
тистическими свойствами [19, 33, 37, 70]. Возможность опреде-
----- 301

Глава 4
ления названных свойств зависит от того, насколько разрабаты-
ваемый метод оценивания удовлетворяет заданным требованиям.
А это, главным образом, связано с особенностями постановки за-
дачи оценивания и требует комплексного учета всех условий
проведения летных испытаний и на их основе разработки кор-
ректных допущений, определяющих модель испытаний.
В целях выявления общих структурных свойств и условий
решения задач оценивания ЛТХ РКС по экспериментальным дан-
ным проведем анализ их известных математических постановок.
Для учета и ослабления влияния погрешностей измерений на
результаты измерений организуется обработка последних, полу-
чившая название первичной обработки. Следует подчеркнуть три
основных аспекта первичной обработки результатов измерений:
1)	повышение точности и достоверности результатов изме-
рений;
2)	обеспечение представления результатов измерений в тре-
буемой форме;
3)	сохранение объема измерительной информации.
С одной стороны, эта форма должна быть удобной для по-
следующего анализа результатов измерений, а с другой, она
должна обеспечивать воспроизведение исследуемых процессов с
заданной точностью.
Математическая постановка задачи предварительной обра-
ботки измерений с учетом вышесказанного формулируется сле-
дующим образом.
Дано:
1.	Данные измерений zi (t), i = 1, N.
2.	Модель измерений
Д(*>)-
где - измеряемые характеристики РКС; Д(/,) - вектор по-
грешности измерений.
3.	Модель оцениваемой характеристики
<4-3)
7=1
4. Критерий качества z: L ||z - z||2
302 ---

Глава 4
По результатам предварительной обработки требуется осущест-
вить отбраковку аномальных результатов измерений zieN,N eN
при условии
||z<y-z||<£,<y>0,<5 = .R2(P),
где R - вероятностное распределение; Р - доверительная вероят-
ность, и оценить текущее значение процесса так, чтобы
z = arg min L .
Очевидно, реализация первичной обработки будет иметь смысл
тогда, когда
р{12измО)-гмодО)к4-рда»’ MW*].	(4-4)
где £ - допустимая погрешность восстановления процесса z(/)
функцией гмод(0, которая получается сглаживанием данных изме-
рений zz(z), i = математической моделью с числом парамет-
ров J< N; Рдоз - доверительная вероятность, характеризующая сте-
пень доверия к результатам обработки данных измерений z(t):
Р {|ZH3M (') - ^сглаж 0)Н 4 < РДО»-	(4-5)
Аномальность измерения, характеризуемая величиной случай-
ной погрешности, может трактоваться как значительное, превы-
шающее некоторое допустимое отклонение АгДОп результата изме-
рения 2изм(/у ) относительно значения модели гсглаж(/у). Поэтому,
если |гюм fa) - гсглаж (/,. )| > гдоп, то измерение z„3M (zy ) признается
аномальным.
Случайные погрешности вызываются различного рода случайными
причинами, действие которых на каждый результат измерения AzH3M(0
различно и, следовательно, не может быть заранее учтено. В процессе
первичной обработки можно уменьшить влияние случайных погреш-
ностей на конечный результат.
Говорить о полноте сведений Дсл не приходится. Но, тем
не менее, в самом общем виде охарактеризовать Асл(/у) возмож-
но. Если сделать допущение о стационарном характере Асл ),
что на практике обычно имеет место, то в этом случае описанием
---- 303

Глава 4
Дсл будет одномерный закон распределения Ж(ДСЛ) и корреля-
ционная функция Л?дсл(г). На основе предельной теоремы тео-
рии вероятностей (теоремы Ляпунова) [23] можно вполне обос-
нованно сделать заключение о нормальном виде закона распреде-
ления Дсл.
С учетом допущений о нормальности закона распределения
случайной составляющей погрешности измерения Д/; полагаем,
что результаты измерений zH3M будут иметь математическое
ожидание АГ[гизм] = гмод и дисперсию £>[*изм] = Од. Механизм
отбраковки аномальных и сглаживания нормальных результатов
измерений будет строится следующим образом. Задаваясь опре-
деленным уровнем вероятности при известном законе распреде-
ления ^(^изм), можно найти соответствующий ему диапазон
[иизм ± Дгдов] , определяемый по формуле [5]
^Д ^{^СГЛ — ^ДОВ — ^ИЗМ — ^СГЛ А^дов } —
2сгл + ^дов
~~ J	( £ИЗМ ) ^ИЗМ •
2сгл -^дов
Так, для вероятности Р д= 0,997 при нормальном законе рас-
пределения W(Д), Д?дов = Зсгд .
Результаты измерения гизм, принадлежащие диапазону
[гизм ± Дгдов] , с одной стороны, являются наиболее вероятными.
С другой, характеризуются погрешностью Д, значение которой не
превышает Дгдов. В противоположность этому результаты изме-
рений, не попадающие в диапазон [гизм ± Дидов], называются
аномальными, поскольку невозможно их дальнейшее использо-
вание по точности.
Исходя из сформулированных требований, процедуру от-
браковки аномальных результатов измерений целесообразно
строить по результатам сглаживания посредством сравнения по-
304 ---

Глава 4
лученного измерения с некоторым пороговым уровнем, задание
которого определяется наличием априорных сведений о контро-
лируемых процессах и статистическими свойствами помехи.
Процедура обработки результатов измерений строится итераци-
онно, после отбраковки измерений, не попадающих в диапазон
|^изм ± Дидов ], производится сглаживание оставшихся данных и
вычисление Аидов до тех пор, пока все данные не окажутся «в ко-
ридоре». Данные, выдержавшие процедуру цензурирования, при-
знаются кондиционными.
Указанный метод применяется на практике при обработке
измерительной информации, получаемой при проведении летных
испытаний.
Однако он обладает существенными недостатками, которые
снижают качество проводимой отбраковки.
1.	Для реализации данного метода необходимо определять
значения модели имод (tj), которые могут быть не адекватны ре-
альному процессу функционирования РКС в полете в силу ука-
занных ранее неопределенностей исходных данных и измери-
тельной информации, что приводит к неверному конечному ре-
зультату.
2.	Случайные составляющие погрешностей измерений не
всегда подчинены нормальному закону распределения.
3.	При первичной обработке результатов измерений быстро-
меняющихся параметров вероятность ошибки первого или второ-
го рода достаточно высока, что снижает достоверность результа-
тов решения задачи. Использовать данный метод для обработки
результатов измерений, представленных на рис. 4.1, практически
невозможно.
При оценке ЛТХ по результатам косвенных измерений, мо-
дель летных испытаний должна отражать [64]:
1) связь оцениваемых ЛТХ с измеряемыми характеристика-
ми с учетом косвенного ее характера:
Chx = zg'->
2) способ комбинации измеряемых характеристик и погреш-
ностей измерений.
---- 305

Глава 4
В основу модели связи оцениваемых ЛТХ с измеряемыми
характеристиками может быть положена математическая модель
движения РКС, которая записывается в форме Коши, в виде
уравнений Эйлера, в разностном виде [18] или на основе класси-
ческих соотношений теоретической механики, например [69]:
^+йхё = Л
- df	(4.6)
— + О.*К = М,
< dt
где Q - вектор количества движения РКС; К - кинетический
момент; Q - угловая скорость вращения осей выбранной СК от-
носительно осей абсолютной СК; R - главный вектор всех внеш-
них сил, действующих на РКС; М - главный момент всех внеш-
них сил относительно центра масс РКС.
Запишем систему уравнений (4.1) в более общем виде:
z, =Ф(м,х,'(),	(4.7)
где ziJ = l,li - вектор реализаций характеристик РКС; й - век-
тор реализаций параметров среды и геофизических условий пуска
uk,k = l,l2 ; * ~ вектор оцениваемых ЛТХ РКС, Xpj = l,n; Ф -
известная функция; Zz , i = 1, т - независимая переменная.
Оцениваемые ЛТХ входят в модель (4.7) в общем случае не-
линейно, что затрудняет разработку методик их оценивания при
непосредственном использовании этих соотношений. Поэтому
представляется целесообразным применение метода статистиче-
ской линеаризации [42] к соотношениям (4.7).
Систему линейных уравнений связи оцениваемых ЛТХ и
реализаций характеристик РКС, параметров среды и геофизиче-
ских условий пусков можно записать в виде (1.1), при этом на ин-
тервале [/0,^] вектор zz- и матрица G реализуются N раз, т.е.
N х = т :
306 ---

Глава4
с1Ф(йД^
de
- матрица т х п; zt - т-вектор.
Измерения реализаций характеристик РКС z, параметров
внешней среды и геофизических условий пусков и осуществля-
ются средствами ПИК. Обозначая
s = |zV| = |z1,z2,...,z/] ,иъи2,...,и,2\Т =1^2,...,.^ |Г,
запишем модель работы средств ПИК в виде
е(0 = 7(5(<),Д(>)],	(4.8)
где Д(/) - вектор реализаций погрешностей измерений, очевид-
но, его размерность совпадает с размерностью вектора S; J -
функция, описывающая способ комбинации измеряемых пара-
метров и погрешностей средств измерений.
Числовые характеристики погрешности измерений опреде-
ляются в ходе первичной обработки измерений.
Допущения, принятые относительно погрешностей
средств измерений
1.	Погрешности измерений аддитивны. Справедливость это-
го допущения подтверждается исследованиями, проведенными в
[40], где показано, что влияние мультипликативных и сдвиговых
погрешностей при оценивании ЛТХ может быть сведено к влия-
нию аддитивных. Также следует учитывать результаты анализа
погрешностей телеметрических, траекторных и аэрометеороло-
гических измерений, подтверждающие, что практически их мож-
но считать аддитивными [92, 93]. Поэтому (4.8) можно предста-
вить в виде
2(/) = 5(/) + Д(г).	(4.9)
2.	Погрешности измерений могут быть представлены в ви-
де суммы двух взаимонекоррелированных (медленноменяющейся
Дм(^) и быстроменяющейся составляющих:
---- 307

Глава 4
д(') = дм(') + дб(О-
(4.10)
В случае, если действительное поведение медленноменяю-
щейся составляющей погрешности в ходе сеанса измерений
предсказать трудно, то их целесообразно представить в виде не-
которой формальной модели с известным числом коэффициен-
тов а/.
2п-\
дм(') = Х%(0
7=1
(4.И)
и включить cij в число оцениваемых параметров [92, 93]:
x^xl,x2,...,xni,al,a2,...,an^,	+п2 =п.
3.	Быстроменяющиеся составляющие погрешностей не-
смещенъс.
^дБ-0.
Учитывая измеренные реализации векторов х, й, опреде-
ляемых выражением (4.9), и погрешности измерений, систему
уравнений (4.1) запишем в виде
б/ф(н + ABw,£,/z)
dx	dx

где Hi - матрица реализаций погрешностей определения част-
ных производных характеристик состояния РКС по оцениваемым
ЛТХ, обусловленных погрешностью ABw (/):
4+ДБх, -ф(^ + ДБ«Д^;) =
= (4 + Н,)х + ДБЛ. = С,Х + ДБЛ. = 2,-;
ABt/ (0, Дбх/О “ векторы реализаций быстроменяющихся со-
ставляющих погрешностей определения соответствующих ком-
понент вектора S.
308 --

Глава 4
С учетом вышесказанного математическую постановку зада-
чи оценивания ЛТХ РКС по результатам косвенных измерений
можно записать в следующем виде.
Дано:
1.	Модель связи оцениваемых ЛТХ с измеряемыми характери-
стиками:
Chx = zs.	(4.12)
п
2.	Модель оцениваемых характеристик х(г) =	
3.	Условия эксперимента:
||СА - С|| < й, й > О,
3 = RZ(P), h = Rc(P),
где R - вероятностные распределения; Р - доверительная вероят-
ность.
4.	Критерий качества оценивания х: W(х0,Ch,xs).
В качестве результата решения задачи требуется определить:
х = arg min W (•).
хеХ
Задача оценивания ЛТХ РКС по данным летных испытаний мо-
жет быть сформулирована следующим образом. По известным
реализациям измерений вектора z и С матрицы в условиях прове-
дения эксперимента, описываемых уравнениями (4.1) на интервале
[/0,/дг], требуется оценить реализацию вектора х и ее точность
при описанных выше допущениях.
Очевидно, что погрешность измерений параметров состоя-
ния РКС, определяющая правую часть системы (4.1), ограничена
возможностями средств ПИК. Неточность оператора задачи, кро-
ме погрешностей измерений определяется точностью моделей
оцениваемых характеристик, представленных в виде многочле-
нов, структура которых определяется на основе априорной ин-
формации и считается постоянной.
Разработанные методы статистического оценивания харак-
теристик РКС различаются в зависимости от необходимой для их
реализации априорной информации. Если известны законы рас-
------------------------------------------------------------- 309

Глава 4
пределения погрешностей измерений и оцениваемых характери-
стик РКС, то может использоваться метод максимума апостери-
орной вероятности (ММАВ) или метод максимального среднего
риска (ММСР). Если известен только закон распределения по-
грешностей измерений, то можно применять метод максималь-
ного правдоподобия (ММП). Если законы распределения неиз-
вестны, но имеются данные о двух моментах распределения по-
грешностей измерений, то могут использоваться обычный или
обобщенный метод наименьших квадратов (МНК), метод наи-
меньших модулей (МНМ), робастные методы (стабильные к ано-
мальным погрешностям измерений).
Наличие информации о законе распределения погрешностей измере-
ний и оцениваемого параметра является определяющим при выборе
метода оценивания.
В соответствии с принятыми подходами, определяющими
единство измерений, при обработке результатов измерений РТС
стартового комплекса, а именно: при определении точности из-
мерения и назначении контрольных допусков и пределов преду-
сматриваются различные законы распределения оцениваемого
(контролируемого) параметра и погрешности измерений:
-	равномерный закон;
-	нормальный закон;
-	трапецевидный закон;
-	закон Симпсона.
При неизвестном законе распределения погрешности изме-
рения закон принимают трапецевидным с соотношением основа-
ний Т.З.
Анализ постановок задач и методов их решения позволяет
сделать следующие выводы.
1.	Существующие методы первичной обработки измери-
тельной информации не всегда эффективны, особенно для бы-
строменяющихся параметров, что ставит задачу разработки но-
вых научно обоснованных методов отбраковки аномальных из-
мерений.
310 ---

Глава 4
2.	Задача однозначного определения медленноменяющейся
(систематической) составляющей погрешностей измерений оста-
ется не решенной.
3.	Информация о статистических характеристиках погреш-
ностей измерений и оцениваемых ЛТХ имеет характер гипотез
или полностью отсутствует. Возможным последствием «заме-
ны» этого условия априорными допущениями, которые на са-
мом деле неадекватны реальным условиям эксперимента, мо-
жет оказаться неудовлетворительная точность полученных ре-
зультатов.
4.	Использование в задачах оценивания недостоверных зна-
чений параметров математической модели движения РКС, кото-
рые должны уточняться в ходе летных испытаний, заведомо
предполагает наличие дополнительных погрешностей в результа-
тах оценивания.
5.	Физические процессы функционирования РКС в полёте
имеют весьма сложный характер, особенно в режимах функцио-
нирования, близких к предельным, отразить который в детерми-
нированных уравнениях движения практически невозможно.
Следовательно, для повышения точности оценивания необхо-
димо применять формализованные модели оцениваемых пара-
метров.
6.	В современных научных исследованиях, следовательно, и
в программно-методической документации, поставляемой на по-
лигон разработчиком, уделяется недостаточное внимание опре-
делению оценок быстроменяющихся параметров, что создает до-
полнительные трудности для анализа результатов эксперимен-
тального пуска в целом.
7.	Анализ существующих подходов к решению задачи оце-
нивания показал, что возможность отсутствия априорной инфор-
мации о погрешностях измерений и оцениваемых параметров (за
исключением информации о наличии физических связей между
ними) в рамках существующей методологии решения данного
класса задач не изучалась.
----- 311

Глава 4 -
4.2.	Концептуальная модель
системы анализа результатов
летных испытаний РКС
Весь процесс анализа результатов ЛИ состоит из совокупно-
сти решений отдельных достаточно сложных постоянно изме-
няющихся частных задач. В силу этого обстоятельства сущест-
вующая достаточно эффективная система анализа результатов
ЛИ, объединяющая частные задачи на всех этапах его технологи-
ческого процесса, требует постоянного совершенствования и мо-
дернизации.
4.2.1.	Структурно-иерархическая схема
анализа результатов летных испытаний
Система анализа результатов летных испытаний при прове-
дении полигонной отработки образцов ракетной техники состоит
из трех тесно взаимосвязанных этапов [45, 46]:
1)	этап подготовки к запуску (пуску);
2)	проведение запуска (пуска);
3)	послезапусковый (послепусковой) этап.
Структурно-иерархическая схема процесса анализа резуль-
татов экспериментального пуска наглядно показана на рис. 4.2.
Послезапусковый (послепусковой) этап можно разбить на
две составные части:
1)	экспресс-анализ;
2)	анализ по полной измерительной информации, который, в
свою очередь, состоит из трех частей:
а)	определение числовых значений отдельных летно-техни-
ческих характеристик РКС по результатам измерений, сравнение
их фактических значений с требуемыми, расчетными или допус-
тимыми значениями;
б)	обобщение характеристик на основе анализа физических
связей отдельных параметров, определение состояния всей дина-
мической системы на различных участках полета РКС, выявление
причин имевших место отклонений;
312 --

Глава 4
_________Рисунок 4.2 _________
Структурно-иерархическая схема
процесса анализа запуска (пуска)
---- 313

Глава 4
в)	выпуск технического отчета о подготовке и проведении
запуска (пуска), формирование выводов о соответствии приня-
той ММ движения РКС реальному процессу его функциониро-
вания в полете и выдача рекомендаций по их усовершенствова-
нию.
4.2.2.	Задачи системы анализа,
решаемые на подготовительном этапе
1.	Анализ расчетных материалов, поставляемых на полигон
разработчиком. А именно:
-	соответствие расчетов активного и пассивного участков
траектории;
-	полнота проведенных расчетов для всех РКС, испытывае-
мых в данном пуске;
-	полнота проведенных расчетов для всего АУТ;
-	проверка соответствия расчетной математической модели
целям и задачам ЛИ;
-	предварительная оценка параметров расчетной математи-
ческой модели движения.
2.	Оценка возможности и объема выполнения задач ЛИ РКС
при реализации расчетной схемы построения на этапе запуска
(пуска).
3.	Оценка соответствия математической модели формуляр-
ным данным на изделия.
4.	Оценка безопасности проведения запуска (пуска), особен-
но в районах падения отделяющихся частей ракеты (ОЧР).
5.	Оценка аварийных трасс и возможность оперативного
прогноза точек падения ОЧР.
6.	Оценка достаточности планируемых измерений для вы-
полнения задач летных испытаний.
7.	Подготовка исходных данных для последующей обработ-
ки измерительной информации и анализа результатов запуска
(пуска).
314 ----

Глава 4
4.2.3.	Оценка летно-технических характеристик
ракеты-носителя при проведении пуска
в реальном масштабе времени
(задачи репортажа)
На этом этапе проводится анализ состояния ракеты-носи-
теля, функционирования его узлов и систем в соответствии с за-
данной программой полета в реальном масштабе времени при ве-
дении репортажа. В связи с тем, что измерительная информация,
поступающая на экран монитора в реальном масштабе времени,
не всегда обладает достаточным качеством, репортаж о функцио-
нировании отдельных узлов и систем приходится вести по дру-
гим (косвенным) параметрам. А это требует знаний о связях от-
дельных параметров и структуре наблюдаемой динамической
системы в целом.
4.2.4.	Экспресс-анализ результатов пуска
На этом этапе после сбора и частичной обработки результа-
тов измерений определяются приближенные оценки ограничен-
ного числа параметров по выборочной измерительной информа-
ции, на основании которых формулируется в общем виде вывод о
степени выполнения целей и задач испытаний.
4.2.5.	Анализ летно-технических характеристик РКС
по результатам полной обработки
измерительной информации
Оценка отдельных летно-технических характеристик РКС
по результатам измерений__________________________
В результате определена проблема разработки метода стати-
стического оценивания, не предусматривающего наличие апри-
орных данных о вероятностных характеристиках оцениваемого
параметра и погрешностей измерений, а также учитывающего со-
временные условия проведения летных испытаний и особенности
измерительной информации.
---- 315

Глава 4
Таким образом, математическая постановка задачи может
быть сформулирована следующим образом.
Дано:
1.	Данные измерений z^f), i = l,N.
Причем имеют место длительные участки сбоев измерительной
информации:
{*0> h } ~ { W1} U {^19 ^2} U ••• U {tk-\ 9 tk} ’
2.	Условия эксперимента:
Модель измерений z(t-^ = x(rz) + A(/z),
где z(/z) - результаты измерений; x(rz) - измеряемый параметр;
A(/z) - вектор погрешностей измерений.
Априорная информация о вероятностных характеристиках по-
грешностей измерений отсутствует.
Априорная информация о вероятностных характеристиках оце-
ниваемых параметров отсутствует.
Требуется:
1)	выбрать модель оцениваемой характеристики РКС;
2)	определить критерий качества искомых оценок;
3)	разработать унифицированный алгоритм определения и вос-
становления оценок характеристик РКС на всем интервале измере-
ний с сохранением объема выборки.
Комплексная оценка
летно-технических характеристик РКС
Данный этап предусматривает обобщение характеристик на
основе анализа физических связей отдельных параметров, выяв-
ление причин имевших место отклонений, определение характера
функционирования РКС в целом как единой динамической сис-
темы.
Задачи анализа на данном этапе
1.	Определение коэффициентов связей.
2.	Чистовая отбраковка аномальных измерений.
3.	Определение систематических составляющих погрешно-
стей измерений.
316 ----

Глава 4
4.	Определение устойчивости функционирования ДС.
5.	Определение причин нештатных ситуаций.
6.	Комплексное оценивание ЛТХ.
Обобщая опыт многолетней работы, следует отметить:
1)	вопросам, связанным с повышением точности оценивания
отдельных характеристик РКС по результатам измерений, уделя-
лось значительное внимание в работах многих ведущих специа-
листов [2, 6, 18-22, 40, 47, 53-55, 82, 92, 93]. Тем не менее, про-
блемы математической постановки и решения задач данного эта-
па анализа, связанные с обобщением характеристик на основе
учета физических связей отдельных параметров, выявлением
причин имевших место отклонений, определением фактических
значений возмущений остались актуальными;
2)	задачи анализа результатов летных испытаний решаются,
в том числе, на основе экспертной оценки специалистов с высо-
ким уровнем теоретических знаний и практическим опытом ра-
боты;
3)	задача определения участков и причин неустойчивого
функционирования РКС остается нерешенной;
4)	анализ возможных направлений совершенствования ме-
тодов рассматриваемого анализа приводит к необходимости
применения комплексного подхода к их разрешению, рассмот-
рению процесса функционирования РКС в полете как изменение
состояния динамической системы с физическими связями ее
элементов.
Необходимость рассмотрения процесса функционирования
РКС в полете как изменение состояния динамической системы с
физическими связями ее элементов приводит к привлечению для
решения задачи методов системного анализа.
Применяя основные понятия теории систем [28, 30, 34], в
качестве объекта исследований рассматривается процесс функ-
ционирования РКС в полете как изменение состояния системы.
Под динамической системой (ДС) будем понимать совокупность
некоторого множества элементов системы, объединенных в одну
группу по признаку наличия физических связей между ними.
Функционирование системы задается ее структурой. Отно-
сительно замкнутая система с заданной структурой функциони-
----------------------------------------------------- 317

Глава 4
рует однозначно, т.е. ее структура полностью определяет способ
функционирования. Следовательно, для однозначного определе-
ния поведения системы в различных условиях необходимо и дос-
таточно определить ее структуру на всем участке функциониро-
вания Str = {X,g}, включающую по определению и элементы
системы X -[xi,x2,...,xm],XcRm и отношения между ними
S = {?i,?2,...,?v}, QcRv.
Таким образом, математическая постановка задачи может
быть сформулирована следующим образом.
Дано:
1* Данные измерений z/Z), i = l,N.
Причем имеют место участки сбоев измерительной информации:
{Wji} = {Wi}U{*i»r2}U--.
2. Оценки характеристик РКС, полученные при решении первой
задачи:
Д(/), / = МЛ
где М- число оцениваемых характеристик.
3. Условия эксперимента:
Модель измерений
=	+ l = ^M, z =	(4.14)
где z^tj) - результаты измерений z; xz(/f.) - вектор х оцениваемых
характеристик РКС; АД/,-) - вектор А погрешностей измерений.
Априорная информация о статистических характеристиках по-
грешностей измерений отсутствует.
Требуется:
1. Определить математическую модель исследуемой динамиче-
ской системы:
1) ММ вектора х оцениваемых характеристик РКС как элемен-
тов ДС;
2) ММ коэффициентов связи оцениваемых характеристик РКС, q.
2.	Определить модель эксперимента
Cx = z,
318 ----

Глава 4
где C(t,x,q) - оператор задачи; z - вектор выходных характери-
стик системы, определяемых в ходе первичной обработки.
3.	Определить обобщенный критерий качества W искомых
оценок х, q.
4.	Разработать алгоритм комплексного оценивания параметров
х, q.
Выпуск технического отчета
по подготовке и проведению запуска (пуска)
На данном этапе на основании анализа полученных резуль-
татов формулируются выводы:
1)	об устойчивости функционирования ДС, сохранении
структуры системы и ее стабильности на всем участке полета РКС;
2)	о соответствии расчетных значений характеристик РКС
реализовавшимся при проведении ЛИ;
3)	об адекватности принятой математической модели реаль-
ному процессу функционирования РКС в полете;
4)	о степени выполнения заданных требований.
5)	выдача рекомендаций разработчикам объекта направле-
ний совершенствования испытываемого образца РКТ, отдельно-
го узла или системы, о проведении корректировки параметров
принятой математической модели РКС или о дополнительных
исследованиях причин, имевших место отклонений.
4.3. Метод скользящей области оценок
4.3.1.	Оценивание летно-технических характеристик РКС
при неопределенности исходных данных
и измерительной информации
Данные измерений
Результаты измерений
£,(?), i = l,N,
получаемые при проведении летных испытаний имеют особенно-
сти, отмеченные в п. 4.2.3.
---- 319

Глава 4
Модель измерений аналогична модели, принимаемой в клас-
сической постановке задачи оценивания:
zU)=xU)+A(z/)>	<4-15)
где z(zz) - вектор результатов измерений; x(zz) - вектор оцени-
ваемого параметра; A(/z) - вектор погрешностей измерений.
Условие проведения эксперимента', априорная информация о
статистических характеристиках погрешностей измерений и оце-
ниваемых параметров отсутствует.
Модель оцениваемой характеристики', в качестве математи-
ческой модели динамической характеристики РКС примем ло-
кально-сплайновую модель:
j
^(0 = 2	(416)
;=i
Критерий качества оценивания:
x(0:R(WM(0-^Wc(t))
- сумма методической и случайной погрешностей оценивания
В качестве результата решения задачи требуется опреде-
лить оценки x(z) в любой момент t е , при которых
x(Z) = arg min7?( * ) .
xgX
(4-17)
На основе анализа условий проведения летных испытаний,
особенностей измерительной информации, существующих похо-
дов к решению задачи оценивания и исходных данных можно
сформулировать требования к синтезируемому алгоритму оцени-
вания, который должен предусматривать следующее.
1.	Возможность применения для оценки различных характе-
ристик РКС (условие унификаций).
2.	Восстановление значений оценки параметра на длитель-
ных участках сбоя измерительной информации
320 ---

Глава 4
^y+1 tj « ^сб •
3.	Адекватность аппроксимирующей функции характеристи-
ки РКС физическому процессу его функционирования.
4.	Определение оценок характеристики РКС на любой мо-
мент времени.
5.	Возможность варьирования шагом дискретности при об-
работке результатов измерений.
6.	Определение практически несмещенных, состоятельных и
эффективных оценок ЛТХ РКС.
7.	Отсутствие априорной информации о статистических ха-
рактеристиках погрешностей измерений и оцениваемого пара-
метра.
8.	Сохранение объема выборки.
9.	Отсутствие итерационных процедур, в связи с накоплени-
ем ошибок округления и погрешностей оценок методического
характера при их реализации.
10.	Обеспечение требуемых степеней «гладкости высших
порядков» получаемой оценки.
11.	Повышение точности, достоверности и надежности оп-
ределяемых оценок.
4.3.2.	Метод скользящей области оценок
Локально-сплайновая математическая модель
оцениваемого параметра_______________________________
Для решения задачи выбора эффективных многочленных
моделей ЛТХ целесообразно рассмотреть базисы многочленов,
наиболее часто используемых в алгоритмах оценивания: много-
члены Чебышева, Лагранжа, Фурье, степенных.
В соответствии с анализом [31, 34] в ряде задач представле-
ния функций известные многочленные приближения могут быть
недостаточно эффективны в следующих случаях:
1.	В задачах интерполяции функции fm (/), заданных значе-
ниями fm [tm. j, j = 1, J. для обеспечения единственности решения
степень интерполяционного полинома qm в схемах интерполяции
------------------------------------------------------- 321

Глава 4
по Лагранжу, Эрмиту и Бернштейну выбирается равной числу уз-
лов Nm \qm = Nm . В связи с этим при большом количестве узлов
имеет место «раскачка» значений Lm(t) между узлами tm.,
j ввиду высоких степеней многочленов Lm (г).
2.	Попытка обеспечить желаемые свойства интерполяции
многочленом Lm(t) приводит к необходимости задания наряду
со значениями функции fm {tm. j также и значений ее производ-
ных	{tm. j до порядка п включительно. Это значительно ус-
ложняет решение задачи интерполяции и увеличивает объем и
сложность задания исходных данных.
3.	Интерполяция на моменты времени t е	, tm, j,
j = функций, заданных значениями fm [tm. j при больших
Nm сопряжена co значительными затратами времени ЭВМ.
4.	При работе с многочленами в процессе вычислений про-
исходит быстрое накопление погрешностей округлений. Они
велики уже при и «20, но часто требуется п в несколько раз
большее.
От этих недостатков свободны многочлены невысоких сте-
пеней и сплайны как кусочно-многочленные функции таких сте-
пеней, а также сплайны, конструируемые из других элементар-
ных функций.
Переход от аппроксимации многочленами к аппроксимации
сплайнами можно обосновать следующими причинами.
1. Это улучшение качества приближения: при одинаковых
вычислительных затратах абсолютные погрешности аппроксима-
ции сплайнами меньше, чем погрешности аппроксимации много-
членами, а при одинаковых погрешностях уменьшается объем
вычислений. Сплайны позволяют избежать осцилляции. Для схо-
димости аппроксимации к аппроксимируемой функции предъяв-
ляются более слабые требования, чем в случае многочленов. На-
322 --

Глава 4
пример, интерполяция сплайнами невысоких степеней сходится
даже для непрерывных функций.
2. Резкое уменьшение вычислительных трудностей как при
построении алгоритмов решения задач, так и при дальнейшей ра-
боте с аппроксимантами, которые на каждом звене представляют
собой многочлены невысоких степеней или иные элементарные
функции. С этой точки зрения наиболее простыми оказываются
задачи локальной аппроксимации. В таких случаях решения вы-
писываются обычно в явном виде.
Локальные задачи сводятся к решению систем линейных уравнений
размерности порядка М с разреженными (ленточными) матрицами,
для решения которых существуют эффективные алгоритмы. В этом
заключается одно из преимуществ сплайнов перед многочленами вы-
соких степеней, где матрицы заполненные.
При работе со сплайнами можно использовать либо кусочно-
многочленное представление, либо представление через базисные
функции. В первом случае достигается наибольшая экономия в
числе арифметических операций, но зато приходится хранить
большой объем информации о многочленах (и + 1)(ДГ-1) чисел.
Во втором случае достаточно хранить dnv = и + 1 + у(ДГ-2) ко-
эффициентов сплайна, но при этом увеличивается число арифме-
тических операций.
Перечисленные недостатки обычных многочленов и пре-
имущества сплайнов делают актуальной задачу конструирования
многочленных приближений ЛТХ РКС на основе сплайновых
моделей.
Конструирование и методы применения сплайновых моделей
изложены в трудах К. Де Бора, Дж. Алберга, Ю.С. Завьялова,
В.К. Исаева, Б.И. Квасова, Н.П. Корнейчука, В.Л. Мирошниченко,
Э. Нильсона, С.Б. Стечкина, Ю.Б. Субботина, Дж. Уолша, Б.И. Су-
хорученкова и др. [35, 41, 90, 92-93], где отмечаются некоторые
общие особенности математических моделей характеристик РКС:
1.	Оцениваемые характеристики РКС изменяются во времени и
пространстве, являются непрерывными, гладкими функциями и
имеют случайный характер.
---- 323

