Текст
СИБИРСКАЯ ШКОЛА АЛГЕБРЫ И ЛОГИКИ
Главный редактор серии: Ю. Л. Ершов
Редколлегия: С. С. Гончаров (зам. главного редактора), Е. Н. Кузьмин,
В. Д. Мазуров, А. Н. Ряскин, В. К. Харченко, Е. И. Хухро
Редсовет: Е. И. Зельмадов, О. Кегель, А. Махинтайр, А. Нероуд
Ответственный редактор серии: Т. Н. Рожковская
ОПРЕДЕЛИМОСТЬ
И ВЫЧИСЛИМОСТЬ
Определимость и вычислимость • Ю. Л. Ершов
Юрий Л. Ершов
Институт математики СО РАН
Новосибирский госуниверситет
НИИ МИОО НГУ
Новосибирск, Россия
Одновременное полное издание книжной серии на английском языке
SIBERIAN SCHOOL OF ALGEBRA AND LOGIC
Plenum Publishing Corporation • 233 Spring Street, New York, N.Y. 10013-1578
http://www.plenum.com • gopher://plenum.titlenet.com: 6200 • books3plenum.com
Новосибирск • Научная книга . 1996
ББК 87.4
Е804
УДК 510.6
Ершов Ю. Л.
Е804 Определимость и вычислимость. - - Новосибирск: Научная книга, ПЭМЯТИ Робина Ганди
1996. — 300 с, ил. — (Сибирская школа алгебры и логики).
ISBN 5 88119-007-6
Книга открывает учрежденную в 1995 г. Сибирским фондом алгебры
и логики математическую книжную серию «Сибирская школа алгебры
и логики» под редакцией академика Ю. Л. Ершова. Все книги серии из-
издаются одновременно на английском языке издательством Plenum Pub-
Publishing Corporation.
Новое доказательство теоремы Гёделя о неполноте, основанное на
систематическом использовании формул с ограниченными кванторами.
Новое изложение (на основе теоремы Ганди) теории допустимых мно-
множеств с праэлементами. Избранные темы, посвященные Е-определи-
мости, динамической логике, Е-предикатам конечных типов и т.д.
Для научных работников — специалистов по математической логи-
логике, алгебре, теоретическому программированию, информатике и смеж-
смежным специальностям. Доступна аспирантам и студентам университетов.
Ответственный редактор:
доктор физико-математических наук А. С. Морозов
Издание осуществлено при финансовой поддержке
Научной книги (НИИ МИОО НГУ)
с 1602020000-001
Е 14Б@3)-96 БезобъяЕления
ISBN 5-88119-007-6 (русск.) © Сибирский фонд алгебры и логики, 1996
ISBN 0-306-11039-3 (англ.) © Ершов Ю. Л, 1996
Предисловие
Предисловие
Понятие вычислимости становится в математике объектом все бо-
более пристального внимания и исследований. Это в большой степени
связано с бурным развитием и использованием электронной вычи-
вычислительной техники (как в практическом, так и в теоретическом
аспекте).
Имеется, с одной стороны, устоявшаяся общепринятая (абсолют-
(абсолютная) теория вычислимости для (частичных) функций и предикатов
на натуральных числах — классическая рекурсивная теория. С
другой стороны, накоплен весьма разнообразный опыт построения
обобщенных теорий вычислимости. Мотивами для таких обобще-
обобщений являются и лучшее понимание абсолютной теории, и расшире-
расширение возможностей применения (понимания) понятий вычислимости
для объектов (алгебраических систем), не похожих на (далеких от)
натуральные числа, в частности для несчетных систем (таких, на-
например, как поле вещественных чисел Ж). Не обсуждая различные
предложенные обобщения понятий вычислимости, укажем, что в на-
настоящей книге в качестве такой обобщенной теории вычислимости
выбрана вычислимость в произвольных допустимых множествах с
празлементами.
VII
Развитие этой теории начиналось с обобщения вычислимости на
ординалах — сначала на первом нерекурсивном ординале (метаре-
курсивная теория) (Г. Крайзель, Дж. Сакс), далее на произвольном
допустимом ординале (С. Крипке, Р. Платек). Завершающий вид
теория приобрела в работах Дж. Барвайса, когда он ввел в рассмо-
рассмотрение допустимые множества с праэлементами. Введение праэле-
ментов могло показаться лишь техническим усовершенствованием,
однако сейчас представляется, что именно такое расширение поня-
понятия допустимого множества привело к универсальной теории вычи-
вычислимости, основанной на понятии определимости формулами, име-
имеющими (обобщенно) эффективную семантику. Конечно, эта теория
обобщает недетерминированную вычислимость в отличие от обоб-
обобщений, основанных на расширении понятия (абстрактного) вычисли-
вычислительного устройства, и поэтому точнее было бы сказать, что это есть
теория конструктивно познаваемых (распознаваемых) свойств (пре-
(предикатов). Если развитие классической теории вычислимости пока-
показало, что изучать всюду определенные вычислимые функции есте-
естественно лишь вместе с частичными вычислимыми функциями, то
вычислимость в произвольных допустимых множествах показыва-
показывает, что естественным контекстом изучения частичных вычислимых
(S-) функций являются вычислимые (Е-) предикаты. Можно даже
сказать, что понятие вычислимого (Е-) предиката является более
фундаментальным, чем понятие (частичной) вычислимой функции.
Общая теория допустимых множеств является замечательным
синтезом основных направлений современной математической логи-
логики — теории множеств (в том числе классического ее раздела —
дескриптивной теории множеств), теории моделей (бесконечных
языков) и теории вычислимости. Основополагающая монография
Дж. Барвайса «Допустимые множества и структуры» [4] остается и
сейчас главным источником для знакомства со всеми указанными
аспектами теории допустимых множеств. Интенсивное и глубокое
развитие исследований по тьюринговой сводимости на допустимых
(и не только) ординалах отражено в монографии Дж. Сакса [32].
В настоящей книге не затрагиваются вопросы, связанные с при-
применением теории допустимых множеств к теории множеств и к те-
теории моделей (и исчислениям) языков с бесконечными формулами.
Так, теорема компактности Дж. Барвайса — одно из самых заме-
замечательных достижений теории допустимых множеств — осталась
за пределами этой книги. По мнению автора, для лучшего пони-
Предисловие
мания общей природы вычислимости (конструктивной познаваемо-
познаваемости) следует дальше развить (понять) вычислимость в допустимых
множествах вида HFBl) — наследственно конечной надстройке над
системой 21, где 21 является либо моделью достаточно простой те-
теории, либо одним из классических объектов таким, например, как
поле Ж вещественных чисел. Отметим в этой связи, что введенное
Я. Московакисом в [30] понятие поисковой (search) вычислимости в
произвольной системе 21 совпадает (в соответствии с [27]) с понятием
вычислимости в допустимом множестве HFBl). В развитии теории
вычислимости в таких структурах нуждается и теоретическая ин-
информатика (theoretical computer science). В [6] предложен подход,
названный семантическим программированием, основанный на ис-
использовании эффективной семантики в качестве языка программи-
программирования.
Глава 1 содержит доказательство теоремы Гёделя о неполно-
неполноте, основанное на использовании понятия Е-определимой функции
(S-функции) как уточнения понятия вычислимой функции на нату-
натуральных числах (конечно, это понятие совпадает с понятием частич-
частично-рекурсивной функции).
Глава 2 является введением в теорию вычислимости (Е-предика-
ты и частичные Е-функции) на произвольном допустимом множе-
множестве с праэлементами. Теорема Ганди появляется на ранней стадии
изложения и лежит в основе доказательства Е-определимости ис-
истинности Е-формул.
Глава 3 содержит изложение избранных вопросов вычислимости
в допустимых множествах. Представленный материал (за исключе-
исключением § 3.1, где нетрадиционно излагается теория конструируемых по
Гёделю множеств, и § 3.2, который следует [4]) впервые появляется
в монографической форме.
Заметным недостатком книги является отсутствие обсуждения
авторства идей и методов, которое потребовало бы от автора значи-
значительных дополнительных усилий. В качестве частичной компенса-
компенсации список литературы разделен на две части, чтобы выделить те
источники (основной список), которые автор существенно использо-
использовал при изложении.
Первые две главы могут быть использованы студентами и пре-
преподавателями математических факультетов и факультетов теорети-
теоретической информатики университетов для учебных целей. Материал
х Предисловие
гл. 3 более ориентирован на исследователей, интересующихся общи-
общими проблемами вычислимости.
Автор благодарен всем, чья самоотверженная работа позволила
в кратчайший срок подготовить настоящую книгу к печати. В пер-
первую очередь Т. Н. Рожковской, А. С. Морозову, Н. А. Кубановой,
Ю. И. Рощупкиной и И. П. Цой.
Автор (и главный редактор серии «Сибирская школа алгебры и
логики») благодарен издательству Plenum Publishing Corporation и
особенно Кену Дерхэму за решение об издании этой серии на англий-
английском языке.
Когда работа над книгой завершалась, из Оксфорда пришла пе-
печальная весть о кончине Робина Ганди, влияние идей которого на
содержание книги весьма велико. Памяти этого своеобразного чело-
человека и мыслителя посвящается книга.
Юрий Л. Ершов
Новосибирск, Академгородок
25 ноября 1995
Оглавление
Глава 1. Е-определимость и теорема Гёделя о неполноте 1
1.1. RQ-формулы и Е-формулы 1
1.2. Формульная определимость 14
1.3. Позитивные формулы и монотонные операторы .... 21
1.4. Е-предикаты и S-функции на ft 27
1.5. Е-определимость истинности Е-формул на П 41
1.6. Универсальные Е-предикаты и универсальные
частичные Е-функции 55
1.7. Теорема Чёрча и теорема Гёделя о неполноте 61
Глава 2. Вычислимость на допустимых множествах 75
2.1. Алгебраические системы ft и HF@) 75
2.2. Теория KPU. Допустимые множества 87
2.3. Принципы Е-рефлексии, Д-отделимости и
Е-ограниченности 95
2.4. Е-операторы, теорема Ганди и формульная
представимость Е-операторов 101
2.5. Е-рекурсивные определения 110
2.6. Е-определимость истинности Е-формул
и универсальный Е-предикат 119
Оглавление
2.7. KPU-модели 131
2.8. Сводимости 143
Глава 3. Избранные темы 153
3.1. Конструируемые множества 153
3.2. Рекурсивно насыщенные системы 164
3.3. Уплощение и вынуждение 171
3.4. Определимость и Е-определимость алгебраических
систем 188
3.5. Вычислимость в специальных допустимых
множествах 200
3.6. Е-допустимые семейства 219
3.7. Динамическая логика 233
3.8. S-предикаты конечных типов 247
3.9. Эффективные /-пространства 259
Приложение 271
Литература (основной список) 277
Литература (дополнительный список) 279
Предметный указатель 281
Обозначения 285
Глава 1
Х-определимость
и теорема Гёделя о неполноте
1.1. RQ-формулы и S-формулы
Пусть а — (<2,...) — произвольная сигнатура с выделенным дву-
двуместным предикатным символом <. Расширим синтаксис языка
ИПСТ (см. приложение), введя в рассмотрение наряду с обычными
ограниченные кванторы. Формулы, возможно содержащие ограни-
ограниченные кванторы, будут называться RQ-формулами. Дадим точное
определение RQ-формул.
• RQ-формулы
— любая атомарная формула языка ИПСТ есть RQ-формула;
— еслиФ иФ — RQ-формулы Ш°, то ^Ф, (ФУФ), (ФЛФ),
(Ф —> Ф) суть RQ-формулы;
— если х — переменная, t — терм, а Ф — RQ-формула, то
Зх < ?Ф, Va; ^ ?Ф, ЗхФ, Уа:Ф суть RQ-формулы.
Можно определить множество свободных переменных RQ-фор-
RQ-формулы Ф, расширив определение множества свободных переменных
1. S-определимость и теорема Гёделя о неполноте
.РУ(Ф) для обычной формулы Ф добавлением соотношения
FV{3x < *Ф)(= FV(Vz < *Ф)) — (FV{$)\{x}) UFV(t)
Для дальнейшего важны два подкласса RQ-формул: До-фор-
До-формулы и Е-формулы. Приведем их определения.
• A.Q-формулы
— любая атомарная формула языка ИПСТ есть Ад-формула;
— если Ф и Ф — Ао-формулы, то ~"Ф, (Ф V Ф), (Ф Л Ф),
(Ф —? Ф) суть Ао-формулы;
До-формула, то
если х — переменная, t
Зх Ф V Ф
— пкуемеппия, и — терм, а Ф
', Va: < ?Ф суть А0-формулы.
• ?- формулы
— любая Ад-формула есть Т,-формула;
— если Ф и Ф — И-формулы, то (Ф V Ф) и (Ф Л Ф) суть
Е-формулы;
— если х — переменная, t — терм, а Ф — Е-формула, то
Зх ^ ?Ф, Vx < ?Ф; За;Ф суть И-формулы.
Чтобы определить понятие истинности RQ-формулы на алгебра-
алгебраической системе 21, следует рассматривать формулу Зх ^ ?Ф как
сокращение формулы За:(а; ^ t Л Ф), а формулу Va: ^ <Ф — как
сокращение формулы Va;(a; ^ t —> Ф) в случае, когда а: $• FV(t).
Именно, к индукционному определению понятия истинности, данно-
данному в приложении, добавим два дополнительных случая (продолжим
нумерацию из приложения).
Рассмотрим алгебраическую систему 21 сигнатуры а и интерпре-
интерпретацию переменных j: X -Ь А.
9. Если Ф = Зх ^ ?Ф0 — RQ-формула, .РУ(Ф) С X, то от-
отношение 21 N Ф[7] имеет место тогда и только тогда, когда
существует интерпретация jg: X U {а:} —> А такая, что
[т. е. 1о(х)
1.1. RQ-формулы и S-формулы
1. S-определимость и теорема Гёделя о неполноте
10. Если Ф = Va; ^ *Ф0 — RQ-формула, FV($) Q X, то от-
отношение 21 N Ф[7] имеет место тогда и только тогда, когда
21N Фо[7о] для любой интерпретации j: X U {а;} -» А такой,
что
70 \Х\{х} =7 \Х\{х},
Пусть 21 и 23, 21 ^ 05, — алгебраические системы сигнатуры а.
• Система 05 называется концевым расширением системы 21 (обо-
(обозначается 21 ^ end 93), если для любых а € А, Ь € В из соот-
соотношения (Ь, а) € ^ ® (ft ^ ® а) следует принадлежность 66 А
(тем самым b ^a а).
Предложение 1.1.1. Пусть 21 «Cend 93, Ф — RQ-формула и j:
FV($) —? А — интерпретация. Тогда
21N Ф[7] •**• 93 N Ф[7] для любой Ао-формулы Ф,
211= Ф[7] ^ 93 N Ф[7] Аля любой "L-формулы Ф.
Доказательство. Утверждение устанавливается индукцией по
построению формулы Ф с использованием сформулированных и до-
доказанных ниже утверждений A)-F).
A) Если формула Ф атомарна и имеет вид R(to,... ,tn), то
Так как tf [7] = tf[i\, i ^ n, и i?a = Л® П Лп+\ имеем
^ 93
Аналогично рассматривается случай, когда формула Ф имеет
вид to = ti.
то
21N ^Ф0[7] О 93 N
211= (Фо V Фх)[7] О 93 1= (Фо V Фх)[7],
21N (Ф0ЛФ1)[7]о05(= (ФоЛ'
21И(Фо->Ф1)[7]о05(=(Фо
Утверждение следует из определения истинности формул.
C) Если Фо, Ф1 — RQ-формулы и 7: FV($0) U FV($i) -+ A —
интерпретация такая, что 21 N Ф{[7] =*¦ 93 N Ф{[7], г = 0,1,
то
21N (Фо V Ф1Н7] => 93 N (Фо V Фх)[7],
21N (Фо Л Фх)[7] =» 93 N (Фо Л Ф^Ы-
Утверждение следует из определения истинности формул.
D) Пусть % N Ф [7] О 05 N Ф [7] d-ля RQ- формулы Ф к любой
интерпретации у. X -Ь А такой, что FV^) С X. Тогда
для любой интерпретации 7: FVCa; ^ ?Ф) —> Л
21N За; ^ *Ф[7] О 93 N За; ^ «Ф[7],
211= Va; ^ *ФЫ О 93 t= Va;
Установим лишь первую эквивалентность, поскольку вторая вы-
выводится аналогично. Пусть 21 N За; ^ *Ф[7]- Тогда согласно
случаю 9 существует интерпретация 7о: X U {а;} —? А такая, что
FVCa; ^ «Ф) С X, 7о Г Х\{х] = 7 Г Х\{х], 1о(х) ^ «я[7],
21 N Ф[7о]- Ввиду сделанных предположений 93 t= Ф[7о] и 93 N
Зх ^ ^Ф[7]- Пусть 93 N За; ^ *Ф[7]- Тогда существует интерпре-
интерпретация 7о= X U {а;} -> В такая, что 70 f -ХД{а;} = 7 f -^Vi1}!
7o(z) <s is[7] и 23 t= Ф[7о]- Так как 7 — интерпретация в
А, имеет место равенство t®[j] = t*[y]. Кроме того, соотно-
соотношение 7о(а;) ^5S ^[7] = 2й [7] (напомним, что 93 — концевое
расширение 21) влечет 7о(я) G А (и Jo(x) ^a *и[7])- Но тогда
7о — интерпретация в А такая, что 70 f -^Ai1} = 7 \ -^\{x}i
7о(а;) ^я «я[7] и 211= Ф[7о], поскольку 93 1= Ф[7о] =* 21N Ф[7о]-
Следовательно, 21N За;
B) Е'сли Фо, $i — RQ-#opAt^w u 7: -РУ(Фо) U FV($i) -> A —
интерпретация такая, что 21 N Ф*[7] О 93 Н Фг[7], t = 0,1,
E) Пусть % N Ф[7] =>¦ 93 N Ф[7] 5л
интерпретации у. X -> Л такой, что
Ф и любой
1.1. RQ-формулы и S-формулы
для любой интерпретации 7: FVCx ^ ?Ф) —? А
а N За: ^ *Ф[т] =* «8 N За; s$ <Ф[т],
211= Va: г? *Ф[т] =* «8 1= Va; ^ *Ф[т].
Установим лишь вторую импликацию, так как первая доказы-
доказывается аналогично. Пусть 21 t= Va: ^ <Ф[т]- Покажем, что
05 t= Vx ^ $Ф[т]- Ввиду случая 10 достаточно установить, что
для любой интерпретации 7о= FV(tix ^ ?Ф) U {а;} -? В та-
такой, что 7о Г FV(Va; ^ *Ф)\{а;} = 7 Г FV(Vx ^ *Ф)\{а;} и
jo(x) ^® <®[t]i имеем 95 t= Ф[то]- Пусть 7о — такая интер-
интерпретация. Поскольку 7 — интерпретация в А, имеем $®[т] —
t*[y] е А. Из то (ж) <* *В[7] = *ЛЫ следует (с учетом
21 ^ end 95), что 7о(я) е А и 7о(а;) <И *aW- Но тогда 7о явля-
является интерпретацией в А такой, что 7о Г FV(Vi ^ ?Ф)\{а:} =
7 f FV(Vx ^ *Ф)\{ж}, jo(x) ^я *я[7]. В силу истинности
211= Va; ^ t$[-y] получаем 211= Ф[7о]> откуда !В N Ф[то]-
F) Пусть 21 N Ф[7] ^- 55 N Ф[т] для RQ-формулы Ф и
интерпретации 7: -^ —> -А такой, что ^У(Ф) С X.
5ля любой интерпретации j: FV^)\{ar} -> А справедлива
импликация 21N За;Ф[7] =Ф- 93 N ЗгФ[7].
Действительно, пусть интерпретация j: FУ(Ф)\{a:} —> А тако-
такова, что21N За;Ф[7]. Предположим, что7о: FVD)U{x} -? А —
интерпретация такая, что 70 Г ^У(Ф)\{а;} = j и 211= Ф[то]- Но
тогда 23 N Ф[7о] и «В 1= ЗжФ[т]-
Таким образом, предложение 1.1.1 доказано.
D
Пусть 21 — алгебраическая система и Ф, Ф — RQ-формулы со-
соответствующей сигнатуры.
• Формула Ф называется
— следствием формулы Ф на 21 (обозначается Ф =><д Ф), если
для любой интерпретации ¦у: FV($) U FV(Si!) -? А из 211=
Ф[7] следует 211= Ф[т];
— семантическим следствием формулы Ф (обозначается Ф
=>s Ф), если Ф =>-5i Ф для любой алгебраической системы
21.
Формулы Ф и Ф называются
1. S-определимость и теорема Гёделя о неполноте
— ^.-эквивалентными (обозначается Ф Ня Ф), если Ф =>я Ф
и Ф =Ф-Я Ф;
— сел!амтическг( эквивалентными (обозначается Ф =8 Ф)) если
Ф =я Ф для всех 21.
Укажем ряд легко проверяемых семантических эквивалентно-
стей и импликаций:
Ф -> Ф =s ""Ф УФ,
(ФУФ) =s
(ФЛФ) =8
ЗагЗу ^«Ф=8Эу
За: ^ *Ф =s Зу(у ^ i Л (Ф)у), если у не встречается в ? и Ф,
Var ^ гФ =s Vj/(j/ ^ t -> (Ф)у), если у не встречается в t и Ф,
Ф =Ф-8 ЭатФ,
Уа;Ф =»s Ф,
Зу < «Ф =^s ЗуФ,
Уа:Ф =>s Va: ^ «Ф.
В качестве следствий приведем две леммы.
Лемма 1.1.1. Для любой RQ-формулы Ф можно эффективно
указать RQ-формулу Ф такую, что Ф =8 Ф к формула Ф ке
содержит —?, а отрицания встречаются в ней лишь перед ато-
атомарными формулами.
Замечание 1.1.1. Если RQ-формула Ф в лемме 1.1.1 являет-
является До-формулой (Е-формулой), то Ф можно выбрать До-формулой
(Е-формулой).
Лемма 1.1.2. Для любой RQ-формулы Ф можно эффективно
указать формулу Ф лзыка ИГР такую, что Ф = s Ф •
1.1. RQ-формулы и S-формулы 7
Для Е-формулы Ф и переменной и, не встречающейся в Ф, опре-
определим До-формулу ф(и) как формулу, полученную из Ф заменой ка-
каждого вхождения в Ф неограниченного квантора существования ви-
вида За; вхождением ограниченного квантора существования За; ^ и.
Предложение 1.1.2. Для любой ^-формулы Ф справедлива им-
импликация Зиф(и) =>8 Ф-
Доказательство. Установим индукцией по построению Ф им-
импликацию фМ =>-s Ф. Для До-формулы Ф имеем фМ = Ф и
Ф =>s Ф. Кроме того,
Фо =*>s Фо1 (Фо УФх)^(= Фо v $i ) ^s Фо V Фь
Ф[и) =*. Фх/ ^ (ФоЛФ1)(и>(= Фои) ЛФ^) =>. ФоЛФь
Фо"^ =>а Ф01 (Фо V Ф0^(= Фо^ V Ф^) ^s Фо V Фх,
ф[«) ^8ФХ/ ^ (Ф0ЛФ1)(и>(=Ф0и)ЛФAи))=>8Ф0ЛФ1,
Фо^ =>s Фо ^>
(Va; ^ *Ф„)(и)(= V*
i Va; ^ «Фо,
и)
Фо«) ^s Фо =» C»Ф)(«)(= За: ^ иФои)) =^8 За;Ф
^>s Эа:Фо-
Так как ф(") =>s Ф и и не свободна в Ф, то Зиф(") =>s Ф. П
Предложение 1.1.3 [монотонность ф(и)]. Если в 21 отношение
^И тпромзитивко, Ф — ^-формула, FV^) CX,«rfXu7:XU
{и} —»• Л — иктерпретачтАЯ такая, что 21 t= Ф^и^[7], то 21 N
ф(и)[7о] для любой интерпретации 7о: X U {и} —> А такой, что
Доказательство. Утверждение устанавливается индукцией по
построению Ф и следует из сформулированных и доказанных ниже
утверждений A)-D).
A) Если Ф — Ао-формула, то Ф удовлетворяет свойству моно-
монотонности.
1. S-определимость и теорема Гёделя о неполноте
Действительно, тогда Ф не содержит неограниченных кванторов
существования, ф(") = Ф и и не входит свободно в Ф. Следова-
Следовательно, 21N ф(")[7] => 21 N Ф[7] => 21N Ф[7о] => 21N Ф(и)Ы-
B) ?а/ш Фо и Фх — И-формулы, удовлетворяющие свойству мо-
монотонности, то формулы (Фо V Фг) и (Фо Л Фх) также удо-
удовлетворяют этому свойству.
Пусть ГУ(Ф0 V ФО С X, w ^ X, г- X U {«} -> Л, 21 N
(Фо V Ф1)<">[7], 7о: X U {и} -»• А и 7о Г X = 7 Г X, 7(«) ^Я
= Фо
следует, что
7о(«)- Из равенства (Фо V Фг о i
21 N Ф^ [7] Для некоторого i = 0,1. Но тогда 21 N Ф^ [7о] и
21 N (Фо V Ф1)^и^[7о]- Для формулы (Фо Л Фх) рассуждения
аналогичны.
C) Если Фо — Ti-формула, удовлетворяющая свойству монотон-
монотонности, то формулы За; s$ <Фо u Va; ^ <Фо также удовлетво-
удовлетворяют свойству монотонности.
Пусть ГУ(Фо) U FV(t) С X, и ? X, 7: X U {и} -> Д 21 N
(Va; ^ <Фоги^[7] И 7о= X U {и} -> А — интерпретация такая,
что 7о Г X = 7 Г X и 7(и) ^ я 7о(и). Так как (Va; ^ «Ф0)(и) =
Va; ^ <Фо И> следовательно, 21 N Va; ^ *Фо l/L имеем 21 N
Фо [У] Для любой интерпретации 7': Iu{i,ti} -> Л такой,
что У Г (Х\{*}) U {и} = 7 Г (Х\{«}) U {u}, -fix) ^ *= *я[7].
Пусть 7о: X U {а;, и} -> А — интерпретация такая, что j'o \
(X\{x})U{u) = 7о Г (X\{x})U{u} и7о(а:) ^ «ЯЫ = *ЯН
(так как u ^ •FV'(i) и 70 Г X = 7 f X). Пусть интерпретация
У: X U {х,и} -> Л такова, что У f X U {а;} = 7о Г X U
{а;}, У(«) = 7(«) <* 7о(«) = 7о(«)- Тогда 21 N Фои)[7'] и
211= Фо [7о] ввиду монотонности формулы Фо- Следовательно,
21 N Va; ^ *Фо [7о]- Для формулы За; ^ <Фо рассуждения
аналогичны.
D) Если Фо — Ti-формула, удовлетворяющая свойству монотон-
монотонности, то формула За;Фо также удовлетворяет свойству мо-
монотонности.
Пусть ГУ(Фо) С X, х € X, и $ X, 7: X U {и} -> А, 21 N
^^[7] И 7о: -^ U {и} -> А — интерпретация такая, что
1.1. RQ-формулы и S-формулы
7о Г X = 7 Г X и 7(и) ^я 7о(«)- Имеем (За;Ф0)(и) = Зх s?
иФо . Так как 21 N За: < «Фо^Ы. существует интерпретация
У: IU{«} -)• А такая, что У Г (АД{х})и{и} = 7 Г (*\{})
{и},-у'(х) <"У(«) = 7(«),ЯНФ<и)[у]. Пусть7о:
Л — интерпретация, определенная так, что % \ X = f' \ X и
70(«) = 7о(м). Тогда У (и) = 7(«) <я 7о(«) = 7о(«)- В
силу монотонности формулы Фо получаем 21 N Ф^"' [у'о] Кроме
того, У0(ж) = У(х) ^я У (и) ^а 7о(«), и У0(я:) ^а 76(«)
ввиду транзитивности отношения ^и. Следовательно, 21N Эх ^
)
D
Таким образом, предложение 1.1.3 доказано.
Следствие 1.1.1. Если в системе 21 отношение ^и транзи-
тивно, Ф есть Ti-формула, переменные и ф v не входят в Ф и
Г- FV($) U {и} -> А, то 211= Vu ^ ь(Ф^ ->• Ф(в))[7]-
Следствие 1.1.2. Если в системе 21 отношение ^ а тракзи-
тивко, Ф есть И-формула и переменные и Ф v не входят в Ф,
*) ()
Доказательство. Пусть 7: ^У(Ф)и{г>} -»• А — интерпретация
такая, что 21 t= 3w < г>Ф^и^7]- Тогда существует интерпретация
У: FV^)U{u,v} ->¦ А такая, что 7' Г -РУ(Ф)и{и} = 7.У(«) ^И
у (и) = 7(«) и 21 N ф(«)[У]. Пусть 7" : ^У(Ф) U {и} -> А —
интерпретация такая, что -у" \ FV{$) = 7 Г •РУ(Ф) и 7"(г;) =
7;(«)- Так как 21N Ф(и)[У], имеем 21 N ф(")[7"]. С другой стороны,
7" Г ^(Ф) = 7 Г ^(Ф) и i'iv) = У(«) <И УМ = 7(«)-
Следовательно, по монотонности 21N Ф^")[7]. ?
Алгебраическая система 21 называется ограниченной, если вы-
выполнены следующие условия:
— отношение ^ a является транзитивным и направленным на
А, т. е. 21N Va;Vi/Vz(a; ^уЛу^г-+х^г)Л Va;Vy3z(a; ^
zAy^z),
—для любой До-формулы Ф имеет место принцип До-ограни-
До-ограниченности: Va: ^ <ЗуФ =>я 3i>Va; ^ t3y ^ г;Ф.
Замечание 1.1.2. Принцип До-ограниченности (для До-
формулы Ф) эквивалентен соотношению Va: ^ <ЗуФ =я 3i>Va: ^
10
1. S-определимость и теорема Гёделя о неполноте
t3y ^ уф. Действительно, для любой RQ-формулы Ф справедливы
импликации
Зу ^ v$ ^-s ЗуФ,
Vx ^ t3y ^ иФ =>s Vx ^ «ЗуФ,
ЗиУа: ^ «Зу ^ иФ =>s Va; ^ «ЗуФ.
Для ограниченных систем верны два важных утверждения (прин-
(принцип S-рефлексии и принцип Е-ограниченности).
Принцип S-рефлексии. Если система 21 ограничена и Ф —
Е-д5орл«2/ла, то справедлива эквивалентность Ф =<д ЗиФ^и^.
Доказательство. Согласно предложению 1.1.2 Зиф(и) =>s Ф-
Поэтому достаточно доказать импликацию Ф =>•» Зиф(и). Она сле-
следует из нижеприведенных утверждений A)-E) индукцией по по-
построению формулы Ф.
A) Если Ф — Ао-формула, то Ф =>s Зиф(").
Действительно, в этом случае ф(и) = Ф.
B) Если для Ti-формул Фо, Фг верны импликации Ф* =><д 3«Ф
г = 0,1, то
Рассмотрим формулу (Ф0ЛФ1) (случай (ФоУФх) проще). Пусть
7: FV($o Л Ф1) -> А — интерпретация такая, что 21 t= (Фо Л
^i)W- Тогда 21 N Фо[7]> 21 ^ $i[7]- По предположению 21 N
ЗиФ^ [7], 21 N Зиф[и'[7]. Поэтому существуют интерпретации
7<: FУ(Фo Л ФО U {и} -»• Д 7« f FF(Фo Л ФО = 7, » = 0.1.
такие, что 211= Фо [7о]> 211= Ф1 [71]- Так как отношение ^и
направленное, существует элемент а € А такой, что 7o(u) ^ a a
и 71 (и) <И а. Пусть 7*: FV^o Л Ф1) U {«} -»• А — ий-
терпретация такая, что 7* Г FУ(Фo Л Ф\) = 7 и 7*(и) =
а. Ввиду монотонности имеем 21 t= Фд [7*]> 21 N Ф^ [7*] и
211= (Фои) Л Ф[и))[7*], (Фои) Л Ф(и)) = (Фо Л Ф0(и)- Следова-
Следовательно, 21 (= Зи(Ф0 Л Ф1)^[7], и импликация (Фо Л ФО
Зи(Фо Л Фх)^' установлена.
1.1. RQ-формулы и Е-формулы 11
C) Если Фо — Е-формула и Фо =J>a ЗиФ^\ то Зх ^ *Ф0
В силу основных свойств отношений =»а, =а, =>s, =s имеем
За; ^ «Фо =»а За; ^ ЙиФои),
За; ^ ЙиФои) =, ЗиЗа; ^ *Фои) = ЗЦЗа; < *Ф0)(и)-
Следовательно, Зх ^ «Фо =>а 3uCa; ^ *Фо)(и).
D) Если Фо — Е- формула и Фо =3-а ЭиФ0"\ mo Vx ^ ?Фо =Ф-а
Соотношения Vx ^ «Фо =Ф-а Va; < «ЭиФои), Va; ^ *ЗиФои) =а
ЗгиУа; ^ «Зи ^ гоФ^, справедливы ввиду ограниченности систе-
системы 21 и того факта, что Фо — Д0-формула. Из следствия 1.1.2
следует импликация Зи ^ гиФ0"' =»а Фо • Получаем Va; ^
«Ф 3u(Va; ^ «Фо)^и^ в силу соотношения
ЗиА/х ^ t3u ^ ¦шФ0")
= , 3uVa; ^ «Фои) = 3u(Vx < «Ф0)(и).
E) Если Фо =»а Зг*ф|,и), то За;Ф0 =^а Зи(ЗхФ0)(и).
Справедливы следующие импликации:
г*Ф
и)
Действительно, пусть 7: FV(&o) -t A — интерпретация та-
такая, что 21 И ЗхЗиФ0"'[7]. Тогда существует интерпретация
7': .РУ(Фо) U {х, и} -» Л такая, что У Г FV($o) = -у, St N
Фо [7']- Рассмотрим элемент а 6 А такой, что 7'(я)
а
о [7] р
7'(и) ^ а а, и интерпретацию 7": ^У(Фо) U {х,и} -> Л такую,
что 7" Г *Т(Ф0) U {а;} = 7' Г ^^(Фо) U {а;}, у (и) = а. То-
Тогда в силу монотонности из 211= Фо [т'] следует 21 N Фо" [7"]-
Заметим, что -у"(х) = j'(x) ^ а а = -у"(и). Тогда 21 N ЗиЗа; ^
иФ0и)[7]. Поэтому За;Ф0 =>а ЭиЗа; < иФои) = Зи(ЗхФ0)(и).
12
1. S-определимость и теорема Гёделя о неполноте
Таким образом, принцип Е-рефлексии установлен. ?
Приведем одно из следствий принципа Е-рефлексии для случая
конечной сигнатуры а, не содержащей функциональных символов.
Следствие 1.1.3. Пусть 21 — ограниченная система сигнату-
сигнатуры а, не содержащей функциональных символов, Ф — И-фор-
мула сигнатуры а и j: ^У(Ф) —> А — интерпретация такая,
что 21 И Ф[7]- Тогда существует элемент а ? А такой, что
а ;=± {а' | а' ^ a а} содержит все значения констант сигнату-
ры а, 7(*Т(Ф)) С а « 21 Г а «end Я) И Ф[7].
Доказательство. Так как Ф =а ЭиФ^, существует интер-
интерпретация 7': FV($) U {и} -> А такая, что 7' Г FV($) = 7 и
21 И ф(")[7']- Используя направленность отношения ^а, находим
элемент а € А такой, что {са | с€ ст}и7'(^^(ф)и{и}) ^ а. Си-
Система 21 является концевым расширением 21 [ а, а Ф^"' — До-фор-
До-формулой. Согласно предложению 1.1.1 получаем 21 И ф'"'[7'] О 21 \
2 И Ф^М, 21 Г а И Ф(и)[7'], 21 Г а И Зиф(и)[7], 21 Г а И Ф^], так
как ЗиФ'") =>s Ф в силу предложения 1.1.2. ?
Принцип S-ограниченности. Если система^ ограничена иФ —
И-формула, то \/х ^ ЙуФ =а 3v\/x ^ «Зу ^ уФ.
Доказательство. Как отмечено выше, всегда верна имплика-
импликация 3vVx ^ fly ^ уф =>s Ух ^ fli/Ф. Поэтому требуется устано-
установить импликацию Vx ^ fli/Ф =>а 3wVa; ^ fly ^ ьФ. По принципу
Е-рефлексии ЗуФ =$•% Зги(ЗуФ)^'. Далее,Va; < flt/Ф =>а Vx ^
«ЗгиC1/Ф)(и'). По принципу До-ограниченности
Va; ^ *Зго(ЗуФ)(и)) =*>а 3Wx ^ Йги < ^(ЗуФ)^).
Кроме того,
Зги ^ у{ЗуФ){и>) =^а (Зг/Ф)(и) [следствие 1.1.2],
Зг-Vx ^ «Зги ^
Зу
Зг-Va;
Итак, Vx ^ flj/Ф
ности установлен.
Зу ^ г>Ф
[предложение 1.1.2],
fly ^ г;Ф.
3wVx ^ fly ^ уф. Принцип Е-ограничен-
П
1.1. RQ-формулы и S-формулы
13
Следствие 1.1.4. Если21 ограничена иФ — ^-формула, то спра-
справедливо следующее соотношение:
Ухо < tbVsi ^ h .. .Vz*
=а 3vVx0
Доказательство. Установим утверждение для к = 1- для
больших к рассуждения аналогичны. Справедливы следующие со-
соотношения:
ЭгЛ/zi ^ h3y ^ г>Ф,
г>Ф
г;Ф
?
г;Ф,
гиф,
и;Ф
Таким образом, следствие 1.1.4 доказано.
В заключение укажем без доказательства, как естественно рас-
расширить исчисление ИП? до исчислений языка RQ-формул так, что-
чтобы теорема о полноте оставалась справедливой.
Гильбертовское исчисление RQ-формул получается из ИП^ до-
добавлением следующих новых схем аксиом и правил вывода:
• Новые аксиомы
11'. Ух^*ФЛ*0 <*->(Ф)?0-
12'. (Ф)?о Л t0 < t -> Зх < *Ф.
• Новые правила вывода
(х < t Л Ф) -> Ф
2 . -1— =—, если х не входит свободно в W.
Ф ^ <Ф
3'.
Ф->Уа;<
(х ^ t Л Ф) -» Ф
За; <
Ф
, если х не входит свободно в Ф.
Г4 1. S-onределимость и теорема Гёделя о неполноте
1.2. Формульная определимость
Используя формулы (RQ-формулы) сигнатуры а, можно опре-
определять предикаты на алгебраических системах сигнатуры а. Пусть
Ф — формула сигнатуры а и j/o, • • • >2/fc-i ~~ список попарно раз-
различных переменных такой, что ^У(Ф) С {у0,... ,yk-i}- Тогда
для любой алгебраической системы 21 соответствующей сигнатуры
на А определяется fc-местный предикат
^{(а0,...,afc_i) | ui € A, i < k; 21 И Ф[та],где
Та: {у0,... ,yk-i} -> А такая, что ТаЫ = a,, i < k}.
Замечание 1.2.1. Можно рассматривать конструкцию Фа[у] и
без условия ^У(Ф) С {у0,... ,2/fc-i}. Тогда «предикат» Фа[у]
зависит от параметров FV($)\{yo, ¦ ¦ ¦ ,2/t-i} и имеет однозначный
смысл, лишь когда задана интерпретация 7: ^7'^(^)\{|'} -* А и
имеет место соотношение
{о= (ao,... ,o*_i> | a € Ак, 211= Ф[тои7]}.
• Предикаты вида Фа[У] называются а-формульными на 21.
Предложение 1.2.1. Пусть 21 — алгебраическая система сигна-
туры а, а' = aU<P0*°,... ,&), Я' = («.Qo,--- ,Q») - обога-
обогащение 21 5о сигнатуры а1 такое, что Qi, i ^ s, — а -формульный
предикат на 21. Если Q — а'-формульный предикат на 21', то
Q — а-формульный предикат на 21.
Доказательство. Рассмотрим случай s = 0; общий случай по-
получается индукцией по s.
Пусть ф — формула сигнатуры а такая, что Qo = Vя[У], и Ф —
формула сигнатуры a U (Ро) такая, что Q = Ф<а>^°)[г]. Предпола-
Предполагая, что все связанные переменные формулы ^> не встречаются в Ф,
определим синтаксическую операцию подстановки (Ф) ?_, следую-
следующим образом: формула (Ф)^ сигнатуры а получается из формулы
Ф сигнатуры a U (Ро) заменой каждой атомарной подформулы фор-
формулы Ф вида P0(t0,... ,tko-i) формулой (<р)™1'."']?°~*. Заметим,
1.2. Формульная определимость
15
Индукцией по построению формулы Ф устанавливается следу-
следующее утверждение: для любой интерпретации 7: РУ(Ф) -» А
имеет место соотношение
,Qo) 1= ф[7]
(ф)*м).
Единственный нетривиальный случай — когда Ф атомарна и име-
имеет вид P0(to,-- ¦ ,t*0-i):
ф[7]
[где
ко]
Из указанного свойства сразу вытекает, что для любой формулы Ф
сигнатуры a U (Ро) имеет место соотношение
из которого следует заключение предложения 1.2.1 (для s = 0). D
Замечание 1.2.2. Как уже отмечалось, конструкцию ^а[У] мож-
можно использовать и без условия FV(fp) С {у}. Это же справедливо
и для подстановки. Предположим, что все переменные формулы
(р не встречаются в Ф. Тогда формула (Ф)^"?_,, определенная вы-
выше, обладает следующим свойством: для любой интерпретации
7: FV(<&) U (FV(<p)\{y}) -? А справедливо соотношение
Ф^а^ (ф)^[7), У - 7 Г
Наряду с понятием формульного предиката можно ввести и по-
понятие формульной функции. Пусть 21 — алгебраическая система
сигнатуры а.
