О. Е. Акнмоп
Дискретная математика
Ленина
Группы
Графы
Фр4к‘1Х1Ы
2005
О. Е. Акимов
ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА:
логика, группы, графы, фракталы
МОСКВА О АКИМОВА 0 2005
УДК 681.5.01:512
ББК22
А 39
Рецензенты:
заведующий кафедрой Высшей математики Московского энерге-
тического института, доктор физико-математических наук, профессор
И.М. Петрушке;
директор Института электротехники, заведующий кафедрой Фи-
зики электротехнических материалов и компонентов автоматизации
электротехнологических комплексов, доктор технических наук, про-
фессор В. А. Фи ликов.
А 39
Акимов О.Е. Дискретная математика: логика, группы, графы,
фракталы. — М.: Издатель АКИМОВА, 2005. — 656 с.: илл.
ISBN 5-9900342-1-0
В учебном пособии излагаются основные разделы дискретной ма-
тематики, являющейся базовой дисциплиной для специалистов по
информатике, программированию, электротехнике, микроэлектрони-
ке, компьютерным сетям и технологиям. При изложении материала
использовался конструктивный подход — наиболее современная и
эффективная форма подачи материала. Текст отличается доступно-
стью и ясностью написания, снабжен большим числом примеров ре-
шения задач по логике, группам, графам и фракталам. Предназнача-
ется для студентов и преподавателей технических университетов.
ISBN 5-9900342-1-0
© О.Е. Акимов, 2005
© АКИМОВА, 2005
Предисловие
Успех к книге приходит тогда, когда появляются ее «пиратские»
копии. Именно этой почетной участи удостоился данный курс
«Дискретной математики». Московское издательство «Лаборатория
Базовых Знаний» неожиданно для автора летом 2003 г. выбросило
на книжный рынок 10 тысяч экземпляров этого курса. Можно было
бы поблагодарить руководителя издательства, Бородина Михаила
Николаевича, за популяризацию учебника, если бы он помнил о не-
легком труде автора. Однако обращаем внимание читателей на сле-
дующие обстоятельства. Во-первых, «Лаборатория Базовых Зна-
ний» выпустила новый тираж со старыми ошибками, обнаружив-
шимися в предыдущем издании. Во-вторых, книга, которую вы
держите в руках, дополнена совершенно новой главой — «Фракта-
лы». Без этой актуальной темы курс «Дискретной математики» сей-
час не может считаться современным. В-третьих, автор расширил
старые главы новым теоретическим и практическим материалом,
что также способствовало их привлекательностй^с дидактической
точки зрения. Одновременно, чтобы не делать учебник слишком
объемным, убрана последняя методологическая глава — «Конст-
руктивизм». В скором будущем планируется выход отдельной кни-
ги под названием «Конструктивный подход к науке: история и со-
временность», где будет рассмотрен широкий круг вопросов, свя-
занный с методологией математики и естествознания. Эпистемоло-
гическая проблематика рассматривается также в серии книг этого
же автора под названием «Психология познания».
Во всем остальном книга осталась прежней. Она закладывает
прочный фундамент для изучения практически всех специализиро-
ванных курсов технических университетов. Ее непосредственная
цель — дать математическое обеспечение современным компью-
терным и информационным технологиями, заложить алгебраиче-
ские основы для изучения материалов микроэлектроники и элек-
тронной техники, а также ознакомить будущих программистов с
формально-логической методикой. Книга окажется полезной при
подготовке бакалавров и дипломированных специалистов по на-
правлениям «Электротехника, электромеханика и электротехноло-
гии» и «Электроника и микроэлектроника», а также «Информатика
и вычислительная техника», «Прикладная математика и информа-
тика» и т.д. Содержание книги составляет базу для таких важней-
ших на сегодняшний день узкоспециализированных дисциплин, как
«Теоретическая информатика», «Методы и алгоритмы принятия
решений», «Функциональное и логическое программирование»,
«Структуры и организация данных для компьютеров», «Конструи-
рование программ», «Системный анализ и моделирование», «Тео-
рия искусственного интеллекта» и т.п. В результате систематиче-
ского и добросовестного изучения материала студенты освоят ос-
новные математические модели и алгоритмы, которые в дальней-
шем позволят им профессионально формулировать и решать все-
возможные задачи в конкретных областях информатики, програм-
мирования и вычислительной техники. Они смогут грамотно при-
менять полученные знания для абстрактного проектирования логи-
ческих структур и вычислительных процессов на графах. Читатель
получит также глубокое и всестороннее представление о новейших
тенденциях в развитии математического инструментария, главная
особенность которого заключается в конструктивном подходе.
Хотя в книге затрагивается большая и разнообразная тематика,
связанная с дискретной математикой и сферами ее приложения, она,
тем не менее, представляет собой единое и взаимосвязанное целое,
дает всестороннее и глубокое представление о предмете, который
сегодня необходим специалистам по математическим, техническим
и естественно-научным дисциплинам. Текст снабжен множеством
рисунков, разъяснительных схем и диаграмм, которые в наглядной
форме отражают содержание работы, а таблицы могут служить
справочным материалом. Принятая форма математической симво-
лики понятна и удобна в использовании и не вызывает проблем с
толкованием уравнений и формул. Автор заранее благодарит всех,
кто выскажет свои замечания и пожелания как содержательного, так
и формального характера — e-mail: akimov_ol@mail.ru.
1.	Логика
1.1.	Операции логики Буля
Диаграммы Эйлера — Венна
Пусть дана некоторая совокупность предметов, которую после
пересчета можно было бы обозначить как
V= {1,2,..., 11}.
Предположим далее, что часть предметов, 1, 2, 4 и 6, имеет круг-
лую форму, а часть — 2, 3, 4, 8 и 9 — окрашена в белый цвет. В
этом случае говорят, что множество V имеет два подмножества
А= {1,2,4, 6} иВ = {2, 3,4, 8,9}
круглых и белых предметов. Можно исходное множество называть
фундаментальным, а подмножества А и В просто множествами.
В результате получим четыре класса элементов:
Со = {5, 7, 10, 11} — элементы, которые не обладают ни одним из названных
свойств,
Ci .= {1, 6} — элементы, обладающие только свойством А (быть круглыми),
С2 = {3, 8, 9} — элементы, обладающие только свойством В (быть белыми),
С3 = {2,4} — элементы, обладающие одновременно^друмя свойствами.
На рис. 1.1. указанные классы изображены с помощью диаграм-
мы Эйлера — Венна.
Часто диаграммы не имеют всей полноты общности, например та,
что изображена на рис. 1.2. На ней уже множество А полностью
включено в В. Для такого случая используется специальный символ
включения (с);
АсВ= {1,2,4} с {1,2, 3,4,6}.
6
1. Логика
Если одновременно выполняются два условия:
А с В и В с А , то А = В,
в этом случае говорят, что множества А и В полностью эквива-
лентны.
После того, как определены четыре класса элементов и даны не-
обходимые сведения о диаграммах Эйлера — Венна, введем опера-
ции на множествах. В качестве первой рассмотрим операцию объе-
динения.
Объединение. Таблицы истинности
Объединением множеств
А= {1,2, 4, 6} и В = {2,3,4, 8,9}
назовем множество
AjB {1,2, 3,4, 6, 8,9},
где о — символ объединения множеств. Таким образом, объедине-
нием охватываются три класса элементов — С], С2 и С3, которые
на диаграмме (рис. 1.3) заштрихованы.
Рис. 1.3
Логически операцию объединения
двух множеств можно охарактеризо-
вать словами: элемент х принадле-
жит множеству А или множеству В.
При этом связка «или» одновремен-
но означает и связку «и». Факт принадлежности элемента х множе-
ству А обозначается как х е А . Поэтому то, что х принадлежит А
или/и В, выражается формулой:
х е А и В = (х е A) v (х е В),
где v — символ логической связки или, которая называется дизъ-
юнкцией.
С точки зрения логики, вместо одной предметной переменной х
удобно ввести две логические переменные X] и х-^. Областью опре-
деления Х| и Х2 будут уже не числа натурального ряда, а только два
логических значения: 1 для истинного значения и 0 для ложного.
Допустим, что х = 7. Поскольку это число не принадлежит ни
1.1. Операции логики Буля
7
множеству А, ни множеству В, то и логические значения перемен-
ных будут: Х| = О, Х2 = 0. Эта комбинация переменных отвечает
классу Со- Теперь предположим, что выбрано число 4. Оно входит
как в А, так и в В. Следовательно, X] = 1, Х2 = 1, что соответствует
классу С3. Существуют еще два варианта, например, для числах = 6
имеем Xi = 1, Х2 = 0 и для х = 8 имеем xi = 0, Х2 = 1, которые отве-
чают классам С i и Сг-
Переменные xi и Х2 определяют некоторую логическую функцию'.
у=/(хрх2),
которая, в случае дизъюнкции, записывается как_у = х] vx2.
Таблица 1.1 Легко усматривается, что число 7 не входит в объединенное множест- во А о В, поэтому при х, = 0, х2 = 0 значение логической функции у рав- но нулю. Когда же выбираются чис-	xi	х2	V 221 X. V X, 1	Z
	0	0	0
	1	0	1
	0	1	1
	1	1	1
ла 4, 6 или 8, то все они непременно попадут в заштрихованную об-
ласть диаграммы, следовательно, при этих^начениях функция у
равна единице. Все это удобно оформить таблицей (табл. 1.1), кото-
рую называют таблицей истинности.
Между таблицей истинности и диаграммой Эйлера — Венна су-
ществует взаимно однозначное соответствие. Поэтому число еди-
ниц для у всегда будет совпадать с числом заштрихованных облас-
тей на диаграмме. Четыре комбинации аргументов Х| и Х2 отвечают
четырем областям С/. Кроме того, нетрудно подсчитать, что число
комбинаций нулей и единиц для функции у равно 16, значит и об-
щее число возможных операций на двух множествах, т.е. число
возможных функций у = f (хр х2) тоже равно этому же числу.
Пересечение, двойственность, дополнение
Пересечением множеств А и В называется множество А п В, со-
держащее те элементы из А и В, которые входят одновременно в
оба множества. Для нашего числового примера будем иметь:
А о В = {1, 2, 4, 6} п {2, 3, 4, 8, 9} = {2, 4} = С3.
Диаграмма Эйлера - Венна для пересечения изображена на рис. 1.4.
8
1. Логика
То, что х принадлежит одновременно двум множествам А и В,
можно представить выражением:
х е А о В = (х е А) л (х е В),
где л — символ логической связки «и», которая называется конъ-
юнкцией.
Если в таблице истинности для конъюнкции (табл. 1.2) все нули
заменить единицами, а все единицы — нулями, то в итоге получим
табл. 1.1. Этот факт определяет взаимную двойственность конъ-
юнкции и дизъюнкции. Для любой логической операции можно
найти двойственную. Представим себе операцию, в результате ко-
торой окажутся заштрихованными области С[ и Сз, образующие
множество А (рис. 1.5). Затем еще одну операцию, которая охватит
две другие области — Со и С2, не входящие в А , что обозначается
как А (рис. 1.6). Если объединить заштрихованные области на обеих
диаграммах, то получим все заштрихованное множество 1; пересе-
чение же А и А даст пустое множество 0, в котором не содержится
ни одного элемента:
АиД = 1, А о А = 0.
Аналогичные равенства выполняются и для логических функций,
которые имеют соответствующие названия:
у = х v х = 1 — тавтология, j = х л х = О — противоречие.
Тавтология — это всегда истинное логическое выражение, какое
бы при этом значение ни принимала переменная х. Противоречие,
напротив, всегда ложное выражение.
Множество А дополняет множество А до фундаментального
множества V (или 1); отсюда название: дополнительное множество
А, или дополнение как операция.Дополнение к логической перемен-
1.1. Операции логики Буля
9
ной х, т.е. х {не х), называется чаще всего отрицанием х.
Рис. 1.5	Рис. 1.6
После введения операций пересечения и дополнения все четыре
области С/ на диаграмме Эйлера - Венна можно выразить следую-
щим образом:
Со = А п В, Ci = А п В, С2 = А п В, С3 = А п В.
Путем объединения соответствующих областей С/ можно пред-
ставить любую множественную операцию, в том числе и само
объединение:
А и В = (А п В)и (Ап В) и (Ап В).
Все это распространяется и на логику:	' w
У = X] V Х2 = (Xj Л Х2) V (Х[ Л Х2) V (Xj Л х2).
Стрелка Пирса, штрих Шеффера и разность
На рис. 1.7 и 1.8 приведены диаграммы двух нбйых операций, кото-
рые называются, соответственно, стрелка Пирса и штрих Шеффе-
ра. Эти диаграммы дополняют объединение и пересечение до фун-
даментального множества V.
На языке логических формул этот факт выражается следующим
образом: для стрелки Пирса —
(Xj v х2) v (X] ф х2) = 1, (х, v х2) л (X] Ф х2) = О,
для штриха Шеффера —
(х1 л х2) v (Х[ | х2) = 1, (х1 л Х2) л (Xj I х2) = 0.
Из таблиц истинности для этих операций (табл. 1.3 и 1.4) видно,
что
10
1. Логика
у = X, 4- X, = X, V Х2 = Х| л Х2 = (Xj V Х2) л (Х[ V Х2) A (X] V Х2),
У = X] I Х2 = X, ЛХ, = Xj V Х2 = (х, Л Х2) V (х, Л Х2) V (X] л х2).
На множествах эти операции выглядят следующим образом:
А В = {1,2,4, 6} Ф {2,3,4. 8,9} = {5,7, 10, 11} = Со,
А | В = {1,3, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11} =СоиС] иС2.
Разностью между множествами А и В называется совокупность
тех элементов множества А , которые не вошли во множество В :
А - В = {1, 2, 4, 6} - {2, 3, 4, 8, 9} = {1, 6} = Ср
Диаграмма Эйлера — Венна для нее приведена на рис. 1.9. До-
полнением к разности служит импликация. Таблицы истинности для
разности и импликации представлены табл. 1.5 и 1.6.
У = Xj -> Х2 = X, -Х2 = X] V X, = (Xj Л Х2) V (Xj Л Х2) V (Xj Л Х2),
(Xj - Х2) V (Xj —> Х2) = 1, (Xj - Х2) Л (X] -> х2) = 0.
На диаграмме Эйлера — Венна для импликации (рис. 1.10) пока-
зано частичное включение множества А во множество В, которое
нужно отличать от полного включения (рис. 1.2).
1.1. Операции логики Буля
11
Если утверждается, что «элементы множества А включены во
множество В», то область Сз обязательно должна быть заштрихова-
на, так как она соответствует истине, а область Ci с такой же необ-
ходимостью должна быть оставлена белой, поскольку ей отвечает
прямо противоположное утверждение. Относительно областей Со и
Ci, находящихся в А, заметим следующее. Мы"не имеем права ос-
тавлять их белыми, поскольку они прямо не противоречат первому
утверждению; но, так как логика двухзначная, мы обязаны все же
области, попадающие в А, заштриховать.
А
Симметрическая разность и эквивалентность
Остается привести еще две взаимно дополняющих операции —
симметрическую разность и эквивалентность. Симметрическая
разность двух множеств А и В есть объединение двух разностей:
А + В = (А - В) и (В - А) = Ci иС2= {1,3, 6, 8,9}.
Эквивалентность определяется теми элементами множеств А и В,
которые для них являются общими. Однако элементы, не входящие
ни в А, ни в В, также считаются эквивалентными:
A~B = (AnB)u(AnB) = C0oC3 = {2,4, 5, 7, 10, И}.
На рис. 1.11 и 1.12 показана штриховка диаграмм Эйлера — Вен-
12
1. Логика
на. а табл. 1.7 и 1.8 представляют таблицы истинности соответст-
вующих операций. Из условия дополнительности операций выте-
кают следующие соотношения:
(Х[ + Xl) v С*1 ~-¥2) = Ъ (л'1 + Хэ) A (Xj ~ Х2) = 0.
У = Х'1 ~ Х2 = XI +Х? = (Х] A X?) V (xi А Х2) =
= (Х] V Х2) A (Xl V Хэ) А ( X) V Х2).
сколько названий: строгая дизъюнкция, исключающая альтернати-
ва, сумма по модулю два. Эту операцию можно передать словами —
«либо А, либо В», т.е. это логическая связка «или», но без включен-
ной в нее связки «и».
1.2. Формы представления булевых функций
Совершенные формы представления
Любую булеву функцию у = f(a, b) можно представить как некото-
рую комбинацию областей:
Со = й_а b. СI = а л Л, Сг = в а Л, Сз = в а й.
Тогда, в зависимости от значения функции и заданных С/, которые
в этом случае называются конституентами, получим 16 логиче-
1.2. Формы представления булевых функций 13
ских операций:
у = [а л b /\ f (0,0)] v [а л b л/(1,0)] v
V [й л b л/ (0,1)] v [а л b л/'(1,1)].
Подобная форма представления логических функций называется
совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ).
В логике Буля действует принцип двойственности, который гла-
сит: при одновременной замене символов ло v и 1 о- 0 все логи-
ческие равенства остаются в силе. Поэтому СДНФ можно предста-
вить несколько иначе:
У = [<1 v b v f (1,1)] л [a v b v/(0,1)] л
л [a v ft v/(1,0)] л [й vft v/(0,0)].
Эта форма представления называется совершенной конъюнктив-
ной нормальной формой (СКНФ). Здесь уже конституенты пред-
ставлены не в виде конъюнктов, как в СДНФ, а в виде дизъюнктов.
Соединены же эти дизъюнкты конъюнкцией, отсюда и название —
СКНФ.
Существует еще и третья форма — совершенная полиномиальная
нормальная форма (СПНФ). Ее можно получить из СДНФ путем
замены:
avb = a + b + ab, « = 1 + «.
Поскольку конституенты не пересекаются (С/Су = 0), мы можем
сразу же записать (в СПНФ символ конъюнкции опускается):
у = [(1 + «)(1 + Ь)/(0,0)] + [«(1 + й)/(1,0)] + [(1 + я)Л/(0,1)] + [а*/(1,1)] =
=/(0,0) + «/(0,0) +/(1,0)] + Л[ДО,О) +/(0,1)] +
+ ай/(0,0) + /(1,0) +/(0,1) +/(1, 1)].
В табл. 1.9 приведен полный список элементарных логических
функций от двух аргументов и в трех совершенных формах —
СДНФ, СКНФ и СПНФ. Совершенные формы представлений по-
зволяют выразить аналитической формулой любую функцию, если
известна ее таблица истинности.
Пусть задана конкретная таблица истинности (табл. 1.10) для
функции, зависящей от трех аргументов. Тогда, выписывая соответ-
ствующие конъюнкты против единичных значений у, мы получим
14
1. Логика
СДНФ. Если же мы выпишем дизъюнкты против нулевых значений
у, то в результате уже получим СКНФ. Наконец, СПНФ образуется
путем замены в СДНФ: v на + и х на 1 + х.
У СДНФ = &3 Л 22 Л Xl) V Л Х2 Л Xl) V (Х3 Л Х2 Л 21) V <Х3 Л Х2 Л Х1)>
УсКНФ = (хз vx2 VXj) Л (хз VX2 VXj) Л (хз VX2 VXj) Л (хз VX2 VXj),
УСПНФ = (хз + 1)(х2 + 1>, + Х3х/х1 + (х3 +	+ х3 (х2 + 1)(х, + 1).
Таблица 1.9
У =f(a, b)	СДНФ = СКНФ = СПНФ
JO = O	= (a v Ь) л (а\/ Ь) /\ (a v b) д (a v b) = 0
/1 = a/\b	= (a v Ь) л (я v Ь) л (a v b) = ab
У2 = Ь-а	= а л b = (a v b) л (я v b) л (а v b) = b + ab
УЗ = Ь	= (а л b) v (а л b) = (a v b) л (« v b) = b
У4 = а-Ь	= а лЬ = (av b) л fa v b) л(ау b) =a + ab
У 5 = а	= (а л b) v (а лЬ) = fa v b) л (a v b) = а
Уб = а + Ь	= (а л b) v (а/\ b) = (a v b) л (a v b) = а + b
У7 = a v b	= (а л b) v (a/\b) v (а лЬ) = (а v b) = а + b + ab
/8 = а^Ь	~ в л k = (a v Ь) л (я v Ь) л (av b) = 1+ а + b + ab
У9 = а~Ь	= (алЬ) v (а лЬ) = (av b) л(а\/ Ъ) = 1 + в + b
У\0 = а	= (а л b) v (а л Ь) = (а\/ Ь) л (а\/ b) = 1 + а
У\\=а^Ь	= (a/\b)v(a/\b)\/(af\b) = l + a + ab
У12 = Ь	= (af\b)v(at\b) = (avb)/\(a\/b) = \+b
yi3 = b-+a	= (алЬ) v (а л b) v (а лЬ) = av b = l + b + ab
У14 = «1^	= (a/\b)v(a/\b)\/(a/\b) = l + ab
/15 = 1	= (а л b) v (а л Ь) х/ (а л b) v (а л b) = 1
В последнем случае выражение для уСПНФ легко упростить, если
раскрыть скобки и взаимно сократить все одинаковые слагаемые,
входящие в формулу четное число раз:
УсПНФ ~ х] + х2 + Х2Х3-
Подобное упрощение, которое называется минимизацией логической
функции, можно приминить к СДНФ и СКНФ.
1.2. Формы представления булевых функций
15
Приведем соответствующие формы представления функции у, за-
данной табл. 1. 10:
Тмднф = (*3 Л xj) V (х2 А Х1) V (х3 Л Х2 Л х0,
и для СКИФ, т.е. минимальную КНФ:
Умкнф= (*3 V Х1) Л (хз V х2 V Х1) Л (Х2 V Х1).
После того, как найдены минимальные нормальные формы
(МИФ), их рекомендуется проверить на всех наборах аргументов х/.
Переменные х/ или х/ часто называют термами. Именно полный
набор из п термов образует конституенту. Вщроцессе же миними-
зации некоторые термы из конституент пропадут. Тогда оставшую-
ся часть дизъюнкта или конъюнкта называют импликантой.
Как мы только что убедились на примере, импликанты появляют-
ся в результате склейки смежных конституфт, различающихся од-
ним термом. Однако для функций, зависящих от многих перемен-
ных, неконтролируемый процесс склейки неизбежно приводит к
лишним импликантам. Требуемое число импликант может оказать-
ся гораздо меньше возможного числа смежных склеек. В таких слу-
чаях истинную МНФ получают с помощью специальных методов
минимизации, три из которых мы сейчас разберем. При этом следу-
ет помнить, что рассматриваемые далее методы минимизации каса-
ются только СДНФ. Но на основании принципа двойственности они
могут быть легко распространены и на СКНФ.
Минимизация булевых функций по Куайну
Пусть будут заданы номера наборов четырех переменных, на кото-
рых логическая функция принимает единичное значение:
16
1. Логика
/(2, 5, 6, 7, 10, 12, 13, 14) = 1.
Выразим эту логическую функцию в СДНФ (символ конъюнкции
писать не будем):
7^(0010,0101, 0110, 0111, 1010, 1100, 1101, 1110) =
= Х4Х3Х2Х 1 v ХДХ3Х2Х1 v Х4Х3Х2Х1 v Х4Х3Х2Х1 v
V Х4Х3Х2Х1 V ХдХЧХ?Х| V Х4Х3Х2Х1 V Х4Х3Х2Х1.
На первом этапе минимизации исходную СДНФ можно упро-
стить за счет использования закона склеивания:
f = V ХдХуГ, V XjX3X2 V Х3Х?Х1 V Х4Х3Х2 V X^XjXj.
Обращаем внимание на то, что одну и ту же конституенту (им-
пликанту) можно склеивать с другими конституентами (импликан-
тами) многократно, так как в логике Буля действует закон идемпо-
тентности'.
a = av a = av av а = ..., а = а /\а = а ла /\а ~...,
поэтому любую конституенту можно размножить.
Таблица 1.11
X4X3X2X1	0010	0101	оно	0111	1010	1100	1101	1110
--10	' 1 •	0	1	0		0	0	
0 1-1	0	~ А	0	-i-	0	0	0	0
0 1 1 -	0	0	1	1	0	0	0	0
- 1 0 1	0	1	0	0	0	0	1	0
W-	0	0	0	0	0	1	1 8	0
11-0	0	0	0	0	0	1	0	1
На втором этапе воспользуемся таблицей Куайна (табл. 1. 11), в
соответствии с которой метод минимизации получил наименование
— метод Куайна. В таблице по вертикали перечислены все полу-
ченные на первом этапе упрощения импликанты, а по горизонтали
— исходные конституенты. Единица в табл. 1.11 стоит там, где им-
пликанта «накрывает» конституенту. Дело в том, что конституента
всегда может быть заменена импликантой или даже отдельным тер-
мом по закону поглощения'.
a = av (а лЬ) = а\/ (а л abc) = ... ,а = а л(ач Ь) = а л(ач abc) = ...
После заполнения таблицы Куайна получилось так, что почти в каждой
графе оказалось по две единицы; между тем достаточно иметь одну еди-
1.2. Формы представления булевых функций
17
ницу на графе. Поэтому, по возможности, нужно исключить избыточные
единицы. Выбор единиц производится из соображений минимальности
числа термов (выбранные единицы заштрихованы). В итоге оказалось, что
можно обойтись только тремя импликантами вместо шести:
f = *2*1 v *4*3*1 V Х4Х3Х2.
С помощью таблиц истинности легко проверить, что полученная
в МНФ функция воспроизводит все значения исходной функции.
Отметим, что в общем случае решений по критерию минимума тер-
мов может быть несколько.
Минимизация по методу сочетания индексов
Не менее эффективным способом минимизации логических функ-
ций является метод сочетания индексов. Для его изложения соста-
вим табл. 1.12, в графах которой записаны возможные сочетания
индексов. В последней графе выписаны значения функции. Анализ
таблицы начинается слева по столбцам. Принцип исключения i,j-
кода следующий. На пересечении /-столбца, например с сочетанием
индексов 23, иу-строки, например 3-ей, находится код 10, что соот-
ветствует импликанте х^с3. Следовательно, в этом столбце везде,
где встречается код 10, т.е. в строках 2, 3, 10 и 11, эти коды исклю-
чаются, поскольку значение функции в 3-й-ртроке равно нулю. Те-
перь возьмем столбец с сочетанием индексов Г24. Здесь во 2-й и 6-й
строках оставлены коды 010, а в 10-й и 14-й строках — код 011.
Сделано это потому, что эти коды встречаются только на строках со
значением функции, равным единице. Напротив, код 110 этого же
столбца встречается как при единичных значениях функции, так и
при нулевых.
Итак, все коды на строках, заканчивающихся нулевыми значе-
ниями функции, исключаются автоматически. Если эти коды попа-
дают на строки, заканчивающиеся единичным значением функции,
то они также не учитываются. Остаются только те коды, которые
расположены на строках с единичным значением функции (эти ко-
ды подчеркнуты).
Далее руководствуются следующим правилом. Для того чтобы
функция приняла значение, равное единице, достаточно того, чтобы
только какая-нибудь одна импликанта на строке приняла единичное
значение. Прежде всего оставляем минимальную импликанту *2*ь
которая перекрывает единицы в строках 2, 6, 10 и 14. Затем, естест-
18
1. Логика
венно, обращаемся к 12-й строке. Здесь оставляем единственный на
строке код 011, что отвечает импликанте Х4Х3Х2. Эта же импликанта
ответственна за 13-ю строку, оканчивающуюся тоже единицей. Ос-
талось рассмотреть 5-ю и 7-ю строки. Общей для них является им-
пликанта Х4Х3Х1. Таким образом, тремя импликантами мы перекры-
ли все единичные значения функции, что совпадает с результатом,
полученным на основе таблиц Куайна.
Таблица 1.12
п	1	2	3	4	12	13	14	23	24	34	123	124	134	234	1234	
0	0	0	0	0	00	00	00	00	00	00	000	000	000	000	0000	0
1	1	0	0	0	10	10	10	00	00	00	100	100	100	000	1000	0
2	0	1	0	0	m	00	00	10	10	00		ЯВЬ	000	100	0100	1
3	1	1	0	0	11	10	10	10	10	00	по	но	100	100	1100	0
4	0	0	1	0	00	01	00	01	00	10	001	000	010	010	0010	0
5	1	0	1	0	10	и	10	01	00	10	ЗИ1?	100	W	010	1010	1
6	0	1	1	0		01	00	и	10	10	011	Шг	010	11.«!	оно	1
7	1	1	1	0	и	и	10	и	10	10	111	110	ау	110	1110	1
8	0	0	0	1	00	00	01	00	01	01	000	001	001	001	0001	0
9	1	0	0	1	10	10	11	00	01	01	1 100	101	101	001	1001	0
10	0	1	0	1		00	01	10	и	01	]»	0)1	001	101	0101	1
И	]	1	0	1	11	10	11	10	11	01	но	111	101	101	1101	0
12	0	0	1	1	00	01	01	01	01	11	001	001	он		ООП	1
13	'1	0	1	1	10	11	11	01	01	и	Mfi;	101	111	ик	1011	1
14	0	1	1	1		01	01	11	и	11	он	0Ж	01 1	111	0111	1
15	1	1	1	1		и	11	и	11	11	111	111	111	111	ни	0
Минимизация по картам Карно
Хотя табл. 1.12 более громоздка, чем табл. 1.11, метод сочетания
индексов не считается более сложным, чем метод Куайна, если
помнить, что до составления таблиц Куайна необходимо произвести
многочисленные склейки конституент и импликант. Реализация на
компьютере алгоритма метода сочетания индексов оказывается
сравнительно простой. И напротив, внешняя простота и нагляд-
ность третьего метода минимизации логических функций с по-
мощью карт Карно оборачивается сложной программой при реали-
зации алгоритма на компьютере.
Карта Карно для четырех переменных представлена табл. 1,13.
Каждая клетка карты соответствует конституенте. Заполненная кар-
та представлена табл. 1.14 (функция взята та же, что и в первых
двух методах). Согласно закону склеивания, две смежные конститу-
1.2. Формы представления булевых функций
19
енты с единичными значениями всегда можно объединить для по-
лучения соответствующей импликанты. Причем смежными счита-
ются и те, которые лежат на границах карты. Какие именно едини-
цы требуется объединить для получения подходящей импликанты,
легко определить визуально. Следует также помнить, что в соответ-
ствии с законом идемпотентности одна и та же единица табл. 1.14
может склеиваться с двумя или тремя смежными единицами.
X!		Х1	Х\	Ху	Таблица 1.13
х2	1100	ж*			х4
х2	1101	1111	йй		х4
*2	1001			0001	х4
*2	1000	ИВ8	0010	0000	х4
	*3	•^3	х3	Xi	
Таблица 1.14
х&\
^4X3X2
*4X3*!
Базовые наборы булевых функций
Рассмотренные здесь три метода используются для сравнительно
небольшого числа переменных. Если же число их становится слиш-
ком большим, требуются более изощренные приемы отбора импли-
кант. Представление функций в СДНФ и СКНФ образованы тремя
операциями — дизъюнкцией, конъюнкцией и отрицанием, а СПНФ
— сложением по модулю два, конъюнкцией и единицей как опера-
цией. В логике Буля действует принцип суперпозиции, который гла-
сит: любая сложная функция может быть представлена в виде сово-
купности элементарных функций двух аргументов, например:
20
1. Логика
F(xbX2,X3,X4) = ((Х] I х2)	(х2 V Х3)) ф (Хз + х4) =
{/11 [/14^1> Х2),/7(х2, X3)],/6[/io(X3, Х4), Х4]}.
Табл. 1.15 является таблицей истинности для сложной функции
Дхьх2,хз,х4). На всех наборах аргументов, кроме двух, эта функция
равна нулю. Поэтому ее можно представить в виде одного конъ-
юнкта, который выражается через операцию вычитания:
F(xi, Х2, Хз, Х4) = Х2 Л Х3 А х4 = (х4 - х3) - х2 .
Таблица 1.15
Х1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1
х2	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1
Хз	0	0	0	0	1	1	1	1	0	0	0	0	1	1	1	1
х4	0	0	0	0	0	0	0	0	1	1	1	1	1	1	1	1
/14 = X1 | Х2	1	1	1	0	1	1	1	0	1	1	1	0	1	1	1	0
/ = х2 V х3	0	0	1	1	1	1	1	1	0	0	1	1	1	1	1	1
/10 =Хз	1	1	1	1	0	0	0	0	1	1	1	1	0	0	0	0
,/б =/10 + Х4	1	1	1	1	0	0	0	0	0	0	0	0	1	1	1	1
/11 =/14 ->/	0	0	1	1	1	1	1	1	0	0	1	1	1	1	1	1
/ =/11 ^/б	0	0	0	0	0	0	0	0	1	1	0	0	0	0	0	0
Зададимся вопросом: через какие еще системы логических опера-
ций можно выразить произвольно взятую булеву функцию? В связи
с этим вопросом определим пять классов функций.
Функция, сохраняющая нулевое значение на нулевом наборе тер-
мов: f (0, 0) = 0, определяет 0-класс. К этому классу относятся все
элементарные функции с 0 по 7 (см. табл. 1.9).
Аналогично определяется 1-класс, сохраняюгций константу 1 на
единичном наборе: f (1, 1) = 1. К 1-классу относятся нечетные
функции.
Класс линейных функций (2-класс) определяется линейностью по-
линомиальной формы. Например, эквивалентность является линей-
ной функцией, так как fo = 1 + а + b , а стрелка Пирса за счет нели-
нейного слагаемого ab уже не будет являться таковой: /g = 1 + а + b
+ ab.
Класс самодвойственных функций (3-класс) описывается форму-
лой: f(a, b) =f(a, b). Таких элементарных функций всего четыре.
Наконец, класс монотонных функций (4-класс) определяется не-
1.2, Формы представления булевых функций
21
равенством: f(a, b) <f(a\ b) , при а < а', и b < Ь'. Например, пусть а
= 0, а' = \,b = 1 и />' = 1, тогда для дизъюнкции будем иметь:
(/7 = a v b= Y)<(fy = a' v b'= 1).
И какие бы наборы а, а', b и Ь' мы ни брали, если выполняются
условия
а < а' и b <Ь', всегда будет иметь место/7 </7; значит, дизъюнкция
является монотонной функцией.
Принадлежность элементарной функции к тому или иному клас-
су (К) отмечена единицей в табл. 1.16. По этой таблице уже легко
можно определить систему базисных функций.
Таблица 1.16
к	То	/;	/2	Тз	/4	/5	/б	/7	Л	/9	Т10	Til	Т12	Т13	/14	/15
0	1	1	1	1	1	1	1	1	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1
2	1	0	0	1	0	1	1	0	0	1	1	0	1	0	0	1
3	0	0	0	1	0	1	0	0	0	0	1	0	1	0	0	0
4	1	1	0	1	0	1	0	1	0	0	0	0	0	0	0	1
Система функций является базисной, если она перекрывает нуля-
ми все строки 0-, 1-, 2-, 3-, 4-классов. Например^СПНФ образована
функциями	Для этих трех функций нули стоят во всех пяти
столбцах табл. 1.16. Следовательно, в СПНФ может быть представ-
лена любая сколь угодно сложная функция.
СДНФ и СКИФ образованы функциями	Перекрытие ну-
лями всех пяти классов достигается уже двумя функциями: либо f
и /ю, либо /7 и /10, т.е. в этих формах имеется некоторая избыточ-
ность функций.
Итогом теории пяти классов функций является теорема Поста,
которая гласит: для того чтобы система функций была базисной,
необходимо и достаточно, чтобы она включала в себя хотя бы одну
функцию, не принадлежащую 0, 1, 2, 3 и 4 классам (условие на-
личия нулей на всех строках табл. 1.16). Однако для установления
базисной системы функций вовсе необязательно вводить пять клас-
сов функций: достаточно знать взаимосвязь между операциями.
Коль скоро было установлено, что всякая логическая операция
представима через три булевых, требуется лишь выразить эти три
через все остальные. На основе таблиц истинности можно убедить-
22
1. Логика
ся в справедливости следующих равенств:
а —> й = а-b,
й = 1- й = й—>0=1+й = й~0 = йй = й^й,
а л b = а - b = (а \ Ь)\(а \Ь) = (й Ф a)l(b Ф Ь),
a v b - b ^ (а \ а)\(Ь | Ь) = (а Ф Ь)Х(а Ф Ь),
а + b = й + b = а- b = а ~ Ь = а ~ Ь,
l=a—>a = ava = a~ а, 0 = а- а = ала = а + а.
1.3.	Методы доказательства в логике Буля
Основные законы логики Буля
В качестве основных законов логики Буля чаще других называют:
1)	законы идемпотентности:
а = ала, а = й v й ;
2)	законы коммутативности:
алЬ^Ьла, avb = bv<r,
3)	законы ассоциативности:
а л (Ь л с) = (а л Ь) л с, a v (b v с) - (a v b) v с ;
4)	законы дистрибутивности:
а л (Ь / с) = (а л Ь) /(а л с), й v (Ь лс) = (й v Ь)л(а v с);
5)	законы нуля и единицы:
ала = 0, а л 1 = а, evg=l, «vO = a;
6)	законы поглощения:
a v (а л Ь) = а, а л (a v Ь) = а;
7)	законы де Моргана:
аз h = й л й , й ай = й v й ;
8)законы склеивания:
(аз Ь) л(а v Ь) = а, (а а й) v (а а Ь) = а.
Не все восемь законов независимы друг от друга. Так, закон
идемпотентности можно получить из закона поглощения с исполь-
зованием закона дистрибутивности:
а = a v (а л b) = (a v а) л (a v b) = (а л (a v b)) v (а л (a v b)) = a v а
1.3.,,Методы доказательства в логике Буля
23
З^коу поглощения может быть выведен из закона нуля и единицы:
a v(a a b) = (a a l)v(a лЬ) = а л(1 v b) = а л! =а.
Закон идемпотентности относительно дизъюнкции непосредственно
выводится из законов нуля и единицы:
ava = (a v я) л 1 = (а va) л (a v а) = а \/ (a Aa) = avO = a.
При доказательствах логических выражений всегда надо иметь в
виду принцип двойственности. Так, вышеприведенная цепочка ра-
венств для закона поглощения может быть представлена следую-
щим образом:
а л (a v b) = (a v 0) л (a v b) = a v (0 л b) = a v 0 = а .
Итак, в качестве независимой системы законов можно выбрать
законы: коммутативности, ассоциативности, дистрибутивности,
нуля и единицы.
Аксиоматический и конструктивный способы обоснования
Как было сказано, в логике широко используются два подхода —
аксиоматический и конструктивный. При аксиоматическом дока-
зательстве используется жесткая система аксиом, состоящая, на-
пример, из четырех только что названных. Вее остальные тождества
необходимо представлять через эти законы. При конструктивном
же доказательстве можно воспользоваться системой конструктов,
примерами которых являются диаграмма Эйлера — Венна и табли-
ца истинности. Продемонстрируем различие этих двух подходов.
Для доказательства простого тождества (я л 0 = 0) приверженец
аксиоматического подхода приведет примерно такую цепочку пре-
образований:
а лО - а л (а а а) = (а л а) а а = ((a a a) v 0) а а =
= ((a a a) v (а л а)) л а = (а л (a v а)) л а = (а а 1) а а = а а а =0.
И сделает он это только ради того, чтобы формально привязаться
к провозглашенной выше системе аксиом. Для конструктивиста же
исходное тождество практически не потребует никаких доказа-
тельств.
Картина выглядит противоположным образом в отношении, на-
пример, закона дистрибутивности. Аксиоматик в данном случае не
предпримет никаких действий, а сторонник конструктивного под-
24
1. Логика
хода обязан продемонстрировать эквивалентность левой и правой
частей тождества:
в v (Ь л с) = (а v Ь) л(и у с).
Проведем доказательство с помощью диаграмм Эйлера - Венна.
Построим две диаграммы, изображенные на рис. 1.13, которые от-
вечают двум операциям левой части тождества.
Лас	a v (6 л с)
Рис. 1.13
Теперь построим еще три диаграммы (рис. 1.14), соответствую-
щие трем операциям, фигурирующим в правой части закона дист-
рибутивности. Как видно из диаграмм, результаты построения ло-
гических операций левой и правой части закона дистрибутивности
полностью совпали.
л v b	a vс
Рис. 1.14
Докажем с помощью диаграмм Эйлера - Венна справедли-
вость более сложного тождества:
а + b + с + d= ((а ~ Ь) -> (с + d)) л ((а + b)\(c + d)).
На рис. 1.15 изображены две операции — а + b и с + d, — фигу-
рирующие в левой части приведенного тождества. Следует заме-
тить, что диаграмма Эйлера - Венна, нарисованная с помощью кру-
гов, для четырех переменных а, Ь, с и d не является полной, по-
1.3. Методы доказательства в логике Буля
25
скольку она содержит только 14 областей, а необходимо 16. Поэто-
му в роли исходных областей выбраны эллипсы.
а ~ b
(a~b) —> (с + d)
((a ~h)->(c + d)) л.
л ((a + b)\(c + d))
Рис. 1.16
На рис. 1.16 изображены четыре диаграммы, соответствующие
операциям правой части тождества; последняя из них является ре-
зультирующей. Но точно такая же результирующая диаграмма по-
26
1. Логика
лучится при сложении по mod (2) двух первых диаграмм: (« + />) + (с
+ d). Так как результирующие диаграммы левой и правой частей
одинаковы, приведенное тождество верно.
В правильности тождества можно убедиться с помощью таблицы
истинности (табл. 1.17). Она показывает, что наборы значений из
нулей и единиц для левой части (fj совпали с наборами правой час-
ти (/r), значит исходное тождество верно. Можно ставить обратную
задачу, т.е. по известной диаграмме находить отвечающее ей ком-
пактное аналитическое выражение. Пусть дана диаграмма, изобра-
женная на рис. 1.17. Найдем соответствующее ей аналитическое
выражение. Для этого заштри-
хованные области представим в
виде конституент:
С{ = а л b л с, С2 = ал b л с .
Искомое выражение получается
при объединении этих конститу-
ент:
х = С} v С2 = b л ((а л с) v
v (ал с)) = b л (а + с).
Рис. 1.17
Таблица 1.17
а	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1
ь	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1
с	0	0	0	0	1	1	1	1	0	0	0	0	1	1	1	1
d	0	0	0	0	0	0	0	0	1	1	1	1	1	1	1	1
f\= а +b	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1	0
/2 = с + d	0	0	0	0	1	1	1	1	1	1	1	1	0	0	0	0
/L =71 +/2	0	1	1	0	1	0	0	1	1	0	0	1	0	1	1	0
fy=a~b	1	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1
/4 = /3 -> /2	0	1	1	0	1	1	1	1	1	1	1	1	0	1	1	0
/5 =/1 1 /2	1	1	1	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1	1	1	1
,/r =/4 л /5	0	1	1	0	1	0	0	1	1	0	0	1	0	1	1	0
1.3. Методы доказательства в логике Буля 27
Примеры доказательств булевых тождеств
Требуется выяснить, будет ли выполняться закон ассоциативности
относительно штриха Шеффера:
(а | Ь) | с = а | (Ь | с)1
Здесь можно не прибегать к таблицам истинности или диаграммам
Эйлера — Венна. Достаточно знать связь между операциями, чтобы
показать, что закон не выполняется:
а | (Ь | с) = 1 + а(1 + be) = I + а + abc ;
(а | й)| с = 1 + (1 + ab)c = 1 + с + abc .
Позиция конструктивистов состоит в том, чтобы любое тождест-
во в математической логике получило свое убедительное обоснова-
ние, будь то закон дистрибутивности для дизъюнкции и конъюнк-
ции или закон ассоциативности для этих операций — ничто не
должно браться в качестве «аксиом», т.е. утверждений без доказа-
тельств. Аналогичный конструктивный прием можно использовать
для доказательства тавтологии:
(а л а(а -> А)) -> Л = 1 .
Доказательство:
й(1 + а + ab) ~^b = ab—^b = l+ab + abb = 1 .
В следующем примере полиномиальная форма уже не использу-
ется, а доказательство ведется посредством булевых операций. Тре-
буется доказать:
((а + Л) -> (a v />)) л ((а v 6) —> (а + 6)) = а | 6 .
Доказательство:
((а + b) —> (a v Ь)) л ((a v Ь) —> (а + Ь)) =
= (((« л (a v й)) -> (в v А)) л ((a v b) v ((a v b) л {a v b)) =
= ((а л A) v (а у b) v (a v А)) л ((a v b) v (а v А)) =
= 1 л((« /^v(avb))=avb = aib.
Часто встречаются доказательства смешанного характера. На-
пример, требуется установить, что
А о В = 1 , если А с В.
Когда встречается символ включения, его лучше всего перевести в
тождество. Если А полностью включено в В, то с помощью диа-
грамм Эйлера — Венна легко проверить, что
28
1. Логика
А п В = А или A j В = В.
Далее, используя последнее равенство и аксиомы булевой логики,
получим:
АиВ = Аи(АиВ) = (АиА)иВ = 1иВ = 1.
Предположим, требуется доказать тождество
А л В = В или А и В = А.
В данном случае доказательство можно провести, по крайней мере,
двумя способами. Первый способ:
ВВ... 0 = Во (Au A) - (AJ В) ГДА В) =
= А л (А и В) = (А п А) и (А л В) = 0 и (А п В) = А л В.
Второй способ:
А л В = (А и В) л В = В.
При втором способе доказательства использовался закон погло-
щения, который, вообще говоря, не входит в систему провозгла-
шенных ранее аксиом, но справедливость которого, тем не менее,
легко установить отдельно. Отсюда вывод: всякое доказательство
зависит от тех средств, которыми мы располагаем.
Закон де Моргана можно доказать следующим образом. «Умно-
жим» тождество слева и справа на скобку (a v b), получим:
(а у b) л (a v Ь) = (а лЬ) a (a v b).
Так как а л а = 0, то левая часть тождества равна нулю. Раскрывая
скобки в правой части, убеждаемся, что и она равна нулю.
По аналогии с этим доказательством, вполне правдоподобным
кажется и такое доказательство закона поглощения:
а = а л (a v b).
Обе части тождества «умножаем» на скобку (ia v b)'.
а а (а v Ь) = а л(ач b) л(ач Ь).
Используя закон идемпотентности, приходим к тождеству:
а л(ач Ь) - а л(ач Ь).
Однако такое доказательство ошибочно, поскольку произвольное
«умножение» в логике недопустимо. Возможно лишь такое «умно-
жение» и «сложение», которое отвечает законам нуля и единицы,
т.е. а ла = 0, a v а = 1. Для иллюстрации сказанного возьмем заве-
домо ложное тождество:
1.3. Методы доказательства в логике Буля
29
(а л b) v (а л с) v (а л с) = (а л b) v (а л с).
Воспользуемся законом поглощения в виде:
а = a v (а л с).
«Сложив» его с исходным выражением, получим:
(а лА) v (а л с) v (а л с) v а = (а лЬ) v (а л с) v (а л с) v а,
что должно доказывать справедливость исходного выражения. Од-
нако с помощью таблиц истинности (табл. 1.18) легко установить,
что это не так. Две нижние строки, соответствующие правой (/R) и
левой (/l) частям исходного выражения, отличаются друг от друга.
Следовательно, тождество записано ошибочно. Истинным тождест-
вом является:
(а л b) V (а л с) v (b л с) = (а л b) v (а л с).
Таблица 1.18
а	0	1	0	1	0	1	0	1
b	0	0	1	1	0	0	1	1
с	0	0	0	0	1	1	1	1
/=алЬ	0	0	0	I	0	0	0	1
fi~ алс	0	0	0	0	"1		1	0
/з = а л с	0	0	0	0	0	1	0	1
/r =/i v/2	0	0	0	1	1	0	1	1
Л =/1 V /2v/3	0	0	0	1	1»	1	1	1
Закончим этот подраздел примерами решения задач.
1)	Доказать тождество:	а —> (Ь л с) = а | (Ь | с).
Доказательство: а (Ь л с) = a v (b л с) = a v(b I с)= а\(Ь\ с).
2)	Доказать тождество:	а + (Ь /\с) = (а —> Ь) ~ ((а + с) л Ь).
Доказательство:	(а -> Ь) ~ ((а + с) л Ь) =
= (1 + а + ah) ~ (ab + be) = 1 + (1 + а + ab) + (ab + Ьс) = а + (Ь л с).
3)	Доказать тождество:
(а лЬ л с)^>(а v b v с)-(а —> b)\/(b с) v (с-> а).
Доказательство:
30
1. Логика
(а /\Ь /\с) v (a v b v с) = (я v 6 v с) v (a v b v с) =
= (я v Ь) v (by с) v (с v а) = (а -> b) v (b -> с) v (с —> а).
4)	Доказать тождество:
((а Ь) —> (а + Ь)) л ((а - b) —> (a\b)) = av b.
Доказательство :
((a ^b)>(a + b)) л ((а -Ь)-*(а\ Ь)) =
= ((a v b) v ((а лЬ) v (а л Ь))) л ((a v b) v (в v b)) =
= ((a v Ь) л ((a v b)v (ау Ь))) л (a v 1) =
= (х л (х v у)) л 1 =х , гдех = a v b, у = a v b.
5)	Доказать тождество:
(А ид г> (А и В) п (В и С) r> (Au В) п (В о С) = 0.
Доказательство:
A n С n (А и С) = X о X = 0 , гдеХ = АпС.
6)	Доказать тождество:
(А и В и С) + (А п В п С) = (А и В и С) - (А п В n С).
Доказательство:
(А и В и С) + (А п В n С) = ((А о В п С) П (А п В n С)) и
и ((A uBuC)n(AuBu С)) =
= 0 и ((А и В и С) п (А и В и Q) = (А и В и С) - (А п В n С).
7)	Доказать тождество:
((А и В) п (В и С)) и ((А и С) п (Ви С) п (А и В)) = 1.
Доказательство:
((А и В) о (В и С)) и ((А и С) п (В и С) п (А и В)) =
= (В и (А п С)) и ((А и С) п (В и (А п С))) =
= (В о X) и (X п (В и X)) = (В и X) и (X п В) =
= (В и X) и (В и X) = 1, где X = (A n С).
1.3. Методы доказательства в логике Буля
31
Таблица 1.19	X	У	Z	х + 2	х->у	f
8) Преобразовать в СДНФ	0	0	0	1	1	0
функцию:	0	0	1	0	1	0
/= (х + Z) - (х -> у).	0	1	0	1	1	0
Решение:	0	1	1	0	1	0
	1	0	0	0	0	0
/сднф = (х + z) - (х ~^у) =	1	0	1	1	0	1
= (XV z) A (XV z) АХ лу =	1	1	0	0	1	0
	1	1	1	1	]	0
~ (XV Z) АХ А£=Х A£AZ.
Правильность нахождения /с-днф прове-
рим с помощью таблицы истинности
(табл. 1.19).
9) Используя операции над множест-
вами, представить заштрихованные об-
ласти рис. 1.18 в виде компактного ана-
литического выражения.
Рис. 1.18
Решение: заштрихованные области можно представить четырьмя
конституентами:
(А а В п С) и (А В о С) и (А п В л С) и (Д п В n С) =
= (А п ((В n С) м (В n С))) и (А п ((В n С) и (В n С))) =
= (А п (В ~ С)) о (А п (В + С)) =
= (А п (В ~ С)) u (А п (В - С)) = А ~ (В ~ С).
Практические задания по логике Буля
1.	В табл. 1.20 заданы номера наборов аргументов, на которых
логическая функция принимает значение, равное единице. Необхо-
димо записать эту функцию в СДНФ и произвести ее минимизацию
методом Куайна, методом сочетания индексов и методом Карно
(результаты минимизации для всех трех случаев должны совпасть).
2.	Логическую функцию вашего варианта из предыдущего зада-
ния запишите в СКНФ. Как нужно модифицировать метод Куайна,
метод сочетания индексов и метод Карно, чтобы приспособить их к
32
1. Логика
СКНФ? Произведите минимизацию вашей функции, записанной в
СКНФ, всеми тремя методами.
Таблица 1.20
№	Номера конституент							
1	4	6	8	9	10	И	15	—
2	2	3	6	7	8	14	15	-
3	0	2	4	5	6	7	9	11
4	1	3	5	7	8	12	14	—
5	1	2	5	6	10	12	13	14
6	0	3	7	9	10	12	13	14
7	0	2	5	8	10	И	14	15
8	0	1	2	4	7	10	11	12
9	0	5	7	8	9	12	13	15
10	0	1	2	3	9	12	14	15
11	0	1	4	6	7	8	9	15
12	0	3	4	5	7	8	10	И
13	0	2	3	7	8	12	14	15
14	0	2	9	10	11	12	13	15
15	1	2	5	6	8	9	10	14
16	1	3	6	7	9	11	13	-
17	1	6	7	9	12	13	14	15
18	1	2	4	10	И	13	14	-
19	1	5	6	7	9	13	14	15
20	1	2	3	4	9	12	15	-
21	2	3	4	7	10	12	13	14
22	2	3	5	8	10	11	12	14
23	3	4	5	7	8	9	10	11
24	4	5	7	9	10	И	12	15
3.	Ниже приведены логические выражения. Максимально упро-
стите выражение своего варианта, воспользовавшись законами ло-
гики Буля. Затем с помощью таблиц истинности сравните ваше уп-
рощенное выражение с исходным.
1.	(a v (d л Ь)) л ((а л (b v d)) v с)) v с v (a v (b л d)),
2.	((a v с) л (a v d)) л (((c v (с л b)) л c) v a),
3.	(b v d)s\ ((d л c>v (а л c>v (d л g)v (а л с))л (b v d),
1.3. Методы доказательства в логике Буля	33
4.	(a v с) л (gv Ь) л (bv с) л (gv b) л (b v с),
5. (а л с) у ((b v фл (a v d)/\ (d v Ь)а (a v d))v (а л c),
6. ((bv c) A(av b))v (d /\c)v (((b a g) v c) a (av b)),
7. (а л c) v (а л b) v (b л c) v (а л b) v (с л b),
8. ((a v (cv (b л c)))a (c a </)a (c a d))A(c v (d/\ c)v d),
9. ((a v д)л(Ь v d)A(b v c)a(c v d))v ((b v с)л (c v d)),
10. (a v е)л((а л d)v(b л d)v(g л d)v(b л d))/\(a v c),
11. ((d л c)v(d a b)v(c a b))A((d a b)v(c a b))A(a v a),
12. ((c A d)v(b A c))a(u V d)A(((c v Ь)а d)v(c A b)),
13. ((a v b) a (b a c a d) v (g л b a c a d) v bv cv d,
14. ((a a b)v(a a b))v((g v Ь)а(с v d)A(g v b)A(d v c)),
15. ((b a c)v(c v d)v g)A(a v b v c v d)A(c v d)A a,
16. ((b v c)A(d v (b a c)))v(d a g)v((c v b)A(d v c)),
11. (b a d)v((c v d)A(a v c)A(dv c)\(a \£))v(b a d),
18. ((c v d)A(d v a))v((b v Ь)а(с v o)a(c v d)A(d v a)),
19. (a a d)v(((c a b)v d)A(c v b))v((d v c)a(c v b)),
20. (((d v (d a c)) Ad) v b) л ((bv d) Л (bv a)),
21. ((b a(cv a))v d))v dv (bv (c ao)) A(bv (ua c)),
22. ((c v g)A(a v b)A(a v с)а(Ъ V a))v(b a d)v(b a d),
23. (d v(a a d)v a)A((b v(d v(d a c)))a(c a a)A(d a g)),
24. (c аЬ) v (d л c) v (Ьа c) v (d a c) v (b л d).
4.	Аналитическим способом, т.е. на основе формул взаимосвязи
между логическими операциями, докажите справедливость ниже
приведенных тождеств. Затем, с помощью диаграмм Эйлера — Вен-
на, подтвердите справедливость этого доказательства. Представьте
одно из выражений (предварительно его упростив) в базисе элемен-
тарных функций. В наборе номеров базисных функций должны фи-
34
1. Логика
гурировать цифры вашего варианта. Например, для варианта 12 мо-
гут быть взяты следующие функции, (ь G, (12- Недостающие
функции отбираются на основе теории классов.
1.	((а | Ь) | (а ~ b)) I ((с + d)^(d- с)) =
= ((Ь ^с)>(а с)) Ф ((a \d)\(d-+ b)),
2.	((а ас) Ф (b- с)) л ((a \d) - (b л d)) =
= ((а | Ь) | (а + Ь)) -+ ({с + d) A(d-> с)),
3.	((a b) v (а + b)) - ((с - d) (с ~ d)) =
= ((с а) л (с Ь)) -> ((а Ф d)\/ (b 4, d)),
4.	((а ~ b) - (а b)) 4- ((с ~d)l (с- d)) =
= ((с -а) I (с- Ь)) | ((а 4 d) 4 (b 4 d)),
5.	((a /\b)v (а + b)) - ((d-с) (d~ с)) =
= ((а -+с) а (Ь^> с)) -> ((а | d) | (b | d)),
6.	((a v Ъ) - (а + b)) v ((с - d) (с ~ d)) =
= ((с -а) 4 (с- b)) л f(fl v d) - (6 4 d)),
1.	((d b) > (c b)) 4 ((c v a)) =
= <& | d) | (c + d)) | ((a 'b) >(a b)),
8.	((a \b) - (a + b)) v ((d - с) I (c ~ d)) =
= ((a ±d) Ф (b-d)) л ((a ^>c)-(b- c)),
9.	((c - a) v (c ~ a))	- ((d-b)	(d ~ b)) -
= ((a v b) a (c ->	b))	((d -	a) v (c a d)),
10.	((c ~ b) - (b I c))	I ((a~ d)	(a -d)) =
~ ((b 1 d) Ф (c d)) \ ((a ~ b)	ф (a~ c)),
11.	((а-d) v (a ~ d)) - ((b - c) v (b ~ c)) -
= ((b >d) a (a | b))	((c v d) | (a -> c)),
1.3. Методы доказательства в логике Буля
35
12.	((Ь Ф d) Ф (с Ф d)) л ((а -^Ь) - (а - с)) =
= ((b v с) - (b + с)) v ((a - d) I (а ~ d)),
13. ((сd) \ (с + d)) \ ((а ~ b) (a a b)) =
= ((а^ с) -+ (a-d)) Ф ((b -> d)\(b -> с)),
14.	((b Ad) Ф (b а с)) a ((d-> а) - (с - а)) =
= ((с \ d) \ (с ~d))^ ((а + Ь) а (Ь^ а)),
15.	((d-а) v(d~ a)) -((c-b) ф (с + Ь)) =
= ((a v b) a (d > b)) -> ((с Ad)v(c- а)),
16.	((с —> d) - (с ~ d)) v ((а аЬ) ф (а + Ь)) =
= ((Ь а с) I (b — d)) А ((а \с)-(а- d)),
17.	((с b) (d Ф Ь» Ф ((а d) | (а с))=
= ((с vd)\(c~ d)) \((a + b)^(a- b)),
18.	((а л с) Ф (b - a)) a((c —> d) - (b - d)) =
= ((b \c)\(b~ c)) -> ((a + rf) a (a—> d)),
19. ((bld) v(b + d))-((a-c)l(a~c)) =
-((c b) a (d^ c)) -4 ((a -b)v (a a d)),
20.	((d а а) Ф (b a d)) \((a-c) Ф (b - c)) =
= ((a + b) - (b а а)) Ф ((c~ d) Ф (d - c)),
21.	((a lb)\/ (a~ b)) - ((c - d) Ф (c ~ d)) =
= ((a ^d)A(d-> b))	((c > a) \ (c -> b)),
22.	((c a) - (a + c)) v ((d -b) Ф (b~ d)) =
= ((а Ф b) Ф (c — b)) a ((d	a)-(c	a	d)),
23.	((c | b) | (c ~ b))\ ((a + d) (a - d)) =
= ((c^d)^(b-d))l((b\a)\(a^ c)),
24. ((clb) v(c + b))-((d-a)l(d~a)) =
36
1. Логика
= ((d -» b) л (d —> c))	((b^ a) / (c a)).
5. Воспользовавшись таблицами истинности, представьте логиче-
ские выражения вашего варианта двух последних заданий в СПНФ.
Затем произведите минимизацию (результаты расчета проверьте с
помощью таблиц истинности). Наконец, определите, к каким клас-
сам (0, 1,2,3 или 4) относятся ваши логические выражения.
6. Докажите аналитическим путем справедливость выражений.
1.
(А - В) + (С - D) = А + С , если А п В = С л D ;
А о Во (А л В л С) о (А п В n С) = 1 ;
(а ~ Ь) - (а | b) = а л b .
2.
(А - В) + (В - С) + (В - А) + (С - В) = А + С ;
((А о В) о (В о С)) о ((А о В) п (В о С)) = 1 ;
а -> b = (а + Ь) ~ (Ь - а) .
3.
(А - В) + (В - С) + (С - А) = (В - А)+ (С - В) + (А - С);
((А о В) С) о (А о (В С)) ;
((а Ф Ь) Ф (а\ b)) + ((а Ф а) Ф (Ь Ф b)) = а + b .
4.
(А о В) + (С о D) = В + С, если AnB = D,CnD = A;
((В о С) о (А о С)) п ((В о С) о (А о С)) = 0 :
а —> с = (a v (Ь л с)) —> (a v b) л с).
5.
(А - (В - С)) - ((А - В) - С) = A n С ;
((А о В) п (В о С)) о ((А о В) о (В о С)) = 1 ;
(bv (с л a)) v (a v (Ь л с)) = a v b .
1.3, Методы доказательства в логике Буля
37
(А п В n С) и (А о В) и (A n g = А ;
А п В = А , если А о В = 1 ;
(a\(b\c)) + (b\(a\c)) + (c\(a\b)) =
= (а-> (Ь\/ с)) л (b -> (а у с)) л (с -> (л v b)) .
7.
(А о В)+(А и С) + (В о С) = (А п В) + (А п С) + (В n С);
((А и В) - С) с: ((А - С) о (В - А)) ;
((а b) v (а | Ь)) -> ((а л b) | (а + b)) = 1 .
8.
((А и В) п С) и (А г, (В и О) = А и С ;
(А - (В - С)) с ((А - В) и (В n С)) ;
a «Ь - а) ~ Ь) = 0 .
9.
(А п В) - (С и D) = (А - С) п (В - D) ;
(А п (В и С)) с ((А п В) и С);
а ~ (Ь | с) = ((а + Ь) л с) + (а - с) .
10.
(А - В) + (В - А) = А + В ;
Р - Q = А л С , если Р = А - (В - С) , Q = (А - В) - С ;
(а ~ Ь) - (а | Ь) = (а 4 a) Ф (b Ф Ь) .
11.
((А п В) и (В n С)) п ((А о В) и (В п С)) = 0 ;
(А - (В - С)) с (А и (В г С));
(й v (а л с)) (b v с) л а) = b -» а .
38 1. Логика
12.
(Au В) + (С и D) = А + В + С + D , если АпВ = С л D ;
(А - В) - С = (А - С) - (В - С) ;
(а л (Ь л с) v ((a v с) a b) = a v b .
13.
((А л С) + (В л D)) а ((А + В) u (С + D));
(А + В) - С) = (А - (В и С)) и (В - (А и С)) ;
(a I b) (b v с) = b v с .
14.
((В n С) и (А п В) и (А о С)) n ((А п В) о (В п С)) = 0 ;
(А - В) и (В - А) = (В - А) + (А - В);
(а Ф b) + (b ф с) = (а + с) - b .
15.
Р = (А - В) - С , Q = А - (В - С), если Р с Q ;
(А - В) и (В - С) и (С - А) = (А и В и С) + (А о В n С);
(я v b v с) ~ (а л b л с) = (а Ь) л (Ь —> с) а (с —> а) .
16.
((А и С) + (В и D)) cz ((А + В) и (С + D));
((В л А) и С) л ((А и С) и В) = В л С;
((а + Ь) - с) | ((а - Ь) + с) = а -> (b v с) .
17.
(СлВ)и(ВлА)и(ВлС)и(АлВ)и(АлС) = 1;
(А л В) и С = А л (В и С). если С с А ;
(а ~ Ь) Ф ((а ф с) -> (с л d)) = (b - а) - с .
1.3. Методы доказательства в логике Буля
39
18.
А - (В u С) = (А - В) о (А - С) ;
Р a Q , если Р = (А - В) - С , Q = А - (В - С) ;
((а | Ь) -> (Ь у с)) Ф (с ~ d) = (d - с) - b .
19.
(А - (В и С)) и (В - (Л и С)) kJ (С - (A kJ В)) =
= А + В + С + (АпВпС);
((А и В) - С) cz ((А о В о С) - (А п В n С));
(а - Ь) - с = (а ~ b) Ф (b v с) .
20.
A + B = (AkjB) + (AkjB);
(A n B) J(B п С) о(А п С) = (А и В) о (В и С) п (А и С);
(а - Ь) + (а + с) л b = а + (Ь | с) .
21.
(А kj В) + (В и А) = (А п В) + (А kJ В) ;
(А и В) п (В о С) с (А и С);
а + (с - Ь) = (а ~ с) + (Ь \ с) .
22.
А + В = (А - В) + (В - А);
С о (А и В) , если СзА.СзВ:
(а ф Ь) ф ((а | с) ф (Ь | d)) = a v b .