Глава 4
2.	Априорные данные об оцениваемых характеристиках РКС
(законы распределения, параметры законов распределения, воз-
можные диапазоны изменения) часто отсутствуют или ограни-
чены.
3.	Использование в задачах анализа разных математических мо-
делей характеристик РКС приводит к дополнительным погрешно-
стям методического характера.
В классе сплайновых моделей особое место занимают локальные
сплайны. Исследования [92, 93] показали, что восстановленные функ-
ции неизвестной структуры по редким табличным точкам вручную
опытными специалистами-экспертами и автоматически на основе ло-
кально-сплайновых моделей практически совпадают.
Задачей конструирования локально-сплайновых моделей
является обеспечение и локальных свойств, и достаточной глад-
кости. Для удобства практического использования они пред-
ставляются в таком же виде, как и многочлены Лагранжа и Ко-
тельникова:
j
цо=2 МО
У=1
где Xj - значения многочлена в узлах tj.j =
Для обеспечения хорошей адекватности локальных сплайнов
непрерывным характеристикам РКС они должны иметь следую-
щие свойства.
1.	Физический смысл коэффициентов, обеспечиваемый при
7V7/	(4.18)
Мо)=0>
2.	Достоверное восстановление линейных функций, обеспе-
чиваемое нормированием базисных функций:
2^(0=1’<4-19)
7=1
324 ----

Глава 4
(4.20)
(4.21)
3.	Локальные свойства базисных функций:
^(0 = ° при |r-zy|>A, Де[/0;Гл].
4.	«Хорошая гладкость» многочлена:
где H(f) - непрерывная функция.
Свойства 3 и 4 взаимосвязаны, так как обеспечение локаль-
ности базисных функций возможно только вследствие ограни-
ченной гладкости: М < J -1. Отказ от полной гладкости много-
членных моделей характеристик РКС можно обосновать несколь-
кими соображениями. Характеристики РКС в силу случайного
характера действующих факторов являются случайными функ-
циями или полями, т.е. их реализация по своей природе обладает
ограниченной гладкостью и имеет разрывы производных, осо-
бенно высших порядков.
При решении задач интерполяции табличные значения
функции неизбежно содержат погрешности измерений, вычис-
лений или округлений, т.е. по своей природе принадлежат не
истинной гладкой функции, а близкой к ней функции с ограни-
ченной гладкостью. При аппроксимации реализаций функций
типа случайных, при сглаживании и выделении полезного сиг-
нала на фоне помех, при интерполяции табличных функций
наибольшей информативностью о значении функции в какой-
либо точке t обладают данные в локальной области, близкой к t,
и практически не несут полезную информацию в удаленные от
tточки.
Алгоритм построения
локально-сплайновых моделей
Алгоритм построения локально-сплайновых моделей под-
робно изложен в [92, 93]. Сплайновые модели рассматриваются
на ограниченном отрезке с разбиением (сеткой) на нем
А:Zi < t2	.
---- 325

Глава 4
Функция Sn т (z) называется сплайном степени п дефекта т
с узлами на сетке А, если она удовлетворяет следующим усло-
виям:
1)	на каждом частном отрезке	j =	;
2)	функция Sn т (z) является многочленом степени п:
п
^7,/И (^) = 2^^ (z ~Zy) ’	G [^7’^+1 ] ’
<2=0
Функция 5ww(z) непрерывна и имеет в узлах сетки (п-т)
непрерывных производных (обладает (п-т)-й степенью гладко-
сти):
при <5^0,
j = 1,...,J; // = 0,1,...,и-ти .
Для конструирования многочленных моделей, обладаю-
щих свойствами (4.18)-(4.21), могут использоваться различные
подходы. Один из наиболее общих и простых способов сле-
дующий.
Рассмотрим значения Xj некоторой функции /(z) на сетке
|zyJ,j = построенной на отрезке существования функции
[z0;Z^]. Выделим отрезок А;. = [г1;г2], у которого тх ^\jj_x,t}
^2е[0^у+1]- В симметричной окрестности аргументы тх выде-
лим (Мх + /) узлов tj.tj_x,tj+x,tj_2.tj+2^- и проведем через соот-
ветствующие значения какой-либо многочлен Пх (z) с
(Мх +/) членами.
Дифференцированием этого многочлена при t = rx найдем
производные п[(тх) = fx (tj;,Xjтх), ц = 1,...,Мх. Аналогично
найдем многочлен TZ2(z)c (Л/2 +/) членами по (М2 +/) значени-
326 ---

Глава 4
ям Xj в окрестности аргумента т2 и его производные П^\т2) =
ц = 1,...,М2.
Теперь на отрезке построим какой-либо многочлен L} (t) с
(М] +М2 +2) членами, коэффициенты которого найдем из усло-
вий, чтобы он проходил через точки (т1),Ху,772(г2) и чтобы
его производные на границах отрезка совпадали с производными
многочленов Пх (/) и П2 (г) соответственно, т.е.
Мо) = хУ’	(4.22а)
£у(г1) = П1(г1); ^Oihn^Oi)’ = -.М,;	(4.226)
£у(г2) = П2(г2); £^(т2) = П^(т2), /z = 1,...,M2.	(4.22в)
Определив коэффициенты многочлена в зависимости от зна-
чений Xj и преобразовав его к нормальному виду (4.16), получим
локальный многочлен £y(z) на отрезке Л/ = [^;^2]. Аналогично
выделяется отрезок Д Ч1, примыкающий справа к отрезку Ду , и
на нем строится локальный многочлен Zy+1 (z) так, чтобы на его
левой границе, равной т2, выполнялись условия (4.22в), как и для
многочлена Lj (z). То же проводится и для отрезка Aj_x, примы-
кающего слева к отрезку Ду, и получается многочлен Lj_x (z),
который на его правой границе, совпадающей с т\, удовлетворяет
тем же условиям, что и многочлен Lj (z).
Повторяя описанную процедуру для всех отрезков
Ду,У = 2,...,J-1, получим весь локальный многочлен Z(z) (4.16)
как совокупность многочленов £y(z), который плавно соединяет
значения и сохраняет на границах отрезков Ду некоторое
число М = /(/) непрерывных производных. На первом
---- 327

Глава 4
и последнем	отрезках локальный мно-
гочлен совпадает с многочленами П1 (/) и П2 (z) соответственно,
построенными на совокупности начальных и конечных значений
функции f(t).
На основе изложенного общего способа синтеза локально-
сплайновых моделей (ЛС-моделей) можно построить частные ал-
горитмы, которые отличаются вариантами назначения границ тх
и г2, числом сохраняемых непрерывных производных, видом
многочленов Hj (z), П2 (z), Lj (z). Соответственно получаются и
различные виды локально-сплайновых моделей. Кроме того, в за-
висимости от шага сетки ЛС-модели могут быть стационарными
(йу - 0+1 о = const) и нестационарными (hj = var).
Сглаживание и сжатие
измерительной информации;
Рассмотрим характеристику РКС x(z), в результате измере-
ния которой получаются данные yf в дискретные моменты
tf е [z0;ZA ],* =, искаженные аддитивными погрешностями ,
так что модель измерений можно записать в виде
х(/. j + s. = у., i =	.	(4.23)
Задача состоит в том, чтобы по данным yi наиболее точно
выделить характеристику x(z). Для этого целесообразно исполь-
зовать ЛС-модель характеристики
j
= = J<n’ (4-24>
7=1
где (/>j (z) - базисные функции ЛС-модели; Xj - значения харак-
теристики x(z) в дискретные моменты tt е[г0;/л].
328 ---

Глава 4
Если пренебречь методическими погрешностями модели
(4.24), то модель измерений (4.23) можно записать в виде
2Х(zi)xj + si = X’ i	(4.25)
Для удобства записей и вычислений введем в рассмотрение
вектора х,Д,у и матрицу Л:
Х = (х,.); Д = {4}; у = {у,}-, Л = {^.)}.	(4.26)
В этом случае модель (4.25) можно записать в векторно-
матричной форме:
А¥+Д=У.	(4.27)
Теперь первоначальная задача выделения характеристики
х(г) разбивается на две:
1) необходимо оценить вектор х = j ;
2) по модели (4.24) определить характеристику x(z) для всех
Для решения первой задачи используются методы матема-
тической статистики. При этом требуется знать закон распреде-
ления или параметры закона распределения погрешностей изме-
рений А . Обычно такие данные неизвестны или известны неточ-
но. Допустим, что закон распределения погрешностей измерений
не известен, но известно, что они имеют нулевое математическое
2
ожидание, некоррелированы и имеют постоянную дисперсию <ув.
В этом случае при отсутствии априорной информации о векторе
х наиболее точные оценки вектора характеристик х и ковариа-
ционная матрица погрешностей оценок К- определяются по ал-
горитму метода наименьших квадратов (см. §4.2):
х = {х,} = (л’я)-1 ATY; К- = crj(лгл)~',	(4.28)
где Г,-1 - операторы транспонирования и обращения матриц.
---- 329

Глава 4
Если дисперсия погрешностей измерений crj неизвестна, то
в алгоритме (4.28) используется ее оценка, полученная по оста-
точным невязкам V,:
(4.29)
1
n — J
На основе полученных оценок х = j по модели (4.24) вы-
числяются оценки характеристики х(7) в любой момент
у е [/0;^] и дисперсия погрешностей этой оценки:
j _
>1	(4.30)
стх2(0=ф№ф7М
где =	$2 (/);	- матрица-строка.
Если оценки xj можно считать некоррелированными, то
дисперсия точечной оценки текущего значения
<rf(Z) = Z	(430а)
J=1
где а-. - дисперсия оценок xj ; а-. =kxjj .
Ху	Xj
Таким образом, приведенные алгоритмы (4.28)-(4.30) позво-
ляют осуществлять сглаживание и сжатие получаемой информа-
ции. Сжатие достигается вследствие того, что вместо п данных
измерений остается J <п оценок характеристик Xj . Сглажива-
ние данных у,- моделью (4.24) приводит к повышению точности
получаемой оценки характеристики : сг| (г) < crj.
330 ----

Глава 4
Особенностью ЛС-моделей является то, что оценки характе-
ристик Xj определяются на локальном отрезке Qy, где базисные
функции ЛС-моделей отличны от нуля.
Если сг^ неизвестна, то она оценивается по алгоритму (4.29)
или локализованному варианту этого алгоритма, учитывающему
остаточные невязки лишь в локальной области :
—2	1	у-,
crj =-------'— /
J иЭКВ r.eQy

(4.31)
где - число измерений yi на отрезке (для которых
е ); J3KB - эквивалентное число параметров модели, опреде-
ляемое по данным на отрезке Qy:
ni	ti -ta
r ~ T—L ~_____L- h ________° •
ЭКВ ~	~	7	’	T ’
n h	J
(4.31a)
Лср - средний шаг между узлами ЛС-модели.
Для вычислений по зависимости (4.31) требуется знать
оценки Xi характеристик с индексами I9 для которых Zz е .
Алгоритм определения оценок
летно-технических характеристик РКС
на основе сглаживающего сплайна с использованием
принципа скользящего среднего
Алгоритм построения аппроксимирующей функции (4.24)
имеет некоторые особенности.
В силу причин, указанных выше, результаты измерений ха-
рактеристик РКС необходимо рассматривать как реализацию
случайных функций х (/). Первоначальная задача выделения ха-
рактеристики х(7) разбивается на две: необходимо оценить век-
тор х = |ху |, а затем по модели (3.10) определить характеристику
----- 331

Глава 4
х(7) для всех tj е р0 ;/* ]. В этом случае для получения оценки ап-
проксимирующей функции минимизируются погрешности
W = L(j)-x(t),	(4.32)
которые можно представить в виде совокупности случайных по-
грешностей оценок вектора х - |х7 }:
Wc = x(tj)-x(tj)	(4.33)
и методических погрешностей восстановления параметра
WM=L (t^x (tj))-*(/,),	(4.34)
^ = И^ + Ж« = (х(гу)-х(/у)) + (£ (Г;, x (f,))-x(Z,)).	(4.35)
Анализ, проведенный в [92, 93], показывает, что суммарная
погрешность оценивания характеристик РКС W при фиксиро-
ванном объеме выборки результатов измерений N, в основном,
зависит от интервала дискретизации данных измерений hj , числа
членов аппроксимирующего многочлена J и, соответственно,
степени т выбранной ЛС-модели.
Дисперсия суммарных погрешностей оценивания
^(0 = <Тс(0 + <Тм(0’	(4-36)
В [92, 93] нормируются погрешности оценок характеристик
РКС: случайные - по среднеквадратическим погрешностям изме-
рений , методические - по среднеквадратическим отклонени-
ям crxi случайной функции х(г) в моменты tj и рассматриваются
средние значения дисперсий нормированных случайных
и методических (cTjJcr^ погрешностей.
Результаты исследований
1. Случайная погрешность оценивания реализаций характе-
ристик РКС, в основном, определяется отношением (J / АГ) числа
332 ---

Глава 4
членов ЛС-модели к числу измерений и коэффициентом корреля-
ции погрешностей измерений г, а именно: повышаются с ростом
числа оцениваемых параметров Уис увеличением коэффициен-
та корреляции погрешностей измерений г.
При некоррелированных погрешностях измерений (г = 0)
справедлива известная зависимость
<7CI<7S=4JIN.	(4.37)
Методические погрешности, зависящие от отношения
(J тхн / , где тхн = | i - v | - безразмерный интервал корреляции
случайной функции x(r), z, v = l,7V) снижаются с ростом этого
отношения.
Таким образом, при минимизации суммарных погрешностей
оценивания характеристик РКС W = WC+WM (4.35) имеет место
противоречие.
С одной стороны, для минимизации случайных погрешно-
стей измерений Wc необходимо увеличивать интервал дискрети-
зации к - число данных измерений на шаге между узлами
сетки:
тем самым уменьшить число оцениваемых параметров J и ко-
эффициент корреляции погрешностей измерений г -> 0.
С другой стороны, для минимизации методических погреш-
ностей измерений Wm необходимо уменьшать интервал дискре-
тизации данных измерений к (4.38), тем самым увеличивать чис-
ло оцениваемых параметров J.
В связи с данным противоречием требуется решать задачи
оптимизации шага дискретизации данных измерений к , степени
аппроксимирующего многочлена тп 9 сетки узлов многочленных
моделей.
Предложим другой подход для разрешения данного проти-
воречия, основанный на определении двойной точечной оценки
----------------------------------------------------- 333

Глава 4
Xj характеристики РКС в области существования реализаций
случайной величины х(/7) с использованием принципа скользя-
щего среднего.
Как было отмечено, достижение цели включает последова-
тельно решение двух задач.
ЗАДАЧА 1. Определим точечные оценки характеристики РКС
из условия минимума случайных погрешностей (4.33):
=	(4.39)
x(t) = arg min Wc.	(4.40)
xeQ
ЗАДАЧА 2. Определим аппроксимирующую функцию (4.24) из
условия минимума методических погрешностей (4.34):
WM=L(t^ X/y))-x(rz-),	(4.41)
2(/) = arg min .	(4.42)
хеХ
Алгоритм построения аппроксимирующей функции
на основе сглаживающего сплайна
с использованием принципа скользящего среднего
Использование ЛСМ характеристик РКС в задачах оценива-
ния предусматривает обработку измерительной информации ог-
раниченного объема. Это одно из основных преимуществ ЛСМ
по сравнению с другими многочленными моделями. Поэтому
рассмотрим фиксированную локальную область (рис. 4.3) с
объемом выборки rij результатов измерений
z7(/J = x7(/J + A7(/z), i = l,nj9	(4.43)
Определим структуру и параметры ЛСМ 5 и будем счи-
тать их постоянными в рамках решаемой задачи.
Как отмечалось, для минимизации случайных погрешностей из-
мерений Wc необходимо увеличивать интервал дискретизации к -
число данных измерений на шаге hj между узлами сетки
334 ---

Глава 4
_______________________Рисунок 4.3 _____________________
Пример решения задачи
й, = ?,+1 -	max й, J =	(4.44)
Qy
к = const,
тем самым при фиксированном объеме выборки
иу=.7ух£ + 1	(4.45)
уменьшать число оцениваемых параметров Jj, т.е. число шагов
hj узлов сетки. Учитывая, что степень гладкости ЛСМ т связана
с Jj соотношением
m + 2 = Jj9	(4.46)
выберем минимальную степень гладкости ЛСМ (т = 1 или т = 2).
Данный выбор соответствует условию г —> 0 при
г„=тш<г1Я = и7..	(4.47)
Исследования, проведенные в [93], показали, что при различном
виде автокорреляционных функций погрешностей измере-
ний характеристик РКС в нормальных условиях функционирова-
ния снижение погрешностей измерений наблюдается практически
---- 335

Глава 4
только до величины (0,1...0,2) , где т. - интервал, при котором
быстроменяющиеся погрешности измерений становятся практиче-
ски некоррелированными. Таким образом, при оценивании харак-
теристик РКС данные измерений целесообразно обрабатывать с
шагом
Лу>(0,1...0,2)гу.	(4.48)
Здесь же при анализе зависимости (4.37) сделан вывод о том,
что для минимизации случайных погрешностей измерений необ-
ходимо выбирать число членов ЛСМ
J >(0,1...0,2) и,	(4.49)
А: >5...10.	(4.50)
При фиксированном значении к = const и выбранной ЛСМ объ-
ем выборки rij будет определен = const.
Необходимо отметить, что в общем случае величина шага меж-
ду узлами hj ф const, поэтому ЛСМ следует выбирать нестацио-
нарной.
Таким образом, однозначно заданы структура и параметры ЛСМ
5t(m)
J<n	(4.51)
J=1
для определения точечной оценки на интервале ] обеспе-
чивающей выполнение условия
Xj = arg min Wc.	(4.52)
x<=Clj
Оценки Xj, сглаживающие результаты измерений, определяют-
ся по известному алгоритму МНК (4.28) для всех j = \,J .
Увеличим объем выборки на шаг hj . Тогда, как видно из рис. 4.3,
nJ+] = гу+к ,	(4.53)
tnj+i=tnj+hj.	(4.54)
Рассмотрим задачу определения оценки характеристики РКС
при многократном проведении испытаний.
336 ----

Глава 4
ЗАДАЧА 3. При одинаковых условиях проводится серия из
нисп независимых испытаний. В каждом 1-м (I = 1, иисп) испыта-
нии количество полученных результатов измерений постоян-
но, область возможных значений результатов измерений Q*. По
алгоритму (4.28) определяется оценка xj по результатам из-
мерений.
Определим оценку Xj характеристики РКС в области значений
аргумента t О* .
При данной постановке задачи испытания являются независи-
мыми, стохастически однородными с равновероятными исходами.
В силу того, что в общем случае интервал между измерениями
[rz,/z+]] случаен, то и оценки xj (FZ), получаемые в случайные
моменты времени F Z, тоже имеют случайный характер.
Из математической статистики [23] известно, что для получения
несмещенных, состоятельных и эффективных оценок математиче-
ских ожиданий системы двух случайных величин (xj, Fzj по ре-
зультатам иисп независимых опытов необходимо определить их
средние арифметические значения. Следовательно, искомые оценки
(4.55)
(4.56)
а для элементов корреляционной матрицы: дисперсий и корреля-
ционного момента
(4.57)
(4.58)
---- 337

Глава 4
^ИСП /г л \
Kifij = —-------------.	(4.59)
Лисп 1
Нетрудно показать, что при увеличении числа испытаний иИС11
полученные вторичные оценки Xj в моменты il удовлетворяют
заданному условию (4.52):
Xj = arg min Wc.
xeQ* j
Как известно, среднее арифметическое реализаций случайной
величины Xj при увеличении числа испытаний сходится по веро-
ятности к ее математическому ожиданию Л/[ х7] = Xj.
^z*	_____
Пусть каждая реализация Xj (7 = 1,«исп) случайной величины
Xj имеет две составляющие
X1 *= X1 \\tj) + X !\wc),	(4.60)
где х7*(Д//) - составляющая за счет случайности интервала изме-
рений pf , xz*(JFc) - составляющая за счет случайных по-
грешностей измерений. Или в векторной форме
Х = Х^+Х^.	(4.61)
Для любой случайной величины центральный момент первого
порядка равен нулю:
М[Х-тх] = Л/[Хдг. + Хус -= М] + m[xWc]-тх = 0.
(4.62)
В рассматриваемой задаче математическое ожидание
M\x^mx = xj	(4.63)
есть полученная вторичная оценка, которая не зависит от состав-
ляющей xz*(AZ/) отдельной/-й реализации случайной величины X.
Следовательно, с учетом (4.62) и (4.53)
ху+Л/[хГ(:]-х7=0,
откуда
1И[^с] = 0.	(4.64)
Что и требовалось доказать.

Глава 4
Максимально возможное количество различных сочетаний
(выборок) Prij результатов измерений из их общего числа и Ч1
можно определить по известной формуле
р = г	=	(*У+1)!
"•z+1 «у ! (и у+1 - «у)!
или, с учетом (3.38),
(465)
Если принять к = 5 и использовать для определения оценок
характеристик РКС ЛСМ 2-й степени гладкости (w = 2), то из
(4.45) и (4.46) Jj=5, rij = 21,	=26 и Р = 65780 - достаточ-
ное число испытаний, чтобы выполнялось равенство
м[^с] = 0	(4.66)
и, основываясь на центральной предельной теореме теории веро-
ятностей, полагать закон распределения системы двух случайных
величин хДй) и tl нормальным.
Смещаясь на одно измерение, повторяем алгоритм опреде-
ления двойной точечной оценки xy+i (задача 3) уже на области
значений Q*Ч1. И так далее по всей выборке результатов изме-
рений.
В итоге получаем вектор вторичных точечных оценок
А =	(4.67)
причем его размерность практически равна общему числу ре-
зультатов измерений N, за исключением нескольких измерений
на границах всего интервала , tN ]
(4.68)
Объем начальной выборки результатов измерений N сохра-
нен, что позволяет применить методы математической статисти-
---------------------------------------------------------- 339

Глава 4
ки для дальнейшей обработки данных измерений и, как будет по-
казано ниже, предоставляет широкие возможности для после-
дующего анализа параметров состояния любой динамической
системы.
Необходимо также отметить, что шаг между соседними по-
лученными точечными оценками Лу.« =^/y»,/y»+1J минимален на
всей возможной области своих значений и, с учетом (4.66), при-
близительно равен среднему шагу между измерениями:
J N
Таким образом, требования минимизации методических по-
грешностей (4.41), (4.42) при построении аппроксимирующей
функции характеристики РКС
Z
£(0 =	J*~N,	(4.69)
7=1
2(0 = arg min
хеХ
тоже выполнены.
Схема алгоритма конструирования аппроксимирующей
функции на основе сглаживающего сплайна с использованием
принципа скользящего среднего приведена на рис. 4.4.
Данный алгоритм составляет основу предлагаемого метода статисти-
ческого оценивания ЛТХ РКС при отсутствии априорных данных о
вероятностных характеристиках оцениваемого параметра и погреш-
ностей измерений в условиях неопределенности моделей и измери-
тельной информации -метода скользящей области оценок.
Используя полученные по формулам (4.55)-(4.59) числовые
характеристики случайных величин M[xj], D[xj ] и зависимости
распределения Стьюдента, определяем границы доверительного
интервала и сам интервал :
340 ---

Глава 4
Алгоритм R1
______________________Рисунок 4.4 ____________________
Схема алгоритма конструирования
аппроксимирующей функции
----- 341

Глава 4
(4-70)
где п - число независимых испытаний; tp - значение, удовлетво-
ряющее равенству
2 р„ч(/И = /?
О
и определяемое по известной таблице в зависимости от довери-
тельной вероятности (3 и числа степеней свободы п - 1.
4.3.3.	Унифицированные методы оценивания
отдельной характеристики РКС
на основе метода скользящей области оценок
Методика предназначена для определения оценок характе-
ристик РКС по результатам измерений при наличии участков
сбоя измерительной информации и отсутствии априорных дан-
ных о статистических характеристиках погрешностей измерений
и оцениваемого параметра, а также для построения аппроксими-
рующей функции повышенной степени гладкости.
Модель оцениваемой характеристики
Основываясь на выводах, сделанных ранее, а также для вы-
полнения требований к методике оценивания в качестве матема-
тической модели оцениваемой характеристики примем нестацио-
нарную степенную локально-сплайновую модель второй степени
гладкости ( m = 2 ):
j
7=1
где (/) - базисные функции ЛС-модели; - значения харак-
теристики x(z) в дискретные моменты времени Z, е .
342 ----

Глава 4
Обработку результатов измерений будем проводить с шагом
дискретизации к = 5,
Параметры модели
Число оцениваемых параметров модели.................J	= 4
Число узлов сетки, необходимое для определения
одной точечной оценки с использованием ЛСМ
2-й степени гладкости...............................=	5
Таким образом, структура ЛСМ определена. Примем ее по-
стоянной на всем интервале измерений. Следовательно, для по-
лучения одной точечной оценки необходимо rij= 21 = const из-
мерений, откуда и -+1 = 26 = const.
Данные измерений______________________________________
Результаты измерений:
z и)=хи)+Аи)’ i=l’N>
(4-72)
где z(/z) - вектор результатов измерений Z ; x(rz) - вектор оце-
ниваемого параметра X; Д(^) - вектор погрешностей измере-
ний Д , имеют участки сбоев измерительной информации
{^оЛ}= {^о А} и Л} U... U {^-i Лк} ’
{W1} П {^1 ,^2} П —	= 0 •
Формулы для расчётов_______________________________________
1.	Базисные функции нестационарных ЛС-моделей второй сте-
пени гладкости рассчитываются по следующим зависимостям:
-	на первом отрезке [z0;Z2]:
^(0 = l + l(ft32-/!22)(z-Z2)-l(/J2 + A3)(r-r2)2;	(4.73)
а 4	7	а
а	а
---- 343

Глава 4
<^(/) = 0 при J>4,
где	^h~t3-t2\ d = h2*h3(h2+h3);
-	на j-м отрезке	; /у+1 ], j = 2,..., J -1; J > 4 :
0)=S 0_ У;	w=1+S e< 0_ У;
7	;=I	(4-74)
tJ+i(')=Ф}+2 w=£?,(*-*>)’;
/=1	/=3
^Д/) = О при v<j-2 и v>j + 3.
Входящие в зависимости (4.73) коэффициенты вычисляются по
формулам:
С| — /?2 / d^, с2 ~ / d\» С3 — 3 / d} -9 Сд — 5 / d^l^,	—- 21 d^J^,
e _W
Ci —	,	«
__10 6й2	37»,	4A32 hy____3__
3	h^dy	h^d2 h2<d2 d} ’
d\
7^2	2/^	з^	8й2 15	5
64 “ t$d2 h^d2 %dy ^dx +h% +h^’
e	fh x^2 x fh	6	2 .
5 h}d2 h$d2 %dx h&x % h^dx ’
Л,2	hx
gi=-r; ^=3-;
“1	"1
__3_ 10_ 6Й!2	ЗЛ,	4/г,2_
^2 ^2 ^2^1	^2^1	^2^2	^2^2
____5	7h^	2^	3hx	Shx	15
g4 ~ fhd2 + f^d2 +	%d2 + %dx + /«j3dx	(4 ’
__2___^________A-
85 ~ h$d2 %d2 >4d2 l^dy h^dx	’
^3 = ! d2 9 — 5/ dol^ 9 — 2 / ^2^2 ’
где
=	~ ^j-\ ’ ^2 ~ tj+l ^3 = ^j+2 ~ tj+\’
^=^(^1+^2); d2=h2h3(h2+h3).
344 ----

Глава 4
На последнем отрезке ; tk J базисные функции вычисляются
по зависимостям (4.73) с учетом соотношений:
=	=	(4.76)
(/) = 0 при j<J-3
при подстановке вместо параметров /2, /?2, значений tj_u
Л2 = tj_\ -tj_2, h3=tj-tj_} соответственно.
2.	Берутся первые и Ч1 = 26 значений результатов измерений на
интервале	и выбираются из них любые wy=21 значений
Zx = {zi , i = 1, rij в области Q *j.
По приведенным формулам (4.73)-(4.76), значениям времени
{/Jp z = l,ny выбранных результатов измерений Zj ={zj1 и с уче-
том принятых параметров ЛСМ формируется матрица A j значений
базисных функций размерностью n^Jj.
По алгоритму МНК (4.28) определяется точечная оценка в у-м
узле
xl=(A,rAl)~,AlrZl,	(4.77)
иисп раз выбираются любые и, =21 значений Z\, 1 = 1,писц (иИС11
выбирается из условий задачи) из и Ч1 = 26.
Формируется множество первичных оценок параметра в облас-
ти Q *j:
JT'i = [х!(?.)},/ = й^.	(4.78)
3.	По формулам (4.55) и (4.56)
Xi =-^—;	(4.79)
Иисп
яисп
0= ——	(4.80)
^ИСП
определяются вторичные точечные оценки xi и оценки t\, кото-
рые являются центром группирования эллипса рассеивания воз-
---- 345

Глава 4
можных реализаций	случайной величины xi(/j) в облас-
ти Q .
4.	Область значений аргумента оцениваемого параметра смеща-
ется на одно измерение: О*у+]. Берутся wy+1 = 26 значений резуль-
татов измерений на следующем интервале	j и повто-
ряются действия 2 и 3.
Вычисления проводятся на всем интервале результатов изме-
рений.
В итоге определяется вектор вторичных точечных оценок
X = в моменты времени р; , /* = 1, J* с шагом дискретности
h, «tlLZh.	(4.81)
1 N
причем размерность вектора X = J * практически равна об-
щему числу результатов измерений N , за исключением несколь-
ких измерений на границах всего интервала [/р

Элементы корреляционной матрицы, дисперсии и корреляцион-
ные моменты определяются по формулам (4.57)-(4.59):
'ИСП
(4.82)
(4.83)
-tj)
К*Ю = —--------------
(4.84)
По полученным значениям X = |ху *| и принятой ЛС-модели
оцениваемой характеристики РКС (4.71) определяется аппрокси-
мирующая функция

Глава 4
j
L(t) = ^i<pj(t)xj, Zep,,^].	(4.85)
>1
5.	Используя аппроксимирующую функцию (4.85), определяем
оценки характеристики РКС на любые моменты времени. Для уп-
рощения последующих расчетов шаг дискретизации целесообраз-
но выбрать постоянным hj = const. Задаются параметры ЛСМ лю-
бой повышенной степени гладкости и на основе полученных оце-
нок с сохраненным объемом выборки, применяя МНК (4.77),
определяются точечные оценки и аппроксимирующая функция
оценок характеристики РКС повышенной степени гладкости.
6.	Используя полученные по формулам (4.79), (4.80), (4.82)-
(4.85) числовые характеристики случайных величин M[xj], £>[*/]
и зависимости распределения Стьюдента, определяем границы до-
верительного интервала и сам интервал
где иисп - число независимых испытаний; tp - значение, удовле-
творяющее равенству
tp
о
и определяемое по известной таблице в зависимости от довери-
тельной вероятности (3 и числа степеней свободы п - 1.
Расчетные зависимости для базисных функций стационар-
ных ЛСМ различных степеней гладкости приведены в [92, 93].
Для стационарной степенной локально-сплайновой модели вто-
рой степени гладкости'.
-	на первом отрезке [^; *2]'
$ (г) = 1-1,5т + 0,5т2;
^(г) = 2т-т2;	(4.86)
^(/) = -0,5т + 0,5т2;
^(/) = ° при у>4; т = |(г-^);
---- 347

Глава 4
-на j-м отрезке	J
ф._} (t) = -0,5г + 0,5г2 +1,5г3 - 2,5г4 + г5;
(/) = 1 - г2 - 4,5г3 + 7,5г4 - Зг5;
ф.+] (t) = 0,5г + 0,5г2 + 4,5г3 - 7,5г4 + Зг5;
^.+2(<) = -1,5г3 + 2,5г4-г5;
/ ч	t~t
фг\1) = Ъ при /<у-2 и />7 + 3; г =------
h
-	на последнем отрезке [/71; tk ]:
^7-2 (*) = "А	’
(4.87)
(4.88)
^/(/) = 0,5r + 0,5r2;
^7(/) = 0 при	r= •
Для стационарной степенной локально-сплайновой модели чет-
вертой степени гладкости:
-	на первом отрезке [fo 6]-
. / \ 1 25	35 2^3 I 4
ф u) = l-т + — т-----т + — т ;
V 7	12	24	12	24
, / х Л 1З2 3 з I4
<М') = 4г-—т +-г --г ;
j 2. О
19 .-2-2г3 Д г4;
4	4
7 2 7 з 1 4
—т + — т —т ;
3	6	6
П 2 1 3	1 4
+—т —т +—т ;
24	4	24
^(?) = -Зг +—Г
^(0=|г-
. , X	1	11 2 1 3
Л(Л =—г +----Г —г
5V ’	4	24	4
(г) = ° при j>6;r = Y(z-Zj);
п
- наj-м отрезке [tf9 tj+\\,j = 3,..
ф: 2(0 = ~T~~r2 —Г3+ —Т4-
7-2 v 7 12	24	12	24
10	5 91	6 59	7 69	8 23	9
---г 4	T	T H	T------T ,
3--8-----4----8-----12
(4.89)
348 ----