• Функция д: А1 —> А называется а-формулъной на 21, если ее
график Тд = {(а,Ь) | а € А1, Ь € А, д(а) = 6} С Л'+1
является <7-формульным предикатом на 21.
Справедливо естественное обобщение предложения 1.2.1.
Предложение 1.2.2. Пусть 21 — алгебраическая система сигна-
турыа, а1 = <т U (ft,... ./^.Р*0,... ,Р*«>, 21* = <a>ft,,... ,
16
1. S-определимость и теорема Гёделя о неполноте
0m,<2o,--- ><2s) — а'-обогащение 21 такое, что gj, i ^ т, —
о-формулъные функции, Qj, j ^ s, — о -формульные предикаты.
Тогда любой а'-формульный предикат {а1 -формульная функция)
на 21' является а-формульным предикатом (а-формульной фун-
функцией) на 21.
Установим сначала следующее общее утверждение.
Лемма 1.2.1. Для любой Ф можно эффективно найти форму-
формулу Ф той же сигнатуры такую, что Ф_=в Ф, FV{$) = FV{$),
любая атомарная подформула формулы Ф является атомной (см.
приложение), а любой ограниченный квантор формулы Ф имеет
вид Эх ^ у или Va; ^ у.
Доказательство. Легко проверяется справедливость следую-
следующих эквивалентностей:
Зх^
Va;<
P(tQ,
*Ф=з Зу(у = ?ЛЗх s
«Ф =s Зу(у = tAVx S
... ,tk-1)=s3xQ...z
;»ф),
*»ф),
b*-i((
2/
У
Да;
^РУ(Ф)иРУ(*),
^ РУ(Ф) U FF(t),
{ = и)лР(х0,... ,хк-
k,
= f(t0,... ,t|_i)=e
где a;, Xi $ \J FV(tj) U FV(t), i < l. Если формула Ф содержит
3<к
подформулы вида За; ^ ^Ф (Va; ^ *Ф), где терм t отличен от пере-
переменной, то, последовательно заменяя их на Зу(у = t Л Зх < уФ)
(Зу(у = t Л Vx ^ у*)), добьемся того, что Ф не будет содержать
таких подформул.
Определим ранг p(t) терма t по индукции:
р(х)=0, p(f(t0,... ,t|_i)) =
и ранг р(Ф) атомарной формулы Ф:
1.2. Формульная определимость
17
— когда Ф есть P(t0,... ,i*-i), полагаем р(Ф) = тахр(и) + 1,
если существует г < к такое, что p(U) > 0 и р(Ф) = 0, если
p(to) = ¦ ¦ ¦ = p(tk-i) = 0;
— когда Ф есть *о = *i, полагаем р(Ф) = 0, если p(t0) = p(ti) = 0,
и р(Ф) = p(t0) + p(ti) - 1, если p(t0) > О или p(t{) > 0.
Заметим, что для атомарной формулы Ф равенство /э(Ф) = 0
выполняется тогда и только тогда, когда Ф атомная.
Наконец, определим ранг /э(Ф) для произвольной формулы Ф
как максимум рангов ее атомарных подформул.
Если р(Ф) > 0, то каждую атомарную подформулу вида P(to,
... , tk-i) формулы Ф такую, что p(P(to,... , ?fc-i)) > 0, заменим
формулой
3xo...3xk-i({ Д Xi = ti)AP(x0,... ,xk-i)),
i<k
а каждую атомарную подформулу вида
t = /(to, • • • , *I-l) (ИЛИ f{t0, . . . , «,_!) = t)
такую, что
p(f(t0, ..., *,_!» > 1 (ИЛИ P(t) = P(f(tQ, ..., «,_!)) = 1),
заменим формулой
3x3x0...3xi-i(x =tA(f\xi = ti)Ax = f(xQ,... ,zj_i)).
В результате получим формулу Ф' такую, что
Ф =„ Ф', FV($) = ^У(Ф') и /э(Ф') < /э(Ф).
Если р(Ф') = 0, то Ф ь; Ф' удовлетворяет заключению леммы.
Если р(Ф') > 0, то, образуя последовательность
Ф, Ф', (Ф')',.. • ,
находим п ^ /э(Ф) такое, что р(Ф^) = 0. Тогда Ф *=;
творяет заключению леммы 1.2.1.
удовле-
удовлеП
Доказательство предложения 1.2.2. Достаточно рассмотреть
случай a' = <tU(/o°).
18
1. Е-определимость и теорема Гёделя о неполноте
Пусть ф — формула сигнатуры а такая, что Г9о = ?>а[у], и
Ф — формула сигнатуры а1 такая, что Q = Ф^'Яо^[г]. Согласно
лемме 1.2.1 можно считать, что любая атомарная подформула фор-
формулы Ф является атомной.
Определим по формулам Ф и <р формулу Ф сигнатуры а, -заме-
-заменив в Ф всякую атомную подформулу вида Xi = /о(я»„, • ¦ • , xii0-i)
(/o(a*oi--- .*iio-i) = xi) Формулой (v>)^oV-"--%o«7o-i^«• Тогда (так
же, как в доказательстве предложения 1.2.1) устанавливается следу-
следующий факт: для любой интерпретации j: РУ(Ф) —>• А справедливы
соотношения
(а, до) i= Ф[7] # a i= *М (ф щ**,) *)¦
Следовательно, Ф<я>»о>[г] = $a[z]. Предложение 1.2.2 доказано. ?
Пусть 21 — алгебраическая система.
• fc-Местный предикат Q С Ак на А называется И-предикатом
(на 21), если существуют S-формула Ф и переменные уо, ¦ • ¦,
2/(t_i такие, что Q — а
• S-предикат Q С Ак называется ^-предикатом (на 21), если
предикат Ak\Q является S-предикатом.
• Функция д: А1 -? А называется ^-функцией (ко 21), если ее
график Гд является Е-предикатом.
Заметим, что если д: А1 -? А является Е-функцией, то ее график
будет даже Д-предикатом. Действительно, если Ф — Е-формула
и У = 2/о, ¦ • • ,У1 — переменные такие, что Тд = Фа[у], то для
S-формулы Ф *=; 32((Ф)^' Л yi ф z) легко проверить равенство
Фа[у) = Л'+1\Г,.
Справедлив следующий аналог предложения 1.2.2.
Предложение 1.2.3. Пусть 21 — алгебраическая система сиг-
натурыа, а1 = <т U (^°,... ,fa,p?°,... ,Р*->, 21' = B1, Зо, ¦ - - ,
grrnQoi¦¦¦ ,Q«) — а'-обогащение 21 такое, что &, i ^ т, —
^-функция на 21, Qj, j ^ s, — А-предикат на 21. Тогда любой
Т.-предикат на 21' является 'Е-предикатом на 21.
Нам понадобится следующий вариант леммы 1.2.1.
1.2. Формульная определимость
19
Лемма 1.2.2. Для любой Е-формулы Ф можно эффективно най-
найти Е-формулу _Ф той оке сигнатуры такую, что Ф =s Ф _и
^У(Ф) = РУ(Ф), каждая атомарная подформула формулы Ф
является атомной, Ф не содержит импликации, все отрицания
в Ф встречаются только перед атомными формулами, а любой
ограниченный квантор Ф имеет вид Зх ^ у или Ух ^ у.
Доказательство. Не уменьшая общности, можно считать, что
Ф не содержит импликации и отрицания в ней встречаются лишь пе-
перед атомарными подформулами. Так же, как в лемме 1.2.1, можно
получить формулу с теми же свойствами, все ограниченные кван-
кванторы которой имеют вид Зх ^ у или Vx ^ у. Далее определяется
преобразование Ф в Ф' (если ранг /э(Ф) > 0), как в лемме 1.2.1, со
следующими уточнениями:
— подформулу P(to, • • • , tjfc-i), если она положительно входит в Ф
и p(P(t0,..., tk-i) > 0, заменяем формулой
Зхо - ¦ -Зх*_1 ({/\xi = ti)AP(x0, ¦ ¦ ¦ ,xk-i)),
а подформулу вида ~"P(to, ¦.. , tk-i) — формулой
Зхо ¦ ¦ .Зх*_1 (( Д Xi = tj)A"'P(xo, ¦ • ¦ ,x*_i)j;
подформулу t = /(t0, ¦ ¦ • , tt-i) (или /(t0, ¦ • ¦ , h-i) - t), если
она положительно входит в Ф и p(f(to,... ,tj-i)) > 1 (или
p(t) = p(f(t0, ... ,tj-i)) = 1), заменяем формулой
3z3z0 ... 3xi-! (x = t А (Д х{ = U)hx = f(x0,... ,zj-i)),
i<l
а подформулу ~"(t = /(to,--- ,*j-i)) (или ""(/(t0,... ,tj_i) =
t)) с теми же условиями на ранги — формулой
ЗхЗх0 .. .
= t A
= и)А"(х = f(x0,... ,zj_i
После этих замен получаем S-формулу Ф' такую, что Ф =s Ф',
^У(Ф) = FV($'), /о(Ф') < /э(Ф), удовлетворяющую тем же усло-
условиям, что_и формула Ф. После п ^ р(Ф) шагов находим требуемую
формулу Ф = ф(п>. D
20
1. S-onределимость и теорема Гёделя о неполноте
Доказательство предложения 1.2.3. Достаточно рассмотреть
два случая: а' = a U (Ро*°> и а1 = a U (/о°>.
Случай а' = a U (Р*°). Пусть <ро, 4>i — S-формулы (сигна-
(сигнатуры а) и переменные у - у0,... ,y*0-i таковы, что Qo = Ч%Ш
и Ak°\Q0 = ?>?[у]. Пусть Ф — S-формула сигнатуры а1 и 1 =
zq, ... , zk-i — список различных переменных такой, что ^У(Ф) С
{z} и Q ±=; Фа [г] С Ак — S-предикат на 21'. Не уменьшая общ-
общности, будем предполагать (см. лемму 1.1.1), что формула Ф не
содержит импликации и отрицания встречаются в ней только пе-
перед атомарными формулами. Предположим также, что все свя-
связанные переменные формул <ро и (pi не встречаются в Ф. Обра-
Образуем S-формулу Ф, заменяя в Ф каждое положительное вхождение
подформулы Ф вида Ро(*о, ¦ • ¦ ,**0-i) H» (<Po)to''.'.'.',tb°Ii > а каждое
вхождение подформулы вида "Ро(*о, • ¦ ¦ , **0-i) на (Vi^.-.'Jko-i ¦
Отметим, что FV(9) С РУ(Ф).
Индукцией по построению Ф без труда устанавливается следую-
следующее утверждение: для любой интерпретации j: РУ(Ф) —> А име-
имеет место соотношение B1, Qo) 1= Ф[т] *> 21 И Ф[7] (Ф =(a,Q0) *)¦
Нетривиальными являются лишь случаи
Ф = P0(t0,. . . , fco-i), Ф = "Po(to, - - - ,**0-l).
Оба они рассматриваются одинаково. Поэтому ограничимся рассмо-
рассмотрением Ф ="" Po(t0,... ,tfco_i). Пусть j: РУ(Ф) -? А — интер-
интерпретация. Тогда
B1, Qo) N Ф[7] * (t?H,-.tiH) i Qo
* <*о[7],-.- Д-iW) € A^-^Qo (= tf
<*ai=V>i[7i«[7]] [где 7|«Ь]Ы = tf [7], i
<* Я И (<p!)f [7] *> Я И Ф[7].
Следовательно, Q = ф(а'<?о)[1] = Фа[1] — S-предикат на 21.
Случай а' = a U (/0°). Пусть а' = a U (/0°) и 21' = B1, д0).
Предположим, что Е-формула (сигнатуры а) <р и переменные у =
у0, ¦ ¦ ¦ , 2/!о таковы, что Г9о = <^a[y"].
Пусть Ф — S-формула сигнатуры а1 иг = zq,... ,Zk-\ —
список различных переменных такой, что FV{<&) С {z} и Q *=;
Фа [г] — S-предикат на 21'. Предположим, что все связанные пере-
1.3. Позитивные формулы и монотонные операторы
21
менные формулы tp не встречаются в формуле Ф и последняя удо-
удовлетворяет заключению леммы 1.2.2. Образуем Е-формулу Ф сигна-
сигнатуры сг, заменяя в Ф каждое положительное вхождение подформулы
вида и = /о(г*о,• • ¦ ,ujo-i) (или /о(щ,¦¦¦ ,ujo-i) = и) формулой
(v)lu' a кажд06 вхождение подформулы вида ""(и = /о(п)) (или
~Ч/о(«) = и)) — формулой Зх((ф)^х А ""(и = х)). Как и вы-
выше, индукцией устанавливается следующее утверждение: для лю-
любой интерпретации -у: FV($) —> А имеет место соотношение
21' = {%9о) •= Щ\ <=> Я1= Ф[т]- Следовательно, Фа'[г] = Фа[2], и
Q = фа [г] является Е-предикатом на 21. D
Предложение 1.2.4. Пусть 21 — ограниченная алгебраическая
система сигнатуры а, а' = <rU (/0°,... , /?? > *о*° > • • • > Ps') > а' =
B1, до, • • • , 9m, Qo, ¦ ¦ ¦ , Qs) — а'-обогащение 21 такое, что git i <
т, — И-функция на 21, Qj, j =^ s, — А-предикат на 21. Тогда
21' — огроничемкоя алгебраическая система сигнатуры а'.
Доказательство. Требуется проверить лишь принцип До-огра-
До-ограниченности для До-формулы сигнатуры <т'. Но согласно предложе-
предложению 1.2.3 для любой S-формулы (не только До-формулы) Ф сигна-
сигнатуры а1 существует Е-формула Ф сигнатуры а такая, что Ф =<&> Ф.
Следовательно, Va; ^ flj/Ф =а' Va; ^ ЙуФ. По принципу Е-огра-
ниченности (см. § 1.1) имеем Vx ^ ЙуФ =а 3uVx ^ t3y ^ иФ. Но
тогда
=а. Vx
=а»
t3y
t3y
Предложение 1.2.4 доказано.
?
1.3. Позитивные формулы и монотонные операторы
RQ-формула Ф сигнатуры а называется позитивной, если она
не содержит ни импликации, ни отрицания. Основное семантическое
свойство позитивных формул указано в следующем предложении.
Предложение 1.3.1. Пусть 21, 05 — алгебраические системы
сигнатуры а, а: 21 —> 05 — эпиморфизм (гомоморфизм «на»),
Ф — позитивная формула и J: FV($) —> А — интерпретация в
22
1. S-определимость и теорема Гёделя о неполноте
А. Тогда
21 И Ф[7] => 05 И Ф[аЦ.
A.3.1)
Доказательство. Применим индукцию по построению Ф. Для
атомарной формулы Ф соотношение A.3.1) справедливо по опреде-
определению гомоморфизма.
Если A.3.1) справедливо для Фо и Ф\, то легко проверить, что
A.3.1) также справедливо для Фо V Ф1 и Фо Л Ф^
Пусть A.3.1) справедливо для Ф и 21 И \/хФ[7]- Предположим,
что интерпретация j': .РУ(Ф) -»• В такова, что j' \ ^1^(Ф)\{х} =
aj. Поскольку а есть отображение А на В, существует элемент а €
А такой, что а(а) = 'fix). Пусть 7*: FV($) -? А — интерпрета-
интерпретация такая, что 7* Г -^УХ^Мя} = 7 и 7*0*0 = а- Тогда <гу* = У-
Так как 21 1= УхФ[7], верно 21 И Ф[7*]. и согласно индукционному
предположению 05 й Ф[сгу*] (® ^ ^[т'])- Итак, для любой интер-
интерпретации 7': ^У(Ф) -> В такой, что 7' Г ^1^(Ф)\{х} = wy, имеем
05 1= Ф[7']- Поэтому 05 И Уа;Ф[а7] и УяФ удовлетворяет A.3.1).
Если Ф обладает свойством A.3.1), аналогично проверяется, что
ЗяФ, За; ^ 4Ф и Vx ^ *Ф обладают свойством A.3.1) (для кванторов
существования проверка проще). ?
Формула Ф может не быть позитивной, но возможно, что неко-
некоторые предикатные символы входят в нее позитивно. В этом случае
справедлив некоторый вариант предложения 1.3.1.
Пусть Ф — формула сигнатуры а такая, что Ф не содержит им-
импликации и отрицания в ней встречаются только перед атомарными
подформулами. Будем говорить, что предикатный символ Р сиг-
сигнатуры а входит позитивно в Ф (обозначаем Ф(Р+)), если Ф
не имеет подформул вида ~"P(to,... , tk-i) ни для каких ст-термов
*(),¦•¦ ,tk-i-
Пусть Р входит позитивно в Ф, сто i=i p\(Pk), 21о — алгебра-
алгебраическая система сигнатуры сто, Q С Aq. Тогда Blo,Q) есть алге-
алгебраическая система сигнатуры a (Blo, Q) — обогащение 21о до а и
Ра = Q). При сделанных предположениях справедливо
Предложение 1.3.2. Если предикат R С А% таков, что Q С R,
то для любой интерпретации 7: РУ(Ф) -? Aq имеет место
импликация B1о,<2) 1= Ф|/у] =Ф- Blo,-R) 1= Ф[Ц-
1.3. Позитивные формулы и монотонные операторы
23
Доказательство. Как при доказательстве предложения 1.3.1,
применим индукцию по Ф. Отличия состоят лишь в базисе индук-
индукции. Если Ф — атомарная формула или отрицание атомарной фор-
формулы и Ф не содержит Р, то
(Яо, Q) N Ф[7] & Яо N ФЫ <* («о, R) N Ф[т]-
Если Ф содержит Р, то Ф должна иметь вид P(t0,...,t*_i). По-
Поэтому
этому
<Яо,д> 1= Ф[7] => <#°[7], • ¦ ¦ ,
=*• <#°[7], • • • ,
Предложение 1.3.2 доказано.
*°iW> € Q
^iМ> € R => («о,
1= Ф[7]-
Предложение 1.3.2 позволяет связывать с формулами, имеющи-
имеющими позитивные вхождения предикатного символа, некоторые инте-
интересные монотонные операторы.
Пусть формула Ф позитивно содержит fc-местный предикатный
символ Р, и пусть х — хо, ¦ ¦ ¦ ,Xk-i — список попарно различных
переменных такой, что ^У(Ф) С {х} (такого списка может и не
быть). С формулой Ф(Р+), списком х и алгебраической системой
Sto сигнатуры <т0 = <t\(P) свяжем оператор T^jL на множестве
V(Aq) всех fc-местных предикатов на Aq следующим образом: для
Q С Aft полагаем
Из предложения 1.3.2 вытекает монотонность этого оператора:
С оператором Г jf_, свяжем последовательность
Го,Ti,... ,Го,... [а — ординал]
fc-местных предикатов на Ао следующим образом:
Го ^ 0, Га+1 ^ Г^-](Га), Га ^ (J Т0,
24
1. S-определимость и теорема Гёделя о неполноте
где а — предельный ординал. Заметим, что а ^ C влечет Га С
Г/j. Действительно, в противном случае предположим, что ао —
наименьший ординал, для которого существует ординал /3 такой,
что а0 ^ /9 и Гао ? Yp, и 0О — наименьший ординал, для которого
«о < 0о и ГО0 ^ Г/j,,. Ясно, что ао Ф ^о, т- е- «о < А), и а0 не
может быть предельным, так как иначе Го С Г^о для всех а < а0
(по выбору наименьшего ао). Следовательно,
а<ао
что невозможно. Таким образом, ао = а + 1 для подходящего а.
Покажем, что ординал 0о также не может быть предельным. Дей-
Действительно, если /Зо предельный, то
0<0о
что невозможно. Таким образом, /Зо = /3 + 1 для подходящего & и
а ^ 0, но тогда
= Т0+1 = Т0О.
0+1
0О.
Пришли к противоречию.
Если Га = Га+1 для некоторого а, то Г^ = Го для всех /3 ^ а.
Заметим, что найдется ординал а такой, что Га = Го+1. Пусть
0 — ординал такой, что Г7 ф Г7+1 для всех 7 < 0, и
>7 ¦=, Г7+1\Г7, 7
Так как Х?7 ^ 0 для 7 < /3, по аксиоме выбора существует элемент
/ € D такой, что /: 0 —> Ао, и при 7о < 7i < ^ из соотношения
70
г70+1 с г71 с г71+1
вытекает равнозначность функции /. Следовательно, \0\ ^ |i4o|.
Тогда, если а — ординал такой, что его мощность больше мощности
Ао, тоГв = Го+1.
Обозначим через Г» множество Га для наименьшего ординала а
такого, что Ta+i = Го.
1.3. Позитивные формулы и монотонные операторы
25
26
Множество Г» является наименьшей неподвижной точкой
оператора Г*fa, т. е. Гф^(Г») = Г» и Г» С Д, если преди-
предикат Д С Aft таков, что Га?г,(Д) = Д.
Первое свойство имеет место по определению Г*. Для доказа-
доказательства второго свойства индукцией по а устанавливается, что
для любого предиката Д CiJ такого, что Гф?-,(Д) С Д, вер-
верно соотношение Та С Д. Действительно, Го = 0 С Д. Если
Га С Д, тоГа+1 = Г*^(Гв) С Г^_](Д) С Д. Если ординал а
предельный и Г^ С Д для всех /3 < а, то Го = \J Гр С Д.
0<а
Таким образом, Г» является предикатом на Ао, однозначно опре-
определенным формулой Ф(Р+) (и набором х). Это определение без-
безусловно сложнее формульного определения предикатов, приведен-
приведенного в § 1.2. Однако в следующем параграфе будет рассмотрен важ-
важный случай, когда для Е-формулы Ф(Р+) предикат Г» окажется
Е-предикатом.
В заключение параграфа укажем некоторые свойства ограничен-
ограниченных систем по отношению к Е-формулам Ф(Р+).
Предложение 1.3.3. Пусть Яо — произвольная алгебраическая
система сигнатуры Сто, предикатный символ Р входит позитив-
позитивно в Т,-формулу Ф сигнатуры а = CToU(P*) их = Xq, ... ,Xk-i —
список различных переменных такой, что
(){} {Q,,k1}
Тогда оператор Гф?г1 переводит И-предикаты, на Яо в E-npedu-
каты.
Доказательство. Пусть Q С А$ — Е-предикат, ц> — Е-фор-
мула сигнатуры сто такая, что Q = ^a[z], и* i; (*(-^+))ш[г1-
Тогда Ф является Е-формулой сигнатуры о$ и для любой интерпре-
интерпретации 7: {х} —> Ао имеет место эквивалентность Blo, Q) И Ф[7] ¦?>
Яо 1= *[i\. Поэтомуr"j^(Q) = Ф<*°Я)[х] = Фа°[х]-Е-предикат
на 2l0. D
Предложение 1.3.4. Пусть 21о — ограниченная алгебраическая
система сигнатуры ао, предикатный символ Р (^ Сто) входит в
Т,-формулу Ф сигнатурыodJ{Pk) позитивно их — хо, ¦ ¦ ¦ ,Xk-i —
список различных переменных такой, что FV($) С {х}. Тогда
1. S-определимость и теорема Гёделя о неполноте
г , действуют одинаково на И-предикатах
операторы Г|%]
QCA% на210.
Доказательство. Пусть Q = <ра°[у] С А$ для некоторой
S-формулы ф сигнатуры а$. Тогда импликация ЗиФ^"^ =Ф-8 Ф при-
приводит к соотношению Га^ф(и)[_1(С) С Гф?_,(С). Из доказательства
предложения 1.3.3 следуют равенства
Так как 21о ограничена, а Ф — S-формула, имеем
В силу импликации ip^ =>s ц> справедлива импликация
Следовательно,
Поэтому
О
Принцип Х-параметризации. Пусть 2Со — ограниченная алге-
алгебраическая система сигнатуры ао, предикатный символ Р (^ сто)
входит позитивно в ^-формулу Ф сигнатуры а = ао U (Pk)-
Предположим, что ip(x,y~) = (p(x,yo,--- ,2/fc-i) — ^-формула
сигнатуры Сто,
Qv ^ Cxip)*°[y} = {о | Яо 1= Зх<р(х,а)},
Oo^lalSloN^a.a)}, a € Л,
и из а ^а а' следует Qa С Qa/. Тогда для любой интерпрета-
интерпретации у. FV($) -> Ао такой, что Blo,Q,p) И Ф[т]> существует
элемент по € А такой, что (%>,Qa0) М
Доказательство. Не уменьшая общности, можно считать, что
— До-формула. Действительно,
у) =Яо ЗиCх < и^(и)(а;,р)).
1.4. Х-предикаты и S-функции на О
27
Если <ро(и,у) i=i За; < и^и\х,^), то
Qm ^ Зи^[у] = {а | Яо 1=
Q°a ^ {а | 2Со 1= <А>(а,3)} С
и уо является До-формулой.
Пусть Ф ^ (ф(Р+))эх?,(а:>1?)[1?]- Тогда ф — ^-формула сигнату-
сигнатуры сто, справедливо FVDf) С ЁУ(Ф) и для любой интерпретации
7:
Так как 21о ограничена и Ф — Е-формула сигнатуры со, верно
Ф ^ 3«Ф<«>. Заметим, что Ф<«> - (*{и))^ич>{х,т]- Если
интерпретация у. FV{<&) -> Ао такова, что (StcQ^) И Ф[т]> то
210 1= Ф[7] и 21о 1= Эиф(">[7]. Следовательно, существует интер-
интерпретация 7': FV{9) U {«} -» Ло такая, что 7' Г ^V(*) = 7 и
210 1= Ф<")[7']. Если оо ^ 7'("). то
«о 1=
где
х,а)}= |J QaCQa<>.
Так как фН =>, Ф, имеем B1о,д'ао) 1= Ф[У], <Яо.^> •
поскольку Р входит в Ф позитивно и Q'ao С Qao, заключаем, что
[
1.4. S-предикаты и S-функции на Г2
Пусть П ±=; (из, 0, s, +, -, ^) — алгебраическая система сигнату-
сигнатуры «То = @, s1, +2, -2, ^2), основным множеством которой является
множество из натуральных чисел (конечных ординалов), символы О,
+, -, < имеют обычный смысл, а функция sn: из -> из такая, что
8п(п) = п + 1 для всех п € из. Изучение Е-функций удобно прово-
28
1. Е-определимость и теорема Гёделя о неполноте
дить в более широком классе частичных S-функций. Пусть к > 0 и
DCwk.
• (Частичная fc-местная) функция д: D -? w называется частич-
частичной Е-функцией, если ее график
Г9^{(г0)... ,«*-i,**> | (го,--- ,**-i> €?>,
есть S-предикат на П.
Множество D — область определения функции д — будем обо-
обозначать через 6д.
Укажем простейшие факты о (частичных) S-функциях.
A) Следующие функции в: из -> из и 1%: изп -> из, п > 0, к < п,
являются И-функциями:
0(i)=O, i€w,
I?(i0,... ,in-i) =ik, Ч,... ,in_i ?из.
Как легко видеть,
Гв = (я1 =0)n[xe,xi],
Г/j = (а;„ =хк)п[хо,... ,xn-i,xn].
B) Пусть D С шп ид, С шк, i ^. п. ЕслиН: D -» из иgt: 6t -> из,
где i <п, являются частичными Е-функциями,
*о,--. ,u-i) |*= (го,-- ,*t-i>
то следующая функция h: 8 —> из является S- функцией:
Действительно, если Г# = Фп[х] и Г9.
Е-формул Ф и (pi, i < n, то
, i < n, для
ГЛ =
( Д Ш%
1.4. Е-предикаты и S-функции на Г2
29
30
1. S-определимость и теорема Гёделя о неполноте
Для дальнейшего изучения Е-предикатов и Е-функцией на П
важным является возможность «кодирования» пар, троек,..., всех
конечных последовательностей натуральных чисел натуральными
числами с помощью S-функций на П. Начнем с «кодирования» пар.
@,0)
Рис. 1.4-1
C) Функция с: w2 -? и), определенная по формуле
взаимно однозначно отображает и? наш (см. рис. 1.4.1).
Формальное доказательство оставляем читателю в качестве уп-
упражнения. Заметим только лишь, что с соответствует «пере-
«пересчету» (т. е. нумерации) всех упорядоченных пар натуральных
чисел в соответствии с рис. 1.4.1. Именно: номером (с(х,у))
пары (х,у) является сумма числа пар (и, v) таких, что и + v <
х + у; это число равно величине (х + у)(х + у + 1)/2 плюс пер-
первой координате х.
Следствие 1.4.1. Существуют функции I: и> —? и> и г: и>
такие, что для любых х, у € и>
1(с(х, у)) = х, г(с(х, у)) = у, сA(х),г(х)) = х.
Замечание 1.4.1. Для любых х, у € ш
с(х,у) ^х,у,
с(х,у) = х лишь в случае х = у = 0,
с(х, у) = у лишь в случаях х = 0 и (у = 0 или у = 1),
Z(x) ^ х,
1(х) = х лишь в случае х = 0,
г(х) ^ х,
г(х) = х лишь в случаях х = 0 или х — \.
D) Функции с,1 иг являются S- функциями на П.
Действительно, легко проверить, что если
Ф(х,у,г) ^ Зи(и + и = (х + у)(х + s(y)) A z = и + х),
то Гс ^ Фп[х,у,г], Г, ^ фуФ)а[г,х], Гг ^ (ЗхФ)"[г,у].
Расширим сигнатуру <т0 до сигнатуры а\ *=; а0 U (с2,/1,г1) и
алгебраическую систему П обогатим до fli так, что сР1 = с, /Ol = I
и rQl = г. В соответствии с предложением 1.2.3 Е-предикаты
(S-функции) на Пх будут Е-предикатами (Е-функциями) на П. Рас-
Рассмотрим До-формулу В(х,у,z) сигнатуры о\:
3w ^ l(x)(s(s(c(z,y))r(x))w = 1(х))
Л Vu < z(u ф z -Л ~w ^ l(x)(s(s(c(z,y))r(x))w = Z(x)))
Л Vu < l(x)Vw ^ l(x)((s(s(c(u,y))r(x))w ф 1{х)) Л г = 0)
и соответствующий ей предикат В^1 [х, у, z] на Qi.
E) Предикат В * [х, у, z] является графиком функции р: и>2 —> ш
такой, что для любых к € и> и По,... ,п* Go» существует
т € и> токое, что уЗ(т,г) = п^ 5ля всех г ^ к.
Проверим сначала, что Bai[x,y,z] является графиком. Пусть
п, т € и). Возможны два случая.
Случай 1: существует к € и> такое, что s(s(c(k,m))r(n)) =
(с(к,т) + 1)г(п) + 1 делит 1(п), т. е. существует w такой, что
s(s(c(k,m))r(n))w = 1(п).
1.4. S-предикаты и Е-функции на ft
31
Выбираем наименьшее ко такое, что s(s(c(ko,m))r(n)) делит
1(п). Заметим, что в этом случае ко =$ /(«)¦ Действительно,
если 1(п) = О или г(га) = 0, то ко = 0. Если г(п) ф О, то
к0
s(c(ko,m)) ^ s(c(fco,m))r(ra)
Следовательно,
fii 1= 3u < l(nKw ^ /(ra)(s(s(c(u,m))r(n))io = /(n)),
и если (га, m, fc) € Bn* [ж, у, г], то к = ко-
Случай 2: не существует к со свойством, указанным в случае 1.
Очевидно, имеем лишь (n,m,0) G BQl[x,y,z). Таким образом,
Ва* [х, у, z] — график двуместной функции, которую обозначим
через /3.
Докажем вторую часть утверждения E). Пусть no, rai,... , га* €
ы, с i=i max\с(щ,{) + 1 | i ^ к} и а = с!. Покажем, что при
0 ^ j < I ^ с числа ja + 1 и la + 1 взаимно просты. Пред-
Предположим противное: пусть простое число р делит их разность
(la + 1) — (ja + 1) = (/ - j)a. Тогда р делит / — j или а.
Но так как I — j ^ с, получаем, что р делит а = с!. Так что
в любом случае р делит а. Но тогда а = ра' для некоторого
а' € ш и ja + 1 = (ja')p + 1 и это число не может делиться на
р. Приходим к противоречию.
Полагаем
Покажем, что m таково, что /3(m, i) = га< для всех i ^ fc.
Пусть / ^ fc. Тогда число s(s(c(raj,i))a) = ((с(га*,г) + 1)а + 1)
делит b(a = r(m), Ь = 1(т)). Предположим, что для некоторого
и ^. щ число s(s(c(u,i))a) также делит Ь. Так как и ^ щ,
имеем c(u,i) ^ с(щ,г) < с. Ввиду взаимной простоты чисел
вида ja + 1 и la + 1 для j ф I < с получаем, что с(и, г) + 1
должно совпадать с некоторым c(rij, j) + 1 для j ^ к. Но если
c(u,i) + 1 = с(га^, j) + 1, то c(u,i) = c(nj,j), i = j и u = щ.
Таким образом, щ является наименьшим из таких z (^ Ь =
Z(m)), что s(s(c(z,i))r(m)) делит i(m). Поэтому /3(т, г) = щ.
32
1. S-определимость и теорема Гёделя о неполноте
Функцию /3, обычно применяемую для кодирования конечных
последовательностей натуральных чисел, используем лишь один раз
для введения более удобного кодирования.
F) Следующая двуместная функция 1„:и2 -4 и является ^-фун-
^-функцией на fii (нап):
L(n,k + l) = l(lt(n,k)), n,keu.
Установим, что I* есть S-функция на SVlt где С1[ — обогащение
fli до сигнатуры а\ ±=; a U ф2) и /3n'i = р. Рассмотрим следу-
следующую S-формулу А(а;, у, z) (сигнатуры aj):
Зи(/3(и,0) = xAVv<. y(/3(u,s(v)) = l(p(u,v)) Az = /3(u,y))).
Нетрудно проверить, что Г/, = Ani [x, у, z].
Замечание 1.4.2. Справедливы следующие утверждения:
— если l*(n,i) > 0, то l*(n,i + 1) < /»(ra,i), и l*(n,i) = 0 при
—/,(/,(m,i),j) =lt,(m,i
Определим функцию Г: и2 -> и по формуле Г(х, у) ^ гA*(х, у)).
Поскольку Гг = (ЗиА(х, у, и) A z = r(u))ni [x,y, z], справедливо
Следствие 1.4.2. Функция Г является Т,-функцией на п[ (на
«О-
Пусть <Т2 ^ <?1 U (Г2) и Я2 — обогащение Я'х до сигнатуры о^
такое, что Г°2 = Г. Покажем, что функция Г обладает тем же
важнейшим свойством, что и функция /3.
G)Для любых no,... ,njfe € ш существует т ? и> такое, что
T(m,i) — щ для всех i ^ к.
Действительно, Легко проверить, что Г(т, i) = щ для всех i ^
к, если
т^=;с(с(. ..c(c(O,njfe),rajfe_i),.... ,rai),n0).
1.4. Е-предикаты и S-функции на
33
Для Г справедливо более сильное утверждение.
(8) Функция Г обладает следующими свойствами:
— для любой функции /: ш -»• и такой, что /(г) — 0 для
всех i > kf, и для подходящего kf G u> существует т ? и
такое, что Г(т,г) = /(г) для всех г ? ш;
— если то фтп,\, то найдется ieu такое, что Г(то,г) ф
r(mi,t).
Первое свойство вытекут из того факта, что если m выбрано
для последовательности по ^ /@),... ,пк} *=; f(kf) так же,
как в доказательстве G), то Г(т,г) = /(г) для всех г ? и.
Второе свойство легко вытекает из следующего общего свойства,
проверяемого индукцией по к: для любых т, к ? и>, к ф 0, имеет
место соотношение
Замечание 1.4.3. Для любых т ? и и к ^ т верно равенство
Т(т, к) = 0. Следовательно, соответствие т н->- XiT(m,i) (= функ-
функция /: и> —>• и такая, что /(г) = Г(т, г) для всех г € ш), где т € ш,
является взаимно однозначным соответствием между натуральными
числами и одноместными функциями / на и, «стремящимися к ну-
нулю на бесконечности» (т. е. такими, что существует kf со свойством
/(г) = 0 для г > kf).
С функцией Г можно связать также некоторую эффективную
нумерацию семейства всех конечных подмножеств и: для любого
п ? и полагаем Fn <=> {к \ Г(п, к) = 1}. Тогда Fn — конечное
подмножеством, к € Fn ^ к ^ п. Если F Си конечно и \F- и —>•
ш — характеристическая функция F, т. е. XF(n) = 1 при п ? F
и xf(") = 0 при п $ F, то согласно замечанию 1.4.3 существует
m ? ш такое, что Г(т, г) = xf(J) для всех i ? ш. Следовательно,
F = Fm.
Укажем еще ряд свойств класса частичных S-функций, попутно
определяя необходимые понятия.
• Пусть Я: D -+ ш, D С ып+1. Функция h: S -4 ш, 8 С
ип, получена из Н минимизацией (Л(а?) = цуН{х,у)), если
34 1. Е-определимость и теорема Гёделя о неполноте
(г'о,... , in-i) € ^ тогда и только тогда, когда существует г ? и
такое, что для всех j < i
(i0,.-. ,»n-i,i> € D, H(i0,... ,in_i,i)^0,
(го,... ,in_i,i) € Д, Я(г0,... ,in-i,i) =0,
причем Л(го, • • • ,in-i) = i для этого г.
(9) Если Н: D -»¦ ш, Д С шп+1, — ¦чостичмая И-функция, о
h: 8 —Ь ш, 8 С. ип, получена из Н минимизацией, mo h также
является частичной Е-функцией.
Если Гя = *n[z0> •. • ,zn_i,a;n,xn+i] для Е-формулы Ф, то
0)... ,a;n_1,a;n,O)AVy< xn(y = хп
Пусть Л: 80 -> и, So С ип и Я: D -> и, D С шп+2. Функ-
Функция д: 6 —> и, 8 С шп+1, получена из h и Я примитивной
рекурсией, если
— (го,... ,г„_1,0) ? 8 тогда и только тогда, когда (го,--- »
in-i) G ^о> причем в этом случае
з(г0)... ,г„_1,0) =Л(г0)... ,tn_i);
— для t € ш соотношение (г'о, ¦.. ,»n-i,* + 1) ? 6 имеет место
тогда и только тогда, когда
(го,--- ,*n-ii*> ^ «5,
(го,-.. ,in_i,3(io,.-- ,in,i)).* + l) ^ D,
причем в этом случае
= Я(г0,... ,in-i,9(io,••¦ ,г'п-i,»))* + !)•
A0) Е'сли Л: (Jo ->¦ w, (Jo С шп uH:D^u,DC un+2, — ¦чостич-
нме Е-</>умкцгш, о 5: «J -^ w, (J С шп+1, получена из h и Н
примитивной рекурсией, то д — частичная ^-функция.
Пусть для подходящих Е-формул Фо и Фх
Гл = Ф01[а;о,... ,xn-i,y], Тн = Ф?[ж0,... ,xn_i,y,z,u].
1.4. Е-предикаты и Е-функции на
35
36
1. Е-определимость и теорема Гёделя о неполноте
Определим Е-формулу Ф сигнатуры
0,... ,хп-!,хп,хп+1) <=;
Л (у = xnV$i(x0,... ,ж„_1,
Ахп+1 =Г(«,ж„)).
Нетрудно проверить, что Г, = ФПг[х0,. -. ,xn_i,xn,xn+i].
Замечание 1.4.4. Легко убедиться, что если h и Н — Е-функции,
то д — Е-функция.
Замечание 1.4.5. Из A), B), (9), A0) очевидно, что любая
частично рекурсивная функция является частичной Е- функци-
функцией. Справедливо также обратное утверждение: любая частичная
И-функция является частично рекурсивной.
• Пусть Q С шк — fc-местный предикат. Характеристической
функцией XQ'- w* —>¦ ш предиката Q называется функция
f
\
о, iiQ
для любого г = (io, ¦ ¦ ¦ ,ik-i) € uk.
A1) Если Q — А-предикат на п, то его характеристическая функ-
функция XQ является И-функцией на П.
Пусть Q = ф?[жо,... ,xk-i\, uk\Q = Ф?[а;01... ,xk-i] для
подходящих S-формул Фо и Ф1. Если
Ф^(Фо(а;о,... ,xk-i)Axk = з@)УФ1(ж0,- • • ,xk-i)/\xk =0)
тоГх<г =Фп[а;0)... ,xk-!,xk].
• Пусть Q Ccjk — fc-местный предикат. Частичной характери-
характеристической функцией предиката Q называется функция Xq'-Q ~*
и такая, что Xq W — 1 Для г G Q-
Tx-Q = (Ф(ж0,... ,xk-i)hxk =s{0))n[x0,... ,a;fc_i,xjk].
Далее понадобится функция ch: и3 -> и, обладающая следу-
следующим свойством: для любых п,т ? и) если п' = ch(n,m,i), то
Г(п', j) = r(n,j) для всех j ф г-и Г(п',г) = т. Нетрудно прове-
проверить, что эта функция удовлетворяет следующим соотношениям (и
ими характеризуется): для всех n,m,i € ш
ch(ra,m,0) =c(l(n),m), ch(ra,m,z + 1) = c(ch(l(n),m,i),r(n)).
Это определение напоминает определение примитивной рекурсии,
однако таковым не является, так как во втором соотношении встре-
встречается не ch(ra,m, i), ach(/(ra),m, г). Тем не менее, рассуждая ана-
аналогично, как в случае примитивной рекурсии, можно установить
следующее предложение.
A2) Функция ch: ш3 —>• и) является ^-функцией.
Пусть
с(хо,х2)[(г{у) = 0 -+
A1') Если Q С шк — Л-предикат на ft, то его частичная харак-
характеристическая функция xh есть частичная Л-функция.
r(l(y)))))]Ax3 = T(u,c(x0,x2)).