23.
(А - В) + ((А + С) п В) = (А - С) + ((А + В) n С) ;
(А и В) А С = А и (В n С) , если А с С ;
((a \b) (b v с)) v (с ~ d) = d —> (с v b) .
40
1. Логика
24.
(A - (А - В)) о(1 В) 0 ;
((А - С) о (В - А)) а (А о В) ;
а ~ (Ь\ с) = (а —> Ь) ~ (а + с) л b .
7. Ниже приведены диаграммы Эйлера - Венна. Представьте за-
штрихованные и отдельно не заштрихованные области максимально
компактными аналитическими выражениями, в которых бы исполь-
зовалось минимальное количество логических операций и букв. С
этой целью сначала выразите все заштрихованные области через
коне гитуенты-конъюнкты, а незаштрихованные — через конститу-
енты-дизыонкты. и только после этого приступайте к упрощению
совершенных форм (результаты проверьте на таблицах истинности).
1.3. Методы доказательства в логике Буля
41
н
17.
18.
24.
42 1. Логика
1.4.	Введение в логику высказываний
Высказывания и операции над ними
Под высказыванием понимают грамматически правильное повест-
вовательное предложение, про которое можно сказать, что оно либо
истинно, либо ложно, например:
«Киев — столица Украины», «Париж — столица России».
Первое высказывание истинно, второе — ложно.
Возьмем два простых высказывания:
А = «На улице идет дождь», В = «Над моей головой раскрыт
зонтик».
С помощью пяти логических связок можно образовать следующие
сложные высказывания:
1)	отрицание: А = «На улице не идет дождь»;
2)	дизъюнкция: A v В =
= «На улице не идет дождь или над моей головой раскрыт зонтик»;
3)	конъюнкция: А л В =
= «На улице идет дождь и над моей головой не раскрыт зонтик»;
4)	импликация: А —> В =
= «.Если на улице идет дождь, то над моей головой раскрыт зонтик»
5)	эквивалентность: В ~ А = «Над моей головой раскрыт зонтик
тогда и только тогда, когда на улице идет дождь».
Другие логические связки, известные нам по логике Буля, в логи-
ке высказывания не используются. Теперь сделаем по поводу каж-
дой из пяти указанных связок небольшие замечания.
Отрицание. Высказывание А по-другому можно прочитать так:
«Истинно то, что на улице идет дождь».
Поэтому, если А = 0 , то это означает, что на улице не идет дождь.
Дополняющее высказывание А также ориентируется на истинное
высказывание, т.е. его следует понимать как
«Истинно то, что на улице не идет дождь».
Тогда А = 1 будет обозначать ту же самую ситуацию, что и в пре-
дыдущем случае, т.е. отсутствие дождя.
1.4. Введение в логику высказываний
43
Дизъюнкция. В нашем конкретном примере дизъюнкция двух вы-
сказываний А и В, в принципе, может подразумевать и конъюнкцию
этих же высказываний. Однако часто грамматический союз или не
включает в себя союз и. Пусть даны два других высказывания:
Р = «Петр находится в кинотеатре» ,
Q = «Петр находится в бассейне».
Если для нас не столь важно, где находится Петр, то мы, конечно,
можем использовать союз или с включенным в него союзом и, фор-
мально записав:
Р v Q = «Петр находится в кинотеатре или/и в бассейне».
Но если нужно точно установить, где находится Петр, то мы обяза-
ны исключить случай одновременного присутствия Петра в киноте-
атре и бассейне, т.е. формально записать:
(Р v Q) л (РлО) .
Подобные высказывания называются строгой дизъюнкцией, которая
означает «либо Р , либо Q , но не Р и Q одновременно». И хотя, с
точки зрения логики Буля, эта логическая операция равносильна
операции симметрической разности'.
Р + Q = (Р v Q) л (Р v Q)
исторически сложилось так, что символ « + » в логике высказыва-
ний не используется.
Конъюнкция. Логический союз и необязательно должен представ-
ляться через грамматический союз и. В частности, выше приведен-
ное выражение можно прочитать несколько иначе:
А л В = «На улице идет дождь, а над моей головой не раскрыт зонтик» ;
Союзы а и но по смыслу часто совпадают с союзом и, поэтому они
используются в сложных конъюнктивных предложениях.
Однако языковая ситуация может стать такой, что союз и пере-
стает играть роль конъюнкции', приведем два предложения:
Р л Q = «Ему стало страшно и он убил человека».
Q л Р =«Он убил человека и ему стало страшно».
Здесь некоммутативность двух простых предложений очевидна, по-
скольку мы имеем дело со скрытой импликацией, когда одно про-
стое предложение обусловливает другое.
Q -> Р = «Когда он убил человека, ему стало страшно».
44
1. Логика
Импликация. Высказывание типа «если А, то В » носит объяс-
няющий характер. Оно как бы разъясняет нам, почему имеет место
событие В — потому что имело место событие А. Это свойство им-
пликации особенно ценно для логики высказываний, о чем мы под-
робно остановимся в следующем подразделе.
Объясняющий характер импликации тесно связан с причинно-
следственным отношением, при котором А выступает в роли при-
чины, а В — следствия. Причинно-следственная связь между А и В
грамматически может быть оформлена предложениями: «А является
достаточным основанием для В», «В, потому что А», «В при усло-
вии выполнения А» и т.д. Если под А и В понимать прежние выска-
зывания, то результат причинно-следственного отношения можно
оформить следующей таблицей истинности (табл. 1.21). Вторая
строка таблицы говорит об отсутствии причинно-следственного от-
ношения между событиями А и В.
				Таблица 1.21
А	В	А > В	Результаты	Эквивалентность. Вы- сказывание «А эквивалент- но В» может быть с успе- хом заменено на «А равно В», «А тождественно В»,
0	0	1	Останусь сухим	
1	0	0	Вымокну	
0	1	1	Останусь сухим	
1	1	1	Останусь сухим	
«А равносильно В», «А тогда и только тогда, когда В» и т.д. Так как
эквивалентность выражается через конъюнкцию двух импликаций:
А ~ В = (А —> В) л (В —> А),
то это отношение часто возникает при одновременном выполнении
двух условий: «из А следует В» и «из В следует А». Таким образом,
при эквивалентности двух событий невозможно одному из них при-
писать роль только причины, а другому — только следствия. На-
пример, два события:
R = «Нарастание анархии в обществе»,
S = «Падение авторитета власти»,
являются вполне равнопорядковыми событиями, поскольку причи-
ной нарастания анархии в обществе является падение авторитета
власти; и наоборот, падение авторитета власти происходит из-за
нарастания анархии в обществе. В данной ситуации бессмысленно
обвинять только власть в слабости и некомпетентности или обви-
нять народ в несознательности и недисциплинированности.
1.4. Введение в логику высказываний 45
События R и S образуют логический круг', их будем называть
сильно связанными событиями и выражать следующими тождест-
венными формами:
R~ S = (R л S) ~ (R v S) = (R v S) -> (R л S).
Понятие «сильной связанности» совпадает с понятием «эквива-
лентности», если речь идет о двух событиях. Но возьмем, например,
хорошо известное объяснение, на чем держится Земля:
Земля (X) держится на трех китах (Y), киты (Y) держатся на
водах океана (Z), океан (Z) держится на Земле (X).
Последовательность, куда входят три названных объекта X, Y и
Z, тоже образуют логический круг:
(Х э Y) л(¥ -> 7.) a(Z4 X).
Однако отношение эквивалентности (быть взаимной опорой друг
для друга) между всеми тремя объектами, т.е.
Х~Y-Z,
здесь не возникает, да и не может возникнуть, так как мы не утвер-
ждаем, что Земля является непосредственной опорой для китов (X ~
Y), или что киты являются непосредственной опорой для вод океана
(Y ~ Z). Поэтому эквивалентность в данном случае проявляется в
весьма своеобразной форме:
(XaYaZ)~(X vYvZ) или (XvYvZH(XaYaZ),
что можно истолковать в случае операции эквивалентности как: од-
новременное появление всех трех опор произойдет тогда и только
тогда, когда возникнет хотя бы одна из опор, и наоборот; для опе-
рации импликации: если возникнет какая-нибудь одна из опор, то
это приведет к появлению всех трех опор. Таким образом, сильная
связанность, или логический круг, есть нечто промежуточное между
причинно-следственным отношением и отношением эквивалентно-
сти. Подобные отношения возникают очень часто, например между
членами преступной организации, где все связаны круговой пору-
кой и невозможно найти крайнего.
Парадоксальные высказывания
В заключение этого вводного подраздела хотелось бы подчеркнуть
важность различия между языком и метаязыком, между объект-
ными и субъектными высказываниями. Пренебрегая этим различи-
ем, мы рискуем впасть в противоречие, которое называется логиче-
ским парадоксом.
46
1. Логика
С древних времен известен парадокс лжеца. Изложим его суть.
«Я лжец», — сказал лжец.
Итак, некий лжец сообщает о себе, что он лжец. Следовательно,
здесь он выступает в своем противоположном качестве, а именно —
обманщика. Поэтому приведенное высказывание на самом деле
нужно понимать иначе:
«Я лжец», — сказал нелжец.
Теперь получается, что правдивый человек сообщает о себе, что
он лжец. Правдивому человеку мы, естественно, должны верить.
Поэтому второе высказывание следует понимать все-таки так, как
это отражено в первом высказывании. Здесь возникает неопреде-
ленность; непонятно, как квалифицировать говорящего — как лже-
ца или как обманщика, т.е. непонятно, каким образом идентифици-
ровать высказывание — как истинное или как ложное.
Парадокс возник потому, что в приведенных высказываниях не
делается разграничения между двумя принципиально разными ло-
гическими уровнями. Помимо лжеца и обманщика в данной логи-
ческой ситуации участвует субъект, или метанаблюдателъ. Если
провести четкое синтаксическое отделение смыслового содержания,
которое должно относиться к нам, как метанаблюдателям, от про-
чей семантики объектных персонажей, то логическое противоречие
будет снято. Ситуацию с лжецом необходимо представлять сле-
дующим образом:
«Я лжец», — сказал лжец.
«Это истинно», — сказал метанаблюдатель.
«Я лжец», — сказал нелжец.
«Это ложно», — сказал метанаблюдатель.
«Я нелжец», — сказал лжец.
«Это ложно», — сказал метанаблюдателъ.
«Я нелжец», — сказал нелжец.
«Это истинно», — сказал метанаблюдателъ.
Если приведенные четыре конструкции записать через два слова
истинно и ложно, то получим обыкновенную таблицу умножения
для группы из двух элементов типа плюс и минус единицы.
ложно * ложно = истинно,
истинно * ложно = ложно,
ложно * истинно = ложно,
истинно * истинно = истинно.
1.4. Введение в логику высказываний 47
Однако источником противоречий в логике высказываний необя-
зательно является смешение именно объектного и субъектного
уровней. Неопределенность может возникнуть между различными
объектными уровнями. В качестве примера приведем следующую
фразу: «Нет правил без исключений». Но фраза, стоящая здесь в ка-
вычках сама является правилом. Так какое исключение должно сле-
довать из него? Разберем это противоречие, несколько изменив его
семантику. Пусть имеется высказывание:
А = «Любое высказывание является ложным».
Так как А является высказыванием, на него должно распространять-
ся сказанное в предложении А. Рассмотрим два случая:
1. Пусть А = 1. Это означает, что А = «А = 0» = 1, т.е. А = 0.
2. Пусть А = 0. Это означает, что А = «А = 0» = 0, т.е. А = 1.
Таким образом, в обоих случаях имеем противоречие. Чтобы его
избежать, нужно произвести логическое разграничение всего мно-
жества высказываний на два принципиально разных класса — А и
В. В этом случае формальная запись первоначальной фразы будет
иметь вид: А = «В = 0»; тогда при А = 1, В = 0 и при А = 0 , В = 1.
Приведем еще один пример известного парадокса. Английский
логик Бертран Рассел поведал притчу: в одной и>дсревень жил па-
рикмахер; он брил тех жителей деревни, кто не брился сам. Рассел
задался вопросом: может ли парикмахер побрить самого себя! На-
чинаем рассуждать: если парикмахер побреет самого себя, то, как
житель этого селения, который бреется сам, он, невправе это сде-
лать; но если парикмахер не станет бриться, то, как житель селения,
который не бреется сам, он обязан будет себя побрить.
Выразим семантику этого противоречия формальным языком.
Обозначим через А парикмахера и пусть Р(А, В) означает высказы-
вание «А бреет В». Тогда ситуацию, которую мы имеем в селении,
можно описать двумя метавысказываниями:
1) Если Р(В, В) = 0, то Р(А, В) = 1.
2) Если Р(В, В) = 1, то Р(А, В) = 0.
Когда парикмахер рассматривается в качестве рядового жителя се-
ления (А = В), оба метавысказывания становятся противоречивыми:
1) Если Р(А, А) = 0, то Р(А, А) = 1.
2) Если Р(А, А) = 1, то Р(А, А) = 0.
48
1. Логика
Выражение Р(А, В) может означать «А учит В», «А развлекает В»
и т.д. При этом под А понимается учитель, юморист и т.д. И хотя А,
наряду с В, формально является объектной переменной, ее нельзя
ставить на один уровень с В, так как именно относительно А сфор-
мулированы метавысказывания.
Построение доказательств в логике высказываний
Логика — это наука о способах доказательства. Выясним, в чем,
собственно, состоит различие в построении доказательств в логике
высказываний и логике Буля.
В булевой логике все доказательства строились на отношении эк-
вивалентности. Даже если во множественных выражениях и фигу-
рировало отношение включения, что является частным случаем от-
ношения порядка, то его мы переводили в тождество. Две логиче-
ские функции считались эквивалентными, если они давали на соот-
ветствующих наборах аргументов абсолютно одинаковые значения
нулей и единиц. При использовании формальной записи логических
выражений отдельные звенья цепи любого доказательства там были
связаны через символ равенства «=». Отношение эквивалентности
удовлетворяет трем законам —
рефлексивности',
симметричности',
транзитивности'.
А = А;
если А = В , то В = А;
если А = В и В = С, то А = С.
В логике высказываний доказательства строятся на отношении
порядка, т.е. на отношении, которое существует между причиной и
следствием. Здесь уже отдельные звенья цепи доказательства связа-
ны символом импликации. Однако символ импликации « —> » при
логическом выводе мы будем заменять на символ « => », подобно
тому, как в логике Буля используются два символа эквивалентности
— « ~ » и « = ». Символ « ~ » является объектным, а « = » — субъ-
ектным. Таким образом, следует различать язык логики высказыва-
ний и метаязык исследователя. Чтобы избежать путаницы, введем
еще два метасимвола', вместо объектной конъюнкции « л » будем
использовать субъектный символ метаконъюнкции — « , », а вме-
сто объектной дизъюнкции « v » — субъектную метадизъюнкцию «
; ». Тогда утверждение, которое требуется доказать, оформляется в
виде следующего причинно-следственного отношения:
Рц Рг, ••• 1 Р«- 1, Р« => С
(1.1)
1.4, Введение в логику высказываний
49
где Р/ — посылка (причина), С — заключение (следствие). Читает-
ся: «Если посылки Pi, ₽2, ... , Ри _ 1, Ри истинны, то заключение С
тоже истинно» или, по-другому: «Если причины Рь Р2, ... , Ри - 1,
Р„ имели место, то будет иметь место и следствие С».
Чтобы не спутать объектное высказывание (предложение) с
субъектным высказыванием, справедливость которого мы намере-
ваемся установить, условимся предложения типа (1.1) называть
клаузой (clause — предложение). Клауза — это метапредложение, в
котором использовано отношение порядка, оформленное через
символ метаимпликации « => ». Как и отношение эквивалентности
отношение порядка удовлетворяет трем законам
рефлексивности:	А => А;
антисимметричности:	если А => В , то В => А;
транзитивности:	если А => В и В => С, то А => С.
Отношение порядка предполагает выполнение закона антисиммет-
ричности, который записывается как:
если А=>ВиВ=>А,тоА = В.
Клауза есть именно формальная запись доказываемого предло-
жения. Вместо букв в ней можно подставить объектные высказыва-
ния, и тогда клауза наполняется конкретным содержанием, которое
уже именуется семантикой или легендой. Пример клаузы:
А -> В, А => В.
Если принять, что А = сверкнула молния, В = грянул гром, то можно
составить следующую легенду: «Известно, что если сверкнула мол-
ния, то после этого грянет гром. Молния сверкнула. Следовательно,
должен и грянуть гром».
Над субъектом, который формулирует метапредложения, может
стоять другой субъект, для которого предложения первого субъекта
окажутся объектными. Тогда клаузу (1.1) второй субъект или мета-
субъект запишет для себя следующим логическим выражением:
(Р1 Л Р2 А ... Л Р„_ ! лРи) -> С .
Преобразуем это выражение в дизъюнкт, получим:
£1 V Р7 V ... V Ри - 1 vPn V С .
Отсюда легко находим:
(Р1лР2л... aPw_i)^(PZ7vC).
Поэтому клауза (1.1) может быть представлена в другой эквива-
лентной форме:
50
1. Логика
(1.2)
В силу коммутативности конъюнкции на месте посылки Рп мо-
жет оказаться любая другая, причем не одна. Например, клауза:
Рь Р2, Р3, Р4 => Q ; С2 ; С3.
может быть преобразована в другую эквивалентную форму:
Р4,С2,РЬС1 ^Р1;С3;Р2	(1.3)
Однако клауза (1.1) по сравнению с (1.2) и другими подобными
формами имеет определенные преимущества и, в частности, ис-
пользуется в языке логического программирования ПРОЛОГ. Ее на-
зывают хорновской. Произвольную клаузу всегда можно свести к
хорновскому виду путем эквивалентных преобразований.
Если символ метаимпликации « => » клаузы (1. 2) сместить в
крайнее левое положение, то она превратится в тавтологию-, если
же его сместить в крайнее правое положение, то — в противоречие:
1 => Eli £2; ь Ей; с — тавтология,
Р1, Р2,..., Рп _ I, Рп, С => 0 — противоречие.
Ниже мы рассмотрим пять конкретных методов доказательства
справедливости логических клауз — аксиоматический метод, ме-
тод таблиц истинности, метод резолюций, метод Вонга и метод
натурального исчисления. Как и в логике Буля, в логике высказыва-
ний существуют аксиоматический и конструктивный подходы до-
казательств логических выражений. Два первых из только что на-
званных пяти как раз являются яркими представителями таких под-
ходов, остальные три метода — смешанной стратегии. Аксиомати-
ческое построение логики высказываний состоит в том, чтобы по-
пытаться вычленить из бесконечного числа истинных клауз незави-
симую систему аксиом, с помощью которой можно было бы уста-
новить справедливость любых других клауз.
Аксиома порядка и ее применение
Мы уже сказали, что доказательство в логике высказываний строит-
ся на отношении порядка, которое является более общим случаем
отношения эквивалентности. В самом деле, закон симметричности:
если А = В , то В = А ,
всегда можно представить в антисимметричной форме:
если А = В , то В = А ,
но не наоборот. Следовательно, логика высказывания является рас-
ширением логики Буля. Поэтому все истинные тождества логики
1.4. Введение в логику высказываний
51
Буля автоматически становятся справедливыми клаузами логики
высказываний. Например, закон склеивания:
(A v В) л (A v В) = А ,
можно представить следующими справедливыми клаузами:
(A v В), (A v ВН А . А => (A v В) л (A v В),
1 => ((A v В) л (A v В)) ~ А , A v В => (A v В) --> А .
Таким образом, независимая система аксиом логики Буля, кото-
рая состоит из четырех законов — коммутативности, ассоциатив-
ности, дистрибутивности, нуля и единицы — автоматически ста-
новится системой аксиом и логики высказываний. Для выражения
же отношения порядка, в принципе, требуется лишь какое-то одно
элементарное высказывание, к которому можно было бы сводить
все остальные более сложные высказывания. Сейчас мы его введем.
Очевидное предложение: Истину может изречь всякий.
На формальном языке логики высказываний эту сентенцию можно
представить следующей клаузой:
A l> В > А
Она означает: «если А истинно, то источником этой истинности
может быть что угодно, например В ». Если произвести эквивалент-
ное преобразование этой клаузы
А,В^А,	'	(1.4)
то семантика ее тоже изменится, и станет примерно такой: «если
ранее было установлено, что А истинно, то истинность В не может
проявиться так, что А станет ложным» или «истинность одного вы-
сказывания (В) не может повлиять на истинность другого высказы-
вания (А)». Путем эквивалентных преобразований клаузу (1.4) все-
гда можно преобразовать к другим формам:
А А л В. А => А; В, 1 => (А лВ) -> А, ...
Однако в качестве основной аксиомы логики высказываний, выра-
жающей отношение порядка, мы возьмем клаузу (1.4).
Теперь на первом нашем примере, который был приведен выше,
выясним, как производится доказательство справедливости логиче-
ской клаузы. Исходная клауза имела вид:
А, А —> В => В .	(1.5)
Преобразуем ее к несколько иному виду:
А л (A v В) => В .
После раскрытия скобок и упрощения сразу же приходим к аксиоме
порядка (1.4). Доказанная элементарная клауза (1.5) известна со
52
1. Логика
времен Аристотеля и играет исключительно важную роль в логике
высказываний. Она имеет даже специальное латинское название —
modus ponens — правило отделения. Если в процессе доказательства
справедливости какой-либо сложной клаузы удалось свести ее к
клаузе (1.5), будем считать, что доказательство состоялось.
Закон антисимметричности по существу определяет правила дей-
ствия по переносу объектных высказываний относительно символа
метаимпликации « => ». Что же касается двух других законов отно-
шения порядка, то они, в принципе, сводятся к аксиоме порядка.
Так, закон рефлексивности путем использования закона о единице
может быть записан как:
А, 1 => А,
что является частным случаем аксиомы порядка. Закон транзитив-
ности также может быть представлен в несколько иной форме:
А >В, В->А С.
а эту клаузу уже можно доказывать путем сведения ее к аксиоме
порядка. Доказательство проведем в три этапа:
1)	перенесем А влево за знак метаимпликации —
А, А —> В, В —> С => С;
2)	воспользуемся правилом отделения, которое нами уже доказа-
но, для первых двух посылок —
В,	В э С С;
3)	затем еще раз воспользуемся этим же правилом, но для третьей
посылки и вновь полученной, что приведет к аксиоме порядка
В, С => С.
Таким образом, закон транзитивности доказан.
Убедимся в истинности тавтологии:
1 => (А (В С))	((А -> В)ч(А ч Q).
Доказательство:
1)	произведем эквивалентные преобразования —
А ^ (В > С), А > В, А С:
2)	воспользуемся правилом отделения —
В^С, В^С;
3)	воспользовавшись еще раз правилом отделения приходим к ак-
сиоме порядка в форме предыдущего примера.
Докажем справедливость клаузы, которая построена на основе
тождественного закона склеивания'.
1 => (А —> В)-» ((А —> В) —> А) .
1.4. Введение в логику высказываний
53
После эквивалентных преобразований:
(A v В) л (A v В) => А ,
она сводится к закону рефлексивности, т.е. к частному случаю ак-
сиомы порядка, рассмотренному выше.
Исторически первой системой аксиом классической логики была
система, предложенная Г. Фреге (1848 - 1925):
1.1 => А —> (В-» А) ,
2.	1 => (А -> (В Q) -> ((А > В) (А С)) ,
3.	1> (Л > (ВО) ->(В ч(А >С).
4.	1 => (А —> В) > (В > А).
5.	1> А > А. 1> А
Первая аксиома Фреге является нашей аксиомой порядка. Вторая
«аксиома» нами доказана выше. Остальные «аксиомы» представля-
ют собой тождества логики Буля, записанные в форме клауз.
Позднее Я. Лукасевич (1878 - 1956) уменьшил число аксиом в
системе Фреге с пяти до трех —
1.1 => А —> (В —> А),
2. 1 > (А > (В > С)) —> ((А а В)>(А> С)) ,
3. 1> ( А -> В) > (В > А)	-
Вместо третьей «аксиомы» в современной логике часто используют
«аксиому» вида:
1 => (А -> В) -> ((А -> В) -> А),
вытекающую из тождественного закона склейвания. Однако в про-
цессе доказательств истинности клауз без аксиом булевой логики
обойтись невозможно. Поэтому есть смысл говорить о пяти осно-
вополагающих законах логики высказываний: закона отношения
порядка, а также законов коммутативности, ассоциативности,
дистрибутивности, нуля и единицы.
Теперь вспомним о логическом круге, который возникал у нас в
связи с «объяснением» опоры Земли. Тогда мы пришли к логиче-
скому соотношению вида:
(X v Y v Z) —> (X л Y л Z).
Если перейти на метаязык, то получим клаузу:
X; Y; Z => X, Y, Z .
Данное выражение противоречит аксиоме порядка. Это говорит об
ошибке в объяснении. Сказав, что Земля держится на трех китах,
54 1. Логика
киты — на водах океана, а океан — на Земле, мы нарушили естест-
венный порядок вещей — причину обусловили следствием, поэтому
математический аппарат логики высказываний сразу же дал сбой. В
приведенной клаузе уже нельзя будет переносить посылки через
символ метаимпликации, так как
(X v Y v Z) -э (X л Y л Z) * (X v Y) -э (2 л X л Y л Z).
Отсюда вывод: метадизъюнкция « ; » не может разделять две
различные посылки, а метаконъюнкция « , » — два различных за-
ключения; это приводит к невозможности использовать аппарат ло-
гики высказываний.
Табличный способ доказательства
Противоположным аксиоматическому является конструктивный
метод доказательства, основанный на таблицах истинности. Чтобы
понять его, достаточно составить таблицу истинности для одного
примера. Пусть дана следующая легенда: «Кассир Сидорова сказа-
ла, что она видела водителя контейнеровоза Иванова в комнате от-
дыха. Эта комната, по ее словам, находится рядом с помещением
склада готовой продукции. Стреляли в складе. Водитель заявил, что
он никаких выстрелов не слышал. Вывод следователя: если кассир
говорит правду, то водитель вводит следствие в заблуждение; не
могут кассир и водитель одновременно говорить правду».
Введем обозначения для высказываний:
А = Кассир сказана правду,
В = Водитель находился в комнате отдыха,
С = Комната отдыха находится вблизи склада,
D = Водитель слышал выстрелы,
Е = Водитель сказал правду.
Посылки следователя:
Если кассир сказала правду, то водитель находился в комнате
отдыха —
Р]=А->В.
Если водитель находился в комнате отдыха, то он должен был
слышать все, что делается на складе —
Р2 В > С
Если он имел возможность слышать, что делается на складе,
то он слышал и выстрелы —
Р3 = С -4- D.
1.4. Введение в логику высказываний
55
Если верить водителю, то он не слышал выстрелов —
Р4 = Е —> D .
Заключение следователя:
Водитель обманывает при условии, что кассир говорит правду-
С. ЛэЕ.
Кассир и водитель одновременно говорят правду —
С2 ~ А л Е .
Формальная запись легенды:
А —> В, В —> С, С —> D, Е —> D => (Д .
Доказать истинность следствия С| аксиоматическим методом не
составит труда. Для этого нужно воспользоваться тождеством:
Е > I) D > Е .
и затем трижды применить закон транзитивности. Заключение С2
ошибочно, так как
А —> Е => А л Е ,
что означает
A v Е => А л Е или А л Е А л Е ,
а это противоречит аксиоме порядка.
Составим таблицу истинности (табл. 1.22), в которой под Р по-
нимается обобщенная причина, т.е. конъюнкция всех Р/.
Клауза считается истинной, если единицы следствия (С) накры-
вают все единицы обобщенной причины (Р), т.е. единицы обоб-
щенной причины образуют подмножество единиц следствия. Это
требование выполняется для следствия С], так как
Р = {0, 8,12, 14, 15, 16} с {0,... 16,"...} = Сь
но не для С2 (Cj = С2), так как
Р = {0, 8,12, 14, 15, 16} <2 {18, 20, 22, 24, 26, 28, 30} = С2 .
С помощью скорректированной табл. 1.22 нетрудно установить
справедливость тавтологии, составленной из этих же посылок, —
и противоречия —
Р1,Р2, Рз, Р4, с, ^0,
а также любых других клауз, полученных из первоначальной путем
эквивалентных преобразований, например:
р2. Р4>Р;С1;Рз.
Если С! заменить на С2, то во всех указанных случаях условие при-
56
1. Логика
чинно-следственного отношения нарушится и клаузы обратятся в
ложные метавысказывания.
Таблица 1.22
п	А	в	с	D	Е	Р1	₽2	Рз	р4	р	С1	С2	Сз	с4
0	0	0	0	0	0	1	1	1	1	1	1	0	1	1
1	1	0	0	0	0	0	1	1	1	0	1	0	0	0
2	0	1	0	0	0	1	0	1	1	0	1	0	1	0
3	1	1	0	0	0	1	0	1	1	0	1	0	0	0
4	0	0	1	0	0	1	1	0	1	0	1	0	1	1
5	1	0	1	0	0	0	1	0	1	0	1	0	0	0
6	0	1	1	0	0	1	1	0	1	0	1	0	1	0
7	1	1	1	0	0	1	1	0	1	0	1	0	1	0
8	0	0	0	1	0	1	1	1	1		1	0	№f...	1
9	1	0	0	1	0	0	1	1	1	0	1	0	0	0
10	0	1	0	1	0	1	0	1	1	0	I	0	0	0
11	1	1	0	1	0	1	0	1	1	0	1	0	0	0
12	0	0	1	1	0	1	1	1	1		1	0	о	1
13	1	0	1	1	0	0	1	1	1	0	1	0	0	1
14	0	1	1	1	0	1	1	1	1	1	1	0	1	1
15	1	1	1	1	0	1	1	1	1	1	1	0	1	1
16	0	0	0	0	1	1	1	1	1	1	1	0	1	1
17	1	0	0	0	1	0	1	1	1	0	0	1	0	0
18	0	1	0	0	1	1	0	1	1	0	1	0	1	0
19	1	1	0	0	1	1	0	1	1	0	0	1	0	0
20	0	0	1	0	1	1	1	0	1	0	1	0	1	1
21	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	0	1	0	0
22	0	1	1	0	1	1	1	0	1	0	1	0	1	0
23	1	1	1	0	1	1	1	0	1	0	0	1	0	0
24	0	0	0	1	1	1	1	1	0	0	1	0	0	1
25	1	0	0	1	1	0	1	1	0	0	0	1	0	0
26	0	1	0	1	1	1	0	1	0	0	1	0	0	0
27	1	1	0	1	1	1	0	1	0	0	0	1	0	0
28	0	0	1	1	1	1	1	1	0	0	1	0	0	1
29	1	0	1	1	1	0	1	1	0	0	0	1	0	0
30	0	1	1	1	1	1	1	1	0	0	1	0	0	0
31	1	1	1	1	1	1	1	1	0	0	0	1	0	0
Заключения С! и Сг, настолько очевидны, что никакой следова-
тель в этом случае не стал бы прибегать к таблицам истинности. Но
трудно найти такого следователя, который только путем одних рас-
суждений смог бы правильно выбрать из двух нижепредствленных
заключений истинное:
1.4. Введение в логику высказываний
57
Водитель обманывает, он находился в комнате отдыха, а ком-
ната отдыха действительно расположена рядом со складом — все
это так, но при условии, что кассир сказала правду или что води-
тель слышал выстрелы —
С3 = (A v D) -> (Е л В л С).
Водитель обманывает, он слышал выстрелы, а комната отдыха
действительно расположена рядом со складом - все это так, но
при условии, что кассир сказала правду или что водитель находился
в комнате отдыха —
С4 = (A v В) -» (Е л D л С) .
Единичные наборы для заключений С3 и С4 тоже приведены в
табл. 1. 22. Для заключения С3 в строках 8 и 12 стоят нули, следова-
тельно, условие причинно-следственного отношения не выполняет-
ся, и поэтому С3 — ложное заключение. Для заключения С4 все его
единицы накрывают единицы обобщенной посылки Р. Следова-
тельно, С4 — истинное заключение:
Р = {0, 8, 12, 14,15, 16} <Z {0, 2,4, 6, 7, 14, 15, 16, 18, 20, 22} = С3,
Р = {0, 8,12, 14,15, 16} с {0, 4, 8, 12, 13, 14, 15, 16, 20, 24, 28} = С4.
Истинность заключения тем очевиднее, чем большим числом его
единиц накрываются единицы обобщенной причины. Отсюда мож-
но составить объективный критерий для оценки логических способ-
ностей человека.
Вообще, опытный логик прежде всего должен построить все со-
вместимые ряды событий. В нашем случае таких рядов 6 (они соот-
ветствуют 0, 8, 12, 14, 15, 16 строкам табл. 1. 22). Их объединение
даст условия выполнения причинно-следственного отношения:
A,B,C,D,E; A,B,C,D,E; A,B,C,D,E;
A,B,C,D,E; A,B,C,D,E; A,B,C,D,E
Перед нами не что иное, как СДНФ, отвечающая нашей конкрет-
ной причине Р. Всевозможные покрытия шести конституент дают
множество истинных следствий. Так, заключения —
Ci=A;E, С4 = (А, В); (С, D, Е),
покрывают все шесть конституент; они — истинные. Что касается
двух других заключений —
С2 = А, Е , С3 = (A, D); (С, В, Е) ,
то они не покрывают все или отдельные конституенты, значит яв-
ляются ложными следствиями.
58
1. Логика
Не надо знать комбинаторный анализ, чтобы ощутить все много-
образие возможных покрытий, т.е. истинных следствий из заданных
причин. Однако опытный следователь должен уметь определять три
вещи — минимальную нормальную форму (МНФ), минимальное и
трансверсальное покрытия.
Ранее было рассмотрено нахождение точных МНФ по известной
СДНФ. Минимизируя одним из известных способов нашу СДНФ,
получим следующую МНФ:
A,B,C,D; А, В. D, Е ; B,C,D,E;
Минимальное покрытие — это покрытие с наименьшим числом
термов. Мы его уже знаем — это заключение Ср В него входят два
решающих высказывания, связанные с правдивостью кассира (А) и
правдивостью водителя (Е). Все остальные утверждения (В, С, D)
являются второстепенными и могут выступать в результирующем
заключении совместно с А и Е.
Трансверсальное покрытие должно включать все имеющиеся
термы. Для нашего примера существуют четыре таких покрытия:
А; В, С, D, Е	А, В; С, D, Е
А, В, C;D, Е	А, В, С, D;E.
Как видим, среди выписанных покрытий находится и заключение
С4, которое мы уже проинтерпретировали в импликативной форме.
Интерпретация заключений через ДНФ может показаться более
предпочтительной. Возьмем для примера заключение
С5 = А,В,С; d,e
Оно предполагает три исхода истинного значения при совместном
действии всех пяти факторов:
А,В,С = 1 D,E = 0,
А, В, С = 0 D, Е = 1,
А,В,С = 1 D,E = 1.
Именно трансверсальные покрытия дают наиболее полную картину
возможных следствий из сформулированных посылок.
Метод резолюций
Рассмотрим еще один полуконструктивный метод доказательства
истинности логических клауз, в котором используется так называе-
мый принцип резолюций. Этот принцип играет роль аксиомы поряд-
ка и вместе с тем порождает очень эффективную конструктивную
процедуру. Суть его сводится к тому, что два посылочных дизъюнк-
1.4. Введение в логику высказываний
59
та с противоположными термами всегда можно склеить в один
дизъюнкт, в котором уже не будет противоположных термов:
X v A, Y v А => X v Y ,
где X и Y — произвольные термы или целые дизъюнкты с любым
набором термов, включая ноль; А и А — произвольные термы.
При последовательном применении принципа резолюций проис-
ходит уменьшение числа букв, вплоть до их полного исчезновения.
Исходную клаузу возьмем в форме конъюнктивного противоречия:
Р(, Р2, ..., Р„ => 0 .
Докажем справедливость правила отделения:
А, А —> В => В или 0 v A, Av В, В v 0 => 0 .
Здесь три дизъюнкта. Склеивая их последовательно, получаем в ре-
зультате ноль, который говорит о несовместимости заключения и
посылок. Это свидетельствует о справедливости исходной клаузы.
Принцип резолюций целиком заменяет аксиому порядка, посколь-
ку сама эта аксиома может быть доказана в рамках метода резолю-
ций. Действительно,
А, В => А , А, В, А => 0 , О, В => 0 .
Обращаем внимание на то, что посылка В здесь вообще не исполь-
зуется. Это необходимо иметь в виду: необязательно использовать
все посылки (их число часто бывает избыточным) — главное полу-
чить ноль. Пусть дана клауза:	’
А - > В. C v А. В - > С л А
Доказательство ее справедливости следует начать с приведения ее в
нормальную конъюнктивную форму:
A v В, С v А, В v С, А => (К
Выпишем по порядку все посылки и далее начнем их склеивать
(справа от дизъюнкта записаны номера используемых дизъюнктов):
1. AvB,	8. С,	(2,4)
2. С vA,	9. А,	(2,5)
3. В vC ,	10. С	,	0,6)
4. А,	11. В	(3,8)
5. AvC, (1,3)	12. С	(4,5)
6. В,	(1,4)	13. В	(4,7)
7. AvB, (2,3)	14.0.	(4,9)
Подобная стратегия поиска нуля	очень непродуктивна. Если к	
этой же задаче подойти более творчески, то		ноль обнаружится на
четвертом шаге от начала поиска:		
60
1. Логика
5. В (1,4), 6. С (2,4), 7. В (3,6), 8. 0 (5,7).
До сих пор мы говорили о форме конъюнктивного противоречия.
Исходя из принципа двойственности, метод резолюций можно
сформулировать относительно дизъюнктивной тавтологии, при
этом принцип резолюций, естественно, изменится:
Хл Y=>X аА; YaA.
Докажем одну и ту же клаузу двумя способами — в форме про-
тиворечия и форме тавтологии. Пусть дана клауза:
А, А -> В, В -> (А -> С) => С .
Доказательство в форме противоречия выглядит так:
A, A v В, В v A v С, С => 0.
12	3	4
Склейки:	5. В (1,2), 6,AvC(l,6), 7. С (3,5), 8. 0 (4,7).
Доказательство в форме тавтологии выглядит аналогично:
1 => А; А л В; В а А л С; С.
12	3	4
Склейки:	5. В (1,2), 6. АдС(1,6), 7. С (3,5), 8.1 (4,7).
Метод резолюций легко поддается алгоритмизации. Это позволя-
ет использовать его в логических языках программирования и, в
частности, в ПРОЛОГЕ. Алгоритм склеек образует структуру дре-
вовидной формы (рис. 1.19) для следующей клаузы:
SvRvP, SvQvR, PvSvR, RvSvP, R v Q v S, SvQvR,
P v S v Q, PvQ v R, Sv P v R, P v Sv R, Rv S v £ => 0.
Рис. 1.19
1,4. Введение в логику высказываний
61
Метод Вонга
Близким к методу резолюций является метод Вонга, в котором то-
же используется сконструированная конъюнктивно-дизъюнктивная
нормальная форма представления исходной клаузы, а аксиому по-
рядка заменяет клауза Вонга'.
X, L => X; R,
здесь X пробегает некоторые буквы, входящие в клаузу, a L и R—
определенные комбинации дизъюнктов и конъюнктов.
Конструктивная процедура доказательства сводится к последо-
вательной разбивке дизъюнктов или конъюнктов таким образом,
чтобы слева и справа от метаимпликации появилась одна и та же
буква X. Если в результате такой разбивки все конечные клаузы
приобретают вид клаузы Вонга, то и исходная клауза была состав-
лена верно. Разберем метод Вонга на примере доказательства спра-
ведливости правила отделения'.
А, А —> В => В или A, A v В => В .
Здесь имеется только один дизъюнкт, который можно разбить на
две новых клаузы:
А, А => В и А, В => В .
Вторая клауза удовлетворяет и аксиоме порядка и клаузе Вонга. В
качестве X в ней выступает В, a L = А и R = 0. Первая же клауза
тоже будет удовлетворять необходимым требованиям, но только
после того, как терм А из левой части клаузы с противоположным
знаком перенести в правую часть. Тогда будем иметь:
А А; В где Х = А, L = 1hR = B.
При большом числе букв в исходной клаузе прибегают к специаль-
ной нумерации производных клауз, чтобы не запутаться. Пусть тре-
буется установить справедливость следующей клаузы:
X v Y, (X -> Y) v U, Z -> (Y -» W) (W -> X) -> (Z -> X).
Приведем ее в соответствующую конъюнктивно-дизъюнктивную
нормальную форму:
XvY,XvYvU,ZvYvW=>WaX;Z;X.
Далее разобьем первый дизъюнкт, в результате получим две произ-
водные клаузы:
1	.Х, XvYvU, ZvYvW=>WaX;Z;X,
62
1. Логика
2	. Y, X v Y v С, Z v Y v W _ > W л X; Zi X .
Клауза (1) отбрасывается, так как она удовлетворяет клаузе Вонга.
Разбивая дизъюнкт клаузы (2), получаем еще три клаузы:
2.1.	Y,X,ZvY vW=>WaX;ZjX,
2.2.	Y, Y, ZvYvW=>WaX;Z;X,
2.3.	Y,U, Z v Y v W=> Wa X; ZjX.
Клаузы (2.1) и (2.2) сводятся к одной клаузе —
2.1.	Y, ZvYv W => WaX;ZjX.
Разобьем ее:
2.1.1.	Y,Z=> WaXjZjX,
2.1.2.	Y,Y=>WaX;ZjX,
2.1.3.	Y. W=> W aX;ZjX.
Первые две клаузы удовлетворяют клаузе Вонга. У клаузы (2.1.3)
нужно разбивать конъюнкт:
2.1.З.1.	Y, W => W; ZiX, 2.1.З.2. Y, W => X; Zj X .
Теперь обе клаузы имеют вид клаузы Вонга.
Но у нас осталась еще ветвь (2.3). Она отличается от рассмотрен-
ной ветви (2.1) наличием непарного терма U, который, однако, не
может повлиять на конечный результат, т.е. разбиение клаузы (2.3)
практически полностью совпадает с разбиением клаузы (2.1). Сле-
довательно, исходная клауза была записана верно.
Метод натурального исчисления (метод Генцена)
Недостатком метода Вонга, как и метода резолюций, является то,
что исходная клауза обязательно должна иметь нормальную дизъ-
юнктивную или конъюнктивную форму. Этот недостаток преодолен
в методе натурального исчисления, к которому мы переходим.
Доказательный вывод в натуральном исчислении строится как
упорядоченная цепь преобразований, связанных с удалением или
введением логических связок на основе следующих десяти правил:
1)	правило введения конъюнкции (ВК) —
(=> А) & (=> В) // => А л В ;
2)	правило удаления конъюнкции (УК) —
А л В // => А ;
3)	правило введения импликации (ВИ) —
1-4. Введение в логику высказываний
63
=> В // => А -> В, А => В // => А -> В ;
4)	правило удаления импликации (УИ) —-
(=> А) & (=> А -> В) // => В , =>А-»В//А=>В;
5)	правило введения дизъюнкции (ВД) —
=> А // => A v В ;
6)	правило удаления дизъюнкции (УД) —
(=> A v В) & (А => С) & (В => С) // => С ;
7)	правило введения отрицания (ВО) —
А, В => 0 // А => В ;
8)	правила удаления отрицания (УО) —
(А => В) & (А => В) // А => 0;
9)	правило введения эквивалентности (ВЭ) —
(А => В) & (В => А) // => А ~ В ;
10)	правило удаления эквивалентности (УЭ) —
=> А ~ В // (А => В) & (В => А) .
Эти правила надо понимать так: если слева от символа «// » стоят
истинные клаузы, то справа от символа « // » тоже будут стоять ис-
тинные клаузы. Например, первое правило введения конъюнкции
можно прочитать следующим образом: если высказывания А и В
(связка «и» передается знаком « & ») порознь истинные (о чем го-
ворят рядом стоящие с этими буквами символы метаимпликации «
=> »), то будет истинной и их конъюнкция А л В. При этом надо
помнить, что во всех десяти правилах перед символом метаимпли-
кации « => » может стоять любой перечень посылок Р. Так, десятое
правило может выглядеть следующим образом:
Р => А ~ В // (Р, А => В) & (Р, В => А).
Кроме перечисленных десяти правил, имеется еще одно — базо-
вое правило (БП), которое сначала сформулируем словами: во-
первых, любая посылка может выступать в роли следствия, т.е.
А, В, С => А , А, В, С => В и А, В, С => С ,
будут всегда истинными и не требуют доказательства, так как удов-
летворяют аксиоме порядка-, во-вторых, в перечень посылок истин-
ной клаузы всегда можно добавить новые посылки, т.е. если клауза
А, В, С => X
верна, то будут истинными и все клаузы, построенные на ее основе:
А, В, С, D => X , А, В, С,... => X .
64
1. Логика
В обобщенной форме базовое правило можно записать так;
Р => X // Р, Y => X ,
где X — любая посылка из Р, a Y — произвольная посылка.
Действенность метода натурального исчисления продемонстри-
руем на примере следующей тавтологии;
1 => (А -> В) -> ((А -> В) -> А).
Доказательство:
1. А, А->	В^В,	
2. А, А ->	в=> в,	
3. А, А—>	В, А -> В => В ,	
4. А, А ->	В, А —> В => В ,	
5. А, А—>	В, А -+ В => 0 ,	
6. А -> В,	А —> В => А ,	
7. А —> В	==> (А —> В) —> А ,	
8.1 =>(А	->В)-»((А->В)-	
(УИ)
(УИ)
(1, БП)
(2, БП)
(3, 4, УО)
(5, ВО)
(6, ВИ)
(7, ВИ)
Справа в круглых скобках указан номер строки, из которой полу-
чена данная клауза, а также начальные буквы используемого прави-
ла. Приведем доказательство еще одной клаузы:
1 => (А -> В) -> ((С -> D) -> ((A v С) (В v D))).
Доказательство:
l.A^B=>(C-»D)4((AvC)->(BvD)), (УИ)
2.A^B,C^D^(AvC)->(BvD),	(1,УИ)
3. А > В, С -> D, A v С => В v D ,	(2, УИ)
4. Р], Рг, Р3 => В v D ,	(3)
5,Р^А^В,	(Pi, БП)
6 1’, А > В .	(5, УИ)
7 1’,A^BvD.	(6, ВД)
8.Pr>C->D,	(P2, БП)
9. Р, С => D ,	(8, УИ)
10. P,C=>DvB,	(9,ВД)
ll.P=>AvC,	(Р3, БП)
12. P=>BvD.	(7, 10, И, УД)
1.4. Введение в логику высказываний
65
Практические задания по логике высказываний
1. Ниже приведены по три клаузы в одном варианте. Каждую
клаузу необходимо доказать следующими методами: аксиоматиче-
ским, натурального исчисления, резолюций и Вонга.
1.
(А -> С) —> (А а В) => A v В ,
A l). B E. О а С . 1)(>А(: E D: В
А -> В,С -> D, A v С,А -» D, С ->В => (А у В)-»(А л В).
2.
( > А. В С. В > D, 1)>А:А .
D —> Е, Е -> С, А ' I), В > А > В.
АВ.Аа В. В -> (( > 1)). А -> I) ; А л С .
3.
(А л В) -» С => А -» (В -> С),
А - > (В > С). Д1)) ? Е F > (D Li t A -> (В > F),
(А л(В -А С)) ~ D, Е ~ (А л (В у О) => (D л Е) ~ (А л С).
4.
А > (В > С). А > В. А > (В > С) > ( ; В ,
А, В -> (А -> D), С -> (В -» Е), D -> (Е v С) => С -> Е ,
С, D > (,А> (В > D). В>А > (
5.
(A v С) ~ (В у D) => А ~ В; С ~ D ,
А —> В, С -> D, В -> Е, D F, EaF, А -» С => А ,
С (В -а А), В -г D, С А V D .
6.
С, A v В => (В —> С) —> А ,
А > С. D > F, В > Е, И > С, А > В >А> (Е Е).
А, В у С, С ~ D > (В -» А) > (В -> D).
7.
А > (( > В). D > А, ( > 1) > В .
Е -> F, С -» (D -> Е), (А -> В) -> С => D -> (A v F),
А ~ В, В ^> С. С ~ D > (С > В) > (I) > А)
66
1. Логика
А ~ В, С ~ D => (A v С) ~ (В v D),
А > (В > С). С -> (В > А), 1) > А, А > В > D
A-aB,B->D,D-aA,BvC,C-»D=>D.
9.
А, В v С => Ал В; С ,
С, (А а В) А (С а А) => А ,
А -А (В v С), В -> (D -а А), С -а (В -» А), А > (В > С),
D —> (A v В), D -а (А —> В), С —> (В v D), A v С v D,
С> (А > В)>АВС;Ал B D
10.
А. В > С > А л В; B-С .
А а (В л С), В v D, (Е A F) a D, В v (А л Е) => В а Е,
АВ.АС.А > (’. С > ( А -И)) а В .1)
11.
А. В ^ С о (А л С) > В ,
А -» В, А ~ D, С ~ Е => (В -> С) -> (D —> Е),
Л а (С > В), 1) > А. С > D > В
12.
А -А (В -а С), А -а (В v С) => А -а С ,
А ~ В, A v С, СлЕ, В а С, В v D, A a E=>D ~Е; СлР ,
A. D > С В,(А> I)). В > СлС .
13.
А ~ В, С ~ D => (А А С) а (В a D),
A v С, С A D, А л D, В л С, А а В, Ау В аА лВ ,
Е а I), ( v E, A v I), 1) а В > С л 1): (Е В) > (Е > А)
14.
А, В , С>АВ; В л ( .
С -» (D -> Е), Е -> F => ((А -> В) -> С) -> (D -> (A -a F)) ,
А > В,А(, I) ~ Е > (В >!)) >(( > Е)
15.
(А у С) ' (B v I)). А В > ( > D
А а (В у С), А у В, В а А, В а 1);(л D .
1.4. Введение в логику высказываний
67
Е v D, С v Е, A v D, 1)> В. ЕоА; B E: C D
16.
А -> В, В v С, С v А, В —> С => А л В ,
Е—>D, Е~С, С~А, D~B=>A—»В,
Av В, В~С, С, D.A ~ 1)>АВ
17.
А > В, A v С. C v В, 1) > А > (В > D) > В .
D, Е => ((Ал В) v С) - D; Е ~ (А л (В v С)),
А (В > С). C v iB v А). А > I) > 1А . В) > D
18.
(А	С) ~ (В —> D) => А ~ В; С ~ D ,
С > ( A v В). D > |В.С)-А.В: D .
A v D, A v С, D v E,D v В => (А л В) v (A v Е); С л D .
19.
A v С. А > В. С v В => A B; В С .
А > В, А > С. I) ~ Е, I) > А. Е v А. В > Е. С -> I) v 1Ь С.
С > (B -vA). C D. I) v В. В .1) .: (1) > C) vA
20.
А, В v С => А л С; В л С ,
А > В, С v D. (B D) v Е. Е. А = С .
А > (В -> С). B v C.D v ( А > C) . D
21.
AvB,AvC=>AaB;C,
(A v В) v (С v D), (D v F) V Е =>AvE .
A C. С > I). A -> D. В.С> I) v |В1)).
22.
А В. С > В. В > А. А > С > В С .
A v С. В С. B v I). В > А > 1): А С .
A v В, D vE,D v С, D -> С => AaD;B; С л Е .
23.
А-+ С, Av В, В > D, D —> С => С ,
B D, D > В. C D. I) > С. С > (В > А) v A .
Av B,Av D, Cv Е, Е v Av (В лЕ) v (Е v D);Aa С .
68
1. Логика
24.
(А л В) v (С л D), А => С ,
С -> А => ((А л В) v С) ~ (А л (В v С)),
D -> F, А (Е -> D), (С -> В) -> А => Е -+ (С v F) .
2. По вашему выбору для двух из трех клауз составьте легенды.
3. Ниже приведены легенды. Запишите с использованием 4—6
различных букв клаузу, отвечающую содержанию легенды, для чего
сформулируйте необходимые посылки и два следствия: одно ис-
тинное, другое ложное. С помощью таблицы истинности найдите
МНФ, минимальное и все трансверсальные покрытия.
1.	В одной старой легенде рассказывается, что греческий драма-
тург Софокл погиб при очень странных обстоятельствах. На его лы-
сый череп орел сбросил камень, приняв его за яйцо. Если бы Со-
фокл не сочинял трагедии, то он не уединялся бы в горах и остался
бы жить до своей естественной кончины. Он мог бы сочинять свои
трагедии в горах при наличии волос на голове или при отсутствии
там этих странных птиц.
2.	«Ты меня уважаешь?» - «Да». - «Тогда дай мне денег». - «Дав
тебе денег, я перестану тебя уважать». - «Разве ты меня уважаешь
из-за денег?» - «Нет, как художника». - «Ну, тогда тем более ты
должен дать их мне». - «Я даю деньги тем, у кого они в принципе
водятся. Ты же мне долг не вернешь». - «Я открою свое дело. Через
год у меня будет состояние. Займи под проценты». - «Я тебе не ве-
рю, но помогу организовать выставку твоих картин». - «Хорошо,
идет».
3.	Современный футбол - это надежная защита, хорошая ско-
рость, напористая атака и убедительная результативность. Матвеев
мне результативность обеспечит, но голы он забивает только по
вдохновению, когда складывается игра. Без Федотова такой игры не
получится. Он видит поле, чувствует, где надо находиться, но бе-
гать не может. Скорость команде сообщит Комаров, хотя он может
развалить всю защиту. Попробовать Петрова в обороне, но в паре с
Матвеевым он не играет. Квасов умеет блокировать бомбардиров
противника, но левой у него не получается. Надо ставить Земерова,
чтобы левый край прикрыл. Однако Земеров точный пас отдать не
может. Нет команды! Завтра точно проиграем встречу.
1.4. Введение в логику высказываний
69
4.	Мотоцикл я сначала не заметил, так как его заслонил бензовоз,
а «Волга» вывернула из-за угла, когда «Жигули» были уже вблизи
светофора. Иномарка проскочила на красный свет и явилась, как
мне кажется, причиной этой аварии. Из-за нее «Волга» резко затор-
мозила и мотоциклист оказался на асфальте. «Жигули», чтобы не
задавить мотоциклиста, свернули на тротуар, а бензовоз в это время
врезался в «Волгу». Если бы не было мотоцикла, то опасной ситуа-
ции тоже могло и не быть. Хотя виноват и водитель «Волги», по-
скольку он явно превысил скорость.
5.	Если облака - это горы в небе и горы - это облака на земле, то
гроза - это вулкан на небе и вулкан - это гроза на земле. Вулкан
извергает пепел, а гроза - воду. Вулканический пепел и дождевая
вода одинаково хорошо сказываются на урожайности полей. Уро-
жай - это благо. Все благо - от Бога. Значит, пепел и вода, вулкан и
гроза, горы и облака - от Бога.
6.	«Я вижу, у Вас поднялось давление». - «Это последствие ры-
балки, доктор». - «Рыбалка, напротив, должна успокаивать и укреп-
лять здоровье». - «Верно, доктор, но я переволновался, так как ло-
вил рыбу в запрещенном месте». - «Ай-ай-ай! Зачем же Вы на это
пошли?» - «Там, где разрешено, доктор, рыбы нет». - «В таком
случае, рыбы много в магазине. Я же Вам продисал отдых на све-
жем воздухе». - «Хорошо, доктор, тогда завтра я пойду охотиться».
- «Только, пожалуйста, голубчик, не стреляйте в зоопарке».
7.	Ваня и Петя - братья-близнецы. Ваня с огромной скоростью
улетел на ракете в космос, а Петя остался на* неподвижной Земле.
Теория относительности утверждает, что если лететь на большой
скорости, то время замедляется, поэтому Петя состарится, а Ваня -
нет. Эта же теория учит, что движение относительно: если Ваня
движется относительно Пети, то Петя движется относительно Вани.
Однако по теории почему-то именно Ваня, вернувшись из полета,
будет моложе Пети. Вывод: теория относительности не свободна от
противоречий.
8.	Если усложнить схему устройства, то возрастет его производи-
тельность, а если использовать новую элементную базу, то увели-
чится период эксплуатации. Устройство начнут хорошо раскупать
только при одновременном росте его производительности и периода
эксплуатации. Но устройство не пользуется спросом.
9.	Увеличение денег в обращении влечет за собой инфляцию. Но
70
1. Логика г
рост денежной массы происходит по двум причинам: из-за денеж-
ной эмиссии или снижения товарооборота. Снижение товарооборо-
та приводит к безработице и спаду производства. Из-за инфляции
падает курс денежной единицы. Рекомендации экономиста Ивано-
ва: увеличить денежную эмиссию и поднять производство, тогда
избежим безработицы и курс денежной единицы останется неиз-
менным.
10.	«Что собираешься делать, честолюбивый полководец?» -
«Хочу завоевать Африку, мудрый философ». - «Предположим, Аф-
рику ты завоевал. Что дальше будешь делать?» - «Пойду походом
на Индию». - «Допустим, и Индию ты покорил. Что потом?» - «По-
том я уединюсь в своем саду и стану наслаждаться чтением книг.
Хочу быть таким же мудрым, как ты, философ». - «Почему бы тебе
сразу же не отправиться в сад и не приняться за книги?» - «Так ведь
ни Африки, ни Индии я еще не завоевал». - «Да, ты прав, полково-
дец. Я рассуждаю немудро, поскольку не учитываю твое сегодняш-
нее честолюбие».
11.	Чтобы сварить щи, нужны: капуста, свекла, картофель, лук,
морковь и томаты. Свеклы и капусты в нашем магазине не оказа-
лось. Все остальное я купила. Однако щи уже не получатся. Хоро-
шо, тогда куплю огурцы и сметану, сделаю салат из огурцов, тома-
тов и лука. Поджарю котлетки, отварю картошечку - второе у меня
есть. Что приготовить на первое? Пожалуй, на говяжьих косточках
неплоха будет домашняя лапша. А морковку я сейчас помою и от-
дам детям - пусть червячка заморят.
12.	Любой марксист - диалектик, но не всякий диалектик - мар-
ксист. Любой марксист - материалист, но не всякий материалист -
марксист. Гегель был диалектик, но не материалист. Фейербах был
материалист, но не диалектик. Итак, если бы Гегель и Фейербах
могли объединиться в один кружок, то Маркс уже не понадобился
бы.
13.	Преступник изготовит партию фальшивых денег, если у него
будут соответствующие материалы и станок. Эти два условия, к со-
жалению, выполняются. Однако фальшивые деньги не появятся,
если хорошо работает милиция. Милиция же работает хорошо тогда
и только тогда, когда каждый милиционер получает высокую зар-
плату. Увы, пока такой зарплаты нет, но есть высокая сознатель-
ность всех работников милиции.
1.4. Введение в логику высказываний
71
14.	«Надо завести собаку», — сказал старик. «Она не даст жить
моей кошечке», - сказала старуха. «Если не будет собаки, то я не
смогу результативно охотиться и приносить в дом дичь». - «А если
не будет моей кошечки, то в доме разведутся мыши, которые унич-
тожат все наши продовольственные запасы». - «Согласен, старуха.
Давай собаку я заведу, но держать ее буду во дворе». - «Кошечку во
двор я пускать не буду».
15.	Существуют две теории возникновения человека на земле -
теория эволюции Дарвина и теория сотворения человека Господом
Богом. Если справедлива теория эволюции, то самопроизвольное
возникновение человека без соответствующих превращений живых
организмов невозможно. Как доказали ученые, такие превращения
действительно имели место. По теории же сотворения, человек был
слеплен из простой глины, а жизнь в него вдохнул Господь. Глины
всегда было много, а насчет дыхания Бога тоже сомневаться не
приходится, поскольку есть на то свидетельство Библии. Отсюда
вывод - две названные теории друг другу не противоречат.
16.	Человек, который решил свести счеты с жизнью, вряд ли бу-
дет за час до этого просматривать статистические данные по зерну
за прошлый год. Сломанная герань только подчеркивает кем-то хо-
рошо скрытые следы борьбы и насилия. Очень, конечно, странно,
что дверь оказалась заперта изнутри, а вахтер ничего не заметил.
Как же преступнику удалось выйти из помещения? И каковы, соб-
ственно, мотивы преступления? Такой тихий, скромный человек,
ничего, кроме семьи и работы, его не интересовало. Правда, жена
сообщила, что она вчера вечером видела его в обществе двух подоз-
рительных молодых людей. Да и вахтер утверждал, что примерно в
течение получаса отлучался для обхода территории. Тем не менее,
не хватает какого-то звена в этой загадочной цепи событий, чтобы
уверенно сказать - «самоубийство» кем-то старательно инсцениро-
вано.
17.	Из утверждения «два плюс два равно пяти» следует, что я и
папа римский - одно и то же лицо. В самом деле, если от обеих час-
тей указанного равенства отнять по двойке, то будет справедливо
равенство «два равно трем». Если от обеих частей нового равенства
отнять по единице, то будет справедливо равенство - «один равен
двум». Один - это я, а двойка - это я и папа римский. Поскольку
верно, что «один равен двум», то я и есть папа римский.
72
1. Логика
18.	«Хочешь яблоко?» - «Яблоки я не ем после рыбы, а рыбу я не
ем после борща. Борщ я сегодня не ел, но съел немного горохового
супа. После него я съел кусочек жареного хека. Если я ем горохо-
вый суп, то в этот день уже не буду отказываться от яблок, но при
условии, что к столу не подавали салат. Итак, давай сюда яблоко».
19.	Слепой и глухой пошли погулять. «Смотри, вдали озеро, зна-
чит, напьемся», - сказал глухой. «Ага», - сказал слепой. «Послу-
шай, гремит гром, значит дождь собирается», - сказал слепой.
«Ага», - сказал глухой. Глухой и слепой набрали воды и достали
плащи. Все это видел и слышал немой. «Я им не компания», - по-
думал немой.
20.	Сегодня посмотрю футбол, если трамвай не задержится.
Трамвай не опоздал, но случилась другая беда: у меня не оказалось
денег на билет. Рискну доехать «зайцем». В салоне оказался кон-
тролер, и я лихорадочно стал рыться по карманам. К моему сча-
стью, нашелся один неиспользованный трамвайный талон. До ком-
постера я добрался вовремя, хотя футбольный матч я так и не уви-
дел: вместе с деньгами я дома оставил и билет на матч.
21.	Если в одном месте что-то убудет, то в другом месте что-то
прибудет - это истина, не требующая доказательства. Но есть такая
теория, которая утверждает: где-то в далеком космосе существуют
«черные дыры», куда все проваливается, но оттуда ничего не появ-
ляется. Эта теория ничего не говорит о существовании «белых
дыр», которые действовали бы противоположно «черным». Один
иностранный астрономический журнал сообщил координаты «чер-
ной дыры». Российский астроном Иванов направил туда свой мощ-
ный телескоп и ничего не обнаружил.
22.	Если в цепи будет большой перепад напряжения, то сгорит
предохранитель, что повлечет за собой необходимость его замены.
При целом предохранителе телевизор, конечно, будет работать, но
только если он включен в сеть питания. Если телевизор работает
нормально, то я увижу сегодняшние «Новости». Итак, я смотрю те-
левизионные «Новости» при условии отсутствия перепада напряже-
ния и подключения телевизора к сети питания.
23.	«Иван Иваныч, можно?» - «Входи, Петров. Ну, сделал, что я
тебя просил?» — «Видите ли... Если бы Вы немного прибавили...» -
«Ты что, Петров! Сидоров за эту же работу берет в два раза мень-
ше». — «Сидоров и сделал бы ее в два раза хуже. Я же работаю с
1.4. Введение в логику высказываний
73
личным клеймом. И потом, у меня семья - сами знаете». - «Ладно,
проси что хочешь, но денег у меня нет». - «А как сделаю, на рыбал-
ку отпустите?» - «Договорились, только ты моего Вовку с собой
возьми, а то он тут с какой-то подозрительной компанией спутал-
ся». - «Если с Вовкой, то на Вашей лодке». - «Вот хитрец! Хорошо,
поедем все вместе. Мне тоже не мешало бы проветриться. Ты дело
только сделай».
24.	Уменьшение температуры приводит к снижению давления и
уменьшению объема. Увеличение объема приводит к росту скоро-
сти потока. Повышение давления приводит к падению уровня, если
при этом уменьшать температуру. Снижение скорости приводит к
уменьшению давления или росту температуры. Технолог Иванов
рассудил так: «Мне надо повысить давление при одновременном
снижении скорости потока, поэтому я должен увеличить объем и
температуру».
25.	«В эти брезентовые штаны не пытайся влезть - в них ты
смотришься как маляр». - «Но и это шерстяное платье я тоже не
надену - оно на мне как на вешалке». - «Как насчет кожаного пид-
жака и юбки с разрезом?» - «У юбки заело молнию, а пиджак вот
здесь испачкан». - «Ну, это не беда; пятно прикроется сумкой». -
«Да, пожалуй, ты права - сумку в любом случае брать нужно; она
очень идет к моим любимым туфлям». - ^Сломанную молнию за-
менит булавка, а ее прикроет пиджак». - «Хорошо, так и сделаем».
- «Шерстяное платье одену я, если ты не возражаешь». - «Возра-
жаю, надень уж лучше эти штаны».
