Счётные булевы алгебры и разрешимость - Гончаров С.С.

Автор: Гончаров С.С.
Теги: математическая логика математика алгебра
ISBN: 5-88119-004-1
Год: 1996
Похожие
Сибирская школа алгебры и логики. Определимость и вычислимость
Упорядочение булевой алгебры
Компьютеризация булевой алгебры
Булева структура и её модели
Текст
                    СЧЁТНЫЕ
БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ
И РАЗРЕШИМОСТЬ
Сергей С. Гончаров
Институт математики СО РАН
Новосибирский госуниверситет
Новосибирск, Россия
Новосибирск • Научная книга • 1996

Г657
УДК 510.6
Гончаров С. С.
Г657 Счетные булевы алгебры и разрешимость. — Новосибирск: На-
Научная книга, 1996. — 364+xii с, ил. — (Сибирская школа алгебры и
логики).
ISBN 5-88119-004-1
Третий том учрежденной в 1995 г. Сибирским фондом алгебры и
логики математической книжной серии ^Сибирская школа алгебры и
логики» под редакцией академика Ю. Л. Ершова. Все книги серии из-
издаются одновременно на английском языке издательством Plenum Pub-
Publishing Corporation.
Существенно переработанная и дополненная новыми результатами-
версия книги автора «Счетные булевы алгебры» (Новосибирск, Наука,
1988). Алгебраические основы теории булевых алгебр излагаются на
основе критерия Воота и доказательства Ершова классификации Кето-
нена. Изучаются элементарные теории и алгоритмические свойства бу-
булевых алгебр. Демонстрируется применение различных методов, в част-
частности, методы счетных насыщенных моделей, разрешимых однородных
моделей и ветвящихся моделей, а также представлены подходы к изуче-
изучению производных структур: решеток подалгебр, групп автоморфизмов
и вычислимых классов.
Для интересующихся математической логикой и алгеброй.
Ответственный редактор:
академик Ю. Л. Ершов
Издание осуществлено при финансовой поддержке
Научной книги (НИИ МИОО ИГУ)
_ 1602020000-004
Г 14Б@3)-96 Б
ISBN 5-88119-004-1 © Сибирский фонд алгебры и логики, 1996
© Гончаров С. С, 1996

Светлой памяти
Криса Эша

Предисловие
Теория булевых алгебр — раздел математики, связанный с иссле-
исследованием алгебр подмножеств относительно операций объединения,
пересечения и дополнения. В связи с возникновением такого рода
структур в самых различных разделах математики и ее приложе-
приложениях изучение булевых алгебр, а также их обогащений различными
математическими объектами представляет предмет многочисленных
исследований.
Возникновение теории булевых алгебр связано с исследованием
Буля алгебр высказываний для анализа логических заключений,
следующих законам логики. Стоун показал, что такие абстракт-
абстрактным образом заданные алгебры имеют тем не менее естественное
теоретико-множественное представление как алгебры подмножеств.
Важным шагом в понимании устройства булевых алгебр была клас-
классификация полных элементарных теорий булевых алгебр, получен-
полученная в работах Тарского и Ершова. Следующим важным шагом стала
характеризация Кетонена типов изоморфизма счетных булевых ал-
алгебр, полученная на основе топологического подхода. На основе ал-
алгебраических методов Ершову удалось описать более широкий класс
типов изоморфизма счетных дистрибутивных решеток с относитель-
относительными дополнениями, из которой следует характеризация Кетонена.
В связи с появлением структур булевых алгебр в различных раз-
разделах математики, на булевых алгебрах рассматриваются дополни-
vii

viii Предисловие
тельные конструкции: меры, топологии, автоморфизмы и гомомор-
гомоморфизмы, идеалы, булевозначные модели, а также изучаются вопросы
алгоритмической сложности построения булевых алгебр с требуемы-
требуемыми свойствами.
В данной монографии главное внимание уделено алгебраическим
свойствам булевых алгебр (гл. 1), классификации полных элемен-
элементарных теорий булевых алгебр и описанию формульных отношений
на булевых алгебрах (гл. 2), а также изучению алгоритмических
свойств счетных булевых алгебр на основе построения эффектив-
эффективных представлений этих булевых алгебр на множестве натуральных
чисел (гл. 3).
В недавно вышедшей справочной книге по теории булевых ал-
алгебр [96] многочисленные направления в изучении булевых алгебр
получили достаточно полное представление. В предлагаемой книге
автор ставил перед собой задачу представить только основные ал-
алгебраические и теоретико-множественные методы и результаты те-
теории булевых алгебр, без знания которых невозможна дальнейшая
работа в этой области, и на этой базе дать достаточно полное отра-
отражение результатов и методов по теории рекурсивных и разрешимых
булевых алгебр, которые были получены в сибирской школе алге-
алгебры и логики. Целью автора являлось также отразить те исходные
подходы и методы, которые использовались различными исследова-
исследователями, представляющими сибирскую школу алгебры и логики, при
изучении булевых алгебр и их обогащений.
Эта книга возникла на основе специальных курсов лекций, ко-
которые читались в Новосибирском государственном университете, а
также в университетах Казахстана, Узбекистана (Ташкентский и
Нукусский университеты) и Австралии (Монешский университет;
см. [67]). Первая версия книги была издана в 1988 г. в издательстве
Наука (Сибирское отделение). По сравнению с первым изданием
настоящая книга существенно расширена. В гл. 1 добавлена часть,
касающаяся алгебр Ершова, и на ее основе изложена алгебраиче-
алгебраическая классификация счетных булевых алгебр. Глава 2 дополнена
материалом по описанию сложности формульных отношений в те-
теориях булевых алгебр. Наиболее существенно расширена гл. 3: В
настоящем виде она включает ряд новых результатов по проблемам
разрешимости, вычислимых классов, групп автоморфизмов. Из-за
ограничений на объем в книгу не вошли новые результаты по обо-
обогащению булевых алгебр идеалами. Эти результаты существенно

Предисловие ix
продвигают понимание как теоретико-модельных свойств алгебр в
этих обогащениях, так и многообразие типов их элементарных тео-
теорий.
Для чтения книги не требуется значительной математической
подготовки. Читатель, знакомый с основными теоретико-множест-
теоретико-множественными и теоретико-модельными понятиями может опустить пер-
первые параграфы первой и второй глав. Однако' для понимания ма-
материла третьей главы желательно знакомство с элементами теории
рекурсии, по крайней мере с базисными представлениями о возмож-
возможных формализациях вычислимости.
Мне хотелось бы высказать свою благодарность многим людям,
кто был причастен к созданию и выпуску этой книги.
Прежде всего я выражаю особую признательность моему учите-
учителю Ю. Л. Ершову, под руководством которого я делал свои первые
шаги в науке. Именно Ю. Л. Ершов ввел меня в эту интересную
область исследований, и именно его результаты легли в основу моих
работ и работ моих учеников. Я благодарен также Ю. Л. Ершову
за большую редакторскую работу по данной книге. Критические за-
замечания, дискуссии и кропотливое редактирование Ю. Л. Ершова
значительно улучшили качество книги.
Мне хотелось бы поблагодарить коллег и учеников — А. С. Моро-
Морозова, С. П. Одинцова, В. Д. Дзгоева, В. Л. Селиванова, П. Е. Алаева,
В. Н. Власова, С. Ю. Подзорова, С. Т. Федоряева, Д. Е. Пальчуно-
ва — которые вместе со мной работают в этом научном направлении
и чьи результаты использовались при подготовке этой книги. Отме-
Отмечу существенный вклад А. С. Морозова в изучение рекурсивных ав-
автоморфизмов булевых алгебр (материал параграфа 3.8 подготовлен
А. С. Морозовым). Мощные методы изучения рекурсивных обогаще-
обогащений булевых алгебр разработаны С. П. Одинцовым. Его результаты
также нашли отражение в данной книге.
Я выражаю глубокую благодарность профессорам Сиенского уни-
университета А. Сорби и А. Урсини за прекрасную возможность (обес-
(обеспеченную грантом PECO N ERBCIPDCT 940615) интенсивной рабо-
работы по завершению написания этой книги в Сиенском университете
(Италия).
Я также благодарен Российскому фонду фундаментальных ис-
исследований за частичную поддержку (грант N 96-01-01525) моих на-
научных исследований, изложенных в данной книге.

х Предисловие
Особая благодарность и признательность моей жене Любе Гон-
Гончаровой за ее долготерпение и поддержку моей научной работы, ко-
которая, к сожалению, не позволяет уделять должного внимания моей
семье.
Я благодарен моему редактору Тамаре Рожковской за ее боль-
большую литературную и редакторскую обработку рукописи. И в завер-
завершение отмечу ключевую.роль Т. Рожковской, без активной издатель-
издательской деятельности которой мои научные исследования не получили
бы воплощения в виде книги.
Сергей С. Гончаров
Новосибирск, Академгородок
Май, 1996

Оглавление
Глава 1. Алгебраические свойства булевых алгебр 1
1.1. Алгебраические системы и конструкции над ними . . 1
1.2. Определения и простейшие свойства булевых алгебр . 18
1.3. Идеалы и фактор-алгебры булевых алгебр 30
1.4. Теорема Стоуна о представлении булевых алгебр ... 46
1.5. Критерий Воота 51
1.6. Линейно упорядоченные порождающие множества . 62
1.7. Порождающие деревья 69
1.8. Алгебры Ершова и проблема изоморфизма 83
Глава 2. Элементарная классификация булевых алгебр 103
2.1. Основные понятия и методы теории моделей 103
2.2. Определимые идеалы Ершова — Тарского и элемен-
элементарные характеристики булевых алгебр 121
2.3. Насыщенные булевы алгебры и элементарная класси-
классификация 128
2.4. Модельно полные теории булевых алгебр 142
2.5. Непротиворечивые полные теории булевых алгебр . . 148
2.6. Ограниченные теории булевых алгебр 157
XI

xii Оглавление
Глава 3. Конструктивные булевы алгебры 167
3.1. Основные понятия теории алгоритмов и конструктив-
конструктивных моделей 168
3.2. Конструктивность в линейных порядках и булевых
алгебрах 195
3.3. Деревья, порождающие конструктивные булевы ал-
алгебры 201
3.4. Разрешимые булевы алгебры 212
3.5. Ограниченные фрагменты теории булевых алгебр и
разрешимые алгебры 240
3.6. Алгоритмическая размерность булевых алгебр .... 280
3.7. Алгоритмические свойства подалгебр и фактор-алгебр
конструктивных булевых алгебр 294
3.8. Автоморфизмы счетных булевых алгебр 327
Литература 341
Предметный указатель 357

Глава 1
Алгебраические свойства
булевых алгебр
1.1. Алгебраические системы
и конструкции над ними
Булевы алгебры являются специальным классом алгебраических си-
систем, который имеет несколько эквивалентных способов представле-
представления. В данной книге принят теоретико-модельный подход. Опре-
Определения моделей, алгебраических систем и конструкций над ними
можно найти в [18, 36, 71, 107,108,129]. При использовании теорети-
теоретико-множественных понятий мы ориентируемся на указанные книги,
а также [84, 98]. Определения используемых топологических поня-
понятий можно найти в [88, 99].
Алгебраические системы характеризуются основными операци-
операциями и отношениями на множестве. Действительно, группа опреде-
определяется как система, состоящая из множества и операции на этом
множестве. При определении колец фиксируются по крайней мере
две операции. Введение порядка на множестве подразумевает опре-
определение двуместного отношения на этом множестве. Для фиксации
основных операций и отношений вводится понятие сигнатуры <т.
1

2 1. Алгебраические свойства булевых алгебр
Сигнатурой <т называется тройка непересекающихся множеств
(<тр, <тр, <тс) и отображение р: iTpUirp -» N+. При этом множе-
множество функциональных символов <тр задает имена основных опе-
операций, множество предикатных символов (Тр — имена основных
отношений, а множество константных символов о~с ~~ имена вы-
выделенных элементов. Отображение р сопоставляет каждому функ-
функциональному или предикатному символу его местность. Будем ис-
использовать обозначение <т = (@'f,0'p,0'c),p)-
Алгебраической системой (моделью) 21 сигнатуры <т называ-
называется пара 21 = (A,mta), состоящая из непустого множества А и
интерпретации inta, которое функциональному символу / ? о~р
сопоставляет отображение inta(/), действующее из Afi^ в А, пре-
предикатному символу Р ? ар — подмножество inta(P) множества
Afi(p\ константному символу с ? о~с — элемент inta(c) множе-
множества А. Множество А называется основным множеством (иногда
обозначается через |2l|), a inta — интерпретацией алгебраической
системы 21.
Часто вместо о~ = ((о~р,о~р,<тс)>р) будем писать
" — \Г О I • • • I Гк 1 "<0 > • ' • > *г ic0>---)CJ/>
подразумевая, что множество функциональных символов <гр состо-
состоит из Fq, ... , Fk, множество предикатных символов <тр состоит из
Ро,.. ¦ , Рг, а множество константных символов о~с ~~ из со,... , са,
причем p(F{) = щ для i ^ k и р(Р,) = пц для i ^ г.
Алгебраическую систему 21 сигнатуры
_ _ /Р"о Рп*. pmo pmr. \
будем записывать в виде
21 = (A; (Fob, • • • . №)%¦> (Ро)а, • • • , (Рг)и; (со)и, • • • , (с,)и>,
рассматривая (Fi)% как операцию на А местности щ, {Р%)% — как
подмножество Ат\ a (cj)a — как элемент А. Если из контекста
ясно, как определены эти объекты или их конкретное представление
не существенно, мы будем опускать индекс 21, записывая систему 21
в виде 21 = (A) Fo,... , Fk; Ро, ¦ ¦. tPr;c0,... ,с,).
Для алгебраических систем 01 и 53 фиксированной сигнатуры <т
определим стандартные алгебраические конструкции и понятия.

1.1. Алгебраические системы и конструкции 3
Гомоморфизмом <р из 01 в 05 (<р: 01 -» 05) называется отобра-
отображение tp основного множества |01| системы 21 в основное множество
|05| системы 03 такое, что
— для любых функционального символа F G (Tf и элементов а\,
... , а„, п = p(F), основного множества |01| системы 01
?>((F)a(ai,... л)) = (^МрЫ. ¦ ¦ ¦ , ?>М),
— для любых предикатного символа Р G <гр и элементов ai,... ,
а„, п — р(Р), множества |01| из (а\,... , а„) G {Р)<& следует
— для любого константного символа с G о~с выполнено равенство
Гомоморфизм <р из 01 в 05 называется эпил<ор^изл<ол<, если ^
отображает |01| на |05|, и изоморфным вложением, если отображе-
отображение (р разнозначно, т. е. <р(а) ф (р(Ь) при различных элементах a, b
множества А, к выполнено условие (обратное ко второму условию
в определении гомоморфизма): если (y(ai),... , <р(ап)) G {Р)<в, то
)
(ь ,п)()Л
Если / — отображение из А в В, то через dom/ обозначаем
область определения / (множество А), а через range / — множе-
множество {у G В | существует 1бЛ такой, что /(ж) = у}, являющееся
областью значений /.
Изоморфизмом алгебраической системы 01 на алгебраическую
систему 05 называется изоморфное вложение, являющееся эпимор-
эпиморфизмом. Две системы 01 и 05 называются изоморфными (обознача-
(обозначается 01 — 05), если существует изоморфизм 01 на 05. Изоморфизм
системы 01 на себя называется автоморфизмом системы 01.
Отношением эквивалентности в на множестве А называется
подмножество А2 такое, что
(а, а) ? в для любого а € А (рефлексивность),
если (a,b) G в, то (Ь,а) G в для любых а,Ь ? А (симметрич-
(симметричность),
если (а,b) G в и (Ь,с) G 0, то (а,с) € в для любых a,i,cG Л
(транзитивность).

4 1. Алгебраические свойства булевых алгебр
При заданном отношении эквивалентности в множество А раз-
разбивается на классы эквивалентных элементов вида
где а € А. Классы а/д называются смежными классами отно-
отношения в, а множество всех смежных классов {о/в \ а <Е А) —
фактор-множеством Ajg множества А по отношению эквива-
эквивалентности в.
Конгруэнтностью на алгебраической системе 21 называется от-
отношение эквивалентности в на |21| такое, что если (а<, 6,-) <Е в, гi <$ п,
и F — функциональный символ из ар местности п, то
(F(ai,...,an),F(bu...,bn))ee.
Конгруэнтность в называется строгой, если для предикатных
символов Р ? <тр и элементов ои,... , ап, Ь\,... , 6„ множества А
выполнено (&i,... ,6„) ? Р, если (ai,... ,а„) G Р и (aj, 6,) G б
для г ^ п.
Для алгебраической системы 21 сигнатуры <г и ее конгруэнтности
в можно определить фактор-систему 2t/#, взяв в качестве основно-
основного множества фактор-множество AJQ и интерпретируя сигнатурные
символы следующим образом:
//0> ¦ ¦ ¦ > а"/в) ^ (Ли(аь • ¦ • . ап)/б Для функци-
функционального символа F местности п и любых смежных классов
ai/в, ¦ ¦ ¦ fin/в фактор-множества А/$,
для любых предикатного символа Р G <тр местности п и смеж-
смежных классов о.:/в,-- , ап/в верно (а\/.в, ¦¦¦ , ап/в) € (P)wg,
если существуют Ь\,... ,Ь„ такие, что (а,-,6,-) G б при г ^ п и
(&1 6„)е(Р)я,
значением константы с в 21/$ является элемент (с)а/# для лю-
любого константного символа с из «г^.
Частично упорядоченные множества обычно рассматривают в
сигнатуре с одним бинарным предикатом (^2), причем обычно вме-
вместо ^.(х, у) пишут х ^ у. Однако при рассмотрении частично упоря-
упорядоченных множеств с дополнительными свойствами (с наименьшим
и наибольшим элементами, с точными верхними и нижними граня-
гранями, дополнениями и др.) сигнатура обогащается новыми символами,

1.1. Алгебраические системы и конструкции 5
и иногда (когда из основных символов однозна*чно восстанавливается
частичный порядок) символ порядка не включается в сигнатуру.
Пусть 21 — алгебраическая система сигнатуры <г и В — подмно-
подмножество основного множества |21| системы 51, замкнутое относитель-
относительно операций сигнатуры <т и содержащее все значения констант из «г,
т. е. если oj,... ,о„ € Ви? — символ п-местной операции из <г,
то (F)a(ai, • • • ,ап) € В, если с — константный символ из «г, то
(с)а 6 В. В этом случае можно рассмотреть сужения интерпрета-
интерпретаций символов сигнатуры на множество В:
(Р)<8 ±=; (Р)я П В" — сужение n-местного предиката, соответ-
соответствующего предикатному символу Р 6 <г,
(F)<8 t=^ (F)anBm+1 — сужение m-местной функции, соответ-
соответствующей функциональному символу F 6 <т,
(с)<8 ^ (с)я — значение константного символа с6(г.
Проинтерпретировав таким образом все символы сигнатуры <т на
множестве В, получим алгебраическую систему
<В = {В; (Р)в: Р 6 (тр; (F)B: F 6 <rF; (с)в: с 6 <гс>,
которая называется подсистемой (системы 21) сигнатуры <т.
Если 21 — алгебраическая система сигнатуры <г к X С А, то
существует наименьшая подсистема ЩХ) С 21, основное множество
которой содержит все элементы множества X. Будем говорить, что
эта система порождена множеством X и обозначать ее gra(X); при
этом если система 21 зафиксирована или из контекста ясно, какая
система имеется в виду, будем опускать индекс 21 в обозначениях.
Пусть сигнатура <т является частью сигнатуры а', т. е. <тр С
<г'р, <гр С <r'F, <г'с С «те и для любого символа G 6 <тр U <гр
его местности в <т и в <т' совпадают. Будем говорить, что система
21 [ <т полг/чается из системы 21 сигнатуры и1 сужением на «г,
если мы сужаем интерпретацию со всего множества символов из <г'
на символы из а. При этом 21 [ <т называется обедиеииел< 21 на
сигнатуру «г, а 21 — обогаг^емиел^ 21 [ <г до сигнатуры <т'.
Определим конструкцию прямого произведения 21 х 2$ алгебраи-
алгебраических систем 21 и 2$ сигнатуры о\ В качестве основного множества
прямого произведения возьмем декартово произведение А х В t=;
{(a,b) | a G A, b 6 В} основных множеств А и В систем 21 и 2$.
Положим

1. Алгебраические свойства булевых алгебр
для n-местного предикатного символа Р € а
(¦РЬхВ^ШаьЫ,--- ,К.М) I К,6.) €Л х В, г^п,
(ai,...,an)€(P)a. (*i, ¦ • • Л) € (Р)»},
для m-местного функционального символа F € <г
,bi),... ,{ат,Ьт))
где (а<, 6,) € Л х В, i ^ m,
для константного символа с € <т
Декартово произведение П 21» можно также ввести для семей-
«6/
ства алгебраических систем 21,-, i € /, сигнатуры <т, взяв в качестве
основного множества декартово произведение основных множеств
Ai, i € /, систем 21,-
и определив предикаты и операции покоординатно следующим обра-
образом:
для n-местного предикатного символа Р € а
(Л Л) € (Р)П а. О (/i(i),-. ,/п@) € (Р)«41
для всех t € /, fj € JJ-^i, j ^ «.
для m-местного функционального символа F ? а
где/j б
«€/

1.1. Алгебраические системы и конструкции
для константного символа с € а
(с) yi uj ^ / € ТТ Ai, где /(») ь^ (с)а; при любом t
Отметим, что если / бесконечно, то даже в случае конечных си-
систем 51,-, г € /, декартово произведение I~J 21,- может оказаться сколь
«е/
угодно большой мощности алгебраической системой.
Если 0 ф С С (Тс, то определим прямую сумму ?3 с 21» как под-
систему П^«> порожденную следующим подмножеством декартова
i/
произведения:
{/ € Т\ Ai | существуют конечное подмножество К С I и
«е/
константа с€ (Тс такие, что для любого i € ДАТ
значение /(i) равно значению константы с в 2lj}.
Нетрудно видеть, что основное множество системы ?3 с21« состо-
«е/
ит в точности из элементов / € {"[ Л, таких, что найдутся конечное
«е/
подмножество К С I и замкнутый (без переменных) терм t с кон-
константами из С такие, что для любого г € 1\К значение /(г) равно
значению терма t в 21,-.
Пусть <т — некоторая сигнатура и V = {t>0i t>i, ¦ • ¦ } — набор
переменных. Язык описания свойств алгебраических систем сиг-
сигнатуры а состоит из множества Term^V) термов сигнатуры <т с
переменными из V и множества формул Form<r(V) сигнатуры а с
переменными из V. При фиксированных сигнатуре <т и множестве
переменных V будем писать просто Term и Form.
Множество термов Term определяется индуктивно как наимень-
наименьшее множество слов алфавита, состоящего из символов <rU V и вспо-
вспомогательных символов (, ) и ,:
— переменные из V и символы констант из а являются термами,
- если 11,... , tn — термы и F — n-местный функциональный сим-
символ из <т, то слово F(t\,t2,.. ¦ ,tn) является термом.

8 1. Алгебраические свойства булевых алгебр
Через v будем обозначать наборы попарно различных перемен-
переменных вида (vil,... ,Vik). Если все переменные из слова t входят в
набор v, то пишем t(v) или t(vii,..., vik), где v = («,-,,... , vik).
На системе 21 сигнатуры а терм t(vti,... , ык) определяет функ-
функцию <, которая действует из Л* в Л и называется термальной опе-
операцией. Еслиах,... , а/;—набор элементов из А, то значение опера-
операции < на ах,... ,а* будем обозначать <a(ai,... ,а*). Это значение
определяется индуктивно:
— если терм t есть переменная Vin, то <а(аь • • • i a*) ^ ап', если
терм t есть константа с, то значение <а(аь • • • > а*) равно значе-
значению этой константы с в алгебраической системе 21,
— если терм t имеет вид F(ti,... ,<„), то значение t<n(ai,... , a*)
равно значению операции (^)а в системе 21 на наборе значений
термов (im(ai,... ,ak),... ,<na(ai,... ,ak)).
Легко заметить, что термальные операции — это в точности те
операции, которые могут быть получены суперпозициями основных
операций сигнатуры а и тождественной функции 1(х) = х. В этом
случае мы рассматриваем константы как 0-местные функции на А.
Легко заметить, что основное множество системы gra(X) состо-
состоит в точности из значений всех термов сигнатуры а на наборах эле-
элементов множества X. Вместо <а(аь • • ¦ >а*) пишем t(a\,... ,а/,),
если система 21 фиксирована.
Язык формул также определяется индуктивно и позволяет од-
однозначно описывать свойства наборов элементов алгебраической си-
системы 21 [36, 129]. Это так называемый язык исчисления предика-
предикатов сигнатуры а. К символам из сигнатуры сг, переменным из V
и вспомогательным символам (,),, добавляются следующие логиче-
логические связки: & (конъюнкция), V (дизъюнкция), —» (импликация), ~"
(отрицание), кванторы 3 (существования), V (всеобщности) и сим-
символ равенства =.
Формулами называются слова из наименьшего множества Form,
удовлетворяющего следующим условиям:
A) если t и q — термы, то t = q — формула; если Р — п-местный
предикатный символ изсг и<1,... ,<„ — термы, то P{ti,... ,tn)
является формулой; причем все переменные, имеющие вхожде-
вхождение в эти формулы, входят свободно: связанных вхождений нет;

1.1. Алгебраические системы и конструкции 9
B)если ip и ф — формулы, то {{р!кф), (фУ Ф), W -> Ф), "V —
формулы; при этом тип вхождений переменных (связанные или
свободный) не меняется;
C) если ip— формула и и,- — переменная из V, то выражения (Vf,)y?
и Ci>,)^> — формулы; причем все переменные, отличные от и,-,
не изменяют типа своих вхождений, а все вхождения переменной
t;,- в эти формулы являются связанными.
Таким образом, определен язык Сшш. Формулы со свойством A)
называются атомными.
Можно расширить язык бесконечными формулами, считая до-
допустимыми формулы вида V w и Д ip, для счетных семейств
формул <pi, i G N. Полученный таким образом язык обозначает-
обозначается СШШ1 [72].
Определим семантику формул языка, т. е. припишем им значения
истинности в алгебраических системах сигнатуры <т при заданных
значениях свободных вхождений переменных.
Пусть ip — формула, и пусть все переменные, имеющие сво-
свободные вхождения в формулу <р, принадлежат v = (vj,, ... ,i>tk).
Пусть а = (ai,... , ап) — набор элементов системы 21 сигнатуры <т.
Введем отношения
Ы формула ip истинна в 21 при подстановке вместо
свободных вхождений переменных v значений a
,_ формула ш ложна в 21 при подстановке вместо
21 f Up]— _ _
" свободных вхождений переменных t; значений a
Запись <p(v) означает, что переменные, имеющие свободное вхо-
вхождение в ip, принадлежит v. Мы также пишем ip(a) вместо [^>]?
краткости записи.
Определим индуктивно:
для формул вида t = q
211= t = q(a), если <а(а) = ga(a),
21К t = q(a) в противном случае,
для формул вида P(ti tn)

10 1. Алгебраические свойства булевых алгебр
21 1= P(tlt..., tn)(a), если ((ti)a(o),... , (<„)«(«)) € (Р)я,
21К P(ti,... ,<n)(S) в противном случае,
для формул вида ((р & ф)
211= (p&V)(a), если211=р(а)и211=^(а),
21К (у & V1) E) в противном случае,
для формул вида (<р V ф)
211= (у V ^)(а), если 211= у(а) или 211= V"(a),
21К (у V ф)(а) в противном случае,
для формул вида (ip -> V1)
211= (у -> V")E), если 211= V"(a) или 21К у(а),
21К (у -> V) E) в противном случае,
для формул вида ** <р
211= ~V(a), если 21К у(а),
21К "'у(а) в противном случае,
для формул вида (Vt>,-)p и Cv,-)^ определим новую интерпретацию
переменной и,-: обозначим через v°i набор переменных, полученный
из v вычеркиванием переменной «,-, а через а"{ — набор элемен-
элементов, полученный из а вычеркиванием элемента, соответствующего
переменной t>f-; полагаем
211= (Vvi)(p(a), если 211= <р(а"*, 6) для любого 6 € |21|,
21К (Vv,-)y>(a) в противном случае,
211= Cvi)(p(a), если найдется 6 € |21| такой, что 211= <p(av>, Ь),
21К Cv,-)y>(a) в противном случае.
Пусть Д — множество формул, <р — формула, V — набор пере-
переменных, имеющих свободные вхождения в формулы изДи{у} иа
— означивание переменных из v. Будем говорить:

1.1. Алгебраические системы и конструкции 11
— Д выполняется в 21 при означивании а', если все формулы из
Д при этом означивании истинны в 21 (обозначаем 21 Ё Д(а) или
21 Ё [Д]|- и 21 ?¦ А (а) в противном случае),
— Д выполнимо в 21, если существует означивание а такое, что Д
выполняется в 21 при означивании а,
— <р семантически следует из А (обозначаем Д Ё <р), если для
любых системы 21 и означивания а из выполнимости Д в 21 при
означивании а следует истинность tp в 21 при означивании а.
Две формулы (риф называются эквивалентными (обозначается
ip = ф), если {^} Е ф к {ф} Ё <р. Множество формул Д называется
совместным, если существуют система 21 и означивание а такие, что
Д выполнимо в 21 при означивании а, и несовместно (обозначается
Д (=) в противном случае.
Как показано Гёделем, отношение семантического следования
можно выразить синтаксически. Можно построить аксиоматиче-
аксиоматическую систему [исчисление предикатов), которая будет определять
отношение семантического следования Г (- а [36].
Множество формул Г называется противоречивым (обознача-
(обозначается Г Ь), если существует формула /? такая, что Г Ь /?, Г Ь /?,
и непротиворечивым в противном случае. Формула а называется
непротиворечивой [совместной), если множество {а} непротиво-
непротиворечиво (совместно).
Теорема 1.1.1 [теорема Гёделя о полноте]. Формула а непроти-
непротиворечива тогда и только тогда, когда а совместна.
Следствие 1.1.1. Пусть Г — конечное множество формул и
<р — формула. Тогда
Г (- <р тогда и только тогда, когда Г Ё tp,
Г (- тогда и только тогда, когда Г Ё.
Мальцев [ill] распространил теорему полноты на случай произ-
произвольного множества формул. Он доказал теорему о локальной со-
совместности, которую часто называют теоремой компактности. Эта
теорема является одним из важнейших инструментов исследования
в теории моделей и ее приложениях.
Теорема 1.1.2 [теорема Мальцева о компактности]. Множество
формул совместно, если любая его конечная часть совместна.

12 1. Алгебраические свойства булевых алгебр
Следствие 1.1.2. Если множество формул несовместно, то оно
имеет конечное несовместное подмножество.
Следствие 1.1.3. Множество формул совместно тогда и то-
только тогда, когда оно непротиворечиво.
Класс К алгебраических систем сигнатуры а называется аксио-
аксиоматизируемым, если существует множество предложений (формул
без свободных вхождений переменных) Д сигнатуры а такое, что
К = Mod(A), где Mod(A) f=; {21 | 211= Д}. Теорией ТЪ(Л') клас-
класса алгебраических систем К называется множество предложений,
истинных на всех системах из класса К. Элементарной теорией
(или просто теорией) (сигнатуры &) называется множество пред-
предложений (сигнатуры а), замкнутое относительно отношения выво-
выводимости. Теорема Мальцева о компактности показывает, что Т —
теория тогда и только тогда, когда существует класс систем К та-
такой, что Th (А') = Т. Теория называется полной, если <р ? Т либо
~"<р ? Т для любого предложения <р. Нетрудно видеть, что всегда
К С Mod(Th(A')). Однако не каждый класс систем будет аксио-
аксиоматизируемым.
Основной метод определения классов алгебраических систем —
это аксиоматический метод, который заключается в том, что выде-
выделяются основные отношения, операции и константы, а затем опреде-
определяются через аксиомы их базисные свойства. Однако в некоторых
случаях более удобно рассматривать в качестве базисных различные
сигнатуры в зависимости от исследуемых свойств.
Рассмотрим два класса систем К сигнатуры а и К' сигнатуры
а'. Введем понятие семантической определимости класса К в клас-
классе К'. Для этого фиксируем формульное определение Ф сигнатур-
сигнатурных символов из а, т. е. для произвольных n-местного предикатно-
предикатного символа Р ? а, m-местного функционального символа F ? а,
константного символа с ? а существуют соответственно формулы
ФР(жь... ,ж„), ФР(х1,... ,хт), Фс(х) сигнатуры а'. Для произ-
произвольной системы 21' ? К' интерпретируем сигнатурные символы Р,
F и с из а на основном множестве А' следующим образом.
В качестве интерпретации на А' предикатного символа Р прини-
принимаем множество {(ai,... ,а„) | 21' 1= Фр(п1,... ,а„)}.
Формула Фр(х\,... , a;m+i) определяет на А' график отображе-
отображения из А'т в Л'. В качестве интерпретации F на А' принимаем это
отображение.

1.1. Алгебраические системы и конструкции 13
Для с ? <т формула Фс(х) истинна в 21' лишь на одном элементе.
В качестве интерпретации с на А' принимаем этот элемент.
Тем самым мы определяем на |21| модель сигнатуры <т, которую
обозначим через цйфB1'). Будем говорить, что класс К сигнатуры
<т семантически определим в классе К' сигнатуры <т', если для
любой системы 21' из К' система \пЬф@1') принадлежит К и для
любой системы 21 из К существует алгебраическая система 21' из
К' такая, что системы т1фB1') и 21' изоморфны.
Классы К и К' сигнатур а и а' называются семантически экви-
эквивалентными, если К определим в К' через формульное определе-
определение Ф и К' определим в К через формульное определение Ф', при-
причем для любых алгебраических систем 21 из К и 21' из К'
= 21', 1Ы,фA1йф-B1)) = 21.
При изучении семантически эквивалентных классов возможно
применять различные методы. При этом многие свойства конкретно-
конкретного класса будут присущи также классам семантически эквивалент-
эквивалентным. Однако алгебраические свойства семантически эквивалентных
классов могут отличаться ввиду различия базисных сигнатур, а так-
также сложности формул, определяющих эквивалентность.
В дальнейшем при записи аксиом для классов будем опускать
внешние универсальные кванторы по переменным.
Одна из характеристик сложности формулы — это наличие и
взаимное расположение в ней кванторов. Любая формула <р мо-
может быть преобразована с точностью до эквивалентности в форму-
формулу вида Q\X\.. ¦Qnxn'4>, где формула ф не содержит кванторов и
Qi ? {V, 3}, 1 ^ i ^ п. Однако более важной характеристикой
сложности формулы является не количество, а число чередований
кванторов.
Формула Q\X\ ... QnXnrf называется 3-формулой, если Q,- = 3,
i = 1,... , п, и ^/-формулой, если Q,- = V, i = 1,... , п.
Определим классы Е„ и П„ по индукции. Класс Ei состоит
из 3-формул, а класс ГЦ — из V-формул. Класс En+i образован
формулами вида Зх\ .. .Зхт ф, где ф ? П„, а класс П„+1 — фор-
формулами вида 4xi... \/жт ф, где ф ? Е„.
Кванторная приставка Cxi)... (Зхт) может оказаться пустой
при т = 0. Таким образом, мы получаем классификацию формул
по сложности их кванторных приставок:
По С ГЦ С П2 С ... С П„ С П„+1 С ... ,

14 1. Алгебраические свойства булевых алгебр
Ео С Ei С Е2 С ... С Е„ С En+i С ....
Заметим, что 3-формулы сохраняют истинность при расширени-
расширениях моделей, а V-формулы — при взятии подмоделей и эти свойства
являются их характеристиками. Формулы из других классов Е„
(П„), п > 1, можно характеризовать на языке сэндвичей [18].
п т.
Бескванторная формула вида V & Ф.-j, где Ф.-j — атомарная
t=iJ=1
формула или отрицание атомарной формулы, называется дизъюнк-
дизъюнктивной нормальной формой. Используя простые эквивалентности
ассоциативности и дистрибутивности логических связок и эквива-
эквивалентности вида
легко видеть, что любая бескванторная формула эквивалентна фор-
формуле в дизъюнктивной нормальной форме.
В случае конечной сигнатуры <т формулу <p(xi,... ,xn) вида
к
& Ф,-, где Ф,- — атомарная формула или отрицание атомарной фор-
формулы, будем называть совершенной, если
— для любого набора у\,... , ут, составленного из переменных из
набора х\,... , хп и константных символов из а, и т-местного
предикатного символа Р € а формула Р(у\,... , ут) или фор-
формула ~"P(yi,... , ут) является одной из формул Фь ... , Ф*,
— для любого набора (j/i ,5/2I составленного из переменных из на-
набора х\,... , хп и констант из а, формула j/i = j/2 или формула
2/1 ф 2/2 является одной из формул Ф1,... , Ф&,
— не существует t и j таких, что Ф,- ="¦ Ф^-.
Дизъюнктная нормальная форма V .& &ij называется совер-
т
шенной, если для любого 1 ^ i; ^ п конъюнкция & Ф.-j совершен-
совершенная.
Используя доказуемость формул вида Ф V Ф, можно добавить
в любую конъюнкцию вместо недостающих членов дизъюнкции Ф V
~"Ф для требуейых атомарных формул Ф и используя те же пре-
преобразования привести к дизъюнктивной нормальной форме. С по-
помощью эквивалентности Ф & Ф = Ф -можно избавиться от много-

1.1. Алгебраические системы и конструкции 15
кратных вхождений, а поскольку формула Фк~"Ф тождественно
ложна, можно отбросить все тождественно ложные дизъюнктив-
дизъюнктивные члены. После этого мы либо получим совершенную дизъюнк-
дизъюнктивную форму, либо установим, что формула тождественно лож-
ложна, т. е. противоречива. Таким образом, любая непротиворечивая
формула <p(xi,... , хп) конечной сигнатуры а эквивалентна в этой
сигнатуре некоторой формуле в совершенной дизъюнктивной нор-
нормальной форме.
Если сигнатура а содержит функциональные символы, то в ка-
качестве атомарных можно рассматривать только формулы вида
x=F(yu...,yn), x=c, P(xi,...,xn), A.1.1)
где х, у\,... , уп, х\,... , хп — любые переменные нашего языка.
Используя эквивалентности
\х = 1кк^ =U-*x = F(yi,... ,yn)j,
P(h,. ..,«„)«* (ViVyi .. .Vyn) f .& y,- = t4 -> P(yb ..-. ,yn)J ,
t = F(ti,... ,«„)«*(Э«Эу1...Эу„)
Гг = tк k^i = Ukx = F(yi,...,yn)J,
P(tu. ..,«„)«* (ЗгЗу! .. Зуп) f.&y,- = t<&P(yi, ¦ ¦ ¦ , yn)J ,
можно показать, что любая атомарная формула (т. е. формула вида
t = q или P(ti, ...,<„), где t, q, ti, ¦ ¦ ¦ ,tn — термы) эквивалентна
3-формуле (fo и V-формуле фо, но уже с атомарными подформу-
подформулами вида A.1.1). Ввиду эквивалентности бескванторной формулы
<р формуле ip' в дизъюнктивной нормальной форме можно заменить
позитивные вхождения сложных атомарных подформул эквивалент-
эквивалентными 3-формулами, (V-формулами), а негативные вхождения —
V-формулами C-формулами) требуемого вида. Получим, что лю-
любая бескванторная формула эквивалентна 3-формуле и V-формуле,
но уже с атомарными подформулами вида A.1.1). Поэтому лю-
любая ?„+1-формула (П„+1-формула) эквивалентна ?„+1-формуле
(П„+1-формуле), но уже с атомарными подформулами вида A.1.1).

16 1. Алгебраические свойства булевых алгебр
Таким образом, при рассмотрении ?п+1-формул или П„+1-формул
относительно их бескванторной подформулы мы можем требовать,
чтобы она была в совершенной дизъюнктивной форме и содержала
атомарные формулы только вида A.1.1). Рассматривая ниже совер-
совершенные дизъюнктивные нормальные формы бескванторной части
любой формулы, содержащей кванторы, мы всегда предполагаем,
что все ее атомарные подформулы имеют вид A.1.1).
Понятие частично упорядоченного множества является одним из
фундаментальных в математике. Частично упорядоченные множе-
множества рассматриваются в сигнатуре с одним бинарным предикатом
(^2). Для бинарных предикатов Р вместо Р(х,у) будем чаще ис-
использовать запись хРу, а для бинарных функций / вместо /(х, у) —
запись (х/у).
Под частично упорядоченным множеством (А, ^) [8] будем
понимать систему сигнатуры (^2), удовлетворяющую следующим
аксиомам:
(Vx)(x ^ х) (рефлексивность)
(\/ж)(Уу)(ж ^.у&су^.х—» ж = у) (антисимметричность)
(Vx)(Vy)(Vz)(x ^у&у^г—^х^г) (транзитивность)
Пример 1.1.1. Пусть V(A) — множество всех подмножеств мно-
множества А, X — непустое подмножество V(A) и С — отношение
включения. Тогда {Х,С) является частично упорядоченным мно-
множеством.
Пусть 21 = {А, ^) — частично упорядоченное множество иХС
А. Элемент а & А называется
— верхней (нижней) гранью множества X, если ж <J а (а <J x)
для любого х ? X,
— наименьшим (наибольшим) в X, если а 6 I я i ) а (а ) i)
для любого х € X,
— тонной верхней (точной нижней) гранью множества X в 21,
если а — наименьший (наибольший) элемент среди верхних (ниж-
(нижних) граней множества X.
Точную верхнюю (точную нижнюю) грань множества X в 21 обо-
обозначаем через V<&.X (Л%Х) или supa(X) (infa(^)). Если X со-
состоит из двух элементов а и 6, то их точная верхняя грань (если

1.1. Алгебраические системы и конструкции 17
она существует) обозначается также через a V<a 6, а точная нижняя
грань — через а Ла Ь.
В случае произвольных частичных порядков точные верхние гра-
грани и точные нижние грани не всегда существуют не только для про-
произвольных подмножеств, но и для пар элементов.
Пусть а, Ь G А и {А, ^) — частично упорядоченное множество.
Определим а = {х \ х ^ а} и а = {х \ а ^ х). Подмножество X С
А называется начальным сегментом в {А, ^), если для любых х ?
ЛГиабЛиза^х следует а 6 X.
Подмножества
A)[а,Ь]^{хеА\а^х^Ь},
B) ]а, 6] ^ {z € A |a<x<6},
D) ]а,Ь[^ {х? А \а< х < 6}
будем называть интервалами в (А, ^), причем интервалы типа
A) — замкнутыми, типа B) — полуоткрытыми слева, типа C) —
полуоткрытыми справа и типа D) — открытыми.
Частично упорядоченное множество можно дополнить элемен-
элементами оо и —оо, полагая, что оо — наибольший элемент, а —оо —
наименьший элемент множества Ли {—оо,оо}. При использовании
этих символов всегда подразумевается такое доопределение.
Подмножества множества А типа ] — оо, а], ] — оо, а[, [а, оо[
и ]о, оо[ также.будем называть интервалами в {А, ^). Интервалы
типа] — оо,а] и ] — оо, а[будем называть начальными интервалами
в (Л,^), а [а,оо[ Й ]а,оо[— концевыми интервалами в (Л, ^),
полуоткрытыми и открытыми соответственно.
Частично упорядоченное множество (Л, ^) называется верхней
полурешеткой, если для любых двух элементов х, у G Л существу-
существует точная верхняя грань х V у. Если частично упорядоченное мно-
множество является верхней полурешеткой, то часто будем его рассма-
рассматривать в сигнатуре (V2), где х V у — операция взятия точной верх-
верхней грани. Через эту операцию порядок определяется соотношением
x^.y<$xVy = y. Дуальным является понятие нижней полуре-
полурешетки, когда для любых двух элементов х и у существует точная
нижняя грань х А у. Нижние полурешетки также можно рассма-
рассматривать в сигнатуре (Л2), причем можно ввести порядок, используя
эквивалентность х^.у&хЛу=х.

18 1. Алгебраические свойства булевых алгебр
Нулем в частично упорядоченном множестве будем называть
наименьший элемент, а единицей — наибольший элемент (если они
существуют).
Решетка (А, ^) называется дистрибутивной, если для любых
а,Ь,с е А
aAFVc) = (аЛб)Л/(аЛс), aVFAc) = (aV6)A(aVc).
Идеалом I верхней полурешетки (А, ^) с нулем 0 называется
подмножество I С А такое, что О €Е /,
если х ^ у и у е /, то х е /, если х, у Е I, то х V у е /•
Фильтром 2? в нижней полурешетке (Л, ^) с единицей 1 назы-
называется подмножество V С А такое, что 1 е Р,
если х ^ у и х G 2), то у G 2), если х, у G V, то х Л у G Р.
Не совпадающие со всем множеством Л идеалы и фильтры на-
называются собственными.
1.2. Определения и простейшие
свойства булевых алгебр
Булевы алгебры появляются в различных разделах математики
с различными целями, и потому имеется несколько эквивалентных
подходов к их определению. Мы приведем некоторые, наиболее рас-
распространенные, и докажем их эквивалентность. Рассматривая бу-
булевы алгебры как алгебраические системы, определим на них раз-
различные алгебраические конструкции и изучим их алгебраическое
строение.
Будем называть алгебраическую систему 21 = (А;\/,Л,С) сиг-
сигнатуры (N/'jA'jC1) булевой алгеброй, если для любых а,Ь 6 А
выполнены следующие условия:
A) a V 6 = 6 V а (коммутативность),
B) (a V 6) V с = a V F V с) (ассоциативность),
C) a V F Л с) = (а V 6) Л (а V с) (дистрибутивность),

1.2. Определения и простейшие свойства 19
E)aVa = a,
F)(aAC(a)) V6 = 6,
G) С С {а) = а.
Пример 1.2.1. Пусть V(A) — множество всех подмножеств мно-
множества А и U, П и С — обычные операции объединения, пересечения
и дополнения подмножеств множества А. Система
является булевой алгеброй, так как в ней выполнены все соотноше-
соотношения A)-G). Она называется алгеброй всех подмножеств множе-
множества А. Пусть X — непустое подмножество множества V(A), за-
замкнутое относительно операций U, П и С. В подалгебре (X; U, П, С)
также выполнены все соотношения A)-G). Такие булевы алгебры
называются алгебрами множеств.
Пример 1.2.2. Пусть (А,т) — топологическое пространство и
От — множество всех открыто-замкнутых в топологии т подмно-
подмножеств множества А. Тогда От замкнуто относительно обычных те-
теоретико-множественных операций и,П,С и От = (ОТ,1),Г\,С) —
булева алгебра открыто-замкнутых множеств пространства (А, т).
Пример 1.2.3. Пусть ?„ — множество всех формул сигнатуры а
со свободными переменными из множества {х\, ¦ ¦ ¦ , хп}, а Т — те-
теория сигнатуры а. Определим на ?„ отношение Т-эквивалентности
(р~тф ±=; Т Ь ((f ->• ф) к (ф -)• <р).
Нетрудно проверить, что это отношение обладает следующим свой-
свойством:
если <р~т<р' и ф~тф', то <р V ф ~т <р' V ф',
<р Л ф ~т <р' Л ф';
if —? ф ~т <f' —* Ф',
Рассмотрим фактор-множество Вп(Т) ±=; ?п/~т и определим на
нем операции U, П, С, положив

20 1. Алгебраические свойства булевых алгебр
Л Ф/~т ^
где множество v/~x обозначает смежный класс по эквивалентности
~т\ содержащий формулу ^>. В силу A.2.1) эти операции не зависят
от выбора представителей смежных классов. Ввиду свойств отноше-
отношения эквивалентности, алгебра •8n(T) ^=; (Bn(T); U, П, С) будет бу-
булевой. Алгебра *8П(Т) называется алгеброй Линденбаума формул
с п-переменными теории Т.
Предложение 1.2.1. В любой булевой алгебре (А;\/,Л,С) для
любых элементов а, 6, с Е А выполнены следующие, двойствен-
двойственные к A)-F) соотношения:
A')аЛб= Ь Л а,
B;)(аЛб)Лс = аЛFЛс),
C;) а Л F V с) = (а Л 6) V (а Л с),
D')С(аЛб) = С(а)УСF),
E')аЛа = а,
F') (а V С(а)) Л 6 = 6.
Доказательство. Из G) и D) вытекает соотношение D'):
С(аЛб) = С(СС{а)ЛСС(Ь)) = CC(C(a)V С(Ь)) = C(a)VCF).
На основании D') и A)-G) нетрудно получить все остальные соот-
соотношения. Докажем A'), B'), оставив остальные в качестве упраж-
упражнений читателю. Имеем
а Л 6 = СС(а Л 6) = С{С{а) V С(Ь)) = С(С{Ь) V С{а))
= СС(бЛа) =6Ла,
(а Л 6) Л с = СС{{а Л 6) Л с) = С(С(а Л 6) V С{с))
= С((С(а) V С{Ь)) V С(с)) = С(С(а) V (С(Ь) V С(с)))
= С{С{а) V СF Л с)) = СС{а Л F Л с)) = а Л F Л с).
Предложение доказано. ?

1.2. Определения и простейшие свойства 21
Определим для произвольной булевой алгебры 21 дуальную к ней
структуру 21*, положив
А'^А, aV'b^aAb, aA'b^aVb, C*{a) = C{a).
Замечание 1.2.1. Дуальная система 21* изоморфна булевой ал-
алгебре 21 и 21" = 21. Действительно, рассмотрим отображение С :
А ^-? А. Покажем, что С — изоморфизм 21 на 21* Из G) имеем
а = СС(а), а из равенства С(а) = С(Ь) следует равенство а = Ь.
Поэтому С — взаимно однозначное отображение А на А. Осталось
проверить, что С сохраняет операции. В силу D) и D')
С{а V 6) = С{а) Л СF) = С{а) V* СF),
С{а Л 6) = С{а) V СF) = С(а)Л*СF).
и С С (а) = С* С (а), так как С* = С. Тогда С сохраняет операции
и, следовательно, является изоморфизмом.
Равенство 21** = 21 вытекает из определения дуальной системы.
Предложение 1.2.2. Для любых элементов а и b булевой алге-
алгебры (Л; V, Л, С) справедливы следующие равенства:
(a)aVC(a)=6VCF),
(Ь)аЛС(а) = 6ЛСF).
Доказательство. В силу A') и F')
6VCF) = (aVC(a))AFVCF)) = (&VCF))A(aVC(a)) = aVC{a).
Аналогично в силу A) и F)
а/\С(а) = FACF))V(aAC(a)) = (aAC(a))VFACF)) = &ЛСF).
Таким образом, значения аЛС(а) и aVC(a) не зависят от выбора
элемента а. Обозначим эти значения Оа и 1а и будем называть
их соответственно нуль и единица булевой алгебры 21. Когда из
контекста ясно, в какой булевой алгебре рассматриваются элементы
Оа и 1а, мы будем опускать индекс 21.
Предложение 1.2.3. В любой булевой алгебре (A;V,A,C) для
любого элемента а ? А выполнены следующие соотношения:

22 1. Алгебраические свойства булевых алгебр
(a) aVO = a, (а') аЛО = О,
(b) aVl = l, (V) аЛ1 = а.
Доказательство. Равенства (а) и (Ь') следуют непосредствен-
непосредственно из соотношений F) и F'), определения 0 и 1, коммутативности
операций V и Л. Докажем (Ь) и (а'). Так как 1 = a V С{а), из B),
E) имеем
aVl = aV(aV C{a)) = (aVa)V С{а) = а V С{а) = 1.
Поскольку О = а Л С(а), из B') и E') получаем
аЛО = аЛ(аЛ С(а)) = (а Л а) Л С(а) = а Л С(а) = О.
Предложение доказано. ?
В дальнейшем стандартную сигнатуру для булевых алгебр бу-
будем рассматривать с этими добавленными константами О, 1 и акси-
аксиомами (Vx)(x Л С(х) = 0), (Vx)(x V С(х) = 1), определяющими
эти константы. Если не оговорено иное, под сигнатурой булевых
алгебр мы подразумеваем сигнатуру (Л2, V2,С1,0,1). Ясно, что
классы булевых алгебр в сигнатурах (A2,V2,Cl) и.(Л2, V^C^.O,1)
семантически эквивалентны, и обогащение сигнатуры (A2,V2,Cl)
до сигнатуры (Л2, V2, С1,0,1) определимо формулами Фо(х) =
{Va){a Л С(а) = х) и Ф^х) = {Va){a V С{а) = х).
Бинарное отношение U на множестве А называется частичным
порядком на А, если (A; U) — частично упорядоченное множество
с сигнатурой из одного бинарного предиката U. Частичный порядок
U называется линейным, если он удовлетворяет условию связности:
(a, b) G U или F, а) ? U для любых а, 6 ? А. Очевидно, что
сужение на В С А частичного (линейного) порядка, определенного
на А, является частичным (линейным) порядком на В.
Мы рассматриваем частично упорядоченные множества (A,U)
как системы сигнатуры ( ^2), при этом пишем х ^у у вместо
(х,у)еи.
Пусть 21 = (A, U) — частично упорядоченное множество. Для
любых а, 6 ? Л обозначим точную верхнюю грань множества {а, 6}
в 21 через a Va 6, а точную нижнюю грань множества {а, 6} в 21 —
через а Ла Ь, если они существуют.
Если для любых а, 6 из частично упорядоченного множества
21 существуют a Va 6 и а Ла Ь, то можно рассматривать алгебру

1.2. Определения и простейшие свойства 23
(A; Va, Ла) в сигнатуре с двумя бинарными операциями Va и Ла-
В этом случае частично упорядоченное множество (A, U) называем
решеткой. Если для любых а,6, с G А выполнены законы дистри-
дистрибутивности:
(D) aVaFAac) = (a Va6)Aa(aVac),
(D') aAaFVac) = (аЛа6) Va(aAac),
то 21 называется дистрибутивной решеткой. Решетка 21 = {A; U)
называется булевой, если 21 дистрибутивна, имеет наибольший эле-
элемент 1 в А, наименьший элемент 0 в А, и для любого элемента
a G А существует элемент 6 G А такой, что аЛ<&Ь = О и aVa6 — 1-
При этом элемент 6 называется дополнением элемента а в 21.
Лемма 1.2.1. В булевой решетке 21 для любого элемента допол-
дополнение единственно.
Доказательство. Пусть &i и &2 — два дополнения элемента а.
Тогда
&х = &i va 0 = &i Va (&2 Аа а) = (&i Va &г) Aa F1 Va а)
= {b\ Va 62) A 1 = 61 Va 62 = b2 Va 61 •
С другой стороны,
&2 = 62 Va 0 = 62 Va F1 Aa a) = F2 Va 61) Aa F2 Va a)
Поэтому &i = 62. ?
Ha основном множестве А булевой решетки 21 = (A; U) опреде-
определим одноместную операцию С%. Для а? А полагаем Са(а) равным
единственному дополнению элемента а.
Алгебраическую систему (A; Va, Aa, С*а), построенную по буле-
булевой решетке 21, обозначим А B1).
Предложение 1.2.4. Если 21 — булева решетка, то система
А B1) является булевой алгеброй.
Доказательство. Проверим только условие B) определения бу-
булевой алгебры; все остальные условия непосредственно следуют из

24 1. Алгебраические свойства булевых алгебр
определения операций Va, Ла и Са- Требуется показать, что
supa ({supa ({a, 6}), с}) = supa ({а, supa ({6, с}))).
Достаточно показать, что множества Ао и Во верхних граней мно-
множеств {supa ({a, 6}), с} и {a,supa ({6,с})} совпадают. Пусть d ?
Aq. Тогда d ^ с и d ^ supa({a,6}). Следовательно, d 5> а и
d ^ 6. Поэтому d ^ supa({6,c}) и d ? Во. Обратное включение
доказывается аналогично. ?
Определим на булевой алгебре 21 отношение ^, положив
a <ib i=; а ЛЬ = а.
Лемма 1.2.2. Отношение ^ является частичным порядком на
А и для любых а, 6 € А выполнены следующие соотношения:
(a) a <? 1, 0 <: а,
(b) а V 6 = 6 « а ^ 6,
(c)infa({a,6}) = aA6,
(d)supa({a,6}) = aV6.
Доказательство. Согласно определению частичного порядка
надо показать, что отношение ^ рефлексивно, антисимметрично и
транзитивно. Действительно, так как а Аа — а, имеем а ^ а. Если
a ^ i и 6 ^ о, тоаЛб = аиаЛб = 6. Следовательно, а = Ь.
Если а ^ 6 и 6 ^ с, тоаЛб = аи6Лс = 6, но в таком случае
a = а Л 6 = а Л F Л с) = (а Л 6) Л с = а Л с, т. е. а ^. с. В силу
предложения 1.2.3 аЛ0 = 0иаЛ1=а. Поэтому 0 ^ а и а ^ 1
для любого а 6 В, т. е. справедливо соотношение (а).
Докажем соотношение (Ь). Пустьа\/6 = 6. Тогда аЛб = бЛа =
FAa)VFACF)) = 6A(aVCF)) = (aV6)A(aVCF)) = aVFACF))
в силу F'), C'), C), A'). Следовательно, a ^.b. Пусть a ^ 6. Тогда
а Л 6 = а. Аналогично a V 6 = 6.
Докажем (с), оставив соотношение (d), которое доказывается
аналогично, для упражнения читателю. Сначала заметим, что а Л
6 — нижняя грань множества {а, 6}. Действительно, так как а Л
(а Л 6) = (аЛа)Лб = аЛби6Л(аЛб) = 6ЛFЛа) = FЛб)Ла =
6 Л а = а Л 6, по определению порядка аЛб^аиаЛб^б.
Осталось заметить, что а Л 6 — наибольшая нижняя грань. Пусть

1.2. Определения и простейшие свойства 25
с — нижняя грань множества {а, 6}. Тогда с ^ а и с ^ 6. По опре-
определению порядка с = сЛаис = сЛб. Но ввиду ассоциативности
с Л (а Л 6) = (с Л а) Л 6 = с Л 6 = с. Следовательно, с ^ а Л 6. D
Построенное по булевой алгебре 23 частично упорядоченное мно-
множество обозначим РB3) = (В, ^).
Предложение 1.2.5. ?сш 23 — булева алгебра, то РB3) — бу-
лееа решетка.
Доказательство. По лемме 1.2.2 для любых а,Ь 6 В суще-
существуют supa({a,6}) и infa({a,6}) в (В;^). Поэтому РB3) —
решетка. Условие дистрибутивности следует из соотношений (с), (d)
леммы 1.2.2 и свойств дистрибутивности C), C') булевых алгебр.
Осталось проверить существование наибольшего и наименьшего эле-
элементов РB3), а также дополнений. В силу леммы 1.2.2 в РB3) наи-
наибольшим элементом является 1 — единица булевой алгебры 03, а
наименьшим элементом 0 — нуль булевой алгебры 23. В качестве
дополнения элемента а можно взять элемент С(а), так как по опре-
определению единицы, и нуля в булевой алгебре имеем а V С(а) = 1 и
а/\С(а) = 0. D
Теорема 1.2.1. Если 21 — булева алгебра и 91 — булева решет-
решетка, то АAН) — булева алгебра и РB1) — булева решетка, причем
АРB1) = 21 и PA(fR) = 91.
Доказательство. Первое утверждение следует из предложе-
предложений 1.2.4 и 1.2.5. Докажем равенства АРB1) = 21 и РА({И) = 94.
Применение операций Р и А не меняет основного множества систе-
системы, поэтому достаточно показать совпадение операций и отношений
в РА(9Ч) и 94, в АРB1) и 21. Непосредственно из определений полу-
получаем
а ^ра(и) Ь & а Ла(СЧ) Ь = а & inf^ja, 6} = а & а ^ 6.
Таким образом, РА(9Ч) = 94. Согласно определению операции А
имеем a Va(!4) Ь = supf4{a,6}- Однако supp(a^{a,6} = a V 6 в
силу леммы 1.2.2. Следовательно, а Удр(а) 6 = a V 6. Аналогично
устанавливается соотношение а Лдр(а) Ь = а ЛЬ.
Докажем равенство Сдр(а)(а) = С (а). Так как 1 — наиболь-
наибольший элемент, а 0 — наименьший элемент в РB1) и
а ЛАР(а) С{а) = а Л С(а) = 0, a VAP(a) С(а) = а V С(а) = 1,

26 1. Алгебраические свойства булевых алгебр
в силу леммы 1.2.1 заключаем Сдр(а)(а) = С(а). ?
Один из естественных классов коммутативных колец составляют
булева кольца. Они тесно связаны с булевыми алгебрами. Комму-
Коммутативное и ассоциативное кольцо Л — (К, +,-,0,1) с единицей, в
котором выполнено тождество х-х = х, называется булевым коль-
кольцом с единицей.
Определим по булеву кольцу Я булеву решетку Ь(Л), положив
|ЦЛ)| = К и а ^ця) Ь, если а-Ь — а.
Лемма 1.2.3. В булевом кольце Я для любого элемента а ? К
справедливо равенство а + а = 0.
Доказательство. Для произвольного элемента а Е К имеем
а + а — {а + а){а+'а) = а2 + а2 +а2 +а2 = а + а + а + а. Так как
(А',+) — абелева группа с 0, из приведенного равенства получим
а + а = 0. ?
Лемма 1.2.4. Отношение ^ь(Я) определяет на основном мно-
множестве булева кольца Я булеву решетку.
Доказательство. Проверим, что отношение ^ь(й) определяет
частичный порядок на К. Будем опускать индекс Ь(Л) в обозначе-
обозначении ^ь(Я). если из контекста ясно, какой порядок рассматривается.
Так как а-а = а, отношение ^ рефлексивно. Покажем антисим-
антисимметричность. Пусть а ^ 6 и 6 ^ а. По определению а = а-Ь
и 6 = Ь-а. Ввиду коммутативности кольца Л элементы а-Ь и Ь-а
равны и, следовательно, а = 6. Транзитивность следует из ассоци-
ассоциативности кольца Л. Действительно, пусть а ^ 6 и 6 ^ с. Тогда
а = а-Ь и 6 = Ь-с. Поэтому а = а-Ь = а-(Ь-с) = (а-Ь)-с = а-с.
Следовательно, а ^. с.
Докажем, что (А', ^) — решетка. С этой целью для произ-
произвольной пары элементов а, 6 найдем их точную верхнюю и точную
нижнюю грани. Покажем, что а-Ь будет точной нижней гранью, а
а + b + а-Ь — точной верхней гранью. Действительно, так как в
К выполнено а-(а-Ь) = (а-а)-Ь = а-Ь, имеем а-Ь ^ а. Аналогично
а-Ь ^ 6. Пусть с — какая-либо нижняя грань для {а, 6}. Тогда
с-а = с и с-Ь = с. Но в таком случае с-(а-Ь) = (с-а)-Ь = с-Ь = с.
Следовательно, с ^ а-Ь. Таким образом мы показали, что а-Ь —
точная нижняя грань. Так как а-(а + Ь + а«6) = а + а-Ь + а-Ь —
а + [а-Ь + а-Ь) = а + 0 = а, получаем а ^ а + 6 + а-Ь. Аналогично

1.2. Определения и простейшие свойства 27
6 ^ а + Ь + а-b. Пусть с — верхняя грань для {а,'Ь}, тогда а-с = а
и 6-е =6. Но в таком случае (a + b + a-b)-c = а-с + b-c+ (а-Ь)-с =
а + Ь + а-(Ь-с) = а + b + а-b к а + b + а-Ь — точная верхняя грань
для {а,Ь}. Итак, мы определили для {а, 6} точную нижнюю грань
а-b и точную верхнюю грань a + b + a-b, которые обозначим (см. 1.1)
аЛб и а V6 соответственно. Покажем, что полученная решетка дис-
дистрибутивна. Действительно, согласно определению из леммы 1.2.3
получаем
а V F Л с) = а + (Ь Л с) + а-(Ь Л с) = а + b-с + а-Ь-с,
(oVi)A(aVc) = (a + b + a-b) Л(а + с+а-с),
= (а + b + a-b)-(a + с + а-с) = а2 + а-с + а2-с
+ а-b + b-с + а-Ь-с + а2-Ь + а-Ь-с + а2-Ь-с
= а + (а-с + а-с) + (а-b + а-b) + b-с + а-Ь-с
+ (а-Ь-с + а-Ь-с) = а + Ь-с+ а-Ь-с.
Таким образом, aVFAc) = (aV6)A(aVc), т. е. выполнено условие
(D) определения дистрибутивной решетки. Аналогично доказывает-
доказывается (D'). По лемме 1.2.3 а-0 = 0, поэтому 0 — наименьший элемент
в {К, ^). Кольцо Я обладает единицей 1, поэтому х-1 = х. Следо-
Следовательно, 1 — наибольший элемент в (А', ^). Осталось проверить
существование в (К, ^) дополнения любого элемента. Пусть а —
произвольный элемент К. Покажем, что 1 + а является дополне-
дополнением а в (К, ^). Согласно определению булева кольца с единицей
из леммы 1.2.3 получаем
а Л A + а) = а-A + а) = а-1 + а-а = а + а = О,
а V A + а) = а + A + а) + а-A + а) = а + 1 + а
= (а + а) + 1 = 1.
Лемма доказана. ?
Пусть ? = (L, ^) — булева решетка. Определим булево кольцо
R(?), взяв L как основное множество и положив
а-ЩЛ)Ь -аЛ?6, a + R(?N ±=; (a Л? С(Ь)) V? F Л? С (а)).
В качестве нуля и единицы возьмем соответственно наименьший и
наибольший элементы из L.

28 1. Алгебраические свойства булевых алгебр
Лемма 1.2.5. Алгебраическая система Я(?) является булевым
кольцом с единицей.
Доказательство. Операции + и • на R(?) коммутативны, ассо-
ассоциативны и дистрибутивны, так как таковыми являются операции
Л и V. В (L, +) для любого а € L существует обратный элемент, а
О является нулевым элементом, поскольку
О + а = (О Л С(а)) V (а Л С@)) = OV(aAl) = OVa = a,
а + а = (аА С {а)) V (а Л С{а)) = а Л С(а) = 0.
В (К, •) элемент 1 является единицей, так как а-1 = а Л 1 = а.
Тождество а-а = а следует из определения умножения. ?
Теорема 1.2.2. Для любых булева кольца Я = (ЛГ;-f,-,0,1) и
булевой решетки ? = {L ^) равенство R(?) = Я верно тогда и
только тогда, когда 1*(Я) = ?.
Доказательство. Пусть Ь(Я) = ?. Тогда а ^ 6 & а-6 = а и
по лемме 1.2.4 aV6= a + b+a-b, аЛб= а-6, С(а) = 1+а. Однако
a + щй)Ь = (а Л СF)) V F Л С(а)) = (а-A + 6)) V F + а-6)
= (а + а-6) + F + а-6) + (а-A + 6))F + а-6)
= а + 6 + (а-6 + а-6) + а-6 + а2-6 + а-62 + (а-6J
= а + 6 + (а-6 + а-6) + (а-6 + а-6) = а + 6,
¦О а Л 6 = а-6.
Наименьший элемент 0 и наибольший элемент 1 в ? равны соответ-
соответственно элементам 0 и 1 множества К, так как 0-а = 0 и 1-а = а
для любых а. Следовательно, R(?) = Я.
Докажем обратное утверждение. Пусть R(?) = Я. Тогда аЛб =
a'R(iJ)'> = a"k Однако а ^ 6 О1 a = аЛб О1 а ^ #6. Таким образом,
R(?) = Я. П
Следствие 1.2.1. Пусть Я — булево кольцо с единицей, а 55 —
булева алгебра. Тогда АЬ(Я) = 53 если и только если Я =
RP(<B).

.2. Определения и простейшие свойства 29
Упражнения
1. Доказать свойства C'), E') и F') булевых алгебр из предложе-
предложения 1.2.1.
2. Доказать соотношение (Ь) леммы 1.2.2.
п п
3. Ниже используется сокращенная запись \J п{, \J а,- выражений
(... ((«ц Va2) Va3) V... VaB), (... ((ах Ла2)Ла3)Л .. .Ла„).
Доказать, что для любых элементов ai,... ,an, 6i,... ,6m и
а„+1,... , ап+т булевой алгебры 05 при п ^ 2 выполнены соот-
соотношения
/ и \ / m \ m
( V a*)v( V a.-)= V a.
\ « = 1 / \ i=n+l / i=l
/ n \ / m \ m
( Л a.) Л ( Д a.) = Л «i.
\ .=1 / 4 i=n+l / i=l
(v«.) = (v ..,„), (д*) = ( Я «.,„),
где s — перестановка {1,... , n},
\/ а,)л( \/ ЬЛ= V (a*A6,-),
.=i / \j=\ } х^п
( Л «*)v( л М= Л («.vfci
Указание: Применить метод индукции по п и т.
4. Определить по булевой алгебре (V(A); U, П, С) структуру буле-
булева кольца с единицей.

30 1. Алгебраические свойства булевых алгебр
5. Рассмотрим дуальную алгебру 55* = (В; Л*, V*,C*) к булевой
алгебре 55 = (?;A,V,C), положив а Л* 6 ±=; aVb, aV* b ^ aVb
и С*а = Са.
(a) Доказать, что алгебра 55* булева.
(b) Доказать, что х ^ р(аз^2/ «• у ^ р(<в)^
(c) Как связаны операции в RPE5) и RPE5*)?
6. Показать, что если 51 — булева алгебра, то подсистема, поро-
порожденная множеством X С А, состоит из элементов
п
{0,1} U {\/ (x'i? Л *ЙЯ Л ... Л х'?) | «у G X, еу 6 {0,1}},
i=i
где х° i=; С(х) и х1 ^ х.
7. Доказать, что подалгебра булевой алгебры является булевой ал-
алгеброй.
8. Ненулевой элемент а называется атомом, если под ним лежит
только нулевой элемент, т. е. (V6)F < а -4 6 = 0). Доказать,
что под любым ненулевым элементом конечной булевой алгебры
лежит атом.
9. Пусть {а,- | 1 ^ г ^ п} и {6,- | 1 ^ г ^ п} — два множества
попарно различных атомов. Показать, что
п п
{а,- | 1 ^ *$«} = {&,• | 1 ^ * < п} <*Ущ = \Jb{.
i=i «=i
10. Показать, что классы булевых алгебр, булевых решеток и буле-
булевых колец семантически эквивалентны.
1.3. Идеалы и фактор-алгебры булевых алгебр
В математических конструкциях часто используется процедура
отождествления различных элементов. В классе булевых алгебр
такое отождествление осуществляется с помощью идеалов.

1.3. Идеалы и фактор-алгебры 31
Подмножество I С В называется идеалом булевой алгебры 03,
если
Идеал / называется главным, если в / есть наибольший элемент.
Двойственным к понятию идеала является понятие фильтра бу-
булевой алгебры 03. Подмножество F С В называется фильтром
булевой алгебры 03, если
C)(VzeF)(Vy€F)(zAyeF).
Фильтр F называется главным, если в F есть наименьший эле-
элемент. Нетрудно видеть, что / — собственный идеал булевой алгебры
03 тогда и только тогда, когда СA) — собственный фильтр булевой
алгебры 03.
Собственный фильтр F называется ультрафильтром, если х €
F или С(х) ? F для любого г ? 03.
Определим по идеалу / бинарное соотношение х ~/ у, положив
i~;!/O xAy t=i (х\у) V (у\х) ? /, где а\Ь ±=; а Л СF).
Лемма 1.3.1. Отношение ~/ является эквивалентностью.
Доказательство. Требуется проверить, что отношение ~/ ре-
рефлексивно, симметрично и транзитивно. Имеем хАх € / и х ~/ х
(рефлексивность), так как хАх = х\х V х\х = 0. Поскольку
хАу = уАх, получаем симметричность: х ~/ у, если у ~/ х.
Для доказательства транзитивности заметим, что если х ~/ у и
?/ ~/ 2, то гДу € / и уДг Е /. Однако г\г ^ x\yVy\z, поскольку
x\z = x\zAl = {xA C{z)) Л (у V С{у))
= {х Л у Л ОД) V (г Л С(у) Л ОД)
^ (у Л ОД) V (х Л ОД) = *\у V y\z.
Аналогично z\x ^ у\х V г\у. В этом случае x\z V г\г ^ {хАу) V
(j/Дг) ? /. Учитывая свойства идеалов, заключаем xAz ? I. О

32 1. Алгебраические свойства булевых алгебр
Лемма 1.3.2. Отношение ~/ является конгруэнтностью.
Доказательство. Согласно определению конгруэнтности надо
показать, что f(a\,... ,а„) ~/ f(b\ 6„) для любой основ-
основной операции f(x\,... ,х„) и произвольных наборов эквивалентных
элементов а,- ~/ 6{, 1 ^ i ^ п. Пусть а\ ~/ 6i и а2 ~/ 62. Тогда
(ах V a2)AFi V 62) = ai\Fi V 62)
V a2\Fi V 62) V 6i\(ai V a2) V 62\(ai V a2)
^ ai\6i V а2\62 V 6i\ai V 62\а2 = (aiA6i) V (а2Д62).
Согласно определению идеала (а\ V a2)AFi V 62) € / и а\ V а2 ~/
&i V Ь2. Для операций Л и С доказательство аналогично. ?
Рассмотрим AJI ±=; {а// | а € /}, где a/j t=; {x \ x ~/ а}.
Нетрудно проверить, что а// = Ь/j <^ a// n bj/ ф 0 & a ~j b.
Определим на j4// структуру булевой алгебры, индуцированной из
21, положив a/j yb/j ^aV 6//? afj л Ь/j t=; а Л 6//, C{a/l) ^
С(а)/[. В силу леммы 1.3.2 построенная фактор-алгебра не зависит
от выбора представителя а из смежного класса a/j. Обозначим эту
фактор-алгебру через 21//. Отметим, что 21// является булевой
алгеброй.
Приведем без доказательства простую, но полезную лемму.
Лемма 1.3.3. Для любых элементов а//, Ь//, xi/l, г ^ п,
фактор-алгебры 21// выполнены следующие условия:
(a) если a/ J ^ 6//, то существует х ^ 6 такой, что х/ j = a//?
п
(b) если V Х'Л = a/l ui Ф 3 влечет Xj// Л Xj/j = 0//, то
«=о
п
существуют yi ^ а такие, что V t/,- = a, J/,' Л j/j =0 при
<=о
i Ф j и Xiji = у,'// при г ^ п.
Определим отображение p(a) i= а//. Нетрудно проверить, что
<р — гомоморфизм булевой алгебры 21 на фактор-алгебру 21// Этот
гомоморфизм называется каноническим и обозначается fi.
Рассмотрим обратную проблему. Пусть <р — гомоморфизм буле-
булевой алгебры 21 на булеву алгебру 55. Тогда 1^ = {х \ ip(x) — 0}
является идеалом булевой алгебры 21. Этот идеал называется ядром

1.3. Идеалы и фактор-алгебры 33
гомоморфизма <р и обозначается кег <р. Нетрудно "проверить, что
<р(х) = <р(у) <=> хАу G Iv. Теперь можно ввести отображение (р
фактор-алгебры 21//^ на 93, положив ф(а/'/^) ±=; <р(а). Непосред-
Непосредственная проверка показывает, что это отображение осуществляет
изоморфизм между 21//^ и 93.
Пусть / — идеал булевой алгебры 21 и J — идеал фактор-алгебры
21//. Определим новый идеал / о J булевой алгебры 21 (компози-
(композиция идеалов I и J), полагая / о J ±=; {x G A \ xj j g J}. Ясно,
что IoJDI,IoJ — ядро композиции гомоморфизмов ipj о <pi и
<pj~o~ip[ — изоморфизм булевых алгебр 21// о J и B1//)j.
Операция композиции позволяет итерировать факторизацию по
некоторым идеалам. Рассмотрим одну из таких последовательно-
последовательностей итерированных идеалов. Пусть 21 - булева алгебра. Определим
идеал FBl) (идеал Фреше) булевой алгебры 21:
FBl) i=; {x € А | х = 0 или существует конечное число атомов
ах,... ,ап в 21 таких, что х =
Проверим, что FBl) является идеалом. Если х G ^B1) и у ^ х,
п п
то х = Va« и а«> * ^ п> — атомы. Поэтому у = \/ (а,- Л у) и
•=о j=o
ai Ay = а,- или а,- Л у = 0, i $ п. Следовательно, у ? i^(Qt). Если
п т т
х= V а,- и у = V сц, где a,-, i:^ m,—атомы 21, то хУу = Va«i
«=о «=n+i «=о
и х V у также лежит в ^B1).
Булева алгебра 21 называется атомной, если под любым нену-
ненулевым элементом из 21 есть атом, и безатомной, если в ней нет
атомов.
Для каждого ординала а определим идеал FaBl), полагая
- {0},
a<7
где 7 — предельный ординал. Трансфинитной индукцией по а не-
нетрудно проверить, что FaBl) — идеал.

34 1. Алгебраические свойства булевых алгебр
Далее потребуются некоторые определения. Последовательность
идеалов {FaBl) | a — ординал} будем называть последовательно-
последовательностью итерированных идеалов Фреше. Будем говорить, что буле-
булева алгебра 21 а-атомной, если фактор-алгебры 21/лB1), 7 < а<
атомные. Наименьший ординал а такой, что FaBl) = Fa+iBl), на-
называется ординальным типом булевой алгебры 21 и обозначается
Лемма 1.3.4. Если а = oBl) u jFoB1) = А, то а — непредель-
непредельный ординал.
Доказательство. Предположим, что а — предельный орди-
ординал. Так как FaBl) = А, имеем 1 ? FaBl). Следовательно,
1 € (J FaBl). В этом случае 1 ? i^Bl) для некоторого 7 < о
и поэтому А = КуB1). Поскольку А = F^Bl) С i^+iBl) С А,
получаем F^Bl) = F^+iBl), что противоречит а = оB1). ?
Лемма 1.3.5. Если 21 — счетная булева алгебра, то ее орди-
ординальный тип оB1) счетен.
Доказательство. Утверждение следует из аксиомы выбора. Ес-
Если FaBl) ф Fa+iBl) для всех счетных ординалов а, то, используя
функцию выбора для каждого счетного ординала а, можно выбрать
элемент аа € •Fa+iBl)\.FaBl). Но тогда все эти элементы попарно
различны. Тем самым мы построим несчетное подмножество 21. ?
Если а = оB1) и FaBl) = А, то по лемме 1.3.4 а является непре-
непредельным ординалом и, следовательно, равен /3 + 1. Тогда единица
алгебры 21/^B1) попадает в идеал Фреше этой алгебры и, следо-
следовательно, она равна объединению конечного числа атомов. Поэтому
булева алгебра 21/^B1) конечна.
Пусть т — число атомов фактор-алгебры 21/^B1)- Пара (/3, т)
называется типом булевой алгебры 21 и обозначается type B1). В
силу леммы 1.3.5 ординал /3 счетный, если булева алгебра 21 счет-
на. Для элемента a G 21 можно также определить type (а) как
пару (у, к) такую, что a G F^+iBl)\F^Bl) и к равно числу раз-
различных атомов булевой алгебры 21/^B1), лежащих под элементом
a/F~Bl)- Если type(x) = (a,m), то typej(x) обозначает ординал
a, a type2(x) — число т. Так как a ? F^+iBl), под a/i^Bl)
лежит конечное число атомов.

1.3. Идеалы и фактор-алгебры 35
Отметим, что идеалы булевых алгебр уже не являются булевы-
булевыми алгебрами. Систематическое изучение структур, являющихся
идеалами булевых алгебр, проведено Ершовым.
Рассмотрим алгебраическую систему 21 = (А, V, Л,0) с двумя
бинарными операциями V, Л и нулем 0. Система 21 называется
дистрибутивной решеткой с нулем, если выполнены следующие
аксиомы:
A) а V а = а, а А а = а,
B) aVb = bV а, аЛЬ=ЬЛ а,
C) (а V 6) V с = а V F V с), (а Л 6) Л с = а Л F Л с),
D) а V F Л с) = (а V 6) Л (а V с), а Л F V с) = (а Л 6) V (а Л с),
E)aV0 = a,aA0 = 0.
Для дистрибутивных решеток, так же как и для булевых реше-
решеток, можно определить отношение ^ , полагая а ^ 6, если а Л Ь = а.
Это отношение является частичным порядком на А, причем а Л 6
является точной нижней гранью, а а V 6 — точной верхней гранью
множества {а, 6} относительно этого порядка. Из аксиомы E) сле-
следует, что 0 — наименьший элемент в А относительно этого, порядка.
В случае о ^ 6 элемент с называется [относительным) допол-
дополнением элемента а относительно элемента 6, если с Л a = 0 и
а V с = Ь. Отметим, что не в любой дистрибутивной решетке с
нулем относительные дополнения существуют. Однако если допол-
дополнение существует, то оно единственно.
Дистрибутивная решетка с нулем 21 = (A, V,A,0) называется
алгеброй Ершова, если для любых двух элементов а, 6 6 А таких,
что а ^ 6, существует дополнение а относительно 6.
Ввиду единственности относительного дополнения можно расши-
расширить сигнатуру алгебры Ершова определимой в ней бинарной опера-
операцией относительного дополнения \. Дополнение а Л 6 относительно
6 обозначим через Ь\а. Эта бинарная операция удовлетворяет сле-
следующим тождествам:
A)уЛ(х\у)=0, yV(x\y) = xVy,
B) х\у = х Л (х\у),

36 1. Алгебраические свойства булевых алгебр
D) (х Л y)\z = (x\z) Л (y\z) = х Л (y\z),
E)x\(yVz) = (x\y)A(x\z),
F)x\(yAz) = x\yVx\z,
G) (x Л у) V (x\y) = x.
Очевидно, что обогащение дистрибутивной решетки с нулем и би-
бинарной операцией \ удовлетворяет тождествам A)-F) тогда и толь-
только тогда, когда она является алгеброй Ершова и операция а\Ь опре-
определяет в точности дополнение а Л 6 относительно а. Легко заметить,
что любой гомоморфизм ip, отображающий алгебру Ершова 21 в ал-
алгебру Ершова В, сохраняет операцию относительного дополнения \,
т. е. <р{а\Ь) = (р(а)\(р(Ь) для любых a, 6 € 21. Таким образом, как
с точки зрения теории моделей, так и с точки зрения универсальной
алгебры, можно рассматривать алгебры Ершова с этой дополнитель-
дополнительной операцией.
Булевы алгебры образуют подкласс алгебр Ершова, который в
точности совпадает с классом алгебр Ершова с наибольшим элемен-
элементом.
Пусть 21 — булева алгебра и / — ее идеал. Рассмотрим сужение
на / операций Л, V из булевой алгебры 21. По определению иде-
идеала имеем 0 € /. Поэтому можно индуцировать на / структуру
(/, Л, V, 0). Из свойств булевых алгебр очевидно, что {/, Л, V, 0) —
дистрибутивная решетка с нулем. Определим бинарную операцию
х\у ^хЛ С(у). Для любых х,у € / верно х\у € /, а также
выполнены аксиомы A)-G). Ядро любого гомоморфизма ip, отобра-
отображающего алгебру Ершова 21 на алгебру Ершова 93, т. е. множество
/ = кетср t=i {x | ip(x) = 0), образует алгебру Ершова относитель-
относительно операций Л и V из 21 на / и единственного нулевого элемента
О € / из 21. Следовательно, класс алгебр Ершова замкнут не только
относительно эпиморфных образов, но и относительно ядер гомо-
гомоморфизмов.
Покажем, что любая алгебра Ершова Е является идеалом неко-
некоторой булевой алгебры 21, причем в качестве фактор-алгебры можно
получить любую заданную булеву алгебру. Следуя Ершову [38, 39],
рассмотрим более общую постановку этой задачи.
Пусть фиксированы две алгебры Ершова 21 и fB. Существуют
ли алгебры Ершова <?, для которых имеется изоморфное ело-

1.3. Идеалы и фактор-алгебры 37
жение ip: 51 -4 <t в качестве идеала и эпиморфизм ф: <? —)• В,
ядро которого совпадает с <р-образом алгебры 51?
Для последовательности 51 -^ <? —* В, где ^ — изоморфное
вложение в качестве идеала, совпадающего с ядром эпиморфизма
ф, примем обозначение
О -» 51 4 (С Л «8 -» О
и будем называть эту последовательность точмой; здесь О — алге-
алгебра Ершова, состоящая из единственного нулевого элемента, О -4
51 — естественное вложение, а В -4 О — эпиморфизм на нулевой
элемент. По определению точность последовательности 51 А <? -4
В означает ker ^ = range <p, а точность последовательности
означает, что любая ее подпоследовательность 51,- ^ 5l,-+iv-^1 2lj+2
точна. Следовательно, последовательность О->51—><?-*В—^О
точна тогда и только тогда, когда (р — изоморфное вложение, ф —
эпиморфизм и ker ф = range <p.
Две точные последовательности 0->51-^(С-4В->0и0-4
51 ^ <?' —> В —* 0 называются эквивалентными, если существует
гомоморфизм ?:<? —)• С такой, что диаграмма
о -» а 4 с Л в -40
I id 4, id le J, id J, id A.3.1)
0 -» 21 ^> С ^ В -» 0.
коммутативна. В этом случае е является изоморфизмом между <?
и <?'. Здесь и далее id обозначает тождественное отображение мно-
множества на себя.
Точная последовательность О—^21-><?->В—> Ос точностью
до заданной эквивалентности определяет расширение 21 посредством
В. Обозначим через Ext B1, В) семейство всех расширений 21 по-
посредством В с точностью до эквивалентности, определенной выше.
Ниже мы опишем все такие расширения.

38 1. Алгебраические свойства булевых алгебр
Пусть алгебра 3) является идеалом алгебры Ершова 3)'. Будем
называть ЗУ идеальным пополнением 3), если выполнено следую-
следующее условие:
для любых алгебры Ершова 3)" и вложения ip: 3) —)• 3?" в каче-
качестве идеала существует единственный гомоморфизм <р: 3)" —>
3)' такой, что следующая диаграмма коммутативна (т. е. ком-
композиция <р о <р' является тождественным вложением id алгебры
3) в алгебру 3)'):
ч> 3)"
3)
\
id
3)'
Пусть Нош B1, !8) — множество гомоморфизмов из 21 в !8.
Теорема 1.3.1. Если 21' — идеальное пополнение алгебры Ер-
Ершова 21, то для 21* ±=; 21 /21 существует взаимно однозначное
соответствие между гомоморфизмами из Нот(!8,21*) и рас-
расширениями 21 посредством !8 с точность» до эквивалентности
Ext @1, В).
Доказательство. Пусть дано расширение 21 посредством !8:
О -4 214 € Л <В -» О
и 21' — идеальное пополнение 21. По определению существует един-
единственный гомоморфизм ip':<?—>• 21' такой, что диаграмма
21 4»' A.3.2)
^ 01'
id "^
коммутативна, где id — тождественное вложение 21 в 21'. Рассмо-
Рассмотрим фактор-алгебры <?/у>B1), 21* ±=; 21'/q[ и индуцированный <р' го-
гомоморфизм ip" из <?/^>B1) в 21'/q[- Гомоморфизм ^* из &1<р(Щ в !8,

1.3. Идеалы и фактор-алгебры 39
индуцированный отображением ф, является изоморфизмом. Следо-
Следовательно, существует единственный гомоморфизм tp* из Ъ в 21* та-
такой, что tp* = (ф*)~1 о tp". Ясно, что ip* ? Нот (В, 21*). Следова-
Следовательно, мы определили отображение из Ext B1, Ъ) в Нот (Ъ, 21*).
Непосредственно из определения эквивалентности последовательно-
последовательностей О-^ЩАсДШ-^ОиО-^а^С'^Ш-^О следует,
что им соответствует один и тот же гомоморфизм, т. е. определение
этого отображениёчсорректно.
Покажем, что любому гомоморфизму у>* ? Нот B$, 21*) со-
соответствует некоторое расширение 21 посредством 2$. Рассмотрим
прямое произведение Ъ х 21' алгебр Ершова Ъ и 21' и подрешетку
где рщ'-W —> 21* является факторизацией 21' по идеалу 21. Легко
проверить, что подрешетка (? является алгеброй Ершова. Очевид-
Очевидно, что множество / = {@, а) | а ? 21} является идеалом в (С и
отображение <р из 21 на / такое, что у>(а) = @, а), является изо-
изоморфным вложением 21 в С Рассмотрим в качестве ф проекцию (?
на первую координату. Заметим, что ф является гомоморфизмом из
<? в <8. Очевидно, что для любого 6 ? В найдется а ? 21 такой, что
F, а) ? Ъ. Следовательно, ф — эпиморфизм из <? на Ъ. Поскольку
tp — изоморфное вложение, ф — эпиморфизм и range ip = ker ф,
последовательность 0->2lA<?->25->0 является точной и
определяет расширение 21 посредством <8. Рассмотрим соответству-
соответствующий гомоморфизм tp* из Ъ в 21*, построенный выше по произ-
произвольной точной последовательности. Имеем tp* = (ф*)'1 о tp", где
у>":<?/у>B1) -> 21*, з.ф* — изоморфизм между ?/у>B1) и Ъ, полу-
полученный факторизацией гомоморфизма ф :(?—>• В по у>B1). В этом
случае
где у>' — единственный гомоморфизм такой, что диаграмма A.3.2)
коммутативна. Согласно определению подрешетки (С получаем, что
у>#F) = ра (а) для F, а) ? (С. коммутативна. Рассмотрим отобра-
отображение ip из <? в 21', определенное следующим образом:' ?>((&, а)) = а
для любой пары F, а) ? (С. Ясно, что композиция tp о ip тождествен-
тождественна на элементах 21 и, следовательно, диаграмма

40 1. Алгебраические свойства булевых алгебр
21 1^
> *
коммутативна. Поэтому <р = <р'. Таким образом, у?'(F, а))/21 =
а/«д = ра (а) = <р*{Ь). Следовательно, <р*(Ь) = у>* F), что и
требовалось доказать. ?
Для завершения описания расширений 21 посредством 03 оста-
остается доказать существование идеального пополнения произвольной
алгебры Ершова.
Пусть 21 — алгебра Ершова. Рассмотрим множество всех ее иде-
идеалов 7B1), включая также несобственный идеал I = А. Определим
на 7B1) операции Л, V, полагая j'A/ = {i | i 6 jfei ? j'},
j V j' = {x V у | x ? j & у ? j'}, а в качестве нуля рассмотрим
идеал О ±=; {0}.
Лемма 1.3.6. Алгебраическая система GB1), Л, V, О) для лю-
любой алгебры Ершова 21 является дистрибутивной решеткой.
Доказательство состоит в проверке соответствующих теоретико-
множественных соотношений и оставляется читателю.
Существует естественное вложение (обозначается^) 21 в 7B1) где
Лемма 1.3.7. Если 21 — алгебра Ершова, то отображение*
является изоморфным вложением 21 в GB1), Л, V, О).
Доказательство состоит в проверке условий изоморфного вложе-
вложения и оставляется читателю в качестве упражнения.
Идеал 7 алгебры Ершова 21 называется локально главным, если
для любого a G 21 пересечение 7 П а является главным идеалом,
т. е. существует 6 G 21 такой, что 7 П a = 6. Несобственный иде-
идеал А алгебры Ершова 21 и любой главный идеал, включая также
О = {0} = 0, являются локально главными идеалами. Локально
главные идеалы образуют подалгебру в GB1); Л, V, О) и обозна-
обозначим через СвB1) подрешетку GB1); Л, V, О), основное множество

1.3. Идеалы и фактор-алгебры 41
которой образовано локально главными идеалами алгебры 21. Та-
Таким образом, можно рассматривать 21 как подрешетку СвB1), ото-
отождествляя аса для любого а € 21.
Предложение 1.3.1. Для любой алгебры Ершова 21 дистрибу-
дистрибутивная решетка Се B1) является алгеброй Ершова с наибольшим
элементом и идеальным пополнением 21 относительно изоморф-
изоморфного вложения ~
Доказательство. Покажем сначала, что Се B1) — алгебра Ер-
Ершова. Более того, мы покажем, что СвB1) — булева алгебра. Не-
Несобственный идеал А является локально главным идеалом и, следо-
следовательно, А € Се(Щ- Поэтому А — наибольший элемент в СвB1).
Определим для любого j € СвB1) дополнение этого наибольшего
элемента, т. е. элемент C(j) € СеB1) такой, что C(j) V j = А и
C(j) Aj = O. В этом случае решетка СвB1) будет булевой решет-
решеткой и, следовательно, алгеброй Ершова с наибольшим элементом.
Пусть C(j) ±=;{а€21|аЛб = О для любого 6 € j}- Очевидно,
что все свойства идеала выполняются:
AH€С(Д
B) если х^.укуе C(j), то а; € C(j),
C) если х, у € С(Д то а; V у € C{j).
Проверим, что C(j) является локально главным идеалом. Рассмо-
Рассмотрим произвольный элемент а € 21. Поскольку идеал j локально
главный, из определений заключаем, что существует 6 € j такой,
что j Па = 6. Пусть с ±=; а\Ь. Покажем, что C(j) Л а = с. Если
d € C(j) Oa,Tod^avid/\x = 0 для всех х € j. Следовательно,
<М6 = 0, d=dAa = dA{a\bVb) =dA(a\b) =dAc,
т. е. d ^ с и d € с.
Для доказательства обратного утверждения заметим, что если
d ^ с, то d ^ а, так как с ^ а по определению относительного
дополнения. Покажем, что d € C(j). Допустим противное: d ?
C(j). Тогда по определению найдется х € j такой, что d A x ф 0.
В этом случае d А х € j и d А х ^ с= а\6 ^ а. Таким образом,
dAxtjOa. Но тогда <f Л а; ^ 6 по определению 6. Следовательно,
d А х ^ а\6 Л 6 = 0. Поэтому заключаем, что d А х = 0, что
противоречит выбору х. Таким образом, C(j) € СвB1).

42 1. Алгебраические свойства булевых алгебр
Условие j Л C{j) = О вытекает из определения C(j). Покажем,
что j VC(j) = А. Достаточно показать, что для любого х ? 21 верно
х ? j V C(j). Рассмотрим пересечение j П х. Согласно определению
локально главного идеала существует элемент у такой, что jHx = у.
Рассмотрим относительное дополнение х\у. Имеем х = у V х\у.
Ввиду выбора у верно у ? j. Осталось показать, что х\у ? C(j).
Допустим противное, т. е. пусть существует z ? j такой, что х\у Л
z ф О. Однако х\у ^ х, поэтому х\у Лг^х принадлежит j. В
этом случае х\у Л г ^ у ввиду выбора у, но х\у Л у = О и тем
более х\у Л z Л у = 0. Однако (х\у Л z) Л у = у. Следовательно,
х\у Л г = О, что противоречит выбору z. Таким образом, СвB1) —
булева алгебра и 21 вложена в СвB1) как подалгебра посредством
изоморфного вложения"
Покажем, что 21 вкладывается в СвB1) как идеал. Достаточно
заметить, что для любых j ? СвB1) и а ? 21 выполнено условие:
если j ^ а, то j = 6 для некоторого 6 ? 21. Поскольку j — локально
главный идеал, существует 6 ? 21 такой, что j Па = Ь. С другой
стороны, j Па = j.
Остается проверить главное условие идеальной полноты. Пусть
0$ — алгебра Ершова и <р — изоморфное вложение 21 в 0$ в ка-
качестве идеала. Определим отображение <р' из 0$ в СвB1), пола-
полагая <р'(х) ±=; {а ? 21 | <р(а) ^ х}. Очевидно, что <р'(х) является
идеалом алгебры 21. Покажем, что этот идеал локально главный.
Пусть z — некоторый элемент 21. Так как <p(z) Л х ^ <p{z)t a.<p —
вложение 21 в 0$ в качестве идеала, найдется элемент а ? 21 та-
такой, что (р(а) = (p(z) Л х. Покажем, что <р'{х) П? = а. Если
у ? <р'{х) П г, то <р(у) ^ х и у ^ г. Но тогда у?(у) ^ y>(z) и
<р(у) ^ у(а). Поэтому у ^ а и у €а. В случае у ? а имеем у ^ а
и У(у) ^ ^(а) = ^(г) Л х. что влечет <р(у) ^ у?(г) и <р(у) ^ х.
Следовательно, у ^ z и у ? <р'(х) П z~. Таким образом, доказа-
доказано, что СвB1) является идеальным пополнением 21 относительно
изоморфного вложения" из 21 в СвB1) в качестве идеала. ?
Следствие 1.3.1. Алгебра Ершова <?, расширяющая 21 посред-
посредством 03, является булевой алгеброй тогда и только тогда, ко-
когда 03 —¦ булева алгебра и соответствующий этому расширению
гомоморфизм <р* является гомоморфизмом из булевой алгебры 03
в булеву алгебру СвB1).

1.3. Идеалы и фактор-алгебры 43
Доказательство. Необходимость. Достаточно проверить, что
наибольший элемент 03 переходит в наибольший элемент Се B1) при
соответствующем гомоморфизма <р*. Но если <р вкладывает 21 в (? в
качестве идеала, согласно определению <р' для Се B1) имеем
откуда следует требуемое утверждение.
Достаточность. Утверждение непосредственно вытекает из су-
существования наибольшего элемента в (?. По теореме 1.3.1 мож-
можно рассматривать 03 с точностью до эквивалентности как подалге-
подалгебру 03 х СвB1), состоящую из элементов вида F, а), где <р*(Ь) =
ри(а). Ясно, что элемент (la, lcBBt)) удовлетворяет этим услови-
условиям и определяет наибольший элемент в (?, где 1<в — наибольший
элемент в 03, а 1св(Я) — наибольший элемент в Се[Щ- О
Следствие 1.3.2. Если 21 — алгебра Ершова и ОЗг — двухэле-
двухэлементная булева алгебра, то существует единственное расшире-
расширение ВB1) алгебры 21 посредством ОЗг; являющееся булевой алге-
алгеброй.
Доказательство следует из единственности булева гомоморфизма
032вС?;B1).
Булева алгебра ВB1) называется минимальным булевым рас-
расширением алгебры Ершова 21.
Следствие 1.3.3. В минимальном булевом расширении ВB1) ал-
алгебры Ершова 21 идеал 21 является максимальным собственным
идеалом.
Упражнения
1. Пусть V{A) = (V(A);U,D, С) — булева алгебра всех подмно-
подмножеств множества AkF<=;{X\XCA, X конечно}.
(a) Доказать, что F является идеалом V(A).
(b) Доказать, что в V(A)/F\{®/F} нет минимальных элемен-
элементов, если множество А бесконечно.
(c) Определить ординальный тип V(A).

44 1. Алгебраические свойства булевых алгебр
2. Доказать, что если а — элемент булевой алгебры 21, то а ±=; {х |
х ^ а} — идеал.
3. Пусть 05 — булева алгебра. Доказать, что идеал кольца /f @5)
будет идеалом булевой алгебры 05. Доказать обратное утвержде-
утверждение.
4. Доказать, что если / — идеал и 05 — подалгебра булевой алгебры
21, то F7Bl) С/о F7Bl//) и F7Bl) П 05 С F7@5) для любого
ординала f.
5. Доказать, что если а ф О — безатомный элемент, то а ? F7Bl)
для любого орддинала f. Элемент а называется безатомным,
если под ним нет атомов.
6. Доказать, что если / — идеал булевой алгебры 21 и 1 G /, то
1 = А.
7. Показать, что любой идеал конечной булевой алгебры будет глав-
главным идеалом.
8. Пусть 05 — булева алгебра и а ? 05. Доказать, что С(а) —
максимальный идеал булевой алгебры 05 тогда и только тогда,
когда а — атом.
9. Пусть 05 — конечная булева алгебра. Показать, что любой ее
ненулевой элемент а ф О представим в виде конечного объеди-
п
нения атомов, т. е. а = V а,-, где а,-, 1 ^ х; ^ п, — атомы булевой
»=1
алгебры 05.
10. Доказать, что I С А является собственным идеалом булевой
алгебры 21 тогда и только тогда, когда С{1) — фильтр 21.
11. Доказать, что множество всех безатомных элементов булевой ал-
алгебры является ее идеалом. Элемент а называется атомным,
если под любым ненулевым х ^ а есть атом, и безатомным,
если под ним нет атомов.
12. Пусть 05 — булева алгебра и / — множество элементов 05, допус-
допускающих разложение в виде объединения атомного и безатомного
элементов. Доказать, что / — идеал 05.

