о

ДЖ. ACTA РИТА
ДЖ.МАРРУЧЧИ
ОСНОВЫ
ГИДРОМЕХАНИКИ
НЕНЬЮТОНОВСКИХ
ЖИДКОСТЕЙ

G. ASTARITA
Universita di Napoli

G. MARRUCCI

Univereita di Palermo

PRINCIPLES OF
NON-NEWTONIAN
FLUID MECHANICS

McGRAW-HILL, 1974

London • New York • St. Louis • San Francisco
Dusseldorf • Johannesburg • Kuala Lumpur
Mexico • Montreal • New Delhi • Panama

Paris • Sao Paulo • Singapore Sydney • Toronto
ДЖ. АСТАРИТА

ДЖ. МАРРУЧЧИ

ОСНОВЫ
ГИДРОМЕХАНИКИ
НЕНЬЮТОНОВСКИХ
ЖИДКОСТЕЙ

Перевод с английского

Д. А. КЛЗЕНИНА

Под редакцией

10. А. БУЕВИЧА

ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»

Москва 1978
УДК 5324-536

Книга представляет собой достаточно строгое и в то же время доступное
введение в круг проблем, связанных с течением реальных жидкостей. Струк-
тура книги подчинена последовательному развитию математического аппа-
рата, лежащего в основе физической теории непоютсповских жидкостей.
Сложные понятия тензорного анализа гвэдягся в рассмотрение в глубокой
связи с их физическим содержанием. Изложение общих, принципов сопро -
вождается подробным разбором примеров и упражнений.

Книга доступна, интересна и полезна широкому кругу специалистов —
инженерам, механикам, физикам, биофизикам, химикам, технологам, а также,
студентам соответствующих специальностей, обладающим небольшой перво-
начальной подготовкой в области гидродинамики или теории упругости.

Редакция литературы, по математическим наукам

20303 077 __ „

А|'41(0ГН~837'78

© 1974 McGraw-Hill Book Company (UK)Limited
© Перевод на русский язык, «Мир», 1978
ОТ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА

В предлагаемой вниманию советского читателя книге двух извест-
ных специалистов но гидромеханике и реологии неньютоновских
жидкостей сделана попытка в достаточно полном и систематизиро-
ванном виде изложить основные подходы, к построению физико-
механических моделей реологически сложных жидких сред,
поведение которых отличается от поведения классической вязкой
жидкости.

Большинство имеющихся на русском языке монографий ана-
логичного направления либо написаны в слишком формально-
математизированном стиле, едва ли доступном широкому кругу
инженеров и других читателей, не имеющих специальной физико-
математической подготовки, либо же чересчур упрощают предмет
и не дают единого взгляда на него, в результате чего основопола-
гающие фундаментальные принципы оказываются затерянными
в массе сведений чисто прагматического характера, касающихся
многочисленных конкретных реальных сред и частных типов их
движения, распространенных в природе и технологии. В этом
отношении книга Астариты и Марруччи восполняет определенный
пробел, обеспечивая физически содержательное и в необходимой
степени математически строгое введение в теоретическую реоло-
гию и в общую теорию моделей сплошных сред.

В методическом отношении книга написана весьма удачно.
Изложение начинается с формулировки общих принципов сохра-
нения, справедливых для любой сплошной среды, а затем вводятся
замыкающие реологические и термодинамические соотношения
(уравнения состояния), подробное обсуждение которых и состав-
ляет основное содержание книги. Характер таких уравнений
состояния положен в основу классификации реальных нелыо-
тоновских сред. При этом наряду с формальным континуальным
подходом авторы широко используют феноменологический подход
и постоянно апеллируют к интуиции читателя, что способствует
расширению круга читателей за счет лип, обладающих различными
типами мышления. В отличие от большинства известных работ
формально-аксиоматического направления авторы большое вни-
мание уделяют принципу объективности поведения материала, что
позволяет выделить модели, описывающие реальные материалы, из
многообразия гипотетических моделей, свойственных рациональ-
ной механике. Манера изложения довольно своеобразна: мате-
матические понятия и операции вводятся по мере появления их
необходимости для обсуждения физических закономерностей, что
весьма удачно, на наш взгляд, с педагогической точки зрения.
Авторы предполагают активную работу читателя с книгой, пред-
лагая ему ряд примеров и упражнений, многие из которых пред-
ставляют и самостоятельный интерес.

Вместе с тем необходимо подчеркнуть, что рассмотрение кон-
кретных гидродинамических задач, постановки для них граничных
условий и эффективных методов их решения занимает в книге
подчиненное положение и отражено в ней недостаточно. Но это.
по-видимому, и не являлось главной задачей книги.

В целом книга будет с интересом встречена научными работ-
никами, инженерами и студентами.

Ю. Л. Буевич
ПРЕДИСЛОВИЕ

Ноньютоновские жидкости образуют чрезвычайно широкий класс
разнообразных материалов, единственными общими свойствами
которых являются их текучесть и отклонение от закона трения
Ньютона. Поэтому невозможно заниматься механикой неньюто-
новских жидкостей, не отдав предпочтения одному из двух
возможных подходов: либо анализу специального классажидкостей,
обладающих общим типом механического поведения, либо рассмо-
трению лишь основ неньютоновской гидромеханики, которые
в известной степени можно применять ко всем жидкостям. В этой
книге мы предпочли второй путь и лишь в последних двух главах
попытались дать представление о тех подходах, которые можно
было бы выбрать для решения актуальных задач, касающихся
некоторых специальных материалов.

Гидромеханика относится в основном к кругу инженерных
наук. Уникальная черта инженерной дисциплины состоит в том,
что последняя не определяет свою позицию по вопросу о современ-
ном (а возможно, и вечном) размежевании науки на аксиомати-
ческую и естественную, но черкает результаты из достижений
обеих паук и применяет их для решения встающих перед нею
задач. На классический вопрос о роли математики — создает она
что-либо или только открывает — инженер отвечает, что это не
имеет реального значения, важно, что она работает; при этом он
не будет вдаваться в дискуссию о том, каким должно быть опре-
деление понятия «работа» применительно к математике. В частно-
сти, в области неныетоповсксй гидромеханики основные результа-
ты, касающиеся общих принципов, были получены именно матема-
тиками. и, более того, в рамках аксиоматического подхода к пауке.
Многие из этих результатов приведены в трудно доступной для
инженера специальной литературе, и то лишь в фрагментарной фор-
ме. Даже прекрасная книга «Основы нелинейной теории поля»
Трусделла и Нолла, которым мы выражаем глубокую признатель-
ность, очень трудна для изучения инженеру, интересующемуся
гидромеханикой, поскольку посвящена гораздо более широкому
предмету и потребует усердного штудирования для извлечения
нужной информации Мы попытались представить результаты сов-
ременной нелинейной теории сплошных сред в виде, легко досту-
ином инженеру и нацеленном на решение прагматических проблем
гидромеханики неньютоьовской жидкости.

Предмет, излагаемый в этой книге, не может обсуждаться без
привлечения некоторых математических методов, которые обычно
недоступны инженеру. Вместо того чтобы ограничиться демон-
страцией математических истин в процессе их скучного приложе-
ния (практика, которая безуспешно пытается игнорировать тот
ясный факт, что математический аппарат следует изучать сначала,
а не потом), мы предпочли разъяснять необходимые математические
положения в самом тексте по мере того, как в них возникает
потребность. Кроме того, мы будем обращаться к математике, пе
заботясь ни о формальной строгости, ни о полноте наших рассуж-
дений, а пытаясь привести читателя наиболее простым путем
к пониманию основных понятий и помогая ему, если нужно, дости-
гнуть искусство применения алгоритма.

Хотя мы включили в каждую главу ряд примеров и задач, мы
не считаем, что главная цель этой книги — служить учебным
пособием для обязательных занятий. На наш взгляд, она скорее
содержит материал для факультативных курсов, и авторы читали
такие курсы, основанные на отдельных частях книги. Мы считаем,
что книга в основном предназначена для лиц, желающих зани-
маться фундаментальными исследованиями в данной области.

Существует одна область науки, бесспорно имеющая отноше-
ние к нсньютоновской гидромеханике, которую мы намеренно
опускаем. К ней относятся все молекулярные теории поведения
полимерных материалов. По этим вопросам имеются ясно нависан-
ныс хорошие руководства, которыми без труда могут овладеть
инженеры, и включение их в книгу было бы излишним.

Мы работали пад этой книгой более трех лет, главным образом
в Неаполитанском университете. Однако часть работы выполнена
Дж. Марруччи в Университете штата Делавэр и в Университете
г. Палермо. Хотя оба автора на различных этапах работали пад
всеми главами, все же следует указать, что Дж. Астарита ответ-
ствен за гл. 2, 4, 5, а Дж. Марруччи — за гл. 3 и G.

Библиографический список, приведенный в этой книге, весьма
краток. Мы быстро убедились, что не могли бы надеяться ни при-
вести всю литературу, из которой мы черпали наши идеи, пи выра-
зить благодарность авторам, которые были первооткрывателями
этих идей. Поэтому мы ограничились ссылками па те работы, кото-
рые, по нашему мнению, следовало бы изучить читателю, если
он пожелает углубить свои знания по данному вопросу. Даже
в этом направлении мы ограничивались ссылками на те работы,
которые сами по себе неизбежно будут порождать дополнительный
список ссылок, имеющих отношение к делу.

Нам хочется отмстить вклад некоторых лиц, с которыми мы
обсуждали отдельные части нашей рукописи. В. Р. Шоуолтер из
Принстонского университета читал и комментировал первый вари-
ант первых четырех глав и окончательный текст. Наши сотрудники
Д. Лчерно, Р. Греко, Л. Никодемо, Ж. Ч. Сарти и Ж. Титоманлио
изучили ряд разделов и предложили некоторые изменения. Дискус-
сии с Дж Р. А. Пирсоном и Б. Д. Колеманом стимулировали пере-
работку некоторых разделов рукописи. К концу нашей работы
над книгой мы постигли смысл высказывания, что колец книги не
означает колец работы над ней, а лишь выдвигает бесконечную
задачу ее улучшения. Мы можем надеяться, что не бросим эту
работу слишком скоро.

Неаполь, август 1972

Джованни Actnapuma
Джузеппе Марруччи

1

ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГИДРОМЕХАНИКИ

1-1 ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

Гидромеханика представляет собой науку о поведении материалов,
подобных жидкости, при их течении. Анализ гидромеханических
явлений основывается на совместном решении ряда уравнений,
отражающих определенные физические законы, которые предпо-
лагаются справедливыми дня рассматриваемых явлений.

Эти уравнения можно разделить на две различные группы.
В первую группу мы включаем те уравнения, которые представ-
ляют физические закономерности, выполняющиеся для любого
материала. Эти уравнения называются уравнениями баланса, так
•как они представляют математическую формулировку принципов
сохранения. Имеются в основном четыре уравнения баланса,
выражающих принципы сохранения массы, импульса, момента
импульса и энергии.

Вторая группа уравнений представляет запись определенных
физических законов, описывающих поведение конкретных мате
риалов. Вид этих уравнений зависит от класса рассматриваемых
материалов; значения параметров, появляющихся в уравнениях,
зависят от конкретного материала. Имеются в основном четыре
уравнения этой группы. В недавнем весьма общем подходе Коле-
мана [1—3] 1) рассматриваются уравнения, в точности определя-
ющие следующие четыре зависимые переменные: внутреннюю
энергию, энтропию, напряжение и тепловой поток. Этот подход
будет обсуждаться в гл. 4. На данном этапе мы предпочитаем зна-
чительно менее строгий подход, в котором используются понятия,
взятые из классической термодинамики. При таком упрощенном
подходе по-прежнему используютсячетыреу равнения, описывающие
поведение рассматриваемых материалов термодинамическое урав-
нение состояния, которое представляет собой соотношение между
плотностью, давлением и температурой; реологическое уравне-
ние состояния, связывающее внутренние напряжения с кинема -
тическими переменными; уравнение для теплового потока, связы-
вающее тепловой поток с распределением температуры; уравнение,
связывающее внутреннюю энергию с существенными независимы-

г) Числа в квадратных скобках указывают номер библиографической
ссылки в конце каждой главы.
ми переменными, которое называется энергетическим уравнением
состояния.

В принципе любая задача гидромеханики требует одновремен-
ного решения полной системы из восьми упомянутых выше урав-
нений. Практически это безнадежно трудная задача, и при реше-
нии некоторых классов задач часто используется одно или несколь-
ко соответствующих уравнений в упрощенном виде. Особо важное
упрощение имеет место при рассмотрении жидкостей с постоянной
плотностью, т. е. когда термодинамическое уравнение состояния
принимает очень простую форму:

Плотность = const.	(1-1-1)

В этой книге будут рассматриватьсялишьжидкостиспостоянной
плотностью.

При записи уравнений баланса следует выбрать систему, к ко-
торой применяют соответствующие принципы сохранения. Система
может иметь конечные размеры, и в этом случае получают «интег-
ральные» уравнения баланса. Однако особенно удобная форма
этих уравнений получается в том случае, когда в качестве такой
системы выбирают малый объем, окружающий рассматриваемую
точку. Уравнения баланса тогда записывают в дифференциальной
форме.

Принцип сохранения массы в применении к любой определен-
ной системе можно записать в виде

/ Чистый приток \ { Приращение \	.

(массы в систему / ~ ( массы системы / ••	С1-1--*/

Очевидно, что в уравнении (W.2), записанном в математических
символах, будут фигурировать как нлотность, так и скорость.
Плотность является скалярной величиной, а скорость — вектор-
ной; все члены в уравнении (1-1.2) — скаляры, поскольку вели-
чина, к которой применяется принцип сохранения (масса), являет-
ся скалярной. Даже если предположить, что выполняется уравне-
ние (1-1.1), т. е. что рассматривается жидкость постоянной плотно-
сти, то все же уравнение (1-1.2) не может быть разрешено относи-
тельно скорости, поскольку для определения неизвестного вектора
недостаточно скалярного уравнения.

Следовательно, всегда требуется привлекать принцип сохране-
ния импульса. Он может быть записан в виде

(Чистый нриток
импульса
в систему

/Сумма всех объемных сил,
"г (действующих па систему

Сумма всех
поверхностных
сил, действующих
на систему

возрастания I (1-1.3)
импульса системы/
В уравнении (1-1.3) второй член левой части представляет
собой все силы, действующие па поверхности, ограничивающие
систему, в то время как третий член — силы, например силу
гравитации^ которые действуют па каждый элемент системы.
Среди переменных, фигурирующих в уравнении (1-1.3), вковьвстре-
чаются плотность и скорость, но появляются также и две новые
переменные: давление, которое действует через граничные поверх-
ности и, следовательно, фигурирует во втором члене, и напряже-
ние. Действительно, для того чтобы вычислить второй член
в уравнении (1-1.3), необходимо иметь возможность вычислить
силы, действующие на любую произвольную поверхность в мате-
риале при условии, что система, к которой применяют уравнение
(1-1.3), может быть выбрана произвольно. Сила, действующая на
любую заданную поверхность, но свидится просто к давлению,
поскольку опа пе обязательно ортогональна к этой поверхности
и ее величина пе обязательно независима по отношению к ориен-
тации этой поверхности в пространстве. Напряжение является
«тензором» (точное определение будет введено в разд. 1-3), который
связывает вектор силы с поверхностным вектором. Поверхность
является вектором в том смысле, что для ее определения требуется
задать не только ее величину, но и ориентацию в пространстве.

Система уравнений (1-1.2) и (1-1.3) неполная, поскольку четы-
ре неизвестных (плотность, давление, скорость и напряжение) не
могут быть определены из двух уравнений. Таким образом, необ-
ходимо привлечь уравнения, описывающие физическое поведение
материала, т. е. реологическое и термодинамическое уравнения
состояния. Последнее можно взять в упрощенкой форме (уравне-
ние (1-1.1)).

Реологическое уравнение состояния представляет собой соот-
ношение, позволяющее вычислить напряжение как функцию кине-
матических переменных и в конечном счете как функцию поля
скорости, возможно зависящего от времени. Если ограничиться
рассмотрением жидкости с постоянной плотностью, то система
уравнений (1-1.1)—(1-1.3) вместо с реологическим уравнением сос-
тояния может быть в принципе решена, как показано в табл. 1-1.

В этой книге рассматривается главным образом решение задач,
основывающихся на системе уравнений, приведенной в табл. 1-1
и применяемой, в частности, к материалам, исследование пове-
дения которых требует привлечения реологического уравнения
состояния в сравнительно сложной форме

Следует заметить, что классическая гидромеханика имеет дело
с ситуацией, когда реологическое уравнение состояния сводится
просто к утверждению, что напряженное состояние всегда изотро-
пно, т. е. плотность определяется величиной давления. В клас-
сической механике ньютоновских жидкостей рассматривается
ситуация, когда реологическое уравнение состояния имеет вид
Таблица 1-1. Уравнения, которые следует решать
для жидкостей с постоянной плотностью

Уравнения

Переменные

Термодинамическое уравнение (скалярное)

Уравнение баланса массы (скалярное)

Уравнение баланса импульса (векторное)
Реологическое уравнение 1) (тензорное)

Плотность (скаляр)

Давление4) (скаляр)
Скорость (век гор)
Напряжение ’) (тензор)

1) «Полное» напряжение, включающее изотропное давление, может рассматриваться
как единственная топзорна,£ переменная Реологическое уравнение состояния опреде-
ляет полное напряжение с точностью до произвольного аддитивного изотропного тен-
зора. Скаляр, па который умножается единичный тензор для получения ягогэ изотроп-
ного тензора. является в этом случае скалярной переменкой, вводимой вместо давле-
ния. Это будет разъяснено далее в разд. 1-8.

простого линейного соотношения, каким является закон Ньютона.
Более сложные формы реологического уравнения состояния при-
водят к механике неныотоповских жидкостей.

Если снять ограничение о постоянной плотности, то термодина-
мическое уравнение состояния примет вид соотношения между
плотностью, давлением и температурой. Появление температурной
переменной требует, чтобы одновременно решалось и уравнение
баланса энергии (первый закон термодинамики), которое в свою
очередь вводит две новые переменные — тепловой поток и внут-
реннюю энергию. Закон Фурье (связывающий тепловой поток
с распределением температуры) и «энергетическое» уравнение сос-
тояния замыкают систему уравнений, приведенную в табл. 1-2.

Таблица 1-2. Система уравнений, решаемая в общем случае

Уравнения	Тензорная характеристика	Переменные	Тензорная характеристика
Термодинамическое урав- нение	Скалярное	Давление	Скаляр
Уравнение баланса массы	Скалярное	Плотность	Скаляр
Уравнение баланса им- пульса	Векторное	Скорость	Вектор
Реологическое уравнение	Тензорное	Напряжение	Тензор
Уравнение баланса энергии	Скалярное	Внутренняя энергия	Скаляр
Закон Фурье	Векторное	Тепловой по- ток	Вектор
«Энергетическое»	урав-  нение	Скалярное	Температура	Скаляр
Для неизотермических систем должна совместно решаться пол-
ная система из семи уравнений. Изотермические системы могут
рассматриваться на базе уравнений, приведенных в табл. 1-1.

«Энергетическое» уравнение состояния связывает внутреннюю
энергию с температурой, плотностью и деформированным состоя-
нием (в том смысле, который будет определен ниже). Для простых
ньютоновских жидкостей зависимостью от деформированного состо-
яния можно пренебречь, так что энергетическое уравнение состоя-
ния сводится к зависимости удельной теплоемкости от температу-
ры х). Для изотермических систем уравнение баланса энергии мож-
но затем решить независимо для определения диссипации энергии

Для более сложных материалов, которые обладают некоторой
степенью упругости, внутренняя энергия может обратимо запа-
саться вследствие деформации, и энергетическое уравнение состо-
яния необходимо содержит кинематические независимые перемен-
ные. Очень немного известно о форме энергетического уравнения
состояния для реальных упругих жидкостей, т. е. о приемлемых
определяющих предположениях относительно внутренней энергии.
Это положение ставит ряд проблем, которые будут подробно обсу-
ждены в последних главах. Вообще говоря, можно установить, что
механика неньютоновских жидкостей занимается преимуществен-
но рассмотрением импульса, и в настоящее время принцип сохра-
нения энергии может дать лишь незначительную информацию.

1-2 ВЕКТОРЫ

Прежде чем продолжить обсуждение основных уравнений гидро-
механики, необходимо напомнить основные положения векторной
и тензорной алгебры. Этот раздел, а также разд. 1-3 — 1-5 посвя-
щены основным математическим понятиям и представляют необхо-
димое введение для последующего изложения основного материала.

Мы будем главным образом применять абстрактные тензорные
обозначения, используемые в работах [4—6], и лишь иногда, во
второстепенных случаях,— индексные обозначения. Это различие
представляется более принципиальным, чем просто вопрос об
удобстве обозначений, так что даже для читателей, уже знакомых
с рабочим аппаратом тензорного анализа, чтение указанных разде-
лов может оказаться полезным. Многие доказательства опущены,
поскольку предполагается, что гицромехчник может использовать
математику просто как инструмент для изучения физических
проблем.

Предполагается, что читатель знаком с наглядным изображе-
нием векторов в виде стрелок в евклидовом трехмерном простраи-

х) Зависимость теплоемкости.от температуры иногда называют «калори-
ческим» уравнением состояния.— Прим. перев.
стве. Рассматриваемые здесь векторы являются «свободными»
в том смысле, что две параллельные стрелки, имеющие одни и тс
же длину и направление, рассматриваются как один вектор. Пред-
полагается также, что правила сложения, умножения на скаляр
и скалярного произведения векторов хорошо известны. Эти прави-
ла легко сделать наглядными, интуитивно представляя векторы
в виде стрелок; формально они представляют собой основные пра-
вила, которые определяют, векторное пространство. Геометрическая
интерпретация векторов (и тензоров) очень удобна при установле-
нии физического смысла операций, которым подвергаются эти
величины, и поэтому будет широко использоваться в тексте.

Часто используется также альтернативное представление век-
торов (и тензоров) в виде упорядоченных систем чисел, называе-
мых компонентами. По сравнению с геометрическим представле-
ние посредством компонент имеет то неудобство, что оказывается
зависящим от векторного базиса и, следовательно, зачастую от
системы координат, т. с. при изменении векторного базиса данный
вектор (стрелка в пространстве) будет менять свои компоненты.

Векторный базис — это система трех векторов, Ее все из кото-
рых параллельны одной плоскости. Рели базисные векторы взаим-
но ортогональны и имеют единичную длину, то базис называется
ортонормальным. Если задан векторный базис е,, е2, е3, то произ-
вольный вектор а может быть выражен через базисные векторы
посредством операции умножения на скаляр и слежения:

а = а1е1-га2е2Н-а3е3.	(1-2.1)

Упорядоченная система чисел а’, а2, а3 однозначно связана с век-
тором а и составляет систему компонент вектора а относительно
выбранного базиса.

Представляется практически важным связать пространство
точек с координатной системой. Это достигается установлением
соответствия между упорядоченными тройками чисел, называемых
координатами, и точками пространства. Общеизвестным примером
является декартова система координат. Для установленного соот-
ветствия молчаливо предполагается выполнение условий гладкости.

Если координатная система введена, то обычно в каждой точке
пространства выбирают векторный базис, называемый естествен-
ным базисом и определяемый как

ОХ
е‘_ dxi ’

(1-22)

дХ

' дх3 *
Установим теперь смысл «производных», появляющихся в урав-
нениях (1-2.2). Пусть задана точка X с координатами ж1, ж2, х3,
и пусть выбрана точка Y с координатами a;1 -J- Дж1-, х2, ж3. Образу-
ем вектор )

Y—X

Да:1

(1-23)

Предел этого отношения мри Y, стремящемся к X, т. е. при Дж1 ->
-> 0; есть вектор ег Векторы е2и е3 получаются аналогично. Таким
образом векторы естественного базиса в любой точке касательны
к трем кривым, проходящим через X, вдоль которых меняется
только одна координата (рис. 1-1). Этот базис, вообще говоря, не

Рис. 1-1. Естественный и дуальный к нему базисы.

является ортонормальным и но одинаков для двух разных точек-
Для декартовой системы координат естественный базис ортонор-
мален и не изменяется от точки к точке. Компоненты произволь-
ного вектора в естественном базисе называются конправариантны-
ми.

Оказывается также удобным в каждой точке пространства
ввести еще один базис, дуальный естественному базису, векторы
которого обозначаются через е\ е2, е3. Два базиса являются

х) «Разность» двух точек Y — X иягерпрет ируетск как вектор, соеди-
няющий эти две точки и ориентированный от X к Y. Аналогично «суммой»
точки X и вектора а является точка Y, расположенная в конце стрелки а,
начинающейся в точке X.
дуальными, если выполняются следующие равенства:

е-'.е.,- =

О, если i=£j,
1, если г = /.

(1-2.4)

Как видно из рис. 4-1, базис, дуальный естественному, в каждой
точке образуется векторами, ортогональными трем поверхностям,
проходящим через точку X, вдоль которых одна из координат
остается постоянной. Если система координат декартова, то векто-
ры естественного базиса совпадают с соответствующими векторами
дуального базиса во всех точках, как для любого ортонормального
базиса.

Компоненты произвольного вектора в базисе, дуальном естест-
венному, называются ковариантными. Различие между ковариан-
тными и контравариантными компонентами имеет смысл только по
отношению к существованию какой-либо координатной системы.
Если два взаимно дуальных базиса выбраны независимо от какой
бы то ни было системы координат, не существует способа оказать
предпочтение одному перед другим, и компонентам вектора в каж-
дом из базисов не могут быть присвоены различные наименования.

Ковариантные и контравариантпые компоненты различаются
при написании позицией индексов: первым присваиваются верх-
ние индексы, а вторым — нижние. Для дальнейшего будет при-
нято часто используемое правило суммирования. Оно состоит в том,
что если один и тот же индекс встречается в явно одночленном
выражении дважды — один раз как верхний, а другой как ниж-
ний, то предполагается суммирование соответствующих выраже-
ний при пробегании этим индексом значений 1, 2, 3. Такой повто-
ряющийся индекс называется «немым».

Уравнения, содержащие компоненты, подвергаются проверке
па согласованность, которая заключается в следующем: любой
индекс, не являющийся немым, должен встречаться во всех членах
уравнения либо как верхний, либо как нижний индекс. Применяя
проверку па согласованность или условие суммирования, следует
помнить, что верхние индексы, встречающиеся в знаменателе
одночленного выражения, эквивалентны нижним индексам этого
выражения. Наконец, любое уравнение, содержащее индексы,
отличные от немых, должно быть интерпретировано как система
уравнений, когда каждый не немой индекс принимает значения
1, 2, 3.

В этом случае определения для контравариантвых и ковариант-
ных компонент вектора а суть соответственно

а = а’сг,	(1-2.5)

(1-2.6)


где ег — векторы естественного базиса, определяемые уравнения-
ми (1-2.2), а ег — векторы дуального базиса, определяемые урав-
нениями (1-2.4). При использовании декартовой системы коорди-
нат ковариантные и контравариантные компоненты совпадают.

Контравариантные и ковариантные компоненты, определяемые
уравнениями (1-2.5) и (1-2.6), можно получить также как скаляр-
ные произведения вектора а и базисных векторов:

а4 = а.е\	(1-2.7)

в, = а-е£.	(1-2.8)

Уравнения (1-2.7) и (1-2.8) легко получаются из уравнений (1-2.5)
и (1-2.8) соответственно при использовании уравнений (1-2 4).

При изменении координатной системы меняются также ковари-
антные и контравариаптные компоненты вектора. Изменение
координат определяется системой трех соотношений типа

x,i^xH(xi),	(1-2.9)

где х1 суть «старые» координаты, а х'1 — соответствующие «новые»
координаты той же самой точки. Легко показать, что «новые»
контравариантные компоненты получаются из «старых» контра-
вариантных компонент того же самого вектора при помощи соот-
ношения

»"—£?<	(i-a.ioj

а ковариантные компоненты преобразуются согласно соотношению

(1-2.11)

С другой стороны, если известна система из трех чисел, преобра-
зующаяся при изменении координатной системы согласно (1-2.10)
ели (1-2.11), то существует некоторый вектор, контравариантные
или ковариантные компоненты которого задаются этой системой.

Следуя иному подходу, во многих книгах по векторному и тен-
зорному анализу (линейная алгебра) используют свойства преобра-
зований, выраженные уравнениями (1-2.10) и (1-2.11), для опреде-
ления упорядоченных систем чисел, называемых соответственно
контравариантными и ковариантным векторами.

Действия над векторами, которые определяются независимо от
введения компонент, имеют также определения — дубликаты в тер-
минах компонент. Например, сумма двух векторов, наглядно
определяемая правилом параллелограмма, дастся в терминах
компонент (ковариантных или контравариантпых) следующим
правилом:

(а + Ь)г — at -f- Ъ{.

(1-2.12)
Весьма важно правило, используемое для вычисления скалярного
произведения двух векторов через их компоненты:

а>Ь = а16г = а^Ь'.	(1-2.13)

Скалярное умножение вектора самого на себя определяется выра-
жением

а-а = а2 =	(1-2.14)

Арифметическое значение квадратного корня из а2 называется
модулем вектора а:

|а| = /Р.	(1-2.15)

1-3 ТЕНЗОРЫ

Тензор лучше всего наглядно представить как оператор, преобра-
зующий векторы в векторы. Определить тензор означает задать
правила, по которым работает оператор; другими словами, задавая
какой-либо вектор в качестве входного для оператора, мы должны
знать вектор, появляющийся в качестве выходного. Работа опе-
ратора демонстрируется следующим образом:

Ь = А-а,	(1-3.1)

где А — оператор, а—входной вектор, b — выходной вектор.
Точка, связывающая А и а в уравнении (1-3.1), является том лее
самым символом, который используется для обозначения произ-
ведения векторов, хотя смысл этой точки, конечно, иной. Ее исполь-
зование в обоих случаях оправдано подобием компонентной фор-
мы уравнений (1-3.1) и (12.13), которое будет показано ниже
(уравнения (1-3.30)).

Действительно, если А представляет собой тензор, то на тип
оператора следует наложить одно существенное ограничение —
он должен быть линейным. Это означает, что для любых векторов
и скаляров должны выполняться следующие два свойства:

а (А'а) = А-(аа),	(1-3.2)

А-а-|-А-Ь = АДа-i-b).	(1-3.3)

Таким образом, тензор есть липейный оператор, который преоб-
разует векторы в векторы.

Известным примером тензора может служить тепзор напряже-
ний, который может быть введен следующим образом. Один из
методов обнаружения напряженного состояния в точке тела состоит
в том, что делается разрез (разумеется, мысленный) через эту точку
и наблюдается, с какой силой каждая из двух частей тела воздей-
ствует па другую. (Эта сила однозначно определяется как сила,
которая должна быть приложена к поверхности разреза с тем, что-
бы сохранить условия, которые существовали перед тем, как
был сделан разрез.) Для того чтобы ситуация в точке могла быть
изучена, поверхность разреза должна быть бесконечно малой
и поэтому может рассматриваться как плоская; следовательно, эта
поверхность может быть определена бесконечно малым вектором,
нормальным к ней и пропорциональным ее площади. Сила, дей-
ствующая на эту поверхность, также является бесконечно малым
вектором. Если рассматривать другой разрез (представляемый
другим вектором), то соответствующая сила будет иной. Тензор
напряжений определяется как оператор, который связывает соот-
ветствующую силу с любым вектором, характеризующим разрез.
Используя соображения, основанные на балансе импульса, можно
показать, что этот оператор линеен и, следовательно, является
тензором.

Другие примеры тензоров, имеющие важное физическое значе-
ние, встретятся в других разделах.

Единичным тензором называется тензор, преобразующий про-
извольный вектор в себя:

а = 1 а.	(1-3-4)

Нулевым тензором называется тензор, который все векторы
преобразует в пулевой вектор:

0 = 0-а.	(1-3.5)

Специальная система тензоров называется диадами или диад-
ными произведениями двух векторов. Диадное произведение
векторов сий, обозначаемое через cd, есть тензор, определяемый
соотношением

cd. а = c(d-a),	(1-3.G)

т. е. результатом воздействия cd па произвольный вектор а всег-
да будет вектор, кратный вектору с. При этом множитель линейно
зависит от d и данного вектора а. На основании свойств скалярного
произведения непосредственно показывается, что определение,
выражаемое уравнением (1-3.6), удовлетворяет условиям линей-
ности (1-3.2) и (1-3.3). Очевидно также, что, вообще говоря, диады
cd и de различны. Далее рассматриваются следующие тензорные
операции:

(а)	Умножение на скаляр. Пусть заданы скаляр а и тензор А.
Тогда аА есть такой тензор, который при воздействии на любой
вектор дает

(аА). а = а(А-а).	(1-3.7)

Тензоры, полученные умножением па скаляр единичного тен-
зора, называются изотропными.
(б)	Сложение тензоров. Если заданы тензоры А и В, то тензор
А4- В определяется соотношением

(А + В)-а = Л а 4- В а,	(1-3.8)

которое выполняется для всех векторов а.

(в)	Произведение тензоров. При заданных тензорах А и В тензор
А В определяется как оператор, обусловливающий последователь-
ное применение тензоров В и Л. Если, например, b = В-а и
с = Л- Ь, то

с = (А-В) а. 	(1-3.9)

В общем случае, следовательно, А- В В *А.

Такие выражения, как А- А, А- А* А и т. д., обычно сокращенно
обозначаются как А2, А3 и т. д. (Следует заметить, что А2, А3
и т. д. — тензоры, в то время как а2 — скаляр.)

(г)	Обращение тензора. Тензор, обратный тензору А. есть оператор,
работающий в обратном направлении. Если, например, b — А-а,
то тензор, обратный тензору А и обозначаемый через A-i, irpe-
образует Ь в а:

Ъ = А-а-> а = А'1 Ь.	(1-3.10)

Не все тензоры имеют обратные тензоры; например, обращение
диад и нулевого тензора пе определено. Если тензор, обратный
тензору А, существует, то

А-А"1 = А-1-А = 1.	(1-3.11)

(д)	Транспонирование тензора. Транспонированным по отноше-
нию к А тензором, обозначаемым через Аг, называется такой
тензор, который для любой пары векторов удовлетворяет следую-
щему равенству:

Ь-(А.а) = а-(Ат-Ь).	(1-3 12)

Отсюда немедленно следует, что транспонирование диады cd дает
диаду de.

Тензор называемся симметричным, если он совпадает со своим
транспонированным. Единичный и нулевой тензоры симметричны.
Диада, как правило, не симметрична.

Тензор называется косо- или антисимметричным, если он
совпадает с противоположным своему транспонированному тен-
зору (противоположный тензор получают умножением па —1):

А = - Ат.	(1-3 13)

Тензор Называется ортогональным, если ого обратный тензор
существует и совпадает с его транспонированным:

Q-1 = QT	(1-3 14)
Если тензор ортогональный, то из его определения и уравнения
(1-3.11) следует

Q. QT = QT. Q = 1.	(1-3.15)

До сих пор мы рассматривали тензоры и тензорные операции,
но привлекая понятия компонент тензора. С такой ситуацией мы
уже сталкивались при рассмотрении векторов, когда наглядно
представляли их в виде стрелок в пространстве. С введением век-
торного базиса е1( е2, е3 компоненты тензора в выбранном базисе
можно определить как

Ло = ег(А.еД	(1-3.16)

Мы видим, что тензор мри этом воздействует на один из базисных
векторов, после чего результирующий вектор скаляряо умножает-
ся на другой базисный вектор. Ясно, что ври помощи уравнения
(1-3.16) можно получить- девять компонент тензора, которые пред-
ставляются обычно в виде матрицы размером 3x3. Первый индекс
указывает номер строки, а второй — номер столбца.

Как мы видели при обсуждении компонент вектора, векторный
базис, вообще говоря, связан с векоторой координатной системой.
Используя естественный базис cf и дуальный ему базис с1, можно
определить следующие типы тензорных компонент:

ковариантный,

Ац = epA«ej,	(1-3.17)

контравариантный

А° = е':.А-е',	(1-3.18)

смешанный

Аг7- = е{-Ае7,	(1-3.19)

А/ = ег-А.е<	(1-3.20)

(Здесь и далее в тексте скобки в выражениях типа а-(А-Ь) или
аналогичных им опускаются, если это но может привести к недоразу-
мению ) Можно заметить аналогию между уравнениями (1-3.17)—
(1-3 20) и уравнениями (1 2.7) и (1-2.8) для векторных компонент.
Следует также отметить, что определены два типа смешанных тен-
зорных компонент, которые в обшем случае различны. Как видно
из уравнений (1-3.19) и (1-3.20), они различаются позицией индек-
сов. Как можно показать, используя уравнение (1-3.12), две
системы смешанных компонент совпадают только для симметрич-
ного тензора. В этом случае индексы могут быть поставлены в лю-
бом порядке, но предпочтительным является расположение индек-
сов друг под другом

Л/ = 4‘у = Ар	(1-3.21)

Разумеется, при использовании декартовой системы координат
все типы компонент неразличимы. В случае тензора напряжений
его декартовы компоненты получают известный смысл компонент
сил, отнесенных к единице площади и действующих на гранях
куба, ребра которого параллельны координатным осям. Например,
компонента Тп задается выражением

Т11 = е1'Т-е1.	(1-3.22)

Поскольку в! — единичный вектор в направлении оси х1, то
Т- ех — сила, действующая на единичную площадку поверхности,
нормальной к ev Следовательно, согласно уравнению (1-3.22),
Ти есть составляющая такой силы в направлении 1.

Мы должны теперь устранить ту неопределенность, которая
осталась в определении тензора напряжений. Определяя тензор

Рис. 1-2. К определению тензора
напряжений.

ds — вектор, направленный во
внешность области 2; dt — сила воз-
действия области 1 на область 2.

напряжений как оператор, который связывает силы и поверхности,
мы еще не уточняли ни того, в какую из двух возможных сторон
направлен вектор, представляющий поверхность, ни того, какая
именно сила выбирается из двух противоположно направленных
сил взаимодействия двух частей тела.

Мы завершаем определение тем, что при произвольном выборе
одной из частей тела выбираем внешнее направление нормали к ее
поверхности, а в качестве соответствующей силы выбираем ту,
с которой другая часть воздействует на выбранную нами (рис. 1-2).
Если принять такое соглашение, то сразу становится очевидным,
что нормальные компоненты тензора напряжений (например, Тц)
положительны, если вдоль выбранного направления осуществляет-
ся растяжение, и отрицательны, если осуществляется сжатие.

Приведенное здесь правило «знака» является классическим
в теории упругости, и оно часто используется специалистами по
реологии при рассмотрении жидких сред, особенно в случае, когда
исследуются аспекты их поведения, связанные с упругими свойст-
вамп. Противоположная точка зрения, состоящая в том, что
положительным считается сжатие, а отрицательным — растяже-
ние, является классической в механике жидкости и наиболее часто
применяется, когда имеют дело с «идеальными», или ньютоновски-
ми, жидкостями.

Уравнения преобразования компонент тензоров от одной сис-
темы координат к другой аналогичны соответствующим уравнениям
для компонент векторов (см. уравнения (1-2.10) и (1-2.11)).

Для контравариантпых компонент

Aiij	 &3-'1	д  дх™ дхп	‘	(1-3.23)
Для ковариантных компонент	
' дхт дхп  Л 13 дх'* dx'i Атп"	(1-3.24)
Для смешанных компонент	
лп	дх'1 дхП Дт  1	дх™ дх'З	п'	(1-3.25)
Операции над тензорами имеют дубликаты в форме. Например,  (а) умножение на скаляр	компонентной
(«А)о = аЛг7,  (б) сложение  (Л 4- В)„ = А и 4- Bfj,	(1-3.26)  (1-3.27)
(в) произведение тензоров	
	(1-3.28)
(г) транспонирование тензора	
(A'j’)Jj- = Ajt.	(1-3.29)

Правило обращения тензора более сложно и будет приведено в од-
ной из следующих глав.

Эквивалент уравнения (1-3.1) в компонентной ферме имеет

вид

bt-AtjC =At3a}.

(1-3.30)

Уравнения (1-3.23)—(1-3.30) можно легко вывести и па основе
уже установленных свойств тензоров и векторов и определения
компонент. Приведем здесь один пример, показывающий, как
одно из уравнений (1-3.30) можно получить из (1-3.1).

Из уравнения (1-2.6) имеем

а= а}е}.
Подстановка а в уравнение (1-3.1) дает

Ь = ujA •

Умножая скалярно это уравнение на с\ получаем

Ь- е{ = а?е‘-Л- е’.

Следовательно, согласно уравнениям (1-2.7) и (1-3.18),
&* = 4° а/.

Из уравнений (1-3.30) следует, что любая система из девяти
компонент тензора полностью определяет тензор. Действительно,
исходя из компонент любого вектора, компоненты результирую-
щего вектора вычисляют по соответствующему уравнению из
(13.30).

Специальное замечание следует сделать о компонентах единич-
ного тензора 1. Согласно уравнениям (1-3.17) — (1-3.20), эти
компоненты представляют собой скалярные произведения векторов
естественного и дуального к нему базисов

Контравариантныо компоненты единичного тензора, называе-
мые контравариантной метрикой, даются выражениями

gi} = е1-^.	(1-3.31)

Ковариантная метрика есть

Яо ~ ei'ep	(1-3.32)

Согласно уравнениям (1-2.4),смешанные компоненты равны всегда
либо 0, либо 1. Обычно это обозначают символом, называемым
символом Кронекера:

6,/=B=eiey = eye*==

0, если i=/=j,
1, если i = j.

(1-3.33)

Матрица смешанных компонент единичного тензора является,
следовательно, единичной матрицей размером 3x3:

1 о
о 1
о о

о
о

1

[б‘л =

(1-3.34)

В декартовой системе координат контравариантныо и ковариант-
ные метрики совпадают с единичной матрицей.

Метрический тензор может быть весьма полезным при полу-
чении одного типа компонент векторов или тензоров из компонент
другого типа, например

Ai} = gimAj = gimg}nAm,t,	(1-3.35)

А?=ё1тА™.

Операции, подобные тем, которые описываются уравнениями
(1-3.35), называются «поднятием и опусканием индексов» *).

В абстрактных обозначениях они всегда соответствуют операциям
а = 1-а или А = 1-А.

Теперь кратко рассмотрим вопрос о скалярных функциях тен-
зорного аргумента. Они вводятся соотношениями, которые ставят
в соответствие любому заданному тензору некоторую скалярную
величину:

а=/(А).

Имеются две категории скалярных функций тензорного аргу-
мента, те, для которых указанное соотношение зависит от выбора
некоторой другой величины, и то, дли которых это соотношение
определяется единственным образом. Последние называются инва-
риантами, или изотропными функциями. Например, соотношение,
которое ставит в соответствие любому заданному тензору одну из
его компонент, является скалярной функцией, которая зависит от
выбора векторного базиса. Так, соотношение

Л18 = / (А)

определено только тогда, когда выбран базис, и оно изменяется
с изменением базиса. Следовательно, это соотношение не инва-
риантно. Однако ссобый интерес для нас представляет другая
категория инвариантных соотношений. Одним из наиболее важ-
ных соотношений этой категории является определение следа
тензора. След определяется следующими свойствами:

tr (А 4- В) = tr A -h tr В,

tr(ccA) = atrA, .	(1-3.36)

tr (ab) = a«b.

Первые два соотношения выражают тог факт, что след является
линейной функцией. Третье дает точную величину следа, когда
тензор представляет собой диаду. Можно показать, что приведен-
ное определение однозначно устанавливает функцию для всех зна-
чений аргумента, т. е. для всех тензоров.

х) Эту операцию называют еще «жонглированием индексами».— Прим,
перев.
Практический метод вычисления следа тензора состоит в сум-
мировании смешанных компонент:

1гА = Л{,=ЛД	(1-3.37)

Следует подчеркнуть, что, хотя след обычно вычисляется при
помощи уравнения (1-3.37), ею значение не зависит от базиса,
в котором выражены компоненты. Это оправдывает название
«первый инвариант» тензора А (обозначаемый символом 1А ),
которое используется параллельно с названием «след» тензора А.

Легко доказать следующие свойства следа:

tr Ат = tr А,	(1-3 38)

tr (A«B) = tr (В-А).	(1-3.39)

Последняя величина обозначается также символом

tr (А- В) = А : В.	(1 3.40)

Модуль тензора определяется в виде

|A| = Vtr(A.AT) =КА: А*”.	(1-3.41)

Второй инвариант тензора А, обозначаемый через ПА, также
определяется при помощи операции следа, а именно

Па-4[Ц-1г(А%	(1-3.42)

Третий инвариант 1ПА, или детерминант тензора, является
еще одним примером изотропной скалярной функции. Он может
быть определен следующим образом. Пусть заданы три некомпла-
парных вектора; рассмотрим объем параллелепипеда, построен-
ного на этих трех векторах. Затем рассмотрим три вектора, полу-
ченных из трех заданных нутом воздействия на последние тензо-
ра А, и вновь вычислим объем параллелепипеда, построенного па
трех прообразованных векторах. Отношение этого объема к объему
первоначального параллелепипеда и дает величину детерминанта
тензора А. Считается, что знак детерминанта положительный, если
упорядоченность поворотов трех векторов сохраняется после воз-
действия тензора, и отрицательный — в противном случае1).
Можно показать, что определенная таким образом величина
детерминанта не зависит от выбора тройки векторов и определяет-
ся только тензором А.

г) Упорядоченность поворотов системы трех некомпланарных векторов
определяется следующим образом. Пусть заданная тройка векторов исходит
из одной точки. Рассмотрим плоскость а. образуемую первым и вторым век-
торами. Если для наблюдателя, смотрящего с конца третьего вектора, пово-
рот в плоскости а на малый угол по направлению от первого вектора ко вто-
рому осуществляется по часовой стрелке, то система векторов называется
левой; если же указанный поворот осуществляется против часовой стрелки,
то система векторов называется правой.
Можно показать также, что значение Шд может быть вычи-
слено как детерминант матрицы компонент тензора А в произволь-
ном ортонормальном базисе.

Весьма важны следующие свойства детерминанта:

det (А- В) =» (dot A) (det В),	(1-3.43)

det (А"1) = (det А)"1,	(1-3.44)

det (Ат) = det А.	(13.45)

Между прочим, в отношении уравнения (1-3.44) можно заметить,
что необходимым и достаточным условием существования А-1
служит отличие от нуля величины det Л.

Три определенных выше инварианта, называемых в совокупно-
сти главными инвариантами, чрезвычайно важны из-за следующей
теоремы представления симметричных тензоров.

Любая изотропная скалярная функция (т. е. инвариант) сим-
метричного тензорного аргумента может быть представлена как
функция трех главных инвариантов этого аргумента:

а = / (А) = g (1А, Пл, П1а).	(1-3.46)

Другими обычно используемыми инвариантами являются мо-
менты:

IA = tr А,

fIA = tr(A2),	(1-3.47)

ША —tr(A3).

Теорема представления, выражаемая уравнением (1-3,46), может
быть сформулирована также и в терминах моментов 1

а = / (А) = 1 (ТЛ, Пл, ПГд). (1-3.48)

Главные инварианты используются также в следующем полезном
тождестве, известном как теорема Гамильтона — Кэли:

А3 — 1аА2 + ПаА — ША1 = 0.

(1-3.49)

1-4 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СКАЛЯРОВ,
ВЕКТОРОВ И ТЕНЗОРОВ

Предположим, что в заданный момент времени мы связываем с каж-
дой точкой пространства или по крайней мере с каждой точкой
некоторой непрерывной его части определенную скалярную вели-
чину. Эта «функция точки» называется скалярным полем. Обычно
делается предположение о непрерывности ноля, которое в нестро-
гом смысле означает, что эта функция гладко меняется ст точки
к точке. Примером скалярного поля может служить распределе-
ние температуры в некотором теле. Вообще говоря, поле является
также и функцией времени; это означает, что в разные моменты
времени в пространстве существуют разные поля. В соотношении
между рассматриваемыми скалярными величинами и точками
пространства время играет роль параметра.

Подобным же образом мы можем каждой точке пространства
поставить в соответствие векторное или тензорное значение,
и тогда следует говорить о векторном или тензорном поле соот-
ветственно. Примерами полей такого типа могут служить поля
скоростей и напряжений в жидкости.

В этом разделе мы рассмотрим определения и свойства про-
странственных дифференциальных операций над полями. Все
величины будут рассматриваться в заданный мимент времени.
Дифференцирование по времени будет введено в следующей главе.

В последующем изложении предполагается без спедиальных
оговорок, что полевые величины удовлетворяют всем условиям
непрерывности и дифференцируемости, т. е, всем условиям сущест-
вования определяемых величин.

(а)	Градиент скаляра

Пусть в заданный момент времени скалярное ноле представлено
функцией / (X), где X — произвольная точка области простран-
ства, в котором определяется поле. Градиент f в точке X есть
вектор, обозначаемый символом V/, такой, что

df = / (X 4- dX) — / (X) = V/.dX.	(1-4.1)

Здесь dX — произвольный бесконечпо малый вектор, а X + dX —
точка, получаемая «суммированием» X и вектора dX в смысле, опре-
деленном в разд. 1 -2. Можно показать, что вектор V/, определяе-
мый уравнопием (1-4.1), является единственным, т. е. не завися-
щим от dX. Очевидно, так как вектор V/ определен во всех точках,
где определено поле / (X), он сам представляет собой поле, а имен-
но векторное поле.

При выбранной системе координат скалярное ноле / (X) можно
представить функцией трех переменных / (о:’), где х{ суть коорди-
наты вектора X Тогда можно показать, как компоненты вектора
V/ связаны с функцией / (ж‘).

Чтобы сделать это, мы должны немного отклониться и пока-
зать, что дифференциалы координат da:1 суть коптравариаптные
компоненты вектора dX, характеризующего различие между
точкой с координатами х' dx1 и точкой с координатами хг.

Если х>: — х,г (з?) — уравнения преобразования системы
координат, то
Сравнивая (1-4 2) с (1-2.10), замечаем, что величины dx1 должны
быть контрэвариаптными компонентами некоторого вектора. Что-
бы найти этот неизвестный вектор, мы можем выбрать декартову
систему, так что сразу станет ясно, что этим вект ором является dX.

Поскольку dx' представляют собой контравариантные компо-
ненты dX, можно записать

d.X = epix'.	(1-4 3)

(Уравнение (1-4.3) можно вывести и непосредственно на основе
определения базисных векторов е( в соответствии с уравнениями
(1-2-2).)

Подставляя уравнение (1-4.3) в (1-4.1) и выражая df через
производные по координатам, получаем

d/-=-^-dx^V/.^d/.	(1-4.4)

Ввиду произвольности dx* уравнение (1-4.4) эквивалентно
уравнению

V/-e.=^r.	(1-4.5>

Сравнивая левую часть уравнения (1-4.5) с уравнением (1-2.8),
видим, что она представляет собой систему ковариантных компо-
нент V/. Таким образом, ковариантные компоненты градиента ска-
лярного поля ! (X) являются частными производными функции
/ (х*) по координатам.

Контравариантные компоненты можно получить при помощи
операции поднятия индекса, иснользуя метрический тензор.
Ковариантные и контравариантные векторы поля V/ иногда обоз-
начают символами DJ и Ьф соответственно.

Каждая из трех координат некоторой координатной системы
определяет скалярное поле, поскольку любой точке X можно
поставить в соответствие скаляр х*. Тогда уместен вопрос: что
представляет собой градиент Ух* этого поля? На основании
определения (уравнение (1-4.1)) имеем

dx1 = Ух’-dX.	(1-4.6)

Вспоминая, что dx — контравариантные компоненты вектора
dX, и сравнивая уравнение (1-4.6) с уравнением (1-2.7), находим

Ух* = е{.	(1-4.7)

Это означает, что градиенты полей координат представляют собой
векторы базиса, дуального к естественному базису.
(б)	Градиент вектора

Пусть векторное поле представлено функцией а(Х).

Градиентом вектора а в точке X является тензор, обозначенный
символом Van определяемый как

da = а (X -J- JX) — а (X) = Va-dX, (1-4.8)

Выбирая координатную систему, можно найти соотношение
между компонентами тензора Va и вектора а. Зто соотношение ока-
зывается более сложным, чем соотношение для градиента скаляр-
ной величины в ранее рассмотренном случае. Действительно, ком-
поненты тензора Va вовсе не являются производными по координа-
там компонент вектора а. как зте можно было бы предположить
па основании аналогии между уравнениями (1-4.8) и (1-4.1).
Такой простой результат имеет место лишь в том случае, когда
система координат является декартовой.

Путем длинных вычислений можно показать, что в общем случае
компоненты тензора Va даются указанными ниже выражениями.

Сметанные компоненты

(Va)<

да'
дхЗ

(1-4.9)

где

[j/c, т] = [kj, т] = 1 (-^2-

dgkm д*М \
дхЗ	дхт )

(1-4.10)

(1-4.11)

Символы, определяемые выражениями (1-4.11) и (1-4.10), называ-
ются символами Кристоффеля первого и второго рода соответ-
ственно. Как видно из этих соотношений, они являются комбина-
цией производных метрического тензора по координатам и обра-
щаются в нуль, если компоненты метрического тензора постоян-
ны, как это имеет место в декартовой системе координат. Известное
правило суммирования распространяется также и на эти символы.
Индексы в символах Кристоффеля первого рода считаются ниж-
ними, а в символах Кристоффеля второго рода один из индексов
считается верхним и два — нижними.

Вследствие того что тензор V а в общем случае не симметричен,
существенно положение индексов. Для смешанных компонент,
рассматриваемых до сих пор, обычно пользуются одним из сле-
дующих обозначений:

(Va)1/ =	= D^.	(1-4.12)
В обоих обозначениях г следует интерпретировать как первый
индекс, а / — как второй, т. е. х)

a\f = D,a' = е{- Va- е,.	(1-4.13)

Общепринятым названием для а’,/— выражения, определяемого
уравнением (1-4 9), является «ковариантная производная контра-
вариантного вектора».

Ковариантные компоненты



(1-4.14)

Это выражение называется ковариантной производной ковариант-
ного вектора. Вместо использования (1-4.14) выражение для a,-j
можно получить из a'.j при помощи операции опускания индекса:

аМ — Sima ,]•

(1-4.15)

Контравариантные компоненты, а также другие типы смешан-
ных компонент тензора Va получаются поднятием второго индек-
са в уравнениях (1-4.9) и (1-4.14) соответственно. Символы а’^
и а,-; называются контравариантными производными контрава-
риантного и ковариантного векторов соответственно.

Дивергенция вектора

Дивергенция векторного поля представляет собой скалярную
величину, определяемую выражением

div а = tr (Va).	(1-4.1G)

На основании уравнения (1-3.37) и результатов предыдущего
раздела о градиенте вектора а получаем

div а = аt — ат>т.	(1-4.17)

Другим символом, используемым для обозначения дивергенции
вектора а, служит

diva = V-a.	(1-4.18)

*) В некоторых руководствах отдают предпочтение противоположной
интерпретации, а именно / в соотношении (1-4.12) считается первым индексом.
Это соответствует либо иному определению компонент тензора:

= еу*А’ег-,
либо иному, чем в уравнении (1-4.3), определению градиента:
da=(Va)T.dX.
Следует подчеркнуть, что, несмотря на употребляемое обозначение,
V а нельзя интерпретировать как скалярное произведение, так
ясе как Va нельзя рассматривать как диаду.

Градиент тензора

Градиент тензора представляет собой тензор третьего ранга.
(В общем тензорном анализе или линейной алгебре скаляры рас-
сматриваются как тензоры нулевого ранга, векторы — как тен-
зоры первого ранга, «тензоры» — как тензоры второго ранга;
кроме того, изучаются тензоры более высокого ранга. Их компо-
ненты имеют более чем два индекса и преобразуются при измене-
нии системы координат согласно правилам, аналогичным (1-2.10),
(1-2.11) и (1-3.23)—(1-3.25),)

Компоненты градиента тензора А даются выражениями

лИ _ dAi>
л ’к~~ дх*

А™

(1-4,19)

к т

к т

Соотношение (1-4.19) можно рассматривать как обобщение выра-
жения (1-4.9) для градиента вектора.

Другие компоненты можно получить при помощи аналогичных
выражений или операций поднятия и опускания индексов.

Дивергенция тензора

Дивергенция тензорного поля есть вектор, обозначаемый симво-
лом div А или V-A и имеющий довольно сложное определение.
Рассмотрим поле транспонированпого по отношению к Л тензора
и некоторый фиксированный вектор а. Поле Ат-а есть векторное
ноле, дивергенцию которою можно вычислить. Дивергенцией
тензора А называется вектор, который удовлетворяет следующим

равенствам:

(di v А) • а = di v (Ат • а),
(^•A)-a = V-(AT.a).

(1-4.20)

Можно показать, что определяемый таким образом вектор пе
зависит от вектора а и зависит лишь от тензорного поля А.

Компоненты этого вектора легко получаются из компонент

градиента поля А:

ковариантные

(V.A), = А<т.’Л = Л1’»,ж,	(1-4.21)

контраеа риантные

(V.A)1 = А‘и,т-= AV"1.	(1-4.22)
Величины, включающие вторые производные

.Рассматриваемые здесь величины основываются на понятиях, уже
введенных в предыдущих разделах. Фактически они являются
комбинациями уже рассмотренных, последовательно применяемых
операций дивергенции и градиента.

Лапласиан скаляра есть дивергенция градиента скалярного
поля / (X). Ок является, следовательно, скалярной величиной,
обозначаемой символом V2/ или V • V/. Имеем

W = (*/)7 = (V/)A	(1-4.23)

Лапласиан вектора есть дивергенция градиента векторного
поля а (X). Он, следовательно, является вектором, обозначаемым
через V2 а или V-Va. Имеем

контравариантные компоненты

(V2a)’ = а\т.т = а^,т,	(1-4.24)

ковариантные компоненты

(*2а)г = aiim-m = аетт.	(1-4.25)

Из изложенного выше ясно, что символ V широко применяется
при введении различных величин. Этот символ V имеет также спе-
циальное название — оператор нибла. Во избежание недоразуме-
ний важно помнить, что оператор, подразумеваемый под этим
символом, зависит от природы величины, к которой он применяет-
ся; в этом отношении он различен в применении к скалярам,
векторам и тензорам, С другой стороны, в компонентной форме
эта операция допускает обшую формулировку при помощи кова-
риантного дифференцирования тензора n-го ранга. Кроме того,
следует подчеркнуть различие между операторами V и V -, кото-
рые обозначают градиент и дивергенцию соответственно.

1-5 СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА И СИСТЕМЫ КООРДИНАТ

При рассмотрении задач о движении существенно ввести «систему
отсчета» или «наблюдателя». Концепция движения по существу
своему относительна, поэтому имеет физический смысл лишь такое
высказывание, как «движение чего-то относительно чего-то
другого».

При изучении движения некоторого тела отсчет производят по
другим толам, которые неподвижны, причем каждое по отношению
ко всем другим, и образуют систему отсчета. То, что тела,
составляющие систему отсчета, неподвижны, устанавливается
путем наблюдения, что их взаимные расстояния не меняются
сколь-нибудь существенно с течением времени, по крайней мере
в рамках временного масштаба эксперимента Таким образом,
евклидово геометрическое пространство оказывается «привязан-
ным» к этим телам, и движение исследуемого тела мыслится про-
исходящим в этом пространстве в том смысле, что «частицы» или
«материальные точки» тела занимают с течением времени различ-
ные точки пространства системы отсчета.

Скорость частицы определяется следующим образом. Пусть
X (/) — точка, в которой частица находится в момент времени t.
С течением времени вектор-функция X (/) описывает «траекторию»
частицы. Предел

И та	-(°~ = v = X	(1-5.1)

at-о

определяет вектор скорости частицы в момент времени t. Этот
предел обозначается через v или через X, т. е. является производ-
ной по времени от функции «точки» X (i).

Если мы рассмотрим теперь вторую систему отсчета (другую
систему взаимно неподвижных тел и евклидово пространство,
привязанное к ним), которая движется относительно первой систе-
мы отсчета, то движение одного и того же тела будет казаться
различным в этих двух системах. В частности, скорость частицы
будет задаваться различными векторами.

Далее рассмотрим две материальные точки одного из тел. сос-
тавляющих систему отсчета. Эти частицы неподвижны относи-
тельно рассматриваемой системы отсчета, т. е. они занимают две
фиксированные точки пространства, связанного с данной системой
отсчета. Разность между этими двумя точками представляется
вектором, постоянным во времени. Если мы рассмотрим другую
систему отсчета, движущуюся по отношению к первой, те же са-
мые две частицы будут двигаться и разность между двумя точками,
в которых находятся эти частицы, будет переменным вектором во
второй системе отсчета. Даже если относительное движение двух
систем отсчета прекратится, начиная с некоторого момента вре-
мени, эти два вектора в общем случае будут различными: они
будут «повернуты» друг относительно друга.

Следовательно, в общем случае при изменении системы отсчета
векторы и тензоры (которые устанавливают только соотношения
между векторами) также изменяются.

Важно проводить строгое различие между системами отсчета
и системами координат. В разд. 1-2 мы ввели понятие системы
координат как некоторого соотношения, ставящего в соответ-
ствие точкам пространства упорядоченные тройки чисел. Ясно,
что это соотношение можно определить бесконечным числом спо-
собов в одном и том же пространстве, т. е. в одной и той же систе-
ме отсчета. Если в одной и топ же системе отсчета изменить систе-
му координат, то векторы и тензоры не изменятся, а изменятся
лишь их компоненты.
Например, при изучении процесса прядения и скручивания
нити в прядильной машине в качестве системы отсчета можно
выбрать пространство, неподвижное относительно стенок лабора-
тории. Таким образом, будут индивидуализированы скорость час-
тицы и другие рассматриваемые векторы и тензоры. Для проведе-
ния определенных вычислений может оказаться удобным выбрать
некую координатную систему, скажем декартову. Вследствие
цилиндрической симметрии нити можно вместо этою выбрать
цилиндрическую систему координат или из-за некоторых других
причин можно выбрать какую-либо другую систему координат,
по каждый такой выбор будет влиять только на компоненты векто -
ров и тензоров, а не на сами векторы и тензоры.

С другой стороны, можно наблюдать движение с точки зрения
системы отсчета, которая неподвижна относительно небольшого
куска нити и, следовательно, смещается и вращается относитель-
но стенок лаборатории, следуя поступательному и крутильному
движению нити. В системе отсчета такого типа тензоры и векторы
(например, скорость) изменятся. В этой новой системе отсчета
вновь можно выбрать какую либо представляющуюся удобной
систему координат, и этот выбор будет влиять только на их ком-
поненты.

Из приведенных утверждений следует, что существует много
евклидовых пространств, каждое из которых соответствует выби-
раемой системе отсчета. Все они занимают то самое «пространство,
в котором мы живем», но темпе менее различны. При этом происхо-
дит относительное движение одного пространства «через» другое
или даже просто «вращение» одного относительно другого.

Положения, высказанные до сих пор, конечно, в значительной
степени интуитивны. Положение, которое может получить точную
математическую формулировку,— это концепция изменения систе-
мы отсчета. Однако, прежде чем излагать эту концепцию, сделаем
два дополнительных интуитивных замечания.

Поскольку система тел и связанное с ними пространство, опре-
деляющее систему отсчета, взаимно неподвижны, относительное
движение двух систем отсчета может быть только жестким. Сле-
довательно, в любой момент времени это движение можно пред-
ставить как суперпозицию переноса и вращения.

Некоторый ортогональный тензор Q обладает следующим
свойством. Пусть а и Ь — два произвольных вектора; можно запи-
сать (см. уравнения (1-3.9), (1-3.12) и (1-3.15))

(Q.a). (Q- Ь) = Ь- QT. (Q. а) <= Ь- а, (1-5.2)

откуда следует, что получающиеся в результате векторы Q-a
и Q b имеют такое же скалярное произведение, как векторы Ь и а.
Следовательно, Q преобразует векторы в новые векторы, которые
имеют то же длину и угол между собой. Таким образом, Q можно
интерпретировать как тензор, жестко вращающий векторное
пространство.

Изменение системы отсчета

Согласно работе Нолла [7], изменение системы отсчета представ-
ляется в виде

X* — Y (0 = Q (0 • (X — Z),	(1-5.3)

Z* — t -|- а.	(1-5.4)

Здесь t — время в «старой», a t* — время в повой системе отсчета
и а—постоянная, Q (Z)—ортогональный тензор, X, Y (0 и Z—
точки в «старой» системе отсчета, а X* представляет собой «образ»
X в «новой» системе отсчета.

Интерпретация уравнения (1-5.4) очевидна: оно отражает изме-
нение начала отсчета времени. Уравнение (1-5.3) есть уравнение
преобразования точек, описывающее относительное движение двух
систем отсчета; при этом О (0 дает представление для жесткого
вращения, а вектор Y (0 — Z — представление относительного
смещения двух систем отсчета в произвольный момент времени,
т. е. дает математическое описание переноса. Если Q (0 = 1, то
относительное движение представляет собой только перенос;
если Y (0 — Z есть постоянный вектор, то относительное движение
есть только вращение х).

Из уравнения (1-5.4) сразу же получается уравнение преобра-
зования «геометрических» векторов, подобных векторам, полу-
чаемым как разности точек. Пусть Хх и Х2 суть две точки, а X]*,
Х2* — их образы. Имеем

Хх* - Х2* = Q (0 - (Хх - Х2).	(1-5.5)

Вектор а, преобразующийся как геометрический вектор, назо-
вем нейтральным г):

а* = Q (0- а.	(1-5.0)

Пусть А — тензор, такой, что

Ь = А-а, .	(1-5.7)

где как вектор а, па который воздействует тензор, так и получаю-
щийся в результате этого вектор Ь являются нейтральными:

a\=Q(0-a,	(1-5.8)

	b* = Q(0-b.

0 Z иожот быть также функцией времени. Однако выбор Z как
постоянной точки не приводит к потери общности. Только разность
YJt) — 7. су цвет весна для характеристики переносного движения.

2) В английском тексте здесь и далее употреблен термин: «indifferent».—
Прим. ред.
Мы хотим отыскать соотношение между Ь* и а*. Умножая урав-
нения (1-5.8) слева на QT, получаем

Подставляя это в уравнение (1-5.7) и умножая слева на Q (/),
имеем

b* = (Q (0-A.QT (*))-а*.	(1-5.10)

Следовательно, связь между Ь* и а* осуществляется при помощи
тензора А*, даваемого выражением

А* = Q (0«A-QT 0).	(1-5.11)

Тензор А* можно рассматривать как образ А. Тензор, который
преобразуется согласно уравнению (1-5.11), называем нейтраль-
ным.

Не все векторы и тензоры нейтральны. Мы встретим много при-
меров тензоров, которые преобразуются по правилам, отличающим-
ся от (1-5.11). Типичным ненейтральным вектором является век-
тор скорости v. Поскольку эта величина будет использоваться
в последующем, мы выведем уравнение преобразования v.

В уравнении (1-5.3), которое дает правило преобразования для
точки, будем интерпретировать X (£) как меняющееся со временем
положение частицы, а X* (i) — как соответствующее положение
той же самой частицы в другой системе отсчета. Дифференцирова-
ние уравнения (1-5.3) по времени дает

X* — Y = QX + Q-(X — Z).	(1-5.12)

Уравнение (1-5.12) можно получить, используя правило

-^-(А.а)=А.а+Л.э'	(1-5.13)

которое доказывается при помощи свойств линейности тензора
и уравнения (1-3.8).

Уравнение (1-5.12) можно записать как

v* = Q.у + Y Q-(X — Z).	(1-5.14)

Отсюда следует, что уравнение (1-5.6) не выполняется, т. е. что
скорость не является нейтральным вектором.

До сих пор мы не упоминали о скалярных величинах и их пове-
дении при изменении системы отсчета. Не рассматривая таких
скаляров, которые могут изменяться даже в рамках одной системы
отсчета (например, компоненты векторов и тензоров), мы вновь
видим, что все остальные делятся На две категории по отношению
к изменению системы отсчета, а именно на нейтральные и неней-
тральные.
Скалярную величину назовем нейтральной, если опа остается
неизменной при изменении системы отсчета, т. е. если

а* = а,	(1-5.15)

Примерами нейтральных скаляров служат плотность, температура,
внутренняя энергия и т. п. Другими примерами нейтральных ска-
ляров являются скаляры, однозначно определяемые нейтральными
векторами и тензорами; например, «длина», или модуль, нейтраль-
ного вектора сама является нейтральной. Действительно, если а
есть такой вектор, то

a*=Q-a,	(1-5.16)

| а* | = ]/а*”-а“ = /[(Q-a)-(Q-a)] =	[ а [. (1-5.17)

Можно показать, что инварианты нейтрального тензора ней-
тральны, т. е. если

а = / (А),	(1-5.18)

А* = QAQT,	(1-5.19)

то

а = / (А*).	(1-5.20)

В действительности условие, что для любого ортогонального тен-
зора Q выполняется соотношение

/(A) =/(Q.A-QT),	(1-5.21)

можно взять в качестве определения изотропных скалярных функ-
ций тензорного аргумента, или инвариантов тензора, о которых
шла речь в разд. 1-3.

Скаляры, связанные с ненойтральными векторами и тензора-
ми, сами ненейтральпы; например, модуль вектора скорости изме-
няется с изменением системы отсчета.

Инварианты ненейтрального тензора тоже ненейтральпы. Если
В ненейтрален, то

/(В*)^У(В).	(1-5.22)

Этот факт не следует смешивать с приведенным ранее определением
«инварианта». Остается справедливым равенство

/ (В) = / (Q-В-QT).	(1-5.23)

Но если В непейтрален, то тензор Q В- QT не равен В*.

В заключение следует сказать, что при изменении системы
отсчета нейтральный тензор А соответствует тензору А*, имеющему
те же самые инварианты, что и тензор А. В то .же время неней-
тральный тензор В порождает тензор В*, имеющий другие инва-
рианты.
Последним примером ненейтрального скаляра служит время,
как это следует из уравнения (1-5.4). Однако интервал времени
между двумя событиями нейтрален.

1-6 УРАВНЕНИЕ НЕРАЗРЫВНОСТИ

Рассмотрим точение материала в евклидовом пространстве, связан-
ном с некоторой системой отсчета. Пусть v — вектор скорости,
р — плотность, X — произвольная точка пространства, a t —
время. Как v, так и р являются в общем случае функциями как
точки пространства, так и времени (поля, зависящие от времени)

v = v (X, 0,	(1-6.1)

р = р (X, 0.	(1-6.2)

Вектор pv представляет собой массовый поток (измеряемый
в граммах на квадратный сантиметр в секунду или в эквивалент-
ных единицах), проходящий через дифференциальный элемент
поверхности, ортогональной к вектору v. Рассмотрим далее следу-
ющее тождество, известное как теорема Гаусса — Остроград-
ского:



(1-0.3)

s

V

где а — векторное поле, V — объем произвольной области про-
странства, ограниченной поверхностью 5, a ds — дифференциаль-
ный вектор, представляющий дифференциальный элемент поверх-
ности и ориентированный наружу рассматриваемой области про-
странства. Если а можно интерпретировать как поток некоторой
субстанции, то a-cfs— скорость потока этой субстанции через
элементарную поверхность, представляемую вектором cfs, а инте-
грал в правой части уравнения (1-6.3) есть полный расход суб-
станции из рассматриваемой области пространства. Следовательно,
V• а можно рассматривать как локальное значение такого расхода,
приходящегося на единицу объема пространства.

Применяя эти понятия к рассматриваемому случаю, видим, что
дивергенция pv представляет собой приходящийся па единицу
объема чистый расход массы из дифференциального объема, заклю-
чающего призвольную точку X. Если в качестве системы выбран
такой дифференциальный объем, то уравнение (1-1.2) принимает вид

V.(pv)=-^-.	(1-6.4)

Преобразуем теперь уравнение (1-6.4) так, чтобы скорость изме-
нения плотности в самой материальной точке можно было выра-
зить явно. Траектория материальной точки описывается функцией
X (<); имеем

р = р (X, о = р |х (/), d = р (о,	(1-6.5)

где функция р ( ) отличается от функции р ( ), хотя значения
этих функций одинаковы, когда X в р ( ) выбирается как X (?)
Тогда

= P =	+	(1-6.6)

Вектор X есть скорость v. Производная р есть скорость изменения
плотности «движущейся частицы»; она обозначается символом
Dp/Dt и называется субстанциональной производной. Тогда имеем

Раскрывая левую часть уравнения (1-6.4), получаем (см. зада-
чу 1-G)

V-(pv) = p(V.v)xv.Vp=—g-.	(1-6.8)

Учитывая уравнение (1-6.7), получаем уравнение сохранения
массы в следующей форме:

£a=^pv.v.	(1-6.9)

Для жидкостей постоянной плотности обе формы дифференци-
ального уравнения сохранения массы упрощаются:

V.y = 0,

(1-6.10)

Уравнения (1-6 4) и (16.9) называются соответственно «эйле-
ровой» и «лагранжевой» формами уравнения неразрывности. Мож-
но считать, что лагранжева форма записана в системе отсчета, по
отношению к которой материальная точка неподвижна. Действи-
тельно, рассмотрим какое-либо изменение системы отсчета, кото-
рое делает скорость v* материальной точки X* равной нулю для
любого момента времени. Уравнение (1-6.4) преобразуется тог-
да к виду

V-(p*v*) = —4'	(1-6.11)

В уравнении (1-6.11) р* — поле плотности р* (X*, t), которое
отличается от поля р (X, ?), хотя значения р и р* равны, когда X*
выбирается как образ X (в этом смысле плотность нейтральна).
Поскольку мы выбрали систему отсчета такой, что положение X*
материальной точки фиксировало, др*!dt можно отождествить
с dpidt и, следовательно, с DpfDt.
Уравнение (1-6.11) можно записать в виде

-A = pv.v* + v*.Vp*.	(1-6.12)

В первом члене правой части уравнения (1-6.12) в качестве плотно-
сти записывается р, а не р*, поскольку рассматривается такое ее
значение (р — множитель), которое нейтрально. Второй член ока-
зывается нулевым согласно выберу системы отсчета. Таким обра-
зом,

—§L = pV-v*.	(1-6.13)

Уравнение (1-6.13) все еще формально отличается от уравнения
(1-6.9) в силу того, что в нем рассматривается дивергенция поля v*,
а не дивергенция поля v. Однако можно доказать (см. разд. 2-2),
что

V-v* — V-v,	(1-6.14)

и, следовательно, уравнения (1-6.9) и (1-6.13) оказываются иден-
тичными.

Выше неявно предполагалось, что уравнение (1-6.4) можно
записать в новой системе отсчета в точно такой же форме, т. е. что
уравнение нейтрально по отношению к выбору системы отсчета.
Такая нейтральность представляет собой свойство некоторых
физических законов, однако совсем не обязательно всех физических
законов: динамическое уравнение, обсуждаемое в следующем разде-
ле. пе нейтрально относительно выбора системы отсчета. Ней-
тральность в этом смысле будет подробно обсуждаться в гл. 2

1-7 ДИНАМИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ

Принцип сохранения импульса выполняется только в так назы-
ваемой «инерциальной» системе отсчета, которая, как предполага-
ется, существует в евклидовом пространстве классической физики.
Если существует одна такая система, то любая другая система
отсчета, движущаяся с постоянной скоростью по отношению
к первой, также инэрциальна. Динамическое уравнение записы-
вается в предположении, что система отсчета инерциальна. Факти-
чески справедливость динамического уравнения можно положить
в основу определения инерциальной системы отсчета.

Эйлерова форма динамического уравнения получится, если
явно выписать все члены уравнения (1-1.3) применительно к диф-
ференциальному объему, окружающему точку X.

Для выражения чистого притока имйульса рассмотрим диаду
pvv. Согласно определению диады (см; уравнение (1-3.6)), имеем
где ds — элемент поверхности, на которой находится рассматри-
ваемая точка, Член в круглых скобках в правой части уравнения
выражает скорость потока массы через рассматриваемый элемент
поверхности; таким образом. pvv-tZs оказывается потоком импуль-
са через тот же самый элемент поверхности. Это определяет диаду
pvv как поток импульса.