Глава 4
6-2(0 = ^Г- —Г
10 5,91 6
---т ч—т —
3--8
. z з 2
<М0=-зг+
50 5 455 6
ч--т-----т
3	8
^•W=1-^2^
295 7 345 8
----т ч	т
2---4
1	2	1	3	1	4
J----т + — г -
24	12	24
59 7 69 8 23 9
---г + — т----тг\
4	8	12
2	2	1	з	1	4
— т + -т—т +
3	6	6
295 7 345 8 115 9
4	8	12
1	4	ЮО	5	455 6
ь-т-----т +---т -
4	3	4
115 9
—г ;
6
(4.90)
б+зМ^-гО-г);
0V(/) = O при у<у-З и у>у + 4;
т -
Ввиду симметрии зависимостей базисные функции
(г),..,(/) вычисляются по формулам для ф]	(г), в
которые вместо аргумента т подставляется значение 1 - т.
На последнем отрезке	базисные функции вычисляются
по зависимостям (4.89) с учетом соотношений
&-5+Д')=Ш * = 1,-,5;
^(г) = ° при j< J-5; r =
(4-91)
Так как предлагаемый метод является универсальным, не имеет смыс-
ла подробно описывать методики оценивания различных параметров,
они отличаются только исходными данными, а именно: результатами
измерений принятыми в обработку.
Таким образом, описан алгоритм и показан унифицирован-
ный метод статистического оценивания характеристик РКС на
основе сглаживающего сплайна с сохранением объема выборки.
------ 349

Глава 4
Предлагаемый метод обладает рядом преимуществ по срав-
нению с существующими подходами к решению задачи оценива-
ния параметров по результатам измерений.
1.	При решении задачи восстановления непрерывных харак-
теристик РКС с использованием ЛСМ в ее известной постановке
[92, 93] существует ограничение на выбор шага модели. А имен-
но, шаг между узлами h = ry+1 -tj должен превышать длитель-
ность максимального сбоя:
й =	-^^Асб>
а при к<Ь.л/т (т - степень гладкости модели) задача восста-
новления характеристики РКС на участке сбоя становится некор-
ректной.
При использовании приведенного алгоритма, так как оценка
аргумента tj ищется в классе средних по заданной области ,
значения точечных оценок характеристики РКС Xj определяются
(восстанавливаются) и на значительных участках отсутствия из-
мерительной информации:
h = tj+l -tJ«Ac6.
2.	Сохраняется объем выборки, что позволяет, используя
модель (4.70) или значения полученного вектора вторичных то-
чечных оценок (4.67), конструировать модели характеристики
РКС высших степеней гладкости, а также, как будет показано да-
лее, значительно расширить возможности последующего анализа
характеристик РКС. Отсутствие разрывов производных высших
порядков дает основание утверждать о близости модели (4.70)
реальному физическому процессу, что подтверждается результа-
тами обработки реальной измерительной информации, получен-
ной при проведении летных испытаний.
3.-----В связи с тем, что в качестве исходных данных для опре-
деления соседних вторичных оценок ху и x7+i используются вы-
борки первичных оценок, отличающиеся только первым и по-
350 	

Глава 4
следним членами, можно утверждать их автокорреляционную
связь:
Kxjxj + 1 ~ 1 ,
что, несмотря на применение параметрической модели характе-
ристики РКС, свидетельствует о сохранении физики процесса на
всем интервале результатов измерений.
4.	При решении задачи оценивания не предусматривается
наличие априорной информации о статистических характеристи-
ках погрешностей измерений и оцениваемых параметров.
5.	Так как при решении задачи используется формализован-
ная модель оцениваемого параметра и предполагается отсутствие
априорной информации, предложенный алгоритм оценивания яв-
ляется унифицированным:
1)	оцениваемые параметры могут иметь различную физиче-
скую природу;
2)	алгоритм применим для определения оценок любой ха-
рактеристики РКС;
3)	обрабатываемая измерительная информация может быть
результатом ТМИ, ВТИ, специальных или различных других ви-
дов радиотехнических измерений;
4)	шаг дискретности результатов измерений может варьиро-
ваться на обрабатываемом интервале исходных данных;
5)	для определения первичных точечных оценок может ис-
пользоваться любой известный метод статистического оцени-
вания;
6)	в качестве аргумента может быть любой параметр;
7)	алгоритм применим с одинаковой эффективностью на
этапах и первичной, и вторичной обработки данных измерений.
6. Алгоритм не содержит итерационные процедуры.
Данные утверждения подтверждаются результатами обра-
ботки измерительной информации, полученной при проведении
различных ЛИ.
Таким образом, все сформулированные требования к разра-
батываемому алгоритму, выполнены.
----- 351

Глава 4
4.4.	Коэффициент динамической связи
4.4.1.	Анализ состояния динамической системы
В §4.3 приведен разработанный метод скользящей области
оценок. Одним из основных преимуществ данного метода, по
сравнению с существующими, является определение оценок ха-
рактеристик РКС на значительных участках сбоя измерительной
информации. Однако вполне обоснованно возникает вопрос: на-
сколько адекватны полученные оценки реальному процессу
функционирования РКС.
В существующем методическом обеспечении процесса ана-
лиза результатов испытательного пуска основное внимание уде-
ляется определению оценки одного параметра, или, переходя к
терминологии теории систем, отдельного элемента системы без
учета отношений (или связей) между элементами системы.
Как показали исследования автора, такой подход к решению задачи не
всегда приводит к определению оценок характеристик РКС, адекват-
ных реальному процессу функционирования динамической системы.
Задача анализа (в истинном понимании этого термина) состояния ДС
остается нерешенной.
В общем виде математическая модель, описывающая движе-
ние баллистического объекта в атмосфере, включает:
-уравнения движения центра масс:
m— = R + G,
di
где т - масса баллистического объекта; V - вектор скорости; t -
время; G - сила тяжести; R - полная аэродинамическая сила;
—уравнения движения вокруг центра масс:
r dw dJ _ - -	_
J — + — w = М = Rx лр ,
dt dt
где J - момент инерции; w - угловая скорость вращения; М -
момент всех поверхностных сил, действующих на объект; др -
расстояние между центром масс и центром давления.
352 --

Глава 4
Если учесть, что Л - полная аэродинамическая сила есть
функция, которая зависит от множества параметров
R = f(WX’ Wy> WZ’ Nx’ Ny,Nz,Cx> Cy’ Cd>	h) >
то очевидна функциональная связь, определяемая законами фи-
зики, между всеми параметрами, описывающими функциониро-
вание сложной динамической системы - РКС, динамическими,
аэродинамическими, траекторно-баллистическими характеристи-
ками, параметрами атмосферы, температурными параметрами
РКС и т.д. Следовательно, совершенно справедливо можно рас-
сматривать функционально-динамические связи между ними:
xf = g(x7), /,у = 1,т.
Рассмотрим принципиально новый подход к решению зада-
чи анализа состояния ДС, основанный на исследовании ее струк-
туры Str =	, включающей, по определению, и элементы
системы X =	X<^Rm, и отношения между ними
qcrv-
Понятие динамической системы, в зависимости от постанов-
ки задачи и практических требований, может приобретать более
широкое или более узкое значение.
Под динамической системой будем понимать совокупность
некоторого множества элементов, объединенных в одну группу
по признаку наличия физических связей между ними.
Как известно из теории систем [28, 30], для всестороннего
описания ДС должно быть задано три основных множества.
1.	Множество X значений входных величин х (входной алфа-
вит)
Х = {хх,х2,...,хт}, XcRm.
2.	Множество Y значений выходных величин у (выходной
алфавит)
Y = {yx,y2,...,ym}, YcRk.
--- 353

Глава 4
3.	Множество значений переменных (параметров) состояния
(алфавит состояний).
В качестве параметров состояния рассмотрим коэффициенты
связей элементов системы
0 =	q<=rv .
Входные величины в качестве причины определяют изме-
нения во времени всех переменных системы и, в частности,
всех выходных величин. Значение этих величин в определен-
ный заданный момент времени t в общем случае зависит от из-
менения во времени входных величин на интервале [-оо,г], т.е.
значения внутренних переменных и ее выходных величин, как
правило, определяются всей предысторией изменения входных
величин.
В случае, если предшествующая данному моменту времени
эволюция входных величин известна не полностью, то может
оказаться, что в общем случае этой информации будет недоста-
точно для определения значений внутренних переменных систе-
мы и выходных величин в настоящий момент времени. Однако в
том случае, когда имеется дополнительная информация о значе-
ниях определенных переменных системы в момент времени to,
значения внутренних и выходных величин снова могут быть оп-
ределены полностью.
Таким образом, отсутствие информации об изменении вход-
ных величин на интервале [-oo,z] можно скомпенсировать тем,
что известно значение некоторой переменной системы в момент
времени tQ. Такие переменные системы называются переменными
состояния (параметрами состояния) системы, составляющими
вектор параметров состояния (или вектор состояния), который, в
нашем случае, является вектором коэффициентов связей элемен-
тов системы
? =	q^Q<^Rv.
Таким образом, для динамической системы имеют место од-
нозначные отображения:
354 --

Глава 4
- для вектора состояния:
fal ('о)’92('о)’-’9к (^0); *(г)} 91 (О’
{91 ('о)>92 (^о)’-’9г Оо); х(г)} -> 92 (О’
(4.92)
{9i(^o)’920o)’-’9v(?o); x(^)}^9v(0’
(/о^г<0;
- для вектора значений выходных величин системы:
{9i0o)’920o)’-’9v0o); *(г)}->ЯО’
(/о<г<0-
(4.93)
Для системы с дискретным временем и с учетом определе-
ния связей (4.92) и (4.93) можно записать в векторной форме
{9i(',),xU)H 9(^0’
{9i('/),*(', )}~> У(*м)-
Или, что то же самое,
9U+i)-^(?U),x(/,.)),
Я'/+1) = С(9(', ),*(',))•
(4.94)
(4.95)
К(*)и G(*) обозначают определенные специальные ото-
бражения, осуществляемые данной системой, с определенными
областями определений и значений.
Определим термин состояние системы. Понятие состояния
можно представить в геометрическом виде. Если речь идет о сис-
теме только с тремя параметрами состояния {<71,#2><7з} > то смысл
первого соотношения в (4.95) можно очень наглядно проиллюст-
рировать с помощью геометрической модели, представленной на
Рис. 4.5 и 4.6.
---- 355

Глава 4
________________________Рисунок 4.5________________________
Пример геометрической модели одного вида
________________________Рисунок 4.6________________________
Пример геометрической модели другого вида
Так как qv - координаты трехмерного вектора, то в момент
времени / = /0 имеем фиксированный вектор ?(/0), проведенный
из начала координат и определяющий некоторую фиксированную
точку в пространстве. Ситуация справедлива также для любой
точки временного интервала t = T>tQ, т.е. #(/) описывает как
функцию времени некоторую пространственную кривую с на-
чальной точкой #(г0) и конечной точкой q(t), когда т изменя-
ется в интервале /0 < т < t. Для каждого фиксированного т зна-
356 ----

Глава 4
чение #(г) задает состояние ДС в момент времени t = т . Множе-
ство 03 всех векторов q образует алфавит состояний ДС. Q3 (в
общем случае Qn ) называется пространством состояний дина-
мической системы.
Первое соотношение в (4.94) теперь можно описать сле-
дующим образом. Если система находилась в состоянии q(t$)
(начальное состояние), то в результате воздействия на нее вход-
ной величины х(г), определенной на интервале /0<т</, она
переходит в состояние <?(/) (конечное состояние). При этом
q = #(т) описывает некоторую кривую в пространстве состояний,
которая называется траекторией состояния системы.
Подобная интерпретация возможна также и в случае боль-
шего числа входных и выходных величин. Кроме того, приведен-
ные рассуждения остаются справедливыми, когда динамическая
система имеет большее (или меньшее) число параметров состоя-
ния, пространство состояний TV-мерное.
Как отмечалось, состояние системы исследуется в дискрет-
ные моменты времени 4.
Значения элементов выбранной системы, являющиеся входными па-
раметрами, в фиксированный момент времени будут одновременно и
выходными параметрами, а параметры состояния приобретают кон-
кретные, определенные в данный момент времени, значения.
Следовательно, (4.94) можно переписать в виде
x(ri+i).
(4.96)
Или, что то же самое,
Я',+1)=х(ь)=<?(? (<) ,	))•
(4.97)
---- 357

Глава 4
Уравнения (4.96), (4.97) представляют основные уравнения
динамической системы в фиксированный момент времени и, что
очевидно, должны выполняться во все дискретные моменты
времени при нормальном функционировании системы. Данные
равенства не будут выполняться только в одном случае: при из-
менении целостности структуры системы, т.е. нарушении ус-
тойчивости отображений q(t)- Этот факт объясним также и с
физической точки зрения. Действительно, любая нормально
функционирующая динамическая система за достаточно малый
промежуток времени Д/->0, Д/>0 практически не меняет
свое состояние: #(Д/)->0 (условие устойчивости состояния
системы).
IB силу своей важности для определения состояния динамической сис- |
темы, отображения q (t) требуют более детального исследования. |
4.4.2.	Математическая модель
прямой функциональной зависимости
параметров движения РКС
Состояние системы будем исследовать в фиксированные
моменты времени / ♦, j* =\J* .
Как уже отмечалось, при решении задач структурного ана-
лиза необходимо задаваться некоторой математической моделью
множества отображений Q элементов системы:
б = {^1,^2,-,qv}, Qc2Rv-
Введем понятие коэффициента динамических связей двух
взаимосвязанных характеристик (xhXjJ, l,j = 19т как количест-
венную характеристику отображений элементов системы, а
именно:	- отношение одного параметра к другому, норми-
рованных по среднему:
358 ---

Глава 4
(4.98)
Множество Q можно представить в виде матрицы
<711	<712	Я\т
<721 Я22	Я2т
Ят\ Я m2 ”• Ятт
(4.99)
Схематично изменение состояния динамической системы
представлено на рис. 4.7.
Как видно из приведенного рисунка, коэффициент динами-
ческой связи - это характеристика расстояния в метрическом про-
странстве между двумя элементами динамической системы.
_______________________Рисунок 4.7_______________________
Изменение состояния
динамической системы
---- 359

Глава 4 --
4.4.3.	Физические закономерности
коэффициентов динамических связей
Как показали исследования, проведенные авторами с ис-
пользованием измерительной информации реальных пусков ра-
кет, коэффициент динамической связи (КДС) (4.98) обладает не-
которыми уникальными свойствами.
1.	Коэффициент связи (КС) количественно определяет вели-
чину отображения двух элементов динамической системы или
«силу» физической связи пары параметров на рассматриваемом
интервале. Чем «сильнее» связь, тем коэффициент ближе к 1.
Очевидно, что самая «сильная» связь или отображение - это ото-
бражение любого параметра самого на себя, при этом, исходя из
определения (4.98), q = 1 при любых условиях.
В качестве примера на рис. 4.8 приведены значения коэффи-
циента связи между продольной угловой скоростью вращения
РКС (Wx) и продольной перегрузки - Nx в зависимости от высоты,
определенные по результатам одного из пусков.
Из представленного графика видно, что физическая связь
между параметрами начинает формироваться при достаточно вы-
сокой плотности атмосферы, приблизительно на высоте
25...27 км, что соответствует физическому процессу функциони-
рования РКС на атмосферной части ПУТ.
_______________________Рисунок 4.8______________________
Пример изменения коэффициента связи
360 ----

Глава 4
2.	Аппроксимирующая функция, описывающая изменение
КДС, - монотонная (см. рис. 4.1).
3.	Аппроксимирующая функция, описывающая изменение
КДС, - гладкая, причем высоких степеней гладкости.
4.	Указанные свойства КДС сохраняются только при устой-
чивом функционировании исследуемой динамической системы.
Иначе, что очевидно, изменяется или нарушается структура всей
системы, следовательно, изменяются или нарушаются физиче-
ские связи элементов системы.
5.	Матрица коэффициентов связей (4.99) полностью описы-
вает состояние динамической системы, так как содержит инфор-
мацию и об элементах системы, и об их отображениях.
6.	Коэффициенты являются безразмерными величинами, что
позволяет анализировать в рамках одной структуры влияние раз-
личных составляющих вектора состояний на изменение состоя-
ния всей системы и отдельных ее параметров.
7.	Поскольку коэффициенты нормируются по среднему зна-
чению на определенном интервале измерений, существует воз-
можность исследовать изменение состояния системы и ее пара-
метров на отдельно выбранных характерных участках.
8.	Многие КДС сохраняют характер изменения при проведе-
нии различных пусков, а значения некоторых из них достаточно
близки.
I Отмеченные закономерности можно использовать для решения цело- |
го ряда частных задач системы анализа результатов ЛИ.	|
4.4.4.	Алгоритм выбора
элементов оцениваемых параметров РКС
Объединить все оцениваемые ЛТХ РКС в одну исследуемую
динамическую систему достаточно проблематично. Поэтому це-
лесообразно выбирать некоторые из них.
Алгоритм формирования динамической системы,
основанный на свойствах КДС
Этап 1. Определяются значения КДС для различных пар
параметров.
----- 361

Глава 4
Этап 2. Если стоит задача исследовать изменение одного
определенного параметра, определяются значения КДС данного
параметра с другими.
Этап 3. Определяются средние значения полученных КДС
на рассматриваемом интервале.
Этап 4. В качестве элементов ДС выбираются те параметры,
у которых среднее интервальное значение КДС ближе к 1.
В ходе проведенных исследований определены КДС различ-
ных вариантов пар параметров.
В качестве примера в табл. 4.1 приведены значения коэффи-
циента связи продольной угловой скорости вращения РКС (Wx) с
другими параметрами.
Для исследования продольной угловой скорости вращения РКС целе-
сообразно из рассматриваемых параметров включить в систему про-
дольную перегрузку Nx, коэффициент силы лобового сопротивления
Сх и модуль вектора скорости К, что соответствует физическому про-
цессу функционирования РКС на атмосферной части ПУТ.
_______________________Таблица 4.1 _____________________
Значения коэффициента связи
продольной угловой скорости вращения РКС
Условный номер РКС	№	wp	NP	сх	G	Л	V
1	1,215	1,671	1,200	1,009	2,861	3,505	—
2	1,076	-	1,212	0,978	1,223	1,190	—
3	1,620	4,655	5,859	1,021	7,589	3,141	1,072
4	1,624	6,326	4,807	0,968	7,901	11,549	1,080
5	—	1,175	1,074	0,966	1,162	1,580	1,476
6	1,176	-	1,442	0,868	-	—	1,611
7	1,465	4,052	1,740	0,963	3,913	6,165	1,174
Аср	0,363	2,576	1,476	0,041	3,108	3,522	0,283
Здесь Дср - среднее значение разности КДС и 1.
362 ----

------ Глава 4
4.4.5.	Алгоритм определения устойчивости
функционирования динамической системы
Наиболее важные вопросы,
на которые необходимо ответить
в результате проведения летных испытаний РКС
	Как функционировал РКС в полете, устойчиво или нет?
	На каких участках наблюдалась потеря устойчивости?
	Какова причина неустойчивого (нештатного) функциониро-
вания РКС в полете?
Рассмотрим способ, позволяющий ответить на эти вопросы.
Как уже отмечалось, с учетом принятой модели коэффици-
ентов (4.98), можно утверждать, что в матрице (4.99) содержится
информация и об элементах, и о параметрах состояния динамиче-
ской системы. Однако определитель данной матрицы (как одна из
ее основных числовых характеристик) равен 0. В связи с этим для
определения критерия оценки состояния ДС предлагается рас-
смотреть матрицу вида
Ч\\	#12 ”•	Ч\т	1
1	#22	”•	#2т	1
ИЛИ
1	1	•••	Ятт	1
*712
1
1
•" Я\т
••• ?2т
1
так как диагональные элементы по определению (4.98) равны 1.
Путем несложных математических преобразований получаем
1 Яп
1 1
•" Я\т
det........
1 1
— Я 2т
••• Ят-1 т
- О “ #12 )(1 ~ #23 )(1 “ #34 )-”(1 “ #/и-1 т ) •
Следует обратить внимание на порядок индексов КС: 1-2,
2-3, 3-4, ..., т-\-т. Для наглядности 4-элементная система схе-
матично представлена на рис. 4.9.
---- 363

Глава 4
________________________Рисунок 4.9 _______________________
Схематичное представление
4-элементной системы
Для замкнутости рассматриваемой системы необходимо до-
бавить множитель	(на рисунке #41). В итоге в качестве
критерия оценки состояния системы примем показатель устойчи-
вости вида
&ДС = (1 “ #12 )(1 “ ?23 )(1 “ (7з4 )-”(1 “ 4т-\ т )G ” 4т\ ) ’	(4.100)
который является количественным показателем структурной ус-
тойчивости динамической системы.
Как показали исследования, в случае устойчивого функцио-
нирования системы 7?дс -» 0, что совершенно объяснимо с точки
зрения физики процесса: чем «сильнее» связи между отдельными
элементами системы, тем значения КДС
4ij =
xjcp j)
ближе к 1.
Исходя из графиков, можно четко определить участки ус-
тойчивого и неустойчивого функционирования динамической
системы и продолжить исследования каждого участка отдельно.
364 ----

Глава 4
4.4.6.	Алгоритм определения причин
нештатной ситуации
с использованием критерия устойчивости
Если причиной неустойчивого функционирования системы
является один или несколько ее элементов, данный факт опреде-
ляется последовательным исключением из исследуемой системы
поочередно одного или нескольких элементов.
Конечно, при возникновении аварийной ситуации все иссле-
дуемые системы будут неустойчивыми. Однако, сравнивая их по
амплитуде, продолжительности и началу действия возмущений,
можно установить первопричину нештатной ситуации.
4.4.7.	Алгоритм восстановления оценок параметра РКС
при отсутствии результатов его измерений
В результате проведенных исследований с использованием
реальных результатов летных испытаний, выявлены некоторые
закономерности для коэффициентов связи. При устойчивом
функционировании РКС в полете значения отдельных коэффици-
ентов связи приблизительно одинаковы. На рис. 4.10 наглядно
показаны значения коэффициентов связи для пары параметров
однотипных РКС, состоящей из продольной угловой скорости
вращения РКС и модуля вектора его скорости (РКХ - по-
следовательно, существует реальная возможность для опре-
деления оценок некоторых параметров использовать результаты
анализа предыдущих запусков (пусков). Для этого используются
значения q[2 исследуемой пары параметров и опреде-
ленные по имеющемуся статистическому материалу, где i - но-
мер статистики.
1.	Определяются значения Х2, нормированные по среднему:
^2 ср •
2.	Из (4.98) определяются значения числителя
_ *2 - _7
Т ~ ~Y 912 “ ^12 ’
Л1 ср Л2ср
---- 365

Глава 4
_______________________Рисунок 4.10_____________________
Коэффициенты связи для пары параметров однотипных РКС:
1 - ¥LJ\C для РКС № 1; 2 - КДС для РКС № 2; 3 - КДС для РКС № 3;
4 - КДС для РКС № 4; 5 - КДС для РКС № 5
3.	Очевидно, что = fn Xlc?.
4.	JVlcp - некоторый множитель.
Следовательно, методом последовательных приближений или
другим способом определяются такие элементы X^f^X^,
чтобы
W = *lcp>
7=1
где N - размерность вектора Х2.
Апробация данного алгоритма на реальных данных показала
его высокую эффективность.
4.4.8.	Алгоритм чистовой отбраковки
аномальных измерений
В процессе измерения характеристик РКС возникают сбои
из-за отказов измерительных систем: датчиковой аппаратуры,
средств передачи, приема, регистрации и дешифровки информа-
366 --

Глава 4
ции. Сбои данных измерений могут значительно исказить оценку
характеристик РКС и привести к ошибочным решениям. Поэтому
сбои информации о характеристиках РКС необходимо выявить и
устранить. Если многократно измеряется одна скалярная величи-
на, то для отбраковки можно использовать известные методы,
например метод, основанный на критерии Смирнова.
Задача значительно усложняется, если необходимо провести отбра-
ковку данных траекторных или телеизмерений переменных характе-
ристик РКС.
Рассмотрим ситуацию, когда в результате непосредственных
измерений характеристики РКС получены данные в дис-
кретные моменты времени Zz, / = 1,...,и. Известно, что данные
измерений могут иметь сбои. В этом случае для цензуры измери-
тельной информации можно использовать несколько последова-
тельных методов. Данные методы подробно описаны в работах
многих авторов.
1.	Отбраковка по калибру. На основе анализа характеристи-
ки РКС заранее устанавливается область реально
возможного изменения характеристики. Она может быть задана в
виде диапазона от минимального до максимального значений
Qx(7) = [xmin’xmax] • Более точно эта область задается в виде рас-
четного значения храсч(/) и возможного отклонения характери-
стики от расчетного значения Ах (7) с учетом погрешностей из-
мерений:
(0 — ^расч (0 —	(0 ’ ^расч (0 + (/)] *
Все кондиционные данные измерений yi не должны выхо-
дить за пределы области £1Х (г). Если
i^,n,
то результат считается аномальным и исключается из данных
измерений.
---- 367

Глава 4
Этот метод позволяет провести ревизию измерительной информации
при сбоях любой длительности. Однако метод может оказаться нера-
ботоспособным при нештатном функционировании РКС. Кроме того,
метод нечувствителен к аномальным данным, попадающим в область
2.	Отбраковка по приращению. Для измеряемой характери-
стики РКС x(z) определяется максимально возможная скорость
изменения (производная) х^ (г) с учетом погрешностей измере-
ний. Для контроля кондиционности данного измерения yt произ-
водится сравнение его с предыдущим у^, принятым нормаль-
ным. Все кондиционные значения у,- должны удовлетворять ус-
ловию
Л ~ Л-1
— Лпах (0 •
Если величина не удовлетворяет этому условию, то она
бракуется.
Этот метод дает возможность учесть динамику измеряемых характе-
ристик РКС. Однако он не позволяет надежно отбраковать аномаль-
ные данные измерений на длительном участке сбоя.
3.	Контроль местности. Некоторые измеряемые характери-
стики РКС могут изменяться только монотонно: возрастать (ка-
жущаяся скорость, пройденный путь) или убывать (количество
топлива на борту, масса РКС). Для таких характеристик выявля-
ются все данные измерений {yj, которые нарушают монотон-
ность, и бракуются. При хорошей надежности этого метода он
имеет ограниченную область применения.
Ввиду недостаточной надежности указанных выше методов в даже j
после их комплексного применения в составе данных измерений I
{у,} могут оставаться аномальные значения. Для проведения чисто- !
368 ----

Глава 4
вой отбраковки необходимо применять методы, основанные на аппа-
рате теории математической статистики. Выявление сбоев возможно
по методу, аналогичному методу Смирнова для измерений постоянно-
го параметра.
Такой подход к решению задачи отбраковки подробно опи-
сан в [92, 93] и состоит в следующем.
Рассматривается совокупность данных измерений {у,}, при-
знанных кондиционными после предыдущих этапов отбраковки.
Проводится сглаживание этих данных некоторой математической
моделью хм (z), например, ЛС-моделью, в результате чего полу-
чим сглаживающую функцию хм (z).
На основе полученных данных можно определить остаточ-
ные невязки
которые несут информацию о погрешностях измерений. Если по-
грешности измерений некоррелированы и имеют постоянную
дисперсию, то ее можно оценить по зависимости
где J - число параметров модели хм (z).
Для окончательной чистовой отбраковки данных измерений
можно использовать нормированные остаточные невязки
VHi=Vil°8’ i =
Если в совокупности данных {у,} имеются недостоверные
значения, то они, вероятнее всего, соответствуют экстремальным
значениям невязок VHi (максимальным или минимальным). Для
контроля кондиционности таких значений необходимо знать за-
кон распределения экстремальных значений невязок как случай-
ных величин. Если погрешности измерений имеют нормальный
закон распределения, то экстремальные значения невязок подчи-
------------------------------------------------------ 369

Глава 4
йены закону распределения Смирнова с («-*/) степенями свобо-
ды («7 - число членов модели хм (/), оцениваемых при сглажи-
вании данных {у,}), который приводится в литературе по мате-
матической статистике в виде таблиц с входами по числу
п = п~ J + 1 и доверительной вероятности L = P(VH < FTa6jI).
Алгоритм отбраковки
(на основе таблиц распределения Смирнова)
Этап 1. Производится сглаживание экспериментальных
данных у/5 i = l,n, математической моделью с числом парамет-
ров J < п и вычисляются остаточные невязки по зависимости
Vi=yi~xM(t), i = \,n.
Этап 2. На основе остаточных невязок оценивается диспер-
сия погрешностей измерений (7).
Этап 3. Вычисляются нормированные невязки VHi по зави-
симости
VHi=Vil°8> i = l,n-
Этап 4. Выявляется максимальное по модулю значение
нормированной невязки •
Этап 5. Задается уровень доверительной вероятности L,
близкий к единице.
Этап 6. По таблице распределения экстремальных значений
^я/тах ПРИ выбранной величине L и числе степеней свободы
(и - J +1) определяется критическое значение , такое, что при
отсутствии РКС
Этап 7. Экстремальное значение |^я/|тах сравнивается с кри-
тическим, при отсутствии РКС должно удовлетворяться условие
370 ---

Глава 4
I	I max	^кр •
(4.101)
Если условие (4.101) не удовлетворяется, то соответствую-
щий результат измерений у,- считается недостоверным и исклю-
чается из совокупности {у,-} и дальнейшей обработки.
Этап 8. Повторяются операции отбраковки, начиная со
сглаживания оставшихся данных {у,}, пока не будет выполнено
условие (4.101).
Этап 9. Данные {yz}, выдержавшие процедуру цензуриро-
вания, признаются кондиционными.
Однако, как показывает практика, данный подход не всегда
позволяет вычленить из выборки аномальные измерения. Осо-
бенно это затруднительно для быстроменяющихся параметров
(БМП), так как результаты измерений БМП имеют значительный
разброс по амплитуде относительно своего математического
ожидания.
В этом случае целесообразно применять другой подход для
окончательной чистовой отбраковки данных измерений.
В качестве обрабатываемых параметров выбираются норми-
рованные по среднему коэффициенты связей (4.98), определен-
ные по результатам измерений z (zz), / = 1, и:
Алгоритм чистовой отбраковки
аномальных измерений
Этап 1. Определяются значения оценок
в моменты времени
Zz, / = 1,л
Для каждой пары параметров.
----- 371

Глава 4
Этап 2. На основе полученных данных определяются оста-
точные невязки
Этап 3. Оценивается погрешность измерений по зависимости
где J - число параметров модели.
Этап 4. Определяется ковариационная матрица погрешно-
стей оценок
Kq=a2h(ATA}\
где А - матрица базисных функций модели.
Этап 5. Определяются СКО погрешностей оценок на мо-
менты времени, соответствующие результатам измерений:
где Ф(//) =	(^),^2U(ziJ} _ строка матрицы базисных
функций.
Этап 6. Задаваясь уровнем доверительной вероятности, оп-
ределяются квантили гвер выбранного закона распределения по-
грешностей измерений. Измерение z{7,) принимается кондици-
онным, если удовлетворяет неравенству
4.1 j — ^вер 0^1 . (ti) < Z (Zf) < J [ti) 4- /вер (У^ .	)
для всех j в момент времени /,.
В противном случае бракуются результаты измерений всех
параметров zz (/,), l = \,m .
Как было отмечено ранее, коэффициент связи является па-
раметром вектора состояния системы, которая при нормальном
функционировании сохраняет свою структуру практически без
372 --

Глава 4
изменений, т.е. график его функции - плавная кривая, без ярко
выраженных локальных экстремумов. Поэтому некондицион-
ные результаты измерений, скрытые после отбраковки извест-
ными методами, становятся явными при использовании модели
(4.98).
В качестве примера на рис. 4.11 показаны значения коэф-
фициента динамической связи для одной из пар параметров
РКС - продольной угловой скорости вращения и поперечной
перегрузки:
<714 ~
NP Y
N
pep j;

При этом значения параметров, определенные по результа-
там реальных летных испытаний, уже прошли первичную обра-
ботку и, следовательно, отбраковку аномальных измерений из-
вестными методами.
На рис. 4.11 наглядно видны значения измерений, подлежа-
щих исключению из выборки.
_______________________Рисунок 4.11______________________
Коэффициент динамической связи
---- 373