1.3. Идеалы и фактор-алгебры 45
13. Доказать, что ядро любого гомоморфизма является идеалом.
14. Пусть L — линейно упорядоченное множество и {/{}{gi, — се-
семейство идеалов такое, что /f С /,, ( ^ )). Доказать, что
U /j — идеал.
15. Показать, что главный ультрафильтр булевой алгебры содержит
атом.
16. Доказать, что гомоморфизм е алгебры Ершова <? в алгебру Ер-
Ершова <?' для точных последовательностей 21 —> <?. —» 03 и 21 -^>
<?'—»• 03 такой, что диаграмма A.3.1) коммутативна, является
изоморфизмом между <? и <?*.
17. Доказать единственность идеального пополнения произвольной
алгебры Ершова.
18. Доказать, что гомоморфизм ф* из фактор-алгебры <?/21 в *8,
индуцированный эпиморфизмом ф (здесь подсистема 21 алгебры
Ершова <? совпадает с ядром гомоморфизма ф*) является изо-
изоморфизмом между <?/21 и 93.
19. Показать, что отображение из Ext B1,03) в Нот @3,21*), по-
построенное в теореме 1.3.1, корректно.
20. Доказать, что идеал 21 в минимальном булевом расширении ВB1)
алгебры Ершова 21 является максимальным собственным идеа-
идеалом относительно включения.
21. Пусть (V(A); U, П, С) — булева алгебра всех подмножеств мно-
множества A, F 1=; {X | X С А, X конечно} — идеал Фреше
булевой алгебры (Р(А); U, П, С) и Т{А) t=; (F; U, П, 0). Дока-
Доказать следующие утверждения.
(a) Любой идеал Т{А) является локально главным в Т{А).
(b) Если Ао С А и /д0 !=; {х ? F \ х С Ао), то 1а0 — идеал
Т{А).
(c) Любой идеал / алгебры Т{А) имеет вид /д0 при подходящем
Ао С А.

46 1. Алгебраические свойства булевых алгебр
(d) Алгебра (Т(А);1),Г\,0) является идеальным пополнением
алгебры Т{А).
1.4. Теорема Стоуна о представлении
булевых алгебр
В этом параграфе мы опишем булевы алгебры через алгебры под-
подмножеств. Это позволит в дальнейшем использовать, не оговаривая
особо, различные теоретико-множественные соотношения.
Собственный идеал / булевой алгебры 21 называется
— максимальным, если не существует собственного идеала «/,
расширяющего /,
— простым, если х ? / либо С(х) ? / для любого х ? А.
Очевидно, что простой идеал будет максимальным. Верно также
обратное утверждение.
Предложение 1.4.1. Максимальный идеал I булевой алгебры 21
является простым идеалом.
Доказательство проведем от противного. Пусть / — не про-
простой идеал. Тогда существует х € А такой, что х ? I и С(х) ? I.
Нетрудно проверить, что множества
1х — {уеА\ (За El)y^xVa},
/с(г) - {у G А | (За G I)y ^ С(х) V а}
являются идеалами. Поскольку идеал / максимальный, а / С 1Х
и / С /с(х), причем х G /Д/ и С{х) ? 1с(х)\1, заключаем, что
1Х = А и 1с(х) = Л. Следовательно, существуют a ? / и 6 ? /
такие, что х V a = 1 и С(х) V 6 = 1. Поэтому
(а V 6) V (х Л С(х)) = ((а V 6) V х) Л ((а V 6) V С(х)) = 1,
aVfc=(aVfc)VO, aVfc = l.
Однако идеал / собственный, т. е. 1 ^ /; противоречие. D

1.4. Теорема Стоуна 47
Предложение 1.4.2. Для любого ненулевого элемента а ? А
булевой алгебры 21 существует максимальный идеал I, не содер-
содержащий а.
Доказательство. Рассмотрим множество J всех собственных
идеалов / таких, что С (а) ? I (и тогда а ? I). Ясно, что J ф 0,
так как идеал С(а) лежит в J. Множество (J,C) с отношени-
отношением вложения индуктивно, поскольку объединение направленного се-
семейства идеалов, содержащих С(а), будет также идеалом, содержа-
содержащим С(а). В силу леммы Цорна [36, 72] в {J, С) существуют макси-
максимальные элементы. Пусть / — некоторый максимальный элемент
(i7,C). Покажем, что / — максимальный идеал. Предположим
противное. Тогда существует собственный идеал J, расширяющий
/ и не равный /. Но С(а) ? I С J к J — собственный идеал.
Следовательно, J ? J, что противоречит максимальности / в J. ?
Определим для булевой алгебры 21 множество ^7B1) всех ее мак-
максимальных идеалов. Рассмотрим булеву алгебру V{JDk)), всех под-
подмножеств i7Bl) и определим отображение f из А в V(j{%L)), поло-
положив <р(а) ±^ {/€ JCl) |ag/}.
Лемма 1.4.1. Отображение tp является изоморфным вложени-
вложением булевой алгебры 21 в булеву
Доказательство разобьем на несколько пунктов.
A) Отображение <р разнозначно. Допустим, что найдутся два эле-
элемента а и 6 в А такие, что <р(а) = f{b). Так как а ф 6, имеем
a «? 6 или Ь ? а. Рассмотрим один из случаев, так как второй
сводится к первому переобозначением а и 6. Пусть а ^ 6. Тогда
а Л СF) ф О, в противном случае а Л Ь = а, поскольку
a = aAl = aAFV С(Ь)) = (а Л 6) V (а Л СF)).
Согласно предложению 1.4.2 существует максимальный идеал /
такой, что а Л СF) ^ /. Поэтому а ^ / и СF) ^ /. В силу
предложения 1.4.1 6 ? I. Следовательно, / ? <р(а) и / ^ у>F),
что противоречит предположению <р(а) = <р(Ь).
B) <р сохраняет операцию V, т. е. <р(а V 6) = <р(а) U <р(Ь) для
любых а,Ь ? А. Иначе говоря, требуется доказать два теорети-

48 1. Алгебраические свойства булевых алгебр
ко-множественных включения
<р(а V 6) С <р(а) U <p(b), <p(a) U <р(Ь) С <р(а V 6).
Докажем первое включение. Пусть / ? <р(а V 6). Нужно пока-
показать, что / (Е р{а) или / € <р{Ь). Предположим противное, т. е.
а (Е / и 6 (Е /. Ввиду максимальности / и предложения 1.4.1
С(а V 6) € /. Так как а € / и 6 € /, заключаем, что а V 6 € /.
Но тогда 1 = (а V 6) V С(а V 6) также является элементом /, что
противоречит максимальности /.
Покажем второе включение. Пусть / € <p(a)U<p(b), I $. ip(aVb).
Тогда а V 6 € /. По определению идеала в этом случае а € / и
6 € /. Следовательно, / ^ у>(а) и / $. <р(Ь), т.е. I $. y>(a)Uy>F);
противоречие.
C) <р сохраняет операцию Л, т. е. <р(аЛЬ) = <р(а)Г\<р(Ь) для любых
а, 6 € Л. Это утверждение доказывается аналогично утвержде-
утверждению B).
D) <р сохраняет операцию С, т. е. С(<р(а)) = <р(С(а)). Пусть
/ € С(<р(а)). Тогда / $. <р(а) и а € /. Поскольку макси-
максимальный идеал является собственным, С(а) $. I. Следователь-
Следовательно, / ? <р(С(а)). Таким образом, С(<р(а)) С <р(С(а)). Пусть
/ € <р(С(а)). Тогда С (а) $. I. Поскольку максимальный идеал
является простым, а € /, что означает / $. <р(а) и / ? С(<р(а)).
Таким образом, обратное включение доказано. ?
Лемма 1.4.2. Если булева алгебра 21 изоморфно вкладывается
в булеву алгебру 2$, то 21 изоморфна подалгебре 2$.
Доказательство. Пусть <р — изоморфное вложение 21 в 2J. В
качестве основного множества искомой подалгебры возьмем множе-
множество Во ^ f{A)- Легко проверить, что Во замкнуто относительно
основных операций булевой алгебры 2$. Искомым изоморфизмом
является отображение <р, действующее из 21 на 2$о, где *Во — под-
подалгебра алгебры 23 с основным множеством Во. ?
Теорема 1.4.1 [теорема Стоуна]. Каждая булева алгебра изо-
изоморфна некоторой алгебре подмножеств.
Доказательство. По лемме 1.4.1 любая булева алгебра 21 изо-
изоморфно вкладывается в булеву алгебру всех подмножеств некото-

1.4. Теорема Стоуна 49
рого множества, а в силу леммы 1.4.2 21 изоморфна некоторой ее
подалгебре. ?
Используя теорему Стоуна, легко описать все конечные булевы
алгебры. Обозначим через 2$„ булеву алгебру всех подмножеств
п-элементного множества. Булева алгебра 58„ имеет в точности п
атомов, которые определяются одноэлементными множествами и,
следовательно, алгебры 58„, п Е N, являются попарно не изоморф-
изоморфными.
Отметим, что под любым ненулевым элементом конечной буле-
булевой алгебры 58 имеется атом. Рассмотрим в 58 множество Atom E8)
всех атомов и заметим, что все они пересекаются в точности по нуле-
нулевому элементу, а любой ненулевой элемент есть объединение атомов.
Теперь очевидно, что булева алгебра 58 изоморфна булевой алгебре
?В„, где п равно числу атомов в 35.
Следствие 1.4.1. Тип изоморфизма конечной булевой алгебры
определяется числом атомов в ней.
Рассмотрим конечно порожденные подалгебры булевых алгебр.
Следствие 1.4.2. Любая конечно порожденная подалгебра буле-
булевой алгебры конечна.
Пусть 21 — булева алгебра и а\,... ,ап — конечный набор ее
элементов. Рассмотрим подалгебру gra(ai,... ,а„) С 21. Полагаем
а0 ^ С{а) и а1 ^ а. По набору ё = (ei,... ,е„) € {0,1}п
определим терм tr[x\,... ,х„) ±=; я^'Ля^Л. • -Лх^л. Очевидно, что
<j-(ai an) G gra(ai а„). По произвольному подмножеству
К С {0,1}" определим терм </f(^i,... ,х„) ^ V tT(xi,.... ,х„)
тек
и рассмотрим множество
Т(аи ... ,а„) ^ {1к(<4 а„) | К С {0,1}"} U {0}.
Легко видеть, что {аи... ,а„} СТ(аь... ,а„) С gra(ab... ,а„).
Кроме того, T(ai,... ,an) образует подалгебру. Следовательно,
T(ai,... ,ап) = gra(ai,... ,an). Таким образом, gra_(ai an)
конечна. Отметим, что значения термов tr[a\ ,¦¦-, ап) равны 0 или
атому в подалгебре gra(ai,... , an).
Обозначим через Т(*&) множество всех ультрафильтров буле-
булевой алгебры 58. Определим на Т{*&) топологию т<в, выбрав в ка-
качестве базиса открытых множеств семейство {иа | а ? 58}, где

50 1. Алгебраические свойства булевых алгебр
va = {F € -^(ОЗ) | a ? F). Эта топологию называется топологией
Стоуна, а пара (^"@3), газ) — стоуновским топологическим про-
пространством. Это пространство компактно и va — все его открыто-
замкнутые множества.
Упражнения
1. Показать, что любая конечная булева алгебра изоморфна буле-
булевой алгебре всех подмножеств множества максимальных идеалов
и изоморфна алгебре подмножеств своего множества атомов.
2. Используя теорему Стоуна, для произвольной булевой алгебры
установить следующие тождества:
(а\Ь)\с = а\(Ь V с), а\(Ь\с) = а\Ь V (а Л с),
(п \ п / п \ п
Л z.j V У = Д (*i V у), (^ V z.j Л у = V (*•• Л у).
3. Булева алгебра 21 называется полной, если любое ее непустое
подмножество имеет в 21 точные верхнюю и нижнюю грани. До-
Доказать, что алгебра всех подмножеств полна.
4. Доказать, что любая булева алгебра изоморфно вкладывается в
полную булеву алгебру.
5. Доказать, что любая конечная булева алгебра порождается мно-
множеством всех атомов.
6. Доказать, что каждая конечно порожденная подалгебра алгебры
Ершова конечна.
7. Пусть 21 и 03 — конечные булевы алгебры и ip — взаимно од-
однозначное отображение Atom B1) на Atom @3). Доказать, что
отображение f{x) ^ V{<p(a) \ а <С х,а ? AtomBl)} является
изоморфизмом между 21 и 03.
8. Пусть х\,... , хп — элементы булевой алгебры 21 такие, что ж,- Л
п
Xj = 0 для любых г ф j и \/ Х{ = 1. Показать, что подалгебра,
порожденная множеством {х\,... , х„), есть {0}U{ \/ Xi | К С

1.5. Критерий Воота 51
9. Пусть последовательность х\,... ,хп такая же, как в упраж-
упражнении 8, и существует отображение <р: {х^,... ,хп} -4 93 та-
п
кое, что <р(х{) = О, если ж,- = 0, 1 ^ г ^ п, \/ <p(xi) —
1 и <р(х{) Л <p(xj) = 0, г ф j. Доказать, что отображение
Тр: gr{xi,... ,хп} -4 93 такое, что р(х) ^ \/{^(ж,-) | 1 ^ г ^
п, Х{ ^ х}, является гомоморфизмом из gr {х\,... , хп) в 93.
10. Пусть А — подмножество булевой алгебры 21. Доказать, что
подалгебра 93, порожденная А, состоит из элементов
где а,-1(,... , а,-к| — элементы множества А и бц,... , е&; — эле-
элементы множества {0,1}, причем a0 t=; С(а) и а1 ^ а.
11. Доказать, что подалгебра алгебры 81, порожденная атомами 81,
будет атомной булевой алгеброй.
12. Пусть 21 — конечная булева алгебра, а\,... ,ап — все ее ато-
атомы и &i,... , &„ — ненулевые дизъюнктивные элементы (т. е.
6,- Л bj = О при г ф j) булевой алгебры 93 такие, что \/ 6,- = 1.
Показать, что отображение ip: 21 -4 93, определенное по форму-
формуле ip (V,€/ a,) t=; \/ 6,- для всех подмножеств / С {1,... , п},
является изоморфным вложением 21 в 93.
13. Построить пример бесконечной булевой алгебры без атомов.
14. Доказать бесконечность безатомной булевой алгебры.
15. Сколько может быть атомов у n-порожденной булевой алгебры?
Описать все такие алгебры.
1.5. Критерий Воота
Вопросы изоморфизма и описания алгебраических систем через
их свойства служат основой для решения многих алгебраических

52 1. Алгебраические свойства булевых алгебр
проблем. Поэтому большую роль в алгебре играет проблема нахо-
нахождения хороших критериев изоморфизма. Для счетных булевых ал-
алгебр критерий изоморфизма получен Воотом [201]. Благодаря этому
критерию многочисленные результаты доказываются прямой про-
проверкой определенных условий.
В настоящем параграфе приводятся различные обобщения и мо-
модификации критерия Воота. В частности, с единых позиций рассма-
рассматриваются признаки,>вложимости, гомоморфной вложимости, изо-
изоморфизма и эпиморфизма для счетных булевых алгебр.
Пусть 21 и 03 — булевы алгебры и S С А х В, где А и В — основ-
основные множества булевых алгебр 21 и 03 соответственно. Определим
следующие аксиомы для S:
Axl:<0,0)€S&<l,l)€S,
Ах2: {(х,у) е S& х = О) => у = О,
Ах4:(х,у) е Ska^x^ {ЗЬ){Ь ^ ук(а,Ь) G Sk(x\a,y\b) G
Я
Ах5:<х,у> G Skb ^ у => (За)(а ^ хк(а,Ь) ? Sk(x\a,y\b) G
S),
V *i = 1 )к{ У yi = l)k( к {х,f\ xj = О & у{ А
i=i / V i=i / V 'VJ
Vj = 0)) kfklxi.yi) е s))=> ( V хи V Vi) G S,
J V=1 // ieK iex
гд,е К С {1,2,... ,n}.
Отношение S называется
— условием гомоморфной вложимости булевой алгебры 21 в бу-
булеву алгебру 03, если выполнены аксиомы Axl, Ах2, Ах4,
— условием эпиморфизма булевой алгебры 21 на булеву алгебру
03, если S — условие гомоморфной вложимости и выполнена
аксиома Ах5,
— условием вложимости булевой алгебры 21 в булеву алгебру 03,
если S — условие гомоморфной вложимости и выполнена акси-
аксиома АхЗ,

1.5. Критерий Воота 53
— условием изоморфизма булевой алгебры 21 на булеву алгебру
23, если выполнены аксиомы Ах1-Ах5.
Гомоморфизм ip булевой алгебры 21 в булеву алгебру 23 называ-
называется S-определенным, если для любого х ? А существуют попар-
попарно непересекающиеся элементы оо,... , ат множества А такие, что
m
У о,- = х и пары (oj, у>(а,)), i ^ т, принадлежат S.
«=i
Наша задача состоит в нахождении условий, обеспечивающих
существование 5-определенного гомоморфизма, продолжающего ко-
конечное частичное отображение. Зададим частичное отображение
ip указанием его графика Г, т. е. перечислением его элементов:
Г ^ {(xuyi)t... ,(хп,уп)}.
•Последовательность (ж,,у,), г ^ т, называется дизъюнктив-
т т
пой, если V Xi = 1, V у,- = 1 и Xi A Xj = О&у,- Л ад = О,
1=0 i=0
О ^ г < j ^ т. Будем говорить, что гомоморфизм ip продолжает
последовательность (х{, у,), i ^ т, если f{xi) — у,-, i ^ m.
Теорема 1.5.1 [о гомоморфной вложимости]. Пусть S — условие
гомоморфной вложимости счетной булевой алгебры 21 в булеву
алгебру 23. Тогда для любой конечной дизъюнктивной последова-
последовательности из S существует S-определенный гомоморфизм ip из
21 в 23, продолжающий эту последовательность, причем ip С S,
если для S выполнена аксиома Ахб.
Доказательство. Зафиксируем какое-либо перечисление эле-
элементов основного множества, например: А = {do,di,... ,dk,...}.
Пусть {(х{,у{) | i ^ n} — дизъюнктивная последовательность. По
шагам построим последовательность конечных подалгебр Ак буле-
булевой алгебры 21 и гомоморфизмы ipk '¦ Ак —>¦ 23, которые будут
удовлетворять следующим условиям:
A)хо,хи... ,хп G Ао н<ро(х{) = у; для i ^ п,
B) Ак+1 Э
CL €
D) для любого атома о ? Ак в подалгебре Ак пара (о, у*(о)) лежит
в S.

54 1. Алгебраические свойства булевых алгебр
Шаг 0. Пусть Ао — подалгебра 21, порожденная элементами
Х0) • ¦ ,ХП И <ро( V X.) ^i V J/j ДЛЯ Я С {0,1, ... ,п}. ЯСНО, ЧТО
«е/с «е/с
построенное отображение является гомоморфизмом и удовлетворяет
требуемым свойствам.
Шаг t + 1. Пусть ао, • ¦ • , а* — все атомы булевой алгебры At.
Рассмотрим элементы а2,- ;=i aj Л dt, Ъ-ц+i ^ aj Л C(dt)- По ин-
индукционному предположению (a,-,y^(aj)) € 5. Поэтому найдется
b2i такой, что Ь2.- < VtK). (f2i,b2.) € S и (a2i+i, Vt(a«)\*2.> € 5.
Определим &2,+i ^ V't(a»)\^2« и подалгебру At+i алгебры 21, по-
порожденную элементами at, i ^ 2k + 1. Положим <fit+i( V ^») ^
«e/f
V ftj, где А' С {0,1,2,... , 2k + 1}. Построение закончено.
«e/f
Нетрудно проверить, что построенные таким образом At+\ и
<Pt+\ обладают требуемыми свойствами (см. 1.4, упражнение 9).
Имеем dt € At+i и \J At = А в силу C). Из B) получаем, что
<р zz \J<pt является гомоморфизмом из 21 в Ъ. Так как >р Э у?о,
«>о
гомоморфизм <р продолжает последовательность {(x.-,j/,);i ^ п}.
В силу C) гомоморфизм <р 5-определен. Если для 5 выполнена
аксиома Ахб, то согласно определению <рС S. О
Замечание 1.5.1. Если гомоморфизм <р 5-определен и для 5
выполнена аксиома АхЗ, то <р — изоморфное вложение.
Следствие 1.5.1. Если S — условие вложимости счетной бу-
булевы алгебрыЧк в булеву алгебру ЯЗ, то существует S-определен-
ное изоморфное вложение 21 в 23, продолжающее любую заданную
дизъюнктивную последовательность элементов S.
Следствие 1.5.2. Если S — условие вложимости счетной буле-
булевой алгебры^, в булеву алгебру 05, то существует S-определенное
изоморфное вложение 21 в ЯЗ.
Теорема 1.5.2 [о накрытии]. Если S — условие эпиморфизма
счетных булевых алгебр 21 и 23, то для любой дизъюнктивной
последовательности элементов S существует S-определенный
эпиморфизм, расширяющий эту последовательность.

1.5. Критерий Воота 55
Доказательство. Пусть А = {ао,а\, а2,... , а„,...}, В =
{bo,bi,b2, ...,(„,...}. По индукции построим расширяющую по-
последовательность подалгебр {Ап | п ? N} и гомоморфизмов {<рп \
п ? N} такую, что
Ао = gt{x0,... ,хт}, ч>а : Ао ->• В и (р(х{) = ytl i ^. т,
где Г = {(xi,yi) | t ^ m} — фиксированная дизъюнктивная
последовательность,
Ап С Лп+1 и у>п С <Pn+i : ^n+i -»• Я Для любых n e N,
Яп 6 А2п + 1 И 6„ G V2n + 2(-i42n+2) ДЛЯ любых П ? N,
для любого атома а из Л„ пара (а, <рп(а)) лежит в 5.
Построение проводим так же, как в теореме 1.5.1: на четных ша-
шагах добавляем 6„ к y>2n+i(-^2n+i), а на нечетных — ап к Лгп- На
четном шаге построение совершенно аналогично, так как выполня-
выполняется аксиома Ах5 для 5. Полагая ip = (J ipt, получим искомый
эпиморфизм. П
Следствие 1.5.3 [теорема Воота об изоморфизме]. Если S — ус-
условие изоморфизма счетных булевых алгебр 21 и Ъ, то для любой
дизъюнктивной последовательности элементов из S существу-
существует продолжающий ее S-определенный изоморфизм между алге-
алгебрами 21 и 05.
Замечание 1.5.2. Если ip —5-определенный гомоморфизм и для
5 выполнена аксиома Ахб, то ip С 5.
Применим следствие 1.5.3 для характеризации некоторых буле-
булевых алгебр.
Предложение 1.5.1. Любые две счетные безатомные булевы ал-
алгебры изоморфны.
Доказательство. Пусть 21 и 03 — счетные безатомные булевы
алгебры. Определим
5 = {(a,b)\a?A,b?B, (а = 1^Ь=1)&(а = О^Ь = 0)}.
Покажем, что 5 является условием изоморфизма. Выполнение ак-
аксиом Axl-АхЗ очевидно. Так как аксиомы Ах4 и Ах5 симметричны,

56 1. Алгебраические свойства булевых алгебр
достаточно проверить одну из них. Пусть (х, у) 6 S и а <С х. Если
а ф 0 и х\а ф О, то у ф 0. Поскольку 03 безатомна, найдется Ь
такой, что 0 < Ь < у. Тогда пары (а, Ь) и (х\а, у\Ь) лежат в S. В
случае а = О или х\а = О выполнение аксиомы Ах4 очевидно. ?
Отметим, что любая конечная булева алгебра и алгебра всех
подмножеств непустого множества атомна. Булева алгебра атомна,
если она не содержит ненулевых безатомных элементов.
Предложение 1.5.2. Если 21 и 03 — счетные атомные булевы
алгебры и факторы по идеалам Фреше 21//гB1) и 03/f (<g) изо-
изоморфны, то 21 и 03 изоморфны.
Доказательство. Пусть ф — изоморфизм между 21/fB1) и
Положим
S ^{(а,
=> At(l\a) = At(l\6)) &^
где At(a) — мощность множества атомов, лежащих под а. Как и в
предложении 1.5.1, проверим лишь аксиому Ах4. Если a/FBl) Ф
О и X\a/FBl) ^ О| то при любом 6 таком, что y?(a/FBl)) =
b/F(*B), очевидно выполнятся все условия. Если a/.FBl) = 0 или
;c\a/FBl) = О| то выбрав под у нужное число различных атомов,
получим искомое 6 как объединение этих атомов либо как разность
у и объединение этих атомов. ?
Непосредственно из доказательства предложение 1.5.2 вытекает
следующее утверждение.
Следствие 1.5.4. Если 21 и 03 — счетные атомные булевы ал-
алгебры и <р: 21/fB1) —> ®/f@3) — изоморфизм, то существует
изоморфизм ф : 21 Ц- 03 такой, что
Следующее предложение Реммела дает аналогичный результат
для произвольных алгебр.

1.5. Критерий Воота 57
Предложение 1.5.3. Пусть 21 — подалгебра счетной булевой
алгебры 03. Если для любого атома а ? 21 существует конечное
множество Аа атомов булевой алгебры 03 такое, что а =: V Аа
и множество атомов 21 бесконечно, а 03 порождается объедине-
объединением множества А и множеством атомов 03, то 21 и 03 изо-
изоморфны.
Доказательство. Построим условие изоморфизма, положив
S '=; {(а, 6) |(а = 6 и а не равно объединению конечного числа
атомов) или (а и 6 равны объединению
одинакового конечного числа различных атомов)}.
Как и выше, нетрудно проверить, что S — условие изоморфизма.
Тогда по теореме Воота об изоморфизме (см. следствие 1.5.3) 21 и 03
изоморфны. ?
Предложение 1.5.4. Если <р — гомоморфизм булевой алгебры
03 на счетную булеву алгебру 21, то существует подйлъвбра 21о
булевой алгебры 03 такая, что <р \ 21<г-^- изоморфизм между
алгебрами 21о и 03. ., ... . . . , ,¦
Доказательство;«Множество ?={(а,6) } fi;b) ta ak(a i=
О <=> ? = 0)} зам^йуто относительно дизъюнкций и явйяется усло-
Уием вложймости'21'й*8» Поэтому'существует изоморфное влоэКенйе
^¦булевойалгебрыййбулеву айпббру 03такое,чтоф С'^.'Полагая
21О'= ф(Щ\ получим1 иском'ую подалгебру.' •"¦' " ¦¦¦•."¦;¦ О
Предложение 1.5.5. Если 21, 03 — счетные булевы алгебры и 21
безатомная,' то^уЩествует гомоморфизм ip булеёбИ'алгебры 21
на булеву алгебру 03. ': ..;.¦•>¦ , ,
Доказательство. Очевидно, что S-.¦*=;.. {{а,Ь) | а. €
= 0=>6=0} есть условие эпиморфизма 21 на 03. D
Следствие 1.5.5. Любая счетная булева алгебра изоморфно вкла-
вкладывается » .суетную, безатомную булеву алгфуу.., .\ ¦...;¦. г .
Применим полученные результаты для характеризации счетных
суператомных булевых алгебр.' Булева алгебра называется супер-
атомной, если; все ео подалгебры атомные.

58 1. Алгебраические свойства булевых алгебр
Предложение 1.5.6. Если 21 —• безатомная счетная подалгебра
булевой алгебры 2$, то существует гомоморфизм <р булевой ал-
алгебры 2$ на булеву алгебру 21.
Доказательство. Поскольку булева алгебра 21 безатомная, мно-
множество
S^{(a,b)\aeBkbeAkb^Q
=> {Зх){х еАкхфОкх^а)}
дает условие эпиморфизма и существует эпиморфизм <р булевой ал-
алгебры Ъ на булеву алгебру 21. D
Следствие 1.5.6. Если счетная булева алгебра 21 имеет счет-
счетную безатомную подалгебру, то существует идеал I такой, что
2l//'t-i счетная безатомная фактор-алгебра.
¦':.' .! l'J ¦' i". ¦; ¦ ¦ ¦.
; : Замечание 1.5.3. Если булева алгебра имеет безатомную подал-
подалгебру, то она имеет счетную безатомную подалгебру.
. IV Замечание 1.5,4. Если булева. &лгебраиме.ет неатомную подалге-
,6ру,то он&»меет счетную;йеато,мнук> подалгебру
Рассмотрим элемент а булевой алгебры 21. На множестве a t=;
{х\ х1, ^ а} Ь)феделйМ! ойерации V,, и Лв Как. ограничения на;а со-
ответ<;тву:К5ЩНХ::оцераций на алгебре 21. Определим на а ;также ojiei
.рациаодоподнеии^^, доловив Cp{v) :~t C$x);f\a. Пу^ть О.а *=;.0
,ц %:щ iC-B результате MHf0oлучим булеву алгебру (а, V», Ла, Си},
i которую будем называть ограничение/^ булевой, алгебры 21 на эле?
мент а и обозначать а.
; .. Предложение 1,5.7, Для любой булевой алгебры 21 следующие
условия эквивалентны: ;¦¦;> .
¦(а) 21 — суператомная булева алгебра, '¦" ¦ !- '¦"'¦- :
(b) 21 не имеет безатомной подалгебры,
(c) любая фактор-алгебра булевой алгебры 21 атомная,
(d) не существует безатомной фактор-алгебры алгебры 21,
(e) существует ординал а такой, что FaBl) = A.

1.5. Критерий Воота 59
Доказательство. Покажем, что (a)=>(b)=>(c)=>(d) =>(е)=>(а).
Импликации (a)=>(b), (c)=>(d) и (d)=>(e) следуют непосредственно
из определения. Требуется лишь доказать (Ь)=> (с) и (е)=>(а).
(Ь)=>(с) Предположим, что для 21 выполнено условие (Ь), но
/ — идеал булевой алгебры 21 такой, что алгебра 21// не атом-
атомная. Тогда существует а такой, что а// ф О и под а// нет ато-
атомов в фактор-алгебре 21//. Рассмотрим главный идеал J фактор-
алгебры 21//, определенный элементом С(а)//. Имеем \^/1)/ J —
<*/1 П а- Взяв композицию /о идеалов / и J, заключаем, что 21//„ —
безатомная булева алгебра. Рассмотрим счетную подалгебру 21о ал-
алгебры 21 такую, что 21о// — счетная безатомная подалгебра алгебры
21//. Рассмотрим естественный гомоморфизм <р булевой алгебры 21о
на 21о//о. По предложению 1.5.4 существует подалгебра 93 ^ 2to
такая, что <р \ 03 является изоморфизмом между 03 и 21о//о. Следо-
Следовательно, 03 — безатомная подалгебра 21, что противоречит нашему
предположению.
(е)=>(а) Предположим, что FaBt) = 21 для некоторого а, но
имеется не атомная подалгебра 03 С 21. Пусть 6 — ненулевой без-
безатомный элемент 03. В силу FaBt) = 21, из упражнения 4 (см. 1.3)
следует, что Fa@3) = 03. Из упражнения 5 (см. 1.4) следует, что
6 ? Fa@3) = 03. Мы приходим к противоречию. ?
Предложение 1.5.8. Пусть 21 — булева алгебра и а — элемент
21. Тогда 21 изоморфна прямому произведению булевых алгебр а
иС(а).
Доказательство. Нетрудно проверить, что отображение <р из
а х С(а) в 21, заданное равенством <р((х,у)) ±=; х V у для любых
х^оиу^ С(д), будет изоморфизмом на 21. ?
Пусть 03 — суператомная булева алгебра. Для произвольно-
произвольного ординала а рассмотрим а -идеал Fa@3) из последовательности
итерированных идеалов Фреше. В силу суператомности булевой ал-
алгебры 03 для любого ординала а фактор-алгебра ®/Fa@3) будет
атомной или тривиальной. Ввиду мощностных соображений и лем-
леммы 1.3.5 существует ординал 7 такой, что F7@3) = В Для ор-
ординала а, равного ординальному типу булевой алгебры 03, также
выполнено это равенство: F»@3) = В. В этом случае для любой

60 1. Алгебраические свойства булевых алгебр
суператомной булевой алгебры определен тип type @5) = (/?, m), a
также типы ее элементов type (а) для а ? В.
Если определен type @5) = (/?,m), то для любых а,Ь ? 05 вы-
выполнены следующие условия:
A) type A) = type @5),
B) если а ^ 6, type (а) = (S, к) и type F) = G, п), то S < -у или
S = 7, но к ^ п,
C) если а = 6\/си6Лс=О, то
type 1 (а) = max{type1F),type1(c)})
^УРе 2(а) = type2F), если type j (с) < type ^6),
type2(a) = type2F) + type2(c), если type ^6) = type^c),
D) если type (a) = (a, n), 7 < a, 0 < m ? N, то существует b < a
такой, что type F) = G, m),
E) если type (a) = (a, n) и 0 < к < n, то существует 6 < a такой,
что type F) = (а, к).
Предложение 1.5.9. Если для счетных булевых алгебр 21 и 05
определен тип, то 21 и 05 изоморфны тогда и только тогда, когда
их типы совпадают: type B1) = type @5).
Доказательство. Необходимость очевидна. Докажем доста-
достаточность. Ввиду суператомности определены типы булевых алгебр
21 и ?8, а также типы всех их элементов. Определим множество пар
S С А х В следующим образом:
S±=; {(a, b) |a? Л, b ? В, type (a) = type F),
type(C(a)) = type(CF))}.
Ввиду свойств типов элементов 5 является условием изоморфизма.
Следовательно, 21 и 05 изоморфны. D
Упражнения
1. Доказать, что две счетные атомные булевы алгебры изоморфны,
если для них выполнено следующее условие: для любого элемен-
элемента а множество at(a) или множество at(C(a)) конечно.

1.5. Критерий Воота 61
2. Доказать, что любые две счетные булевы алгебры изоморфны,
если они удовлетворяют следующим условиям:
— для любого элемента а множество at(a) или at(C(.a)) конеч-
конечно,
— не существует безатомного элемента а такого, что С(а) атом-
атомный (х называется атомным, если под ним нет безатомных
элементов).
3. Доказать, что две счетные a-атомные булевы алгебры И и В изо-
изоморфны, если фактор-алгебры 21/^B1) и ®/Fa(!B) изоморф-
изоморфны и не одноэлементны, где {КД21)} — последовательность иде-
идеалов Фреше.
4. Доказать, что две счетные атомные булевы алгебры 21 и Ъ изо-
изоморфны, если они удовлетворяют следующему свойству: для лю-
любого элемента а такого, что at(a) — бесконечное множество, су-
существует элемент 6 такой, что множества atF) и at(a\6) беско-
бесконечны. Построить пример булевой алгебры с таким свойством.
5. Доказать, что система 2 для элемента а булевой алгебры 21 явля-
является булевой алгеброй, причем порядок, индуцируемый этой си-
системой на основном множестве а, совпадает с ограничением на-
натурального порядка булевой алгебры 21 на множество а.
6. Доказать, что декартово произведение 21 х 2$ булевых алгебр 21
и Ъ есть булева алгебра.
7. Пусть 21 — счетная безатомная булева алгебра и a — ее ненуле-
ненулевой элемент. Доказать, что 21 и а изоморфны.
8. Доказать, что для любой подалгебры 21 счетной булевой алгебры
<В существует эпиморфизм из !В на 21.
Указание: Рассмотреть случаи суператомной и не суператомной
алгебры !В.
9. Доказать, что булева алгебра, обладающая безатомной подалге-
подалгеброй, имеет счетную безатомную подалгебру.
10. Доказать, что алгебра, обладающая неатомной подалгеброй, име-
имеет счетную неатомную подалгебру.

62 1. Алгебраические свойства булевых алгебр
1.6. Линейно упорядоченные
порождающие множества
Для построения булевых алгебр с заданными свойствами и их
характеризации полезны знания о порождающих множествах, свой-
свойства которых тесно связаны со свойствами изучаемых булевых ал-
алгебр. Важный класс порождающих множеств составляют линейно
упорядоченные порождающие множества.
Пусть 58 — булева алгебра и L — подмножество В. Множе-
Множество L называется линейно упорядоченным в 58, если а ^ 6 или
6 ^ а для любых а, 6 € L. Если L — линейно упорядоченное мно-
множество, порождающее 58, то L называется линейно упорядоченным
порождающим множеством.
Замечание 1.6.1. Если L — линейно упорядоченное множество,
порождающее булеву алгебру 58,ToaV6eLHaA6eL для любых
a,b?L.
Линейно упорядоченное множество L, порождающее булеву ал-
алгебру 58, называется линейным базисом булевой алгебры 58, если
1 ? L, но О € L.
Теорема 1.6.1. Для любой счетной булевой алгебры 58 суще-
существует линейный базис.
Доказательство. Пусть В = {60,61,621 • ¦ •} — перечисление
всех элементов В. Построим множество L по шагам. На шаге п + 1
будет построено линейно упорядоченное конечное множество такое,
что6„ €gr(Ln+i).
Шаг 0. Положим Lo ^ {0,1}.
Шаг п + 1. Допустим, что множество Ln = {ao < ai < аг <
... < а* < aic+i] построено и ао = О, a*+i = 1. Определив
c1+i ±=; а,- V (a,+i Л 6„) для 0 ^ гi ^ к, получим в 58 элементы,
упорядоченные следующим образом: а0 ^ с\ ^ а\ ^ сг ^ а2 ^
... ^ пк ^ Cfc+i ^ ctfc+i- Включим их в Ln+i, T- е. положим
Ln+\ = Ln U {ci I 1 ^ г ^ к + 1}. Тогда множество Ln+\ линейно
к
упорядоченное и 6„ = V (c,-+i\a,-).
1=0

1.6. Порождающие множества 63
Полагая L = (J Ln, получим линейно упорядоченное порожда-
порождало
ющее множество, а полагая L* = ?\{1}, получим линейно упоря-
упорядоченный базис. ?
Рассмотрим обратную задачу: построить по произвольному ли-
линейно упорядоченному множеству L = (Ь,^.) булеву алгебру 93l
с линейным базисом типа (L,^), если L с наименьшим элемен-
элементом. Искомая булева алгебра будет подалгеброй булевой алгебры
(V(L); U, П, С) всех подмножеств множества L.
Для а, 6 € L определим подмножества
с<6}, [-со, Ь[±^ {с \ с € Lkc < 6},
[а,оо[±=; {с | с € Lha <J с}, [-оо,оо[±=; L,
которые будем называть полуоткрытыми интервалами в V(L).
Подалгебра булевой алгебры (V(L); U, П, С), порожденная полуот-
полуоткрытыми интервалами, будет искомой
Предложение 1.6.1. Линейно упорядоченное множество
порождает 2$?, упорядочено по типу L и образует в 2$? линейно
упорядоченный базис, если L имеет наименьший элемент.
Доказательство. Достаточно показать, что элементами L по-
порождается любой полуоткрытый интервал. Нетрудно проверить ра-
равенства [а, 6[= С([-оо, а[) П [-оо, 6[ и [а, +оо[= С([-оо, а[). ?
Предложение 1.6.2. Если линейно упорядоченное множество L
порождает булеву алгебру 03, то любой элемент множества В
п
представим в виде \/ (а,\6,), где а*,6,- ? L U {0,1}.
i=0
Доказательство. Множество элементов указанного вида за-
замкнуто относительно операций объединения и дополнения. Действи-
Действительно, используя теоретико-множественные соотношения и теорему

64 1. Алгебраические свойства булевых алгебр
Стоуна, приходим к следующим соотношениям:
(V а'\6') Л (V aW) = V V (а<Л a'i)л с^v
n mm
\Joi\bi\/ V a,\6i = Va'\6'-
«=0 «=n + l «=0
Замкнутость относительно дополнения докажем по индукции. Базис
п
индукции очевиден. Пусть для С( V а»\М утверждение справед-
«=о
ливо. Тогда
с( V KV,)) =
i=0 ' ^ .=0
= (\/а\\ь{)/\(С(ап+1)УЬп+1)
m m
= \/ а<\(&; V ап+1)\/ \/W V 6n
«=:0 »=0
Предложение доказано. ?
Предложение 1.6.3. Если L — (L; ^) — линейно упорядоченное
множество с наименьшим элементом, то существует взаим-
взаимно однозначное соответствие между ультрафильтрами булевой
алгебры 3/, и непустыми начальными сегментами линейно упо-
упорядоченного множества L.
Доказательство. Пусть 0 ф X С L — начальный сегмент
L, т. е. для любых х,у ? L из х ^. у к у Е X следует х 6 X.
Определим
Т>х -{а? *&l \ Для любого у ? X существует
х ? а(~)Х и у ^. х}.
Докажем, что Т>х является фильтром булевой алгебры 03/,. Доста-
Достаточно проверить, что для любых а, Ь 6 Т>х элемент а Л 6 принадле-

1.6. Порождающие множества 65
жит Т>х, так как остальные свойства очевидны.-Пусть
m
,X2i+l[, Ь = \J[y2i,y2i+l[,
п
а =
•=0
Х0 < Хг < . . . < Х2п+1, 3/0 < З/l < 3/2 < • • • < 3/2т + 1 •
Пусть з/ ? X. Если не существует у' ? X П а Л 6 такого, что у ^ у',
то для любых з/'еХПаиз/^З/' найдется t/' бХП 6, з/ < 3/"
и для любого з/' ? >Х П 6 найдется у" ? X Г\ а такой, что у' < у"
и з/" ? X П а. Тогда можно построить бесконечную возрастающую
последовательность элементов z0 < z\ < ... < zn ... такую, что
20 = у и 22»-и ? а П X, гг»>2 ? 6 П X. Мы приходим к противо-
речию с тем, что а и 6 состоят из конечного числа интервалов. Так
как любой элемент а ? 03/, является объединением полуоткрытых
интервалов виде [х, у[таких, что х, у ? LU{oo}, имеем а ? Т>х или
С(а) ? 1>х. Следовательно, 1>х — ультрафильтр булевой алгебры
03/,. Очевидно, Что для разных начальных сегментов мы получаем
различные ультрафильтры. Для завершения доказательства доста-
достаточно показать, что любой ультрафильтр V представим в виде Т>х
Пусть V — произвольный ультрафильтр. Определим
X t=; {I ? L \ для любого а ? V существует
/' ? а такое, что 1^.1'}.
Так как наименьший элемент /о лежит в X, имеем X ф 0. Непо-
Непосредственно из определения видно, что X — начальный сегмент и
Т> С Т>х- Поскольку ультрафильтр является максимальным филь-
фильтром, заключаем, что V = Т>х П
Предложение 1.6.4. Если L — линейно упорядоченное множе-
множество, порождающее булеву алгебру 03, и у каждого элемента (не
наибольшего) L есть последующий (то. е. для любого не наиболь-
наибольшего х ? L существует у 6 L такой, что х < з/&~1Cг)(г ?
L & х < z < у)), то 03/, — атомная булева алгебра.
Доказательство. Рассмотрим ненулевой элемент а булевой ал-
п
гебры 03. По предложению 1.6.2 а = У а,-\6,-, где a,-,6j ? L U
»=°
{0,1} Так как а ф 0, существует г ^ п такое, что aj\6j ф 0. Это
возможно лишь в случае, если 6,- < а,-, так как (L U {0,1},^) —

66 1. Алгебраические свойства булевых алгебр
линейно упорядоченное множество. При 6, € L рассмотрим элемент
с € L такой, что 6,- < c&-iCz)(z € L&6,- < z < с). Это означа-
означает, что c\bi ^ а,-\6,- и под с\6,- кроме нулевого элемента других
нет, т. е. с\Ь{ — атом, лежащий под а. В случае 6,- ^ L и 6,- = О
"рассмотрим элемент d € L такой, что 6, < d < а,. Взяв следующий
за ним элемент множества L, мы опять получим атом c\d. Если
такого элемента нет, то элемент a,\6j является атомом. ?
Предложение 1.6.5. Если L — линейно упорядоченный базис в
булевой алгебре 21 и L — плотный линейный порядок без правого
конца, то 21 безатомная.
Доказательство. Если a — ненулевой элемент булевой алгебры
21, то существуют элементы c,d € L такие, что с < d и d\c ^
а. Ввиду плотности существует элемент е такой, что с < е < d.
Поэтому е\с < d\c ^ a и е\с ф 0. Следовательно, а не является
атомом. ?
Опишем счетные суператомные булевы алгебры с помощью впол-
вполне упорядоченных множеств.
Лемма 1.6.1. Если А = (А, ^) является вполне упорядоченным
множеством, то булева алгебра 05л суператомна.
Доказательство. Если булева алгебра Ъа не суператомна, то
по предложению 1.5.7 существует ее безатомная подалгебра. Для
произвольного элемента а булевой алгебры Ъа определим элемент
end (a) € -AU{oo} такой, что end (a) равно наименьшему эелементу
из элементов, больших всех элементов множества {х | х € а}. Так
п
как для а ф 0 по определению a = (J [я,-, j/,[, где я,-, у,- € A U {оо}
и Х{ < у,-, то end (a) = max {у,- | 1 ^ i ^ п}. Определим по-
последовательность элементов a*, i € N, подалгебры алгебры 05 та-
такую, что end (ai+i) < end (а,) для любого i € N. Пусть ао = 1.
Тогда end (ао) = оо. Если элементы ап < an_i < ... < ао в
05 уже определены и end(an) < end(an_i) < ... < end(ao),
то ввиду предположения о безатомности 05 элемент а„ не являет-
является атомом. Следовательно, существует элемент 6 подалгебры ал-
алгебры 05 такой, что 0 < Ь < ап. Рассмотрим пару элементов Ь
и ап\Ь. Так как Ь С а„ и ап\Ь С а„, имеем end F) ^ end(an)
и end(an\6) ^ end(an). Оба эти элемента являются объедине-

1.6. Порождающие множества 67
нием интервалов. Поэтому для некоторого ? € {Ь, ап\Ь} верно
end (я) < end(an). Полагаем an+i равным этому элементу. В
гаком случае мы получим строго убывающую последовательность
элементов end(ai) > end (a2) > ... > end(an) > ... из Л, что
пэотиворечит вполне упорядоченности множества А. ?
Предложение 1.6.6. Для любых ординала /3 и числа т > О бу-
булева алгебра 03ш/>хт имеет тип (/3,т).
Доказательство. В силу леммы 1.6.1 булева алгебра 03шэхт
суператомна и у нее определен тип. Рассмотрим последовательность
итерированных идеалов Фреше F^^dxm) этой алгебры. Каждый
элемент а булевой алгебры 03,^ хт является подмножеством орди-
ординала ш& х т. Поэтому относительно индуцированного порядка он
является вполне упорядоченным множеством и тем самым опреде-
определяет некоторый ординал ord (a) ^ ш13 х т. Индукцией по ордина-
ординалам 7 легко показать, что ^(S^xm) = {a G Ъшехт | ord (a) <
ш1}. Следовательно, ®ш/>хт/^@3ш/>хт) имеет точно m атомов.
Поэтому type {*Вш1>хт) = (/^.т). что и требовалось доказать. ?
Следствие 1.6.1. Для счетной булевой алгебры 03 следующие
условия эквивалентны:
(a) 03 — суператомная булева алгебра,
(b) 03 изоморфна булевой алгебре вида 03ш^хт, где /3 — ординал
и т — число, отличное от нуля.
Упражнения
1. Доказать, что 03ш — атомная булева алгебра такая, что под лю-
любым элементом или его дополнением лежит лишь конечное число
атомов (здесь ш — множество, упорядоченное по типу натураль-
натуральных чисел).
2. Доказать, что 03,, — безатомная булева алгебра (здесь г\ — мно-
множество, упорядоченное по типу рациональных чисел).
3. Доказать, что в 03ш+,, под любым элементом или его дополне-
дополнением лежит лишь конечное число атомов, и нет безатомного эле-
элемента а, дополнение которого было бы атомным.

68 1. Алгебраические свойства булевых алгебр
4. Доказать, что в булевой алгебре В^х?? Для любого элемента а,
под которым лежит бесконечно много атомов, найдется элемент
Ь ^ а такой, что множества at F) и at (а\Ь) бесконечны. (Чере;
L\ х 1>2 обозначаем линейный порядок на произведении L\ x Li
такой, что
(а,6) <С (c,d) О Ь <L2 dV (b = dka <tl с).
5. Доказать, что
(a) Ру(<Вш) ^ { U \ai,bi[ I п,<ц,Ь{ € N},
(b) Fxt»,,») ^ { U [ai, Ы I bi = {т,к{)Ь<ь = (пи, *,¦) & n,-, *fl
пц,п € N для всех 1 ^ i ^ n},
где w2 ^ (N2, <), (a, 6) < (a', 6') о 6 < 6' V F = 6' & a ^
a').
6. Доказать, что Ъц, — счетная булева алгебра, если L — счетный
линейный порядок.
7. Доказать, что Я$„+1 — булева алгебра сп+1 атомом, если п —
линейно упорядоченное множество с п элементами.
8. Определим для ординала а степень /За, положив /3° = 1, /?"" =
0а х /3, если 7 = <* + 1, и /?7 = sup{/?a | a < 7}, если 7 —
предельный ординал. Доказать, что идеал последовательности
Фреше F-, (IBu,») булевой алгебры Я$ш<>, где ^аиа — орди-
ординал, равен множеству
{[ai,6i[U .. .U [ап,Ьп[? Я$ш° | порядковый тип вполне
упорядоченного множества ([а,-, &,-[, ^), полученного
ограничением порядка из ша, строго меньше ш}.
9. Доказать, что булева алгебра ®w°/.For(<8a,<,), гДе а — ординал,
состоит в точности из двух элементов,.
0. Доказать, что Я$шо — суператомная булева алгебра.
1. Доказать, что прямое произведение суператомных булевых ал-
алгебр — суператомная булева алгебра.

1.7. Порождающие деревья 69
12. Доказать, что счетная булева алгебра суператомна тогда и толь-
только тогда, когда имеет вполне упорядоченный линейный базис.
13. Построить счетную булеву алгебру 03 и ее счетную подалгебру 21
так, что не существует эпиморфизма у? из 03 на 21 тождественного
на элементах из подалгебры 21.
1.7. Порождающие деревья
В этом параграфе мы покажем, как построить счетную булеву
алгебру 93d по любому дереву D (рис. 1.7.1). Приводимая конструк-
конструкция исчерпывает весь класс счетных булевых алгебр.
Рис. 1ЛЛ
Определим на N следующие функции и подмножества [158]:
R{n) ^ 2п + 2, L{n) ^ 2п + 1,
Н(п) = 0, если п - 0, Н(п) = [(п - 1)/2], если п > 0,
где [х] целая часть х,

70 1. Алгебраические свойства булевых алгебр
{п — 1, п четное, п > 0,
п + 1, п нечетное тг > 0,
0, гг = О,
А@) = 0, Л(п+1) = *№+1)) + 1,
Еп*=;{х\ Л(х) = «},
Я(х,0) = х, Н(х,п+1) = Н(Н(х,п)),
п=О
Нетрудно указать соответствие между вершинами, номера кото-
которых задаются функциями R(n), L(n), S(n), H(n), и вершиной с
номером тг:
R(n) — номер правой вершины, лежащей под тг,
L(n) — номер левой вершины, лежащей под „,
Я(тг) — номер ближайшей вершины из находящихся выше тг и
Я@) = 0,
S(n) — номер соседней к тг вершины, лежащей под Н(п),
Далее, Л(тг) указывает расстояние между тг и 0, т.е., число пред-
предшествующих вершин на ветви, на которой расположена вершина тг.
По определению множество Е„ состоит из всех вершин одного
уровня.
Запись х =? у означает, что а: и у принадлежат одной и той же
ветви и х находится под у.
Напомним, что подмножество DCN называется деревом, если
для любого п ? D элементы Я(тг) и ^(тг) принадлежат D.
Замечание 1.7.1. Если D — дерево, тг -< т и тг б D, то га б D.
Под деревом, порождающим булеву алгебру 21 мы понимаем
пару (D, <р), где D — дерево, а <р — разнозначное отображение D в
А такое, что
B)(Vn G D)(<p(n)Vv(S(n))= ^(Я(тг))&^(тг)Л^E(тг))= О
Ьф)фО),
C) (Va ф 0)(Эщ,..., п* € D)(<p(ni) V ^(тг2) V ... V у>(тгк) = а).

1.7. Порождающие деревья 71
Замечание 1.7.2. Если (D,<p) — порождающее дерево, то п ^
m <=> tp(n) ^ <р(т), а если п и m не сравнимы относительно =$, то
<р(п) А<р(т) = О.
Пусть (D, <р) — дерево, порождающее булеву алгебру 21.
Подмножество Я С D называется каноническим представле-
представлением элемента а 6 21, если
B) (Vn G H)(Vm G Я)(п ^ га =>" (n s$ ra)),
C)а = О«Я=0иа^О=>а= V p(n).
n€tf
Лемма 1.7.1. Для любого а ? А существует единственное ка-
каноническое представление.
Доказательство. Если а = 0, то утверждение очевидно. В
случае а ф О рассмотрим конечное подмножество Я С D такое,
что \/ v?(n) = а. Положим
Я* ±=; {n G Я | нет т ? Н такого, что п ^ тк п ф т}.
Очевидно, что \J <p(n) = \J <p{n)- Определим подмножества
Н Н
Но = Я*,
Яп+1 = {т | S(ra) iHnkm? Hn}\j{H(m) \ m,S(m) ? Нп).
Нетрудно заметить, что \J <р{тп) = V v(m)- В случае Яп ^
Яп+1 имеем |ЯП| > |/fn+i|, поэтому можно заключить, что, начи-
начиная с некоторого по, мы уже не изменяем Яп. Но тогда ЯПо —
каноническое представление а.
Покажем единственность канонического представления. Доста-
Достаточно рассмотреть случай о ф 0. Пусть Я и G — два канони-
канонических представления а: а = \J <p(n) = \J <p(n). Тогда <р(п) ^
V y(m) для любого п 6 Я. Но тогда по замечанию 1.7.2 для
существует m ? G такой, что <р(п) ^ у(т) или ^(т) ^ v(«)- По-
Покажем, что tp(n) = <р(т). Допустим, что <р(п) < <р(т). Тогда п -<
т. Следовательно, <p(S(n)) < <p(m), что означает y?(S(n)) ^ <р(т)

72 1. Алгебраические свойства булевых алгебр
n<p(S(n)) <С \/ <p(i). Поскольку Н — каноническое представление,
<ен
S{n) =^ к не имеет места для любого к ? Н.
Рассмотрим минимальный относительно =<! элемент к ? Н такой,
что к ^ S(k) или к = тг и под S(fc) нет элементов //. Имеем
к Е Н, S(k) ? Н и под S(fc) нет элементов из Я. Такой элемент
к существует, так как Н конечно. По условию под S(k) и над S(k)
нет элементов Н. Поэтому <p{S(k))/\<p(m) = 0 для любого т ? Н.
Однако ip(S(k)) ^ ip(S(n)) <С \/ у?(т). Следовательно,
\/ ?>("»)) = V
тен
Поэтому <p(S(k)) = <p(S(k)) Л ( V У("«))- Тогда ^E(ik)) = О,
что противоречит условию на (D,ip), следовательно, неравенство
<р(п) < f{m) невозможно. Случай <р(т) < tp(n) рассматривается
аналогично. Таким образом, Н = G. ?
Вершина п дерева D называется концевой, если п € D, но
Д(п) ? Z) и L(n) $ D.
Лемма 1.7.2. Если (D,<p) — дерево, порождающее булеву ал-
алгебру !8, и а 6 В, то а -- атом тогда и только тогда, когда
существует концевая вершина п дерева D такая, что <р(п) = а.
Доказательство. Пусть а — атом. Тогда а ф 0 и существуют
к
«i,..., Пк € D такие, что а = \J <р(щ). В силу леммы 1.7.1 можно
i = l
считать, что {п^,..., Пк} — каноническое представление а. Тогда
f>{rii) A <p(rij) = 0, если i ф j. Так как а — атом, к = 1, а = f{n\)
и вершина п\ концевая. Обратно, если а = <р(п) и тг — концевая
к
вершина дерева, то а ф 0. Допустим, существует 6 =
к
Ь < а. Тогда Vv(nO ^ <р{п)- Поэтому ^("l) ^ Р(п)} что Дает
i = l
«1 ^ п. Если «1 =: тг, то о = 6, что противоречит предположе-
предположению. Если Tii Ч тг, то тг^ =<! Щп) или п\ ^ ^{п)> а в этом случае

1.7. Порождающие деревья 73
R(n) € D или L(n) € D, что также противоречит предположению.
Следовательно, а — атом. ?
Теорема 1.7.1.Для любой счетной булевой алгебры, существует
порождающее дерево.
Доказательство. Пусть 03 — счетная булева алгебра и В =
{bo, 61,..., 6„,... }. Построим порождающее дерево по шагам. На
шаге п строим конечное дерево Dn, подалгебру Вп алгебры 93 и
отображение tpn: Dn —> Вп такое, что (Dn,?>n) — дерево, поро-
порождающее В„, и 6„ G Яп+1 для любого п.
Шаг 0. Полагаем Do = {0} и у>о@) = 1.
Шаг п + 1. Пусть Dn обозначает построенное на шаге п дерево,
mi,.... тк — все его концевые вершины, a ipn: Dn —> Вп — по-
построенное отображение. По лемме 1.7.2 {(рп(пц) | 1 ^ i ^ к} есть
множество всех атомов булевой алгебры Вп. Рассмотрим элементы
а° ±^ 6„ Л <рп{т) и а\ ^ С{Ьп) Л ?>n("»i)- Определим
Dn+1 ^ Dn U {Л(ш,), L(mO | а? # 0, а? # 0},
если а° ^ О & а' ^ 0, и tpn+l(k) ±=; у>п(^) для к ? Dn. Рассмотрим
подалгебру Sn + i алгебры 03, порожденную {ipn±\{k) \ к ? Dn+\}.
Нетрудно проверить, что Бп С Bn+i и (Dn+i,ipn+l) — дерево,
порождающее Вп+\, а элемент 6„ принадлежит Дп+1- П
Лемма 1.7.3. Если (D,<pi) и (D,<fi2) - деревья, порождающие
21 ы 53 соответственно, то существует изоморфизм ф между
булевыми алгебрами 21 м 03 такой, что ij;(ipi(n)) = уг(") для
любого п G D.
Доказательство. Определим ф следующим образом: для а ф О
положим ф{а) — У <Р2{п), где Иа — каноническое представление
пбЯ«
а и ф(О) ¦=¦ 0. Так как На — каноническое представление а, отобра-
отображение ф разнозначно. Для любого 6^0 существует каноническое
представление II такое, что 6 = \/ у2(») Полагая а = \/ <fii(n),
получим ф(а) = 6 в силу единственности канонического представле-
представления. Таким образом, ф — одно-однозначное отображение А на В.
Осталось проверить, что ф сохраняет основные операции. Но этот

74 1. Алгебраические свойства булевых алгебр
факт легко следует из единственности канонического представления
и свойств порождающего дерева. D
Следствие 1.7.1. Если {Do,(fio) и (Do,(pi) — два дерева, поро-
порождающих 21, то существует ф — автоморфизм 21 — такой,
что
Таким образом, с точностью до автоморфизма булевой алгебры
мы можем не различать отображения (р из D в Л для порождающих
деревьев (D, (р). Поэтому, определяя порождающее дерево, будем
часто опускать в индексе tp, понимая под порождающим деревом
лишь дерево D из этой пары.
В качестве упражнения предлагается доказать следующее утвер-
утверждение.
Лемма 1.7.4. Если {D,(p) — дерево, порождающее 21, и а =
Y (fi(n), b = Y 4>{п), где На и Нь — канонические предста-
п?На п?НЬ
вления а и Ь соответственно, то
(а)С(а) = V <РН, где Н = {п \ (Зт)(т 6 Накт 4 #(»))
&Cт 6 На)(т ^ п)}, и Н — каноническое представление
С(а),
(b)aVb= V 4>(п),
(с) а Л 6 = V ф{п), где Н = {п 6 На | существует т 6 Нь
п€Н
такой, что п ^ т} U {п 6 Нь \ существует т 6 На такой,
что п ^ т}.
Рассмотрим обратну!' чадачу: по дереву D построить булеву ал-
алгебру ЯЗр и отображение tpp такие, что (D, <рр) — дерево, поро-
порождающее Во. Сопоставим каждому элементу п 6 N бесконечное
подмножество Л„ С N так, что Ло = N и Лд(п) U Ацп) = Л„,
Лд(п) П Ацп) = 0 для любого п 6 N. Нетрудно заметить, что для
любого к
фт=>АпПАт = 0), (J Л„ = N.
п€Ек

1.7. Порождающие деревья 75
Множество
^=; { \^J An \ К — конечное подмножество N}
замкнуто относительно объединения, пересечения и взятия дополне-
дополнения в множестве N. Поэтому можно рассмотреть подалгебру буле-
булевой алгебры (T^NJjU, Л,С) с основным подмножеством В®. Обо-
Обозначим эту подалгебру ОЗм. Ясно, что (N,y>), где <р(п) t=; An, будет
деревом, порождающим булеву алгебру 03^.
Для произвольного дерева DCN определим 03 о как подалгебру
алгебры 03^, порожденную множеством {ip(n) | n ? D}.
Лемма 1.7.5. Если (D,<p) — порождающее дерево и Dq CD —
дерево, то (Дьу> \ Do) — порождающее дерево для подалгебры,
порожденной множеством {<р(п) | п
Доказательство. В силу леммы 1.7.4 множество
Во ^=; { U <р(п) | К — конечное подмножество Do}
замкнуто относительно операций объединения, пересечения и взятия
дополнения, а поэтому основное множество подалгебры, порожден-
порожденной {<р(п) | п ? Do}, совпадает с Во- Таким образом, (D0,v Г
Do) — порождающее дерево для этой подалгебры. ?
Однако для подалгебры 21 безатомной булевой алгебры 03 и ее
порождающего дерева (D, <р) всегда имеется дерево (D1, ф), поро-
порождающее 03, причем D' = N. Поэтому D С D'. Требование ф D <р
при этом не всегда выполнено. Достаточно взять в 03 собственную
подалгебру 01, которая также является безатомной. В этом случае
любое дерево (D, <р), порождающее 21, принимает вид (N,y>), и его
уже нельзя расширить.
В силу леммы 1.7.5 для подалгебры 03д алгебры 9$н пара (D, <р \
D) будет порождающим деревом. Таким образом, доказана следу-
следующая теорема.
Теорема 1.7.2. Для любого дерева D существуют единствен-
единственная с точностью до изоморфизма булева алгебра 03 и отображе-
отображение ip: D —> В такие, что {D,<p) — дерево, порождающее 03.
Рассмотрим вопрос о том, как взаимосвязаны свойства дерева D
и булевой алгебры 03д.

76 1. Алгебраические свойства булевых алгебр
Предложение 1.7.1. Для любого дерева D выполнены следующие
условия.
(a) Ъо — атомная булева алгебра тогда и только тогда, когда
для любого п € D существует т ^ п такое, что т — кон-
концевая вершина D,
(b) 2$?> — безатомная булева алгебра тогда и только тогда, ко-
когда D = N.
Определим для любого дерева D поддерево D'"' в N, которое
начинается в N с элемента п и сохраняет структуру D. Пусть
V?" + 1(m+ ]) = R<pn+lH(m + 1),если RH(m + 1) = m + 1,
V?"+1(m+ 1)= V+1//(m+ 1),если LH(m+ 1) =m+ 1,
D<"> -Wn(k) \keD}.
Обозначим через T(D) множество концевых вершин дерева D.
Пусть / = {Д- | i ? T(D)} — множество деревьев с индексами из
T(D). Определим новое дерево D1 = D U (J D\ .
Предложение 1.7.2. Если для любого г 6 T(D) дерево Di конеч-
конечно и в D бесконечно много концевых вершин, то булевы алгебры
и 2$?>'- изоморфны.
Доказательство. Ясно, что Q5d С ©д/. Рассмотрим подмно-
подмножество
5 -{(а, 6) | а 6 <BD k b Е <BD, & ((a/F(!BD) Ф О
&С(а)//г(<во) ф Ока = 6)v(a///((BD) = Ь/р(Ъо) = О
&At (a) = At F))v(C(a)/F(BD) = C(b)/F(<BD) = О
&At(C(a)) = A)
Нетрудно проверить, что S - - условие изоморфизма на (Ъ
По теореме Воотаэти булевы алгебры изоморфны. ?
Ветвью дерева называется линейно упорядоченное подмноже-
подмножество дерева, а максимальной ветвью (или просто ветвью) — .мак-
.максимальное линейно упорядоченное подмножество дерева.

1.7. Порождающие деревья
77
Для элемента дерева D вместо натурального числа п + 1 можно
рассмотреть его двоичную запись 1ео • • -?т и сопоставить верши-
вершине п + 1 упорядоченный набор (ео, ... , ?m), состоящий из 0 и 1, а
для 0 рассмотреть пустую последовательность. Тогда все основные
функции на дереве (N,^) получают простое описание. Обозначим
через ап последовательность из нулей и единиц, сопоставленную на-
натуральному числу п. Если ап = (ei,... , em), топ+1 = lei .. .em,
если п ф 0, где для п взято представление в двоичном исчислении.
Тогда
R{leu
,?m) = lei •••em0,
. ,em) = lei ...eml,
в противном случае,
lei .. .e
к ei = Si.
Индуцируем порядок из дерева (N, ^) на множество кортежей и
сохраним за ним обозначение =<!. В этих обозначениях дерево имеет
вид как на рис. 1.7.2.
<О,О>
A,1 >
\
<О,О,О> @,0,1) @,1,0) @,1,1) A,0,0) A,0,1) A,1,0) A,1,1)
Рис. 1.7.2
Кроме того, в принятых обозначениях можно довольно просто
определить понятие дерева. Множество D С 2<ш ±=; |J{0,1}"

78 1. Алгебраические свойства булевых алгебр
является деревом, если для любого элемента (si,... ,?m+i) € D
элемент (ei,... ,em) также принадлежит Д a (ei,.. ¦ ,?m,0) и
(ei,... , sm, 1) также принадлежат D.
Будем обозначать кортежи из нулей и единиц строчными гре-
греческими буквами а,/3,у Через <т*т обозначим конкатенацию
последовательностей. Тогда <т ^ т относительно порядка на дереве
тогда и только тогда, когда существует р такое, что т = а*р. Через
О* A*) будем обозначать последовательность из к нулей (единиц)
и через lh — длину последовательности, которая задает в дереве
уровень п, т. е. элементы одной и той же длины п имеют в дереве
уровень п.
Любую последовательность из нулей и единиц <т можно рассма-
рассматривать как некоторую характеристическую функцию на множестве
{г | i < lh(<r)}. При такой интерпретации ветви задают функцию
из N в {0,1}.
Понятие B-ветвящегося) дерева можно дать также на языке ча-
частично упорядоченных множеств. Деревом называется частичный
порядок, являющийся нижней полурешеткой с наименьшим элемен-
элементом, в котором каждый элемент либо имеет ровно двух наследников,
либо является максимальным и каждый начальный сегмент являет-
является конечным линейно упорядоченным множеством. Дерево называ-
называется полным, если в нем нет максимальных элементов. Сегментом
называется любое подмножество Р С 2<ш, такое, что из т € Р и
<т ^! т следует <т € Р- Поддеревом полного дерева 2<и> называется
его сегмент, который сам является деревом. Отметим, что любое
счетное дерево в смысле частичного порядка изоморфно поддереву
Отображение tp из дерева Т С 2W в булеву алгебру Ъ называется
допустимым, если выполнены следующие условия:
= 1,
B) <р(т) = v?(r ¦ 1) V v?(r ¦ 0), т * 0 € Т,
C) если т и <т не сравнимы, то (р(т) А (р(<т) = 0, г, <т € Т.
Будем говорить, что дерево Т порождает булеву алгебру ©,
если существует допустимое отображение <р: Т —> ®, удовлетворя-
удовлетворяющее дополнительным условиям

1.7. Порождающие деревья 79
E) любой элемент булевой алгебры 55 является конечным объеди-
объединением элементов вида <р(т).
Пусть 21 и 55 — булевы алгебры. Предположим, что дерево Т С
2<ш порождает 55 и <р — соответствующее допустимое отображение.
Пусть ф : Т -> 21 — допустимое отображение. Нетрудно видеть,
что существует единственный гомоморфизм ? из 55 в 21, делающий
коммутативной диаграмму
Т 4 55
\ /
Ф ?
21
Если ф удовлетворяет условию D), то ? — мономорфизм, а если
ф удовлетворяет условию E), то ? — эпиморфизм. Следовательно,
булева алгебра, порожденная заданным деревом, однозначно опре-
определяется с точностью до изоморфизма. По дереву Т можно опре-
определить булеву алгебру, удовлетворяющую приведенным выше усло-
условиям. Покажем как это сделать на примере. Пусть Т<Ш(Т) —
множество всех конечных подмножеств дерева Т С 2<ш. Полагаем
G & Vp G TCar G F(er 4 Р V р 4 се)
Отношение ^ва является предпорядком. Пусть ~ва — соответ-
соответствующее отношение эквивалентности. Индуцированный частичный
порядок задает на Т3<Ш(Т)/~ВА структуру булевой алгебры, ко-
которую обозначим через ВА(Т). Она удовлетворяет приведенным
выше условиям.
Используя метод деревьев, приведем еще одну характеризацию
счетных суператомных булевых алгебр.
Теорема 1.7.3'. Счетная булева алгебра 55 суператомна тогда
и только тогда, когда множество ее ультрафильтров ^"E5) не
более, чем счетно.
Доказательство. Если булева алгебра не суператомна, то по
предложению 1.5.7 существует изоморфное вложение ф счетной без-
безатомной булевой алгебры 55pj в 55. По любой максимальной ветви

80 1. Алгебраические свойства булевых алгебр
L в дереве N определим фильтр
F° = {х G 03 | существует / G L такое, что ip(ip(l)) ^ х),
где (N, if) — дерево, порождающее Q3pj. В силу леммы Цорна лю-
любой фильтр F° может быть расширен до ультрафильтра F/,. Для
любых двух различных ветвей L и V существуют элементы п G L
и т ? V такие, что п ф т и Н(п) = Н(т). Однако в этом случае
<р{п) Л tp{m) = 0 и ip(ip(n)) Л ip(ip(m)) = 0. С другой стороны,
V>(y(n)) ? F° и ^(у("?)) ? ^°< Следовательно, F/,/ ^ F/,, так
как в противном случае 0 = ip(tp(m)) Л ф((р(п)) ? Fi = Fi>, что
невозможно по определению фильтра. Таким образом, ^"@3) более,
чем счетно. Докажем необходимость. Если счетная булева алгебра
03 суператомна, то согласно следствию 1.6.1 существуют счетный
ординал /3 и число т > 0 такие, что 03 = 03ы^хт. В силу пред-
предложения 1.6.3 множество ультрафильтров булевой алгебры 03ы/зхт
равномощно множеству начальных сегментов линейно упорядочен-
упорядоченного множества w^ х т, но и& х т вполне упорядочено и для любого
начального сегмента X С w& x m существует )^w^xm+l такое,
что X — {6 | S < 7}. Следовательно, множество ультрафильтров
счетно. .?
Перейдем к описанию ультрафильтров счетной суператомной бу-
булевой алгебры 21. По лемме 1.3.5 ординальный тип оB1) счетной
булевой алгебры 21 счетен. В силу леммы 1.3.4 оB1) = /? + 1. Но в
этом случае 2l/FgBl) — нетривиальная конечная булева алгебра.
Для а ^ /3 и атома a/Fa{^) ^ ^V'Fa{%) определим множество
Fa,a ^ {Ь | а/ра{Щ ^ Ь/.р^щУ Очевидно, чт.о 0 ? Fa>a. Если
х ^ у и х е Fa]0, то, j/ e. Faia, а если,х,у € Fa,a, то гЛу G F«ia,
т- е. Faia — фильтр. Для произвольного элемента х G А име-
имеем а/р'а{Щ ^ X/FaDi) или o/Fe(a) ^ С{х)/ра^щ так как
a/FaBl) — атом. Следовательно, ж g i^,ifl или С{х^ ё Fo,^; По-
Поэтому Fata — ультрафильтр. П'бкажем, что любой ультрафильтр
F булевой алгебры 21имеет такой же вид.. Если множество...... >
'р/ЩЩ - {*/*>(*)'[ьgF};; ;...;¦ ,¦;
не содержит P/f^B1)i. то Ff р^щ является ультрафильтром на
конечной булевой аштебре ЩРрЩ). В.такомслучае F/ Р^^щ сб-
держит наименьший ненулевой ъ'Л&шт а/ р„1Щ который является

1.7. Порождающие деревья 81
атомом 21/F|jB1)i так как F/FpDL) — ультрафильтр. Поскольку
a/FaBl) — наименьший элемент ультрафильтра F/Fp(p[), любой
элемент 6 G F принадлежит Fuip. Так как F — ультрафильтр, он
максимален и F = Fa,0. В случае 0/F/?Bl) ? ^/^B1) рассмо-
рассмотрим наименьший ординал а ^ /? такой, что 0/FaBl) E F/'FaDL)-
В этом случае существует a G F такой, что a G FaBl). Так как
°/F7Bl) $. F/F7Bl) Для 7 < «, имеем a ? F7Bl) для 7 < a.
Если а предельный ординал, то FaBl) = |J F7Bl) и тогда a ^
-у<ог
FaBl). Следовательно, a = 7 + 1- Согласно выбору -у < а имеем
0/f7B1) ^ F/р^^щ. Следовательно, F/f7B1) является ультра-
ультрафильтром на 2l/F7Bl). Однако a/F7Bl) e FB1/f7B1)), так как
a G F7+iBl). Следовательно, a/F7Bl) равен объединению конеч-
конечного числа атомов &»/F7Bl)i г ^ к, булевой алгебры F7Bl). Легко
выбрать представителей 6,- так, что Vfc,- = а и 6; Л bj = 0 для i ф j.
Так как F — ультрафильтр, в этом случае найдется i такое, что
6,- G F. Тогда F/f7B1) является главным фильтром, содержащим
атом. Рассмотрим ультрафильтр Fbit-y- Поскольку ультрафильтр
^/F7Bl) главный, имеем F С F{,1|7. Однако F —ультрафильтр.
Поэтому F = Fbtn. Таким образом, показано, что любой ультра-
ультрафильтр на суператомной булевой алгебре становится главным в под-
подходящем факторе и однозначно определяется соответствующими ор-
ординалом и атомом.
Вышеизложенное доказывает следующее утверждение.
Следствие 1.7.2. Если счетная булева алгебра 2$ суператомна,
то для любого ультрафильтра D существуют ординал а < о(Ъ)
и элемент a ? В такие, что а/ра(<В) — атом в !B/Fa(!B) u
Упражнения
1. Построить порождающие деревья для булевых алгебр !ВШ и !ВШ2.
2. Доказать, что любое дерево, порождающее безатомную булеву
алгебру, совпадает с N.
3. Пусть D\ и ?>2 — деревья, порождающие булевы алгебры 2$i и
2$2- Построить дерево, порождающее булеву алгебру 2$i x *&2-

82 1. Алгебраические свойства булевых алгебр
4. Пусть D — дерево, порождающее булеву алгебру 93. Постро-
Построить порождающее дерево Do такое, что фактор-алгебра булевой
алгебры 93о0 по идеалу Фреше изоморфна булевой алгебре 03.
5. Описать атомные, безатомные и атомы булевой алгебры 93d че-
через свойства элементов дерева D.
6. Описать элементы идеала Фреше булевой алгебры 93о, исполь-
используя свойства элементов дерева D.
7. Доказать, что булева алгебра 93а,.п имеет точно п бесконечных
ветвей в любом порождающем дереве.
8. Определим ранг на ветвях дерева D, положив для любой макси-
максимальной ветви у из дерева D rankG) = 0, если ветвь у конечна,
rankG) = а + 1, если для любого начального отрезка ветви у
существует ее продолжение в дереве D до максимальной ветви
ранга а, но существует такой начальный отрезок ветви 7, что
любое его продолжение совпадает с у либо имеет ранг ^ а. По-
Полагаем rankG) = ос, где а предельный, если для любого 6 < а и
любого начального отрезка ветви у существует его продолжение
ранга, не меньшего 6, но существует такой начальный отрезок
ветви у, все продолжения которого имеют ранг меньше а или
совпадают с 7-
(a) Доказать, что 93о — суператомная булева алгебра, если лю-
любая ветвь в D имеет ранг.
(b) Доказать, что 93 d имеет тип (а,п) тогда и только тогда,
когда все ветви дерева D имеют ранг не более а и существует
точно п ветвей ранга а.
9. Построить деревья, порождающие булевы алгебры 93o,xtji
10. Описать деревья, порождающие булевы алгебры 93Ш и ЯЗ
11. Найти алгебраическое описание булевых алгебр 93а,, ЗЗ^а, 93
93а,+„ И 93(а,+ч)хЧ [65, 66].
12. Указать соответствия между максимальными ветвями дерева D
и ультрафильтрами булевой алгебры

1.8. Алгебры Ершова и проблема изоморфизма 83
1.8. Алгебры Ершова и проблема изоморфизма
В этом параграфе мы дадим полную характеризацию типов изо-
изоморфизма счетных алгебр Ершова, и как следствие получим харак-
характеризацию Кетонена счетных булевых алгебр. В определениях и
доказательстве характеризации типов изоморфизма алгебр Ершова
мы следуем [38].
Расширим характеризацию типов изоморфизма суператомных бу-
булевых алгебр на суператомные алгебры Ершова. Алгебра Ершо-
Ершова 21 называется суператомной, если для любого а 6 21 систе-
система о = (a,V,A,C) является суператомной булевой алгеброй, где
С(х) ±=; а\х, а = {х | х ^ а}, а V и Л — сужения соответству-
соответствующих операций из 21. Элемент а алгебры Ершова 21 называется
атомом, 'если a > О и не существует элемента х 6 21 такого, что
О < х < а, где О — наименьший элемент 21. Аналогично булевым
алгебрам, можно определить идеал Фреше FBl) алгебры Ершова
21, положив
FBl) ±s; {x € 21 j существует конечное число атомов
xi хп в 21 таких, что х = Vi,-}.
По определению точной верхней грани объединение пустого множе-
множества атомов равно наименьшему элементу 0 алгебры 21. Легко про-
проверить, что идеал Фреше алгебры 21 действительно является идеа-
идеалом алгебры Ершова 21.
Теперь можно проитерировать построение идеала Фреше по ор-
ординалам, положив
*Ь(Я) = {0},
FaBl) ±=; I) FyBl), если ординал а предельный,
FaBl) t== {х | */^(Я) 6 FB1/^B1))}, если а = 0 + 1.
Нетрудно видеть, что для любого ординала а множество FaBl)
образует идеал алгебры Ершова и для любого элемента а 6 21 верно
равенство Fa(a) = FaBl) Па.
Следствие 1.8.1 Алгебра Ершова 21 суператомна тогда и то-
только тогда, когда существует ординал а такой, что FaBl) =
||

84 1. Алгебраические свойства булевых алгебр
Как и в случае булевых алгебр, наименьший ординал а такой,
что FaBl) = Fa+iBl), называется ординальным типом алгебры
Ершова 21 и обозначается оB1). Отметим, что ддя суператомных
булевых алгебр ординальный тип всегда непредельный, тогда как в
суператомных алгебрах Ершова он может быть и предельным.
Рассмотрим суператомную булеву алгебру 03„ ординального ти-
типа гг. В сигнатуре <ге = (V,A,\,O) она является алгеброй Ершова.
Переопределим операции на булевой алгебре 03, задав на ней струк-
структуру алгебры Ершова 03е в сигнатуре (V, Л, \, 0), где а\Ь *=; аЛС(Ь).
Рассмотрим прямую сумму 03 "=^ 52{о} ®п алгебр Ершова по мно-
множеству констант из одного символа 0. Легко видеть, что о@3) = ш
и 03 суператомная.
Пусть алгебра Ершова 21 суператомная. Если не существует у <
оB1) такого, что 21/^B1) имеет наибольший элемент и а — оB1),
то в качестве характеристики суператомности алгебры 21 при-
примем (а,а,0). Если 21/f7B1) имеет наибольший элемент для не-
некоторого 7 < оB1)| то фактор-алгебра 21/К, B1) является булевой
алгеброй и ординальный тип оB1) будет непредельным ординалом,
т. е. оB1) = а* + 1 и 7 ^ о*. Пусть п — число атомов п булевой
алгебры 2l/Fa» B1) и 0 — наименьший ординал такой, что 21/^B1)
имеет наибольший элемент. В качестве характеристики супер-
суператомности принимаем (а*,/3,п). Обозначим тип суператомности
алгебры Ершова 21 через гB1). Тип суператомности элемента a G 21
понимаем как тип суператомности подалгебры о = {х \ х ^ а}
алгебры Ершова 21 и обозначаем через т(а).
Замечание 1.8.1. Если 03 — суператомная булева алгебра ти-
типа type@3) = (а,п), то тип суператомности г@3) алгебры 03 как
алгебры Ершова будет равен (о, О, п).
Алгебра Ершова 21 называется атомной, если для любого ее эле-
элемента 6 ф 0 существует атом а ? 21 такой, что а ^ 6. Легко за-
заметить, что алгебра Ершова 21 атомная тогда и только тогда, когда
для любого о G 21 булева алгебра а атомная. Исходя из характе-
ризации"'суператомных булевых алгебр, легко доказать следующее
утверждение.
Предложение 1.8.1. Для алгебры Ершова 21 следующие условия
эквивалентны:
A) алгебра 21 суператомна,

1.8. Алгебры Ершова и проблема изоморфизма 85
B) существует ординал а такой, что FaBt) = |2t|,
C) любая подалгебра алгебры 21 атомна,
D) любая подалгебра алгебры 21 суператомна,
E) любой эпиморфный образ алгебры 21 является атомной алге-
алгеброй,
F) любой эпиморфный образ алгебры 21 является супер атомной
алгеброй.
Критерий Воота изоморфизма булевых алгебр очевидным обра-
образом переносится на алгебры Ершова. Пусть 21 и 2$ — две алгебры
Ершова. Определим для них условие изоморфизма S на B1,2$), как
подмножество S С А х В со следующими условиями:
A)@,0>€5,
B) если (х, у) € S, то х = О <* у = О,
C)если (a,b) ? S и с G А, то существуют doi^i G В такие, что
(а Ас, b Ad0), (a\c,b\d0), (aVc,6Vdi) и (c\a, d{\b) лежат в 5,
D) если (a, 6) € 5 и d G В, то существуют do,di G А такие, что
), (a\do,6\d>, (aVdb&Vd), (<*Да,(Л&) лежат в 5.
Предложение 1.8.2. Если 21 и 2$ — счетные алгебры Ершова,
S — условие изоморфизма на B1, 2$) ы ao < aj < ... < ап —
возрастающая цепочка элементов алгебры 21, а 6о < 6i < ... <
6„ — возрастающая цепочка элементов алгебры 2$, где по = О,
&о = 0, и (aj+i\aj,6,+i\6j), i < n, лежит в S, а (а„,6„> G S, то
существует изоморфизм ip между 21 ы 2$ такой, что <р(п{) = bi
для 0 ^ i ^ п. Кроме того, выполняется следующее условие:
(*) для любого элемента a G 21 существуют элементы а'о < а\ <
... < ajj, алгебры 21 такие, что пары
принадлежат S, а V (а^+1\а() = а для некоторого К С

86 1. Алгебраические свойства булевых алгебр
Гомоморфизм <р, для которого выполнено свойство (*), называ-
называется S-определенным.
Доказательство предложения 1.8.2. Сначала заметим, что
гомоморфизм <р такой, что у(а<) = &,, i ^ п, будет 5-определенным
на элементах конечной подалгебры, порожденной ao,ai,... ,ап. До-
Доказательство основано на челночном методе. Строим конечные под-
подалгебры 21* и Ъь алгебр 21 и Ъ, а также 5-определенный частичный
изоморфизм ipb между 21 и ЯЗ с областью определения dom у>* = 21*
и областью значений range tpl = 53* так, чтобы были выполнены
следующие свойства:
AJ1* порождается {а0 < а[ < ... < а1П(}, «В* порождается {Ьо <
¦¦•< *{.,}¦ <?№) = Ь\, i < ntl at0 = 0 и 6& = О,
B) <а!+1\а|,6|+1\6|> € 5, 0 ^ г < щ, и «,&$,,) G 5,
D) для любого п элемент с„ € 21 принадлежит 2l2n+1, а элемент
с?п G ® принадлежит <В2п+2, где зафиксированы перечисления
21= {со,сь... ,с„,...} и В = {do,di,... ,dn,.. .} элементов
алгебр 21 и 2J
Такое построение возможно. Действительно любой элемент под-
подалгебры <?о алгебры Ершова <?, порожденной линейно упорядочен-
упорядоченным набором {ho,... ,hn}, где ho = 0 и Ло < /ii < ... < hn,
представим однозначно в виде у (/ц+Д/ц) для некоторого К С
{0,1,... ,п-1}. Пусть а0 < ai < ... < ап.и6о < 6i < - -. < 6П —
два линейно упорядоченных набора таких, что ао = 0, &о = 0 и
(a,+i\a,-,6i+i\6,) G 5, i < n, (an,6n) G 5. Тогда для произ-
произвольного с G !В рассмотрим элементы С{ = а,- V (a,'+i Л с), i < п, и
п
с„ .= anVc. Очевидно, что а,- ^ с,- ^ ai+i, ап ^ с„ и с = V (сДа,).
i=i
Теперь из свойств условия изоморфизма S можно найти элементы
di, 0 ^ i ^ п, такие, что пары <сДа;,c/i\6i> и (ai+1\ci,6I+i\cf,'),
г < п, принадлежат S и (с„, с?„) G 5; кроме того, они линейно упо-
упорядочены: &,¦ ^ di ^ bi+i, i < п, и 6„ ^ с?„. В силу требования
B) на 5 эти неравенства согласованно выполнены в обеих последо-
последовательностях:
at <с{<& 6, < di, Ci < a,+i <&di < 6,+i, an <cn<&bn <dn.

1.8. Алгебры Ершова и проблема изоморфизма 87
Так как 21 и 05 в условии изоморфизма S симметричны, для лю-
любого d 6 93 можно аналогичным образом подобрать прообраз в
^.Следовательно, челночный метод позволяет построить требуемый
изоморфизм. ?
Воспользуемся полученным критерием для описания безатомных
и суператомных алгебр Ершова. Будем называть алгебру Ершова
безатомной, если в ней нет атомов.
Предложение 1.8.3. Имеется ровно два типа изоморфизма счет-
счетных безатомных алгебр Ершова, которые различаются наличием
или отсутствием в них наибольшего элемента.
Доказательство. Если в алгебре есть наибольший элемент, то
получаем безатомную булеву алгебру, а безатомная счетная булева
алгебра единственна с точностью до изоморфизма. Таким образом,
требуется доказать, что две безатомные счетные алгебры Ершова
21 и 05 без наибольшего элемента изоморфны. В качестве условия
изоморфизма рассмотрим множество пар S = {(а, 6) | а ? 21, 6 6
05, а = 0 <=> 6 = 0}. Проверка условий на S тривиальна. ?
Докажем, что типы суператомности алгебр Ершова характеризу-
характеризуют счетные суператомные алгебры Ершова однозначно с точностью
до изоморфизма. Ясно, что конечные алгебры Ершова являются
булевыми алгебрами и для них тип изоморфизма однозначно опре-
определяется числом атомов. Поэтому нетривиальная часть состоит в
доказательстве изоморфизма для счетных алгебр Ершова.
Предложение 1.8.4. Любые две счетные суператомные алгебры
Ершова одного и того же типа суператомности изоморфны.
Доказательство состоит в определении условия изоморфиз-
изоморфизма. Пусть 21 и 93 — счетные суператомные алгебры Ершова и
тB1) = тB$). Для произвольного элемента а определим две подал-
подалгебры а ±=, {х | х ^ а} и ах ±=; {х \ х Л а = 0} алгебры 21. Легко
проверить, что а1 также образует подалгебру алгебры 21, которую
назовем алгеброй ортогональных элементов к а, а элементы алге-
алгебры а^ будем называть ортогональными к а элементами. Полагаем
S t=; {(а,Ь) | а 6 21, 6 6 <В, т(а) = т(Ь), г(ах) = гFх)}. Не-
Нетривиальная часть доказательства состоит в проверке условий C) и
D), но ввиду симметричности этих условий и произвольности 21 и 93
достаточно проверить условие C).

88 1. Алгебраические свойства булевых алгебр
Пусть пара (а, 6) лежит ъ S не — произвольный элемент 21. Так
как 2 и 6 являются булевыми алгебрами, то из их характеризации
немедленно получаем, что существует элемент do ^ Ь такой, что
т(а Ас) = r(d0), т(с\а) = r(b\do). Так как (aAc)L = а\с + aL и
(bAdoI- = (b\do) +б\ а типы суператомности очевидным образом
вычисляются для прямой суммы типов суператомности слагаемых,
имеем т((а Л сI) = т((Ь A do)L) и (а Л с, 6 Л d0) ? S. Аналогично
r((a\c)L) = r((b\do)L). Следовательно, (a\c,b\d0) ? S.
Так как r(a'L) = rfi-1), существует элемент di алгебры 6х та-
такой, что т(с\а) = r(di), r((c\a)L П ах) = r(dj; П 6х). Существо-
Существование di получается непосредственно из определения т и характе-
характеризации суператомных булевых алгебр.
Так как d\Ab = 0, имеем r(c\a) = r(d\) = r(di\b), a r(a\/c) =
T(aW(c\a)) = rFV(di\6)) = rFVc?i) в силу равенства V {с\а) =
а + с\а и 6 V (d\\b) = b + di\b). Учитывая разложения (с\а)х,
(d\\b)L в прямую сумму подалгебр (с\а)х = ((с\а)х П ах) + а и
(di\b)L = (dj- П 6х) + 6 с одинаковыми типами суператомности,
заключаем, что ¦/-((сДа)-1) = r((di\6)x). Поэтому (c\a,di\b) 6 S.
Аналогично т((а V с)х) = т((Ь V djI) и (а V с, 6 V dx) G S. В силу
предложения 1.8.2 алгебры 21 и *В изоморфны. ?
Рассмотрим произвольную алгебру Ершова 21 и распространим
на нее тип суператомности. Обозначим через F» B1) множество всех
ее суператомных элементов. Очевидно, что для ординала а тако-
такого, что Fcr+iBl) = Fa B1), выполнено равенство FaBl) = ^.B1).
Тип суператомности гB1) положим равным типу суператомности
суператомной подалгебры F»Bl) алгебры 21, т. е. rBl) ±=; r(F,Bl)).
Аналогично для произвольного элемента а ? 21 определим т(а) =
rBnF,Bl)).
Если гB1) = (а,/?, к), то /? назовем Е-рангом алгебры 21 и обо-
обозначим через <тB1). Аналогично определим Е-ранг элементпаа ? 21,
положив а(а) ±=; <тB), и назовем а Е-рангом.
Предложение 1.8.5. Если 21 — алгебра Ершова Е-ранга <тB1) =
а, то функция <х отображает 21 в ординал а + 1 и <т@) = О,
<т(а V 6) = max{<r(a),<rF)} для лю5ыа;а,6 ? 21.
Доказательство. Достаточно проверить, что на основании ра-
равенства F. B1) = Fa B1) идеал a V6nF, B1) в факторе по F^ B1), где

1.8. Алгебры Ершова и проблема изоморфизма 89
7 = та.х{<т(а),<т(Ь)}, является главным идеалом фактор-алгебры
/
Функция г: 21 —> а + 1, действующая из алгебры Ершова 21
iJ-ранга d в ординал а + 1 называется- аддитивной, если г@) =
О и г(а V 6) = max{r(a),rF)} для любых а,6 € 21. Супер-
Суператомная алгебра Ершова 21 называется специальной, если тB1) =
И21),<7B1),0).
Предложение 1.8.6 (о разложении суператомных алгебр Ершо-
Ершова). Если 21 — суператомная алгебра Ершова, то 21 является
специальной алгеброй или разлагается в прямую сумму 2lo + 2li
алгебр Ершова 21о и 2li таких, что
(lJlo — булева алгебра типа суператомности (а, 0, п),
B) 2li — спег(иа^ьмал алгебра Ершова,
Доказательство. Рассмотрим элемент </, определяющий наи-
наибольший элемент в фактор-алгебре F*№)/Fat<b){4k)- Алгебра 21
разложима в прямую сумму d + dL. Полагая 2lo = d и 2li = dL,
легко проверить, что все требования на 21о и 2li выполнены. ?
Предложение 1.8.7. Пусть 21 — специальная алгебра Ершова и
<тB1) = /3. Тогда
(a) если /3 = а+1, то алгебра 21 изсшор^ма пря-мой сумме ^ {о}21п
п
булевых алгебр 21„ типа суператомности (а, 0,1),
(b) если /9 — предельный ординал и Qo < <*i < ... < а„ < ... —
послеЗоеательмость ординалов такая, что sup а„ = /9, то
п
алгебра 21 изсшор^ма прял«эй сг/л<л<е ^ {о}21п суператол<мыа;
п
булевых алгебр 21„ типа суператомности (а„,0,1).
Доказательство. Утверждение справедливо, так как типы су-
суператомности этих алгебр Ершова совпадают. ?