Запишем тождество, аналогичное уравнению (1-6.3), для тензор-
ного поля А (X):

А)

A -ds.

(1-7.2)

которое позволяет рассмотреть дивергенцию pvv как чистый расход-
ный поток импульса, отнесенный к единице объема:

/Частый расход \

V (pvv) = I потока импульса ].	(1-7 3)

\на единицу объема /

Рассмотрим теперь второй член в уравнении (1-1.3), представ-
ляющий собой сумму всех поверхностных сил. Внутренняя сила
dt, действующая на любой поверхностный элемент ds, по опреде-
лению тензора полных напряжений выражается в виде

dt = T-ds.	(1-7.4)

Применяя вновь уравнение (1-7.2), получаем, что правая часть,
здесь представляет собой результирующую всех поверхностных
сил, а дивергенция Т есть эта результирующая, отнесенная к еди-
нице объема:

(Результирующая \
поверхностных сил | .	(1-7.5)

на единицу объема/

Как будет показано в гл. 4, для жидкостей постоянной плотно-
сти уравнение состояния определяет полнее напряжение Т с точ-
ностью до произвольного аддитивною изотропного тензора.
Полезно поэтому разбить полное напряжение на два слагаемых:

Т - — pl + %',	(1-7.6)

где р — скаляр, называемый давлением (но не в термодинамиче-
ском смысле, как это обсуждается в разд. 1-8), а т' — дсбиатпорный
тензор, т. о.

irt' = 0.	(1-7.7)

Разбиение, определяемое уравнениями (1-7.6) и (1-7.7), един-
ственно: действительно, если взять след от обеих частей (1-7.6),
то получим уравнение

UT = —Зр.

(1-7.8)
которое представляет собой операторное определение давления.
Дивергенцию полного напряжения можно теперь представить
в виде

V.T = V-t' — Vp.	(1-7.9)1)

Третий член в уравнении (1-1.3), отнесенный к единице объема
системы, есть просто pg. где g — полевое ускорение (в большин-
стве случаев — гравитационное ускорение).

Правая, часть уравнения (1-1.3), отнесенная к единице объема
системы, есть частная производная воктора pv по времени. Таким
образом, рассматривая уравнения (1-7.3), (1-7.5) и (1-7.9), полу-
чим окончательно динамическое уравнение в ферме Эйлера

_ V. (pw) — Vp + V. т' + pg=Л (pv),.	(1-7.10)

Лагранжеву форму динамического уравнения можно полу-
чить при помощи алгебраического преобразования уравнения
(1-7.9). Используя результат решения задачи 1-7, получим

JL (pv) + V.(pvv) = р.J--J- v+ pVv• v + v [V-(pv)], (1-7.11)

или при помощи уравнения (1-6.4) 2) будем иметь

4(pv)+v (pvv)=pK-+Vv'v]^p>b <1-7Л2)

Выражение в квадратных скобках в уравнении (1-7.12) представ-
ляет собой, очевидно, субстанциональную производную скорости;
выкладки, приводящие к уравнению (1-6.7), можно без труда пов-
торить с заменой поля плотности р полем скорости v. Подставляя
выражение (1-7.12) в уравнение (1-7.10), получаем динамическое
уравнение в форме Лагранжа

p^=_Vp + V.T’ + pg.	(1-7.13)

Левая часть уравнения (1-7.13) представляет собой силу инер-
ции, обусловленную ускорением частицы. Эта сила равна поверх-
ностным и объемным силам, действующим па эту частицу и собран-

*) Уравнение (1-7.9) получается следующим образом. В ебщем случае
(см. задачу 1-9) имеем для произвольного тепзора А

V-(aA) — aV-A + A Va.

Для изотропного тензора al

V-(al) = aV-1 4 Va = Va.

Действительно, V-l = 0, как это можно видеть непосредственно из опре-
деления дивергенции тензора,

2) Эквивалентные обозначения для DvlDt суть X пли v.
ным в правой части уравнения. Таким образом, уравнение (1-7.13)
можно считать непосредственной формулировкой закона Ньютона.

В классической гидромеханике общепринято рассматривать
так называемое уравнение механической энергии. Разумеется, не
существует принципа сохранения механической энергии; уравне-
ние механической энергии получается при помощи почленного
скалярного умножения динамического уравнения на вектор ско-
рости [8]. Уравнение механической энергии не содержит информа-
ции, дополнительной к той, которую содержит динамическое урав -
нение, и фактически содержит даже меньшую информацию, ибо
оно является скалярным уравнением, в то время как динамическое
уравнение векторное. 'Гем не менее уравнение механической энер-
гии весьма полезно в классической гидродинамике, где девиатор-
пая часть напряжения т' предполагается равной пулю. Оно имеет
ограниченное применение в ньютоновской гидромеханике и почти
бесполезно в механике вопыотоповских жидкостей.

Можно показать, что принцип сохранения момента импульса
предполагает, что тензор напряжений симметричен, т. е. Т = Тт.
Это утверждение справедливо в так называемом неполярном слу-
чае, т. е. в случае отсутствия объемно-распределенных пари внут-
ренних моментов напряжений.

В этой книге рассматривается только неполярный случай, для
которого принцип сохранения момента импульса не налагает
иных ограничений, кроме требования симметричности тензора
напряжений. Таким образом, этот принцип не будет затрагиваться
в последующем изложении, а тензор напряжений всегда будет
предполагаться симметричным.

1-8 ДАВЛЕНИЕ

Физический смысл понятия давления для жидкостей постоянной
плотности нуждается в разъяснении. Действительно, давление как
некий скаляр, фигурирующий в уравнениях (1-7.10) и (1-7-13), не
может быть просто отождествлен с термодинамическим давлением
(т. е. с независимой переменной, входящей в термодинамическое
уравнение состояния), если плотность представляет собой величи-
ну, не зависящую от давления. Фактически для жидкостей с посто-
янной плотностью термодинамическое давление — величина не-
определимая, поскольку термодинамическое уравнение состояния
не может быть разрешено относительно давления ])-

х) Термодинамическое давление можно определить при помощи «энерге-
тического» уравнения состояния как частную произвол еую внутренней
-энергии по удельному объему, взятую с обратным знаком. Частное дифферен-
цирование энергии предполагает, что вес остальные независимые перемен-
ные, среди которых находятся и кинематические переменные, описывающие
деформацию, остаются постоянными. Это вносит некоторую внутренне при-
Для жидкостей с постоянной плотностью реологическое урав-
нение состояния определяет тензор напряжений лишь с точностью
до произвольного аддитивного изотропного тензора. Тензор пол-
ных напряжений Т можно разбить па следующие два слагаемых:

Т=ь—а1 + т,	(1-8.1)

где а — произвольный скаляр, т — так называемое «избыточное
напряжение», которое определяется реологическим уравнением
состояния. Скаляр а нельзя рассматривать как давление, посколь-
ку след тензора т не обязательно равен нулю

Сравнение уравнений (1-7.6) и (1-8.1) дает следующее соотно-
шение, связывающее т, т', а и р'.

—al -J- т = —pi 4- т',	(1-8.2)

и, следовательно,

trr = 3 (а — р).	(1-8.3)

Подставляя (1-8.3) в уравнение (1-8..2) и разрешая его относитель-
но девиаторной части, получаем

т' = т — V8 (tri)l.	(1-8.4)

Необходимо обсудить роль динамического уравнения но отно-
шению как к а, так икр. Предположим, что поле скорости опреде-
лено и известно реологическое уравнение состояния для данной
жидкости. Если это реологическое уравнение принадлежит к типу
уравнений с девиаторпым тензором напряжений, то т' вычисляет-
ся на основании известной кинематики и далее из динамического
уравнения (уравнение (1-7.13)) определяется Vp. Следовательно,
поле давлений вычисляется с точностью до произвольной аддитив-
ной постоянной. Если же, как это бывает наиболее часто, реоло-
гическое уравнение состояния принадлежит к типу уравнений,
содержащих недевиаторные избыточные напряжения, то тензор
т' определяется по вычисленному т из уравнения (1-8.4), a Vp —
из уравнения (1-7.13), как и ранее.

Используя уравнения (1-8.3) и (1-8.4), динамическое уравнение
можно записать через избыточное напряжение т, а также по жела-
нию через а или р.

Р	= — Va + V Т + pg =

= -V (p+V3trT)-)-V т-f-pg.	(1-8.5)

сушую трудность в операторное определение термодинамического давления
в жидкостях, обладающих некоторой упругостью (см. обсуждение в разд. .1-101.
Для жидкостей с постоянной плотностью термодинамическое давление просто
не определено.
1-9 СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ ДИНАМИЧЕСКОГО

УРАВНЕНИЯ

В классической гидродинамике идеальная жидкость определяется
как материал, который не способен поддерживать девиаторные
напряжения, так что тензор полных напряжений всегда изотро-
пен. Зто равносильно рассмотрению реологического уравнения
состояния весьма специального вида:

Определение идеальной жидкости: т' = 0.	(1-9.1)

Динамическое уравнение известно как уравнение Эйлера и при-
нимает при этом следующий вид:

p-^-Vp+pg.	(1-9-2)

Дальнейшее упрощение связано с тем, что в качестве един-
ственной массовой силы рассматривется лишь сила тяжести. В этом
случае g = — g^z, где z — вертикальная координата, a g —
гравитационное ускорение, так что уравнение Эйлера сводится
к следующему:

Р^-= - V (p + pgz).	(1-9.3)

Результат почленного скалярного умножения уравнения (1-9.3)
на вектор скорости известен как дифференциальное уравнение
Бернулли; последнее является одной из форм уравнения механи-
ческой энергии в частном случае, когда т' = 0.

В руководствах по классической гидромеханике уравнение
Бернулли часто выводится па основе одного лишь принципа
сохранения энергии по методике, которая будет обсуждена в сле-
дующем разделе. В таком подходе имеется логическая ошибка;
в то время как динамическое уравнение не используется вовсе,
уравнение Бернулли получается при помощи двух основополагаю-
щих предположений: одно из пих сформулировано уравнением
(1.-9.1), а другое, дополнительное состоит в том, что механическая
энергия не превращается необратимо во внутреннюю энергию, что
означает отсутствие диссипации энергии.

Если же выводить уравнение Бернулли из динамического
уравнения, как это сделано выше, то из упомянутых двух пред-
положений достат очно только одного, даваемого уравнением (1.-9.1).
Следуя предложенной методике, можно доказать, что второе пред-
положение является следствием первого.

В механике ньютоновской несжимаемой жидкости закон Нью-
тона, определяющий вязкость р, записывается в общем случае
в следующей форме х):

х = 2p,D = т',	(1-9.4)

где D — тензор «растяжения» (называемый также тензором «ско-
ростей растяжения» или тензором «скоростей деформации»), опре-
деляемый соотношением

D = l/2 (Vv + VvT).	(1-9.5)

Ясно, что D симметричен. В общем случае любой тензор можно
однозначно разбить на сумму симметричного и антисимметричного
тензоров. Для градиента скорости имеем

Vv = D 4 W,	(1-9.6)

где

W = Vt(Vv — VvT)	(1-9.7)

есть «завихренность», или тензор «ьращевия».

После подстановки (1-9.4) в (1-7.13) получаем уравнение
Навье — Стокса

p5r=-^ + pg + P'V2v,	(1-9-8)

котороз является исходным в классической механике ньютоновской
жидкости.

Последний член в уравнении (1-9.8) получается следующим
образом:

V.T' = V. (2jxD)=.V.[p(Vv + VvT)] = luV2v + p.V.VvT. (1.9.9)
Последний член уравнения (1-9.9) вычисляется из определения
дивергенции тензора:

(V.VvT) dX^= V.(Vv.dX) = V.dv =

— V .[(v-|~o(v) —v] = V.(v-f-dv)— V.v. (1-9.10)
Рассматривая уравнение неразрывности (1-6.10), видим, что
V-VvT = 0. В общем случае дивергенция транспонированного
градиента вектора с нулевой дивергенцией равна нулю.

1-10 УРАВНЕНИЯ ЭНЕРГИИ

Уравнение «механической энергии» получается прп помощи ска-
лярного умножения динамического уравнения па вектор скорости.

Исходя из результата задачи 1-5, имеем

V(i/2p2) = VgV (v-v) = VvT -v = (D f- W)T -v.	(1-10.1)

9 Для сжимаемых жидкостей можно записать

т' = 2pD — 2/зМ (V *v) 1,

так что удовлетворяется уравнение (1-7.7). Очевидно, что для жидкостей
с достоянной плотностью выражение (1-9.4) удовлетворяет уравнению (1-7.7)
в силу (1-6.10).
Поскольку D — симметричный тензор, a W — антисимметрич-
ный, уравнение (1-10.1) сводится к виду

V (48v2) = D- v — W- v = Vv- v — 2W-у. (1-10.2)

Теперь можно вычислить скалярное произведение левой
части уравнения (1-7.13) на вектор скорости:

v.p—= у.р—+v.p(Vw) =

^P^f/gy») + v.pV(V2i>2)-f-2v.pW v. (1-10.3)

Последний член в уравнении (1-10.3) есть

2v-W-v — V’Vv*v — v-VvT -v — 0,	(1-10.4)

где последнее равенство получается просто из определения транс-
понированного тензора. Таким образом, окончательно имеем

v р?т=р4<1/2^-	<1-10’5>

Тогда уравнение механической энергии в форме Лагранжа запи-
сывается в виде

p-gj- (Ч2н2) = — v Vp-|-v V r'-f-v-pg. (1 10.G)

До сих пор использовалось лишь динамическое уравнение. Не
лишним будет подчеркнуть, что уравнение (1-10.6) представляет
собой не принцип сохранения, а лишь скалярную форму динами-
ческого уравнения.

Принцип сохранения энергии, т. е. первый закон термодина-
мики, можно записать следующим образом. Пусть U — внутрен-
няя энергия, приходящаяся на единицу массы, a gz — потенциаль-
ная энергия на единицу массы (gVz = — g). Тогда имеем:

(а)	Накопление энергии в элементе объема

4 [p(^ + 1/sp24-g3)] = gz-^+4[P(U + */2y2)].	(1-10.7)

(б)	Чистый приток энергии, обусловленный течением,

—V.[p (£7 + 42i>2 + gx)vl =

— —V-tp (Ч + 42v2)v] —gzV.py — pv-gVz, (1-10.8)
где второй член правой части равеп в силу уравнения (1-8.4)
величине gzl.dpldl'), входящей в выражение (1-10.7).

(в)	Чистый приток энергии, обусловленный потоком тепла q,
(г)	Чистый приток энергии, обусловленный работой поверхно-
стных сил. Если at — внутренняя сила, действующая на поверх-
ность ds, то совершаемая работа, т. е. поток нетепловой энергии,
есть v-dt (скорость есть смещение в единицу времени). Таким
образом, поток эпергии через поверхность ds есть

v-dt = v (T-ds) = ds-Tr v = ds-T-v, (1-10.10)
гдо была использована симметрия тензора Т. Тогда вектор T-v
можно теперь рассматривать как поток энергии, а его диверген-
ция представляет собой чистый приток энергпп, обусловленный
работой поверхностных сил:

V.(T-v).	(1-10.11)

Рассматривая уравнение (1-7.6), имеем

V.(T-v) = -V (pv) 4- V.(t'-v).	(1-10.12)

Работу объемных сил рассматривать отдельно нет необходимо-
сти, поскольку последние вносят вклад в поток энергии только
через член —pv-gVz, входящий в выражение (1-10.8).

Простые алгебраические выкладки приводят к лагранжевой
форме уравнения баланса энергии

+ li2v2]= — V q —V.(pv)4-V.(T'*v)—pv-gVx, (1-10.13)

Весьма интересное соотношение, иногда называемое «уравне-
нием тепловой энергии», можно получить, вычитая уравнение
(1-10.6) из уравнения (1-10.13)г):

p-^-=-V q4-T':Vv.	(1-10.14)

Уравнение (1-10.14) показывает, что член т' : Vv описывает
превращение работы девиаторных напряжений во внутреннюю
энергию. В классической гидромеханике предполагается, что
жидкости с постоянной плотностью могут увеличивать внутрен-
нюю энергию только за счет возрастания энтропии. Действитель-
но, можно использовать соотношение Максвелла

7Г“-г>ТГ!+4 * * 7’-5Г-	о-ю.15)

причем для жидкостей с постоянной плотностью первый член
в правой части равен нулю. Уравнение (1-10.15) основано на пред-
положении, что U полностью определяется плотностью н энтро-
пией, т. е. что кинематические переменные не входят в энергети-
ческое уравнение состояния.

4 При получении уравнения (1'10-14) бьгла использована гипотеза

постоянной плотности, так что V-(pv) = v-Vp, а также соотношение

(см. задачу 1-8):

V•(т‘ *v) = v-V т + г' : Vv.
Подставляя уравнение (1-10.15) в (1-10,14), получаем

DS . V q т' Vv

Dt pf “ |>Г '

(1-10.16)

Второй член в левой части представляет собой приращение
энтропии среды, окружающей рассматриваемый элемент объема,
на единицу массы последнего. Таким образом, левая часть
оиисывает полное приращение энтропии, а т' : Vv представляет
собой «диссипацию» энергии, г. е. скорость ее аеэбрагимого пре-
вращения во внутреннюю энергию.

Приведенные рассуждения способствуют дальнейшему разт.яс-
нению точки зрения, высказанной в разд. 1-9 и касающейся вывода
уравнения Бернулли на основании первого закона термодинамики,
который часто встречается в руководствах ио гидродинамике.
Па самом деле, если предположить справедливость реологического
уравнения состоянии (1-9.1), то диссипативный член %' : Vv обра-
щается в нуль, т. е. ь идеальных жидкостях не происходит дисси-
пации энергии. Если первоначально принять это положение как
интуитивное, то можно прямо записать уравнение (1-10,14) с нуле-
вым последним членом в правой части и вычесть его из уравнения
баланса энергии (1-10.13). Разумеется, при этом получим урав-
нение (1-10.6) (с v- V- т' =0), т. е. уравнение Бернулли. Очевидно,
что при таком подходе принимается предположение, что в неко-
торой точке вдоль линки тока нет диссипации. Несмотря на эго,
указанный подход имеет столь глубокие традиции, что использует-
ся всюду в гидромеханике ньютоновских жидкостей, хотя он ле
только логически небезупречен, ко даже приводит к неправильным
результатам х).

В этой книге мы часто будем иметь дело с жидкостями, обла-
дающими некоторой степенью упругости. Такие жидкости могут
накапливать внутреннюю энергию ь упругой форме, так что урав-
нение (1-10,15) следует записать (для жидкостей с постоянной
плотностью) в виде

DU TDS,OUVBP	Z1

-D?	(1-10.1

Уравнение (1-10.17) действительно можно рассматривать как
определение величины СЛ,ПП, нескольку U и S определены незави-
симо. Конечно, если не делать необоснованного предположения,
что Uynp = 0, то член т' : Vv отождествляется с суммой днссипа-

х) Примером этому служит обычно принимаемое предположение, что
показание трубки Пито даст «кинетический напор», что пе может быть дока-
зано без использования концепции идеальной жидкости, хотя применяется
обычно и для любой ньютоновской жидкости.
ции и накопления упругой энергии:

t':Vv=(p7’-^+V.q)-i-p	(1-10.18)

Ясно, что уравнение энергии не может использоваться, если неиз-
вестна зависимость С7упр от кинематических переменных. Эта зави-
симость отражена в «энергетическом уравнении состояния», обсуж-
давшемся в разд. 1-1; такое уравнение не зависит от реологического
•уравнения состояния. Как следствие этой трудности энергетический
подход очень редко применяется в гидромеханике неньютоновской
жидкости; взаимосвязь последней с термодинамикой будет подроб-
но обсуждена в гл. 4.

Может оказаться полезным упомянуть в заключение о извест-
ных проблемах, связанных с логическим обоснованием принципов
сохранения. Классическая точка зрения состоит в том, что четыре
принципа сохранения массы, импульса, момента импульса и энер-
гии логически не зависят один от другого. В некоторых недавних
работах [9—11] по основаниям механики сплошной среды эти
классические предположения заменяются постулатом с независи-
мости «механической мощности» от выбора системы отсчета,
т. е. один из членов в уравнении энергии предполагается не зави-
сящим от системы отсчета. С использованием этого постулата
динамическое уравнение и принцип сохранения момента импульса
могут быть выведены из уравнения энергии. Ясно, что эт от новый
подход с использованием в качестве отправной точки трех посту-
латов позволяет получить в точности те же самые окончательные
уравнения, что и классический подход, который опирается на
четыре исходных постулата.

ЗАДАЧИ

1-1 Рассмотреть оператор а+, где а — постоянный вектор. При воздей-
ствии на произвольный вектор Ь получается некоторый вектор с =
= а 4 Ь. Является ли а |- тензором?

1-2 Вычислить tr (1)

1-3 Вычислить tr D и tr W

Г-з Вычислить след произвольного антисимметричного тензора А = —Ат
1-5 Доказать тождество

V (а-Ь) = VbT.a-bVaT-b

для двух произвольных векторных полей а и Ь.

1-6 Доказать тождество

V-(aa) = aV-a + a-Va

для произвольных скалярного поля а и векторного поля а. Указание:
вначале доказать аналогичное уравнение для V (аа).

1-7 Доказать тождество

V.(ab) = a (V-b) + Va-b

для произвольного диадяого поля ab. Указание: использовать опре-
деление дивергенции тензора и результаты задач 1-5 и 1-6.
1-8 Доказать тождество

V-(A-a) = а«у-А + А : va?

где А — произвольное симметричное тензорное поле и а — произволь-
ное векторное поле. Указание: доказательство лести в компонентной
форме, поскольку в исходное тождество входит градиент тензора А.
Выяснить, где именно требуются условия симметрии.

1-9 Доказать тождество

V-(aA) = aV«A + A-Va

для произвольного скалярного поля а и тензорного поля А.

1-10 Получить уравнение (1-7.10), записывая динамическое уравнение для
кубического элемента dz’da^dx3 (где х{ — декартовы координаты).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.	Coleman В. !>., Arch. Ration. Meeh, and Analysis, 17, 230 (1064).

2.	Coleman B. D., Arch. Ration. Meeh, and, Analysis, 17, 1 (1964).

3.	Coleman В D., Mizel W. J., Arch. Ration. Meeh, and Analysis, 27, 255
11968).

4.	Coleman B. D., Markowitz H., Noll W., Viscometric Flows of Non-New-
tonian Fluids, Springer-Verlag. 1966, p. 91—108.

5.	Greub W., Linear Algebra, 2nd ed.t Springer, Berlin, 1963

6.	Halmos P. R , Finite Dimensional Vector Spaces, 2nd ed., Princeton Univer-
sity Press, Princeton, 1958

7.	Noil W., Amer. Math. Monthly, 71, 129 (1964).

8.	Bird R- B., Chern. Engng Sei., 6, 123 (1957).

9.	Beatty M. F,, On the Foundation Prnciples of Continuum Mechanics,
University of Delaware, Tech, Rep. No. 44, 1965.

10.	Green A. E., Bivlin R. S., Arch. Ration. Meeh. and Analysis, 16, 325 (1964).

11.	Groen A. E., Rivlin R. S., Z. aagew. Math, und Phys., 15, 290 (1964).
2

РЕОЛОГИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ
ДЛЯ ЧИСТО ВЯЗКОЙ НЕНЬЮТОНОВСКОЙ
ЖИДКОСТИ

'----'

L — длина трубы, R — радиус
получено как некоторый частный
2-5.

2-1 ВЯЗКОСТЬ РЕАЛЬНЫХ ЖИДКОСТЕЙ

Вязкость ньютоновских жидкостей определяется уравнением (1-9.4)
как половина коэффициента пропорциональности в зависимости,
связывающей тензор напряжений т с тензором растяжения D.
Уравнение (1-9.4) предполагает, что компоненты тензора напряже-
ний должны быть пропорциональны соответствующим компонен-
там тензора растяжений для любого заданного участка течения.
Одним из хорошо известных следствий уравнений Навье — Стокса
(уравнение (1-9.8)) является закон Хагена — Пуазейля, связы-
вающий объемный расход Q в стационарном прямолинейном тече-
нии жидкости по длинной круглой трубе с градиентом давления
в осевом направлении:

=лД4Д/)	/2-1.11

где Ар — падение давления,
трубы Уравнение (2-1.1) будет
случай общего подхода в разд.

Прямая пропорциональность между объемным расходом Q
и падением давления Др, предсказываемая уравнением (2-1.1),
подтверждается экспериментально при ламинарном режиме тече-
ния для тпирокого класса обычных жидкостей с низким молеку-
лярным весом. В то же время многие реальные материалы не
подчиняются такой закономерности, и экспериментально наблю-
даемая зависимость Q от Ар нелинейна. Концентрированные сус-
пензии, краски, расплавы полимеров и растворы представляют
собой типичные примеры материалов, обнаруживающих «пепьюто-
новское» поведение.

Течение в круглой трубе является примером класса течений,
называемых вискозиметрическими течениями, которые будут
подробно обсуждаться в гл. 5 и, как будет показало, эквивалентны
друг другу. Простейшим примером вискозиметрического течения
является линейное точение Куэтта, которое наблюдается между
двумя параллельными, скользящими друг относительно друга
пластинами. В декартовой системе координат х линейное течение
Куэтта (иногда называемое в литературе простым сдвиговым
течением) описывается следующими уравнениями для компонент
вектора скорости:

v1 = ух’,
v2 = г3 = 0.

(2-1.2)

(2-1.3)

Заметим, что различие между коптравариантнымп и ковариант-
ными компонентами в данном случае несущественно, поскольку
выбрана декартова система координат.

Компоненты тензора растяжения D для линейного течения
Куэтта суть

(2-1.4)

и, согласно ньютоновскому реологическому уравнению состоя-
ния (1-9.4), компоненты тензора напряжений записываются в виде

[т] = [т'] = ру

0 1 О

1 О О
ООО

(2-1.5)

Жидкости, не подчиняющиеся закону Хагена — Пуазейля,
не проявляют также и линейной зависимости т12 от у, предсказы-
ваемой уравнением (2-1.5). Для таких жидкостей «кажущаяся
вискозиметрическая вязкость» р может быть определена по экс-
периментальным измерениям в вискозиметрическом течении как

(2-1.6)

Величина р зависит от величины скорости сдвига у.

В той мере, в какой речь идет о кажущейся вискозиметриче-
ской вязкости, наблюдаются, по существу, два типа поведения
жидкости; для дилатантных жидкостей р представляет собой
возрастающую функцию у:

> 0 (дилатантные);

(2-1.7)



0

1

О

1
О
о

о
о
о

1 -?

для псевдопластических жидкостей справедливо обратное нера-
венство:

^<0 (псевдопластические).	(2-1.8)

Типичными примерами дилатантных жидкостей являются кон-
центрированные суспензии твердых частиц; с другой стороны,
полимерные расплавы и растворы почти всегда являются псевдо-
пластическими.
Если кажущаяся вискозиметрическая вязкость реальной
жидкости измеряется в диапазоне значений скорости сдвига,
составляющем несколько порядков, то обычно наблюдается пове-
дение, проиллюстрированное на рис. 2-1. Ньютоновское поведение
(т. с. постоянное значение т|) наблюдается как для очень малых,
так и для очень больших скоростей сдвига. Предельные значения
т)0 и Т|оо называются нижним и верхним предельными вискози-
мстрическими вязкостями и часто различаются на несколько
порядков величины.

Ясно, что ньютоновское реологическое уравнение состояния
(1-9.4) неадекватно для описания поведения реальных жидкостей,

Рис. 2-1. Кривая вязкости для лсевдопластической жидкости.

обладающих переменным т]. Это представляет собой одно из глав-
ных физических оснований для рассмотрения более сложных видов
реологического уравнения состояния, которые могли бы обеспе-
чивать описание наблюдаемого поведения.

Очевидно, что первым шагом в этом направлении является
предположение с нелинейном характере зависимости между тензо-
рами напряжений и растяжения. Однако, перед том как рассма-
тривать это предположение, уместно проанализировать требования
инвариантности для уравнений состояния, чтобы можно было
избежать физически неосуществимых форм этого уравнения.
Следующий раздел посвящен такому анализу.

2-2 ТРЕБОВАНИЯ объективности реологических

УРАВНЕНИЙ СОСТОЯНИЯ

Реологическое уравнение состояния представляет собой матема-
тическую формулировку некоторых предположений, касающихся
механического поведения материала или в более общем случае
класса материалов. Эта математическая формулировка должна
соответствовать требованию, чтобы поведение материалов но
зависело ог искусстпенных условий, которые выбираются для
математического описания; т. е. при любых условиях эта форму-
лировка должна отражать одно и то же поведение. Это означает,
что уравнение состояния должно оставаться инвариантным при
изменении этих условий.

Очевидно, что уравнение состояния должно быть инвариантным
при изменении системы координат: выбор последней фактически
является соглашением, используемым для определения компонент
векторов и тензоров. Если это уравнение записано в тензорной
форме, оно всегда инвариантно при изменении системы координат.
Действительно, в системе отсчета, избранной для наблюдения,
тензоры остаются неизмененными при изменении системы коорди-
нат, хотя их компоненты могут изменяться. Эю становится оче-
видным сразу же, когда тензоры определяются как линейные опе-
раторы, поскольку такое определение не зависит от выбора системы
координат.

Более тонкое, по в той же степени фундаментальное требование
инвариантности уравнений состояния состоит в том. что они
должны оставаться неизмененными при изменении системы отсче-
та, даже зависящей от времени системы отсчета. Это можно
либо принять как постулат, либо признать интуитивно. Хороший
пример интуитивного принятия этого «принципа объективности
поведения материала» указал Трусделлом и Ноллом 11]:

«Пусть тело известного веса, скажем в 1 фунт, подвеше-
но на пружине и растягивает ее на некоторую длину, скажем
1 дюйм. Затем связанные так пружину и тело кладут на гори-
зонтальный диск, к центру которого прикрепляют эту
пружину. Диск приводят во вращение с постоянной ско-
ростью так, что пружина вновь растягивается на 1 дюйм.
По-видимому, наблюдатели согласятся (курсив авторов),
что центростремительная сила, требующаяся для удержа-
ния тела, составит в точности 1 фунт. Таким образом, на
реакцию пружины не влияет жесткое движение».

Весьма важно отметить, что нейтральность к выбору системы
отсчета не обязательна для всех физических законов; например,
динамическое уравнение не является нейтральным по отношению
к системе отсчетах). Действительно, динамическое уравнение
определяет «инерциальную» систему отсчета, и его справедливость

!) Это справедливо, если только ускорение D\iDt не заменяется ускоре-
нием относительно «неподвижных звезд». В этом случае действительно выби-
рается некоторая «предпочтительная» система отсчета, связанная с непод-
вижными звездами, и нейтральность относительно выбора системы отсчета
получается только формально.
нарушается, если система отсчета движется ускоренно относи-
тельно инерциальной системы отсчета.

В противоположность этому существуют физические законы,
которые с необходимостью нейтральны к выбору системы отсчета.
В разд. 1-6 мы уже высказывали точку зрения, что уравнение
сохранения массы нейтрально по отношению к системе от-
счета. Точно так же необходимо, чтобы реакция материала на
его деформирование была тоже нейтральной в указанном
смысле.

Заметим, что принцип объективности поведения материала
не связывается с требованием его изотропии; анизотропные мате-
риалы также должны подчиняться этому принципу. Вообще гово-
ря, принцип объективности поведения материала подразумевает
требование изотропии пространства: изменение наблюдателя
(т. е. системы отсчета) не должно сказываться на поведении мате-
риала. Заметим также, что принцип объективности поведения
материала является более сильным требованием, чем нейтраль-
ность к поворотам, поскольку нейтральность к выбору системы
отсчета требуется также при неправильных (т. е. нс сохраняющих
левую или правую упорядоченность) поворотах 12].

Несмотря на кажущуюся простоту принципа, ого применение
может быть затруднено, если, как это было показано недавно [3],
рассматривать его в строгой форме. Эго частично может быть след-
ствием того, что требование нейтральности к выбору системы
отсчета не применимо к динамическому уравнению, которое
используется совместно с уравнением состояния для решения
практических задач.

В литературе встречается довольно много уравнений состоя-
ния, не подчиняющихся принципу объекгивнссти поведения мате-
риала. В частности, некоторые работы по линейкой вязкоупру-
гости страдают от этого недостатка. Это весьма прискорбно, пото-
му что имеющиеся экспериментальные данные оказываются бес-
полезными, поскольку эти результаты были опубликованы в фор-
ме, полученной после их обработки на основе неинвариантного
(а следовательно, физически невозможного) уравнения состояния.
В частности, в гл. 6 мы увидим, что в случае уравнений состояния,
включающих производные но времени от тензора напряжений,
удовлетворять указанному принципу следует с особой тщатель-
ностью

Третьим требованием инвариантности является, конечно, инва-
риантность размерности. Это требование пе накладывает каких-
либо ограничений на форму уравнения состояния, а лишь озна-
чает, что последнее должно содержать определенное минимальное
число размерных параметров. Можно показать, что в наиболее
общем случае необходимы три параметра, имеющие размерность
напряжения, времени и длины соответственно.
Требование инвариантности размерности приводит при помо-
щи анализа размерностей к определенным, правилам выбора
масштабов для множества инженерных задач. К сожалению, это
справедливо лишь в случаях, когда используются линеаризован-
ные формы определяющих предположений. Прн нелинейных фор-
мах реологических связей (такова ситуация в гидромеханике
неныотоновских жидкостей) правила выбора масштабов могут
быть установлены только в том случае, если как в модели, так
и в ее прототипе используется один и worn же материал. Действи-
тельно, асимптотическая справедливость линейной (т. е. ньюто-
новской) теории демонстрируется главным образом успешным
использованием правил выбора масштаба в применении к раз-
личным материалам, а не прямым экспериментальным подтвержде-
нием основных предположений [4].

И наконец, следует рассмотреть требование, не являющееся
требованием инвариантности. Оно состоит в том, чтобы не нару-
шался второй закон термодинамики. Для ньютоновской жидкости
это требование весьма просто удовлетворяется тем, что вязкость
считается неотрицательной величиной, так что уравнение (1-10.16)
всегда определяет положительную диссипацию. Для более слож-
ных реологических предположений этот вопрос может решаться
и не столь непосредственно; второй закон термодинамики накла-
дывает ограничения как па реологическое, так и на энергетиче-
ское уравнения состояния. Эту весьма сложную проблему пытался
решить Колеман в недавней работе [5], что будет обсуждаться
в гл. 4.

Требование, чтобы реолсгичсскис соотношения оставались
инвариантными при изменении системы отсчета, очевидно, накла-
дывает некоторые ограничения на реологические уравнения состоя-
ния: при преобразовании тензоров, входящих в это уравнение,
к новой системе отсчета реологическое уравнение состояния долж-
но оставаться том же самым.

Рассмотрим вначале тензор напряжений Т. Будем помечать
звездочкой векторы и тензоры в «новой» системе отсчета, как
мы зто делали в разд. 1-5. Тогда мы имеем, согласно определе-
нию Т,

dt = T-ds,
dt* = Т* • ds*.

(2-2.1)

(2-2 2)

Вектор площади ds, очевидно, нейтрален, так как он является
геометрическим вектором. Постулируя, что вектор внутренней
силы также нейтрален, имеем

db* = Q ds,
dt* = Q-dt.

(2-2.3)

(2-2.4)
Комбинируя уравнения (2-2.1) — (2-2.4), получаем

QTds = T*Qds	(2-2.5)

для любой поверхности ds; таким образом,

Q. Т- Q-1 =	;= Q. Т- QT.	(2-2.6)

Уравнение (2-2.6) показывает, что тензор полного напряжения Т
является нейтральным.

Рассмотрим здесь логический процесс, при помощи которого
доказывается это утверждение. Уравнения (2-2.1) и (2-2.2) имеют
одинаковый вид, и оба представляют собой определение тензора Т.
В общем случае предполагаем, что определение тензора нейтрально
относительно изменения системы отсчета, т. е. нужно записать

Ь = А-а,	(2-2.7)

Ъ*.—А*«а*,	(2-2.8)

где оба уравнения определяют А как линейный оператор, ставя-
щий в соответствие вектору а вектор Ь, причем, естественно, оба
эти вектора должны быть определены предварительно. Если b и а
нейтральны, тс А также нейтрален.

Рассмотрим, в частности, единичный тензор 1, который опре-
деляется в виде

а = 1-а	(2-2.9)

для любого вектора а. Разумеется,

1 = 1* = Q.QT = Q-bQT	(2-2.10)

что свидетельствует о нейтральности единичного и произвольного
изотропного тензоров.

Если этот результат скомбинировать с уравнением (2-2.G),
то окажется, что как девиаюрпое напряжение г', так и напряже-
ние т нейтральны (сумма двух нейтральных тензоров является
нейтральным тензором):

T'* = Q.r'.QT,	(2-2.11)

т* = Q- т- QT.	(2-2.12)

Рассмотрим теперь кипематичеекие тензоры, такие, как гра-
диент скорости Учи тензор растяжений D. Из определения гра-
диента скорости имеем

Vv-dX = dv,	(2-2.13)

,	Vv*.dX*=dv*;	(2-2.14)

dX. — геометрический вектор и, следовательно, нейтральный:

dX* = QdX.	(2-2.15)

Правило преобразования величины dv получается из уравне-
ния (1-5.14) в следующем виде:

dv* = Q-dv + QdX.	(2-2.16)
Здесь был использован тот факт, что Q и Y — не поля, а фикси-
рованные тензор и вектор соответственно (зависимость системы
отсчета от времени определяется ее жестким переносным движе-
нием). Перепое «повой» системы отсчета Y (i) дает вклад в v*,
но пе в dv*. Действительно, разности скоростей, очевидно, ней-
тральны до отношению к накладываемому жесткому переносу.

Комбинируя уравнения (2-2.13) — (2-2.16), получаем соот-
ношение

Vv*. QdX = Q-Vy.dX + Q-dX. (2-2.17)
выполняющееся для любого аХ. Таким образом,

Vv* = Q-Vv-QT -J- Q-QT.	(2-2.18)

Уравнение (2-2.18) показывает, что градиент скорости не является
нейтральным.

Преобразование тензора растяжений D получается из его
определения 1):

D* = Ve (Vv»4-VvT*) =

= 1/2(Q-VvQT+Q.VvT.QT+Q-QT+Q-QT) =

= Q-D QT4-1/2Q4f.	(2-2.19)

Последний член в уравнении (2-2.19) равен нулю, поскольку он
представляет собой производную по времепи единичного тензора.
Таким образом,

D* = Q- В QT,	(2-2.20)

что доказывает нейтральность D.

Уравнения (2-2.11), (2-2.12) и (2-2.20) непосредственно пока-
зывают, что ньютоновское реологическое уравнение (19.4) удо-
влетворяет приппипу объективности поведения материала. Урав-
нение неразрывности для жидкостей с постоянней плотностью,
записывающееся в виде (1-6 10), которое также включает термоди-
намическое уравнение состояния, удовлетворяет указанному прин-
ципу. Действительно,

V- v = tr Vv = tr Р/а (Vv + VvT)] = tr D, (2-2,21)
tr D* = tr (Q- D- QT) = tr D.	(2-2.22)

Равенство величин (V • v)* и V v использовалось в разд. 1-6
в выводе лагранжевой формы уравнения неразрывности при
помощи изменения системы отсчета.

х) Здесь используются результаты, приведенные в разд. 2-7.
2-3 ЖИДКОСТИ РЕЙНЕРА — РИВЛИНА

После установления принципа объективности поведения материала
можно проанализировать нелинейное реологическое уравнение
состояния, устанавливающее соответствие между тензором напря-
жений х и тензором растяжения D х):

т = g (D).	(2-3.1)

Уравнение (2-3.1) является все же очень ограничительным. В са-
мом деле, оно предполагает, что напряжение в некоторой топке е дан-
ный момент времени полностью определяется скоростью растяже -
ния в гой же точке и в тот же самый момент времени. Не пред-
полагается никаких ограничений, связанных с линейностью, но
считается, что деформация, происходящая в какой-ппбудь другой
точке и (или) в какой-нибудь другой момент времени, не оказывает
влияния. Рассматривая более сложные уравнения, мы будем
снимать временные ограничения, но сохранять пространствен-
ные. Это обобщение будет подробно рассматриваться в гл. 4.

Применим теперь к уравнению (2-3.1) принцип объективности
поведения материала. Этот принцип налагает следующее ограни-
чение на вид функции g:

Q.g(D).QT = g(Q.D-QT)	(2 3.2)

для любого зависящего от времени ортогонального тензора Q.
Симметричные тензорные функции, удовлетворяющие уравне-
нию (2-3.2), называются изотропными. Принцип объективности
поведения материала подразумевает, что любой материал, удо-
влетворяющий уравнению (2-3.1), изотропен [6j. Разумеется,
неизотроппые материалы тоже будут удовлетворять этому прин-
ципу, но они не будут описываться уравнением (2-3.1).

Одна из теорем тензорного анализа устанавливает, что любая
изотропная симметричная тензорная функция g (D) может иметь
только следующий вид:

ё (®) = Ф(4 + Ф1 ® + Фа®2»	(2-3.3)

где ф{ — скалярные функции трех главных инвариантов тензо-
ра D

Подставляя (2-3.3) в (2-3.1) и используя далее условие постоян-
ства плотности, запишем

т = ФХ (Но, IIID) D + срг (IID, lib) D2.	(2-3.4)

*) Уравнение (2-3.1) можно рассматривать как точную формулировку
(для несжимаемых жидкостей) основной гипотезы Сгокса, установленной
в 1845 г. и состоящей в том, что напряжения определяются скоростью дефор-
мации. Предположение Буссинеска g том, что напряжение может зависеть
как от D, так и от завихренности W, нарушает, как можно показать [6],
принцип объективности поведения материала, если только оно по вырож-
дается в уравнение (2-3.1).
Действительно, при определении избыточных напряжений член
<р01 пе необходим. Кроме того, первый инвариант Id для жидко-
стей с постоянной плотностью тождественно равен нулю (см. урав-
нение (2-2.21)), и, следовательно, зависимостью ф1 и ф2 от Id
можно пренебречь.

Уравнение (2-3.4) представляет собой уравнение, определяю-
щее жидкость Рейнера — Ривлина. Оно является столь же общим,
как и уравнение (2-3.1). Приведение последнего к менее общей
форме (2-3.4) диктуется принципом объективности поведения
материала. Следовательно, если поведение реальной жидкости
не описывается адекватно уравнением (2-3.4), мы можем заклю-
чить, что в такой жидкости напряжения не определяются одно-
значно тензором растяжений.

Величины <р] и ф2 являются материальными функциями в том
смысле, что любая конкретная жидкость Рейнера — Ривлина
определяется заданием этих двух функций. Ньютоновские жидко-
сти представляют весьма специальный случай жидкостей Рейне-
ра — Ривлина, для которых фг = 2ц и ср2 = 0.

Важно подчеркнуть, что уравнение (2-3-4) не может выпол-
няться в случае, когда обе функции ф2 и <р2 постоянны, если ф2 0,
при этом получается ньютоновское реологическое соотношение [7]
Доказательство, которое мы сейчас приведем, является термо-
динамическим и заслуживает подробного рассмотрения с тем,
чтобы показать ошибки, возможные при развитии чисто механиче-
ской теории без должпого учета термодинамики.

Предположим, что ф1 и ф2 постоянны, и вычислим значение
члена т' : Vv в уравнении баланса тепловой энергии (1-10.14).
На основании уравнения (2-3.4) имеем

tr г = <pt 1г D + <р2 tr (D2) = —йфДХо,	(2-3.5)

где были использованы уравнения (1-3.42), (1-6.10) и (2-2.21).
Из уравнения (1-8.4) можно вычислить девиаторное напряже-
ние т':

т' = т — х/3 (tr т) 1 —

= 2/зф211ц1 4- 9jP -i- ф2П2.	(2-3.6)

Таким образом,

т'В = 3/3ф2ПоВ 4- Ф1П2 4- ф2В3.	(2-3.7)

Член, содержащий В3, можно вычислить по теореме Гамильто-
на — Кэли (уравнение (1-3.49)):

В3 = — IID В 4- IiIDl.	(2-3.8)

Подставляя (2-3.8) в (2-3.7), имеем

т'В = —ЧзфДЬ В 4- Ф1В2 4- ШПФ21. (2-3.9)
Теперь можно вычислить величину т' ; Vv:

т' . Vv = т' : (D + W) — т' : D =

— tr(v'-D) = —SqjjIlD + Зф2П1р.	(2-ЗЛО)

Второй инвариант По тензора растяжений является суще-
ственно отрицательной величиной, no Шр может иметь любой
знак. Таким образом, уравнение (2-ЗЛО) показывает, что, если
и ф2 постоянны, то существуют некоторые течения, для кото-
рых т' Vv—• отрицательная величина, что противоречит обсуж-
давшейся в разд. 1-10 интерпретации этой величины как скорости
диссипации энергии. (Можно с уверенностью предположить, что
для жидкостей Рейнера — Ривлина £/у1тр = 0, как это с очевид-
ностью следует из обсуждения в разд. 2.6.) Разумеется, если
Ф2 — 0, то уравнение (2-3.10) всегда дает положительную величи-
ну т' : Vv, по в этом случае мы получаем ньютоновское реологиче-
ское соотношение.

Если ф! и ф2 взяты в качестве переменных, то возможны функ-
циональные формы, которые всегда дают положительное значе-
ние т' : Vv. Например, если фх всегда положительно, а знак ф2
всегда противоположен знаку Шу, то, согласно уравнению
(2-3 10), величина т': Vv всегда положительна. Требование поло-
жительности диссипации накладывает на вид функций ф1 и ф,
следующее огр апичепие:

—гПоф! (IID, Шп) > —ЗШрф2 (Пр, IIID). (2-ЗЛ1)

Рассмотрим теперь линейное течение Куэтта жидкости Рейне-
ра — Ривлина. Из уравнения (2-3.4) получаются следующие выра-
жения для компонент тензора напряжений (см. пример 2А):

*12 = *ei = <Р1?/2,

*13 = *31 = *23 ~ *32 “ О,

*11 --- *22 = 0,

*22 — *33 = ФгТ2/4.

(2-3.12)
(2-ЗЛЗ)
(2-ЗЛ4)
(2-3.15)

Функции фг и ф2 вычисляются при Пр = —уа/4 и Шр = 0
и, следовательно, являются четными функциями скорости сдвига.

Уравнение (2-3 12) показывает, что кажущаяся вискозиметри-
ческая вязкость ц равна половине величины фх. Уравнение (2-3.12)
может соответствовать любой кривой кажущейся вискозиметриче-
ской вязкости, поскольку на вид функции фх, а следовательно,
и на вид кривой ц (у) но налагается никаких ограничений, за
исключением того, что последняя должна соответствовать четной
функции. Четность ц (у) требуется также па основе термодинами-
ческих соображений. Уравнение (2-ЗЛЗ) пе налагает ограничений
на предполагаемую адекватность уравнения (2-3.4), поскольку
можно показать, вообще говоря, что уравнение (2-3 J3) вь.пол--
няется для линейного течения Куэтта любого изотропного мате-
риала (см., в частности, задачу 2-2).

Из уравнения (2-3.15) следует, что в линейном течении Куэтта
три нормальных напряжения не все равны между собой в противо-
положность тому, что должно иметь место в соответствии с ньюто-
новским уравнением (1-9.4). Разности нормальных напряжений
были на самом деле измерены для множества различных жидкостей
в вискозиметрическом течении (такие данные будут обсуждаться
в гл. 5), однако равенство величин тп и тв2, предсказываемое
уравнением (2-3.14), не было подтверждено ни для одного реаль-
ного материала с отличным от нуля значением разности т22 — т33.

Это является определенным недостатком уравнения (2-3,4),
который не может быть преодолен без использования реологиче-
ских соотношений, более сложных, чем уравнение (2-3.1). Иными
словами, поведение реальных материалов, имеющих в вискози-
метрическом течении отличную от пуля разность первых нормаль-
ных напряжений (т1Х — т22 =/ 0), не может быть объяснено па
основе предположения, что тензор напряжений однозначно опре-
деляется тензором растяжения.

Таким образом, на данной стадии возможны два подхода
к гидромеханике неныотоповских жидкостей. С одной стороны,
можно сконцентрировать внимание на проблемах течения, для
которых (ь некотором смысле требующем определения) исполь-
зуется лишь кажущаяся вискозиметричсская вязкость, так что
неадекватность уравнения (2-3.4) считается несущественной. Такая
система представлений характерна для предмета, который мы
будем называть обобщенной ньютоновской гидромеханикой. Этот
подход может быть оправдан либо вследствие того, что в рассма-
триваемом течении существенна лишь вискозиметричсская вяз-
кость (к этой категории относятся ламинарные течения, по край-
ней мере в первом приближении), либо вследствие того, что рас-
сматриваемый материал имеет зависящую от сдвига вискозиме-
трическую вязкость, ко не обладает никакими другими неньюто-
новскими свойствами. (К этому типу зачастую относятся суспен-
зии твердых частиц, но, к сожалению, нельзя отнести более важ-
ные в практическом отношении полимерные расплавы и растворы.)

С другой стороны, можно исследовать возможности более слож-
ных, чем уравнение (2-3.1), реологических уравнений, необходи-
мых для адекватного описания поведения реальных материалов
хотя бы в простейшем из возможных типов течений — линейном
течении Куэтта. Этот второй подход кладет начало новой дисцип-
лине, которую мы будем называть «гидромеханикой жидкостей
с памятью».

Здесь возникает вопрос о терминологии. В большинстве тех-
нических книг термины «непыотоновский» и «упруговязкий»
используются довольно свободно, и разные авторы вкладывают
в них различный смысл. Мы используем здесь термин «непьюто-
новский» для любого материала, не подчиняющегося уравне-
нию (1-9.4); термин «жидкость Рейнера — Ривлина» используется
для любого материала, подчиняющегося уравнению (2-3.1), при-
чем ньютоновские жидкости являются одним из частных случаев;
термин «жидкости с памятью»— для материалов, которые не под-
чиняется уравнению (2-3.1) и для которых величины напряжений
зависят также и от деформаций, имевших место до момента наблю-
дения.

2-4 ОБОБЩЕННЫЕ НЬЮТОНОВСКИЕ ЖИДКОСТИ

Если внимание сосредоточено на кажущейся вискозиметрической
вязкости реальных жидкостей, то нет необходимости удерживать
последний член в правой части уравнения (2-3.4). поскольку его
учет приводит лишь к появлению нормальных напряжений (вывод,
который ни разу не удалось проверить ни на какой известной
реальной жидкости, за исключением тех, для которых тп =
= т42 = т33) и совсем не влияет на значение т), поскольку для
вискозимстрввеских течений D2 имеет нулевые внедиагональные
компоненты

Более того, вторая независимая переменная IHD, от которой
зависит ср15 в вискозиметрических течениях тождественно равна
нулю, и, следовательно, зависимость <р2 от Шд не может быть
обнаружена в экспериментах с вискозиметрическими течениями.
В качестве предварительной гипотезы можно предположить, что
<рт не зависит от ITID. Имеется ряд экспериментальных указаний
на то, что дело обстоит именно гак, хотя они и не являются вполне
убедительными [81.

В приведенном выше рассмотрении предполагалось использова-
ние следующего реологического определения обобщенной ньюто-
новской жидкости

х' = т = 2ц (5) D,	(2-4.1)

где параметр S, имеющий размерность квадрата частоты, опреде-
ляется для жидкостей с постоянной плотностью как

5 = —4IId = 2tr (О2) = 2D : D.	(2-4.2)

Множитель 2 введен в определение S с тем, чтобы для линей-
ного течения Куэтта получилось 5 = у2.

В литературе было предложено несколько видов функции
т] (S), входящей в уравнение (2-4.1), и они широко использовались
при расчетах течений. Разница между ньютоновским реологиче-
ским соотношением (1-9.4) и уравнением (2-4.1) в смысле понятий
весьма незначительна; подстановка (2-4.1) в динамическое урап-
Пенис (1-7.13) приводит к обобщенной форме уравнения Навье —
Стокса;

Р	» - Vp + pg + т] (S) V2v 4- 2D • Vrp	(2-4.3)

Интегрирование уравнения (2-4.3) для определенных систем
граничных условий зачастую более громоздко, хотя и не отли-
чается принципиально от интегрирования уравнения (1-9.8).
Расчеты точений, основывающиеся на уравнении (2-4.3), состав-
ляют содержание дисциплины, называемой гидромеханикой
обобщенных ньютоновских жидкостей.

Разновидность функции ц (Л'), которая чрезвычайно широко
использовалась в литературе, представляет собой так называемый
степенной закон

т] (5) = KS^/2,	(2-4.4)

где п и К — постоянные параметры, которые называются показа-
телем и постоянной степенного закона соответственно. Показа-
тель степенного закона безразмерен, в то время как размерность
постоянной зависит от величины п',

[XI = г/(с2-п-см),

(2-4.5)

Ньютоновское реологическое уравнение состояния получается
как частный случай при п = 1. Жидкости с псевдопластпческим
поведением соответствует п <Z 1, а с дилатантным поведением
соответствует п > 1. Хотя уравнение (2-4.4) часто довольно точно
описывает кривую вискоз иметрической вязкости для реальных
Материалов в диапазоне изменения S от одного до нескольких
порядков, оно неприменимо для предсказания верхнего и ниж-
него пределов вязкости. В частности, для псевдопластических
жидкостей (га <; 1) уравнение (2-4.4) предсказывает бесконечно
большую вязкость в продольном случае исчезающе малых скоро-
стей сдвига. Несмотря па эту трудность, расчеты течений, осно-
ванные на уравнении (2-4,4), успешно применялись в инженерном
анализе различных задач теории ламинарных течений. В книге
Скелланда 19] приведен обзор расчетов такого типа.

Другой получившей широкое распространение формой функ-
циональной зависимости ц (S) является модель Прандтля —
Эпринга [10], которая, по крайней мере частично, основана на
молекулярных представлениях. Предполагается, что функция
т] (5) имеет вид

Л = По

Bish (V S X)

(2-4.0)
где т]0 и 1 — постоянные. Здесь т]0 имеет размерность вязкости
и фактически равна ее нижнему проделу:

5 -> 0,	л-*- По-	(2-4.7)

Параметр А имеет размерность времени. Уравнение (2-4.6) всегда
описывает псевдопластическое поведение, во оно неверно оцени-
вает верхний предел вязкости. Этот недостаток устраняется неболь-
шим усложнением формы функции т] (5), обычно называемой
моделью Пауэлла — Эйринга [11]:

И = Иоо + (По - Поо) arsh/^7— •	(2-4.8)

у D Л

2-5 ЛАМИНАРНОЕ ТЕЧЕНИЕ ОБОБЩЕННОЙ

НЬЮТОНОВСКОЙ ЖИДКОСТИ

Теория обобщенных ньютоновских жидкостей применяется, в част-
ности, при анализе установившихся ламинарных течений через
трубки постоянного сечения, где лучше всего выполняются пред-
положения, заложенные в уравнении (2-4.1).

Типичным примером является установившееся ламинарное
течение через круглую трубку. Если выбрать цилиндрическую
систему координат с осью z вдоль центральной лилии трубки, то
течение можно описать следующим образом:

Vz = и (г),	(2-5.1)

vr = vd = 0,	(2-5.2)

причем отлична от нуля только rz-компонента тензора растяже-
ния, а именно

^-=-7 (г)	(2-5.3)

(для rz-компоненты различие между типами компонент несуще-
ственно).

Объемная расходная скорость Q дается выражением

л

Q ziR2V = j 2лги dr,	(2- 5.4)

с

где V — средняя скорость. Интегрируя уравнение (2-5.4) по
частям, получим

н

r = + r^dr,	(2-5.5)

о

где us — скорость скольжения на стенке трубки. Обычнее пред-
положение в классической гидромеханике состоит в том. что
жидкость прилипает к любой твердой границе, и, следовательно,
wg должна быть равна пулю. В случае кеньютоновских жидкостей
было показано [12, 13], что при некоторых условиях us отлично
От нуля.

Уравнение (2-4,1) для рассматриваемой задачи можно записать
в виде

t = П (т4) Т>	(2-5.6)

где х представляет собой rz-компоненту тензора напряжений.
Уравнение (2-5.6) можно в принципе разрешить относительно у х),
т. е. его можно представить в виде

У.= /(т),	(2-5.7)

где / ( ) — пока еще не определенная функция. Применение к рас-
сматриваемой задаче динамического уравнения позволяет полу-
чить хорошо известное линейное распределение напряжений

T =	Г,	(2-5.8)

/I Ь	'

где rw — напряжение на стенке, а Лр — падение давления на
длине L трубы. Напряжение представляет собой величину,
которая может быть измерена.

Подстановка уравнений (2-5.7) и (2-5.8) в (2-5.5) дает

	Та(1-Л) = -|Л x*f(x)dx,	(2-5.9)  w J
где	Та=-^,	•	(2-5.10)  4 = -^.	(2-5.11)

Уравнение (2-5.9) показывает, что уа (1 — А) является одно-
значной функцией напряжений па стенке Tw.

Дифференцирование уравнения (2-5.9) по после некоторых
алгебраичесжих преобразований дает

	_1г+3(1-4)-Лр = 4^,	(2-5.12)
где	n, ainrwi	(2-5.13)  dlnya |r d In уа |н ’	'	'  dln_<i	(2-5.14)  r 6,’lnTw ’	'	'  yvr — f(^vi)-	(2-5.15)

г) Здесь используется предположение, что кривая t (у) мопотонпа и, сле-
довательно, обратима. Кроме предельного случал исчезающе малкх зиаче-
ипп у, это не обязательно так.
Величина интерпретируется как скорость сдвига па стенке
(си. уравнение (2-5.7)); предполагается, что us зависит только
от Tw.

Рассмотрим вначале случай, когда скорость скольжения отсут-
ствует, т. е. Л = 0. Уравнение (2-5,12) сводится тогда к уравнению

Vw-Ya-Чтг1-	(2-5.16)

Уравнение (2-5.16), известное как уравнение Муни — Рабиновича,
служит отправным пунктом для определения кривой т] (S) на
основании данных по падению давления в ламинарном потоке.
Действительно, как Tw, так и уа являются непосредственно изме-
ряемыми величинами; график зависимости tw от уа в логарифми-
ческих координатах позволяет получить значение п'. Конечно,
п' является, вообще говоря, функцией уя, по в большинстве слу-
чаев эта зависимость чрезвычайно слаба. Уравнение (2-5.16)
можно использовать для вычисления истинной скорости сдвига ?w
па стенке. Кажущаяся вискозиметрическая вязкость и соответ-
ствующее значение S определяются тогда в виде

П = ~,	S^,	(2-5.17)

Yw

Мы проиллюстрировали методику, при помощи которой виско-
зиметрическую вязкость можно рассчитать на основании данных
по падению давления в ламинарном течении в круглых трубках.
Течения в других устройствах, для которых можно определить ц,
будут обсуждены в последующих главах.

Несмотря на некоторую аналогию, показатель п', характери-
зующий тип течения, не следует смешивать с показателем п сте-
пенного закона, определенного в (2-4.4) Кажущаяся постоян-
ная К' может быть определена из выражения

Tw = K'tf.	(2-5.18)

Если показатель п' постоянен, то он совпадает с показателем п
степенного закона, в то время как зависимость между К' и К
имеет вид

*=*'[з£гГ-	<2-Б1е>

Вернемся теперь к общему случаю, когда на стенке имеет
место скольжение, т. о. А ^О. Дифференцирование уравне-
ния (2-5.9) по при постоянном Ар дает

р = (2 + ₽)Л-3 + 4^-,	(2-5.20)

Ya

где

_ д In уа I _ 0 ]ч 7а I	/о -5 2U

д In R ,лр <?lnxw |др'	'
Подстановка уравнения (2-5,12) в (2-5.20) дает

9 =	(2'5-22)

Если А — 0, то из уравнения (2-5.9) следует, что уа является
однозначной функцией tw, и, следовательно, кривые зависимо-
сти tw от уа, полученные в опытах с трубками разных радиусов,
налагаются друг на друга. Если же на стенке имеет место скольже-
ние, то наблюдаемые кривые при различных радиусах будут сдви-
нуты друг относительно друга: действительно, в этом случае
представлязтся физически нереальным, чтобы А была однознач-
ной функцией tw. Когда наблюдается такой сдвиг, уравне-
ние (2-5.22) можно использовать для вычисления значения А.
Если теперь предположить, что р = 1, то уравнение (2 -5.12) или
(2-5.20) можно использовать для вычисления yw, и, следовательно,
кажущуюся вискозиметрическую вязкость ц можно определить
даже нри наличии скольжения на стейке.

В весьма частом случае ньютоновских жидкостей при отсут-
ствии скольжения на стенке п' = п — 1. К' = К — р, и урав-
нение (2-5 18) сводится к уравнению

Tw = №.	(2-5.23)

которое представляет не что иное, как другую форму закона
Хагена — Пуазейля (2-1.1). Из уравнения (2-5.23) следует, что
для ньютоновских жидкостей уа равна скорости сдвига на стейке;
обобщая, величину уа можно трактовать как кажущуюся скорость
сдвига на стенке.

В приведенном выше обсуждении ничего не было сказано
о возможных концевых эффектах; следовательно, полученные
результаты асимптотически справедливы для очень длинных тру-
бок. Разумеется, концевые эффекты могут быть исследованы экс-
периментально при использовании трубок разной длины.

В классической гидромеханике принято представлять урав-
нение (2-1.1) или его эквивалент — уравнение (2-5.23) — в форме
соотношения между коэффициентом трения и числом Рейнольдса:

f =	(2-5.24)

’ pV2L Rc	'	'

Уравнение (2-5.24) можно считать справедливым и для обоб-
щенных ньютоновских жидкостей, если только подходящим обра-
зом определить обобщенное число Рейнольдса. Действительно,
подставляя уравнения (2-5.8) и (2-5.18) в (2-5.24) и разрешая
относительно числа Рейнольдса, получаем
Определение обобщенного числа Рейнольдса по уравне-
нию (2-5.25) подразумевает, что при расчетах течения в трубке
следует использовать значения К' и п', соответствующие напряже-
нию сдвига на стейке. При распространении па различные задачи
ламинарных или ползущих течений необходимо определить либо
характеристическую скорость, либо характеристическое напряже-
ние так, чтобы были определены используемые значения п’
и К'.

Методика, примененная выше к задаче ламинарного течения
через круглую трубку, была распространена на другие задачи
ламинарных точений, такие, например, как стекание по наклон-
ной плоскости [12]. В литературе [14, 15] были также обсуждены
некоторые задачи ползущих течений. Гидромеханика обобщенной
ньютоновской жидкости была подробно рассмотрена в книге'
Скелланда [9].

2-6 ПОНЯТИЕ ПАМЯТИ ДЛЯ ТЕКУЧИХ МАТЕРИАЛОВ

К проблеме описания механического поведения реальных материа-
лов можно подойти как с чисто аксиоматической, так и с чисто
феноменологической точки зрения. Оба подхода имеют и преиму-
щества, и недостатки. Аксиоматический подход, типичный для
рапиопальной механики, имеет преимущества в строгости и общно-
сти, однако обладает тем недостатком, что разрешает только те
проблемы, которые он может решить, а пе те, которые нужно-
решить. Преимуществом феноменологического метода является его
высокая прагматическая нацеленность на решение инженерных
задач; иногда этот метод способствует обоснованию и мотивировке
аксиоматического подхода к определенному классу проблем..
В данном разделе развивается чисто феноменологическая точка
зрения, причем обсуждаются некоторые понятия, которые в зна-
чительной степени интуитивны и не имеют четкого математического
определения. Мы обретаемся к читателю с просьбой не искать,
здесь строгих построений, но попять ряд интуитивных идей,,
которые могут побудить его к освоению солидной теоретической
базы, требуемой для аксиоматического подхода, излагаемого
в гл. 4.

Неадекватность уравнения (2-3.1) в отношении корректного,
предсказания поведения реальных материалов даже в течениях
столь простою типа, как лилейное течение Куэтта, выдвигает
проблему построения реологическою уравнения состояния более-
общего вида, в котором тензор напряясений т уже появляется*
однозначно определенной функцией тензора растяжения.

Поведение, которое действительно наблюдается в линейном,
течении Куэтта реальных материалов, характеризуется наличием»
довольно больших разностей первых нормальных напряжений
ти — т22 и гораздо меньших разностей вторых нормальных
напряжений г22 — т33. Это поведение напоминает эффект Пойн-
тинга, полученный в теории изотропных упругих тел: в твердом
образце, подвергаемом сдвиговой деформации, возникает отличная
от нуля разность первых нормальных напряжений.

Имеются другие данные, свидетельствующие о том, что реаль-
ные текучие материалы, поведение которых не описывается урав-
нением (2-3.1), обладают некоторой степенью упругости. На самом
деле в таких материалах обычно наблюдаются явления, подобные
упругому последействию, которые с высокой достоверностью
указывают па наличие упругости.

Если попытаться включить понятие упругости в реологиче-
ские уравнение состояния, то сразу же столкнемся с основной
проблемой определения упругости и «жидкости». Интуитивно
упругость представляется таким свойством материалов, которое
предполагает, что внутренние напряжения определяются дефор-
мациями. В свою очередь, деформация может быть определена
.лишь в терминах «конфигурации» отсчета, т. е. через некоторое
понятие предпочтительной формы рассматриваемого материала.
Деформацию понимают как отклонение от этой предпочтительной
•формы.

В противоположность этому под «жидкими» материалами пони-
мают такие материалы, которые не имеют предпочтительной
формы, так что попытка соединения интуитивных понятий упруго-
сти и текучести приводит, по крайней мере па первый взгляд,
к внутреннему противоречию. Действительно, та идея, что текучие
материалы нечувствительны к деформации, приводит к концепции,
что внутренние напряжения должны определяться скоро-
стью деформации,—• концепции, которая воплощена в уравне-
нии (2-3.1). (Тензор растяжения D, как будет показано в следую-
щей главе, описывает мгновенную скорость деформации.)

Трусделл [15] предложил модель реологического уравнения
•состояния, которое, удовлетворяя принципу объективности пове-
дения материала, объединяет оба понятия — упругость и теку-
честь — в единые рамки. «Жидкость с конвективной упругостью»
определяется как материал, для которого напряжение зависит
от деформации (т. е. как «упругий материал»), однако эта дефор-
мация определяется ле в терминах предпочтительной формы,
а через отличие конфигурации материала в момент наблюдения
•{когда измеряется напряжение) от конфигурации материала в неко-
торый фиксированный момент, предшествующий моменту наблю-
. дения.

Хотя трусделловская жидкость с конвективной упругостью
.является пе более удовлетворительной моделью для описания
реальных жидкостей, чем жидкость Рейнера — Ривлина (вместо
того, что дает уравнение (2-3.14), опа предсказывает

— ^-22 ~ VC12»	(2-6.1)

что представляет собой столь же ограничительное соотношение),
она все же показывает, что понятия упругости и текучести не
являются взаимно исключающими.

Более того, модель Трусделла может привести к введению
понятия, которое оказывается очень полезным в гидромеханике
упругих жидкостей, а именно к понятию памяти. Это понятие
необходимо рассмотреть более подробно.

Концепция упругости, устанавливающая зависимость напряже-
ния от деформации, рассматриваемой как отклонение от некото-
рой предпочтительной формы или конфигурации отсчета, означает,
что материал чувствителен к отклонениям от этой предпочтитель-
ной формы независимо от того, какое время прошло с тех пор,
как эта форма реализовалась на самом деле (действительно, может
оказаться, что такая форма никогда, нс существовала, как это
демонстрируется наличием остаточных напряжений в затвердев-
ших металлах, полученных кристаллизацией из расплава). В дру-
гом предельном случае концепция вязкости, устанавливающая
зависимость напряжения от скорости, деформации (выраженную
уравнением (2-3.1)), предполагает, что материал чувствителен
только к мгновенной скорости изменения его формы, в то время
как конфигурации, реализовавшиеся в любой момент в прошлом,
за исключением момента наблюдения, несущественны.

Используя нестрогие определения, упругие тела можно счи-
тать материалами, обладающими совершенной памятью: каждое
из этих тел помнит, таким образом, свою предпочтительную форму.
В то же время вязкие жидкости (или в общем случае жидкости
Рейнера — Ривлина) но обладают памятью и чувствительны лишь
к мгновенной скорости деформации. Между двумя этими крайними
концепциями возможны промежуточные. Можно представить себе
материалы, которые, хотя и лишены отсчетной конфигурации
особой физической значимости — они но обладают способностью
запоминать свою предпочтительную форму навсегда и, по суще-
ству, являются «жидкостями»,— все же могут сохранять некото-
рую память о прошлых деформациях. Очевидно, здесь затронуто
понятие о «затухающей памяти», которую следует определить.
При жэлании можно видеть, что, в то время как твердые тола
запоминают одну форму навсегда, в памяти жидкости удержи-
ваются все формы, но не навсегда.

Понятия, обсуждаемые здесь, очевидно, связаны с дискуссией
я абзаце, следующем за уравнением (2-3.1). Можно рассмотреть
теорию жидкостей с памятью, которая будет вырождаться в тео-
рию чисто вязких жидкостей в продельном случае очень короткого
временного промежутка памяти. Остальная часть книги будет
посвящена в основном такой теории. Гидромеханика чисто вязкой
и, в частности, обобщенной ньютоновской жидкости будет рас-
сматриваться как дисциплина, результаты которой асимптотиче-
ски справедливы при условиях, когда памятью исследуемого мате-
риала можно пренебречь.

Можно заметить, что мы до сих пор рассматривали только
кинематические переменные, такие, как скорость, скорость рас-
тяжения и т. п , описывающие мгновенные скорости изменения.
Очевидно, эти переменные непригодны для теории жидкостей
с памятью, в которой требуется описание «истории деформации»
для того, чтобы формализовать интуитивные понятия, введенные
в данном разделе. Следующая глава посвящена дифференциальной
кинематике — дисциплине, которая нужна для рассмотрения
поведения жидкостей с памятью. В следующем разделе будут
обсуждены некоторые математические понятия, применяемые в диф-
ференциальной кинематике.

Концепции упругости текучих материалов и памяти по отноше-
нию к прошлым деформациям, хотя они п тесно связаны одна
с другой, все же нельзя рассматривать как эквивалентные. Такие
явления, как упругое последействие, очевидно, относятся к обла-
сти, интуитивно рассматриваемой как упругость. Однако суще-
ствуют такие наблюдаемые в реальных материалах явления,
которые, хотя и подкрепляют концепцию памяти материала по
отношению к прошлым деформациям, все же не отвечают нашим
интуитивным представлениям об унругости. Типичные явления
этого типа известны как «реопексия» и «тиксотропия». Реопектиче-
ские или тиксотропные материалы, подвергаемые сдвигу, как,
например, в условиях линейного течения Куэтта, обладают зави-
сящей от времени кажущейся вискозиметрической вязкостью,
значение которой зависит от продолжительности сдвига и дости-
гает асимптотического значения после весьма долгого периода
Однако такие материалы после мгновенного прекращения дефор-
мации не обязательно проявляют упругое последействие.

Очевидно, обобщенная теория поведения материалов с памятью
должна охватывать как упругие жидкости, так и реопектические
и тиксотропные материалы. Такой теорией является фактически
теория «простой жидкости», которая будет обсуждаться в гл 4.
По все же поведение реопектических и тиксотропных материалов
представляется весьма специальным и заслуживает особого рас-
смотрения, хотя в этом направлении выполнено очень мало теоре-
тических исследований. Наконец, следует заметить, что, в то
время как концепция памяти в жидкости может быть строго сфор-
мулирована. об интуитивной концепции упругости жидких маге--
риалов нельзя сказать того же самого. По этой причине мы будем:
использовать термин «упруговязкий» только применительно
к жидкостям, паделеппым памятью.
2’7 ДАЛЬНЕЙШИЕ ПОЛЕЗНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
ТЕНЗОРНОЙ АЛГЕВРЫ

В этом разделе мы рассмотрим некоторые дальнейшие соотноше-
ния векторного и тензорного анализа, которые не были приведены
в гл. 1. Они будут использоваться в следующей и дальнейших
главах и сведены здесь для удобства обращения к ним. Содержа-
ние данного раздела довольно разнообразно, обсуждаемые
вопросы часто не имеют связи один с другим. Читателю следует
помнить, что книга не является полным и упорядоченным руко-
водством по векторному и тензорному анализу, и здесь приво-
дится лишь та его часть, которая используется в механике слож-
ных жидкостей.

(а)	Единичный тензор как сумма трех диад

Единичный тензор можно записать в виде

1 = efteft — е^О),.	(2-7.1)

Здесь cft суть три вектора, образующие базис, а ? — векторы,
образующие соответствующий дуальный базис. Для того чтобы
доказать первое из этих тождеств, применим сумму трех диад
к произвольному вектору а. На основании уравнений (1 -2.7)
е (1-2.5) имеем

efteft-a = eh (eft-a)= eftc? = a.	(2-7.2)

Таким образом, диада efteft равна единичному тензору. Второе
тождество доказывается аналогично.

Перед тем как привести пример прим',пения уравнения (2-7.1),
докажем следующее тождество:

(а-А Ь) (е B-d) = а-А Ьс-В d. (2-7.3)

Оно немедленно следует из определения диады. Действительно,

bc-(B d) = b (e-B'd),	(2-7.4)

откуда легко получить уравнение (2-7.3).

Использование уравнения (2-7.1) демонстрируется на следую-
щем примере. Мы хотим доказать уравнение (1-3.28), т. е.

(А - В)г, = AimBmj.

Имеем

(A- B)i7- — е; А - В - е7 = er А-1 • В- е7- ==

= er А- emom.7?-ey =

= (ег-А-ет) (cm-B-e7.) = AimBm}.
Здесь мы также используем уравнение (2-7.3) в сочетании с усло-
вием суммирования но повторяющимся индексам. Это возможно,,
поскольку уравнение (2-7.3) можно применить к каждому члену"
суммы, как это легко проверить, записав сумму в развернутой
форме.

(б)	Производные ио времени

Рассмотрим функцию ф (т) единственного скалярного аргумента т,
который, в частности, можно интерпретировать как время. Значе-
ние ф может быть скаляром, вектором, точкой или тензором.

Производная ф по т, обозначаемая через ф, определяется как

ф= lim	(2-7.5)

Дт->0 Лт

Это определение, уже известное для скалярной функции,,
распространяется, таким образом, на векторные, точечные и тен-
зорные функции. Производная ф, которая является скаляром
для скалярных функций, представляет собой вектор для вектор-
ных и точечных функций и тензор для тензорных функций. Мы ужо
встречались с примерами таких производных в гл. 1.

Большинство правил обыкновенного дифференцирования мож-
но обобщить на векторные и тензорные функции. Различия имеют
место лишь вследствие того, что коммутативный закон в общем
случае но справедлив (т. е. A-В ^еВ-А). Например,

А В--А В | А В,	(2-7.6)

и, таким образом,

А*= А-А-|-А-А.	(2-7.7)

Заметим, что уравнение (2-7.7) нельзя записать как А2 = 2А-А.

Аналогично, дифференцируя тождество А"1* А = 1, получаем
соотношение

А^= -А"1 А А1,	(2-7.8)

которое можно сравнить с известным выражением для скалярных
функций

Г1--/"2/.

Можно легко показать, что операции транспонирования и диф-
ференцирования коммутативны:

АТ = (А)т = Ат.	(2-7.9)
Следует подчеркнуть, что в определении, выражаемом уравне-
нием (2-7.5), не используются понятия системы координат и ком-
понент. Таким образом, например, тензор А есть оператор, опре-
деленный на основе оператора А (г) путем выполнения над послед-
ним действий, предписываемых уравнением (2-7.5).

В общем случае операции вычисления компонент и дифферен-
цирования не коммутативны; например,

(А)£/^АО.	(2-7.10)

Действительно, при дифференцировании равенства

Ji,- = crA-Cj	(2-7.11)

равенство = (А);/ будет иметь место лишь в частном случае,
когда векторы базиса не зависят от г. Дальнейшее рассмотрение
производных по времени от тепзора будет проведено в гл. 3.