Примеры решения задач
1. Доказать методом натурального исчисления истинность следую-
щей клаузы:
В > (С э А), В > I), С, D>A
Доказательство:
1. Р ^> В > I),	(Р2, БП)
2Р.В>1),	(1,УИ)
3. Р,в > D.	(Р4, БП)
4. Р.В >0,	(2, 3, УО)
5Р^ в> (С>л),	(Рь БП)
74
1. Логика
6. Р => С -> А.
7. Р => А.
(4, 5, У И)
(6, Р3, БП, УИ).
2. Доказать аксиоматическим методом истинность клаузы:
А, В -> D, С -> D, А -> (В v С) => D .
Доказательство:
1. B->D,C->D,B vC=>D,
2. В v D, С v D, В v С > D .
3(BaC)vD,BvC=>D,
4(В v С)> I). BvC > 1) .
5.	В v С, D > I) .
3.	Доказать методом Вонга истинность следующей клаузы:
В -> (D —> С), D, С —> (A v В) => A v В .
Доказательство:
l.BvDvC, D, С v Av В A v В ,
1.1.	В, D.CvAvB.A-B.
1.2.	D, D.CvAvB.AvB.
1.3.	С, D, С v A v В => A v В ,
1.3.1.	С, D,C>AvB.
1.3.1.	С, D, А, А=>В,
1.3.1.	С, D, В, А>В
4.	Доказать методом резолюций истинность следующей клаузы:
А > В, С > D. В > Е, 1) > Е. Е > Е, А > ( > А .
Доказательство:
A v В, С v D, В v Е, D v F, Е v F, A v С, А => 0.
l	.CvF,	(Р2,Р4)	4. A v F,	(1,Р6)
2	.BvF,	(Р3,Р5)	5. А,	(3,4)
3.AvF,	(2, Р,)	6.0.	(6,Р7)
5.	Пусть задана система аксиом :
Al. 1 => А-> (В-» А) ,
А2. 1 => (А -> (В -> С)) -> ((А ->ВН(А -> С)),
А3.1 ^(A->BW((A->BW А);
е 1.4. Введение в логику высказываний
75
и правило отделения (modus ponens — MP):
А, А В => В .
С помощью этих аксиом и правила МР доказать справедливость за-
кона рефлексивности:
1=>А—>А.
Доказательство (символы «1 - сать не будем):	=> » здесь и в следующем примере пи-
1. А->((А-»А)->А), 2.	(А -> ((А -> А) -> А)) - 3.	(А -> (А —> А)) -> (А -э 4.	А -> (А —> А) , 5.	А—>А.	(А1) * ((А -> (А -> А)) -> (А -> А)), (А2)  А),	(1,2, МР) (А1) (3, 4, МР)
6. С помощью системы аксиом предыдущего примера доказать
клаузу:
X, Y, Z -> X, S -> (Y v Z), (Т v U) -> S => Т .
Доказательство:
l.(Z->X)->((Z->X)->Z),
2. (Z X) -> Z,
(А1)
мр)
з.х-	>(Z-	► X),	(Al)
4.ZH	► X,		(3, Pb MP)
5. (S-	>(¥-	>Z))-	»((S^YW(S^Z)),«(A2)
6. (S-	>Y)-	>(S^	• Z),	(5, P4, MP)
7. Y—?	► (S-э	 Y),	(Al)
8. S —>	Y,		(7, P2, MP)
9. S —>	z,		(6, 8, MP)
10. (S	-> Z) •	-^((S	-^ZWS),	(A3)
11. (S	->Z)	->S,	(9, 10, MP)
12. Z-	->(S-	^Z),	(Al)
13. z,			(2, 4, MP)
14. S-	->Z,		(12, 13, MP)
15. S,			(11, 14, MP)
76
1. Логика
16. (TvU)-	»S = T	-> s, и -> s,	(P5>)
17. (T->S)-		S)->D,	(A3)
18. (T-»S)-	->т,		(16, 17, MP)
19. S—>(Т — 20. T -> S, 21. T.	>S),		(Al) (15, 19, MP) (18, 20, MP)
7. Составить легенды для приведенных ниже четырех клауз.
КлаузаХ: А~С, С~Е, Е—>D, D->B=>A—>В.
А — Падение авторитета власти.
В — Политики, не способные управлять страной.
С — Нарастание анархии в обществе.
D — Высказывание абсурдных идей.
Е — Появление безответственных политиков.
«Падение авторитета власти происходит тогда и только тогда, ко-
гда нарастает анархия в обществе (А ~ С). Нарастание анархии в
обществе равносильно появлению на политической арене безответ-
ственных политиков (С ~ Е). Появление подобных политиков при-
водит к тому, что они высказывают абсурдные идеи (Е —> D). Вы-
сказывание политиками таких идей демонстрирует неспособность
их управлять страной (D —> В). Итак, падение авторитета власти
приводит к появлению политиков, не способных управлять страной
(А -> В)».
Клауза 2: А —> В, В —> Е, А -> С, С —> D, D —> F, Е л F => А.
«Если человек занимается спортом (А), то он хочет быть здоро-
вым (В). Хорошее здоровье (В) ведет к счастливой жизни (Е). Кро-
ме того, если человек занимается спортом (А), то он, как правило,
стремится достичь высоких спортивных результатов (С). Наличие
высоких результатов (С) позволяет одерживать победы на соревно-
ваниях (D). Победы на соревнованиях (D) влекут за собой всеобщее
признание (F). Однако человек не хочет жить счастливо и иметь
всеобщее признание (Е л F). Значит, он не станет заниматься и
спортом (А)».
КлаузаЗ: J > Н, К Н, l > J, Н > I. Н J л К.
«Если знать язык программирования (J), то можно составить ра-
1.4. Введение в логику высказываний
77
бочую программу (Н). Рабочую программу можно также получить
(Н) при наличии знакомого программиста (К). Овладеть языком
программирования (J) можно, обучаясь в институте (I). Если про-
грамма работает (Н), то ее написал выпускник такого института (I).
Но программа не работает (Н). Это говорит о том, что желающий
получить правильный результат не знает языка программирования
(J) и не имеет знакомых программистов (К)».
Клауза 4: А —> В, С —> D, В л D -> Е, А, Е => С.
«Все живое способно чувствовать (А —> В). Всякое материальное
тело занимает определенный объем (С -> D). Если нечто занимает
пространственный объем и способно чувствовать, то это нечто есть
ни что иное, как живой организм (В л D —> Е). Пусть существует
нечто живое (А), но не являющееся организмом (Е). Тогда следует
вывод, что это нечто нематериально (С)».
8. Выше приведены легенды. Запишем клаузы, отвечающие со-
держанию этих легенд, для чего сформулируем необходимые по-
сылки и два следствия: одно истинное, другое ложное. С помощью
таблицы истинности найдем МНФ, минимальное и все трансвер-
сальные покрытия (последнее задание выполнено только для вари-
анта 21).
Для варианта 21 можно предложить следующую клаузу.
А - В, С ^ А, D В, С т Е, Е > С > В.
А — Где-то что-то убыло.
В — Где-то что-то прибыло.	"
С — “Черная дыра ” существует.
D — “Белая дыра" существует.
Е — Невозможность ничего увидеть.
Исходную легенду допустимо трансформировать в близкую по
смыслу и составить таблицу истинности (табл. 1.23):
«Если в одном месте что-то убудет, то в другом что-то непре-
менно прибудет, и наоборот (А ~ В). Если существует черная дыра,
то в нее все проваливается, т.е. в ее окрестностях что-то убывает (С
—> А). Если существует белая дыра, то из нее в окружающее про-
странство должно прибывать вещество (D —> В). Если существует
черная дыра, то ее невозможно увидеть, так как она не излучает
78
1. Логика
свет (С —> Е). Астроном ничего не увидел (Е). Итак, белая дыра су-
ществует(И)». Это — ложное умозаключение. Истинным же за-
ключением является, например, следующее: «Если существует чер-
ная дыра, то где-то в пространстве вселенной должно непременно
появляться вещество (С В)».
Таблица 1.23
А	в	с	D	Е	А~В	с —> А	D-> В	С —> Е	р	D	с> в
1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
0	1	1	1	1	0	0	1	1	0	1	1
1	0	1	1	1	0	1	0	1	0	1	0
0	0	1	1	1	1	0	0	1	0	1	0
1	1	0	1	1	1	1	1	1	1	1	1
0	1	0	1	1	0	1	1	1	0	1	1
1	0	0	1	1	0	1	0	1	0	1	1
0	0	0	1	1	1	1	0	1	0	1	1
1	1	1	0	1	1	1	1	1	эд	Ж'	1
0	1	1	0	1	0	0	1	1	0	0	1
1	0	1	0	1	0	1	1	1	0	0	0
0	0	1	0	1	1	0	1	1	0	0	0
1	1	0	0	1	1	1	1	1	ЖЖ	ЭД’	1
0	1	0	0	1	0	1	1	1	0	0	1
1	0	0	0	1	0	1	1	1	0	0	1
0	0	0	0	1	1	1	1	1	эд	ж	1
1	1	1	1	0	1	1	1	0	0	1	1
0	1	1	1	0	0	0	1	0	0	1	1
1	0	1	1	0	0	1	0	0	0	1	0
0	0	1	1	0	1	0	0	0	0	]	0
1	1	0	1	0	1	1	1	1	0	1	1
0	1	0	1	0	0	1	1	1	0	1	1
1	0	0	1	0	0	1	0	1	0	1	1
0	0	0	1	0	1	1	0	1	0	1	1
1	1	1	0	0	1	1	1	0	0	0	1
0	1	1	0	0	0	0	1	0	0	0	1
1	0	1	0	0	0	1	1	0	0	0	0
0	0	1	0	0	1	0	1	0	0	0	0
1	1	0	0	0	1	1	1	1	0	0	1
0	1	0	0	0	0	1	1	1	0	0	1
1	0	0	0	0	0	1	1	1	0	0	1
0	0	0	0	0	1	1	1	1	0	0	1
1.4, Введение в логику высказываний
79
Из табл. 1.23 видно, что три единицы обобщенной посылки (Р) не
покрываются единицами ложного следствия (D); единицы же ис-
тинного следствия (С —> В) целиком накрывают единицы обобщен-
ной посылки. По табл. 1. 23 составим СДНФ:
А, В, С, D, Е; А, В, С, D, Е; А, В, C,D, Е;
А, В, С, D, Е; A,B,C,D,E.
После преобразований получим следующую МДФ:
А, В, D, Е; А, В, С, D, Е.
Трансверсальные покрытия:
A;B,C,D,E А, В; С, D, Е A,B,E;C,D.
Минимальное покрытие: Е .
Для варианта 22 можно составить следующую клаузу:
А В, В > С. Е > (В ^ D). !) -> 1> (В л Л л Е) F.
Введем следующие обозначения:
А — Возникновение перепада напряжения в сети.
В — Перегорание предохранителя.
С — Необходимость замены предохранителя.
D — Телевизор работает норМалщр.
Е — Телевизор подключен к сети питания.
F — Я смотрю “Новости ”.
«Если в сети был перепад напряжения, то_сгорит предохранитель
(А —> В). Если предохранитель сгорел, то необходима его замены (В
—> С). Если телевизор включен в сеть, то он работает нормально при
условии целостности предохранителя (Е —> (В —> D)). Если телеви-
зор работает нормально, я увижу “Новости” (D —> F). Я увижу “Но-
вости” при условии отсутствия перепада напряжения и подключе-
ния телевизора к сети питания ((А а Е) —> F)». Данное следствие
является ложным. Истинным же следствием будет: «Я увижу “Но-
вости” при условии целостности предохранителя, отсутствия пере-
пада напряжения в сети и подключения телевизора к сети питания
((В л А л Е) —> F)». Выделим ту строку табл. 1.24, для которой
обобщенная посылка (Р) и истинное следствие ((В д А л Е) —> F)
принимают значения единицы, а ложное следствие ((А л Е) —> F) —
значение нуля.
80
1. Логика
Таблица 1.24
А	В	С	D	Е	F	А —> В	в>с	Е -> (В D)	D —> F	Р	(АлЕ)Н	(ВлАл Г) -» F
|о	1	1	0	1	0	1	1	1	1	1	0	1
Для варианта 23 допустимо составить следующую клаузу:
А > В, В - > С, С » 1), I) а Е :> А > Е.
А — Работа выполнена. D — Рыбалку провести с лодкой.
В — Отпуск на рыбалку. Е — На рыбалку поедут все вместе.
С — Взять на рыбалку сына.
«Если работа выполнена, то начальство отпустит на рыбалку (А
В). Если отпустят на рыбалку, то обязательно возьмут на нее и
сына (В —> С). Если берут сына, значит надо брать лодку (С -> D).
Если брать с собой лодку, то поедут все вместе (D —> Е). Таким об-
разом, если работа выполнена, то все вместе едут на рыбалку (А -»
Е)». Данное следствие является истинным. Ложным следствием
является, очевидно, такое: «Если работа сделана, то все вместе на
рыбалку не едут (А -> Е)».
Для варианта 24 составим следующую клаузу:
А > (1Е ( ), С > D. В > (А > Е)1) > (В А) > (А В) > С.
А — Уменьшение температуры.
В — Снижение давления. D — Снижение скорости.
С — Уменьшение объема. Е — Падение уровня.
«Уменьшение температуры приводит к снижению давления и
уменьшению объема (А —> (В л С)). Увеличение объема приводит к
росту скорости потока (С -> D). Повышение давления приводит к
падению уровня, если при этом уменьшать температуру (В —> (А —>
Е)). Снижение скорости приводит к уменьшению давления или рос-
ту температуры (D —> (В v А))- Технолог Иванов рассудил так:
“Мне надо повысить давление при одновременном снижении ско-
рости потока, поэтому я должен увеличить объем и температуру”
((А л О ->(В л D))». Данное умозаключение является ложным.
Истинным рассуждением будет, например, такое: «Уменьшение
температуры и увеличение давления ведут к уменьшению объема
((АаВ)-еС)».
Для варианта 25 составим клаузу:
1.4. Введение в логику высказываний 81
A v В v С, (С л D) —> Е, (A v В) -» Е, С -> D, => С —> Е.
А — Надеть брезентовые штаны.
В — Надеть шерстяное платье.
С — Надеть пиджак и юбку с разрезом.
D — Взять с собой сумку.
Е — Великолепно смотрится.
«Я могу надеть на себя брезентовые штаны, или шерстяное пла-
тье, или пиджак и юбку с разрезом (A v В vC). Я буду выглядеть
великолепно, если надену пиджак и юбку с разрезом и при этом
возьму с собой сумку ((С л D) -> Е). И наоборот, я буду выглядеть
ужасно, если надену на себя брезентовые штаны или шерстяное
платье ((A v В) -» Е). Однако сумку надо брать обязательно, если
надеть пиджак и юбку с разрезом (С -> D). Итак, чтобы выглядеть
великолепно, я выбираю последнее, т.е. надену на себя пиджак и
юбку с разрезом (С —> Е)». Данное заключение является истинным.
Ложным может быть, например, такое: «Чтобы выглядеть велико-
лепно, нужно надеть на себя брезентовые штаны (А Е)».
1.5.	Операции над предикатами и кванторами
О предикатах, кванторах и многоместных функциях
Предикат — это функциональное высказывание, а высказывание —
предикатная константа. Логика предикатов — это расширение ло-
гики высказываний за счет использования предикатов в роли логи-
ческих функций. Эти функции несколько отличаются от функций,
которые мы использовали в логике Буля. Булева функция однород-
на, т.е. для нее область значений функции и область изменений ар-
гументов по типу одна и та же — логическая (либо истина, либо
ложь). Для предикатов же область значений функции —логическая,
а область изменений аргументов — предметная. Таким образом,
эта функция неоднородна. Приведем примеры предикатных функ-
ций. Пусть имеется ряд простых высказываний:
Pi = «Иван читает Достоевского»,
. Р2 = «Петр читает Достоевского»,
Ри = «Степан читает Достоевского».
82
1. Логика
Вместо высказываний Pi, Р2, ... , Ри мы могли бы ввести одномест-
ный предикат Р(х), для которого переменная х принимала бы зна-
чения из предметной области —
х = {Иван, Петр,..., Степан),
а сама предикатная функция передавалась бы словами:
Р (х) = « х читает Достоевского».
Теперь изменим исходный ряд высказываний:
Pi = «Иван читает Достоевского»,
Р2 = «Петр читает Толстого»,
Р„ = «Степан читает Чехова».
Здесь можно было бы ввести уже двухместный предикат —
Р(х, у) = « х читает у »,
с дополнительной предметной областью —
у = {Достоевский, Толстой,..., Чехов}.
Введем трехместный предикат Р(х, у, z), который означает, что
« х есть суммам и z ». Допустим, в процессе вычислений перемен-
ная х приняла конкретное значение, равное 5. Тогда трехместный
предикат превратится в двухместный:
Р(5,у, z) = Р'(у, z) = «5 есть суммам и z ».
При х = 5 и у = 3 получим одноместный предикат:
Р(5, 3, z) = Р’(3, z) = P"(z) = « 5 есть сумма Зиг».
Наконец, если добавить условие z = 2 , то исходный предикат ста-
новится нульместным предикатом (константой или высказывани-
ем), который в данном случае принимает истинное значение:
Pi = Р(5, 3, 2) = « 5 есть сумма 3 и 2 » = 1.
Но могло быть, что z = 1, тогда имели бы ложное высказывание:
Ро = Р(5, 3, 1) = « 5 есть сумма 3 и 1 » = 0.
Таким образом, при замещении переменной х, предметной посто-
янной а, происходит превращение «-местного предиката P(xi ... х/
... хп) в (н - 1 {-местный — Р(х] ... а, ... хи). Приписав конкретные
значения всем аргументам предикатной функции — Р(й] ... at... аи),
мы тем самым получаем предикатную константу, к которой приме-
1.5. Операции над предикатами и кванторами
83
ними все законы логики высказываний.
Функциональная природа предиката влечет за собой введение
еще одного понятия —- квантора. Роль его выясним на следующих
двух примерах:
1) «Все люди смертны. Сократ человек.
Следовательно, Сократ смертен».
2) «Некоторые люди гениальны. Сократ человек.
Следовательно, Сократ гениален».
Во втором примере хорошо чувствуется ложность заключения, по-
скольку интуитивно мы понимаем, что Сократ мог и не попасть в
число гениальных людей.
Итак, ключевыми словами в наших примерах являются «все» и
«некоторые». Когда какое-нибудь правило распространяется на всех
индивидуумов, оно, естественно, распространяется и на Сократа.
Когда же правило касается только некоторых, оно может оказаться
в отношении Сократа как раз и неверным.
Термин «все х» обозначается в логике предикатов Vx и называет-
ся квантором общности (символ V есть перевернутая буква А, ко-
торая является начальной буквой английского слова АП — «все»).
Термины «некоторые х» или «существует хот^бы одно значение
х» обозначаются через Эх и называются квантором существования
(символ 3 есть перевернутая буква Е, первая буква английского
слова Exist — «существование»).
Выставляя кванторы перед предикатами, мы как бы усиливаем
или ослабляем их действие. Так, выражение Vx Р(х) означает: «для
всех без исключения х свойство Р истинно», а выражение Зх Р(х)
означает: «существует по крайней мере одно значение х, для кото-
рого свойство Р истинно». Мы не будем использовать так называе-
мые свободные переменные, т.е. не будем рассматривать предикат-
ные функции, аргументы которых не связаны ни квантором общно-
сти, ни квантором существования. Сказать «для всех х свойство Р
истинно» — это все равно, что сказать «конъюнкция всех значений
предикатной функции равна единице»:
Vx Р(х) = Р(«) л Р(Л) л Р(с) л ... .
Квантор существования означает дизъюнкцию всех значений пре-
дикатной функции:
'	Эх Р(х) = Р(«) V Р(Й) V Р(с) V ... .
84
1. Логика
Оба квантора можно отрицать и выражать один через другой на
основе закона де Моргана:
Vx Р(х) = Р(а) л Р(7>) л Р(с) л ... = Р(й) v P(b) v Р(с) v... = Эх Р(х),
Эх Р(х) = Р(д) у Р(А) у Р(с) у ... = Р(а) л Р(/>) л Р(с) л... = Ух Р(х).
Отсюда
Ух Р(х) = Эх Р(х), Эх Р(х) = Ух Р(х).
Осмыслить формулы отрицания кванторов поможет следующий
пример. Пусть предикат Р(х) означает, что «х является простым
числом». Когда х будет пробегать ряд натуральных чисел —
х= {1,2, 3,4, 5, 6,...},
предикатная функция пробежит ряд истинных и ложных значений
Р(1) = 0,	Р(2) = 1,	Р(3) = 1,	Р(4) = 0,
Р(5) = 1,	Р(6) = 0,	Р(7) = 1,	...
Убедимся в справедливости первой формулы для отрицания кван-
тора общности:
Ух Р(х) = «не все х простые числа» = «существуют такие х,
которые являются непростыми числами» = Эх Р(х) = 1.
Оба эти высказывания истинны. Теперь убедимся в справедливости
второй формулы для отрицания квантора существования:
Эх Р(х) = «нет ни одного х, которое было бы простым» =
«все х являются непростыми числами» = Ух Р(х) = 0.
Эти высказывания ложны.
Конкретизация предикатов
Пусть предметная область предиката Р(х) состоит всего из двух
конкретных значений а и b . Учитывая, что
Ух Р(х) = Р(а) A P(Z>), Эх Р(х) = Р(в) V Р(Л),
составим табл. 1.25, из которой непосредственно вытекают три эле-
ментарных клаузы:
Ух Р(х) => Р(а), Р(«) => Эх Р(х), Ух Р(х) => Эх Р(х).
Вместо Р(а) в последних выражениях можно было бы взять Р(/>)
— семантика клауз от этого не изменится, а она такова: если выра-
жение «для всех х свойство Р выполняется» является истинным, то
для конкретного значения х, равного а, это свойство тоже будет вы-
1.5. Операции над предикатами и кванторами
85
подняться. Первая клауза является предикатной формой выражения
аксиомы порядка: Vx Р(х) = Р(й), Р(Л) => Р(й).
Действие ее продемонстрируем на
знакомом примере, который сейчас
мы сформулируем более отчетливо:
Для всех х справедливо правило:
если х — человек, то х смертен.
Таблица 1.25
Р(а)	Р(й)	Vx Р(х)	Эх Р(х)
0	0	0	0
1	0	0	1
0	1	0	1
1	1	1	1
Сократ человек. Следовательно, Сократ смертен.
Введем два предиката: А(х) = «х человек» и В(х) = «х смертен».
Примем также, что а = «Сократ». Составим клаузу, соответствую-
щую нашей легенде: Vx (А(х) -> В(х)), А(«)	В(й).
Для ее доказательства достаточно перенести вторую посылку
вправо за знак метаимпликации, чтобы клауза сразу же удовлетво-
ряла аксиоме порядка в предикатной форме:
Vx (А(х) -> В(х)) => А(й) -» В(й).
Ясно, что второй пример (о гениальности Сократа) — ложен, по-
скольку приводит к клаузе, противоречащей аксиоме порядка:
Зх (А(х) -> В(х)) => А(й) -4- В(й).
Конъюнктивная природа квантора общности и дизъюнктивная при-
рода квантора существования, с точки зрения отношения эквива-
лентности, накладывают определенные ограничения при использо-
вании их совместно с дизъюнкцией и конъюнкцией как логически-
ми операциями.
Пусть для определенности предметная область состоит из двух
элементов а и b (в общем случае для областей, состоящих из п эле-
ментов, все представленные здесь доказательства останутся теми
же, только окажутся более громоздкими). Убедимся, что следую-
щие два тождества выполняются:
Vx (А(х) л В(х)) = Vx А(х) л Vx В(х),
Зх (А(х) v В(х)) = Зх А(х) v Зх В(х).
Действительно,
Vx (А(х) л В(х)) = (А(й) л В(й)) л (А(й) л В(й)) =
= (А(й) л В(й)) л (А(а) л В(й)) = Vx А(х) л Vx В(х).
Аналогично расписывается второе равенство.
-< Однако ситуация изменится, если квантор общности использо-
86
1. Логика
вать совместно с дизъюнкцией, а квантор существования — с
конъюнкцией:
Зх (А(х) л В(х)) => Зх А(х) л Зх В(х).
В самом деле,
Зх (А(х) л В(х)) = (А(а) л В(а)) v (А(6) л В(Л)) = R л Q ,
R = (А(а) v A(Z>)) а (В(д) v В(й)) = Зх А(х) л Зх В(х),
Q = (А(«) v В(/>)) л (А(/>) v В(а)).
Первая клауза верна, так как она сводится к аксиоме порядка:
R, Q => R.
Аналогично доказывается клауза —
Vx А(х) v Vx В(х)) =5 Vx (А(х) v В(х)) .
В логике предикатов, как и в логике высказываний или логике
Буля, действует принцип двойственности. Клауза останется в силе,
если ее посылки и заключения поменять местами, но при этом од-
новременно произвести замену:
V<=>3,	A<»v,	0<=>1.
Благодаря этому принципу, последнюю клаузу можно не доказы-
вать отдельно, а составить, исходя из истинности предыдущей.
Установленное свойство кванторов в отношении дизъюнкции от-
ражается и на импликации, поскольку она может быть выражена
через дизъюнкцию. Поэтому справедливы следующие выражения:
Зх (А(х) -> В(х)) = Vx А(х) -> Зх В(х),
Зх А(х)	Vx В(х)) => Vx (А(х) —> В(х)) .
Но ситуация вновь изменится в пользу отношения эквивалентно-
сти, если любой из двух предикатов заменить высказыванием:
Vx (A v В(х)) = A v Vx В(х),
Зх (А л В(х)) = А л Зх В(х)).
Действительно,
Vx (A v В(х)) = (A v В(д)) a (A v В(А)) =
= A v (А л В(а)) v (А л В(/>)) v (В(а) л B(Z>)) =
= A v (В(й) л В(Ь)) = A v Vx В(х).
Раскрывая скобки и используя закон идемпотентности и погло-
щения или применяя вновь принцип двойственности, можно дока-
зать второе равенство. Отсюда будут выполняться и равенства для
импликации:
Vx (А -> В(х)) = А -> Vx В(х) ,
Vx (А(х) —> В) = Зх А(х) -> В ,
Зх (А В(х)) = А -> Зх В(х),
1.5. Операции над предикатами и кванторами
87
Эх (А(х) —> В) = Vx А(х) -> В .
Чтобы сохранить отношение эквивалентности при вынесении за
скобки квантора Э при конъюнкции и квантора V при дизъюнкции,
когда даны два различных предиката, прибегают к введению допол-
нительной переменной, например:
Эх А(х) л Эх В(х) = Эх А(х) л Эу В(у) =
= ЭхЭу (А(х) л В(у)) = (А(я) v А(6)) л (В(я) v В(6)).
Аналогично поступают в других случаях:
Vx А(х) v Vx В(х) = VxVy (А(х) v В(у)),
Эх А(х) —> Vx В(х) = VxVy (А(х) -> В(у)),
Эх А(х) v Vx В(х) = 3xVy (А(х) v В(у)) =
= Vx3y (А(х) v В(у)) = Vx3y (А(у) v В(х)).
Последний пример показывает, что кванторы V и 3 можно пере-
ставлять местами, если они независимы (в данном случае они отно-
сятся к независимым одноместным предикатам).
Рассмотрим всевозможные комбинации кванторов при двухмест-
ных предикатах. С помощью законов коммутативности и ассоциа-
тивности, для конъюнкции и дизъюнкции доказывается справедли-
вость двух тождеств:
VxVy Р(х, у) = Vy Vx Р(х, у), ЗхЭу Р(Х, у\^ ЭуЭх Р(х, у),
т.е. одинаковые кванторы при двухместных предикатах можно пе-
реставлять местами. Но перестановка кванторов 3 и V подчинена
только отношению порядка:
3xVy Р(х, у) => Vy3x Р(х, у) .
В самом деле,
3xVy Р(х, у) = Эх (Р(х, я) л Р(х, b)) =
= (Р(я, я) Л Р(я, b)} V (Р(й, я) Л Р(6, ЬУ) = R л Q,
где
Q = (Р(я, я) v P(Z>, ЬУ) л (Р(я, Л) v Р(Л, я)).
R = (Р(я, я) v Р(Л, я)) л (Р(я, b) v Р(Л, й)) =
Vy (Р(я, у) v Р(й, у)) = Vy3x Р(х, у).
Таким образом, исходная клауза свелась к аксиоме порядка —
R, Q => R.
Справедливость последней клаузы можно установить и с помощью
таблицы истинности (табл. 1.26), в которой приняты следующие
сокращения:
VVP = VxVy Р(х, у), Э VP = 3xVy Р(х, у),
88
1. Логика
V3P = Vy3x Р(х, у), ЗЭР = ЗхЗу Р(х, у),
На основе этой же таблицы можно установить истинность множест-
ва других клауз (кит принимают значения а или д):
1.	VxVy Р(х,у) => УхЗу Р(х,у),	6.	3xVy Р(х,у)	=> Vy3x Р(х,у),
2.	VxVy Р(х, у) => ЗхХ/у Р(х, у),	7.	VxVy Р(х, у)	=> Vx Р(х, х),
3.	VxVy Р(х, у) => ЗхЗу Р(х, у),	8.	Зх Р(х, х) =>	ЗхЗу Р(х, у),
4.	3xVy Р(х, у) => ЗхЗу Р(х, у),	9.	VxVy Р(х, у)	=> Р(А, т),
5.	VxSy Р(х, у) => ЗхЗу Р(х, у), 10. Р(А, т) => ЗхЗу Р(х, у),
11.	УуР(Л,у)=> Vy3xP(x,y), 15. Vx3y Р(х, у) => Зу Р(А, у),
12.	Vy Р(А, у) 3xVy Р(х, у), 16. ЗуVx Р(х, у) => Эу Р(Л, у),
13.	Vx Р(х, т) => 3yVx Р(х,у), 17. 3xVy Р(х,у) Зх Р(х, т),
14.	Vx Р(х, т) => Vx3y Р(х, у), 18. Vy3x Р(х, у) => Эх Р(х, т).
Таблица 1.26
Р(а, а)	Р(Я, ь)	Р(ь, а)	Р(Ь, Ь)	VVP	3VP	V3P	ЗЭР
0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	0	0	0	0	0	1
0	1	0	0	0	0	0	1
1	1	0	0	0	1	[	1
0	0	1	0	0	0	0	1
1	0	1	0	0	0	0	1
0	1	1	0	0	0	1	1
1	1	1	0	0	1	1	1
0	0	0	1	0	0	0	1
1	0	0	1	0	0	1	1
0	1	0	1	0	0	0	1
1	1	0	1	0	1	1	1
0	0	1	1	0	1	1	1
1	0	1	1	0	1	1	1
0	1	1	1	0	1	1	1
1	1	1	1	1	1	1	1
Пять первых клауз из приведенного списка сейчас особенно важ-
ны, так как они дают ключ к пониманию процедуры составления
истинных клауз для многоместных предикатов с любым числом
кванторов. Эту процедуру схематично можно пояснить следующим
образом. Для одноместных предикатов справедливы три клаузы:
VP => VP , VP => ЗР, ЭР => ЭР .
1.5. Операции над предикатами и кванторами
89
Клауза ЭР => VP ошибочна. Для двухместных предикатов будут
верны уже девять клауз, четыре из которых являются тождествами,
а пять других как раз и возглавляют приведенный список:
v(vp) => v(vp), v(vp) => з(ур), a(VP) => э(ур),
V(VP) => V(BP), V(VP) => B(BP), 3(VP) => 3(3P),
V(3P) => V(3P), V(BP) => 3(3P), 3(3P) => B(BP).
Клаузы-тождества не следует отбрасывать, если мы хотим постро-
ить следующий ряд для трехместных предикатов, например:
У(УУР) Э(УУР), V(VBP) => З(УЭР).
Зная процедуру построения правильных клауз, легко распознать
истинность клауз, в частности:
ЗУУЗУР => ЭЭУЭЭР — истинная, ЭЭУЭУР => ВУУЭВР — ложная.
Соседние одинаковые кванторы в многоместных предикатах
можно переставлять в любом направлении; что же касается различ-
ных кванторов, то здесь допустима лишь перестановка, описанная
клаузой 6 в вышеприведенном списке;
... ЭиУг ... Р(... и, v ...) => ... VvBh ... Р(... и, г ...).
Одинаковые кванторы могут быть объединены по схеме,
продиктованной клаузами 7 и 8:
... УиУг ... Р(... «, v ...) => ... Уи ... Р(...	...),
... Эг ... Р(... v, v ...)	... ЗиВг ... Р(... и, v ...) .
Законы конкретизации, представленные в списке следующими
десятью клаузами (с 8 по 18) и являющиеся производными от пер-
вых шести клауз, естественно, распространяются и на многомест-
ные предикаты.
В отношении дизъюнкции и конъюнкции двух многоместных
предикатов действуют примерно те же законы эквивалентности, что
и для одноместных. Если все кванторы соответствуют операции, то
введение дополнительных переменных необязательно, например:
УхУу (А(х, у) л В(х, у)) = УхУу А(х, у) а УхУу В(х, у).
Во всех остальных случаях необходимо вводить переменные:
УхЗуУгЭмУгУм> (А(х,у, z) v В(и, г, w)) =
= VxByVz А(х, у, z) v ЭиУгУи’ B(w, v, w).
Формализм теории предикатов, конечно, будет неполным без
рассмотрения операции отрицания многоместных предикатов. Для
понимания существа дела достаточно привести одно доказательство
для двухместного предиката:
90
1. Логика
Эх Vp Р(х, у) = Эх (Р(х, а) л Р(х, b)) = Vx (Р(х, а) л Р(х, ЬУ) =
= VxVy Р(х, у) = (Р(«, a) v Р(а, Ь)) л (Р(Л, a) v Р(Л, Ь)) =
= Vx3y Р(х, у) .
Отсюда вытекает простое правило перемещения символа отрицания
слева направо для многоместных предикатов, например:
W3V3P = 3V3V3P = SSSVSP = 33VV3P = 33V33P = 33V3VP .
Таким образом, чтобы произвести полное отрицание многоместного
предиката с кванторами, необходимо прибегнуть к замене:
3aV,PaP.
Решетки вообще и булеан в частности
Процедура составления истинных клауз из предикатов с квантора-
ми, описанная в предыдущем подразделе, позволяет построить бу-
леан из кванторов (рис. 1.20).
Булеан — распространенный математический объект. Так, если в
кванторном булеане все символы V заменить на 0, а 3 — на 1, то
получим булеан на 0,1-векторах (рис. 1.21). Если дано множество из
элементов а, Ь, с, то все его подмножества образуют точно такой же
булеан (рис. 1.22). Наконец, приведем пример из арифметики: дели-
тели числа 30 образуют аналогичный булеан (рис. 1.23).
Булеан есть частично упорядоченное множество, на котором дей-
ствуют законы логики множеств. Чтобы раскрыть его свойства, вве-
дем несколько определений.
Множество элементов любой природы называется линейно-
упорядоченным, если любые два его элемента а и b связаны отно-
шением порядка — либо а => Ь, либо b => а. Множество называется
частично упорядоченным, если имеются по крайней мере два несо-
поставимых элемента, на которые не распространяется отношение
порядка. Верхней границей подмножества Q с R называют такой
элемент г е R, что для всех q е Q справедливо отношение порядка
q => г. Нижней границей подмножества Q R называют такой эле-
мент г' 6 R, что для всех q е Q справедливо отношение г' => q.
Наименьшая верхняя граница называется супремумом (sup Q), а
наибольшая нижняя граница — инфимумом (inf Q). Помимо супре-
мума и инфимума, вводятся понятия точной верхней грани и точ-
ной нижней грани, которые могут совпадать или не совпадать, со-
ответственно, с супремумом и инфимумом. Точную верхнюю грань
обозначим через дизъюнкцию в v b , точную нижнюю грань — че-
1.5, Операции над предикатами и кванторами
91
рез конъюнкцию алЬ. Тогда в общем случае имеем:
а / sup (a,b), inf(a,b) => а лЬ.
Множество R называется решеткой, если каждая пара его эле-
ментов обязательно имеет один супремум и один инфимум. Множе-
ство W, V3, 3V и 23 (рис. 1.24) образует решетку, так как удовле-
творяет указанному требованию, например:
sup (V3, 33) = 33, sup (V3, 3V) = 33,
92
1. Логика
ш/(УЗ, 33) = УЗ, /и/(УЗ, ЗУ) = У V,
Множество a, b, c, d (рис. 1.25) не образует решетки, так как а и b
имеют два инфимума и ни одного супремума, элементы cud име-
ют два супремума и ни одного инфимума.
Рис. 1.24
Рис. 1.25
Решетка называется булевой, или булеаном, если ее элементы
удовлетворяют законам булевой логики — коммутативности, ас-
социативности, дистрибутивности, нуля и единицы. Для квантор-
ных решеток все четыре закона выполняются:
VV3 v УЗУ = УЗУ v УУЗ ,
(УЗУ V ЗУУ) V ЗЗУ = УЗУ V (ЭУУ V ЗЗУ),
(УУЗ А ЗУУ) V УЗУ = (УУЗ V УЗУ) А (ЗУУ V УЗУ),
УЗУ V 333 = 333, УЗУ А 333 = УЗУ ,
УЗУ v У VV = УЗУ, УЗУ л VVV = VVV .
Поскольку в кванторном булеане предполагаются только поло-
жительные предикаты, т.е. отсутствуют обратные элементы, типа
УЗУ, то и в законе для нуля и единицы отсутствуют равенства, от-
ражающие взаимное дополнение элементов. Однако вместо УУУ и
333 можно взять полностью нулевой и единичный векторы, тогда
уже все законы нуля и единицы будут выполняться, например:
V3VPv3V3P = l, УЗУРаЗУЗР = 0.
Если для кванторов справедливы аксиомы логики множеств, то
на них должны распространяться и все выводимые из них тождест-
ва, например, закон де Моргана'.
1.5. Операции над предикатами и кванторами
93
УЗУ v ЗУУ = УЗУ л ЗУУ .
Аксиома порядка, которая может быть выражена клаузами:
УУЗ, ЗУУ УУЗ,	ЗЗУ => У УЗ; 33V,...
также имеет место в логике предикатов.
На первый взгляд выражения, типа
УУЗ => УУЗ Л ЗУЗ, УУЗ v ЗУЗ => ЗУЗ,
противоречат аксиоме порядка. Однако подобные клаузы всегда
заменимы тождествами, поэтому их можно представить аксиомой
порядка. Тождества возникают для линейно-упорядоченных эле-
ментов, каковыми и являются элементы УУЗ и ЗУЗ:
sup (УУЗ, ЗУЗ) = УУЗ v ЗУЗ = ЗУЗ,
/«/(УУЗ, ЗУЗ) = УУЗ л ЗУЗ = УУЗ.
Несопоставимые же элементы, к которым относятся, например, эле-
менты V33 и ЗУУ, уже не будут описываться тождествами, а только
отношением порядка:
УЗЗ V ЗУУ => sup (УЗЗ, ЗУУ), т/(УЗЗ, ЗУУ) => УЗЭ л ЗУУ.
Так как
sup (УЗЗ, ЗУУ) = 333, ш/(УЗЗ, ЗУУ) = УУУ,
в логике предикатов будут возникать совершенно специфические
клаузы, не сводящиеся к аксиоме порядка, типа —
УЗЗ V ЗУУ => 333 , УУУ => УЗЗ Л ЗУУ.
Рассматривая булеаны, нельзя не упомянутое законе четырехпо-
люсника. Действие его продемонстрируем сначала на числовом бу-
леане делителей числа 30 (см. рис. 1.23). Если наибольший общий
делитель (НОД) двух чисел а и b обозначить конъюнкцией (а л Ь), а
наименьшее общее кратное (НОК) — через дизъюнкцию (a v b), то
в отношении этих двух арифметических понятий будут действовать
все четыре закона булевой логики. Убедимся в справедливости за-
кона дистрибутивности: (а л b) v с = (a v с) л (b v с); при а = 6, b =
10 и с = 5, получим: (6 л 10) v 5 = (6 v 5) л (10 v 5), или 2 v 5 = 30
л 10, или 10 = 10 . Но из арифметики известен закон: произведение
любых двух чисел равно произведению их НОД и НОК: а • b = (a v
b)  (а л Ь). В частности, 6 • 10 = (6 v 10) • (6 л 10) = 30-2.
Этот арифметический закон является следствием булеановой
структуры делителей чисел. Подобный закон имеет место в любом
94
1. Логика
булеане (хотя смысл операций в нем может существенно меняться)
и называется он законом четырехполюсника. Четыре полюса, соот-
ветствующие числам 6, 10, 2 и 30, взятые на булеане подмножеств
(рис. 1.22), связаны соотношением:
{я, Ь} Ф {а, с} = {{а, Ь} и {я, с}} Ф {{я, b} п {я, с}}.
Под символом Ф понимается прямое сложение множеств, при ко-
тором повторяющиеся элементы не удаляются, в частности:
{я, Ь, с} Ф {я} = {я, Ь, а, с}.
Закон четырехполюсника выполняется и для 0,1-векторов (рис.
1.21). Прямое сложение заменяется обыкчным сложением единиц:
(111)+ (001) = ((011) v (101))+ ((011) л (101)); 3 + 1= 4.
Число единиц в 0,1-векторе я будем называть его модулем, или
длиной, и обозначать | я |. Из табл. 1.25 и табл. 1.26 выпишем в сим-
волической форме модули предикатных векторов'.
I Р(я) | = | Р(й) | =2, |з| =3, | V | = 1;
| Р(Л, от) | = 8, | 33 | = 15, | УЗ | = 9, | 3V | = 7, | У У | = 1.
Нетрудно убедиться в справедливости закона четырехполюсника
для двухмерного предикатного булеана:
| 33 | + I VV | = I V3 v 3V | + | УЗлЗУ|; 15 + 1 = И + 5 = 16.
Таблица истинности для трехместных предикатов будет уже со-
стоять из 256 строк. Чтобы определить модули 0,1-векторов кван-
торного булеана, таблицу истинности можно и не строить, но про-
вести тщательный комбинаторный анализ. В итоге получим:
1ЗУУ |	= 31,	( УЗУ | = 49,	I УУЗ | =81,
|ззу Ь	= 175,	| ЗУЗ | =207,	I УУЗ | = 225,
| УУУ |	= 1,	I 333 | =255,	| Р(А, от, и) | = 128.
Кванторный булеан 3-го порядка наложен на векторный булеан
256-го порядка, причем его нижняя точка совпадает не с нулевым
вектором, а с вектором первого уровня (00...01), верхняя же точка
лежит на предпоследнем уровне (01...11). Таким образом, квантор-
ный булеан оказывается немного развернутым относительно век-
торного булеана. Тем не менее, закон четырехполюсника для него
тоже выполняется, в частности:
I УУЗ | + | УЗУ I = | УУЗ v УЗУ | + | УУЗ л У ЗУ |;
1.5. Операции над предикатами и кванторами
95
81 +49= 105 + 25 = 130.
Вообще, величина модуля вектора а является важной собствен-
ной характеристикой клауз, например:
|3VV| => |V3Vv33v|,	31 => 151;
I VV3 v V3V | => | V33 |,	105 => 225 .
и тождеств, например: 57 = 57 для закона дистрибутивности:
I (VV3 л 3VV) v V3V | = | (VV3 v V3V) Л (3VV v V3V) |.
С помощью модулей можно осуществлять частичную проверку
правильности логических действий, хотя в случае многоместных
предикатов для такого контроля понадобится уже компьютер, по-
скольку величина модулей даже для четырехместных предикатов
исчисляется сотнями тысяч:
I V333 | + | 3V33 | = 65 025 + 63 135 = 128 160.
Построение доказательств в логике предикатов
Основной задачей логики предикатов является установление истин-
ности предикатных тождеств и клауз. Обозначим через Pi какой-
либо предикат с произвольным числом аргументов, а через ^/ соот-
ветствующую ему кванторную группу. Тогда, Например. закон ди-
стрибутивности примет вид:
41 Pi v (q2 Р2 л q3 Р3) = (qj Pj v q2 P2) л (qj Pi v q3 P3).
В том, что он выполняется для одноместных предикатов, можно
убедиться через процедуру конкретизации, к которой мы уже не раз
прибегали:
х = a, b;	q! = Vx, Pt = А(х);
У = с, d;	q2 = Зу, Р2 = В(у);
z = e,/;	q3 = Vz, Р3 = C(z).
[А(п) л А(6)] v ([В(с) v В(<7)] а [С(е) а С(/)]) =
= ([А(а) а А(6)] v [В(с) v В(<7)]) а ([А(п) а A(Z>)] v [С(е) а С(/)]).
От того, что в квадратных скобках появится вместо дизъюнкции
конъюнкция, и наоборот, а также вместо одноместных предикатов
будут фигурировать различные многоместные предикаты суть тож-
дества не изменится. Оно останется истинным, в силу справедливо-
сти законов логики множеств и принципа суперпозиции, который
96
1. Логика
гласит: замена какой-либо константы другой константой или даже
группой констант не может повлиять на истинность тождества.
Именно отсюда проистекает уверенность в справедливости законов
логики множеств и по отношению к предикатам.
Те же рассуждения можно провести и в отношении логики выска-
зываний. Она отличается от логики Буля аксиомой порядка —
qi Pi ,q2P2 => qi Pi-
Процедура конкретизации сводит предикатную аксиому порядка
к простому высказыванию, так что если клауза верна для высказы-
ваний, она будет справедлива и для предикатов.
Как показывает практика, много ошибок приходится на непра-
вильное обозначение предикатов при их, в принципе, правильной
идентификации. Следует помнить, что положительный предикат
должен иметь больше единиц, чем отрицательный. Будет допущена
ошибка, если противоречие
Аь А2 => 0 записать как А2, А| => 0 .
Перейдем к анализу конкретных предикатных выражений.
Пример 1. Пусть дано следующее тождество:
(ЗхХ/у Р(х, у) v 3uX/v P(v, и)) л (Х/уЗи P(v, и) л
л ЗуХ/х Р(х, у)) = ЗхХ/у Р(у, х) л Х/иЗу Р(«, у) .
Здесь можно ввести следующие обозначения:
А = Х/хЗу Р(х,у) = Х/уЗи P(v, и) = Х/иЗу Р(и, у) ,
В = ЗиХ/у Р(у, и) = ЗуХ/х Р(х, у) = ЗхХ/у Р(у, х).
В этих обозначениях тождество выглядит следующим образом:
(A v В) л (А л В) = В л А .
Производя элементарные преобразования, мы можем убедиться в
справедливости последнего равенства. Следовательно, и исходное
тождество составлено верно.
Пример 2. Пусть дана предикатная клауза:
Х/хЗу Р(х,у) -> Vv Р(а, у), Х/х Р(а, х) ->
-> ЗхХ/у Р(у. х) => Х/мЗу Р(н, у) -> ЗуХ/и Р(н, у) .
Введем обозначения:
А = Х/хЗу Р(х, у) = Х/иЗу Р(и, у) ,
1.5. Операции над предикатами и кванторами
97
В = Vv Р(я, v) = Vx Р(7/, х),
С = 3xVy Р(у, х) = 3vV« P(w, v).
Получим:
А—>В, В—>С=>А—>С.
Как известно, формула транзитивности верна, следовательно, и
предикатная клауза тоже верна.
Итак, доказательство справедливости первых двух предикатных
выражений свелось к простой процедуре идентификации их с соот-
ветствующими выражениями, существующими в логике Буля и ло-
гике высказываний. Рассмотрим более сложные примеры.
Пример 3. Доказать истинность клаузы:
Vv3« Р(и, v)-> VwVv P(w, v),3xVy P(x,y)=>V« Р(и, и).
Введем обозначения:
А] = ЗхХ/у Р(х,у), А2 = Vv3h Р(и, v),
Bi = V«VvP(«, v), B2 = V«P(«, «).
В этих обозначениях клауза будет иметь вид:
А2 —> В,, А( => Вт или А? у В;, А;, В? => 0.
По методу резолюций противоречие возможно, если возможны
два других противоречия —
Ai, А? => 0 ,	В],В2=>0.
Список из восемнадцати клауз, который мы вывели из табл. 1.26,
предоставляет нам две истинных клаузы под номером 6 и 7. Если их
представить в форме противоречия, то они будут полностью отве-
чать последним двум выражениям:
3xVy Р(х, у), Vy3x Р(х, у) => 0, VxVy Р(х, у), Vx Р(х, х) => 0 .
Таким образом, истинность исходной клаузы можно считать уста-
новленной.
Пример 4. Доказать истинность клаузы:
Vz B(Z, z) НхЗу В(х, у), 3zVy A(z, у) -> V«Vv B(v, и), Зх А(Ь, х) =>
=> 3z3x В(х, z) л 3zVy A(z, у).
Процедура идентификации приводит к следующим выкладкам:
А] = Vz3y A(z,y), А2 = Зх A(b, х), В1 = V«Vv В(г, «) = VjVx В(х, z),
98
1. Логика
В2 = Vz B(z, z), B3 = Vx3y B(x, y); B2 -» B3, A< —> B,. A?	Bi л Ay,
B? v B3, Ai v B], A? => 0.
Ai, A? => 0,	Vx3y A(x, y), 3y A(k, y) => 0,
В i, B2 => 0,	VxVy B(x, y), Vx B(x, x) => 0,
Bi, B3 => 0,	VxVy B(x,y), Vx3y B(x,y) => 0.
Отсюда следует истинность исходной клаузы.
Пример 5. Докажем справедливость клаузы:
Vx3y А(х, у) v 3yVx В(х,у) v VmVvVm’ С(и, v, w),
Vy3x A(y, x) —> VxVy C(x, y, b), 3xVy B(y, x) —> VmVv С(и, v, a) =>
=> Vx3y3z C(x, z, y) a 3«Vv3m> С(и, v, ю).
Доказательство:
A = Vx3y A(x, y) = Vy3x A(y, x), В = 3y Vx B(x, y) = 3xVy B(y, x),
C ’ = Vx3y3z C(x, z,y), C " = 3hVv3h> С(и, v, w), Ci = V«Vv С(и, v, a),
C2 = VxVy C(x,y, b), C3 = VhVvVh’ С(и, v, w).
A v В v C3, A v C2, В v Ci => С ’ a C ".
Воспользуемся свойством булеана:
С = VxVy3z С(х, у, z) = inf (С ', С ") => С ' л С ".
Тогда соответствующие противоречия для компенсации Ci, С2 и
С3 будут удовлетворены элементом С:
СьС=>0,	С2,С=^0,	С3, С=>0.
После использования этого математического приема доказательство
исходной клаузы становится очевидным.
Пример 6. Доказать истинность клаузы:
VxVy А(х, у, с) v Vy3z А(а, у, z), Зу А(а, у, с) v
v 3z A(b, a, z), VxVz A(x, a, z) v VyVz A(b, y, z) => VxVz A(x, b, z).
Доказательство:
A' = VxVy A(x, у, с), B' = VxVz A(x, a, z), A" = VyVz A(a, y, z),
B" = VyVz A(b, y, z), A = 3y A(a, y, c) = inf (A’, A"),
В = 3z A(b, a, z) = sup (В’, В"), C = VxVz A(x, b, z);
A' v A", inf (A', A") v sup (В', В"), B' v В" => C .
1.5. Операции над предикатами и кванторами
99
Инфимум, супремум, верхняя и нижняя грани здесь частично
конкретизированы; элемент С не влияет на истинность исходной
клаузы. Продолжить доказательство клаузы далее уже не составит
большого труда.
Пример 7. Любая семантика логики высказываний может быть
выражена в предикатной форме. В качестве примера возьмем леген-
ду о кассире и водителе (с. 52). Для нее введем следующие предика-
ты:
А(х) — х говорит правду,
В(х, у) — х находится внутри помещения у,
С(х, z) — х способен слышать звуки z.
Область определения переменных:
х = {а, Ь}, где а — кассир, b — водитель-,
у = {с, ...}, где с — комната отдыха-,
z = {d, ...}, где d — звуки выстрелов.
Содержание посылок и заключений следователя нами уже было
раскрыто в разделе логики высказываний; здесь же приведем только
их предикатную запись и необходимые разъяснения:
Pi = А(а) -э B(Z>, с), Р2 = B(Z>, с) -> Vz C(b, z\
Р3 = Vz C(b, z) -> C(b, d), Р4 = А(Л) -> C(b, d).
В предикатной форме посылка Р3 является тавтологией, так как
квантор существования можно расписать: ,s
Р3 = 3z C(Z>, z) v C(b, d) = C(b, d)v...v C(b, d) = l.
Тавтология не влияет на процедуру установления истинности
клаузы и поэтому может быть удалена из перечня посылок, что мы
и сделаем. Использование кванторов позволяет также несколько
иначе интерпретировать заключение Ср «не все х говорят правду»
или «существует х, который говорит ложь» —
Ci = А(я) -э- А (Л) = А(а) v А(Ь) = Зх А(х) = Vx А(х).
Ложное второе следствие С2 тоже может быть записано через кван-
торы двумя эквивалентными способами: «все х говорят правду» или
«нет ни одного х, который бы обманывал» —
С2 = А(«) a A(Z>) = Vx А(х) = Зх А(х) .
100
1. Логика
Формальная запись всей легенды без Р3 и с заключением С] бу-
дет:
А(«)	В(6, с), В(Л, с) -> Vz C(b, z), А(й) -> C(b, d) => Эх А(х).
Истинность ее установим методом резолюций:
А(й) v B(Z>, с), В(й, с) v Vz С(6, z), А(Ь) v C(b, d), Vx А(х) => 0.
Это противоречие имеет место, так как все клаузы, отвечающие не-
обходимым склейкам, истинны:
В(й, с) => B(Z>, с), Vz C(b, z) C(b, d),
Vx А(х) -=> А(а), Vx А(х) => А(А).
Пример 8. Дана следующая простая легенда:
Если Иван повсюду ходит за Петром, а Петр находится в ин-
ституте, то где же будет находиться Иван?
Р(х, у) — «х находится там, где у »
Составим клаузу:
Vz(P(nemp, z) —> Р(Иван, z)), Р{Петр, институт) => Эг(Р(Иван, z).
По существу, здесь доказывается следующее предложение: сущест-
вует ли такое место z, где находился бы Иван. Преобразуем исход-
ную клаузу в противоречие:
Р_{Петр, z) v Р(Иван, z), Р(Петр, институт), Р(Иван, z) => 0.
Здесь и ниже кванторы общности мы будем опускать, поскольку
кванторы существования отсутствуют. Доказательство клаузы
оформим в виде дерева (рис. 1.26)
Рис. 1.26
При конкретизации z = институт, доказывается, что действительно
1.5. Операции над предикатами и кванторами 101
существует такое место z, в котором мог бы находиться Иван.
Однако метод резолюций можно модифицировать так, чтобы
итогом доказательства был не ноль, а непосредственно ответ в пре-
дикатной форме: Иван находится в институте. Этого можно дос-
тичь, если к тому, что требуется доказать, прибавить через дизъ-
юнкцию противоположное утверждение, образовав таким образом
тавтологию: Р_(Иван, z) v Р(Иван, ?). Тогда дерево логического вы-
вода будет выглядеть так, как это показано на рис. 1.27.
Р(Иван, институт)
Рис. 1.27
Большинство задач с использованием предикатов носит поиско-
вый характер. Поисковые задачи реализуются Йредствами языка ло-
гического программирования ПРОЛОГ. Остановимся на основных
структурных и функциональных элементах этого языка.
Поскольку логика высказываний имеет дело с любыми правильно
построенными предложениями, существует* серьезная опасность
смешения объектных и субъектных предложений, а также предло-
жений, взятых с различных иерархических уровней предметной об-
ласти логики высказываний. Чтобы избежать указанной опасности,
доказываемую задачу оформляют в виде отчетливой структуры
древовидной формы. В качестве корня дерева выбирается некая цель
С, истинность которой необходимо установить. Она всегда фигури-
рует в качестве заголовка правила, которое представляет собой хор-
новскую клаузу. Эти клаузы в данном случае удобно записать в об-
ратном порядке: С <= В], В2, ... Каждая из посылок В/ представляет
собой подцель основной цели С и зависит, в свою очередь, от дру-
гих правил Azy:
В1 <= Ац> А12,, В2 <= A2i, А22,...
102
1. Логика
Впрочем, в роли посылок В/ могут выступать не клаузы, а эле-
ментарные высказывания — факты. Далее посылки Ау опять могут
быть либо заголовками новых правил, либо фактами. Так образует-
ся иерархическая структура древовидной формы. В логических де-
ревьях уже не возникает описанных выше парадоксов.
В ПРОЛОГе реализована процедура унификации, с помощью ко-
торой производится сравнение цели с правилами, а правила сопос-
тавляются с фактами. В результате унификации переменным при-
сваиваются конкретные значения, так что предикат цели становится
истинным фактом в случае положительного исхода. Чтобы понять,
как осуществляется унификация, разберем конкретный пример про-
граммы.
Пример 9. Имеется следующая легенда:
Ивана интересуют компьютеры, книги и автомобили. Петра
интересует нечто, что интересует Ивана, но если это нечто яв-
ляется техникой и если это произведено в России. Известно, что
компьютеры и автомобили — это техника. Кроме того, известно,
что компьютеры производятся в Америке, а автомобили — в Аме-
рике и России. Вопрос: "Что интересует Петра?"
Для удобства пользования программой все предикаты и конкрет-
ные значения переменных не кодируются отдельными буквами, а
приводятся в словах непосредственно, передающих их семантику.
Мы, однако, слева от текста программы приведем символьные вы-
ражения, чтобы далее у нас была возможность продемонстрировать
в аналитической форме метод резолюций, который лежит в основе
функционирования ПРОЛОГа. Будем помнить также, что все
склейки осуществляются с квантором общности, хотя сам квантор
не указывается.
Программа:
1) интерес (Иван, компьютеры).	A(i, а)
2) интерес (Иван, книги).	b)
3) интерес (Иван, автомобили).	A(i, с)
4) интерес (Петр, х) <=	А(р,х)
5) <= интерес (Иван, х).	А(/, х)
6) техника (х),	Т(х)
7) произведено(х, Россия).	Р(х, г)
1.5. Операции над предикатами и кванторами
103
8) техника (компьютеры).	Т(«)
9) техника(автомобили).	Т(с)
40) произведено (компьютеры, Америка).	P(fl, S)
11) произведено (автомобили, Америка).	Р(с, s)
12) произведено (автомобили, Россия).	Р(с, г)
Цель: 13) интерес (Петр, х).	А(р,х)
Данная программа позволяет составить следующее противоречие,	
которое может быть разрешено в рамках метода резолюций:	
А(/, а), A(z, b), A(i, е), Т(а), Т(с), А(р, х) v А(/, х) v
v I(x) v Р(х, г), Р(й, s), Р(с, s), Р(с, г), А(р, х) => 0.
i Ноль можно получить только в том случае, если х = с . Тогда
А(р, с) v А(/, с) v Т(с) v Р(с, г)
нейтрализуется предикатами под номерами 3, 9, 12 и 13. Поиск
нужного значения х как раз и осуществляется через процедуру уни-
фикации, которую можно отследить путем трассировки программы.
Трассировка — это пошаговое протоколирование процесса выпол-
нения программы. Приведем трассировку нашей программы:
1.	В: цель () - 13,
2.	В: интерес (Петр, _) - 1,
3.	П: интерес (Петр, _) - 2,
4.	П: интерес (Петр, _ ) - 3,
5.	У: интерес (Петр, _) - 4,
6.	В: интерес (Иван, _) - 5,
7.	У: интерес (Иван, компьютеры) - 1 у,
8.	В: техника (компьютеры) - 6,
9.	У: техника (компьютеры) - 8,
10.	В: произведено (компьютеры, Россия) - 7,
11.	П: произведено (компьютеры, Россия) - 10,
12.	П: произведено (компьютеры, Россия) - 11,
13.	Н: произведено (компьютеры, Россия) - 12,
14.	П: интерес (Иван, _) - 5,
15.	У: интерес (Иван, книги) - 2 у,
104
1. Логика
16.	В: техника (книги) - 6,
17.	П: техника (книги) - 8,
18.	Н: техника (книги) - 9,
19.	П: интерес (Иван, _) - 5,
20.	У: интерес (Иван, автомобили) - 3,
21.	В: техника (автомобили) - 6,
22.	П: техника (автомобили) - 8,
23.	У: техника (автомобили) - 9,
24.	В: произведено (автомобили, Россия) - 7,
25.	П: произведено (автомобили, Россия) - 10,
26. П: произведено (автомобили, Россия) - И,
27. У: произведено (автомобили, Россия) - 12,
28. У: цель () - 13.
Здесь использованы следующие обозначения: В — вызов нового
предиката; П — повторный вызов предиката; У — успешное завер-
шение процедуры унификации, т.е. вызванный предикат отвечает
какому-либо факту; Н — неуспешное завершение унификации; у —
указатель, который говорит о том, что существует по крайней мере
еще один факт с подходящей унификацией. Символ подчеркивания
на месте х называется анонимной переменной и полностью заменяет
х при трассировке программы. Строка трассировки заканчивается
числом, отвечающим номеру листинга программы.
Для того чтобы ответить на вопрос «Что интересует Петра?» или
в предикатной форме — интерес (Петр, х), ПРОЛОГ-система ищет
факты и заголовки правил, сопоставимые с целью. Поиск всегда на-
чинается с первой строки программы. Первые три факта несопоста-
вимы с целью; далее следует правило, заголовок которого заменяет-
ся на три подцели. В строке 6 вызывается первая подцель. Затем
ПРОЛОГ-система возвращается в начало программы, где ее ожида-
ет «успех». Выставляется указатель «у», к которому система вер-
нется в случае «неуспеха» (он может появиться в другом месте про-
граммы). В строке 8 производится вызов второй подцели — техни-
ка (компьютеры), для которой тут же находится подходящий факт
(строка 9). Однако для третьей подцели - произведено (компьюте-
ры, Россия) — нужного факта не находится (строка 13). Тогда пе-
ременная х освобождается от своей прежней конкретизации (ком-
1.5. Операции над предикатами и кванторами 105
пъютеры) и принимает новое значение — книги. Эта конкретизации
не удовлетворяет вторую подцель (строка 18). Переменная вновь
освобождается и принимает значение автомобили. При этой кон-
кретизации удовлетворены все три подцели, следовательно, и поиск
ответа на основной вопрос заканчивается «успехом»: Петра интере-
суют автомобили, т.е. интерес (Петр, автомобили) является тем
конкретизированным предикатом, при котором обеспечена истин-
ность всей клаузы.
Граф поиска ответа, сформулированного в виде цели интерес
(Петр, х), представлен рис. 1. 28. Бинарное дерево получилось в
итоге подстановок предметных констант на место переменных, пра-
вила заменялись фактами, а цель — подцелями. Трассировка пока-
зывает, что ПРОЛОГ-система не сразу вышла на это дерево склеек.
В пунктах 7, 9 и 15 протокола трассирования также производились
склейки, но они привели к «неуспеху». Скорейшее достижение цели
зависит от правильного выбора стратегии поиска и искусства про-
граммирования .
Рис. 1.28
Практические задания по логике предикатов
1. Установить истинность логического выражения своего вари-
анта путем конкретизации.
1. VxVy Р(х, у) => ЗхЗу Р(х, у),
1.5. Операции над предикатами и кванторами
107
3.	Vy3z В(у, с, z), Vx3y А(х, у, у) v Vx B(b, х, a)v3xVw’ А(х, с, w) v
Vh3m» В(я, c, w) => Bz B(z, c, z) л Vm3w A(m, c, w);
Vu3w В(и, w, w) л 3u A(b, и, и) л Зх B(b, с, х).
4.	Vx3z В(х, z, a), VuBw А(и, w, w) v 3zVw B(w. z, z) v
3zVx A(x, c, z) => Vx3m’ A(x, x, w) a V«3v В(я, v, b);
3v3m> B(b, v, w) л 3z A(b, z, z) a 3vV« B(m, у a).
5.	VxVz A(x, x, z), ЭхЗу B(x, x, y) -> Vz A(z, b, z) => ЗяЗр A(«, v, v)
л 3z B(z, z, z); V«3v А(я, v, и) л Зу В(я, у, a) a Зх A(x, b, c).
6.	A(b, b, c), VvVh’ B(c, v, w), V« В(и, и, а) => Vv A(b, v, b) л
Зя B(c, и, и) л ЗяЗх A(«, x, c);
Vx B(x, с, а) л VyVz A(y, y, z) л Vj B(c, y, y).
7.	V«3h' A(b, я, w) v B(c, c, c) v ЗиЛ/я A(«, c, w) v Vh> B(b, w, w),
Vm’Sw В(и>, и, a) Зя А(я, с, а) л 3v3w B(>y v, w);
3v3h’ B(b, v, и*) л 3z A(z, c, z) л 3xVy B(y, x, «).
8.	VyVz А(я, y, z) v VvSh’ A(m>, v, v), VxVz B(x, a, z) v Vx B(x, c, a)
=> 3u\/z A(h, z, c) a 3x B(x, x, «); 3j B(b, j\ b) л 3j B(c,y «).