90 1. Алгебраические свойства булевых алгебр
Непосредственно из описания идеального пополнения как решет-
решетки локально главных идеалов вытекает следующее предложение.
Предложение 1.8.8. Если алгебра Ершова 21 изоморфна прямой
сумме 5D{o}2l« алгебр Ершова 21„, то идеальное пополнение 21'
п
изоморфно прямому произведению J~J 21^, идеальных пополнений
п
21'„ алгебр 21„.
Рассмотрим разложение специальной булевой алгебры 21 в пря-
прямую сумму булевых алгебр (как алгебр Ершова) из предложения
1.8.7 21 = ?){о}21п- Так как для булевых алгебр локально глав-
п
ные идеалы являются главными, имеем 21J, = 21„. Следовательно,
21' = П^" Определим в 21' по произвольному ординалу C идеал
п
ф„B1') - {/ ? Да„ | для любого п /(п) ?
Пусть 21* ±=; И'/а = Пап/Г@А- Для /? ^ сгB1) полагаем
Ф^Щ") ^ ФдB1')/*21- Определим отображение р из 21* в <тB1) + 1,
положив p{d) = min{/? | d ? Ф/зB1*)} для d G 21*.
Замечание 1.8.2. Если j — локально главный идеал в 21, т. е. j
21', то p(/)
Замечание 1.8.3. Если j — локально главный идеал в 21 и d ? 21,
то j/<2l = j
Предложение 1.8.9. Отображение р: а* —f <т(а) + 1 обладает
следующими свойствами:
(a) р(а V 6) = max {р(а), рF)} u p(d) = О О d = О,
(b) 5у1л любого /3 ^ <^B1) существует элемент d ? а* такой, что
(с) если 0 ^ p{d), то существует do ? 21* такой, что do

1.8. Алгебры Ершова и проблема изоморфизма 91
Доказательство. Свойство (а) легко следует из определения.
Свойство (Ь) следует из (с) и существования в 21' наибольшего эле-
элемента А = |21|, для которого р(А/<%) = сгB1).
Докажем (с). Пусть p(d) = 7 Рассмотрим элемент / € П®«
п
такой, что d является образом / при естественном эпиморфизме.
Без ограничения общности предположим, что /(n) G F^(Sn) для
любой булевой алгебры 2$„. С другой стороны, при предположении
p(d) = 7 для любого S < 7 множество {n | /(n) ^ Fs(*Bn)} беско-
бесконечно. Рассмотрим последовательность непредельных ординалов /?,¦
такую, что /?0 ^ А ^ ... ^ /?„ ^ ... ^ /? и sup /?„ = /?. Можно
п
выбрать последовательность no ^ ni ^ ... ^ Пк ^ ... такую, что
т(/(п,)) = (^,0,т) и ? ^ /^ для всех г G N. Поэтому существует
элемент d,- алгебры 2$П1 такой, что r(d,) = (/?,-, 0,1). Определим
n ^ {по,П2,п4,...}.
Имеем /' ^ /. Рассмотрим образ d' элемента /' при естественном
эпиморфизме. Согласно определению p(d') = 0. Докажем второе
равенство в (с). Если 0 < у, то p(d\d') = p(d) в силу (а). Если
0 — 7, то рассмотрим функцию
ft \ — J ^21 + 1, " —
/W~^ П^{П1,ПЗ,П5,...}.
Так же, как для /', для образа d* функции /* при естественном эпи-
эпиморфизме имеем p(d*) = /? = 7. Однако d* ^ d\d'. Следовательно,
p(d\d>) =7. ?
Рассмотрим аддитивную функцию г: 21 —> а+1, где 21 — алгебра
Ершова. Назовем функцию г': 21 -* а + 1 дополняющей функцию
г, если выполнены следующие условия:
A) а = max {га, г'а} для любого а ? 21,
B) если а ^ Ь, то r'(a) = max{r(fc\a), r'(b)}.
Дополняющих функций может быть много. Так, тривиальной до-
дополняющей функцией будет функция г' такая, что r'(d) = а при
всех a G 21. Другим примером дополняющей функции для с: 21 —>

92 1. Алгебраические свойства булевых-алгебр
а+1, где а = <гB1), является функция <г'(а) ^ f(ax), т. е. 2?-ранг
ортогонального дополнения к а.
Дадим полное описание всех дополняющих функций для адди-
аддитивной функции г: 21 —)¦ а + 1, где 21 — алгебра Ершова.
Предложение 1.8.10. Справедливы следующие утверждения.
(a) если г' — нетривиальная дополняющая функция для г wyri —
наименьший ординал из значений функции г, то 7г'
< а, множество DT> — {а ? |21| | г'(а) = 7г'} является
фильтром е 21, 2V С {а | г(а) = а} и для любых а ? VTi,
6 ? 21 выполнено г(а\6) ^ 7г' О Ь ? Х>г',
(b) для фильтра V в 21 такого, что V С {а ? |21| | г(а) = а},
и ординала у < а такого, что для любых а ? Х> и 6 ? 21
выполнена эквивалентность г(а\6) ^7^*^^i существу-
существует единственная дополняющая функция г' для г такая, что
Доказательство. Для доказательства (а) достаточно обосно-
обосновать замкнутость VTi относительно пересечений, все остальные свой-
свойства вытекают непосредственно из определений.
Пусть а и 6 — два элемента VTi, т. е. г'(а) = 7г', и г'F) = 7г<-
Покажем, что г'(аЛб) = 7г'- Допустим, что это не так. Тогда ввиду
минимальности 7г< имеем г' (аЛб) > 7г' ¦ По условию B) в определе-
определении дополняющей функции г' получаем г'(а Л 6) = max {г(а\(а Л
6)),г'(а)}. Следовательно, j — г'(а Л 6) = г(а\(а Л 6)). Одна-
Однако (а V 6)\6 = а\(а Л 6) и г({а V 6)\6) = -у. Поэтому г'F) =
max{r((aV6)\6),r'(aV6)},r'F) ^ 7 > 7г' и г'F) ^ 7 > 7г', что
противоречит предположению.
Докажем утверждение (Ь). Пусть заданы фильтр 2? и орди-
ординал 7, подчиненные условиям из (Ь). Построим для них допол-
дополняющую функцию г' такую, что VTi = V, 7г< = 7 и докажем ее
единственность. Рассмотрим элемент a ? V и определим функ-
функцию ГдF) ±=; тах{г(а\6),7}, 6 ? 21. Заметим, что г'а — допол-
дополняющая функция для г. Действительно, пусть r'aF) = S. Если
S = а, то условие A) очевидно. Пусть <? < а. Ввиду соотношения
г(а\6) ^ г'а{Ь), аддитивности функции г и V С {а | г(а) = а}
заключаем a = r(a V 6) = max{r(a\6),r(a)} = r(a) и тем са-
самым условие A) выполнено. Проверим условие B). Пусть &о ^ бь
Покажем, что r'a{b0) = max{r(&i\&o),r^(&i)}. По определению

1.8. Алгебры Ершова и проблема изоморфизма 93
г'аF0) = тах{г(а\60),7}- Однако 60 ^ 6ь Ввиду аддитивно-
аддитивности r(Fi V а)\а) = max{rF1\60),r(a\61)} и г((а V &i)\&0) =
max{r(a\6o), r((a V 6i)\(a V 60)}. Поэтому
Wo) = r'awbl(bo) = max{rF1\6o),r(a\61),7}
= max{max{rF1\a),7},rFi\60)}
= max{r'aF1),rF1\60)}.
Таким образом, r'a является дополняющей функцией для г при лю-
любом a € V. Согласно определению "ут>а = 7-
Проверим равенство V = Т>т>а. Относительно 6 6 V предполо-
предположим, что r'a(b) = 8 > 7- Тогда r(a\b) = S. Но по условию на 2>
имеем г(а\6) ^ 7 Для любых а,Ь 6 V. Следовательно, 6 6 Vr>a.
Если 6 € VTia, то Гд(&) = 7- Поэтому r(a\6) ^ 7- Тогда по условию
на Т> элемент 6 лежит в Т>.
Осталось доказать единственность. Пусть г': 21о —> a + 1 и
г": 210 -> a + 1 — дополняющие функции для г с условием V =
VTi = VTn и 7 = 7г' = 7г"- Пусть a 6 Х> и 6 € 21. Тогда
г'F) = max{r(a\6),r'(aV6)} и r"F) = max{r(a\6), r"(a V Ь)}.
Но a V 6 € Х>, так как Х> — фильтр. Из равенств Т>т> = V = Т>т»
получаем г'(а V 6) = г"(а V 6) = 7- Следовательно, г'(&) = г"F).
Предложение доказано. D
Предложение 1.8.11 . Если 21 — счетная специальная алгебра
Ершова, а = сB1) и 21* = 21//21, где 21' — идеальное пополнение
21, a /?: 21* —> сB1) + 1 — построенная выше аддитивная функ-
функция, то для любых не более чем счетной алгебры Ершова 21о,
аддитивной функции г: 21о —> а + 1 и ее дополняющей функции
г': 21о —> а + 1 существует гомоморфизм ф: 21о —> 21* такой,
что га = pt/"a и Г'а = р(Сф(а)) для любого а € 21о-
Доказательство. Чтобы построить гомоморфизм, как и в слу-
случае булевых алгебр рассмотрим ослабление условия изоморфизма,
отбросив условие D) из условия изоморфизма на S, а вместо усло-
условия B) оставим импликацию лишь в одну сторону, мы оставляем
лишь условие:
B') если (О,6>€5, то 6 = 0.
Как легко видеть из той же конструкции по шагам, существует 5-
определенный гомоморфизм счетной алгебры Ершова 21 в произволь-

94 1. Алгебраические свойства булевых алгебр
ную алгебру Ершова 53, если S — условие гомоморфизма из 210 в 53.
Определим требуемое условие гомоморфизма из 21 в 21*, положив
S={(a,6)|ae2l0) 6 е21*, ra = pb, r'a = pC(b)},
где С — операция дополнения в 21*. Как было отмечено при по-
построении идеального пополнения 21', оно всегда является булевой
алгеброй. Условия A) и B') в этом случае очевидны.
Проверим условие C). Пусть (а,Ь) ? S, с ? 21о, га = /3, г(а Л
с) = 7 и г(а\с) = 8. Так как /? = га = pb и max {7, S} = /?, в силу
предложения 1.8.9 существует элемент do ^ 6 такой, что pdo = 7 и
p[b\da) = S. Так как
p(C(d0)) = р(С(Ь) V (b\d0)) =
= max{<J, r'(a)} = max {r(a\(a Л c)),r'a} = r'(a Л с),
p(C(b\d0)) = p(C(b)Vd0) = m&x{pdo,p(C(b))}
= max {7, r'a) = max{r(a A c),r'a}
= max {r(a\(a\c))t r'a} = r'(a\c),
заключаем, что (а Л с, 6 Л do) и (а\с, b\do) лежат в S. Построим
элемент d\, требуемый в условии B). Для этого рассмотрим r'a,
г'(с\а) иг'(аУс). В силу r'a = max {r(c\a), г'(аУ с)} и р{С(Ь)) -
г'(а) и предложения 1.8.9 существует элемент d\ ^ C(b) такой, что
p(d\) = r(c\a) vip(C(b)\di) = г'(а\/с). Следовательно, (с\а, d\\b)
и (а V с, 6 V di) лежат в S, все условия гомоморфизма из 21о в
21* выполнены и искомый гомоморфизм существует. Ввиду его 5-
определенности он удовлетворяет требуемым равенствам. ?
Перейдем к проблеме описания типов изоморфизма счетных ал-
алгебр Ершова. Если алгебра Ершова 21 не суператомна, то фактор-
алгебра 21/f»B1), где F*Bl) — множество всех суператомных эле-
элементов 21, будет уже безатомной алгеброй Ершова и нетривиаль-
нетривиальной. Но тогда она является расширением суператомной алгебры Ер-
Ершова F*Bl) посредством безатомной нетривиальной алгебры Ершо-
Ершова 2l/F»Bl). Иначе говоря, мы имеем точную последовательность
О —>¦ F*Bl) т-> 21 -> 21/^B1) -^ 0. Для суператомных алгебр
Ершова уже получено описание их типов изоморфизма через типы
суператомности г, а безатомных счетных алгебр Ершова только две:
53п и 53", где 53„ — безатомная булева алгебра, а 53}^ получается

1.8. Алгебры Ершова и проблема изоморфизма 95
прямой суммой счетного числа экземпляров 93,, над множеством
констант из одного нуля {О}.
Таким образом, задача характеризации типов изоморфизма счет-
счетных алгебр Ершова свелась к задаче характеризации типов изомор-
изоморфизма таких алгебр Ершова 01 которые являются расширением су-
суператомной счетной алгебры Ершова посредством 23,, и 93".
Счетную алгебру Ершова 01 назовем нормальной, если К. @1) —
специальная алгебра Ершова, 01/^B1) — нетривиальная алгебра и
01 — булева алгебра, когда 21/./?, @1) — булева алгебра.
Для алгебры Ершова 21 определим ранг булевости алгебры 21,
следующим образом: RbooiBl) = а, где а — ординал такой, что
2l/Fa@l) — булева алгебра, а для любого -у < а фактор-алгебра
2l/Fa@l), не имеет наибольшего элемента. Если не существует
ординала а такого, что ^/Fa(Wi) — булева алгебра, то полагаем
Rbooi(Ol) = оо. Отметим, что Rbooi(Ol) = оо тогда и только то-
тогда, когда 21/^B1) — не булева алгебра, где F»Bl) — множество
суператомных элементов 21.
Пусть 21 — не суператомная счетная алгебра Ершова и т@1) =
(а, /3, п). Будем говорить, что 21 имеет нормальное разложение в
прямую сумму подалгебр Olo и Oli, если 2lon2li = {0} и 2lo+2li =
21 и выполнены следующие условия:
A) 21о — нормальная алгебра Ершова, Oli — суператомная алгебра
Ершова,
B) если RbooiBl) = 7 < °°> то 21о — булева алгебра, a Oli —
суператомная алгебра Ершова типа (а,/3,п), где а ^ <тB1о) =
а(Щ,
C) если Rbooi(Ol) = со, то Oli — булева алгебра и для Oli
r(Oli) = (а, 0, n)&cr(Sl) = <т(О1о) ^ а к г@1) = (а,/?, п)
или т@1) = r(Olo) = (a,a,0)&Oli = {0}.
Пару (Olo,Oli) назовем нормальным разложением алгебры Ер-
Ершова 01.
Предложение 1.8.12. Любая счетная не суператомная алгебра
Ершова 01 допускает нормальное разложение (Olo,Oli).
Доказательство разбивается на два случая.

96 1. Алгебраические свойства булевых алгебр
Случай 1. Пусть 21/f,B1) — булева алгебра, т. е. RbooiBl) <
оо. Рассмотрим наименьший ординал f такой, что 2П = 21/' р B1) —
булева алгебра. Пусть а € 21 такой, что a/F-.Bl) — наибольший
элемент фактор-алгебры 21/^B1)- Тогда 21 разлагается в прямую
сумму идеала а и его ортогонального дополнения а1. В этом слу-
случае о1 является специальной алгеброй. Рассмотрим тип суператом-
суператомности (а,0,п) элемента а. Если п = 0, т. е. алгебра о П F, B1)
специальная, то полагаем 21о = а и 211 = о1, что дает искомое
разложение. Если п ф 0, то согласно определению типа существует
элемент а0 ^ а такой, что о0 € ^.B1) и т(а0) = (о, /3, п), а F,Bl)
в этом случае разлагается в сумму do + j, где j — специальная ал-
алгебра такая, что <r(j) = /?. Следовательно, положив 2lo = a\ao и
2li = <fo + о1, получим искомое разложение.
Случай 2. Пусть 21/^фB1) не является булевой алгеброй и тип
суператомности F,Bl) равен (a,/?,n). Если п = 0, то F,Bl) —
специальная алгебра и 21 — нормальная алгебра. В этом случае
полагаем 21о = 21 и 211 = {0}. При п ф 0 рассмотрим элемент
а € F,Bl) типа суператомности (а, 0,п); имеем F,B1) По1 — спе-
специальная алгебра с <r{F+ B1) П о1) = /?. Положив 21о = а1 и
2li = о, получим искомое разложение. ?
Рассмотрим случай расширений счетной специальной алгебры
Ершова 210. Наша цель — описать типы изоморфизмов счетных
алгебр Ершова 21 таких, что последовательность 0 —> 21о —> 21 -^
Л —> 0 точная; здесь Л € {05^, 55^}. Рассмотрим функцию <т: 21 ->
а +1, определяющую iJ-ранг элементов из 21, где тB1о) = (а, а, 0).
Очевидно, что <т(а) = 0 для a G ^«B1). Эпиморфизм у? из 21 на Л
индуцирует на Л функцию Гд: Л —> а + 1 такую, что для а € 21
имеем г%((р(а)) — <т{а). Аддитивность функции т^ очевидна. Ото-
Отображение </(a) = <r(aL) является дополняющей функцией для а.
Так как (/(а) = <r(aL) = <т((а V бI) = ^(а V 6) для любых
a € 21 и 6 е F«Bl), функция а1 тоже индуцирует на Л отображение
rjf: Л -> a + 1, где ri(<p(a)) = o^(a). Очевидно, что функция rf
является дополняющей функцией для г%.
Предложение 1.8.13. Пусть Л (Е {55^,05^}. Два расширения

1.8. Алгебры Ершова и проблема изоморфизма 97
специальной алгебры 21о Е-ранга а посредством алгебры Л изо-
изоморфны тогда и только тогда, когда изоморфны тройки
m, е. существует автоморфизм \i алгебры Л такой, что г% =
rj ц и rj" = rf ^.
Доказательство. Рассмотрим случай Л S 03" Пусть А — изо-
изоморфизм алгебр 21 и 21'. Тогда 2l0 = F,Bl) = F,Bl') = 2l0. Следо-
Следовательно, A(Qlo) = Qlo и А индуцирует автоморфизм ц\ Q3JJ1 -? Q3JJ1,
где fi(ip(a)) = у>'А(а). Так как А — изоморфизм, A f d: d —? A(d)
и A f dL: dL -? X(d)L являются изоморфизмами при любом d € 21.
Но тогда a{d) = a{X{d)) и a(d±) = o-(A(d)-L) и для любого с € Я3?
справедливы равенства г^с = г% (хсн rfc = r^ ^с. Следовательно,
^ является изоморфизмом между @3?, Гц, rf) и (fBjJ1, r^1 , rf ).
Докажем обратное утверждение. Пусть /х — автоморфизм Q3JJ1,
устанавливающий изоморфизм между @3", Гц, rf) и @3^, r$ , rf ).
Определим условие изоморфизма 5 на B1 х 21'), положив S =
{(а,Ъ) | а € 21, 6 € 21', w(a) = ^(Ь),г(а) = г(Ь), r(aL) =
гFх)}. Свойства A) и B) очевидны. В силу симметричности доста-
достаточно проверить свойство C).
Пусть (а, 6) G S и с € 21. Рассмотрим элемент do ^ w(a Л с).
Имеем r% (So) = г? ^y>(a Л с) = ^(^(а Л с)) и г?у>(а\с) =
ri(^ib\do)i так как А*у(а) = Ф{1>)- Выберем элемент d' ? 6 та-
такой, что ^(^') = ^о- Так как ad' = rjdo = o"(a Л с) и <тF\й') =
ri(^>6\do) == ro(y(a\c)) = o"(a\c), согласно определению типа су-
суператомности существует элемент do ^ Ь такой, что r(do) = т(а Л
с), rF\do) = r(a\c) и V"(do) = i>d' — d0. Поэтому (a Л с, 6 Л do) и
(а\с, b\do) лежат в S.
Найдем второй элемент d\. Пусть d\ = fi<p(c\a). Выберем
d! € bL так, что i>d' = d\. Из равенств типов суператомности
т(а) = т(Ь) и т(а±) = T(bL) и их определения следует, что най-
найдется элемент d! ? 6х такой, что r(di) = т(с\а), r(dj; Л 6х) =
т((а V сI) и V"di = V"d' = <?i Поэтому (c\a, di\6) и (a V с, 6 V di)
лежат в 5. Следовательно, существует изоморфизм между 21 и 21'.
Случай Л = 03ч рассматривается аналогично. ?

98 1. Алгебраические свойства булевых алгебр
Из характеризации дополняющих г' для г через ординал 7Г" и
фильтр Prv в качестве следствия получаем описание типов изомор-
изоморфизма в виде.
Следствие 1.8.2. При условиях предложения 1.8.13 алгебры Ер-
Ершова 21 и 21' изоморфны тогда и только тогда, когда существует
автоморфизм ц алгебры Л^ такой, чтог% = г% р и Р „< = fiPrv,
и lrf = 7rf ¦
Предложение 1.8.14. Пусть Л € {03,,, 03^}. Если 210 — счет-
счетная специальная алгебра с <тB1о) = а, то для любой аддитив-
аддитивной функции г: Л -> а + 1 и дополняющей для нее функции
г': Л —> а •+¦ 1 существует алгебра Ершова 21 такая, что
0->210->21АЛ->0,
т. е. расширение 21 алгебры do посредством Л такое, что г% =
г0 u rf = Г!.
Доказательство. В силу предложения 1.8.11 существует гомо-
гомоморфизм ^: Л —> 21ц такой, что г(а) = />^(а) и г'(а) = р(С(ф(а)))
для любого а € 53^. Ввиду теоремы 1.3.1 получаем заключение
предложения. D
Рассмотрим характеризацию типов изоморфизма счетных нор-
нормальных булевых алгебр. Пусть 21о — счетная специальная алгебра
Ершова специального ранга а. По любой точной последовательности
О —> 21о —> 93 -^ 03,, —> 0, т. е. расширению 21о посредством буле-
булевой алгебры 03,,, где 03 — булева алгебра, по аддитивной функции
специального ранга <т: 03 —> а + 1 определим аддитивную функцию
г<в- 03,, -> а+ 1, индуцированную <т, т. е. гдз(у(а)) = <г(а). Как
было отмечено ранее, эта функция корректно определена. В случае
булевых алгебр дополняющие функции уже не требуются.
Предложение 1.8.15. Верны следующие утверждения:
(а) булевы алгебры 21 и 03, являющиеся расширением 21о посред-
посредством 03,,, изоморфны тогда и только тогда, когда существу-
существует автоморфизм ц булевой алгебры *&v такой, что г%{а) =
r<s(tp(a)) для любого а € 03,,,

1.8. Алгебры Ершова и проблема изоморфизма 99
(Ь) для любой аддитивной функции г: 05ч —i а + 1 такой, что
гA) = а, существует булева алгебра 21, являющаяся расши-
расширением 21о посредством 03^, такая, что г<& = г.
Доказательство. Установим (а). Рассмотрим две точных по-
последовательности 0—>2to—>2tA05, —>ОиО—>210—>05-^>
05ч —> 0. Пусть Л — изоморфизм булевых алгебр 21 и 05. Тогда
A(F»Bl)) = F,(Q5V Следовательно, Л индуцирует изоморфизм ц
из 21/^B1) на ®/F»(Q5)- Поскольку для любого a G FtBl) алге-
алгебры а и Л(а) изоморфны, для любого 6 6 21 имеем <гF) = <г(АF))
и ra(VF«Bl)) = '¦«(•M'O/f,,^))- Для доказательства обратного
утверждения покажем, что S = {(а, 6) | ц<р(а) = ф{Ь), т(а) = т(Ь),
т(С(а)) = г(СF))} является условием изоморфизма булевых ал-
алгебр 21 и 55 (см. 1.5). Ax.l-Ах.З очевидны, а Ах4 и Ах5 симметричны.
Поэтому достаточно установить Ах4.
Пусть (а, 6) G S и с € 21. Рассмотрим а Л с и d ^ 6 такой,
что ц<р(а Л с) = V)(^)- Пусть т(а) = (а,/?,п) = т(Ь), т(а Л с) =
(а',/?',п'). Так как о Л с ^ о, имеем а' ^ а и /?' ^ /?. Если
а' = а и /?' = /?, то п' ^ п. Так как ^р(а Л с) = ^(^), получаем
rv(v?(a Ас)) = г*'(ф(с1)), что означает ff((f) = <т(а Л с) = /?. Та-
Таким образом, F*(d)/Fp{d) имеет наибольший элемент. Поскольку
^ переводит элементы из F, @5) в 0, можно взять j G F, (d) такой,
что j/Fp(d) —наибольший элемент фактора алгебры F»(d)/Fp(d)-
Так как т(а) = rF), r(C(a)) = т(С(Ь)), можно взять jo ^ 6 такой,
что г^'о) = (а',0,п') и определить новый элемент do = d\j V jo-
Очевидно, что do ^ b, r(do) = т(а Л с) и rF\d0) = т(а\с). Сле-
Следовательно, пары (а Л с, do Л 6) и (а\с, b\d0) лежат в S. Условие
изоморфизма S выполнено и утверждение (а) доказано. Утвержде-
Утверждение (Ь) вытекает из предложения 1.8.11 и теоремы 1.3.1. ?
Теорема 1.8.1. Для любой не суператомной счетной алгебры
Ершова 21 существует нормальное разложение в прямую сумму
подалгебр 21о и 2ti, единственное с точностью до изоморфизма,
т. е. для любого другого нормального разложения алгебры 21 в
прямую сумму подалгебр 05о и Q3i верно 21о — ©о w 211 = Q3i.
Доказательство. В силу предложения 1.8.12 нормальное разло-
разложение всегда существует. Докажем его единственность. Рассмотрим
два случая.

100 1. Алгебраические свойства булевых алгебр
Случай 1: RbooiBl) < оо. Тогда 21о и 2$о — булевы алгебры, 2li
и 051 — суператомные алгебры Ершова типа (а, /?, п). Ввиду супер-
суператомности булевых алгебр 21о, 2$о и равенства тB1о) = тB$о) алге-
алгебры Qli и 2$i изоморфны. Поскольку 2li и 2$i суператомные, полу-
получаем 21х С F*Bl) и *8х С F»(93). Поэтому вложения i'o: 21о -*¦ 21 и
j0: 55о -» 21 индуцируют изоморфизмы io- 21o/f.B1o) ~* ^/f.B1)
и jo: ®o/f*(Q5'o) ~* ®/f*B1)- Следовательно, 21о является расши-
расширением F.Bl)n2l0 до 21/f.(Q5), а 2$о — расширением F.(93)n2$o до
a/F,(B)- Однако 21 = 2lo + 2lb <8 = <80 + <8г H2lb«8i С F.Bl).
Поэтому F*Blo) и F»(Q5o) изоморфны, поскольку 21о и 2$о — нор-
нормальные алгебры Ершова, а в этом случае F*Blo) и F*B$o) — спе-
специальные алгебры одного и того же типа суператомности. Рассмо-
Рассмотрим для этих алгебр функции <т0, <тг и построим по ним функции
го(аМB1о)) = сто(а), г1(Ъ/р,(<В0)) = <tiF) для любых а G 21о
и 6 € 2$о- В силу 2li,2$i С F*Bl) получаем <то(а) = <г(а) и
«Л F) = <т(Ь) для любых а G 21о и 6 G 2$о, где <т: 21 -»¦ а + 1 и
а = <тB1). Взяв изоморфизм »о oj'1, получаем изоморфизм между
2lo/F.Blo) и ®o/f.(«80) такой- что го(«0 = '1A о3~l)(d) для
любого d G 21o/f»B1o)- По предложению 1.8.15 алгебры 21о и *8о
изоморфны.
Случай 2: RbooiBl) = сю. Тогда ^/f.B1) 2 <8?, и 21Ь <8i —
суператомные булевы алгебры такие, что либо 2li = SBi = {0} либо
2li и 2$i именуг один и тот же тип суператомности. Следовательно,
2li S 2$i. Покажем, что 21о и 2$о также изоморфны. Как и в случае
1, 21о является расширением F*Blo) до 21/^ф^^ и 2$о является
расширением F*(Q5o) до 21/f»B1)- Ввиду нормальности и равенства
<тB1о) = <т{Ъо) получаем, что F*Blo) и F*B$o) изоморфны.
Рассмотрим функции .Е-ранга «то, (Т\ для 21о, 2$о и функцию
а ?-ранга для 21. Из равенств <то(а) = <то(а) = <т(а) — <т(а)
для любых а G 21о и <Т\(Ь) — <т\{Ъ) — <т(Ь) = <т(Ь) для лю-
любых 6 € 2$о, получаем, что функции ro(a/F*Blo)) = ^о(о) и
Г! (а/F*(Ъо)) = ^1 (а) корректно определены и совпадают с анало-
аналогичными функциями для 21 при естественных изоморфизмах между
ao/F.Blo) и a/F.Bl) и между ®o/f.(«8o) и 21/f.B1) Пока-
Покажем, что дополняющие функции также совпадают. По определению
r?(a/F.Bl0)) = »»o((a)i) и r}(a/F,(B0)) = Vi.((a)a0)- Однако
(a)^o = (a)? П F0)а и (a)^o = (a)^ П Fj)^, где 60 — наиболь-

1.8. Алгебры Ершова и проблема изоморфизма 101
ший элемент алгебры 2Ц, a 6i — наибольший элемент алгебры 03 \.
Следовательно, rjfa/j^a,,)) = <p0{(a)k0) = ^(Ha n (Ma)- За-
Заметим, что <r((a)i П F0)i) = ^(a1) и <r(F)? П (б^) = <rFx),
поскольку 6о и 6j — суператомные элементы. Поэтому дополня-
дополняющие функции при этих расширениях относительно изоморфизма
i о j совпадают. По предложению 1.8.13 21о и ОЗо изоморфны.
Единственность доказана. ?
Следствие 1.8.3. Для любой счетной не суператомной буле-
булевой алгебры 21 типа суператомности (а, /?, п) существует един-
единственное нормальное разложение в прямую сумму подалгебр 21о
и Qli такое, что 2lo, 2li — булевы алгебры, 21о — нормальная
алгебра, 211 — суператомная алгебра и rBli) = (a, 0, п).
Следствие 1.8.1 вытекает из теоремы 1.8.1. В условиях следствия
1.8.3 булева алгебра 9to называется нормальной частью, а 211 —
собственной суператомной частью алгебры 91.
Следствие 1.8.4. Две счетные не суператомные булевы алгебры
91 и 05 изоморфны тогда и только тогда, когда изоморфны их нор-
нормальные и собственные суператомные части соответственно.
Таким образом, полностью представлена классификация типов
изоморфизма счетных булевых алгебр. Вначале выделяется соб-
собственная суператомная часть (считаем, что в случае суператомной
булевой алгебры она совпадает со всей алгеброй) и сравниваются
их типы: если они совпадают, то изоморфны эти части и тогда для
нормальных частей применяем характеризацию через аддитивные
функции на безатомной булевой алгебре.
Упражнения
1. Доказать предложение 1.8.1.
2. Пусть S — условие изоморфизма на алгебрах Ершова 21 и 03.
(а) если a < a', 6 < 6' и (a'\a,b'\b) ? S, то для любого с ? 21
такого, что а ^ с ^ а', найдется d, b ^ d ^ 6', такой, что
(c\a,d\b) ? S и {a'\c,b'\d) ? S, а для любого 6 ^ d ^ 6'
найдется а ^. с ^.а' такой, что (с\а, d\b) € S и (а'\с, b'\d) ?
S,

102 1. Алгебраические свойства булевых алгебр
(Ь)если (а, 6) € S и а < с, то существует d > b такой, что
(с\а, d\b) € S и (с, d) € 5.
3. Доказать, что для счетных безатомных алгебр Ершова 21 и Ъ
без наибольших элементов множество S = {(а, 6) | а € 21, 6 €
<В, а = 0 <=> 6 = 0} является условием изоморфизма.
4. Если а — элемент алгебры Ершова 21, то множество ах = {х €
|21| | х Л а = 0} определяет подалгебру алгебры Ершова 21.
5. Доказать, что для любой алгебры Ершова 21 и ординала а, рав-
равного ординальному типу 21 (т. е. а — наименьший ординал такой,
что FQBl) = FQ+iBl)), выполнено равенство F.Bl) = FQBl).
6. Показать, что для функции а .Е-ранга алгебры Ершова 21 верно
а(а V6) = тах{<т(а),<тF)} при любых а,Ь из 21.
7. Если 21 — специальная алгебра Ершова, то <тB1) = ^(а^) для
любого а 6 21.
8. Если 21 — специальная алгебра Ершова, то подалгебра а^ —
специальная алгебра для любого а € 21.
9. Если алгебры Ершова 21 и 2$ специальны, то 21 х 2$ — специаль-
специальная алгебра Ершова.
10. Если 21 и <8 — специальные алгебры Ершова и 21', Ъ' — про-
произвольные алгебры Ершова, причем <тB1) = <тB1') ^ °"(®) =
(т(ОЗ') и гB1 х 03) = гB1' х Ъ1), то г@3) = т(Ъ').
И. Если 21 — суператомная булева алгебра типа (а, п), то ее тип
суператомности (как алгебры Ершова) равен (а,0,п).
12. Доказать предложение 1.8.11.
13. Доказать второй случай из предложения 1.8.13.

Глава 2
Элементарная классификация
булевых алгебр
2.1. Основные понятия и методы
теории моделей
Прежде, чем приступить к характеризации элементарных теорий бу-
булевых алгебр, рассмотрим основные теоретико-модельные конструк-
конструкции, которые будут использованы ниже (см. [18, 36, 72]). При изуче-
изучении теоретико-модельных свойств исследуется класс Mod (А) всех
алгебраических систем, удовлетворяющий заданным аксиомам. Ал-
Алгебраические системы, на которых выполняются аксиомы А, назы-
называются моделями теории А, а класс Mod (Д) — аксиоматизи-
аксиоматизируемым классом. Любой аксиоматизируемый класс, содержащий
бесконечную алгебраическую систему или сколь угодно большие ко-
конечные, содержит также системы большей любой наперед заданной
мощности. Это следует из теоремы компактности Мальцева.
Для класса алгебраических систем введем понятие, более силь-
сильное, чем изоморфное вложение. Необходимость его введения объ-
объясняется следующим рассуждением. При изоморфизме «на» истин-
истинность формулы сохраняется. Однако для изоморфного вложения
103

104 2. Элементарная классификация булевых алгебр
это утверждение неверно. Например, при изоморфном вложении
счетной атомной булевой алгебры в безатомную булеву алгебру ато-
атомы переходят в безатомные элементы.
Отображение (р основного множества А алгебраической системы
21 в основное множество В алгебраической системы 53 называется
элементарным вложением, если
211= Ф(а1 а„)«»<8^Ф(р(а1),... ,<р{ап))
для любых формулы Ф(х1,... ,хп) и элементов (ai,... ,а„) ? А.
Для элементарного вложения используем обозначение (р : 21 ^1 53.
Нетрудно видеть, что элементарное вложение является изоморфным
вложением. Подсистема 21 алгебраической системы 53 называется
элементарной подсистемой, а 53 — элементарным расширением
21, если тождественное вложение А в В элементарно, т. е. 21 ^ 53.
Индукцией по сложности формулы устанавливается следующая
теорема.
Теорема 2.1.1. Если 2lo ^ 2ti ^! ... ^ 21„ ^! ... — цепочка
элементарно вложенных моделей, то объединение 21 ы всех моде-
моделей этой цепочки является элементарным расширением каждой
модели 21,-, г = 0,1
Через у?B1) обозначаем множество всех наборов элементов 21, на
которых выполняется формула у(х). Если Ф(хь ... , х„) — мно-
множество формул со свободными переменными из набора ц,... , хп,
то полагаем ФB1) ±=; П ^B1).
Приведем критерий элементарности подсистемы, который удо-
удобен при изучении модельной полноты некоторых алгебраических те-
теорий. Этот критерий позволяет выяснить, будет ли данная подсисте-
подсистема элементарна, без проверки истинности формул. Критерий будет
доказан индукцией по сложности формул.
Предложение 2.1.1 [о элементарности подсистем]. Подсистема 21
алгебраической системы 53 элементарна тогда и только тогда,
когда выполнено условие Робинсона:
(R) для любых элементов ai,... ,ап системы А и формулы ви-
вида (Зу)^>(хь... ,хп,у) при условии 531= {3y)ip(ai,... ,ап,у),
существует b G А такой, что 93 t= ip(ai,... ,an,b).

2.1. Основные понятия и методы теории моделей 105
Это предложение оказывается мощным инструментом при реше-
решении проблемы элементарности конкретных вложений. В частности,
он полезен при построении «небольших» систем.
Пусть 21 — алгебраическая система сигнатуры <т и X С А. По-
Построим элементарную подсистему, содержащую X, мощность кото-
которой не превосходит максимума мощностей множества X и языка
первого порядка La сигнатуры <г. Для этого рассмотрим формулы
вида Cy)tp(x\,... , хп, у) языка Lo и расширим сигнатуру <т до <г*
новыми операциями F? местности которых равны числу перемен-
переменных, имеющих свободные вхождения в соответствующую формулу
{3y)ip(x\,... , хп, у). Определим обогащение 21* системы 21 этими
новыми операциями
(h(A), если 21 ? Cy)<p(ai,... ,ап,у),
h({a |2ll= ip(ai,... ,an,a)},
если 211= {3y)ip{ai,... ,an,y),
где h — функция выбора на множестве непустых подмножеств А.
Такие функции называются скулемовскими. Рассмотрим подсисте-
подсистему gra. (X) системы 21*, порожденную X. Используя предложение
2.1.1, нетрудно проверить, что ее обеднение на старую сигнатуру
является элементарной подсистемой системы 21. Это обогащение
называется скулемовским. Итерируя эту конструкции ы раз, полу-
получим элементарность подсистемы не только в первоначальном языке,
но и в построенном обогащении. Из этого утверждения и теоремы
Мальцева следует, что в аксиоматизируемом классе с бесконечными
системами существуют системы любых бесконечных мощностей, в
том числе счетные и континуальные.
Две алгебраические системы называются элементарно эквива-
эквивалентными, если на них истины одни и те же предложения. Через
Th B1) обозначим множество всех предложений, истинных на ал-
алгебраической системе 21, и будем называть Th B1) теорией систе-
системы 21.
Заметим, что 21 является моделью для множества аксиом Д то-
тогда и только тогда, когда Д С Th B1). Пусть Т — полная теория
сигнатуры <т и р{х\,... ,хп) — множество формул со свободными
вхождениями лишь переменных х\,... ,хп. Максимальное совмест-
совместное с Т множество формул со свободными вхождениями переменных
х\,... ,хп называется типом теорииТот переменных Х\,... ,хп.
Через Sn (Т) обозначается множество всех типов теории Т от п пере-

106 2. Элементарная классификация булевых алгебр
менных. Если 21 — алгебраическая система теории Т и а\,... , ап —
элементы множества А, то множество
... ,х„) = {<p(xlt... ,х„) | 21 t=
которое является типом теории Т, будем называть типом набора
элементов а = (а\,... , ап). По теореме Гёделя о полноте и тео-
теореме компактности любой тип р € Sn (T) является типом некото-
некоторого набора элементов из подходящей системы 21 t= Т. Если тип
р(х\,... ,?„) выполняется на наборе а из 21, то будем говорить,
что типр(х1,.. . , хп) реализуется в алгебраической системе 21 на
наборе а.
На Sn(T) определим топологию г. В качестве базиса открытых
множеств возьмем
{<р | <р — формула совместная с теорией Т со свободными
переменными из х\,... , х„},
где?±=; {p(xi,... ,х„) | v?€p(x!,... ,х„) € Sn(T)}. Эта тополо-
топология называется мальцевской топологией на множестве типов. По
теореме компактности соответствующее топологическое простран-
пространство компактно.
Формула ip(x\,... ,xn) называется полкой формулой теории
Т, если она совместна с Т и для любой формулы ф(х\,... , х„)
выполнено Т h ip -> ф или Г h ip -> ""V- Типы, содержащие
полные формулы, называются главкьши. Очевидно, что каждый
главный тип реализуются в любой системе этой теории Т, т. е. в
любой системе найдется набор элементов, на котором выполняются
все формулы из этого типа.
Алгебраическая система 21 опускает типр(х\,... , х„), если не
существует набора а в 21, на котором этот тип реализуется.
Для построения моделей с заданными свойствами часто исполь-
используется метод Хенкина построения таких теорий в обогащении сигна-
сигнатуры константами (теорий Хенкина), для которых существует мо-
модель, которая строится на фактор-множестве множества констант-
константных символов. Полная теория Т называется теорией Хенкина, если
выполнено условие Хенкина:
(Н) для любого предложения вида (Зх)^?(х) найдется константа
с такая, что предложение [<р{х)\% выводимо из Т, если пред-
предложение (Зх)^(х) выводимо из Т.

2.Г. Основные понятия и методы теории моделей 107
Рассмотрим множество С всех константных символов сигнатуры
<т теории Хенкина Т и отношение эквивалентности на них: с ~ d для
c,d ? С, если Т Ь с = d. В качестве основного множества искомой
модели возьмем фактор-множество Мт = С/— Интерпретацию
символов этой теории на Мт определим следующим образом:
— (ci/~, • • • ,с"/~) € Р если и только если Т Ь P(ci,... ,с„)
для re-местного предикатного символа Р Е а,
— если F Е а — n-местный функциональный символ, то по усло-
условию Хенкина для любого набора символов констант с\,... , с„
найдется константный символ с такой, что Т Ь F(ci,.. . , сп) =
. с; полагаем // /
— для константного символа с ? а полагаем его значение равным
смежному классу с/—
Введенные определения корректны, и мы получаем алгебраиче-
алгебраическую систему Нт сигнатуры <т, которую назовем моделью Хенкина
теории Т.
Предложение 2.1.2. Для любых формулы <p(xi .. ¦ ,хп) сигна-
сигнатуры <т и константных символов С\,... ,сп выполнена эквива-
эквивалентность Нт 1= <p(ci/~,. •. , сп/~) <=> Т h tp[ci,... , с„).
Доказательство. Применяем индукцию по сложности форму-
формулы ip из полноты и условия Хенкина на теорию Т. ?
Следствие 2.1.1. На модели Хенкина Нт выполушются все пред-
предложения теории Т.
Метод Хенкина позволяет решить задачу об опускании типов.
Применяя этот метод, можно доказать также теорему Гёделя о пол-
полноте исчисления предикатов.
Теорема 2.1.2 [об опускании типов]. Если Pi{xi), i ?N, — счет-
счетное семейство неглавных типов счетной сигнатуры а непроти-
непротиворечивой теории Т сигнатуры <Т, то существует счетная мо-
модель 21 этой теории, опускающая все эти типы.
Доказательство. Рассмотрим обогащение сгс сигнатуры <т но-
новыми константными символами {со, с\,... , с„,... }, множество Д
предложений сигнатуры ас и множество S всех максимальных под-

108 2. Элементарная классификация булевых алгебр
множеств Д совместных с Т. Определим на S структуру тополо-
топологического пространства. В качестве базиса топологии г возьмем
множества вида ip = {А ? S \ (р ? А}, тце ip — совместное с
Т предложение сигнатуры ас- По теореме компактности тополо-
топологическое пространство (S, т) компактно, а в силу счетности языка
оно является пространством Бэра. Для любого предложения вида
(Зх)<р сигнатуры ас определим
UCx)<p(x) ^ {A G S | существует с G С такое, что tp(c) ? Д}.
Это множество открыто и всюду плотно в (S, т). Для любых типа
Pifii) и набора константных символов с определим подмножество
UPt<c ^ {A G S | существует tp G Pi такая, что ~V(c) G А}.
Такие множества открыты и всюду плотны. По теореме Бэра [88,
99] существует множество формул A G П U^x)ip П ПП^р; «¦ Из
Cr)V i с
условия A G UCx)v Для любого предложения Cx)tp следует, что
А — теория Хенкина, а в силу A G H^Pi ,с в модели Хенкина Яд
с
тип pi опускается. Таким образом, обеднение модели Хенкина до
сигнатуры а есть искомая алгебраическая система. ?
Рассмотрим некоторые специальные типы счетных моделей пол-
полных счетных теорий. Пусть 21 и (8 — модели полной теории Т
сигнатуры а. Наборы а и Ь элементов из 21 и 93 называются эле-
элементарно эквивалентными (<1 = 6), если они реализуют один и
тот же тип. Для семейства X элементов алгебраической системы
21 через B1, X) обозначаем систему, полученную из 21 добавлением
новых константных символов са,а G X так, что значение констан-
константы с„ равно элементу а. Если X = {с^,... ,а„}, то используем
также обозначение B1, а\,... , а„). Заметим, что 5 и 6 элементарно
эквивалентны тогда и только тогда, когда системы B1, а) и (S3,6)
элементарно эквивалентны.
Алгебраическая система 21 называется ш-однородной, если для
любых элементарно эквивалентных наборов 5и6из21иаб21 най-
найдется b G 21 такой, что расширенные наборы (а, а) и F,6) элемен-
элементарно эквивалентны. Счетные ш-однородные системы называются
однородными.
Отображение / подмножества X алгебраической системы 21 на
подмножество У алгебраической системы 93 называется частич-

2.1. Основные понятия и методы теории моделей 109
ним элементарным (изоморфным) вложением 21 в 55, если для
любых (бескванторной) формулы (р(х\,..., хп) и элементов xi,... ,
21 * р(хь ... ,х„) <* 55
Для элементарно эквивалентных наборов элементов (ai,... ,а„) из
21 и (bi,... , 6„) из 55 отображение / из (ai,... , an) на F1,... , 6n)
такое, что /(a,) = 6,-, является частичным элементарным вложени-
вложением.
Если 21 — некоторая система, то 5<а обозначает множество всех
типов, которые реализуются в 21.
Теорема 2.1.3. Счетные однородные алгебраические системы 21
и 55 изоморфны тогда и только тогда, когда 5а = 5<в-
Доказательство. Челночным методом для любого конечного
элементарного вложения 21 в 05 можно построить конечное элемен-
элементарное вложение,, расширяющее исходное и содержащее в области
определения или в области значений любой заданный элемент из 21
или 05 соответственно. D
Аналогично доказывается следующее утверждение.
Следствие 2.1.2. Для счетных однородных моделей 21 и 55 с од-
одним и тем оке семейством реализующихся в них типов любое
конечное элементарное вложение 21 в 55 продолжается до изо-
изоморфизма 21 wa 55.
Следствие 2.1.3. Любое конечное элементарное вложение
счетной однородной модели в себя продолжается до автоморфиз-
автоморфизма.
Тем же методом построения расширяющейся цепочки частичных
элементарных вложений доказывается следующее утверждение.
Следствие 2.1.4. Если 21 — счетная модель и 55 — ui-однород-
ная модель теории Т, 5а С 5<а, mo существует элементарное
вложение 21 в 53.
Вопрос о существовании счетных однородных моделей легко ре-
решается на основе теоремы компактности и метода диаграмм. Рас-
Рассмотрим обогащение 21* = B1, А) алгебраической системы 21 сигна-

ПО 2. Элементарная классификация булевых алгебр
туры а\ = a U {са \ а 6 А) полученной добавлением констант са,
а 6 А, к сигнатуре а. Теория ТЪ B1*) называется полной диаграм-
диаграммой и обозначается Du(Ql). Диаграммой 21 называется множество
DoB1) = {(р | 21* 1= ip, tp — атомарная формула или отрицание
атомарной формулы в расширенной сигнатуре <т"А }.
Отметим следующие очевидные утверждения.
A) Алгебраическая система 21 изоморфно вложима в систему
93, если существует обогащение 93^ системы 93 расширен-
расширенной сигнатуры <тА такое, что 93*^ 1= DoB1).
B) Алгебраическая система 21 элементарно вложима в систему
03, если существует обогащение <ВА системы 03 расширенной
сигнатуры <тА такое, что <В"А t= DW(Q[).
С помощью метода диаграмм получаем следующую теорему.
Теорема 2.1.4. Любая счетная алгебраическая система элемен-
элементарно вкладывается в некоторую счетную однородную алгебраи-
алгебраическую систему.
Таким образом, любая теория имеет счетные однородные модели,
которые создают хороший базис исследования теорий.
Рассмотрим однородные модели при дополнительных условиях
минимальности и максимальности. Не все теории подчиняются этим
условиям, но изучение теорий с этими условиями существенно об-
облегчается.
Алгебраическая система называется атомной, если в ней реали-
реализуются только главные типы. Очевидно, что атомная система явля-
является однородной. Модель 21 теории Т называется простой, если она
элементарно вкладывается в любую модель теории Т.
Из следствия 2.1.4 и теоремы 2.1.2 об опускании неглавных типов
получаем следующую теорему.
Теорема 2.1.5. Если Т — полная теория с бесконечными моде-
моделями, то ее модель 21 1= Т проста тогда и только тогда, когда
она счетная и атомная.
Счетная модель 21 теории Т называется универсальной, если лю-
любая счетная модель теории Т элементарно вложима в 21.

2.1. Основные понятия и методы теории моделей 111
Рассмотрим внутреннее условие максимальности. Модель 21 на-
называется ш-насыщенной, если для любого набора ai,... ,ап лю-
любой тип р[х,а\,... ,ап) теории ThBl,ai,... ,an) реализуется в
B1, ai,... , ап). Очевидно, что w-насыщенные модели w-однородны.
Счетная w-насыщенная модель 21 теории Т называется счетно на-
насыщенной моделью теории Т.
Из следствия 2.1.4 получаем следующее утверждение.
Теорема 2.1.6. Если Т — полная теория с бесконечными моде-
моделями, то счетная модель 211= Т насыщена тогда и только тогда,
когда она универсальна и однородна.
Рассмотрим вопрос о существовании простых и насыщенных мо-
моделей. Пусть Т — полная теория сигнатуры <т. Рассмотрим булевы
алгебры Линденбаума 2$„(Т) теории Т формул с п свободными пе-
переменными и множество Тп{Т) ±=; Т{Ъп{Т)) всех ультрафильтров
на 2$П(Т). Пусть, как и раньше, Sn(T) — множество типов с п
свободными переменными xi хп теории Т. Определим отобра-
отображения
Filter (р(хь... ,х„)) t=; {<P/~T \рер} прире5„(Т),
Type (F) = W | ?>/~r G F} при F G Тп[Т).
Эти отображения взаимообратны и устанавливают взаимно одно-
однозначное соответствие между типами и ультрафильтрами. Более то-
того, они являются гомеоморфизмами, если Sn(T) снабжено тополо-
топологией Мальцева, а Тп[Т) — топологией Стоуна.
Теория Т называется
— атомной, если Ъп(Т) атомная при любом п,
— суператомной, если 2$П(Т) суператомна при любом п.
Ясно, что суператомная теория является атомной. Теория Т
атомная тогда и только тогда, когда при любом п множество глав-
главных типов от п переменных всюду плотно в Sn (Т). Теория Т супер-
суператомная тогда и только тогда, когда при любом п множество типов
от п переменных не более чем счетно.
Теорема 2.1.7. Полная теория имеет простую модель тогда и
только тогда, когда она атомная.

112 2. Элементарная классификация булевых алгебр
Доказательство. Утверждение вытекает из атомности простых
моделей и теоремы 2.1.2. ?
Теория называется счетно категоричной, если она имеет един-
единственную с точностью до изоморфизма счетную модель.
Следствие 2.1.5. Полная теория счетно категорична т.огда и
только тогда, когда при любом п алгебра Линденбаума формул
от п свободных переменных конечна.
Теорема 2.1.8. Полная теория имеет счетно насыщенную мо-
модель тогда и только тогда, когда она суператомна.
Доказательство. Необходимость следует из счетности и уни-
универсальности насыщенной модели. Для доказательства достаточ-
достаточности заметим, что ввиду счетности семейства всех типов полной
теории и теоремы 1.1.2. существует счетная модель, реализующая
все типы теории. Ее однородное счетное элементарное расширение
есть счетно насыщенная модель. ?
Следствие 2.1.6. Если теория имеет счетную универсальную
модель, то она имеет счетно насыщенную модель.
Следствие 2.1.7. Если полная теория имеет счетно насыщен-
насыщенную модель, то она имеет простую модель.
Следствие 2.1.8. Полная теория имеет счетно насыщенную
модель тогда и только тогда, когда семейство всех типов этой
теории счетно.
Следствие 2.1.9. Если полная теория имеет не более чем счет-
счетное число счетных моделей, то она имеет счетно насыщенную
и простую модели.
Рассмотрим еще одну характеристику элементарных теорий: мо-
модельную полноту. Она имеет важное значение как для понима-,
ния устройства моделей, так и для изучения их алгоритмических
свойств. Теория Т называется модельно полной, если для любой
модели 91 теории Т теория Т U Д)(9Т) полна, где ?>о(91) — диа-
диаграмма модели 91 Добавляя к сигнатуре теории Т для любой фор-
формулы <р(х\,... , хп) новый предикатный символ P<p{xi,... , хп) и к

2.1. Основные понятия и методы теории моделей 113
теорию Т — новую аксиому, определяющую этот предикат,
i,... ,х„) <&Pv(xi,...
мы расширяем теорию Т до теории, которая будет семантически
эквивалентной Т, но модельно полной. Отметим, что задача нахо-
нахождения наименьшего числа новых определимых предикатов обеспе-
обеспечивающих модельную полноту расширений является фундаменталь-
фундаментальной. Решение этой задачи позволяет более глубоко понять строение
моделей исходных теорий. Пусть <г — счетная сигнатура и Т — тео-
теория сигнатуры сг. Формула ф{х\,... , хп) называется Т-эквивален-
тной формуле ф{х\> ¦ ¦ ¦ ,хп), если
Теорема 2.1.9. Для теории Т сигнатуры а следующие условия
эквивалентны:
A) Т модельно полна,
B) для любой не более чем счетной модели 91 теории Т теория
Tl)D0(m) полна,
C) если 91 и 9ЭТ — не более, чем счетные модели теорииТ и 91 —
подмодель модели 9ЭТ, то 91 — элементарная подмодель 9ЭТ,
D) если 91 и 9ЭТ — модели теории Т и 91 — подмодель модели 9ЭТ,
то 91 — элементарная подмодель 9ЭТ,
E) любая 3-формула Т-эквивалентна ^-формуле,
F) любая V-формула Т-эквивалентна 3-формуле,
G) любая формула Т-эквивалентна 3-формуле,
(8) любая формула Т-эквивалентна ^-формуле,
(9) любая формула Т-эквивалентна ^-формуле и 3-формуле.
Доказательство. Импликация A) ^ B) верна по определе-
определению. Импликация B) ^ C) следует из полноты Т U ?>о(91), по-
поскольку диаграмма Z?o(9rl) выполнима в расширении. Импликация
C) :=> D) для не более чем счетной модели 9ЭТ следует из усло-
условия C). В случае несчетной модели 9Й рассмотрим произвольный

114 2. Элементарная классификация булевых алгебр
конечный набор ах,... ,ап элементов Ч\. Используя скулемовское
обогащение, построим не более чем счетную э чементарную подмо-
подмодель ЭДо ^ 41, содержащую элементы ах,... ,ап, и не более чем
счетную элементарную подмодель SDto ^ 9П, содержащую все эле-
элементы *Xto- Так как УХо С SDto и эти модели не более чем счетные,
имеем ЭДо ^ Я^о- Верны следующие эквивалентности:
,... , an) <* 9П0 t= <p{alt... ,an),
,... ,an).
Поэтому У\ P <p(ax, ¦ ¦ ¦ ,an) *> 9П Ё ^(ai,... ,an). Следовательно,
Докажем импликацию D) => E). Рассмотрим произвольную
3-формулу <р(хх, ¦ ¦ ¦ , х„) и множество формул
,... ,хп) 2=; {t/)(xb... ,х„) | ф(хх,-.. ,хп) —V-формулаи
Th (Vx^.-Xn)^!!,... ,Х„) -
Если множество формул ГиФ(х1,... , xn)U{"'^(xi,... , х„)} про-
противоречиво, то существует конечное подмножество {фх, ¦ ¦ ¦ ,Фп) С
Ф(хь... ,х„) такое, что TU{t/)b ... , t/)n}U{"'^(x1,... ,х„)} про-
противоречиво и, следовательно, Т U {фх, ¦ ¦ ¦ ,Фп} г- <р(хх, ¦.. ,х„).
Тогда Т U {&t/)j} Ь ^(ib... ,х„) и, следовательно, Г h кф, ->
^(хь... ,х„). Так как Г Н ^(xi,.v ,а;„) -> &Vt> 1 ^ г ^ «, Ф°Р-
мула ^(ai,... ,an) Т-эквивалентна конъюнкции V-формул. Как
легко видеть, конъюнкция V-формул^эквивалентна V-формуле. Если
ГиФ(хь ... ,xn)U{"'^(zi1... , xrt)} непротиворечивы, то рассмо-
рассмотрим модель 91, где она выполнима. Пусть ах,. ¦. , ап — элементы
из 91, на которых выполнено это множество формул. Рассмотрим
диаграмму D0(9t) модели УХ и множество формул О0(У\) U Г U
{<р(ах,... , а„}. Это множество очевидно непротиворечиво и суще-
существует модель 9П, в которой оно выполняется. Так как в 9П выпол-
выполнимы Do (У\) и Т, заключаем, что 9П — модель теории Т, расширя-
расширяющая модель У\. Но в этом случае У\ ^ 9П и 9П f= ""^(aj,... , ап).
Однако по построению SDt f= ^(ai,... ,an). Импликация D) => E)
доказана.
Импликация E) => F) следует из того факта, что отрицание
3-формулы эквивалентно V-формуле, а отрицание V-формулы экви-
эквивалентно 3-формуле.

2.1. Основные понятия и методы теории моделей 115
Импликация F) =>• G) доказывается индукцией по числу пере-
перемен кванторов у формулы в пренексной нормальной форме.
Так как отрицание 3-формулы эквивалентно V-формуле, импли-
импликацию G) =>• (8) получаем из того факта, что две формулы Т-экви-
валентны тогда и только тогда, когда их отрицания Т-эквивалентны.
Аналогично устанавливается импликация (8) =>• (9).
Для завершения доказательства остается показать, что из (9)
следует A). Пусть существует модель У\ теории Т такая, что тео-
теория TU Do (91) не полна. Существует предложение f(ai,... , ап) с
константами а,-, 1 ^ г ^ гг, для элементов из модели Щ такое, что
множества формул
TU?>0(*n)U{v>(ai «„)}, TUDo(9l)U{Xai,... ,an)}
совместны. Рассмотрим модели 21 и 03, на которых выполняются
первое и второе множество предложений соответственно. Поскольку
в этих моделях выполняется диаграмма У\, считаем, что У\ С 21 и
У\ С 03. По условию (9) существуют V-формулы фо{х\,... , хп) и
ф\ (х\,... , хп) такие, что
Т\-
Так как 21 1= Т и 03 1= Т, имеем 21 1= Vo(ai,... ,а„) и 03 1=
rj)i(ai,... ,а„). Однако Vo(ai,... ,а„) и Vi(ai,... ,а„) являют-
являются V-формулами. Если они выполняются в модели, то они также
выполняются в подмодели. Следовательно, *Л 1= фо(а\,... ,о„)
и *Л 1= ф\(а\,... ,а„). Система <Л — модель Т, поэтому *Л 1=
<р(ах,... ,ап) и *Л 1= "'</?(ai,... ,а„), что невозможно. Теорема
доказана. ?
Пусть Т — некоторая теория сигнатуры а.
Теорема 2.1.10 [18]. Формула <р\(х\, ... , хп) Т'-эквивалентна 3-
формуле сигнатуры а тогда и только тогда, когда она сохраняет
истинность на расширениях, га. е. для любых моделей Щ, ОЯ
теории Т и элементов ai,. . . , ап из Щ, где Щ — подмодель ОЯ
и tp истинна на элементах а\, . . . ,ап в Щ, ip истинна на этих
же элементах и в модели ОЯ.

116 2. Элементарная классификация булевых алгебр
Доказательство. Необходимость следует из определения ис-
истинности. Докажем достаточность. Рассмотрим множества формул
Ф(х1,... ,хп) t=; O(xi,... , х„) | ^(xi,... , х„) — 3-формула,
. ТУ-
Если множество Т U Ф(ж1,. ¦ ¦ , х„) U {<р{х\,... , х„)} противоре-
противоречиво, то существует набор формул ""^i, ... ,^4>m из Ф такой, что
множество Ги{п^1,... ^Фт\ U W{x\, ... ,х„)} противоречиво.
m
Поэтому TU {к. ''ipi} U {y(xi,... ,х„)} противоречиво. Следова-
Следовательно, *~
ГиМи,...,1„)}(-Х&^), TuMx1,...,xn)}h V^).
1=1 1=1
Так как Т Ь ipi —> <р(х\,... , х„), 1 ^ г ^ т, имеем
Т Ь (Vxi.. .Vxn)Mxi,... , х„)
Дизъюнкция Э-формул эквивалентна Э-формуле, поэтому заключе-
заключение теоремы выполнено.
Пусть множество ТиФ(хх,... ,х„) U {<p(xi,... ,х„)} совмест-
совместно. Рассмотрим модель 9Л теории Т и элементы а^,... ,ап из
9Л такие, что 9Л 1= Ф(о1,... ,а„) и 9Л 1= ip(ai,... ,an). Пусть
Dq(VJV) — диаграмма модели 9Л. Предположим, что Т U Do(Wt) U
{^ip{ai,... ,а„)} совместно. Мы получим расширение ^ модели
9Л, где на элементах oi,... , а„ формула y(xi,... , х„) ложна, что
противоречит условию. Следовательно, множество Т U Do(fXfl) U
{""^(ai,... ,an)} несовместно. По теореме компактности найдет-
найдется конечное число формул Ci.--- .Cm из ?>о(9Л) такое, что Т U
{Ci.-- . Cm }U {"" y(ai,... ,an)} несовместно. По теореме Гёделя о
m
полноте оно противоречиво. Тогда Т U {к Ci} U {"'^(ai,... , an)}
m
{к C
m m
противоречиво и TU{ & Ci} ^ y(aii ¦• • .a«)- Поэтому Th & ^ ~+
i=l i=l
y?(ai,... ,an).
Рассмотрим все новые константы 61,... , bm, входящие в форму-
m
лу & ?,• и не принадлежащие набору ai,... , а„. В доказательстве
:=1
формулы &0 -> ^(«1. • • ¦ ! ап) заменим все константы Ь\,... , bm
новыми переменными j/i,... , ym и константы ai,... , а„ — новыми
переменными xi,... , х„. Так как формулы из Т не содержат кон-

2.1. Основные понятия и методы теории моделей 117
стант 6i,... , 6m, доказательство сводится к доказательству форму-
формулы
полученной заменой констант переменными. Константы 6i,... , bm
не входили в tp, поэтому переменные j/i,... , j/m также не входят в
нее, и она совпадает с формулой
,... ,ут ^
Следовательно,
т ь (Vx!.. .vxn)(vyi.. .чу!,!?
Поскольку переменные j/i,... ,ym не имеют вхождений в у>, эта
формула эквивалентна формуле
и она также выводима из Т. Так как
является 3-формулой, ее отрицание лежит в Ф по построению Ф.
Отрицание этой формулы истинно в 91 на элементах а\,... , а„. По
условию формула [&?,-] истинна на значениях своих констант, т. е.
формула
выполнена на наборе а\,... , ап. Полученное противоречие закан-
заканчивает доказательство. ?
Следствие 2.1.10. Формула <р(х\,... ,хп) Т-эквивалентна V-
формуле тогда и только тогда, когда она сохраняет истинность
на подмоделях.
Модель 91 теории Т называется п-полной, если для любых фор-
формулы ip(x\,... , xm) в пренексной нормальной форме с не более чем
п чередующимися группами кванторов и элементами а\,... , ат из
91, где 91 Ё ч>(а\,... ,ат), найдется 3-формула ip(xi,... ,xm) та-
такая, что 91 Ё ф(ах,..., ат) и

118 2. Элементарная классификация булевых алгебр
Модель <П теории Т называется и-полной, если она n-полна для
любого п. Любая модель модельно полной теории ш-полна. Обрат-
Обратное утверждение также верно.
Следствие 2.1.11. Теория модельно полна тогда и только то-
тогда, когда любая ее модель ш-полна.
Модель 21 теории Т называется почти п-полной (почти ш-пол-
ной), если существует n-полное (ш-полное) конечное обогащение
B1, ai,... , ат) модели 21 константами ai,... ,ат.
Из определения n-полноты получаем следующее предложение.
Предложение 2.1.3. Любая п-полная (ш-полная) модель п-пол-
на (ш-полна) также в любом конечном обогащении константа-
константами.
Следующее предложение можно доказать методом полных диа-
диаграмм.
Предложение 2.1.4. Для любых элементарно эквивалентных
моделей 21 и *В существует модель <? такая, что 21 и *В элемен-
элементарно вложены в (?.
Индукцией по сложности формулы долучаем следующее утвер-
утверждение.
Предложение 2.1.5. Если 21 ^ 21' и <В ^ <В', то 21 х <В ^
21' х <В'.
Из предложений 2.1.4 и 2.1.5 получаем следующее утверждение.
Следствие 2.1.12. Если 21 = 21' и <В = <В', то 21 х<В = 21' х<В'.
Пусть Т и X" — теории сигнатур а и а'. Теория Т" называется
определимой в теории Т, если для каждого сигнатурного символа
С в "¦' существуют формула Ф^ и формула А(х) сигнатуры <т такие,
что для любой формулы ip сигнатуры <т' выполнено Т' Ь ip тогда
и только тогда, когда Т Ь ip, где <р получается из <р следующим
образом:
Для формулы (р сначала рассмотрим совершенную дизъюнктив-
дизъюнктивную нормальную форму Q\X\ .. -Qm^m^ эквивалентной форму-
формулы <р'. Заменим подформулы формулы Ф вида A-1.1) формулами

2.1. Основные понятия и методы теории моделей 119
сигнатуры <7. В результате получим формулу Ф': Для константы
с формула Фс(х) имеет только одну свободную переменную. Для
n-местного функционального символа F ? <т' формула Фр (ij,... ,
хп, ?n+i) имеет лишь п+1 свободных переменных х\,... , хп, гп+1-
Для n-местного предикатного символа Р ? <т' формула Фр(х1,... ,
хп) имеет только п свободных переменных.
В бескванторной части Ф формулы <р' мы можем сделать заме-
замены атомарных подформул следующим образом: подформулы вида
у = с — формулой Фс(у), подформулы вида f(xi, ¦ ¦ ¦ ,хп) = у —
формулой Ф/(г1,... ,хп,у), подформулы вида Р(гь... , хп) —
формулой Фр(хх,... ,хп).
В результате получим формулу Q\Xx,.. .Qmxm^f'.
Последний шаг состоит в последовательном преобразовании кван-
торной приставки Q\X\,.. .Qmxm^f'', начиная с формулы <р' вида
(Qmx)^m(xm) с помощью ограниченных кванторов: подформулы
вида CxiLfi(xi) — формулой Ф,_1 ^ Cij)(A(i,-) &*i(i,-)), под-
подформулы вида (Уг,)Ф,(х) — формулой Ф,_1 ^ (Уг,)(Д(г) ->
Ф,(г)), гдеФт -Ф'.
Поскольку формула у>' имеет вид Q\xx ... Qmxm^f, где Ф — бес-
бескванторная формула, мы преобразуем кванторную приставку для
кванторов и бескванторную часть формулы Ф.
Закончив преобразования для всех кванторов, получаем искомую
формулу !р сигнатуры <т.
Рассмотрим модель ЯП сигнатуры <т теории Т и подмножество
А = {х | ЯП \= А(х)}. Зададим на нем с помощью определяющих
формул сигнатуру <т' и получим модель теории Т', которую обозна-
обозначим Ша- Используя теорему компактности Мальцева (см. теорему
1.1.2), по произвольной модели 91 \= V построим модель ЯП \= Т
такую, что 91 ^ Ша- Таким образом, с точностью до элементар-
элементарной эквивалентности мы получим все модели теории Т". Поэтому
при наличии классификации полных расширений теории Т можно
получить классификацию полных расширений Т".
Понятие определимости позволяет проинтерпретировать изучае-
изучаемую теорию в уже известной теории и перенести многие из свойств
последней на изучаемую теорию. Если сигнатура а1 расширяет сиг-
сигнатуру <т и теория Т" получена из теории Т добавлением следующих
аксиом.

120 2. Элементарная классификация булевых алгебр
для константы с ? <т'с \ <тс и формулы <pc{v) сигнатуры а,
(V^i .. .VvnVfn+i)(/(ri,... , vn) = vn+i о v5f(^i, • • • , vn, vn+i))
для n-местного функционального символа / ? <т^ \ о> и формулы
сигнатуры (т,
для n-местного предикатного символа Р ? irj, \ <гр и формулы
A. • • • , vn) сигнатуры а,
то теория Т' называется определимым обогащением теории Т до те-
теории сигнатуры <т'. Любая модель 21 теории Т единственным обра-
образом обогащается до модели 21' сигнатуры о* теории Т'. Обеднения
моделей теории Т' дают все модели теории Т. Аксиомы, добавлен-
добавленные к теории Т, называются определениями соответствующих сиг-
сигнатурных символов.
Будем говорить, что теория Т имеет
— рекурсивную систему аксиом, если для нее существуют система
аксиом А и алгоритм, распознающий по любой формуле является
ли она аксиомой или нет,
— перечислимую систему аксиом, если для нее существуют систе-
система аксиом А и алгоритм, который перечисляет все аксиомы из
А и только их.
Теория Т называется разрешимой, если существует алгоритм,
позволяющий за конечное число шагов по любому предложению ip
распознать, выполняется ли Т h ip.
Теорема 2.1.11. Если полная теория Т имеет перечислимую
систему аксиом, то Т разрешима
Доказательство. Для произвольной последовательности фор-
формул можно выяснить, является ли она доказательством. При этом
для любого предложения <р выполнено либо Т h ip, либо Т h ^ip.
Перебираем конечные последовательности доказательств до тех пор,
пока не получим ip или "¦</?. Если есть доказательство ip, то Т h ip;
если есть доказательство ^ip, то Т И ip. О
Следствие 2.1.13. Если теория категорична в некоторой мощ-
мощности и не имеет конечных моделей, то она полна, а если она
рекурсивно аксиоматизируема, то она также разрешима.

2.2. Определимые идеалы Ершова — Тарского 121
Следствие 2.1.14. Если теория имеет счетЯую универсальную
модель и имеет перечислимую систему аксиом, то она полна и
разрешима.
Следствие 2.1.15. Если теория имеет простую модель и имеет
перечислимую систему аксиом, то она полна и разрешима.
Предложение 2.1.6. Если теория имеет перечислимую систе-
систему аксиом, то она имеет также рекурсивную систему аксиом.
Отметим следующий простой факт.
Предложение 2.1.7. Справедливы следующие утверждения:
(a) если теория Т" неразрешима и определима в Т, mo T также
неразрешима,
(b) если теория Т" определима в разрешимой теории Т, mo T"
также разрешима.
2.2. Определимые идеалы Ершова — Тарского
и элементарные характеристики булевых алгебр
В этом параграфе мы рассмотрим формульно определимые идеа-
идеалы булевых алгебр и изучим их структуру. Каждой булевой алгебре
S соотнесем элементарную характеристику ch (®), которая полно-
полностью определяет элементарную теорию. Определяя свойства и фор-
мульность таких идеалов, мы следуем работе Ершова [39], в которой
впервые полностью доказана элементарная характеризация булевых
алгебр. Заметим, что Тарский [194] анонсировал без доказательства
результат о разрешимости и элементарной классификации булевых
алгебр.
Для булевой алгебры 21 определим идеал /B1), который будем
называть идеалом Ершова -¦ Тарского. Положим
7B1) = {х ? А | существуют атомный элемент а
и безатомный элемент Ь такие, что х = а V Ь).

122 2. Элементарная классификация булевых алгебр
Лемма 2.2.1. Множество /B1) является идеалом булевой ал-
алгебры 21.
Доказательство. При х G /B1) и у $С х рассмотрим атомный
элемент а и безатомный элемент 6 такие, что х = а V 6. Тогда а Л у
и 6 Л у атомный и безатомный элементы соответственно. Поэтому
у = (а Л у) V F Л у) и у € /B1). Если х = а\ V 6i и у = а2 V 62, где
а\, а2 атомные, a6i, 62 безатомные, то xVy = {a\ Va2) VFi V62) и
at V 02 — атомный, а 6i V 62 — безатомный элементы, т. е. х V у €
/B1). ?
Лемма 2.2.2. ?ели а ^ /B1), mo гае<9 a находится бесконечно
много попарно различных атомов.
Доказательство. Предположим противное: пусть множество
at (а) = {с | с $С а, с —атом} конечное. Тогда d = V с —
ceat(a)
атомный элемент, лежащий под а, и под а \ d нет больше атомов.
Тогда а = d V (a \ d) и элемент a \ d безатомный. Следовательно,
a € /B1), что противоречит предположению. ?
Лемма 2.2.3. Если a = x\Jy = x'\Jy', где х, х' — атомные, а
у, у' — безатомные, то х = х1 и у = у'.
Доказательство. Заметим, что х Л у7 так же, как у Л х' од-
одновременно и атомный и безатомный элемент, что возможно лишь
когда он равен нулю. Поэтому
х = х Л а = х Л (х' V у') = (х Л х') V (х Л у') = х Л х'
= х' Л х = (х' Л х) V (х' Л у) = х' Л (х V у) = х' Л а = х',
у = у л a = у Л (х' V у') = (у Л х') V (у Л у') = у Л у1
-У1 Лу=Ы Л у) V (j/ Л х) = у' Л (х V у) = у' Л a = у7.
Лемма доказана. D
Определим последовательность /nBl), n G N, идеалов Ершова —
Тарского булевой алгебры 21, положив
ь^ {0}, /n+1Bl) ^ /„B1) о

2.2. Определимые идеалы Ершова — Тарского
123
По определению а € /n+iBl) тогда и только тогда, когда а//пB1)
является объединением атомного элемента из 21//„B1) и безатомно-
безатомного элемента из 2l//nBl)-
Определим элементарную характеристику
chBl) = (ch1Bl),ch2Bl),ch3(a))
булевой алгебры 21. Наименьшее п, для которого /n+i B1) = 21, на-
называется первой (элементарной) характеристикой булевой алге-
алгебры 21 и обозначается chiBl). Если таких п нет, полагаем chiBt) =
оо. При chiBl) = сосчитаем, что втораясЬгB1) и третьясЬзB1)
(элементарные) характеристики булевой алгебры 21 равны нулю.
В противном случае (т. е. если chiBl) = n) вторая характеристи-
характеристика ch2Bl) равна числу атомов булевой алгебры 2l//nBl), если это
число конечно, и ch2Bl) = оо, если в 21//„B1) бесконечно много
атомов. Третья характеристика равна 1, если в 2l//nBl) есть нену-
ненулевой безатомный элемент, и равна 0 в противном случае.
Аналогично для элемента а € 21 вводится элементарная характе-
характеристика ch (а) = (ch 1(а),сЬ2(а),сЬз(а)), где элементарные харак-
характеристики chi (а), сЬз(а), сЬз(а) определяются следующим образом:
U
ch2(a) ^
сЬз(а) ^
оо,
0, chi(a)=oo,
п, под a//mBl) точно п атомов и
т = chi(a) < оо,
оо, под a/lmB1) бесконечно много
атомов и т — chi(a) < оо,
О, chi(a) = оо или chi(a) = т < оо
и под a//mBl) нет ненулевого
безатомного элемента,
1 в противном случае.
Очевидно, что ch,B1) = ch,(l) и ch,(a) = ch,(a), 1 ^ i $C 3
Лемма 2.2.4. Для любых а, 6 € 21 таких, что а А Ь — 0, выпол-
выполнены следующие условия:

124 2. Элементарная классификация булевых алгебр
(l)chi(aVb) =max{chi(a), chi(b)},
B) если chi(a) = chiF), то сЬг(aV6) = ch2(a) + сЬгF) исЪз(а\/
6) = max{ch3(a), ch3F)},
C) если chi(a) < chiF), mo ch,(a V 6) = ch,F), 1 ^ i ^ 3, ult
oo — oo = 0.
Замечание 2.2.1. Мы примем следующее соглашение: оо + п =
Доказательство леммы 2.2.4. A) Если chi(a) = п и chiF) =
га, то a G /n+1Bl) \/„B1), 6 G /m+iBl) \/mBl), a V6 e /*+iCl)\
), к = max{n, m}. Если chi(a) = сю или chiF) = oo, то
U ^п(И) или 6 g U /„(SI). Поэтому a V 6 ^ (J /„B1).
B) В случае chi(a) = chiF) = oo утверждение очевидно в силу
A). Если п = chi(a) = chiF) < oo, то под a//nBl) и &//„B1)
нет общих атомов, поскольку они попарно не пересекаются. Поэто-
Поэтому ch2(a V 6) = сЬг(а) + di2(&). Утверждение для третьей эле-
элементарной характеристики вытекает из того факта, что для любого
у < a V 6 верно следующее утверждение: у/ 1п(Щ безатомный то-
тогда и только тогда, когда у Л a//nBl) и у Л &//пB1) безатомные.
Поэтому ненулевой безатомный элемент может находиться под объ-
объединением дизъюнктивных элементов тогда и только тогда, когда он
лежит хотя бы под одним из членов объединения.
C) Если chi(a) < chiF), то a V 6//n(gt) = b/ln{W) Для любого
n>chi(a). ?
Лемма 2.2.5. Если а ^ 6, то chi(a) < chiF) либо chi(a) =
chiF)&ch2(a) ^ ch2F)&ch3(a) ^ch3F).
Доказательство следует из замкнутости идеалов относительно
меньших элементов и определения характеристик. ?
Лемма 2.2.6. Для любых элемента а булевой алгебры 21 и трой-
тройки (тп\, Ш2, тпз) существует элемент Ь ^ а такой, что выпол-
выполнено одно из следующих условий:
A) если mi < chi(a)&m2 < oo&m3 ^ 1, mo ch,F) = пц и
ch,(a\6) = ch,(a), 1 ^ i ^ 3,

2.2. Определимые идеалы Ершова — Тарского 125
B) если ту — chi(a)fcm2 ^ ch2(a)fcm3 ^ сЬз(а), то ch,F) =
m,- для 1 ^ г ^ 3, причем если т2 < cli2(a) илисЬ3(а) ф О, то
chi(a\fc) = chi(a), ch2(a\6) = ch2(a)-m2, ch3(a\6) = ch3(a).
Доказательство. A) Заметим, что a ? /mi+iBl), так как mi <
chi(a). Поэтому a//miBl) — не атомный элемент. Следователь-
Следовательно, под a//miBl) есть ненулевой безатомный элемент *o//miBl).
В силу леммы 1.3.3 можно считать, что xq ^ а. Так как a $.
/mi+iBl), имеем a//miBl) <$. /(а//т1(а))- Тогда по лемме 2.2.2
под a//miBl) бесконечно много атомов. Выберем т2 попарно раз-
различных атомов, меньших a//miBl), xi/Imi(Q[), 1 Sj г SC т2. Опять
в силу леммы 1.3.3 можно считать, что я,- ^ а и я,- Л Xj =0
для 0 ^ г ф j ^ m2. Мы получим требуемый элемент, полагая
Ь — V Xj при гпз — 0 и Ь = V Xj при m3 = 1.
»'=1 1=0
B) Если т2 < со, под а/Imj B1) выберем точно т2 попарно
различных атомов ai/Imi (Щ), 1 ^ J: ^ »п2. Для них, как и в случае
A), можно найти попарно различные элементы Xj ^ a, I ^ i ^ m2,
такие, что х,//т1(щ) = aV^m,Bl)- Элемент 6 ±=; V Xj искомый,
если т3 = 0. Если т3 = 1, то ch3(a) = 1 и под a//OTiBl) можно
выбрать ненулевой безатомный элемент хо/Imi B1) такой, что хо Sj
a, xoAxj = 0 для 1 ^ г ^ т2 элемент a\xo//mi (Щ) не атомный. В
т2
этом случае элемент 6 ±=; V Xj, искомый. Доказательство в случаях
»=о
т\ — оо и т2 = оо тривиально. П
Лемма 2.2.7. Если а — элемент булевой алгебры 21 и ch3(a) =
1, то существуют элементы Ь, с ^ а такие, что b ^ с,
(a) = chiF) = chi(c) = chi (a\c) = chi(a\6),
B)ch2(o) = ch2F) = chj(c), ch2(a\6) = ch2F\c) = 0,
C)ch3F) = 0, ch3(a\6) = 1, ch3(a\c) = ch3(c) = 1.
Доказательство. Выберем с ^. а так, что cht(a\c) = chi(a) =
chi(c), ch2(a\c) = 0, ch2(c) = ch2(a), и ch3(c) = ch3(a\c) = 1.
Такой элемент существует в силу леммы 2.2.6. Так как

126 2. Элементарная классификация булевых алгебр
где m = ch^a), то a//mBl) = *//mBl) V !///mBl), где *//mBl)
атомный и 2///mBl) безатомный. Учитывая свойства фактор-алгебр
можно считать, что iVj/=aHiAy=O. Взяв 6 ±=; с Л ж, получим
требуемый элемент. ?
Определим индуктивно последовательность формул в сигнатуре
булевых алгебр Atomn, Atomlessn, Atomic,,, /„, n?N.
Базис индукции:
I0{x)i=:(x=(xAC(x))),
Atom0(a:) ^ (Vy)(sr Л у = у => G0(y) Vy = i)) & ~Чо{х),
Atomlesso(x) ±=; "'(Зу)(у Л ж = y& Atom0(y)),
Atomico{x) ^ "'Cy)(i/ Л ж = y&/o(y)& Atomless0(i/)).
Индукционный шаг.
Пусть /„, Atomn, Atomic „ и Atomlessn уже определены. По-
Положим
In+i(x) i=i (Зу)(Зг)(Atomic „(у) & AtomlessnB) &z = yVz),
Atomn+i(i) t=; ^In+1(x) к (Чу)(у Л x = у
=>(/n+1 (у) V/n+1(i\y))),
Atomlessn+1(x) ^ "'(Зу)(у Л x = y& Atomn+i(y)),
Atomicn+i(a:) ^ Cy)(y Лж = y& Atomlessn(y) fe'/n
Обозначим обогащение 21* булевой алгебры 21 одноместными пре-
предикатами Ап, ВП1 С„, 1„ формульно определимыми через Atomn,
Atomlessn, Atomicn, /„, п G N, той же буквой 21, но со звездочкой
Лемма 2.2.8. Для любых булевой алгебры 21 и п ? N
B) 211= Atom „(a) О a//nBl) —- атом фактор-алгебры 21//„B1),
CJ1 ё Atomlessn(a) •<=> а//„B1) — безатсшный элемент фак-
фактор-алгебры 21//„ B1),
DJ1 ^ Atomicn(a) •<=> а//„B1) ~~ атомный элемент фактор-
алгебры Я//„B1).
Доказательство легко следует из определения истинности фор-
формул в алгебраических системах и леммы о фактор-алгебрах. D

2.2. Определимые идеалы Ершова — Тарского 127
Для формулы Ф используем обозначения [Ф]° t=; Ф, [Ф]1 t=;
~"Ф. Для любых натуральных чисел mi, m-i и m;j ^ 1 определим
формулу
. . .Зхта)
( & а:,;Л ij = 0& к. {xi < xkAtomm.{xi))
т2
fc(Cy)Atomlessт, (у) & ((.& i,- V у = i) & /т, (у)тз)).
В силу леммы 2 2 8 21 \= ?">,,т,,т,^ ^ ch (а^ _ (Ш[ _ т2_ тзу
Определим еще одну серию формул N"'fc для натуральных п и
А; ^ 1, положив
..3xk){ к I,-Л I,-= 0& &(i,-$ i
& Atom „(!,¦))).
В силу леммы 2.2.8
2lt=Nn'fc(o)<=>ch1(a) >nV(chi(a) = n&ch2(a) ^ it).
Поэтому из леммы 2.2.6 получаем следующее утверждение.
Следствие 2.2.1. Если 21 \= Ппк{а), то 21 \= Nm-'(a) йлл
in u I таких, что т < п V (т = п & / ^ /i).
Из полученных свойств рассматриваемых формул теперь легко
получить следующее описание элементов, у которых одна из харак-
характеристик равна ос.
Следствие 2.2.2. Для любых булевой алгебры 21 u a ? 21
ch(a) = (n,oo,0)<=>2lt= Atomicn(a)u2l \= N"'k{a)
для любого k ^ 1.
Следствие 2.2.З. Для любых булевой алгебры 21 u a ? 21
ch(a) = (оо,0,0) <=> 211= "'/„(a) 5лл любого п.
Следствие 2.2.4. Если 21 и ЯЗ элел«еитарно эквивалентны, то
их характеристики совпадают.

128 2. Элементарная классификация булевых алгебр
Упражнения
1. Доказать, что ch B1) = ch (la) для произвольной булевой алге-
алгебры 21.
2. Доказать, что ch (a) = ch (а) для любого элемента а произволь-
произвольной булевой алгебры 21.
3. Провести полное доказательство леммы 2.2.8.
4. Доказать, что Ет1'<тз'тз(а) ^>ch(a) = (mi,m2,m3).
5. Доказать, что
21 И Nm'k(a) «• chx(a) > m V (cht(a) = m&ch2(a) ^ k).
6. Доказать следствия 2.2.2 и 2.2.3.
7. Определить элементарные характеристики булевых алгебр 03 ш,
В ЯЗ ® и ®п+ч. п е N.
8. Доказать, что /„B1 х 03) = /„B1) х /„@3) для любых булевых
алгебр 21 и 03.
9. Доказать, что /„(а) = /„B1) О2 для любого элемента а булевой
алгебры 21.
2.3. Насыщенные булевы алгебры
и элементарная классификация
Для каждой полной теории булевых алгебр мы построим одну
выделенную счетную булеву алгебру, которую будем называть плот-
плотной. В теории моделей имеется понятие насыщенной модели полной
теории. Построенная нами плотная булева алгебра теории Т бу-
будет являться в точности насыщенной моделью данной теории, хотя
при определении ее мы потребуем более слабые условия. Однако
в случае булевых алгебр поставленные здесь условия достаточны и

2.X Насыщенные булевы алгебры 129
длД теоретико-модельной насыщенности. Используя критерий Во-
ота, мы сможем получить условие изоморфизма насыщенных буле-
булевых алгебр, из которого уже следует критерий элементарной экви-
эквивалентности.
Мы построим счетно насыщенное элементарное расширение про-
произвольной счетной булевой алгебры. Доказательство основано на
теореме компактности Мальцева. Булева алгебра 21, элементарно
расширяющая булеву алгебру 2$, называется уплотнением 21, если
для любых к G N и 6 G Ъ существует элемент а ^ 6 алгебры 21
такой, что ch(a) = (к, ею, 0), если к < chiF) и
chi(a) = chiF) = chiF\a) &ch2(a) = ch2F) = ch2F\a)
при (chiF) = oo или ch2F) = сю). Булева алгебра 21 называется
плотной, если 21 является уплотнением самой себя.
Предложение 2.3.1. Для любой счетной булевой алгебры 21 су-
существует ее счетное уплотнение.
Доказательство. Рассмотрим обогащение а сигнатуры булевых
алгебр константными символами {со, da,d* | a G А, к ? Щ и
определим множество формул
Юш B1) ^ {у>(сО1, ¦ • • , сОп) | 211= (p(ai,... , а„) и <р — формула
в сигнатуре булевых алгебр},
которое называется полной диаграммой алгебры 21. Нетрудно по-
понять, что из Ъ Ё Du B1) следует существование элементарного вло-
вложения (р алгебры 21 в алгебру 2$, если р(а) ^ valaj(co) принять
как значение константы са в <8.
Добавим к Г)ш B1) семейство формул, которые позволяют по-
построить уплотнение булевой алгебры 21. Пусть
Д ^ Г>ш B1) U К ^ с„ &Nn-*K) &Nn'*(ceV?), если.*, n G N
и (п < chi(a) или п = c/ii(a)&ch2(a) = сю)}
U К ^ cak^In{da)k^In{ca\da), если п G N
chi(a) = сю}.
Покажем, что Д локально выполнимо. Если До — конечное под-
подмножество Д, то

130 . 2. Элементарная классификация булевых алгебр
,nk
Д
&Nn»fc'(cei\d2:) I ("•• < chi(a,-) V (n, = ch,(a,)
&ch2(a.) = oo))kk' «? {и 1 «? i ^ *}
U {d6. ^ Cb,&-7m(dbi)&-'/т(сь,\(/ь.) I
chiF,-) = 00, Цг'^иО^т^/} для подходящего /.
Если мы построим модель для Д''0*6*", то она будет моделью так-
также для До. Рассмотрим множество формул Д'0'6'". По определе-
определению Д('а'ь'п имеем chiFi) = 00 и n, < chi(a,) V ch2(a,) = 00,
1 ^ i ^ к. В силу леммы 2.2.6 под элементами а,- и 6, най-
найдутся соответственно элементы ц, и у,- A ^ г ^ к) такие, что
ch(x,) = {щ,1,0) и ch (г/,) = (/ + 1,1,0). В. силу леммы 2.2.4
ch (a,-\x,-) = ch(a,-) и chF;\t/,-) = @0,0,0). В качестве значений
констант cai, d"', сь, и D, в 21 возьмем элементы а,-, а;*, 6,- и у,-.
Значения остальных констант с„ положим равными а, а значения
da и dka для а, не входящих в набор а, 6, определим произвольно. В
полученном обогащении 21* алгебры 21 выполнены все формулы из
Дг'01 ak,f>i,...,bk,ni,...,nk Следовательно, Д — локально выполни-
выполнимое множество. Так как Д счетное и локально выполнимое, для Д
существует счетная модель 03* сигнатуры <г.
Определим отображение (р из 21 в 03*, положив ip(a) = val<8« (c0).
По построению Д, если Ф(х1,... , х„) — формула сигнатуры буле-
булевых алгебр и 21 Ё Ф(о1,... , а„), то 03* Ё Ф(сО1,... , спп). Поэто-
Поэтому 03* Ё Ф((р(а\),... ,(р(ап)). Покажем теперь, что обеднение 03
системы 03* до сигнатуры булевых алгебр будет искомой булевой
алгеброй. Для этого требуется лишь проверить, что 03 является
уплотнением 21, но этот факт вытекает из определения Д. ?
Теорема 2.3.1 [67] [о существовании плотных булевых алгебр].
Для любой счетной булевой алгебры 21 существует счетное эле-
элементарное расширение 03, являющееся плотной булевой алгеброй.
Доказательство. Пользуясь предложением 2.3.1, построим сче-
счетную последовательность счетных элементарных расширений 2lo ^
2li ^ 2l2 ^ ... такую, что 21о = 21 и 2ln+i — уплотнение 21„ для
п ? N. В силу следствий 2.2.2, 2.2.3 и леммы 2.2.8 свойство иметь

2.3. Насыщенные булевы алгебры 131
данную элементарную характеристику выражается формулой или
последовательностью формул и, следовательно, сохраняется при пе-
переходе к элементарным расширениям. Поэтому для любых п < т
булева алгебра 2lm является уплотнением булевой алгебры 21„. Так
как по теореме об элементарных цепях (J 21„ является элемен-
тарным расширением 2lm для любого т, получаем, что (J 21„ —
уплотнение 2lm для любого т. Поэтому оно есть уплотнение (J 21„.
Но тогда булева алгебра 03 ?=; (J 21„ является элементарным рас-
ширением булевой алгебры 21 и плотна. ?
Теорема 2.3.2 [67] [о единственности]. Любые две счетные плот-
плотные булевы алгебры одной и той же элементарной характери-
характеристики изоморфны.
Доказательство. Пусть 21 и 03 — счетные плотные булевы ал-
алгебры одной и той же элементарной характеристики. Рассмотрим
подмножество пар S С А х В, положив
S - {(а,Ь) | cha(a) = cheF), cha(C(o)) = che(CF))}.
Так как ch B1) = ch @3) и cha(l) = ch^l), а элементарная харак-
характеристика нулевого элемента в любых булевых алгебрах одна и та
же, для S выполнена аксиома Axl из 1.5. Выполнимость свойств Ах2
и АхЗ для S доказывается аналогично, так как ch (о) = @,0,0) ¦О
о = 0. Осталось показать, что для S выполнены аксиомы Ах4 и
Ах5. Поскольку ситуация симметрична, докажем только выполни-
выполнимость Ах4.
Пусть ch(o) = chF), ch(C(o)) = ch (CF)) и 0 < x < a.
Пусть ch (x) = (n, m, k). Ввиду симметричности выбора у для х и
o\z без потери общности мы предполагаем, что ch i(z) ^ chi(o\z)
и di2{x) ^ ch2(o\z), если chi(z) = chi(o\x). По лемме 2.2.5
п ^ chi(o) & (n = chi(o) =» (m ^ ch2(o) & k ^ ch3(o))).
Если m < со и п < со, то по лемме 2.2.6 ch (a) = ch F) означает,
что существует у < Ь, для которого ch (x) = ch (у) и ch (o\z) =
ch {b\y). В силу леммы 2.2.4 ch (C(x)) = ch (C(y)), так как С(у) =
Ь\у V С{Ь), и ch(C(o\i)) = ch(CF\y)), так как С{Ь\у) = (Ь Л
у) V С{Ь). Следовательно, пары (х, у) и (o\z, b\y) принадлежат S.

132 2. Элементарная классификация булевых алгебр
Если п = оо, то ввиду плотности булевой алгебры 58 суще-
существует элемент у < Ь такой, что ch (у) = chF\y) = ch F). По
лемме 2.2.4 ch (х) = ch (у) и ch (a\x) = ch (b\y), a ch (C(x)) =
ch (С(у)) и ch (С(а\х)) = ch(CF\y)). Следовательно, (х,у) G S
n(a\x,b\y)eS.
При п < оо, т = оо рассмотрим два случая.
Случай 1: chi(a) = п, т = оо. Рассмотрим сЬз(а). Если
сЬз(а) = 0, то аналогично случаю п = оо ввиду плотности можно
выбрать искомый элемент у. Если сЬз(а) = 1, то выберем эле-
элемент d так, что d < а и ch (d) — (п, О,1), ,ch (a\d) = (n, oo, 0).
Под элементом 6 возьмем элемент е такой, что ch (е) = (п,0,1) и
chF\e) = (п,оо,0). Если сЬз(г) = 0, то выберем ввиду плотно-
плотности под 6\е элемент у такой, что ch (у) = (п, оо, 0) и ch (b\y) =
(п,оо,0). Согласно лемме 2.2.4 элемент у будет искомым. Если
сЬз(#) = 1, то ввиду плотности под 6\е выберем элемент у та-
такой, что ch (у) = ch F\(е V у)) = (п, оо, 0). Положим у t=; yV e
или у ±=; у V е', где ch (е') = ch (е) = ch(e\e') и е' < е, если
сЬз(а\я) = 0 или сЬз(а\х) = 1 соответственно.
Случай: п < chi(a). Используя плотность алгебры 05, выберем
элемент у < Ь такой, что chi(y) = chi(x) и ch2(y) = сЬ2(г), а
у = у V z\ или у = у V z2, если сЬз(г) = 1 &ch(z!) = (п,0,1) или
сЬз(г) = 0 & у = у V z2 & ch (у) = (п, оо, 0) соответственно. Таким
образом, для S выполнены аксиомы Ах1-Ах5, и по теореме Воота
об изоморфизме 21 и Ъ изоморфны. ?
Следствие 2.3.1. Если 21 и Ъ — счетные плотные булевы алге-
алгебры одинаковой элементарной характеристики и разбиения еди-
единицы {#i}r=i и {yi}"=1 булевых алгебр 21 и 58 такие, что ch(xi)
— ch(y,), I ^ i ^ n, mo существует изоморфизм (р между 21 и
58 такой, что f{xi) = у,-, 1 ^ г ^ п.
Доказательство. Достаточно показать, что для любого элемен-
элемента а плотной булевой алгебры 21 булева алгебра а, определенная в
1.5, будет плотной и ch (a) = ch (а). Это следует из того факта,
что в определении плотности берутся только элементы, меньшие
заданных, ива попадают все элементы, меньшие а. Кроме того,
/„(а) = /„B1) Па, п^0. ?

2.3. Насыщенные булевы алгебры 133
Следствие 2.3.2. Любые две булевы алгебры 21 и Ш одной и той
же элементарной характеристики элементарно эквивалентны.
Доказательство. В силу теоремы Левенгейма — Скулема из
теории моделей любая бесконечная система не более чем счетной
сигнатуры содержит элементарную счетную подсистему. Рассмо-
Рассмотрим 21о и Шо — счетные элементарные подсистемы алгебр % и
*8 соответственно. В силу теоремы 2.3.1 существуют их элементар-
элементарные счетные расширения до счетных плотных булевых алгебр 2lg и
Шд. Так как здесь все вложения элементарные, имеем ch Blg) =.
ch Blo) = ch B1) = ch (Ш) = ch (<80) = ch (Ш{,). По теореме 2.3.2
булевы алгебры 2lg и 5$0 изоморфны и, следовательно, 21 и Ш эле-
элементарно эквивалентны. ?
Из следствий 2.3.2 и 2.2.4 получаем следующее утверждение.
Теорема 2.3.3. Две булевы алгебры элементарно эквивалентны
тогда и только тогда, когда совпадают их элементарные харак-
характеристики.
Теорема 2.3.4. Счетная булева алгебра насыщена тогда и толь-
только тогда, когда она плотная.
Доказательство. Счетно насыщенная булева алгебра Ш плот-
плотна, так как свойство плотности эквивалентно выполнимости локаль-
локально выполнимых множеств формул специального вида. Докажем
обратное утверждение. Пусть 5$ ¦— счетная плотная булева алге-
алгебра. Тогда Th (Ш) имеет счетно насыщенную модель. Действитель-
Действительно, пусть 21 — счетная модель Th (Ш) Рассмотрим се элементарное
расширение до счетной плотной булевой алгебры *8', которая суще-
существует в силу теоремы 2.3.1. По теореме 2.3.2 Ш и Ш' изоморфны,
так как они элементарно эквивалентны и плотны. В таком случае
21 элементарно вкладывается в булеву алгебру Ш. Однако 21 — про-
произвольная счетная булева алгебра. Поэтому *8 — универсальная
система. По следствию 2.1.6 Th (Ш) имеет счетно насыщенную мо-
модель *8*. Как уже отмечалось, счетно насыщенная система будет
плотной. По теореме 2.3.2 *8* и Ш изоморфны. Следовательно, *В —
счетная насыщенная булева алгебра. ?

134 2. Элементарная классификация булевых алгебр
Следствие 2.3.3. Для любой счетной булевой алгебры существу-
существует, ее элементарное расширение до счетно насыщенной булевой
алгебры.
Следствие 2.3.4. Элементарная теория любой булевой алгебры
разрешима.
Доказательство. Свойство иметь заданную элементарную ха-
характеристику записывается разрешимым множеством аксиом. По-
Поэтому теория любой булевой алгебры рекурсивно аксиоматизируема,
а из ее полноты следует ее разрешимость. D
Следствие 2.3.5 [о существовании простых булевых алгебр]. Тео-
Теория любой бесконечной булевой алгебры имеет простую модель.
Доказательство. Так как каждая полная теория булевых ал-
алгебр имеет счетно насыщенную модель, эта теория суператомная и,
следовательно, атомная. В силу теоремы о существовании простых
моделей она имеет простую модель. D
Дадим описание счетных однородных булевых алгебр, предло-
предложенное Морозовым [132]. Для однородной булевой алгебры 23 опре-
определим инвариант рB$):
рB$) = 0, если в 2$ нет атомных элементов с бесконечным числом
атомов,
рB3) = 1,если существует х 6 23 такой, что алгебра х изоморфна
булевой алгебре 23 ш,
рB3) = 2, если существует а: 6 23 такой, что алгебра х изоморфна
булевой алгебре 23шхг)'
Заметим, что для счетной однородной булевой алгебры 23 такой,
что chiB3) = oo выполняется один из следующих случаев:
Случай 1; chj (ar) < оо либо chi(C(x)) < оо для любого х 6 23.
Случай 2: существует х 6 23 такой, что chi(x) = chi(C(z)) =
оо, но х и С(х) удовлетворяют случаю 1.
Случай 3: для любого х 6 25 такого, что chi (x) = оо, найдется
элемент у ^ х такой, что chi(y) = оо, и chi(x \y) — сю.
Для счетных однородных булевых алгебр определим инвариант
<B5) следующим образом: г(Ъ) равно 0, если chiB5) < оо, и 1(Ъ)

2.3. Насыщенные булевы алгебры 135
равно номеру случая (г), i = 1,2,3, который выполняется для ал-
алгебры 23, если chi@3) = ос.
Предложение 2.3.2. Если 23 -- однородная булева алгебра и п +
1 < chiB3) или chB3) = (п + 1,а,/?), где 0 = 1 или а > 1, то
р(»//„(а))=0ш.ир(В//„(я))=2.
Доказательство. Предположим. чторпB3) *=; (
1 Пусть х G 23 такой, что ?//г[ = 23и,. Тогда х G /n+i Рассмо-
Рассмотрим два случая.
Случай 1: в 23 существуют два элемента аи 6 такие, что аЛЬ =
О и а//п+1 и Ь//п+1 являются атомами. 'Гак как х ? /n+i. 1Ie
ограничивая общности предположим, что х ^ а Так как а и 6 и
соответственно С(а) и СF) имеют одни и те жо элементарные ха-
характеристики, типы, реализующиеся на элементах а и 6, совпадают,
поскольку тогда в счетно насыщенном расширении они переводятся
в друг друга автоморфизмами этого счетно насыщенного элемен-
элементарного расширения. В силу однородности булевой алгебры 23 как
модели существует автоморфизм 23, переводящий а ъ Ь По тогда
под 6 также существует элемент х' ^ 6 такой, что ?'//„ = 23„
Очевидно, что элементарные характеристики элементов -г и г' V х, а
также элементарные характеристики их дополнений совпадают По-
Поэтому, как и выше, существует автоморфизм 23, переводящий х' V х
в аг, но элемент х не расщепляется в два элемента характеристики
(п, ое, 0), а для аг' V аг такое разложение существует Это рассужде-
рассуждение заканчивает рассмотрение первого случая.
Случай 2: случай 1 не выполнен, т. е ch|B3) = (л -f 1,q, 1),
где q ^ 1 Рассмотрим элементы а, 6 такие, что a//n+1, ^//n+I
непулевые безатомные элементы и а, 6 пересекаются по пулевому
элементу. Ивиду х G /n+i без ограничения общности можно пред-
предположить, что х ^ а. Аналогично случаю атомов, легко показать
существование автоморфизма, который переводит а в 6, так как эле-
элементарные характеристики для пар а, 6 и С(а), С(Ь) совпадают
Но тогда получаем элемент аг' ^ 6 такой, что ch (х1) — ch(ar).
Поэтому существует автоморфизм однородной булевой алгебры 23
такой, что аг' V аг переходит в аг, так как элементарные характе-
характеристики для аг, аг' V аг и соответственно для С(х), С(х V аг') со-
совпадают Но это противоречит условию, что он не расщепляется в

136 2. Элементарная классификация булевых алгебр
два элемента с характеристикой (п,оо,0). Однако х' Л х = 0 и
ch(i) =ch(i') =ch(iVi') = (n,oo,0). D
Следствие 2.3.6. Если chiE8) = ш для счетной однородной бу-
булевой алгебры 58, то р(®//„+1) € {0,2} для любого п.
Следствие 2.3.7. Если chiE8) = (n+l,a,/3), где а > 1 или /3 =
1, то р&E8) = p(®//fc)G {0,2} для однородной булевой алгебры
58 и каждого к ^. п.
Таким образом мы показали, что для однородной булевой алге-
алгебры 58 из условий рп(®) = 1 и ch iE8) = тг + 1 вытекает ch E8) =
(и+1,1,0).
Опишем однородные атомные булевы алгебры.
Предложение 2.3.3. Булевы алгебры 58Ш, ЧВш+ы и 58ц,Хг) счет-
ны, однородны, атомны. Любая однородная счетная атомная бу-
булева алгебра изоморфна одной из перечисленных выше алгебр.
Доказательство. Булева алгебра 58шХГ1 является плотной бу-
булевой алгеброй, а следовательно, счетно насыщенной и однородной.
Из существования счетно насыщенной алгебры следует, что в теории
бесконечных атомных есть простая модель. Однако любая элемен-
элементарная подмодель булевой алгебры 58 ш ей изоморфна. Действитель-
Действительно, поскольку для любого элемента а € 58 ш либо а, либо С(а) есть
объединение конечного числа атомов, булева алгебра 58 ш будет су-
суператомной типаA,1). Поэтому 58Ш —простаяи, следовательно,од-
следовательно,однородная модель. Однородность конечных моделей очевидна. Дока-
Докажем, что 58Ш+Ш однородна. Для этого рассмотрим два разложения
п п
1 = V 'а,- = V 6,- и а,- Л ау = 6,- Л bj =0 для любых г ф j. Если тип
р(х\,... ,хп), реализующийся на элементах ai,... , а„, совпадает
с типом q(xi х„), реализующимся на элементах 6Ь ... ,6„, то
сЬг(а,-) = ch2Fi). Тогда очевидно, что существует автоморфизм <р
булевой алгебры 58ш+ш, переводящий а\ а„ в 6i 6„. Если
ai,... , а„ и 6i,... , Ьп — произвольные наборы из 58Ш+Ш, реали-
реализующие один и тот же тип, то взяв подалгебры, порожденные ими,
и атомы в них, определяющиеся теми же термами от а\,... ,ап и
6i,... ,6„, мы опять получим элементарно эквивалентные наборы,
но уже с условием, что их элементы не пересекаются. Так как атому
i{a\,... , а„) соответствует атом t(b\,... , bn), определяемый тем

2.3. Насыщенные булевы алгебры 137
же термом, то определенный для атомов автоморфизм переводит cti
в Ь\, п2 в Ьг> • • •, ап в Ьп.
Заметим, что других однородных моделей нет. Пусть бесконеч-
бесконечная атомная булева алгебра !8 счетная и однородная. Рассмотрим
фактор-алгебру 2$/F(!8) алгебры !8 по идеалу Фреше .FB$). Если
®/f(!8) состоит из двух элементов, то !8 = !8Ш, что следует из
характеризации счетных суператомных булевых алгебр. Ввиду тех
же аргументов 2$ = Ъш+Ш, если 2$/f(!8) атомная и имеет толь-
только два атома. Если эти условия не выполняются, то !8 очевидно
удовлетворяет одному из следующих условий:
A) 2$/f(!8) — безатомная булева алгебра,
B) 2$/f(!8) содержит атом и ненулевой безатомный элемент,
C) 2$/f(!8) атомная и содержит по крайней мере три атома.
В случае A) из предложения 1.5.2 получаем, что !8 = !8шхг;-
Покажем, что B) и C) не могут реализоваться для однородных
счетных атомных булевых алгебр. Допустим, что выполнено усло-
условие B). Рассмотрим элементы а и 6 из !8 такие, что а Л 6 = О
и a/F(!8) — атом, а &/f(!8) — ненулевой безатомный элемент.
Тогда ch (a) = ch (b) и ch (С(а)) = ch(C(b)). В этом случае их
типы совпадают и в силу однородности существует автоморфизм /
булевой алгебры !8 такой, что /(а) = 6. Но при изоморфизме /
элементы F(!8) переходят в элементы F(!8). Следовательно, / ин-
индуцирует автоморфизм //f(!8) из 2$/f(!8) Ha ®/F(!8)> но атом
не может перейти в безатомный элемент. Следовательно, случай B)
невозможен.
В случае C) найдутся 01,02,03 из !8 такие, что а,- Л а^ = О,
i ф jt и ai/F(!8) — атом. Рассмотрим пару элементов а\ и а? V
аз. Очевидно, что ch2(ai) = сЬг(о2 V а3) = оо и ch2(C(ai)) =
ch2(C(a2 V аз)) = оо. Поэтому существует автоморфизм булевой
алгебры !8, переводящий а\ в а2 V а3 Но тогда индуцированный /
автоморфизм //f(!8) фактор-алгебры по идеалу Фреше переводит
атом в не атом, что невозможно. ?
Для любой счетной однородной булевой алгебры !8 определим
тип однородности th(*B) как пару (а,р), где а?{0,1,2,3},ар —
конечная или бесконечная последовательность. Полагаем
а = 0, если chi(!8) < 00, и а = *(!8), если chi(!8) = 00;

138 2. Элементарная классификация булевых алгебр
если chi(!B) = оо, то р = (po,Pi, • • • ,Рп, ¦ ¦ ¦) — бесконечная
последовательность из рк ? {0,2}, где рк = p(®///j(!B))i
если п = chi(QS) < оо исЬ (93) = (п, 1,0),тор = (ро,... ,pn-i,
Рп),Рк = р(®//^(*8)) Для любого к ^ п—1ирп = 1; в этом случае
р, G{0,2},i<n- 1, ир„_1 G {0,1,2};
если п = chi(*8) < оо и ch (93) ф (п, 1,0), то последова-
последовательность р имеет длину п + 1 и р = (ро.Рь • • • ,Pn-i,Pr>). где
р, = р(93//,-(<8)), i < п (в этом случае р, G {0,2} ) и
fc, ®//n(93) содержит точно А; < оо атомов,
w, 93//п(<8) изоморфна 93 ш или 93 ш х 93,,,
w +w, Я3//п(93) изоморфна *8Ш-).Ш или Вш+Ш х Ъп
и х г/, 53//„(<В) изоморфна В шХи или 33ЫХ„ х !В^.
Рп = <
Очевидно, что других возможностей в случае счетных однородных
булевых алгебр не реализуется. Прежде чем характеризовать типы
изоморфизма счетных однородных моделей, введем определение и
отметим простое, но полезное свойство. Тип р(х\,. .. , хп) из се-
семейства типов совместных с теорией булевых алгебр Т называется
типом разбиения, если I,- Л Xj = О G p[xi,... ,xn), i ф j, и
iiV/2V...Varn = l
Предложение 2.3.4. Пусть S<& и S<s •— два семейства типов
реализующихся в 21 и 03. Семейства 5а и S<s совпадают тогда
и только тогда, когда совпадают все типы разбиений, реализу-
реализующиеся в 21 и Ъ.
Доказательство. Если 5а = S<s, то очевидно совпадают ти-
типы разбиений. Докажем обратное утверждение. Достаточно дока-
доказать, что любой тип, реализующийся в 21, реализуется также в *8.
Пусть тип p(ii,... , хп) реализуется на элементах а\,... ,ап в 21 и
пусть gr(g(ai,... , an) -- подалгебра булевой алгебры 21, порожден-
порожденная а\,... , ап, и di,... , dT — все ее атомы Рассмотрим термы
<еТ) ¦ • • Лт7 такие, что d,- = <rr(aii • • • > an) Так как d\,... ,dT —
атомы, для каждого 1 ^ i! ^ п существует К{ такое, что а,- =
V dj-. Элементы d\,... ,dr задают некоторый тип q(yi,... ,Ут)-
jeK,
Ввиду его реализуемости в 21 и выбора d\,... ,dr тип q являет-
является типом разбиения. Следовательно, тип д(уь ... ,уг) реализуется
также в Ъ на некотором наборе d[,... , d'r, который согласно уело-

2.3. Насыщенные булевы алгебры 139
вию на тип является разбиением единицы. Определим элементы
а'{ = V d',. Так как
«В 1= ф\,... , а'п) «. «В 1= <р( V d'jt..., V d'j)
u--- ,Vn)
• 23 t= p(a,,... ,aB)
для любой формулы y>(zi,... ,zn), набор a'j а'п реализует в
2$ тот же тип, что и набор а\,... , ап в 21. ?
Заметим, что, зная все типы разбиений 5<д, реализующиеся в 21,
мы легко строим также все типы S<&, реализующиеся в 21 А именно,
если d(y\,. .. ,уп) — тип разбиения, реализующийся в 21, то для
произвольной системы термов tf,(i/i,... , уп), i ^ тп, определим тип
Pd,t(ii,... ,xn) = {v?(ii,... ,„) | <p(U(yu... ,уп)
<п(у;,--- ,Уп)) ed{yu... ,уп)}.
Очевидно, что рд^ — тип и любой тип, реализующийся в 21, может
быть получен таким образом из типа разбиения.
Теорема 2.3.5. Если 21 и Ш — две счетные однородные булевы
алгебры с одними и теми же элементарными характеристика-
характеристиками, то 21 изоморфна 2$ тогда и только тогда, когда их типы
однородности совпадают, т. е. <лB1) = 2/,B$).
Доказательство. Если 21 и Ъ изоморфны, то типы однород-
однородности совпадают, так как последние характеризуются семействами
5а и S<s типов, реализующихся в 'этих системах. Наоборот, из со-
совпадения типов однородности однородных моделей следует, что в
этих алгебрах реализуются одни и те же типы разбиений, так как
типы разбиений характеризуются в силу теоремы об изоморфизме
счетных плотных моделей элементарными характеристиками их со-
составляющих. Основная трудность состоит в выборе элементов бес-
бесконечной характеристики. Однако равенство <лB1) = <лB$) га-
гарантирует существование в 21 и 2$ разбиений с одними и теми же
характеристиками их составляющих. ?