Тогда Гсь = Ф [хо, xi, х2, хз] ¦
Прежде чем сформулировать и доказать главное утверждение
настоящего параграфа, отметим следующий достаточно очевидный
факт.
A3) Алгебраическая система ft является ограниченной (в смысле
определения из § 1.1).
Обозначим через а* расширение сигнатуры ось полученное доба-
добавлением символов для всех S-функций на ft и константных символов
для всех элементов и/, а через ft* — соответствующее обогащение ft.
Из рассуждений, проведенных в § 1.2, 1.3 (см. предложение 1.3.4),
вытекает
Следствие 1.4.3. Справедливы следующие утверждения:
1.4. Е-предикаты и S-функции на
37
38
1. Х-определимость и теорема Гёделя о неполноте
(a) ft* — ограниченная алгебраическая система сигнатуры а*,
(b) предикат Q С шк (функции /: ик -4 и) является Л-предика-
том (Е-функцией) на п* тогда и только тогда, когда Q (/)
есть Т1-предикат (Е-функция) на п.
Теорема 1.4.1 [Ганди]. Пусть Ф(х,Р+) — ^.-формула сигна-
сигнатуры a* U (Р1), в которую предикатный символ Р входит пози-
позитивно. Тогда наименьшая неподвижная точка Г* С и оператора
Гф^п является ? -подмножеством на Cl*.
Доказательство. Рассмотрим последовательность подмножеств
множества иг.
го^0, Гп+^г^Гп), пей.
Имеем Го С Fi С ... С Г„ С ... С Г*. Согласно предложе-
предложению 1.3.3 все Гп являются S-подмножествами множествам. Поэто-
Поэтому по предложению 1.3.4
г„+1 = г^ф(.)[х](гп), пеш.
Определим последовательность конечных подмножеств множества
ш следующим образом:
До-0,
Легко проверить, что
ДОСД1С...СДПСДП+1С... ,
Дп с г„, п е w.
Докажем, что предикат Д ±=; {(га,т) | т € Д„, п,т € из)
является Е-предикатом. Для этого рассмотрим До-формулу сигна-
сигнатуры а*:
Ъ{хо,хих2) ^ (Зи < a;o*(u)(a;
(считая, что переменные a;i, x-i не встречаются в
которая получается из Д0-формулы 3u ^ xo*^u^(a;i,P+) заме-
заменой каждой атомарной подформулы видаP(t) формулой Т(х2, t) =
s@). Индукцией по построению Ф проверяется справедливость сле-
следующего утверждения:
п* 1= Ф(А:,т,га) <* (№,Fn) \=3u^ кф(и)(т,Р+), к,т,п € и.
Пусть Q ^ Фп*[а;о,а;1,Х2] С и>3. Поскольку Q — Д-предикат,
его характеристическая функция xq есть Д-функция.
Определим трехместную функцию Н примитивной рекурсией:
Н(п,к,0) = с@,хо(п,0,п)),
Н(п,к,1+ 1) = ch(H(n,k,l),XQ(k,l + 1,п),к + 1).
Положим
Дп,*,/ ^ {т | m < /, (ft*,Fn) N 3u < йФ^(т,Р+)}.
Установим равенство Ffl(n,*,j) = Дп,*,'- Из определения Я и свойств
функции ch индукцией по / получаем, что
Из этих соотношений и свойства формулы Ф вытекает требуемое
равенство FW(n,fc,o = Дп,м-
Пусть функция Н':ш2 -»• и определена так: Н'(п,к) ^ Н(п,
к, к). Очевидно, что Я' — S-функция. Определим функцию Н*:и> -4
и> примитивной рекурсией:
Я*@)=0,
Н*(п + 1) = Н'(Н*(п),п + 1).
Установим, что ^я*(п) = Дп Для всех п € w. Имеем До — 0 =
Fo = FH,(p). Пусть Дп = FH-(n). Тогда
Д„+1 Ц
= Дн*
н*(п),п+1,п+1 = -
Так как Н* — Е-функция, из равенства Д = (Г(Н*(х),у) =
s@))n* [х, у] следует, что Д является S-предикатом (Д-предикатом).
Заметим, что Д„ = {т | (п,тп) € Д}, п€циД'^ (J Дп
является S-множеством, так как
Д* = (Зх(Т(Н*(х),у) = s@))f'[y].
1.4. Е-предикаты и Е-функции на О
39
40
1. Е-определимость и теорема Гёделя о неполноте
Воспользуемся теперь принципом Е-параметризации (см. § 1.3) для
доказательства вложения Гф[х](Д*) С Д*. Поскольку Д* — Е-мно-
жество, по предложению 1.3.4
ГФ[х](А*) = ГЭиф(-)[х](А*)-
Пусть fc e Г^ф,.,[я,(Дф). Тогда (п*,А*) 1= Э«фМ(*) и существу-
существует интерпретация *у: {х, и}. —? и такая, что *у(х) = к и (Я*, Д*) И
ф(")[7]. По принципу S-параметризации существует feo G ш такое,
(,4о>[7]
Пусть fei ^ feo,fc,7(w)- Тогда из Д*о С Akl следует
Поэтому А; € Д*,+1 СД*,ц свойство
установлено.
Как отмечено в § 1.3, если Гфгх](Д*) С Д*, то для наименьшей
неподвижной точки Г* имеем Г» С Д*. Но тогда из соотношений
Д* = U Дп С U Г„ = Г, следует, что Д* = Г» и Г, является
S-подмножеством ш. D
Теорема Ганди сформулирована и доказана выше для случая
одноместных предикатов. Однако она справедлива и в общем виде.
Теорема 1.4.2 [общая форма теоремы Ганди]. Пусть Ф(Р+) —
Л-формула сигнатуры a*\J(Pk), в которую предикатный символ
Р входит лишь положительно, и пусть х = Хо,... ,xk-i —
список попарно различных переменных такой, nmoFV^) С {х}.
Тогда наименьшая неподвижная тонка Г» С шк оператора Г^т
является И-предикатом на п*.
Доказательство может быть получено сведением к случаю А; =
1 с помощью следующих без труда проверяемых фактов.
Пусть к > 1. Определим S-функции ск: шк -> ш
и S-функции pktii w —>• u,i < k,
Pk,o(x) ^l*(^,k),
Pk,i(x) - НЦх,k-i- 1)), i > 0.
Тогда для любых х,х0,... , х*_х е ш (к > 1)
с*(р*,о(х),... ,pk,k-i(x)) = ж,
(io, ••• ,ik-i) € Q}.
A4) Пусть k>l,QCuk,
c(Q) ±=> {ck(i0,.
Тогда Q является И-предикатом тогда и только тогда, когда
c(Q) является ^-подмножеством множества и/.
Пусть х = хо,... ,х*-1 — список различных переменных та-
кой, что FV{*) С {х} для Ф, и Фс(х) ^ i*)*^ J^y
Ясно, что если Ф — S-формула сигнатуры <т*, то Фс также являет-
является S-формулой сигнатуры а*.
A5)Пусть Ф(Р+) их = хо,... ,хк-\ такие же, как в теоре-
теореме Ганди. Тогда для наименьших неподвижных точек Г$ и
Tl операторов ГфГг, и Г^'м справедливо соотношение Т\ =
с(Г^), где Ф*(^+) — ^-формула сигнатуры a* U {Q1), опре-
определенная так. Ф?(д+) ^ (Фс)^(с4(уо yt_l))[yo yh_lV
i=; c(xo,xi),
ck+i(x0,-.- ,xk-i,xk) i=; c(ck(xo,--. ,xk-i),xk)
Упражнения
1.4.1. Доказать, что функции sg: lj -> ш и sg: из -4 из, опреде-
определенные соотношениями
sg(O) = O, Bg(n) = l, n>0,
sg(O) = l, sg(n) = 0, n>0,
являются S-функциями.
1.4.2. Пусть f: из -^ из та g: w -^ из — две функции, почти
всюду равные нулю, и пусть щ, «i G ш таковы, что / = Аа;Г(по, а;),
g = AxF(ni,a;). Если / ^ g (т. е. f(m) ^ g{m) для всех т € из),
то п0 < т.
1.5. Е-определимость истинности Е-формул на С1 ц
1.5. S-определимость истинности S-формул на П
Предположим, что множество V всех переменных есть
{хо,х1г...} = {xi\ i eu}.
Тогда с функцией Г можно связать нумерацию всех (полных) интер-
интерпретаций 7: V -4 ш, которые почти всюду (за исключением конечно-
конечного числа переменных) равны нулю. Именно, пусть п € из и 7т»: V -4
из — интерпретация такая, что 7п(я») ^ Г(га,г), i ? и. Если Ф —
S-формула (сигнатуры <то)> У = Уо, ¦ • • > J/*-i(G V) — список раз-
различных переменных такой, что FV($) С {у}, то fe-местный преди-
предикат
= {а =
а € ы*.
является S-предикатом по определению. Однако с Ф можно связать
также следующий одноместный (подмножество и>) предикат Тгф, не
зависящий от выбора списка у:
Тгф ^ {п | ПИ Ф[7„]}.
Предложение 1.5.1. Для любой Ао-формулы (Е-формулы) Ф
сигнатуры ао множество ТУф является Ао-подмножеством
(Е-подмножеством) и но п* (и А-подмножеством (Е-подмно-
жеством) нап).
Сначала установим следующую лемму.
Лемма 1.5.1. Для любого терма t сигнатуры <?о функция Vt'-cu -4
ш токая, что vt(n) ^ tn[7n], пбш, является Е-функцией.
Доказательство. Если t есть 0, то vt ^ в; если t есть Xi, то
vt i=i АпГ(га,г); если t = s(t0), то Vt *=; s(vto); если t = t0 + h
(t = t0- <i), то vt ^ vto + vtl(vt *=? vto ¦ vtl). П
Доказательство првдложения 1.5.1. Индукцией по построе-
построению Ф будем строить До-формулу (S-формулу) Фф(жо) сигнатуры
а* такую, что Тгф = Фф*[а;о].
Если Ф есть to =-*i (*o ^ *i). то Фф есть vto(xo) = «t,(a;o)
(
42
1. Е-определимость и теорема Гёделя о неполноте
Если для Фо и Ф1 формулы ФФо и Фф, уже определены, то
полагаем
где n € w — наименьшее число такое, что га > 0 и х„ не встречается
в Фф0. Проверка того, что предложенные формулы удовлетворяют
соответствующим заключениям, довольно проста. Для примера рас-
рассмотрим случай, когда Ф есть За;* ^ ?Фо- Тогда
Фф = Зхп < г>,(хо)(Ффо)*ь°(хо1п)<)
для подходящего пЕш. Пусть к € Фф* [хо]. Тогда
Следовательно, существует m € ш такое, что
Напомним, что имеет место равенство vt{k) = <°[7*]> а число к'
ch (fc, m, г) такое, что
По индукционному предположению соотношение
означает, что fc' € Ттф0, т. е. п N Фо[7*']-
Таким образом, для интерпретации 7* существует интерпрета-
интерпретация 7*' такая, что 7*' (j) = 7*6) Дл* J ^ * и 7*' (*) = ш < tn[7*],
п N Фо[7*']- Поэтому Я 1= 3xi ^ <Фо[7*] и к G Тгэг^Ф,, = Тгф.
Следовательно, Фф*[а;о] С Тгф.
Проверим обратное включение. Пусть А; € Тгэж^Фо, т.е. (IN
3xi ^ *Фо[7*]- По определению истинности существует интерпрета-
1.5. Е-определимость истинности S-формул на
43
44
1. Е-определимость и теорема Гёделя о неполноте
ция 7': V -»• и такая, что 7'0') = 7*0) Д-л* 3 ф %, т ^ У (г) <
tnbk] (= vt(k)) и п 1= Фо[7']- Так как 7' отличается от 7* лишь для
одного значения аргумента, существует Ife'eu такое, что 7' = 7*' •
Более того, к' = ch(fc,m,г). По индукционному предположению
имеем
но тогда
* 1=
где к € Фф*[а;о]. Таким образом,
где
Если Ф есть До-формула (S-формула) сигнатуры ао, то легко
проверить, что Фф есть Д0-формула (S-формула) сигнатуры
ао U (vj | ? — терм сигнатуры G0) U (Г2, ch3) С а*. ?
Ниже будет установлено значительно более сильное утвержде-
утверждение, означающее «равномерность» построения Фф по Ф. Предва-
Предварительно следует определить гёделеву нумерацию всех термов и
RQ-формул сигнатуры oq. Если Т(сто) — множество всех термов
сигнатуры ао и RQF(ito) — множество всех RQ-формул сигнату-
сигнатуры ао, то гёделева нумерация G — это отображение G: Т(<т0) U
-> w, удовлетворяющее следующим соотношениям:
G@) =
= c{4,c(G(to),G{h))), to,h e T(o0),
G{t0 = h) = cE,c(G(*0),G(ti))), to,h e T{a0),
G{t0 ^ h) = сСб,^^)^^))), to.ti € T(ao),
С(Ф0 Л Ф0 = cG, с(С(Ф0), С(Ф!))), Фо, Фх
С(Ф0 УФО =с(8,с(С(Ф0),С(Ф1))), Ф0,Ф1 € RQF(ao),
в(Ф0 -+ ФО = с(9,с(С(Ф0),С(Ф1))), Ф0,Ф1 € RQF(^o),
СГФ) = сA0,С(Ф)), Ф е RQF(ao),
GCXi < *Ф) = сA1,с3(г,С(*),С(Ф))),г € w,t е Г(<т0),
Ф € RQF(ct<>),
G(Vxi < *Ф) = сA2)Сз(г,С(*),С(Ф))),г G w,t € Г(а0),
Ф € RQF(ao),
) = сA3,с(г,С(Ф))), г G w, Ф € RQF(a0),
) = сA4,с(г,С(Ф))), i € ы, Ф € RQF(a0).
Основным результатом настоящего параграфа является
Теорема 1.5.1 [S-определимость истинности S-формул]. Следую-
Следующий двуместный предикат является Т,-предикатом на п:
Тте ^ {(п, к) \п, к € из, п — гёделев номер ^-формулы Ф
сигнатуры ао (Щ- е. в(Ф) =п) и ft 1= Ф[7*]}-
Доказательство. Предварительно установим ряд вспомогатель-
вспомогательных утверждений. В доказательстве этих утверждений, а также в
доказательстве основной теоремы 1.5.1, используется теорема Ганди
в общей форме (см. теорему 1.4.2).
A) Следующая функция Т:ш -* ш :
{1, существует терм t G Т(ст0)
такой, что G(t) = п,
0 в противном случае
является 'Е-функцией.
1.5. Е-определимость истинности S-формул на
45
Предполагая, что Р — двуместный предикатный символ, соот-
соответствующий графику Гу функции Т, можно выписать следую-
следующую S-формулу Фг(а;о, Si, Р+) сигнатуры ст* U (Р2), в которую
Р входит позитивно и для которой Тт является наименьшей не-
неподвижной точкой оператора 5*
Фт{хо, хх) ^[1{х0) = О Л (х0 = 1 Л xi = 1
V х0 ф 1 Л X! = 0)] V
[(l(x0) = 3 V l(x0) = 4) Л (P(l(r(x0)), 1)
Л F(r(r(*o)), 1) A *i = 1 V (F(/(r(xo)),0)
VF(r(r(*0)),0))A*i=0)]V
[5 ^ l(x0) л an = 0].
B) Следующая функция valj-: ш2
valj-(ra, k) =
0
если n,k ? cj и существует терм
t ? T(<7o) такой, что G(t) = п,
т. е. Т{п) = 1,
в противном случае
является ^-функцией.
Выпишем соответствующую S-формулу Ф(а;о, Xi, хг, Р+) сигна-
сигнатуры a* U (Р3), в которую Р входит позитивно и для которой
график Гуа1т С ш3 является наименьшей неподвижной точкой
оператора Г2[1о111Я2]:
Ф(жо,*1,*а) НТ(х0) = 0 Л х2 = 0] V
[1{х0) = 0 Л х2 = 0] V
р(*о) = 2 ЛГ(хо) = 1 Л Зх3{Р{г{х0),х1,х3)
Л а;2 = я(агз))] V
AF(r(r(xo)),xi,x4)Ax2 =a;3+x4)]V
46
1- S-определимость и теорема Гёделя о неполноте
Л За;3За;4(Р(Дг(хо))а;1,а;з)
Л P{r(r(xo)),Xl,x4) Лх2 = х3- х4)].
C) Следующая функция Fo: и -> и :
{1, если существует Ао-формула Ф
сигнатуры <То токоя, что (?(Ф) = п,
0 в npomuewoAi случае
является Я-функцией.
Выпишем S-формулу Ф (хо, xi, Р+) сигнатуры a* U (Р2), «опре-
«определяющую» Гр0:
< 4 V 13 < /(*„)) А *! = 0] V
= 5 V /(х0) = 6) А (Г(/(г(х0))) = 1
А Г(г(г(*о))) = 1 А ц = 1 V (Г(/(г(*ь))) = 0
vr(r(r(x0)))=0)Ax!=0)]V
A (P(l(r(x0)), 1) A F(r(r(*o)), 1) A *i = 1
V (F(/(r(x0)),0) V F(r(r(x0)),0)) A ^ = 0)] V
= 10AF(r(so),*i)]V
[(/(xo) = 11V l(x0) = 12) A ((T(r(/(r(x0)))) = 0)
VT(r(l(r(x0)))) = 1 AF(r(r(*0)),*i)].
D) Следующая функция F^: w -4 ш :
A, если существует Т,-формула Ф сигмотуры сто
токоя, что <3(Ф) = га,
0 в противном случае
является ^-функцией.
Следующая Е-формула Ф(хо,х\, Р+) сигнатуры a*U(F2) «опре-
«определяет»
1.5. Е-определимость истинности Е-формул на
47
48
1. Е-определимость и теорема Гёделя о неполноте
Ф(*о, *0 ЧСЫ < 4 V 14 ^ 1{х0)) Л xi = 0]
V [F0(x0) = 1 Л *i = 1] V
[(/(x0)=7V/(xo) = 8)
Л (РA(г(х0)), 1) Л Р(г(г(*о)), 1) Л *1 = 1
V (Р(/(г(хо)),0) V Р(г(г(хо)),0)) Л X! = 0)] V
Л (Г(г(/(г(х0)))) = Oxi = 0
V Г(г(/(г(х0)))) = 1 Л P(r(r(xo)),xi))] V
= 13ЛР(г(г(хо)),х0].
E) Следующая функция For: ш-+и:
{1, если существует RQ-формула Ф
сигнатуры сто токая, что п — <?(Ф)
0 в противном случае
является Т,-функцией.
Следующая S-формула Ф(жо, х\, Р+) сигнатуры <т*и(Р2) «опре-
«определяет» Грог:
i) ^[(К*о) < 4 V 15 < 1{х0)) Лх! = 0]
V[Fo(a;o) = lAa;1 = 1] V
Л (РA(Г(Х„)), 1) Л Р(г(г(Хо)), 1) Л X! = 1)
V (Р(/(г(хо)),О) V Р(г(г(хо),О)) Л X! = 0)] V
р(х0) = 10AP(r(x0),Xl)] V [(/(хо) = И V
1(х0) = 12) Л (Г(г(/(г(х0)))) = 0 Л xi = 0
V Г(гA(г(х0)))) = 1 Л Р(г(г(хо)),х0)] V
= lZVl(x0) = 14)ЛР(г(г(хо)),Х!)].
F) Следующая функция Тг0: из2 ->• ш :
{1, если существует ^Q-формула Ф
такая, что п = в(Ф) и П И Ф[7*],
0 в противном случае
является Е-функцией.
Следующая S-формула Ф(х0)Х1,х2,Р+) сигнатуры a* U (Р3)
«определяет» Гтг0:
Ф(а;0, xi, x2) i=;
= 0 Л х2 = 0] V Fo(a;o) = 1 Л
= 5A(valT(/(r(xo))>x1)
= valr(r(r(xo)),ari) Л а;2 = 1 V valr(i(r(x0)),
) Л х2 = 0)] V
^ valr(r(r(a;o)),a;i) Лх2 = 1
V"(valr(i(r(xo)),xi)
< valrCrWxo))^!)) Л а;2 = 0)] V
[/(х0) = 7Л(Р(/(г(хо)),х1,1)
*P(r(r(xo)),xltl)bx2 = 1 V (P(/(r(xo)),Xi,O)
VP(r(r(a;o),a;1,0))Aa;2=0)]V
р(хо) = 8 Л (Р(/(г(хо)),хь 1) V P(r(r(xo)),xlt 1))
Ла;2 = lVP{l(r(xo)),x1,Q)bP{r(r{x0),x1,0)
Ах2= 0)] V
Р(хо) = 9Л((Ра(г(хо)),х1,0)
VP(r(r(x0)),xi,l))Axa = lVP(/(r(xo)),x1,l)
AP(r(r(xo)),x1,0)Axa=0)]V
р(хо) = 10 Л (Р(г(х0), хь0) Л ха = 1
VP(r(xo)>x1,l)Axa=0)]V
р(хо) = 11Л (Эх3 < valT(r(/(x0)),
а;1)Р(г(г(а;о)),сЬ(а;1,а;з)/(/(г(а;о))))I) Ла;2 = 1
Wx8 < valT(r(/(xo))>Xi)P(r(r(xo))lch(xi,x8,
/(/(r(xo)))),0)Axa=0)]V
р(хо) = 12 Л (Ухз ^ valT(r(/(xo)),Xi)P(r(r(xo)),
ch(x1,x8>/a(r(xo))))>l)Axa = l
V3x3 < valT(r(/(xo)),xi)P(r(r(x0)),
ch(xi,x3l /(/(r(xo)))),0) Л х2 = 0)]}.
1.5. Е-определимость истинности Е-формул на
49
50
1. Е-определимость и теорема Гёделя о неполноте
Приступим к доказательству теоремы 1.5.1. Для этого выпишем
S-формулу Фе (х0 , Xi ,Р+) сигнатуры a* U (Р2) такую, что предикат
Trs будет наименьшей неподвижной точкой оператора Г^,^^:
= 1Л {[F0(x0) = 1 ATro^^i) = 1] V
[l(xo) = 7 Л P(l(r(x0)), хх) Л P(r(r(x0)), *i)] V
[/(*„) = 8 Л {P{l{r(xo)),xi) VP(r(r(*0)),*i))] V
Р(*о) = И Л 3*8 < valr(r(/(r(*0))),*i)
P(r(r(*0)), <*(*!, *3,l(l(r(*0))))]V
valr(r(/(r(*0))),*i)
= 13ЛЭх8Р(г(г(хо)),
Для любого Q С
Докажем, что для любого Q С
Действительно, пусть Q С 1VS и (П*,<9) И *s(n,fc). Тогда П* И
Fs(n) = 1, т. е. п — гёделев номер некоторой S-формулы Ф. Далее,
должен быть истинен один из дизъюнктивных членов
1(п) = 7 л A(г(п)), к) е Q л <r(r(n)), *> e Q,
/(п) = 8 Л ((/(г(п)), *> € Q V (r(r(n)), *> € Q),
1(п) = 11Л Зхз < valT(r(r(/(n))),i)«r(r(n)),
(n) = 12ЛУхз < valT(r(r(/(n))),fc)((r(r(n)),
/(n) = 13A3x8«r(r(n))>ch(*,*s,/(/(r(n))))> e Q).
Рассмотрим возможные случаи.
Случай Fo(n) — 1. Тогда Ф есть До-формула. Следовательно,
Тго(п, к) = 1 влечет П 1= Ф[7*] и <n, fc) G Trs.
Случай 1(п) = 7. Тогда Ф имеет вид (Фо Л Ф1) и С(Ф0) =
/(г(п)), С(Ф1) = г(г(п)). Следовательно, A{г{п)),к) € Q С Trs
влечет П 1= Фо[7*]> a (r(r(n)),fc) ?Q С Тге влечет U 1= Фх^*]-
Поэтому П 1= (Фо Л ФОЫ и (n, fc) G Trs.
Случай 1(п) — 8 рассматривается аналогично предыдущему.
Случай 1(п) = 11. Тогда Ф имеет вид Зх{ < <Фо, где i =
Щг(п))), G{t) = r(l(r(n))), С(Ф0) = r(r(n)). Поэтому
Если m < f°[7*] такое, что (r(r(n)),k') G <Э С Trs для к' ^
ch(fc,m,i), то П t= Фо[7*'] и П t= Ф[7*], (n,fc) € Trs.
Остальные случаи рассматриваются аналогично.
Из доказанного следует, что Г2*гХо xi(Trs) Q Trs- Тем самым
Г» С Trs, где Г» — наименьшая неподвижная точка оператора
e[*o,ii]
Установим теперь, что TVs Я Г*. Предположим, что это не так,
т. е. Txs\r* ф 0. Пусть щ ? и> — наименьшее число, для кото-
которого существует к ? и/ такое, что (по, к) € ТгзДГ», и пусть ко —
наименьшее из таких к. Так как (по, ко) G TVs, имеем Fs(«o) = 1-
Если Fo(rao) = 1, то
(no,
G Тге =J. П N Ф[т*0] [ где С(Ф) = По]
=J> Тго(по, ко) = 1 [так как Ф — Д0-формула]
что невозможно. Итак, F0(n0) = 0. Тогда l(n0) G {7,8,11,12,13}.
Рассмотрим для примера два случая.
Случай J(no) = 7. Тогда Ф = Фо Л Ф\, где Ф — Е-формула та-
такая, что п0 = <?(Ф) и С(Ф0) = 1(г{по)) < тю, G($!) = r{r(n0)) <
"о,
(n0, ho) e TVs * П N Ф[7*0] => П N Фо[7*о1 и П 1= Фх
=> </(r(n0)),*o),<r(r(n0)),fco) e Trs
^ (/(r(«o)),feo),(r(r(no)),/:o) € Г, [по выбору п0].
Но тогда существует s ?ш такое, что
<J(r(no)), feo), <r(r(no)), feo) € Г, С Г, .
1.5. П-определимость истинности Е-формул на fi
51
Поэтому (по, ко) € Fs+i = Гф* г ,(Г8) С Г», что невозможно.
Случай 1(п0) = 12. Тогда Ф = Vz; s% «Фо, где Ф — Е-фор-
мула такая, что G(<&) = п0. Заметим, что г = l(l(r{n0))), G(t) =
r(l(r(n0))), G($o) = r(r(n0)) < n0. Тогда
=* Vm ^ tn[7*o](Mr(n0)),ch(*o,m,i)) 6 Trs)
=> Vm ^ io[7k0](('-('-K)),ch(^,m,i)) G Г.)
[по выбору no].
Пусть s ? ш такое, что
(г(г(по)),сЬ(*ь,0,1)>, (r(r(no)),ch(feo, l,t)>,.. •
(r(r(no)),ch(ko,tQ[lko],i)) 6Г.СГ,.
Но тогда ввиду выбора s, указанных свойств и вида формулы Ф
(по,*,,) 6 Га+1 = rg;[eo>Il](r.) С Г».
Приходим к противоречию. Случай 1(по) = 12 невозможен.
Случаи 1(по) = 8,11,13. Так же, как выше, устанавливается,
что эти случаи невозможны.
Ввиду полученного противоречия можно заключить, что Тх? G
Г» и Trs = Г». ?
Теорема 1.5.1 имеет многочисленные следствия, некоторые из
них будут указаны в § 1.6; здесь же мы ограничимся следующим
утверждением.
Следствие 1.5.1. Существует Е-подмножество R С ш, не явля
ющееся ^.-подмножеством.
Доказательство. Пусть $s(xo,xi) — Е-формула такая, что
ТтЕ = $g[io,ari], и пусть Ф(аг0) ^ (*s)cA0,a!0) — Е-формула
и R ±=; Фп* [хо] — Е-подмножество ш. Предположим, что R —
Д-множество, т. е. u\R также является Е-множеством, и u\R =
Фо*[а:р] для подходящей Е-формулы Фо (сигнатуры его). Пусть п0 *=;
G(^o) — гёделев номер Фо и щ *=; с@, по). Попробуем выяснить,
принадлежит ли пара (по, п\) множеству
52
1. Е-определимость и теорема Гёделя о неполноте
Если {по,пх) е Trs, то П t Фо[7гц], так как п0 = <?(Ф0),
7„,(х0) = Г(пь0) = г(щ) = щ. Следовательно, п0 е У$[х0] =
u\R, no i R = Ф°>о], П* N -Ф(по), П И Фг(по,с@,по)))
П t= "'ФеСпо,"!), (no,ni) ^ Trs; приходим к противоречию.
Если (no.ni) i TrS) то П f= ^s(n0)ni), П* N= "Ф(п0), п0 0
Д, П t= Фо(по), О t= Фо[7ш], (no,ni) 6 Trs; опять приходим к
противоречию.
Итак, Д является Е-множеством, но не Д-множеством. П
В заключение параграфа отметим, что До-формулы и Е-фор-
Е-формулы являются начальными классами иерархии формул, опреде-
определенной так:
^0-формулы — это в точности ^.q-формулы
Пусть класс Еп-формул определен. Определим Дп+1 -формулы
и Еп+1-формулы.
• Дп+1-формулы
— любая Е„-формула является Дп+1- формулой;
-—если Ф и Ф — Ап+1-формулы, то ""Ф, (Ф V Ф), (Ф Л Ф),
(Ф -> Ф) суть Ап+1-формулы;
— если х — переменная, t — терм и Ф — Дп+1 -формула, то
Зх ^ 1Ф, Уж ^ № суть An+i-формулы.
• Ъп+1-формулы
— любая Ап+1-формула является En+i-формулой;
— если Ф и Ф — Ип+1-формулы, то (Ф V Ф), (Ф Л Ф) суть
En+i- формулы;
— если х — переменная, t — терм и Ф — En+i -формула, то
Зх ^ *Ф, Vi ^ *Ф, ЗжФ суть Ъп+1-формулы.
Замечание 1.5.1. Из определений видно, что Д1-формулы — это
в точности До-формулы и Ei-формулы — это в точности Е-фор-
Е-формулы.
Замечание 1.5.2. Индукцией по построению формулы Ф нетруд-
нетрудно установить, что для любой RQ-формулы Ф (сигнатуры оо) суще-
существуют п > 0 и Е„-формула Ф такие, что Ф =q Ф.
1.5. ^-определимость истинности S-формул на SI
53
• Предикат Q С ик называется Ап-предикатом (Т,„-предика-
том) мо П, если существует Д„-формула (?п-Ф°РмУла) * та-
такая, что <2 = Фп[ж0)... ,xk-i].
Имеет место следующее обобщение основной теоремы 1.5.1.
Теорема 1.5.2 [?„-определимость истинности Е„-формул]. Для
любого п > 0 следующий двуместный предикат является Еп-
предикатом на п :
Trsn ^ {(то, к) \т,к 6ш,т — ге'делев номер Т,п-формулы Ф
сигнатуры Сто (я», е- С?(т) = Ф) и ?11= Ф[7*]}-
Доказательство аналогично доказательству теоремы о ?-оп-
ределимости истинности S-формул и проводится индукцией по п.
Заметим, что если crn+i — расширение сигнатуры Сто символами
для всех Дп+1-предикатов на П, a fin+i — соответствующее обога-
обогащение Q, то Пп+1 является ограниченной алгебраической системой
сигнатуры ст„+1, так что можно применять теорему Ганди. ?
Как и выше, получаем следствие, которое сформулируем в виде
теоремы.
Теорема 1.5.3 [об иерархии]. Для любого п 6 и существует
?n+i -подмножество R С ш, не являющееся Ап-множеством.
Важным следствием теоремы об иерархии является
Теорема 1.5.4 [теорема Тарского о неопределимости истинности
в П]. Следующий двуместный предикат не является сго-формуль-
ным на П:
Tr i=f {{т, к) \т,к ? и, т — гёделев номер RQ-формулы Ф
сигнатуры ст0 (m. e. G($) = т), п t= Ф[7*]}-
Доказательство. Допустим, что утверждение неверно, и пусть
;1) — RQ-формула сигнатуры сто такая, чтоТг = Фп[ж0,а;1]-
Можно считать, что Ф есть Еп-формула для подходящего п > 0.
Если R С и — Sn+2-подмножество, не являющееся Дп+1-множес-
твом, Ф(жо) — ?п+2-формула, определяющая R (R = Фп[жо]),
ко *=: С(Ф), то Еп-формула Ф(Ло,с(О,Жо)) также определяет R в
П. Полученное противоречие доказывает теорему. ?
54
1. Е-определимость и теорема Гёделя о неполноте
Упражнения
1.5.1. Доказать, что функция Ftp: и? -* и,
1, если п — гёделев номер RQ-формулы Ф
«XieFV(*),
0 в противном случае
является S-функцией.
1.5.2. Доказать, что функция Sen: ш -у и,
1, если п — гёделев номер некоторого
Sen(n) = i RQ-предложения сигнатуры сто,
I 0 в противном случае
является Е-функцией.
1.5.3. Доказать, что функция Sub: w3 -> из такая, что если п —
гёделев номер некоторой формулы Ф (терма t), m — гёделев но-
номер некоторого терма to. то Sub(n, m, i) — гёделев номер формулы
($)to (теРма (*)*о) и Sub(n, m, i) = 0 в противном случае, является
S-функцией.
1.5.4. Доказать, что функция F^n: и -> и (п > 0),
1, если существует ?„-формула Ф сигнатуры сто
(к) = i такая, что к = С?(Ф),
I 0 в противном случае
является Е-функцией.
1.6. Е-предикаты и S-функции
55
1.6. Универсальные Е-предикаты
и универсальные частичные Е-функции
Для любых (к + 1)-местного Е-предиката Q С шк+1 {к > 0) и
п Е и> следующий fc-местный предикат является Е-предикатом:
Qn^ {(пь... ,пк) | (пь... ,пк) ешк,(п,п1,... ,пк) е<3}-
Действительно, если Q = Фп[х0,... ,ц]иФ^ (Ф)*°, то
•дя = ««>!,...,**].
• (fc + 1)-Местный Е-предикат Q С w*+1 называется универсаль-
универсальным для к-местных Т,-предикатов, если семейство {Qn | n 6
ш} состоит из всех fc-местных Е-предикатов.
Для (к + 1)-местного предиката Q С w*+1 через 8q обозначим
множество
{(щ,... ,п*) Кпх,... ,n*) € ики существует new такой, что
( )Q}
Предложение 1.6.1. Пусть к > 0, Фе — И-формула такая,
что
(А; + 1)-местный И-предикат Uk+1 <=; ф?* [хо,Хх,... ,хк]
является универсальным.
Доказательство. Пусть Q Cuk — S-предикат и Ф — Е-фор-
мула сигнатуры его такая, что Q = Фп[жо> - • • ,xk-i]- Обозначим
через по ^ С(Ф) гёделев номер формулы Ф. Заметим, что для
любых щ,..., пк ? и если т ±=; ck+i@,nk,nk-.i,... ,ni), то
7n>(a:i) = ni+i для i < к и 7m(xi) = 0 для i ^ к. Имеем
(по,тп) е Trs <» П t= Фе(по,тп)
^П^Ф^По.П!,... ,1»*)
«¦ П 1= Ф[7«]
-^(ni,... ,nfc)
56
1. Е-определимость и теорема Гёделя о неполноте
т.е. Q =
?
Для (к + 1)-местной частичной Е-функции F: D -> ш (D С
шк+1, к > 0) и любого п следующая Jfc-местная частичная функция
Fn: ?)n -» w является частичной Е-функцией:
^п(п,-.. ,ife) = F(n,i1,... ,ik), (iu... ,ik)eDn.
• (fe + 1)-Местная частичная S-функция F: D —> u>, D С w*+1,
называется универсальной для к-местных частичных Т,-фун-
кций, если семейство {Fn \ n 6 w} состоит из всех А;-местных
частичных S-функций.
Прежде чем переходить к доказательству существования универ-
универсальных частичных S-функций, установим общий факт, имеющий
самостоятельный интерес.
Предложение 1.6.2 [теорема об униформизации]. Пусть к > 0 и
Q С w*+1 — И-предикат на (I. Тогда существует к-местная
частичная Т,-функция h: 8 -> ui, S С u>k, такая, что Г/, С Q,
8h = 8q = {(г'о,... ,u_i) | существует i ? ш такое,
Цо,... ,ik-i,i) e Q}-
Доказательство. Пусть ФAо,--- ,хк) — Е-формула такая,
что Q = Ф°[жо,--- ,хк]. Так как п — ограниченная алгебраи-
алгебраическая система, по принципу S-рефлексии имеем Ф =о ^^
Поэтому
Формула ф(") является До-формулой, поэтому характеристическая
функция х До-предиката (ф("^)°[жо> • • • ,хк, и] является Е-функ-
цией. Рассмотрим следующие функции:
ho(xo,... ,xk)t=;x(xo,--- ,xk-i,l(xk),r(xk)),
hi(x0, ¦.. ,arft_i) i=f fixk(sg(ho(xo, ¦ ¦ ¦ ,xk)) = 0),
Функции /io и sg(/io) получены из x>hr>Щ подстановкой, следова-
следовательно, являются S-функциями. Функция /ii получена из §g(/io)
минимизацией, поэтому является частичной Е-функцией. Функция
1.6. Е-предикаты и Е-функции
57
/i2 получена из I и hi подстановкой, следовательно, является ча-
частичной Е-функцией.
Проверим, что частичная Е-функция /i2 удовлетворяет заключе-
заключению предложения. Пусть(i0,... ,H_i) € 5ha иi ±=; /12A0,• • • .h-i
Тогда (г0>... ,i*-i) € Shl. Пусть.; ±=; /ц(г0,--- ,U-i)- По опреде-
определению /ii получаем sg(M*o>... ,ik-uj)) = 0, поэтому fto(io. ¦ • • >
)
Ло(го,-.- ,ifc-i,j) = x(*o,-.- ,
Следовательно, (t0)... ,u-i,i(j),r(j
п[ж0,.-. ,хк,и],
т.е.
но
т.е. (г'о,.-. ,ik-i,h2(io,--- ,h-i)) € <3 и Г/,2 С Q.
Пусть (io, • • • ,i*-i) G w* такова, что существует г € w такое,
что <«о,...,»*-ь<> 6 <Э- Тогда из Q = (ЭифМ)п[х0,...,**]
следует, что П И 3«ф(") (го, - - • , й-i, г) и существует j ?w такое,
что П t= Ф^)(г0)... ,H-i,i). Поэтому
(io,--- ,ik-i,c(i,j)) = 0.
Итак, функция /ii определена для (to,... ,U-i) и (iOl • • • ,ik-i) €
Отметим еще одну связь между Е-множествами и Е-функциями.
Предложение 1.6.3. Пусть R С и — непустое И-множество.
Тогда существует И-функция f: и) —> и> такая, что R = pf ±=;
{/(и) | п 6 «}.
Доказательство. Фиксируем no G R. Пусть Д= C«ф(^)п[ж0
где Ф^ — До-формула. Определим функцию /: и -> из так, что
58
1. Е-определимость и теорема Гёделя о неполноте
для любого п G ш
Легко проверить, что pf = R и Г/ = Фп[1о,аг1], где Е-формула Ф
определена так:
(аЧ)))(/()) /()^$(r(I»(/()) = п0.
D
Ф(хо,ап) - Ф
Предложение доказано.
Предложение 1.6.4. Пусть к > 0; Uk+2 — (к+2)-местный пре-
предикат, универсальный для (k+l)-местных Т,-предикатов; uk+1 —
(к+1)-местная частичная И-функция такая, чтоГ„ц-1 С Uk+2,
бцк+з — {(to,... , ift-i) I существует i € ш такое,
что (to,... ,tfe,t> 6G*+2}
(такая функция существует в силу предложения 1.6.2). Тогда
uk+1 универсальна для k-местных частичных Т,-функций.
Доказательство. Действительно, пусть h: S -> из, S С ик, —
fc-местная частичная Е-функция. Тогда ее график Г/, С изк+1 есть
(к + 1 ^-местный Е-предикат и в силу универсальности Е-предиката
jj(k+2) существует п ? из такое, что
П = ик+2 = {(ч,... ,ik,ik+i) I <Mi,... ,п,**+1> 6 Uk+2}.
Проверим, что для этого п функция h совпадает с функцией u*+1.
Так как Г„*+1 С Uk+2, имеем Гик+1 С Uk+2 = Г/,, т. е. ft —
расширение функции u?+1. Поэтому достаточно показать, что <$/, С
йць+з. Пусть (ii,... ,ik) G <5ft- Тогда
Но тем самым (i\,... , г*) G <5(/*+2, что и требовалось доказать. ?
Для (к + 1)-местной Е-функции F, где к > 0, и любого п
функция Fn: изк -> w, определенная так, что Fn(ti,... ,г*) =
F(n, ii,... , г*) для всех tj, -.. , i* 6 w, является, очевидно, Е-фун-
1.6. Е-предикаты и Е-функции
59
кцией. Поэтому естественно задаться вопросом о существовании
универсальных Е-функций. Однако, в отличие от класса частич-
частичных Е-функций, ситуация здесь другая.
Предложение 1.6.5. Не существует двуместной Е - функции F:
и>2 -> и> такой, что для любой одноместной И-функции h: из ->
ш, принимающей в качестве значений лишь 0 или 1, существует
п € из такое, что Fn = h.
Доказательство. Предположим, что такая функция F суще-
существует. Пусть ft: из —> из такая, что h(n) ^ sgF(n,ri) для всех
п 6 из. Ясно, что ft — S-функция, принимающая в качестве значе-
значений лишь 0 или 1. Тогда существует п0 ? и> такое, что Fno = ft.
Однако h(no) = sgF(no,no) = Fn<J(no) = F(no,no), что невоз-
невозможно, поскольку sgA: ф к для всех к 6 из. Полученное противоре-
противоречие завершает доказательство предложения. ?
