Предисловие
Основные обозначения
1. Множества и отношения
1.2. Кортеж. Декартово произведение
1.3. Соответствия и бинарные отношения
1.4. Операции над соответствиями
1.5. Семейства множеств
1.6. Специальные свойства бинарных отношений
1.7. Отношения эквивалентности
1.8. Упорядоченные множества. Теорема о неподвижной точке
1.9. Мощность множества
Д.1.1. Об одном парадоксе теории множеств
Д.1.2. Метод характеристических функций
Вопросы и задачи
2. Алгебры: группы и кольца
2.2. Группоиды, полугруппы, группы
2.3. Кольца, тела, поля
2.4. Области целостности
2.5. Модули и линейные пространства
2.6. Подгруппы и подкольца
2.7. Теорема Лагранжа
2.8. Гомоморфизмы групп и нормальные делители
2.9. Гомоморфизмы колец
Д.2.1. Кватернионы
Вопросы и задачи
3. Полукольца и булевы алгебры
3.2. Замкнутые полукольца
3.3. Решение систем линейных уравнений
3.4. Булевы алгебры
3.5. Решетки
Вопросы и задачи
4. Алгебраические системы
4.2. Подсистемы
4.3. Конгуэнции и фактор-системы
4.4. Гомоморфизмы
4.5. Прямые произведения алгебраических систем
4.6. Конечные булевы алгебры
4.7. Многосортные алгебры
Вопросы и задачи
5. Теория графов
5.2. Способы представления
5.3. Деревья
5.4. Остовное дерево наименьшего веса
5.5. Методы систематического обхода вершин графа
5.6. Задача о путях во взвешенных ориентированных графах
5.7. Изоморфизм графов
5.8. Топологическая сортировка
5.9. Элементы цикломатики
Вопросы и задачи
6. Булевы функции
6.2. Таблицы булевых функций
6.3. Фиктивные переменные. Равенство булевых функций
6.4. Формулы и суперпозиции
6.5. Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы
6.6. Построение минимальных ДНФ
6.7. Теорема Поста
6.8. Схемы из функциональных элементов
Вопросы и задачи
7. Конечные автоматы и регулярные языки
7.2. Порождающие грамматики
7.3. Классификация грамматик и языков
7.4. Регулярные языки и регулярные выражения
7.5. Конечные автоматы. Теорема Клини
7.6. Детерминизация конечных автоматов
7.7. Минимизация конечных автоматов
7.8. Лемма о разрастании для регулярных языков
Д.7.1. Обоснование алгоритма детерминизации конечных автоматов
Д.7.2. Конечные автоматы с выходом. Структурный синтез
Д.7.3. Морфизмы и конечные подстановки
Д.7.4. Машины Тьюринга
Вопросы и задачи
8. Контектстно-свободные языки
8.2. Приведенная форма КС-грамматики
8.3. Лемма о разрастании для КС-языков
8.4. Магазинные автоматы
8.5. Алгебраические свойства КС-языков
Д.8.1. О методах синтаксического анализа КС-языков
Д.8.2. Семантика формальных языков
Д.8.3. Графовое представление МП-автоматов
Вопросы и задачи
Список рекомендуемой литературы
Предметный указатель
Текст
                    Математика в техническом
университете
Выпуск XIX
Серия удостоена
Премии Правительства
Российской Федерации
в области науки и техники
за 2003 год


Комплекс учебников из 21 выпуска Под редакцией B.C. Зарубина и А.П. Крищепко I. Введение в анализ II. Дифференциальное исчисление функций одного переменного III. Аналитическая геометрия IV. Линейная алгебра V. Дифференциальное исчисление функций многих переменных VI. Интегральное исчисление функций одного переменного VII. Кратные и криволинейные интегралы. Элементы теории поля VIII. Дифференциальные уравнения IX. Ряды X. Теория функций комплексного переменного XI. Интегральные преобразования и операционное исчисление XII. Дифференциальные уравнения математической физики XIII. Приближенные методы математической физики XIV. Методы оптимизации XV. Вариационное исчисление и оптимальное управление XVI. Теория вероятностей XVII. Математическая статистика XVIII. Случайные процессы XIX. Дискретная математика XX. Исследование операций XXI. Математическое моделирование в технике
А.И. Белоусов, СБ. Ткачев ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА Под редакцией д-ра техн. наук, профессора B.C. Зарубина и д-ра физ.-мат. наук, профессора А.П. Крищенко Издание третье, стереотипное Рекомендовано Министерством образования Российской Федерации в качестве учебника для студентов высших технических учебных заведений Москва Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана 2004
УДК 512.54-519.1@75.8) ББК 22.174 Б43 Рецензенты: чл.-корр. РАН Ю.Н. Павловский, проф. А.К. Платонов Б43 Белоусов А.И., Ткачев СБ. Дискретная математика: Учеб. для вузов / Под ред. B.C. Зарубина, А.П. Крищенко. - 3-е изд., стереотип. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. -744 с. (Сер. Математика в техническом университете; Вып. XIX). ISBN 5-7038-1769-2 (Вып. XIX) ISBN 5-7038-1270-4 В девятнадцатом выпуске серии „Математика в техническом универ- университете" изложены теория множеств и отношений, элементы современной абстрактной алгебры, теория графов, классические понятия теории буле- булевых функций, а также основы теории формальных языков, куда включены теории конечных автоматов, регулярных языков, контекстно-свободных языков и магазинных автоматов. В анализе графов и автоматов особое внимание уделено алгебраическим методам. Содержание учебника соответствует курсу лекций, который авторы читают в МГТУ им. Н.Э. Баумана. Для студентов технических университетов. Может быть полезен пре- преподавателям, аспирантам и инженерам. Ил. 200. Табл. 27. Библиогр. 65 назв. УДК 512.5+519.1@75.8) ВБК 22.174 © А.И. Белоусов, СБ. Ткачев, 2001 © Московский государственный технический университет ISBN 5-7038-1769-2 (Вып. XIX) им НЭ' Баумана> 2001 ISBN 5-7038-1270-4 © Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001
К 175-летию МГТУ им. Н.Э. Баумана ПРЕДИСЛОВИЕ Предлагаемая читателю книга является девятнадцатым вы- выпуском комплекса учебников „Математика в техническом уни- университете". Она содержит систематическое изложение курса дискретной математики. Развитие классической („непрерывной") математики бы- было обусловлено прежде всего решением задач естествознания, главным образом физики. „Дискретная" же математика раз- развивалась в связи с изучением законов и правил человеческого мышления, что и обусловило ее применение в тех областях техники, которые так или иначе связаны с моделированием мышления, и в первую очередь в вычислительной технике и программировании. Мышление реализует себя прежде всего в языке. Поэтому разумно считать, что ядро дискретной математики образует именно математическая теория языков, точнее, область этой теории, называемая теорией формальных языков. Слово „фор- „формальный" подчеркивает, что в этой теории изучаются в основ- основном искусственные языки, специально созданные для каких-то целей: языки программирования, языки математики и т.п. Те- Теория формальных языков является базой теории кодирования, „криптологии", изучающей методы защиты информации, тео- теории алгоритмов и в определенном смысле математической ло- логики. В прикладном аспекте эта теория служит основой разра- разработки математического обеспечения вычислительных машин. Доминирующим в современной теории формальных языков является алгебраический подход, в котором существенно ис- используется аппарат, базирующийся на понятии алгебраической структуры полукольца. Этот аппарат во многом похож на ап- аппарат линейной алгебры. Систематическое изложение теории
ПРЕДИСЛОВИЕ формальных языков на базе теории полуколец и является одной из основных задач этой книги. Отметим, что в отечественной учебной литературе такой подход почти не получил отражения. Теория формальных языков существенно опирается и на те- теорию графов. Многие задачи теории языков (например, задача определения языка конечного или магазинного автомата) сво- сводится к задаче о путях во взвешенных (размеченных) ориенти- ориентированных графах, где множество меток имеет алгебраическую структуру полукольца. Изложение материала построено следующим образом. Гла- Глава 1 посвящена множествам и отношениям. Здесь напомина- напоминаются основы теории множеств, изложенные в первом выпуске комплекта учебников, причем некоторые вопросы излагаются более детально. Основное содержание главы составляет теория отношения. Центральным результатом является теорема о не- неподвижной точке для индуктивных упорядоченных множеств, на базе которой строятся методы решения задач о путях в гра- графах и алгебраические методы в теории формальных языков. Ввиду важности алгебраических методов в дискретной ма- математике большое внимание уделяется алгебраической теории: ей посвящены три главы. В главе 2 излагаются элементы клас- классической общей алгебры и рассматриваются группы, кольца и поля. Глава 3 посвящена полукольцам и булевым алгебрам. Приведенный здесь материал имеет важное значение с точ- точки зрения приложения алгебраических методов как в теории формальных языков, так и в теории булевых функций. Особен- Особенностью изложения является определение булевой алгебры как частного случая полукольца. В главе 4 приведены некоторые результаты общей теории алгебраических систем. Глава 5 посвящена теории графов. Центральное место в гла- главе занимает изложение алгебраического метода решения задач о путях в ориентированных графах, размеченных над полуколь- полукольцами. Этот материал служит, с одной стороны, иллюстрацией применения алгебраической техники в решении графовых за- задач, а с другой — основой решения задач в теории формальных
языков. Глава содержит также описание некоторых алгорит- алгоритмов на графах: алгоритма „поиска в глубину" и „поиска в ширину", алгоритма Краскала для отыскания остовного дерева наименьшего веса, алгоритма топологической сортировки. Ко- Коротко рассматриваются изоморфизм графов, группы автомор- автоморфизмов графов и элементы цикломатики (анализа структуры циклов неориентированного графа). Глава 6 посвящена классическому разделу дискретной ма- математики — булевым функциям — и включает вопросы мини- минимизации булевых функций и теорему Поста о функциональной полноте. В главах 7 и 8 изложена теория формальных языков. Гла- Глава 7 содержит „линейную часть" этой теории — теорию ко- конечных автоматов и регулярных языков, а глава 8 — теорию контекстно-свободных языков. Это важнейший класс языков, его теоретический анализ является основой многих информа- информационных технологий, таких, в частности, как проектирование компиляторов или разработка лингвистического обеспечения баз данных. Фундаментальным является понятие магазинно- магазинного автомата — распознавателя в классе контекстно-свободных языков. Именно эта модель языка служит математической основой конкретных технологий разработки синтаксических анализаторов для языков программирования. В дополнениях к главе 8 приведены элементарные сведения о синтаксическом анализе контекстно-свободных языков и введе- введение в математическую теорию семантики формальных языков (в частности, языков программирования). Здесь мы пытаемся перекинуть „мостик" от чистой теории к практической тех- технологии анализа контекстно-свободных языков, используемой прежде всего в компиляторах. Этот материал призван проил- проиллюстрировать связь между изложенои математической теорией и ее приложениями к разработке математического обеспечения компьютеров. В конце каждой главы помещены задачи для самостоятель- самостоятельного решения. Наиболее трудные задачи снабжены указаниями. В некоторых задачах содержатся и теоретические результаты,
8 ПРЕДИСЛОВИЕ дополняющие основной текст. Часть задач придумана автора- авторами, часть заимствована из других задачников и учебников. Дискретная математика — бурно развивающаяся область. К сожалению, в этом учебнике мы не нашли возможности даже обзорно изложить некоторые результаты, развивающие клас- классическую теорию графов (гиперграфы, сети Петри, потоко- потоковые диаграммы) и теорию языков (сверхъязыки, автоматы над структурами, отличными от слов, теорию алгоритмов как ди- динамических систем, топологические методы в семантике). Мы рекомендуем интересующемуся читателю обстоятельно напи- написанную „Handbook of Theoretical Computer Science", а также последние выпуски периодического издания „Lecture notes in Computer Science". Наиболее интересные, с нашей точки зре- зрения, работы из этого издания указаны в списке литературы. Для успешного освоения материала книги достаточно зна- знания традиционных курсов математического анализа и линейной алгебры, читаемых в техническом университете. Мы в основ- основном опирались на материал, изложенный в выпусках I-IV на- настоящего комплекса учебников. В тексте книги имеются ссылки на другие выпуски комплек- комплекса учебников. Такой ссылкой служит номер выпуска. Напри- Например, [I] означает, что имеется в виду первый выпуск. Ссылки без римских цифр относятся только к этому, девятнадцатому, выпуску. Так, (см. 1.2) отсылает читателя ко второму пара- параграфу первой главы, а (см. Д.7.1) — к первому дополнению седьмой главы этой книги. Ссылки на номера формул и ри- рисунков набраны обычным шрифтом (например, B.1) — первая формула в главе 2, (рис. 1.5) — пятый рисунок в главе 1). Большинство используемых в этой книге обозначений поме- помещено в перечне основных обозначений, где наряду с их краткой расшифровкой указаны глава и параграф, в которых можно найти более подробное объяснение по каждому из обозначений. Для части обозначений, введенных в первом выпуске, указаны глава и параграф первого выпуска, а также при необходимости глава и параграф этой книги. Например, 1-1.3, 1.1 показыва- показывает, что обозначение введено в третьем параграфе первой главы
9 первого выпуска и пояснения к нему содержатся в первом па- параграфе первой главы девятнадцатого выпуска. После этого перечня приведены написание и русское произношение входя- входящих в формулы букв латинского и греческого алфавитов. В конце книги помещены список рекомендуемой литературы и предметный указатель, в котором расположены в алфавитном порядке (по существительному в именительном падеже) все выделенные в тексте полужирным курсивом термины с указанием страницы, где они строго определены или описаны. Выделение термина светлым курсивом означает, что этот термин в данном параграфе относится к ключевым словам и читателю должно быть известно его значение. Значение этого термина можно уточнить, найдя с помощью предметного указателя необходимую страницу этого выпуска, на которой термин определен или описан. Бели термин введен в другом выпуске, то дана ссылка на этот выпуск (например, III означает ссылку на третий выпуск), а также указана курсивом страница предлагаемой книги, на которой имеются некоторые пояснения к этому термину. Авторы выражают глубокую благодарность А.А. Кириль- ченко и М.С. Виноградовой за многочисленные пожелания и замечания, которые были учтены при подготовке книги. Перед чтением книги в целях самоконтроля предлагается выполнить приведенные ниже задания. В тексте заданий пря- прямым полужирным шрифтом выделены термины, значение которых должно быть известно читателю, а в конце каждо- каждого задания указана ссылка на номер выпуска, в котором можно найти соответствующие разъяснения. В основном тексте книги эти термины не выделены и не входят в предметный указатель. Задания для самопроверки 1. Что такое конечное множество, подмножество, эле- элемент множества? Какими способами можно задать мно- множество? Приведите примеры конечных и счетных мно- множеств. [I]
10 ПРЕДИСЛОВИЕ 2. Является ли множество всех рациональных чисел счетным? [I] 3. Что такое множество всех действительных чисел? Что понимают под расширенной (пополненной) числовой прямой? [I] 4. Является ли множество натуральных чисел соб- собственным подмножеством множества целых чисел? [I] 5. Какие операции над множествами Вы знаете? Перечи- Перечислите свойства этих операций. [I] 6. В чем заключается принцип двойственности для за- законов де Моргана? [I] 7. Из каких этапов состоит доказательство по методу ма- математической индукции? [I] 8. Сформулируйте определение взаимно однозначного отображения двух множеств. Что такое тождественное отображение? Чему равна композиция прямого и обрат- обратного отображений двух множеств? [I] 9. При каких условиях отображение одного множества в другое называют сюръекцией, инъекцией и биекцией? [I] 10. Что называют неподвижной точкой отображения? Сколько неподвижных точек у отображения у = sina;? [I] 11. Какие элементарные функции Вы знаете? [II] 12. Что такое область определения и область значения функции? [I] 13. Приведите примеры функций, непрерывных в интер- интервале (а,Ь). В чем различие между монотонной и строго монотонной в некотором промежутке функциями? [I] 14. Что такое последовательность элементов множе- множества? [I] 15. Какими свойствами обладает предел последователь- последовательности? [I] 16. Сформулируйте признак Вейерштрасса сходимо- сходимости ограниченной последовательности. [I] 17. Какова связь между количеством сочетаний и количе- количеством размещений из п элементов по к? [I]
11 18. Что такое единичная и нулевая матрицы? [III] 19. Что такое диагональная матрица, верхняя тре- треугольная (нижняя треугольная) матрица? [III] 20. Для матриц каких типов (размеров) определены операции сложения и умножения? [III] 21. Что такое определитель числовой квадратной ма- матрицы порядка п? Как связаны операции транспонирова- транспонирования и вычисления обратной матрицы? [III] 22. Какую квадратную матрицу называют вырожденной, а какую — невырожденной? [III] 23. Какие свойства имеют операции сложения свободных векторов в пространстве и умножения вектора на число? Какими алгебраическими свойствами обладают скалярное и векторное произведения векторов? [III] 24. Что такое коллинеарные и компланарные векто- векторы? [III] 25. Что такое линейное пространство? Каковы ак- аксиомы линейного пространства? Что такое линейное арифметическое пространство? [IV] 26. Что такое размерность линейного пространства и базис линейного пространства? [IV] 27. Что такое линейный оператор? [IV]
ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ М и > — начало и окончание доказательства # — окончание примера или замечания а Е А — элемент а принадлежит множеству А (множество А содержит элемент а) 1-1.1, 1.1 а ? А — элемент а не принадлежит множеству А (множество А не содержит элемент а) 1-1.1, 1Л {а,Ь,с} — множество, состоящее из элементов а, Ь, с 1-1.1, 1.1 А = {х: ...} — множество А состоит из элементов ж, обладаю- обладающих свойством, указанным после двоеточия 1-1.1, 1.1 0 — пустое множество 1-1.1, 1.1 U — универсальное множество 1.1 А = В — множества А и В равны 1.1 А С -В, В D А — множество А является подмножеством мно- множества В (А включено в В) 1-1.2, 1.1 А С В, В D А — множество А включено в множество В или совпадает с ним, 1-1.2, 1.1 АПВ — пересечение множеств Аи В 1-1.4, 1.1 Аи В — объединение множеств А и В 1-1.4, 1.1 А — дополнение множества А до универсального множе- множества 1-1.4, 1.1 А\В — разность множеств Аи В 1-1.4, 1.1 ААВ — симметрическая разность множеств А и В 1-1.4, 1.1
13 — объединение А; множеств Ai, ..., A* I-1.4, 1.5 — пересечение А: множеств Ai, ..., Ak I-1.4, 1.5 — множество всех подмножеств множества А 1.1 — символы дизъюнкции и конъюнкции 1-1.5, 1.1 — булево объединение 3.4 — булево пересечение 3.4 — символ импликации 1-1.5, 1.1 — символ эквивалентности 1-1.5, 1.1 — отрицание высказывания А 1-1.5, 1.1 — булево дополнение элемента х 3.4 — квантор всеобщности (Уж — для любого х) и кван- квантор существования (Зх — существует х) 1-1.5,1.1 — упорядоченная пара элементов ж и у 1.2 — прямое (декартово) произведение множества X на множество Y 1-2.5, 1.2 — n-я декартова степень множества X (декартово про- произведение п экземпляров множества X) 1-2.5 — число размещений (без повторений) из п элементов по га 1-2.6, 1.9 — число сочетаний (без повторений) из п элементов по m I-2.6, 1.9 — число перестановок из п элементов 1-2.6, 1.9 — множество натуральных чисел 1-1.3, 1.9 — множество неотрицательных целых чисел 1.9 — множество целых чисел 1-1.3 — множество рациональных чисел 1-1.3
14 ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ Ш — множество действительных чисел 1-1.3 [ж, у] — замкнутый промежуток (отрезок) 1-1.3 (я> у) — открытый промежуток (интервал) 1-1.3 [ж, у), (ж, у] — полуинтервалы 1-1.3 /: А -> В — отображение (функция) из множества А в множе- множество В 1-2.1, 1.3 у = f(x) — элемент у есть образ элемента х при отображении / 1-2.1,1.3 /: х н> у — отображение (функция) переводит элемент х в эле- элемент у, т.е. у = f(x) 1.3 Z" — отображение, обратное отображению / 1-2*3, 1.3 /~Х(у) — полный прообраз элемента у при отображении / 1-2.1, 1.3 /(С) — образ множества С при отображении / 1-2.1, 1.3 f~l(D) — полный прообраз множества D при отображении / 1-2.1, 1.8 ВА — множество всех отображений из Ав В 1.3 р°<т, f°g — композиция соответствий р и сг, композиция ото- отображений / и д 1.3 р С А\ х А2 — соответствие из множества А\ в множество А% 1.3 D(f) — область определения отображения / 1-2.1, 1.3 D(p) — область определения соответствия р 1.3 R(f) — область значения отображения / 1-2.1, 1.3 R(p) — область значения соответствия р 1.3 р(х) — сечение соответствия р 1.3 р~~1 — соответствие, обратное соответствию р 1.3 Р Я А\ х ... х Ап — n-арное отношение на множествах А\, ..., Ап 1.3 — диагональ множества А 1.3
15 р* — рефлексивно-транзитивное замыкание бинарного от- отношения р 1.6 fn(x) — результат n-кратного применения функции / к эле- элементу я, причем f°(x) = х 1.8 p\c,D — (С, ^-ограничение соответствия р 1.4 р\с — С-сужение соответствия р 1.4 р\оС — строгое С-сужение соответствия р 1.4 р\м — ограничение бинарного отношения р на подмноже- подмножество М 1.4 (Ai)iei — индексированное семейство множеств (с множест- множеством индексов /) 1.5 U А{ — объединение индексированного семейства множеств *' 1.5 П Ai — пересечение индексированного семейства множеств *€/ 1.5 [х]р — класс эквивалентности элемента х по отношению эквивалентности р 1.7 А/р — фактор-множество множества А по отношению эк- эквивалентности р 1.7 a = b (mod к) — числа а и 6 равны по модулю к 1.7 =(modife) — бинарное отношение равенства по модулю А; 1.7 ^> ^, Е)^ — стандартные обозначения различных отноше- отношений порядка 1.8 ^, >:, 3) ^ — обозначения отношений порядка, двойственных соответственно к ^, ^, С, ^ 1.8 <, X, Е — обозначения отношений строгого порядка, опреде- определяемых соответственно ^, ^, С 1.8 >, >-, ID — обозначения отношений строгого порядка, двой- двойственных соответственно к <, ^, С 1.8 < — обозначения отношения доминирования, определяе- определяемого отношением порядка ^ 1.8
16 ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ sup В (inf J5) — точная верхняя (точная нижняя) грань множе- множества В 1-2.7, 1.8 supXn (inf-Yn) — точная верхняя (точная нижняя) грань по- последовательности Хп 1.8 lim хп — предел последовательности хп при п -> оо 1-6.3 п—>оо О — наименьший элемент индуктивного частично упоря- упорядоченного множества 1.8 А ~ В — множество А эквивалентно множеству В 1.9 \А\ — мощность множества А 1.9 No — мощность счетного множества 1.9 с — мощность континуума 1.9 0 — нуль относительно операции 2.1 1 — единица относительно операции 2.1 а — элемент, обратный элементу а при мультипликатив- мультипликативной записи группы 2.2 —а — элемент, противоположный элементу а при аддитив- аддитивной записи коммутативной группы 2.2 Sn — симметрическая группа степени п (группа подста- подстановок n-элементного множества) 2.2 аН (На) — левый (правый) смежный класс подгруппы Н (ка- (какой-либо группы G), определяемый элементом а Е G 2.7 G/H — фактор-группа группы G по нормальной подгруппе Я 2.8 Zjfe — кольцо вычетов по модулю к 2.3 Z? — аддитивная группа вычетов по модулю к 2.3 Z* — мультипликативная группа вычетов по модулю р (для простого р) 2.3 В — полукольцо ({0,1}, +, •, 0, 1) (двухэлементное полу- полукольцо) 3.1
17 TV" — полукольцо (R+, min, +, +00, 0) (полукольцо неот- неотрицательных действительных чисел вместе с +оо с операциями взятия наименьшего элемента и сложе- сложения) 3.1 Sa — полукольцо B^, U, П, 0, А) (полукольцо всех под- подмножеств множества А) 3.1 TZa — полукольцо BЛхЛ, U, о, 0, id^) (полукольцо всех бинарных отношений на множестве А) 3.1 N — полукольцо (No, +, •, 0, 1) (полукольцо неотрица- неотрицательных целых чисел с обычными операциями сло- сложения и умножения) 3.1 3[ауъ] — полукольцо ([а, 6] CR, max, min, а, Ь) (полукольцо чисел из отрезка числовой прямой с операциями взя- взятия максимума и минимума из двух чисел) 3.1 Matr(«S) — множество всех матриц с элементами из полуколь- полукольца S 3.3 Mn(«S) — полукольцо квадратных матриц порядка п с элемен- элементами из полукольца S 3.3 Vn — полукольцо всех делителей натурального числа п 3.4 S хпч Ylxn — точная верхняя грань бесконечной последова- neN тельности х\, ..., жп, ... элементов замкнутого по- полукольца 3.2 а* — итерация (замыкание) элемента а замкнутого полу- полукольца (или полукольца с итерацией) 3.2 В — двухэлементная булева алгебра (то же, что полу- полукольцо В) 3.4 Л = (A, ft, П) — алгебраическая система с носителем А, сиг- сигнатурой, состоящей из множества операций Q и множества отношений П 4.1 Л = (А, ?2) — алгебра с носителем А и сигнатурой (множе- (множеством операций) п 4.1
18 ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ Л = (А, П) — модель с носителем А и сигнатурой (множе- (множеством отношений) П 4*1 [В]п — замыкание множества В по операциям сигнатуры С1 ($~2-замыкание множества В) 4.2 h: Л —У В — гомоморфизм h алгебраической системы Л в ал- алгебраическую систему В 4.4 КегЛ — ядро гомоморфизма h одной алгебраической систе- системы в другую 4.4 h(A) — гомоморфный образ алгебраической системы Л (от- (относительно гомоморфизма h) 4.4 = — символ изоморфизма алгебраических систем 4.4 Л/р — фактор-система алгебраической системы Л по кон- конгруэнции р 4.3 v — вершина и соединена ребром с вершиной v в неори- неориентированном графе G (имя графа часто опускает- опускается) 5.1 ^ — существует дуга в ориентированном графе G с на- началом и и концом t; (имя графа часто опускается) 5.1 ?v — из вершины и (неориентированного графа G) до- достижима вершина v (имя графа часто опускается) 5.1 и w+ v — существует цепь ненулевой длины, соединяющая вершины и и v (неориентированного графа) 5.1 v — существует цепь длины п, соединяющая вершины и и v (неориентированного графа) 5.1 и =>* v — из вершины tx (некоторого ориентированного гра- графа) достижима вершина v 5.1 и =Ф-+ v — существует путь ненулевой длины из вершины и в вершину v (в ориентированном графе) 5.1
19 и =ФП v — существует путь длины п из вершины и в вершину v (в ориентированном графе) 5.1 dg(f) — степень вершины v (в неориентированном или ори- ориентированном графе) 5.1 dg+(v) — полустепень исхода вершины v (в ориентированном графе) 5.1 dg~ (v) — полустепень захода вершины v (в ориентированном графе) 5.1 T(v) — множество всех таких вершин и (ориентированн- го или неориентированного графа), что и -? v (для ориентированного графа) или г*»-чг; (для неориенти- неориентированного графа) 5.1 Г~~г(у) — множество всех таких вершин и (ориентированного графа), что и -» v 5.1 L[v] — список смежности вершины v (в неориентированном или ориентированном графе) 5.2 d(v), /i(v), l{v) — глубина, высота и уровень соответственно узла v дерева 5.3 кт — высота дерева Т 5.3 G\ = G2 — графы G\ и С?2 изоморфны 5.7 G — дополнение графа G 5.7 V* — множество всех слов в алфавите V 7.1 V* — множество всех непустых слов в алфавите V 7.1 Vn — множество всех слов длины п в алфавите V 7.1 Л — пустое слово 7.1 х (г) — г-я буква слова х 7.1 х(\)х{2)... х(к) — побуквенная запись слова х 7.1 (и, ж, v) — вхождение слова х в слово у = uxv 7.1 uQv — слово и входит в слово v 7.1 Li-L2 — соединение (конкатенация) языков Ь\ и L*i 7.1
20 ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ L* — итерация языка L 7.1 L+ — позитивная итерация языка L 7.1 C(V) — полукольцо всех языков в алфавите V 7.1 а -> Р — правило вывода (продукция) в грамматике 7.2 7 Ьз & — цепочка S непосредственно выводима в грамматике G из цепочки j (имя грамматики часто опускается) 7.2 71~р 8 — цепочка S непосредственно выводима в грамматике G из цепочки 7 применением правила р 7.2 7 Ь~Ь & — цепочка 8 выводима в грамматике G из цепочки 7 (имя грамматики часто опускается) 7.2 7 Ьq S — существует вывод ненулевой длины цепочки 6 в грамматике G из цепочки 7 (имя грамматики часто опускается) 7.2 7 Ь^ S — существует вывод длины п цепочки S в грамматике G из цепочки 7 (имя грамматики часто опускается) 7.2 Oi -> Pi | #21 • • • | Рп — запись множества правил грамматики с одной и той же левой частью а 7.2 TZ(V) — полукольцо регулярных языков в алфавите V 7.4 (а + Р) — сумма регулярных выражений 7.4 (а • Р) — произведение регулярных выражений 7.4 а*, а+ — итерация и позитивная итерация регулярного выра- выражения соответственно 7.4 q —»а г — из состояния q конечного автомата возможен пере- переход в состояние г по символу (или пустой цепочке) а 7.5 qa—tr — запись команды конечного автомата (по символу или пустой цепочке а разрешен переход из состояния q в состояние г) 7.5
21 Я ^х г — цепочка х читается на некотором пути из состояния q в состояние г конечного автомата 7.5 L(M) — язык конечного автомата М 7.5 = — символ эквивалентности конечных автоматов 7.5 qaZ -> rj — запись команды МП-автомата (из состояния q с верхним символом в магазине Z по входному симво- символу или пустой цепочке а разрешен переход в состо- состояние г с заменой символа Z цепочкой 7) 8.4 \~~м> ^м? 1~д^, Ьд^ — отношения непосредственной выводимо- выводимости, выводимости, выводимости за ненулевое число шагов и выводимости за п шагов соответственно на множестве конфигураций МП-автомата М 8.4 L(M) — язык МП-автомата М 8.4 <S(L,Li,...,Ln) — суперпозиция (подстановка) языков Li, ..., Ln в язык L 8.5 А\\Х\Х2-..Хт — упорядоченное дерево, корень которого помечен символом Л, а листья имеют метки Х\, ..., Хт 8.1 'ХШ — куст упорядоченного дерева, корень кото- которого помечен символом А, а листья имеют метки Ai, ..., Хт 8.1
22 ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ Буквы латинского алфавита Начертание А а В Ъ С с D d Б е F f G g Н h I i Jj К k L 1 M m A a В b С с D d E e F f G g H h I i Jj К к L I M m Произно- Произношение a бэ цэ ДЭ e эф же аш и йот ка эль эм Начертание N п О о РР Qq Rr S s T t U u V v W w X x Yy Z z N n О о Рр Qq R r S s T t U и V v W w X x У У Z z Произно- Произношение эн 0 пэ ку эр эс тэ У вэ дубль-вэ икс игрек зэт Представлен наиболее употребительный (но не единствен- единственный) вариант произношения (в частности, вместо „йот" иногда говорят „жи"). Буквы греческого алфавита Начер- Начертание А а в р Г 7 Д S Е е z С Н г, в дв Произно- Произношение альфа бета гамма дельта эпсилон дзета эта тэта Начер- Начертание I ь К н Л Л М /i N v О о П тг Произно- Произношение йота каппа ламбда ми ни кси омикрон пи Начер- Начертание р р S a Т т Т v Ф <р х х ф ф ?2 ш Произно- Произношение ро сигма тау ипсилон фи ) хи пси омега Наряду с указанным произношением также говорят „лямб- „мю" и „ню"
1. МНОЖЕСТВА И ОТНОШЕНИЯ 1.1. Множества Элементы теории множеств изложены в [I]. Напомним здесь основные понятия и обозначения. Понятие множества является исходным не определяемым строго понятием*. Приведем здесь определение множества (точ- (точнее, пояснение идеи множества), принадлежащее Г. Кантору**: „Под многообразием или множеством я понимаю вообще все многое, которое возможно мыслить как единое, т.е. такую совокупность определенных элементов, которая посредством одного закона может быть соединена в одно целое". Множества будем, как правило, обозначать большими бу- буквами латинского алфавита, а их элементы — малыми, хотя иногда от этого соглашения придется отступать, так как эле- элементами некоторого множества могут быть другие множества. Тот факт, что элемент а принадлежит множеству А, записыва- записывается в виде аЕ А. В математике мы имеем дело с самыми различными мно- множествами. Для элементов этих множеств мы используем два основных вида обозначений: константы и переменные. Индивидная константа (или просто константа) с областью значений А обозначает фиксированный элемент мно- множества А. Таковы, например, обозначения (записи в опреде- *Это имеет место в так называемой „наивной" теории множеств. В современной математической литературе фигурируют различные постро- построения теории множеств, в которых понятие множества строго определя- определяется посредством набора аксиом (аксиоматические теории множеств), но при этом используются уже другие неопределимые понятия. В рамках курса дискретной математики нам достаточно ограничиться „наивным" подходом. *Т. Кантор A845-1918) — немецкий математик, основатель теории множеств.
24 1. МНОЖЕСТВА И ОТНОШЕНИЯ ленной системе счисления) действительных чисел: 0; 2; 7,34. Для двух констант а и 6 с областью значений А будем писать а = ft, понимая под этим совпадение обозначаемых ими элемен- элементов множества А. Индивидное переменное (или просто переменное) с областью значений А обозначает произвольный, заранее не определенный элемент множества А. При этом говорят, что переменное х пробегает множество А или переменное х прини- принимает произвольные значения на множестве А. Можно фиксиро- фиксировать значение переменного ж, записав х = а, где а — константа с той же областью значений, что и х. В этом случае говорят, что вместо переменного х подставлено его конкретное значе- значение а, или произведена подстановка а вместо ж, или переменное х приняло значение а. Равенство переменных х = у понимается так: всякий раз, когда переменное х принимает произвольное значение о, пере- переменное у принимает то же самое значение а, и наоборот. Таким образом, равные переменные „синхронно" принимают всегда одни и те же значения. Обычно константы и переменные, область значений кото- которых есть некоторое числовое множество [I], а именно одно из множеств N, Z, Q, R и С, называют соответственно на- натуральными, целыми (или целочисленными), рациональными, действительными и комплексными константами и переменны- переменными. В курсе дискретной математики мы будем использовать различные константы и переменные, область значений которых не всегда является числовым множеством. Для сокращения записи мы будем пользоваться логической символикой [I], позволяющей коротко, наподобие формул, запи- записывать высказывания. Понятие высказывания не определяется. Указывается только, что всякое высказывание может быть ис- истинным или ложным (разумеется, не одновременно!). Для образования из уже имеющихся высказываний новых высказываний используются следующие логические опера- операции (или логические связки).
1.1. Множества 25 1. Дизъюнкция V: высказывание PV Q (читается: „Р или Q") истинно тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из высказываний Р и Q. 2. Конъюнкция Л: высказывание PAQ (читается: „Р и Q") истинно тогда и только тогда, когда истинны оба высказыва- высказывания Р и Q. 3. Отрицание -»: высказывание ->Р (читается: „не Р") ис- истинно тогда и только тогда, когда Р ложно. 4. Импликация =$>: высказывание Р =Ф- Q (читается: „если Р, то Q" или „Р влечет Q") истинно тогда и только тогда, когда истинно высказывание Q или оба высказывания ложны. 5. Эквивалентность (или равносильность) <&: высказы- высказывание P&Q (читается: „Р, если и только если Q") истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания Р и Q либо од- одновременно истинны, либо одновременно ложны. Любые два высказывания Р и Q, такие, что истинно Р <Ф Q, называют ло- логически эквивалентными или равносильными. Записывая высказывания с помощью логических операций, мы предполагаем, что очередность выполнения всех операций определяется расстановкой скобок. Для упрощения записи скобки зачастую опускают, принимая при этом определенный порядок выполнения операций („соглашение о приоритетах"). Операция отрицания всегда выполняется первой, и потому ее в скобки не заключают. Второй выполняется операция конъ- конъюнкции, затем дизъюнкции и, наконец, импликации и эквива- эквивалентности. Например, высказывание (~»Р) V Q записывают так: -iPVQ. Это высказывание есть дизъюнкция двух высказыва- высказываний: первое является отрицанием Р, а второе — Q. В отличие от него высказывание ->(Р V Q) есть отрицание дизъюнкции высказываний Р и Q. Например, высказывание
26 1. МНОЖЕСТВА И ОТНОШЕНИЯ после расстановки скобок в соответствии с приоритетами при- примет вид Сделаем некоторые комментарии по поводу введенных выше логических связок. Содержательная трактовка дизъюнкции, конъюнкции и отрицания не нуждается в специальных разъяс- разъяснениях. Импликация Р => Q истинна, по определению, всякий раз, когда истинно высказывание Q (независимо от истинно- истинности Р) или Р и Q одновременно ложны. Таким образом, если импликация Р => Q истинна, то при истинности Р имеет место истинность Q, но обратное может и не выполняться, т.е. при ложности Р высказывание Q может быть как истинным, так и ложным. Это и мотивирует прочтение импликации в виде „ес- „если Р, то Q". Нетрудно также понять, что высказывание Р =>Q равносильно высказыванию -iP V Q и тем самым содержательно „если Р, то Q" отождествляется с „не Р или Q". Равносильность 4Ф> есть не что иное, как „двусторонняя им- импликация", т.е. Р <& Q равносильно (Р => Q) Л (Q => Р). Это означает, что из истинности Р следует истинность Q и, наобо- наоборот, из истинности Q следует истинность Р. Пример 1.1. Для определения истинности или ложности сложного высказывания в зависимости от истинности или лож- ложности входящих в него высказываний используют таблицы истинности. В первых двух столбцах таблицы записывают все-врзмож- ные наборы значений, которые могут принимать высказывания Р и Q. Истинность высказывания обозначают буквой „И", а ложность — буквой „Л". Остальные столбцы заполняют сле- слева направо. Так для каждого набора значений Р и Q находят соответствующие значения высказываний. Наиболее простой вид имеют таблицы истинности логиче- логических операций (табл. 1.1-1.5).
1.2. Множества 27 р л л и и Таблица 1.1 Q л и л и PVQ л и и и р л л и и Таблица 1.2 Q Л и л и PAQ Л Л Л и Таблица 1.3 Р Л И -.р и л Таблица 1.4 Р Л Л и и Q л и л и P=>Q И И Л И Таблица 1.5 Р Л Л И И Q Л и л и P&Q И Л л и Рассмотрим сложное высказывание Для удобства вычислений обозначим высказьюание ->Р Л Q че- через А, высказывание -»Q Л Р через В, а исходное высказывание запишем в виде А=> В. Таблица истинности этого высказыва- высказывания состоит из столбцов Р, Q, Л, В и А =>> В (табл. 1.6). # Таблица 1.6 р л л и и Q л и л и А л И л л в л л и л А=>В И л и и Сложные высказывания образуются не только посредством логических связок, но и с помощью предикатов и кванторов. Предикат есть высказывание, содержащее одно или не- несколько индивидных переменных. Например, пх есть четное
28 1. МНОЖЕСТВА И ОТНОШЕНИЯ число" или пх есть студент МГТУ им. Баумана, поступив- поступивший в 1999 г.". В первом предикате х есть целочисленное переменное, во втором — переменное, пробегающее множество „человеческих индивидов". Примером предиката, содержаще- содержащего несколько индивидных переменных, может служить: „# есть сын у", „ж, у и г учатся в одной и той же группе", „ж делится на у", „х меньше у" и т.п. Предикаты будем записывать в виде Р(х), Q(x,y), Я(я,у,г), полагая, что в скобках перечислены все переменные, входящие в данный предикат. Подставляя вместо каждого переменного, входящего в пре- предикат Р(ж1,...,хп), конкретное значение, т.е. фиксируя значе- значения х\ = ai,... ,#n = an, где ai,... ,an — некоторые константы с соответствующей областью значений, получаем высказывание, не содержащее переменных. Например, „2 есть четное число", „Исаак Ньютон есть студент МГТУ им. Баумана, поступив- поступивший в 1999 г.", „Иванов есть сын Петрова", „5 делится на 7" и т.п. В зависимости от того, истинно или ложно полученное таким образом высказывание, говорят, что предикат Р вы- выполняется или не выполняется на наборе значений переменных х\ = oi,...,хп = ап. Предикат, выполняющийся на любом набо- наборе входящих в него переменных, называют тождественно истинным, а предикат, не выполняющийся ни на одном набо- наборе значений входящих в него переменных, — тождественно ложным. Высказывание из предиката можно получать не только под- подстановкой значений его переменных, но и посредством кванто- кванторов. Вводят два квантора — существования и всеобщности, обозначаемые 3 и V соответственно. Высказывание (Vs E А)Р(х) („для каждого элемента ж, при- принадлежащего множеству А, истинно Р(х)", или, более коротко, „для всех х € А истинно Р(х)") истинно, по определению, тогда и только тогда, когда предикат Р(х) выполняется для каждого значения переменного х. Высказывание (Зх G А)Р(х) („существует, или найдется, та- такой элемент х множества А, что истинно Р{х)", также „для
1.1. Множества 29 некоторого х Е А истинно Р(х)") истинно, по определению, то- тогда и только тогда, когда на некоторых значениях переменного х выполняется предикат Р{х). При образовании высказывания из предиката посредством квантора говорят, что переменное предиката связывается кван- квантором. Аналогично связываются переменные в предикатах, содержащих несколько переменных. В общем случае исполь- используют формы высказываний вида (Qixi Е Ai)(Q2x2 Е А2)...(Qnxn € Ап)Р(хих2,...,жп), где вместо каждой буквы Q с индексом может быть подставлен любой из кванторов V или 3. Например, высказывание (Уж Е А)Cу Е В)Р{х^у) читается так: „для всякого х€А существует у Е В, такой, что истинно Р(ж,г/)". Бели множества, которые пробегают переменные предикатов, фиксированы (подразумеваются „по умолчанию"), то кванторы записываются в сокращенной форме: (Уж)Р(ж) или Заметим, что многие математические теоремы можно запи- записать в форме, подобной только что приведенным высказывани- высказываниям с кванторами, например: „для всех / и для всех а истинно: если / — функция, дифференцируемая в точке а, то / непре- непрерывна в точке а". Обсудив особенности употребления логической символики, вернемся к рассмотрению множеств. Два множества А и В считают равными, если любой эле- элемент х множества А является элементом множества В и наобо- наоборот. Из приведенного определения равных множеств следует, что множество полностью определяется своими элементами. Рассмотрим способы задания конкретных множеств. Для конечного множества, число элементов которого относительно невелико, может быть использован способ непосредственного перечисления элементов. Элементы конечного множества пере-
30 1. МНОЖЕСТВА И ОТНОШЕНИЯ числяют в фигурных скобках в произвольном фиксированном порядке {1,3,5}. Подчеркнем, что поскольку множество полно- полностью определено своими элементами, то при задании конечного множества порядок, в котором перечислены его элементы, не имеет значения. Поэтому записи {1,3,5}, {3,1,5}, {5,3,1} и т.д. все задают одно и то же множество. Кроме того, иногда в записи множеств используют повторения элементов. Будем считать, что запись {1,3,3,5,5} задает то же самое множество, что и запись {1,3,5}. В общем случае для конечного множества используют фор- форму записи {ai,..., an}. Как правило, при этом избегают повто- повторений элементов. Тогда конечное множество, заданное записью {ai,...,an}, состоит из п элементов. Его называют также поэлементным множеством. Однако способ задания множества путем непосредственного перечисления его элементов применим в весьма узком диапа- диапазоне конечных множеств. Наиболее общим способом задания конкретных множеств является указание некоторого свойства, которым должны обладать все элементы описываемого множе- множества, и только они. Эта идея реализуется следующим образом. Пусть пере- переменное х пробегает некоторое множество С/, называемое уни- универсальным множеством. Мы предполагаем, что рассматри- рассматриваются только такие множества, элементы которых являются и элементами множества U. В таком случае свойство, кото- которым обладают исключительно элементы данного множества А, может быть выражено посредством предиката Р(я), выполня- выполняющегося тогда и только тогда, когда переменное х принимает произвольное значение из множества А. Иначе говоря, Р(х) истинно тогда и только тогда, когда вместо х подставляется индивидная константа а€А. Предикат Р называют в этом случае характеристичен ским предикатом множества А, а свойство, выражаемое с помощью этого предиката, — характеристическим свой- свойством или коллективизирующим свойством [I].