(в)	Физические компоненты

Среди возможных систем координат наибольшую важность для
практических целей имеют ортогональные системы координат. Эти
системы таковы, что во всех точках векторы естественного базиса
являются взаимно ортогональными (хотя и по обязательно имеют-
единичную длину). Наряду с декартовыми координатами известны-
ми примерами ортогональных систем являются цилиндрическая
и сферическая системы координат.

При использовании ортогональных координатных систем часто
оказывается полезным рассмотреть физические компоненты век-
торов и тензоров. Так называются их компоненты относительно
ортогонального базиса, образованного векторами, имеющими те же
самые направления, что и векторы естественного базиса (который,
кроме того, совпадает с дуальным).

Векторы ортогонального базиса, связанного с естественным
базисом (или его дуальным) ортогональной системы координат,
будут обозначаться через е (i). Поскольку они имеют единичную
длину, то задаются как

В уравнении (2-7.12) и во всех уравнениях данного подраздела
суммирование по повторяющимся индексам не предполагается.

При помощи уравнения (2-7.12) физические компоненты векто-
ров и тензоров легко выразить через соответствующие ковариант-
ные, контравариантныо или смешанные компоненты. Помечая
физические компоненты при помощи индекса, заключенного
в ломаные скобки ( >, получаем, например,

Я(1) = ае{0 = -^|-а-е(= |^Та{’	(2-7.13)

Л (if) = е (i) • А • е (у) =-1- - е’ • А  е7 = - 1 - - А °. (2-7.14)

I е’ 11 сз |

Модуль базисных векторов | ег | ег | можно выразить через
ме грическнЁ тензор

|е,| = ]/егег = У/тн,
|е;|=]/еГ-'ёТ = '|/У\

(2-7.15)

так что уравнения (2-7.13) и (2-7.14) можно записать также в виде

. ••	di  V ёи  .	A'i  1 11 VgUgH *	(2-7.18)  (2-7.17)

Как будет показано ниже, для ортогональных систем справед-
ливо следующее соотношение:

1

gi{

(2 7.18)

Используя (2-7.18) и формулируя другие возможные соотношения,
подобные уравнениям (2-7.13) и (2-7.14). получаем полную систему
возможных соотношений между физическими компонентами и дру-
гими типами компонент векторов и тензоров:

=	=	=	(2-7.19)

У gii	VgH

A {ij) = -T7^=r = Ai} У giigii =	«= A1 VTiig~j =

У giigjf	V g'igil

= .4S-'|/F7p = A</in7iL-=-.- • (2-7.20)

Можно заметить, что физические компоненты вектора или
тензора имеют те же физические размерности, что и сами векторы
и тензоры ’). Это свойство не разделяется другими компонентами' х

х) Физическая размерность тензора определяется при помощи интерпре-
тации операторного определения тспзора как операции умножения. Иными
слонами, равенство Ь = А «а правильно в смысле размерности, если произ-
ведение размерностей а и А дает размерность Ь. Например, из равенства
dt = T-rfs, определяющего тензор напряжений, мы заключаем, что размер-
ностью Т будет размерность силы, приходящейся па единицу площади.
поскольку базисные векторы, вообще говоря, не являются без-
размерными.

Для координатных систем, не являющихся ортогональными,
также можно говорить о физических компонентах при условии,
что выбран векторный базис, составленный безразмерными век-
торами единичной длины. Однако в этом случае выбор неоднозна-
чен. Можно взять векторы единичной длины, имеющие те же самые
направления, что и векторы естественного базиса. В качестве
альтернативы можно выбрать также векторы, имеющие направле-
ния векторов дуального базиса. В соответствии с этим мы опре-
деляем «физически контравгриантпые» компоненты или «физически
ковариантные» компоненты векторов. Аналогичные замечания
можно высказать и в отношении тензоров. Мы не будем исполь-
зовать каких-либо компонент такого типа.

(г)	Элементы матричной алгебры

Наиболее часто используемая в книге операция матричной алгебры
представляет собой матричное умножение по правилу «строка
на столбец». Такие выражения, как Ai.nBmj, соответствуют умноже-
нию строки на столбец при перемножении матриц Ai} и В}, если
левый индекс интерпретировать как помер строки.

Определяя транспонированную матрицу как матрицу, полу-
ченную из данной при помощи изменения роли индексов, мы
можем заметить, что такие выражения, как AmiBmj, AimBjm,
AmtBjm, также сводятся к умножению строки па столбец, если
предварительно выполнена подходящая перестановка индексов.

Другой полезной операцией матричной алгебры является
обращение матрицы. Из тензорного тождества

А-х-А=1	(2-7.21)

получаем

(Л-^Г A„j = 5j.	(2-7.22)

Вспоминая хорошо известные свойства алгебраических допол-
нений элементов квадратной матрицы, находим из уравне-
ния (2-7.22), что 2)

<А")°=-ЖЩЯ-	(2-7.23)

(Обратим особое внимание на позиции индексов в уравне-
нии (2-7.23).) Уравнение (2-7.23) показывает, как контравариант-
пыо компоненты матрицы А-1 получаются из ковариантных ком-
понент матрицы А. Указанная операция называется обращением

1)	Символ cot A}i обозначает алгебраическое дополнение элемента Ац.—
Прим, перев.
матрицы.	Аналогично  (А% = -С0^-, к	1 del [4’1] *  . . /	(2-7.24)  /л -«у - С0^Г	'  (	3	det [zlijl *

Уравнение (2-7.23) можно записать, в частности, для единичного

тензора	(2-7.25) г .	6	det [gi;]	'

Для ортогональной системы координат матрицы и [g:>]
диагональные, т. е. для таких матриц все элементы с различающи-
мися индексами равны пулю, как это видно из уравнений (1-3.31),
(1-3.32). Уравнение (2-7.25) даст тогда для диагональных эле-
ментов

	gU~,	(2-7.26)  oil

что совпадает с приведенным выше уравнением (2-7.18).

(д)	Нильпотентные тензоры

Тензор Л называется нильпотентным, если для некоторого целого
числа 7V

А* = 0.	(2-7 27)

Используя уравнение (2-7.27) и тождество (см. (1-3.43))

dot (А«) = (det A)w,	(2-7.28)

получаем

det А = ША = 0.	(2-7.29)

Из уравнения (2 7.27) при итеративном использовании теоремы
Гамильтона — Кэли следует, что

А3 = 0.

(2-7.3С)

Наконец, слова используя теорему Гамильтона — Кэли вместе
с определением величины ПА (уравнение (1-3.42)), получаем на
основании уравнения (2-7.30)

1а = Па=0.

(2-7.31)

Следовательно, для нильпотентного тензора три главных инва-
рианта равны нулю и все степени А?т для 2V > 2 являются нуле-
выми тензорами. Величины А2 и А в общем случае отличны от нуля.
(Следует напомнить, что в уравнении А- В = 0 не предполагается,
что или А, или В является нулевым тензором.)
Можно показать, что симметричный тензор, за исключением
нулевого тензора, но может быть нильпотентным.

Дадим теперь геометрическую интерпретацию нильпотентных
тензоров. Для любого нильпотентного тензора существуют семей-
ство параллельных плоскостей а и семейство параллельных линий
Р, представляющих собой характеристики тензора- Линии р
лежат на плоскостях а. Если А О, А3 = 0, то тензор А при
воздействии на произвольный вектор, не лежащий в плоскости а,
преобразует его в вектор, лежащий на линии р, а при воздействии
на вектор, лежащий в плоскости а, преобразует его в нулевой
вектор. Таким образом, при двукратном последовательном воз-
действии тензора А на произвольный вектор получается пулевой
вектор. Если А2 =/= О,' А3 — 0, то тензор А преобразует любой
вектор, не лежащий па а, в вектор, лежащий на а; любой вектор,
лежащий на а,— в вектор, лежащий на [1; любой вектор, лежа-
щий на 0,— в нулевой вектор. Таким образом, последователь-
ное трехкратное воздействие тензора А на произвольный вектор
переводит его в нулевой вектор.

2 8 ПРИМЕРЫ

Пример 2А: Дифференцирование напряжения в жидкости Рейне-
ра — Ривлина для линейного течения Куэтта (простой сдвиг).

При надлежащем выборе системы декартовых координат тече-
ние описывается уравнениями

(2-1.2)

= v3 = 0.	(2-1.3)

Поскольку в декартовой системе все символы Кристоффеля
равны нулю, компоненты (любого типа) тензора градиента ско-
рости Vv задаются просто производными дФ/дх1 (см. уравне-
ние (1-4 9) или (1-4.14)):

[Vv] =

0 у 0
ООО
ООО

(2-8.1)

Заметим, что tr Vv = V-v = 0, так что уравнение неразрывности
удовлетворяется. Имеем также

[VvT] = [Vv]T =

ООО
у 0 0
ООО

(2-8.2)
Из уравнения (1-9.5) получаем выражение

[D] = V2(IVv] + IVvTJ) =

О у/2
у/2 О

О О

о I
о I
o'i

(2-8.3)

которое уже встречалось ранее (см. уравнение (2-1.4)).

Чтобы применить реологическое соотношение Рейнера — Рив-
лина (уравнение (2-3.4)), нужно получить выражение для [D2].
Это можно сделать путем матричного умножения [D] саму па себя.
Тогда

уа/4 О О

[D2] =

Применяя уравнение (2-3.4),
41 =
4з = 41 = 0)
4в = Т32 =* О,

0	72/4	0	(2-8.4)
0	0  имеем	0	

4г = 41 = Ф1У/2.

4г = <рг72/4,	(2-8.5)

4з ~ О-

Поскольку тензор т определен только как изотропный тензор,
его нормальные декартовы компоненты определяются только с точ-
ностью до аддитивной постоянной. Результат, даваемый уравне-
ниями (2-8.5), выражен, таким образом, в нужной форме, как
и в уравнениях (2-3.12) — (2-3 15).

Теперь проверим, будет ли предполагаемая комбинация кине-
матика — реологическое соотношение реализуемой (или динами-
чески возможной), т. е. будет ли удовлетворяться динамическое
уравнение. Если ответ утвердительный, то процедура проверки
допускает также вычисление неопределенного (пока) давления.
В общих чертах это будет обсуждено в разд. 5-1.

На основании результатов, полученных ранее, вычислим матри-
цу девиаторных напряжений

	<р2у2/12	91Y/2	0
[т'>	W2	<pava/12	0
	0	0	— ф2у2/6

(2 8 6)

Эта матрица постоянна в пространстве, и векторный базис также
является постоянным в декартовой системе; таким образом,
х' — постоянный тензор и

V-t'=0.	(2-8.7)

Кроме того, путь каждой частицы представляет собой прямую
в направлении х1, по которому постоянна ее скорость; имеем

^ = 0.	(2-8.8)
Таким образом, динамическое уравнение (уравнение (1-7.13))
удовлетворяется при условии, что

-Vp + pg = С.	(2-8.9)

Уравнение (2-8.9) показывает, что давление распределено по
гидростатическому закону, как и в неподвижной жидкости. Тензор
полных напряжений получается суммированном девиаторпого
напряжения с величиной —pL

Пример 2Б: Распределение скорости при ламинарном течении
в трубке жидкости, подчиняющейся «степеннбму» реологическому
закону.

Уравнение (2-5.6) при условии, что жидкосгь подчиняется
степенному реологическому закону, принимает вид

у=/С(тг)<к-1)/2у,	(2-8.10)

где

T“-f.	(2-8.11)

Поскольку в рассматриваемом случае у неотрицательно, уравне-
ние (2-8.10) сводится к

х = Куп.	(2-8.12)

С учетом (2-5.8) уравнение (2-8.12) можно записать в виде

(2-813)

Интегрирование уравнения (2-8.13) при условии
г — R, и = и3
дает

(2 8.14)

(2-8 15)

Пример 2В: Определение функции г| (5) по данным капилляр-
ной вискозиметрии.

Для ряда значений перепада давлений определялась расход-
ная скорость при течении жидкости через капилляры (внутренним
диаметром 0,2 и 0,1 см). Результаты сведены в следующие таблицы:

Внутренний диаметр 0,2 см

hp/L, атм/см	0,0018	0,0и26	0,0036	0,0048	0,0064	0,0083	0,0104	0,0132	0,018
Q, см3/с	0,0086	0,0015	0,028	0,046	0,087	0,158	0,27	0,45	0,82
Внутренний диаметр 0,1 см

.\p/L, атм/см.	С,012	0,0176	0,022	0,033	0,0455	0,066	0,094	0,152
Q, см3/с	0,010	0,022	0,039	0,085	0,152	0,28	0,45	0,88

Вначале проверим, будет ли существовать какое- либо скольже-
ние. Как видно Из уравнения (2-5.9), отсутствие скольжения на
стенке означает, что уа является однозначной функцией tw (или
наоборот), нс зависящей от радиуса трубки. Используя уравне-
ния (2 5.8) и (2-5.10), из необработанных данных \p/L и Q вычис-
ляют соответствующие значения tw и уа для двух капилляров.

Рис. 2-2. Зависимость напряжения от скорости деформации.

О, внутренний диаметр равен <),2 см;  , внутренний диаметр равен
0,1 сп.

Эти величины представлены па рис. 2-2. В общем диапазоне значе-
ний уа эти два набора данных налагаются друг на друга, свиде-
тельствуя тем самым, что на стенке пет скольжения.

Интерполируя кривую на рис. 2-2, определяют локальный
наклон

din-,..
d In уа *

Эта величина изображена па рис. 2-3 в виде функции от уа. Затем
из уравнений (2-5.16), (2-5.17) оценивалась кривая ц (5), которая
графически изображена на рис. 2-4. Опыты явно свидетельствуют
о пссвдопластическом поведении жидкости. Наконец, для исполь-
зовапия в следующем примере кривая ц (т) приведена на рис. 2-5.
Рис. 2-3 Зависимость показателя степенного закона от скорости сдвига.

Рис 2-5 Зависимость вязкости от касательного напряжения.
Пример 2Г: Падение давления в прямоугольном канале.

Жидкость, аналогичную рассмотренной в примере 2В, пропу-
скали через прямоугольный капал поперечного сечения 10 см х
X 0,4 см Объемный расход составлял 150 см3/с. Требуется вычис-
лить величину перепада давления.

Отношение ширины канала к ого высоте таково, что можно
считать течение совпадающим в основных чертах с течением
между двумя параллельными пластинами бесконечной протяжен-
ности.

При помощи методики, аналогичной рассматривавшейся
в разд. 2-5 для круговой трубки, можно найти (с условием прили-
пания на стенке) [9]

Tw

=	(2-8Л6)

где Q/w — объемный расход па единицу ширины какала, Н —
высота канала, / (т) — функция, даваемая уравнением (2-5.7),

и tw — касательное напряжение на стенке, отнесенное к падению
давления:

_Н
Поскольку результаты примера 2В приведены в виде функции ц,
а не /, перепишем уравнение (2-8.16) в следующей форме.

(2-8Л8>

В рассматриваемом случае, когда заданы Q!w к Н, нужно опре-
делить величину tw, удовлетворяющую уравнению (2-8.18). Ото
сделано графическим способом. Интеграл, стоящий в правой части
уравнения (2-8.18), а также вся правая часть являются функциями
только tw. На рис. 2-6 приведены графики функции т2/ц и пра-
вой части уравнения (2 8.18), полученные путем графического
интегрирования. Значение т«. получают в соответствии со значе-
нием ординаты, равным Q/wIP. Наконец, из соотношения (2-8.17)
вычисляют \p!L = 0,0035 атм/см.

Следует заметить, что для оценки интеграла в выраже-
нии (2-8.18) функция т] должна быть экстраполирована до пуле-
вого значения tw. Это изображено штриховой линией па рис, 2-5.
Неопределенность, связанная с такой процедурой, вносит в резуль-
тат возможную ошибку. Эту ошибку с большей достоверностью
можно считать пренебрежимо малой в случае более высоких
значений ти., чем в случае минимального значения т, используе-
мого при определении функции тр

ЗАДАЧИ

2-1 Вычислить компоненты тензора завихренности W для линейного течения
Куэтта.

2-2 Рассмотреть изменение системы отсчета, определяемое ортогональным
тензором Q, имеющим следующие декартовы компоненты:

1 0

О 1
о о

[Ql =

о
о

-1

Вычислить D* и I* для линейного течения Куэтта. На основании прин-
ципа объективности поведения материала вывести уравнение (2-3.13)
для жидкостей Рейнера — Ривлина.

2-3 Каковы размерности величии и ср2?

2-4 Являэтся ли тензор W нейтральным? Если нет, то каково правило его
-реоб разозения?

2-5 При заданном нейтральном тензоре А является ли нейтральным Ап?

2-6 Доказать, что т' : vv = т' : D. Указание. доказать сначала в общем
случае, кто А : В = 0, если А — симметричный тензор, а В — анти-
симметричный.

2-7 Экспонента тензора определяется как

ОО

ехрА—1+2 7Га"
п=1

Если тензор А нейтрален, то нейтрален ли тензор ехр А?
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.	Truesdell С., Noll W., The Non-linear Field Theories, Springer-Verlag,
Berlin, 1965, p. 45.

2.	ibid., p 47.

3.	Noll W., Arch. Ration. Meeh,, and Analysis, 2, 197 (1958).

4.	Reference [Ij, p. 65.

5.	Coleman B. D., Mizel W. J., Arch. Ration. Meeh, and Analysis, 27, 255
(1968).

6.	Noll W., Arch. Ration Meeh, and Analysis, 4, 3 (1955).

7.	Leigh D. C., Phys Fluids, 5, 501 (1962).

8.	Tanner R. 1., Ind. Engng Chern. Fund., 5, 5.3 (1966).

9.	Shetland A. H. P., Non-Newtonian Flow and Heat Transfer, Wiley, New
York, 1967.

10.	Eyring H. I., J. Chern Phys., 4, 283 (1936).

11	Christiansen E. В , Ryan N- W., Stevens W. E., A. I. Ch. E. J., 1, 544
(1955).

12.	Astarita G., Marrucci G., Palumbo G., Ind. Engng Chern. Fund., 3, 333
(1964).

13.	Morrison S. R., Harper J. C., Ind, Engng Chem. Fund., 4, 17C (1965).

14.	Hirose T., Moo-Young M., Can. J, Chem, Engng, 47, 265 (1969).

15	Nakano Y., Tien С., A I. Ch. E J., 14, 145 (1968)

16.	Truesdell C., Phys. Fluids. 8, 1936 (1965).
3

КИНЕМАТИКА

3-1 ДЕФОРМИРОВАНИЕ И ДЕФОРМАЦИЯ

Рассмотрим течение жидкого материала, и пусть X (т) есть гео-
метрическая точка, занимаемая некоторой материальной точкой
в момент времени т Для идентификации материальной точки выби-
раем некоторый определенный момент времени t и используем
геометрическую течку Хг — X (i), занимаемую рассматриваемой
частицей в момент времени i, как некоторую удобную метку,
маркирующую эту материальную точку. «Движение» ость функция

X (т) = £ (Хг, т),	(3-1.1)

которая описывает траекторию X (т) всех материальных точек Xt.

Иногда полезно представить t как текущее время, а т как
некоторый момент времени в прошлом. Мы будем рассматривать
t как «момент наблюдения» и, если но возникает недоразумения,
будем опускать явное указание на зависимость от т; например,
мы будем обозначать траекторию просто как X.

Скорость частицы v есть

v = X = -?-.	(3-1.2)

дх	'	'

Градиент деформации

Рассмотрим теперь две бесконечно близкие материальные точки,
которые в момент t расположены в точках Xt и Xt 4- dXt соответ-
ственно. В некоторый другой момент т эти точки занимают соответ-
ственно положения X и X dX. Определим «градиент деформа-
ции» F при помощи уравнения

dX = F-dXt,	(3-1.3)

где подразумевается зависимость величин dX и F от т. Можно
доказать, что F действительно является линейным оператором
и, таким образом, представляет собой тензор.

Следует заметить, что градиент деформации F для любого
заданного момента т зависит от момента времени, который рас-
сматривается как момент наблюдения. Далее мы будем называть
такие тензоры относительными тензорами. При рассмотрении
относительных тензоров иногда желательно выбрать момент огече-
та, который не является моментом наблюдения (скажем, например,
в правой части уравнения (3-1.3) можно заменить расстоя-
нием dXt> между теми же самыми материальными точками в иной
ситуации, чем при х = t). В таких случаях мы будем помечать
индексом выбранный момент отсчета (скажем, будем писать Fr).
Всякий раз, когда относительный тензор пишут без индексов,
предполагается, что в качестве отсчетного выбирается момент
наблюдения.

Определение F, данное в уравнении (3-1.3), позволяет отожде-
ствить его с градиентом «движения» х):

F = Vf.	(3-1.4)

Очевидно также, что

F (0 = 1.	(3-1.5)

Выразим теперь расстояние dX через расстояние dX (/') между
теми же самыми материальными точками в некоторый другой
момент наблюдения г'. Используя дважды уравнение (3-1.3),
имеем

dX = F-dXt = F FC (tydX (t').	(3-1.6)

Но опять-таки, в силу определения F,

dX = Fj.-dX («').	(3-1.7)

Сравнение (3-1.6) и (3-1.7) показывает, что

F(. = F Ft. (0.	(3-1.8)

Уравнение (3-1.8) будет применяться всякий раз, когда требуется
обеспечить сдвиг времени наблюдения.

Полагая х (которое является аргументом как F. так и F(-)
равным t', из уравнения (3-1.8) получим выражение

F"1 (т) = FT (0,	(3-1.9)

которое показывает, что тензор F обратим. Из определения F имеем

dXt = F-MX.	(3-1.10)

Деформирование и вращение

Используем теперь теорему полярного разложения, которая уста-
навливает, что «любой обратимый тензор F имеет два однозначных
разложения

F - R- U,	(3-1.11)

	F = VR,	(3-1.12)

г) Функция i, естественно является точечным полом. Для произволь-
ного точечного поля Y = g (X) градиент определяется как

dY = Vg-dX.
где К — ортогональный тензор, а тензоры U и V симметричны
и положительно определены» х).

Применение теоремы полярного разложения к градиенту
деформации F позволяет выделить тензор вращения R, правый
тензор деформации U а левый тензор деформации V. Эти тензоры
являются относительными тензорами, и если они записаны без
индекса, то считается, что они отнесены к моменту наблюдения.
Геометрическая интерпретация тензоров R, U и V будет дана ниже.

Рис. 3-1. Разложение деформации па растяжение и поворот.

Рассмотрим элемент материала, который в момент времени t
имеет форму квадрата а, как это изображено на рис. 3-1, а в момент
времени т — форму d. Полная деформация может быть рассмотре-
на как деформация, полученная суперпозицией жесткого вращения
и растяжения- Можно вначале выполнить вращение, приводя
элемент к ситуации Ь, с последующим растяжением. Можно также
вначале деформировать элемент, приводя его к ситуации с, а затем
выполнить вращение. В обоих случаях окончательным результа-
том будет ситуация d Вращения а -> b и с -> d оказываются
эквивалентными. Опи определяют R в том смысле, что

(dX)e = R-(ЙХ)в = R-dXf,	(3-1.13)

dX = (dX)j = R.(dX)e.	(3-1.14)

Растяжения b -> d и a -*- с, хотя и представляют собой одина-
ковые изменения формы, все же не могут быть описаны одним

-1) Говорят, что тензор а положительно определен, если для любого
вектора а скаляр а-А-г положителен-
и тем же тензором; имеем
dX = (dX)d = V (dX)6,	(3-1.15)

(JX)C = U-(dX)u = U-dX{.	(3-1.16)

Комбинируя уравнения (3-1.13) и (3-1.15), а также (3 1.14)
и (3-1.16), получаем

dX = V.R.dXf = R.U-dXt,	(3-1.17)

откуда можно понять смысл уравнений (3-1.11) и (3-1.12).

Очевидно, V и U различаются только в том смысле, что они
по-разному «ориентированы» по отношению к выбранной системе
отсчета; действительно, из уравнений (3-1.11) и (3-1.12) немедлен-
но устанавливается следующее соотношение между V и U

V = R-U-R’	(3-1.18)

Вообще говоря, компоненты тензоров V и U представляют
собой иррациональные функции легко измеряемых величин,
и предпочтительно ввести следующие два относительных тензора:

C»=U2~FTF	(3-1.19)

и

В = V2 = F-FT,	(3-1.20)

которые будем называть тензорами Коши и Грина соответствен-
но *), Соотношение между В и С имеет вид

B = RCRT..	(3-1.21)

Поскольку инварианты — изотропные функции (см. разд 1-5),
имеем

1В = 1С, ПВ = ПС, 1ПВ = ШС. (3-1.22)

Кроме того, всякий раз, когда объем при деформации ио изме-
няется, что всегда имеет место для жидкостей постоянной плот-
ности, выполняется соотношение

Шв = Шс=1.	(3-1.23)

Тензоры С"* 1 и В-1 часто встречаются в литературе. Мы будем
называть их соответственно тензорами Фингера и Пиолы. Геоме-
трическая интерпретация тензоров Коши, Грина, Фингера и Пиолы
приведена ниже.

Вычислим модуль расстояния между двумя соседними мате-
риальными точками. Из уравнения (3-1-3) имеем

cfc2 = dX-dX = dXt*FT -F.dXt =

	=dXfC-dXt.	(3-1.24)

i) Трусделл и Нолл [1, р. 53] предпочитают называть их правым и левым
тензорами Коши — Грина соответственно.
Из уравнения (3-1.24) следует, что дифференциал dx2, можно
вычислить в произвольный момент т, если известны расстояние
между двумя точками в момент наблюдения dXt и тензор Коши С.
Аналогично из уравнения (3-1.10) х) имеем

dx] = dXfdXt = dX-R-l-dX,

(3-1.25)

что позволяет, зная расстояние между точками в некоторый
момент времени т, вычислить модуль расстояния в момент наблю-
дения.

Будем теперь рассматривать не расстояния между точками,
а элементы поверхности ds. Элементарный объем, определяемый

Рис. 3-2. Элементарный объем.

скалярным произведением ds и dX, показан на рис. 3-2. Гипотезу
постоянства плотности можно .записать тогда в виде

dS’dX — dSfdXf,

(3-1.26)

где подразумевается зависимость ds от т. Заметим, что ds пред-
ставляет материальную поверхность, которая в момент врэмепи t
измеряется вектором dst.

Подстановка уравнения (3-1.3) в (3-1.26) дает соотношение
ds-F-dXf = dSfdXt,	(3-1.27)

справедливое для любого dXt. Таким образом,
dst = FT-ds, ds (F-^T.dst.	(3-1.28)

Квадрат площади элемента поверхности ость

ds2 = ds. ds = dSfF_1-(F-1)T dst =

— dst-C-1-dst,	(3-1.29)

!) В этой главе используются тождества: (А-1)1'= (Ат)-1; (А-В.)т =
= ВТ Ат; (А .В)-* = В-*.А~*.
что свидетельствует о том, что тензор Фингера измеряет измене-
ния площади точно так же, как тензор Коши измеряет изменение
длины 1). При помощи аналогичной процедуры можно показать,
что

ds® — ds- H-ds.	(3-1.30)

Сравнение уравнений (3-1.24) и (3-1.25), а также (3-1.29) и (3-1.30)
дает следующие соотношения между тензорами Коши и Пиолы,
а также между тензорами Фингера и Грина:

С=ВГ(3>	(3-1.31)

C-^BtU).	(3-1.32)

Окончательно, из уравнения (3-1.5) получаются следующие урав-
нения:

R (() = U (0 = V (Г) = С (0 = В (0 = 1.	(3-1.33)

Если между моментами времени т и t материал перемещается
как твердое тело, все рассмотренные в этом разделе тензоры, за
исключением F и В, совпадают с единичным тензором. При анали-
зе некоторых задач удобно использовать тензоры, которые для
случая перемещения как твердого тела сводятся к нулевому тен-
зору. Поэтому в литературе используются дополнительные тен-
зоры (часто называемые тензорами деформации); мы будем рас-
сматривать из этих тензоров только тензор деформации Коши G
и тензор деформации Фингера Н:

G = С — 1; Н = С"1 — 1.	(3-1.34)

Вычисление компонент

Укажем тспе.рь процедуру, по которой, зная движение, можно
вычислить компоненты тензоров Коши и Фингера. Пусть три ска-
лярные проекции векторного уравнения (3-1.1) в координатной
системе х1 имеют вид

х* (т) = f (xj, т),	(3-1.35)

где хг (т) суть координаты вектора X, a xj — координаты векто-
ра Х«. Тогда

dXt = е; (Xt) dx{,	(3-1.36)

dX = ег (X) dx1.	(3-1.37)

Подстановка (3-1.36) и (3-1.37) в уравнение (3-1.3) дает

ег (X) dx' = F- [е,- (Xt) dx’].	(3-1.38)

х) Если рассматриваются материалы с непостоянной плотностью, правую
часть уравнения (3-1.29) следует умножить на Шс. Это различие несуще-
ственно для материалов постоянной плотности.
В ныптепрп веденных уравнениях е7- (Xt) есть естественный базис
в точке X*, в то время как е; (X) — естественный базис в точке X,
Эти два базиса в общем случае различны.

Умножая скалярно уравнение (3-1.38) на вектор е‘ (X), полу-
чаем

е* (Х)-е( (X) dx* = б’ dx' = dzh =

= [е* (X)-F-ej (Xt)] dq.	(3-1.39)

Но из уравнения (3-1.35) имеем

dx=—^ dx{.	(3-1.40)

Сравнение уравнений (3-1.39) и (3-1.40) показывает, что

-^- = eft(X)-F.ey(X()	(3-1.41)

или в эквивалентной форме

-^ = ег(Х4)-Рт.ет(Х).	(3-1.42)

В общем случае правые части уравнений (3-1.41) и (3-1.42) не
выражаются через смешанные компоненты F и FT, поскольку
базисные векторы взяты в двух различных точках X и Xt.

Рассмотрим теперь ковариантные компоненты тензора Ко-
ши в точке Х4. По определению

Cf/ = е,-(Х<)-С-е,(Х().	(3-1.43)

Подстановка сюда выражения (3-1.19) дает

Сг> = ег (XO-F- F e^XO,	(3-1.44)

и с учетом того, что сумма диад или emem равна единичному
тензору, имеем

Сг/ = ег (X,)-FT.e™ (X) его (X)-eft (X) eh (X)-F- е, (X,). (3-1.45)

Подстановка (3-1.41), (3-1.42) и (1-3.32) в последнее уравнение
дает
дхт дхк

^И^—Т—ёКт:	(3-1.46)

dxj ox‘t

где grtm — метрический тензор в точке X, а С;; — компоненты
в точке Xi. Соотношение (3-1.46) можно непосредственно исполь-
зовать для вычисления ковариантных компонент тензора С.
Контравариантные компоненты тензора Фингера можно получить,
либо обращая матрицу С</, либо при помощи следующего урав-
нения, которое получается аналогичной процедурой:

л-< лт5

(З-1.47)

Конечно, чтобы использовать уравнение (3-1.47), необходимо
вначале решить уравнения движения для х\.

3 2 ПРЕДЫСТОРИИ. ПРОИЗВОДНЫЕ ПО ВРЕМЕНИ.

СКОРОСТИ ДЕФОРМАЦИИ

Предыстории

При рассмотрении величины, которая представляет собой функ-
цию времени, желательно ограничить внимание теми значениями
этой величины, которые принимаются в моменты времени, пред-
шествующие моменту наблюдения t, т. е. рассматривать только
прошлое. Например, пусть мы рассматриваем температуру мате-
риальной точки, которая в общем случае является функцией вре-
мени Т (т) (Более подробно мы будем говорить о температуре
в следующей главе.) Если рассматривать материальную точку
в некоторый момент наблюдения Z, в который температура равна
Т (t), то может представить интерес полная предыстория тем-
пературы, скажем функция Т (т) при т t. Кроме того, будет
показано, что физически важным является то, как давно дости-
галась та или иная температура, а нс то, в какой момент абсолют-
ного времени она была достигнута. Математически это достигается
заменой переменной: в качестве новой независимой переменной
вводится временное запаздывание s — t — т.

При заданном времени наблюдения t и для заданной зависящей
от времени величины ф (т) (значения которой могут быть скаляра-
ми, векторами или тензорами) можно ввести новую функцию ф* (s),
определяемую как

ф‘(я) =Ф(т).	(3-2.1)

Уравнение (3-2.1) следует интерпретировать следующим образом:
значение функции ф ( ) при любом заданном т совпадает со зна-
чением функции ф* ( ) нри S = t — х. Функция ф‘ (s) для S О
называется предысторией', очевидно, ее функциональная форма
зависит от выбора момента наблюдения. Действительно, при
изменении момента наблюдения временное запаздывание, соот-
ветствующее заданному моменту времени в прошлом, изменяется,
т. о. имеет место сдвиг но оси временного запаздывания Если
значения функции ф‘ (г) представляют собой значения относитель-
ного тензора, изменение момента наблюдения означает не только
сдвиг временного запаздывания, но также и изменение начала
отсчета, и, таким образом, имеется дополнительная причина
появления зависимости чр* (s) от t.

Поскольку всегда подразумевается, что величины с верхним
индексом t являются функциями временного запаздывания, мы
будем опускать явное указание зависимости от s и писать просто ф*
в тех случаях, когда это не приводит к недоразумениям.

В оставшейся части этого раздела будет рассмотрено дифферен-
цирование по времени зависящих от времени величин. В боль-
шинстве случаев вычисляются производные ф (т) но времени т
от некоторой функции ф (т); производные ф( ($) по переменной s
от предыстории ф( (s) для соответствующих значений вит имеют
противоположное значение: ф( (s) = —ф (г).

Дифференцирование по времени относительных величин

Тривиальная, но, возможно, вводящая в заблуждение ситуация
возникает в связи с дифференцированием по времени относитель-
ных величин, г. е. величин, начало отсчета для которых выби-
рается в момент наблюдения При заданной относительной вели-
чине ф (т), для которой отсутствие какого-либо верхнего индекса
означает, что момент наблюдения t выбрап в качестве начала
отсчета, производная ф (т) является все еще функцией т. Если
положить теперь т — t, то получим некоторое значение произ-
водной

ф(0=фк=<.	(3-2.2)

Величина ф (0 зависит, разумеется, от выбора момента наблюде-
ния и может, таким образом, рассматриваться как функция вре-
мени ф (t). Следует сделать два замечания: во первых, ф (0 не
является относительной величиной, хотя ф является таковой*
и, во-вторых, ф (0 нс является второй производной от гр при т =
Действительно,

ф(0=4^^1’	<3-2-3)

в то время как

=	(3-2.4)

и, поскольку вид функции ф (г) зависит от выбора t, значения
правой части уравнения (3-2.3) отличается от значения правой
части уравнения (3-2.4).
Градиент Скорости

Пусть Y есть точка X + dX, так что уравнение (3-1.3) можно
записать как

Y-X = F-(Yf-Xf).	(3-2.5)

Продифференцируем теперь уравнение (3-2.5) по т; разумеется,
при этом как момент наблюдения t, так и материальные точки Y(
л Х< считаются постоянными. Имеем

Y —X = F.(Yf —Xf)	(3-2.6)

где Y и X — скорости в точках Y и X соответственно в силу урав-
нения (3-1.2). Вспоминая, что Y = X + dX, получаем

dv (т) -= F dXt = Г-F^-dX,	’ (3-2.7)

где dv(x)—разность скоростей двух материальных точек Xt
и Xt 4- dXt в момент т. Полагая х — £ в уравнении (3-2.7),
получаем

dv («) = F (t)-dXt,	(3-2.8)

которое после сравнения с определением величины Vv показы-
вает, что

Vv = F (*).	(3-2.9)

Градиент скорости Vv в общем случае получается на основе
прострав ственного описания течения, т. е. на основе ноля ско-
рости

v == v (X, t).	(3-2.10)

Таким образом, величина Vv сама представляет собой ноле, т. е.

Vv = Vv (X, f).	(3-2.11)

Если нужно исследовать изменение Vv вдоль траектории части-
цы, необходимо рассмотреть зависящий от времени тензор L,
определяемый как

|L (т) = Vv (f [Xt, т], т).	(3-2.12)

Из уравнений (3-2.7) и (3-2.12) получаем

L (т) = FF"1.	(3-2.13)

Заметим, что, хотя правая часть уравнения (3-2 13) есть про-
изведение двух относительных тензоров, L не является относи-
тельным тензором. Действительно, пусть моментом наблюдения
вместе t стал момент Дифференцируя уравнение (3-1.8), полу-
чаем

Fr, = F Fr (0,	(3-2.14)
и, таким образом, используя обращение обеих частей уравне-
ния (3-1.8), имеем

Fc.Ft7J =F Fr (0-Fr1 (f)-F"‘ = F-F-\	(3-2.15)

откуда видно, что правая часть уравнения (3-2.13) не зависит от
начала отсчета.

Скорости деформации

Дифференцируя уравнение (3-1.19) по т, получаем

C = FTF-j-FTF.	(3-2.16)

Полагая в уравнении (3-2.16) т — t и рассматривая (3-2.9), имеем

с (t) = Vv + VvT = 2D.	(3-2.17)

Креме того, имеем

C = ^2 = U U-|-U и.	(3-2.18)

Полагая снова т = I, имеем

C(t) = 2U(e).	(3-2.19)

Из уравнений (3-2.17) и (3-2.19) следует, что тензор растяже-
ния D характеризует скорость растяжения в момент наблюде-
ния — понятие, которое было использовано в гл. 2. Разумеется,
если рассматривать уравнение (3-1.34), то тензор D также можно
отождествить со скоростью деформации. Продифференцируем
теперь уравнение (3-1.11):

F=R.U+R.U,	(3-2.20)

и, снова полагая х — t, получаем

Vv = R (0 + U (/).	(3-2.21)

Сравнение уравнений (3-2.17), (3-2.19) и (1-9.G) показывает, что х)

W = R 0)	(3-2.22)

и отождествляет завихренность W со скоростью вращения ь момент
наблюдения.

1) То, что тензор R (Z) антисимметричен, можно увидеть, дифференцируя
R-R  = 1 и рассматривая (3-1.33). В то же время U симметричен, поскольку
симметричен U. Разложение тензора па сумму антисимметричного и симметрич-
ного тензоров единственна; следовательно, уравнение (3-2.21) отождествляет
JI (М) и R (() с D и W соответственно.
Скорости деформации более высокого порядка

Вводом теперь два типа тензоров скоростей деформаций более
высокого порядка, которые широко используются в научной лите-
ратуре: тензоры Ривлина — Эриксена и тензоры Уайта — Метцне-
ра. Будем использовать следующее обозначение:

N dN

Ф =	(3-2.23)

так что

1	.	2

ф = ф,	-ф = ф,	(3-2.24)

где ф — скалярная, векторная	или	тензорная функция одной

скалярной переменкой т.

Вычислим N-ю производную по времени квадрата расстояния
между двумя соседними точками в момент т= t:

N	N	jf

dx2 (г) — dx2 |T=f = dX( • C (t) • dX< =*

= dXrA^.dXt,	(3-2.25)

что определяет TV-й тензор Ривлина — Эриксена Aw. Разумеется,
А7/ представляет собой функцию от t, но но является относитель-

N

ным тензором, несмотря на то что тензор С именно таков. Имеем

Л'

АЛ- («) = С (f).	(3-2.26)

По определению (уравнение 3-2.25))

Ао = 1.	(3-2.27)

В то же время сравнение уравнений (3-2.17) и (3-2.26) показы-
вает, что

Ах = 2D.	(3-2.2S)

Рекуррентная формула для тензоров Ривлина — Эриксона
получается из их определения:

A-n+i = Aw 4- VvT *Ajv -f- AjfVT, (3-2.2 )

На практике удобнее использовать не уравнение (3-2.29),
а (3-2.26), однако первое чаще встречается в литературе.

Тензоры, Уайта — Метцнера вводятся аналогичным образом,
но исходя из уравнения (3-1.29), а не нз уравнения (3-1.24). Это
определение таково:

ds2(i)=—tfej Вд- dst)	(3.2.30)
откуда непосредственно следует

N

вх=-с-‘(0-	(3-2.31)
Рекуррентная формула принимает вид	
= By — By'V,” — Vv-By.	(3-2.32)
Имеем	
Во	1,	(3-2.33)
В, = 2D = Aj,	(3-2.34)
и в общем случае	
By	А у	(3-2.35)

Конечно, аналогичные уравнения можно было бы получить из
производных В и В-1, но эти тензоры по причинам, которыз
подробно будут обсуждены в гл. 4, использоваться не буд^т.

Практическая польза от введения тензоров АЛ и By заклю-
чается в возможности разложения описывающих предысторию
тензоров Коши и Фингера в степенные ряды вблизи момента
наблюдения. При достаточных условиях гладкости имеем

ОО

(3-2.36)

ОО

(С'Г‘ = )W+i	(3 2.37)

«=о

где s = t — т есть, как уже было установлено, время, оточиты
ваемое назад от момента наблюдения, а верхний индекс Означает,
что s — независимая переменная.

Обладающая памятью жидкость, о которой говорилось
в разд. 2-6, может быть чувствительной к деформациям, имевшим
место в прошлом, т. о. в некотором смысле, который будет строго
определен в гл. 4, напряжение в момент времени t может зависеть
от всей предыстории, характеризуемой тензором Коши или Фин-
гера. Уравнения (3-2.36) и (3-2.37) позволяют выразить это влияние
предыстории в терминах кинематических тензоров (Ау и By),
измеренных в момент наблюдения.

3-3 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ТЕНЗОРОВ И ИХ ПРОИЗВОДНЫХ

ПО ВРЕМЕНИ ПРИ ИЗМЕНЕНИИ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА

EJ этом раздело мы изучим правила преобразования тензоров и их
производных по времени при изменении системы отсчета. Орто-
гональный тензор Q (f) описывает изменение системы отсчета
в смысле, определенном в разд. 1-5.
Преобразование кинематических тензоров

Поскольку dX — геометрический вектор, правило его преобразо-
вания имеет вид

dX* = Q (x)-dX.	(3-3.1)

В уравнении (3-3.1) и далее в тексте мы рассматриваем изменение
системы отсчета без сдвига начала отсчета времени, так что т* = т.
Распространение на случай г* — t-f-a тривиально, и все резуль-
таты ниже остаются в силе и в общем случае.

Из уравнения (3-1.3) следует

(IX* = Q (r)-F^Xt = Q (t)-F- QT (0-dXf, (3-3.2)
так что правило преобразования градиента деформации записы-
вается в виде

F* = Q (t)-F-Qt (0	(3-3.3)

и аналогично в виде

F*-1 = Q (0-F"1- QT (0.	(3-3.4)

Правила преобразования тензоров К и U получаются сле-
дующим образом: уравнение (3-3.3) можно записать как

F* - R*.U* = Q (t).R.U-QT (0,	(3-3.5)

что вследствие ортогональности тензора Q можно представить
в виде

F* = R*-U* = (Q(t)-R QT(0MQ(0-U.QT(0L (3-3.6)

Член ь первых скобках правой части уравнения (3-3.6) есть орто-
гональный тензор; член во вторых скобках — симметричный
положительно определенный тензор. Но полярное разложение
тензора F является единственным, и, следовательно,

В* = Q(t)-R-Qt(0,	(3-3.7)

U* =. Q (0 U- QT (0	(3-3.8)

Правила преобразования для V, С, С-1, В и В"1 немедленно
следуют теперь из их определений

V* = Q(t)-V.QT(t),	(3-3.9)

С* = Q (0-C-QT (0,	(3-3.10)

С*-*= Q (0 • С"1 • Q'r (0,	(3-3.11)

В* = Q(t).B«Q®(t),	(3 3.12)

В*"1 = Q (т). В'1- QT (т).	(3-3.13)

Рассмотрим некоторый относительный тензор ф (т), имеющий
начало отсчета в момент наблюдения t и определенный, разумеет-
ся, относительно заданной системы отсчета. Другому «наблюда-
телю» та же самая физическая величина будет казаться другой
тензорной функцией ф* (т). Соотношение между 'ф и ф* может
содержать либо Q (т), либо Q (/), либо и то и другое вместе.
Мы будем определять относительный тензор как «нейтральный»,
если преобразование ф -> ф* содержит только Q (/), т. е. относи-
тельную ориентацию систем отсчета в момент наблюдения. В этом
смысле из уравнений (3 3.7) — (3-3.13) следует, что тензоры U и С
нейтральны, в то время как F, R, V и В нс являются таковыми.
Конечно, если какой-либо тензор А нейтрален, то А"* также
нейтрален и, следовательно, тензор Фингера тоже нейтрален,
как это непосредственно следует из уравнения (3-311).

Преобразование производных и интегралов

Исследуем тепепь правила преобразования производных и инте-
гралов от зависящих от времени неотноеительных тензоров.
Пусть J — произвольный зависящий от времени тензор, который
нейтрален в том смысле, что

J*(Z) = Q(O’J(OQT(O.	(3-3.14)

Если продифференцировать уравнение (3-3.14) по времени,
то получится уравнение

J* (0 = Q (0-J (0-Q U) + Q (0- j (x)-Q (0 + Q (0,J (0-Q (0,

(3-3.15)

которое, конечно, не является правилом преобразования нейтраль-
ного тензора. Таким образом, в общем случае: производная по
времени зависящего от времени нейтрального неотносительного
тензора не является нейтральным тензором.

Рассмотрим теперь интеграл с весом от тензорной функции J
по некоторому промежутку времени от некоторого фиксирован-
ного нижнего предела t0 (зачастую в качестве t0 будет выбираться
—оо) до момента наблюдения t. Если / (т) — скалярная весовая
функция, то

t	_ t

[ j /(т)/(т)йт]*= J /(T)Q(T).J(T).QT(T)dT^
to

t

Q (0 • j f W J (%)	qt (t).	(3-3.16)

fo

Рассматриваемый интеграл есть функция t (но не т, поскольку
т здесь — переменная интегрирования), которая не является
нейтральной. Действительно, выражение, следующее за знаком
неравенства в уравнении (3-3,16), было бы правильный, если бы
интеграл был нейтральным.

Таким образом, снова: интеграл с весом по некоторому про-
межутку времени с моментом I в качестве верхнего предела от
некоторого нейтрального иеотносительного зависящего от времени
тензора не является нейтральным.

В противоположность этому производные по времени при
х= t от нейтральных относительных тензоров сами нейтральны.
Действительно, если J ость нейтральный относительный тензор,
то правило его преобразовг ния в соответствии с обсуждением,
следующим за (3-3.13), имеет вид

J* = Q(t).J.QT(f)	(3-3.17)

Производная J по т удовлетворяет уравнению

j* = Q(#)< j.QT(<),	(3-3.18)

и, полагая х ~ t, получаем

j* (/) = Q (#) , j (t). QT (t),	(3-3.19)

что дает правило преобразования нейтрального зависящего от
времени тензора. То же самое применимо и к интегралам с весом
от нейтральных тензоров, описывающих предысторию.

Ассоциированные относительные тензоры и ассоциированные
производные

Имея в виду результаты предыдущего подраздела, можно попы-
таться связать зависящий от времени нейтральный ноотноситель-
ный тензор J с нейтральным относительным тензором, который
при т = I совпадает с J. Мы будем называть такой относительный
тензор «ассоциированным относительным тензором». Это можно
осуществить несколькими путями. Начнем с введения трех наибо-
лее важных ассоциированных относительных тензоров, а именно-

(а)	«вращательной формы тензора J»

J(t) = Rt.J(t).R;	(3-3.20)

(б)	«нижней конвективной формы тензора J»

J(t)=Ft.J(t)-F;	(3-3.21)

(в)	«верхней конвективной формы тензора J»
t	m

j (т) = F J(O-fF-1)1.	(3-3.22)

Три относительных тензора, определенных таким образом,
нейтральны, если нейтрален J, как в зтом можно убедиться при
помощи простой подстановки в эти определения правил преобра-
зования для R, F и J. Кроме того, полагая т = t в уравне-
ниях (3-3.20) — (3-3.22), имеем

J (I) -= J (t) = j (0 = J (0.	(3-3.23)

Производные по т ассоциированных относительных тензоров,
взятые при т = t, также нейтральны в силу уравнения (3-3.19),
которое выполняется для любого нейтрального относительного
тензора. Мы будем называть эти производные «ассоциированными
пролзводпыми». Таким образом, мы определим три ассоциирован-
ные производные тензора J, а именно:

(а)	вращательную производную
о И
Jx=J(0;	(3-3.24)

(б)	нижнюю конвективную производную

Л +

Jx = J(0;	(3-3.25)

(в)	верхнюю конвективную производную

2V

JN = J(0.	(3-3.26)

Три типа определенных выше ассоциированных производных
обладают одним и тем же свойством: они представляют собой зави-
сящие от времени нейтральные неотносительные тензоры, если
J — зависящий от времени нейтральный неотносительный тензор.

Здесь слова возникает терминологическая проблема. Враща-
тельная производная часто называется также производной Яуман-
на и обозначается символом 37Две конвективные производные
называются также производными Олдройда, и обе обозначаются
символом Ь/Ьг; это обозначение применяется лишь в связи с обо-
значениями индексов, причем принято условие, что под указанным
символом понимается нижняя конвективная производная, когда
рассматриваются ковариантные компоненты, и верхняя конвектив-
ная производная, когда рассматриваются контравариантные ком-
поненты, так что

д

-^-Jv = (Jw)u,	(3-3.27)

^-J° = (V.	(3-3.28)

Термин «конвективная скорость» с том же самым обозначением,
что и здесь (значок л сверху), использовали Трусделл и Нолл
[1, р. 6?, 96] для нижней конвективной производной. Опи не рас-
сматривали явно понятия верхней конвективной производной,
а для вращательной производной использовали то же самое обо-
значение, что и применяемое здесь.

Нет нужды говорить, что интегралы с весом от ассоциирован-
ных относительных тензоров в пределах от фиксированного ниж-
него момента <0 и до момента наблюдения t также нейтральны.

Следует помнить, что ассоциированные относительные тен-
зоры не следует смешивать с самим тензором J, несмотря на то
что их значения совпадают при с — t. Тензор J определяется
в терминах имеющих физический смысл величин, в то время как
для ассоциированных относительных тензоров, за исключением
вращательной формы, часто невозможно подыскать прямой физи-
ческой интерпретации.

Физическая интерпретация вращательной формы

Рассмотрим изменение системы отсчета, определяемой ортогональ-
ной тензорной функцией Q (т), удовлетворяющей уравнению

Q (т) = RT.	(3-3.29)

Новая система отсчета в момент наблюдения не вращается относи-
тельно начальной, т. е. Q (г) — 1 В любой другой момент т она
вращается таким же образом, как материальный элемент, вклю-
чающий рассматриваемую точку. Действительно, применяя урав-
нение (3-3.7), имеем

R* = RT.R = 1,	(3-3-30)

откуда видно, что рассматриваемый материальный элемент не
вращается относительно новой системы отсчета. Такая система
отсчета называется вращающейся системой.

Из уравнений (3-3.14) и (3-3.20) немедленно следует, что J —
просто зависящий от времени тензор J (Z), как его видит наблю-
датель, находящийся во вращающейся системе отсчета, и враща-
тельная производная представляет собой производную по времени,
наблюдаемую в этой системе. Разумеется, никакой аналогичной
интерпретации нельзя предложить для конвективных форм и кон-
вективных производных по той причине, что тензор F не орто-
гонален.

Ассоциированные производные единичного тензора и напряжения

Применим теперь введенные понятия к простейшему примеру ней-
трального тензора, а именно к единичному тензору (который
может рассматриваться как функция времени, хотя и имеющая
постоянное значение). Из уравнений (3-3.21) и (3-3 22) можно
получить
1 = С-1,	(3-3.32)

что позволяет отождествить конвективные формы единичного тен-
зора с тензорами Коши и Фингера. Кроме того,

L = А„,	(3-3.33)

lx = —Bv,	(3-3.34)

откуда следует, что тензоры Ривлина — Эриксена и Уайта —
Метцнсра являются конвективными производными единичного
тензора.

Применим теперь те же самые понятия к другому нейтральному
зависящему от времепи тензору, скажем к тензору полных напря-
жений Т. Тогда

(а)	вращательная форма напряжений

T(t) = Rt-T(t).R;	(3-3.35)

(б)	нижняя конвективная форма напряжений

T(t)-Ft.T(t).F,	(3-3.36)

называемых иногда «конвективными напряжениями» 121 и обозна-
чаемых символом Т;

(в)	верхняя конвективная форма напряжений

Т (т) = F"1 »Т (т) • (F-1)T,	(3-3.37)

которая представляет собой обобщенный вариант так называемого
второго тепзора напряжений Пиолы — Кирхгофа [1, р 124].
Определяются также две конвективные производные и вращатель-
ная производная напряжения.

При помощи аргументов, приводящих к уравнениям (3-2.29)
и (3-2.32), можно показать, что

ОО ОО

(3-3.38)

△ △ △ △

Jtf+i = Jar*Vv + VvT- JN,	(3-3.39)

JN+1 = J.v — Jft' • VvT “ V v • 3N.	(3-3.40)

Ассоциированные относительные тензоры и производные, опро-
делэпные выше, не единственно возможные нейтральные тензоры.
Можно рассмотреть еще два других примера:

(а)	«левую конвективную форму тензора J»

Л = Р~М(т) F,	(3-3.41)
из которой можно получить левую конвективную производную
> £

— J (t);	(3-3.42)

(6)	«правую конвективную форму тензора J»

J = Ft.J(t).(F-1)t,	(3-3.43)

из которой можно получить правую конвективную производную

<. *

Jw = J(i).	(3-3.44)

Эти две дополнительные конвективные производные иногда
также обозначаются в литературе одним и тем же символом bN/btN,
причем принимается условие, что этот символ обозначает левую
конвективную производную, когда рассматриваются левые сме-
шанные компоненты, и правую конвективную производную, когда
рассматриваются правые смешанные компоненты 1). Таким обра-
зом,

ЬА . t> .  01	(3-3.45)
ь.Ч .	<	(3-3.46)

Перейдем теперь к дальнейшему рассмотрению ассоциирован-
ных производных. Из уравнений (3-3.38) — (3-3.40) получаем

А О

Ji = Jx -ф J • I) I) • J,	(3-3.47)

v О

JieJx—J-D-D.J.	(3-3.48)

Вращательные верхние конвективные и нижние конвективные
производные симметричного тензора симметричны. В противопо-
ложность этому левая и правая конвективные производные,
а также левая и правая конвективные предыстории симметричного
тензора пе симметричны. По этой причине последние два тензора
чрезвычайно редко используются па практике.

Заметим, что верхняя и нижняя конвективные производные
некоторого тензора получаются суммированием его вращательной
производной с простыми комбинациями этого тензора и тензора
растяжения. Фактически любая линейная комбинация J и D,
прибавленная к вращательной производной, дает выражение,

р Здесь и ниже мы называем левыми смешанными компонентами тен-
зора А компоненты 4’j, а правыми смешанными компонентами — компо-
ненты АД
которое можно интерпретировать как некоторую нейтральную
ассоциированную производную J. Верхняя и нижняя конвектив-
ные производные суть две простейшие производные этого типа,
сохраняющие симметрию.

3 4 МЕТОД КОНВЕКТИВНЫХ КООРДИНАТ

В этом разделе проанализируем совершенно иной подход к кине-
матике деформируемых тел, который был развит главным образом
Олдройдом 12].

В то время как вся эта книга основывается на подходе, исполь-
зующем прямые методы теории векторных пространств, метод кон-
вективных координат, который опирается на рассмотрение коор-
динатной системы, вмороженной в тело и деформирующейся вместе
с ним как единое целое, имеет широкое распространение в науч-
ной литературе — и знание этого метода необходимо для пони-
мания многих публикуемых работ по механике нсньютоновских
жидкостей.

Любое реологическое уравнение состояния, записанное в тер-
минах тензорных компонент в конвективной системе координат,
автоматически удовлетворяет принципу объективности поведения
материала [1, р. 46]. Из этого в литературе часто незаконно делают
вывод, что такие уравнения, записанные в некоторой алгебраиче-
ски простой форме, имеют некий особый физический смысл. Пред-
положения о «линейности», которые типичны для старых непнва-
риавтных формулировок линейной вязкоупругости, были сделаны
инвариантными относительно системы отсчета при помощи метода
конвективных координат и, следовательно, предполагались физи-
чески реальными, хотя имеется бесчисленное количество других
возможностей удовлетворить принципу объективности поведения
материала, равно подтверждаемых (или не подтверждаемых)
с феноменологической точки зрения. Смешение систем координат
и систем отсчета оказывается даже более вопиющим в некоторых
опубликованных работах, основанных па методе конвективных
координат, а различие между тензорами (как линейными опера-
торами, отображающими евклидово пространство само в себя)
и матрицами тензорных компонент часто совершенно игнорируется.
Наконец, конвективным производным часто приписывался неко-
торый особый физический смысл, и бесплодные дискуссии о том,
что они являются «истинными» времзнными производными, были
вызваны неправильным толкованием метода конвективных коор-
динат. В данном разделе мы собираемся осветить этот вопрос
в соответствующей перспективе и указать некоторые распростра-
ненные ошибки, встречающиеся при применении данного метода.

Рассмотрим течение жидкости, и пусть а,’ — некоторая система
координат, выбранная для описания течения. Пусть хг (т) —
координаты материальной точки в некоторый момент т. Пусть g
определяется как

В{ = ^(т)|т=< = Д	(3-4.1)

где t — некоторый фиксированный момент времени. Величины х
могут рассматриваться как тройки чисел, соответствующие каж-
дой материальной точке, т. е. материальная точка определяется
координатами х] геометрической точки, которую она занимает
в момент наблюдения t. Такая точка зрения излагалась в разд. 3-1.

В то же время х, могут рассматриваться с другой точки зрения,
и мы фактически применяем в этом случае другой символ, а имен-
но Величины д’ могут рассматриваться как координаты, вморо-
женные в материал, или «конвективные координаты». Тогда имеем
координатную систему, которая движется и деформируется как
единое целое вместе с движущей жидкостью, а в момент t совпа-
дает с начальной неподвижной системой координат х’. Разумеется,
конвективные координаты точки, занимаемой материальной части-
цей, не изменяются со временем, поскольку деформация системы
координат в точности соответствует деформации материала.

Пусть уц (х) — метрический тензор конвективной системы
координат. Имеем (см. уравнения (1-3.32) и (1-4.3))

dx2 (т) = ун (т)	(3-4.2)

Рассматривая уравнение (3-4.1), имеем

dx2 — Ун (т) dx\dx\.	(3-4.3)

Из уравнения (3-4.3) следует, что компоненты метрического тен-
зора ун (т) совпадают в любой момент с ковариантными компонен-
тами тензора деформации Коши

yi} (г) <=> (С)„.	(3-4.4)

Здесь использован (и будет использоваться в дальнейшем)
специальный символ <=> для того, чтобы подчеркнуть особый
смысл равенства правой и левой частей уравнения. Фактически
Ун (т) суть ковариантные компоненты единичного тензора в систе-
ме координат £*, величины же (С)г/ суть ковариантные компоненты
тензора Коши в системе координат х. Хотя их две матрицы совпа-
дают при любом т, ясно, что речь идет о двух различных тензо-
рах; равенство компонент двух тензоров еще не означает равен-
ства тензоров, если компоненты пе рассматриваются в одной и той
же системе координат.

Метрический тензор ун (т) можно вычислить согласно правилу
преобразования ковариантных компонент тензоров, определяемо-
му уравнением (1-3.24):

'	(3-4.5)

что, разумеется, можно получать непосредственно из уравнений
(3-4.4) и (3-1.46).

Площадь элемента поверхности в момент т есть

ds2 (т) = у17 (т) dffiOtoj,	(3-4.6)

где dot = dst (Z) — конвективные ковариантные компоненты век-
тора площади, который не изменяется при деформации (Jojd^4 —
дифференциальный объем). Уравнение (3-4.6) показывает, что

(т) <S=^ (С"»)«	(3-4.7)

Условие постоянства плотности означает, что

det ytj = det = 1.	(3-4.8)

Обратим теперь внимание на дифференцирование тензоров
по времени. Следует подчеркнуть весьма важное обстоятельство:
производные по времени компонент тензора не являются компо-
нентами производной тензора по времени. Это особенно ясно
можно представить, учитывая, что даже компоненты постоянного
тензора могут иметь отличные от нуля производные по времени.
Действительно, базис, по отношению к которому определены ком-
поненты, может изменяться со временем по одной или двум сле-
дующим причинам:

(i)	При рассмотрении субстанциональной производной по вре-
мени естественный базис может изменяться вдоль траек-
тории материальной точки, поскольку он не является
постоянным в пространстве.

(ii)	Если выбран метод конвективных координат, то естествен-
ный базис изменяется со временем, поскольку меняется
со временем система координат.

Имея это в виду, продифференцируем уравнение (3-4.3) N
раз по времени:

j.V	n .	.

^(dx*) = y.5dx\dx\.	(3-4.9)

.v

Ясно, что величины yt] являются У-ми производными кова-
риантных компонент единичного тензора относительно системы
одпако они не являются компонентами У-й производной единич-
ного тензора!

Сравнение уравнений (3-4.9) и (3-2.25) показывает, что

N *

Уи (О (A^jv)fj»	(3-4.10)
где введен новый специальный символ Этот символ указывает
на то, что, хотя матрицы в правой и левой частях уравнения сов-
падают и хотя координаты, но отношению к которым определяются
компоненты, одни и те же (действительно, в момент т = t системы
координат г и £ совпадают), индексы в обеих частях уравнения
не могут быть подняты или опущены (см. уравнение (3-4.12)).

N

Действительно, уц является Лг-й производной уг,, и, поскольку
дифференцирование по времени и поднятие индекса не коммути-
N ..

руют, величину у11 нельзя получить при помощи поднятия индек-

N

сов у величины

Аналогично дифференцирование уравнения (3-4.S) дает

dN	N

^(ds2)-^^,,	(3-4.11)

at"

и, таким образом,

N.. г

-7iJ<=>(B,v)u.	(3-4.12)

Сравнение уравнений (3-4 10) и (3-4.12) ясно показывает, что
индексы не могут быть подняты (или опущены), поскольку, разу-
меется, AjV=0:--BJv.

Рассмотрим производные по времени компонент г|г, (или т]1-’)
общего тензора J в системе координат На основании правила
преобразования тензоров имеем

дхт Т	т l

где J km — ковариантные компоненты тензора J в системе хг,
взятые в точке X (т), занимаемой материальной частицей в мо-
мент т:

/йто = eft (X)-J (т)-em (X).	(3-4.14)

Подставляя (3-4.14) и (3-1.41) в уравнение (3-4 13), получаем
(замечая, что = £’)

т|« = е{ (X4)-F® • eft (X) oft(X).J-em(X)ew(X).F-c, (Х() (3-4.15)
или, учитывая, что сумма диад ей еЛ есть единичный тензор, имеем

г,,, = ег (Xt).[FT.J.F].e, (Х().	(3-4.16)

Из уравнения (3-4.16) следует, что цг, можно отождествить
с матрицей ковариантных компонент нижней конвективной формы
тензора J:

W <=>($)«•	(3-4.17)
Заметим, что по определению

По'=	(T)-J-e7-(я:),	(3-4.18)

где 8г — векторы естественного базиса системы координат
в момент т.

При помощи точно такой же процедуры легко показать, что
г)4* <=>())«	(3-4.19)

Не приходится и говорить о том, что индексы в уравнении
(3-4.17) или (3-4 19) но могут быть подняты (или опущены).

Дифференцируя уравнения (3-4.17) и (3-4.19) и полагая т = t,
получаем

W)<=MJ*)m.	(3-4.20)

N .	* V ..

nw(O<=>(Jtf)w.	(3-4.21)

Разумеется, хотя левые части уравнений (3 4.20) и (3-4.21)
являются TV-ми производными компонент одного тепзора, правые
части представляют собой компоненты другого тензора. Нет необ-
ходимости вновь напоминать, что индексы в этих уравнениях
не могут быть подняты или опущены.

Рассмотрим теперь смешанные компоненты г]\ и г/. По причи-
нам, аналогичным тем, которые привели к уравнениям (3-4.17)
и (3-4.19), имеем

^<^(J)S,	(3-4.22)

П? <=> (?)/,	(3-4.23)

т. е. «левые смешанные компоненты в системе совпадают с левы-
ми смешанными компонентами левой конвективной формы в систе-
ме ж1, в то время как правые смешанные компоненты в системе V
совладают с правыми смешанными компонентами правой конвек-
тивной формы в системе ж1 для любого тензора J».

Рассмотрим теперь частный случай, когда тензор J симметри-
чен. Имеем при J = JT

nS = -1Л	(3-4.24)

Несмотря на это, но существует симметричного тензора, компо-
ненты которого в системе ж1 совпадают с rfj: действительно, левая
и правая конвективные формы симметричного тензора несиммет-
ричны и не равны друг другу. Конечно, если J = JT, то смешанные
компоненты можно записать как rf/, эту матрицу можпо тогда
интерпретировать двумя различными способами, основываясь на
уравнениях (3-4.22) и (3-4.23).
Дифференцируя (3-4.22) и (3-4.23) и полагая t = t, подучаем

(3-4.25)

N %	<]

(3-4.26)

Снова в случае J = JT обозначение т; ;(/) допускает две возмож-
ные интерпретации.

Как указывалось в разд, 3-3, символ b/bl часто используется
в литературе для обозначения дифференцирования по времени
конвективных компонент. Фактически одпн-единствеппый символ
используется для обозначения четырех различных операций;

в самом дело,	=	(3-4.27)  ^-А/=(Лт)п,	(3-4.28)  (3-4.29)

pv //-(J.v)A	(3-4.30)

Это вводит в заблуждении, поскольку в левой части уравнений
(3-4.27) — (3-4.30) не содержится каких-либо указаний на то, что
досматриваются компоненты четырех различных тензоров. Если

J — симметричный тензор и используется обозначение Ъ>,Г}1Ы,
то в точности те же самые символы отождествляют две. (совпадаю-
щие) системы компонент двух различных тензоров.

Метод конвективных координат, обсуждавшийся в этом раз-
деле, имеет большое преимущество, заключающееся в том, что
любое реологическое уравнение состояния, записанное в терми-
нах конвективных тензорных компонент, удовлетворяет принци-
пу объективности поведения материала. Применение этого метода
сопряжено с рядом трудностей, которые мы попытались проиллю-
стрировать. Следует уяснить, что выбор между методом конвек-
тивных координат и методом векторного пространства определяет-
ся индивидуальной склонностью исследователя, и оба метода,
если их правильно использовать, дают одинаковые результаты.

3-5 ТЕЧЕНИЯ С ПРЕДЫСТОРИЕЙ ПОСТОЯННОЙ

ДЕФОРМАЦИИ

В этом разделе мы рассмотрим специальный класс течений, имею-
щих особый физический смысл для жидкостей, обладающих
памятью. Этс течения с «предысторией постоянной деформации*.
Течения с предысторией постоянной деформации (иногда назы-
ваемые «субстанциально остановленными движениями») являются,
говоря нестрого, течениями, для которых предыстория деформи-
рования не зависит от момента наблюдения t, а зависит лишь
от временного сдвига s — t — т. Это означает, что растяжение,
переводящее конфигурацию, имевшую место в момент т, в кон-
фигурацию, реализующуюся в момент наблюдения t, не зависит
(аа исключением не относящихся к делу вращений) от истинного
значения t, а однозначно определяется величиной s.

Физический смысл течений с предысторией постоянной дефор-
мации легко представить на основе понятий, обсуждавшихся
в разд. 2-6 Для жидкости с памятью напряжение в момент наблю-
дения определяется полной предысторией деформирования в об-
ласти, примыкающей к рассматриваемой материальной точке.
В течениях с предысторией постоянной деформации эта история
не зависит от момента наблюдения, и, следовательно, можно
ожидать, что напряжения, а также и любая другая зависимая
переменная, например внутренняя энергия, тоже не будет зави-
сеть от t. Эти концепции будут формализованы в следующей главе,
но они могут быть интуитивно осознаны уже на данной стадии.

Если течения с предысторией постоянной деформации имеют
некоторый особый физический смысл, то их определение должно
быть нейтрально относительно системы отсчета в том смысле, что
течение с предысторией постоянной деформации в одной системе
отсчета должно иметь предысторию постоянной деформации
и в любой другой системе отсчета. Одпако, для того чтобы сделать
это понятие по возможности более доступным, мы будем рас-
сматривать сначала некоторую специальную систему отсчета,
в которой уравнения принимают наиболее простой вид, и несколь-
ко повременим с общпм формализованным рассмотрением.

Будем помечать звездочками величины в специальной системе
отсчета, о которой, говорилось выше. Рассмотрим теперь течение,
предыстория градиента деформации которого такова, что выпол-
няется следующее условие для произвольных значений t и t':

F‘’(s) = Fr*(s),	(3-5.1)

Ясно, что такое течение представляет собой течение с преды-
сторией постоянной деформации в смысле, обсуждавшемся выше;
действительно, тензор, преобразующий dX (Z) в dX (т), зависит
лишь от временного сдвига «, но не зависит от t.

Рассматривая уравнения (3-1.19) и (3-1.29), имеем

С*»₽С"*,	(3-5.2)

(С“)-1 = (С*’*Г‘.	(3-5.3)
Уравнение (3-5 1) удовлетворяется тогда и только тогда, когда
предыстория градиента деформации имеет следующий вид:

}F‘* = exp (—ks N*),	(3-5.4)

где &N* — постоянный тензор Удобно выбрать к таким обра-
зом, чтобы модуль N* равнялся единице:

/trN*-N*T = l.	(3-5.5)

В уравнении (3-5.4) использовалась тензорная функция тен-
зорного аргумента ехр А. Определение и свойства этой функции
приведены ниже.

Определение

ОО

exp А —1-j- V. АА\	(3-5.6)

ЛГ-1

Если А — нильпотентный тензор, то охр Л — полипом конечного
порядка.

Изотропия

Q«exp AQr — ехр (Q-A-Q'1’).	(3 5.7)
Обращение  (ехр А)-1 = ехр (—А).	(3-5.8)
Транспонирование  ехр (Лт) = (ехр А)т.	(3-5.9)
Рассмотрение уравнений (3-5.8) и (3-5.9) показывает,	что если
тензор А антисимметричен, то ехр А ортогонален. У множенае  ехр (аА)-ехр (0А) = ехр [(а -[- (?) А],	(3-5.10)

однако, вообще говоря, ехр А-ехр В отлично от ехр (А 4- В),
если ле выполняется А-В = В-Л.

Дифференцирование

[ехр (аА)] = А-охр(аА),	(3-5.11)

{|[ехр(аА))}^ = А.	(3'5Л2)

Из уравнения (3-2.9) получаем соотношение

W* = frN*,	(3-5.13)

которое показывает, что к — величина градиента скорости. Гово-
рят, что течение имеет предысторию постоянной деформации, если
градиент скорости постоянен вдоль траектории материальной
точки, т. е. если х)

L* = 0.	(3-5 14)

До сих пор мы рассматривали лишь специальную систему
отсчета. Обобщим теперь наши результаты путем преобразования
уравнений к произвольной неспециализированной системе от-
счета. Преобразование системы отсчета от системы, обозначаемой
символом *, к системе общего вида будет описываться при помо-
щи гладкой ортогональной тензорной функции Q (0, произволь-
ной в других отношениях. В частности, уравнение (3-5.4) преоб-
разуется к виду

Ff = Q (т). [ехр (—ks N*)]- Q? (0.	(3-5.15)

Вводом теперь ортогональную тензорную функцию Р (0,
определяемую как

Р (0 = Q (0- Q" (0),	(3-5.16)

где I = 0 — (произвольно выбранное) начало отсчета времени.
Функция Р (0 такова, что Р (0) = 1.

Подстановка уравнения (3-5.16) в (3-5.15) и учет изотропии
функции ехр ( ) (см. уравнение (3-5.7)) дает

FT = Р (г).ехр (_ь N). рт (0,	(3-5.17)

где

N = QT (0). N* • Q (0).	(3-5.18)

Из уравнения (3-5.17) тонзорныэ предыстории Коши и Фингера
получаются в виде

С‘= Р(0-С§-Рт,(0,	(3-5.19)

(С*)’1 = Pj(0.(C?)-i.P(0.	(3-5.20)

Теперь мы в состоянии строго формализовать исследование
течений с предысторией постоянной деформации. Следуя Колема-
ну [4] и Поллу [5], примем такое определение: «Говорят, что
течение является течением с предысторией постоянной деформа-
ции, если в уравнении (3-5.19) (или, что то же самое, в уравне
нии (3-5.20)) в качестве Р (Z) используется любая гладкая орто-
гональная тензорная функция, для которой Р (0) = 1».

Это определение нейтрально к выбору системы отсчета, как
ему и надлежит быть. Нолл 15] определяет течение с предысторией
постоянной деформации в терминах уравнения (3-5.19); с таким
же успехом для определения можно выбрать уравнение (3-5.20).

х) Гюильголь [3] первым, яо-видимому, заметил, что условие L = О
является достаточным для того, чтобы течение было течением с предысторией
постоянной деформации.
Действительно, предпочтение тензора Коши тензору Фингера
определяется только традицией, одиако оба тензора в равной
мере можно использовать для полного описания полной истории
деформирования.

Можно доказать, что течение имеет предысторию постоянной
деформации тогда и только тогда, когда х)

Fo (т) = F (т)-ехр (fcrN).	(3-5.21)

Заметим, что N имеет единичный модуль, как это сразу же можно
показать на основании уравнений (3-5.5) и (3-5.18).

Уравнения для всех кинематических тензоров, определенных
в предыдущих разделах, легко получаются из уравнения (3-5.17),
приведенного выше. Для удобства все они сведены в табл. 31.

Таблица 3-1. Уравнения для кинематических тензоров в течениях
с предысторией постоянной деформации

Ft = P(f—s)-exp(—йа N)-PT(0	(3-5 17)

C‘ = P(0 Cg-PT(0	(3-5.19)

(C*)"1 = PT (0 • (Cg)-i • P (/)	(3-5 20)

D(Z) = 1/2%P (0-(N+Nt)-Pt(0	(3-5 22)

w (0 = ‘/-2 * P (0  (N - NT) • PT (i) + P (0 • PT (0	(3-5.23)

C« = P(0 exp(—fcsNT)-exp(-A»N) PT(0	(3-5.24)

(C<)-1=PT(0-exp(+A:sN)-cxp(-+ ksNT)-PT (0	(3-5.25)

N

A№*NP(0- [ 2 (*) (NT)ft-NN-ft]’PT(0	(3-5.26)

fc=o

N

Bx = (-l)M+1*NP(0-[2 (f) Nh.(NT)N-ft]-PT(0 (3 5.27)
ft=U

Оставшаяся часть раздела посвящена анализу некоторых важ-
ных подклассов течений с предысторией постоянной деформации.

Твердотельные движения

Твердотельное движение характеризуется тем фактом, что гра-
диент деформации является ортогональным тензором. Согласно

’) Доказательство достаточности получается немедленно при помощи
подстановки. Действительно, уравнение (3-5.21) есть уравнение (3-5.17)
при t — 0; уравнение (3-5.17) можно получить из (3-5.21). Доказательство
необходимости условия (3-5.21) весьма сложно; читатель отсылается за ним
к работе Нолла [5].
уравнению (3-5.17), любое течение с предысторией постоянной
деформации, для которого тензор N антисимметричен, есть твердо-
тельное движение (экспонента антисимметричного тензора ортого-
нальна). Твердотельное движение не определяет тензор N; в част-
ности, в качестве N можно выбрать пулевой тензор.

Виекозиметрические течения

Говорят, что течение с предысторией постоянной деформации

является вискозиметрическим течением, если № = 0, N^O.	(3-5.28)

Для вискозиметричсских течений матрица компонент N в соот-
ветствующем ортогональном базисе имеет вид

0 1 0 (N]= 0 0 0 .  ООО	(3-5.29)

Уравнения для кинематических тензоров, справедливые для
всех вискозиметрических течений, легко получаются из уравне-
ний табл. 3-1 и сведены для удобства в табл. 3-2.