9.	Vz A(z, b, z) v Vx B(x, x, x), Vz3x A(«, x, z) v Vm^m A(«, b, w) =>
Sw A(«, w, w) л Vy В(я, у я); Зх А(х, х, с) л ЗуЗи> В(у у w).
10.	VyVzA(fl,y, z) v VwB(fl, w, w) v Vy3xA(x,y, c),
3wVzB(«, u, z) -> 3xVjA(x,y, я) => 3xVz B(x;!z, z) л
Vndz A(z, w, w) a Vw3u B(«, b, w); 3«Vw A(», w, c).
11.	VxVy B(x, y, y) v Vw A(w, w, w), 3xVy B(b, y, x) v
Vv A(b, v, b) v Vu B(«, с, я) => ЗяЗи» B(«, я, и»);
V/<Vv А(я, я, v) л Зи> В(и>, с, w).
12.	VyVz А(я, у, z) v Vw В(и>, b, и>) v Vh3v A(v, я, с), Зх В(х, Ь, с) -»
VyVz A(z,y z) => 3zVx A(z, x, c); 3xVz В(я, x, z) a A(b, b, b) a
Vz3x B(x, b, z) л 3z А(я, z, z).
13.	Зя А(я, b, c) -> (3v3»v B(y v, >v) 3v A(b, у v)),
Зу В(я, у, a) v Vx A(b, x, x) v VxVh B(x, я, b) =>
Vx A(x, x, c) -> 3y3z A(b,y, z); В(я, я, b).
106
1. Логика
1.
2.
2.	Vx3y (А(у) v B(x)) = Зх А(х) v Vx В(х),
3.	Зх (В(х) л А) = Зх В(х) л А,
4.	Зх (А(х) —> В) = Vx А(х) В,
5.	VxVy Р(х, у) => Ух Р(х, х),
6.	Зх (А(х) v В(х)) = Зх А(х) v Зх В(х),
7.	Зх А(х) —> Vx В(х) => Vx (А(х) —> В(х)),
8.	Vx (А(х) —> В) = Зх А(х) —> В,
9.	VxVy (А(х) -> В(у)) = Зх А(х) —> Vx В(х),
10.	Зх (А(х) —> В(х)) = Vx А(х) -» Зх В(х),
11. Vx А(х) v Vx В(х) => Vx (А(х) v В(х)),
12. Зх А(х) v Vx В(х) = 3xVy (А(х) v В(у)),
13. Зх (А —> В(х)) = А —> Зх В(х),
14. VxVy Р(х, у) ==> Vx3y Р(х, у),
15. 3xVy Р(х,у) => ЗхЗу Р(х,у),
16. Vx3y Р(х, у) => ЗхЗу Р(х, у),
17.	3xVy (А(х) v В(у)) = Vy3x (А(х) v В(у)),
18.	Vy Р(«,у) => Vy3x Р(х,у), .
19.	3xVy Р(х, у) => Зх Р(х, /»),
20.	Vx (A v В(х)) = A v Vx В(х),
21.	Vx А(х) v Vx В(х) = VxVy (А(х) v В(у)),
22.	Зх А(х) —> Vx В(х) = VxVy (А(х) —> В(у)),
23.	Vx (А -> В(х)) = А Vx В(х),
24.	Зх Р(х, х) => ЗхЗу Р(х,у),
25.	Vx Р(х, b} => SyVx Р(х,у).
2.	Доказать истинность предикатных клауз методом резолюций.
Vz B(Z>, z, z) v 3v A(b, v, b), У и В(и, и, a) v VyVz А(у,у, z) =>
Зи» В(и>, с, и») л Зн А(м, и, и); Зн>Уи В(й, и, w) л 3zVx В(х, с, z).
3xVz В(х, b, z) -> Ум А(и>, Ь, и>), 3xVz А(х, z, z) v Vx B(a, x, x) v
У и A(a, b, u) => 3vVw A(v, b, w);3uyv B(«, v, v) л Зи A(a, и, с) л
V«3z В(и, b, z) a 3xVz A(x, b, z).
1.5. Операции над предикатами и кванторами 109
VmVv3w А(и, v, и»),
25. ЗуVz В(у, a, z) -> V«Vv А(Л, v, и), VuVv A(v, м, a) v
Vy3«Vz B(w, у, z), Vz B(z, z, z) => Зу B(a, y, V) /\
BxVylz A(x, y, z); BuVvBw A(u, v, w).
3.	Для легенды вашего варианта (с.66, задание 3) введите соот-
ветствующие предикаты, составьте предикатную клаузу и докажите
ее истинность методом резолюций. Если предикаты для вашей
клаузы ввести затруднительно, придумайте новую легенду, для ко-
торой введение предикатов и кванторов было бы возможно.
4.	Задана ПРОЛОГ-программа «Родственные отношения». Необ-
ходимо выполнить трассировку программы отдельно для двух це-
лей, предварительно введя недостающие предикаты и правила. Так
как может существовать несколько значений для переменных х и у,
удовлетворяющих одной и той же цели, при трассировке допустимо
ограничиться одним истинным значением х или у. Кроме того, вви-
ду большого числа повторных вызовов, можно указывать только
первую и последнюю строки повторяющихся вызовов, например:
81. В: муж (Феликс) -^-4^
82. П: муж (Феликс) — 1,
99. П: муж (Феликс) — 18,
100. У: муж (Феликс) —;(19.
ПРОЛОГ-программа «Родственные отношения»
муж (х) —х мужчина.
жен (х) —х женщина.
отец (х, у) —х отец у.
мать (х, у) — х мать у
дочь (х,у)—х дочь у.
сын (х, у)—х сын у.
род (х, у) — х родитель у.
брат (х, у)—х брат у.
сестра (х, у) —х сестра у.
Клаузы:
1) муж (Николай).
3) муж (Степан).
5) муж (Павел).
7) муж (Анатолий).
9)	муж (Роман).
2) муж (Иван).
4) муж (Сергей).
6) муж (Игорь).
8) муж (Иосиф).
10) муж (Кирилл).
108
1. Логика
14.	Vm» B(b, c, rv), Vx3z B(x, b, z), Vz A(«, z, z) => 3« В(и, с, а) л
3м» B(c, b, w) л 3«Vm’ A(Z>, и, и»); 3zVh> A(z, w, z) a
V«3h> B(h, w. h’) a 3w A(w, a, w).
15.	Vv A(o, v, b) v Vv A(c, v, с),Уи A(u, u, b) v Vx3w B(x, w, a) =>
3v3»v B(b, v, и») a 3jVz B(z, y, j);3«3»v A(«, b, и») л 3« A(«, a, b).
16.	3x A(x, b, c) (3xVz B(a, x, z) -> Vz A(b, a, z)),
Vm>3z B(h>, z, w) v 3xVz A(x, z, z) v Vz B(z, c, z) =>
Vz A(a, b, z) —> 3hV»v A(«, a, w); 3w B(c, w, w).
17.	3zVx A(x, b, z), (VxSz A(z, b, x) -> VxVz B(x, a, z)) ->
(3hVj A(j, b, и) л Vx3jVz B(x, j, z)) => V«3»v3v B(«, v, w) л
3«3zVv B(z, u, v).
18.	(V« A(«, a, b) -> 3zVy3x B(z, y, x)) —> (V«3vVh’ B(m, v, >v) v
Vx3j A(x, y, a)), 3м Vv A(m, v, a) => Vu3w3v B(«, v, w) л
3x3yVz B(x, y, z).
19.	3xVj3z B(x, y, z), 3u\/yVx А(и, x, y) v Vx3z B(x, a, z),
Vz3x B(z, a, x) -> V«3vVw B(h, v, w) => 3«3vV»v A(h, v, w) л
ЭрЗиА/и A(w, v, «).
20.	Vx3j A(y, x) —> VxVj3z B(x, y, z), 3«Vv A(«, v) ->
VzVx3j B(x, z, y), Vy3x A(x, j) v 3vV« A(v, и) =>
V/VzSx B(z, у, x) л 3y\/z3x B(y, z, x).
21.	SxV/Vz A(x, y, z) A(«, b, c), Vy\/z A(b,y, z) v 3xVz A(x, a, z),
3x3yVz A(x, y, z) —> A(a, b, d) => Vx3z A(x, 6, z) л VjSz A(a, y, z).
22.	Vx3y3z A(x, z, /) v 3«Vv3m> A(h, v, h>) => 3xVz B(x, b, z),
(V«3v B(«, b, v) 3jVx A(«, x, j)) (Vz3x B(z, b, x) v
VwVz3x A(z, h,x)).
23.	VhVvVh> А(и, v, w) v Vx3j? B(x, b, y) v VuVv C(u, v, b),
3x A(x, a, 6) v Vj3z B(«, y, z) v VvV« C(v, u, a), Vw B(a, b, w) =>
V«3v3w С(и, v, w) л 3x\/y3z C(x,y, z).
24.	3«Vh’ A(m, a, w) v 3vVh> A(A, v, h>) => 3v3h> A(a, v, w) a
Vh3h> A(«, b, w); УиЗрЗи’ А(и, v, w) a A(b, а, (Г); A(b, а, с) л
110
1. Логика
11) муж (Дмитрий).
13) муж (Евгений).
15) муж (Ефим).
17) муж (Вадим).
19) муж (Феликс).
21) жен (Ольга).
23) жен (Жанна).
25) жен (Алиса).
27) жен (Елена).
29) жен (Полина).
31) жен (Наталья).
33) жен (Белла).
35) отец (Николай, Иван).
37) отец (Иван, Ольга).
39) отец (Иван, Татьяна).
41) отец (Павел, Роман).
43) отец (Иосиф, Ирина).
45) отец (Ефим, Полина).
47) отец (Петр, Ефим).
49) отец (Петр, Анна).
51) отец (Дмитрий, Наталья).
53) отец (Олег, Евгений).
55) мать (Екатерина, Елена).
57) мать (Елена, Юрий).
59) мать (Мария, Ольга).
61) мать (Луиза, Евгений).
63) мать (Мария, Сергей).
65) мать (Татьяна, Анатолий).
67) мать (Виктория, Белла).
69) мать (Ольга, Жанна).
71) мать (Жанна, Ирина).
73) мать (Ирина, Кирилл).
12) муж (Максим).
14) муж (Петр).
16) муж (Юрий).
18) муж (Олег).
20) жен (Мария).
22) жен (Татьяна).
24) жен (Ирина).
26) жен (Екатерина).
28) жен (Виктория).
30) жен (Луиза).
32) жен (Барбара).
34) жен (Анна).
36) отец (Степан, Мария).
38) отец (Иван, Сергей).
40) отец (Сергей, Виктория).
42) отец (Сергей, Дмитрий).
44) отец (Ефим, Анатолий).
46) отец (Юрий, Вадим).
48) отец (Петр, Юрий).
50) отец (Максим, Петр).
52) отец (Феликс, Олег).
54) мать (Алиса, Петр).
56) мать (Елена, Ефим).
58) мать (Елена, Анна).
60) мать (Анна, Виктория).
62) мать (Татьяна, Полина).
64) мать (Анна, Олег).
66) мать (Анна, Дмитрий).
68) мать (Мария, Татьяна).
70) мать (Ольга, Павел).
72) мать (Ирина, Игорь).
74)	мать (Барбара, Роман).
1.5. Операции над предикатами и кванторами
111
75)	род (х, у) <= отец (х, у).	76) род (х, у) <= мать (х, у).
77)	сын (х, у) <= род (у, х), муж (х).
78)	дочь (х, у) <= род (у, х), жен (х).
79)	брат(х,у) <= pod(z, x),pod(z,y), муж(х), х^у.
80)	сестра(х, у) <= pod(z, х), pod(z, у), жен(х), х^у.
Цели:
1.	тесть (Феликс, у), племянник (Павел, у).
2.	тетя (Анна, у), внук (х, Алиса).
3.	двоюр. брат (Вадим, у), внучка (х, Сергей).
4.	дядя (Ефим, у), свекровь (Мария, у).
5.	невестка (х, Максим), внук (х, Анна).
6.	племянница (Жанна, у), внук (Роман, у).
7.	теща (Елена, у), внучка (Белла, у).
8.	теща (Мария, у), свекор (х, Елена).
9.	внук (Евгений, у), дядя (Юрий, у)
10.	тетя (Татьяна, у), двоюр. брат (Дмитрий, у).
11.	зять (Петр, у), тетя (Ольга, у).
12.	свекор (Петр, у), внучка (Полина, у)?-
13.	свекровь (х, Луиза), дядя (Сергей, у).
14.	тесть (х, Сергей), двоюр. брат (Вадим,у).
15.	теща (х, Сергей), двоюр. сестра (х, Виктория).
16.	троюр. сестра (х, Белла), зять (Сергей, у).
17.	племянник (Вадим, у), внучка (Ирина, у).
18.	невестка (Анна, у), двоюр. сестра (Виктория, у).
19.	невестка (Елена, у), племянница (Виктория, у).
20.	двоюр. сестра (Жанна, у), племянник (х, Ефим).
21.	троюр. сестра (Наталья, у), свекор (Иван, у).
22.	тесть (Петр, у), троюр. брат (Роман, у).
23.	племянница (х, Сергей), зять (Ефим, у).
24.	внучка (х, Мария), двоюр. сестра (Белла, у).
25.	двоюр. сестра (х, Полина), зять (х, Петр).
112
1. Логика
Разбор решений задач по логике предикатов
1. Установим истинность следующих логических выражений пу-
тем конкретизации. Для варианта 10 имеем следующее тождество:
Зх (А(х) -> В(х)) = Vx А(х) -> Зх В(х).
Доказательство:
Зх (А(х) -> В(х)) = (А(й) -> В(я» v (А(6) -> В(6)) =
= А(й) v В(й) v A(Z>) v В(Л) = (А(й) v А(Л)) v (В(а) v В(Л)) =
= Зх А(х) v Зх В(х) = Vx А(х) Зх В(х).
Для варианта 19 имеем следующую клаузу:
ЗхУу Р(х, у) => Зх P(Z>, х).
Для доказательства ее истинности избавимся от кванторов в обеих
частях клаузы:
(Р(й, а) л Р(й, Z»)) v (Р(Ь, й) л P(b, Z»)) => Р(Ь, й) v Р(й, Ь);
Р(й, a) v Р(й, Ь), Р(й, b) v Р(Л, й), Р(й, й) v P(Z>, Ь), Р(А, й) v
Р(Ь, Ь), Р(Ь, а) => Р(Ь, Ь);
Р(й, й) v Р(й, Ь), Р(й, b) v Р(Л, й), Р(й, й) v Р(7>, 6),Р(й, А) => Р(Ь, Ь).
Последняя клауза верна в силу аксиомы порядка.
2. Решения для второго задания приведем для всех вариантов.
Ответы нетрудно будет отыскать, если знать, каким образом были
составлены логические выражения. Замена в соответствии с прин-
ципом двойственности предполагает одновременную перестановку
местами всех заключений и посылок, а также замену обозначений:
V <=> 3, v <=> л, sup <=> inf, (,) о (;), А о В,
а => Ь, b —г с. с а, х и, у <=> v, zow.
Для варианта 7: из принципа двойственности по варианту 9.
Для варианта 2: В3 v Сь A] v В] => А2; В2 л С2.
А! = A1! v А"] = 3xVz А(х, z, z) v V« А(й, b, и),
А2 = si/p(A'], A"i) = 3vVw A(v, b, w),A}	A2,
В; = MB'2, B"2) = Vx B(fl, x, x),Bj => B2,
B2 = B'2 A B"2 = ShVv В(и, v, v) A V«3z B(h, b, z),
1,5. Операции над предикатами и кванторами 113
В! => В3 = 3xVz В(х, b, Z),
С2 = С2 л С"2 = За	и, с) л 3xVz А(х, b, z),
Ci = infiC'2, С"2) = \/w A(w, b, w).
Для варианта 3: из принципа двойственности по варианту 2.
Для варианта 4’. из принципа двойственности по варианту 10.
Для варианта 5: Аь В3 —> С| => А2 л Вь С'2 л В2 л С"2,
Аь В3 v Сь Аг v Вь В2 v Сг => 0,
А]	= VxVz А(х, х, z), А2 = ЭнЭт А(м, v, v), А] => А2,
В]	= 3z B(z, z, z), B2 = Зу В(а,у, a), Bj => В2,
В3 = ЗхЗу В(х, х, у), В, => В3,
Ci = mftC'2, С"2) = Vz A(z, b, z), C, => C2,
C2 = C'2 л C"2 = Vw3v A(a, v, w) л 3x A(x, b, c).
Для варианта 6: из принципа двойственности по варианту 13.
Для варианта 7: из принципа двойственности по варианту 12.
Для варианта 8'. A'j v А"ь В! v C'i => A2 л C2; B2 л C’*!,
А’^А"ЬВ, vCj, Аг vC2,B2 vC”, =^P, Aj => A2,
A] = A*j v A"] = VyVz А(я,у, z) v Vv3w A(w, v, v),
A2 = 3«Vz А(и, z, c), B[ = VxVz B(x, a, z), B) => B2,
B2 = Sy B(Z>,y, b), C\ = Vx B(x, c,«), C'i => C2,
C2 = 3x B(x, x, a), C"i = Vy B(c,y, a), C"i => C2.
Для варианта 9: по клаузе 8 со следующими обозначениями:
А] = A', vA", = Vz3x А(а, х, z) v V>v3« А(и, b, w),
A2 = Эх A(x, x, c), Bt = Vz A(z, b, z),
B2 = Зи1 A(a, w, w), C2 = ЭтЭю B(y, v, w),
C'j = Vx B(x, x, x), Cj = 3y B(a, y, a).
Для варианта 10: A'( v B[ v A'\, B3 —> C, => B'2 a C2 a B"2; A2,
A'j v Bj v A"b B3 v Cb B'2 v C2 v B"2, A2 => 0,
J_Lz______________________________________________1. Логика
Ai = A\ v A’1! = Vy Vz A(a, y, z) v VyBx A(x, y, c),
A2 = sup(A'b A"]) = 3«Vw А(и, w, c),B; = inf(B'2,B"2) =	B(«, w>
B2 = B'2 л B"2 = 3xVz B(x, z, z) л Vw3« В(и, b, w),
B3 = 3«VzB(«, u, z), A] A2, Bi => B2, Bj => B3,
Cj = 3xVj A(x, y, a\ C2 = Vw3z A(z, w, w), C, => C2.
Для варианта И: из принципа двойственности по варианту 5.
Для варианта 12: по клаузе 10 со следующими обозначениями:
А; = A'] v А", = VyVz А(а, у, z) v V«3v A(v, «, c),
A2 = 3zVx A(z, x, с), B, = Vh1 B(w, b, w), B3 = 3x B(x, b, c),
C] = VyVz A(z, y, z), B2 = B'2 a B"2 = 3xVz В(й, x, z) л Vz3x B(x, b, z),
C2 = C2 л C"2 = A(b, b, b) л 3z A(a, z, z).
Для варианта 13: A2 -> (B2 —> C'J, B] v C"j v D! => A! —> C2; D2,
A2 v Вг v C'b B! v C", v Db А], Сг, D2 0,
Ai = Vx A(x, x, e), A2 = Зи А(и, b, c), A] A2,
B; = 3j Ъ(а,у, a), B2 = 3v3w B(v, v, w), B2 => B2,
C'j = 3v A(b, v, v), C"[ = Vx A(b, x, x), C2 = 3j>3z A(b, y, z),
C'j => C2, C"1 => C2, Dj = VxV« B(x, u, 6), D2 = B(a, a, b), Di => D2.
Для варианта 14: из принципа двойственности по варианту 16.
Для варианта 15: из принципа двойственности по варианту 8.
Для варианта 16: по клаузе 13 со следующими обозначениями:
А; = Vz А(й, b, z), А2 = Зх А(х, b, с), Bi = V»p3z В(и», z, и»),
В2 = 3xVz В(а, х, z), С\ = Vz A(b, a, z), С"3 = 3xVz А(х, z, z),
С2 = 3«V>v А(м, a, w), D| = Vz B(z, c, z), D2 = 3w B(c, w, w).
Для варианта 17:	A, (A —> C) —> (A a BJ => B'2 a B"2,
A, B'2 v B"2, A vBbA vC,C vB] => 0,
A = Vx3z A(z, b, x) = Vz3x A(x, b, z) = VhSj A(y, b, u),
B] = Vx3j^Vz B(x,j, z) = щЯВ’2, B”2) => B’2 a B”2 =
= V«3w3v B(«, v, w) a 3«3zVv B(z, u, v), C = VxVz B(x, a, z).
1.5. Операции над предикатами и кванторами
115
Для варианта 18:	(А —> В,) -> (В, v С), С => В'2 л В"2,
А = Vh А(и, в, b), С = \/хЗу А(х, у, а),
В] =	В"2) = Vw3vVh> В(«, v, w) = VzBjVx B(z, у, x) =>
B'2 л В"2 = V«3w3v В(«, у, w) л Hx3jVz В(х, у, Z)-
Для варианта 19:	С, A] v В, В —> С => А'2 л А"2,
А, = inflA’2, А"2) = 3«VyVx А(«, х, у) => А'2 л А"2 =
= 3m3vVh’ А(и, v, w) л 3v3mA/w A(w, v, и),
В = Vx3z В(х, a, z) = Vz3x B(z, а, х),
С = Vx3j>Vz В(х, у, z) = V«3vVw В(«, у, w).
Для варианта 20:	А —> Сь В —> С,, A v В => С'2 л С"2,
А = Vx3j A(j\ х) = VySx А(х, у), В = 3«Vv А(и, v) = 3vVm А(у, «),
С! - VxVy3z В(х, у, z) = Mz^x2y В(х, z, у) =
= inJ[C2, С"2) => С2 л С"2 = VyVz3x B(z, у, х) л 3jVz3x В(у, z, х).
Для варианта 21:	В2 —> А"ь В1 v Сь С2 -> А\ => А'2 л А"2,
А1! = A(e, b, c),A"i = A(e, b, d),А] = 3z А(«, b, z) =
= inf(A'2, А"2) => А'2 л А”2 = Vx3z А(х. b, z) л Vj’3z А(а,у, z),
В, = VjVz A(b, у, z) => 3xVyVz А(х, у, z) = В2,
С[ = 3xVz А(х, a, z) => 3x3j?Vz А(х.у, = С2.
Для варианта 22:	С v С" => В, (В -» А) —> (В v С),
А = 3jVx А(а, х,у), С = V«Vz3x A(z, и. х) = sup(C, С"),
В = Vx3z В(х, b, z) = V«3v В(н, b, v) = VzSx B(z, b, x),
Vx3j3z A(x, z, >’) v 3«Vv3m» A(«, v, w) = C v С" C.
Для варианта 23:	At v B’] v C, A? v B"i v C", B2 => Ct л C2,
A| => A2, B'j => B2, В",	B2, С => C,
A! = Vz/VvVh’ A(«, y, w), A2 = Vx A(x, a, b),
В’, = Vx3j> B(x, b,y), B", = Vy3z В(я, у, z),
B2 = 3w B(a, b, w), С" C => Cl л C2, C = VwVp C(«, v, b\
116
1. Логика
С" = VvVk C(v, и, а), С = VhVv3w С(«, v, и>),
С] = УнЭуЗи’ С(«, v, w), С2 = 3xVy3z С(х, у, z).
Для варианта 24'. из принципа двойственности по варианту 21.
Для варианта 25: В2 А'ь A"! v Bb D => С л А2; А2,
А'] = V«Vv А(й, v, и), А"! = V«Vv A(v, и, а),
А2 = 3xVy3z А(х, у, z), A\ => А2, А", => А2,
В] = Vy3«Vz В(м,у, z), В2 = 3yVz В(у, a, z), В]	В2,
С = Зу В(а,у, b), D = Vz B(z, z, z), С л А2; А2 = А2.
3.	Для легенды варианта 2 практического задания 3 (с. 66) введем
следующие предикаты:
А(х, у, z) — «х уважает у по причине z»>
В(х,у, г) — «х дает у материальные средства г».
С(х, у, w) — «у возвращает х долг, выраженный в w».
Области определения переменных:
х = {а, Ь,где а — бизнесмен, b — банкир,...
у = {с, d,где с — художник, d — скульптор,...
Z= {e,f,	где е— жалость,/—мастерство, ...
v - {i,j, ...},где i — деньги,] — помощь в организации выставки,
w = {#>	•••}, гДе S — деньги, h — добрая репутация.
Посылки:
Если некоторый х уважает некоторого у по причине некоторого
Z, то первый всегда окажет второму конкретную материальную
помощь, если имеется определенная вероятность того, что у как-
то компенсирует затраты х:
3x3y3zA(x, у, z) -> (ЗхЗуЗи> С(х, у, w) —> VxVyVг В(х, у, г)).
Из приведенной легенды следует, что бизнесмен уважает ху-
дожника за его мастерство: А(а, с,/). Понятно также, что бизнес-
мен будет иметь добрую репутацию мецената за то, что, он помог
художнику в организации выставки его картин: С(«, с, й). Заклю-
чение: бизнесмен поможет художнику организовать выставку его
1.5. Операции над предикатами и кванторами 117
картин: В(«, с, у). Доказать истинность составленной из этих пре-
дикатов клаузы не составит большого труда.
Для легенды варианта 5 практического задания 3 (с. 67) можно
ввести следующие предикаты:
А(х, у) — «х извергает у»,
В — «Высокая урожайность».
C(z) — «Источником блага является z».
Области:
х = {а, Ь,...}, где а — вулкан, b — гроза,...
у = {с, d,...}, где с — пепел, d — вода,...
z = {e,f ...}, где е — Бог,/— природа,...
Посылки:
все х извергают какие-то у: Vx3y А(х, у);
если некоторые х извергают какие-то у, то будет высокая
урожайность'. ЗхЗу А(х, у) —> В ;
высокая урожайность всегда несет благо людям: В —> Vz C(z).
Заключение: то, что источником блага является Господь Бог, не
противоречит исходным посылкам: С(е).
Доказательство очевидно.
4.	Произведем трассировку работы ПРОЛОГ-программы «Родст-
венные отношения» для первой цели варианта 12. Для этого имею-
щуюся программу дополним клаузой:	”
81)	свекор (х, у) <=
82)	отец (х, z),
83)	отец (z, и),
84) мать (у, и).
Цель:	85) свекор (Петр, у).
Трассировка программы:
1.	В: цель () - 85,
2.	В: свекор (Петр, _) - 81,
3.	В: отец (Петр, _) - 82,
118
1. Логика
4.	П: отец (Петр, _) - 35,
15.	П: отец (Петр, _) - 46,
16.	У: отец (Петр, Ефим) - 47у,
17.	В: отец (Ефим, _) - 83,
18.	П: отец (Ефим, _) - 35,
26.	П: отец (Ефим, _) - 43,
27.	У: отец (Ефим, Анатолий) - 44у,
28.	В: мать (_, Анатолий) - 84,
29.	П: мать (_, Анатолий) - 54,
39.	П: мать (_, Анатолий) - 64,
40.	У: мать (Татьяна, Анатолий) - 65у,
41.	У: г/ель () - 85.
Из соответствующих фактов и правил составим противоречие:
свекор (Петр, у) v отец (Петр, г) v отеи (z, и) v мать (у, и),
отец (Петр, Ефим), отец (Ефим, Анатолий),
мать (Татьяна, Анатолий) => 0.
Целевой дизъюнкт нейтрализуется предикатами под номерами
47, 44 и 65, когда переменные принимают конкретные значения:
у = Татьяна, z - Ефим, и = Анатолий.
2. Группы
2.1. Группа и связанные с ней понятия
Линейное преобразование
Линейное преобразование А вектора х в вектор у осуществляется с			
помощью квадратной мг	прицы: 41	«12	-	«1/	
у = Ах, где А =	«21	«22	«2п	(2-1)
	ч«п1 «п2	"•	«nJ	
Если имеет место прямое преобразование (2.1), то должно суще-
ствовать и обратное при условии, что матрица А имеет обратную:
у = А~'х.
Транзитивность линейного преобразования задает операцию ум-
ножения. Пусть даны два линейных преобразования:
z = Ау, у = Вх,
Тогда существует третье преобразование С, Которое получается
путем перемножения А и В, т.е.
Z = Ау = А (Вх) = (АВ)х = Сх.	(2.2)
Выражение (2.2) стало возможным благодаря действию закона
ассоциативности в отношении операторов А и 2?, а также вектора х.
Наряду с выполнением закона (2.2), действуют еще три закона —
один ассоциативности и два дистрибутивности:
А(Лх) = (АЛ)х = (ЛА)х, (А + В)х = Ах + Вх, А(х +у) = Ах + Ау, (2.3)
где Л - действительное или комплексное число.
Предположим, что матрица А в некотором базисе реализует ли-
нейное преобразование (2.1). В новом базисе это преобразование
будет выглядеть иначе:
у'=А'х',	(2.4)
Обозначим через Т матрицу перехода векторов из нового базиса в
старый:
х=Тх', у = Ту',	(2.5)
Подставим оба выражения (2.5) в преобразование (2.1), получим
120
2. Группы
Ту'=АТх',	(2.6)
Умножим (2.6) слева на F1:
у' = Г}АТх',	(2.7)
Сравнивая равенства (2.4) и (2.7), окончательно находим:
А' = Г'АТ.	(2.8)
Линейное преобразование (2.8) называется прямым преобразова-
нием подобия. Про матрицы А нА' говорят, что они подобны. Чтобы
получить обратное преобразование подобия, нужно выражение
(2.8) слева умножить на Т, а справа — на Т \ в результате получим:
А = ТА'ТТ	(2.9)
Прямое и обратное преобразования обладают следующими свой-
ствами, которые мы выпишем здесь только для прямого:
Г1 (АВ)Т= (Г1 АТ)(Г' ВТ),
Т '(А + В)Т = Т 'АТ+Т'ВТ,	(2.10)
ГхА'Т=(Г'АТ)-\ Т'АпТ= (Г'АТ)".
Среди бесчисленного множества векторов х линейного преобра-
зования (2.1) всегда найдется такой, что под действием оператор А
вектор х перейдет в коллинеарный себе, т.е. если координаты пре-
образованного вектора отличаются от исходного только скалярным
множителем Я:
Лх = Ах.	(2.П)
В этом случае ненулевой вектор х называется собственным век-
тором оператора А, а число Л - его собственным значением. Равен-
ство (2.11) эквивалентно системе уравнений:
(Л-ХЕ)х = 0,	(2.12)
которую можно использовать для нахождения собственных векто-
ров х (здесь Е — единичная матрица). Но прежде требуется найти
все собственные значения оператора А. С этой целью составляют
характеристический определитель, который затем разворачивается
в характеристический многочлен —р(Е):
р(Е) = det(^ - ХЕ) = 0,	(2.13)
Корни многочлена (2.13) поочередно подставляются в систему
(2.12). Решая ее отдельно для каждого собственного значения X, на-
ходят соответствующие им собственные векторы х.
Собственные значения и собственные векторы часто ищутся с
2.1. Группа и связанные с ней понятия
121
помощью процедуры диагонализации матрицы А. В результате этой
процедуры все собственные значения оказываются расположенны-
ми на главной диагонали диагональной матрицы Л. Эта диагональ-
ная матрица также является линейным преобразованием типа (2.1),
для которого остаются в силе свойства (2.2), (2.3) и, что особенно
важно для нас сейчас, Л связана с исходной матрицей А преобра-
зованием подобия:
А = Г’ЛГ	(2.14)
В силу транзитивности преобразования подобия, т.е. если
C = S!BS, B = R'AR и RS-T.
то оператор С связан с оператором А преобразованием подобия:
C = B'\R~'AR)S = (RS) 'A(RS) = Т'А Т,
все подобные матрицы имеют одинаковые собственные значения.
Трансформационная матрица Т, фигурирующая в преобразовании
подобия (2.8), и матрица А в линейном преобразовании (2.1) на са-
мом деле выполняют одинаковые функции, т.е. переводят одни век-
торы в другие. Далее мы будем рассматривать замкнутые по умно-
жению группы линейных операторов, представленные в виде конеч-
ной совокупности матриц. С помощью преобразования подобия, в
котором Т пробегает все элементы группы, можно выявить класс
эквивалентных операторов. В этом случае проявится относитель-
ное подобие. Но может получиться так, что рассматриваемая группа
операторов является лишь подгруппой более обширного замкнутого
множества. Тогда преобразование подобия по^более широкой груп-
пе пополнит класс подобных операторов другими элементами. Диа-
гональный оператор Л, не являясь элементом рассматриваемой
группы операторов, может символизировать предельно широкий
класс подобных элементов, не входящих в данную группу операто-
ров. Таким образом, процедура диагонализации матриц позволяет
разбить группу операторов на несколько непересекающихся абсо-
лютных классов подобных элементов с одинаковыми наборами
собственных значений. Абсолютные классы либо совпадают, либо
шире относительных.
В дальнейшем нам часто придется иметь дело с матрицами, по-
этому напомним основные действия с ними. Правило перемножения
матриц продемонстрируем на числовых примерах. Пусть даны две
матрицы —
122
2. Группы
Перемножим их слева направо, как они записаны, получим:
-2>
3 )
1-5 + 2-(-6)	1-(-2) + 2-3 > ( -7 4>
(-3)  5 + 4  (-6) (-3) • (-2) + 4 • У ~ I- 39 isj ‘
Теперь умножим их справа налево —
дА = ( 5 -2Y 1 2> <5-1 + (-2)-(-3) 5-2 + (-2)-4^1 _( 11 2|
1-6 ЗД-З 4j L(-6)• 1 + 3 (-3) (-6)-2 + 3-4j “1-15 оД
Про матрицы А и В говорят, что они не коммутируют, поскольку
АВ Ф В А. Две другие матрицы - Л [ и й, - коммутируют друг с дру-
гом, в чем можно убедиться путем их перемножения:
51=g 6j; А'В^В^.
Рассмотрим преобразование подобия. Пусть исходный базис вы-
ражается через (р, а новый — через <р':
= x,Pl =-j=-(V>1 + ?2 + <p3') =	-(x + y + z),
Ч>2=У’	=
^ = z’<p3=^(2<prb-^ = ^(2-x-y-z)-
Тогда трансформационная матрица Т и обратная ей Т‘ выглядят
следующим образом:
Наша трансформационная матрица Т относится к ортонормиро-
ванным, т.е. возведение любой строки или столбца в квадрат дает
единицу, а перемножение различных строк и столбцов — ноль:
2.1. Группа и связанные с ней понятия
123
Для ортонормированных матриц (а именно с такими мы чаще всего
будем иметь дело) обратная матрица получается путем транспони-
рования исходной.
Пусть, далее, в старом базисе ф действует оператор А, который
переводит координаты х, у, z
в координаты хА , у а , Za •’
Г ° 1 1)
А = 10 1,
U 1 oj
хА = 0-x+l-y+l-z = y+z,
уА = l x+0 - y+l z= x+z,
zA = lx+1- y+0z = x+ y.
В новом базисе оператор А , согласно (2.9), превратится в А':
(2 0 0)
А' = ТАТ'=Л= 0-1 0
0 -1J
В новом базисе действие оператора А' сводится к умножению всех
координат на числа. Фактически, мы нашли собственные значения
матрицы А, поскольку диагональная матрица А' является одновре-
менно матрицей Л:
Всю процедуру трансформации координат можно провести на
уровне преобразования соответствующих векторов, не прибегая в
явном виде к формуле преобразования подобия. В самом деле,
+ гл)=2-[.
1 1
У' =^2^yA~ZA) = ~^^X + Z~X~y>) =
= (-1)'^‘(-’’~г)] = 0’9’1 1 ^2 +0’<9з;
z' = -^-(2-x^-уА-zA)= (-l)[-^-(2x-y-z)] = 0-^l + 0^-1^.
х =Jf(xA+yA
Последние выкладки призваны также показать, что любые преоб-
разования — будь то А, А', Т — не существуют сами по себе, но все-
гда предполагают присутствие базисных векторов.
Обращаем внимание на то, что сумма диагональных элементов
матрицы А (она именуется характером матрицы А) равна сумме
диагональных элементов матрицы А'. И это неслучайно: характеры
подобных матриц всегда одинаковы. Равенство характеров позволя-
124
2, Группы
ет проверить правильность нахождения собственных значений.
Перестановка строк матрицы с одновременной перестановкой со-
ответствующих столбцов (а такая процедура также относится к пре-
образованию подобия) не меняет внутренней природы матрицы. Эта
трансформация не влияет и на собственные значения. Если матрица
А имела собственные значения Л, то эквивалентная ей матрица А'
будет иметь ту же самую матрицу Л, в которой собственные значе-
ния окажутся на новых местах. Перестановка строк и столбцов воз-
можна постольку, поскольку она не меняет связи диагональных
элементов с недиагональными. Пусть в матрице А элемент я2з свя-
зывает элементы а22 и а33 , тогда после нового размещения элемен-
тов на диагонали в матрице А' указанная связь должна сохраниться:
	Й11 Я12 «13		«22 «12 а23		% 0 (Р
А =	«21	«22	«23		«21	а11 «13	, л =	0 Я, 0
	<«31 а32 «33>		<«32	«31	«33,		< 0 0 Я3>
Определение группы и примеры групп
Сейчас мы достаточно подготовлены, чтобы ввести определение
группы. Группой называется операционное множество, в котором
действует процедура умножения и которое подчинено следующим
четырем условиям-.
1)	замкнутости', для каждой пары элементов g и g2 из группы G
однозначно определено произведение gg2 = gi', причем элемент g3
тоже должен обязательно принадлежать группе G, т.е.
g^gi £ G ,gg2=g3 & G .
2)	наличия тождественного элемента е: среди множества эле-
ментов группы G должен найтись такой элемент е, что для всякого g
из G справедливы равенства:
eg = g, ge = g, e,geG.
3)	наличия обратных элементов-, для всякого g из G должен оты-
скаться единственный ему обратный элемент g ’, принадлежащий
G, при умножении на который получился бы тождественный эле-
мент е; суть данного положения математически выражается сле-
дующим образом:
e~ggl, e = g~'g; e,g,g'eG.
4)	ассоциативности', для любых трех элементов g{, g2 и g, из G
справедливо равенство:
2.1. Группа и связанные с ней понятия
125
gl(g2g3) = (g&)g3-
Последнее условие выполняется для квадратных матриц, в чем
можно убедиться путем перемножения, в частности, матриц раз-
мерности 2x2:
(АВ)С =
а2 | (Ь{ Ь2У | (с, с2
а4) \Ь3 Ь4 ) \ с4
а}
а2
= А(ВС) =
O2 J | |	Z?2	^2 | | ^1 ^2
^4 J \\^3 ^4 / 7 ^4 ); \^3 ^4
где
dx = aibic} + a2b3cx + alb2c3 + a2b4c3,
t/2 = яДс2 + a2b3c2 + axb2c4 + a2b4c4,
d3 —a^b^c^ + a4b3cl +a3b2c3 +a4b4c3,
d4 - a3b{c2 + a3b2c4 + a4b3c2 + a4b4c4.
Аналогичная процедура доказательства распространяется на матри-
цы любой размерности.
Ниже приводятся восемь степеней одной и той же матрицы в:
пХ -		-/ГД	а2 = ( ° 7
(л —		У-Л;	
а3 =		~УУ	’	1^0 -1/
а5 -		УУ У-д,	'б _(о /V ’	U 0/
а1 =	ГЬ 7'1	УУ\ Ул)	» _ (1 (Л ’ 1о 1/
Выписанные матрицы составляют операционное множество, под-
чиненное четырем групповым условиям. В роли тождественного
элемента выступает единичная матрица а8 = е. Перед нами комму-
тативная группа А восьмого порядка с таблицей умножения —
табл. 2.1. Субстанционным множеством для нее являются восемь
базисных векторов (первые столбцы матриц), которые переходят
друг в друга под действием преобразований а1'.
126
2. Группы
Таблица 2.1
А	я1	я2	я’	я4	я5	я6	я7	я8
а'	я2	я’	я4	я5	я6	я7	я8	я1
а2	я3	я4	я5	я6	я7	я8	я1	я2
а3	я4	я5	я6	я7	я8	я1	я2	я3
а4	я5	я6	я7	я8	я1	я2	я3	я4
а3	я6	я7	я8	я1	я2	я3	я4	я5
аь	я7	я8	я'	я2	я3	я4	я5	я6
я7	я8	я1	я2	я3	я4	я5	я6	я7
я8	я1	я2	я’	я4	я5	я6	я7	я8
Например, 8 = а1 х 5, 7 = я5 х 2, я3 = а' х а2, или подробно:
"/^2 /л}УУл /л}( 0 ~i
/л Ул) v/л ~Улл~' °.
Подмножества {я2, я4, я6, я8} и {я4, я8} образуют подгруппы в груп-
пе А, поскольку элементы этих подмножеств удовлетворяют всем
необходимым групповым условиям - замкнутости, ассоциативно-
сти, наличию в указанных подмножествах тождественного и обрат-
ных элементов.
Приведем множество В, которое также состоит из восьми матриц,
полученных путем циклического возведения в степень матрицы Ь:
2.1. Группа и связанные с ней понятия 127
№ ~Ы Ua-o Xd-nJ’
Л7 =(~ХГ2 /,8=ЛХ(1-0
\Л'2 Л/2 J	lX(l + O Xd + Oj
Множество В составляет группу, изоморфную группе А, поскольку
ее элементы тоже перемножаются в соответствии с табл. 2.1 (если в
последней символ а заменить на А). В группе В, как и в группе А,
имеются две подгруппы из четырех и двух элементов. Примеча-
тельной особенностью циклической группы В является то, что в ка-
честве тождественного элемента здесь выступает не единичная
матрица, а ничем не примечательная матрица />я = е. Если матрицу,
обозначенную в списке как Ь3 (или Ь5, или h), взять за образующую,
то матрица, обозначенная как А8, по-прежнему будет выполнять
роль тождественного элемента.
Транспонируем матрицы Ь'. Получим новую циклическую груп-
пу С, изоморфную как группе В, так и группе А. Табл. 2.2 демонст-
рирует тоже циклический закон умножения исходных (Л') и транс-
понированных (с") матриц: dk = b' х cJ,
Таблица 2.2
Ь‘ х cJ	с'	c2	c3	c4	c5	c6		c8
b'	d2	d3	d4	d5	d'	d7	d8	d'
Ь2	d3	d4	d5	db	d7	d8	d1	d2
Ь3	d4	ds	d6	d7	d8	dl	d2	d3
Ь4	d5	d6	d7	d8	d	d2	H3	d4
Ь5	d6	d7	d8	d1	d2	d3	d4	d5
ь6	d7	d8	dl	d2	d3	d4	d5	db
ь7	d8	d'	d2	d3	d4	d5	d6	d7
ь8	d'	d2	d3	d4	d5	d6	d7	d8
Однако вся совокупность из 24 матриц В, С, D и даже отдельно 8
матриц D не образуют групп, поскольку в указанных множествах,
во-первых, нет тождественного элемента (во всяком случае общего
на все элементы), во-вторых, произведения элементов этих мно-
жеств равны нулевой матрице, которая, согласно групповым усло-
виям, не может входить в состав групп:
128
2. Группы
с х b = d х d - I 0
1 аким образом, произведение моментов двух групп породило не-
групповое множество D:
Приведем пример некоммутативной группы D} на матрицах, эле-
ментами которых являются числа 0 и 1. Здесь при перемножении
матриц следует учитывать, что сложение осуществляется по mod
(2), т.е. сумма 1 1-1=0. То, что группа D} не коммутативна, видно
из ее таблицы умножения (табл. 2.3), в которой не все элементы
расположены симметрично относительно главной диагонали. При-
чем данная группа относится к весьма распространенному типу
групп, имеющих общепринятое обозначение D3 и названных Клей-
ном группами диэдра'.
D,	0	1	2	3	4	5
0	0	1	т	3	4	5
1	1	0	3	2	5	4
2	2	4	0	5	1	3
3	3	5	1	4	0	Э
4	4	2	5	0	3	1
5	5	3	4	]	2	0
Таблица 2.3	Таблица 2.4
G	0	1	2	3	4	5
0	0	1	2	3	4	5
1	1	4	3	5	0	2
2	2	3	0	1	5	4
3	3	5	1	4	2	0
4	4	0	5	2	1	3
5	5	2	4	0	3	Ш
Если в качестве образующего элемента из выписанных матриц
взять матрицу, обозначенную цифрой 1, а при перемножении мат-
риц использовать сложение по mod (3). когда 1+2 = 0, 2 + 2=1, то
2.1. Группа и связанные с ней понятия 129
получим циклическую, а значит, коммутативную группу с обще-
принятым обозначением — Сь:
Таблица умножения элементов группы С6 (табл. 2.4) уже будет
симметричной относительно своей главной диагонали.
Приведенных примеров, по-видимому, достаточно, чтобы усво-
ить понятие группы. Занимаясь морфологическим анализом групп,
мы позже убедимся, какую исключительно важную роль играет при
этом преобразование подобия или, как часто его называют, транс-
формационное преобразование (2.8). Оно позволяет группу G, со-
стоящую из элементов {..., и, v, w, х,у, z}, разбить на классы эквива-
лентности. Отношение эквивалентности предполагает выполнение
трех законов - рефлексивности (каждый элемент а равен самому
себе: а = а), симметричности (если а - Ь, то и b = а) и транзитив-
ности (если а = b и b = с, то а - с). Все три закона выполняются для
преобразования подобия, которое для группы G с указанными эле-
ментами запишется как
x = z~'yz.	(2.15)
В теории групп в этом случае принято говорить, что элемент х
сопряжен элементу у посредством элемента z. Закон рефлексивно-
сти выполняется для преобразования подобия (2715) в силу непре-
менного существования в группе G такого элемента z, что х = z х
Z, в частности, когда z = е. Для того чтобы убедиться в справедливо-
сти закона симметричности, достаточно преобразование (2.15) ум-
ножить справа на z и слева на z, получим у =’z х z . Но так как
всякий элемент z имеет себе обратный (щ), последнее равенство
можно переписать в нужном нам виде, т.е. как (2.15): у = w 4 х w.
Наконец, проверим выполнение закона транзитивности, кото-
рый в данном случае формулируется следующим образом:
если х - z 4 у z и у-v'uv, то x = w'uw.
Это возможно в силу
•V = - ' J’ ,7 = г1 (г 1 И V) z = (z V ')W(V z) = (у<7) «(у z) = Щ ' и W.
В коммутативных группах каждый элемент образует свой собст-
венный класс сопряженности, так что число классов равно порядку
т.е. числу элементов группы: х = z Ау z = z у - у. Отсюда раз-
биение группы на относительные классы эквивалентности началь-
130
2. Группы
ных пяти порядков заранее предрешено, так как все они коммута-
тивны. Впервые некоммутативность между элементами встречается
в группе диэдра О3, которая состоит, как мы уже видели, из шести
элементов.
Действия с 0,1-матрицами
Двум единицам - положительной (+1) и отрицательной (-1) - по-
ставим в соответствие две 0,1-матрицы размером 2x2:
1 ->
е =
° ,Л|
1 °J
(2.16)
Произведем обычное перемножение этих матриц:
1 °¥° И
° vl1 °)
У q 1,т.е. как 1 х (-!) = -!,
0
1
iYo
1> _ (1
оJ
j I, т.е. как (-1) х (-1) = 1.
Убеждаемся, что при перемножении 0,1-матрицы ведут себя анало-
гично традиционным единицам. Следовательно, замена (2.16) по-
зволяет воссоздать действия с отрицательными числами без исполь-
зования самих отрицательных чисел.
Рассмотрим конкретный числовой пример:
(-1 2W3 -Yf 1 5>
^-3 1) \2 2 ) 1^-7 5/
Всем этим матрицам поставим в соответствие матрицы удвоенной
размерности, в которых нет отрицательных чисел —
О')
5
0
5)
В матричных блоках 2x2 были приняты следующие равенства:
4 3^ = f1 0>l	?_O = _7=f2 9>l = f° 7>|
34J 1^0 1 J’	l92J V °Л
Однако можно принять, что
4 3^ (1 0>|
3 4J 1^0 1J’
2 9> <0
9 2) * 1^7
7>
0/
Если мы не захотим смешивать положительные и отрицательные
числа (подобно тому, как мы не смешиваем мнимую и веществен-
2.1. Группа и связанные с ней понятия
131
ную компоненты комплексного числа) —
4 х е + 3 х (- е)^ 1 х е + 0 х (- е), 2 х г + 9 х (-е) / 0 х е + 7 х (-е),
то каждому числу будет отвечать бесчисленное множество матрич-
ных чисел, а одной операции умножения чисел - бесчисленное
множество матричных умножений. Например, произведению (-3) х
4 = -12, будет соответствовать бесконечный ряд следующих экви-
валентных операций:
(2 5¥б 2'}(22 34^1 (3 б¥5 1W21 33^
¥ 2)\2 б) ~ Ы 22J46 ЗД1 5J ~ Дз 21J’
10 13¥4 0><40 52>
13 1оДо 4J “Д52 40j ’
Обобщенное комплексное число
Теперь обратимся к комплексным числам. Как известно, они строят-
ся на базе четырех единиц:
/0=1, it=i, i2 = -l. i3 = -i,
которые перемножаются в соответствии с табл. 2.5. Индексы базис-
ных единиц подчиняются закону сложения по mod (4). Этот закон
сложения получается путем сдвига каждой последующей строки
таблицы умножения на одну позицию влево относительно каждой
предыдущей строки. Одновременно рассмотримтабл. 2.6, в которой
индексы базисных единиц также циклически сдвинуты на одну по-
зицию вправо. На основе табл. 2.6 построим четыре 0,1-матрицы.
Непосредственным перемножением убеждаемся, что в отношении
этих матриц действует закон умножения, выраженный табл. 2.5:
io = i‘i х i з = 1, i 3 = i i x i 2 = - i и т.д.
Таблица 2.5
						
		io	i i	i 2	i з	
	io	io	i i	i 2	*3	
	i i	i i	i 2	h	i о	
	i 2	*2	h	i о	i i	
	*3	i з	io	i i	i2	
						
Таблица 2.6
	i о	i i	/2	ij
i о	io	i i	/ 2	is
i i	ii	io	i i	I 2
» 2	ii	* 3	i о	i i
i 3	i i	*2	h	i о
132
2. Группы
	(1 0 0 0)		(0 1 0 б'		(0 0 1 0)		(0 0 0 1)
	0 10 0		0 0 10		0 0 0 1		10 0 0
4 =	0 0 10	, ll =	0 0 0 1	5 h =	10 0 0	,4 =	0 10 0
	(о 0 0 1J		(1 0 0 oj		(о 1 0 oj		(о 0 1 oj
(2-17)
Обобщенным комплексным числом х будем называть матрицу
размером 4x4:
х = х0»о + хд) + x2i2 + х3/3 =
х0
Х3
*3
\ Х2
Хо \
х3 х^)
(2-18)
Ч
Формула умножения двух обобщенных комплексных чисел х и у
вытекает из перемножения двух матриц вида (2,18):
= (х0 Уо + Х1 Уз + х2 у2 + х3 у,) io + (х0 у, + Х1 у0 + х2 Уз + х3 у2) ix +
+ (х0у2 + X, У! + х2 у0 + х3 у3) i2 + (ХоУз + хху2 + х2 ух + х3 у0) г3.
При перемножении обобщенных комплексных чисел положи-
тельные и отрицательные компоненты результирующего числа не
перемешиваются. Если принять обычные действия в отношении по-
ложительных и отрицательных единиц, которые мы обозначим как
jo и jb то из (2.19) получим:
(х0 уо + Xj уз + х2 у2 + Xj у,)7о + (х0У1 + xty0 + х2уз + х3 y2)jt -
- (х0 Уг + Х1 у, + Х2 у0 + Хз Уз) jo ~ (Хо Уз + Xj у2 + х2 уз + Х3 у0) j, =
= [(хо - х2)( уо - у2) - (х, - Хз)( у 1 - Уз)] jo +
+ [(х0 - х2)(у, - Уз) + (Х1 - Хз)( Уо - у2)] ji •	(2.20)
Введя новые обозначения для координат традиционных комп-
лексных чисел а и Ь, образованных на базисе j0 и /з, будем иметь
знакомую нам со школы формулу умножения. Итак, обозначим
а0 = Х0-Хг, Oi-Xt-Хз, Ьа=Уо~у2, Ьх=ух-уз,
тогда из (2.20) имеем	(2.21)
(а0 bo - ах bx )jo + (а0 Ьх + ах Ь9)/, = (aojo + tfi/iX^o/o + ^i/i) = ab.
Из равенств (2.18) — (2.21) вытекает возможность представления
в матричной форме действий над комплексными числами. Возьмем
2.1. Группа и связанные с ней понятия
133
для примера два конкретных комплексных числа а и Ь; их произве-
дение дает число с в соответствии с традиционной формулой:
ab = (-3 + /)(1 - 2/) = -1 + 7/ = с.
В матричном представлении будем иметь:
		1	3	oY 1		0	0	Y		Л2	7	3	0^		Y	7	1	0Л	
ab =	0 3	0 0	1 0	3 1	2 0	i 2	0 1	0 0	=	0 3	2 0	7 2	3 7	=	0 i	0 0	7 0	1 7	= c.
	v	3	0	oj	о	0	2	и		1	3	0	2 J		V	1	0	Y	
Здесь для числа с положительное и отрицательное матричные
числа вычитались: 2 - 3 = - 1. При перемножении же обобщенных
комплексных чисел х и у, как уже было сказано, отрицательные и
положительные компоненты не будут перемешиваться, как того
требует формула (2.19):	ху =
= (li’o + 3i'i + 4i2 + 2<э)(2г0 + 3i\ + li2 + 50) = (27io + 310 + 280 + 240) =
	fl	3	4	2^	Y	3	1	5Л		( 27	31	28	24 л	
	2	i	3	4	5	2	3	1		24	27	31	28	
—	4	2	1	3	1	5	2	3	—	28	24	27	31	= Z.
	I3	4	2	V		1	5	2/		<31	28	24	27j	
Геометрический смысл умножения двух комплексных чисел хо-
рошо известен - это поворот в комплексной плоскости. «Враща-
тельность» числам сообщается за счет цикличности базиса (табл.
2.2), которая проявляется еще и в том, что последовательное возве-
дение в степень мнимой единицы даст все четыре типа единиц:
/’ = /, /2 = -1, ? = -/, i4 = /°=l-,	(2.22)
Мнимая единица называется образующей циклического базиса ком-
плексного числа. Любые четыре 0,1-матрицы, обладающие свойст-
вом цикличности в смысле (2.22), будут давать изоморфные струк-
туры. В частности, 0,1-матрицы вида:
	Y 0 0 o'		Y о i o"	
	0 10 0 0 0 10		0 0 0 1 0 10 0	= (10!	=	(2.23)
	ч0 0 0 17		J 0 0 0?	
	Y i о ол		'o 0 0 P	
	10 0 0	o')	0 0 10	_ (0 - P _ .
h =	0 0 0 1	II z	 © ( 1 II 1 II	10 0 0	I1 0 J
	чо 0 1 0;		v0 1 0 0?	
при перемножении дадут табл. 2.5.
134
2. Группы
Базис (2.23) подобен базису (2.17), т.е. одни матрицы можно по-
лучить из других путем перестановки 2-го и 3-го столбцов и соот-
ветствующих строк с одновременным переобозначением базисных
единиц табл. 2.6. Эту процедуру, однако, легко можно осуществить
и с помощью трансформационной матрицы Т, которая участвует в
преобразовании подобия (2.8), для z) будем иметь
z'j = Г ' х z", х Т =
<10 0 0
о
о
fl
О
^0 О О 1J^1 о о
о
о
1
о
о
1
о
о
^0
о
о
1
о
о
1
о
1
о
о
о
о
1
о
о
О
1
О
О
О
о
1
о
о
о
1
о
о
о
1
о
о
о
о
о
о
Матрицы Т и Т' одинаковы, так как они симметричны.
Два базиса 0,1-матриц (2.17) и (2.23) образуют изоморфные
цик-
лические группы, поскольку имеют одну и ту же таблицу умноже-
ния (табл. 2.5). Положительная (+1) и отрицательная (- 1) единицы
и соответствующие им 0,1-матрицы (2.16) также составляют изо-
морфные группы из двух элементов. Можно сконструировать такую
систему «комплексных» чисел, базис которых будет обладать свой-
ством цикличности, но с периодом, равным не 4, а 3, 5, 6, 7, 8 и т.д.
Все они будут группами. Соответствующие таблицы циклических
сдвигов на позицию влево и на позицию вправо с периодом, равным
6, представлены табл. 2.7 и 2.8, в которых выписаны только индек-
сы базисных единиц, так как именно они несут всю информацию о
строении группы. Вид обобщенного комплексного числа на базе
шести единиц и формула их перемножения аналогичны выражени-
ям (2.18) и (2.19); ничего принципиально нового в них нет.
Таблица 2.8
						
0	1	2	3	4	5	
5	0	1	2	3	4	
4	5	0	1	2	3	
3	4	5	0	1	2	
2	3	4	5	0	1	
1	2	3	4	5	0	
						
Гиперкомплексные числа
Базисная 0,1-матрица отрицательного числа получалась путем уд-
воения размерности базисной 0,1-матрицы положительного числа.
Комплексное число получилось за счет удвоения суммы положи-
2.1. Группа и связанные с ней понятия
135
тельного и отрицательного чисел, что можно представить форму-
лой: х = [х(1 е + х> (- е)] + [х2 е + хг (- е)] i .Теперь рассмотрим гипер-
комплексное число, которое называется кватернионом и которое
получается путем удвоения комплексного числа:
х = {[х0 е + Xi (- е)] + [х2 е + х3 (- е)] i} + {[х4 е + х5 (- е)] +
+ [х6 е + х7 (- <?)] i} j = х0 е + х, (- е) +x2i + х} (-1) +
+ xj + xs (-/) + х„ k + х7 (- fc).
Приведем таблицу умножения (табл. 2.9) и таблицу базисных
единиц (табл. 2.10) кватерниона. Сравнивая обе таблицы, можно
заметить, что они отличаются друг от друга только порядком строк.
Отсюда вывод: для построения таблицы базисных 0,1-матриц необ-
ходимо строки таблицы умножения упорядочить так, чтобы все ее
тождественные элементы оказались на главной диагонали. На осно-
ве табл. 2.10 можно выписать полную систему базисных единиц
кватерниона. В частности, для базисной единицы к 0,1-матрица вы-
глядит следующим образом:
Л0 0 0 0 j 0 0 1 О'
0000)0001
0000'0100
к =
0_ 0_ 0_ Од_1_ о_о__0
0010)0000
000 1)0000
0100'0000
J о о о)о о о 0у
(о о;о р
_0-_0j-_l_0 fo Р
0 110.0 о/
1^-1 о I о о/-
Таблица 2.9
е	- e	i	- i	/	-i	к	-к
-е	e	— i	i	-/	i	-к	к
i	- i	- e	e	к	к	-J	
— i	i	e	- e	к	к	j	zL
	-j	к	- к	- е	е	i	- i
-j	j	~k	к	е	- е	- i	i
к	-k		-/	- i	i	и	е
	к		/	i	- i	е	- е
Таблица 2.10
е	- е	i	- i		-j	к	— k
-е	е	- i	i			-к	к
- i	1	е	- e	-k	к	J	zL
i	- i	- е	e	к	i	zl.	j
-j	f	к	-k	e	- e	- i	I
j	-/	-к	к	-e	e	i	- i
- к	к	-j	j	- i	i	e	-e
к	-к	j		i	-i	-e	e
Аналогично сворачиваются все остальные базисные единицы. Пол-
ная система единиц на свернутых матрицах кватерниона имеет вид:
136
2. Группы
0"'|	_ Г- 1 ° ) • - (1
1J’ е f О -1/ to
О J’ J fl о / f/
i’	, ( 0 - i
оД*Д-/ <V
Приведенные матрицы образуют антикоммутативную группу, так
как, согласно табл. 2.9, имеем:
ij = к, ji = -к, jk ~ i, kj = - /, ik = -j, ki = j.
Приведем обобщенную формулу перемножения двух кватернио-
нов х и у, по которой отрицательные и положительные компоненты
числового агрегата уже не перемешиваются:
(хоуо + Х1У1 + Хту-i + Хз.У2 +	+ x5j'4 + W? + Х7Уб) х * +
+ (XOV| + х 1Уо + Х2У2 + Хзуз + х4у4 + х5у5 + ХбУб + Хзу-т) X (- е) +
+ (хоу2 + Х!Уз + Х2У0 + *ЗУ1 + Х^Уб + х5у7 + Х6у5 + х7у4) х i +
+ (хоу3 + Х}у2 + X?J’| + Х3У0 + х4у7 + т5у(, + х6у4 + х7у5) х (- /) +
+ (хоу4 + Х1У5 + хгу7 + ХзУб + Х4У0 + x5yt + Х(У2 + х7уз) *7 +
+ (Хо/5 + -W + Х2У6 + Х3у7 + Х4уI + Х5уо + Хбу3 + Х7у2) Х (“Л +
+ (хоу6 + Xty7 + Х2У4 + ХзУ5 + Х4У3 + х5у2 + ХбУо + x7yi) X к +
+ (х0у7 + Xjy6 + ХтУз + X3V4 + Х4У2 + ХзУз + Х(У! + Х7у0) X (- к) .
e	- e	i	- i	j		к	-k
~ e	e	- i	i			-к	к
i	-i	-e	e	к	-k		j
- i	I	e	- e	~k	к	J	-i
J_	-j	к	-k	i	- i	- e	e
zl	j	-к	к	— i	i	e	- e
к	-k	-/	i	- e	e	~ 1	i
-к	к	/		e	- e	i	
Таблица 2.11
Удвоение комплексного числа можно
понимать иначе, а именно, как уд-
воение длины цикла с 4 до 8. Тогда
новое гиперкомплексное число будет
иметь таблицу умножения в виде
табл. 2.11. Эта таблица умножения
симметрична относительно главной
диагонали, в отличие от предыдущего случая. Это значит, что ум-
ножение двух гиперкомплексных чисел, построенных на базисных
единицах табл. 2.7, будет уже коммутативным.
Две следующие группы базисных единиц —
1 oV-i 0V1 0V-1 0) fi 0V-1 0V1 0Y-1 o>
О 1Д0 -1Д0 -1J\O 1/ fo /До -/До -/До iJ’
2.1. Группа и связанные с ней понятия
137
<1 оД 1 oV-1 OV-1 0> (i О Д / 0V-i ОУ-i O>
Д iДо -1До -1Д0 i/ Д /До -/До -/До //
изоморфны между собой, в чем можно убедиться, если составить
для них таблицы умножения, сохранив при этом приведенный по-
рядок элементов. Далее, если оба ряда матриц перемножить между
собой, возникнут еще четыре матрицы:
( i оД - / о Д- / оД / о
Д 1Д о -1Д о 1 До -1)'
Объединив эти матрицы с двумя предыдущими рядами, получим
новый коммутативный базис из 16 различных матриц.
Процедуру удвоения элементов группы можно продолжить, на-
пример, и так: удвоенные базисные единицы кватерниона —
fl оД-1 оД/ оД-/ 0> Г/ оД-/ оДл оД-A 0>
Д 1До -1До /До -ДД /До -/До. аДо -к/
дополнить либо матрицами вида:
Д	1Д о	-1До	/До	-/> fo	/Д о	-/'До	аД о	-а^
Д	оД-1	о Д/	оД-/	о/Д	оД-/	о Да	оД-a	о /
либо другими матрицами —
(1	оД-i	оД /	оД/	оД/	оД/	о Да	о Да	о Г
Д	-1До	1 До	-/До	-//Д	-/До	-/До	-*Д°	~к/
В обоих случаях получается некоммутативный базис из 16 матриц.
Матричные конструкции
Для практических упражнений удобно воспользоваться системами
из а и b 0,1-матриц 8-го порядка, свернутых до’матриц 4x4, кото-
рые по отдельности образуют некоммутативные подгруппы 8-го
порядка, а все вместе — группу 32-го порядка:
е =
Г1 О О ОЛ
0 10 0
0 0 10
0 0 0 1
-е =
о о о П
0-10
1 о
о о
о
о
-1
Го о 1 оЛ
„	„	0 0 0 1
О ’ "2 " -1 0 0 0
0-100
Го
1
"3-0
О
-1
о
о
о
о
о
о
-1
ОГ
о
1
О
о
-1
о
о
о
о
-1
о
о
о
-1
Го о о
0 0-1
О 1 о
10 0
-1
о
о
о
, «I =
о
о
о
о

2. Группы
0 OIO , 0	! о о
О 00	11,	| (г О (!
। 0 о	0	।	 °’	0	0	0 -1-
(I I (J	О	! (I	О	1 (I I
В ipynnc и подгруппах выполняются следующие соотношения:
а,а,г	а,а, ~ (ц. h,b = - b,b, ~ Д,, «,/>, - /»,<?„
«,• = ~е , />/ - -е . а- = е .6,4 - е .