1.1. Множества 31 Множество, заданное через характеристический предикат, записывается в следующей форме: А = {х:Р(х)}. A.1) Например, А = {х: х есть четное натуральное число} означает, что пА есть множество, состоящее из всех таких элементов #, что каждое из них есть четное натуральное число". Термин „коллективизирующее свойство" мотивирован тем, что это свойство позволяет собрать разрозненные элементы в единое целое. Так, свойство, определяющее множество G = {х: х есть студент 2-го курса специальности ИУ5 МГТУ им. Баумана, поступивший в 1999 г.}, в буквальном смысле слова формирует некий „коллектив". Бели мы вернемся к канторовскому определению множе- множества, то характеристический предикат множества и есть тот закон, посредством которого совокупность элементов соединя- соединяется в единое целое. Предикат, задающий коллективизирую- коллективизирующее свойство, может быть тождественно ложным. Множество, определенное таким образом, не будет иметь ни одного элемен- элемента. Его называют пустым множеством и обозначают 0. В противоположность этому тождественно истинный харак- характеристический предикат задает универсальное множество. Обратим внимание на то, что не каждый предикат выража- выражает какое-то коллективизирующее свойство (см. Д.1.1). Замечание 1.1. Конкретное содержание понятия универ- универсального множества определяется тем конкретным контекстом, в котором мы применяем теоретико-множественные идеи. На- Например, если мы занимаемся только различными числовыми
32 1. МНОЖЕСТВА И ОТНОШЕНИЯ множествами, то в качестве универсального может фигури- фигурировать множество R всех действительных чисел. В каждом разделе математики рассматривается относительно ограничен- ограниченный набор множеств. Поэтому удобно полагать, что элементы каждого из этих множеств суть также и элементы некоторого „объемлющего" их универсального множества. Зафиксировав универсальное множество, мы тем самым фиксируем область значений всех фигурирующих в наших математических рас- рассуждениях переменных и констант. В этом случае как раз и можно не указывать в кванторах то множество, которое пробегает связываемое квантором переменное. В дальнейшем изложении мы встретимся с разными примерами конкретных универсальных множеств. # Рассмотрим операции над множествами, которые позволя- позволяют из уже имеющихся множеств образовывать новые множе- множества [I]. Для любых двух множеств А и В определены новые мно- множества, называемые объединением, пересечением, разностью и симметрической разностью: А\В = {х: х Е АЛх ? В}, = (A\B)U(B\A), т.е. объединение А и В есть множество всех таких х, что х является элементом хотя бы одного из множеств A, JB; пересе- пересечение А и В — множество всех таких х, что х — одновременно элемент А и элемент J5; разность А \ В — множество всех та- таких х, что х — элемент А, но не элемент 2?; симметрическая разность ААВ — множество всех таких х, что х — элемент А, но не элемент В или х — элемент В, но не элемент А, Кроме того, фиксируя универсальное множество U, мы можем определить дополнение А множества А следующим
1.1. Множества 33 образом: A = U\A [I]. Итак, дополнение множества А — это множество всех элементов универсального множества, не принадлежащих А. Полезно разобраться в том, как операции над множества- множествами, введенные выше, соотносятся с логическими операциями. Пусть А = {х: Р(х)}, В = {х: Q(a;)}, т.е. множество А задано посредством характеристического предиката Р, а множество В — посредством характеристического предиката Q. Легко показать, что = {x:P(x)VQ(x)}, = {x:P(x)AQ(x)}, = {x:P(x)A-*Q(x)}. Следующие процедуры получения новых множеств связаны с понятием подмножества. Говорят, что В есть подмножество множества А, если всякий элемент В есть элемент А. Для обозначения используют запись: В С А. Говорят также, что В содержится в А, В включено в А, А включает В (имеет место включение В С А). Считают, что пустое множество есть подмножество любого множества и, если фиксировано некоторое универсальное множество, каждое рассматриваемое множество есть его подмножество. Нетрудно проверить, что если А = {х: Р(я)}, В = {х: Q(x)}, то В С А тогда и только тогда, когда высказывание Q(x) =Ф- Р(х) тождественно истинно. Сопоставляя определение подмножества и определение ра- равенства множеств, мы видим, что множество А равно множе- множеству В тогда и только тогда, когда А есть подмножество В и наоборот, т.е. А = В^((ЛСВ)Л(ВС А)). A.2) Формула A.2) является основой для построения доказа- доказательств о равенстве множеств. Ее применение состоит в следу- следующем. Чтобы доказать равенство двух множеств X и У, т.е. 9 _ 1ПП61
34 1. МНОЖЕСТВА И ОТНОШЕНИЯ что X = У, достаточно доказать два включения X С У и У С X, т.е. доказать, что из предположения х ? X (для произвольного х) следует, что жЕУ, и, наоборот, из предположения х Е У следует, что а; Е X. Такой метод доказательства теоретико- множественных равенств называют методом двух включе- включений. Примеры применения этого метода мы дадим позже. Замечание. Равенство множеств {х: Р(х)} и {х: Q(x)} означает, что предикаты Р(х) и Q(x) эквивалентны, т.е. пре- предикат Р(х) <=> Q(x) является тождественно истинным. # Бели В С А, но В ф А, то пишут В С А и В называют стро- строгим подмножеством (или собственным подмножеством) множества А, а символ С — символом строгого включе- включения. Для всякого множества А может быть образовано множе- множество всех подмножеств множества А. Его называют булеаном множества А и обозначают 2Л: 2А = {Х:ХСА}. Для булеана используют также обозначения V(A)j B(A) и ехр(А). Пример, а. Булеан множества {а, 6} состоит из четырех множеств 0, {а}, {Ь}, {а, Ь}, т.е. 2^6> = {0, {а}, {6}, {а, 6}}. б. Булеан 2N состоит из всех возможных, конечных или бесконечных, подмножеств множества N. Так, 0 6 2N, {5} G G 2N, вообще для любого п множество {п} Е 2N, множество {l,...,n}€2N, {n:n = 2fc,fe = l,2,..}E2NHT.n. # Для булеана 2А мы можем рассматривать произвольные его подмножества. Таким подмножеством, например, будет рдно- элементное множество {J5}, где В — произвольное подмноже- подмножество А. Подчеркнем, что единственным элементом множества {В} является, в свою очередь, некоторое множество. Вообще же образование булеана открывает путь для построения мно- множеств, элементами которых являются множества, элементами
1.1. Множества 35 которых, в свою очередь, являются некоторые множества, и т.д. Так можно определить множества 22 , 22 и т.д.* Введенные выше операции над множествами обладают сле- следующими свойствами: 2) АПВ = ВПА; 3) AU(ВUС) = (ЛиВ)UС; 4) АП(ВПС) = (АПВ)ПС; 5) S) А~ПВ = A\JB; 9) 4110 = А; 10) АП0 = 0; И) 12) 13) 14) АПА = 15) 16) 17I = А; 18) Л\В = 19) ААВ = (АиВ)\(АПВ); 20) 22) '"Применяя теорию множеств, часто выстраивают подобные „башни" булеанов, начиная этот процесс с элементов, не рассматриваемых как мно- множества. Такие элементы называют праэлементами. Далее в качестве праэлементов берутся любые числа, а также такие объекты, как констан- константы, переменные, буквы какого-нибудь алфавита и т.п. 2*
36 1. МНОЖЕСТВА И ОТНОШЕНИЯ Каждое из написанных выше равенств, верное для любых входящих в них множеств, часто называют теоретико->м,но- жественным тождеством. Любое из них может быть до- доказано методом двух включений. Докажем этим методом то- тождество 19. Пусть х € АДВ. Тогда, согласно определению симметри- симметрической разности, х ? (А\В) U (В\ А). Это означает, что х ? е (А \ В) или х е (В \ А). Если х € (А \ В), то х € А и х & В, т.е. х Е A U В и при этом х & А П В. Если же х G (В \ А), то х Е В и х & А, откуда х Е Аи В и х 0 АПВ. Итак, в любом случае из хе (A\B)U(B\A) следует xeAUB их&АПВ, т.е. х Е (A U В) \ (А П JB). Таким образом, доказано, что Покажем обратное включение (АиВ)\(АГ)В) СААВ. Пусть хЕ(ЛиВ)\(АПБ). Тогда xeAUB и Ж0АПЯ. Из х € AUB следует, что a; G А или х € В. Если ж G -А, то с учетом х & АПВ имеем х & В, и поэтому жЕА\В. Если же х Е J5, то опять-таки в силу гг 0 А П J3 получаем, что х & А и ж€?\А Итак,ж€А\?илияеВ\;4, т.е. s€ (A\B)U(?\A). Следовательно, {АиВ)\{АПВ)СААВ. Оба включения имеют место, и тождество 19 доказано. Метод двух включений является универсальным и наибо- наиболее часто применяемым методом доказательства теоретико- множественных тождеств. Помимо метода двух включений для доказательства теоретико-множественных тождеств могут быть использованы другие методы, например метод характе- характеристических функций (см. Д. 1.2). ' Кроме того, теоретико-множественные тождества можно доказывать, используя ранее доказанные тождества для пре- преобразования левой части к правой или наоборот. Такой метод
1.2. Кортеж. Декартово произведение 37 доказательства часто называют методом эквивалентных преобразований. Докажем этим методом тождество 22, пользуясь тождества- тождествами 1-19. Преобразуем левую часть к правой: = ((АПВI)(АПС))П(АПВ)П(АПС) = = (АП(ВиС))П((АПВ)и(АПС)) = = (An(BUC))n(AUB)U(AuC) = = (АП(ВиС))П(Аи(ВиС)) = = ((АП(ВиС))ПА)и((АП(ВиС))П(ВиС)) = = 0U((An(BUC))n(An(BUC))) = = (АП (В U С)) П (АП (В ПС)) = = АП((ВиС)\(ВПС)) = Тождество доказано. 1.2. Кортеж. Декартово произведение Пусть Аи В — произвольные множества. Неупорядочен- Неупорядоченная пара на множествах Аи В — это любое множество {а, Ь}, где а € А, Ь G В или аеВ,ЬеА. Если А = Б, то говорят о неупорядоченной паре на мно- множестве А. Исходя из понятия равенства множеств, можно утверждать, что неупорядоченная пара {а, 6} равна неупорядо- неупорядоченной паре {с, d} если и только если а = с и b = d или a = d и Ь = с. Заметим, что равенство элементов множества понима- понимается здесь (и далее в аналогичных ситуациях) как равенство индивидных констант. В том случае, когда в неупорядоченной паре {а, Ь) элементы аиЬ совпадают, получаем, что {а, 6} = {а, а}. Но такая запись, как мы условились выше, задает то же самое множество, что и {а}. Таким образом, при а = Ъ неупорядоченная пара {а, 6}
38 1. МНОЖЕСТВА И ОТНОШЕНИЯ „вырождается" в одноэлементное множество {а}. При а ф Ь неупорядоченная пара будет двухэлементным множеством. Упорядоченная пара на множествах А и 23, обозначаемая записью (а, 6), определяется не только самими элементами а Е А и 6 6 В, но и порядком, в котором они записаны. И в этом состоит ее существенное отличие от неупорядоченной пары. Если А = J3, то говорят об упорядоченной паре на множестве А. Существенная роль порядка, в котором перечисляются эле- элементы упорядоченной пары, фиксируется определением равен- равенства упорядоченных пар. Определение 1.1. Две упорядоченные пары (а, 6) и (а', Ь') на множествах Аи В называют равными, если а = а' и Ь = 6'. Замечание 1.2. Упорядоченную пару (а, 6) не следует связывать с множеством {а, 6}, так как упорядоченная пара характеризуется не только составом, но и порядком элементов в ней. Более того, определение этого объекта вообще не по- позволяет рассматривать его как множество. Но упорядоченную пару можно определить и как множество, полагая, что упоря- упорядоченная пара (а, Ь) есть неупорядоченная пара {{а}, {а, Ь}}, включающая в себя одноэлементное множество {а} и неупо- неупорядоченную пару {а, 6}. При а = Ь получаем (о, а) = {{а}}. Такое определение не изменит сути понятия, но тогда следует не определять явно равенство упорядоченных пар, а доказывать теорему о равенстве упорядоченных пар как определенного ви- вида множеств. # Простейший и важнейший пример использования упорядо- упорядоченных пар дает аналитическая геометрия [III]. Если на плос- плоскости введена некоторая прямоугольная система координат, то каждая точка плоскости однозначно задается упорядоченцои парой действительных чисел — координатами этой точки. Ни у кого не возникает сомнений в том, что порядок, в котором пе- перечисляются координаты точки, является существенным: точ- точка, заданная координатами A, 3), совсем не то же самое, что точка с координатами C, 1).
1.2. Кортеж. Декартово произведение 39 Обобщением понятия упорядоченной пары является упоря- упорядоченный п-набор*, или кортеж. В отличие от конечно- конечного множества {ai,...,an} кортеж (ai, ..., ап) на множествах А\, ..., Ап характеризуется не только входящими в него эле- элементами а\ Е А\, ..., ап е Ап, но и порядком, в котором они перечисляются. Как и для упорядоченных пар, роль порядка в кортеже фиксируется определением равенства кортежей. Определение 1.2. Два кортежа (ai, ..., ап) и Fi, ..., bn) на множествах А\, ..., Ап равны, если сц = hi, % = 1,п. Число п называется длиной кортежа (или размерно- размерностью кортежа), а элемент а, — г-й проекцией (компонен- (компонентой) кортежа. Для двух кортежей одинаковой размерности их компоненты с одинаковыми номерами называют одноимен- одноименными компонентами. Определение 1.2 равенства кортежей можно переформулировать так: два кортежа одинаковой раз- размерности равны тогда и только тогда, когда их одноименные компоненты совпадают. Простейшим примером кортежа является арифметический вектор. Определение 1.3. Множество всех кортежей длины п на множествах А\, ..., Ап называют декартовым (пря- (прямым) произведением множеств А\, ..., Ап и обозначают Ai х... хАп. Таким образом, i4iX...Xi4n = {(ab ..., an):aieAu...,aneAn}. Бели все множества А{, t = l,n, равны между собой, то указанное декартово произведение называют n-й декартовой степенью множества А и обозначают Ап. В частности, при п = 2 получаем декартов квадрат, а при п = 3 — декартов куб множества А. *Говорят также: упорядоченная п-ка (например, упорядоченная трой- тройка, четверка, пятерка и т.д.)-
40 1. МНОЖЕСТВА И ОТНОШЕНИЯ По определению полагают, что первая декартова степень любого множества А есть само множество А, т.е. А1 = А. Декартово произведение имеет следующие свойства: 1) А х (BUC) = (А х В) и (А х С); 2) А х (В П С) = (А х В) П (А х С); 3)Ах0 = 0хА = 0. Эти свойства нетрудно доказать методом двух включений. Докажем, например, первое тождество. Если (ж, у) Е А х (В U U С), то ж ? А и у € В U С. Из того, что у G В U С, следует у € В или у ?С. Если у € В, то (ж, у) € А х В, а если у €С, то (ж, у) е А х С. Итак, (ж, у) € А х I? или (ж, у) 6 А х С, т.е. (ж, у) Е (А х В) U (А х С). Следовательно, А х (В U С) С С (АхВ)U(Ах С). Доказательство обратного включения аналогично. Обратим внимание на последнее из записанных выше трех тождеств. Из него вытекает, что пустое множество при по- построении декартовых произведений множеств играет ту же роль, что и нуль при умножении чисел. Докажем справедли- справедливость этого тождества. В самом деле, множество 0 х А (для любого А) есть множество всех упорядоченных пар (ж, у), та- таких, что ж Е 0 и у Е А. Но таких элементов ж, что ж Е 0, не существует, и, следовательно, упорядоченных пар (ж, у), при- принадлежащих декартову произведению 0 х А, не существует, т.е. 0 х А = 0. Аналогично доказывается, что и А х 0 = 0. 1.3. Соответствия и бинарные отношения Отображение / из множества А в множество В считается заданным, если каждому элементу ж € А сопоставлен един- единственный элемент у ? В. Отображение / из множествау А в множество В обозначают записью /: А —> В. Элемент у G В, который отображением / сопоставляется элементу ж G А, на- называют образом элемента ж при отображении f и обознача- обозначают /(ж).
1.3. Соответствия и бинарные отношения 41 Каждое отображение однозначно определяет множество упо- упорядоченных пар {(х,у): х Е А, у = /(ж)}, являющееся подмноже- подмножеством декартова произведения Ах В множества А на множе- множество В и называемое графиком отображения /. Наоборот, пусть в декартовом произведении Ах В задано такое подмножество /, что: 1) для любого х Е А существует у Е В, для которого (ж, у) Е /; 2) для любых двух пар (ж, у) и (х', yf) множества / из равенства х = х1 следует равенство у = у1. Тогда множество / единственным образом определяет некоторое отображение из А в В. Это отображение, обозна- обозначаемое также /, элементу х Е А сопоставляет элемент у ? В, удовлетворяющий условию (#, у) Е /. Таким образом, мы мо- можем отождествить отображения с их графиками и считать, что отображение есть подмножество декартова произведения. Отображение / множества А в себя называют тождест- тождественным, если f(x) = х при всех х из А. В общем случае для отображения /: А —> В может суще- существовать несколько различных элементов множества А, образы которых совпадают. Множество всех элементов х € А, для ко- которых f(x) = уо? называют прообразом элемента уо Е В при отображении /. Так, прообраз числа а, \а\ ^ 1, при отображении у = sins есть множество всех решений уравнения sina; = а, т.е. множе- множество {х: х = arcsina + 2тгп, n G Z} U {х: х = 7г - arcsina + 2тгп, п 6 Z}. Прообраз элемента уо Е В может быть пустым множе- множеством. Это имеет место, например, для числа 2 при отображе- отображении у = sina;. Множество всех у ЕВ, таких, что найдется х Е А, для кото- которого y~f(x), называют областью значений отображения /. Область значений отображения / будем обозначать R(f)> Отображение f: A-+ В называют инъективным (инъек- (инъекцией), если каждый элемент из области его значений имеет единственный прообраз, т.е. из f(x\) = /(а^) следует х\ = а?2-
42 1. МНОЖЕСТВА И ОТНОШЕНИЯ Отображение f: A-+ В называют сюръективным (сюръ- екцией), если его область значений совпадает со всем множе- множеством В. Сюръективное отображение из А в В называют также отображением множества А на множество В, Отображение /: А -> В называют биективным (биекцией), если оно одновременно инъективно и сюръективно. Таким образом, если отображение /: А-> В биективно, то каждому элементу множества А отвечает единственный эле- элемент множества В и наоборот. Тогда говорят, что множества А и В находятся между собой во взаимно однозначном со- соответствии. Биекцию множества А на себя называют автоморфизмом множества А. Используют также термин* „ подстановка множества". Пример 1.2. а. Отображение, заданное равенством и(п) = = п +1, есть, как нетрудно показать, биекция множества нату- натуральных чисел N на его подмножество N\ {1}. б. Отображение и:п^2п есть биекция множества всех натуральных чисел на множество всех четных натуральных чисел. в. Любая показательная функция у = аж, а > О, есть биекция множества R всех действительных чисел на множество М+ всех положительных действительных чисел. г. Функция у = arctga; есть биекция множества К на интер- интервал (-тг/2, тг/2). д. Поворот окружности на заданный угол а, т.е. отобра- отображение, сопоставляющее каждой точке окружности точку, в которую она перейдет при повороте всей окружности вокруг ее центра на угол а, есть автоморфизм множества точек окруж- окружности. # Пусть задано отображение f: A-+ В и С С А — некото- некоторое множество. Множество f(C) элементов у G 23, таких, что * Иногда этот термин употребляют только для автоморфизма конечного множества.
1.3. Соответствия и бинарные отношения 43 у = /(ж), х € С, называют образом множества С при ото- отображении /. Например, при отображении у = sin а: отрезок [0,1] является образом множества (отрезка) [0, тг], равно как и любого объединения отрезков вида [2тгЛ, B& + 1)тг] (для произ- произвольного целого к). При А; = 0 это можно записать следующим образом: sin([0, тг]) = [0,1]. Заметим, что для любого отображения /: А -> В образ f(A) всего множества А есть область значений данного отобра- отображения. Для произвольного множества D С В множество всех эле- элементов х € А, таких, что f(x) E «D, называют прообразом мно- множества D при отображении /. Например, для любого действительного числа а € [0,1) мно- множество, которое является объединением всех отрезков вида [arcsina + 2тг&, тг — arcsina + 2тгЛ], к Е Z, есть прообраз отрезка [а, 1] при отображении у = sinx. Прообраз области значений произвольного отображения /: А-> В совпадает со всем множеством А. Множество всех отображений из А в В будем обозначать как ВА. Понятие отображения можно обобщить. Обобщение может проходить по двум позициям. Во-первых, можно отказаться от полной определенности отображения, полагая, что образ опре- определен не для каждого элемента множества А, а для некоторых элементов этого множества. Тогда придем к понятию частич- частичного отображения. При этом подмножество всех элементов Л, для которых определен образ, называют областью опре- определения данного частичного отображения. Многие элементарные функции являются частичными ото- отображениями множества R всех действительных чисел в себя. Например, функция у = tgs есть частичное отображение с обла- областью определения R\ lx: x = ^ + тг&,к € Z|. Во-вторых, можно отказаться от однозначности отображе- отображения, полагая, что данному х€А сопоставлен не один, а несколь-
44 1. МНОЖЕСТВА И ОТНОШЕНИЯ ко образов (множество образов) в множестве В. В этом случае говорят, что задано соответствие* из множества А в мно- множество В. Примером могут служить обратные тригонометрические функции: скажем, „большой" арксинус [I], сопоставляющий ка- каждому х ? R множество всех таких чисел у, что siny = ж, т.е. множество, являющееся прообразом элемента х при отображе- отображении, определяемом графиком функции у = sinar. Если задано соответствие р из А в 5, будем использовать обозначение р(х) по аналогии с обозначением f(x) для ото- отображений, понимая при этом, что р(х) есть уже не элемент множества В, а его подмножество. Аналогично графику отображения можно определить гра- график соответствия р из множества А в множество В как множество Ср упорядоченных пар (#,у), таких, что х Е А, у Е В и элементы х, у связаны соответствием р, т.е. у 6 р(х). Ука- Указанное множество Ср упорядоченных пар есть подмножество декартова произведения Ах В. Обратно, фиксируя на декартовом произведении А х В какое-либо подмножество С, мы тем самым однозначно опре- определяем некоторое соответствие рс из А в В, а именно рс(%) = = {у: У € -S Л (ж,у) € С}. Нетрудно заметить, что графиком со- соответствия рс будет как раз множество С, а соответствием, от- отвечающим графику Су,, будет р. Поэтому можно отождествить соответствие с его графиком и считать, что соответствие из множества А в множество В есть некоторое подмножество р декартова произведения ЛхВ, т.е. р С А х В. В частности, при р = 0 получаем пустое соответствие, а при р, со- совпадающем со всем указанным декартовым произведением, у- универсальное соответствие. При этом будем писать (ж, у) € р для упорядоченных пар, связанных соответствием р. * Используют также термины „частичное мультиотображение", „ча- „частичная многозначная функция".
1.3. Соответствия и бинарные отношения 45 Пример 1.3. Рассмотрим множество программистов А = = {Я, Я, С} и множество программ В = {ni, П2, пз, 7Ц, П5}. За- Зададим соответствие т из А в J3, связывающее программистов и разрабатываемые ими программы: г = {(Я, щ), (Я, пз), (Я, п5), (Я, п2), (Я, п4),(С,п2),(С,п5)}СЛхВ. # Область определения соответствия р С А х В из множества А в множество В — это множество всех первых компонент упорядоченных пар из р: D(p) = {x:CyeB)(x,y)ep}. Область значения соответствия р — это множество всех вторых компонент упорядоченных пар из р: R(p) = {y:Cx?A)(x,y)€p}. Из определения вытекает, что D(p) С A, R(p) С В. Соот- Соответствие из А в В называют всюду определенным, если его область определения совпадает с множеством A: D(p) = A. Сечением соответствия рСАхВ для фиксированного элемента х?А будем называть множество р(х) = {у: (х, у) 6 р}. Можно сказать, что сечение соответствия р(х) есть множество всех „образов" элемента х при данном соответствии. Сечением соответствия р по множеству С С А будем называть множество р(С) = {у: (ж, у) G p, a; G С}. Пример 1.4. Область определения соответствия г из примера 1.3есть все множество А, а область значения — все множество В. Сечением соответствия г по элементу Я будет множество т(П) = {пг, щ}. # Соответствие р С А х А из множества А в себя, т.е. подмно- подмножество множества А2, называют бинарным отношением на множестве А.
46 1. МНОЖЕСТВА И ОТНОШЕНИЯ Пример 1.5* Простейшим примером бинарного отноше- отношения является отношение нестрогого неравенства на множестве действительных чисел R. Здесь каждому х ? R поставлены в соответствие такие у Е R, для которых справедливо х ^ у. # Для произвольного бинарного отношения на некотором мно- множестве часто используют запись хру вместо (#, у) € р, говоря при этом об элементах, связанных бинарным отноше- отношением р. Это согласуется с традиционной формой записи неко- некоторых часто используемых бинарных отношений. Так, пишут х ^ у, а не (#, у) Е ^. Для таких бинарных отношений употре- употребляют устоявшиеся словосочетания. Например, запись х < у читается так: пх не больше у". Бинарное отношение на множестве А, состоящее из всех пар (я, я), т.е. пар с совпадающими компонентами, называют диа- диагональю множества* А и обозначают icU. Нетрудно понять, что диагональ А есть тождественное отображение А на себя. Для наглядного изображения соответствий из А в В (би- (бинарных отношений, в частности) будем использовать два спо- способа. Первый из этих способов состоит в интерпретации соот- соответствия как подмножества декартова произведения, которое можно изображать примерно так же, как на плоскости можно изображать подмножества декартова квадрата числовых мно- множеств. Второй способ, применяемый для конечных множеств А и J3, — построение так называемого графа соответст- вил. В этом случае элементы множеств А и В изображаются на плоскости кружочками. Бели и только если пара (u, v) принад- принадлежит соответствию р, то в графе соответствия из кружочка, обозначающего элемент wG-A, проводим стрелку к кружочку, обозначающему элемент v € В. Для бинарного отношения на конечном множестве А часто удобнее использовать граф дру- другого вида. Элементы множества А изображаются кружочками только один раз, а стрелки проводятся по тем же правилам, * Иногда говорят о диагонали в множестве А, хотя правильнее было бы называть это отношение диагональю декартова квадрата множества А.
1.3. Соответствия и бинарные отношения 47 что и в графе соответствия. Заметим, что при таком постро- построении возможно соединение кружочка стрелкой с самим собой (петля). Пример 1*6. а. На рис. 1.1, а изображены график и граф бинарного соответствия из примера 1.3. п, и п с 1О 12 3 4 »О4 б Рис. 1.1 б. Пусть А = {1,2,3,4}. Бинарное отношение р на А опреде- определим как множество всех упорядоченных пар (я, у), таких, что ж^у. Тогда р={A, 1),B, 1),B, 2),C, 1),C, 2), C,3), D,1), D, 2), D,3), D, 4)}. Область определения отношения D(p) = {1,2,3,4}, область зна- значений R(p) = {1,2,3,4}. График и два варианта графа отноше- отношения р изображены на рис. 1.1, б.
48 1. МНОЖЕСТВА И ОТНОШЕНИЯ в. Множество точек окружности х2 + у2 = 1 есть гра- график бинарного отношения на множестве действительных чи- чисел, состоящего из всех таких упорядоченных пар (ж, у), что у = ±у/A — х2), или, что равносильно, компоненты пары удо- удовлетворяют уравнению х2 + у2 = 1. Область определения бинар- бинарного отношения есть отрезок [—1,1], область значения — также отрезок [—1,1]. # Соответствие р С А х В называют функциональным по второй (первой) компоненте, если для любых двух упорядо- упорядоченных пар (ж, у) 6 р и (ж;, у1) ? р из равенства x = xf следует у = у' (и из у = у' следует ж = ж'). Функциональность соответ- соответствия по второй компоненте означает, что, фиксируя в любой упорядоченной паре, принадлежащей данному соответствию, первую компоненту, мы однозначно определяем и вторую ком- компоненту. Таким образом, мы можем сказать, что соответствие, функциональное по второй компоненте, есть отображение (воз- (возможно, частичное). Поэтому соответствие fCAxB является отображением из А в В, если и только если оно всюду определено (т.е. D(f) = A) и функционально по второй компоненте. Отметим также, что отображение из А в В является инъекцией тогда и только тогда, когда оно функционально по первой компоненте. В заключение обобщим понятие соответствия, определив отношения произвольной арности. Определение 1.4. Произвольное подмножество р де- декартова произведения А\ х ... х Ап называют (п-арным или п-местным) отношением на множествах А\9 ..., Ап. В случае если все множества Ai, ..., Ап совпадают, т.е. А\ = ... = Ап = А, говорят об п-арном отношении на мно- множестве А. Бели р — n-арное отношение на множествах Ai, ..., Ап и (oi, ..., ап) € р, то говорят об элементах ai, ..., ап, связан- связанных отношением р.
1.3. Соответствия и бинарные отношения 49 Замечание 1.3. При п = 2 получаем бинарное отноше- отношение на множествах Ai, A<i- Это не что иное, как соответствие из А\ в Аг, где множества А\ и Лг, вообще говоря, различны. При j4i = A2 = А получаем введенное ранее бинарное отно- отношение на множестве, т.е. подмножество декартова квадрата А. Таким образом, в общем случае (при произвольном п ^ 2) следует, строго говоря, различать термины „п-арное отноше- отношение" и , п-арное отношение на множестве п-арное отношение на множествах L1 = ... = An=Ay/ n-арное отношение на множестве А на \„.2 Бинарное отношение множествах А*, А2 (или соответствие из Ах в А2) п=2 /А=А=А Бинарное отношение на множестве А Функциональность ^^ по 2-й компоненте^-— 1' <4*****^ Частичное отображение множества А в себя N. Полная N. определенность Отображение множества А в себя \ Функциональность по 2-й компоненте Частичное отображение из Ах в А2 Ах А2 А Полная определение Отображение из Ах в А2 / Рис. 1.2
50 1. МНОЖЕСТВА И ОТНОШЕНИЯ Связь между введенными понятиями отношения, соответ- соответствия и отображения проиллюстрирована на рис. 1.2. # Пусть n-арное отношение р С А\ х ... х Ап удовлетворяет условию: для любых двух кортежей (х\, ..., ж», ..., хп) Е р и (yi, ..., у%, ..., Уп) € Р из выполнения равенств хк = г/ib для любого Л ^ г @ ^ к < п) следует, что и Х{ = од. Тогда отношение р называют (^унк^ионольнылс по г-й компоненте A < г < п). Другими словами, функциональность п-местного отноше- отношения по г-й (г ^ п) компоненте равносильна условию, что, фик- фиксируя все компоненты, кроме г-й, мы однозначно определяем и г-ю компоненту. Пример 1.7. а. Представим строку учебного расписания как кортеж вида (преподаватель, группа, дисциплина, аудитория, день, час). Тогда расписание можно рассматривать как секстарное (ше- (шестиместное) отношение на соответствующих множествах. Оно будет функционально по первой компоненте, если, конечно, предположить, что два преподавателя или более не проводят одно и то же занятие одновременно в одном и том же ме- месте (хотя, например, на лабораторных работах это возможно). Оно также функционально по третьей компоненте (один пре- преподаватель не может вести одновременно занятия по разным дисциплинам), по четвертой (преподаватель со своей группой не могут находиться в разных аудиториях) и не будет, вообще говоря, функционально по второй, пятой и шестой компонен- компонентам. б. Рассмотрим на множестве V3 геометрических векторов в пространстве тернарное (трехместное) отношение р, состоящее из всех упорядоченных троек (х, у, z) компланарных векто- векторов. Это отношение не является функциональным ни по одной компоненте, так как любым двум векторам соответствует бес- бесконечно много векторов, образующих с ними компланарную тройку.
1.4. Операции над соответствиями 51 1.4. Операции над соответствиями Поскольку соответствия можно считать множествами, то все операции над множествами (пересечение, объединение, раз- разность, дополнение и т.д.) можно применить и к соответствиям. Заметим, что, говоря о дополнении соответствия из Л в В, мы имеем в виду дополнение до универсального соответствия из Л в В, т.е. до декартова произведения Ах В. Естественно, что и равенство соответствий можно трактовать как равен- равенство множеств. В то же время на соответствия можно распространить операции, определяемые для отображений. Мы рассмотрим здесь две такие операции. Композиция соответствий. Следуя аналогии с компози- композицией отображнений, композицией (произведением) соот- соответствий рСАхВисгСВхС называют соответствие рос = {(я, у): CzeB)((x, z)ep)A((z, у) Ест)}. A.3) Поясним построение композиции двух соответствий. Обра- Обратимся сначала к отображениям (как частным случаям соответ- соответствий). Пусть заданы отображения (возможно, частичные): / из А в В и g из В в С. Композиция* fog определяется как отображение из А в С, задаваемое формулой у = g(f(x)). Тем самым задается график отображения /од, т.е. множество упорядоченных пар (ж, у), таких, что у = g(f(x)). При этом упорядоченная пара (ж, у) будет принадлежать графику ото- отображения / о 0, если и только если найдется элемент z € В, * Необходимо заметить, что в [I] запись g° f(x) означает g(f(x))y т.е. отображения в композиции пишутся в порядке, обратном тому, в каком они применяются. Мы же будем везде использовать запись / о д, полагая, что fog(x) = g(f(x)) и порядок записи отображений в композиции совпадает с порядком их применения. Это обусловлено тем, что композиция отображе- отображении определяется нами как частный случай композиции соответствий, при записи которой естественным оказывается именно такой порядок.
52 - 1. МНОЖЕСТВА И ОТНОШЕНИЯ такой, что z = f(x) и у = g(z). Таким образом, график ком- композиции отображений /ид есть fog = {(x, у): Cz)(z = f{x) и y = giz))} = = {(*, У): У = »(/(*))}¦ A-4) Легко видеть, что A.4) есть частный случай A.3). Отметим, что при построении композиции отображений обычно пред- предполагают, что пересечение области значений отображения / и области определения отображения д не пусто (R(f) П D(g) ф 0), поскольку в противном случае композиция была бы пуста. Для отображений, не являющихся частичными, R(f) С D(g), так как D(g) = В. Поэтому в данном случае пересечение R(f) П flD(g) всегда не пусто. Полезно отметить также, что если /ид — биекции, то и композиция их тоже будет биекцией. Вернемся к рассмотрению композиции соответствий роа. Полагая, что область определения D(p) соответствия р не пу- пуста, возьмем произвольный элемент х Е D(p). Пусть сечение р(х) С В соответствия р не пусто и найдется такой элемент z Е р(ж), что сечение a(z) CC также не пусто. Тогда непустое множество {(ж, t): tEa(z)} будет подмножеством сечения со- соответствия роа в точке х. Сечением соответствия роа в точке х будет непустое в силу сделанных предположений множество всех таких упорядоченных пар (ж, t) Е А х С, что х Е D(p), a t E cr(z) для некоторого z E р(х). Говоря неформально, нуж- нужно перебрать все элементы z из сечения р{х). Таким образом, различие в построении композиции соответствий и компози- композиции отображений заключается в том, что „промежуточный" элемент z в общем случае не единственный и каждому тако- такому элементу также ставится в соответствие не единственный элемент у еС. Пример 1.8. Соответствие р возьмем из примера 1.3. Соответствие а зададим как соответствие из множества про-
1.4. Операции над соответствиями 53 грамм {ni, п2, пз, гц, пь} в множество заказчиков программно- программного обеспечения {Зх,32,3з,34}. Пусть а = {(пь 33), (щ, 34), (n2, 3i), (n3, 32), (п4, 34), (п5, 33)}. Рассмотрим процесс построения композиции соответствий р и а. Начнем с элемента И. Имеем р{И) = {ni, пз, П5}, = {Зз, 34}, сг(п3) = {32} и а(п5) = {33}. Отсюда получаем сечение композиции по элементу И. Рассуждая аналогично, получим (роа)(Я) = {3Ь34} и (роа)(С) = {3Ь33}. Построение графа композиции роа проиллюстрировано на рис. 1.3. # ро(Г Рис. 1.3 Отметим, что область определения композиции соответ- соответствий содержится в области определения первого соответ- соответствия, а область значений композиции соответствий — в обла- области значений второго соответствия. Из приведенных рассу- рассуждений следует, что для того, чтобы композиция соответствий была отлична от пустого соответствия, необходимо и достаточ- достаточно, чтобы пересечение области значений первого соответствия и области определения второго соответствия было не пусто. К определению композиции соответствий можно подойти с более общих позиций. Пусть pCAxBnaCCxD. При этом
54 1. МНОЖЕСТВА И ОТНОШЕНИЯ на множества A, J3, С и D априори не накладывается ника- никаких органичений. Композиция р о а соответствий р и а в этом случае также определяется соотношением A.3). Чтобы такая композиция была отлична от пустого соответствия, необходимо и достаточно выполнение условия R(p) DD(a) ф 0. В частно- частности, р о а = 0 всякий раз, когда В П С = 0. Пример 1.9. Рассмотрим соответствие т = {A, а), B, а),C, d)} из множества А = {1,2,3} в множество В = {а, Ь, d} и соответ- соответствие из множества С = {6, с, d} в множество D = {е, /}. В данном случае В П С Ф 0, но г о <р = 0, поскольку Д(т) = {a, d}, -D(v?) = = {Ь,с}иЛ(г)П%)=0. # Заметим, что композиция соответствий рСАхВиаССх х D не коммутативна, т.е. в общем случае рост ф а ор, поскольку Бинарное отношение на множестве является частным слу- случаем соответствия. Для двух бинарных отношений риа, заданных на множестве Л, их композиция рост A.3) как соот- соответствий является бинарным отношением на том же множестве А. В этом случае говорят о композиции бинарных отно- отношений на множестве А. Композицию pop бинарного отношения р на некотором множестве с самим собой называют квадратом бинарного отношения р и обозначают р2. Рассмотрим пример построения композиции бинарных от- отношений на множестве и покажем, что в общем случае для двух бинарных отношений т и (р также имеет место неравенство г о ср ф (р о г, хотя обе композиции, в отличие от аналогичных композиций двух произвольных соответствий, заданы на одном и том же множестве.
1.4. Операции над соответствиями 55 Пример 1.10. а. Зададим на множестве А = {1,2,3,4} би- бинарные отношения г = {(ж, у): х +1 < у}, <р = {(ж,у): |дг — j/| = 2} и найдем композицию тыр. Имеем тA) = {3,4}, <рC) = {1} и <рD) = {2}. Следовательно, (г о V)(i) = ^C) U VD) = {1,2}. Далее гB) = {4}, рD) = {2} и (г °(р)B) = {2}. Так как тC) = тD) = 0, то в итоге получим г otp = {A, 1), A? 2), B, 2)}. Построение композиции проиллю- проиллюстрировано на рис. 1.4, а. 1 2о *О2 ЗО ОЗ 4о О4 (fT 10 01 20 02 ¦«ЮЗ 40 *с>4 Найдем композицию (рот. Поскольку <рA) = {3}, а тC) = = 0, то ((рот)A) = 0. Аналогично у?B) = {4}, а тD) = 0, поэтому (<роГ)B) = 0. Далее у>C) = {1}, гA) = {3,4}, поэтому (vr)C) = {3,4}, a VD) = {2}, тB) = {4} и (*>оГ)D) = {4}. Построение композиции проиллюстрировано на рис. 1.4, б. Легко видеть, что
56 1. МНОЖЕСТВА И ОТНОШЕНИЯ б. Пусть отношение р на множестве действительных чисел определено как функция у = ах + Ь. Найдем квадрат этого отношения (линейной функции от одного переменного). Согласно A.4), это будет функция Л, такая, что h(x) = = а(ах + Ь) + с, т.е. h(x) = а?х + (ab + с). Это тоже линейная функция, но с другими коэффициентами. # Приведем некоторые свойства композиции соответствий: 1) ро(аот) = (ро(т)от; 2) для любого соответствия р имеет место ро0 = 0ор = 0; 3) po(aUr) = (poa)U(por); 4) для любого бинарного отношения на множестве А имеет место равенство р о id^ = icU °p = р. Эти свойства нетрудно доказать методом двух включений. Рассмотрим в качестве примера доказательство свойства 3. Пусть некоторая упорядоченная пара (ж, у) принадлежит ком- композиции po(aUr). Тогда, согласно A.3), найдется такой эле- элемент я, что (ж, z) G р и (я, у) ? a U г. Последнее означает, что (z, у) G а или (г, у) G т. Таким образом, для элемента z имеем (ж, г) 6 р и (z, у) € о или (ж, г) Е р и (г, у) G т. Пер- Первая альтернатива имеет место при (ж, у) € р о а, а вторая — при (ж, у) Е р°т, что означает (ж, у) G ростUрот. Тем самым включение po(a\Jr)Cpoa\Jpor доказано. Доказательство включения poaUporCpo^aUr) запишем коротко, используя логическую символику: (ж, у) GpoaUpor=> (Эи)(((ж, и)ер)Л((щ y)E (Э*)(((ж, z)ep)A (((*, у) G a) V ((*, у) G г))) => *) €р)Л((*, у) В данном случае доказательства двух включений не совсем симметричны: элементы и и v во второй части доказательства не обязаны совпадать.
1.4. Операции над соответствиями 57 Замечание 1.4. В тождестве, выражающем свойство 3, нельзя вместо объединения поставить пересечение, так как в этом случае тождество нарушится. Можно доказать, что сохранится лишь включение а обратное включение в общем случае не имеет места. # Анализ свойств 2 и 4 показывает, что роль пустого со- соответствия аналогична роли нуля при умножении чисел, а диагональ множества А играет роль, аналогичную роли еди- единицы, на множестве всех бинарных отношений на А. Обратное соответствие. Соответствие, обратное к соответствию р С А х В, есть соответствие из В в А, обозна- обозначаемое р и равное, по определению, р" = {(у, х): (ж, у) Е р}. Для соответствия г из примера 1.3 r-^ttm, Я),(П2, Я),(п2, С), (п3, Я), (п4, Я), (п5, Я), (п5, С)}. Обратное соответствие обладает следующими легко прове- проверяемыми свойствами: 1) (Р~1)-1 = П 2) (роа)-1=а-1ор-\ Для бинарного отношения р на множестве А обратное со- соответствие есть бинарное отношение на том же множестве. В этом случае говорят о бинарном отношении р~1 на мно- множестве А, обратном к р. Заметим, что соответствия р°р~1 и р~1°р в общем случае не совпадают. Даже для бинарного отношения р на множестве А р°р"х Фр~~1°р) а также р°р ^icU и p"lop^idA- Например, для бинарного отношения р= {C,1), D,1), D,2)} на множестве А = {1,2,3,4} графы самого отношения, обрат- обратного отношения р", композиций рор"ир"ор представлены на рис. 1.5.