Следствие 1.6.1. Существует двуместная частичная ^-функ-
^-функция ft такая, что не существует двуместной Т,-функции д та-
такой, что Г/, СГд (д — ^-доопределение ft).
Доказательство. Пусть и2 — двуместная частичная Е-функ-
ция, универсальная для одноместных частичных Е-функций. Если
д: ш2 —> ш такая, что Ги2 С Г9, то д является универсальной для
одноместных Е-функций, т. е. для любой одноместной Е-функции
h: из -^ из существует п ? ш такое, что h = дп. Однако д не может
быть Е-функцией по предложению 1.6.5. ?
Следствие 1.6.2. Существует двуместная частичная ^-функ-
^-функция h, принимающая значения 0 или 1 и не имеющая Е-доопре-
Е-доопределения.
Доказательство. Как и выше, устанавливается, что в качестве
такой функции можно взять функцию sg(u2). ?
Следствие 1.6.3. Существует одноместная частичная Т.-фун-
Т.-функция ho, принимающая значения лишь 0 или 1 и не имеющая
Е -доопределения.
Доказательство. Пусть h такая же, как в следствии 1.6.2 и
ho(x) *=; h(l(x),r(x)), x ? ш. Если #0 — Е-доопределение /io, то
д(х, у) "=i <7о(с(х, у)) — Е-доопределение h, что невозможно. ?
60
1. Е-определимость и теорема Гёделя о неполноте
• Два непересекающихся Е-подмножества jRo,-Ri Я w называют-
называются ^.-неотделимыми, если не существует Д-множества D С ш
такого, что До С D и D П R\ = 0.
Следствие 1.6.4. Существуют ^.-неотделимые множества До
Доказательство. Пусть Ло такая же, как в следствии 1.6.3, и
В этом случае До и Ri — непересекающиеся Е-множества (если
Г„о = Ф°[*о,*1], то До = ((Ф^Ахо] и Й1 = ((Ф)^))П[хо]).
Если D С из такое, что До С D и D П R\ =0, то характеристи-
характеристическая функция XD доопределяет Ло, т.е. Г/,о С ГХо. Но если
D — Д-множество, то XD — S-функция. Поэтому не существует
Д-множества D такого, что ДоС1)и1)ПД1=0. П
Пусть А, В С и. Будем говорить, что А т-сводится к В (обо-
(обозначается А ^т В), если существует S-функция f: из -^ из такая,
что
пеА&/(n)eв, new,
или, что равносильно, f~1(B) = А. Отметим некоторые простей-
простейшие свойства ш-сводимости.
—Для любых А, В, С С и> выполняется соотношение А^ тА;
если Л< тВ и В^ тС, то А^ тС.
Множество А m-сводится к А тождественной функцией idw.
Если / и д — Е-функции такие, что А = f~l(B) и В = д~г (С),
то А =
— Если А^тВ и В — И-множество (А-множество), mo A
является И-множеством (А-множество).
Если / — S-функция такая, что А =
Е-формулы Ф, то А = °*
и В = Ф°[а;о] для
1.7. Теорема Чёрча и теорема Гёделя о неполноте 61
1.7. Теорема Чёрча и теорема Гёделя о неполноте
Пусть А — множество предложений сигнатуры
о-о = @,s,+,-,^).
Введем следующие обозначения:
Mod (А) — класс всех алгебраических систем 21 сигнатуры ст0
таких, что 21 И Ф для любого Ф 6 А,
Th (К) (теория класса К) — множество всех предложений Ф
сигнатуры Сто таких, что 21 И Ф для любой системы 21 из клас-
класса К алгебраических систем сигнатуры ег0.
• Множество А предложений сигнатуры ст0 называется теорией,
если А — теория некоторого класса К.
Заметим, что А является теорией тогда и только тогда, когда
A = Th{Mod(A)).
• Теория А называется
— непротиворечивой, если Mod (А) ф 0,
— полной, если А — теория класса, состоящего из одной систе-
системы, т. е. А — Th ({21}) для подходящей системы 21,
—разрешимой, если G(A) = {О(Ф) | Ф ? А} является Д-под-
множеством и>, и неразрешимой в противном случае,
— наследственно неразрешимой, если любая теория Ао, содер-
содержащаяся в А, неразрешима.
• Множество А предложений сигнатуры сто называется
— системой аксиом для теории В, если В = Th (Mod (A)),
— перечислимым, если G(A) есть Е-подмножество ш.
Формулируемые ниже теоремы являются наиболее принципиаль-
принципиальными утверждениями об алгоритмической природе теорий.
Теорема 1.7.1 [Чёрч]. Наименьшая теория Тса сигнатуры сто,
состоящая из всех тождественно истинных предложений сиг-
сигнатуры Сто является неразрешимой.
62
1. S-определимость и теорема Гёделя о неполноте
Теорема 1.7.2 [теорема Гёделя о неполноте]. Существует пред-
предложение А* сигнатуры Сто такое, что П t= А* и если А — не-
непротиворечивая перечислимая теория сигнатуры сто такая, что
А\ 6 А, то А не является полной.
Начнем с некоторых предварительных рассмотрений, которые
приведут к доказательству этих теорем.
Рассмотрим семейство А\ формул сигнатуры сто:
2)х0 ^ #1 All
3) Жо ^ Х\ Л Х\
12 -* #0
= Х\,
6)ж0 ^ s(x0) Л "(жо = s(x0)),
7)х0 ^zi Л(ж0 -xi) -> s(x0)
9)жо + s(xi) = s(x0
10)ю-0 = 0,
U)xo-s(xi) = (xo-xi
Пусть Ai — конъюнкция формул 1-11 и А\
предложение сигнатуры сто-
Предложение 1.7.1. Пусть 21 — алгебраическая система сиг-
сигнатуры сто токая, что 21 f= A*. Тогда существует концевая под-
подсистема П' ^ end Я, изоморфная П.
Доказательство. Из истинности AJ в 21 следует, что отноше-
отношение ^и — линейный порядок на А (следствие формул 1-4), 0й —
наименьший элемент в А относительно этого порядка (следствие из
5) и для любого о 6 А а ^и 8*(а), а ф 8я(о), т. е. о <и s*(a)} и
sa (а) ^ Ь, если а <а Ь.
Определим отображение h: и -> А по индукции:
1.7. Теорема Чёрча и теорема Гёделя о неполноте
63
Покажем, что ш' ±=; h(ui) — начальный сегмент А и h — изо-
изоморфизм между {и, ^) и (ш1 ^ЯГ (и>'J). Докажем индукцией по
п 6 ш, что если [п] <=; {0,1,... ,п}, то h([n]) С ш' — началь-
начальный сегмент А и h [ [п] — изоморфизм между (fn],^f [n]2) и
)J>
М),<Г(([]))>
Так как /i@) = 0й — наименьший элемент А, сформулированное
выше утверждение справедливо для п = 0.
Пусть new такое, что для [п] верно следующее: h([n]) —
начальный сегмент А и h \ [п] — изоморфизм между ([n], ^ \ [п]2)
№])» Г (ММ)J>
= [n]U{n
/i(n) <а e"(Mn)),
где /г(п) — наибольший элемент в /i([n]). Поэтому sa(/i(n)) ?
/i([n]) и /i I" [п + 1] разнозначно. Если а ? А « а ^я /i(fc), то
по индукционному предположению о G MM) Q /i([n -t-1]) в случае
к ^ n; a G /г([п + 1]) в случае /; = п+1иа= h(n + 1). Если
о <я h(n + 1) = s*(/i(n)), то о ^и h(n). Действительно, либо
о ^и h(n), либо h(n) < а. Во втором случае sa(/i(n)) <и о
и /i(n + 1) = sa(h(n)) ^я о, что невозможно. Следовательно,
о ^я Л(п) и о 6 /i([n + 1]). Итак, h([n + 1]) — начальный сегмент
А, и h переводит наибольший элемент п + 1 в [п + 1] в наибольший
элемент sa(/i(n)) в h([n + 1]). Поэтому h \ [п + 1] — изоморфизм
соответствующих линейно упорядоченных множеств.
Из приведенных рассуждений следует, что из' *=: h(ui) — началь-
начальный сегмент A«h — изоморфизм (ш ^) между (ш1,^яf (w;J). По-
Покажем, что h(n+m) = h(n) +иh(m) и /i(n-m) = /i(n)-a/i(m) для
любых n,m G w. Предположим противное: пусть п0,тпо G а/такие,
что /г(по + пго) ^ /i(no) +и /i(m0) и n0 G и — наименьшее п, для
которого существует т G w такое, что /i(n0+m) ^ h(no) +a /i(m),
a mo — наименьшее т такое, что /г(по + тп0) ^ Л(п0) +и /i(mo).
Покажем, что то ф 0. Действительно, если то = 0, то
По + ТПо = По + 0 = По,
h(n0) +а /i(m0) = h(no)
так как 211= Vio(a;o + 0 = жо)
64
1. S-определимость и теорема Гёделя о неполноте
Таким образом, то Ф 0, то = т +1 = s(m) и ввиду минималь-
минимальности то
я
/i(n0 + т) = /i(n0) + (),
/i(n0 + т0) = h(n0 + s(m)) = /i(s(m0 + п))
= sa(/i(n0) +a
= Л(по) +а Что)
(соотношение sa(/i(no) +a /i(m)) = /i(no) +a sa(/i(m)) вытекает
из соотношения 211= Vz0Vii (xo + s(xi) = s(xo+xi)))- Полученное
противоречие показывает, что h(n + т) = h(n) +и /i(m) для всех
п,т G w.
Доказательство равенства h(n ¦ т) = h(n) -a h(m) аналогично.
Из вышеприведенных рассуждений видно, что u/ = h(ui) С А
замкнуто относительно операций sa, +и, -и и подсистема П' t=; 21 f
ш' изоморфна П (/г: П -> П'). Кроме того, w' — начальный сегмент
А. Следовательно, П' ^ end 21. D
Следствие 1.7.1. Для любых И-предложения Ф сигнатуры Сто
и алгеброической системы 21 сигнатуры Сто из fl t= Ф следует
Доказательство. Пусть П И Ф. Если 211= ""AJ, то 211= A* -»
Ф. Если 211= А\, то по предложению 1.7.1 существует п' ^end 21
такая, что П'(~ П) 1= Ф и 21N Ф, так как 21 — концевое расширение
П', а Ф — S-предложение (см. предложение 1.1.1). ?
В § 1.6 было установлено существование непересекающихся S-mho-
жеств До, Ri, С ш, не отделимых Д-множествами.
Пусть 3xo$(x°)(xi), 3io*^°Ha;i) — S-формулы такие, что
До = (ЗхоФ(*о))°[*1],
Определим следующие последовательности S-формул:
1.7. Теорема Чёрча и теорема Гёделя о неполноте
65
l(xO,Xn+2) *=f 3ln+1
АФп(х0,хп+1)),
= «(о)
ЛФп(х0>хп+1))),
Д„ ^
°(хо) Л Vin+2
Д„,
где new.
Предложение 1.7.2. Справедливы следующие утверждения.
(а) Если п 6 До, то предложение 0„ тождественно истинно
{т.е.
).
(б) Если п 6 Ri и 21 — алгебраическая система такая, что 211=
AJ, mo 21 t="'0n.
Доказательство. Из определений формул Ф°, Ф° следует, что
для любой алгебраической системы 21 сигнатуры сто и о 6 А спра-
справедливы эквивалентности
здесь п t=i s(... s@)...). Пусть n ? До и 21 — произвольная
п раз
алгебраическая система сигнатуры сто. Если 211= ~*Al, то 211= A? ->
Д„. Если 211= AJ, то существует система П' ^end 21, изоморфная
П. Ввиду соотношения П t= 3xo^x°^(n) для некоторого обо»'
имеем ft' И ф(а)(п), 21 t= ф(а)(п), так как фA0) — Д0-формула.
Если 6 ^и а, то 6 6 ш' и п' t= ""Ф^^п), в противном случае
П' 1= ЗагоФ(*о)(«) и п 6 i?! П До = 0. Но тогда 21 t= ~^W(n) и
21 И Зхо(ФAо) W AVxn+2 ^ ю"Ф(:г"+2)(п)), 211= Д„ и 211= AJ ->
Д».
66
1. S-определимость и теорема Гёделя о неполноте
Пусть п 6 Й1 и 21 — система такая, что 211= A$. Покажем, что
211= ""Д,,. Действительно, предположим, что 211= Д„ и о € А такой,
что 21 t= Ф°(а) Л Va;n+2 ^ о^Ф°(жп+2). Пусть п' ^ end 21 — под-
подсистема, изоморфная П. Если а 6 а/, то П' t= Ф°(а), П' N ф(о)(п),
П' И ЗхоФAо)(п). О f= ЗжоФAо)(п)- Следовательно, n e До (и
n e Ri). Поэтому п 6 Д0ГШ1 =0, что невозможно. Пусть о $ а/.
Так как п е Дь верно П 1= ЗагоФAо)(п) и О' 1= ЗхоФ(:го)(п).
существует о' 6 w; такой, что П; 1= Ф^'^п), П' t= Ф°(о;) и
21 t= Ф°(а'). Однако и' — начальный сегмент А. Следователь-
Следовательно, а' ^и о. Поэтому 21 N ""(Ф^п) ЛУхп+2 ^ а^Ф^+^Сп)),
211= ""(Ф^о) Л Va:n+2 ^ о^Ф^Жп+г)). Полученное противоречие
показывает, что 211= ""Дп и 211= ""в,,. ?
В качестве следствия предложения 1.7.2 докажем утверждение,
из которого вытекают две основные теоремы.
Предложение 1.7.3. Если класс К алгебраических систем (сиг-
(сигнатуры сто) содержит систему 21 такую, что 21 И А\, то теория
Th (К) класса К неразрешима.
Доказательство. Установим сначала, что функция h: ш -> и>
такая, что h(n) = G(Qn) для любого п ? ш, является Е-функцией.
Пусть то ^ С)О ) $))
функция ho'. u>
= в(Щхо,Х1)), т'о ^
определена примитивной рекурсией:
Ло@) = т0,
Ло(п + 1) = сA1,с3(п + 1,сB,сA,п + 2))
сG, с(сE, с(сA, п + 1), сB, сA, п + 2)))), /io
Легко проверить, что /io(n) = G($n) для всех new.
Пусть h'o: u> -> ш определена так, что
, с3(п + 1, сB, с@,1)), сG, с(сE,
*о(О) =
Тогда /io(n) = (?(Ф°) для всех п € ш.
Аналогично определяется Е-функция Н[: ш
Zi'^n) = <3(Ф°) для всех new. Пусть
h'lin) ±=t Sub(h'(n),c(l,n + 2),0),
w такая, что
1.7. Теорема Чёрча и теорема Гёделя о неполноте
67
1. Е-опредёлймость и теорема I ёделя о неполноте
Напомним, что функция Sub определена в упражнении 1.5.3. Заме-
Заметим, что fti'(n) = G((*°)?o+2)) neu. Пусть
кЦп) = cA2,c(n + 2,c(c(l,0),cA0,/ii'(n))))), n 6 и.
Тогда hl(n) = G(V*n+2 ^ ж<ГФ° (хп+2)), п ? и. Пусть
ti(n) = сA3, с@, сG, c(/io(n), /i?(n))))), new.
Тогда /t'(n) = GCxo($°(xo)AVxn+2 ^ хо^°п(хп+2))) = G(An),
где пеш. Полагаем h(n) t=i c(9,c(NOlh'(n))), где No *=; G(A$).
Следовательно, h: ш -> w — искомая Е-функция.
Вернемся к доказательству предложения 1.7.3. Предположим,
что класс К алгебраических систем сигнатуры сто таков, что су-
существует 21 ? К такая, что 21 Is А\ и Th (if) разрешима, т. е.
G(Th (#)) — Д-множество.
Рассмотрим множество D ±=; /i (G(Th (Я")))- Поскольку /i —
Е-функция и ?) m-сводится к Д-множеству G(Th(K)), то ?) —
Д-множество. Покажем, что Rq С D и DHRi = 0. Если п € До,
то 0„ 6 Гао С Th(AT). Следовательно,
G@n) = Л(п) G G(Th (К)), п е h-1 (G(Th (К))) = D,
т.е. До С D. Пусть п 6 Дь Тогда 21 1= "вп и 0„ ^ Th(K),
G(Qn) = h(n) i G(Th (AT)), n ^ h-l(G(Th (K))) = D, т. е. Rj. n
D = 0. Но существование такого Д-множества ?) противоречит
выбору неотделимых До и Дх. ?
Следующее утверждение является просто переформулировкой
предложения 1.7.3.
Предложение 1.7.3'. Если 21 — алгебраическая система такая,
что 21 И А\, то теория Th B1) является наследственно неразре-
неразрешимой.
Из предложения 1.7.3' непосредственно следует теорема Чёрча.
Для доказательства теоремы Гёделя установим следующее
Предложение 1.7.4. Если А — перечислимая полная теория,
то А разрешима.
Доказательство. Если А — полная теория, то для любого пред-
предложения Ф сигнатуры о"о имеет место альтернатива: либо Ф 6 А,
либо ~"Ф 6 А. Пусть А — перечислимая полная теория и Ф(жо) —
Е-формула такая, что G(A) = Фп[х0}- Следующая Е-формула
$(io,a:i) будет определять характеристическую функцию множе-
множества G{A):
(Sen (ж0) = О Л xi = 0) V Sen (ж0) = 1
Л(Ф(жо)Лж! = 1УФ(сAО,жо))Лж1 =0);
функция Sen определена в упражнении 1.5.2. ?
Из предложений 1.7.3,1.7.4 следует теорема Гёделя о неполноте.
Предложение 1.7.5. Если А — перечислимое множество пред-
предложений и В = Th (Mod (А)), то В — перечислимая теория.
Набросок доказательства. Используя теорему о полноте для
гильбертовского исчисления RQ-формул (см. конец § 1.1), можно
описать множество В как семейство тех RQ-предложений Ф, для
которых существует доказательство из А, т. е. последовательность
Фо, • • • , Ф>» = Ф RQ-формул такая, что для любого i ^ n выполне-
выполнено одно из следующих четырех условий:
1) Ф» — аксиома, т. е. имеет вид одной из аксиом 1-14 (см. при-
приложение) или новых аксиом 11' или 12' (см. § 1.1),
2) Фi принадлежит А,
3) существуют j,l < i такие, что Фi получена из Ф_,- и Ф{ — по
правилу вывода 1 (см. приложение),
4) существует j < i такое, что Ф{ получена из Ф_,- по одному из
правил 2, 3 (см. приложение) или новых правил вывода 2' или 3'
(см. § 1.1).
Доказательства Фо, ¦ • ¦ , Ф« из А можно кодировать парой {к, п)
чисел к,п 6 из такой, что F(fe,t) = G^i), i ^ n. Тогда
G(B) ;=± {т \т 6 ш, существуют к, п 6 и> такие, что
(к, п) кодирует доказательство Фо,... , Фп из А
такое, что Фп — RQ-предложение и G($n) = m}.
Далее остается только рутинное доказательство того, что
{{к, п) \к, п 6 и), (к, п) кодирует некоторое доказательство
из А} С w2
1.7. Теорема Чёрча и теорема Гёделя о неполноте
69
70
1. ^-определимость и теорема Гёделя о неполноте
является S-предикатом, если А — перечислимое множество пред-
предложений. ?
Предложение 1.7.5 позволяет сформулировать теорему Гёделя в
следующей форме:
Теорема 1.7.3 [вариант теоремы Гёделя]. Если непротиворечи-
непротиворечивая теория В содержит А\ и имеет перечислимую систему ак-
аксиом, то она неполна.
В заключение рассмотрим предикатный вариант (Tq сигнатуры
сто и предикатные варианты модели П и теории, определяемой пред-
предложением А\. Пусть
а? ^ (O.S'.Ad'.Ml3,^), П* ^ (u,0,S,A,M,^),
где S, А, М — предикаты, соответствующие графикам функций
s: ш -> из, +: w2 —> ui, •: ui2 -> и>. Заметим, что функции s,
+ и • являются До-определимыми в П"\ Поэтому П и Пж имеют
одинаковые S-предикаты и S-функции.
Для new, [п] = {0,1,... ,п} полагаем п* ^ пп \ [л].
Рассмотрим следующее семейство А\ формул сигнатуры ctJ:
1) ХО 4: Х0
2) Жо ^ #1 Л Xi ^ X2 -> Хо ^ 12,
3) жо ^ х% Ail < х0 -+ хо = х\,
4) жо ^ хх Vxi 4: хо,
5H^ж0,
6*) S(xO,Xi) -+Z0 <Ж! А^{х0 = ХХ),
7*) ж0 ^ хх Л ""(хо = х\) -> Зж2E(ж0,ж2) Лж2 ^ xi),
8*) Ас1Aо,О,жо)Л(АAAо,а;1,а;2)Л~'(ж1 = 0) -* х0^ х2
)
9*)
Ad{xo,x3,Xi)) Л (Ad(aro,a?i, z2)
314(Аа(жо,жз,ж4)Л5(ж4,ж2))),
10*) Ml (жо, 0,0),
Л(М1(жо,Ж1,ж2) Л (Ш(хо,х1,х2) /\S{x3,xi)
(MlA0,13,14) Л Ad(ж4, ж0)ж2))),
12M(ю,а;1)Л5(жо,ж2) -*Ж1 =ж2,
М1{хо,х3,х4))
13) Аа(жо,Ж1,ж2)ЛАа(жо,жьЖз) -+ х2 = х3,
14)М1(ю,а:1,12)ЛМ1(жо,ж1,жз) -+ж2 =ж3.
Пусть ЛЛ*(жо,Ж1,ж2,жз,Ж4) — конъюнкция формул 1-5, 6*-
11*, 12-14. Полагаем А1 ^ УжоУ1хУж2Ужз\/ж4 Л Л*. Заметим, что
~А\ — предложение сигнатуры erf.
Имеет место следующий аналог предложения 1.7.1.
Предложение 1.7.6. Пусть 21 — алгебраическая система сигна-
сигнатуры &Q такая, что 211= А^. Если 21 конечно и \А\ — п + 1, то
% ~ П*. Если 21 бесконечна, то она имеет концевую подсистему
2to ^end 21, изоморфную п*.
Доказательство. Как и при доказательстве предложения 1.7.1,
попытаемся построить для каждого п 6 из отображение hn: [n] -> A
так, чтобы выполнялись условия:
Л„@) = 0я, (Лп(*),Лп(* + 1)> 6Sa,fc< п,
Лп([п]) — начальный сегмент линейно упорядоченного множе-
множества^*),
hn — изоморфизм между П? Г @,5,^) и B1 Г Лп(Н)) Г
(Q,S,O-
Для п = 0 такое отображение Ло существует. Предположим, что
для некоторого new требуемое отображение hn уже построено.
Бели /»п(["]) = А, то \А\ — п +1, и Лп+1 не может быть построено.
Пусть /in([n]) /Аиоб A\/in([n]). Так как Л„([п]) — началь-
начальный сегмент А и hn(n) — его наибольший элемент, то hn(n) <я о.
Поскольку формула 7* входит конъюнктивно в ЛЛ f и 211= Лх, то
21
п) = о)
Лж2 ^ о),
Пусть о; G А таков, что 21 И 5(Л„(п),о'). Заметим, что согласно
формуле 12 такой а' единствен. Полагаем /in+i(n -1- 1) ^ о' и
hn+ilk) = hn(k) для к ^ п. Нетрудно проверить, что ftn+i: [n +
1] -> А удовлетворяет сформулированным выше условиям. Итак,
если 21 бесконечна, то h ^ (J /in: w —> А отображает и> на ш' ^
/i(a;); w' — начальный сегмент Л и Л — изоморфизм между П* f
@, S 4) и B1 Г и?) Г @,5,^).
1.7. Теорема Чёрча и теорема Гёделя о неполноте
71
72
1. S-определимость и теорема Гёделя о неполноте
Покажем, что если отображение hn определено, то оно является
изоморфизмом между П? и а' \ hn([n]). Сначала установим, что
hn — изоморфизм между П? \ @,S,Ad,^> и (Я Г ММ)) Г
@,5, Ad, ^). Для этого достаточно доказать утверждения A), B).
A)Если к,1,к + 1 < п, то (hn{k),hn(l),hn(k
Ad21.
Предположим, что утверждение неверно, и пусть {ко, lo) — пара
с наименьшим номером (т. е. c(fc0, lo)) такая, что ко, lo, fco + *о ^
п и (hn{ko),hn(lo),hn(ko + lo)) $ Ada. Заметим, что lo не
может равняться нулю, так как
(hn(ko),hn@),hn(ko + 0)) = <M*b).0".M*b)> e M*>
что следует из формулы 8*. Таким образом, /о > 0 и /о =
/ + 1 (для / = lo — 1). Поскольку c(ko,l) < c(fc0)io), име-
имеем (hn(ko),hn(l),hn(ko +l)) e Ad21, ко + l0 ^. п. Поэтому
ко + 1 < пи {hn(ko + l),hn(ko + lo)) ? 5а. Кроме того,
(hn{l),hn(lo)) € 5й. Ввиду первой конъюнкции формулы 9*
справедливо соотношение (hn(ko),hn(lo),hn(ko + lo)) G Ada,
что противоречит выбору fco,io-
B) Если к, I ^ п, к + I > п, то не существует т ^ п такого,
что <М*),М1),М*я)> ? Ad*-
Предположим, что утверждение неверно, и пусть {fco, lo) — пара
с наименьшим номером такая, что fco, lo ^ n, fco + lo > n и суще-
существует (единственное) т ^ птакое, что (hn(fco), hn(lo), hn(m)) €
Ad21. Ясно, что l0 > 0. Пусть l0 = I +1. Тогда (МО, М'о)> ^
5й. Ввиду второй конъюнкции формулы 9* имеем
и t= 3x4(Ad (hn(ko),hn(l),Xi) A S(Xi,hn(m)))
Earn а е А таков, что (o,/in(m)> е 5й, (hn(fco),hn@,a> ?
Ad21, то m > 0 и о = /1п(яг') для т' такого, что т' + 1 = т.
Рассмотрим два возможных случая.
Случай 1: fco+J = п. Согласно A) имеем {hn(ko), hn(l), hn(fco+
0> € Ad21, hn(m') =a = hn(k0 + l) = hn(n), m' < m ^ n(=
ko + l). Приходим к противоречию.
Случай 2: k0 + I > п. В силу (Mfco^MO.Mm')) € Ad21,
m' < n, пара (fco,0 также удовлетворяет условиям ко,I ^ n,
jfeo + />nH существует т' ^ п такой, что
{hn(ko),hn(l),hn(m')) € Ad21, c(fco>0 < c(fco,Zo),
что противоречит выбору пары (fco, lo)-
Итак, B) доказано, hn есть изоморфизм fi? f @,5, Ad, ^) и
(и [ hn(H) Г @,5, Ad, ^). Установим теперь, что hn есть изомор-
изоморфизм П^и21 f ftn(W)- Для этого достаточно доказать утверждения
C> и D).
C> Если k,l,k-l^n,mo {hn(l),hn{k),hn(k ¦ I)) € М1а.
Предположим, что утверждение неверно. Выберем пару (ко,1о)
с наименьшим номером такую, что fco, lo, fco • 'о ^ п и
(K(ko),hn(l0),hn(ko-lo))tM\%.
Заметим, что lo ф 0, так как по формуле 10*
<М*о),Мо),М*ь -°)> = С1П(Ло),оа,оя> € mi21.
Тогда \о = I + 1 и (Mfco),M*),Mfco ' 0> е М1И: поскольку
c(fco,0 < с(ко,10)- Далее, {hn(l),hn(l0)) € 5й, и п > fco • l0 =
l)=fco'i + fco влечет по доказанному выше
(hn(ko-l),hn(k0),hn(k0 -lo)) € Ad21.
Согласно первой конъюнкции формулы 11* имеем
что противоречит выбору пары (fco, lo)-
D) Если k,l ^ n, fc • / > п, то не существует т ^ п такого, что
Предположим, что утверждение неверно и fco,io ^ ^ — пара с
наименьшим номером такая, что ^'1о>пи существует т ^п
такое, что (/in(fco),'in('o)>'ln(m)) е М1И- Ясно, что lo ф 0.
Пусть lo = I + 1. Тогда (hn(i),hn(Zo)) € 5й и ввиду второй
конъюнкции формулы 11* имеем
t= 3x4Ml(An(*to),
Л
, hn(m)).
1.7. Теорема Чёрча и теорема Гёделя о неполноте 73
Если а € А такой, что
(о, M*b)> М«0> 6 Ad*, <M*b). М0> °> € М1и,
то о <и hn(m) по формуле 8* и о = h(m') для т' такого, что
т' < т.
Рассмотрим два возможных случая.
Случай 1: ко-1 = п. Согласно C) имеем (Л„(&о)> М0> hn(n)) ?
М1И, hn(m') — а = hn(n), m' < m ^ п. Приходим к противо-
противоречию.
Случай 2: fco • I > п. Ввиду {M*o),M0,M™')> € М1а,
т' ^ п, пара {ко, I) также удовлетворяет условию к0,1 ^ п, ко ¦
1>пи существует т' ^ п такое, что (МЫ. MOi hn(m')) e
М1И. Это противоречит выбору пары {fco, Jo), так как с(ко,1) <
с(ко,1о)-
Итак, D) доказано, и Л„ есть изоморфизм П? и 21 f Лп([п]). Из
доказанного вытекает предложение 1.7.6. D
Пусть, как и выше, До и Ri — неотделимые непересекающиеся
S-подмножества и. Обозначим через Ф(хо) и Ф(жо) Е-формулы
сигнатуры (То такие, что До = Ф [хо] и Дг = Ф [хо]- Определ
следующие последовательности S-формул:
*о(хо) ^ Щхо),
i=f 3xn(S(xn+x,xn) ЛФп{хп)),
им
Ф^^Фп@) = (ФпM", new,
Фо(хо) ^ Ф(х0), _
Фп+1(хп+1) fe; 3xnE(o;n+i,a;n) Л #„(«„)),
Ф^^Фп@) = (ФпM», new,
Аналогом предложения 1.7.2 является
Предложение 1.7.7. Справедливы следующие утверждения.
(а) Если п_€ До> w предложение 0П тождественно истинно
(т.е. 9„€ЗД.
74
S-определимость и теорема Гёделя о неполноте
(б)Ясли п 6 ill, m» существует N € ui такое, что если 21 —
конечная алгебраическая система сигнатуры crj токая, что
2H=3i и \А\ 2N, то 21 \= ^Щп.
Доказательство. Пусть п € До и 21 — произвольная алге-
алгебраическая система сигнатуры ctJ. Если 21 1= "'А^, то 21 1= 9П.
Если 21 1= ~К[ и система 21 бесконечна, то существует подсистема
S(o ^ end 21, изоморфная Пж. Легко проверить, что п € До влечет
П* 1= Фп. Но тогда 2to N Ф„ и 21 Ё 9П. Если 21 N Ах и система 21
конечна, то 21 cz fi? для некоторого А: € ш. Тогда 211= "'Ф,,- Сле-
Следовательно, 21 |= 9„, так как 21 |= Ф^ влечет ftj 1= Ф^, п* \= Ф^,
и тогда п 6 Дх. Однако пбДоипбДоП Д1_= 0. Пришли к
противоречию. Таким образом, если п 6 До, то 0П тождественно
истинна.
Пусть пей[. Тогда П* 1= Фп. Согласно следствию 1.1.3 прин-
принципа Е-рефлексии существует N б о> такое, что П* Г iV = ftjj N
Ф„. Тогда если |А| > ЛГ, то Пдг изоморфна концевой подмодели
21. Следовательно, 21 \= Ф„. Если 211= A^ и система 21 конечна, то
21 ~ nj для некоторого /;бш, Л^ЛГиЯИ "'Ф,,, так как 211= Фп
влечет п% 1= Ф^, п* 1= Ф^, п € До, но п ? Дь п € До П Дг = 0;
противоречие. Следовательно, 21N "'в,,. ?
Основным следствием предложения 1.7.7 является
Предложение 1.7.8. Пусть S — бесконечное подмножество ш и
Ks ^ {П? | neS}. Тогда теория Th (Кs) класса Ks является
наследственно неразрешимой.
Доказательство аналогично доказательству предложения 1.7.3.
Глава 2
Вычислимость
на допустимых множествах
2.1. Алгебраические системы Q и HF@)
Цель настоящего параграфа — рассмотреть алгебраическую систе-
систему HF@) наследственно конечных множеств и сравнить ее с ал-
алгебраической системой ft — арифметикой, изученной подробно в
гл. 1. Покажем, что эти системы взаимоопределимы друг в друге
с помощью достаточно простых формул. Этот результат можно рас-
рассматривать как установление «эквивалентности» рекурсивных тео-
теорий (вычислимостей), которые могут быть естественно развиты в
этих структурах. Под теорией вычислимости {вычислимостью)
понимается теория Е-предикатов (Д-предикатов) и (частичных) Е-
функций. Структура системы HF@) оказывается простейшей (наи-
(наименьшей) среди допустимых множеств — структур, изучению кото-
которых посвящены последующие параграфы книги.
Через ТСE) будем обозначать транзитивное замыкание мно-
множества S, т. е. транзитивное множество, содержащее S в качестве
подмножества и содержащееся в каждом транзитивном множестве,
содержащем S.
• Множество S называется наследственно конечным, если его
транзитивное замыкание ТСE) является конечным множеством
75
76
2. Вычислимость на допустимых множествах
Можно дать другое, более конструктивное описание семейства
всех наследственно конечных множеств. Определим индукцией по-
последовательность множеств
HFo@),HF1@),...,HFn@),...
для всех натуральных п € ш следующим образом:
HFo@) ^ {0},
HFn+1@)^HFn@)UP(HFn@)), пеи,
где V(S) — множество всех подмножеств множества 5. Положим
HF@) ^ (J HFn@).
Тогда HF@) — это семейство всех наследственно конечных мно-
множеств.
Наделим семейство HF@) структурой алгебраической системы
сигнатуры <Т\ ;=± @, б), где константный символ 0 и символ дву-
двуместного предиката € имеют очевидный смысл (интерпретацию) в
HF@):
Для любой сигнатуры a Э а\ так же, как в § 1.1, вводятся по-
понятия До-формулы и Е-формулы сигнатуры а, только вместо сим-
символа ^ используется символ €.
Поскольку определены понятия До-формулы и Е-формулы, мож-
можно определить (так же, как в § 1.2) понятия Е-предиката, Д-преди-
ката и Е-функции.
Определим отображение 7*: HF@) -» ui так:
7*@) ^ О,
7*({ао,... ,ап}) ^ $>7*(<Ч если {а*,...,ап} е HF@),
7*(aj) определено для всех i ^ п,
7*Ы<7*Ы<---<7>п)-
Рангом множества о ? HF@) называется наименьшее нату-
натуральное число п € из такое, что о 6 HFn@) (обозначается
rnk(o)).
2.1. Алгебраические системы Л и HF@)
77
Индукцией по рангу множества из HF@) доказывается, что ото-
отображение 7* корректно определено.
Предложение 2.1.1. Отображение 7* является разнозначным
отображением HF@) мо и).
Доказательство. Равнозначность 7* вытекает из однозначно-
однозначности двоичной записи натурального числа. Тот факт, что 7* есть
отображение на ш, устанавливается индукцией по п € ш.
Если п = О, то 0 = 7*@) € 7*(HF@)). Пусть п > 0 и
к € 7*(HF@)) для всех к < п. Используя двоичное представление
п, запишем его в виде
где 0 < &о < fcj. < ... < ki. В силу условия п > 0 имеем к{ < п,
г ^ I. По индукционному предположению существуют ац,... , сц €
HF@) такие, что 7* (о») = ki, i < I- Поэтому
о,... ,o,}€HF@),
7* (о) = ?2т><> = ?Jfci = n e 7*(HF@)).
Предложение 2.1.1 доказано. D
Так как 7*: HF@) -» ui — разнозначное отображение «на»,
для 7* существует обратное отображение, которое обозначаем через
7: w —> HF@). Будем использовать также следующие обозначения:
7*(-Р) — А-местный предикат
{(<у'(аг),... ,-у'(ак)) \ (аг,... ,ак) е Р} Си,к
на и, если Р С HF@)* — А-местной предикат на HF@)*,
j(Q) — А-местный предикат
на HF@), если Q Сшк — fc-местный предикат на и.
Заметим, что 7G*(-P)) = Р для Р С HF@)* и 7*(т@)) = Q
для Q С шк.
78
2. Вычислимость на допустимых множествах
Следующая теорема показывает, что пара отображений 7, 7* со"
храняет (позволяет «отождествить») Е-предикаты и Д-предикаты
на алгебраических системах п и HF@).
Теорема 2.1.1. Предикат Р С HF@)* является Т,-предикатом
(А-предикатом) наHF@) тогда и только тогда, когда')*(Р) С
шк является Л-предикатом (А-предикатом) на П.
Доказательство. Необходимость показать несложно. Начнем
с этого более простого случая.
Необходимость. Докажем следующее вспомогательное утвер-
j(l)} является
A) Отношение Е ^ {(k,l) \ k,l €
А-отношением на П.
Сначала покажем, что функция f(k) = 2*, к € ш, является
Е-функцией на п. Действительно, эта функция удовлетворяет
соотношениям
/@) = 1, /(А; + 1) = 2fc+1 = 2 - 2* = 2/(fc)
и, следовательно, получается примитивной рекурсией из 0-мест-
0-местной функции 1 (= 5@)) и одноместной функции H(i,j) ^ 2i(=
i + i). Согласно A0) § 1.4 функция / является Е-функцией.
Далее установим следующие эквивалентности:
<М) е Е «• 3u3v3w (I > 2* ЛI = 2ки + v Л v < 2*
Л и = 2w + 1),
<Аг, /> ? Е <* 3u3v3w {I = 2ки + v Л v < 2* Л u = 2w).
Разделим / на 2* с остатком: I = 2ки + v, v < 2*. Натуральные
числа ukv однозначно определимы этими соотношениями. Если
к-й разряд в двоичном представлении равен 1 (а это и означает,
что j(k) € 7@)i то и нечетно. Если же он равен 0, то к четно.
Из этих зквивалентностей вытекает, что Е является Д-отноше-
нием.
Добавим к сигнатуре сто символ (е2) двуместного предиката и
рассмотрим обогащение п(Е) алгебраической системы П, интерпре-
интерпретируя символ е как отношение Е (еа^ ^ Е). По предложе-
2.1. Алгебраические системы О и HF@)
79
нию 1.2.3 любое Е-отношение (Д-отношение) на п(Е) будет Е-отно-
шением (Д-отношением) на п.
Определим отображение А множества .RQ-формул сигнатуры а\
в множество RQ-форщл сигнатуры oq U (ё2) следующим образом:
на термах:
А(х)=х, А@) = О;
на атомарных формулах:
А(*о = *i) ^ А(*о) =
A(t0 € *i) ^
на произвольных .RQ-формулах Ф и Ф:
А(ФоФ)-А(Ф)оА(Ф), об{у,Л,->}
АГФ) ^ -А(Ф),
А^хФ) ^ QxA^), Q € {3.V},
АCх € *Ф) ^ Эх s$ X(t)(xeX(t) А А(Ф)),
A(Vx € *Ф) ^ Vo;
Из определения видно, что если Ф есть До-формула (Е-форму-
(Е-формула) сигнатуры cti, то А(Ф) есть До-формула (Е-формула) сигнатуры
сто U <е>.
Наконец, индукцией по построению формулы Ф легко устано-
установить, что для любого h: .РУ(Ф) —? HF@) имеет место эквивалент-
эквивалентность
HF@) И
ЩЕ) И А(Ф)[7*Л].
В частности, если {хо,... ,о;п} — список попарно различных пере-
переменных такой, что .РУ(Ф) С {хо,. - - ,хп}, то
o, • • • ,*„]) =
0)... ,х„].
Следовательно, если Р С HF@)* — Е-предикат (Д-предикат) на
HF@), то 7*(-Р) — Е-предикат (Д-предикат) на п.
Достаточность. Разовьем некоторую систему понятий и нача-
начала теории Е-определимости в HF@) = (HF@),0, е). Как и в
обычной (аксиоматической или наивной) теории множеств, назовем
80
2. Вычислимость на допустимых множествах
множество а € HF@) ординалом, если оно транзитивно и любой
его элемент транзитивен.
B) Множество Ord (HF@)) всех ординалов HF@) есть Ао-под-
множество.
Действительно, До-формула
Ъ-ап8(х) -^ Vy € xVz € у (z € х)
выделяет все транзитивные множества. Поэтому До-формула
Ord (х) ^ Trans (х) Л Vy € xTrans (у)
выделяет все ординалы (т. е. Ord (HF@)) = OrdHF@>[x]).
Легко понять, что ординалами HF@) являются в точности все
конечные ординалы, т. е. натуральные числа. Таким образом мож-
можно отождествлять ш с Ord (HF@)) @ = 0).
C) Функция 5 каш является частичной ^-функцией, а отноше-
отношение ^ — ^-отношением на HF@).
Действительно, функция 5 определяется формулой
Ф5(х,у) ^ Ord(x) Л Ord (у) Лх € у Л Vz € y(z € х V z = х),
а отношение х ^ у задается формулой
*s(x, У) ^ Ord (x) Л Ord (у) Л х С у;
здесь х С у есть очевидное сокращение для формулы Vz ?
x(zey).
Прежде чем дать определение для функций + и •, определим
некоторые другие Е-функции на HF@).
D) Функция { , }: х,у \-Ь {х,у}, х,у ? HF@), является Л-функ-
цией moHF@).
Действительно, До-формула
Ф{ t }(х, у, z) ^ х € z Л у € z Л Vu ? z(u = х V и = у)
определяет функцию { , }.