Глава 4
4.4.9.	Алгоритм оценивания
летно-технических характеристик РКС
при наличии систематических составляющих
погрешностей результатов обработки
измерительной информации
Как показывает практика полигонной летной отработки пер-
спективных образцов ракетно-космической техники, эффектив-
ные методики выявления систематических составляющих по-
грешностей измерений и последующей обработки измерительной
информации требуют своего совершенствования. Действительно,
при существующих подходах к решению задачи оценивания од-
ного элемента динамической системы задача является неразре-
шимой, так как определить степень адекватности измерительной
информации реальному значению оцениваемого параметра при
наличии систематических погрешностей в измерениях не пред-
ставляется возможным.
Для выявления систематических составляющих погрешно-
стей измерений:
1)	определяется коэффициент динамической связи различ-
ных пар параметров;
2)	выявляется коэффициент связи с нарушением свойств
гладкости и монотонности;
3)	если в составе исследуемых пар с нарушением свойств ко-
эффициента связи присутствует один и тот же параметр, то ре-
зультаты измерений этого параметра содержат систематическую
составляющую погрешностей обработки измерений;
4)	определяется интервал	на котором не соблюда-
ются свойства коэффициента связи;
5)	для повышения точности оценивания предлагается вос-
пользоваться свойствами разработанного метода скользящей об-
ласти оценок - восстанавливать значения оценок любой характе-
ристики на участках сбоя измерительной информации, т.е. уда-
лить из исходных данных результатов измерений значения,
принадлежащие интервалу
374 ---

Глава 4
Как показывают результаты моделирования, при наличии
систематических составляющих погрешностей измерений на зна-
чительном интервале (например, Юс и более) точность оценок
характеристик РКС, определяемых по методу комплексного оце-
нивания, составляет значительную величину. Однако при этом
имеет место смещение оценок на соседних участках траектории,
что вполне закономерно и является следствием применения при
решении задачи ЛСМ оцениваемого параметра. Для повышения
точности оценивания предлагается воспользоваться свойствами
разработанного методического аппарата с восстановлением зна-
чений оценок любой характеристики на участках сбоя измери-
тельной информации, с одновременным удалением из исходных
данных результатов измерений значений, принадлежащие интер-
валу с систематическими составляющими погрешностей обра-
ботки измерительной информации. В результате точность оценок
на этом интервале уже на первом шаге итерации возрастает при-
близительно в 3 раза.
Реализация алгоритмов решения рассмотренных задач позволяет вос-
полнить существующие пробелы в процессе анализа и, в итоге, повы-
сить точность и достоверность его результатов.
4.5. Метод динамических связей
На практике в измерительных задачах возникают ситуации,
когда отсутствуют априорные данные о вероятностных характе-
ристиках оцениваемых параметров и погрешностей измерений в
условиях структурно-параметрической неопределенности исход-
ных данных (ИД) и измерительной информации. В этом случае
предлагается использовать метод скользящей области оценок
(МСОО). Одним из основных преимуществ данного метода по
сравнению с существующими является определение оценок ха-
рактеристик РКС на значительных участках сбоя измерительной
информации. Однако вполне обоснованно возникает вопрос: на-
сколько адекватны полученные оценки реальному процессу
Функционирования РКС?
---- 375

Глава 4
Рассматриваемый метод позволяет решить эту задачу. МСОО основан
на комплексном подходе к решению задачи оценивания. При этом ис-
следуется состояние структуры рассматриваемой динамической сис-
темы (ДС) на основе учета функционально-динамических связей
(ФДС) между ее элементами. Исходя из этого, корректируются полу-
ченные оценки характеристик РКС.
В используемом методическом обеспечении анализа резуль-
татов испытательного запуска (пуска) основное внимание уделя-
ется определению оценки одного параметра или, переходя к тер-
минологии теории систем, отдельного элемента системы без уче-
та отношений (или связей) между элементами системы. Как
показали исследования, такой подход к решению задачи не все-
гда приводит к определению оценок характеристик РКС, адек-
ватных реальному процессу функционирования динамической
системы.
Следует отметить, что значения элементов выбранной дина-
мической системы, являющиеся входными параметрами, в фик-
сированный момент времени будут одновременно и выходными
параметрами, а параметры состояния приобретают конкретные,
определенные в данный момент времени, значения.
Следовательно, (4.104) можно переписать в виде
(„(/ДхМВ,(41О6)
{91 (<,.),х(г,)}->х(/,).
Или, что то же самое,
Уравнения (4.106), (4.107) - основные уравнения динамиче-
ской системы в фиксированный момент времени и, что очевидно,
должны выполняться во все дискретные моменты времени при
нормальном функционировании системы. Данные равенства не
будут выполняться только в одном случае: при изменении цело-
стности структуры динамической системы, т.е. при нарушении
устойчивости отображений q (tj).
376 ---

Глава 4
Этот факт объясним также и с физической точки зрения.
Действительно, любая нормально функционирующая динамиче-
ская система за достаточно малый промежуток времени Az —> О,
AZ > О практически не изменяет свое состояние: g(Az) -> 0 (усло-
вие устойчивости состояния системы).
Данные выводы используем при решении задачи комплекс-
ного оценивания летно-технических характеристик РКС.
4.5.1.	Математическая постановка задачи
С учетом определений и основных принципов системного
анализа, изложенных выше, математическая постановка задачи
будет выглядеть следующим образом.
Дано:
1.	Данные измерений
z(zz), z=ijV.	(4.108)
Имеют место длительные участки сбоев измерительной инфор-
мации
= {Wi} U{z1,z2}_U...U{zjk_1,zjt},
{z0,Zi} A{z15z2} А... А{д_р4} = 0.
2.	Аппроксимирующие функции характеристик РКС:
iz(z), / = Щ	(4.109)
где М- число оцениваемых характеристик.
3.	Условия эксперимента:
1)	модель измерений zz (ti) = xz (z,) + Д, (zz-), I = 1, M, i = 1, N ,
где zz(zz) - результаты измерений z; xz(zz) - вектор оцениваемых
характеристик РКС х; Az (zz) - вектор погрешностей измерений Д;
2)	априорная информация о статистических характеристиках
ошибок измерений отсутствует;
3)	априорная информация о статистических характеристиках
элементов системы и их связей отсутствует.
Требуется:
1)	определить математические модели параметров системы, а
именно:
---- 377

Глава 4
-	элементов системы X = {xl,x2^.^xnt}, X cRm ,
-	вектора состояния системы Q =	-><7V} > Q с *
-	вектора выходных параметров ДС У =	» У с: Я*;
2)	определить модель эксперимента как обобщенную модель
связи оцениваемых характеристик с измеряемыми параметрами в
виде операторных уравнений
Cx = z,	(4.110)
где С - оператор задачи; z - вектор параметров системы, опреде-
ляемый в ходе первичной обработки;
3)	определить обобщенный критерий качества W искомых
оценок x,q параметров системы;
4)	разработать алгоритм комплексной оценки параметров x,q
динамической системы.
4.5.2.	Определение параметров модели
Математическая модель динамической системы
Состояние системы будем исследовать в фиксированные
моменты времени f •
Функционирование любой динамической системы задается
ее структурой. Относительно замкнутая система с заданной
структурой функционирует однозначно, т.е. ее структура полно-
стью определяет способ функционирования. Следовательно, для
однозначного определения поведения системы в различных усло-
виях необходимо и достаточно определить ее структуру на всем
участке функционирования Str = {Jf,0, включающую по опре-
делению:
1)	элементы системы X = {x15x2,...,.rw}, XcRm . являю-
щиеся входными параметрами системы;
2)	ненулевые взаимно-однозначные отображения между ни-
ми, в совокупности составляющие вектор состояния системы
Q =	Q^Rv',
3)	векторы выходных параметров системы Y = {У1,У2,—,Ук}’
Y<=.Rk.
378 ----

Глава 4
Математическая модель элементов системы
Очевидно, что в качестве элементов исследуемой динамиче-
ской системы целесообразно принять некоторое множество ха-
рактеристик РКС, объединив их в одну группу по признаку нали-
чия физических связей между ними:
x = {x],x2,...,xm}eX	(4.1П)
и рассматривать каждую из них в дискретные моменты времени,
образуя тем самым подмножества
х = хгцх2и...ихт,
где
Хт	(^1 }">Хт {^2)^-‘ ^Хт j* €
Каждый элемент системы (или характеристику РКС) пред-
ставим в виде нестационарной ЛСМ:
j
7=1
Математическая модель функционально-динамических связей
элементов системы____________________________________
В качестве характеристик отображений элементов системы
примем параметры у j - нормированные по среднему коэффи-
циенты связей двух взаимосвязанных характеристик (xz,xy),
l,j = 1,ш в виде
(4.П2)
Множество Q можно представить в виде матрицы
---------------------------------------------------- 379

Глава 4
*711 *712 ••• 71m
721 722 ••• 72m
7ml 7m2 Qmm
(4.113)
Исходя из полученных выводов, в качестве формализован-
ной модели каждого параметра состояния системы необходимо
принять Л СМ высоких степеней гладкости:
j
А^=5УА*Аь-
7=1
Математическая модель выходных параметров системы
Математическая модель выходных параметров системы
у = j cz Y g Rm, у* = 1, J* должна содержать математические
модели и элементов системы (4.111), и коэффициентов связей
(4.112).
Состояние динамической системы исследуем в фиксирован-
ные моменты времени t * и для краткости записи обозначим
(4.114)
7 = {7/7(b)}, /=1,А
Х= Щ * |>, 7* = 1,«7* .
I \ j /I
С учетом принятых обозначений основные уравнения дина-
мической системы в фиксированный момент времени (4.107) бу-
дут иметь вид
7 = Г(7,х), y = G(q,x)
ИЛИ
y = H(q,x).
380 ---
(4.П5)
(4.116)

Глава 4
Примем вид функциональной зависимости для выходных
параметров системы как произведение матрицы на вектор-стол-
бец деленное на число параметров
	У1	Я\ 1Х1ср	Я\2Х\ср	Я\тХ1ср		^lAicp
У =	У2	#21х2ср	Я22Х2ср	• ’ Я2тХ2ср	X	^/^2ср
	т	...	...			
	Ут	Ят\Хтср	Ят2Хтср	ЯттХтср		Хт / Хтер
(4.И7)
или в векторно-матричной форме вектор выходных параметров
системы, определенный с учетом коэффициентов связей:
yj
1
*7/ jxIcp
\XJ4> J
(4.118)

Модель эксперимента и обобщенный критерий качества
Определим модель эксперимента как обобщенную модель
связи оцениваемых характеристик с измеряемыми параметрами в
виде операторных уравнений:
Cx = z,	(4.119)
где С - оператор задачи; z - вектор характеристик системы, оп-
ределяемых в ходе обработки измерительной информации.
Оценки параметров динамической системы будем опреде-
лять из условия устойчивости отображений метрического про-
странства:
YmxXm, YeR,XeR.
(4.120)
Для любых элементов y{,y2eRm и элементов и x2eR"
таковых, что Сх1 = уг и Сх2 = у2 , для любого числа £ > 0 можно
указать число <5(f)>0, такое, что из неравенства
следует неравенство Рх^х^х^-^е (условиеус-
тойчивости).
----- 381

Глава 4
Определим метрическое пространство:
YmxXm	(4.121)
с метрикой
p(y(x,q),x),	(4.122)
норму которого и используем как обобщенный критерий каче-
ства при определении оценок параметров динамической систе-
мы x,q .
Таким образом, комплексные оценки x,q определяются из
условия
Wy (y(x,q},x) = ||z?(у(х,q),х)|хеХи < £
yeY”	(4.123)
£ > 0, £ -> 0.
4.5.3.	Алгоритм физико-статистического метода
комплексного оценивания элементов
динамической системы на основе учета
функционально-динамических связей между ними
Необходимо отметить, что синтез и практическая реализация
данного алгоритма возможны только при использовании разрабо-
танных и описанных в §4.3 метода скользящей области оценок,
который является унифицированным и позволяет синтезировать
модели повышенной степени гладкости для различных парамет-
ров РКС и в результате обработки измерений оставляет объем
выборки практически неизменным.
С учетом математических моделей элементов исследуемой
динамической системы, модели эксперимента и обобщенного
критерия качества, принятых в 4.5.2, алгоритм комплексной
оценки характеристик РКС будет выглядеть следующим образом.
Этап 1. Задаемся необходимой точностью оценивания
£ > 0, е -> 0.
Этап 2. По алгоритму 7?1 и результатам измерений (4.108)
определяются значения оценок входных параметров системы
382 ---

Глава 4
I =
(4.124)
в моменты времени
j •
Этап 3. По результатам измерений и принятой модели
(4.112) определяются значения элементов матрицы коэффициен-
тов связей (4.113):
	911	912 ••	
	921	922 -	'•	^2т
я =			
	9ml	9m2	Qmm
(4.125)
Этап 4. По алгоритму 7?1 с использованием ЛСМ повышен-
ных степеней гладкости определяются значения оценок
9/Дь), l’J=l’m
(4.126)
в моменты времени
ь, /=Ц7
для каждого элемента матрицы.
Этап 5. По формуле (4.117) вычисляются значения вектора
выходных параметров системы
1
^7*/ср
т

(4.127)
в дискретные моменты времени

Этап 6. В соответствии с выбранным обобщенным критери-
ем качества решения задачи определим норму метрического про-
странства
---- 383

Глава 4
Wy (y{x,q),x) = ||p(y(x, q), х)||хеА"и < £
y&Y™
в виде модуля разности
«vwi,. =1я-м|,_ 	141281
j	j
Этап 8. Оценки x, q и, соответственно, у принимаются
кондиционными в моменты времени t j* = 1,J*, если удовле-
творяется заданная точность, т.е.
^(•)|,. <4-129)
В противном случае корректируются xz^C*j в соответст-
вующие моменты t *, j* = 1,«7* и
j
(4.130)
и алгоритм повторяется с этапа 5.
Корректировка xz(gJ может осуществляться любым из-
вестным способом, например методом последовательных при-
ближений: на каждом z+1-м шаге итерационной процедуры вво-
дятся поправки
Дх = -^-(х-у), xz+1 = xz- + Ах.	(4.131)
В результате реализации данного алгоритма получаем ком-
плексные оценки параметров динамической системы, удовлетво-
ряющие заданной точности е > 0, £ —> 0.
Схема алгоритма представлена на рис. 4.12.
384 ----

Глава 4
Алгоритм R2
Начало
. Рисунок 4.12
Схема алгоритма комплексного оценивания
параметров динамической системы
---- 385

Глава 4
Как показывают результаты практической реализации дан-
ного алгоритма при обработке экспериментальных данных точ-
ность определения оценок всех параметров ДС в комплексе, рав-
ная 1%, достигается на 4...5 итерации приведенной процедуры.
Данный результат имеет место только при устойчивом функцио-
нировании системы, т.е. при справедливости выбранного обоб-
щенного критерия качества (4.128).
Расхождение итерационной процедуры свидетельствует о
невозможности выполнения неравенства (4.129), т.е. нарушении
устойчивости функционирования исследуемой динамической
системы и стабильности структуры системы, что является след-
ствием влияния на системы в качестве входных параметров до-
полнительных возмущений. Данный факт подтверждается на-
глядными примерами практической реализации алгоритма с ис-
пользованием измерительной информации реальных запусков
(пусков).
На основании проведенных исследований и практической апробации
разработанного метода связей на реальных данных, можно сделать
вывод о том, что оценки параметров ДС в результате реализации при-
веденной итерационной процедуры стремятся к истинным значениям I
оцениваемых параметров.	|
Данное утверждение подтверждается моделированием раз-
личных условий получения измерительной информации.
4.5.4.	Методика комплексного оценивания
динамических характеристик РКС
на основе метода динамических связей
В качестве примера представлена методика оценивания ди-
намических характеристик РКС, разработанная на основе метода
связей, а именно перегрузок и угловых скоростей вращения.
Задача комплексной оценки динамических характеристик
будет выглядеть следующим образом.
386 ----

Глава 4
Дано:
1.	Данные телеметрических измерений z(/z), i = l,N динами-
ческих характеристик
(4.132)
Имеют место длительные участки сбоев измерительной инфор-
мации
2.	Результаты обработки измерительной информации методом
скользящей области оценок - оценки динамических характеристик
x(zJ={^XAA}|( ’	(4133>
j
определенные в дискретные моменты времени t, f = 1, J*.
3.	Точность оценивания
£ > 0, £ -> 0.
Математические модели__________________________________
1.	Математические модели элементов системы - ЛСМ ди-
намических характеристик РКС
j
Z(z)=zx(z)x7,
м
x = {Wx,Nx,Wp,Np},	(4.134)
где Wx - продольная угловая скорость вращения РКС; Nx - про-
дольная перегрузка; Wp - поперечная угловая скорость вращения
РКС; Np - поперечная перегрузка.
2.	Математические модели коэффициентов связей - ЛСМ
повышенной степени гладкости
j
J=1
---- 387

Глава 4
(4.135)
Матрица коэффициентов связей
#11	#12 — Я\т
(. \	#21	#22	—	#2т
’(/Г.................
Я ml Я m2 ••• Ятт t *
(4.136)
3. Математические модели вектора
выходных параметров
системы
IJ
1,т,
	Я\ 1 ср	Я12^хср	Я13^х ср	^14^х ср
2_	#21^хср	Я 22^х ср	Я23 *х ср	Я24 Nx ср
4	Яз 1 ^р ср	Яз2^р ср	Язз^р ср	Яз4^р ср
	Я$\-№ р ср	Я 42^р ср	Яаз>^р ср	Я44-^р ср


Nx/Nxcp
WpIWp^
Np!Npw
(4.137)
4.	Модель эксперимента
Определим модель эксперимента как обобщенную модель
связи оцениваемых характеристик с измеряемыми параметрами в
виде операторных уравнений
Cx = z,
(4.138)
где С - оператор задачи.
388 ----

Глава 4
Для условий поставленной задачи
С = Е,	(4.139)
где Е - единичная матрица; z - вектор выходных характеристик
системы, определенный по результатам обработки измерительной
информации
Условия эксперимента_________________________________
Модель измерений
?1 ('/) = (Ф д/ U)> 1 = i = 1Л,	(4.140)
где zz (/,.) - результаты измерений z; xz (zz) - вектор оцениваемых
характеристик РКС х; Az (/z) - вектор погрешностей измерений А.
Априорная информация о статистических характеристиках
ошибок измерений отсутствует.
Априорная информация о статистических характеристиках
оцениваемых параметров - динамических характеристиках РКС
отсутствует. Используется только информация о наличии физи-
ческих связей между ними.
Обобщенный критерий качества
Дано:
Wy (y(x,q),x) = ||р(у(х,?),х)||хех" ,	(4.141)
уеУт
(4.142)
j	j
Таким образом, оценки x.q определяются из условия
=|я-)-4_. -£’
^(•)|z. =1Я)-4.*>о, s->0.
Решение
1.	По результатам измерений (4.132) и алгоритму R1 определя-
ются оценки
4,.-)={^ЛАА}| •
\ У / v	.
---- 389

Глава 4
2. По результатам измерений определяется матрица коэффици-
ентов связей (4.136)
	#н	#12	<713	#14	
	#21	#22	?23	#24	(4.143)
	#31	#32	<7зз	#34	
	#41	#42	^43	#44	
В моменты времени i = 1, N
3.	По алгоритму А1 с использование ЛСМ повышенных степе-
ней гладкости определяются значения оценок:
/,7=1л	(4.144)
в заданные моменты времени t j* =\J* для каждого элемента
матрицы (4.137) <?zу
4.	Вычисляются оценки вектора выходных параметров системы
yj
1 л л
д jxicp
1,4.
(4.145)
, I,J
\ MJ
5.	Определяем модуль разности
j j j
(4.146)
6.	Если А, ж < s во все моменты t *, j* = 1, J* для всех пара-
j	J
метров х{t.* j = {Wx, Nx, Wp,Np	, то полученные оценки x, q счи-
таются искомыми.
Если условие А, ж < £ не выполняется в момент времени
.7
по одному или нескольким параметрам
хг(^)-} > гДе г ~ номер итерации, то проводится
t	>\tk
корректировка
*г+1(71)Ц(Я'*) + *г('*))	(4.147)
для всех параметров.
Алгоритм повторяется с п. 3.
390 ----

Глава 4
4.5.5. Комплексное оценивание
кинематических параметров движения
ракеты-носителя при выведении РКС на орбиту
на основе метода динамических связей
Рассмотрим кинематические параметры движения PH при
выведении КА на орбиту, а именно, скоростную схему движения
(модуль вектора скорости и его проекции на оси стартовой абсо-
лютной системы координат).
Тогда задача комплексной оценки выбранных характеристик
будет выглядеть следующим образом.
Дано:
1.	Данные внешнетраекторных измерений z (/,-), i = 1, N :
=	•	(4-148)
*6*
Причем имеют место участки сбоев измерительной информации
{^оЛ}	>
2.	Оценки характеристик по алгоритму 2?1
х(г.) = {к/х,К7,Г2}|(/
j
определенные в дискретные моменты времени / ♦, f = 1, J .
3.	Точность оценивания
8 > 0, е -> 0.
Математические модели___________________________________
1.	Математические модели элементов ДС - Л СМ парамет-
ров скоростной схемы движения PH
j
j=i
x = {v,Vx,Vy,Vz}.
---- 391

Глава 4
2.	Математические модели коэффициентов связей - ЛСМ
повышенной степени гладкости
j
7=1
Матрица коэффициентов связей
q\t * =
\ J )
#21
#31
#41
#12	#13	#14
#22	#23	#24
#32	#33	#34
#42	#43	#44	t
(4.149)
3.	Математические модели вектора выходных параметров
системы
1
Уу=—#/7ЛсР
J т у


Vy
vxy
#11 ^cp	#12^cp	#13 ^cp	#14^cp
#21^x cp	#22 cp	#23^xcp	#24^xcp
#ЗЛ cp	#32^7 cp	#33^ cp	#34^y cp
#41 ^z cp	#42 ^z cp	#43 ^z cp	#44 ^z cp
Wx/Vcp
vx/vxcp
УI yep
vz/v2Cp
392 ----

Глава 4
4.	Модель эксперимента
Определим модель эксперимента как обобщенную модель
связи оцениваемых характеристик с измеряемыми параметрами в
виде операторных уравнений
Сх = z,
где С - оператор задачи.
Для условий поставленной задачи
С = Е.
где Е - единичная матрица; z - вектор выходных характеристик
системы, определенный по результатам обработки измерительной
информации.
Условия эксперимента_________________________________
Модель измерений
Z; (?,.) = xz (/,-) + А/ (/,), / = 1,4,1 = 1Л,
где zz (7,) - результаты измерений z; xz (/J - вектор оцениваемых
характеристик РКС х; Az'(/Z) - вектор погрешностей измерений А.
Априорная информация о статистических характеристиках
ошибок измерений отсутствует.
Априорная информация о статистических характеристиках
оцениваемых параметров РКС как ДС отсутствует.
Обобщенный критерий качества
Дано:
Wy (у (х, q) ,х) = ||р (у (х, q), х)|хех”,
yeYm
м-)|,. =|я-)-<. •
J	j
Таким образом, оценки x.q определяются из условия
wy (•)!,.. =|я-)-4, -е
е > 0, £	0.
---- 393

Глава 4
Решение
1.	По результатам измерений (4.148) и алгоритму А1 определя-
ются оценки
2.	По результатам измерений (4.148) определяется матрица ко-
эффициентов связей (4.149):
	Чп	<712	413	<714	
<?('/)=	Чп	Я22	<?23	#24	
	Яз\	Яз2	<7зз	<?34	
	441	<?42	<743	#44	t;
В моменты времени				7/, i	= 1Л
(4.150)
3.	По алгоритму 7? 1 с использованием ЛСМ повышенных степе-
ней гладкости определяются значения оценок
<7/,(г-), ЛУ = Й
в заданные моменты времени / .*, j* = \,J* pj\sl каждого элемента
матрицы (4.150).
4.	Вычисляются оценки вектора выходных параметров системы
/,/ = 1,4.
5.	Определяем модуль разности
д/. = л. -л.
j j J
6. Если ДГе <£ во все моменты Г*, j* для всех пара-
7	6 7
метров х	) = {И, Vx, Vy, Vz || , то полученные оценки х, q счита-
ются искомыми.
Если условие Дг # < £ не выполняется в момент времени
j
по одному или нескольким параметрам
хг (/^) = |К,КХ,К^,К2| , где г - номер итерации, то проводится
корректировка хг+1 (/л) = ~(^(гА) + хг(/л)) для всех параметров.
Алгоритм повторяется с этапа 3.
394 ----

Глава 4
Значительный объем практической работы подтвердил эф-
фективность рассмотренных методик обработки данных по ре-
зультатам испытательных запусков (пусков), основанных на
физико-статистическом методе комплексного оценивания ха-
рактеристик РКС с учетом функционально-динамических свя-
зей между ними в различных условиях проведения эксперимен-
та (метод динамических связей), обеспечивающих повышение
точности и достоверности анализа ЛТХ испытываемых объек-
тов.
Рассмотренный эффективный физико-статистический метод
комплексного оценивания параметров динамической системы, в
отличие от известных подходов, обеспечивает следующее.
1.	Учитывать в постановке задачи отсутствие априорной ин-
формации о вероятностных характеристиках погрешностей изме-
рений и оцениваемого параметра.
2.	Определять оценки параметров на длительных участках
сбоя измерительной информации при значительном разбросе по
амплитуде результатов измерений.
3.	Исключить проблемы, связанные с представлением моде-
ли состояния исследуемого объекта в виде дифференциальных
уравнений.
4.	Определять оценки параметров ДС, адекватные реальному
физическому процессу ее функционирования.
5.	Оценить состояние и параметры различных ДС и под-
систем.
6.	Минимизировать влияние «человеческого фактора» на ре-
зультат решения задачи анализа.
7.	При этом повысить точность, надежность и достоверность
оценивания ЛТХ РКС.
8.	Применение предлагаемого алгоритма на ранних этапах
разработки новых образцов ракетной техники позволит повысить
адекватность математической модели реальному процессу функ-
ционирования РКС в полете, что в итоге приводит к сокращению
необходимого количества летных испытаний.
---- 395

Глава 4
При решении задач анализа ЛТХ РКС по результатам летных испы-
таний могут возникнуть дополнительные трудности, связанные с не-
определенностью исходных данных, включающие следующие состав-
ляющие.
1.	Неопределенность параметров расчетной математической модели
движения РКС:
-	физические процессы функционирования РКС на атмосферной
части пассивного участка траектории (ПУТ) имеют сложный харак-
тер;
-	некоторые параметры математической модели движения РКС при-
нимаются приближенными и корректируются по результатам ЛИ;
-	значения ЛТХ РКС в расчетных материалах задаются в виде диа-
пазонов возможных реализаций, иногда достаточно широких;
-	априорные данные о вероятностных характеристиках оценивае-
мых параметров часто неизвестны или неточны;
-	наличие быстроменяющихся параметров.
2.	Техническая неопределенность РКС:
-	отличие реальных характеристик опытного образца от расчетных;
-	проведение ЛИ РКС различного назначения.
3.	Неизвестность условий функционирования РКС, сформировав-
шихся в полете:
-	случайный характер начальных условий движения в атмосфере за
счет возмущений при отделении;
-	случайный характер возмущающих факторов при полете РКС в ат-
мосфере;
-	неопределенность устойчивости функционирования.
4.	Неопределенность параметров атмосферы на финишном участке
траектории.
Поэтому описать физические процессы функционирования РКС на
атмосферной части ПУТ, особенно в режимах, близких к предельным,
известными детерминированными уравнениями движения практически
невозможно.
Постоянное совершенствование, создание новых образцов РКС тре-
бует разработки унифицированного методического аппарата оценива-
ния их ЛТХ.
В представленном материале рассмотрено содержание исследуе-
мых задач анализа летно-технических характеристик РКС по резуль-
татам испытательного запуска (пуска), отмечена их важность в вы-
396 ----

Глава 4
полнении поставленных целей и задач летных испытаний. Дана об-
щая характеристика условий проведения летных испытаний на со-
временном этапе и особенностей получаемой при этом измеритель-
ной информации, проведен анализ существующих подходов к реше-
нию задач оценивания ЛТХ РКС. Введено понятие структурно-
параметрической неопределенности моделей и измерительной ин-
формации и проведен анализ статистических данных по нештатным
ситуациям.
Задачи системы анализа результатов летных испытаний классифи-
цированы по этапам его технологического процесса. На этой основе
разработана концептуальная модель процесса анализа ЛТХ РКС, кото-
рая Позволяет сформулировать частные задачи, решаемые на подгото-
вительном этапе, при проведении запуска (пуска) в реальном масшта-
бе времени (РМВ), при проведении экспресс-анализа результатов за-
пуска (пуска) и основная часть по результатам полной обработки всей
измерительной информации, а именно:
-	определение оценок отдельных летно-технических характеристик
РКС по результатам измерений;
-	комплексная оценка ЛТХ РКС, анализ функционирования РКС в
полете в целом как сложной динамической системы;
-	выпуск соответствующей документации по подготовке и проведе-
нию пуска.
Литература
1.	Айвазян С.А., Енюков И. С., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика.
Основы моделирования и первичная обработка данных. М.: Фи-
нансы и статистика. 1983. 232 с.
2.	Александров В.А., Россихин Г.А., Шишков А.А. Определение энер-
гетических характеристик РДТТ по результатам лётных испытаний
// Оборонная техника. 1977. № 4. С. 4-8.
3.	Бакушинский А.Б., Гончарский А.В. Итеративные методы решения
некорректных задач. М.: Наука. 1989. 285 с.
4.	Баранов В.В., Матросов В.М. Структура систем динамического
принятия решений // Изв. РАН. Теория и системы управления.
1997. №1. С. 5-19.
5.	Беневолъский С.В., Бетанов В.В., Войтенко С.И., Лысенко И.В.
Решение некоторых практических задач подготовки данных на
пуски ракет и задач оптимизации динамических систем / Лабора-
торный практикум / Под ред. В.В. Бешанова. М.: ВА РВСН. 1999.
32 с.
---- 397

Глава 4
6.	Бетанов В.В., Янчик А.Г. Навигационно-баллистическое обеспече-
ние испытании и применения космических аппаратов: Учеб, посо-
бие / Под ред. Б.И. Глазова, М.: РВСН. 1993. 176 с.
7.	Бетанов В.В. Введение в теорию решения обобщенных некоррект-
ных задач навигационно-баллистического обеспечения управления
космическими аппаратами. Монография. М.: РВСН. 1997. 365 с.
8.	Бетанов В.В., Лысенко И.В. Оценивание характеристик техниче-
ских систем в условиях неоднозначной вероятностной формализа-
ции экспериментальных и априорных данных // Изв. РАН. Теория и
системы управления. 2001. № 3.
9.	Бетанов В.В., Кудряшов М.И. Практические подходы к решению
некорректных задач с приложениями к БНО управления КА. Науч-
но-методические материалы. М.: РВСН. 1997. 134 с.
10.	Бетанов В.В., Кутин Д.В., Лысенко И.В. К вопросу решения некор-
ректных задач определения параметров движения при выведении КА
с использованием ретрансляционных измерений. М.: ИИЕТ РАН.
Доклад на 32 научных чтениях, посвященных разработке творче-
ского наследия К.Э. Циолковского. 1999. С. 162-167.
11.	Бетанов В.В., Лысенко И.В. Об особенностях оценивания лётно-
технических характеристик ракетно-космических средств в усло-
виях нечётких данных // РАН. Космические исследования. 2000. Т.
38. № 6. С. 639-644.
12.	Бетанов В.В., Лысенко И.В. Общая классификация, формализация
и решение задач анализа характеристик летательных аппаратов по
экспериментальным данным // Общероссийский аэрокосмический
журнал «Полет». 2000. № 6. С. 51-58.
13.	Бетанов В.В., Лысенко И.В. Оценивание характеристик летатель-
ных аппаратов при отсутствии надёжной информации о свойствах
привлекаемых экспериментальных и априорных данных. Тезисы
докладов международной молодёжной научной конференции
XXVI Гагаринские чтения. Секция «Механика космического полё-
та». М., 2000. С. 165.
14.	Бетанов В.В., Доронин Д.В., Кудряшов М.И., Куликов СД., Лысенко
И.В. К вопросу определения параметров движения КА на коротком
мерном интервале. Сб. научных трудов. М.: Российская академия
космонавтики им. К.Э. Циолковского, НПО им. С.А. Лавочкина.
2000. С. 92-96.
15.	Бетанов В.В, Лысенко Л.Н., Лысенко И.В., Ряполов С.И., Сту-
пак Г.Г. Экспериментальная баллистика ракетно-космических
средств. Учебник / Под ред. Л.Н. Лысенко, В.В. Бетанова, И.В. Лы-
сенко. М: Военная академия РВСН им. Петра Великого. РАРАН.
2000. 287 с.
398 ---