Таблица 3-2. Уравнения для кинематических тензоров
в вискозиметрическом течении

Ff —Р (< — «)•[!—As Nj Рт«)  С‘ = Р (t) fl -ks (NT+N) + AWT-NJ • PT (/)  (C‘)-‘ = P (<)•[!+ fcs (N'r4-N) 4-/A2 N-NT] PT (Z)  A2 = P(t)-{2A8NT-N} PT(0  B2 = — P (t) • {2A2 N • №} • PT (t)  A.N =	= 0, если Л” > 2	(3-5.30) (3-5.31) (3-5.32) (3-5.33)  (3-5.34)  (3-5.35)

Стоит обратить внимание, что в силу уравнения (3-5.35)
виекозиметрические течения называются иногда течениями «вто-
рою порядка».

Течения четвертого порядка

Говорят, что течение с предысторией постоянной деформации

является течением четвертого порядка, если №.= 0, № #=0.	(3-5.36)
Для течений четвертого порядка матрица компонент тензора N
в соответствующем ортогональном базисе имеет вид

О oq а2

[N] = 0 0 а3
ООО

(3-5.37)

где «J + а2 + а® — 1 и ах и а3 отличны от пуля.

Для течений четвертого порядка F( — полиномиальная функ-
ция второго порядка от ks N; тензоры же Коши и Фингера являют-
ся полиномами четвертого порядка от ks и

Av =	= 0. если Лг > 4.

(3-5.38)

Течении растяжения

Говорят, что течение с предысторией постоянной деформации
является течением растяжения, если

N = №.

(3-5.39)

Уравнения для кинематических тензоров, справедливые для
течения растяжения, сведены для удобства в табл. 3-3.

Таблица 3-3. Уравнения для кинематических тензоров

б течении растяжения

C‘ = P(0.oxp(-2AsN) PT(t)

Aar = P(0-(2fcN)w.pT (0

BJf=(-l)"+1 АЛ,

(3-5.40)

(3-5.41)

(3-5.42)

3-6 ПРИМЕРЫ

Пример ЗА: Кинематические тензоры для линейного течения
Куэтта (простой сдвиг).

Мы уже рассматривали такое течение в предыдущей главе,
где были получены кинематические тензоры Vv я D. Теперь мы
хотим получить выражения для компонент тензоров деформации,
таких, как С, С"1 и т. д. В декартовой системе координат течение
описывается уравнениями (2-1.2) и (2-1 3):

v1 — ух2,
и2 = и3 = 0.
Эти уравнения эквивалентны следующей системе дифферен-
циальных уравнений:

dx2  dx3 Q
dx di

(3-6.1)

Начальные условия задаются в следующем виде: при х = t
Xх = Xt,
х* = xt,	(3-6.2)

X3 = xt

Интегрируя; получаем

х1 — Xt — ух* (t — т),

х* = xl,	(3-6.3)

х3 = xt

Уравнения (3-6.3) представляют собой точную форму уравне-
ний движения в координатной форме (уравнение (3-1.35)) для
рассматриваемого течения.

Оцепим теперь матрицу производных дхЧдх j:

Г 1 _  1 dxi -1	1 -	y(£-t)	0		
	0	1	0	•	(3-6.4)
t	0	0	1		
Поскольку рассматриваемая		система	координат		декартова,

векторы базиса всюду одинаковы, так что матрица в соотноше-
нии (3-6.4) совпадает с матрицей компонент (любого типа) тен-
зора F (см. уравнение 3 1.41)):



(3-6.5)

Дифференцируя матрицу в (3-6.4) по т и полагая т = t, полу-
чаем в соответствии с уравнением (3-2.9) матрицу тензора Vv,
определенного в уравнении (2-8.1).

Вновь, поскольку система координат декартова, метрический
тензор представляется единичной матрицей, и, таким образом,
из уравнения (3-1.46) следует

ici=ГтзТ [ &]s lF1- (3’6-С)

L dx?t J L dart J
Далее получаем

—y(t—т)	О

[С]= —-y(t—т) 1-Ьу2(£—г)2 О

Можно проверить, что Шс = 1. Матрица [С-1]
нием

дается

l-f-y2(i—т)8 y(t—т)

(3-6.7)

выраже-

{С-‘] = [СГ1-

Уравнение (3-1.20) позволяет вычислить [В]:

1+Т2(*—-с)2 —?(*—т)

— y(t—т)
О

Отсюда

7(«-т)
l-bT2(f — т)2
О

Сравнение уравнений (3-6.7) и (3-6.10) (или (3-6.8) и
позволяет проверить (3-1 31) (или (3-1.32)). Очевидно

при % = t все рассматриваемые до сих пор
единичной матрицей.

матрицы

Наконец,

{GJ= -y(t-T)

[Н] =

о

у2 (I — т)2
T(z —т)
О

— V(Z —т)
y2(t—т)2
0
y(t-т)
О
О

(3-6.8)

КЗ-6.9)

(3-6.10)

(3-6.9))

также, что
становятся

(3-6.11)

(3-6.12)

|B1»[F] (FT) =

1

О

О

1

1

у(<—т)
0

1

О

1

о

[В-*]= y(t—т)

О

О

О

О
о

О

О

1

о
о

1

о
о

1

о
о
о

1

Эти тензоры сводятся к [0] при т = t.

Можно заметить, что матрицы тензоров R, V и О не выводились.
Они не используются в практических расчетах, и получить их,
вообще говоря, довольно трудно.

Пример ЗБ: Кинематика сферически симметричного течения
к точечному стоку.

Симметрия задачи диктует использование системы сферических
координат с центром в точечном стоке. В этом случае течение
описывается следующими уравнениями:

у9 — уф — 0.

(3-6.13)

В уравнениях (3-6.13) величины уг, у0 и пф вначале интерпре-
тируются как физические компоненты скорости. Уравнение для V
выводится из уравнения неразрывности при помощи предполо-
жения о несжимаемости жидкости; величина а является функцией
только времени, но мы ограничимся случаем, когда а — положи-
тельная постоянная, т. е. будем рассматривать течение к стацио-
нарному стоку.

Поскольку у0 и у* равны нулю, а вектор естественного базиса
в направлении г имеет единачную длину, уравнения (3-6.13)
можно также интерпретировать как соотношения, определяютие
контра вариантные компоненты скорости. Таким образом, можно
записать

dr _ а
dx	г

<79 _ dtp
dx dz

Начальные условия имеют вид
при х = t

г = rt,

9 = еъ	(3-6.15)

ф = фо

Уравнения движения получаются отсюда в виде

г = И + За (t — t)]V3,

9 = 0(,	(3-6.16)

<Р = фо

Теперь из уравнения (3-6.16) вычисляем матрицу производных
дхЧдх1 (координаты нумеруются в порядке г, 9 и <р)‘

[1-|-За(1-т)/'г?]"2/з 0

0	1

0	0

0

0

1

(3-6.17)

В этом примере в силу того, что векторы базиса изменяются вдоль
траектории частиц, т. е. они различны при X (т) и Х(, вышепри-
веденная матрица не совпадает ни с одной из матриц компонент
тензора F (см. уравнение (3-1.41)).
Используем теперь уравнение (3-1.46) для вычисления кова-
риантных компонент тензора С в точке Xt. Для этого необходимо
иметь метрический тензор в точке X (т):

	1	0
[gi л =	0	г2
	0	0

О

О
г2 sin2 О

(3-6.18)

Таким образом,

[14-За (£ —т)7г3]-4/з О	О

=	0	[г? + 3а(/—т)]2/*	О

О	0	[r? + 3a(i-T)]t/3sin20

(3-6.19)

Из ковариантных компонент и метрического тензоре в точке Хг
можно получить другие типы компонент тензора С. Особую роль
играют физические компоненты. Учитывая уравнение (2-7.20),
имеем

!C(i/)] =

[1 + За(Г-т)/г?]~4/з	0	0

=	0	[1 + За(«-т)/г?]2''8	0

0	0	[14- За (г-|т)/г? 12/з

(3-6.20)

Отсюда немедленно следует, что

dot С = det [С (г/)] - 1.	(3-6.21)

Тензор I) можно получить из С при помощи уравнения (3-2.17).
Поскольку ортогональный базис физических компонент пе изме-
няется вдоль траекторий частиц (которые, кстати, радиальны),
матрица физических компонент тензора В получается из

	[D] = ‘/2([C])T-t.	(3-6.22)
Таким образом,		
	2a/r?	0	0
[DJ =	0	— air?	0	.	(3-6.23)
	0	0	-	a/r?

Разумеется, тензор
ричпую часть тензора

D можно получить так же, как симмет-
Vv. Одако, поскольку система координат
не декартова, вычисление компонент тензора D из уравнений
поля скорости (3-6.13) требует использования символов Кристоф-
феля. Это показано па следующем примере.

Пример ЗВ: Оценка [ V v] для течения к сферическому стоку.

Используем уравнение (1-4.9), которое имеет вид

<Vv>*=^-+ G' Л Л <м-24>

Анализ (3-6.13) показывает, что уравнение (3-6.24) можно свести
к виду

Таким образом, нас интересуют лишь ненулевые символы Кристоф-
феля:

Тогда очевидно, что все компоненты (Vv)^, для которых i
равны нулю, а диагональные компоненты имеют вид

2а

1---3"»

' а	(3-6.27)

8“ —~•

(V^)1
(Vv)22-(Vv)?

Используя уравнекие(2-7.20), получаем матрицу физических
компонент

	2а/г3	0	0	
)Vvl =	0	—а/г3	0	(3-6.28)
	0	0	— а/г3	
Сравнение уравнений (3- 6 28)		и (3-6.23)	показывает, что в этом	

случае D — Vv, как и следовало ожидать, поскольку течение
имеет явно не вращательный характер.

Пример ЗГ: Тензора Ривлина—Эриксена для течений, рассмот-
ренних в примерах ЗА и ЗБ.

Тензоры Ривлина — Эриксена получаю гея из уравнения (3-2.26):

Av (0 = С (0.

Поскольку Ах = 2D (уравнение (3-2.28)), начинаем вычисление
с А2.
Простой сдвиг

1
[С(т)] =

2

[С(т)] =

Таким образом,

Аа —

2у2 О

О О

у	О

-2у2(1 — т) О
О	О

О О

2/ О

О О

А3 — Л4 =

= 0.

(3-6.29)

(3-6.30)

(3-6.31)

О

О
О

Течение к стоку

1С (Т)]=

О

Y
О

о	о

2а Г t За О-Т) 1 - 1/3	О

ri L ’'J J 2a Г1| За«-т)-1-1/з ’

О	rt L rt J

(3-6,32)

Я8а2 г ? [ За (t-т) - 10/з	G	О

г/ L r J 2а2 Г t । 3o(t-T) ~|-4/з	О

О	г? L rt J 2a Г1 1 3a(t-T)-|-*'3

О	0	rt L rt J

(3-6.33)

Таким образом,

[А2] =

28Л'г?

О
О

О

— 2a2/r®
О

О
О
-2a2./,-?

(3-6.34)

Дифференцируя уравнения (3-6.33) и полагая т = t, получают
последующие тензоры Ривлина — Эриксена. Для данного тече-
ния они не равны пулю.

ЗАДАЧИ

3-1 Определить матрицу тензора С в декартовой системе координат для
следующего течения: их = уЕж, vy = — уЕу/2, vz = —yEz/2.

3-2 Проверить, будет ли течение, описанпое в задаче 3 1, иметь предысто-
рию постоянной деформации, и установить его тип ;вискозиметрическое,
течение четвертого порядка, точение растяжения).
Список литература	129

3-3 Найти тензоры Уайта — Метцнера для течения, рассмотренного в при-
мерах ЗА и ЗБ (см. пример ЗГ).

3-4 Доказать справедливость соотношения (3-2.29). Указание: начать с опре-

деления тензора Ау (уравнение (3-2.26)) и определения производной.

3-5 Для течения к стоку, рассмотренного в примере ЗБ, найти выражение
для ЬтО/bt, используя оба возможных метода (уравнение (3-4.21)).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.	Truesdell С., Noll W., The Ncn-linear Field Theories of Mechanics, Springer-
Verlag, Berlin, 1965.

2.	Oldroyd J. G., Proc. Roy. Soc. London, Л200, 523 (1950).

3.	Huilgoi K. R., 62nd Annual Meeting A. I. Ch. E., Washington, 1969.

4.	Coleman B. D., Arch. Ration. Meeh, and Analysis, 9, 273 (1962); Trans.
Soc. Rheol., 6,' 293 (1962).

5.	Noll W., Arch. Ration. Meeh, and Analysis, 11, 97 (1962).
4

ТЕОРИЯ ПРОСТОЙ ЖИДКОСТИ

4-1 понятии простой жидкости

В гл. 2 обсуждалась неадекватность уравнения Рейнера — Ривли-
на для предсказания поведения некоторых реальных жидкостей
даже ври описании таких простых течений, как линейное течение
Куэтта. Понятие памяти для текучих материалов было введено
как необходимое следствие несостоятельности применения урав-
нения Рейнера — Ривлина, а именно несостоятельности пред-
положения о том, что напряжение однозначно определяется мгно-
венной скоростью деформации.

Значительно более общим выглядит предположение о том, что
напряжение определяется полной историей деформации (в неко-
тором смысле, который должен быть уточнен). Это предположение
служит основой теории простых жидкостей с затухающей памятью,
которая будет обсуждаться в этой главе. Предлагаемая теория
аксиоматична в том смысле, что опа логически вытекает из осно-
вополагающих предположений, которые рассматриваются как
определения некоторого класса материала (а именно простых
жидкостей с затухающей памятью определенного типа) независимо
от того, существуют ли в природе какие-либо материалы, удо-
влетворяющие этим предположениям. Тем не менее эта теория
является настолько общей по своему характеру, что почти все
реологические уравнения состояния, описанные в научной лите-
ратуре, представляют ее частные случаи. Такая общность обеспе-
чивает то, что псе результаты, полученные в рамках этой теории,
имеют очень широкую значимость. С другой стороны, в рамках
общей теории можно решить лишь немногие проблемы механики
жидкости, и для рассмотрения практических задач часто тре-
буется использование более специальных основополагающих пред-
посылок.

Этот раздел посвящен физическим понятиям, лежащим в осно-
ве теории простой жидкости. Математическая формулировка этих
понятий будет дана в разд. 4-3. Обоуждаемыэ физические понятия
имеют форму принципов, которые могут формулироваться либо
как постулаты (если предпочесть аксиоматическую точку зрения),
либо как более или менее самоочевидные положения, касающиеся
поведения реальных текучих материалов (если предпочесть фено-
менологическую точку зрения). Такими принципами являются {!]:
(i)	детерминизм напряжения;

(ii)	локальное действие;

(iii)	несуществование естественного состояния;

(iv)	затухающая память.

Детерминизм напряжения

Этот принцип можно сформулировать в следующей форме: напря-
жение определяется предысторией деформирования. Это озна-
чает, что напряжение в данный момент времени не зависит от
будущих деформаций, а зависит от прошлых деформаций. Таким
образом, строится теория для материалов, обладающих памятью,
но не способных предвидеть будущее. Ясно, что концепция, соглас-
но которой история деформирования определяет напряжение,
значительно более общая, чем основное предположение теории
Рейнера — Ривлина, утверждающее, что напряжение определяет-
ся мгновенной скоростью деформации-

Чтобы сформулировать принцип детерминизма напряжения
математически, требуется высказать ряд математических замеча-
ний о функционалах. Это будет сделано в следующем раздело.

Локальное действие

Принцип локального действия можно установить в следующей фор-
ме; напряжение в данной точке однозначно определяется исто-
рией деформирования в произвольно мал,ой окрестности данной
материальной точки.

Принцип локального действия не предусматривает предполо-
жения об однородности. Напротив, зависимость напряжения
от истории деформирования может быть различной в различных
материальных точках.

Несуществование естественного состояния

Этот принцип нелегко сформулировать в нескольких словах.
Ом означает формализацию интуитивно представляемого, но ус-
кользающего понятия текучести. Возможно, простейшая форму-
лировка понятия текучести связана с утверждением, что жидкий
материал не имеет предпочтительной формы или «естественного
состояния». Это означает, что все возможные формы существенно
эквивалентны, так что любое различие в напряженном состоянии
является следствием различия в истории деформирования. Мы бу-
дем предполагать, что для жидкого материала знание деформации,
переводящей какую-либо предполагаемую форму в прошлом
в настоящую форму (т. е. знание, например, функции. С), в прин-.
ципе оказывается достаточным, чтобы определить напряженно
е настоящем, причем вовсе не нужно знать деформацию, перево-
дящую настоящую форму в некоторую предпочтительную «естест-
венную» форму. Фактически обсуждаемая в гл. 3 дифференциаль-
ная кинематика была развита именно с этой целью.

Утверждение, что любая простая жидкость изотропна, пред-
ставляет собой следствие принципа несуществования естествен-
ного состояния. Таким образом, теории анизотропных жидкостей,
такие, например, как предложенная Эриксеном [2], не входят
щ рамки теории простой жидкости. Анизотропию можно опреде-
-лить только относительно некоторых предпочтительных направ-
лений и, следовательно, в каком-то смысле относительно естест-
венного состояния, имеющего особое физическое значение; это
находится в противоречии с принципом несуществования естест-
венного состояния. Разумеется, возможны анизотропные мате-
риалы, обладающие текучестью, однако это только подчеркивает
несовершенство введенного нами понятия текучести.

Затухающая память

Принцип затухающей памяти можно сформулировать следующим
образом: влияние прошлых деформаций па текущее напряжение
слабее для более отдаленного прошлого, чем для недавнего. Этот
принцип необходим для того, чтобы построить теорию, которая
могла бы, хотя бы принципиально, подвергнуться эксперименталь-
ной проверке. Действительно, полная история деформирования
(вплоть до s->oa) для любого конкретного материала никогда
не может быть известной. Принцип затухающей памяти позволяет
рассматривать эксперимент конечной длительности, по окончании
которого можно считать, что любая деформация, имевшая место
до начала эксперимента, оказывает пренебрежимо малое влияние
на текущее напряжение. Такой эксперимент можно использовать
для проверки выводов теории.

Ясно, что принцип затухающей памяти вводит понятие «естест-
венного времени» для любого данного материала. В некотором
интуитивном’смысле естественное время является мерой времен-
ного промежутка памяти материала, например минимально необ-
ходимой продолжительности проведения эксперимента, подобного
описанному выше. Теория чисто вязких жидкостей (т. е. теория
Рейнера — Ривлина) может трактоваться как предельный случай,
жогда естественное время равно нулю. Таким образом, можно
надеяться установить, что обобщенная гидромеханика ньютонов-
ской жидкости будет асимптотически справедливой при определен-
ных условиях В дальнейшем будем использовать символ А для
обе значения естественного времени жидкости, в то время как
«символ К используется для обозначения любого реологического
параметра, имеющего размерность времени, например параметра,
встречающегося в уравнениях (2-4.6) и (2-4.8).

Развивая далее теорию преет ой жидкости, мы будем исполь-
зовать еще два принципа, а именно принцип объективности пове-
дения материала (который уже обсуждался в гл. 2) и принцип,
внутренних ограничений. Последний может быть сформулирован
следующим образом: напряжение в материале с наложенными
внутренними кинематическими ограничениями определено только-
с точностью до аддитивного напряжения, которое дает пулевую
работу па любом перемещении, совместимом с наложенными огра-
ничениями.

Применение этого принципа удобнее продемонстрировать па
примере жестких тел. Никакие напряжения любого типа не дают
отличной от нуля работы на перемещениях жесткого тела, и, сле-
довательно, напряжение в жестком теле полностью не опреде-
лено. Мы будем интересоваться специальным случаем, когда
внутренние кинематические ограничения связаны с постоянной
плотностью.

Работа, совершаемая внутренними напряжениями Т, есть

Т : Vv = tr (T-D),	(4-1.1)

в то время как любое движение, совместимое с ограничением,
налагаемым постоянной плотностью, характеризуется условием

tr (D) = 0.	(44.2)

Любое изотропное напряжение al дает нулевую работу в дви-
жениях с постоянной плотностью (изохорных); действительно,

(al): D = a tr (1- D) = a tr D — 0.	(44.3)

Можно показать, что изотропные напряжения — единственные
напряжения, которые не совершают работы при любом изохорном
движении. Таким образом, напряжение в материале с постоян-
ной плотностью определено лишь с точностью до аддитивного
изотропного напряжения.

Математический аппарат, требуемый для применения прин-
ципа затухающей памяти (функционалы и их свойства гладкости),
обсуждается в следующем разделе. В разд. 4-3 в общем виде раз-
вита механическая теория простых жидкостей с затухающей:
памятью. В чисто механической теории в число переменных
не включается температура и не учитываются энергетические
соображения. Хотя такой подход удовлетворителен в применении
ко многим механическим задачам, все же исключение из рассмот-
рения энергетических понятий серьезно ограничивает анализ даже
в случае изотермических задач; более сложная термомеханиче-
ская теория требует привлечения термодинамических соображс-
ний., и, в частности, следует рассмотреть ограничения, налагаемые
вторым законом термодинамики. Термодинамика простых жидко-
стей анализируется в разд. 4-4.

4-2 ФУНКЦИОНАЛЫ И ПРИНЦИП ЗАТУХАНИЯ ПАМЯТИ

Физическое предположение, лежащее в основе теории Рейнера —
Ривлина, заключается в том, что напряжение считается одно-
значно определяемым мгновенной скоростью деформации. Это сра-
зу же переводится на формальный математический язык при
помощи уравнения (2-3.1):

т = g (D),	(4-2.1)

которое устанавливает, что напряжение т равно значению функ-
ции g, аргументом которой является тензор D Здесь исполь-
зуется математическое понятие функции, которое предполагается
известным читателю: функция является оператором, который
преобразует одну или несколько заданных величин (называемых
аргументами функции) в другую величину, называемую значе-
нием функции.

Функция определена для значений аргументов, принадлежа-
щих некоторому множеству, называемому областью определения
функции; возможные значения, принимаемые функцией, принад-
лежат к множеству, называемому областью допустимых значений
функции. Функцию можно рассматривать как отображение обла-
сти определения на область допустимых значений.

Конечно, простейший пример функции имеет место в случае,
когда как аргумент (или аргументы), так и значение функции
являются скалярными величинами. Тем не менее распространение
этого понятия на другие случаи оказывается интуитивно весьма
несложным. В частности, мы трактовали тензоры как векторные
функции векторных аргументов, обладающие специальным свой-
ством линейности. Кроме того, мы встречались с функциями тен-
зорных аргументов, значения которых могут быть скалярами,
векторами или тензорами.

При рассмотрении принципа детерминизма напряжения мы
столкнулись с проблемой, когда текущее напряжение определяет-
ся всей историей деформирования. Таким образом, требуется
некоторое правило, посредством которого напряжение можно
было бы вычислить (хотя бы в принципе) по заданной истории
деформирования. История деформирования сама является функ-
цией, а именно тензорной функцией скалярного аргумента (вре-
мени). Эго означает, что существует необходимость в отображении,
преобразующем тензорную функцию в тензор. Скалярным анало-
гом этого является отображение, переводящее обычные скалярные
функции в числа, т. е. некоторое правило, посредством которого
по заданным функциям можно вычислить определенные численные
значения. Искомое отображение называется функционалом.

Функционалы

Различие между функцией и функционалом заключается в том,
что, в то время как аргументом функции является некоторая
величина (будь то скалярная, или векторная, или тензорная),
аргументом функционала является функция. Здесь возникает
некоторое затруднение, поскольку тензоры сами были определены
как функции; однако специальное свойство линейности предпо-
лагает, что тензоры однозначно определены их девятью компонен-
тами, так что функцию тензорного аргумента можно рассматри-
вать фактически как функцию девяти скалярных аргументов.

Понятие функционала лучше всего продемонстрировать на
нескольких примерах. Рассмотрим следующее уравнение:

л

y=jf(x)dx,	(4-2.2)

а

где а и & — два фиксированных числа. Численное значение у
зависит от того, какой частный вид функции / ( ) мы рассматри-
ваем; таким образом, интегрирование в постоянных пределах
дает нам пример функционала, который отображает функции / ( )
в численные значения у. Этет частный вид функционала имеет,
кроме того, очень простую геометрическую интерпретацию: у —
площадь под кривой / (ж) в плоскости у, х между х = а и х = Ь.
Ясно, что эта площадь однозначно определяется частным видом
рассматриваемой функции / (ж).

Важно избегать возможного смешения понятий функционала
и такой сложной функции, как

У = / Ь? (®)Ь	(4-2.3)

Уравнение (4-2.3* эквивалентно системе двух уравнений

У = f (з),	(4-2.4)

z = g (х)	(4-2.5

и осуществляет преобразование величины х в величину у. Прави-
ло этого преобразовапия формулируется следующим образом.
Пусть задано х; вначале вычисляется z посредством преобразо-
вания g ( ). Затем значение функции g ( ) берется в качестве аргу-
мента функции / ( ), по которому и вычисляется значение у.
Таким образом, аргументом в уравпеиии (4-2.3) оказывается
величина х, в то время как в уравнении (4-2.2) аргументом являет-,
ся ^функция / ( ).
Другим очень простым примером функционала является

У = /(100).	(4-2 6)

В уравнении (4-2.6) значение у однозначно определяется частным
видом функции / ( ). Если, например, функция / (ж) есть х2,
то у = 10 000; если же / (х) есть 1 S х, то у = 10 и т. д. Попятно,
что легко привести и другие примеры функционалов.

Для обозначения функционалов будем использовать готи-
ческие символы (например, £j, g и т. п.). Прописные буквы
будем использовать для указания на тензорный характер значе-
ния функционала, строчные - для обозначения вектора или
скаляра.

Функция, представляющая собой аргумент функционала, будет
определяться в заданной области определения ее аргумента, но
значение функционала может зависеть от вида этой функции
только в некоторой области изменения аргумента, «меньшей», чем
область определения. Например, в уравнении (4-2.2) пужпо рас-
сматривать лишь интервал между а и Ъ, а в уравнении (4-2.6) —
только значение 100, хотя ь обоих случаях область определения
функции / ( ) может быть много шире. По этой причине уравнение,
содержащее функционал, будет включать указание интервала,
в котором необходимо рассматривать аргумент функции, напри-
мер х)

х=Ъ

У = D I/k)b	(4-2.7)

х=а

Празая часть в (4-2.2) есть пример функционала I), такого же,
что и в (4-2.7).

Нормы и топология

При рассмотрении функционалов возникают вопросы о гладкости
и непрерывности. Для этого нужно некоторое удовлетворитель-
ное расширение аналогичных понятий, уже известных для функ-
ций. Функция считается непрерывной, если при достаточно малом
изменении аргумента изменение ее значения тоже достаточно мало
(более строго, оно меньше любого наперед заданного числа).
Гладкость функций предполагает, что производная ее непрерывна.
В попытке распространить это понятие на функционалы возникает
трудность, связанная с нахождением подходящего определения
того, что подразумевается под малой вариацией функции. Более
общо, при рассмотрении понятий непрерывности и гладкости для

Рассматриваем здесь случай, когда интересующее вас множество
представляет собой интервал; ясно, что могут быть рассмотрены и более
общие множестна.
преобразования необходимо ввести удовлетворительное опреде-
ление малости изменений аргумента и значения преобразования.

Читатель может заметить, что для определения непрерывности
и гладкости преобразования следует установить точный смысл
понятия произвольной близости друг к другу величин ч|\ и ф2,
являющихся двумя возможными аргументами или двумя возмож-
ными значениями преобразования В случае, если величины —
скаляры, этот смысл очевиден. Два скаляра называются очень
близкими друг к другу, если их разность по абсолютной величине
меньше некоторого произвольного наперед заданного положитель-
ного числа:

!	— 4'2 I < е.	(4-2.8)

Если же величины ф не скаляры, то понятие непрерывности можно
обсуждать только после того, как будет установлен точный мате-
матический смысл такого утверждения, как приведенное выше в
уравнении (4-2.8).

В том случае, когда величиныф не скаляры, величина | фх —ф2 |
называется расстоянием между и ф2. Чтобы придать точный
смысл уравнению (4-2 8), нужно лишь знать условия, при которых
расстояние между фх и ф2 становится исчезающе малым, в то время
как понятие конечного расстояния может оставаться неопределен-
ным. Строго говоря, необходимо определить лишь топологию
пространства ф; любое преобразование этого пространства, не
меняющее его топологии, не играет никакой роли в той мере,
в какой затронуто соотношение (4-2.8). Таким образом, мы можем
сделать вывод, что непрерывность преобразования формулируется
в терминах топологии области определения и области допустимых
значений.

Чтобы разъяснить высказанную выше точку зрения, рассмо-
трим случай, где эти понятия уже были использованы хотя бы
интуитивно (фактически они необходимы, когда либо аргументы,
либо значения преобразования не скаляры) Рассмотрим скаляр-
ное поле, например распределение температуры в некоторой
области пространства Областью определения такого поля служит
всем известное классическое евклидово пространство. У гвержде-
ние, что распределение температуры в теле непрерывно, означает,
что разность температур в двух бесконечно близких точках исче-
зающе мала: если Xj и Х2 суть две такие точки, т. о. если

I Хх - Х2 I < е,	(4-2.9)

то соответствующее изменение | 7\ — Т2 I бесконечно мало х).
Мы используем здесь интуитивное понятие расстояния между

Ч Строгая формулировка состоит в следующем: пусть задано произвольно
малое число д, тогда существует положительное число е, такое, что если
удовлетворяется неравенство (4-2.9), то | Tj — Тг | < 6.
двумя точками. Рассмотрим теперь какую-либо деформацию тела,
которая оставляет неизменной как токологию, так и температуру
каждой материальной точкп, скажем деформация без разрезов
и разрывов. Если распределение температуры было непрерывно
перед такой деформацией, оно останется непрерывным и после
деформации; действительно, хотя расстояние между любыми
двумя точками может измениться, любая пара бесконечно близких
точек все же останется еще разделенной лишь бесконечно малым
расстоянием.

Возможным способом определения топологии пространства
некоторой величины ф является введение нормы этого простран-
ства, т. е. определение правила, однозначно преобразующего
любой из рассматриваемых объектов в неотрицательный скаляр.
Если определена норма для обт,екта ф, то расстояние | фх —ф2 [
определяется как ’)

I 'Фт — Фа I = norm (41 — Фз)	(4-2.10)

Заметим, что, хотя определение нормы предписывает топологию,
различным нормам может соответствовать одна и та яге тополо-
гия; действительно, определение нормы предписывает также
определенные значения коночным расстояниям, в то время как
топология означает лишь различие бесконечно малых расстояний.
Ряд примеров может разъяснить понятие нормы. В векторном
пространство норма определяется как

погт(а) = ]Ла-а —|а(,	(4-2.11)

в то время как в тензорном пространстве лид нормой понимают
norm (Л) = /а7а7 == | А |.	(4-2.12)

При рассмотрении функционалов пуяшо выбрать определение
нормы аргументных функций. Эта норма сама является функцио-
налом, преобразующим функции в скаляры. Если такая норма
определена, топология пространства функций также определена,
и непрерывность функционала определяется в терминах этой
топологии. G другой стороны, следует помнить, что различный
выбор нормы может определять ту же самую топологию, и, сле-
довательно, выбор нормы неоднозначно определяется свойствами
непрерывности функционала.

Непрерывность и дифференцируемость функционалов

Рассмотрим функционал <р = I) [ф (ж)], yj которого значения
функционала и аргументной функции могут быть скалярными,
векторными или тензорными. Пусть <р0 — значение, соответст-

4) Здесь предполагается, что для величия ф определена операция вычи-
тапия.
вующее аргументной функции ф0 ( ), и предположим, что топо-
логия области определения задана так, что неравенство (4-2.8)
имеет строгий смысл. Говорят, что функционал 1) непрерывен
в ip0 ( ), если для некоторого произвольно заданного малого
положительного числа 5 существует положительное число е,
таксе, что неравенство

I <Ро — <? I < $	(4-2.13)

выполняется, когда

!Фо— Ф1<г«	(4-2.14)

Непрерывность, разумеется, определена через ту топологию,
которая придает точный смысл неравенствам (4-2.13) и (4-2.14).

Введем теперь понятие гладкости функционала.

Чтобы сделать это, требуется обобщить понятие производной
па функционалы. Это понятие, возможно, легче всего ввести,
рассматривая обыкновенную функцию скалярного аргумента h (х),
которая при х = хй имеет первую производную h' (х0). Очевидно
следующее уравнение:

I h (х0 + у) — Л (х0) — h' (хе) у | = О (| у |),	(4-2.15)

где член О (I у |) таков, что

lim Q(.lyJl = 0	(4-2.16)

у-о IИ	'

Действительно, уравнение (4-2.15) эквивалентно обычному опре-
делению производной h' (х0).

Говорят, что функционал = I) |ф (х)] имеет первый диф-
ференциал Фреше St) (ф0 ( ) | ф1 ( )] в ф0 ( ), если справедливо
следующее уравнение;

I МФо + ФЛ ~ IJ ГФо] -	( ) I Фт ( И I = О ([ ф3 j), (4-2.17)

где 51) — функционал, линейный по его второму аргументу фг ( ),
а член 6 (|фх j) таков, что

lim 0(|ф1'_) =о.	(4-2.18)

| ф, l-о I1

Заметим, что существование дифференциалов Фреше вновь
определено в терминах топологии области определения функцио-
нала. Действительно, соотношение (4-2.18) требует только того,
чтобы был определен точный смысл понятия, что расстояние
между i|'j и ф0 + Ф1 бесконечно мало.

Дифференциал Фрошо следует рассматривать как прямое
обобщение понятия обыкновенных дифференциалов на функцио-
налы. Действительно, из сравнения уравнений (4-2.15) и (4-2.17)
очевидно, что SE) оказывается аналогичным члену h'dy — dh.
Дифференциалы Фреше более высокого порядка, обозначаемые
через 6W§, могут быть введены аналогичным образом.
Затухающая память

При рассмотрении теории простых жидкостей часто встречается
ситуация, когда некоторая зависимая переменная (как дравило,
напряжение) зависит от предыстории одной или нескольких вели-
чин (обычно от истории деформирования). Эти предыстории являют-
ся функциями времени, и, следовательно, реологическое уравнение
состояния имеет форму функционала.

Принцип затухающей памяти гласит, что если заданы две
предыстории, которые почти совпадают в недавнем прошлом,
но могут сильно различаться в отдаленном прошлом, то соответ-
ствующие им два значения зависимой переменной должны быть
весьма близкими. Это требование удовлетворяется при условии,
что функционал состояния предполагается непрерывным в смысле
соответствующей топологии пространства предысторий, которая
определяет малое расстояние между такими функциями. Точная
формулировка принципа затухающей памяти должна быть дана
в терминах предположений непрерывности и гладкости функцио-
налов состояния.

При формулировке принципа затухающей памяти предпочти-
тельнее использовать в качестве независимой переменной не теку-
щее время, а временной сдвиг з. Затухающая память предполагает
меньшую значимость явлений, которые имели место в отдаленном
прошлом (т. е. при больших значениях з), по сравнению с теми,
которые происходили в недавнем прошлом (т. е. при малых зна-
чениях з).

В механической теории простых жидкостей с затухающей
памятью, которая будет рассматриваться в следующем разделе,
используется формулировка принципа затухающей памяти, при-
надлежащая Колеману и Ноллу [3], которые определили тополо-
гию области определения функционала состояния при помощи
введения функции затухания, т. е. скалярной функции h (з),
обладающей следующими свойствами:

Ч0) = 1.	(4-2.19)

h (з) > 0,	(4-2.20)

Jim sNh (s) = 0,	(4-2.21)

S—>оо

где целочисленный показатель N называется порядком функции
затухания.

Норма некоторой предыстории ф* (з) в области определения
функционала состояния (обозначаемая через | ф‘ ].-,) вводится
следующим образом:

ОО

Л(з)Цф‘|]Чз]1/'1,	(4-2.22)

о
где к — целое положительное число, а | ф* | — текущее значение
нормы величины ф* (например, если “ф* — тензорная функция,
такая, какС‘, то | ф* j = ]/Сг : С(Т). Таким образом, оказывается,
что правая часть соотношения (4-2.22) представляется взвешен-
ным сродним нормы ф‘ за все прошлое, причем весовая функция
в отдалением прошлом, в силу уравнения (4-2.21), много меньше
весовой функции, относящейся к недавнему прошлому. Очевидно,
что предположения о пепрерывности и дифференцируемости
функционала состояния в терминах нормы, вводимой уравне-
нием (4-2.22), представляют собой формализацию принципа зату-
хающей памяти.

Важно отметить, что различные функции затухания могут
соответствовать одной и той же топологии функционального
пространства. Следовательно, h(s) нельзя трактовать как функ-
цию, характеризующую рассматриваемый материал.

4-3 ПРОСТЫЕ ЖИДКОСТИ С ЗАТУХАЮЩЕЙ ПАМЯТЬЮ.

МЕХАНИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ

Сейчас мы в состоянии формализовать понятия, обсуждавшиеся
в разд. 4-1, и получить реологическое уравнение состояния для
простых жидкостей постоянной плотности с затухающей памятью.

Будем предполагать, что история деформирования в произволь-
но малой окрестности рассматриваемой точки полностью описы-
вается градиентом деформации F*. Это представляет собой огра-
ниченную форму принципа локального действия, поскольку могут
быть существенны и градиенты движения (определяемого урав-
нением (3-3.1)) более высокого порядка. Предположение о постоян-
стве плотности, приппип детерминизма напряжения и принцип
несуществования естественного состояния удовлетворяются, если
в качестве соотношений, определяющих состояние простой жидко-
сти) постоянной плотности, взять следующие два уравнения:

detF‘ = l,	(4-3.1)

$=оо

т= $ [F‘],	(4-3.2)

О

где S3 — тензорный функционал тензорной функции F' по всему
прошлому. Однородные материалы обладают тем свойством, что
функционал один и тот же для всех материальных точек.

Рассмотрим теперь, какие ограничения налагает па функцио-
нал SB принцип объективности поведения материала. Если Q (з) —
произвольный зависящий от времени ортогональный тензор, то
функционал SB должен, в силу уравнения (3-3.3), удовлетворять
следующему уравнению:

Q(O)-T [F1].QT(O) = Т [Q(«).F/.QT(O)].	(4-3.3)

s—О	s=C

Рассмотрим теперь частный случай, когда функция Q ( ) выбрана
совпадающей с (R’t)T, а именно

Q (а) = (R*)»,	(4-3.4)

что соответствует (см. обсуждение, следующее за уравнением
(3-3.29)) случаю вращающейся системы отсчета. В силу (3-1.33),
соотношение (4’3.3) сводится к

5=00	5=00

$ IF‘] = $ [(R‘)T-F'].	(4-3.5)

5=0	S=0

В предположении, что F4 имеет полярное разложение

F‘ = Rf.U‘	(4-3.6)

и, следовательно,

(Rf)T.F‘ = L‘,	(4-3.7)

соотношение (4-3.5) сводится к

3=оо	5=оо

$ [F‘]= $ |U'].	(4-3.8)

r=0	s=0

Уравнение (4-3.8) представляет нринпин объективности пове-
дения материала, примененный к изменению системы отсчета от
произвольной начальной к вращающейся системе. Во вращаю-
щейся системе отсчета тензоры F‘ и U* совпадают; кроме того,
вращающаяся и начальная системы отсчета совпадают при s — О,
и, следовательно, напряжение в момент времени t должно быть
одинаковым в обеих системах. С физической точки зрения урав-
нение (4-3.8) показывает, что напряжение в материальной точке
одинаково для двух историй деформирования, которые отличаются
друг от друга только наложением истории твердотельного враще-
ния.

Уравнения (4-3.2) и (4-3.8) покалывают, что напряжение т
однозначно определяется предысторией U4. Это в свою очередь
означает, что т также однозначно определяется тензором дефор-
мации Коши G1. Действительно, нри заданном G* предыстория С*
немедленно определяется в виде

С‘ = G* 4- 1.	(4-3.9)

Более того, уравнение (3-1.19) имеет единственное решение
для U, так как существует лишь один симметричный положитель-
но определенный тепзор, квадрат которого равен произвольно
заданному симметричному положительно определенному тензо-
ру. Таким образом, мы можем определить новый функционал .<5
в виде

г- х>	»—ОО

Jg[Gt]=^lU<]	(4-3.10)

5=0	3=0

и записать уравнения состояния для простой жидкости достоян-
ной плотности в более удобном виде:

det(G‘ + l) = l.	(4-3 11)

t=7[G‘J.	(4-3.12)

s=0

Чтобы полностью удовлетворить принципу объективности
поведения материала, функционал § должен быть изотропным,
т. е. для любого ортогональною тензора

8=00	8=00

Q. £ [G']-QT= $ [Q.G'.Q1].	(4-3.13)

8=0	8=0

Уравнения (4 3.11) и (4-3.12), причем для функционала в по-
следнем удовлетворяется уравнение (4-3.13), составляют опреде-
ление простой жидкости постоянной плотности. Большинство
(если не все) уравнений состояния, предлагавшихся в литературе,
соответствуют, если они надлежащим образом инвариантны по
отношению к системе отсчета, специальному выбору вида функ-
ционала £ в уравнении (4-3.12). Некоторые задачи пеньютонов-
ской гидромеханики можно решить, не вводя какую-либо спе-
циальную форму ряд таких задач будет рассмотрен в следую-
щей главе. При рассмотрении более сложных задач необходимы
более специальные предположения об уравнекиях состояния,
которые будут обсуждены в гл. 6.

Рассмотрим теперь одну задачу, которую можно решить, не
приписывая функционалу £ какой-либо специальной формы,
а именно гидростатическую задачу. Рассмотрим простую жид-
кость, которая находится и находилась всегда в состоянии покоя,
так что

G' = О (s),	(4-3.14)

где О (s) — тензорная функция, представляющая нулевой тензор
для любого значения аргумента s. Применяя к этому частному
случаю уравнение (4-3.13), получаем

8=00	8=00

Q- £ [O(s)].Qr= $ 10(8)].	(4-3.15)

8=0	8=0

Тензор А, удовлетворяющий уравнению

Q.AQr = A	(4-3.16)
•$' [G‘I

s=0

для любого ортогонального тензора Q, с необходимостью изотро-
пен. Таким образом, из уравнения (4-3.16) вытекает, что

т = .<g [О(з)] = а1.	(4-3.17)

s=0

Из этого следует вывод, что напряжение ь простой жидкости,
которая всегда находилась в покое, изотропно. И обратно, простая
жидкость не может неограниченно долго поддерживать неизотроп-
ноо напряженное состояние без того, чтобы в конце концов не
потечь [4]. Этот вывод свидетельствует о том, что теории пластич-
ности (описывающие жидкости, обладающие продельным напря-
жением текучести) не являются частными случаями теории про-
стых жидкостей.

Заметим, что значение функционала $ определено только
с точностью до произвольного изотропного тензора Иными слова-
ми, для каждого заданного материала определено целое семейство
функционалов значения которых отличаются друг от друга
на изотропные тензоры. Одна частная форма функционала
может быть идентифицирована при помощи нормализации

tr$'=O.	(4-3.18)

В этом случае уравнение (4-3.12) сводится к виду

(4-3.19)

До сих пор еще не был использован принцип затухающей
памяти. Результаты, которые, будут обсуждаться в оставшейся
части данного раздела, основываются на следующей простой фор-
мулировке принципа затухающей памяти [3, 5]: «Функционал
непрерывен и N раз дифференцируем по Фреше при предыстории
покоя G* = О (л) в смысле нормы, определяемой уравнением
(4-2.22)».

В применении к термодинамической теории, обсуждаемой
в следующем разделе, потребуются другие формулировки прин-
ципа затухающей памяти На основе приведенной выше форму-
лировки, которая в дальнейшем будет называться формулировкой
принципа затухающей памяти при предыстории покоя, можно
строго получить приближения для общего уравнения состояния.
Они могут быть получены в предельных случаях очень медленных
течений [5] и очень малых деформаций [3].

Рассмотрим некоторый частный вид течения, и пусть G* —
предыстория деформирования до некоторого момепта наблюде-
ния t; для вывода, который будет дан в дальнейшем, необходимо
предположить, что функция G£ непрерывна при s = 0. Рассмот-
рим теперь другую предысторию деформирования aG(, определяе-
мую как

а G' (s) = Gf (as), 0 < a 1.	(4-3.20)

Течение, описываемое функцией aG*, представляет собой,
но существу, то же течение, которое описывается функцией G*
(оно получается из aG' при a = 1), только проходит оно з более
медленном темпе: конфигурации, имевшие место as временных
единиц назад в течении, описываемом G!, возникли $ временных
единиц назад в течении, описываемом aGf. Полагая а^- 0, можно
проанализировать поведение жидкости в сколь угодно медленном
течении.

Из предполагаемой непрерывности Gf при s = 0 следует, что
а—>- 0, и любая предыстория aG* стремится к пулевой предысто-
рии в недавнем прошлом; действительно, Gf (0) = 0. На основа-
нии принципа затухающей памяти при предыстории покоя можно
получить для случая медленных течений приближения N-vo
порядка к общему уравнению состояния простой жидкости. При-
ближение Л'-го порядка понимается в том смысле, что норма
остатка имеет порядок aw+J. Алгебраические выкладки при полу-
чении этих приближений очень громоздки, и поэтому будут при-
ведены лишь конечные результаты.

Приближение нулевого порядка состоит просто в утверждении,
что для достаточно медленного течения напряжение гидростати-
ческое, и уравнение состояния сводится к уравнению

Т = —pl для N = 0.	(4-3.21)

Между прочим, уравнение (4-3.21) можно рассматривать как
уравнение состояния несжимаемых идеальных жидкостей, которое
принимается в качестве основы для классической гидродинамики.

Приближением первого порядка будет просто ньютоновское
уравнение состояния

Т = —pi + 2pD для TV = 1.	(4-3.22)

Этот результат показывает, что классическая ньютоновская тео-
рия асимптотически справедлива для медленных течений простых
жидкостей с затухающей памятью. Обычные ньютоновские жидко-
сти могут рассматриваться как простые жидкости, у которых есте-
ственное время Л столь мало, что любое течение, представляющее
практический интерес, может рассматриваться как медленное
и, таким образом может анализироваться на основании урав-
нения (4-3 22).

В приближении второго порядка общее уравнение состояния
имеет следующий вид:

Т = —pl д_ 2t}0D 4- pjD2 р2А2 для ~ 2 (4-3.23)
где т]0, Р] и 02 — константы. Уравнение (4-3.23) можно рассматри-
вать как определение «жидкости второго порядка». Оно может,
в частности, оказаться полезным для получения возмущенных
решений относительно чисто вязких приближений: член Р2А2
отражает в первом приближении влияние памяти на поведение
реальных жидкостей.

Весьма полезный результат применения формулировки приш-
ципа нри предыстории покоя состоит в другой фирме последо-
вательных приближений к уравнению состояния простых жидко-
стей. Вместо того чтобы рассматривать медленные течения, рас-
смотрим малые деформации. Такая ситуация возникает, например,
при колебательных движениях малой амплитуды. Чтобы норма
тензора G; для такого движения была мала, необходимо рассма-
тривать лишь то, что имело место в недавнем прошлом. Тогда
можно доказать, что в приближении первого порядка уравнение
состояния простой жидкости с затухающей памятью имеет вид

Н

Т = —pl + J f (s) G1 ds.	(4-3.24)

b

Это уравнение представляет собой уравнение состояния, отве-
чающее «линейной вязкоупругости». Приближение второго поряд-
ка имеет вид

ОО	ОО [со

Т= -pl+J	' J {a(S1,	x2)G<(a1).G‘(^) +

о	bo

+ p (Sj, s2) tr G1 (Sj) G* (s2)} dsL ds2,

(4-3.25)

где функпии f ( ), a ( ) и p ( ) — индивидуальные характеристики
рассматриваемого материала. Функции a ( ) и р( ) симметричны
относительно двух своих аргументов.

Следует заметить, что, если справедлив принцип затухающей
памяти, функция / (), а( ) и ) должны достаточно быстро
стремиться к нулю прп оо. Кроме того, / ( ), a ( ) и р ( )
являются функциями, характеризующими рассматриваемый ма-
териал, в противоположность функции затухания h (s'). Действи-
тельно, при заданном функционале £ приближения, описывае-
мые уравнениями (4-3.24) п (4-3.25), определены однозначно,
в то время как о функции затухания h (s) этого сказать нельзя

4-4 ТЕРМОДИНАМИКА

В этом разделе мы перейдем к термодинамическому рассмотрению
в приложении к материалам, обладающим памятью. При изло-
жении будем следовать недавним работам Колемана [6, 7], посвя-
щенным этому вопросу, к которым читатель отсылается по поводу
строгого формализма и всех математических подробностей.
Изложение строится следующим образом. Вначале обсуждается
несколько вводных положений «классической» термодинамики;
предполагается, что читатель знаком с макроскопической термо-
динамикой в объеме, обычно содержащемся в инженерных курсах.
Далее обсуждаются некоторые общие термодинамические резуль-
таты, применимые ко всем материалам (в том числе и к материалам,
обладающим памятью). Затем для одного очень простого предель-
ного случая исследуется, как использование концепции памяти
влияет на термодинамические результаты, и, наконец, приводятся
основные результаты термодинамической теории для простых жид-
костей с затухающей памятью.

Основные постулаты классической термодинамики

Исходным пунктом классической термодинамической теории явля-
ется так называемое «уравнение состояния», т. о. соотношение,
связывающее давление р, удельный объем V и абсолютную тем-
пературу Т:

р = р (7, Т).	(4-4.1)

Это уравнение является, до существу, и допущением о виде
уравнения состояния материала: оно описывает материалы, для
которых напряжение изотропно, и, следовательно, может быть
полностью определено одной скалярной величиной (давлением).
Таким образом, это допущение заключается в том, что давление
полностью определено мгновенными значениями удельного объема
и температуры.

Далее вводим такие функции состояния, как внутренняя энер-
гия, энтропия и т. д., каждая из которых считается однозначно
определенной любыми двумя другими. Так, нагример, внутреннюю
энергию можно выразить в виде

U= иг (7, Т) = u2 (р, Т) = и3 (5, 7) = ... .	(4-4.2)

В уравнении (4-4.2) функции щ ( ) отличаются друг от друга,
хотя их значения совпадают. Возникает некоторая путаница,
когда один и тот же символ используется для обозначения функ-
ции и ее значении. Этой путаницы можно избежать, если ври
записи частных производных добавлять соответствующие индек-
сы, например

=	64-4 31

\ дТ )v~~ дТ ’ \ ОТ )р~ дТ ’ • • • •	'	’

При обычном подходе некоторый вид представления первого
и второго законов термодинамики приводит к так называемым
уравнениям Максвелла, из которых мы рассмотрим здесь в каче-
стве примера лишь следующее (4 — свободная энергия Гельм-
гольца, А = U — TS):

dA = —SdT — pdV.	(4-4.4)

Из уравнения (4-4.4) получаются следующие два соотно?пения:

(«-5)

<4'«)

В логических построениях классической термодинамической тео-
рии уравнения (4-4.5) и (4-4.6) играют очень важную роль,
которая часто недооценивается. Они показывают, что знание
функции А(Т, У) полностью определяет термомехаяическое пове-
дение материала в том смысле, что уравнение для давления (4-4.1)
получается из (4-4.5), в то время как из (4-4.6) можно вычислить
внутреннюю энергию, теплоемкость и т. п. Например,

f	\ __( ^(4+T.S) > __/ дЛ \	, у, / 93 \	, с

= ~7'(Ж-

Функцию А = А(Т, V), называемую также энтропийным урав-
нением состояния, следует рассматривать как уравнение состояния
для рассматриваемого материала Предполагается, что свободная
энергия Гельмгольца зависит лишь от текущих значений темпе-
ратуры и удельного объема, и если она задается явно, то в виде
вполне определенной функции. Однако это уравнение является
более общим, чем «механическое» уравнение состояния (4-4.1).
Оно «содержит» в себе механическое уравнение вместе с некоторой
дополнительной информацией. С другой стороны, (4-4.1) не опре-
деляет функцию А(Т, V); студент, изучающий классическую тер-
модинамику, скоро понимает, что термодинамическое поведение
материала не определяется только (р — V — 7’)-соотпошепием
и что необходимо дополнительное соотношение, например уравне-
ние для теплоемкости.

Таким образом, функция 4(7’, I7) обладает специальным стату-
сом. который, как следует заметить, не разделяется другими
энергетическими уравнениями состояния. Например, если задана
внутренняя энергия иг (Т, У), то из нее нельзя вывести соотно-
шение между параметрами р, V и Т. Однако оказывается, что
другой выбор независимых переменных, например выбор S и V,
меняет картину в том смысле, что функция и3 (5, V) становится
полностью определяющей ситуацию. Ио причинам, которые ста-
нут ясными в дальнейшем, мы оставляем температуру в качестве
независимой переменной.
Уравнения (4-4.4) — (4-4.6) получаются па основании первого
и второго законов термодинамики, применяемых к материалам,
«состояние» которых (давление, свободная энергия и т. п.) опре-
деляется только текущими значениями Т и V. Уравнения (4-4.5)
и (4-4.6) представляют собой ограничения, налагаемые законами
термодинамики на допущения о состоянии материала в том смысле,
что запрещается постулировать такие уравнения состояния, ска-
жем, для А и Р, которые не удовлетворяют (4-4.5). В последую-
щем рассмотрении увидим, как получаются соответствующие
уравнения (или ограничения) для материалов с памятью. Мы
столкнемся с тем дополнительным осложнением, что напряженное
состояние нельзя, вообще говоря, рассматривать как изотроп-
ное.

Одно дополнительнее замечание: читатель, знакомый с учеб-
никами но термодинамике, может припомнить чувство неудовле-
творенности, возникающее при выводе уравнений, подобных урав-
нению (4-4.4), из-за некоторой расплывчатости соображений,
касающихся обратимых и необратимых процессов, которые исполь-
зовались где-то в ходе рассуждений. В последующем мы будем
говорить о «реальных» процессах, которые являются необратимыми.
Полученные соотношения относятся к области термодинамики
необратимых процессов. Равновесные соотношения (или соотно-
шения термостатики), а также соотношения линейной неравновес-
ной термодинамики (типа соотношений Онзагера) можно получить
как некоторые предельные случаи.

Роль второго закона термодинамики

В разд. 1-1 было показано, что первый закон термодинамики
(т. е. уравнение баланса энергии) является одним из основных
уравнений, необходимых для того, чтобы иметь возможность
решить — по крайней мере в принципе — любую проблему меха-
ники жидкости. Оно рассматривается наряду с уравнениями
баланса массы и импульса. Одновременно с этим необходимо
совместно рассматривать три уравнения состояния: одно — для
полного напряжения (которое можно разложить па давление
и девиаторяую часть напряжения), другое — для теплового потока
(которое не обязательно выражается в виде простой формы закона
Фурье) и третье — для внутренней энергии (см. табл. 1-2).

Второй закон термодинамики играет совсем иную роль. Дейст-
вительно, предположим, что энергия добавлена к списку перемен-
ных в табл. 1-2. так же как и «энтропийное» уравнение состояния —
к числу уравнений (т. е. имеется уравнение, задающее энтропию S
как функцию каких бы то пи было относящихся к делу перемен-
ных); предположим, кроме того, что рассматриваемся второй
закон термодинамики в какой-либо подходящей формулировке.
Таким образом, рассматривается система уравнений и перемен-
ных, представленная в табл. 4-1.

Таблица 4-1. Уравнения и переменные полной термодинамической теории

(1)	Уравнения

(а)	Фундаментальные законы

Сохранение массы (скалярный;

Сохранение импульса (векторный)

Сохранение энергии (скалярный)

Второй закон

(6)	Уравнения состояния

Реологическое (для полного напряжения; тензорное)
Энергетическое (для внутренней энергии; скалярное)
Термическое (для теплового потока; векторное)

Энтропийное (для энтропии либо для свободной энергии Гельм-
гольца; скалярное)

(2)	Переменные

Плотность (скаляр)

Скорость (вектор)

Внутренняя энергия (скаляр)

Полное напряжение (тензор)

Температура (скаляр)

Тепловой поток (вектор)

Энтропия либо свободная энергия Гельмгольца (скаляр)

Из этой таблицы видно, что второй закон термодинамики делает
задачу переопределенной, поскольку число уравнений в ней
на единицу больше числа переменных. Следовательно, это приво-
дит к заключению, что второй закон термодинамики налагает
некоторые ограничения, природу которых необходимо выяснить г).

Здесь возникает тонкий вопрос, поскольку с первого взгляда
можно выделить две различные точки зрения. Можно полагать,
что второй закон термодинамики налагает некоторые ограничения
на допустимые процессы, т. е его выполнение потребовало бы,
чтобы некоторые превращения данного материала были бы запрет-
ными. С другой стороны, можно полагать, что ограничения нала-
гаются на уравнения состояния; как будет показано ниже, пра-
вильна вторая точка зрения.

Обобщенный термодинамический подход

Начнем с первою закона термодинамики, который будет записан
в общем виде, позволяющем учесть как сжимаемость, так и радиа-.
ционный приток энергии. Пусть Р — «удельная работа напря-
жения», т. о. производимая внутренними напряжениями работа,

х) Можно заметить, что, хотя второй закон термодинамики выражен
в виде неравенства, а не уравнения, его выполнение действительно налагает
некоторые ограничения.
отнесенная к единице массы:

Р = 4 Т: D = -L т': D-pV,	(4-4.8)

где V = 1/р — удельный объем, и пусть Q — приток энергии
на единицу объема. Тогда первый закон термодинамики записы-
вается в следующей общей форме:

Г₽-уТ'Ч + Р+7'	(4^.9)

которая отличается от уравнения (1-10 14) членом —pV, учиты-
вающим сжимаемость, а также членом С?/р, учитывающим возмож-
ную радиацию. Заметим, что Q представляет собой величину,
которую в принципе можно задать произвольно можно получить
любое желаемое количество энергии при помощи радиации, конт-
ролируя температуру внешнего источника излучения, и, следо-
вательно, независимо от состояния рассматриваемого материала.
Важность этого положения скоро станет ясной.

Второй закон термодинамики будет записан в форме неравен-
ства Гиббса — Дюгема [8]:

pS+[V (-£-)--^-]>0.	(4-4.10)

В неравенстве (4-4.10) первый члеп представляет собой скорость
возрастания энергии в рассматриваемом элементе материала.
Члеп, заключенный в квадратные скобки, можно рассматривать
как скорость возрастания энтропии внептпей среды, окружающей
элемент материала; действительно, V-(q/2’) есть поток энтропии
из элемента вследствие теплопроводности, а —Q/Т есть отток
энтропии вследствие радиации. Неравенство (4-4.10) можно рас-
сматривать как формализованную запись утверждения, что для
любого процесса полная скорость возрастания энтропии неотри-
цательна.

Комбинируя (4-4.9) и (4-4.10) (заметим, что V (q/T) =
= (l/T)V.q — (1/У2) q VJ), получаем

TS-U + P— ~q.VT>°.	(4-4.11)

Введем теперь свободную энергию Гельмгольца А, определяемую
как

А = U — TS.	(4-4.12)

Дифференцируя уравнение (4-4.12) и подставляя результат в не-
равенство (4-4.11), получаем
Рассмотрим теперь энтропийное уравнение состояния, опре-
деляющее величину А как функцию каких-либо подходящих
независимых переменных. В число последних непременно вклю-
чают температуру, так что в общем случае можно записать

А = а [Г, другие переменные].	(4-4.14)

Заметим, что в классической термодинамике под «другими пере-
менными» понимают просто удельный объем V.

Предположим, что функция а ( ) дифференцируема по Т’, при
рассмотрении материалов с памятью это окажется весьма важным
допущением. Имеем

Л =	+	(4-4.15)

где Ат — скорость возрастания свободной энергии вследствие
изменения всех независимых переменных, кроме температуры.
Физический смысл величины Ат скоро станет ясным; в классиче-
ской термодинамике Ат = — pV.

Подстановка уравнения (4-4.15) в соотношение (4-4.13) дает

(-JJ-4-5) r + 4T-P + -^rq.Vr^0	(4-4.16).

Здесь лежит кульминационный пункт метода. Рассмотрим
в некоторый момент времени данный материал, подвергаемый
некоторому процессу. Без каких бы то пи было изменений в пре-
дыстории этого материала контроль радиационной энергии Q
позволяет выбрать любое желаемое значение Т х). Таким обра-
зом, чтобы удовлетворить соотношению (4-4.16) при любых зна-
чениях Т, коэффициент при Т должен быть тождественно равен
нулю, т. е.

-~=-S.	(4-4.17)

Уравнение (4-4.17), которое, очевидно, представляет собой обоб-
щение уравнения (4-4.6), имеет три важных следствия.

Во-первых, внутренняя энергия U представляется в виде

£7 = А4-Т5=а( )-Т-^Д,	(4-1.18)

откуда видно, что энергетическое определяющее уравнение
(т. е. уравнение для U) не только не является не зависящим
от энтропийного уравнения, но фактически полностью определяет-

х) Тэисрь становится ясной причина выделения Т среди всех независимых
переменных, Температура является переменной, скорость изменения которой
может контролироваться по желанию путем изменения радиационной энер-
гии Q.
ся последним; таким образом, получено ограничение, налагаемое
вторим законом па уравнения состояния.

Во-вторых, соотношение (4 4.16) приводится к форме

A,-P-h-±.q.VT<0,	(4-4.19)

которая является совершенно общей и значительно более простой
формулировкой второго закона термодинамики.

В-третьих, легко теперь раскрыть физический смысл величи-
ны Ат; действительно,

At==A--^-T = A + ST = U-TS.  Сравнивая (4-4.20) с (1-10.17), можно получить Ат — i/ynpi	(4-4.20)  (4-4.21)

т. е. Ат отождествляется со скоростью приращения упругой
энергии [9].

Диссипация энергии

Теперь мы в состоянии формализовать несколько неопределенное
понятие диссипации энергии, которое содержится во втором
законе термодинамики. Определим «скорость диссипации энергии»
D как

П = 7'5 + _£Т ^)—(4-4.22)

Поскольку D равно левой части уравнения (4-4.10), умноженной
на существенно положительную величину Т/р, величина D с необ-
ходимостью неотрицательна. При таком определении то обстоя-
тельство, что диссипация энергии в любом реальном процессе
неотрицательна, строго формализовано.

После подстановки уравнений (4-4.9), (4-4.12), (4-4.15)
и (4-4.17) в (4-4.22) получаем

D = P-Ar---V7>0.	(4-4.23)

Из этого уравнения следует, что диссипация может иметь
место как вследствие механических эффектов (первые два члена),
так и благодаря термическим эффектам (последний член).
Мы можем определить скорость механической диссипации Dm
и термической диссипации Dt как

DM = P-AT,	(4-4.24)

DT=—Iq-VT,	(4-4.25)
Уравнения (4-4.24) — (4-4.26) следует обсудить несколько
подробнее. Заметим вначале, что (4-4.26) не требует, чтобы ©т
и ©м были неотрицательными по отдельности; требуется лишь,
чтобы была неотрицательна их сумма. Следовательно, имеем

(i)	для изотермических процессов. VT = 0, скорость меха-
нической диссипации неотрицательна;

(ii)	для покоящихся материалов, V = О, Р = 0; если, кро-
ме того, Ат = 0, скорость термической диссипации
неотрицательна; следовательно, q и VT образуют
тупой угол: вектор теплового потока имеет положитель-
ную компоненту в направлении убывающих температур;

(iii)	в общем случае нет необходимости, чтобы ©? и ©м
были неотрицательны по отдельности, за исключением
ситуации, когда специальные допущения о состоянии
материала не свидетельствуют о том, что механические
и термические эффекты не связаны.

Уравнение (4-4.24) можно описать словами, сказав, что в об-
щем мощность напряжения равна сумме скорости механической
диссипации и скорости накопления упругой энергии — концеп-
ция, которая уже была воплощена, хотя и на более интуитивной
основе, в уравнении (1-40.18).

Заметим, что даже в изотермических процессах, где ©^ с необ-
ходимостью неотрицательна, пет, вообще говоря, необходимости,
чтобы мощность напряжения была неотрицательна, если из неко-
торых специальных определяющих соотношений не следует, что
Аг = 0. Последнее соответствует несжимаемым чисто вязким
жидкостям, когда АТ — 0. V = 0, и, следовательно, величина
т' : D с необходимостью неотрицательна. Это частный вывод,
который в действительности столь часто используется в гидроме-
ханике, что ошибочно считается общей истиной.

Сделаем последнее замечание. После подстановки уравнений
(4-4.8), (4-4.17) и (4-4.24) в (4 4.15) имеем

A=-pV-ST ' т': D—©м.	(4-4.27)

Р

Если рассматривать идеальные жидкости, то как т', так и ©м
равны нулю; для чисто вязких жидкостей ©м — (1/р)	: Ь

(см. последнюю часть этого раздела). Следовательно, в обоих слу-
чаях получаем}

А = -pV-ST,	(4-4.28)

что, конечно, совпадает с уравнением Максвелла для свободной
энергии Гельмгольца, встречающимся в «классической» термоди-
намике, т. е. с уравнением (4-4 4). Не будет излишним подчерк-
нуть, "Ito уравнение (4-4.28) не выполняется ь общем случае и что
простые жидкости с затухающей памятью должны анализиро-
ваться на основе уравнения (4-4.27),

Термодинамика и память

Чтобы обсудить введение концепции памяти в термодинамическую
теорию, рассмотрим вначале очень простой случай Предположим,
что свободная энергия зависит не только от текущего значения
температуры, но также от прошлой истории температуры рас-
сматриваемой материальной точки. Таким образом, можно сде-
лать еще один шаг по пути точной записи уравнения (4-4.14):

А— а [Т1 (s); Т, другие переменные]. (4-4.29)
s=0

В этом уравнении а — функционал аргументной функции
Т* (в), т. е. предыстории температуры, величина которого зависит
явно также от текущего значения температуры, а кроме того, от
других церемонных, которые еще нс определены. Заметим, что для
применения полученных до сих пор результатов необходимо,
чтобы температура Т явно входила в число независимых пере-
менных, поскольку мы хотим сохранить смысл уравнения (4-4.15).
Заметим далее, что значение температуры в данный момент также
появляется в предыстории: Т — Т' (0), что, однако, не обязатель-
но является переопределениел!, как это выясняется из последую-
щего обсуждения.

Предположим, что функционал а в уравнении (4-4.29) непре-
рывен всюду в своей области определения в смысле нормы, опреде-
ляемой соотношением (4-2.22). Рассмотрим далее две предыстории
Т{ и Т{, которые отличаются друг от друга только в некий отдель-
ный момент времени в прошлом. Согласно уравнению (4-2.22),
две такие предыстории находятся па нулевом расстоянии друг
от друга, и, следовательно, значение А одно и то же для обоих
предысторий. Сформулированный выше принцип затухающей
памяти означает, что отдельные пики пулевой продолжительно-
сти, которые могут иметь место в прошлом, несущественны.
На рис. 4-1 приведен пример двух предысторий температуры рас-
сматриваемого типа.

Рассмотрим теперь случай, когда разрыв происходит в момент
наблюдения з = 0. Мы не можем трактовать такой разрыв как
выброс, поскольку Т может вернуться (а может и нот) при т > t
к прежнему значению; если выполняется принцип детерминизма,
то материал в момент t не может также предвидеть, что произой-
дет далее. Физическая интуиция подсказывает, что, когда разрыв
имеет место в момент при s = 0, то на поведение материала,
т. е. на значение А в момент t, будет в действительности оказывать
влияние такой разрыв. Если читателю кажется неубедительным
обращение к физической интуиции, он может отнестись к этому
факту как к постулату, на котором строится термодинамическая
теория х).

Норма, определяемая уравнением (4-2.22), предполагает нуле-
вое расстояние между предысториями температуры, которые раз-
личаются только при з = 0 (следует подчеркнуть, что из двух

Рис. 4-1. Две температурные предыстории, различающиеся только в конеч-
ном число моментов времени в прошлом.

таких предысторий одна но меньшей мере разрывна при з = 0).
Следовательно, необходимо записать для А допущение о состоя-
нии в форме уравнения (4-4.29). которое придает особый физиче-
ский смысл мгновенному значению Т,

Важно показать значение частной производной от а по Т,
появляющейся в приведенных выше уравнениях (4-4.15) и (4-4.17).
При таком частном дифференцировании подразумевается, что
изменение температуры рассматривается в момент паблгодения,
хотя бы и в условиях постоянной Тг (з), т. е. в предположении, что
прошлая история температуры поддерживается постоянной. Это
означает, что рассматриваются разрывы в момент наблюдения.

В дальнейшем будем считать частные производные такого типа
«мгновенными» производными; они измеряют изменение зависи-
мой переменной в ответ па мгновенное изменение некоторой незави-
симой переменной. В классической термодинамике время никогда
не фигурирует явно, поскольку скорость протекания рассматри-
ваемых явлений считается псличипой несущественной. При рас-
смотрении жидкостей, обладающих памятью, скорость становится
важным фактором, и результаты, аналогичные соответствующим

*) Зто изложение со всеми математическими подробностями обсужда-
лось в работе Колемана и Мивела [10J; какой бы подход ни был гыбрап,
некий постулат, опирающийся на физическую интуицию, при этом все же
используется.
результатам классической термодинамики (например, уравне-
ние (4-4.17)), получаются в предельном случае процессов, идущих
с бесконечной скоростью.

Необходимо обсудить и другой важный пункт. При вывода
уравнения (4 4.17) предполагалось, что величине Т можно при-
писать произвольное мгновенное значение за счет контроля вели-
чины Q без каких бы то пи было изменений в предыстории мате-
риала. На первый взгляд может показаться, что при изменении Т
будет меняться предыстория Т1—соображение, которое делает не-
справедливым все исследование. Пусть задана предыстория Т{, то-
гда может существовать другая предыстория Т£, такая, что выпол-
няются следующие условия:

(i)	(0) = 2*‘ (0), т. е. текущие значения 2’ для двух пре-

дысторий равны;

(ii)	— Т* (0) = Т имеет некоторое произвольное, заранее
заданное значение;

(iii)	7'2! и Т{ находятся на произвольно малом расстоянии
одна от другой.

То, что такая предыстория может существовать, может быть
доказано в общем виде [6]; здесь это доказательство опущено,
илишьнарис. 4-2 приведен интуитивный пример двух предысто-
рий, удовлетворяющих условиям (i), (ii), (iii) Условию (iii)
можно удовлетворить лить тогда, когда всплеск Т\ при малых
значениях s достаточно мал. Таким образом, .можно заключить,
что фактически возможно произвольно задать Т без изменения
состояния материала; это применимо также к случаю жидкостей
с памятью. Следует заметить, что во всей процедуре выше пред-
полагалось, что А не зависит от Т явно, т. о. что материалы,
чувствительные к мгновенной скорости изменения независимых
переменных, не охватываются данной теорией. Как будет видно,
это исключает из рассмотрения чисто вязкие жидкости.

Энтропийное уравнение состояния для простых жидкостей

•с затухающей памятью

Теперь мы должны определить «другие переменные», фигурирую-
щие в уравнении (4-4.29), для частного случая простых жидкостей
с затухающей памятью. Мы сделаем это, используя так называе-
мый принцип равноприсутствия, который впервые был сформу-
лирован Трусделлом I 11] (см. также [141). В нестрогой формули-
ровке этот принцип гласит, что в случае, когда известно, что
некоторая независимая переменная входит в одно из уравнений
состояния, то пет априорных причин полагать, что опа не может
входить и во все другие уравнения состояния. Поскольку предысто-
рия F' (s) появилась в реологическом уравнении состояния для
простых жидкостей, следует предполагать, что она входит и в энт-
ропийное уравнение состояния.

Мы уже видели, что текущее значение температуры играет
особую роль в определении текущею значения свободной энергии
в том смысле, что если заданы две предыстории температуры, кото-
рые отстоят друг от друга на нулевом расстоянии (т. е. норма
разности, определяемой уравнением (4-2.22), равна нулю), но
которые имеют различные текущие значения температуры (причем
значения «других переменных» равны), то свободная энергия
в этих двух случаях принимает различные значения.

Аналогично, физическая интуиция подсказывает, что, если не
рассматривать влияние прошлых деформаций, должны иметь особую
значимость деформации, происходящие непосредственно ь момент
наблюдения. Поскольку деформации определяются по отношению
к некоторой конфигурации, принимаемой за отсчетную, поясним
нашу точку зрения, рассмотрев следующий пример, где за отсчет-
ную выбрана конфигурация, не совпадающая с конфигурацией,
принимаемой рассматриваемым жидким элементом в момент
наблюдения. Рассмотрим два движения с одинаковыми значениями
тензора деформаций (например, тензора Коши) во все моменты
времени, за исключением момента наблюдения, где эти значения
различны. (Вновь, как и в примере с температурой, по крайней
мере одна из двух деформационных предысторий разрывна в момент
наблюдения.) Физическая интуиция подсказывает, что при равен-
стве других переменных текущие значения свободной энергии
в этих двух случаях будут различными.

В вышеприведенном примере для обоих движений предпола-
галась одна и та же отсчетная конфигурация. Если бы мы в каче-
стве отсчетной приняли текущую конфигурацию (как это обычно
делеют для жидкостей), те же самые два движения имели бы
предыстории деформаций, значения которых различались бы во
все моменты времени, за исключением момента наблюдения, где
благодаря выбору отсчетной конфигурации градиент деформации
был бы разеп единице для обоих движений. Следовательно, при
таком выборе отсчетной конфигурации физический смысл разли-
чия двух движений в момент наблюдения оказался бы скрытым
математическим символизмом. При выборе текущей конфигурации
жидкого элемента в качестве отсчетной вычисление производных
по деформационным импульсам в момент наблюдения потребовало '
бы сложных опсрапий.

В этом разделе мы будем использовать отсчетную конфи-
гурацию, пе совпадающую с таковой в момент наблюде-
ния. Такая фиксированная конфигурация будет помечаться
индексом R.
Градиент деформации Fr (т) относительно Я в момент т опре-
деляется как

dX = Fr (т)-йХл,	(4-4.30)

где dXR — вектор, соединяющий две бесконечно близкие мате-
риальные точки в отсчетной конфигурации, a dX — вектор,
соединяющий те же самые точки в момент %. Соответствующая
предыстория имеет вид (s) — F2 (t — s).

Через Fr будем обозначать градиент деформапии в момент
наблюдения t:

dXt~FR-dXR; Fr = Fr (Z) -	(0).	(4-4.31)

Преобразование от F( (s) к F^ (s) и обратно осуществляется
посредством Fr (см. уравнение (3-1.8)):

П (s) = F' (s)-FH.	(4-4.32)

Другие кинематические тензоры, такие, как тензор Копти и т. и.,
определяемые относительно Я, получаются из Fr обычным обра-
зом.

Если использовать отсчетную конфигурацию, не совпадающую
с конфигурацией в момент наблюдения, то на норму, определяемую
уравнением (4-2.22), не оказывают влияния (как и в случае с тем-
пературой) деформапионные импульсы в момент наблюдения. Это
влияпие следует учитывать отдельно, вводя Fr в число перемен-
ных х). Таким образом, мы запишем временно

Л — а [Т* (s), Fr (s); Т, FH, другие переменные]. (4-4.33)
s=0

Прежде чем перейти к дальнейшему рассмотрению, необходимо
ввести два простых математических понятия, а именно производ-
ные скалярной функции по векторному и тензорному аргументам.

Пусть / (а) — скалярная функция векторного аргумента.
Производная d//da— вектор, определяемый как

[/(a ]-ab) —/(а)],	(4-4.34)

___	а-0 а

*) Напротив, когда в качестве отсчетной используется текущая конфи-
гурация, прежнее определение нормы даваемое уравнением (4-2.22), учи-
тывает деформационные импульсы в момент наблюдении Действительно,
если прошлое движение остается неизменным, а в момент наблюдения имеет
место другой импульс, полная прошлая история окажется эффективно изме-
ненной. Из-за влияния импульса в момент наблюдения приближения, полу-
ченные для медленных течений (уравнения (4-3.25) — (4 3.27)), справедливы
при условии, что предыстория непрерывна в мемект наблюдения.