Группы можно уменьшить, если использовать матрицы 3 х 3 и 2 х
2. или, напротив, увеличивать, если добавлять матрицы 4 х 4, но с
нечетным числом положительных и отрицательных единиц или с
мнимой единицей. Интересные системы образуют матрицы совер-
шенно иной природы:
(О 0 0 [ А
к - 1 о о о J
у(я2 - Ь2) - ~{Ь2 - а2) =
О
О
о
к О
0 0 0 1
О О 1
ООО
-1 о о J
О'
о
1
1	, ч 1	,
— («ч - Z>3) = —(/»;
'О
о
о
о о
о о
о о
О -I
«, Ь2 = -(Ь2	' о о -1 П 0 0-11 110 0 - 1 -1 0 Оу
Матрица, описывающая структуру электромагнитного поля, мо-
жет быть разложена по базисным 0,1-матрицам соответствующих
координат:
0 Н, -Н-, - Е;		0 0 0 О'		[ООО 01
-//,	0 Н} -Е, /Л - н. 0	- Е,		0 0 10 0 -1 0 0	+ ... -г	0 0 0 0 0 0 0 -1
Е, 1. ' Е. 0		U) о 0 0,		,0 0 1 0
Аналогично, составляются агрегаты из а и b матриц:
2.1. Группа и связанные с ней понятия
139
	' Ро	— Рз	Рз Р\ '
	Рз	Ро	- Pi Рз
.1 - рм» + P\U\ 1 р2а2 г рза2 =	~ Рз	Pi	Ро Рз
	1--Р1	-Рз	~ Рз Ро)
	' до	-Яз	Яз ~ Я]'
В = qnb0 + q ib i+ q2b2 + дзЬ3 =	Яз ~Я2	Яо Я\	-Я1 -Яз Яо -Яз
	к <71	Яг	Яз Яо )
Обратимся к вопросу о собственных значениях. Ранее мы показа-
ли, что всякую матрицу z вида:
1 о) <о -А
о 1Н1 о \У-Х + 1У
z =
можно рассматривать в качестве комплексного числа. Несложно
подобрать для z такую трансформационную матрицу Т, чтобы с ее
помощью осуществить преобразование подобия, результатом кото-
рого были бы собственные значения Л - Т ' z Т:
(а,, - а„)‘
—!———• + с/,, а,, = х ± iy
4
Аналогичного результата можно добиться, если для матрицы z со-
ставить характеристический определитель и затем отыскать корни
характеристического уравнения. Для определителя размерности 2 х
2 действует простая формула, которая приводит к предыдущему
результату:
_ Цц + ц22
L2 -	2
Есть и еще один способ нахождения собственных значений. Для
этого с помощью замены (2.16) увеличим матрицу z размерности 2
х 2 до размерности 8x8, при этом все х снабдим индексами, чтобы
можно было видеть, каким образом следует производить переста-
новку строк и столбцов для получения нужной структуры:
(' т + iy 0 )
0
Л — /г
140
2. Группы
У 0	0	0	10	0	у	(Р 0 х2	0	0	1 0	0	0	у 0 0	х3	0	। у	0	0	0 OOOxJOyOO	=	У	0	0	у	|	0	0	0	О' 0	х3	у	0	1	0	0	0	0 у	0	х5	0	1	0	0	0	0 0	у	0	х7!	0	0	0	0
у	0	0	0	| х5	0	0	0 Оу	0	0	1 0	х6	0	0 0	0	у	0	! 0	0	х7	0 чо	0	0	у	!о	0	0	xj		0	0	0	0	|х4	0	>’	0 оооо;ох2оу 0	0	0	0	1 0	у	х6	0 ч 0	0	0	0	1 у	0	0	х8,
Собственными значениями 0,1-матриц являются корни и-ой сте-
пени из единицы. Если какая-либо 0,1-матрица а обращается в еди-
ничную матрицу е при показателе степени, равном, скажем, четы-
рем, то собственными значениями матрицы а будут четыре корня из
единицы. Матрицы, обладающие одинаковыми наборами собствен-
ных значений, подобны между собой, причем они образуют абсо-
лютные классы эквивалентности, хотя сами матрицы могут быть
элементами коммутативных групп, где каждый элемент, как извест-
но, образует свой относительный класс эквивалентности. Приведем
несколько базисных 0,1-матриц и рядом с ними выпишем наборы их
собственных значений:
i'O
1
о
О
1
о
о
о
о
о
о
1
0)-1 (О
о
1
о
-1
о
о
1
о
о
1
о
о
1
о
о
о
-1
-1’
о
о
о
1
о
о
1
о
1
о
о
о
oV 1
1 +Z
О — z
0+1
"о
о
1 о
1
1
о
о
о
о
1
о
о
о
о
1
о
-1
о
о
о
1
О'
о
1
о
о
о
1 10
о |0
о 1 о
О | _0
olo
о
о
о
о
О
о
о
о
о
О
О')
о
о
о
т
о
-1
-1’
"о
о
1
о
О’
О	О	О	О IО	0	1
000011000
чо	о	о	о 10	1	о	о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
10 0 0
0 10 0
о
0 0 0 1
о
о
1
о
1
о
о
о
о
1
о
о
о
о
о
1
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
-1
>> /лО-О
о
о
1
о
о

Таким образом, наборы собственных значений базисных 0,1-матриц
однозначно характеризуют периодичность матрицы.
На основе замены (2.16) можно получить многие важные матема-
тические результаты, которые, быть может, непосредственно и не
связаны с группами. Так, легко показать, что матрицы вида
а 1С ] | ° с ] I ° ~с
- ic b b с b
имеют одинаковые наборы собственных значений, поскольку все
2,1. Группа и связанные с ней понятия
141
три матрицы после разворачивания и соответствующей перестанов-
ки диагональных элементов обнаруживают свою идентичность:
f«l	0	0	о 1	0	0	с	(р		го>	0	0	0	1 С	0	0	(р
0	а2	0	0 1	0	0	0	с		0	а2	0	0	1 0	с	0	0
0	0	<я3	0 1	0	с	0	0		0	0	°3	0	1 0	0	с	0
0	0	0		с	0	0	0		0	0	0	а4	1°	0	0	с
0	0	0	с 1	Ь1	0	0	0	5	с	0	0	0		0	0	0
0	0	С	о 1	0	Ь2	0	0		0	с	0	0	1 0	Ь4	0	0
с	0	0	о !	0	0	Ь3	0		0	0	с	0	1 0	0	й2	0
1°	С	0	0	0 / \	0 аз 0 0 0 0 с 0 0	0 0 «4 0 0 с 0 0 0	^4, 0 0 «1 0 £ 0 0 0 с	о; о 0 1 с о 10 г2 '° 0 \Ьх 0 10 с I 0 0 0	с 0 0 0 0 ь2 0 0	0 0 0 0 с 0 0 Й4 0	0 (р 0 с 0 0 0 0	с	1 0	0	0	bJ
Несложно убедиться в справедливости цепи эквивалентных чи-
словых матриц:
( 4 2Л <4 2> ( 4 -2> (5.5 + 2.'?i	0	>
1^-2/ 7;Д2 7^Д-2 7	0	5.5-2.51)-
Полученные результаты распространяются на матрицы больших
размерностей. Кроме того, следует иметь в виду, что любую эрми-
тову матрицу (Н) можно представить комплексным числом из мат-
риц симметричной (5) и кососимметричной (К) структуры:
(s
H=S + iK = \
\К S )
Завершим этот раздел двумя нетривиальными примерами.
Пример 1. Перемножим две матрицы А и В с вещественными, в
том числе, и отрицательными матричными элементами. Далее, ис-
пользуя замену (2.16), развернем матрицы А и В до матриц Ах и В\ и
вновь их перемножим. Для всех результирующих матриц С, С\ и Сг
найдем собственные значения, которые выпишем в табл. 2.12.
(7.3 -4.5
С = Л-5 =0.5 8.2
1з.4 -2.7
3.1 ) ( 1.8
-5.9 х 3.7
-6.31 1-2.5
-4.4 -5.9)
1.1 -7.6
-6.4 8.7
(-11.26
45.99
( 11.88
-56.91
44.58
22.39
18.10 )
-116.6
-54.35)
142
2. Группы
	7.3 0.0 0.0 4.5 3.1 0.01		Э.8 0.0 0.0 4.4	0.0 5.91
	0.0 7.3 4.5 0.0 0.0 3.1		0.0 1.8 4.4 0.0	5.9 0.0
	0.5 0.0 8.2 0.0 0.0 5.9		3.7 0.0 1.1 0.0	10 7.6
	0.0 0.5 0.0 8.2 5.9 0.0		0.0 3.7 0.0 1.1	7.6 0.0
	3.4 0.0 0.0 2.7 0.0 6.3		0.0 2.5 0.0 6.4 .	8.7 0.0
	0.0 3.4 2.7 0.0 6.3 0.0,		^2.5 0.0 6.4 0.0	0.0 8.7J
	(13.14 24.40 i 0.0 56.91 ! 61.17 43.07^			
	24.40 13.14 56.91	0.0 : 43.07 61.17			
	45.99 0.0 46.78 2.2	0.0 116.6			
—	0.0 45.99: 2.2 46.78: 116.6 0.0			
	21.87 9.99 : 40.32 7.93 ! 20.52 74.87			
	9.99 21.87 : 7.93 4	3.32 ' 74.87 20.52J		
	( 0.0 11.26 11.26 0.0	0.0 56.91 56.91 0.0	18.10 0.0 > 0.0 18.10
С2 =	45.99 0.0 0.0 45.99 11.88	0.0 0.0 11.88	44.58 0.0 0.0 44.58 22.39 0.0 0.0 22.39	0.0 116.6 116.6 0.0 0.0 54.35 54.35 0.0 )
Таблица 2.12
Собственные значения С	Собственные значения Q	Собственные значения С2
-0.0481 + 51.9424/	-0.0481 + 51.9424/	-0.0481 + 51.9424/
- 0.0481 - 51.9424 i	-0.0481 -51.9424/	-0.0481 -51.9424/
-20.9338	-20.9338	-20.9338
—	195.3817	122.02
—	0.4562	16.3986
—	-13.9279	-28.2267
Комментарий к примеру 1. Процедура умножения матриц А на В
и А\ на В\ дала почти один и тот же результат: матрицы С, С, и С2
эквивалентны, на что указывает наличие в их собственных значени-
ях трех одинаковых чисел. Однако есть и неэквивалентная компо-
нента. Это связано с тем, что развернутые матрицы Ст и С2 несут
более обширную информацию, чем матрица С. Поэтому мы гово-
рим, что матрицы С] и С2 подобны (гомоморфные) С.
Пример 2. Пусть дана эрмитова матрица Я; найдем ее собствен-
ные значения Л. Затем комплексную матрицу Я развернем в веще-
ственную матрицу Я с отрицательными элементами и снова най-
дем собственные значения Л2. Наконец, найдем собственные значе-
ния Л2 матрицы Н2 с положительными элементами, полученными
2.1. Группа и связанные с ней понятия
143
по формуле (2.17).
Н =
1.3	4.2-3.7/	0.8/ '			Г-13.69	0.0 о.о
4.2+ 3.7/	-7.6	3.6-7.5/	, Л =	0.0	2.75 0.0	
-0.8/	3.6+ 7.5/	4.9 ,			0.0	0.0 9.54
	( 1.3	4.2	0.0	0.0		3.7 - 0 8^	
	42 - 76 3 6 •-	3.7	0.0	7.5	
Н. =	.0.0. . 3,6. .49	0.8.. -		.7.5. 0,0	
1	0 0 - 3.7 0.8	1.3	4.2	0.0	
	3.7	0.0 - 7.5 :	42 -	7.6 3.6	
	к-0.8 7.5	0.0	0.0	3.6	4.9 ,	
	Л2.75 0.0 0.0 : 0.0	0.0	0.0	
	0.0 2.75 0.0 0.0	0.0	0.0	
Л, =	0.0... 0.0 9.54;.0.0	.0.0	.	.0,0 .	
1	0.0 0.0 0.0 9.54	0.0	0.0	
	0.0 0.0 0.0 ' 0.0	- 13.69	0.0		
	0.0 0.0 0 0:00	0.0	- 13.697	
н2 =
Н.з	0.0	0.0	0.0 '• 4.2	0.0	0.0	3.7 ; 0.0	0.8	0.0	о.о'
0.0	1.3	0.0	о.о; з.7	4.2	0.0	0.0  0.0	00	0.8	0.0
0.0	0.0	1.3	0.0 . 0.0	3.7	4.2	0.0 . 0.0	0.0	0.0	0.8
0.0	0.0	0.0	1.3 ' 0.0	0.0	3.7	4.2 : 0.8	0.0	0.0	0.0
4.2	3.7	0.0	0.0 : 0.0	0.0	7.6	0.0  3.6	0.0	0&	7.5
0.0	42	3.7	о.о; о о	0.0	0.0	7.6 ’ 7.5	3.6	0.0	0.0
0.0	0.0	4.2	3.7 : 7.6	0.0	0.0	0.0 ; 0.0	7.5	3.6	0.0
3.7	0.0	0.0	4.2 ; 0.0	7.6	0.0	0.0 ; 0.0	0.0	7.5	3.6
0.0	0.0	0.0	о.8 : з.б	7.5	0.0	0.0 ' 4.9	0.0	0.0	0.0
08	0.0	0.0	0 0 : 0.0	3.6	7.5	0.0 . 0.0	4.9	0.0	0.0
0.0	0.8	0.0	0.0 0.0	0.0	3.6	7.5 ; 0.0	0.0	4.9	0.0
1^0.0	0.0	0.8	0.0 ’ 7.5	0.0	00	3.6 0.0	0.0	0.0	4.9
Диагональные элементы матрицы Л2 равны:
2.75,	2.75,	9.54,	9.54,	13.69,	13.69,
2.25,	1.82,	1.09,	10.46,	-7.81, 19.79.
Комментарий к примеру 2. Если применительно к Н} воспользо-
ваться заменой (2.16) вместо (2.17), то у вновь получившейся мат-
рицы были бы точно такие же собственные значения, что и у мат-
рицы Н2. Это говорит о том, что для нахождения собственных зна-
чений важна именно связь диагональных элементов с недиагональ-
ными. При переходе от матрицы Н к матрице Н\ собственные зна-
чения просто удвоились, а при переходе от Н\ к Н2 добавились
шесть различных вещественных значений. В примере 1 дополни-
144
2. Группы
тельные собственные значения также появились за счет структур-
ной перестройки матриц, которая привела к положительным мат-
ричным элементам. Таким образом, требование о недопустимости
смешения положительных и отрицательных чисел породило неэк-
вивалентную процедуру. Здесь матрица Н\ изоморфна исходной
матрице Н, когда как матрица только гомоморфна Н.
Подстановки
Комплексное число есть двухкоординатный вектор, кватернион -
четырехкоординатный и т.д. В предыдущем разделе рассматрива-
лись базисные 0,1-матрицы, которые не дают смешиваться различ-
ным координатам числовых агрегатов и одновременно задают закон
перемножения для их базисных единиц. Однако группы 0,1-матриц
образуют все же операционные множества. Соответствующим суб-
станционным множеством для них служат 0,1-векторы-столбцы, о
которых ничего не было сказано. Между тем, для 0,1-матриц ком-
плексного числа (2.17) в качестве базиса могут выступать, напри-
мер, первые столбцы этих матриц. Не оперируя 0,1-векторами, при-
бегнем к более эффективной методике, введя в обращение новый
математический объект — подстановки.
Всякая 0,1-матрица переставляет числа в векторе-столбце, кото-
рый нумерует строки этой матрицы. Например, для базисных еди-
ниц комплексного числа и /2, имеем:
о =
1 о о¥о>
о
о
о
1 о о о/з
1
2
3
о
(о
о
1
О
о 1 oYo
о о 1
0 0 0
1 о о
2
3
о
1
о 1 о
О О 1
1
2
4 =
1
2
3
Следовательно, любой 0,1-матрице можно поставить в соответствие
двухрядную таблицу; в нашем случае это
; =	(0 1	2 3^1	; =	(0 1 2	3)
11	(1 2	3 oj’	h	/ 3 0	1J-
Такие двухрядные таблицы и называются подстановками (алгеб-
раический термин) или перестановками (комбинаторный термин,
которым здесь не используется).
Пусть дана таблица перемножения индексов — табл. 2.13. Тогда
искомая группа G регулярных подстановок, отвечающая столбцам
табл. 2.13, выглядит следующим образом:
2.1. Группа и связанные с ней понятия
145
п_<0 1 2 3 4 5 6 7>
1,0 1234567)
,<0123456 7)
~ 1,2	3	0	1	6	7	4	5 J’
1	2	3	4	5	6	7)
',3	2	1	0	7	6	5	4/
,<0	1	2	3	45	6	7)
°Д4	5	6	7	2	3	0	1)
Таблица 2.13
Подстановки имеют ряд досто-
инств перед 0,1-матрицами: во-
первых, они менее громоздки,
во-вторых, их проще перемно-
жать, в-третьих, существует спе-
циальная запись подстановок,
при которой сразу можно опре-
делить их степень периодично-
го	1	2	3	4	5	6	7)
1^1 03 2 5 476^
<0	1	2	3	4	5	6	7)
1,5	4	7	6	3	2	1	0J’
<01 23456 7)
\6	7	4	5	0	1	2	з)
<01 23456 7)
\7 6541032)
0	1	2	3	4	5	6	7	
1	0	3	2	5	4	7	6	
2	3	0	1	6	7	4	5	
3	2	1	0	7	6	5	4	
4	5	6	7	2	3	3	1	
5	4	7	6	3	2	1	3	
6	7	4	5	0	1	2	0	
7	6	5	4	1	0	0	2	
сти. Имеется теорема, утверждающая, что не существует такой
группы, которую нельзя было бы представить подстановками.
Покажем, как производится перемножение подстановок на при-
мере умножения базисных единиц комплексного числа i) и i2. С этой
цель проследим переход индексов от одной подстановки к другой.
Индекс 0 подстановки i, переходит в 1, а 1 подстановки /2 переходит
в 3; следовательно, в результирующей подстановке"i3 0 будет пере-
ходить сразу в 3. Затем смотрим, во что переходит 1: 1 —> 2 —> 0,
значит, для индекс 1 перейдет в 0. Далее, 2—>3—>1иЗ—>0—>2,
отсюда 2 —> 1 и 3 —> 2. В итоге получим подстановку i3 вида:
; у ; =	<0	1	2	3)<0	1	2	3)	<0	1	2	3)	•
‘	(,1	2	3	0Д2	3	0	1)	1,3	0	1	2j	h
Перемножая всеми возможными способами регулярные подстанов-
ки группы G, убеждаемся, что они дают табл. 2.13.
Легко перемножаются одновременно три или даже большее чис-
ло подстановок, например:
0 1 2 3 4) <0 1 2 3 4) <0 1 2 3 4) = <0
21340) 1,1 4320^4 3210J 1,1
1 2 3 4)
0 2 4 3j’
здесь 0 -> 2 —> 3 -> 1 , т.е. 0 в результирующей подстановке сразу
переходит в 1.
146
2. Группы
Подстановка, не переставляющая ни одного индекса, называется
тождественной (нейтральной или единичной). Она отвечает
единичной матрице:
Тождественными подстановками являются z0 в базисе комплексного
числа и 0 в группе G (табл. 2.13). Две подстановки, дающие при пе-
ремножении тождественную подстановку е, называются взаимно
обратными, в частности, таковыми являются подстановки it и /3
комплексного числа:
• • <0 1 2 3) (0 1 2 3W0 1 2 3) .
11 3 (2 3 1 0) (З 2 0 1) (0 1 2 3)
Подстановки 1, 2, 3 группы G являются взаимно обратными, а для
подстановок 4, 5, 6, 7 обратными служат 6, 7, 4, 5, соответственно.
Чтобы из заданной подстановки а получить взаимно обратную а ~
’, необходимо верхнюю строку подстановки поменять с нижней и
упорядочить индексы верхней строки. Пусть
(0 1 2 3 4 5 6)
“	(0 4 1 3 2 6 5)’
тогда, согласно определению, будем иметь:
_-1 =<0 4 1 3 2 6 5)_(0 1 2 3 4 5 6)
“ (о 1 2 3 4 5 б) (0 243165)’
Внимательный анализ всех подстановок группы G подтверждает эту
взаимосвязь между исходными и обратными подстановками.
Циклическая форма подстановок
Подстановки удобно записывать в циклической форме. При такой
записи индексы, остающиеся на месте, обычно не пишутся. Так,
подстановка а имеет следующие переходы индексов: 0 —> 0, 1 -> 4
—> 2 —> 1, 3 —> 3, 5 -> 6 —> 5. Следовательно, в циклической форме
она запишется следующим образом:
“=(21И1б5) = <0»('42)(3)(56)-
= (0)(142)(3)(56)(7)(8)... = (142)(56).
Считается, что индексы 7, 8 и т.д. так же, как 0 и 3, неявно присут-
2.1. Группа и связанные с ней понятия
147
1 =(01)(23)(45)(67),
3 = (ОЗ)(12)(47)(56),
5 = (0527)(1436),
7 = (0725)(1634).
Безразлично, с какой позиции записывать цикл:
ствуют в подстановке «, но тождественно переходят сами в себя. В
связи с этим тождественную подстановку обозначают через еди-
ничный цикл: е = (0). Регулярные подстановки группы G имеют
следующий циклический вид:
0=(0),
2 - (02)(13)(46)(57),
4 = (0426)(1537),
6 = (0624)(1735),
(у) = (/0, (ijk) = (jki) = (by), (ijkl) = (jkli) = ...,
поэтому
z, = (0123) = (1230) = (2301) = (3012),
a = (421)(56) = (421 )(65) = (214)(56) = (214)(65),
6 = (6240)(1735) = (2406)(3517) = (4062)(3517).
Циклы одной и той же подстановки можно переставлять, т.е. они
коммутируют внутри этой подстановки:
(ijk)(l)(mn) =	=(tnn)(jki){l) ={nm)(kij)(l),
h = (02)(l 3) = (13)(02), a = (142)(56) = (56)(142),
6 = (1735)(0624), 4 = (3715)(426S).
Разложению подстановки на систему независимых циклов отве-
чает разложение этой подстановки на систему коммутирующих
множителей:
•	(0	1	2	ЗД	(0 1	2	3)	(0	1»	2	3)
12	(2	3	0	1J	(2 1	0	3До	3	2	1J ’
я=(0	1	2	3	4	5	6)=(О	1	2	3	4	5	6)(0	1	2	3	4	5	6)
“	Ц)	4	1	3	2	6	5J 1,0	4	1	3	2	5	бДо	1	2	3	4	6	5)’
,	(0 1	2	3	4	5	6	7)
°Дб' 7	4	5	0	1	2	3J
(0	1	2	3	4	5 6	7Y0	1	2	3	4	5	6 7)
(6	1	4	3	0	5 2	7Д	7	2	5	4	1	6 3)’
Элементарная циклическая подстановка, переставляющая два лю-
бых индекса z и j, называется транспозицией. Транспозиция облада-
ет важным свойством: она обратна сама себе, т.е. (zy) = (zy) 1 , так как
е- Любую транспозицию (zy) можно представлять произведе-
нием смежных транспозиций по формуле:
(У) = (Л/-IX/-1,7-2)...	(2.25)
148
2. Группы
... (i + 2, i + l)(z, I + l)(i + 1, i + 2)... (/ - 2,j - 1)(7- l,y);
например (48) = (87)(76)(65)(54)(56)(67)(78). А любой цикл может быть
разложен на транспозиции, причем несколькими способами:
(ijk} = (if)(ik) = (jk)(ji) = (ki)(kj),	(2.26)
(ijkl) = (ij)(ik)(il) = <jk)(jr)(ji) = (j'k)(jli) = (ik)(lif) = (ik)(li)(lj) =...;
например:
a = (142)(56) = (14)(12)(56) = (42)(41)(56) =
= (21)(24)(56) = (56)(14)(12),
6 = (0624)(1735) = (06)(02)(04)(17)(13)(15) =
= (26)(46)(06X35X37)(13) = ...
Справедливость формул (2.25) и (2.26) проверяется путем непо-
средственного перемножения смежных транспозиций.
Если дана подстановка, представленная в циклическом виде, то
обратная ей ищется путем обратной записи последовательности
всех ее индексов:
а = (ghijk)(lmn), а' = (gkjih)(lnm)-,
например,
6 = (0624)(1735), 6' = (0426)(1537) = 4.
Транспозиции, фигурирующие в формулах (2.25) и (2.26), связан-
ные, так как имеют какой-либо общий индекс. Все связанные
транспозиции не коммутируют и не могут быть переставлены мес-
тами. Если а, b и с зависимые транспозиции, циклы или даже целые
подстановки, то имеет место равенство: abc = c b “'а “ В частно-
сти, для связанных транспозиций имеем:
wiy'=(((/хад)-1=1=={ikjty
Более общий случай проиллюстрируем примером. Пусть дано сле-
дующее произведение подстановок: х = са f^b1. Чтобы найти
х ', нужно исходное выражение записать в обратном порядке с про-
тивоположными показателями степеней: х = Ь2/~ъа~'с. Правиль-
ность нахождения обратного выражения проверяется так:
хх1 = (с 'af2b ~2)(b 2f 'a !c) = (c '(a(f :i(b 2b 2)/"3) а ') с) = е.
Используя указанные свойства подстановок, записанных в цик-
лическом виде, можно составить несколько полезных правил, кото-
рые сделают процедуру их перемножения почти механической. Вот
некоторые из таких правил.
При умножении (слева или справа) смежной транспозиции на п-
цикл длина последнего уменьшается на единицу и становится рае-
2.1. Группа и связанные с ней понятия
149
ном п -1:
(abcdef...) х (cd) - (abdef...)(c), (cd) х (abcdef...) = (abcef...)(dy,
в частности,
(325614) х (56) = (32614)(5), (123) х (12) = (23)(1).
Более общее правило звучит так: произвольная транспозиция делит
цикл на два несвязанных подцикла:
(abcdefgh...) х (с/) = (abfgh...)(cde), (cf) х
х (abcdejgh...) = (abcgh...)(fde);
в частности,
(1234) х (13) = (12)(34), (13) х (1234) = (14)(23).
Обратное правило, которое можно было бы назвать правилом склей-
ки двух циклов, проиллюстрированы рис. 2.1.
(vwxyz)(abcdefgh) х (ус) = (vwxcdefghabyz).
Склеивание циклов произойдет и в том случае, если в них имеются
одинаковые индексы, которые удобно записать первыми (рис. 2.2):
(abc...) х (aij...) х (аху...) = (abc...ij...xy...).
При совнадении первых двух индексов склейки уже не получится:
(abed...) х (abij...) = (aij...) х (bed...).
Когда эти индексы в циклах переставлены местами, склейка снова
возможна, но уже с выпадением одного из индексов:
(abed...) х (baij...) = (a)(bcd...ij...).
Рис. 2.1
В некоторых случаях
декремент и число инверсий подстановки а. Декрементом (D) под-
становки а называется разность между числом всех индексов («) и
количеством циклов (т), включая циклы единичной длины. Число
инверсий (7) подсчитывается следующим образом: для каждого ин-
полезными понятиями являются четность,
150
2. Группы
декса нижней строки подстановки а определяется количество стоя-
щих правее его меньших индексов, затем полученные результаты
складываются. Четность подстановки а определяется четностью
числа транспозиций (7), на которые можно разложить подстановку.
Если декремент и число инверсий являются нечетными, то и число
транспозиций также будет нечетным. Пусть задана подстановка:
«= Q 5 1 4 3 7 ^(1)(253)(4)(67) = (1)(25)(23)(4)(67).
В соответствии с определениями имеем:
Т=3, D = n-m = 1 -4 = 3, 7=0 + 3 + 0 + 14-0+1+0 = 5 .
К сказанному добавим: тождественная подстановка е четна, любая
транспозиция — нечетна. Произведение четных подстановок и двух
нечетных всегда даст четную подстановку, а умножение четной и
нечетной — нечетную.
С подстановками можно встретиться и при решении задач при-
кладной математики, в частности, при вычислении определителей.
Вспомним, как ищется определитель третьего порядка:
а
det Л =
°21
«31
«12
«22
«23
%
«23
«зз
ЯпЯгг^ЗЗ + ^13^21^32 + H|2^23^jl ~ ^13^22^31 — ^12^21^33	#цО23^32-
Здесь индексы представляют собой шесть подстановок третьего по-
рядка, причем перед четными подстановками стоит плюс, а перед
нечетными - минус. Аналогично будут вычисляться определители
4-го, 5-го порядков, только число слагаемых будет равно 24, 120.
Комбинаторные свойства подстановок
Ясно, что подстановки тесно связаны с комбинаторикой. Первый
вопрос, который здесь возникает, звучит так: сколько подстановок
можно составить из п индексов? Оказывается, это число равно Ш,
т.е. равно числу перестановок из п индексов. Отсюда получаются
числа: 3! = 6, 4! = 24, 5! = 120. Почему это так, понять несложно.
Представим перестановку п индексов следующей подстановкой:
1 2 3 ....... и -1
< г2 *з ..... *„-i	i„y
Первый индекс можно выбрать п различными способами. После
этого выбор i2 можно осуществить только (п - 1) способами; индекса
2.1. Группа и связанные с ней понятия
151
/, - (п - 2) способами и т.д. Так как выбор каждого индекса i осуще-
ствляется независимо, общее число способов размещения п чисел
по п позициям равно произведению: п(п 1) • (и -2) •...• 3  2 • 1 = п!.
Второй вопрос: сколько классов подстановок различной цикличе-
ской структуры можно составить из п индексов? Ответ на этот во-
прос таков: количество классов определяется числом возможных
разложений п на слагаемые, причем таким образом, чтобы каждое
последующее слагаемое было не больше предыдущего. В частно-
сти: при п = 3 имеем три способа разложения: 3, 21 и 111, так как
3 = 3,	3 = 2 + 1,	3 = 1 + 1 + 1.
Следовательно, может существовать три класса подстановок: (abc),
(ab)(c), (а)(Ь)(с). При п = 5 будет уже семь классов: 5, 41, 32, 311,
221,2111, 11111, с подстановками вида:
(01234), (0123), (012)(34), (034), (12)(34), (14), (0).
Наконец, возникает еще один вопрос комбинаторного характера:
сколько подстановок содержится в классе С,? Для представления
циклической структуры подстановок, образующих класс С„ будем
пользоваться следующей спецификацией'. Cl(kl, k2,... , к„), здесь kt —
число 1 -цйклов, входящих в подстановку из класса С,; к2 — число 2-
циклов, ... , к„ — число «-циклов. Рассмотрим случай п = 4. Тогда
тождественная подстановка е - (0)(1)(2)(3), образующая класс Со,
будет иметь спецификацию С0(4, 0, 0, 0); подстановка (01)(23) из
класса С, имеет спецификацию С,(0, 2, 0, 0); подстановка (0)( 123) из
класса С2 — спецификацию С2(1, 0, 1, 0); подстановка (0123) из
класса С} — спецификацию С,(0, 0, 0, 1); подстановка (0)(1)(23) из
класса С4 — спецификацию С4(2, 1, 0, 0). Таким образом, мы пере-
числили все пять возможных классов для подстановок, состоящих
из четырех индексов.
Так как r-циклов содержит г индексов, а всего индексов п, то для
любого класса С, справедливо равенство: 1 • к} + 2 • к2 + ... + п • кп =
п. Например, для классов С2 и С4 имеем:
1 • к, + 3 -к, = 1-1 + 3-1 = 4, Ь^ + 2-^ = 1-2+ 2-1 =4.
Цикл, длина которого г, можно записать г! способами, причем эле-
менты в каждом из этих циклов можно выбрать гкг способами. Так
как все эти выборы можно сделать независимо, необходимо брать
произведение гкт\. Если помнить, что общее число подстановок
равно п>, то формула для нахождения количества элементов в классе
С, (£,, к2, ..., кп) выглядит следующим образом:
152
2. Группы
С,(Л1Л2,-Лп) = и.'/1А1 -к^2 -к2!...пк* кп!.
В нашем конкретном случае число элементов по классам рас-
пределится следующим образом:
С0(4, 0, 0,0)= 1, С/О, 2, 0, 0) = 3,	С2(1,0, 1,0) = 8,
С3(0, 0,0, 1) = 6,	С4(2, 1,0,0) = 6.
Число элементов во всех пяти классах должно быть равно п!:
4! = 1+ 3 + 8 + 6 + 6 = 24.
Завершим этот раздел демонстрацией одного несложного, но по-
лезного приема. Касается он быстрого отыскания сопряженной под-
становки Ь, если известна исходная а и трансформационная t. Де-
монстрацию проведем на конкретном примере.
Пусть даны следующие подстановки —
а = (052)(134)(67),	t = (0235)( 1467).
Чтобы найти сопряженную относительно а подстановку b необхо-
димо осуществить преобразование подобия, сделав при этом умно-
жение трех подстановок:
ь = Г 'a t = (0532)(1764)х(052)(134)(67)х(0235)(1467) = (032)(17)(456).
Однако подстановку b можно найти без этого утомительного пере-
множения. Для этого нужно на место индексов подстановки а по-
ставить индексы, указанные подстановкой /. Так, первый индекс 0
подстановки а заменяется на индекс 2, поскольку в подстановке t
индекс 0 переходит в 2. Второй индекс 5 подстановки а необходимо
заменить на 0, так как в подстановке t осуществляется переход 5 —>
0 и т.д. В результате получим: b = (203)(456)(71). Сравнивая данную
подстановку с предыдущей, убеждаемся в их тождественности.
2.2. Группы на матрицах и подстановках
Представления групп до 11-го порядка
Тождественный элемент е образует группу первого порядка. Обо-
значим ее как С,. Несмотря на немногочисленность ее элементов,
она, тем не менее, удовлетворяет всем четырем условиям определе-
ния группы; в качестве элементов g, g l, gi, g2, gi будет выступать
один элемент е. Положительная (+1) и отрицательная (-1) единицы
образуют группу второго порядка С2. С группой третьего порядка
(Сз) мы ранее еще не сталкивались. Следующие подстановки и 0,1-
матрицы составят такую группу:
2.2. Группы на матрицах и подстановках
153
0 =
0 1 2)
О 1 2J
(1 ° 0)
0 10,
0 0 1
О I 2)
1 2 oj
Г О 1 °'l
0 0 1,
U ooj
(О 1 2)
I2 0 1J
(о о i>
10 0.
J) 1 °,
Базисные единицы комплексного числа {i0, Б, i}} ранее нами уже
рассматривались. Они образуют группу четвертого порядка С4. Од-
нако это не единственная группа из четырех элементов.
В самом деле, в роли образующего элемента а группы С4, в силу
условия цикличности (2.22), может выступать либо it, либо /3 — в
обоих случаях таблицей умножения является табл. 2.14, что также
отвечает ранее приведенной таблице (табл. 2.5). Но можно в качест-
ве образующих взять две несвязанные транспозиции а и Ь. В этом
случае мы также получим группу четвертого порядка (С2), но кото-
рая уже перемножается в соответствии с табл. 2.15 или, если перей-
ти на язык только индексов, табл. 2.16. Последняя таблица нам так-
же нужна для получения регулярных подстановок'.
е = (0), а = (01)(23), 6 = (02)(13), «6 = (03)(12),
которые будут изоморфны исходным подстановкам группы С2:
е = (0), а = (01), b = (23), ab = (01)(23).
Таблица 2.15
е	а	Ь	ah
а	е	ah	Ъ
ь	ah	е	а
ab	b	а	е
Таблица 2.16
0	1	2	3
1		3	2
2	3	0	1
3	2	1	0
Ситуация окажется несколько иной, если в качестве образующих
одной группы (С2С3) взять несвязанные 2-цикл и 3-цикл (табл. 2.17),
а в качестве образующих другой (С6) — единственный 6-цикл (табл.
2.18). Группы шестого порядка, в отличие от групп четвертого по-
рядка, имеют только одну коммутативную структуру, в чем можно
убедиться, если соответствующие клетки табл. 2.17 и табл. 2.18 за-
кодировать одноименными индексами - табл. 2.19. Таблицы стано-
вятся неразличимыми, т.е. группы изоморфными: С2С3 « С6, что на
элементном уровне позволяет записать следующие соответствия:
« = (012345)	« ab = (01)(234),
а4 = (042)053)	«£ = (234),
а2 = (024)035)	«62 = (243),
а5 = (054321)	« ab1 = (01 )(243),
а} = (03)(14)(25)	«« = (01).
154 2. Группы
Здесь подстановки, получающиеся при последовательном возведе-
нии в степень исходного 6-цикла а, являются не чем иным, как ре-
гулярными подстановками по столбцам табл. 2.19.
Таблица 2.17							Таблица 2.18							Таблица 2.19						
е	ab	ь2	а	b	ab2		е	а	а2	а3	а4	4 а'		0	1	2	3	4	5	
ab	Ь2	а	ь	ab2	е		а	а'	а3	«4	а3	е		1	7	3	4	5	0	
Ь2	а	ь	ab2	е	ab		а2	О'	а4	а5	е	а		2	3	4	5	0	1	
а	ь	ab2	е	ab	Ь2		а3	4 а	а5	е	а			3	4	5	0	1	О	
ь	ab2	е	ab	Ь2	а		а4	o'	е	а	а2	3 а		4	5	0	1	2	3	
ab2	е	ab	Ь2	а	ь		а5	е	а	а2	а3	а4		5	0	1	2	3	4	
Две связанные (т.е. имеющие общий нулевой индекс) транспози-
ции а и b также образуют группу из шести элементов, но уже не-
коммутативную, с принципиально иной, несимметричной относи-
тельно главной диагонали, таблицей умножения (табл. 2.20). По на-
званию геометрической фигуры эта группа называется диэдралъной
и обозначается как D3. Табл. 2.20 удобно переписать в числовых
индексах — табл. 2.21, тогда можно будет составить регулярные
подстановки, которые, очевидно, должны быть изоморфны исход-
ным подстановкам группы диэдра
D3:	а = (01) ~ (01 )(24)(35), Ьа = (021)^(043)(152), aba = (12) » (05)(14)(23), Таблица 2.20						Л = (02) ® (02)(13)(45), ай = (012) = (034)(125), e = (0). Таблица 2.21						
	е	а	Ъ	ab	ba	aba		0	1	2	3	4	5
	а	е	ah	b	aba	ba		1	0	3	2	5	4
	ь	Ьа	е	aba	a	ab		2	4	0	5	1	3
	аЪ	aba	а	ba	e	b		3	5	1	4	0	2
	Ьа	Ь	aba	e	ab	a		4	2	5	0	3	1
	aba	ab	ba	a	b	e		5	3	4	1	2	0
Перейдя к рассмотрению групп шестого порядка, мы пропустили
группу пятого порядка. Однако нетрудно догадаться, что группы,
порядок которых равен простому числу (2, 3, 5, 7, ...) всегда будут
иметь и простое 11иклическое строение. Но чем больше делителей у
порядка группы, пусть даже и одинаковых, тем разнообразнее вари-
анты ее строения. Далее нам предстоит рассмотреть пять различных
групп восьмого порядка. Анализ начнем с коммутативных групп.
2.2. Группы на матрицах и подстановках 155
Поскольку восемь можно представить тремя способами — 1x8,
2x4, 2x2x2, существуют три различных коммутативных груп-
пы: первая (С8) строится с помощью одного-единственного 8-цикла,
вторая (С2С4) — на двух несвязанных 2- и 4-циклах, наконец, третья
(С23) — на трех несвязанных 2-циклах.
С2С4:
а = (0123),
* = (45),
а2 = (02)(13),
я3 = (0321),
ab = (0123)(45),
а2Ь = (02)(13)(45),
а2Ь = (0321)(45);
С8: « = (01234567),
а4 = (04)(15)(26)(37),
а6 = (0642)(1753),
С23:
« = (01),
* = (23),
с = (45),
ab = (01)(23),
«с = (01)(45),
Ьс = (23)(45),
abc = (01)(23)(45);
а2 = (0246)(1357), а3 = (03614725).
а5 = (05274163),
«7 = (07654321).
Из некоммутативных групп 8-ого порядка имеется две: одна об-
ладает симметрией диэдра (D\), другая — кватерниона (£>42). Ди-
эдральная группа получается с помощью 4-цикла и транспозиции,
индексы которой совпадают с индексами 4-цикла (+абл. 2.22).
D\-
е = (0),
« = (0123),
«2 = (02)(13),
а3 = (0321),
* = (02),
ай = йа3 = (01)(23),
а2й = йа2 = (13),
а3й = ha = (03)(12).
Таблица 2.22
е	а	а2	«3	Ь	ab	а2Ь	а3Ь
а	а2	а5	е	ab	а2Ь	а3Ь	b
а1	«3	е	а	а2Ь	а3Ъ	b	ab
а3	е	а	а2	а3Ь	Ь	ab	а2Ь
Ь	а3Ь	а2Ь	ab	е	Т	а2	а
ab	b	а3Ь	а2Ь	а	е		а1
а2Ь	ah	Ь	а3Ь	а2	а	е	а3
а3Ь	а2Ъ	ab	b	а*		а	е
156
2. Группы
Таблица 2.23
е	а	а2	а3	Ь	ь3	ab	ba
а	а2	а3	е	ab	Ьа	b3	b
а2	а3	е	а	Ь3	Ь	ba	ab
а3	е	а	а2	Ьа	ab	b	b3
b	Ьа	ь3	ab		е	a	a3
Ь3	ab	ъ	Ьа	е	а2	a3	a
ab	Ь	Ьа	Ь3	Г" а	а	a2	e
Ьа	Ъ3	ab	Ь	а		e	
Кватернион образуется на
двух 4,4-циклах, несмежные ин-
дексы которых взаимосвязаны
так, что при возведении в квад-
рат получается одна и та же
подстановка — 2,2,2-цикл (табл.
2.23). Для группы диэдра х
_______________________	____ были приведены только три
наиболее характерных соотношения. Однако общее число возмож-
ных соотношений определяется числом перестановок всех степе-
ней образующих а и Ь. Для группы кватерниона полный пере-
чень соотношений выглядит следующим образом: 4
е =	ab4 = Ь°а4 = а2Ь2	=	Ь2а2 = (0),
а =	ab4 = Ь°а = а3Ь2	= Ь2а3 = (0123)(4756),
b2 = а2 = a2b4 = b'a2 = a4b2 = b2a4 = (02)( 13)(45)(67),
а3 =	а3Ъ4 = XX3 = а1Ь2	=	Ь2ах = (0321 )(4657),
Ь =	«°*1 = Ь'а4 = а2Ъ3	=	Ъ3а2 = (0425)( 1637),
а1*1 = /.’я3 = а3Л3 = Ь3а‘ = (0627)(1534),
Ь3 =	в2/»1 = Ъха2 = а4Ь3 = Л3а° = (0524)(1736),
«Зй' = bla' = ab3 = Ь3а3 = (0726)(1435).
Если в качестве образующих а и Ь взять два несвязанных друг с
другом 3-цикла, то получится коммутативная группа С32, которая не
может быть сведена к циклической С9. Последнее означает, что су-
ществуют две различных коммутативных группы девятого порядка'.
С9:	« = (012345678),
а2 = (024681357),
а3 = (036)(147)(258),
а4 = (048372615),
а5 = (051627384),
а6 = (063)(174)(285),
а1 = (075318642),
«8 = (087654321);
: а = (012),
«2 = (021),
* = (345),
Ь2 = (354),
ab = (012)(345),
а2Ь = (021)(345),
ab2 = (012)(354),
а2Ь2 = (021X354).
Некоммутативных групп девятого порядка не существует. По-
добная ситуация напоминает аналогичную ситуацию, сложившуюся
2.2. Группы на матрицах и подстановках
157
с группами четвертого порядка. Действительно, число 9 расклады-
вается на два одинаковых простых множителя — 3x3; число 4
также раскладывается на одинаковые простые множители — 2x2.
Отсюда можно ожидать повторения данной ситуации на таких по-
рядках, как 25 = 5 х 5, 49 = 7 х 7 и т.д.
Число 6 раскладывается на два различных простых множителя —
2x3. Как мы видели, коммутативная группа, построенная на одном
6-цикле, и коммутативная группа, построенная на 2- и 3-циклах,
получились изоморфными. Можно ожидать, что группа десятого
порядка (10 = 2x5) также имеет изоморфные коммутативные груп-
пы С2С5 ® Сю. В самом деле, следующее соответствие целиком под-
тверждает наше предположение.
Сю	* С2С5
« = (0123456789)	««/> = (01 )(23456),
а2 = (02468)(13579)	«А2 = (24635),
«3 = (0369258147)	« ab3 = (01)(25364),
«4 = (04826)(15937)	« А4 = (26543),
а5 = (05)(16)(27)(38)(49) «« = (01),
а6 = (06284)( 17395)	« А = (23456),
а1 = (0741852963)	« ab2 = (01)(24635),
а8 = (08642)(19753)	« А3 = (25364)^
я9 = (0987654321)	« «А4 = (01)(26543).
Кроме коммутативной структуры, группа 9-ого порядка, как и груп-
па 6-ого, при А = (14)(23) имеет диэдральную структуру Dls:
« = (01234), «А = Аа4 = (04)(13), "
а2 = (02413),	а2 А = А«3 = (03)( 12),
а3 = (03142),	a3b = Ьа2 = (02)(34),
а4 = (04321),	а4 А = Аа = (01 )(24).
Теперь мы вправе предположить, что в ряду групп 6-го и 10-го
порядков окажутся также группы 14-го (2 х 7), 22-го (2 х 11) и т.д.
порядков, но не 15-го (3 х 5), поскольку число 15 нечетно, а значит
диэдральной группы для него не существует.
Группа 12-го порядка и групповые закономерности
За простой циклической группой 11-го порядка следуют богатые на
структурные вариации группы 12-го порядка. Если в качестве обра-
зующих коммутативных групп выбрать систему несвязанных цик-
158
2. Группы
лов, отвечающую делителям числа 12, то эти четыре группы распа-
дутся на два класса изоморфных групп: С3С4 ® С|2 и С2С6 .
Изоморфизм существует и среди некоммутативных групп, а имен-
но: С2Р3 ® Dlb, образующими которых будут:
CJX: а = (012),	b = (02),	с = (34),
D'6:	д = (012345),	А = (15)(24).
Чтобы лучше понять сущность изоморфизма, все группы 12-го
порядка сведем в табл. 2.24. В графах d, этой таблицы приведены
результаты деления порядка группы на наименьшее общее кратное
длин циклов, входящих в подстановки. Изоморфные группы имеют
одинаковые наборы этих чисел: для С3С4 и С12 справедлив перечень
чисел db для С2С6 и С2С3 — d2, а для C2D} и D\ — d,.
Таблица 2.24
С|2	С2Сц	di	с2с6	С2С3	d2	c2d3	Dl	t/3	d26	rf4	T	d5
а	ab	1	а	ь	6	abc	a	2	a	4	a	2
	а~Ь2	2	ь	а~с	2	ab	a2	4		4	a2	4
а}	Ь2	3	ь2	а	4	aba	a2	6	b	4	a2	6
а4	а	4	ь2	с	6	ba	«4	4	b2	4	й4	4
(Г	а2Ь	1	ft4	fT	4	bac	й5	2	a2b	4	й5	2
а6	Ь2	6	ь2	ас	2	a	b	6	ba2	4	b	3
а1	ab2	1	ah	а2Ь2с	2	b	ab	6	a2b	4	ab	3
й8	а2	4	ab2	ab	0	c	a2b	6	b2a	4	a2b	3
9 а	b	3	ab'	be	6	ac	a2b	6	ab	6	a2b	3
й10	ab2	2	ab2	a2b	2	be	a4b	6	ba	6	a4b	3
	а2Ь2	1	abs	abc	2	abac	ab2	6	ab2a	6	a5b	3
е	е	12	е	e	12	e	e	12	e	12	e	12
Числа d, отражают одинаковое циклическое строение подстано-
вок. Однако одинаковые ряды d, служат необходимым и достаточ-
ным условием изоморфизма только для коммутативных групп. Для
некоммутативных групп данное условие является лишь необходи-
мым, но далеко не достаточным, в чем мы убедимся, рассматривая
группы 16-го порядка.
В табл. 2.24 приведены элементы и ряды d, еще для двух групп
12-го порядка. Одна из них, Dl с рядом с/4. в чем-то напоминает
группу кватерниона, так как для нее 2-циклы, полученные от обра-
зующих а и А, равны между собой: «' = А2. Таким образом, в подоб-
ных группах (а они встречаются для всех групп, порядок которых
делится на 4) существует одна-единственная подстановка, которая
2.2. Группы на матрицах и подстановках 159
состоит из совокупности транспозиций; все остальные подстановки
имеют цикличность больше двух. Для сравнения £>; с D; приведем
полную систему равенств между элементами последней группы:
Dl: е =	я7>4 =	/>°я6	-	а3Ь2	= й2я3 = (0),
а =	я'Л4 =	Wax	=	я4Л	= /гя4 = (012345)(6789АВ),
а2 =	а2й4 =	£>°я2	=	a3V	= Ь2а5 = (024)(135)(68А)(79В),
Ь2 =	я3 =	a3b4 =	b’a'	=	аьЬ2	= b2a6 = (03)(14)(25)(69)(7А)(8В),
я4 =	a4b4 =	b°d	=	db2 = b2a' = (042)( 153)(6A8)(7B9),
a5 =	a5W =	b°a5	=	a2b2 = b2a2 = (054321)(6BA987),
b =	db' =	bla6	=	я363 = b3d = (O639)(1B48)(2A57),
dbx =	b'a5	=	db = b3a2 = (OB38)(1A47)(2956),
a2bx =	6'я4	=	db3 = b3ax = (0A37)(1946)(285B),
b3 =	db1 = b'a3 = db3 = b3d = (0936)(184B)(275A),
db1 = b'a2 = db3 = bd = (083B)(174A)(2659),
db' = b'a' = db3 = b3a4 = (073A)(1649)(2B58).
Оставшаяся некоммутативная группа 12-го порядка называется
группой тетраэдра (7), поскольку она отвечает группе вращения
этой геометрической фигуры. На примере группы Т проиллюстри-
руем одно, довольно неприятное, свойство определяющих соотно-
шений — их неоднозначность. Для получения конкретных элемен-
тов группы тетраэдра в качестве образующих можно взять два свя-
занных 3-цикла с двумя общими индексами, тогда система опреде-
ляющих соотношений будет выглядеть так:	“
а = (012),	я2/>2 = Ля = (01)(23), ab = b2a2 = (02)(13),
b = (123), db = ab2d' = (031), ab2 = b2a2b = (032),
a2 = (021), b2a = ba2b2 = (013), ba2 = a2b2a = (023),
b2 = (132), a2 ba2 = ab2a = b2ab2 = ba2b = (03)( 12).
Как видим, в этих равенствах фигурируют элементы, составленные
из трех букв. Если в качестве образующих взять 2- и 3-циклы, то в
определяющих соотношениях появятся элементы из четырех букв:
я = (012), ab = ba2ba2 = (132), abab = ba2 = (123),
я2 = (021), a2b2 = baba = (032), a2ba2b = ba = (023),
b = (01)(23), aba = ba'b = (013), a2ba2 = bab =(031),
aba2 = ba2ba = (02)( 13), a2ba = baba2 = (03)( 12).
160 2. Группы
Чтобы исчерпать все двенадцать подстановок комбинациями из
двух букв, нужно выбрать в качестве образующих три 3-цикла. Од-
нако в этом случае возрастет и число возможных равенств — Г.
а = Ьс = (012),	а2с = b a2 = cb = (023), с2 = а2Ь = (031).
b = ас2 = (123),	ab2 = Ь2с2 = с'а = (032),
с = Ь2а = (013), ab = ca = Ь2а2 = а2с2 = (02)(13),
а2 = с2Ь2 = (021), а2Ь2 = b2c =Ьа = с2Ь = (01 )(23),
Ь2 = са2 = (132), ас = cb2 = с2 а2 = Ьс2 = (03)( 12),
Число 12 раскладывается на три простых множителя — 2 х 2 х
3. Зададимся вопросом, не будут ли группы 20-го (2 х 2 х 5), 28-го
(2 х 2 х 7) и т.д. порядков иметь аналогичное строение? Имея перед
собой упорядоченные таблицы умножения размером 12 х 12, можно
попытаться составить аналогичные таблицы размером 20 х 20, 28 х
28 и т.д. Приведем таблицы 12 х 12 для группы диэдра D\ (табл.
2.25), группы типа кватерниона £>f (табл. 2.26) и группы тетраэдра
Составить по аналогии таблицы умножения для коммутативных
групп порядков 20-го, 28-го и т.д. не представляет большой слож-
ности. Повторить приведенные таблицы для групп D’1O, D'}i, D^,
D24 и т.д. тоже нетрудно. Однако придумать таблицы умножения
размером 20 х 20 и 28 х 28, аналогичные табл. 2.27, не удается.
Групп 20-го и 28-го порядков с тетраэдральной структурой просто
2.2. Группы на матрицах и подстановках
161
не существует. В табл. 2.28 приведены возможные варианты групп
интересующих нас порядков. Оказывается, групп 28-го порядка
только четыре, а групп 20-го — пять, однако группа, которую мы
обозначили как D2, далека от тетраэдрального строения. Возникает
вопрос, как вообще осуществляется поиск новых групп?
Каких-то общих методик, срабатывающих во всех возможных
случаях, здесь не существует. Ниже мы продемонстрируем один из
приемов получения определяющих соотношений для новых групп.
Эту демонстрацию сначала проведем на группе Df0, строение кото-
рой нам хорошо известно.
Таблица 2.27
0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	А	В
1	2	0	7	8	6	А	В	9	4	5	3
2	0	1	В	9	А	5	3	4	8	6	7
3	4	5	0	1	2	9	А	В	6	7	8
4	5	3	А	В	9	7	8	6	1	2	0
5	3	4	8	6	7	2	0	1	В	9	А
6	7	8	9	А	В	0	1	2	3	4	5
7	8	6	1	2	0	4	5	3	А	В	9
8	6	7	5	3	4	В	9	А	2	0	1
9	А	В	6	7	8	3	4	5"	г	1	2
А	В	9	4	5	3	1	2	0	7	8	6
В	9	А	2	0	1	8	6	7	5	3	4
Таблица 2.28
Группы 12-го порядка	Группы 20-го порядка	<! Г руппы 28-го порядка
с3с4« с,2	С4С5« Go	С4С7Ъ с28
с2с6« с2 с.	с2с10® c2cs	с,с,4~ с2с7
C2D} * Dl	GA1 « d;0	c2d* » d;4
Dl	Dl0	d14
т	Dl	Отсутствует
Прежде всего, примем фундаментальное условие для образую-
щих аиЬ, касающееся их цикличности: аю = Ь4 -е. Затем, по анало-
гии с группой Z>2, предположим справедливость равенства ab = Ьад.
162
2. Группы
Ясно, что в группе D20 должен существовать элемент abaВ 9 . Пред-
ставим его двумя способами:
aba9 = а х ba9 = а х ab = a2b, aba9 = ab х а9 = Ьа9 ха9- Ьа*.
Следовательно, в искомых соотношениях есть равенство а2Ь = Ьа*.
Далее, возьмем элемент а2Ьа* и снова распишем его двумя способа-
ми, получив новое соотношение а2Ь = Ьа\ Беря подходящие элемен-
ты, в том числе bab, Ь2а2Ь, и представляя их двумя указанными спо-
собами, находим все необходимые соотношения группы О2,, кото-
рые мы сейчас выписывать не будем.
Если бы мы взяли за основу равенство ab - Ьа2, нам не удалось
бы его совместить с кватернионным условием а5 - Ь2, которое неиз-
бежно возникает в группе Д20. Выбранное равенство влечет за собой
соотношение ab2 = Ь2а9. Если принять условия: а10 = Ь4 = е, ab = Ьа2 и
а5 Ь2, число элементов в новой группе возросло бы до 40, что так-
же для нас неприемлемо. Поиск неизвестной группы 20-го порядка
тетраэдрального строения уместно начать с равенства а5 = Ь4 - е.
Далее, наудачу, берем снова равенство ab = Ьа2 и смотрим, что по-
лучится из элемента aba2-.
aba2 = axba2 = ах ab = a2b, aba2 -abx a2 = ba2 x a2 = ba.
Получаем новое равенство a2b = ba. Затем ищем равенство, отве-
чающее элементу а2Ьа. Продолжая аналогичным образом, находим
все элементы новой группы, которая, однако, совершенно не похо-
жа на группу Т. Обозначив ее как Dt (общепринятой системы обо-
значений для всех групп пока не выработано), выпишем все ее эле-
менты, вместе с определяющими соотношениями D2:
а,	ь,	ab = Ьа2,	ab2 = Ь2а\	ab2 - Ь2а2,
а2,	ь2,	а2Ь = Ьа,	а2Ь2 = Ь2а2,	а2Ь2 = Ьа4,
а2,	ь2,	а2Ь = й«4,	а2Ь2 - Ь2а2,	а2Ь2 = Ь2а,
а\	е,	а’Ь = Ьа2,	а4Ь2 = Ь2а,	а4Ь2 - Ь2а2.
В данном случае нам повезло: выбор какого-то нового исходного
равенства, например, аЬ = Ьа4, приведет к изоморфной группе. Дру-
гих же групп 20-го порядка, кроме перечисленных в табл. 2.28, не
существует.
2.2. Группы на матрицах и подстановках 163
Итак, какой-либо универсальной формулы, по которой можно за-
ранее рассчитать число групп и их структурную организацию для
любого наперед заданного порядка, не существует, хотя имеются
вполне закономерные ряды групп, порядки которых удовлетворяют
определенной системе делителей, в частности:
{4 = 2x2, 9 = 3 х 3,25 = 5x5,...},
{6 = 2 х 3, 10 = 2 х 5, 14 = 2 х 7,...}.
Только что рассмотренная группа Df попадает в ряд групп, поря-
док которых определяется формулой: п = (р - 1) д, где р - простое
число. Так получается последовательность:
{2 = 1x2, 6 = 2x3, 20 = 4 х 5, 42 = 6 х 7,...}.
Одни последовательности возрастают медленно, как например,
ряды групп диэдра и кватерниона:
{2, 4, 6, 8, 10, 12,..., п = 2-к], {4, 8, 12, 16, 20,..., п = 4-к},
другие стремительно, как например, ряд из симметрических групп:
{2, 6, 24, 120, 720,... ,п = к!}.
Последовательности пересекаются друг с другом. В точках пересе-
чения могут получаться изоморфные группы или совершенно от-
личные — предсказывать здесь что-либо трудно. Существуют такие
порядки, где пересекается множество рядов с самъгми различными
организационными принципами. Этими точками пересечения явля-
ются группы порядков 16, 24, 32, 48, 64 и т.д. Так, для 64-го поряд-
ка имеется 267 структурных разновидностей. Дать определяющие
соотношения всем группам, даже для такого достаточно скромного
порядка, как 64-й, представляется весьма непростой задачей.
Отношение эквивалентности
Изоморфизм — одна из основных форм эквивалентности. Две груп-
пы А и В считаются изоморфными, если можно найти такую транс-
формационную подстановку I, не принадлежащую ни А, ни В, что
все элемента а трансформируются в элементы Ь:
b = tat	(2.27)
В этом случае группы А и В имеют одинаковые таблицы умноже-
ния. Однако идентичность таблиц является не всегда очевидным
фактом.
164
2. Группы
0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	В
1	A	9	0	В	4	2	5	6	8	3	7
2	5	7	В	A	9	3	0	4	1	8	6
3	0	6	A	5	7	8	В	9	2	1	4
4	6	A	9	2	3	5	8	0	В	7	1
5	8	1	2	6	A	7	9	3	4	В	0
6	7	В	4	1	2	A	3	5	0	9	8
7	9	0	6	8	1	В	2	A	5	4	3
8	В	4	5	0	6	1	A	7	3	2	9
9	4	5	7	3	8	0	1	В	A	6	2
A	3	8	1	7	В	9	4	2	6	0	5
В	2	3	8	9	0	4	6	1	7	5	A
											
Таблица 2.29
Пусть дана конкретная таб-
лица умножения — табл. 2.29.
Поскольку она не симметрич-
на относительно главной диа-
гонали и имеет на ней два то-
ждественных элемента, мож-
но предположить, что группа,
которую представляет табл.
2.29, по-видимому, является
группой Dl. Следовательно,
нужно установить идентичность табл. 2.29 и 2.26. С этой целью из
табл. 2.29 выберем, причем достаточно произвольно, регулярную
подстановку 4 = (042А78)(1В9356). Этой подстановке поставим в со-
ответствие упорядоченную подстановку 1 = (012345) (6789АВ) эк-
вивалентной циклической структуры, взятой из табл. 2.26.
Теперь воспользуемся следующим приемом. Считаем подстанов-
ку 1 верхней строкой трансформационной подстановки Z, а подста-
новку 4 ее нижней строкой:
4» i 2 Л 7 8 ' S 9 ! 1 9 = <0Ю47В6Х2ХЗА589).
Далее запишем обратное к (2.27) преобразование подобия —
a-tbt'.
Подставим вместо b регулярные подстановки из табл. 2.29:
6= Z(01A3)(258B)(4679) t
2 = t (027)(195)(36В)(4А8) t_1
9 = t (03А1)(2В85)(4976) Г1
1 = / (O42A78)(1B9356) Z-1
A = t (05AB)(1437)(2986) t-1
В = t (06A9)(1238)(457B) Г1
4 = t (072)(159)(3B6)(48A) t
5= t (087A24)(16539B) t~l
8 = Z(09A6)(1832)(4B75) Z"1
3 =z (0A)(13)(28)(47)(5B)(69) f'
7 = Z(0BA5)(1734)(2689) Z-1
= (O639)(1B48)(2A57),
= (024)(135)(68A)(79B),
= (0936)(184B)(275A),
= (012345)(6789AB),
= (0A37)(1946)(285B),
= (OB38)(1A47)(2956),
= (042)(153)(6A8)(7B9),
= (054321)(6BA987),
= (083B)(174A)(2659),
= (03)(14)(25)(69)(7A)(8B),
= (073A)(1649)(2B58).
2.2. Группы на матрицах и подстановках
165
Строя по вновь полученным подстановкам а таблицу умножения,
убеждаемся, что она совпадает с табл. 2.26. Следовательно, табл.
2.29 есть не что иное, как таблица умножения группы Df.
Изоморфизм является важной, но не единственной формой экви-
валентности. Целью, даже поверхностного, морфологического ана-
лиза группы служит установление отношения эквивалентности ме-
жду отдельными ее элементами. Всякое отношение эквивалентно-
сти, как мы уже знаем, разбивает группу на классы эквивалентных
элементов. По причине коммутативности тождественного элемента
е со всеми другими элементами группы, он всегда образует свой
собственный класс. В группе может находиться несколько таких
элементов, которые, как и тождественный элемент, коммутируют со
всеми элементами группы. Тогда каждый из них будет образовы-
вать свой класс эквивалентности. Совокупность таких элементов
называется центром группы. Центр группы G, который обозначим
через Z, всегда образует подгруппу в группе G. В коммутативных
группах получается, что все элементы центральны.
Подгруппы G, группы G делятся на собственные и несобствен-
ные. К несобственным относятся подгруппа тождественного эле-
мента Go и сама группа G, все остальные подгруппы — собствен-
ные. Индексом подгруппы G, в группе G, что обозначается как | G :
G, |, называется частное от деления порядка группы G (обозначает-
ся | G |) на порядок подгруппы | G,-1. В этом случае выполняются
элементарные числовые соотношения:
|G:Gj = |g|/|g,|, |g,| = |g|/|g.’G,|, IQ,| = |G:G,-| x|g,|,
(путаницы между терминами индекс подгруппы и индекс подста-
новки обычно не возникает). Индекс всегда является целым числом.
Это значит, что порядок подгруппы должен быть одним из делите-
лей порядка группы. Поэтому, в частности, в группе шестого поряд-
ка не может быть подгрупп четвертого или пятого порядков. Но из
факта существования того или иного делителя еще не следует, что
обязательно должна существовать соответствующая ему подгруппа.
Например, в группе тетраэдра Т нет подгрупп шестого порядка.
Вообще говоря, подгруппы являются объектами морфологическо-
го анализа, с точки зрения отношения порядка, которым мы сейчас
подробно заниматься не будем. Вместе с тем отметим, что эквива-
лентность элементов тесно связана с их иерархией, поэтому нередко
оба вида отношений трудно рассматривать раздельно. Наш анализ, с
166 2. Группы
точки зрения эквивалентности, начнем с первой некоммутативной
группы диэдра, которую мы запишем как £>3-
0 = (0) = е, 1=(01) = в, 2 = (02) = 6,
3 = (12) = aba = bab, 4 = (012) = ab, 5 = (021) = ba.
Элемент 1 трансформируется по элементам D3 следующим образом:
0-1-0~’ = еае = а = 1,
1-1-1 4 = ааа = а = 1,
2-1-2“’ = bab = bab = 3,
3-1-3 1 = abaabab = b = 2,
4-1-4’1 = ababa = b = 2,
5-1-5 4 = ba a ab - bab = 3.