2.1. Алгебраические системы О и HF@)
81
82
2. Вычислимость на допустимых множествах
Как обычно, через {х, у) обозначаем множество {{х}, {х, у}} и
называем его упорядоченной парой.
E) Функция (, >: х,у i-? (х,у), х,у € HF@), является Л-функ-
циейнаШ?@).
Функция (, ) определяется Ео-формулой
Множество всех упорядоченных пар можно отождествить с
HF@J = HF@) x HF@).
F) Множество HF@J (кок подмножество HF@)) есть ^.-мно-
^.-множество на
Действительно,
г € HF@J & ЗхЗуФ{>)(х,у,г),
г <? HF@J «> Va; € zVy ? zVu € xVu € уВю(Ф^ [и, v, w)
Aw ф z).
На множестве HF@J определим одноместные функции
p,: HF@J -> HF@), pT: HF@J -> HF@)
так, чторД(х,у)) = а;, рг({х,у)) = у для любой упорядоченной
napbi(x,y>eHF@J.
G) Функции pi и рг являются частичными Е-функциями.
Действительно, функция pi определяется Е-формулой Фр, (ж, у)
^ ЗгФA)(у,2,х), а функция рг — Е-формулой ФРг(х,у) ^±
3$()
Для а € HF@) введем множества
Pi(a) = {Ь | существует с такое, что (Ь, с) 6 о},
р*(о) = {Ь | существует с такое, что (с, Ь) ? а}.
{7') Функции pi и р* являются Т,-функциями на HF@).
Функция р* определяется Е-формулой
ФР; (х, 2/) ^ Vz ? уЗи € хЗу(Ф^ (z, v, и)) A Vu ? х
{и i HF@J V3z € y3v$(t)(z,v,u)).
Аналогичным образом выписывается Е-формула Фр<;(а;,у) для
определения р*.
Элемент / из HF@) называется (конечной) функцией, если / С
HF@J (т. е. элементами / являются упорядоченные пары) и для
любых а,Ь,с? HF@) из условий (а,Ь), {а,с) € / вытекает b = с.
(8) Множество Funct С HF@) всех функций в HF@) является
Л-подмножеством HF@).
Множество Funct определяется Е-формулой
Funct (x) ^ Vyo € xVyi €
Заметим, что верно и следующее утверждение.
(9) Funct является ^-подмножеством HF@).
Теперь все готово к Е-определению функции +. Основная идея
определения функции + состоит в том, чтобы проверить, что се-
семейство F+ всех конечных функций / из HF@), удовлетворяющих
следующим условиям:
(а) область определения Sf (= pf(/)) функции / имеет вид
п2 -пхп^± {{к, I) | к е п, l€n}
для некоторого ординала п > 0 (натурального числа),
(b)/(fc,0) = к для А; ? п,
(с)/(*, 1+1) = f(k,l) + 1 для *,/ + 1 € п,
является Е-множеством. После этого функция + может быть оп-
определена следующей Е-формулой:
Ф+(х,у,г) ^ Э/(/ ZF+A (х,у) ? 6, A ((x,y),z) ? /).
2.1. Алгебраические системы О и HF@)
83
84
2. Вычислимость на допустимых множествах
A0) Семейство F+ является Е-подмножеством.
Действительно, следующая характеристика элемента х из F+
может быть легко записана Е-формулой:
x?F+ 4*Funct(a;) Л 3y@rd (у) Л Vu € yiv ? y3w ? х
(pi(w) = (u,v)) Л Vtt) € хЗи ? y3v ? y(pi(w)
= {u,v»AVuey({(u,0>,u>ex)
Л Vu € yVu ? j/Vtt) ? x(S{v) € у Л pi(w) = (и, v)
Как было указано выше, из свойства A0) получаем следующее
утверждение.
A1) Функция сложенья +: из1 —> и> является частичной Л-функ-
циейтИ?@).
Теперь для доказательства Е-определимости функции умноже-
умножения •: и>2 -t ш воспользуемся той же идеей, что и при Е-определении
функции сложения. Используя Е-определимость +, нетрудно уста-
установить, что Е-множеством является семейство Fx всех конечных
функций / ? HF@) таких, что
(a) область определения / есть п2 для некоторого ординала п > 0,
(b) f(k, 0) = 0 для k ?п,
(c) f(k,l+ 1) = f(k,l) + к для к, 1 + 1 € п.
Тогда функция умножения • может быть определена следующей
Е-формулой:
Фх(а;,у,г) *± 3f(f ? Fx Л (х,у) ? 8, Л г = /(х,у)).
Таким образом, мы установили следующее утверждение.
A2) Функция умножения •: ц>2 —> ш является частичной И-функ-
цией koHF@).
Важнейшем следствием того, что функции 5, +, • суть частичные
Е-функции на HF@), а предикат ^ есть Д-предикат на HF@),
является утверждение о том, что любой Е-предикат (Д-предикат)
Р С ш* на П будет Е-предикатом (Д-предикатом) на HF@) (см.
предложение 2.1.2, ниже).
A3) Отображение j*: HF@) -»wC HF@) является И-функци-
ей на HF@).
Назовем множество а ? HF@) индуктивным, если оно транзи-
тивно и для любых b € а, с € Ь множество Ь\{с} принадлежит
о. Ясно, что для любого а € HF@) существует наименьшее
индуктивное множество Ind (о), содержащее о (о С Ind (о)).
Определим семейство F^- конечных функций / из HF@), удо-
удовлетворяющих следующим условиям:
— область определения Sf функции / является непустым ин-
индуктивным множеством, область значений функции / лежит
Bw = Ord(HF@)),
-/@) = О(=0),
— если а е Sf не пусто, Ь € а, то /(о) = f(a\{b}) + 2^ь\
Так как х + у и 2х — Е-функции на П, они суть частичные
Е-функции и на HF@). Но тогда легко проверить, что семей-
семейство Fy» есть Е-подмножество HF@). Поэтому 7* определяет-
определяется Е-формулой
Фг (х, у) т± 3/ (/ € Fr Л х € Sf Л у = f{x)).
Это вытекает из того, что функция / 6 Fy» однозначно опреде-
определяется своей областью определения, а именно / = 7* Г fy- Дей-
ствительно, если а — индуктивное множество, то 7* f о € Fy-.
Остается проверить следующее свойство единственности.
A4) Если f,g € F7» и 6/ = 6g, то f = g.
Предположим противное, пусть / ф g ? F-,* и 6f = 6g. Множе-
Множество {а \ а € 8f,f(a) ф д(а)} не пусто. Пусть ао — множе-
множество наименьшего ранга из этого множества, имеющее наимень-
наименьшее число элементов. Множество Оо не пусто, так как /@) =
0 = д{0). Пусть Ь ? о0. Тогда с ^ ао\{Ь} е Sf = Sg и
/(с) = д(с), так как с либо имеет меньший ранг, чем а, либо
имеет тот же ранг, но меньшее число элементов, чем оо. Ранг эле-
элемента b € Sf = 5д меньше ранга о, следовательно, f(b) =
По свойству C) для / и д
= /(с) + 2/(ь) = д(е) + 2^> = д(ао).
2.1. Алгебраические системы О и HF@)
85
86
2. Вычислимость на допустимых множествах
Приходим к противоречию.
Пусть Р С HF@)fc — fc-местный предикат такой, что 7*(-Р) ?
шк — Е-предикат на П. По доказанному выше 7* (-P) является так-
также Е-предикатом на HF@). Пусть Ф-^р^ап,... ,хк) — Е-фор-
мула сигнатуры а\ такая, что
Пусть
к
Фр(У1, ••• ,Ук)^Зхг ...Зхк( Д Ф7»(уг,
»=i
Тогда Фр — Е-формула сигнатуры cti и, очевидно,
Следовательно, Р является Е-предикатом на HF@). Отсюда так-
также следует, что если
является Е-предикатом на п, то Р — Д-предикат на HF@). Тео-
Теорема 2.1.1 доказана. D
Достаточно утомительное доказательство теоремы 2.1.1 объяс-
объясняется тем, что структуры п и HF@) все-таки достаточно далеки
друг от друга. Однако опыт работы со структурой HF@), получен-
полученный при доказательстве, окажется полезным при изучении общей
теории допустимых множеств, которое начнется со следующего па-
параграфа. А доказанная теорема добавляет серьезные основания для
принятия понятия Е-множеств в качестве аналога рекурсивно пере-
перечислимых (эффективно перечислимых) множеств, которые и будут
положены в основу теории рекурсии (вычислимости) на произволь-
произвольных допустимых множествах.
Как указано в ходе доказательства теоремы 2.1.1, справедливо
Предложение 2.1.2. Любой Л-предикат (А-предикат) РСш*
на П является и Jj-предикатом (А-предикатом) на HF@).
Доказательство. Определим некоторое преобразование /i мно-
множества Е-формул сигнатуры «то в множество Е-формул сигнату-
сигнатуры сть
Будем предполагать, что Е-формулы Ф сигнатуры ст0 удовлетво-
удовлетворяют следующим условиям:
(a) отрицание встречается лишь перед атомными подформулами Ф;
(b) если to ^ t — атомная подформула Ф, то to и t — переменные;
(c) если to = ^х — атомная подформула Ф, то она содержит не более
одного сигнатурного символа (т. е. она является формулой вида
х = 0, 0 = х, х + у = z,z = х + у, zy = z,z = ху, mex,y,z —
переменные);
(d) любой ограниченный квантор в Ф имеет вид Эх ^ у или Vx ^ у
для различных переменных х и у.
Для любой S-формулы Ф сигнатуры сто можно эффективно най-
найти Е-формулу Ф сигнатуры «то, удовлетворяющую условиям (a)-(d)
и такую, что РТ(Ф) = FV(*) и Ф =s Ф (см. § 1.2).
Преобразование ц определим индукцией по построению Е-фор-
Е-формулы Ф. Для атомарных и отрицания атомарных формул Ф опре-
определим
fi(x = 0) ;=* х = 0,
у)) - X* < у),
= г)^± Ф+(х, у, z),
+ V = z)) - Эи(Ф+(х,у,и) Л ¦> = z)),
г)^Фх(х,у,г),
= z)) — Зи(Фх(х,у,и) Л "(u = z)).
Далее определим
0 Л Фх) ^
Л
/iCx $ уФ) ^± /х(Ф)у V Эх € у/х(Ф),
/i(Vx ^ уФ) ^ 1Л{ЪI Л Vx € у/1(Ф),
/1(ЭхФ) ^ 3x(Ord (x) Л /1(Ф)).
Для Е-формулы Ф сигнатуры сто, удовлетворяющей условиям
(a)-(d), Е-формулой сигнатуры а\, очевидно, является /х(Ф) и, кро-
2.2. Теория KPU. Допустимые множества
87
ме того, FV($) = FV{fA($)). Пусть *У(Ф) = {х0, • - • ,хп}. По-
Положим
^ М(Ф) Л
Индукцией по построению формулы Ф можно установить, что
откуда следует предложение.
?
2.2. Теория KPU. Допустимые множества
В данном параграфе опишем систему аксиом для теории Крип-
ке — Платека с праэлементами (KPUff) для произвольной сигна-
сигнатуры а, расширяющей сигнатуру а\ = @;€2). В моделях А =
(А, 0А, €А,...) этой теории элементы основного множества А раз-
разбиваются на два непересекающихся класса S(A) и U(A) (A = S(A)
и!/(Л), S(A) Л U(A) = 0), элементы из S(A) будут называться
«множествами», а элементы из U(A) — «праэлементами». Классы
эти определяются следующими До-формулами сигнатуры а\:
г* х = 0 V Эу € х{у =
Ф1/(я;) ^ *s(x), ЩА) ^ Ф&
• Аксиомы и схемы аксиом теории KPU<r
0. Аксиома пустого множества
Va; € 0"(х = х).
1. Аксиома экстенсиональности
S(x)AS(y) -> (Vz € х(г € у) AVz ?
2. Аксиома пары
= у).
3. Лксиолса обиединения
3yVz € zVu ? z(u € у).
88
2. Вычислимость на допустимых множествах
4. Схема аксиом фундировамности (для любой Дф-форму-
лы ip сигнатуры а)
3xip -)¦ 3a;(v A Vy ? а;^)^).
5. Схема аксиом Ао-выделения (для любой Ао-формулы <р
сигнатуры сг, не содержащей у свободно)
3yVz[{z е у -> z е х Aip)л (z е хлср -+ z e у)].
6. Схема аксиом Ао-ограниченности (для любой До-форму-
До-формулы <р сигнатуры а, не содержащей у свободно)
Vz € a3uv -> 3yVz ? x3u € yv-
Эти аксиомы показывают, что «множества» любой модели те-
теории KPU<r удовлетворяют некоторым слабым теоретико-множес-
теоретико-множественным принципам, а праэлементы, не являясь «множествами»,
являются элементами «множеств».
Рассмотрим серию примеров моделей теории KPU<r. Модель тео-
теории KPU,, будем для кратности называть КРи^-моделями. Пусть
21 = (А,...) — алгебраическая система некоторой сигнатуры а',
которая не содержит функциональных символов и а' П а\ = 0.
Рассмотрим элементы из А как празлементы (т. е. «забывая» о
теоретико-множественной природе элементов из А) и построим сле-
следующую последовательность множеств над А:
UF0(A) т± ГШ(А), HFn+1 ^
UHFn(A), n € ы,
где VW{S) — семейство всех конечных подмножеств множества 5.
Пусть
HF(A) ^ U HFn(A).
Элементы из HF(A) будем называть наследственно конечными
множествами над А. На множестве AuHF(A) естественным обра-
образом можно определить структуру алгебраической системы HFBl)
сигнатуры а ^ a' U а\ так, что
(HF(a) \а')\А = Ъ,
a 0HFH) и ^^(А) имеют естественные значения пустого множества
(принадлежащего HFo(j4) С HF(A)) и отношения принадлежно-
принадлежности. Легко проверить, что HFBl) является КРи^-моделью.
2.2. Теория KPU. Допустимые множества
89
Аналогично можно построить «универсальную» модель над мно-
множеством праэлементов А:
Vo(A) ^ V(A) ( — множество всех подмножеств А),
VQ+l(A) *± V(Va(A)) U Va{A), О - ОрДИНЭЛ,
Va{A) ^ (J Vp(A),a — предельный ординал,
0<а
V,{A) ^ U{Va(A) | а — ординал}.
Последнее определение имеет смысл в предположении, что все рас-
рассмотрения проходят в некоторой внешней (модели) теории множеств
и объединение берется по всем ординалам этой модели.
На множестве A U V* (А) можно естественно задать структуру
алгебраической системы ф(А) сигнатуры а\ = @, е) (или системы
фB1) сигнатуры ах U а', если А — основное множество некоторой
алгебраической системы 21 сигнатуры а1). Среди подсистем ф(-А)
находится также HF(A). С любым кардиналом х можно связать
подсистему ШМ(А) ^ УР(А), состоящую из всех праэлементов из А и
всех множеств о из V» (А), транзитивное замыкание ТС(а) которых
имеет мощность меньше >е.
Через НС(А) обозначим подсистему ф(А), состоящую из всех
праэлементов из А и всех множеств о из V»(A), транзитивное за-
замыкание которых ТС (о) не более чем счетно:
Имеет место следующее утверждение:
для любого кардинала х система ШХ(А) (или ЫхB1)) явля-
являются KPU-моделью.
Это утверждение довольно просто доказывается для регулярных
кардиналов а. Случай сингулярных кардиналов требует допол-
дополнительных рассмотрений (см. следствие 2.7.2, ниже).
В теории KPUa можно развить некоторую элементарную теорию
множеств и установить, что ряд отношений и теоретико-множествен-
теоретико-множественных функций являются До-отношениями и Е-функциями соответ-
соответственно.
Если А — KPU-модель, то с каждым «множеством» а € А мож-
можно связать «настоящее множество»
о ^ {Ь | Ь е А, А ^= Ь ? а},
90
2. Вычислимость на допустимых множествах
являющееся подмножеством А. Такие подмножества А будем на-
называть А-конечными и часто будем отождествлять а и о (что воз-
возможно благодаря аксиоме экстенсиональности). Множество {о |
а € А, А (= 5(а)} обозначаем через А*. Далее часто будем «ото-
«отождествлять» множества 5(А) и А*.
Определим отношение iCy формулой S(y) Л Vz € x(z € у).
Заметим, что определенное таким образом отношение является от-
отношением не только на «множествах». Для любой КРи^-модели А
имеем А |= о С Ь, если о — праэлемент и Ь — «множество»,
А\=аСЬ<*аСЬ,
если о и b — «множества» в А.
Аксиомы пары и До-выделения позволяют определить Е-функ-
цию х,у \-t z = {х, у} (неупорядоченной пары) следующей До-фор-
До-формулой:
Ф(а;, у, z) ^± х € z Л у Е z ЛУи Е z(u = xV и = у).
Используя зту функцию, можно определить также S-функции х —?
{х}(= {х,х}), хеА;х,у*-> (х,у) ^ {{х}, {х,у}}, х,у € А.
Аксиомы объединения и До-выделения позволяют определить
Е-функцию х \-t Ux = U{y | у € x}, x € А, следующей До-фор-
До-формулой:
$u(x, у) ^ S(y) Л Vz € x(z С у) Л Vu € y3z € х(и € z).
Замечание 2.2.1. Если х является праэлементом или содержит
только праэлементы, то Ua; = 0.
Е-функции х, у !->• х П у; х, у t-? x U у, х, у € А, определяются
следующими До-формулами:
Фп(х,у,г) ^zCiAzCyAVue х(и €у -»• и € z),
$u(x, у, z) -^ х С z А у С z A Vu € z(u € xVu €y).
Функция х \-? Пх ;=± П{у | у € х}, х € А, также является Е-фун-
кцией, и определяется следующей До-формулой:
Фт(х, у) ^S(y) A Vz € x(S(z) -> у С г)
е хУи е z(Vio e x(u e w) ->¦ и е у).
2.2. Теория KPU. Допустимые множества
91
Пока аксиомы До-ограниченности не использовались. Однако
для доказательства существования декартова произведения внутри
А нужно будет применять их дважды.
Предложение 2.2.1. В любой KPV-модели А справедливо сле-
следующее предложение:
VxVy3z(S(x) Л Vu € xWv € уЗи> 6 г ((и, v) = w)
Л Viy € z3u € x3v €y(w = (u, v))).
Доказательство. Достаточно доказать справедливость предло-
предложения
VarVyBzVu € xWv ?y3w?z ((it, и) = tu),
а далее, используя аксиому До-выделения, можно установить и ис-
исходное предложение. Установим сначала справедливость утвержде-
утверждения
Очевидно, что
3iy0 Vu € y'3d 6 tuo ((u, и) = d).
Vv€y3w3dew((u,v) = d)
(в качестве w можно взять {(u,u)}). В силу Д0-ограниченности
имеем
3t»'Vu € у 3w € w'3d € ги ((и, и) - d).
Если в качестве и>о возьмем Uto', то получим
Vv€x3dewo((u,v) = d).
Итак, можно утверждать, что
Vu € x3w0Vu € y3d € tuo((u,u) = d).
Опять в силу До-ограниченности получаем, что
3tui Vu € х Згоо € «л Vu € у 3d € w0 ((u, и) = d).
Если гу* т=^ Uuii, то справедливо утверждение
Vu € х Wv € у 3d € ги* ((и,и) = d),
из которого следует предложение 2.2.1. D
92
2. Вычислимость на допустимых множествах
Введем обозначения:
Trans (x) ^ Vj/ € xVz € у {z € z),
Ord (x) ^ Trans (а:) Л Vj/ € zTrans (y).
• «Множество» а называется транзитивным, если a € Trans [a:]
и «множество» а € SA[x] называется ординалом в А, если А |=
Ord (a) (обозначаем a € OrdA[x]).
Множество Ord [а:] всех ординалов в А обозначим через Ord (A).
Оно является До-множеством в А.
Отметим следующие легко проверяемые свойства ординалов в А.
A) Если а — ординал и Ь € а, то Ь — ординал.
B) Если а иЬ — ординалы, то аПЬ и a Lib также ординалы.
C) Если а € А* таково, что любой элемент Ь из а есть ординал,
то Lto — ординал.
D) Если а — ординал, то S(a) ^aU {a} также ординал.
Установим теперь
Предложение 2.2.2. Для любых двух ординалов а и Ь в А имеет
место точно один из следующих трех случаев:
а = Ь, а € Ь, Ь € а.
Докажем сначала вспомогательное утверждение.
Лемма 2.2.1. Пусть а — ординал в А такой, что Ь = с У Ь €
сУс € Ь для любых Ь,с € а. Если ординал Ь в А такой, что Ьф а
и Ь С а, то Ь принадлежит а.
Доказательство. Пусть b — ординал в А такой, что b С а и
Ьф а. Тогда множество а\Ь(€ А*) не пусто. По аксиоме фундиро-
ванности существует с € а\Ь такой, что с П (а\Ь) = 0. Если dec,
то d € b (так как d € and € a\b влекут d € с Г) (a\b) = 0).
Следовательно, с С Ь. Если с = Ь, то 6 = с 6 о, что и требова-
требовалось установить. Если с ф Ь, то существует d € b\c. Поскольку
debCancea, по условию имеем с = dV с €. dV d € с. Пока-
Покажем, что справедливость любого из дизъюнктивных типов приводит
к противоречию:
2.2. Теория KPU. Допустимые множества
93
с = d =Ф c?b противоречит условию с € а\Ь;
с € d => с € Ь противоречит условию с € а\Ь, так как 6 —
ординал и с 6 d, d € Ь;
d € с противоречит условию d € Ь\с.
Итак, с = Ь и Ь € а. П
Доказательство предложения 2.2.2. Ввиду свойств A) и B)
ординалов достаточно установить, что Ь — с VЬ € с V с G ft для лю-
любого ординала о и любых Ь,с € о. Пусть о — ординал. Рассмотрим
его подмножество
Оо G Л*, по аксиоме До-выделения. Легко проверить, что Оо явля-
является ординалом.
Покажем теперь, что b = cVb?cVc?b для любых Ь, с € Оо-
Предположим противное. Пусть Ь, с € Оо таковы, что b ф с,Ь 0 с,
с 0 Ь. Рассмотрим ординал d ?=* Ь П с. Из условий на 6 и с следует,
что d 0 Ь, с, а ординалы бис удовлетворяют условиям леммы 2.2.1.
Тогда deb, decd?br\c = d. Приходим к противоречию.
Остается установить, что Оо = о. Предположим противное, и
пусть b € о\ао такой, что Ь Г) (о\ао) = 0. Тогда b С Оо и оо
удовлетворяет условиям леммы 2.2.1. Следовательно, b = Оо или
Ь € Оо. Второе условие приводит к противоречию (так как b e
о\оо). Поэтому Оо = b € о. Но так как Vc € aoVd € Оо (с =
dVc?dVd?c), согласно определению Оо должно быть Оо G
Оо, что противоречит аксиоме фундированности. Итак, оо = о, и
предложение 2.2.2 доказано. D
Ординалы в А условимся обозначать строчными греческими бу-
буквами: а, 0,
На множестве Ord (А) введем отношение
Согласно предложению 2.2.2 это отношение является линейным по-
порядком на Ord (А). Заметим, что оно совпадает с отношением вклю-
включения на А*, ограниченным на элементы из Ord (A).
Из предложения 2.2.2 и леммы 2.2.1 следует, что S(a) являет-
является наименьшим ординалом среди ординалов, строго больших а €
Ord (А).
94
2. Вычислимость на допустимых множествах
• Ординал а в А называется предельным, если он не представим
в виде S(/?) для подходящего ординала /J в А.
Множество всех предельных ординалов в А является До-мно-
До-множеством:
(а € Ord А предельный ¦» А 1= V/3 е а(а ф S(/3))).
Предложение 2.2.3. Существует частичная Т,-функция
A:OrdA-»OrdA
такая, что для любого ординала а в А ординал А (а) предельный,
А(а) ^ а, и для любого предельного ординала /3 в А из /3 ^ а
следует /3 < А (а).
Доказательство. Функция А определяется как Ф^[а;,у], где
Фд(ж, у) ^Ord (z) Л (у € х V у = х)
AVze у(у ф S(z)) AVu € х(у € и -> 3v € х(и
= S(v)) Л(хфу^3ьех(х = S
Остается только отметить, что для любого ординала а в А существу-
существует ординал C такой, что А 1= Фд(а, C). Если ординал а предельный,
то А 1= Фд(о!, <*). Для непредельного ординала а в А определим его
подмножество а^.а так:
о ^ {Ь | be a,Wc ea{b€c^3de a(c = 5F)))}.
Множество а принадлежит А* по аксиоме До-выделения. Кроме
того, а непусто. Следовательно, по аксиоме фундированности су-
существует /3 е а такой, что /3 Па = 0. Нетрудно проверить, что
А1=ФЛ(а,/?). D
Отметим еще одно следствие аксиомы фундированности:
Любое непустое формульное подмножество b С Ord А имеет
наименьший элемент относительно порядка ^.
• Ординал а в А называется натуральным числом в А, если лю-
любой ординал b ф 0 такой, что ЬС а, имеет вид S(c) для некото-
некоторого с (с также ординал!).
Из определений видно, что множество Nat(A) всех натуральных
чисел в А является До-множеством в А.
2.3. Принципы
95
• KPU-модель А назовем допустимым множеством, если ли-
линейный порядок ^А на Ord (А) вполне упорядочивает Ord (A).
Замечание 2.2.2. Это определение не совпадает с более узким
определением допустимого множества в книге Барвайса [4], одна-
однако приводимое нами определение абстрактно в том смысле, что
любые изоморфные KPU-модели одновременно являются или не
являются допустимыми множествами и любое допустимое множе-
множество в смысле приведенного здесь определения изоморфно допусти-
допустимому множеству в смысле Барвайса (с помощью приема Мостовско-
го; см. [4, гл. 1, § 7]).
Все подсистемы системы ф(Л), являющиеся KPU-моделями, яв-
являются и допустимыми множествами. Так, НХ(Л) — допустимое
множество для любого кардинала х.
Если А — допустимое множество, то через О (А) обозначим наи-
наименьший ординал, не лежащий в Ord(A).
2.3. Принципы S-рефлексии, А-отделимости
и S-orpa ни ценности
Пусть Ф — S-формула, у — переменная, не встречающаяся в Ф.
• Ао-параметризацией формулы Ф называется А0-формула Ф
такая, что FV(^) С FV($) U {у} и выполнены следующие
условия:
1) Vx € у (х € z) А Ф =>kpu (Ф)?, (монотонность),
2)Ф =kpu ЗуФ.
Установим ряд лемм о До-параметризациях.
Лемма 2.3.1. Пусть Фо(ж) и Ф\(х) — ^-формулы, Ф0(у,х) и
iSi(y,'x) —Ао-параметризации формул Фо иФ\ соответствен-
соответственно. Тогда (Фо\/Ф1) есть До -параметризация формулы (Фо\/Ф1),
а (Фо Л Фх) — А0-параметризация формулы (Фо Л Ф1).
Доказательство. Установим второе утверждение. Ввиду соот-
соотношений Фо =kpu ЗуФ0, Ф1 =кри ЗуФх
($0A$i) =kpu ЗуФ0ЛЗуФх.
96
2. Вычислимость на допустимых множествах
Далее, Зу(Фо Л Ф1) =>s ЗуФ0 Л ЗуФь Установим импликацию
ЗуФ0 Л ЗуФ1 =>Кри Зу (Фо Л
Пусть А — KPU-модель и ft: {х} —»• А — интерпретация такая,
что А N (ЗуФо Л 3y^i)[h]. Тогда А \= 3yW0[h] и существуют
ho: {х, у} -> А такая, что А 1= Фо[Ло]. ^о \ {x} = hnhi: {x,у} ->
А такая, что
Лж г {г} = л.
Пусть ао т^ ho(y) и ai ^ hi(y). He уменьшая общности, предпо-
предположим, что ao,oi € А*. Действительно, если, например, а0 явля-
является праэлементом и /i^: [х,у] -> А такая, что h'o \ {x} = h, а
h'0(y) = 0, то из условия монотонности получаем
А 1= Фо[Ло] & А1= Фо[Ло]-
Пусть a ^ ao U ai € А* и h*: {x,y} -? А определена так, что
ft* \ {х} = ft, h*(y) r=i а. Так как a0 С а и ai С а, ввиду
монотонности имеем
Поэтому А 1= Зу(Ф0 Л Фа)[Л]. Соотношение ЗуФ0 Л З2/Ф1 =>kpu
Зу(Фо Л Фа) установлено. Поэтому
Зу(Ф0 Л Фа) =кри ЗуФ0 Л ЗуФ1 =Кри Фо Л Фь
Проверка монотонности для формулы Фо Л Фг очевидна. Таким
образом, Фо Л Фх является Д0-параметризацией формулы Фо Л Фх.
Случай дизъюнкции рассматривается еще проще. D
Лемма 2.3.2. Пусть Ф(= Ф(г0)Х1,... ,хп)) — ^-формула и
ф(= ф(у,xo,Xi,... ,х„)) — Ао-параметризация формулыФ. То-
Тогда
(а) Зжо € ХПФ есть А0-параметризация формулы Зяо € ЖПФ,
(бKа:о € уФ есть Ао-параметризация формулы ЗгоФ-
Доказательство. Проверим для утверждения (а) условие 2 из
определения До-параметризации. Из Ф =kpu ЗуФ следует
Зяо € ж„Ф =kpu Зжо € а:пЗуФ,
2.3. Принципы
97
но
0 € xn3yV =s ЗуЗх0 € я„Ф.
Поэтому
€ хпФ =кри
€ а:„Ф).
Условие 2 выполнено, а выполнение условия 1 очевидно.
Проверим условие 2 для утверждения (б). Из Ф =kpu Зг/Ф сле-
следует Зх0Ф =kpu ЗяоЗуФ. Далее, ЗюЗуФ =в ЗуЗа^Ф и ЗуЗяо G
2/Ф =>s ЗуЗюФ- Остается установить импликацию
ЗуЗяоФ =^kpU ЗуЗю € 2/Ф.
Пусть А — KPU-модель и h: {х\,... ,а:п} —>• -А — интерпретация
такая, что А 1= Bj/Bzo?[/i], a h': {хо,Х\,... ,хп,у) —? А — интер-
интерпретация такая, что А й Ф[Л'], и Л' f {ц,... ,хп} — h. Положим
а ?=ь h'(y) (заметим, что а € А*) иа0^ aU{ti(xo)}(€ А*). Тогда
а С ао. Если интерпретация /г": {a:o,a:i,.-- ,xn,y} —> А такова,
что Л" \ {xo,xi,... ,хп} = Ы \ {xo,xi,... ,xn}ah"(y) ;=* оо, то
в силу монотонности Ф имеем А N Ф[Л"]. Заметив, что h"(xo) =
h'(x0) € ао = h"(y), получаем А 1= ЗуЗхо 6 г/Ф[Л]. Таким обра-
образом, Зг/ЗжоФ =>kpu ЗуЗго € j/Ф, ЗуЗгоФ =кри ЗуЗж0 € j/Ф
и ЗгоФ =kpu ЗуЗхо € j/Ф. Условие 2 доказано, а выполнение
условия 1 очевидно. D
Лемма 2.3.3. Пусть Ф(= Ф(а:о,а:1,... ,хп)) — ^-формула и
Ф(= Ф(у,хо,Х1,... ,хп)) — ее Ао -параметризация. Тогда Ао-
формула Фо г=± Ухо € жпФ является До -параметризацией фор-
формулы Wxo € хпФ.
Доказательство. Монотонность Фо очевидна. Проверим усло-
условие 2 определения Ао-параметризации. Имеем Ф =kpu Зг/Ф,\/жо €
а:„Ф =kpu Vxo € а:пЗг/Ф. Так как Ф является А0-формулой, по
аксиоме А0-ограниченности
Wx0 € а:„Зг/Ф =KPU 3uVa:o € хп3у € иФ.
Покажем, что
ЗгЛ/zo € хп3у € иФ =Кри ЗуУх0 € а:„Ф.
98
2. Вычислимость на допустимых множествах
Очевидно, что
ЭуУжо € а:пФ =>kpu ЗиУю € a:n3j/ € иФ
(в качестве и нужно взять {у}).
Пусть А — KPU-модель. Пусть Л: {zi,... ,а:п} -t A — интер-
интерпретация такая, что
А 1= 3uVz0 € хп3у € иЩЩ,
и Л': {х\,... ,хп,и} —> А — интерпретация такая, что
А 1= Wx0 € хп3у € иФ[Л'].
При а ^ Л'(и) и Ь ^ Ua для любого с€ а имеем А 1= Vz € с(х € Ь).
По монотонности Ф получаем
где интерпретация Л*: {xi,... ,хп,у} -> А определяется так, что
h* \ {хг,... ,хп} = h, h*(y) = b. Но тогда
А 1= 3yVx0 € xn9[h].
Следовательно,
3uVa:o € хп3у € иФ =>s 3yWx0 € а:„Ф,
3uVa:o € хп3у ? иФ =kpu ЗуУхо € а:„Ф,
Vio € а:„Ф =kpu 3j/Va:o € а:пФ-
Лемма 2.3.3 доказана. D
Лемма 2.3.4. Пусть Ф(= Ф(хо, ¦ ¦ ¦ ,хп)) — ^.-формула и Ф(=
Ф(у,хо,-¦ ¦ ,хп)) — ее Ао-параметризация. Тогда Ф' ^ Ф Л
( Д Xi € у) — Ао-параметризация формулы Ф.
Доказательство. Монотонность Ф' очевидна. Далее, Ф' =>s Ф
и ЗуФ' =>, ЗуФ. Установим импликацию Зг/Ф =>kpu Зг/Ф'. Пусть
А — KPU-модель, a h: {xi,... , zn} -> А — интерпретация такая,
что А N Зг/Ф[Л], и Ы: {хо,..., хп, у} -> А — интерпретация такая,
что А И ЩЬ,'] и h' \ {xq,... ,xn} = h. He уменьшая общности
(используя монотонность Ф), можно считать, что а г=* /i'(j/) € A*.
Положим
Ь ?± а U
2.3. Принципы
99
100
2. Вычислимость на допустимых множествах
Пусть интерпретация h*: {хо, ¦ ¦ ¦ ,хп,у} -»¦ А определена так, что
h* \ {xi,... ,хп} = h и h* (у) ?=ь Ь. Тогда, как нетрудно проверить,
А 1= Ф'[Л*]. Следовательно,
А N ЗуФ', ЗуФ =*kpu ЗуФ', ЗуФ =kpu ЗуФ'.
Так как Ф =кри ЗуФ, заключаем, что Ф =kpu ЗуФ' и Ф' —
До-параметризация формулы Ф. ?
Пусть Ф = (Ф(а:о,•-. ,хп)) — S-формула и переменная у не
встречается в Ф. Через Ф^ обозначим А0-формулу, которая полу-
получается из формулы Ф заменой каждого неограниченного квантора
существования вида За: ограниченным квантором За: ? у. Через
фМ обозначим Ао-формулу ф№> Л ( Д Xi € у).
Предложение 2.3.1 [принцип Е-рефлексии]. Пусть Ф — про-
произвольная ^-формула. Тогда Aq-формулы Ф™' и Ф'у' являют-
являются ее Ао-параметризациями. В частности, Ф =kpu ЗуФ^ и
Ф =<>
Доказательство. Заметим, что если Ф — Д0-формула, то Ф^ =
Ф и, очевидно, Ф является До-параметризацией. Индукцией по по-
построению S-формулы с помощью лемм 2.3.1-2.3.3 устанавливаем,
что ф(у) есть До-параметризация формулы Ф.
Утверждение о том, что Ф^ есть До-параметризация форму-
формулы Ф, вытекает из предыдущего и леммы 2.3.4. D
Следствие 2.3.1. Для любой Yl-формулы. существует некоторая
До -параметризация.
Предложение 2.3.2 [принцип Д-отделимости]. Пусть А — KPU-
модель, Ф0(х,х0,.-- ,хп), Ф^ж.Жо,-• • ,хп) ~ ^-формулы, а €
A*, h: {х0,... ,хп} -> А таковы, что А И Va: € а(Фо V ФОИ-
Тогда существуют ai, аг 6 А* такие, что a = OoUai u A N
Доказательство. Пусть Wi(y,x,x) — До-параметризация Ф^,
i — 0,1. Тогда Фо(у, х, х) V Ч/\ (у, х, х) — До-параметризация фор-
формулы Фо V Ф\. Поэтому
А 1= Va: € аЗу(Я>0(у,х,х) V 9i(y,x,x))[h].
По аксиоме До-ограниченности существует элемент Ь € А* такой,
что А 1= Va: € аЗу € Ь(Ф0(у,а;) V 9i(y,x))[h]. По аксиоме До-вы-
До-выделения существуют элементы ai,a2 € А* такие, что А N Va: €
а(х € п{ о Зу € b$>i(y,x))[h]. Можно считать, что ao,ai С а, в
противном случае возьмем в качестве а0 и ai множества ао Г) а и
ai П а. Нетрудно проверить, что элементы ао и а\ удовлетворяют
условиям предложения 2.3.1. ?
Замечание 2.3.1. Название «принцип Д-отделимости» прояс-
прояснится в следующем параграфе.
Предложение 2.3.3 [принцип Е-ограниченности]. Для любой Е-
формулы Ф имеет место следующая импликация:
Va: € «ЗгФ =>kpu 3w(Va; € u3z € шФ Л Vz € w3x € иФ).
Доказательство. Пусть Ф(у, х, и, z, xq, ... , a:n) — До-парамет-
До-параметризация формулыФ(= Ф(х,и,г,хо,- ¦ ¦ ,хп))- ТогдаФ =kpu ЗуФ
и ЗгФ =kpu 3yCz € у$).
Пусть А — KPU-модель и Л: {и, Хо, ¦ • ¦ ,хп} -> А — интерпре-
интерпретация такая, что А N Va: € и32Ф[Л]. Тогда
Так как 3z € уф — Д0-формула, по аксиоме Д0-ограниченности
имеем
А 1= 3vVx € иЗу е v3z € уЩН\.
Пусть /г': {v, и, хо, ¦ ¦ ¦ , хп} -»• А — интерпретация такая, что
Ы \{и,х0,... ,xn} = h,
и А 1= Va: € иЗу € v3z € уФ[Л']. Положим а ^ h'(v) (не уменьшая
общности, предположим, что а € А*) и Ь ^± Ua. Нетрудно видеть,
что имеет место соотношение
А 1= Va: € u3z € ЬЭу € аЩЩ.
B.3.1)
По аксиоме Д0-выделения существует элемент bo С b, bo € A*,
такой, что
A t= Vz € b(z € bo *4 За: € иЗу € v$)[ti].
B.3.2)
2.4. S-операторы и теорема Ганди
101
102
2. Вычислимость на допустимых множествах
Пусть интерпретация Л*: {w,v,u,x0,.-. ,хп} -> А определена так,
что Л* \ {и, v,xo,-- , хп} — h' и h* (w) = bo- Покажем, что
А N (Va; € u3z ? юФ Л Vz € w3x ? иФ)[Л*].
Действительно, пусть с € Л* (и) = Л(и). Тогда в силу B.3.1) су-
существует элемент deb такой, что А t= Зу € u$(j/,c,ti,d,x)[/i'],
и в силу B.3.2) имеем d ? bo = h*(w). Но Ф =кри ЗуФ и
Зу € иФ =S>S ЗуФ. Следовательно,
А 1= Vs e u3z € гиФ[Л*].
Проверка соотношения А 1= Vz ? хоЗх € иФ[Л*] осуществляется с
использованием определения элемента Ьо- Пусть d ? bo- Тогда
А N За: ? иЗу ? ut(y,a;,u,d,a?)[/i'],
А И За: € иЗуФ^я.иДзЭДЛ'],
At= За: € иФ(у,х,и,<1,х)[Н'].
Следовательно, А N Vz € «;3а; € иФ (у, а:, и, г, ж) [ft*]. О
2.4. S-операторы, теорема Ганди
и формульная представимость Е-операторов
Пусть А — KPU-модель. На множестве V(A) всех подмножеств
модели А введем две топологии.
• Сильная топология определяется открытым базисом, состоя-
состоящим из семейств вида Va ;=* {М | М С А,а С М}, о € Л*.
• Слабая топология определяется открытым предбазисом, состо-
состоящим из семейств вида У{<ф ° € Л.
Замечание 2.4.1. Базис слабой топологии, порожденный ука-
указанным выше предбазисом, состоит в точности из семейств вида Va>
а € А*, где а — конечное множество.
• Отображение F: V(A) -»• V(A) называется слабо непрерыв-
непрерывным оператором, если F — непрерывное отображение множе-
множества V(A), рассматриваемое в сильной топологии, в множество
V(A), рассматриваемое в слабой топологии.
Следствие 2.4.1. Каждый слабо непрерывный оператор являет-
является монотонным.
Доказательство. Пусть Мо С Mi С А и а € F(M0), т. е.
F(Mq) € V{ay. Тогда существует элемент Ь ? А* такой, что Мо €
Уь и Vb С F~1(a). Но включение Мо € VJ, означает, что Ь С Мо-
Следовательно, Ь С Мо С Мх и Мх ? Vb С F'^o), a € F(MX),
т. е. F(M0) С F(Mi). D
Замечание 2.4.2. Каждый слабо непрерывный оператор F: V(A)
-»• ^(Л) однозначно определяется множеством Г*? ^ {(a, b) \ a ?
А*, b ? F(a)}. Действительно, для любого М С А имеем
F(M) ?=ь {Ь | существует а ? А* такой, что а С М и (а, b) ? T*F}.
• Слабо непрерывный оператор F: V{A) —? V(A) называется
Е-оператором, если T*F — Е-подмножество множества А2.
Следствие 2.4.2. Если F: V(A) -> V(A) — И-оператор и R ?