Заметим, наконец, что можно избежать введения Т и FR в качестве
независимых переменных в уравнение (4-4.33), если ввести другую норму,
которая будет чувствительна к текущим значениям.
где Ь — произвольный вектор. Аналогично пусть / (А) — скаляр-
ная функция тензорного аргумента. Производная df/dX — тензор,
определяемый как

tr (^-ВТ)=Иг.. ±[/(А+аВ)-/(А)],	(44.35)

где В — произвольный тензор. Определенные выше производные
подчиняются тем же простым правилам дифференциального исчис-
ления, что и обычные скалярные производные.

Обратимся теперь к идентификации независимых переменных,
которые могут появиться в уравнении (4-4.33). Поскольку извест-
но, что градиент температуры входит в термическое уравнение
состояния, следует вначале предположить, что он также входит
и в энтропийное уравнение состояния. Если включить эту пере-
менную в уравнение (4-4.33), продифференцировать его по пей
и подставить результат в уравнение (4-4.13), в последнем появится
член

Поскольку этот члеп является единственным членом, содержа-
щим V7’, то по причинам, аналогичным тем, которые приводят
к уравнению (4-4.17), следует заключить, что да/д (VF) = О,
т. е. что свободная энергия но зависит от градиента температуры.

Можно показать, что наряду с предысторией градиента дефор-
мации следует также рассмотреть предысторию градиента темпе-
ратуры. Эта идея широко дискутировалась [12], и даже была
построена термодинамическая теория [13], включающая влияние
предыстории градиента температуры. Однако такое включение
предыстории градиента температуры противоречит принципу
локального действия в применяемой здесь ого ограниченной фор-
ме. Мы рассматриваем простые материалы, или материалы «первой
степени», которые, говоря широко распространенным языком,
можно охарактеризовать как материалы, чувствительные в первом
приближении к тому, что происходит и что происходило в про-
шлом по отношению к температуре и движению в окрестности
рассматриваемой точки. В качестве характеристики движения
можно в первом приближении рассмотреть первый градиент
деформации (само положение материальной точки X рассматри-
вать бессмысленно). По отношению к температуре соседних точек
первым приближением будет температура рассматриваемой мате-
риальной точки. Рассмотрение первого градиента температуры
было бы поправкой второго порядка, сравнимой с включением
второго градиента деформации.
В заключение запишем энтропийное уравнение состояния для
простой жидкости с затухающей памятью в следующем виде:

Л = 7 [Т4, Fr; Т, F„J.	(4-4.36)

s=0

Далее будет развита термодинамическая теория, основанная
па допущении о состоянии материала, воплощенном в уравнении
(4-4.36); подробности приводиться пе будут — читатель отсылается
за ними к оригинальным работам [6, 7].

Термодинамика простых жидкостей с затухающей памятью

Теперь мы хотим исследовать следствия из допущения о состоянии,
зафиксированного в уравнении (4-4.36).

Во-первых, очевидно, что результаты, отраженные в уравне-
ниях (4-4.17) и (4-4.18), справедливы и в рассматриваемом здесь
случае. Следовательно, уравнения состояния для энтропии и внут-
ренней энергии имеют вид

(4-4.37)

=	(4-4.38)

где да/дТ — текущее значение производной функционала а.

Мы не будем вдаваться в математические подробности метода
и сообщим здесь без доказательства, что дифференцирование урав-
нения (4-4.36) приводит к соотношению



(4-4.39)

где da/dF R— текущая производная функционала а ио тензо-
ру Frt, а величина бс— дифференциал Фреше функционала а
по обеим аргументным предысториям, имеющим в качестве вторых
аргументов производные этих предысторий

ба = 'г [т\ Fk; Т, FHl—A-n-^Fl], (4-4.40)

Разумеется, было сделало предположение, что функционал
пе только непрерывен, по и дифференцируем по Фреше во всей
своей области определения в смысле топологии пространства пре-
дысторий 7’!, Fr, определенной нормой (4-2.22).

Подставляя уравнения (4-4.8), (4-4.17) и (4-4.39) в (4-4.13)
и учитывая, что для жидкостей постоянной плотности V — 0,
получаем

]:D+&+^,.vr<0. (4-4.41)
Из соотношения (4-4.41) можно сделать ряд важных выводов.
Во-первых, поскольку ускорение поля g является величиной,
контролируемой независимо от состояния материала, уравнение
импульса показывает, что величина D может быть коптролируе
мой и, таким образом, играть в (4-4.41) роль, аналогичную роли Т

Рис. 4-2. Две произвольно близкие температурные предыстории, причем
вторая имеет произвольно определенную мгновенную скорость изменения-

в (4-4.16), при условии, что она не входит явно в качестве незави-
симой переменной в уравнения состояния. Это является фактиче-
ски допущением о состоянии материала (см. уравнение (4-4.36)),
но следует подчеркнуть, что чисто вязкие жидкости в этом отно-
шении исключаются из анализа *). Па этом основании для того,
чтобы соотношение (4-4.41) выполнялось для всех процессов, член,
содержащий D, должен быть тождественно равен нулю. Следо-
вательно, тензор," стоящий в соотношении (4-4.41) в квадратных
скобках, должен быть изотропным. Итак, получаем

<««)

Уравнение (4-4.42) показывает, что реологическое уравнение
состояния полностью определяется энтропийным уравнением Оно
представляет собой распространение на жидкости с памятью
«классического» термодинамического результата, выраженного,
уравнением (4-4.5):

(«•«)

*) Термодинамические результаты очень чувствительны к предположе-
ниям о гладкости, которые делаются в отношении уравнений состояния.
Если функционал гладок в смысле любой топологии пространства предысто-
рий деформирования, его значение пе зависит явно от мгновенной скорости
деформации; см. для аналогии рис. 4-2 и связанное с ним обсуждение, которое
показывает, что значение функционала, гладкое относительно Т1, нс может
явно зависеть от Т.
На основании (4-4.42) соотношение (4-4.41) сводится к неравен-
ству

6<Н -рГ-<1 V7<0,	(4-4.44)

в то время как скорость накопления упругой энергии Ат выра-
жается в виде

Лт = -^-т. D-f da — Р -(-да.	(4-4.45)

Сравнение (4-4.24) и (4-4.45) позволяет отождествить скорость
механической диссипации с величиной —6а:

DM = —6а;	(4-4.46)

отсюда получим выражение для скорости механической диссипа-
ции, позволяющее в принципе вычислить эту скорость, если дано
энтропийное уравнение состояния.

Кроме того, поскольку значения а и, следовательно, ба
не зависят от VT, из соотношения (4-4.44) следует, что величина
6с неположительна, и поэтому скорость механической диссипации
неотрицательна. 

При заданном уравнении состояния для свободной энергии
в форме (4 4 36) получаются следующие результаты:

(i)	Уравнения состояния для энтропии, внутренней' энер-
гии и напряжения определяются единственным обра-
зом.

(ii)	Скорость механической диссипации определена и суще-
ственно неотрицательна. Это налагает ограничение на
возможные формы функционала а, а поэтому, в силу
пункта (i), также и на возможные формы уравнений
состояния для U, S и т.

(iii)	Посредством уравнения (4-4.26) налагается также огра-
ничение и на определяющее уравнение для теплового
потока, поскольку определяется формой функ-
ционала а.

Дальнейшие термодинамические результаты получаются при
помощи стандартных вычислений, включающих лишь доказатель-
ство обыкновенной цепочки правил дифференциального исчисле-
ния, применимых также к вычислению мгновенных производных
и дифференциалов Фреше, фигурирующих в теории. В частности,
можно по желанию сделать другой выбор независимых и зависи-
мых переменных, но в каждом случае принцип детерминизма тре-
бует, чтобы предыстория деформирования обязательно рассмат-
ривалась в качестве независимой переменной.
В частности, можно по желанию рассмотреть следующие аль-
тернативные формы термодинамических уравнений состояния:

67 = Г[5‘, Fb; 5, FK],	(4-4.47)

s—О

5= §°°[67<, Г^67,РЙ].	(4-4.48)

s=0

Скорость механической диссипации Рм получается как

= — би = Гб§ = - ба,	(4-4.49)

напряжение т дается выражением

<М-60>

а температура Т — выражением

Г =	= _____	(4-4.51)

OS di/dV	k '

Читатель может заметить, что не встречалось упоминания
о двух дополнительных термодинамических величинах, а именно
об энтальпии U-)-р Кио свободной энергии Гиббса1) U + pV — TS.
Введение обеих этих величин в классической термодинамике свя-
зано с появлением таких членов, как pdV или Д (pF), измеряю-
щих работу, совершаемую системой при расширении или в потоке.
Такая работа выражается классическим методом только в случае,
если напряжение изотропно, так что термодинамическая теория
материалов с неизотропным напряженным состоянием (которая
включает, конечно, и ньютоновские жидкости) должна в действи-
тельности строиться без привлечения понятий энтальпии и сво-
бодной энергии Гиббса.

Как уже говорплось выше, теория, о которой шла речь до сих
пор, не включает термодинамику чисто вязких жидкостей; она
будет рассмотрена ниже.

Термодинамика чисто вязких жидкостей

Применяя принцип равноприсутствия, мы должны предположить,
что свободная энергия чисто вязких жидкостей зависит от темпе-
ратуры, градиента температуры, скорости деформации и удель-
ного объема:

А = а(Т, VT, D, О-	(4-4.52)

Рассуждение, позволяющее исключить V7 из числа независи-
мых переменных, можно применить снова. Кроме того, аналогич-
ное рассуждение можно использовать, чтобы показать, что D

*) Эту величину называют еще свободной энтальпией. — Прим, перев
также нужно исключить [14]. Таким образом, отсюда следует,
что А зависит только от V и Г:

А = а (7, Г).	(4 4.53)

Из уравнения (4-4.53) можно вычислить Ат‘

AT = ^V,	(4-4.54)

и, таким образом, из (4-4.8) и (4-4.19) следует

тт<°- <44-55>

Неравенство (4-4.55) означает, что

(4 4.56)

так что получается классическое уравнение Максвелла для сво-
бодной энергии (4-4.28). Скорость механической диссипации
выражается из (4 4.24)’

Dm = Ax.d,	(4-4.57)

й соотношение (4-4.19) сводится к виду

±т D-^q-Vr>0.	(4-4.58)

К сожалению, механические и термические аффекты не могут
в данном случае быть несвязанными, поскольку пет способа
доказать, что т не зависит от V Т или что q не зависит от D. Разу-
меется, если мы захотим ввести дополнительнее допущение о со-
стоянии, что т не зависит от VT, то из этого будет следовать,
что скорость механической диссипации должна быть неотрица-
тельной. В общем случае можно утверждать, что 0 лишь
в изотермических процессах (VY-- 0). Из этого следует, что изо
термические (т. е. чисто механические) уравнения состояния для
чисто вязких жидкостей всегда должны давать положительные
значения для Dm- В частности, оправданы рассуждения в разд, 2-3.

ЗАДАЧИ

4-1 Рассмотреть функционал

ft

у= I) |/(z)] = £ f(x)dx,

к=а	J

а

где а и Ь — два заданных числа. Вычислить его первый дифференциал

Фреше, вводя, если необходимо, соответствующую норму для / (	).

4-2 Решить приведенную выше задачу для произвольна го линейного функ
циоиала, т. е. для функционала, удовлетворяющего уравнению 5

5 [аД (®) + Р/2 (х)1 = at) [Д (а-)] + № 1/2 («)].
4-3 Рассмотреть жидкость, для которой справедливо следующее энтропийное
уравнение состояния:

А = а (Т, V, <р),
где ф — некоторый неопределенный параметр. Доказать, что

/ 9U \

' дф /У,8—	•

Обсудить влинние этого результата: (i) на результат уравнения (4-4.49),
(ii) на теорию химического потенциала в растворах (если ф — число
молей рассматриваемого компонента).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1	Noll W., Arch. Ration. Meeh, ind Analysis, 2, 197 (1958).

2.	Ericksen	J.	L.,	Koll-Zcitschr., 173, 117 (1960); Arch.	Ration. Meeh,	and

Analysis,	4,	231	(1960); «. 1 (1961); 9 (1), 579 (1962);	10. 189 (1962);	I nt.

J Engng Sci., 1 137 (1963).

3.	Coleman	B.	D.,	Noll W., Reo. Mod. Phys., 33, 239	(1961).

4.	Coleman	В	D.,	Markowitz H., Noli W., Viscometric	Flows of Non-New-

tonian Fluids, ch 2, Springer-Verlag, 1966

5.	Coleman B. D., Noli W., Arch. Ration. Meeh, and Analysis, 6, .355 (1960).

6.	Coleman B. D., Arch. Ration. Meeh, and Analysis, 17, 1 (1964).

7.	''olema:; B. D., Arch. Ration. Meeh, and Analysis, 17, 230 (1964).

8.	Coleman B. D., Noll W., Arch. Raticn. Meeh, and Analysis, 13, 167 (1963).
Astarita G., 1st Con'.. Italian Society of Rheology, Siena, May, 1971.

10.	Coleman В. I)., Mizel V. J., Arch. Ration. Meeh, and Analysis, 23, 87 (1966).

11.	Truesdell C., J. math. pures et appl., 30, 111 (1951).

12.	Coleman B. D. (частно- сообщение), March 1971; см. также Coleman В. D.,
Gurtin M. E., Z 4, M. P , 18, 199 (1967): Coleman В D., Mizel V. J.,
Arch. Ration. Meeh, and Analysis. 13, 245 (1953); discussion at the Bros-
sanone Meeting of tho Society of Natural Philosophy, Juno 1965.

13.	Etingen C., Int. J. Engng Sci., 2, 179 (1966),

14.	Coleman Б. D. Mizel V J., J. Chem. Phys., 40, 1116 (1964).
5

ТЕЧЕНИЕ В ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

5-1 ВВЕДЕНИЕ

«Геометрией» называют экспериментальное определение реологи-
ческого поведения материалов. Хотя в случае ньютоновских жид-
костей реометрия ограничивается серией весьма простых экспе-
риментов, эти эксперименты становятся чрезвычайно трудными
для неньютоновских жидкостей и особенно для жидкостей, обла-

дающих памятью.

Реологическое поведение несжимаемых ньютоновских жидко-
стей полностью определяется величиной единственного парамет-
ра — вязкости. Для заданного материала вязкость является
функцией только температуры. Экспериментальное определенис-
вязкости состоит в измерении нехготорой легко определимой вели-
чины, которая единственным образом может быть связана с вяз-
костью при помощи соотношения, получаемого теоретически из
решения уравнения движения. Например, градиент давления
kp/L в осевом направлении для прямолинейного течения в длин-
ной круглой трубе выражается законом Хагена — Пуазейля

Др ___ 8д(>

L ~	’

(5-1.1)

где р — вязкость, Q — объемный поток, a R — радиус трубы.
Такое течение является рсометрическим, поскольку измерение
величин Q, R и \piL позволяет вычислить вязкость и, таким
образом, для ньютоновских жидкостей полностью охарактери-
зовать их реологическое поведение.

При исследовании обобщенных ньютоновских жидкостей рео-
метрия сводится к экспериментальному определению функции
ц (S) в уравнении (2-4.1). Это более трудная задача, чем определе-
ние единственного значения вязкости, поскольку нужно опреде-
лить полную кривую кажущейся вязкости. Методы реометрия
частично обсуждались в разд. 2-5, где рассматривались течения
в реометрических системах, которые позволяют определить кривую
7](S).

В этой главе сосредоточим внимание па реометрических тече-
ниях, которые используются для жидкостей с памятью. В идеале
реометрия для таких жидкостей должна состоять из нескольких
программ экспериментальных измерений, требуемых для полного
определения функционала ф [ ) в уравнении (4-3.12), которое
приведено ниже;

T^VlG'(s)].	(5-1.2)

s=0

К сожалению, сразу же видно, что такая задача безнадежно
трудна. Действительно, рассмотрим вначале задачу эксперимен-
тального определения такой функции, как ц (5). Задача состоит
в измерении значений функции, соответствующих определенному
конечному набору значений аргумента. Чем полнее этот набор,
тем лучше наши знания о самой функции. Ясно, что эта программа
осуществима, и функция может быть определена с любой желае-
мой степенью точности, по крайней мере в некотором диапазоне
значений аргумента (здесь явно или неявно используется пред-
положение о гладкости).

Рассмотрим теперь вместо этого задачу экспериментального оп-
ределения функционала. Аргументами в этом случае являются
функции, и мы сталкиваемся с проблемой изучения пространства
функций и проведения экспериментов в некотором интервале это-
го пространства. Отвлекаясь от того факта, что топология прост-
ранства заранее неизвестна (в сущности, вопрос, при какой топо-
логии функционал будет гладким, является лишь одним из тех,
которые необходимо решить), следует помнить, что пространство
функций нс счетное в обычном смысле. Немыслимо представить
себе программу экспериментов, которые исчерпали бы некоторую
подобласть области определения исследуемого функционала, если
только такая подобласть не может быть описана при помощи
конечного числа скалярных параметров.

Такое ограничение в точности соответствует тому, что пред-
ставляет собой реометрия жидкостей с памятью. Сосредоточим
внимание на некотором «классе» течений, для которых предысто-
рия деформирования G{ (s) ограничена классом, каждый член
которого полностью определяется значениями некоторого конеч-
ного числа параметров Функционал S [ ] сводится тогда к конеч-
ному числу функций, и реометрия становится возможной. Разу-
меется, знание этих функций для любого заданного материала
позволяет предсказать его поведение только для тех течений,
которые включены в рассматриваемый класс, но поведение мате-
риала для любого другого типа течения остается непредсказуемым.

Другой подход к проблеме состоит в предположении, что рас-
сматриваемая жидкость удовлетворяет некоторому заранее задан-
ному уравнению состояния, которое значительно более специаль-
но, чем уравнение (5-1.2). Многие такие уравнения были предло-
жены в литературе, и следующая глава посвящена их обсужде-
нию- Такие уравнения состояния содержат конечное число пара-
метров и(или) функций, которые должны быть определены экспе-
риментально; как только они станут известны, можно предсказать
поведение материала при любых условиях точения. Тем не менео
следует помнить, что, как бы хорошо уравнение состояния ни
удовлетворяло экспериментальным данным, полученным в некото-
ром реометрическом течении, это доказывает лишь, что функцио-
нал I 1 вырождается в само такое уравнение для этих частных
реометрических течений. Однако ничего нельзя сказать априори
о других условиях точения, если только справедливость уравне-
ния состояния в предполагаемой форме не обоснована некоторыми
независимыми соображениями подобными таковым при моделиро-
вании молекулярной структуры жидкости.

Существуют в основном два класса течений, рассматриваемых
с точки зрения гидромеханики в качестве возможных реометриче-
ских течений. Первый класс составляют течения с предысторией
постоянной деформации, кинематический анализ которых прове-
ден в разд. 3-5. Ко второму классу относятся периодические
течения. Геометрические течения с предысторией постоянной
деформации рассматриваются далее в разд. 5-2, 5-3, а периодиче-
ские течения — в разд. 5-4.

Течения с предысторией постоянной деформации

Для течений с предысторией постоянной деформации функция
G' (s) получается из уравнения (3-5.24) в виде

G' ($) = р (0- [ехр (—bNT) ехр (—fcsN)]- Рт (0 — 1	(5-1.3)

Заметим, что начало отсчета времени можно выбрать произ-
вольно, и Р (0) = 1 (см. уравнение (3-5.16)). Таким образом,
из уравнений (5-1.2) и (5-1.3) следует

т (0) = & [ехр (— feNT) • ехр (— ZrsN) — 1 ] = Н (&N), (5-1.4)
«=о

т(0 = Р(0-д(О)-Рт(0.	(5-1.5)

Некоторые реомегрические системы получаются в соответствии
с различным выбором тензора N. К ним относятся вискозиметри-
ческие течения, течения растяжения и т. п. Такие течения ужо
вводились в разд. 3-5. Для каждой такой системы функцию Н ( )
можно выразить через определеннее число скалярных функций,
известных под названием «материальные функции».

Термодинамика течений с предысторией постоянной деформа-
ции налагает ограничения на эти материальные функции. Дейст-
вительно, рассмотрим уравнение (4-4.36), которое перепишем здесь
в виде

Л(0 = а [С/(а), Г1($); Т].	(5-1.6)

s—0
Функционал а в уравнении (5-1.6) связан с функционалом и урав-
нении (4-4.36), но отличается от последнего но следующим при-
чинам: (i) в качестве отсчетной выбрана текущая конфигурация
(см. примечание на стр. 159), (ii) вместо тензора F используется
тензор G, что допустимо, поскольку предыстория вращения не
существенна.

Функционал а изотропен, так что можно записать

4(/)=^а [PT(f)^G'(s)-P(i), ^(s); 7].	(5-1.7)

8=0

На основании уравнения (3-5.19) и в силу изотермичное™ течения
имеем

А (1) = А (0); Л = 0.	(54.8)

Таким образом, в изотермическом течении с предысторией пос-
тоянной деформации свободная энергия не накапливается. Из
уравнения (4-4.27) можно получить тогда, что мощность напря-
жения равпа скорости диссипации:

yr:D = Z>M>0.	(54.9)

Ясно, что уравнение (5-1.9) налагает определенные ограниче-
ния на возможные формы функции Н ( ) и, следовательно, на вид
материальных функций.

При анализе течений с предысторией постоянной деформации
зачастую полезно рассматривать ортонормальный вращающийся
базис (т), определенный следующим образом:

ЬИт) = P(T).bfe(0) = P(T)-gft, '(5-1.10)

где g-. _некоторый неподвижный ортонормальный базис. Напри-

мер, gft может быть базисом, в котором N имеет матрицу особенно
простого вида, скажем (N]?:

gm.N-gfe = [NU.	(54.11)

Далее можно рассмотреть матрицу [Р*]ф, которая определяется
следующим образом;

[F1]6 = bm(T).F*(«)-bft(0-	(54.12)

Подстановка (5-1.10) и (3-5.17) в (5-1.12) дает 2)

[Ffjb = gm-exp (-feN).gh = ехр {-ks IN]S}. (54.13)

r) Экспонента матрицы [Л] определяется как

ОО •
exp(A]=-£-L[Alft.
о
Из уравнения (5-1.13) следует, что матрица fFl]b не зависит
от t, а зависит лишь от временного сдвига по матрично-экспо-
ненциальному закону. Обратно, если удастся показать, что для
некоторого заданного течения матрица [F*)b имеет вид (5 1.13)
с некоторым ортонормальным вращающимся базисом bft, то рас-
сматриваемое течение принадлежит к специальному классу тече-
ний с предысторией постоянной деформации, определяемому част-
ным видом матрицы [Nlg.

В частности, предположим, что течение описывается в неко-
торой ортогональной системе координат уравнением

(т) = / (4, Т).	(5-1.14)

В соответствии с уравнением (3-1.41) имеем

-^ = еь(Х)-Г.ет(Хх).	(5-1.15)

Поскольку система координат ортогональна, можно рассматривать
ортонормальный базис

е (к) =	eh — —,ct_ (не суммировать)	(5-1.1G)

V guk

и записать

^1 = )/ ^§Le(/C)(X).Fi.e(/n)(X().	(5-1.17)

ОХ$	Опп \*ж/

Ортонормальный базис е (к) (X) можно отождествить с вращаю-
щимся ортонормальным базисом типа базиса (5-1.10), записав

bft (т) = с (fc) (X),	(5-1.18)

gft = e(A>(Xt).	(5-1.19)

Действительно, bfe и gft, определенные в (5-1.18) и (5-1 19), связа-
ны один с другим гладкой ортогональной тспзорной функцией,
значения которой совпадают с единичным тензором при т = t.
Таким образом, имеем относительно базиса bft, определенного
выше,

[Ff}6 = -^-	(не суммировать). (5-1.20)

Oxi r Smm

Поскольку правую часть уравнения (5-1.20) легко вычислить,
можно проверить, имеет ли матрица [Ff)6 вид (5-1.13). Разумеется,
если она не имеет такого вида, течение все же может принадле-
жать к исследуемому классу точений с предысторией постоянной
деформации, поскольку может существовать другой вращающийся
ортонормальный базис, в котором [FZJO имеет требуемый вид.
На практике, однако, симметрия интересующих нас течений
непосредственно указывает координатную систему х1, которая при
помощи уравнения (5-1.18) приводит к базису ЬА, в котором мат-
рица [Fjb имеет вид (5-1.13).

Заметим, что в последнем случае тензорная функция Р (с),
появляющаяся в уравнении (5-1.3), связывает векторы с(л),
относящиеся к разным точкам пространства:

e(fc)(X) = Р (т)*е (ft) (Х<).	(5-1.21)

Следовательно, Р (т) можно рассматривать как функцию точки
пространства, а не времени:

Р (X) = Р [г (X)],	(5-1.22)

где т (X) — момент времени, в который рассматриваемая точка
занимает геометрическую точку X. Уравнение (5-1.5) можно,
таким образом, записать в виде

т [т (X)] = т (X) = Р (X)- т0- Рт (X),	(5-1.23)

где т0 — тензор напряжений в точке X (0).

Уравнение (5-1.23) означает, что тензор напряжений, не счи-
тая несущественного поворота, остается постоянным вдоль траек-
тории любой материальной точки — концепция, которая, разу-
меется, интуитивно связывается с гипотезой предыстории постоян-
ной деформации. Заметим, что это никоим образом не значит, что
тензор напряжений является постоянным в точках, не лежащих
на той же самой траектории. Фактически предыстории деформации
различных материальных точек могут существенно отличаться
друг от друга, даже если они постоянны во времени для любой
заданной материальной точки.

Этот факт имеет важные следствия при практическом исполь-
зовании реометрических течений, которые можно разделить на две
основные категории в соответствии с тем, будут или пет предысто-
рии деформации, а следовательно, и напряжения одинаковыми для
всех материальных точек, а также па ограничивающих поверх-
ностях. Поскольку практически можно измерить лишь напряже-
ния на граничных поверхностях, реометрическую информацию
можно непосредственно получить только тогда, когда напряжения
постоянны во всем пространстве. Когда это но так, эксперимен-
тальные данные нужно каким либо образом дпффепенцировать.

Периодические течения

Периодические течения представляют практический интерес в рео-
мотрип в предельном случае бесконечно малых деформаций,
панримор когда может быть применимо уравнение (4-3.24). Дейст-
вительно, в периодическом течении полная деформация, перево-
дящая конфигурацию материала в некоторый момент времени
в конфигурацию в любой другой момент, может оставаться сколь
угодно малой, хотя мгновенная скорость деформации может быть
высокой.

Уравнение (4-3.24) применимо, если предыстория G* находится
на очень малом расстоянии от предыстории покоя. Это справедливо
на практике, если по крайней мере в пе очень отдаленном прош-
лом модуль величины G* был мал для любого значения s. Дейст-
вительно, правая часть уравнения (4-3.24) является просто первым
членом разложения в ряд интегралов, причём первый отброшен-
ный член имеет второй порядок по модулю G' (см. уравнение
(4-3.25)). Следовательно, оценку G* для периодических течений,
используемых в реометрии, необходимо производить лишь с точ-
ностью до членов первого порядка по ее модулю, поскольку вклад
в напряжение членов белее высокого порядка по превышает вкла-
да членов, обусловленных отброшенным интегралом.

Геометрические периодические течения можно определить как
такие течения, для котсрых функция G* имеет с точностью до
членов первого порядка по модулю следующий вид х):

G( = Re {ф* (Z) [1 -	(5-1.24)

где со — постоянная частота, а зависящий от времени тензор ф*
с нулевым следом комплексный, а именно

Ф* = фн (i) + *фг (0-	(5-1.25}

В любой момент наблюдения t предыстория деформирования
полностью определена значениями частоты со и тензора ф*; следо-
вательно,

т (Z) = К 1<о, ф* (01,	(5-1.26)

где К [ ] — изотропная тензорная функция.

Поскольку предполагается, что уравнение (4-3.24) справедли-
во, функцию К[ ] можно выразить явно следующим образом:

ОО

?'(() = Re {ф*(0 j /(«)[! —	(5-1.27)

о

Следовательно, напряжение т' определено, если известно зна-
чение интеграла в правой части (5-1.27). Поскольку зто значение
однозначно определяется частотой (о, можно определить также
единственную комплексную материальную функцию_______комплекс-

ную вязкость т)*, характеризующую поведение материала в перио-
дических течениях. Поскольку ц* — комплексная величина, ее

х) Под Re {'|>*) и Im {ф*} ночи маем соответственно действительную
часть и коэффициент при мнимой части комплексной величины ф*. В литера-
туре по периодическим течениям обозначение Но { } часто опускают и под-
разумевают неявно.
действительная и мнимая части определяют две дополнительные
материальные функции, а именно динамивескую вязкость rf
и динамическую жесткость G':

ОО

=	j	(5-1.28)

о

Подстановка (5 1 28) в (5-1.27) дает

т' (£) = Не {—(Z)),	(5-1.29)

4jo нри разложении в ряд приводит к

т' (/) = —4л'фн (/) +	(t).	(5-1.30)

Интересное соотношение получается при рассмотрении урав-
нения (3-2.17):

2D = С (г) = -Сг (0) =— Gf (0).	(5-1.31)

Из уравнений (5-1.24) и (5-1.25) получаем

2D — —Re {«соф* (/)} = софт(2),	(5-1.32)

так что уравнение (5-1.30) можно записать в виде

т' (г) = 2q'D - Сфк (t).	(5-1.33)

На основании уравнения (5-1.32) можно определить комплекс-
ный тензор скоростей деформаций D*, а именно

2D* = -шф*; D = Re {D*},	’ (5-1.34)

так что уравнение (5-1.29) принимает следующую псевдоньюто-
новскую форму:

%' = Re {2t]*D*},	(5-1.35)

которая оправдывает название «комплексная вязкость», данное,
величине ц*.

Контролируемые течения

При практическом использовании реометрических течений при-
ходится сталкиваться с проблемой проверки контролируемости
рассматриваемого течения. Под контролируемостью течения дони-
мают, что при объемных силах, обладающих потенциалом ф:

g —— V-ф,	(5-1.36)

существует совместное решение уравнения состояния и динами-
ческого уравнения.

Ограничение, накладываемое на объемные силы, смягчается
тем фактом, что в громадном большинстве представляющих интерес
случаев под объемной силой имеется в виду гравитация, кото-
рая, разумеется, обладает потенциалом. G другой стероны, пет
смысла рассматривать контролируемость при произвольных объем-
ных силах, поскольку при подходящем распределении объемных
сил возможна реализация любого течения Фактически эта кон-
цепция о возможности реализации любого течения в подходящим
образом выбраппом поле объемных сил использовалась в термо-
динамическом анализе в разд. 4-4.

Заметим, что, если течение контролируемо для некоторого
поля сил, имеющего потенциал, оно остается контролируемым
и для любого такого ноля, а следовательно, в частности, также
и при отсутствии каких бы то ни было объемных сил; это легко
понять из обсуждаемой ниже методики проверки контролируе-
мости.

Проверка Контролируемости осуществляется при помощи стан-
дартной методики Во-первых, производят кинематическое описа-
ние течения и его классификацию, т. е. идентифицируют его,
например, как вискозиметрическое течение. Затем из уравнения
состояния получают пространственное распределение напряжений.
После этого кинематические данные и распределение напряжений
используют для подстановки в динамическое уравнепие, которое
при условии справедливости уравнения (5-1.36) имеет вид (см.
уравнение (1-8.5))

р	~ v. т+*/3V (ti- т) = - V (р + рф).	(5-1,37>

Сравнение (5-1.37) показывает, что течение контролируемо,
если левую часть можно представить в виде градиепта некоторого-
скалярного поля. Фактически уравнение (5-1 37) определяет поле
давления р (с точностью до произвольной аддитивной постоянной;
см. разд. 1-8). Мы будем делать различие между истинным и гидро-
статическим давлением, т. е. рассматривать «избыточное давле-
ние»

с? = р -]- рф.	(5-1.38}

Избыточное давление можно также рассматривать как поле
давления, которое определялось бы из уравнений движения при
отсутствии объемных сил.

Важно понять, что течение, даже если опо контролируемо,
может оказаться весьма трудным для осуществления па практике,
поскольку это может потребовать нереальных распределений
напряжений па граничных поверхностях Ярким примером такого
течения служит течение, для осуществления которого требуется,
чтобы давление на свободной поверхности было непостоянно.
Эксперименты по релаксации напряжений

В дополнение к обсуждавшимся выше реометрическим системам
часто рассматривается некий новый тип эксперимента, а именно
эксперимент по релаксации напряжений, позволяющий получить
некоторую обоснованную информацию о реологическом поведе-
нии испытываемого материала.

В идеальном эксперименте по релаксации напряжений образец
материала, предварительно выдерживавшийся ненапряженным,
подвергается в некоторый момент t0 внезапной деформации, кото-
рая после этого поддерживается постоянной. Измеряется напря-
жение в моменты t > t0. История деформирования G* (при t > £0)
имеет вид

G* — 0 для s < Z — t0,	(5-1.39)

Gf = G для s > t — t0,	(5-1.40)

где G — постоянный тензор, измеряющий деформацию, которой
был подвергнут образец. Если G1 имеет достаточно малую норму
(что практически означает, что модуль G достаточно мал), то
применимо уравнение (4-8.24), и напряжение дается выражением

т'(/)= J/(«)G*tfe=-G J -f(s)ds. (5-1.41)
0	i-tn

Удобпо определить функцию F ( ) в виде

E(t-Z0)= j — f(s}ds,	(5-1.42)

i-to

так что уравнение (5-1.41) перепишется в виде

т' (0 = — F (t - *9) G.	(5-1.43)

Функцию F ( ), называемую функцией релаксации напряжений,
можно получить из соответствующих релаксационных экспери-
ментов Она связана с функцией / ( ), входящей в уравне-
ние (4-3.24), следующим уравнением, которое немедленно выте-
кает из уравнения (5-1.42):

-^- = /(5).	(5-1.44)

Уравнение (4-3.24) можно записать в виде, получаемом после
интегрирования по частям (следует заметить, что F (з) -> 0 при
s -> оо):

ОО

т' = J - F (s) G' (з) ds.	(5-1.45)

о
Проводится также эксперимент, в некотором смысле обратный
эксперименту по релаксации напряжений. Это явление известно
под названием ползучести; в этом случае определяется деформация
образца при постоянной нагрузке. В таких экспериментах преды-
стория деформирования заранее пе известна, и, таким образом,
их результаты не приводят к каким-либо полезным предсказаниям
поведения материала при любых условиях течения, отличных
от реализуемых в этом эксперименте.

Конечно, если принять некоторое уравнение состояния (такое,
например, которое будет обсуждаться в следующей глазе), то
результаты эксперимента но ползучести могут быть предсказаны
на основании решения соответствующей краевой задачи через
параметры уравнения состояния. Такие эксперименты могли бы
тогда проводиться для оценки достоверности принятой формы
уравнения состояния и для определения численных значений
параметров этого уравнения. Такая методика может, по крайней
мере в принципе, быть применена к любому типу течения, по ее
справедливость ограничена из-за рассуждений, приведенных выше.

5-2 ВИСКОЗИМЕТРПЧЕСКПЕ ТЕЧЕНИЯ

Вискозиметрические функции

Вискозимегрические течения (см. разд. 8-5) являются течениями
с предысторией постоянной деформации, для которых

N2 = 0.

(5-2.1)

Постоянная к называется скоростью сдвига. Вспоминая, что
тензор N имеет единичный модуль, если он удовлетворяет урав-
нению (5-2.1), утверждаем, что существует ортонормальный базис
1ц, в котором матрица тензора N имеет вид

[Nh =

0 1 0

ООО

ООО

(5-2.2)

Конечно, при любом ортонормальном базисе из уравнения (5-2.1)
следует, что

[NF = 0.	(5-2.3)

Тензор напряжений при t = 0 задается выражением

т0 = х (0) = Н (&N),	(5-2.4)

где Н ( ) — изотропная функция. Рассмотрим, в частности, орто-
гональный тензор Q, который в том же самом базисе, для кото-
рого выполняется уравнение (5-2.2), имеет вид

1 О

О 1

О О

LQlft =

О

О

-1

(5-2.5)

(Тензор Q прообразует ортонормальный базис в другой ортонор-
мальный базис, отличающийся от первоначального только ориен-
тацией базисного вектора в направлении третьей координатной
оси; следовательно, он представляет несущественный поворот.)
Отсюда сразу Hie видно, что

Q. N. QT = N,	(5-2.G)

и, таким образом, из уравнепия (5-2.4) имеем

Q.To.Qf = To.	(5-2.7)

Уравнение (5-2.7) выполняется тогда и только тогда, когда

т0 <13) = тР <23? = О,

(5-2.8)

где т0 <0 ) — компоненты тензора т0 относительно ht. Поскольку
тензор т0 определяется только с точностью до произвольного
аддитивного изотропного тензора, уравнение (5-2.8) означает, что
т0 полностью определяется тремя его компонентами, а именно
т0 <12 >, т0 (И) — т0 <22? и т0 <22? — т0 (33). В свою очередь,
эти величины, как видно из уравнения (5-2.4), полностью опре-
деляются величиной к. Таким образом, можно определить три
следующие виекозиметрические материальные функции:

т0 <12) = т (к),	(5-2.9)

т0 <11 > — т0 <22 > = ох (А),	(5-2.10)

т0 <22/ - т0 (33) = о2 (к).	(5-2.11)

Поведение простой жидкости в произвольном вискозиметри-

ческом течении полностью определяется этими тремя вискози-
мэтрическпми функциями, которые характеризуют внутреннее
свойство жидкости [1, стр. 24—251.

Рассматривая ортогональный тензор Q, матрица которого
в базисе есть



-10 0

0 10

0 0 1

(5.2.12)

легко показать, что т ( ) должна быть нечетной функцией, а <тг ( )
должны быть четными функпиями.

Для некоторых расчетов полезно определить вискозиметричс
скую вязкость Tjv ( ) и виекозиметрические коэффициенты нор-
мальных напряжений ( ):

Лу(^)=^-,	(5-2.13)

ф1(*2)=-^-,	(5’2.14)

Фе(*2) = Л^-,	(5 2.15)

/£

которые являются четными функциями к. Кроме того, в некоторых
расчетах полезно предположить, что т ( ) обратимо, и определить,
таким образом, функцию у ( ) как

Т(т (fc)) = fc = T(T0 (12)).

(5-2.16)

Если функция г ( ) обратима, то величина т0 (12 > определяет
значение к. и, таким образом, посредством уравнений (5-2.10)
и (5-2.11) также и значения двух разностей нормальных напря-
жений. Следовательно, можно определить две модифицированные
функции нормальных напряжений, а именно

(г0 (42)) = Гу (т0 (12 »],	(5-2.17)

о2 (т0 (12)) -= <т2 1у (т0 (12 »].	(5-2.18)

Линейное течение Куэтта

Простейшим примером вискозимстрического течения является
линейное течение Куэтта. Оно уже встречалось в разд. 2-1 в связи
с жидкостями Рсйпера — Ривлина, а его кинематика рассматри-
валась в общем случае в примере ЗА. В декартовой координатной
системе хг компонентами вектора скорости будут

к1 == кх2.	(5-2.19)
v2 = 0,	(5-2.20)
к3 = 0.	(5-2.21)
Траектории материальных точек имеют вид	
х1 = х} — ksxl,	(5-2.22)
X2 = X?,	(5-2.23)
X3 = xt	(5-2.24)

Матрица дх^!дх^ вычисляется как

	1 -ks 0
	0	10
	0	0 1

(5-2.25)
Поскольку система координат декартова, то Ygmm/'gkk — 1>
и уравнение (5-1 20) позволяет получить

[F4b = Hl - Ь [N] = exp {-ks [N]},	(5-2.26)

причем [N] задано уравнением (5-2.2). Таким образом, рассматри-
ваемое течение является висксзиметрическим, и базисы и
совпадают (так что INJ = [N]g — Ш1д). Кроме тою, базис Ьь (т),
определяемый уравнением (5-1.18), постоянен по пространствен-
ным координатам, а тензор Р (т) всегда равен единичному тензору;
следовательно, из уравнений (5-1.4) и (5-1.5) вытекает

т (12) = т (fc),
т <11 > — т <22) = (/с),
т <22 > — т (33) = а2 (/с).

(5-2.27)

(5-2.28)

(5-2.29)

Из уравнений (5-2.27) — (5-2.29) следует, что V- т = 0 (по-
скольку матрица т постоянна по пространственным координатам).
Следовательно, условия, приведенные в разд. 2-8, выполняются
(см. уравнения (2-8.7) — (2-8.9)), и рассматриваемое течение
контролируемо.

Криволинейные течения

В следующих нескольких примерах рассматриваются вискозимет-
рические течения, представляющие интерес в реометрии. Но срав-
нению с линейным течением Куэтта они более сложны и классифи-
цируются по схеме, приведейной в табл. 5-1. Из таблицы явствует,

Таблица 5-1. Классификация вискозимстрическпх течений

А. Криволинейные течения

1.	Плоские течения

1.1.	Линейное течение Куэтта

1.2.	Течение в канале

2.	Винтовые течения

2.1.	Течение Пуазсйлл

2.2.	Течения между коаксиальными цилиндрами

2.2.1.	Течение Куэтта

2.2.2.	Кольцевое течение

•	2.2.3. Общий случай

2.3.	Другие винтовые течения

3.	Течение в зазоре между конусом п пластиной

4.	Крутильное течение

Б. Пекриволипейные вискозиметрические течения (к этой категории при-
надлежит крутильно-коническое течение)

что все известные реометрические вискозиметричсские течения,
представляющие практический интерес, принадлежат к классу
криволинейных течений, за исключением крутилыю-копического
течения.
Криволинейное течение определяется следующим образом.
Пусть х' — ортогональная система координат, и пусть контра-
зариантпые компоненты вектора скорости имеют вид

и1 = и (хе),	(5-2.30)

Vй = 0,	(5-2.31)

vs = v (Xе),	(5-2.32)

где и ( ) и v ( ) — гладкие функции. Траектории материальной
точки имеют вид

х1 = х* —su (х1),

X2 = Xt,
X? = Xt — SV (xt).

(5-2.33)

(5-2.34)

(5-2.35)

Если метрический тепзор gi7- постоянен вдоль траекторий
(т. е. вдоль линий, описываемых уравнениями (5-2.33) — (5-2.35)),
то такое течение называют криволинейным течением.

Матрица дх,1!дх\п вычисляется из уравнений (5-2.33) — (5-2.35):

Qxk
дх™

1 —su'

О 1
О — so'

0

0

1

(5-2.36)

где и ,v‘ — обыкновенные производные и и о. Заметим, что дх'Чдх™
зависит только от х2 и, таким образом, постоянна вдоль любой
линии тока. Кроме того, по определению Vgmm/gkk постоянна
вдоль любой линии тока, и из уравнения (5-1.20) получаем

[F]b = [1] - ks [N]g = ехр {-ks	(5-2.37)

где

lN]g =

7с= ]/ (w'2gu + v'zg33)/gi2,

______«11______и'

?и“'2+дзз'-''а
0

(5-2.38)

(5-2.39)

0

ги«'а+гзу>'®

Дзз

v

Матрица [N]g удовлетворяет уравнению (5-2.3), и, следова-
тельно, рассматриваемое течение является вискозиметряческим.

Матрица fN]g не является матрицей вида (5-2.2). Это означает,
что базис gft, определяемый уравнением (5-1.19), не совладает
с базисом Ьй. Конечно, существует ортогональный тензор, который
преобразует gft в hft:

hfe = Qg).

(5-2.40)
Простой расчет показывает, что Q ь базисе имеет следующую
матрицу:

а О Ъ

[Q]« =	0 1 0  — 6 0 а	,	(5-2.41)
а—-	~V ft	(5-2.42)
Ь=-		(5-2.43)

Поскольку условия, приводящие к уравнению (5-1 23), выпол-
няются для рассматриваемого случая, можно рассчитать поле
напряжений т (X), и его физические компоненты в системе коор
динат ж1 даются выражениями

т (12 ) = ат (к),	(5-2.44)
т (23 ) = 5т (&),	(5-2.45)
т (13) = ab [oj (/с) + ав (/с)],	(5-2.46)
т (И ) — т (22) = а^ (Zc) -|- (а2 — 1) о£ (А),	(5-2.47)
х (22) - т (33) = -Ь2^ (А) _ (52 — 1) а2 (ft).	(5-2.48)

Заметим, что все компоненты зависят от X, поскольку от X зави-
сят а и Ь.

Обсудим теперь несколько примеров течений, применяемых
в реометрии. Для каждого течения даем описание кинематики,
действительных условий, при которых реализуется это течение,
и реометрических данных, которые можно получить эксперимен-
тально (т. е. вискозиметрических функций, которые можно опре-
делить). Необходимые уравнения приводятся без доказательств
со ссылкой на книгу Колемана и др. [1]. Мы надеемся, что чита-
тель может выполнить большую часть необходимых вычислений
самостоятельно.

Течение в канале

Это течение можно реализовать, заставляя жидкость течь между
двумя параллельными пластинами, находящимися на расстоянии d
друг от друга. Выберем декартову систему координат, направив
ось ж1 в направлении т ечения, а ось ж2 — перпендикулярно пласти-
нам, которые будут иметь координаты ж2 = ±d/2.

Кинематическое описание течения осуществляется уравнениями

V1 = и (ж2),
г2 = V3 = 0.

(5-2.49)

(5-2.50)
Хорошо известно, что для ньютоновских жидкостей распределение
скорости и ( ) параболическое. В общем случае вид распределе-
ния скорости определяется видом функции т ( ).

Рассматриваемое течение контролируемо. Избыточное давле-
ние не зависит от ? и i3 и линейно зависит от х1:

& = Л (0 — /х1,	(5-2.51)

где A (l) — произвольная аддитивная функция времени. Величина
f характеризует падение избыточного давления на единицу
длины в направлении течения. Эта величина легко доступна для
измерения. Действительно, обычные датчики давления на ограни-
чивающих пластинах позволили бы измерять значения —Тг2;
отсюда измерение разности давлений на длине L выражается
в виде

—ДГ,8 = —Дт22 + jL — Д (ргр),	(5-2.52)

где Л — разность показаний в точках х1 и х1 -|- L. Поскольку
избыточное напряжение т не зависит от х1, то Лт22 — 0, и, таким
образом, можно получить /, если известно распределение объем-
ных сил. (Если пластины расположены горизонтально и объемная
сила есть сила тяжести, то Д (рф) = 0, я показание разнести
давлений непосредственно равно /£.)

Полный баланс сил дает для касательного напряжения па
стенке tw выражение

tw = т12 (х» = d/2) = 4-.	(5-2.53)

Можно показать, что скорость сдвига па стенке уw есть (см.
пример 2Г)

, . 6Г Г 2 . 1 dln(6V/d) ]	/сое/,

Tw = у (Tw) = - _ [_ + т —. J ,	(5-2.э4)

где V — средняя скорость, т. е. объемный расход на единицу
поперечного сечения. Поскольку могут быть измерены как tw,
так и V, можно вычислить функцию у ( ), или, что то же, функ-
цию т ( ). Для ньютоновских жидкостей величина CV/d пред-
ставляет собой скорость сдвига на стенке, пропорциональную twi
и, следовательно, член в квадратных скобках в уравнении (5-2 54)
равен единице.

Течение Паузейля

Течение Пуазейля (см. также разд. 2-5) — это осевое течение
в длинной цилиндрической трубе. Выберем цилиндрическую
систему координат с осью z в направлении течения и стенкой
трубы, расположеной лрк г — R. Кинематическое описание
течения имеет вид

v~ — и (г),
Vr = Р0 = 0.

(5-2.55)

(5-2.56)

Легко показать, что это течение контролируемо. В этом случае
избыточное давление снова линейно зависит от z и не зависит
от г и 0. Пусть / — падение избыточного давления ла единицу
длины трубы. Величину / можно легко измерить, поскольку т
не зависит от z, а касательное напряжение па стенке получается
из уравнения полного баланса сил:

tw = т <rs) (г = Я) =	.	(5 2.57)

Скорость сдвига па стейке yw дается выражением

/ \ 4Г Г 3 . 1 й In (4177?) Л	г о

7w = у (Tw)-=_ | -+ -	J ,	(5-2.о8)

где V — средняя скорость, 4У/7? — скорость сдвига .на стопке
для ньютоновских жидкостей. Кроме того, можно получить функ-
ции у ( ) или т ( ).

Течение Куэтта

Течение Куэтта реализуется в кольцевой щели между двумя
касательными цилиндрами, вращающимися с различной угловой
скоростью, при отсутствии осевого градиента избыточного дав-
ления. Введем цилиндрическую систему координат, ось z кото-
рой совпадает с осью цилиндров, расположенных при г —
иг — 112 (/?! < /?2). Угловые скорости цилиндров равны соответ-
ственно Qi и Q2. Кинематическое описание течения имеет вид
р0 = ш (г); v (0> = гео (г),	(5-2.59)

vr = vz = 0.	(5-2.60)

Точение контролируемо. Крутящий момент М (который может
быть легко измерен), приходящийся па единицу длины, предпола-
гается постоянным, и распределение касательных напряжений
дается выражением

	(б-2.(И)

Полезно ввести следующие величины:

т1 = т(гО)(г=/?1) = Ъ^г,	(5-2.62)

т2 = т (г0) (г = Я2) =	,	(5-2.63)
Можно показать, что выполняется следующее условие:

2М	“ V (ч) - Y (т2),	(5-2.65)

где AQ — разность угловых скоростей Q2 — 3^. Чтобы выразить
функцию у ( ), рассмотрим следующие случаи:

(i)	Узкие щели. Если 1 — £ <(( 1, можно использовать следую-
щее приближенное уравнение:

(5-2.66)
из которого функция у ( ) определяется непосредственно через
легко измеримые величины.

(ii)	Широкие щели. Если имеется вискозиметр Куэтта с задан-
ным значением |3, то можно ввести следующую функцию Г ( )•

Г (ч) = у (тх) — у (?Tj) = у (тх) — у (т2).	(5-2.67)

Функция Г ( ) легко определяется из уравнений (5-2.65)
и (5-2.67). Если функция Г ( ) определена по этим данным, то
функция у ( ) вычисляется следующим образом:

ОО

Y(4)= 2 Г(₽"ч).	(5-2.68)

п—О

Знание функции у ( ) позволяет определить распределение
угловых скоростей следующим соотношением:

\	(5-2.69)

J ъ

т<г0>

Другой величиной, которую можно измерить, будет разносы»
нормальных напряжений, ортогональных цилиндрическим поверх-
ностям:

ДПгг) = Т {гг} (г = 77в) - Т \гг} (г = /?х).	(5-2.70)

Поскольку эта разность нормальных напряжений обусловлена
отчасти действием центробежных сил, можно вычислить «скоррек-
тированное значение» До. а именно

в2

&о=АТ {rr) -|- i prco2dr.	(5-2.71)

В1

Величина Ао связана с функцией О] ( ) следующим уравнением:

В2 „

Ao = j — dr.	(5-2.72)

Bl

Функция ox ( ) определяется следующим образом:
(i) Узкие щели. Функция ох ( ) непосредственно вычисляется
как

(5-2.73)

(И) Широкие щели. Введем функцию ¥ (Tj)-

=	(5-2.74)

Функцию ¥ ( ) можно получить на основании измерений Ло и М.
Тогда функция Ф ( ) определяется как

ОО

(5-2.75)
о

Следовательно, измерения на вискозиметре Куэтта позволяют
определить вискозиметрическую вязкость и первую вискозимет-
рическую разность нормальных напряжений.

Кольцевое течение

Кольцевое течение представляет собой осевое течение в области
между двумя покоящимися коаксиальными цилиндрами. Течение
контролируемо, и в принципе функцию у ( ) можно получить
из экспериментальной реализации кольцевого течения, хотя
практически это но очень удобно. Наиболее интересный результат,
который можно получить из опытов кольцевого течения,— это
разность нормальных напряжений, ортогональных ограничиваю-
щим цилиндрам, которая связана со второй разностью нормаль-
ных напряжений следующим уравнением:

ЫГ {гг} =ч - { Л- а2 (-с) dr,	](5-2.7б)

Ri

где и Л2 — радиусы внутреннего и внешнего цилиндров,
а т (г) — радиальное распределение касательных напряжений.
Распределение т (г) дается как

т(г) = -|

rf

(5-2.77)

2 •

где / — падение избыточного давления на единицу длины вдоль
оси, а Ъ — постоянная. Значение Ъ неявно определяется уравне-
нием

Ь2

. у[т(г)] dr — 0.

Ri

(5.2.78)
Течение в зазоре между конусом и пластиной

Течение в зазоре меящу конусом и пластиной происходит в обла-
сти, ограниченной плоской пластиной и выпуклым конусом, вер-
шина которого касается пластины (рис. 5-1). Введем сферическую

Рис. 5-1. Геометрия течения и зазоре между конусом и пластиной.

систему координат с началом в вершине конуса и полюсом па оси
конуса (которая ортогональна плоской пластине). Тогда имеем
следующее кинематическое описание точения:

уф =<а(0),
у0 = уг1=О.

(5-2.79)

(5-2.80)

Пластина расположена при 9 = л/2, а поверхность конуса —
при 6 = л/2 — а. Течение не контролируемо, если только не
выполняются следующие условия:

(i)	инерционные силы пренебрежимо малы;

(ii)	а. л/2, так что cos 0 « 1.

Пусть AQ — разность угловой скорости конуса и пластины.
Величина тензора скоростей деформации постоянна по прост-
ранственным координатам. Скорость сдвига к всюду равна

(5-2.81)

Если материал заполняет пространственную область г R,
крутящий момент (который легко измерить) дается выражением

M = ~Rh(k),
О

(5-2 82)

и, следовательно, функция т (к) вычисляется непосредственно.
Вискозиметры с конусом и пластиной весьма распространены.

Сила F, необходимая для удержания конуса у пластины,
направлена вдоль оси конуса и дастся выражением
(здесь и всюду далее сила F считается положительной, если опа
соответствует сжатию), так что функцию <тх ( ) можно определить
непосредственно (хотя уравнение (5-2.83) получено при условии
пренебрежения поверхностным напряжением па свободной поверх-
ности материала),

Можно показать, наконец, что

^- = о1(к) + 2о2(к).

(5-2.84)

Таким образом, по крайней мере в принципе, измерение радиаль-
ного распределения нормальных напряжений на пластине также
позволяет вычислить функцию о2 ( ). Последняя мето цинга ставит
ряд экспериментальных задач.

Крутильное течение

Крутильное течение осуществляется в дискообразной области
между двумя параллельными пластинами, вращающимися в их
плоскостях с углевыми скоростями, разность которых равна AQ.
Если h — расстояние между пластинами, то кинематическое
описание течения в цилиндрической системе координат с осью z,
совпадающей с осью вращения, имеет вид

у° = ДЙ-^—[-const.	(5-2.85)

г/ = / = 0.	(5-2.86)

Скорость сдвига к дается выражением

(5-2.87)

Если материал заполняет область пространства г sg: R, то функ-
ция т ( ) вычисляется из соотношения

/ ДйЛ \	2Л/ /3	1. д In (2М/яЛЗ) ч

\ h ) ~ л//з ( 4 +* 4 <?1п(ДЙД/й) Л	Р-Д.бб)

где М — крутящий момент, требуемый для обеспечения стацио-
нарности течения.

Из экспериментов по крутильному течению можно получить
разность функций 04 и о2, а именно

М—;-	[,2 -1--о in (/?AQ//O j ’ (°-2-89)

где F — ортогональная к пластинам сила, требуемая для их
удержания на месте. Эта сила определяется соотношением
п

Е = я f г {о. [&(г)] — гт2 [А (г)]) dr.	(5-2.90)
Уравнение (5-2.90) не используется непосредственно (поскольку
для практического определения о2 применяется выведенное из него
уравнение (5-2.89)), но оно приведено для дальнейших ссылок.

Крутильно -коническое течение

Ото течение — единственное вискозиметрическое реометрическое
течение, которое не рассматривалось в работе [11; за подробным
описанием читатель отсылается к работе Марша и Пирсона [2].

Рис. 5-2. Геометрия крутильпо-коппческого течения.

Крутилыю-копическое течение осуществляется в области меж-
ду плоской пластиной и конусом с осью, которая одновременно
представляет собой ось вращения, ортогональную пластине. Конус
может быть как выпуклым, так и вогнутым, причем в случае выпук-
лого конуса его вершина не должна касаться пластины (рис. 5-2).
Пусть h — расстояние от вершины конуса до пластины. Выберем
цилиндрическую систему координат с осью z вдоль оси конуса,
причем пластина расположена при z — 0, а поверхность конуса
имеет уравнение z = h -|- г tg а. Угол а положителен для выпук-
лого и отрицателен для вогнутого конуса. Поскольку условием
контролируемости течения является а <£ л/2 (после пренебреже-
ния силами инерции), мы будем приближенно считать tg а » а

Поле течения описывается следующим образом:

г9 — AQz_ Д-const,	(5-2.91)

h-r га •	'	'
где AQ — разность угловых скоростей. Распределение скоростей
сдвига к (г) дается выражением

. <5-2-93»

Интересно отметить, что уравнения (5-2.91) и (5-2.92) не являют-
ся уравнениями криволинейного течения Невозможно указать
координатную систему, в которой рассматриваемое течение описы-
валось бы уравнениями, удовлетворяющими определению криво-
линейного течения, и потому мы полагаем, что крутильно- кониче-
ское течение не будет криволинейным. Тем не менее оно является
вискозиметрическим течением и принадлежит к весьма общему
классу течений, подробно обсуждаемых в работе Йина и Пипки-
на (31.

Крутильно-коническое течение в предельном случае а —> 0
вырождается в крутильное течение, а в предельном случае h -> 0 —
в течение в зазоре между конусом и пластиной. Скорость сдвига
не постоянна по пространственным координатам, и, поскольку
она не является линейной функцией координат, методика обраще-
ния интегральных уравнений для крутящего момента и нормаль-
ной силы F довольно утомительна.

Функцию т ( ) можно вычислить из следующего уравнения:

т ) =	(3~(5-2 94)

\ Л. 4 Roc /	2л/?° \ д In h I *	'	'

где предполагается, что жидкость заполняет область пространства
г R, а производная по h берется при постоянных AQ и В.

Сила, необходимая для удержания на место конуса и пласти-
ны, дается выражением

я

F-л j г {сч [А: (г)]—^A—a2[*(r)]} dr.	(5-2.95)

а

Уравнение (5-2.95) следует сравнить с приводившимся выше урав-
нением (5-2.90) для крутильного течения (которое фактически
получается из уравнения (5-2.95). если положить а = 0). Ясно,
что вклад разности вторых нормальных напряжений оа в величи-
ну F определяется величиной коэффициента hl(h 4 га) Этот
коэффициент равен единице в крутильном течении и может быть
сделан больше единицы в крутильно-коничзском течении, если
использовать вогнутый конус, т. е. если а < 0. Следовательно,
крутильно-коническое течение может, в частности, оказаться
полезным для экспериментального определения функции а2 ( ).
Уравнение (5-2.95) может быть обращено с гем, чтобы полу-
чить явное выражение для функции о2 ( ):

/ АШ? \ _ Л-LJJa / ДЙЧ \	F (с <51n(F/n/?2)

°2\ h + Ra ) ~ h.	L0* \h + Ra) яШ И й1пЛ	/J'

(5-2,96;

Легко видеть, что если положить a = 0. то уравнение (5-2.96)
обратится в уравнение (5-2.89), а если положить h = 0, то полу-
чим уравнение (5-2.83).

Общие пыяоды

Рассмотренные выше реометрические течения позволяют опреде-
лять вискозпметрические функции для любого заданного материа-
ла. Самой доступной в этом смысле является функция х ( ), кото
рую можно получить для всех течений, за исключением кольце-
вого. Функция ох ( ) лучше всего получается на основании данных
по течению в зазоре между конусом и пластиной, но может быть
получена и по измерениям в течении Куэтта. Наиболее трудной
для измерения является функция сг2 ( ), и, хотя измерения в коль-
цевом и крутильном течениях приводят к определению этой функ-
ции, все же наилучшую возможность для этого дает, по-видимому,
крутильно-коническое течение с <х < 0.

5-3 ТЕЧЕНИЯ РАСТЯЖЕНИЯ

Экстензиометрические функции

Течения растяжения (разд. 3-5) представляют собой течения
с предысторией постоянной деформации, для которых тензор N
симметричен:

N = N1'.	(5-3.1)

Поскольку тензор N удовлетворяет (5-3.1), существует орто-
нормальный базис hft, в котором матрица AN имеет вид



6 о

Тг 0

0 Ъ

(5-3.2)

Из уравнения (3-5.13) имеем

V-v = 0 = tr (AN),

(5-3.3)

и, следовательно, уг и к удовлетворяют следующим условиям:

Т1+т2+?з = 0; А=/т?+у|+т*.	(5-3.4)
Для последующего рассмотрения важно указать, что в случае
течений растяжения имеет место соотношение

tr (N2) = 1,	(5-3.5)

в то время как для вискозиметрических течений

tr (№) = 0.	(5-3.6)

Тензор напряжений при t — 0 дается выражением

т0 = т (0) = Н (fcN),	(5-3.7)

где Н — изотропная функция. Рассмотрим, в частности, ортого-
нальный тензор Q, который в том же самом базисе, в котором удов-
летворяется уравнение (5-3.2), имеет матрицу вида (5-2.5). 11ри
помощи соображений, аналогичных тем, что привели к уравне-
нию (5-2.8), можно доказать, что матрица тензора т0 в базисе hfl
имеет вид

	То (11)	0	0	
[Т0]л =	0	то (22)	0	,	(5-3.8)
	0	0	то (33)	

т. е. что тангенциальные напряжения равны пулю

Поскольку тензор т0 определяется лишь с точностью до произ-
вольного аддитивного изотропного тензора, уравнение (5-3.8)
означает, что т0 полностью определяется двумя его компонентами,
а именно т0 (11) — т0 (22) и т0 (22) — те (33). Эти компоненты
в свою очередь, как следует из уравнения (5-3.7), полностью
определяются значениями Таким образом, можно определить
следующие две экстепзиометрические материальные функции:

т0 (11) — Tq (22) = (ylt у2, ?»)<	(5-3.9)

т0 (22 ) — т0 (33) = аЕ2 (уь у2, уз). (5-3 10)

Дополнительное свойство функций аЕ1 ( ) и оЕ2 ( ) можно
получить при рассмотрении специального случая течения растя-
жения. т. е. «простого») течения удлинения. Для течения удлине-
ния две из величин yt равны, например

У2 = Уз-	(5-3.11)

В силу уравнения (5-3 4) имеется только один независимый
скалярный параметр, который называется скоростью удлинения:

Те = Т1 = —2у2 = — 2?3.

(5-3.12)
Рассмотрим теперь ортогональный тензор Q, матрица которого

в базисе hJt имеет следующий вид:		
	10	0  0 1//2	1/]/2	(5-3.13)
Изотропность фупкци	0 -1/1/2 1/1/2 и Н ( ) требует, чтоб	>[
т	0 <22 > = т0 <33).	(5-3 14)
т. е. чтобы	ОЕ2 = 0-	(5-3.15)

Таким образом, необходимо рассматривать только одну характе-
ристику удлинения материала; эго применяемая в общем случае
функция вязкости удлинения ?)е ( ), определяемая как

—->^?^ = ЯВ(ТЕ)-	(5-3.16)

ТЕ

Величину вязкости удлинения для ньютоновских жидкостей
впервые определил Трутон [4], и поэтому вязкость удлинения
часто называют вязкостью Трутока. Для ньютоновских жид-
костей вязкость удлинения постоянна и равна утроенной вязкости.
Поскольку ньютоновскому уравнению состояния удовлетворяют
все простые жидкости с затухающей памятью в предельном случае
медленных течений, вязкость удлинения и вискозиметрическая
вязкость связаны следующим общим соотношением:

lim т]е (ya) = 3 lim т]у (/с2).	(5-3.17)

YB->0	ft-* О

Экстензиометрические течения

В противоположность вискозиметрическим течениям примеры
экстензиометрических течений с ограничивающими поверхностями
неизвестны. Напротив, течения со свободными границами могут
быть экстензиометрическими. Один специальный класс таких
течений описывается в декартовых координатах следующими урав-
нениями для вектора скорости:

г1 = у1а;1,	(5-3.18)

у2 = у2х«,	(5-3.19)

v3 — у3т3	(5-3.20)

с связанными друг с другом уравнением (5-3.4).

Такие течения являются безвихревыми (W = 0), и естествен-
ный базис декартовой системы координат (постоянный во всех
точках пространства) таков, что в нем [F*lb выражается уравне-
нием (5-1.13) с матрицей [N], определяемой выражением ти-
па (5-3.2).

Поскольку тензор Ff постоянен по пространственным коорди-
натам, то существует тензор напряжений т, и, следовательно,
уравнение (5-1.37) сводится к виду

Ртг=-^-	<5-3-21)

Из уравнений (5-3.18) — (5-3.20) легко вычисляется вектор
ускорения DvlDt, который можно представить в виде градиента
скалярного поля. Следовательно, рассматриваемое течение конт-
ролируемо, причем поле избыточного давления определяется
соотношением

^ = / (/) + ‘/2р [(71х‘)2 4- (у2х2)2 + (Уз*3)3! 	(5-3.22)

К сожалению, поле избыточного давления (5-3.22) нереально
для течения со свободными границами, и, следовательно, экстен-
зисметрические течения не могут быть легко реализованы, если
условия таковы, что нельзя пренебречь силой тяжести и инер-
ционной силой. Если же это можно сделать, постоянство давления
делает это течение контролируемым [5].

5-4 ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ТЕЧЕНИЯ

Определение периодических течений было дано в разд. 5-1. Сле-
дует повторить, что, поскольку такие течения представляют
интерес в реометрии в предельном случае очень малых деформа-
ций, определяющее уравнение (5-1.24) должно удовлетворяться
только с точностью до членов первого порядка по величине дефор-
мации.

Имеются в основном два типа реометрических систем, исполь-
зуемых для экспериментов но периодическим течениям; мы будем
называть эти два типа эйлеровым и лагранжевым. Хотя оба типа
допускают реометрическое определение комплексной вязкости т)*,
они значительно различаются по своему характеру: в то время
как лагранжевы периодические течения представляют собой
течения с предысторией постоянной деформации, эйлеровы перио-
дические течения таковыми не являются

Системы с эйлеровым периодическим течением

В системах с эйлеровым периодическим течением испытываемый
образец материала подвергается синусоидально зависящим от
времени малым деформациям при помощи реально воздействующих
на некоторую физическую границу синусоидальных вибраций.
С точностью до членов первого порядка малости по величине
деформации уравнению (5-1.24) удовлетворяет тензор тс* (t),
синусоидально зависящий от времени, скажем

рф

$*(*)=- —	(5-4.1)

где Г* — постоянный тензор:

Г*^ГН-1Г1.	(5-4.2)

Из уравнения (5-1.34) тензор скоростей деформации D выра-
жается в следующем виде:

D = Re {--------} =уВе {ГМ»'}	(5-4.3)

и, как легко видеть, синусоидально изменяется со временем.
Аналогично, как видно из уравнения (5-1.35), тензор напряже-
ний также синусоидален во времени:

т = Re {2цжБ*} = Re {т]*Г*е{*'}.	(5-4.4)

Разумеется, уравнения (5-4.3) и (5-4.4) выполняются в отдель-
ности для каждой компоненты входящих туда тензоров Если мож-
но измерить одну компоненту тензора т (будем обозначать ее
через а) и аналогичную компоненту тензора 2D (которую будем
обозначать через у), то можно вычислить по этим данным комплекс-
ную вязкость ту*.

Действительно, пусть Г* есть компонента тензора Г*, одно-
родная как по а, так и по у. Поскольку последние величины
периодичны по времени с частотой со, можно записать

У = Ут cos (со* 4- <ру),	(5-4.5)

о — от cos (го/ + фст),	(5-4.6)

где ут и от — амплитуды, а <р? и <рст — фазовые сдвиги скорости
деформации и напряжения соответственно. Имеем

Г* = ?т/Фт.	(5-4.7)

п*Г*--=ате<<₽«.	(5-4.8)

Комплексная вязкость ц* непосредственно определяется из
уравнений (5-4.7) и (5-4.S):

т]* = ^-е'Ф,	(5-4.9)

Ут
где

Ф = <рст — <pv.	(5-4.10)

Следовательно, комплексную вязкость ц* можно вычислить,
если на некоторой физической границе измерены величины ут,
ат и Ф. Основная трудность заключается в определении по резуль-
татам измерений величины ут1 которое требует решения уравне-
ний движения, т. е. вычисления пространственного распределения
скоростей деформаций.

Решение уравнений движения представляется, вообще говоря,
тривиальным, если пренебречь силами инерции в жидкости. При
таком упрощении легко вычислить значение ут на основании
кинематики физических границ системы. Фактически существует
другой метод определения ц*, базирующийся только на кинема-
тических измерениях (в то время как использование уравнения
(5-4 9) предполагает также измерение напряжений). Этот метод
будет подробно обсужден только для некоторой геометрически
простой ситуации, анализируемой ниже. Для случаев, относя-
щихся к другой геометрии, будут приведены лишь окончательные
результаты.

Периодический стационарный плоский сдвиг

Рассмотрим периодическое плоское сдвиговое течение, ноле ско-
рости которого описывается в некоторой декартовой системе
координат xi выражениями

н1 = Re {а* (х2) № },	(5-4.11)

у2 = у3 = О,	(5-4.12)

а* (х2) = ап (х2) — iai (х2).	(5-4.13)

Стандартные вычисления позволяют определить функцию G1.
С точностью до членов первого порядка малости но величине
деформации (т. е. по | а*' |/| со |) имеется лишь одна отличная
от нуля компонента тензора G‘, а именно компонента с индек-
сом 12:

<?(2=Re{-	е’°'[1 — е~’оя] | ,	(5-4.14)

где

Г*(х2)«=-^г[а*(х2)] = а*'.	(5-4-15)

Следовательно, рассмотренное течение представляет собой эйле-
рово периодическое течение, и уравнение (5-4.9) удовлетворяется
при ст = т-j и у = 2Л12.

Уравнения движения в направлениях 1 и 2 имеют вид

Эх!
д-р
dx2

dv1	<7т12

P~t	дх* ’

0.

(5-4.1G)

(5-4.17)
Касательное напряжение о = т12 определяется из уравнения
(54 4):

а = Be	(5-4.18)

При подстановке уравнений (5-4.lt), (5-4.15) и (5-4.18) в урав-
нение (5-4.16) поле избыточного давления определяется как

55 = / (j) — х1 Re {<^ Vй'},	(5-4.19)

где

3^* = picoa’ —	(5-4,20)

a a*" — обычная вторая производная от а*.

Предположим теперь, что рассматриваемое течение реализует-
ся для образца материала, заключенного между двумя плоскими
пластинами, одна из которых (ж2 = 0) неподвижна, а другая
(ж2 == h) вибрирует по синусоидальному временному закону:

ж2 = 0, и1 = 0,	(5-4.21)

ж2 = h, v1 = V cos (®i) = Re {Ve™}.	(5-4.22)

Приближение малых деформаций предполагает, что V/ha
мало, и уравнение (5-1.24) выполняется с точностью до членов
первого порядка по V/h®.

При таких условиях избыточное давление было бы постоянно
в направлении ж1, а именно = 0, и, следовательно,

а*" -|- а?а* = 0.	(5-4.23)

где

а2= — -(5-4.24)

Параметр а2, размерность которого обратно пропорциональна
квадрату длины, появляется во всех задачах о периодическом
течении в качестве масштаба для измерения откссительного вклада
инерционных сил.

В силу соотношений (5-4.11), (5-4.21) и (5-4.22) граничные
условия, связанные с уравнением (5-4.23), имеют вид

я2 = 0, а* = 0,	(5-4.25)

ж2 = h, а* =, V,	(5-4.26)

и, следовательно, распределение скоростей выражается соотно-

шением	(5-4.27)  81п(аЛ; •	'	'

Распределение скоростей сдвига, согласно уравнению (5-4.15),

есть	(5-4.28)  sin (art)	4	'
Если напряжение измеряется на неподвижной плоскости х2, =
— О, то скорость сдвига у выражается так:

у (0) = Ro {Г* (0)	= Re {	.	(5-4.29)

При малом ah (т. е. когда силы инерции пренебрежимо малы)
имеет место простое выражение

Y(O) = Rc {2-е^[1+“2^- }	(5-4.30)

Необходимо подчеркнуть два обстоятельства. Во-первых, рас-
сматриваемое здесь течение описывается уравнениями (5-4.11) —
(5-4.13) и (5 4.21), (5-4.22), которые просто получаются из урав-
нений, описывающих стационарное плоское сдвиговое течение
между двумя параллельными плоскими пластинами, умножением
па периодический множитель eiai. Из уравнения (5-4.30) следует,
чти в предельном случае а2 = 0 скорость сдвига у равна величине,
которая была бы скоростью для стационарного плоского сдвиго-
вого течения, умноженной на тот же самый множитель. Переход
от стационарного описания поля скоростей к эйлеровому периоди-
ческому течению путем умножения на eiwf является общим прави-
лом для всех вискозиметрических течений. Эквивалентность диф-
ференциальных уравнений для распределения скоростей в перио-
дическом течении (для плоского сдвигового течения — зто урав-
нение (5-4.23)) и для стационарного течения фактически пред-
ставляет собой следствие пренебрежения силами инерции.

Во-вторых, следует подчеркнуть, что, в то время как распре-
деление скоростей в предельном случае а2 = 0 пе зависит от
свойств материала (например, от ц*), корректирующий инерцион-
ный член дает даже в первом приближении зависимость от ф*
(см. уравнение (5-4.30)). Следовательно, реометрический расчет
лучше всего выполнять при условиях, когда инерция учитывается
корректирующим членом, значение которого можно вычислить,
используя для н* приближение нулевого порядка (т. о. результат,
полученный при пренебрежении инерцией)

Рассмотрим теперь второй метод для определения ц*, который
основывается только на кинематических измерениях. Определим
для этого функцию смещения б (х2) в виде

б = Re {б*е’«'}; «* = -J.	(5-4.31)

(Все материальные точки в течении, описываемом уравнениями
(5-4.11) — (5-4.13), движутся периодически; величина б описы-
вает смещение относительно средней точки траектории.) Можно
представить б в виде

6 = бт cos (tot ф); б* = бте’11’,	(5-4.32)
и, следовательно,
л* я

=	(5-4.33)

6	ffl2

где

¥ = фх — фв.	(5-4.34)

Измеряя амплитуды смещений 8mt и 6mi и их фазовый сдвиг Vr,
можно получить значение т|* при условии, что отношение 6?/6*
можно вычислить из уравнений движения. Для этого из уравне-
ний (5-4.23) и (5-4.31) имеем

6*" + а26* = 0,	(5-4.35)

что представляет собой уравнение движения, выраженное в терми-
нах функции смещения. Предположим далее, что пластина при
х2 = h вибрирует синусоидально:

х2 = Л,	6* = ^,	(5-4.36)

в то время как пластина при з? = 0 удерживается упругой пру-
жиной с коэффициентом жесткости К и массой М (и то и другое
па единицу поверхности):

х2 = О, а = т}*io)6* 'ei<ut = S6*e iwt, (5-4.37)
где

S = К - JfoA	(5-4.38)

Уравнение (5-4.37) представляет собой уравнение движения для
пластины, расположенной при х2 = 0. Дифференциальное урав-
нение (5-4.35) при граничных условиях (5-4.36) и (5-4.37) имеет
интеграл

_ V cos (ax2) -|- (У/ч*<<ь’Т’1 sin (ax2)
to cos (ah) + (.S/p*i(oa) sin (ah) '

(5-4.39)

Таким образом, для отношения смещений на двух пластинах (свя-
занного с измеряемыми величинами 8mh и = фл—ф0
уравнением (5-4.33)) имеем следующее уравнение:

6*	$

г* = cos (ah) 4- —— sin (ah),
о*	’ т]*гй)а '	'

(5-4.40)

Уравнение (5-4.40) позволяет в принципе вычислить ц* по
измерениям величии 6тд, 6то и У. Эта методика довольно сложна,
если не пренебрегать инерцией жидкости. В этом случае (5-4.40)
сводится к соотношению

6mo	шр*

(5-4.41)
Заслуживает обсуждения сравнение относительных преиму-
ществ двух методов определения т;*, основанных на использовании
уравнений (5-4.9) и (5-4.41). В обоих случаях измеряется кине-
матика движущейся пластины, но в то время как при использо-
вании уравнения (5-4.9) предполагается, что измерение напряже-
ния производится па неподвижной пластине, использование
уравнения (5-4.41) включает измерение движения заторможенной
пластины. Поскольку на практике измерение напряжения всегда
связано с измерением изгиба некоторого упругого ограничиваю-
щего элемента, два метода различаются в основном в следующем:
уравнение (5-4.9) требует использования весьма жестких ограни-
чений, так что заторможенная пластина почти неподвижна, в то
время как уравнение (5-4.41) позволяет использовать более сво-
бодный ограничивающий механизм (в установках с вращением
это обычно работающий на скручивание стержень). При исполь-
зовании уравнения (5-4.41) следует позаботиться о том, чтобы
частота вибрации не совпадала с собственной частотой затормо-
женной пластины со0. Действительно, при ш = соо имеем 5 = 0,
и уравнение (5-4.40) или (5-4.41) не позволяет определить ц*.
В дальнейшем будут приведены лишь основные результаты, от-
носящиеся к течениям более сложной геометрии; за всеми подробно-
стями читатель отсылается к соответствующей технической лите-
ратуре.