140 2. Элементарная классификация булевых алгебр
Следствие 2.3.8. Однородная булева алгебра Я$ является счет-
счетно насыщенной тогда и только тогда, когда выполнено одно из
следующих условий:
(I)ch1(«8) = oo «<Л(«8) = C,{Рп | п <Е N}), р„ = 2 для всех п,
B)ch («В) = (тг.оо.е) и <„(«В) = @,B,... ,2,ш х /?)),
C)ch (В) ИМ.е), t€Nf
Следствие 2.3.9. Однородная булева алгебра *8 является про-
простой тогда и только тогда, когда выполнено одно из следующих
условий:
A) du(«) = оо и U(B) = A, {рп I n G N}>, р„ = 0 Ям всех п,
B) ch («В) = (п, оо, е) и <„(«В) = @, @,... , 0, w»,
C) ch («8) = (n, ik, e), где k ? N и <л(«8) = @, @,... , 0, *)).
В качестве упражнения читателю предлагается доказать, что для
заданной допустимой пары (а,р) существует однородная счетная
булева алгебра типа однородности (а,р). (Указание: Индукцией
попе помощью линейных порядков построить требуемую булеву
алгебру в случае конечных элементарных характеристик; затем ис-
исследовать случай бесконечной характеристики chi(QJ) = оо.)
В заключение параграфа получим более простой для проверки
критерий однородности для счетных булевых алгебр.
Счетная булева алгебра 21 называется относительно плотной,
если выполнены следующие условия:
A) для любого п, если существует элемент a G 21 такой, что ch (a) =
(п, оо,0), то
A.1) для любого b € 21 такого, что chiF) > п, найдется а' ^ 6
такой, что ch (а') = (п, оо, 0),
A.2) если п < ch i B1) или п = ch i B1) и существуют три элемента
а\ ,а2,а3 такие, что а,- Л ау = 0, г ф j, и ch (а,) = (п, оо, 0),
то для любого а' ? В такого, что ch (а') = (п,оо,0), най-
найдется а" ^ а' такой, что ch (а") = (п, оо, 0) и ch (а' \ а") =
G1,00,0),

2.3. Насыщенные булевы алгебры 141
B) если 05 имеет бесконечную первую характеристику ch i B1) = оо
и существует в 21 разбиение единицы aj, в2, аз такое, что Va,- =
1, а,- Л a.j = О, i ф j, и ch(a,) = (oo,0,0), то для любого
a ? 03 такого, что ch (a) = (оо, 0, 0), найдется а' ^ а такой, что
ch(a) = ch(a')=ch(a\a').
Предложение 2.3.5. Для любых разбиений единицы aj,... ,ап
и &i,... , 6„ в относительно плотной булевой алгебре 21 таких,
что ch (a,-) = ch (&,•), 1 ^ t ^ n, существует автоморфизм <р
алгебры 21 такой, что у>(а,) = 6,-, 1 ^ i ^ п.
Доказательство. Определим условие изоморфизма Воота сле-
следующим образом:
S ^ {(a, 6) | ch (a) = ch F), ch (ОД) = ch (C(&))}.
Справедливость для S требований критерия Воота следует непосред-
непосредственно из относительной плотности. ?
Из предложения 2.3.5 и сведения всех типов к типам разбиений
получаем следующее утверждение.
Теорема 2.3.6. Счетная булева алгебра однородна тогда и толь-
только тогда, когда она относительно плотная.
Доказательство. Относительная плотность счетных однород-
однородных булевых алгебр следует из того факта, что типы разбиений пол-
полностью определяются элементарными характеристиками входящих
в них элементов, что позволяет переводить a V 6 в 6, если chjF) >
chi(a) или chiF) = chi(a) = oo&ch(C(a V 6)) = ch(CF)).
Обратное утверждение вытекает непосредственно из предложения
2.3.5 и сведения произвольных типов к типам разбиений. ?
Упражнения
1. Доказать, что a — плотная булева алгебра, если 21 — плотная
булева алгебра и a — ее произвольный ненулевой элемент.
2. Доказать, что 21 — плотная булева алгебра тогда и только тогда,
когда a — плотная булева алгебра для любого a ? 21.
3. Доказать, что ОЗ^х,, — плотная булева алгебра.

142 2. Элементарная классификация булевых алгебр
4. Доказать, что *ВШ — неплотная булева алгебра.
5. Пусть L\ и Li — два линейных порядка. Доказать, что булева
алгебра 58l, + i+l3 плотная, если *&lx и *&l2 — плотные булевы
алгебры.
6. Доказать, что если 51 и *В — плотные булевы алгебры, то булева
алгебра 51 х *В плотная.
7. Доказать, что если chiEl) ^ п и chi(!B) ^ п, то 51 =цп 2$,
т. е. в 51 и 53 истинны одни и те же формулы с менее чем
4п-чередованием кванторов в пренексной нормальной форме.
8. Построить элементарные вложения ЪшкЪшз — bBuxij.'Bu —
в <BW2, Ъи+п — в ОЗ ® Ъ
2.4. Модельно полные теории булевых алгебр
Важнейшим свойством элементарных теорий является модель-
модельная полнота, позволяющая получить ясную картину устройства мо-
моделей этих систем аксиом, а также решать в этих системах различ-
различные алгоритмические проблемы.
В теореме 2,1.9 утверждается, что теория Т модельно полна то-
тогда и только тогда, когда для любой формулы ф существует 3-фор-
мула <р такая, что Т Ь ф О <р. Этот факт делает рассмотренный
класс теорий особенно важным.
Теория булевых алгебр в обычной сигнатуре (Л2, V2, С1) не явля-
является модельно полной, так как конечные булевы подалгебры имеют-
имеются в любой бесконечной булевой алгебра, но они не элементарные
подсистемы. Однако в формульном обогащении теории булевых ал-
алгебр она станет уже модельно полной.
Рассмотрим обогащение сигнатуры одноместными предикатными
символами Aln) Bln) C\, l^, n?N, определив их с помощью формул
из 2.2. В качестве аксиом булевых алгебр в этой расширенной сиг-
сигнатуре мы принимаем обычные аксиомы булевых алгебр и аксиомы,
определяющие добавленные предикаты:
(а)Л„(х) & Atomn(x),

2.4. Модельно полные теории 143
(b) В„(х) & Atomlessn(x),
(c) С„(х)<* Atomic„(r),
(d)Zn (*)<*/„(*)
для всех п € N.
Таким образом, мы получили определимое расширение В А* те-
теории булевых алгебр. Указанные предикаты не вносят никакой но-
новой информации в устройство теории. Целью их введения является
лишь получение модельной полноты. В условиях модельной пол-
полноты требуется, чтобы подмодель той же элементарной характери-
характеристики, что и вся модель, была элементарной подмоделью. В таком
случае все элементы подмодели должны иметь тот же элементар-
элементарный тип в подмодели, что и во всей модели. Чтобы удовлетворить
этому условию, мы вводим в сигнатуру новые предикаты. Как будет
показано ниже, это условие достаточно для элементарности данной
подмодели.
Применим теперь предложение 2.1.1 к изучению элементарности
подалгебры в случае булевых алгебр.
Теорема 2.4.1. Если 21 — подалгебра счетной булевой алгебры
2$ и для любых а € Л
angN выполнены условия
(lJlt= Atomn(a) «• <8 t= Atom „(а),
B) 211= Atomlessn(a) «• 2$ t= Atomlessn(a),
C) 211= Atomicn(a) «• 2$ t= Atomicn(a),
D)9lt=/n(a)<»«8t=/n(a),
mo 21 — элементарная подмодель в <S,
Доказательство проведем в несколько этапов. Прежде всего
заметим, что элементарные характеристики 21 и 2$ совпадают. Дей-
Действительно, если chBl) = (со,0,0), то 21 t= "'/n(l) для всех п.
По условию D) 2$ Ё "'/„(l) для всех п. Следовательно, ch B$) =
сЬ<вA) = (со, 0,0). Если chBl) = (n,a,i), то 51 1= /n+i(l) Л
"¦/„(l). Опять по условию D) имеем 23 f= /n+i(l) Л~'/пA), откуда
chiB$) = chi(l) = п. Если a € N, рассмотрим а + 1 элементов
60) Ь\,... , Ьа € А таких, что

144 2. Элементарная классификация булевых алгебр
21 t= AtomlessnF0) и &o//nBt) ф О при i = 1 и 6о = О при
i = О,
211= AtomnFj) для 1 ^ j ^ а,
Ос
У bj = 1, но Ьк Л 6j = О для всех fc ^ j.
Тогда 03 1= AtomnFj) для всех 1 ^ j ^ а по условию A) и
«В t= AtomlessnF0), 03 t= 1„{Ь0) <=> 21 t= /nF0) по условиям B),
D). Поэтому ch E3) = (n,a,i). Если а — бесконечность, рас-
рассмотрим элементы а и 6 такие, что а V 6 = 1, 21 t= Atomic „ (а)
и 21 t= AtomlessnF), причем 6 = 0, если г = 0, и b/lnDL) ф
О, если г=1. Ввиду B) и C) имеем Ъ 1= Atomic „(а) и 98 1=
AtomlessnF)&:[/nF)]1'. Кроме того, под а//„B1) в 21//„B1) Для
любого к ^ 1 можно выбрать fc элементов ai,... , a^ таких, что
а,- Л dj =0 для i ф j, а,- ^ а и 21 t= Atom „(а,) для 1 ^ i ^ fc.
Эти элементы имеют тот же тип в 03, что и в 21. Поэтому ch @3) =
(и, а, г).
Рассмотрим модель 21 и допустим, что ее элементарное расшире-
расширение 21* является плотной счетной булевой алгеброй. Такая система
существует в силу теоремы 2.3.1. Без ограничения общности счита-
считаем, что А* Г\В = А. Рассмотрим полную диаграмму 0^@3) булевой
алгебры 03 и множество формул
A=;{Atom^(a) | 21* t= Atom^(a),e ? {0,1},п ? N,a ? A*}
U{Atomless^,(a) | 21* t= Atomless^,(a),n ?N,a? Л*,е? {0,1}}.
U{Atomi<(a) | 21* t= Atomic;(a),n e N,a ? A*,e ? {0,1}}
U {/'(a) | 21* t= Гп(а), n ? N,a ? A',e ? {0,1}} U A)Bt*),
где ?>oBl*) =; {<p(ai,...,an) ? Da, B1*) | <p бескванторная}.
Покажем, что множество формул Д U Da, @3) совместно. В си-
силу теоремы о компактности достаточно доказать его локальную со-
совместность. Пусть До С Д U Da, @3), До — конечное множество
формул и
До ={Фо(Ьо),... , Ф„(М} U {Atom*-(a?) | i < к,}
U {Atomless^^a?) | i ^ k2} U {Atomic?'(a?) | i ^ к3}
U {/^(а?) | i $ к4} U {^о(ао), • •. ,^m(am)},

2.4. Модельно полные теории 145
где Ц еВ, а{_еА', а{ G А* и eit 6{, а,, Д е {0,1}, Ф,F.) е
Du, E3), а у?; (а,) — бескванторные формулы из DoB1*). Рассмо-
Рассмотрим конъюнкцию Ф всех формул из
До \ {Фо(^о)> • • • i Фп(&п)} U {диаграмма подалгебры 21о алгебры
21, полученной пересечением с 21 подалгебры, порожденной
элементами из б,1, а,1, {а* | 1 ^ j' ^ 4& 1 ^ i ^ kj} в 93}.
Ясно, что мы добавим таким образом лишь конечное число формул.
Таким образом, мы имеем формулу Ф(й,а*), где а — константы
со значениями в А, а а* — со значениями в А* \ А. Однако 21 —
элементарная подмодель в 21*. Следовательно, в 21 найдутся эле-
элементы а\ такие, что 211= Ф(а,а],), причем все элементы а отличны
от элементов ai.
Для формул из До рассмотрим подстановку, оставляющую эле-
элементы В на месте и заменяющую элементы А* \ А соответству-
соответствующими элементами а\. Заметим, что по построению все форму-
формулы из До-\ {Фо(^о),--- , Фп(^п)} выполнены в 21. Эти формулы
либо бескванторные, либо вида Atom^, AtomlessJ,, Atomic'n, /?,
где п е N и е € {0,1}, поэтому они истинны в 03. Формулы
{ФоFо), • • • ,ФпFп)} истинны в 03 по построению. Следователь-
Следовательно, множество формул До выполнимо. Поэтому Д выполнимо.
Рассмотрим теперь счетную модель 03', в которой выполнены
формулы из Д. Тогда 03 — элементарная подмодель в 03', 21* —
подалгебра в 03' и для любого a G А* выполнены условия A)-D).
Рассмотрим для булевой алгебры 03", полученной из 03' обедне-
обеднением на сигнатуру булевых алгебр, счетную плотную булеву алге-
алгебру 03*, которая элементарно расширяет 03'. Тогда 21* — подал-
подалгебра 03*, так как она — подалгебра 03" подалгебры 03*. Имеем
21* И Ф(а) <й> 93' И Ф(а) <й> <В* И Ф(а) для а G А* и любой фор-
формулы Ф вида Atom^(:r), Atomless^(:r), Atomic^z), /?(z), где
n бМиеб {0,1}. Первая эквивалентность верна по построению
93', а вторая — в силу элементарности расширения. Таким образом,
мы построили счетные булевы алгебры 21* и 93* такие, что 21 ^1 21*,
93^93*,21С93и2Г С 93*, причем для любых элементов a G А* и
формулы Ф вида Atomcn(x), Atomless^(z), Atomic^z), /?(z), мы
имеем 21* Ё Ф(а) <^ 93* t= Ф(а). Достаточно доказать, что 93* —
элементарное расширение булевой алгебры 21*. Действительно, в
этом случае для любых элементов а\,... , ап из А и формулы Ф

146 2. Элементарная классификация булевых алгебр
сигнатуры булевых алгебр мы имеем следующие эквивалентности:
(в силу элементарности вложения 21 в 21*),
2Г1= Ф(аь... , а„) <* «В* 1= Ф(аь ... , а„)
(в силу элементарности подмодели 21* в 53*),
53*ЕФ(аь... ,ап)<*Ъ\=Ф(аи... ,а„)
(в силу элементарности подмодели 53 в 53*).
Поэтому 21 — элементарная подалгебра счетной алгебры 53.
Осталось показать, что 21* — элементарная подмодель в 53*.*-
Ввиду предложения 2.1.1 для любых формулы Ф(я1,... ,хп,у) и
набора элементов а\,... ,а„ € А* таких, что 53* 1= (Зу)Ф(а1,... ,
ап, у), требуется найти элемент Ь 6 А*, для которого
Я*1=Ф(а1)...)аП1Ь).
Пусть Ф — формула и элементы ai,... , а„ из А* и b из В* такие,
что 53* 1= Ф(а1,... ,а„,6). Подалгебра, порожденная {а\,... ,а„},
конечна и атомна. Пусть е\,... , ет — все ее атомы. Ясно, что
cii • ¦ ¦ ,em — элементы А*. Для 1 ^ г; ^ m рассмотрим элемент
г,- 6 .А* такой, что ch (e,- \ Z{) = ch (ej \ 6) и ch (е,- Л г,) = ch (е,- Л 6).
Так как 21* и 53* имеют одну и ту же элементарную характеристику,
в силу лемм 2.2.5, 2.2.6 и полноты 21* такие элементы г,- существуют.
Рассмотрим теперь множество пар
{(Zi Л е,-, е,- Л 6) | 1 ^ f < m} U {(e,- \ zit е,- \ 6) | 1 ^ i ^ т},
которое силу леммы 2.2.4 есть подмножество 5 ^ {(а, 6) | ch (a) =
ch F)} и ch (С(а)) - ch {С{Ь))} С S* х 5*. В теореме 2.3.2 дока-
доказано, что 5 — условие изоморфизма для счетных плотных булевых
алгебр одной и той же элементарной характеристики. По теореме
Воота существует изоморфизм <р булевой алгебры 53* на булеву ал-
алгебру 53* такой, что y>(z,- Л е,-) = b Л ei, ip(ei \ г,-) = е,- \ b для
любого 1 ^ i ^ т. Поэтому у(е,) = е,-. Следовательно, у(а,) = а,-
для i ^ п. Рассмотрим элемент a € А* такой, что <р(а) — Ь. Имеем
Однако 53* 1= Ф(п1,. .. ,а„,Ь). Поэтому 53* Ё Ф(аь ... ,а„,а).
Тем самым условие из предложения 2.1.1 выполнено. П

2.4. Модельно полные теории 147
Следствие 2.4.1. Если 21 — счетная подалгебра алгебры 05 и
cha(a) = chs(a) для любого а Е А, то 21 — элементарная под-
подалгебра алгебры 05.
Мы использовали обозначение cha(a) для характеристики эле-
элемента а булевой алгебры 21. Рассмотрим теперь систему 05* и ее
подсистему 21* в расширенном языке булевых алгебр.
Следствие 2.4.2. Если 21* — подсистема счетной системы 05*
теории ВА*, то 21* — элементарная подсистема системы 05*.
Доказательство. В расширенном языке есть предикатные сим-
символы, эквивалентные формулам Atomn, Atomlessn, Atomic n, /n,
n ;> 0. Поэтому обеднения 21* и 05* до сигнатуры булевых алгебр
будут удовлетворять условиям теоремы 2.4.1. Следовательно, для
обедненной сигнатуры вложение элементарно. Добавленные преди-
предикаты эквивалентны формулам в сигнатуре булевых алгебр. Поэтому
в расширенной сигнатуре это вложение также элементарно. D
Теорема 2.4.2. Теория ВА* модельно полна.
Доказательство. Рассмотрим модели 21* и 05* теории ВА* та-
такие, что 21* — подсистема 05*. Покажем, что
tp-Wt<p{au... ,an)«.-05*f=^(a1,... ,an)
для любых а\,... ,ап Е А. Пусть а\,... ,ап— элементы А и <р —
формула расширенной сигнатуры. В силу теоремы Левенгейма —
Скулема существует счетная элементарная подсистема 21*, =^ 21*, ко-
которая содержит элементы а.\,... , ап. Основное множество системы
21J является счетным подмножеством системы 05*. В силу теоремы
Левенгейма — Скулема существует счетная элементарная подсисте-
подсистема 05J ^ ®* i содержащая 21*, в качестве подсистемы. Но для 21*, и
05J можно применить следствие 2.4.2 и заключить, что
u... ,an).
По выбору элементарных подсистем имеем
21* t= <p(ai,... ,an) О % f= <P{«4,- ¦ ¦ ,<«n).
05* \=<p{ai,... ,ап)<*Ъ'0?<р(аи... ,an).
Эквивалентность 21* t= <p(ai,... , an) «=> 05* f= <p(ai,..., an) дока-
доказана. D

148 2. Элементарная классификация булевых алгебр
Упражнения
1. Доказать, что теория атомных булевых алгебр с предикатом, вы-
выделяющим атомы, модельно полна.
2. Доказать, что теория безатомных булевых алгебр модельно пол-
полна.
3. Доказать, что булевы алгебры Ъш и Ъшxv элементарно эквива-
эквивалентны.
4. Построить элементарные вложения *ВШ в 93^з к*Вшп в93и,п+1.
5. Доказать, что 53о,+, и ^Bu+uxn+v элементарно эквивалентны.
6. Доказать, что существует элементарное вложение 03 ш в беско-
бесконечную атомную булеву алгебру 53.
7. Доказать, что любая счетная бесконечная атомная булева алге-
алгебра элементарно вкладывается в булеву алгебру 93и,х,,.
8. Доказать, что булева алгебра 93 u+v проста в теории булевых
алгебр элементарной характеристики A, 1, 0).
9. Доказать, что произвольная булева алгебра содержит элементар-
элементарную подсистему, которая будет простой в теории этой булевой
алгебры.
10. Доказать, что подалгебра атомной булевой алгебры, порожден-
порожденная ее атомами, будет элементарной подалгеброй.
2.5. Непротиворечивые полные теории
булевых алгебр
Как показано в 2.3, любые две булевы алгебры одной и той же
элементарной характеристики элементарно эквивалентны. В этом
параграфе мы изучим вопрос о том, какие наборы (п, т, к) могут
быть реализованы в виде элементарных характеристик. Соглас-
Согласно определению элементарных характеристик если п ? N U {оо},

2.5. Непротиворечивые полные теории 149
т € N U {oo}, A: G {0,1} и (п,т,к) — элементарная характери-
характеристика некоторой булевой алгебры, то при п = оо значения тик
равны нулю. Будем называть тройки, удовлетворяющие указанным
условиям, допустимыми.
Покажем, что все допустимые тройки действительно реализуют-
реализуются как элементарные характеристики булевых алгебр. Для дока-
зательства предложения 2.5.1 (см. ниже) потребуется следующая
лемма.
Лемма 2.5.1. Если 1п(а) = 1п{Ъ) Па, х ^.а, то
(a) х//„(а) — атом «¦ Х//„(<В) ~ атом>
(b)x//n(a) безатомный <=> х//„(!8) безатомный,
(с)х//„(а) атомный •<=> x//n(fg) атомный.
Доказательство, (а) Пусть х//„(а) — атом. Тогда х ? /„(а).
Следовательно, х ^ /„B$), так как х ^ а. Поэтому х//п ф 0.
Предположим, что х//„B5) — не атом. Тогда существует элемент
y/ln такой, что 2///„(<В) < *//*(«) > »//п(») # Оих\у//п(<в) #
0. ВэтомслучаехЛу//п((В) = у//„(<В) и хЛу ^ /„(а), х\у G а
и х \ у ^ /п(о)- Приходим к противоречию, так как х \ J///n(a) Л
*лУ//„(а)=О,но
* \ У/ln (а) ^ х//„(а), ^ у//п C) ^ х//п C).
Таким образом, х/'/„(а) — атом.
Пусть x//n((g) — атом. Тогда х ^ а и х ^ -М®)- Но в этом
случае'X ? /„(а) и х//„(а) ^ 0. Если х//пB) — не атом, то
найдется элемент у такой, что у/ 1п{а) < ^//„(а.) и y/ln(a) ф 0.
Можно предположить, что у^аих\у^а, откуда у ^ /„B$),
х \ У ^ ^п(Я$) их\уЛу= 0, x\yVy = x. Следовательно,
х//„(а) — не атом.
(Ь) Пусть х//п(<в) — безатомный элемент. Если x//n((g) = О,
то х G 7„(!В) и х € /„(а) = 7„(<В) П а. В случае х//п(«в) ^ О,
имеем х ^ /п(а)- Пусть х//пB) не безатомный. Тогда существу-
существует атом y/ln(a) ^ х//„(а)- Согласно (а) у//„(<В) — атом, но
/ = x/^y//n(<B) ^ Х//„(!В) Приходим к противоречию

150 2. Элементарная классификация булевых алгебр
с безатомностью xjjn. Пусть z//nC) безатомный, но х//„(!8) не
безатомный. Рассмотрим элемент 2///„(!8) — атом из ®//„(<8),
меньший *//„(©). Тогда j/Ax//n((8) = z//n(f8). Можно пред-
предположить, что у ^ х. Тогда j/ 6 а и у/ 1п(а) ф 0 является атомом
ввиду (а), что противоречит безатомности х//„C)
(с) Пусть я//„C) атомный, а я//„(<8) не атомный. Тогда суще-
существует элемент у/7„(!8) безатомный и отличный от нуля. Без огра-
ограничения общности можно считать, что у ^ х. Согласно (Ь) у/1п(а)
тоже безатомный и У/ 1п(д.) ф О, что противоречит нашему предпо-
предположению. Пусть я//„(а) не атомный, a z//n(<8) атомный. Рассмо-
Рассмотрим элемент y/ln(a) < *//„(а) такой, что J///nC) фОк J///nC)
безатомный. По случаю (b) J///n(<8) Ф О н J///n(<8) ^ х/1п(Ъ)
безатомный, что противоречит нашему предположению. и
Предложение 2.5.1. Если !8 — булева алгебра, 1п ^ ^п(®) —
n-Й идеал Ершова — Тарского и а — элемент !8, то /пC) =
In Па.
Доказательство проведем индукцией по п. Для п = 0 утвер-
утверждение очевидно, так как /оC) = /о(®) = {0}. Допустим, что
утверждение справедливо для п. Докажем его для п + 1. Пусть
х ? /п+1 П а. Тогда х ^oHi = iVc, где 6, с такие, что &//„
атомный и cjin безатомный. В силу леммы 2.5.1 и индукционного
предположения Ь/1п(а) атомный, а с//пC) безатомный. Следова-
Следовательно, х 6 In+i(a).
Установим обратное включение. Пусть х 6 In+i(a). Тогда
х ^ а и х = 6 V с, где 6, с такие, что ^//„C) атомный и с//п(д)
безатомный. В силу леммы 2.5.1 и индукционного предположения
b/ln атомный, а с//п безатомный. Следовательно, х € /п Па. ?
Пусть L — линейный порядок с наименьшим элементом такой,
что Ъь имеет элементарную характеристику (п, 1,0). Определим
линейный порядок Lm ^ L + ¦. ¦ + L, m > 0, и линейный порядок
m раз
Ьш !=; L + L + .. .j который можно получить, взяв ш экземпляров
ш раз
L, т.е. V ^ <{</,«> М G L, i Е N}; ^>, где (l,i) <: </',»'> ^ г <

2.5. Непротиворечивые полные теории 151
Предложение 2.5.2. Булева алгебра ®tm имеет элементарную
характеристику (n,m,0), если ch (93.1,) = (n, 1,0).
Доказательство. Так как каждый L — порядок с наимень-
наименьшим элементом, можно выбрать т элементов а^, а2,... ,ат таких,
что а\ — наименьший элемент в Lm, а2 — наименьший элемент во
втором экземпляре L,..., ат — наименьший элемент в m-м экзем-
экземпляре L. Тогда отрезки
изоморфны L, но /nB$Lm) П cii = /n(Sj) согласно предложению
2.5.1. Так как а,- °? 93^ и ch(93i) = (п, 1,0) для любого х ^ а,-,
имеем х G /п(«<) или С(х) Aat ? /n(at), кроме того, а,- $ 1п{ос{).
В силу леммы 2.5.1 заключаем, что ai//n(<8) — атом, т. е. булева
алгебра 93?m имеет элементарную характеристику (п, т, 0). ?
Предложение 2.5.3. Булева алгебра 03l-> имеет элементарную
характеристику (п,оо,0), если ch (Q3t) = (n, 1,0).
Доказательство. Пусть а — наименьший элемент в L. Рас-
Рассмотрим элемент х ? 93?*. Согласно определению булевой алгебры
по линейному порядку х = у [ji,Si[, где 7t < &, 1 ^ i ^ m, и
Si < 7t'+i, 1 ^ »' ^ m— 1. Если <$т < оо, то существует s такое, что
Sm < (a,s). Пусть а,- ±^ [(а,г), (а,i + 1)[. Для ft^iAа,-, г <? s,
имеем V Д = х. Однако А'//„(93ь) Равно нулю или является ато-
атомом, а поэтому х/ 1п не может быть безатомным. Если <$т = оо,
то найдется s такое, что 7m < (o.,s). Тогда а, С [ym,Sm[C. х.
Следовательно, «»//„ ^ х/In< Ho a'/ln — атом. Таким образом,
93f I' jn — атомная булева алгебра. Поскольку а«'//„(93ь*) — по-
попарно различные атомы, заключаем, что ch (93lu) = (n, oo, 0). ?
Пусть L — линейный порядок с наименьшим элементом, S —
линейный порядок, для которого булева алгебра 93s имеет первую
элементарную характеристику п. Определим два линейных порядка
Lw + Sxr)viA = l + Sxr). Пусть
L" =

152 2. Элементарная классификация булевых алгебр
\s,r) $. (s ,г ) —, г <г у (г — г 6cs ^. s ).
Предложение 2.5.4. Если ch E8ь) = (", 1,0), то
A) ch E8x,u,+s><n) = (я + 1,1,0), если ch (Q5S) = (", 0,1),
B)chE81+Sx,) = (гг + 1,0,1),
Доказательство. A) Для линейного порядка Ьш + S х г) рас-
рассмотрим представитель
предполагая, что L Г\ S = 0, N — множество натуральных чисел,
a Q — множество рациональных чисел с естественными порядками
<к и <q. Порядок на этом множестве пар определен следующим
образом:
{х,у) ^ {а,Ь) zz {x S Lba S S)V {х € Lkas Lk{y <пЬ
V (у = Ькх ^L a))) V(i?Sfea? Sk{{y <q 6)
Покажем, что элементы [(s',r')t (s",r")[, r' < г", [(s, r), oo[ име-
имеют характеристику (я,0,1), где г,г', г" ? Q и s,s',s" G S. Дей-
Действительно, для любых si,S2 ? S иг 6 Q порядок на интерва-
интервале [(si,r), (s2,'")[ изоморфен порядку на интервале [si,S2[- Сле-
Следовательно, булева алгебра [(si,r), (s2,r)[ изоморфна булевой ал-
алгебре [si,S2[ Так как ch (93s) = («,0,1), существуют элемен-
элементы si и S2 такие, что ch([si,S2[) = (h,0,l). Пусть /„ — п-й
идеал Ершова — Тарского булевой алгебры 9Jl«+sxij- По лемме
2.5.1 [(si,r), («2,»")[//п — безатомный элемент, не равный нулю.
Для любых (s',r'),(s",r") таких, что г' < г", имеем г' < г <
г" и [(si,r), (s2,r)[^ [(s',r'), (s",r")[. Следовательно, элемент
[(s',r'), (s", r")[/jn ненулевой и безатомный. В случае

2.5. Непротиворечивые полные теории 153
без ограничения общности можно считать, что а ^ [(s',r')t (s",r")[.
Тогда
Поскольку а//п ф О, существует г такой, что г,' < г", либо г,- = г"
для всех г, но [{s'ia, r'io), (s, r)[/jn ф 0 для некоторого i0. В пер-
первом случае найдутся два рациональных числа г,- < pi < рг < г",
для которых элементы [(si.Pi), (s2,Pi)[//n и [(«ьРг), (s2,P2)[//n
отличны от нуля, в пересечении дают нуль и лежат под а//„- По-
Поэтому а/ 1п — не атом.
Во втором случае ([(sj-.rj), (s",r')[,^) изоморфно ([sj, «"[,<) и
ch (<BS) = (n, 0,1). Поэтому [{s'io, rJJ, («? , r'io)[/In - безатомный
элемент, отличный от нуля, т. е. а/'Jn — не атом.
Ясно, что порядок на интервале [(/, г), (/', г)[ изоморфен поряд-
порядку на интервале [/, /'[. Поэтому булевы алгебры [I,/'[и [(/, г), (/', г)[,
построенные соответственно в 03х, и 03ь*+5+,,, изоморфны. Ана-
Аналогично, если /о — наименьший элемент в I и : 6 w, то порядки
на [/о, оо[ и [(/о,»'), (/о, i + 1I а также соответствующие булевы ал-
алгебры [/о, оо[ и [(/о, г), (/о, г + 1)[ изоморфны. Из вышесказанного
получаем, что элемент [(/о, *), ('о>*'+ !)[//„ — атом, а элементы
[(«. г), (s1, r')[/in и [{s, r), oo[/In безатомные в 23bw+5x4//n(gi).
Рассмотрим элемент 1 булевой алгебры %L"+sxri и покажем,
что 1 ^ /п+1- Допустим противное, т.е. 1 = a V b, где a//n
атомный, но bjin безатомный. Так как
i=i i=fc+i
рассмотрим наибольшее т, для которого существует такое г, что для
всех s ^ т элемент [а(, а"[содержит все (Zo, s). Тогда a" = (s, И и
а|- = (/, р), где р ^ m, r G Q, s G 5,1 G L. В этом случае [<•, a<'[//n
содержит атом (а именно элемент [{1о,т),Aо,т+ 1)[//п) и без-
безатомный элемент [(«, г'), {s, r")[/jnl где г' < г", г', г" € Q, s G 5,
что противоречит выбору а и Ь. Если z ^ 1, то х G /п+1 или

154 2. Элементарная классификация булевых алгебр
С(х) 6 In+i- Выберем из элементов
t=l t=l
тот элемент, для которого найдется интервал, содержащий все эле-
элементы (/о, к), начиная с некоторого ко- Тогда другой элемент разла-
разлагается в объединение конечного числа атомов и безатомный элемент.
B) Рассмотрим булеву алгебру 53 д, где Д = l+Sxrj, chE3s) =
(п, к + 2,1). Интервал [(l,r), (l',r)[ из Д с индуцированным по-
порядком изоморфен интервалу [/,/'[ из S. Поэтому булева алгебра
[(/, г), (/', г)[ изоморфна булевой алгебре [/,/'[ в 55s- Следователь-
Следовательно, [A, г), (/', г)[//п+1(«в,) = 0. Однако [(/, г), (/', г)|//п+1(«8,) ф
О для любых /,/' и г < г'. Поэтому ®д//п+1(93д) — безатом-
безатомная нетривиальная булева алгебра и верно равенство сЬE5дд) =
(n+1,0,1). D
Предложение 2.5.5. Если L, S — линейные порядки такие, что
ch («8l) = (п, s, 0), где s > 0, ch («8<?) = (п, 0,1) и S без наимень-
наименьшего элемента, то булева алгебра 53l+i+s имеет элементарную
характеристику (п, s, 1).
Доказательство получается из разложения единицы на два ин-
интервала ] — оо, а[ и [а, оо], которые изоморфны L и S. ?
Предложение 2.5.6. Если для каждого п линейные порядки Ln
с наименьшими элементами такие, что chB$?,n) = (n,l,0),
то булева алгебра 2$?,, построенная по линейному порядку L —
i, имеет характеристику (оо,0,0).
Доказательство. Выберем для любого произвольного т» из Ln
наименьший элемент 1п. Очевидно, что.интервал [Zn,Zn+i[ из L
изоморфен линейному порядку Ln. В этом случае булевы алгебры
[ln,ln+i[ Для *8l и Ъьп изоморфны. Тогда [ln,ln+i[? /„E3l).
Следовательно, 1 ^ /nE3i,) для любого п. Таким образом, заклю-
заключаем, что ch (*8l) = (оо, 0,0). П
Теорема 2.5.1. Для любой допустимой тройки (п,т,к) суще-
существует булева алгебра 03 такая, что ch @3) = (п, ш, к).

2.5. Непротиворечивые полные теории 155
Доказательство проведем индукцией по п. Для произвольной
допустимой тройки (п, т, к) построим линейный порядок in,m,fc
такой, что ch (Шх,п mJ = (п,т,к). Пусть п = 0. Тогда Ход,о —
одноэлементный линейный порядок, а Ход,о — естественный ли-
линейный порядок на рациональных числах. Из предложения 2.5.2
получаем линейный порядок для @, к, 0), а из предложений 2.5.3 и
2.5.5 — порядок для @,оо,0) и @, к, 1) при всех к ? NU{oo}. Пред-
Предположим, что все допустимые характеристики (Sjirijk), где s ^ п
уже реализованы. Покажем, что реализуются также допустимые
характеристики (п+ 1, т, к). Из предложения 2.5.4 и индукционно-
индукционного предположения получаем линейные порядки ?„+1до и ?„+1,0,1 •
В силу предложений 2.5.2, 2.5.3 и 2.5.5 имеем линейные порядки так-
также для других допустимых характеристик (п + 1, т, к). Осталось
построить булеву алгебру характеристики @0,0,0). Но имея буле-
булевы алгебры элементарных характеристик (п, 1,0), мы заканчиваем
доказательство, применив предложение 2.5.6. ?
Укажем без доказательства еще одну теорему о реализации до-
допустимых троек.
Теорема 2.5.2 [39]. Для полной элементарной теории Т буле-
булевых алгебр существует идеал It булевой алгебры подмножеств
V(N) = (V(N),U,n,C) такой, что фактор-алгебра V(N)/jT
является моделью теории Т.
Упражнения
1. Доказать, что система а является булевой алгеброй и ch (a) =
ch (а).
2. Доказать, что булева алгебра Ш изоморфна а х С(а) для лю-
любого элемента йёйиВ простая (насыщенная), если а и С(а)
простые (насыщенные).
3. Доказать, что Шы — простая, а Шых^ — насыщенная модели в
классе атомных бесконечных булевых алгебр.
4 Построить простые и счетно насыщенные булевы алгебры всех
допустимых элементарных характеристик через линейные по-
порядки.

156 2. Элементарная классификация булевых алгебр
5. Доказать, что теория атомных булевых алгебр с предикатом, вы-
выделяющим атомы, модельно полна.
6. Доказать, что (93, /) и B1, /) — две бесконечные атомные буле-
булевы алгебры с плотными идеалами — элементарно эквивалентны
тогда и только тогда, когда фактор-алгебры 93// и 93/j эле-
элементарно эквивалентны. Назовем идеал / в булевой алгебре 93
плотным, если для любого а ф О существует 6^0 такой, что
b<anb? I.
7. Доказать, что для любой атомной булевой алгебры 21 с плот-
плотным идеалом / и счетной булевой алгебры 93о такой, что 21// и
93О элементарно эквивалентны, существует булева алгебра 93 с
плотным идеалом J такая, что (93, J) и B1, /) элементарно экви-
эквивалентны и булева алгебра 93/j изоморфна булевой алгебре 93о
8. Доказать, что счетная атомная булева алгебра насыщена тогда
и только тогда, когда любой ее элемент, содержащий бесконечно
много атомов, может быть разбит на два элемента с таким же
свойством.
9. Доказать, что chG>(N),U,n, V) = @,оо,0).
10. Доказать равенство (ch (V{N),U,f\, V0/FG>(iV))) = @,0,1),
где F(V(N)) — идеал Фреше.
11. Доказать, что если Fn ^ {X С N | {0,1 га} С X), то
ch(<W,U,n,C)/FJ=@,ra+l,0).
12. Пусть I к J — идеалы в (V(N),U,Ci, С) такие, что
ch(№),U,n,C)//)=(ri,oo,0),
Определить идеал К€т{1, J) так, что ch {{V(N), U, П,
(га + 1,т,е), где т ^ оо и е ? {0,1}.

2.6. Ограниченные теории булевых алгебр 157
2.6. Ограниченные теории булевых алгебр
При изучении как булевых алгебр малых характеристик, так
и формул с ограниченным числом перемен кванторов в пренекс-
ной нормальной форме, часто оказывается полезным рассматривать
лишь часть из предикатов, необходимых для модельной полноты.
Как будет показано ниже, определяемые предикаты при возраста-
возрастании п имеют все более и более сложную кванторную приставку, и
они полностью характеризуют соответствующий ограниченный слой
элементарной теории.
Определим расширяющуюся цепь сигнатур
о" С <т0 С о"! С ... С <т„ С ... ,
где <т — сигнатура булевых алгебр (A,V,C), <то = (Л, V,C, 0,1),
On + 1 = OnU{An}, О„+2 = °n + lU{Bn}, On+3 = °n+2U{Cn},
<Т4„+4 = "п+з U {2ti+i} <т* = <т„. Для любого п рассмотрим рас-
расширения В А* теории булевых алгебр В А, добавляя для каждого
символа его ранее заданное определение. Ясно, что UBA* — мо-
дельно полное определимое расширение ВА* теории булевых алгебр
ВА
Предложение 2.6.1. Справедливы следующие утверждения:
(a) для любой булевой алгебры 21 характеристики (п, 0,1) теория
Th B1) U BA4,, моделъно полна,
(b) для любой булевой алгебры 21 характеристики (п,оо,0) или
(п, к, 0) теория Th B1) U BA4n+i моделъно полна,
(c) для любой булевой алгебры 21 характеристики (п, к, 1), к ? N,
теория Th B1) U ВА4П+2 модельно полна,
(d) для любой булевой алгебры 21 характеристики (п,оо, 1) тео-
теория Th B1) U ВА4„+з моделъно полна.
Доказательство. Ввиду модельной полноты теории ВА* мож-
можно по любой формуле <р(х\,... ,хп) булевой алгебры построить эк-
эквивалентную ей 3-формулу Ф(ж1,... ,хп) в расширенной сигнату-
сигнатуре. На булевых алгебрах указанных характеристик все остальные
предикаты либо всюду ложны, либо всюду истинны, и их можно
заменить в этих 3-формулах эквивалентными формулами, но уже

158 2. Элементарная классификация булевых алгебр
в сигнатуре булевых алгебр. Таким образом, необходимо добавить
лишь конечное число предикатов из соответствующей этой характе-
характеристике сигнатуры. ?
Опишем некоторые связи ограниченных теорий булевых алгебр и
обогащений ВА* теории булевых алгебр. Докажем несколько про-
простых лемм. Пусть 21 — подалгебра алгебры 2$ в естественном обо-
обогащении до модели сигнатуры <т„, т. е. алгебры теории ВА*.
Лемма 2.6.1. Если для формул сигнатуры <тп вида
Cyi ...3ym)D(xu... ,хп,уи... ,ym),
где D{x\,... , хп, j/i,... , ут) — совершенная конъюнкция, из ис-
истинности ее в 2$ на элементах ai,... ,ап системы 21 следует ее
истинность в 21 «а элементах а\,... , ап, то это утверждение
справедливо для любых 3-формул.
Доказательство. Пусть <р{х\,.. ¦ , Хк) — 3-формула сигнату-
сигнатуры <т„. Она имеет вид Cj/i .. .ym)*(xi,... ,xk,yi,.-- ,J/m), где
формула Ф бескванторная. Рассмотрим термы t(xi,... ,Хк), опре-
определяющие элементы подалгебры, порожденной xi,... ,х*. Доба-
Добавим к Ф новые конъюнктивные члены вида Zt = t(x\,... , Хк) для
каждого терма t и новой переменной zt. Замкнув полученную фор-
формулу по переменным типа у и типа z кванторами существования, мы
получим формулу, эквивалентную данной. Поэтому считаем, что Ф
содержит в качестве конъюнктивных членов равенства для всех тер-
термов, определяющих элементы подалгебры, порожденнойх\,... ,Хк-
Для противоречивой формулы (p(xi,..., Хк) заключение леммы
очевидно. Если же она непротиворечива, то непротиворечива также
формула Ф(х1,... , Хк, J/i, ¦ • ¦ , Ут)- Сигнатура <тп конечна. В этом
случае формула Ф(х1,... , Хк, J/i, •. • , ym) эквивалентна совершен-
5
ной дизъюнктивной нормальной форме V D,, где D, — совершен-
ные конъюнкции. Формула <p{xi,... ,Хк) эквивалентна формуле
,Vi
,... ,хк,уи... ,ут).
Если 3j/i ... ЗутФ(х1,... , хк, J/i, •.. , j/m) истинна в <8 на элемен-
элементах ai,... ,пк € 21, то существует s такое, что в В формула
{3yi...ym)D,{xi,... ,хк,у\,... ,ут)

2.6. Ограниченные теории булевых алгебр 159
истинна на элементах ai,... , ап. Она истинна на них также в 21.
Но тогда на этих элементах в 21 истинна вся дизъюнкция. ?
Рассмотрим модель 03 сигнатуры сг„ теории ВА* и ее подмодель
21 этой же теории. Пусть а\,... , а^ — элементы 21 и
03 1= Cj/i .. .3ym)D(ai,... ,afc, j/i,... ,ут),
где?)(х1,... ,Xfc,j/i,... ,ут) — совершенная конъюнкция. Рассмо-
Рассмотрим подалгебру gr^ai,... , afc), порожденную в булевой алгебре
03 элементами ai,... , afc. Так как 03 — модель теории ВА С ВА*,,
эта подалгебра лежит в 21. Пусть 6i,... ,6, — все атомы этой бу-
булевой алгебры. Тогда
03 Э ^ х Ь2 х ... х Ь„ Я ~ (бГ)а х (бГ)а х ... х (бГ)а,
где Ft)a С 6,-, 1 ^ г ^ s (разложения рассматриваем в сигнату-
сигнатуре а). Для формулы вида
возьмем элементы yi,... ,ут, которые делают ее истинными в 21.
Рассмотрим булеву алгебру gr^ai,... , an, j/i,. .. , ут) как подал-
подалгебру булевой алгебры 03 в сигнатуре булевых алгебр и все атомы
этого разложения ео,... ,ег. Тогда каждый атом лежит только
под одним элементом 6,-, 1 ^ г ^ п. Мы получаем s подмножеств
A'l,... , К, С {0,... , т} таких, что К{ П Kj = 0 для г ф j,
V К{ = {0,... , т} и V ej = 6,-. Так как а\,... , а^ лежат в
21, атомы &i,... , 6, подалгебры gr^a!,... , а*) лежат в 21. Для
каждого 1 ^ г ^ s найдем |А',| элементов e'j, j G К{, в подалгебре
21 таких, что они образуют разбиение 6,- (т. е. V e'j = 6,- и для
любых г ^ j из Л',- е\ Л е^- = 0) и относительно предикатов сигна-
сигнатуры сгп выполнено следующее условие: на е\ выполняются те же
предикаты из <г„, что и на е,-. Положим j/ t=; V ^ yt-e'-. На j/J и
на у,- выполнены одни и те же предикаты из сгп, так как истинность
любого предиката из сгп однозначно определяется из ее определения
на слагаемых. Действительно, если а = V а,- и а,- Л а,- = 0, г ф j,

160 2. Элементарная классификация булевых алгебр
то
Ап(а) <$ существует единственное t такое, что А„(а,) и Tn(aj)
для любых j ^ к и j ф i,
Вп(а) & Вп(а,) для любого г,
С„(а) <$ Cn(di) для любого i,
1п(а) & 1П (а.) Для любого t.
Соотношения между элементами сохранятся, так как соответствен-
соответственные элементы получаются из одних и тех же е[. Таким образом,
используя лемму 2.6.1, мы получили следующее утверждение.
Лемма 2.6.2. Пусть для любого элемента а € 21 и его разби-
разбиения ei,... ,em в 2$ существует разбиение е\, 1 ^ г ^ т, эле-
элемента а в 21 такое, что е\, 1 ^ г ^ т, лежат в 21 м для любого
г, 1 ^ i ^ m, wo е^ ика е(- истиммы одни и те же предикаты из
о~п. Тогда для любой 3-формулы сигнатуры <тп из ее истинности
на 2$ следует ее истинность на подалгебре 21 сигнатуры сгп.
Предложение 2.6.2. Справедливы следующие утверждения:
(а) для любой 3-формулы <р(х\,... , хт) сигнатуры ап существу-
существует ^-формула ip(xi,... , хт) сигнатуры о~п+\ такая, что
BAn+i h (Vxi...Vxm)(<p(zb... ,xm)
(Ь) для любой V-формулы <р(х\,.. . , хт) сигнатуры <г„ существу-
существует 3-формула rl>(x\,... ,хт) сигнатуры (Тп+\ такая, что
ВА;+1 Ь (Vxi . .,Vxm){<p(xu ...,im)# ф(Х1,..., хт)).
Доказательство. Так как отрицание 3-формулы эквивалентно
V-формуле и отрицание V-формулы — 3-формуле, условия (а) и (Ь)
эквивалентны. Поэтому достаточно доказать одно из них. В силу
следствия 2.1.10 достаточно доказать, что любая 3-формула сигна-
сигнатуры <тп сохраняет истинность при взятии подмоделей сигнатуры
<rn+i теории ВА*+1. В силу леммы 2.6.2 для любых 6 € 21 и разби-
разбиения d\,... , dr элемента 6 на элементы d\,... , dr ? 2$ достаточно
найти элементы d[,... ,d'r ? 21 образующие разбиение элемента 6
(т. е. Vc^ = 6 и d\ Л d'j = О для i ф j) и для любого г на d{ и d\
выполнены одни и те же предикаты сигнатуры <гп. Тогда но лем-
лемме 2.6.2 для любых подмоделей 21 С 2$ моделей теории ВА* , j из

2.6. Ограниченные теории булевых алгебр 161
истинности 3-формулы сигнатуры <тп в 03 следует ее истинность в
подмодели 21. Это означает справедливость требуемого утвержде-
утверждения. Осталось рассмотреть разбиения. Пусть 6 € 21 и d\,... , dr —
разбиение элемента 6 в модели 03, где 21 С 03 и 21, 03 1= ВА*+1,
т. е. все предикаты сигнатуры сгп+1 эквивалентны своим определе-
определениям и в 21 и в 53. Рассмотрим различные варианты выбора элемен-
элемента 6. Обозначим через 6 алгебру, полученную из элементов 03, т. е.
6 = {х | х € |21| и х ^ 6}, а через F)а — аналогичную алгебру,
но в 21, т. е. F)а = {х | х € |03| и х ^ 6}. Предикаты сигнатуры
сг„+1 на элементах F)а и 21 (FK и 03) определяются одинаково,
так как их определения зависят только от свойств элементов, мень-
меньших чем определяемый. Обозначим через /„ п-ft идеал Ершова —
Тарского булевой алгебры 03.
Случай 1: п = 4к и ch F) = (m,a,/3), а m < к или m =
Если chi F) < к, то 6 € U+i \ h и i + 1 ^ к. Тогда chi (F)а) =
chiF). Если chiF) = к, то 6 ? Д. Следовательно, 6 ? 4B1).
Поэтому chi(F)a) ^ /г. Под 6//л в ®/д нет атомов, а 21 — под-
подалгебра 03 и предикат Afc, выделяющий атомы, принадлежит сиг-
сигнатуре <тп+1- Тогда в 21/ 1к под b/ jk нет атомов, и, следовательно,
характеристика ch(F)a) равна chF). По предложению 2.6.1 теория
Th F) U ВА*+1 модельно полна, Ь и F)а являются моделями этой
теории. Значит, F)а ^1 6 и для элемента Ь в 21 есть разбиение с
таким же распределением предикатов на нем.
Случай 2: п = Ак и ch F) = (к,1,0). Алгебра b/Ik(b) конеч-
конечна, а предикат /^ есть в сигнатуре. Следовательно, фактор-алгебра
(fc)a//fcBl) конечна, иначе под 6 в 21 больше, чем / непересекаю-
непересекающихся элементов, не лежащих в /*B1) и обладающих такими же
свойствами в ®//^, что невозможно. В 2l//fcBl) таких элементов
не может быть меньше, чем I. Иначе элемент 6//fc B1) в 21//* B1)
равнялся бы объединению конечного числа непересекающихся эле-
элементов, дающих в факторе 21/^B1) атомы. На них был бы исти-
истинен предикат А*, и такое же разложение должно иметь место в 03.
Приходим к противоречию с тем, что в 03 элемент 6 разбивается на
/ атомов в 03//A(Q3) Таким образом, ch(F)a) = (Ar, /, 0) и так же,

162 2. Элементарная классификация булевых алгебр
как в случае 1, F)а ^ 6, что гарантирует выполнимость 3-формулы
и существование искомого разбиения.
Случай 3: п = Ак и выполнено следующее условие:
с1цF) > к или ch F) = (к,а,Р), где а = оо или /8=1. B.6.1)
Так как /* 6 &n+i, имеем chi(F)a) ^ к. Покажем, что при
chi(F)a) = к выполнено неравенство ch ((Ь)а) ф {к,1,0) для ко-
конечного /. Как и в случае 2, если ch ((Ь)а) = (к,1,0), то единица
в F)а должна раскладываться в объединение / непересекающихся
элементов, которые удовлетворяют предикату А*. Тогда в 93 они то-
тоже должны обладать такими же свойствами и ch F) = [к, 1,0), что
противоречит предположению. Следовательно, для F)а выполнено
B.6.1). Рассмотрим разбиение d\,... ,dT. Если d, ^ Ik для всех
г ^ г, то все предикаты из <тп \<т ложны на всех dj и 6 разлагается в
булевой алгебре 21 в объединение любого конечного числа элементов
с таким свойством. Мы предположим, что выполнено условие B.6.1)
и под 6 есть хотя бы один d,- 6 /*.
Если d,- 6 Ik, то под любым элементом х ^ 6 в F)а, для которого
я ^ h, существует у ^ х такой,что у 6 /*, и все предикаты из <тп\<т
выполнены на у тогда и только тогда, когда они выполнены на di.
Таким образом,существуют непересекающиеся элементы d[,... ,d'T
из (Ь)а, объединение которых дает 6,-, и на d\ и d,- все предикаты из
<rn+i \<т определены одинаково.
Случай 4: п = 4fc + 1 ch F) = (m, a,/3), где m < к или
m = к и а конечно. Если chiF) < к, то chi(F)a) = сЬхF).
Предположим, что chiF) = к. Предикат, выделяющий атомы в к-
м факторе по идеалу /*, содержится в сигнатуре ггп+1. Поэтому
новых атомов в к-м факторе подалгебры F)а не появится. Сле-
Следовательно, chi(F)a) = к и сЬг(F)а) ^ а. Но меньше, чем а,
их также не может быть. Иначе должно существовать разбиение
на данное число элементов, дающих в fc-факторе атомы и нулевой
элемент или ненулевой безатомный элемент в к-м факторе булевой
алгебры F)а. Предикат В&, выделяющий безатомные элементы в
к-м факторе, содержится в сигнатуре. Поэтому это же разложе-
разложение должно выполняться в алгебре 55, что противоречит условию

2.6. Ограниченные теории булевых алгебр 163
на характеристику элемента 6. Следовательно, сЬг((Ь)а) = ch2F).
Аналогично ch3F) = сЬз((Ь)а). Поэтому ch ((Ь)а) = ch F). Тео-
Теория T-h F) U В А* +1 модельно полна для заданной характеристики.
Поэтому (Ь)а =$ 6, т. е. на этом слагаемом (Ь)а выполняются те же
3-формулы, и искомое разбиение существует.
Случай 5: п = Ак + 1 и ch F) = (к,оо, 0). В этом случае
chi(F)a) J> к, поскольку 6 ^ /fc(®)- Следовательно, 6 ^ /fcBl).
Но под 6 в 21 нет ненулевых безатомных элементов в к-м факторе
2l//fcBl)- Действительно, предикат Bfc содержится в сигнатуре, под
бив® нет ненулевых безатомных элементов в к-м факторе ®/д.
Следовательно, chi(F)a) = &исЬз((Ь)а) = 0. Поскольку предикат
Afc содержится в сигнатуре, 6 не может разлагаться в 21 на конеч-
конечное число элементов, являющихся атомами в к-м факторе. Иначе
предполагаемое разложение будет разложением также в 93, что про-
противоречит ch F) = (к, оо,0). Следовательно, сЬг(Ь) = ch2(F)a).
Из модельной полноты теории булевых алгебр в определимом crn+i
обогащении получаем, что (Ь)а ^ 6. Тогда те же 3-формулы истин-
истинны на этом слагаемом в (Ь)а и искомое разложение существует.
Случай 6: п = 4* + 1 и chi(b) ^ к или ch (b) — (к,оо, 1).
Заметим, что для (Ь)а выполнено также следующее условие: либо
chi(F)a) > к либо chi(F)a) = к и ch2(F)a) = oo. Очевидно, что
chi(F)a) ^ к. Пусть chi(F)a) = к. Заметим, что ch2(F)a) = оо.
Действительно, иначе 6 в 21 разлагается на элементы х\,... , xj, у,
которые попарно не пересекаются и их объединение дает 6, причем
x»//fcBl) являются атомами, а !//дB1) безатомный в к-м факторе
2t//feBl)- Поскольку в сигнатуре сг„+1 присутствуют предикаты А^,
Bfc, это же выполняется на этих элементах и в Ъ. Поэтому ch2F)
конечна, что противоречит предположению.
Рассмотрим элементы разложения d\,... ,dr из 95 для 6. Су-
Существует i такой, что di ^ Ik не является атомом в к-м факто-
факторе. Для любого числа di атомов в к-м факторе и элементов di, где
chi(dj) < к, выберем непересекающиеся элементы d\ ^ 6 G 21 та-
такие, что на d't и di истинны одни и те же предикаты сигнатуры ст.
Пусть К — множество индексов всех таких d<. Элементы, не явля-
являющиеся атомами в к-м факторе, у нас есть, и chi(d,) = к, как было

164 2. Элементарная классификация булевых алгебр
замечено выше. Рассмотрим все такие di. Пусть это d,,,... , d,t.
Из условия на ch (F)а) имеем ch ((Ь\у~к'{) ) = ch (F)я). Сле-
i?K а
довательно, для элемента 6\ V d't G 21 найдется разбиение на s
элементов, не лежащих в идеале /* и не являющихся атомами в к-и
факторе. Искомое разбиение 6 в 21 построено.
Случай 7: п = 4к + 2 и ch F) = (m, a, (9), где m < к ли-
либо m = & и а конечно или (9 = 0. При т < к, как и раньше,
F)а ^ 6. Условие на истинность 3-формулы в подалгебре выпол-
выполнено, и требуемое разбиение есть в 21. Если m = А: и /? = 0, то
b является атомным элементом в к-и факторе и на нем выполнен
предикат С*. Поэтому С* выполнен на b и в 21. Следовательно,
chi(F)a) = к и сЬз(F)а) = 0. Так как предикаты, выделяющие
атомы и безатомные элементы в к-м факторе, содержатся в сигна-
сигнатуре, имеем chF) = ch(F)a). Поэтому F)а ^ 6. Условие на истин-
истинность 3-формулы в подалгебре выполнено, и требуемое разбиение
есть в 21.
Случай 8: п — 4к +.2 и ch F) = (к,оо, 1). Как и в случае 6,
получаем chi(F)a) ^ к. Если chi(F)a) = к, то b в 21 раскладыва-
раскладывается в х и у так, что z//fcBl) атомный, a 2///fcBl) безатомный. Они
будут определять атомный и безатомный элементы в ®//fc. Так
как под b/jk в ®//fc лежит бесконечно много атомов, под b/jk (щ
в 2l//fcBl) не может быть конечного числа атомов. Действительно,
иначе их в 55 под bj jk< конечное число, поскольку А* и В* есть в
сигнатуре. Следовательно, сЬгB1) = оо. Предикат Bfc содержится в
сигнатуре. Так как b/ jk не является атомным в Я$//д., то 6//fc B1)
не является атомным в 2l//fcBl)- Поэтому ch (F)а) = (fc,oo,l)
и F)а ^ 6,-. Те же 3-формулы выполняются в этой подалгебре.
Искомое разбиение найдено.
Пусть chi(F)a) > к. Рассмотрим разбиение d\,... ,dr элемен-
элемента b в 21. По крайней мере, один из этих элементов не определяет
ни атом, ни ненулевой безатомный элемент в к-м факторе ®//д.
и не лежит в к-м идеале /&. Рассмотрим <fj,,... ,<f,-a — все эле-
элементы с этим свойством. Для остальных г либо chi(d,) < к, либо
di/ 1к — атом в ®//fc, либо <U/lk — безатомный ненулевой элемент
в ®//fc. Для всех таких i, г € {1, •. • , г} \ {i\,... ,г,}, можно по-

2.6. Ограниченные теории булевых алгебр 165
добрать попарно непересекающиеся элементы* d(- ^ 6 в 21 так, что на
них истинны те же самые предикаты из <тп, что и на d,-. Разность
6\ V {</(• : i G {1,... ,r} \ {ii,... , г,}} дает элемент, не лежащий
в /fcBl). Следовательно, его можно расщепить на s непересекаю-
непересекающихся элементов {vi : i G {i'i, ¦ ¦ - , i,}}, определяющих ненулевые
элементы в факторе 2t//fc B1) и не являющихся в этом факторе ни
атомами, ни безатомными элементами. Элементы этого разбиения
возьмем в качестве значений d\ при i G {i'i,... , г,}. Очевидно, что
это требуемое разбиение в 21 для элемента 6.
Случай 9: п = Ак + 2 и chiF) > к. Так как в сигнатуре <тп+1
есть предикат Ik, имеем chi(F)a) ^ к. Если chi(F)a) = А;, то 6
в 21 расщепляется на ж и у такие, что х в А;-м факторе 2l//fc дает
атомный элемент, а у — безатомный элемент. Предикаты Bjt и Cjt
содержатся в сигнатуре <тп+\. Разложение обладает теми же свой-
свойствами в ЯЗ. Поэтому chiF) = к, что противоречит предположению.
Следовательно, chi(F)a) > к. Аналогично, как мы рассматривали
chi(F)a) > к ъ случае 8, показываем, что соответствующее разби-
разбиение существует также в 21 для элемента 6.
Случай 10: п = 4к + 3 и ch F) = (m, a, /?), где m ^ к. По-
Поскольку все необходимые предикаты есть в ffn+ь имеем ch (F)a) =
ch F). Теория Th F) UBA^+1 модельно полна и F)а :<! 6, что дает
требуемое разбиение для 6 в 21.
Случай 11: п = 4к + 3 и chiF) > к. В этом случае 6 ? Ik+\ и
6 ^ /jt+iBl). Рассмотрим произвольное разбиение элемента 6 на эле-
элементы d\,... , dT в 93. По определения характеристики существует
di такой, что d{ <fc Ik+i Пусть d,-,,... , dit — все такие d,-, что либо
chi(dj) > к, либо ch (d,) = к и d,//fc не является ни атомным,
ни безатомным в ®//fe- Для любого г G {1,... ,r} \ {i^,... ,г,}
выполняется одно из следующих условий:
B) chi(d,-) = к и di/jk — атом,
C)chi(d,) = к и d,-//fc — атомный, но не атом,
D)chi(d,) = к и di//fc — безатомный.

166 2. Элементарная классификация булевых алгебр
Так как chi (F)a) > к, выберем множество элементов d\ ^ 6 в 21
для i G {1,... , r}\{»i,... ,ij}, которые попарно не пересекаются и
на d(• истины те же предикаты из <тп+\, что на d,-. Так как b ? Ik B1),
имеем 6\V{d< | i € {1,... ,r}\{iu ... , ia}} ? 1к{Щ. Под *//*(Я)
в 21/д много атомов, и в этом факторе есть ненулевой безатомный
элемент, который в свою очередь можно расщепить на любое число
ненулевых безатомных в этом факторе. Таким образом, 6\V{d(- | г€
{1,... ,r} \ {ti,... ,г',}} разбивается на s элементов d'ilt.':. ,d'it,
не являющихся ни атомными, ни безатомными элементами в к-и
факторе 2l//fcBl)- ^ы нашли требуемое разбиение 6 в 21. П
Следствие 2.6.1. Справедливы следующие утверждения:
(а) для любой Т,п+1-формулы <р{х) сигнатуры булевых алгебр <т
существует ^-формула ф(х) сигнатуры o~n+i такая, что
(b) для любой Нп+1-формулы у(х) сигнатуры булевых алгебр о~
существует 3-формула ф(х) сигнатуры о~п+\ такая, что
Доказательство следует из предложения 2.6.2 индукцией по
тг, поскольку отрицание Е„-формулы эквивалентно П„-формуле и
наоборот. ?

Глава 3
Конструктивные
булевы алгебры
В этой главе рассматриваются вопросы алгоритмической сложности
отношений на булевых алгебрах. Один из подходов к исследованию
алгоритмических свойств систем состоит в рассмотрении нумераций
систем и изучение алгоритмической сложности множества номеров
элементов, фигурирующих в рассматриваемом отношении. Прежде
всего мы изучим вопрос о разрешимости базисных отношений и эле-
элементарных свойств булевых алгебр. Алгебры с нумерациями, в ко-
которых эти отношения и свойства разрешимы, называются соответ-
соответственно конструктивными и сильно конструктивными, а сами эти
алгебры — конструктивизируемыми и сильно конструктивизируе-
мыми. Затем мы рассмотрим различные способы нумераций систе-
системы, которые приводят к различным алгоритмическим свойствам.
167

168 3. Конструктивные булевы алгебры
3.1. Основные понятия теории алгоритмов
и конструктивных моделей
В изложении теории конструктивных моделей и теории алго-
алгоритмов мы следуем в основном [109, 178]. В настоящем парагра-
параграфе приведем основные понятия и результаты, которые потребуются
в дальнейшем. Вначале введем понятие относительной вычислимо-
вычислимости для частичных функций, определенных на подмножествах нату-
натуральных чисел. Функция /:I->N,IC Nfc, называется частич-
частичной. Частичная функция / называется частично рекурсивной (от-
(относительно класса частичных функций F), если принадлежит наи-
наименьшему классу, содержащему функции 0(х) = 0, s(x) ^ х + 1,
/JJ,(ii,... ,xn) 1=i xm (а также класс F) и замкнутому относи-
относительно суперпозиции, примитивной рекурсии и минимизации. Всю-
Всюду определенные частично рекурсивные функции (относительно F)
называются рекурсивными (относительно F). Функция / частично
рекурсивна относительно семейства X подмножеств N, если она ча-
частично рекурсивна относительно класса {ха I A G X}, где хА —
характеристическая функция множества А, т. е. Хл(х) ^ 1> если
х ? А и Хл(х) 1=i 0 в противном случае. Часто вместо «частич-
«частично рекурсивна относительно F» пишем «(частично) F-рекурсивна».
Две частичные функции <р и ф равны (<р(х) = /0(ж)), если совпада-
совпадают их значения или обе эти функции не определены. Можно дать
эквивалентное определение функций, частично рекурсивных относи-
относительно множеств А\ ... , Ап, с помощью машин Тьюринга, добавляя
к обычным командам условные команды, в которых в качестве усло-
условия фигурирует вопрос, будет ли считываемое в данный момент чи-
число единиц на ленте принадлежать множеству А. В зависимости от
ответа предпринимается одно из обычных элементарных действий.
Подмножество А С Nfc называется рекурсивным (относительно
F), если его характеристическая функция хл рекурсивна (относи-
(относительно F).
Предложение 3.1.1. Если множества А, В С N\ С С Nm
рекурсивны (относительно F), то множества А П В, A U В,
Nk\A, A X С также рекурсивны (относительно F).
Для доказательства предложения достаточно выразить характе-
характеристические функции множеств А П В, A U В, Nk\A, A x С через
характеристические функции множеств А, В к С.

3.1. Основные понятия 169
Множество А С Nfc называется Sf, -множеством (Пв-мно-
жеством), если существует рекурсивное относительно В отношение
Р(х\,... ,xfc,yi,... ,yn) такое, что
... ,хк) € A<&3yiVy2...P(xi,... ,xfc,yi,... , yn),
... ,xfc) € Л «=>Vyi3y2 ...Р(хь... ,xfc,yb... , у„)).
L] -подмножество называется также рекурсивно перечислимым
(относительно В). Существуют рекурсивно перечислимые отно-
относительно В подмножества, которые не рекурсивны относительно
В. Поэтому классы ?}, -множеств и \\п -множеств располагают-
располагаются так, как указано на следующей диаграмме:
Можно определить рекурсивные функции с: N2 ~^> N и J, г: N —> N
НЭ-
такие что сA(п),г(п)) = п, 1с(х,у) = х, гс(х, у) = у, т. е. с, /, г
определяет эффективную нумерацию всех пар натуральных чисел.
С помощью нумерации с пар натуральных чисел легко построить
нумерации n-ок натуральных чисел, положив
c^xi) t=i X], с"+1(хь ... ,xn+]) t=; c(cn(xu... ,xn),xn+i).
С помощью этой вычислимой последовательностью функций, не-
нетрудно сопоставить каждому упорядоченному набору (хь ... ,хп)
натуральных чисел число (xi,... , х„) так, что по этому числу мож-
можно эффективно восстановить все элементы набора, а также его длину
(см. [109, 178]). Ниже мы используем такие нумерации.
Пусть Do, D\,... , Dn,... -— каноническая нумерация всех ко-
конечных подмножеств N такая, что по номеру п можно вычислить
число элементов в Dn, которое обозначим через |Д,|, и по любо-
любому элементу m равномерно по п можно определить, лежит ли он
в Dn, т. е. функция п —> \Dn\ и множество {(п, т) \ т € Dn}
рекурсивны. В качестве нумерации п —> Dn можно взять Dn ^
{х\,х2, ¦ ¦. ,хп} для разложения п = 2х 1 + 2*2 + . .. + 2хk, где
X, > х2 > ... > хк.
Теорема 3.1.1 [109, 178] [об универсальной функции]. Существу-
Существует частично рекурсивная (относительно оракула В) функция

170 3. Конструктивные булевы алгебры
К(х,у) такая, что для любой частично рекурсивной (относи-
(относительно оракула В) функции f(y) найдется х такой, что К(х,у)
= f{V) nPu ¦любых у.
Доказательство основано на построении нумерации всех ма-
машин Тьюринга с оракулом В, вычисляющим частично рекурсивные
функции [109]. ?
Если А' фиксирована, пишем {х}в(у) вместо К(х,у).
Из теоремы 3.1.1 вытекает следующая теорема [109].
Теорема 3.1.2 [109] [о нормальной форме Клини]. Для любой ча-
частично рекурсивной (относительно В) функции <р(х) существу-
существует рекурсивное (относительно В) отношение Р С Nfc+1 такое,
что:р(х) = 1цу((х1>... ,xk,y) G Р).
Теорема о нормальной форме Клини позволяет для универсаль-
универсальной функции К определить рекурсивное (относительно В) отноше-
отношение Р такое, что Ct)((x,y,c(z,t)) ?Р)*> К(х,у) = г. Ввиду это-
этого свойства можно ввести функцию К*(х,у) такую, что К1(х, у) =
г, если существует <о ^ <, Для которого P(x,y,c(z,t0)). В этом
случае будем говорить, что К(х, у) вычисляется за t шагов и рав-
равно z, a, в противном случае — К*(х, у) принимает неопределенное
значение и К(х,у) не вычисляется за t шагов.
Пусть КпВ(х, у1(... , уп) — универсальная клиниевская функ-
функция для n-местных частично рекурсивных функций с оракулом 5,
построенная по машинам Тьюринга.
Теорема 3.1.3. [109] [s-m-n-теорема]. Существует примитивно
рекурсивная функция s(k,xi,... ,хт) такая, что
K{n)B(k,xu... ,xmixm+u... ,xm+n)
при любых к,х^,... ,a;m>xm+i,... ,xn G N.
Имея универсальную функцию Кв(х, у) всех одноместных час-
частично В-рекурсивных функций, можно определить вычислимую ну-
нумерацию и всех частично рекурсивных функций, положив \ухв(у)
в
Под В-вычислимой нумерацией v: N —> 5, где 5 — некото-
некоторый класс частично В-рекурсивных функций, мы имеем в виду ну-

3.1. Основные понятия 171
мерацию из N на 5 такую, что найдется частично В-рекурсивная
функция tp(x,y) такая, что [j>(n)](y) ±=; tp(n,y) при любых п,у.
Ввиду универсальности и теоремы 3.1.3 очевидно, что для любой
В-вычислимой нумерации и существует рекурсивная функция д(х)
такая, что v{n) = *<finy Это свойство назовем свойством универ-
универсальности.
В случае В = 0 мы опускаем в обозначениях В и пишем просто
х„, а 0-вычислимые нумерации называем вычислимыми нумера-
нумерациями.
Имея универсальную клиниевскую нумерацию х„, можно опре-
определить нумерацию рекурсивно В -перечислимых подмножеств N
следующим образом: W% ±=; dom x% при любом п.
Обозначим через RE класс всех В-рекурсивно перечислимых
подмножеств N. Если 5 С RE , то нумерация и: N —>• 5 называ-
~ на
ется В-вычислимой, если множество пар {(n, m) |m? un, n, m ?
N} В-рекурсивно перечислимо. Очевидно, что нумерация W^, n G
N, будет В-вычислимой. Кроме того, любая В-вычислимая ну-
нумерация v В-рекурсивно перечислимых множеств 5 С RE сво-
сводится к Wjf, т. е. существует рекурсивная функция д такая, что
v{n) = domx^j для любых п ? N. Нумерации В-рекурсивно
перечислимых множеств с таким свойством называются главными.
Определим аппроксимацию Wn конечными множествами
W^ t=z {т | т ^ t, К*(п,т) определено}.
Очевидно, что W° С W* С ... С W* С ... и уИ^ = Wn, a
двойная последовательность {W^ | n,t ? N} обладает тем свой-
свойством, что по n,t можно эффективно вычислить сколько элементов
в множествах W^, а также указать все эти элементы.
Введем еще одну классификацию подмножеств N по алгоритми-
алгоритмической сложности для гиперарифметических множеств. Введем обо-
обозначение
X' ±=; {п ? N | {п}х(п) определено}.
Определим индуктивно последовательности
У, Хш ^{(n,m>|m6X(n)}.
Фейнер [45] предложил иерархию 0Ш -рекурсивных функций и мно-
множеств, которая полезна при изучении алгоритмических свойств кон-

172 3. Конструктивные булевы алгебры
структивных и позитивных моделей, так как она отражает тонкие
алгоритмические свойства таких моделей.
Иерархия Фейнера
Пусть е ? N и (а, 6) ? N2. Будем говорить, что функция ip с
0Ш'-номером е имеет тип (а,Ь) (обозначаем y?f ? Ф(а,6)), если
{е}0 — всюду определенная функция и для любых га, т и q в
случае т > а + габ вопрос «(m,q) ? 0Ш?» не задается оракулу
0Ш при вычислении {е}0 в точке п. Если X С N и е такие, что
Хх = {е}0 и vf € Ф(а, 6), tq множество X имеет тип (а, 6)
(обозначаем X ? Ф(а, 6), а в противном случае X $ Ф(а, 6)).
Укажем связь между арифметической иерархией и иерархией
Фейнера.
Лемма 3.1.1. Существует рекурсивная функция ip: N2 —>• N
такая, что для любых тип, если {т}0 всюду определена, то
Доказательство. Пусть {"г}0 всюду определена и
Вп t=i {z | z = 2&C20(V22)... {m}0^,..., zn)) = 1}.
Ясно, что Вп = N или Вп = 0. По (т,п) можно найти рав-
равномерно индекс г для Вп (как для множества, рекурсивно пере-
числимого в 0(n-1) [178], а по г — число (возьмем его в каче-
качестве значения функции <р в точке (т, га)) такое, что {<р(т, п)}0
является характеристической функцией множества Вп. Поэтому
{v?(m,ra)}0(")(ra) = l<»Bn#0. ?
Предложение 3.1.2. Если f: N —>• N — рекурсивная функция и
X ^ {га | C*i)(V*a) • ../«*i,. ¦ ¦ , zbn+a)) = 1}, mo X G Ф(а, 6).
Доказательство. Пусть / = {е}0. По лемме 3.1.1 справед-
справедливо равенство X — {га | {у>(е,а + габ)}0 (а + габ) = 1}, из
которого ясно, как сконструировать машину Тьюринга с номером q
так, что ip0" ? Ф(а, 6), причем {q}0 всюду определена, принимает
значения 0, 1 и га? X <^{q}0"{n) = 1. ?

3.1. Основные понятия 173
Пусть
Х{а,Ъ) tn {п | п четно и {п/2}А'+яЬ(п) = 0}.
Предложение 3.1,3. Если У С N и в симметрической разности
Х(а, 6)ДУ находятся только нечетные числа, то У <? Ф(а.Ь).
Доказательство. Предположим, что существует множество
У С N такое, что разность X(a,b)AY содержит только нечетные
числа, но У ? Ф(а.Ь), т. е. существует е такое, что хУ = {е}0" и
y>fw G Ф(а,6). По условию для четного т имеем т?У«т?
Х(а,Ь). Проверим условие «2е ? Х(а,Ь)», Если 2е ? Х(а,Ь),
то 2е ? У и 1 = ХуBе) = {е}0"Bе). Однако согласно определе-
определению {е}0" Bе) = {ej'4<'+2'!t'Be). По построению множества X(а, Ь)
имеем 2е ^ Х(а,6); противоречие. Если 2е ^ Х(а,6), то 2е ^ У.
Как и выше, 0 = ХуBе) = {e}0<"Be) = {е}А°+2еЬBе). Поэтому
по построению Х(а, ff) число 2е принадлежит Х(а, Ь). Полученное
противоречие показывает, что такого е не существует. D
Предложение ЗД,4. Существует рекурсивная функция Гк та-
такая, что
2m G XBk + 1,3)
Cwz2m+k)rk((i,j, Zi,... ,
г^е вырасхсекие За'^Р(а;) означает, что существует бесконечно
много х со свойствам Р.
Доказательств. Используя теорему VIII из [178], построим
рекурсивную функцию р такую, что
(Vm)(Vn)(m G 0A»)) «* Czi)(Vz2)... (/>«*,... , гП) m» = 1).
Подставляя р в определение ХB/;+1, 2) и используя алгоритм Тар-
ского — Куратовского, нетрудно построить рекурсивную функцию
PB/c+i,2) такую, что
(Vn)(n ? Xpk + 1,2)) <*Cz,)(Vza)... (p(jfc+i,j)
2Г.)) = !)•

174 3. Конструктивные булевы алгебры
Применяя теперь алгоритм Крейсела — Шенфильда и Ван Хао све-
сведения Пгп-формы к {/„-форме [178], приходим к форме
где гк — искомая рекурсивная функция. D
Введем понятие конструктивности для произвольных алгебраи-
алгебраических систем. Это понятие рассматриваем относительно X, где
X — подмножество N, или класс множеств или класс функций.
Это означает, что в вычислениях можно использовать информацию о
принадлежности натуральных чисел, появляющихся в алгоритмах,
множеству X (или множеству класса X), которое уже может иметь
любую алгоритмическую сложность. Как показано ниже, такое об-
обобщение позволяет получать интересные результаты и для случая
стандартной конструктивности.
Существуют два эквивалентных подхода к исследованию алго-
алгоритмических свойств систем. При первом подходе рассматривают-
рассматриваются абстрактные системы с произвольными элементами, выбираются
различные нумерации основных множеств натуральными числами
и изучаются их свойства. Второй подход допускает к рассмотре-
рассмотрению только те системы, у которых основные множества состоят из
натуральных чисел. Первый подход приводит к конструктивным и
сильно конструктивным системам, а при втором — (соответственно
эквивалентным) рекурсивным и разрешимым системам.
Пусть 21 = (А; Ро Рп] Fo Fk;c0 с,) — алгебраи-
алгебраическая система сигнатуры
. /ршо р
"о
где Р,- — символ т,-местного отношения, F,- — символ п,-местной
операции, a Cj — символ константы. В случае бесконечной сигнату-
сигнатуры требуется, чтобы функции i —? m,- и i —> щ были рекурсивными.
Пара B1, j/), где v — отображение N или начального отрезка N на
основное множество А системы 21 называется нумерованной систе-
системой, a v — нумерацией этой системы.
Пусть В — множество или семейство множеств и 21 — система
сигнатуры ст. Нумерованная система B1, v) называется В-позитив-
ной, если множества
Т)и f=; {(n, m) \ 1/П = ит},
{(ht--->lmi) \{vh Vim.) € Pi} ЛЛЯ i ^ П

3.1. Основные понятия 175
рекурсивно перечислимы относительно множеств из В или множе-
множества В и существуют В-рекурсивные функции /,-, г ^ к, такие,
что ufi{h,... ,lni) = Fi{uli,... ,uln,) для любых /i,.../n> G N.
В-позитивная система B1, и) называется В-конструктивной, если
множества т)„ и u~1(Pi), определенные выше, В-рекурсивны. В слу-
случае бесконечной сигнатуры а в приведенных определениях следует
требовать равномерную рекурсивную перечислимость и рекурсив-
ность соответственно.
Определим нумерацию f всех формул сигнатуры а с перемен-
переменными из множества {vq, fi,...} так, что все вопросы о строении
формул полностью разрешимы по их номерам. Такая нумерация
называется гёделевской.
Пусть а — некоторая сигнатура вида
("о > • • • 1 *,к > • • • >-""о > • • • >гt ', • ¦ • ;со,... ,сп,.../
такая, что существуют частично рекурсивные функции [п] и [т],
определенные следующим образом:
[n](i) = n,-, где п,- — местность предикатного символа Pi,
[m](i) = m,-, где m,- — местность функционального символа F,-.
Если предикатных или функциональных символов лишь конеч-
конечное число, такие функции существуют. Если счетное число симво-
символов используется в языке, то требуется эффективно распознавать
местность символа по его индексу в сигнатуре. Это возможно бла-
благодаря требования рекурсивности функций [п] и [тп]. Рассмотрим
множество V переменных «0> "ь • • • > vn, • • • и определим множество
Term a(V) термов сигнатуры а с переменными из V и Form^V) —
множество формул с переменными из V. Определим гёделевскую
нумерацию -у как отображение fa: Теттпа(У) U Form^V) ^> N
такое, что для данного числа можно эффективно распознать явля-
является оно номером формулы или номером терма, а также получить
информацию,о строении соответствующих формулы или терма.
Построение f ведется индуктивно по сложности формул. Опре-
Определим ее сначала на Тетт„(У);
B) ~f(ci) = с@, сA,»)) для г таких, что с,- 6 а,
C) если терм t имеет вид F,(<i,... ,<m,), где Fi —т,-местный пре-
предикатный символ, а термы t\,... ,tmi имеют гёделевы номера

176 3. Конструктивные булевы алгебры
Очевидно, что множество номеров термов рекурсивно и по номе-
номеру терма можно распознать переменные с их индексами, константы с
их индексами, а также вычислить индекс операции и номера подтер-
подтермов, из которых терм строится с помощью символа этой операции.
Определим 7 на множестве формул следующим образом:
A) если t и q — термы и "/(t) = n, y(q) = т, то для формулы t = q
определим гёделев номер f(t = q) t=; c(l, c@, c(n, m))),
B) если Р{ — «.-местный предикатный символ и <i,... ,tn, — тер-
термы с гёделевыми номерами 7(^1) = h, ¦ ¦ ¦ ,l(tm) — 'п;, то для
формулы P,(<i,... ,tni) определим гёделев номер
C) если <р,г/> — формулы с гёделевыми номерами i{<p) =пи i{i>) =
m, то полагаем
Индукцией по сложности формул легко показать, что любая
формула из Form<7(V^) получает гёделев номер. Кроме того, можно
распознать является ли данное число гёделевым номером формулы,
а также получить следующую информацию о строении формулы с
этим номером: наличие свободных переменных (с указанием всех
этих переменных), константы, вид формулы, наличие кванторов,
сложность кванторной приставки и номера формул, полученных в
результате подстановок.

3.1. Основные понятия 177
Для любой стандартной эквивалентности
<р -+ ¦ф ="" <р V V",
= (Зи)у?&^!если ^ не входит свободно в ф,
Cv)(<pV ф) = Cv)<pV (Зь)ф,
(Vv)(<p V ф) = (Vu)y?. V V1, если и не входит свободно в ф,
а также других подобных эквивалентностей можно вычислить по но-
номеру формулы номер формулы, получившейся в результате замены
подформул в ней эквивалентными формулами [36, 128]. Следова-
Следовательно, по номеру любой формулы можно вычислить номер форму-
формулы в пренексной нормальной форме, эквивалентной данной форму-
формуле.
Имея гёделевскую нумерацию, можно говорить о точном матема-
математическом понятии разрешимости. Подмножество X С Form<J(K) U
Term „(К) называется разрешимым, если множество гёделевых но-
номеров 7(-^) = {7(9) I 9 G X} рекурсивно, и перечислимым, если
f(X) рекурсивно перечислимо. Имея в виду какую-либо иерархию
сложности подмножеств N (арифметическая иерархия, аналитиче-
аналитическая иерархия, иерархия Ершова и др.), будем говорить, что X
принадлежит некоторому классу сложности Д, если множество
гёделевых номеров 7(^) принадлежит Д.
По гёделеву номеру можно распознать, является ли формула ак-
аксиомой исчисления предикатов PC7, а по набору номеров можно
распознать, получается ли данная формула из формул заданного ко-
конечного множества согласно одному из правил РССТ. Следовательно,
по любой конечной последовательности номеров можно распознать,
будет ли последовательность формул с этими гёделевыми номерами
доказательством в РССТ. Таким образом, справедливо следующее
предложение.
Предложение 3.1.5. Множество формул, доказуемых в PC7,
перечислимо.
Из предложения 3.1.5 вытекает следующее утверждение.

178 3. Конструктивные булевы алгебры
Предложение 3.1.6. Если множество аксиом А перечислимо,
то теория Та ^ {у | A h уз} тоже перечислима.
Пусть зафиксирована сигнатура <г и некоторое ее расширение
<т'. Если по индексам предикатных, функциональных и константных
символов из <т можно вычислить индексы этих символов в сигнату-
сигнатуре <т', то по гёделеву номеру формул и термов сигнатуры <т можно
вычислить их гёделев номер в сигнатуре <т'. Кроме того, если по ин-
индексам предикатных, функциональных и константных символов из
<т' можно распознавать, лежат ли они в <т, то по любой формуле из
а' можно распознать, будет ли она формулой сигнатуры <т, а также
вычислить ее номер относительно этой сигнатуры. При рассмотре-
рассмотрении расширений сигнатур мы всегда предполагаем, что эти свойства
выполнены, и будем говорить, что гёделевская нумерация для фор-
формул и термов сигнатуры а1 расширяет гёделевскую нумерацию
для сигнатуры <т.
Для разрешимой теории Т определим главную вычислимую ну-
нумерацию Ро(го), • •. ,Рп(хп), • • • всех частичных совместных с тео-
теорией Т перечислимых типов.
Частичным типом р{х) теории Т называется множество фор-
формул с переменными из х такое, что множество р(х) UT совмест-
совместно. Нумерация do(zo),... , dn(xn),... частичных типов теории Т
называется вычислимой, если do, d\,... ,dnt... является вычисли-
вычислимой нумерацией рекурсивно перечислимых множеств, где d,- = {п \
п — гёделев номер формулы из d,}, и существует рекурсивная функ-
функция v такая, что для любого п значение v(n) равно номеру набора
(«11 • • • . »т»> индексов таких, что хп = (и,-,,... , ытп). Нумерация
Ро(го), • • • ,Рп(х~п), ¦ ¦ ¦ частичных типов теории Т называется глав-
главной, если для любой вычислимой нумерации do(x'o),... , dn(x'n),...
частичных типов теории Т найдется рекурсивная функция f(n) та-
такая, что dn{x'n) = Pf(n){xf(n)) при любом п.
Определим теперь рп(хп). Построим расширяющуюся последо-
последовательность конечных множеств
0 = Р№п) Срхп(хп)С...С р<п(хп) С ...
такую, что р„(х„) !=; UpJ,(xn). Для любого п рассмотрим числа i
и к такие, что с(г, к) = п. Используем г как номер г-ro рекурсивно
перечислимого множества W{, a. к — как номер кортежа (г'г,... , г»)
в нумерации всех кортежей конечной длины. Для любых г, к, t G N

3.1. Основные понятия 179
определим
W* \ к t=i {т ? W* | m — гёделев номер формулы со свободными
переменными с индексами из (ii,... , г,)
с номером к},
Рп{хп) t=i {tp | tp имеет гёделев номер из W™n) ] г(п)},
где т — максимальное число s меньшее t -f 1 такое, что множество
Г U {ip | ip имеет гёделев номер из W/7J,) [ г(п)}
совместно. Так как в силу разрешимости Т условие совместности
разрешимо, для п и t по любой формуле можно распознать, лежит
ли она в Рп(хп), а также указать число таких формул, т. е. выписать
весь список формул из ргп(х„). Очевидно, что все они имеют гёделев
номер, меньший t + 1, в силу условия на W^.
Из определения р„ через W^n) и возможности в вычислимой
нумерации семейства конечных типов вычислять точно набор сво-
свободных переменных, а также того факта, что нумерация {Wn}neN
главная, следует, что р„ главная.
Предложение 3.1.7. Семейство S частичных типов теории Т
вычислимо, т. е. существует вычислимая нумерация
такая, что S = {do(^o)i ¦ ¦ ¦ ,dn(x'n),...} тогда и только то-
тогда, когда существует рекурсивно перечислимое множество W
такое, что S — {рп{хп) | п 6 W}.
Доказательство следует из определения, так как нумерация
{Рп}П?® главная. ?
Для изучения алгоритмических свойств моделей необходимо ре-
решать задачу о существовании алгоритма, проверяющего истинность
формул. При описанном подходе мы приходим к понятиям более
сильным, чем обычная конструктивность. Введем понятия отно-
относительной конструктивности и сильной конструктивности. Пусть
В — класс подмножеств N. Условимся считать, чт"о бескванторная
формула имеет 0 чередующихся кванторов, а формула Ф имеет
п чередующихся кванторов, если в пренексной нормальной фор-
форме она имеет п групп чередующихся кванторов. Обозначим че-

180 3. Конструктивные булевы алгебры
рез 3>i множество формул с п чередующимися кванторами, а че-
через $ш — множество всех формул, которые будем называть фраг-
фрагментами (языка). Определенные выше множества $„ будем на-
называть ограниченными фрагментами (языка). Пусть $ — множе-
множество формул сигнатуры а. Нумерованная система B1, v) называется
В — ^-конструктивной или ^-конструктивной относительно В,
если следующее множество принадлежит В:
{(s,li,... ,lk) | s — номер формулы Ф(хь ... ,xk)
из ^ с к свободными переменными
Нетрудно заметить, что ^-конструктивные относительно В си-
системы — это в точности ^-конструктивные системы. Ниже, если
берется ^-конструктивность относительно класса рекурсивных отно-
отношений, будем говорить просто о ^-конструктивности, а если $ = Зч),
то просто о В-конструктивности. Если не указало, относительно
какого ^ или какого В рассматривается конструктивность, то под-
подразумевается ^ = ^о или В = 0 соответственно.
B-$w-конструктивные системы будем называть сильно В-конст-
руктивными или В-и>-конструктивными, а В-^п-конструктивные
системы будем называть В-п-конструктивными.
Рассмотрим другой подход. Пусть 21 — система сигнатуры сг,
а ее основное множество А является подмножеством N. Тогда не
переходя к номерам, можно говорить об эффективности различных
отношений.
Система 21 называется В-рекурсивной, если ее базисные предика-
предикаты и базисные операции принадлежат классу В. Для многих клас-
классов вычислимости В абстрактная система В-конструктивизируема
тогда и только тогда, когда она изоморфна В-рекурсивной систе-
системе. По В-конструктивной системе ^-рекурсивную систему стро-
строим эффективно относительно В, если можно выбрать из каждого
множества номеров элементов в точности один номер. Переход от
В-рекурсивной к В-конструктивной системе обычно получается с по-
помощью В-рекурсивной функции, перечисляющей все основное мно-
множество В-рекурсивной модели и определяющей В-конструктивиза-
цию этой системы.
Аналогично для систем, ^-конструктивных относительно В, мож-
можно определить В-^-рекурсивные модели. Если модель изоморфна

3.1. Основные понятия 181
Зы-рекурсивной модели, то она будет В-разрешимой. В случае
В С N класс 5-рекурсивных множеств обозначается через В(В).
В(?)-#-рекурсивные (ВE)-5-конструктивные) системы называют-
называются J-рекурсивными (^-конструктивными) относительно В.
Предложение 3.1.8. Если (9Л, и) и (<П, ц) — п-конструктивные
(сильно конструктивные) относительно В системы, то прямое
произведение 9Л X УХ с нумерацией
будет п-консхпруктивной (сильно конструктивной) относитель-
относительно В моделью.
Доказательство следует из алгоритма, сводящего вопрос об ис-
истинности формулы на прямом произведении к истинности формул
с таким же числом чередований кванторов, но уже на составляю-
составляющих [18]. D
Пусть El,i/) и @3, /х) — две нумерованные модели и ip: 51 ->•
25 — гомоморфизм. Гомоморфизм ip из E1, v) в @3, /х) называется
С-рекурсивным, если существует С-рекурсивная функция / такая,
что ipi/ = /х/, т. е. диаграмма
N А N
А ^ В
коммутативна. В этом случае функция / представляет ip, a, ip на-
называется С-гомоморфизмом. Если существует С-рекурсивный изо-
изоморфизм ip из E1, и) в B5, /х), то B5, /х) называется С-расширением
E1,1>) относительно ip. Если 51 С 25 и тождественное вложение из
21 в 25 является С-рекурсивным, то B5, /х) — С-расширение E1, v).
Предложение 3.1.9. Пусть B5, /х) — нумерованная система и
Т> — В-рекурсивно перечислимое подмножество N, а множество
/х(Х>) замкнуто относительно базисных операций и содержит
значения констант. Тогда подсистема 51 системы 25 с осковкьш
множеством /i(X') uAieem wyAiepat^uxj I/ такую, что B5,/х) —
В-расширение E1,1/).