58 1. МНОЖЕСТВА И ОТНОШЕНИЯ Pop'' Ю 2o 01 l 02 2 2 3o^——эоЗ зо 4O 03 O4 Рис. 1.5 Бели /: А-> В — отображение, то оно является соответ- соответствием. Обратное к / соответствие из В в А в общем случае не является отображением. Действительно, соответствие /""*, обратное к /, состоит из всех упорядоченных пар вида (/(#), ж), хеА. Поскольку в общем случае могут найтись такие два раз- различных элемента х и я', что f(x) = /(ж')? то соответствие Z" в общем случае не будет функционально по второй компоненте и поэтому не будет отображением. Бели отображение f инъек- тивно, то обратное соответствие есть частичное отображение из В в А. Бели отображение f биективно, то обратное соот- соответствие является отображением из В в А, причем имеют место равенства Отображение /-1 в этом случае называют отображением, обратным к /. Ограничение соответствия. Пусть р С А х В — соответ- соответствие из А в В и С С A, D Q В. Ограничением соответст- соответствия р на подмножества С и D (или (С, D)~ограничением соответствия р) называется соответствие изСв Д обозначае- обозначаемое р|с,?>) такое, что (*, у) е p\c,d ^ ((^, у) е р) л (х е С) л (у е D). Таким образом, (С, 1?)-ограничение соответствия р есть „то же самое" соответствие р, но из последнего берутся только
1.4. Операции над соответствиями 59 упорядоченные пары, первая компонента которых принадле- принадлежит подмножеству С, а вторая — подмножеству D. Можно записать Так, „малый" арксинус, т.е. функция у = arcsinz, есть огра- ограничение „ большого" арксинуса у — Arcsin x, который является соответствием на подмножества [—1,1] и [—-,—]. Рассмотрим некоторые важные частные случаи ограниче- ограничений соответствий (в частности, бинарных отношений и ото- отображений). Всякое (С, В)-ограничение соответствия р С А х В будем называть сужением соответствия р на подмножество С (коротко — С-сужением соответствия р), а всякое (С, /9(С))-ограничение соответствия р — строгим сужением соответствия р на подмножество С {строгим С-су- жением соответствия р). С-сужения соответствия р бу- будем обозначать р|с, а строгое сужение — р\ос соответственно. Полезно заметить, что для любого отображения /: А -> -> В строгое сужение /|од есть сюръекция А на f{A). Бели, сверх этого, / является инъекцией, то /|ол есть биекция А на f(A). Допуская некоторую вольность речи*, можно ска- сказать, что любое отображение сюръективно отображает свою область определения на свою область значений, в частности, любая инъекция устанавливает взаимно однозначное соответ- соответствие между областью определения и областью значений. Так, функция у = sinrr сюръективно отображает множество R всех действительных чисел на отрезок [—1,1], а любая показатель- показательная функция биективно отображает R на подмножество всех положительных действительных чисел. Для бинарного отношения р С А2 и любого подмножества М С А (М, М)-ограничение бинарного отношения называют * Вольность состоит в ТОМ) что мы отождествляем функцию / с функ- функцией /|од.
60 1. МНОЖЕСТВА И ОТНОШЕНИЯ ограничением бинарного отношения р на подмноже- подмножество М и обозначают р\м• Можно записать р\м = рПМ2. Рассмотрим, например, отношение естественного порядка < на множестве действительных чисел [I]. Тогда отношение ^ |z = {(^ь n):m^n;m,nGZ} есть ограничение этого поряд- порядка на подмножество целых чисел. Но ни в коем случае нельзя путать это отношение с Z-сужением отношения ^! Это по- последнее состоит из всех таких упорядоченных пар (т, ж), что m e Z, ж Е R и m ^ ж, т.е. вторая компонента пары может быть произвольным действительным числом, не меньшим заданного целого т. 1.5. Семейства множеств Рассматриваемое ниже понятие семейства множеств обоб- обобщает аналогичное понятие, сформулированное в [I]. Пусть U — универсальное множество. Если каждому нату- натуральному числу п взаимно однозначно сопоставлено некоторое подмножество Ап С [7, то тем самым определена последова- последовательность множеств Ai, ..., -АЛ, ..., или, в короткой записи, (<^n)n€N- Предположим теперь, что вместо множества N на- натуральных чисел задано произвольное множество / и каждому элементу i EI взаимно однозначно сопоставлено подмножество Ai С U. Тогда говорят, что задано (индексированное) се- семейство множеств {Ai)i<zj. Множество / называют мно- множеством индексов, а множества Ai — элементами семейства В случае J = N получаем последовательность множеств, или счетное семейство множеств; если множество / конеч- конечно, получаем конечное семейство множеств. Таким обра- образом, семейство (Ai)iei определено, если задано отображение v:I-+2u. Отметим, что любое множество, элементы которого есть некоторые подмножества универсального множества G, т.е. любое множество А С 2и, можно считать семейством (Ai)i€/,
1.5. Семейства множеств 61 где / = -A, a v — тождественное отображение множества А на себя. Пример 1.11. Рассмотрим в качестве множества ин- индексов множество точек некоторой гладкой плоской кривой [II] (рис. 1.6) и каждой точке сопоста- сопоставим касательную, проведенную к кривой в этой точке (которая будет единствен- ной в силу гладкости). Тогда получаем семейство множеств, элементами которого служат множества точек различных каса- касательных. # Рис1'6 Операции объединения и пересечения множеств можно рас- распространить на произвольные семейства множеств [I]. 1. Объединение семейства множеств: 2. Пересечение семейства множеств: iei Методом двух включений можно доказать следующие то- тождества: iei iei iei Аналогично можно доказать тождества iei iei iei iei Тождества A.5) выражают свойство бесконечной дистри- дистрибутивности операций пересечения и объединения, а тожде- тождества A.6) называют бесконечными законами де Моргана.
62 1. МНОЖЕСТВА И ОТНОШЕНИЯ 1.6. Специальные свойства бинарных отношений В этом параграфе дана определенная классификация бинар- бинарных отношений на множестве. В основе этой классификации лежат специальные свойства отношений. Бинарное отношение р на множестве А называют рефлек- рефлексивным, если диагональ множества А содержится в р: id а Я р, т.е. х р х для любого элемента х множества А. Если же icUflp = 0, то бинарное отношение р на множестве А называют иррефлексивным. Указанные свойства бинарных отношений на множестве А называют рефлексивностью и иррефлексивностью. Бинарные отношения равенства и подобия на множестве геометрических фигур рефлексивны: каждый треугольник ръ,- вен самому себе и подобен самому себе. На самом деле рефлек- рефлексивны все отношения равенства: равенство чисел, равенство векторов, равенство множеств и т.п. Также рефлексивны- рефлексивными являются, например, бинарное отношение нестрогого не- неравенства на множестве действительных чисел, поскольку для любого числа х всегда х < ж, и отношение С включения мно- множеств, так как для любого множества X всегда X СХ. Напротив, бинарное отношение на множестве действитель- действительных чисел, задаваемое строгим неравенством х < у, иррефлек- сивно, равно как я отношение С строгого включения множеств. Не следует путать иррефлексивное отношение с нерефлек- нерефлексивным, т.е. не являющимся рефлексивным, отношением. Ирре- Иррефлексивное отношение нерефлексивно, но не всякое нерефлек- нерефлексивное отношение иррефлексивно. Иррефлексивному отноше- отношению на А не принадлежит ни один элемент диагонали icU, а нерефлексивное отношение может содержать некоторые (но не все!) элементы диагонали. На рис. 1.7 приведены приме- примеры графиков иррефлексивного и нерефлексивного отношений (пунктиром указаны диагонали множеств).
1.6. Специальные свойства бинарных отношении 63 Рис. 1.7 Бинарное отношение р на множестве А называют: 1) симметричным, если для любых хуу€Аюхру следует 2) антисимметричным, если для любых ж, у G А из одно- одновременной справедливости х руту рх следу- следует, что х = у. Соответствующие свойства бинарных от- отношений на множестве А называют симме- симметричностью и антисимметричностью. График симметричного бинарного отно- отношения на множестве А симметричен относи- относительно диагонали (рис. 1.8). А Рис. 1.8 Теорема 1.1. Бинарное отношение р на множестве А сим- симметрично, если и только если бинарное отношение на множе- множестве А, обратное к р, совпадает с р: р~х = р. < Пусть (ж, у) G р", т.е. (у, х) € р. Тогда, в силу симме- симметричности р, (ж, у) € р. Следовательно, р" С р. Аналогично доказывается включение р С р". Теперь пусть р = р""*1. Тогда (ж, у) G р и (ж, у) G р". Из определения обратного отношения вытекает, что (у, х) 6 р. Следовательно, р — симметричное бинарное отношение. > Теорема 1.2* Бинарное отношение р на множестве А антисимметрично, если и только если рПр" С icU. < Действительно, если (ж, у) G рПр", то (#, у) € р и (ж, у) G р" (т.е. (у, х)€р). Но из выполнения соотношений хруиурх вви- ввиду антисимметричности р следует, что а; = у, т.е. (ж, у) G ic
64 1. МНОЖЕСТВА И ОТНОШЕНИЯ Обратно, пусть рПр" С icU. Предположим, что (х, у) G р и (у, х) € р, причем а; Ф у. Тогда (х, у) € р и (х, у) € рПр", но (ж, у) ^ icU. Получаем противоречие. > Отметим, что для антисимметричного бинарного отноше- отношения на множестве А может иметь место равенство рПр" = 0. Все бинарные отношения в геометрии типа равенства или подобия симметричны. Так, если треугольник ABC подо- подобен треугольнику А'В'С, то и второй из этих треугольников подобен первому. Бинарные отношения неравенства чисел и включения множеств, как строгие, так и не строгие, антисим- антисимметричны. Бинарное отношение р на множестве А называют транзи- транзитивным, если для любых х, у, z Е А из того, что хру и у рz, следует х р z. Соответствующее свойство бинарного отношения называют транзитивностью. \ Пример 1.12. а. Пусть М — некоторое множество насе- населенных пунктов. Зададим на нем бинарное отношение дости- достижимости: из пункта А достижим пункт J5, если есть дорога, по которой можно доехать из Л в В. Это отношение транзитивно, поскольку если из пункта А можно доехать до пункта 23, а из В есть дорога до С, то из А можно проехать в С. б. Бинарные отношения равенства и подобия в геометрии являются транзитивными: если треугольник ABC подобен треугольнику А\В\С\, а этот последний подобен треугольнику Аг^Сг, то первый треугольник подобен третьему. в. Бинарное отношение неравенства на множестве действи- действительных чисел не транзитивно, так как из того, что х фу и у Ф z, вовсе не следует, что хф z. Аналогично, если х друг у, а у друг г, то — вопреки известной поговорке — это не означает, что х друг z. # Докажем следующее важное свойство транзитивного бинар- бинарного отношения.
1.6. Специальные свойства бинарных отношении 65 Теорема 1.3. Бинарное отношение р на множестве А тран- зитивно тогда и только тогда, когда его квадрат содержится в нем, т.е. р ° р С р. -4 Пусть бинарное отношение р на множестве А транзитивно и (ж, z) G р2 = р о р. В силу определения композиции бинарных отношений на множестве А существует такой элемент у, что х руту pz, откуда ввиду транзитивности р получаем х р z, т.е. (ж, z) Е р, а значит, р2 С р. Обратно, пусть бинарное отношение р на множестве Л таково, что р2 С р, а (ж, у)бр и (у, г) ? р. Тогда в силу определения композиции бинарных отношений на множестве А (ж, z) € р2. Поскольку р2 С р, то (#, z) 6 р. Таким образом, из того, что (ж, у) € р и (у, г) G р, следует, что (x,z) € р, т.е. бинарное отношение р на множестве А транзитивно. > Доказанное свойство целесообразно использовать для про- проверки транзитивности бинарного отношения р на некотором множестве в тех случаях, когда построение квадрата р являет- является более легкой задачей по сравнению с исследованием свойства транзитивности р на основе определения. Бинарное отношение р на множестве А называется плот- ным, если для любых я, у Е Л, отличных друг от друга и таких, что хру, найдется z, отличный и от re и от у, такой, что хpz nzpy. Образно говоря, для любой пары элементов, связанных плотным отношением, всегда найдется третий элемент, кото- который „встраивается между ними" и связан с каждым из них тем же отношением. Так, отношения неравенства (строгого и нестрогого) на множествах рациональных и действительных чисел плотны, но аналогичные отношения на множествах целых и натуральных чисел плотными не являются. В самом деле, ка- каковы бы ни были рациональные (или действительные) числа х и у, из того, что х < у, следует, что существует число z, от- отличное как от ж, так и от у, такое, что х < z < у. Например,
66 1. МНОЖЕСТВА И ОТНОШЕНИЯ подходит число z = (х + у)/2. Но для целых чисел т и т + 1 такого „промежуточного" целого числа нет. Бели р — плотное бинарное отношение на множестве А и для некоторых х,у Е А имеет место х ру, то найдется z 6 А, такой, что хфг,уфгъхpz,zру. Отсюда в силу определения композиции отношений следует, что хр2у. Значит, из (х, у) € р следует (х, у) е р2, т.е. р С р2. Итак, если р плотно, то оно содержится в своем квадрате. Напомним, что для транзитивного бинарного отношения р2 С р. Следовательно, если бинарное отношение р одновременно плот- плотно и транзитивно, то р = р2. Среди всех бинарных отношений на произвольном множе- множестве выделяют классы отношений в зависимости от свойств, которыми эти отношения обладают. Бинарное отношение на некотором множестве называют^ 1) эквивалентностью, если оно рефлексивно, симмет- симметрично и транзитивно; 2) толерантностью, если оно рефлексивно и симмет- симметрично; 3) порядком (или частичным порядком), если оно ре- рефлексивно, антисимметрично и транзитивно; 4) предпорлдком (или квазипорядком), если оно рефлек- рефлексивно и транзитивно; 5) строгим порядком, если оно иррефлексивно, антисим- антисимметрично и транзитивно; 6) строгим предпорядком, если оно иррефлексивно и транзитивно. Определенные выше бинарные отношения называют от- отношениями эквивалентности, толерантности, поряд- порядка {частичного порядка), предпорядка (квазипорядка), строгого порядка, строгого предпорядка. Пример 1.13. а. Бинарное отношение параллельности двух прямых или двух плоскостей в евклидовой геометрии, если
1.6. Специальные свойства, бинарных отношении 67 считать каждую прямую (плоскость) параллельной самой себе, есть отношение эквивалентности. б. Бинарное отношение р на множестве всех непустых подмножеств некоторого множества С/", для которого А р В тогда и только тогда, когда А П В ф 0, является толерантностью. Это отношение рефлексивно и симметрично, но не транзитивно. Действительно, из того, что АПВф0 иВПСф0, никак не следует, рис. i.g чтоАПСф0 (рис. 1.9). в* Примером отношения порядка является естественный числовой порядок*, т.е. отношение неравенства на любом числовом множестве. г. На множестве натуральных чисел N зададим бинарное отношение а|6, означающее, что а делит Ь (а является дели- делителем 6). Это отношение рефлексивно, поскольку любое число является делителем самого себя. Покажем антисимметричнсть. Пусть а делит 6 и в то же время Ь делит а. Тогда найдется на- натуральное число <i, такое, что Ь = ati, и найдется <2> такое, что a = 6*2- Отсюда Ь = 6*2*1, что на множестве натуральных чисел возможно только при *i = *2 = 1- Следовательно, a = 6. Пока- Покажем транзитивность. Бели а делит 6, а 6 делит с, то найдутся натуральные числа *i, *2> такие, что 6 = at\ и с = 6*2- Отсюда имеем с = a*i<2? т.е. a — делитель с. Таким образом, „отноше- „отношение делимости" на множестве N является отношением порядка. Бели распространить это отношение на множество целых чисел, то оно будет уже только предпорядком, поскольку те- теряется свойство антисимметричности. Например, 2 делится на —2 и —2 делится на 2, однако 2 ф —2. *В [I] это отношение названо просто естественным порядком. По- Поскольку в дискретной математике нам приходится иметь дело со многими порядками на нечисловых множествах, мы все время будем говорить „есте- „естественный числовой порядок", подчеркивая тем самым, что речь идет об отношении порядка на множестве действительных чисел (или об его огра- ограничении на множества рациональных, целых или натуральных чисел).
68 1. МНОЖЕСТВА И ОТНОШЕНИЯ д. Рассмотрим множество 2А всех подмножеств множества А. Покажем, что отношение включения С на множестве 2А есть порядок. Это отношение рефлексивно, так как для любого множества X справедливо включение X С X. Поскольку для любых двух множеств X и У из ХСУ и УСХ следует, что X = У, рассматриваемое отношение антисимметрично. Из определения включения вытекает, что если X С У и Y С Z, то X С Z. Следовательно, отношение транзитивно. е. Отношение строгого неравенства на числовом множе- множестве, равно как и отношение строгого включения множеств, есть отношение строгого порядка. ж. В качестве примера отношения строгого предпорядка можно привести отношение пстрогой достижимости" на неко- некотором множестве населенных пунктов: пункт А считаем строго достижимым из отличного от него пункта J5, если есть дорога (автомобильная, железная и т.п.) из А в .В, причем принимает- принимается, что никакой пункт не является строго достижимым из себя самого. # Бинарные отношения на множестве Рефлексивность и симметричность. Рефлексивность и транзитивность Отношения толерантности Транзитивность Отношения предпорядка Симметричность Отношения эквивалентности Антисимметричность Отношения порядка Рис. 1.10 Отношения толерантности, эквивалентности, предпорядка и порядка — важнейшие в современной математике. Связь
1.6. Специальные свойства бинарных отношении 69 между этими четырьмя классами бинарных отношений пока- показана на рис. 1.10. Можно сказать, что эквивалентность есть транзитивная толерантность или симметричный предпорядок. Порядок же есть антисимметричный предпорядок. Для любого бинарного отношения р С А2 можно построить отношение р* следующим образом: х р* у тогда и только тогда, когда х = у или существует последовательность #о, #ъ • ••» #n, n ^ 1, такая, что жо = х> хп = У и для каждого г = 0, п—1 выполняется Xipxi+\. В частности, если (ж, у) Е р, т.е. х ру, то это означает, что приведенное условие выполняется при п = 1. Следовательно, (ж, у) Е р*, т.е. р С р*. Отношение р* называют рефлексивно-транзитивным замыканием бинарного отношения р на соответствующем множестве. Можно также обозначить и тогда 00 г=0 Отношение р* является рефлексивным, так как icU С р*. Докажем его транзитивность. Пусть для каких-то x,y,z вы- выполняется х р* у и у р* z. Докажем, что я; р* z. Будем считать, что элементы х, у, z попарно различны (так как при х = у или У = г доказывать нечего). Тогда существуют последователь- последовательности ж = ж0, хи ..., ffn = 2/ и у = уо, yi, ..., ут=г, такие, нто Xf р #j+i для каждого г = 0, п—1 и у^ р yj+i для каждого В итоге получаем последовательность го, ..., 2:n, ^n+i> •••» zn+m. Где г0 = X, Zn = у, ^n-bm = г, *г = ^г ДЛЯ ВСЯКОГО % = 1, П-1, zn+j = yj для всякого j = 1, m—1, такую, что г* р Zj+i для любого г = 0, n+m—1, т.е. ж р* г.
70 1. МНОЖЕСТВА И ОТНОШЕНИЯ 1.7. Отношения эквивалентности Пусть А — произвольное множество. Семейство непустых и попарно не пересекающихся множеств называют разбиением множества А, если объединение множеств семей- семейства (Bi)i?i равно А, т.е. [jBi = А. i6/ Сами множества Вг называют элементами (или члена- членами) разбиения (Д)г€/. Например, множества [0,1/3), [1/3, 2/3) и [2/3,1] образуют разбиение отрезка [0,1]. Тривиальными разбиениями А являются, по определению, разбиение {А}, состоящее только из самого А, и разбиение, состоящее из всех одноэлементных подмножеств множества А. Пусть р — эквивалентность на множестве А и х Е А. Мно- Множество всех элементов А, эквивалентных х, т.е. множество {у: у рж}, называют классом эквивалентности по отноше- отношению р и обозначают [х]р. Отметим, что в силу рефлексивности для любого элемента х Е А класс эквивалентности не пуст, так как х Е [х]р. Теорема 1.4. Для любого отношения эквивалентности на множестве А множество классов эквивалентности образует разбиение множества А. Обратно, любое разбиение множества А задает на нем отношение эквивалентности, для которого классы эквивалентности совпадают с элементами разбиения. <4 Покажем, что отношение эквивалентности р на множестве А определяет некоторое разбиение этого множества. Убедимся вначале, что любые два класса эквивалентности по отношению р либо не пересекаются, либо совпадают. Пусть два класса эквивалентности [х]р и [у]р имеют общий элемент z Е [х]р П [у]р. Тогда z px и z py. В силу симметрич- симметричности отношения р имеем хрz, и тогда хрz и zpy. В силу транзитивности отношения р получим х ру. Пусть h € [#]р, тогда h р х. Так как х р у, то h р у и, следовательно, h E [у]р.
1.7. Отношения эквивалентности 7\_ Обратно, если h ? [у]р, то в силу симметричности р получим Нру,У рхив силу транзитивности — hрх, т.е. h € [х]р. Таким образом, [х]р = [у]р. Итак, любые два не совпадающих класса эквивалентности не пересекаются. Так как для любого х € А справедливо х Е [х]р (поскольку х рх), т.е. каждый элемент множества А принадле- принадлежит некоторому классу эквивалентности по отношению р, то множество всех классов эквивалентности по отношению р обра- образует разбиение исходного множества А. Таким образом, любое отношение эквивалентности однозначно определяет некоторое разбиение. Теперь пусть (Sj)^/ — некоторое разбиение множества А. Рассмотрим отношение р, такое, что х ру имеет место тогда и только тогда, когда х и у принадлежат одному и тому же элементу В{ данного разбиения: х р у & (Эг е I)(х е Вг) л (у е в{). Очевидно, что введенное отношение рефлексивно и симметрич- симметрично. Бели для любых х,уъг имеет место хру и у pz, то ж, у и z в силу определения отношения р принадлежат одному и тому же элементу В% разбиения. Следовательно, хpz та. отношение р транзитивно. Таким образом, р — эквивалентность на А. > Теорема 1.4 позволяет отождествлять отношения эквива- эквивалентности и разбиения: любая эквивалентность определяет единственное разбиение и наоборот. Множество всех классов эквивалентности по данному от- отношению эквивалентности р на множестве А называют фак- тпор-множеством множества А по отношению р и обознача- обозначают А/р. Пример 1.14. а. На множестве целых чисел Z определим отношение равенства по модулю /с, где k G N. Положим ж==(тос1А:)У> если и только если х — у делится на к. * Традиционное обозначение: т = n(mod&). .*
72 1. МНОЖЕСТВА И ОТНОШЕНИЯ Легко проверяется, что это отношение эквивалентности. Действительно, рефлексивность следует из того, что для любо- го m E Z га — т = 0и делится на &; симметричность — из того, что если га — п делится на А;, то и п — га делится на к. Для до- доказательства транзитивности заметим, что если т — п делится на А;, п — р делится на А:, то и их сумма (га — п) + (п—р) =т—р делится на к. Другими словами, для любых целых m, n, p из ™=(mod*)tt и n=(modA.)p следует m=(modA.)p, что доказывает транзитивность отношения =(modfc)- Равенство чисел га и п по модулю & означает, что при деле- делении на к эти числа дают одинаковые остатки. Действительно, для каждого х Е Z имеем # = m • fe + г, где г — остаток от деле- деления х на А:. Следовательно, х — г = m • А;, т.е. tf=(m0(jA;) г. Таким образом, каждое число попадает в тот же класс эквивалентно- эквивалентности по отношению =(modA:)> что и остаток от деления его на к. Поскольку всего различных остатков может быть ровно к\\О, 1, ..., А; — 1, получаем ровно к попарно различных классов экви- эквивалентности по данному отношению: [0]=(mod/k), [l]=(mod4), -., [fc" 1]=(modfc)' ГДе КЛаСС M=(mod*) СОСТОИТ ИЗ ВСвХ ЦвЛЫХ ЧИСвЛ, дающих при делении на к остаток г. Отметим, что мы установили взаимно однозначное соот- соответствие между фактор-множеством Z/=(mod^.) и множеством Zfc, состоящим из чисел 0, 1, ..., А; — 1. Второе множество дает нам как бы „наглядный образ" по- построенного фактор-множества. Нельзя считать, что фактор- фактормножество Z/=(modfc) равно множеству {0,1,..., к — 1}. Нет, указанное фактор-множество состоит из к элементов, каждый из которых есть не число, а множество всех целых чисел, при делении на к дающих фиксированный остаток. Но каждому такому классу эквивалентности однозначно сопоставляется це- целое число от 0 до А; — 1, и, наоборот, каждому целому числу от 0 до к — 1 соответствует единственный класс эквивалентно- эквивалентности по отношению =(modA;)- Заметим, что в математике часто используется прием сопоставления фактор-множеству такого
1.7. Отношения эквивалентности 73 находящегося с ним во взаимно однозначном соответствии мно- множества, которое легко представить и описать. б. На множестве R действительных чисел зададим отно- отношение а=(тосц)Ь, полагая, что числа а и Ь равны по модулю 1 тогда и только тогда, когда число a — b является целым. Из определения следует, что каждое число по модулю 1 равно своей дробной части*. Так как отношение =(mOd i) определено через равенство, то легко понять, что все свойства отношения эквивалентности для него выполняются. Каждый класс эквивалентности будет со- содержать числа с равными дробными частями. Это значит, что каждый класс эквивалентности по данному отношению одно- однозначно определяет некоторое число из полуинтервала [0,1) и, наоборот, каждому числу j ? [0,1) однозначно сопоставляется класс эквивалентности, состоящий из всех действительных чи- чисел, дробная часть которых равна 7* Таким образом, фактор- фактормножество K/=(modi) и полуинтервал [0,1) на числовой прямой находятся во взаимно однозначном соответствии. Этот полуин- полуинтервал можно рассматривать как представление определенного выше фактор-множества. # Установим теперь связь между понятиями эквивалентности и отображения. Заметим, что для любого отношения эквива- эквивалентности р на множестве А можно определить отображение fp: А -> А/р, положив fp(x) = [ж]р, т.е. сопоставив каждому х ? А содержащий его класс эквивалентности. Это отобра- отображение сюръективно, так как каждый элемент множества А принадлежит некоторому классу эквивалентности, т.е. для ка- каждого [х]р е А/р справедливо [х]р = fp(x). Отображение /р, определенное таким образом, называют канонической сюръекцией множества А. "Под дробной частью <а> числа а понимается число из полуинтервала [0,1), такое, что а = п + <а> для некоторого целого п. Поэтому дробной частью отрицательного числа —о, где о > 0, будет число 1 — <о>. Так, Дробной частью -1,23 будет не 0,23, а 0,77 = 1 - 0,23.
74 1. МНОЖЕСТВА И ОТНОШЕНИЯ Покажем, что любое отображение однозначно определяет некоторое отношение эквивалентности. Теорема 1.5. Пусть /: А —> В — произвольное отображе- отображение. Отношение р/ на множестве А, для которого х р/ у, если и только если f(x) = /(у), является отношением эквивалентно- эквивалентности, причем существует биекция фактор-множества А/р/ на множество f(A). <4 Рефлексивность, симметричность и транзитивность отноше- отношения pf следуют непосредственно из его определения, т.е. pf — эквивалентность. Зададим отображение (р фактор-множества Ajpj в множе- множество f(A) следующим образом: <p{[x]Pf) = /(ж). Из способа задания отношения р следует, что отображение определено кор- корректно, т.е. каждому классу эквивалентности поставлен в со- соответствие единственный элемент у Е f(A). Докажем, что <р — биекция, для чего убедимся в том, что это инъекция и сюръекция одновременно. Пусть классы эквивалентности [x]Pf и [у]Р/ не совпадают. В силу теоремы 1.4 это означает, что они не пересекаются, т.е. х не эквивалентно у. Из определения отношения р/ следует, что f(x) ф /(у). Таким образом, (р — инъекция. Бели элемент и Е /(А), то найдется такой элемент х Е А, что и = f(x) = <p([x]Pf), т.е. (р — сюръекция фактор-множества А/р/ на множество f(A). Итак, (р — биекция. > Следовательно, в силу доказанных теорем 1.4 и 1.5 суще- существует связь между тремя понятиями — отображением мно- множества, отношением эквивалентности на множестве и разбие- разбиением множества. Но неверно, что существует взаимно одно- однозначное соответствие между отображениями и отношениями эквивалентности*. Два разных отображения могут определять одно и то же разбиение отображаемого множества, тем самым задавая на нем одно и то же отношение эквивалентности. Так, '"Заметим, что теорема 1.5 этого и не утверждает.
1.8. Упорядоченные множества 75 например, любое биективное отображение /: А -> В задает на Л одно и то же разбиение — тривиальное разбиение на одно- одноэлементные множества. 1.8. Упорядоченные множества. Теорема о неподвижной точке Множество вместе с заданным на нем отношением порядка называют упорядоченным множеством. Отношение порядка будем, как правило, обозначать < (или значками г$, С и т.п., похожими на ^). При этом следует пони- понимать, что даже на некотором множестве S С R рассматриваться может любое отношение порядка, а не только естественный числовой порядок. Множество М с заданным на нем отноше- отношением порядка ^ будем записывать как пару (М,^). Записывая х ^ у, мы будем говорить, что элемент х не больше элемента у. Каждому отношению порядка ^ на множестве М можно сопоставить следующие отношения. 1. Отношение, которое будем обозначать <, получается из исходного отношения порядка < выбрасыванием всех элементов диагонали idM> т.е. х < у для любых х,у€М тогда и только то- тогда, когда х ^ у и х Ф у. Записывая х < у, мы будем говорить, что элемент х строго меньше элемента у. Из определения следу- следует, что отношение < есть иррефлексивное, антисимметричное и транзитивное бинарное отношение на множестве М, т.е. оно является отношением строгого порядка. 2. Двойственный порядок. Это бинарное отношение на множестве М, называемое также и отношением, двой- двойственным к отношению порядка <, определяется как би- бинарное отношение на множестве М, обратное к отношению <. Его обозначают ^. Тогда для любых ж, у условие х ^ у равносильно тому, что у < х. Можно без труда доказать, что отношение ^ тоже является отношением порядка. Записывая х^у, мы будем говорить, что элемент х не мень- меньше элемента у. Отношение строгого порядка, ассоциированное
76 1. МНОЖЕСТВА И ОТНОШЕНИЯ ___ с ^, договоримся обозначать >, говоря при этом, что элемент х строго больше элемента у, если х ^ у и х Ф у. 3. Отношение доминирования. Для двух элементов х и у, по определению, х < у тогда и только тогда, когда х строго меньше у и не существует такого элемента z, что х < z < у. Отношение < называют отношением доминирования (или просто доминированием), ассоциированным с отношением порядка ^. Бели имеет место х < у, то говорят, что элемент у доминирует над элементом х. Из определения следует, что отношение доминирования ир- рефлексивно, антисимметрично, но не транзитивно. Оно может быть и пусто. Например, легко видеть, что пустым будет отношение доминирования, если исходный порядок является плотным бинарным отношением на соответствующем множе- множестве. Пример 1.15. а. Рассмотрим множество действительных чисел с естественным числовым порядком. Пусть а < с. Из- Известно, что для любых аи с найдется такое 6, что а<Ь<с, т.е. это отношение порядка на множестве действительных чисел является плотным. Поэтому отношение доминирования будет пустым. По той же причине будет пустым отношение доминирова- доминирования, ассоциированное с естественным числовым порядком на множестве рациональных чисел. Но на множестве целых чисел (опять-таки с естественным числовым порядком) отношение доминирования не пусто. Так, 1 < 2, —5 < —4, но, конечно, неверно, что 1 < 3, поскольку между единицей и тройкой су- существует wпромежуточный" элемент — двойка. б. На множестве всех подмножеств трехэлементного мно- множества {а, 6, с}, где в качестве отношения порядка взято отно- отношение теоретико-множественного включения С, подмножество {а, 6} доминирует над подмножествами {а} и {Ь}, но не домини- доминирует над пустым множеством. В свою очередь, все множество
1.8. Упорядоченные множества 77 {а, Ь, с} доминирует над любым своим двухэлементным подмно- подмножеством, но не доминирует над одноэлементным и над пустым. в. По отношению делимости на множестве натуральных чисел 15 доминирует над 3 и 5, но 20 не доминирует над 5, так как существует япромежуточный" элемент — 10, делитель 20, который делится на 5, но не равен ни 20, ни 5. # Рассмотрим упорядоченное множество (М, ^) и его произ- произвольное непустое подмножество В С М. Упорядоченное мно- множество (JB, ^|в), где ^\в — ограничение отношения ^ на под- подмножество В, называют упорядоченным подмножеством упорядоченного множества (М, ^). Таким образом, можно переносить отношения порядка на непустые подмножества исходного упорядоченного множества. Как правило, вместо ^ \в будем писать просто ^ (если ясно, о каком подмножестве В идет речь). Порядок ^ \в на под- подмножестве В называют также порядком, индуцированным исходным порядком < на всем множестве А. Часто прибегают к такому выражению: „рассмотрим подмножество В упоря- упорядоченного множества (М, ^) с индуцированным порядком", понимая под этим порядок ^ |в- Элементы х и у упорядоченного множества (М, ^) назы- называют сравнимыми по отношению порядка ^, если х ^ у или у ^ х. В противном случае элементы хиу называются несрав- несравнимыми. Упорядоченное множество, все элементы которого попарно сравнимы, называют линейно упорядоченным, а соответ- соответствующее отношение — отношением линейного порядка (или просто линейным порядком). Бели индуцированный порядок на подмножестве упорядоченного множества является линейным, то это линейно упорядоченное подмножество на- называют цепью. Любое подмножество попарно не сравнимых элементов данного упорядоченного множества называют ан- антицепью.
78 J. МНОЖЕСТВА И ОТНОШЕНИЯ Замечание 1*5. Обратим внимание на то, что термину „упорядоченное множество" (в смысле приведенного определе- определения) в [I] отвечает термин „частично упорядоченное множе- множество", а то, что мы называем линейно упорядоченным мно- множеством, в [I] называется просто упорядоченным множеством. Терминология этого вьшуска более принята в алгебраической литературе и литературе по дискретной математике. Упо- Употребление в [I] термина „частично упорядоченное множество" мотивировало желанием подчеркнуть, что в общем случае в упорядоченном множестве существуют не сравнимые элементы. Пример 1.16. а. Отношение естественного числового порядка на множестве Е действительных чисел является от- отношением линейного порядка, поскольку для любых двух чисел а, Ь имеет место или неравенство а ^ Ь, или неравенство Ь^а. б. Отношение делимости (см. пример 1.13.г) на множестве N и отношение включения С на В (А) (см. пример 1.13.д) не являются линейными порядками, за исключением случая, когда А — одноэлементное множество. # Пусть (А, <) — упорядоченное множество. Элемент а € А называют наибольшим элементом множества А, если для всех х G А выполняется неравенство х < а. Элемент Ъ называют максимальным элементом множе- множества А, если для всякого х ЕА имеет место одно из двух: или х ^ Ь, или х и 6 не сравнимы. Аналогично определяются наименьший и минимальный элементы упорядоченного множества, а именно: наименьший элемент упорядоченного множества А — это такой его элемент а, что а^х для каждого х ? Ау а минимальный элемент — это такой элемент Ь G А, что для любого х G А элементы 6 и х не сравнимы или Ъ ^ х. Покажем, что наибольший (наименьший) элемент множе- множества, если он существует, является единственным. Действи- Действительно, полагая, что а и а1 — наибольшие элементы А по
1.8. Упорядоченные множества 79 отношению порядка ^, получаем, что для всякого х € А выпол- выполняется х < а и х ^ а'. В частности, о! < о и а < а', откуда ввиду антисимметричности любого отношения порядка следует, что a = а;. Аналогично доказывается единственность наименьшего элемента. Замечание 1.6. Поскольку на одном и том же множестве могут быть определены разные отношения порядка (например, на множестве натуральных чисел — естественный числовой порядок и отношение делимости), то, когда это необходимо, мы будем говорить о наибольших, наименьших (соответственно максимальных и минимальных) элементах по данному отноше- отношению порядка, уточняя тем самым, о каком отношении порядка идет речь. # Следующие примеры показывают, что максимальных (ми- (минимальных) элементов может быть сколько угодно*. Пример 1.17. Рассмотрим множество точек плоскости с некоторой фиксированной прямоугольной декартовой систе- системой координат. Координаты каждой точки плоскости зада- задаются упорядоченной парой (ж, у) действительных чисел. Отно- Отношение порядка на множестве точек плоскости определим следу- следующим образом: (а, Ь) < (c,d), если и только если а < с и Ь ^ d. Рассмотрим множество точек треугольника ОАВ (рис. 1.11, а). Точка с координатами @, 0) является наименьшим элементом этого множества. Максимальными элементами являются все точки, лежащие на стороне АВ. Наибольшего элемента нет. # Пусть (А, ^) — упорядоченное множество и В С А. Эле- Элемент а 6 А называется верхней (соответственно нижней) гранью множества 2?, если для всех элементов х G В име- имеет место (х ^ а) (соответственно (х ^ а)). *Но заметим, что если у множества есть наибольший (соответственно наименьший) элемент, то он является единственным максимальным (соот- (соответственно минимальным) элементом данного множества.
80 J. МНОЖЕСТВА И ОТНОШЕНИЯ Максимальные элементы supD€D Б О\ В Наименьший элемент О\ С inf D€D а б в Рис. 1.11 Наименьший элемент множества всех верхних граней (соот- (соответственно наибольший элемент множества всех нижних гра- граней) множества В называют точной верхней гранью В (соответственно точной нижней гранью В) и обозначают supjB (infB). Множество всех верхних (нижних) граней множества В называют верхним (нижним) конусом В и обозначают Bv (соответственно ВА). В отличие от наибольшего и наименьшего элементов мно- множества В элементы sup В и inf В не обязаны принадлежать множеству В. Точная верхняя (нижняя) грань множества су- существует не всегда. Пример 1.18. а. Рассмотрим множество D точек пря- прямоугольника ОАВС (рис. 1.11, б) с заданным в примере 1.17 отношением порядка. Точка О является точной нижней гра- гранью, а точка В — точной верхней гранью этого множества. Обе точки принадлежат множеству. Бели рассмотреть множество F (рис. 1.11, б) с тем же отношением порядка, то увидим, что точная нижняя грань (точка О) и точная верхняя грань (точка Е) множества F существуют, но не принадлежат множеству. б. На числовой прямой с „выколотой" точкой Ь для по- полуинтервала [а, Ь) множество верхних граней есть (Ь, +оо), но точной верхней грани нет. #
1.8. Упорядоченные множества 81 Упорядоченное множество (М, <) называют вполне упо- упорядоченным, если его любое непустое подмножество имеет наименьший элемент. Множество натуральных чисел с отношением естественно- естественного числового порядка вполне упорядоченное. Множество целых чисел не вполне упорядоченное, поскольку оно не имеет наи- наименьшего элемента. Аналогично множества рациональных и действительных чисел не являются вполне упорядоченными. Можно показать, что справедлив принцип двойствен- двойственности для упорядоченных множеств. Пусть (М, ^) — произвольное упорядоченное множество. Тогда любое утвер- утверждение, доказанное для порядка ^, останется справедливым для двойственного порядка ^, если в нем: 1) порядок < заменить на порядок ^ и наоборот; 2) наименьший (минимальный) элемент заменить наиболь- наибольшим (максимальным) элементом и наоборот; 3) inf заменить на sup и наоборот. Например, если для некоторого a € М и для В СМ мы доказали, что a = sup В при заданном отношении порядка, то для двойственного порядка a = inf В. Говорят также и о взаимно двойственных определе- определениях: если в любом определении, связанном с упорядоченным множеством, произвести взаимные замены согласно принципу двойственности, то получится новое определение, называемое двойственным к исходному. Так, определение наибольшего (максимального) элемента множества двойственно к определе- определению наименьшего (минимального) элемента, и наоборот. Часто употребляют оборот речи: „двойственным образом..." (или „двойственно..."), понимая под этим переход к утверждению или определению, которое двойственно к исходному. Рассмотрим теперь некоторые способы наглядного предста- представления упорядоченных множеств. Конечное упорядоченное множество можно графически изо- изобразить в виде так называемой диаграммы Хассе. На этой Диаграмме элементы множества изображаются кружочками.
82 1. МНОЖЕСТВА И ОТНОШЕНИЯ 2 о О 1 2" При этом если элемент Ь доминирует над элементом а, то кружочек, изображающий элемент Ь, располагается выше кру- кружочка, изображающего элемент а, и соединяется с ним прямой линией. Иногда для большей наглядности из а в & ведут стрел- стрелку. На рис. 1.12 изображены диаграммы Хассе для упорядочен- упорядоченных множеств делителей чисел 2, 6, 30 и 36 по рассмотренному выше отношению делимости (см. пример 1.13.г). На рис. 1.13 приведена диаграм- диаграмма Хассе для упорядоченного множе- множества всех подмножеств трехэлемент- трехэлементно} < А|а'с)> {Ь,с} ного множества (°> ь> с> по отноше- отношению включения (см. пример 1.13.д). Последовательность {rPt}teN эле- элементов упорядоченного множества называют неубывающей, если для каждого г € N справедливо неравен- неравенство Xi ^Xi+\. Элемент а упорядоченного мно- множества (М, ^) называют точной верхней гранью после- последовательности {fft}»€N? если он есть точная верхняя грань множества всех членов последовательности*. * Другими словами, точная верхняя грань последовательности есть точная верхняя грань области ее значений как функции натурального аргумента.