ЩА), moF(R)?Z(A).
Утверждение следует из представления F(M), указанного в за-
замечании 2.4.2.
Предложение 2.4.1. Пусть F — И-оператор. Ограничение F \
Е(Л), рассматриваемое как отображение из Е(Л) в Е(Л), явля-
является непрерывным отображением Е(Л) в Е(Л) в сильной топо-
топологии.
Доказательство. Пусть R ? Е(Л) и F(R) ? Va, a ? А*.
Ввиду слабой непрерывности оператора F имеем
А И Vb € аЗс (с С R А (с, Ь) ? T*F).
Поскольку R и Гр — Е-отношения, можно применить принцип Е-ог-
раниченности и найти элемент d ? А* такой, что
А 1= Vb € аЗс ? d (с СДл(с,Ь) € rj.) Л (Vc € d (с С R)).
Положим со ^ Ud. Тогда сц С Д, так как Vc € d (с С Д), и
(со, Ь) ? T*F для всех b ? а, поскольку для любого Ь ? а существует
2.4. S-операторы и теорема Ганди
103
104
2. Вычислимость на допустимых множествах
с € d такой, что (с,Ь) € Рр, т.е. b € F(c), но с С сц. Поэтому
Ь € F(c) С F(co) и (со,Ъ) € Г*р. Таким образом, R € VCo. Из
включения (со,Ь) € Гр, верного для всех Ь € а, следует, что а С
F(M) для любого М € УСо, т. е. F(VC0) С Vo. ?
Пусть F: V(A) -> 'Р(Л) — S-оператор. Ввиду монотонности
оператор F обладает наименьшей (по включению) неподвижной точ-
точкой, которая может быть описана следующим образом.
Для каждого ординала а (внешнего, не обязательно из А) опре-
определим подмножество Го С А так:
^{\J f(a)\
Го ^ 0,
^ F(Ta), Га
для произвольного предельного а. Легко устанавливается, что а ^
C влечет Го С Гр, а ввиду «мощностных» соображений существует
ординал а такой, что Го+1 = F(Ta) = Го> т. е. Го — неподвиж-
неподвижная точка. Нетрудно также показать, что "для М С А такого, что
М С F(M) (в частности, для М = F(M)), справедливо включение
Г„СМ для всех ординалов а. Следовательно, если Го+1 = Го, то
Го — наименьшая неподвижная точка F. Пусть а» — наименьший
ординал такой, что Го.+1 = Го,.
Теорема 2.4.1 [Ганди]. Пусть А — допустимое множество,
F: V(A) —> V(A) — Ti-onepamop. Тогда наименьшая неподвиж-
неподвижная точка Г» оператора F является ^-подмножеством А, а наи-
наименьший ординал а» такой, что Г, = Га>, меньше или равен
ординалу 0(А).
Доказательство. Введем следующее семейство Л-конечных фун
кций:
В ^ {/ |/ — (Л-конечная) функция, 6f — ординал,/@) = 0,
/ монотонна, т. е. а ^ 0 < <5/ влечет /(а) С /(/?)
и для любого а Е 6f верно /(а) С \^j F(f@))}.
Из определения семейства В и определения Е-оператора видно, что
семейство В является Е-подмножеством множества А. Ясно, что
множество
также является Е-подмножеством А.
Пусть
A^U{c| с€С}, Д
Покажем, что множество А обладает следующими свойствами.
A) Если а € А* и а С. А, то существует элемент с ? С такой,
что а С с (С А).
Из определения А и условия о С А следует соотношение
А 1= W € аЗ/ (/ € В Л За € 5} (Ъ € /(а))).
Используя принцип S-ограниченности, найдем элемент g € А*
такой, что
А 1= Щ € оЗ/ € g (/ € В Л За € Sf (Ь € /(а)))
Л (V/ € g (/ € В)).
По Л-конечному подмножеству g С В определим функцию /о
следующим образом:
5fa - U{5/ | feg},
/0(а) ^ U{/G) | / € 5,7 € 5/,7 < «}, « е 5fo.
Нетрудно проверить, что /о является Л-конечной функцией. Бо-
Более того, /о € В. Очевидно, что /о@) = 0 и /о монотонна.
Проверим, что выполняется равенство
/о(а)С \jF(fo(f3)), aeSf0.
0<а
Если а € /о(а), то существуют / € (/> 7 € 5/, 7 ^ а такие, что
а € /G)- Так как / € g С В,
а 6 /G) С U F(f(S)) С U F(foF)) С |J F(/o(/3)).
Таким образом, /0 € J5. Положим
2.4. S-операторы и теорема Ганди
105
Тогда со € С и а С со согласно выбору семейства д и определе-
определению /о.
B) Справедливо включение F(A) С Д.
Пусть Ь € F(A). По слабой непрерывности F найдем элемент
а ? А* такой, что Д € Va С F~1(b). Для этого элемента о
найдем, по доказанному выше, функцию /о G В такую, что
а С
/0(а)(СД).
Положим
/i^/о U {<<*,„, U /o(a))}U{EE/o),( JJ /(а
Ясно, что /j — Л-конечная функция, 5у, = S(SFj0)),
= U /°(a)^ U
= U
Так как о С (J /о(а) и Ь € ^(о), имеем
h(S(8fo))C
в,
Следовательно,
/,(о)сд.
Таким образом, F(A) С Д.
C) Справедливо включение Д С Го(А) •
Достаточно показать, что для любой функции / G В
U /(«)civ
Для этого индукцией по a G 6f установим, что /(а) С Го.
Имеем /@) = 0 С Го. Если /(а) С Го, то
/(a+l)CF(/(a))CF(ro) =
106
2. Вычислимость на допустимых множествах
Если ординал а предельный и f(/3) С Гр для всех 0 < а, то
/(а) С U F(f(C)) С
= Г„.
0<а
Из установленных соотношений ^(Д) С ДиДС ^о(А) следует,
что Д = Г0(а) , А — наименьшая неподвижная точка иа,^ 0(А).
Теорема доказана. ?
Сделаем ряд замечаний к этой очень важной теореме.
Замечание 2.4.3. Если А не является допустимым множеством,
а всего лишь KPU-модель, можно построить Е-множества Див
этом случае. Относительно Д можно утверждать, что это наимень-
наименьшая неподвижная точка оператора F среди формульных неподвиж-
неподвижных точек или даже формульных подмножеств М С А таких, что
F(M) С М. Действительно, пусть М С А такое, что F(M) С М
и М = ФА[а:] для подходящей формулы Ф. Предположим, что
Д ? М. Тогда существует / € В такая, что
U /(«) ? м-
aeSf
Если Д) — наименьший ординал в непустом множестве
{/? |/?€«/, Эх €/(/?Г«(а:)},
то для Р < Д) имеем
/(/3) С М, F{f{P)) С F(W) С М.
Следовательно,
/(ДО С U F(/(/3)) С М.
/3</3о
Приходим к противоречию.
Замечание 2.4.4. Для любого а ^ 0(А) множество Га является
Е-подмножеством А.
Замечание 2.4.5. Приведенное доказательство теоремы Ганди
можно легко модифицировать для доказательства следующей более
общей теоремы.
2.4. Х-операторы и теорема Ганди
107
Теорема 2.4.2. Пусть А — допустимое множество и F:V(A)
—? V(A) — ^-оператор. Если R — И-подмножество А такое,
что R С F(R), то наименьшая неподвижная точка R* операто-
оператора F, содержащая R, является ^-подмножеством множества А
и получается с помощью не более чем 0(А) итераций. Если
Ro^R, RQ+1 ^ F(R), RQ ^ U R0
для предельного ординала а, то Д» = -Ro(A) •
Для доказательства нужно определить Е-множества
Br ^± {/ | / — Л-конечная функция, 5/ — ординал, /@) С R,
f монотонна и для любого 0 ф а € 5/
верно /(а) С [j F(f@))},
0<а
AR^±{b\3fe BR3a ?6f(be /(а))}
и доказать, что Дд = -^о(А) • П
Установим теперь тесную связь между Е-операторами и Е-фор-
мулами сигнатуры о U (Р+), расширяющей исходную сигнатуру а
символом нового одноместного предиката, который входит в форму-
формулу только положительно.
Пусть F: V(A) -? V(A) — S-оператор и ^f(v, x) — S-формула
(сигнатуры а), которая определяет Е-множество Г^ так:
Пусть
:, Р+) ^ 3j/(V« € уР{и) Л ФР(у, х)).
Если использовать сокращения Зу С Р для 3t/(Vu e уР(и)Л ), то
Ф^(ж,Р+) = 3j/ С РФр(у,х). С формулой Ф^(а:,Р+), как и в
§ 1.3, можно связать монотонный оператор Г^ - i: Р(А) -»• V(A).
Без особого труда проверяется следующее утверждение:
операторы F§,Frxi и F совпадают.
108
2. Вычислимость на допустимых множествах
Действительно, для М С А
IWM > = *Г>М>И = {Ъ I Ь € Д <А,М> И *
= {Ь | существует а € Л* такой, что
aCM,(a,b)eVF}
= F(M).
Таким образом, каждый S-оператор F на V{A) представим в
виде Гф. 1 для подходящей Е-формулы Ф(а:,Р+) сигнатуры <т U
(Р+). Естествен вопрос, будет ли верно обратное утверждение:
если Ф(а:,Р+) — ^-формула сигнатуры a U (Р1), то отобра-
отображение Тщху V(A) —? V(A) является И-оператором?
Ответ «почти» положительный.
Теорема 2.4.3. Пусть Ф(а:,Р+) — Ti-формула сигнатуры a U
(Р1). Ограничение отображения ^щху V{A) -> 'Р(Л) ко Е(Л)
С 'Р(Л) является непрерывным отображением из Е(Л) (в силь-
сильной топологии) в V(A) (в слабой топологии).
Прежде чем доказывать теорему 2.4.3, установим следующее ут-
утверждение.
Предложение 2.4.2 [о композиции До-параметризаций]. Пусть
Ф(ж, Р+) — Т>-формула сигнатуры ст U (Р1), Ф(-г) — Т.-формула
сигнатуры а, Фо(у> z) — До -параметризация формулы Ф(г). То-
Тогда Ао-формула (ty(v'(x,P+))?rz, сигнатуры а является
До-параметризацией Ti-формулы (Ф)фгг1-
Доказательство. Применим индукцию по построению форму-
формулы Ф. Если Ф не содержит Р, то нечего доказывать. Если Ф = P(t),
то имеем
Из определения До-параметризации следует, что если Фо(у,а:) —
До-параметризация формулы Ф(х), то Фо(у, t) — До-параметриза-
До-параметризация формулы Ф(<). Для проведения индукционных шагов нужно
воспользоваться леммами 2.3.1-2.3.4. ?
2.4. S-операторы и теорема Ганди
109
Доказательство теоремы 2.4.3. Пусть R € Е(Л) и Гф
У{а}, т. е. а € Гфгх1(Д). Так как R — Е-подмножество А, суще-
существует Е-формула Ф(г) сигнатуры а такая, что R = ФА[,г].
Рассмотрим следующее представление множества Г^-ЛД):
Ввиду а € Г^[а.](Д) имеем A t= (Ф)ф[2](а). В силу предложе-
предложения 2.4.2 Ао-формула (Ф^)ф<у>гг] является А0-параметризацией
формулы (Ф)ф[г]. Поэтому А 1= Зу(фМ)ф<у)щ(а). Пусть элемент
be А такой, что А 1= (Ф(ь))^<ь>[г](а). Положим
с ^ (Ф<»))А[г] = {d\ deb,A\= (Ф<Ь>Ш С Ь.
По аксиоме Ао-выделения с € А*. Из А 1= (Ф^^)ф<ь>гг1(о) следует
(А, (Ф<6))А[г]) \= tW(a), откуда (А,с) 1= »(о) и о € ГА[ж](с). Так
как Ф^ — Ао-параметризация формулы Ф, имеем с = (ф(*))А[г] С
(Ф)А[г] = R, Re Vc. Если М С Л, М € Vc, то в силу с С М и
{А, с) И Ф(о) получаем (Л, М) 1= Ф(о),о € ГА[ж](М) = Ф<А-М>[4
т. е. Ус С F~l{V{a}). Теорема доказана. D
Пусть формула Ф(х, Р+) такая же, как в условии теоремы 2.4.3.
Множество
является Е-подмножеством множества А2. Действительно, пусть
переменные z и и не встречаются в Ф и Ф(а;,и) ^ (^)fz€u\[z] есть
Е-формула. Тогда для а ? A* nb ? А имеем
(а,Ъ) € Г1 «. Ь € ГА[ж](о) ^ (А,о) 1= Ф(Ь)
т. е. Гф = ФА[и, и]. По множеству Г^ определим Е-оператор F§
так:
{b | существует а € А* такой, что (a,b) e ГФ>а С М},
ПО
2. Вычислимость на допустимых множествах
где М С А. Заметим, что из теоремы 2.4.3 вытекает равенство
F§(R) = Г$,ХЛ11), справедливое для любого Е-множества R. Кро-
Кроме того, для любого М С А справедливо включение F?(M) С
Гфг п(М). Действительно, если b € F§(M), то существует элемент
а е А* такой, что а С М и (а, Ь) € Гф, но последнее означает, что
ЬеГАи(а)(СГА[ж](М)).
Следствие 2.4.3. Ограничение отображения ^щх-\ на Е(Л) со-
совпадает с ограничением ^-оператора F? и потому является не-
непрерывным отображением в V(A) относительно сильной топо-
топологии.
Следствие 2.4.4. Наименьшая неподвижная точка оператора
Г^г i является S-подмножеством А; она совпадает с наимень-
наименьшей неподвижной точкой оператора F$, а также со всеми ите-
итеративными аппроксимациями Га, а ^ 0(А), фиксированной точ-
точки операторов Гщх] и F§.
В § 3.6 будет приведен пример Е-формулы Ф(ж, Р+) и допусти-
допустимого множества А таких, что операторы Гщх1 и F? различаются.
2.5. S-рекурсивные определения
Рассмотрим один из наиболее мощных способов определения
Е-функций. Пусть G(x,y) — двуместная частичная Е-функция.
Ввиду Е-определения G можно написать S-формулу Ф(а:,у), выра-
выражающую следующее свойство элементов х иу: существуют тран-
транзитивное множество и, содержащее х как элемент, и (А-конеч-
ная) функция f с областью определения и такая, что для любого
z e и функция G определена на (z,f \ z), f(z) = G(z,f \ z)
и у = f(x). Проверим, что формула Ф определяет некоторую ча-
частичную S-функцию (F ;=± ФА[а:, у]). Сначала заметим, что для ка-
каждого транзитивного и такого, что а: € и, Л-конечная функция /,
существование которой предполагается в Ф(а:, у), единственна (если
существует).
2.5. S-рекурсивные определения
Ul
Действительно, пусть / и д — Л-конечные функции с областью
определения и и для любого z G и функция G определена на {z, f \
z), {z,g \ z) и выполнены соотношения
= G(z,f\z),
= G(z,g\z).
Проверим, что тогда / = д. Предположим противное, т. е. суще-
существует z € и такой, что f(z) ф g(z). По аксиоме фундированное™
такое z можно выбрать со свойством f(t) = g(t) для всех t € z. Но
тогда / Г z = д \ z и f(z) = G(z,f \ г) = G(z,g \ г) = g(z).
Полученное противоречие показывает, что / = д.
Проверим теперь, что если А ^= Ф(а, Ьо) Л Ф(а, Ь\), то Ьо = Ь\.
Так как А ^= Ф(а, Ьо)> существуют транзитивное множество щ € А
такое, что а € «о, и функция /о с областью определения ito такая,
что для любого у € щ функция G определена на {у, /о f у) и
Аналогично А ^= Ф(а, Ь\) влечет существование транзитивного
множества щ € А такого, что а € ui, и функции /i с областью
определения щ такой, что для любого у € щ функция G определена
на {у, h \у)и h {у) = G(y, /i Г у), h = /i(a).
Рассмотрим множество и ^ ио П щ; и транзитивно и а € и.
По доказанному выше имеем f0 \ и = /i \ и. В частности, bo —
fo{o) = fi(a) = bi Таким образом, Е-формула Ф определяет неко-
некоторую (одноместную) Е-функцию F, про которую будем говорить,
что она определена по Е-функции G И-рекурсией.
Замечание 2.5.1. Из дальнейших рассмотрений будет следовать,
что F не зависит от выбора Е-формулы, определяющей G.
Изучим вопрос об области определения
ленной по G Е-рекурсией.
функции F, опреде-
опредеПредложение 2.5.1. Если G всюду определена, то F также
всюду определена.
Доказательство. Нужно установить, что А (= Уа;ЗуФ(а;,у).
Пусть Ф0(а;,у,и) — формула такая, что Ф(ж,у) = ЗиФо(х,у,и).
Заметим, что
=Кри
112
2. Вычислимость на допустимых множествах
Поэтому достаточно установить, что
Допустим, что это неверно. Тогда существует а € А такой, что
По аксиоме фундированное™ можно считать, что для такого а
А |= Va; G аЗиЗуЧ!0(х,у,и).
Так как ЗуФо(х,у,и) — Е-формула, по принципу Е-ограничен-
ности существует w € А такой, что
А |= Va; € аЗи € адЭ?/Фо(х, у, и) Л Vu € w3x € аЗуФ0(х, у, и).
Иэ истинности этого свойства вытекает, что любой элемент и из w
является транзитивным множеством. Покажем, что множество
W ^ (Uw) U {а} € А*
транзитивно.
Пусть гоо € u»i € W. Если гох = а, то wo ? а и по условию
на го существует и € го такое, что гоо € и С (Uw) С W. Если
Wi € (Uio), то существует и € го такое, что ioi € и, и так же,
как выше, получаем го0 € w С (Uw) С И7. Таким образом, W
транзитивно, а С иго и а € W.
Покажем, что существует Л-конечная функция fw с областью
определения Uio такая, что для любого а; € Uw
fw(x) = G(x,fw \x).
По условию на го для любого и € го существует Л-конечная функция
/„ с областью определения и такая, что /«(а;) = G(x, fu \ x) для
всех х € и (такая функция /„ единственна). Если положить /„, ^
LK/u I u € го}, то /и, будет искомой функцией (принадлежность
fw € А* следует из принципа Е-ограниченности).
Пусть
Тогда fw — Л-конечная функция с областью определения W такая,
что для любого а; € W
fw(x) = G(x,fw \x).
2.5. ^-рекурсивные определения
113
Но тогда А \= ЗиЭ?/Фо(а, у,и) (в качестве и нужно взять W, а в
качестве у — fw (а)> а е W). Полученное противоречие доказывает
предложение. ?
Применим предложение 2.5.1 ко всюду определенной Е-функции
Go, заданной соотношениями
G0(a,b)
если а — праэлемент,
\aUp*(a), если а е А*.
Обозначим через ТС (а) Е-функцию, полученную Е-рекурсией из
Go- Тогда ТС (а) всюду определена.
Приведем некоторые свойства этой функции.
A) а С ТС(а) для любого а € Л* и ТС(а) = 0, если а — праэле-
праэлемент.
B) Для любого а е А* ТС(а) — транзитивное множество.
(З)Для любых а,и 6 А*, если и — транзитивное множество и
а С и, то ТС(а) С и.
Установим сначала свойства A) и B). Предполагая, что суще-
существует а е А, для которого либо свойство A), либо свойство
B) нарушено, ввиду аксиомы фундированности можно выбрать
а такой, что для любого Ь е а свойства A) и B) выполняются.
Для выбранного а имеем
TC(a)=G0(a,TC \ a).
Если а — праэлемент, то ТС(а) = 0, а С 0 и 0 транзитивно,
т. е. свойства A) и B) выполнены.
Если a е А*, то
ТС(о) = G0(a, ТС Г a) = a U U{TC(b) | be a}.
Свойство а С ТС(а) выполнено. Покажем, что ТС(а) транзи-
транзитивно. Пусть cede TC(a). Если d € а, то
d С TC(d) С U{TC(b) | Ь е а} С ТС(а),
и если d G ТС(Ь) для некоторого Ь е а, то с € ТС(Ь) по транзи-
транзитивности ТС(Ь),
с 6 ТС(Ь) С и{ТС(Ь) | be а} С ТС(о).
114
2. Вычислимость на допустимых множествах
Мы пришли к противоречию, следовательно, свойство B) выпол-
выполнено.
Установим теперь свойство C). Если оно нарушится для некото-
некоторого а, то по аксиоме фундированности существуют а и и такие,
что и транзитивно, а С u, TC(a) ^ии для любых 6 е а и тран-
транзитивного v из Ь С v следует, что ТСF) С v. Так как а С и,
имеем ЬСи для Ь е а по транзитивности и и ТС(Ь) С и, Ь 6 а,
по выбору а,
ТС(а) = G0(a,TC\a) = aUU{TC(b) | be a}.
Однако а С.и, ТС(Ь) С и для b e а. Следовательно, ТС(а) С и.
Полученное противоречие устанавливает свойство C).
• Транзитивным замыканием элемента а е А называется мно-
множество ТС (а) е А*.
Установим теперь основные свойства частичной Е-функции F,
определенной Е-рекурсией по частичной Е-функции G.
Предложение 2.5.2. Верны следующие утверждения:
(a) Элемент а е А принадлежит области определения 6f функ-
функции F тогда и только тогда, когда ТС(а) С 6f и (a, F \ а) е
6а.
(b) Если а е 5F, то F(a) = G{a, F \ a).
Доказательство. Пусть а е Sf- Тогда А |= ЭуФ(а, у) и су-
существуют транзитивное множество и, содержащее а как элемент, и
Л-конечная функция / с областью определения и такая, что для лю-
любого z e и функция G определена на {z, / \ z) и f(z) = G(z, f \ z).
Из определения легко видеть, что / С F, 6/ С др, и = 6f транзи-
транзитивно к а ей. Следовательно,
а С и,
ТС(о) Си = */С^,
(a,F\a) = {a,f\a)eSG,
F(a) = f(a)=G(a,f\a) = G(a,F\a).
Остается установить, что из ТС(а) С 6f и (a, F f a) e до вытекает
a e 6f- Рассмотрим транзитивное множество и ^ TC(a) U {а} и
2.5. S-рекурсивные определения
115
Л-конечную функцию
f^(F\TC(a))U{(a,G(a,F\a))}.
Эти элементы подтверждают истинность в А формулы Ф(а, G(a,
F Г а)), т. е. а € 6F. П
Замечание 2.5.2. В книге Барвайса [4] под Е-рекурсией понима-
понимается несколько другое понятие, которое будем называть Т,-рекурсией
по ТС.
• Будем говорить, что одноместная частичная функция F опре-
определена по двуместной частичной Е-функции G И-рекурсией по
ТС, если выполнены следующие два условия (ср. предложение 2.5
— элемент а € А принадлежит области определения 6р функ-
функции F тогда и только тогда, когда ТС (а) С Sf и (a, F \
ТС(а)> € 6G;
— если а € SF, то F(a) = G{a, F \ TC(a)).
Как и выше, нетрудно доказать, что если F определена по ча-
частичной Е-функции G Е-рекурсией по ТС, то F есть частичная
Е-функция. А именно, Е-формула Фо(х,у), утверждающая, что
«существует Л-конечная функция / с областью определения ТС (ж)
такая, что для любого z € ТС(х) G определена на {z, / \ TC(z))
и f(z) = G(z,f Г TC(z)), а также на (x,f) и у = G(x,f)»,
Е-определяет F (F = ФА[х, у]).
Отметим, что в доказательствах этого параграфа неоднократно
используется следующий
Принцип совместности. Пусть R — Е-множество А-конечных
функций такое, что для любых fo,fi € R
fo\SfonSh = f1\SfonSfl. B.5.1)
Тогда fR ;=± UR = U{/ | /ей} является Ъ-функцией.
Доказательство. Действительно, /д есть Е-множество, так как
для любых а,Ь G А
В случае (a,6o>, (a,bi) € fR существуют /о, fi € R такие, что
(а,Ьо) € /о и <a,6i) € f\. Поэтому a е 6/0 П <J/1; и в силу B.5.1)
116
2. Вычислимость на допустимых множествах
получаем, что Ьо = /о (о,) = /i(a) = Ьь Таким образом, /я —
Е-функция. П
Следующие две важные функции суть Е-функции, так как их
определения являются, по-существу, определениями по Е-рекурсии.
• Функция ранга rnk: A —*¦ Ord А определяется так:
{О, если a — праэлемент
или a = 0,
U{S(rnkb) | be a}, если 2>фа? А*.
Заметим, что при a € Ь верно rnk(a) < rnk(b). Если а С Ь, то
rnk(a) ^ rnkF).
• Функция носителя sp: A —> А определяется так:
{а}, если а — праэлемент,
sp(a) ^
U{spb| be а}, если a 6 А*.
Функция sp по элементу а из Л дает (Л-конечное) множество
праэлементов, «которые участвуют в построении а». Элемент а € А
называется чистым множеством, если sp(a) = 0.
Используя определения по Е-рекурсии можно дать еще одно (в
некотором смысле более конструктивное) доказательство теоремы
Ганди.
Доказательство теоремы 2.4.1 (новое). Пусть F: V(A) ->
V(A) — Е-оператор, Ф(х, у) — Е-формула такая, что Г*р = ФА[х, у]
(см. § 2.3). Не уменьшая общности, можно предположить, что фор-
формула Ф монотонна по переменной х, т. е. Уг(Ф(х,у) Л х С z —>
Ф(г,у)) (если Ф не такова, что Фо(х,у) ^ 3z(\/v € z(v G х) Л
Ф(г,у)) удовлетворяет этому условию и ФА[х, у] = ФА[х,у]). Опре-
Определим Е-рекурсией S-функцию g: A x Ord A —> А* так:
д(а,а+1) ^ {Ъ \ А 1= Ф<а\д(а,а),Ъ),Ъ € а}, а € OrdA,
д(а, а) ^ М д(а, (i) для предельных ординалов a € Ord A.
0<а
2.5. S-рекурсивные определения
117
Заметим, что д(а, а) = 0 для любых праэлемента а и ординала а.
Если аоСа1ёЛ*иа</?е OrdA, то g(a.i,a) С д((ь,Р) С (ц,
i = 0,1, и д(ао,а) С g(ai,a). Из определения видно также, что
для любых а € А, а € Ord A
g{a,a+l)CF(g(a,a)), g(a,a) С Г„.
Пусть до: А -» А определяется так: flo(a) ^ ff(a,rnka), a € А.
Ввиду отмеченных выше свойств функции д получаем, что ао С
ах € А* влечет ро(ао) С go(ai).
Покажем, что Е-множество
является наименьшей неподвижной точкой Е-оператора F. Дей-
Действительно, из до(а) = д(а,тпка) С ГГПк(а) следует, что Д* со-
содержится в наименьшей неподвижной точке Г* оператора F. Для
доказательства равенства Г» = Д* достаточно установить включе-
включение F(A*) С Д*.
Пусть 6 € F(A*). В силу непрерывности F существует a G А*
такой, что а С А* и 6 € F(a). Поэтому в А истинна формула
Уж € а
По принципу Е-ограниченности существует а\ € А* такой, что
Ух € аЗао €
Пусть а, ^ Uai. Тогда ввиду монотонности функции до и выбора
множества а имеем Ух € а(ж € ffo(a»))i т. е. а С </о(о*)-
Так как b € F(a) С F(go(a,)), существует с € А* такой, что
А N Ф<с>(р0(а.),Ь). Полагаем
Тогда
a*^a»U{a,}UcU{6}.
(a*) = </(a*,rnka*) D g(a*,rnka* + 1)
= {b' | A N ф'а '(</(a*,rnk(a*)), b'),b' ? a*}.
Поскольку
118
2. Вычислимость на допустимых множествах
получаем
А 1= Ф<а'>E(а*,гпка,),6), Ъ € до{а*) С Д*
и Ъ € 5о(а*) ? Д*. Таким образом, F(A*) С Д* и Д* — наи-
наименьшая неподвижная точка Е-оператора F.
В заключение параграфа укажем ряд возможных модификаций
определения Е-рекурсией.
Можно определять Е-рекурсией и предикаты, если использовать
частичные характеристические функции.
• Если R С Ап — (n-местный) предикат, то его частичной харак-
характеристической функцией Xr называется частичная п-местная
функция такая, что 6X*R = R и Хн(") = 1 Для <* ^ &Xr = R-
Легко видеть, что предикат R С Ап будет Е-предикатом тогда
и только тогда, когда его частичная характеристическая функция
Хд является частичной Е-функцией.
Можно определять Е-рекурсией и несколько функций одновре-
одновременно. Дадим точное определение для случая двух функций. Пусть
Go и Gi — трехместные частичные функции на А.
• Будет говорить, что (одноместные) частичные функции Fo и J\
определены (одновременной) И-рекурсией поGouG\, если 6f0 =
Sf-i и выполнены следующие условия:
—элемент a G А принадлежит области определения функций
Fo и F\ тогда и только тогда, когда
TC(a)C«Jfo(=«Jfl),
(a,FD \a,Fi \ a) e 6Go П5Gl;
— если a e 6fo(= SfJ, to
Fo(a)=Go(a,Fo \a,Fi \ a),
F1(a) = G1(a,F0 fo,^ Г a)-
Предложение 2.5.3. Если Go и Gi — частичные И-функции,
то функции Fo uF\, определенные по Go и G\ Л-рекурсией, су-
существуют и являются частичными Е-функциями.
Доказательство этого утверждения аналогично уже проведенно-
проведенному выше и предоставляется читателю.
2.6. ^-определимость истинности S-формул
И9
2.6. ^-определимость истинности S-формул
и универсальный Е-предикат
В настоящем параграфе установим теорему о S-определимости
истинности Е-формул, аналогичную теореме 1.5.1. Как следствие
получим результат о существовании универсального Е-предиката.
Ограничимся рассмотрением случая лишь простейшей сигнатуры
а\. Однако без особого труда аналогичные рассмотрения могут быть
проведены для произвольного конечного расширения а Э а\.
• Гёделевская нумерация
Определим гёделевскую нумерацию g всех термов и .RQ-фор-
мул сигнатуры О\ = @, е), предполагая, что множество V всех
переменных языка есть множество {х0, х\,...}. Положим
= t1)^±c(l,c(g(to),g(t1))),
*o,*i eT(ffl)^{0,io,ii,...},
g(t0 6 tx) ^ cB>C(ff(t0),fl(*i))), *o,*i
д(Ф0 А Фх) ^ eC, с(д(Ф0), </(Ф0)), Фо, Фх €
множества всех .RQ-формул сигнатуры о\,
), Фо,Фх
д(Ф0
€ *Ф) ^ c{7,c(c(i,g{t)),g($))),
Xi e tФ) ^ с(8,с(с(
г € w, t G T(cti), Ф € RQF(o{),
) ^ с(9, с(«, ff(Ф))), » € w, Ф € RQF{ai),
) ^ сA0, c(i, р(Ф))), г е ш, Ф ?
Пусть А — произвольная KPU-модель. Так же, как в § 1.5, легко
установить существование частичных Е-функций Fo и Fs таких,
что 6f0 — 8fv = Nat(A) и для а ? ш С Nat(A)
120
2. Вычислимость на допустимых множествах
1, если существует До-формула Ф
Fo(a) = < такая, что д(Ф) — а,
[О в противном случае;
A, если существует Е-формула Ф
такая, что д(Ф) = а,
О в противном случае.
С каждым элементом а € А свяжем интерпретацию ja- V -* А,
определенную следующим образом:
F, если (г, 6) € а и для любого с € А
из (г, с) еа следует Ь = с,
0 в противном случае.
Определим отображение 7: ^ х ш -> Л так:
Очевидно, что f является ограничением на А х и подходящей ча-
частичной Е-функции на А с областью определения А х Nat (А) (обо-
(обозначать эту функцию будем тем же символом т*)-
В следующих доказательствах теорема Ганди (теорема 2.4.1) при-
применяется к формулам, содержащим позитивные вхождения «ново-
«нового» предикатного символа Р, имеющего местность 2 или 3. Возмож-
Возможность использования теоремы Ганди (доказанной для одноместных
предикатных символов) в этом случае легко следует из «эффектив-
«эффективных» включений
V(A2) С Р(А), Р(А3) С V(A), (V{An) С Р(А), п е и).
Предложение 2.6.1. Существует двуместная частичная ^-фун-
^-функция То на А такая, что 6То = Nat(A) xA и для абиС Nat(A),
b € А справедливо
A, если Fo(a) = 1, и если Ф — А0-формула
такая, что д(Ф) = а, то А N
0 в противном случае.
2.6. Х1-определимость истинности S-формул
121
Доказательство. Пусть Ф0(х0,Х1,Х2,Р+) — S-формула сиг-
сигнатуры Gi U (Fo,Z,r,7,P), определенная так:
Фо(а;о,Х1,Х2,-Р+) ^ [F0(x0) = Qhx2 = 0] V [F0{xQ) = 1 Л
[l(x0) = 1 Л G(*ъМ*о)) = 7(*ыФо)))
[l(x0) = 2 Л G(яъ/гЫ) € 7(*1,гг(я;о)))
Л12 = IV ->G(zi,^r(a;o)) € ^(xi,rr(x0)))
Л а;2 = 0] V
= 3 Л ((P(Jr(*o),*i, 1) Л Р(гг(хо),а;, 1))
VP(rr(a;o),x1H))Aa;2=0)]V
VP(rr(io),ii,l))Ai2 = 1
V P{lr{xo),xu0)
Л P(rr(x0), xi, 0) Л х2 = 0)] V
[l(x0) = 5 A ((P(lr(xo),x1,0)V P(rr(xo),xul))
Aa;2 = lVP(r(io),ii,l)Ai2=0)]V
i0) = 7Л (ЭХ3ЗХ4 e 7(xi,rr/r(xo))(x3
= (*Л{Нг(а;о)} x ^4) U {(Иг(хо),х4)}
ЭхзСхз = {Xi\{Ut(xo)} x A) U {<Hr(zo),*4)}
AP(rr(xo),X3,0))Ax2=0)]V
[Цх0) = 8 Л (Vi4 € 7(xi,rr/r(xo)Kx3(x3 =
(Xl\{llr(x0)} xi)U {(
ЛР(гг(хо),а;4,1))Лх2 =
3x3(x3 = (жД{йг(ж0)} x A) U {<Mr(xo),a;4»
122
2. Вычислимость на допустимых множествах
Замечание 2.6.1. Функции / и г (как и с,...), определенные ра-
ранее (см. § 1.4) на w, имеют естественное «каноническое» расширение
до частичных Е-функций (обозначаемых через 1,г,с,...), опреде-
определенных на Nat(A) для всех KPU-моделей А.
Формула Фо «кодирует» индуктивное определение истинности
(ложности) До-формул. Предположим, что п — номер До-фор-
До-формулы Ф, Q С А3 и для всех т € w, m < n, верно следующее
утверждение: если т — номер Ао-формулы Ф', то для любого
а € Л имеем (т, а, 1) G Q тогда и только тогда, когда А N
Ф'[7«]> а (т>а>0) € Q тогда и только тогда, когда A N Ф'[7о]-
Покажем, что
Нужно рассмотреть случаи Z(n) = 1,2,3,4,5,6,7,8. Рассмотрим
для примера лишь последний случай. Так как р(Ф) = п, а/(п) = 8,
формула Ф имеет вид Vij G *Ф, где i = llr(n), g(t) = Wr(n),
д(Ф) = rr(n). Пусть a € Л и А 1= Ф[7о] (= Vx< € *Ф[7а]) Согласно
определению функции 7 имеем
7(a,rr/r(n))=tA[7a].
Поэтому для любого b 6 tA[7o]> полагая с ^ (а\{г} х A) U {(г, Ь)},
получим А 1= Ф[7с] Gс отличается от ja лишь в аргументе i и
7е@ = Ь). По индукционному предположению для всех таких Ь
и с имеем (гг(п), с, 1) е Q. Следовательно,
Аналогично доказываются соотношения
если А N Ф[7а] для а € Л, и
если А N ~|Ф[7а] для а ? А.
Проведенные рассуждения показывают, что если Q € Р(Л3)
наименьшая неподвижная точка оператора
2.6. S-o предел и мост ь истинности S-формул
123
124
2. Вычислимость на допустимых множествах
то Q есть (график) То. ?
Теорема 2.6.1 [Е-определимость истинности Е-формул]. Суще-
Существует двуместный И-предикат Тг^ на А такой, что для лю-
любых п G ш С Nat(A) и а € А (п,а) G Тге (что эквивалентно п)
является гёделевым номером Л-формулы Ф uAN Ф[7а]-
Доказательство. Предикат Тге является наименьшей непо-
неподвижной точкой оператора Гф г ,: Р(А2) -> Р(А2), где Е-фор-
мула Фе(х0, х\, Р+) сигнатуры ctiU(Fe, Fq, To, l,r, P2) определена
так:
Фъ(хо,хиР+) ^Fs(x0) = 1 Л [F0(x0) = 1
Л T0(x0,xi) = 1 V F0(x0) = 0 Л
[1(х0) = 3Л P(lr(xo),xi) Л P(rr(xo),*i) V
1(х0) = 4 Л {P{lr(xo),xi) V P(rr(xo),zi)) V
Z(x0) = 7 Л Эх3Эх4 € 7(а;1>гг'г(а;о))(?з
= (*Л{Нг(*0)} х ^4) U {<«r(*0),a!4>}
AP(rr(xo),x3))V
l(x0) = 8 Л Vx4 € 7(*brr/r(a;o))
Зх3(а;з = (xi\{Hr(a;o)} x A)
U {(Hr^o),^)} APMxoJ.ars)) V
1(х0) = 9ЛЭа;зЭа;4(хз = (zi\{Hr(a;o)} x А)
U {<йг(яч)),я;4>} Л Р(гг{хо),х3))}].
Проверка последнего утверждения достаточно очевидна. D
Замечание 2.6.2. Из доказательства этой теоремы и теоремы
Ганди 2.4.1 видно, что Е-предикат Tr s может быть определен Е-фор
мулой Ф?, не содержащей параметров, в частности не зависящей от
KPU-модели А.
Теорема 2.6.2 [существование универсального Е-предиката]. Су-
Существует ^-формула Фи(х1,Хо) без параметров такая, что для
любых KPV-модели A u T,-формулы Ф(хо) (быть мажет, с пара-
параметрами в А) существует элемент а € А такой, что Ф(хо) =А
Фи(а,Хо) или, что то же самое,
Доказательство. Пусть Ф?(хо,Х1) — Е-формула без параме-
параметров, определяющая предикат TVs во всех KPU-моделях. Опреде-
Определим формулу Фи(#ъ#о) следующим образом:
= Pi(xx)
x А)
Из определения видно, что Ф„ (xi, хо) — Е-формула без параметров.
Покажем, что эта формула удовлетворяет заключению теоремы.
Пусть А — KPU-модель, Ф(х0) — Е-формула с параметрами
из А и Ох,... , ап € А — это все параметры, встречающиеся в Ф.
Не уменьшая общности, предположим, что переменные Xi,... , хп
не встречаются в формуле Ф. Пусть
\ai,...,an
)
Тогда Ф = Ф(хо, Xi,... , хп) — Е-формула без параметров такая,
что
Пусть т € из такой, что </(Ф) = ткЬ ^ {(l,ai),... ,(п,ап)} € А.
Положим а ?± (т, Ь) (е А) и покажем, что для любого с € А
А N Ф(с)
Пусть А N Ф(с). Положим
Ф„(а,с).
Легко проверить, что интерпретация 7d" V —* А обладает следу-
следующими свойствами: 7d(a;o) = с и 7d(a;i) = а« для i = 1,... ,п.
Поэтому из А N Ф(с) получаем
Покажем, что А 1= Ф„(о,с). Действительно, в качестве Х2 взяв
т = pi((m, Ь)) = pi(a), а в качестве хз — (Ь\{0} х A) U {@, с)} =
b U {@,с)} = d и заметив, что Ь = рг((т,Ь)) = рг(а), получим
А1=Ф„(а>С).
Наоборот, пусть А N Ф„(а, с) к т', d' такие значения перемен-
переменных ж2 и хз, что т' = pi(a), d' = (рг(а)\{0} х A) U {@,с)}.
Тогда
А1=
2.6. S-определимость истинности S-формул 125
Но тогда
т' = pi({m,b)) = m,
d! = (Ь\{0} х Л) U {@, с)} = 6U {@,с)} = d.
Из А 1= Ф?(т, d) вытекает А 1= Ф[7й], так как р(Ф) = т и (т, d) €
Тг^. С другой стороны, А N Ф[7й] влечет А N Ф(с).
Эквивалентность Ф{х0) =д Ф„(а, яо), а вместе с ней и теорема
доказаны. D
Следствие 2.6.1. Существует 'Е-формула Ф»(а;о) без параме-
параметров такая, что для любой KPU-модели А Л-подмножество
ФА[жо] не является А-подмножеством множества А.
Доказательство. Действительно, положим
Ф„(а;о,а;о) = (Ф„(:в
и допустим, что существует KPU-модель А такая, что Ф^[а;о] есть
А-множество. Пусть Ф(хо) — Е-формула (быть может, с параме-
параметрами в А) такая, что ФА[хо] = Л\Ф*[а;о], и а € А — элемент
такой, что
Покажем, что а $ Ф*[а;о]- Допустим противное. Тогда
а € ФА[а;о],
АИФ.(а)(=Ф„(а,а)),
а 6 Фи{а,х0)А[х0] = ФА[х0] = Л\ФАЫ.
Наоборот, покажем, что а € ФА[жо]. Допустим противное. Тогда
a i ФАЫ
а 6 А\Ф$[х0] = ФА[х0] = Ф,,(а,хй)А[Я!о],
т. е.
АИФ„(а,а)(=ФФ(а)),
а 6 ФА[а;о].
Полученное протиюречие доказывает следствие.