182 3. Конструктивные булевы алгебры
Доказательство. Искомая нумерация получится, если опреде-
определим v(n) ±=; nf(n), где / — В-рекурсивная функция, перечисляю-
перечисляющая множество V. D
Предложение 3.1.10. Если @3,//) — С-расширение B1,1') от-
относительно tp и B3,//) конструктивна относительно С, то и
B1, и) конструктивна относительно С.
Доказательство следуе? из того факта, что проверка истинно-
истинности всех предикатов и равенств в B1, и) может быть сведена посред-
посредством сводящей функции к вопросу об истинности соответствующих
предикатов и равенств, но уже в @3, ц). D
Если в качестве В рассматривается класс рекурсивных функций,
то во всех определениях и обозначениях символ класса опускаем.
Предложение 3.1.11. Если булевая алгебра @3,1/) $а-конструк-
тивна относительно В, то булево кольцо (Л@3), и) $а-конст-
руктивно относительно В, где а ^.и.
Так как базисные операции одной сигнатуры выразимы в дру-
другой сигнатуре бескванторными формулами, предложение 3.1.11 оче-
очевидно. Аналогичные соображения позволяют доказать следующее
предложение.
Предложение 3.1.12. Если булевая алгебра @3, v) §а-конструк-
тивна относительно В, а ^. и, то булева решетка (L@3),i/)
также §а-конструктивна.
Операции булевой алгебры 03 выражаются через порядок в буле-
булевой решетке ?@3) с помощью V-формул. Поэтому верно следующее
утверждение.
Предложение 3.1.13. Если булева решетка (L@3), и) $\+а-кон-
стр.уктивна относительно В, а ^ и>, то булева алгебра @3,1/)
также §а-конструктивна относительно В.
Нетрудно видеть, что если B1, и) ^-конструктивна относитель-
относительно В, то Bl,i/) ^-конструктивна относительно В для любого /3 <
а. Обратное утверждение в общем случае неверно.
Предложение 3.1.14. Если булева алгебра B1, и) конструктивна
относительно В и теория ThBl, а.\,... , ап) системы 21 в обога-

3.1. Основные понятия 183
щении конечным числом констант модельно полна и В-разреши-
ма, то B1, и) сильно конструктивна относительно В.
Доказательство. Достаточно заметить, что в силу 5-разреши-
мости ThBl, ai,... , ап) можно эффективно проверять эквивалент-
эквивалентность формул. Однако любая формула эквивалентна (относительно
модельно полной теории) 3-формуле. Поэтому по любой формуле
$. можно эффективно найти две 3-формулы ЗуФх и ЗуФг, эквива-
эквивалентные Ф и ~"Ф соответственно. Для проверки истинности Ф на
элементах с номерами / = (/i,... Jn) достаточно, перебирая все
возможные конечные наборы с и Ь номеров элементов и проверяя
выполнимость 4li{ul,uc) и Фг(^/, f&), найти первый набор такой,
что Ф^/, ис) или Фг("', иЪ). Если 4\{vl, ис) выполнено, то ввиду
эквивалентности, Ф истинна на наборе с номерами / и ложна, если
, иЬ) выполнено на ub для некоторого Ъ. ?
На основании предложения 3.1.14 в силу модельной полноты те-
теории булевых алгебр в сигнатуре обогащенной предикатами Ап, Вп,
Cn, /n, n € N справедливо следующее предложение (см. 2.2).
Предложение 3.1.15. Если @3, и) — В-конструктивная булева
алгебра в обогащенной сигнатуре а* (см. 2.6), mo (OS, v) является
сильно В-конструктивной.
Важной проблемой в изучении конструктивных моделей явля-
является исследование различных неэквивалентных эффективных пред-
представлений. Существует несколько подходов к формализации экви-
эквивалентности представлений. Приведем здесь только три основных.
Пусть v и ц — нумерации одной и той же системы ЯЯ. Назо-
Назовем конструктивизации и и \i В-рекурсивно эквивалентными, если
существуют 5-рекурсивные функции fag такие, что и = fj,f и
ц = ид.
В случае нумерованных моделей для Б-рекурсивной эквивалент-
эквивалентности требуется существование пары Б-рекурсивных функций / и д
таких, что и = (if и ц = ид, а в случае Б-конструктивных моделей
вторая может быть построена с помощью первой.
Легко видеть, что конструктивизируемая система, имеющая кон-
континуум автоморфизмов, имеет также континуум не рекурсивно экви-
эквивалентных конструктивизации. В частности, уже счетная безатом-
безатомная булева алгебра имеет континуум не рекурсивно эквивалентных
конструктивизации.

184 3. Конструктивные булевы алгебры
Конструктивизации и и ц системы 21 называются В-автоэкви-
валентными, если существует автоморфизм <р системы 21 такой, что
<ри и ц В-рекурсивно эквивалентны. Это определение более алгебра-
алгебраическое, так как в алгебре мы изучаем свойства систем с точностью
до изоморфизмов. Как будет показано ниже, счетная безатомная бу-
булева алгебра имеет лишь одну, с точностью до автоэквивалентности,
конструктивизацию. Систему с такими свойствами будем называть
автоустойчивой, а максимальное число неавтоэквивалентных кон-
конструктивизации системы 21 — ее алгоритмической размерностью
и обозначать dirruBl). Система 21 называется В-автоустойчивой,
если любые ее две В-конструктивизации В-автоэквивалентны. Не-
Нетрудно доказать, что две конструктивизации системы будут авто-
автоэквивалентны, если в них разрешимы с точностью до автоморфиз-
автоморфизмов одни и те же отношения, т. е. Ао С Ап имеет рекурсивное
множество ^-номеров тогда и только тогда, когда существует авто-
автоморфизм ip системы 21 такой, что <р(Ао) имеет рекурсивное множе-
множество ^-номеров.
Рассмотрим еще одно ослабление понятия эквивалентности, опре-
определяемое через совокупности разрешимых отношений, определимых
в нашей модели. Именно, v и ц называются алгебраически экви-
эквивалентными, если для любого устойчивого относительно автомор-
автоморфизмов подмножества М С Аш = U Л" множество наборов из
^-номеров для М рекурсивно тогда и только тогда, когда множе-
множество наборов ^-номеров для М рекурсивно.
Ясно, что если v и \i рекурсивно эквивалентны, то они также
автоэквивалентны, и следовательно, алгебраически эквивалентны.
Обратные импликации верны не всегда.
Следствие 3.1.1. Для любой конструктивной булевой алгебры
B1, v) и элемента а ? 21 существуют конструктивизации va и
vC(a) алгебр а и С(а) такие, что B1, v) и (а ® С(а), va ® vc(a))
рекурсивно изоморфны.
Будем говорить, что подмножество М С Аш разрешимо {пере-
{перечислимо) в @1, v), если множество {(п\,... , п^) | {yni, ¦ ¦ ¦ , vrik)
? М} рекурсивно (рекурсивно перечислимо).
Предложение 3.1.16. Если булева алгебра B1, v) является В-
расширением (93, /J.) и (93,7) относительно одного и того же

3.1. Основные понятия 185
изоморфного вложения if, то существует В-автоморфизм ф под-
подсистемы В такой, что ф\1 = у.
При изучении конструктивных систем важное место занимают
вопросы о неэквивалентных представлениях и их классификациях.
Рассмотренные выше два подхода исследования эффективных пред-
представлений систем позволяют изучать одни и те же свойства выбирая
тот или иной язык в зависимости от ситуации. Установим экви-
эквивалентность этих двух подходов, доказав эквивалентность соответ-
соответствующих категорий. В определении категорных понятий будем сле-
следовать [13].
Рассмотрим категорию Num всех нумерованных моделей с гомо-
гомоморфизмами в качестве морфизмов и категорию Nat всех моделей
с основными множествами из подмножеств N с гомоморфизмами в
качестве морфизмов. Пусть (9Л, v) — нумерованная модель. Опре-
Определим значение функтора Rec на (9Л, и), положив
где
^ {п | п — наименьший номер элемента vn),
Р±=:{(тц,... ,nk)eNm \W.\=P{vnu... ,vnk)}
для предикатного символа Р ? <т и
F(m,... , nk) ±=; min{m | F(yni,..., vnk) = vm)
для функционального символа F ? а. Заметим, что Rec (9Л, v) и
ЭЯ изоморфны. Если <р — гомоморфизм из (9Л, и) в (91, р), то
Rec (ip) ±=: {(п, т) \п ? Nm, тп € Ngi и <p{vn) = цт}.
Заметим, Rec (ip) — гомоморфизм из Rec (ОТ, v) в Rec (91, ц).
Замечание 3.1.1. Модели 9Л и Rec (9Л, и) изоморфны.
Замечание 3.1.2. Значение Rec(y>) изоморфизма <р является
изоморфизмом.
Определим функтор Con из категории Nat в Num. Для этого
положим Con (971) "=, (VJl,i/), где v — перечисление элементов из
|Э| в порядке возрастания. Если |9Л| конечно, то все номера, не

186 3. Конструктивные булевы алгебры
занятые в этом перечислении, отобразим в последний элемент из
перечисления 971. Обозначим построенную нумерацию v через
Замечание 3.1.3. Функтор Rec определяет эквивалентность ме-
между категориями Num и Nat.
Определим в категории Num подкатегории Con В-конструктив-
ных моделей с В-рекурсивными гомоморфизмами в качестве мор-
физмов и в Nat — подкатегории Rec В-рекурсивных моделей с
В-рекурсивными гомоморфизмами в качестве морфизмов.
Теорема 3.1.4. Сужение Rec функтора Rec на подкатегорию
Con определяет эквивалентность между категориями Con и
RecB.
Доказательство. Нетрудно проверить, что модель Rec (971, и)
для В-конструктивной модели (971, и) будет В-рекурсивной, а из
В-рекурсивности основных множеств и существования В-рекурсив-
В-рекурсивной функции / такой, что <ри = ///, следует, что Rec <p — частично
В-рекурсивная функция с В-рекурсивным графиком. Рассмотрим
сужение Rec функтора Rec на подкатегорию Con . Это будет
функтор из Con в Rec . Существуют функторные изоморфизмы
<р: 1сопв ~~* ^ес Con и ф: lRecB —> Con Rec такие, что Rec tp =
ipRec. D
Следствие 3.1.2. Нумерованные модели (*Tt, f) и (971,//) изо-
изоморфны тогда и только тогда, когда Rec (91, и) и Rec (971, //) изо-
изоморфны.
Следствие 3.1.3. В-конструктивные модели (91, и) и (971,//)
В-изоморфны тогда и только тогда, когда Rec (971, //) В-изомор-
фна Rec(<n, и).
Таким образом, изучение конструктивизаций модели 971 с точно-
точностью до автоэквивалентности эквивалентно изучению рекурсивных
моделей, которые изоморфны модели 971, с точностью до рекурсив-
рекурсивного изоморфизма а именно: если и и ц — две конструктивизаций
модели 971, то Rec (971, и) и Rec (971,//) — рекурсивные модели,
изоморфные 971, причем и и ц автоэквивалентны тогда и толь-
только тогда, когда Rec (971, и) и Rec (971, //) рекурсивно изоморфны
и для любой рекурсивной модели 91, изоморфной 971, существу-

3.1. Основные понятия 187
em конструктивизация V модели ЯП такая, что Rec (ЯП, и) и У\
рекурсивно изоморфны.
Следствие 3.1.4. Любая бесконечная конструктивная алгебра
рекурсивно изоморфна конструктивной алгебре с однозначной ну-
нумерацией.
Рассмотрим теперь нумерации фактор-систем по конгруэнтно-
стям. Если г\ — отношение конгруэнтности на алгебраической систе-
системе 21 и v — нумерация 21, то можно определить фактор-нумерацию
vI'ц фактор-системы 21/^ так: u/r)(n) ^ и(п)/г]- Если из контек-
контекста ясно, по какой конгруэнтности факторизуется и, то вместо v j-ц
пишем просто и.
Предложение 3.1.17. Справедливы следующие утверждения:
(a) если B1, и) — В-конструктивная алгебраическая система и
ц -¦ В-разрешимая строгая конгруэнтность, то B1Д/, v/tj)
является В -конструктивной алгебраической системой.
(b) если B1, v) - В-позитивная система, а Т) — В-перечислимая
конгруэнтность, то B1/^ иj'^ — В-позитивная система.
Пусть ЯП = (М, Р"°,... , Р?к,а0,... , as) —- конечная модель
конечной сигнатуры а без функциональных символов hi/ — отобра-
отображение из [0,п] = {г | 0 ^ г ^ п) на М. Пара (Ш,и) называется
конечно нумерованной или п-нумероваииой моделью.
Каждой конечной сигнатуре а = (Р"°,.-.. ,Р"к,а,о,... ,а„) мы
припишем номер ((@,п0),... , (к, nk)),s), где щ ^ 1. Расширим
сигнатуру <т константными символами со,... ,сп,... с натураль-
натуральными индексами. Определим (п + 1)-диаграмму Х>(9Л, v) конечной
нумерованной модели (ЯП, и), определив обогащение ЯП" модели ЯП
до сигнатуры ап = crU {со,... , сп}, полагая значение константы с,-
равным элементу иг с номером г для г ^ п,
Х>(ЯП, и) = {(р | (р — атомная формула сигнатуры <т„,
не содержащая свободных переменных,
или отрицание такой формулы и ЯП" t= tp}.
Пусть G?>(ЯП,1/) — множество гёделевых номеров формул из
V(m,v). Набор (п,(((О,по),A,щ),... ,(к,пк)),а),и), где и -
канонический номер конечного множества Du = GV(ffl,i/), назы-

188 3. Конструктивные булевы алгебры
вается гёделевым номером нумерованной конечной модели конеч-
конечной сигнатуры а. Будем называть такие модели конечно нумеро-
нумерованными моделями, а их номера — гёделевыми номерами.
Отметим следующие очевидные свойства этой нумерации конеч-
конечно нумерованных моделей.
A) Множество гёделевых номеров конечно нумерованных моде-
моделей рекурсивно.
B) По гёделеву номеру конечно нумерованной модели (9Я, i/) мож-
можно вычислить число элементов в
C) По гёделеву номеру конечно нумерованной модели можно вы-
вычислить сколько предикатных и константных символов со-
содержит сигнатура а, а также местность всех предикатных
символов.
D) По двум гёделевым номерам конечно нумерованных моделей
можно определить, рассматриваются ли эти модели в одной
и той же сигнатуре.
E) Множество номеров конечных сигнатур рекурсивно.
F) По номеру конечно нумерованной модели п и номеру т сиг-
сигнатуры можно узнать, является ли конечно нумерованная
модель с номером п моделью сигнатуры с номером т.
G) По номеру конечно нумерованной модели п и номеру т сигна-
сигнатуры можно узнать, имеет ли конечно нумерованная модель
с номером п сигнатуры
обогащение до конечно нумерованной модели сигнатуры о~' с
номером т.
Конечная n-нумерованная модель (9Я, v) называется расшире-
расширением fc-нумерованной модели (Щ, р), если к < п, модели 9Л и Щ рас-
рассматриваются в одной и той же сигнатуре, а множество {(v(i), ц(г)) \
г ^ к} является изоморфным вложением ШъЩ.
(8) По"любым двум гёделевым номерам конечно нумерованных мо-
моделей пит можно узнать, является ли конечно нумерован-
нумерованная модель с гёделевым номером т расширением конечно ну-
нумерованной модели с гёделевым номером п.

3.1. Основные понятия 189
Будем называть конечно нумерованную модель {Ж, и) сигна-
сигнатуры <т = (Pq° ,... , Р?к, по, ¦ ¦ ¦ ,as) обогащенным расширением
к-нумерованной модели (*П, ц) сигнатуры
если к < n, s' ^ s, г' ^ г и для любого 0 ^ г ^ г' местность т,'
предиката Р< равна местности щ предиката Pi, a {{fi(i),u(i)) | i ^
к} является изоморфизмом 91 в ОН f с.
(9) По любым двум гёделевым номерам пит конечно нумерован-
нумерованных моделей можно узнать, является ли модель с номером
п обогащенным расширением конечно нумерованной модели с
номером т. .
Для нумерованной модели (9Л, и) сигнатуры
по п € dom и определим Мп — {иг | г ^ п} и рассмотрим сиг-
сигнатуру сгп, полученную из сигнатуры а следующим образом: <гп —
(Pq° ,... , Рг"г, а,-,,... , сцк), где г = п, если в с не меньше чем п
предикатов, и г равно числу предикатов в <г, если их меньше чем
п. Множество {й,... , г*,} состоит из всех индексов г констант из с
таких, что t^nn значение константы с,- лежит в множестве М„.
Определим модель 9ЯП как подмодель обеднения ОН f <rn моде-
модели ОН до модели сигнатуры сгп с основным множеством Мп. Ко-
Конечно нумерованные модели AMn,Vn), где vn{k) i=; и(к) для к ^
п, будем называть конечно нумерованными подмоделями модели
(SDt,i/). Для нумерованной модели (9H,i/) определим множество
W(SDt, и) гёделевых номеров ее конечно нумерованных подмоделей,
которое назовем представлением (QH,i/).
Сведением проблем разрешимости друг к другу можно доказать
следующее предложение.
Предложение 3.1.18. Нумерованная модель (ОН, v) конструк-
конструктивна тогда и только тогда, когда ее представление W{fXH, и)
рекурсивно перечислимо.
Пустую модель с пустой сигнатурой и пустой нумерацией и лю-
любые конечные нумерованные модели будем также называть кон-
конструктивными. Заметим, что, зная множество 1У(9Л,1/), можно

190 3. Конструктивные булевы алгебры
определить модель 971 и ее нумерацию v следующим образом. Рас-
Рассмотрим множество
Мщ — {с,- | существует гёделев номер конечной нумерованной
модели в W{9R, и) с номером п + 1 и i ^ п}.
Определим на М$, отношение эквивалентности с,- ~w Cj, если
Ci = Cj входит в диаграмму некоторой n-нумерованной модели с но-
номером из И^(971, и). Полагаем теперь Mw равным фактор-множест-
фактор-множеству A^vv/~w- Определим теперь нумерацию vw, положив vw{i) —
Ci/~W) где i ? Мщ. Полагаем vw{i) — o,j для константы сиг-
сигнатуры а модели 971, если равенство с,- = a,j входит в диаграмму
некоторой n-нумерованной модели с номером из W.
Определим Pi\vwnQ,..., vwnk)t если Pi(cno,... , сПк) входит
в диаграмму некоторой n-нумерованной модели с номером из W.
Таким образом, мы определяем модель ЭЛус той же сигнату-
сигнатуры, что и модель 971, а также ее нумерацию vy/. Определив так-
также у>(с,/^,) i=; ui, получаем, что ip — изоморфизм нумерованной
модели (97liv,^w) на (971,^), причем его представляет на номерах
тождественная функция.
В случае рекурсивной перечислимости И^(971, и) полученная мо-
модель (971 w, vw) конструктивна. Обратное утверждение очевидно.
Зафиксируем конечную сигнатуру а без функциональных сим-
символов и определим нумерацию х" всех конструктивных моделей
этой сигнатуры следующим образом. Рассмотрим главную нумера-
нумерацию {Wn}neN всех рекурсивно перечислимых подмножеств N. Как
обычно, W^ — это часть множества Wn, перечисленная к шагу t
в этой нумерации. Напомним, что в \У„ мы перечисляем только
х < t. Построим по Wn новое множество Vn, полагая V® = 0, а на
шаге t + 1 проверяем следующие условия:
— любой элемент W^+1 является гёделевым номером некоторой
А;-модели сигнатуры сг,
— для любых х,у ? И^+1 одна из конечно нумерованных моде-
моделей, геделевы номера которых суть х и у, является расширением
другой.
Полагаем V^+1 i=; V^, если эти условия не выполнены и V^+1 ^
V^ U Wn+1 в противном случае.

3.1. Основные понятия 191
Определим теперь Vn = UV^. Построенная последовательность
множеств {К»}г»еи очевидно вычислима Следовательно, найдется
рекурсивная функция р такая, что Vn = Wp(n) при любом п. Кроме
того, можно получить, что Wp(p(n)) = Wp(n) при любом п.
Легко заметить, что для любого п множество Vn рекурсивно
неречислимо и является представлением некоторой конструктивной
модели. Пользуясь конструкцией последнего предложения, восста-
восстановим по Vn конструктивную модель Шуп и ее конструктивизацию
Определим ха(п) ±=; (9ft-vn,vvn)- Модель Шуп будем обозна-
обозначать Ш%, а нумерацию vyn через v%. Из характеризации рекурсив-
рекурсивных моделей через их представления нетрудно видеть, что ха(п)
нумерует все.конструктивные модели сигнатуры <т, включая конеч-
конечно нумерованные и пустую модели. Если <т — бесконечная сигнатура
и функция i —> щ рекурсивна, где щ — местность г-го предикат-
предикатного символа, то аналогично получаем W(DJl, и) и нумерацию х°',
которая нумерует все конструктивные модели сигнатуры а и конеч-
конечные конструктивные модели конечных частей сигнатуры а, если при
построении множеств Vn потребуем, чтобы конечно нумерованные
модели были моделями начальных сегментов сигнатуры <т, а вместо
условия расширения рассмотрим условие обогащающего расшире-
расширения.
В литературе по конструктивным моделям используется следу-
следующее понятие вычислимой последовательности конструктивных мо-
моделей. Последовательность конструктивных моделей
называется вычислимой, если эти модели равномерно конструктив-
конструктивны, т. е. для необходимых рекурсивных характеристических функ-
функций множеств номеров и рекурсивных функций, определяющих опе-
операции, их индексы вычисляются для модели EШ„, ип) рекурсивны-
рекурсивными функциями по номеру п.
Предложение 3.1.19. Последовательность конструктивных
моделей (ЮТо, ^о), ¦ ¦ ¦ , (9Яп, "п), ¦ ¦ ¦ вычислима, если и только ес-
если существуют рекурсивные функции f ug такие, что EЭДn, t/n)
и х(/(п)) рекурсивно изоморфны при любом п, а номер д(п) ре-
рекурсивной функции хд{п), определяющей этот рекурсивный изо-
изоморфизм, вычисляется поп функцией д, т. е. при <pn(vn(m)) :=;
ufln \{teg{n)(rn)) получаем, что tpn — изоморфизм Ш1п на Щ1*?,<.,

192 3. Конструктивные булевы алгебры
где нп — главная нумерация всех частично рекурсивных функ-
функций.
Доказательство. Функции fug существуют ввиду построе-
построения по (OTtn,i/n) рекурсивно перечислимых множеств W(OTtn, vn).
Из вычислимости последовательности {(9Jln, vn) \ п б N} получаем
вычислимость последовательности {iy(97tn, vn) \ n ? N}. Посколь-
Поскольку нумерация W главная, мы получим сводящую функцию /. Функ-
Функция g строится по диаграмме, так как она для (97ln, vn) и х{п) одна
и та же. Обратное утверждение вытекает из предложений 3.1.20 и
3.1.21. _ ?
Предложение 3.1.20. Последовательность конструктивных
моделей (971*,^*) вычислима.
Доказательство. Утверждение следует из конструкции и опре-
определения вычислимой последовательности, так как для (9Л?, v")
по номеру п мы находим ее диаграмму, которая определяется из
Пусть а = {(9ЛП, "п)} и /? = {(9tn, /*„)} — две последователь-
последовательности нумерованных моделей. Последовательность а сводится к
последовательности /3, если существует рекурсивная функция / та-
такая, что конструктивные модели (ОТ1„,1/„) и (^j(n)^f(n)) рекур-
рекурсивно изоморфны (в смысле конструктивных моделей). Тот факт,
что а сводится к /3 обозначаем а $С /3.
Будем говорить, что последовательность а эффективно сводит-
сводится к последовательности 0, если существуют рекурсивные функции
/ и g такие, что для любого п функция xs(n) определяет изомор-
изоморфизм конструктивной модели (OTtn,i/n) на модель (9fy(n)i/*/("))>
т. е. отображение <pn(vn(™.)) ^ M/(n)(xs(n)(m)) корректно опреде-
определено и является изоморфизмом 9ЛП на У\дп)-
Из определений получаем следующее предложение.
Предложение 3.1.21. Если последовательность нумерованных
моделей {(9Jln,j/n) | п 6 N} эффективно сводится к вычислимой
последовательности конструктивных моделей {(91n,/in) | n ?
N}, то {(9Jln,j/n) | п ? N} — вычислимая последовательность
конструктивных моделей.
Пусть S — класс конструктивных моделей сигнатуры <т и К —
конструкция, определяющая по конструктивным моделям из S не-

3.1. Основные понятия 193
которую конечную последовательность конструктивных моделей и
гомоморфизмов на них. Будем говорить, что конструкция К равно-
равномерно эффективна на классе S, если существует частично рекур-
рекурсивная функция дк такая, что если конструктивная модель xCT(n)
принадлежит S, то дк{п) определена и дк{п) равна номеру пары
номеров двух кортежей, где первый кортеж дает номера х17 строя-
строящихся конструкцией К конструктивных моделей, а второй — номе-
номера в нумерации х рекурсивных функций, определяющих требуемые
рекурсивные гомоморфизмы.
Предложение 3.1.22. Если К — равномерно эффективная кон-
конструкция на S, которая по конструктивной модели (91, и) из
S строит конструктивную модель (ЯЛ, ц) из S и гомоморфизм
{<р, /) из (% и) в (ГОТ.я) (К(% и) = ((ЯП, /х>, {<р, /))), то для лю-
бой конструктивной модели (91, и) из S существует вычисли-
вычислимая последовательность (9lo, fo), (9li, "l), • • • , (ЭДп, "«), • • • кон-
конструктивных моделей из S и вычислимая последовательность
90i9i> ¦ ¦ ¦ i9n, ¦ ¦ ¦ рекурсивных функций такие, что
B) для любого п функция дп определяет гомоморфизм <рп из 91„
в 91„+1, где (pn(vn(rn)) = vn+ign{m) для любого п,
C) для любого п конструкция К определяет по (91П, ип) модель
() u гомоморфизм {рп,дп)-
Доказательство следует из рекурсивного определения требуе-
требуемых индексов с помощью функции дк, представляющей конструк-
конструкцию К на классе «S. ?
Из следствия теоремы о сведении ограниченных теорий к Э-фор-
мулам и V-формулам, но уже в обогащении сигнатуры булевых ал-
алгебр предикатами из сг„, получаем следующее утверждение.
Предложение 3.1.23. Нумерованная булева алгебра B1, и) яв-
является п-конструктивной тогда и только тогда, когда и явля-
является конструктивизацией обогащения 21"" булевой алгебры 21 до
сигнатуры <тп теории В Л* .
Доказательство. Необходимость следует из возможности опи-
описания предикатов сигнатуры <тп Е„-формулами или П„-формулами
в сигнатуре булевых алгебр, а достаточность — из того факта, что

194 3. Конструктивные булевы алгебры
любая Еп-формула эквивалентна V-формуле и 3-формуле в сигна-
сигнатуре <7„ для теории ВА*п. D
Упражнения
1. Доказать, что счетная безатомная булева алгебра конструктиви-
зируема.
2. Доказать, что любая конструктивизация безатомной булевой ал-
алгебры является сильной конструктивизацией.
3. Построить пример булевой алгебры, имеющей неавтоэквивалент-
ные конструктивизации.
4. Доказать, что существуют неконструктивизируемые булевы ал-
алгебры.
5. Доказать, что В-конструктивная атомная булева алгебра, мно-
множество атомов которой В-рекурсивно, является сильно В-конст-
руктивной.
6. Доказать, что все конструктивизации безатомной булевой алге-
алгебры автоэквивалентны.
7. Если v — конструктивизация 53, / — идеал 53 и множество
и~1{1) рекурсивно перечислимо, то фактор-алгебра E3//, ^//)
позитивна, где vj/(n) ^=; "(n)//.
8. Если и — конструктивизация 53 и / — ^-разрешимый идеал 53,
то E3//, ^//) — конструктивная фактор-алгебра.
9. Доказать, что RecB — функтор из Con в Rec , а Сопв — из
RecB вСопв.
10. Если Ж — В-рекурсивная модель, то RecCon (Ж) и Ж явля-
являются В-изоморфными.
11. Если (ЯЛ, v) — В-конструктивная модель, то ConRec (ЯЛ, и) и
(ЯЛ, и) В-изоморфны.
12. Если (ЯЛ, и) — сильно конструктивная модель, то Rec (ЯЛ, и) —
разрешимая модель.

3.2. Конструктивность в линейных порядках 195
13. Если ЯЛ — разрешимая модель, то Con (ЯЛ) — сильно конструк-
конструктивная модель.
14. Функторы Сопя и Recfl определяют эквивалентность категорий
Сопв и RecB.
15. Сформулировать и доказать эффективный вариант теоремы Во-
ота (см. следствие 1.5.3).
16. Доказать, что любые две рекурсивные безатомные булевы алге-
алгебры рекурсивно изоморфны.
17. Доказать, что любые две конструктивизации булевой алгебры
!8Ш с рекурсивными множествами атомов изоморфны.
3.2. Конструктивность в линейных
порядках и булевых алгебрах
Одна из основных проблем теории конструктивных моделей —
это проблема существования конструктивных моделей с заданны-
заданными свойствами. В конструировании булевых алгебр с заданными
свойствами важная роль принадлежит конструкции по линейному
порядку булевой алгебры, которая носит явно эффективный харак-
характер. Рассмотрим в этом параграфе эффективизацию этой конструк-
конструкции и применим ее для изучения проблемы существования булевых
алгебр с нужными нам алгоритмическими свойствами.
По любой нумерации и линейного порядка L с наименьшим эле-
элементом построим нумерацию 7L булевой алгебры Я$ь которая на-
наследует ряд алгоритмических свойств нумерованного порядка (L, и).
Предложение 3.2.1. Если L = (L,v) — нумерованный линей-
линейный порядок, то булева алгебра !8ь имеет нумерацию 7ь и ре-
рекурсивные функции /л, /v, /с и i и к такие, что
) =7b(/v(n,m)),
B) 7ь(п) П 7ь(п») = 7ь(/л(п, тп)),

196 3. Конструктивные булевы алгебры
D) если 1у(п) ^ v(m), то 7i(i(".m)) = И")> "(m)l
EOL(*(n)) = [i/n,oo[,
причем E81,, 71,) будет В-конструктивна, если (L,u) является
В-конструктивным линейным порядком.
Доказательство. Обозначим через j(n) номер набора нату-
натуральных чисел (то,... ,mic), который находится по п эффектив-
эффективно. Каждое число ттц рассматриваем как номер пары (/(m,-),,r(m,-))
и полагаем 7х.(") = .U [^(т<), 1/г(т»)[и[а,6[, где а = i//(mo) и
6 = +оо, если г(тп0) = 0; а = 6 = I/O, если г(тпо) > 0.
Нетрудно получить 7?-номера для объединения, пересечения и
дополнения, что позволяет построить функции /у, /л, /с- Постро-
Построение функций ink очевидно. Ясно, что вопрос о равенстве эле-
элементов с 71,-номерами пит сводится к вопросу о равенстве эле-
элемента с 71,-номером /у(/л(п,/с(го)),/л(/с(п))»71)) нулю, а этот
вопрос сводится к проверке условия их < vy в линейном порядке
L. Следовательно, булева алгебра B$х,,71.) В-конструктивна, если
линейный порядок В-конструктивен. D
Если Р — предпорядок на L, т. е. Р рефлексивен и транзити-
вен, то можно определить каноническим способом порядок Р* на
фактор-множестве L* ±=; ?/~р, по отношению ~р, определяемо-
определяемому этим порядком, положив а ~р 6 <=> (а, 6) G Р, F, а) G Р,
а/^я ^ V~p ^ (а> ^ ^ ^ ^Удем ГОВОРИТЬ, что Р — линей-
линейный предпорядок но L, если определенный по нему порядок Р* на
фактор-множестве L* будет линейным. Для построения конструк-
конструктивных линейных порядков мы часто будем строить рекурсивные
отношения Р на рекурсивно перечислимых подмножествах L нату-
натуральных чисел, которые будут задавать на L линейные предпоряд-
ки. Это уже позволяет строить для определяемых ими линейных
порядков стандартным образом каноническую конструктивизацию
по любому рекурсивному перечислению множества L, причем кон-
структивизации, построенные по разным перечислениям, оказыва-
оказываются рекурсивно эквивалентными. Более точно, взяв рекурсивное
перечисление /: N -4 L, полагаем vj{n) ^ /(п)/~р, причем от-
отношения vn = vm Hi/n^ vm будут рекурсивны относительно Р,
а если Р рекурсивно, то и рекурсивными. Если g — какое-то дру-
другое перечисление L, т. е. д: N —>• L — рекурсивная функция, то

3.2. Конструктивность в линейных порядках 197
рекурсивная функция ?(п) = (лт(д(т) ~р /(«)') удовлетворяет
равенству J'/(?(«)) = vg{n), т.е. нумерации vj и vg рекурсивно
эквивалентны. Следовательно, с точностью до рекурсивной экви-
эквивалентности построение конструктивизации uj линейного порядка
(L*,^p<) по рекурсивному предпорядку Р на перечислимом мно-
множестве L не зависит от функции, перечисляющей L.
Предложение 3.2.2. Для любой В-конструктивной булевой ал-
алгебры (93, и), существует В-конструктивный линейный порядок
L = (L,fi) такой, что (93,1/) и (*Bl,1l) В-изоморфны.
Доказательство. Построим по шагам В-перечислимое множе-
множество L 1/-номеров линейно упорядоченного порождающего множе-
множества с наибольшим и наименьшим элементами для конструктивной
булевой алгебры (95, и). На шаге t строим конечное множество Lt,
а предпорядок получим сужением множества Р = {(п,т) \ ип ^
urn) на L\.
Пусть Д, /v — В-рекурсивные функции такие, что uf^(n, m) =
ипАит, j//v (п,т) = vnVvm, а а, 6 ? N такие, что иа = 0, ub = 1.
Шаг 0. Полагаем Lo = {a,b}.
Шаг t + 1. Мы уже определили конечное множество Lt, и оно
состоит из элементов по,т,... ,rik, причем 0 = i/n0 < vn\ <
< ... < vrik = 1. Рассмотрим элемент i/t и положим
Lt+i t=;LtU {/v (/л (n,+i, *)."•) \i<k, i/tA i/ni+1 ф uni+1 и
i/n,- ф (vrii+i Л vt) V J/n,}.
Ясно, что |J Lt есть в точности множество номеров порожда-
порождало
ющего линейно упорядоченного множества, построенного в теоре-
теореме 1.6.1. Так как Lt+i строится по Lt эффективно относительно
В, заключаем, что L = v{ \J Lt) В-перечислимо, причем ка-
ждый элемент v( \J Lt) получает единственный номер. Взяв те-
перь сужение отношения ^ на L, получим В-рекурсивный линей-
линейный порядок на L. Так как L В-перечислимо, V t=^ L\{1) —
В-перечислимое множество. По В-перечисляющей функции / по-
построим В-конструктивизацию ц для линейного порядка (L', ^).
Пусть теперь 7/i — В-конструктивизация 93//, построенная в
предложении 3.2.1. Так как V — линейно упорядоченное поро-

198 3. Конструктивные булевы алгебры
ждающее множество без единицы в 2$l< и !8, ясно, что !8^' и !8
изоморфны, причем существует изоморфизм у?: !8 —> !8// такой,
что для любого элемента b ? L' выполнено у?F) = [—оо,6[, при-
причем по «/-номеру элемента b ? L' эффективно находится 7^-номер
элемента [—со, Ь[. Так как любой элемент порождается с помощью
объединений элементов а'\Ь', где а', Ь' ? vV U {1}, существует
В-рекурсивная функция / такая, что ipvn = -уц{f{n)) для любо-
любого п. ?
Предложение 3.2.3. Если !8^ — атомная булева алгебра и в В-
конструктивном линейно упорядоченном множестве L = (L,fi)
множество пар номеров соседних элементов В-рекурсивно (т. е.
множество
Sl ^ {(а> Ь) | а < 6, не существует с 6 L: а < с < 6}
имеет В-рекурсивное, множество номеров), то (!8l, ^l) — силь-
сильно В-конструктивная булева алгебра.
Доказательство. По предложению 3.2.1 {(Bl,1l) — В-конст-
руктивная булева алгебра. Легко видеть, что элемент a G 2$l будет
атомом тогда и только тогда, когда а = [х, у[, где х < у и х, у — «со-
«соседи», т. е. нет z такого, что z < у и х < z, или а = [Ь, оо[если b —
наибольший элемент L. Так как наименьший и наибольший элемен-
элементы L\0} находятся единственным образом и их множества номеров
S-рекурсивно, а свойство быть «соседями» В-разрешимо по усло-
условию, мы ищем для элементов !8l такое представление. Если оно
существует, то рассматриваемый элемент является атомом. Следо-
Следовательно, множество номеров атомов В-перечислимо. Но множество
номеров не атомов также В-перечислимо, поскольку п — 7-номер
не атома, если найдется m такое, что 0 < ~ут < ~уп. Последнее от-
отношение распознается в силу В-конструктивности булевой алгебры
эффективно относительно В. Поэтому для В-конструктивной буле-
булевой алгебре (!8l,7z,) множество атомов В-разрешимо. Но тогда по
предложению 3.1.23 ((Вь,ь) ~ сильно В-конструктивная булева
алгебра. ?
Теорема 3.2.1. Для любой счетной булевой алгебры !8 суще-
существует единственная атомная булева алгебра 21(!8) такая, что
21(®)/FBl(!8)) = Ъ и 21(!8) сильно В-конструктивизируема,
если !8 — В-конструктивизируемая булева алгебра.

3.2. Конструктивность в линейных порядках 199
Доказательство. По предложению 1.6.1 существует линейно
упорядоченный базис L булевой алгебры 93/,, причем 93 = 93/,.
Если 93 В-конструктивизируема, то в силу предложения 3.2.2 базис
L можно выбрать В-конструктивизируемым. Рассмотрим теперь
линейный порядок ш х L, где и — линейный порядок типа нату-
натуральных чисел с естественным порядком. Определим 21(93) как бу-
булеву алгебру Su-xL' Покажем, что 21(93) искомая. Ясно, что и х L
будет В-конструктивизируемым, если L В-конструктивизируем, а
отсюда 21(93) В-конструктивизируема, если 93 конструктивизируе-
ма. Определим отображение <р из 93/, в 21(93)//?, где F — идеал
Фреше булевой алгебры 21(93), положив
здесь
{@,6),
—оо, если S = —оо,
оо, • если S = оо.
Из определения вытекает, что <р сохраняет основные операции буле-
булевых алгебр. Таким образом, if — гомоморфизм из 93/, в 21(93)//«\
Заметим, что элементы 93шх/, вида [(ri, S), (т, 8)[ и только они
будут объединениями конечного числа атомов в 93u,xl, а. элемен-
элементы вида [(n,S),(n+ 1,<S)[ — атомами. Но тогда ЪшХь — атом-
пая булева алгебра, и любой элемент вида [(n,Si), (m, ($г)[ отли-
отличается от [@,<$i), @,<$г)[ лишь на конечное число атомов. В та-
таком случае if отображает 93/, на 93и,х/,//<\ Осталось показать,
что <р — изоморфизм, но это сразу получаем из эквивалентности
(р(а) = 0/р -О а — 0. Единственность 21(93) следует из предложе-
предложения 1.5.2. Сильная В-конструктивность следует из рекурсивности
множества атомов. ?
Теорема 3.2.2. Если 93 — ш-атомная В-конструктивизиру-
емая булева алгебра, то 93 сильно В-конструктивизируема.
Доказательство. Рассмотрим два случая. Если существует
п < и) такое, что ®/Fn+i(93) — одноэлементная булева алгебра,
то 93 — суператомная булева алгебра и 93 изоморфна 93ш»хт, где
т ~- число атомов в булевой алгебре ®/FnE3)i и ®//'*„E3) не
одноэлементна. В таком случае шп х т имеет нумерацию, в кото-

200 3. Конструктивные булевы алгебры
рой множество пар соседних элементов разрешимо и, следовательно,
2$ даже сильно конструктивизируема. Если Ъ/рп(Ъ) Для любого
натурального числа п не одноэлементна, то рассмотрим булеву ал-
алгебру 21B$) из теоремы 3.2.1. В таком случае отображение
где <р — изоморфизм 2$ на 2lB$)/FBlB$))i является изоморфиз-
мом 2$/FwB$) на 0W/FB1B$)))/fw BlB$))/FBl(a$))). Од-
нако отображение
д:21(<8) -* 0W/fB1B$)))/fw
такое, что
Д(а) ^ («/FB1B$)))/fw BlB$))/FBi@$))),
будет гомоморфизмом 21B$) на
Однако FnBlBJ)/irBlBJ))) = Fn+iBlBJ)). Поэтому ядро гомо-
гомоморфизма Д будет в точности FwBlB3)). Тогда 2lB3)/fuB1B3))
и Bt(®)/FBlBJ)))/Fu BlBJ)/FBlBJ))) изоморфны, а поэтому
и булевы алгебры 2l(®)/Fa,BlBJ)) и ®/FuBJ) изоморфны. По-
Поскольку 2$/Fn(f8) не одноэлементна для всех п < ы, ®/FuBJ)
также не одноэлементна. Так как 2lB$)/FBlB$)) изоморфна 2$,
заключаем, что 21B$) и 2$ — w-атомные булевы алгебры. Тогда
(см. упражнение 1.5.3) 2$ и 21B$) изоморфны и 21B$) сильно В-
конструктивизируема (по теореме 3.2.1). Поэтому 2$ сильно 5-конс-
труктивизируема. ?
Следствие 3.2.1. Если суператомная булева алгебра 2$ В-кон-
структивизируема, то она сильно В -конструктивизируема.
Упражнения
1. Доказать, что если и и /i — две автоэквивалентные конструкти-
визации L, то конструктивизации fv и у^ булевой алгебры 2$?
автоэквивалентны.

3.3. Порождающие деревья 201
2. Доказать, что если <р — рекурсивное изоморфное вложение ну-
нумерованного линейного порядка (Lq,i/o) в конструктивный ли-
линейный порядок (Li, i/i), то существует рекурсивное изоморфное
вложение E5lo,7^o) b <®ii.7«'i>-
3. Доказать, что для булевых алгебр *8Ы и 05ЫХ7, существуют кон-
структивизации с неразрешимыми множествами атомов.
4. Доказать, что в сильно конструктивной булевой алгебре @3,1/)
идеал Фреше F(Q3) перечислим.
5. Доказать, что в конструктивной булевой алгебре @3, а>) множе-
множество i/~1(F(*8)) является Е^-множеством, aj/'^AtomlessfOS))
является П^-множеством.
6. Доказать, что суператомная булева алгебра конструктивизируе-
ма тогда и только тогда, когда ее ординальный тип — рекурсив-
рекурсивный ординал.
3.3. Деревья, порождающие конструктивные
булевы алгебры
Конструкция булевой алгебры ОЗд по порождающему ее дереву
D эффективна. В этом параграфе мы применим метод деревьев к ис-
исследованию вопросов существования конструктивизаций и сильных
конструктивизаций, а также зависимости проблемы существования
конструктивизаций от выбранной сигнатуры.
Пусть ОСИ — дерево, a A(D) — множество всех конечных
подмножеств D. Если D — В-перечислимое множество, то в силь-
сильно вычислимой нумерации {"^(п) \ п 6 N} конечных подмножеств
N множество номеров элементов Л(О) В-перечислимо. Рассмотрим
функцию /, перечисляющую все номера элементов из Я(?)). Опре-
Определим нумерацию
всех элементов из 03д. Отметим, что по любому конечному подмно-
подмножеству Я С D конструкция построения для (J Ai канонического

202 3. Конструктивные булевы алгебры
представления Н* по Я эффективна в силу леммы 1.7.1, а канони-
канонические представления для объединения, пересечения и дополнения
могут быть найдены эффективно на базе конструкций леммы 1.7.4.
Ввиду В-перечислимости номеров Л(?>) и эффективности нахожде-
нахождения по номеру множества всех составляющих его элементов заклю-
заключаем, что (©в,!'/) — В-конструктивная булева алгебра. Можно
определить частично В-рекурсивные функции unti такие, что
(Vn)(n€U=>i//(ti(n)) = 4,), (Vn)(i/,(n) = (J At),
т. е. можно эффективно относительно В по элементу п ? D найти
i/f-номер соответствующего ему элемента Л„ булевой алгебры *Вв,
а по i/f-номеру п — 7-номер конечного подмножества К С D, ко-
которое определяет элемент vj(n) ? 2$?>. Таким образом, доказана
следующая теорема.
Теорема 3.3.1. Если D — В-перечислимое дерево, то суще-
существует В-конструктивизация v булевой алгебры Ъо и две ¦ча-
¦частично В-рекурсивные функции и и v такие, что
l)(Vn)(n€D=»i/(u(n)) = An),
2)(Vn)(i/n= U Ai), .
i€-y(«(n))
причем если и и ц — две В-конструктивизации с вышеперечи-
вышеперечисленными свойствами, то существует В-рекурсивная функция
g такая, что и = цд, т. е. и и ц В-рекурсивно эквивалентны.
Последнее свойство В-рекурсивной эквивалентности следует из
конструкции функции д: для п мы берем множество с 7-номером
v(n), а по элементам г" ? *j(v(n)) находим /j-номера элементов А,-
с помощью функции и. Построив номер для объединения всех этих
элементов, мы получим уже значение функции д на п.
Конструктивизацию из теоремы 3.3.1 будем обозначать uq и на-
называть конструктивизацией, построенной по дереву D.
Следующий вопрос — это вопрос об универсальности нашей кон-
конструкции по рекурсивно В-перечислимому дереву В-конструктивной
булевой алгебры B$?> ,vd)- Полный ответ дает

3.3. Порождающие деревья 203
Теорема 3.3.2. Для любой В-конструктивной булевой алгебры
существует рекурсивно В-перечислимое дерево D такое, что бу-
булевы алгебры @3,1>») и @3 d, I'd) В-изоморфны.
Доказательство. Требуется лишь проверить ^-эффективность
конструкции порождающего дерева (D, <р) для счетной булевой ал-
алгебры в теореме 1.7.1. Более точно, взяв в качестве перечисле-
перечисления элементов 03 последовательность &о ^ f0, &i ±=; г/1, &2 ±=;
1/2 .. ., построим рекурсивно В-перечислимое дерево D и частично
В-рекурсивную функцию / такую, что (D, ip), где ip — vf, — дере-
дерево, порождающее 03. С помощью функций и и v для up, построим
В-рекурсивную функцию g и изоморфизм
Н U Ai) - V и№
i€H i€H
булевой алгебры Ъо на булеву алгебру 03 такие, что фA/о(п)) =
vg{n). Это означает, что @3, и) и @3р, vp) В-изоморфны. ?
Будем говорить, что (D, /) — В-дерево, порождающее В-конст-
руктивную булеву алгебру @3, v), если f:D—tN — частично В-
рекурсивная функция и (D,vf) — дерево, порождающие 03. Как
было доказано выше, такое порождающее В-дерево существует для
любой В-конструктивной булевой алгебры.
Любую В-конструктивную булеву алгебру @3, v) можно В-изо-
морфно вложить в безатомную конструктивную булеву алгебру @3и,
!/&•). Действительно, так как @3,?/) В-изоморфна @3o,i/o), доста-
достаточно построить В-изоморфизм из (Ър,ир) в @3n,?a$). Возьмем
тождественное вложение id: ОЗд —> ОЗр,- и В-рекурсивную функцию
g так, что значение д(п) ищется следующим образом: для п с помо-
помощью функции vp находим 7-номер некоторого представления vp(n)
в порождающем дереве, а затем по г Е vp(n) находим i/fj-номер А{.
В качестве д(п) берем номер объединения
(J "n(un(i))-
Можно достичь большего, вложив @3, и) в (ОЗк, ищ) так, что образ
03 в 03fj будет В-рекурсивным, но это требует более тонкой кон-
конструкции.

204 3. Конструктивные булевы алгебры
Лемма 3.3.1. Для любой В-рекурсивной булевой алгебры 21 су-
существует В-вычислимая последовательность {2li},gN конечных
подалгебр такая, что U21,- = 21, 2l<+i = gr(St,- U {а»}), где а,- —
атом в 21,+1.
Доказательство. Определим 21о = {0,1}. В дальнейшем бу-
будем считать, что числа 0 и 1 являются соответственно нулем и
единицей в каждой рассматриваемой рекурсивной булевой алгебре.
Пусть 21,- уже построена. Рассмотрим наименьший в N элемент
к 6 21, который не принадлежит подалгебре 21< и такой, что су-
существует наименьший в N атом 6 6 21< такой, что b Л к ф 0,
Ь Л С(к) ф 0. Пусть 2l<+i = grBl,- U {Ь Л Jfe}) — подалгебра 21,
порожденная элементами 2ij U {Ь Л к]. Нетрудно проверить, что
построенная таким образом последовательность удовлетворяет тре-
требуемым условиям. D
Теорема 3.3.3. Для любой В-конструктивной булевой алгебры
(В,»/) существует изоморфизм ф из Ъ в <Вц и В-рекурсивная
функция f такие, что ф(*В) В-рекурсивно и фи =
Доказательство. Без ограничения общности можно считать,
что v — однозначная нумерация. Мы воспользуемся тем простым
фактом, что множество, которое перечисляется монотонной Б-реку-
рсивной функцией, будет В-рекурсивным. Построение искомого изо-
изоморфизма состоит в конструировании по шагам определяющей его
5-рекурсивной функции /. На шаге t + 1 определяем аппроксима-
аппроксимацию /t+1 функции / так, что U /' = /, и характеристическую
функцию х образа булевой алгебры Ъ в *Вц в точке t; ft+1 опре-
определено в точности на номерах элементов подалгебры !В' булевой
алгебры 2$, порожденной элементами {i/О,... , v(t)}, ax — на. ша-
шаге t для п < t. Ясно, что атомами этой подалгебры будут ненулевые
элементы вида I/O'0 Л i>?1 Л ... Л vte*, где е,- 6 {0,1} и а0 *=; С(а),
а1 ^ а.
Шаг 0. Пусть по, п\, то, mi — числа такие, что vna = О,
= 1, vn(mo) = 0, vn(mi) = 1. Определим /°(по) = то,
. . i_ 11, если j/nO = 1 или j/nO = О,
~" | 0 в противном случае,

3.3. Порождающие деревья 205
а на остальных значениях /° и \ не определены.
Шаг t + 1. Пусть ао,... ,ап — номера всех атомов подал-
подалгебры 93' алгебры 93, порожденной элементами {vO,... ,v(t)}, и
6о *=? /'(ао),--- ,6п = /Ча")- По индуктивному предположению
отображение V1' *=; Щри задает изоморфизм подалгебры 93' в
93pj- Для m такого, что х{т) = 1, элемент i/m принадлежит V1'C5*)
и для всех т < t таких, что щ(т) принадлежит *0*(S8*), значе-
значение х равно 1. Для каждого г ^ п, удовлетворяющего условиям
vai Л i/(<) ф 0, i/ai Л C(i/<) ф 0, находим номера 2,- ненулевых
элементов такие, что ujf(zi) не принадлежит подалгебре 33pj, поро-
порожденной элементами
{щЬ0,... , 1/цЬп} U {ицк | х(Л) = 0 к к ^ <}, i/Nz,- < i/N6,-.
Для j ^ п, подчиненных условию i/a,- ^ C(v(t)), берем в качестве
2,- i/pj-номер нуля в 33pj, и 2,- = 6,- для i/a,- ^ i/(<). Теперь ненуле-
ненулевые элементы вида vai A ft и i/a,\i/(<) являются атомами булевой
алгебры Bt+1, порожденной элементами {иО,... ,vt}. Определив
¦фь+х на атомах,
ipt+:(i>ai Л vt) =
$t+1{vai Л C(i/<)) \
доопределим фь+1 до изоморфизма подалгебры 33t+1 в ЗЗк, кото-
который продолжает ф1. Для n € i/~1(Q3t+1) в качестве /t+1(n) возь-
возьмем наименьший номер элемента
\J vszi \J \J vtibi
где К !=z {г \ vai Л vt ^ i/n}, L i=; {i | i/a,- Л C(vt) ^ i/n}.
Нетрудно видеть, что rj)t+l = v^ft+1v~1. Полагаем \(t) = li если
{) € ^г+1(®'+1)> и х@ = 0 в противном случае.
Определив / = |J /', можно проверить, что ф ?
изоморфное вложение 05 в 55pj их — характеристическая функция
1
Воспользовавшись техникой деревьев, изучим вопрос о связи кон-
структивизируемости булевых алгебр в различных сигнатурах. За-
Заметим, что сильная конструктивность булевых алгебр не зависит от
выбора сигнатуры, так как основные операции и предикаты этих сиг-

206 3. Конструктивные булевы алгебры
натур могут быть формульно выражены друг через друга. В сигна-
сигнатурах (Л2, V2, С1,0,1) и (+, •,0,1) основные операции выразимы
друг через друга с помощью термов. Поэтому конструктивность ал-
алгебры не зависит от выбора сигнатуры. Ситуация меняется, если мы
рассматриваем булеву алгебру в сигнатуре булевых решеток. Так
как х ^.у тогда и только тогда, когда х А у = х, конструктивность
булевой решетки следует из ее конструктивности как булевой алге-
алгебры. Ниже будет показано, что обратное утверждение неверно. Од-
Однако если мы не фиксируем нумерацию, то, как доказал Дзгоев [33],
проблема существования эквивалентна для различных сигнатур.
Теорема 3.3.4. Для любой булевой алгебры 23 эквивалентны
следующие условия:
(a) 23 конструктивизируема,
(b) булево кольцо ЯB3) конструктивизируемо,
(c) булева решетка ?B3) конструктивизируема.
Доказательство. Импликации (а)=>(Ь) и (Ь)=>(с) следуют из
вышеприведенных рассуждений. Для доказательства (с)=>(а) по-
построим по конструктивизации v булевой решетки ?B3) с бесконеч-
бесконечным числом атомов рекурсивно перечислимое дерево D такое, что
23д — 23. В силу теоремы 3.3.1 и конструктивизируемости буле-
булевой алгебры с конечным числом атомов этого достаточно для за-
завершения доказательства. Мы будем строить по шагам строго вы-
вычислимую последовательность конечных деревьев {-D'Jt^o, функ-
функцию Xtn(t), поддеревья Dk и подмножества их концевых вершин
S?, k ^ n(t), а также функции ф1: О*п,^ -> N такие, что D = UD*.
Наша цель состоит в том, чтобы по конструктивной булевой решет-
решетке ?B3) в сигнатуре (^) определить дерево D* = lim Dl ,,¦. и
функцию ф* = v lim фь так, что (D*, ф*) является порождающим
t-ЮО
деревом для булевой алгебры 23, D Э D", и 23д« является подал-
подалгеброй 23о, где
23D = gr{23D. U {е? | "v^ е? = а, е? Л е] = О,1ф j,
а — атом 23д.}}.

3.3. Порождающие деревья 207
По предложению 1.7.2 булева алгебра Ъо изоморфна булевой ал-
алгебре 05в>, которая изоморфна (см. теорему 1.7.2) *В. Согласно
построению имеем
Dt0CD\C...CDtn{t)CDt,
Мы стремимся, чтобы при достаточно больших t для любых п ? D\.
и к < п(<) выполнялись условия
iV(n) Л iV(S(n)) =0,
1/^(п)У1/^E(п)) = 1/^(Я(п)),
i/A = \/ "?>'(*)¦
Для этого будем добиваться, чтобы при любом t для к < п(<) вы-
выполнялись следующие два условия.
Если а ? S?, то не существует m ^ t + 1 такого, что ь><р*(а) <
i/m, i/m ^ 1/<р1(Н(а)), vm ^ i/A. Если а — концевая вершина
D[+l и а <$. Si, то не существует m ^ t+1 такого, что vm ^ i/A,
i/m ^i/аи vm ф 0.
Если а — концевая вершина дерева 1>?+1, то не существует m ^
t +1 такого, что i/m ^ ^V^a) & vm ^ i/<^'E(a)) & i/m ф 0 или
tS(a)) ^ vm&cvm < v(pt(H(a)).
Условие (Tj?) аппроксимирует свойство i/yi'(a) = 1/А
для a G 5[ и vtp^a) Avk = 0 для концевой вершины дерева 1>?+1,
не принадлежащей S?, т. е. аппроксимирует свойство выбора точ-
точной нижней грани vk Л 1/<^'(Я(а)).
Условие (Dj.) аппроксимирует свойство
vip'ia) V viff{S{a)) = v<pl(H(a)), v^{a) Л viff{S{a)) = 0,
т. е. аппроксимирует выбор дополнения элемента v(fit(a) под эле-
элементом v<pt(H(a)) для концевой вершины дерева D[+i.
Выберем а, 6 6 N так, что va = 0 и vb = 1.
Шаг 0. Определим ?>g ^ {0}, <?°@) ^ 6, п@) ^ О, D° ^ Dg.

208 3. Конструктивные булевы алгебры
Шаг t + 1. Находим наибольшее п ^ n(t) такое, что выполнены
условия (Тк) и (Dk) для к < п. Определим множества
i=i {s j up*(s) ^ un, s — концевая вершина Dln
или существует число т ^ t + 1 такое, что
vm ф 0, vy>1 (H(s)) ^ vn, vm ^ t/^'{H{s)), vm ^ t/n,
Я(«) — концевая вершина Dln и s = L#(s)}},
и, положив n(< + 1) = n + 1,
Dl для m ^ n, ?»f+1 tu Db U
Остается определить функцию tpt+1: D^\\ -> N. При т ? пгп по-
полагаем tpt+1(m) t=; рг(т) и при т G 5^+1\Dj, полагаем ^f+1(m)
равным наименьшему к ^ < + 1 такому, что ipk ^ и<рг(Н(т)) и
1/Ц i/n и нет / ^ t + 1 такого, что t/A; < t//, vl ^ ^^Ч^(т))
и t// ^ t/n. Для т G {5(a) | a G 5^+1}\Dj, требуется най-
найти наименьшее к ? N такое, что vk ^ i/^f(^(m)), нет числа
/ ^ t + 1 такого, что ь</ ф Okul ^ vkkvl ^ vytS^m) или
t/it ^ 1//&1/^'+1(^(т)) < W&i// < иф\Н(т)), а затем поло-
положить ipt+1(m), равным к. После этого переходим к следующему
шагу.
Покажем, что указанная конструкция удовлетворяет всем требу-
требуемым условиям. Для этого докажем несколько ее вспомогательных
свойств.
(I) Для любых х,у ? D*n и п < n(t) если х -< у, то 1/(р1(х) <
B) Если к < n(t) для всех t ^ to, то
(a) D{ = Dlk° uD0 = ?>о° для любых t~?t0,
(b) <р* Г Df = ^to Г Df для любых t^t0,
(c) Dlk+l = Dkl) {L(s), R(s) \ s ? An s ? Dk} для некоторого
множества А,
(d) iV(?(s))ViV(i?(s)) = tV(s) " v^{Lis^Auip^Ris)) = 0
5лл любых s таких, что L(s) ? ?)?,

3.3. Порождающие деревья 209
(е) если L(s) — концевая вершина Dk и L(s\ ^ Dtk_l, то
v(pto{L(s)) = i/<pto(s) Л v(k - 1),
, R(s) | i/V'"(e) <? i/(* - 1)
iV°(s) Л i/(jfe-1)^0}.
Утверждения устанавливаются индукцией по t непосредственно
из построения.
C) Для любого т существует Т такое, что для всех t ^ T зна-
значение n(t) не меньше т.
Доказательство проведем от противного. Пусть утверждение не-
неверно. Рассмотрим наименьшее т, при котором оно нарушается.
Ясно, что т > 0. Следовательно, существует Т такое, что для
всех t ^ Т значение n(t) не меньше m — 1, и существует бес-
бесконечно много t, при которых n(t) совпадает сга-1. В этом
случае для всех к < m — 1 при t ^ Т выполнены условия (Т?)
и (Dl). Однако из неравенства к < m — l&m — l^ n(t) для
t ^ Т следует, что ?)? = D\ для t ^ T и у>' на ?>? после шага
Т не изменяется. Рассмотрим дерево D^l_1 и все его концевые
вершины по, ... ,ап. Пусть
vyi = v(m - 1) Л v<pT(ai), vzi — C(v(m — 1)) Л vipT{a,i).
Рассмотрим шаг t ^ Т такой, что t ^ max({j/j | i ^ n} U {г,- |
i ^ п}), n(t) = m — 1. Тогда на шаге t + 1
m - 1), i/V*(a,-) Л i/(m - 1) # 0}
- 1)},
Для a,- такого, что v<pT(a.i) ^ i^(m — 1), vipT{a,i) Л i^(m — 1) ф
0, y>t+1, как видно будет из конструкции, определено так, что
i>ipt+l(L(ai)) — vyi, а vtpt+l(R(a.i)) — vz{. 'Применяя индук-
индукцию, ДЛЯ ЛЮбоГО S ^ t + 1 ПОЛУЧИМ, ЧТО УСЛОВИЯ (Tfc) И (Dfc)
для к ^ m — 1 будут выполняться, но тогда n(s) ^ m для всех
s ^ t + 1, что противоречит предположению.

210 3. Конструктивные булевы алгебры
D) Для к G N существуют конечное дерево
Dk = lim Di, Do С Dx С ... С Dk С ... ,
t-t-oo _ _ — —
и функция ip = lim ip* такие, что tp: D* —? N, D* = [J
t-ЮО
и (D" , vip) — дерево, порождающее 03.
fe>o
Доказательство получается из вышеприведенных утверждений,
так как каждый элемент ик представим в виде объединения эле-
элементов из v(p(Dk+\), а для элементов vtp(Dk+i) и vip выполне-
выполнены все требуемые соотношения.
E) Для любого концевого элемента а 6 D* существует лишь
конечное число элементов D = [J D1, лежащих ниже а.
Действительно, рассмотрим число А; и шаг to, после которого
oeflj, n(t0) = к, а значение АШ{,, тг ^ А;, и \tipl \ D\ не
изменяется. Тогда а — концевой элемент ?)?°, так как Dk =
?)?°, a D* Э Dk и а — концевой элемент D*. Поскольку дерево
(D*,v(p) порождает 55, заключаем, что и(р(а) — атом булевой
алгебры. Поэтому после шага to не найдется элемента s такого,
что 0 < u(s) < v(p(a). Теперь по индукции легко показать, что
для всех i)fon n(t) ^ п ^ к элемент а концевой в Dln. Но в
таком случае после шага to ни на каком шаге t в множества Dln
не попадают элементы, лежащие ниже а. Следовательно, после
шага to в Dt+l = Dl UD^t* > не попадают элементы, лежащие
под а, кроме тех, которые уже попали в Dto.
На основании A)-D) получаем
где Т — множество концевых вершин в D* и е\,... , е°п — попарно
непересекающиеся элементы ОЗд такие, что У е" = Аа. На осно-
вании предложения 1.7.2 заключаем, что ОЗд и Q3d« — изоморфные
булевы алгебры, а так как D — рекурсивно перечислимое дерево,
по теореме 3.3.1 03 — конструктивная булева алгебра. ?

3.3. Порождающие деревья 211
Упражнения
1. Для булевых алгебр 58Ш«, 2$(ш+п)хт) и 2$(ш+|,)хт) построить по-
порождающие деревья.
2. Доказать, что существует конструктивизация 58ц,, в которой ре-
рекурсивны только главные ультрафильтры.
3 Доказать, что суператомная алгебра Ершова 58 конструктивизи-
конструктивизируема тогда и только тогда, когда ее ординальный тип оE8) —
рекурсивный ординал [63].
4. Доказать, что булева алгебра 58 имеет конструктивизацию, в ко-
которой рекурсивны все ультрафильтры, тогда и только тогда, ко-
когда 58 суператомная и конструктивизируемая.
5. Доказать, что атомная булева алгебра 58 сильно конструктиви-
конструктивизируема тогда и только тогда, когда существует ее конструкти-
конструктивизация с разрешимым множеством атомов. [92].
6. Используя технику деревьев, доказать, что атомная булева ал-
алгебра 58 сильно конструктивизируема, если ее фактор-алгебра
по фильтру Фреше конструктивизируема.
7. Доказать, что атомная булева алгебра 58 сильно конструктивизи-
конструктивизируема, если существует ее конструктивизация и, в которой идеал
Фреше имеет сложность Д° относительно арифметической ие-
иерархии [34].
8. Доказать, что ультрафильтр в конструктивной булевой алгебре
перечислим тогда и только тогда, когда он разрешим.
9. Конструктивная булева алгебра E8, v) и ее конструктивизация
v называются эффективно атомной, если существует рекурсив-
рекурсивная функция f(n, m) такая, что для любых пит
(с)существует lim f(n,m), nu lim f(n.m)—атом булевой
т-юо т-юо
алгебры 58.
Доказать, что любая конструктивизация булевой алгебры 58W
эффективно атомна [64].

212 Глава 3. Конструктивные булевы алгебры
10. Доказать, что для любой конструктивизируемой бесконечной
атомной булевой алгебры существует эффективно атомная кон-
структивизация [64, 65].
11. Для Ъшг, Ъшул построить не эффективно атомные конструкти-
визации.
12. Доказать, что любая бесконечная конструктивизируемая булева
алгебра имеет конструктивное собственное элементарное расши-
расширение.
13. Доказать, что конструктивная булева алгебра, содержащая без-
безатомный элемент, имеет неконструктивизируемую группу рекур-
рекурсивных автоморфизмов [130].
14. Доказать, что группа всех рекурсивных автоморфизмов констру-
конструктивной бесконечной атомной булевой алгебры не конструктиви-
зируема [130, 143].
15. Доказать, что любая бесконечная сильно конструктивизируемая
булева алгебра имеет конструктивизацию такую, что любой ре-
рекурсивный автоморфизм передвигает лишь конечное число ато-
атомов [131].
3.4. Разрешимые булевы алгебры
При изучении теоретико-модельных свойств разрешимых теорий
понятие сильно конструктивной модели (Wt, и) наиболее естественно
для эффективно заданной модели. Модель Ш называется разреши-
разрешимой, если существует ее нумерация и такая, что (Ш,1/) — силь-
сильно конструктивная модель. Далее при рассмотрении разрешимой
модели предполагаем, что зафиксирована ее сильная конструкти-
визация. Сначала мы приведем некоторые общие факты о силь-
сильно конструктивных моделях, а затем перейдем к вопросам разре-
разрешимости алгоритмических свойств сильных конструктивизаций. В
этом параграфе мы рассмотрим проблемы, связанные с существо-
существованием разрешимых моделей, в частности булевых алгебр, с задан-
заданными теоретико-модельными свойствами. Легко видеть, что теория

3.4. Разрешимые булевы алгебры 213
Th(?Dt) разрешимой модели ?Dt разрешима. Верно также обратное
утверждение, которое может рассматриваться как конструктивный
аналог теоремы о существовании моделей непротиворечивых теорий.
Теорема 3.4.1 [о существовании разрешимых моделей]. Любая
разрешимая теория имеет разрешимую модель.
Если некоторый тип p(xi,... ,хп) реализуется в разрешимой
модели, то он разрешим, т. е. существует алгоритм, который для
любой формулы ip[x\,... ,х„) определяет: принадлежит ли эта
формула p(xi,... , хп). Следовательно, любой неразрешимый тип
опускается в любой разрешимой модели. По теореме 3.4.1 любой
разрешимый тип может быть реализован в некоторой разрешимой
модели.
Теорема 3.4.2 [об опускании разрешимых типов]. Если Т — раз-
разрешимая теория и {pifii) \ i ? N} — вычислимое семейство
разрешимых неглавных типов, то существует разрешимая мо-
модель теории Т, опускающая все типы р,(г,), i ? N.
Теоремы 3.4.1 и 3.4.2 доказываются построением по шагам тео-
теории Хенкина с требуемыми свойствами. Мы расширяем сигнатуру
новыми константами Со, с\,... , с&,... и строим по шагам конечные
куски Vх теории Хенкина, добавляя на четных шагах <р или ""ip так,
чтобы не нарушить совместность с Т. Условие совместности прове-
проверяется эффективно в силу разрешимости теории Т. Если добавля-
добавляется формула <р вида (Зу)ф(у), то берется еще не использованная
константа с& и добавляется также формула ф(ск), что не нарушает
совместности. На нечетных шагах для каждых типа рх-(х) и набора
констант с находится <р(г) ? Pi(x) такое, что ~V(c) совместно с ра-
ранее построенной частью V1 и добавляется в Vх. Получаем V = \JDX
совместное с Т. Таким образом, получаем теорию Хенкина и постро-
построенная по ней модель Хенкина Шт будет искомой. Модель разреши-
разрешима, так как для каждого предложения ip можно рассмотреть тот
шаг, на котором добавляется f или "'^и определить, что истинно
на Шт
Из конструкции получаем следующее утверждение.
Следствие 3.4.1. Если Т{ — вычислимое семейство полных раз-
разрешимых теорий, то существует вычислимая последователь-

214 Глава 3. Конструктивные булевы алгебры
ностпъ сильно конструктивных моделей (9ЛП, "п) такая, что 9Л„
Как показано в гл. 2, семейство типов SVm, реализующихся в
однородной модели, вместе с условием однородности, однозначно с
точностью до изоморфизма определяют такую счетную однородную
модель. В связи с этим естественно попытаться найти условия ее
разрешимости на языке типов, реализующихся в однородной модели.
Прежде всего отметим следующее простое условие.
Предложение 3.4.1. Если 9Я — разрешимая модель, то семей-
семейство типов San, реализующихся в 9Я, вычислимо.
Доказательство. Взяв любую сильную конструктивизацию мо-
модели 9Л и перечисляя все конечные наборы номеров элементов п =
(«о, • • • , "*), определим тип рк{хо,... , х*), состоящий из формул,
истинных на элементах с заданными номерами. Тем самым мы опре-
определим вычислимое семейство типов из Sgn- П
Приведенное условие является необходимым, но в общем случае
оно не будет достаточным для разрешимости. Рассмотрим вычи-
вычислимую главную нумерацию всех частичных перечислимых типов
Po(xo),Pi(xi) совместных с разрешимой теорией Г такую, что
по номеру п можно вычислить набор переменных х„ частичного ти-
типа с номером п, построенный в 3.1.
Семейство типов S называется вычислимым семейством с эф-
эффективным расширением, если оно вычислимо и существует ча-
частично рекурсивная функция R(n, т) такая, что если тип pn(xn) G
S и формула <рт (х„, х) с гёделевым номером m совместны, то опре-
определено R(n,т) ирд(„1т) Э р„, рд(„,т) G Sutpm(xn,x) G Рщп,т)-
Вез ограничения общности считаем, что для вычислимого семей-
семейства S с эффективным расширением существует рекурсивно пере-
перечислимое множество W такое, что S = {р„ | п G W} и для любого
п G W и m такого, что <рт совместно с р„, значение R(n, m) при-
принадлежит W.
Теорема 3.4.3 [критерий Гончарова — Перетятькина о разреши-
разрешимости однородных моделей]. Счетная однородная модель 9Л с се-
семейством типов Sm, реализующихся в ЯЛ, разрешима тогда и
только тогда, когда Sgn — вычислимое семейство типов с эф-
эффективным расширением.

3.4. Разрешимые булевы алгебры 215
Доказательство. Если 971 — разрешимая однородная модель,
то Sm — вычислимое семейство типов по предложению 3.4.1 Дока-
Докажем эффективность расширений. Определим по шагам тип
dc(n,m)(xn,x) = Ш*(хп,х).
На каждом шаге t + 1 находим наименьший набор элементов тп
такой, что часть ргп типа р„, вычисленная к шагу t, истинна на нем.
Рассмотрим конъюнкцию &,dt+l (х~п,х~)&,(рт('хП1'х). Если формула
Ci)(&dt+1 (яп, я)&у>т(а:п, я)) принадлежит pj,, то находим наи-
наименьший набор номеров т такой, что на наборе элементов с номера-
номерами Шп, т выполняется эта формула. Рассмотрим формулу <р(х~„, я)
с наименьшим номером такую, что она не принадлежит еще d* и
выполнена на наборе элементов с номерами (т„,т). Если фор-
формула (Зх)(Ы1{хп,х)к,<рт(хп,х)к,р(хп,х)) принадлежитр„{х„),
то добавляем <р(х„,х) к с?4 и переходим к следующему шагу, ина-
иначе полагаем dt+1 = dl. Очевидно, что таким образом мы получим
вычислимую последовательность частичных типов. Ввиду универ-
универсальности рп найдется рекурсивная функция а(п,т) такая, что
dc(nm) = pa(n,m), n,m G N. Легко заметить, что а обладает тре-
требуемыми свойствами.
Доказательство достаточности несколько сложнее. Будем стро-
строить теорию Хенкина Т) в расширении сигнатуры а теории Т новыми
константными символами со, с\,... , с„,... так, что выполняются
следующие условия на типы:
A) для любого типа р(х) из 5 существует набор констант с такой,
что р(с) С V,
B) для любого набора констант с существует тип р(х) из S такой,
что р(с) С V,
C) для любых типов р(х) и q(x, у) из S и набора констант с, если
р(х) С q(x, у) и р(с) С V, то найдется константа с такая, что
q{c, с) С V.
В силу A) и B) все типы из S (и только они) реализуются в
модели Хенкина ЗЛр теории V. В силу C) имеет место однород-
однородность Ш-р в сигнатуре а. Кроме того, из C) следует A). Таким
образом, для построения достаточно выполнения условий B) и C).
Рассмотрим перечисление всех типов

216 Глава 3. Конструктивные булевы алгебры
из 5, где W = {sq, si,S2, . ¦ ¦} — рекурсивно перечислимое множе-
множество. Построим по нему две вычислимые последовательности
До(со),... ,Д„(с„) T0(c'0,v),... ,Tn(c'n)v),...
такие, что
— каждый элемент Д„ получается из подходящего psk подстанов-
подстановкой вместо переменных х'к некоторого набора констант с„, кото-
которые по п находятся эффективно,
— для любого р>п{х'п) и набора констант с' той же длины, что и а^,,
существует к такое, что Д& = [р»»(^п)]г'"> причем к находится
эффективно по sn и с',
— для любого элемента Tn(??n,v) существует тип p«fc(S^) такой,
что число переменных в наборе г? равно числу констант в наборе
с'п плюс единица и Г„ есть результат замены первой переменной
на и и остальных переменных — на соответствующе константы
из cj,, причем S/, находится по п эффективно,
— для любых типа р,а (х'п) ст+1 переменной и набора констант-
константных символов с из т элементов эффективно находится к такое,
что Тк(с, v) получается изр,п(г^) подстановкой и вместо первой
переменной и соответствующих констант из с вместо остальных
переменных.
Через Дд и Го будем обозначать части этих множеств, вычи-
вычисленные к шагу t. Предположим также, что До — тип без констант,
равный Т. На каждом шаге t определяется конечная часть теории
Хенкина V1 и конечный набор типов
До.Г,A14), ДтA,о Г,(*DI4), Дт(к@,Ф
а также набор константных символов Cd(\,t) c<i(k(t),t)> которые
будут использоваться для подстановки вместо переменной v в соот-
соответствующий тип r,(lit),... , r,(fc(t)|t).
Последовательность множеств формул pm,(ci),... ,ртк{ск), ко-
которые получаются из типов из S подстановкой наборов соответству-
соответствующих констант, называется t-совместпной, если для любых i ^ к и
формулы <р(с) G plm. формула у>(с,) f Cj, полученная из у>(с,) заме-
заменой всех константных символов из с,-, но не лежащих в су, новыми

3.4. Разрешимые булевы алгебры 217
переменными ж и навешиванием после этого на них кванторов суще-
существования, принадлежитpmy(cj), j ф i. Таким образом определен-
определенные формулы <p(ci) \ Cj будем называть 3-ограни\ением формулы
<р на множество констант с,, а формулу, полученную лишь заменой
переменных без навешивания кванторов, — просто ограничением и
обозначать <р(с{) \ Cj,~x. В силу полноты типов и вычислимости
семейства 5 условие ^-совместности эффективно проверяется.
На каждом шаге выполняются следующие условия:
— V1 совместно с Т,
— последовательность
А0, [Г»A,0]с„A.() > Am(l,t)> ¦ • • ' fr»(*(«).O]cd(k(,M). Am(fc(t),0
^-совместна, а каждое Am(»,«) содержит вычисленные к шагу t
части предыдущих множеств из этой последовательности,
— для конъюнкции &Р* формул из Т>ь и любого типа из этой по-
последовательности 3-ограничение этой формулы &Р* \ с на соот-
соответствующий этому?? типу набор констант принадлежит этому
же типу.
Шаг 0. Определим V0 = 0. Последовательность состоит лишь
из одного типа До.
Шаг t + 1. Находим s ~? t такое, что выполнено одно из следу-
следующих условий:
A) существуют i > s(k(t),t) и новая константа с^, не входящая в
формулы из Т>1 и формулы рассмотренных типов такая, что доба-
добавив к нашей последовательности тип [Fj]%k получаем s-совмест-
ную последовательность для некоторого j, s(k(t), г) < j < г,
B) последовательность типов, построенная на шаге t не s-совместна.
Если выполнено A), то полагаем k(t + 1) = k(j) + 1. Добавив
[Fj]Jt для наименьшего j с требуемым условием s-совместимости
к нашей последовательности, получим s-совместную последователь-
последовательность. Поэтому 3-ограничения формул на соответствующие кон-
константы из V1 лежат в этом типе. Кроме того, выполняются следу-
следующие условия:

218 Глава 3. Конструктивные булевы алгебры
C) существует наименьшее т' такое, что Дт< содержит все форму-
формулы, вычисленные к шагу t + 1 для членов нашей последователь-
последовательности и типа [Tj]"k,
D) 3-ограничение конъюнкции формул из Т>* на множество кон-
констант из типа Дт< принадлежит Дт<,
E) тип Дт обладает теми же свойствами, что и тип Дт< и получен
следующим образом: из типа Дт< заменой констант на перемен-
переменные получаем тип рт"{хк) из S, в конъюнкции icV* заменяем
константы из Дт< на ж*, а остальные — на х и берем гёделев
номер этой формулы /.
Применив теперь функцию эффективного расширения R, полу-
получим тип рщт",1)(як> *), в котором заменяем переменные констан-
константами и получаем Дт. Легко видеть, что 3-ограничение icVb для
Дт не изменяет эту конъюнкцию.
Полагаем s(k(t)+ l,t+I) = г, m(k(t) + l,t + 1) = m, d(k(t +
l),t + l)=k, d(j,t + l) = d(j,t) s(j,t + l) = s(j,t) и m(j,t + l) =
m(j,t), j ^ k(t).
Таким образом, мы расширили последовательность. Рассмотрим
теперь предложение (р с наименьшим номером такое, что (р ? V* и
~"<р (? Vх. Полагаем <ро ^ <рк.к.Т>* и^ ^ ~*(р&,Ш)г. Если для
любого типа из нашей последовательности 3-ограничение формулы
ip€ принадлежит этому типу, то при е = 0 добавим к V1 предложе-
предложение tp, а если е = 1, то добавим "V. Если добавляется предложение
(р вида (Зу)^(у), то рассмотрим первую константу сГ) не использо-
использованную в формулах Vt и в последовательностях констант из наших
типов, и добавим ф(сг) к V1. Если выполнено B), то рассмотрим
максимальную часть вида
которая (t + 1)-совместна. В этом случае полагаем k(t + 1) = s,
s(j,t + 1) = s(j,t), d(j,t + 1) = d(j,t) и m(j,t + 1) = m(j,t),
Нетрудно проверить, что lim k(t) = oo. Это означает, что по-
t—too
следовательность рассмотренных типов стабилизируется и стабили-
стабилизирующаяся часть их возрастает. Следовательно, \}Vl — теория
t
Хенкина и она удовлетворяет условиям B) и C) на типы. ?

3.4. Разрешимые булевы алгебры 219
Следствие 3.4.2 [критерий Морли разрешимости счетной насы-
насыщенной модели]. Счетная насыщенная модель разрешимой теории
Т разрешима тогда и только тогда, когда семейство всех типов
теории Т вычислимо.
Доказательство. Поскольку счетная насыщенная модель од-
однородна, достаточно заметить, что условие эффективности расши-
расширения выполняется также для случая вычислимости семейства всех
типов.
Рассмотрим тип рп(х) и формулу <р(х, у) с номером т. Опреде-
Определим следующую процедуру построения нового типа dc(m,n)-
Шаг 0. Полагаем daclmn) = 0.
Шаг t + 1. Рассмотрим конъюнкцию Ikd^, ,&ар(х,у). За-
Замкнув ее кванторами существования по переменным из у, проверим
лежит ли Cy)(&4(m n) k<p(x, у)) в р*п(х). Если нет, то 4(~т,„) =
0. Если да, то рассматриваем наименьший гёделев номер т форму-
формулы вида ф{х,у) такой, что ф ? <Р. > и "'ф ? <Р, >. Проверяем
следующие условия:
(Зу)(Ь<?е{т1п)Ьр(х,у)Ьф(х,у)) epj,(x), C.4.1)
{т1П)кф,у)Ь^ф(х,у))€рьп(х). C.4.2)
Если выполнено C.4.1), полагаем dff^ > = <Рс/тп\ U {ф}. Если
C.4.1) не выполнено, но верно C.4.2), то полагаем <^tj, „\ = Q, nvU
{~*ф}- Если же оба условия не выполнены, то ничего не меняем:
cfmn) ~ ^(mn)- Очевидно, что таким образом получаем вы-
вычислимую последовательность частичных типов. При этом, если
рп € St и у(х, у) совместна с р„, то строится полный тип, ко-
которым является совместным с теорией Т и потому лежащий в 5т,
где 5т — семейство всех разрешимых типов совместных с теорией Т.
Взяв функцию а(тп, п), сводящую построенную последовательность
к {рп I n € N}, получаем расширяющую функцию. ?
Следствие 3.4.3 [критерий Гончарова—Харингтона о разрешимо-
разрешимости простой модели]. Простая модель разрешимой теории Т раз-
разрешима тогда и только тогда, когда семейство главных типов
теории Т вычислимо.

220 Глава 3. Конструктивные булевы алгебры
Доказательство. Требуется проверить условия эффективности
расширения для семейства главных типов.
Пусть р,0(х0),... ,р»„(гп),... — перечисление всех главных
типов. Рассмотрим для типар„(х) и формулы ip(x, у) с номером т
следующую процедуру.
Шаг 0. Полагаем d°ln > = 0.
Шаг t. Проверяем, будет ли формула Cj/)(&d',n m>.kip(x,y))
лежать в ргп{х). Если нет, то полагаем d'tnXm\ = <Р. >. Если да,
то находим наименьшее i такое, что
Рп(*)Ср,,(х,у), C.4.3)
и для формулы ф{^с,у) с наименьшим номером такой, что ф ?
dc(n,m) И ^ € dc(n,m) ВЫПОЛНвНО
ф{х, у)кк<11с{п1т)к<р(х, у)ер,„ C.4.4)
y)) ePn C.4.5)
или
-ф{х,у)кк<11с{п1т)к<р(х, у) е р,„ C.4.6)
-ф(х,у)кк<1'<п'1т)к<р(х,у)) ерп. C.4.7)
Ввиду полноты типовpti ир„ условия C.4.3), C.4.4) и C.4.7) про-
проверяются эффективно. Если они выполнены, то полагаем d't1 m^ =
d*. mx U {ф} при выполнении условий C.4.4), C.4.5) и d't,1^ =
d^, тч U {''ф} в противном случае.
Если типр„ главный и совместный с <pfi,y), то после появления
в ргп полной формулы, мы будем постоянно выбирать одно и то же
г. В этом случае dc(n,m) = U^cfn m) Равен P»i и поэтому является
главным. Как обычно, сведение этой последовательности к {р„ | п G
N} дает функцию, необходимую для эффективного расширения. ?
Теорема 3.4.4. Если семейство St всех разрешимых типов,
совместных с теорией Т, вычислимо, то простая модель теории
Т существует и разрешима.

3.4. Разрешимые булевы алгебры 221
Доказательство. Требуется показать, что теория Т атомная
и семейство всех главных типов вычислимо. Для этого по любой
формуле tp(x~), совместной с Т, построим вычислимую последова-
последовательность формул <рп{х) такую, что ipo{x) = <р{х) и для любого п
множество TU {рп{х)} совместно и Т Ь (Vx)(^>n+i(x) -> ^>n(x)).
Кроме того, для любой формулы <р(х) существует п такое, что фор-
формула <рп[х) полная. Следовательно, семейство
dn(x) t=i {ф(х) | существует п такое, что Т Ь <рп{х) ~> Ф(х)}
является главным типом и содержит формулу <р(х) с гёделевым
номером п.
Пусть р,0(х),... ,р,п(х),... —вычислимая последовательность
всех разрешимых типов, совместных с теорией Т.
Шаг 0. Полагаем ipo{x) = 4>{х), если ip(x) совместно с Т и
<Ра{х) i=; хо = хо в противном случае.
Шаг< + 1. Рассмотрим формулу ф с гёделевым номером t. Если
у нее есть свободные переменные, отличные от переменных формулы
<р(х), то полагаем ft+\ = <pt- Иначе рассмотрим два случая.
Случай 1: ^(х)&^ не совместно с Т или "" V(x)&y»t не совмест-
совместно с Т. Полагаем ft+i = ft-
Случай 2: ^(x)&^t и V(^)^^'t совместны с Т. Находим наи-
наименьшие числа i,j такие, что xjj(x)&ipt € р*. и ~*ф(х)к.(рг € р,^.
Полагаем ^>t+i = фь&Рф^х) при i < j и ^>t+i = ^t&V'l^) ПРИ
j < i.
Если случай 2 выполняется бесконечно часто, то {ipt | t G N}
определяет разрешимый тип, который совместим с теорией Т и отли-
отличен от всех типов из перечисления р,0, р,,,... , р,п, Однако это
противоречит предположению, что обеспечивает выполнение усло-
условий на ft- ?
Следствие 3.4.4. Если семейство всех разрешимых типов, со-
совместных с теориейТ, вычислимо, тоТ имеет простую модель
СП и семейство типов Syi, реализующихся в У\, вычислимо.
Теорема 3.4.5. Если семейство всех разрешимых типов тео-
теории Т вычислимо, а У\ — однородная счетная модель теории Т
с вычислимым семейством типов Syi, то У\ — разрешимая мо-
модель.

222 Глава 3. Конструктивные булевы алгебры
Доказательство. В силу критерия разрешимости однородной
модели требуется лишь показать, что семейство Syi имеет эффектив-
эффективно расширяющую функцию. По типу рп(х) и формуле </>(х, у) будем
строить нужный тип по шагам. Пусть р»0(х"о),... ,р$п{хп),... —
вычислимое семейство всех разрешимых типов, совместных с теори-
теорией Т. Построим тип diftn т) = U^cfn т) по частичному типу рп(х)
и формуле ip(x, у) с гёделевым номером т.
Шаг 0. Полагаем d°c{nm) = {y>(x, у)}.
Шаг t + 1. Если формула (Зу)(&<^&у>(х,у)) не принадлежит
р(п, то полагаем <№^ * = <1г, т>. В противном случае рассматри-
рассматриваем формулу ф(х,у) с гёделевым номером l(t).
Случай 1: Т удовлетворяет следующим условиям:
Т\- Ы(*) - [
Т \- Ы(*) -
а формула ф содержит свободные переменные только из х, у. Нахо-
Находим наименьшие г и j такие, что
Полагаем d*^ = <(n,m) U {^(х,у)}, если i < j и <+1m) =
^(п,т)и{^(*.1?)}. если J<*
Случай 2: Т удовлетворяет условию
ГЬ bjfn(t) -
Полагаем d^J,1,,,,) = <(n,m)
Случай 3: Т удовлетворяет условию
Полагаем <+„*„,, = <(n,m) U {^(«, у)}.
Случай 4: Случаи 1-3 не выполнены. Полагаем d't1 > =
Тип рп{х) G S<n полный. Поэтому если у>(х,у) совместна с
рп(х), то частичный тип dc(nm) = Ud'/ * также полный. Если

3.4. Разрешимые булевы алгебры 223
при этом бесконечно часто выполняется случай 1, то построенный
тип будет разрешимым и отличен от всех типов последовательно-
последовательности р»0, р«,, •.. ,?«„,-•• Однако эта последовательность содержит
все разрешимые типы. Следовательно, случай 4 может выполнять-
выполняться лишь конечное число раз. Тогда тип dc(r>,m)(z, у) главный над
р(х). Следовательно, он реализуется в любой модели, где реализу-
реализуется рп(х). Поэтому dc(nm)(x,у) ? S<n. Сводящая функция этой
последовательности частичных типов к {р„ | n ? N} дает функцию
эффективного расширения. ?
Следствие 3.4.5. Если семейство всех разрешимых типов раз-
разрешимой теории Т вычислимо, то простая модель существует
и разрешима, а для однородных счетных моделей для разрешимо-
разрешимости достаточно вычислимости семейства типов S<j\.
Следствие 3.4.6. Если некоторая универсальная модель теории
Т разрешима, то простая модель у Т существует и разрешима,
а семейство всех разрешимых типов совместных с Т вычислимо.
Перейдем к изучению разрешимых и сильно конструктивных бу-
булевых алгебр. Из теоремы о существовании разрешимых моделей
и разрешимости полных элементарных теорий всех элементарных
характеристик вытекает следующее утверждение.
Предложение 3.4.2. Для любой элементарной характеристики
X = {си, C, f) булевых алгебр существует сильно конструктивная
булева алгебра (Сх,их) с ch(?x) = х такая, что она строится
равномерно по Х-
Доказательство. Известно (см. гл. 2), что элементарная тео-
теория Th(?) любой булевой алгебры С разрешима и имеет простую и
счетную насыщенную модель. ?
Теорема 3.4.6. Счетная насыщенная модель любой элементар-
элементарной характеристики разрешима.
Доказательство. В силу критерия Морли достаточно доказать
вычислимость семейства всех типов теории Тх данной элементарной
характеристики х- Но ввиду сведения всех типов к типам разбиений

224 Глава 3. Конструктивные булевы алгебры
достаточно определить все типы разбиений. Тип разбиения
р(хг,... ,хп)( ух{ = 1 ep(xi,... ,хп),
xtAxj = 0 ер(хь... ,х„), гфЛ
определяется элементарными характеристиками элементов х,-. Тре-
Требуется лишь описать все допустимые характеристики разбиений для
насыщенной булевой алгебры элементарной характеристики х, вы-
вытекающие из условия плотности.
1. Если х = (оо, 0,0), то допустимы разбиения с любыми характе-
характеристиками для Х{, при которых один из х,- имеет характеристику
(оо, 0, 0), что полностью определяет все типы разбиений.
2. Если х — (я,оо,0), то допустимы типы разбиений p(xi,... , х„)
такие, что chi(x,) < п\/(сЬз(х,) = 0&chi(x,) = n) и суще-
существует г такое, что chi(xi) = (n, оо, 0).
3. Если х = (я. оо, 1), то допустимы типы разбиений р{х\,... , х„)
такие, что chi(x,) ^ пи существуют i,j такие, что chi(x,) =
chi(ij) = n, ch3(x,) = 1 и ch2(xj) = оо.
4. Если х = (п,к,е), то допустимы типы разбиений р{х\,... ,х„)
такие, что chi(x,) ^ n, sg ( J2 ch3(xj)) = е и J2 сЬ2(х;) = к
для К ^ {г | chi(x,) = п}, где sg(O) = 0 и sg(x+ 1) = 1 для
всех х.
Легко видеть, что все допустимые разбиения реализуются в плот-
плотных булевых алгебрах соответствующих характеристик, а любое раз-
разбиение реализующееся в какой-либо булевой алгебре данной харак-
характеристики, является очевидным образом допустимым. Из получен-
полученного описания типов разбиений и сведения любых типов к типам
разбиений следует, что построенное семейство вычислимо и совпа-
совпадает с множеством типов, реализующихся в счетной насыщенной
модели характеристики Х- П
Следствие 3.4.7. Простая модель теории булевых алгебр любой
элементарной характеристики разрешима.

3.4. Разрешимые булевы алгебры 225
Доказательство. Утверждение следует из существования и
разрешимости счетных насыщенных моделей и теоремы 3.4.4. ?
Следствие 3.4.8. Любая счетная однородная булева алгебра 21 с
chiBl) < oo разрешима.
Доказательство. Из разрешимости счетной насыщенной моде-
модели теории ThBl) в силу следствия 3.4.5 достаточно показать, что
семейство типов реализующихся в 21 вычислимо. Так же, как и в
случае насыщенных моделей, достаточно описать лишь типы разби-
разбиений, поскольку остальные типы строятся из них известным спосо-
способом. D
Опишем теперь все типы разбиений для алгебры 21 с типом од-
однородности @, (ро,... ,Рп))-
1. Пусть chBl) = (п, 1,0) и pn_i = 1. В 21 реализуются разбиения
^i i ¦ ¦ ¦ i хт такие, что выполнены следующие условия:
A) существует единственный t такой, что ch(x,) =пи ch(xj) <
п, j ф г,
B) существует не более одного j такого, что ch(xj) = {п —
1,оо,е>,
C) существует j такой, что ch(xj) = {к,оо,е} для к < п — 1,
если и только если рк — 2.
Легко видеть, что такие типы разбиений в 21 с типом однород-
однородности @, (ро, ¦ ¦ ¦ iPn)) реализуются и реализуются только они.
Ясно, что это множество типов вычислимо.
2. Пусть chBl) = {п, 1,0) и pn-i ф 1- В 21 реализуются только
разбиения с условием A) и с условием C) для А: ^ п — \. Поэтому
можно перечислить все типы таких разбиений.
3. Пусть chBl) = (п, а, /3), где а ? N. В 21 реализуются в точности
такие разбиения хг,... , xm, что выполнены следующие условия:
A) существует г такой, что chi(xi) = гг, а для множества К ^
{г | chi(x,) = п) выполнены равенства ^Z ^(z,-) = а и

226 Глава 3. Конструктивные булевы алгебры
B) chi(z,-) ^ n для любого г,
C) для любого к < п могут существовать элементы Х{ такие,
что ch(zj) = (fc,oo,0), если рк = 2.
Тем самым определено перечисление всех возможных типов раз-
разбиений.
4. Пусть chBl) = (тг,оо,/3). Тогда выполняется одна из возмож-
возможностей: рп = ш, или рп = ш + ш, или рп = ш х т). В этих
трех случаях будет различным лишь третье условие на разбие-
разбиение xi,... , хп, а первые два будут одни и те же:
A) существует г такой, что ch(zj) = (тг, оо, е), a sg
= р для множества К = {г | chi(z,) = тг},
B) chi(xi) ^ тг для любого г, и могут существовать j такие, что
ch(xj) = (к, оо, е) для к < п только в случае рк — 2,
(За) (для рп — ш) существует единственный г'о такой, что ch(zj0)
= (тг,оо,е),е ^ C,
(ЗЬ)(длярп = ш+ш) множество {i \ chi(z,) = nkdi2(xi) = оо}
состоит не более чем из двух элементов,
(Зс) (для р„ = ш х т}) никаких дополнительных условий, кроме
A) и B), нет.
Из описания реализуемых разбиений в 21 и в этих случаях вид-
видно, что эти разбиения перечислимы и, следовательно, семейство
типов реализующихся в 21 вычислимо. D
Для случая булевых алгебр с бесконечной первой характеристи-
характеристикой однородных моделей уже континуум, и только часть из них мо-
может быть разрешимыми. Как известно, по крайней мере простая
модель и счетная насыщенная модель разрешимы. Однако разре-
разрешимых однородных моделей значительно больше.
Теорема 3.4.7. [132] Если 21 — счетная однородная булева ал-
алгебра элементарной характеристики (оо,0,0) и типа однород-
однородности (а, (р„ | тг 6 N)), то 21 — разрешимая модель тогда и
только тогда, когда {тг | рп = 0} 6 П°.

3.4. Разрешимые булевы алгебры 227
Доказательство. Если 21 — разрешимая модель, то по опреде-
определению выполняются следующие эквивалентности.
рп = 0 <* не существует элемента х такого, что ch(x) = (тг, оо, 0)
<^ любой элемент х с chj (х) = тг имеет конечную вторую
характеристику
•О для любого т G N если 21 И chi (i/m) = тг, то сущест-
к
вуют /г и элементы xi,... , x^+i такие, что 21 Ё &
»=1
fc+i
Atomn(i/(x,))&Atomlessn(i/(xfc+i))&
где v — некоторая сильная конструктивизация 21. В силу сильной
конструктивности B1, и) условия
21 f= chi (ит) = nt
к k+1
21 \= ( & Atomn(i/(x,))&Atomlessn(i/(xfc+i))& \f i/(x.) = i/m)
разрешимы. Согласно алгоритму Тарского — Куратовского {п \
Р„ = 0} G П°.
Для доказательства обратного утверждения перечислим все раз-
разбиения, которые могут реализоваться в разрешимой модели 21.
Пусть {п | рп = 0} G Пг- По определению существует рекур-
рекурсивное отношение А такое, что
п 6 {тг | рп = 0} <* (Ух)(Зу)(Л(тг, х, у)).
В этом случае тг 6 {тг | р„ = 2} <^ (Зх)^) Л(тг, х, у). Для 21 рас-
рассмотрим тип однородности (а, (рп \ п G N)). Разбиение xi,... , хп
называется а-допустимым, если выполнены следующие условия:
— если а = 1, то существует в точности один элемент Xi такой, что
ch(zO = (оо.О.О),
—если а = 2, то существует не более двух, но по крайней мере
один xj такой, что ch(x,) = (оо, 0,0),
— если q = 3, то существует по крайней мере один х,- такой, что
ch(x,) = (oo,0,0).

228 Глава 3. Конструктивные булевы алгебры
Для кортежа f = ((ni, /i, Si),... , (na, 1,8,)) рассмотрим семей-
семейство S-y типов разбиений со следующими условиями:
A) xi,... , х„ — а-допустимое разбиение,
B) существуют элементы Xj,,... , x,t, для которых chi (х,у) = п,у,
ch3(xjy) = 8ijt riij 6 {п\,... , ns}, а вторая характеристика до-
доопределяется по шагам в зависимости от ni,/i,пг, Ь, • • • ,п,,/,
и шага t,
(З)для всех остальных х,- полагаем chi(x,) = оо или ch(x,) =
(ш,-,аь/?,),гдеа,- < оо.
На шаге t определяем, что ch2(x,y) ^ < либо полагаем сЬг (х,^) =
I. Такая система неравенств определяет, что cl^x,^) = оо либо
сЬг(х^) = t для некоторого шага t, что полностью определяет тип
Если до шага t + 1 мы не определили характеристику для эле-
элемента Xij с ch^x,^) = п,у, то рассмотрим п,- такое, что п,- = п,у и
проверим формулу (Vj/ ^ <)"'Л(п,-,/,,у). Если она верна, то опре-
определяем сЬг(х^) ^ t + 1. Если верна формула (Зу ^ <)Л(п^,^,у),
то полагаем сЬг(х,,) = t + 1 и характеристики больше не пере-
переопределяем. Ясно, что при любом 7 семейство S-y перечислимо и
разбиения из S-y реализуются в 21. Поэтому S = [J Sy также будет
1
перечислимым семейство и все типы разбиений из S реализуются
в 21. Поскольку разбиение конечно, имеется лишь конечное число
элементов с конечной первой и бесконечной второй характеристи-
характеристикой. Но для такого разбиения легко подобрать f так, что в S-y оно
уже будет перечислено.
Итак, мы установили перечислимость семейства типов 5а, реа-
реализующихся в 21, а счетная насыщенная модель этой характеристи-
характеристики разрешима. Следовательно, однородная модель 21 с вычислимым
семейством типов разрешима по теореме 3.4.5. ?
Следующий простой, но имеющий многочисленные приложения
результат дает эффективный метод доказательства разрешимости и
сильной конструктивности моделей.
Из предложения 3.1.14 получаем следующую теорему.