1.8. Упорядоченные множества 83 Двойственно определяется точная нижняя грань после- дователъности. Упорядоченное множество (М, ^) называют индуктив- индуктивным, если: 1) оно содержит наименьший элемент; 2) всякая неубывающая последовательность элементов этого множества имеет точную верхнюю грань. Например, множество всех подмножеств некоторого мно- множества по отношению включения будет индуктивным. Наи- Наименьший элемент — пустое множество, а точной верхней гра- гранью произвольной неубывающей последовательности множеств будет объединение всех членов этой последовательности (наи- (наименьшее по включению множество, содержащее в качестве под- подмножества любой член последовательности). Определение 1.5. Пусть (Mi, ^) и (Мг, =^) — индук- индуктивные упорядоченные множества. Отображение /: Mi -* Mi одного индуктивного упорядоченного множества в другое на- называют непрерывным, если для любой неубывающей после- последовательности а\) ..., ап, ... элементов множества Mi образ ее точной верхней грани равен точной верхней грани после- последовательности образов /(ai), ..., /(an), ..., т.е. справедливо равенство /(supan) =sup/(an). Определение 1.6. Отображение /: Mi -> M*i упорядочен- упорядоченных множеств (Mi, ^) и (М2, ^0 называют монотонным, если для любых a, b ? Mi из о ^ Ь следует /(а) ^ /F). Теорема 1.6. Всякое непрерывное отображение одного индуктивного упорядоченного множества в другое монотонно. Ч Пусть / — непрерывное отображение индуктивного упоря- упорядоченного множества (Mi, <) в индуктивное упорядоченное множество (Мг, =4). Пусть а,Ъ е М\ и а < Ь. Образуем последо- последовательность {xn}neNj где х\ = а, а хп = 6, п > 2. Эта последова- последовательность неубывающая. Для нее supa:n = sup {a, 6} = b. В силу
84 1. МНОЖЕСТВА И ОТНОШЕНИЯ непрерывности отображения / f(b) = /(sup*n) = /(sup{a, b}) = sup{/(a), /F)}, откуда следует, что f(a) *4f(b). > Заметим, что функция /: R —> R, непрерывная в смысле определений математического анализа, не обязана быть моно- монотонным отображением упорядоченных множеств R с естествен- естественным числовым порядком, т.е. приведенное выше определение 1.5 непрерывности не вполне аналогично определению непрерывно- непрерывности в анализе [I]. Например, рассмотрим непрерывное в смысле определений математического анализа отображение у = —х чи- числовой прямой с естественным числовым порядком на себя. Это отображение не является монотонным в смысле данного выше определения 1.6, поскольку, например, 0^1, однако неравен- неравенство /@)=0^/A) = —1 не выполняется. В общем случае монотонное в смысле определения 1.6 ото- отображение не является непрерывным в смысле определения 1.5. Приведем пример, показывающий, что утверждение, обратное теореме 1.6, неверно. Пример 1.19. Рассмотрим множество всех точек отрезка [0,1] числовой прямой с порядком, индуцированным естествен- естественным числовым порядком. Это множество индуктивно: его наименьший элемент — 0, а любая неубывающая последователь- последовательность элементов ограничена сверху и по признаку Вейерштрас- са [I] имеет предел, который и будет ее точной верхней гранью. Любая кусочно непрерывная (но не непрерывная!) и монотон- монотонная в смысле обычных определений из курса математического анализа функция [I], отображающая этот отрезок на любой отрезок с порядком, индуцированным естественным числовым порядком, дает пример монотонного в смысле определения 1.6, но не непрерывного в смысле определения 1.5 отображения между индуктивными частично упорядоченными множества-
1.8. Упорядоченные множества 85 ми. Например, пусть функция / имеет вид 0,5х, 0 ^ х < 0,5; Г Это отображение монотонно. Для последовательности {хп} = = I n >, n Е N, точная верхняя грань равна 0,5. Точная верх- верхняя грань последовательности {f(xn)} равна 0,25, a f(s\xpxn) = ~ /@,5) = 0,75. Следовательно, отображение не является непре- непрерывным в смысле определения 1.5. # Не следует путать отображение, монотонное в смысле опре- определения 1.6, с монотонными функциями из курса математиче- математического анализа. Функция /: R -> Ш будет монотонной в смысле определения 1.6 тогда и только тогда, когда она является не- неубывающей [I]. Для приложений особенно важны непрерывные отображе- отображения индуктивного упорядоченного множества в себя. Определение 1.7. Элемент а множества А называют неподвижной точкой отображения /: А -> А, если /(а) = а. Элемент а упорядоченного множества М называют паи- меньшей неподвижной точкой отображения f: М -> М, если он является наименьшим элементом множества всех непо- неподвижных точек отображения /. Теорема 1.7 (теорема о неподвижной точке). Лю- Любое непрерывное отображение / индуктивного упорядоченно- упорядоченного множества (М, ^) в себя имеет наименьшую неподвижную точку. <4 Обозначим через О наименьший элемент множества М. Полагаем f°{x) = x и fn(x) = f{fn~l(x)) для любого п > 0, т.е. fn(x) означает результат n-кратного применения / к х. Рассмотрим последовательность элементов М {/"(О) Wo = {О, /(О),..., Г (О),...}. A.7)
86 J. МНОЖЕСТВА И ОТНОШЕНИЯ Докажем, что последовательность A.7) неубывающая. Ис- Используем метод математической индукции. Для элемента О, как наименьшего элемента множества М, имеем О = /°(О) < ^ /(О). Пусть для некоторого натурального п верно соотноше- соотношение /П"(О) ^ /П(О). Согласно теореме 1.6, отображение / мо- монотонно, и поэтому /П(О) = /(/""^О)) < /(/П(О)) = /П+1(О), т.е. соотношение верно и для номера п+ 1. Согласно методу математической индукции, /П(О) ^ /П+1(О) для любого n € No, т.е. последовательность A.7) неубывающая. Следовательно, по определению индуктивного упорядоченного множества, она имеет точную верхнюю грань. Обозначим ее через а: a = sup/n(O). A.8) Докажем теперь, что если у неубывающей последовательно- последовательности отбросить любое конечное число начальных членов, то ее точная верхняя грань не изменится. Действительно, если а есть точная верхняя грань неубываю- неубывающей последовательности {лп}п^сь то а ^ хп для всякого п ^ 0. В частности, фиксируя произвольно к > 0, для любого п ^ к име- имеем а ^ хп, т.е. а будет верхней гранью подпоследовательности Докажем, что а является точной верхней гранью этой под- подпоследовательности. Пусть Ь — какая-то ее верхняя грань, т.е. Ь^хп для любого п ^ к. Так как последовательность {хп}п^о неубывающая, то хр < з& для каждого р = 0, к—1. Поскольку Xk < Ь, то в силу транзитивности отношения порядка хр ^ Ъ и тем самым Ь ^ хп для любого п ^ 0, т.е. Ь есть верхняя грань всей последовательности {#п}п>о- Поскольку о = supa;n, то а < Ь и а = sup хп. Следовательно, а — точная верхняя грань под- последовательности ^ В силу непрерывности / получаем /(а) = /(8ирГ(О)) =sup/(/"(O)) =suPr+1(O).
1.8. Упорядоченные множества 87 Но sup/n+1(O) =sup{/1(O),/2(O),...} = sup/n(O) =o. Таким образом, доказано, что а является неподвижной точкой отображения /. Покажем теперь, что найденная неподвижная точка явля- является наименьшей. Пусть для некоторого у ? M /(у) = у. Так как О ^ у, а отображение /, будучи непрерывным, монотонно, то /(О) ^ f(y) = у, /(/(О)) ^ /(/(у)) = у и т.д. Следователь- Следовательно, для любого п ^ О /П(О) < у, т.е. элемент у есть верхняя грань последовательности {/п@)}п^о- Поскольку элемент a (как точная верхняя грань) есть наименьший элемент на мно- множестве всех верхних граней этой последовательности, то у ^ а. Таким образом, мы доказали, что произвольная неподвижная точка отображения / не меньше элемента а, т.е. а — наимень- наименьшая неподвижная точка отображения /. > Поиск неподвижной точки отображения f:M-±M можно рассматривать как задачу решения уравнения x = f(x). A.9) Теорему о неподвижной точке можно трактовать таким образом: для непрерывного отображения / индуктивного упо- упорядоченного множества в себя уравнение х = f(x) имеет реше- решение, т.е. существует такой xq Е М, что выполняется равенство xq = /(жо), причем множество всех решений этого уравнения имеет наименьший элемент. Этот элемент и будет наименьшей неподвижной точкой отображения /. Отметим, что доказательство теоремы о неподвижной точ- точке конструктивное: оно дает метод получения неподвижной точки. Для ее нахождения надо построить последовательность вида A.7) и найти ее точную верхнюю грань. Пример 1.20. Приведем простой пример вычисления наи- наименьшей неподвижной точки. В качестве индуктивного упоря- упорядоченного множества М возьмем отрезок [0,1] с естественным
88 1. МНОЖЕСТВА И ОТНОШЕНИЯ ___ числовым порядком ^. Согласно примеру 1.19, это индуктив- индуктивное упорядоченное множество. Рассмотрим на этом множестве уравнение х = -х + j. Мож- Можно показать, что для индуктивного упорядоченного множества М любая монотонная функция /: [0,1] -> [0,1], непрерывная в смысле определения из курса математического анализа, непре- непрерывна и в смысле данного выше определения. Действительно, для любой неубывающей последовательности {хп} на множе- множестве [0,1] справедливо равенство sup{#n} = lim xn [I]. В си- п—юо лу непрерывности функции / в смысле определения из курса математического анализа имеем /(lim xn) = lim f(xn). Так хп-юо ' n-юо как функция / монотонна, то {/(яп)}п^о — неубывающая по- последовательность и lim f(xn) = sup/(a;n). В итоге получаем п—юо f(supxn) = /(lim xn) = lim f(xn) = sup/(xn). Следовательно, n—>oo n—>oo правая часть данного уравнения непрерывна. Заметим, что если бы в правой части стояла линейная функ- функция с отрицательным коэффициентом при х, то условие непре- непрерывности функции в смысле приведенного выше определения было бы уже нарушено, поскольку такая функция не является монотонной в смысле определения 1.6. Наименьшим элементом рассматриваемого множества явля- является число 0. Вычисляем: /»=о, /х@) = 1/4, /3@) = A/2) -C/8) + 1/4 = 7/16, получая последовательность приближений к наименьшей непо- неподвижной точке. Можно проверить (например, с помощью метода матема- 2П — 1 тической индукции), что /п@) = , п G N. Предел этой
1.9. Мощность множества 89 последовательности равен 1/2. Таким образом, наименьшая не- неподвижная точка отображения /, определяемого правой частью уравнения, равна 1/2. Это единственная в данном случае непо- неподвижная точка отображения /, что, конечно, очевидно и без теоремы 1.7 о неподвижной точке. Но здесь мы нарочно рас- рассмотрели простой пример, показав, как можно решать подоб- подобные уравнения, основываясь на доказательстве теоремы. Мы не будем пока приводить более сложные примеры, так как ин- интересные приложения теоремы о неподвижной точке имеются в теории графов и теории автоматов, и вернемся к этой теореме при решении задачи о путях в ориентированных графах. 1.9. Мощность множества Некоторые сведения о мощности множества приведены в [I]. Здесь мы рассмотрим это понятие более подробно. Множество А равномощно множеству J5, если существует биекцил f:A->B. Из того, что существует биекция /: А —? J5, следует, что соответствие f~l есть биекция В на А (см. 1,4). Поэтому если А равномощно В, то и В равномощно Л, и мы можем говорить, что множества Аи В равномощны. Факт равномощности множеств А и В будем записывать так: А~В. Из определения равномощности и свойств биекции также следует, что для любого множества А имеет место А ~ А (тождественное отображение есть биекция множества А на себя); а для любых множеств А, В, СизА~ВиВ~С следует А~С {композиция биекций есть биекция). Таким образом, отношение равномощности множеств есть отношение эквивалентности*, заданное на „множестве всех "Зачастую в литературе по теории множеств равномощные множества и называют „эквивалентными множествами". Однако следует различать общее понятие отношения эквивалентности и его частный случаи — экви- эквивалентность, или равномощность, множеств.
90 1. МНОЖЕСТВА И ОТНОШЕНИЯ множеств" (на самом деле на множестве всех подмножеств некоторого универсального множества). Если мы обозначим через \А\ класс эквивалентности мно- множества А по отношению ~, то утверждение о равномощности множеств Аи В можно записать так: \А\ = \В\. Этот класс эквивалентности \А\ называют мощностью множества А. Конечные множества А = {а\1..., ап} и В = {&i,..., bm} рав- номощны тогда и только тогда, когда множества Аи В состоят из одного и того же числа элементов, т.е. п = т. Отсюда, в частности, следует, что конечное множество не является рав- номощным никакому своему собственному подмножеству. Это свойство конечных множеств можно сформулировать так. Теорема 1.8. Бели А — конечное множество и /: А -> -* А — инъекция, то она является сюръекцией и, следовательно, биекцией. # В силу приведенных выше соображений мощностью конеч- конечного множества А = {ai, ...,an} можно считать натуральное число п, так как, задавая такое число, мы задаем и класс всех (попарно равномощных) множеств вида {ai,..., an}. Обратно, каждый такой класс однозначно определяет натуральное число п как число элементов в каждом множестве данного класса. Естественно считается, что мощность пустого множества рав- равна нулю. Перейдем теперь к исследованию мощности бесконечных множеств. Таковы хорошо известные нам числовые множества N, Z, Q, R и С. Любое множество, равномощное множеству всех натураль- натуральных чисел, называют счетным. Мощность счетного множества обозначают No (читается „алеф нуль"). Любую биекцию v\ N -> М называют нумерацией счетно- счетного множества М; если элемент М есть v(n) для некоторого п G N, то этот элемент М обозначаем через an, называя на-
1.9. Мощность множества туральное число п номером элемента ап относительно данной нумерации v. Таким образом, элементы счетного множества можно пе- перенумеровать, записав их в виде последовательности а\, ..., ап, ... или {an}neN« Другими словами, счетное множество есть область значений некоторой функции натурального аргумента. Пример 1.21. а. Множество всех нечетных натуральных чисел счетно. Нумерацию v можно задать так: и{п) = 2п — 1, б. Множество всех натуральных чисел, делящихся на за- заданное число к ^ 2, счетно. Нумерацию v можно задать так: и(п) = fcn, n E N. В частности, при к = 2 получаем, что мно- множество всех четных чисел счетно. Этот и предыдущий приме- примеры показывают, что бесконечное (счетное) множество может иметь собственное равномощное ему подмножество. в. Множество Z всех целых чисел счетно. Нумерацию можно установить так: 2-1, n = 2fc (четно); -, п = 2fc - 1 (не четно). # Рассмотрим свойства счетных множеств. Теорема 1.9. Любое бесконечное множество содержит счетное подмножество. < Пусть Мо — бесконечное множество. Значит, оно не пусто и существует элемент а\ Е Мо. Положим М\ = Мо \ {ai}. Множество М\ не пусто, так как в противном случае имело бы место равенство Мо = {ai}, что противоречит предположению о бесконечности Мо. Выберем элемент а^ Е М\ и положим Мг = М\ \ {аг} = Мо \ {ai, аг}. Множество Мг также не пусто, поскольку иначе мы бы имели Мо = {аьаг} и множество было бы конечным.
92 1. МНОЖЕСТВА И ОТНОШЕНИЯ Методом математической индукции можно показать, что для любого п ^ 1 множество Мп = Mo \ {ai,..., an}, где а\ Е бМо, ..., on € Mn-i, не пусто. Тогда существует элемент an+i еМп и an+i <? Mn+i = Мп \ {ап+г}. Таким образом, все элементы оп, п 6 N, попарно различны и множество {ап: п ? N} счетно, а его нумерация может быть задана так: v(n) = on. > Теорема 1.10. В любом бесконечном множестве можно выделить два не пересекающихся между собой счетных под- подмножества. <4 Разобьем множество натуральных чисел на два подмноже- подмножества: Ni = {п: п = 2к — 1, к G N} (множество нечетных чисел), и N2 = {ты п = 2fc, к 6 N} (множество четных чисел). Оба эти множества счетны (см. пример 1.21). Согласно теореме 1.9, бесконечное множество содержит некоторое счетное подмножество А. Пусть установлена не- некоторая его нумерация. Разобьем это подмножество на два подмножества: всех элементов с четными и всех элементов с нечетными номерами. По построению эти подмножества не пе- пересекаются и являются счетными, поскольку счетны множества четных и нечетных чисел. > Теорема 1.11. Любое подмножество счетного множества конечно или счетно. А Пустое подмножество конечно по определению. Пусть М — счетное множество, а В — его некоторое непустое подмноже- подмножество. Поскольку множество М счетно, можно считать, что задана некоторая его нумерация. Следовательно, каждый эле- элемент подмножества В имеет свой номер. Запишем номера элементов множества В в порядке возрастания: ti, ..., in, ... Бели среди них есть наибольший номер гр, то подмножество В конечно. В противном случае получим счетное подмноже- подмножество {aix, a,i2,..., ain,...}, нумерация которого установлена так: v(n) = ain. >
1.9. Мощность множества 93 Бели множество конечно или счетно, его называют не бо- более чем счетным. Семейство (А;)^/ множеств называют не более чем счетным, если множество (индексов) / не более чем счетно. Теорема 1.12. Объединение любого не более чем счетного семейства счетных множеств счетно. <4 Пусть (Ai)i?i — конечное или счетное семейство счетных множеств. Рассмотрим сначала случай, когда множества А{ попарно не пересекаются. В этом случае нумерация объединения конечного семейства счетных множеств может быть проведена по схеме, изображен- изображенной на рис. 1.14, а нумерация объединения счетного семейства счетных множеств — по схеме, приведенной на рис. 1.15. а11 а12-***" а1п-^-'- а11"^а12 а13-^а14 — п1п'~ VI I Оляь* О.льлш ?L. ДЛ. • • • Д— • • • "I I ^4sl 22 ^лЗ 24 2ti ^*21 22 * * * 2ti * * * X J* ^f J* Iff а31 а32 а33 аз4*"а2п*" ; ! ; у \ \ t ап1 ап2 ап3 ап4 опп... ап1 * ап2 ''" * апп " * • • • • • Рис. 1.14 Рис. 1.15 Пусть теперь (-An)n€N — произвольное счетное семейство счетных множеств, т.е. множества А% могут пересекаться. В этом случае, применяя указанные на рис. 1.14 и 1.15 схемы нумерации к конечному или счетному объединению счетных множеств, следует пропускать каждый раз элементы, которые уже получили номера. > Полезно отметить также и следующий факт. Теорема 1.13. Объединение конечного и счетного мно- множеств счетно. #
94 1. МНОЖЕСТВА И ОТНОШЕНИЯ Теорема 1.14. Пусть М — бесконечное множество, а N — его не более чем счетное подмножество. Бели множество M\N бесконечно, то оно равномощно множеству М. < По теореме 1.10 в множестве M\N, поскольку оно беско- бесконечно, можно выбрать счетное подмножество N'. Ясно, что Nf)Nf = 0. Множество NUN* является счетным как объедине- объединение двух счетных множеств или объединение счетного и конеч- конечного множеств. Поэтому существует биекция /: NUNf -> N'. Поскольку (M\(NUN'))U(NUN')=M, M\ (NUNf) UN' = = M\N, то требуемую биекцию М на М\N строим так: на подмножестве М \ (N U iV7), общем для М \ N и М, эта биекция совпадает с тождественным отображением; на подмножестве NUNf эта биекция есть биекция /. > Следствие 1.1. Бели М — бесконечное множество, а N — не более чем счетное множество, то М ~ М U N. Существуют бесконечные множества, не являющиеся счет- счетными. Это вытекает из следующих рассуждений. Рассмотрим множество всех последовательностей нулей и единиц, т.е. последовательностей вида {c*i,a2, ...,an,...}, где cti G {0,1} для каждого г ^ 1. Обозначим множество таких „двоичных" последовательно- последовательностей через {0,1}^. Теорема 1.15 (теорема Кантора). Множество {0,1}ш не есть счетное множество. <4 Пусть множество {0,1}^ счетное. Тогда существует биекция ср: N-> {0,1}ш. Выпишем все последовательности <р(п): <рA) = {an, ai2,..., ain,.• •}, = {a2i, (р{п) = {anb an2
1.9, Мощность множества 95 Построим последовательность /3 = {/?i,..., /?п,...}: положим /% = 1, если ац = 0, и ft = 0, если ац = 1. Ясно, что эта после- последовательность не совпадает ни с одной из последовательностей у?(п), а это противоречит допущению, что любая последователь- последовательность из {0,1}W есть <р(к) для некоторого к. Итак, N не равномощно {О, I}***. В то же время {0,1}и содержит подмножество последова- последовательностей, в каждой из которых только один член отличен от нуля. Это подмножество равномощно множеству всех одно- одноэлементных подмножеств N и, следовательно, самому N. Сле- Следовательно, множество {0,1}и бесконечно, но не равномощно счетному множеству и потому не является счетным. > Теорема 1.16. Множество 2N всех подмножеств множества натуральных чисел и множество {0,1}ш равномощны. <4 Определим отображение (р множества 2N на множество {0,1}и следующим образом: если X С N, то <р(Х){ = 1 при г Е X и (p(X)i = 0 при г ? X. Тем самым подмножеству X ставится в соответствие по- последовательность (р(Х), г-й член которой равен единице тогда и только тогда, когда число г есть элемент множества X. До- Докажем, что ip — биекция 2N на {0,1}ш. Покажем, что отображение (р — инъекция. Пусть X и Y — различные подмножества N. Тогда найдется число i € X \ Y или число j EY\X. В первом случае в последовательности <р(Х) г-й член будет равен единице, а в последовательности <p{Y) — нулю. Таким образом, (р(Х) ф (p(Y). Во втором случае <p{Y)j = 1, (p(X)j = 0 и опять (р(Х) ф (p(Y). Следовательно, отображение (р — инъекция. Покажем, что <р — сюръекция. Возьмем произвольную последовательность а Е {0,1}W. Образуем множество Ха = = {г: а» = 1}. Ясно, что <р(Ха) = а. Таким образом, для лю- любой последовательности а 6 {0,1}^ существует подмножество Ха Е 2N, такое, что <р(Ха) = а. Следовательно, <р — сюръек- сюръекция.
96 I, МНОЖЕСТВА И ОТНОШЕНИЯ Таким образом, мы показали, что <р — биекция, а множества 2N и {0,1}Ш равномощны. > Мощность множества 2N обозначают с и называют мощ- мощностью континуума, а любое множество, эквивалентное множеству 2N, называют множеством мощности конти- континуума ниш континуальным множеством. Теорема 1.17. Множество действительных чисел отрезка [0,1] равномощно множеству всех последовательностей нулей и единиц {0,1}". <4 Каждое действительное число из отрезка [0,1] представим в виде бесконечной дроби в двоичной системе счисления. Число 1 представим в виде периодической дроби, содержащей беско- бесконечное число единиц — 0,1A). Конечные рациональные дроби представим как бесконечные, дополнив справа бесконечным чи- числом нулей. Таким образом, каждое число из [0,1] представлено в виде последовательности нулей и единиц. Кроме этого, вы- выбросим счетное множество всех периодических дробей вида O,aoai...a&O(l), поскольку каждая такая дробь представляет то же самое число, что и дробь O,aoai...a* 1@), где a* G {0,1} для всякого г = 1, к. Легко видеть, что полученное таким образом множество двоичных дробей равномощно множеству {о, 1Г. > Следствие 1.2. [0,1] ~ 2N. 4 Выше была доказана равномощность множеств @, 1)" и 2N. Тогда имеем [0,1] ~ {0,1}" - 2N. > Теорема 1.18. Следующие множества равномощны: 1) множество действительных чисел отрезка [0,1]; 2) множество действительных чисел интервала @,1); 3) множество действительных чисел отрезка [а, Ь]; 4) множество действительных чисел интервала (а, Ь); 5) множество действительных чисел (числовая ось) R;
1.9. Мощность множества 97 6) множество всех подмножеств множества натуральных чисел 2N. 4 Покажем равномощность множеств [0,1] и @,1). Из мно- множества действительных чисел отрезка [0,1] выделим двухэле- двухэлементное подмножество {0,1}. Разностью этих множеств будет множество действительных чисел интервала @,1), и, согласно теореме 1.14, [0,1] ~ @,1). Отображение у = F — о)х + а задает биекцию множества [0,1] на множество [а, Ь]. Следовательно, эти множества рав- номощны. Заметим, что аналогично доказывается равномощ- равномощность @,1) и (а, Ь). Покажем, что @,1) ~ R. Биекцию можно установить, на- например, с помощью функции у = -arctgx + -. Поскольку равномощность [0,1] и 2 ранее доказана, имеем [0,1] ~ @,1) ~ [а, 6] - (а, Ь) ~ R - 2N. > Замечание 1.7. Заметим, что если в условиях теоремы 1.14 множество М несчетно, а N — его счетное подмножество, то множество M\N бесконечно, ибо иначе получилось бы, что множество М = (М \ N) U N счетно как объединение конечного и счетного множеств. Таким образом, можно утверждать, что для любого несчет- несчетного множества М и его не более чем счетного подмножества N имеет место равенство \М \ N\ = \М\. # До сих пор речь шла о равенстве мощностей. Однако мощности разных множеств можно в определенном смысле сравнивать, говоря о большей или меньшей мощности. Считают, что мощность множества А не превышает мощ- мощность множества В (\А\ ^ |В|), если А равномощно некоторому подмножеству множества В. Можно показать, что из соотно- соотношений |Л| ^ |В| и |В| < |А| следует, что |Л| = |J5|. Мощность множества А считается строго меньшей мощно- мощности множества В (\А\ < \В\), если множества А и В неравно-
98 1. МНОЖЕСТВА И ОТНОШЕНИЯ мощны и существует собственное подмножество С множества В, равномощное множеству А, т.е. (А </ В) и (ЗС СВ)(А~С). Можно доказать, что из \А\ ^ \В\ и \В\ < \С\ следует \А\ < < \С\. Таким образом, на множестве всех мощностей (т.е. на множестве всех классов эквивалентности по отношению ~) установлено отношение порядка. Из определения сразу следует, что мощность любого ко- конечного множества строго меньше мощности Но, а из дока- доказательства теоремы 1.15 вытекает, что No < с. Кроме того, согласно теореме 1.9, мощность счетного множества No являет- является наименьшей на множестве всех бесконечных мощностей (т.е. мощностей бесконечных множеств). Можно сказать, что вся- всякое бесконечное множество не менее чем счетно. Без доказательства приведем две важные теоремы. Теорема 1.19 (теорема Кантора — Бернштейна}. Для любых двух множеств А и В имеет место в точности одно из следующих трех условий: либо \А\ < |J5|, либо \В\ < |А|, либо 1*1 = 14- # Таким образом, любые два множества сравнимы по мощно- мощности. Другими словами, „шкала мощностей" линейно упорядо- упорядочена. Теорема 1.20. Для любого множества А верно неравенство |Л|. # В силу теоремы 1.20 нет наибольшей мощности, так как для любого множества А существует множество большей мощно- мощности — его булеан. Заметим, что для счетного множества А теорема 1.20 сводится к теореме Кантора 1.15. Теорема 1.21 (теорема о квадрате). Для любого бес- бесконечного множества М его декартов квадрат М х М равно- мощен самому множеству М. Ч Доказательство проведем для частных случаев счетного и континуального множеств.
1.9. Мощность множества 99 Сначала обратимся к счетному множеству. Для доказатель- доказательства утверждения достаточно показать, что N х N ~ N, т.е. задать на N х N некоторую нумерацию. Рассмотрим множество Ai = {(г, j): j G N} упорядоченных пар. Это множество счетно по построению. Легко видеть, что справедливо равенство откуда, согласно теореме 1.12, вытекает счетность декартова квадрата N х N множества N как счетного объединения счет- счетных множеств. Перейдем к континуальному множеству. Докажем, что мно- множество всех упорядоченных пар двоичных последовательностей эквивалентно множеству всех таких последовательностей, т.е. 2Nx2N~2N. Паре последовательностей (а, /3) поставим в соответствие последовательность ао, #о, ai, /?i, ..., ап, /?п, ... Это соот- соответствие будет взаимно однозначным, т.е. установлена биекция между 2N х 2N и 2N. > Получается, что — как это ни удивительно — в квадрате „столько же" точек, сколько и в каждой его стороне. Можно обобщить это утверждение для произвольной конечной декар- декартовой степени множества М. Следствие 1.3. Множество рациональных чисел Q счетно. < Каждому рациональному числу, представленному несократи- несократимой дробью ?, однозначно соответствует упорядоченная пара (а, Ь), и, напротив, любая упорядоченная пара (а, Ь) взаимно простых целых чисел а и 6 однозначно определяет несократи- несократимую дробь 7 и> значит, рациональное число. Следовательно, множество Q эквивалентно некоторому бесконечному подмно- подмножеству множества Z x Z. Поскольку множество Z x Z счетно, из теоремы 1.11 вытекает, что любое его бесконечное подмно- подмножество счетно. Таким образом, множество Q счетно. >
100 1. МНОЖЕСТВА И ОТНОШЕНИЯ В заключение приведем сводку результатов по мощностям некоторых конечных множеств. Теорема 1.22. Бели М и N — конечные множества и \М\ = m, a |iV| = п, то: 1) мощность множества всех отображений М в N равна nm; 2) мощность множества всех биекций из N на себя равна 3) мощность множества всех инъекций из М в N (т ^ п) 0 10^ 4) мощность множества всех подмножеств множества N равна 2П; 5) мощность множества всех /с-элементных подмножеств множества N равна С* = . ^,ч,; 6) мощность прямого произведения М х N равна тп. # Напомним [I], что в комбинаторике число Рп называют чи- числом перестановок п элементов, число AJJ1 — числом размеще- размещений без повторений из п элементов по т, число С* (обозначае- (обозначаемое также (?)) — числом сочетаний из п элементов по к. Эти числа называются также биномиальными коэффициентами, по п скольку (а + Ь)п = УС*ап b (формула бинома Ньютона). к=о Дополнение 1.1. Об одном парадоксе теории множеств Задавая с помощью коллективизирующих свойств множе- множества, следует иметь в виду, что не каждое высказывание опре- определяет коллективизирующее свойство. Попробуем определить множество Y = {X: X ? X} — множество всех множеств, не являющихся элементами самих себя. Это множество не пу- пусто. Те пнормальные" множества, с которыми мы привыкли иметь дело, например числовые, как раз не являются элемента-
Д. 1.1. Об одном парадоксе теории множеств 101 ми самих себя: множество R всех действительных чисел не есть действительное число! Однако попытка определить множество всех множеств, которые не являются элементами самих себя, приводит к противоречию. В самом деле, пусть У не является элементом самого себя, т.е. У ? У. Тогда, поскольку Y есть множество всех множеств, не являющихся элементами самих себя, Y € У. В то же время, если Y Е У, оно должно обладать свойством, которое указано в определении У как коллективи- коллективизирующее, т.е. должно выполняться Y ?Y. Следовательно, мы доказали, что У ^ У «Ф» У € У! Это противоречие показывает, что высказывание о множествах X ? X не задает коллективи- коллективизирующее свойство. Указанный парадокс, называемый парадоксом Рассела, приводится иногда в такой псказочно-шутливой" редакции: „В некоторой деревне живет брадобрей, который по долгу службы должен брить тех и только тех, кто не бреет себя сам". Брадобрей оказывается в незавидном положении: если он не будет себя брить, то тотчас окажется, что он должен себя брить, а следуя неумолимой инструкции, он немедленно должен прекратить бриться, ибо он будет брить себя сам, что запрещено. Парадокс Рассела показывает, что интуитивное понимание множества и коллективизирующего свойства позволяет трак- трактовать идею множества настолько широко и расплывчато, что может привести к противоречиям. Замечание 1.8. Не следует путать высказывание, опре- определяющее пустое множество (например, пх есть четное число, не делящееся на два"), и высказывание, не задающее коллек- коллективизирующего свойства. Первое коллективизирует, определяя пустое множество, а второе приводит к противоречию, не опре- определяя никакого множества, в том числе и пустого. # Обсуждение возможных путей выхода из противоречий, по- подобных парадоксу Рассела, не является предметом данного
102 1. МНОЖЕСТВА И ОТНОШЕНИЯ учебника*. Мы же только заметим, что ввиду парадокса Рас- Рассела мы не можем мыслить конструкции, подобные множеству всех множеств, которые не являются элементами самих себя, в законченном виде, т.е. считать, что нам сразу, одновременно представлены в наличии все мыслимые множества указанного вида. Вместо этого следует представлять себе процесс (обра- (обратим внимание на это слово!) порождения новых множеств (назовем их допустимыми), исходя из определенного набора „исходных" допустимых множеств. К ним, в частности, можно отнести известные числовые множества, все конечные множе- множества. Важно понимать также, что указанный выше процесс никак не влияет на „объем" уже имеющихся допустимых мно- множеств: все они жестко зафиксированы и „состав" их элементов никак не меняется. Всякое уже имеющееся допустимое мно- множество всегда „равно самому себе". Но совокупность всех допустимых множеств меняется при порождении новых допу- допустимых множеств из уже имеющихся, и именно поэтому она не может считаться множеством, ибо состав ее элементов не зафиксирован. Считая, что исходные допустимые множества как-то зада- заданы, мы должны регламентировать операции, которые позво- позволяют из уже имеющихся допустимых множеств строить новые допустимые множества. Такими операциями являются рассмотренные в главе 1 опе- операции над множествами, в частности образование неупорядо- неупорядоченной и упорядоченной пары, булеана и фактор-множества. Дополнение 1.2. Метод характеристических функций Доказательство сложных теоретико-множественных тож- тождеств методом двух включений часто бывает довольно гро- громоздким, и при построении доказательства ход рассуждений *См.: Архангельский А.А.\ Шенфилд Дж.\ Куратовский К., Мостов- ский А.\ Кон П.
Д. 1.2. Метод характеристических функций 103 не всегда очевиден. Одним из методов, не требующих „уга- „угадывания" пути доказательства, является метод характери- характеристических функций. Характеристическая функция ха множества ACU есть функция, отображающая универсальное множество U в двухэлементное множество {0,1}: Из определения характеристической функции множества А вытекает справедливость тождества Выразим характеристическую функцию пересечения множеств А и В через характеристические функции ха(х) и Хв(х) этих множеств. Из определения пересечения следует, что искомая характеристическая функция должна принимать значение 1 для тех элементов ж, которые принадлежат множествам А и В одновременно, и значение 0 в противном случае. Легко видеть, что функция удовлетворяет этому требованию. Можно предположить, что характеристическая функция объединения множеств А и В будет равна сумме характеристи- характеристических функций множеств. Однако так ее определить нельзя, поскольку для элементов х ? А П В такая сумма будет иметь значение 2. Введем „поправку" и в результате получим иско- искомую формулу: ХАив(х) = Ха(х)+Хв(х)~Ха(х)хв{х). Непосредственно из определения А — дополнения множе- множества А — следует, что
104 i. МНОЖЕСТВА И ОТНОШЕНИЯ Для разности А\В характеристическая функция имеет вид Ха\в(х) = Ха{х) - Ха{х)хв(х), а для симметрической разности ААВ — Хаав(х) = ха(х) +хв(х) - Отметим, что последнюю формулу можно получить, опираясь на свойство 19 (см. с. 35) и тождество A.10), а также на характеристические функции для пересечения, объединения и разности: ХААв(х) = Х(АиВ)\(АПВ)(х) = = ХАив(х) - ХАив(х)хАпв(х) = = Ха(х) + хв(х) - Ха(х)хв(х)- - (ха(х) +Хв{х) -Ха{х)хв{х))ха{х)хв{х) = = Ха(х) + хв{х) - ха{х)хв(х)~ - (ха(х)хв{х) + Ха(х)хв(х) ~Ха{х)хв(х)) = = Ха(х) + хв(х) - 2ха(х)хв{х). С учетом равенства A.10) полученную формулу можно запи- записать в виде Хаав{х) = (ха(х) - Хв(х)J. Метод характеристических функций доказательства спра- справедливости теоретико-множественного тождества заключается в выражении характеристических функций обеих его частей через характеристические функции входящих в него множеств. Тождество верно тогда и только тогда, когда характеристиче- характеристические функции левой и правой частей совпадают. Пример 1.22. Используя метод характеристических функ- функций, выясним, справедливо ли тождество (ААВ) Г)С = (АП С)А(В П С).
Д. 1.2. Метод характеристических функции 105 С одной стороны, X(AAB)nc(x) = ХЛДВХс(я) = = (ха(х) + хв(х) - 2ха(х)хв(х))хс(х) = = Ха{х)хс(х) + Хв(х)хс(х) - С другой стороны, = ХАпс(х) + Хвпс(х) - 2хапс{х)хвпс{х) = = ХА(х)хс(х) + Хв (х)хс(х) - 2ха (х)хв(х)хс(х). Характеристические функции левой и правой частей тожде- тождества совпадают. Следовательно, тождество верно. Пример 1.23. Выясним, является ли тождеством следую- следующее выражение: А\(В\С) = (А\В)\С. С одной стороны, Ха\(в\с)(х) = Ха{х) - = Ха(х) - = Ха(х) - С другой стороны, Х(а\в)\с(х) = Ха\в(х) - Ха\в(х)хс(х) = = Ха(х) - ха(х)хв(х) - (ха(х) - Ха(х)хв(х))хс(х) = = Ха{х) - ха{х)хв(х) - ха(х)хс(х) + ха(х)хв{х)хс(х). Легко видеть, что получены разные характеристические функции. Например, при хеА, х$В л х€С Ха\(В\С)(х) = 1> а Х(а\в)\с(х) = 0- Таким образом, доказано, что А \ (В \ С) Ф Ф{А\В)\С. #
106 1. МНОЖЕСТВА И ОТНОШЕНИЯ Отметим, что метод характеристических функций не явля- является универсальным. Так, его нельзя использовать при до- доказательстве тождеств, содержащих декартово произведение множеств, в частности, тождеств для соответствий (бинарных отношений). Вопросы и задачи 00 1.1. Найти f) Хп, если: а) Хп = [-1, I]; б) Хп = [о, I]; 1.2. Используя методы двух включений и характеристиче- характеристических функций, доказать свойства 1-18 (см. с. 35). 1.3. Доказать тождества: а) А х (ВПС) = (А х В) П (А х С); б) (АПВ) х (СПЯ) = (А х С) П (В х D). Проиллюстрировать графически, приняв в качестве мно- множеств Ау J5, С и D отрезки числовой прямой. 1.4. Доказать, что если (АСХ) и (В С У), то (Ах В) С С(Хх У). 1.5. Показать, что DхВ)^1хВ. Вывести соответству- соответствующее тождество. 1*в. Используя ранее доказанные тождества, показать спра- справедливость тождества (А\В) х С = (Ах С)\(В х С). 1.7. Доказать, что для любой функции / и любых множеств А и В имеют место соотношения: a) f{AUB) = f(A)Uf(B); б) /(АПВ) С/(А) П/(Я); »)f(A)\f(B)Cf(A\B). При каких условиях включения б) и в) превращаются в равен- равенство?
Вопросы и задачи 107 1.8. Доказать, что для любой функции / и любых множеств А и В имеет место равенство: б) Г1(ЛиВ)=/-1(Л)и/-1(В); 1.9. Построить графики и графы следующих бинарных отношений, заданных на множестве X = {1,2,3,4,5,6}: а) х\ у #2, если х\ < x<i +1; в) х\ ра?2, если |rri — #2! ^ 3; б) х\ г Х2, если xi < Х2\ г) {(а, Ь): а + Ь — четное}. 1.10. Определить, какими свойствами (рефлексивность, ир- иррефлексивность, симметричность, антисимметричность, тран- транзитивность) обладают следующие бинарные отношения: а) (р = {(а, а), (а, 6), (с, а), (Ь, d), (а, d), (Ь, с)} на множестве М = {а, Ь, с, d}; б) рп, такое, что т pn fc, если т — к делится на п, где ш, fcGZ, anGZn фиксировано; в) у?, такое, что х </? у, если ж — у ^ 2, а; Е R, у € R. 1.11. Пусть р = {(ж, у): х <у иу + х < 1,5} — бинарное от- отношение на множестве X = [0,1]. Построить графики отноше- отношений р и р2. Исследовать свойства отношений рир2. 1.12. Найти D(p), R(p), /Г1, pop, p^op, pop-1 для бинарных отношений: а) р={(х, з/):ж,у€[0,1],ж + у<1}; б) р = {(х, у): х,у е [0,1], 2х ^ Зу}. 1.13. Доказать, что для любого бинарного отношения р С QAx А имеют место равенства: а) D^1) = Д(р); в) D(Pl ^ б) Л(/9-1) = 1)(р); г)
108 1. МНОЖЕСТВА И ОТНОШЕНИЯ 1.14. Доказать, что для любых бинарных отношений pi, P2, рзЕАх А имеют место равенства: а) pinpi=piUpi=pi; д) (piUp2)=Pr1|J/921; б) р\ о (р2 ор3) = (pi °Р2) °Рз; е) (р)~1 = (р); в) pi°idi4 = idAop1=p1; ж) (Р1°Р2)=Р^1°рГ1- г) (pll 1.15. Доказать, что для бинарных отношений т и р*, i Е /, справедливы равенства: a) ro(Urt)=(J(i"eA); б) Г 1.16. Доказать, что для бинарного отношения р на А имеет место равенство рор~~1=р~1ор = id^, если и только если р — биекция А на А. 1.17. Найти необходимые и достаточные условия односто- односторонней обратимости бинарного отношения р на множестве Л, т.е. условия того, что p°p~l = icU (или р" op = icU). 1.18. Построить бинарное отношение, которое является: а) рефлексивным, симметричным, но нетранзитивным; б) рефлексивным, антисимметричным, но нетранзитивным; в) рефлексивным, транзитивным, но несимметричным; г) антисимметричным, транзитивным, но нерефлексивным. 1.19. Доказать, что для любых рефлексивных отношений р и а на произвольном множестве A pUaCpoa. 1.20. Пусть А и В — конечные множества, содержащие т и п элементов. Сколько существует различных соответствий из А в В? Сколько можно задать функций из А в J5, а среди последних — инъекций? При каких тип существуют биекции и сколько их? 1.21. Пусть в R3 задана плоскость ах + by + cz = 0. Точ- Точки с радиус-векторами г\ и Г2 связаны отношением т, если
Вопросы и задачи 109 — Г2),п) = 0, где п — нормаль к плоскости, а (•, •) — ска- скалярное произведение векторов. Показать, что т — отношение эквивалентности. На какие классы эквивалентности разбивает- разбивается Е3? Указать фактор-множество множества R3 по данному отношению эквивалентности. 1.22. Пусть А — конечное множество. Какое отношение эквивалентности на нем дает наибольшее число классов эквива- эквивалентности? Сколько классов эквивалентности при этом будет? Сколькими способами можно задать отношение эквивалентно- эквивалентности, разбивающее А на два класса? 1.23. Доказать, что число различных отношений эквива- эквивалентности на n-элементном множестве удовлетворяет формуле г=0 где pi — число различных отношений эквивалентности на г-эле- ментном множестве. 1.24. Доказать, что композиция piop2 двух эквивалентно стей рх и рг является эквивалентностью тогда и только тогда, когда pi<>p2=p2°pi. 1.25. Описать наименьшее по включению отношение экви- эквивалентности, содержащее данные эквивалентности р и а на А. Каким будет это отношение, если р о a = а о р? 1.26. Пусть бинарное отношение v определено на множе- множестве положительных рациональных чисел следующим образом: (a/b) v (c/rf), если ad ^ be. Показать, что v является отношением линейного порядка. 1.27. Пусть А — произвольное множество и р, a — бинар- бинарные отношения на множестве 2А х 2А: (Р, Q) a (X, У), если Р Я X и Q С У, а (Р, Q) р (X, У), если (PAQ) С (XAY). Явля- Являются ли р и а отношениями порядка?
110 1. МНОЖЕСТВА И ОТНОШЕНИЯ 1.28. Пусть М — множество квадратных матриц типа 2x2, элементами которых являются целые числа. Выяснить, является ли бинарное отношение г, заданное на множестве М, отношением порядка или отношением линейного порядка: а) А т 2?, если а^ < Ъц, i, j = 1, 2, А, В € М; б) А г В, если aij < b«j, г, j = 1,2 и хотя бы для одной пары элементов неравенство строгое, А В € М. 1.29. Пусть F — множество функций, непрерывных на отрезке [а, 6]. Проверить, является ли заданное отношение отношением указанного вида: ь ь а) /(х)тд(х)у если / f(x)dx= I g{x)dx\ отношение эквива- а а лентности; б б б) f(x) т д(х)у если / f(x)dx < / g(x)dx; отношение поряд- а а ка и отношение предпорядка. 1.30. Пусть р\ и р2 — линейные порядки на множестве А. Когда рг°р2 — линейный порядок? Указание: докажите, что если р\фрг, то р\°рг не является линейным порядком. 1.31. Всегда ли транзитивна композиция транзитивных бинарных отношений? Указание: постройте пример конечного упорядоченного множества, в котором композиция исходного и двойственного порядка не является транзитивным отношением. 1.32. Пусть Аи В — конечные множества. Используя метод математической индукции, доказать, что \А х В\ = |А||В|. Пусть Ai, ..., Ап — конечные множества. Доказать, что 1.33. Какую мощность имеет множество простых чисел?
Вопросы и задачи 111 1.34. Пусть А — множество всех многочленов степени не выше п, имеющих коэффициенты заданного вида. Определить мощность этого множества, если: а) все коэффициенты много- многочленов рациональные; б) свободный член действительный, а все остальные коэффициенты рациональные. 1.35. Доказать счетность следующих множеств: а) множества всех многочленов с рациональными коэффи- коэффициентами; б) множества всех попарно непересекающихся открытых шаров в Rn; в) множество всех цифр 8, расположенных на плоскости так, что ни одна пара цифр не имеет общих точек, кроме, может быть, точек касания. 1.36. Определить мощность множество всех точек плоско- плоскости, у которых: а) обе координаты рациональные; б) первая координата рациональная, а вторая — иррацио- иррациональная. 1.37. Доказать, что следующие множества имеют мощность континуума: а) множество N" всех бесконечных последовательностей на- натуральных чисел; б) множество №° всех последовательностей натуральных чисел; в) множество А°° всех (конечных или бесконечных) после- последовательностей элементов из конечного множества А. 1.38. Доказать, не используя теорему 1.20, что множество 2[°jll имеет мощность большую, чем мощность континуума. Указание: установите биекцию множества 2(°'Ч на мно- множество всех функций из [0,1] в @, 1) (характеристических функций подмножеств отрезка [0,1]), а затем обобщите „диа- „диагональную" конструкцию из доказательства теоремы 1.15.