Отсюда видно, что элемент 1 сопряжен с элементами 2 и 3, т.е. в
группе Z)3 имеется класс эквивалентности —
Ci ={1, 2, 3}={«, Ь, Л«6}={(01), (02), (12)},
(обозначение классов эквивалентности и коммутативных групп
совпадают, но путаницы не возникает, так как классы рассматрива-
ются только в некоммутативных группах). Если любой из этих эле-
ментов подвергнуть трансформации, он не даст в результате эле-
менты 4 и 5, поскольку последние объединены в свой класс эквива-
лентности -—
0-4-0 1 = e ab e ~ab = 4,	3-4-3 1 = aba ab bab = ba = 5,
1-4-1-1 = a ab a -Ьа = 5,	4-4-4 1 = ab ab ba ~ab = 4,
2-4-2 1 =b ab b = ba = 5,
Таким образом, появился класс
5-4-5 1 = baabab = ab = 4.
С2 ={4, 5}={аЬ, 6а}={(012), (021)}.
Кроме того, имеется класс
Со={О}=И={(О)}.
Итак, группа диэдра D3 разбивается на три класса эквивалентности
— Со, Ci, С2, что согласуется с нашими комбинаторными рассужде-
ниями.
Классы эквивалентности можно перемножать. Произведение
классов С, х Cj есть множество произведений элементов, взятых из
С{ и Cj, причем совпадающие элементы не опускаются. В результате
перемножения целых классов всегда получаются тоже целое число
классов:
С2х С2 = {4, 5}х {4, 5} = {5, 0, 0, 4} = 2-С0 + С2.
Ci х С2 = {1, 2, 3}х {4, 5} = {2, 3, 3, 1, 1, 2} = 2-Сь
2.2. Группы на матрицах и подстановках
167
С] х Ci = {1, 2, 3}х {1,2, 3} = {0, 4, 5, 5, 0, 4, 4, 5, 0} = 3-С0 + ЗС2.
В группе £>з содержатся следующие несобственные подгруппы
G0={0}, G = {0,1, 2, 3, 4, 5}.
Три транспозиции образуют три собственных подгруппы второго
порядка
Gi = {0, 1}, G2 = {0, 2}, G3 = {0, 3}.
Еще одна собственная подгруппа образована 3-циклом —
G4 = {0, 4,5}.
Индексы подгрупп G\, Gt, G3 равны 3, а для G4 — 2. Центр группы
/Л состоит из одного тождественного элемента — Z = Go = {0}.
Подгруппы Gi, G2, G3 отличаются от G4 не только порядком, но и
еще одним важным обстоятельством: G4 состоит из полных классов
Со и С2, в то время как эквивалентные элементы класса С, оказыва-
ются поделенными между различными подгруппами второго поряд-
ка. Это отличие между подгруппами выявляется при составлении
так называемых классов смежности. Существуют левые и правые
смежные классы, поскольку каждый элемент g из группы G, но не
входящий в подгруппу G,, может образовывать всевозможные про-
изведения справа G, g и слева gG,. Найдем правые и левые смежные
классы, например, для подгруппы G\:
{0, 1}-2 = {2,4}	=	Q,	2-{0,	1} =	{2, Q,
{0, 1}-3	= {3, 5}	=	С2,	3 {0,	1} =	{3,4} = С2,
{0, 1}-4	= {4, 2}	=	С[,	4-{0,	1} =	{4, 3} = С2,
{0, 1}-5	= {5, 3}	=	С2,	5-{0,	1} =	{5**2} = cf.
Левые и правые смежные классы для этой подгруппы не совпа-
дают. Такая же картина наблюдается и для двух других подгрупп
второго порядка. В отношении G4 ситуация изменится:
{0, 4, 5}-1 = {1, 3, 2} = С , 1{0, 4, 5} = {1, 2, 3} = с",
{0, 4, 5}-2 = {2, 1,3} = С , 2{0,4, 5} = {2,3, 1} = с”,
{0,4, 5}-3 = {3,2, 1} = С, 3-{0, 4, 5} = {3, 1,2} = с".
Итак, для подгруппы G4 левые и правые классы совпали'. С = С .
Такое положение вещей распространяется на любые подгруппы
G,, в состав которых входят полные классы сопряженности. Для
168
2. Группы
них выполняются равенства:
Gig =gGi, Gt = gGig~l .
Последнее выражение демонстрирует тесную связь между классами
смежности и классами сопряженности. Поскольку для подгруппы G,
отдельно левые и отдельно правые классы смежности не пересека-
ются, они также являются классами эквивалентности, и так как
подгруппа G, не изменяется под трансформационным действием
элемента g, ее называют инвариантной или нормальным делителем
группы G(N= Gi).
Факторгруппа, инвариант и внутренний автоморфизм
Введем понятие факторгруппы. С этой целью рассмотрим два клас-
са смежности Nx и Ny (для нормального делителя N не имеет значе-
ния, какие классы — левые или правые). Выберем из этих классов
по конкретному представителю: а е Nx, b е Ny. и составим из них
произведение а  Ь. Полученный таким образом новый элемент бу-
дет принадлежать классу смежности Nxy, что нетрудно доказать.
Для этого запишем:
а Ь = тх пу = тх-п е у = тх п (х~'х) у =
т(хпх ') ху = mlxy е Nxy;
а - тх, b = ny; N = xN х ; т, п, I, Im е N.
Представленное доказательство одновременно демонстрирует ус-
ловие замкнутости, при котором один смежный класс Nx умножа-
ется на другой Ny и получается третий Nxy, причем все элементы-
классы принадлежат группе G. Так при помощи нормального дели-
теля N получилась факторгруппа, которую обозначают GIN. Роль
тождественного элемента для факторгруппы G/N играет сам нор-
мальный делитель N. В качестве обратных элементов для Nx и Ny
выступают Nx-1 и Ny Закон ассоциативности здесь также не на-
рушается. Порядок факторгруппы | G / N | равен индексу инвари-
антной подгруппы | G : N |.
В нашем примере с D3 имеется только один нормальный делитель
— подгруппа G4, поэтому здесь можно построить только одну фак-
торгруппу £>3 / G4 с таблицей умножения — табл. 2.30. Из таблицы
видно, как элементы группы проецируются на группу второго
порядка. Такое отношение между группами называется гомомор-
физмом. В случае построения именно факторгруппы получается так
2.2. Группы на матрицах и подстановках
169
называемый естественный, или канонический, гомоморфизм. Но
элементы группы Рз можно проецировать ( —> ) на любую подгруп-
пу второго порядка, в том числе и на подгруппу, например G] = {О,
1}, т.е. имеет место изоморфизм'.
Таблица 2.30
D}/ G4 ~ Gy	если Z>3 —> СД, то
{0,4, 5} —> 0 и {1,2,3}-»!.
{0, 4,5}	{1,2,3}
{1,2,3}	{0, 4, 5}
В этом специальном случае, когда элементы группы G проецируют-
ся на элементы своей подгруппы, гомоморфизм уже называется эн-
доморфизмом .
Добавим также, что нормальный делитель, по которому строится
факторгруппа, называется ядром гомоморфизма. При эндоморфиз-
ме ядро проецируется на тождественный элемент неинвариантной
подгруппы. В проекции Z)3 -» G} группа Gt называется образом, а
группа D3 — прообразом.
Введем понятие внутреннего автоморфизма группы G, которое
определяется следующим преобразованием:
Автоморфное преобразование отличается'- от похожего на него
трансформационного тем, что элемент g фиксирован, а х и у пробе-
гают все элементы группы G.
Найдем внутренний автоморфизм для нашей группы D3:
ООО 1	= о,	1-0-1“’	= 0,	2-0-2"'=0,	
0-1-0“'	= 1,	1-1-1“’	= 1,	2-1-2"’	= 3,
0-2-0"'	= 2,	1-2-1“’	= 3,	2-2-2"'	= 2,
0-3-0"’	= 3,	1-3-1"’	= 2,	2-3-2“’	= 1,
0-4-0 '	= 4,	1-4-1"'	= 5,	2-4-2	= 5,
0-5-0	= 5,	1-5-1“’	= 4,	2-5-2"’	= 4,
3-0-3“’	= 0,	4-0-4“’	= 0,	5-0-5“’	= 0,
3-1-3"'	= 2,	4-1-4“'	= 2,	5-1-5"’	= 3,
3-2-3“’	= 1,	4-2-4“’	= 3,	5-2-5"’	-1,
3-3-3“’	= 3,	4-3-4“’	= 1,	5-3-5 "’	= 2,
3-4-3“’	= 5,	4-4-4“’	= 4,	5-4-5"’	= 4,
3-5-3“’	= 4,	4-5-4“’	= 5,	5-5-5“'	= 5.
Числа, отвечающее у, образуют верхнюю строку подстановок авто-
170
2. Группы
морфизма, а числа, отвечающие х, — нижнюю строку этих подста-
новок. Тогда в циклической форме подстановки внутреннего авто-
морфизма примут вид:
0' = (0),	1' = (23)(45), 2' = (13)(45),
3' = (12)(45), 4'= (123),	5'= (132).
Вновь полученные подстановки образуют группу, изоморфную
исходной группе D,. Такое совпадение неслучайно и объясняется
оно тем, что внутренний автоморфизм группы G всегда изоморфен
факторгруппе G/Z. Так как центр Z группы Z>3 состоит из единст-
венного тождественного элемента, то и получилось:
£>3/Z»Z)3 ~ {О', Г, 2', 3', 4', 5' }.
Здесь надо помнить, что центр любой группы является ее нормаль-
ным делителем и построение по нему соответствующей фактор-
группы всегда возможно.
Проведем морфологический анализ кватерниона D% :
0 = (0),	4 = (0425)(1637),
1 = (0123)(4756),	5 = (0524)(1736),
2 = (02)(13)(45)(67),	6 = (0627)(1534),
3 = (0321)(4657),	7 = (0726)(1435).
Группа Z>4 разбивается на пять классов сопряженности:
Со = {0}, С, = {2}, С2 = {1, 3), С3 = {4, 5}, С4 = {6, 7).
Таблица умножения классов представлена табл. 2.31. Все подгруп-
пы кватерниона G, инвариантны.
Таблица 2.31
Со	с,	С2	с3	с,
С]	2-Со + 2-С]	С2	С3	с«
с2	с2	2-С0 + 2-С,	2-С4	2-С,
С3	С3	2-С4	2-C0 + 2-Ci	2-С,
с4	с4	2-Сз	2-Сг	2-Со + 2-С;
В группе Z>4 имеется четыре нетривиальные подгруппы:
Gi = {0, 2},G2 = {0, 1,2, 3}, G3 = {0, 2,4, 5}, С4 ={0, 2, 6,7}.
Таблица умножения смежных классов для факторгрупп £>4 /G3 и
2.2. Группы на матрицах и подстановках
171
D2 Ю} представлены, соответственно, табл. 2.32 и табл. 2.33. Таб-
лицы умножения для D^ /Gi и D% /G4 аналогичны табл. 2.32.
Таблица 2.32	Таблица 2.33
{0, 2, 4, 5}	{1,3, 6, 7}
{1,3, 6,7}	{0, 2, 4,5}
{0,2}	{1,3}	{4,5}	{6,7}
{1,3}	{0,2}	{6,7}	{4,5}
{4,5}	{6,7}	{0,2}	{1,3}
{6,7}	{4,5}	{1,3}	{0,2}
Центр кватерниона состоит из двух элементов — Z = G\ = {0, 2}.
Следовательно, его внутренний автоморфизм будет состоять толь-
ко из четырех подстановок (табл. 2.33):
Z)42/Z= {(0), (45)(67), (13)(67), (13)(45)} *С22,
внутренний автоморфизм кватерниона изоморфен группе С 2 .
Голоморф диэдра и кватерниона
Введем понятие голоморфа и проанализируем его свойства. Сдела-
ем это сначала на основе группы диэдра ££, затем кватерниона Z)4 .
С этой целью составим обычную таблицу умножения для £)3 (табл.
2.34) и выпишем для нее регулярные подстановки, причем отдельно
отвечающие столбцам (их называют правыми) и отдельно — стро-
кам (левые, выделены штрихом):	Л
Dy.	D'y.	Таблица 2.34
0 = (0),	0 = (0),	0	1	2	3	4	5
1 = (01)(25)(34),	1' = (01)(24)(35),	1	0	4	5	2	3
2 = (02)(14)(35),	2' = (02)(15)(34),	2	5	0	4	3	1
3 = (03)(15)(24),	3' = (03)(14)(25),	3	4	5	0	1	2
4 = (045)(123),	4' = (045)(132),	4	3	1	2	5	0
5 = (054)(132),	5' = (054)(123).	5	2	3	1	0	4
Перемножим эти подстановки;
11' = (23)(45),	21'= (04)(12),	31'= (05)(13),
172
2. Группы
12' = (05)(12),
13' = (04)(13),
14'= (035142),
15'= (024153),
22' = (13)(45),
23' = (05)(23),
24'= (015243),
25'= (034251),
32' = (04)(23),
33' = (12)(45),
34'= (025341),
35'= (014352),
41'= (025143),
42'= (035241),
43' = (015342),
44' = (054),
45'= (132),
51'= (034152),
52'= (014253),
53'= (024351),
54'= (123),
55' = (045).
Поскольку все левые регулярные подстановки коммутируют со
всеми правыми, других подстановок здесь нет: перед нами группа
36-го порядка, которая и является голоморфом группы диэдра Dj.
Голоморф какой-либо группы G, который мы обозначим как
H(G), является группой и обладает тем замечательным свойством,
что среди его нормальных делителей всегда имеются две подгруп-
пы, отвечающие его правым и левым регулярным подстановкам.
Удостоверимся, что голоморф Н(£>3) имеет в своем составе две ин-
вариантные подгруппы — Z>3 и £)'3 . Для этого проведем морфоло-
гический анализ группы Н(£>3). Прежде всего, найдем все классы
сопряженности H(D3):
С0={0},	q = {1,2,3}, С2 ={4,5}, С3={1',2',3'}>
С4= {4', 5'},	С5= {1Г, 12', 13', 2Г, 22', 23', ЗГ, 32', 33'},
С6= {44', 45', 54'55'},	С7={14', 15', 24', 25', 34', 35'},
С8= {41', 42', 43', 5Г, 52', 53'}.
В голоморфе Н(£)3) имеется 15 подгрупп второго порядка, отве-
чающих подстановкам на транспозициях, и 4 подгруппы третьего
порядка, причем две из них являются нормальными делителями —
М = {0,4,5}, N2 = {0,4', 5'}.
Далее, имеется 9 подгрупп четвертого порядка типа {0, 1, Г, И'}
(все они не инвариантны). Подгруппы шестого порядка распределе-
ны следующим образом: 6 подгрупп отвечают 6-циклам и 12 диэд-
ральных, причем 6 из них типа {0, 33', 44', 55', 12', 21'} и 6 типа {0,
И',12', 13', 4', 5'}. Сравнивая элементы этих подгрупп с элементами
выписанных классов сопряженности, можно заключить, что ни одна
2.2. Группы на матрицах и подстановках
173
из упомянутых 18 подгрупп шестого порядка не будет инвариант-
ной, и только две исходные группы на регулярных подстановках О3
kD'3 дадут нормальные делители индекса 6, которые обозначим как
N3 = {0, 1, 2, 3, 4, 5},	Л/д = {О, Г, 2', 3', 4', 5'}.
В нашем голоморфе содержатся шесть неинвариантных диэдраль-
ных подгрупп 12-го порядка {О, Г, 2', 3', 4', 5', 1Г,12', 13', 14', 15'},
один нормальный делитель 9-го порядка коммутативной структуры:
N5 = {0, 4, 5, 4', 5', 44', 54', 45', 55'},
и три нормальных делителя 18-го порядка с двумя различными не-
коммутативными структурами:
N6= {0, 4, 5, 4', 5', 44, 54', 45', 55', 11', 12', 13', 21', 22',23', 31', 32', 33'},
7V) = {О, 1', 2', 3', 4', 5', 4, 5, 41', 42', 43', 44', 45', 5Г, 52', 53', 54', 55'},
м = {О, Г, 2', 3', 4', 5', 4, 5, 14', 15', 24', 25', 34', 35', 44', 45', 54', 55'}.
(Можно доказать, что все подгруппы индекса 2 являются нормаль-
ными делителями своих групп.) В голоморфе неинвариантные под-
группы взаимно сопряжены, т.е. переходят друг в друга (G; —> G,)
посредством элемента g, не входящего ни в G,, ни в G,, например:
52'-0- 42' = О,
52'- 1-42' = 3,
52'-4'-42'= 5',
52'-5'- 42'= 4',
52'- 14'- 42' = 35',
52'- 15'-42'= 34',
24'- 0- 25' = О,
24'-3-25' = 1,
24'-5'-25'= 5',
24'-4'-25'= 4',
24'-35'- 25'= 15
24'- 34'- 25' = 14'
14'- 015' = О,
14'-2М5' = 1',
14'-4-15'= 5,
14'- 5-15'= 4,
14'- 42'15' = 51',
14'- 52'15' = 41'.
Найдем гомоморфизм голоморфа H(D3) с ядром N4, т.е. Н(£>3)/У4:
{О, 1', 2', 3', 4', 5'} О,	{3,	31',	32', 33', 34', 35'}	-> 3,
{1, И', 12', 13', 14', 15'}	1,	{4,	41',	42', 43', 44', 45'}	—> 4,
{2, 21', 22', 23', 24', 25'} ->	2,	{5,	51',	52', 53', 54', 55'}	-> 5.
Элементы образа этого гомоморфизма удовлетворяют группе D3:
H(D3)/D3«D3,	(2.28)
— гомоморфизм голоморфа Н(Оз)//>з, ядром которого является
174
2. Группы
исходная группа Dy изоморфен (=) внутреннему автоморфизму Dy I
Изящность формулы (2.28) объясняется тем, что центр Z группы
D3 состоит из одного тождественного элемента. Ситуация будет не-
сколько иной в случае кватерниона, но прежде чем мы преступим к
анализу , покажем на примере диэдрального голоморфа Н(£?з)
действие одной важной формулы, которая, однако, применима к
любым группам, где имеется соответствующий расклад нормальных
делителей.
Найдем три системы гомоморфных проекций —
{0, 4, 5}	0,		{1,2,3}-+!,	
{Г, 41', 51'} -	> 1',	{11', 21', 31'} -	-> И',
{2', 42', 52'} -	>2',	{12', 22', 32'} -	> 12',
{3', 43', 53'} -	>3',	{13', 23', 33'} -	> 13',
{4', 44', 54'} _	>4',	{14', 24', 34'} -	> 14',
{5', 45', 55'} -	>5',	{15', 25', 35'} -	» 15';
Н(А)/М:
{О, 4, 5, 4', 5', 44', 54', 45', 55'} -» О,
{1, 2, 3, 14', 15', 24', 25', 34', 35'}	1,
{1', 2', 3', 41', 51', 42', 52', 43', 53'} -> Г,
{11', 12', 13', 21', 22', 23', 31', 32', 33'} -> 11';
NsINy.
{0,4, 5}^ О, {4', 44', 54'} ^4', {5', 45', 55'}-> 5'.
Из 1-ой и 3-ей составим 4-ю проекцию (НфзУУО/^ЛУ,):
{О, 4', 5'} -> О, {Г, 2', 3'} Г,
{1, 14', 15'} -> 1, {11', 12', 13'} -> 11'.
Итак, мы получили, что
(H(O3)/M)WM) « Н(£>3)/М « {0, 1, 1', Ц'}.
В общем случае справедлива формула сокращения наименьшего
нормального делителя-.
(А/С)/(В/С)~А/В,	(2.29)
т.е. нормальные делители групп ведут себя подобно числовым де-
2.2. Группы на матрицах и подстановках
175
лителям, в частности:
(36/3)/(9/3) = 36/9, (36/6)/(18/6) = 36/18.
Теперь по изложенной методике построим голоморф на базе
кватерниона ЩТ)^) (табл. 2.35). Его порядок равен уже не 64-м,
как это могло показаться на первый взгляд (8 х 8), а только 32-м.
Объясняется это тем, что порядок центра кватерниона равен двум.
Формула, по которой рассчитывается порядок голоморфа H(G), сле-
дующая —
|h(g)| =!^L.
Выпишем все 32 подстановки Н( );
О = (0),	0' = 0,
1 = (0123)(4756),	1' = (0123)(4657)
2 = (02)(13)(45)(67), 2'= 2,
3 = (0321)(4657),
4 = (0425)(1637),
5 = (0524)(1736),
6 = (0627)(1534),
7 = (0726)(1435),
3' = (0321)(4756),
4' = (0425)(1736),
5' = (0524)(1637),
6' = (0627)(1435),
7' = (0726)(1534),
Таблица 2.35
0	1	2	3	4	5	6	7
1	2	3	0	6	7	5	4
2	3	0	1	5	4	7	6
3	0	1	2	7	6	4	5
4	7	5	6	2	0	1	3
5	6	4	L	0	2	3	1
6	4	7	5	3	1	2	0
7	5	6	4	1	3	0	2
1Г = 33'= (02)(13),
13' = 31' = (45)(67),
14' = 35' = (07)(15)(26)(34),
15'= 34'= (06)(14)(27)(35),
16' = 37' = (04)(17)(25)(36),
17'= 36'= (05)(16)(24)(37),
61' = 73' = (05)(17)(24)(36),
63' = 7Г = (04)(16)(25)(37),
64' = 75' = (01)(23)(47)(56),
41'= 53'= (06)(15)(27)(34),
43' = 51' = (0^27)(1435),
44' = 55' = (02)(45),
45' = 54' = (13)(67),
46' = 57' = (03)(12)(47)(56),
47' = 56' = (01)(23)(46)(57),
65' = 74' = (03)(12)(46)(57),
66' = 77' = (02)(67),
67' = 76' = (13)(45).
Разобьем голоморф Н( ) на классы:
С, = {1,3},
G={2},
Сз= {1',3'},
С5= {4', 5'},
С6={6,7},
С7= {6',7'},
С9= {14', 15'},
С10={16',17'},
Си = {41',43'},
С13={46',47'},
С14={61', 63'},
С15= {64',65'},
176 2. Группы
С4={4, 5},	Q={11', 13'}, С12= {44',45'},	С16 = {66', 67'}.
Один из кватернионов труппы Н( £>4 ), а именно —
= {О, Г,2',3',4',5',6’,7'},	'
используем для построения проекции Н( Д4 )/Л):
{О, 1', 2, 3', 4', 5', 6', 7'} -> О, {1, 11', 3, 13', 14', 15', 16', 17'}
1,
{4, 4Г, 5, 43', 44', 45', 46', 47'} -> 4, {6, 61', 7, 63', 64', 65', 66', 67'}
-^6.
Элементы {0, 1, 4, 6} факторгруппы Н(£>4)/М перемножаются в
соответствии с таблицей умножения группы С2 . Таким образом,
для кватерниона имеем
H(Z)42)/r>42 « С2,
что существенно отличается от результата для диэдра (2. 28).
В состав H(Z)4 ) входит делитель —
N2={Q, 1,2,3, 1',3',4',5', 6', 7', 1Г, 13', 14', 15', 16', 17'},
используем его для нахождения еще двух гомоморфизмов —
Н(Г>42 )/№:
{О, 1,2,3, 1',3',4', 5', 6', 7', И', 13', 14', 15', 16', 17'} -> О,
{4, 5, 6, 7, 41', 43', 44', 45', 46', 47', 61', 63', 64', 65', 66', 67'}	1,
1V2/:
{О, Г, 3', 4', 5', 6', 7'} -> О, {1, 3, 11', 13', 14', 15', 16', 17'} -> 1.
Формула сокращения наименьшего нормального делителя (2.29)
для делителей кватерниона тоже подтвердилась —
(Н( Г>42 Ж)/(ЛШ) ® Н( Dj )/N2 .
Геометрическая интерпретация групповых преобразований
На рис. 2.3 изображены ромб (а) и прямоугольник (б). Вершины
этих простых геометрических фигур образуют субстанционные,или
базисные, множества, которые насчитывают по четыре элемента.
Начав вращать эти симметричные фигуры относительно обозначен-
ных на рисунке горизонтальных и вертикальных осей, а также во-
2.2. Группы на матрицах и подстановках 177
круг необозначенных осей, направленных перпендикулярно к плос-
кости рисунка, мы получим множество отображений или операци-
онных элементов в виде подстановок.
Рис. 2.3
Таким образом, появляются две изоморфных группы подстановок
типа СI: для ромба —
е = (0), а =(02), b = (13), ab = (02)(13);
для прямоугольника —
е = (0), а = (01)(23), b = (03)(12), аА = (02)(13).
Здесь в обоих случаях число субстанционных элементов, представ-
ленных вершинами фигур, совпадает с числом операционных.
Теперь изменим субстанционные множества: пусть для ромба в
качестве базисных выступают два элемента — верхняя и нижняя его
поверхности, а для прямоугольника — две его диагонали — 0-2 и 1-
3. Тогда группы операционных элементов тоже уменьшатся в 2 раза
и станут типа С2.
Повороты геометрических фигур в пространстве представляют
собой линейные преобразования (2.1), в которых в качестве опера-
торов А могут выступать 0,1 -матрицы. Степень периодичности на-
ших матриц равна двум, значит их собственными значениями (2.11)
являются числа (+1) и (-1). Положительная и отрицательная едини-
цы образуют группу С2, гомоморфную группе  В коммутатив-
ных группах каждый элемент образует класс эквивалентности. По-
ставим в соответствие каждому элементу группы с\ столбец из
собственных значений (табл. 2.36). Классы эквивалентности не пе-
ресекаются. Этот факт отражается в том, что скалярные произведе-
ния столбцов должны быть равны нулю. Следовательно, в табл. 2.36
178 2. Группы
все положительные и отрицательные единицы надо расставить так,(
чтобы произведение векторов-столбцов отвечало этим требованиям.
Такая расстановка собственных значений автоматически приводит к
выполнению условия ортонормированности и в отношении строк
Е, , которые называются представлениями группы с|. Все пред-
ставления у нас получились гомоморфными, причем представление
Ео является единичным, так как элементы группы С2 проецируются
на тривиальную группу тождественного элемента Go (или Ci).
Проецирование С% —> С2 можно осуществить тремя способами —
Еь Е? иЕ3.
В группе С4 так же, как и в группе cf, четыре элемента. С точки
зрения геометрии, она отвечает вращению квадрата в плоскости ри-
сунка (рис. 2.46). Собственными значениями 0,1-матриц, которые
соответствуют группе подстановок Су
е = (0), а = (0123), а2 = (02)(13), а3 = (0321),
служат корни четвертой степени из единицы (см. табл. 2.37). Про-
ецирование элементов группы С4 на эти корни дает четыре возмож-
ных представления, два из которых (Ео и Е\) являются гомоморфиз-
мами, а два (Е2 и Ез) — изоморфизмами.
Представление Ео соответствует проецированию всей группы С4
на единицу {е}; представление Е} есть проекция С4 на подгруппу {е,
а2}', представления Е2 и Е3 осуществляют проецирование элементов
С4 на собственные значения 0,1 -матриц, отвечающие элементам а и
а2. Произведение столбцов а на а3 и строк Е2 на Е3 уже не равно ну-
лю, т.е. изоморфные представления не будут ортогональными. Это
связано с тем, что элементы а и а3 попадают в один абсолютный
класс эквивалентности, в результате чего выполняются следующие
соотношения:
E0-Ei = E0-E2 = Ео-Е3 =Ез-Е2 = ЕгЕ3 =0, ноЕ2-Е3 = 4.
Введенные понятия об относительном и абсолютном подобии по-
зволяют объяснить наличие или отсутствие ортогональности между
отдельными представлениями коммутативных групп.
Таблица представлений для группы С2 тривиальна (табл. 2.38).
Мы бы ее не приводили, если бы не одно обстоятельство: она по-
может нам понять принцип построения таблиц представлений
больших размерностей.
2.2. Группы на матрицах и подстановках
179
Таблица 2.38
а)
	
	
Остановимся на вращениях в плоскости рисунка правильного
треугольника (рис. 2.4а), пятиугольника (рис. 2.5) и семиугольника,
которые образуют простые циклические группы С3, С5 и С7. Для них
все представления являются изоморфизмами, за исключением еди-
ничного Еу. С\ (табл. 2.39), С5 (табл. 2.40), С7 (табл. 2.41), причем
прямая и обратная подстановки попадают в один абсолютный класс
эквивалентности. Следовательно, в один класс неортогональных
друг к другу представлений в группе С5, например, попадут пред-
ставления Е\ и или Е2 и Е3.
Таблица 2.39					Таблица 2.40					
					с5	е	а	а2	а3	д4
С,	е	а	а2		Ео	1	1	1	1	1
					Е}	1	СО]	го2	со3	(04
Е.	1	1	1							
					е2	1	<02	(04		<Оз
Ех Ег	1 1	(02	(02 (0 [							
					Ез	1	С03	(01	С04	со2
					е4	1	®4	СОз	(О2	<01
										
Корни 3-й, 5-й и 7-й степени из единицы (со,) расставляются по
строкам и столбцам таблиц представлений соответственно своим
подстановкам. Это значит, что индексы при со,, например, для груп-
пы правильного пятиугольника С$, чередуются в соответствии с ин-
дексами следующих четырех подстановок:
180
2. Группы
« = (01234), в2 = (02413), «3 = (03142), а4 = (04321).
Таблица 2.41
Согласно симметрии правильного шестиугольника (рис. 2.6),
группа Сб имеет, помимо единичного класса {£0}, еще два абсолют-
ных класса гомоморфных представлений — {Е\}, [Е2, Е2], а также
один класс изоморфных представлений — {£4, Е5}, которые распи-
саны в табл. 2.42. В ней приняты следующие обозначения корней: о
= со4, - го2 = со5, - 1 = со3.
Обозначения для элементов представлений группы С% можно вы-
брать такие же, как и для группы Св (табл. 2.42), если помнить, что
1 = а»о, -1 = ®4, i - ®2, - i = ©б, - со3 = ®7, - о = <в5.
Однако при составлении табл. 2.43 использовалась методика чере-
дования индексов корней при со,, согласно подстановкам группы Q.
Здесь изоморфный класс состоит уже не из двух, а из четырех пред-
ставлений — {£i, £3, £5, £7}. Остальные классы абсолютной эквива-
лентности гомоморфны— {£0}, {£4}, {£2, £в}-
2.2. Группы на матрицах и подстановках
181
Таблица 2.42
	Св	е	а	а2	а3	а4	а5	
	Ео	1	1	1	1	1	1	
	Е\	1	-1	1	-1	1	-1	
	Ei	1	со2	- (О	1	со2	-со	
	Ез	1	- со	со2	1	-со	(О2	
	Е<	1	со	со2	-1	- со	-со2	
	е5	1	-со2	-со	-1	со2	со	
Таблица 2.43
С8	е	а	а2	а3	а4	а5	а6	а1
Ео	соо	СОо	СОо	©0	СОо	СОо	«>о	СОо
Ei	®о	С01	со2	со3	(Од	®5		(07
Ei	С0о	С02	со4	®6	СОо	(О2	со4	со6
Ез	СОо	со3	со6	СО]	со4	СО7	®2	М5
Е<	®0	С04	СОо	со4	со0	СОд	СОо	(Од
Ез	СОо	со5	со2	(О7	(Од	СО,	(О6	С03
Ев	®0	СО6	СО4	со2	СОо	®6	(Од	со2
1 Ез	соо	со7	со6	®5	(Од	<03	®2	(01
Две следующие таблицы представлений' дла,, коммутативных
групп 8-ого порядка — С 2 н Ci Сгг (табл. 2.44) и С2С4 (табл. 2.45)
- получены из элементов С2 (табл. 2.36) и С4 (табл. 2.37), путем
умножения их на 1 или -1, отвечающих группе С2 (табл. 2.38).
Таблицы представлений для коммутативных ’групп больших по-
рядков составляются по аналогии с рассмотренными. Далее перехо-
дим к анализу некоммутативных групп.
Начнем с группы диэдра D3. Она отвечает вращению равносто-
роннего треугольника (рис. 2.4а) не только в плоскости рисунка, но
и в пространстве оси z, перпендикулярной к осям х и у. В группу О3
входят шесть подстановок:
е=(0),	а = (012),	а2 = (021),
й = (02),	ab = (01),	Ла = (12),
которые разбиваются, как мы уже знаем, на три класса эквивалент-
ности (для некоммутативных групп есть смысл говорить только об
относительных классах эквивалентности):
182
2. Группы -
Со={е}, С[ = {а, а2}, С3 = {b, ab, Ьа}.
Таблица 2.44
С23	е	а	Ь	ab	с	ас	Ьс	abc
Ео	1	1	1	1	1	1	1	1
Е]	1	-1	1	-1	1	-1	1	-1
е2	1	1	-1	-1	1	1	-1	-1
Е3	1	-1	-1	1	1	-1	-1	1
е4	1	1	1	1	-1	-1	-1	-1
е5	1	-1	1	-1	-1	1	-1	1
Е6	1	1	-1	-1	-1	-1	1	1
е7	1	-1	-1	1	-1	1	1	-1
Таблица 2.45
С2С4	е	а	a2	a3	b	ab	a2b	a3b
Ео	1	1	1	1	1	1	1	1
Е,	1	-1	1	-1	1	-1	1	-1
е2	1	i	-1	- i	1	i	-1	- i
Е3	1	- i	-1	i	1	- i	-1	i
е4	1	1	1	1	-1	-1	-1	-1
е5	1	-1	1	-1	-1	1	-1	1
Е6	1	i	-1	- i	-1	- i	1	i
е7	1	- i	-1	i	-1	i	1	- i
Этим классам отвечают два гомоморфных (£0 и £i) и одно изо-
морфное ортогональное представления — Ег (табл. 2.46). Посколь-
ку свойство некоммутативное™ уже не может быть воспроизведено
с помощью одномерных представлений из собственных значений,
Е1 является двухмерным. Кроме того, в табл. 2.46 включено еще од-
но неортогоналъное, эквивалентное (относительно Е7) двухмерное
представление Е3 и одно трехмерное Е4. Матрицы последнего пред-
ставления отвечают приведенным подстановкам группы D3 (в табл.
2.46 отсутствуют единичные матрицы).
2.2. Группы на матрицах и подстановках
183
Таблица 2.46
D3	в = (012)	а2 = (021)	Ь = (02)	«* = (01)	Ьа =(12)
Ео	1	1	1	1	1
Е.	1	1	- 1	-1	- 1
Еу	f-1/ -7з/' /2	/2 л/з/ -1/ L /2	/21	( -1/ 7з/1 /2	/2 -7з/ -1/ 1/2	/2 J	/1 0 1 1° -V	'-'А ЕЕ А)	( -1/ -Тз/! /2	/2 -Л/ 1/ \	/2	/2 1
Ез	( 0 И v1 -V	<-1 -Р| 1 1 0 J	(1 о) 1-* -V	Г-1 -11 1)	/0 11 I1 °)
е4	/0 1 0) 0 0 1 I1 0	/0 0 И 1 0 0 1° 1 oj	/0 0 11 0 1 0 1 0 о/	Го 1 О') 1 0 0 0 1J	/1 0 01 0 0 1 1° 1 °J
Прямая сумма и прямое произведение
Можно подобрать такую трансформационную матрицу t, которая
разобьет все 0,1-матрицы представления Ец на сумму Ео и Е3‘.
Eq + Е3 = t Е4 t '.
В частности, для элемента а группы _О3 будем иметь разложение:
1 loY
Е^а) = Е0(а) + Е3(а) =
-_1_ ~_Ц0
1° 0I1J
<1 -2
1 1
1 1
1/3 1/3Л
1/3” 1/3
1/3 1/3 J
Если все матрицы одного представления Еа под действием транс-
формационной матрицы t разлагаются на сумму двух или большего
числа других представлений (Ер + Еу + ... ), то говорят, что
представление Еа — приводимо. Если матрицы представлений Ер ,
Еу и т.д. больше нельзя разложить на меньшие матрицы, значит они
являются неприводимыми. Так, все матрицы представлений Ео, Е\,
Е2 и Е3 —- неприводимы, поскольку невозможно найти такую транс-
формационную матрицу /, чтобы в результате преобразования из
них получились матрицы меньших размерностей. Заметим, что под
«суммой» матричных представлений следует понимать прямую
сумму матриц, т.е. когда приводимая матрица трансформируется в
блочно-диагональную.
184
2, Группы
Про представления Е2 и Ез было сказано, что они эквивалентны,
т.е. существует такая матрица t\, которая способна трансформиро-
вать все матрицы Е2 в матрицы £3, и наоборот:
Е3 = h Е2 t\ E2 = t\ 1 Е3 ti,
Такая матрица t\ существует. Продемонстрируем действие этой мат-
рицы на элементе д:
Таким образом, все матрицы представлений £3 и £4 в табл. 2.46 вза-
имно связаны с ортогональным неприводимым представлением Е2.
Единичное представление Ео образовано базисом —
г = з]х2 + у2 +z2.
Базисом другого одномерного представления — Е\ — служит ось z 
Оси х и у являются базисом для матриц Е2. Если учесть, что коор-
динаты на плоскости преобразуются по известным формулам:
х' = х • cos ср - у • simp, у’ = хзтф + усовф;
то при повороте на угол 2л/3 имеем
cos(2tc/3) = -1/2 ,sin( 2л/3) = л/з/2,
тогда преобразование координат примет вид:
Вершины треугольника (рис. 2.4а) имеют координаты:
Г|
0/
1 - f2 = С 1
0 =
причем 2 = - 0 - 1. Этим вершинам соответствуют три не ортого-
нальных вектора — 0, 1 и 2, которые образуют базис для представ-
лений Ез и £4. Ортогональное представление Е2(а) и неортогоналъ-
ное £3(д) преобразуют свои системы базисных векторов:
Следует также напомнить, что существует так называемая актив-
2.2. Группы на матрицах и подстановках
185
ная система координат, когда объект (например, наш треугольник)
находится в покое, а координатные оси вращаются вокруг него; и
пассивная, когда система координат покоится, а объект вращается
внутри нее. Кроме того, для согласования действия подстановок и
матричных преобразований может помочь противоположная рас-
становка сомножителей либо для матриц, либо для подстановок, т.е.
для выполнения одного и того же группового преобразования для
подстановок берется произведение ab, а для матриц — Ьа (или на-
оборот).
Если неприводимое матричное представление ортонормировано,
то оно подчиняется следующему фундаментальному тождеству:
X £’ (g)E“ (g~') = —^S	(2.30)
geG	Па
где	g — элементы группы G, п — порядок группы G,
па — размерность матриц представления Еа,
Е^ (g~l) — матричные элементы представлений,
8,.,, — символ Кронекера (при х = у 5^ = 1, при х Ф у Ъху = 0)
Проиллюстрируем справедливость (2.30) на наших конкретных
ортонормированных неприводимых представлениях и Еу.
geG	geG
поскольку
- Л л/з	-х/з " - л/з
1 • О + 1 • —— + 1  — + (-1)  0 + (-1) • — + (-1) • —— = о,
2	2	2	2
Теперь, в соответствии с таблицей умножения элементов группы
D3, построим одну 0,1-матрицу регулярного представления Е=,(а)
(аналогичным образом находятся все остальные матрицы приводи-
мого представления Е5):
186
2. Группы
S*	& X	/ II & Ч	/ II	/0 1 0 | 0 0 oW е 0 0 1 10 0 0 а 100'000 а2
	0 0 (Го 1 б  ь 0 0 0 10 0 1 аЬ ^0 0 0 I 1 0 oj [ba
Существует такая трансформационная матрица Т, которая позволит
все матрицы Es разложить на матрицы неприводимых представле-
ний Ей, Е\, Е2. Для нахождения элементов матрицы Т пользуются
элементами матриц Ео, Е\, Е2 (табл. 2.46) и формулой —
=	(2-31)
V п
Произведем разложение матрицы Е5(а) на неприводимые пред-
ставления, используя конкретную трансформационную матрицу
(2.31), получим:
Es (а) = Т1 • Е5(а)  Т=Е0(а) + Е^а) + 2-Е2(а),	(2.32)
где Е5 (а) — блочно-диагональная матрица, имеющая вид:
/	" Гб Гб И	0 0	0 б...	:	0  0	б б
	; 0 : 0	-1/2	-7з?2	0	о
Е5(а) =	I 0 ! 0	э/з/2	-1/2	: 0	0
	: 0 ; 0	0	0	-1/2	-Тз/2'
	;0.0	0	0	: э/з/2	-1/2 J
Трансформационная матрица Т выглядит так —
6///	1/7ё	i/Г	i/Гб	1Д	1/Г /
1/7ё	i/Г	i/Тб	-1/э/б	-i/Тб	-1//б
1/7з	-1/г/з	-1/25/3	1/э/з	-1/2Г	-1/2/3
0	1/2	-1/2	0	1/2	-1/2
1/э/з	-1/2/3	-1/2V3	- 1/э/з	l/2/з	1/2/З
1 0	-1/2	1/2	0	Г	-Г )
Таким образом, все регулярные матрицы Es(g) распадутся на пря-
мую сумму блоков, причем каждый из блоков неприводимого пред-
ставления Еа( g) входит в блочно-диагональную матрицу E5(g) ров-
2.2. Группы на матрицах и подстановках
187
но па раз. В нашем случае размерности представлений па равны: по
= П\ = 1,	=2.
Наряду с прямой суммой можно ввести понятие о прямом произ-
ведении матриц. Пусть даны две матрицы А и В:
	/ а11	а12	°13	(ь		Ъ
А =	а	а	а	, в =	и	12
	21	22	23		ь	ь
	а	а	а		< 21	22 J
	L 31	32	зз;			
Определим их прямое произведение следующим образом:
	АхВ =	[V а В 21 \ 31	«1/ с а22В 6 а32В С	Оз Оз Си ч_ 		=	
(аЛ,	Я11^12	Д12^11	а\2^\2	«13	Ьп	«13^12
	^11^22	<?12^21	. аП^22	«13	^21	«13^22
а2\Ьп	й21^12	^22^11	а22^\2	«23	Ьп	«23^12
й21^21	а2\^22	а22^21	а22 ^22	«23	^21	«23 ^22
		П 52^11	а32^12	 «33	Ьп	«33^12
va31^21	fl31^22	а32^21	^32 ^22	«33	Ь21	«33^22 >
В частности,
Е2(«) х £2(л) =
-1/2 -5/3/2''] (-1/2 -5/3/2
л/3/2 -1/2 JX [а/з/2 -1/2
f 1/4	ТзД	л/з/4	з/4 '
-л/з/4	1/4 ' -3/4 д/з/4	*
-5/3/4 -3/4	1/4	5/3/4 ’
ч 3/4	-д/з/4 -5/3/4 1/4 }
Ортонормированный базис двухмерного неприводимого пред-
ставления £/(«) имеет вид:
,	1 д/з ,5/31
Х =--х-----у, у =— х — у.
2	2		2	2
Если составить всевозможные произведения х' и у',
, , 1	5/3 V3 з , ,	5/3	1	3 гг
XX =—ХХН-----ХУ +-----ух + — vy, ху =-----хх + —ху----
4	4 	4 '	4	4	4 4Л+ ~^УУ,
, , Л 3	1 д/з , , 3	л/3	>/з	.
рх =------XX----ху + — ух +---уу, уу = — XX-----ху----pv . 1
4	4	4'	4	4	4	4 УХ + ~УУ,
4
188
2. Группы
то станет понятен и смысл матрицы прямого произведения. Доба-
вим, что при прямом перемножении свойство ортонормированности
сохраняется.
Сумма матриц прямых произведений образует новое представле-
ние группы D3, причем приводимое, которое мы обозначим как
Е6(а) = £2(«) х Е2(а).
Приводимость означает, что матрицы Е(у(а) каким-то образом рас-
кладываются в прямую сумму неприводимых представлений. Чтобы
уметь решать подобного рода задачи, необязательно искать соот-
ветствующие трансформационные матрицы типа (2.31). Достаточно
знать характеры матричных представлений по трем классам эквива-
лентности Со, Ci и С2 группы £>з. Затем, для определения числа не-
приводимых представлений Еа, содержащихся в приводимом £р,
необходимо воспользоваться простым соотношением:
Е^,=^таЕа,	(2.33)
а
где та = —	, п — порядок группы G, ha и Лр — характеры
W geG
представлений Еа и £р, которые приведены в табл. 2.47.
По формуле (2.33) найдем коэффициенты та сначала для приво-
димого представления Е4.
т0 = 1/6-[3-1 +0-1 +0-1 + 1-1 + 1-1 + 1-1] = 1,
7И1 = 1/6[31 +01+01+ 1 (-1) + 1 (-1) + 1(-1)] = о,
т2 = 1/6-[3-2 + 0(-1) + 0(-1) + 1-0+ 1-0+ 1-0] = 1.
Отсюда получаем, что Е4 = Ео + Е2. Аналогичным расчетом убежда-
емся в справедливости еще одного известного разложения (2.32):
Е5 = Ео + Ei + 2Е2.
В случае прямого произведения формула (2.33) не меняется, и ре-
зультат будет следующим:
Е6 = Ег х Е2 = Ей+ Ei + Е2.
Для нахождения характеров представления Е6 необязательно искать
матрицы прямых произведений Е2 х Е2. Достаточно строку характе-
ров Е2 (табл. 2.47) возвести в квадрат. Все другие разложения при-
водимых представлений (£4 и £5) на неприводимые (£0, Е\, Е2) так-
же можно проверить по таблице характеров.
2.2. Группы на матрицах и подстановках
189
Для характеров неприводимых представлений, как и для матриц,
выполняется закол об ортонормированности (2.30), который удоб-
но расписать на два соотношения — отдельно для столбцов (клас-
сов С;) табл. 2.47 и отдельно для строк (представлений £а):
где
f„,/z„(C,)-*p(C,) = H8op,
1=1
L
а=1
п, — число элементов в классе С„
п — порядок группы G,
К — число классов С„
L - число представлений Еа,
Зар, — символы Кронекера.
Таблица 2.47
Г>з	Со	Сз	с2
£о	1	1	1
Е\	1	1	-1
е2	2	-1	0
Ез	2	-1	0
е4	3	0	1
Еь	6	0	0
Е6	4	1	0
Приведем примеры, подтверждающие ортонормированность харак-
теров: з
^н!-Л3(С,)Л(С,) = 1-2-2+2-(-1)(-1)+ЗОО = 6,
i=i
Х«1-/га(С1)-/?а(С2) = 2-1-1 + 2-1-(21)^.(_1).0 = 0.
а=1
У нас получилось, что К = L. На самом деле, число неприводи-
мых представлений Еа всегда равно числу классов сопряженности
С,. Критерием неприводимости представления Еа служит формула
2>2(#) = и	(2.34)
SeG
Так, представление Е2 является неприводимым, так как
£/z22te) = 22 +(-1)2 +(-1)2 + 02 + 02 + 02 =6,
geG
а представление £4 будет уже приводимым:
£/г42(£) = 32 + 02 + 02 + 12 + 12 + 12 = 12.
geG
Еще одним важным критерием является критерий полноты на-
бора неприводимых представлений, который гласит: сумма квадра-
тов размерностей матриц всех неприводимых представлений долж-
190
2. Группы
на быть равна порядку группы:
Dy. 6=12+12 + 22.	(2.35)
а
Разложение (2.35), вообще говоря, неоднозначно. Так, числа 27 и
92 можно разложить на сумму квадратов многими способами:
27 = I2 + I2 + 52 = I2 + I2 + З2 + 42 = З2 + З2 + З2 = I2 + ... + I2 = ...
92 = I2 + I2 + З2 + 92 = З2 + З2 + З2 + 42 + 72 = I2 + ... + I2 + 22 = ...
Критерий неприводимости представлений свидетельствуют о су-
ществовании определенной связи между классами эквивалентности
Ci и неприводимыми представлениями Еа. Каждому классу можно
поставить в соответствие определенное представление. Для группы
D3 это соответствие выглядит следующим образом: Ео <-> Со, Е} <->
C2,£2oQ.
Однако не все так просто, как может показаться на первый
взгляд. Каждое неприводимое представление Еа определяется своим
векторным базисом (иначе говоря, своим субстанционным множе-
ством), а каждый класс эквивалентности С, определяется специфи-
ческой периодичностью подстановок, входящих в класс (т.е. своим
операционным множеством). Прямой связи между субстанционным
и операционным множествами не существует. Тем не менее, ис-
пользуя так называемые диаграммы Юнга (иногда их называют
диаграммами Ферре), можно однозначно установить размерность
базиса линейного преобразования Еа на основе периодичности под-
становок С,. На примере нашей группы диэдра D3 покажем, как это
делается.
Заметим, что изложенная ниже методика применима только для
симметрических групп S„, порядок которых определяется формулой
- п! и которая состоит из всевозможных перестановок из п индексов
(рассматриваемая нами группа как раз такова: D-. = 53). Далее, по-
добную методику можно использовать для полной группы симмет-
рии тетраэдра Тй, которая состоит не только из поворотов этой
геометрической фигуры (7), но и отражений ее в плоскостях сим-
метрии {Т& = ST), а также группы вращений икосаэдра (Y = ST). Одна-
ко для несимметрических групп, например £>), поиск всех неприво-
димых представлений Еа является уже нестандартной задачей, тре-
бующей значительных творческих усилий.
2.2. Группы на матрицах и подстановках
191
Размерность представления и диаграммы Юнга
Введем понятие диаграммы Юнга. Для группы первого порядка Ci
= Si диаграмма Юнга представляется единственной пустой клеткой,
которая обозначается символом [1]. Для С2 = 3’2 имеем две диаграм-
мы Юнга: симметричную [2] и антисимметричную [11], которые
соответствуют двум способам разбиения числа 2. Для к полно-
стью симметричной [3] и антисимметричной [111] добавляется диа-
грамма со смешанной симметрией [21]. Перечисленные диаграммы
Юнга изображены на рис. 2.7.
S
	
[1И]
[21]
Рис. 2.7
Размерность представления, т.е. то, что нас сейчас больше всего
интересует, зависит от числа возможных способов образования
конкретной диаграммы Юнга. На рис. 2.8 показано, как получить
двухмерное представление, отвечающее диаграмме [21] для 53, из
двух диаграмм ([11] и [2]) для S2. С этой целью Производят различ-
ную нумерацию клеток, при которой индексы могут только возрас-
тать слева направо в каждой строке и сверху вниз в каждом столбце.
Так, учитывая способы образования диаграмм Юнга для S4 из диа-
грамм для S3, определяем, что для S4 будет существовать два одно-
мерных ([4], [ИН]), два трехмерных ([31], [211]) и одно двухмерное
представления ([22]). Различные способы заполнения диаграмм обо-
значены в угловых скобках.
Размерность представления можно найти через так называемую
угловую длину, которая определяется для каждой клетки диаграм-
мы Юнга. Угловая длина ( /,) равна числу клеток, расположенных
справа и ниже z'-ой клетки, плюс единица (т.е. учитывается сама z-ая
клетка, для которой ищется угловая длина). Размерность диаграммы
Ю[Л]) определяется как частное от деления порядка симметриче-
ской группы («/) на произведение угловых длин от всех клеток дан-
ной диаграммы:
192
2. Группы
Рассчитаем размерность представлений симметрической группы S5:
£>[11111] = £)[5] = 51/1-2-3-4-5 = 1,
£>[41] =£>[2111]= 51/1-1-2-3-5 = 4,
£>[32] =£>[221] = 51/1-1-2-3-4 = 5,
. £>[311] = 51/1-1-2-2-5 = 6.
[22]ГЩ
1	2	3	4
1	3
2	4
[ПИ] <2
Рис. 2.8
С помощью диаграмм Юнга можно непосредственно вычислить
характеры и сами ортонормированные неприводимые матричные
представления без предварительного нахождения их базиса. Под-
робное изложение этой методики можно найти у М. Хамермеша в
указанной книге, где помимо прочего описан способ нахождения
так называемых символов Яманучи, придающих представлениям
однозначность. Мы же предпримем сейчас сокращенное изложение,
позволяющее, тем не менее, найти все матрицы двухмерного пред-
ставления отвечающего диаграмме [21] группы £>3 = 53.
Диагональные матричные элементы для диаграммы < i > и смеж-
ной транспозиции (к-\,к) определяются по формуле:
< z| к- 1, к\i>~	i)] ’	(2.36)
2.2. Группы на матрицах и подстановках
193
где Р^,к) = \С(к) - С(к - 1)] - [/?(£) - R(k - 1)].
Здесь P(k-\,k) — аксиальное расстояние между числами к - 1 и к в
диаграмме < i >; С(к) и С(к- 1) — номер столбца к или к - 1 элемен-
та в диаграмме < i >; R(k) и R(k - 1) — номер строки к или к - 1 эле-
мента в диаграмме < i >. Если числа к и к - 1 находятся в одной
строке, то аксиальное расстояние равно 1, а если к и к - 1 находятся
в одном столбце, то аксиальное расстояние равно (-1). Недиаго-
нальные матричные элементы между диаграммой < i > и диаграм-
мой < j > транспозиции (к - 1, к) не равны нулю, если < i > получа-
ется из < j > путем перемены мест индексов к и к - 1, в противном
случае недиагональный элемент равен нулю. Ненулевой матричный
элемент определяется по формуле:
<11 А 1Д|у> = {1 - [^Л)Г2}1/2-	(2.37)
Если помнить, что любую транспозицию можно представить
произведением смежных транспозиций (2.25), а всякую подстанов-
ку можно разложить на произведение транспозиций (2.26), то при-
веденных формул будет достаточно для вычисления матричных
представлений. При пользовании формулами (2.36) и (2.37) счет
индексов у транспозиций (к - 1, к) будет начинаться не с к = 0, а с к
= 1, так что наша транспозиция (012) = (123). Методику вычисления
матричных элементов продемонстрируем на примере двухмерного
неприводимого представления Е2 группы IE, отвечающего диа-
грамме [21] с двумя способами расстановки ийдексов < 1 > и < 2 >
(рис. 2.8).
Для смежной транспозиции (23) диаграммы < 1 > имеем диаго-
нальный элемент, равный
< 11 2 31 1 > = [/gr' =[1-2-(2-1)Г =-1/2.
Для этой же транспозиции, но диаграммы < 2 > имеем другой диа-
гональный элемент —
< 2 I 2 3 I 2 > = [Р^Г1 = [2-1 -(1-2)]-1 =1/2.
Недиагональные элементы равны между собой:
< I I 2 3 I 2 > = < 21 2 3 I ! > = (1 - [С1 ~2!''2 =Тз/2.
Следовательно, матрица неприводимого представления Е2 для
194
2. Группы
транспозиции (23) — она же выступает в роли одной из подстано-
вок группы £>з — выглядит следующим образом:
(23) =
Для транспозиции (12) имеем:
< 11 1 2| 1 > = 1, <2|12|2> = -1,<1112|2> = <2|12|1> = 0.
Соответствующая матрица равна: (23) = f q	.
Так как (13) = (32)(12)(23), (123) = (12)(13), (132) = (13)(12)
после перемножения вычисленных матриц находим окончательно:
Представления группы квадрата
Перейдем к рассмотрению некоммутативной группы D\. Она отве-
чает пространственному вращению квадрата (рис. 2.46). Вращения
описываются следующей системой преобразования координат:
г = (0),	х' =х,	у'=у,	z' =z,
а = (0123),	х' =у,	У' = ~х,	z' = z,
а2 = (02)(13),	х' = - X,	у' = -у.	z' = z,
а3 = (0321),	х' = -у,	У' =х,	z' = z,
b = (01)(23),	х' = -х,	у' =У,	z' = -z,
аЛ = (13),	х'=у,	у' =Х,	z' = -z,
а2Ь = (ОЗ)(12),	х' = X,	. У = ~У,	z' — ~ z,
а3Ь = (02),	х' = -у,	У' = ~х,	y' = -x,
Все элементы D ' распадаются на пять классов эквивалентности:
Со ={«?}, С, = {«2}, С2={а,а3}, C3={b,a2b}, C4={ab,a3b}.
Число неприводимых представлений равно числу классов. Пользу-
ясь критерием полноты набора неприводимых представлений (2.35),
определим размерности пяти представлений:
£и2=12+12+12+12+22=8.
2.2. Группы на матрицах и подстановках
195
Таблица 2.48
	а	2 а	а3	ъ	ab	cTh	a3b
Ео	1	1	1	1	1	1	1
£	1	1	1	-1	- 1	- 1	- 1
£	- 1	1	- 1	1	- 1	1	- 1
£	- 1	1	- 1	-1	1	- 1	1
Ед	(°.	(-1 0) Р	(? -»')	р 0) Р 1;	Г° 11		p oj
£	(?»')	0) (о -1J	(°. у	(°.»')	£ °1	(? J)	p 01 p 1)
Неприводимые представления
{Ео, Е\, Е2, Е3, Ед} приведены в
табл. 2.48. Двухмерное представ-
ление Ед получается из преобразо-
ваний координат для осей х и у,
одномерное Е\ отвечает преобра-
зованиям оси z; минус единица
представления £3 ставится для не-
четных подстановок; строка для £2
записывается из соображений об
ортогональности (2.30), когда из-
вестны три других одномерных
представления. Помимо указанных
пяти неприводимых представле-
Таблица 2.49
D{-2	Co	C]	c2	Сз	Сд
Eo	1	1	1	1	1
Er	1	1	1	-1	-1
e2	1	1	-1	1	-1
E3	1	1	-1	-1	1
Ед	2	-2	0	0	0
e5	£	^2	0	0	0
Eo	3	- 1	1	-1	-1
£7	4	0	0	0	2
£	4	4	0	0	0
Eg	8 ,<	0	0	0	0
ний, в табл. 2.48 дано еще одно эквивалентное Ед, ортогональное,
двухмерное представление £5, полученное на базисе векторов, про-
веденных из центра координат к вершинам 0 и 3. Координаты вер-
шин квадрата (рис. 2.26) определяют базис для Ед.
0-(1,1), 1=(1,-1),	2 = (-1,-1),	3 = (-1,1).
В таблицу характеров (табл. 2.49), помимо неприводимых пред-
ставлений, входят четыре приводимых: £' - полученное на базисе х,
у, z; £7 - полученное на базисе 0, 1, 2, 3; £8 = £4 х £4; £9 - регуляр-
ное представление. Используя формулу (2.33), можно провести сле-
дующие разложения:
£б = £1 + £4,	£5 = Ео + Е] + £? + £3 + 2-Ед,
Е-/ = £о + £3 + £4,	£8 = Ео + Е\ -Ь £2 + £3.
196
2. Группы
Представления группы кватерниона
Из групп восьмого порядка осталась не рассмотренной группа ква-
терниона D}. Если в качестве базиса взять векторы:
0 = (l,z),	2 = (i, 1),	4 = (1,-0,
l = (-l,-z), 3 = (-z,-1),	5 = (-1,0,
то они породят операционное множество, образующее двухмерное
неприводимое представление:
6 = (—z, 1),
7 = (z,- 1),
/ = (0213)(4756) = 1 q
-е = (01)(23)(45)(67) = ^01 _°J
0^1
-/ = (0312X4657)= q
7 = (0415X2637) = f_°
-/ = (0514)(2736) = p
-k = (0716)(2435) =^_°i
k = (0617)(2534) Д
как и группа диэдра D*, состоит
1)
0 •
Группа кватерниона D%,
классов — Co = {e},Ci = {- e},C2 = {i, -i},C3 = {/, -j},C4 = {k, - k},
следовательно, одномерные представления — Eq, Еь E2, Е2 — у нее
совпадают с предыдущим случаем (табл. 2.48).
В разделе, который называется «Геометрическая интерпретация
групповых преобразований», нельзя не сказать о важнейшей ин-
терпретации произведения двух кватернионов. Подобно тому, как
произведению двух комплексных чисел —
Z = coscp + i sintp = а + i b= £
из пяти
-b
a
О
О ’
О ’
- d
z'= cos<p' + i sincp' = c + id =
d c ) ’
отвечают два последовательных поворота в плоскости х, iy :
Z = zz'~ (costp + i sincpX costp' + i simp') =
= (a + i b)(c + i d) = (ac - bd} + i (ad + cb) =
_ (a - jWc - d] _ (ac - bd -(ad + cZ>)^| _
a J i d c \ [ad + cb ac - bd J
произведению кватернионов соответствуют последовательные вра-
щения в пространстве трех измерений.
2.2. Группы на матрицах и подстановках
197
Кватернион, как мы уже знаем, получается за счет удвоения ком-
плексного числа или на базисных матрицах, которые могут иметь
следующий вид:
q = z + j z'= (a + ib)+j(c + id) = a + ib+jc + kd =
= O|1 °l +b\° -1
al,0 1	° 1 0
i 0 'I ./0 i V (a + ic ~(b - id)
0 - i) I i 0 J I b + id a-ic
Составим произведение двух кватернионов:
Q = q q' = (а + i b + j с + к d)( a'+ ib'+ jс'+ к =
= (aabbcc'- dd) + a(i b'+j c'+ к d) +
( i
+ a'(i b +j с + к d) +.
b
b'
j
c
c'
ky
d
d'
/
Здесь скалярная часть произведения есть произведение скаляр-
ных частей множителей минус скалярное произведение их вектор-
ных частей. Векторная часть произведения состоит из суммы про-
изведений скалярной части каждого множителя на векторную часть
другого плюс произведение векторной части первого множителя на
векторную часть второго. Таким образом, все существующие виды
умножения в векторной алгебре являются осколками единой опера-
ции перемножения двух кватернионов.
Перемножение двух сопряженных кватернионов дает скаляр:
(a + ib+jc + k d)(a - i b - j с - к d) = а2 + b2 + с2 + d2.
Кватернион с нормированными коэффициентами:
а2 + Ь2 + с2 + d2 = 1,
можно представить через тригонометрические функции:
q = cos (р/2 + sin <p/2(i cos а + j cos р + к cos у) .
где а, р и у — углы между некоторым вектором р и осями коорди-
нат, (р — угол вращения вокруг р.
Пространственное вращение, описываемое кватернионом q, за
которым следует вращение q' дает результирующее изменение ори-
ентации, описываемое кватернионом Q. Предположим, кватернион
q отвечает повороту вокруг оси х на угол ср = л/2, a q'— точно на
такой же угол, но вокруг оси у, что соответствует формулам:
198
2. Группы
q = cos л/4 + /sin тг/4 = —=(1 + i) ,	q'=	+
<2
Тогда результирующее вращение будет равно:
Q = cos тг/З + sin п/З [—(/ + j - к) = —(1 + i + j - к).
v 3	2
Таким образом, результирующее вращение происходит на угол 2п/3
вокруг вектора р с направляющими косинусами, равными 1/з/з .
Известны другие формулы задания вращения в трехмерном про-
странстве. Так, матрица А в линейном преобразовании (2.1) может
выглядеть либо так:
	'ап	«12	«в"!		(1	0	о)		' 0	- cosy	COSp	
А =	а21	«22	«23	= COS(p	0	1	0 1,	+ 8Шф	cosy	0	- cosa	4-
	5«31	«52	«33 2			0			l^-cosp	cosa	0 2	
cos’ а
+ (1 - cos<p) cos р cos а
cos у cos а
cos а cos Р cos а cos у
cos2p cos р cos у
cos у cos р	cos2 у
и тогда взаимосвязь между параметрами вращения и матричными
элементами будет такой:
cos<p = 1/2(нц + 022 + «зз - 1), cosa = (l/2sin(p)( о32 - «гз),
cosp = (l/2sin<p)( ан - «31), cosy = (1 /2sincp)( а21 - O|2);
2
оц = coscp + (1 - coscp)cos а и т.д.;
либо через углы Эйлера фь ф2 и ф3:
А =
и тогда
"совф,
sinc^!
I О
-зшф!	о¥ соаф,	0	зтф, Усовфз	8тф3	О'
созф,	0	0	1	О ] зтф3	СО8ф3	О
О	1 ^-^тф,	0	соБфЦ о	0	1?
ф	ф]+ф3	ф2
cos—=cos—-----cos-—
2	2	2
, os i = cos ф icos ф 2 cos ф з - sin ф jsin ф з и т.д.
Если перемножать две матрицы А и В, то результирующая матрица
С будет иметь вид исходных матриц сомножителей, т.е. закон замк-
нутости здесь тоже действует. В силу ассоциативности и существо-
вания обратных матриц можно говорить о бесконечных группах
поворотов векторов в трехмерном пространстве.
2.2. Группы на матрицах и подстановках
199
Октава и алгебра Клиффорда
Введем удвоение кватерниона, в результате чего получим октаву,
о — q\ + Е q2 = (<т + ib + jc + kd) + Е(А + iB + jC + kD) =
= a + ib + jc + kd + EA + IB + JC + KD.
Закон умножения базисных единиц октавы будет задаваться табл.
2.50 (она задает умножения только для положительных базисных
единиц). Для октав перестает выполняться закон ассоциативности:
(ij)E *i(jE), так как (i j)E = К , a i(jE) = - К,
поэтому базисные единицы октавы уже не образуют группы.
В квантовой физике час- то приходится иметь дело с матрицами Паули, которые в математике называются спинорами: _ = <1 оД „ = (о i) s° 1^0 1J ’ 51 Д oj ’ _ _ ( о Л _ _ (1 о S2 ~	. п , \3 ~ п , 	Таблица 2.50							
	1	1	j	к	Е	I	J	К
	/	-1	к	-j	I	-Е	-К	J
	JL	-к	-1	i	J	К	-Е	-I
	к	а	- i	- 1	К	-J	I	-Е
	Е	-I	-J	-К	- 1	i	i	к
	I	Е	-К	J	- i	-1	-к	J
	J	К	Е	-I		к	-1	-1
	К	-J	I		-к		i	-1
Существует простая связь между спинорами и матрицами базисных единиц кватерниона: / = is2 = »is3, j = is3 = s2st, k = is\ = s3s2. Закон ассоциативности для матриц Паули выполняется:								
«1(»2«3) = («1«2>3=-Г
Однако группы эти базисные единицы тоже не образуют, поскольку
нарушен закон замкнутости. Тем не менее, на них можно построить
любопытный математический объект — алгебру Клиффорда.