3.4. Разрешимые булевы алгебры 229
Теорема 3.4.8. Если полная теория моделъно полна и разреши-
разрешима, то любая ее конструктивная модель является сильно кон-
конструктивной.
Рассмотрим теперь вопрос о существовании сильно конструктив-
конструктивных элементарных расширений для сильно конструктивных моде-
моделей, в частности, вопрос о возможности конструктивного элементар-
элементарного расширения любой сильно конструктивной модели до сильно
конструктивной однородной модели.
Предложение 3.4.3. Для любой конструктивной безатомной
булевой алгебры существует собственное конструктивное эле-
элементарное расширение до сильно конструктивной булевой алге-
алгебры.
Доказательство. В силу модельной полноты теории безатом-
безатомных булевых алгебр в сигнатуре булевых алгебр достаточно кон-
конструктивно изоморфно вложить конструктивную безатомную булеву
алгебру (SI, v) в конструктивную безатомную булеву алгебру (Ъ, р)
таким образом, что у>: 21 —)¦ 03 — изоморфное вложение, но не эпи-
эпиморфизм и существует рекурсивная функция / такая, что tpv(n) =
fif(n) для любых п € N.
В силу предложения 3.2.2 существует конструктивный линейный
порядок L такой, что B$?, vl) — B1> ")¦ Линейный порядок r\ х L
также конструктивен. Булева алгебра (Ъ^хь, "ijxi) конструктивна
и безатомна.
В качестве г] возьмем множество рациональных чисел Q с есте-
естественным порядком. Определим вложение р из Ъь в 53ЧХ?, следу-
следующим образом:
где aj = @, а,), если а,- € L, а,- = -оо, если а,- = — оо; /?; = @,6,),
если bi G L\ @i = оо, если 6j = оо. Композиция конструктивно-
конструктивного изоморфизма (81, v) на {^Bl,i/l) и конструктивного вложения <р
очевидным образом определяет требуемое собственное вложение. ?
Теорема 3.4.9. Для любой сильно конструктивной атомной бу-
булевой алгебры (81, v) существует конструктивное элементарное
расширение (р до сильно конструктивной булевой алгебры (СЗ,^)
такое, что существует элемент b ? 2J такой, что для любого

230 Глава 3. Конструктивные булевы алгебры
а € 21, сЬг(а) = сю, верно сЬг(аЛб) = сю, сЬг(аЛСF)) = сю, но 6
не принадлежит 21 (если 21 бесконечна), причем B$,/*) строит-
строится равномерно по B1, и) и для бесконечной булевой алгебры это
расширение собственное.
Доказательство. Рассмотрим обогащение сигнатуры булевой
алгебры 21 одноместным предикатом А, выделяющим атомы. В этом
обогащении 21' теория булевой алгебры 21' модельно полна. Рассмо-
Рассмотрим дерево Т> такое, что B$x>>/*z>) — B1)'/)- Такое дерево суще-
существует по теореме 3.3.2. Поскольку алгебра B1, и) сильно конструк-
конструктивна, рекурсивно изоморфная ей булева алгебра BJx>,A«z>) также
сильно конструктивна. Поэтому множество номеров атомов в ней
рекурсивно и множество концевых вершин дерева V рекурсивно.
Отождествим V с деревом, порождающим булеву алгебру 21, и
будем рассматривать элементы V как элементы этой булевой алге-
алгебры, подразумевая стандартное вложение. Определим новую кон-
константу с и константы co.ci,... ,с„,... относительно которых мы
рассматриваем диаграмму булевой алгебры 21, полагая значение кон-
константы с„ равным ип. Определим для с его отношения со всеми эле-
элементами из порождающего дерева и тем самым определим все связи
со всеми элементами булевой алгебры 21. Через cff(,) обозначаем
константу, соответствующую элементу s порождающего дерева V.
Заметим, что с помощью алгоритма, разрешающего все форму-
формулы по любой сильно конструктивной булевой алгебре B1, и) можно
равномерно построить дерево Т> и рекурсивное вложение g из Т> в N
так, что (Х>, ид) является деревом, порождающим 21. В силу силь-
сильной конструктивности дерево V рекурсивно и множество концевых
точек Т> также рекурсивно.
На шаге t будут определяться соотношения между элементом
с и его дополнением С(с) с элементами уровня t в дереве Х>, для
которых соотношения не определены раньше. Возможно, такие со-
соотношения определяются для конечного числа точек более высоких
уровней s > t, но это происходит лишь для тех элементов уровня
t, под которыми находится не более четырех атомов. Конечное мно-
множество соотношений, построенных на шаге t, обозначаем S*. При
построении разбиения с элементами булевой алгебры мы использу-
используем счетчики r(x,t), которые определяют какая из частей разбиения
с (или С(с)) в пересечении с f(x) конечна.
Под соотношением между с и элементом дерева п мы понимаем
выражение одного из следующих видов:

3.4. Разрешимые булевы алгебры 231
A) С Л Сд(„) = Сд(„), ИЛИ С Л Сд(„) ф Сд(„), ИЛИ С Л Сд(П) = О, ИЛИ
с Л сз(п) # °.
B) с Л cs(n) ^ с,
C) А(с Л сз(п)) или ~" Л(с Л сз(п)).
Аналогичные соотношения определяются для дополнения С(с)
элемента с.
Шаг 0. Проверяем, находятся ли более четырех атомов под vg@).
В силу сильной конструктивности B1, v) это условие разрешимо.
5
Если условие не выполнено, то i/<jr(O) = V vxi, где я,- € ?>, я,- —
концевая точка дерева V и s <J 4. Полагаем 5° = {С(с) = сг(о)}
Если оказывается больше четырех атомов, то 5° = {сЛс3(о) ф cs@),
С(с) Л с3(о) ф с3(о), с Л с3(о) ф 0, С(с) Л с3(о) ф 0, "'Л(с Л
сз@))ГЛ(С(с) Л ся@))} и г@,0) = 0.
Шаг i + 1. Определим для всех элементов Х\,... ,хп уровня
t + 1 из дерева Т> все необходимые соотношения, если они не были
определены раньше. Рассматриваем элемент я,-. Если для некоторо-
некоторого у ^ я,- уже определено с Л cs(yj = cs(y) или С (с) Л cs(y) = cs(y),
то в этом случае соотношения между Сд(т,) и с определены, в зави-
зависимости от того, что было добавлено к S1. Аналогичные равенства
добавляем для cs(Xi) с с и С (с). Тогда нет необходимости опреде-
определять А на пересечении, так как оно уже определено в диаграмме 21.
Если предыдущее условие не выполняется, то для у = Я (я,) ? V
уже определено с Л сд(у) ф сд(у), С (с) Л сд(у) ф cs(y) и оба пересе-
пересечения отмечены как не атомы. Рассмотрим также соседний элемент
5(я,), лежащий в V под элементом у. Определим все соотношения
и счетчики одновременно. Возможны следующие случаи:
Случай 1: под 1/д(ц) и под i/g(S(xi)) находится не более четы-
четырех атомов. Так как под д(у) в 21 находится больше четырех атомов,
под vg(xi) и под i/g(S{xi)) имеются по крайней мере четыре атома.
Пусть J/1,... , ут — все концевые вершины, лежащие под ж,- и под
S(xi) в дереве V, т ~%. 4. Определим для них с Л Сд(у<) = cg(yi),
1 ^ i ^ 2, и С(с) Л cg(yi) — cs(y,), 2 < i ^ т. Для всех осталь-
остальных z Е V таких, что z ^ я,- или z ^ S(xi), из описанных соот-
соотношений можно получить соотношения также для сд(г), поскольку
vg{z) = V{vg(yi) | i G Л',}, где КгС{1,..., т}.

232 . Глава 3. Конструктивные булевы алгебры
Случай 2: под vg[xi) и под i/g(S(xi)) находится более четырех
атомов. Определим St+1, добавляя к S* следующие соотношения:
с9(*0 л с Ф °&сд(х.) АсФ С9(*,)&" Aicg(x,) Л с).
Такие же соотношения добавляем в St+l для 5(i,):
*0) АсФ O&C9(S(*.)) Л с Ф cg(s(x.))^A(cg(S(x.)) А с)-
Для дополнения добавляем оба эти набора соотношений после под-
подстановки терма С(с) вместо с. Полагаем г(я,-, t + 1) = r(S(xi), t +
1) = r(H(xj),t) в первых двух случаях.
Случай 3: под одним из элементов из {ид(х{), vg(S(x{))} нахо-
находится не более четырех атомов, а под другим больше четырех ато-
атомов. Пусть а 6 {xi,S(xi)} такое, что под vg(a) имеется не более
четырех атомов, а под vg{b), где Ь ? {xi,S(xi)}, находится более
четырех атомов. Если r(i/(i,),<) четно, то полагаем, что в St+1
к 5' добавлены соотношения с9(а) Л с = с9(а) и с9(а) Л С(с) =
О. Если r(H(xi),t) нечетно, то полагаем, что в St+1 содержатся
сд(а) Л С(с) = с9(а) и с9(а) Л с = 0. Для элемента b добавляем
следующие соотношения в 5t+1:
с Л с9(Ь) ф сд(ь) & с Л сд(Ь) фОк^А(сЛ сд(Ь)),
С(с) Л сд(ь) ф сд(ь) к С(с) Л с9(ь) ф О к ^А(С(с) Л сэ(ь)).
Естественно, что все соотношения из 5' мы тоже добавляем к 5t+1.
Полагаем r(a,t + 1) = r(H(a),t), r(b,t+ 1) = r(H(b),t) + 1.
Рассмотрим теорию Тс ^ At* UX>iBt, v) \J\JS1, где X>iBt, v) —
t
диаграмма булевой алгебры 21 в сигнатуре <т\ = <т U {/o,.Ai}, где
значение константы с„ полагается равным элементу vn, a At* —
теория атомных бесконечных булевых алгебр в сигнатуре <т\. За-
Заметим, что для любого t можно выбрать элемент Ь 6 21 такой, что,
положив значение с равным Ь, мы удовлетворим всем соотношениям
из 5' в обогащении B1, Ь) алгебры 21 элементом b в качестве значе-
значения символа константы с. По теореме компактности Мальцева мно-
множество формул Тс совместно и найдется обогащение 2$' некоторой
булевой алгебры 2$ такое, что 2$' 1= Тс. Тогда 2$ атомная. Так как
2$' 1= Т>\B1, и), можно предположить, что 55' является расширением
обогащения 2ti булевой алгебры 21 до некоторой системы сигнатуры

3.4. Разрешимые булевы алгебры 233
а\. Теория атомных булевых алгебр в сигнатуре <т\ модельно полна.
Следовательно, 2li ^ 05' и 21 ^ 05.
Заметим, что если под п G V в V находится бесконечно много
элементов, то сАсд^ ф сд(„) и С(с)/\сд(п) ф сд(„). Следовательно,
для любого элемента п из сЬг^я)) = оо следует с ф с„. Поэтому
любой элемент j/(n) ? 21 такой, что сЬг^п)) = оо, разбивается с
на две части так, что и под с Л с„, и под С (с) Л с„ есть бесконечно
много ст таких, что ит — атом 21 (именно для этих целей и были
введены счетчики r(x,t) по х). Следовательно, значение элемента
с в булевой алгебре 05' отлично от элементов, являющихся значе-
значениями с„, и потому не принадлежит 21. Таким образом, 05 будет
собственным расширением 21 с требуемыми условиями.
Рассмотрим подалгебру 05о алгебры 05, порожденную элемента-
элементами {vg{n)/\{c)<B \n?V}U{ug{n)/\C{{c)<s) | n G V), где (с)® —
значение константы с в 05'. Очевидно, что 21 ^ 05о, так как атомы
21 переходят в атомы 05о, а не атомы — в не атомы. Булева алгебра
05о атомная, что следует из построения соотношений 5' для атомов
и атомности 21. Однако элементы булевой алгебры 05о задаются как
к I
\/(д(щ)Лс)\/\/(д(т{)лС(с)),
i=l 1=1
где {п,- | 1 ^ i: ^ к} U {mi \ 1 ^ i ^ /} С V. Рассмотрим х
как номер пары с(п, т), а п,т — как номера конечных наборов
п = (п1,... ,пк) ят-(ти... ,mt). Тогда
(\/д(т)Лс) V Шд(гт) ЛС(с))
^i=i ' \=i '
задает нумерацию булевой алгебры 05о Из свойств дерева V легко
получить, что существуют рекурсивные функции /, д, h, построение
которых зависит лишь от строения дерева. Следовательно, f,g,h
равномерно определяются по алгебре B1, и), так, что
= щд{х,у),
Из описания семейств соотношений 5' всегда можно распознать,
является ли Uq(x) атомом, а также определить по х,у равны ли

234 Глава 3. Конструктивные булевы алгебры
значения ио(х) и vo(y). Таким образом, и0 — сильная конструк-
тивизация атомной булевой алгебры Ъо Вложение <р из B1, и) в
E$о, "о) рекурсивно, так как образом элемента ид(п) для п ? V
будет (vg{n) Л с) V (vg{n) Л С(с)). По п находим х(п) такое,
что ио(х(п)) = ид(п). Однако любой элемент 21 определяется эф-
эффективно как объединение элементов порождающего дерева, а для
них образ уже эффективно определяется. Следовательно, вложение
B1, и) в (Ъо, vo) является конструктивным и функция /а, обеспе-
обеспечивающая конструктивность вложения (<ри = vofz), строится по 21
равномерно. Для ее построения нужна лишь информация о дере-
дереве V. ?
Следствие 3.4.9 [43]. Для любой бесконечной сильно конструк-
конструктивной булевой алгебры B1, и) существует собственное сильно
конструктивное элементарное расширение.
Доказательство. Если 21 атомная, то непосредственно из те-
теоремы 3.4.9 получаем требуемое заключение. Иначе 21 содержит
ненулевой безатомный элемент а и имеет место разложение 21 =
а х С(а). Так как B1, и) — конструктивная алгебра, и индуци-
индуцирует конструктивизации иа и J'c(a) такие, что B1, и) = (a, ua) x
(С(а),иС(а))- В этом случае иа и J'c(a) являются сильными кон-
структивизациями, так как и — сильная конструктивизация, а все
предикаты сигнатуры а*, необходимые для модельной полноты, оп-
определяются нах^аваив21 одинаково. Используя предло-
предложение 3.4.3, рассмотрим собственное элементарное конструктивное
расширение @3, /и) для (a, va). Тогда (!8,/z) x (C(a),i/C(a)) будет
собственным конструктивным элементарным расширением B1, i/).
Сильная конструктивность произведения следует из сильной кон-
конструктивности слагаемых. ?
Следствие 3.4.10 [о конструктивном насыщении атомных буле-
булевых алгебр]. Для любой бесконечной атомной сильно конструк-
конструктивной булевой алгебры B1, и) существует ее конструктивное
элементарное расширение до сильно конструктивной насыщен-
насыщенной булевой алгебры.
Доказательство. Пусть B1, и) — сильно конструктивная бес-
бесконечная булева алгебра. Построим вычислимую последователь-
последовательность равномерно сильно конструктивных булевых алгебр B1„, ип) с

3.4. Разрешимые булевы алгебры 235
эффективными элементарными вложениями у>„: 2ln ^ 2ln+i опре-
определяемые через рекурсивные функции /„, т. е. ipnvn = fn+ifn,
где Bto,i/o) = B1, i/). Для построения этой последовательности
будем использовать последовательно конструкцию теоремы об эле-
элементарном собственном расширении сильно конструктивных атом-
атомных булевых алгебр. В этом случае для любых п и а ? 21„ та-
такого, что сЬг(а) = со, найдется элемент 6 6 2ln+i такой, что
сЬг(а \ Ь) = сЬг(а Л 6) = оо. Определим модель 21оо, как объеди-
объединение моделей этой элементарной цепи и определим нумерацию i/qo,
полагая i/ooc(n, m) ±=; i/n(m). В силу вычислимости элементарных
вложений и равномерной сильной конструктивности алгебр B1„, ип)
получаем, что Bloo,i/oo) — сильно конструктивная алгебра. Так
как 2ln+i является уплотнением 21„ для любого п, {J4ln = 21оо —
плотная булева алгебра. Следовательно, 21оо — насыщенная буле-
булева алгебра. Таким образом, (ЭДоо^оо) — сильно конструктивная
насыщенная атомная булева алгебра, конструктивно элементарно
расширяющая Blo,i/o) и, следовательно, B1, и). ?
Предложение 3.4.4. По любой элементарной характеристике
а булевых алгебр равномерно строятся сильно конструктивная
простая модель B1а,1/а) и сильно конструктивная насыщенная
модель (Q3a, va) для теории булевых алгебр элементарной харак-
характеристики а.
Доказательство. Утверждение следует из равномерности по-
построения соответствующих семейств типов по характеристикам и
равномерности построения по семействам типов соответствующих
моделей — простой и насыщенной. ?
Предложение 3.4.5. Если B1, и) — сильно конструктивная бу-
булева алгебра и chBl) = (n,oo,0), a @3,ц) — сильно конструк-
конструктивная булева алгебра и ch(Q3) = (n + 1,1,0), то существует
конструктивное элементарное вложение @3, fi) в произведение
B1,1/) х @3,/х), которое строится равномерно по B1,1/), @3, [/.)
и п.
Доказательство. Так как модель @3, ц) сильно конструктив-
конструктивна, по номеру т элемента @3,ц) можно эффективно распознать,

236 Глава 3. Конструктивные булевы алгебры
выполняется chi {цт) < п + 1 или chi {цт) = п + 1. Вложение
алгебры <8 в 21 x 05 является изоморфным вложением в обогащении
этих алгебр до системы сигнатуры cr-in+i' Поскольку 05 и 21 х 05
имеют характеристику (п + 1,1,0), из модельной полноты в этом
обогащении получаем, что <р — элементарное вложение. Конструк-
Конструктивность этого вложения очевидна ввиду приведенного выше заме-
замечания. Сильная конструктивность произведения следует из сильной
конструктивности слагаемых. ?
Построение вложения для характеристики (п+1,0,1) несколько
сложнее.
Предложение 3.4.6. Поп и сильно конструктивной булевой ал-
алгебре @5, fi) характеристики (п + 1,0,1) эффективно строятся
простая сильно конструктивная булева алгебра B1, v) характе-
характеристики G1,00,0) и конструктивное элементарное
вложение @5,/i) в произведение B1, и) X @5,/i).
Доказательство. В силу равномерности построения по элемен-
элементарной характеристике простой сильно конструктивной модели этой
характеристики из предложения 3.4.4 существование и конструк-
конструкцию B1, и) получаем равномерно по п, причем сЬ(ь"/(Д'@))) =
(п,оо,0) для / € N, где (Т>,1//) — дерево, порождающее 21, а
/ — рекурсивная функция. Для сильно конструктивной булевой
алгебры @5,^) нетрудно построить порождающее дерево (Х>',у?')
и рекурсивную функцию g так, что <р'(п) = vg{n) для любого
п € V, причем элементы vg{Rk(u)), k € N, имеют характеристику
(п + 1,0,1). Из предположений о сильной конструктивности @5, ц)
и ch@5) = (п+1,0,1) такое порождающее дерево равномерно стро-
строится по @5, ц).
Построим теперь искомое вложение. Так как дерево (V, <р') по-
порождает 05, по любому номеру m можно равномерно найти эле-
элементы канонического представления по,... ,п* € ТУ такие, что
no,... ,«fc попарно не сравнимы в V и Vfig(rii) = цт. Если
среди {щ | i ^ к} нет элементов вида Д'@), / € N, полагаем
<p([im) = @,fim). Если такие элементы есть, определим для ка-
каждого (J.g(ni) ^?-образ так, что \im будет соответствовать объедине-

3.4. Разрешимые булевы алгебры 237
ние образов:
если щ не имеет вида R1 @),
щ)), если щ = Л'@).
Заметим, что <р — конструктивное вложение, которое строится
равномерно, и ip — изоморфное вложение в обогащении до сигнату-
сигнатуры <Т4п+4- В силу модельной полноты в этом обогащении вложение
<р элементарно. ?
Предложение 3.4.7. По любому п и сильно конструктивной бу-
булевой алгебре @1, i/) с chi(Ol) = п эффективно строится кон-
конструктивное элементарное расширение B$,/i) с элементарным
вложением <р такое, что если сЬг@1) = со, то существует эле-
элемент Ь G 5$ такой, что chi(fe) = chi(CF)) = п и сЬгF) =
ch2(CF)) = оо.
Доказательство. Утверждение доказывается несложной моди-
модификацией доказательства теоремы 3.4.9 в случае п = 0 с использова-
использованием в конструкции счетчиков, аналогичных счетчикам для атомов,
не только для атомов в n-м факторе по некоторому идеалу Вршова
— Тарского /„, но и по характеристикам к < п, где рассматри-
рассматриваются элементы характеристики chi(a) = к, и они включаются
соответственно в с или С (с). О
Из предложений 3.4.5-3.4.7 получаем следующее предложение.
Предложение 3.4.8. По любому п и сильно конструктивной бу-
булевой алгебре @1, v) эффективно строится ее конструктивное
элементарное расширение до сильно конструктивной булевой ал-
алгебры E8,/i), причем если chiBl) = п, то В — уплотнение 01.
Доказательство. Рассмотрим множество наборов
Ап ^{{т, к, {к + 1,1,0)) | ch(i/m) = (Jfc + 1,1,0)и Jfc < п]
U {(m, Jfc, (Jfc + 1,0,1)) | ch(i/m) = (Jfc + 1,0,1)и к<п}
U {(m, Jfc, (Jfc, оо,0)) | chi(i/m) = кк Jfc ^ n).
Так как @1, v) — сильно конструктивная система, множество Ап
рекурсивно и можно построить перечисление <*о,... ,а„,... всех
наборов из Ап- Используя конструкции предыдущих предложений,
будем строить равномерно последовательность сильно конструктив-

238 Глава 3. Конструктивные булевы алгебры
ных моделей с конструктивными вложениями:
так, что вложение <р: 21„ —? 2ln+i представимо рекурсивной функ-
функцией д„, а <р„: 21о -)• 21„ — рекурсивной функцией /„ следующим
образом: Blo, vo) ^ B1, и). Пусть уже построены
Рассмотрим набор а„. Если а„ = (m, fc, (fc+ 1,1,0)), то применяя
конструкцию предложения 3.4.5 к булевой алгебре (vnfn{m),un \
vfn{m)) получим для нее нужное элементарное расширение и умно-
умножив его на {C{vm), и \ С{ут)), получаем требуемое расширение.
Если а„ = (т, к, (к + 1,0,1)), то конструкция аналогична пре-
предыдущему случаю, но к v{m) применяем конструкцию предложения
3.4.6.
В случае а„ = (m,fc, (fc,oo40)) применяем к {ufh,v f v{m))
конструкцию предложения 3.4.7 и умножаем полученную сильно
конструктивную модель на {С{ут),и f C{vm)).
Взяв теперь B1оо,^оо) как объединение этой вычислимой це-
цепи элементарных конструктивных расширений, заключаем, что 21те
является уплотнением 21, а B1оо, ^оо) — конструктивное элементар-
элементарное расширение 21.
Применяя конструкцию последнего предложения ш раз, по лю-
любой сильно конструктивной модели B1, и) построим ее конструктив-
конструктивное элементарное расширение до плотной сильно конструктивной
булевой алгебры. Но плотные булевы алгебры являются счетно на-
насыщенными. Таким образом, мы доказали следующую теорему.
Теорема 3.4.10. Любая сильно конструктивная булева алгебра
B1, v) конечной первой характеристики, chiBl) < со, имеет кон-
конструктивное элементарное расширение до сильно конструктив-
конструктивной насыщенной булевой алгебры.
Рассмотрим теперь случай бесконечной первой характеристики.
Нетрудно заметить, что условия плотности в этом случае для эле-
элементов конечных характеристик и для булевых алгебр с бесконеч-
бесконечной характеристикой можно реализовать в расширениях с помощью
конструкций предыдущих предложений. Чтобы добиться условий

3.4. Разрешимые булевы алгебры 239
плотности для бесконечных характеристик, мы теми же методами
можем доказать следующее предложение.
Предложение 3.4.9. По любой сильно конструктивной булевой
алгебре B1, v) с chiBl) = оо эффективно строится ее конструк-
конструктивное элементарное расширение B$, ц), в котором существует
элемент с G |2$| такой, что для любого a G 21 с chi(a) = оо эле-
элементарные характеристики а Л с и а Л С(с) совпадают и равны
(оо,0,0).
Доказательство. Следует применить модификацию конструк-
конструкции теоремы 3.4.9 об элементарных расширениях атомных булевых
алгебр, но вместо условия существования четырех атомов, прове-
проверить, что первая характеристика строящегося в разбиении элемента
превосходит значение счетчика на этом шаге. ?
Из предложения 3.4.9 и теоремы 3.4.10 вытекает следующая те-
теорема.
Теорема 3.4.11 [о сильно конструктивных расширениях]. Любая
сильно конструктивная булева алгебра имеет конструктивное
элементарное расширение до сильно конструктивной насыщен-
насыщенной булевой алгебры.
Доказательство. Построим эффективно последовательность
уплотнений B1о, ^о) ^ BЦ, и{) < ... < B1,-, щ)... так, что B1,-,»/,-)
будет вычислимой последовательностью конструктивных моделей,
/„ — вычислимой последовательностью рекурсивных функций, а
<Рп- 21„ ^ 2ln+i — элементарным вложением 21„ в 21„+1 такое,
что 2ln+i является уплотнением 21П, а <рп^п{тп) = J/n+i/nGTl) Для
любых т, п 6 N. Определяя B1оо, ^е») как объединение этой цепи,
получаем искомое сильно конструктивное элементарное расширение
B1, J/), где Blo,i>o) = B1,1/), а 21ТО = lii^St» .и иО0{с(п!т)) t=,
vn{m). Насыщенность 21ТО следует из ее плотности. ?
Следствие 3.4.11. Любая сильно конструктивная булева алге-
алгебра B1, и) имеет конструктивное элементарное расширение до
сильно конструктивной однородной булевой алгебры.

240 3. Конструктивные булевы алгебры
3.5. Ограниченные фрагменты теории булевых алгебр
и разрешимые алгебры
Вопросы разрешимости различных классов алгоритмических про-
проблем на эффективно заданных структурах представляют одну из
основных целей исследования теории конструктивных моделей. В
связи с этим при изучении конструктивных моделей важное значе-
значение имеет вопрос о взаимосвязи разрешимости различных алгорит-
алгоритмических проблем как в заданной конструктивной модели, так и в
различных ее конструктивизациях. Рассмотрим взаимосвязь раз-
разрешимости всех элементарных свойств над конструктивной булевой
алгеброй и всех атомарных свойств в обогащенных сигнатурах, т. е.
свойств, которые можно выразить бескванторными формулами в
этих сигнатурах.
Из следствия теоремы о сведении формул ограниченных теорий к
3-формулам и V-формулам, но уже в обогащении сигнатуры булевых
алгебр предикатами из <т„ вытекает следующее утверждение.
Предложение 3.5.1. Нумерованная булева алгебра B1, v)
п-конструктивна тогда и только тогда, когда и является кон-
структивизацией обогащения 21" п булевой алгебры 21 до сигнату-
сигнатуры ап теории ВА*п.
Доказательство. Необходимость следует из возможности опи-
описания предикатов сигнатуры <т„ Е„-формулами или П„-формулами
в сигнатуре булевых алгебр, а достаточность — из того факта, что
любая Е„-формула эквивалентна V-формуле и 3-формуле в сигна-
сигнатуре <т„. О
Отметим, что существование конструктивизаций обогащений бу-
булевой алгебры 2$ до ограниченных сигнатур <7„, п ^ О, играет ре-
решающую роль при исследовании вопроса о разрешимости булевых
алгебр. Изучим сначала вопрос о разрешимости булевых алгебр с
нулевой или единичной первой характеристикой.
Предложение 3.5.2. Если булева алгебра 21 такая, что chjBl)
= 0, допускает конструктивизацию с рекурсивным множеством
номеров атомов, то такая конструктивизация алгебры 21 явля-
является сильной, а сама алгебра 21 — разрешимой.

3.5. Ограниченные фрагменты теории булевых алгебр 241
Доказательство. Если 21 имеет нулевую первую характеристи-
характеристику, то она представима в виде произведения атомной и безатомной
частей: 21 = а х С(а). Любая конструктивизация безатомной бу-
булевой алгебры является сильной ввиду модельной полноты и раз-
разрешимости ее теории. Любую конструктивизацию атомной булевой
алгебры с рекурсивным множеством номеров атомов можно рассма-
рассматривать как конструктивизацию в обогащении этой алгебры до сиг-
сигнатуры <т\. В сигнатуре <т\ атомные булевы алгебры имеют раз-
разрешимую модельно полную теорию. Следовательно, относительно
сигнатуры <т\ конструктивизации 21 являются сильными, а булева
алгебра 21 разрешимой. D
Рассмотрим вопрос о существовании булевых алгебр, любая кон-
конструктивизация которых имеет не рекурсивное множество номеров
атомов. Очевидно, что такие алгебры не разрешимы. Для выясне-
выяснения связей между конструктивизируемостью и сильной конструкти-
визируемостью сопоставим каждой булевой алгебре 23 инвариант-
инвариантное относительно изоморфизмов множество N(93) С N. Оценив его
алгоритмическую сложность получим необходимое условие сильной
конструктивизируемости. Пусть 23 — произвольная булева алгебра
и FnB3), n?N, — последовательность ее идеалов Фреше. Опреде-
Определим на 23 следующие отношения:
C) Atomisticn(z) ^ z/FnB3) — атомный элемент в
DO*(z) ^ х $ Fn+AB3) к (Vy) (у sC х => (y/Fk B3) - не-
неатомный элемент 23/^B3) или у е Fn+fcB3))) и существует
бесконечно много попарно непересекающихся элементов z, нахо-
находящихся под х, принадлежащих Fn+fcB3), но не принадлежащих
Fn+A_iB3),
Следующая лемма очевидна.
Лемма 3.5.1. Справедливы следующие утверждения:
(а) если 21 S 23, то 211= Ф* => 23 *= Ф*,

242 3. Конструктивные булевы алгебры
{Ъ)Ъшп+к+и>кхг) 1= Ф*, п + к ^ 1,
(с) если к ^ 1, то В ? (w-»+4-w'xv) •= $? <=> " G ^-
По индукции легко проверяется следующая лемма.
Лемма 3.5.2. Справедливы следующие утверждения:
(а) ао(х) <=> х = О,
/ m
ап+1 (х) «¦ Cm G N)Cxi... хт) ( х = У xt к & х,- Л Xj = О
V а„(С(у) Л *,¦
х)<*-1 а„(х),
(с) Atomisticn(x) <» (Vy)(y <$ х => (а„(у)У(Зг)(г ^ у& (Va)(a <$
2 => (а„(а) V an(z Л С(а)))) & -<*n(z)))),
(dO*(x) <» An+fc(x) & (Vm G N)Cx!.. .xm) (.&*, Л *j = 0 &
^i^) & an+k{xi) & x,- ^ x)) &
C1 Atomistic/c(j/) Van+;c(j/))).
В качестве искомых инвариантов рассмотрим множества
и оценим их алгоритмическую сложность в случае сильно конструк-
тивизируемых булевых алгебр.
Предложение 3.5.3. Если В — сильно конструктивизируемая
булева алгебра, то Nk(%) G *Bifc + 1,2).
Доказательство. Пусть v — некоторая сильная конструктиви-
зация В. Из сильной конструктивности E5,^) получаем, что а!
можно представить в виде Е°-формы. Применяя индуктивно алго-
алгоритм Тарского — Куратовского [178] для выражений ап, Atomistic,,
и Ф*, на основании леммы 3.5.2 получаем представления an+i(x) в
виде Е°п+1-формы и An+i в П2„+1-форме. В представлении Ф* в

3.5. Ограниченные фрагменты теории булевых алгебр 243
виде ?2П+2?+гформы заменим рекурсивную часть Р рекурсивной
функцией / такой, что
P(k,n,Zi, . . . ,
Ясно, что для всех Ф* можно выбрать одну и ту же функцию /. На
основании этого представления N^(93) € ФBк +1,2). D
Перейдем к построению атомной конструктивизируемой булевой
алгебры, которая не является сильно конструктивизируемой. Пусть
О — множество всех счетных ординалов.
Предложение 3.5.4. Если
то
хч) ^ Ф2т
<f* (ЗгГC"Л)(Д(т, г, Л) = Ш
Доказательство. Пусть *8 \= Ф^, но (Vt)Cw/i)(A(m, i, Л) =
U2m+ky gCJIH «g |_ ф*^^ то существует элемент
6= [ai1a2[U...U[an,an+i[
такой, что 23 \= 72т(^)- По определению 6 не содержит элементов
^2m+*+i(©), но содержит и попарно непересекающихся элементов
Fim+k \ F-im+k-i- Для одного из интервалов [а,, а,+1[, например,
[qi,Q2[, это утверждение также верно. Тогда [qi,Q2[ содержит
и интервалов [а,C[ С [ai,a2[, которые попарно не пересекаются
и вполне упорядочены по типу больше UJm+*-1) но строго меньше
и2т+к Однако это возможно лишь когда [ах, а2[ содержит интер-
интервал вида
[7+ $2
hew
XT)) + 1[
для некоторых 7, *о и Ло- Ввиду равенства (Vt)Cw/i)(A(m) i,h) =
w2m+*) каждый интервал указанного вида будет содержать такой
интервал [<*,/?[, который является вполне упорядоченным множе-
множеством типа и2т+к. Поэтому найдется элемент, содержащийся в

244 3. Конструктивные булевы алгебры
[c*i, аг[ (а следовательно, и в 6) и в F2m+k+i \ F2m+k- Полученное
противоречие показывает, что в случае !8 ^= Ф*т
Докажем обратную импликацию. Пусть
Это означает, что найдется г'о, для которого существует лишь ко-
конечное число /ii,... , Л„ таких, что Д(т, to, hff- = ш2т+к, а для
остальных h выполнено Д(т, t0, Л) < ш2т+к. Определим
Все интервалы [а,/3[ из 6, являющиеся вполне упорядоченными
множествами, имеют тип упорядочения, строго меньший u>2m+*.
Поэтому 6 не содержит элементов F2,n+k+i \ F2m+k- Заметим, что
элемент [а, /?[ является атомным в к-м факторе, если он не содер-
содержит интервала типа шк х г}. Согласно определению введенного по-
порядка этот интервал будет вполне упорядоченным множеством, а по
свойству булевых алгебр, построенных по линейно упорядоченному
множеству, он принадлежит ^т+*. Кроме того, любой элемент
,г0, Л)
при t ^ ho содержится в 6 и принадлежит F2m+k \ -FWi+fc-i По-
Поэтому !8 ^= Ф*т. D
Построим серию конструктивных линейных порядков, из кото-
которых затем получим искомую конструктивную, но не сильно кон-
структивизируемую булеву алгебру. Для этого рассмотрим рекур-
рекурсивный линейный порядок (N, С*) типа 1 + шк х Т}, а также серию

3.5. Ограниченные фрагменты теории булевых алгебр 245
рекурсивных линейных порядков (М*, <*) соответственно типа
т i h
где Д(т, i, Л) = w2m+k и.
Мк ={(m,i,h,zi,... ,z2m+k,l,q) | A = 0=> (q = -1
&zb... ,z2m+* €N))
& (I = 1 =». ((zb... , z2m+k) = (-1,... , -1) к q € Щ
а порядок <k определен следующим образом:
(m,i,h,Zi,. . . ,Z2m+k,l,q) <k ("i, i, Л,2! ?2Й1
<=> (m,», h, I) <iex (m,T, Л, /) V ((m, i, Л, /)
'Л Z2m+*) <lex (?l Z2m+fc)))).
Факторизуя порядок (Mk,<k), мы получим рекурсивный порядок
типа
т i h
тд.еш2т+к~1 ^ Д*(т,г,Л) ^ ш2т+*. Для этого рассмотрим рекур-
рекурсивную функцию / большого размаха [109] (т. е. (Ух)(ЭРу)A(у) =
х)) и положим
(m,i,h,zi,... , z2m+fc, j, q) ^ (m,i,n,zi,... ,г2д+/,, l,q),
если
(m, t, h, z\,.... , z2m+k,/,9) <* (m,t, Л, zi,... , ?2ft+*)^5)
2m+*-l
i=i& z{ = ?i & & (Vn)(?2m+/( ^ n < z2m+*
=>»"fc«i,/(fc),zi,... ,z2m+k-i,n)) ф 1)),
где rfc — рекурсивная функция из предложения 3.1.4.

246 3. Конструктивные булевы алгебры
Пусть г)к *=; {(х,у) | х ^к уку ^к х}. Тогда (так как все по-
построения эффективны) (Мк/щ, ^к) — конструктивный линейный
порядок относительно эффективной нумерации всех элементов Мк ¦
Обозначив
имеем
Лемма 3.5.3. Построенные линейные порядки обладают следу-
следующими свойствами:
B)Ak(m,i,h) = ш2т+к «» Crzl)...(
Zl,- ¦ • ,Z2m+k)) = 1,
{3)Ak{m,i,h) = Ak{m,i,h), если I{h) = I{h).
Доказательство. Поскольку после факторизации могут ото-
отождествляться лишь элементы, различающиеся на Bт+Л + 3)-коор-
динате, свойство A) очевидно. Свойство C) следует из того, что
факторизация слагаемых A(m,i,h) и A(m,i,h) для /(Л) = /(Л)
определяется одинаковым образом. Докажем B). Пусть т, t, Л
фиксированы. Пусть положим
Для г = 2,3,... , 2m + к по индукции положим
Для г = 1,... , 2m + к обозначим
AT(zi, . .. ,Z2m+k-r) ^ CWZ2m+fc_r+l) • • •
)Ji,... ,22m+fc)) = Я-

3.5. Ограниченные фрагменты теории булевых алгебр 247
Покажем, что для г A ^ г ^ 2т + к) выполняются следующие
соотношения:
-r){Ar{zi, ..., Z2m+k-r)
r (*!,... ,Z2m+k-r) =Wr),
Пусть г = 1. Фиксируем m, i, /i, zi,... , Z2m+fc-i- Если
¦"CtalZ2m+fc)(rfc((iI'/(ft)IziI... ,z2m+fc» = 1),
то существует лишь конечное число Z2m+fc таких, что
),zi,... ,z2m+k))= 1.
Почти все элементы (m,t, Л, zi,... ,z2m+fc,/,g>, rflez2m+fc € N,
отождествляются и 1 ^ /ii < ui. Если
((i,/(ft),zi,... ,z2m+fc» = 1),
то и элементов не отождествляются и fi\(zi,... , Z2m+fc_i) = ы.
Тем самым мы показали, что базис индукции выполняется для
соотношений A) и B). Пусть для г = s — 1 справедливы A) и
B) Докажем их для г = s. Ясно, что
тогда и только тогда, когда существуют и элементов Z2m+fc-»+i
€ N таких, что/i,_i(zi,... ,z2m+k-s+i) = w'. Индукцион-
Индукционный шаг доказан.
Положив г = 2т + к, завершаем доказательство леммы. ?
Лемма 3.5.4. Справедливо следующее соотношение:
Ът> \= *L О Ci)(V,T(a»*).. .C*z2m+k)
»•*((»,J,«l,.-. ,Z2m+fc» = 1-
Доказательство. Необходимость. Допустим противное:
)... {3"z3m+k)rk{(i,j,xlt... , z2m+k)) = 1.

248 3. Конструктивные булевы алгебры
Тогда (Vi)Cj)Afc(m,i, j) = ш2т+к по лемме 3.5.3. Так как
> Afc(m-Mi) = Ak(m,i, j)),
имеем {\H){3»j)(Ak{m,i,j) = ш2т+к) и «Bmjk (=^ Ф§т по предло-
.жению 3.5.4; противоречие.
Достаточность. Если
3-zi).. .C"z2m+fc)rfc«M, 21)... , z2m+fc)) = 1,
то по лемме 3.5.3 Ci)Dj)A(m,i,j) < ui2m+fc. Следовательно,
и по предложению 3.5.4 Bait/, (= Ф*т- ^
Лемма 3.5.5. {п | «8ап4 1= Ф*}^ФB* + 1,2).
Доказательство. В силу леммы 3.5.4 и предложения 3.1.4 для
т истинны следующие эквивалентности:
2т 6 {п | «В^ И О «• C«)(У;ГC«21). ..
fc((i,J,Zi, . . . ,Z2m+fc)) = 1
Поэтому в силу предложения 3.1.3 {п | Ъ$цк ^ Ф*}^ФBЛ + 1,2).
Это завершает доказательство леммы. ?
Теорема 3.5.1. Для любого А; ? N существует к-атомная, но не
(к + \)-атомная булева алгебра, которая Конструктивизируема,
но не сильно конструктивизируема.
Доказательство. Нетрудно видеть, что булева алгебра
fc-атомная, но не (к + 1)-атомная. В силу предложения 3.2.1
конструктивизируема. Но в силу леммы 3.5.5 и предложения 3.5.3
она не сильно конструктивизируема. D
Рассмотрим теперь вопрос о разрешимости булевых алгебр 21 с
chiBl) = l.
Теорема 3.5.2. Если булева алгебра 21 имеет конструктиви-
зацию с рекурсивным множеством номеров атомов и ch B1) =
A,1,0), то 21 разрешима.

3.5. Ограниченные фрагменты теории булевых алгебр 249
Доказательство. Рассмотрим для булевой, алгебры 21 три воз-
возможных случая.
Случай 1: существует атомный элемент а такой, что под С(а)
нет атомных элементов, содержащих бесконечно много атомов.
Случай 2: для любого атомного элемента а € 21 существует
атомный элемент 6 ^ С(а) такой, что 6 = *8Ш.
Случай 3: не выполнены случаи 1, 2 и для любого атомного
элемента а € 21 существует атомный элемент 6 ^ С(а) такой, что
6 = *„><„.
Покажем, что для любой счетной булевой алгебры 21 с элемен-
элементарной характеристикой A,1,0) выполняется один из этих случаев.
Отметим, что никаких два из них не могут выполняться одновре-
одновременно.
Предположим, что существует булева алгебра 21 такая, что для
нее не выполнен ни один из случаев и ch B1) = A,1,0). Так как
для 21 не выполнен случай 2, найдется атомный элемент а0 € 21
такой, что под С(ао) нет атомных элементов 6 ^ С(ао) таких, что
Так как для 21 не выполнен случай 3, найдется атомный элемент
а\ такой, что под С(а\) нет элемента 6 ^ C(ai) такого, что 6 =
2$u>Xrj-
Рассмотрим теперь а = ао V а.\. Так как ao,ai атомные, а
также атомный. Поскольку для 21 не выполнен случай 1, найдется
элемент 6 ^ С{а) такой, что 6 содержит бесконечно много атомов.
Рассмотрим фактор-алгебру b/fF) по идеалу Фреше. Так как под
6 лежит бесконечно много атомов, 6 $ F(b) и Ь/F{b) не тривиальна.
Если существует &о ^ Ь такой, что &о/F(b) — атом булевой алгебры
VF(b), то &о — суператомная булева алгебра типа A,1) и &о — 25Ш-
Однако &о ^ 6 ^ С(а) ^ С(ао), что противоречит выбору ао.
Следовательно, b/F(b) —безатомная булева алгебра. По следствию
1.5.4 %= 9$ц,хт(, но 6 ^ С(а) ^ C(ai), что противоречит выбору а\.
Полученное противоречие показывает, что выполнен всегда один из
этих случаев для булевой алгебры 21.
Если для 21 выполнен случай 1, то существует атомный элемент
а такой, что под С(а) нет атомных элементов, содержащих беско-

250 3. Конструктивные булевы алгебры
нечно много атомов. В этом случае любой элемент х € С(а) имеет
один из следующих типов: либо х ? /B1) и ch (x) = A,1,0), либо
х G /B1) и ch (х) = @, п, е). Но каждая из этих характеристик опи-
описывается одной формулой. Следовательно, булева алгебра С(а) —
простая модель характеристики A,1,0). Простая модель разреши-
разрешима (см. следствие 3.4.7), а а атомная и имеет конструктивизацию с
разрешимым множеством атомов. Поэтому, как показано выше, она
также разрешима. Поскольку произведение разрешимых моделей
разрешимо, 21 ='а х С(а) — разрешимая модель..
Если для булевой алгебры 21 выполнен случай 3, рассмотрим
атомный элемент ао такой, что нет атомных элементов Ь ^ С(ао) со
свойством 6 = Ъш. Такой элемент существует, так как по условию
случая 3 для 21 не выполнен случай 2. Как и в предыдущем случае,
получаем, что а — разрешимая булева алгебра, поскольку она имеет
конструктивизацию с рекурсивным множеством атомов.
Рассмотрим булеву алгебру С{а). Из условий случая 3 следует,
что С{а) — плотная булева алгебра. Следовательно, она счетная
насыщенная и (по теореме 3.4.6) разрешима. Поэтому булева алге-
алгебра 21, как произведение разрешимых булевых алгебр, будет также
разрешима.
Остается рассмотреть более сложный случай 2.
Будем называть булеву алгебру 21 типа A,1,0), удовлетворяющую
условиям случая 2, и-предельной.
Лемма 3.5.6. Если булева алгебра 21 ш-предельная и конструк-
тивизируема в обогащенной сигнатуре <Х\, то существует ее
конструктивизация ц этой оке сигнатуры с 0'-рекурсивным иде-
идеалом Ершова — Тарского /B1).
Доказательство. Для конструктивной булевой алгебры B1, v)
сигнатуры о рассмотрим рекурсивное дерево V такое, что B1, и) =
(95tj,^tj). Зафиксируем отображение <р и частично рекурсивную
функцию g такие, что {Т>, <р) — порождающее дерево для 21, а
<р(п) — vg{n) для любого п G Х>.
В силу рекурсивности множества номеров атомов дерево V ре-
рекурсивно. Следовательно, множество концевых вершин в дереве V
рекурсивно. Заметим, что рекурсивность дерева V является необхо-
необходимым и достаточным условием рекурсивности множества номеров
атомов булевой алгебры 93-р в нумерации и-р.

3.5. Ограниченные фрагменты теории булевых алгебр 251
Рассмотрим представление V в виде вычислимой последователь-
последовательности конечных поддеревьев Vq С V\ С ... С Vn С ... , где
\jVn = V,V0 = {0} иХ>„+1 =;2>Л {х | h(x) ^ п+ 1}. Элемент
П
х ? "Рп называется /-^езатол^мыл*, если у ?V для любого у 3! x и
Заметим, что элемент f{x) безатомный тогда и только тогда,
когда х € V — t-безатомный элемент при любом / SN. При х €
V число t > h(x) называется уровнем t-безатомности элемента
х, если существует элемент у -< х такой, что у — f-безатомный и
h(y) = г, а элемент Н(у) не является ^-безатомным. Элемент х ?Т>
называется t-главным, если элемент х не является f-безатомным и
для любого у € V при у ф х к h(y) = h(x) выполнены следующие
условия:
существует k > h(x) такое, что к является уровнем <-безатомнос-
ти х, но не у;
число г, к < г ^ h(x), является уровнем <-безатомности х тогда
и только тогда, когда t является уровнем t-безатомности у.
По шагам будем строить новое дерево М = [J М1 такое, что
= ®t>. Единственная цепь элементов М, определяющих нену-
ненулевой элемент ®м//(<В^)> является О'-рекурсивным множеством.
Нетрудно видеть, что функция / О'-рекурсивна тогда и только то-
тогда, когда существует вычислимая последовательность функций /„
такая, что f(x) = lim fn(x) для любого х € N. Поэтому для
п—юо
определения этой цепи построим вычислимую последовательность
конечных характеристических функций \п, которые в пределе да-
дадут искомую О'-рекурсивную функцию.
Шаг 0. Полагаем М° = {0}, г@) = 0, <р°{0) = 0, п@) = 0,
0 = 0, т°@) = 0, Л'° = 0. Никаких меток не ставим.
Шаг t + 1. Находим наименьшее t' > i(t) такое, что для лю-
любого i ^ n(t) + 1 существует ^'-главный элемент х,- такой, что под
Xi существует концевой элемент у ^ х из 2?е+ь не являющийся
^'-безатомным и концевым в Vt+\. Существование такого t' следу-
следует из того, что характеристика рассматриваемой булевой алгебры 21
равна A,1,0). Эффективность проверки следует из рекурсивности
дерева V.
Если Х{ = т1{г) для любого г ^ "(*), то х„(()+г -< m'(n('))
либо a;n(t)+i ^ "»'(nW)-

252 3. Конструктивные булевы алгебры
В случае xn(t)+i -< ш'(га(*)) полагаем
Mt+1 = {x | Я(х) € Ml, x отмечено какой-либо меткой \k\
либо существует у € 2?t+1\2?' и Я(х) = <р1(у)},
Kt+1 = {х | х € Mt+1\M', Я(х) отмечено меткой \к\ }.
Если х было отмечено меткой \к\ то сдвигаем метку |_fcj на Л(х).
В случае arn(t)+i т^ m'(raGj) полагаем и(< + 1) = n(t) + 1,
i(* + 1) = *', mt+1(i) = т'(г') для t < n(t), mt+1{n{t) + 1) =
х„(()+1. Находим концевой элемент у G М', не принадлежащий
/С*, уо -< т'(я(<)) и концевой элемент zo дерева Pj+i, такие, что
?()
Для всех s*€ P* таких, что s ¦< arn(t)+i не выполнено и s ^ го,
определим <pt+1(s) = y>'(s), y>'"*'1(zo) = L(yo), поместим под эле-
элементом Л(уо) поддерево V", изоморфное V' = {z € Pt+1 | z ^
xn{t)+\\, доопределяя <pt+1 на Т>' так, что <pt+1 отображает V на
Р" изоморфно. Добавим элементы V" к A/t+1. Для любого эле-
добавляем к Mt+1 два элемен-
на элемент R(y) и добавля-
мента у 6 Mt+1, отмеченного jfc
та R(y) и L(y), сдвигаем метку
ем L(y) к Kt+1. Элемент Ь(у0) добавляем также к Mt+1. Доба-
Добавим к Mt+1 два элемента Ь(у>'(Я(х„(()+1))) и Я(<р'(Я(х„(()+]))),
полагая у>'(Ь(Я(х„(()+1))) = Ьу>'(Я(х„(()+1)). Поставим метку
*n(t)+i I на Д(/(Я(хп(,)+1))). Элементы R{y),L{y) € ^
которые не являются концевыми элементами Pt+1 и не лежат под
?n(t)+L добавляем к Mt+1, полагая
<pt+1(L(y)) = L<pt+l(y), 9t+1(R(y)) = V+1(y).
Если существует г ^ "(^)i ^i ф m'@i то рассмотрим наи-
наибольшее г'о < n(t) такое, что (Vj ^ ^'o)xj = m'(j). Определим
n(t + 1) t=; г'о. Для каждого к G Р* такого, что h(k) > г'о и стоит
метка \_kj, рассмотрим у, на котором стоит эта метка [_fcj. Добавим
к Mt+1 элементы L(y) и Я(у). Для каждого к, h(k) > г'о, выберем
наибольший элемент х € Р* такой, что А; -< х и /i(x) ^ г'о, но на
элементах z у х нет метки | к' такой, что h(k') > г'о. Под элемент

3.5. Ограниченные фрагменты теории булевых алгебр 253
у>'(я) поместим поддерево, изоморфное {z | z € Vt+i,z г<1 х}, и
добавим соответствующий изоморфизм к отображению у'+1, если
множество {z G V* \ h{z) ^ io) не пустое, т. е. для к существу-
существует хотя бы один z с указанными свойствами. В противном случае
ipt+i совпадает с у>' на этом элементе х. Продолжим построенное
отображение до изоморфного вложения X>t+1 в Mt+1 относитель-
относительно порядка <. После этого добавим к К1 у>'+1-образы концевых
элементов из V, лежащих в Х>'+1, и получим A't+1.
Из конструкции и того факта, что характеристика 21 равна A,1,0),
следует, что lim n(t) — со, <р(х) i=? lim у' (х) существует для лю-
?-+оо t—юо
бого х и lim тг{г) существует для любого г. Пусть (V, I) —дерево,
t—+0О
порождающее В-р. Из этих свойств получаем, что фактор-алгебры
!{Х)/РG(х)) и <p{I{x))/F(ip{J(x))) изоморфны при х G V таком,
что 1(х) — атомная булева алгебра. Ввиду того, что элементы
(J М', задающие атомные элементы булевой алгебры 2$м, либо
задают конечную булеву алгебру или *ВШ, либо отличаются на ко-
конечное слагаемое от некоторого слагаемого <рA(х)) для х G V та-
такого, что 1(х) — атомный элемент из 2$-р, нетрудно построить изо-
изоморфизм между 2$м и 2$t>. Но в 2$м элементы lim y>(m'(i)) для
t—юо
любого i задают бесконечную цепь элементов типа A,1,0) из 2$м-
Следовательно, 2$м — рекурсивная булева алгебра с рекурсивным
множеством атомов и О'-рекурсивным идеалом Ершова — Тарского.
Дальнейшее доказательство основано на следующей лемме.
Лемма 3.5.7. Если рекурсивная булева алгебра В характери-
характеристики A,1,0) с рекурсивным множеством атомов и 0''-рекур-
0''-рекурсивным идеалом Ершова — Тарского /B$) является ш-предель-
ной, то существует рекурсивная булева алгебра 21, изоморфная
05, но с рекурсивным идеалом Ершова — Тарского и рекурсивным
множеством атомов.
Доказательство. Если идеал Ершова — Тарского 0'-рекурси-
вен, то для рекурсивного дерева V такого, что булева алгебра 2$-р ре-
рекурсивно изоморфна В, существует рекурсивная функция / такая,
что существует f(n) = lim f(n,t) для любого п, причем f(x) =
t—+0О
0 о 1{х) G /(<8р) и J{x) = 1 & 1{х) ? /(<8г>), где (V,I) -
дерево, порождающее Ъ-р В этом случае будем растягивать дере-

254 3. Конструктивные булевы алгебры
во Т> и строить новое дерево V и вложения <p't из Х> в Т>' так, что
<p't стабилизируется когда стабилизируется функция f(n, t). В этом
случае мы не меняем типа изоморфизма. Тем самым мы добьемся
рекурсивности идеала Ершова — Тарского, не нарушая рекурсивно-
сти множества атомов и не изменяя типа изоморфизма.
Наша следующая цель — анализ рекурсивной булевой алгебры
21 с рекурсивным множеством атомов и идеалом Ершова — Тарского
/B1). Отметим следующий простой факт.
Предложение 3.5.5. Если рекурсивная булева алгебра 21 харак-
характеристики A,1,0) имеет рекурсивное множество атомов и ре-
рекурсивный идеал Ершова — Тарского /B1), то существует вычи-
вычислимая последовательность 21,- рекурсивных булевых алгебр ха-
характеристики, chiB1,) = 0 таких, что множества их атомов
равномерно рекурсивны и 52 {0,1}21» — 21.
iefi
Доказательство. Утверждение можно получить последова-
последовательным отщеплением прямых слагаемых. Эффективное выполне-
выполнение этой процедуры обусловлено рекурсивностью идеала Ершова —
Тарского и тем фактом, что для любых х, у таких, что х А у = 0 и
xV у ? /B1), выполнено х € /Bl)&j/ $ /B1) или х ? /B1)&з/ €
/B1).
Будем говорить, что конструктивная булева алгебра B1, и) эф-
эффективно представима в виде прямой суммы конструктивных
булевых алгебр B1,-,«/,-) и писать B1,//) =гес ? {о 1}B1,-, */,), если
21 = Yl {o,i}2li и существуют рекурсивные функции /: N х N —> N
и g : N -»¦ N такие, что Vn 6 N и{п) — ? «'»/(»',"), где Vj € N
uif{hn) € 21»; при этом Vi > g(n) Uif{i,n) = 0 либо Vi" > g(n)
«/.•/(!» = 1.
Предложение 3.5.6. Пусть булева алгебра 2$ представима в ви-
виде прямой суммы вычислимой последовательности рекурсивных
булевых алгебр 21,- сигнатуры а\, где Vi ? N 21,- = 21; х 9$(-, где
Щ — атомная булева алгебра, \Щ\ — оо, 9$; — нетривиальная
безатомная булева алгебра. Тогда 2$ разрешима.

3.5. Ограниченные фрагменты теории булевых алгебр 255
Доказательство. Достаточно найти конструктивизацию, в ко-
которой Atom(<8), Atomless(®), Atomic(<8) и /(<8) разрешимы. То-
Тогда утверждение будет доказано согласно теореме 3.4.8.
Пусть Т>{ — дерево, порождающее 2lt- и равномерно строящееся
по г. Не ограничивая общности, можно считать, что на каждом
шаге построения дерева к готовой части присоединяются только два
новых концевых элемента, т. е.
где а — L[c), b = R[c) и с — некоторый концевой элемент дерева
Т>\. Рассмотрим отображение S, : Т>{ А 01;.
Строим по шагам новое дерево М,- так, чтобы Ъм, — Щ и
®м, х ®т) — 2ti были изоморфны. Неформальное описание про-
процедуры выглядит следующим образом. Вводятся понятия полного
элемента дерева (аналог безатомного элемента порождаемой буле-
булевой алгебры) и понятие n-полного элемента так, что элемент полный
тогда и только тогда, когда он n-полный для любого натурального п.
В конструкции по шагам мы отслеживаем n-полные элементы X>J+1,
причем рост п отслеживает счетчик, который до своего превышения
позволяет оставаться элементу на месте. После превышения счет-
счетчика мы перемещаем элемент но дереву М/, «подклеивая» его и
элементы, построенные под ним к шагу < + 1, к наименьшему сво-
свободному концевому элементу, но не отмеченному как концевой эле-
элемент во всем дереве. Таким образом, полные элементы превращают-
превращаются в атомные элементы за счет постоянного перемещения п-полных
фрагментов дерева благодаря постоянному росту п. Атомные ко-
конечно полные элементы стабилизируются и, начиная с некоторого
шага, не перемещаются.
Новое дерево, несмотря на добавление бесконечного числа кон-
концевых элементов, порождает булеву алгебру, изоморфную атомной
части исходной булевы алгебры. Это происходит в силу предложе-
предложения о сохранении типа изоморфизма булевых алгебра: при присо-
присоединении к концевым вершинам конечных поддеревьев рассмотрен-
рассмотренная конструкция сохраняет тип изоморфизма. Перейдем к точному
описанию конструкции. На шаге t мы определим часть дерева М\,
функции >р\ : Т>\ -4 М- и счетчик \х r{x,t) : T>\ -4 N.
Шаг 0 Определим М? ^ {0}, г@,0) ^ 0 и <^>°@) ^ 0.

256 3. Конструктивные булевы алгебры
Шаг< + 1. Полагаем Х>?+1 = Х>|и{а,6},где а = L(c), b - R(c)
кс — концевой элемент V\. Пусть к шагу t + 1 уже определены
дерево М/, функция <р\: V\ —> М/, а также значения г(х,<) при
Положим по определению х t=; {у G N | х ^ у}. Элемент a G Т>
называется полным в дереве Т>, если д,ГФ = а, и п-п<ммьш в дереве
D, если Х> Э {х | Я(х, г) = а & х ^1 а & i ^ п}. Если из текста ясно
значение п, будем говорить о конечно полных элементах. На этом
шаге определим процесс «атомизации» полных элементов дерева ?>,-.
Случай 1: существует х G V\ такой, что
(*) "(Зу е V\+1(y 4 xkSi(y) G AtomBl,))) и х не n-полный в V\,
но n-полный в 2?,'+1, где п>0ип^ r{x,i). Пусть С(8{{х)) ф
к
V 6,- для любого к G N, где 6,- G 2$т>» и 6,- — атом 21,-.
i=i '
Пусть Хо — наибольший элемент среди х ?V\, удовлетворяю-
удовлетворяющих условию (*). Такой хо существует, так как по условию он не
n-полный в V\t но n-полный в V\+1, т. е. под ним добавился эле-
элемент. Мы добавили на шаге t + 1 только а и 6 и Н(а) = Я F).
Поэтому все элементы, удовлетворяющие (*), уже находятся в мно-
множестве {х | хо >г х} для некоторого хо, удовлетворяющего (*).
Рассмотрим у )? хо, удовлетворяющие следующему условию:
(**) под S(y) есть концевые элементы z из 2>{ и S{(z) (fc AtomBlj).
Рассмотрим наименьший уо, удовлетворяющий условию (**), и
наименьшее относительно обычного порядка на множестве натураль-
натуральных чисел число г0 такое, что г0 < 5(j/o). *а — концевой элемент V\
и <5i(zo) i- AtomB1,). Ввиду бесконечности числа атомов булевой
алгебры 21,- и последней части условия (*) такие г/о и го всегда мож-
можно найти. Для у ^ хо и у С Х>'+1 полагаем r(y, t -f 1) ±=; r(y, t) -f 1.
Для всех остальных аргументов при t +1 оставим прежние значения.
Рассмотрим d t=; tp\{za). Пусть ф — изоморфизм, отображающий
Т>\+1 П хо в поддерево с вершиной L(d), т. е. ф : (I>'+1 П х0) ->
L(d). Тогда M/+1 ^ M/UrangeVU{fl(d)}, ^+1|(uj\?o)\{zo} -
Случай 2: на шаге t + 1 нет х удовлетворяющего (*). На шаге
1 мы имеем X>,t+1 = ?>fu{a, 6}, где a = L(c), 6 = Я(с),с —кон-

3.5. Ограниченные фрагменты теории булевых алгебр 257
цевой элемент V\. Положим с' ±=; <р\(с). Определим <?>'+1|р' = у>',
<р\+1(а) i=; L(c'), v!+1F) ^ й(с'), Ml+1 ^ м/U {L(c'), Я(с')}-
Пусть Мj ±^ Q М/. Для любого ж € {у € Dj+1 | <J,(y) ^
Atom B1,)} существует число tx € N такое, что Vt ^ fx(y>'(x) =
у>' (ж)). Для введенного множества аргументов определим функ-
функцию ifi следующим образом: <fi(x) ±=; Iimy>'(z)- Пусть ®М; —
t—УОО
булева алгебра, порожденная деревом Mi, а /^ : Mi -ч ®д/, —
порождающее отображение. По построению ®д/; атомная и множе-
множество ее атомов рекурсивно.
ЛеммгцЗ.5.8. Имеет место вложение QIJ-
Без ограничения общности считаем, что QIJ — подалгебра ал-
алгебры ®м<- Действительно, пусть pi,-.- ,pn — все максималь-
максимальные полные элементы дерева 2>,-. Отсечем от дерева 2>,- все эле-
элементы H(pi),... , Н(рм) и элементы pi, ¦ ¦ ¦ ,рлг> Для поддеревьев
5(pi)П2>,,... , 5(pn)nDi передвинем вершины из них под элементы
Н{рх),... , H(pn) с помощью функции Я (см. рис. 3.5.1) Получен-
Полученное дерево обозначим V\. Очевидно, что Я$р' S 21J. Рассмотрим
композицию Hi<p{ : Х>{ —> ®Afi как порождающее отображение на
свой образ, т. е. на /i,-y>j(D{) С ®м^ т. е. можно считать, что булева
алгебра Я{ изоморфна вложена в булеву алгебру
Fuc. 5.5J
Лемма 3.5.9. Для всех i булевы алгебры 21(- и ®Af, изоморфны.

258 3. Конструктивные булевы алгебры
Доказательство. Утверждение следует из предложения 1.5.3
и следующих двух свойств конструкции:
(l)Vi е М{{C°°у G М{(у — концевой в М&у 4 х) -» C°°z e
T>i){z — концевой в Т>{к.<р{{г) 4 х))),
B)Vi € М,Cу € T>i)(x )p ifi{y) и между х и у>,(у) подвешено
лишь конечное число конечно полных элементов, полученных
«атомизацией» соответствующих n-полных элементов в дереве
Таким образом, мы показали, что булевы алгебры 21J- и Я$л^ изо-
изоморфны. Тогда имеем изоморфизмы 21* = Щ х 93,, = Ъм, х 2$rj-
Так как булева алгебра *BV конструктивизируема равномерно по i
и булева алгебра Я$М; имеет разрешимое множество атомов равно-
равномерно по i, булева алгебра ?3 {о i}(®Af, x ®tj) может быть кон-
структивизируема с разрешимым множеством атомов и безатомных
элементов. Булева алгебра ?) {0 1} (®м, х ®tj) изоморфна булевой
алгебре Ъ = ?2 {о,1}B1(- х ®tj), так как изоморфны все слагаемые.
ieN
Поскольку элементарная характеристика равна A,1,0) и в построен-
построенных булевых алгебрах Я$м; все элементы атомные, булева алгебра
Щ {о,г}2$м, х 2$rj рекурсивна в обогащении предикатами Atom,
Atomless, Atomic, /ив силу модельной полноты ее теории разре-
разрешима.
Завершим доказательство теоремы. Мы показали, что рекур-
рекурсивная булева алгебра 53 характеристики A,1,0) с рекурсивным
множеством атомов имеет конструктивизацию v такую, что {*B,v)
с разрешимым множеством атомов и характеристикой Ершова —
Тарского A,1,0) эффективно представима в виде прямой суммы
конструктивных булевых алгебр B1,-, j/,-), у которых chiQl,- = 0 для
любого i (т. е. первый идеал Ершова — Тарского рекурсивен). По-
Покажем, что в этом случае булева алгебра Я$ сильно конструктиви-
конструктивизируема и разрешима. Действительно, пусть булева алгебра (Ъ, и)
имеет эффективное представление (Я$, v) =rec 5208»,и)> гДе Для
•ей
любого i € N конструктивная булева алгебра 2lj = Щ х *BJ-, 21J- —
атомная булева алгебра, Я$(- — безатомная булева алгебра или 0.

3.5. Ограниченные фрагменты теории булевых алгебр 259
Основной нетривиальный случай разобран выше. Отметим сначала
два простых алгебраических утверждения.
Лемма 3.5.10. Если булева алгебра 05 = ]Г) {o,i}05j и f : N ->
neN
N — строго монотонная функция и /@) = 0, то булевы алгебры
{од} ( Л 05,-) и 05 изоморфны.
\ /(п)<г</(п + 1) /
Действительно, изоморфизм этих булевых алгебр следует из изо-
изоморфизма всех конечных частей прямых сумм типа 05о Ф . ¦. Ф
05/(п+1) и @50 Ф • •. Ф В/@) Ф •.. Ф (»/(„) Ф ... Ф »/(„+!)).
Кроме того, справедлив эффективный аналог леммы.
Лемма 3.5.11. Пусть конструктивная булева алгебра @5,1/)
представима эффективно в виде @5,1/) =гес ]>3 {о i}(®»'i ui) u
/ : N —> N — строго монотонная рекурсивная функция такая,
что /(О) = 0. Если
то @5,1/) и B1,//) рекурсивно изоморфны.
Замечание 3.5.1. Пусть 05 = ]Г) {o,i}2li, где 21; 5S 21- х 05J,
гек
И;, атомная, 05J- S 05„ или 05| 5S 0. Если 3°°г'О5;- S 0, то 3°°гО5; S
05т). В противном случае chO5 = 0, что противоречит условию.
Случай 1: 3°°гО5$ = 0. Тогда в силу замечания и леммы 3.5.10
можно построить новую конструктивизацию булевой алгебры 05 с
рекурсивным множеством атомов и разложением 05 = ]Г) {o,i}2li x
гек
05" такую, что 05|' = 05п для любого г € N.
Без ограничения общности можно считать, что 05J ^ 0 для лю-
любого I.
Случай 2: 3°°i(|2l<| < оо) fc3°°i(|2l<| = оо).
Случай 2.1: существует бесконечно много i таких, что в 21J
есть слагаемое типа 05ы. Рассмотрим булеву алгебру @5', и1) =?гес
Z) {о,1}B1|х05ых05^, i/jXi/w), где щ — конструктивизация21'<х05'<,

260 3. Конструктивные булевы алгебры
иш — сильная конструктивизация Ъш и @5, v) Srec J^ {o,i}Bl< x
®(-,i>i). Используя критерий Воота, легко показать, что 05' и 05
изоморфны. Кроме того, в 05' множество атомоз разрешимо, если
оно разрешимо в @5, v). Таким образом, этот случай сводится к
предложению 3.5.6.
Случай 2.2: среди г таких, что 21{ бесконечна, содержится лишь
конечное число г таких, что 05ы изоморфна прямому слагаемому 21J.
Тогда фактор-алгебра 21J- по фильтру Фреше безатомна почти для
всех 21J-. Следовательно, почти все 21{ такие, что |21(-| = оо, изо-
изоморфны 05ЫХ!)- Как и в случай 2.1, достаточно рассмотреть алгебру
@5', и') Srec J2 {o,i}Bl»x®wxij.b't®^xij>1 которая изоморфна05
и удовлетворяет условиям предложения 3.5.6, где vwxr] — сильная
конструктивизация 05ЫХ!)-
Случай 3: 3<0Oi|2lJ| < оо. Этот случай сводится к предложе-
предложению 3.5.6 «склеиванием» первых слагаемых, содержащих все члены
с условием |21(-| < оо, в одно слагаемое.
Случай 4: |21|-| < оо для любого i?N. Тогда булева алгебра
05 изоморфна 05ы+ч и разрешима.
Случай 5: 3<оог|21(-| = оо. Выделяем слагаемые с бесконечной
частью 21(- в отдельное слагаемое, которое сильно конструктивно,
поскольку оно будет атомным и множество атомов в нем рекурсив-
рекурсивно. Оставшаяся часть удовлетворяет случаю 4. Следовательно, она
также сильно конструктивизируема. Так как произведение сильно
конструктивных булевых алгебр сильно конструктивно, заключение
теоремы выполняется. ?
Следствие 3.5.1. Если 05 — булева алгебра характеристики
A,1,0) с рекурсивными множествами Atom BJ), Atomless(!8),
то 23 разрешима.
В случае характеристики A,0,1) полного ответа пока не полу-
получено. Остается открытым вопрос о разрешимости булевой алгебры,
допускающей рекурсивное представление в обогащении предикатами
Atom и Atomless, выделяющими множества атомов и безатомных
элементов.
Одинцов [150] установил следующий признак разрешимости.

3.5. Ограниченные фрагменты теории булевых алгебр 261
Теорема 3.5.3 [150]. Пусть 03 — рекурсивная булева алгебра,
chQ3 = A,0,1) " Atom (В), Atomless(Q3), Atomic @3) рекурсив-
рекурсивны. Тогда существует разрешимая булева алгебра Э такая, что
Прежде, чем приступить к доказательству этого признака, уста-
установим критерий изоморфизма булевых алгебр элементарной харак-
характеристики A,0,1). Пусть 21 — булева алгебра элементарной харак-
характеристики A,0,1). Последовательность ее ненулевых атомных эле-
элементов {ао, а\,... } называется главной, если
B) любой атомный элемент алгебры 21 лежит под объединением ко-
конечного числа элементов последовательности А,
C) если d G А, то для всех, кроме конечного числа, г ? N либо
d Л а,- = 0, либо а,- ^ d.
Обозначим через Va подмножество Т{Щ, определенное следу-
следующим образом. Подмножество / С N принадлежит Va тогда и
только тогда, когда найдется элемент d G 21 такой, что а,- ^ d для
всех i G / и а,- Л d = 0 для всех г ^ /. Пусть /, J С N. Полага-
Полагаем / ~j J тогда и только тогда, когда (/\J) U (J\I) — конечное
множество. Следующие свойства очевидны:
A)если I,J EVa, to /U J eVA и /П J EVA,
B) если / G VA, to N\/ G Va,
C) если / G VA и / ~j J, то J G Va-
Лемма 3.5.12. Булевы алгебры iBuS элементарной характе-
характеристики A,0,1) изоморфны тогда и только тогда, когда суще-
существуют главные последовательности А = {ао, а\,..'. , } элемен-
элементов Ъ и С = {co,ci,...} элементов Э такие, что (а,)<в =
[Ci)v, i?w, uVA =Vc-
Пусть А к С — главные последовательности атомных элементов
алгебр 03 и 2), удовлетворяющие условиям леммы. Покажем, что
В и 33 изоморфны. Пусть 6 G Ъ Полагаем J+{b) = {i \ a,- ^ 6},
J-(b) = {i | а,- Л 6 = 0}, J°(b) = N\(J+FLJ J[b)). Ясно, что
J°(b) — конечное множество для любого b G Ъ Аналогично опре-
определяются J+ (d), J~ (d) и J°[d) для произвольного элемента d G Э.

262 3. Конструктивные булевы алгебры
Для г G ш фиксируем изоморфизм /,• : (at)<8 -* (c»)tr и вос"
пользуемся критерием Воота изоморфизма булевых алгебр. Усло-
Условие изоморфизма S определим как множество пар (b, d) G 03 х 2)
таких, что J+F) = J+[d), J~[b) = J~[d) и для любого i G J°[d)
имеет место равенство /j(a,- П b) = С{ П d. Покажем, что S дей-
действительно является условием изоморфизма. Очевидно, что па-
пары @,0) и A,1) попадают в S. Предположим, что (a,b) G S.
Рассмотрим пару (С{а),С(Ь)). Ясно, что J+(C[a)) = J~[a) и
J~(C(a)) = J+{a). Аналогичные утверждения верны для 6. По-
Поэтому J+(C(a)) = J+(C{b)) и J-(C(a)) = J-(C[b)). Для любого
г G J°{C(a)) имеем /;(С(а)Ла.) = С3,(/,(аЛа,)) = Сг,FЛс,-) =
С[Ь) Л с,-. Следовательно, (С[а),С[Ь)) G S. Пусть (a,b) G 5 и
d G 03. Рассмотрим элементы a Ad к a\d. Ввиду условия Va — ~Рс
существует элемент е' G 2) такой, что е' ^ 6, </+(е') = J+(a Л d) и
J-(e') = N\J+(c'). Поэтому J+(fr\c') = J+(a\d) U (J°{a A d) П
,/+ (a)) и J~ \b\e') = J~ {a\d)l){J- {aAd)nJ°(a))uF, где F - под-
подмножество J°[a) такое, что <Ma,- = аЛа< для любого i G F Пусть
G= {J°(aAd)nJ+{a))U{J-{aAd)nJ°{a)). Для i G G полагаем
gi = fi(aAd). Пусть e = e'V V 5»v V (*Лс,-). Ясно, что (aA<f, &Ле)
и (a\d, b\e) G S. Аналогично показывается, что в случае (a, 6) G S
и e G Ю найдется <f G 03 такой, что (a A d,b Ac) и (a\d, 6\e) G 5.
Следовательно, S — условие изоморфизма. Обратная импликация
вытекает из доказательства приводимой ниже леммы.
Лемма 3.5.13. Пусть 03 — бесконечная булева алгебра с рекур-
рекурсивным множеством атомных элементов. Тогда существует
рекурсивно перечислимая главная последовательность атомных
элементов 03.
Доказательство. Пусть 1, &о, &i,... , — произвольная рекур-
рекурсивно перечислимая порождающая последовательность алгебры 03,
®' = &{{bo,bi,... ,6,})*, где 6,+i — атом булевой алгебры 03s+1
и 03s ф О3'+1, к А' — множество элементов перечисленных в А к
шагу s.
Шаг 0. Полагаем А0 - {0}.
Шаг s + 1. Множество А' уже определено. Пусть a — атом
алгебры 03' такой, что bs+i < а. Если в множестве {6,+i,a\6,+i}
найдется атомный элемент с такой, что для любого d G А' неверно,
что с ^ d, то полагаем A'+l — A' U {с}. В противном случае по-

3.5. Ограниченные фрагменты теории булевых алгебр 263
лагаем As+1 = А*. Доказательство завершается непосредственной
проверкой требуемых условий. ?
Обозначим через (? множество конечных последовательностей из
нулей и единиц. Если и и v — последовательности, то обозначим
через и * v последовательность, полученную из и приписыванием
справа v. Запись и ^ v означает, что и есть начальный сегмент по-
последовательности v. Кортеж последовательностей г = (г0,... ,г„)
называется сечением множества (?, если ни одна из последователь-
последовательностей го,... ,ra не является начальным сегментом другой, и для
любой последовательности и € <? либо г,- ^ и, либо и ^ г,- для
некоторого г ^ п. Обозначим через <?jr совокупность всех началь-
начальных сегментов (не обязательно собственных) последовательностей из
кортежа F. Пусть 03 — булева алгебра, удовлетворяющая условиям
теоремы 3.5.3. Фиксируем рекурсивно перечислимую порождающую
последовательность этой алгебры 1 = 6o,6i,.... Через ЯB$) обо-
обозначим множество У Atom@3*), где 6J+i — атом алгебры Q3J+i
Лемма 3.5.14. Существует рекурсивная функция д : Nx4-+
03, удовлетворяющая следующим условиям:
(a) для любой последовательности г € (? существует lim^(s, г)
= h(r) и функция h осуществляет разнозначное отображе-
отображение множества (? в множество Я@3)\/@3),
(b) gr ({Л(г)//(В) | г €<?}) = »//(»),
(с) Л(г)//(«8) = {h{r*O)Vh(r * 1)//(В), причем h{r * 0)//(«8)Л
Л(г* 1O@3) = 0<b//(Q3).
Функция g(s, r) будет определяться параллельно с построением ал-
алгебры 03* и перечислением идеала Ершова — Тарского 7@3) (идеал
7@3) рекурсивно перечислим, так как множества Atomless@3) и
Atomic @3) рекурсивны). На каждом шаге либо будет делиться
один из атомов построенной конечной подалгебры 03, либо перечи-
перечисляться очередной элемент 7@3). Обозначим через 03* построенную
к шагу s подалгебру алгебры 03 и через /* — конечное множество
перечисленных к шагу s элементов идеала /@3). Предполагаем, что
Is С 03*.

264 3. Конструктивные булевы алгебры
Шаг 0. Полагаем «8° = {1,0}, /° = {0}, д@,г) = 1 для всех
ret
Шаг s + 1. Для всех г ? <? определены 03", /* и g(s,r).
Причем функция Xrg(s,r) обладает следующим свойством. Пусть
{ао,... ,ап} = Atom(935)\/J. Тогда существует последователь-
последовательность г = (го,... , гп), образующая сечение <? и такая, что g(s, г,)
= а,- и на множестве BV функция Xrg(s,r) разнозначна. Более то-
того, если г,- ^ и, то g(s,ri) = g(s,u). Пусть на этом шаге делится
атом а € Atom @3*). Возможны два случая.
Случай 1: а ? /'@3). Полагаем g(s + 1,г) = g(s,r) для всех
г?<?.
Случай 2: а ^ /'(93) и атом а делится на две части бис:
а = 6Vc, бЛс = 0. Пусть a = g(s,r). Полагаем g(s+ l,r *O) = 6,
g(s + 1,г * 1) = с. Если г ¦ О ^ и, то g(s + l,u) = g(s + 1,г *О)
и если г ¦ 1 ^ и, то g(s + l,u) = g(s + 1,г * 1). На остальных
последовательностях значение функции остается прежним.
Пусть на шаге s+ 1 перечисляется очередной элемент a €
Если a ^ rangAr<7(s,г), то оставляем функцию д без изменений.
Пусть а = g{s,ro) и го = г * 1. Полагаем g(s + 1,г) = g(s,r *
A —г)). Для любой последовательности и полагаем g(s+ l,r* v) =
g(s, г * A — i) * v). В остальных случаях функция не изменяется.
На этом заканчивается описание инструкции построения функции
Xs\rg(s,r). Ясно, что строящиеся функции рекурсивны.
Докажем, что для любой последовательности г ? <? существует
Hm0(s,r) = h(r) и если s0 = min{s | g(s, r) = h(r)&g(s,r) ф
g(s,r * О)}, то g(s,r * О) g /(93 и g(s,r * 1) ^ /@3). Для это-
этого рассмотрим пустую последовательность Л. Имеем д@,А) = 1.
Пусть s' — наибольший номер шага, на котором алгебра 93* содер-
содержит в точности один атом а ? Л(93' ), не принадлежащий идеалу
/(93). Тогда на шаге s' + 1 этот атом разобьется на две части 6 и
с: а = 6 V с, 6 Л с = 0, причем 6 ^ /(93) и с ^ /(93). Из опи-
описания конструкции следует, что найдется номер шага s" ^ s' + 1
такой, что g{s",A) = a, g(s",A * 0) = 6, g(s",A * 1) = с. Ясно,
что $(в",Л) = Л(Л), 0(в",Л * 0) ? /(93), 5(ЛЛ * 1) $ /(93).
Допустим, что утверждение верно для последовательностей длины
меньшей, чем длина последовательности г, и г = и * i. По ин-
индукционному предположению найдется s такое, что g(s,u) = Л(и)

3.5. Ограниченные фрагменты теории булевых алгебр 265
и g(s,r) ^ /B5). Доказательство завершается'такими же рассу-
рассуждениями, как для последовательности Л. Из доказанного выше
стандартным образом получаем все утверждения леммы. D
Опишем конструкцию рекурсивной булевой алгебры Э, суще-
существование которой требуется в доказательстве теоремы. Как обыч-
обычно, алгебра Э будет объединением бесконечной цепи конечных бу-
булевых алгебр Эо С 5)i С •. • — подалгебр рекурсивной безатом-
безатомной булевой алгебры. На каждом шаге s несколько атомов алге-
алгебры Э5 делятся на части. При построении элементы множества
;=; UAtomEM) могут быть помечены метками из следующе-
следующего множества:
{Atomic, Atomless} U { |Т] | г € <?}u{ [а] | а € Atomic @5)}.
Пусть А — некоторая рекурсивно перечислимая главная последо-
последовательность атомных элементов алгебры 05. Алгебра Э строится
параллельно с алгеброй 05 и перечислением А. Как обычно, 05*
обозначает конечную подалгебру алгебры 05, построенную к шагу s,
а. А' — множество элементов, перечисленных в А к шагу s.
Шаг 0. Полагаем Э° = {0,1}. На единицу помещаем метку
Л
Шаг s + 1. Подалегбра Э* уже построена. Рассмотрим все ато-
атомы Atom E)*), имеющие метки из <?. Предположим, что для любой
последовательности г длины s в Atom (Э*) найдется элемент с мет-
меткой [F]. Атом с меткой [Т] разбиваем на четыре части. На одну из
них помещаем метку Atomic, на другую — метку Atomless, на тре-
третью — метку I г * О |, на четвертую — метку | г * 11. Все элементы
Atom E)*) с метками Atomless делятся на две части, на каждую из
которых помещается также метка Atomless. Если на шаге s+1 эле-
элемент а € Atom @5*) делится на две части 6 и с и в Atom (Э*) име-
имеется элемент, помеченный
, то разделим его на две части. Одну
из частей пометим
, а другую — [с] . Допустим, что существу-
существует d € As, который еще не является меткой какого-либо элемента
алгебры 5V. Находим последовательность г такую, что d ^ g{s,r)
и элемент d не сравним с элементами g(s,r*O) и g(s,r*l). Неслож-
Несложно убедиться, что такая последовательность всегда существует. Мы
ищем элемент из Atom (Э*), такой, что он помечен меткой Atomic,

266 3. Конструктивные булевы алгебры
не помечен элементами 05 и лежит под элементом с меткой Гг~|. Если
такой элемент do нашелся, то ставим на него метку
и разбиваем
do так, чтобы можно было установить изоморфизм между (rfo)oD'+1
и (rf)<g.+i. Атомы из Atom(rfo)I).+i) помечаем соответствующими
им атомами алгебры (d)tg.+i. Описание конструкции завершено.
Отметим некоторые свойства построенной алгебры 2). Обозна-
Обозначим через аг элемент, помеченный меткой [г~[ Очевидно, что для
всех г элемент аг не принадлежит 7C5) и
аг//B») = («гхо V а,..!)/;^), аР.о Л агт1 - 0.
Поэтому 35//B)) — безатомная булева алгебра. Следовательно,
алгебра 2) имеет элементарную характеристику A,0,1).
Элемент алгебры 2) принадлежит идеалу /B)) тогда и только
тогда, когда он лежит под объединением конечного числа элемен-
элементов алгебры 2), каждый из которых помечен меткой Atomic или
Atomless. Поэтому идеал 7B)) рекурсивен. Элемент алгебры 2)
является атомным тогда и только тогда, когда он лежит под объ-
объединением конечного числа элементов алгебры 2), помеченных мет-
метками Atomic. Поэтому множество Atomic@5) является рекурсив-
рекурсивным. Наконец, элемент алгебры 2) безатомный тогда и только тогда,
когда он является объединением конечного числа элементов поме-
помеченных метками Atomless. Поэтому идеал безатомных элементов
также рекурсивен.
Чтобы доказать рекурсивность множества атомов, отметим сле-
следующее. В процессе построения алгебры 2) каждому элементу а ?
2) с меткой Atomic ставится в соответствие (как метка) элемент
Ь ? А. Далее построение осуществляется так, что между (а)я и
F)я можно установить рекурсивный изоморфизм. Поэтому рекур-
рекурсивность множества атомов алгебры 2) следует из рекурсивности
множества атомов алгебры 05. Рекурсивность множеств Atom B)),
AtomlessB)), AtomicB)), 7B)) влечет разрешимость алгебры 2),
поскольку ch B)) = A,0,1). Осталось показать, что 2) = 05. За-
Заметим, что не только любой элемент с меткой Atomic будет поме-
помечен элементом из А, но и любой элемент из А будет поставлен на
элемент из 2) в качестве метки. Поэтому элементы из 2) с метками
Atomic можно перенумеровать так, что мы получим рекурсивно пе-

3.5. Ограниченные фрагменты теории булевых алгебр 267
речислимую главную последовательность С = {'с0, с\ ...} атомных
элементов алгебры 3) такую, что (с",)я = (а,-) в- Используя лемму
3.5.12, нетрудно установить, что Vb = Vjj. Поэтому 2$ Э? 3). О
Из предложения 3.5.2 и теоремы 3.5.1 получаем следующее утвер-
утверждение.
Следствие 3.5.2. Справедливы следующие утверждения:
(a) булева алгебра 01 с первой характеристикой ch(Ql) = 0 разре-
разрешима тогда и только тогда, когда конструктивизируемо ее
обогащение до сигнатуры (Т\,
(b) существуют неразрешимые, но конструктивизируемые буле-
булевы алгебры с chi(Ql) = 0, элементарными характеристиками
@,оо,0) и @,оо, 1) и только такими,
(c) для элементарной теории любой булевой алгебры 01 с chi(Ql)
> 0 существует неразрешимая, но копструктивизируемая
булева алгебра этой теории.
Таким образом, уже для сигнатур а и о\ классы конструктив-
конструктивных алгебр и алгебр, конструктивных в обогащении, а также классы
булевых алгебр, конструктивизируемых в сигнатуре <r ia<?\, различ-
различны.
Изучим разрешимость ограниченных теорий конструктивных бу-
булевых алгебр для других сигнатур. Если L\ = (N, <i) и Li =
(N, <г) — рекурсивные линейные порядки, то определим L\-\-Li =
(N,<), где
х < у ^G(x) < G(y) V {G(x) = G(y) = 0&[x/2] <, [y/2])
V (G(x) = G(y) = l&[x/2] <2 [y/2])
и G(x) = 0, если 2 делит х, и G(x) = 1 в противном случае
Ясно, что L\ + hi определяет линейный порядок, равный сумме
линейных порядков L\ и Ь2 Для рекурсивных линейных поряд-
порядков Li, i — 1,...,/:, можно определить L\ + L2 + ... + Lfc ^
(... (Li + L-i) + • • •+ Lk)- Пусть L = (N, <) -- рекурсивный линей-
линейный порядок с наименьшим элементом. Рассмотрим булеву алгебру
2$t и ее конструктивизацию ui.
Пусть Т) — линейный порядок типа рациональных чисел, f4 —
его однозначная конструктивизация и <,, — соответствующий ей

268 3. Конструктивные булевы алгебры
рекурсивный порядок. Построим по шагам рекурсивное множество
В такое, что
(Vxy)(x <„ у) => {3zuz2){zx € Bkz2 ? В
&х <v zx <v yfcx <v z2 <v у)-
Шаг 0. Положим Во = 0 и В'о = 0.
Шаг 2п + 1. Если r(n) <v l(n), то в силу плотности ц и ко-
конечности В'2п существует х ? В'2п такой, что г(п) <,, х <v l(n).
Рассмотрим наименьший элемент х с указанными свойствами и по-
положим В2„+1 ^ В2п U {х}, В'2п+1 ^ В'2п. При г(п) ^п 1(п)
ничего не меняем, т. е. определим В2п+\ ^ В2п и В'2п+1 ^ В'2п.
Шаг 2п + 2. Если r(n) <v l(n), то в силу плотности rj и конеч-
конечности В2п+\ существует ж ? Вгп+1 такой, что г(п) <,, х <п 1(п).
Определим В2п+2 ±=; B2n+i и B^n+2 t=; B'2n+1 U {х}. При r{n) ^
1(п) полагаем
В2п+2 ^ {B2n+i U {0,1,... ,п})\В'2п+1, В'2п+2 •=. В'2п+1.
Непосредственно из построения видно, что множества В = |J В„ и
В' = У В'п рекурсивно перечислимы и таковы, что В П В' = 0
ийиВ' = N. Поэтому В рекурсивно и по построению обладает
требуемым свойством. D
Рассмотрим общерекурсивную характеристическую функцию Св
множества В и множество нечетных чисел G такое, что G(x) = 1
при нечетном х и G(x) = 0 при четном х. Зададим для каждого
п ^ 0 эффективно по п рекурсивный строгий линейный предпо-
рядок Ln = (N,<n) и два вспомогательных рекурсивных строгих
линейных предпорядка L° = (N, <°), L\ = (N, <\). Отметим, что
если Р — порядок на А, то Р' t=; {(х,у) \ Р(х,у)к~"Р(у,х)} —
строгий порядок. Согласно Р' порядок определяется однозначно.
Пусть
х <! у & г(х) < г(у) V (г(х) = г(у) & ((G(r(x)) = 0
Ы(х) <0 1(У)) V (G(r(x)) = 1 &/(х) <J

3.5. Ограниченные фрагменты теории булевых алгебр 269
Если <°, <J,, <n, <n+i уже построены, то определим <° + 1, <\+ц
<п+2 следующим образом:
х <°+1 У <* г(х) < Ну) V (г(х) = г(у) &/(*) <п+1 /(у)),
У&(х = 0ky>0)V (х>0ку>0
& (г(х - 1) <, г(у - 1) V (г(х - 1) = г(у - 1)
&(r(x-l)€B&Z(x-l)<»Z(y-l))
<„+2 У Ф> г(х) < г(у) V (г(х) = r(y) & ((G(r(x)) = О
V (С(Г(Х)) =
Заметим, что 0 — наименьший элемент во всех этих рекурсивных
порядках. По рекурсивным порядкам Ln, L°, L\ мы эффективно
определяем конструктивные булевы алгебры
Булеву алгебру 5В^п вместе с конструктивизацией, полученной по
рекурсивному линейному порядку Ln обозначим (QJni^n)- Ввиду
построения можно доказать по индукции следующие леммы.
Лемма 3.5.15. Элементарные характеристики Я$„>
равны (п, 1,0), (и, 0,1), (п,оо,0) соотпветпстпвеммо.
Лемма 3.5.16. Пусть п > 1 и [х,у[& Ъьп- Тогда
(а) если г(х) = г(у) и G(r(x)) = 0, то
(Ь) если r(x) = r(y), G(r(x)) = 1, то
(с) если г(х) < г{у), то кх ^ |{г | G{i) = 0,r{x) ^ i < г(у)}\,
к2 ^ 1, если |г | G(i) = l,r(x) < i < г(у)} ф 0 или
G{r{y)) = 1&/(у) > 0, и ?2 ^ 0 в протпивмолс случае, то
элементарная характеристика [х,у[ равна (n,k\,k2),

270 3. Конструктивные булевы алгебры
(d) если [х,оо[ G 2$/,„, то элементарная характеристика эле-
элемента [х,оо[ равна (п, 1,0).
Лемма 3.5.17. Пусть О ф [х, у{ е *В^^ и п > 0. Тогда
(а,) если (х = 0&у > 0) V (х > 0&у > 0&г(х - 1) <„ г(у - 1)),
то элементарная характеристика [х,у[ равна (п,0,1).
(Ъ) если х > Оку > 0kr(x - I) = г(у- I) € В, то (®L|,)[r,y[ =
(®i;_,)['(«Ti),'(v-i)['
(с)ес/шх>0&у>0&г(х-1) = г(у-1) ? В, то (®/,),)[г,у[ ^
Лемма 3.5.18. Ллге5ры !В/,,, Вш+г; изоморфны и в случае 0
( р(х) < г(у), *! ±=; |{i | G(i) = 0&г(х) ^ г' < ()}|
к2 = 1 при {г | G(t) = 1&г(х) < t < r(y)} ф 0 илиО(г(у)) =
1&/(у) > 0 и &2 = 0 имаче, то элементарная характеристика
[х,у[ равна @,ki,k2),
(b) если r(x) = r(y)&G(r(x)) = 1, то элементарная характери-
характеристика [х,у[ равна @,0,1).
Лемма 3.5.19. Алгебры !8/,i, iBi+r, изол<орд5мы и если О ^ [х, у[
6 ®/,i, то элел<емтармал характеристика [х,у[ равна @,0, 1).
В силу лемм 3.5.15-3.5.19 и способа построения *Bl можно эф-
эффективно определить элементарную характеристику элемента по его
номеру в конструктивизации булевой алгебры (!В„, ип).
Из определений вытекают следующие две леммы
Лемма 3.5.20. Если а 6 |®п|> то его элементарная характе-
характеристика (ni, П2, «з) такова, что rii ^ п & п2 < оо & (п^ = п —>¦
Лемма 3.5.21. Пусть элементарная характеристика булевой
алгебры 2$ роема (п,1,0) и
m
а{ Л aj = О& \J аг = 1

3.5. Ограниченные фрагменты теории булевых алгебр 271
для а\,... ,ат ? |03|, i ф j. Тогда существует единственное
jo такое, что для любого j ф jo элементарная характеристика
(п1!, п2, п3) элемента a.j такова, что п\ < п, и элементарная
характеристика a,j0 равна (п, 1,0).
Лемма 3.5.22. Верны следующие утверждения:
(a) если а ? |03|, то а имеет элементарную характеристику
(mi, m2, тз), где mi < оо, т2 < оо, т3 G {0,1}, тогда и
только тогда, когда 03 (= Е^тит:г-т^(а),
(b) если элементарная характеристика Ъ равна (п1,Пч,Пз), то
для любой тройки (тьт^тз) такой, что
(mi =п\ & т2 ^ П2 & т3 <С п3) V (mi < п\ & тз G {0; 1}
&т2 < оо),
в !В истинна формула (Зх)(?]<т1'т=.тз)(х)).
Рассмотрим булеву алгебру 2J элементарной характеристики
(П1,П2,П3)
Предложение 3.5.7. Если п2 < оо, то существует булева ал-
алгебра Ъ' такая, что Ъ = Ъ' и (Уа)(а 6 103'| => ch2(a) < оо).
Если п2 = 00, то существует булева алгебра 03' такая, что
03 = 03' и
(Va)(a 6 |03'| => (chi(a) < щ => ch2(a) < оо)
&(chi(a) < ГЦ V(chi(a) = гц&(сЬ2(а) < оо V (chi(С(а)) ^ щ
&ch2(C(a))<oo))))).
Доказательство. В силу лемм 3.5.15-3.5.20 в качестве 03' мож-
можно взять при rii < оо, п2 < оо булеву алгебру 03 х 03"^ при
rii = оо •-- булеву алгебру, определенную порядком J2 />t, а, при
п2 = оо — булеву алгебру 03/0 х 03^ ¦ П
Обозначим через @3", ип) сильно конструктивную булеву алге-
алгебру элементарной характеристики (п, 1, 0), найденную в предложе-
предложении 3.4.4.

272 3. Конструктивные булевы алгебры
Предложение 3.5.8. Для любых п и а\,... , а* € N эффективно
находятся номера Ь\,... ,6* € N такие, что
(!Bn)i/nai i/na*) =(«8",i/"bi,... ,i/*).
k
Доказательство. Пусть а(,ь... iik) ^ Д ^па)', где (гь .'.. , ik)
j=i
6 {0,1}* и a0 t=i C(a), a1 ^ а. Так как в (Ъп,и„) элементарная
характеристика элемента эффективно находится по его номеру в
этой конструктивизации, можно найти элементарные характеристи-
характеристики элементов 0A,,... ,ik). Обозначим через (п^п^Пз) элементарную
характеристику элемента ипа. Занумеруем множество {<«(.,,...,.к)}
так, что i ^ j => п"' ^ п*'; пусть это множество будет {а,-}'=1.
Тогда по лемме 3.5.21 n"' = n + 1, п^' = 1, п%' = 0, а по лем-
лемме 3.5.20 (Vi < l)(n°' ^.nLn*' < оо). Можно считать, что / ^ 2,
так как случай / = 1 тривиален. Применим следующий процесс.
/ a*! a"i a"i \
Шаг 1. Рассмотрим E\Ul ' ' >(х) и, подставляя последова-
последовательно в эту формулу элементы /га из ®", в силу сильной кон-
конструктивности (*Bn,vn) найдем номер bi такой, что
Шаг г, 1 < г < /. Подберем элемент 6,- такой, чтобы i/,-
удовлетворяло формуле
В силу леммы 3.5.22 на каждом шаге_г < / такие 6,- найдутся.
Определив 6,-, г ^ / — 1, в качестве 6; возьмем номер элемента
1 \ ( V vnbj ). Ввиду сильной конструктивности (<8", j/") номера 6,-
находятся эффективно, причем согласно леммам 3.5.21 и 3.5.22 они
таковы, что элементарная характеристика unb{ для любого г ^ I в
®" равна (п1',П2*,Пз'). Поэтому по лемме 3.5.22, положив i/б,- =
Y ubj, мы получим требуемые элементы. D
Из предложений 3.4.4 и 3.5.8 вытекает следующее утверждение.