2. АЛГЕБРЫ: ГРУППЫ И КОЛЬЦА Предметом рассмотрения в абстрактной алгебре являют- являются произвольные множества с заданными на них операциями. При этом природа множеств и операций может существенно отличаться от привычных числовых множеств и известных опе- операций над числами. Мы уже сталкивались с операциями над множествами и бинарными отношениями (см. 1), которые ока- оказались в чем-то похожими на операции над числами, но в то же время проявились и их существенные отличия. В дискретной математике разрабатываются алгоритмы и вычислительные методы, позволяющие манипулировать сложно организованными нечисловыми структурами. Проблема рабо- работы с такими объектами возникла в связи с развитием современ- современных информационных технологий и переходом от собственно вычислений (т.е. операций над числами) к обработке слож- сложных структур данных. Так, проблемы программирования и машинного перевода привели к задачам работы с языковыми структурами, проблемы автоматизации проектирования — к задачам обработки графических объектов. Современная дискретная математика проникнута алгебра- алгебраическим духом, поскольку оказалось, что именно на алгебраи- алгебраической базе наиболее удобно разрабатывать общие подходы к работе с объектами различной природы. 2.1. Операции. Понятие алгебраической структуры Множество векторов в пространстве с операцией сложения векторов, операцией векторного умножения, множество ква- квадратных матриц с операциями сложения или умножения, мно- множество функций с операцией сложения — вот примеры некото-
2.1. Операции. Понятие алгебраической структуры 113 рых множеств с операциями, рассматривающихся в различных разделах математики. Выясним, что общего есть в свойствах операций на этих множествах и в чем их различие. Определение 2.1. Пусть А — произвольное непустое множество и п — натуральное число. Любое отображение называют n-арной (или n-местной) операцией на множе- множестве А. Таким образом, согласно приведенному определению, п-ар- ная операция и каждому кортежу (ai, ..., ап)€Ап однозначно сопоставляет элемент 6 Е А. Компоненты кортежа называют при этом аргументами операции о;, а Ь — результатом применения операции ш к аргументам ai, ..., an. Для га-арной операции используют обозначение 6 = a;(ai, ..., ап) или Ь = а\... апь). Обычно, если га = 2, пишут а\и)а2> При п = 1 и п = 2 говорят соответственно об унарной операции и бинарной операции. Специально вводят понятие нулъарной операции (т.е. для п = 0). Под нульарной операцией на множестве А понимают произвольный фиксированный элемент множества А. Нульар- ные операции позволяют фиксировать элементы множества А, обладающие некоторыми специальными свойствами. Примером выполнения нульарной операции является, например, фикси- фиксирование нуля в множестве целых чисел с операцией сложе- сложения. Примером унарной операции служит дополнение задан- заданного множества до универсального множества. Наиболее важными в алгебре и, следовательно, наиболее исследованными являются бинарные операции. Примерами
114 2. АЛГЕБРЫ: ГРУППЫ И КОЛЬЦА таких операций могут служить сложение и умножение чисел, сложение и умножение матриц, сложение векторов линейного пространства. Рассмотрим бинарную операцию на множестве А, обозначив ее звездочкой (*). Эту операцию называют: 1) ассоциативной, если (х * у) * z = х * (у * z) для любых х, у, zeA\ 2) коммутативной, если х * у = у * х для любых ж, у € А\ 3) идемпотентной, если х*х = х для любого xGA Ассоциативность операции ¦ позволяет для любых элемен- элементов oi, a2, ..., ап? А однозначно трактовать результат выра- выражения а\ * п2 *... * ап, так как *... * an = ai * (а2 *... * ап) = Операция сложения, заданная на множестве натуральных чисел, является ассоциативной и коммутативной. Операция умножения матриц ассоциативна, но не коммутативна. Идем- потентными являются операции объединения и пересечения множеств. Элемент 0 множества А называют левым (правым) нулем относительно данной операции *, если 0*ж = 0 (ж*0 = 0) для любого х 6 А. Если 0; — левый нуль, а 0" — правый нуль, то они со- совпадают. Действительно, если (У и 0/; существуют, то они совпадают, так как 0' = 0; * 0" = 0", и в этом случае говорят просто о нуле относительно операции. Из приведенных равенств следует, что нуль единственный и для него одновре- одновременно выполнены оба равенства О*х = Оиа;*О = О. Пример 2Л. а. На множестве целых чисел нулем относи- относительно операции умножения будет число 0.
2.1. Операции. Понятие алгебраической структуры 115 б. На множестве квадратных матриц вида ( , ], где эле- элементы а и 6 — действительные числа, любая матрица вида () будет правым нулем относительно операции умноже- d \) ния, поскольку (а 0\ /0 0\ _ /0 0\ [b l)[d l)-\d I)' Однако левого нуля в этом множестве нет, так как иначе он совпадал бы с правым нулем и был бы единственным. Но правых нулей имеется больше одного. # Элемент 1 множества А называют левым {правым) ней- нейтральным элементом относительно операции *, если 1*х = — х (х * 1 = х) для любого элемента х € А. Для левого V и правого 1" нейтральных элементов, если они оба существуют, выполнены равенства 1/ = 1' * 1" = 1", согласно которым они совпадают. В этом случае элемент 1, который является и ле- левым нейтральным, и правым нейтральным, единственный, и его называют просто нейтральным элементом. Пример 2.2. Нейтральным элементом относительно опе- операции умножения на множестве натуральных чисел является число 1. На множестве целых чисел нейтральным элементом относительно операции сложения будет число 0. На множестве квадратных матриц вида [ , Л ], где элемен- \ь оу ты а и о — действительные числа, любая матрица вида I , n I будет правым нейтральным элементом по операции умножения, ибо fa 0\/l OWa 0\ \ъ о) \d о) \ь о)' Поскольку правых нейтральных элементов несколько, то левого нейтрального элемента по этой операции нет, так как иначе
116 2. АЛГЕБРЫ: ГРУППЫ И КОЛЬЦА существовал бы единственный нейтральный элемент (левый и правый). # Следует заметить, что не для всякой бинарной операции нули и нейтральные элементы (левые и правые, в частности), существуют. Рассмотрим некоторые примеры бинарных операций на множествах. Пример 2*3. а. Пусть U — универсальное множество. Теоретико-множественные операции U, П на множестве 2и являются идемпотентными, ассоциативными и коммутативны- коммутативными, причем пустое множество является нулем относительно пересечения и нейтральным элементом относительно объедине- объединения @П-А = л4П0 = 0, 0Ui4 = i4U0 = A), тогда как универ- универсальное множество есть нуль относительно объединения и ней- нейтральный элемент относительно пересечения Операция \ (разность множеств) не является ассоциатив- ассоциативной, так как А \ (В \ С) ф (А \ В) \ С. б. На множестве всех бинарных отношений на множестве А операция композиции отношений является ассоциативной, но не коммутативной, а диагональ множества А будет нейтраль- нейтральным элементом относительно этой операции (см. 1.4). в. Пусть X — произвольное множество, содержащее не ме- менее двух элементов. На множестве всех отображений из X в X с операцией композиции отображений постоянное отобра- отображение фа, переводящее любой элемент х Е X в фиксированный элемент a ? X, будет правым нулем, но не будет нулем относи- относительно композиции отображений. Действительно, для любого отображения /: X —> X и любого х е X имеем / о (ра(х) = <pa(f(x)) = а = (ра(х), т.е. / о (ра = <ра, что и означает, что (ра — правый нуль относительно операции композиции на множестве отображений из -X" в X. Однако для любого хеХ (ра° f(x) = f{<Pa{x)) = /(а), Т.е. (fa о / = <р/(а) — отображение, которое любой элемент X переводит в элемент
2.1. Операции. Понятие алгебраической структуры 117 f(a). Поскольку /(а) в общем случае не равно а, то <ра о f ф сра. Значит, (ра не является левым нулем относительно операции композиции. # Рассмотренные выше примеры множеств с операциями при- приводят к следующим определениям. Определение 2.2. Алгебра (универсальная алгебра, П-алгебра) считается заданной, если заданы некоторое мно- множество А, называемое носителем данной алгебры, и неко- некоторое множество операций п на А, называемое сигнатурой данной алгебры. Алгебру, носитель которой есть конечное множество, называют конечной алгеброй. Поскольку алгебра задается ее носителем и сигнатурой, мы будем в записи обозначать алгебру как упорядоченную пару множеств А = (-А, Q), полагая, что первая компонента этой пары есть носитель, а вторая — сигнатура. Подчеркнем, что алгебра — это не просто носитель и не просто сигнатура, а „синтез" этих двух объектов. Замечание 2.1. Операции, включенные в сигнатуру, за- заданы как некоторые специальные отображения. Однако при этом не оговариваются свойства, которыми обладают опера- операции на носителе. Например, они могут быть ассоциативными, коммутативными и т.д. При задании алгебр свойства операций обычно указывают дополнительно. Бели существует нейтральный элемент относительно опера- операции, то его можно задать как нульарную операцию на носителе и включить в сигнатуру, а можно не включать и описать как свойство соответствующей операции. Таким образом, одну и ту же алгебру можно задавать по-разному. Ниже приведены примеры различных описаний конкретных алгебр. В ряде случаев указание носителя алгебры предполагает и задание определенной сигнатуры. В этом случае для упрощения
118 2. АЛГЕБРЫ: ГРУППЫ И КОЛЬЦА пишут не А = (A, ft), а просто ,А = А алгебры А'\ имея в виду элемент носителя этой алгебры. Пример 2.4. а. Рассмотрим алгебру Л = BМ, {и,П,\,Д,-0,М}). Ее носителем является множество всех подмножеств произ- произвольно фиксированного множества М, а сигнатура состоит из следующих операций над множествами: объединения, пересече- пересечения, разности, симметрической разности, дополнения, пустого множества и множества М (последние два элемента сигнатуры определяют нульарные операции). б. Для любого множества М можно определить алгебру носителем которой является множество всех подмножеств мно- множества упорядоченных пар на М, т.е. множество всех бинарных отношений на множестве М, а сигнатура состоит из опера- операций объединения, композиции бинарных отношений и взятия обратного отношения. в. На множестве К действительных чисел можно, например, определить такую алгебру: Из = (*,{+,-,0,1}), сигнатура которой состоит из операций сложения, умножения, а также двух нульарных операций, обозначающих два особых числа 0 и 1. Обратим внимание на то, что числа 0 и 1 в данном случае являются соответственно нулем и нейтральным элемен- элементом относительно умножения, а число 0 также играет роль нейтрального элемента относительно сложения. Мы примени- применили понятие нульарной операции, чтобы в обозначении алгебры отразить элементы со специальными свойствами. г. Все предыдущие примеры алгебр были алгебрами с ко- конечной сигнатурой, т.е. с сигнатурой, состоящей из конечного
2.1. Операции. Понятие алгебраической структуры 119 числа операций. Однако несложно построить пример алгебры с бесконечной сигнатурой. Например, алгебра на множестве действительных чисел R с операцией tn возве- возведения в натуральную степень п ^ 2 имеет счетную сигнатуру. Далее будут приведены примеры алгебр и с несчетными сигна- сигнатурами. # Определяя алгебру, следует помнить, что результат приме- применения любой операции обязательно должен принадлежать тому же множеству, что и ее аргументы. Например, пару из мно- множества Vz всех свободных векторов в пространстве и операции скалярного умножения векторов нельзя рассматривать как ал- алгебру, так как скалярное произведение двух векторов не есть вектор. Заменив скалярное умножение векторным, получим ал- алгебру. Кроме того, нельзя забывать, что n-арная операция, как и всякое отображение, должна быть определена для любого кортежа длины п элементов множества. Поэтому не являет- является алгеброй множество всех матриц с операциями сложения и умножения матриц, так как эти операции определены не для любой упорядоченной пары матриц. Бели же при тех же операциях ограничиться множеством квадратных матриц фик- фиксированного порядка п, то получим алгебру. Точно так же множество действительных чисел К с опе- операцией : деления действительных чисел не является алгеброй, поскольку результат деления не определен при нулевом делите- делителе. Пара же (R\{0}, {:}) есть алгебра. Договоримся, определяя конкретную алгебру, записывать ее сигнатуру без фигурных скобок, перечисляя после обозначе- обозначения носителя все операции. Так, в примере 2.4.а первая алгебра может быть записана как Л\ = Bм,и,П,\, Д,"~~,0,М). Для алгебры Л = (А, ?1) обозначим через п^ подмножество сигнатуры ?2, состоящее из всех n-арных операций. Тогда п =
120 2. АЛГЕБРЫ: ГРУППЫ И КОЛЬЦА = U п(п\ Так, для алгебры Л\ в примере 2.4.а будем иметь: ft(n) = 0 при п > 2. Определение 2.3. Две алгебры Л\ = (А\, fii) и Лг = = (^2, ?2г) называют однотипными, если существует такая биекция п\ на 1^2, при которой n-арная операция из Oi для любого п переходит в n-арную из ffe- Пример 2.5. Алгебра Bм, U, П, 0, М), заданная на множестве всех подмножеств множества М, и алгебра Аз = = (R, +, •, 0, 1) (см. пример 2.4.в), заданная на множестве дей- действительных чисел, однотипны. Биекцию (взаимно однознач- однозначное соответствие) между их сигнатурами, которая сохраняла бы арность операций, можно определить и так: U »->>+, П »-> •, 0i-»O, Мн>1. Указанный способ задания биекции не един- единственный. Например, ее можно определить так: Uн* •, Пн>+, 0h>1,Mi->O. Алгебра Bм, U, П, 0, М) и алгебра Л\ в примере 2.4.а не являются однотипными, тале как их сигнатуры состоят из разного числа операций и между ними установить взаимно однозначное соответствие нельзя. Не являются однотипными и алгебры Bм, ) и (N, +), ибо в первой алгебре единственная операция ее сигнатуры является унарной, а во второй — бинарной. # Нередко сигнатуры однотипных алгебр и элементы этих сигнатур — операции — обозначают одинаково. Так, мы пи- пишем (R, +, •, 0, 1) и (Q, +, •, 0, 1), хотя первая алгебра задана на множестве всех действительных чисел, а вторая — на мно- множестве рациональных чисел, и, например, сложение в первой алгебре, строго говоря, не есть та же самая операция, что4шо- жение во второй алгебре. В общем случае мы часто будем
2.2. Группоиды, полугруппы, группы 121 говорить о различных (но однотипных) ?2-алгебрах, заданных на разных носителях, понимая, что п есть общее для всех этих алгебр обозначение их сигнатур. 2.2. Группоиды, полугруппы, группы Рассмотрим алгебры, сигнатуры которых состоят из одной. бинарной операции. Эту операцию будем обозначать точкой (•) и условно называть в этом случае умножением. Группоидом называют любую алгебру Q = (G, •), сигнату- сигнатура которой состоит из одной бинарной операции. В группоиде на бинарную операцию нет никаких ограничений. Группоид (G, •) называют полугруппой, если его операция ассоциативна, т.е. для любых элементов а, 6, с носителя G выполняется равенство а • F • с) = (а • Ъ) • с. Пример 2.6. а. Множество % свободных векторов вместе с операцией векторного умножения является группоидом, но не полугруппой, так как векторное умножение не ассоциативно. б. Множество натуральных чисел вместе с операцией воз- возведения в степень также будет только группоидом, так как в. Множество 2А всех подмножеств множества А вместе с операцией \ (разность множеств) тоже только группоид, поскольку указанная операция не ассоциативна. г. Множество натуральных чисел N вместе с операцией сложения будет полугруппой. # Группоид Q = (G, •) называют моноидом, если его опера- операция ассоциативна и относительно операции существует ней- нейтральный элемент. Его называют нейтральным элемен- элементом моноида Q или единицей моноида и обозначают 1. Таким образом, моноид Q = (G, •) есть полугруппа, в кото- которой для любого а имеют место равенства а • 1 = 1 • а = а, где 1 — нейтральный элемент (единица) моноида.
122 2. АЛГЕБРЫ: ГРУППЫ И КОЛЬЦА Поскольку нейтральный элемент относительно любой би- бинарной операции является единственным (см. 2.1), мы можем рассматривать моноид как алгебру (G, •, 1), сигнатура кото- которой состоит из двух операций: бинарной операции • (умноже- (умножение) и нульарной операции 1 (нейтрального элемента). Вве- Введение 1 в сигнатуру моноида удобно тем, что зачастую при рассмотрении конкретных примеров моноидов целесообразно явно указать нейтральный элемент относительно его операции. Например, алгебра BЛхЛ, о? id^) есть моноид всех бинарных отношений на множестве А с операцией композиции бинарных отношений, в котором нейтральным элементом является диа- диагональ множества А. Среди полугрупп выделяют полугруппы с коммутативной операцией — коммутативные полугруппы. Пример 2.7. а. Множество всех бинарных отношений на произвольном множестве А с операцией композиции отноше- отношений будет моноидом, нейтральным элементом которого служит диагональ множества А, поскольку для любых бинарных отно- отношений р, т и а на множестве А имеют место равенства (см. 1.4) ро(тоа) = (рот)оа и idU°р = р°icU = р- б. Множество всех отображений некоторого множества А в себя по операции композиции отображений есть моноид. Напомним, что композиция отображений снова есть ото- отображение и операция композиции имеет нейтральный элемент: тождественное отображение А на себя. Поскольку любое отображение множества А в себя можно рассматривать как би- бинарное отношение на этом множестве, а композицию отображе- отображений — как частный случай композиции отношений, требуемые свойства операции композиции отображений выполняются (см. пример 2.7.а). При этом тождественному отображению соот- соответствует диагональ icU множества А. Этот моноид называют часто симметрическим моноидом или симметрической полугруппой множества А.
2.2. Группоиды, полугруппы, группы 123 в. Алгебра (No, +), где носитель — множество No неотри- неотрицательных целых чисел, а сигнатура состоит из одной операции сложения, есть коммутативный моноид, в котором нейтраль- нейтральный элемент — это число 0. Действительно, сумма двух на- натуральных чисел есть натуральное число, операция сложения ассоциативна, коммутативна и для любого натурального числа п имеет место равенство п + 0 = п. Обратим внимание на то, что свойства нейтральных элемен- элементов и нулей ассоциируются со свойствами чисел 1 и 0 относи- относительно операций умножения и сложения чисел. г. Алгебра (Z, •), у которой носителем является множество целых чисел, а сигнатура состоит из одной операции умноже- умножения, есть коммутативный моноид. Нейтральным элементом этого моноида является число 1. д. Пусть А — конечное множество, а Ап — множество кортежей длины п. На множестве всех кортежей А+ = (J Ап определим операцию соединенил (конкатенации) корте- кортежей следующим образом: (ai, ..., am)-(bi, ..., Ь*) = (ai, ..., am, 6i, ..., &*). Можно видеть, что введенная операция ассоциативна, но не имеет нейтрального элемента. Таким образом, построена по- полугруппа, но не моноид. Чтобы превратить эту полугруппу в моноид, расширим носитель полугруппы, введя понятие нулевой декартовой степени А0 произвольного множества А. Под А0 понимают одноэлементное множество {Л}, единственный элемент которо- которого называют пустым кортежем. Такое определение мно- множества А0 объясняется следующим: мощность положительной декартовой степени Ап конечного множества равна \А\п. При п = 0 должно быть \А°\ = \А\° = 1, откуда заключаем, что А° — одноэлементное множество. Обозначив А* = A0 U А+, по определению для любого х € А* полагаем х • Л = А • х = х. В результате получим алгебру
124 2. АЛГЕБРЫ: ГРУППЫ И КОЛЬЦА (А*, •), являющуюся моноидом, с нейтральным элементом Л. Его называют свободным моноидом, порожденным множе- множеством А. # Полугруппу, операция которой коммутативна и идемпо- тентна, называют полурешеткой. Пример 2.8. а. Алгебры BА, и), BЛ, fl) (для произволь- произвольного фиксированного множества А) являются полурешетками, поскольку операции U и П ассоциативны, коммутативны и идемпотентны. б. Алгебра (N, НОК), где НОК — операция вычисления наи- наименьшего общего кратного двух чисел, является полурешеткой. Покажем, что указанная операция ассоциативна. Рассмотрим произвольные натуральные числа m, n и 1, Каждое из этих чисел можно разложить на произведение простых чисел и пред- представить в виде где набор простых чисел pi, ..., pk выбран одинаковым для всех трех чисел, а некоторые из показателей од, Д и 7ь * = 1? &> могут быть равными нулю. Тогда для чисел тип имеем HOK(n,m) = pp("b/?i) epm«(o* А). Таким образом, ассоциативность операции НОК сводится к ассоциативности операции max вычисления наибольшего из двух натуральных чисел. Ассоциативность последней вытекает из очевидного тождества max(a,max(fe,c)) = max(max(a,6),c), верного для любых чисел а, 6 и с. Поскольку HOK(n,m) = HOK(m,n), операция НОК комму- коммутативна, а так как для любого натурального числа справедливо равенство НОК(п,п) = п, то операция идемпотентна. в. Алгебра (N, НОД), где НОД — операция вычисления наи- наибольшего общего делителя двух целых чисел, также является полурешеткой. # \
2.2. Группоиды, полугруппы, группы 125 Группоид Q = (G, •) называют группой, если операция ас- ассоциативна, существует нейтральный элемент (единица) 1 от- относительно умножения и для каждого х € G существует такой элемент х1 Е G, называемый обратным к ж, что х-х' = х'-х = 1. Таким образом, группа — это алгебра Q = (G, •), в которой для всех a, b, c€G выполняется равенство а• F• с) = (а• 6) • с, существует единственный элемент 1 Е G, такой, что а • 1 = 1 • а = а для любого а Е G, и для каждого a EG существует такой элемент а', что а • а' = а' • а = 1. Короче говоря, группа — это моноид, в котором для каждого элемента существует обратный элемент. Отметим, что задать группу как алгебру можно нескольки- несколькими способами в зависимости от состава операций, включенных в сигнатуру. Во-первых, в сигнатуру может быть включена единственная бинарная операция. В этом случае пишут Q = (G, •), а все свойства операции описывают дополнительно. Во-вторых, в сигнатуру может быть включена нульарная операция — нейтральный элемент группы. В этом случае пишут Q — (G, •, 1) и дополнительно указывают существование обратного элемента относительно бинарной операции для всех элементов носителя. Третий способ задания группы как алгебры вытекает из следующей теоремы. Теорема 2.1. В любой группе Q = (G,-) для каждого о € G элемент, обратный к а, единственный. < Пусть в группе (G, •) с единицей 1 для некоторого а существу- существуют два элемента а1 и а;/, обратных к а. Тогда а1 = а! • 1 в силу свойства единицы. Так как 1 = а• а", то о! = а! -(а-а"). Исполь- Используя ассоциативность и учитывая, что о; — элемент, обратный к а, получим а' ¦ (о-о") = (а'-а)-а" = 1 а" = а". >
126 2. АЛГЕБРЫ: ГРУППЫ И КОЛЬЦА Единственность для каждого элемента а обратного элемен- элемента а' группы Q позволяет обозначать его как а и операцию -1: а ь-> а"*1 вычисления (или взятия) обратного элемента ввести в сигнатуру группы. Таким образом, группу можно рассма- рассматривать и как алгебру Q = (G, •, -1, 1), сигнатура которой состоит из бинарной операции умножения, унарной операции взятия обратного элемента и нульарной операции — единицы группы (нейтрального элемента). В дальнейшем в зависимости от контекста будем использо- использовать все указанные варианты задания группы. Среди групп также выделяют те, бинарная операция в ко- которых коммутативна, — коммутативные (абелевы*) груп- группы. В коммутативных полугруппах и группах бинарную опе- операцию часто обозначают знаком + и называют сложением. Уместно здесь рассмотреть вопрос о двух формах записи бинарной операции группы. В аддитивной записи операции ее обозначают знаком +, нейтральный элемент — знаком 0, а элемент, обратный к а относительно операции +, записывают в виде —а, называя его при этом противоположным к а. В мультипликативной записи операцию обозначают знаком •, нейтральный элемент — знаком 1, а элемент, обрат- обратный к а, записывают в виде а. В этом случае бинарную опе- операцию группы часто называют умножением (также умно- умножением группы или групповым умножением), а элемент а • Ь, как правило записываемый в виде аЪ, — произведением элементов а и Ь. В алгебраической литературе сложилась такая традиция, что аддитивная запись используется преимущественно для ком- коммутативных групп. Поскольку одним из самых простых, рас- распространенных и вместе с тем важных примеров коммутатив- коммутативной группы служит аддитивная группа целых чисел, то обозна- обозначения и термины для произвольной аддитивно записываемой коммутативной группы „скопированы" с терминов для группы *Н. Абель A802-1829) — норвежский математик.
2.2. Группоиды, полугруппы, группы 127 (Z, +, 0). Аналогично мультипликативная запись произволь- произвольной группы „позаимствована" у мультипликативных групп ра- рациональных и вещественных чисел. Пример 2.9* а. Алгебра (Z, +) — коммутативная группа, поскольку на множестве целых чисел операция сложения ассо- ассоциативна и коммутативна, число 0 есть нейтральный элемент, и для каждого целого числа п существует обратный по сложению элемент, а именно число —п, противоположное п. Рассматрива- Рассматриваемую группу называют аддитивной группой целых чисел. б. Множество всех биекций некоторого множества А на себя с операцией композиции отображений есть группа. Это следует из того, что композиция двух биекций есть биекция, операция композиции ассоциативна, ее нейтральный элемент — тождественное отображение icU — есть биекция, для всякой биекций f: A-* А отображение /"*, обратное биек- биекций /, определено, является биекцией и выполнены равенства Эту группу называют симметрической группой мно- множества А, а в том случае, когда множество А конечно, — группой подстановок множества А. Бели множество А со- состоит из п элементов, группу подстановок этого множества называют также симметрической группой степени п или группой подстановок п-в степени и обозначают Sn (см. при- пример 2.10). в. Алгебры (Q\{0}, •) и (R\{0}, •) есть коммутативные группы. Их называют мультипликативной группой ра- рациональных чисел и мультипликативной группой дей- действительных чисел соответственно. В каждой из них чи- число 1 есть нейтральный элемент (единица) группы, а обрат- обратный к числу х по операции умножения элемент х~1 есть число х = 1/х. г. Для произвольно фиксированного множества А рассмо- рассмотрим алгебру BА, Д), где Д — операция вычисления симме- симметрической разности множеств. Операция Д ассоциативна и
128 2. АЛГЕБРЫ: ГРУППЫ И КОЛЬЦА коммутативна (см. 1.1). Для любого X С А имеем X Д0 = X. Кроме того, X = Y тогда и только тогда, когда X Д У = 0. По- Поэтому алгебра BЛ, Д) является абелевой группой, в которой каждый элемент обратен сам себе, а нейтральный элемент — пустое множество. д. Рассмотрим алгебру Ъ\ = ({0,1,..., к — 1}, ©*), в кото- которой операция ф& (сложения по модулю к) определяется так: для любых двух тип число га 0* п, называемое суммой чисел тип по модулю к, равно остатку от деления арифметиче- арифметической суммы т + п на к. Можно проверить, что эта алгебра является коммутативной группой. Бе называют аддитивной группой вычетов по модулю к. Нейтральным элементом служит число 0, а обратным к числу п будет к — п, поскольку п ®к (к - п) = 0. е. Множество всех невырожденных (т.е. имеющих ненуле- ненулевой определитель) числовых квадратных матриц порядка п с операцией умножения матриц является группой. Действитель- Действительно, произведение двух невырожденных матриц снова есть невы- невырожденная матрица [III]; единичная матрица порядка п невы- невырожденная, и матрица, обратная к невырожденной, также явля- является невырожденной. Эту группу будем обозначать Мп- if" Из рассмотренных четырех видов алгебр — группоида, полугруппы, моноида и группы — последняя обладает наиболее интересными свойствами. Изучим более подробно операцию вычисления обратного элемента. Теорема 2,2. Пусть Q = (G, •) — группа. Для любых эле- элементов а, 6 G G верны тождества В силу ассоциативности умножения группы имеем
2.2. Группоиды, полугруппы, группы 129 Используя еще раз ассоциативность, определение элемента, обратного к данному, и свойства единицы, получим Итак, (а-Ь) - (б • оГ1) = 1. Точно так же доказывается, что (Ь" • а~г)(а • 6) = 1. Поэтому элемент б" • о" является обрат- обратным к элементу а-Ь. Согласно теореме 2.1, обратный элемент единственный, и поэтому (а • Ь)~1 = Ь • а. Второе из доказы- доказываемых равенств следует непосредственно из определения эле- элемента, обратного к данному. Действительно, определение эле- элемента а, обратного к а, равенством а -а = а-а~1 = 1 можно рассматривать как определение (а") — обратного элемента к а"*1, которым является, согласно этим равенствам, элемент а. В силу теоремы 2.1 он единственный, т.е. а = (а")". > Таким образом, мы установили, что элемент, обратный к произведению а • 6, равен Ь" -о, а элемент, обратный к элементу, обратному к а, равен а. Теорема 2.3. В любой группе Q = (G, •, 1) справедливы левый и правый законы сокращения: если а-х = о• у, то х = у, и если х • а = у • а, то х = у. Ч Пусть а • х = а • у. Умножая обе части этого равенства слева на элемент о, получаем а-(а-х) =а~1-(а-у). В силу ассоциативности групповой операции последнее равен- равенство можно записать так: Поскольку а • а = 1, то 1 • х = 1 • у, откуда х = у. Тем самым доказан левый закон сокращения. Аналогично доказывается и правый закон. > «к S — 10061
130 2. АЛГЕБРЫ: ГРУППЫ И КОЛЬЦА Пусть G = (G, •, 1) — группа, а, Ь — фиксированные эле- элементы G. Рассмотрим задачу решения уравнений а-х = Ь, B.1) х-а = Ь B.2) в группе G, т.е. поиска всех таких элементов х € G, для которых уравнение B.1) (или B.2)) превращается в тождество. Теорема 2.4. В любой группе Q уравнения вида B.1) и B.2) имеют решения, и притом единственные. < Покажем, что ж = а"*1 -Ь есть решение B.1). Действительно, а.(а-1'Ь) = {а-а~1-Ь) = Ь. Докажем единственность решения. Пусть для фиксирован- фиксированных а и 6 и некоторого х выполнено равенство а • х = Ь. В группе для любого а существует и однозначно определен эле- элемент а~х, обратный к а. Умножив на него обе части равенства, получим a~l -(a-x) = a~l -b. В силу ассоциативности преобра- преобразуем последнее равенство к виду (а" • а) • х = а" • 6. Поскольку а • а = 1, то 1 • х = а" • Ь, откуда х = а • 6. Это решение единственное в силу единственности обратного элемента. Аналогично из х-а^Ь получаем х = Ь• а", и это решение также единственное. > Замечание. При использовании аддитивной записи опера- операции для коммутативной группы Q = (G, +, 0) оба написанных выше уравнения сводятся к одному: а + х = 6, а его решение есть х = Ь+ (—а). Правую часть этого равенства в коммутативной группе называют разностью элементов Ь и а и обзначают Ь — а. Саму же операцию, сопоставляющую упорядоченной паре (а,Ь) разность 6— а, называют операцией вычитания. С учетом введенных обозначений решение урав- уравнения в коммутативной группе можно записать так: х = Ь — а.
2.2. Группоиды, полугруппы, группы 131 В случае коммутативной группы при употреблении для би- бинарной операции мультипликативной записи решения обоих уравнений имеют вид х = &• а". Выражение Ь- а в комму- коммутативной группе называют частным от деления & на а и обозначают - (или b/а), а саму операцию называют операцией деления. Решение уравнения в этом случае записывают в виде х = - (или х = Ь/а). a v ' ' Пример 2.10. Рассмотрим группу подстановок n-й сте- степени Sn всех биекций n-элементного множества {1,2, ...,п}. Произвольную биекцию а из Sn обычно записывают в виде /1 2 ... п\ \<*1 а2 ... апу' обозначая тем самым, что образ 1 (при отображении а) есть o?i, образ 2 есть <*2, ..., образ п есть ап. Биекцию множества {1, ...,п} на себя называют подстановкой этого множества. Подстановку, которая отображает щ ваг, аг в аз, ..., <*к-1 в а&, a c*k в c*i, где 1 < ах, с*2, ..., а/ь < п и все ау попарно раз- различны, а все элементы, отличные от c*i, ..., а*, отображаются сами в себя, называют циклом длины к и записывают ее в виде (ai c*2 ... од). Например, подстановку из группы S* A 2 3 4\ \3 2 A 1J можно записать в виде A3 4). Цикл длины 2 называют транспозицией. Транспозиция представляет такое отображение множества {1, ...,п} в себя, при котором два элемента меняются местами, а остальные остаются на своих местах. Так, полная запись транспозиции C 4) в S4 будет иметь вид 1 2 3 4 1 2 4
132 2. АЛГЕБРЫ: ГРУППЫ И КОЛЬЦА Подстановка, обратная подстановке A 2 ... п\ \аг а2 ... ап>/' есть подстановка, которая отображает а\ в 1, с*2 в 2, ... ап в п. Отметим, что при записи обратной подстановки элементы первой строки тем не менее записываются в обычном порядке: 1, ...,п. В группе 6з решим следующее уравнение: 1 2 3\ v /1 2 3\ Л 2 3 з 1 2j°X42 3 lJ = V3 2 Умножив обе части уравнения слева на -1 /1 2 3\ _ /1 2 З V3 1 ,2/ \^2 3 l получим 2 ЗЛ /12 3 3 Далее, умножив полученное уравнение справа на -1 /1 2 3\ =/1 2 3\ V2 3 I/ "" \3 1 2) окончательно получим G l ))- * В полугруппе в общем случае законы сокращения и разре- разрешимость уравнений типа B.1) и B.2) могут не иметь места. Например, в полугруппе квадратных матриц фиксированного порядка с операцией умножения матриц из матричного равен- равенства АХ — АУ, вообще говоря, не следует, что X = У. Это
2.2. Группоиды, полугруппы, группы 133 можно утверждать лишь при дополнительном предположении, что det-4 ф 0. Можно доказать, что в свободном моноиде, порожденном некоторым конечным множеством, оба закона сокращения справедливы, но никаких обратных элементов не существует. В полугруппе можно умножать любой элемент а сам на себя, причем в силу ассоциативности операции полугруппы элемент а-а*...'О определен однозначно. Этот элемент называют п-й п раз степенью элемента а и обозначают ап. При этом а1 = а, ап = а-ап-1, п = 2, 3, ... В моноиде вводят также нулевую степень элемента, полагая а° = 1. Если (А, •, 1) — группа, то можно ввести и отрицательные степени элемента согласно равенству аГп = (а""*1O1, п = 1, 2, ... Без доказательства сформулируем утверждения о свойствах степеней. Теорема 2.5. Для любой полугруппы ат • ап = am+n, (am)n = amn (m, n€N). Теорема 2.6. Для любой группы оГп = (an)-1 (n G N), ат.ап = aw+n, (am)n = awn (m, nG Z). Определение 2.4. Полугруппу (в частности, группу) (Л,-) называют циклической, если существует такой элемент а, что любой элемент х полугруппы является некоторой (целой) степенью элемента а. Элемент а называют образующим элементом полугруппы (группы). Пример 2.11. а. Полугруппа (No, +, 0) циклическая, с образующим элементом 1. При аддитивной записи бинарной операции возведение элемента а в положительную степень п есть сумма п этих элементов, и это записывают п • а (или па, без знака умножения). б. Группа (Z, +, 0) также циклическая. Для нее образую- образующими элементами могут быть 1 и —1. Рассмотрим элемент 1.
134 2. АЛГЕБРЫ: ГРУППЫ И КОЛЬЦА Тогда 0-1 = 0, п-1 = 1 + ... + 1 = п (п>0) и (-1) • 1 =-1, п раз (-п) • 1 = п• (-1) = (-1) +... + (-1) = -п(п>0). п раз Если в качестве образующего взять элемент — 1, то 0 • (—1) = = 0, отрицательные целые числа получаются как положитель- положительные „степени" —1, а положительные — как отрицательные „степени" -1. Например, (-2) • (-1) = 2, 4 • (-1) = -4. в. Группа (Z3, 0з» 0) вычетов по модулю 3 циклическая, причем любой ее ненулевой элемент является образующим. Действительно, для 1 имеем 1 Фз 1 = 2, 1 Фз 1 ®з 1 =: 0, а для 2 получим 22 = 2 Фз 2 = 1, 2 Фз 2 Фз 2 = 0. # Изучим подробнее строение конечных циклических групп, используя мультипликативную запись бинарной операции. На- Напомним, что конечная алгебра (конечная группа, в частно- частности) — это алгебра, носитель которой — конечное множество. Порядком конечной группы называют количество эле- элементов в этой группе. Так, например, аддитивная группа вычетов по модулю к имеет порядок к. Симметрическая группа степени п, т.е. группа подстановок 5П, имеет порядок п!. Мультипликативная группа вычетов по модулю р, где р — простое число, имеет порядок р — 1. Порядок элемента а циклической группы — это наи- наименьшее положительное п, такое, что ап = 1. Теорема 2.7. Порядок образующего элемента конечной циклической группы равен порядку самой группы. < Пусть Q = (<3, •, 1) — конечная циклическая группа с обра- образующим элементом а и п > 0 — порядок этого элемента. Тогда все степени а0 = 1, а1 = а,..., а71 попарно различны. Действительно, если ак = а1, 0 < / < к < п, то ак~1 = ак+(~1) = = ака~1 = а1 а = al~l = 1. Поскольку к — / < п, получено про- противоречие с выбором п как порядка элемента а (ибо найдена
2.3. Кольца, тела, поля 135 степень, меньшая п, при возведении в которую элемента а по- получится единица). Осталось доказать, что любая степень элемента а принад- принадлежит множеству {1, а,..., ап~~1}. Для любого целого т суще- существуют также целые п, к, такие, что га = fcn + g, где q — целое иО<?<п. Тогда ат = акп+* = а*п • cfl = (ап)* • а9 = 1 • а* = = ая € {1, а,..., а71"}. Поскольку каждый элемент группы Q есть некоторая степень элемента а, то G = {1,а, ..^а""} и порядок группы равен п. > Из доказанной теоремы следует, что в бесконечной цикличе- циклической группе не существует такого п > 0, что для образующего элемента а группы выполняется равенство оп = 1. 2.3. Кольца, тела, поля Определение 2.5. Кольцом называют алгебру П=(Я, +, .,0, 1), сигнатура которой состоит из двух бинарных и двух нульарных операций, причем для любых a,b,c?R выполняются равенства: 1) 2) 3) а + 0 = о; 4) для каждого а Е R существует элемент а;, такой, что 5) а-(Ь-с) = (а-Ь)-с] 6) а • 1 = 1 • а = а; 7) а-(Ь + с) =а-Ь + а-с, (Ь + с) • а = 6• а + с• а. Операцию + называют слоэюениелс кольца, операцию умножением кольца, элемент 0 — нулем кольца, элемент 1 — единицей кольца. Равенства 1-7, указанные в определении, называют акси- аксиомами кольца. Рассмотрим эти равенства с точки зрения понятия группы и моноида.
136 2. АЛГЕБРЫ: ГРУППЫ И КОЛЬЦА Аксиомы кольца 1-4 означают, что алгебра (J?, +, 0), сиг- сигнатура которой состоит только из операций сложения кольца + и нуля кольца 0, является абелевой группой. Эту группу назы- называют аддитивной группой кольца TZ и говорят также, что по сложению кольцо есть коммутативная (абелева) группа. Аксиомы кольца 5 и 6 показывают, что алгебра (Я, •, 1), сигнатура которой включает только умножение кольца • и еди- единицу кольца 1, есть моноид. Этот моноид называют муль- мультипликативным моноидом кольца TZ и говорят, что по умножению кольцо есть моноид. Связь между сложением кольца и умножением кольца уста- устанавливает аксиома 7, согласно которой операция умножения дистрибутивна относительно операции сложения. Учитывая сказанное выше, отметим, что кольцо — это алгебра с двумя бинарными и двумя нульарными операциями Я= (Я, +, •, 0, 1), такая, что: 1) алгебра (i?, +,0) — коммутативная группа; 2) алгебра (Л, •, 1) — моноид; 3) операция • (умножения кольца) дистрибутивна относи- относительно операции + (сложения кольца). Замечание 2.2. В литературе встречается иной состав аксиом кольца, относящихся к умножению. Так, могут отсут- отсутствовать аксиома 6 (в кольце нет 1) и аксиома 5 (умножение не ассоциативно). В этом случае выделяют ассоциативные коль- кольца (к аксиомам кольца добавляют требование ассоциативности умножения) и кольца с единицей. В последнем случае добавля- добавляются требования ассоциативности умножения и существования единицы. Определение 2.6. Кольцо называют коммутативным, если его операция умножения коммутативна. Пример 2.12. а. Алгебра (Z, +, •, 0, 1) есть коммута- коммутативное кольцо. Отметим, что алгебра (No, +, •, 0, 1) кольцом
2.3. Кольца, тела, поля 137 не будет, поскольку (No, +) — коммутативный моноид, но не группа. б. Рассмотрим алгебру Z* = ({0,1,..., к - 1}, ©*, ©*, 0,1) (к^1) с операцией ф& сложения по модулю к и ©* (умножения по модулю к). Последняя аналогична операции сложения по модулю к: mQkn равно остатку от деления на к числа тп • п. Эта алгебра есть коммутативное кольцо, которое называют кольцом вычетов по модулю к. в. Алгебра BЛ, Д, П, 0, А) — коммутативное кольцо, что следует из свойств пересечения и симметрической разности множеств (см. с. 35). г. Пример некоммутативного кольца дает множество всех квадратных матриц фиксированного порядка с операциями сло- сложения и умножения матриц. Единицей этого кольца является единичная матрица, а нулем — нулевая. д. Пусть С — линейное пространство. Рассмотрим множе- множество всех линейных операторов, действующих в этом простран- пространстве. Напомним, что суммой двух линейных операторов А и В называют оператор А + В, такой, что (А + В)х = Ах + Вх, хеС. Произведением линейных операторов А и В называют линей- линейный оператор АВ, такой, что (АВ)х = А(Вх) для любого хеС. Используя свойства указанных операций над линейными операторами, можно показать, что множество всех линейных операторов, действующих в пространстве ?, вместе с операци- операциями сложения и умножения операторов образует кольцо. Нулем этого кольца служит нулевой оператор, а единицей — тожде- тождественный оператор. Это кольцо называют кольцом линейных операторов в линейном пространстве С. # Аксиомы кольца называют также основными тожде- тождествами кольца. Тождество кольца — это равенство, справед-
138 2. АЛГЕБРЫ: ГРУППЫ И КОЛЬЦА ливость которого сохраняется при подстановке вместо фигури- фигурирующих в нем переменных любых элементов кольца. Основные тождества постулируются, и из них затем могут быть выведе- выведены как следствия другие тождества. Рассмотрим некоторые из них. Напомним, что аддитивная группа кольца коммутативна и в ней определена операция вычитания. Теорема 2.8. В любом кольце выполняются следующие тождества: () () 3) (a — b)-c = a-c — b-c, c-(a — b)=c-a — c-b. -4 Докажем тождество 0 • а = 0. Запишем для произвольного а: Итак, а + 0 • а — а. Последнее равенство можно рассматривать как уравнение в аддитивной группе кольца относительно неиз- неизвестного элемента 0 • а. Так как в аддитивной группе любое уравнение вида а + х = b имеет единственное решение х — Ь — а, то 0-а = а — а = 0. Тождество а• 0 = 0 доказывается анало- аналогично. Докажем теперь тождество —(a-b) = a-(—b). Имеем откуда а • (—6) = —(а • Ь). Точно так же можно доказать, что (-о).Ь = -(оЬ). Докажем третью пару тождеств. Рассмотрим первое из них. С учетом доказанного выше имеем а -F -с) =a-(b+(—c)) =a-b + a-(-c) =ab — a-c, т.е. тождество справедливо. Второе тождество этой пары доказывается аналогично. >
2.3. Кольца, тела, поля 139 Следствие 2.1. В любом кольце справедливо тождество (_1).х = ж.(-1) = -ж. 4 Указанное следствие вытекает из второго тождества теоре- теоремы 2.8 при о = 1иЬ = ж> Первые два тождества из доказанных в теореме 2.8 выража- выражают свойство, называемое аннулирующим свойством нуля в кольце. Третья же пара тождеств указанной теоремы выра- выражает свойство дистрибутивности операции умножения кольца относительно операции вычитания. Таким образом, произво- производя вычисления в любом кольце, можно раскрывать скобки и менять знаки так же, как и при сложении, вычитании и умно- умножении действительных чисел. Ненулевые элементы аиЬ кольца К называют делителями нуля, если а • b = 0 или Ь • а = 0. Пример кольца с делителем нуля дает любое кольцо вычетов по модулю Л, если к — составное число. В этом случае произведение по модулю к любых тип, дающих при обычном перемножении число, кратное к, будет равно нулю. Например, в кольце вычетов по модулю 6 элементы 2 и 3 являются делителями нуля, поскольку 2 ©в 3 = 0. Другой пример дает кольцо квадратных матриц фиксированного порядка (не меньшего двух). Например, для матриц второго порядка имеем Vo о) [р о) [о о)' При отличных от нуля а и Ь приведенные матрицы являются делителями нуля. По умножению кольцо является только моноидом. Поставим вопрос: в каких случаях кольцо по умножению будет группой? Прежде всего заметим, что множество всех элементов кольца, в котором 0 Ф 1, не может образовывать группы по умножению, так как нуль не может иметь обратного. Действительно, если предположить, что такой элемент О' существует, то, с одной
140 2. АЛГЕБРЫ: ГРУППЫ И КОЛЬЦА стороны, 0 • 0' = 0' • 0 = 1, а с другой — 0 • 0' = О' • 0 = О, откуда 0 = 1. Это противоречит условию 0^1. Таким образом, поставленный выше вопрос можно уточнить так: в каких случаях множество всех ненулевых элементов кольца образует группу по умножению? Если в кольце имеются делители нуля, то подмножество всех ненулевых элементов кольца не образует группы по умноже- умножению уже хотя бы потому, что это подмножество не замкнуто относительно операции умножения, т.е. существуют ненулевые элементы, произведение которых равно нулю. Кольцо, в котором множество всех ненулевых элементов по умножению образует группу, называют телом, коммутатив- коммутативное тело — полем, а группу ненулевых элементов тела (поля) по умножению — мультипликативной группой этого те- тела (поля). Согласно определению, поле есть частный случай кольца, в котором операции обладают дополнительными свой- свойствами. Выпишем все свойства, выполнение которых требуется для операций поля. Их еще называют аксиомами поля. Поле есть алгебра F = (F, +, •, 0, 1), сигнатура которой состоит из двух бинарных и двух нульарных операций, причем справедливы тождества: 2) 3) 4) для каждого а € F существует элемент —а, такой, что (-а) = 0; 5) о • F • с) = (а • 6) • с; 6) а-6 = Ь-а; 7) а • 1 = 1 • а = а; 8) для каждого аЕ F, отличного от 0, существует элемент а, такой, что а • а = 1; 9) Пример 2.13. а. Алгебра (Q, +, •, 0, 1) есть поле, назы- называемое полем рациональных чисел.