Периодические винтовые течения

Периодическое винтовое течение [G] описывается в цилиндриче-
ской системе координат г, 0, z следующими уравнениями для
физических компонент вектора скорости:

н(г) = 0,	(5-4.42)

v (0) == г Be {Й* (г) е’®1},	(5-4.43)

v <z) = Re {zz* (г) eicoi).	(5-4.44)

С точностью до членов первого порядка по величине деформа-
ции существуют лишь две отличные от нуля компоненты напря-
жений и скоростей деформаций

ое = т (г9> -= г Re	(5-4.45)
oz = т (r«) = Re	(5-4.46)
уо = 2D <r0 > = г Re	(5-4.47)
yz — 2D (rz) = Re {u*'eM}.	(5-4.48)
Из уравнений движения получаются следующие уравнения,
описывающие распределения избыточного давления и скорости:

^=Re{^V“'},	(5-4.49)

^* = /*(г)—zV,	(5-4.50)

_£! .4-Q*"_|-a2Q* = 0,	(5-4.51)

±!L+u-+a2«4_^. = 0.	(5-4.52)

Заметим, что Re {л*е’а<} представляет собой градиент избыточ-
ного давления в направлении z. Этот градиент может быть отлич-
ным от пуля, если, например, прикладывается синусоидально
изменяющийся во времени перепад давления, как в осциллирую-
щем течении Пуазейля.

Общие интегралы уравнений (5-4.41) и (5-4.42) имеют вид

rQ*^-C'V1(ar)-|-/J'*y) (ar),	(5-4.53)

u* = XVо (ar) + Б*Уе (ar) + ~,	(5-4.54)

где Jo ( ), /г ( ) и У0 ( ), Ух ( ) — функции Бесселя первого
и второго рода соответственно, а Л*. Б*, С* и 1)* — комплексные
постоянные интегрирования, которые следует определить из гра-
ничных условий. Радиальное распределение давления дается
выражением

/* —р ' rQ*dr.	(5-4.55)

Поправочные члены первого порядка к решениям, построенным
в пренебрежении инерцией, для представляющих интерес геомет-
рических условий приводятся в литературе [7].

Крутильное течение и течение в зазоре
между конусом и пластиной

Как уже указывалось в разд. 5-2, и крутильное течение, и течение
ь зазоре между конусом и пластиной не контролируемы, если
только но пренебрегать инерцией. Физически этот факт легко
объясняется при помощи следующего рассмотрения. Чтобы урав-
новесить центробежные силы, необходимо иметь неоднородное
распределение давления по радиусу. Поскольку угловая скорость
не постоянна вдоль направления z (крутильное течение) или
вдоль направления 9 (течение в зазоре между конусом и пласти-
ной), такое распределение давления будет формировать вторичные
течения в этом направлении.
При рассмотрении периодической формы крутильного течения
и течения между конусом и пластиной вначале может показаться,
если только не рассматривать безынерционное приближение, что
течение не контролируемо, поскольку инерционные силы делают
таковым даже стационарную форму течения. В действительности
дело обстоит не так: на самом деле, инерцией в радиальном на-
правлении (т. е. центробежными силами) можно пренебречь,
но инерцией в направлении течения (вследствие осциллирующего
характера периодического течения) пренебрегать нельзя.

Чтобы объяснить это, рассмотрим крутильное течение между
неподвижной плоской пластиной и верхней пластиной, подвергае-
мой осциллирующему вращению:

z я Л, = Re	(5-4.56)

Центробежные силы и силы инерции в направлении точения
па верхней пластине выражаются в виде

р-	₽ - pr [Re {QV“'}]2,	(5-4.57)

р	=. рг Re	(5-4.58)

Следовательно, сплы инерции значительно превышают центро-
бежные силы, если частота колебаний много больше амплитуды
скорости вращения, т. е. если

| со | » | Q* |.	(5-4.59)

Поскольку соотношение (5-4.59) представляет собой, кроме того,
условие малости деформаций, очевидно, что при реометрическом
определении ц* в периодическом крутильном течении и в течении
между конусом и пластиной сплы инерции, возникающие вслед-
ствие колебаний, действительно доминируют над центробежными
силами, так что учет первых и пренебрежение последними оправ-
даны.

Система, включающая конус и пластину, была подробно про-
анализирована Нэлли [8]; приближенные уравнения для этой
задачи были даны Уолтерсом и Кэмпом [9]. Эта система не особенно
полезна вне безынерционного диапазона, где, разумеется, про-
странственное распределение скорости деформации получается
непосредственно из решения для стационарного течения (см. обсу-
ждение, следующее за уравнением (5-4.30)). Система с кругильно-
периодическим течением изучалась Уолтерсом и Кэмпом [10];
соотношение для ц*, основанное па измерении кинематики двух
пластин, вновь дается уравнением (5-4.40) при
где К — константа восстановления крутильного стержня, а I —
момент инерции ограничивающей пластины.

Системы с лагранжевым периодическим течением

В лагранжевых периодических течениях поле скоростей стацио-
нарно в эйлеровом смысле в некоторой системе отсчета. В такой
системе отсчета каждая материальная точка циклически пере-
мещается по замкнутой траектории и элементы материала под-
вергаются периодическим деформациям. Кроме того, лагранжевы
периодические течения являются течениями с предысторией
постоянной деформации, и, следовательно, тензор ф* в уравнении
(5-1.24) не зависит от Д):

G‘= Re {ф*[1—«-«•]}.	(5-4 61)

Из уравнения (5-1.30) получаем

т = йр'фг — (т'фв	(5-4.62)

Поскольку, вообще говоря, нулевые компоненты тензора
фг соответствуют нулевым компонентам тензора ф>к и наоборот,
значения р' и С получаются измерением двух компонент тензора т

Как и для систем с эйлеровым периодическим течением, под-
робный анализ будет произведен только для простой системы,
в то время как для систем с более сложной геометрией будут
приведены только основные результаты.

Течение в ортогональном реометре Максвелла

Ортогональный реометр Максвелла [11, 12] состоит из двух пло-
ских параллельных пластин, вращающихся в их плоскостях
с одинаковой угловой скоростью Q относительно двух параллель-
ных, но не совпадающих осей, Пусть h — расстояние между пла-
стинами, а а — расстояние между осями вращения. Будем исполь-
зовать две различные системы координат. Одна из них — декар-
това система с осью z, ортогональной обеим пластинам, имеющим
аппликаты z = 0 и z = h‘ абсцисса и ординаты осей вращения
суть х — 0, у = ±а/2. Другая система — цилиндрическая, ось z
которой совпадает с осью z декартовой системы, а плоскость
0 = 0 совпадает с плоскостью z, х Граничные условия для рас-
пределения скоростей имеют вид

z = 0, п(г)=—yQcos0,	(5-4.63)

di

z = 0, v (0) — £2, sin 0 j,	(5-4.64)

x) Здесь частота обозначена через Q, поскольку она в действительности
совпадает с угловой скоростью некоторой физической границы, а не с часто-
той налагаемых колебаний.
z = h, у (г) = 4" Q cos 0,
Ai

(5 4.65)

z = h, у(0) —Q'r—-^-sinOj.	(5-4.66)

Предполагаем, что распределение скоростей имеет следующий
вид:

v (r) — a Re {u * (z) eia},	(5-4.67)
v (0) = rQ-f-a Re [iu * (z) eT'e),	(5-4.68)
v (z) = 0,	(5-4.69)
так что граничные условия сводятся к	
z = 0, и* = —V2Q,	(5-4.70)
z = h, и* — VjQ,	(5.4.71)
а уравнение неразрывности удовлетворяется	тождественно.

Далее будем предполагать, что a!h мало, и поэтому запишем
все соответствующие уравнения с точностью до малых первого
порядка по a/h; эго эквивалентно тому, что мы ограничиваемся
рассмотрением малых деформаций. При таких упрощающих пред-
положениях оказываются отличными от нуля лишь две компо-
ненты тензора G1:

Gl (rz) = Re { ~ [1 — u*'eie } ,

Gl (z0) = Re { — < [1 - е~<a»j u*'ei0 } .

(5-4.72)

(5-4.73)

Из соотношений (5-4.72) и (5-4.73) следует, что рассматривае-
мый тип течения принадлежит фактически системам с лагранже-
вым периодическим течением. Разумеется, существуют лишь две
отличные от нуля компоненты напряжений, например, как это
следует из уравнения (5 1.29),

т (rz) = Re {q*u*'aei0} =

= Rc {r|*u*'} a cos 0 — Im {г]*и*'} a sin 0,	(5-4.74)

т (r0) = Re	=

— —Im (q*u*'} a cos fl — Re	a sin 0.	(5.4.75)

E любом сечении z = const полные силы, действующие в направ-
лениях х и у, имеют вид

Fx — aR2 [т (rz ) cos 0 — т (0z) sin 0],	(5-4.76)

Fv = nR2 [т (rz) sin 0 4 т (0z ) cos 0],	(5-4.77)
или, подставляя уравнения (5-4.74) и (5-4.75), имеем

Fx - iFy = ajt2?2q*a*'.	(5-4.78)

Поскольку могут быть измерены как величина Fx, так и Fy,
можно определить комплексную вязкость ц* при условии, что
функцию и* (z) можно вычислить из уравнений движения.

Если предположить, что поле избыточного давления не зави-
сит от 0. то можно записать

^ = S»o4-^,	(5-4.79)

так что с точностью до членов первого порядка по а центробежные
силы уравновешиваются силами давления х), и уравнения дви-
жения вырождаются в единственное уравнение

u*" = a2u*,	(5-4.80)

где

а2 = -^.	(5-4.81)

Уравнение (5-4.80) с граничными условиями (5-4.70) и (5 4.71)
дает

. „ Q sh (<xz)-f-sh [a (z—h)f

U ~~ 2 sh (ah)
и

Qu ch (az)-f-ch fa, (z—fe)|

U ~ 2	sh (ah)

Если пренебречь инерцией (a -> 0), то

(5-4.84)

что вместе с уравнением (5-4.78) позволяет немедленно определить
q' и C/7Q по измеряемым величинам.

(5-4.83)

Реометр Кепеса

Б реометре Кепеса [13] образец материала находится между двумя
концентрическими сферами, вращающимися с одной и той же
угловой скоростью Q относительно двух диаметральных осей
вращения, образующих друг с другом малый угол е. Если х —
некоторая ось, лежащая в плоскости, образуемой двумя осями
вращения, ортогональная к одной из них и проходящая через
центр сферы, и если у — ось, проходящая через центр сферы

х) Заметим, что з формуле (5-4.79) для поля давления предполагается,
что давление па свободной границе образца постоянно лишь с точностью
до членов первого порядка малости по а!К. С такой же точностью Fx и F,,
пе зависят от z.
и ортогональная осям вращения, можно измерить моменты
Сх и Су. Можно показать, что с точностью до членов второго
порядка малости по аМ2 выполняется следующее уравнение:

Сх-1Су = 8ы-^	^],	(5-4.85)

где г2 и гг — радиусы внешней и внутренней сферы, a d = г2 — гх.
Интересно отметить, что для значений Сх и С у поправка первого
порядка, учитывающая влияние сил инерции, оказывается нуле-
вой. Приближение малых деформаций оказывается справедливым
с точностью до первого порядка малости по е.

Реометр Сангамо

В реометре Сангамо [14] образец материала помещается между
двумя цилиндрами, вращающимися с одинаковой угловой скоро-
стью Q вокруг их осей, которые параллельны друг другу, по раз-
несены на малое расстояние а. Если z — ось вращения внутреннего
цилиндра, ось у ортогональна оси z и проходит через обе оси
вращения, а ось х ортогональна как z, так и у, то можно измерить
силы Fx и Fу. Можно показать, что с точностью до членов первого
порядка малости по сА£2 и rf2/r, выполняется следующее уравнение:

Fx-iFy	р __“^j}	(5-4.86)

где L — длина цилиндров, d — разность их радиусов, а гх — ра-
диус внутреннего цилиндра. Приближение малых деформаций
справедливо в этом случае с точностью до первого порядка малости
по величине aid.

Нелинейная вязкоупругость

Кроме определения комплексной вязкости т]*, системы с перио-
дическим течением можно использовать для определения допол-
нительных свойств функционала $) в предельном случае очень
малых деформаций. Для обсуждения этой возможности необходи-
мо рассмотреть приближение второго порядка для функционала
выражаемое уравнением (4-3.25) и приводимое ниже:

ОО	ОО ОО

т = — pl -I- j / (s) G' (з) ds + f у {а (s,, s2) GJ (зх) • G* (зг) +
о	о о

+ 3 («1, «г) tr [Gf (sj)] G‘ (з.)} dst ds2.	(5-4.87)

Рассмотрим теперь описываемое уравнениями (5-4,11) —
(5-4.13) течение, удовлетворяющее граничным условиям (5-4.25)
и (5-4.26), т. е. периодическое плоское сдвиговое течение между
неподвижной и движущейся плоскими пластинами. Матрица функ-
ции F1 имеет вид

	1 -eF 0	
[F‘]6 =	0	1	0	,	(5-4.88)
	0	0	1	
где 8 — модуль деформации:		
	V в = -т—, kw ’	(5-4.89)

a F — функция t и s:



(5 4.90)

Порядок величины F равен единице. Обсуждение периодического
плоского сдвигового течения, проведенное ранее, основано на
оценке всех соответствующих величин с точностью до членов пер-
вого порядка малости по 8.

Допустим теперь, что мы хотим работать с точностью до вели-
чин второго порядка малости по е. Это означает, что уравнение
состояния должно быть записано в форме (5-4.87), поскольку
вклад второго интеграла в полное напряжение содержит члены
порядка е2. Функция G4 имеет матрицу

[G']-

e2F2

-eF

0

— eF 0

0 С

0 0

(5-4.91)

Интересно заметить, что даже первый интегральный член урав-
нения (54.87) при использовании приближения, учитывающего
второй порядок малости по е, приводит к возрастанию разпости
первых нормальных напряжений ти — т22. Поскольку частота
изменения компоненты ость 2ю, а пе ю, разность первых нор-
мальных напряжений характеризуется частотой, которая в два
раза больше частоты изменения касательных напряжений.

Деформационные члены, появляющиеся во втором интеграль-
ном члене уравнения (5-4.87), имеют следующие матрицы:

tr [Gf (s£)] G* (я2) =0 (s3),

[G'(si)-G's2)] =

(5-4.92)

(5-4.93)

О	О

e^.Wa) О

О	О

f2F(SjH(M

О

О

4 6>И.

Таким образом, очевидно, что с точностью до второго порядка
по е второй интеграл пе дает вклада ни в т12, ни в ти — т22. Раз-
пость вторых нормальных напряжений т22 — т33 тоже имеет часто-
ту 2со и происходит от члена в уравнении (5-4.87). содержащего
а ($п s2). Таким образом, можно сделать следующие выводы:

(1)	Приближение второго порядка не дает поправки к зна-
чению с12.

(ii)	Поскольку измерение функции т)*(со) весьма сложно опре-
деляет функцию / (я) (см. уравнение (5-1.28)), заслуживает
внимания измерение ти — т22, что в принципе позволяет
провести содержательную проверку эксперимента или
гипотезы простой жидкости х).

(ш) Измерение разности вторых нормальных напряжений
позволяет в принципе получить информацию о функции
a(sj, s2).

Следует иметь в виду, что уравнение (5-4.87) основывается
на гипотезе о том, что функционал Jg имеет второй дифференциал
Фреше в предыстории покоя — предположение, которое может
не выполняться для некоторых материалов.

ЗАДАЧИ

5-1 Рассмотреть систему течение в которой: описывается в ортогональной
системе координат х‘ уравнениями

а1 — и (х2, х3),
= уЗ = о

Каким условиям должны удовлетворять gtj, чтобы такое течение было
ьискозимстрическим?

5-2 Рассмотреть систему, течение в которой описывается в неортогоиальпой
системе координат х' уравнениями

у1 = и (х2),
у2 = рЗ = о.

Каким условиям должны удовлетворять д,-у, чтобы такое течение было
вискозиметрическим?

5-3 Рассмотреть течение, описываемое в декартовой системе координат
уравнениями

pl = ух2,
1>2 — ух1,
!? = 0.

Является ли это течеиие течением с предысторией постоянной дефор-
мации? Если да, то принадлежит ли оно к какому либо известному типу?

]) Внутренне непротиворечивые опыты такого типа иногда возможны
в рамках систем реомегрических точений. Примерами могут служить урав-
нение (5-1.44), связывающее релаксацию напряжений с данными для перио-
дического течения, или уравнение (5-3.17), связывающее данные по течению
удлинения с вискозимотричоскими данными.
Если да, то вычислить ноле напряжений через хорошо определимые
материальные функции.

5-4 Рассмотреть течение, описываемое в ортогональной системе и», для
которой зависят только от г2, следующими уравнениями:

pi = Be {«♦ (x2)

а2 = О,

о2 = Ве {о* (ж2) eiaf}.

Соответствует ли эта система эйлерово му периодическому течению?

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.	Coleman В. D., Markowitz Н., Noll W., V iscometric Flows of Non-New-
tonian Fluids, Springer-Verlag, Berlin, 1966.

2.	Marsh B. D , Pearson J. B. A., Rheul. Acta, 7, 326 (1968).

3.	Yin W. L , Pipkin A. C., Arch. Ration. Meeh, and Analysis, 37, 111 (1970).

4.	Trouton E. T., Proc. Roy. Soc., A77, 426 (1906).

5.	Coleman B. D., Noll W., Phys. Fluids, 5, 840 (1962).

6.	Markowitz H., Coleman В D., Phys. Fluids, 7, 833 (1S64).

7.	Ferry J D Viscoelastic Properties of Polymers, Wiley, New York, 1961.

8.	Nally M. C., Brit. J. Appl. Phys., 16, 1023 (I960).

9.	Walter K., Kamp R. A.. Deformation and Flow of High Polymer Systems,
Macmillan, 1967.

10.	Walter K.. Kemp R. A., Rheol. Acta, 7, 1 (1967).

11.	Bird R B., Harris E. К., A. I Ch. E. J, 14, 753 (1968).

12.	Abbott T N. G., Walters K., J. Fluid Meeh.. 40, 205 (1970).

13.	Walters K., J Fluid Meeh., 40. 191 (1970).

14.	Abbott T. N. G., Walters K.. J. Fluid Meeh., 43, 257 (1970).
6

УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ

6-1 КЛАССИФИКАЦИЯ

В этой главе мы обсудим некоторые из многочисленных уравнений
состояния для жидкостей с памятью, которыэ предлагались
в литературе. Все они являются частными видами общего уравне-
ния состояния простых жидкостей, т. е. предполагается, что
функционал в (4-3.12) имеет несколько болэо конкретный вид.
Рассматриваемые типы определяющего функционала удовлетво-
ряют гипотезам гладкости, которые могли обсуждаться или не
.обсуждаться в гл. 4. Уравнения состояния, которые будут при-
ведены ниже, представляются важными по следующим причинам.

В гл. 5 рассматривались результаты применения теории про-
стых жидкостей к ряду реологических течений. В каждом из рас-
сматриваемых случаев' задача сводилась к определению несколь-
ких материальных функций, которые следует определять экспе-
риментально при отсутствии вспомогательных допущений. В об-
щем случае нельзя получить теоретических соотношений, касаю-
щихся материальных фупкций для реологических течений различ-
ного типа. Напротив, если выбрать частное уравнение состояния,
то вид материальных функций можно найти априори, и лишь
небольшое число параметров подлежит экспериментальному опре-
делению. Кроме того, это позволяло установить определенные
соотношения, касающиеся результатов для различных типов
реологических течений.

Следует заметить, что большинство встречающихся в инженер-
ных приложениях течений кинематически более сложно, чем те,
которые были названы реологическими. Для таких течений общая
теория простых жидкостей может дать лишь весьма ограничен-
ные (если даст какие-либо вообще) результаты, в то время как
часто можно провести анализ этих течений с помощью более спе-
циальных уравнений состояния. В гл. 7 будет рассмотрен ряд
примеров такого тина.

Можно указать, наконец, что многие конкретные уравнения
состояния основаны, по крайне мере частично, на модели микро-
скопической структуры рассматриваемого материала. Например,
исследование полимерных материалов можно проводить при
помощи кинетической теории упоугосги резины. Однако в данной
книге яс будет сделано ударение на аспекте, относящемся к обла-
сти так называемой микрореологии. Скорее мы будем рассматри-
вать эти уравнения как некоторые допущения с состоянии иссле-
дуемой сплошной среды. Эти допущения в большей или меньшей
степени подтверждаются экспериментами с некоторыми частными
материалами.	. ;

Действительно, можно сказать, что весь исследовательский
процесс, проводившийся на протяжении нескольких последних
десятилетий,— введение частных допущений о состоянии, полу-
чение при их помощи определенных результатов и их экспери-
ментальная проверка — является, по существу, методом проб
и ошибок, который, можно сказать, далек от удонлетверитель?-
него завершения. Нашей целью является построение для некото-
рых специальных материалов такого уравнения состояния, кото-
рое отражало бы наблюдаемые на практике свойства этих мате-
риалов и в то же время было бы математически достаточно про-
стым для использования в инженерных приложениях. Разу-
меется, желательно при этом, чтобы число параметров, подле-
жащих экспериментальному определению, было по возможности
ограниченным.

Следуя Трусделлу и Ноллу [1], мы подразделяем уравнения
состояния на три типа: дифференциальные, интегральные и релак-
сационные. К первому типу принадлежат уравнения, определяю-
щие тензор напряжений как функцию дифференциальных кине-
матических величин, относящихся лишь к моменту наблюдения.
Тем пе менее эти уравнения отражают концепцию памяти жидко-
сти. поскольку деформационные тензоры более высокого порядка
содержат некоторую информацию о прошлых деформациях
в смысле, уже обсуждавшемся в разд. 3-2.

Уравнения второго типа можно представить себе как частные
случаи уравнения (4-3.12) для простой жидкости, когда функцио-
нал Q определяется при помощи одного ели нескольких интегра-
лов. Уравнения состояния как дифференциального, так и инте-
грального типа разрешены относительно тензора напряжений.
Этого нельзя сказать об уравнениях состояния релаксационного'
типа. Действительно, они содержат по меныпей мере одну про-
изводную по времени от тензора Напряжений. Скорость изменения
(или релаксация) напряжений, фигурирующая в уравнениях тако-
го типа, даст название этому типу уравнений.

6-2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ

Наиболее общее уравнение этого типа было впервые рассмотрено
Ривлином и Эриксеном [2] и теперь общеизвестно как уравнение
состояния Ривлина — Эриксена для вязкоупругих жидкостей.
Согласно этому уравнению, напряжение предполагается функ-‘
цией первых п тензоров A.N Ривлина — Эриксена (см. разд. 3-2):
т = М (Ах, Аг, . . ., Ап).	(6-2.1)

Чтобы выполнялся принцип объективности поведения мате-
риалов, функции М (	) должна быть изотропной, т.е.

Q.M(AH ...,AJQ'r = M(Q-A1.QT, ..., Q-An-QT), (6-2.2)
где Q — произвольный ортогональный тензор. Изотропность
функции М и симметричность тензоров Аг, . . ., Ап позволяют
представить функцию М в более явном виде. Например, при п = 2
уравнение (6-2.1) принимает вид

т = <хй1 ахАх осаА2 -|- ос3А$ -|- о^Ад

+аь (АХ*А2 + Аа-Ах) -j- а6 (А® Л2 + А2'АХ) -f-

+ ат (АГА’ + А’-Ах) + а8 (А*-А| + А|-А‘).	(6-2.3)

В силу несжимаемости, а0 в уравнении (6 2.3) представляет
собой произвольный скаляр. Остальные восемь скалярных коэф-
фициентов — инвариантные функции тензоров Лх и Аг.

Может показаться, что с увеличением п, т. о. при использова-
нии тензоров ускорений все более и более высокого порядка,
мы охватим в предельном случае полпую историю деформаций,
и, таким образом, уравнение (6-2.3) при п—г оо станет эквива-
лентным общему уравнению состояния простой жидкости. Однако
это но так, если только пе ограничивать класс возможных предыс-
торий такими, которые достаточно гладкие для того, чтобы было
справедливым разложение (3-2.36)

Это налагает действительно серьезное ограничение. Рассмот-
рим. например, произвольное движение, которое неожиданно
прекращается. После того как движение остановится, все тензоры
становятся нулевыми, и если выполняется уравнение (6-2.1), то же
справедливо и для девиаторных напряжений. Это можно легко
понять из уравнения (6-2 3) для случая п = 2 и из аналогичных
представлений при п > 2 Таким образом, для жидкости, удовлет-
воряющей уравнению (6-2.1), независимо от того, как велико п,
не существует явления релаксации напряжений, которое, напро-
тив, весьма типично для большинства полимерных жидкостей
и в целом проявляется простой жидкостью. Как установлено
выше, это обусловлено разрывом истории деформирования, соот-
ветствующей явлению релаксации напряжений.

В качестве другого примера рассмотрим движение, которое
имеет предысторию, описываемую тензором Коши С (т), непре-
рывным во все моменты времени вместе со всеми своими производ-
ными, а также другое движение с предысторией С' (г), совпадаю-
щей с историей С (т) в интервале t т t и отличающейся
от последней при т < I. Конечно, либо С' (т), либо одна из ее
производных должна быть разрывна в момент т = I. Согласно
уравнению (6-2.1), каким бы ни было значение п, напряжение
при т = t в обоих случаях будет одним и тем же, поскольку
АЛ- одни и те же для обоих движений. Напротив, если использо-
вать общее уравнение состояния простых жидкостей, то два рас-
сматриваемых движения дают в общем случае различные напря-
жения при т = t. Можно установить далее, что для одного из
двух движений, предыстория которого непрерывна вместе со всеми
своими производными, напряжения, вычисляемые по уравнениям
(4-3.12) и (6-2.1), должны совпадать при оо.

Положим теперь в рассмотренном примере, что t значительно
меньше /, т. е. что особая точка была в достаточно отдаленном
прошлом, и деформации, предшествующие моменту i, были «забы-
ты» к моменту t. Ясно, что в этом случае уравнения (4-3.12) и (6-2.1)
также дают для второго движения при достаточно большом п
приближенно тот же самый результат.

Теперь можно лучше понять на интуитивной основе смысл
приближения n-го порядка к уравнению (4-3.12) для «медленных»
течений, которое было приведено в разд. 4-3. Уравнения (4 3.21) —
(4-3.23) дают явные выражения для приближений нулевого, пер-
вою и второго порядков соответственно. Можно непосредственно
установить, что такие уравкения представляют собой частные
случаи уравнения (6-2.1) (вспоминаем, что Ах = 2D; см. уравне-
ние (3-2.28)). Понятие медленных течений можно сделать точным
при помощи методики замедления; см. уравнение (4-3.20). Если
задана предыстория, непрерывная в момент наблюдения, то пре-
дыстория замедления, полученная из нее введением замедляюще-
го множителя а, становится с уменьшением а непрерывной со все-
ми своими производными на все более и более широком интервале
времени, предшествующем моменту наблюдения. В самом деле,
если в определенной предысторий существует некоторая особая
точка, то с убыванием а она смещается все дальше и дальше
в прошлое. Таким образом, при помощи уравнения (6-2.1) все
более увеличивается надежность предсказания правильного пове-
дения. Одновременно уменьшается и значение п, необходимое
для разложения предыстории в рамках заданного приближения.

Заметим, что если, скажем, желательно приближение второго
порядка, т. е. с точностью до членов порядка а2, то необходимее
значение п равно 2, но многие из членов уравнения (6-2.3) также
можно опустить, поскольку7 они имеют порядок а3 или еще более
высокий. Сравнение (6 2.3) п (4-3.23) показывает, что многие
члены исчезают. Кроме того, по той же причине и из-за того, что
tr Ах = 0, коэффициенты в уравнении (4-3.23) должны быть кон-
стантами, а по инвариантными функциями тензоров Лх и А2.
Уравнение (4-3.23) представляет собой приближение второго
порядка для общего уравнения состояния простых жидкостей
в смысле, разъясненном выше. С другой точки зрения это урав-
нение является уравнением состояния некоторого ограниченного
класса жидкостей, называемых «жидкостями второго порядка».
В оставшейся части данного раздела мы будем рассматривать лишь
это уравнение состояния, которое наиболее часто используется
среди других возможных дифференциальных уравнений. Кратко
рассмотрим результаты, полученные на основании этого уравне-
ния для реологических течений, изученных в общем случае в гл. 5.

Перепишем уравнение (4-3.23) в виде

т =	+ Р<А + То^2?	(6-2.4)

и все результаты будут выражаться через эти три материальные
константы т]0, рэ, у0.

1 Три вискозиметрическис функции, определяемые уравнениями
(5-2.9) — (5-2.11), вычисляются, согласно [31 (о вычислении Ах и А2
в вискозе метрическом течении, подобном сдвиговому течению,
см. пример ЗГ), в виде

т (к) = г\ок,	(6-2.5)

ох (fc) = —2y07c2, '	(6-2.6)

<4 № = (Ро + 2ус) к\	(6-2.7)

Из уравнения (6-2.5) следует, что, согласно этой модели, сдвиго-
вая вязкость постоянна и равна т]0. Нояьютоновскио эффекты
описываются разностями нормальных напряжений, отличными
от нуля. Эксперименты с полимерными материалами показывают,
что сь положительно, а <т2, по-видимому, отрицательно и меньше
по модулю стх. Следовательно, величина у0 должна быть отрица-
тельной, а р0 — положительной, причем

Ро < “”2у0.

(6-2.8)

Экстензиометрическпе материальные функции (уравнения
(5-3.9) и (5-3.10)) для жидкости второго порядка имеют вид [4]

Ori <= 2ц0 (ух — у2) 4- 4 (Ро + у0)(у* — у’),	(6-2.9)

^Еа = 2ц0 (у2 — уз) + 4 (р0	у0)(у* — у|).

Вязкость удлинения (уравнение (5-3.16)) определяется в виде

Пе = Зцо 4- 3 (р0 4- ус) уЕ.	(6-2.10)

В продольном случае исчезающе малых значений уЕ вязкость
удлинения, как и ожидается, сводится к Зц0.

Чтобы вычислить комплексную вязкость жидкости второго
порядка, рассмотрим некоторое произвольное периодическое
6-3 Интегральные уравнения состояния 215
движение малой «амплитуды». Уравнение (5-1.24) перепишем
здесь в виде

С = 1 + Revp’ (0	(6-2.11)

Первый и второй тензоры Ривлина — Эриксепа вычисляются как
Ах = Rc {—lanf* (/)},	(6-2.12)

А2 = Re {<в2ф* (t)}.	(6-2.13)

Из уравнения (6-2.4) получаем т' (с точностью до первого поряд-
ка малости по величине Ф* (0):

х' = Re {—го (т}0 -t- гюу0)}ф* (/)}.	(6-2.14)

Сравнение (6-2.14) и (5-1.29) показывает, что, в силу произволь-
ности ф* (t), имеет место равенство

Я* = Яо + ^Yo-	(6-2.15)

Уравнение (6-2.15) можно записать также в виде
Я* = V (Яо + ^о) е®,

Эти уравнения лучше всего могут быть сравнены с уравнениями
(5-4.9) и (5-4.10) для экспериментального определения. Заметим,
что q* не зависит от ро. Кроме того, если у0 ->• 0 или со —0, то

Я* -» Яо.	(6-2.17)

т. е. ньютоновский результат получается либо когда жидкость
не имеет упругости (у0 = 0), либо для достаточно медленного точе-
ния (со -г 0).

Синусоидальные колебания между параллельными пластинами
можно изучить для жидкостей второго порядка без использования
приближения малых деформаций [4]. В частности, установлено, что
разности нормальных напряжений колеблются в фазе с квадратом
градиента скорости.

6'3 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ

Интегральные уравнения состояния представляют напряжения
в форме интегралов от истории деформирования. Мы уже видели,
что общий функционал, описывающий простую жидкость, вырож-
дается в предельном случае малых деформаций в интегральное
уравнение. Приближение первого порядка дается уравнением
(4-3.24), которое переписывается здесь в виде

ОО

j / (s) G* (s) ds.	/6-3.1)

о
Если рассматривать уравнение (6-3.1) как справедливое для любой
предыстории, а не только в продельном случае малых деформаций,
оно представляет собой пример интегрального уравнения состоя-
ния. Физическая предпосылка, лежащая в основе уравнения
(6-3.1), ясна; предполагается, что все деформации, которые имели
место в прошлом и измеряются при помощи тензора Коши, дают
линейный вклад в текущее значение напряжения. Весовая функ-
ция / (в) представляет собой материальную функцию, которая
полностью определяет частный тип материала, удовлетворяющего
такому правилу линейности. Линейное соотношение, выражаемое
уравнением (6-3.1), известно также как принцип суперпозиции
Больцмана.

Однако следует представлять себе, что при рассмотрении дефор-
маций произвольной величины концепция линейной связи между
напряжениями и деформациями уже не может однозначно опре-
деляться из физических соображений. Это происходит потому,
что деформации можно измерить бесконечным числом способов,
которые являются равно обоснованными и среди которых не суще-
ствует средств априорного выбора на основе соображений меха-
ники сплошной среды. Мы можем использовать тензоры U, С
или С-1 либо ввести другие меры деформации. При этом линейная
связь между напряжением и, скажем, С соответствует нелинейной
связи между напряжением и, скажем, С-1. Таким образом, линей-
ное соотношение можно найти лишь после того, как мы знаем
результаты измерения деформаций, для которых устанавливается
это соотношение. Однозначная концепция линейности существует
только в предельном случае бесконечно малых деформаций,
поскольку в этом случае линейность соотношения между т и одной
из величин, определяющих деформацию, означает также линей-
ность связи между т и любой из них *).

Заметим, что аналогичное замечание можно было бы сделать в пре-
дыдущем разделе при рассмотрении уравнений состояния дифференциаль-
ного типа. Мы могли рассмотреть жидкость второго порядка, аналогичную
и в то жо время отличающуюся от той, которая определяется уравнением
(6-2.4). Используя вместо тензоров Ривлина — Эриксена тензоры ускоре-
ния Уайта — Метцнера, мы могли постулировать следующее уравнение
состояния:

t=t1ob1'KPobi2+Yob2-	(6-3.2)

При достаточно медленном течении уравнения (6-3.2) и (6.2.4) дают
одинаковые напряжения, или, говоря более точно, одинаковые с точностью
до членов порядка а2, где а — коэффициент замедления. Однако они дают
различные результаты, если рассматривается движение с произвольной
«скоростью». Можно напомнить, что тензор Ривлина — Эриксена дает тейло-
ровское разложение достаточно гладкой предыстории деформирования, выра-
женной в терминах тензора Коши С, в то время как тензоры Уайта — Метц-
нера получаются при разложении в ряд предыстории, описываемой тензором
С'Ч
В силу вышепроведеннох-о обсуждения видим, что уравнение
(6-3.1) не занимает какого-либо особого положения. Столт, же
вероятным «линейным» соотношением могло быть уравнение

V = F g (s) Н‘ (s) ds; Н* = (С4)"1 -1.	(6-3.3)

о

Будут ли выполняться для данного материала при конечных дефор-
мациях уравнение (6-3.1) или (6-3.3) или другие возможные
«линейные» соотношения, следует решить на основании сравнения
с экспериментом. Действительно, уравнение (6-3.3) даст резуль-
таты, лучше согласующиеся с экспериментальными данными
по полимерным материалам, чем результаты, полученные на осно-
вании уравнения (6-3.1). Кроме того, уравнение (6-3.3) получает
некоторое обоснование в рамках структурных теорий полимерных
растворов и расплавов [5].

Рассмотрим вискозиметрические функции, следующие из урав-
нений (6-3.1) и (6-3.3). Можно обратиться к вычислению G4 и Н4
для линейного течения Куэтта, рассмотренного в примере ЗА
(см. (3-6.11) и (3-6.12)). Из уравнения (6-3.1) получаем

ОО

т (к) = к —sf (s) ds,
о

<Ji(k) — kz —szf(s)ds,	(6-3.4)

о

o2 (A) =. —A2 f — s2f (s) ds,

a

а из уравнения (6-3.3) следует

ОО
т (к) = к f sg (s) ds,
"о

о1[к) = к2 \ s2g (s) ds,	(6-3.5)

о

оа (к) = 0.

В обоих случаях получается, что вязкость не зависит от скорости
сдвига. Это неправильный результат для большинства (если пе для
всех) полимерных материалов; однако если рассматривать пове-
дение очень разбавленных растворов или не слишком большие
скорости сдвига, то результат оказывается приемлемым. Из урав-
нения (6-3.1) следует, что разность вторых нормальных напря -
женин равна по величине и противоположна по знаку разности
первых напряжений. Этот результат сильно расходится с данными
всех экспериментов до полимерным материалам, для которых
значения <т2 оказываются значительно мэньшими, чем соответ-
ствующие значения На самом деле значения <т2 оказываются
столь малыми, что их можно измерить с большим трудом, и при
этом остается еще открытым вопрос, будут ли очи иметь тот же
знак, что и tfj, или противоположный. В этом отношении пред-
сказываемое уравнением (6-3.3) нулевое значение о2 может ока-
заться приемлемым в качестве первого приближения для многих
практических целей.

Игнорируя далее уравнение (6-3 1) вообще, уравнение (6-3.3)
исследуем несколько позже. При рассмотрении достаточно малых
деформаций имеет место равенство х)

Н‘ = —G*.	(6-3.7)

Таким образом, уравнение (4-3.24) можно записать также в виде

ОО

,t'=~J/(S)Hj(s)^	(6-3.8)

и

Более точно, уравнение (6 3.8) представляет собой альтернативную
{по отношению к уравнению (4-3.24)) форму приближенного
представления функционала простой жидкости, справедливую
в предельном случае достаточной «близости» предыстории дефор-
мирования к предыстории покоя. Сравнение уравнений (6-3.3),
(6-3.8) и (5-1.44) показывает, что

g (s) =-£(«)==(в),	(6-3.9)

т. е. g (s) — величина, противоположная по знаку производной
от функции релаксации напряжений.

Изотермические эксперименты по релаксации напряжений
в полимерных материалах, а также микрореологические теории
указывают па тс, что g (s) можно часто выбрать в виде Гб]

Z

g (S) = G 2 -А. ехр ( - -^).	(6-3.10)

1=1

где G - -«модуль упругости», а Ху —«времена релаксации»; X, —
наибольшее из времен релаксации, а другие определяются в его
долях. В ряде случаев можно предположить, что выполняется

х) В*общем случае между "Н!_и G* существует следующее соотношение:

Н* =-G*.(l-|-С<)-1.5	(6-3.6)
соотношение

(6-3.11)

В любом случае влияние /-го члена становится все более и более
незначительным с ростом /, так что точное значение z не требуется,
если оно предполагается достаточно большим.

Подстановка выражения (6-3.10) в уравнение (6-3.3) дает
явное представление для уравнения состояния

Z	ОО

2 VIехр (~тг) н‘(8) ds’ (6'ЗД2)

1=1 3 о	3

Чтобы получить результаты применения уравнения (6-3.12) к одно-
му из обсуждавшихся в разд. 5-3 течений растяжения, рассмотрим
(3-5.40) и (5-3 2). Для экстензиомстрической материальной функ-
ции 6S-E1 (5-3.9) получаем

Z	оо

= {ех₽ [s(2^-v)]“
1=1	о

- exp [s ( 2T2I—]} ds.	(6-3.13)

Аналогичные выражения получаются для <Те« и вязкости удлине-
ния т]е. Очевидно, что интегралы в уравнении (6-3.13) существуют
лишь в том случае, если аргументы экспоненциальных функций
отрицательны. Это определяет предел возможных значений вели-
чины у/ по отношению к величине наибольшего времени релакса-
ции Хр Например, для теченияпудлинения, определяемого урав-
нением (5-3.12), находим

1	1

(6-3.14)

Если ye ue удовлетворяет этому неравенству, соответствующее
течение с предысторией постоянной деформации невозможно. Это
ые означает, что материал не может быть подвергнут постоянному
растяжению со скоростью ?е- Действительно, уравнение (6-3.13)
дает значение, достигаемое напряжением после достаточно дли-
тельного воздействия постоянного растяжения (течение с преды-
сторией постоянной деформации), т. е. стационарное значение
напряжения. Таким образом, если к материалу в течение опреде-
ленного времени было приложено постоянное растяжение, напря-
жение, возможно, достигнет значения, определяемого уравне-
нием (6-3.13), если только выполняется неравенство (6-3.14).
Если последнее не выполняется, то напряжение не достигает
-стационарного значения, а неограниченно растет. Этот вопрос
будет разъяснен далее в гл. 7, где рассматривается нестапиопар-
ное удлинение. Кроме того, то обстоятельство, что уравнение
(6 3.13) не приводит к стационарным значениям при некоторых
определенных значениях Ye, налагает фактически ограничение
на применимость уравнения состояния (уравнения (6-3.12)). Фак-
тически полимерные материалы не обладают таким свойством,
хотя на самом дело для значений ув, не удовлетворяющих условию
(6-3.14), напряжения достигают чрезвычайно высоких значе-
ний [7].

Что касается предсказываемой в этом случае комплексной
вязкости, то можно в силу уравнения (6-3.9) подставить выраже-
ние для у (в), определяемое (6-3.10), в (5-1.28). Интегрирование
непосредственно дает

i|* = G У ТОТДГ-—S татт- (6-3.15)
1=1 ’ 1=1 ’

Таким образом, как динамическая вязкость, так и динамическая
жесткость (или модуль упругости) представляют собой величины,
зависящие от частоты. Динамическая вязкость монотонно убы-
вает до нуля с увеличением частоты. Значение, соответствующее
£0 = 0, должно совпадать с вискозиметрической вязкостью при
нулевой скорости сдвига:

4v(0) = ^3Xj.	(6-3.16)

1=1

Уравнение (G-3.16) можно, конечно, получить непосредственно
при помощи подстановки (6-3.10) в первое из уравнений (6-3.5).

И наконец, функцию релаксации напряжений F ( ) можно
получить подстановкой g (s) = —f (s) в уравнение (5-1.42):

z

F(Z-r0) = 6?2 ехр(—^-).	(6-3.17)

l=i	7

Заметим, что если уравнение (6-3.17) предполагается верным, то
уравнения (6-3.15) и (6-3.16) получаются независимо ст уравне-
ния состояния (6-3.3) в силу теорем о малых деформациях и мед-
ленных течениях, справедливых для простой жидкости в общем
случае. Конечно, это замечание нельзя распространить па резуль-
таты, полученные при помощи уравнений (6-3-5) и (6 -3.13) и отно-
сящиеся к случаю больших деформаций и произвольных «ско-
ростей».

Приближение второ] о норядка к функционалу для простых
жидкостей также принимает форму интегрального уравнения.
Оно было приведено ранее в виде соотношенпя (4-3.25), которой
здесь перепишем для удобства в терминах тензора С/:

ОО

г = j / (s) С4 (s) ds |-
о

ОО ОО

-Г ( 4 {а («1. St) С' (Si)  С* (з2) +- ₽ (Si, St) cf (sj tr [С* (»?)]} ds. ds2.
о о

(6-3.18)

Соотношение (6-3.18) можно упростить (и, разумеется, сделать
менее общим), если исключить из рассмотрения перекрестные
эффекты, обусловленные деформациями в различные моменты
времени. Полагая a (sx, s2) = (5 (sx, s2) = 0 при sx ^=з2, преобра-
зуем уравнение (6-3.18) к виду

ОО

J {/(з)СЧ/|(«)(С/)2+/,(в)СЧт(С*)}йз,	(6-3.19)

о

где

A (з) a (з, з); /2 (з) = р (з, з).	(6-3.20)

Приближение третьего порядка с исключенными перекре-
стными эффектами будет иметь вид

ОО

т= j {/ (3) СЧ/1 («) (С‘)2+A (s) 1с:СЧ A (S) (С‘)84-

6

+ /4(3) Ici (С‘)« + А (з) IIc<C‘}d3, (6-3.21)

где 1С* — первый главный инвариант или след тензора С', а Пс( —
второй главный инвариант (см. (1-3.42)). Используя теорему
Гамильтона — Кэли (1-3.49) в применении к тензору С*, урав-
нение (6-3.21) можно записать в иной форме:

(С')3 - 1С< (С1)2 + Пс<С* - Шсе1 = 0.	(6-3.22)

Из этого уравнения можно выразить ((У)3 и подставить его в урав-
нение (6-3.21), так что последнее будет содержать лишь (У и (С*)г.
Такую процедуру можно повторить и для уравнения четвертого
порядка, в котором имеется член, содержащий (Cf)4. Действи-
тельно, (С*)4 = С*-(С1)3 и (С?)3 можно, как и ранее, найти из
(6-3.22).

В общем случае, следовательно, каков бы ни был порядок рас-
сматриваемого интегрального уравнения, итеративное применение
уравнения (6 3.22) позволяет записать уравнение состояния в виде

ОО

* = J {Ф1 (s, Ict. IIct) с* + ф2 (з, Ict, IIct) (С1)2} ds. (6-3.23)
о
Третий инвариант Шс* нс является аргументом и <р2, посколь-
ку для несжимаемых материалов Шс* = 1-

Уравнение (6-3.23) представляет собой наиболее общий вид
интегрального уравнения состояния при условии, что перекрестные
эффекты, обусловленные деформациями в разные моменты времени,
не учитываются. Материал, подчиняющийся уравнению (6-3.23),
полностью характеризуется материальными функциями и <рг.
Последние является функциями s, а также первого и второго
инвариантов С', которые в свою очередь представляют собой
функции от s. (Заметим, что <рх и <р2 — не функционалы, а лишь
сложные функции.)

Эквивалентный путь получения уравнения (6-3.23) состоит
в повторном применении теоремы Гамильтона — Кэли. Если умно-
жить уравнение (6-3.22) па (С*)-1, опо примет вид

(C^-Ictc4 ПСИ - шс< (С*)*"1 ₽ 0.	(6-3.24)

Следовательно, из уравнения (6-3.24) можно выразить (С*)2 и под-
ставить его в (6-3.23), что дает

ОО

т--= ( {ф, (J, 1сь	Ict, ntf (С)-1}^. (6-3.25)

о

Симметрию уравнения (6-3-25) лучше всего оцепить, заметив, что-
для несжимаемых материалов

Ict^n(ct)-t; nc< = I(ci)-t,	(6-3.26)

что можно вновь получить из уравнения (6-3.22). Очевидно также,
что подходящим выбором функций фх и ф2 уравнение (6-3.25)
можно свести к одному из двух уравнений — (6-3.1) или (6-3.3),
обсуждавшихся выше.

Частный вид уравнения (6-3.25) был получен Беристейпом,
Керсли и Запасом [8] на основе физической гипотезы, включающей
в себя функцию упругой энергии. Эта теория, называемая БКЗ-
теорией, предваряет общее термодинамическое рассмотрение, сде-
ланное Колеманом, и представляет собой попытку распространить
на материалы с памятью некоторые хорошо известные концепции,
относящиеся к идеально упругим твердым телам.

Идеально упругим твердым телом, или по терминологии,
используемой Трусделлом и Ноллом [9], гиперугругим материа-
лом, называется материал, для которого функция энергии дефор-
маций o(Fn) такова, что

т = рМ^г)Т- <6‘3-27>

Функция с ( ) имеет размерность энергии на единицу массы
и зависит от выбора отсчетной Конфигурации Л. Можно заметить
формальную аналогию между уравнениями (6-3.27) и (4-4.42),
справедливыми для материалов с памятью.

Если функция анергии деформаций является нейтральной
го отношению к системе отсчета, необходимо, чтсбы выполнялись,
равенства

a (FB) = о (Un) = о (Св).	(6-3.28)

Это означает, что тензор поворота RB не влияет на значение функ-
ции. Если ограничиться рассмотрением изотропных твердых тел
повыбрать в качество R певозмущевную конфигурацию, то функция
о (Св) должна быть изотропной, и можно записать (см. уравне-
ние (1-3.46))

а (Сп) = U (ICfi, ПСв, ШСд).	(6-3.29)

Наконец, если предположить также и несжимаемость, то Шсв —
= 1, и уравнение (6-3.27) можно записать в вндеД9]

R£.t • RB ₽ 2р ^Сд - 2h	Сй1. I (6-3.30)

Теория БЕЗ представляет собой распространение вышеупомя-
нутых концепций на упруговязкие жидкости. Постулируется так-
же, что и для этих жидкостей существует энергетическая функция,
которая, разумеется, не обладает уже консервативными свой-
ствами; напротив, эта функция затухает с течением времени, отсчи-
тываемого от момента наложения деформаций. Если принять
в качестве отсчетной конфигурацию материала в текущий момент
и учитывать вклад деформаций за все времена в прошлом, то
эта гипотеза приводит к‘. следующему уравнению для напряже-
ний:

’='Ж^с'-2-ЖТ<с‘г‘}*'	<6-3'31>

0	С|<

где U — функция от з, а также от 1с* и|Пс«:

U — U(s, Ic„ IIct).	(6-3.32)

(Хотя аналогия между уравнениями (6-3.30) и (5-3.31) очевидна,
следует заметить, что размерность р7/ в уравнении (6-3.30) иная,
чем размерность U в уравнении (6-3.31). В (6-3.30) величина pU
имеет размерность энергии на единицу объема, в то время как U
в (6-3.31) имеет размерность энергии на единицу объема и времени.
Это является результатом проведенного в уравнении (6-3.31)
интегрирования по времени.)

Теперь ясно, почему уравнение (6-3.31) теории БКЗ можно рас-
сматривать как частный вид интегрального уравнения (6 3.25).
Две независимые функции и ф2 в (6-3.25) связаны в теории Б КЗ
одна с другой. Они представляют собой (с точностью до числового
множителя) частные производные от одной и той же энергетической
функции U по инвариантам деформации.

Чтобы использовать уравнение (6-3.31), остается определить
функцию U. В первом варианте рассматриваемой теории [8]
было предложено использовать полиномиальное разложение (J
по инвариантам, проведенное до второго порядка. Позднее Зайас
ИО], опираясь на экспериментальные данные по эластомерным
материалам, предложил зависимость следующего вида:

а.'	9 Lf+IL.t+3

-U = -2 -(1с‘-3)2+4 0'1п”—Г---------+

I t+i5

+ 24(₽'-*') Ь^р^+е' (1^-3),	(6 3.33)

где а', [У и с' — функции только от х, Уравнение (6-3.33) пред-
сказывает переменную вязкость и отличные от пуля разности
первых и вторых нормальных напряжений в вискозиметричс-ских
течениях, а также различные другие особенности, присущие поли-
мерным жидкостям. Некоторые подробные вычисления приведены
в примере 6А.

Поскольку как С*, так и (С*) а появляются в подынтегральном
выражении уравнения (6-3.25), ясно (см. обсуждение, следующее
за уравнением (6-3.5)), что при помощи уравнений такого типа
возможно при подходящем выборе весовых функций предсказать
все возможные отношения разностей первых и вторых нормальных
напряжений в вискозиметрическом течении. Пример уравнения
такого типа был приведен в работе [11].

Другое интегральное уравнение, являющееся частным видом
уравнения (6-3 25), было предложено Тэннером и Симмонсом [12].
В используемых здесь обозначениях их уравнение состояния
имеет вид

ОО

т = [ ф (8, пс<) (С')'1 ds,	(6-3.34)

о

причем

ф(з, IIct) = f(e), если ПС<^В2+3,

ф (з, IIct) = 0, если IIct > В2 + 3.	(6‘3-35)

Таким образом, реологическое поведение материала определяется
функцией f (s) и положительным числом В2. Необходимо обсудить
уравнения (6-3.34) и (6-3.35). Рассмотрим вначале такое течение,
чтобы было Ис* В2 + 3 для всех значений s (примером может
служить периодическое течение достаточно малой амплитуды).
В этом случае уравнение (6-3.34) дает тог же самый результат, что
и ранее рассмотренное уравнение (6-3.3). Рассмотрим теперь,
напротив, такое течение, чтобы Иц* было монотонно возрастающей
функцией s (примерами служат виекозиметрические течения или
течения растяжения). Тогда уравнения (6-3.34) и (6-3.35) эквива-
лентны уравнению

т= j/(s)(Cf)-Ms,	(6-3.36)

о

где s — значение s, при котором Пс* становится равным В2 -р 3.
В этом случае материал «помнит» лишь те деформации, которые
имели место в интервале времени s з, в то время как деформации,
имевшие место ранее, он полностью «забывает».

Уравнения (6-3.34) и (6-3.35) (а также ранее рассмотренное
уравнение (6-3.3)) подсказаны моделью полимерных материалов,
в которой последние описываются как «сетки». Однако в модели
Тэннера и Симмонса сетка «рвется», когда скалярная мера дефор-
мации Пс‘ (или эквивалентная ей мера	см. уравнение

(6-3.26)) достигает предельного значения В2 4- 3. Величина В
называется «прочностью» сетки. Функция / (з) имеет обычный
смысл функции релаксации.

Известны следующие результаты применения уравнений
(6-3.34) и (6-3.35) в представляющих интерес реометрических тече-
ниях:

(i)	Виекозиметрические течения

B/k

1	(к) = к j sf (s) ds,	(6-3.37)

с

Ui(k)^k2 ; s2f(s)ds,	(6-3.38)

о

<r2(ft)^0.	(6 3.39)

Уравнение (6-3.37) предсказывает существование зависящей от
скорости сдвига вязкости, которая убывает с ростом к. Для доста-
точно малых значений к вязкость становится постоянной и рав-
ной величине

T]V (0) = f sf (s) ds.	(6-3.40)

 °

Уравнение (6-3.38) дает аналогичное выражение для коэффициента
разности первых нормальных напряжений.
(ii)	Течения, растяжения

С учетом (3-5.40) и (5-3.2) уравнение (6-3.36) дает следующие
выражения для экстензиометрических материальных функций:

<7ei = j f ($) [ехр (2у^) — ехр (2у2е)] ds,
о

S

(Гиг = j / ($) [ехр (2y2s) — ехр (2y3s)] ds,
с

(6-3.41)

(6-3.42)

где s — решение уравнения

ехр (2^5) 4- ехр (2y2s) 4 ехр (2y3s) = В2 + 3.	(6-3.43)

Следует заметить, что интегралы в уравнениях (6-3.41) и (6-3.42)
всегда существуют, поскольку $ — конечная величина. Этот
результат можно сравнить с результатом, даваемым уравнением;
(6-3.13), из которого следует, что могут существовать неограни-
ченные значения стационарного растягивающего напряжения..

(iii)	Периодические течения и релаксация напряжений

Общие результаты, следующие из уравнений (5-1.28) и (5-1.45),
применимы к этому случаю при условии, что модуль G* таков,
что Пс* 7?2 + 3

Разумеется, все вышеприведенные результаты можно сделать,
более конкретными, если задать определенную форму функции
/ (s). В работах [13] и [14] была выбрана форма, аналогичная
таковой в уравнении (6-3.10)

В литературе (см., например, [15]) предлагались также следую-
щие общие виды уравнений:

ОО

Т = F (а) С* (s) ds,
Ъ

оо	•

т= J F^fC^ds.
и

(6-3.44)

(6-3.45)

После интегрирования по частям в правой части такие уравнения
сводятся либо к (6 3.1), либо к (6-3.3). Однако ситуация в корне
меняется, если функция F ( ) сама зависит от скорости дефор-
мации. Ниже мы обсудим это подробнее.
Интегральные уравнения, зависящие от скорости деформации
Некоторые из предложенных в литературе интегральных уравне-
ний имеют следующий общий вид [16]:

ОО

т=- [ [/, (з, Ц.„ Шу) С‘ + /2 (S, Пу, Шу) (С‘)-‘]>.	(6-3.46)

О

Такие уравнения отличаются от рассмотренных ранее, поскольку
в функциях, характеризующих память, вместо инвариантов тензо-
ра С‘ фигурируют инварианты тензора С*. Иными словами, пред-
полагается, что механизм забывания (или релаксации) деформаций
зависит не от величины деформации, а от ее скорости. Имеются
разногласия относительно того, для какого момента следует
вычислять эту скорость деформации. Одни авторы [17, 18] пред-
почитают вычислять скорость деформации в момент наблюдения,
т. е. С* (0) = 2D, другие [16, 19] рассматривают скорость дефор-
мации в момент з, а третьи [20, 21] — в некоторый средний момент
внутри интервала времени от s = 0 до s = з. В последнем случае
выражение для /; ( ) усложняется, однако такой выбор момента
времени был предложен в связи с тем, чтобы учесть перекрестные
эффекты между деформациями в различные моменты времени.

Согласно нашей точке зрения, однако, представляется мало-
вероятным, чтобы все уравнения, подобные уравнению (б 3.46)г
описывали истинное поведение какого-либо материала и, в частно-
сти, вязкоупругих полимерных систем, для которых они были
предложены. Основанием для такой критики служит то, что
эти уравнения не вырождаются надлежащим образом в уравнение
линейной вязкоупругости (4-3 24). Последующее обсуждение под-
разделяется па две части, первая из которых более формальна
и посвящена анализу специальной топологии функционала, напри-
мер такого, который введен уравнением (6-3.46). Во второй части
обсуждение данных Филиппова [22] по периодическим течениям
полимерных материалов убедительно свидетельствует о неадекват-
ности таких уравнений, как (6-3.46).

В гл. 4 было показано, что общий функционал простых жидко-
стей сводится к виду, выражаемому уравнением (4-3.24), т. е.
к уравнению линейной вязкоупругости, при условии что норма*;
предыстории деформирования достаточно мала, т. е. если послед-
няя достаточно близка к предыстории покоя. Вследстиэ предпо-
ложения о дифференцируемости по Фреше фупкциопала $ в пре-
дыстории покоя, напряжение, соответствующее предыстории,
достаточно близкой к предыстории покоя, линейно зависит от
(з).
Понятно, что можно представить себе предысторию G* (з),
которая произвольно близка к предыстории покоя и в то же время
имеет произвольно большую скорость деформации. Простым
примером такой предыстории является периодическое движение
очень малой амплитуды, но очень высокой частоты. Уравнение со-
стояния типа уравнения (6-3.46) предсказывает для такой предысто-
рии нелинейную зависимость тот G* (з). Иными словами, уравнение
(6-3.46) предполагает, что топология пространства предысторий,
в котором функционал $5 непрерывен, имеет иную природу,
чем топология, положенная в основу формулировки теории про-
стой жидкости.

Фактически Колеман [23] показал, что если задано простран-
ство предыстории с нормой

|lG<|lh=j/j (6‘:П‘)^(з)йз,	(6-3.47)

о

где h (s) — любая функция влияния, достаточно быстро стремя-
щаяся к нулю при з-> оо, то функционал непрерывный в ука-
занном пространстве, не может явно зависеть от G* и обратно.
Это утверждение действительно является кульминационным пунк-
том в развитии термодинамической теории, проведенном в разд. 4-4
(см. обсуждение, следующее за уравнением (4-4.29)).

Поэтому, хотя топология, связанная с уравнением (6-3.46),
не является, конечно, физически невозможной, материал, описы-
ваемый таким уравнением состояния, не будет удовлетворять
большинству общих теорем теории простой жидкости, и термо-
динамический анализ, проведенный в разд. 4-4, не будет для него
справедлив. Кроме того, общая теория функционалов, непрерыв-
ных по отношению к топологии, подобной той, которая связана
с уравнением (6-3.46), не разработана, так что нельзя сделать
никаких общих утверждений, справедливых для такого класса
материалов.

Возможно, имеет смысл еще более разъяснить этот вопрос.
Уравнение, подобное уравнению (6-3.25), можно сделать непре-
рывным в окрестности предыстории покоя, предполагая, что
функции фг и ф2 вырождаются в функции единственного аргу-
мента з, когда норма тензора G* становится достаточно малой,
поскольку, если || Gf||-> О, то

Ict->3; IIct->3.	(6-3.48)

С другой стороны, невозможно, чтобы функции Д ( ) и /2 ( )
в (6-3.46) вырождались в функции единственного аргумента з,
когда || G'U 0, поскольку инварианты тензора (7 нс стре-
мится к. некоторому единственному значению при приближении
к предыстории покоя.	'
Если бы имелись экспериментальные данные, подтверждающие
справедливость уравнения (6-3.46), следовало бы, конечно, раз-
вить соответствующую общую теорию, отличающуюся от теории
простой жидкости. Iio в действительности дело обстоит не так,
и эксперимснтальпые данные доказывают, что уравнение (6-3.46)
не описывает истинною поведения полимерных материалов. Обсу-
дим теперь эти экспериментальные доказательства.

Критическим пунктом, подлежащим экспериментальной про-
верке, является вопрос о том, будет ли поведение, предсказываемое
линейной теорией вязкоупругости, иметь место для реальных
материалов'в предельном случае бесконечно малых деформаций
или же в предельном случае бесконечно малых скоростей деформа-
ций (или, возможно, в случае, когда достаточно малы и те и дру-
гие). Следовательно, требуемые доказательства можно получить
только при рассмотрении экспериментов с периодическим тече-
нием, проводимых при условиях, когда наблюдаются отклонения
от линейного вязкоупругого поведения.

Рассмотрим эйлерово периодическое течение, и пусть е —
амплитуда деформации (папримср. в периодическом плоском сдви-
говом течении, подобном обсуждавшемуся в разд. 5-4, 8 = Е/Лю).
Соответствующее амплитудное значение скорости деформация
связано с 8 уравнением

ут = ею	(6-3.49)

(в том же самом примере ут = V/h). Следовательно, коль скоро
эксперименты проводились при некоторой фиксированной частоте
®о, результаты их не могут разрешить этот вопрос, поскольку
величины и г пропорциональны друг другу. На графике зави-
симости амплитуды напряжения ото от амплитуды скорости дефор-
мации у,п линейное поведение будет наблюдаться вплоть до точки
разрыва, выше которой обнаруживаются отклонения от линей-
ности (рис. 6-1). Такое поведение в действительности наблюдалось
Филипповым [22].

Если теперь проводить эксперименты с некоторой новой часто-
той (Oj #= <о0, то снова следует ожидать лилейного поведения
в области низких значений ут. Кульминационный пункт состоит
в том, что если выполняется уравнение состояния, подобное
уравнению (6-3.46) (или, говоря более общим языком, если топо-
логия пространства предысторий, в котором функционал $ непре-
рывен, определена также и в терминах скорости деформаций),
то следует ожидать существования точки разрыва (т. о. точки,
начиная с которой наблюдаются отклонения от линейного пове-
дения), соответствующей некоторому критическому значению ут
или по крайней мере зависящей как от ут, так и от 8. В то же
время, если выполняются гипотезы гладкости теории простой
жидкости, то следует ожидать, что точка разрыва будет соответ-
ствовать некоторому критическому значению деформации е неза-
висимо от соответствующего значения ут. Последнее фактически
отвечает поведению, наблюдавшемуся в тщательных эксперимен-
тах Филиннова [22J, которые ясно доказали, что для множества
полимерных материалов отклонения от линейного вязкоунругого
поведения наблюдаются при некотором критическом значении
амплитуды деформации е, причем это критическое значение
совершенно не зависит от амплитуды скорости деферма-

т*

Это представляется убедительным доказательством того, что
уравнения состояния типа уравнения (6-3.46) (или аналогичные

релаксационные уравнения состояния, которые будут обсуждаться
в следующем разделе) не могут рассматриваться как физически
реальные. Говоря более общим языком, все доступные экспери-
ментальные результаты свидетельствуют в пользу гипотез гладко-
сти, лежащих в основе теории простых жидкостей с затухающей
памятью, обсуждавшейся в гл. 4.

В заключение можно сказать, что уравнения состояния, в кото-
рые в явной форме входит скорость деформации, следует всегда
рассматривать с большой осторожностью, поскольку они могут
относиться к той же категории, что и уравнение (6-3.46), т. е. они
могут выдвигать для основного функционала такие гипотезы глад-
кости, которые находятся в противоречии с соответствующими
гипотезами теории простых жидкостей. Конечно, такая проблема
возникает не для всех уравнений состояния, содержащих скорость
деформации; см., например, уравнения (6-3.44) и (6-3.45). Наилуч-
шей проверкой сомнительного уравнения состояния является
вычисление на основе этого уравнения точки начала откло-
нения от линейного вязкоупругого поведэния и выясне-
ние того, будет ли эта точка однозначно определяться значе-
нием в.

Сделаем заключительные замечания. Уравнения типа (6-3.46)
предлагались в литературе при попытке предсказать зависимость
от скорости сдвига как вязкости, так и коэффициентов нормаль-
ных напряжений в вискозиметрическом течении. При этом не было
замечено важное обстоятельство, состоящее в том, что уравнения,
подобные уравнению (6-3.25), также могут быть приспособлены
для объяснения наблюдаемой зависимости данных от скорости
сдвига при соответствующем выборе функций ф, и ф2. Типичным
примером этому служит обсуждавшаяся ранее модель Тэннера
и Симмонса; см. уравнения (6-3.37) и (6-3,38). Следовательно,
если даже требуется лишь подгонка данных, нет необходимости
вводить уравнения типа (6-3.46), поскольку это связано с прин-
ципиальными трудностями, подобными описанным выше, и про
тиворечит экспериментальным результатам.

-4 РЕЛАКСАЦИОННЫЕ УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ

Уравнения Максвелла

Одним из простейших путей модификации уравнения состояния
ньютоновской жидкости (1-9.4) для учета «упругих» свойств рас-
сматриваемой жидкости является введение аддитивного члена,
содержащего временную производную от напряжения:

т + Хт = 2p,D,	(6-4.1)

□

где т используется для обозначения некоторого пока еще но опре-
деленного типа временной производной от тензора напряжений,
а X имеет размерность времени.

Добавление члена, содержащего временную производную от т,
дает возможность представлять с помощью этого уравнения явле-
ние релаксации папряжепия, характерного для жидкостей с па-
мятью. Действительно, если при некоторой деформации устанав-
ливается неизотропное напряженное состояние, а затем дальней-
шее деформирование прекращается, напряжение будет затухать
со временем согласно дифференциальному уравнению

□

х + Хт = 0.	(6-4.2)

Скорость релаксации напряжений будет регулироваться значе-
нием времени релаксации X.

Уравнение (6 4.1) было впервые предложено Максвеллом для
одномерной задачи, так что в этом случае не возникало двусмыс-
ленности, связанной с выбором тина временного дифференциро-
вания напряжения, поскольку в действительности имелась в виду
обыкновенная производная. Для трехмерного случая возникает
проблема выбора такой производной, чтобы уравнение (8-4.1)
было вентрально к выбору системы отсчета. Этот выбор мы должны
осуществить среди ассоциированных производных тензора напря-
жений, ранее введенных в разд. 3-3.

Фактически наиболее общая ассоциированная производная
симметричного тензора J, сохраняющая симметрию, определяется
посредством введенного в работе [16] линейного оператора, обо-
значаемого через Fabc и определяемого соотношением

Fabc3 .= J + a (J-D + DJ) + b (J ; D) 1 + cD tr J, (6-4.3)

где а, Ъ и с — произвольные числа. Для 6 = с = 0иа = 0, 1, —1
о
получаем яуманновскую, или вращательную, производную J,

А

нижнюю конвективную производную J и верхнюю конвективную
V	□

производную J соответственно. Выбирая т, положим временно
Ъ = с — 0. Тогда уравнение (6-4.1) принимает вид

т + Хт 4- Ха (x«D + D-т) = 2pD	(6-4.4)

Как обычно, рассмотрим вначале результаты, получаемые при
помощи уравнения состояния (6-4.4) для вискозиметрических
течений. Соответствующие вычисления, выполненные в примере
6Б, дают следующие результаты для вискозиметрических функций:



(6-4.5)

(64-6>

о2(Аг)

рЖ(1 + а)

1 -г kW(i- а2) •

(6-4.7)

Обсудим эти результаты, предполагая параметры X и р постоян-
ными величинами (не зависящими от к). Уравнение (6-4.5) пока-
зывает, что в общем случае вязкость есть функция к, стремящаяся
к и при к -> 0. Чтобы вязкость всегда была положительной вели-
чиной, параметр а следует ограничить неравенствами —1 а

1. Тогда вязкость будет, вообще говоря, убывающей функцией

к, т. е. тем самым предсказывается псевдопластичноо поведение.
В общем случае разности первых и вторых нормальных напряже-
ний отличны от нуля и обнаруживают зависимость соответствую-
щих коэффициентов от к.

Рассмотрим теперь частные значения а (а именно 0, 1, —1).
Для а — 0, т. е. в том случае, когда предполагается, что в урав-
нение (6-4 1) входит вращательная производная, разности пер
вых и вторых нормальных напряжений равны по величине и про-
тивоположны по знаку. Этот результат не подтверждается виско-
вимотрическимп экспериментами на полимерных материалах.
Таким образом, использование в уравнении (6-4.1) вращательной
производной экспериментально не обосновано. Использование
нижней конвективной производной (т. е. подстановка а = 1)
даст нулевую разность первых нормальных напряжений и поэто-
му тоже представляется нереалистичным.

При а = —1, т. е. при использовании в (6-4.1) верхней кон-
вективной производной от напряжения, уравнения (6-4.5) —
(6-4,7) принимают вид

х (к)	— рЛ,	(6-4.8}

oj (А)	= 2pW\	(6-4.9}

о2 (/с)	= 0.	(6-4.10)

Таким образом, из трех рассмотренных частных случаев последний
случай дает наиболее реалистичные результаты относительно
разностей нормальных напряжений. Однако в этом случае вяз-
кость оказывается по зависящей от скорости сдвига. Исходя
из феноменологической точки зрения, результаты проведенного
анализа можно было бы воспринять как указание, что постоянную
а лучше всего выбирать в диапазоне 0, —1 При этом получается,
что (i) вязкость зависит от скорости сдвига, (ii) разность первых
нормальных напряжений положительна и ее коэффициент зависит
от скорости сдвига и (iii) отрицательная разность вторых нор-
мальных напряжений по модулю меньше, чем разность первых
Все три указанные особенности обычно характерны для поли-
мерных веществ.

Можно заметить, что виекозиметрические результаты, соот-
ветствующие уравнениям (6-4.8) — (6-4.10), эквивалентны резуль-
татам, выражаемым уравнениями (6-3.5), полученными при помо-
щи интегрального уравнения состояния (6-3.3). Это но просто сов-
падение, поскольку Лоджем [24] было показано, что уравнение
(6-4.1) с верхней конвективной производной для х фактически
эквивалентно уравнению (6-3.3), в котором

g(s) = -p-e-*/x.	(6-4.11)

Чтобы показать это, заметим вначале, что уравнение (6-4.1}
□ v

с х = т, т. е.

х + %т = 2uD,	(6-4.12}

эквивалентно уравнению

т + Х?==-£-1.	(6-4.13}

К
.Действительно, подстановка в уравнение (6 4 12) величины тх —
— (рА) 1 вместо т приводит к уравнению (6-4.13) для -гг (см.
уравнение (3-3.34)), а в силу несжимаемости с и неразличимы.

Запишем далее уравнение (6-4.13) в контравариантной компо-
нентной форме. Используя (13.31), имеем

(т)‘Ч-1&°--г^-	(6 4.14)

Это уравнение применимо при произвольном выборе координат*
ной системы. Однако, если выбрана конвективная координатная
система (разд. 3-4), оно принимает особенно простой вид. Дей-
ствительно, применяя уравнение (3-4.21), имеем

(х)‘> = ^511.	(6-4.15)

Обозначая метрику конвективной ксордипатпой системы через
уу, перепишем уравнение (6-4.14) в виде

+	=	(6-4.16)

dt	Л

Для интегрирования уравнения (6-4.1G) следует наложить
на т начальные условия. Предположим, что при t = t компо-
ненты напряжения известны и имеют значения (т) ’. Непосред-
ственное интегрирование уравнения (6-4.16) дает тогда

t

(т)° (f) = -2- J e-(t-i’>/KvV ) dt> + фVe (t-Ъ/к^	(6-4.17)

1

Из (6-4.17) очевидно, что, если t существенно меньше t, не нужно
знать истинных значений (т)ь, если только они не слишком велики.

Более точно, если (т)° е№ -> С при t — оо, то уравнение (6-4.17)
можно записать в виде
t

= j	(6-4.18)

— ОО

Полагая s = t — t' и учитывая уравнение (3-4.7), можно записать
окончательно

т = -£- j е-^ (С4)"1 ds,	(6-4.19)

о

что в силу несжимаемости эквивалентно уравнению (6-3.3) с функ-
цией g (s), задаваемой уравнением (6-4.11).
Аналогично можно показать, что уравнение, содержащее
нижнюю конвективную производную, а именно

т + Лт = 2pD,	(6-4.20)

эквивалентно уравнению

т = -£- J е-"Ч/ (s) ds.	(6-4.21)

о

Однако уравнение (6-4.4), в котором фигурирует линейная ком-
v △

бивацил t и t, а именно

т + А (_1+±£ + ±L±t) = 2uD, (6-4.22)

не эквивалентно линейной комбинации уравнений (6-4.19)
и (6-4.21). Достаточно заметить, что, в то время как уравнение
(6-4.4) при —1 '< а < 1 предсказывает зависимость вязкости от
скорости сдвига (уравнение (6 4.5)), линейная комбинация урав-
нений (6-4.19) и (6-4.21), а также каждое из них в отдельности
предсказывают постоянство вязкости.

Перед записью других форм уравнения Максвелла полезно
сделать следующее замечание. Релаксационные уравнения пер-
вого порядка, т. е. уравнения, нс содержащие других производных
тензора напряжений, кроме первой, разрешенные явно относи-
тельно скорости изменения тензора напряжений, имеют следую-
щий общий вид:

Л* = /(т, кинематические тензоры), (6-4.23)

где т и «кинематические тензоры» берутся в момент t. Из уравне-
ния (6-4.23) следует, что напряжение в произвольный момент t
можно в принципе вычислить, исходя из знания напряжения
в некоторый предыдущий момент t (начальное условие) и предысто-
рии деформирования в промежуток между t и t. Другими словами,
знание напряжения в некоторый заданный момент времени t
заменяет информацию о предыстории деформирования, предше-
ствующего моменту I, при вычислении напряжений в последующие
моменты времени. Это свойство по присуще, вообще говоря,
простой жидкости и не находит отражения в большинстве инте-
гральных уравнений состояния. В общем случае для простой
жидкости с затухающей памятью необходимо знать полную преды-
сторию деформирования, во крайней мере вплоть до значений а
порядка естественного масштаба времени.
Если жидкость удовлетворяет релаксационному уравнению
состояния первого порядка, оказывается возможным решить,
по крайней мере в принципе, ряд задач, которые но могут быть
поставлены в рамках теории простой жидкости. Для примера
рассмотрим задачу об истечении струи жидкости из фильеры
(сопровождаемом, вообще говоря, хорошо известным явлением
разбухания). Измеряя сплу, можно измерить напряжение в сече-
нии фильеры. Если жидкость удовлетворяет уравнению ссстояпия
релаксационного типа, этой информации вполне достаточно для
оценки напряженного состояния в струе. При этом не обязательно
знать предысторию деформирования до достижения выходного
сечения фильеры.