Глава 4
16.	Брандин В.Н. Конфлюентный анализ в задачах статистического
оценивания. М.: МО СССР. 1990. 32 с.
17.	Брандин В.Н., Васильев А.А., Худяков С.Т. Основы эксперимен-
тальной космической баллистики. М.: Машиностроение. 1974.
18.	Брандин В.Н., Разоренов Г.Н. Определение траекторий космиче-
ских аппаратов. М.: Машиностроение. 1978. 216 с.
19.	Брандин В.Н., Васильев А.А., Куницкий А.А. Экспериментальная
баллистика космических аппаратов. М.: Машиностроение. 1984.
20.	Вальд А. Последовательный анализ. М.: Физматгиз. 1960.
21.	Василенко В.А. Сплайн-функции: теория, алгоритмы, программы.
М.: Наука. 1983.214 с.
22.	Васильев В.В. Математические методы анализа летательных аппа-
ратов как объектов управления и испытания М.: МО СССР. 1992.
111 с.
23.	Вентпцель Е.С. Теория вероятностей. М.: Наука. 1969.
24.	Вучков И., Бояджиева Л., Солаков Е. Прикладной линейный рег-
рессионный анализ / Пер. с болг. М.: Финансы и статистика. 1987.
239 с.
25.	Хубка В. Теория технических систем. М.: Мир. 1987. 208 с.
26.	Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. Изд. 4-е. М.: Наука. 1988. 552 с.
27.	Вунш Г. Теория систем. М.: Сов. радио. 1978. 288 с.
28.	Глазов Б.И. Методологические основы информационно-кибер-
нетической системотехники: Учебно-метод. пособие. М.: РВСН.
1992.172 с.
29.	ГОСТ 24.104-85. АСУ. Общие требования. М.: Изд-во стандартов.
1986.
30.	Гудзовский В.А., Погорелов Д.А. и др. Теория полета. Ч. 1. М.: МО
СССР. 1973; Ч. 2. М.: МО СССР. 1974.
31.	ГропД. Методы идентификации систем. М.: Мир. 1979. 303 с.
32.	Де Бор К. Практическое руководство по сплайнам / Пер. с англ. М.:
Радио и связь. 1985.
33.	Демиденко Е.З. Линейная и нелинейная регрессия. М. Финансы и
статистика. 1985. 301 с.
34.	Демиденко Е.З. Оптимизация и регрессия. М.: Наука. 1989. 296 с.
35.	Дрейпер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ. В 2 кн.
Кн. 2. М.: Финансы и статистика. 1987. 351 с.
36.	Ермаков С.Н., Жеглявский Е.В. Математическая теория оптималь-
ного эксперимента. М.: Наука. 1987. 320 с.
37.	Жданюк Б.Ф. Основы статистической обработки измерений. М.:
Сов. радио. 1978.
38.	Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-
функций. М.: Наука. 1980. 352 с.
---- 399

Глава 4
39.	Заде Л. Понятие лингвистической переменной и его применение к
принятию приближенных решений. М.: Мир. 1976. 269 с.
40.	Илющенко А.В., Каманин И.О. Об одном методе устойчивой оцен-
ки летно-технических характеристик летательных аппаратов по
данным летных испытаний. Тезисы докладов Междунар. молодёж-
ной науч. конф. XXVI Гагаринские чтения. Секция «Механика
космического полёта». М., 2000. С. 166.
41.	ИТА академии наук СССР. Астрономический ежегодник СССР на
1988 г. Т. 67. Л.: Наука, Ленинградское отделение. 1986.
42.	Кендал М., Стьюарт А. Статистические выводы и связи / Пер. с
англ. М.: Наука. 1973. 590 с.
43.	Кобзарь А.А. Определение оценок временной характеристики ис-
пытываемого объекта при неизвестных параметрах математиче-
ской модели его функционирования и некачественной измеритель-
ной информации // Вестник концерна ПВО «Алмаз-Антей». 2010.
№ 2(4). С. 41-46.
44.	Кобзарь А.А., Корнеев А.А., Баль М.А., Пузыренко А.Н. Формализа-
ция процесса анализа результатов ЛИ // Сб. материалов XXIX Все-
российской науч.-техн. конф. «Проблемы эффективности и безо-
пасности функционирования сложных технических и информаци-
онных систем». Серпухов: СВИ РВ. 2010. С. 317-320.
45.	Кобзарь А.А., Гончаренко В.И., Кучерявенко Д.С. Идентификация
параметров движения летательных аппаратов на активном участке
траектории с использованием дискретного вейвлет-преобразования
// Электронный журнал «Труды МАИ». 2011. №46. С. 1-12, раз-
мещено на Интернет-сервере http://www.mai.ru/science/trudy/ 7 ию-
ля 2011 г.
46.	Кобзарь А.А., Гончаренко В.И., Корнеев А.А., Кучерявенко Д.С. Ал-
горитм оценивания характеристик баллистического объекта при
неизвестных параметрах его математической модели движения и
некачественной измерительной информации // Вестник КГТУ им.
А.Н. Туполева. 2011. № 4. С. 128-135.
47.	Кобзарь А.А., Арканов А.В., Королев М.Р. Алгоритм анализа ре-
зультатов летных испытаний // Научно-техн. сб. «Вопросы оборон-
ной техники». Сер. 9. Специальные системы управления, следящие
приводы и их элементы. №5(250) - 6(251). М.: НТЦ «Информтех-
ника». 2011. С. 128-130.
48.	Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. Для научных работ-
ников и инженеров / Пер. со второго американского переработан-
ного издания; под ред. И.Г Арамановича. М.: Наука. 1978. 832 с.
49.	Краснов Н.Ф., Кошевой В.Н., Данилов А.Н., Захарченко В.Ф. Аэро-
динамика ракет. М.: Высшая школа. 1968. 772 с.
400 ----

Глава 4
50.	Ланкастер П. Теория матриц / Пер. с англ. М.: Наука, гл. ред. физ.-
мат. лит. 1982. 212 с.
51.	Лебедев А.А., Герасюта Н.Ф. Баллистика ракет. М.: Машинострое-
ние. 1970. 244 с.
52.	Кринецкий Е.И, Александровская Л.Н., Шаронов А.В., Голубков
А.С. Лётные испытания ракет и космических аппаратов / Под ред.
Е.И. Кринецкого. М.: Машиностроение. 1979. 464 с.
53.	Ломако Г. И. Определение и анализ движения по эксперименталь-
ным данным. Л.: МО СССР. Ч. 1. 1983; Ч. 2. 1986.
54.	Ломако Г.И., Шмыголъ С. С. Обработка результатов измерений при
натурных испытаниях. Л.: ВИКИ им. А.Ф. Можайского. 1976.
250 с.
55.	Ломако Г.И. Экспериментальная баллистика космических аппара-
тов. Учебник. СПб.: ВИККА им. А.Ф. Можайского. 1997.
56.	Лоусон Ч., Хенсон Р. Численное решение задач метода наименьших
квадратов / Пер. с англ. М.: Мир. 1986. 232 с.
57.	Лысенко Л.Н., Бешанов В.В., Звягин Ф.В. Теоретические основы
баллистико-навигационного обеспечения космических полетов /
Под ред. Л.Н. Лысенко. Монография. М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана.
2014.518 с.
58.	Лысенко И.В., Бешанов В.В. Синтез алгоритмов оценивания харак-
теристик летательных аппаратов при отсутствии надёжной инфор-
мации для применения классических методов // Общероссийский
аэрокосмический журнал «Полет». 2000. № 10. С. 34-39.
59.	Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. М.-Л.: Гос.
изд. техн, теорет. лит. 1950.
60.	Макаров И.М. и др. Теория выбора и принятия решений. М.: Наука.
1982. 328 с.
61.	Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука.
1977.
62.	Мачулин В.В., Пятибратов А.П. Эффективность систем обработки
информации. М.: Сов. радио. 1979.
63.	Межконтинентальные баллистические ракеты СССР (РФ) и США /
Под ред. Е.Б. Волкова. М.: РВСН. 1996. 376 с.
64.	Меньшиков В.А., Сухорученков Б.И. Методы мониторинга надеж-
ности ракетно-космических систем. М.: НИИ КС. 2006. 475 с.
65.	Методические основы опытной отработки технических систем /
Под ред. В.С. Вовк и В.А. Евтеева. М.: МО СССР. 1984. 336 с.
66.	Борисов А.Н., Алексеев А.В., Крумберг О.А. и др. Модели принятия
решений на основе лингвистической переменной. Рига: Зинатне.
1982. 256 с.
----401

Глава 4
67.	Морозов В.А. Регулярные методы решения некорректно поставлен-
ных задач. М.: Наука. 1987. 239 с.
68.	Морозов В.А. Методы регуляризации неустойчивых задач. М.:
МГУ. 1987. 189 с.
69.	Музылев Н.В, Лекции по методам решения некорректных задач. М.:
В А им. Ф.Э. Дзержинского. 1987. 159 с.
70.	Мудрое В.И., Кушко В.Л. Методы обработки измерений. М.: Сов.
радио. 1976. 192 с.
71.	Мэйдоналъд Дж, Вычислительные алгоритмы в прикладной стати-
стике. М.: Финансы и статистика. 1988. 249 с.
72.	Назиров Р.Р., Элъясберг П.Е. К вопросу использования априорной
информации при обработке данных высокоточных наблюдений
ИСЗ / ИКИ АН СССР. Пр.-795. 1983.
73.	Недайвода А.К. Технологические основы обеспечения качества ра-
кетно-космической техники. М.: Машиностроение. 1998. 240 с.
74.	Борисов А.Н., Алексеев А.В., Меркурьева Г.В, и др. Обработка не-
четкой информации в системах принятия решений. М.: Радио и
связь. 1989. 304 с.
75.	Основные понятия баллистического и астрономо-геодезического
обеспечения ракетно-космических средств / Под ред. В.В. Бешано-
ва. Научно-справочные материалы. М.: РВСН. 1997. 150 с.
76.	Основы испытаний летательных аппаратов. Учебник для ВТУЗов /
Под общ. ред. Е.И. Кринецкого. М.: Машиностроение. 1989. 312 с.
77.	Петров К.А. Аэродинамика ракет. М.: Машиностроение. 1977. 220
с.
78.	Полет космических аппаратов. Примеры и задачи / Под. общ. ред.
Г.С. Титова. М.: Машиностроение. 1990. 311 с.
79.	Поллард Д. Справочник по вычислительным методам статистики.
М.: Финансы и статистика. 1982. 344 с.
80.	Полоус А.И. Элементы математической теории летного экспери-
мента. М.: МО СССР. 1988. ПО с.
81.	Пугачёв В. С. Теория вероятностей и математическая статистика.
М.: Наука. 1979.496 с.
82.	Разоренов Г.Н. Введение в теорию оценивания состояния динами-
ческих систем по результатам измерений. М.: МО СССР. 1981.
272 с.
83.	Рао С.Р. Линейные статистические методы и их применения / Пер.
с англ. М.: Наука. 1968. 548 с.
84.	Редковский Н.Н., Гуреев В.А. О стратегии поведения итерационных
методов при вырождении якобиана // Кибернетика и системный
анализ. 1996. № 2. С. 90-103.
402 ---

Глава 4
85.	Русаков А.И. Неоптимальные оценки в случае мультиколлинеарно-
сти // Автоматика и телемеханика. 1994. № 10. С. 88-104.
86.	Сейдж Э., Меле Дж. Теория оценивания и ее применение в связи и
управлении / Пер. с англ, под ред. Б.Р. Левина. М.: Связь. 1976.
621 с.
87.	Себер Дж. Линейный регрессионный анализ. М.: Мир. 1980.
456 с.
88.	Сильвестров А.Н., Чинаев П.И. Идентификация и оптимизация ав-
томатических систем. М.: Энергоатомиздат. 1987. 200 с.
89.	Александровская Л.Н., Круглов В.И., Григоров ГИ. Современные
методы объективной оценки технического уровня, качества и на-
дёжности изделий машиностроения: Учебное пособие. М.: МАТИ.
1993. 160 с.
90.	Степанов М.Г. Введение в теорию смещенного оценивания пара-
метров движения КА по ограниченным данным. СПб.: ВИКА им.
А.Ф. Можайского. 1993. 135 с.
91.	Степаньянц ГА. Теория динамических систем. Изд. 2-е, испр. и
доп. М.: URSS. 2010.312 с.
92.	Сухорученков Б.И. Математические модели и методы анализа ха-
рактеристик летательных аппаратов. Учеб, пособие. М.: МО СССР.
1989. 225 с.
93.	Сухорученков Б.И., Меньшиков В.А. Методы анализа характеристик
летательных аппаратов. М.: Машиностроение. 1995. 368 с.
94.	Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных за-
дач. Учебное пособие для вузов. Изд. 3-е, испр. М.: Наука. 1986.
285 с.
95.	Тихонов А.Н., Гончарский А.В., Степанов В.В., Ягола А.Г. Чис-
ленные методы решения некорректных задач. М.: Наука. 1990.
232 с.
96.	Тихонов А.Н., Уфимцев М.В. Статистическая обработка результатов
эксперимента. М.: МГУ. 1988. 173 с.
97.	Уилкинсон Д. Алгебраическая проблема собственных значений /
Пер. с англ. В.В. Воеводина и В.Н. Фаддеевой. М.: Наука. 1970. 564
с.
98.	Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы мате-
матических вычислений. М.: Мир. 1980. 280 с.
99.	Химич А.Н. Оценка возмущения для решения задачи наименьших
квадратов // Кибернетика и системный анализ. 1996. № 3. С. 142-
145.
100.	Чечкин А.В. Многопараметрическая регуляризация некорректных
задач // ДАН СССР. 1980. № 252. С. 807-810.
----403

Глава 4
101.	Чечкин А.В. Математическая информатика. М.: Наука. 1991.
102.	Чечкин А.В. Начала общей теории систем и ультрасистем. М.: МО
СССР. 1984. 155 с.
103.	Элъясберг П.Е. Измерительная информация: сколько ее нужно? как
ее обрабатывать? М.: Наука. 1983.
104.	Элъясберг П.Е. Определение движения по результатам измерений.
М.: Наука. 1976.416 с.
404 ----

ГЛАВА 5
Некорректные задачи
оценивания
Задача определения движения сложного динамического объекта явля-
ется центральной задачей технологического цикла НБО. Ее решение связано
с правильностью построения и использования частных технологических мо-
делей подсистем моделирования движения космических объектов и вычис-
ления частных производных аналогов измерений, идентификации некоррект-
ных задач определения параметров движения, непосредственной оценки
уточняемых параметров, а также реализации сервисов НБО.
Решение задач определения параметров движения космических объек-
тов в особых условиях, в том числе в нештатных ситуациях, является одним
из важнейших направлений теории оценивания, вообще, и информационно-
расчетного обеспечения управления подобных объектов, в частности.
Фактически в этих случаях приходится иметь дело с необходимостью
решения некорректных обратных задач математической физики и анализа, в
основе которых лежат работы академиков А.Н. Тихонова, М.М. Лаврентьева
и их учеников.
В современных условиях подобные задачи решаются с применением
сложного инструмента - автоматизированных систем навигационно-
баллистического обеспечения, каждая составляющая часть которого (вид
обеспечения) может деформировать ее результат. Поэтому вполне логично
авторами обращается внимание на обобщение понятия некорректная задача в
объект-системе «задача - инструмент решения» с соответствующими новыми
идеями и подходами к изучению структурных свойств указанных задач
(обобщенных наблюдаемости, управляемости, идентифицируемости и др.).
Научная новизна решения данной важной проблемы заключается в ма-
тематической формулировке и постановке проблемы исследований и приме-
нении системного подхода к установлению причинно-следственных связей
некорректной постановки задачи определения параметров движения РКС по

Глава 5
измерениям текущих навигационных параметров. Это позволило проанали-
зировать правильность математической постановки решения научной про-
блемы, выработать рекомендации по синтезу ее решения и получить ряд но-
вых научных результатов.
406 ----

Глава 5
5.1.	Регулярность и корректность
измерительных задач
Перевод слова регулярность обычно связывают с его латин-
ским происхождением (regularis - правильный). Термин коррект-
ность имеет примерно такой же смысл. Указанные понятия ис-
пользованы впервые в работах французского математика Ж.
Адамара в начале XX в.
Корректность измерительных задач по Ж. Адамару
Корректность математической задачи означает, что возмож-
ность существования решения и его истинность (правильность)
зависят от принимаемых допущений на этапе ее постановки, а
также от выбираемого способа решения (математического метода
и вычислительного алгоритма, реализующего этот метод).
Пусть рассматриваемая задача представлена операторным
уравнением вида
z = A{x}, хеХ; zeZ,
где X, Z - метрические пространства с введенными на них рас-
стояниями; х, z - элементы этих пространств; А{х} - оператор с
непустой областью определения DA, действующий из пространст-
ва X в пространство Z, т.е.
A.Da<^X-+Z.
Эта задача является регулярной, если выполняются следую-
щие условия.
1.	Условие разрешимости, для всякого элемента х g X обя-
зательно существует решение z е Z.
2.	Условие единственности', решение z определяется с по-
мощью оператора А{С1} однозначно, т.е. из равенства А{х{} =
= А {х2} обязательно следует xt = х2.
Данная задача будет корректной, если она регулярна и, кро-
ме того, выполняется условие 3.
---- 407

Глава 5
3.	Условие устойчивости', обратный оператор А~1 {□} суще-
ствует и непрерывен в пространстве Z, т.е. двум близким элемен-
там хь х2е X соответствуют близкие элементы zb z2 g Z, где
zi = A{xi}, z2 = A{x2}, а степень близости определяется на основе
введенных метрик пространств X,Z .
Задачи, не удовлетворяющие перечисленным трем условиям,
называются некорректными. Термин нерегулярные задачи почти
не используется, поскольку понятия нерегулярность и некор-
ректность практически эквивалентны. Действительно, некор-
ректные (неустойчивые) задачи характерны тем, что сколь угодно
малые изменения исходных данных могут приводить к произ-
вольно большим изменениям получаемых решений. Это означает,
что в пределах существующей точности подготовки исходных
данных неустойчивость задачи фактически означает неединст-
венность получаемых решений и затрудняет интерпретацию ре-
зультатов.
|Корректность/некорректность одной и той же задачи может изменить- I
ся с введением иной метрики пространства.	|
Длительное время некорректные задачи математиками ис-
ключались из рассмотрения как не имеющие практической цен-
ности. Интерес к ним возрос, начиная с 1940-1950-х гг. в связи с
резким ростом практических проблем, которые приводили к ма-
тематически некорректным задачам. Кроме того, академиком
А.Н. Тихоновым в 1943 г. было сформулировано условие устой-
чивости обратного оператора и введено понятие условной кор-
ректности задач.
Тем самым была доказана принципиальная возможность решения не-
корректных задач путем их регуляризации - сведение к классу пра-
вильных задач на некотором подмножестве исходного множества ре-
шений.	I
Корректность измерительных задач поА.Н. Тихонову________
Задача называется условно корректной (корректной по Ти-
хонову) если:
408 ---

Глава 5
1)	заранее известно, что решение х существует и принадле-
жит к некоторому множеству ХксХ(множеству корректности);
2)	данное решение единственно;
3)	бесконечно малым вариациям исходных данных (элемен-
тов z g Z ) соответствуют бесконечно малые вариации решений х,
не выходящие за пределы множества корректности.
Таким образом, из теоремы об устойчивости обратного опе-
ратора А-1{*} следовало, что решение некорректной задачи ста-
новится возможным, если его удается перевести каким-либо об-
разом в множество корректности, однако конкретные рекомен-
дации по способу такого перевода теорема не содержала.
Поэтому дальнейшие усилия ученых были направлены на раз-
работку прикладных методов регуляризации. Главным образом
они относились не к этапу постановки задачи (ввиду многочис-
ленных специфических черт этого этапа при решении практиче-
ских проблем), а к этапу выбора алгоритма решения уже сформу-
лированной задачи.
Некорректные задачи_________________________________
Как показывает почти 100-летний опыт исследования некор-
ректных задач, они могут возникать практически во всех при-
кладных областях, в частности:
-	в геофизике при определении потенциала силового (грави-
тационного) поля по измерениям ускорения силы тяжести;
-	в аэродинамике при исследовании характера обтекания тел
сверхзвуковым потоком воздуха;
-	в астрофизике при моделировании процессов, происходя-
щих в звездах;
-	при проектировании сложных технических устройств и т.д.
Важный класс некорректных задач составляют обратные
задачи динамики:
	задачи восстановления количественных характеристик сре-
ды по наблюдениям свойств некоторых физических процес-
сов или явлений;
	задачи определения (оценивания, идентификации) состояния
характеристик или структуры динамических систем по ре-
зультатам измерений и другие.
---- 409

Глава 5
Измерительные задачи_______________________________
Общие требования к измерительным задачам связаны с кон-
кретизацией понятий регулярности и корректности применитель-
но к обратным задачам статистического оценивания и иденти-
фикации динамических систем (СОИ ДС) по результатам экспе-
римента.
1.	Регулярность задач является чисто математическим поня-
тием, так как она относится непосредственно к математическим
моделям и их решениям. Измерительные задачи формулируются
для объектов, которые могут быть изучены на двух уровнях: объ-
ект-система и модель-система. Информация, получаемая в ре-
зультате исследования модели, непосредственно используется
для принятия решений в отношении реального объекта. Поэтому
между поведением реального объекта (ЛА, РКС и др.) и процес-
сом математического моделирования его функционирования (G)
должны поддерживаться определенные отношения близости, на-
зываемые иначе адекватностью модели. Сказанное относится и к
паре измерительный комплекс - математическая модель измери-
тельной системы: (S* - S).
2.	Характерной особенностью задач экспериментальной бал-
листики (ЭБ) является то, что при их решении имеют дело, как
правило, с косвенными измерениями, поэтому проверку регуляр-
ности таких задач следует проводить и в отношении пары мате-
матическая модель динамической системы - математическая мо-
дель измерительной системы, исследуя принципиальную воз-
можность существования решения (допустимости определения
интересующих параметров по данному составу измеряемых па-
раметров) и единственности этого решения. Такое условие назы-
вается теоретической наблюдаемостью (наблюдаемостью) пары
G-S.
3.-----В большинстве классических случаев проверки коррект-
ности (устойчивости решения математических задач) считают,
что точность получения исходных данных достаточно высока. В
измерительных же задачах исходные данные содержат ошибки,
пренебречь влиянием которых не представляется возможным.
Более того, в отношении свойств этих ошибок (условий опыта)
необходимо, в свою очередь, принимать какие-то допущения, т.е.
410 	

Глава 5
фактически создавать математическую модель ошибок измере-
ний. Близость этой модели к реальным условиям эксперимента
(иначе говоря, ее адекватности Q*-Q) может повлиять как на
наблюдаемость пары G - S, так и на качество получаемых оце-
нок. Наблюдаемость (возможность однозначного определения
искомых параметров) в условиях шума измерений называют
практической наблюдаемостью.
Качество оценок зависит не только от свойств ошибок измерений, но
и от многих других факторов: от принципа оценивания (оптималь-
ность, адаптивность, робастность, инвариантность и др.), от вида кри-
терия оценивания (например, минимума суммарной невязки, макси-
мума функции правдоподобия и др.), от выбранного метода оценива-
ния (МНК, МНМ, ММП и др.), от структуры математических моделей
(линейная, нелинейная), от вида алгоритма оценивания и применяе-
мой вычислительной процедуры и т.д.
На основе приведенных соображений общие требования к
измерительным задачам могут быть представлены следующим
образом (табл. 5.1).
_______________________Таблица 5.1 ____________________
Общие требования к измерительным задачам
Формулировка	х Постановка задачи	Решение задачи
Общематематическая	Регулярность	Корректность
Специальная	Адекватность ММ и теоретическая наблюдаемость определяемых параметров	Качество и практическая наблюдаемость определяемых параметров
Схема измерительных задач____________________________
При анализе и решении любой задачи [41] целесообразно различать
саму задачу (ее физическое содержание), математическую постановку
задачи, метод ее решения и алгоритм решения (вычислительную про-
цедуру).
----411

Глава 5
Данное утверждение в полной мере относится к задачам
оценивания, однако при этом необходимо иметь в виду следую-
щее обстоятельство. Иногда понятие метод решения связывается
с критерием оценивания (метод наименьших квадратов и др.), а
иногда - с вычислительной процедурой (градиентный метод,
метод Гаусса-Ньютона и т.п.). Выше критерий оценивания был
включен в математическую постановку задачи, поэтому метод
решения будем чаще относить к вычислительной процедуре.
Очевидно, что одна и та же задача оценивания может иметь несколько
различных математических постановок с различными элементами G,
S, Q, А, К. Особенно широкий произвол допустим при выборе мате-
матической модели G и критерия качества К. Элементы S и Q опреде-
ляются составом измеряемых параметров и точностными характери-
стиками измерительных средств, однако и они могут быть изменены,
если окажется, что данный состав измеряемых параметров неудовле-
творителен с той или иной точки зрения (неединственность решения
задачи, недостаточная точность получаемых оценок и т.д.).
К математической постановке задачи оценивания могут быть
предъявлены различные требования. Наиболее простое и естест-
венное требование состоит в том, чтобы при выбранной матема-
тической постановке решение задачи было наиболее точным и
вычислялось наиболее просто. Однако на практике трудно прове-
рить, в какой степени это требование выполняется, особенно, ес-
ли имеем дело со сложной нелинейной задачей оценивания и
громоздкой итерационной процедурой ее решения, поэтому ра-
зумнее предъявлять к математической постановке менее катего-
ричные требования. Одним из таких требований является требо-
вание регулярности.
На рис. 5.1 показаны элементы задачи оценивания, связан-
ные условиями регулярности.
Проверка условий регулярности позволяет избежать напрас-
ной траты усилий на решение нерегулярных задач [41]. Данные
условия дают также исследователю возможность целенаправленно
видоизменять те или иные элементы математической постановки,
чтобы сделать ее регулярной. В тех же случаях, когда проверка ус-
ловий регулярности сопряжена с чрезмерными трудностями, поня-
412 ---

Глава 5
тия адекватности, наблюдаемости, состоятельности критерия каче-
ства являются ценным эвристическим инструментом для более
глубокого проникновения в сущность решаемой задачи.
_______________________Рисунок 5.1 ______________________
Схема измерительных задач с элементами регулярности
---- 413

Глава 5 -
5.2.	Задачи статистического оценивания
и идентификации динамических систем
Структура любой системы определяется как совокупность
главных, системообразующих связей и отношений, с одной сто-
роны, или как совокупность типических свойств, с другой сторо-
ны. Это означает, что внутренние связи и отношения (такие как
отношения адекватности математической модели, наблюдаемо-
сти определяемых параметров, качества оценок, связи между мо-
делями динамической и измерительной системами G-S) одно-
временно могут рассматриваться и как типические, структурные
свойства измерительных задач.
Математические модели в задачах
статистического оценивания и идентификации
динамических систем_________________________________
Одним из необходимых условий правильности получаемого
решения является адекватность математических моделей, исполь-.
зуемых при решении измерительных задач, процессам функцио-
нирования реальных физических объектов. В принципе, проверке
на адекватность должны подвергаться на этапе постановки задачи
следующие пары:
G-G; S*-S; Q -Q
(процесс функционирования ДС должен быть близок реальному
движению РКС; уравнения измерений должны достаточно точно
описывать способ преобразования траекторной информации в
измеряемые параметры при абсолютной точности их получения;
свойства ошибок измерений должны соответствовать реальным
условиям проведения измерительного эксперимента).
Однако на практике одновременно проверить все перечис-
ленные условия невозможно, так как в качестве исходных данных
в этой проверке участвуют со стороны сверхсистемы - реальная
выборка результатов измерений Z*, представленная единствен-
ной реализацией (выборочной совокупностью), а со стороны сис-
темы процесса измерений y(t) - модельные выборки z (число
которых теоретически неограничено).
414 ---

Глава 5
Если каждая модельная выборка, получаемая с помощью ЭВМ, может
быть разложена на составляющие, обусловленные детерминирован-
ным и стохастическим процессами функционирования ИС, то реаль-
ная выборка формируется под действием многих возмущающих фак-
торов случайного и неслучайного характера и принципиально нераз-
ложима на составляющие (как нельзя однозначно определить
неизвестные слагаемые какого-либо числа, даже если известна сумма
и число этих слагаемых).
Поэтому по реальной выборке Z проверяют либо адекват-
ность математической модели динамической системы G* - G ли-
бо адекватность математической модели измерительной системы
S*-S, либо адекватность математической модели ошибок изме-
рений Q* - Q, либо, чаще всего, адекватность всей совокупности
моделей. Если осуществляют первую проверку, то делается пред-
положение о том, что уравнения измерений S и условия опыта Q
достаточно точно описывают реальный процесс измерений. Кро-
ме того, проверку адекватности G*-G принято проводить при
отсутствии шума модели, т.е. для детерминированных динамиче-
ских систем.
Так как опытные данные при непрерывных измерениях
задаются в пространстве измеряемых параметров Л7”,
то и модельные данные должны быть предварительно переведены
в это пространство из пространства параметров движения R” ддя
чего используются уравнения измерений
S: y = </>(x,f).
Далее задается мера адекватности с помощью какой-либо
метрики (расстояния), например:
-	максимальное расхождение на интервале Т е[/1?4]
A(2’W(0) = Ж J[z*(O -Я0]г[^‘(0 -y(t)]dt
VI
или
---- 415

Глава 5
-	среднее отклонение на Т е [Z15^]
p2(z*(/),X0) = max
^z*T(t)z*(t) - у]ут(t)y(t)
которая сравнивается с заранее заданной величиной £ > 0.
Математическая модель G называется е-адекватной реаль-
ному процессу движения РКС G с начальными условиями х0 , по-
рождающему выборку z (/), если на множестве начальных усло-
вий Xq найдется такая точка х0, порождающая процесс измерений
y(t), что

Математическая модель G называется частично с-адекват-
ной реальному процессу движения РКС G с начальными усло-
виями х0*, порождающему выборку z*(/), если на множестве на-
чальных условий Хо найдется такая точка хо, порождающая про-
цесс измерений y(t), что
P2(z*(0J(0)^-
Математическая модель G называется е-адекватной (час-
тично с-адекватной). если она s-адекватна (частично s-адек-
ватна) реальному процессу движения РКС G* в каждой точке
множества начальных условий Хо.
Последняя проверка (проверка адекватности совокупности всех мо-
делей) отличается от рассмотренной тем, что уровень адекватности е
назначается исследователем не произвольно эмпирическим путем, а
вычисляется по правилам теории вероятностей и математической ста-
тистики при выбираемой надежности Рдов, исходя из закона распреде-
ления меры адекватности.
Наблюдаемость определяемых параметров
В дальнейшем речь будет идти о теоретической наблюдае-
мости в условиях детерминированных моделей G-S, а не о
практической наблюдаемости с учетом стохастических свойств
ошибок измерений (условий опыта Q).
416 ----

Глава 5
Наблюдаемость - возможность однозначного определения
начального состояния динамической системы или параметров ее
модели по заданному виду измеряемого сигнала на выходе сис-
темы (выбранному составу измеряемых параметров).
Известно, что задачи статистического оценивания начально-
го состояния динамической системы и задачи ее параметрической
идентификации эквивалентны, поэтому термин параметрическая
идентифицируемость не получил столь широкого распростране-
ния, как понятие наблюдаемость. Не дано до настоящего време-
ни сколь-нибудь конструктивного определения структурной
идентифицируемости ввиду большого разнообразия формулиро-
вок и постановок задач восстановления структуры системы по ре-
зультатам измерений.
Впервые наблюдаемость в современной ее трактовке была рас-
смотрена Р. Калманом в докладе на I конгрессе ИФАК в 1960 г. в
Москве наряду и во взаимосвязи с управляемостью ДС примени-
тельно к системам линейной структуры. Дальнейшее развитие это-
го направления в теории динамических систем и распространение
его, прежде всего, на класс нелинейных систем было осуществлено
рядом зарубежных и отечественных ученых, среди которых необ-
ходимо упомянуть работы [9, 15, 17, 19,41].
Было установлено, что понятие наблюдаемости (ненаблюдаемо-
сти) для линейных и нелинейных систем имеют некоторые отличия.
С математической точки зрения наблюдаемость пары G - S оз-
начает существование взаимно однозначного соответствия между
элементами множества начальных условий (НУ) и множества
значений измеряемых сигналов (параметров) У, т.е. Е:	-> У.
В настоящее время введено несколько понятий наблюдаемо-
сти и ненаблюдаемое™.
| Обе модели G и S являются линейными.	|
Пара G - S называется наблюдаемой (решение задачи опре-
деления начального состояния х0 ДС существует и единственно
в условиях детерминированных моделей), если отображение Е
взаимно однозначно.
Пара G - S ненаблюдаема в противном случае.
---- 417