2.4. Области целостности 141 б. Алгебры (Е, +, •, О, 1) и (С, +, •, О, 1) есть поля, на- называемые полями действительных и комплексных чисел соответственно. в. Примером тела, не являющегося полем, может служить алгебра кватернионов (см. Д.2.1). # Итак, мы видим, что известным законам сложения и умно- умножения чисел соответствуют аксиомы поля. Занимаясь число- числовыми расчетами, мы „работаем в полях", а именно имеем дело преимущественно с полями рациональных и вещественных чи- чисел, иногда „переселяемся" в поле комплексных чисел. 2.4. Области целостности Областью целостности называют коммутативное коль- кольцо без делителей нуля. Так, кольцо целых чисел есть область целостности. Теорема 2.9. Конечная область целостности является полем. < Поле — это кольцо, умножение которого коммутативно, а каждый ненулевой элемент а имеет обратный элемент относи- относительно умножения. Так как область целостности, по опреде- определению, является коммутативным кольцом, то достаточно дока- доказать, что для конечной области целостности любой ненулевой элемент обратим, т.е. для всякого а ф О существует единствен- единственный #, такой, что а - х = 1. Фиксируем произвольный элемент а^Ои определяем ото- отображение fa множества всех ненулевых элементов в себя по формуле fa(x)=a-x (а•хфО в области целостности при аФ О и х ф 0). Отображение fa является инъекцией, поскольку из равенства а-х = а-у вытекает равенство а • (х — у) = 0, откуда ввиду отсутствия делителей нуля х — у = Оих = у. Так как но- носитель по условию теоремы конечен, то, согласно теореме 1.8, /а также и биекция. Поэтому для любого у существует един- единственный элемент ж, такой, что у = а-х. В частности, при у = 1
142 2. АЛГЕБРЫ: ГРУППЫ И КОЛЬЦА равенство а • х = 1 выполнено для некоторого однозначно опре- определенного х, т.е. х = а. > Доказательство теоремы 2.9 опирается на условие конечно- конечности кольца. Это условие действительно важно. Пример кольца целых чисел показывает, что бесконечная область целостности может и не быть полем. Теорема 2.9 имеет интересные следствия. Рассмотрим коль- кольцо Ър вычетов по модулю р. Следствие 2.2. Кольцо Ър вычетов по модулю р является полем тогда и только тогда, когда р — простое число. М Пусть Ър является полем. Покажем, что в этом случае число р простое. Предположим, что оно составное. Тогда найдутся такие числа Ли/, 0 < &, / < р — 1, чтор = fc • /. Поскольку в этом случае к -1 = O(modp), по крайней мере числа к и I являются в кольце Ър делителями нуля и Ър — не поле. Следовательно, число р не может быть составным. Пусть р — простое число. Предположим, что элементы т и п кольца Ър будут делителями нуля, т.е. т- п = O(modp). При простом р равенство произведения га • п нулю по модулю р означает, что либо т делится на р, либо п делится на р, т.е. либо т = O(modp), либо п = O(modp). Учитывая неравенства О^т^р — 1 и 0 < п < р — 1, заключаем, что либо т = О, либо п = 0. Таким образом, при простом р делителей нуля нет и кольцо Zp, как конечная область целостности, является полем. > Мультипликативную группу поля Ър вычетов по мо- модулю р обозначают Z* и называют мультипликативной группой вычетов по модулю р. Для произвольного р легко видеть, что ненулевые элементы тип кольца Ър будут делителями нуля тогда и только тогда, когда произведение т • п делится на р (т.е. га • n = 0(modp)). Например, в кольце Z\2 делителями нуля будут элементы 2 и 6, 3 и 4, 3 и 8, 4 и 6, 4 и 9, 6 и 6, 6 и 8, 6 и 10, 8 и 9.
2,4. Области целостности 143 Замечание 2.3. Следствие 2.2 допускает интерпретацию с точки зрения теории чисел: каково бы ни было простое число р, для всякого ненулевого т<р найдется единственное ненулевое п <р, такое, что тп = 1 (modp). Этот результат имеет место именно в силу того, что для каждого элемента поля Zp есть обратный элемент относительно умножения. Это — один из примеров применения общей алгебры к теории чисел. Пример 2.14. В заключение приведем „таблицу сложения" (табл. 2.1) и „таблицу умножения" (табл. 2.2) для поля Z5 ф5 0 1 2 3 4 0 0 1 2 3 4 Таблица 1 1 2 3 4 0 2 2 3 4 0 1 3 3 4 0 1 2 2.1 4 4 0 1 2 3 ©5 0 1 2 3 4 0 0 0 0 0 0 Таблица 1 0 1 2 3 4 2 0 2 4 1 3 3 0 3 1 4 2 2.2 4 0 4 3 2 1 Таблицы, подобные приведенным выше, которые определя- определяют операции в конечных алгебрах, носят название таблиц Кэли. Из таблиц Кэли для поля вычетов по модулю 5 следует, что в этом поле выполняются слегка шокирующие при первом взгляде равенства: 4 = —1, 2 = З, 4 = 4" и т.п. Но ни о каких „отрицательных" числах и ни о каких „дробях" тут речи нет, поскольку расматриваются другие объекты — остатки при де- делении на 5. Просто равенство 4 = —1 означает, что элемент 1 есть элемент, противоположный 4 в аддитивной группе вы- вычетов по модулю 5: 4 ©5 1 = 0. Аналогично по умножению — в мультипликативной группе вычетов по модулю 5 элемент 3 есть обратный к 2 , так как 3 ©5 2 = 1, а элемент 4 обратен к себе самому. Пример 2.15. Рассмотрим пример решения системы ли- линейных алгебраических уравнений в поле Z5. При записи урав-
144 2. АЛГЕБРЫ: ГРУППЫ И КОЛЬЦА нений будем опускать знак ©5 умножения там, где это не приводит к недоразумениям. Будем решать систему ( хг ©5 2х2 05 Зх3 = 1, < 2Ж1 05 2х2 05 4х3 = 3, [ 4X1 05 3X2 ©5 ЯЗ = О, V используя метод Гаусса [III]. Домножив первую строку на 3 и прибавив ее ко второй строке, получим C ф5 2)xi ф5 C ©5 2 ф5 2)х2 ©5 C ©5 3 05 4)х3 = 3 Ф5 3. Воспользовавшись таблицами Кэли, вычислим коэффициенты при переменных. В итоге имеем О ©5 Xi ф5 Зх2 ©5 Зх3 = 1. Прибавив к третьей строке первую, получим A ©5 4)Х1 ф5 B Ф5 3)Х2 ©5 C Ф5 1)ЯЗ = 1, откуда 4х3 = 1. Система привелась к виду i ©5 2х2 ©5 ЗХ3 = 1, Зх2 ©5 ЗХ3 = 1, 4х3 = 1. Из последнего уравнения находим хз = 4" 05 1 = 4 ©5 1 = 4. Подставив хз = 4 во второе уравнение, будем иметь т.е. 3x2 = 1 ©5 (—2) = —1 = 4. Отсюда
2.5. Модули и линейные пространства 145 Из первого уравнения после подстановки найденных значений переменных получим откуда х\ ©5 1 Фб 2 = 1 и х\ = — 2 = 3. Таким образом, х\ = 3, Х2 = 3 и жз = 4 — решение системы линейных уравнений. # Заметим в заключение, что известная из [III] техника ре- решения систем линейных алгебраических уравнений в полях дей- действительных или комплексных чисел может быть без изменения перенесена на любое поле. 2.5. Модули и линейные пространства Рассмотрим абелеву группу Q = (G, +, 0) и кольцо 1Z = = (J?, +, •, 0, 1). Пусть каждому элементу а кольца % сопо- сопоставлено отображение и>а носителя группы Q в себя так, что для любых а, /3? R и любых x,y?G выполняются равенства: 2) ша+р{х) = ша{х 3)u>ap(x)=Wa(up(x))l 4) u)\{x) = х. Последнее равенство означает, что отображение o;j, сопо- сопоставленное единице кольца 7?, является тождественным ото- отображением множества G на себя. Тогда абелева группа Q называется левым модулем над кольцом И. Если равенство 3 в определении модуля переписать так: У)иа.р(х)=Шр(иа(х))у то получим определение правого модуля над кольцом TZ. Для коммутативного кольца К левый и правый модули совпадают, так как ua(vp(x)) =<*>/?-а(я) =^(а;а(а;)).
146 2. АЛГЕБРЫ: ГРУППЫ И КОЛЬЦА Заметим, что модуль можно рассматривать как алгебру с бесконечной сигнатурой, если множество R бесконечно: ? = (?, +, 0, {иа:аеП}). Следует подчеркнуть, что модуль есть именно абелева груп- группа с дополнительными операциями, отображениями и>а, соиоу ставленными элементам кольца И. Носитель модуля есть носи- носитель G группы Q. Теорема 2.10. В любом fc-модуле имеют место тожде- тождества: Решая уравнение х + шо(х) =х относительно (Jq(x), получа- получаем шо(х) = х — х = 0. 2) x + u^i(x)=ui(x)+U-i(x)=LO1+(^1)(x)=ui(x) = 0. Та- Таким образом, х+ш-х(х) = 0, откуда в силу определения проти- противоположного элемента получаем u>_i(a;) = —x. > Пример 2.16. а. Пусть И = (Я, +, •, 0, 1) — произволь- произвольное кольцо. В качестве группы Q возьмем аддитивную группу этого кольца, а отображение cja, a € R, определим так, что u)Q(x) = а-х, х € R. Это отображение называют левым сдви- сдвигом на а. Тогда равенства 1-4 выполнены в силу аксиом кольца. Таким образм, получаем левый модуль, носитель ко- которого — аддитивная группа кольца, а отображение иа есть левый сдвиг произвольного элемента кольца на заданное а. Бели теперь задать для каждого aGR отображение и>а: R —> -* R так, что ша(х) = я • а (правый сдвиг на а), то получим правый модуль с тем же носителем, но сигнатура его (помимо операции сложения исходного кольца R) будет состоять из всевозможных правых сдвигов и>а. б. Пусть Q есть аддитивная группа векторов какого-либо линейного пространства L, а 1Z — кольцо линейных операторов
2.6. Подгруппы и подкольца 147 из L в L. Тогда, полагая для произвольных линейного опера- оператора А и вектора х пространства L u>a(x) = Ах, получаем, как нетрудно проверить, левый модуль над кольцом 11. в. Пусть 1Z — кольцо квадратных числовых матриц порядка п с обычными операциями сложения и умножения матриц (см. пример 2.12.г), a Q — группа матриц-столбцов типа n x 1 по сложению. Отображение иа определим по правилу и)а(Х) = АХ, где А — квадратная матрица, а X — вектор-столбец. Легко видеть, что равенства 1-4 вытекают из свойств умножения матриц и линейных операций над матрицами [III]. В результате получим левый модуль над кольцом квадрат- квадратных матриц. Аналогично, взяв в качестве Q аддитивную группу матриц- строк типа 1 х п и определив отображение ша(У) = Y А, где А — квадратная матрица порядка га, a Y — матрица-строка, получим правый модуль над кольцом квадратных матриц. # Если рассматривается левый 7^-модуль, то отображение ша называют левым умножением на элемент а кольца К и применяют обозначение ша(х) =аож. Для правого 7^-модуля отображение ша называют правым умножением на элемент а кольца 11 и пишут ша(х) = х © а. 7?-модуль, у которого кольцо 1Z является полем, называют линейным пространством над полем 1Z. Бели кольцо 1Z является полем действительных чисел (или полем комплекс- комплексных чисел), то мы получаем действительное (соответственно комплексное) линейное пространство. 2.6. Подгруппы и подкольца Пусть Q = (G, *) — произвольный группоид и Н С G — некоторое подмножество множества G. Рассмотрим свойства бинарной операции * группоида Q на подмножестве Н. Говорят, что множество Н С G замкнуто относи- относительно операции *, если х*у Е Н для любых #, у G Н. В
148 2. АЛГЕБРЫ: ГРУППЫ И КОЛЬЦА этом случае подмножество Н с операцией ¦ будет группоидом % = (if, *). Его называют подгруппоидом группоида Q. Бели подмножество Н замкнуто относительно бинарной операции * и эта бинарная операция ассоциативна на множе- множестве G, то легко убедиться, что операция останется ассоциатив- ассоциативной и при ее ограничении на подмножество Н. Таким образом, v если группоид Q является полугруппой, то и всякий его под- подгруппоид будет полугруппой, называемой подполугруппой полугруппы Q. Однако в случае, когда группоид является моноидом {груп- {группой), уже нельзя утверждать, что любой подгруппоид являет- является также моноидом (группой). Например, в качестве исход- исходного группоида рассмотрим аддитивную группу целых чисел (Z, +). Выделим в множестве целых чисел подмножество N натуральных чисел. Поскольку это подмножество замкнуто относительно операциии сложения +, группоид (N, +) будет подгруппоидом группоида (Z, +). Так как операция сложения чисел ассоциативна, (N, +) будет подполугруппой. Однако в множестве N отсутствует нейтральный элемент О относитель- относительно операции сложения. Следовательно, (N,+) даже не моноид. Пусть Л4 = (М, •, 1) — моноид. Бели Р есть подмножество М, замкнутое относительно бинарной операции • моноида Л4 и содержащее нейтральный элемент (единицу) 1 этого моноида, то V = (Р, •, 1) также есть моноид. Его называют подмонои- дом моноида Л4. Полагая, по определению, что замкнутость подмножества В С А относительно нульарной операции а на Л равносильна соотношению oGB, получаем, что моноид V = (Р, •, 1) есть подмоноид моноида М = (М, •, 1) тогда и только тогда, ко- когда множество Р замкнуто относительно бинарной операции • моноида Л1, а также относительно его нульарной операции 1. Пусть Q = (G, •, ~х, 1) — группа, а Н есть подмножество G, замкнутое относительно операции • группы С/, содержащее нейтральный элемент (единицу) 1 этой группы и вместе с ка- каждым элементом х G Н содержащее элемент ж, обратный
2.6. Подгруппы и подкольца 149 к #, т.е. замкнутое относительно унарной операции ~* взятия обратного, которая здесь включена в сигнатуру группы. Тогда % = (ДГ, •, -*1, 1) также есть группа, которую называют под' группой группы Q. Пусть ш — унарная операция на множестве G моноида G, aW — некоторый его подмоноид. Естественно подмоноид Н моноида G назвать замкнутым относительно унарной операции а;, если для каждого х ? Н имеет место ш(х) Е Н. Тогда группа Н = (Я, •, -1, 1) есть подгруппа группы Q = (G, •, "~1, 1) в том и только в том случае, когда множество Н замкнуто относительно всех операций •, ", 1 сигнатуры группы Q. Замечание 2.4. Подмножество ЯСб, замкнутое относи- относительно группового умножения • группы Q и содержащее вместе с каждым элементом х обратный к нему элемент ж", будет со- содержать и нейтральный элемент (единицу) группы, поскольку в силу замкнутости Н относительно операции умножения из х ? Н и х G Н следует, что х • ж" = х~1 х = 1еН. # Используя факт единственности нейтрального элемента (еди- (единицы) любого моноида и только что сформулированное опре- определение, можно легко доказать, что единица моноида (группы, в частности) служит одновременно единицей любого его под- моноида (любой подгруппы). Заметим, что подмоноид, носи- носитель которого содержит только единицу исходного моноида (Р = {1}), а также подмоноид, носитель которого совпадает с носителем исходного моноида (Р = М), называют тривиаль- тривиальным подмоноидом (в частности, тривиальной подгруп- подгруппой). Подмоноид, не являющийся тривиальным, называют нетривиальным подмоноидом (в частности, нетривиаль- нетривиальной подгруппой). Подгруппоид (подполугруппу, подмоноид, подгруппу) (G, *) называют собственным подгруппоидом (подполугруппой, подмоноидом, подгруппой) группоида (полугруппы, моноида, группы) (К, *), если его носитель G есть собственное подмножество множества К.
150 2. АЛГЕБРЫ: ГРУППЫ И КОЛЬЦА Пример 2.17. Рассмотрим аддитивную полугруппу нату- натуральных чисел вместе с нулем (No, +). Подмножество всех по- положительных четных чисел замкнуто относительно сложения, и поэтому на нем может быть определена подполугруппа полу- полугруппы (No, +). Но аддитивная полугруппа натуральных чисел с нулем является также и моноидом с нейтральным элементом1 0. Тогда построенная выше подполугруппа всех положитель- положительных четных чисел не будет подмоноидом моноида (No, +,0), так как ее носитель не содержит нуля — единицы моноида (No, +, 0). Подмножество всех натуральных чисел вместе с нулем, делящихся на заданное число к > 1, замкнуто относительно операции сложения; на нем может быть определен подмоноид моноида (No, +, 0). Мультипликативная группа поля рациональных чисел, является подгруппой группы (R\ {0}, •, 1) (мультипликативной группы поля действительных чисел). Но алгебра (Z\{0},-,l) не является подгруппой последней группы. Несмотря на то что множество всех отличных от нуля целых чисел замкнуто относительно операции умножения и содержит единицу, оно не содержит вместе с каждым целым числом т обратного к нему числа —. # т Пусть Q = (<?, •, -1, 1) — группа. Как следует из теорем 2.5 и 2.6, произведение любых степеней элемента а есть снова некоторая степень элемента а, нулевая степень дает единицу группы, а обратным к элементу ак является элемент а~к. Таким образом, множество всех степеней фиксированного элемента а группы Q является подгруппой группы Q. Определение 2.7. Подгруппу группы <?, заданную на мно- множестве всех степеней фиксированного элемента а, называют циклической подгруппой группы ?7, порожденной эле- элементом а.
2.6. Подгруппы и подкольца 151 Пример 2.18. В группе Ъ\г (мультипликативной группе вычетов по модулю 13) построим циклическую подгруппу, порожденную элементом 5. Имеем: 5° = 1, 51 = 5, 52 = 5©1з 5 = = 12, 53 = 5 013 12 = 8, 54 = 5 ©13 8 = 1. Отсюда следует, что порядок этой циклической подгруппы в силу теоремы 2.7 равен 4. Она состоит из элементов: 1, 5, 8 и 12. # Рассмотрим кольцо TZ = (Я, +, •, 0, 1). Если множество Q есть подмножество множества Я, замкнутое относительно операций сложения и умножения кольца 7?, содержащее нуль и единицу кольца 1Z, а также вместе с каждым х Е Q содержащее противоположный к нему элемент —ж, то Q = (Q,+,-,0,1) также есть кольцо. Его называют подкольцом кольца Q. Другими словами, кольцо Q = (Q, +, •, 0, 1) — это подколь- цо кольца TZ = (Я, +, •, 0, 1), если его аддитивная группа есть подгруппа аддитивной группы кольца 7?, а его мультиплика- мультипликативный моноид — подмоноид мультипликативного моноида кольца TZ. Аналогично определяется понятие подполя (какого-либо поля). Единственное по сравнению с определением подкольца дополнительное требование состоит в том, что носитель подпо- подполя должен вместе с каждым элементом х содержать обратный к нему по умножению поля элемент х. Это значит, что мультипликативная группа подполя должна быть подгруппой мультипликативной группы всего поля. Естественно, что точ- точно так же обстоит дело и с понятием подтела. Пример 2.19. Кольцо целых чисел (Z, +, •, 0, 1) есть подкольцо кольца действительных чисел (Е, +, -, 0, 1). При этом, несмотря на то что кольцо действительных чисел есть поле, кольцо целых чисел не является его подполем, поскольку в последнем для любого целого числа отсутствует обратный к нему по умножению элемент. Поле рациональных чисел является подполем поля действи- действительных чисел, которое, в свою очередь, есть подполе поля
152 2. АЛГЕБРЫ: ГРУППЫ И КОЛЬЦА комплексных чисел. Алгебра (No, +, •, 0, 1) на множестве на- натуральных чисел вместе с нулем не является подкольцом ни одного из перечисленных выше колец, так как ее носитель не содержит ни обратных относительно сложения, ни обратных относительно умножения элементов. 2.7. Теорема Лагранжа Пусть Q = (G, •, 1) — группа, а,Н = (Я, •, 1) — ее подгруппа. Левым смежным классом подгруппы % по элементу а ? G называют множество аН = {у: у = a-h, h Е Н}. Соответственно правый смежный класс подгруппы Н по элементу a EG — это множество На = {у: у = h • a, h G Я}. Очевидно, что в коммутативной группе аН = На. Замечание* При использовании аддитивной записи груп- групповой операции смежные классы записываются в виде а + Н (или Я + а). # Рассмотрим левые смежные классы. Прежде всего заметим, что если аЕ Н, то аН = Я. Действительно, если х Е аН, то для некоторого h € Я х = ah, а так как a G Я и множество Я замкнуто относительно умножения группы Q, то х G Я. Обратно, если х G Я, то х = аа"^ = аЛ, где h = а"^ Е Я. Поэтому х G аЯ. Окончательно получим Я = аЯ. Введем теперь бинарное отношение ~# на множестве G следующим образом: элементы а и Ь связаны отношением ~н (а~нЬ), если и только если левые смежные классы подгруппы % по элементам а и Ь совпадают (аН = ЬЯ).
2.7. Теорема Лагранжа 153 Теорема 2.11. Бинарное отношение ~# есть эквивалент- эквивалентность на G, причем класс эквивалентности произвольного элемента a€G совпадает с левым смежным классом аН. <4 Докажем, что ~н является эквивалентностью на G. Посколь- Поскольку аН = аН для любого а ? G, т.е. а~но>, то бинарное отноше- отношение ~# рефлексивно. Бели а~#Ь, то aff = 6Я, следовательно, 6Я = аЯ и b~H<ii T«e. бинарное отношение ~# симметрично. Наконец, из того, что а~нЬ и Ъ~нс, следует аЯ = ЬН и ЬЯ = сЯ, т.е. аН = сЯ и а~нс> откуда вытекает, что бинарное отноше- отношение ~н транзитивно. Итак, ~# есть эквивалентность. Докажем, что класс эквивалентности произвольного элемен- элемента а равен аН. Воспользуемся методом двух включений. Пусть х Е [а]~#> т.е. #~#а, тогда хН = аН. Последнее означает, что любой элемент вида a/i, h E Я, может быть представлен в виде xh\y где h\ G Я, т.е. ah = a;hi. Отсюда получаем х = ahfv[l. Поскольку % — подгруппа, Л, /ii G Я, то Лг = hK[l Е Я. Следовательно, ж = ah<i € аЯ и [а]~н С аЯ. Покажем второе включение, т.е. докажем, что аН С [а]^я. Пусть х € аН, тогда х = ah для некоторого h € Н. Отсюда получаем, что жЯ = ahH. Поскольку для всякого h E Я, как доказано выше, ЛЯ = Я, справедливо равенство хН = аЯ, откуда х~на> и ж Е [а]^я- ^ Теорема 2.12. Всякий левый смежный класс подгруппы Я равномощен Н. < Для произвольного фиксированного a E G зададим отобра- отображение (ра: Я ->> аЯ следующим образом: ^о(Л) = aft. Во-первых, отображение у?а есть сюръекция, так как если х Е аЯ, то х = = aft для некоторого heH, откуда д: = (pa(h). Во-вторых, <ра — инъекция, поскольку из равенства afti = aft2 в силу законов со- сокращения в группе Q следует fti = Л2. Следовательно, (ра — биекция и |аЯ| = |Я|. > Из доказанных теорем о свойствах левых смежных классов, справедливых — подчеркнем это — для любой группы, выте- вытекает простой, но очень важный результат для конечных групп.
154 2. АЛГЕБРЫ: ГРУППЫ И КОЛЬЦА Теорема 2.13 (теорема Лагранжа). Порядок конечной группы делится на порядок любой ее подгруппы. < Согласно теореме 2.11, все левые смежные классы образуют разбиение множества G на подмножества, равномощные в силу теоремы 2.12 подгруппе Н. Так как группа Q конечна, то число элементов разбиения конечно. Обозначив это число через fc, заключаем, что \G\ = k\H\. Следовательно, порядок группы \G\ делится на порядок группы \Н|. > Число всех левых смежных классов подгруппы И конечной группы Q называют левым индексом подгруппы Н в груп- группе д. Рассмотрим некоторые следствия теоремы Лагранжа. Следствие 2.3. Любая группа простого порядка является циклической. < Возьмем в группе, порядок которой есть простое число, какую-то ее циклическую подгруппу, образующий элемент которой отличен от единицы (нейтрального элемента) группы. Тогда эта подгруппа содержит не менее двух элементов и ее порядок, согласно теореме Лагранжа, должен быть делителем порядка группы. Поскольку порядок всей группы — простое число, а порядок подгруппы не меньше 2, то он совпадет с порядком всей группы. > Замечание. Группа, порядок которой не является простым числом, может быть циклической, т.е. утверждение, обратное следствию 2.3, не имеет места. Так, например, циклической является Ъ\ — аддитивная группа вычетов по модулю 4. Ее образующий элемент — 1. Можно доказать, например, что любая группа порядка 15 является циклической*. # Группу называют неразложимой, если она не имеет не- нетривиальных подгрупп. *См.: Каргополов М.И., Мерзляков Ю.И.
2.7. Теорема, Лагранжа 155 Следствие 2.4. Конечная группа неразложима тогда и только тогда, когда она является циклической группой, поря- порядок которой есть простое число. ^ Бели группа циклическая и ее порядок — простое число, то, согласно теореме Лагранжа, каждая ее подгруппа имеет порядок, равный либо единице, либо порядку всей группы, и группа неразложима. Обратно, пусть конечная группа Q = (G, •, 1) неразложима. Покажем, что \G\ — простое число. Выберем элемент а ф 1. Тогда циклическая подгруппа с образующим элементом о сов- совпадает с Q. Допустим, что \G\ — составное число, т.е. |G| = = kl для некоторых натуральных А; и /, отличных от 1 и \G\. Тогда циклическая подгруппа с образующим элементом Ь = ак не совпадает с С?, так как Ь1 = akl = 1 ив этой подгруппе не более I элементов, что противоречит неразложимости группы Q. Следовательно, порядок группы Q есть простое число. > Следствие 2.5. В конечной группе Q для любого элемента aEG имеет место равенство a'G' = 1. М Если группа Q циклическая и элемент a — ее образующий элемент, утверждение очевидно. Бели же элемент а являет- является образующим элементом некоторой циклической подгруппы группы Q порядка к < |G|, то в силу теоремы Лагранжа |G| = kl для некоторого натурального /. Отсюда получаем a'Gl = ам = = (акI = 1* = 1. > С помощью теоремы Лагранжа (точнее, следствия 2.5) мож- можно доказать, что если целое число п не делится на простое число р, то пр""х — 1 делится на р. В теории чисел это утверждение известно как малая теорема Ферма. Действительно, пусть п = гр + к, где г — целое, а 0 < к < р (остаток от деления п нар). Тогда ясно, что пр~1 = кр (modp) (достаточно разложить (гр + к)р~1 по формуле бинома Нью- Ньютона). Рассмотрим группу Z* (мультипликативную группу
156 2. АЛГЕБРЫ: ГРУППЫ И КОЛЬЦА вычетов по модулю р) и в этой группе элемент к. Порядок группы Z* = р — 1. Если к = 1, то п?-1 - 1 = (I* - 1) (modp) = 0 (modp) и утверждение очевидно. Согласно следствию 2.5, в группе Z* справедливо равенство кр~1 = 1, т.е. кр~г = l(modp), и, следовательно, кр~1 — 1 = 0(modp), т.е. число кр~1 равно 1 по модулю р. Поэтому np~~l = kp~l = I (modp). Малая теорема Ферма дает возможность доказывать утвер- утверждения о делимости очень больших чисел. Например, из нее следует, что при р = 97 число 97 является делителем п96 — 1 для любого п, не делящегося на 97. Подобного рода заключения важны при разработке алгоритмов защиты информации. Кроме того, используя малую теорему Ферма, можно вычи- вычислять в полях вычетов по модулю р(р — простое число) элемен- элементы, обратные к заданным относительно умножения. Действи- Действительно, если a Е Zp, то, так как ар~1 = 1, умножая последнее равенство на а", получим ар =а~1. Таким образом, для того чтобы вычислить элемент, обратный к а по умножению, достаточно возвести его в степень р — 2 или, что равносильно, в степень, равную остатку от деления числа р — 2 на порядок циклической подгруппы группы Z*, порожденной элементом а (см. теорему 2.7). Пример 2.20. Рассмотрим, как вычислить элемент, обрат- обратный к а по умножению в поле Z17. Согласно полученному выше результату, для вычисления обратного к а элемента нужно най- найти а17" = а15. Однако объем вычислений можно сократить, если порядок циклической подгруппы, порожденной элементом а, меньше порядка группы. Порядок группы Щ7 равен 16, следовательно, порядок ци- циклической подгруппы, порожденной элементом а, может со- составлять, согласно теореме Лагранжа, 2, 4, 8, 16 (т.е. быть каким-то из делителей числа 16). Поэтому при поиске обратно- обратного элемента достаточно проверить следующие степени а (кроме
2.8. Гомоморфизмы групп 157 15-й): 1 (остаток от деления 15 на 2), 3 (остаток от деления 15 на 4) и 7 (остаток от деления 15 на 8). Найдем элемент, обратный к 2. Очевидно, что 2 ф 2, так как 2 ©17 2 = 4^1. Далее получим 23 = 4 ©п 2 = 8. Поскольку 2 ©17 8 = 16 Ф 1, то 23 = 8 также не является обратным к 2. Вычислим 27 = 23 ©it 23 ©i7 2 = 8 ©i7 8 ©гг 2 = 9. Поскольку 9 ©i7 2 = 1, в итоге получаем 2" = 9. Найдем элемент, обратный к 14. Так как 14 ©17 14 = 9, то 14 ф 14. Вычисляем 143 = 14 ©гг 9 = 7, но 14 ©i7 7 = 13, т.е. 143^i4-i. Далее, 147 = 143 ©и 144 = 7 ©17 13 = 6, 14 ©17 6 = 16 = -1. Мы видим, ч*о и 147 ф 14. Следовательно, остается вычи- вычислить 14 = 1415. Однако в этом случае вычисления можно сократить, заметив, что 14 ©17 147 = 14 ©17 6 = —1. Из послед- последнего равенства, согласно следствию 2.1, получим 1 = 14017 (-6) = 14017 11, откуда 14 = 11. Отметим, что 1416 = 1, т.е. порядок циклической подгруп- подгруппы, порожденной элементом 14, совпадает с порядком всей группы ZJ7, и, следовательно, эта группа является циклической, порожденной элементом 14 (хотя и не только им). 2.8. Гомоморфизмы групп и нормальные делители Пусть заданы группы Q\ = (Gi, •, 1) и <?2 = (Сг, •, 1). Ото- Отображение /: G\ -> G2 называют гомоморфизмом группы Q\ в группу </2 (гомоморфизмом групп), если для любых #, у € G\ выполняется равенство f(x • у) = f(x) • /(у), т.е. образ произве- произведения любых двух элементов группы G\ при отображении f равен произведению их образов в группе G2-
158 2. АЛГЕБРЫ: ГРУППЫ И КОЛЬЦА Бели отображение / сюръективно (биективно), то его на- называют эпиморфизмом (изоморфизмом) групп. В этом случае говорят также об эпиморфизме (изоморфизме) группы Q\ на группу (?2- Замечание 2.5. Мы обозначили операции групп Q\ и С/2 одинаково, как это обычно и делается для однотипных алгебр, хотя, конечно, это разные операции разных групп. Пример 2.21. Пусть Q\ = (Z, +, 0) — аддитивная группа целых чисел, а ?/2 = Z? — аддитивная группа вычетов по модулю к. Зададим отображение / так: для всякого целого т образ f(m) равен остатку от деления т на А;. Можно проверить, что для любых целых тип имеет место равенство f(m + n) = = /(wi) ©fc /(n), т.е. для целых чисел остаток от деления суммы на к равен сумме по модулю к остатков от деления на к каждого слагаемого. Следовательно, данное отображение есть гомоморфизм груп- группы Q\ в группу С/2- Далее, поскольку любое целое число от 0 до к — 1 есть остаток от деления на к какого-то числа, то отобра- отображение / является и эпиморфизмом группы Q\ на группу С/2. Теорема 2.14. Пусть Q\, G2 — произвольные группы. Бели /: Q\ -> G2 — гомоморфизм, то: 1) образом единицы (нейтрального элемента) группы Q\ при отображении / является единица группы С/2, т.е. /A) = 1; 2) для всякого элемента х группы Q\ образом элемента ж является элемент [/(я?)], обратный элементу f(x), т.е. /(Х-1) = [/(*)]-!. ¦4 Согласно определению гомоморфизма, для произвольного xeGi имеем /(х) • /A) = /(х • 1). Далее, /(х • 1) = /(х), т.е. /(*) • /A) = Дх). Следовательно, /A) = (/(х)) • /(х) = 1, т.е. Докажем второе утверждение теоремы. Используя опре- определение гомоморфизма и уже доказанное первое утверждение
2.8, Гомоморфизмы групп 159 теоремы, получаем т.е. /(аг1) = [/(х)]. > Множество f{Gi) — образ носителя группы G\ при го- гомоморфизме / — замкнуто относительно умножения группы <?2- Действительно, если д2, д2 € /((/1), то существуют такие 01,01' € Gu чт<> f(9i) = 92 и f(gif) = g2'. Тогда W = /Ы/Ы = /(W) € №). Из теоремы 2.14 следует, что f(G\) содержит единицу этой группы и вместе с каждым элементом обратный к нему эле- элемент. Это значит, что можно определить подгруппу группы <?2> носителем которой будет множество f(Gi). Эту группу назы- называют гомоморфным образом группы Gi при гомоморфизме /. Группу /С называют просто гомоморфным образом груп- группы G, если существует гомоморфизм группы G на группу /С. Так, группа Ъ*к при любом А; > 1 является гомоморфным образом аддитивной группы целых чисел (см. пример 2.21). Обратимся к следующему примеру. Пример 2.22. Рассмотрим мультипликативную группу (С\ {0}, •, 1) комплексных чисел с обычной операцией умноже- умножения комплексных чисел. Легко понять, что эта группа не что иное, как мультипликативная группа поля комплексных чисел. Рассмотрим также группу М2 невырожденных квадратных матриц второго порядка с операцией умножения матриц (см. пример 2.9.е). Определим отображение / множества С комплексных чисел в множество квадратных матриц второго порядка, положив для произвольного ненулевого комплексного числа а + Ьг, что На + Ы) \-Ь а)
160 2. АЛГЕБРЫ: ГРУППЫ И КОЛЬЦА Покажем, что / — гомоморфизм групп. С одной стороны, ас — bd ad + bc\ ad — be ас — bd) ' ( С другой стороны, ( ас — bd ad + bc\ —ad — be ас — bd) Следовательно, Таким образом, отображение / — гомоморфизм групп, а гомоморфный образ мультипликативной группы комплексных чисел при / — это подгруппа /С группы матриц Л<2> состоящая из матриц вида I , 1. Здесь мы учли, что любая матри- ца вида I , 1 является образом некоторого комплексного числа (а именно а + Ы) при отображении /. Группа /С — соб- собственная подгруппа группы М.2- # Сформулируем без доказательства одно важное свойство гомоморфизмов групп. Теорема 2.15. Если / — гомоморфизм группы Q в группу /С, a g — гомоморфизм группы /С в группу ?, то композиция отображений fog есть гомоморфизм группы Q в группу С. # Рассмотрим некоторые свойства изоморфизмов групп. Теорема 2.16. Если /: Q\ -> Q2 — изоморфизм группы Q\ на группу (?2> то отображение Z, обратное к отображению /, есть изоморфизм группы G2 на группу Q\.
2.8. Гомоморфизмы групп 161 4 Пусть х и у — произвольные элементы группы (?2, пусть также х = f(u), а у = /(v), где и и v — элементы группы Q\. Тогда Г\ху) = rl(fHf(v)) = rl(f(uv)) = uv = Г1(*)Г1(У), т.е. отображение /~* — гомоморфизм второй группы в первую. Но так как отображение, обратное к биекции, есть биекция, то /~х — изоморфизм группы Qi на группу Q\. > Группы Q и 1С называют изоморфными, если существует изоморфизм одной из них на другую. При этом используют обозначение Q = /С. Изоморфные группы с точки зрения их алгебраических свойств совершенно одинаковы, хотя их элементы могут иметь различную природу. Вернемся в этой связи к примеру 2.22. Легко убедиться в том, что определенное там отображение / множества комплексных чисел на множество квадратных матриц специального вида является биекцией. Следователь- Следовательно, мультипликативная группа комплексных чисел и группа матриц указанного вида с операцией умножения матриц изо- изоморфны, хотя элементы этих групп на первый взгляд не имеют между собой ничего общего. Определение 2.8. Ядром гомоморфизма f группы Q в группу К называют прообраз Кег/ единицы группы Q при гомоморфизме /: Кег/ = /"хA) С G. Пример 2.23. Ядром гомоморфизма, рассмотренного в примере 2.21, служит множество всех целых чисел, делящихся на к. Теорема 2.17. Ядро Кег/ гомоморфизма /: Q -> /С есть подгруппа группы Q. < Нужно убедиться в том, что множество Кег/ замкнуто относительно умножения группы Q, содержит единицу этой группы и вместе с каждым элементом содержит обратный к нему элемент.
162 2. АЛГЕБРЫ: ГРУППЫ И КОЛЬЦА Если a, be Ker/, т.е. /(a) = f(b) = 1, то f(ab) = f(a)f(b) = = 1 и аб Е Кег/. Ясно, что 1 € Ker/, так как /A) = 1 (см. теорему 2.14). Если а € Кег/, то /(а") = [/(а)]" = I = 1, т.е. и о" Е Кег/. > Ядро гомоморфизма, приведенного в примере 2.21, пред- представляет собой подгруппу аддитивной группы целых чисел, состоящую из всех чисел, кратных к. Подгруппа Н группы Q называется нормальной подгруп- подгруппой {нормальным делителем) группы {/, если аН = На для любого aeG. В коммутативной группе, как было отмечено выше, аН = = На. Следовательно, в этом случае любая подгруппа является нормальным делителем. Пусть И — (Я, •, 1) — подгруппа группы Q = (G, •, 1). Для фиксированных элементов a, b Е G через аНЪ обозначим мно- множество всех произведений вида ahb, где h G Н. В силу ассоци- ассоциативности групповой операции это обозначение корректно. Теорема 2.18. Подгруппа И — (Я, -, 1) является нормаль- нормальным делителем группы Q = (G, •, 1) тогда и только тогда, когда аНа~1 С Н для любого а Е G. < Если Н — нормальный делитель, то для любого а Е G аН = = На, т.е. для любого h? H найдется такое h\ € Я, что аЛ = = h\a. Пусть элемент х Е аНа~1, т.е. ж = aha~l для некоторого he Н. Так как a/i = /ца, то х = /iiaa" = Лх Е Я и поэтому аЯа С Я. Обратно, если аНа~1 С Я, то любой элемент х = aha"'1, где he Н, принадлежит и множеству Я, т.е. aha = /ц для некоторого h\ E Я. Отсюда, умножая последнее равенство на a справа, получим ah = /iia, т.е. элемент ah из левого смежного класса аН принадлежит и правому смежному классу На. Итак, аН С На. Теперь возьмем для произвольного aeG обратный к а эле- элемент а" и для него запишем включение а На С Я (напомним,
2.8. Гомоморфизмы групп 163 что (а") = а). Рассуждая как и выше, получим, что для не- некоторых Л, h\ Е Я имеет место равенство a~lh = /iio, т.е. ha = ah\ и На С аЯ. Итак, аН = #а иИ — нормальный дели- делитель. > Оказывается, существует связь между понятием нормально- нормального делителя и понятием гомоморфизма, которая продолжает и углубляет на новом уровне уже известную нам из главы 1 связь между понятиями отображения и класса эквивалентности. Теорема 2.19. Ядро гомоморфизма / группы Q в группу /С является нормальным делителем группы Q. Л Для любого у ЕКег/ и любого aEG имеем 1) = f(a)f(y)f(a-1) = /(a) • 0. /(а) - /(^/(а) = 1. Это значит, что для любого а Е G выполняется соотношение а(Кег/)а~1 С Кег/, а, согласно теореме 2.18, Кег/ — нормаль- нормальный делитель. > Пусть К = (Я, •, 1) — нормальный делитель группы Q = = (G, •, 1). Рассмотрим множество всех левых смежных клас- классов {аН: a€G}. Это будет не что иное, как фактор-множе- фактор-множество множества G по определенному выше (см. теорему 2.11) отношению эквивалентности ~#. Введем операцию умножения на множестве всех левых смеж- смежных классов следующим образом: произведением аН • ЬН клас- классов аН и ЬН назовем класс аЬН. Это определение корректно, так как множество аН • ЬН, т.е. множество всех произведений вида ahbh\ для различных /г, h\ Е Я, в силу того что ЯЪ = ЬЯ для всякого Ь Е G, совпадает с левым смежным классом аЬЯ. Действительно, поскольку hb = = Wi' для некоторого h1 G Я, то ahbh\ = abh'hi € аЬЯ. Теперь рассмотрим некоторый х G а&#, т.е. я = abh для некоторого Л € Н\. Поскольку bh = Л'Ь для некоторого h1 E Я, то х = аЛ'6 = a/i;61 E аЯЬЯ. Следовательно, аЯ • ЬН = оЬЯ.