Однако в вышеприведенной схеме имеется одна трудность^
поскольку, вообще говоря, тензор т в уравнении (6-4.23) не есть
девиаторный тензор избыточных напряжений, т. е. его след
не равен нулю. Например, уравнение (6-4.4) дает тензор г с нуле-

О

вым следом в состоянии равновесия (D = 0, т = 0). Однако это
не так в общем случае (см., например, результаты, приведенные
в примере 6Б). Поскольку след тензора избыточных напряжений
пе имеет специального физического смысла, его нельзя измерить.
Это означает, что. например, в случае рассмотренной выше струи
определение полного напряжения в сечении отверстия фильеры
не дает достаточной информации для определения избыточного
напряжения, так что начальное условие для последующего инте-
грирования уравнения (6-4.23) ие вполне определено.

В этом отношении было бы привлекательным (но никоим обра-
зом не обязательным из физических соображений) конструировать
релаксационные уравнения состояния так, чтобы гарантировать
определенное значение следа (например, нулевое). На самом доле
получить релаксационное уравнение состояния, обладающее таки-
ми свойствами, очень просто Рассмотрим, например, уравнение
(6-4.4). Применяя операцию взятия следа к уравнению (6-4.4),
получаем

tr х + Л - - (tr т) -j- 2Х« tr (т-D) — 0.	(6-4.24)

Из этого уравнения следует явно, что для уравнения состояния,
подобного уравнению (6-4.4), величина tr т не постоянна во вре-
мени, а зависит от D (£) и, следовательно, от истории движения.

Уравнение (6-4.24) указывает также на то, каким образом нужно
модифицировать (6-4.4) для того, чтобы получить уравнение состоя-
ния с тензором напряжений, всегда имеющим пулевой след.

В левой части уравнения (6-4.4) мы должны добавить член
<3 включением этого члена уравнение для следа принимает вид
trr4-l-^-.(trt) = 0,	(6-4.26)

и tr т = О есть решение уравнения (6-4.26) во все моменты времени
для произвольной истории.

Очевидно, что включение члена, определяемого уравнением
{6-4.25), эквивалентно выбору значения b = —®/3 а в общем опера-
торе временного дифференцирования, определяемом уравнением
(6-4.3). Очевидно также, что при таком выборе значение с стано-
вится несущественным, поскольку содержащий его член обращает-
ся в тождественный пуль. Было предложено несколько релакса-
ционных уравнений состояния, построенных таким образом, что
напряжение определялось в виде тензора с пулевым следом.
Следует заметить, однако, что добавление к заданному релакса-
ционному уравнению состояния членов типа (6-4.25) полностью
изменяет «скорректированное» уравнение по сравнению с исход-
ным. А именно, это не только преобразует рассматриваемый ранее
тензор напряжений к тензору с нулевым следом, но и полностью
изменяет реологическое поведение. Если, например, уравнение
(6 4.12) предсказывает постоянство сдвиговой вязкости (см.
(6-4.8)), то модификация уравнения (6-4.12) к виду уравнения
с «бесследным» тензором, т. е. к виду

т + Г(т 4- 2/3 tr (т-D) 1) = 2uD. (6-4.27)
позволяет, очевидно, обнаружить, что сдвиговая вязкость

1+W-X •	<в-4.2В)

Обобщенные уравнения Максвелла и их топология

Рассмотрим теперь класс возможных обобщений уравнения Макс-
велла. Очевидно, что уравнение Максвелла, в котором исполь-
зуется верхняя конвективная производная, эквивалентно частной
форме уравнения (6-3.3)

т = f g (s') Hf (s) ds,
о

(6-4.29)

получающейся, если выбрать g (s') согласно уравнению (6-4.11).
Предположим теперь, что g (s) задано в виде

g (s) = -^- е~е-

(6-4.30)
Очевидно, что уравнение (6-4.29) при выборе g (s') в виде (6-4.30)
эквивалентно уравнению
т = т<* 1>4 т(2>,	(6-4.31>

где

т<‘> = j е-»А1Н‘ (s) ds,	(6-4.32)

1 о

т<2> = # f e -^W^ds.	(6-4.33)

Л2 J
о

Уравнения (6-4.32) и (6-4.33) эквивалентны следующим урав-
нениям:

T(1>4-V(1» = 2ji1D,	(6-4.34)

т<2> -|- Л./г<2) = 2p2D.	(6-4.35).

Комбинируя далее (6-4.31), (6-4.34) и (6-4.35), получаемх)
т + (1Х 4- %2) т + AjX3t3 = 2 (рх j- р2) D -|- 2 (IxPi + %2р2) D.

(6-4.36)

Следовательно мы показали, что уравнение (6-4.36) эквива-
лентно (6-4 29) при выборе g (s) в виде (6-4.30). Аналогично, если
выбрать g (s) в виде суммы п экспонент, то эквивалентный вид
релаксационного уравнения состояния будет таким:

т + 2 aw'r№=2p ID 4- 2 PaDw], (6-4.37).
i	1

где aN и рN весьма просто связаны с р-N и lv. Подобным же обра-
зом уравнение (6-3.1) при выборе / (s) в виде суммы п экспонент
эквивалентно уравнению 2)

”	А	п"4	Л

г4- 2 алгт№ 2р [D]4~ У PwDjy].	(6-4.38)

1 1

Для дальнейших обсуждений важно указать, что суммирование
в левой части уравнений (6-4.37) и (6-4.38) проводится до значения
и, а в правой — до значения п — 1.

v

1’> Напоив км, что т2 зазывается второй верхней коввектпвяой прсизвод-

V

вой тензора т. Кроме того, 2D = - В2 есть второй тензор Уайта — Мотцнера.
Л

2) Напомним, что 2DW = KN есть Лг-й тензор Ривлина — Эриксена.
Оказывается, что уравнения такого ясе типа, как уравнения
(6-4.37) и (6-4.38), в которых используются ассоциированпые-
производные тензоров напряжений и скоростей деформаций,,
отличные от верхней или нижней конвективных производных,,
не имеют эквивалентов в виде простых интегральных уравнений..
Тем не менее остается справедливым утверждение, что уравнение
общего вида

т+2«Л=2ц [D+’S* pw^bcD]

(6-4.39)

(где под /IV понимается оператор Fobc, N раз последовательно*
примененный) эквивалентно следующим выражениям:

1

TW + AA-FaCct^)-2pAD

(6-4.40)

(6-4.41)

Такие уравнения общего типа предлагались в литературе [25—27L
Перед обсуждением ряда подробностей, касающихся этих урав-
нений, проведем общее обсуждение «линейных» уравнений такого
типа.

Мы получили уравнения (6-4.37) и (6-4.38) из уравнений линей-
ной вязкоупругости применительно к описанию поведения некото-
рых реальных материалов, выходящих и за пределы малых дефор-
маций. Ввиду этого уравнения (6-4.37) и (6-4.38) описывают раз-
личное реологическое поведение, хотя они и эквивалентны в пре-
дельном случае малых деформаций (ем. обсуждение, следующее
за уравнением (6-3.1)). С другой стороны, уравнения такого же
типа можно получить при рассмотрении простых одномерных моде-
лей, включающих «пружинки» и «амортизаторы», и соответствую-
щем обобщении этих моделей па трехмерную форму относительных
механических уравнений, инвариантных относительно системы
отсчета. Ло-видимому, имеет смысл проиллюстрировать этот
метод, который оказывается полезным для понимания топологи-
ческих свойств получающихся функционалов.

Начнем рассмотрение с простой модели, представленной на
рис. 6-2, которая состоит из амортизатора вязкостью р. и пру-
жины жесткостью ц/Х, соединенных последовательно. Механи-
ческие уравнения для силы F, действующей вдоль оси модели,
имеют вид

^ = -g-(y-Z/o) = ^,	(6-4.42)

z = x-|-y.	(6-4.43)
Их комбинация позволяет легко получить следующее уравнение,
связываю!цее F и z:

F 4- KF = [lz,	(6-4.44)

Счевидно, что уравнение (6-4.1) представляет собой трехмерный
аналог уравнения (G 4.44). В этом смысле модель па рис. 6-2 экви-

Рис. 6-2. Простейшая вязкоупругая модель.

валентна модели тела Максвелла. Разумеется, на уровне одно-
мерной модели различия между уравнениями (6-4 12) и (6-4.20)
(или между (6-4.37), (6-4.38) и (6-4.39)) исчезают.

Более сложные модели по сравнению с представленной на
рис. 6-2 могут привести к обобщенным формам уравнения Макс-
велла. Например, модель, приведенная на рпс.6-3, соответствует,
очевидно, уравнениям (6-4.40) и (6-4.41), а следовательно, и урав-
нению (6-4.39).
Очевидный вывод заключается в том, что если одномерная
модель допускает движение межлу ограничивающими пределами,
но проходя полную длину амортизатора, то она скорее является
моделью твердого тела, а не жидкости; механическое уравнение
этой модели будет содержать характерную длину, а не только
временные производные.

Рис. 6 4. Модель жидкости, неспособной осуществить скачкообразную дэфор-
мадию.

Более важное соображение касается моделей, допускающих
движения между ограничивающими пределами без прохождения
полной длины пружины; см., например, модель, представленную
на рис. 6-4. В этом случае уравнение для силы имеет вид

F + Xj? = (рх + ра) z + Лцще,	(6-4.45)

а эквивалентную трехмерную модель можно представить в виде
т + V = 2р ID + k2Dl.	(6-4.46)

Уравнение типа уравнения (6-4.46) с дополнительными членами,
добавленными для преобразования тензора т к тензору с Нулевым
следом, было предложено Уильямсом и Бердом [28]. Параметр Х2
обычно называют временем запаздывания. Уравнение (6-4.46)
внешне выглядит совершенно аналогично уравнению общего вида
(6-4 39), однако можно заметить, что старшая производная в пра-
вой части уравнения имеет тот же самый порядок, что и старшая
производная левой части. Уравнение (6-4.46) можно обобщить
в следующем виде;

г + 2 ъА* = 2р [D + 2	.	(6-4.4 7)

1 1
Различие между такими уравнениями, как (6-4.39) и (6-4.47),
никоим образом нельзя считать незначительным. Действительно,
внезапный скачок деформации вызвал бы в материале, описывае-
мом уравнением (6-4.39), внезапный скачок напряжения, в то время
как материал, описываемый уравнением (6-4.47), отреагировал бы
на эту деформацию возникновением бесконечного напряжения.
Это легко понять, учитывая, что модель, представленная на
рис. 6 4, не допускает мгновенного изменения z, в то время как
для модели, представленной на рис. 6-3, это допустимо. При более
формальном рассмотрении можно заметить, что уравнение (6-4.29)
допускает мгновенный скачок деформации, который будет давать
в результате скачок напряжения. Этим свойством обладает и мате-
риал, описываемый уравнением (6-4,37). Добавление Лг-й вре-
менной производной скорости деформации в правой части урав-
нения (6-4.37) изменяет топологию определяющего функционала.
Таким образом, уравнения, подобные уравнению (6-4.47), не допу-
скают скачкообразной деформации, что делает том самым непри-
менимой термодинамическую теорию, развитую в разд 4-4.

Фактически уравнения такого типа могут быть предложены
на основании общего принципа причинности, который был явно
сформулирован Олдройдом [29]. Ниже приведена формулировка,
заимствованная из работы Олдройда:

«Физически реальная система уравнений состояния долж-
на определять предысторию деформирования материального
элемента, включая и его конфигурацию в текущий момент,
если заданы полные истории напряжений и температур...
Представляется принципиально возможным реально при-
ложить к небольшому элементу материала в течение неко-
торого периода времени произвольные напряжения, контро-
лируя одновременно его температуру, и наблюдать ьозни-
кающую в результате деформацию в течение того же самого
периода времени. В частности, полная система уравнений
состояния должна дать ответ на вопрос, что случится, если
произойдет нарушение непрерывности приложенных напря-
жений, будет ли при этом нарушаться непрерывность,
например, деформаций или напряжений или же скоростей
деформаций.

Работа Колемана и Нолла по простым жидкостям...
основывается на противоположной предпосылке, которую
труднее принять с физической точки зрения из-за природы
доступных нам экспериментальных методик. Постулирует-
ся..., что напряженное состояние элемента... должно пол-
ностью определяться предысторией деформирования...
Не представляется самоочевидным, что этот постулат спра-
ведлив для всех реальных жидкостей. Например, может
оказаться весьма реальным... наложение разрывного скач-
ка напряжения, которое ио вызывает мгновенного изме-
нения напряженного состояния, но приводит лишь к уве-
личению скорости деформации первого или более высокого
порядка... фактически именно так и будет вести себя
идеальная несжимаемая вязкая ньютоновская жидкость »

Точка зрения, выраженная в вышеприведенном утверждении
Олдройда, заслуживает подробного обсуждения. Во-первых, мож-
но неограниченно долго дебатировать вопрос о том, что ближе
к «природе доступных нам экспериментальных методик»— пред-
положение, что деформация определяется историей напряжений
или же наоборот. Обсуждать это было бы бесполезным, поскольку
эти две точки зрения эквивалентны до тех пор, пока не сформу-
лированы гипотезы гладкости.

Действительно, рассмотрим классическое уравнение механи-
ческой теории простых жидкостей, т. е. уравнение (4-3.12). Пока
не сформулированы гипотезы гладкости для функционала
невозможно определить, будет ли скачкообразная деформация
(и, следовательно, бесконечно большая мгновенная скорость
деформации) соответствовать конечному или же бесконечному
мгновенному значению мгновенного напряжения. Если сформу-
лированы гипотезы гладкости, такие, как обсуждавшиеся
в разд. 4-4, то эго неявно предполагает, что скачкообразные при-
ращения деформации и напряжения соответствуют друг другу,
т. е. что возможны бесконечные значения мгновенной скорости
деформации.

Утверждение Олдройда декларирует возможность тою, что
для некоторых реальных материалов разрыв напряжения может
соответствовать разрыву скорости деформации, ио не самой дефор-
мации. Это фактически находится в противоречии с гипотезами
гладкости, лежащими в основе теории простых жидкостей (см,
обсуждение, следующее за уравнением (4-4.41))

Подходящей иллюстрацией этого является приведенный Олд-
ройдом пример ньютоновской жидкости, поскольку ньютоновские
жидкости (а также любой другой материал, для которого свобод-
ная энергия явно зависит от мгновенного значения скорости изме-
нения независимых переменных) не удовлетворяют гипотезам
гладкости теории простых жидкостей (разд. 4-4). Поэтому можно
только догадываться, существуют ли реальные материалы, которые
под действием напряжений с идеально разрывной предысторией
ведут себя так же, как идеальные ньютоновские жидкости. Можно
думать также (и мы склоняемся к этой мысли), что любой реаль-
ный материал, ведущий себя так же, как идеальная ньютоновская
жидкость, представляет собой просто материал с очень коротким
естественным временем, который проявляет отклонения от ныото-
невского поведения при идеально разрывной истории напряже
ний. Это означает, что скачок напряжения происходит за интервал
времени, который представляется практически нулевым для дан-
ного материала, т. е. он существенно меньше естественного вре-
мени материала независимо от того, как мал этот интервал на
самом деле.

Таким образом, рассматривая псньютеновские жидкости, сле-
дует выдвинуть соответствующие гипотезы гладкости. Теория
простой жидкости позволяет получить определенные результаты,
поскольку в пей делаются предположения, касающиеся свойств
гладкости определяющего функционала. Конечно, можно допу-
скать существование материалов, которые не удовлетворяют
таким гипотезам гладкости. Однако альтернативной теории пе су-
ществует, поскольку не сформулировано альтернативной системы
гипотез гладкости, не говоря уже о трудностях, связанных с полу-
чением такой альтернативной системы. Ряд результатов (таких,
в которых материальные функции могут быть определены из неко-
торых течений с предысторией постоянной деформации) можно
получить без формулировки какой-либо гипотезы гладкости, во
далее надо либо следовать теории простой жидкости, либо же
выдвигать альтернативную теорию.

Мы выяснпли, что уравнения типа (6-4.47), не допускающие
существования импульсов деформаций, не охватываются общей
теорией простых жидкостей с затухающей памятью, и ввиду ска-
занного выше они не могут следовать из любой общей теории.
Разумеется, когда они уже записаны, эти уравнения вполне закон-
ны и определяют свою собственную топологию. Вопрос состоит
в том, существуют ли какие-либо реальные неныотоновские жидко-
сти которые описываются уравнениями такого типа.

Наиболее бросающимся в глаза свойством, разделяющим
жидкости, описываемые уравнением (6-4.47), и простые жидкости
с затухающей памятью, является их поведение под действием
впезаппого изменения приложенных напряжений. В эксперимен-
тах по изучению последействия наблюдается движение жидкости
после внезапного прекращения действия напряжений. Если пре-
небрегать инерцией, то чисто вязкая жидкость прекратила бы
деформацию сразу после снижения напряжений. Простая жидкость
•со свойствами гладкости, описанными в разд. 4-4, обнаружила бы
некоторое мгновенное последействие (т. е. скачкообразному сня-
тию напряжений будет соответствовать скачок деформации).
'Жидкость, описываемая уравнением (6-4.47), тоже проявила бы
последействие, но не мгновенное, а происходящее с некоторым
запаздыванием (т. е. скачок напряжений вызвал бы скачок ско-
рости деформации) К сожалению, инерцией нельзя, пренебречь
в случаях, когда имеется тенденция к мгновенному последей-
ствию. Следовательно, нельзя привести и непротиворечивого экспе-
риментального доказательства. Тем не менее материалы, прояв-
ляющие последействие, характеризуются очень быстрым последей-
ствием — результат, свидетельствующий в пользу гипотез глад-
кости, лежащих в основе теории простой жидкости.

Следует, однако, заметить, что имеются молекулярные сообра-
жения, на основании которых можно предположить, что в очень
слабых растворах полимеров могут наблюдаться напряжения,
которые зависят как от истории деформирования, так и от мгно-
венного значения скорости деформации, причем проявление вяз-
костных свойств в поведении материала связано с влиянием
растворителя. Этот вклад не пренебрежимо мал ввиду крайне
низкой концентрации полимера. Таким образом, уравнение (6-4.47)
может быть, вероятно, использовано главным образом примени-
тельно к разбавленным растворам полимеров.

Частные случаи уравнений релаксационного типа

Обратимся теперь к более подробному анализу сьойств релакса-
ционных уравнений состояния, предложенных в литературе.
Олдройд [25] исследовал поведение материалов, описываемых
уравнениями (6-4 39) или (6-4.47) для частного случая, когда
а = b = с — 0, т. е. когда в обеих частях уравнения состояния
используется вращательная производная г.

О	Пг о

^4*2 aNT№2p. [D + 2 Рл Ь? |.	(6-4.48)

1 1

Он показал, что для произвольных значений п} и п2 получается,
что разности первых и вторых нормальных напряжений равны
по величине и противоположны по знаку. Этот результат противо-
речит экспериментальным данным.

Сприггс [27] рассмотрел модель, списываемую уравнениями
(6-4.40) и (6-4.41), при следующем выборе значений kN, р,л и Раъе:

.	(«•«)

=	(6-4.50)

Fabc~F-<1+е), */«(!+«), 0,	(6-4.51)

п -> сю	(6-4.52)

Эта модель содержит четыре постоянных параметра: а, р,, е
Существуют микрореологические теории [30, 31], согласно кото-
рым следует положить a = 2. Если а нс слишком сильно отли-
чается от 2, то вклад величины с ростом N быстро становится
пренебрежимо малым. Постоянная е вводится в модель с тем,
чтобы получить отличную от нуля разность вторых нормальных
напряжений в вискозиметрическом течении. Заметим, что при
а — 2 и е = 0 уравнение Сприггса становится эквивалентным
уравнению (6-3.12) с системой времен релаксации, даваемой урав-
нением (6-3.11).

Последующей модификацией модели является 6-константпое
уравнение Сприггса 1321 с введенным в правую часть уравнения
(6-4.41) членом, содержащим время запаздывания и производную
тензора D. К этому уравнению применимы те же самые топологи-
ческие соображения, которые уже обсуждались в связи с уравне-
нием (6-4.47).

Рассмотрим, наконец, ряд уравнений состояния релаксацион-
ного типа, имеющих вид уравнения Максвелла или обобщенного
уравнения Максвелла, т. а. уравнения, включающего систему
времен релаксации, в котором «константы» (обычно X и р.) заме-
нены «функциями». В качестве аргумента этих функций выбирает-
ся какой-либо инвариант скорости деформации, обычно второй
инвариант. Примеры уравнений этого типа можно найти в рабо-
тах [33] и [34].

Эти уравнения соответствуют тем интегральным уравнениям
состояния, функции памяти в которых выбраны зависящими
от скорости деформаций, и их можно подвергнуть критике с тех
же позиций, что и в последней части предыдущего раздела. Хотя
эти уравнения могут оказаться полезными для корреляции дан-
ных различных экспериментов, они не вырождаются надлежащим
образом в уравнение, описывающее линейное вязкоупругое пове-
дение. вследствие специфичности их топологии (см. обсуждение
в конпе разд. 6-3).

Завершим этот раздел замечанием, касающимся релаксацион-
ных уравнений вообще. Б самом общем виде релаксационное урав-
нение не определяет единственный материал, т. е. единственный
функционал, который описывает напряжение з данный момент,
если задана предыстория деформаций. Рассмотрим аналогичный
случай для функций. Если функция определяется посредством
дифференциального уравнения, должны быть заданы начальные
условия. Если начальные условия не заданы, дифференциальное
уравнение определяет целую систему функций. Вообще говоря,
если не сделано дополнительных предположений, релаксационное
уравнение состояния определяет одновременно ряд функционалов,
т. е. ряд различных материалов. Возможно даже, что среди мате-
риален, определенных таким образом, представлены жидкости
и твердые тела одновременно.

Однако для уравнений, подробно рассмотренных в этом раз-
деле, ситуация ь значительной мере менее неопределенна, чем
в общем случае, рассмотренном Трусделлом и Ноллом [35]. Дей-
ствительно, все рассмотренные здесь уравнения линейны огно-
сителыю тензора напряжений, так что к ним применимы следую-
щие соображения. Рассмотрим, например, уравнения (6-4.39)
или (6-4.47), которые описывают трехмерные аналоги систем,
составленных из пружинок и амортизаторов. Предположим, что
определена какая-либо из таких систем и что она представляет
«жидкость», т. с. допускает бесконечно большие деформации. Если
параллельно такой системе добавить пружинку, то система пре-
образуется в модель твердого тела. Дифференциальное уравнение
модифицированной системы вновь будет иметь такую же форму
с дополнительным членом в правой части, пропорциональным
деформации (но пе скорости деформации или ее более высоким
производным). Таким образом, с первого взгляда может пока-
заться, что уравнения для «твердых тел» отличаются наличием
члена с деформацией. Но все же деформацию из такого уравнения
можно исключить при помощи дифференцирования. При этом
член, содержащий напряжение в левой части, одновременно
преобразуется (вследствие линейности) в член, содержащий произ-
водную напряжения. Таким образом, заключаем, что уравнения
(6-4.39) и (6-4.47) представляют собой, по существу, уравнения
состояния для жидкостей, так как они явно включают напря-
жение.

Остается еще вопрос о том, будет ли уравнение (6-4.39) с задан-
ными значениями параметров определять единственную жидкость
или ряд жидкостей. С первого взгляда может показаться, что
из одного и того же уравнения в зависимости от произвольно
задаваемых начальных условий будут получаться различные
функционалы, т. е. различные жидкости. Однако структура этого
уравнения такова, что оно уже содержит свойство затухающей
памяти. Это означает, что если момент времени, в который опре-
делены начальные условия, смещается все дальше и дальше
в прошлое, то получающийся в результате функционал становится
все более не зависящим от начальных условий. Пример такого
свойства был приведен при получении уравнения (6-4.19) из
(6-4.12). Таким образом, можно сделать вывод, что при условии
наложения начальных условий в далеком прошлом их влияние
несущественно, и уравнения, рассматриваемые в этом разделе,
недвусмысленно определяют единственную жидкость.

6-5 ПРИМЕРЫ

Пример 6А: Выводы из теории БКЗ для вискозиметрических
течений.

Функция U, используемая в теории БКЗ, была задала Запа-
сом (10] в виде выражения (6-3.33). Для вискозиметрических
течений уравнение (6 3.33) принимает более простой вид, поскслв-
ку 1с< и Пс< задаются следующими выражениями:

Ict = 3-J-*3s«,	(6-5.1)

Ис4₽1(С<)-( = 3 + Л2Л	(6-5.2)

Уравнения (6-5.1) и (6-5.2) немедленно получаются из кинемати-
ческого описания вискозиметрического течения (см. пример ЗА
гл. 3).

Чтобы получить напряжения, необходимо вычислить производ-
ные функции V, фигурирующие в уравнении (6-3.31). Имеем из
уравнения (6-3.33)

п1	I 9 О/	1	I 24 4  С ) . f	/р Е О\

- d\ t -ft 1 -f-' Н-2 Р I t+II t-4-3 + I t + 15 +c ’ <6-5-3)
U	V Vi	V»

___________________1_______24(y-H	'

dll.* 2 1 I t-| П .4.3	•	\»ол}

Cr	cl C‘	C .

Таким образом, используя уравнения (6-5.1) и (6-5.2), получаем

2 _°£_ = _ 2a.'k2sz___—________— J‘— — 2с'	(6 5 5)

1+1 18+^2 ’ ‘

9

9 3U. Р' 48(р' —сЭ

aILt	4 . 2	.	18+W •

сг	1 +— w

(6-5.6)

Уравнения (6-5.5) и (6-5.6) вместе с матрицами (У и (С’)-1, приве-
денными в примере ЗА, позволяют при помощи (6-3.31) вычислить
точно напряжения.

Для тангенциальной компоненты получаем

ОО

х(к) = к ‘ /2а'А2«34---f— —|-2c's) ds. (6-5.7)

‘О (	1 + ykV J

Интегрирование нельзя выполнить в явном виде, поскольку а',
Р' и с' — неизвестные функции s. Однако считаем, что второй
член в интеграле представляет собой убывающую функцию пара-
метра к, в то время как первый — возрастающую функцию, кото-
рая доминирует при достаточно больших значениях к. Если огра-
ничиться только полимерными расплавами или растворами, кото-
рые, вообще говоря, ведут себя как псевдопластики, то придем
к выводу, что

а* = 0.

(6-5.8)
Таким образом, вискозиметрическая вязкость определяется соот-
ношением

ОО

Яу (Л) -= 2 ( /-^3- - -г c's 1 ds.	(0-5.9}

J0|l+fW J

Вязкссть при пулевом сдвиге дается выражением
'	-	ОО

т]у(0) = 2 j (Р' 4-с') s ds,	(6-5.10)

о

в то время как для очень больших значений к

ОО

T]v(oo) = 2 I c'sds.	(6-5.11)

о

Для разностей первых и вторых нормальных напряжений полу-
чаем следующие выражения:

ОО

{к) = 2F  (-—+ с'зН ds.	(6-5.12)

Jop+-|w J

oo

п2(й)=-^и—jс6-5-13)
0 M+g-*2’2	J

Разность первых нормальных напряжений оказывается положи-
тельной, а вторых — отрицательной, но последняя, возможно,
слишком велика. Вероятно, третий член в выражении для свобод-
ной энергии (6-3.33) нуждается в некоторой модификации.

Пример 6Б: Вычисление бискозиметрических функций для жидко-
сти типа Максвелла.

Обратимся, в частности, к уравнению состояния (6-4.4). Для
проведения вычислений и, в частности, для нахождения тензоров
D и W необходимо лишь мгновенное кинематическое описание.
Тензор W появляется в выражении для вращательной производ-
ен

пой т. Для линейного течения Куэтта, описанного в соответствую-
щей декартовой системе координат, матрицы тензоров D и W

задаются выражениями (см. пример 2А гл. 2)	
[»] =	0 М2 Oil  Л/2 0	0|,	(6-5.14)
[W] =	0 о olj 0 М2 0  — Л/2	0	0	(6-5.15)
о	0	0 0
Поскольку течение имеет предысторию постоянной деформации,
•го [т] = 0, и, таким образом (см уравнение (3-3-88)):

°=fW + (T-W)T,

r-W =

о

1Т] =

Имеем также

-(Ш)т)2 (Л/2) т11

-(/с/2)т22 (?с/2)т12

-(/с/2)т23 (/с.'2)т13

— /ст12
|(т11-т22)
_____-23

2 Т

4(т11-т22)

/ст12

It D-|-D т] =

/ст12

4(т11-т22;

А - -23

2 т

&т12	4тй

л

4-т13 О
d

(6-5.16)

(6-5.17)

(6-5.18)

(6-5.19)

0

0

0

Таким образом, уравнение (6-4.4) приводит к следующей системе
совместных алгебраических уравнений:

11:	т“-/сЛт12+Шт12 = 0,

12: ^-{-^-(т^-т^-Ь-^а^Ч т22) = ц&,
d	d

13:	(|W.20)
22-	т22 + И.т12 4- /сХат12 0,
23:  33:	т23+#-т13 + -^-т13 = 0, dt	d  т33 = 0.

Уравнения для компонент с индексами 13 и 23 дают сразу же
т13 = -г23 = 0, как и ожидалось. Уравнения для компонент 11
и 22 используются для выражения т11 и т22 через т12:

т11 = П (1 - а) т12,	(3-5.21)

т22 = — кк (1 + а) т12.	(6-5.22)

Подстановка уравнений (6 5.21) и (6-5.22) в уравнение для ком-
поненты с индексами 12 даст

12

гД

l-f-Ж2 (1—а2)

(6-5.23)
Таким образом, получаем уравнение (6-4.5). После этого сразу же
получаем (6-4.6) и (6-4.7). Заметим, что tr т не равен нулю. Дей-
ствительно,

_______________WXa
1-:- Ш«(1 — а2) •

(6-5.24)

ЗАДАЧИ

(•-/ Вывести уравнения (6-2.9) и (6.2.10).

6-2 Показать только на основе вискозиметрической реометрии, что урав-
нение (6-3.2) феноменологически не отличается от уравнения (6-2.4).

6-3 Вычислить выражение для т]Е, предсказываемое уравнениями (6-3.31)
и (С.3.33).

6-4 Вычислить выражение для г)Е, предсказываемое уравнением (6-4.4)

6-5 Проверить, будет ли уравнение (6-4.27) удовлетворять гипотезам гладко-
сти теории простой жидкости.

6-6 Вывести уравнение (6-4.28).

6-7 Определить одномерную модель, соответствующую уравнению (6 4.48)
с raj = 3, п. = 2. Обсудить, почему любая одномерная модель соот-
ветствует либо гч=п^, либо .’i1=n2-|-l.

6-8 Обсудить топологию, связанную с уравнением (6-4.48), для случая
«Ч > Н + !•

1ПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

. Truesdell С., Noll W., The Non-linear Field Theories, Springer-Verlag,
2 Berlin, 1965, p. 92.

3.	Rivlin R A., Ericksen J. L., J. flation. Meeh- and Analysis. 4, 323 (1955).

. Coleman В. 0 , Markowitz H., J. Appl. Phys., 1, 1 <1964)

4.	Markowitz H., Coleman B. D., Adv. Appl. Meeh., 8, 69 (1964).

5.	Lodge A. S., Rheol. Acta., 7, 379 (1968): Trans Farad. Soc., 52, 20 (1956).

6	Ferry J. D., Viscoelastic Properties of Polymers, Wiley, New York, 1961.

7.	Astarita G., Nicodemo L., Chem. Engng J , 1, 58 (19/0).

8.	Bernstein В , Keersloy E. A., Zapas L. 1.. Trans. Sue. Rheol., 7, 391 (1963).

9.	Truesdell C., Noll W., op. cit., p. 175.

10.	Zapas L. J., Res. Natl. Bur. Std., 70A, 525 (1966).

11.	Ward A. F. H., Jenkins G. M., Rheol. Acta, 1, 110 (1958).

12.	Tanner R. I., Simmons J.	M., Chem. Engng Sci., 22, 1803	(1957),

13.	Tanner R. I., Ballman R.	L., Ind. Engng Chem. Fund.,	8,	588	(1969).

14.	Marrucci G., Ind. Engng	Chrm. Fund., 9, ol4 (1976).

15.	Fredrickson A. G., Chen1.	Engng Sci., 17, 155 (1962).

16.	Spriggs T. W., Huppler J. D., Bird R. B., Trans, Soc. Rheol., 10, 191
(1966).

I7	Lodge A. S., Elastic Liquids, Academic Press, London, 1964, p. 121

18.	Lodge A 8., см. [16].

19.	Bird R R., Carrean P. J., Chem. Engng Sci., 23, 427 (1968).

20.	Bogue D- C., Ind. Engng Chem Fund., 5, 253 (1966).

21.	Саггоаи P. J., Trans. Soc. Rheol. (в печати)

22.	Philippoff W , Tans. Sue. Rheol., 10, 317 (1966).

23.	Coleman В D., Arch. Ration. Meeh, and Analysis, 17. 1 (1964).

24.	Lodge A. S., Proc. 5th Int. Cong, on Rheology, vcl. 4, University Park
Press, 1970.

25.	Oldroyd J G., Second-order Effects in Elasticity, Plasticity and Fluid
Dynamics, Pergamon Press, Oxford, 1963, p. 520.

26.	Roscoe R., Brit. J, Appl. Phys., 15, 1095 (1965).
27.	Spriggs I. W , Chem. Engng Sei., 20, 931 (1965).

28.	Williams M. C., Bird R B., Phys. Fluids, 5, 1126 (19621; A. I. Ch. E. J.,
8, 378 (1962); Ind. Engng Chem. Fund., 3, 42 (1364).

29	Oldroyc J. G., Trans. Roy. Soc. London, A200, 523 (195C); 283, 115 (1965).

30.	Rouse P. E. Jr., J. Chem. Phus., 21, 1272 (1953).

31.	Zimm В H., J. Chem. Phys', 24, 269 (1965).

32.	Spriggs T. W., Ph. D. Thesis, University of Wisconsin, 1966.

33.	Tanner R. I., A. S. L E. Trans., 8, 179 (1965).

34.	White J. L., Metzner A. B., J. Polymer Sei., 7, 1867 (1963).

35.	Truesdell C., Noll W., Op. cit., p. 98.
7

ГИДРОМЕХАНИКА

7-1 КЛАССИФИКАЦИЯ ТЕЧЕНИЙ

Классическая (т. о. ньютоновская) изотермическая гидромеха-
ника несжимаемых жидкостей занимается, по существу, получе-
нием решений для имеющих физический смысл систем граничных
условий, налагаемых на уравнения Навье — Стокса:

P^=-Vp + pV2v + pg.	(7-1.1)

Уравнение (7-1 1) рассматривается' совместяо с уравнением нераз-
рывности

V-v = 0.	(7-1.2)

Хотя программа исследований в классической гидромеханике
устанавливается без труда, следовать этой программе — задача
чрезвычайно трудная из-за аналитической сложности системы
нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных
второго порядка (7-1.1) и (7-1.2). На практике точные или при -
ближенные решения этой системы можно получить лишь в случае,
когда либо граничные- условия имеют чрезвычайно простой вид,
либо проведены некоторые предварительные упрощения. Факти-
чески в соответствии с типом производимых упрощений задачи
гидромеханики можно разделить па ряд категорий. Отнесение
какой-либо частной проблемы к одной из этих категорий осно-
вывается, по существу, на анализе размерностей.

Аналогичная проблематика для ньютоновской гидромеханики
оказывается на несколько порядков более сложной. Действи-
тельно, в этом случае надо учитывать три следующих дополни-
тельных обстоятельства:

(i)	Основное уравнение движения не только имеет более слож
цую,-чем уравнение (7-1.1), форму, поскольку член, описывающий
внутренние напряжения, имеет не столь простой вид, как p№v.
Фактически сама форма этого уравнения неизвестна, поскольку
пет известного уравнения состояния, которое точно описывало бы
реологическое поведение того или иного частного материала при
всех возможных условиях течения.

(ii)	Хотя можно ожидать, что по крайней море некоторые
из.физических обоснований приближенных методов, используемых
в классической гидромеханике, применимы также и к рассмотре-
нию непыотоновских жидкостей, класификация типов течений,
несомненно, нуждается в дальнейшей детализации, и ее природа
до конца еще пе понята.

(iii)	Анализ размерностей основан на объединении физических
параметров в соответствующие группы и может быть использован
в классическом смысле только в случае линейности фундамен-
тальных основополагающих соотношений, когда поведение мате-
риалов однозначно определяется значением некоторых параметров
материала. Распространение этого анализа на гидромеханику
неньютоновской жидкости ставит ряд проблем, которые до сих нор
еще полностью не рошены.

В дальнейшем мы проиллюстрируем классификационную схе-
му задач классической гидромеханики, пытаясь сосредоточить
внимание на физическом смысле задачи, а не на математическом
формализме. Это позволит осветить в соответствующей перспек-
тиве в значительной степени нерешенные аналогичные задачи
неньютоновской гидромеханики, некоторые из которых в более
общем виде будут обсуждены в следующем разделе.

Силы тяжести

Исследуем вначале значение члена pg, представляющего объем-
ную силу в уравнении (7-1.1). Если У — некоторая характерная
скорость рассматриваемого течения, L — характерная длина,
a g — модуль вектора g, то число Фруда определяется так:

рг _ уа _ _ Инерция	(7 . о.

Lg Гравитация *	\	• г

Если число Фруда очень велико, то силы тяжести пренебрежимо
малы по сравнению с силами инерции (т. е. I pg | < | fiDv/Dt I)
и член pg в уравнениях движения можно опустить. Поскольку эта
процедура основана на сравнении таких двух членов уравне-
ния (7-1.1), которые имеют тот же самый виц и для неньютонов-
ских жидкостей, ее распространение на последние вполне законно.

Очень большие числа Фруда встречаются в очень немногих
задачах гидромеханики. Тем не менее силы тяжести часто не вхо-
дят в явном виде в решение частных задач по совсем иной при-
чине. Действительно, уравнение (7-1.1) можно записать в виде

где	—«избыточное давление», введенное в разд. 5-1:

= Р + РФ-

Если силы тяжести не входят явно в граничные условия (когда
они выражены через SP, а но через р), решение краевой задачи
получают в виде распределений скорости и избыточного давления
так, что силы тяжести явно не появляются ни на какой стадии
этой процедуры. Это справедливо в случае, когда рассматриваемое
поле течения ограничено жесткими (например, твердыми) поверх-
ностями. При наличии свободных границ (например, границ разде-
ла с газовой фазой) граничные условия на этих поверхностях
выражаются через р, и гравитационные силы должны явно входить-
в решение краевой задачи. Эти рассуждепия применимы, очевидно,,
и к неньютоновской гидромеханике.

Уравнения Эйлера

Основным безразмерным критерием ньютоновской гидромеханики
является число Рейнольдса

yi___ЛГр _Инерционные силы	.

р Вязкие силы *	'

Если число Рейнольдса очень велико (скажем, много больше
единицы), член py7v Б уравнении (7-1.4) можно опустить, тогда
оно сводится к виду х)

ръг=--^-	(7-1.б>

Уравнение (7-1.6) представляет собой так называемое урав-
нение Эйлера или уравнение движения идеальной жидкости
(т. е. жидкости с р, = 0, у которой, слэдовательно, напряжение
всегда изотроппо. Т = —pl). Литература по решению краевых
задач для уравнения (7-1.6) весьма обширна и составляет содер-
жание классической гидромеханики. Одним из лучших руководств,
по этому предмету является монография Ламба [1].

Конечно, для непьютоновских жидкостей также легко можно
представить себе такие условия течения, где влияние внутренних
напряжений пренебрежимо мало по сравнению с влиянием сил
инерции, скажем

I V т I « | pDv/Dt |.	(7-1.7)

При таких условиях течения член у-т в уравнении движения
можно опустить, и последнее вновь вырождается в уравнение
Эйлера (7-1.6). Этот аргумент был фактически использован в обсуж-
дении одной частной проблемы неньютоновской гидромеханики
в [2] Проблема состоит в том, что, в то время как для ньютонов-
ских жидкостей условием применимости уравнения (7-1.6) являет-
ся хорошо известное условие

 	Re»l,	(7-1.8)

L) Важнейшим исключением служат ламинарные течения, рассмотрен-
ные ниже.
в общем случае для некыотоновской жидкости нельзя предложить
никакого аналогичного условия, если только не рассматривать
частное реологическое уравнение состояния, содержащее конеч-
ный набор материальных параметров.

Необходимо обсудить здесь одно важное положение, которое
требует введении вектора вихря w, определяемого соотношением
(символ X обозначает векторное произведение)

v х w = —2W v.	(7-1.9)

Можно показать в общем случае, что любое решение уравне-
ния (7-1.6) (т. е. любое распределение скорости, удовлетворяющее
уравнению Эйлера) удовлетворяет следующему условию:

_gL=Vv.w.	(7-1.10)

В частности, из уравнения (7-1.10) следует, что (i) в любом
движении, начинающемся из состояния покоя, вихрь всегда
равен пулю, и (ii) если стационарное поле течения таково, что
все траектории приходят из бесконечности, и вихрь равен нулю
па бесконечности, то он равен нулю всюду в поле течения.

Эти два положения свидетельствуют о том, что безвихревые
движения, т. е. поля течения, в которых w = 0, образуют очень
важный класс решений уравнений Эйлера. Заметим, что если
поле течения таково, что w — 0, то и W = 0.

Поскольку в общем случае может быть доказано следующее
тождество:

V-W = V-D - V (^-v),	(7-1.11)

видим, что в безвихревом поле течения несжимаемой ньютоновской
жидкости дивергенция тензора напряжений равна нулю 1) Следо-
вательно, решения уравнения (7-1.6) при W — 0 являются одно-
временно точными решениями полных уравнений движения (урав-
нение (7-1.4) для несжимаемой ньютоновской жидкости).

г) Следует хорошо попять физический смысл того обстоятельства, что
V-t = 0. В теории идеальной жидкости полагают р. = 0 и, следовательно,
т = 0, так что равенство V -т = 0 тривиально Для ньютоновской несжи-
маемой жидкости в случае безвихревого течения V «т = 0 (т. е. результи-
рующая сила вследствие действия напряжений на любую замкнутую поверх-
ность равна пулю), по сами напряжения но равны нулю. То. что дивергенция
тензора напряжений может быть равна нулю, хотя сами напряжения
и но равны нулю, пе неожиданно; действительно, в гл. 5, например, это было
показано для течения удлинения. Заметим, что диссипация энергии т - Vv
всегда равна нулю в идеальпой жидкости, по отлична от нуля в ньютонов-
ской жидкости, даже если последняя участвует в изохорпом безвихревом
Течении, где V - т = 0. Фактически эта интересная задача ньютоновской гидро-
механики была первоначально решена в работах [2, 3] при помощи вычис-
ления полной скорости диссипации в безвихревом поле течения, удовлетво-
ряющем уравнению (7-1.6).
Сделанное выше замечание придает уравнению Эйлера в нью-
тоновской гидромеханике несжимаемой жидкости некий статус,
более широкий, чем связанный с ограничениями, которые нала-
гаются условием (7-18). Действительно, за исключением задач,
рассматривающихся в окрестности твердых границ (они будут
обсуждены ниже), уравнение (7-1.6) позволит получить большой
класс решений общего уравнения движения, который дает пра-
вильные результаты и в случае умеренно низких значений числа
Рейнольдса.

Это, однако, несправедливо для неныотопозских жндкостсй-
Действителько, для произвольного уравнения состояния, отлич-
ного от ньютоновского, уравнение (7-1.11) уже не будет означать,
что дивергенция тензора напряжений равна нулю для несжимае-
мых жидкостей, и, следовательно, безвихревые поля течения, удо-
влетворяющие уравнению (7-1.6), не будут решениями полных
уравнений движения. Следовательно, результаты классической
гидромеханики применимы к пеныотсновским жидкостям только
в рамках ограничений, налагаемых неравенством (7-1.7).

Пограничные слои

Обсудим здесь в общем виде проблему, возникающую в связи
с уравнением Эйлера. Б классической ньютоновской гидромехани-
ке уравнение движения (7-1.4) представляет собой дифференциаль-
ное уравнение второго порядка. При этом члены второго порядка
возникают только в связи с вязким членом p V3v; следовательно,
если пренебречь этим членом, то получающееся в результате
уравнение (т. о. уравнение Эйлера) будет дифференциальным
уравнением первого порядка. Это означает, что пе все граничные
условия, которые могут налагаться на полное уравнение движе-
ния, могут также быть наложены па решение уравнения Эйлера.
Поскольку граничные условия представляют собой истинные
физические условия, о которых известно, что они корректны,
решения уравнения Эйлера, даже когда они являются также реше-
ниями полных уравнений движения, не будут удовлетворять всем
граничным условиям, физически налагаемым на поле течения.
В частности, нельзя требовать, чтобы касательная скорость
на твердых граничных поверхностях обращалась в нуль для
уравнения Эйлера, решения которого дают конечную касательную
скорость на таких поверхностях. Это вскрывает главную трудность
классической гидродинамической теории, основным проявлением
которой является так называемый парадокс Даламбера х).

Этот парадокс состоит в следующем: жидкость, обтекающая погружен-
ное в нее тело симметричной относительно направления течения формы,
действует на это тело с пулевой силой. Известно, что это, разумеется, неверно,
как бы ни была мала вязкость.
Эта трудность связана с отбрасыванием вязких сил: даже при
очень больших числах Рейнольдса эта процедура незаконна вблизи
твердой границы. Действительно, поскольку на твердой границе
скорость равна нулю, в то время как градиент скорости конечен,
в этой области всегда доминируют вязкие силы. Поэтому вблизи
твердых границ всегда необходимо анализировать течение на осно-
ве уравнения (7-1.4), даже если число Рейнольдса велико. Эта
область, примыкающая к границе, где нарушается справедливость
уравнения (7-1.6), называется пограничным слоем.

Классическая теория течения ньютоновских жидкостей в по-
граничном слое хорошо развита, и лучше всего этот предмет
изложен в книге Шлихтинга [4]. Мы хотим обсудить здесь очень
кратко только некоторые фундаментальные понятия, относящиеся
к двумерным пограничным слоям, для того, чтобы проанализиро-
вать возможные обобщения этой теории на неньютоновские жид-
кости.

Для двумерных пограничных слоев можно показать, анализи-
руя порядок величин, что толщина пограничного слоя 6 связана
с расстоянием от точки торможения х соотношением

A = O-7-L_-,
х У Нех

(7-1.12)

где Вех — число Рейнольдса, в котором в качестве характерного
размера используется х. Соотношение (7-1.12) означает, что везде,
за исключением малой области вблизи точки торможения. 6 < х.
Этот вывод имеет первостепенную важность, поскольку он позво-
ляет провести упрощение уравнений движения при помощи
простого анализа порядка величин, из которого получаются
последующие результаты.

В направлении, ортогональном к граничной поверхности (кото-
рое будем обозначать через р), силы инерции лренебрзжимо малы,
а внутренние напряжения уравновешиваются градиентом давле-
ния. Уравнение движения в направлении у сводится к J)

д&> _ д\-
ду '	•

(7-1.13)

Из рассмотрения уравнения (7-1 13) очевидно, что изменение дав-
ления поперек пограничного слоя пренебрежимо мало по срав-
нению с силами, действующими в направлении течения х. Сле-
довательно, в проекции уравнения движения па ось х распре-
деление давления может быть взято равным полученному из

J) Поскольку 6 < х, можно рассматривать координатную систему
с осью х в направлении касательной и с осью у в направлении нормали к гра-
ничной поверхности как квазидекартову систему.
решения уравнения Эйлера* а именно

<-=~Р^,	(7-1.14)

где U — тангенциальная скорость, удовлетворяющая уравнению
Эйлера. Величина U считается зависящей только от х, так как
изменение тангенциальной скорости поперек пограничного слоя,
согласно уравнению Эйлера, пренебрежимо мало. С учетом уравне-
ния (7-1.14) уравнение движения в направлении х сводится
к уравнению

<7-1Л5>

Уравнение (7-1.15) вместе с уравнением неразрывности

dVi]

-^ + -/-0	(7-1.16)

дх 1 с!у	'	'

представляют собой основные уравнения двумерного погранич-
ного слоя, точные и приближенные решения которых могут быть
найдены для различных геометрических условий 14].

Точно такой же общий подход был распространен на пеньюто-
повские жидкости Уайтом и Метцнером [5]. В этом случае нельзя,
вообще говоря, написать уравнения, аналогичные уравнению
(7-1-12), и вся аргументация, основанная на отношениях порядков
величин, представляется значительно более неопределенной. Тем
не менее выводы, сделанные выше (но не сами уравнения), все-таки
приближенно справедливы и для неньютоновских жидкостей,
для которых физическая интуиция вновь подсказывает, что можно
представить себе такие ситуации, когда уравнение Эйлера нару-
шается лишь в топком слое, прилегающем к твердым границам.
Уравнение движения в направлении х принимает тогда вид

[dvv । ди- гт Ш 1 'Ху , д !	. , гт л л т?

”*~дГ+Ъ	J =-дГ +77 (^-т^). (7-1.17)

Уравнения (7-1.16) и (7-1 17) снова можно считать основными
уравнениями двумерного пограничного слоя для течения пенью-
т'оновской жидкости. Разумеется, их решение требует введения
час-ных уравнений состояния.

По видимому, заслуживает упоминания тот факт, что Аста-
рита [6] привел качественные аргументы, согласно которым раз-
мер области вблизи точки торможения, в которой приближения
пограничного слоя перестают действовать, является для ненью-
тоновских жидкостей величиной, возможно, намного большей,,
чем для ньютоновских жидкостей.
Ламинарные течения

В этой книге термин «ламинарное течение» используется для обо-
значения такого поля течения, которое (i) удовлетворяет полному
уравнению движения и всем соответствующим граничным усло-
виям и (ii) таково, что DvIDt = 0.

Исключая тривиальные случаи гидростатики и твердотельного
стационарного переноса, ламинарные течения практически воз-
можны только при стационарных течениях в длинных каналах
постоянною сечения. В ламинарных течениях, разумеется, нельзя
пренебрегать силами вязкости ио сравнению с силами инерции,
даже если число Рейнольдса велико, поскольку инерционные силы
в этом случае тождественно равны нулю.

Хорошо известно, что ламинарные течения неустойчивы при
очень больших числах Рейнольдса, когда течение перерождается
в турбулентное. Это означает, что, хотя поло ламинарпого тече-
ния представляет собой решение полных уравнений движения,
удовлетворяющих всем граничным условиям, оно не есть един-
ственное решение, поскольку, разумеется, поле турбулентного
течения тоже удовлетворяет как дифференциальному уравнению
движения, так и граничным условиям.	:

Все ламинарные течения являются вискозимегрическими (хотя
обратное утверждение несправедливо: в гл. 5 некоторые из обсуж-
давшихся вискозиметрических течений характеризовались отлич-
ными от нуля инерционными силами). Хотя ламинарные течения
возможны и для непьютоновских жидкостей, было показано [7],
что в общем случае стационарное прямолинейное течение но трубе
постоянного сечения для неньютояовских жидкостей невозможно,
за исключением очень небольшого числа геометрий поперечного
сечения (например, круглые трубы или бесконечные щели).
Вторичные течения, т. е. циркуляционные течения в плоскости
поперечного сечения, возникают как только принимаются во вни-.
мание отклонения от ньютоновского поведения.

Ползущее течение

Для ньютоновских жидкостей в уравнении движения инерцион-
ные силы Можно опустить, тогда

W = рГЧ,	(7-1.18)

если" число Рейнольдса очень мало, скажем достаточно меньше
единицы. Течения, удовлетворяющие уравнению (7-1.18), назы-
ваются ползущими течениями. Следует помнить, что в ползущих
течениях DvlDt не равно нулю.

Конечно, ползущие течения можно рассматривать также и при-
менительно к ноньютоновским жидкостям, и фактически боль-
шинство из течений, обсуждавшихся в гл. 5, являются ползущими
течениями (с поправками, вводящими в расчет минимальный вклад
инерционных сил). На самом деле, поскольку иеныотоновские
жидкости, вообще говоря, гораздо более «вязкие», чем обычные
ньютоновские жидкости (в том смысле, что при сравнимых кине-
матических условиях в них развиваются большие внутренние
напряжения), ползущие течения составляют, возможно, наиболее
интересную категорию течений пеньютоновских жидкостей.

В то время как пренебрежение инерционными силами в урав-
нении движения в случае ньютоновских жидкостей приводит
к уравнению (7-1.48) которое линейно (поскольку единственным
пслипойпым членом в уравнении (7-1.14) является член, описы-
вающий инерционную силу), аналогичный результат не имеет места
для неньютоновских жидкостей, когда уравнение, описывающее
ползущее движение, остается нелинейным. Это справедливо неза-
висимо от тою, в какой форме принимается реологическое уравне-
ние состояния. В общем случае даже вид внутренних напряжений
в пеньютоновских жидкостях неизвестен.

Турбулентные течения

Хорошо известно, что турбулентные течения ньютоновских жидко-
стей представляют наиболее трудный для анализа тип течений.
Так как полное описание распределения скоростей в турбулент-
ном течении не только невозможно получить, но и трудпо было бы
практически использовать, турбулентные течения, вообще говоря,
описываются в терминах средних значений как скорости, так
и давления:

(7-1.19)

(7-1.20)

где Т — интервал времени, достаточно большой для того, чтобы
получить статистически представительную реализацию флуктуа-
ций.

Флуктуационные составляющие скорости v' и давления 4?'
определяются в виде

v = v—у',

& = &>— $>',

(7-1.21)

(7-1.22)
Подставляя (7-1.21) и (7 1.22) в уравнение (7-1.4) и осредняя
все члены на интервале Т, получаем
_ _ _____________________________________

р-^-= — V^ + p,V8v —V.(pv'v'),	(7-1.23)

где тензор —pv'v' называется тензором напряжений Рейнольдса.
Очевидно, что уравнение движения для средней скорости v отли-
чается от уравнения для мгновенной скорости v только членом,
описывающим напряжение Рейнольдса и возникшим из един-
ственного нелинейного члена в уравнении (7-1.4), т. е. из члена
Vv>v. Действительно, поскольку осреднение (в смысле (7-1.19)
и (7-1.20)) есть линейная операция, она коммутативна со всеми
линейными операторами, встречающимися в уравнении (7-1.4).

Если ту же самую процедуру применить к общей неньютоиов-
ской жидкости, то получим

-V^ + V.(?-p?V),	(7-1.24)

но поскольку т не есть линейная функция скорости, нельзя ожи-
дать, что уравнение движения для v будет отличаться от уравне-
ния для v только наличием члена, описывающего напряжения
Рейнольдса, так как вследствие нелинейности уравнения состояния
будут возникать дополнительные члены.

Разложения озсеповского типа

Анализ движения ньютоновских жидкостей, обтекающих погру-
женные в них тела, в предельном случае исчезающе малого числа
Рейнольдса проводится в приближении ползущего движения,
когда в уравнениях движения полностью пренебрегают инерцион-
ным членом	Если число Рейнольдса не слишком мало,

можно приближенным путем ввести поправку к решению для
ползущего течения, используя разложение озееновского типа. Это
основано па следующих соображениях.

Отношение сил инерции к силам вязкости увеличивается
с увеличением расстояния от погруженного тела; фактически
локальное число Рейнольдса должно определяться расстоянием
от центра тела, а не его линейным размером. На больших рас-
стояниях от тела скорость приближенно равна невозмущекпому
вектору скорости v«>, и, следовательно, для стационарного тече-
ния можно записать

p^-^Vv.Voo.	(7-1.25)

Поэтому, если искать решение уравнений движения для ситуа-
ции, когда инерция пренебрежимо мала в окрестности погружен-
ного тела, уравнение движения для ньютоновской жидкости можно
записать в виде

P^V'Voo = —+ p№v.	(7-1.26)

Значительное преимущество уравнения (7-1.26) перед уравне-
нием (7-1.4) заключается в том, что оно линейно.

Аналогичную процедуру можно применить к пеныотоповским
жидкостям, поскольку рассуждения, приводящие к уравнению
(7-1.25), не зависят от реологическою поведения рассматривае-
мой жидкости (при условии что внутренние напряжения пе зави-
сят от кинематики движения таким образом, что соображение
об увеличении отношения инерционных сил к внутренним напря-
жениям с ростом расстояния до тела по перестало бы быть верным).
Все же получаемое уравнение, а именно

рТу-уте= —V• т,	(7-1.27)

нелинейно в противоположность (7-1.26), так как нелинейности
возникают из-за члена V-т. Следовательно, разложение озеенов-
скою тина возможно только в том случае, если проведено допол-
нительное (и в значительной мере негарантированное) приближе-
ние, касающееся линеаризации также и уравнения состояния.
Конечно, можно рассмотреть некоторые задачи, в которых допу-
скаются нелинейности в члене с напряжением. Это может быть
сделано при помощи введения поправки первого порядка к силам
инерции в решении для ползущего течения с линеаризованной
формой инерционного члена.

7-2 АНАЛИЗ РАЗМЕРНОСТЕЙ

В классической ньютоновской гидромеханике рассматриваются,
по существу, шесть размерных параметров. Три из них характерны
для рассматриваемой частной задачи, а именно скорость V. линей-
ный размер L и (для нестационарных течений) характерное время
течения 7\. Из остальных параметров один представляет собой
ускорение силы тяжести g, а два других — плотность р и вяз-
кость р, — характеристики жидкости. Для несжимаемых жидко-
стей реологическое поведение (т. е. уравнение состоячия) пол -
ностью определяется значением вязкости. Перечисленные шесть
величин дают следующие классические безразмерные критерии
ньютоновской гидромеханики:

(i)	число Струхаля

Йг = ф;	(7-2.1)

(ii)	число Фруда

Fr = X-;	(7-2.2)
(iii)	число Рейнольдса

Re = -^.	(7-2.3)

р,

Для всех стационарных течений число Струхаля оказывается
несущественным. Поскольку число Фруда во многих случаях
также бывает несущественным по причинам, обсуждавшимся
в разд. 7-1, значительная часть классической ньютоновской гидро-
механики основывается па одном безразмерном критерии, а именно
па числе Рейнольдса.

На самом деле легко показать, что для ньютоновских жидко-
стей отношение инерционных сил к вязким имеет тот же самый
порядок величины, что и число Рейнольдса:

£|^Щ = О(Ве),	(7-2.4)

вывод, который использовался во многих рассуждениях предыду-
щего раздела. (Конечно, обсуждавшиеся з предыдущем разделе
ламинарные течения представляют собой исключение из этого
общего утверждения.)

Обратим теперь внимание па пеяьютоповские несжимаемые
жидкости. Разумеется, уравнение (7-2.4) нарушается, поскольку
вязкость [х не определена. Напряжение т задается в виде

T=‘F[G/(«)b	(7'2.5)

4=0

где как G*, так и fg представляют собой размерные операторы.

Возможно, имеет смысл обсудить в общих словах значенье
размерностей оператора. Если либо аргумент, либо значение опера-
тора, либо и то и другое представляют собой размерные величины,
оператор является размерным в том смысле, что единицы измере-
ния, выбранные для аргумента (и/или значения), определяют ана-
литический вид оператора. Если оператор линеен (хорошим при-
мером тому являются тензоры), можно строго определить его
размерность: например, размерность его значения поделить па раз-
мерность его аргумента. Таким образом, если значение оператора
и его аргумент имеют одинаковые размерности, линейный оператор
безразмерен. Нелинейные операторы безразмерны только тогда,
когда как их аргументы, так и значения безразмерны, ибо только
в этом случае их аналитический вид по зависит от выбора еди-
ницы измерения.

Можно легко построить два безразмерных оператора & и
вводя две соответствующие размерные постоянные, которые
являются характеристиками рассматриваемого материала. Этими
постоянными будут:
(i)	«Естественное время» Л, характеризующее в некотором
смысле глубину памяти жидкости. Это уже обсуждалось в гл. 4;
оценка времени Л для некоторого конкретного материала может
быть довольно двусмысленной задачей, которая будет обсуждена
ниже. Безразмерное временное запаздывание з сразу же опре-
деляется как

3 = s/A,	(7 2.6>

и, согласно данному выше определению Л, можно ожидать, что
при рассмотрении текущего напряжения предыстория при s 1
в значительной степени несущественна.

(ii)	«Естественная вязкость» р. Заметим, что р/Л имеет раз-
мерность напряжения, и, следовательно, безразмерное напряже-
ние т можно определить так:

i =	(7-2.7>

Естественную вязкость следует выбирать таким образом, чтобы
в случае, когда величина модуля G* имела порядок единицы при'
s 1, модуль т также имел бы порядок единицы и величина
р/Л описывала бы величину напряжения, соответствующую пре-
дыстории деформирования, также имеющей порядок единицы.
О задаче оценки р для конкретного материала вновь можно ска-
зать, что она неопределенна и будет обсуждена позднее.

Безразмерные операторы G4 и $ легко определяются теперь,
следующим образом:

G‘(^ = Ge(s),	(7-2.8).

; =	=	(7-2.9).

Анализ размерностей в задачах	ньютоновской гидромеханики,

отличается от	своего ньютоновского	аналога	в	двух очень важных

отношениях. Бо-первых, имеется не один, а два размерных пара-
метра, определяющих уравнение состояния. Кроме того, две
жидкости, характеризуемые одинаковыми значениями р и А,
не одинаковы в смысле их реологического поведения, т. е они
имеют нс одинаковые уравнения состояния, поскольку вид без-
размерного функционала g может меняться от одной жидкости
к другой. Таким образом, значения р и Л не полностью опреде-
ляют поведение жидкости, и анализ размерностей, основанный
па этих двух параметрах, дает в лучшем случае только качествен-
ные указания.

Вторая трудность такова, что ее невозможно обойти, если
не ввести предположение о некотором частном виде уравнения)
состояния г). Следовательно, до тех пор пока желательно сохра-
нять определенную степень общности, нужно ограничиться пред-
положением, что имеем дело с классом материалов, характеризуе-
мых одним и тем же безразмерным функционалом Q. Далее
такие материалы будем называть гомологичными. Оставшаяся
часть раздела ограничена анализом, применимым по отдельности
к каждому из классов гомологичных материалов (разумеется,
все ньютоновские жидкости гомологичны).

Естественная вязкость ц

Определение, данное выше для естественной вязкости ц, было
до некоторой степени интуитивным, а специальное определение,
которое повело бы к конкретной возможности измерения р., пред-
ставляется делом выбора. Поскольку известно (см. разд. 4 3),
что все простые жидкости с затухающей памятью ведут себя как
ньютоновские жидкости в предельном случае медленных течений,
представляется уместным отождествить естественную вязкость
с предельной ньютоновской вязкостью жидкости, скажем

р = Китчу (&)>	(7-2.10)

h->0

где rjv — вискозиметричсская вязкость.

Фактически такое определение удовлетворяет требованиям
приведенного выше интуитивного определения. Действительно,
раскладывая G* в ряд Тейлора в окрестности s — 0, имеем]

]G‘(J= 1)|«|С'(з=-0)| = Л;С?(0)| = 2Л|0|,	(7 2.11)

и так как в предельном случае ньютоновского поведения

т = 2pD,

(7 2.12)

то оказывается, что отношение р/Л па самом деле имеет порядок
величины напряжения, соответствующего такой предыстории
деформирования, для которой | G* (1) | — 1, Заметим, что зна-
чение ц, определяемое уравнением (7-2.10), связано также с хоро-
шо определенными значениями других материальных функций,
например с

ОО

ц — lim т]'= — f f (s) в ds — -i- lim T]E. (7-2.13)
«-0	J	d ye-o

x) Если ввести такое уравнение, то количество параметров может бить
большим двух. Опи всегда могут быть преобразованы к и, Л и системе без-
размерных параметров, которые будут тогда появляться в любом наборе
соответствующих безразмерных критериев.
Следовательно, естественную вязкость р, можно получить как
из вискозиметри ческой реометрии (уравнение (7-2.10)), так и из
динамической реометрии или реометрии течений удлинения (урав-
нение (7-2.13)).

Естественное время Л

Не существует точного определения Л, которое соответствовало
бы интуитивному в той же мере, что и определение для р. Пред-
почтительнее всего получать Л из линейной вязкоупругой функ-
ции / (s), поскольку естественная вязкость определяется через
ту же самую функцию (см. уравнение (7-2.13)). Здесь предпочтем
(весьма произвольно) основывать это определение на динамиче-
ском модуле G'. Из уравнения (5 1.28) имеем

Inn G' —
(о->0

ОО

[ /(s)s2ds,
b

(7-2.14)

откуда следует, что при со 0 величина G’ стремится к пулю
пропорционально со2.

Определяя безразмерную частоту со как

со — ®Л,

(7-2 15)

можно видеть, что отношение С7со2 имеет конечный предел при
<о 0; это же отношение имеет размерность напряжения, и, сле-
довательно, допустимо следующее определение:

ОО

/(S)S2&.	(7.2Л6)

Л а-о йЛ £

Комбинируя уравнения (7-2.13) и (7-2.16), получаем

J / (s) s2 ds

Л = Л--------= Ит

2 J/(«)«&
о

Разумеется, можно выбрать другие определения Л, основан-
ные также на функции / (s), например

f(s)ds

о

J / («) *

£_________

/(0)

/(0)

/' (0)

И Т. д.

(7-2.18)

) / (s)« ds
о
Уравнение (7-2 17) оказывается более предпочтительным, если
основываться на молекулярной теории полимерных материалов.
Действительно, из уравнения (6-ЗЛО) очевидно, что, в то время
как определение (7-2.17) даст значение Л, не зависящее от Z
и имеющее порядок наибольшего из X/, любое из определений
(7-2.18) по обладает такими весьма желательными свойствами.

Заметим, что определенные выше значения р и Л не полностью
идентифицируют поведение материала даже в предельном случае
малых деформаций, скажем когда выполняется уравнение (4-3.24).

Легко показать, что из уравнения (7-2.16) следует

Л S-.-0 к2

(7-2.19)

где Ci ( ) — вискозимотрическая функция первых нормальных
напряжений, а к — безразмерная вискози метрическая скорость
сдвига к — кА, Таким образом, имеем соотношение



Л — lira

h-»-0

gj ft) .
Ат (A)

(7-2.20)

которое показывает, что Л можно также получить как из виско-
зиметрическсй (уравнение (7-2.20)), так и из динамической рео-
метрии (уравнение (7-2.17)).

Безразмерные критерии неньютоновской гидромеханики

Если рассматривается механика некоторого класса гомологичных
непыотоновских жидкостей, то подлежащие анализу размерные
параметры те же самые, что и для соответствующего класса ньюто-
новских жидкостей, а именно V, L, Tt, g, р, р плюс естествен-
ное время Л. Следуя строгому математическому подходу, мы
можем образовать только один новый безразмерный критерий,
поскольку введен только один новый размерный параметр. Тем
не менее в литературе было предложено несколько совершенно
различных безразмерных критериев, каждый из которых имеет
.особую физическую интерпретацию. Мы попытаемся перечислить
наиболее важные из критериев, встречающихся в научной лите-
ратуре, показать их физический смысл и обсудить взаимосвязь
между различными критериями

Основным безразмерным критерием кепыотоповской гидроме-
ханики является число Вейссенберга We. Поскольку поведение
любой жидкости в случае медленных течений стремится к ньюто-
новскому, представляется желательным определить безразмерное
число, которое характеризовало бы меру «немедленпости» (non-
slowness) течения, определяя тем самым существенность ньюто-
новского эффекта.
Ограничимся вначале виикозимотричсскими течениями, для
которых представляется удовлетворительным следующее опреде-
ление числа Вейссенберга:

We = Лк,	(7-2 21)

где к — скорость сдвига. Можно заметить, что из определения Л
(7-2.2U) следует

lim We =	(7-2.22)

т. е. число Вейссенберга приближается к отношению
первых нормальных напряжений к касательному напряжению.
Обобщая, можно сказать, что число Вейссенберга является мерей
относительной важности нормальных и касательных напряжений.

Хотя число Вейссенберга можно было определить для всех
течений с предысторией постоянной деформации (например, для
течения удлинения оно могло бы быть равно произведению ЛуЕ),
его полезность проявляется в основном только тогда, когда рас-
сматриваемое течение является, по крайней мере приближенно,
вискозиметрическим. Для общего квазивискозимегрического тече-
ния число Вейссенберга следует определять через некоторую
эквивалентную скорость сдвига V/D, где V — некоторая харак-
терная скорость течения, a D — характерный линейный размер
в направлении, в котором происходит изменение скорости. Таким
образом, имеем

We=-^-	(7-2.23)

в качестве общего определения числа Вейссенберга.

Поскольку в квазивискозиметрических течениях число Вейс-
сенберга измеряет отношение инерционных сил к касательным
напряжениям, отношение нормальных напряжений к инерцион-
ным силам получается как отношение чисел Вейссенберга и Рей-
нольдса:

Е1<- <7'2М>

Этот безразмерный критерий систематически в литературе не ис-
пользовался, и мы предлагаем здесь назвать его первым упругим
числом и обозначить символом Е1Х. Стоит заметить, что при ана-
лизе численных задач неныогоновской гидромеханики, основанных
па конкретных реологических соотношениях, как нормальные
напряжения, так и инерционные силы часто исключаются из рас-
смотрения па том основании, что они пропорциональны квадрату
скорости; возможность пренебречь той или другой величиной
оценивается при этом величиной числа Elj.
В гл. 4 и 5 было показано, что течения с предысторией постоян-
ной деформации представляют собой единственные течения, для
которых возможен точный анализ. Таким образом, следовало бы:
определить безразмерный критерий, измеряющий в некотором
смысле «близость» общего течения к течению с предысторией
постоянной деформации. Это приводит к введению числа Деборы
De, которое определяется так [8];

De = A/Tf,	(7-2.25>

где Tf — временной масштаб течения, т. е. время (измеряемое
для движущейся материальной точки), необходимое для того,
чтобы произошли не пренебрежимо малые изменения кинематиче-
ских условий. Хотя достаточно подробный анализ наилучшей,
возможной оценки Т[ для любого заданного типа течения был
опубликован в работе [9], в большинстве случаев достаточно осно-
вываться на анализе порядков величин и взять в качестве сцепки
отношение характерного линейного размера в направлении течения
L к характерной скорости. Таким образом, получаем

De —~-	(7-2.26}

в качестве общепринятого определения числа Деборы для стацио-
нарных полей течения. Для полей течения, которые имеют свой
характерный временной масштаб (таких, например, как нестацио-
нарные или периодические течения), уравнение (7-2.25) можно,
применять непосредственно.

Заметим, что для стационарных течений отношение числа
Доборы и других безразмерных комплексов, таких, как число
Вейссенберга, равно формпараметру поля течения и. таким обра-
зом, постоянно в пределах любого класса геометрически подобных
полей течения. Для нестационарных течений отношение чисел
Вейссенберга и Деборы равпо числу Струхаля.

Три размерных параметра, характеризующих класс гомоло-
гичных неньютоновских жидкостей (р, Л и р), можно скомбини-
ровать, чтобы получить в результате естественную скорость
жидкости

.	(7-2.27)

Эту скорость связывают [10, 11] со скоростью распространения
разрывных возмущений в жидкости. Таким образом, можно опре-
делить безразмерный критерий (который будем называть вторым
упругим числом Е12) как отношение характерной скорости тече-
ния к естественной скорости жидкости Vw:

E^ = -VL = ]/A7T--	(7-2.28>

* r Н
В некотором еще не определенном смысле в случае, когда Е12
превышает единицу, следует ожидать появления некоторых сверх-
критических условий течения. Между числами Вейссенберга,
Рейнольдса и Е12 существует следующее соотношение:

Е12 = / We-Re,	(7-2.29)

которое показывает, что EJ2 можно представить в виде среднего
геометрического отношения инерционных и упругих сил к силам
вязкости.

Существуют, наконец, задачи гидромеханики, где может быть
определено некоторое характеристическое напряжение т0. Хоро-
шим примером такого рода является стационарное движение взве-
шенных частиц под действием силы тяжести. В этом случае харак-
теристическое напряжение определяется как отношение чисток
силы тяжести к поверхности частиц. Поскольку отношение р,/Л
представляет собой «естественное» напряжение для рассматривае-
мой жидкости, можно определить третье упругое число Е13 [2]:

Е13 = -^-.	(7-2.30)

I*

В классической гидромеханике характеристическое напряже-
ние поля течения т0 содержится в определении числа Эйлера:

Еи=-^г.	(7-2.31)

Числа Е12 и Е13 связаны друг с другом следующим уравнением:
Е12 =	= V We • Re.	(7-2.32)

7-3 ВТОРИЧНЫЕ И НАЛОЖЕННЫЕ ТЕЧЕНИЯ

При анализе некоторых полей течения в гл. 5 предполагалось
вначале, что кинематика движения предопределяется известными
граничными условиями и, вообще говоря, физической интуицией.
Следующей стадией было вычисление поля напряжений па осно-
вании соответствующего уравнения состояния. В гл. 5 рассмат-
ривалось общее уравнение для простой жидкости с затухающей
памятью, но эти стадии в методике остаются, по существу, теми яге
самыми, если даже предполагается, что имеет место более частное
уравнение состояния. Действительно, тип уравнения состояния,
которое могло бы быть использовано, часто подсказывается кине-
матическим типом течения, о котором известно, что он хорошо
описывается определенным типом уравнения состояния. Третьей
стадией расчета будет подстановка полей скоростей и напряжений
в у равнения движения и определение полей давления и некоторых
параметров кинематического описания, которые еще не были
определены на первой стадии.
При реализации этой процедуры может оказаться, что рас-
сматриваемый тип течения не контролируем. Тем не мепее часто
при помощи отбрасывания инерционных членов (в приближении
ползущего течения) или некоторых геометрических аппроксима-
ций удается провести анализ до конца, считая его «почти» кор-
ректным. Под этим подразумевают, что истинное течение отли-
чается от предполагаемого некоторым наложенным движением,
которое, как полагают, в некотором смысле «мало». Частный
пример может пояснить этот вопрос.

Предположим, что рассматривается стационарное прямолиней-
ное течение в длинной трубе с поперечным сечением нокруглой
формы, например в трубе с эллиптическим сечением. Если повто-
рить для этого случая проведенный в гл. 5 анализ течения Пуазей-
ля, окажется, что но существует контролируемых прямолинейных
течений. Распределение & по сечению трубы будет не однородным
по координате 0 эллиптической системы координат. Это свиде-
тельствует о существовании нулевого распределения скорости
в плоскости поперечного сечения трубы. Тем не менее желательно
предположить (для задач определенного типа), что это «вторичное
течение» пе слитком существенно; например, не следует ожидать
его большого влияния на величину /, описывающую падение дав-
ления на единицу длины трубы.

Все же существует ряд задач, в которых вторичным течением
пренебречь нельзя. Предположим, например, что представляет
интерес вопрос о теплоотдаче от стенок трубы к движущемуся
материалу в условиях рассматриваемого выше течения. В этом
Случае вторичное течение будет индуцировать конвективный
механизм теплообмена в поперечном сечении, который может зна-
чительно усилить чисто кондуктивный механизм теплопереноса,
преобладавший при отсутствии вторичного течения х).

Анализ вторичных течений, налагающихся на основпое тече-
ние с предысторией постоянной деформации, можно провести
с определенной математической строгостью. Действительно, рас-
смотрим течение с предысторией постоянной деформации, харак-
теризуемое тензором N, фигурирующим в уравнении (3-5.21).
Пусть G* — соответствующая предыстория деформирования, полу-
ченная из уравнения (3-5.24), а именно

G' = Р (t)-[exp (—*NTs)-exp (-*Ns)b PT(Z) - 1.	(7-3.1)

х) Такова фактически ситуация, встречающаяся при шнековой экстру-
зии полимеров. Течение в спиралевидной области между шпеком и цилинд-
ром представляет собой, по существу, ламинарное течение в канале с при-
мерно прямоугольным поперечным сечением (если пренебречь кривизной).
Одвако теплообмен с цилиндром будет в значительной степени зависеть
от любого вторичного течения.
Рассмотрим теперь течение, для которого предыстория G*
задается в виде

Gf = G‘+eGj,	(7-3.2)

где норма тензора G‘ конечна Представлению о том, что вторич-
ное течение (описываемое предысторией eG*) «мало», можно при-
дать строгий смысл, полагая е -> J и рассматривая решение для
вторичного течения только с точностью до членов первого поряд-
ка по 8. Если предположить, что функционал £ дифференцируем
по Фреше в окрестности Gj, то напряжение т для рассматривае-
мого поля течения можно записать в виде

т=$ [Gol + [Go 1 Gh + 0 (в2),	(7-3.3)

где последним членом в правой части можно теперь пренебречь,
поскольку анализ проводится лишь с точностью до О (t). Первый
член правой части уравнения (7-3.3) представляет собой напряже-
ние, соответствующее течению с предысторией постоянной дефор-
мации; его будем обозначать через тп. В то же время второй член
линеен по своему второму аргументу.