Глава 5
| Одна из моделей G, S или обе модели нелинейны	|
Пара G - S называется локально наблюдаемой в точке
если отображение Е взаимно однозначно в малой окре-
стности этой точки.
Пара G - S называется локально наблюдаемой в области Xq ,
если она локально наблюдаема в каждой точке х0 е Xq этой об-
ласти.
Пара G-S называется глобально наблюдаемой в области
Xq , если отображение Е: Xq —> Y взаимно однозначно (на мно-
жестве Хо).
Очевидно, что локальная наблюдаемость в каждой точке об-
ласти не означает глобальную наблюдаемость нелинейной пары
G - S в этой области.
ПРИМЕР. Отображение Е - периодическая функция, рассматри-
ваемая на интервале Xq большем, чем ее период. В каждой точке
х0 е Хо существует локальная наблюдаемость (взаимная однознач-
ность между областью определений и областью значений функции),
однако на всем множестве Хо глобальной наблюдаемости нет.
Пара G - S называется ненаблюдаемой в области Xq . если
отображение Е: Xq -> Y не является взаимно однозначным (т.е.
отсутствует глобальная наблюдаемость).
Пара G - S называется глобально ненаблюдаемой в области
Xq , если она ненаблюдаема в произвольной окрестности каждой
точки х0 g Xq этой области (отсутствует локальная наблюдае-
мость во всех точках области).
Приведенные определения не могут быть распространены на стохас-
тические модели пары G - S, так как шум модели или шум измерений
могут сделать ненаблюдаемую пару наблюдаемой (формально), но на
самом деле такая наблюдаемость будет носить слабый, неустойчивый
характер в силу малой коррелированности стохастических процессов,
моделирующих данные шумы.
418-----

Глава 5
Прикладная значимость введенных понятий наблюдаемо-
сти/ненаблюдаемости применительно к задачам эксперименталь-
ной баллистики состоит, в том числе, в следующем:
1) если установлено, что пара G - S локально наблюдаема в
точке xQ g Хо, то на практике это будет означать принципиаль-
ную возможность однозначного восстановления возмущенной
траектории движения летательного аппарата по результатам из-
мерений для выбранной совокупности измеряемых параметров,
при условии малого отклонения возмущенной траектории от рас-
четной, номинальной траектории;
2) если установлено, что пара G - S глобально ненаблюдае-
ма в области Хо, то это означает принципиальную невозмож-
ность ни при какой высокой точности измерительных средств
достоверного экспериментального определения фактической тра-
ектории полета. В этой ситуации необходимо сменить или рас-
ширить состав измеряемых параметров, либо привлечь дополни-
тельную априорную информацию.
Качество оценок_____________________________________
Качество оценок зависит от многих факторов-свойств эле-
ментов (рис. 5.1):
(AhQ)-K-M-L-R,
причем выбор самих элементов не произволен.
Так, вид критерия определяется принципом оценивания, видом моде-
ли ошибок измерений, наличием и способом представления априор-
ной информации. Метод оценивания определяется на основе выбран-
ного критерия, а алгоритм оценивания и процедура принятия решений
реализуют данный метод с учетом конкретных обстоятельств.
Среди принципов оценивания наибольшее распространение
получил принцип оптимальности, в соответствии с которым оты-
скиваются оценки с наилучшими статистическими свойствами
при выбранных допущениях относительно условий опыта. В чис-
ло таких свойств, в первую очередь, входят эффективность (для
выборок малого объема) и состоятельность (для выборок пре-
------------------------------------------------------ 419

Глава 5
дельно большого объема). Совокупность статистических свойств
оптимальных оценок часто называют состоятельностью крите-
рия качества задач СОИ ДС, поскольку качество оценок во мно-
гом зависит от выбранного критерия.
Декомпозируемое™ задач оценивания
Основными изменяемыми и относительно независимыми
элементами задач СОИ ДС являются:
1)ММДС G;
2) ММ ИС S - Q;
3) априорная информация А.
Каждый элемент достаточно сложен по структуре, а их
взаимосвязь еще больше увеличивает степень сложности исход-
ной задачи оценивания. Поэтому часто до непосредственного
решения этой задачи стремятся найти некоторое математическое
преобразование указанных элементов и связей между ними, ко-
торое бы упростило процесс поиска решения, не влияя (по край-
ней мере, существенным образом) на его результат. Такое преоб-
разование называют декомпозирующим, а способность исходной
задачи СОИ ДС делиться на задачи меньшей сложности называ-
ют декомпозируемостъю задачи оценивания.
В общем случае декомпозирующих преобразований может быть сколь
угодно много, однако среди них, в первую очередь, стремятся найти эк-
вивалентные преобразования, которые бы не изменяли существо исход-
ной задачи и позволяли находить ее решение путем применения обрат-
ного преобразования к полученному решению измененной задачи.
Общая схема эквивалентных преобразований
420 ----

Глава 5
Способы эквивалентных преобразований
для задач СОИДС
1.	Эквивалентное преобразование вектора параметров состоя-
ния ДС х(7), которое изменяет структуру ММ ДС G, вид уравне-
ний измерений S, характеристики априорного распределения век-
тора х0 оцениваемых параметров А, но оставляет практически не-
изменными условия опыта Q (свойства ошибок измерений).
2.	Эквивалентное преобразование вектора измеряемых пара-
метров у, которое приводит к изменению уравнений измерений
S и условий опыта Q, совершенно не затрагивая ММ ДС G и со-
держание априорной информации А.
3.	Комбинация двух перечисленных преобразований, кото-
рая является наиболее эффективной при упрощении исходной за-
дачи СОИ ДС, но связана со многими трудностями по ее поиску.
Второй способ обычно применяется в тех ситуациях, когда
ММ ДС уже упрощена (декомпозирована), поэтому больше вни-
мания уделим первому способу преобразования.
Так как параметры состояния ДС x(t) подчиняются диффе-
ренциальным связям и должно осуществляться обратное преоб-
разование полученного решения, то указанное прямое преобразо-
вание будем искать в классе взаимно однозначных и взаимно
дифференцируемых (диффеоморфных) преобразований:
q(t) = £l(x(t)).
где q(t) - параметры состояния преобразованной модели; Q(«) -
диффеоморфное преобразование, существующее в окрестности
точки x(t) g X пространства X и допускающее обратное преоб-
разование x(t) = Q-1 (q(fj).
Здесь x(f) - вектор параметров состояния исходной модели
динамической системы:
х'(0 =	t^T.
Диффеоморфное преобразование £!(•) должно удовлетво-
рять уравнению
--- 421

Глава 5
q’ = [5£Г’(?)/^]_1	q0=&(x0), t eT,
которое получено исходя из следующих тождеств:
dx! dt- \dx/dq]dq I dt, q -dq / dt- [dx/dq] X dx I dt,
[8x/dq] X d£ / dt = [dx/dq]f(x,t),
x(t) = Q~1(q), 8x/dq = dQ~l(q)/dq.
Таким образом, преобразование q(t) = Q.(x(t)) может быть
получено в результате решения системы дифференциальных
уравнений в частных производных. При п = 2 часто рассматрива-
ется преобразование, которое называют выпрямлением векторно-
го ПОЛЯ'.
ПРИМЕР. Требуется преобразовать математическую модель
динамической системы G: хх = -х2, х2 = хх к виду
G*: ^=1, q2=0.
ддх / дхх	dqx / дх2	А		’Г
dq2 / дхх	5?2/аг2_	>2.		1 о 1 1	
Решением ее является прямое преобразование
Q: ^=arctg—; q2 - Jх2 + х22.
xi
Из геометрического представления декартовой и полярной сис-
тем координат, отождествляющих переменные х и q, легко опреде-
ляются связи:
Q1:	=<72COS<7U х2 = q2 sin^ .
422 ----

Глава 5
Из данного примера видно, что даже для линейных математических
моделей динамических систем достаточно простого вида процесс по-
иска диффеоморфного декомпозирующего преобразования является
весьма сложным, а определяемые прямое и обратное преобразования
могут оказаться сугубо нелинейными.
5.3. Обобщенная корректность задач
в технологическом цикле
навигационно-баллистического обеспечения
5.3.1. Нештатные ситуации,
приводящие к возникновению
некорректности решения задач НБО
Виды нештатных ситуаций и их причины
1. Ограниченный объем выборки измерений (ИТНП) при опе-
ративном определении параметров движения РКС, обусловлен-
ный срывом штатной схемы реализации циклограммы проведе-
ния радиоконтроля (РКО).
	Выход из строя измерительных средств, запланированных
для проведения штатной схемы РКО.
	Неполадки на борту РКС, которые не позволили провести
сеанс связи, включающий проведение РКО.
	Определение координат точки падения РКС по ИТНП в слу-
чае ошибок при выведении на орбиту или при сходе с орбиты.
	Геофизические факторы и атмосферные явления, влияющие
на возможность проведения сеансов РКО с использованием
квантово-оптических средств.
	Террористические атаки, которые могут привести к срыву
сеансов РКО.
2. Ограничение выборки ИТНП, обусловленное нештатными
ситуациями, в рамках которых имело место реализация штатной
схемы РКО, но выборка содержит сеансы ИТНП, которые не мо-
гут быть использованы для решения задачи оперативного опре-
деления параметров движения.
---- 423

Глава 5
	Искажения при передаче сеансов РКО с измерительной
станции в центр сбора ИТНП.
	Влияние радиотехнических и геофизических	помех.
	Отклонения технологических параметров	измерительных
средств от номинала (бортовые фазовые задержки, калибро-
вочные дальности пр.).
	Радиоэлектронное противодействие.
3. Несоответствие расчетного пространственно-временно-
го перемещения центра масс РКС реальному. Значение начально-
го вектора состояния q0 не обеспечивает требуемых результатов
с использованием штатных процедур определения параметров
движения РКС по ИТНП.
	После выведения РКС с помощью ракеты-носителя на орби-
ту при отклонениях параметров орбиты выведения от номи-
нальных.
	Отклонения параметров орбиты от номинальных при прове-
дении динамических операций, связанных с коррекцией ор-
биты РКС.
	Ошибки прогнозирования движения РКС, обусловленные
неадекватностью математической модели движения.
5.3.2.	Области некорректности
на различных участках полета РКС
Параметрические характеристики задач определения движе-
ния РКС в условиях выборок ИТНП ограниченного объема (чис-
ла обусловленности матрицы Грама):
Z = Cond (G) = II G || || G+||, G G+ G = G.
5Дч < Cond (G) ( 8G + 8 h) / (1 - cond (G) 8G).
Статистические модели областей некорректных задач
Для штатных схем выведения РКС с высотой орбиты
165...500 км:
-	ИТНП - наклонная дальность, мерный интервал менее
10...13 мин, число ИП менее 3-х, Mz = 2,0+18, oz = 1,3+05;
424 ---

Глава 5
-	ИТНП - наклонная дальность, радиальная скорость, мер-
ный интервал менее 2...9 мин, число ИП менее 3-х, Mz = 3,1+17,
oz = 2,9+04;
-	ИТНП - радиальная скорость, мерный интервал менее
10 мин, число ИП менее 3-х, Mz = 1,3+18, oz = 3,5+06.
Для штатных схем выведения РКС с высотой орбиты
500... 1000 км:
-	ИТНП - наклонная дальность, мерный интервал менее
10...15 мин, число ИП менее 3-х, Mz = 7,0+16, oz = 3,1+03;
-ИТНП - наклонная дальность или радиальная скорость,
мерный интервал менее 4... 12 мин, число ИП менее 3-х, Mz =
= 1,6+13, oz = 8,1+03.
На этапе орбитального полета:
-	для РКС с высотой орбиты 160...500 км
ИТНП - наклонная дальность или радиальная скорость при
проведении измерений движения РКС с одного ИП на 3-х и
менее последовательных витках или с 2-х ИП на одном вит-
ке, Mz = 5,2+15, oz = 3,4+04;
-	для РКС с высотой орбит 450... 1300 км.
ИТНП - наклонная дальность или радиальная скорость при
проведении измерений движения РКС с одного ИП на менее,
чем на 3-х витках или с 3-х ИП на одном витке, Mz = 2,9+14,
oz = 7,1+03;
-	для РКС на высокоэллиптической орбите с высотой полета
от 600... 1500 км до 20 000 км - 42 000 км
ИТНП наклонная дальность, радиальная скорость при про-
ведении ИТНП с одного ИП на одном витке или с двух ИП
на мерном интервале менее 3...4 ч или с трех различных ИП
на мерном интервале менее 3 ч, Mz = 1,1+16, oz = 9,1+03;
-	для геостационарных РКС
ИТНП - наклонная дальность, радиальная скорость при про-
ведении ИТНП с одного ИП или двух ИП на мерном интер-
вале менее 5...6 ч, Mz = 1,7+15, oz = 3,9+03.
В записях (например, Mz = 1,7 + 15) для краткости первое число
обозначает математическое ожидание числа обусловленности мат-
рицы Грама, а второе (+15) обозначает степень числа 10, на кото-
рую надо домножить первую величину (1,7).
---- 425

Глава 5
5.3.3.	Объединение
«задача НБО - инструмент решения (АС НБО)»
как объект-система
Согласно закону системности общей теории систем, объеди-
нение «задача НБО - инструмент решения (АС НБО)» (ЗИ), как и
всякий другой объект, есть объект-система. Действительно, под
системой понимают: «объект любой природы либо совокупность
взаимодействующих объектов любой, в тп.ч. различной природы,
обладающий выраженным «системным» свойством, т.е. свой-
ством, которое не имеет ни одно из свойств частей».
В ЗИ легко выделить первичные элементы - задача НБО (с
ее внутренними структурными свойствами), а также виды обеспе-
чения инструмента ее решения (АС НБО): математическое, про-
граммное, техническое, информационное, организационное, мет-
рологическое, лингвистическое и правовое. Сюда, по-видимому,
могут быть отнесены и некоторые другие характеристики, на-
пример безопасность информации, эргономическое обеспечение
и прочее. Системное свойство совокупности первичных элемен-
тов, т.е. свойство, которым не обладает ни один из элементов,
взятый сам по себе, состоит в реализации задачи НБО на средст-
вах автоматизированной системы, обеспечивающей ее автомати-
зированное решение.
Выделим основные признаки задачи НБО и инструмента ее
решения (АС НБО) как объекта-системы. ЗИ - это абстрактная,
концептуальная система с детерминированной структурой. Вме-
сте с тем, для пользователя результатов расчетов объект выступа-
ет как стохастическая система (из-за дефектов структуры, их чис-
ла, времени воздействия и т.д.). Такое несовпадение свойств ЗИ
как «вещи в себе» и «вещи для нас» (сущности и явления) опре-
деляет сложность проблемы НБО потребителей.
Объект-система ЗИ является иерархически организованной,
открытой системой, осуществляющей обмен данными с внешней
средой. ЗИ - развивающая система. Источник развития заключен
в несоответствии отдельных видов обеспечения инструмента ре-
шения (автоматизированной системы) и условий применения
возрастающим требованиям, предъявляемым к характеристикам
426 --

Глава 5
решения задач НБО. Эта причина порождает скачкообразный
процесс перехода от одного этапа развития рассматриваемой
объект-системы к другому.
Развитие в направлении отрицания очередным этапом пред-
шествующего включает и элемент преемственности, вытекающий
из единства задач навигационно-баллистического обеспечения.
Функционирование ЗИ через обратные связи приводит к необходи-
мости уточнения постановки задач, что формирует новый цикл раз-
вития объект-системы. Это позволяет говорить о продолжающейся
разработке, «развивающихся» версиях ЗИ. Таким образом, имеет
место единство внутренних и внешних причин развития ЗИ и его
основных компонентов - источника, характера и направления.
Как всякая система, объект-система ЗИ работает в определенной сре-
де, которой, прежде всего, является инструментальная база. Однако
сам инструментарий помещается в некоторую внешнюю среду, за-
дающую цель функционирования (следовательно, показатели качест-
ва), внешние воздействия и требования от систем различного уровня
иерархии (в т.ч. «параллельных» систем), определяющих частные по-
казатели качества исходя из различных условий функционирования.
Связь «ЗИ - среда» иллюстрирует рис. 5.3. С учетом обозна-
чений, приведенных на нем, среда ЗИ может быть представлена
следующим кортежем:
С = <Ц(К), И, Т,У>,
где Ц(К) - цель функционирования, определяющая критерии ка-
чества; И - входная информация; Т - требования; У - условия
функционирования.
Конкретная реализация ЗИ имеет свойства общего, особенного и еди-
ничного. Тогда из множества признаков ЗИ часть их будет типичной
для всех классов задач НБО, другая - для данного класса, некоторые
же признаки будут относиться лишь к группе задач данного класса.
Возможные уровни общности ЗИ видны на рис. 5.4.
На рис. 5.4,а показан типовой вариант общности, при кото-
ром БЦ (ВЦ) выполняет функции объекта общего предназначения
--------------------------------------------------------- 427

Глава 5
(ООП) наземного автоматизированного комплекса управления
(НАКУ), комплекса запуска. Центры управления полетами РКС
при этом выполняют, главным образом, задачи вторичной балли-
стики (при рассмотрении сегмента НБО), ОКИК и/или ИП - зада-
чи согласованного объема. Роль дублирующего БЦ (ВЦ) (при не-
обходимости) играет центр с аналогичной схемой построения.
___________Среда_________
Условия функционирования
_______Требования________
Входная информация
Цель (критерии)
ЗИ
________________________Рисунок 5.3 _______________________
Связь объект-системы ЗИ с внешней средой
Объект-система ЗИ на уровне БЦ (ВЦ)
Объект-система ЗИ на уровне ЦУП
Объединение ЗИ на уровне ОКИК, ИП
л)
Объект-система ЗИ задач НБО
на уровне БЦ (ВЦ)
Объект-система ЗИ задач НБО
на уровне ЦУП
Объединение ЗИ задач НБО
на уровне ОКИК, ИП
б)
__________________Рисунок 5.4 _________________
Типовой вариант общности НБО (а), вариант общности
при выполнении всех задач ЦУП (<?)
428 ----

Глава 5
На рис. 5.4,6 показан вариант общности, при котором весь
объем задач НБО выполняется ЦУП (как высшим звеном техно-
логического управления РКС), а баллистический (вычислитель-
ный) центр, как объект общего предназначения, дублирует расче-
ты отдельных (важных) операций и привлекается к участию в
контуре управления при возникновении особых (нештатных) си-
туаций.
Кроме того, в пределах фиксированного класса задач НБО возможна
«настройка» ЗИ на некоторую группу задач (класса задач), отличаю-
щихся условиями решения, характером входной информации, мето-
дами решения и т.д., например класс задач по расчету динамических
операций, задачи расчета данных на спуск возвращаемых элементов,
задачи вторичной баллистики и другие. Каждая задача из того или
иного класса имеет не только свои особенности решения, но также
свои (присущие данному классу) внутренние структурные свойства,
реализующиеся в «своих» условиях среды.
Связка «задача-инструмент» НБО не остается неизменной
во времени, а постоянно развивается, находится в динамике.
Можно говорить об этапах ввода в эксплуатацию автоматизиро-
ванных систем НБО (см. рис. 5.5), реализующих и новые возмож-
ности задач определения движения объектов.
Настоящий этап развития ЗИ НБО характеризуется интен-
сивным оснащением современными комплексами средств авто-
матизации на базе высокопроизводительных ПЭВМ, а также вне-
дрением новых информационных технологий. При этом объект-
система ЗИ НБО (рис. 5.6) рассматривается как целенаправленная
иерархическая большая интегрированная система, представляю-
щая собой совокупность иерархически зависимых сложных под-
систем, обладающих определенной степенью организованности и
автономности и содержащих людей-операторов и пространствен-
но разнесенные комплексы средств автоматизации выполнения
функций управления, объединенных, исходя из действующей ие-
рархии целей, с помощью энергетических, вещественных и ин-
формационных связей в единую многоконтурную систему «чело-
век-машина» для повышения эффективности процессов НБО.
---- 429

Глава 5
Этапы развития ЗИ НБО
Процесс разработки
ЗИ НБО (1-я версия)
3_
2
1
Процесс разработки
ЗИНБОвОКР
по развитию АС КА
Процесс разработки
ЗИНБОвОКР
по созданию элемента АС
Процесс разработки
ЗИНБОвОКР
по созданию АС КА
Ввод в экс- Ввод в экс-
Ввод в экс-
<•
t
плуатацию плуатацию плуатацию
АС 1-го этапа АС 2-го этапа АС 3-го этапа
________________________Рисунок 5.5 ______________________
Этапы развития ЗИ НБО
________________________Рисунок 5.6 _____________________
Объект-система задач НБО с внешней «инфраструктурой»
430 ----

Глава 5
С совершенствованием инструмента решения задач НБО по-
является возможность решать усложняющиеся задачи определения
параметров движения, осуществлять стандартизацию и унифика-
цию, производить идентификацию и адаптацию. Вместе с тем, ус-
ложнение инструментария, требующее человеко-машинной реали-
зации методов, моделей и алгоритмов навигационно-баллисти-
ческих задач (НБЗ) в виде программных средств на комплексах
средств автоматизации с соответствующими видами обеспечения,
создает, как правило, и дополнительные трудности их решения.
Указанное противоречие может быть частично разрешено
рассмотрением связки «ЗАДАЧА - ИНСТРУМЕНТ РЕШЕНИЯ»
как ОБЪЕКТ-СИСТЕМЫ.
5.3.4.	Соотношение понятий
корректности/некорректности задачи
(подход Бетанова, 1994)
Диаграмма Эйлера понятия обобщенной некорректности за-
дач НБО представлена на рис. 5.7. На нем в круглых скобках ука-
зывается информация о том, за счет каких факторов возникает
обобщенная некорректность задачи НБО, а именно:
________________________Рисунок 5.7________________________
Диаграмма Эйлера для обобщенных некорректных задач
навигационно-баллистического обеспечения
----- 431

Глава 5
ММА - методы, модели, алгоритмы (математическое обес-
печение инструментария - автоматизированной сис-
темы навигационно-баллистического обеспечения);
ПС	-	программные средства;
Я	-	лингвистический фактор (языковые средства);
И	-	информационное обеспечение;
Ч	-	эргатический фактор (человек),	административная
составляющая;
Т	-	технические средства;
П	-	правовое обеспечение;
Мт	-	метрологическое обеспечение.
Рассмотрим математические определения корректностей (не-
корректностей) задачи и этапность их введения в практику работ
(см. С. 433).
5.3.5.	Факторы корректности/некорректности задач
навигационно-баллистического обеспечения
Условия корректности и обобщенной корректности за-
дач НБО и их определяющие факторы
Корректная задача НБО
U
по Адамару
U
Условия:
1)	существование решения;
2)	единственность решения;
3)	устойчивость решения.
Обобщенная корректная задача НБО
V
Условия:
1)	существование решения;
2)	единственность решения;
3)	обобщенная устойчивость решения (с учетом инструмен-
тария).
432 ----

Глава 5
КОРРЕКТНОСТЬ 2-ГО
ОБОБЩЕННАЯ КОРРЕКТНОСТЬ 1-ГО РОДА (1994 г.)________________________
_________КОРРЕКТНОСТЬ ПО А.Н. ТИХОНОВУ (1943-1962 гг.)
КОРРЕКТНОСТЬ ПО Ж. АДАМАРУ (1923 г.)
Задача решения уравнения Az = и, z е Z,u eU называется корректно
поставленной на паре метрических пространств (Z,U), если выполнены
следующие условия
1.	Для любого элемента и g U существует элемент z g Z такой, что
Az = и (условие разрешимости).
2.	Для любых элементов z},z2eZ из равенства Azx =Az2 следует
равенство zt = z2 (условие единственности).
3.	Для любых элементов wpm2gI/ и элементов zl=z2 таких, что
Az1=ul и Az2=u2, и любого числа е>0 можно указать число
8(e) > 0 такое, что из неравенства	8(e) следует неравенство
Р2 (zp z2 ) - е (условие устойчивости).
Пусть в пространстве Z выделено некоторое множество М с Z .
Задача решения уравнения Az-и называется корректной по А.Н. Ти-
хонову, если:
1.	Априори известно, что решение задачи существует и принадлежит М.
2.	Решение единственно на множестве М.
3.	Для любых z},z2 G М и любого числа е > 0 существует 8(e) > 0 такое,
что из равенства pu(Az19Az2) < 8(e) следует неравенство pz(zpz2)<s , т.е.
оператор А~* 1 2 непрерывен на образе множества Л/. Тогда множество Л/ - множе-
ство корректности (оно должно быть компактом).______________________
Задача называется обобщенно корректной 1-го рода, если
1.	Априори известно, что решение задачи как объект-системы (т.е. решение за-
дачи с учетом инструментария его решения) существует и принадлежит Л/°.
2.	Решение единственно на множестве Л/°.
3.	Для любых z^,z2	и любого числа е° >0 существует 8°(е°)>0 такое,
что из неравенства pu(Az °,Az2) < 8°(е°) следует неравенство pz(zf 9z2) < е°,
т.е. оператор А~' непрерывен на образе множества Л/°. Множество Л/° при этом на-
зывают множеством обобщенной корректности.
При этом величина pu(Az °,Az2) рассматривается как результат влияния со-
вокупности погрешностей А5	= SAP i = l,N, где W определяется количест-
вом факторов, деформирующих решение (для автоматизированных систем в соот-
ветствии с видами обеспечения принимается N = 8).
ОБОБЩЕННАЯ КОРРЕКТНОСТЬ 2-ГО РОДА (1996 г.)
Задача называется обобщенно корректной 2-го рода, если
1. Выполняются требования обобщенной корректности 1-го рода.
2. Решение и процесс его получения должен удовлетворять ограничениям вида:
'реш^'доп-
Здесь У, - компоненты вектора, характеризующего качество полученного решения, а
параметр /дол задает временные ограничения.
---- 433

Глава 5
Связь между понятиями обобщенная некорректная задача и
обыкновенная некорректная задача становится очевидной при
интерпретации обобщенной некорректной задачи как некоррект-
ной задачи (в смысле Тихонова), рассматриваемой вместе с ее
«предысторией» и средой, в которой она реализуется.
Факторы, определяющие корректность задачи
1.	Математический метод решения.
2.	Точность задания данных (информационные ограничения).
3.	Внутренние структурные характеристики задачи (наблю-
даемость, идентифицируемость и др.).
Факторы, определяющие обобщенную корректность
задачи
1.	«Машинный» метод и алгоритм решения задачи.
2.	Корректный выбор математических моделей.
3.	Корректность видов обеспечения АС НБО.
4.	Обобщенные внутренние структурные характеристики
(обобщенная наблюдаемость, обобщенная идентифицируемость и
т.д.).
5.	Системные (в т.ч. комбинированные) характеристики
внешней среды (смешанные факторы, изменение условий реше-
ния задачи, изменение целей и др.).
Структурная схема измерительных задач с элементами
обобщенных структурных свойств показана на рис. 5.10.
Связь областей решения
некорректных и обобщенно некорректных задач
Существенной особенностью понятия некорректная задача
НБО и обобщенная некорректная задача НБО является наличие
взаимно однозначного соответствия между задачами и их реше-
ниями (если таковые существуют).
Если решение «традиционной» регуляризированной некорректной за-
дачи «автоматически» входит в область решений обобщенных некор-
ректных задач, то решение (или решения) обобщенных некорректных
задач, в общем случае, не включаются в область решения некоррект-
ных задач НБО (в «традиционном» или узком смысле).
434 ---

______________________Рисунок 5.10_______________________
Структурная схема измерительных задач с определением обобщенных
структурных свойств
Глава 5

Глава 5
_______________________Рисунок 5.11______________________
Области определения и решения некорректных
и обобщенных некорректных задач НБО
5.5.6. Управление решением обобщенных
некорректных задач в технологическом цикле
навигационно-баллистического обеспечения
Для успешного определения пространственно-временных
характеристик РКС должна быть разработана автоматизирован-
ная система управления разрешением обобщенной некорректно-
сти задач НБО. Общая схема управления решением ОНкЗ в тех-
нологическом цикле определения параметров движения РКС,
включающая этапы выявления некорректностей, распознавания
образа (причины), ранжирование некорректностей, а также пре-
образование (редуцирование) и решение задачи НБО, представ-
лена на рис. 5.12.
Центральным элементом рассматриваемой системы управ-
ления решением обобщенных некорректных задач является,
безусловно, является блок преобразования (редуцирования) за-
дачи НБО.
436 ----

Глава 5
Данные от системы
верхнего уровня иерархии
________________________Рисунок 5.12______________________
Система управления решением ОНкЗ
в технологическом цикле НБО
Общие и специальные меры регуляризации ОНкЗ
Среди мер регуляризации обобщенных некорректных за-
дач (ОНкЗ) наряду с методами решения классических некор-
ректных задач можно выделить универсальные (системные) и
специальные.
Универсальные (системные) меры регуляризации
	Интеллектуальный банк (база знаний) баллистических дан-
ных, включающего соответствующую систему управления и
экспертную систему.
	Поэтапная проверка достоверности получаемых решений в
ходе выполнения технологического цикла (ТЦ) БНО.
	Многоэтапное решение задачи оценивания с учетом техни-
ческого состояния средств.
	Параллельное использование разнообразных методов, моде-
лей и алгоритмов БНО. а также разных элементов комплек-
сов средств автоматизации.
---- 437

Глава 5
	Комплексное сочетание (выбор) частных способов регуляри-
зации, обеспечивающее оптимальное (рациональное) реше-
ние задач БНО.
	Эффективная организация программирования решаемых за-
дач, вычислительного процесса, а также эксплуатации про-
граммно-математического обеспечения.
	Принцип внешнего дополнения как основы получения объек-
тивных результатов моделирования и другие.
Специальные меры регуляризации
	Конкретные условия.
	Специфика решаемых задач.
Для трех основных элементов ТЦ БНО ниже приведены дос-
таточно широко распространенные и оригинальные меры регуля-
ризации ОНкЗ математического моделирования, предваритель-
ной обработки измерений (ИТНП), а также определения вектора
состояния (ОВС).
Типовые меры регуляризации основных ОНкЗ НБО
Математическая модель движения (ММД)
1.	Корректный выбор класса ММД (детерминированная,
стохастическая, неопределенная, смешанная).
2.	Корректный выбор состава возмущающих факторов в ПЧ
СДУ.
3.	Обоснованный выбор класса элементов ММД - моделей
возмущающих факторов (моделей гравитационного поля Земли,
атмосферы, светового давления и др.).
4.	Корректный выбор моделей возмущающих факторов по
определенному показателю качества (например, точности описа-
ния).
5.	Корректный выбор метода решения СДУ движения РКС
(численный, аналитический, комбинированный, специальный).
6.	Экспериментальный выбор математических моделей раз-
ных видов (классов).
7.	Выбор системы переменных (в т.ч. неособенных).
8.	Корректный способ построения полиномной среды (таб-
лиц узловых значений - ТУЗ).
438 ---

Глава 5
9.	Определение и выбор констант, в т.ч. машинных.
10.	Выбор шага интегрирования (для численных и численно-
аналитических методов).
11.	Выбор фундаментальной эпохи (эпохи отсчета) исходя из
разрядности представления чисел в ЭВМ. Как правило, осущест-
вляется на этапе разработки автоматизированного комплекса
программ.
Предварительная обработка (ПрО) ИТНП
1.	Корректное проведение логического этапа ПрО ИТНП:
-	контроль соответствия структуры посылок сеансов ИТНП
установленным;
-	контроль достоверности посылок по корректирующему коду;
-	перекодировка поступающих посылок ИТНП в форму,
удобную для организации их дальнейшей обработки;
-	поиск, выборка, контроль достоверности и раскодировка
адресных, технологических и информационных посылок.
2.	Корректный учет поправок, учитывающих влияние:
-	геофизического фактора;
-	релятивистского фактора;
-	методических погрешностей измерений;
-	особенностей функционирования бортовых и наземных
средств.
3.	Отбраковка (пометка) аномальных измерений с использо-
ванием различных критериев (допустимых пределов, временному
интервалу, «трех сигм», информационных критериев и др.).
4.	Использование уточненных технологических данных из-
мерительных средств (проведение юстировки).
5.	Использование концепции полиномной среды.
6.	См. п. 17 для ОВС.
Определение вектора состояния (ОВС)
1.	Посеансная обработка ИТНП.
2.	Отбраковка аномальных ИТНП.
3.	Использование матричных регуляризующих преобразова-
ний, когда собственные числа матриц, участвующие в вычисли-
тельном процессе, существенно отличаются друг от друга.
---- 439