3.5. Ограниченные фрагменты теории булевых алгебр 273
Следствие 3.5.3. (Ъп > vn) — сильно конструктивная булева ал-
алгебра, причем разрешающая процедура для нее эффективно стро-
строится по п.
Аналогично предложению 3.5.8 можно доказать
Предложение 3.5.9. Справедливы следующие утверждения:
(a) B$l<> , vl°) сильно конструктивна.
(b) {^Вь^,иц) сильно конструктивна.
Рассмотрим рекурсивный линейный порядок L = (N,C), построен-
построенный в теореме 3.5.1 такой, что *8/, — атомная конструктивизируе-
мая, но не сильно конструктивизируемая булева алгебра.
Для любой конструктивизации и булевой алгебры 2$? V-теория
B$?, I/O, и\, v2,...) не разрешима, так как в противном случае мно-
множество атомов было бы рекурсивно, поскольку выделяется V-форму-
лой. По теореме 3.4.8 эта конструктивизация должна быть сильной,
что невозможно по предположению.
Пусть Ln = (N, <„) — определенные выше рекурсивные поряд-
порядки. Введем новый рекурсивный порядок Ln — (N, <"), положив
х <п у ^ г(х) С г(у) V (г(х) = г(у) & 1(х) <„ 1(у)).
Лемма 3.5.23. (®i-)//n(»L-) = ®L-
Доказательство. Легко проверить, что если
к к
<p(\J[*i>Vi[) - У И0,х0,с@,у,)[//п(<8^п),
то <р является изоморфизмом 03^, на ®Ь"//„@5х,п)-
Лемма 3.5.24. Если 0 ф [х,у[€ ®L", r(x) С г(у) то
Лемма 3.5.25. Если 0 ф [х,у[€ ®l», г(х) = г(у), то

274 3. Конструктивные булевы алгебры
Предложение 3.5.10. Для любых а\,... ,ак € N эффективно
находятся 6i,... , 6* такие, что
(9Jx,»,J/x,»ai,... ,vLnak) =4n @3Ln+1)i/n+i6b... ,^+ibfc)-
Доказательство. Так же, как в предложении 3.5.8, определим
элементы а^1 jk). В силу лемм 3.5.15-3.5.19 но номеру a^l tJt)
можно узнать эффективно его элементарную характеристику, если
chi(a(ili... ,tfc)) < п. В противном случае, который тоже эффективно
распознается, мы не можем точно установить элементарную харак-
характеристику, но знаем, 4Tochi(a(,-1,...,:,,)) ^ п. Перенумеруем элемен-
элементы a(t,,... ,t"k) так, чтобы вначале шли элементы первого типа, у кото-
которых chi(a(,b...,ik)) < п, а затем те, у которых chi^,-, ik)) ^ п.
Для элементов первого типа определим соответствующие элементы
^(м, ,«'*) то" же элементарной характеристики, что и a(t,,... ,tt), как
мы это делали в предложении 3.5.8 для i < I. Очевидно, что допол-
дополнение к объединению элементов первого типа а в 03/,» и дополнение
6 к объединению соответствующих им 6(t,,... ,ik) в Я3/,п+, будут иметь
элементарную характеристику, равную элементарной характеристи-
характеристике ОЗ/,» и 2$z,n+I- Пусть a^i^ ,i),... ,«(:•,...,tk) — все оставшиеся
элементы. Выберем теперь элементы vn+\Xi,... , vn+ix, из Q3x,n+1
такие, что для каждого г, 1 ^ г: ^ s, элементарная характеристика
i/n+i{xi) равна (п, 1,0) и vn+iXi ^ 6, vn+iXi Л vn+iXj - 0, г ф j,
и определим
S
&(,;, ...,,•) = b\\J i/n+ixi,
i = 7.
а для j > 2 определим 6(,^ у) *=: fn+i«t- Тогда
=4„
Теорема З.5.4. Существует булева алгебра 03 такая, что тео-
теория Th4n+iE3, Uq, i/\, ...) не разрешима для любой конструкти-
визации и для 03, но существует конструктивизация р булевой
алгебры 03 такая, что Th4n@3,/io,A*i, • • •) разрешима.
Доказательство. Рассмотрим булеву алгебру 03/,». По пред-
предложению 3.5.10 Th4n@3x,ii,b'Lii@),b'L»(l)) разрешима. Допустим,

3.5. Ограниченные фрагменты теории булевых алгебр 275
что существует конструктивизация /i булевой алгебры ОЗ^п такая,
что Th4n+i(93L»,/*o,/*i, • • •) разрешима. Тогда
разрешима, но по выбору порядка L и конструктивизации v буле-
булевой алгебры 03^ из теоремы 3.5.1 теория IIi Г) Thi(Q$L,i/<h^ь ¦ • ¦)
не разрешима и ограничена. Полученное противоречие завершает
доказательство теоремы. ?
Построим булеву алгебру 03, которая не сильно конструктиви-
зируема, но существует ее конструктивизация и, для которой все
ограниченные теории Thn(Q3, j/0, гЛ,...) разрешимы.
Лемма 3.5.26. Если (*B,v) — сильно конструктивная булева
алгебра, то и3 ^ {т | (Зх € |ЯЗ|) ch(x) = (m, oo, 0)} € ?2.
Доказательство. Очевидно, что
т6ы„« Cn)(VJfc) [C* € |03|)(?(т'М)(*)&* ^ vn)
k (Vy) (у ^ vn ^Г E^-°^(y)) k /m+1 (vn) & -Vm (vn)}.
Так как @3, v) — сильно конструктивная булева алгебра, выписан-
выписанную формулу можно преобразовать к виду Cn)(Vfc).P'(n, k, m), где
Р' — рекурсивный предикат. ?
Рассмотрим А € П° \ И°- Используя алгоритм Крейсела, Шен-
фильда и Ван Хао [178], получаем, что существует рекурсивный пре-
предикат Р(х,у) такой, что х € А & Зшу Р(х,у).
Поскольку множество
LA ^{c(c(m, i), 0) | т, i € N} U {c{c(m, i),z+\)\
i,z,m€NkP(m,z)}
рекурсивно, существует рекурсивная функция /: N -> Ьд. Опреде-
на
лим рекурсивный линейный порядок <д следующим образом:
*<А У^/(х) = c(c(mi,ii),zi)kf(y) = с(с(т2,г2),г2)
к (mi < т2 V (mi = т2 к z\ < г2) V (mi = m2
kzi = z2kii

276 3. Конструктивные булевы алгебры
где <т — порядок, определенный выше.
Лемма 3.5.27. Для любого т существует частично "рекурсив-
"рекурсивная функция /т и число к такие, что /т: Дт А N u (Vxj/ 6
на
Дт)(г <а У <=> fm{x) -<m+\ fm(y)), причем Ь0«т?Аи
-<^,i=;<^,+ 1 — порядок, определенный выше, а для к > 0 -<?, —
рекурсивный порядок на Lm + Lm + ... + Lm,
Ат ^ {х | Г1 {с(с(т, 0),0)) О г <А Г1(с(с(т+ 1,0), 0))}.
Доказательство. Если т ^ Л, тогда существует &о такое, что
3^fco2 P(m,z). Рассмотрим все z\ < 22 < ... < zfco такие, что
P(m,Zi). По построению
Определим /т(х) = 2fc~'Br//(x) + 1), где rf(x) = zt + 1, если
х G Дт, и /т(х) = 2krlf(x), если г/(г) = 0 и х 6 Дт, * ^ &0 + 1.
Легко проверить, что fm(x) будет искомой, и в этом случае к > 0.
Если m 6 Л, то 3"гР(т,г) и множество Лт ^ {z \ P(m,z)}
бесконечно и рекурсивно, поэтому существует общерекурсивная мо-
монотонно возрастающая (строго) функция дт} которая перечисляет
множество Ат. Определим
{не определено, х ? Ат,
с(г//(х),0), г/(х) = 0, х 6 Дт,
c(rlf(x), цу{дт (у) = г f{x)) + 1)) иначе.
Очевидно, что /т осуществляет изоморфное отображение интервала
Дтна(К,^+1). П
Пусть Дт ^ J2 Д.'- ^т — сужение uLa на E5х,л)дт, а 1//,д
будем для краткости обозначать v&.
Лемма 3.5.28. Если
х <А yk(llf(x) = llf(y) V (///(*) < llf(y)krf(x) < rf(y))),
то

3.5. Ограниченные фрагменты теории булевых алгебр 277
Лемма 3.5.29. Если х <А y,llf(x) = Uf[y),rf{x) = rf(y),
то (Ъьл)[х,у[ - (®iM/(«Hi)[w/W,n/(»)l- Если [i,oo[e <Bla, то
chi([x,oo[) = оо.
Обе эти леммы непосредственно следуют из леммы 3.5.27 и по-
построения. Легко получить следующее утверждение.
Следствие 3.5.4. По номеру элемента в ((©ьд)д ,Ът) можно
эффективно узнать, будет ли первая координата элементарной
характеристики этого элемента больше т, или определить ее
точно.
Лемма 3.5.30. Для любых а\,... , а/с Е N можно эффективно
найти Ь\,... ,6fc € N такие, что
Доказательство. Рассуждения аналогичны проведенным при
доказательстве предложения 3.5.10 в силу следствия 3.5.4. ?
Следствие 3.5.5. ТЬ4т((!8ьд)дм,17т0,17т1,...) разрешима.
Из лемм 3.5.20 и 3.5.27 вытекает следующее утверждение.
Лемма 3.5.31. (Va G ©ьд)((а С Am&chi(a) < m) =J> ch2(a) <
оо).
Теорема 3.5.5. Существует булева алгебра В элементарной
характеристики (оо,0,0) такая, что
(a) для любой конструктивизации и булевой алгебры В теория
ThBJ, i/O, v\,...) неразрешима,
(b) существует конструктивизация ц булевой алгебры В такая,
что для любого т теория Thm(B,/i0, /Л,...) разрешима.
Доказательство. Покажем, что построенная по определенному
ранее рекурсивному порядку La булева алгебра 23 *=: В/,д удовле-
удовлетворяет условиям теоремы.
Допустим, что существует сильная конструктивизация и буле-
булевой алгебры 23. В этом случае по лемме 3.5.26 ш<в 6 Е[>т "° п0
леммам 3.5.27 и 3.5.31 \ + т ? w<g <=> т € Л. Следовательно.

278 3. Конструктивные булевы алгебры
w<8 € Пз\Ез ввиду выбора A е П§\?§. Полученное противоречие
доказывает (а).
Рассмотрим для 03^Л конструктивизацию, построенную по ре-
рекурсивному порядку La и обозначим viA через v. Очевидно, что
По лемме 3.5.27
или
(@3^д)д,, "д,) —
Ввиду предложений 3.5.8 и 3.5.9 i/д, является сильной конструкти-
визацией. Поэтому ТЬт(@3^Л)д,,ь<д,0, j/дД, ...) разрешима. По
следствию 3.5.5 ТЬт(@3^Л)д- , i/д 0, i/д 1,...) разрешима. В си-
силу предложения 3.1.8 Thm(%LA,v0,vl,...) разрешима. П
Применяя вышеприведенные результаты и методы можно дока-
доказать следующую теорему.
Теорема 3.5.6. Для любых п и элементарной характеристики
(п1,П2,пз), где п\ > п V (ni = п&,п.2 = со), существует буле-
булева алгебра 03 элементарной характеристики (я1,П2,пз) такая,
что для любой конструктивизации и булевой алгебры 03 теория
Th4n+i@3, uQ, u\,...) не разрешима, но существует конструк-
тивизация ц для 03, для которой теория Th4n@3, /Л),
/il, ...) разрешима.
Для сравнения заметим, что если @3, v) — конструктивная буле-
булева алгебра, Th^+i @3, ,1Л,...) разрешима ип+1 = chi@3), то
Th@3, ^0,1/1,...) разрешима, и если Th4n+4@3, ^О.И,...) раз-
разрешима и chi@3) = п + 1&сЬ2@3) < со, то Th@3,i/0,i/l,...)
разрешима.
Упражнения
1. Доказать, что атомная конструктивная булева алгебра @3, и) с
идеалом Фреше сложности А° арифметической иерархии сильно
конструктивизируема.

3.6. Алгоритмическая размерность 279
2. Доказать, что булева алгебра характеристики (п, к, т), констру-
конструктивная в сигнатуре
(V2, Л2, С1,0,1; Atom о, Atomless о, Atomic о,
/о,... , Atomn, Atomless„, Atomic,,, /n)
сильно конструктивна.
3. Доказать, что булева алгебра характеристики @, оо, 0) с разре-
разрешимым множеством атомов сильно конструктивна.
4. Доказать, что конструктивная булева алгебра характеристики
@,оо,1) с разрешимым множеством атомов сильно конструк-
конструктивна.
5. Доказать, что конструктивная булева алгебра характеристики
A,1,0) с разрешимыми множествами атомов, безатомных и атом-
атомных элементов сильно конструктивна.
6. Доказать, что конструктивная булева алгебра @5, i/) с chi (93) =
1 и разрешимыми множествами атомов, безатомных и атомных
элементов и первого идеала Ершова — Воота 1\ сильно конструк-
конструктивна.
7. Построить пример конструктивной булевой алгебры характери-
характеристики B,0,1) с разрешимыми множествами атомов и безатомных
элементов, которая не сильно конструктивизируема.
8. Построить примеры конструктивных булевых алгебр характери-
характеристики B,1,0) и A,0,1) с разрешимым множеством атомов, ко-
которые не сильно конструктивизируемы.
[Указание. Воспользоваться техникой иерархии Фейнера.]
9. Доказать, что булевы алгебры Ъш, 93Ш+Г), Ъшхг, имеют не силь-
сильные конструктивизации.
10. Доказать, что Ъш, 2$Ш+Г), 93ШХГ) с естественными нумерациями,
построенными по линейным порядкам и, и + г), и х г), будут
сильно конструктивны.

280 3. Конструктивные булевы алгебры
3.6. Алгоритмическая размерность
булевых алгебр
Вопросы единственности и числа (сильных) конструктивизаций
являются центральными при исследовании строения конструктиви-
зируемых моделей. Для выяснения зависимости алгоритмических
свойств модели от выбора конструктивизаций вводятся различные
эквивалентности и относительно них оценивается возможный спектр
неэквивалентных классов конструктивизаций. Наиболее полно раз-
разработан этот вопрос для рекурсивной эквивалентности и автоэкви-
автоэквивалентности.
Очевидно, что система может иметь не более счетного числа не-
автоэквивалентных конструктивизаций. Число классов автоэкви-
автоэквивалентных конструктивизаций называется алгоритмической раз-
размерностью системы ЯЛ и обозначается через dim^(Wl). Число
классов рекурсивно эквивалентных конструктивизаций обозначает-
обозначается dimr(Wt). Заметим, что dimr(fJK) ^ 2Ш.
Исследования в теории конструктивных моделей показали (см.
[59, 67]), что спектры возможных размерностей dinu (ЯЛ) Hdimr(Wl)
составляют в точности множестваNu{ui} и NU{ui}U{2"'}. Однако
для конкретных классов моделей эти спектры значительно сужают-
сужаются.
В этом параграфе нас интересует спектр алгоритмических раз-
размерностей булевых алгебр, а также проблема алгебраической харак-
теризации булевых алгебр заданной алгоритмической размерности.
В основе всех результатов об алгоритмических размерностях буле-
булевых алгебр лежит общий признак бесконечности алгоритмической
размерности, который мы будем называть теоремой о ветвлении.
Пусть (ЯЛ, и) — нумерованная модель сигнатуры <т и <тп — вычи-
вычислимая последовательность конечных сигнатур такая, что U<rn = <т
и <тп С <тп+1 для любого п.
Представлением нумерованной модели (ЯЛ, и) называется па-
пара ({ЯЛП | п € N}, /), где / — рекурсивная функция, а {ЯЛ„,п €
N} — строго вычислимая последовательность конечных моделей
сигнатур <7n, n € N, которые удовлетворяют следующим услови-
условиям:
ЯЛП ^ ЯЯп+1 f <7n, j//: ЯЛП -> ЯЛ — изоморфное вложение,
U |ЯЛП| — рекурсивное множество,
п>0

3.6. Алгоритмическая размерность 281
Легко заметить, что нумерованная локально конечная модель
имеет представление тогда и только тогда, когда она конструктив-
конструктивна. Более того, можно построить представление так, что основные
множества моделей Шп будут начальными отрезками натуральных
чисел.
Пусть ф(х~,у) = Д xl)i(x, у) — бесконечная конъюнкция V-фор-
мул от переменных х и у, а П = ({ЯЛ„ | ri ? N}, /) — представление
конструктивной модели (ЯЛ, у) и а - набор элементов из |ЭЛ|. Пусть
Чф.а - {<™о, • • • ,т) I Ш (= ФМ{то) vf(m),v№)}
и для любой конечной последовательности наборов то,... ,т^ та-
такой, что rnj. = (mo,... ,m;), существует бесконечно много t и со-
соответствующие изоморфные вложения <pt: ЯП( —? ЯЛ(+1 такие, что
для некоторого г ^ d выполняются следующие условия:
t+i _
где ^'t + I ^ Д Ф(> т> = (то. ¦ ¦ • .
¦ft тождественна на Шт и на элементах из наборов {ruj \ j < г}.
Пусть {V''m(^m,ym) I ™,* 6 N} вычислимая последователь-
последовательность V-формул, т. е. по т, i эффективно находится гёделев номер
фт i и {ат | m ? N} — вычислимая последовательность наборов
элементов из |J |ЯПП|, причем элементы ат принадлежат |ЯПт| для
;побого т ? N.
Будем говорить, что представление П„ t=; ({9Rn \ n' G N},/)
ветвится относительно последовательностей V-формул
и наборов {ат, т € N}, если для любого т множество В™ - не
пусто и фт(Ш,и/(ат)) \ i/f(B™m -m) конечно. Ниже в форму-
формулах опускаем индекс ат если вхождение параметров очевидно из
контекста.

282 3. Конструктивные булевы алгебры
Модель 9Я называется ветвящейся, если существует предста-
представление ее конструктивизации, ветвящееся относительно каких-либо
вычислимых последовательностей V-формул и наборов элементов.
Класс конструктивизации модели 9Я называется эффективно
бесконечным, если по любому вычислимому классу конструктиви-
конструктивизации этой модели эффективно строится конструктивизация, неав-
тоэквивалентная никакой конструктивизации из этого класса.
Теорема 3.6.1 [о ветвящихся моделях]. Если конструктивизи-
руемая модель 9Я имеет ветвления, то класс ее конструктиви-
заций эффективно бесконечен.
Доказательство. Пусть E,7) ~~ вычислимый класс конструк-
конструктивных моделей, изоморфных 9Я. Рассмотрим конструктивизацию и
модели 9Я, вычислимые последовательности бесконечных V-формул
и наборов, а также представление П„ = ({9ЯП I n € N},/), ве-
ветвящееся относительно этих последовательностей. По шагам будем
строить конструктивизацию /х и ее представление П^ = ({9Я? | n G
N},/*1), которое и будет искомым. Рассмотрим также представле-
представления (S,f). Обозначим через {{ОТ™ | п ? N},/m) представление
(9Ят | \rfy(m, п)), которое эффективно строится по т
На каждом шаге t строим конечную модель OTlf, частичную ну-
нумерацию fil, частичное отображение /2* и вспомогательную функ-
функцию г. Будем использовать метки (ra,i), где т,к ? N. Пусть
J --- переменные, вместо которых подставляются элементы ат, и
xq, ... , х; — все остальные переменные формулы фт. Упорядочим
все наборы чисел (то,... , пц) по их номерам в некоторой фикси-
фиксированной вычислимой нумерации. На метки (т, к) будем ставить
также метки (то, • • • , гщ).
При построении используется частично рекурсивная функция
\пхК(п,х), универсальная для класса одноместных частично ре-
рекурсивных функций. Через Кг(п,х) обозначим значение функции,
если последняя вычисляется менее чем за t шагов В противном
случае значение функции не определено.
Перейдем к описанию конструкции.
Шаг 0. Полагаем OTtft ^ 0,/1° = ца = 0,г(О, п) = 0 для
всех п

3.6. Алгоритмическая размерность 283
Шаг t +1. Проверяем, существует ли метка (т, к) <С t+1 такая,
что ХхКь(к, х) определена на {0,... , r(t, (m, к))} и
7(m, ia.ng\xKl(k, х)) Э {f(m, 0),... , -у(т, r(t, (т, к)))},
метка (т, к) нигде не стоит, либо стоит, но с меткой (т', т*0,. . . т*),
а также выполнено одно из следующих условий:
(i) An7(m, A't+1(Ar, п)) не есть изоморфное вложение
в9Пт;
(ii) не выполнено условие (i), но существуют числа т', по,... , щ не
большие t + 1, и изоморфное вложение <р: 9Jtt -> 9Jl(+i такие,
что
ограничение ^? на множество G тождественно, где (Ji)~l(G) со-
содержит все числа, на которых стоят метки, меньшие (т, к), и
числа из ат, и для всех наборов то,... , т; таких, что
(т0,... ,пц) < (К1(к, п0),... ,1<1{к, Гц)),
если все m{,i <С /, принадлежат Ш™+1 и в ЯЛ^ истинна форму-
(+1
ла & itrn',! на этих наборах, товсе(АяА''(&,:с))~1(т1') для г ^ /
принадлежат G и (то,... , ггц) < (К1{к, п0),... , К1(к, п;))
либо
9ПГ+1 К &/т',,((/т)(-1)К1... ,тГ,А"(Аг,ат))).
Если такой метки нет, то перейдем к п. А (см. ниже), заключающе-
заключающему шаг t + 1. Если такие метки существуют, то выберем среди них
метку с наименьшим номером. Пусть (т, к) —такая метка. Если
для (т, к) выполнено условие (i), to эту метку ставим на все эле-
элементы из OTtf, затем снимем метки, большие (т, к), и все метки с
меток, не меньших (т, к), и перейдем к п. А. Если же для (т, к)
выполнено условие (ii), то выберем наименьший набор (по,... , п;)

284 3. Конструктивные булевы алгебры
со свойствами, указанными в (ii). Снимем метки с меток, не меньших
(т,к), а также метки не меньшие (т,к). Перенумеруем элементы
модели 3Jlt+i так, чтобы номерами элементов ]fip@),... ,ffip(kt)
стали соответственно числа 0,1,... , kt, где [O,kt] = |ЯЛг|, и за-
зафиксируем эту нумерацию /It+1: |97tt+i| -> |97tt+i|. Определим
на множестве |97tt+i| индуцированные отображением /Г*+1 из 9flt+i
предикаты и константы. Полученную модель обозначим ЯЛ^+1. На
элементы модели 97tf+1 поставим метку (т, к), а на (т, к) — метку
(т', по, • • • , ni), где т', п — наименьшие элементы, удовлетворяю-
удовлетворяющие (ii). Положим
//+1 ^ vtf+l, r(t + 1, (m, к)) ^ \\Щ+1\\,
r(t + l,n)^r(t,n), пф(т,к),
где ||97tt+i|| — число элементов модели ЯЛ«+1, и перейдем к следу-
следующему шагу.
А. Продолжим отображение ]?: |3Jlf| -» |Wlt+i| до отображе-
отображения р+1: \ЯЬ+1\ ^ |9Jlt+i|. Положим ЯЛ?+1 ^ (/I(+1)-1(9nt+iI
на
Ht+i ?=; i///Jt+1, r(t + l,n) = r(t,n) для всех п и перейдем к сле-
следующему шагу, определив в 97tf+1 индуцированные отображением
1 отображения из модели 97tt+i.
Рассмотрим последовательность моделей Ш? С ... С 971^ С
... и положим W !=; U97l(J В силу леммы 3.6.5 (ниже) отображение
/Г(п) = Нт /Г* (п) определено для всех п. Для любого п существует
п-юо
tn такое, что Д*(п) = /^"(п) при t ^ tn. Поэтому ограничение ~р
на любое 9Л? является изоморфным вложением 97l(J в ^
Учитывая представление i/, получаем, что ufp — изоморфизм
на ЯЛ. Пусть /i(n) ^ vfp(n) для всех п € N. По лемме 3.6.6
(ниже) нумерация р. является конструктивизацией, а по лемме 3.6.7
(ниже) она неавтоэквивалентна никакой конструктивизации из S.
Доказательство завершают сформулированные простые замечания
о конструкции и леммы 3.6.1-3.6.7. ?
Замечание 3.6.1. Метка (т',по, ¦ • • ,ni) снимается с (т,к),
если ставится меньшая метка, либо
ЯЛ И" Фт-Ыт,К{к,п0)),... ,-у{тк,{к,п,))).

3.6. Алгоритмическая размерность 285
Замечание 3.6.2. Если метки, меньшие (т, к), ставятся лишь
конечное число раз, то метка (т', щ,... , щ) ставится на (т, А;)
лишь конечное число раз.
Лемма 3.6.1. Если метка (т,к) ставится бесконечно часто,
то функция ХхК(к, х) всюду определена и *у(т, K(k,N)) = |ЯИ|.
Доказательство следует из определения функции г и условия
конструктивизации (ii). D
Лемма 3.6.2. Если все метки, меньшие (т, к), ставятся лишь
конечное число раз, то (т,к) также ставится конечное число
раз.
Доказательство. Предположим противное. Ввиду леммы 3.6.1
7("i, A'(A:,N)) = \Ш\ и функция ХхК(к,х) всюду определена.
Пусть <о — шаг, после которого никакая метка, меньшая (т, А;),
уже больше не ставится. Выберем т' так, что |ЯИ„/| содержит все
числа, отмеченные метками, меньшими (т, А;), на шаге <о + 1
Пусть фт'(Ш,1//ат')\1//В™ #3- ( содержит d элементов. Так
как B™'miZml не пусто и фт'(ЯЯ, vfami)\vfB™' содержит точно d
элементов, в ГО1 существует по крайней мере d+l наборов элементов
то,... , Tud таких, что
<т\=фт<(т,,К(к,ат,)),
где j ^ d. Рассмотрим т'о,... , m'd, в range XxK(k, х) такие, что
7(m,m'o) = mo,... ,i(m,m'd) = rud,
и шаг <i > <0i после которого они лежат в rangeXxKl(k, х). Выбе-
Выберем из них набор т* с наибольшим номером. После шага t\ каждый
набор (т', Ш) может ставиться на пару (т, к) лишь конечное число
раз.
Рассмотрим шаг <2 > 'i такой, что все числа из указанных на-
боров попали в range Ах А 3(к,х) и в SJIJ^ формула & range фт',>
ложна на тех наборах, для которых ГО1 \=~" фт/ и т < Ш*. Таким
образом, существуют наборы шц,... ,rn'd, такие, что

286 3. Конструктивные булевы алгебры
для i ^ d! и d' ^ d, и для всех наборов m с номерами, меньшими
номера т", либо т = т/ для некоторого i ^ d', либо ЯЛ (="•
грт'Ыт,(гп,К(к,ат-)))).
Рассмотрим шаг <з ^ <2 такой, что все числа из наборов, которые
попадают в иЯЛ™, попадают также в ЯЛ™ и если
ЯЛ К1 1рт'Ыт,т),ат1), т<т*,
то ЯЛ? |=- ^т'.ЖГТЧ™),/(«"•<))¦ Выберем Ing,... .m^,
так, что
А'(^, то') = то, • • • , *(*,И#) = mj'
и шаг t4 > <з, после которого все числа из этих наборов попадают в
/т(ЯЛ™). Так как после шага <о на метку (т, к) каждая метка m
может ставиться лишь конечное число раз, существует шаг <5 > '4,
после которого на (т, к) ставятся метки т*. Тогда ^ после шага
<5 не будет изменяться на наборах шд',... ,m'Ji. Если для некото-
некоторого набора rfij в модели ЯЛ выполнена формула ~>Фт'{1*1*{™$')),
то рассмотрим шаг <б > *5i для которого
и на метке (m, fc) ставится метка mj, которая уже больше не снимет-
снимется. Если ЯЛ f= i{>mi("}?*(mj1),ат>) для всех j, то хоть один из этих
наборов принадлежит BJT1 _ . Но тогда найдется шаг <6 > <5, на
котором для метки (т, к) этого набора выполняются условия наше-
нашего шага, и на (т, к) поставится метка с mj, где j ^ d', что приводит
к противоречию. D
Следствие 3.6.1. Каждая метка (т,к) ставится лишь конеч-
конечное число раз.
Лемма 3.6.3. Существует бесконечно много меток (т,к), ко-
которые на некотором шаге ставятся и больше не снимаются.
Доказательство. Предположим противное. Пусть существует
шаг to, после которого все метки, если они ставятся, то и снимают-
снимаются. Рассмотрим наименьшую метку, которая ставится после шагов
to и шаг <i > to, когда это происходит. Из конструкции и усло-
условия (ii) ясно, что эта метка может сняться лишь в силу того, что

3.6. Алгоритмическая размерность 287
на ней меняется метка. Причем поставится именно эта метка; так
как все метки ставятся лишь конечное число раз, то с некоторого
шага она остается постоянно. Осталось показать, что после шага t0
хотя бы одна метка ставится. Пусть это не так. Тогда рассмотрим
число т, большее всех меток, которые ставятся до шага <о на шаге
<о, и рекурсивную перестановку ХхК(т, х). Если Лг7@, К(т, х))
осуществляет изоморфное вложение \J 9JIJ" в 9К0, то так же, как
в лемме 3.6.2, находится шаг, на котором метка @,т) должна по-
ставиться. Если же это не так, то для метки @, т) выполнятся на
некотором шаге условия (ii), и она будет поставлена вопреки пред-
предположению. ?
Из конструкции получаем следующую лемму.
Лемма 3.6.4. Если после шага to па элементе п стоит метка,
которая уже больше не снимается, то для всех t ^ <о справед-
справедливо /l'(n) = Jito(n).
. Ввиду леммы 3.6.3 и 3.6.4 и того факта, что J? осуществляет
перестановку |9К(| для любого t справедлива следующая лемма.
Лемма 3.6.5. Значение Шп) ^ limlfin) определено для всех
п и-р:П-^П.
на
Из леммы 3.6.5 и определения отношений на9К получаем следу-
следующую лемму.
Лемма 3.6.6. Нумерация \1 — i/f~p является конструктивиза-
цией модели 9JI.
Лемма 3.6.7. Конструктивизация /л неавтоэквивалентна ни-
никакой конструктивизации из S.
Доказательство. Предположим противное. Пусть \i автоэкви-
автоэквивалентна конструктивизации \п~г(т, п). Рассмотрим общерекур-
общерекурсивную функцию \хК(к,х) такую, что /л(п) = i(m, К(к,п)) и
¦)(т, К(к,Щ) = 9Jtm для всех п G N, а функция ХпК(к,п) ин-
индуцирует автоэквивалентпость между \ni(m,n) и Xn)i(n). Рас-
Рассмотрим соответствующую метку {т,к). Используя конструкцию
леммы 3.6.2 и следствие 3.6.1, можно показать, что метка (т, к) на
некотором шаге поставится и больше не снимется, так как в про-

288 3. Конструктивные булевы алгебры
тивном случае она ставится бесконечно часто, а это противоречит
следствию 3.6.1. ?
На основании теоремы 3.6.1 охарактеризуем теперь автоустойчи-
автоустойчивые булевы алгебры, т. е. алгебры единичной алгоритмической раз-
размерности, и опишем весь спектр возможных алгоритмических раз-
размерностей булевых алгебр.
Теорема 3.6.2. Класс конструктивизаций конструктивизируе-
мой булевой алгебры с бесконечным множеством атомов эффек-
эффективно бесконечен.
Доказательство. Чтобы воспользоваться теоремой о ветвящих-
ветвящихся моделях, достаточно определить V-формулу и найти представле-
представление, относительно которого она ветвится. Пусть @3, v) — конструк-
конструктивная булева алгебра с бесконечным множеством атомов. Без огра-
ограничения общности можно считать, что v — взаимно однозначная
нумерация, так как любая конструктивизация бесконечной алгебра-
алгебраической системы, очевидно, рекурсивно эквивалентна взаимно одно-
однозначной конструктивизаций. Таким образом, конструктивизация v
индуцирует на N структуру рекурсивной булевой алгебры 03*, изо-
изоморфной 03. На основании леммы 3.3.1 выберем вычислимую после-
последовательность {21,- | г S N} конечных подалгебр этой рекурсивной
булевой алгебры такую, что U21,- = 03*,2l,+i = grBlj U {а.}), где
а; — атом в 2l,+i. Тогда {21,- | г S N} с тождественной функцией
будет представлением конструктивизаций v. В качестве последова-
последовательности V-формул выберем последовательность из одной и той же
V-формулы:
ф(х) ^ {Чу){у <i=>y = О)&* ф 0.
Покажем, что так выбранная последовательность удовлетворяет ус-
условиям из определения ветвления. Докажем сначала, что множе-
множество В'ф не пусто. Рассмотрим атом 6 булевой алгебры 2lm, под
которым в 03* лежит бесконечно много элементов и атом а булевой
алгебры 03*, лежащий под 6. Покажем, что а ? 5™. Согласно выбо-
выбору а в 03 выполнена формула ф на va. Пусть а\,... , а^ = а — ко-
конечная последовательность элементов 03*. Если 03 \=^ ф^ац) для
некоторого г, то при тождественном вложении 21* в 2lt+i с некото-
некоторого t0 выполняется a S В™. Если для любого а,- из последователь-
последовательности ai,... ,а,< выполнено 03 ^= ^("а«)> то выберем наименьшее i

3.6. Алгоритмическая размерность 289
такое, что а,- лежит под 6. Так как под 6 лежит бесконечно много
элементов, а на каждом шаге t в 21( под 6 лежит лишь конечное
число элементов, существует бесконечно много t таких, что на шаге
t + 1 в 2lf+i иод 6 лежит элемент, не лежащий в 21(. Рассмотрим
такой шаг t > т, при котором вся последовательность aj,... .aj
лежит в 21(. Тогда но нашей конструкции 2l(+i = grBl( U {с}), где
с - атом в 2l(+i. Пусть с0 — атом в %, под которым лежит элемент
с. Определим вложение ft из 21( в 2lf+i, положив
Нетрудно видеть, что (pt — изоморфное вложение % в 2l(+i, причем
ipt оставляет на месте все элементы из 2lm и все элементы, лежащие
под атомами 2lm, отличными от 6. Заметим, что tpt(a.i) = сц V с
Таким образом, b21(+i на (pt (a,) формула Сложна, а для всех j < г
отображение tpt оставляет aj, j < г, на месте. Следовательно, все
условия на а выполнены и a ? В™, т.е. В™ ф 0. Из выше до-
доказанного также следует, что любой атом а булевой алгебры ©*,
лежащий под любым атомом Ь булевой алгебры 2lm, иод которым
имеется в ©* бесконечно много элементов, будет лежать в В™. Но
в таком случае если атом а не лежит в В™, то он лежит под ато-
атомом в конечной булевой алгебре 2lm, под которым в ©* лежит лишь
конечное число элементов. Поэтому таких а может быть лишь ко-
конечное число и множество ф(Ъ*)\ В™ конечно. Следовательно, по
теореме 3.6.1 о ветвящихся моделях класс всех конструктивизапий
булевой алгебры ©-эффективно бесконечен. ?
Опишем все автоустойчивые булевы алгебры и сформулируем
алгебраический критерий автоустойчивости.
Теорема 3.6.3. Конструктивизируемая булева алгебра авто-
автоустойчива тогда и только тогда, когда она имеет конечное число
атомов.
Доказательство. Необходимость следует из теоремы 3.6.2. До-
Докажем достаточность. Пусть © — конструктивизируемая булева
алгебра с конечным числом атомов и © имеет т атомов а\,... , ат.
m
Пусть a = У а, и и, ц — две произвольные конструктивизапий бу-
левой алгебры ©. Покажем, что v и ц автоэквивалентны. Если © —

290 3. Конструктивные булевы алгебры
конечная булева алгебра, то автоэквивалентность и и ц очевидна. В
противном случае рассмотрим конструктивизации va и ца алгебры
2 и vc(a) и №с(а) алгебры С(а) из следствия 3.1.1. Пусть (T>x,ipi)
и (Т>\, <р2) — рекурсивно перечислимые порождающие деревья та-
такие, что (C(a),vc(a)) изоморфна (Вр, .i/p,) и (C(a),fiC(a)) изо-
изоморфны. Такие деревья существуют в силу теоремы 3.3.2. Так как
С(а) — безатомная булева алгебра, заключаем, что Т>х = Z>2 = N
и (C{a),vc(a)), (С{а),цс(а)) изоморфны @3щ,»/щ). Следователь-
Следовательно, isc(a) и №с(а) автоэквивалентны. Поэтому (91,1/) = (а,иа) х
2 > = <Я,^>- ?
Следствие 3.6.2. Алгоритмическая размерность булевых ал-
алгебр может принимать лишь три значения: 0,1,ш.
Следствие 3.6.3. Класс конструктивизации неавтоустойчивой
булевой алгебры эффективно бесконечен.
Интересным представляется вопрос о связи алгоритмических раз-
размерностей булевых алгебр в зависимости от выбора сигнатуры. От-
Отметим, что любая нумерация и булевой алгебры 03 является кон-
структивизацией 03 тогда и только тогда, когда v — конструктиви-
зация булева кольца й@3), а автоморфизмы 03 и й@3) одни и те
же. Поэтому алгоритмические размерности системы 03, рассматри-
рассматриваемой как булева алгебра и как кольцо, совпадают. Иная ситуация
возникает при рассмотрении 03 в сигнатуре (^). Ясно, что любая ее
конструктивизация и является конструктивизацией также в сигна-
сигнатуре (^). Обратное утверждение неверно, хотя (см. теорему 3.3.4)
dimyj@3) ф 0 тогда и только тогда, когда dim^(^@3)) ф 0. Если
конструктивизации и и ц булевой алгебры 03 неавтоэквивалентны,
то ввиду совпадения классов автоморфизмов 03 и L@3) они неав-
неавтоэквивалентны также в сигнатуре (^). Поэтому dimyj(L@3)) ^
dimyj@3). Следовательно, для булевых алгебр с бесконечным чи-
числом атомов dimyj(i@3)) = dimyj@3). Таким образом, остается
рассмотреть алгоритмическую размерность для решеток L@3) с ко-
конечным числом атомов.
Теорема 3.6.4. Если L@3) — бесконечная конструктивизиру-
емая булева решетка, то класс всех ее конструктивизации эф-
эффективно бесконечен.

3.6. Алгоритмическая размерность 291
Доказательство. Так как L@3) — конструктивизируемая бу-
булева решетка, по теореме 3.3.4 она конструктивизируема и как бу-
булева алгебра. Пусть и —• взаимно однозначная конструктивизация
03 в сигнатуре булевых алгебр, которая индуцирует рекурсивную
булеву алгебру 03*, изоморфную 03. Принимая во внимание лем-
лемму 3.3.1 и следствие 3.1.4, рассмотрим вычислимую последователь-
последовательность {21,-};6м конечных подалгебр 03* такую, что U21,- = 03* и
2ll+1 = grBl,- U {ui}), где а; — атом 211+1. Эта последователь-
последовательность вместе с тождественной функцией определяют представление
конструктивизации и. Рассмотрим два случая.
Случай 1: булева алгебра 03 имеет бесконечно много атомов.
Как было доказано в теореме 3.6.2, мы имеем ветвление относитель-
относительно формулы (Vj/)(j/ < х ¦=> у = 0)&х ф О, выделяющей атомы. Яс-
Ясно, что эта формула подходит также в сигнатуре (^). Доказатель-
Доказательство ветвимости проводится так же, как в теореме 3.6.2. Поэтому
решетка L@3) имеет эффективно бесконечный класс конструктиви-
конструктивизации
Случай 2: булева алгебра 03 имеет конечное число атомов. Пусть
иа равно дополнению объединения всех атомов. Без ограничения
общности можно считать, что а ? 21,- для любого г. Выберем из
{2li }ieN вычислимую последовательность {2l/(i) }ieN TaK> чтобы лю-
любой атом из 2l/(i), лежащий под а, уже не являлся атомом в21^,-+1).
Так как любой элемент, лежащий под а в 03*, безатомный, такой вы-
выбор возможен. Далее рассматриваем как представление для 03* эту
последовательность, и обозначаем ее {03„ | п 6 N}. В качестве
искомой V-формулы возьмем формулу вида
фт(х, у, z) t=;(\/t)((x ^ tky ^ t -)• z ^ t)kx ^ zky ^ zkx <? у
km
ку ? xkz ^ ak(\f z ^ a,),
i=i
где ai,... , akm — атомы булевой алгебры 03m, меньшие а. Прове-
Проверим, что для построенной таким образом последовательности фор-
формул фт и наборов am выполняются условия ветвимости. Для этого
достаточно вывести равенство 5™m^m = 1/)m@3.*,am). По опреде-
определению В^р j- С i/)m@3*,am). Поэтому достаточно доказать вклю-
включение фт(<В',ат) С В^тТга, т. е. если (а, 6, с) е ^т@3*,ат), то
(а, 6, с) ? B™m5m- Пусть (ао,6о,со),... ,{ап,Ьп,сп) = (а, 6, с) -

292 3. Конструктивные булевы алгебры
конечная последовательность наборов. Если существует i такое, что
*8* ^ фт(щ, bi, с,-, ат), то требуемое условие автоматически вы-
выполняется при тождественном вложении 03t в 2$t+i при достаточно
больших t. Если для любого i выполнено 05* |= ^т(а,-, 6,-, с,-, ат), то
рассмотрим набор ао, 6о,со. В силу истинности фт на этом наборе
элементы ао, 6о, со булевой алгебры 05* удовлетворяют следующим
условиям: ао V 6о = со, ао $? 6о> &о з? ао, со меньше а и лежит под
одним из атомов булевой алгебры 05т. Пусть t > т и 05t содер-
содержит все элементы наших наборов. Определим изоморфное вложение
(fit'- 05t —? 05t+i в сигнатуре (^) так, что
05
t+i
и изоморфизм (fit тождествен на 05т. Пусть d — атом 05t, лежащий
под элементом ао \ 6о. По построению в 05t+i элемент d не является
атомом. Если d0 < d и do — атом в 05t+i, то определим вложение
(fit из 05t в 05t+i следующим образом:
Нетрудно заметить, что <fit(x) ^ ft{y) <=> ? ^ у. Следовательно,
(ft — изоморфное вложение 05t в 03t+i в сигнатуре (^). Заметим,
что ipt оставляет на месте элементы 05т и <pt(co) = со, <Pt(bo) = bo,
но <?>t(ao) = a0 \ d0. Поэтому <?>t(c0) ф <pt{bo) V <pt(ao), более того,
элемент ipt(bo) V <?>t(a0) лежит в 05t+i. Следовательно,
?
Следствие 3.6.4. Булева решетка автоустойчива тогда и то-
только тогда, когда она конечна.
Упражнения
1. Показать, что отображение tpt в доказательстве теоремы 3.6.2
является изоморфным вложением.
2. Доказать, что отображение ip из теоремы 3.6.4 является изомор-
изоморфизмом 05t в 05t+i.

3.6. Алгоритмическая размерность 293
3. Построить непосредственно рекурсивный иземорфизм для про-
произвольных конструктивизаций и и ц для безатомной булевой ал-
алгебры.
4. Найти алгебраический критерий автоустойчивости для булевых
алгебр в сигнатуре, расширенной предикатом Л, выделяющим
атомы.
5. Найти алгебраический критерий автоустойчивости для булевых
алгебр в сигнатуре, расширенной предикатом А, выделяющим
атомы, и предикатом В, выделяющим безатомные элементы
6. Доказать, что в сигнатуре, расширенной предикатами для фор-
формул {Atomo, Atomlesso, Atomic^,/о, ¦ • • , Atomn, Atomlessn,
Atomicn, /n,...}, булева алгебра автоустойчива тогда и толь-
только тогда, когда она — сумма простых моделей.
[Указание: воспользоваться теоремой Нуртазина о характери-
зации автоустойчивых моделей относительно сильных конструк-
конструктивизаций [144].]
7. Доказать, что булева алгебра 95 автоустойчива тогда и только
тогда, когда булево кольцо ft(95) автоустойчиво.
8. Построить для безатомной решетки 95 конструктивизацию, ко-
которая не является конструктивизацией булевой алгебры В(95).
9. Доказать, что для безатомной булевой алгебры 05 классы кон-
конструктивизаций в сигнатурах (^, V) и (^, Л) различаются.
10. Найти критерий автоустойчивости для булевых алгебр в сигна-
сигнатуре, расширенной предикатом F, выделяющим идеал Фреше.
11. Найти критерий автоустойчивости для булевых алгебр в сигна-
сигнатуре <т„ для фиксированного п (см. гл. 2).

294 3. Конструктивные булевы алгебры
3.7. Алгоритмические свойства подалгебр
и фактор-алгебр конструктивных
булевых алгебр
В этом параграфе нас будут интересовать вычислимые подал-
подалгебры и идеалы в классе конструктивных булевых алгебр. Лю-
Любая перечислимая подалгебра конструктивной алгебры конструк-
конструктивна. В то же время такое утверждение неверно относительно взя-
взятия фактор-алгебр. Фактор-алгебры конструктивных булевых ал-
алгебр по рекурсивно перечислимым идеалам образуют новый класс
позитивных булевых алгебр, который, как показал Фейнер [45], шире
класса конструктивизируемых булевых алгебр. Класс позитивных
булевых алгебр интересен тем, что он замкнут относительно взятия
фактор-алгебр по перечислимым идеалам, прямых произведений и
перечислимых подалгебр. Кроме того, он реализует алгебры Лин-
денбаума рекурсивно аксиоматизируемых теорий.
Вначале изучим универсальные алгебры из различных специаль-
специальных подклассов класса позитивных булевых алгебр. Напомним, что
нумерация и: N -> В булевой алгебры 2$ = {В, V, Л, С) называет-
называется позитивной, если существуют рекурсивные функции /v, /л, /с
такие, что для любых х, у (Е N
vfv{x,y) = «V иу, ufA(x,y) = их /\иу, ufc{x) = Си(х),
и отношение равенства 77,, i=, {[х,у) | их = иу} рекурсивно перечи-
перечислимо Если Цц рекурсивно, то нумерация и является конструкти-
визацией булевой алгебры 2$.
Для позитивной нумерации и булевой алгебры 25 рассмотрим
булеву алгебру
где
Определенная таким образом булева алгебра называется позитив-
позитивной. Она изоморфна рекурсивной алгебре, если Т)и рекурсивно.

3.7. Подалгебры и фактор-алгебры 295
Нетрудно заметить, что булевы алгебры *8, и 18 изоморфны при
естественном отображении 'Pvi^/rfJ) ^ "(я).
Гомоморфизм <р: 21, -> *В^, где 21, и *В^ — позитивные буле-
булевы алгебры, называется рекурсивным, если существует рекурсивная
функция / такая, что <p(x/i]v) = I{x)/-qv Это условие в точности
соответствует условию рекурсивности гомоморфизма Тр нумерован-
нумерованных булевых алгебр B1, и) и (*8, /х), где Тр ±=; <р~х<р<р„,
21 4 «В
21, 4 <В„
Определим произведение B1 х *В, i/<g> fi) двух позитивно нумеро-
нумерованных алгебр B1, и) и @$,/^), где 21 х *8 — декартово произведе-
произведение булевых алгебр и (и ® ц)(п) ^ (vl(n),iir(n)). Очевидно, что
B1 х *В, и ® /i) — позитивная булева алгебра. Можно определить
произведение рекурсивно перечислимых булевых алгебр 21, и *Вц,
полагая
Ясно, что 21, ® ?В^ = Ъ^яц. 1>удем обозначать позитивную булеву
алгебру ?В,0^ через Я„ хг *В^. Позитивные булевы алгебры 21, и
03^ называются рекурсивно изоморфными, если существует рекур-
рекурсивный изоморфизм ф: 21, —> *Вц. Очевидно, что в этом случае
на
изоморфизм <р~х также рекурсивен Для рекурсивно изоморфных
21„ и Ч&р используем обозначение 21, =гес 2$^-
Пусть задан класс К, позитивных булевых алгебр. Следуя Хан-
фу, назовем позитивную булеву алгебру 21, универсальной в классе
К. если 21, ? /С и для любой рекурсивно перечислимой булевой ал-
алгебры Ъц 6 К, существует позитивная булева алгебра Ъж такая.
что*В„ хгЪ„ Srec2l,
Рассмотрим проблему существования универсальных булевых ал-
|>'б|) лля следующих трех классов позитивных булевых алгебр
Atomless - безатомные позитивные булевы алгебры,
Atom • атомные позитивные булевы алгебры,
Atomr атомные рекурсивные булевы алгебры.
Но всех трех случаях получены отрицательные ответы

296 3. Конструктивные булевы алгебры
Предложение 3.7.1. Если 21„, *Вр и 2$» — позитивные булевы
алгебры и 21„ =гес 2$,, х 2$т, то 21„ — рекурсивная булева алгебра
тогда и только тогда, когда 2$,, и 2$* — рекурсивные булевы
алгебры.
Доказательство. Утверждение проверяется с помощью рекур-
рекурсивного изоморфизма. D
Безатомная булева алгебра имеет лишь одну с точностью до экви-
эквивалентности конструктивизацию. Поэтому любые две рекурсивные
безатомные булевы алгебры рекурсивно изоморфны. Зафиксируем
конструктивизацию и безатомной булевой алгебры 2$ и рассмотрим
построенную по ней рекурсивную булеву алгебру В.
Предложение 3.7.2. Для любой позитивной булевой алгебры 21^
существует рекурсивно перечислимая конгруэнтность г) на В
такая, что 21,, =гес & / Т]-
Доказательство. Построим вначале дерево D, порождающее
позитивную булеву алгебру 21,,. Рассмотрим элемент щ G N такой,
что «o/jjv = 1, и положим д@) = по- Пусть для всех х ? (J Ei
К*
значение д(х) уже определено. Определим д на элементах Et+\.
Если х € Et+\, то LH(x) — х либо RH(x) — х, где функции L, Я,
Н и множества Еп определены в начале параграфа 1.7. Положим
Множество {я{п)/т1и | n G N} порождает 21,,. С помощью функции
д определим рекурсивный гомоморфизм рекурсивной булевой алге-
алгебры !8м на булеву алгебру 21,,. Ядро этого гомоморфизма рекурсив-
рекурсивно перечислимо. Легко проверить, что конгруэнция т) по этому ядру
искомая. D
Таким образом, изучение позитивных булевых алгебр сводится к
изучению фактор-алгебр безатомных булевых алгебр по рекурсивно
перечислимым конгруэнтностям.
Докажем еще одно свойство позитивных булевых алгебр. За-
Заметим, что !В = !Ва х Ъс(а) для любого а ? В, где !В„ равна
{Ва, Va , Ла ,Са,0а,1о> и Bat=,{b?B\ Ь^ а},Са^С(х)Ла,
1а ±=; а, а Ла, Va, 0а те же, что и в случае 2$. Выведем рекурсивный
аналог этого утверждения.

3.7. Подалгебры и фактор-алгебры 297
Пусть @3, и) — позитивная нумерованная булева алгебра и а ?
|93|. Тогда множество {х \ их ^ а} рекурсивно перечислимо. Рас-
Рассмотрим произвольную рекурсивную функцию /: N ->• {х \ их ^
а}. Нумерация и{(х) ?=; uf(x) булевой алгебры 93„ позитивна,
причем с точностью до рекурсивного изоморфизма не зависит от
выбора /. Тем самым мы получили позитивную нумерованную бу-
булеву алгебру E8О, fa) и позитивную булеву алгебру E8а, "о)- Ясно,
что Ъи 2гес (®о)^„ Xr (®C(a))i/c<.)- Верно также обратное утвер-
утверждение.
Предложение 3.7.3. Если 21^, 93М, 93» — позитивные булевы
алгебры и 2tj, =rec E3^ хг 93»), то существует элемент а буле-
булевой алгебры 21 такой, что ЯЗМ =гес B1о)^а -
Таким образом, позитивная булева алгебра ЯЗМ представима в
виде прямого слагаемого позитивной булевой алгебры 2tj, тогда и
только тогда, когда существует рекурсивный изоморфизм <р из *8М
на Bto)j,a для некоторого а, что эквивалентно существованию изо-
изоморфизма <р и рекурсивной функции д таких, что <рц(х) = ид(х)
для а; € N.
Пусть <рп(х) — универсальная частично рекурсивная функция
для класса одноместных частично рекурсивных функций. Полагаем
<р*п(х) = <рп(х), если tfin(x) вычисляется меньше чем за i шагов. В
противном случае <р*п(х) не определено. Вернемся к упомянутой
выше проблеме существования универсальных булевых алгебр.
Теорема 3.7.1. Не существует универсальной позитивной бу-
булевой алгебры для класса Atomless.
Доказательство. Предположим противное. Пусть 21» — уни-
универсальная позитивная булева алгебра для класса Atomless, /д —
рекурсивные функции, соответствующие Д ? {V,A,C) и Ord =
U Ord', где Ord' С Ordt+1 и {Ord' 11 ? N} — сильно вычисли-
вычислило
мая последовательность [41] конечных множеств, а Ord ±=; {{х, у) \
7гх ^ 7гу} — рекурсивно перечислимое множество. Построим по-
позитивную булеву алгебру 03^ из Atomless, которая не может быть
представлена в виде прямого слагаемого 21». Пусть В — рекурсив-
рекурсивная булева алгебра, построенная для E8ni "n). гДе "N соответствует
функции /к, и пусть /v, /л — рекурсивные функции, соответству-

298 3. Конструктивные булевы алгебры
ющие операциям на В, а Ап — элемент Ъц, соответствующий эле-
элементу п порождающего дерева N.
Рассмотрим рекурсивные функции е, h, д такие, что е(п) = к,
если j/N(n) = Ак, vng(n) = Л?,д«@), vnh(n) = Ап, и номера п0,
rii, Для которых иц(по) = 0 и ifi(ni) = N. Далее мы опускаем
индекс N. Процесс заключается в построении конечных множеств
rf.U* н функций r(n, <),?*.
Шаг 0. Полагаем т)° ±=; 0, U° ±=: 0, r(n,0) = 0 для всех п, а
?° нигде не определено.
Случай 1: ^'"^п) не определено, а Ф1п(д{п)) определено. По-
Полагаем ?*(n) i=; д(п), все остальное оставим без изменений, т.е.
r{m,t) ^ r{m,t - 1), U*m ^ U^\ rf ^ г?' для всех т.
Случай 2: f*^) определено, (<рп(д(п)),п) ? Ord',
{х ^ r(n,t- 1) \(х,<рп(9Ш € Ord'} С {х | (Зу ^ «)(* = у
V «х, ^(у)> € Ord* Л(^(у), х> G Ord'))},
<р'п сохраняет операции на элементах х таких, что х ^ r(n,t), vx
i/fl»(n) и х € domy>|, (т. е.
где Д G {A,V}, для любых х, у, z из этого множества при vz —
ихАиу),
г
(Зу С ^-^(i/x = О V vx < V i//iyi) =» <??(*), no) G Ord',
i=l
(х, по) G Ord' для любого х € f/^. Полагаем
е(х) ^ hRee-\n), Vl ^ UlT1 U {/ile^-1^)},
17' ^ г,' U {hLee-Hn)}, r(n,t) ^ r(n,t - 1);
все остальное остается без изменений.
Если случаи 1 и 2 не имеют места, то, оставив все без изменений,
перейдем к следующему шагу.

3.7. Подалгебры и фактор-алгебры 299
Обозначим через / рекурсивно перечислимый-идеал, порожден-
порожденный рекурсивно перечислимым множеством т/ = Ur/' и рассмотрим
рекурсивно перечислимую фактор-алгебру 2$и//. Нетрудно заме-
заметить, что ЯЗщ// изоморфна ? {о}®^(п)// Л |93„9(„)|- Покажем,
пек
что каждое слагаемое — безатомная булева алгебра.
Нетрудно заметить, что случай 1 для каждого п может выпол-
выполняться только один раз. Покажем, что случай 2 выполняется также
лишь конечное число раз. Допустим противное. Тогда (<рпд(п), п0)
? Ord' для всех t. Следовательно, п<рпд(п) ф 0. Рассмотрим два
элемента а, 6 таких, что 0 < а,Ь < л<рпд(п) и а Л 6 = 0. Пусть
а имеет тг-номер nai a b тг-номер пь. Так как случай 2 выполня-
выполняется бесконечно часто, есть шаг t0 такой, что па,пь < r(n,to) и
{па,пь} С {х | (x,ipng(n)) G Ord'0}. Поэтому после шага t0 най-
найдется шаг <i, на котором для п выполняется случай 2. Но тогда най-
найдутся элементы па и пь такие, что ^'("а) «*t, "а, <Рп(™ь) «t, "ь
(здесь xfatyi=ix = yy ((х,у), {у,х) G Ord')), где vna ^ i/g(n)
и 1/щ ^ vg(n) Следовательно, существуют наборы Ро,--,Рк и
гао,..., mi такие, что vna = APoU.. .UAPk и i/пь = /imoU.. .UAm,
(так как ппа ф 0, пщ ф 0, тгйа Л тгйь = 0), и число е такое, что
Ее D {mo,...,mhpo,...,pk}, pt 4 ед(п), i ^ к, га,- ^ ед(п),
г ^ /, и {ро,...,Рк} П {т0,..., mi} = 0.
Рассмотрим шаг t* такой, что случай 2 для п уже выполнился е
раз. Все элементы h(x) при х <! е(/(п), х ? Ее, кроме, быть может,
одного, попадут в идеал, порожденный if , но тогда существуют
/ь .. .,/р 6»/' такие, что
1=1 ' ^ 1=1
Поэтому на следующем шаге Ц > <*, когда вновь выполнится слу-
случай 2 для п, имеем (п„,По) 6 Ord'3 или {пь,п0) €• 0rdt2, но это
невозможно в силу выбора элементов а ф 0 и 6 ф 0.
Заметим, что идеал / порождается {i/n \ n 6 Ur/'}, а для эле-
элемента, имеющего непустое пересечение с vg{n) его номер попадает
в т/', если случай 2 для я выполняется. Поэтому в т/ попадет лишь
конечное число элементов (обозначим их сц,...,ап, а их объеди-
объединение — через Vdi), имеющих непустое пересечение с vg(n), при-
п
чем ai,...,ak < ^ff(n). Следовательно, 2S,,ff(n) = П ®ve, x

300 3. Конструктивные булевы алгебры
®*g(n)\(vaj) и Vav ф ид(п). Таким образом, ®i/g(n)// П |®„д(п)| -
®"s(n)\(Vo>) и ®N// — безатомная булева алгебра, поскольку та-
таковой является алгебра ®i/g(n)\(va,).
Покажем, что ®n// не может быть представлена в виде прямого
слагаемого алгебры 21,-. Предположим противное, тогда существует
рекурсивная функция <рп, осуществляющая изоморфное отображе-
отображение ®n// на (Qirr)a для некоторого а, т. е.
{Уху) (п<рп /v (х, у) = (трп (г) V трп (у)) & п<рп /Л (х, у)
= (п<рп (г) Л тгу>„ (у)) & {vx/i = 0 <* тгу>„ (г) = 0).
Кроме того, если ^я// = 1, то
Пусть ti — шаг, после которого случаи 1 и 2 для п больше не вы-
выполняются. Для всех t ^ ti имеем r(n,t) = r(n,ti). Так как
tpn всюду определена, случай 1 для п реализуется. Следователь-
Следовательно, f'l(n) определено. Поскольку рп осуществляет изоморфизм на
Blrr)a Для некоторого а и <рп всюду определена, существует шаг
t2 = с(п, т) + 1 > t\ такой, что на нем все условия случая 2 для п
выполнены. Тогда случай 2 для п реализуется, что невозможно. ?
Аналогичные теореме 3.7.1 результаты для Atom и Atomr вы-
вытекают из следующего утверждения.
Теорема 3.7.2. Для любой атомной позитивной булевой алге-
алгебры B1, ц) существует рекурсивная атомная булева алгебра, ко-
которая не может быть представлена в виде прямого слагаемого
BЫ-
Доказательство. Так же, как в теореме 3.7.1, рассмотрим буле-
булеву алгебру @3fj, i/jj) и частично рекурсивные функции g, h, e такие,
что vg(n) = А^дп(о), vh(n) — Ап для всех п, и е(п) = к тогда
и только тогда, когда ип = Ак. Будем по шагам определять под-
подалгебру 03 алгебры *&ц. На шаге t построим конечное В' С N и
определим значение функции r(n,t) для всех п. Эта конструкция
объединяет идеи доказательства предыдущих утверждений.
Шаг 0. Полагаем 5° ^ {i/-1@),i/-1(i4o),i/(-Ai).«/(-A2)}
и г(п, t) = 0 для всех п.

3.7. Подалгебры и фактор-алгебры 301
Шаг t + 1. Пусть t = с(п, /). Предположим сначала, что для п
выполнены следующие условия:
A) Рп определена на д(п),
B) (Рп определена на В1 П {i \ i ^ r(n,t)},
(З)^(В') D {' I К r(n,t)k{i,<png(n)) eOrd'},
D) y>j, сохраняет операции для элементов х таких, что х ^ r(n,t)
и ж 6 В', т.е. для любых x,y,z 6 В' П {г | г ^ г(п,<)}
при i/xAi/y = uz имеем <?>п(г),/д(?>п(ж),у>п(г/))> € Ord' и
</?(Pn(*).Pn(v)).Pn(*)) е Ordt' Где А е IV>A};если "« #
О, то (<рп(х),п) ? Ord'; если их = 0, то {tpn(x),n0) 6 Ord';
если i/x ф i/y, то
Ord' V (Рп(у),Ы*)) i Old',
E) для любого х 6 {х ^ г(п,<) | (ж,у>„д(п)) ? Ord'}, существует
г 6 В' такой, что (у>„(г), ж) 6 Ord' и {x,ipn(z)) 6 Ord'. Тогда
г(п,<+ 1) ±=; г(п,<) + 1, r(m,t + 1) ±=; r(m,<) для всех тф п
Bt+l t=,u-l(gT(uBl U {1/д(* + 1)} U {1/
&*6??r(n,t)+l}))-
Если условия A)-E) не выполнены, полагаем r(m,t + 1) = r(m,<)
для всех ти St+1 ±=; v~l(gT(i>Bt\j{i'g(t + l)})), а затем переходим
к следующему шагу.
Пусть В С 2$n- Основное множество имеет вид В = |J В1.
Для любого а ? 2$n существуют элементы п\,...,Пк такие, что
а ^ vg(n{) V ... V vg(nk) либо С(а) ^ vg(n{) V ... V vg(nk).
Поэтому Ъ = Х!){о,1}(|93| П!ВуЭ(п)). Чтобы показать, что Ъ —
п
атомная булева алгебра, достаточно заметить, что для любого п ал-
алгебра |*ЭЗ| П 2$1,э(п) конечная. На любом шаге с(п, I) + 1 к В могут
добавиться только элемент vg{n) и элементы, меньшие его. Поэто-
Поэтому к В добавятся элементы |В| ПВ„9(П) только на шагах с(п, I) +1,
если все условия A)-E) этого шага выполнены. Покажем, что все
условия A)-E) для п могут выполняться только конечное число
раз. Допустим противное. Тогда lim r(n, t) = oo. Поэтому в
В будут добавлены в конце концов все элементы из В^, меньшие

302 3. Конструктивные булевы алгебры
vg(n). Следовательно, vg(n) — безатомный элемент <В. Так как
limr(n,t) = со и условия A)-E) для п выполняются бесконечно
часто, <рпк определено для всех к таких, что vk ^ vg(n)- Опре-
Определим отображение ф для всех vk, удовлетворяющих неравенству
vk ^ vg(n), положив 4>{vk) ^ учрп{к'), где к' наименьшее число
такое, что vk' = vk. Определение ф корректно, а из условия D)
шагов с(п,1) + 1, которое выполняется бесконечно часто, следует,
что ф сохраняет операции V и Л и ф(х) = 0 <=> х = 0, т. е. ф —
изоморфное вложение. Из условия C) этих же шагов следует, что
ф — изоморфизм на |21^п3(п)|. Поэтому ф изоморфно отображает
безатомную булеву алгебру на прямое слагаемое 21, что противоре-
противоречит атомности булевой алгебры 21. Следовательно, 2$ — атомная
булева алгебра. Рассмотрим конструктивизацию п булевой алгебры
!В, взяв рекурсивную функцию /: N Ч В, которая существует в
силу рекурсивной перечислимости В, и положив жп t=; vf(n). Так
как v — конструктивизация, тг — конструктивизация подалгебры
2$ алгебры Ъщ.
Осталось показать, что B$,тг) не может быть представлена как
прямое слагаемое B1, ц). Предположим противное. Тогда суще-
существует рекурсивная функция <р такая, что \иръ~1 — изоморфизм
В на 21^^^.-1A). Рассмотрим функцию <рп такую, что fn{x) =
<p(fik(f(k) = х)). Отображение \upnv~l также является изомор-
изоморфизмом 25 на Й^,г-1A). Следовательно, \upnv~x \ B$)„д(„) —
изоморфизм Ъ„д(п) на 2l^v,ng(n). Пусть to — шаг, после которого
для п не выполняются условия A)-E) на шагах с(п,1) + 1. После
шага <о значение r(n, i) не изменяется. Так как n<pnv~1(<B),,g(n) —
изоморфизм (!8)„д(п) на 2lWn3(n), на некотором шаге t\ > t0 все
условия A)-E) выполнятся. Для / такого, что с(п,1) + 1 ^ t\,
выполнены условия A)-E) для п\ противоречие. ?
Следствие 3.7.1. Не существует универсальной рекурсивной бу-
булевой алгебры для класса Atomr. '
Следствие 3.7.2. Не существует универсальной позитивной бу-
булевой алгебры для класса Atom.
Исследуем связь между конструктивизируемостью булевой алге-
алгебры и конструктивизируемостью ее фактор-алгебр. Как уже отме-
отмечалось, Фейнер [45] построил пример перечислимого идеала рекур-
рекурсивной безатомной булевой алгебре, фактор алгебра по которому не

3.7. Подалгебры и фактор-алгебры 303
является конструктивизируемой позитивной булевой алгеброй. Нас
интересуют случаи специальных идеалов: идеал Фреше, безатомный
идеал и идеал Ершова — Тарского.
Предложение 3.7.4. Существует конструктивизируемая
атомная булева алгебра, фактор-алгебра которой по идеалу Фре-
Фреше не конструктивизируема.
Доказательство. Рассмотрим атомную конструктивизируемую,
но не сильно конструктивизируемую булеву алгебру, построенную
в теореме 3.5.1. Покажем, что ее фактор-алгебра по идеалу Фре-
Фреше не конструктивизируема. Действительно, если 23/f@3) — кон-
конструктивизируемая булева алгебра, то по теореме 3.2.1 существует
атомная сильно конструктивизируемая булева алгебра 21 такая, что
2l/FBl) — ®/f@3)- Однако атомные булевы алгебры с изоморф-
изоморфными факторами Фреше изоморфны по предложению 1.5.2. Поэтому
03 сильно конструктивизируема, что противоречит выбору 03. D
Заметим, что по теореме 3.2.1 из конструктивизируемости фак-
фактор-алгебры по идеалу Фреше следует даже сильная конструктиви-
зируемость соответствующей атомной булевой алгебры, но обратное
утверждение неверно. Нетрудно построить пример не атомной буле-
булевой алгебры, которая не конструктивизируема, но ее фактор-алгебра
но идеалу Фреше конструктивизируема.
Предложение 3.7.5. Существует конструктивизируемая буле-
булева алгебра, фактор-алгебра которой по идеалу Ершова — Тарско-
Тарского не конструктивизируема.
Доказательство. Рассмотрим конструктивизируемую атомную
булеву алгебру такую, что ее фактор-алгебра по идеалу Фреше не-
конструктивизируема(см. предложение 3.7.4). Пусть L — рекурсив-
рекурсивный линейный порядок такой, что 03/, = 03. Такой порядок суще-
существует ввиду предложения 3.2.2. Рассмотрим линейный порядок B+
ri) х L и булеву алгебру 21 ? 03B+ч)xL- Элемент [(аь ft), (а2, 02)[
принадлежит идеалу Ершова — Тарского 7B1) тогда и только тогда,
когда [/?1,/?г[ принадлежит идеалу Фреше алгебры 03/,. Поэтому
фактор-алгебра ®i/F@3z,) изоморфна фактор-алгебре 21//(*21) и
тем самым 21//B1) не конструктивизируема. ?

304 3. Конструктивные булевы алгебры
Примером неконструктивизируемой алгебры с конструктивизи-
руемой фактор-алгеброй по идеалу Ершова — Тарского может слу-
служить булева алгебра с линейным базисом, полученным умножени-
умножением порядка ш х J] на линейный порождающий порядок на фактор-
алгебре неконструктивизируемой 2-атомной булевой алгебры по иде-
идеалу Фреше.
Осталось рассмотреть случай безатомного идеала
Atomless(<8) ^ {а 6 |ЯЗ| | а безатомный в <8}.
Ввиду мощностных соображений из конструктивизируемости фак-
фактора по Atornless(B) не следует конструктивизируемость 23. А
именно, для счетной атомной булевой алгебры 23, которая не супер-
атомна либо бесконечного ординального типа, существует контину-
континуум счетных булевых алгебр, фактор которых по безатомному идеалу
изоморфен 23 [146]. В случае суператомной булевой алгебры 23 ко-
конечного ординального типа любая счетная булева алгебра 21 такая,
что 2l/Atomless B1) — ®. будет сильно конструктивизируема [146].
Предложение 3.7.6. Существует конструктивизируемая буле-
булева алгебра с неконструктивизируемым фактором по безатомно-
безатомному идеалу.
Доказательство. Рассуждения такие же, как в доказательстве
теоремы 3.5.1. Оценивается сложность инварианта ujj в иерархии
Фейнера, затем конструируется рекурсивный линейный порядок так,
что фактор-алгебра по безатомному идеалу алгебры, построенной по
этому порядку, не конструктивизируема. ?
Используя фактор-алгебры по последовательностям стандартных
итерированных идеалов, можно дать описание булевых алгебр, ко-
которые являются конструктивными в различных классах арифмети-
арифметической иерархии. Полная характеризация получена Селивановым
и Одинцовым [145]. Рассмотрим предложенный ими метод и серию
интересных результатов, во многом проясняющих алгоритмическое
строение рекурсивных булевых алгебр.
Пусть E3,1/) — нумерованная булева алгебра и {v\<j\ \ a ?
2<ш) — стандартное множество, порождающее B3,1/), где

3.7. Подалгебры и фактор-алгебры 305
Множество Р = {а | и[а] ф 0} является сегментом, так как если
а С т, то и[т] < ^[<т]. Кроме того, Р удовлетворяет условию
т € Р => Ci ^ 1)(г« € Р). C.7.1)
Действительно, если и[а] ф О, то и[а * 1] = и[<т] С\ ui ф 0 либо
jy[<r * 0] = и[а] П Cj>j ^ 0, г = Ш(<т). Сегмент, удовлетворяющий
условию C.7.1), называется нормальным. Нормальные сегменты
дают еще один способ представления булевых алгебр [145].
При Р, F С 2<ш полагаем P[F] = {г € Р | 3<т 6 F (<т С г)}.
Каждому сегменту Т соотнесем булеву алгебру al(T), которая есть
подалгебра фактор-алгебры булевой алгебры всех подмножеств Т
по идеалу конечных множеств. Она порождается классами эквива-
эквивалентности вида T[F]*, где F — конечное подмножество 2<ш. Буле-
Булева алгебра al(T) допускает естественную нумерацию, которая поро-
порождается нумерацией последовательностей.
Замечание 3.7.1. Если (Ъ,и) — нумерованная булева алгебра
и Р = {<т | и[а] ф 0}, то 53 ~ al(P) (изоморфизм задается отобра-
отображением T[F]* м- U и[<т]).
Установим связь между алгоритмическими свойствами булевых
алгебр и нормальных сегментов.
Предложение 3.7.7. Булева алгебра принадлежит
тогда и только тогда, когда она изоморфна al(T) для подходяще-
подходящего нормального сегмента Т € Ylf (Ef, 1
Доказательство. Пусть Т — нормальный сегмент из класса
П^ (Ef, Д^). Ясно, что все булевы операции в естественной ну-
нумерации представимы рекурсивными функциями. Требуется лишь
проверить, что отношение равенства в al(T) принадлежит Е^1 (Ylf,
Д^1). Для этого достаточно установить, что отношение <<T[F] ко-
конечно» принадлежит Ef (П^, Af). Поскольку Т нормальный, это
отношение равносильно отношению V<r ? F (<т ^ Т), которое при-
принадлежит Ef (nf, Af). Обратное утверждение следует из замеча-
замечания 3.7.1. ?
Установим достаточное условие изоморфизма для булевых ал-
алгебр alE) и al(T).

306 3. Конструктивные булевы алгебры
Предложение 3.7.8. Пусть S и Т — сегменты, а <р — изо-
изоморфизм (S, С) в (Т, С) такой, что для любого т 6 Т найдется
а ? S, подчиненное условию т С <р(<т). Тогда булевы алгебры
alE) и al(T) изоморфны.
Доказательство. Изоморфизм задается отображением 5[F]*
-> T[<p(F)]*, где <p(F) — образ конечного подмножества F С 2<ш
при частичном отображении ip. Тот факт, что ip — изоморфизм,
проверяется непосредственно. Проверим, например, что это есть
отображение «на» (доказательство остальных свойств тривиально).
Поскольку алгебра al(T) порождается элементами Г[т]*, г ? Г,
достаточно проверить, что для любого т ? Т найдется а ? S такое,
что Т[т] =* Т[?>(о")] (=* обозначает равенство по модулю конечных
множеств).
Пусть а € S — последовательность наименьшей длины такая,
что т С <р((т). В случае а = 0 имеем Т[т] =* Т[у>@)]. Включение
Т[у>@)] С* Т[т] очевидно ввиду г С у>@). Для доказательства
Т[т] С* Т[у?@)] достаточно проверить, что т С р и р ? Т обеспе-
обеспечивают сравнимость р и <р@), при этом Т[т] \ Т[<р@)] = {р \ т С
р С ^@)}- Пусть т С р, р € Т и <Ti € S такое, что р С <р(<тг).
Поскольку <р@) С <р(<т\), заключаем, что р и <р@) сравнимы.
Пусть а ф 0, а = а * к для некоторых а и к ^ 1. В силу
минимальности а имеем ?>(<?) С г С у(о"). Пусть / ^ 1 и / ф к.
Ех;ли г ^ у?(? * /), то так же, как при а — 0, проверяется равен-
равенство Т[г] =* Т[а]. В противном случае аналогичное рассуждение
показывает, что Т[т] =* Т[а]. ?
Установим взаимосвязь между представлениями булевых алгебр
двумя способами: посредством нормальных сегментов и посредством
деревьев. Определим операцию, превращающую сегмент дерева 2<ш
в дерево. Пусть Р — начальный сегмент дерева 2<w и Т(Р) = {а \
ff6Pfcff = r*ifer*(l-i) ? Р}и{Л}. Ясно, что само множество
Т(Р) не является поддеревом полного дерева 2<ш, тем не менее
порядок ^ индуцирует на Т(Р) структуру бинарного дерева. Через
ВА (Р) обозначим булеву алгебру, порожденную деревом Т(Р).
Предложение 3.7.9. Для любого нормального сегмента Р С
2<ш булевы алгебры ВА (Р) и в\(Р) изоморфны.
Доказательство. Дерево Т(Р) изоморфно некоторому подде-
поддереву 5 С 2<ш. Фиксируем изоморфизм ?: 5 -+ Т(Р). Определим

3.7. Подалгебры и фактор-алгебры 307
отображение ф: S -} al(P), полагая ф(<т) t=; Р[{?(<т)}]* Прове-
Проверим, что ф — допустимое отображение дерева в булеву алгебру Для
этого покажем, что ф удовлетворяет условиям A)-E) из определе-
определения (см. 1.7). Имеем
поэтому условие A) выполнено. Пусть а ? S. Проверим условие
B). Согласно определению Т(Р), если т Э ?(<т), то г Э ?(<7 *
0), или г Э ?(<7 * 1), или т С ?(<7 * 0) h т С ?(<7 * 1). Поэтому
Следовательно, выполнено условие C). Кроме того, для любого a ?
5 имеем /'[{?(<'¦)}] Ф* 0, т. е. выполнено условие D).
Любой элемент al(P) представим в виде конечного объединения
элементов вида Р[{<т}]* Если <т ? Р и г = \J{p | р С <rhp G
Т(Р)}, то Р[{<т}] =* -Р[{т"}] Поэтому выполнено условие E). Та-
Таким образом, ВА (Р) ~ al(P). D
Установим связи между конструктивизируемостью в различных
арифметических классах. Пусть Д — арифметический класс. При
рассмотрении булевой Д-алгебры можно предполагать, что суще-
существует нумерация и такая, что операции на номерах рекурсивны,
а отношение равенства ци принадлежит Д. Такое предположение
возможно, поскольку любая Д-алгебра изоморфна фактор-алгебре
свободной алгебры по Д-конгруэнции.
Теорема 3.7.3. Любая булева И*-алгебра является булевой Af-
алгеброй.
Пусть @3, и) G nf и РА(а,х) — Л-рекурсивный предикат та-
такой, что и[а\ = 0 <=> Vx РА((Т, х), где {is[cr] | <т S 2<ш) — стандарт-
стандартное множество, порождающее 03. Ясно, что нормальный сегмент
V = {<т | и[сг] ф 0} = {с | Зх ~'РА(сг, х)} рекурсивно перечислим
с оракулом А. Введем обозначение 03s = В А {Vs), s ? w. Полагаем
Vs = {а | <т ? Vk lh(o-) ^ в}. Тогда V = \J Vs. Если Р° С Р\
то Т(Р°) С Т{Р1). Поэтому 03* С 03'+1, s ? ш. Из предложения
3.7.9 следует, что булева алгебра 03 является пределом возрастаю-
возрастающей последовательности конечных булевых алгебр 03° С 031 С
Множество D рекурсивно перечислимо с оракулом Л, поэтому
можно построить Л-эффективную аппроксимацию V конечными на-

308 3. Конструктивные булевы алгебры
чальными сегментами дерева 2<и). Зафиксируем такую аппроксима-
аппроксимацию {V | s G w}, V° = {0}, подчиненную дополнительному усло-
условию |D*+1 \D*| ^ 1. Определим пошаговую конструкцию которая
окажется эффективной с оракулом А. На каждом шаге строятся
конечная булева алгебра 21* и изоморфизм р': В А (Vs) —>• 21*.
Шаг 0. Полагаем 21° = {0,1}. Изоморфизм <р° определяется
естественным образом.
Шаг s + 1. Если T{V>) = T(V'+1), то полагаем 2l5+1 = 21' и
ip'+l = tp>.
Пусть T(V) ф T{V'+1). К дереву T{V) на шаге s + 1 мо-
может добавиться только одна пара элементов, так как |Т>5+1 \ V | ^
1. Пусть эта пара есть о- * 0 и о- * 1, т = \J{p | р ^ a hp G
T(V)}, a = (р*(т) и a G 21'; здесь и далее т G T(D') ото-
отождествляется с соответствующим элементом BA(D'). Заметим,
что |Atom((r)BAcp.+i))| = |Atom((a)BAcp.+i))| + 1. Пусть ал-
алгебра 2Н+1 получается из 21* разбиением на две части одного из
элементов Atom ((a)а») Тогда
|Atom((a)a.+1)| = |Atom((r)BA(-p.+i))|.
Пусть ?*+1: (?)ba(D«+1) —> (а)а«+' — изоморфизм. Его можно
расширить до изоморфизма <p'+1: Atom(T>'+1) —>• 2l*+1 так, что
a G T(D') &(сг D г) => (р'+1(а) = <р'((т). Описание конструкции
окончено. Эта конструкция эффективна с оракулом А.
Полагаем 21 = (J 21*. Докажем, что 2$ ~ 21. Для любого s0
найдется шаг s\ такой, что V'0 С V для всех s ^ s\ и, следо-
следовательно, !8S° С BA(D'). Поэтому для всех s ^ si ограничения
ip' к tp'1 на !8*° совпадают. Таким образом, можно определить по-
последовательность вложений ф': *В* —> 21 такую, что ф' С ф'+1.
Отображение ф = (J ф' есть изоморфизм 2$ в 21.
Пусть a G 21. Тогда найдется s такое, что a G 21'. Элемент
а представим в виде объединения атомов алгебры 21*. Каждый из
этих атомов а,- имеет вид щ = y*(Tj), tj G BA(T>s). Все после-
последовательности Ti лежат в Vs 1 для некоторого достаточно большого
si. Заметим, что прообраз элемента а может изменяться только на
таких шагах s', для которых V'1 П V'' ф V'1 Г\Т>''+1. Однако
таких шагов лишь конечное число. Таким образом, для всех a G 21

3.7. Подалгебры и фактор-алгебры 309
существует lim(ip')~1(a), а значит и lim(V'*)~1(a). Поэтому ф —
изоморфизм.
Следствие 3.7.3. Если булева алгебра 23 конструктивизируе-
конструктивизируема как частичный порядок, то она конструктивизируема и как
булева алгебра.
Пусть и — конструктивизация (|23|,^) и ц — нумерация 23,
порожденная из и с помощью нумерации булевых термов. Легко
видеть, что B3,/z) G ГЦ. По теореме 3.7.3 23 конструктивизируема.
Теорема 3.7.4. Булева Д^-алгебра является булевой Yj*-алгеб-
Yj*-алгеброй.
Доказательство. По предложению 3.7.7 достаточно проверить,
что для любого нормального сегмента S G Д^ найдется нормаль-
нормальный сегмент Т G П^ такой, что а1(Т) ~ а1E). Пусть S G Д?.
Считаем S ф 0, поскольку в противном случае утверждение оче-
очевидно. Определим отображение ip: S -> 2<ы. Пусть (р(А) = Л.
Предположим, что <т ? S к (р(<т) определено. Если а * 0, <т * 1 G S,
полагаем <р(ст * г) = ip(cr) * i при i ^ 1. Если а * k E S для одного
к $С 1, полагаем <р(<г*к) = <р(<т)*0. Ясно, что (p(S) G Д?, <р— изо-
изоморфизм (S, С) на (<p(S), С) и г * 0 G p(S) в случае г 6 <p(S). По-
Поэтому без ограничения общности считаем, что S обладает свойством
а ? S =><г + 0б5 (в противном случае вместо S можно взять <p(S),
в силу предложения 3.7.8 al(S) ~ a\((p(S))). Поскольку S G Д?,
найдется рекурсивная относительно А функция /: 2<ш хи -> {0,1}
такая, что при любом <т G 2<ы существует предел lim f(<r,s), при-
причем этот предел равен 1 в точности тогда, когда <т G S. Пусть д(е) —
наименьшее число s такое, что f(cr,s) = /("'.О Для всех 1) sn
<т G 2<ы, lh(a) = е. Определим ф: 2<ш —? 2<ш следующим образом:
() ( ) ^ j
Ясно, что ф — изоморфизм B<ш, С) в себя. Поэтому по предложе-
предложению 3.7.9 alE) ? al(T), где Г = {г | За G 5 (г С ф{(т))}. Для за-
завершения доказательства теоремы остается проверить, что Т Е Ilf.
Согласно определению ф,Т и свойству S при всех г 6 2<ш имеем .
если 3(г (г * 1 С ф{а)), то За (г ¦ 1 = ф{а)), C.7.2)
если г G Т, то г * 0 G Т. C.7.3)

310 3. Конструктивные булевы алгебры
Надо проверить, что отношение «р 6 Т» принадлежит П^. Если
р = 0к для некоторого к < и, то р 6 Т ввиду C.7.3). В противном
случае эффективно находятся г € 2<ш и к € w такие, что р =
г * 1 * 0*. Согласно C.7.3) р€Т<Фг*1бТ. Поэтому остается
проверить, что отношение «г * 1 ? Т» принадлежит П^.
Определим функцию д,(е) так: до(е) = 0, 0j+i(e) = д,(е) при
/(о-, s+1) = f{a, s) для всех tr € 2<ш, lh(er) = е, и <jJ+i(e) = s+1 в
противном случае. Ясно, что д рекурсивна относительно А по обоим
аргументам, д,(е).^. s, gs+i(e) € {g,(e),s+ 1} и \imgs(e) = у(е)
5
при всех е. Пусть ^,: 2<ш -> 2<ш определяется так же, как ф,
только вместо д берется д,. Из свойств д следует, что
) ^ в + 1. l ' ' ;
Мы утверждаем, что отношение г * 1 € Т эквивалентно отношению
(гдев = 1Ь(т*1))
(Э«гIЬ((г)<1(т * 1 = ф,{(т)ЛЧ( < lh(o-)
V<>*Mi+l) =*(*+1))Л/(<г*) = 1) ^ ¦ ' '
Поскольку C.7.5) есть П^-отношение, доказательство закончено.
Если C.7.5) истинно, то из второго члена конъюнкции получаем
9s{i + 1) = 9{i + 1) для г < lh(tr), откуда г * 1 = ф,(<т) = ф(а)
и lim/(tr, t) = f((T,s) = 1, т. е. г * 1 6 Т. Пусть C.7.5) ложно.
Допустим сначала, что г* 1 ф ф,((т) при всех а. Тогда ^(с) ^=т*1
для всех tr и t ^ s, иначе в силу C.7.4) lh(i/>t(cr)) ^ s+1 > lh(r* 1).
Поэтому ^((г) ^ г * 1 при всех а к т * I (?Т в силу C.7.2).
Пусть г * 1 = V'j(o') Для некоторого (единственного) <т. Посколь-
Поскольку C.7.5) ложно, второй или третий член конъюнкции также ложен
Пусть для определенности ложен второй член, т. е. gt(i + 1) ф
д,(г+ 1) для некоторых t ^ s и i < lhtr. Учитывая свойства gt
и фг, получаем lh(^t(tr)) ^ yt(i + 1) ^ s + 1 > Ih(r * 1). По-
Поэтому Фи{р) Ф т * 1 для всех и ^ t к р, \\\(р) ^ lh(tr), откуда
ф(р) ф т * 1 при lh(p) > lh(tr). Пусть р € 2<ш, lh(p) < lh(tr).
Тогда 1Ь(ч^я(/>)) < lh(^,(<r)) = s. Поэтому, если Фь{р) — т * 1 при
некотором < ^ s, то V>t(/>) ^ V'j(p) и опять \\\(ф(р)) ^ lh(^((/')) >
s = lh(r * 1). Следовательно, ф(р) ф т * 1 для всех р € 2<ш и
поэтому г * 1 ^ Т.

3.7. Подалгебры и фактор-алгебры 311
Наконец, пусть первые два члена конъюнкции в C.7.5) истинны и
f(a, s) = 0. Ввиду истинности второго члена ф(<г) = ф$(<т) = т* 1,
f(<r, s) = lim f(a, t) = 0,a$S. Поэтому г * 1 ? Т. ?
Из теорем 3.7.3 и 3.7.4 вытекает
Следствие 3.7.4. Любая булева П^-алгебра является булевой
Е;1 -алгеброй.
Пусть ?Л и Па (а — рекурсивный ординал) суть классы гипе-
гиперарифметической иерархии. Из 3.5 следует, что для любого а най-
найдется булева ?Л+1-алгебра, которая не будет булевой ?л-алгеброй.
Из теоремы 3.7.1 и следствия 3.7.4 вытекает, что этот результат не-
нельзя уточнить в терминах включений классов булевых ?л-алгебр и
Па-алгебр. Любая булева Пл+1-алгебра будет булевой Да+1-алгеб-
рой и каждая булева Па+2-алгебра является булевой ?л+1-алгеб-
рой. В частности, нельзя построить более тонкую, чем гиперариф-
гиперарифметическая, иерархию булевых алгебр. Например, любая булева
?~ '-алгебра (Е~' — классы иерархии Ершова) будет булевой Ei-ал-
геброй.
Перейдем к теоремам об арифметических представлениях ариф-
арифметических булевых алгебр.
Теорема 3.7.5. Справедливы следующие утверждения:
(a) любая булева И^-алгебра изоморфна факторизации подходя-
подходящей атомной булевой Af -алгебры по идеалу Фреше,
(b) любая булева ?j* -алгебра изоморфна факторизации по идеа-
идеалу Фреше подходящей атомной булевой алгебре, сильно кон-
структивизируемой относительно А.
Доказательство, (а) Пусть и — нумерация булевой алгебры
21, для которой B1, и) € Т,^ Отношение «и[а] = Од» принадле-
принадлежит Е^, поэтому найдется рекурсивная относительно А функция
/: 2<w х ш -? ш такая, что f(a, s) ^ f(a, s + 1) и v[a] = 0 •«>
lim/((r,s) < ш. Построим вычислимую относительно А последо-
последовательность {ЯЗЛ} конечных булевых алгебр и отображений у, из
Atom @3,) в 2<ш U {о}, где а — некоторый элемент, не принад-
принадлежащий 2<ш. Пусть Ъо = {0,1} и у>оA) = 0- Предположим,
что ©s и <ps построены Пусть С@3,) — множество всех атомов

312 3. Конструктивные булевы алгебры
а € 93,, для которых <р,{а) = <гб2<ыи\/гС(Т (/(г, s) ^ lh(cr)).
Пусть 93,+i — наименьшая булева алгебра, содержащая !В,ив ко-
которой каждый а 6 С(93,) разбит на три атома: ao,ai, а2. Положим
fs+i{ao) = <т * 0, <ps+i{ai) = G*1, <p,+i(a2) = а для а е С(93,)
и <ps+\(a) = <р,(а) для а 6 Atom (93,) \С(93,). Построение закон-
закончено.
Пусть хр, — гомоморфизм из 93, в 21 такой, что хр,(а) = 1/[<т]
при a 6 Atom(93,), <p,(a) = <г € 2<и и V>»(a) = 0а при a 6
Atom(93,), <ps{a) — о. Нетрудно проверить, что фо С Vi Q ¦ ¦ ¦
и ф = (J Vs будет гомоморфизмом 93 = (J93, на 21 с ядром F(93).
5 5
Поэтому 93/^E3) — 21. Остается проверить, что алгебра 93 атом-
атомная, т. е. для любого ненулевого элемента 6 6 93 найдется атом
с $С 6. Пусть 66 93tHa^6, a? Atom(93t). Если а не делится
на шагах s ^ t (т. е. не попадает в С(93,)), то a — атом в 93, и все
доказано. Если а 6 С*(93,) для некоторого s ^ t, то по конструкции
элемент аг € Atom (93,+i) будет атомом 93 и аг ^ Ь. Утверждение
(а) доказано.
(Ь) Пусть B1, v) — булева Sf-алгебра Р(а, х) — Л-рекурсивный
предикат такой, что i/[a] = 0 $> Зх Р((т,х). Определим новый
Л-рекурсивный предикат Q(<r,x) i=; Vr(r С <т =>"¦ Р(т, х)). Так
же, как при доказательстве (а), построим вычислимую относительно
А последовательность {93,} конечных булевых алгебр и отображе-
отображений ip, из Atom (93,) в 2<ш U {а}, где а — некоторый элемент, не
принадлежащий 2<ш.
Пусть 93о = {0,1} и <р0 = 0. Предположим, что 93, и <р,
построены. Пусть С,-(93,), * = 0,1, — множество всех атомов
а 6 93,, для которых <р,(а) = <т 6 2<ш и предикат Q((T,s + 1)
истинный при i = 1 и ложный при i = 0. Пусть 93,+i — наи-
наименьшая булева алгебра, содержащая 93,, для которой выполне-
выполнено следующее. Каждый элемент а 6 Ci(93,) разбит на три ато-
атома: ao,ai,a2. Если <р,(а) = <т, то полагаем <p,+i(ao) = <т * 0,
<Ps+i{ai) = «г * 1, <p,+i(a2) = а. Каждый элемент a 6 Со(93,)
разбит на две части: a = a\ U a2 и <p,+1(ai) = <p,+i(a2) = а. Для
а 6 Atom (93,) \ (CO(93S) U Ci(93,)) полагаем <p,+i{a) = <р,{а).
Построение закончено.
Изоморфизм 93/^E3) — 21 и атомность булевой алгебры 93 уста-
устанавливаются так же, как и в доказательстве утверждения (а). Оста-
Остается проверить, что 93 — сильно конструктивная относительно А

3.7. Подалгебры и фактор-алгебры 313
булева алгебра. Элемент 6 6 05 является атомом тогда и только
тогда, когда 6 6 05s, для некоторого s и <р,(а) — а; это условие
проверяется эффективно (относительно оракула А). Известно, что
атомная булева алгебра с разрешимым множеством атомов является
сильно конструктивизируемой. D
Пусть 03^") = 25/Fn@5)> гДе ^п@5) — итерированный идеал
Фреше. Применяя несколько раз теоремы 3.7.3 и 3.7.2, получим сле-
следующее утверждение.
Следствие 3.7.5. Пусть п < ш. Любая булева Т,2п+2-алге^Ра
(Егп+i -алгебра) изоморфна факторизации подходящей п-атом-
ной конструктивной [сильно конструктивной) булевой алгебры
по идеалу Fn+i.
По определению идеала Фреше, если 05 — конструктивная (силь-
(сильно конструктивная) булева алгебра, то <8("+1) 6 Егп+2 C^2n+i)
Поэтому 05 i-4 05(n+1) будет отображением класса всех конструк-
конструктивных (сильно конструктивных) булевых алгебр на класс всех бу-
булевых Е2п+2-алгебр (Егп+1-алгебр), и это отображение взаимно од-
однозначно на классе n-атомных булевых алгебр.
Наша следующая цель — доказать аналоги теоремы 3.7.5 для
идеала FA1 @5) булевой алгебры 05, порожденного атомами и без-
безатомными элементами, и идеала Ершова-Тарского 1@5) булевой ал-
алгебры 05, порожденного атомными и безатомными элементами. Но
сначала понадобится определить одну операцию на деревьях и ис-
исследовать ее свойства.
Для а € 2<w и Т С 2<ш положим <т*Т={<т*т\т?Т}
и Т(а) — {г | <т * г 6 Т}. Определим операцию, сопоставляю-
сопоставляющую последовательности сегментов {TT}7-g2<u сегмент П^> сле~
т
дующим образом. Пусть W — множество всех последовательно-
последовательностей, у которых на нечетных местах стоят нули. Положим А = Л
и <т * г = <т ¦ 0г. Отображение <т >-+ а является изоморфизмом из
B<Ы;С) в (И^С), и для каждого т ? W найдется <т такое, что
гС?. Ясно, что {? * 1 | а 6 2<ы} есть множество всех минималь-
минимальных элементов в B<w \ W; С) и W = {?, а * 0 | <т € 2<ы}. Если
<т 6 W \ {т | г 6 2<ш}, то а = т * 0 для некоторого г 6 2<ш и
<т*0-гТб, 1(г*1 = п1. Полагаем ЦТт = WU (\Jt* I * Тт).
т т
Следующее утверждение легко следует из определения.

314 3. Конструктивные булевы алгебры
Лемма 3.7.1. Пусть Т = ЦТТ.
т
(a) Если {Тт} — Sj -последовательность деревьев, то Т являет-
является Е^ -деревом.
(b) Для любого сг 6 2<ш справедливы равенства Т{а * 1) = То и
Все рассматриваемые ниже деревья непусты.
Лемма 3.7.2. Пусть {ТТ} — последовательность деревьев и
93 — булева алгебра, определяемая деревом Т = \\ТТ и Ьт —
т
элемент 93, соответствующий Т Е.Т.
(a) Если все элементы 65.1 атомные, то булева алгебра 93 атом-
наяи<Вф?А\(<В).
(b) Если все элементы 65,1 принадлежат FA1 (93), почти все без-
атомны и хотя бы один из ниа; атомный, то lgj представим
в виде объединения ненулевого безатомного элемента и непу-
непустого конечного множества атомов.
(c) Если все элементы 6g«i принадлежат 1(93), почти все они
атомные и хотя бы один не является атомным, то 1<в пред-
представим в виде объединения ненулевых атомного и безатомно-
безатомного элементов.
(d) Если бесконечное число элементов вида 65,1 не являются ни
атомными, ни безатомными, то 1<в
Доказательство, (а) Ясно, что 93 будет иметь бесконечное чи-
число атомов, поэтому lgj $ FA1(93). Остается проверить, что под
каждым ЬТ (т 6 Т) найдется атом (этого достаточно, поскольку
каждый элемент из 93 является конечным объединением элементов
вида 6Т). Если т (/¦ W, то 5 * 1 С т и 6^.1 ^ Ьт для некоторого а.
Поэтому Ьт атомный. Пусть т Е W. Тогда т С а * 1 и Ьт ? Ь&,\
для подходящей а. Под 6„.1 найдется атом. Утверждение (а) дока-
доказано. Точно так же проверяется, что 93 безатомная, если все 6^.1
безатомные.

3.7. Подалгебры и фактор-алгебры 315
(b) Пусть к такое, что ba*i € FA1 (Ъ) при lh(cr) ^ к и пусть 6^*1
безатомный при lh(cr) > к. Легко видеть, что 1<в = ( V ^s*i) V
( V 6*). По условию V bs.i € FA1 @3). По лемме 3.7.1
Т{а) — \\Та,т. Ввиду сказанного выше элемент Ь„ (lh(cr) = к + \),
т
являющийся единицей булевой алгебры, изоморфной ВА (Т(<т)), бу-
будет безатомным. Поэтому 1 ? FA1 @3). Нетривиальность предста-
представления для 1<в очевидна из условия.
(c) Это утверждение проверяется так же, как (Ь), только Ь& при
lh(<r) = к + 1 будет атомным в силу (а).
(d) Предположим противное: 1<в = а V с, а — атомный эле-
элемент, с — безатомный элемент булевой алгебры 93. Пусть конечные
множества F,G С Т таковы, что а = V 6Т и с = \J bT. По-
g
скольку 1<в = V &Ti любая последовательность из Т сравнима
T6FUG
с некоторой последовательностью из F U G. Множество {<т | 3r G
FUG E*1 С г)} конечно. Поэтому найдутся т? FUG и <т € 2<ш
такие, что г С а * 1 и 6^,1 не является ни атомным, ни безатом-
безатомным. Это противоречит тому, что элемент 6Т ^ 6^.1 является либо
атомным, либо безатомным. ?
Теорема 3.7.6. Любая булева Е^-алгебра изоморфна фактори-
факторизации подходящей булевой Af -алгебры по идеалу FA1.
Доказательство. Пусть B1, и) — булева Е^-алгебра. Тогда
существует Е^-последовательность непустых начальных сегментов
натурального ряда {t/v | г G 2<ш} такая, что и[<т] = 0 <? (для по-
почти всех расширений г Э <т имеем ^т = w), где {и[а\ | <т G 2<w} —
стандартное множество, порождающее нумерованную булеву алге-
алгебру B1, и). Последовательность деревьев {йт | г ? 2<ш}, где
йт = {<т | lh(<r) € Vt}, будет Е^-последовательностью. Поэто-
му 5 = П Rt — Е^-дерево.
Т
Рассмотрим отображение <р: S —> 21 такое, что
если г е 1У и г = Ъ или г = Ъ * 0,
если гб5\1^.