164 2. АЛГЕБРЫ: ГРУППЫ И КОЛЬЦА Можно далее легко показать, что для каждого a ? G имеют местоаНН = НаН = аНиаНа-1Н = а-1НаН = Н. Тем самым определена группа, носителем которой является фактор- фактормножество G/~h множества G по отношению эквивалентности ~я с операцией умножения левых смежных классов, причем нейтральным элементом относительно этой операции служит носитель подгруппы W, а обратным к левому смежному классу аН будет левый смежный класс аГ1Н. Эту группу называют фактор-группой группы Q по нормальному делителю % и обозначают Q/H. Можно указать естественный гомомор- гомоморфизм / группы G в фактор-группу Qjit, который вводится согласно правилу: (\/х Е G)(f(x) = хН). Так как хН • уН = хуН, то для любых x,yeG f(xy) = xyH = хН• уН = f(x)f(y) и / — действительно гомоморфизм. Его называют каноническим гомоморфизмом группы Q в фактор-группу Я/Н. Пример 2.24. а. Рассмотрим аддитивную группу R = = (R, +, 0) действительных чисел. Эта группа коммута- коммутативна. Напомним, что в коммутативной группе любая подгруп- подгруппа будет нормальным делителем. Поэтому для нее нормальным делителем является подгруппа целых чисел Z = (Z, +, 0) {ад- {аддитивная группа целых чисел). (Для этих групп мы приняли такие же обозначения, как и для их носителей: Е и Z соответ- соответственно.) Выясним смысл отношения экивалентности ~z> определяе- определяемого через равенство левых смежных классов*, по подгруппе Z в этом случае. Равенство левых смежных классов а + Z = Ь + Z означает, что для любого целого т найдется такое целое п, что а + т = ¦=¦ Ь + п, т.е. a-i = n-mEZ. Обратно, если разность а — Ь есть целое число, т.е. a —6 = nGZ, то a + Z = F + n) + Z = 6 + Z. Итак, a ~z b тогда и только тогда, когда а — Ь € Z, или, иначе *Мы можем говорить в данном случае просто о смежных классах, не различая левых и правых, так как для нормального делителя эти классы равны, тем более что мы „работаем" сейчас в коммутативной группе.
2.8. Гомоморфизмы групп 165 говоря, действительные числа а и 6 ^-эквивалентны тогда и только тогда, когда их дробные части равны. Аддитивная группа смежных классов, т.е. фактор-группа R/Z группы R по нормальному делителю Z строится так: сумма классов а + Z и Ь + Z равна классу (а + Ь) + Z. Вводя обозначе- обозначение а + Z = [а], получаем [а] + [Ь] = [а + 6]. При этом [0] = Z (т.е. единица фактор-группы — это смежный класс нуля — множество всех целых чисел), причем —[а] = [—а] = (—а) +Z. Обратим внимание на то, что смежный класс числа х однознач- однозначно определяется его дробной частью <х> (см. пример 1.14.6), т.е. [х] = [<#>]. Канонический гомоморфизм в данном случае задается так: х »-> [х]. б. Рассмотрим теперь аддитивную группу действи- действительных чисел по модулю 1, т.е. группу S1 = ([0,1), ©i, 0), заданную на полуинтервале [0,1), сложение в которой опре- определяется так: х ©1 у = <х + у> (дробная часть суммы х + у). Другими словами, [х + у-1, Докажем, что группа S1 изоморфна фактор-группе R/Z, т.е. Зададим отображение (р множества {[о]: а 6 R} смежных классов в полуинтервал [0,1) тале, что <р([х]) = <х>. Поскольку [х] = [<ж>], то <р — биекция и, кроме того, ?>(И + Ы) = <р([х + У]) = <х + у> = «д:> + <у» = = <х> ©1 <у> = <р([х]) ©1 <р(\у]). Это значит, что ц> — изоморфизм R/Z на S1. Группу S1 можно воспринимать как „наглядный образ" фак- фактор-группы R/Z. Довольно абстрактная идея фактор-группы кристаллизуется в виде группы с носителем [0,1) и операци- операцией сложения неотрицательных действительных чисел, строго
166 2. АЛГЕБРЫ: ГРУППЫ И КОЛЬЦА меньших единицы, с отбрасыванием в результате целой части. Здесь хорошо видна „польза" понятия изоморфизма. То, что само по себе не очень наглядно, становится наглядным через свой изоморфный образ. 2.9. Гомоморфизмы колец Рассмотрим очень коротко вопрос о гомоморфизмах колец и полей. Пусть П\ = (Дх, +, •, 0, 1) и К2 = (Дг, +, -, 0, 1) — кольца. Определение 2.9. Отображение /: Ri -> R2 называют гомоморфизмом колец (кольца И\ в кольцо Т^), если f(x + y) = /(я) + /(у), f{x-y) = f{x) • f(y) для любых ж, у в Ru т.е. образ суммы и произведения любых двух элементов кольца %\ при отображении / равен соответственно сумме и произве- произведению их образов в кольце 7^2- Бели отображение / сюръективно (соответственно биек- биективно), то его называют эпиморфизмом (соответственно изоморфизмом) колец (кольца К\ на кольцо Пример 2.25. Рассмотрим TZ\ = (Z, +, •, 0, 1) — кольцо целых чисел — и Z* = (Z*, ©*, ©*, 0, 1) — кольцо вычетов по модулю к. Зададим отображение /: Z -> Z* так: для всякого целого т образ f(m) равен остатку от деления т на fc. Ранее мы уже доказали (см. пример 2.21), что для любых целых т и п имеет место равенство f(m + n) = f(m) ф* f(n). Рассуждая аналогично, можно показать, что для любых целых тип также верно равенство /(га • п) = /(га) 0* /(п). С учетом того что отображение / сюръективно, приходим к выводу, что оно является гомоморфизмом кольца целых чисел на кольцо Z& вычетов по модулю А:. # Без доказательства сформулируем некоторые теоремы о го- гомоморфизмах и изоморфизмах колец (и полей). Все эти утвер- утверждения могут быть доказаны по аналогии с соответствующими теоремами о гомоморфизмах и изоморфизмах групп.
2.9. Гомоморфизмы колец 167 Теорема 2.20. Пусть TZ\ и 7^2 — произвольные кольца. Бели /: И\ -> 7^2 — гомоморфизм, то 1) образ нуля кольца И\ при отображении / есть нуль кольца 7^2, т.е. /@) = 0; 2) образ единицы кольца И\ при отображении / есть едини- единица кольца 7^2, т.е. /A) = 1; 3) для всякого элемента х кольца И\ образ элемента, проти- противоположного элементу ж, равен элементу, противоположному образу элемента ж, т.е. /(—ж) = — /(#); 4) если кольца 7Z\ и 7^2 являются полями, то для всякого элемента х кольца И\ образ элемента, обратного к элементу х по умножению, равен элементу, обратному к образу элемента Теорема 2.21. Бели / — гомоморфизм кольца 11 в кольцо /С, a g — гомоморфизм кольца /С в кольцо ?, то композиция отображений fog есть гомоморфизм кольца V, в кольцо С. Теорема 2.22. Бели /: 7?i —> К2 — изоморфизм кольца TZ\ на кольцо 7^2? то отображение f~l есть изоморфизм кольца 7^2 на кольцо К\. # Как и в случае групп, определяются понятия гомоморфно- гомоморфного образа кольца и изоморфных колец. А именно кольцо К называют гомоморфным образом кольца К, если существу- существует гомоморфизм кольца % на кольцо /С. Два кольца И и /С называют изоморфными и пишут TZ = /С, если существует изо- изоморфизм одного из них на другой. Так, например, кольцо вычетов по модулю к есть гомоморф- гомоморфный образ кольца целых чисел при гомоморфизме, задаваемом отображением, которое каждому целому т сопоставляет оста- остаток от деления т на к. Рассмотрим один интересный пример изоморфизма полей. Пример 2.26. Так же как и в примере 2.22, поставим в соответствие комплексному числу а + Ы матрицу f(a + Ы) = . 1. Получим отображение /, которое, как уже было WU1, ¦(-
168 2. АЛГЕБРЫ: ГРУППЫ И КОЛЬЦА доказано, является инъекцией, причем /@) = /@ + 0 • г) = 0, где О — нулевая матрица. Заметим, что, поскольку определитель матрицы указанного вида равен а2 + б2, среди всех таких матриц только нулевая будет иметь нулевой определитель. Далее, легко проверить, что множество таких матриц за- замкнуто относительно операций сложения и умножения ма- матриц, содержит (как уже было отмечено) нулевую и единичную матрицы, а также вместе с каждой матрицей А матрицу —А и вместе с каждой ненулевой матрицей обратную к ней матрицу. Это значит, что множество матриц вида ( , ], а, 6 € R, с операциями сложения и умножения матриц образует поле. Обо- Обозначим его М2- Из примера 2.22 следует, что мультипликативная группа поля комплексных чисел изоморфна мультипликативной группе поляЛ4в'Ь). Так как Ь\ ( с d\_ -d c f[(a + Ы) + (с + di)] = /[( а + с b + d_( -b~d а + с) \-Ь то и аддитивная группа поля комплексных чисел изоморфна аддитивной группе поля М2 • Итак, мы получаем, что поле комплексных чисел изоморфно полю матриц Л<2 • Этот изоморфизм лежит в основе матричного представления алгебры комплексных чисел, что имеет значение для компьютерных реализаций этой алгебры. Дополнение 2.1. Кватернионы Примером тела, не являющегося полем, может служить алгебра кватернионов (пчетырехмерных чисел"). Сначала напомним, как строится алгебра комплексных чи- чисел. Комплексное число определяется как упорядоченная пара
Д.2.1. Кватернионы 169 действительных чисел, причем сложение пар вводится поком- покомпонентно: (а, Ь) + (с, d) = (a + cy b + d), B.3) а умножение — согласно формуле (а, 6) • (с, d) = {ac-bd, ad + bc). Заметим, что покомпонентное определение умножения не дало бы требуемых свойств этой операции (таких же, как у умножения действительных чисел), поскольку при покомпо- покомпонентном умножении имеются делители нуля: (а, = (а-О,О-Ь) = При стандартном определении умножения согласно B.3) можно доказать, что алгебра комплексных чисел является по- полем. Кватернионы определяются как упорядоченные пары ком- комплексных чисел. Сложение кватернионов вводится снова как покомпонентное, а умножение — следующим образом: (а, Ь) • (с, d) = (ас-ЬЗ, ad + bc), где х — число, комплексно сопряженное с х. Таблица 2.3 • 1 i 3 к 1 1 i 3 к i г -1 -к 3 3 3 к -1 —i к к -з i -1 Можно показать, что каждый кватернион однозначно представля- представляется в виде где х, у, г, h — действительные числа, а г, j и А: — кватернионы, называемые мнимыми единицами. Правила умножения мни- мнимых единиц вместе с обычной единицей задаются табл. 2.3. Можно заметить, что умножение попарно различных мни- мнимых единиц совершается по тем же правилам, что и векторное умножение ортов г, j, к в векторной алгебре [III].
170 2. АЛГЕБРЫ: ГРУППЫ И КОЛЬЦА Сопряженный с a = x + iy + jz + kh кватернион, по определению, равен а = х — гу — jz — kh. Имеют место следу- следующие тождества: Действительное число аа, обозначаемое п(а), называется нормой кватерниона а. Построенная таким образом алгебра кватернионов облада- обладает следующими свойствами: 1. Умножение кватернионов ассоциативно, но не коммута- коммутативно. Это свойство непосредственно выводится из табл. 2.3. На- Например, пусть а = 0 + f I + jO + fcO, а 0 = 0 + гО + jl + kO. Тогда 2. В алгебре кватернионов нет делителей нуля. Действительно, п(а) = 0 тогда и только тогда, когда a = 0, т.е. нулевому кватерниону 0 + гО + jO + fcO, и можно показать, что n(ctf3) = п(а)п(/3). Тогда, если а ф 0, то Таким образом, по умножению все ненулевые кватернионы образуют группу и алгебра кватернионов оказывается телом, не будучи полем. Из кватернионов можно также строить упорядоченные па- пары, вводя операции сложения и умножения как описано выше, а операцию сопряжения согласно формуле (а,6) = (а,— 6) (а и Ъ — кватернионы). Полученная таким образом алгебра называется алгеброй Кэли, а ее элементы — числами Кэли или октавами. Умножение в алгебре Кэли уже не будет даже
Вопросы и задачи 171 ассоциативным, однако ассоциативный закон имеет место в частном случае — для любых двух чисел Кэли а и /3: aifia) = (aP)a. Кроме того, каждое ненулевое число Кэли имеет обратное. Другими словами, в алгебре Кэли любое уравнение ах — C (или ха = /3) имеет единственное решение. Таким образом, алгебра Кэли также является алгеброй без делителей нуля. Можно доказать, что, кроме алгебры комплексных чисел, алгебры кватернионов и алгебры Кэли, не существует „многомерных" числовых алгебр без делителей нуля. Вопросы и задачи 2.1. Ассоциативна ли операция © на множестве М, если: а) Af = N, б) M = Z, в) М = R, х © у = sinxsiny; г)М = Е\{0}, ' д) M = R, (X Т1\ 2.2. Пусть 5 — полугруппа матриц вида I п * 1, где ж, у G ЕЕ, с операцией умножения. Существуют ли в ней левые или правые нейтральные элементы? 2.3. На множестве М определена бинарная операция о по правилу х о у = х. Доказать, что (М, о) — полугруппа. Что можно сказать о нейтральных элементах этой полугруппы? В каких случаях она является группой? 2.4. Пусть М — произвольное множество. На множестве определена операция © по правилу (ж, у) о (г, t) = (ж, t).
172 2. АЛГЕБРЫ: ГРУППЫ И КОЛЬЦА Является ли алгебра (М2, о) полугруппой? Существует ли в ней нейтральный элемент? 2.5. Привести пример полугруппы с левой единицей (ней- (нейтральным элементом), не являющейся моноидом. 2.6. Какие из указанных множеств квадратных действи- действительных матриц одного порядка образуют группу: а) множество невырожденных матриц относительно умно- умножения; б) множество невырожденных матриц относительно сложе- сложения; в) множество диагональных матриц относительно сложе- сложения; г) множество диагональных матриц относительно умноже- умножения? 2.7. Доказать, что если в группе Q для любого х Е G выполняется тождество х2 = 1, то группа Q коммутативна. 2.8. В группе S4 решить уравнения: 2 3 4\ /1 2 3 ,4 2 1 ЗУ V3 2 1 4, 2 1 2.9. Является ли полем множество чисел вида х + у/2у, где xi У 6 Q? с обычными операциями сложения и умножения? 2.10. Доказать, что множество всех верхних треугольных матриц фиксированного порядка п является подкольцом кольца всех квадратных матриц порядка п. Верно ли это утверждение для диагональных и нижних треугольных матриц? 2.11. Построить пример кольца с одним элементом, т.е. такого, в котором 0 = 1.
Вопросы и задачи 173 2.12. Кольцо К= (Д, +, •, О, 1) называется булевым, если его умножение идемпотентно, т.е. х • х = х для любых х Е R. Доказать, что: а) для любого элемента х булева кольца имеет место равен- равенство х + х = 0, т.е. —х = ж; б) любое булево кольцо коммутативно; в) в любом булевом кольце, имеющем более двух элементов (\R\ > 2), существуют делители нуля. 2.13. Доказать, что Bм, Д, П, 0, М) — булево кольцо (см. задачу 2.12). Доказать, что оно изоморфно Z2 при \М\ = 1. 2.14. Показать, что множество остатков от деления много- многочленов от переменной х на х2 + х + 1 с операциями сложения и умножения многочленов является кольцом. Является ли это кольцо полем? 2.15. Элемент х кольца называют обратимым, если су- существует элемент х\ такой, что х • х' = х' • х = 1. Элемент х кольца называют обратимым слева (справа), если существует #', такой, что х' • х = 1 (х • х1 = 1). Элемент кольца называется односторонне обратимым, если он обратим слева или справа. Элемент х^О кольца называется левым (правым) делителем нуля, если существует ненулевой элемент кольца у, такой, что х • у = 0 (у • х = 0); элемент, являющийся левым и правым делителем нуля одновременно, называется делителем нуля. Доказать, что: а) элемент конечного кольца обратим (слева, справа) тогда и только тогда, когда он не является делителем нуля (правым, левым); б) в конечном кольце и в кольце без делителей нуля любой односторонне обратимый элемент обратим; в) элемент кольца вычетов по модулю к обратим тогда и только тогда, когда он взаимно прост с к. 2.16. Пусть R — кольцо. Доказать, что: а) если произведения ху и ух обратимы, то элементы х ту тоже обратимы;
174 2. АЛГЕБРЫ: ГРУППЫ И КОЛЬЦА б) если в R нет делителей нуля и произведение ху обратимо, тожиу обратимы; в) если R конечно и произведение ху обратимо, то х и у обратимы. Указание: использовать результаты задачи 2.15. 2.17. Доказать, что множество всех обратимых элементов кольца (см. задачу 2.15) образуют группу по умножению. 2.18. Решить систему уравнений а) в поле Z3; б) в поле Z5. 2.19. Выяснить, разрешима ли в кольце Z21 система урав- уравнений Г5х + 2у = 1, \ у-lls = 13. 2.20. Введем группу S „движений" (поворотов) окружности как группу, элементами которой являются всевозможные пово- повороты, измеряемые в радианах, причем поворот на любой угол, кратный 2тг, отождествляется с нулевым поворотом (тожде- (тождественным отображением множества точек окружности в себя). Доказать, что группа S изоморфна фактор-группе IR/Z, ко- которая, в свою очередь, изоморфна аддитивной группе S1 дей- действительных чисел по модулю 1. 2.21. Пусть М = (G, +, 0, {иа- а € R}) —левый модуль над кольцом 7?= (jR, +, •, 0, 1). Является ли соответствие между элементами а кольца И и отображениями ша взаимно однознач- однозначным? В частности, всегда ли нулевое отображение определяет- определяется только нулем кольца 7?? Указание: рассмотреть левый модуль матриц-столбцов вида (х 0) , х € Я, над кольцом верхнетреугольных матриц вто- второго порядка и показать, что ответы на поставленные вопросы отрицательны.
3. ПОЛУКОЛЬЦА И БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ Полукольцо является одной из важнейших алгебр в совре- современной дискретной математике. Эта глава посвящена рассмо- рассмотрению полуколец и булевых алгебр. Изучаемые здесь методы, прежде всего метод решения систем линейных уравнений в по- полукольцах, имеют первостепенное значение для теории графов, булевых функций и теории формальных языков. 3.1. Полукольца. Основные примеры Определение 3.1. Полукольцо — это алгебра с двумя бинарными и двумя нульарными операциями 5 = E,+,-,0, 1), такая, что для произвольных элементов а, 6, с множества S выполняются следующие равенства, называемые аксиомами полукольца: 2) 3) а + 0 = а; 4) а • F • с) = (а • Ь) • с; 5) а • 1 = 1 • а = а; 6) а- 7) 8) а • 0 = 0 • а = 0. Первую операцию + называют сложением полукольца, а вторую операцию — умножением полукольца «S; элементы 0 и 1 называют соответственно нулем и единицей полуколь- полукольца S.
176 3. ПОЛУКОЛЬЦА И БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ Аксиомы полукольца называют также основными то- ждествами полукольца. Таким образом, из определения следует, что операция сло- сложения полукольца ассоциативна и коммутативна, а нуль полу- полукольца является нейтральным элементом относительно опера- операции сложения; операция умножения полукольца ассоциативна и единица полукольца является нейтральным элементом от- относительно операции умножения. Кроме этого имеет место свойство дистрибутивности (двусторонней) операции умноже- умножения относительно сложения полукольца. Аксиому 8 полукольца называют аннулирующим свойством нуля в полукольце. Используя понятие моноида, определение 3.1 можно пере- переформулировать так. Полукольцо S = E, +, •, 0, 1) — это ал- алгебра с двумя бинарными и двумя нульарными операциями, такая, что: 1) алгебра (?, +, 0) является коммутативным моноидом (его называют аддитивным моноидом полукольца); 2) алгебра E, •, 1) является моноидом (его называют муль- мультипликативным моноидом полукольца); 3) имеют место свойства (двусторонней) дистрибутивности операции сложения относительно операции умножения; 4) выполняется аннулирующее свойство нуля. Сравнивая определение полукольца с определением 2.5 коль- кольца, мы видим, что кольцо есть частный случай полукольца: если кольцо по сложению является абелевой группой, то полу- полукольцо — лишь коммутативный моноид. Выделим два вида полуколец: коммутативное полу- полукольцо с коммутативной операцией умножения и идемпотен- тное полукольцо с идемпотентной операцией сложения. Пример 3.1. Рассмотрим алгебру П+ = (R+ U{+oo}, min, +, +оо, 0), где R+ — множество неотрицательных действительных чисел, min — операция взятия наименьшего из двух данных чисел,
3.1. Полукольца. Основные примеры 177 + — операция сложения действительных чисел, +оо — „плюс бесконечность" (в том же смысле, что и в математическом анализе), 0 — число „нуль". Эта алгебра — полукольцо, носителем которого является полуось R+ = {х: х ^ 0}, пополненная элементом +оо (множе- (множество всех неотрицательных действительных чисел вместе с плюс бесконечностью44). Необычность полукольца 7?+ состоит в том, что в качестве его умножения взято сложение действительных чисел, тогда как в качестве сложения выбрана операция взятия наименьшего из двух чисел. Согласно сигнатуре, элемент +оо рассматри- рассматривается как нуль полукольца. Действительно, min(x, +оо) = х для любого xGR+U {+oo}, т.е. элемент +оо есть нейтраль- нейтральный элемент относительно операции min (операции сложения в полукольце). Элемент +оо также обладает аннулирующим свойством относительно операции сложения чисел (операции умножения в полукольце): х + (+оо) = +оо. Следовательно, вы- выполняются аксиомы 3 и 8 полукольца. Остальные аксиомы полукольца также выполнены. Легко убедиться, что алгебра (R+U{+oo}, min, +oo) — коммутативный моноид и алгебра (R+ U {+оо}, +, 0) — также коммутативный моноид. Проверим свойства дистрибутивно- дистрибутивности, которые в данном случае запишутся так: Имеем В то з a + minF, a + min F ке время min(a + b, < Таким образом, a + minF, с) = min (a + Ь, , C) = J°' J-f с) - с) = < \а + с, = min(a + b, a + c). b>c. 6<c; b>c. a + c).
178 3. ПОЛУКОЛЬЦА И БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ Заметим, что в рассматриваемом полукольце умножение + коммутативно, а сложение min идемпотентно. Следовательно, 7?+ — идемпотентное коммутативное полукольцо. Пример 3.2. Рассмотрим алгебру #= ({0,1}, +, •, 0, 1), в которой операции + и ¦ заданы таблицами Кэли (табл. 3.1 и 3.2). Таблица 3.1 Таблица 3.2 + 0 1 0 0 1 1 1 1 • 0 1 0 0 0 1 0 1 Проверка аксиом полукольца основана на этих таблицах и легко выполняется. Обратим внимание, что два элемента О и 1, из которых в данном случае состоит носитель полуколь- полукольца, одновременно являются соответственно нулем и единицей данного полукольца. Легко видеть, что рассматриваемое полу- полукольцо коммутативное и идемпотентное. Интересно то, что операции полукольца В можно тракто- трактовать как логические связки „или" и „и", а элементы 0 и 1 — как „ложь" и „истина" соответственно. Пример 3.3. Рассмотрим еще несколько различных алгебр, являющихся полукольцами. Выполнение аксиом полукольца для всех приведенных алгебр легко проверяется. а. Алгебра N = (No, +, •, 0, 1) с носителем — множеством неотрицательных целых чисел и операциями сложения и умно- умножения чисел есть коммутативное полукольцо. Оно не является идемпотентным. б. Алгебра Sa = BA, U, П, 0, А) с носителем — множест- множеством всех подмножеств некоторого множества А и операция- операциями объединения и пересечения есть полукольцо. Оно является идемпотентным и коммутативным.
3.1. Полукольца. Основные примеры 179 в. Алгебра На = BАхА, U, о, 0, %d^) с носителем — мно- множеством всех бинарных отношений на множестве А — и опе- операциями объединения и композиции отношений является полу- полукольцом. Оно идемпотентное, но не коммутативное. г. Алгебра <5[в,ь] = ([а> Ч> naax, min, а, Ь), носителем кото- которой служит отрезок числовой прямой, с операциями взятия максимума и минимума из двух чисел есть идемпотентное и коммутативное полукольцо. # В дальнейшем нас будут интересовать только идемпотент- ные полукольца, поскольку именно на их основе разрабатыва- разрабатываются алгебраические методы анализа ориентированных графов и конечных автоматов. На носителе идемпотентного полукольца S = E, +, •, 0, 1) может быть введено отношение порядка, которое, естественно, согласуется со свойствами операций полукольца: для произ- произвольных ж, у Е S положим х < у тогда и только тогда, когда я + У = У, т.е. х^у&х + у = у. C.1) Проверим, что таким образом действительно определено от- отношение порядка. Для этого нужно показать, что введенное бинарное отношение рефлексивно, антисимметрично и тран- зитивно. Поскольку для любого х в силу идемпотентности сложения имеет место равенство х + х = ж, то, согласно C.1), имеем х < ж, т.е. введенное отношение рефлексивно. Соотношения х^у иу^х означают, что х + у = у иу + х = = х. Поскольку сложение коммутативно, то из этих равенств следует, что ж = у. Значит, рассматриваемое отношение анти- антисимметрично. Соотношения х < у и у < z означают, что х + у = у и у + z = z. Тогда откуда следует, что х ^ z. Таким образом, введенное отношение транзитивно.
180 3. ПОЛУКОЛЬЦА И БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ Итак, отношение ^ на носителе произвольного идемпотент- идемпотентного полукольца есть отношение порядка. Будем называть его естественным порядком идемпотентного полукольца и говорить, что он задан в этом полукольце. Мы установили очень важный факт: всякое идемпотентное полукольцо можно рассматривать как упорядоченное множе- множество, причем отношение порядка определяется через сложение этого полукольца согласно C.1). Введенное отношение порядка можно интерпретировать так: „большее при сложении погло- поглощает меньшее" (как, скажем, при объединении множества и некоторого его подмножества). Поскольку для любого элемента х произвольного идемпо- идемпотентного полукольца S = E, +, •, 0, 1) имеет место 0 + х = я, то для любого х Е S выполняется неравенство 0 ^ #, т.е. нуль идемпотентного полукольца есть наименьший элемент относи- относительно естественного порядка идемпотентного полукольца. Объясним, как интерпретируется естественный порядок идемпотентных полуколец, рассмотренных в приведенных вы- выше примерах. Пример 3.4. В полукольце В (см. пример 3.2) выполняется равенство 0 +1 = 1 и, следовательно, 0^1. В полукольце И+ (см. пример 3.1) х < у, если и только если Обозначим через ^к естественный числовой порядок на множестве действительных чисел. Тогда для произвольных эле- элементов ж, у полукольца И+ соотношение х < у означает, что х ^r у, т.е. число х не меньше числа у относительно естествен- естественного числового порядка. Таким образом, порядок в полукольце И+ — это двойственный порядок для отношения <ц. В по- полукольце есть наименьший элемент относительно введенного порядка — элемент +оо, поскольку для любого элемента х имеем тт(ж, +оо) = х. Существует и наибольший элемент — единица полукольца, т.е. число 0. Не следует путать число 0 с нулем данного полукольца, а именно с элементом +оо.
3.1. Полукольца. Основные примеры 181 В полукольце Sa (см. пример З.З.б) получаем в качестве от- отношения естественного порядка полукольца отношение вклю- включения С . Действительно, для любых двух множеств X, У Е 2А из X U Y = Y вытекает X С Y и наоборот. Наименьшим эле- элементом является нуль полукольца — 0 (пустое множество), а наибольшим — единица полукольца (множество А). В полукольце На (см. пример З.З.в) отношение естественно- естественного порядка полукольца также совпадает с отношением включе- включения для бинарных отношений. В этом полукольце существуют наименьший элемент — пустое отношение 0 и наибольший элемент — универсальное отношение. Однако в отличие от полукольца Sa наибольший элемент не совпадает с единицей полукольца. В полукольце 5[а,ь] (см. пример З.З.г) имеем естественный числовой порядок, определенный на множестве действительных чисел отрезка [а, Ь]. Наименьшим элементом является число а (нуль полукольца), а наибольшим — число 6 (единица полу- полукольца). Теорема 3.1. Если А — конечное подмножество (носителя) идемпотентного полукольца, то sup Л относительно естествен- естественного порядка этого полукольца равен сумме всех элементов множества А. < Пусть А = {ai,..., an} и а = а\ +... + ап. Для произвольного элемента a*, i = 1, п, в силу коммутативности и идемпотентно- идемпотентности сложения имеем а{ + а = ai + (ах +... + п{ +... + ап) = = а\ +... + ai + ai +... + an = = а\ +... + ai +... + an = a, т.е. ai ^ о, и поэтому а есть верхняя грань множества А. Покажем, что это точная верхняя грань множества. Возьмем произвольную верхнюю грань Ь множества А и рассмотрим
182 3. ПОЛУКОЛЬЦА И БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ сумму b + а. Так как для каждого г = 1, п имеет место а; ^ 6, т.е. а{ + b = Ь, то 6 + а = Ь + (а\ + а.2 +... + ап) = Следовательно, аО и поэтому а — тонная верхняя грань множества А. > 3.2. Замкнутые полукольца При изучении колег* большое внимание было уделено полям. Связано это прежде всего с тем, что в полях разработана тех- техника решения систем линейных уравнений. Оказывается, мож- можно выделить специальный класс идемпотентных полуколец, в которых также удается находить решения систем уравнений, рассматриваемых в качестве аналогов систем линейных алге- алгебраических уравнений [III]. Определение 3.2. Полукольцо S = (S, +, -, 0, 1) называ- называют замкнутым, если: 1) оно идемпотентно; 2) любая последовательность элементов множества S имеет точную верхнюю грань относительно естественного порядка ^ этого идемпотентного полукольца] 3) операция умножения полукольца S сохраняет точные верхние грани последовательностей, т.е. для любого а 6 S и любой последовательности X = {хп}пещ элементов множества S a sup X = sup aX, (sup X)a = sup(Xa). Замечание ЗЛ. Условие 3 определения 3.2 можно сформу- сформулировать иначе и говорить о сохранении точной верхней грани любого не более чем счетного подмножества множества S. Од- Однако в дальнейшем такие подмножества часто будут строить- строиться как множества элементов некоторых последовательностей.
3.2. Замкнутые полукольца 183 Кроме того, из элементов не более чем счетного множества всегда можно образовать последовательность, используя неко- некоторую нумерацию этого множества. Теорема 3.2. Любое конечное идемпотентное полукольцо замкнуто. М Поскольку носитель S идемпотентного полукольца 5 = E,+,-,0,1) есть конечное множество, то множество элементов любой по- последовательности в этом полукольце конечно. Для нахождения точной верхней грани такой последовательности нужно найти точную верхнюю грань множества Р= {pi, -.-,Pn} ее членов, т.е., согласно теореме 3.1, вычислить некоторую конечную сум- сумму, которая всегда существует. Таким образом, в конечном идемпотентном полукольце любая последовательность имеет точную верхнюю грань. Условия сохранения точных верхних граней имеют вид (pi +... + pn)a = pia +... + pna и выполняются в силу аксиом полукольца. Таким образом, полукольцо S замкнуто. > Мы доказали (см. 3.1), что в любом идемпотентном полу- полукольце сумма произвольного конечного множества элементов является его точной верхней гранью. В силу этого в замкнутом полукольце естественно точную верхнюю грань последовательности {#n}n€N называть суммой элементов последовательности, полагая, по определе- определению, оо ? хп = sup {xn: n G N}. C.2) п=1
184 3. ПОЛУКОЛЬЦА И БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ оо Согласно условию 2 определения 3.2, всегда J2 хп есть элемент п=1 множества S. Иногда, если это не приводит к недоразуме- недоразумению, „пределы суммирования" будем опускать и писать просто ^п. Также будем использовать обозначение ^^хп- Под- черкивая, что в C.2) множество элементов хп в общем случае бесконечно, будем сумму, стоящую в левой части C.2), назы- называть бесконечной суммой. Заметим, что в частных случаях бесконечная сумма может свестись к конечной (если множество всех элементов последовательности {хп} конечно). Итак, согласно определению 3.2, замкнутое полукольцо яв- является индуктивным упорядоченным множеством, в котором наименьшим элементом служит нуль полукольца, точной верх- верхней гранью произвольной (в частности, неубывающей) последо- последовательности {жп}пен является бесконечная сумма J^#n, причем операция умножения на произвольный фиксированный элемент а непрерывна в смысле определения 1.5, поскольку, согласно определению 3.2, сохраняет точные верхние грани. Заметим, что это свойство умножения в замкнутом полукольце можно рассматривать как аналог дистрибутивности (седьмой аксио- аксиомы полукольца, см. определение 3.1) для бесконечной суммы: Xn и Для бесконечной суммы также справедливы аналоги свойств идемпотентности и коммутативности. Действительно, для последовательности {#n}n€N? такой, что хп = а для любого п € N, имеем X^#n = sup{a} = a, т.е. бес- бесконечная сумма, все слагаемые которой одинаковы и равны некоторому а, равна а. В этом состоит свойство идемпотент- идемпотентности бесконечной суммы (или, как иногда говорят, свойство бесконечной идемпотентности). Так как точная верхняя грань последовательности любо- любого упорядоченного множества равна, по определению, точной
3.2. Замкнутые полукольца 185 верхней грани множества всех элементов этой последователь- последовательности, то при любом расположении слагаемых в бесконечной сумме мы получим один и тот же результат. Это свойство есть свойство бесконечной коммутативности, или коммутативности бесконечной суммы. Сложнее обстоит дело с аналогом ассоциативности для бес- бесконечной суммы. Такая ассоциативность означает, что резуль- результат не изменяется при произвольной группировке слагаемых бесконечной суммы. Для некоторой последовательности {xn}n€N элементов замк- замкнутого полукольца и произвольной последовательности {rik}keN натуральных чисел образуем последовательность {sjfe}*eN> где Тогда бесконечная ассоциативность состоит в выполнении для любой последовательности {#n}n€N равенства Свойство бесконечной ассоциативности C.3) удобнее не до- доказывать непосредственно, а вывести из более общих результа- результатов. Один из них касается характеристики замкнутых полуко- полуколец в терминах точных верхних граней счетных подмножеств. Теорема 3.3. Идемпотентное полукольцо S = E, +,-,0,1) замкнуто тогда и только тогда, когда любое счетное подмно- подмножество X CS имеет точную верхнюю грань и для любого a E S верны равенства a • supX = sup(a • X), (supX) • a = sup(X • a).
186 3. ПОЛУКОЛЬЦА И БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ < Справедливость утверждения теоремы немедленно вытекает из определения точной верхней грани последовательности эле- элементов упорядоченного множества как точной верхней грани множества этих элементов. > Теорема 3.4. Пусть S = E, +, •, 0, 1) — замкнутое полу- полукольцо, X — не более чем счетное подмножество множества 5, a (Bi)i?j — не более чем счетное семейство подмножеств мно- множества X, такое, что объединение семейства совпадает с X, т.е. (J Bi = X. Тогда supX = sup {supВ», i € /}. C.4) <4 Поскольку множества Хи/не более чем счетны, то, согласно определению 3.2, все точные верхние грани из C.4) существуют и принадлежат S. Обозначим левую часть равенства C.4) через а, а правую — через Ь. Так как а есть точная верхняя грань множества Л", то для любого х Е X справедливо неравенство х ^ а (где ^ — естественный порядок идемпотентного полукольца S). В част- частности, для любого подмножества Bi и любого его элемента у получаем у ^ а, откуда следует, что элемент а есть верх- верхняя грань каждого подмножества В%. Значит, этот элемент не меньше чем точная верхняя грань каждого из этих подмно- подмножеств, т.е. для любого i G J a ^ sup Д. Последнее означает, что а есть верхняя грань множества всех точных верхних граней supJSi, г € J, т.е. а > Ь. В то же время, поскольку объединение всех подмножеств В{ равно X, для любого хЕХ найдется такое г Е /, что а:€ fit- Поэтому х < sup В* < Ь, это означает, что элемент Ь является верхней гранью множества X, и тогда Ъ ^ а, так кале а есть точная верхняя грань X. Итак, а^Ьиб^а, откуда а = Ь, и равенство C.4) доказа- доказано. >
3.2. Замкнутые полукольца 187 Следствие 3.1. Бели семейство подмножеств из теоре- теоремы 3.4 (-Bj)ie/ конечно, т.е. / = {1,2,..., п}, то *=i Следствие 3.2. Пусть {xn}n^ — произвольная после- последовательность элементов замкнутого полукольца и (#*)*€/ — не более чем счетное семейство подмножеств N, такое, что U Ni = N. Тогда n€N t€/ xm- # i В частности, из следствия 3.2 при условии, что множества Ni, % € /, попарно не пересекаются, получаем свойство ассоци- ассоциативности бесконечной суммы C.3). Отсюда же при N\ = {1}, N2 = {1,2} и т.д., т.е. при определении для любого натурально- натурального k множества Nk в виде Nk = Nfc-i U {fe}, получаем равенство т.е. точная верхняя грань последовательности {zn}n€N равна точной верхней грани последовательности частичных сумм {sjfebeN, где sk = si +... + а*. Пусть {sn}n€N и {ym}m€N — произвольные последователь- последовательности в замкнутом полукольце S. Образуем последователь- последовательность, членами которой являются все произведения хпут при независимом пробегании индексами пит множества нату- натуральных чисел*. Эту последовательность будем записывать * Такую последовательность называют произведением Коши исходных последовательностей [IX].
188 3. ПОЛУКОЛЬЦА И БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ как {xnym}n,meN, а ее точную верхнюю грань обозначим как Е хпУт- Теорема 3.5. В любом замкнутом полукольце верно то- тождество Е *пут=A n,mGN n€N М Ввиду непрерывности умножения в замкнутом полукольце правую часть тождества C.7) можно переписать в виде (ЕЖ") (Е *») = Е (? n€N m€N m€N n€N Еще раз используя непрерывность умножения и внося со- сомножитель ут под знак внутренней суммы, получаем m€N nGN m€N В правой части последнего равенства каждое слагаемое внешней суммы (по т) есть точная верхняя грань подпоследо- подпоследовательности {хпут}пещ при фиксированном т. Поскольку все эти подпоследовательности в совокупности дают всю последо- последовательность {xnj/m}n,m€N> TO> согласно следствию 3.2, получаем () m€N n€N n,m€N что и доказывает тождество C.7). > Следующая теорема устанавливает связь между конечной и бесконечной суммами. Пусть {a;n}n€N и {j/n}n€N — произвольные последовательно- последовательности в замкнутом полукольце S. Образуем последовательность {#n + 2/n}neN> называемую суммой исходных последовательно- последовательностей.
3.2. Замкнутые полукольца 189 Теорема 3.6. В любом замкнутом полукольце точная верхняя грань суммы двух произвольных последовательностей равна сумме точных верхних граней этих последовательностей, т.е. А Обозначим через X множество всех членов последователь- последовательности {жп}п€н> а через У — множество всех членов последова- последовательности {yn}n€N- В силу следствия 3.2 sup(X U Y) = supX + sup Y = ^2 xn + Осталось тогда доказать, что ?>» + !*») =eup(XUY). C.9) Обозначим через а левую, а через Ь правую часть доказы- доказываемого равенства C.9). Для любого натурального п имеем a^xn + yn. Согласно теореме 3.1, хп + уп ^ хп и хп + уп > уп. Следовательно, для любого п выполняются неравенства а^хпи а^Уп, т.е. а ^ и для любого и G X U Y. Таким образом, элемент а является верхней гранью множества X U Y, откуда а^Ь. В то же время элемент 6 не меньше любого из элементов множества ХиУ, и, стало быть, для любого натурального п имеет место Ь^хп и b^yn, т.е. Ь ^ sup{xn, yn} = хп + уп. Это значит, что Ь есть верхняя грань последовательности {хп + Уп}пбН, а потому 6 ^ а. Итак, а = Ь, и равенство C.9) доказано. > Бели в C.8) уп = а для всех п, то получаем следствие. Следствие 3.3. Для любой последовательности {хп}п^ элементов замкнутого полукольца и любого элемента а этого полукольца выполняется равенство »)- #
190 3. ПОЛУКОЛЬЦА И БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ Тождество C.10) можно рассматривать как свойство непре- непрерывности операции сложения в замкнутом полукольце. Это свойство совершенно аналогично свойству непрерывности опе- операции умножения, которое имеет место по определению. Одним из важнейших понятий в замкнутых полукольцах является понятие итерации (или замыкания) элемента замкнутого полукольца. Итерация х* элемента х определяется как точная верхняя грань последовательности всех степеней элемента х, т.е. 00 ** = ?*"> п=0 где, по определению, х° = 1, а хп = xn~lx, n = 1,2,... Пример 3.5. а* Из теоремы 3.2 сразу получаем, что идемпотентное полукольцо В (см. пример 3.2) замкнуто, причем точная верхняя грань любой последовательности элементов этого полукольца равна 1, если хотя бы один ее член равен 1, и равна 0 в противном случае. В частности, итерация любого элемента полукольца В равна 1. Для 1* это очевидно, а для О* имеем б. В идемпотентном полукольце К+ (см. пример 3.1) любая последовательность есть последовательность неотрицательных действительных чисел. Такая последовательность ограничена снизу и, как известно из курса математического анализа, имеет точную нижнюю грань относительно естественного числового порядка [I], которая, согласно примеру 3.4, представляет собой точную верхнюю грань относительно естественного порядка идемпотентного полукольца 7?+. Напомним, что этот порядок является двойственным к естественному числовому порядку. Итак, для любой последовательности хп элементов полу- полукольца 7?+ точная верхняя грань существует. Непрерывность операции умножения в этом полукольце также можно доказать,
3.2. Замкнутые полукольца 191 опираясь на естественный числовой порядок, для которого она эквивалентна выполнению равенства a + infX = infXa, C.11) где a — неотрицательное действительное число, а X (соот- (соответственно Ха) — множество элементов последовательности хп (соответственно хп + а). Равенство C.11) следует из известных результатов математического анализа. Таким образом, рассматриваемое идемпотентное полуколь- полукольцо 7?+ является замкнутым. Итерация х* элемента х в полукольце 7?+ есть точная верх- верхняя грань последовательности степеней элемента х. Поскольку в этом полукольце операция умножения определена как опера- операция сложения действительных чисел, то х° = 0, так как чи- число 0 есть единица полукольца 7?+. Далее, х2 = х + х = 2х, ..., хп = пх. Очевидно, что для каждого n ^ О выполняется не- неравенство жпHв смысле естественного числового порядка. Таким образом, число 0 есть наименьший в смысле естествен- естественного числового порядка член последовательности {жп}п€н и> следовательно, inf{a;n}nGN = 0. Переходя к двойственному по- порядку — естественному порядку полукольца 7?+, получим, что число 0 является точной верхней гранью последовательности {#n}n€N? т.е. х* = 0. Таким образом, в полукольце И+ итера- итерация произвольного элемента также равна единице полукольца, т.е. числу 0. в. Замкнутость идемпотентного полукольца Sa (cm. при- пример З.З.б) можно обосновать следующим образом. Отношение естественного порядка этого полукольца — это отношение включения (см. пример 3.4). Рассмотрим произвольную после- последовательность подмножеств J?i, ..., 2?п, ... множества А. В данном полукольце бесконечная сумма есть объединение после- последовательности подмножеств множества А. Докажем, что объединение В = (J Вп и есть supl?n. Оче- n€N видно, что для каждого г справедливо включение В» С В, т.е.