D
126
2. Вычислимость на допустимых множествах
Для ряда приложений будет использоваться специальный уни-
универсальный двуместный предикат, который определим, следуя при-
приему Мальцева. Пусть Ф„(а;о,а;1) — Е-формула, построенная в до-
доказательстве теоремы 2.6.2. Полагаем
Фри(хо,Х1) ^ Фи(р{х0, (prx0,xi)),
Двуместный S-предикат Qu называется главным универсальным
Е-предикатом. Отметим его важные свойства.
;1),а;2) =kpu Ф«(а;0,(а;
Утверждение легко следует из определения формулы Фри (и то-
тождеств pi{{xo,xi)) = a;o>Pr«a;o,a;i)) = ц).
B) Для любого двуместного И-предиката R С Л2 существует
а» € А такай, что для любых ao,a,i € A (ao,ai) € R тогда и
только тогда, когда ((a*,ao),ai) € Qu.
Действительно, пусть R = ФА[жо, a;i] для подходящей Е-форму-
лы Ф. Пусть
Ф*(а;о) ^ Ф(р1Х0,ргх0),
и пусть а, € Л такой, что Ф$(а*,хо)[хо} = ФА[хо]- В силу A)
имеем
=А
=А
Но в этом случае
({at,ao),ai) eQu&A\= Фр„((а
О А 1= Ф(ао,а1) ¦& (ao,ai) е ФА[а;о,а;1] = R
для любых ао, ai € A.
Докажем утверждение, которое можно назвать теоремой о не-
неподвижной точке для Qu.
C) Для любого двуместного И-предиката R С А2 существует
а* ? А такой, что для любого а € А (а*, а) ? R тогда и
только тогда, когда {а*, а) € Qu.
2.6. S-определимость истинности S-формул
127
Пусть R = ФА[го?а;1] для подходящей Е-формулы Ф, и пусть
Фо ^ (*)(*o!«o),*i и а* ^ -^ такой, что для любых Oq, a.1 G А
(ao,ai) € Ф^[а;0,а;1] <^ ((at,ao),ai) ? Qu.
Положив a* ^ (a*,at), получим
(a*,a) 6 R О ({at,at),a) 6 Л <» (o»,a) € Ф^о,^]
О «a»,a»),a) e Qu <*- (a*,a) € <?„.
Для a € Л через #„,„ обозначим Е-подмножество {Ь \ Ь €
Л, (а, Ь) € Qu}. Следующее свойство показывает «вычислимость»
Е-операторов по индексам.
D) Для любого H-onepamopa F: Е(Л) -» Е(Л) существует ?-
функция f: А —> Л такая, что F(QUia) — Qu,f(u) для любого
аеА.
Пусть Ф/г — S-формула такая, что Г}-. = Ф^и,^]. Рассмотрим
Е-формулу *(a;o,a;i) ^ 3u(Va;i € «Фри(а;о,а;1) Л Ф^гцхх)).
Для двуместного S-предиката ФА[а;о,а;1] согласно свойству B)
существует а» € А такой, что для любых oq, a\ 6 А имеет место
эквивалентность
При произвольно фиксированном ао последнее соотношение мож-
можно переписать как равенство
F(Qu,ao) = Qv,(a.,a0)-
Тогда функция /: А -» А такая, что f(a) *± {а*, а), а € А,
удовлетворяет требуемым условиям.
Отметим, что аналогичные доказательства Е-определимости ис-
истинности Е-формул и существования универсальных и главных Е-
предикатов могут быть проведены и для произвольной конечной сиг-
сигнатуры а Э о\ ¦ Нужно только естественным образом расширить
гёделевскую нумерацию.
После доказательства существования универсального Е-преди-
ката возникает естественный вопрос о существовании универсальной
частичной Е-функции. К сожалению, не во всех допустимых мно-
множествах существуют универсальные частичные Е-функции. В гл. 3
128
2. Вычислимость на допустимых множествах
будет указан ряд достаточных условий для существования таких
функций. Здесь же приведем лишь очевидное достаточное условие.
Будем говорить, что в KPU-модели А справедлива теорема об
униформизации, если для любого двуместного Е-предиката R С
А2 существует одноместная частичная S-функция G такая, что
G С R и 6G = SR.
Предложение 2.6.2. Если в KPU-модели А конечной сигнатуры
а справедлива теорема об униформизации, то в А существует
двуместная частичная Л-функция, универсальная для одномест-
одноместных частичных И-функций.
Доказательство аналогично доказательству предложения 1.6.4.
Следуя работе [21] приведем пример допустимого множества, в
котором не существует универсальной частичной Е-функции. При-
Примером будет допустимое множество вида HF(9t) для подходящей
алгебраической системы *П конечной сигнатуры а'. В доказатель-
доказательстве используется следующее общее свойство систем вида HF(9t).
Пусть ц>: 91 —> W — вложение алгебраической системы 91
сигнатуры а' в алгебраическую систему W той же сигнату-
сигнатуры. Тогда вложение ц> однозначно продолжается до вложения
ip*: HF(<K) -> HF(<n;) такого, что
?>*({ао,... ,ап}) = {<р*(ао),... ,<р*{а„)}
для {ао,... ,ап} € HF(yl) (и<р*(а) = <р(а) для праэлемента
а € А). Если Ф — 11-формула сигнатуры О\ U а' и j: V —>
HF(i4) — интерпретация такая, что HF(9t) N Ф[7], то
t= []
Заметим, что если <р: <П -» <П — автоморфизм системы 91, то
Ч>*\ HF(<n) -> HF(9t) — автоморфизм системы HF(<K). Если
а € HF(i4) и <р тождественна на праэлементах из транзитивного
замыкания а, то ip(a) = a.
Пусть а' = (Pq,Pi) — сигнатура с двумя бинарными преди-
предикатными символами и 9t = {A, Qo, Qi) — счетная система сигнату-
сигнатуры а' такая, что выполнены следующие условия:
— Qa и Q\ — отношения эквивалентности на А и (а0, а.\) € Q\ =$¦
2.6. Е-определимость истинности S-формул
129
— для любого а € А класс [а]сH эквивалентных а по Qq элементов
содержит бесконечно много Qi-классов эквивалентных элемен-
элементов, которые содержат либо точно два элемента, либо точно три
элемента;
— существует бесконечно много попарно не Qo-эквивалентных эле-
элементов об Л таких, что [cl]q0 содержит d-классы точно с дву-
двумя элементами; существует бесконечно много попарно не Qo-эк-
Qo-эквивалентных элементов а € А таких, что [o,]qq содержит Q\-
классы точно с тремя элементами.
Заметим, что этими условиями система 91 определена однозначно с
точностью до изоморфизма. Система 91 обладает следующим легко
проверяемым свойством.
Для любого конечного множества F С А существует вложе-
ние <pF: 9t -> 91 такое, что ipF Г [F]q0 = id [F](}g, где [F\Qo ^
и{[а]<Эо I а & F} и для любого а е A\[F]Qo [<fiF{a)]Q0 содер-
содержит Q\ -классы точно с тремя элементами.
Установим теперь следующее свойство.
В допустимом множестве HF(9t) не существует двумест-
двуместной частичной И-функции, универсальной для одноместных
частичных Т,-функций.
Предположим противное. Примем следующие обозначения:
g — двуместная частичная S-функция, универсальная для од-
одноместных частичных Е-функций,
Фд(хо,Хх,у) — Е-формула над HF(9t), определяющая д, т. е.
Ро, • • ¦ ,Pk € HF(AJ — параметры, встречающиеся в Е-форму-
пеФд,
F ^ {ао,... ,ап} — (конечное) множество всех праэлементов
(элементов из А), встречающихся в транзитивном замыкании
ТС({ро, • • • ,Рк}) множества {ро,... ,рк},
а — элемент из А такой, что а $ [F]q0 и [o]qo содержит Q\-
классы точно с двумя элементами.
Определим частичную S-функцию /а: [cl]q0 -> [o]q0 так:
U - (Ро(а,х) Л Рг(х,у) Л > = ^^
130
2. Вычислимость на допустимых множествах
Эта функция по любому а' € [o\q0 дает (единственный) элемент
из [u']q1 , отличный от а'. Так как д универсальна, существует
р ? RF(A) такой, что
Пусть ipp: 9t -> *Xl — вложение такое, что ц>р \ [F]q0 = id [p]Q
и Qi-классы Qo-класса [<Pf(u)]q0 содержат точно по три эле-
элемента для любого a G ^\[-F]<2o- Заметим, что <pf(p%) = Pi для
всех параметров р< формулы Фд, i ^ к. В классе [o]qo выбе-
выберем элемент а' такой, что [o,']q1 не содержит праэлементов из
транзитивного замыкания параметра р. Так как все Q\ -классы
в [ipf{u)]q0 содержат по три элемента, в {^f{cl')]qi можно вы-
выбрать элемент а", не принадлежащий ^HMqi)- Пусть ip'F от-
личается от ц>р лишь на элементе о' и ip'F(a') ^± а". Легко ви-
видеть, что ip'F есть также вложение <П в <П, (p'F \ [F]q0 = id [
Пусть о € [a'JQj и а Ф а'. Тогда
/«E) = а',
Но <p*F(p) = ifipip), <PF(a) = <p'F(a) и ipF(a!) ф а" = <p'F(a')
(так как a" $ Vf([o']qi))- Это показывает, что
не является функцией, что противоречит тому, что
является функцией.
Отсутствие универсальных Е-функций в некоторых допустимых
множествах, хотя и создает дополнительные трудности в построении
основ теории вычислений, однако показывает, что понятие Е-преди-
ката (перечислимого предиката) является более фундаментальным,
чем понятие Е-функции.
2.7. KPU-модели
131
В работе [22] можно найти и пример допустимого множества, в
котором не выполнено утверждение следствия 1.6.4 о существовании
Д-неотделимых Е-множеств Rq я Ri.
2.7. KPU-модели
В настоящем параграфе дадим обзор стандартных методов по-
построения KPU-моделей.
Так как KPU является теорией первого порядка, для постро-
построения моделей применимы обычные теоретико-модельные средства
(теорема Левенгейма — Скулема — Мальцева, теорема компактно-
компактности, ультрапроизведения, элементарные цепи и т. д., см. [25, 28, 29]).
Рассмотрим некоторые способы построения концевых подсистем
KPU-моделей, которые являлись бы и KPU-моделями. Большин-
Большинство аксиом KPU могут быть удовлетворены «алгебраически» в сле-
следующем смысле.
Предложение 2.7.1. Пусть А — KPXJ-модель, В С А — не-
непустое транзитивное подмножество, замкнутое относительно
всех Yi-функций, определенных в А без параметров. Тогда в си-
системе A f В ^end А выполнены все аксиомы KPU, за исключе-
исключением, быть может, аксиом фундированности и Ао-ограничен-
ности.
Доказательство. Определим функцию ch: A2 -> А так, что
для любых а, Ь € А
ch(a,b)^(a\{0}xA)U{@,b)}.
Ясно, что ch — Е-функция и 7ch(o,t)(zi) = 7a(xi), 7ch(o,&)(zo) = Ь
для любых а, Ь ? A, i G ш\{0}.
С каждой До-формулой Ф (без параметров) свяжем двуместную
функцию /ф: А х А —> А*, определенную так:
/Ф(а,6) ^ {с | с е Ъ, А 1= Ф[7сЬ(а,с)]}
для а, b G А. Используя предложение 2.6.1, легко установить, что
/ф является Е-функцией (определенной без параметров).
Пусть непустое транзитивное подмножество В С А замкнуто
относительно следующих Е-функций: х,у к» {х,у}; х к» \Jx;
132
2. Вычислимость на допустимых множествах
ТС; /ф, Ф — До-формула без параметров. Тогда в А \ В вы-
выполнены все аксиомы KPU, за исключением, быть может, аксиом
фундированности и До-ограниченности. Замкнутость относитель-
относительно первых двух функций показывает справедливость аксиом пары
и объединения. Из замкнутости В относительно ТС следует, что
0 € В. Замкнутость относительно х, у i-4 {x,y} влечет, что о; С В
(здесь элемент ш — это «абсолютные» натуральные числа 0 = 0,
1 = {0}, 2 = {0,{0}}...). Отсюда также следует, что если
у. {х0,...,хп} -> В — интерпретация, п € ш, то
(и 7 = 7<ц )• Тогда замкнутость В относительно функций /ф (Ф —
До-формула без параметров) влечет, очевидно, справедливость ак-
аксиом До-выделения в В.
Справедливость аксиом экстенсиональности в А \ В вытекает из
транзитивности В в А и справедливости аксиомы экстенсионально-
экстенсиональности для А.
Так как 0 € В, в A f В справедлива аксиома пустого множе-
множества.
Итак, для А \ В установлены все аксиомы KPU, за исключени-
исключением аксиом фундированности и Д0-ограниченности.
Следует лишь заметить, что нужно было также проверить, что В
определяет подсистему А, т. е. что В замкнуто относительно функ-
функций, имеющихся в сигнатуре ct\cti . Но сигнатурные функции также
являются Е-функциями без параметров. D
Отметим, что в случае, когда В является формульным подмно-
подмножеством А, в В справедливы и все аксиомы фундированности. Еще
одним достаточным условием справедливости аксиом фундирован-
фундированности в В С А является условие, что А допустимо ((А, ?А) фунди-
фундировано).
Пусть А — KPU-модель, Р С U(A) — подмножество множе-
множества U(А) праэлементов. Обозначим через Sp подмножество А*,
состоящее из всех а 6 А* таких, что носитель sp(a) элемента a
содержится в Р:
^{a| aeA*,sp{a) CP}.
2.7. KPU-модели
133
U(A)
Рис. 2.7.1
Если множество Р U Sp определяет подсистему А (это так, если
сигнатура KPU есть о\ или если сигнатура имеет вид <j\ U а', где
а' — сигнатура алгебраической системы 9t с носителем U(A) и Р С
?/(Л) определяет подсистему 9t f Р ^ ОТ), то обозначим ее через
Ар (^end А). Не будет ли Ар KPU-моделью? Легко проверить,
что множество Р U Sp замкнуто относительно S-операций { , },
U, ТС, /ф. Тогда из доказательства предложения 2.7.1 видно, что
в Ар выполнены все аксиомы KPU, за исключением, быть может,
аксиом фундированное™ и До-ограниченности.
Предложение 2.7.2. Если подмножество Р С U(A) праэлемен-
тов модели А является И-множеством в А, то Ар — KPU-.мо-
KPU-.модель.
Доказательство. Покажем справедливость в Ар аксиом До-ог-
До-ограниченности. Пусть <p(x,y,z) — До-формулы (без параметров),
о, Ь 6 Ар и Ар 1= Vx ? аЗу<р(х, у, Ь). Тогда в А справедливо
А 1= Vx G a3y{sp{y) С Р Л <р(х,у,Ь)).
По принципу Е-ограниченности находим с G А* такой, что
А 1= Vx G сВу е c(sp(j/) С Р Л ^(а;, j/, 6)) Л Vy 6 фр(у) С Р).
134
2. Вычислимость на допустимых множествах
Заметим, что из Vy e c(sp(j/) С Р) следует, что sp(c) С Р и с 6 Sp.
Но тогда
Ар 1= Vz 6 аЗу 6 ар(х,у, Ъ).
Так как Р формульно в А, также и Р U Sp формульно в А. Ввиду
замечания, приведенного после доказательства предложения 2.7.1, в
Ар истинны также аксиомы фундированности. Итак, Ар — KPU-mo-
дель. ?
Модель Ар получается из А уменьшением «ширины» (множеств
праэлементов). Рассмотрим теперь способ уменьшения «высоты»
(множества ординалов).
Пусть А — KPU-модель, О С OrdA — непустой начальный сег-
сегмент множества ординалов в А, замкнутый относительно функции
5 E(а) = а U {<*}(= а + 1)). Определим по такому О множество
Ао ^ {о | а 6 A, rnk (а) е О}.
Ord(A)
А
— Ао
Рис. 2.7.2
Нетрудно видеть, что Ао замкнуто относительно функций { , },
U, ТС, /ф, где Ф — До-формула без параметров, так как ранг зна-
значения такой функции меньше или равен рангу аргументов, за ис-
исключением функции { , }, которая повышает ранг на единицу.
По множеству Ао определим концевую подсистему А о ^ А \
Ао (когда это можно сделать, т. е. когда Ао замкнуто и относитель-
относительно СИГНатурНЫХ фуНКЦИЙ), А о
2.7. KPU-модели
135
Предложение 2.7.3. Если множество OrdA\O не имеет наи-
наименьшего элемента, то в Ао выполнены аксиомы До -ограничен-
-ограниченности.
Доказательство. Пусть ip(x,y,z) — До-формула без параме-
параметров, а, 6 € Ао и
ко ?УхеаЗу<р(х,у,Ъ).
Рассмотрим формулу Ф(г) ^ Ord(z) Л Ух G аЭу(тк{у) < z Л
>р(х,у,Ь)). Заметим, что если a G OrdA\O, то из Ао И Vx 6
a3yip(x, у, Ь) вытекает, что А 1= Ф(а).
Множество {а | А И Ф(<*)} = ФА[г] формульно, следователь-
следовательно, по аксиоме фундированности это множество (содержащее мно-
множество OrdA\0) имеет наименьший элемент а0. Так как OrdA\O
не имеет наименьшего элемента, имеем а0 G О. Из определения
формулы Ф следует, что
А 1= Vx € аЗу(тпку < а0 Л <р(х,у,Ъ)).
По принципу Е-ограниченности существует с G А* такой, что
А И Vx e аЗу G c(rnky < а0 Л <р(х,у, Ь)) Л Vj/ G c(rnkу < а0).
Следовательно, rnkc ^ овд, с ? Ао и
Ао N Vx e аЗу G ар(х,у,Ь).
Предложение доказано. D
Предложение 2.7.3 не представляет интереса для допустимых
множеств А, так как единственным начальным сегментом О С
OrdA, удовлетворяющим условиям предложения, является OrdA
И A OrdA = А.
В случае же, когда А является KPU-моделью, но не является до-
допустимым множеством, имеется нетривиальный начальный сегмент,
удовлетворяющий условиям предложения 2.7.3. А именно, пусть
WFx — наибольший вполне упорядоченный сегмент OrdA.
Ясно, что OvAA\WF& не имеет наименьшего элемента.
Предложение 2.7.4 [лемма об усечении]. Для любой KPU-моде-
KPU-модели А концевая подсистема Awfk является допустимым множе-
множеством.
136
2. Вычислимость на допустимых множествах
Доказательство. По предложению 2.7.1 в Awfa выполнены все
аксиомы KPU, за исключением, быть может, аксиом фундированно-
фундированности и До-ограниченности. По предложению 2.7.3 в Awfa выполнены
и аксиомы До-ограниченности. Остается заметить, что отношение
GA, ограниченное на A\yFk, является фундированным. Если это не
так, то существует последовательность ао, Oi,... , а„,... элемен-
элементов из A\vfa такая, что ап+г ?А а„ для всех п € ал Но а €А b
влечет гпк(а) < гпкF), следовательно, rnk(an+i) < rnk(an),
п € и>. Но rnk(an) G WF&, п G из, значит, (WF^, ^) не явля-
является вполне упорядоченным, что противоречит определению WF^.
Итак, GA ПА$урА фундировано. Следовательно, и все аксиомы фун-
фундированности справедливы в Awfa ¦ Тогда Awfa — KPU-модель
и, более того, допустимое множество. ?
До сих пор рассматривался случай концевых расширений, где
можно пользоваться устойчивостью До-формул. Рассмотрим еще
один вид расширений, с которым удобно работать.
Назовем Тч-формулой любую формулу вида ЗяФ, где Ф — До-
формула (любая Si-формула является Е-формулой и содержит точ-
точно один неограниченный квантор существования в начале формулы).
Заметим, что относительно теории KPU любая Е-формула эквива-
эквивалентна Si-формуле (принцип S-рефлексии: Ф =kpu Зуф(") для
любой Е-формулы Ф).
Пусть А < В — расширение систем сигнатуры <т(Э а\). Назо-
Назовем это расширение Тч-расширением (и будем обозначать это так:
A ^Ei Щ, если для любых Ei-формулы Ф сигнатуры а и интерпре-
интерпретации у. FV^) -> А из В 1= Ф[7] следует А 1= $[7]. Из опреде-
определения непосредственно вытекает, что если А ^е, В, то для любых
До-формулы Ф и интерпретации 7: FV(9) —? А имеет место экви-
эквивалентность
А 1= ф[7] <?> В 1= Ф[7]. B.7.1)
Действительно, используя фиктивный квантор, получаем
В И -ф[7] =» А 1=
С помощью этого свойства легко установить, что эквивалентность
B.7.1) выполняется также для Ei-формул.
2.7. KPU-модели
137
Замечание 2.7.1. Если A ^El В и А, В являются KPU-моде-
лями, то эквивалентность B.7.1) имеет место для любых S-формул.
Это следует из того, что Ф = криЗиФ^ для любой Е-формулы Ф.
Из определения отношения ^Ei сразу следует, что если A $Jei В
и В ^Et С, то также А ^Ei С. Это свойство справедливо также
для случая объединения цепей. А именно, справедливо
Предложение 2.7.5. Пусть Ад, A G А, — семейство такое,
что А\о ^е, Ал, или Ал, ^е, Ал0 для любых Ао, Ai G А. Тогда
Ал ^Ei А ^=ь U Ал» для любого А € Л.
А €Л
Доказательство. Индукцией по построению До-формулы Ф
докажем, что для любых А € А и интерпретации 7- FV($) -> A\
Для бескванторных формул Ф это справедливо, так как Ал ^ А.
Если индукционное предположение справедливо для формул Фо
и Фь то оно, очевидно, справедливо и для формул (Фо Л Фх), (Фо V
Фг), ""Фо. Пусть Ф ^ За; 6 *Ф0, Т FV($) -> А\ и АЛ 1= Ф[т]-
Тогда существует интерпретация j1: РУ(Ф) U {х} —? А\ такая, что
f Г FV{*)\{x] = 7 Г FV(*)\{x}, Цх) G «^[7] и Ал И Ф0[У].
Тогда (по индукционному предположению) А И Фо[7'] и У(*) G
tA[j] (= tAx[y]). Следовательно, А 1= Ф[7].
Наоборот, предположим, что А И Ф[7]. Тогда существует интер-
интерпретация 7*: -РУ(Ф) U {х\ -»¦ А такая, что 7* Г ^У(Ф)\{х} =
7 Г ^У(Ф)\{а;}, 74х) ? * Ы и А ^ Фо[7*1- пУсть А' 6 Л таково,
что 7* (^) € A\i и Ал $ Ал<. По индукционному предположению
имеем АЛ' И Фо[т*]. Ал- 1= За; 6 *Ф0[7], Ал- 1= Ф[7], но Ал ^Е! Ал-.
Следовательно, Ал И Ф[7]-
Используя эквивалентность Va; G ?Фо =s "'Зх ? ^Фо, заверша-
завершаем индукцию.
Остается установить, что если Ф = За;Фо, где Фо — До-формула,
¦у: FV^) -»¦ А\, то Ал 1= Ф[7] -**ЧА 1= Ф[7]. Но это устанавливает-
устанавливается так же, как в разобранном выше случае ограниченного квантора
существования. D
Предложение 2.7.6. Пусть АЛ, А 6 Л, — семейство KPU-jwo-
делей такое, что Ал0 ^ех Ал, или А\1 ^е, Ал0 для любых
138
2. Вычислимость на допустимых множествах
Ao,Ai € Л. Тогда А ^ U Ал удовлетворяет всем аксиомам
KPU, за исключением, быть может, аксиом фундированности.
Доказательство. Выполнимость всех аксиом, за исключением
аксиом фундированности и До-ограниченности, вытекает из предло-
предложения 2.7.5 и того, что все системы Ал, А е А, являются KPU-моде-
лями. Проверим справедливость аксиом До-ограниченности. Пусть
ip(x,y, z) — До-формула, а, Ь € А таковы, что
А 1= Va; G a3ytp(x,y,b).
Пусть Ао € Л таково, что а, 6 € А\о. Проверим, что
АЛо \=Vxea3ytp(x,y,b).
Действительно, пусть с € а,с€ А\о. Тогда
А\=Зур(с,у,Ь),
но АЛо ^Е! A, 3yip(x,y,z) — Si-формула, с,Ъ G А\о. Следо-
Следовательно,
Ал0 t= 3j/?>(c,у, Ь) и АЛо N Va; G аЗу<р(х,у, Ь).
Так как Ал0 — KPU-модель, существует d G А\о такой, что
Ал0 t= Vi 6 аЗу 6 dy{x,y,b),
но Ал0 ^е, А влечет
А 1= Ух 6 аЗу 6 <Ьр(х,у,Ъ),
А И 3uVx G аЗу € wp(x,y,b),
что и требовалось доказать. ?
Замечание 2.7.2. Если дополнительно все Ал, A G Л, суть под-
подсистемы некоторого допустимого В, то А ^ В и А — допустимое
множество.
Установим теперь результат, из которого получим допустимость
систем вида ИХ(Л) для всех несчетных кардиналов х.
Предложение 2.7.7. Пусть х — несчетный ординал, В — си-
система сигнатуры о\ такая, что €в фундировано и в В выполнена
аксиома экстенсиональности, ИХ(Л) ^end В и А является мно-
множеством всех праэлементов В. Тогда HX(A) ^e, ®-
2.7. KPU-модели
139
Доказательство. Пусть (р(х,у) — Д0-формула, а € ШХ(А) и
В И Зх(р(х,а). Пусть Ь € В такой, что В И tp(b,a). Рассмотрим
множество
С ^ ТС(о) U {6} С В.
Его мощность меньше х, так как а € Ш„(А). С помощью теоремы.
Левенгейма — Скулема найдем элементарную подсистему В' -< В
такую, что С С В' к мощность В' меньше х. Пусть А' (С А) —
семейство всех праэлементов модели В'. Построим отображение
А: В' -> Ш„(А) так, что А(а) ^ а при а 6 А'
A(b)^{A(c)|cGB',ceBft}
для всех ft G В'\А'. Такое отображение существует и единственно
ввиду фундированное™ отношения GB П(В'J (и того, что мощность
В' меньше х). Так как в В' (как и в В) выполнена аксиома экстен-
экстенсиональности, А является изоморфизмом В' и А(В') ^end ИХ(А).
Кроме того, из Ш„(А) ^end В, ТС(а) С С С В' следует, что
А(а) = а. Поскольку В 1= <р(Ь, а) и В' -< В, имеем В' N ip(b, а). Од-
Однако А есть изоморфизм В' и А(В'), поэтому А(В') И tp(Xb,Xa). Но
\а = а, следовательно, А(В') И <р(\Ь,а). Но А(В') ^end ИХ(А) и
ц> — До-формула, поэтому ИХ(Л) И <р(\Ь, а) и И*(Л) И 3xtp(x, a).
Предложение доказано. D
Следствие 2.7.1. Если xq < х\ — несчетные ординалы, то
Следствие 2.7.2. Пусть х — сингулярный кардинал. Тогда
Шх(А) — допустимое множество.
Доказательство. Пусть А ^± {А+ | А — кардинал, А < х},
где А+ обозначает кардинал, следующий за А. Все кардиналы вида
А+ регулярны и поэтому, как отмечено в § 2.2, Нл+ (А) — допусти-
допустимое множество. Имеем
ш„(А)= итх+(А)ст„+(А).
А€А
По следствию 2.7.1 и замечанию 2.7.2 ШХ(А) является допустимым
множеством. ?
В заключение параграфа укажем еще одну конструкцию.
140
2. Вычислимость на допустимых множествах
• Пусть А — KPU-модель (сигнатуры а{). Отношение эквива-
эквивалентности rj на А назовем экстенсиональным, если выполнены
следующие условия:
—если а — праэлемент, b G А*, то (а, Ь) ? ц\
—для любых а, b G А* имеет место эквивалентность
(о, Ь) е т? «• Ух G аЗу G Ь{(х,у) 6 т])ЛУу G ЬЗх G а((х,у) 6 rj).
Заметим, что если т\ — экстенсиональное отношение эквивалентно-
эквивалентности и @, a) G г) для некоторого а 6 А*, то а = 0.
Лемма 2.7.1. Если экстенсиональное отношение эквивалент-
эквивалентности rj формульно на А, то для любых a,b ? A
(a, b) G г) =Ф rnk a = rnk Ь.
Доказательство. Действительно, предположим, что
ЗаЗЬ((а, Ь) € ц A rnk а ф rnk b).
По аксиоме фундированное™ находим ао такое, что
ЗЬ({ао,Ь) € ту Л rnkao ф rnk ft)
Vc 6 аоЩ(с,Ь) G f) =Ф rnk с = rnkb).
Пусть Ьо таково, что (oq, bo) G ц и rnkao Ф rnkfto- Ясно, что oq не
может быть празлементом (так как тогда Ьо будет празлементом и
rnkao = 0 = rnk Ьо)- Таким образом, oq, Ьо G А*, и по условию
(ао, Ьо) 6 г) «• Vi G аоЗу б Ьо«х,у) G rj) Л Vy 6 Ьо
3x6ao({x,y) G ту).
Ввиду выбора ао получаем {rnkc | с G ao} = {rnkd | d € Ьо}. Но
тогда
rnkao = U{5(rnkc) | с?ао} = U{S(rnkd) | d 6 Ьо} = rnkbo.
Приходим к противоречию. D
2.7. KPU-модели
141
Рис. 2.7.3
Пусть ту — экстенсиональное отношение эквивалентности на А.
Определим систему А/ту как (Л/ту;[0],е,,), где квадратные скоб-
скобки обозначают класс эквивалентности по ту, содержащий элемент
в скобках (заметим, что [0] = {0}), a G4 определено так: для
a,beA([a],[b]eA/v)
[а]еч[Ь]ШееЬ (<а,с) 6 ту).
Из определения экстенсиональности отношения эквивалентности ера
зу следует, что А/ту удовлетворяет аксиоме экстенсиональности. Ес-
Если, кроме того, ту формульно на А, то из леммы 2.7.1 следует, что в
А/ту выполнены также аксиомы фундированности.
Предложение 2.7.8. Если экстенсиональное отношение эквива-
эквивалентности ту является А-предикатом на А, то А/ту — KPU-.MO-
дель. Если А — допустимое множество, то A/iy также допу-
допустимое множество.
Доказательство. Как отмечено выше, в А/ту справедливы ак-
аксиома экстенсиональности и аксиомы фундированности.
Легко проверяются соотношения
MM) ^ KM}], U[o]^±[Uo]
для любых а,Ь € А. Эти соотношения показывают справедли-
справедливость в А/ту аксиом пары и объединения. Для проверки аксиом
142
2. Вычислимость на допустимых множествах
До-выделения и До-ограниченности определим некоторое преобра-
преобразование Ф(хо)--- >хп) •-*• Ф*(хо,--. , хп) До-формул в S-формулы
такое, что для любых ао, • •. , о„ G А имеет место эквивалентность
А/ту 1= Ф([оо], ¦ • ¦ , [о„]) * А И Ф'(о0)... ,о„).
А
Рис. 2.7.4
Отсюда также следует, что Ф*^[хо,... ,жп] — Д-предикат на А
(для До-формулы Ф). Используя это преобразование- Ф и $'
и принципы Д-выделения и Е-ограниченности в А, уже нетрудно
установить справедливость аксиом Д0-выделения и До-ограничен-
До-ограниченности в А/ту. ?
Укажем один из способов нахождения экстенсиональных Д-отно-
шений эквивалентности на А.
Лемма 2.7.2. Если щ — А-отношение эквивалентности на
множестве всех праэлементов KPU-модели А, то определенное
по теореме Ганди (теорема 2.4.1) И-отношение ту кок (наимень-
(наименьшее формульное) отношение, удовлетворяющее условию
(а,Ъ) G »уо => (а,Ъ) е ту, »уо С Т),
(а, Ъ) G ту & Vx G аЭу 6 Ъ((х,у) 6 ту),
АЧу ? ЬЗх е а((х,у) 6 ту), а,ЪеА*,
является А-предикатом и экстенсиональным отношением эк-
эквивалентности на А.
2.8. Сводимости
143
Доказательство. Требует проверки лишь тот факт, что т) есть
Д-предикат. Определим Е-предикат т} (по теореме Ганди) как (наи-
(наименьшее формульное) отношение, удовлетворяющее условиям
(а, Ь) $ т]о =>{о, Ь) е 77, а,Ь — праэлементы;
(о, Ь) е ц «•Эж G aWy 6 Ь((х, у) 6 Щ)
v3yebVxea((x,y)€rj), а,ЬеА*.
Используя аксиомы фундированное™, уже нетрудно установить,
что г? = А2\т). ?
2.8. Сводимости
Понятия тьюринговой сводимости и тп-сводимости относятся к
основным понятиям классической рекурсивной теории. Расширение
этих понятий в теории вычислимости на произвольном допустимом
множестве не является очевидным.
Начнем с обобщения понятия тп-сводимости, которое будет ис-
использоваться и в дальнейших параграфах (сводимость А-ну мераций)
Пусть А — произвольная KPU-модель и В, С С А.
• Будем говорить, что В тТ,-сводится к С {В ^тЕ С), если
существует двуместный Е-предикат R С А2 такой, что 6r = A
и ао 6 В тогда и только тогда, когда а\ € С для любой пары
(ai,O2) из R.
• Если R удовлетворяет условиям определения тЕ-сводимости
для В и С, то будем говорить, что R тИ-сводит В к С (В ^д
С).
Замечание 2.8.1. Если в А справедлива теорема об униформи-
зации, то приведенное определение эквивалентно «классическому»:
• В т-сводится к С, если существует Е-функция /: А -> А
такая, что а € В тогда и только тогда, когда /(а) 6 С для
любого а ? А.
Легко проверить следующие факты.
144
2. Вычислимость на допустимых множествах
(b) В
(c) В
С & А\В ^тЕ А\С.
С, С ^тЕ D => В
D.
(d) Если D — произвольное ^.-множество, С ^0,А, то D
С.
(е) Если В ^т? С и С — И-множество (А-множество), то и
В — %-множество (А-множество).
Понятие mE-сводимости позволяет естественным образом опре-
определить понятие mE-степени dmx;(-B) множества В С А.
• тпЕ-степень» dmE (В) множества В С А называется семейство
всех множеств С С А, тЕ-сводящихся к В.
Заметим, что В 6 dm^(B). Обозначим через Ьтъ(А) семейство
всех тпЕ-степеней собственных {ф 0, А) подмножеств множества А
вместе с отношением включения С.
Предложение 2.8.1. Частично упорядоченное множество
(Lmz(A),C)
является верхней полурешеткой с наименьшим элементом.
Доказательство. Из свойства (d) следует, что dmE(B) для лю-
любого собственного Д-подмножества В является наименьшим элемен-
элементом, который обозначим через 0тЕ. Покажем, что (Lmz(A),C)
является верхней полурешеткой, т. е. для любых
существует mE-степень &m?,{D) G Ьтъ(А) такая, что
dmE(B) С d^D), dnviQ С
и для любого 0 ф D' С А из включений
dmE(B) С dmE(D'), dmE(C) С
следует dms(D) С dmE(?>'). Рассмотрим множество
2.8. Сводимости
145
Ясно, что До ^ {(о, (о,0)) \ а ? А} тЕ-сводит В к В © С, а
Й1 ^ {(а, (а, 1)) | а? А} тЕ-сводит С к В © С.
Пусть 0 ф D С А таково, что dmE(B) С dmEB?) и dmz(C) С
), и пусть Е-предикаты R и R' тЕ-сводят В и С к D.
Пусть во € A\D и R* определен так:
R* ^ {((о,0),6) | об А,(а,Ь) 6 Л} U {((а, 1), 6)
\a?A,(a,b)?R'}\J{(a,ao)
Из определения видно, что R* —•- Е-предикат и 5ц- = А. Покажем,
что R* тЕ-сводит В ф С к D.
Пусть а € В ф С. Тогда а имеет вид F, 0) для некоторого 6 G В
или вид (с, 1) для некоторого с ? С. Пусть а = F,0), 6 € В и
а* € Л таково, что (а, а*) ? R*. Так как а = F, 0), из определения
Я* видно, что F, а*) € Л и, следовательно, Ь ? В влечет а* ? 2?.
Аналогично рассматривается случай а = (с, 1), с G С.
Пусть а g В © С и (а, а*) G R*.
Если а g (Л х {0}) U (Ах {1}), то а* = oq $ D.
Если а = (d, 1), то из определения R* следует, что (d,a*) G R'
и d $ С влечет а* $ D. Аналогично рассматривается случай a G
А х {0}.
Итак, R* тЕ-сводит В ф С к D. Следовательно,
dmE(B) LJdmS(C) ^ d^B Ф С)
является точной верхней гранью в Ьтъ{А) элементов dmE(B) и
dm-z(C). U
Рассмотрим родственное понятие тЕ-перечислимости. Пусть В,
С — (собственные) подмножества множества А.
• Подмножество В тЕ-перечислимо по С (В ^ртЕ С), если су-
существует Е-предикат R С А2 такой, что
В = R'1 (С) ^ {Ь | существует с G С{(Ъ, с) G R)}.
Будем говорить, что этот предикат R mE-перечисляего В по С
(В ^Рд С).
Ясно, что отношение ^pms транзитивно и В ^т? С влечет
В ^jm»? С- Следовательно, отношение mE-перечислимости инду-
индуцирует некоторый предпорядок ^р на Lms(A). Заметим, что ^р
146
2. Вычислимость на допустимых множествах
не является частичным порядком на Lm^{A), так как справедливо
следующее свойство:
если С — собственное подмножество А, В — S -подмноже-
-подмножество, то В ^ртЕ С.
Предложение 2.8.2. Для любой тИ-степени dmz (В) существу-
существует наибольшая mE-степенъ dms{C) такая, что
Доказательство. Пусть Qu — главный универсальный дву-
двуместный предикат. Для любого собственного подмножества В С А
назовем ртИ-цилиндрификацией В множество
В^Е ^ QZHB) = {с | 36 G В«с,6> 6 Qu)}.
Согласно определению предикат Qu pmE-сводит BpmE к В, т. е.
Е ^Е В.
Установим следующий факт.
A) Если С ^е В, то С
Действительно, пусть ДртЕ-сводит С к В, т. е. С = Я (В).
По основному свойству предиката Qu существует a» G А такой,
что для любых а, 6 G А
(a,b)eR<#((a,,a),b)eQu.
Проверим, что для любого а € А
Пусть а € С = Л (В). Тогда существует элемент 6 € В такой,
что (а,6) 6 Л, и тогда ((а,,а),6) 6 Qu, (a*,a) 6 QZ1^) -
BpmE. Пусть (а„а) G В*"1 = ФпЧ-8)- Тогда существует
элемент Ь ? В такой, что ((а*, о), 6) € Qu- Поэтому (а, 6) ? R
ка?С.
В силу доказанного утверждения A) (?*>"»?)jm>? ^mE _
т.е. <*шЕ((ВРтЕ)РтЕ) = dmE(BPmE). Мы можем взять В*""Е в
качестве С в условии предложения. D
Отметим следующее свойство pmS-цилиндрификации.
2.8. Сводимости
147
148
2. Вычислимость на допустимых множествах
B) Для любого 0 $ В С A A\BpmS не тЪ-сводится к В.
Предположим противное, и пусть R С А2 — Е-предикат такой,
что А\ВртЕ ^д В. По теореме о неподвижной точке для Qu
существует элемент ао € А такой, что (оо, а) € Qu & {ао, а) €
R для любого а € Л. Рассмотрим два возможных случая.
Случай 1: ао € Л\ВртЕ. В силу 6ц — А существует элемент
Ь е А такой, что (ао,Ь) 6 R. Так как R тЕ-сводит A\BpmS
к В, имеем 6 € В, но (ао,Ь) € Qu, поэтому ао G ВртпЕ, что
невозможно.
Случай 2: ао € BpmY'. Существует элемент Ь G В такой,
что (ао,Ъ) е <Э«. Но тогда (ао,Ь) 6 R и а0 6 Л\ВртЕ, что
невозможно.
Итак, полученное противоречие доказывает утверждение B).
Понятие pmE-цилиндрификации позволяет ввести операцию тЕ
скачка на тЕ-сгепенях так: тпЕ-ckosok тпЕ-степени dmе (В) — это
тЕ-степень
={о | Зао G А* ...3on_i 6 А*( Д <ц С Si
Ввиду вышеизложенного это определение корректно, т. е. пра-
правая часть зависит только от mE-степени множества В.
Установим следующий важный факт об тЕ-скачках.
C) Для любой rnS-степени d справедливо d С m'Sj(d).
Пусть d = dmE(B). Так как В s?mE В © (А\В) <тЕ {В ©
(^Я))"2, имеем d С mZj(d) = dmE((B © (Л\В)РтЕ)).
Предположим, что (В © (Л\В))ртЕ ^тЕ В. Тогда А\(В ©
{А\В))'>т* ^тЕ (Л\В). Следовательно,
А\(В ф (A\B))PmE <mE В © (А\В),
что невозможно по доказанному выше.
Для определения обобщения тьюринговой сводимости введем в
рассмотрение многоместные Е-операторы. Отображение F:V(A)n —?
~Р(А), п > 0, называется (п-местным) И-оператором, если суще-
существует Е-формула Ф(х0,..., xn-i, у) такая, что для любых So,... ,
5n_i е Р(А)
F(S0,...,Sn_i
Е1сли Е-формула Ф(хо, ¦ • • ,xn-i,y) удовлетворяет указанному
выше соотношению, то будем использовать обозначение Рф для этого
Е-оператора F.
Из определения видно, что любой Е-оператор F монотонен, т. е.
$> С S?,...,Sn_i Совлечет
F(sO)...,Sn-i) с f(S?,..., $;_!),
и слабо непрерывен. Последнее означает следующее: F есть не-
непрерывное отображение пространства ~Р(А)п в сильной топологии в
пространство V(A) в слабой топологии.