Алгебра Клиффорда на матрицах Паули представляет собой чи-
словой агрегат следующего вида:
Л = ад, + a{sr + a2s2 + a3s3 +	+ a23s2s3 + a31s3S] + a123Si»2s3 .
В состав агрегата А входит один скаляр, три вектора, три бивек-
тора и один тривектор (или псевдоскаляр). При перемножении
таких агрегатов, в силу условий для спиноров s,Sj + SjS, = 0 и у2 = 1,
будут возникать два типа умножения базисных единиц — внутрен-
200
2. Группы
нее и внешнее. Внутреннее произведение (его еще называют скаляр-
ным) возникает тогда, когда s,- входит в базисную единицу п-вектора
sis?... sn, например:
»2 • S1S2S3 = S2S1S2S3 = - S1S2S2S3 = - 51S3,
в результате чего, если говорить об общем случае, и-вектор перехо-
дит в (п - 1)-вектор; а внешнее, или векторное, когда s, не входит в
лдл’2 ••• например: s2 х х^з = S2S1S3 = - S1S2S3, и тогда и-вектор пере-
ходит в (и + ] )-вектор. Поскольку путаницы между этими произве-
дений не возникает, их можно не различать специальными симво-
лами « • » и « х ». Так, при перемножении двух векторов —
,	,	( W U + IV]
S = и Si + V S2 + W «3 =	.	,
[и-IV -W )
,	/	, /	,	/	( w' u' + iv'
s - U S\ +v s2 + w	\ , . ,	,
\u -iv -w
возникает скаляр и бивектор —
S - ss '= (ни'+ w'+ ww ) +
S2S2>
и
t
и
V
v'
w
w
Представления диэдров 5-го и 6-го порядков
Перейдем от геометрической интерпретации умножения z, q и s к
представлениям некоммутативной группы десятого порядка D's. Она
имеет четыре класса —
Со= {е}, Cj = {в, а4}, С2 = {в2, в3}, С3 = {b, ab, а2Ь, <rb}.
Здесь существует два одномерных и два двухмерных представле-
ния. Характеры этих представлений помещены в табл. 2.51. Если
принять, что
р = cos( 2л/5) = * +	, q = cos( 4л/5) = —-—
4	4
г = sin(2n/5), 5 = sin(4rc/5).
то базисными векторами для неприводимого представления Е2 мо-
гут служить вершины правильного пятиугольника (рис. 2.5):
О = (1, 0), 1 = (р, г), 2 = (q, s), 3 = (q,~ s), 4 = (р,- г).
Эти векторы вращаются под действием матриц представления Е2 в
2.2. Группы на матрицах и подстановках
201
соответствии с подстановками:
a = (01234) = [j	а- = (02413) = ^	=13142) = (Д
«’=(04321) = [/’.	* = (14)(23) = (1 _°J й4Л = (01)(24) = [Д
«3Л=(02)(34)=Д ДД Л = (03)(12) = Ц5 _^,«Л = (04)(13) = ДД
Проведем через середины сторон пра-
вильного пятиугольника перпендикуля-
ры, получим новую систему векторов:
0 = (-<7, Д 1=(-1,0), 2 = (-<?,-£),
3 = (-/>, г), 4 = (-/?,-г).
Они могут служить базой для ортого-
нального представления Е3:
Таблица 2.51
	Со	Q	с2	Сз
Ео	1	1	1	1
Е\	1	1	1	-1
е2	2	2'Р	2-</	о
Е3	2	2-7	2'Р	0
Из пяти групп двенадцатого порядка три некоммутативных. Нач-
нем с анализа группы диэдра Dl6. Она содержит шесть классов эк-
вивалентности: Со ={е}, Ci ={а3}, С2 ={а, а5}, Сз-(а2, а4},
С4 = {b, a2b, a4b}, С5 = {ab, ab, а5Ь}.
Следовательно, для нее существует четыре одномерных и два двух-
мерных представления (табл. 2.52), причем одно из них (Д) гомо-
морфное, другое (Es) изоморфное.
Базисом для представления С5 служат векторы, проведенные из
начала координат к вершинам шестиугольника (рис. 2.6):
0 = (1,0), 1= (1/2,ЛД),	2= (-1/2,л/з/2),
3 = (- 1, 0), 4 = (-1/2,-Тз/2), 5 = (1/2д/з/2).
Пусть образующими будут а и b = (15)(24) = [ q тогда Е$:
202
2. Группы
а3 =(03)(14)(25) = ^01 _°J
a3b = (03)(12)(45) = (-1 0),
Таблица 2.52
р'2	Со	Ci	с2	С3	с4	с5
£о	1	1	1	1	1	1
Е\	1	1	1	1	-1	-1
£2	1	- 1	-1	1	1	-1
Е3	1	- 1	-1	1	-1	1
£д	2	2	- 1	- 1	0	0
£5	2	-2	1	- 1	0	0
Базисом для гомоморфного
представления £4 служат пер-
пендикуляры, проведенные из
начала координат к серединам
сторон шестиугольника. Име-
ется только три таких прямых,
каждую из которых мы обозна-
чим двумя индексами:
{0,3} = (л/з/2,1/2),	{2,5} = (-Тз/2,1/2),	{1, 4} = (0, - 1).
Операционное множество £4 тоже сократится вдвое:
2.2. Группы на матрицах и подстановках
203
{ab,a4b}
{а2Ь,а5Ь} = ^1
Группа D2 отличается от D'6 тем, что вместо шести элементов с
периодом 2 появляются шесть элементов с периодом 4. Отличная от
D\ часть операционного множества D; изоморфного представле-
ния £5 выглядит следующим образом:
ab = (073А)(184В)(2956) =
а2Ь = (0936)(1А47)(2В58) = Г 9j, b = (0639)(174А)(285В) = К _°(
Гомоморфное представления Е4: {а2Ь,а5Ь} = \J ®
{ab,a4b} =
Дополнительными базисными векторами для представлений Е4 и Е5
группы Dl являются первые столбцы приведенных матриц.
Представления групп тетраэдра, куба и икосаэдра
Группа тетраэдра Т отличается от двух рассмотренных групп 20-
го порядка. Характеры 4-х представлений выписаны в табл. 2.53.
204
2. Группы
Таблица 2.53
	Со	С[	с2	Сз
Ео	1	1	1	1
£.	1	1	со	со2
£2	1	1	со2	со
£з	3	-1	0	0
Рассмотрим трехмерное представление
£з, базисом которого являются векторы:
о =(-1/з ,-72/з,-7б/з),
1= (-1/3,-л/2/з,Тб/з),
2 = (-1/3,-2Т2/з,0),3 = (1,0, 0).
Классы сопряженности группы тетраэдра Т:
С0={е}, G = {ab, Ьа, ab2a}, С2={а, Ъ2, а2Ь, Ьа2}, С3 ={й2, b, ab2, Ь2а}.
В представлениях Е\ и Е2 участвуют кубические корни из единицы
— {1, со, со2}, представление £3 состоит из двенадцати матриц:
а = (012)	—	п 0	0 -1/ /2 ^Л	0 1 гл -1/ /2 Л		а2 =(021)		4 0 1о		0	0 -1/ -Л/ /2	/2 5 4/ -1/ /2	/2 7
b = (123) =	а	-^л ГЛ	^л -уь ^л	о ' ^Л У)		, Ь2 =(132) =	(-V У 0 \			-1/ Лз/ Ль /6 > кк а J
/ ab = (02)(13) =	4		гл -2/ /з	ГЛ} -^л 0 J		, Ьа = (01)(23)			' -у, л/, О' ЛА А о. 0	0 1 к	7	
ab2a = (03)(12) =	( -/ р/		~ГгЛ -2/ /з у,	~лл л 0		, а2/> = (031) =	-х -^л			-^л -лл 5/	~Е/ /6	/6 ’ •% -А)
Ьа2 =(023)=	'-х ^л ЛЛ		-V /6 -Л/ /6	0 \/ /2		, а£2 =(032) =	(-1/ 4 0			-л/, -1/ -Лз/ /6	/Ь ~Лз/	1/ /2	/2 J
е	=(	0) =	fl 0 0 1 0	0л 0 X	>	й2а = (013) =	к	-1/ /3 X		^2Л глл У Ё/ /6	/6 “Л/ -1/ /б	/2;
Представление £0 — единичное; Е\ и Е2 — гомоморфные, возник-
шие благодаря наличию в группе тетраэдра Т нормального делителя
2.2. Группы на матрицах и подстановках
205
N = {е, ah, ba, ab2a} типа С22. Соответствие между классами и пред-
ставлениями здесь такое: Ео <-> Со, £i <-> C-l, Е2 «-> Q, £3 <-> С). Та-
ким образом, на первый взгляд возникла необычная ситуация: класс
коммутативных элементов С] породил изоморфное некоммута-
тивное представление £3, а два смежных класса некоммутативных
элементов С2 и С3 отвечают двум коммутативным представлениям
£1 и £2. Странным кажется и то, что восемь внешне одинаковых 3-
цикла распались на два различных класса
эквивалентности.
Тетраэдр, который изображен на рис.
2.9, складывается из четырех равносто-
ронних треугольников. Следовательно,
он имеет четыре граневых оси третьего
порядка, совпадающих с его вершинными
осями, и три реберных оси второго по-
рядка. Граневые оси дадут 8 элементов
симметрии, вершинные — 3; добавив сю-
да один тождественный элемент, мы как
раз и получим 12 элементов симметрии
для этой геометрической фигуры.
Некоммутативную группу вращений тетраэдра (7) можно полу-
чить путем перемножения элементов двух коммутативных — С3 и
С2 — с образующими: а = (012), х = (01 )(23), у = (02)(13); при пе-
ремножении С3- С2 будем иметь
Т = {е, а, а2} • {е, х, у, ху} =
= {е, а, а2, х,у, ху, ах, а2х, ау, а2у, аху, а2ху}.
С геометрической точки зрения, рассмотренная группа симмет-
рии тетраэдра Т не является полной. Ее можно увеличить в два раза,
если произвести умножение группы тетраэдра Т = С3- С22 на группу
С2 = {е, z}, где в качестве образующего z выбрать транспозицию
(01). Группа С2 будет отвечать плоскости зеркальной симметрии,
проходящей через две вершины (2, 3) и середину ребра (0, 1) (см.
рис. 2.9). Эта зеркальная плоскость за счет осей симметрии размно-
жится на шесть (по числу ребер), что приведет к появлению шести
различных транспозиций. Комбинируя эти транспозиции между со-
бой, получим еще шесть циклических подстановок четвертого по-
рядка. Полная группа симметрии тетраэдра Т& будет состоять из
24-х элементов симметрии, которые приведены в табл. 2.54.
206
2. Группы
Тетраэдр можно вписать в куб (рис. 2.10), который имеет 6 квад-
ратных граней с тремя осями четвертого порядка, 8 вершин с че-
тырьмя осями третьего порядка и 6 реберных осей второго порядка.
Таким образом, группа вращений куба (октаэдра) О складывается
из следующих операций: вокруг каждой вершинной оси имеется два
нетождественных поворота, до полного совмещения всех геометри-
ческих элементов куба; вокруг каждой граневой оси также имеется
по три нетождественных поворота; наконец, существует по одному
повороту вокруг реберных осей. После того, как мы добавим один
тождественный поворот, получится полная группа вращений куба, в
состав которой тоже входит 24 элемента, т.е. полная (с отражения-
ми) группа симметрии тетраэдра Т изоморфна группе вращений ку-
ба О. Добавим к сказанному, что в кубе, как и в тетраэдре, можно
провести зеркальные плоскости, а также ввести центр симметрии,
тогда число элементов в группе куба возрастет до 48.
Если пространственные диаго-
нали куба пронумеровать числами
от 0 до 3, вершины куба — от 0 до
7, как показано на рис. 2.10, а гра-
ни куба — числами от 0 до 5 (при-
чем грань 0123 как 0, 4567 как 1,
1256 как 2, 2367 как 3, 0347 как 4 и
0145 как 5), то будем иметь три
системы изоморфных подстановок
— 0(4), 0(6), 0(8). Подстановки
можно получить многими спосо-
бами, в частности, как умножение
группы тетраэдра (Г) на одну из 6
циклических подстановок четвертого порядка (и), или как различ-
ные произведения двух образующих а и Ь. Упомянутые элементы
симметрии приведены в табл. 2.54, в которой принято:_а = а 1 и b =
b ~1. Характеры пяти представлений полной группы симметрии тет-
раэдра Тй (группы вращений куба О) приведены в табл. 2.55. Обра-
зующими гомоморфного представления Е2 являются:
2.2. Группы на матрицах и подстановках 207
Образующие изоморфного представления Е3 —
и образующие изоморфного представления Е4 —			
	( К	0 )		/ ^А
а =	X ЛА	, b =	ГА ~У. о
	Уб/ -Уг/ I/ /з	/з /з J		0	0	1 У	У
Таблица 2.54
№	Та, 0(4)	0(6)	0(8)	а, b	a, x, у, и	Ci
0	(0)	(0)	(0)	е	e	Co
1	(01)(23)	(01)(35)	(07X16X25X34)	baba	X	Ci
2	(02)(13)	(24)(35)	(02)(13)(46)(57)	а2	У	
3	(03)(12)	(01)(24)	(05)(14)(27)(36)	baba	xy	
4	(012)	(043)(125)	(072)(146)	b	a	C2
5	(021)	(034)(152)	(027)(164)	b	a2	
6	(123)	(054)(132)	(143X257)	babab	a2y	
7	(132)	(045)(123)	(134)(275)	babaik.	ax	
8	(023)	(025)(143)	(025)(364)	babab	axy	
9	(032)	(052)(134)	(052)(346)	babab	a2y	
А	(013)	(032)(154)	(075)(136)	<Eb	a2xy	
В	(031)	(023)(145)	(057)(163)	ba2	«У	
С	(0123)	(2345)	(0123)(4567)	a*	u	Сз
D	(0321)	(2543)	(0321)(4765)	a	ay	
Е	(0213)	(0513)	(0473)(1562)	ba	ua2y	
F	(0312)	(0315)	(0374)(1265)	ab	ua2xy	
G	(0132)	(0214)	(0154)(2673)	ba	uaxy	
Н	(0231)	(0412)	(0451)(2376)	ab	ua	
I	(23)	(01Х25)(34)	(06)(17Х23Х45)	ab	ua2	c4
J	(13)	(03)(12)(45)	(06)(15)(24)(37)	ababa	их	
К	(12)	(02)(14)(35)	(06)(12)(35)(47)	aba2	uay	
L	(03)	(04)(12Х35)	(03)(17X24X56)	ba	uax	
М	(02)	(01X23X45)	(О4)(17)(26Х35)	baba2	uxy	
N	(01)	(05)(13Х24)	(01)(24)(35)(67)	a2ba	ua2y	
Напомним, что группа Td относится к симметрической — St, по-
этому к ней применима методика диаграмм Юнга, которая исполь-
зовалась нами для нахождения матриц неприводимых представле-
208
2. Группы
ний группы 5) = Ds, а также для определения размерности неприво-
димых представлений .$’4 (рис. 2.8).
Таблица 2.55
ТЛ	Со	Cl	с2	С3	С4
Е.	1	1	1	1	1
Е]	1	1	1	-1	-1
	2	2	- 1	0	0
Es	3	- 1	0	-1	1
Е.	3	- 1	0	1	-1
Таблицу характеров для пред-
ставлений полной группы симмет-
рии куба О.< можно получить путем
учетверения табл. 2.55, т.е. исполь-
зовать методику, которая применя-
лась для составления таблиц харак-
теров коммутативных групп
(табл. 2.44) и СзС4 (табл. 2.45).
Перейдя от группы вращений тетраэдра Т 12-го порядка к полной
группе тетраэдра Та 24-го порядка, мы, конечно, пропустили мно-
жество интересных групп, о которых необходимо сказать хотя бы
несколько слов. На примере циклической группы 13-го порядка мы
сделаем одно существенное замечание к матричным представлени-
ям. Дело в том, что представления необязательно должны быть ор-
тонормированными. Во вводном п. 2.1 для представления группы
Ds использовались матрицы с элементами, рассчитанными по mod
(2), а для коммутативной группы С(, — по mod (3). Следующие 12
матриц (без единичной) с элементами из целых чисел, взятых по
mod (3), вполне представляют коммутативную группу С\$.
1V
2 , 2
О
2V2
О , О
1
2V2
1 , 1
11
о Vo
2 , 2
2 V2
1 , 1
2 '
о Vo
0)
2 ,
2
Эти матрицы интересны тем, что
но неглавной (второй) диагонали. Однако никакого геометрическо-
все
они
симметричны относитель-
О
О
1
О
2
2
1
О
О
2
1
2
1 , 1
О
О
О
О
1
О , о
1
1
1
О
1 ,
1
1
1
1
О
1
1
1
2
2
1
1
1
о
О
2
2
1
1
2
О
2
1
2
2
О
1
1
2
О
О
О
2
1
О
О
го содержания в приведенных матрицах не заключено.
Ортонормированные представления любой диэдральной группы
имеют вполне определенный геометрический смысл, поскольку
группе диэдра можно поставить в соответствие действия над дипи-
рамидами. Группа диэдра 14-го порядка здесь не является исключе-
нием. Неприводимые представления группы D} отличаются от ана-
2.2. Группы на матрицах и подстановках 209
логичных для группы D\ (табл. 2.51) наличием третьего двухмер-
ного представления Е3. Характеры представлений приведены в табл.
2.56, в которой константами с, обозначены косинусы углов:
q = cos(2n/7) S 0.6234, с2 = cos(4n/7) = -0.2224,
с3 = cos(6n/7) s -0.9017.
Представления двух групп 16-го порядка и с одинаковыми
таблицами характеров (табл. 2.57) строятся во многом по аналогии с
представлениями групп Dlb и Dj .
Таблица 2.57
	Со	G	с2	G	с4	с5	Сб
Ео	1	1	1	1	1	1	1
Е\	1	1	1	1	1	-1	-1
Ei	1	1	- 1	1	-1	-1	1
Е3	1	1	- 1	1	-1	1	-1
Е,	2	2	0	-2	0	0	0
е5	2	-2	77	0	-77	0	0
Еь	2	-2	-77	0	77	0	0
Таблица 2.56
	Со	Ci	С2	Сз	с4
Ео	1	1	1	1	1
Е{	1	1	1	1	- 1
е2	2	2-С)	2-С2	2-сз	0
Ез	2	2-сз	2<1	2-с2	0
е4	2	2-с2	2-сз	2-С)	0
Таблицы характеров двух
других групп 16-го порядка,
типа С2£>4 и C2D^, получаются путем учетверения таблицы харак-
теров для групп D\ и D; (табл. 2.48). Для группы 16-го порядка
двухмерное изоморфное представление уже заметно отличается от
всех ранее рассмотренных; его образующими являются матрицы:
Геометрический смысл для группы О8 все еще сохраняется,
поскольку базисные векторы (первые столбцы матриц) могут быть
вычерчены в геометрическом пространстве с мнимой осью. Завер-
шим рассмотрение симметрии геометрических фигур икосаэдром.
Икосаэдр (рис. 2.11) имеет 20 треугольных граней, 30 ребер и 12
вершин, в каждой из которых сходятся по 5 ребер. Отсюда, очевид-
но, вытекает наличие у него 6 вершинных осей пятого порядка, 10
граневых осей третьего порядка и 15 реберных осей второго поряд-
210
2. Группы
ка. Несложный подсчет дает нам 60 элементов вращения. Группу
симметрии икосаэдра (У) можно получить, перемножая элементы
группы вращений тетраэдра (Г) на одну из циклических подстано-
вок пятого порядка. Точно так же, как в группах тетраэдра и куба,
число элементов симметрии икосаэдра удваивается за счет введения
зеркальных отражений и центра симметрии. Напомним, что если
центры граней правильных многогранников принять за вершины
новых многогранников, то в тетраэдр, куб и икосаэдр можно впи-
сать соответственно сопряженные тетраэдр, октаэдр и додекаэдр.
Построенные таким образом геометрические фигуры относительно
исходных называются двойственными. «Двойники» имеют ту же
группу симметрии и систему подгрупп, что и исходные фигуры.
Тетраэдр, гексаэдр (куб), октаэдр, икосаэдр и додекаэдр образуют
пять Платоновых тел. Платон в своем сочинении Тимей атомам
пяти элементов — огню, воздуху, воде, земле и эфиру — приписал
форму этих пяти фигур.
полноты набора неприводимых
возможное разложение числа 60:
Рис. 2.11
Группа вращений икосаэдра
Y не имеет нормальных дели-
телей, т.е. в Y нет подгрупп,
куда бы входили полные клас-
сы сопряженности. Если ут-
верждается, что группа про-
ста, значит, все ее представ-
ления будут изоморфными,
одномерных представлений не
будет, за исключением еди-
ничного Ео (табл. 2.58). (Кон-
станты р и q в табл. 2.58 те же,
что и в табл. 2.51.) Критерий
представлений дает единственно
60 = I2 + З2 + З2 + 42 + 52 = 1 + 12 + 12 + 20 + 15.
Клейн утверждает, что вращения икосаэдра периода 5 распадутся
на два класса, в одном из которых окажутся повороты на угол ±
2я/5, в другом — на угол ± 4тг/5. Теперь спросим себя: каким обра-
зом 24 подстановки «догадались» тоже разделиться на два класса по
12 подстановок в каждом; ведь подстановки ничего не «знали» о
2.2. Группы на матрицах и подстановках
211
существовании икосаэдра? Тем не менее, обыкновенная процедура
преобразования подобия приводит к тому, что одна часть 5-циклов
попадает в класс Сз, другая — в класс С4 (табл. 2.59). Следователь-
но, индексы подстановок удивительным образом обладают одина-
ковыми свойствами с вершинами, диагоналями и другими деталями
икосаэдра. Оказывается, что в столь разнородные объекты, каковы-
ми являются подстановки и геометрические фигуры, поселился один
и тот же дух симметрии.	Таблица 2.58
Y	Со	С]	с2	Сз	с4
Еп	1	1	1	1	1
Е\	3	-1	0	-2-р	-2-ц
е2	3	- 1	0		-2-р
Е,	4	0	1	- 1	-1
Е,	5	1	-1	0	0
Таблица 2.59
Подстановки группы икосаэдра Y {Л4 ) Q
(02)(34)	(04)(12)	(14)(23)	(0)	Со
(23)(04)	(01)(24)	(24)(03)	(02)(14)	
(14)(03)	(02)(13)	(01)(34)	(03)(12)	с.
(12)(34)	(13)(04)	(01)(23)	(13X24)	
(024)	(042)	(013)	(031)	
(143)	(043)	(124)	(142)	
(134)	(034)	(014)	(041)	с2
(243)	(132)	(032)	(021)	
(234)	(123)	(023)	(012)..	
(01324)	(04231)	(03142)	(02413)	
(04312)	(02134)	(03214)	(04123)	Сз
(01243)	(03421)	(02341)	(01432)	
(01234)	(04321)	(02143)	(03412)	
(03124)	(04213)	(01342)	(02431)	С4
(01423)	(03241)	(02314)	(04132)	
И все-таки не настолько уж они единосущностны, как это может
показаться вначале. Стоит ввести для икосаэдра плоскости симмет-
рии, как тут же обнаруживается расхождение его симметрии с сим-
метрией 120 подстановок, переставляющих всеми возможными спо-
собами 5 индексов, т.е. с симметрией группы S5. Полная (с отраже-
ниями) группа симметрии икосаэдра не содержит в своем составе
212
2. Группы
инвариантной подгруппы Ci, хотя подгруппа такого порядка там
имеется. Геометрическая интерпретация есть проведение аналогии.
Но всякое сравнение имеет свои границы: то, что справедливо для
тетраэдра и икосаэдра как фигур вращения, уже неверно для них
как фигур с элементами отражения.
Подгруппу четных подстановок в симметрической группе Sn час-
то называют знакопеременной и обозначают как Аа. У нас получи-
лось следующее: знакопеременная подгруппа четных подстано-
вок изоморфна группе вращения тетраэдра Г; полная группа сим-
метрических подстановок S4 изоморфна полной группе симметрии
тетраэдра Td, т.е. переходы Л4 -> 54 и Т -> Td эквивалентны. Что же
касается икосаэдра, то здесь наблюдается иная картина: знакопере-
менная подгруппа А5 четных подстановок также изоморфна группе
вращений икосаэдра Y, но полная группа симметрических подста-
новок S5 уже не изоморфна полной группе симметрии икосаэдра Yd,
т.е. переходы Л 5 —> Ss и Y —> Уд не эквивалентны. Судя по описанию
симметрии икосаэдра, сделанному Клейном, такое различие до-
вольно трудно уловить человеческим воображением.
2.3. Групповые решетки из подгрупп
Отношение порядка
В этом подразделе мы продолжим морфологический анализ групп,
но теперь уже с заметным упором на отношение порядка, которое,
прежде всего, реализуется в словах «быть подгруппой» или, более
развернуто, «совокупность элементов G\ образует подгруппу в
группе С2». Естественно, подгруппа Gi включена в группу Go, одна-
ко отношение включения является слишком широким, а значит и
более бедным понятием, чем быть подгруппой. Оно больше подхо-
дит к аморфным множествам, о которых речь впереди, хотя любое
отношение порядка определяется через три закона: рефлексивно-
сти, антисимметричности и транзитивности. Для отношения
быть подгруппой все три закона выполняются. Закон рефлексивно-
сти выполняется постольку, поскольку всякая группа G является
несобственной подгруппой группы G. Закон антисимметричности
также выполняется, так как если G\ является подгруппой Gz и Gz
является подгруппой G\, то группы G, и G2 изоморфны. Наконец,
для подгрупп справедлив и закон транзитивности-, если Gj являет-
ся подгруппой Gi и Gz является подгруппой С7з, то G*. непременно
будет подгруппой (Д.
2.3. Групповые решетки из подгрупп
213
Подгруппы G], Gz, Сз и т.д. образуют узлы, а отношения типа «G]
является подгруппой С2» — связи между узлами G] и G2. Узлы и
связи вместе составляют решетку или структуру подгрупп группы
G, которая обозначается S(G). Две несобственных подгруппы груп-
пы G ограничивают решетку S(G) снизу и сверху, являясь ее полю-
сами. Решетку S(G) удобно изображать графически и, как некий
графический объект, она обладает определенными групповыми
свойствами, отличными от групповых свойств исходной группы G.
Группу симметрии решетки обозначим символами S[G]. Нередко
группа S[G] изоморфна или инвариантна (т.е. G является подгруп-
пой группы S[G]) относительно всех преобразований исходной
группы G; в этих случаях она называется прозрачной.
Решетки всех коммутативных групп инверсные. Это значит, что
существует такая подстановка i, которая без нарушения связей пе-
реворачивает решетку “с ног на голову” и заменяет полюса на про-
тивоположные. Встречаются такие некоммутативные группы, ре-
шетка которых совпадает с решеткой от какой-нибудь коммутатив-
ной группы. В таких случаях решетка от некоммутативной группы
тоже будет инверсной. Инверсная подстановка i не входит в группу
симметрии решетки S[G]. Это особая подстановка, осуществляющая
преобразование узлов решетки вдоль ее вертикальной оси, соеди-
няющей полюса, тогда как группа преобразований S[G] переставля-
ет узлы, не изменяя их порядка. Порядок узла совпадает с порядком
подгруппы, которую он представляет. Совокупность узлов одного
порядка образует уровень соответствующего порядка. Порядок узла
или порядок всего уровня, естественно, является делителем порядка
группы G. Число уровней для групп с небольшим числом элементов
в большинстве случаев равно числу делителей порядка группы. Ес-
ли это условие выполняется, решетка называется правильной. В
правильных решетках все пути от нижнего полюса до верхнего со-
держат одинаковое число связей. Группа тетраэдра Т двенадцатого
порядка, у которой отсутствуют подгруппы шестого порядка, начи-
нает бесконечный ряд неправильных решеток. В неправильных ре-
шетках число связей между полюсами различно.
Чрезвычайно важно понять с самого начала одну простую исти-
ну: подгруппы не появляются в результате какой-либо нашей с вами
деятельности, например, через процедуры объединения, пересече-
ния или умножения элементов. Объективно существуют группы, и
214
2. Группы
они независимо от нас поделены на подгруппы. Наша задача состо-
ит лишь в том, чтобы найти эти подгруппы и установить имеющие-
ся между ними связи. Для групп с большим числом элементов такая
задача становится трудоемкой и требует особых приемов поиска.
Часто сама решетка подсказывает нам, все ли подгруппы найдены и
верно ли установлены связи. При последовательном изучении ре-
шеток обнаруживаются определенные закономерности. Для групп
16-го и 24-го порядка эти закономерности становятся особенно за-
метными. Так, для 14 решеток, построенных на подгруппах от
групп 16-го порядка, можно сформулировать, например, такие пра-
вила: число узлов на каждом из уровней нечетно и может быть
одним из восьми следующих — 1, 3, 5, 7, 9, 11, 15 и 35; число подхо-
дящих или отходящих связей тоже нечетно и равно 1, 3, 5, 7, 9, 11
и 15 (два последних числа относятся к полюсам). Аналогичным об-
разом выглядят правила для 12 правильных решеток, построенных
от групп 24-го порядка: количество узлов на всех уровнях нечетно
— 1, 3, 5, 7, 9, 13, 15 и 19; число связей при полюсах всегда четно —
2, 4, 6, 8, 10, 14 и 16; число связей, отходящих от уровней 2-го и 4-
го порядков, а также число связей, подходящих к уровням 6-го и 12-
го порядков, четно — 2, 4, 6, 8; число связей, подходягцих к уровням
4-го и 8-го порядков и отходящих от уровней 3-го и 6-го порядков,
нечетно — 1, 3, 5, 7, 9, 13, 15 и 19.
Нашей конечной целью будет построение так называемых мета-
решеток М\ь и от правильных решеток групп 16-го и 24-го по-
рядков. Дело в том, что все правильные решетки от групп одного
какого-то порядка являются подрешетками одной верхнеполюсной
решетки. И, так как все правильные решетки, кроме того, включают
в себя в качестве своей подрешетки одну общую для всех них ниж-
неполюсную решетку, они образуют «сверхрешетку», которая и на-
зывается метарешеткой. В роли верхнеполюсной могут выступать
решетки от различных групп, например, решетки типа S(C,m) и
S(7)n), но в роли нижнеполюсной выступает всегда одна — решетка
от простой циклической группы S(Cn). Неправильные решетки тоже
могут образовать свои метарешетки, в частности, две из трех непра-
вильных решеток, построенных от групп 24-го порядка, находятся в
отношении порядка.
Таким образом, наряду с отношением порядка типа быть под-
группой существует совершенно другое отношение порядка, а
именно: быть подрешеткой. Если утверждается, что «8(6)) являет-
2.3. Групповые решетки из подгрупп 215
ся подрешеткой 8(Со)», то это еще не значит, что группа симметрии
решетки S[Gi] является подгруппой группы симметрии решетки
8[Сг]. Чаще всего группы симметрии решеток S[Gi] и SfGy, из-за
принципиально различного строения, вообще несопоставимы. От-
ношение порядка типа «S(Gi) является подрешеткой S(G2)» означа-
ет, что множества узлов и связей решетки S(Gj) являются подмно-
жествами множеств узлов и связей решетки 8(6'2). Здесь узлы и свя-
зи решеток выступают в роли аморфных, т.е. не групповых, мно-
жеств. Поэтому отношение быть подрешеткой, по существу, явля-
ется отношением включения одного множества (меньшего по мощ-
ности) в другое (большего по мощности). С графической же точки
зрения, метарешетки по сравнению с решетками значительно ме-
нее регулярны. В них нельзя, в частности, найти закономерности по
четности узлов и связей. Они заметно отличаются даже от непра-
вильных решеток, поэтому их можно охарактеризовать как очень
неправильные. Такой термин хорошо подходит к метарешеткам Mi6
и Л/24, хотя метарешетки от групп с небольшим числом структурных
вариантов (т.е. М6, М$, М12, Мк, М20, /W27) вполне правильны.
Решетки групп с 1-го по 12-й порядок
Простые циклические группы С2, С2, С5, ... ,	*“•
Ср, где р — простое число, имеют решетку, ко-	Срхр
торая, если ее изобразить графически, выглядит Ср о г
как отрезок прямой, ограниченный двумя узла-
ми, соответствующими несобственным под- >'	"
группам {е}= (0) и Ср. Из двух отрезков состоит J,
решетка для групп типа С4, С9, C2i, Срхр (рис.	°
2.12). Группы 4-го, 9-го, 25-го порядков имеют
еще по одному коммутативному варианту, обо- Рис. 2.12
значаемому как С22, С2, С2 ... С2.
Собственными подгруппами для С3, к примеру, являются:
1 = {е, а, а2}, 2 = {е, Ь, Ь2}, 3 = {е, ab, а2Ь2}, 4 = {е, a2b, ab2}.
Все четыре узла имеют порядок 3. Поскольку собственные под-
группы образуют единственный уровень между полюсами, то и ин-
версная подстановка i представляет собой транспозицию, у которой
в качестве индексов выступают нижний и верхний полюса (транс-
позицию полюсов здесь и ниже писать не будем). Три решетки для
216
2. Группы
р = 2, 3 и 5 изображены на рис. 2.13. Группа симметрии таких реше-
ток определяется формулой:
Так, группа S[ С22 ] определяется подстановками Z)3:
S [С22 ] = {(0), (12), (23), (13), (123), (132)} «£>3.
Рис. 2.13	Рис. 2.14
Групп шестого порядка две — Св ~ С2С3 и D3. Их правильные
решетки изображены на рис. 2.14. Для S(C6) инверсная подстановка
равна i = (12). Несмотря на то, что узлы решеток S(C6) и S(D3) обра-
зованы непохожими собственными подгруппами —
С6: 1 = }е, а2, а6}, 2 = {е, я3};
D3: 1 = {е, а, а2}, 2 - {е, Ь}, 3 = {е, ab}, 4 = {е, а2Ь},
графически решетку S(C6) можно вписать в решетку S(D3), т.е. узлы
и связи решетки S(C(j) образуют подмножества соответствующих
множеств решетки S(D3). Следовательно, решетка S(Ce) образует
нижний, a S(D3) — верхний полюс метарешетки М6. Симметрия
решеток S(C6), S(Ci0) и т.д. минимальна — Сц решетки S(Z)3), S(D5)
и т.д. прозрачны'.
S [C2CJ « S [С2 хр] * Сь S [РД « Dp.
Групп 8-го порядка пять; самой элементарной из них, с точки
зрения структуры подгрупп, является циклическая группа С§. Ре-
шетка S(Cg) представляет собой трехзвенную цепь; она является
нижним полюсом метарешетки Mg. Теперь выпишем собственные
подгруппы С2: 1 = {е, а}, 2 = {е, Ь}, 3 = {е, с},4 = {е, ab},
5 = {е, ас}, 6 = {е, Ьс}, 7 = {е, abc}, 8 = {е, a, b, ab},
9 = {е, а, с, ас}, А = {е, b, с, Ьс}, В = {е, a, be, abc},
С = {е, Ь, ас, abc}, D = {е, с, ab, abc}, Е = {е, ab, ас, Ьс}.
2.3. Групповые решетки из подгрупп 217
Решетка из этих подгрупп S( ) изображена на рис. 2.15. Она явля-
ется верхним полюсом метарешетки М. Решетка 8(^з) является
инверсной, причем инверсию можно осуществить несколькими спо-
собами, в частности, подстановкой i = (18)(29)(3A)(4B)(5C)(6D)(7E).
Рис. 2.15
Группа симметрии S[C2]
обладает удивительными
свойствами. Подобно группе
вращения икосаэдра У, она
не имеет нормальных дели-
телей, т.е. является простой.
Все ее подстановки четны,
поскольку образующими
группы являются антикоммутирующие четные транспозиции.
Действительно, если переобозначить узлы решетки в соответствии с
подстановками —
а = (23)(45)(89)(CD), b = (12)(56)(9А)(ВС),
с = (24)(67)(AD)(CE),	d = (13)(27)(8D)(AB),
то графическая структура S( С2) останется без изменения. Составим
несколько произведений из этих подстановок, получим:
ab = (123)(465)(8A9)(BCD), ba = (132)(456)(89A)(BDC),
cb = (124)(567)(9AD)(BCE), be = (142)(576)(9DA)(BEC),
cd= (13)(2476)(8DBA)(CE), de = (13)(2674)(8ABD)(CE).
Если учесть, что узлы уровней 2-го и 4-го порядков при всех груп-
повых преобразованиях не переставляются, то для представления
группы S[ С2 ] достаточно взять подстановки, составленные для од-
ного какого-то уровня, например, нижнего. Все 168 четных подста-
новок простой группы S[ Cl ] разбиты на пять классов и выписаны в
табл. 2.60.
Как видно из этой таблицы, подстановки класса Сд, принадлежа-
щие одному столбцу, коммутируют между собой; если подстановки
берутся из различных столбцов, они будут антикоммутировать. Для
аналогичных простых верхнеполюсных групп прослеживается та же
самая закономерность: число коммутирующих подгрупп равно чис-
лу узлов (в данном случае 7), а число элементов, входящих в каж-
218
. 2. Группы
дую подгруппу, но отличных от тождественного, равно числу отхо-
дящих связей. У нас на каждый узел приходится по три таких связи,
следовательно, максимальной коммутационной подгруппой являет-
ся С22, в силу чего наша группа непрозрачна.
Таблица 2.60
Подстановки простой группы симметрии S[ С2 ]
(1476523)	(1523764)	(1375426)	(1742563)	(1345762)	(1235746)	(0)
(1753462)	(1635472)	(1624573)	(1234675)	(1736425)	(1367452)	(1462537)
(1637245)	(1274536)	(1432765)	(1627354)	(1647532)	(1642375)	(1657423)
(1542736)	(1467325)	(1746352)	(1524637)	(1452673)	(1726534)	(1276345)
(1264357)	(1342657)	(1453726)	(1267543)	(1724365)	(1435627)	(1543672)
(1325674)	(1253647)	(1576432)	(1472356)	(1563427)	(1573246)	(1324756)
(1756243)	(1567234)	(1365247)	(1653274)	(1376254)	(1254763)	(1735264)
(256)(374)	(135)(467)	(176)(254)	(175)(236)	(167)(234)	(135)(247)	(1541(236)
(236)(457)	(176X345)	(127)(456)	(136)(275)	(162)(347)	(153)(274)	(145)(263)
(237)(456)	(165)(374)	(142X576)	(157)(263)	(126)(374)	(124X357)	(123)(465)
(265)(347)	(167X354)	(172)(465)	(163)(257)	(174)(263)	(142X375)	(132)(456)
(275X346)	(156X347)	(124)(567)	(167)(257)	(124X376)	(134)(257)	(135)(264)
(273)(465)	(153)(476)	(164)(275)	(176)(235)	(147)(236)	(143X275)	(153X246)
(263)(475)	(173)(456)	(167)(245)	(135X276)	(142X367)	(152X374)	(124X365)
(257X364)	(137X465)	(146)(257)	(153)(267)	(176)(243)	(125X347)	(142)(356)
(67)(2345)	(36)(1745)	(47)(1256)	(56X1327)	(13X2476)	(17)(2435)	(16X2354)
(67X2543)	(36)(1547)	(47)(1652)	(56)(1723)	(13X2674)	(17X2534)	(16)(2453)
(24)(3756)	(14X3567)	(26X1754)	(12)(3675)	(27)(1436)	(45)(1372)	(25)(1463)
(24X3657)	(14)(3765)	(26X1457)	(12)(3576)	(27)(1634)	(45)(1273)	(25)(1364)
(35)(2746)	(57)(1643)	(15X2467)	(37)(1625)	(46)(1732)	(23X1475)	(34)(1562)
(35X2647)	(57)(1346)	(15)(2764)	(37)(1526)	(46X1237)	(23X1574)	(34)(1265)
(24X35)	(16)(25)	(15)(47)	(17X45)	(14X57)	(12X56)	(13)(46)
(24)(67)	(16)(34)	(15)(26)	(17)(23)	(14X36)	(12X37)	(13X27)
(35)(67)	(25)(34)	(26X47)	(23)(45)	(36)(57)	(37)(56)	(27X46)
Группу S[C2] можно задать, например, такими определяющими
ее соотношениями:
a6cb = b2c2a = b2a'c - с2 ah2,	ac2b2 = bca = са ’Ь2, са2 = а2Ьс2,
ab3c2 = Ьа'с2 = cab3 = cbab,	a2hc = a2cb = Л3«4с2 = с2а4,
ac2b = b a 'c = cb3a = cab,	a'b2 = c2b2a2, acb2 = Ь3а3,
a2b2c = b3a2c2 = ca5b = cha\ a3b2c = bac2 = bcii’ и т.д.
В справедливости этих соотношений можно убедиться, если вместо 1
2.3. Групповые решетки из подгрупп
219
букв а, b и с подставить, например, следующие подстановки:
а = (1476523)(8DBECA9), b = (67)(2345)(89)(ADEC),
с = (123)(465)(8A9)(CDB).
Все остальные решетки от групп 8-го порядка являются подре-
шетками решетки S(C2’). Так, восемь собственных подгрупп диэдра
D\\	1 = {е, Ь}, 2 = {е, а2}, 4 = {е, а2Ь}, 5 = {л ab}, 7 = {с, а3Ь},
%-{e,a2,b,a2b}, А = {е, а, а2, а3}, С= {e,a\ab,a3b},
являются соответствующими узлами S( С2). Решетка диэдра S( D\)
изображена на рис. 2.16. Она прозрачна, поскольку восемь диэд-
ральных подстановок оставляют графическую структуру рис. 2.16
неизменной —
S[P1] *D\ = {(0), (14), (57), (14)(57), (15)(47)(8С),
(17)(45)(8С), (1547)(8С), (1745)(8С)}.
Если из решетки диэдра S( D\) исключить два узла — 5 и 7, то в
результате получим решетку от коммутативной группы С2С4. Дру-
гими словами, непрозрачная, но инверсная i - (28)(1А)(4С) и /' =
(28)(4А)(1С) решетка S(C2C4) вкладывается в прозрачную, но не ин-
версную решетку S(£)J). Группа симметрии S[C2C4] определяется
следующими четырьмя подстановками:
S[C2C4] ~С2 = {(0), (14), (АС), (14)(АС)}.
Наконец, решетка кватерниона S( О2) получается из инверсной
решетки S(C2C4) путем отбрасывания еще одной пары узлов — 1 и
4. Группа симметрии решетки кватерниона изоморфна группе О3:
S[ D2 ] « D3 = {(0), (8A), (8C), (AC), (8AC), (8CA)}.
Итак, пять решеток от групп 8-го порядка образуют одну мета-
решетку М%. изображенную на рис. 2.17. Все решетки от групп 8-го
порядка являются правильными и имеют четное число узлов (4, 6, 8,
10, 16) и нечетное число связей (3, 7, 11, 15, 35).
Пропуская очевидные решетки от групп 9-го, 10-го и 11-го по-
рядков, перейдем к рассмотрению пяти решеток от групп 12-го по-
рядка. Нам удобнее всего начать с верхнеполюсной решетки S( ©’).
Группа диэдра D'b содержит следующие подгруппы:
220
2. Группы
1 = {е, а3}, 2 = {е, а, а2, а3, а4, а5}, 3 = {е, а2, а4}, 4 = {е, а2, Ь, а3Ь},
5 = {е, a3, ab, а4Ь}, 6 = (е, а3, а2Ь, а5Ь}, 7 = {е, а2, а4, Ь, а2Ь, а4Ь },
8 = {е, a2, a4, ab, a3b, asb }, 9={е, b}, А-{е, a3b}, В-{е,аЬ},
C={e,a4b}, D={e,a2b}, E={e,asb}.
Рис. 2.16
_________
16	S(C23)
I
10	S(Z)4')
I
8	S(C2C4)
I
6	S(A2)
I
4	S(C8)
Рис. 2.17
Рис. 2.18
Решетка S(D^), изображенная на рис. 2.18, является прозрачной,
так как образующие —
а = (456)(78)(9BDACE), b = (45)(78)(9B)(AC)(DE),
инвариантно переставляющие узлы решетки S( Dl6), порождают
группу D'b, так что S[ D\ ] « D\.
Восемь узлов верхнеполюсной решетки S( Dl6), а именно: 1, 2, 3,
4, 7, 8, 9, А, дают все узлы инверсной решетки S(C2C6), шесть узлов
— 1, 2, 3, 4, 5, 6 — дают решетку S(D%) и четыре узла — 1, 2, 3, 4
— дают нижнеполюсную решетку S(Ci2). Четыре правильных ре-
шетки образуют одну метарешетку Mi2, которая изображена на рис.
2.19. Число узлов у всех названных решеток — четно (6, 8, 10 и 16);
число связей — нечетно (7, 11, 17 и 33).
Решетка тетраэдра S(7) (рис. 2.20) особая и образована следую-
щими узлами:
1 = {е, ab}, 2 - {е, а2Ь2}, 3 = {е, ab2a}, 4 = {е, ab, a2b2, ab2a },
5 = {е, а, а2}, 6= {е, Ь, Ь2}, 7 = {е, а2Ь, Ь2а }, 8 = {е, ab2, Ьа2}.
На рисунке, где изображена решетка S(7), можно увидеть, что 3
пути между полюсами образованы тремя связями, а 4 других пути
составлены только из двух связей, поэтому S(7) и называется непра-
2.3. Групповые решетки из подгрупп
221
сильной. Три узла нижнего уровня подчинены симметрической
группе « Dy, а четыре узла верхнего — симметрической группе
S4. В итоге, группа симметрии решетки тетраэдра содержит 144
элемента: S[T] ~ х 54, кроме того, S[C2C6]« S[ Dl ]» Dy.
Рис. 2.19
Решетки групп 16-го порядка
Структуры от групп 13-го, 14-го и 15-го порядков нам знакомы, по-
этому не будем здесь на них останавливаться и сразу перейдем к
морфологическому анализу групп 16-го порядка.
Самой простой из них является цепь из четьфех звеньев структу-
ры S(Cie), а наиболее разветвленной — решетка S(C*). Ее условно-
схематическое изображение показано на рис. 2.21. Между полюса-
ми имеется три уровня. Уровень 2-го порядка состоит из 15 узлов:
1 = {e, a},	2={e,b},	3 = {e,c},	4={e,d},
5 = {e, ab},	6 = {e, ac},	7 = {e, ad},	8 = {e, be},
9={e,bd},	A = {e, cd},	В = {e, abc},	C = {e, abd},
D = {e, bed},	E = {e, acd},	F={e, abed}.	
Уровень 8-го порядка также состоит из 15 узлов:
G = {е, а, Ь, с, ab, ас, be, abc}, Н = {е, a, b, d, ab, ad, bd, abd},
1 = {e, a, c, d, ac, ad, cd, acd}, J = {e, b, c, d, be, bd, cd, bed},
К = {e, ab, ad, bd, ac, be, cd, abed}, L = {e, c, d, cd, ab, abc, abd, abed},
M = {e, a, d, ad, be, abc, bed, abed}, N = }e, b, d, bd, ac, abc, acd, abed},
О = {e, a, c, bd, ac, abd, bed, abed}, P = {e, b, c, be, ad, abd, acd, abed},
Q = {e, a, b, cd, ab, bed, acd, abed}, R = {e, a, be, bd, cd, abc, abd, acd},
222
2. Группы
S = {е, b, ас, ad, cd, abc, abd, bed}, T = }e, c, ab, ad, bd, abc, acd, bed},
U = {e, d, be, ab, ac, abd, acd, bed}.
Уровень 4-го порядка образован 35 узлами. Подгруппы мы пере-
числим, но присваивать им специальных обозначений не будем:
{е, a, b, ab}, {е, а, с, ас}, {е, a, d, ad}, {е, b, с, be}, {е, b, d, bd},
{е, с, d, cd}, {е, a, be, abc}, {е, b, ас, abc}, {е, с, ab, abc},
{е, a, bd, abd}, {е, b, ad, abd}, {е, d, ab, abd}, {e, b, ad, bed},
{e, c, bd, bed}, {e, d, be, bed}, {e, a, cd, acd], {e, abc, bed, ad},
{e, abc, acd, bd}, {e, abd, bed, ac}, {e, ab, acd, bed}, [e, d, abc, abed},
{e, ab, cd, abed}, {e, ac, bd, abed}, {e, ad, be, abed}, {e, c, ad, acd},
{e, d, ac, acd}, {e, a, bed, abed}, {e, b, acd, abed}, {e, ab, ad, bd},
{e, ab, ac, be}, {e, ac, ad, cd}, {e, be, cd, bd], {e, abd, acd, be},
{e, c, abd, abed}, {e, abc, abd, cd}.
Сравнивая выписанные
подгруппы между собой,
мы можем заключить: ка-
ждая подгруппа 2-го по-
рядка входит в 7 различ-
ных подгрупп 4-го поряд-
ка; каждая подгруппа 4-го
порядка состоит из эле-
ментов 3 подгрупп 2-го
порядка (например, под-
группа {е, a, b, ab} состоит
из элементов подгрупп 1, 2
и 5); каждая подгруппа 4-
го порядка целиком входит
в три подгруппы 8-го по-
рядка (например, подгруп-
па {е, a, b, ab} входит в
подгруппы G, Н и Q); каждая подгруппа 8-го порядка состоит из
элементов 7 подгрупп 4-го порядка. Таким образом, число подхо-
дящих связей к каждому узлу 8-го порядка и число отходящих свя-
зей от каждого узла 2-го порядка равно 7. Это, в свою очередь, оз-
начает, что число связей для узлов названных уровней у других
структур, построенных на основе групп 16-го порядка, также не
может превосходить число 7. Далее, число подходящих и отходя-
2.3. Групповые решетки из подгрупп
223
щих связей для уровня 4-го порядка у других структур не может
превосходить число 3.
Группа S[ С4 ] простая. Все
ее подстановки четны. Груп-
па содержит 32 256 элемен-
тов, которые разбиты на 12
классов. В табл. 2.61 приведе-
ны примеры подстановок, взя-
тые из каждого класса; здесь
же указано количество под-
становок в классе.
В классе С, выполняются
известные нам антикоммута-
ционные соотношения. Все
подстановки этого класса
Таблица 2.61
с,	Подстановки группы S[ С4 ]
Со Ci с2 С3 с4 с5 С6 С7 С8 С9 Сю Си	(0) (25)(36)(9С)(АЕ) (2Е)(36)(48)(5А)(7В)(9С) (1FD)(2B6)(3E7)(89A) (2ВЕ7)(ЗС69)(58А4) (2С4)(ЗВЕ)(597)(68А) (DF)(24C)(579)(3AB6E8) (16EBD)(258CA)(3497F) (2Е)(5А)(37С8)(49В6) (1DF)(23BE67)(4AC859) (2697E8D)(53C4ABF) (124659E87DCFDA3)
приведены в табл. 2.62. Таблица разбита на 15 частей (по числу уз-
лов на одном нижнем уровне); в каждую часть входит по 7 комму-
тирующих между собой подстановок (по числу связей, приходя-
щихся на один узел). Последнее обстоятельство делает решетку
S( С4) непрозрачной.
Следующей группой 16-го порядка, решетка которой вписывает-
ся в верхнеполюсную решетку S( С4), является группа С2 D\. Преж-
де чем приступить к морфологическому анализу группы С2 D\, нам
необходимо выписать все ее подстановки:
0 = (0), 1 =(0123)(4657), 2 = (02)(13)(45)(67), 3 = (0321)(4756), 4 = (04)(17)(25)(36), 5 = (05)(16)(24)(37), 6 = (06)(14)(27)(35), 7- (07)(15)(26)(34),	8 = (89), 9 = (0123)(4657)(89), А = (02)(13)(45)(67)(89), В = (0321)(4756)(89), С = (04)(17)(25)(36)(89), D = (05)(16)(24)(37)(89), Е = (06)(14)(27)(35)(89), F = (07)(15)(26)(34)(89).
Путаницы не произойдет, если для обозначения подгрупп (узлов)
группы C2D\ мы используем те же самые символы, что и для ин-
224
2. Группы
дексов подстановок: 1 = {0,2, 6, 7, 8, А, Е, F}, 2 = {0, 2, 6, 7, 9, В. С, D},
3= {0, 2, 4,5,9, В, Е, F},4= {0, 1,2, 3,8, 9, А, В}, 5= {0, 1,2,3, С, D, Е, F},
6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, 7 = {0, 2, 4, 5, 8, А, С, D), 8 = {0, 2, 8, А}, 9 = {О, 2},
А = {0,8,7, F}, В = {0, 8, 6, Е}, С = {О, А, 6, F}, D = {О, А, 7, Е}, Е = {0, 2, Е, F}.
F = {0, 2, 9, В}, G = {0, 2, 6, 7}, Н = {0, 2, 4, 5}, I = {О, 1, 2, 3}, L = {0, 8, 4, С},
М = {О, А, 4, D}, N = {О, А, 5, С},.О = {0, 8}, Р = {0,F}, R = {0,6}, Т = {0, 5},
S = {0, 7}, Q = {0,Е), U = {0, 4}, X = {О, D}, Y = {О, С}, Z = {О, А},
Таблица 2.62
Наименьший класс ( Q ) подстановок группы симметрии S[ С24 ]
(25)(36)(9С)(АЕ) (25)(36)(47)(DE) (25)(47)(8В)(АЕ) (25)(8B)(9C)(DF) (36)(8B)(AE)(DF) (36)(47)(8В)(9С) (47)(9C)(AE)(DF)	(15)(38)(7C)(AD) (15)(38)(49)(EF) (15)(49)(6B)(AD) (15)(6B)(7C)(EF) (38)(6B)(AD)(EF) (38)(49)(6B)(7C) (49)(7C)(AD)(EF)	(16)(28X7E)(9D) (16X28)(4A)(CF) (16)(4A)(5B)(9D) (16X5BX7EXCF) (28)(5B)(9D)(CF) (28)(4A)(5B)(7E) (4A)(7E)(9D)(CF)	(29)(5C)(8D)(BF) (29X17X8DX6E) (29X17X3 AXBF) (29X3A)(5C)(6E) (8D)(3A)(6E)(BF) (8DX17X3AX5C) (17X5CX6EXBF)	(68)(DE)(3B)(AF] (68X12X79XDE) (68)(12)(4C)(AF) (68X79)(3BX4C) (4C)(79)(AF)(DE) (12)(3B)(4C)(DE) (12X3BX79)(AF)
(CD)(4E)(9F)(7A)	(14)(6A)(59)(BD)	(1BX4DX23XCE)	(24)(1C)(6FX8A)	(34X1EX2D)(BC)
(CD)(4E)(13)(2B)	(14)(6A)(2C)(8F)	(1BX4DX9A)(56)	(24)(57)(8A)(BE)	(34X1EX5FX89)
(CD)(13)(58)(7A)	(14X2C)(3E)(BD)	(1BX23X9AX7F)	(24X1CX3DXBE)	(34)(67)(89)(BC)
(CD)(58)(2B)(9F)	(14X3EX59X8F)	(1BX56X7FXCE)	(24)(3D)(57)(6F)	(34)(2D)(5F)(67)
(4E)(58)(7A)(2B)	(6A)(3E)(BD)(8F)	(4DX23X56X7F)	(8AX3DX1C)(57)	(1EX5F)(67)(BC)
(4E)(13)(58)(9F)	(6AX2C)(3E)(59)	(4DX7FX9AXCE)	(8A)(3D)(6F)(BE)	(1EX2DX67X89)
(13)(2B)(7A)(9F)	(2CX59XBDX8F)	(23)(56X9A)(CE)	(1C)(57)(6FXBE)	(2DX5FX89XBC)
(18)(26)(4F)(AC)	(6D)(3F)(8E)(AB)	(7B)(39)(48X6C)	(2F)(1AX46X8C)	(78X1DX2EX69)
(18)(35)(4F)(9E)	(6DXABX19X45)	(7BX1FX5EX6C)	(2FX5DX8CX9B)	(78X1DX3CX5A)
(18)(35)(7D)(AC)	(6D)(27)(3F)(45)	(7BX1FX2AX39)	(2F)(37)(46)(5D)	(78)(2E)(4B)(5A)
(18)(26)(7D)(9E)	(6DX19X27X8E)	(7B)(2A)(48)(5E)	(2FX1AX37X9B)	(78)(3C)(4B)(69)
(4F)(7D)(9E)(AC)	(ABX19X27X3F)	(6CX2AX39X5E)	(8C)(37)(46)(9B)	(1DX2EX3CX4B)
(4F)(35)(26)(7D)	(AB)(27)(45)(8E)	(6C)(IF)(2AX48)	(8CX1AX37X5D)	(1DX4BX5AX69)
(26)(35)(9E)(AC)	(19)(3FX45X8E)	(1FX39X48X5E)	(1AX46X5DX9B)	(2EX3C)(5A)(69)
Решетка 8(Сг D\) изображена на рис. 2.22. Она состоит как бы из
трех решеток S( С23) — одна вверху и две внизу. Характеристика ее
такова: число узлов на всех уровнях нечетно — 7, 15 и 11; число
связей тоже нечетно — 1, 3, 5 и 7. Решетка прозрачна, так как под-
становки a v\ b порождают группу диэдра D\, а коммутирующая с а
2.3. Групповые решетки из подгрупп 225
и b подстановка с расширяет группу D'. до С2 D\:
а = (25)(36)(EG)(FI)(ACBD)(KM)(LN)(OZ)(PRQS)(TU),
b = (AD)(BC)(OZ)(PQ)(KM)(LN)(TU), с = (KL)(MN)(TU)(XY).
c2D\
Рис. 2.22
Однако такие длинные подстановки, инварианТйо переставляю-
щие узлы на всех уровнях, можно не писать. Как и в предыдущем
случае, группа симметрии S[C2 D’ ] вполне представима 64-мя под-
становками, составленными по 11 узлам только одного нижнего
уровня (табл. 2.63).
Решетка S( С2 С4) от коммутативной группы инверсная и состоит
из двух симметрично расположенных решеток S( С\). Она получа-
ется из решетки S(C2 D\) путем удаления восьми узлов — А, В, С,
D, Р, Q, R, S. Инверсной подстановкой для S( С22 С4) является:
z = (1Z)(2X)(3T)(4O)(5Y)(6U)(79)(KF)(LI)(MG)(NE).
Решетка S( С2 С4) прозрачна, так как имеются три коммутирую-
щих подстановки, образующие группу С22 С4:
а = (25)(36)(EG)(FI), b = (14)(36)(EI)(FG), с = (KLNM)(TU)(XOYZ).
Группу S[C2C4] определяют подстановки, составленные по И уз-
лам среднего уровня. При их нахождении очень удобно ориентире-
226
2 Группы
ваться па хорошо извсе 1 н\ю нам i |’}нп\ S[C, j. i in коюроп ищекя
подгруппа. <>с1эв.!яЮ1!Г1я один узел на mccic (\ пае это узел 7 для
верхнего этажа и узел *> для нижнего) Далее, необходимо помнить,
чю верхняя и нижняя подрешетки S( ) рассматриваемой решетки
S( (' СД существуют практически независимо. Выпишем порож-
дающие элементы двух подгрупп преобразований, действующих на
этих подрешетках:
а = (EG)(F1). а’ =- (KM)(LN). b = (EFG)(8HJ), b' = (LNM),
с = (EFGI)(HJ), с' -(KMLN), rf = (EF)(8J),	d' = (KL).
Таблица 2.63
Подстановки группы симметрии S[C2£>4 ]			
(0)	(PTSX)(QURY)	(OZ)(PQ)(TU)	(OZ)(PTRX)(QUSY)
(TU)(XY)	(PUSY)(QTRX)	(OZ)(PQ)(XY)	(OZ)(PXRT)(QYSU)
(TXMUY)	(PXSTXQYRU)	(OZXRSXTU)	(OZ)(PURY)(QTSX)
(TY)(UX)	(PYSU)(QXRT)	(OZ)(RS)(TU)	(OZ)(PYRU)(QXST)
(PQ)(RS)	(PTRY)(QUSX)	(OZ)(PRQS)(TU)	(OZ)(PRQS)(TXUY)
(PQ)(RS)(Tli)(XY)	(PURXXQTSY)	(OZ)(PSQR)(TU)	(OZ)(PSQR)(TYUX)
(PQ)(RS)(TX)(UY)	(PXRU)(QYST)	(OZ)(TYUX)(RS)	(OZ)(PRQS)(TYUX)
(PQ)(RS)(TY)(UX)	(PYRT)(QXSU)	(OZ)(TXL'Y)(RS)	(OZ)(PSQR)(TXUY)
(PRXQS)	(PTQIJ)(RYSX)	(OZ)(PRQS)(XY)	(OZ)(PXQY)(RTSU)
(PR)(QS)(TL!)(XY)	(PUQT)fRXSY)	(OZ)(PSQRXXY)	(OZ)(PYQX)(RUST)
(PR)(QS) (TX)(UY)	(PXQY)(RUST)	(OZ)(TYUX)(PQ)	(OZ)(PTQU)(RXSY)
(PR)(QS) (TY)(UX)	(PYQX)lRTSU)	(OZ)(TXUY)(PQ)	(OZl(PUQTXRYSX)
(PS)(QR)	(PX)(QY)(RV)(ST)	(OZXPTSYXQURX)	(OZ)(PT1(QU)(RX)(SY)
(PS)(QR)(TU)(XY)	(PU)(QT)(RX)(SY)	(OZ)(PYST)(QXRU)	(OZ)(PU)(QT)(RY)(SX)
(PS)(QR)(TX)(UY)	(PY)(QX)(RT)(SU)	(OZ)(PL'SX)(QTRY)	(OZ)(PX)(QY)(RT)(SU)
(PS)(QR) 1TY)(UX)	(PT)(QU)(RY)(SX)	(OZ)(PXSU)(QYRT)	(OZJ(PY)(QX)(RU1(ST)
Обратим несколько большее внимание на группу диэдра 16-го
порядка D[. Это позволит нам понять структуру еще двух групп
примерно этого же строения. С этой целью выпишем для нее все
основные соотношения и подстановки:
а- (01234567),
а - (0246)11357).
w = (03614725).
а = (04)(15)(26)(37).
ab^ba 16)(25)(34).
ah - bd' = (06)( 15)(24),
a b - Ьа - 105)( 14)(23)(67).
а4Ь - Ьа4 = (04)( 13)(57),
2.3. Групповые решетки из подгрупп
227
= (05274163),	а5Ь = Ьа3 = (03)(12)(47)(56).
а - (0642)(1753),	а{'Ь = Ьа2 = (02)(37)(46),
а = (07654321),	a b - Ьа = (01 )(27)(36)(45),
е = (0),	b = (17)(26)(35).
Заметим, что помимо а и а\ представляющих собой 8-циклы и
фигурирующих в главном соотношении, имеется еще два элемента
— а3 и а5 — точно с таким же периодом. Если возможна группа с
равенством ab - Ьа1, то нельзя ли попытаться построить еще две
группы на равенствах ab = ba3 vtab = ba5. Такая попытка увенчается
успехом, если в качестве образующих b взять, соответственно:
D3p	b = (02)( 15Н46), £»4:	b = (04)(26).
Тогда получим следующую картину определяющих соотношений:
ab = Ьа3 = (0541)(2367),
а2Ь = Ьаь ~ (13)(26)(57),
«3й = /»я = (0347)(1652),
а4Ь = Ьа' = (06)(24)(37),
a5b = ba2 = (0145)(2763),
а6д = йа2 = (04)(17)(35).
«7/> = А«5 = (0743)(1256),
D3:
ab - Ьа5 = (01674523),
а2Ь = Ьа3 = (0642)(1357)
а3Ь = Ьа1 = (03254761),
а4Ь = Ьа* = (15)(37),
а5Ь -Ьа- (05634127),
ab-ba' = (0246)(1753),
а,Ь = Ьа3 = (07214365).
Здесь нужно не забыть о существовании еще'одной группы ква-
тернионного типа с образующими —
D2: « = (01234567)(89ABCDEF), Ь = (O84C)(1F5B)(2E6A)(3D79).
Теперь выпишем все подгруппы группы диэдра. Так как решетка
S(Z^) вписывается в решетку S(C2D]), нам удобно узлы подре-
шетки S( D\) обозначить через узлы надрешетки S(C2 D\):
Dp. 9 = je, a4}, Q = {е, я4й}, Е = \е. a4. b. a4b}, Р = {е, b], U = {е, а5Ь},
G - {е, a*, ah. abb], R = {е, а2Ь]. Т = {е, ab}. Н = {е, a4, ab, а4Ь},
S = ,е. аьЬ], X -- ‘,е. ah}. 3 ~ {е. а4, а'Ь. а4Ь], 3 = (е, а~. «4, я6},
4 = {е. a. it. а . а4, а\ а1', и *. 7 - \е, a2, a4, a", b. a2b, a4h, ahb }.