316 3. Конструктивные булевы алгебры
Легко проверить, что р — допустимое отображение, удовлетворяю-
удовлетворяющее условию E) (см. 1.7).
Пусть *В — булева алгебра, порожденная деревом 5, г ь-> 6Т —
соответствующее допустимое отображение, a %j): *8 -» 21 — эпимор-
эпиморфизм такой, что ip(bT) = <р{т), т ? S. Остается проверить, что
()
По построению дерево S(a * 1) = Ra конечное или полное. В
первом случае В A (Ra) — конечная булева алгебра, во втором —
безатомная. Легко заметить, что F5.1)93 — ВА(ДСТ). Поэтому
6а. 1 € FA1 (*В) для всех <т ? 2<w. Любой элемент булевой алгебры
*В представим в виде объединения элементов вида Ь„ и 6Т, где т Da,
поэтому остается проверить, что Ь„ ? FA1 (Ъ) <=> i/[a] = 0. Пусть
i/[a] = 0. Тогда фт = ш для почти всех г Э <т. Следовательно,
Дт — полное дерево и 6f .1 — безатомный элемент. Как было отме-
отмечено выше, 6f .1 ? FA1 (*8) для всех г ? 2<ш. [65]зз =i BA (S(?)),
S(a) = Y[Ro*t- Применяя лемму 3.7.2 к дереву S(a), получим
65 € FA1 (»).
Если и[(т] ф О, то существует бесконечно много расширений г Э
<т таких, что RT — конечное дерево, т.е. 6f.i ? FAl(tB). Если
т Э а, то 6f.i С Ь„. Поэтому под Ь„ бесконечно много различных
атомов и Ъ„ ? FA1 (*8). D
Теорема 3.7.7. Любая булева Т,^-алгебра изоморфна фактори-
факторизации подходящей булевой А* -алгебры по идеалу I Ершова —
Тарского.
Доказательство. Пусть v — нумерация булевой алгебры 21,
для которой B1, v) ? Е4 . Отношение «»/[<г] = 0<ц» лежит в Е^ =
Е^ . Поэтому найдется Ej1 -последовательность {фа}а?2<<" непу-
непустых начальных сегментов и> такая, что v\a\ = О в точности тогда,
когда фт = ш для почти всех г Э а. Отношение «х ? фтъ принадле-
принадлежит Ej1 = Е^, поэтому найдется двойная Е^-последовательность
{ст,т}те2<»,х€и непустых начальных сегментов ш такая, что х ?
¦фт <^ сТ|Г ф ш. Определим рекурсивно перечислимую относительно
А последовательность непустых деревьев ST,X — {р \ lh(^) ? сТ}Х).
Полагаем Дт = \\ ^т,х и Т = [] Ят (в обозначении fj STlX под-
I<UI Т X
разумевается, что число х отождествляется с соответствующей по-
последовательностью в естественной нумерации последовательностей
О ь-> Л, 1 ь-> 0, 2 ь-> 1, 3 •-> 00, 4 ь-> 01, ...) Ясно, что Т —

3.7. Подалгебры и фактор-алгебры 317
рекурсивно перечислимое относительно А дерево* Пусть 55 — со-
соответствующая ему булева Af-алгебра. Определим отображение
<р: Т —? 01 так же, как в теореме 3.7.6. Оно опять окажется допусти-
допустимым и удовлетворяющим свойству E) (см. 1.7). Поэтому существует
эпиморфизм ?: 55 —> 21 такой, что ?FТ) = у(г)> здесь 55 — буле-
булева алгебра, порожденная деревом Т и т 4 JT — соответствующее
допустимое отображение. Покажем, что кег? = 1E5).
Пусть фа = ш. Тогда для любого х дерево Sa,x конечное и по
лемме 3.7.2 bSmi — атомный элемент, так как (Ь$,\ )a ~ BA (Ra).
Если же фа ф и, то для почти всех х дерево Sa<x — полное,
а для оставшихся — конечное. По лемме 3.7.2 6^.1 Е FA1E5). В
любом случае имеем 6^,1 Е 1E5). Остается проверить, что Ь„ 6
1E5) <=> 1/[<т] = 0. Это делается так же, как и в теореме 3.7.6,' с
использованием утверждений (с) и (d) леммы 3.7.2. ?
Итерированные идеалы 1П и FAln, определяются стандартным
образом.
Следствие 3.7.6. Любая булева Лзп+з-алгебра изоморфна фак-
факторизации подходящей конструктивной булевой алгебры по иде-
идеалу FAln+i.
Следствие 3.7.7. Любая булева YiHn+ц-алгебра изоморфна фак-
факторизации подходящей конструктивной булевой алгебра по иде-
идеалу In+i.
Легко видеть, что упомянутые выше булевы алгебры строятся
эффективно. Поэтому справедливо, например, такое утверждение:
по любой булевой Е4п+1-алгебре 01 можно эффективно найти булеву
Si-алгебру 55 такую, что 95/lnE5) — SI.
Рассмотрим булеву алгебру Вге, порожденную множеством всех
рекурсивно перечислимых множеств булевой алгебры (P(N),U,n,
С, 0,N). В этом случае любой элемент Вге представим в виде
п
6 = (J Wik \ Wjk, где Wik — рекурсивно перечислимые множе-
fc=o
ства. Рассмотрим натуральное число п как номер пары {k,s), где к
и .s — номера кортежей одинаковой длины (i'i,... , ir) и {j\,... , jr)
г
соответственно. Определив ц(п) = (J W{s \ Wjt, получаем нуме-
рацию булевой алгебры Вге. Ввиду свойств нумерации

318 3. Конструктивные булевы алгебры
семейства всех рекурсивно перечислимых множеств найдутся ре-
рекурсивные функции f,g,h такие, что fi(n) U fi(m) = fif(n,m),
ц(п) Г\/i(m) = цд(п,т) и C(/i(n)) = lih(n). Оценим сложность
множества пар т)„ = {(п, m) \ fin = цт). Верны эквивалентности
/i(n) = р{т) О (Vx)(x € /i(n) о х € р{т)).
С другой стороны, имеет место эквивалентность
xeWi\ Wj О {3t){x € Wf) & (Vi')(* ? W?').
Используя алгоритм Тарского — Куратовского, получаем, что ну-
нумерация A является Пз-конструктивизацией этой модели. В силу
теоремы Лахлана о характеризации гиперпростых множеств [101]
и существования позитивных, но не конструктивизируемых систем,
заключаем, что Вге не конструктивизируема. Из теоремы Лахлана
[101] следует, что ch(Bre/F(Bre)) = (w,0,0). Однако вопросы об
описании типа изоморфизма этой булевой алгебры, ее автоморфиз-
автоморфизмов остаются открытыми.
Вопрос о структуре подалгебр конструктивных булевых алгебр
привлекал внимание многих авторов, прежде всего математиков шко-
школы Нероуда. Предпринимались многочисленные попытки перенести
на структуру подалгебр результаты о структуре решетки € рекур-
рекурсивно перечислимых подмножеств N. Одинцов получил общий ре-
результат (см. ниже), согласно которому ? погружается в структуру
рекурсивно перечислимых подалгебр любой конструктивной булевой
алгебры.
Решетка 5@3) = E@3), V, Л) определяется следующим обра-
образом: 5@3) — множество всех подалгебр алгебры 03, имеющих ре-
рекурсивно перечислимое основное множество, операция Л — обыч-
обычное теоретико-множественное пересечение, а V определяется так:
Do V ?>i = gr(?>o U ?>i), Do, Dx € 5@3). Пусть D G 5@3), тогда
S<b(D) обозначает решетку, состоящую из всех рекурсивно перечи-
перечислимых подалгебр алгебры 03, содержащих D.
Если Dq,D\ ? 5@3) и Do финитно эквивалентна D\, пишем
Do —f D\ тогда и только тогда, когда существуют конечные мно-
множества Fo и F\ такие, что gr(D0UF0) = gr(DiUFi). Отношение =у
играет в решетке <SB3) роль, аналогичную той, которую в решетке
? рекурсивно перечислимых множеств играет отношение ~у, опре-
определяемое так: пусть а, 0 € N, а ~у 0 тогда и только тогда, когда
аА0 — конечное множество. Отношение ~у является конгруэнци-

3.7. Подалгебры и фактор-алгебры 319
ей на решетке ?; ?* обозначает фактор-решетку ? по ~/,
решетку рекурсивно перечислимых надмножеств множества ц € ?,
а ?*(т)) — фактор-решетку ?(i}) по конгруэнции ~/. Отношение =/?
является, очевидно, эквивалентностью, но, в отличие от ~/, не бу-
будет конгруэнцией на решетке 5@5). [121]. Тем не менее определим
S%(D) ;=; S«&{D)I —F. Следуя [121], определим максимальную и
простую подалгебры рекурсивной булевой алгебры 05 (естественный
аналог простых и максимальных подмножеств в N).
Подалгебра М € 5@5) называется максимальной, если М фр
05 и либо М V 21 —f М, либо М V 21 =р 05 для любой булевой
алгебры 21 € 5@5). Подалгебра D € 5@5) называется простой,
если для любой бесконечной 21 € 5@5) имеет место DO21 ^ {0,1}.
Пусть 05 — произвольная рекурсивная булева алгебра. Рекур-
Рекурсивно перечислимой порождающей последовательностью алгебры
05 называем рекурсивно перечислимую последовательность ее эле-
элементов (о :=; 1, ii, (г» • • ¦ такую, что
05= U 05s, 05' = gr({6o,...A}),
и для любого s существует единственный атом а € 05* такой, что
6,+i < а. Каждая последовательность определяет некоторый эф-
эффективный способ построения алгебры 05, при котором к концу ка-
каждого шага построена конечная булева алгебра, а на следующем
шаге один из атомов уже построенной алгебры делится на две ча-
части.
Теорема 3.7.8. Пусть 05 — бесконечная рекурсивная булева ал-
алгебра. Тогда существует рекурсивная подалгебра D € 5@5) та-
такая, что решетка S<s(D) изоморфна решетке рекурсивно пере-
перечислимых множеств.
Доказательство. Пусть 60 ^ 1,6ь... — произвольная ре-
рекурсивно перечислимая последовательность, порождающая булеву
алгебру 05. Множество R = (J Atom @5s) рекурсивно. Действи-
тельно, всякий элемент b ? |05| является элементом конечной буле-
булевой алгебры 05' для некоторого s. Пусть sq — наименьшее s такое,
что 6 € 05s. Включение 6 € II имеет место тогда и только тогда,
когда 6 € Atom@5'°). Это включение проверяется эффективно.
Если б€ Я и 6 ф 1, то найдется такое s, что 6 ? Atom @5s+1)\ 05s

320 3. Конструктивные булевы алгебры
Это означает, что существует а Е Atom (93') такой, что 6,+1 < a
и 6 € {6,+i,a \ frj+i}. Иными словами, каждый отличный от 1
элемент b € R получается в результате разбиения другого элемента
оейна две части: а = Ь V с, где 6 Л с = 0 и с Е Д Если 6 < с в
смысле естественного порядка на множестве натуральных чисел, то
будем называть 6 левым элементом, в противном случае — правим
элементом. Таким образом, множество R распадается на два не-
непересекающихся рекурсивных множества До и R\ левых.и правых
элементов соответственно (единицу считаем правым элементом).
Дадим инструкции для перечисления множеств В, Ао, А\
обладающих рядом интересных свойств. Все эти множества являют-
являются подмножествами Д. На конечном шаге s все элементы Atom (93')
попадут в одно из перечисляемых нами множеств. Через В', А'о,
А\ будем обозначать совокупность элементов, перечисленных
в множествах В, Ао, А\,..., соответственно к концу шага s.
Шаг 0. Полагаем 93° = {0,1}, В0 = {1}, А% = 0,А\ = 0.
Шаг s + 1. Пусть элемент а € Atom (93') такой, что 6,+1 < а.
Тогда Atom(93'+1) = (Atom(93')\{a})U{6,+lla\6,+i}. Причем
в множестве {6»+i, a\6,+i} ровно один элемент левый и ровно один
элемент правый.
Если а принадлежит В' иг — наименьшее натуральное число
такое, что А' = 0, то полагаем A'+1 ^=; {6,+1,a \ 6»+i}, а осталь-
остальные множества оставляем без изменения.
Если а принадлежит А' для некоторого i, то полагаем .AJ+1 ±=;
A' U {с}, S'+1 i=; В' U {6}, где с — левый элемент, а 6 — правый
элемент множества {6»+i, а \ 6,+i}. Остальные множества оставля-
оставляем без изменения.
На этом завершается описание конструкции, которая является
полностью эффективной, вследствие чего множества В, Ао, А\,...
равномерно рекурсивно перечислимы. Более того, они рекурсивны,
так как являются попарно непересекающимися подмножествами Д
и каждый элемент Д попадает в одно из перечисляемых множеств.
Этот факт вытекает из описания конструкции. Имеет место аль-
альтернатива: либо Ai ф 0 для любого »' € N (это нас устраивает),
либо найдется i такое, что Aj = 0 для всех j > i и Aj ф 0 для
всех j ^ i. Последняя возможность не подходит. Однако в этом
случае множество атомов алгебры 93 оказывается рекурсивным и
можно видоизменить конструкцию так, что все Ai окажутся непу-
непустыми. Действительно, пусть s — шаг такой, что Aj ф 0 для всех

3.7. Подалгебры и фактор-алгебры 321
j ^ z, и {ао,..., afc} С Atom(9J') — все атомы подалгебры ©*, не
лежащие в идеале F(9J). Тогда {ао, ,.,,оц}ПВ=0, поскольку,
как только элемент множества В делится на части, очередное из
множеств Ai, i ? N, становится непустым, что невозможно. При
делении элемента a,-, t = 0, ...,&, все правые элементы оказывают-
оказываются атомами, а левые элементы не принадлежат F(9J). Поэтому все
атомы алгебры 9J, кроме конечного числа, суть правые элементы,
лежащие под одним из элементов ai,..., а*.
Если 2$ — рекурсивная булева алгебра с рекурсивным множе-
множеством атомов, то множества левых и'правых элементов можно пе-
переопределить следующим образом. Пусть a € R и а на очередном
шаге делится на две части: а = бУси6<с. Если с $ Atom (!8), b
считаем левым, ас — правым элементом. Если же с ? Atom B$),
то, наоборот, считаем с левым, а 6 правым элементом. Рекурсив-
ность множеств левых и правых элементов при этом сохраняется, и
при осуществлении описанной выше конструкции все множества Ai,
i € N, оказываются непустыми.
Рис. 3.7.1
Подалгебра D = gr(B) удовлетворяет условиям теоремы. Пре-
Прежде чем приступить к доказательству этого факта, сделаем несколь-
несколько замечаний о структуре множеств Ai, i € N. Пусть s — наиболь-

322 3. Конструктивные булевы алгебры
ший шаг такой, что А' = 0. Тогда в множестве Atom (9$*) най-
найдется элемент, уже отнесенный к В' (обозначим его 6,), такой, что
на шаге s + 1 он делится на две части а10 и с10, которые и образуют
множество Л*+1. Если одна из этих частей (скажем, а'о) делится
на одном из последующих шагов на две части, то одна из них опять
попадает в Л,-, а другая в В (обозначим их а\ и Ь\) соответственно,
и т. д.
Структуру множества Л,- можно представить в виде дерева, изо-
изображенного на рис. 3.7.1.
Таким образом, с каждым множеством Л,- естественным обра-
образом связаны элемент 6,- G В («вершина» множества Ai) и две по-
последовательности элементов множества В: {6J- | 0 < j < а,-} и
{dj | 0 < j < /?,}, где а*,/?,- ^ ш. Само множество Л,- есть объ-
объединение двух убывающих последовательностей {а} | j < а,-} и
Ц | j < #}, причем 4 V с'о = 6,-, а'о Л 4 = 0, а'.! = а} V 6$,
4-1 = ск v 4. ° < 3 < ai> 0 < * < #.
Определим на множестве N частичный порядок <л следующим
образом. Полагаем t <д j тогда и только тогда, когда 6,- ^ bj.
Отметим несколько свойств этой конструкции.
A) Пусть 21 — подалгебра алгебры *В и D С Я. Если Ai П21 ф 0,
то Ai С 91. .
Введем вспомогательные понятия.
Совокупность элементов {а\,... ,а„} С |Я$| называется разби-
разбиением элемента 6, если 6 = Va, и а, Л aj = 0, i ф j. Множество
{ai,...,an} образует разбиение элемента Ь на шаге s если оно
есть разбиение 6 G Ъ', и ai,... ,ап G Atom(!8*). Ясно, что для
любых Ь G |93| и s при b G Ъ' разбиение элемента 6 на шаге s
определено, причем однозначно. Если 6 ^ *В', то разбиение 6 на
шаге s не определено. Ввиду этого корректным является следую-
следующее определение. Пусть {ai,..., ап} разбиение элемента 6 на шаге
s. Полагаем supp5F) ±=; {г \ |Л,- n{ai,.. .,an}| = 1}. Ясно, что
supp,F) — конечное множество, канонический индекс которого на-
находится эффективно по 6 и s. Заметим, что |Л,- П {ai,..., ап}\ ^ 2
для любого i, так как Л,- есть объединение двух убывающих по-
последовательностей из множества R, первые элементы которых не
пересекаются.

3.7. Подалгебры и фактор-алгебры 323
B) Если разбиения элемента b € R на шагах s u V определены,
то supp, F) = supp,/F).
Для любого 6 € 58 найдется шаг s такой, что множество supp, F)
определено и не зависит от s согласно свойству B). Поэтому далее
используем обозначение supp Ь. Полагаем suppO = 0.
C) Подалгебра D рекурсивна, Df\Ai = 0 для любого i € N.
При С 6 5E8), С D D полагаем Wc = {» | С П А{ ф 0}. Пусть
W — произвольное рекурсивно перечислимое множество. Полагаем
D(DUU{A\i€W})
D) Пусть С — некоторая рекурсивно перечислимая подалгебра
алгебры 55 u D С С. Тогда supp Ь С We для любого Ь € С.
E) Для любого i 6 W Dw Л Л,- ф 0 и Dw = {6 | supp 6 С W}.
F) Пусть С — рекурсивно перечислимая подалгебра алгебры 58 и
С D D. Имеет место равенство С = Dwc ¦
Действительно, включение Dwc С С следует из A). Обратное
включение вытекает из D).
Свойство F) означает, что отображение W -> Dw переводит
решетку ? на решетку S&(D). В силу E) это отображение взаимно
однозначно. Тот факт, что отображение W -> Dw — изоморфизм,
проверяется непосредственно. ?
Замечание 3.7.2. Построенный в доказательстве теоремы 3.7.1
изоморфизм сохраняет тьюринговы степени.
Очевидно, что Dw ^t W. В силу D) имеем W ^
Приведем следствия из теоремы 3.7.8, позволяющие единым ме-
методом получить серию различных утверждений.
Следствие 3,7.8. Пусть 58 — бесконечная рекурсивная булева
алгебра, S — высокая рекурсивно перечислимая степень. Тогда
существует- максимальная подалгебра ц 6 ?E8) степени 8.
Доказательство. Согласно классическому результату Мартина
[115,189] в любой высокой рекурсивно перечислимой степени 8 суще-
существует максимальное множество М ~т 8. Рассмотрим подалгебру

324 3. Конструктивные булевы алгебры
Dm, используя обозначения теоремы 3.7.8. В силу замечания 3.7.2
Dm =т М. Покажем, что подалгебра Dm является максимальной.
Пусть Dm С С. Рассмотрим We, M С We С N. Из максимально-
максимальности М следует, что либо We \ M конечно (тогда Dm =f С ввиду
A)), либо N\ We конечно (тогда С =f 93). Следовательно, Dm —
максимальная подалгебра. D
Теперь перенесем на решетку 5E8) результаты Лахлана о ги-
пергиперпростых множествах. Им было установлено [101, 189], что
гипергиперпростые множества — это в точности такие рекурсивно
перечислимые множества ij, что ?* (ij) является булевой алгеброй.
Кроме того, исходя из произвольной Из-решетки 21, являющейся бу-
булевой алгеброй, он построил гипергиперпростое множество rj такое,
что ?*(ri) 2 21.
Подалгебра 21 G 5(93) называется гипергиперпростой, если для
любой Do € 5(93) такой, что Do Э И найдется D\ € 5(93) такая,
что Di Э И, Do П Di = 21, Do V Di = 93.
Следствие 3.7.9. Пусть 93 — произвольная рекурсивная буле-
булева алгебра, 31 — произвольная ?3-решетка являющаяся булевой
алгеброй. Тогда существует гипергиперпростая подалгебра С €
5(93) такая, что S^(C) = Я.
Замечание 3.7.3. Выше отмечалось, что отношение =р, вообще
говоря, не является конгруэнцией на решетке 5(93). Поэтому за-
запись 5|з(С) SS И означает нечто большее, чем просто изоморфизм
между решетками. Именно: отношение =р является конгруэнцией
на решетке 5<в(С) и фактор-решетка S^C) изоморфна решетке И.
Действительно, в качестве С можно взять подалгебру Dm в обо-
обозначениях теоремы 3.7.8, где М — гипергиперпростое множество та-
такое, что ?*(М) ^ 21. Если DM С D0) DM С Dx и Do =f Du to
Wd0 ~/ Wor ¦ Действительно, если gr(Do U Fo) = gr(Dx U F\), то
Wgr^oUFo) = WDoV (J supp6, Wgr(DlUFl) = WDlU (J supp 6.
b6F0 66 F,
Так как множества supp6 и Fo, F\ конечны, Wd0 ~/ Wdx- П
Реммел заметил [167,171], что не все максимальные подалгебры
являются простыми. Однако все построенные здесь максимальные

3.7. Подалгебры и фактор-алгебры 325
и гипергиперпростые подалгебры просты. Приводимое ниже след-
следствие дает примеры простых, но не гипергиперпростых подалгебр.
Пусть 03 — рекурсивная булева алгебра, а подалгебра D связана
с 03 так же, как в теореме 3.7.8. Имеет место следующее утвержде-
утверждение.
Следствие 3.7.10. Если М — гиперпростое множество, то
— простая подалгебра алгебры 03.
Доказательство. Допустим противное. Пусть С — бесконеч-
бесконечная рекурсивно перечислимая подалгебра алгебры 03 такая, что
Dm П С = {0,1}. Попытаемся построить эффективную последова-
последовательность конечных множеств, которая будет противоречить тому,
что множество М гиперпросто. Пусть do ?=;l,di,d2,... — произ-
произвольная рекурсивно перечислимая последовательность, порождаю-
порождающая алгебру_С. Рассмотрим d\ ф 0. Поскольку d\ € Dm, имеем
supp di П M ф 0. Полагаем Fq = supp d%.
Пусть | supp di| = к. Из определения рекурсивно перечислимой
порождающей последовательности следует, что |Atom(C")| = s +
1. Рассмотрим С2к = gr({di,...,d2*})- Тогда |Atom(C2*)| =
2к + 1. Ясно, что для любого элемента t € suppdi, существует
не более двух различных элементов а € Atom(J92*) таких, что
i € supp а. Это следует из того, что для любых s и i в разбиение
единицы на шаге s входит не более двух элементов множества А{.
Поэтому среди атомов алгебры D2k найдется по крайней мере один
атом а € Atonr(C2*) такой, что supp a_Qsupp d\ = 0. Полагаем
F\ — supp a, тогда F\ Г) Fp — 0 и F\ П М ф 0.
Пусть уже построены Fo,...,Fn и Fi Г) М ф 0 для любого
i ^ п, кроме того, F< П Fj = 0, i ф j. Чтобы определить Fn+i,
поступаем так же, как на первом шаге. Пусть | (J F,-1 = т. Рассмо-
трим конечную подалгебру С2ш. Среди 2т + 1 атомов подалгебры
С2т найдется по крайней мере один атом a € Atom (C2m) такой,
что supp аП ((J Fn) = 0. Полагаем Fn+i ^ supp a. Наличие
последовательности {Ft- | i € N} противоречит тому факту, что М
гиперпростое. Следовательно, подалгебра Dm проста. D
Следствие 3.7.11. Для любой рекурсивной булевой алгебры 03
элементарная теория решетки 5@3) неразрешима.

326 3. Конструктивные булевы алгебры
Доказательство. Херрман [80] доказал, что элементарная тео-
теория решетки рекурсивно перечислимых множеств неразрешима. Это
было сделано следующим образом. Он доказал, что класс булевых
пар, содержащий все рекурсивные булевы пары, относительно эле-
элементарно определим в решетке ? рекурсивно перечислимых мно-
множеств. Под булевой парой мы понимаем булеву алгебру с одномест-
одноместным предикатом, который выделяет ее подалгебру.
Варрис и Мак-Кензи [14] построили класс булевых пар, имею-
имеющий наследственно неразрешимую теорию. Херрман заметил, что
этот класс состоит из рекурсивных булевых пар. Поэтому нераз-
неразрешимость решетки ? следует из результата [37], который может
быть сформулирован так: Если класс /Со относительно элемен-
элементарно определим в классе К,\ и теория ТЬ(/Со) наследственно
неразрешима, то теория Th(tC\) также наследственно неразре-
неразрешима. Эта теорема показывает, что Херрман доказал не просто
неразрешимость решетки ?, а ее наследственную неразрешимость.
Из теоремы 3.7.1 следует, что решетка ? относительно элементарно
определима в решетке 5@3) для любой рекурсивной бесконечной
булевой алгебры 03. Поэтому можно заключить, пользуясь той же
самой теоремой, что решетка 5@3) также имеет наследственно не-
неразрешимую теорию. D
Упражнения
1. Построить пример неатомной булевой алгебры, которая не кон-
структивизируема, но имеет конструктивизируемый фактор по
идеалу Фреше [65].
2. Построить в безатомной булевой алгебре 03 перечислимый идеал
г} такой, что 03/^ не конструктивизируема [34].
3. Доказать, что конструктивная атомная булева алгебра @3,1/) с
идеалом Фреше сложности Д§ сильно конструктивизируема [34].
4. Доказать, что для любой конструктивизируемой атомной буле-
булевой алгебры 03 существует эффективно атомная конструктивиза-
ция, т. е. конструктивизация v и рекурсивная функция f(n, х)
такие, что для любых пиг выполнено uf{n, 0) = vn, vf{n, х +
1) ^ uf(n,x) и и lim f{n,x) — атом булевой алгебры 03 [64,
г—foo
65].

3.8. Автоморфизмы счетных булевых алгебр 327
5. Доказать, что любая конструктивизация булевой алгебры Вш
эффективно атомная, а множество номеров атокгов не является
гипергиперпростым.
6. Доказать, что алгебры B^s, 9Jwx(wx(i+4)) и Ъшх(шхп) имеют
не эффективно атомные конструктивизации.
7. Провести полное доказательство предложения 3.7.6.
Доказать, что для любого п существует конструктивизируемая
булева алгебра В такая, что ®//„(В) не конструктивизируема,
где Л» (В) — п-й идеал Ершова — Тарского.
9. Доказать, что для сильно конструктивизируемой булевой ал-
алгебры В фактор-алгебры ®//„(В) и ®/Atomless (В) сильно
конструктивизируемы.
10. Построить пример сильно конструктивизируемой атомной буле-
булевой алгебры, фактор-алгебра по идеалу Фреше у которой не кон-
конструктивизируема.
11. Доказать, что для любого А € &\ существует суператомная кон-
конструктивная булева алгебра (B,i/), у которой для некоторого
максимального идеала / множество и~хA) =т-Л [53].
3.8. Автоморфизмы счетных булевых алгебр
В этом параграфе мы изучим структуру производной булевой
алгебры — группы автоморфизмов, которая характеризует наличие
симметрии в алгебре. Все автоморфизмы булевой алгебры 21 обра-
образуют группу, которая обозначается обычно AutQl. Для счетных
булевых алгебр группа автоморфизмов близка в некотором смысле
к группе перестановок, что позволяет установить некоторые нетри-
нетривиальные соответствия между этими группами и алгебрами. Авто-
Автоморфизмы булевых алгебр, в частности рекурсивные автоморфиз-
автоморфизмы рекурсивных булевых алгебр, достаточно хорошо изучены. Цель
данного параграфа — представить технику работы с автоморфизма-
автоморфизмами, относящуюся к действию автоморфизмов на атомах.

328 3. Конструктивные булевы алгебры
Предложение 3.8.1. Любой автоморфизм счетной булевой ал-
алгебры полностью определен своим действием на атомах и без-
безатомных элементах.
Доказательство. Достаточно показать, что если автоморфизм
<р оставляет на месте все атомы и безатомные элементы, то он тожде-
тождествен. Пусть (р(а) ф а для некоторого а. Без ограничения общности,
можно считать, что <р(а) Л а = 0. Пусть, напротив, а\у>(а) ф 0 или
?>(а)\а ф 0. Тогда в первом случае рассмотрим а\у>(а) вместо а,
а во втором — у>(а')\а вместо а и ip~l вместо (р. Если существует
атом /3 ^ а, то <р@) ^ ?>(<*) и из равенства а Л <р(а) = О получаем
<р@) Л /3 = О и /3(/3) ф 0, что противоречит условию. Следователь-
Следовательно, а — безатомный элемент. Но тогда по условию (р(а) = а, что
противоречит равенству а Л <р{а) = 0. ?
Если а,Ь — два атома булевой алгебры 21, то (а,6) обозначает
автоморфизм, переводящий а в 6, абваи тождественный на осталь-
остальных атомах и безатомных элементах. Такой автоморфизм единствен.
Он называется атомной транспозицией или транспозицией.
Непосредственно проверяется; что все атомные транспозиции со-
сопряжены между собой. Кроме того, в группе они выделяются V-фор-
мулой.
Предложение 3.8.2. Автоморфизм х счетной булевой алгебры
31 является транспозицией тогда и только тогда, когда Aut 011=
tr(«) где tr(z) ={хф1кх2 = l&Vy([*,2/]6 = 1)), и [х,у] =
х 1у~1ху — групповой коммутатор.
Доказательство. Предположим, что х — транспозиция. Тогда
х ф 1 и х2 — 1. Кроме того, у-1ху — атомная транспозиция при
любом автоморфизме у. Поэтому [х,у] = х~ху~хху = х ¦ у~1ху
либо является произведением двух транспозиций, передвигающих
непересекающиеся множества атомов (и тогда [х, у]2 = 1), либо пе-
передвигает ровно три атома (и тогда [я, у]3 = 1); в любом случае
[*,У]6 = 1-
Предположим, что выполнено tr(ar). Сначала покажем, что х
действует на безатомных элементах тождественно. Пусть а — без-
безатомный элемент, для которого х(а) ф а. Как и при доказательстве
предложения 3.8.1, можно считать, что х(а) Аа = 0. Очевидно, что
булева алгебра а имеет автоморфизм у1 бесконечного порядка. По-
Поэтому можно построить автоморфизм у бесконечного порядка такой,

3.8. Автоморфизмы счетных булевых алгебр 329
что у f 3 = j/ и у действует тождественно на элементах, меньших
С(а). Следовательно, [х,у] действует на а как у* и поэтому имеет
бесконечный порядок. Полученное противоречие показывает, что х
тождественно на безатомных элементах.
Рассмотрим два случая.
Случай 1: действуя на атомы, х содержит, как минимум, два
2-цикла (а,Ь) и (c,d), а также оставляет на месте два атома е и
/. Рассмотрим автоморфизм, задаваемый перестановкой на атомах
у = (с, 6, e)(d, /)(a). Легко проверить, что [х,у] содержит цикл
(a,d,c,b). Следовательно, равенство [х,у]6 = 1 невозможно.
Случай 2: действуя на атомы, х содержит, как минимум, четы-
четыре цикла (а, 6), (с, d), (e,/), {g,h). Выберем автоморфизм у так,
что у~1ху включает циклы F, с), (d,f), (e,g) и (а, Л). Остается
проверить, что [х,у] = х~1(у~1ху) — х(у~1ху) содержит циклы
(a,g,f,c). Таким образом, равенство [х,у]6 = 1 невозможно. Из
условий на 21 Ё tr (x) и рассмотренных случаев легко видеть, что
х — (а,Ь) для некоторых атомов а, 6 и х является транспозицией.
?
Теорема 3.8.1. Если Qt u 93— счетные булевы алгебры с изо-
изоморфными группами автоморфизмов и 21 атомная, то 21 = 93.
Доказательство. Двусортная модель (Aut 21, Atom, о, ар), где
ар : Aut 21 х Atom21 -> Atom21, &р(д, а) — д(а), и групповая опе-
операция о на Aut 21 однозначно восстанавливается по группе Aut 21.
Сопоставим каждому атому а алгебры 21 множество пар транспози-
транспозиций (х, у) таких, что х = (а, Ь), у = (с, d) и {а} = {а, Ь} Л {с, d}.
Формульное условие, выделяющее такие пары в группе всех авто-
автоморфизмов, можно записать в виде tr (х) к tr (у) & [х, у] ф 1. Фор-
Формула, распознающая среди таких пар пары транспозиций (хо, х\) и
(j/o,J/i), сопоставляемые одному и тому же атому [40], может быть
записана так: ?'(xo,x1,yo,yi) = , & I1»!/?]3 = 1- Доказатель-
Доказательство этого факта состоит в аккуратном рассмотрении всевозмож-
всевозможных вариантов расположения передвигаемых атомов в транспозици-
транспозициях. Теперь мы можем интерпретировать в группе Aut 21 множество
Atom 21 как фактор-множество множества
{<*, у> | Aut 211= tr (x) к tr (у) к [х, у] ф 1}

330 3. Конструктивные булевы алгебры
по отношению эквивалентности ~, задаваемой формулой Е:
(х0, *i) ~ (г/о, 2/i) <* Е(х0, xi, 2/6,2/i)-
Если атом /? соответствует паре (х,у), то атом /(/?) соответству-
соответствует паре (/я/,fyf~l). Это дает способ интерпретации отобра-
отображения ар. Следовательно, для любых счетных булевых алгебр 21
и Я$ таких, что Aut.<4 ^ AutfB верно (Aut2l, Atom21,*), ар) =
(Aut 2$, Atom®,о, ар); более точно, для любого изоморфизма i :
Aut 21 —)¦ Aut 2$ существует взаимно однозначное соответствие ft
между Atom2l и Atom® такое, что h(a.p(g,a)) = а.р(г(д), h(a))
для любых д € Aut 21, а € Atom 21. Таким образом, установлен
изоморфизм между действиями групп автоморфизмов на атомах.
Покажем, что 2$ атомная. В противном случае существует нетриви-
нетривиальный автоморфизм Aut 03, оставляющий неподвижными все ато-
атомы, что неверно относительно группы Aut 21. Это противоречит
изоморфизму действий этих групп на атомах. Убедимся, что для
любого X С Atom 21 существует sup X тогда и только тогда, когда
существует supft(X). Тогда можно продолжить отображение ft до
изоморфизма ft* : 21 —> Я$ следующим образом:
ft*(a) =sup{ft(a) |a€ Atom2l&a ^ a},
и тем самым теорема будет доказана. Сначала мы построим три ав-
автоморфизма <р, тг, г. Без ограничения общности можно считать, что
основное множество алгебры 21 есть множество натуральных чисел.
Определим отображение р : 2<ш —»• {0,1,2} следующим образом:
значение р на пустом слове Л по определению есть 0. Далее,
A, еслир(?)=0, Г 2, еслир(?) = 0,
2, если р(е) = 1, p(el) = I 0, если р(е) = 1,
0, ' если р(е) = 2, [ 1, если р(е) = 2.
Построение осуществляется по шагам.
Шаг 0. Пусть a — атом, являющийся наименьшим как нату-
натуральное число среди всех атомов. Пусть сд — атом, который являет-
является наименьшим как натуральное число среди всех атомов за исклю-
исключением Q. Полагаем ^л равным транспозиции (а,с\) и ед = 1\о,
где 1 — единица алгебры 21.
Шаг п+ 1. Для всех е € 2" таких, что де и се определены, поло-
положим ее1 = (пЛее)\се, еео = (С(п)/\ее)\се. Для г = 0,1 положим

3.8. Автоморфизмы счетных булевых алгебр 331
сс{ равным атому, который не превосходит ее,-, и (§сли таковой суще-
существует) имеет среди таких атомов наименьший номер. Если такого
атома нет, то gci и cci считаем неопределенными. Если cci опреде-
определено, то полагаем де{ равным (се, се>). Описание построения се и де
закончено.
Заметим, что Atom21 = {a} U {се | ? € 2<ы и дс определено}.
Полагаем
<Р= П 9с' п= П 9с> т= П 9с'
р(е)=О р(е)=1 р(е)=2
где бесконечные произведения понимаются как поточечные пределы.
Эти определения корректны, так как для любого а 6 21 множество
{е | дс (а) ф а] конечно и gegg = gsgc для всех е и S таких, что де
и gs определены и р(е) = p(S).
Заметим, что для любой функции / : 3<ы -> {0,1} бесконечные
произведения
^ = П *еЛе)> «' = П ^W. П °!{С)> С381)
р(е)=О р(е)=1 р(е)=2
рассматриваемые как поточечные пределы, определены корректно и
являются автоморфизмами.
Покажем, что для любого X С Atom51 существует sup X тогда
и только тогда, когда семейство {А(Х) | А 6 Aut 21} счетно. Ясно,
что если существует а = sup X, то семейство {А(Х) | А € Aut B1)}
состоит из множеств вида {а € Atom 21 | а ^ Ь}, где Ь = А(о)
для подходящего А € Aut 21 и потому счетно. Предположим теперь,
что не существует а = supX. Тогда хотя бы одно из множеств
{а 6 X | <р(а) i X}, {а € X | тг(а) ? X}, {а € X \ т{а) $ X}
бесконечно. Если все эти множества конечны, то, начиная с неко-
некоторого т, для любого е € 2т должно выполняться {а ? Atom21 |
а ^ ее} С X или {а € Atom21 | а ^ ее} П X = 0, что вле-
влечет существование sup X в виде объединения соответствующих ее
и некоторого конечного семейства атомов. Поэтому без ограниче-
ограничения общности можно считать, что множество {а € X \ f>(a) ? X}
бесконечно. Поскольку для любого отображения / : 3<ы —> {0,1}
определен автоморфизм <р^, множество X имеет несчетное число
образов вида ipJ(X). Таким образом, мы доказали, что для лю-
любого X С Atom 21 существует supX тогда и только тогда, когда
существует sup h(X). О

332 3. Конструктивные булевы алгебры
Справедливо также более сильное утверждение.
Теорема 3.8.2 [117]. Если 21 и 03 — счетные булевы алгебры с
изоморфными группами автоморфизмов и в 21 существуегЦ.объ-
единение всех атомов, то 21 = 03.
В доказательстве теоремы 3.8.2 используется формулируемый
ниже результат Андерсона, представляющий самостоятельный ин-
интерес.
Теорема 3.8.3. Группа всех автоморфизмов счетной безатом-
безатомной булевой алгебры проста, т. е. не содержит нетривиальных
нормальных подгрупп.
Также интересна следующая теорема Рубина [179].
Теорема 3.8.4. Пусть 21 и 03 — произвольные счетные булевы
алгебры с числом атомов, не равным единице. Тогда из элемен-
элементарной эквивалентности групп Aut 21 и AutQ3 следует элемен-
элементарная эквивалентность алгебр 21 и 03. Более того, существует
предложение <р языка теории групп такое, что из Aut 21 t= ip и
Aut 03 Ё ip следует 21 = 03.
Описание атомных транспозиций из предложения 3.8.1 справед-
справедливо также для рекурсивных автоморфизмов. Обозначим Autr B1)
группу всех рекурсивных автоморфизмов системы 21. Достаточно
заметить, что все автоморфизмы, существование которых требуется
при доказательстве этого предложения (в частности, те, которые пе-
переставляют конечное число атомов и тождественны на безатомной),
могут быть выбраны рекурсивными. Полезным оказывается также •
замечание о том, что все транспозиции сопряжены в группе всех
рекурсивных автоморфизмов булевой алгебры. Мы приведем здесь
два результата о неконструктивизируемости для групп рекурсивных
автоморфизмов рекурсивных булевых алгебр.
Теорема 3.8.5 . Если в бесконечной рекурсивной булевой алгебре
21 множество номеров атомов содержит бесконечное рекурсивно
перечислимое подмножество, то группа Aut r2l не конструкти-
визируема.
В доказательстве этой теоремы нам понадобится следующее вспо-
вспомогательное утверждение.

3.8. Автоморфизмы счетных булевых алгебр 333
Лемма 3.8.1. Пусть 31 — рекурсивная булева алгебра и группа
Aut r 31 конструктивизируема. Тогда любая ее конструхтивиза-
ция может бить расширена до конструктивизации двусортной
модели (Aut rQt, Atom SI, о, ар).
Доказательство. Пусть задана некоторая конструктивизация
группы Aut г B1). Используя сопряженность всех атомных транс-
транспозиций в этой группе, можно перечислить множество их номеров
как множество номеров элементов вида g~lrg, где д пробегает всю
группу Aut r B1), а г — некоторая фиксированная транспозиция.
Используя э°ту нумерацию, можно эффективно занумеровать такие
пары транспозиций (/,<?), что fg ф gf (т. е. у транспозиций / и
д имеется единственный общий передвигаемый атом), причем таким
образом, что по номеру пары можно эффективно установить номера
ее элементов, а по номерам некоммутирующих транспозиций можно
эффективно найти номер пары, составленной из них. Как для групп
обычных автоморфизмов, равенство общих передвигаемых атомов у
пар атомных транспозиций (xo,xi) и (yo,!/i) эквивалентно выпол-
выполнению формульного условия E(xo,xi,yo-,yi). Доказательство про-
проводится так же, как и в случае обычных автоморфзимов. Поскольку
формула Е, выражающая совпадение общих передвигаемых атомов
у пар атомных транспозиций, является бескванторной, существует
алгоритм, позволяющий распознавать совпадение общих передвига-
передвигаемых атомов у пар (xo,xi) и (yo,yi). Поэтому можно эффективно
занумеровать классы вида
А»о,а, = {(zo,zi) I общие атомы (xo,xi) H^aOlai) совпадают},
где а0, ai — пары'некоммутирующих трансаозиций, таким образом,
что по номеру класса и номеру пары можно эффективно определить,
принадлежит ли данная пара к данному классу. Каждый такой
класс естественно отождествляется с соответствующим ему общим
у всех пар этого класса передвигаемым атомом. Пусть теперь ноиер
класса и будет номером этого атома и атом а является общин пе-
передвигаемым атомом у пары (х, у). Кроме того, пусть / € AutrSl.
Тогда {fxf~1, fyf~1) также является парой я Да) — общий пере-
передвигаемый атом этой пары. Ввиду этого наблюдения по номеру ато-
атома а (номеру класса) и номеру автоморфизма / из Ant r SI можно
эффективно найти номер атома /(а). Таким образом, мы построи-
построили конструктивнзацию двусортной модели (Aut r%, Atorafit, о, ар).
Отметим, что нумерация группы Aut r3l при этом остается прежней,

334 3. Конструктивные булевы алгебры
т. е. конструктивизация двусортной модели расширяет первоначаль-
первоначальную конструктивизацию этой группы.
Отметим, что полученная нумерация множества атомов не обя-
обязательно связана с множество номеров этого множества в исходной
алгебре. ?
Доказательство теоремы 3.8.5. Фиксируем рекурсивную раз-
разнозначную функцию д из N в Atom 21. Построим по шагам семейство
атомов {а{ | j ^ ш, i ^ j + 1}.
Шаг 0. Определим а§ и а? как <7@) и <7A) соответственно. Для
пустой последовательности Л полагаем гд = С(<Хд V а?).
Шаг s + 1. Полагаем г?0 = ге Л s, r'el = гс Л C(s) для всех
е 6 2*. С помощью д, перечисляющей атомы булевой алгебры В
найдем е 6 25+1 такое, что г'с содержит s + 3 различных атома
qJ+1, ... ,а*^2 из образа ?. Полагаем rc t=; r'e\(a'0+1 V.. -VaJ^g)
для любого е 6 25+1. Обозначим через (со,... ,с„) автоморфизм
21, осуществляющий циклическую перестановку атомов со,... ,с„
и оставляющий неподвижными все остальные атомы и безатомные
элементы.
Пусть А = П(ао+1>-- • >a«+i)- Нетрудно видеть, что это —
рекурсивный автоморфизм алгебры 21. Более того, для любой вы-
вычислимой функции / : и -> {0,1} автоморфизм
определен корректно и является рекурсивным. Предположим те-
теперь, что v — конструктивизация группы Autr2l. По лемме 3.8.1
она может быть расширена до конструктивизации двусортной моде-
модели (Aut r2l, Atom2l, о, ар).
Определим рекурсивную функцию h следующим образом: пусть
a — фиксированный атом и п 6 N. Для любого п мы ищем наи-
наименьшее к ? и такое, что (vk)(a) = qo A «i -»...-)• an+i -> «о
и все ao, Qi, ¦ ¦ ¦ , «n+i попарно различны. Пусть теперь
={
О, если vn(ato) ф Oq,
1 в противном случае.

3.8. Автоморфизмы счетных булевых алгебр 335
Легко видеть, что h — рекурсивная функция. Поэтому Ал G Aut T2l.
Докажем, что Ал не совпадает ни с одним автоморфизмом vn. Пред-
Предположим, что АЛ = vn. При вычислении h(n) по приведенному вы-
выше алгоритму, элемент (ик)(а) = ао попадет в цикл длины п + 2.
Заметим, что у А имеется в точности один такой цикл. Из опре-
определения видно, что в случае vn(ato) ф ао мы полагаем h(n) = 0.
Поэтому АЛ(ао) = ао ф "(п)(ао)- Аналогично доказывается, что
в случае vn(ato) = ао также получается неравенство. Таким обра-
образом, равенство Aft = v(n) невозможно. ?
В случае <р\,... , <рк G Aut r2l называем <р\,... , <рк-орбитами
орбиты относительно группы, порождаемой этими элементами.
Теорема 3.8.6 [130]. Пусть для некоторого конечного семейства
tpx,... ,ipit G Aut r2l e множестве Atom 21 содержится бесконеч-
бесконечная <р\,... ,<fk-op6uma. Тогда группа Autr2l не вломсима ни в
какую конструктивизируемую группу.
Доказательство. Предположим, что {G, и) — конструктивная
группа и Aut r 21 ^ G. Зафиксируем пару некоммутирующих транс-
транспозиций (tOiti). Определим Т = {(г/,т{) | / G G}. Далее, для
Gjo,»7i>, @o,0i) G Т определим
Поскольку формула в правой части эквивалентности бесквантор-
бескванторная, конструктивизация и может быть продолжена как и в теоре--
ме 3.8.5 до конструктивизации двусортной модели (G,T, ар), где
ар(/,@оА» = @о~\в1~1)- Заметим, что если @o,0i> ЕТи
в0 = Гц , в\ = т[ для некоторого автоморфизма / G Aut r2l,
то в0 и в\ также являются транспозициями При этом, если у т0
и Г! был общий передвигаемый атом а (такой атом существует и
притом единственный, поскольку [to,ti] ф 1), у в0 и в\ таким ато-
атомом будет /(а). Далее, если rj,- = rf, i = 0,1, для некоторого
g G Autr2l, то (»7of *7i) ~ @o,0i) выполняется тогда и только то-
тогда, когда общие передвигаемые атомы у этих пар совпадают. Пе-
Перечисляя бесконечную <р\,... , ^-орбиту при помощи рекурсивных
автоморфизмов <pi,... ,<fk, можно теперь построить рекурсивный
автоморфизм А точно так же, как теореме 3.8.5.
Определим рекурсивную функцию g : ш —> {0,1} следующим
образом. Пусть дано ngw, Ищем рекурсивный автоморфизм t из

336 3. Конструктивные булевы алгебры
подгруппы, порожденной <pi,... ,<pk такой, что если с*о = (tq,t{),
то
ар(Л, а0) = оч, ар(Л, аа) = а2, • ¦ • , ар(Л, ап)
= «n+i, ар(Л, an+i) ~ <*о>
и для всех i,j,0 ^ t < j ^ n, выполнено ""(а,- ~ ctj). Определим
<¦>-{!¦
1 " в противном случае.
Легко видеть, что Л9 6 Autr5l. Покажем, что Л9 не совпада-
совпадает ни с одним автоморфизмом vn 6 Autr2l. Предположим, что
Л9 = ип(п). Поскольку t, фигурирующее в описании вычисления
д, берется из Autr2l, ao будет парой некоммутирующих атомных
транспозиций. При этом общий перемещаемый атом у элементов
этой пары попадет в единственный цикл длины п+2 автоморфизма
Л. Если vn оставляет этот атом на месте (т. е. vn(cto) ~ ao), Xя
обязательно его сдвинет (так как д(п) = 1). Наоборот, если v(n)
не оставляет его на месте, Vя оставит этот атом на месте, так как
""(i/n(ao) ~ «о)- Поэтому д(п) = 0. Следовательно, Xя ф vn;
приходим к противоречию. D
Следствие 3.8.1 . Группа Aut тш всех рекурсивных перестано-
перестановок множества натуральных чисел не вложима ни в какую кон-
структивизируемую группу.
Следствие 3.8.2. Пусть % — бесконечная рекурсивная булева
алгебра с рекурсивным множеством атомов. Тогда группа ее
рекурсивных автоморфизмов не вложима ни в какую конструк-
тивизируемую группу. В частности, группа рекурсивных авто-
автоморфизмов любой разрешимой булевой алгебры не вложима ни в
какую конструктивизируемую группу.
Отметим, что многие естественно возникающие рекурсивные бу-
булевы алгебры имеют неконструктивизируемую группу рекурсивных
автоморфизмов. Однако существуют также рекурсивные булевы ал-
алгебры с конструктивизируемыми группами рекурсивных автомор-
автоморфизмов. Поскольку группа всех конечных перестановок N конструк-
тивизируема, такие примеры можно получить на основе следующей
теоремы.

3.8. Автоморфизмы счетных булевых алгебр 337
Теорема 3.8.7 [140,131]. Для любой рекурсивной, булевой алгебры
существует изоморфная ей рекурсивная булева алгебра, у кото-
которой каждый рекурсивный автоморфизм передвигает лишь конеч-
конечное семейство атомов.
Так же, как обычные счетные булевы алгебры, рекурсивные бу-
булевы алгебры в ряде случаев допускают полное восстановление из
групп их рекурсивных автоморфизмов.
Теорема 3.8.8 [130]. Пусть 21 -— рекурсивная атомная булева
алгебра с рекурсивным множеством атомов и!В — произвольная
рекурсивная булева алгебра. Тогда из Aut r 21 2 Aut r 93 следует
2lSr55.
Доказательство. Сначала мы построим рекурсивные автомор-
автоморфизмы ip, jt, r в атомной разрешимой булевой алгебре 21 точно так
же, как в доказательстве теоремы 3.8.1. Заметим, что для любой
рекурсивной функции / : 3<ы —? {0,1} бесконечные произведения
C.8.1) определены корректно и являются рекурсивными автомор-
автоморфизмами. Зафиксируем такие автоморфизмы <р, ж, г. Пусть v —
изоморфизм групп рекурсивных автоморфизмов Autr2l и Autr53.
Как и в случае обычных автоморфизмов, двусортные модели
(Aut r2l, Atom2l, о, ар), (Aut r55, Atom 55, о, ар)
изоморфны т. е. существует взаимно однозначное отображение h :
Atom21 —? Atom® такое, что h(a.p(g,a)) = &p(v(g),h(a)) для
всех g € Aut r2l и а € Atom 21. Другими словами, действия групп
Aut r 21 на Atom 21 и Aut r 55 на Atom 05 изоморфны. Зафиксируем
отображение с указанными свойствами. Поскольку все атомы алге-
алгебры 21 образуют одну орбиту при действии автоморфизмами ip, тг, г,
то же верно для алгебры 55. Поэтому множество атомов алгебры 55
перечислимо. Ввиду того, что множество атомов любой рекурсивной
булевой алгебры всегда коперечислимо (так как атомы выделяются
V-формулой), это множество рекурсивно.
Заметим, что булева алгебра 55 атомная. Иначе у 55 существовал
бы нетривиальный рекурсивный автоморфизм, действующий тожде-
тождественно на атомах, что невозможно, поскольку группы рекурсивных
автоморфизмов алгебр 21 и 93 действуют изоморфно на атомах этих
алгебр.

338 3. Конструктивные булевы алгебры
Лемма 3.8.2. Для любого X С Atom21 в алгебре 21 существу-
существует sup X тогда и только тогда, когда в алгебре 58 существует
suph(X).
Доказательство. Поскольку множества атомов рекурсивны в
обеих алгебрах, последние находятся в равноправном положении.
¦Поэтому достаточно показать, что если не существует supX в 21,
то не существует также sup/i(X) в 23. Предположим, что не су-
существует supX в 21, но тем не менее sup/i(X) существует. Ясно,
что множество X в этом случае должно быть бесконечным. По
построению автоморфизмов tp, тг и г, для некоторого j ? {0,1,2}
множество {vge | vgeh(X) ф h(X), p(e) = г} бесконечно. Без
ограничения общности можно считать, что бесконечным является
множество для » = 0. Поскольку sup/i(X) существует, множество
h(X) рекурсивно. Поскольку tp = J"J ge, существует вычисли-
мая последовательность ao,ai,... элементов множества Atom®,
обладающая следующими свойствами: a,- ^ h(X) для всех t ? N,
v(p(ati) G h(X) для всех i ? N, для любой рекурсивной функции
/ : N ->¦ {0,1} существует sup (h{X) U {a,- | /(j) = 1)}.
Функция
рекурсивна. (Напомним, что элементы булевой алгебры суть нату-
натуральные числа.) Покажем, что для любой рекурсивной функции
/ : N —>¦ {0,1} существует п такое, что р(п, г) = /(г) для всех
г. Возьмем произвольную рекурсивную функцию / : N —>¦ {0,1}.
Пусть п = suTp(h(X) U {а,- | /(») = 1}). Тогда п — искомое на-
натуральное число, т.е. p(n,i) = f(i) для всех г. Таким образом,
р — универсальная функция для всех рекурсивных функций из N
в {0,1}. Простое диагональное построение показывает невозмож-
невозможность построения такой функции. ?
Из леммы 3.8.2 следует, что алгебры 21 и 05 изоморфны, при-
причем изоморфизм определяется отображением, которое переводит a
в sup({/3 | /3 G Atom21, /3 ^ а}). Осталось доказать рекурсив-
ность этого изоморфизма. Для этого используем «топологические»
свойства автоморфизмов <р, тг и г.

3.8. Автоморфизмы счетных булевых алгебр 339
Лемма 3.8.3. Для каждого п можно эффективно выписать ко-
конечные множества А^, Аж, АТ такие, что <р(п)\п = sup Av,
7г(п)\п = sup Л,, T(n)\n = sup.AT и если хотя бы одно из мно-
множеств Ау, АТ, Ар непусто, п — единственный элемент 81, удо-
удовлетворяющий вышеприведенному условию; если все эти множе-
множества пусты, то таким элементом может быть лишь О или 1
алгебры 81.
Доказательство. Первое условие следует из построения ав-
автоморфизмов <р, ж, т. Требуется доказать, что если <р(п)\п =
вирДр, 7г(п)\п = sup>!„¦, т(п)\п = sup.AT, <p(m)\m = snpA^,
w(m)\m = sup Av, т(т)\т = sup AT и хотя бы одно из множеств
Ар, At,, АТ не пусто, то п = т. Достаточно показать, что для
некоторого фиксированного атома а и любой конечной последова-
последовательности (pa, <pi,... , (pi,, составленной из автоморфизмов <р, ж, т,
4>k ¦ ¦ У1Уо(а) < m <^ <pk ¦ ..<pi<po{a) ^ п.
В качестве а возьмем произвольный атом из А9 U An U Ат. Если
это множество окажется пустым, то по построению п может быть
лишь 0 или 1. Если последовательность <po,<Pi, ¦ ¦ ¦ ,<Рк пуста, то
условие выполнено, так как в этом случае ~"(а ^ т) и ~"(а ^ п)
ввиду а € А9 U Aw U Ат. Предположим, что условие выполняет-
выполняется для некоторой последовательности <ро, tp\,... , <рк, и пусть ф —
один из автоморфизмов <р, п, т. Покажем, что ф<рк .. .<pi<po{a) ^
m •о ф<рк .. .<pi<po(a) ^ п. Обозначим <рь .. .<pi<po(a) через 0.
Без ограничения общности можно считать, что ф = <ръ <р(/3) ф /3.
Разберем два случая.
Случай 1: 0 € А9. Тогда 0 ^ <р(п)\п и 0 ^ <p(m)\m, следо-
следовательно, <р(/3) ^ <р2(п)\<р(п) = п\<р(п) и <p(f3) ^ ip2(m)ip(m) =
m\<p(m). Поэтому у>(/?) ^ п и у>(/?) ^ т, т. е. утверждение верно.
Случай 2: 0 ? А9. Предположим, что <р(/3) ^ п, но <р(/3) ^
С{т). Тогда /? ^ <р{п) и /3 ^ <р{С{п)). Так как /3 ? Av, имеем /3 ^
п. По предположению /3 ^ <р(С(п)). Далее, 0 ^ <р(С(т)) А т =
т\<р(т). Следовательно, <р(/3) ^ <р(т)\т = supAv и <р(/3) € А9.
Из у(/?) ^ п и [3 ^ п вытекает <р(C) (? А^\ противоречие. П
Эта лемма дает алгоритм для нахождения по любому элементу
алгебры 81 соответствующего ему при изоморфизме элемента эле-
элемента алгебры 53. Пусть элемент п € 81 отличен от 0 и 1. Процесс

340 3. Конструктивные булевы алгебры
построения автоморфизмов <р, тг, г позволяет эффективно выписать
множества Av, Aw, Ат такие, что у>(п)\п = зирЛ^,, тг(п)\п =
sup/lT, r(n)\n = ащ>Ат. Перечисляя элементы алгебры Я$, най-
найдем к такой, что v<p(k)\k = зирЛ(Л^), итг(&)\& = sup Л (Л ж),
vr(k)\k = sup Л (Л т). Отметим, что к есть изоморфный образ п.
Справедлив более общий результат.
Теорема 3.8.9 [135]. Пусть 21 — рекурсивная атомная булева
алгебра с рекурсивным множеством атомов, а 93 — произволь-
произвольная рекурсивная булева алгебра. Если группы Autr2t u Autr2$
элементарно эквивалентны, то 01 и 18 рекурсивно изоморфны.
Упражнения
1. Пусть Sym(m) — группа всех перестановок множества из т
элементов. Доказать, что группа автоморфизмов любой конеч-
конечной булевой алгебры с т атомами изоморфна Sym (m).
2. Доказать, что любая счетная безатомная булева алгебра имеет
автоморфизм бесконечного порядка.
3. Доказать, что любая счетная булева алгебра имеет нетривиаль-
нетривиальный автоморфизм.
4. Доказать, что любая счетная булева алгебра имеет автоморфизм
бесконечного порядка.
5. Доказать, что любая перестановка на конечном семействе ато-
атомов булевой алгебры продолжается до некоторого автоморфиз-
автоморфизма. Бели булева алгебра содержит бесконечно много атомов, то
группа всех конечных перестановок натуральных чисел вложиыа
в группу всех автоморфизмов этой алгебры.
6. Доказать, что группа всех рекурсивных автоморфизмов рекур-
рекурсивной безатомной булевой алгебры простая.
7. Доказать, что для любых двух бесконечных рекурсивных атом-
атомных булевых алгебр И и 35 существуют рекурсивные булевы
алгебры И* и «В* такие, что Я S И*, «В S «В* и Autr21* S
Autr5B*

Литература
1. Alton, D. A.,
Iterated quotients of the lattice of recursively enumerable sets, Proc.
London Math. Soc, 28, No. 3, 1-12, 1974.
2. Anderson, R.,
The algebraic simplicity of certain groups of homeomorphisms,
Amer. J. Math., 130, No. 4, 955-963, 1958.
3. Arens, R. E. and Kaplansky, I.,
Topological representation of algebras, Trans. Am. Math. Soc, 63,
457-481, 1948.
4. Ash, С J. and Nerode, A.,
Intrinsically recursive relations, Aspects of Effective Algebra {Clay-
{Clayton, 1979), Upside Down a Book Co., Yarra Glen, Vic, 26-41,1981.
5. Ash, C. J.,
Stability of recursive structures in arithmetical degrees, Ann. Pure
Appl. Logic, 32, No. 1,113-135,1986.
6. Berman, P.,
Complexity of the theory of atomless Boolean algebras, Fundamen-
Fundamentals of Computation Theory (Proc. Conf. Algebraic, Arith. and
Categarical Methods in Comput. Theory, Berlin/Wendisch-Rietz,
1979), Akademie-Verlag, Berlin, 1979, pp. 64-70.
7. Birkhoff, G. and Bartee, Т. [Биркгоф, Г., Барти, Т.],
Modern Applied Algebra, McGraw-Hill, New York, 1975. [Рус-
[Русский перевод: Современная прикладная алгебра, Мир, Москва,
1976].
341

342 Литература
8. Birkhoff, G. [Виркгоф, Г.],
Lattice Theory, Am. Math. Soc, New York, 1948 (Am. Math. Soc.
Colloquium Publ.; 25). [Русский перевод: Теория структур,
ИЛ, Москва, 1952.]
9. Blaszczyk, A.,
A construction of a rigid Boolean algebra, Bull. Polish Acad. Sci.
Math., 35, No. 7-8, 465-471,1987.
10. Bonnet, R. and Ruben, M.,
Elementary embedding between countable Boolean algebras, J.
Symbolic Logic, 56, No. 4, 1212-1229, 1991.
11. Bonnet, R.,
Rigid Boolean algebras, Handbook of Boolean Algebras, 2, 637-678,
North-Holland, Amsterdam-New York, 1989.
12. Boole, G.,
The Mathematical Analysis of Logic, Cambridge, 1847.
13. Bucur, I. and Deleanu, А. [Букур, И., Деляну, А.],
Introduction to the Theory of Categories and Functors, John Wi-
Wiley & Sons, London-New York, 1968. [Русский перевод: Введение
в теорию категорий и функторов, Мир, Москва, 1972.]
14. Burris, S. and McKenzie, R.,
Decidability and Boolean representation, Mem. Am. Math. Soc,
32, No. 246, 1981.
15. Buszkowski, W.,
Embedding Boolean structures into atomic Boolean structures, Z.
Math. Logik Grundlag. Math., 32, No. 3, 227-228, 1986.
16 Carroll, J. S.,
The undecidability of the lattice of т.е. subalgebras of a recursive
Boolean algebra, Notices Am. Math. Soc, 30, No. 3, 281, 1985.
17. Cenzer, D. and Remmel. J.,
Polynomial-time versus recursive models, Ann. Pure Appl. Logic,
54, No. 1, 17-58, 1991.
18. Chang, С. С and Keisler, H. J. [Чэн, Ч. Ч., Кейслер, Г.],
Model Theory, Elsevier Science Publishers, New York, 1992. [Рус-
[Русский перевод: Теория моделей, Мир, Москва, 1973.]
19. Cholak, P.,
Boolean algebras and orbits of the lattice of r.e. sets modulo the
finite sets, J. Symbolic Logic, 55, No. 2, 744-760, 1990.
20. Dauletbaev, В. К. [Даулетбаев, В. К],
Восстановление атомной булевой алгебры по действию группы
автоморфизмов, Сиб. мат. журн., 34, No. 6, 49-51, 1993.
21. Day, С. W., Superatomic Boolean algebras, Рас. J. Math., 23,
479-489,1967.
22. Dekker, J. С. Е.,

Литература 343
Isols and generalized Boolean algebras, Rocky Mountain J. Math.,
20, No. 1, 107-115,1990.
23. Dobbertin, H.,
On Vaught's criterion for isomorphism of countable Boolean alge-
algebras, Algebra Universalis, 15, No. 1, 95-114, 1982.
24. Downey, R. and Jockuch, С G.,
Every low Boolean algebra is isomorphic to a recursive one, Proc.
Am. Math. Soc, 122, No. 3, 871-880, 1994.
25. Downey, R.,
Every recursive Boolean algebra is isomorphic to one with incom-
incomplete atoms, Ann. Pure Appl. Logic, 60, No. 3, 193-206, 1993.
26. Drashovicheva, Кн., Katrinak, Т., and Kolibiar, M.,
Boolean algebras and lattices close to them, Ordered Sets and Lat-
Lattices, pp. 7-77, Univ. Komenskeho, Bratislava, 1985.
27. Drobotun, B. N. [Дроботун, Б. Н.],
О нумерациях простых моделей, Сиб. мат. журн., 18, No. 5,
1002-1014, 1977.
28. Dulatova, Z. А. [Дулатова, 3. А.],
Булевы алгебры с выделенной подалгеброй и выделенным авто-
автоморфизмом, Некоторые проблемы в дифференциальных урав-
уравнениях и дискретной математике, Новосибирский госунивер-
госуниверситет, Новосибирск, 1986, с. 130-147.
29. Dulatova, Z. А. [Дулатова, 3. А.],
Конструктивность булевых алгебр с выделенной подалгеброй,
Мат. заметки, 46, No. 6, 53-56, 1989.
30. Dulatova, Z. А. [Дулатова, 3. А.],
Расширенные теории булевых алгебр, Алгебраические систе-
системы. Алгоритмические проблемы и компьютер, Иркутск,
1986, с. 31-39.
31. Dulatova, Z. А. [Дулатова, 3. А.],
Расширенные теории булевых алгебр, Сиб. мат. журн., 25,
No. 1, 201-204, 1984.
32. Dzgoev, V. D. [Дзгоев, В. Д.],
Конструктивные булевы алгебры, Мат. заметки, 44, No. 5-6,
750-757, 1988.
33. Dzgoev, V. D. [Дзгоев, В. Д.],
Конструктивизации прямых произведений алгебраически си-
систем, Алгебра и логика, 27, No. 6, 641-648, 1988.
34. Dzgoev, V. D. [Дзгоев, В. Д.],
О конструктивизации некоторых структур, Сиб. мат. журн.,
21, No. 1, 231,1980.
35. Eisenberg, E. F. and Remmel J. В.,
Effective isomorphisms of algebraic structures, Patras Logic Sympo-

344 Литература
sion (Patras, 1980), North-Holland, Amsterdam-New York, 1982,
pp. 95-122.
36. Ershov, Yu. L. and Palyutin, E. А. [Ершов, Ю. Л., Палютин,
E. A.],
Математическая логика, Наука, Москва, 1987.
37. Ershov, Yu. L., Lavrov, I. A., Taimanov, A. D., and Taitslin,
M. А., [Ершов, Ю. Л., Лавров, И. А., Тайманов, А. Д., Тайцлин,
М. А.],
Элементарные теории, Успехи мат. наук, 20, 37-108, 1965.
38. Ershov, Yu. L. [Ершов, Ю. Л.],
Дистрибутивные решетки с относительными дополнениями,
Алгебра и логика, 18, No. 6, 680-722,1979.
39. Ershov, Yu. L. [Ершов, Ю. Л.],
Разрешимость элементарной теории дистрибутивных структур
с относительными дополнениями и теория фильтров, Алгебра
и логика, 3, No. 3, 17-38,1964.
40. Ershov, Yu. L. [Ершов, Ю. Л.],
Проблемы разрешимости и конструктивные модели, Наука,
Москва, 1980.
41. Ershov, Yu. L. [Ершов, Ю. Л.],
Теория нумераций, Наука, Москва, 1977.
42. Ershov, Yu. L. [Ершов, Ю. Л.],
Теория нумераций. 3 [Конструктивные модели), Новосибир-
Новосибирский госуниверситет, Новосибирск, 1974.
43. Ershov, Yu. L. [Ершов, Ю. Л.],
Конструктивные модели, Избранные вопросы алгебры и логи-
логики, Наука, Новосибирск, 1973, с. 111-130.
44. Esakia, L. L.,
Boolean algebras with subordinations, Methods for Research in
Logic, Tbilisi, 1987, pp. 75-82.
45. Feiner, L.,
Hierarchies of Boolean algebras, J. Symbolic Logic, 35, No. 3, 305-
373,1970.
46. Feiner, L.,
Orderings and Boolean algebras not isomorphic to recursive ones,
Ph.D. dissertation, Mass. Inst. Tech., 1967.
47. Feiner, L.,
The strong homogeneity conjecture, J. Symbolic Logic, 35, 375-377,
1970.
48. Feurstein, S.,
Quantifier elimination for Stone algebras, Arch. Math. Logic, 28,
No. 2, 75-89, 1989.
49. Foure, R. and Heurgonova, E.,

Литература 345
Ordered Structures and Boolean Algebras, Academia, Prague,
1984.
50. Freidburg, R. M.,
Three theorems on recursive enumeration, J. Symbolic Logic, 23,
309-316, 1958.
51. Fuchino, S., Koppelberg, S., and Takahashi, M.,
On Loo*-free Boolean algebras, Ann. Pure Appl. Logic, 55, No. 3,
265-284,1992.
52. Fuchino, S.,
Some remarks on openly generated Boolean algebras, J. Symbolic
Logic, 59, No. 1, 302-310,1994.
53. Goncharov, S. S. and Drobotun B. N. [Гончаров, С. С, Дробо-
тун, Б. Н],
О нумерациях насыщенных и однородных моделей, Сиб. мат.
журн., 21, No. 2, 25-41, 1980.
54. Goncharov, S. S. and Dzgobv, V. D. [Гончаров, С. С, Дзгоев,
в. д.],
Автоустойчивость моделей, Алгебра и логика, 19, No. 1, 45-58,
1980.
55. Goncharov, S. S. and Nurtazin, А. Т. [Гончаров, С. С, Нурта-
зин, А. Т.],
Конструктивные модели полных разрешимых теорий, Алгебра
и логика, 12, No. 2, 125-142,1973.
56. Goncharov, S. S. [Гончаров, С. С],
Рекурсивно представимая булева алгебра, Краевые задачи для
дифференциальных уравнений и их приложения в механике
и технологии, Алма-Ата, 1983, с. 43-46.
57. Goncharov, S. S. [Гончаров, С. С],
Автоустойчивость и вычислимые семейства конструктивиза-
ций, Алгебра и логика, 14; No. 6, 647-680,1975.
58. Goncharov, S. S. [Гончаров, С. С.],
Автоустойчивость моделей и абелевых групп, Алгебра и логика,
19, No. 1, 23-44,1980.
59. Goncharov, S. S. [Гончаров, С. С],
О числе неавтоэквивалентных конструктивизаций, Алгебра и
логика, 16, No. 3, 257-282,1977.
60. Goncharov, S. S. [Гончаров, С. С],
Сильная конструктивизируемость однородных моделей, Алге-
Алгебра и логика, 17, No. 4, 363-388,1978.
61. Goncharov, S. S. [Гончаров, С. С],
Универсальные рекурсивно перечислимые булевы алгебры,
Сиб. мат. журн., 24, No. 6, 36-43,1983.
62. Goncharov, S. S. [Гончаров, С. С],

346 Литература
Счетные булевы алгебры, Наука, Новосибирск, 1988.
63. Goncharov, S. S. [Гончаров, С. С],
Конструктивизируемость суператомных булевых алгебр, Алге-
Алгебра и логика, 12, No. 1, 31-40, 1973.
64. Goncharov, S. S. [Гончаров, С. С],
Неавтоэквивалентные конструктивизации атомных булевых ал-
алгебр, Мат. заметки, 19, No. 6, 853-858, 1976.
65. Goncharov, S. S. [Гончаров, С. С],
Некоторые свойства конструктивизации булевых алгебр, Сиб.
мат. журн., 16, No. 2, 264-278, 1975.
66. Goncharov, S. S. [Гончаров, С. С],
Ограниченные теории конструктивных булевых алгебр, Сиб.
мат. журн., 17, No. 4, 797-812, 1976.
67. Goncharov, S. S.,
Constructive Models, Clayton,- Monash University, (Preprint
No. 56), 1984.
68. Grygiel, J.,
Absolutely independent sets of generators of filters in Boolean alge-
algebras, Rep. Math. Logic, No. 24, 25-35, 1991.
69. Guichard, D.,
Automorphisms of substructure lattices in effective algebra, Ann.
Pure Appl. Logic, 25, 47-58, 1983.
70. Guichard, D.,
Automorphisms of substructure lattices in effective algebra, Ann.
Pure Appl. Logic, 25, 47-58, 1983.
71 Halmos, P.,
Lectures on Boolean algebras, Van Nostrand, Toronto-New York-
London, 1963.
72. Справочная книга по математической логике, Наука, Москва,
1982.
73. Hanf, W.,
On some fundamental problems concerning isomorphism of Boolean
algebras, Math. Cand., 5, 205-217, 1957.
74. Hanf, W.,
Primitive Boolean algebras, Proc. Symp'os. Pure Math., 75-90,
1974.
75. Hansoul, G. and Willems, В.,
Recursive construction of some non-well-founded Boolean spaces,
Bull. Soc. Roy. Sci. Liege, 63, No. 5, 383-392, 1994.
76. Heindorf, L.
Contribution to the Model Theory of Boolean Algebras, Humboldt-
Univeritat, Sektion Math., Berlin, 1984.
77. Heindorf, L.,

Литература 347
Alternative characterization of finitary and well-founded Boolean
algebras, Algebra Universalis, 29, No. 1, 109-135, 1992.
78. Heindorf, L.,
Comparing the expressive power of some languages for Boolean al-
algebras, Z. Math. Logik Grundlag. Math., 27, No. 5, 419-434, 1981.
79. Hendry, H. E.,
Two remarks on the atomistic calculus of individuals, Nous, 14,
No. 2, 235-237,1980.
80. Herrman, E.,
Definable Boolean pairs in the lattice of recursively enumerable
sets, Proc. Conf. Model Theory, Seminar berichte. N 49. Berlin:
Humboldt-Univeritat, Sektion Math., Berlin, 1984.
81. Horn, A. and Tarski, A.,
Measures in Boolean algebras, Trans. Am. Math. Soc, 64,467-497,
1948.
82. IVERSON, P.,
The number of countable isomophism types of complete extension of
the theory of Boolean algebras, Colloq. Math., 62, No. 2, 181-187,
1991.
83. Jech, T. J.,
A note on countable Boolean algebras, Algebra Universalis, 14,
No. 2, 257-262, 1982.
84. Jech, T. J. [Йех, Т.],
Lectures in Set Theory with Particular Emphasis on the Method oj
Forcing, Springer Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1971. [Рус-
[Русский перевод: Теория множеств и метод форсинга, Мир, Мо-
Москва, 1973.
85. Jockusch, С. G., Jr. and Soare, R.I.,
Boolean algebras, Stone spaces, and the iterated Turing jump, J.
Symbolic Logic, 59, No. 4, 1121-1138, 1994.
86. Jonsson, В.,
A survey of Boolean algebras with operators, Algebras and Orders
(Montreal, PQ, 1991), Kluwer Academic Publishers, Dordrecht,
1993, pp. 239-286.
87. Jurie, P.-F. and Touraille, A.,
Elementary equivalent ideals in a Boolean algebra, С R. Acad. Sci.
Paris, Ser. Math., 299, No. 10, 415-418, 1984.
88. Kelley, J. L. [Келли, Дж. Л.],
General Topology, Van Nostrand, Princeton, New Jersey, 1957.
[Русский перевод: Общая топология, Наука, Москва, 1981.]
89. Kemmerich, S. and Richter, M. M.,
Remarks on the automorphism group of homogeneous Boolean al-
algebras, Okonomie unde Mathematik, Springer Verlag, Berlin-New

Литература
York, 1987, рр.23-28.
90. Ketonen, J.,
The structure of countable Boolean algebras, Ann. Math., 108, 41-
89, 1978.
91. Khisamiev, N. G. [Хисамиев, Н. Г.],
О сильно конструктивных моделях разрешимой теории, Изв.
Акад. наук Каз.ССР, сер. физ.-мат., No. 1, 83-84,1974.
92. Khisamiev, N. G. [Хисамиев, Н. Г.],
О сильно конструктивных моделях, Изв. Акад. наук Каз.ССР,
сер. физ.-мат., No. 3, 59-63, 1971.
93. Kokorin, A. I. and Pinus A. G. [Кокорин, А. И., Пинус, А. С],
Вопросы разрешимости расширенных теорий, Успехи мат. на-
наук, 33, No. 2B00), 49-84,1978.
94. Koppelberg, S. and Monk, J. D.,
Homogeneous Boolean algebras with very nonsymmetric subalge-
bras, Notre Dame J. Formal Logic, 24, No. 3, 353-356,1983.
95. Koppelberg, S.,
A construction of Boolean algebras from first-order structures, Ann.
Pure Appl. Logic, 59, No. 3, 239-256,1993.
96. Koppelberg, S.,
Handbook of Boolean Algebras, 1-3, North-Holland, Amsterdam-
New York, 1989.
97. Kostrdcin, A. I. [Кострикин, А. И],
Введение в алгебру, Наука, Москва, 1977.
98. Kuratowski, К. and Mostowski А. [Куратовский, К., Мостов-
ский, А.],
Set Theory, North-Holland, Amsterdam-New York, 1967. [Русский
перевод: Теория множеств, Мир, Москва, 1970.]
99. Kuratowski, К. [Куратовский, К.],
Topology, Academic Press, London-New York, 1963. [Русский пе-
перевод: Топология, Мир, Москва, 1966.]
100. La Roche, P.,
Recursively presented Boolean algebras, Notices Am. Math. Soc,
24, 552, 1977.
101. Lachlan, A. H.,
On the lattice of recursively enumerable sets, Trans. Am. Math.
Soc, 130, No. 1, 1-36,1974.
102. Liang, P.,
The relative structure of the denumerable nonatomic Boolean alge-
algebras satisfying VA0 € PA(VA0, V(A - Ao) g В -+ Ga0 = «r) and
research on the structure of the denumerable nonatomic Boolean
algebras J. Math./ Res. Exposition, 7, No. 1, 13-16,1987.
103. Madison, E. W. and Nelson, G. C,

Литература 349
Some examples of constructive and nonconstructive extension of the
countable atomless Boolean algebras, J. London Math. Soc, 11,
325-336,1975.
104. Madison, E. W.,
Combinatorial and recursive aspects of the automorphism group
of the countable atomless Boolean algebra, J. Symbolic Logic, 51,
No. 2, 292-301,1986.
105. Madison, E. W.,
On Boolean algebras and their recursive completion, Z. Math. Logik
Grundlag. Math., 31, No. 6, 481-486,1985.
106. Madison, E. W.,
The existence of countable totally nonconstructive extension of the
countable atomless Boolean algebra, J. Symbolic Logic, 48, No. 1,
167-170,1983.
107. Mal'tsev, A. I. (Мальцев, А. И.],
Конструктивные алгебры. I, Успехи мат. наук, 16, No. 3, 3-60,
1961.
108. Mal'tsev, A. I. [Мальцев, А. И.],
Алгебраические системы, Наука, Москва, 1970.
109. Mal'tsev, A. I. [Мальцев, А. И.],
Алгоритмы и рекурсивные функции, Наука, Москва, 1965.
110. Mal'tsev, A. I. [Мальцев, А. И.],
Исследования в области математической логики, Мат. сб., 1,
No. 3, 323-335, 1963.
111. Mal'tsev, A. I.,
Untersuchengen aus dem Gebiete der mathematischen Logik, Rec.
Math. N.S., 1, 323-336, 1936.
112. Manaster, A. B. and Remmel, J. В.,
Co-simple higher-order indecomposable isols, Z. Math. Logik
Grundlag. Math., 26, No. 3, 279-288, 1980.
113. Mart'yanov, V. I. [Мартьянов, В. И.],
Неразрешимость теории булевых алгебр с автоморфизмами,
Сиб. мат. журн., 23, No. 3, 147-154,1982.
114. Martin, D. A. and Pour-el, M. В.,
Axiomatizable theories with few axiomatizable extensions, J. Sym-
Symbolic Logic, 35, No. 2, 205-209,1970.
115. Martin, D. A.,
Classes of recursively enumerable sets and degrees of unsolvability,
Z. Math. Logik Grundlag. Math., 12, No. 4, 295-310,1966.
116. Mayer, R. D. and Pierce, R. S.,
Boolean algebras with ordered bases, Рас. J. Math., 10, 925-942,
1960.
117. McKenzie, R.,

350 Литература
On the automorphism groups of denumerable Boolean algebras,
Can. J.. Math., No. 3, 466-471, 1977.
118. Mead, J. and Nelson, G. C,
Model companions and if-model completeness for the complete the-
theories of Boolean algebras, J. Symbolic Logic, 45, No. 1, 47-55,1980.
119. Mead, J.,
Recursive prime models for Boolean algebras, Colloq. Math., 41,
No. 1, 25-33, 1979.
120. Metakides, G. and Nerode, A.,
Recursively enumerable vector spaces, Ann. Math. Logic, 11, 147-
177, 1977.
121. Metakides, G. and Nerode, A.,
Recursion Theory and Algebra, Lecture Notes in Math., 450,
Springer Verlag, Berlin, 1975, pp. 209-219.
122. Mijajlovic, Z.,
Saturated Boolean algebras with ultrafilters, Publ. Inst. Math.,
Beograd, N. S., 26, No. 40, 175-197, 1979.
123. MlLDENBERGERM H.,
A rigid Boolean algebra that admits the elimination of Q\, Fundam.
Math., 142, No. 1, 1-18, 1993.
124. Molzan, В.,
On the number of different theories of Boolean algebras in several
logics, Workshop in Extended Model Theory (Berlin, 1980), Akad.
Wiss. DDR, Berlin, 1981, pp. 102-113.
125. Molzan, В.,
The theory of superatomic Boolean algebras in the logic with the
binary Ramsey quantifier, Z. Math. Logik Grundlag. Math., 28,
No. 4, 365-376, 1982.
126. Monk, J. D.,
Automorphism groups, Handbook of Boolean Algebras, 2, North-
Holland, Amsterdam-New York, 1989, pp. 517-546.
127. Monk, J. D.,
Cardinal functions on Boolean algebras, Lectures Math. ETH
Zurich. Birkhauser Verlag, Basel, 1990.
128. Monk, J. D.,
On the automorphism groups of denumerable Boolean algebras,
Math. Ann., 216, No. 1, 5-10, 1975.
129. Monk, J. D.,
Mathematical Logic, Springer Verlag, Berlin, 1976.
130. Morozov, A. S. [Морозов, А. С],
Автоморфизмы конструктивизаций булевых алгебр, Сиб. мат.
журн., 26, No. 4, 98-110, 1985.
131. Morozov, A. S. [Морозов, А. С],

Литература 351
Конструктивные булевы алгебры с почти тождественными ав-
автоморфизмами, Мат. заметки, 37, No. 4, 478-482, 1985.
132. Morozov, A. S. [Морозов, А. С],
Счетные однородные булевы алгебры, Алгебра и логика, 21,
No. 3, 269-282, 1982.
133. Morozov, A. S. [Морозов, А. С],
О разрешимости теорий булевых алгебр с выделенным идеалом,
Сиб. мат журн., 23, No. 1, 199-201,1982.
134. Morozov, A. S. [Морозов, А. С],
Группы рекурсивных автоморфизмов в конструктивных буле-
булевых алгебрах, Алгебра и логика, 22, No. 2, 138-158,1983.
135. Morozov, A. S. [Морозов, А. С],
О рекурсивных автоморфизмах атомных булевых алгебр, Алге-
Алгебра и логика, 29, No. 4, 464-490,1990.
136. Morozov, A. S. [Морозов, А. С],
Сильная конструктивизируемость счетных насыщенных буле-
булевых алгебр, Алгебра и логика, 21, No. 2, 193-203,1982.
137. Moses, M.,
Recursive linear orders with recursive successivities, Ann. Pure Ap-
pl. Logic, 27, 253-364, 1984.
138. Moses, M.,
Recursive properties of isomorphism types, J. Aust. Math. Soc, 34,
269-286, 1983.
139. Myers, D.,
The Boolean algebra of the theory of linear orders, Israel J. Math.,
35, No. 3, 234-256,1980.
140. Nagayama, M.,
On Boolean algebras and integrally closed commutative regular
rings, J. Symbolic Logic, 57, No. 4, 1305-1318, 1992.
141. Nerode, A. and Remmel, J. B:,
A survey of the lattices of r. e. substructures, Proc. Sympos. Pure
Math., 323-376, 1985.
142. Nerode, A. and Remmel, J. В.,
Generic objects in recursion theory, Recursion Theory Week: Proc.
(.Oberwalfakh, 1984), Lecture Notes in Math., 1141, Springer Ver-
lag, Berlin, 1985.
143. Nurtazin, А. Т. [Нуртазин, А. Т.],
Основные агрегаты и две проблемы теории булевых алгебр, Изв.
Акад. наук КазССР, сер. физ.-мат., No. 3, 33-36, 1986.
144. Nurtazin, А. Т. [Нуртазин, А. Т.],
Сильные и слабые конструктивизации и вычислимые семей-
семейства, Алгебра и логика, 13, No. 3, 311-323, 1974.
145. Odintsov, S. P. and Selivanov, V. L. [Одинцов, С. П., Селива-

352 Литература
нов, В. Л.],
Арифметическая иерархия и идеалы нумерованных булевых
алгебр, Сиб. мат. окурн., 30, No. 6, 140-149,1989.
146. Odintsov, S. Р. [Одинцов, С. П.],
Безатомные идеалы конструктивных булевых алгебр, Алгебра
и логика, 23, No. 3, 278-295,1984.
147. Odintsov, S. Р. [Одинцов, С. П.],
Наследственные рекурсивно-перечислимые подалгебры рекур-
рекурсивной булевой алгебры, Алгебра и логика, 31, No. 1, 38-46,
1992.
148. Odintsov, S. Р. [Одинцов, С. П.],
Решетки рекурсивно перечислимых подалгебр рекурсивной бу-
булевой алгебры, Алгебра и логика, 25, No. 6, 631-642, 1986.
149. Odintsov, S. Р. [Одинцов, С. П.],
Рекурсивные булевы алгебры с гипергиперимунным множе-
множеством атомов, Мат. Заметки, 44, No. 4, 488-493, 1988.
150. Odintsov, S. Р. [Одинцов, С. П.],
Ограниченные теории конструктивных булевых алгебр ниж-
нижнего слоя, Ин-т математики СО РАН, Новосибирск, (Препринт
No. 21), 1986.
151. PUHRINGER, СН.,
A completeness proof for the theory of the atorhless n-°-partial
Boolean algebras, Concept™, 16, No. 38, 81-88,1982.
152. Padmanabhan, R.,
A first-order proof of a theorem of Frink, Algebra Universalis, 13,
No. 3, 397-400,1981.
153. Pal'chunov, D. E.
Countably categorical Boolean algebras with distinguished ideals,
Studia Logica, 46, No. 2,121-135,1987.
154. Pal'chunov, D. E. [Пальчунов, Д. Е.],
Прямые слагаемые булевых алгебр с выделенными идеалами,
Алгебра и логика, 31, No. 5, 499-537,1992.
155. Pal'chunov, D. Е. [Пальчунов, Д. Е.],
Конечно аксиоматизируемые булевы алгебры с выделенными
идеалами, Алгебра и логика, 26, No. 4, 435-455,1987.
156. Pal'chunov, D. Е. [Пальчунов, Д. Е.],
Алгебра Линденбаума—Тарского класса булевых алгебр с од-
одним выделенным идеалом, Алгебра и логика, 33, No. 2, 179-210,
1994.
157. Pal'chunov, D. Е. [Пальчунов, Д. Е.],
О неразрешимости теорий булевых алгебр с выделенными иде-
идеалами, Алгебра и логика, 25, No. 3, 326-346,1986.
158. Peretyat'kin, M. G. [Перетятькин, М. Г.],

Литература 353
Сильно конструктивные модели и нумерации'булевой алгебры
рекурсивных множетсв, Алгебра и логика, 10, No. 5, 535-557,
1971.
159. Pebetyat'kin, M. G. [Перетятькин, М. Г.],
Вычисления на машинах Тьюринга в конечно аксиоматизируе-
аксиоматизируемых теориях, Алгебра и логика, 21, No. 4, 410-441, 1982.
160. Perovic, Z.,
Relatively complete 2-extension of Boolean algebras, Math. Balkan-
tea, 6, No. 2, 125-128, 1992.
161. Pinus, A. G. [Пинус, А. С],
О применениях булевых степеней алгебраических систем, Сиб.
мат. журн., 26, No. 3, 117-125, 1985.
162. Pinus, A. G. [Пинус, А. С],
О конструктивизациях булевых алгебр, Сиб. мат. журн., 22,
No. 4, 169-175, 1981.
163. Pinus, A. G. [Пинус, А. С],
Теории булевых алгебр в исчислении с квантором «существует
бесконечно много», Сиб. мат. журн., 17, No. 6,1417-1421,1976.
164. Pinus, A. G.,
Boolean Constructions in Universal Algebras, Kluwer Academic
Publishers, Dordrecht, 1993.
165. Post, E. L.,
Recursively enumerable sets of positive algebras and their decision
problems, Bull. Am. Math. Soc, 50, 284-316, 1944.
166. Raseva, E. and Sikorski, P., [Расёва, Е., Сикорский, П],
Математика метаматематики, Наука, Москва, 1972.
167. Remmel, J. В.,
Я-maximal Boolean algebras, J. Symbolic Logic, 44, No. 4, 533-548,
1979.
168. Remmel, J. В.,
Complementation in the lattice of subalgebras of a Boolean algebra,
Algebra Universalis, 10, No. 1, 48-64, 1980.
169. Remmel, J. В.,
Recursion theory on algebraic structure with an independent set,
Ann. Math. Logic, 18, No. 2, 153-191,1980.
170. Remmel, J. В.,
Recursive Boolean algebras with recursive atoms, J. Symbolic Logic,
46, No. 3, 595-616,1981.
171. Remmel, J. В.,
Recursive Boolean algebras, Handbook of Boolean Algebras, 3,
North-Holland, Amsterdam-New York, 1989, pp. 1097-1166.
172. Remmel, J. В.,
Recursive isomorphism types of recursive Boolean algebras, J. Sym-

354 Литература
bolic Logic, 46, No. 3, 572-594, 1981.
173. Remmel, J. В.,
Recursively categorical linear orderings, Proc. Am. Math. Soc, 83,
387-391, 1981.
174. Remmel, J. В.,
Recursively enumerable Boolean algebras, Ann. Math. Logic, 14,
No. 2, 74-107, 1978.
175. Remmel, J. В.,
Recursively rigid recursive Boolean algebras, Ann. Pure Appl. Log-
Logic, 36, 39-52, 1987.
176. Rice, H. G.,
Classes of recursively enumerable sets and their decision problems,
Trans. Am. Math. Soc, 74, 358-366, 1953.
177. Robinson, R. W.,
Simplicity of recursively enumerable sets, J. Symbolic Logic, 32,
162-172,1967.
178. Rogers, H. J. [Роджерс, X],
Theory of Recursive Functions and Effective Computability,
McGraw-Hill, New York, 1967. [Русский перевод: Теория ре-
рекурсивных функций и эффективная вычислимость, Мир, Мо-
Москва, 1972.]
179. Rubin, M.,
On the automorphism groups of homogeneous and saturated
Boolean algebras, Algebra Universalis, 9, No. 1, 54-86, 1979.
180. Rubin, M.,
The theory of Boolean algebras with a distinguished subalgebra is
undecidable, Ann. Sci. Univ. Clermont #60, Math., 13, 129-134,
1976.
181. Sachs, D.,
The lattice of subalgebras of a Boolean algebra, Can. J. Math., 14,
451-460,1962.
182? Sarymsakov, Т. А. [Сарымсаков, Т. А.],
Полуполя и теория вероятностей, ФАН Уз.ССР, Ташкент,
1981.
183. Senukov, V. F. [Сенуков, В.Ф.],
Секвенциальная модель для булевой алгебры, Докл. АИ
Укр.ССР, сер. A, No. 2, 19-21,1988.
184. Sheffer, Н. М.,
A set of five independent postulates for Boolean algebras with appli-
application to logical constants, Trans. Am. Math. Soc, No. 14, 481-488,
1913.
185. Shi, N. D.,
Creative pairs of subalgebras of recursively enumerable Boolean al-

Литература 355
gebras, Ada Math. Sinica, 25, No. 6, 737-745,1982.
186. Shi, N. D.,
Splitting recursively enumerable subalgebras in recursive Boolean
algebras, Ada Math. Sinica, 4, No. 1, 14-17, 1988.
187. Sikorski, P. [Сикорский, П.],
Boolean Algebras, Berlin-Heidelberg-New York, 1964. [Русский пе-
перевод: Булевы алгебры, Мир, Москва, 1969.]
188. Soare, R. I.,
Recursively enumerable sets and degrees, Bull. Am. Math. Sot., 84,
1149-1182, 1978.
189. Soare, R. I.,
Recursively Enumerable Sets and Degrees, Springer Verlag, Berlin-
Heidelberg-New York, 1986.
190. Stone, M. N.,
The theory of representations for Boolean algebras, Trans. Am.
Math. Soc, 40, No. 1, 37-111, 1936.
191. Stephanek, P., Van Doven, E. K., Monk, J. D., and Rubin, M.,
Embeddings and automorphisms, Handbook of Boolean Algebras,
2, 607-636, Elsevier Science Publishers, 1989.
192. Takahashi, M.,
Completeness of Boolean power of Boolean algebras, J. Math. Soc.
Japan, 40, No. 3, 445-456, 1988.
193. Tarski, A., Mostowski, A., and Robinson, R.,
Undecidable Theories, North-Holland, Amsterdam, 1953.
194. Tarski, A.,
Arithmetical classes and types of Boolean algebras, Bull. Am. Math.
Soc, 55,63, 1949.
195. Thurber, J. J.,
Recursive and re. quotient Boolean algebras, Arch. Math. Logic,
33, No. 2, 121-129,1994.
196. TOURAILLE, A.,
Theories of Boolean algebras equipped with distinguished ideals.
Part I, J. Symbolic Logic, 52, No. 4, 1027-1043, 1987.
197. Touraille, A.,
Theories of Boolean algebras equipped with distinguished ideals.
Part II, J. Symbolic Logic, 55, No. 3, 1192-1212,1990.
198. Touraille, A.,
Elimination of quantifiers in the elementary theory of Boolean alge-
algebras with a family of distinguished ideals, С R. Acad. Sci. Paris,
Ser. Math., 300, No. 5, 125-128, 1985.
199. Van Doven, E. K., Monk, J. D., and Rubin, M.,
Some questions about Boolean algebras, Algebra Universalis, 11,
No. 2, 220-243, 1980.

356 Литература
200. Warden В. L. Van Der [Ван Дер Варден], Algebra, Springer Ver-
lag, Berlin, 1971. [Русский перевод: Алгебра, Наука, Москва,
1976.]
201. Vaught, R. L.,
Topics in the Theory of Arithmetical Classes and Boolean Alge-
Algebras, Doctoral Thesis, University of California, Berkeley, 1954.
202. Vinokurov, S. F., Dulatova, Z. A., and Peryazev, N. А. [Вино-
[Винокуров, С. Ф., Дулатова, 3. А., Перязев, Н. А.],
Положительная классификация булевых алгебр в расширенной
сигнатуре, Алгебраические системы. Алгоритмические про-
проблемы и компьютер, Иркутск, 1986, с. 121-131.
203. Vladmirov, D. А. [Владимиров, Д. А.],
Булевы алгебры, Наука, Москва, 1962.
204. Vlasov, V. N. and Goncharov, S. S. [Власов, В. Н., Гончаров,
С. С],
О сильной конструктивизируемости булевых алгебр элементар-
элементарной характеристики A, 1, О), Алгебра и логика, 32, No. 6, 618-
630,1993.
205. Weese, M. and Goltz, H.-J.,
Boolean Algebras, Humboldt Universitat, Sektion Math., Berlin,
1984.
206. Webse, M.,
The theory of Boolean algebras with Qo and quantification over
ideals, Z. Math. Logik Grundlag. Math., 32, No. 2, 189-191,1986.
207. Weese, M.,
A New Product for Boolean Algebras and a Conjecture of Feiner,
Humboldt Universitat, Sec. Math., Berlin, 29, No. 4, 441-443,1980.
208. Werner, H.,
Boolean constructions and their role in universal algebra and model
theory, Universal Algebra and Its Links with Logic, Algebra, Com-
Combinatorics, and Computer Science, Darmstadt, 1983, pp. 106-114.
209. Werner, H.,
Sheaf constructions in universal algebra and model theory, Universal
Algebra and Applications, Banach Center Publ., 9, 1982, pp. 133-
179.
210. Wesolowski, Т.,
Varieties of locally Boolean algebras, Studia Sci. Math. Hungar,
27, No. 3-4, 339-347, 1992.
211. Yablonskii, S. V., Gavriolov, G. P., and Kudryavtsev, V. B.
[Яблонский, СВ., Гаврилов, Г П., Кудрявцев, ВВ.],
Функции алгебры и классы Поста, Наука, Москва, 1966.

Предметный указатель
Автоморфизм 3
алгебра
а-атомная 34
w-предельная 250
атомная эффективно 211
атомная 33
безатомная 33
булева 18
плотная 129
позитивная 294
•суператомная 57
универсальная 295
алгебры рекурсивно изо-
изоморфные 295
атом 30, 83
Вершина концевая 72
ветвь 76
максимальная 76
вложение
изоморфное 3
частичное 109
элементарное 104
частичное 109
Воота теорема 55
Гёделя теорема о полноте И
гомоморфизм
С-рекурсивный 181

358
Предметный указатель
S-определенный 53, 86
канонический 32
рекурсивный 295
Гончарова—Харингтона
критерий 219
грань
верхняя точная 16
верхняя 16
нижняя точная 16
нижняя 16.
интервал 17
замкнутый 17
концевой 17
начальный 17
открытый 17
полуоткрытый слева 17
слева 17
справа 17
полуоткрытый справа 17
интерпретация 2
Дерево 70, 78
полное 78
порождающее 70
диаграмма ПО
полная ПО, 129
дополнение 23
относительное 35
Единица 18, 21
Ершова аллгебра 35
атомная 84
безатомная 87
нормальная 95
специальная 89
суператомная 83
Ершова-Тарского идеал 121
Идеал 31
главный 31
локально 40
максимальный 46
плотный 156
простой 46
собственный 18
изоморфизм 3
инвариант 134
Квантор 8
класс
аксиоматизируемый 12
смежный 4
Клини теорема 170
кольцо булево 26
конгруэнтность 4
строгая 4
Линденбаума алгебра 20
Мальцева теорема 11
Морли критерий 219
множество
непротиворечивое 11
несовместное 11
основное 2
перечислимое 177
рекурсивно 169
порождающее 62
противоречивое 11
разрешимое 177
рекурсивное 168
совместное 11
упорядоченное 16, 62
линейно 62

Предметный указатель
359
частично 16
модели представление 280
модель 2
ш-насыщенная 111
ш-полная 118
п-полная 117
5-разрешимая 181
Хенкина 107
ветвящаяся 282
насыщенная 111
почти п-полная 118
почти полная 118
простая ПО
разрешимая 212
теории 103
универсальная ПО
Нуль 18, 21
нумерация 174
вычислимая 171, 178
гёделевская 175
главная 171, 178
позитивная 294
В-вычислимая 170
Обогащение 5
определимое 120
скулемовское105
операция термальная 8
Подалгебра максимальная
319
поддерево 78
подсистема 5
элементарная 104
полурешетка
верхняя 17
нижняя 17
пополнение идеальное 38
порядок
частичный 22
линейный 22
последовательность
главная 261
дизъюнктивная 53
точная 37
t-совместная 216
представление канониче-
каноническое 71
Разложение нормальное 95
размерность алгоритмиче-
алгоритмическая 184, 280
ранг булевости 95
расширение элементарное
104
решетка 23
булева 23
дистрибутивная 18, 23
с нулем 35
Сегмент 78
начальный 17
нормальный 305
сигнатура 2
символ
константный 2
предикатный 2
функциональный 2
система
автоустойчивая 184
атомная ПО
нумерованная 174
В-ш-конструктивная 180

360
Предметный указатель
w-однородная 108
В-п-конструктивная 180
сильно 180
В-рекурсивная 180
В — ^-конструктивная 180
система аксиом
перечислимая 120
рекурсивная 120
системы
изоморфные 3
эквивалентные
элементарно 105
Стоуна теорема 48
сужение 5
Теория 12
атомная 111
модельно полная 112
определимая 118
разрешимая 120
суператомная 111
счетно категоричная 112
тип
теории 105
булевой алгебры 34
главный 106
набора элементов 106 •
однородности 137
ординальный 34, 84
разбиения 138
реализуется 106
частичный 178
топология мальцевская 106
транспозиция 328
атомная 328
Ультрафильтр 31
уплотнение 129
уровень безатомности 251
условие
вложимости 52
гомоморфной 52
изоморфизма 53
эпиморфизма 52
Фактор-множество 4
Фейнера иерархия 172
Фреше идеал 33, 83
фильтр 18
булевой алгебры 31
главный 31
собственный 18
формула 8
атомная 9
непротиворечивая 11
полная 106
совершенная 14
Т-эквивалентная 113
фрагмент
ограниченный 180
языка 180
функция
аддитивная 89
дополняющая 91
рекурсивная 168
частично 168
скулемовская 105
частичная 168
Характеристика элементар-
элементарная 123
характеристика суператом-
суператомности 84
Хенкина теория 106

Предметный указатель 361
Элемент
атомный 44, 61
безатомный 44
наибольший 16
наименьший 16
ортогональный 87
полный 256
п-полный 256
t-безатомный 251
t-главный 251
эпиморфизм 3
Ядро гомоморфизма 33
5-конструктивность 175
В-позитивность 174
С-гомоморфизм 181
С-расширение 181
?-ранг 88
П^-множество 169
?iB' -множество 169
Э-формула 13
V-формула 13
s - п - т-теорема 170

Научное издание
СИБИРСКАЯ ШКОЛА АЛГЕВРЫ И ЛОГИКИ
академик МАН ВШ
Гончаров Сергей Савостпъянович
СЧЕТНЫЕ БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ
И РАЗРЕШИМОСТЬ
Издание подготовлено в
с использованием кириллических
шрифтов семейства LH
НАУЧНАЯ КНИГА
НИИ математико-информационныхоснов обучения
Новосибирского государственного университета
Заведующий академик МАН ВШ С. С. Гончаров
Главный редактор к.ф.-м.н. Т. Н. Рожковская
Ведущий программист к.ф.-м.н. С.Г.Дворников
Компьютерная графика и обложка Н. А. Рожковская
Подписано в печать 10.09.96. Формат 60x90 /i6- Печать офсетная. Бумага
офсетная. Усл. печ. л. 24. Уч.-изд. л. 21. Тираж 1000 экз. Заказ № 142.
Лицензия ЛР Л'' 020853 от 31.01.94 г.
Издательство НИИ МИОО, 630090, Новосибирск, Пирогова,2
Отпечатано по заказу НИИ МИОО (ИГУ)
ГП Новосибирский полиграфкомбинат
630007, г. Новосибирск, Красный пр., 22.