Таким образом, можно записать

т=т04-е  :Gjds.	(7-3.4)

с

где Ж: — оператор линейного преобразования тензоров з тен-
зоры. Заметим, что X зависит как от s, так и от прпроды основ-
ного течения, т. е. от тензора N:

X = X [N, si.	(7-3.5)

Требование объективности поведения материала предполагает
что

Q-I2 (N, з) : G‘(s)bQT = X (Q-N-QT, s) : [Q-GJ (з)-QT]

(7-3.6)

для любого ортогонального тензора Q. Пипкин и Оуэн 112] подроб-
но исследовали смысл уравнения (7-3.6).

Заметим, что для вырожденного случая, когда основное течение
соответствует состоянию покоя или твердотельного вращения,
N = 0, и из уравнения (7-3.6) следует, что X — изотропное
линейное преобразование. В этом случае уравнение (7-3.4) вырож-
дается в (4-3.24). Если малые деформации налагаются на ненуле-
вое основное течение, линейное преобразование X не изотропно,
как это следует из уравнения (7-3.6). Физическая интерпретация
этого замечания состоит в том, что изотропный материал, нретер-
певающий течение, не реагирует изотропно на наложение малых
возмущений, хотя бы эта его реакция и была линейной.

Единственным течением рассмотренного выше типа, которое
было подробно проанализировано для общего случая простой
жидкости, является впскозиметрическое течение с наложением
малых периодических деформаций [43]. В этом случае был принят
в расчет также второй дифференциал Фреше функционала р.
Оказалось, что вклад этого дифференциала проявился в среднем
значении напряжения, в то время как вклад линейного члена,
конечно, может быть замечен лишь в мгновенном значении напря-
жения [14].

При анализе полей течения типа, описываемого уравнением
(7-3.2) (с малым числом е и вычислениями, проводимыми с точ-
ностью до первого порядка малости по е), можно вывести соотно-
шения, связывающие некоторые интегралы (по интервалу
О < 5 < оо) компонент тензора X и производные материальных
функций основного течения. Такие соотношения называются
«соотношениями согласованности» и могут быть получены при
помощи постулата, что любое течение с предысторией постоянной
деформации можно представить в виде суперпозиции подходящих
малых возмущений и некоторого течения с предысторией постоян-
ной деформации тоге же самого типа. Пусть к и N определяют
основное течение с предысторией постоянной деформации, а к -f- ек
и N —«возмущенное» течение с такой же предысторией. Простые
вычисления показывают, что возмущенное течение удовлетворяет
уравнению (7-3.2), если G] определяется в виде

G< = Р («)• ехр (-faNT)-[-fe (N + NT)]-exp (-feN)- Рт (0,

(7-3.7)

где Р (t) — та же самая ортогональная тензорная функция,
фигурирующая в уравнении 3-5.24). Поскольку для возмущен-
ного течения можно записать

т —H(Zc, N)4-8— .(4Д.фб>(е2),	(7-3.8)

где II ( ) — тензорная функция, введенная в разд. 5-1, компо-
ненты которой представляют собой материальные функции, харак-
терные для рассматриваемого течения, то можно получить

ОО

?н = J X [N, s]: G‘i (s) ds.	(7-3.9)

о

Подставляя уравнение (7-3.7) в (7 3.9), получаем соотношения
согласованности для каждого типа течения с предысторией посто-
янной деформации.
За исключением рассмотренных выпте частных задач, основной
результат теории вторичных течений заключен в уравнении (7-3.3)
Ок состоит в тем, что анализ вторичных течений можно провести
на основе уравнения состояния, например уравнения (7-3.4),
которое определяет линейное (хотя и не изотропное) соотношение
между дополнительным напряжением и предысторией деформи-
рования вторичного течения. Следует помнить, что вид этого
соотношения зависит от вида основного течения.

7-4 ОБТЕКАНИЕ ПОГРУЖЕННЫХ ТЕЛ

И ПОГРАНИЧНЫЕ СЛОИ

В этом разделе обсудим задачи обтекания погруженных тел пенью-
топовскими жидкостями. Обсуждение подразделяется па две
части' вначале рассмотрим течения с низкими числами Рейнольдса,
т. е. течения, в которых инерционные силы не доминируют над
внутренними напряжениями; затем проведем анализ погранич-
ного слоя, который представляет интерес в задачах обтекания
с высоким числом Рейнольдса и для которого кинематика вне
пограничного слоя и области следа определяются уравнениями
Эйлера (7-1.6).

Течения с низкими числами Рейнольдса

"Приводимый ниже анализ принадлежит Алтману и Деппу [151.
Мы начнем с рассмотрения разложения озееповского типа, которое
уже обсуждалось в разд. 7-1. Для ньютоновских жидкостей изве-
стно, что это разложение справедливо вплоть до значений числа
Рейнольдса порядка единицы. Выберем декартову систему коор-
динат с осью х, совпадающей с направлением скорости невозму-
щеппого течения, так что вектор этой скорости задается в виде
Vex, где V — модуль скорости певозмущенного течения. Урав-
нение (7-1 27) запишется тогда в виде

-V^+V T = pFVv-ex = pPy-.	(7-4.1)

Далее необходимо привлечь к рассмотрению уравнение состоя-
ния. Если иметь в виду либо релаксационное уравнение первого
порядка, подобное уравнению Максвелла, либо простое интеграль-
ное уравнение, то при соответствующей линеаризации относи-
тельно возмущения скорости Vex — v можно полупить

t + Ar-g-=2pD,	(7-4.2)

где Лиц имеют смысл, о котором говорилось в разд. 7-2. Можно
надеяться, что наиболее существенные особенности задачи можно
описать при помощи уравнения (7-4.2). Комбинация (7-4.1) и
(7-4.2) дает следующее уравнение:

(1+л74) У^ = цУ2у-Р7^

Р^Л-g-,

(7-4.3)

в котором особенности неньютоновской жидкости учитываются
последним членом правой части и вторым членом левой части.

Уравнение (7-4.3) можно привести к безразмерному виду путем
введения следующих безразмерных переменных:

v'-v/V,	(7-4.4)

Ф'^ДЗЧцУ,	(7-4.5)

Ь	с7-4-6)

V' = 7?v, V2' = ЛЙТ2,	(7-4.7)

где r — некоторый характерный линейный размер погруженного
тола, например радиус в случае сферы. Используя эти подста-
новки, уравнение (7-4.3) можно преобразовать к виду

(1 + We -Л)	= V2V _R0 -!g— El* gr, (7-4.8)

у * дх /	дх * дх л 1	'	'

где число Вейссенберга We, число Рейнольдса Re и второе упру-
гое число Е12 определены так же, как в разд. 7-2, на основе линей-
ного размера 7?

Решений уравнения (7-4.8) совместно с уравнением неразрыв-
ное™ имеет следующий вид:

^'^Re-g-,	С-4.9)

v'=sex —V'<p{ V' —El|ex-g- —Rees} ф, (7-4.10)
где функции <р и ф удовлетворяют следующим дифференциальным
уравнениям:

V2'<p = 0,	(7-4.11)

(‘-ВЧ)5-+^ + ^-в'>-&=0-	..(W

Уравнение (7-4.12) следует проанализировать более подробно.
Во-первых, очевидно, что условие

Е12 = 1	. (7-4.13)

разграничивает две совершенно различные ситуации. В некрити-
ческом случае (Е12 < 1) уравнение (7-4.12) является эллиптиче-
ским и допускает непрерывные решения. В закритическом случае
(Е12 > 1) уравнение (7-4.12) является гиперболическим и имеет
решения с разрывами вдоль волновых фронтов. По-ридимому,
следует ожидать, что при некоторой критической скорости Ркр,
соответствующей выполнению условия (7-4.13), графики зависи-
мости от некоторых макроскопически наблюдаемых величин,
таких, например, как коэффициент лобового сопротивления, будут
терпеть разрывы. Эта особенность наблюдалась в действительности
и будет обсуждаться ниже.

Акоста и Джеймс [16] измеряли коэффициенты теплоотдачи
от очень тонких проволочек (например, таких, которые исполь-
зуются в термоанемометрических датчиках скорости) к неныото-
новским жидкостям. Коэффициент теплоотдачи растет с ростом
скорости вплоть до значения критической скорости VKP, за кото -
рым он становится не зависящим от V. Эти результаты подробно
обсуждались Алтманом и Денном [17] при анализе закритического
случая. Интересно заметить, что наблюдаемое значение Рчр не за-
висит от диаметра проволочки — результат, который подтвержда-
ет интерпретацию, основанную на условии (7-4.13), так как зна-
чение Е12 не зависит от линейного размера R

Следует указать, что приближение для низких чисел Рей-
нольдса, осуществляемое уравнением (7-4,1), не противоречит
распространению анализа на закритический случай, т. е. на
большие значения Е]а. Действительно, при достаточно большем
числе Вейссенберга число Е12 может превышать единицу даже
в течениях с малыми числами Рейнольдса (см. уравнение (7-2.29)).

Важно понимать, что приведенный выше анализ основывается
на линейном уравнении, хотя оно и учитывает при помощи члена,
содержащего А, некоторые эффекты памяти. Действительно, для
обтекаемых тел простой геометрии (таких, как сферы и цилиндры)
решение уравнения (7-4.3) можно довести до вычисления коэф-
фициента лобового сопротивления в явном виде [15, 17]. Кажу-
щаяся значительно более простой задача, состоящая в вычислении
коэффициента лобового сопротивления для течения обобщенных
ньютоновских жидкостей (т. е. жидкостей, для которых напряже-
ние задается уравнением (2-4.1)), оказывается практически более
сложной для решепия из-за нелинейности члена, описывающего
вязкие напряжения: даже для тела простейшей геометрии (сфера)
нолучены лишь оценки для несовпадающих верхней и нижней
границ решения [18].

Течения с высокими числами Рейнольдса

Рассмотрим теперь течения, в которых инерционные силы доми-
нируют над внутренними напряжениями. Это означает в силу
обсуждения в разд. 7-2, что как Е11; гак и l/Ве весьма малы
по сравнению с единицей:

= <7-4Л4)
или, что то же самое,

Re » max (1, We),	(7-4.15)

где число We определено как A ViD, a D — характерный линей-
ный размер тела В таких условиях можно считать, что поле тече-
ния во «внешней» области будет описываться соответствующим
решением уравнения Эйлера (7-1.6), и следует провести анализ
течения лишь в пограничном слое, т. е. в области течения вблизи
обтекаемого тела. Уравнение движения пограничного слоя, выве-
денное в разд. 7-1, имеет вид

<7-41б>

Обычный анализ порядков величин для течений в пограничном слое
показывает, что левак часть уравнения (7-4.16) имеет порядок
О (plP'x). в то время как

д^ху
ду

О(^).

IT - 0	~ 0 (We и ег) •

(7-4.17)

(7-4.18)

Эти оценки получены в предположении, что справедливо соотно-
шение (7-2.22) — по крайней мере как очень грубое первое при-
ближение. Таким образом, очевидно, что следует рассматривать
два подслучая

(i)	«Вязкий» пограничный слой Если We. имеет самое большее
порядок единицы, то член (д/дх) (тжх — хуу) пе является домини-
рующим, и оценка (7-1.12) все еще остается в силе. В пограничном
слое инерционные силы и силы давления (измеряемые величиной
pU (dU/dx)) уравновешиваются в основном касательными напря-
жениями, так что влияние нормальных напряжений можно про-
анализировать методом возмущений относительно существенно
ньютоновского решения задачи.

(ii)	«Упругий» пограничный слой. Если We 1, то в уравне-
нии (7-4.16) можно пренебречь членом дхху1ду. Это приводит
к ситуации, когда инерционные силы и силы давления в погранич-
ном слое уравновешиваются, по существу, нормальными напря-
жениями, а именно

X ~	'

(7-4.19)

Таким образом, следует ожидать, что толщина пограничного
слоя б пе зависит пи от U (и, следовательно, от У), ни от х:

б « КЛц/р,

(7-4.20)
или, что то же самое,

тН/Ж,=,/Е1‘-	(М-2,)

Заметим, что в любом случае толщина упругого пограничного
слоя мала, поскольку предполагается, что оценки (7-4.14) остают-
ся справедливыми, и, следовательно, подтверждается оценка
д&/дх « рУ (dUldxj.

Исследования течений в пограничном слое непьютоновских
жидкостей довольно обширно представлены в научной литературе.
Однако все они явно или неявно относятся к вязкому погранич-
ному слою. Сривастава и Маити [19] исследовали течение в погра-
ничном слое жидкости второго порядка. Выбор такого уравнения
состояния был, по-видимому, подсказан приближением для низких
чисел Вейссенберга, т. е. приближением вязкого пограничного
слоя. Главный результат их работы состоит в доказательстве того,
что точка отрыва смещается в направлении передней критической
точки при росте числа We.

Более подробный и более общий анализ принадлежит Денну
[20], который обсудил ряд результатов предыдущих исследова-
телей. Денн начал с того, что взял уравнение состояния для жидко-
стей второго порядка, по коэффициенты ц0, ро и уп он предположил
функциями величины модуля D. Не говоря уже о концептуальных
трудностях, связанных с применением такого уравнения (эти труд-
ности обсуждались в гл. 6), результаты его анализа не очень
обнадеживают. Было получено дифференциальное уравнение для
vx у)> содержащее неньютоповские члены, множителем в кото-
рых был «упругий параметр» е, определенный соотношением

е = We Re Р,	(7-4.22)

где р — поправочный множитель, возникающий из-за непостоян-
ства коэффициентов в уравнении состояния:

= /	\	// J 1	(7-4.23)

В этом случае можно искать автомодельные решения для тече-
ний около клипа, т. с. для течений, внешняя область которых
описывается следующим уравнением:

U = Voa°.	(7-4.24)

Оказывается, что автомодельные решения возможны только при
выполнении весьма частных предположений о зависимости коэф.
фициентов в уравнении состояния от величины модуля D. Неавто-
модельпые решения можно получить только в предельном случае
очень малых в (т. е. для вязкого пограничного слоя). Для затор-
моженного течения (а = 1) автомодельное решение получается
для постоянных коэффициентов в уравнении состояния, т. е.
для жидкости второго порядка. Представляющие интерес макро-
скопические величины, такие, как коэффициент любого сопро-
тивления плоской пластинки под нулевым углом атаки, зависят
от неныотоновского характера жидкости гак, что на зту зависи-
мость сильно влияют предположения, сделанные относительно
зависимости коэффициентов от величины модуля D.

Следует упомянуть, что, хотя закономерности обтекания
неныотоповскими жидкостями погруженных твердых тел и не очень
хорошо поняты, еще меньше известно о течениях вокруг погру-
женных деформируемых объектов, таких, как газовые пузырьки
или жидкие капли, о которых в литературе имеются лишь некото-
рые чисто качественные замечания [2, 21].

7-5 ТУРБУЛЕНТНЫЕ ТЕЧЕНИЯ

Турбулентные течения очень трудны для анализа даже в случае
ньютоновских жидкостей, поскольку в настоящее время нет
вполне удовлетворительной феноменологической теории, позво-
ляющей вычислить члеп уравнения (7-1.23), Описывающий напря-
жения Рейнольдса, V (pv'v'). В случае неньютоновских жидко-
стей нелинейность унавнения состояния приводит к значительным
дополнительным трудностям, и возможный анализ с необходи-
мостью носит лишь качественный характер.

Для чисто вязких жидкостей имеются удовлетворительные
корреляции [22] для падения давления при турбулентном течении
в круглых трубах. Обобщенное число Рейнольдса определяется
так, чтобы данные по ламинарному течению на графике коэффи-
циент трения — число Рейнольдса лежали на ньютоновской
линии (см. уравнение (2-5.25)). В турбулентном течении коэффи-
циент трения оказывается зависящим как от числа Рейнольдса,
так и от параметра п', определенного уравнением (2-5.13), и оце-
нивается по уровню касательного напряжения на стенке.

Влияние какой-либо упругости, которой жидкость может
обладать в заданном поле течения, зависит от того, как велико Л
и как мал некоторый характерный временной масштаб точения.
В турбулентных течениях этот временной масштаб фактически
очень мал [23], и значительные аномалии неведения наблюдаются
даже для лишь слегка упругих жидкостей, таких, как разбавлен-
ные растворы полимеров [24]. Фактически в качестве характер-
ного временного масштаба турбулентного течения можно взять
величину, обратную частоте наибольших диссипативных вихрей
[25]

Т* = (1^)йеЛ=1,	(7-5.1)

Rex=-^-,	(7-5.2)

Г

где % — размер вихря, V% — его характерная скорость и v;. =
= A/Vj, — его частота. Значения Tt, вычисленные по уравне-
нию (7-5.1). кат« поавило, имеют порядок 10 5 с, так что даже слабо
упругие жидкости (с естественным временем порядка 10-5 с)
могут иметь числа Деборы порядка единицы. Ни в каких упругих
практически интересных типах течений не наблюдается столь
малых значений Tf.

Перед тем как начать обсуждение исследований турбулентных
течений, уместно привести феноменологическое описание наблю-
даемого поведения. Наблюдаемый перепад давления при турбу-
лентном течении разбавленных растворов полимеров в круглых
трубах часто является неожиданно более низким, чем тст, который
наблюдался при той же самой расходной скорости чистого раство-
рителя, несмотря на то что вязкость раствора больше вязкости
чистого растворителя. Это явление известно как явление сниже-
ния сопротивления. Аналогичное явление наблюдается
мт при обтскаьии погруженных тол, если полимер инжектируется
в пограничный слой.

Имеется несколько возможных путей представления данных
но снижению сопротивления, и часто то, что кажется
противоречащим действительности, на самом доле оказывается
просто следствием иного выбора системы графического представ-
ления. Рассмотрим график зависимости коэффициента трения
от числа Рейнольдса тина приведенных на рис. 7-1 и 7-2. Линии I
относятся к ньютоновским жидкостям, причем левые ветви соот-
ветствуют паузейлевому закону, справедливому для ламинарных
течений, а правые ветви обычно представляют собой корреляции
для гладких труб.

Если представить в такой форме данные для полимерных
растворов, то возникает вопрос о подходящем определении числа
Рейнольдса, поскольку вискозиметрическая вязкость этих раство-
ров обычно зависит от скорости сдвига. Обычно используют такое
определение числа Рейнольдса, при котором справедлива корре-
ляция для ламинарного течения полимерного раствора [26], ука-
зывающая на отсутствие снижения сопротивления при числах
Рейнольдса ниже 2100 (переход к турбулентному режиму никогда
не наблюдается при значениях, меньших 2100). В действительности
падение давления при ламинарном течении раствора более высо-
кое, чем при течений с той же расходной скоростью чистого раство-
Рис. 7-1. Снижение сопротивления в разбавленных растворах.

Рис. 7-2. Снижение сопротивления в концентрированных растворах.
рителя, поскольку вязкость раствора, хотя она и переменна, все же
более высока, чем постоянная вязкость растворителя.

При принятом выше определении числа Рейнольдса типичное
поведение, наблюдаемое у разбавленных растворов, проиллюстри-
ровано на рис. 7-1, хотя в литературе указывались и другие типы
зависимости [27, 28]. При равных числах Рейнольдса коэффициент
трспия зависит от диаметра трубы, достигая ньютоновского значе-
ния при очень больших диаметрах. Для более концентрированных
растворов часто наблюдается неведение, иллюстрируемое па
рис. 7-2. Здесь еще чувствуется влияние диаметра, но переход
от ламинарного течения к турбулентному обнаружить нелегко,
хотя, вообще говоря, можно различить небольшой изгиб вблизи
точки Ro — 2100.

Наличие влияния диаметра означает, что коэффициент трения
зависит не только от числа Рейнольдса, а также и от некоторых
других безразмерных критериев Такой критерий можно полу-
чить лишь при помощи введения еще одного параметра, кроме
диаметра грубы, скорости, плотности, вязкости и перепада дав-
ления; очевидно, в качестве такого параметра следует выбрать
естественное время. Действительно, в настоящее время обще-
признано, что снижение сопротивления связано некоторым обра-
зом с упругими свойствами жидкости.

Удовлетворительная корреляция данных по снижению сопро-
тивления была получена в [29], где рассматривалось число Деборы,
введенное соотношением

De = A(vx)Rex=1.	(7-5.3)

Наименьшую частоту диссипативных вихрей (vx)Re^=I можно
сцепить на основании рассуждения, впервые предложенного Леви-
чем [3] и Хинце [23] и позволяющего получить следующий резуль-
тат:

(vz)Ke?=i«-^ Веэ’75,	(7-5.4)

так что число Деборы дается выражением

De = -'У Re0.75 = We-Re0>75.	(7-5.5)

Уравнение (7-5.5) полностью подтверждает качественный харак-
тер поведения наблюдаемого снижения сопротивления. Действи-
тельно, рассмотрим увеличение диаметра при постоянном числе
Рейнольдса. Значение De, вычисленное по уравнению (7-5.5),
будет при этом соответственно убывать, и поэтому следует ожи-
дать, что будет достигнуто ньютоновское поведение, чти в этом
случае и наблюдается в действительности. Корреляция, основан-
ная на уравнении (7-5.5), приводит также к удовлетворительному
количественному соответствию. На рис, 7-3 дан график отношения
Р = ///° (где f —«ньютоновский» коэффициент трения) в зави-
симости от величины v/vKp, где

v=Z.Re0>7S)

(7-5.6)

a vKp — то значение v, для которого ///° = 0,5. Данные, приве-
денные на рис. 7-3, охватывают диапазон диаметров трубы от

Рис. 7-3, Корреляция данных по снижению лобовою сопротивления.
▲ , 125; О> 250; в, 500, V, 1000,	2000 (числа обозначают части на

миллион).

массовых концентраций полимера от 0,0125 до 0,2%. На рис. 7-4
приведена величина l/vKp, которую можно рассматривать как
некоторую косвенную меру Л в зависимости от концентрации
полимера [29].

В литературе часто встречается несколько иная точка зрепия,
основанная на концепции утолщения пограничного слоя в жидко-
стях с пониженным сопротивлением. В этом подходе внимание
сосредоточивается на структуре пристенной турбулентности, а но
па скорости диссипации во всем поле течения. Для обоснования
такого подхода очевидна важность экспериментов но снижению
лобового сопротивления в шероховатых трубах, однако опубли-
кованные до сих пор результаты до некоторой ст епени противоре-
чивы. Корреляции, основанные на этом подходе, часто появляются
в литературе и представляются обычно в терминах критического
касательного напряжения на стенке ткр, ниже которого снижение
сопротивления не наблюдается. Если для коэффициента трения
при отсутствии эффекта снижения сопротивления использовать
уравнение типа уравнения Блазиуса, то условие отсутствия этого
эффекта можно записать в виде

т = 0,04pF Re-0'25 < Тир.	(7-5.7)

После простых преобразований получаем

i^ReO’75<-ok=25-	<7-5-8>

Очевидно, что левая часть этого выражения совпадает с выраже-
нием для числа Деборы, полученным на основании прежнего
подхода при условии, что ткр интерпретируется как р/Л, т. е.

Рис. 7-4. Зависимость эквивалентного
рации.

естественного времени от коицент-

как некоторого рода модуль упругости жидкости. Оказывается,
что истолкование совокупности результатов по снижению сопро-
тивления не позволяет легко сделать выбор между двумя рас-
смотренными подходами. Сторонники подхода, основанного на
концепции утолщения пограничного слоя, используют, вообще
говоря, для поддержки этой концепции данные по распределению
скорости [30]. К сожалению, многие из опубликованных данных
по распределению скоростей весьма сомнительны, поскольку
имеется довольно много указаний на то, что функция отклика
датчиков скорости в снижающих сопротивление жидкостях ано-
мальна. Лишь недавно были получены данные по распределению
скорости при условиях гарантированной надежности измеритель-
ных устройств [31].

Другая концепция, введенная в анализ явления снижения
сопротивления, основана на том факте, что жидкие нити в тур-
булентном поле течения непрерывно растягиваются. Поскольку
известно, что упругие жидкости имеют высокое сопротивление
растяжению, это было выдвинуто в качестве возможной причины
пониженного уровня интенсивности турбулентности в таких
жидкостях. Если попытаться найти количественную формулиров-
ку для такого подхода, то вновь приходим к такой же группировке
переменных, как в правой части уравнения (7-5.5). Интересно
заметить, что подход, основанный на рассмотрении волн сдвига,,
вводил бы в рассмотрение критерий Е1г и, следовательно, согласно,
уравнению (7-2.29), давал бы несколько иную зависимость от числа
Рейнольдса.

Это могло бы быть в принципе подвергнуто экспериментальной
проверке. В этом отношении интересно отметить, что значения
критического касательного напряжения па степке ткр, приводи-
мые в литературе, имеют, как правило; величину порядка
50 дип/см2. Если интерпретировать ткр как р/Л, то это будет
соответствовать скорости волны около 7 см/с (см. уравнение
(7-2.27)) Косвенное свидетельство о таком именно значении вол-
новой скорости (см. разд. 7 4) дает некоторое количественное под-
тверждение сдвиго-волновой интерпретации эффекта снижения
сопротивления.

По-видимому, заслуживает рассмотрения вопрос о динамике
течения в диссипативных вихрях в силу их важности для других
проблем невыстоновской гидромеханики. Рассмотрим плоский
эллиптический вихрь. Пусть 8 — отношение малой и большой
осей вихря [32], х1 — направление большой, ал12 — направление
малой оси вихря. Поле течения в вихре описывается соотноше-
ниями

н1 = уж2,	(7-5.9)

н2 = — ePyx1,
V3 = 0.

(7-5.10)

(7-5.11)

Стандартные вычисления позволяют получить матрицу тен-
зора Ff в естественном базисе системы х*:

	cos (ays)	— sin (eys)/s	0	
]F'] =	8 sin (sys)	cos (cys)	0	(7-5.12)
	0	0	0	

Следовательно, рассматриваемое течение
с предысторией постоянной деформации с

является течением

ZcN = Vv и к —

— у У1 + е4. Кроме того, это течение является периодическим
течением описанного в разд. 5-4 типа, причем

G' = Re (ф*[1 — e"ivs]},

(7-5.13}

где v = 2еу — частота вихря, а ф* — постоянный комплексный
тензор:

4*=m>r+vd; №1=

(е2—1)/2	О	О

О (1 —е2)/2е2 О

О	0	0

(7-5.14)

Рассматриваемое течение контролируемо, поскольку V т = О,
и Dv/Dt можно представить в виде градиента скалярного ноля
Ъ7 = V ( -^.[(х‘)2 + (х2)2]) .	(7-5.15)

Так как рассматриваемое течение является течением с предысто-
рией постоянной деформации, скорость диссипации равна

1	1

Dm = jt: D = —i12(l-e2)i>.

(7-5Л6)

Оценку можно получить лишь при выборе некоторого кон-
кретного уравнения состояния. Возьмем для примера уравнение
Максвелла

т = 2p.D — Лт,	(7-5.17)

которое предсказывает постоянную вискозиметрическую вязкость
Pv = Р- Тогда получаем величину 2)^:

_ р-у2(1—е2)2
м (1 -- v2A2) р •

(7-5.18)

Из выражения (7-5.18) следует, что, если только не имеет места
неравенство vA 1, диссипация оказывается меньшей той, кото-
рая вычисляется в предположении, что для вычисления т1г можно
использовать вискозиметрическую вязкость, скажем

п0 ру2(1—е2)2
/>м =------ —

(7-5 19)

Коэффициент снижения 7>мТ*м, который можно было бы, по-ви
димому, рассматривать как приближенную оценку для ///°, дается
в виде

Дм ..._____1_

D}> l+v2A2 •

(7 5.20)

Вид уравнения (7-5.20) согласуется с корреляцией данных по
снижению сопротивления, приведенной на рис. 7-3, и с оценкой
числа De в уравнения (7-5.3).
Заметим, что для рассматриваемого течения имеет место соот-
ношение

+ГМ2_	2е4

trD* “	1-1-е4 *

(7-5.21)

т. е. величина tr № отрицательна. Этот вывод следует сравнить
с уравнениями (5-3.5) и (5-3.6), которые показывают, что для
вискозиметрических течений tr N2 равен нулю. В некотором смыс-
ле эллиптические течения, виекозиметрические течения и течения
растяжения представляют собой ряд, расположенный в порядке
возрастания «экстонзиональности», и такая модель, как макс-
велловская (уравнение (7-5.17)), предсказывает, что вязкость с воз-
растанием скорости деформаций убывает в эллиптических течениях
(уравнение (7-5.18)), остается постоянной в висктяиметпических
течениях и возрастает в течениях растяжения.

7-6 ТЕЧЕНИЯ РАСТЯЖЕНИЯ

Многие из течений, встречающихся Практических приложениях,
относятся к типу, который мы назвали течениями растяжения.
Говоря в широком смысле, это такие течения, в которых неодно-
родность поля скорости развивается преимущественно в направ-
лении самой скорости, а не в направлении, ортогональном к ной.
как это имеет место в сдвиговых течениях. Примеры таких точений
встречаются в процессах прядения волокна или образования
пленки, где текучий материал, т. е. расплав или раствор, вытя-
гивается из отверстия фильеры. Б головке экструдера, где разви-
вается сходящееся поле течения в направлении выпускного отвер-
стия, течение в основном по своему характеру также может быть
течением растяжения, хотя должны появляться и некоторые
сдвиговые деформации.

Согласно Колеману [33], точное определение течения растя-
жения состоит в следующем: движение является растяжением
вплоть до момента t, если существует ортогональный базис ег,
не зависящий от s, такой, что матрица компонент тензора U*
(или (7, (О*)-1, Нг) в этом базисе имеет диагональный вид, а именно

[V(s)] =

а' (з)

О

(7-6.1)

О	О

<4 (в)	О

О а( (s)

Функции а*, а? и представляют собой главные коэффициенты
растяжения относительно конфигурации отсчета (которая выби-
рается в настоящий момент i). Для несжимаемого материала
имеем

а*а*а' = 1.	(7-6.2)
Для простой жидкости в общем случае можно показать, что мат-
рица тензора напряжений в момент t в том же самом ортонормаль-
ном базисе также имеет диагональный вид:

11Л1 0 0	
LT(4)]= 0 Г22 0	(7-6.3)
II 0	0 1 зз	

Таким образом, векторы базиса совпадают с так называемыми
главными осями тензора напряжений.

Очевидно, что, поскольку, вообще говоря. R* (з) =/=0, главные
оси тензора напряжений будут различаться в различные моменты
времени t (т. е. базис ег не зависит от s, но зависит от t). Главные
оси тензора напряжений будут неподвижными только при рас-
смотрении вращающейся системы отсчета.

Несжимаемые простые жидкости, участвующие в течениях
растяжения, полностью характеризуются двумя скалярными мате-
риальными функционалами, для которых разности первых и вто-
рых нормальных напряжений зависят от двух любых из трех
величия а*. Например,

*и — *22 = £1 («ь «Д,	(7-6.4)

*22 — *33 = $2 lab аД.	(7-6.5)

Легко показать, что

[а, а] = 0,	(7-6.6)

[а, 1//а] = 0.	(7-6.7)

Соотношения (7-6.6) и (7-6.7) выражают свойство симметрии,
согласно которому одноосное растяжение (а‘ = а(.) простой
жидкости не приводит к отличным от нуля разностям нормальных
напряжений в направлениях, ортогональных направлению растя-
жения.

Течения растяжения с предысторией постоянной деформации,
рассматривавшиеся в разд. 3-5 и 5-3, соответствуют следующему
типу предысторий деформации:

а‘ — ехр (у, а),	7-6.8)

где величины уг постоянны во времени и удовлетворяют следую-
щему условию несжимаемости:

з

3v«=o.

1

(7-6.9)

Материальные функционалы в уравнениях (7-6.4) и (7-6.5)
сводятся тогда к материальным функциям в уравнениях (5-3.9)
и (5-3.10).
Класс течений растяжения, который, вероятно, можно аппрок-
симировать реальными течениями перед входом в трубу или вблизи
выходного отверстия фильеры, представляет собой класс течений
со стоком [34]. Такие течения могут быть стационарными в лабо-
раторной системе отсчета, но даже в этом случае они не будут
течениями с предысторией постоянной деформации. Растяжение
нарастает в направлении течения вплоть до стока. Анализ течений
со стоком для несжимаемой простой жидкости был выполнен
в работе [34] для условий сферической и цилиндрической симмет-
рии. Течение, приближенно описываемое сферически симметрич-
ным течением к стоку, имеет место в случае движения унруговяз-
кой жидкости в области перед входом в трубу пли круговым вход-
ным отверстием фильеры [35, 3GJ. Цилиндрическая симметрия
ожидается для аналогичного течения в области перед щелью или
прямоугольным каналом.

Применяя общие результаты Колемана [33] к задаче о выду-
вании сферических или цилиндрических оболочек, Марруччи
и Мерч [34] показали, что напряжения, возникающие в стацио-
нарном точении определенной симметрии, направленном к стоку,
зависят только от мгновенного значения растяжения Г. Это свя-
зано с тем, что предыстория деформирования, хотя она и не являет-
ся предысторией постоянной деформации^ полностью определяется
значением Г.

Для сферически симметричного течения к стоку реакция напря-
жения в материале характеризуется единственной материальной
функцией. Это позволяет выразить разность между нормальными
напряжениями в направлении течения и в любом ортогональном
к нему направлении в виде функции от Г:

- Т22 = о (Г),	(7-6.10)

где локальное растяжение Г есть отношение объемной скорости
стока к кубу расстояния от даппой точки до (реального или вир-
туального) стока.

Второе приближение для функции о (Г) имеет вид

о (Г) = ЗцГ + 3 (₽ + 6/2у) Г2.	(7-6.11)

Течение к стоку, обладающее цилиндрической симметрией, харак-
теризуется двумя материальными функциями. Если выбрать линию
стока в качестве оси л цилиндрической системы координат, то эти
материальные функции входят в следующие соотношения:

7 (гг> - Г (00) = oL (Г),	(7-6.12)

Т <эо> - Т (ж) = й2 (Г),	(7-6.13)

где Г — отношение объемной скорости стока па единицу длины
линии стока к величине г2.
Вторые приближения для с, и о2 имеют вид

щ (Г) = 4цГ + 8уГ2,	(7-6.14)

о2 (Г) = —2рГ + 40Г2.	(7-6.15)

Как обычно, за исключением приближения медленных течений,
эти материальные функции но могут быть определены в рамках
общей теории простой жидкости. Однако они легко определяются
при выборе частного уравнения состояния.

Например, можно вычислить о (Г) для сферически симметрич-
ного течения к стоку, выбирая в качестве уравнения состояния
простое уравнение Максвелла (6-4.12). Как уже показано, урав-
нение Максвелла совпадает с интегральным уравнением состояния
(6-4.19). Матрица тензора (s) для этого течения к стоку была
вычислена в примере ЗБ (гл. 3). Прямое интегрирование дает
следующее выражение:

о (Г) = 2 [ЛГ-f-у Л2Г2+

АГ

+Т^^ехр(зЛ-) J	(М.16)

Легко видеть, что уравнение (7 6.16) приводит к конечному
значению напряжения при всех значениях растяжепия Г. Этот
результат можно сравнить с результатом, полученным в случае
рассматривавшегося в разд. 6-4 экстензиометрического течения,
согласно которому для того же самого реологического соотноше-
ния получались бесконечные напряжения при значениях растяже-
ния, превышавших некоторое предельное значение. Такое разли-
чие в поведении связано с нестационарной в лагранжевом смысле
природой течения к стоку. Его можно лучше понять, рассматривая
подробно другие типы нестационарных течений растяжения.

Рассмотрим кинематику течения, известного как простое растя-
жение. В соответствующей декартовой системе координат она
задается так:

п»== —2-W,

(7-6.17)

Предположим, что yg как функция времени представляет собой
ступенчатую функцию, т. о. она равна пулю вплоть до t = О
и имеет постоянное значение после этого момента, обозначаемое
также через уЕ.
Очевидно, чго для простой жидкости с исчезающей памятью
напряжение, определяемое такой кинематикой, становится со вре-
менем (т. е. при t -> оо) таким же, как в течении с предысторией
постоянной деформации, рассмотренном в разд. 5-3, т. е. оно
полностью определяется материальной функцией Т]Е ( ) из уравне-
ния (5-3.1G). Однако здесь интересуемся переходной функцией
отклика напряжения, которая реализуется перед гем, как пре-
дельное значение, если оно существует, будет достигнуто.

Чтобы получить определенные результаты, снова используем
конкретные реологические допущения. Использование уравне-
ния Максвелла (6-4.12) или эквивалентного ему уравнения (6-4.19)
позволяет получить результаты, приводившиеся в работе Деняа
и Марруччи [37]. Эти результаты можно кратко сформулировать
в следующем виде.

Переходную вязкость удлинения можно определить таким же
образом, как й в случае предыстории постоянной деформации,
описываемом уравнением (5-3.16):

(7-6.4S)

»Е

Для TiF,t получается следующее выражение [37]:

За.	2п /	1— 2Лте «1

nat - (1_2лув) (1+Лув)	1-2Лте ехр ( Л

-ТдЛ—ехр(—(7-6.19)

Уравнение (7-6.19) показывает, что для значений Л-уЕ, меньших
или больших 0,5, ожидаются два совершенно различных типа
поведения. В первом случае вязкость возрастает от нулевого зна-
чения при t = 0 до асимптотического значения, которое соответ-
ствует предыстории постоянной деформации. Во втором случае,
напротив, вязкость, хотя и остается конечной, увеличивается
с ростом времени, превышая любой предел и не достигая никогда
предельного значения.

Этот результат раскрывает смысл бесконечного значения вяз-
кости удлинения, полученного в разд. 6-4. Бесконечное значение
вязкости удлинения в течении с предысторией постоянной дефор-
мации означает, что при этих условиях напряжение никогда
не достигает стационарного состояния. При ЛуЕ > 0,5 напряже-
ние непрерывно возрастает в любом эксперименте конечной дли-
тельности. Следовательно, в любом реальном эксперименте ко
удлинению не следует ожидать бесконечных напряжений.

Длительность любого течения удлинения практически всегда
ограничена, поскольку быстро достигается большое относительное
растяжение. Кроме того, чем больше уЕ и, следовательно, ЛуЕ,
тем короче допустимая длительность эксперимента. Таким обра-
зом, во мпогих случаях значения реально наблюдаемой вязкости
удлинения будут даже меньшими, поскольку они относятся к на-
чальной стадии переходного процесса, чем значение вязкости
сдвига.

Верно, одпакс, что в других примерах сообщалось об исклю-
чительно больших значениях вязкости удлинения [38, 39].

7-7 ВОЛНЫ И НЕУСТОЙЧИВОСТЬ

В этом разделе рассмотрим с очень общих позиций два класса
проблем гидромеханики, которые в последнее время были объек-
том многочисленных исследований. Поскольку проблемы обоих
классов требуют для своего решения привлечения специального
математического аппарата, их подробное обсуждение выходит за
рамки этой книги. Поэтому ограничимся обсуждением очень
небольшого числа моментов, сосредоточив свое внимание па тех
специфических аспектах, которые возникают при рассмотрении
яопьюгоновских жидкостей.

Вол аы

Теория распространения разрывов в упругих твердых телах хоро-
шо развита. То же самое можно сказать в отношении идеальных
жидкостей (т. е. жидкостей, в которых могут возникать только
изотропные внутренние напряжения). Обе теории пе допускают
затухания возмущений, поскольку применяемые для них реоло-
гические уравнения состояния описывают недиссипативные мате-
риалы (т. е. работа внутренних напряжений равна для таких мате-
риалов накоплению упругой энергии).

В противоположность этому в классической теории несжимае-
мых ньютоновских жидкостей (которая, конечно, допускает зату-
хание) предполагается, что пе может существовать никаких раз-
рывов. Введение «квэзиволны», т. е. тонкой области, в которой
хотя и не существует разрывов, но некоторые переменные имеют
очень большой градиент, позволило частично обойти эту труд-
ность.

В приведенных выше рассуждениях пе предполагалось, что
существование любого механизма затухания обусловливает невоз-
можность появления разрывов. В действительности волновое
уравнение с затуханием (уравнение (7-7.10), приводимое ниже)
допускает разрывные решения любого порядна. Теория простых
жидкостей с исчезающей памятью, удовлетворяющая обсуждав-
шимся в разд. 4-4 гипотезам гладкости определяющих функцио-
налов, была действительно применена в работе [40] к изучению
распространения волн, где были получены очень интересные
результаты. В таких жидкостях возможно не просто распростри-
пение возмущений, но при их распространении амплитуда таких
возмущений может затухать или возрастать. Для подробного
изучения этой проблемы читатель отсылается к работе Колемана
и др. [40].

Здесь желательно обсудить один очень простой продельный
случай. Рассмотрим полубескснечный массив жидкости, находя-
щийся в покое, ограниченный при х1 = 0 (выбрана декартова
система координат) плоской твердой поверхностью.

В момент t — 0 твердая поверхность внезапно начинает дви-
гаться со скоростью V в направлении х2. Проанализируем распро-
странение возмущения (в данном случае ненулевой компоненты
скорости в направлении х2) в направлении х1.

Приведем вначале хорошо известное решение этой задачи для
ньютоновской жидкости. Уравнение /движения в направлении
хг есть

ди2 _ р оУ
dt р д (х1)2

(7-7.1)

с граничными условиями

t = 0,
t > о,
t >0,

х’ > 0,
х* = 0,
X1 -э- ое,

V2 - 0,

р2 = V,
v2 ограничено.

(7-7.2)

(7-7.3)

(7-7.4)

Следует заметить, что, поскольку существуют только два
размерных параметра задачи (кинематическая вязкость u/р и ско-
рость У)> невозможно найти независимые масштабы для трех пере-
менных (vs, х1 и t). Следовательно, система допускает автомодель-
ное решение. Автомодельная переменная есть х]' j/4pif7p', и реше-
ние имеет вид

X = erfc(-

(7-7.5)

Из уравнения (7-7.5) следует, что мри любом г>0 скорость
v2 отлична от нуля при всех значениях х1, т. е. разрыв, который
имел место при t = 0 в х1 = 0, распространялся с бесконечной
скоростью вдоль оси х1. Действительно, в точке х’ = 0 при t = 0
касательное напряжение т12 бесконечно, что фактически свидетель-
ствует о невозможности мгновенно привести твердую поверх-
ность в движение, т е о том, что разрыв не может существовать.

Рассмотрим теперь пеньююновскую жидкость. Поскольку
теперь в пашем распоряжении имеется третий размерный пара-
метр, а именно естественное время А, существования автомодель-
ного решения ожидать не следует. Можно ввести следующие три
безразмерные переменные:

v = v4V,	(7-7.6)

9 = t/A,	(7-7.7)

q = хЧУ рЛ/р	(7-7.8)

и попытаться найти вид распределения скорости v (т], 0). Для
итого необходимо выбрать уравнение состояния. Остановим свой
выбор на уравнении Максвелла (о котором известно, что оно
обладает свойствами гладкости, лежащими в основе теории про-
стых жидкостей), а именно

т + Лт = 2pD.	(7-7.9)

Уравнение движения в направлении х3 принимает вид

(7-7 10)
0>в	502	5Т)2 •

Уравнение (7-7.10) представляет собой волновое уравнение с зату-
ханием [41, 42], о котором известно, что оно допускает разрывные
решения. Для формулировки этой задачи необходимо добавить
к краевым условиям (7-7.2) — (7-7.4) еще одно начальное условие
(поскольку уравнение содержит теперь вторую производную по
времени), а именно

t = 0, х1 > 0, dv2;dt = 0.	(7-7.11)

Решение уравнения (7-7.10) с краевыми условиями (7-7.2) —
(7 7.4) и (7-7.11) имеет вид

1> = ф(0 —т))«-0/2 {Zo(—№‘2~--) +
о ._______________

+ |J7o(fe)[/o(-l)+/j(eik)Jc,})	(7-7.12)

в

где ф (£) — единичная ступенчатая функция (ф = 1 мри | > 0
иф = 0 при % < 0), а 7 0 ( ) и ( ) — модифицированные функции
Бесселя первого рода.

Уравнение (7-7.12) необходимо обсудить несколько подробнее.
Во-первых, следует заметить, что при ц > 0 (т. е. при х1 >
> ]/ р/рЛ i) скорость равна нулю, т. е. разрыв перемещается
с конечной скоростью, равной ]/ р/рА:

при ц > 0 v = 0.	(7-7.13)

При распространении возмущения его амплитуда, т. о. скорость
в точке разрыва, затухает по экспоненциальному закопу:

при т] = 0 v — е-0/2.	(7-7.14)
На волновом фронте как скорость, так и деформация терпят раз-
рыв по пространственной координате и времени. Это общее свой-
ство волновых фронтов (можно показать в общем случае, что
разрыву скорости соответствует разрыв деформации), так что
можно сделать интересный вывод о том, что не допускающие раз-
рывов скорости уравнения состояния (некоторые из них обсуж-
дались в разд. 3-4) не допускают и разрывов деформации описан-
ного здесь типа. Фактически Тэниер [43] доказал для рассматри-
ваемой задачи, что добавление в уравнение состояния члена,
содержащего хотя бы малое время запаздывания, приводит к сгла-
живанию разрывов.

На первый взгляд может показаться странным, что ньютонов-
ское уравнение состояния, которое появляется как асимптотиче-
ское решение обвгей теории простых жидкостей (и получается
из уравнения (7-7.9) при Л -> 0), предсказывает в отношении
распространения разрывов результаты, качественно отличающие-
ся от тех, которые следуют из теории простой жидкости. Однако
в действительности это лишь кажущийся парадокс, так как мето-
дика, посредством которой ньютоновское уравнение получается
из теории простей жидкости, налагает определенное ограничение
на рассматриваемые предыстории деформирования, требуя их
непрерывности в момент наблюдения (см. обсуждение, следующее
за уравнением (6-2.3)). Это условие в сильнейшей степени нару-
шается в рассматриваемой задаче. По существу, аналогичные
трудности возникают для любого типа уравнения состояния и-го
порядка, Очи подробно рассматривались в работе Колемана и др.
[44] для жидкости второго порядка. Уравнение движения жидкости
второго порядка в рассматриваемом течении имеет вид

да _	дЗу	(7 7

56 ~ 5rp OrfdG-	{1-1.

Если рассматриваются разрывные граничные условия, его реше-
ния приводят к ряду парадоксов.

Если исследовать в общем виде задачу о распространении волн
в простых жидкостях с исчезающей памятью, то скорость распро-
странения оказывается равной корню квадратному из отношения
модуля упругости и плотности. Модуль упругости должен оце-
ниваться локально; величиной р/Л он определяется только при
распространении волны в покоящейся среде. Волны ускорения
(т. е. разрывы ускорения, соответствующие разрывам скорости
деформации) могут затухать в процессе их распространения,
но могут также и возрастать по амплитуде, перерождаясь в удар-
ные волны (разрывы скорости) за конечное время. Последняя
ситуация возникает мри условии, что начальная амплитуда волны
достаточно велика, и при условии, что уравнение состояния в до-
статочной степени нелинейно. Интересно, что волна, распростра-
ияющаяея в материале, подвергаемом сдвиговому течению, имеет
критическую амплитуду, которая убывает с увеличением скорости
сдвига [45]. Эта фундаментальная неустойчивость сдвиговых
течений может проявляться в некоторых эффектах, наблюдаемых
при экструзии полимерных расплавов, например при так назы-
ваемом разрушении, расплава.

У стэйчивость

Проблема устойчивости течения жидкости хорошо известна в клас-
сической гидромеханике. В общем виде эту проблему можно
сформулировать следующим образом. Пусть дана хорошо постав-
ленная краевая задача. Может существовать (и даже быть полу
чено в явном виде) точное решение уравнений движения, удо-
влетворяющее всем граничным условиям, которое является ста-
ционарным в эйлеровом смысле {dN/dt = 0). Все же такое решение
может быть неустойчивым в том смысле, что если в некоторый
момент времени наложить па это решение малые возмущения,
то эти возмухцения самопроизвольно будут стремиться возрастать
с течением времени, а не затухать. Это означает, что существует
другое (возможно, нестационарное) решение уравнений движения
и что практически наблюдаемый режим течения будет нестацио-
нарным, поскольку, конечно, в реальном случае невозможно избе-
жать каких-либо возмущений. Типичным примером этого является
турбулентное течение в трубе постоянного сечения, где имеется
также стационарный, но неустойчивый режим течения, называе-
мый ламинарным.

Типичный анализ устойчивости проводится следующим обра-
зом. Пусть v° (X) — основное (и, возможно, неустойчивое) ста-
ционарное течение. Предполагается, что истинное распределение
скорости имеет вид

v (X, Г) v° (X) 4- v' (X, г),	(7-7.16)

где у' (X, /) — возмущение. Предполагая, что это возмущение
мало, можно линеаризовать уравнение движения для возмущен-
ных переменных. Затем решения для возмущений разыскиваются
в виде, экспоненциально зависящем ог времени: exp (—ioi).
Если мнимая часть комплексной величины ст равна нулю, то
амплитуда возмущения не меняется во времени, и течение назы-
вается «нейтрально устойчивым». Если Im (а) >0, то возмуще-
ния растут со временем, и, следовательно, точение неустойчиво.
При Im (о) < 0 возмущения затухают со временем, и течение
устойчиво.

Обычно в плоскости волновое число — число Рейнольдса
строят кривую нейтральной устойчивости, которая разделяет
в этой плоскости области неустойчивости и устойчивости. (Вол-
новое число представляет собой безразмерную меру длины воз-
мущения.) Числа Рейнольдса, соответствующие устойчивым тече-
ниям для всех волновых чисел, отвечают истинным условиям
устойчивости.

При распространении этой методики на течения неиыотонов-
ских жидкостей возникает ряд проблем. Во-первых, необходимо
выбрать некоторое уравнение состояния, причем этот выбор
представляется сомнительным сам ио себе. Проводились иссле-
дования для жидкостей второго порядка [46—48] и для жидкостей
максвелловского тина [41, 49, 50].

На стадии линеаризации возникают новые проблемы. Дей-
ствительно, поскольку уравнение состояния тоже нелинейно,
на этой стадии предполагается нс только пренебречь членом
pVv'-v', как и в ньютоновском случае, но и линеаризовать член,
описывающий напряжение. Как установлено Портеусом и Ден-
ном [50], такая линеаризация соответствует введению некоторой
реологической гипотезы. Действительно, в предельном случае
малых значений безразмерного критерия ЕД = Apt/pZ?2 жидкость
второго порядка и максвелловская жидкость дают в точности
одинаковые результаты.

Как было указано Крейком [51], этот факт явился причиной
некоторых парадоксальных результатов, полученных в работах
[47, 48). Действительно, не следует ожидать, что реологическое
соотношение, лежащее в основе жидкости второго порядка, даст
существенные результаты для больших волновых чисел, соот-
ветствующих малым временным масштабам возмущения. Поэтому,
применяя линеаризованное уравнение состояния максвелловского
типа, следует ожидать, что это также приведет к ситуациям, когда
число Деборы возмущения не мало. С другой стороны, если не под-
вергать линеаризации член, описывающий напряжение, то ока-
жется невозможным применение классической методики анализа
устойчивости, поскольку основное уравнение становится нели-
нейным относительно переменных возмущения.

Следует указать также, что классический линейный анализ
устойчивости может дать лишь результаты, касающиеся устойчи-
вости по отношению к бесконечно малым возмущениям.

Поскольку режим точения, устойчивый по отношению к беско-
нечно малым возмущениям, может оказаться неустойчивым по
отношению к конечным возмущениям, линейный анализ дает
в лучшем случае верхнюю границу критерия устойчивости. Это
справедливо, конечно, как для ньютоновских, так и для неяыо-
тоновских жидкостей.

Наконец, устойчивость режима течения может оказаться силь-
но зависящей от геометрии возмущения. В то время как для нью-
тоновских жидкостей можно сделать некоторые общие выводы,
касающиеся геометрии наиболее опасных в смысле развития
неустойчивости возмущений, такие выводы будут, вообще говоря,
неверны для неньютоновских жидкостей.

Вышеприведенные замечания свидетельствуют о том, что пол-
ный анализ устойчивости течений неньютоновских жидкостей
находится еще на весьма примитивном уровне. Поскольку па самом
доле сообщалось о нескольких тинах неустойчивости неныотонов-
ских точений, в том числе для полей течений, известных как
устойчивые в случае ньютоновских жидкостей, это представляет
собой остающуюся нерешенной проблему гидромеханики пеныото-
новских жидкостей.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.	Лайб Г , Гидродинамика, ГТТИ, М.— Л., 1947.

2.	Astarita G., hid. Engng Chem. Fund., 5, 548 (1966).

3.	Левич В. Г., Физико-химическая гидродинамика, Физматгиз, М., 1959.

4	Шлихтинг Г., Теория пограничного слоя, «Наука». М., 1974.

5.	White J. L., Metzncr А- В., A. I. Ch- Е 11, 322 (1965).

6.	Astarita С., Rend. ясс. Lincei, 8-41, 355 (1966).

7.	Langlois W Е., Rivlin R. S., Rend. Mat., 22, 169 (1963).

8.	Reiner M., Physics Today, 17, 62 (Jan. 1964).

9.	Marrucci G., Astarita G., Meccanica, 2, 141 (1967).

10.	Coleman B. D., Gurtin M. E., Herrera I., Arch. Ration. Meeh, and Ana-
lysis, 19, 1 (1965).

11.	Ullmann J S., Denn M. M., 40th Meeting of the Society of Rheology.
St Paul, 19S9.

12.	Pipkin A. C., Owen D R-, Phys. Fluids, 10, 836 (1967).

13.	Markowitz H., Proc. 5th Int. Cougr. on Rheology, vol. 1, University Park
Press, 1968, p. 499.

14.	J mes T. E. R., J. Phys., A4, 85 (1971).

15.	Ultman J. S., Denn M M., Chem. Engng .L, 2, 84 (1970).

16.	James D F., Ph. D. Thesis, Calif. Inst. Techn., Pasadens, 1967.

17.	Ultman J. S., Denn M. M., Trans. .Soc. Rheol,, 14, 307 (1970)

18.	Wasserman M. L., Slattery J C., 4. I. Ch. E. J., 10, 383 (1964).

19.	Srivastava A. C., Maiti M. K., Phys. Fluids, 9, 462 (1968)

20.	Denn M. M., Boundary Layer Flows for a Class of Elastic Liquids, в печати.

21.	Astarita G., Apuzzo G., A. I. Ch E. J., 11, 815 (1965).

22.	Skeliand A H. P., Non-Newtonian Flow and Heat Transfer, Wiley, New
York, 1967.

23.	Хинце И. О., Турбулентность, Физматсиз, М., 1963.

24.	Wells С. S. (ed), Viscous Drag Reduction, Plenum Press, New York,
(I960).

25.	Astarita G.. Ind. Fngng Chem. Fund., 4, 354 (1965).

26	Metzner A. B., Reed J. C., 4 I. Ch. E ;., 1, 434 (1955).

27.	Hershey H. C., Zakin J. L., Chem. Engng Sci , 22. 1847 (1967)

28.	Savins J. G., Trans. A SME, 231, 2G3 (1964).

29	Astarita G.. Greco G., Nicodemo L., A.I.Ch.E.J., 15, 564 (1969).

30	Meyer W. A. I. Ch F. J , 12, 522 (1966)

31.	Nicodemo L., Acierno D., Astarita G., Chem. Engng Sci., 24 (1969).

32.	Astarita G., Marrucci G , 1st National Congress on the Theory of Applied
Mechanics, Udine, June 1971.

33.	Coiemau B. D., Proc Roy. Soc. London, A306, 449 (1968).

34.	Marrucci G., Murch R. E., Ind. Engng Chem. Fund., 9, 498 (1970).

35.	Giesekus H. Rheol. Acta., 7, 127 (1968)
36.	Uebler Е. A., Ph. D. Thesis, University of Delaware, Newark, Delaware,
1966

37	Denn M M., Marrucci (1., A. I. Ch.E. J., 17, 101 (1S71).

38,	Astarita G., Nicodemo L., Chem. Engng J., 1, 57 (1970).

39.	Acierno D., Grecc R., Nicodemo L., Meeting of Italian Society of Rheology,
Siena, 1971.

40.	Coleman B. D., Gurtin M. E., Herrera I., Truesdell C., Wave Propagation
in Dissipative Materials, Springer-Vorlag, New York, 19C5.

41.	Fredrickson A. G., Principles ana Apniications of Rheology, Prentice-
Hall, Englewood Cliffs, N.J., 1961.

42.	Donn M. M., Porteous К C., Chem- Engng J., 2 280 (1971).

43,	Tanner R. I., 'A. angeiv. Math, und Phys., 13. 573 (1962).

44.	Coleman В D., Duffin R. J., Mizel U. J., Arch. Ration. Meeh, and Analysis,

19, 100 (1965).

45.	Coleman B. D., Gurtin M. E., J. Fluid Meeh., 33, 165 (1968).

46.	Chan Man Fong C. F., Ph. D Dissertation- University of Wales, 1965.

47.	Gupta A S., J. Fluid Meeh.. 28, 17 (1967).

48.	Flatten J., Schechter R. S., Phys. Fluids, 13, 832 (1970).

49.	Tlapa G , Bernstein B., Phys. Fluids, IS, 565 (1970).

50.	Porteous К. C., Denn M. M., University of Delaware Water Research
Center. Contribution No 16, 1971.

51.	Craik 4. D. 1)., J. Fluid Meeh., 33, 33 (1968).
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ

Акоста (Acosta G.) 277  Алтман (Ultman J. S.) 275, 277  Астарита (Astarita G.) 259  Верд (Bird В В.) 241  Вернстейи (Bernstein В.) 222  Гюильголь (Huiigcl В. В.) 119  Дени (Denn М. М.) 275, 277, 279, 292, 298  Джеймс (James D. F.) 277  Запас (Zapas J. J.) 222, 247  Йип (Yin W. L.) 190  Керсли (Kearsiey Е. А.) 222  Колеман (Coleman В. D.) 11, 60, 219, 140, 146, 156, 182, 222, 228, 242, 288 , 290, 294, 296  Крейк (Craik А. В D.) 298  Кэмп (Ксгор В. А.) 202  Ламб (Lamb Н.) 255  Левич (Левич В Г.) 283  Лодж (Lodge A. S.) 233	Маити (Maiti М. К.) 279  Марруччи (Marrucci G.) 290, 292  Марш (Marsh В. D.) 189  Мерч (Murch R. Е.) 290  Метцлер (Metzner А. В.) 2.59  Мпзел (Miz.el V. J.) 156  Нолл (Noll W ) 38, 94, 107, 119, 120, 140, 211, 222, 242, 246  Нэлли (Nally М. С.) 202  Олдройд (Oldroyd J, С.) 111, 242, 243, 245  Оуэн (Owen D. В.) 273  Пипкин (Pipkin А. С.) 190, 273  Пирсон (Pearson J. В. А.) 189  Псртеус (Porteous К. С.) 298  Ривлин (Rivlin R. А.) 211  Симмонс (Simmons J. М.) 224, 225, 231  Скеллачд (gkelland А. Н. Р.) 68, 73  Сприггс (Spriggs Т, W.) 245, 246  Сривастава (Srivastava А. С.) 279  Трусделл (Truesdell С.) 58, 74, 94, 107, 157, 211, 222, 246  Грутон (Trojtou F. Т.) 193
Тэннер (Tanner R I.) 224. 225, 231, 296	Хинце (Хиице И. О.) 283
Уайт (White J L.) 259  Уильямс (Williams М. С.) 241  Уолтерс (Wallers К.) 202	Шли.хтинг 258
Филиппов (Philippoff W.) 227, 229, 230	Эйринг (Eyiing 11. J.) 68  Эриксен (Ericksen J. L.) 132, 211
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

Алгебра векторная 15

— линейная 19

— матричная 81

— тензорная 15, 77

Анализ размерностей 263

Базис векторный 16

— дуальный естественному 17—19,

23

— естественный 16

— ортогональный 16,

—	ортонормальный, 16, 171

—	— вращающийся 170

—	— неподвижный 170

Вектор базиса 16—19, 23

—	входной 20

—	выходной 20

—	поверхностный 13

—	свободаый 16

Вискозиметрия капиллярная 85

Время естественное 267

—	запаздывания 98, 241

—	— безразмерное 265

—	релаксации 218

Вязкость 167

—	динамическая 174

—	естественная 266

—	кажущаяся вискозиметричсская
71, 76

Вязкость комплексная 173, 174,
205, 206

—	степенной закон 68

—	удлинения (Трутона) 193

Вязкоупругость линейная 227, 230

—	нелинейная 206, 230

Гипотеза Буссинеска 63

—	Стокса 63

Градиент вектора 32

—	давления 167

—	деформации 91

—	скаляра 30

—	тензора 34

Давление 11 , 13, 14, 46, 1.47

—	избыточное 175, 254

Деформации 15, 91

—	будущие 131

—	история 76, 130—132

—	прошлые 131

—	скорость 195

—	тензор^ Коши 112

—	— левый 93

—	правый 93

Диада 21, 77, 97, 114

Дивергенция вектора 33

—	тензора 34

Динамическая вязкость 174, 220

—	жесткость 174, 220

Диссипация энергии 15, 52, 153
— — механическая 153, 154, 169
— — термическая 153, 154

Дифференциал Фреше 139, 161, 208,
274
Жидкость второго порядка 146, 298

— дилатаптпая 56

— идеальная 24, 25, 48

— неныотоповская 14, 15, 66

— ньютоновская 13, 24, 25, 48, 167

— — обобщенная 67—73, 167

— простая 130, 178

— — с затухающей памятью 141,

161

— псевдопластическая 58, 68

— Рейнера — Рпвлипа 63, 179

—	с конвективной упругостью 74

—	— памятью 67

—	— с постоянной плотностью 14

—	— типа Максвелла 249, 298

—	упругая 15

—	упруговязкая 66

—	чисто вязкая 164

Закон степенной реологический 68,
85

— термодинамики второй 149, 151

—	— первый 14

— Фурье 14

— Хагопа — Пуазойля 55, 72, 167

Инварианты тензора 27—29, 40, 221

Индекс 18

Индекса опускание 27, 114

—	поднятие 27, 114

Компоненты вектора 16

—	— ковариантные 18

—	— контравариантные 17

—	силы 24

—	тензора 23, 25

—	— ковариантные 23

—	— контравариантные 23

—	— смешанные 23

—	физические 79

Лапласиан вектора 35

— скаляра 35

Материал гиперупругий 222

—	гсмслогичный 266

—	рооиектическйй 76

—	текучий 73

—	тиксотропный 76

—	упруговязкий 66

Метрика ковариантная 26

—	контравариантнах 26

Микрореология 211, 245

Модель вязкоупругая 240

—	Пауэла — Эйринга 69

—	Прандтля — Эйринга 68

—	Сприггса 246

—	тела Максвелла 240

—	— твердого 241

—	Трусделла 75

Модуль упругости 218, 220

Момент наблюдения 92

—	отсчета 92

Напряжения И, 13, 14

—	амплитуда 195

—	детерминизм 131, 134

—	конвективные 109

—	релаксация 176, 220, 226

—	фазовый сдвиг 195

Нейтральность определения тензора
61

—	по отношению к выбору системы
отсчета 43

Нейтральный вектор 38, 61

—	скаляр 40

—	тензор 39, 61

Неравепство Гиббса — Дюгема 151

Координаты конвективные 111

— новые 19

— старые 19

Оператор 20

— линейный 20

— пабла 35
Память 73

— затухающая 75, 131, 132, 140

Парадокс Даламбера 257

Плотность 11—15, 150

Пограничный слой 257, 275

—	— вязкий 278

—	— упругий 278

Правило знаков 24, 28

—	суммирования 18

Предыстория 98

—	покоя 208, 228

—	постоянной деформации 116—120

— температурная 98, 155, 156

Преобразование тензоров 103—105
Принцип внутренних ограничений

133

— детерминизма напряжения 131

— затухания памяти 131, 134

— локального действия 131

— несуществования естественного
состояния 131

— объективности поведения мате-
риала 59, 116, 133, 142, 212

— равноприсутствг я 164

— сохранения импульса 11, 12, 53,
150

— — массы И, 12, 53, 150

— — момента импульса 11, 53

---энергии 11, 15, 53, 150

—	суперпозиции Больцмана 216

Произведение векторов диадное 21

—	— скалярное 16

—	тензоров 22, 25

Производная ассоциированная 106—
109

— верхняя конвективная 107, 233

— ьрашательная 107

—	нижняя ковективная 107

—	Олдройда 107

— по времени 78

— по времени нейтрального неотно-
сительного тензора 105

—	субстанциональная 42, ИЗ

—	Яумакна 107

Пространство векторное 16

Пространство евклидово трехмерное
15, 36

—	норма и топология 136—138

Разложения озееновского типа 262

Разности нормальных напряжений 74,

207, 223, 233, 240

Разрыв 155

Реометр Кейеса 205

—	Максвелла 203

—	Сангамо 206

Силы инерции 254

—	объемные 12

—	поверхностные 12

—	тяжести 254

символы Кристоффеля 32, 127

—	Кронекера 26

Система изотермическая 15

—	координатная 18, 19

---декартова 16, 19, 23, 196, 203

—	— сферическая 187

—	— цилиндрическая 183, 184, 200,
203

—	отсчета 35, 142

—	— вращающаяся 108, 142

—	— изменение 103, 108, 142

—	— инерциальная 142

—	— начальная 142

—	рэометричсская 166

—	упорядоченная 16

Скорость 14, 36, 150

—	возрастания свободной энергии
152

—	— энтропии 151

—	— жидкости естественная 270

—	накопления упругой энергии 163

—	сдвига 177

—	удлинения 192_

Снижение сопротивления в раство-
рах полимеров 282—284

Соотношение 14

—	линейное 14, 217

—	Максвелла 51
Твердотельные движения 120

Текучесть 75, 131

Температура И, 25

—	абсолютная 147

Тензор ассоциированный относи-
тельный 106—108

—	вращения 93

—	Гнила 94

— деформаций 93

— единичный 14, 21, 108

— изотропный 14, 21

— как оператор 20

— кинематический 104. 120—122

— косо- или антисимметричный 22

— Коши 94, 109, 119, 120, 216

— Коши-  Грина 94

— метрический 80, 97, 112

— напряжений 21—24

— — Пиолы — Кирхгофа 109

— — Рейнольдса 262

— нейтральный неотносительный 107

— нильиотентпый 82, 118

—	обраный 22

—	ортогональный 22, 23

—	относительный 91

— Пиолы 94

— растяжения 49, 55, 101

— Ривлина — Эриксена 102, 1С9,
129, 216, 238

— симметричный 22, 23, 115

— скоростей деформаций более
высокого порядка 102

— транспонированный 22

— Уайта — Мотцнера 102, 109, 129,
216, 238

— Фингера 94, 109, 119, 120

Тензора детерминант 28

— модуль 28

— моменты 29

— след 28, 221

— форма 106, 109, 110

Теорема Гамильтона — Коли 29, 82,
221

— Остроградского — Гаусса 41

— нолярпо/о разложения 92

Теорема представления симметрич-
ных тензоров 29

Теория Б КЗ 222, 247

Тепловой поток 11, 14, 150

Течение в зазоре менаду конусом
и пластиной 180, 187, 201

— винтовое 180

— вискозиметрическое 55, 121, 122,
180, 189, 192, 208, 225

— в капало 180, 182

— — ортогональном реометре Мак-
свелла 203

— — пограничном слое 257

— — реометрических системах 167

— вгоричпое 271

— кольцевое 180, 186

— контролируемое 174, 183, 184

— криволинейное 180

— крутильное 180, 183

— крутильно-коническое 180, 189

— ламинарное 69—73, 85

— линейное Куэтта 55, 65, 73, 83,
122, 179, 184, 217

— между коаксиальными цилиндра-
ми 180

— периодическое 172, 194, 226

-----винтовое 200

— — лагранжево 203

— — плоское сдвиговое 196

----- эйлерово 194, 203

— ползущее 260

— Пуазейля 180, 183, 273

— растяжения 122, 191, 192, 226, 283

— с высокими числами Рейнольдса
277

— сдвиговое 55, 128, 198

— с низкими числами Рейнольдса
275

— — предысторией постоянной де-
формации 116—129, 169, 208

— сферически симметричное к стоку
124, 290

— четвертого порядка 121

Упругое последействие 74, 76
Устойчивости классический линей-
ный анализ 297, 298

Устойчивость течений неныотонов-
ских жидкостей 297—299

Уравнение Бернулли 48

— динамическое 43

— Максвелла для свободной анер-
гии 154, 165

— — релаксационное 231, 246

--------обобщенное 237, 240

— механической энергии в форме

Лагранжа 50

— Муни — Рабиновича 71

— Навье — Стокса 55, 68, 253

— состояния 14, 210

----реологическое 11, 13, 14, 53,
55, 57, 68, 116, 150

—	— — дифференциальное 211

--------интегральное 211. 215, 227

—-------релаксационное 211, 231

—	— термодинамическое 11—13,

147, 150, 164

----энергетическое 12, 14, 15, 53,
150

----энтропийное 149,150, 157, 161,
166

—	Сприггса 247

—	тина Блазиуса 285

—	Эйлера 48, 255

Фупкпгоналы 134—139, 155

Функция аргументная 138, 155

— затухапия 140

— материальная 64, 169, 222, 274

— — вискозиметрическая 178, 191,
214, 232, 249

----экстснзмомэтрлческая 191, 214,
226

— тензорная 91, 102, 118, 119, 134,
138, 143

— энергетическая 223

Число Вейссенберга 269

— Деборы 270

— Рейнольдса 72, 73, 255, 2Ь8, 200,
262, 264, 283

----обобщенпое 72

—	Стрчхаля 263

—	упругое второе 270

— — первое 269

---- третье 271

— Фруда 254, 263

— Эйлера 271

Энергия внутренняя 11, 14, 15, 147,
152

— свободная Гельмгольца 156, 151

—	— Гиббса 164

Энтальпия 164

—	свободная 164

Энтрспия И, 147, 150

Эффект Пойнтинга 74
ОГЛАВЛЕНИЕ

От редактора перевода ........................................... 5

Предисловие ..................................................... 7

1.	Основные уравнения гидромеханики....................,	. . .	11.

1-1 Общие положения.......................................... 11

1-2 Векторы................................................ 15

1-3 Тензоры..............................................     20

1-4 Дифференцирование скаляров, векторов	и	тензоров......... 29

1-5 Системы отсчета и системы координат...................... 35

1	6 Уравнение неразрывности.................................. 41

1-7 Динамическое уравнение................................... 43

1 8 Давление................................................. 46

1-9 Специальные формы динамического уравнения................ 48

1-10 Уравнения энергии....................................... 49

Задачи....................................................... 53

Список литературы...........................................  54

2.	Реологические уравнения состояния для чисто вязкой неныотонев-
ской жидкости . .............................................   55

2-1 Вязкость реальных жидкостей.............................  55

2-2 Требования объективности реологических уравнений состояния 57

2-3 Жидкости Рейнера — Ривлина............................... 63

2-4 Обобщенные ньютоновские жидкости.................. . .	67

2-5 Ламинарное течение обобщенной ньютоновской жидкости . .	69

2-6 Попятно памяти для текучих материалов.................... 73

2-7 Дальнейшие полезные соотношения тензорной алгебры ...	77

2-8 Примеры.................................................. 83

Задачи...................................................     89

Список литературы........................................ .	90

3.	Кинематика .................................................. 91

3-1 Деформирование и деформация ..........	....	91

3-2. Предыстории. Производные по времени. Скорости деформации 98

3-3 Преобразование тензоров и их производных но времени при
изменении системы отсчета . ............................. 103

3-4 Метод конвективных координат............................ 111

3-5 Течения с предысторией постоянной деформации............ 116

3-6 Примеры ................................................ 122

Задачи ...................................................   128

Список литературы........................................... 129

4.	Теория простой жидкостл..................................... 130

4-1 Понятие простой жидкости................................ 130

4-2 Функционалы и принцип затухания памяти.................. 134
4-3 Простые жидкости с	засуха тощей памятью. .Механическая теория 141

4 4 Термодинамика........................................... 140

Задачи...................................................... 165

Список литературы........................................... 166

5.	Течение в реометрнческих	системах.......................... 167

5-1 Введение ............................................... 167

5-2 Вискозимстрическпо	течения .......... 177

5-3 Течения растяжения ..................................... 191

5-4 Периодические течения................................... 194

Задачи...................................................... 208

Список литературы .......................................... 299

6.	Уравнения состояния........................................ 210

6-1 Классифика щя .......................................... 210

6-2 Дифференциальные	уравнения	состояния............... 211

6-3 Интегральные уравнения состояния.............. .	.	. .	215

6-4 Релаксационные уравнения состояния...................... 231

6 5 Примеры .......................................... ....	247

Задачи .............. .	. . .	.	....	251.

Список литературы........................................... 251

7.	Гидромеханика............................................   253

7-1 Классификация течений..................................  253

7-2 Анализ размерностей..................................... 263

7-3 Вторичные и наложенные течения.......................... 271

7-4 Обтекание погруженных тел и пограничные слои............ 275

7-5 Турбулентные течения.................................... 280

7-6 Точения растяжения ..................................... 288

7-7 Волны и неустойчивость.................................. 293

Список литературы........................................... 299

Именной указатель.............................................. 301

Предметный указатель........................................... 303
ИБ № 1081

Дж. Астарита, Дж. Марруччи

ОСНОВЫ ГИДРОМЕХАНИКИ
НЕНЬЮТОНОВСКИХ ЖИДКОСТЕЙ

Редактор П. Я. Корсоюцкая
Художник И. Пучков
Лудожсствеипк й редактор В- И. Шаповалов
Технический редактор Г. В. Алюлина

Корректор М. А. Смирнов

" Сдано в набор 25ЛО 1977
Подписано к печати 21.02.1978.
Формат 60х901/1в- Бумага типографская № 1.
Обыкновенная гарнитура. Высекая печать.

9,75 бум л. Печ. л. 19,50.

Уч.-изд. л. 17,24.

Зак. 0451. Пека 1 р. 90 к.

ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»

Москва, 1 й Рижский пер., 2

Ордена Трудового Красного Знамени
Московская типография .Nf 7 «Искра
революции» Союзг олиграфпрома пни
Государственном кемитеге Совета

Министров СССР по делам издательств,
полиграфии и книжной торговли

Москва К-1, Трехпрудный пер., 9
В ИЗДАТЕЛЬСТВЕ «МИР» ГОТОВИТСЯ К ВЫПУСКУ

Теоретическая и прикладная механика. Пер. с англ. Под
ред. У. Койтера, 36 и., 3 р. 60 к. План 1979 г., № 42.

Книга представляет собой труды XIV Международного
конгресса по теоретической и прикладной механике (Нидер-
ланды, 1976 г.). Она ярко характеризует основные направления
развития современной механики и новые ее проблемы. По меха-
нике жидкости и газа — это микрогидродинамика, турбулентные
течения, аэроакустяка, течения смесей и газа. По механике
деформируемого тела — это микромеханика структурных мате-
риалов, локализация пластических деформаций, контактные
задачи, линейная термо- п магнитотермоупругость. Предста-
влены работы по биомеханике и механике роботов.

Книга рассчитана па широкие крути научных работников
из различных областей механики, а также па аспирантов и сту-
дентов старших курсов, специализирующихся по механике.

Уважаемый читатель!

Заблаговременно оформляйте заказы па интересующие Вас
книги. Заказы принимаются в магазинах, торгующих научно-
технической литературой.
ОСНОВЫ ГИДРОМЕХАНИКИ

НЕНЬЮТОНОВС