Y - [е, а b}, 8 = \е, а2, а4, а'. ah. a}b, a'b, a b }.
228
2. Группы
Рис. 2.23
Решетка S( D*) изображе-
на на рис. 2.23. Если из этой
решетки удалить четыре
узла — Т, U, X, Y, — полу-
чим решетку S(ZJ8). Затем,
если удалить еще четыре
узла — Р, Q, R, S, — полу-
чим решетку S(Ds2). Нако-
нец, если из решетки S(£>8)
удалить восемь других уз-
лов: Н, J, R, S, Т, U, X, Y,
получим решетку S( D84).
Группа симметрии диэдральной решетки S[Z>8] состоит из 96
подстановок, которые выписаны в табл. 2.64.
Для группы S[ D}g ] все определяется уровнем 2-го порядка. Из
табл. 2.64 видно, что решетка диэдра прозрачна, что нельзя сказать
о других решетках этой серии, в частности: S[ D? ] » D\ =
= ДО), (HJ), (EG), (HJ)(EG), (EJGH), (EHGJ), (EH)(GJ), (EJ) (HG)};
S[Z)2] « C2D\ = {(0), (PQ), (RS), (PQ)(RS), (PRQS), (PSQR), (PS)(QR),
(PR)(QS), (Ш), (PQ)(HJ), (RS)(HJ), (PQ)(RS)(HJ), (PRQS)(HJ),
(PSQR)(HJ), (PS)(QR)(HJ), (PR)(QS)(HJ) };
S[D4 ] « S[C2C8] « C22 = {(0), (47), (QP), (47)(QP)}.
Самым поразительным математическим фактом здесь является
то, что решетка S( Z>84) от некоммутативной группы является ин-
версионной и в точности совпадает с решеткой S(C2G) от комму-
тативной группы. Их общей инверсионной подстановкой является
i = (19)(8E)(4Q)(7P).
Решетку S(Z)8) (рис. 2.23) полезно сравнить с решеткой S(Z>«)
(рис. 2.16), поскольку они очевидным образом находятся в отноше-
нии порядка. Четыре узла — Е, G, Н, J — среднего уровня дают
группу S[£>4 ]	, которая является гомоморфным представлением
группы S[ Dg ] из восьми узлов нижнего уровня — Р, Q, R, S, Т, U,
X,Y. Причем из рис. 2.23 можно стразу записать систему проециро-
2.3. Групповые решетки из подгрупп
229
вания элементов группы S[ D\ ] на группу S[ D\ ]. Так, например, пе-
рестановка двух узлов (PQ) оставляет узел Е на месте; перестановка
же четырех узлов типа (PR)(QS), (PS)(QR) или (PSQR) проецирует-
ся на транспозицию (EG) и т.д-	r ,
Таблица 2.64
Подстановки группы симметрии S[Z)g ]
(0)	(PSQR)(XY)	(PTRXQUSY)	(PQ)(RS)(TU)(XY)
(PQ)	(TYUXXPQ)	(PXSTQYRU)	(PS)(QR)(TX)(UY)
(RS)	(TYUXXRS)	(PURYQTSX)	(PS)(QR)(TY)(XU)
(TU)	(PQXRSXTU)	(PYSUQXRT)	(PR)(SQ)(TX)(UY)
(XY)	(PQ)(RS)(XY)	(PXRUQYST)	(PR)(SQXTY)(UX)
(PQ)(RS)	(PQXTU)(XY)	(PUSXQTRY)	(PT)(QU)(RX)(SY)
(PQ)(TU)	(RS)(TU)(XY)	(PYRTQXSU)	(PU)(QT)(RX)(SY)
(PQ)(XY)	(PQ)(TY)(UX)	(PTSYQURX)	(PX)(QY)(RT)(SU)
(RS)(TU)	(RS)(TX)(UY)	(PUSYQTRX)	(PX)(QY)(RU)(ST)
(RS)(XY)	(RS)(TY)(UX)	(PYRUQXST)	(PT)(QU)(RY)(SX)
(TU)(XY)	(PQ)(TX)(UY)	(PTSXQURY)	(PUXQT)(RY)(SX)
(PS)(QR)	(TUXPS)(RQ)	(PXRTQYSU)	(PY)(QX)(RT)(SU)
(PR)(SQ)	(TUXPRXSQ)	(PURXQTSY)	(PY)(QX)(RU)(ST)
(TX)(UY)	(XY)(PS)(RQ)	(PXSUQYRT)	(PS)(RQ)(TU)(XY)
(TY)(XU)	(XYXPRXSQ)	(PTRYQUSX)	(PRXSQ)(TU)(XY)
(PRQS)	(PSXQRXTU)	(PYSTQXRU)	(PQ)(RSXTX)(UY)
(PSQR)	(PS)(QR)(XY)	(TYUXXPRXSQ)	(PQXRSXTY)(XU)
(TXUY)	(TX)(UY)(PQ)	(TYUX)(PS)(QR)	-.(PSQR)(TX)(UY)
(TYUX)	(TX)(UYXRS)	(TXUYXPRXSQ)	(PSQR)(TY)(UX)
(PRQS)(TU)	(PRXSQXTU)	(TXUY)(PS)(QR)	(PRQS)(TX)(UY)
(PRQS)(XY)	(PRXSQXXY)	(PSQR)(TYUX)	(PRQS)(TYXUX)
(TXUYXPQ)	(TY)(UX)(PQ)	(PSQR)(TXUY)	(PRQS)(TU)(XY)
(TXUY)(RS)	(TY)(UX)(RS)	(PRQS)(TYUX) »	(PSQR)(TU)(XY)
(PSQR)(TU)	(PRQS)(TXUY)	(TYUX)(PQ)(RS)	(TXUY)(PQ)(RS)
Если построить следующую решетку S( £>,(,), то ее узлы будут
связаны с узлами S( D\) аналогичным образом и группа S[ D\ ] уже
станет гомоморфным представлением группы S[ В}6 ]. Так возникает
иерархия решеток от диэдральных групп, которая выражается в ме-
тарешетке MD в виде бесконечной цепи. Главное отличие диэд-
ралъной метарешетки MD от ранее рассмотренных метарешеток Ма
состоит в том, что для MD цепь решетчатых вложений сопровож-
дается цепью групповых вложений:
S(4)cS(/);)cS(Z)')c ...
...
230
2. Группы
Рассмотрим следующие две группы 16-го порядка, которые мы
обозначили как D\ и Dl (напомним, что D\ и D'2 относятся к
группам 8-го порядка). Для наглядности приведем основные груп-
повые соотношения и подстановки —
Dl-.	а = (0123)(4567),	ab = b3a3 = (02)(46)(57),
	а2 = (02)(13)(46)(57),	a3b3 = ba =(13)(46)(57),
	а3 = (0321)(4765),	a2b = ba2 =(01)(23)(4765),
	b = (03)(12)(4567),	ab2 = b2a =(0123)(4765),
	й2 = (46)(57),	а3Ь2 = Ь2а3 =(0321)(4567),
	Ь3 = (03)(12)(4765),	а2Ь3 = Ь3а2 =(01)(23)(4567),
	а3Ь = Ь3а =(13),	а2Ь2 = Ь2а2 =(02)(13),
	ab3 = Ьа3 = (02),	е = (0);
Dl:	а = (0123)(46)(57),	ab = ba3 =(02)(4765),
	а2 = (02)(13),	а3Ъ = Ьа =(13)(4765),
	а3 = (0321)(46)(57),	ab = ba2 =(01Х23)(4567),
	Ь = (03)(12)(4567),	aW = b3a2 = (01)(23)(4765),
	Л2 = (46)(57),	ab3 = b3a3 = (02)(4567),
	Ь3 = (03)(12)(4765),	a3b3 = b3a =(13)(4567),
	ab2 = b2a =(0123),	a2b2 = b2a2 =(02)(13)(46)(57),
	а3Ь2 = Ь2а3 =(0321),	е =(0).
Для группы D4 дадим еще один изоморфизм на базе кватерниона
О44: а = (0123)(4657)(89АВ), а2 = (02)(13)(45)(67)(8А)(9В),
а3 = (0321 )(4756)(8ВА9), b = (0425)(1736)(8А)(9В),
Ъ2 = (02)(13)(45)(67),	Ь3 = (0524)(1637)(8А)(9В),
db3 = Ь3а2 = (01)(23)(4765), а3Ь = Ь3а3 = (0627)( 1435)(89АВ),
а2Ь2 = Ь2а2 =(8А)(9В), а3Ь2 = Ь2а3 = (0123)(4657)(8ВА9),
ab3 = ba = (0627)(1435)(8ВА9), a3b3 = ba3 = (0726)(1534)(89АВ),
ab -Ь а = (0321)(4756)(89АВ), в2Л = йя2 = (0524)(1637).
Выпишем подгруппы группы Ь[:
1 = {е, a, a2, a3, b2, ab2, а2Ь2, а3Ь2}, 4 = {е, Ь, Ь2, Ь3, а2, а2Ь, а2Ь2, а2Ь3},
7 = {е, а2, b2, a2b2, ab, a3b, ab3, а3Ь3}, 8 = {е, а2, Ь2, а2Ь2}, 9 = {е, Ь2},
В = {е, a2, ab2, a3b2}, А = {е, а, а2, а3}, Н = {е, Ь2, а3Ь3, а3Ь},
F = {е, Ь, Ь2, b3}, I = {е, b2, a2b, a2b3},Y = {е, ab}, Z = {е, а2Ь2},
2.3. Групповые решетки из подгрупп 231
J = {е, b2, ab, ab3}, К - {е, a2, ab3, a3b3}, L = {е, a2, a3b, ab},
Т = {е, a3b3}, U ~ {е, a3b}, М = {е, ab3, а2Ь2, а3Ь}, О = {е, а2},
N = {е, ab, a2b2, a3b3}, X = {е, ab3}.
Как и в предыдущих случаях, воспользуемся обозначениями узлов
решетки S(C2 D)), поскольку узлы рассматриваемой решетки S( £>4)
являются подмножеством узлов решетки S(C2 D\).
Решетка S( D\) изображена на рис. 2.24. Между уровнями 2-го и
4-го порядка расположена подрешетка S(C23), что облегчает поиск
группы S[£»4 ]. В группе S[O4'] 48-го порядка имеется подгруппа,
изоморфная £)’ с образующими —
а = (14)(9O)(HL)(KJ)(TY)(AIBF), b = (14)(9O)(MN)(HKJL)(TXYU)(AFBI).
Таким образом, решетка S(D4) прозрачна. Узлы решетки S( D*) и
узлы инверсной ( i = (1O)(49)(7Z) ) решетки S(C42) образуют два
подмножества от множества узлов решетки S(D4):
S(Z>4) = {1, 4, 7, 8, 9, А, В, Н, J, F, I, О, Z},
S(C2) = {1, 4, 7, 8, 9, А, В, М, N?F, I, О, Z}.
S[Z>4 ] » Сг D\ = {(0), (HJ), (FI), (HJ)(FI), (FHIJ), (FH)(IJ), (FJIH), (AB),
(AB)(HJ), (AB)(FI), (AB)(HJ)(FI), (AB)(FHU), (AB)(FH)(IJ),(AB)(FJIH)};
S[ C2 ] « C2 D\ = {(0), (AB), (FI), (AB)(FI), (AFBI), (AF)(BI), (AIBF),
MN),(MN)(AB), (MN)(FI), (MN)(AB)(FI),
N)(AFBI), MN)(AF)(BI), (MN)(AIBF)}.
Отсюда можно видеть, что решетки S(£>4) и S( С42) непрозрачны.
Перейдем к группе £>4. Ее целиком определяют следующие про-
стые соотношения: а2 =Ь2 = с2 = е, abc = bca = cab. Из этих равенств
несложно вывести вспомогательные соотношения:
acb = cba = bac, aba = cbc, аса = bcb, bab = сас,
которые позволяют составить таблицу умножения из 16 элементов
группы Г»’:
{е, а, Ь, с, ab, ас, ba, са, be, cb, abc, acb, aba, аса, bab, abab}.
232 2. Группы
Удобно образующие приводить в виде регулярных подстановок,
тогда при их умножении сразу получаются столбцы таблицы умно-
жения, а не ее отдельные элементы:
а = (01)(23)(45)(67)(89)(AB)(CD)(EF),
b = (02)(16)(3E)(4C)(5B)(7F)(8D)(9A),
с = (04)(18)(2A)(3D)(5E)(6B)(7C)(9F).
Рис. 2.24	Рис. 2.25
Решетка S(Z)4) изображена на рис. 2.25. Если из этой решетки
удалить узлы R, S, Т и U, то получим решетку S(C2 D~). Несмотря
на внешнее различие решеток, их группы симметрии одинаковые и
изоморфны полной группе куба:
S[£)f>S[C2D4! W4
Таким образом, у нас появился прекрасный повод для изучения Od
— этой важнейшей группы симметрии (хотя кое-что о ней было
сказано в предыдущем разделе). В табл. 2.65 приведены подстанов-
ки S[ £>4 ], составленные по нижнему уровню решетки.
Группа вращения декартовых координат и ее подгруппы
Табл. 2.65 для группы S[ О4 ] связана с табл. 2.54 для группы вра-
щения куба (или октаэдра) следующим образом: если пронумеро-
ванные грани куба (рис. 2.10) обозначить буквами по следующей
схеме : 0 —► R, 1 —> S, 2 -> Z, 3 -> U, 4 -> О, 5 -» Т, то первые 24
подстановки (с 0 по N) табл. 2.65 совпадут с 24 подстановками
столбца 0(6) табл. 2.54.
Группа Ой является одновременно группой симметрии декарто-
2.3. Групповые решетки из подгрупп	233
вых координат. В табл. 2.66 показано соответствие между нашими
подстановками и матрицами, преобразующими всеми возможными
способами оси координат х, у, z. Табл. 2.66 составить несложно, ес-
ли помнить, что матрицы одного класса должны иметь один и тот
же характер; подстановки на транспозициях соответствуют симмет-
ричным матрицам; обратные подстановки отвечают транспониро-
ванным матрицам. В виду важности группы Od, перечислим все ее
подгруппы. При это мы ставим перед собой цель напомнить два
простых приема, позволяющих по нескольким известным подгруп-
пам найти большое число неизвестных. Дело в том, что, когда груп-
па небольшого порядка, то все ее подгруппы отыскать несложно.
Но наша группа 48-го порядка содержит 84 подгруппы и отыскать
их только на основе знания определения группы довольно тяжело.
Таблица 2.65
Подстановки группы симметрии S[ D5A ] « Од
0	(0)	c	(ZUOT)	0'	(RS)(ZO)(UT)	C'	(RZSO)(UT)
1	(RS)(UT)	D	(ZTOU)	1'	(RS)	D'	(ROSZ)(UT)
2	(ZO)(UT)	E	(RTSU)	2'	(ZO)	E'	(ZUOT)(RS)
3	(RS)(ZO)	F	(RUST)	3'	(UT)	F'	(ZTOU)(RS)
4	(ROU)(SZT)	G	(RZSO)	4'	(RT)(SU)	G'	(RUOSTZ)
5	(RUO)(STZ)	H	(ROSZ)	5'	(RU)(ST)	H'	(RZTSOU)
6	(RTO)(SUZ)	I	(RS)(ZT)(OU)	6'	(RZ)(SO)i~-	I'	(RUZSTO)
7	(ROT)(SZU)	J	(RU)(ST)(ZO)	T	(RO)(SZ)	J'	(ROTSZU)
8	(RZT)(SOU)	К	(RZ)(SO)(UT)	8'	(ZU)(OT)	K'	(RTOSUZ)
9	(RTZ)(SUO)	L	(RO)(SZ)(UT)	9'	(ZT)(OU)	L'	(RZUSOT)
А	(RUZ)(STO)	M	(RS)(ZU)(OT)	A'	(RUST)(ZO)	M'	(RTZSUO)
В	(RZU)(SOT)	N	(RT)(SU)(ZO)	B'	(RTSU)(ZO)	N'	(ROUSZT)
Самый эффективный способ поиска неинвариантных подгрупп
состоит в сопряжении одной какой-то известной подгруппы. Пред-
положим, нам удалось отыскать одну из подгрупп 4-го порядка, не
являющуюся нормальным делителем, — {0, 2', 4', N}. Тогда с по-
мощью элемента К и D и с использованием приема поиска сопря-
женных подгрупп 6-го порядка для голоморфа Н(О3), найдем груп-
пы {О, Т, 8', М} и {О, 3', 7', L}. Подробно: из табл. 2.65 находим
подстановки К= (RZ)(SO)(UT) и D = (ZTOU), тогда 0 -> 0 и далее
автоматически:
234
2. Группы
Таблица 2.66
Матрицы преобразования декартовых координат группы Ол				
0	(\ 0 (Р|	с Г1 о оГ	о' Г-io о Г с'	Г о 1 о Г
	0 1 0	0 0 1	0-10	-10 0
	1о 0 1J	[о -1 oj	[о 0 -1J	[о 0 -1J
1	Г-1 о o^i	D Г1 0 ОА	1' Г-1 о о> D'	Го -1 о А
	0 1 0	0 0-1	0 1 0	1 0 0
	[0 0 -1J	[° 1 °)	[° 0 1J	[о 0 -1J
2	Г1 о о^|	Е Го 0 -1>	2' Г1 0 ОГ Е'	Г-i о оГ
	0-10	0 1 0	0-10	0 0 1
	0 -1J	[1 0 0)	[о 0 1J	[о -1 oj
3	Г-i о о ।	F Го 0 1[	У Г1 0 0 > F'	Г-io о^|
	0-10	0 1 0	0 1 0	0 0-1
	[о 0 lJ	[-1 0 oj	[о 0 -1J	1° 1 oj
4	Го -1 о [	G Го 1 ОГ	4' Го 0-1^ G'	Го о 0
	0 0-1	-10 0	0 1 0	1 0 0
	[1 0 0 J	[° 0 1J	[-1 0 0)	[о -1 oj
5	Г о о П	н Го -1 ОГ	у Го 0 П Н’	Го 1 о Г
	-10 0	1 0 0	0 1 0	0 0-1
	1^0 -1 oj	[° ° 1J	[1 0 oj	[1 ° ° J
6	Го о -Г|	I Г-1 о о[	6' Го 1 0[ I'	Г о о 1^1
	-10 0	0 0-1	1 0 0	-10 0
	1° 1 oj	[о -1 0)	[0 0 1J	[о 1 oj
7	Го -io^	J Го о 1>	7' ГО -1 0> г	Го -1 оА
	0 0 1	0 -1 0	-10 0	0 0 1
	[-1 0 oj	[1 0 °J	[о 0 1J	[1 0 oj
8	Г 0 1 О')	К Го 1 ОГ	8' Г1 0 ОГ К'	Го о -Pi
	0 0-1	1 0 0	0 0 1	1 0 0
	[-10 0 J	[0 0 -1J	[о 1 oj	1° 1 ° J
9	Го 0 -С	L Г 0 -1 0 [	9' Г1 0 0^ L'	Г о 1 о>
	1 0 0	-10 0	0 0-1	0 0 1
	[о -1 0 J	[о 0 -1J	[о -1 oj	[-1 0 oj
А	Го о 1>	м Г-1 0 О',	А' Г о 0 1^1 М'	Го o-i^
	1 0 0	0 0 1	0-10	-10 0
	[° 1 oj	[о 1 oj	[-1 0 oj	[о -1 oj
В	Го 1 о'.	N Г о 0 -1[	В' Го 0 -Г1 N'	Го -1 оГ
	0 0 1	0-10	0-10	0 0 -1
	[1 0 oj	[-1 0 oj	[1 0 oj	[-10 0 J
2.3. Групповые решетки из подгрупп
235
2' = (ZO) -> (RS) = 1',	4' = (RT)(SU) (ZU)(OT) = 8',
2' = (ZO) -> (TU) = 3',	4' = (RT)(SU)	(RO)(SZ) = 7',
N = (RT)(SU)(ZO) (ZU)(OT)(RS) = M,
N = (RT)(SU)(ZO) -э (RO)(SZ)(TU) = L.
Второй способ, наоборот, связан с нормальными делителями, и
он нам тоже, в основном, известен: аналогичным образом мы иска-
ли систему гомоморфных проекций, для голоморфа H(£>3)AV| и т.д.
Очень несложно определить нормальный делитель группы S[D| ] ®
О а второго порядка {0, 0'}- Далее, ищем все классы смежности по
этому делителю, т.е. систему гомоморфных проекций'.
{0,0'} -	эО,	{1,2'}-	-> 1,	{2,1'}-	>2,
{3,3'}-	-> 3,	{4, L'} -	->4,	{5, К'}-	>5,
{6, G'} -	->6,	{7, Н'}	->7,	{8, J'}—>8,	
{9, Г} -	>9,	{А, М'}	-> А,	{B,N'}-	эВ,
{C,F'}-	->С,	{D, Е'}	->D,	{Е,А'}-	-эЕ,
{F, В'} -> F,		{G,D'}	-> G,	{Н, С'} -	эН,
{1,8'}-	>1,	П,4'}-	->J,	{К, 7'} -	эК,
{L,6'}-	-> L,	{М, 9'}	->М,	{N, 5'} -	>N.
Затем, по известным группам 2-го порядка (их количество опре-
деляется числом подстановок на транспозициях, которые берутся из
табл. 2.65), ищем группы 4-го порядка по схеме:
{0,1} -> {О, О', 1,2'}, {0,2} -э {О, О', 2, 1'}... {О, N} -> {О, О', 5', N}.
По известным подгруппам 3-го порядка находим неизвестные под-
группы 6-го порядка или по подгруппам 4-го порядка ищем под-
группы 8-го порядка и т.д.:
{О, 8, 9} -» {0, 8, 9, О', Г, J'}, {О, 3, L, К} -> {О, 3, К, L, О', 3', 6', 7'},...
Точно таким же образом находим смежные классы по другим инва-
риантным подгруппам, в частности, по нормальному делителю {О,
1, 2, 3} найдем все 12 проекций:
{О, 1, 2, 3} -» О, {О', 1', 2', 3'}	О', {Е, F, J, N} -> Е, {С, D, I, М} -> С,
{4, 7, 8, А} 4, {4', 5', А', В'} -> 4', {G, Н, К, L} -> G, {G',I',K',M'}	G',
{5, 6, 9, В} -> 5, {6', 7', С', D'} -> 6', {8',9',E',F'} -> 8', {Н'; Г, L', N'} -> Н'.
По известным подгруппам 2-го порядка сразу найдем подгруппы 8-
го порядка:
236
2. Группы
{О, О'} -> {О, 1, 2, 3, О', Г, 2', 3'}, {0,1}	{О, 1, 2, 3, С, D, I, М},...
Таким образом, комбинируя оба изложенных способа, удается
отыскать 84 подгруппы полной группы симметрии куба Ой:
{О, 0'}, {0, 1'}, {0, 2'}, {0, 3'}, {0, 4'}, {0, 5'}, {0, 6'}, {0, 7'}, {0, 8'}. {О, 9'},
{О, 1}, {0,2}, {0,3}, {0,1}, {О, J}, {О, К}, {О, L}, {О, М}, {О, N};
{О, 4, 5}, {0, 6, 7}, {0, 8, 9}, {О, А, В};
{О, 1,1, N}, {0, 2, М, J}, {0, 3, L, К}, {0, 1, Е, F}, {0, 2, С, D}, {0, 3, G, Н},
{О, 1, 2, 3}, {0, 1, 1', 3'}, {0, 2, 2', 3'}, {0, 3, 1', 2'}, {О, О', 1, 2'}, {О, О', 2, 1'},
{0,0', 3,3'}, {0,3', 6', К}, {О, 3', 7', L}, {0,2', 5', J}, {0,2',4',N}, {О, 1', 8', М},
{О, 1', 9', I}, {О, О’, 8', 1},{0, О', 4', J}, {О, О', 5', N}, {О, О', 6', L}, {О, О', 7', К},
{О, О',9',М};
{О, 4, 5, О', L', К’}, {0, 6, 7, О', G', Н'}, {0, 8, 9, О', Г, J'}, {О, А, В, О', М', N'},
{О, 4, 5, К, М, N}, {0, 6, 7,1, J, К}, {0, 8, 9, J, L, М}, {О, А, В, I, L, N},
{О, 4, 5, 5', 7', 9'}, {0, 6, 7, 4', 7', 8'}, {0, 8, 9, 4', 6', 9'}, {О, А, В, 5', 6', 8'};
{О, 1, 2, 3, О', 1', 2', 3'}, {О, 1, 2, 3, 4', 5', А', В'}, {О, 1, 2, 3, 6', 7', С', D'},
{О, 1, 2, 3, 8', 9', Е', F'}, {О, 1, 2, 3, С, D, I, М}, {О, 1, 2, 3, Е, F, J, N},
{О, 1, 2, 3, G, Н, К, L}, {О, 3, К, L, О', 3', 6’, 7'}, {О, 1, J, N, О', 2', 4', 5'},
{О, 2,1, М, О', 1’, 8', 9'}, {О, 1, Е, F, О', 2', А’, В'}, {0, 2, С, D, О', Г, Е', F'},
{О, 3, G, Н, O',3',C',D'};
{О, 4, 5, К, М, N, О', 5', 7', 9', К', L'}, {0, 6, 7,1, J, К, О', 4', 7', 8', G', Н'},
{О, 8, 9, J, L, М, О', 4', 6', 9', Г, J'}, {О, А, В, I, L, N, О', 5', 6', 8', М', N'},
{О, 1,2, 3,4, 5, 6, 7, 8, 9, А, В};
{О, 1, 2, 3, G, Н, К, L, О', 1', 2', 3', 6', 7', С', D'},
{О, 1, 2, 3, Е, F, J, N, О', 1', 2', 3', 4', 5', А', В'},
{О, 1,	2, 3, С, D, I, М, О', 1', 2', 3',	8', 9', Е',	F'};
{О, 1,	2, 3, 4, 5,	6, 7, 8, 9, А, В, С,	D, Е, F, G, Н, I, J, К, L, М, N},
{О, 1,	2, 3, 4, 5,	6, 7, 8, 9, А, В, О',	Г, 2', 3',	G', Н', I', J', К', L', М',	N'},
{О, 1,	2, 3, 4, 5,	6, 7, 8, 9, А, В, 4',	5’, 6', 7',	8', 9', А', В', С', D', Е',	F'}.
Итак, нами были рассмотрены все 14 групп 16-го порядка. Оста-
лось сделать последний небольшой шаг — составить метарешетку
Л/16. Несложный анализ графических изображений всех 14 решеток
дает результат, который представлен на рис. 2.26 (числа рядом с
обозначениями решеток указывают количество узлов на уровнях).
2.3. Групповые решетки из подгрупп
237
Решетки групп 18-го и 20-го порядков
Не останавливаясь на достигнутом, пойдем дальше. За простой цик-
лической группой Ср идут пять групп 18-го порядка. Как выглядит
их метарешетка Мх? Анализ проведем по сокращенной программе,
без поиска групп симметрии
решеток. Верхнеполюсной
является решетка, построен-
ная от группы, которую обо-
значим, как О(8 . Ее обра-
зующими являются:
й = (012)(345),& = (02)(35),
с = (12)(34).
Тогда главными определяю-
щими соотношениями будут:
Рис. 2.26
ab = ba2 =(01)(34),вс = са2 =(02)(45), bcb = cbc =(01)(45),
а2Ь = Ъа =(12)(45),й2с = сд = (01 )(35), abcb = bcba2 = (12)(35).
Решетка S( ) изображена на рис. 2.27. Ее подгруппы — Р28:
\-{е,с},	2 =	{е, ас},	А = {е, а, а2, с, ас, а2с},
3 = {е, а2с},	4={е, be},	В= {e,a,a2,a2bc,abc,bc},
5 = {е, Ь2с},	6 -	{е, abc},	С = {е, a, a2, ab2c, а2Ь2с,	Ь2с},
7 = { е, а2Ьс},	8 =	{е, ab2с},	D = {е, b, b2, с, Ьс, Ь2с}.
9 = {е, а2Ь2с},
Решетка S( Z>18) изображена на рис. 2.27. Ее подгруппы —	:
1 = {е, с}, 2 = {е, ас}, 3 = {е, а2с}, 4 = {е, Ьс}, 5 = {е, Ь2с},
6 = {е, abc}, 7 = (е, а2Ьс}, 8 = {е, ab2c}, 9 = {е, а2Ь2с},
А = {е, а, а2, с, ас, а2с}, В = {е, a, a2, a2bc, abc, be},
С = {е, a, a2, ab2c, a2b2c, b2c}, D = {е, b, b2, с, Ьс, Ь2с},
Е = {е, b, b2, abc, ab2с, ас}, F = {е, b, b2, а2с, a2b2c, а2Ьс},
G = {е, a2b, ab2, с, a2bc, ab2c}, Н = {е, a2b, ab2, ас, Ьс, а2Ь2с},
1 = {е, a2b, ab2, а2с, b2c, abc}, J = {е, ab, a2b2, с, a2b2c, abc},
238 2. Группы
К = {е, ab, а2Ь2, ас, b1 с, a2bc}, L = {е, ab, a2b2, а2с, ab2с, Ьс},
М = {в, a, a2}, N = {е, Ь, Ь2}, О = {е, a2b, ab2}, Р = {е, ab, а2Ь2},
Q = {е, a, a2, b, b2, ab, a2b2, a2b, ab2}.
Рис. 2.27
Рис. 2.28	Рис. 2.29
Группу СзДз можно получить либо на трех образующих а - (012),
b = (02), с = (345), либо на двух: а - (012345), Ь = (024). Решетка
S(C3D3) сохраняет от решетки S(f>12g) следующие узлы: {1, 2, 3, А,
D, Е, F, М, N, Р, О, Q}. Решетка от группы диэдра S( ) образована
узлами {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, D, Е, F, N, Q}, а две инверсных ре-
шетки 8(С3Сб) и S(C2C9) — соответственно, узлами {5, С, D, I, К, М,
N, О, Р, Q} и {5, D, N, Q}. Последняя решетка является нижнепо-
люсной (С2С9 » Си). Метарешетка изображена на рис. 2.28.
Аналогичная метарешетка получается на решетках от групп 20-го
2.3. Групповые решетки из подгрупп
239
порядка (рис. 2.29). Число рядом с обозначениями решеток указы-
вает на количество узлов на уровнях. Верхним полюсом являет-
ся решетка S( D'w ) (рис. 2.30).
Рис. 2.30
о;0:
1 = {е,Ь),	2={е,а5Ь},
3 = {e,a6b},	4-{e,ab},
5 = {е, а2Ь},	6 = {е, я5},
7={е,а7Ь},	8={е,а8Ь},
9-{е,а3Ь},	А={е,а4Ь},
В= {е, а9Ь},
С = {е, а, Ь, а5Ь},
D- {е, a5, ab, а6Ь},
Е = {е, а,а2Ь, a’b},
F={e,a5, а3Ь, а8Ь},
G = {е, а5,а4Ь, а9Ь},
Н = {е, а2, а4, а6, а8},
I = { е, а2, а4, а6, а8, Ь, а2Ь, а4Ь, аьЬ, а8Ь},
J = { е, а2, а4, a', a8, ab,aLb, а5Ь, а7Ь, а9Ь},
К = { е, а, аА а3, а4, а5, а6, а7, а8, а9}.
Решетка Sf О,2,) сохраняет узлы {6, С, D, Е, F, G, Н, К}, решетка
S(Z)52) = {Ь 3, 5, 8, А, С, D, Е, F, G, Н, I}, инверсные решетки
S(C2Cio) = {1, 2, 6, С, Н, I, J, К} и S(C4C5) = {6, С, Н, К}. Следует
также напомнить, что для групп 20-го порядка имеют места изо-
морфизмы (табл. 2.28): С2Сю ~ С2 С5, С4С5 » С20, С2£); « D’o.
Решетки групп 24-го порядка
По понятным причинам пропускаем группы 21-го, 22-го, 23-го по-
рядков и переходим к анализу групп 24-го порядка. Верхним полю-
сом метарешетки Л724 из 12 правильных решеток является С2С^ ®
С2 D3 с образующими: а = (012), b = (02), с - (34), d = (56).
Если элементы группы С2 D3 обозначить через:
О = е, 1 = а, 2 = я2,	3 = Ъ, 4 = ab, 5 = а2Ь,
6 = с, 7 = ас, 8 = а2с, 9 = be, А = abc, В = а2Ьс,
240 2. Группы
С = d,	D = ad,	E = a2d, F = bd,	G = abd, H = a2bd,
I = cd,	J = acd,	К = a2cd, L = bed,	M = abed, N = a2bcd,
то подгруппы для построения решетки S( C:2D3) будут такими:
{О, 3}, {0, 4}, {0, 5}, {0, 6}, {0, 9}, {О, А}, {О, В}, {О, С}, {О, F},
{О, G}, {О, Н}, {О, I}, {О, L},{0, М}, {О, N}; {О, 1, 2}; {О, 3, 6, 9},
{О, 4, 6, А}, {0, 5, 6, В}, {О, С, 6,1}, {0, 3, С, F}, {0, 4, С, G},
{О, 5, С, Н}, {0, 3,1, L}, {0, 4,1, М}, {0, 5,1, N}, {0, 9,1, F}, {О, А,
1, G}, {О, В, I, Н}, {0, 9, С, L}, {О, А, С, М}, {О, В, С, N}. {О, F, 6,
L}, {О, G, 6, М}, {О, Н, 6, N}; {О, 1, 2, 3, 4, 5}, {О, 1, 2, 6, 7, 8},{О,
1, 2, 9, А, В}, {О, 1, 2, С, D, Е}> {О, 1, 2,1, J, К}, {О, 1, 2, L, М, N};
{О, 6, С, I, 3, 9, F, L}, {0, 6, С, I, 4, A, G, М}, {0, 6, С, I, 5, В, Н,
N}; {О,	1, 2, 3, 4,	5, 6, 7, 8, 9, А, В}, {О, 1, 2, 3, 4, 5, С, D, Е, F, G,
Н}, {О,	1, 2, 3, 4,	5,1, J, К, L, М, N}, {О,	1, 2, 6, 7,	8, С,	D, Е, I, J,
К}, {О,	1, 2, 6, 7,	8, F, G, Н, L, М, N}, {О,	1, 2, 9, А,	В, F,	G, Н, I, J,
К}, {О,	1, 2, 9, А,	В, С, D, Е, L, М, N}.
Нет смысла анализировать многие решетки от групп 24-го поряд-
ка, так как их геометрия вполне понятна. Например, решетка S( D'2)
является простым расширением решетки S(Z)g). В самом деле, сле-
дующие 15 подгрупп d'2 образуют решетку S( Df') (рис. 2.18):
О = {е, а6}, 2 = {е, а, а2, а3, а\ а5, а6, а\ а8, а9, а10, а11},
1 = {г, а3, а6, а9}, 3 = {е, а2, а4, а6, а8, а10}, 9 = {е, а6, а4Ь, а10Ь},
4 = {е, а3, аь, a9, ab, a4b, a2b, awb}, А = {е, a6, ab, ab'f,
5 = {е, а3, а6, а9, а2Ь, ab, а8Ь, аиЬ}, В = {е,а6, а5Ь, аиЬ],
6 = {е, a3, a6, a9, b, a3b, a6b, a9b}, С = {е, а6, а2Ь, а8Ь},
7 = {е, а2, а4, а6, а8, а10, b, a2b, a4b, a6b, a8b, al0b}, D = {е, а6, Ь, а6Ь},
8 = {е, a2, a4, a6, a8, a10, ab, a3b, a5b, ab. a9b, allb},
Е = {е, а6, а3Ь, а9Ь}.
Таким образом, S( Df‘) является верхней частью решетки S( D'n), и
вообще S( £>з ) cz S( Dl6) cz S( Dll2) c:...
Далее опишем новую для нас (с точки зрения определяющих со-
отношений) группу D36 с образующими:
а = (012345)(6AEKLC)(7BFJMN)(8DGHI9),
2.3. Групповые решетки из подгрупп
241
b = (0678)(19BC)(2LFI)(3HJK)(4EMG)(5DNA),
и соотношениями:
ab = b3a5,	a5b - b3a,	ab-ba\	a2b = ba4,	a5b2 = b2a5,
a5b3 = ba,	ab3 = ba5,	a3b = b3a3,	a4b = ba2,	a3b2 = b2a3.
Если элементы группы Dl		обозначить через		
O = e,	1 =a,	2 = a2,	3 = a3,	4 = a4,
5 = a5,	6 = b,	1 = b2,	8 = A3,	9 = ab,
A = ba,	В = ab2,	C = ab3,	D = a5b,	E = a4b,
F = a2b2,	G = a4b3,	H = a3b,	I = a2b3,	J = a3b2,
K = a3b3,	L = a2b,	M = a4b2,	N = a5b2,	
то подгруппы для построения решетки S( D63) будут такими:
{О, 3}, {0, 7}, {0, 9}, {О, А}, {О, С}, {О, D}, {О, Н}, {О, J},
{О, К}; {0, 1, 2}; {0, 6, 7, 8}, {О, Е, 7, G}, {О, I, 7, L},
{О, 7, С, 9}, {0, 7, Н, К}, {0, 7, A, D}, {0, 7, 3, J};
{О, 1, 2, 3, 4, 5}, {0, 2, 4, В, J, N}, {0, 2, 4, 7, F, М},
{О, 2, 4, А, С, К}, {0, 2, 4, 9, Н, D}; {0, 3, 6, 7, 8, Н, J, К},
{О, 3, 7, 9, С, Е, G, J}, {0, 3, 7, A, D, I, J, L};
{О, 1, 2, 3, 4, 5, 7, В, F, J, М, N}, {0, 2, 4, 7, 9, А, С, D, F, Н, К,
М}, {О, 2, 4, 6, 7, 8, F, G, Е, I, L, М}.
Весьма своеобразной является группа Df с образующими:
а = (OAK68I4EG2CM)(1JD7HB5N93LF),
b = (01234567)(89ABCDEF)(GHIJKLMN)
и определяющими соотношениями:
ab = a7b5 = ba5 = 63«8 = 65«и, ab5 = anb5 = Ьа = Ь3а4 = Ь5а7,
ab3 = a7b7 = ba2 = b3a5 = b5a\ ah = а4Ь = Ь3а11 = Ь5а2 и т.д.
Группу О3, можно представить матрицами 2x2 с элементами по
mod (3):
fl 0V2 OV1 OV1 1V1 0V1 2") fo 2V2 2^
fo 1Д0 2Д1 1 До 1Д2 1Д0 ij’fi 2Д1 oj’
2 1V0 1VO 2V0 П fl 1V2 2V2 1V1 2^
2 0Д2 2Д1 0Д2 O/fl 2}\2 1Д1 1Д2 2 J’
242 2. Группы /
(2 0V2 2) (2 0V2 1V0 1V1 1VO 2V1 2)	'
\2 2Д0 2J’fl 2Д0 2Д2 1Д2 oj’fl 1Д1 Oj-
Если считать матрицы
<1 1V1 2V2 0V1 0)
(2 2J’f2 1Д2 0J’f 0 0)
и т.д. недопустимыми, то общее число допустимых матриц рас-
сматриваемого типа равно 48 и они образуют группу. Эта группа не
изоморфна полной группе куба Od, хотя бы потому, что D,2 являет-
ся у нее нормальным делителем (как известно, у группы Od нет под-
групп Z9,2 ). Решетка S( /Р3,) содержит всего 8 узлов, так как Df2
имеет по одной подгруппе 2-го, 3-го, 4-го, 6-го и 12-го порядка и
три подгруппы 8-го порядка. Остальные решетки, входящие в
метарешетку М24, ничего примечательного не представляют.
В табл. 2.67 содержится информация об узлах и связях как пра-
вильных, так и неправильных решеток от групп 24-го порядка. В
заголовке табл. 2.67 решеткам присвоены следующие позиции:
1-S(C22A),
5 ~ 8(ад),
9 - S(C2C12),
13-S(Td),
2~S(Dln),
6-S(C3D)),
10-S(C3£>2),
14-S(C27)),
3-S(C22C6),
7-S(C2D62\
H-S(D,32),
15 -S(76).
4-S(D63),
8-S(D2),
12-S(C24),
Все связи условно поделены на «отходящие» (идущие от узла
вверх) и «приходящие» (подходящие к узлу снизу). Если в ячейке
стоит два числа, например 2, 4; это значит, что от одной части узлов
отходит 2 связи, а от другой — 4 связи. Общее количество узлов
дается без учета полюсов. На рис. 2.31 приведено графическое изо-
бражение метарешетки Л/24, которое показывает иерархию всех 12
правильных решеток, построенных на базе групп 24-го порядка.
Анализ неправильных решеток начнем структурой подгрупп
группы Т6, которая самым очевидным образом связана со структу-
рой группы тетраэдра 7) = Т. Образующими элементами для Т6 яв-
ляются:
а = (012345)(6789AB)(CDEFGH)(IJKLMN),
b = (O8J3BM)(1G74DA)(2NF5KC)(GEL9HI);
определяющими соотношениями —
2.3. Групповые решетки из подгрупп 243
«2Л = «У = Л2л4 = ba, ab2 = a4b = ba5 = Л4в2, b4а - Ьа4,
a5b - a2b4 = b2a = b5a4, a4b2 = ab5 = ba2 = Z»4a5, а4й = ab4,
aba = bab = a2b2a2 = a3b2a5 - b2a2b2 = b5a2b5 = a4ba4 = b4ab4,
aba5 - b a b5 = a4b4a4 = ab4a = b4a4b4 = ba4b = a2b5a2 = b2a5b2.
Таблица 2.67
Узлы и связи	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
Верхнепол.. связи	10	6	8	6	6	4	6	6	4	4	4	2	8	6	5
Отходящие связи	1	1	1	1	1	1	1	1	1	I	1	1	1	1	-
Узлы 12-го поряд.	7	3	7	3	3	3	3	3	3	3	1	1	1	1	-
Приходящие связи	4	2,6	4	4,6	2, 4,6	2,4	4	2,4	2,4	2	2	2	5	5	-
Отходящие связи	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
Узлы 8-го порядка	3	3	1	3	3	1	1	3	1	1	3	1	3	1	1
Приходящие связи	7	3	7	3	3	3	3	3	3	3	1	1	3	7	3
Отходящие связи	3	1,3	3	1, з	1,3	1,3	1,3	3	1.3	3	1	1	1	1	1
Узлы 6-го порядка	7	5	7	5	3	5	3	1	3	1	1	1	4	4	4
Приходящие связи	2,4	2,4	2	2,4	2,4	2	2	2	2	2	2	2	4	2	2
Отходящие связи	2,4	2,4	2	2,4	2,4	2	2,4	2,4	2,4	2	4	2	1,4	1,2	1
Узлы 4-го порядка	19	7	7	7	7	3	7	7	3	3	1	1	7	7	3
Приходящие связи	3	1,3	3	1,3	1,3	3	1,3	1	(„з	1	1	1	1,3	3	1
Отходящие связи	7	5	7	5	3	5	3	1	3	1	1	1	2	2	1
Узлы 3-го порядка	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	4	4	4
Приходящие связи	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
Отходящие связи	4.8	2, 8	4	2,8	2,8	2,4	2,8	8	2,4	4	2	2	3	3,7	7
Узлы 2-го порядка	15	13	7	9	7	5	3	1	3	1	1	1	9	7	1
Нижнеполюс. связи	16	14	8	10	8	6	4	2	4	2	2	2	13	11	5
Общее число узлов	52	32	30	28	24	18	18	16	14	10	8	6	28	24	1з|
Решетка 8(7б) изображена на рис. 2.32. Ее структура является
надрешеткой S(7\) (рис. 2.20) и одновременно подрешеткой
которая изображена на рис. 2.33. Выпишем подгруппы Ть и
С27з, используя общие символы для соответствующих узлов — Те:
1 = {е, а2, а4}, 2 = {е, а2Ь5, Ьа4}, 3 = {е, я3}, 4 = {е, ab4, Ь2а5},
5 = {е, Ь2, Ь4}, 6 = {е, aba, a3, ab4a}, 7 = {е, а5Ь, а3, а2Ь},
8 = {е, ab2, a3, ab5}, 9 = {е, а, а2, а3, а4, а5},В= {е, Ь, Ъ2, Ъ3, Ь4, Ь5},
А = { е, ba, a3, ba4, a2b2, a2b5}, С = { е, ab, b3, ab4, Ь2а2, Ь2а5},
D = }е, aba, a3, a5b5a3, a5b, a2b, ab2, ab5}.
244
2. Группы
Рис. 2.33
С273: 1 = {е, а, а2}, 2 = {е, Ь, Ь2}, 3 = {е, с}, 4 = {е, а2Ь, Ь2а},
5 = {е, ab2, Ьа2}, 6= {е, ab, с, abc}, 7 = {е, Ьа, с, Ьас},
8 = {е, а2Ьа2, с, а2Ьа2с}, 9 = {е, а, а2, с, ас, а2с},
А = {е, Ь, Ь2, с, Ьс, Ь2с}, В = {е, a2b, b2a, с, a2be, Ь2ас},
С = {е, ab2, ba2, с, ab2c, ba2c}, Е = {е, ab}, G = {е, а2Ьа2},
2.3. Групповые решетки из подгрупп
245
D = {е, ab, ba, a2ba2, с, abc, bac, a2ba2c }, N = {е, db, ba, a2ba2},
Н = {е, a2ba2c}, I = {е, abc}, J = {е, Ьас}, К = {е, ba, abc, а2Ьа2с},
L = {е, a2ba2, bac, abc}, М = {е, ab, bac, a2ba2c}, F = {е, Ьа},
Р = {е, a, a2, b, b2, ab, ba, a2b, b2a, ab2, Ьа2, а2Ьа2}.
Если решетки S(C2T3) и S(77) являются верхним и нижним полю-
сами одной метарешетки, то третья неправильная решетка S(TC|) ни-
как не связана с другими решетками от групп 24-го порядка. Ее 28
подгрупп приведены в списке 84 подгрупп для групп Od (там необ-
ходимо выбрать те подмножества, куда не входят штрихованные
символы).
Интересен и сравнительный анализ структур. Например, три ре-
шетки от коммутативных групп 40-го порядка —
С40« С5с8, С2С20« С4Сю * С2С4С5, С22 С10 « Cl с5,
с графической точки зрения полностью совпадают с решетками от
групп С24, С2С,2 и С2С6. Очень схожи решетки S(C,2D3) и S(C2D5)
(несмотря на то, что первая насчитывает 52 узла, а вторая — 74),
S(C2Z)62) и S(C2D20) (число узлов, соответственно, 18 и 26), S(C4D3)
и S(C4 £>5) (24 и 34) и т.д. Хотя для правильной решетки S(C2 D:) от
группы 40-го порядка уже нельзя найти аналога-срсди решеток от
групп 24-го порядка.
Мы знаем, сколь важную роль играют делители чисел. Схожесть
разложений двух чисел:
24 = 2x2x2x3,	40 = 2х2й<2х5
обеспечивает и определенную схожесть в структурах для групп со-
ответствующих порядков. Однако здесь нужно иметь в виду сле-
дующее обстоятельство. При последовательном возведении в сте-
пень подстановки а, представляющей собой 12-цикл, возникает еще
три подстановки аналогичной периодичности — а11, а2 и а5. Отсюда
можно пытаться найти три группы 24-го порядка с определяющими
соотношениями: ab = ba", ab = ba2, ab = ba5. Но для подстановок a,
представляющей собой 20-цикл, существует уже семь таких компо-
зиций:
ab = ba'9, ab = ba'2, ab - ba'3, ab = Ьа", ab - ba9, ab = ba2, ab - Ьа3.
Таким образом, число групп 40-го порядка будет заметно больше,
чем групп 24-го порядка. Тем не менее, сравнительный анализ дает
многое в понимании строения групп.
246
2. Группы
Решетки групп 27-го порядка
Свой морфологический анализ мы закончим группами 27-го поряд-
ка (27 = 3 х 3 х 3) с тем, чтобы можно было решетки от этих групп
сравнить с решетками от групп 8-го порядка (8 = 2 х 2 х 2). Под-
группы верхнеполюсной группы — С3 :
1 = {е, b, Ь2},1 = {е, ab, а2Ь2}, 3 = {е, a2b, ab2},
4 = {е, с, с2}, 5 = {в, ас, а2с2}, 6 = {в, а2с, ас2},
7 = {е, а, а2}, 8 = {е, Ь2с, Ьс2},
9 = {е, abc2, a2b2c}, А = {е, a2bc2, ab2c}, В = {е, Ьс, Ь2с2},
С = {е, a2bc, ab2c2}, D = {е, abc, а2Ь2с2},
Е = {е, Ь, Ь2, Ьс, Ь2с2, с, с2, Ъ2с, Ьс2},
F = {е, ab, a2b2, ab2c2, а2с2, ас, Ьс2, Ь2с, а2Ьс},
G = {е, a, a2, ab, а2Ь2, Ь, Ь2, a2b, ab2},
Н = {е, a2b, ab2, a2bc, ab2c2, с, с2, а2Ьс2, ab2c},
I = { е, а2с, ас2, a2b, ab2, b2c, be2, abc, а2Ь2с2},
J = {е, а, а2, ас, а2с2, с, с2, а2с, ас2},
К = {е, а2 с, ас2, a2bc, ab2c2, Ь, Ь2, abc2, а2Ъ2с},
L = {е, b2c, be2, ab2с, a2bc2, а, а2, a2b2с, abc2},
М = {е, ас, а2с2, abc, a2b2c2, b, b2, a2bc2, ab2c},
N = {е, Ьс, Ь2с2, a2bc2, ab, a2b2, ас2, а2с, ab2c},
О = {е, be, b2c2, abc, a2b2c2, а, а2, ab2c2, а2Ьс},
Р = {е, ab, a2b2, abc, а2Ь2с\ с, с2, abc2, а2Ь2с},
Q = {е, ас, а2с2, abc2, a2b2c, a2b, ab2, Ьс, Ь2с2}.
Решетка S(C33), изображенная на рис. 2.34, обладает простой груп-
пой симметрии S[ С} ], которая разбивается на восемь классов со-
пряженности. Общее число элементов в группе равно 5 928. По од-
ному представителю от каждого класса и количество элементов в
классе отражено в табл. 2.68.
Представители могут играть роль образующих элементов группы.
Для группы S[C33] имеется 13 подгрупп 3-го порядка и такое же
число подгрупп 9-го порядка, причем подгруппы четырежды связа-
ны между собой отношением порядка, т.е. каждый узел решетки
2.3. Групповые решетки из подгрупп 247
имеет четыре связи. Несложно подсчитать, что решетка S( С,) будет
содержать 31 узел на одном уровне и на каждый узел будет прихо-
диться уже 6 связей; далее, решетка S( С3) имеет 57 узлов на уровне
и 8 связей на узел и т.д. Отсюда можно вывести две простых фор-
мулы для подсчета числа связей (М) и числа узлов (N) верхнепо-
люсных решеток S( С3) (р — простое число):
М=/?+1, N = 3 •/? + (р - I)2.
С3
Рис. 2.34	Таблица 2.68
Если взять две четные подстановки:
а = (012)(345)(678),
b = (034)(578)(126)
и перемножить всеми возможными
способами, мы уже не получим про-
стой группы, но возникшие при
этом 27 подстановок заслуживают
самого пристального внимания. Де-
ло в том, что получившаяся группа
£>32, тдаленно напоминающая
группу диэдра D\ = D3, обладает
замечательным свойством — все ее подстановки представляют со-
бой 3-циклы. Группа распадается на одиннадцать классов сопря-
С,	Подстановки из S[ С33 ]
Со Ci с2 с> С4 С5 С6 С7	(0) (46)(8C)(9B)(AD) (1)(5)(A)(D)(2C8)(39B)(476) (5)(1AD)(263)(49C)(7B8) (5)(13)(27)(486C)(9ABD) (3)(5)(9B)(6D8)(1C7A24) (5)(1237)(4A8B6DC9) (14D5682A73CB9)
248
2. Группы
женности и имеет следующие подгруппы, обозначенные в соответ-
ствии с узлами S( С33)
£>з :	1 = {е, а, а2}, 2 = {е, bab2, ba2b2}, 3 = {е, b2ab, b2a2b},
4 = {е, b, b2}, 5 = {e, ab2a2, aba2}, 6 = {e, a2ba, a2b2a},
7 = {e, aba2b2, bab2a2},8 = {e, ab, b2a2},9 = {e, ba, a2b2},
В = {e, a2b, b2a}, A = {e, ab2a, b2ab2}, C = {e, ba2, ab2},
D = {e, aba, bab},
G = {e, aba2b2, bab2a2, a, a2, bab2, ba2b2, b2ab, b2a2b},
J = {e, aba2b2, bab2a2, b, b2, ab2a2, aba2, a2ba, a2b2a},
L = {e, aba2b2, bab2a2, ab, b2a2, ba, a2b2, ab2a, b2ab2},
О = {e, aba2b2, bab2a2, a2b, b2a, ba2, ab2, aba, bab}.
Группу D; можно воспроизвести на треугольных матрицах раз-
мером 3 х 3 с элементами, взятыми по mod (3):
(1 О 0V1 О 0V1 О 0W1 О 0V1 о 0Д1 О 0Д1 О 0V1 О 0Д1 О (Г
О 1	0,1	1	0,0	1	0,0	1	0,1	1	0,1	1	0,0	1	0,1	1	0,2	1	о ,
Д о	1До	о	1Д1	о	1До	1	1J V0	1	1Д1	0	UV1	1	1Д1	1	’ Л°	0	Г
С1 о	oV 1	о	оу 1	о	оу 1	о	оу 1	о	оу 1	о	оу 1	о	оу 1	о	оу 1	о	о4!
О 1	0,0	1	0,2	1	0,2	1	0,0	1	0,2	1	0,1	1	0,2	1	0,1	1	О ,
У	О	1До	2	1До	2	1J У	0	1) У	2	1J У	2	ijy	О	1Д1	О	1 До	2	1J
<1	о	oyi	о	oyi	о	oyi	о	oyi	о	oyi	о	oyi	о	oyi	о	oyi	о	о:
2	1	0,0	1	0,0	1	0,1	1	0,2	1	0,1	1	0,2	1	0,1	1	0,2	1	О .
У	1	1Д1	2	уу	1	уу	i	уу	i	iJу	2	ijy	i	уу	2	1Д1	2	ij
Эти матрицы образуют нормальный делитель в группе 216-го по-
рядка, состоящей из подобных треугольных матриц, у которых на
главной диагонали 8 способами расположены элементы 1 и 2. Ре-
шетка S( £>32) показана на рис. 2.35.
Следующую некоммутативную группу Df, как и группу Г>8,
можно отнести в разряд особых, так как ее решетка S( Df) в точно-
сти совпадает с инверсной решеткой	от коммутативной
группы. Две регулярные подстановки:
а = (012345678)(9DHCGBFAE)(IPNLQOMK),
b = (09I)(1AJ)(2BK)(3CL)(4DM)(5EN)(6FO)(7GP)(8HQ)
могут играть роль образующих, при этом выполняются следующие
равенства —
2.3. Групповые решетки из подгрупп
249
Dl: ab - ba7, a2b = ba5, a3b = ba3, a4b = ba,a5b = bai, a6b = ba6,
7,	k„4	k„2 „*2	.24 „2.2	.2„8 „3.2	.23 „4.2	.27
a b = ba , a b = ba , ab = b a , a b = b a , a b = b a , a b = b a ,
„5.2	.22	„6.2	.2„6	„7.2	.2„
a b - b a , a b = b a , a b = b a.
Рис. 2.35
Если подгруппы группы Dl обозначить соответствующим образом:
1 = {е, b, Ь2},1 = {е, а3Ь, а6Ь2}, 3 = {е, а6Ь, а3Ь2}, 7 = {е, а3, а6},
G = {е, а3, а6, Ь, Ь2, а3Ь, а3Ъ2, а6Ь, а6Ь2},
J = {е, a3, a6, ab, а4Ь, а7Ь, а2Ь2, а5Ь2, а7Ь2},
L - {е, а , а , a b, a b, a b, ab , а о , а о },
О = {е, а, а2, а3, а, а5, а6, а7, а8},
то с помощью инверсной подстановки i = (1J)(2L)(3O)(7G) можно
убедиться (рис. 2.38), что решетка S(Z>,) окажется действительно
инверсной. Но точно такие же подгруппы (причем здесь не нужно
менять элементы) получаются для коммутативной группы С2С9, ес-
ли в качестве образующих взять подстановки а = (012345678), b =
(9АВ). Решетки S(C33), S(P32), S(Z)3) « S(C2C9) и S(C27) образуют
метарешетку Л/27, цепь которой, в отличие от (рис. 2.17), состоит
из четырех звеньев.
250
2. Группы
2.4. Алгебраические системы на базе групп
Какие бывают алгебраические системы
Группы являются краеугольным камнем общей, пли абстрактной,
алгебры.«Общей», или «абстрактной», алгебра называется потому,
что ее объектами являются уже не конкретные «представления»
(матрицы или подстановки), а абстрактные символы, для которых
заранее вводятся определенные аксиомами операции. Не надо ду-
мать, что абстрактные символы к нам «падают с неба», их сущест-
вование должно быть обеспечено наличием соответствующего
представления. Если такового не находится, то убежденный конст-
руктивист, ориентированный на содержательную математику ко
всяким манипуляциям с «пустыми» знаками должен отнестись с
настороженностью. Если нам говорят, что (а + b)2 = а2 + 2аЬ + Ь2,
мы доверяем этому равенству в силу существования бесконечного
множества конкретных равенств:
(2 + З)2 = 22 + 22 3 + З2 = 25, (1 +4)2= I2 + 2 1 4 + 42 = 25,...
Примеры с числами обуславливают действия с буквами, но никак не
наоборот.
Абстрактная запись дает определенные преимущества. Так, на-
пример, вместо индуктивного поиска выражения для разложения
кубического бинома, мы могли бы воспользоваться общей формой
записи чисел посредством букв, тем более что, с точки зрения
письма, нет никакой разницы между символами, скажем, а и 2, b и
3. Если взять значения а = 2, b = 3, затем а = 1, b = 4 и т.д., то веро-
ятность, что при а = 73, b = 152, произойдет сбой и общая формула
разложения квадратичного бинома окажется неверной, маловероят-
но. С одной стороны, чтобы верить в сбой формулы при каком-то
числовом значении буквы, нужно верить в чудеса, в сверхъестест-
венную силу, которая бы нарушила монотонность числового ряда.
С другой стороны, человек, отрицающий преимущества абстракт-
ной (равно общей, алгебраической) записи, поступает неразумно.
Античный математик Диофант, живший в III столетии в Александ-
рии, сначала тоже использовал только цифры, но потом его число-
вые выкладки разрослись настолько, что он просто вынужден был
прибегнуть к буквам. Эта его невинная уловка позволила нынеш-
ним историкам математики присвоить ему почетное звание первого
алгебраиста мира. Однако трудно поверить, что где-нибудь в Древ-
нем Египте или Вавилоне кто-нибудь из математиков уже не сделал
2.4. Алгебраические системы на базе групп
251
то же самое: этот естественный прием придет каждому в голову,
когда дело имеешь с большими числами.
Для получения принципиально новых знаний буквенная запись
дает крайне мало. Она практически не способна выполнять функ-
цию лопаты для откапывания истин. Единственное ее неоспоримое
достоинство: убеждать путем алгебраических выкладок в справед-
ливости уже обнаруженных математических соотношений. Проде-
монстрируем это на следующем примере. Известно, что группа cf
коммутативна и для любого ее элемента выполняется равенство: а2
= е. Этот тривиальный факт, вытекает мгновенно, стоит нам мель-
ком бросить взгляд на подстановки:
е = (0), а = (01), А = (23), с = (45), ab = (01)(23),
ас = (01)(45), be = (23)(45), abc = (01)(23)(45).
И мы прекрасно знаем, что обратное утверждение ошибочно, т.е. из
коммутативности группы ab = Ьа вовсе не вытекает равенство а ~ е
для любого элемента а. В этом мы убедились при рассмотрении са-
мых элементарных групп, в частности, С2С4:
<? = (0), « = (0123), й2=(02)(13), л3=(0321), b = (45),
«* = (0123)(45), а2Ь = (02)(13)(45), «3* = (0321)(45).
Что же делает убежденный «формалист»? Он берется доказать, что
для каждой группы, для которой имеет место равенство а2 = е, будет
выполняться коммутативный закон: ab = Ьа. Исходя из условий,
абстрактно определяющих группу, он может провести свое доказа-
тельство, по крайней мере, двумя способами —’(а) и (б):
«) 1.	(ab)c = а(Ьс),	б) 1.	(аЬ)с = а(Ьс),
2.	ае = еа~ а,	2.	ае = еа = а,
3.	аа } = « '« =	е,	3.	аа = а ’а = е,
4.	аа = е.	4.	аа = е.
5.	ab = Ьа ?	5.	ab = Ьа!
6.	abab = е,	6.	abab = е,
7.	ab = *“’« ',	7.	aabb = е,
8.	ah = bb 'b 1а	}аа,	8.	abab = aabb,
9.	ab = Ь(Ъ)г(а	-{)2а,	9.	bab = abb,
10.	ab ~ Ьееа,	10.	ba = ab,
И.	ab = Ьа.	И.	ab = ba.
252 2. Группы
После этих выкладок кто-то может попросить «формалиста»
столь же ловко доказать обратное, а именно, что из условия комму-
тативности ab = Ьа вытекает равенство а1 = е. У конструктивистов
есть пример коммутативной группы С2С4, показывающий, что а2 Ф
е. Но как обязан поступить последовательный «формалист», у кото-
рого этого примера нет перед глазами? Он ведь должен, исходя из
аксиом группы и общих алгебраических выкладок, показать воз-
можность или невозможность этого утверждения. Промаявшись
день-два, «формалист» скажет: «Не получается!». На что мы заме-
тим: «Плохо искал!» Можно быть уверенным, что он никогда не
подтвердит и не опровергнет это положение, поскольку для одних
групп оно верно, а для других уже нет.
Между тем, коммутативные группы не представляют собой ниче-
го такого, что может вызвать затруднения. Сложнее обстоит дело с
так называемыми нильпотентными группами, для которых спра-
ведливо тождество ат = е, где т > 1. Одну из таких групп мы хоро-
шо знаем, это £>32 с образующими:
а = (012)(345)(678), Ь = (034)(578)(126),
которая состоит из 27 подстановок, представляющих собой 3-
циклы; возведение в куб любого элемента этой группы дает е.
Для нильпотентных групп вводят понятие коммутатора, опреде-
ляемого следующим образом:
[a, b] = a lb~}ab -aba'b1.
Коммутатор равен е, если группа коммутативна, в общем же случае
он равен некоему другому элементу группы. Так, для группы D3
коммутатор, составленный из а и Ь, равен: [а, Ь] = (065)(173)(284).
Следовательно, коммутатор можно рассматривать как определен-
ную на группе метаоперацию. Для любых коммутаторов справед-
ливы следующие законы, которые проверяются подстановкой:
[а, b}[b, а} = е, [а, А]"1 = [й, а],	[а, b '] = b [й, а] Ь~\
[а' \ b] = a [b, a} a1, [ab, с] = b[[a, с] b [Ь, с],
[а, Ьс} = [а, с}с~'[«, «] с.
Но если группа нильпотентная, то для метаоперации выполняют-
ся законы ассоциативности, дистрибутивности и другие замеча-
тельные тождества:
[[a, b\, с] = [a, [b, с]], [ab, с] = [а, с] [й, с],
2.4, Алгебраические системы на базе групп 253
[a, be] = [a, b] [а, с], [а, Ь]~'= [а~1, Ь] = [а, Ь~ *], [[а, Z»], Ь] = е,...
Чтобы доказать любое из этих тождеств, конструктивисту не тре-
буется больших интеллектуальных усилий, особенно если у него
под рукой компьютер. Нильпотентная группа Z>32 легко разбивается
на одиннадцать классов эквивалентности и прямой подстановкой их
представителей устанавливается справедливость любого тождества.
Для алгебраиста-формалиста поиск доказательства подобных тож-
деств выливается в тяжелый и неблагодарный труд; никогда не зна-
ешь, увенчаются ли твои поиски успехом или ты обречен на беско-
нечное манипулирование символами. Докажем в общем виде, что из
равенства а3 = е вытекает равенство [[а, Л], А] = е\
1. (ab)c = а(Ьс),	10. aba =b-xa-lb~l,
2. ае = еа = а	11. abaabaaba = e,
3. аа1 = а~ха = е,	12. abaabab '«b-1 = e,
4. ааа = е,	13. aba 'bah 'a 'b ' = e,
5. [а, b] = aba xb '.	14. aba '(b b)bab 'a 'b ' = e,
6. [[«, b], 6] = е ?	15. (aba b x)b(babxa 'jb ' = e,
7. bababa = е,	16. (aba 'b x)b(aba 'b ')b 1 = e,
8. ababa = b\	17. [a,b\b[a,bYxb x=e,
9. baba = a~xb~\	18. [[я, Л], Л] = е.
Теперь алгебраистам-формалистам предлагается у