192 3. ПОЛУКОЛЬЦА И БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ объединение есть верхняя грань последовательности {В Покажем, что В будет точной верхней гранью. Рассмотрим произвольную верхнюю грань С последовательности Вп. Тогда BnQC для каждого п Е N (см. 1.5) и поэтому т.е. ВСС. Следовательно, В = (J J5n = supBn. n€N Непрерывность умножения полукольца 5д, в качестве кото- которого взято пересечение множеств, эквивалентна тождеству n€N n€N (дистрибутивности пересечения относительно произвольного объединения, см. 1.5). В этом полукольце умножение — это пересечение множеств. Поэтому любая положительная степень множества X есть само X. Нулевая же степень Х° равна единице полукольца, т.е. множеству А. Поэтому итерация X* равна т.е. также равна единице полукольца. г. Рассмотрим идемпотентное полукольцо На (см. при- пример З.З.в) бинарных отношений на множестве А. Можно до- доказать, что точной верхней гранью любой последовательности отношений, как и в полукольце 5д, служит объединение элемен- элементов этой последовательности (см. пример 3.4). Аналогично доказательству дистрибутивности композиции бинарных отношений на множестве относительно конечного объединения (см. 1.4) можно доказать, что для любых бинар-
3.2. Замкнутые полукольца 193 ных отношений р и an на множестве А справедливы тождества PoU<7n== Таким образом, идемпотентное полукольцо На замкнутое. Итерация бинарного отношения р есть где рп, п ^ 1, — n-кратная композиция р с самим собой: рп = ро...ор. Как видно, в общем случае р* ф id^, т.е. в п раз этом полукольце итерация элемента, вообще говоря, не равна единице полукольца. # Выше было показано, что всякое замкнутое полукольцо является индуктивным упорядоченным множеством. Следова- Следовательно, согласно теореме 1.7, любое непрерывное отображение f замкнутого полукольца в себя имеет наименьшую неподвиж- неподвижную точку, т.е. в любом замкнутом полукольце всякое уравне- уравнение вида х = /(ж), где / — непрерывное отображение носителя этого полукольца в себя, имеет наименьшее решение. Особенно важными для приложений являются линейные уравнения в замкнутом полукольце, имеющие вид C.12) или C.13) В силу непрерывности операций сложения полукольца (см. тождество C.10)) и умножения полукольца (см. определение 3.2) правые части уравнений C.12) и C.13) есть непрерывные ото- отображения. Поэтому, согласно теореме 1.7 о неподвижной точ- точке, существуют наименьшие решения этих уравнений. 7 — 10061
194 3. ПОЛУКОЛЬЦА И БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ Теорема 3.7. Наименьшими решениями уравнений C.12) и C.13) в замкнутых полукольцах являются соответственно х = а*Ь C.14) и х = Ьа\ C.15) где а* — итерация элемента а. < Используя формулу A.8) для вычисления наименьшей непо- неподвижной точки и записывая sup в случае замкнутого полуколь- полукольца как бесконечную сумму, для уравнения C.14) получаем где 0 — нуль полукольца, a f(x) — ax + b. Учитывая, что /°@) = О, получаем п=0 п=1 Используя непрерывность умножения, вынесем Ь (вправо) за знак бесконечной суммы и получим n=l Si=l
3.3. Решение систем линейных уравнений 195 Сумма 1 + a +... + an~l есть частичная сумма последователь- последовательности {а"}п^о- Используя равенство C.6), можем написать п=1 п=0 Окончательно получаем П=1 Аналогично доказывается равенство C.15). > Формулы C.14) и C.15) дают именно наименьшие решения уравнений C.12) и C.13), а не все возможные их решения. Приведем в этой связи простой пример. В полукольце В (см. пример 3.2) можно определить только два уравнения: х = х +1 и х = х + 0. Второе уравнение переписывается совсем просто: х = х] его решением является любой элемент полукольца — как 0, так и 1. Но по формуле C.14) получим х = 1*0 = 0, что, как и доказано выше, есть наименьшее решение уравнения. Заметим еще, что в полукольце, в котором итерация любо- любого элемента равна единице полукольца, формулы C.14) и C.15) дают один и тот же результат: х — Ь, т.е. в данном случае наи- наименьшее решение совпадает со свободным членом уравнения. 3.3. Решение систем линейных уравнений Полученные выше результаты (см. 3.2) можно распростра- распространить на системы линейных уравнений вида Х\ = 0>\\Х\ + ... + CL\nXn • C.16) -...+annsn + ftn, где все элементы a*j, 1 < % < п, 1 < j < n, и Ь», 1 ^ г ^ п, суть элементы некоторого замкнутого полукольца, и речь идет о решении системы C.16) в этом полукольце. 7*
196 3. ПОЛУКОЛЬЦА И БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ Для этого введем в рассмотрение множество ШтХп(8) пря- прямоугольных матриц типа тхпс элементами из произвольного идемпотентного полукольца S = E,+,-,0,1). Множество всех квадратных матриц порядка п с элементами из полукольца S обозначим МпE). Через Matr(«S) обозначим множество всех матриц любого типа с элементами из S. Операции сложения и умножения матриц определяют точно так же, как и в числовом случае [III], — с учетом того, что сложение и умножение элементов матриц понимаются в смысле данного идемпотентного полукольца S, а именно: 1) суммой матриц А = (ау) иВ = (Ьу) типа тхп называют матрицу С = (cij) того же типа с элементами су = ay + by, г = 1, га, j = l,n, и используют обозначение С = А + В; 2) произведением АВ матриц А = (оу) типа тхпиВ = (Ьу) типа пхр называют матрицу С = (су) типа т х р с элементами к=1 Нулевая (О) и единичная (Е) матрицы любого порядка определяются с помощью единицы и нуля полукольца. На множестве Mn(<S) всех квадратных матриц фиксирован- фиксированного порядка п можно определить алгебру Теорема 3.8. Алгебра Mn(«S) есть идемпотентное полу- полукольцо. Бели полукольцо S замкнуто, то полукольцо Mn(«S) тоже замкнуто. < Операции суммы и произведения матриц определены таким образом, что все свойства операций сложения и умножения в полукольце сохраняются и для соответствующих операций над матрицами. Поэтому для суммы и произведения матриц из Mn(«S) выполнены аксиомы полукольца, и, кроме того, опера- операция сложения матриц идемпотентна. Следовательно, Mn(«S) — идемпотентное полукольцо.
3.3. Решение систем линейных уравнении 197 Выясним смысл отношения порядка в этом идемпотент- ном полукольце. В силу определения естественного порядка идемпотентного полукольца неравенство А ^ В для матриц А и В означает, что А + В = J3, или для всех г, j справедливо dij + bij = by. Следовательно, А ^ В тогда и только тогда, ко- когда для всех г, j справедливо ay ^ Ьу. Пусть S — замкнутое полукольцо. Докажем замкнутость идемпотентного полукольца Mn(«S) и существование точной верхней грани у любой последовательности матриц в Mn(«S). Пусть {Ат}тещ — произвольная последовательность ква- квадратных матриц Ат = (а^) порядка п. Рассмотрим матрицу В=[ ^2 аШ- Каждый элемент Ьу = ^ а$ этой матрицы есть точная верхняя грань последовательности элементов а^. Эти точные верхние грани существуют, поскольку а^ — элементы замкнутого полукольца S. Так как сложение матриц и отноше- отношение порядка в полукольце матриц определяются поэлементно, то матрица В и будет точной верхней гранью последователь- последовательности матриц Ат. Докажем теперь непрерывность умножения в Mn(«S), т.е. что для любой последовательности {-Am}meN матриц и произ- произвольной матрицы В имеет место Матрица С = (су) = 5Z^m есть точная верхняя грань последо- последовательности {Ат}т?щ. Тогда имеем Элемент сщ есть точная верхняя грань последовательности элементов матриц Ат, т.е. m€N
198 3. ПОЛУКОЛЬЦА И БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ Используя непрерывность умножения в исходном полуколь- полукольце «S, получаем ? = (Е Е Следовательно, m€N Используя непрерывность сложения, получаем Е ) ( k=l m€N m€N Jk= Аналогично доказывается, что Полукольцо МпE) будем называть полукольцом матриц над полукольцом S. Доказанная теорема позволяет нам применять к замкнутым полукольцам матриц над некоторым замкнутым полукольцом S теорему 3.7 и решать произвольные уравнения вида Х = АХ + В C.17) или Х = ХА + В C.18) относительно неизвестной матрицы X. Наименьшие решения этих уравнений есть X = А* В C.19) и Х = ВА* C.20) соответственно, где А* — итерация матрицы А в Mn(«S). Итерация А* матрицы А играет в теории линейных уравнений в
3.3. Решение систем линейных уравнений 199 замкнутых полукольцах такую же роль, как обратная матрица в классической линейной алгебре. Основную роль при решении задач теории ориентированных графов и теории формальных языков играют праволиней- ные уравнения вида C.17), поэтому мы будем, как правило, рассматривать только их. Леволинейное уравнение C.18) может быть проанализировано аналогично. Мы доказали существование решений матричных уравнений в матричном полукольце над замкнутым полукольцом. Теперь нам необходимо разработать технику поиска их решений и применить ее к решению систем вида C.16). Полагая, что f j — j-й столбец матрицы X, a /3j — j-й стол- столбец матрицы В, уравнение C.17) можно переписать как систему уравнений относительно неизвестных столбцов матрицы X: tj = Mj + fa O^j^n. C.21) Каждая система вида C.21) есть матричная форма записи указанной выше системы C.16). Поэтому наименьшее решение этой системы, как следует из C.19), есть Ь = А*%. C.22) Для поиска решения системы вида C.21) можно воспользо- воспользоваться методом последовательного исключения неиз- неизвестных, аналогичным классическому методу Гаусса. Поскольку система уравнений вида C.16) имеет решение, мы можем подставить его в систему и работать с уравнениями как с тождествами. Рассмотрим процедуру решения системы уравнений C.16). Запишем первое уравнение системы так: х\ = ацх\ + (аиХ2 +... + а\пхп + Ь\). Из первого уравнения системы выразим х\ через остальные неизвестные, воспользовавшись формулой C.14): ... + ainxn + Ьх). C.23)
200 3. ПОЛУКОЛЬЦА И БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ В формуле C.23) выражение в скобках не содержит неизвест- неизвестного х\. Подставляя C.23) вместо х\ в остальные уравнения, получаем систему из п — 1 уравнений, которая уже не содер- содержит Х\\ ... + агпхп C.24) • • • + 0>nnXn + Ьп. Приводя подобные члены в каждом уравнении системы, полу- получаем: ... + (апа^ахп + аЪп)хп + az\a\xbi + 63, C.25) + апп)хп Первое уравнение этой системы перепишем так: Х2 = @>21а,па>12+а22)Х2+'У2, где 72 = Q>2\a\i{aibXz + ... + ainxn + bx) + 0,23X3 +... + а2пхп Заметим, что 72 не содержит х\ ИХ2. Воспользовавшись соот- соотношением C.14), будем иметь Я2=С*272, C.26) где О.2 = <b2\Q\\Q»\2 + ^22 не содержит неизвестных. Используя полученное выражение, исключаем Х2 из остальных уравнений.
3.3. Решение систем линейных уравнении 201 Действуя подобным образом, на г-м шаге A ^ i < n) полу- получаем Xi = a\lu C.27) где выражение а* не содержит неизвестных, а выражение 7t может содержать только неизвестные, начиная с (г + 1)-го, т.е. #г+Ъ •••> хп- При г = п имеем «п = <7п, C.28) где выражения а* и jn не содержат неизвестных. Таким обра- образом, исходная система C.16) преобразована к ятреугольному" виду: правая часть уравнения C.28) не содержит неизвестных, уравнение C.27) при г = п — 1 в правой части содержит толь- только одно неизвестное xn_i и каждое следующее уравнение при просмотре „снизу вверх" на одно неизвестное больше, чем пре- предыдущее. Первое уравнение системы — уравнение C.23) — в правой части содержит все неизвестные от Х2 до хп. На этом завершается первый этап алгоритма, который называют пря- прямым ходом метода Гаусса. Второй этап алгоритма, называемый обратным ходом ме- метода Гаусса, состоит в последовательном нахождении значения всех неизвестных х\, ..., #п-ъ начиная с жп-1- Подставив в вы- выражение для хп-\ вместо хп правую часть C.28), найдем агп-1- Затем определим жп_2> подставив полученные значения хп и жп_1 в правую часть выражения C.27) при г = п — 2, и так да- далее до тех пор, пока не найдем х\. Замечание 3.2. Положив В = Е в уравнении C.17), полу- получим X = А*Е = А*. Таким образом, чтобы вычислить итерацию матрицы А, достаточно решить матричное уравнение C.21) для всех j = 1, п при /3j, равном j-му столбцу единичной матрицы Е. Пример 3.6. Проиллюстрируем приведенную схему реше- решения системы из двух линейных уравнений. Имеем
202 3. ПОЛУКОЛЬЦА И БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ Из первого уравнения выразим х\\ Подставляя это выражение во второе уравнение, получаем Подставляя этот результат в написанное выше выражение для xi, находим окончательное решение: Особенно просто решение выглядит в случае тривиальной итерации, т.е. тогда, когда в полукольце итерация любого элемента равна единице полукольца (как в полукольцах В, ТС+, Sa, <->[a,6])* В этом случае для системы из двух уравнений решение равно ibi + 62) + &ъ Пример 3.7. Рассмотрим в полукольце 5[Од] (см. при- пример З.З.г) систему линейных уравнений ! + 0,2, = 0,3xi+0,9x2 + 0,6. Решим эту систему уравнений, следуя общему алгоритму. Из первого уравнения получаем хг = 0,5* @,4x2 + 0,2) = 1@,4x2 + 0,2) = 0,4х2 + 0,2. Далее, х2 = 0,3@,4x2 + 0,2) + 0,9x2 + 0,6 = 0,Зх2 + 0,2 + 0,9х2 + 0,6. Отсюда х2 = @,3 + 0,9)х2 + 0,6 = 0,9х2 + 0,6 = 0,9*0,6 = 0,6.
3.3. Решение систем линейных уравнении 203 Подётавляя #2 — 0,6 в полученное вьфажение для х\, нахо- находим, что хг = 0,4 • 0,6 + 0,2 = 0,4 + 0,2 = 0,4. # Не всякое бесконечное идемпотентное полукольцо является замкнутым. Однако можно заметить, что при решении линей- линейных уравнений и систем требовалось вычисление точной верх- верхней грани последовательностей специального вида, а именно нахождение итерации элементов. Поэтому помимо замкнутых полуколец интерес для приложений представляют так называе- называемые полукольца с итерацией. Под полукольцом с итерацией в данном контексте мы будем понимать идемпотентное полукольцо, которое является под- полукольцом* некоторого замкнутого полукольца и вместе с каждым элементом содержит его итерацию. Важнейшим при- примером такого полукольца является полукольцо регулярных язы- языков (см. 7). Рассматривая в полукольце с итерацией произвольное ли- линейное уравнение, т.е. уравнение вида C.12) или C.13), полу- получаем следующие результаты. Во-первых, это уравнение имеет наименьшее решение, так как полукольцо с итерацией содер- содержится в некотором замкнутом полукольце в качестве подполу- кольца. Во-вторых, это наименьшее решение снова окажется в этом же полукольце, поскольку носитель полукольца с итераци- итерацией замкнут относительно итерации. Таким образом, носитель полукольца S с итерацией замкнут относительно операции на- нахождения наименьшей неподвижной точки любого линейного отображения ах + b (или ха + 6), где а и Ь — элементы S. Не составляет труда распространить этот результат на про- произвольные матричные уравнения. Можно доказать следующее утверждение. * Полукольцо Q= (Q, +, •, 0, 1) называют подполукольцом полуколь- полукольца 7?= (Я, +, *, 0, 1), если множество Q есть подмножество множества R, замкнутое относительно операций сложения и умножения полукольца Я, а также содержащее нуль и единицу полукольца К.
204 3. ПОЛУКОЛЬЦА И БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ Теорема 3.9. Если А — матрица, все элементы которой принадлежат некоторому полукольцу с итерацией, то все эле- элементы ее итерации А* также принадлежат этому полукольцу с итерацией. 3.4. Булевы алгебры Теория булевых алгебр является классическим разделом дис- дискретной математики. Булевы алгебры возникли в трудах ан- английского математика Дж. Буля в 50-х годах XIX века как аппарат логики. При этом элементы булевой алгебры тракто- трактовались как высказывания, а операциями являлись дизъюнкция, конъюнкция и отрицание. Существуют различные подходы к определению булевой алгебры. Мы определим булеву алгебру как частный случай идемпотентного полукольца. Определение 3.3. Полукольцо S = E, +, •, 0, 1) называ- называют симметричным (или взаимным), если оно идемпотентно и в нем выполнены следующие тождества: 1) а-а = а ( идемпотентность операции умножения полу- полукольца); 2) а-Ь = Ьа (коммутативность операции умножения полу- полукольца); 3) а + (Ь-с) = (а + Ь) • (а + с) (дистрибутивность операции сложения полукольца относительно умножения); 4) 1 + а = 1 (аннулирующее свойство единицы полукольца относительно сложения). Можно дать определение, равносильное определению 3.3. Идемпотентное полукольцо S = E, +, •, 0, 1) называется сим- симметричным (или взаимным), если алгебра Sf = E, •, +, 1, 0) также является идемпотентным полукольцом. При этом будем говорить, что идемпотентное полукольцо S' есть полукольцо, двойственное к идемпотентному полукольцу S.
3.4. Булевы алгебры 205 Из определения следует, что в двойственном идемпотент- ном полукольце операция сложения — это операция умножения в исходном полукольце и наоборот; нуль двойственного полу- полукольца — это единица исходного полукольца и наоборот. Легко видеть, что полукольцо «S", двойственное к двойственному по- полукольцу <S', есть исходное полукольцо S. Запишем полностью все аксиомы (основные тождества) сим- симметричного полукольца, объединяя двойственные аксиомы в пары (табл. 3.3). Таблица 3.3 п/п 1 2 3 4 5 6 Аксиома а + (Ь + с) = (а + Ь) + с а+Ь=Ь+а а + а = а а + 0 = а а-(Ь + с) = = (а-Ь) + (а-с) о-0 = 0 п/п 7 8 9 10 11 12 Аксиома а-(Ь'с) = (а-Ь)-с a-b — b-a а-а = а а-1 = о а + (Ь-с) = = (а + Ь)-(а + с) а + 1 = 1 В табл. 3.1 можно увидеть, что в симметричном полукольце операции сложения и умножения, равно как и элементы 0 и 1, полностью „взаимозаменяемые", или взаимно двойственные. Таким образом, справедлив принцип двойственности для симметричных полуколец: любое тождество в симметрич- симметричном полукольце остается верным, если в нем операцию сло- сложения заменить операцией умножения и наоборот, а единицу заменить нулем и наоборот. Пример 3.8. а. Полукольцо В (см. пример 3.2) симмет- симметричное. б. Полукольцо 7?+ (см. пример 3.1) не является симметрич- симметричным в силу неидемпотентности умножения полукольца, хотя в
206 3. ПОЛУКОЛЬЦА И БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ нем единица полукольца (число 0) имеет аннулирующее свой- свойство, поскольку min@, x) = 0. в. Полукольцо Sa (см. пример З.З.б) симметрично в силу известных свойств операций пересечения и объединения мно- множеств. г. Полукольцо Ид (cm. пример З.З.в) не является симмет- симметричным. д. Полукольцо <S[a,6] (см. пример З.З.г) симметрично. Пример 3.9. Рассмотрим алгебру 2>» = (Дед(п), НОК,НОД, 1, п), где Дел(п) — множество всех делителей натурального числа п; НОК — операция вычисления наименьшего общего кратного; НОД — операция вычисления наибольшего общего делителя двух чисел. Эта алгебра является симметричным полукольцом. Действительно, для любых двух натуральных чисел тир верно представление m = 2ai3a2...p?* и р = ^, где pk — наибольший простой множитель в разложении тир. Тогда НОК(т,р) = НОД(га,р) = Таким образом, свойства операций НОК и НОД определя- определяются свойствами операций max и min. В силу этого рассма- рассматриваемая алгебра и является симметричным полукольцом (см. пример З.З.г). # Рассмотрим некоторые свойства симметричного полуколь- полукольца, вытекающие из его аксиом.
3.4. Булевы алгебры 207 Свойство 3.1. Для любых элементов симметричного полу- полукольца выполняются равенства <4 Имеем х(х + у) = хх + ху = х + ху = хA + у) = х-1 =ж. > Равенства, приведенные в формулировке свойства 3.1, на- называют тождествами поглощения. Свойство 3.2. В симметричном полукольце неравенство х < у имеет место тогда и только тогда, когда ху = х. < Вспомним, что по определению естественного порядка про- произвольного идемпотентного полукольца х^у&х + у = у. Пусть х ^ у. Тогда ху = х(х + у)=х (по свойству 3.1). Пусть теперь ху = х. Тогда х + у = ху + у = у. Следователь- Следовательно, х < у. > Свойство 3.2 выражает связь умножения с естественным порядком идемпотентного полукольца: меньший сомножитель поглощает больший, т.е. порядок в двойственном полукольце Sf является порядком, двойственным к порядку в полукольце S. Но, как известно, при переходе к двойственному порядку наибольший (максимальный) элемент становится наименьшим (минимальным) элементом, а точная верхняя грань — точной нижней гранью. Свойство 3.3. В симметричном полукольце произведение ху есть точная нижняя грань последовательности {я, у}: Свойство 3.4* Для любого элемента х симметричного полукольца имеет место неравенство 0 < х < 1. < Первое неравенство 0 < х равносильно равенству 0 + х = ж, верному для любого х. Второе неравенство х < 1 вытекает из четвертого тождества определения 3.3. >
208 3. ПОЛУКОЛЬЦА И БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ Таким образом, в симметричном полукольце единица A) является наибольшим элементом. Определение 3.4. Булева алгебра — это симметричное полукольцо, в котором для каждого х существует элемент ж, называемый дополнением х, такой, что r l «-1 (О OQ\ X пГ *ь — JL, \О.?%3) Обычно сложение в булевой алгебре называют булевым объединением и обозначают V, а умножение — булевым пересечением и обозначают Л. Запишем аксиомы булевой алгебры в виде табл. 3.4, объеди- объединяя „двойственные пары" (как это мы уже сделали, записывая аксиомы симметричного идемпотентного полукольца). Таблица 3.4 п/п 1 2 3 4 5 6 7 Аксиома oVFVc) = (oV6)Vc аУЪ=ЪУа aVa = a aV0 = o oAFVc) = = (aA6)V(oAc) оЛ0 = 0 oVa = l n/n 8 9 10 11 12 13 14 Аксиома аЛ(ЬЛс) = (оЛЬ)Лс оЛЬ=бЛо аЛа — а аЛ1 =а aVFAc) = = (aV6)A(aVc) aVl = l аЛо = 0 Рассмотрим некоторые важные свойства булевых алгебр, вытекающие из определения. Свойство 3.5 (единственность дополнения). В булевой алгебре для любого х его дополнение х единственное. 4 Пусть для элемента х найдется еще одно такое о, что а Л х = О и
ЗА. Булевы алгебры 209 Имеем a = aVO. Воспользовавшись свойством C.29), по- получим a = a V (х Ах). В силу дистрибутивности и с учетом свойств элемента а имеем a = (a V х) Л (а V х) = 1 Л (а V х). С учетом свойств дополнения преобразуем последнее выражение следующим образом: a = (х V х) Л (а V х) = (х Л а) V х. Поскольку # Л а = О, то а = О V ж = 5?. Таким образом, элемент а совпадает с дополнением х. > Свойство 3.6 („симметричность" операции дополне- дополнения). В булевой алгебре выполняется тождество f = х. <4 Так как х является дополнением к of, то ofЛж = 0 и 5Vx = 1. В то же время жЛж = 0 и 5Va: = l. В силу единственности дополнения к элементу х имеем W = ж. > Свойство 3.7. В булевой алгебре верны следующие тожде- тождества: C.31) < В силу свойств 3.5 и 3.6 для доказательства первого закона достаточно показать, что (х Л у) V (а; V у) = 1 и (х Л у) Л (х V у) = = 0. Преобразуя выражения в левых частях, получаем (х Ay)V (xV у) = (sV aV у) Л (yV zV у) = 1Л1 = 1, Первое тождество доказано. Второе тождество следует из принципа двойственности. > Тождества C.31) называют законами де Моргана. Единственность дополнения означает, что в булевой алгебре возникает унарная операция — переход от элемента к его дополнению. Эту операцию можно ввести в сигнатуру алгебры, т.е. рассматривать булеву алгебру как алгебру вида В = (В, V, Л,"", 0, 1)
210 3. ПОЛУКОЛЬЦА И БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ с двумя бинарными, одной унарной и двумя нульарными опе- операциями, такую, что: 1) («В, V, Л, 0, 1) — симметричное полукольцо; 2) а V а = 1 и а Л а = 0 (для любого а). Дополнение в булевой алгебре называют булевым допол- дополнением, а все операции булевой алгебры — булевыми опера- операциями. Рассмотрим теперь некоторые примеры булевых алгебр. Пример 3.10* Полукольцо В (см. пример 3.2) является бу- булевой алгеброй. Эта булева алгебра — важнейшая структура. Мы назовем ее двухэлементной булевой алгеброй и обо- обозначим В. Видно, что в В 0 = 1, Т = 0. Пример 3.11. На множестве {0,1}п определим структуру булевой алгебры, положив для произвольных 5 = (од, ..., ап), 0 = (А, ...,/?„) из {0,1}Л, что i, ..., апЛ/?п), 2=Ci, ... 0 = @, ..., Можно без труда показать, что все аксиомы булевой ал- алгебры выполняются. Носитель определенной таким образом булевой алгебры называют булевым кубом размерности п, а его элементы — булевыми векторами (или булевыми наборами) размерности п. Вектор 0 называют при этом ну- левым булевым векторомлиш нулевым набором, а вектор 1 — единичным булевым вектором или единичным на- набором. Заметим, что случаи п = 0ип = 1 включаются в эту конструкцию. При п = 1 получаем уже рассмотренную двух- двухэлементную булеву алгебру В, а при п = 0 — так называемую
3.4. Булевы алгебры 211 одноэлементную булеву алгебру, в которой 0 = 1. Но эта структура малоинтересна. Итак, булевы операции над булевыми векторами выполня- выполняются покомпонетно — так же, как сложение векторов или умножение вектора на число в линейной алгебре. Отношение порядка здесь определено также покомпонентно, т.е. для произ- произвольных 5 = (ai, ..., ап), /3 = (/3i, ..., (Зп) е {0,1}П неравенство 5 ^ /3 означает, что а» < /%, i = l,n. Так, например, (О, 1, 0, 0, 1) ^ A, 1, 0, 0, 1), а векторы @, 1, 0, 0, 1) и @, 1, 0, 0, 0) не сравнимы. Пример 3.12. Полукольцо Sa (см. пример З.З.б) — буле- булева алгебра, в которой все булевы операции суть не что иное, как обычные теоретико-множественные операции, т.е. буле- булево объединение есть обычное объединение множеств, булево пересечение — пересечение множеств, булево дополнение — до- дополнение множества. Пример 3.13. а. Рассмотрим полукольцо Vq делителей числа 6 с операциями НОК и НОД. Из примера 3.9 следует, что это полукольцо симметричное. Нуль этого полукольца есть число 1, а единица — число 6. Убедимся, что каждый элемент полукольца имеет дополнение. Начнем с числа 1. Дополнение х должно удовлетворять равенствам 1\/х = 6и1Ла; = 1. Первое равенство означает, что НОКA,а?) = 6, а второе — НОДA,ж) = = 1. Легко видеть, что х = Т = 6. Рассуждая аналогично, получим 2 = 3. Следовательно, рассматриваемое полукольцо есть булева алгебра. б. Полукольцо 2>i2 делителей числа 12 не является булевой алгеброй, так как, например, из 2 V х = НОКB, х) = 12 = 1 сле- следует, что х = 12, но 2 Л12 = НОДB,12) = 2 Ф 1 = 0, и элемент 2 не имеет дополнения. # Теория булевых алгебр имеет многочисленные приложения: в математической логике, в теории вероятностей. Она позволя- позволяет, в частности, рассматривать с единой точки зрения операции
212 3. ПОЛУКОЛЬЦА И БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ над множествами, над высказываниями, над случайными собы- событиями. В этой книге мы используем изложенные здесь факты в главе в, посвященной булевым функциям. 3.5. Решетки Напомним, что полурешеткой называют полугруппу, опера- операция которой коммутативна и идемпотентна. Таким образом, полурешетка — это алгебра С = (L, V), в которой для любых a, b, c?L выполнены равенства а\/а = а. В каждой полурешетке может быть определено естествен- естественное отношение порядка аналогично тому, как это определялось для (идемпотентного) полукольца. По определению полагаем для произвольных a, b€L a<6^aVb = b. C.32) Из определения C.32) отношения порядка в полурешетке следует, что элемент aVb есть точная верхняя грань двухэле- двухэлементного множества {a, b}. Действительно, (в силу ассоциативности и идемпотентности операции V). Ана- Аналогично Ь V (а V Ъ) = а V 6 (с использованием и коммутативности операции V). Итак, aMb есть верхняя грань множества {а,Ь}. Полагая, что с есть какая-то верхняя грань данного множества, вычислим (аУЬ)У с. Используя ассоциативность и то, что в си- силу b < с выполняется равенство bVc = c, получим
3.5. Решетки 213 Но так как и < с, то а Vс = с. Итак, (а V6) Vс = с, т.е. и поэтому элемент а V Ь есть точная верхняя грань множества {а, Ь}. Отношение порядка, определенное в произвольной полуре- полурешетке согласно условию C.32), будем называть естествен- естественным порядком данной полурешетки. Таким образом, в полурешетке любое двухэлементное (и, следовательно, любое конечное) подмножество имеет точную верхнюю грань (по естественному порядку полурешетки). Можно доказать, что имеет место и обратное. Теорема ЗЛО. Любое упорядоченное множество С = = (L, ^), в котором всякое двухэлементное подмножество име- имеет точную верхнюю грань, является полурешеткой, естествен- естественный порядок которой совпадает с отношением <. < Определим операцию V так: а V Ь = sup {a, 6}. Комму- Коммутативность и идемпотентность операции V следует сразу из определения точной верхней грани множества. Действитель- Действительно, aW a = sup {а, а} = sup {а} = а, и так как {а, 6} = {Ь, а}, то а V Ь = sup {а, Ь) = sup {6, а} = Ь V а. Докажем ассоциативность операции V. Для этого нужно по- показать, что для произвольных а, 6, с G L имеет место равенство sup {sup {а, 6}, с} = sup {а, sup{6, с}}. C.33) Обозначим левую часть равенства C.33) через di, а пра- правую — через с?2- Элемент d\ является точной верхней гранью множества, элементы которого суть sup{a,6} и с. Поэтому d\ ^ sup {a, b} и d\ ^ с. Из первого неравенства следует, что d\ ^ a is. d\ ^ 6. Тогда, поскольку d\ ^ Ь и d\ ^ с, то d\ есть верх- верхняя грань множества {6, с}, т.е. d\ ^ sup{6, с}. Так как d\ ^ a, то d\ ^ sup {a, sup{6, с}} = cfe- Аналогично доказывается, что ^2 ^ di, т.е. d\ = cfe, что и требовалось доказать. Поскольку для любых элементов а, Ь упорядоченного мно- множества (L, ^) согласно условию теоремы соотношение а ^ Ъ
214 3. ПОЛУКОЛЬЦА И БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ эквивалентно тому, что sup {а, Ь} = 6, то исходное отношение порядка ^ совпадает с естественным порядком полурешетки (L, sup). > Из принципа двойственности для упорядоченных множеств следует, что точная верхняя (нижняя) грань любого подмноже- подмножества упорядоченного множества (L, ^) является одновременно точной нижней (верхней) гранью этого подмножества в смы- смысле двойственного порядка ^. Отсюда получаем утверждение, двойственное теореме 3.10. Теорема 3.11. Любое упорядоченное множество С = (L, ^), в котором всякое двухэлементное подмножество имеет точную нижнюю грань, является полурешеткой, причем естественный порядок этой полурешетки является порядком, двойственным к исходному порядку ^. < Доказательство дословно повторяет доказательство теоре- теоремы 3.10, но операция Л полурешетки определяется так: a Ab = inf {а, Ь}. > Полурешетку (L, sup), определенную теоремой 3.10, назы- называют верхней полурешеткой, а полурешетку (L, inf), опре- определяемую теоремой 3.11, — нижней полурешеткой. Замечание 3.3. Обратим внимание на то, что понятия „верхний" и „нижний" имеют смысл относительно фиксиро- фиксированного отношения порядка и при переходе к двойственному порядку „верх" превращается в „низ" и наоборот. Пример 3.14. а. Отрезок [а, Ь] числовой прямой (с есте- естественным числовым порядком), согласно теоремам 3.10 и 3.11, является и верхней и нижней полурешеткой. Более того, по- поскольку на числовой прямой любое двухэлементное подмноже- подмножество имеет как точную верхнюю, так и точную нижнюю грань, то любое подмножество множества действительных чисел R (в частности, само R) является и верхней и нижней полурешеткой.
3.5. Решетки 215 В Е Рис. 3.1 Рис. 3.2 б. Бели на множестве точек плоскости (на которой задана некоторая декартова система координат и точка рассматрива- рассматривается как упорядоченная пара действительных чисел) опреде- определить отношение порядка так, что (#, у) < (u, v) тогда и только тогда, когда х^ииуО (см. пример 1.17 и рис. 1.11), то множество точек любого прямоугольника [a, b] x [с, d\ (с ука- указанным отношением порядка), согласно теоремам ЗЛО и 3.11, есть и верхняя и нижняя полурешетка (рис. 3.1). Бели же мы „срежем" у этого прямоугольника углы и рассмотрим, напри- например, множество точек многоугольника ABCDEF на рис. 3.2, то это множество не будет ни верхней, ни нижней полурешеткой, так как, скажем, множество {A, F} не имеет inf, а множество {С, D} не имеет sup. Бели мы „срежем" только один угол, левый нижний или правый верхний, то получим верхнюю или нижнюю полурешетку соответственно. в. На рис. 3.3 изображена диаграмма Хассе множества, не являющегося ни верхней, ни нижней полу- полурешеткой. Действительно, множество {d, e} d не имеет точной верхней грани, хотя имеет точную нижнюю грань: inf {d, e} = с. Анало- Аналогично множество {а, 6} не имеет точной ниж- нижней грани, хотя имеет точную верхнюю грань: sup{a,6} = c. # Рис. 3.3
216 3. ПОЛУКОЛЬЦА И БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ Полурешетка, как полугруппа, может быть моноидом, т.е. может иметь нейтральный элемент. Нейтральный элемент верхней полурешетки (L, V) называют нулем полурешетки и обозначают 0, называя при этом саму полурешетку верхней полурешеткой с нулем. Двойственным образом нейтральный элемент нижней полурешетки (L, Л) называют единицей по- лурешетки, используя обозначение 1 и называя эту полуре- полурешетку нижней полурешеткой с единицей. Для нуля полурешетки (L, V, 0) имеем а V 0 = а для всякого а е L, т.е. нуль полурешетки есть ее наименьший элемент. Двойственным образом единица полурешетки (L, Л, 1) есть ее наибольший элемент. Пример 3.15. а. Прямоугольник [а, Ь] х [с, d] (см. при- пример 3.14.6 и рис. 3.1) — одновременно и нижняя полурешетка с единицей, которой служит точка F, rf), и верхняя полурешет- полурешетка с нулем, которым является точка (а, с). Прямоугольник со „ срезанныма правым верхним углом — нижняя полурешетка, но без единицы полурешетки. б. Отрезок [а, Ь]сК (при любых его границах) есть одно- одновременно и нижняя полурешетка с единицей, которой является число Ь, и верхняя полурешетка с нулем. Им служит число а. Полуинтервалы (а, 6] и [а, Ь) суть соответственно нижняя по- полурешетка с единицей и верхняя полурештка с нулем. Заметим, что одновременно первый полуинтервал есть верхняя полуре- полурешетка, не имеющая нуля, а второй полуинтервал — нижняя полурешетка без единицы. Интервал (а, Ь) есть одновременно и нижняя и верхняя полу- полурешетка, но ни та, ни другая не имеет нейтральных элементов. в. Индуктивное упорядоченное множество в общем случае не является верхней полурешткой с нулем, хотя и имеет наи- наименьший элемент. Дело в том, что двухэлементное подмноже- подмножество этого множества, состоящее из несравнимых элементов, может и не иметь точной верхней грани, поскольку точную верхнюю грань имеет в этом множестве любая неубывающая
3.5. Решетки 217 последовательность и, как можно показать, любая конечная или счетная цепь. Индуктивное линейно упорядоченное множество является верхней полурешеткой с нулем. Обратное неверно. Так, множе- множество всех неотрицательных вещественных чисел (с естествен- естественным числовым порядком) есть верхняя полурешетка с нулем, но ни одна возрастающая последовательность в этом множестве не имеет точной верхней грани. # Рассмотренные выше примеры показывают, что существу- существуют упорядоченные множества, являющиеся нижней и верхней полурешетками одновременно. Бели такая „ связка" полуре- полурешеток имеет определенные дополнительные свойства, то она называется решеткой. Определение 3.5. Решетка — это алгебра С = (L, V, Л) с двумя бинарными операциями, такая, что каждая из алгебр (L, V) и (L, Л) является полурешеткой и выполняются следую- следующие тождества поглощения: aV(aAb)=a, aA(aVb)==a. Операции решетки V и Л называют решеточным объ- объединением и решеточным пересечением соответственно. Операции решетки называют также решеточными опера- циями. Другими словами, решетка — это алгебра с двумя бинар- бинарными операциями, обозначаемыми V и Л, такими, что выпол- выполняются тождества c, аЛ(бЛс) = (аЛЬ)Лс, = 6Ла, Из определения решетки следует, что всякое симметричное полукольцо и, значит, любая булева алгебра являются решет- решетками, т.е. сложение и умножение симметричного полукольца.
218 3. ПОЛУКОЛЬЦА И БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ равно как и булево объединение и булево пересечение, есть при- примеры решеточных операций. Тогда и булева алгебра Sa всех подмножеств некоторого множества -А, и полукольцо Vn всех делителей натурального числа п — примеры решеток. Приведем пример решетки, не являющейся полукольцом. Пример 3*1в. Алгебра ((a, Ь), max,min), носитель кото- которой — открытый интервал на числовой прямой, а операции — взятие наибольшего и наименьшего из двух чисел (относитель- (относительно естественного числового порядка), есть решетка. Однако отсутствие нейтральных элементов по данным операциям не позволяет считать данную алгебру полукольцом. # Заметим, что решеточные операции в общем случае и не дистрибутивны (хотя в только что рассмотренном примере 3.16 дистрибутивность каждой операции относительно другой име- имеет место). Конкретные примеры недистрибутивных решеток будут приведены ниже. Выясним теперь связь между понятием решетки и понятием упорядоченного множества. Каждая решетка, как следует из определения, есть „связка" двух полурешеток, но априори со- совсем не очевидно, что естественные порядки этих полурешеток суть взаимно двойственные порядки, т.е. для любых а, 6 Е L не- неравенство а < 6, равносильное равенству а V Ь = 6, имеет место если и только если aAb = a. Такую связь между решеточными операциями устанавливает следующая теорема. Теорема 3.12. В любой решетке С = (L, V, Л) естествен- естественный порядок ^ полурешетки (L, V) есть порядок, двойствен- двойственный к естественному порядку полурешетки (L, Л), т.е. для любых а, Ь € L имеет место равенство т.е. о V Ь = sup {a, 6} и а Л Ь = inf {о, Ь}. < Согласно определению естественного порядка полурешетки, для любых а, Ь 6 L выполняется условие a^6^aV6 = 6. Мы
3.5. Решетки 219 должны доказать, что двойственный порядок > совпадает с естественным порядком полурешетки (L, Л), т.е. нужно дока- доказать, чтоа^Ь«?>аЛЬ = 6или, что равносильно, Для этого достаточно показать, что a\/b = b Имеем: если а V Ь = 6, то аЛЬ = аЛ(aV Ь). Согласно второму тождеству поглощения, а Л (а V 6) = а, и поэтому о Л Ь = а; если же а Л Ь = о, то с учетом первого тождества поглощения будем иметь а V Ь = (а Л 6) V Ь = Ь. Итак, естественные порядки полурешеток (L, Л) и (L, V) взаимно двойственные. Так как в силу теоремы 3.10 sup {a, 6} = = а V 6 для любых а, Ь € L, то, согласно принципу двойственно- двойственности, inf {a, 6} = а Л Ь. > Обратим внимание на использование тождеств поглощения при доказательстве теоремы 3.12. Именно они делают есте- естественные порядки полурешеток (L, V) и (L, Л) взаимно двой- двойственными. Таким образом, любая решетка С = (L, V, Л) есть в то же время упорядоченное множество (L, ^), где отношение поряд- порядка < совпадает с естественным порядком полурешетки (L, V), которая тогда будет верхней полурешеткой. Полурешетка же (L, Л) оказывается (относительно этого же отношения поряд- порядка) нижней полурешеткой. Первую полурешетку поэтому часто называют верхней полурешткой решетки ?, а вторую полуре- полурешетку — нижней полурешеткой той же самой решетки. Само же отношение порядка < называют естественным поряд- порядком решетки С. Можно доказать утверждение, обратное к теореме 3.12. Теорема 3.13. Любое упорядоченное множество С = (L, <), в котором всякое двухэлементное подмножество имеет точную верхнюю и точную нижнюю грани, т.е. для любых а, 6 € L существуют sup {а, 6} и inf {а, 6}, является решеткой в смысле определения 3.5, в которой решеточные операции определяются так: = sup {a, Ь}, о Л 6 = inf {a, 6}.
220 3. ПОЛУКОЛЬЦА И БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ При этом естественный порядок решетки (L, sup, inf) совпада- совпадает с исходным порядком <. < То, что каждая из алгебр (L, sup) и (L, inf) является полуре- полурешеткой, равно как и то, что естественный порядок первой по- полурешетки совпадает с исходным порядком ^, а естественный порядок второй полу решетки двойствен к порядку <, следует из теорем 3.10 и 3.11. Остается доказать тождества поглоще- поглощения. Достаточно доказать одно из них, так как второе будет выполняться в силу принципа двойственности (для упорядочен- упорядоченных множеств). Итак, докажем, что для любых a, b Е L выполняется равен- равенство inf {a, sup {а, Ь}} = а. C.34) Равенство C.34) следует из того, что для любых элементов c,d€ L из того, что с < d, следует, что с = inf {с, d}. Тогда в силу неравенства а ^ sup {а, 6} имеем C.34). > Важность последнего результата состоит в том, что по- полурешетку можно задавать как упорядоченное множество с точными верхними и точными нижними гранями для любой па- пары элементов. Иными словами, для того чтобы убедиться, что перед нами решетка, достаточно проверить это свойство. Пример 3.17. а. Рассмотренный в примере 3.14.6 прямо- прямоугольник [а, Ь] х [с, d\ есть решетка (см. рис. 3.1), но если мы срежем" у этого прямоугольника углы и рассмотрим, нап