Глава 5
4.	Выбор системы переменных для ОВС.
5.	Выбор метода решения задачи (при заданном показателе
качества).
6.	Корректный выбор модели измерений.
7.	Выбор весов ИТНП.
8.	Выбор критерия и параметров завершения задачи.
9.	Выбор метода расчета частных производных (аналитиче-
ский, вариаций, конечных разностей, специальный).
10.	Выбор режима решения: по разностям, традиционный.
11.	Выбор состава уточняемого ВС.
12.	Использование коцепции полиномной среды (ТУЗ).
13.	Выбор способа учета априорных данных.
14.	Выбор способов совместного уточнения ВС.
15.	Выбор размерности уточняемых и измеряемых парамет-
ров.
16.	Выбор метода нормирования матриц СНУ.
17.	Использование значений координат* ИП, согласованных с
моделями ГПЗ, ПВЗ и др.
5.3.7.	Научно-методический аппарат А.В. Чечкина
для описания обобщенной корректности задач
Изучению влияния различных факторов (суть видов обеспе-
чения) автоматизированных систем переработки информации и
управления (АС НБО и АСУ РКС) на конечный результат функ-
ционирования объектов посвящено значительное число работ.
Простое их перечисление заняло бы достаточно большое место.
Влияние различных видов обеспечения автоматизированной системы,
как инструментария, вносящего одновременно соответствующие де-
формации в решение задачи, изучено в неравной мере:
-	более глубоко и фундаментально - математическое, информационное;
-	достаточно детально - программное и отдельные аспекты техни-
ческого;
-	менее основательно - метрологическое (в настоящее время только
формируются основы системной метрологии), лингвистическое и пра-
вовое;
440 ---

Глава 5
еще менее изучено влияние организационного обеспечения (напри-
мер, различных моделей поведения оператора-баллистика в процессе
выполнения технологического цикла НБО, «заложенных» в базу бал-
листических знаний) на результаты расчетов.
Требует значительных интеллектуальных усилий осмысление функ-
ционирования объект-системы «задача НБО-инструмент решения (АС
НБО)» в условиях изменяющейся среды, например целей расчетов,
требований к процессу функционирования АС НБО и т.д. Само пове-
дение объект-системы во времени и в пространстве в окружении дру-
гих объектов оказывается изменяющимся иногда детерминировано,
иногда стохастически.
Вместе с тем, исследование комплексного рассмотрения
влияния максимального числа факторов-видов на конечный ре-
зультат расчетов в известной литературе, по-существу, отсутст-
вует. Главная трудность здесь, по-видимому, заключается в том,
что «декомпозиционное» рассмотрение влияния отдельных фак-
торов в условиях больших систем требует специфических мате-
матических методов, моделей, алгоритмов, а также в каждом слу-
чае особых приемов, подходов, описаний и пр.
До последнего времени отсутствовал удовлетворительный
математический аппарат, который позволял бы с единых позиций
описать влияние каждого фактора-вида на конечный результат с
достаточной мерой глубины (например, влияния отказов в функ-
ционировании аппаратуры и действий оператора-баллистика того
или иного уровня организационной системы АС НБО при прове-
дении расчетов).
Разработанная профессором А.В. Чечкиным [18, 24, 34] общая теория
ультраоператоров в значительной мере удовлетворяет требованиям
исследования вышеназванных вопросов, так как в ней определяется и
изучается новый вид отображений, являющихся обобщением класси-
ческих понятий.
Классические отображения осуществляют соответствия
между точками множеств. При этом подразумевается, что точ-
ки известны с абсолютной точностью. Новые отображения, на-
----- 441

Глава 5
званные ультраотображениями, осуществляют соответствия меж-
ду информациями о точках множеств.
Таким образом, достигается общность и возможность ком-
плексного рассмотрения вопроса, при сохранении всех возмож-
ностей детализированного описания исследуемого предмета.
Основная конструкция теории, названной теорией ультра-
систем, позволяет по отдельным сведениям о точке прообраза
получать отдельные сведения о точке образа. На множестве ульт-
раоператоров определяются различные операции, и изучается их
алгебра.
Применение ультраоператоров и ультрасистем позволяет эффективно
описать в том числе обобщенные структурные характеристики изме-
рительных задач, а именно: обобщенную наблюдаемость, обобщен-
ную управляемость, обобщенную идентифицируемость и т.д. на обра-
зе объект-системы (а не только в ее математическом проявлении при
постановке и решении задачи).
Так, под обобщенной наблюдаемостью измерительной зада-
чи в объект-системе может пониматься наблюдаемость задачи
определения параметров движения (ОПД) сложного динамиче-
ского объекта (СДО) не только за счет «классических» матема-
тических ее аспектов (соответствующего ранга матрицы наблю-
даемости и вариантов решения в плохообусловленном случае), но
также в расширенной математической трактовке (приведения
нелинейной задачи путем линеаризации к линейному варианту и
пр.) и учета влияния других видов обеспечения инструментария
(недостаточности данных, наблюдаемости в условиях шумов из-
мерений различного рода, в т.ч. аномального характера, предна-
меренной замены измерений другими данными и пр.).
При новом подходе использование информационной производной по-
зволяет ввести критерий обобщенной наблюдаемости объектов, в т.ч.
и самой объект-системы в целом. Последнее особенно важно при вы-
явлении и анализе причин аварийных и нештатных ситуаций при
летных испытаниях и ОПД СДО.
442 ----

Глава 5
Например, причиной неверных действий оператора радио-
технического измерительного комплекса может оказаться не от-
сутствие необходимого объема отработки им навыков действий в
тех или иных ситуациях, а неверно составленная инструкция дей-
ствий номера расчета в сложившейся ситуации или неэргономич-
ность спроектированной панели АРМа и т.д. В подобных задачах
для верного поиска причин аварийной ситуации, прежде всего,
выясняется ответ на вопрос: а какие виды обеспечения рассмат-
риваемой объект-системы обобщенно наблюдаемы или нет.
При определении обобщенной ненаблюдаемости вносятся коррективы
для выявления ненаблюдаемых элементов косвенно через дополни-
тельные данные.
Дальнейшее совершенствование (в т.ч. доработка в части касающей-
ся) теории ультраоператоров и ультрасистем позволит в полной мере
не только расширить путем обобщения структурные понятия и свой-
ства измерительных задач, но и в перспективе осуществлять полную
обработку данных в модели объект-системы: измерительная задача -
автоматизированная система ее решения.
Системное описание влияния
деформирующих решение факторов в АС НБО
Воспользуемся рядом основополагающих положений, разра-
ботанных в [41], преломляя их к рассмотрению исследуемой про-
блемы. Кроме того, введем дополнительные необходимые опре-
деления и утверждения, позволяющие системно описать объект-
систему «задача-инструмент» НБО.
□	Определение 5.1 [41]
Пусть имеется отображение
А:Х—»Z	(5.1)
и пусть Рх, Pz - решетки достоверностей для X, Z. Если любой
информации о произвольной точке х g X поставлена в соответст-
вие единственной информации о точке z = Ах, z е Z, то говорят,
что имеется улътпраотображение над А (обозначаемое далее Ал),
при этом отображение А называют опорным.
---- 443

Глава 5
□	Определение 5.2
Пусть X, Z - два множества, А: X —> Z - отображение (5.1) и
ХЛ„НСТр, ZAMHCTp- ультраоснащения X, Z. Тогда отображение
да • Ул —4. 7Л	fS 9^
инстр- инстр г ИНСТр	ХУ’^)
называют улыпраоператором над А, если коммутативна диаграмма
ХЛинстр
2Аинстр
(рх)8х(Х)	Алинстр
(pz)8z(Z)
О--------нр
Гхинстр	Гхинстр
О--------ю
ХА	Z
где гхинстр, rZHHCip - естественные проекции декартова произведения
PxLxX = Х^стрГхинстр на последний сомножитель:
г • VA > V г • 7Л > 7
Ахинстр’ инстр Т AZHHCTp- инстр Т
Коммутативность диаграммы (2.3) означает равенство двух
композиций:
(5-4)
А Гхинстр Гхинстр АЛ.
□	Определение 5.3
Ультраоператор ЕЛИНСтр над тождественным отображением
называется сингулярным.
Коммутативная диаграмма (5.3) для сингулярного ультра-
оператора ЕЛИНстр имеет вид
ХЛинсгр! Елинсгр ХЛиНСТр2
Q----------------*9
(pxi)3xi(X)	Е Линсгр	(рХ2)6х2(Х)
О-------------------КЗ
Гхинстр!
Гхинстр2
Гхинстр!
Гхинстр2
-км----------
X
(5-5)
XX—
X
Здесь XAmCTpi =PixLixX, Х^стрз = P2xL2xX - два ультраос-
нащения одного множества X.
Также, как и в работе [8], если рассмотреть частный случай
ЕЛинстр. (pxl) 6x1 (х)	(Рх2) 6х2 (х),
(5.6)
444 ----

Глава 5
то сингулярный ультраоператор будет:
а)	транслятором, если в (2.6) pxi = рх2, Sxi — 8х2;
б)	обобщающим, если в (2.6) pxi > рх2, 8xi ( Зх2;
б)	уточняющим, если в (2.6) pxi < рх2, 8xi) 6х2.
В остальных случаях сингулярный улътраоператор будем
называть общего вида.
□	Определение 5.4
Если ХЛинстр1 = Р х LixX, ХлИнстр2 = Р х L2xX - два ультраос-
нащения одного множества X и Ц с Ь2, то ХлИНС1р1 cz XA„HCip2 и
всякий ультраоператор, заданный на ХАИНС1р2, будет определен на
ХА
инстрЬ
В этом случае ультраоператор, определенный на ХЛИНстрь бу-
дем называть сужением улътраоператора, заданного на Хлинсгр2
и, наоборот, ультраоператор, заданный на Хлинстр2, будем назы-
вать расширением улътраоператора, определенного на Хлинсгр1.
При этом расширение и сужение ультраоператоров происходит за
счет решеток понятий при сохранении опорного оператора одним
и тем же.
□	Утверждение 5.1
Для любого отображения А: X -> Z и любых ультраоснаще-
ний ХЛИНСТр - PxLxX, ZAHHCTp = QxM*Z существует ультраоператор
ААИНСТр. X инстр ► ZAHHCIp над А.
Доказательство непосредственно вытекает из доказанной
теоремы (критерий улътраоператора) в работе [30]. В самом де-
ле, достаточно рассмотреть, например, некоторые отображения
решетки достоверностей вида В(р) = qmax для любого р е Р и ото-
бражения решетки понятий вида С(8) = Z для любого 8 е L.
Тройка отображений
АЛИНстр = {В; С; А}	(5.7)
определяет ультраоператор.
□	Определение 5.5
Ультраопертор называется универсальным, если все отобра-
жения решеток достоверностей и все отображения решеток поня-
тий совпадают между собой.
---- 445

Глава 5
Другими словами, универсальный ультраоператор определя-
ется тремя отображениями АЛинстр = {В; С; А}, где
В: Р —> Q, C:L—>М, A:X-+Z.	(5.8)
Введем понятие явных (наблюдаемых) и неявных (ненаблю-
даемых) пар ультраоснащений.
□ Определение 5.6
Пару ультраоснащений ХЛ-УЛ назовем неявной (ненаблю-
даемой), если ультраоператор СЛ: Хл----> Ул неинъективен.
В противном случае указанную пару будем считать явной (на-
блюдаемой).
Аналогично, пару ультраоснащений ХЛ1-ХЛ2 одного и того
же множества X назовем неявной (ненаблюдаемой), если сингу-
лярный ультраоператор ЕЛ: ХЛ1---> Хл2 неинъективен. В про-
тивном случае указанную пару будем считать явной (наблю-
даемой).
Наблюдаемость - важное структурное свойство задач оце-
нивания. (Фактически здесь речь идет о возможности оценивания
одних ультраоснащений через наблюдение других, например, в
контексте изучаемой проблемы - изучение деформаций лингвис-
тического обеспечения через наблюдение деформаций программ-
ных средств и т.п.).
Наблюдаемость (а также родственное понятие идентифици-
руемость) в значительной степени влияет на единственность ре-
шения задачи оценивания. Так же как и в динамических системах
[19], понятие наблюдаемости может быть использовано при ана-
лизе декомпозируемости задач, т.е. возможности ее разделения на
более простые.
Очевидно, что в этом случае можно говорить об обобщен-
ных структурных характеристиках задачи оценивания, учиты-
вающих ультраоснащения (инструментарий) опорной задачи:
обобщенной декомпозируемости и т.д.
По аналогии с динамическими системами введем критерии
наблюдаемости. С этой целью воспользуемся введенной в рабо-
те [8] информационной производной и теоремой об информа-
446 ---

Глава 5
ционной производной улътраоператора для конечной решетки
понятий.
Если АЛинстр. Хлинстр > ZAHHCTp ~ ультраоператор и
Хлиисгр = PxxLxxX, ZAHHCTp = Pz*LzxZ - два ультраоснащения, где
Lx - конечная решетка понятий, то для любых начальных распре-
делений достоверностей в Lx, Lz и любой точки х0 е X существу-
ет информационная производная ультраоператора в этой точке,
причем
ОхоА инстр Xq,
где Ка > 0 - коэффициент в равенстве
Kai [(1 )а(хо)] = I [ААИНС1р((1)а(хо))]
для атома а решетки Lx, содержащего точку х0? т.е. Хо е а.
□	Предложение 5.1
Если информационная производная ОхоААИНСтр ультраопера-
тора ААинстра для конечной решетки понятий строго больше еди-
ницы в каждой точке хо е X, то рассматриваемая пара ультраос-
нащений наблюдаема.
Если информационная производная принадлежит интервалу (0,1], то
имеет место плохая наблюдаемость, а при строгом равенстве нулю -
ненаблюдаемость рассматриваемой пары ультраоснащений.
Таким образом, фактически введен критерий наблюдаемо-
сти пар ультраоснащений (ультранаблюдаемости). Можно
предположить, что для канонических ультраоператоров данный
критерий дает необходимые и достаточные условия наблюдае-
мости.
Кроме того, могут быть рассмотрены улътранаблюдаемость
в точке и глобальная улътранаблюдаемость.
□	Определение 5.7
Пусть ХАь Ха2, Хаз, Ха4, Ха5, Ха6 - ультраоснащения одного
множества X и Eai_2, Eai_5, ЕА3^, ЕА5_2, ЕА2_4, ЕА4_6, ЕА2_6 - сингу-
лярные ультраоператоры с диаграммой
---- 447

Глава 5
Тогда ультраоператоры ЕЛ1_2, Ел3^, Ел5_2, ЕЛ2^, ЕЛ4_6, Ел2_б>
соответственно определенные на Хль Хл3, Хл5, Хл2, Хл4, Хл2, не-
сюръективны, если они являются сужениями соответствующих
ультраоператоров, заданных на ХЛ2, Хл4, Хл2, Хл4, Хл6, Хл6.
□	Утверждение 5.2
Пусть Хлм, Хлпс, Хли, Хлч, Хлмт, Хлт, Хля, Хлп - ультраосна-
щения одного множества X с элементарной решеткой достовер-
ностей, учитывающие его деформации соответственно за счет
математических, программных, информационных, организацион-
ных (человеческих), метрологических, технических, лингвисти-
ческих (языковых) и правовых возмущений, и ЕЛП_Ч, Елп_и, Еля_пс,
Е т-мт9 Е мт-45 Е ч_и, Е и-пс? Е и_м, Е пс-mj Е п-мт сингулярные опера-
торы вида:
ЕЛ . VA _____< У А .Т7Л . VA _. VA . РА . уЛ ____. у Л .
П-Ч* П Т 45^ п-и* п т и? я-пс- Я * ПС?
Ел . ул _____v ул .рл . ул	 v	ул . рл .	ул _v ул .
Т-МТ* Т	Т МТ?1-' МТ-Ч* МТ	Т	45 ч-и-	ч	г и?
ЕЛ . ул _____. ул .рл . ул _____V	ул . рл .	ул _V ул .
И-ПС* И	Т ПС?-*—' и-м- и	Т	М5 -L' ПС-М*	ПС	* М5
Ел	. ул  . ул
П-МТ* п т мт*
Тогда справедлива следующая диаграмма:
448 ----

Глава 5
Доказательство утверждения непосредственно вытекает из ра-
нее введенных определений и соотношений решеток понятий для X.
□	Предложение 5.2
Пусть ХЛМ, ХЛПС, Х\, Хлч, Хлмт, Х\, Х\ Х\ и Z\, Z лпс, Z
ли, Z лч, Z лмт, Z лт, Z ля, Z лп - две группы ультраоснащений мно-
жеств X и Z с элементарными решетками достоверностей, учиты-
вающие их деформации соответственно за счет математических,
информационных, организационных (человеческих), метрологи-
ческих, технических, лингвистических (языковых) и правовых
возмущений, и ЕЛП_Ч, Елп_и, Еля_пс, Елт_мт, Елмт_ч, Елч.и, Ели_пс, Ели_м,
рл рл рл ’ рл ’ рл ’ рл ’ рл ’ рл ’ рА ’ рл
ПС-М5 П-МТ5	П-Ч 5 П-И 5 Я-ПС	> Т-МТ ? А-' МТ-Ч ,	Ч-И ? И-ПС	, и-
м’, Елпс-м’, Елп.мт’ - сингулярные операторы вида:
ЕЛ . уЛ ____k ул .рл . ул	_k ул . рл . ул ____. ул .
П-Ч* П	т Ч,^ П-И* П	г И, Я-ПС* Я	т ПС,
Ел . ул ____V ул .рл . ул	 V ул	.	рл .	ул	v	ул .
Т-МТ* Т	Т Л МТ,1-' МТ-Ч* мт	т ч,	ч-и*	л ч	и,
Ел . ул ____V ул .рл . ул _____к ул .	рл .	ул __V	ул .
и-пс* и	г пс,1^ и-м* л И	т М,	ПС-М* ПС	г	м,
Ел . ул . ул
п-мт* п т мт*
Ел ’. 7Л  V 7 л .рл ’.ул  * у л . рл ’.ул  . у л .
П-Ч • П т 45^ П-И * П Т И, -L* Я-ПС • Я т ПС,
Ел ’. у л ___к	у л .рл ’. у л _____V	У л . рл ’.	у л _V	у л .
т-мт • т	* мт,^ мт-ч • мт	Г Ч, Ч-И • ч	г и,
---- 449

Глава 5
Ел	у а  < 7 л .гл 7 л  v 7 л . рл ’. 7 л  . 7 л .
И-ПС • И *	ПС?-*-' и-м • и т М? *—' ПС-М • ПС т м?
рл ’• 7 А . 7 л
п-мт • п * мт*
Тогда справедлива диаграмма рис. 5.1, на которой Алм, Алпс,
Али, Алч, А74^., Алт, Аля, Алп - ультраоператоры опорного опера-
тора А.
Для диаграммы на рис. 5.1 может быть легко построена сис-
тема определений и утверждений, основанных на композициях
опорных операторов и ультраоператоров. Приведем пример.
□	Утверждение 5.3
Пусть ЕЛТ_Ч, Елч_и - сингулярные ультраоператоры для мно-
жества X. Тогда композиция ЕЛТ_Ч Елч_и = Елт_и является сингуляр-
ным ультраоператором. При этом, если ЕЛТ_Ч, Елч_и - уточняющие
ультраоператоры, то Елт_и - уточняющий.
Доказательство. Рассмотрим отображение сведения (1) 8т_и(х)
ультраоператором ЕЛТ_И
Елч-и Елт_ч
Е\_и: (1) 8Т_И (х) => (1) 5Ч_И (х) => (1) 5Т.Ч (х).
Если Елт_ч, Елч_и - уточняющие ультраоператоры, то Зт_и=э 5ч_ио
о 5т-ч, т.е. Елт_и- уточняющий.
Выделение ультраоператоров АЛМ, Алпс, Али, Алч, Алмт, ААТ,
Аля, Алп опорного оператора А позволяет осуществлять изучение
деформаций решения задачи по соответствующим «срезам».
Тихоновские ультраоператоры в терминах объект-системы
«задача НБО - инструмент решения (АС НБО)»
Свойство ультранепрерывности является обобщением [8]
классического понятия непрерывности. Ультранепрерывный
ультраоператор отображает всякий насыщенный носитель ин-
формации о точке-прообразе в насыщенный носитель информа-
ции о точке-образе. Главная особенность ультранепрерывности
заключается в том, что независимо от свойств классической не-
прерывности [8] у опорного оператора всегда существует ультра-
непрерывный ультраоператор над ним.
450 ----

Глава 5
_______________________Рисунок 5.12____________________
Диаграмма изучения деформаций
решения задачи по «срезам»
---- 451

Глава 5
Для построения тихоновских ультраоператоров используют-
ся следующие предпосылки [8].
Первая часть произвольного операторного уравнения
Ах = у,хеХ, yeY	(5.9)
задается информационно некоторыми данными А(у0) от точке у0
из области значений оператора А. При этом каждое сведение из
А(уо) представляет окрестность точки у0 в виде шара 0у§ радиусом
5 > 0 с центром у§ g Y, т.е.
Уо 6 оу5= {у: Ру(у, у5)<3}.
Носитель А(уо) насыщенной информации о точке у0 содержит
шары со сколь угодно малым радиусом. Одновременно считается,
что правая часть уравнения (5.9) задана терминальным носителем
по А носителем информации о точке у0, т|(Уо)= {у§; 8 е А} у0.
Задача решения уравнения (5.9) сводится к отысканию носи-
теля насыщенной информации о решении по известным операто-
ру А: X —► Y и носителю насыщенной информации о правой
часть уо уравнения. Другими словами, требуется построить ульт-
раоператор, представляющий ультраоснащение обратного ото-
бражения к А в точке у0.
С этой целью вводится оператор
R: U —> X	(5.10)
из некоторого вспомогательного множества U, называемого регу-
ляризатором для оператора А: X —> Y в точке Хои е X, если оп-
ределено подмножество 8 е U такое, что R(8) = К является мно-
жеством корректности по Тихонову [4, 31, 41] для уравнения
(5.9). Например, К - компакт в X, содержащий точку х0, которая
является прообразом у0? единственным в К. Элементы u е U на-
зывают управлениями или параметрами регуляризации. Элемен-
ты х g X вида х = Ru называют регуляризованными.
Общая схема построения ультраоператора имеет вид, пред-
ставленный на рис. 5.13.
Первоначально определяется регулиризатор (5.10) для опе-
ратора А: X —> Y в точке х0 е X. Тем самым задается оператор
R и множество 8 е U, например шар (или набор расширяющихся
452 ---

Глава 5
________________________Рисунок 5.13_______________________
Общая схема построения ультраоператора
шаров). Далее для каждой терминальной точки у§ носителя ин-
формации об у0 с помощью оператора выбора G терминального
управления находят us = u§(y5) (терминальное управление), а за-
тем вычисляют терминальные точки носителя информации об
х0 (xs = Ru§). При этом xs будут приближенными решениями
(8 - квазирешениями) уравнения (5.9), удовлетворяющими
ру (Ах, у) < 28. Вместе они образуют терминальный носитель ин-
формации о точном решении.
На основании доказанной в [8] теоремы о том, что для любо-
го ультранепрерывного ультраоператора выполняется следующее
положение.
Если £(хо) = {х§, 8 е Д}(х0) - произвольный терминальный
носитель для А(х0); г| (у0) = {ур, Р е Д}(уо) - произвольный терми-
нальный носитель для В(у0) = АлИНСтр[Д(хо)], то
limxs=x0, limyp=y0.
6gB
Ультранепрерывный ультраоператор в точке х0 определяется
выражениями
lim А(х0) = х0, limA а = у0.
Д(х0)
---- 453

Глава 5
Из определения ясно, что ультранепрерывный ультраопера-
тор существует даже тогда, когда опорный оператор не является
непрерывным в точке Хо
(т.е. lim А Ф у0 ).
A(xq)
Отсюда вытекает весьма важное принципиальное практическое след-
ствие. Инструментарий (в рассматриваемом случае - интегрированная
автоматизированная система НБО), являясь (в широком смысле) при-
чиной нарушения непрерывности опорных операторов, позволяет
найти устойчивый метод разрешения указанной трудности.
5.6. Использование метода регуляризации
при решении задач определения движения
космических аппаратов
Для решения задачи определения параметров движения РКС
воспользуемся минимизацией функционала
Фам, = (d/zTPdA) + v (d?on - dq^B (dq0 - V),	(5.11)
где P - обратная корреляционная матрица погрешностей ИТНП
размерности т*т, dh - от-мерный вектор разностей измеренных и
рассчитанных по вектору на очередной итерации значений
ИТНП; v - параметр регуляризации; dgon - опорный вектор; d<f -
вектор поправок к определяемому вектору состояния ИСЗ; В -
обратная априорная ковариационная матрица неопределенностей
в опорном векторе.
В указанной постановке вектор <f, минимизирующий функ-
ционал (5.11), определяется путем решения макросистемы
р1/2 О
О гВ,/2
р1/2 О
О v51/2
dh
d^on
(5-12)
где А - матрица частных производных от ИТНП по уточняемым
компонентам вектора состояния.
454 ----

Глава 5
Введем в рассмотрение множество допустимых решений,
определяемое следующим образом:
{бдоп } • {|^ОП1 — ^rl I
^|^7оп2 —	|^опи }’	(5.13)
Запишем задачу определения опорного вектора в общем виде:
Минимизировать
ца?оп - ал)тр(ла^оп - ай)	(5.14)
при условии
Cd9on<g,	(5.15)
где С - матрица размерности 2in; g - вектор размерности z, i < и,
компонентами которого являются значения dgr/.
Для получения рационального алгоритмического решения
задачи (5.14)—(5.15) произведем следующие преобразования.
На очередной итерации сформируем по ИТНП систему ус-
ловных уравнений
pll2Adqon=pll2dh.	(5.16)
Произведем сингулярное разложение [3] матрицы коэффи-
циентов системы условных уравнений
pil2A = USVT.	(5.17)
Произведем ортогональные преобразования:
Z=VT dq0„, а = t7Tр112 dh.	(5.18)
Минимизируемый функционал (5.14) можно записать с уче-
том (5.17) и (5.18) в следующем виде:
||//2Л dq - р112 dhf = ||5р -4 .	(5.19)
Выполним замену переменных, обозначив вектор t как
t = Sp — d=SVt dqon - d,	(5.20)
откуда
а?0П=Г5-1 (t + d).	(5.21)
---- 455

Глава 5
Подставим (5.21) в (5.15):
C[W + J)]<g.	(5.22)
С учетом замены переменных (5.19) переходим к задаче ми-
нимизации длины вектора /, а именно:
min || 11|	(5.23)
при условии
C*/>g*,	(5.24)
где С* = -{CV^\ g* = -(g - С* J).
Решение задачи (5.23)—(5.24) может быть получено с использованием
алгоритма LDP (Least Distance Programming) [3, 7], содержанием ко-
торого является редукция исходной задачи к задаче минимизации
квадратичной формы при условии неотрицательности с применением
симплекс-метода.
После определения вектора t по формуле (5.21) вычисляется
опорный вектор, который затем используется в макросистеме
(5.12) для получения вектора поправок ck/\
В основе вычисления параметра о используется принцип обобщенной
невязки [3, 14]. Такой подход к определению опорного вектора был
реализован и апробирован на уровне программной реализации.
В табл. 5.4 приводятся отклонения уточненных значений па-
раметров орбиты от прогнозируемых, полученные с помощью
штатной процедуры определения вектора состояния ИСЗ и с ис-
пользованием предлагаемого подхода. В качестве измеряемого
параметра использовалась радиальная скорость траектории дви-
жения. Результаты получены для ИСЗ с параметрами:
драконический период............................1 ч 44 мин
эксцентриситет..................................  0,0005
наклонение орбиты...............................83,5 град
минимальная высота..............................948,3 км
максимальная высота.............................973,1 км
(Ш - штатная процедура, Э - экспериментальная)
456 ----

Глава 5
Определение вектора состояния РКС в рамках штатной про-
цедуры осуществлялось решением системы нормальных уравне-
ний. При этом производился анализ числа обусловленности мат-
рицы решаемой системы и на основе анализа собственных чисел
с использованием ортогональных преобразований вычислялось
псевдорешение вектора поправок к уточняемому вектору состоя-
ния РКС.
Определение вектора состояния РКС штатной процедурой
осуществлялось по выборке ИТНП в рамках типовой циклограм-
мы РКО, а определение вектора состояния РКС с помощью опи-
санного подхода осуществлялось по одному сеансу ИТНП перво-
го мерного витка штатной схемы РКО.
_______________________Таблица 5.4_____________________
Сравнительные результаты
определения вектора состояния ИСЗ
Номер цикла определения параметров движения	Но- мер витка	Вариант решения	Момент времени прохождения плоскости экватора в восходящем узле, с	Большая полуось орбиты, км	Накло- нение орбиты, угл. с
1	5917	Ш	-2,637	-0,023	6
		Э	-3,984	0,030	76
2	6109	Ш	1,353	-0,016	-8
		э	-4,051	-0,039	-83
3	6301	ш	-1,714	-0,015	1
		э	-3,300	-0,018	-84
4	6495	ш	-1,930	-0,016	2
		э	-4,295	-0,017	-83
5	6524	ш	-1,851	-0,017	-5
		э	-4,497	-0,025	-101
Важным моментом в полученных результатах является тот факт, что
при определении вектора состояния с использованием предлагаемого
подхода в качестве прогнозируемого (исходного) вектора состояния
---- 457

Глава 5
[использовались результаты, полученные также по одному сеансу на |
предыдущем цикле РКО (кроме первого).	|
Приведенные в табл. 5.4 значения ошибок во время «выхо-
да» на экватор в восходящем узле показывают, что при среднем
значении модуля вектора скорости рассматриваемого РКС в вос-
ходящем узле 7,32 км/с максимальная ошибка вдоль орбиты по
отношению к штатным решениям не превышает 32 км.
Отметим, что при определении вектора состояния РКС по
одному сеансу ИТНП с применением штатной процедуры вектор
поправок, при котором удавалось обеспечить сходимость итера-
ционного процесса, выбирался соответствующим значению псев-
доранга матрицы системы нормальных уравнений равному 4, что,
в итоге, приводило к получению практически прогнозируемого
вектора состояния и к значительным ошибкам в отклонениях от
штатного решения на последующих циклах РКО. Решение же
полного ранга или псевдоранга со значением, равным 5, приво-
дило к поправкам в уточняемые параметры, противоречащим фи-
зическому смыслу решаемой задачи.
Полученные экспериментальные результаты, показывают, что пред-
ложенный подход позволяет обеспечить определение движения РКС
по выборке ИТНП в объеме 20...25% от штатной с точностью, удовле-
творяющей для обеспечения управления ряда типов РКС (например,
метеорологических), а его применение в практике оперативного нави-
гационного-баллистического обеспечения позволяет, в целом, обеспе-
чить надежность управления РКС в нештатных ситуациях.
Для выборок измерений текущих навигационных параметров (ИТНП)
ограниченного объема характерным является информационная необес-
печенность определяемого вектора состояния (ВС) космического объ-
екта, проявляющаяся в плохой обусловленности решаемой задачи оп-
ределения движения по результатам измерений. Понятие плохой обу-
словленности в основном отражает качественную сторону задачи
определения ВС в условиях плохой наблюдаемости, связанную с воз-
458 —

Глава 5
можными значительными ошибками в решении системы нормальных
уравнений (СНУ).
Значения чисел обусловленности в подобного рода ситуациях могут
быть настолько велики, что при фиксированных уровнях ошибок вход-
ных данных СНУ и разрядной сетки ЭВМ для них нельзя гарантировать
в решении требуемой точности.
Подобная практика связана с необходимостью решения некоррект-
ных и обобщенно некорректных задач навигационно-баллистического
обеспечения.
Анализ типовых подходов к решению плохообусловленных задач
определения параметров движения РКС показывает, что проблемные
вопросы определения ВС в условиях плохонаблюдаемых выборок
измерений требуют дальнейших исследований и разработок как мето-
дического, так и программно-алгоритмического характера. Метод ре-
шения задачи определения ВС РКС должен обладать свойством несин-
гулярности и, в то же время, свойством достаточно высокой достовер-
ности решений, обеспечивающих приемлемую невязку.
Результаты обработки проведенных натурных экспериментов пока-
зали, что в состав вектора характеристик параметрического семейства
идентификации некорректных задач целесообразно включать:
1)	числа обусловленности формируемой матрицы СНУ;
2)	статистические характеристики сеансов ИТНП (среднеквадрати-
ческие отклонения (СКО) относительно среднеопытной орбиты, СКО
относительно аппроксимирующего полинома, систематическую состав-
ляющую отклонений ИТНП каждого сеанса);
3)	поправки в уточненные параметры орбиты;
4)	результаты апостериорной оценки уточненных компонент вектора
состояния в виде диагональных элементов ковариационной матрицы.
С совершенствованием инструмента решения задач НБО появляется
возможность решать усложняющиеся задачи определения параметров
движения, осуществлять стандартизацию и унификацию, производить
идентификацию и адаптацию.
Усложнение инструментария, требующее «человеко-машинной»
реализации методов, моделей и алгоритмов навигационно-баллисти-
ческих задач (НБЗ) в виде программных средств на комплексах средств
автоматизации с соответствующими видами обеспечения, создает, как
правило, и дополнительные трудности их решения.
Указанное противоречие может быть частично разрешено рассмотре-
нием связки «ЗАДАЧА - ИНСТРУМЕНТ РЕШЕНИЯ» как ОБЪЕКТ-СИСТЕМЫ.
----459

Глава 5
Литература
1.	Тюлин А.Е., Бетанов В.В. Летные испытания космических объек-
тов. Определение и анализ движения по экспериментальным дан-
ным / Под ред. А.Е. Тюлина. М.: Радиотехника. 2016. 332 с.
2.	Тюлин А.Е., Бетанов В.В. К вопросу повышения устойчивости ре-
шения обобщенных некорректных задач навигационно-баллисти-
ческого обеспечения на различных этапах полета РКС. Труды 7-й
Всерос. конф. ИПА РАН «Фундаментальное и прикладное коорди-
натно-временное и навигационное обеспечение» (КВНО-2017).
СПб. 17-21 апреля 2017. С. 196-198.
3.	Байрамов К.Р., Бетанов В.В., Ступак Г.Г., Урличич Ю.М. Управ-
ление космическими объектами. Методы, модели и алгоритмы ре-
шения некорректных задач навигационно-баллистического обеспе-
чения. М.: Радиотехника. 2012. 360 с.
4.	Тихонов А.Н., Гончарский А.В. и др. Численные методы решения
некорректных задач. М.: Наука. 1990. 232 с.
5.	Марчук Г.И., Кузнецов Ю.А. Итерационные методы и квадратичные
функционалы. Новосибирск: Наука. 1992. 175 с.
6.	Бетанов В.В., Кудряшов М.И. Практические подходы к решению
некорректных задач с приложениями к навигационно-баллисти-
ческому обеспечению управления КА. М.: РВСН. 1997. 132 с.
7.	Ортега Дж. Введение в параллельные и векторные методы реше-
ния линейных систем. М.: Мир. 1991. 367 с.
8.	Чечкин А.В. Математическая информатика. М.: Наука. 1991. 416 с.
9.	Булычев Ю.Г., Васильев В.В., Джуган Р.В. и др. Информационно-
измерительное обеспечение натурных испытаний сложных техни-
ческих комплексов / Под ред. А.П. Манина, В.В. Васильева. М.:
Машиностроение-Полет. 2016. 440 с.
10.	Тюлин А.Е., Ступак Г.Г. Глобальная навигационная спутниковая
система // В кн. «Оружие наследников Победы в Великой Отечест-
венной войне». М.: Оружие и технологии. 2015. 1008 с.
11.	Бетанов В.В. К вопросу решения обобщенных некорректных задач
навигационно-баллистического обеспечения управления КА //
РАН. Космические исследования. 1996. Т. 34. № 5. С. 524-530.
12.	Бетанов В.В. Введение в теорию решения обобщенных некоррект-
ных задач навигационно-баллистического обеспечения управления
космическими аппаратами. М.: РВСН. 1997. 365 с.
13.	Бетанов В.В., Лысенко И.В. Решение задач экспериментальной
баллистики в ходе летных испытаний образцов ракетно-косми-
ческой техники. М.: РВСН. 1999. 35 с.
14.	Лысенко Л.Н., Бетанов В.В., Звягин Ф.В. Теоретические основы
баллистико-навигационного обеспечения космических полетов. М.:
МГТУ им. Н.Э. Баумана. 2014. 518 с.
460 ---

Глава 5
15.	Лоусон Ч, Хенсон Р. Численное решение задач метода наименьших
квадратов / Пер. с англ. М.: Мир. 1986. 230 с.
16.	Макаренко Д.М., Потюпкин А.Ю. Системный анализ космических
аппаратов. Учебное пособие. М.: МО РФ. 2007. 331 с.
17.	Мусаев А.А. Устойчивые методы определения движения. М.: МО
СССР. 1990. 171 с.
18.	Потюпкин А.Ю., Чечкин А.В. Интеллектуализация сложных техни-
ческих систем. М.: МОРФ, ВАРВСН им. П. Великого. 2013. 208 с.
19.	Разоренов Г.Н. Введение в теорию оценивания состояния динами-
ческих систем по результатам измерений. Учебное пособие. М.:
МО СССР. 1981.272 с.
20.	Тихонов А.Н., Гончарский А.В., Степанов В.В., Ягола А.Г. Регуляри-
зующие алгоритмы и априорная информация. М.: Наука. 1983. 200 с.
21.	Резников Б.А. О параметрической наблюдаемости космических аппа-
ратов // Космические исследования. 1968. Т. 6. Вып. 3. С. 338-351.
22.	Резников Б.А. Системный анализ и методы системотехники. Ч. 1.
Методология системных исследований. Моделирование сложных
систем. Учебник. М.: МО СССР. 1990. 522 с.
23.	Сильвестров С.Д., Васильев В.В. Структура космических измери-
тельных систем. М.: Сов. радио. 1979. 224 с.
24.	Соболева Т.С., Чечкин А.В. Дискретная математика. Учебник / Под
ред. А.В. Чечкина. М.: Академия. 2006. 255 с.
25.	Современные и перспективные информационные ГНСС-техно-
логии в задачах высокоточной навигации / Под ред. В.А. Бартене-
ва, М.Н. Красильщикова. М.: Физматлит. 2014. 192 с.
26.	Степанов М.Г. Введение в теорию смещенного оценивания пара-
метров движения космических аппаратов по ограниченным дан-
ным. СПб.: ВИККА им. А.Ф. Можайского. 1993. 135 с.
27.	Стражева И.В., Мелкумов В.С. Векторно-матричные методы в ме-
ханике полета. М.: Машиностроение. 1973. 260 с.
28.	Страхов В.Н. Аппроксимационный подход к решению задач гра-
виметрии и магнитометрии // Российский журнал наук о Земле.
1999. Т. 1.№4.
29.	Страхов В.Н. Методы нахождения устойчивых приближенных ре-
шений систем линейных алгебраических уравнений с приближенно
заданной правой частью, допускающие глубокое распараллелива-
ние вычислений // Вычислительные методы и программирование.
2001. Т. 2.
30.	Стренг Г. Линейная алгебра и ее применения. М.: Мир. 1980.454 с.
31.	Тихонов А.Н. Об устойчивости обратных задач // ДАН СССР. 1943.
Т. 39. № 5. С. 195-198.
32.	Форсайт Дж., Малькольм М., Моу лер К. Машинные методы мате-
матических вычислений. М.: Мир. 1980. 280 с.
---- 461

Глава 5
33.	Форсайт Дж,, Молер К. Численное решение систем линейных ал-
гебраических уравнений. М.: Мир. 1969. 167 с.
34.	Экспериментальная баллистика ракетно-космических средств.
Учебник / Под ред. Л.Н. Лысенко, В.В. Бешанова, И.В. Лысенко.
М.: РАРАН. 2000. 286 с.
35.	Элъясберг П.Е. Определение движения по результатам измерений.
М.: Наука. 1976.416 с.
36.	Элъясберг П.Е. Измерительная информация: сколько ее нужно? Как
ее обрабатывать? М.: Наука. 1983. 208 с.
37.	Ломако Г.И., Шмыголъ С.С. Обработка результатов измерений при
натурных испытаниях. Л.: ВИКИ им. А.Ф. Можайского. 1976. 250 с.
38.	Лысенко И.В. Модели и методы математической информатики в
задачах оценивания характеристик летательных аппаратов. Науч-
но-методические материалы / Под ред. В.В. Бешанова. М.: В А
РВСН. 2000. 106 с.
39.	Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. М.-Л.: Гос.
изд. техн, теорет. лит. 1950.
40.	Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука.
1977.
41.	Музылев Н.В. Лекции по методам решения некорректных задач. М.:
В А им. Ф.Э. Дзержинского. 1987. 159 с.
42.	Сейдж Э., Меле Дж. Теория оценивания и ее применение в связи
и управлении / Пер. с англ, под ред. Б.Р. Левина. М.: Связь. 1976.
621 с.
43.	Степанов М.Г. Введение в теорию смещенного оценивания пара-
метров движения КА по ограниченным данным. СПб.: ВИКА им.
А.Ф. Можайского. 1993. 135 с.
44.	Marquardt D. W. An algorithm for least squares estimation of nonlinear
parameters // Journal of the Society for Industrial and Applied Mathe-
matics. 1963. № 11. P. 431-441.
45.	MarquardtD.W., SneeR.D. Ridge regression in practice // The Ameri-
can Statistician. 1975. № 29. P. 3-19.
46.	Stewart G. W. A method for computing the generalized singular value
decomposition // In: Matrix Pencils. Springer-Verlag. 1983. P. 207-220.
47.	Van Loan Ch. F. A generalized SVD analysis of some weighting me-
thods for equality constrained least squares // In: Matrix Pencils. Sprin-
ger-Verlag. 1983. P. 245-262.
48.	Wilkinson J.H. Rounding errors in algebraic processes И PrenticeHall.
1963.
462 ----

Приложение 1
Этапы жизненного цикла
сложных динамических объектов
________________________Таблица П.1_______________________
Типовые этапы жизненного цикла создания, испытания
и эксплуатации сложных динамических объектов
№ эта- па	Этап
1	2
1	Разработка ТЗ на НИР
2	Теоретические и экспериментальные исследования (НИР)
3	Обобщение и оценка результатов исследований, выпуск отчетной научно-технической документации
4	Разработка организационных, нормативных, управленческих и эко- номических документов.
5	Выдача ТТЗ (ТЗ) на разработку аванпроекта (технического пред- ложения) на изделие комплекса
6	Разработка и защита аванпроекта (техническое предложение)
7	Экспертиза и выдача заключения на аванпроект (техническое пред- ложение)
8	Доработка аванпроекта (технического предложения)
9	Выдача ТТЗ (ТЗ) на разработку изделия комплекса
10	Разработка и защита эскизного проекта (ОКР)
11	Экспертиза и выдача заключения на эскизный проект
12	Доработка эскизного проекта
13	Разработка и защита технического проекта (ОКР)
14	Выдача исходных данных для разработки рабочей документации (РД)
15	Разработка РД для изготовления изделий комплекса
---- 463

Приложение 1
Окончание табл. П. 1
1	2
16	Технологическая подготовка производства изделия комплекса
17	Разработка программ и методик испытаний изделия комплекса
18	Разработка эксплуатационной документации
19	Изготовление изделия комплекса для автономных испытаний (ОКР)
20	Автономные испытания (АИ)
21	Корректировка РД и доработка изделия комплекса по результатам АИ
22	Изготовление изделия комплекса для комплексных испытаний
23	Комплексные испытания (КИ)
24	Межведомственные испытания (МВИ)
25	Специальные испытания
26	Приемочные (государственные, межведомственные) испытания
27	Коррекция РД и доработка изделия комплекса по результатам КИ (МВИ, приемочных испытаний)
28	Изготовление изделия комплекса для летных испытаний (ОКР)
29	Летные испытания (ЛИ)
30	Выпуск отчетных документов по результатам ЛИ
31	Устранение замечаний госкомиссии
32	Корректировка РД на изделия серийного производства. Ввод и прием в эксплуатацию ракетной и космической техники
33	Сопровождение на этапе штатной эксплуатации
34	Утилизация объекта
Космическая система - совокупность согласованно действующих
и взаимосвязанных КА и других технических средств космического
комплекса и наземного специального комплекса, предназначенных для
решения целевых задач. В состав космической системы могут входить
несколько космических комплексов.
Комплекс (космический комплекс, ракетный комплекс, коммерче-
ский комплекс) - совокупность составных частей и входящих в их со-
став изделий, систем, агрегатов, приборов, обеспечивающих функцио-
нирование и выполнение задач в соответствии с ТЗ на комплекс.
В качестве составной части комплекса могут быть: ракета, ракета-
носитель, космический аппарат, головная часть, орбитальный самолёт,
пусковая установка, стартовый комплекс, технический комплекс, систе-
ма дистанционного управления и контроля, средства НАКУ, НКУ, НСК,
464 ---

Приложение 1
ПИК, КИК и ПСК для данного комплекса, командный пункт, автомати-
зированная система охраны, технологическое оборудование техниче-
ской позиции, комплекс наземного технологического оборудования,
система электроснабжения объектов, автономные технические системы
объектов, учебно-тренировочные средства, ТЗ, средства обмена слу-
жебной информацией и т.п.
В качестве изделия могут быть: система, аппаратура, агрегат, при-
бор, блок, узел, ЭРИ, комплектующее изделие, программное изделие
(продукт), бортинструмент и т.п., которые входят в состав комплекса и
(или) его составных частей.
В качестве системы могут быть: двигательная установка, бортовая
система управления, бортовая система энергоснабжения и т.п., которые
входят в состав комплекса и (или) его составных частей.
В качестве агрегата комплекса могут быть: двигатель, автомат
стабилизации, рулевая машинка и т.п., которые входят в состав состав-
ных частей и (или) систем.
Ракетно-космический комплекс - совокупность ракеты или ракет
космического назначения с функционально взаимосвязанными техниче-
скими средствами и сооружениями, предназначенными для обеспечения
транспортирования, хранения, приведения и содержания в готовности,
технического обслуживания, подготовки к пуску, пуска и контроля по-
лёта ракет космического назначения на участке выведения.
Ракетный комплекс - обобщающее понятие, включающее ракетные
комплексы военного назначения и космические ракетные комплексы.
Предварительные испытания - контрольные испытания опытных
образцов для определения возможности их предъявления на приёмоч-
ные испытания.
Приёмо-сдаточные испытания - контрольные испытания продук-
ции при приёмочном контроле в процессе производства.
Приёмочные испытания - контрольные испытания конкретных
опытных образцов для подтверждения их технической готовности к по-
ставке или решения вопроса об их пригодности к использованию по на-
значению.
Автономные испытания - совокупность видов испытаний, опре-
делённых КПЭО и проводимых при экспериментальной отработке от-
дельного изделия без проверки его функционирования со смежными
(сопряжёнными) изделиями комплекса.
Квалификационные испытания - контрольные испытания устано-
вочной серии (головного образца), проводимые для оценки готовности
организации к выпуску данной продукции.
---- 465

Приложение 1 --
Комплексные испытания - совокупность видов испытаний, опре-
делённых КПЭО и проводимых при экспериментальной отработке и
проверке двух и более функционально связанных изделий комплекса в
условиях, близких к реальным. При этом испытания отдельного изделия
комплекса в целом по решению генерального (главного) конструктора
могут являться комплексными испытаниями по отношению к входящим
в него изделиям и одновременно автономными испытаниями по отно-
шению к изделию комплекса более крупной структуры.
Межведомственные испытания - испытания продукции, прово-
димые комиссией из представителей нескольких заинтересованных ми-
нистерств и(или) ведомств, или приёмочные испытания установленных
видов продукции для приёмки составных частей объекта, разрабатывае-
мого совместно несколькими ведомствами.
Лётные испытания - испытания комплекса (составных частей
комплекса) в реальных натурных условиях функционирования и выпол-
нения целевых задач.
Специспытания - испытания по проверке отдельных параметров и
характеристик изделий, которые в силу своей специфики проводятся по
отдельным спецпрограммам и в сроки, определённые рабочими доку-
ментами сквозного планирования или оговоренные совместным реше-
нием головного разработчика и заказчика (например, испытания по про-
верке защищённости от внешних воздействий (стойкости к воздейст-
вию) поражающих факторов космического пространства.
466 ----

Приложение 2
Метод минимальной дисперсии.
Минимаксный метод
Критерий оценивания методом минимальной дисперсии
Критерий оценивания метода минимальной дисперсии может быть
получен двумя различными способами.
1.	Из метода минимального риска (ММР) при использовании квад-
ратичной функции потерь
r(£,£)=U-0)TH£-0).
2.	Как обобщение критерия МНК с учётом случайного характера
вектора оцениваемых параметров 0 . Тогда квадрат модуля обобщённой
невязки
|7|2=U-^)TfkU-^)
предварительно должен быть осреднён в пространстве выборок и в
пространстве определяемых параметров, и критерий оценивания при-
нимает вид
«ммд =	W^-o)p(0,z)d0c^^mm.	(П1)
z Q
Из выражения (П1) следует, что при этом минимизируется средний
риск при квадратичной функции потерь. В скалярном варианте при и = 1
и, кроме того, W -Е из (Ш) получается формула для дисперсии случай-
ной величины, отсюда происходит название метода оценивания - ММД.
В задачах оценивания от критерия (П1) можно перейти к эквива-
лентной задаче оценивания при критерии
«ммд = w{d-§)Pae(elz)de	(П1а)
О
---- 467

Приложение 2
что означает минимизацию условного риска при квадратичной функции
потерь. Если критериальная функция дифференцируема, то можно ис-
пользовать необходимое условие экстремума вида
д#ммд
де*
= 0 или	pac{§lz')de = 0.
Q
Так как элементы матрицы W постоянны, то
§\Pac(elz)d0 = \§Pac{elz')d0.
Q	Q
Первый интеграл равен 1 по свойству функции плотности распре-
деления вероятностей, откуда
&= f#pac(0/z)d0.	(П2)
О
Уравнение (П2) позволяет «выделить» структуру оценивания ММД.
Интеграл в выражении (П2) представляет собой условное матема-
тическое ожидание вектора 0, поэтому данный метод ещё называют
методом условного математического ожидания.
Геометрический смысл получаемой оценки (П1) для п-\ можно
представить следующим рисунком: оценка 0 ММД представляет собой
координату центра массфигуры под функцией апостериорной плотности
вероятностей рас (в/’z) .
________________________Рисунок П1 _________________________
Иллюстрация геометрического смысла оценки ММД
468 ----

Приложение 2
С вычислительной точки зрения алгоритм оценивания (П2) в об-
щем виде является более сложным в сравнении с алгоритмом метода
максимальной апостериорной вероятности (ММАВ), так как он свя-
зан с многомерным интегрированием по области определяемых пара-
метров Q.
Общие свойства ММД-оцепок
1.	Если интеграл (П2), определяющий условное математическое
ожидание оцениваемого вектора в, сходится, то данная оценка сущест-
вует и единственная (т.е. задача оценивания регулярна); это в выгодную
сторону отличает её от ММАВ-оценки, размерность которой, вообще
говоря, не гарантируется (см. рис. П2).
2.	ММД-оценка не зависит от весовой матрицы W.
3.	Из рис. П2 следует также, что оптимальность ММД-оценки обу-
словлена не локальными свойствами функции pac[o/z), а её поведени-
ем во всей области изменения определяемых параметров, поэтому при
адекватности моделей ошибок измерений и закона априорного распре-
деления ра{§). ММД-оценки должны обладать хорошими статистиче-
скими свойствами. Действительно:
1) из критерия оценивания (П1) следует, что оценка должна обла-
дать минимальным разбросом (в среднем);
2) из выражения (П2) видно, что ММД-оценка не смещена (в сред-
нем).
Таким образом, в безусловном смысле ММД гарантирует эффек-
тивность своих оценок.
_______________________Рисунок П2________________________
К оптимальности ММД-оценки
---- 469

Приложение 2
ММД в линейных задачах оценивания
при нормальном законе распределения вероятностей
Математическая постановка задачи совпадает с соответствующей
постановкой задачи для ММАВ-оценивания при изменённом критерии
оценивания (П1):
Лср(*о)= JJ(*o-*o) ^(4-^о)р(^о/г)^о^-»min (ПЗа)
z х0
ИЛИ
ЛУсл(*о)= J(xo-Xq) ^(x0-x0)paJx0/z)a5c0->min.	(ПЗб)
*0
С решением (П2):
х0 = jxoPac (x0/z) dxQ ,	(П4)
*0
где выборка z фиксирована. Из формулы Байеса для задач статистиче-
ского оценивания динамических систем имеем
Рос(Яо/г)=£(Ш^о)	(П5)
Рн^
Подставив формулу (П5) в выражение для оценки (П4) при нор-
мальных функциях плотности, находим
--	-- Г 1	Т -1	1
Z(x0/f) = (2;r) 2 |ЛГЯ| 2 ехр^(z-Фх0) Кн (г-Фх0)к
(х0) = ( 2л-)’2	|~2 ехр	(*о - Ах0 )Т	(*0 - Ахо)};
Рн (z) = (2л-)“71£21'2 ехр(z - Д )Т ДГ1 (z - Д) j,
где параметры последнего закона получаются с помощью измерений
2=Фх0+Л, Д-=ФД0 (Д=0), К2=ФКХоФт +Kk.
После некоторых преобразований
раДх0/2) = (2^Н|^рЬхр{-1(х0-^)Т(^)’,(х()-Д;)}
470 ----

Приложение 2
с параметрами А7 = (^'+ Сммп) ' (фТ^ + <Л0) = ^ОммАв,	=
= ( СММП + К-хд ) = СммАВ •
Вычислять многомерный интеграл (П5) не имеет смысла, т.к. он
представляет собой математическое ожидание оценки, а оно совпадает с
параметрами апостериорной плотности и, как нетрудно заметить,
ММД-оценка в данной задаче полностью совпадает с ММАВ-оценкой.
Итак:
*0 ~ ОшАВ	’ &xq = ОшАвОшП^ММАВ >
где
ОлМАВ - ^ММП +	’ Олмп = Ф^КнФ •	(П6)
В данном примере дополнительное подтверждение нашёл теорети-
ческий вывод о том, что суперпозиция нормальных законов распределе-
ния даёт в результате нормальный закон.
Минимаксный метод (МММ).
Критерий оценивания МММ______________________________
МММ отличается от других байесовских методов оценивания, ко-
торые получаются как частные варианты ММР, тем, что он обладает
практически такой же степенью общности, как и сам ММР.
В ММР из критерия
R^= ^v(dj^p(§,z)d0dz^>min
z Я
и формулы Байеса имеем оценку общего вида:
0 = arg min	p(o,z}d§dz = arg min ^{з,з)рас(з/г)с/3 =
z Я	Я
= arg min |k(#, eYWz'jpS&dO.	(П7)
я
В МММ аналогичная оценка определяется из условия
0 - arg min max \у(ё,§\(0р)ра№ме,	(П8)
n P° о
где Pa - семейство всех возможных априорных распределений оцени-
ваемых параметров 0.
---- 471

Приложение 2
Смысл алгоритма оценивания МММ (П8) состоит в том, что апри-
орное распределение известно лишь с точностью до класса рас-
пределений Ра, а его конкретный вид подбирается исходя из предполо-
жения о наиболее неблагоприятном влиянии на получаемые оценки. Это
сверхосторожный подход, когда исследователь заранее ориентируется
на самый худший вариант и выбирает оптимальную оценку для наибо-
лее неблагоприятного априорного распределения.
В вычислительном отношении алгоритм (П8) МММ наиболее
сложен среди всех рассмотренных ранее, так как поиск наихудшей
функции плотности распределения вероятностей связан с решением ва-
риационной задачи.
Общие свойства МММ-оценок
Свойства МММ-оценок, как и у ММР, вообще говоря, должны за-
висеть от вида функции потерь 7(б,#). Однако заранее можно предпо-
ложить, что сверхосторожность данного подхода не позволит получить
эффективные оценки.
1.	Помимо изложенной выше трактовки минимаксного подхода, в
теории оценивания встречаются и другие виды МММ-оценок. Напри-
мер, вид априорного распределения может быть задан заранее, а мини-
мизироваться вероятность максимальной ошибки оценивания, т.е.
0 = arg min max ||# - #||.
Доказывается, что этому условию отвечает медиана апостериорно-
го распределения оцениваемых параметров 0 (рис. ПЗ).
К вопросу формирования минимаксной оценки
472 ----

Приложение 2
В алгебраическом плане оптимальная оценка здесь находится в ре-
зультате численного решения многомерного интегрального уравнения
вида
Q	оо
f Рас = jPac (&/z)d0,
-°°	£
что в общем случае является достаточно трудоёмкой вычислительной
процедурой.
2.	Минимаксный подход применяется также при неполной или не-
достоверной информации об условиях опыта (структуре ошибок изме-
рений, их свойствах и т.д.).
3.	На практике МММ-оценки встречаются в задачах оценивания,
где велика цена ошибки (например, при определении движения и кор-
рекциях траекторий КА, обладающих уникальными конструктивными
особенностями или условиями запуска).
---- 473

Список основных сокращений
АРМ	- автоматизированное рабочее место
АС	- автоматизированная система
АС НБО	- автоматизированная система навигационно-балли-
	стического обеспечения
АСИТО	- автоматизированная система информационно-теле-
	метрического обеспечения
АСКПО	- автоматизированная система командно-программ-
	ного обеспечения
АСК	- абсолютная (звездная) система координат
АСУ	- автоматизированная система управления
АУТ	- активный участок траектории
БДЭ	- база данных эксперимента
БЗ	- баллистические задачи
БЗн	- база знаний
БКУ	- бортовой комплекс управления
БЦ	- баллистический центр
ВО	- вспомогательная операция
ВТИ	- внешнетраекторные измерения
ВТО	- вторичная обработка информации
ВЦ	- вычислительный центр
ГЛОНАСС	- глобальная навигационная спутниковая система
	(Россия)
ГНСС	- глобальные навигационные спутниковые системы
гпз	- гравитационное поле Земли
ГСК	- гринвичская система координат
ДМА	- динамическая модель атмосферы
ДС	- динамическая система
ДУ	- двигательная установка
ДХ	- динамические характеристики
ЗРВ	- зоны радиовидимости
ЗИ	- задача-инструмент решения
474 		

Список основных сокращении
ИД ИИ ип ИРО ИТНП ИТО КА кик КДУ кдс КЗ КП кпо КС КСА кпэо ЛА ли лсм ЛТХ ЛШС мм ММАВ ММД МетМД МММ ММП МНК мнм ММСР мтп НАКУ	-	исходные данные -	измерительная информация -	измерительный пункт -	информационно-расчетное обеспечение -	измерения текущих навигационных параметров -	информационно-баллистическое обеспечение -	космический аппарат -	командно-измерительный комплекс -	корректирующая двигательная установка -	коэффициент динамической связи -	краевая задача -	космический полет -	командно-программное обеспечение -	космическая система -	комплекс средств автоматизации -	комплекс программ экспериментальной обработки -	летательный аппарат -	летные испытания -	локально-сплайновая модель -	летно-технические характеристики -	логическая шкала сил -	математическая модель -	метод максимальной апостериорной вероятности -	математическая модель движения -	метод минимальных дисперсий -	минимаксный метод -	метод максимального правдоподобия -	метод наименьших квадратов -	метод наименьших модулей -	метод максимального среднего риска -	мониторинг технологического процесса -	наземный автоматизированный комплекс управ- ления
НАП НБЗ НБО НкЗ НКУ	-	навигационная аппаратура потребителя -	навигационно-баллистическая задача -	навигационно-баллистическое обеспечение -	некорректная задача -	наземный комплекс управления
---- 475

Список основных сокращений
нск НУ ОВС ои ОКИК	-	наземный специальный комплекс -	начальные условия -	определение вектора состояния -	объект испытаний -	отдельный командно-измерительный комплекс управления
ОНкЗ ОПД ООП пи пик ПМО ПНУ по ПРГ ПрО пск ПУТ ПЭВМ РК РКК РКН РКО РКС РКТ РМВ РТС сдо еду сдуд СК СКО СМА СОДУ	-	обобщенная некорректная задача -	определение параметров движения -	объект общего предназначения -	полигонные испытания -	полигонный измерительный комплекс -	программно-математическое обеспечение -	прогнозируемые начальные условия -	программное обеспечение -	прогноз (движения) -	предварительная обработка -	поисково-спасательный комплекс -	пассивный участок траектории -	персональная электронная вычислительная машина -	ракетный комплекс -	ракетно-космический комплекс -	ракета космического назначения -	радиоконтроль орбиты -	ракетно-космическая станция -	ракетно-космическая техника -	реальный масштаб времени -	радиотехническая система -	сложный динамический объект -	система дифференциальных уравнений -	система дифференциальных уравнений движения -	система координат -	среднеквадратическое отклонение -	статическая модель атмосферы -	система обыкновенных дифференциальных урав- нений
СОИ ДС	- статистическая оценивание и идентификация ди- намических систем
секо	- сумма средних квадратов ошибок
476 ----

Список основных сокращений
сто	- специальное техническое обоснование
СУ	- система управления
сэо	- система экспериментальной отработки
ТЦ	- технологический цикл
тми	- телеметрическая информация
ТМЦ	- телеметрический центр
тп	- технологический процесс
ТУЗ	- таблица узловых значений
ТЗ	- техническое задание
ТТЗ	- тактико-техническое задание
ттт	- тактико-технические требования
то	- технологическая операция
тп	- технологический процесс
УНУ	- уточненные начальные условия
ЦБЗ	- целевая баллистическая задача
цм	- центр масс
цу	- целеуказания
ЦУП	- центр управления полетом
ЭРИ	- электрорадиоизделия
ЭИБ	- экспериментально-испытательная база
---- 477

Сведения об авторах
Тюлин Андрей Евгеньевич
д.э.н., к.т.н., член-корреспондент Россий-
ской Академии ракетных и артиллерий-
ских наук, профессор академии Военных
наук, Лауреат Премии Правительства Рос-
сийской Федерации в области науки и тех-
ники, Заслуженный военный специалист
Российской Федерации.
Руководитель и участник разработки
специальных систем и комплексов, мето-
дологии программно-целевого планирова-
ния, структуры и состава систем автоматизированного управле-
ния, председатель Совета главных конструкторов по направле-
нию космического приборостроения.
Область научных интересов:
информационное обеспечение органов и систем управления; тех-
нико-экономическая оценка эффективности разработки слож-
ных систем специального назначения.
Автор более 80 печатных трудов.
Бетанов Владимир Вадимович
д.т.н., профессор, член-корреспондент
Российской Академии ракетных и артил-
лерийских наук, действительный член
Академии военных наук.
Область научных интересов:
управление сложными динамическими
объектами; экспериментальная космиче-
ская баллистика; летные испытания ра-
кет и космических аппаратов.
478 ----

Автор и соавтор более 350 научных работ и изобретений в
области баллистики, динамики полета, управления движением
ракет и космических аппаратов, в том числе Военного энцикло-
педического словаря РВСН, 9-ти монографий, четырех учебни-
ков, более 30 учебных и научно-методических пособий.
Кобзарь Александр Антонович
д.т.н., доцент, Лауреат Премии Министер-
ства обороны Российской Федерации за
лучшую научную работу, Почетный ра-
ботник науки и техники Российской Феде-
рации, ведущий научный сотрудник 4 Го-
сударственного центрального межвидово-
го полигона Министерства обороны
Российской Федерации.
Область научных интересов:
статистическое оценивание состояния
динамических систем; экспериментальная баллистика полигон-
ной летной отработки перспективных образцов ракетной тех-
ники; летные испытания новых образцов ракетного вооружения;
анализ и оценка летно-технических характеристик объектов ис-
пытаний по результатам экспериментальных пусков ракет.
Автор и соавтор более 50-ти научных работ в области
теории статистического оценивания состояния динамических
систем по результатам измерений, экспериментальной балли-
стики, динамики полета.
---- 479

Научное издание
Авторы
Андрей Евгеньевич Тюлин
Владимир Вадимович Бетанов
Александр Антонович Кобзарь
НАВИГАЦИОННО-БАЛЛИСТИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ
ПОЛЕТА РАКЕТНО-КОСМИЧЕСКИХ СРЕДСТВ
МЕТОДЫ, МОДЕЛИ И АЛГОРИТМЫ ОЦЕНИВАНИЯ
ПАРАМЕТРОВ ДВИЖЕНИЯ
Монография
Книга 1
Редактор Г.Н. Чернышева
Корректор И.В. Бровко
Верстка С.Н. Яковлевой
Рисунок на обложку предоставлен авторами
Изд. № 7. Сдано в набор 15.12.2017.
Подписано в печать 02.03.2018.
Формат 60x90 1/16. Бумага офсетная.
Гарнитура Таймс. Печать офсетная.
Печ. л. 30. Тираж 500 экз. Зак. № 02779
Издательство «Радиотехника»
107031, Москва, К-31, Кузнецкий мост, д. 20/6
Тел./факс: (495)621-48-37; 625-78-72, 625-92-41
e-mail: info@radiotec.ru
www.radiotec.ru
Отпечатано в типографии ООО «Паблит»
127282, Москва, ул. Полярная, д. 31В, стр. 1 Тел.: (495) 230-20-52

Рассмотрены цели и задачи навигационно-баллистического обеспечения
испытаний и эксплуатации космических средств. Значительное внимание уделено
методам оценки измерений текущих навигационных параметров для
определения траектории движения объектов. Предложено решение задач
экспериментальной баллистики ракетно-космических средств. Показаны физико-
статистические методы комплексного оценивания летно-технических
характеристик летательных аппаратов в условиях неопределенности исходных
данных и измерительной информации. Дан системный анализ некорректных и
обобщенно некорректных задач оценивания.
Для совершенствования компетенции специалистов в области навигационно-
баллистического обеспечения космической техники. Может быть полезна
студентам и аспирантам, обучающимся по специальности «Навигационно-
баллистическое обеспечение космических объектов», а также «Динамика и
управление полетом ракет и космических объектов», «Системный анализ,
управление и обработка информации».