Для S-оператора F: Р(А)п -> V{A) через 6CF обозначим мно-
множество всех точек (So,¦¦¦ ,Sn-i) € Р(А)п, в которых оператор
F сильно непрерывен (т. е. F рассматривается как отображение в
V(A) с сильной топологией).
Так же, как в § 2.4 (следствие 2.4.3 к теореме 2.4.3), легко уста-
устанавливается следующее утверждение.
D) Если So,¦¦ ¦ ,Sn-i — Yt-подмножества А, то (So,•¦¦ ,Sn-i)
eScF.
В связи с последним замечанием введем важный класс подмножеств
множества А.
• Подмножество S С А называется Е.-лшаясеством, если 5 вхо-
входит в 6CF для любого одноместного Е-оператора F.
Легко проверить следующее утверждение.
E) Е»(Л)П С <JcF для любого Ъ-оператора F: Р(А)п -> Р(А).
Дадим некоторую характеризацию Е»-множеств.
Предложение 2.8.3. Подмножество S С. А является И*-мно-
И*-множеством тогда и только тогда, когда для любой И-формулы Ф
2.8. Сводимости
149
в А истинна формула
Vj/ G жЭтг С 5Ф -> Зи С SVj/ 6 хЗтг С иФ.
По существу это явная формулировка свойства сильной непре-
непрерывности в S.
Введем теперь понятие, расширяющее понятие тьюринговой сво-
сводимости на произвольные допустимые множества. Пусть В, С С А.
Будем говорить, что В TYi-сводится к С {В ^те С), если
существуют два двуместных Е-оператора Fq и F\ таких, что
(С,А\С) б SeFi, • = 0,1, В = F0(C, А\С), А\В = F,(С, А\С)
Из определения легко следуют такие факты:
В ^ге В, А\В ^rs В;
В ^ts С, С ^те jD влечет В
Замечание 2.8.2. Именно для транзитивности отношения ТЕ-
сводимости и требуется сильная непрерывность (см. [32] для обсу-
обсуждения этой проблемы).
Предложение 2.8.4. Если В тИ-сводится кС, то В и ТЕ-сво-
дится к С.
Доказательство. Действительно, рассмотрим двуместный Е-
предикат R, который тЕ-сводит В к С. Пусть R = ФА[х,у] для
подходящей Е-формулы Ф. Пусть Ф*(хо,у) ^ 3z e хо(Ф)*'*. Рас-
Рассмотрим одноместный Е-оператор Ft. (определенный, напомним,
так: F*.(S) = {а\ Зао С 5(Ф»(ао,а))}). Проверим,чтоF#.(С) =
В и С € ^с^ф. • Пусть Ь € В. Тогда существует элемент с G А
такой, что (Ь, с) € R. Имеем с ? С, так как R тЕ-сводит В к
С. Имеем А 1= Ф(Ь,с), {с} С С, и А И Ф»({с},6). Следовательно,
Ъ е i^.(C), В С Fф.(C). Пусть a G .Fi.(C). Тогда существует
элемент с» G А*, с» С С, и выполняется А N Ф,(с»,а),
Ф,(с»,а) = 3z 6 с»Ф(а,2).
Пусть с G с» такой, что А И Ф(о,с). Тогда (о, с) € Я, с G с» С С.
Поэтому а е В. Таким образом, F<s, (С) С В и F$.(C) = В.
150
2. Вычислимость на допустимых множествах
Проверим, что оператор .Рф. сильно непрерывен в С. Пусть В ?
Vb, be A*, т.е. Ь С В. Тогда
По принципу Е-ограниченности существует с G А* такой, что
А 1= Vz G ЬЗу G с Ф(х,у)ЛУу 6 сЗх G ЬФ{х,у).
Из последнего соотношения и того факта, что R = ФА[а;, у] mS-сво-
дит В к С, вытекает, что с С С. Ввиду определения формулы Ф»
для любого С" € Vc имеем Ь С F.&, (С). Итак, С G <$cFф..
Такими же рассуждениями показываем, что А\В = Fф, (>1\С)
и (^4\С) G ^cFf,. Из всех этих рассуждений и следует предложе-
предложение. ?
Теория ТЕ-сводимости для специальных допустимых множеств
(а-рекурсия для допустимых ординалов а) широко развита (см. [32]).
Однако в общей ситуации для этой сводимости мало что известно.
Приведем теперь сводку определений и результатов о расшире-
расширении понятия нумераций. Пусть S — произвольное множество.
• А-нумерацией множества S назовем любое отображение и не-
некоторого Е-подмножества В С А на множество S {v: В ^ 5);
при этом В будем называть областью определения А-нумерации
v и обозначать как Sv.
Если v: В —? S — А-нумерация множества S; щ: Bq -> So С
5 — А-нумерация подмножества So множества S, то А-нумерация
Ио сводится к А-нумерации v {щ ^ v), если существует двумест-
двуместный Е-предикат R такой, что Sr = Во, р*Д С В и иоЬо = vb для
любой пары (bo, b) € R- Из определения нетрудно вывести, что:
если v: В -> 5, щ: Во -> 50 С 5, 1/х: Bi -> Si С So -
А-нумерации такие, что v\ ^ щ, щ ^ v, то v\ ^ v.
Если S С Е(А) — некоторое семейство Е-подмножеств А, то
А-нумерация v: В —? S семейства S называется вычислимой, если
предикат {(b, a) \ b € В, а € А, а € fF)} является Е-предикатом.
С главным универсальным S-предикатом Qu (см. § 2.6) свяжем
вычислимую А-нумерацию vp: А —> ?(А), полагая для а € Л
2.8. Сводимости
151
Свойство B) из § 2.6 предиката Qu может быть переформулировано
так:
любая вычислимая А-нумерация v: В
к А-нумерации vp.
S С Л(А) сводится
Вычислимая А-нумерация щ: S С ?(Л) называется главной
вычислимой А-нумерацией семейства S, если любая вычислимая
А-нумерация v: В -> S этого семейства сводится к j/0. Так, vv есть
главная вычислимая А-нумерация семейства ?(А).
Если J/»: В» -> S,-, г = 0,1, — А-нумерации, то можно следую-
следующим образом определить А-нумерацию vq Ф v\ множества So U Si:
&»o®v\ ^ Во Ф В\,
Эта конструкция обладает следующими легко проверяемыми свой-
свойствами:
(а)
"U
(b) если v: В -> S 3 (So USi) — А-кул«ераи.ия такая, что j/o ^ г/
uv\^v, то Ц)ф|/1^ I/;
(c) если v0 и v\ являются вычислимыми, то и щ ф V\ — вычи-
вычислимая А-нумерация.
Следствие 2.8.1. Если щ: Во -> S С Е(Л) — главная вычисли-
вычислимая А-нумерация семейства S, a v: В —> So С S — вычислимая
А-кул«ераи.ия некоторого подсемейства S, то vo ^ и.
Доказательство. Действительно, ввиду свойства (с) vq@v явля
ется вычислимой А-нумерацией семейства S U So = S; щ ф v ^ j/o,
так как ио — главная вычислимая А-нумерация. Тогда согласно
свойству (a) j/ ^ j/0 ФI/ ^ г/о и I/ ^ i»o- D
Укажем одно достаточное условие существования главной вычи-
вычислимой А-нумерации.
Предложение 2.8.5. Пусть v. В -> S С Е(Л) — главная вычи-
вычислимая А-нумерация S; щ: Во —> So — вычислимая А-нул«ераи.ия
152
2. Вычислимость на допустимых множествах
подмножества So семейства S такая, что
Во С В, i/-1(So)CB) Ц)(Ь) = 1/(Ь)
для любого Ь ? В такого, что j/F) G So- Гог^а
вычислимая А-нумерация семейства So ¦
— главная
Доказательство. Действительно, пусть v'\ В' -> So — про-
произвольная вычислимая А-нумерация So- Так как и: В —> S —
главная вычислимая А-нумерация семейства S и So С S, по след-
следствию 2.8.1 v' ^ v. Пусть Я — двуместный S-предикат такой, что
SR = В', p*R С В и и'Ь' = 1/6 для любой пары (Ь1, Ь) ? R. Так как
для любой такой пары {&', 6) G R и j/Ь = i/'6' € So, имеем b ? Во
и j/6 = j/o&. Следовательно, Sr = В', р*Д С Во и и'Ь' = j/Ь = j/об
для любой пары (Ь',Ь) ? R, т. е. v' ^ j/0. D
Для множества S через Na(S) обозначим множество всех А-ну-
А-нумераций S. Если 1/о,1/1 € Na(S), то г/о = J/i означает, что j/o ^ J/i
и j/i ^ j/0. Отношение = является отношением эквивалентности
на Na(S), а отношение сводимости ^ индуцирует частичный поря-
порядок (который будем обозначать тем же символом ^) на ?a(S) ^
NA(S)/ =.
Предложение 2.8.6. Частично упорядоченное множество
(La(S),^) является верхней полурешеткой.
Это сразу следует из свойства (Ь) операции ф.
Для S С Е(Л) через N^(S) обозначим множество всех вычисли-
вычислимых А-нумераций S (N^(S) С iVA(S)), а через LA(S) — (частично
упорядоченное) фактор-множество N^(S) по отношению =.
Предложение 2.8.6'. Частично упорядоченное множество
(LA(S), ^) является верхней полурешеткой.
Глава 3
Избранные темы
3.1. Конструируемые множества
В настоящем параграфе вернемся к вопросу о построении конце-
концевых подсистем у KPU-моделей, которые сами являются KPU-mo-
делями (ср. § 2.7). Как уже отмечалось в § 2.7, добиться выпол-
выполнения большинства аксиом KPU можно замыканием относительно
всех S-функций (без параметров).
Для всех допустимых множеств А сигнатуры о\ можно рав-
равномерно (независимо от А) определить Е-рекурсией (частичную)
S-функцию F: и X А X А -> А такую, что для любых п € ьз =
Nat (А) С А, а € А, Ь € А
{а, 6}, если п = О,
Ua, если п ф 0 и п не является гёделевым
номером никакой До-формулы, т. е.
Fo(n) = 0, где Fo определена в § 2.6,
/ф(а, 6), если п является гёделевым номером
До-формулы Ф
(определение /ф см. в § 2.7).
153
154
3. Избранные темы
С помощью S-функции F определим отображение L: Ord(A) x
А -> А следующим образом. Полагаем
. _^ fa, если a e А*,
*~ 1 0, если a — праэлемент.
Когда 0 фа € Ord(A) и а представим в виде a = Х(а) + п(а), где
А(а) — наибольший предельный ординал, меньший или равный а,
а п(а) € uj, полагаем
Ца,а)^ [)Ца,13),
0<а
если a = A(a) (n(a) = 0),
X/tOJ, Q>) ^=*| jl/IOJ — 1, Q>) j U jl/(O! — 1, Ct)
U {F(i,c,d)\ c,de L(a - 1,a), i < n(a)},
если n(a) > 0 (и a - 1 ^ A(a) + (n(a) - 1)).
Согласно определению отображение L может быть определено
Е-рекурсией по а. Следовательно, L является S-функцией. За-
Заметим, что функция п(а) является S-функцией; она определяется
Е-рекурсией так:
п(а) ^ 0, если ординал а предельный (а = А(а)),
n(S(a)) ^ S{n(a)), если ординал а произвольный.
Индукцией по а легко установить, что L(a, а) транзитивно для
любого а и транзитивного а. Действительно, L@, a) = а транзи-
транзитивно. Если а предельный и L(/3, a) транзитивно для всех /3 < а,
то L(a, а) = \J L(/3, а) также транзитивно. Если а не предельный
и L(a — 1, а) транзитивно, то ввиду определения L(a, а) транзитив-
транзитивно. Следует лишь напомнить, что либо F(i, с, d) есть {с, d} или Uc,
либо F(i, с, d) С d для с, d € L(a — 1, a).
Для транзитивного элемента a € А через La (о) (или просто
L(а)) обозначим множество \J L(a,a).
aeOrd(A)
Предложение 3.1.1. Концевая подсистема L(a) ^ А \ Ь{а)
^ end А является допустимым множеством.
3.1. Конструируемые множества
155
156
3. Избранные темы
Доказательство. Заметим, что L(a) — транзитивное подмно-
подмножество А, замкнутое относительно образования пар {а, Ь} и опера-
операции U, а также относительно всех S-функций вида /ф, где Ф —
До-формула без параметров. Следовательно, по предложению 2.7.1
в L(a) выполнены все аксиомы KPU, за исключением, быть может,
аксиом фундированное™ и До-ограниченности. Однако А — допу-
допустимое множество. Следовательно, €А и €А \ L(aJ — фундирован-
фундированные отношения, и в L(a) выполнены аксиомы фундированности.
Остается проверить справедливость аксиом Д0-ограниченности.
Пусть Ф(х,у,г) — До-формула (без параметров) и b,c € Ца) та-
таковы, что
Ца) l=Vx e ЬЗуФ{х,у,с).
Тогда в А истинно
A t= Vx € 63a(Ord(a) ЛЗу € Ца,а)Ф(х,у,с)).
По принципу S-ограниченности существует d € А* такой, что
А 1= Vx е'ЬЗа е d(Ord(a)A3y е Ца,а)Ф(х,у,с))ЛУа € dOrd(a).
Пусть а* ^ Ud. Так как Va € dOrd(a), имеем а* € Ord(A) и
согласно выбору d имеем
А 1= Vx e ЬЗу е Ца*,а)Ф(х,у,с).
Поскольку L(a*,a) € L(a), получаем
L(e) 1= Vx е ЬЗу € Ца*,а)Ф(х,у,с).
Таким образом, в L(a) выполнены аксиомы Ао-ограниченности. Сле
довательно, L(a) — допустимое множество. ?
• Элемент 6 допустимого множества А называется конструируе-
конструируемым из элемента а (а € А* транзитивен), если 6 € L(a).
В предложении 3.1.1 установлено, что множество L(a) допусти-
допустимо. Однако может оказаться, что существуют (предельные) орди-
ординалы а € Ord(A) такие, что уже L(a, с) ^± А \ L(a, а) является
допустимым. Пусть а* — наименьший такой ординал и LA(a) ^
А Г L(a*,a). Если такого ординала нет, то полагаем LA(a) ?^
L(o)(= LA(e)).
Удивительным фактом является то, что допустимое множество
LA(a) (для транзитивного а) не зависит от А. Точный смысл
этой абсолютности выражен в следующем предложении.
Предложение 3.1.2. Пусть А и В — допустимые множества,
а € A* ub € В* транзитивны, ip: {a,eAf a2) -> F,€Bf Ь2) —
изоморфизм. Тогда существует однозначно определенный изо-
изоморфизм ip*: LA(a) -> LA(b), продолжающий ip.
Доказательство (набросок). Заметим, что можно выбрать до-
достаточно большое множество 5 праэлементов и достаточно большой
кардинал я так, что будут существовать изоморфизмы допустимых
множеств А и В на концевые подсистемы допустимого множества
H>f(S). В силу условия предложения 3.1.2 можно выбрать изо-
изоморфные вложения У>0: А -> НжE) и ф\: В -> НжE) так, что
фо(а) = Vi (Ь) и Ч> = ^(V'f1 Г Фо(а))- Проделав определенные ото-
отождествления, можно считать, что A ^end HU(S), В ^end ^x(S)
и a = 6. Теперь предложение 3.1.2 следует из общего свойства абсо-
абсолютности для Е-функций без параметров, приведенного ниже. ?
Предложение 3.1.3. Пусть С, Ш>, С ^end Ш> — KPU-модели
и Ф(х,у) —¦ И-формула без параметров, определяющая eCui
¦частичные И-функции <рс и tpjy . Тогда <^с Я V'D) m- e- ^v>c — $<рв
и ipc{c) = (рц(с) для се 6,рс.
Доказательство. Утверждение сразу следует из импликации
Сё $(c,d) =»Ю>^Ф(с,сО для любых с, d€ С. П
В частности, для любого a € Ord(A) П Ord(B) имеем
(a,a) = LB(a,a).
Тот факт, что функция Ьд определяется независимо от допусти-
допустимого множества А, позволяет той же формулой определить частич-
частичную S-функцию Lb на любой KPU-модели В. Имеет место также
аналог предложения 3.1.1.
Предложение 3.1.4. Пусть А — KPV-модель, а € А тран-
транзитивен и Ьд(а) 5=i {b | be Ьь(а,а), а € Ord(A)}. Тогда
LA (a) ?± A \ Ца) - KPV-модель.
Доказательство. Справедливость аксиом Д0-ограниченности в
La (a) устанавливается точно так же, как в доказательстве предло-
3.1. Конструируемые множества
157
жения 3.1.1. Аксиомы фундированности в La (а) справедливы, так
как 1/д(а) является формульным подмножеством А. Остальные ак-
аксиомы KPU следуют из того факта, что La (a) ^end Аи L\{a)
замкнуто относительно Е-функций { , }, U и /ф, где Ф — До-фор-
До-формула. ?
Замечание 3.1.1. Пусть А — KPU-модель, элемент а ? А тран-
зитивен и отношение €Af а2 фундировано. Тогда а € AwFk и
AwFA(^end А)—допустимое множество. Следовательно, L(a, a) e
AwFk Для а € WFa- Причем если L{WF^,a) ^ \J L(a,a)
W
и hwFk{a) ^ A \ L{WF\,a), то LwFk(c) — допустимое множе-
множество. Поэтому можно определить LA(a) и распространить предло-
предложение 3.1.2 на KPU-модели А и В в случае фундированности отно-
отношений (еА Па2) и (ев Пб2). Все проведенные рассуждения можно
повторить и для допустимых множеств (KPU-моделей) произволь-
произвольного конечного расширения а сигнатуры о\.
Объектом значительного интереса исследователей была следую-
следующая конструкция. Пусть ЯЯ = (М,Р^,... ,Р^Л) — алгебраиче-
алгебраическая система конечной сигнатуры а' (для простоты будем считать,
что а' = {Pq°,- ¦ ¦ ,Р%п) — чисто предикатная сигнатура). Пусть
х — кардинал, мощность которого больше мощности множества М.
Тогда
ЗЛ =
Пустьа ;=± ТС(9Л). Тогда допустимое множество LJJ, ,зд(а), кото-
которое будем обозначать HYP(9Tt) (это допустимое множество зависит
только от Ш), является наименьшим допустимым множеством, со-
содержащим 9Л (как элемент).
Наименьший ординал, не принадлежащий Ord(HYP(9Tt)) (т. е.
0(Н?1Р(9Л))) обозначается О(Ш). Имеется весьма интересная ха-
рактеризация (см.§ 3.2) алгебраических систем 9ЭТ таких, что О(9Л)
= и>.
Рассмотренные здесь KPU-модели видов La (a) и LA(a) дают
примеры резольвентных KPU-моделей в смысле следующего опре-
определения.
• Множество В С А называется резольвентным в KPU-моде-
KPU-модели А, если существует Е-функция /: Ord(A) —> А* такая,
158
3. Избранные темы
что /(а) С /(/3) С ? для всех а ^ /3 е Ord(A) и В =
(J /(а). Функция / называется резольвентой для В.
a6Ord(A)
• KPU-модель А называется резольвентной, если множество А
резольвентно в А.
Оказывается, что все резольвентные KPU-модели имеют уни-
универсальные S-функции. Это вытекает из следующего более общего
утверждения.
Предложение 3.1.5. Пусть А — резольвентная KPV-модель,
v: В —> S С ?(Л) — вычислимая А-нумерация некоторого семей-
семейства S И-подмножеств А. Если семейство S замкнуто относи-
относительно подмножеств (т. е. Re S,Q € Е(Л), Q С R =» Q € S),
tp{xo,xi,... ,х„) — произвольная Ао-формула, So ^ {R \ Й6
5, A t= Vx0 € R. ¦ .Vxn € Ry?(xo,... ,xn)}, то существует вы-
вычислимая А-нумерация Vq\ В —> So такая, что Ь ? В, ub ? So
влечет щЬ = vb.
Доказательство. Пусть /: Ord(A) -> A* — резольвента для А.
Пусть Ф(х, у, z, и) — До-формула и ао € А такой, что a € v{b) <=>
A t= 3z4f(a,b,z,uq). Для Ь € В и a € Ord(A) определим i/F)a
так:
v{b)a *± {с | с € /(a), A b 3z e /(а)Ф(с,Ь,z,oq)}.
Тогда и(Ь)а С v{b)p С v{b) для а < /3 € Ord(A) и
"(Ь)= U "W"'
agOrd(A)
v(b)a € А* (т. е. функция а н-» v(b)a является резольвентой для
и(Ь)). Для 6 € В и а € Ord(A) полагаем
U
если A t= Зсо G i/(b)a3ci e v{b)
3cn € v(b)a-vp(co,..- ,с„),
?>(co,--. ,с„).
Легко проверить, что Ь,а<-? щ{Ь)а есть S-функция с областью
определения В х Ord(A) и щ(Ь)а С v{b)a, vo{b)a С vo{b)p для
3.1. Конструируемые множества
159
а ^ /3 G Ord(A). Кроме того, если i/F) € So, то vo(b)a = "(&)<*
для всех а € Ord(A) и щ(Ь) ?=* \J щ(Ь)а € So для всех
agOrd(A)
be В. D
В качестве tp(xo,xi) юзьмем До-формулу, выражающую следу-
следующее свойство: хо и х\ являются парами, и если pixo = piXi, то
хо — х\. В качестве v возьмем главную вычислимую А-нумерацию
vv: А -> Е(А) всех Е-подмножеств. Тогда построенная в дока-
доказательстве предложения 3.1.5 (главная) вычислимая А-нумерация
vPfl\ A -> So является нумерацией всех графиков (одноместных)
Е-функций.
Следствие 3.1.1. Если КР\3-моделъ А резольвентна, то суще-
существует двуместная 11-функция, универсальная для одноместных
Е-функций.
Рассмотрения настоящего параграфа приводят к следующей об-
общей проблеме.
Проблема порождения. Пусть А — допустимое множество и
В С. А. Существует ли наименьшее по включению допустимое
множество С ^end А такое, что В С С. Другими словами,
будет ли определять допустимое множество пересечение
Cova(B) ^ П{С \С С А, С транзитивно В С С,
А \ С допустимо}.
Если такое С существует, то его естественно назвать допустимым
множеством, порожденным множеством В (в А).
Основной результат настоящего параграфа можно сформулиро-
сформулировать так:
Теорема 3.1.1. Любое А-конечное множество В порождает в
А допустимое множество.
Таковым будет L^(TC(B)). Если множество В не является
Л-конечным, то Cova(B) не всегда определяет допустимое множе-
множество. Укажем простейший пример.
Пример 3.1.1. Пусть X — множество празлементов мощности
(w+)+ — второй несчетный кардинал, А =i НХ(Х).
Рассмотрим два допустимых множества, содержащих X: Aq ;=
и>+ и ус
160
3. Избранные темы
HU1+(X) = НС(Х). Положим Ах ;= L(w,,X), гдеы, — наимень-
наименьший ординал, больший и> и такой, что L(w»,X) допустимо. Легко
установить, что ы« счетный (более того, ы» = ыр — первый некон-
неконструктивный ординал):
Ai^endA, XU{u}CAi, i = 0,1.
Нетрудно убедиться, что допустимое множество Ai обладает сле-
следующим свойством: если Y С X бесконечно uY?Ai, то X\Y
конечно. Отсюда получаем следующее утверждение: если Y С X
и Y € Ао П А\, moY конечно. Действительно, если Y бесконечно,
то мощность У равна мощности X, большей и), но любой (транзи-
(транзитивный) элемент из Aq не более чем счетен.
Заметим теперь, что если В ^end А и X U {ш} С В, то в В
должен существовать элемент Y такой, что Y С X и Y бесконеч-
бесконечно. Действительно, В И Vn G шЗ/ (/ — разнозначная функция
такая, что 6/ = п, f(n) С X). Ввиду принципа Е-ограниченности
существует элемент F € В такой, что
В t= Vn G w3/ G F{f: п ^ X).
Поэтому Y ;= U{/(<5/) | f EF}eB, Y CXviY бесконечно.
Проведенное рассуждение показывает, что Cov(XL){a>}) С Aq(~\
А\ не может определять допустимое множество.
Используя теорему Левенгейма — Скулема, можно установить,
что для любого бесконечного множества праэлементов X множе-
множество X U {и} (или транзитивное множество JUwU {w}) не поро-
порождает допустимого множества.
В работах [15, 18] установлено, что если В С А таково, что
rnkF) ^ 1 для любого 6 € В, то множество Cov(.B)(;=± A \
Cov(B)) допустимое. Можно привести пример того, что это условие
на ранг не может быть улучшено. А именно, если X — бесконечное
множество, ao,ai,... ,ап — последовательность попарно различ-
различных элементов X, такая, что _ХД{ао, а.\,... , а„,...} бесконечно и
а
{{а0,
,... ,{ап,ап
то множество Cov(X U {а}) не является допустимым (см. [15]).
Заметим, что mk(?) = 0 для (е!и rnk(a) = 2.
Ниже мы укажем один пример, когда проблема порождения ре-
решается положительно для бесконечного семейства В.
3.1. Конструируемые множества
161
162
3. Избранные темы
• Пусть А — KPU-модель; транзитивное подмножество В С А
называется локально рефлексивным в KPU-модели А, если для
любого а ? А* такого, что а С В, существует элемент Ь ? В
такой, что оС 6.
Предложение 3.1.6. Пусть А — KPU-модель, И-подмножест-
во В С А локально рефлексивно в А . Тогда множество
В, ^ U{L(a, ТС(Ь)) | а € Ord(A), Ь ? В} Q В)
определяет KPU-модель, т. е. В, ^ А \ В* — KPU-модель.
Доказательство. Так как В» является, очевидно, транзитив-
транзитивным S-подмножеством А, замкнутым относительно операций { , },
U, /ф, где Ф — До-формула без параметров, в В» выполнены все
аксиомы KPU, за исключением, быть может, аксиом До-ограничен-
До-ограниченности (предложение 2.7.1). Пусть ip(x,y,z) — До-формула, а,Ь €
В» и
В» t= Vx e аЗу(р(х,у,Ь).
Тогда
А И/х е a3z3a{z € В Л Ord(a)
ЛЗу € L(a,TC{z)Mx,y,b)).
По принципу S-ограниченности в А* существует элемент с такой,
что
А И/х € o3z € c3a(z e В Л Ord(a)
Л Зу ? L{a, TC(z))tp(x, у, Ь)) Л Vz € с(с € В).
Тогда с С В и, ввиду локальной рефлексивности В в А, существует
элемент d € В такой, что с С d. Имеем
А N Vx € аЗаЗг € d(Ord(a) Л Зу € L(a, TC(z))tp{x, у, 6)).
Опять по принципу S-ограниченности можно найти ординал а0 €
Ord(A) такой, что
А N Vx е аЗа € ao3z G d3y e L(a,TC(z))(p(x,y,b).
Не уменьшая общности можно считать, что а,Ь ? d.
Рассмотрим KPU-модель
а, Ь, d G L. Для любых z ? d, a ? Ord(A) имеем L(a, TC(z)) € L.
Поэтому
L N Vx € аЗа ? ao3z € d3y € L(a, TC{z))ip(x, y, b).
Пусть
l^U{L{a,TC{z))\a€ao,z?d}, I € L.
Тогда
L^Vx e a3y € lip(x,y,b).
Однако L ^end В*. Следовательно,
В» tVx?a3yeltp(x,y,b).
Таким образом, в В* выполнены аксиомы До-ограниченности. ?
Предложение 3.1.7. Пусть А — допустимое множество, а
S-подмножество В С А локально рефлексивно в А. Тогда мно-
множество Cova(B) = A f Cova(B) — допустимо.
Доказательство. Пусть а* — наименьший ординал, не лежа-
лежащий в Cova(B) ^end A. Тогда а» ^ 0(А). Полагаем
В' ^ U{L(a, ТС(Ь)) | a < a., 6 € В}.
Из определения видно, что (В С) В' С Cova(B). Покажем, что
В' ^ А \ В' допустимо. Отсюда будет следовать и равенство В' =
CovA(B) и допустимость Cova(B) (= В').
Если а» = 0(А), то В' = В», где В» определено в предло-
предложении 3.1.6. Следовательно, по этому предложению В' = В» -—
KPU-модель, и В' допустимо, так как В' ^end А и А допустимо.
Если а» < 0(А), то выберем такое транзитивное А' С А, что
В С А', к' ^ k \ А' допустимо, и а, ф Ord(A'). Такое А'
существует, так как
a» ^ Cova(-B) = П{С | С — транзитивное подмножество А такое,
что ВССиС^АСС допустимо}.
Поскольку а» С Cova(B) С А', то а» = О(А'). Следствием суще-
существования такого А' является утверждение:
L(a»,TCF)) = A f L(a»,TCF)) допустимо для любого Ь
из В.
3.1. Конструируемые множества
163
Для доказательства допустимости В' необходима проверка спра-
справедливости лишь аксиом До-ограниченности. Такая проверка осу-
осуществляется по аналогии с доказательством предложения 3.1.6.
Пусть (р(х, у, z) — До-формула, а, 6 € В' и
В' N Vx e a3y(p(x, у, b).
Тогда
A t= Vx G аЗгЗа еа,(гбВЛЗу€ L{a, TC{z))ip(x, у, Ь)).
По принципу S-ограниченности в А* существует элемент с такой,
что
А И/х € a3z G сЗа € а,3у G L(a,TC(z))tp(x,y,b)))
c(z €В).
Тогда с С В и, ввиду локальной рефлексивности В в А, существует
элемент d € В такой, что с С d. He уменьшая общности, можно
считать, что а, Ь G d. Имеем
А N Vx G a3z G d3a G аф3у G L(a, TC(z))(p(x, у, b).
Пусть L' ?=i L(a»,TC(d)), L' ^end A — допустимое множество,
a, b,d G L' и для любых z G d, a € а» имеем L(a, TC(z)) e L'.
Поэтому
V 1= Vx G a3a3z G d(Ord(a) Л Эу G L{a,TC{z))<p{x,y,b)).
По принципу S-ограниченности существует fi G L' такой, что
L' NVx e аЗа G ^3z G d(Ord(a) Л Зу € L(a,TC(*))
<p(x, у, Ь)) Л Va G ^(Ord(a)).
Пусть a* ?=± U/3. Тогда a* G L' — ординал (a* < a*) и для
с s± U{L(a,TC(z)) | a G a*, z G d},
с G I/, и
I/ N Vi € a3z G ap(x, y, b).
Ho L' ^end В', следовательно, В' t= Vx G a3z G ap(x,y, b), и в В'
выполнены аксиомы До-ограниченности. О
164
3. Избранные темы
Замечание 3.1.2. Предложение 3.1.7 остается справедливым, если
потребовать, чтобы В было не S-подмножеством, а лишь ?*-подмно-
жеством.
3.2. Рекурсивно насыщенные системы
Алгебраическая система 9ЭТ конечной сигнатуры а' называет-
называется рекурсивно насыщенной, если для любого Д-множества фор-
формул Ф (см. гл. 1), все свободные переменные которых содержат-
содержатся в множестве {хо,... , хп,уо, ¦ ¦ ¦ , Ут}, и для любых элементов
Оо,... , От € М выполнено следующее:
если для любого конечного подмножества Фо С Ф существу-
существуют bo,... ,bn G М такие, что 9ЭТ Ё <^(Ь,а) для всехр(х,у) G
Фо, то существуют bo,... ,bn G М такие, что Ш ^ ip(b,a)
для всех ip G Ф.
Теорема 3.2.1. Алгебраическая система 9ЭТ конечной сигнатуры
является рекурсивно насыщенной тогда и только тогда, когда
0(ЗИ)=О(Н?Р(ЯП))=ш.
Прежде чем доказывать эту теорему, установим одну общую те-
теорему об определимости.
Теорема 3.2.2. Пусть 9ЭТ — алгебраическая система конечной
предикатной сигнатуры а; х —¦ кардинал, бдльший мощности
М; а € Н >e(9Tt) — транзитивное множество такое, что sp(a) =
М. Тогда предикат S С ап является формульным в системе
А ;=± НЖ(9П) f a тогда и только тогда, когда S G L(w,a).
В доказательстве используется следующее понятие подстановоч-
подстановочной S-функции. Пусть (р — всюду определенная n-местная Е-фун-
кция со значениями в А*, определенная на KPU-модели А (на всех
KPU-моделях равномерно). Расширим сигнатуру добавлением ново-
нового n-местного функционального символа / и обогатим А (все KPU-
модели) до новой сигнатуры, полагая /А ^ tp. Функция tp назы-
называется подстановочной на А (подстановочной), если для любой
До-формулы Ф новой сигнатуры существует До-формула Ф исход-
исходной сигнатуры а такая, что Ф =д Ф ($ =kpu Ф)-
3.2. Рекурсивно насыщенные системы
165
Лемма 3.2.1. Справедливы следующие утверждения.
(а) Подстановочные функции замкнуты относительно компози-
композиции.
(Ь) Для проверки подстановочности функции (р достаточно для
любой Ао-формулы Ф исходной сигнатуры найти Ао-форму-
лу Ф исходной сигнатуры такую, что
Зх е
=А Ф
=kpu Ф)-
Доказательство. Утверждение (а) очевидно. Для доказатель-
доказательства (Ь) укажем ряд эквивалентностей, из которых легко получить
требуемое заключение. Пусть
х ? f(y) =kpu 3z € f(y)(x = z),
x = f(y) =Kpu Vz € x(z € /(г/)) Л Vz G f(y){z G x),
f{y) G x =kpu 3z G x(z = /(j/)),
Д(... ,/(у),...)=КРХ}0ф0,
где R ? а. Последняя эквивалентность справедлива, так как по
предположению подстановочная функция имеет в качестве значений
только множества, a R может быть истинен лишь на (некоторых)
праэлементах. ?
Лемма 3.2.2. Функции { , }, U, /<j>, Ф — Ао-формула, L(n, ),
п ? и), являются подстановочными.
Доказательство. Будем пользоваться леммой 3.2.1. Подстано-
вочность функций { , } и U следует из эквивалентностей
Зх G {уо,г/1}Ф(х) =kpu Ф(уо) VФ(y1),
. Зх G иуФ(х) =kpu 3z G 2/Зх € гФ(х).
Пусть Ф(хо, х\,... , хп) — До-формула, все свободные перемен-
переменные которой содержатся в множестве {xo,xi,... ,хп}. Напомним,
что fф(a, Ь) (в KPU-модели А, a, b G А) есть множество
{с\ сеЬ,А\-(Ф)хс°[1а}}.
Рассмотрим для простоты случай п = 1 (случай произвольного п
более громоздкий, но все идеи доказательства будут ясны и в рассма-
рассматриваемом простейшем случае п = 1). Будем использовать /ф как
166
3. Избранные темы
сигнатурный символ. Справедлива следующая эквивалентность:
) =kpu Зх G yi{Cz G yo3u G
Л Vv € yo{v = zWu6 Uv(v ф A, u)))
Л Ф(х, и)] V [Vz G yoVu G Uz(z ф A, и))
V 3z0 G yo3uo G Uzo3zi G уоЗг»! G Uz0
(z0 ф zx Л г0 = A, u0) Л zi = A,
По лемме 3.2.1 в силу доказанного выше получаем, что функция /ф
подстановочна.
Подстановочность функции L(n, ) устанавливается индукцией
по п ? ш. Для п = 0 утверждение очевидно. Пусть уже установле-
установлена подстановочность L(n, ). Тогда имеем следующую эквивалент-
эквивалентность:
Зх G Цп+1,уЩх) ЕЕкри
V
G Ь(п,у)Ф(х)
G 1(«,у)
Заметим, что F(i,xo,xi) при любом i ^ n есть либо {a;o,a;i}, ли-
либо Uxo, либо /ф(хо, a;i) с подходящей До-формулой Ф. Тогда из
доказанного выше (и леммы 3.2.1) получаем, что L(n + 1, ) — под-
подстановочная функция. ?
Вернемся к доказательству теоремы 3.2.2. Нам потребуется ряд
лемм.
Лемма 3.2.3. Для любого элемента х G L(ui, a) (= |J L(n,aj)
существуют терм t от символов, соответствующих функциям,
перечисленным в лемме 3.2.2, и элементы уо, ¦ ¦ ¦ , уп ? о, U {а}
такие, что х = t(y0,. ¦. ,у„).
Доказательство. Утверждение устанавливается простой индук-
индукцией по п 6 и. ?
Замечание 3.2.1. На сам«м деле справедливо более общее утвер-
утверждение.
3.2. Рекурсивно насыщенные системы
167
168
3. Избранные темы
Лемма 3.2.4. Для любых а(е OrdA) и b E L(a,a) существу-
существуют терм t(xo,xi,... ,xn,xn+i) от функций { , }, U, /ф, где
Ф — Ао-формула, и от «констант» L(P,a), /3 < а, и элементы
ао,... ,ап € а такие, нтоЬ = t(ao,ai,... ,an,a).
Лемма 3.2.5. Если ip(x0,... ,хт,у) — Ао-формула без параме-
параметров, то предикат
Sv^{(bo,... ,Ът)\ bo,-.. ,bm €a,L{w,a)t=(p(b,a)}
является формульным в системе А.
Доказательство. Если в формуле <р(х, а) квантор вида Зу €
a(Vy € а) заменить неограниченным квантором Зу(Уу), подформу-
подформулы вида у € а — формулой у = у, а подформулы вида у = а —
формулой у ф у, то получится формула, не содержащая а. Для
этой формулы Ф(х) (без параметров) индукцией по построению (р
устанавливается, что Sv = ФА[х]. D
Доказательство теоремы 3.2.2. Пусть S С a*, S € L(w,a).
По лемме 3.2.3 существуют терм t(yo,... ,2/mj2/m+i) от символов
{ > }. U, /ф( , ), L{n, ) и элементы &о, • • ¦ , Ьт € а такие, что
S = t(bo,... ,Ьт,а). Поэтому
Доказательство. Действительно, положив a ;=± M, получим
М = ЯП. П
(хь. ..,
t(b,a).
Отметим, что выражение (xi,... , xjt) € t(y, z) эквивалентно До-фо
муле ip(x, y,z) ввиду подстановочности функций, составляющих терм
По лемме 3.2.5 отношение
5* ^ {(а,с) | а,с G а,Ци,а) 1= ip{a,c,a)}
формульно на А, но тогда отношение
также формульно на А (с параметрами Ь). Обратно, если S С ак
формульно в А, то оно До-формульно на а в h(w,a). При этом,
так как а € L(l,a) и h(w,a) замкнуто относительно всех функций
/ф( , ), где Ф — До-формула, то S Е L(u, а). О
Следствие 3.2.1. Если 0(971) = ш, то предикат S С М* ле-
лежит в HYP (971) тогда и только тогда, когда он формулен на 97t.
Доказательство теоремы 3.2.1. Пусть ЙЛ — алгебраическая
система такая, что 0(Щ = и), т.е. HYP (ЯП) = L{u),M). По
любой формуле Ф(хо,... , хп) сигнатуры а' системы 971 можно эф-
эффективно выписать До-формулу Ф*(хо,хь ... ,xn,xn+i) сигнату-
сигнатуры а = CTi U а' такую., что для любых ао, ¦ ¦ ¦ ,ап Е М имеет место
экви валентность
ЯП t= Ф(ао,... ,а„)
,... ,ап,М)
<к>,--- ,ап,М).
Для этого нужно каждый квантор формулы <р вида 3z(Vz) заменить
ограниченным квантором 3z € y(Vz G у). Пусть Ф — Д-множество
формул сигнатуры а', все переменные которых содержатся в мно-
множестве {xq,x\, ... ,хп}. Пусть а\,... ,а„ € М таковы, что для
любого конечного подмножества Фо С Ф существует а0 € М такой,
что 971 Ё ip{aQ,a\,... ,an) для всех <р € Фо, и пусть Ф* — множе-
множество всех формул вида <р* {xq ,... ,хп, хп+\) для <р € Ф. Множество
Ф* До-формул сигнатуры а также является Д-множеством. В част-
частности, существует S-формула Ф(г) такая, что
_ ^п |п — гёделев номер некоторой формулы
ip* изФ*}.
Предположим теперь, что не существует элемента ао € М такого,
что 9711= (р(ао, а\,... ,а„) для всех ip G Ф. Тогда в HYP (971) будет
истинно соотношение
HYP (971) *= Vy G МЭп(Ф(п) Л T0(n,ch(c,y)) = 0),
где с ;=± {A, ai),... , (n,an),(n + 1, М)}, функция То определе-
определена в § 2.6, а функция ch ¦— в § 2.7. Действительно, правая часть
формулы утверждает, что для любого элемента оо 6 М существу-
существует формула tp* e Ф* (точнее, номер п этой формулы) такая, что в
HYP (971) формула ^*(х0,... ,xn,a;n+i) ложна (T0(n,ch(c,y)) =
0)при7сЬ(с,а).где
ch(c,ao) = {<0,a0>,(l,oi)>... ,(n,an),
3.2. Рекурсивно насыщенные системы
169
3. Избранные темы
По принципу Е-ограниченности существует d G HYP (9Л) такой,
что
HYP (<Ш) ^Vy е МЗп € d(*(n)AT0(n,ch(c,2/)) =
e сГФ(п).
Поэтому d С uj и d конечно (так как бесконечность d и условие d €
HYP (Ш) влекут w = Ud G HYP (SOT), что противоречит условию
О (HYP (971)) = и). Пусть Ф|$ — конечное подмножество всех фор-
формул у* из Ф* таких, что гёделев номер формулы <р* принадлежит d.
Тогда ввиду выбора d для любого элемента ао € М существует
формула у?* € Ф5 такая, что ЖР(ШТ) (="" ^*(ao,ai,... ,an,M)-
Следовательно, fUt N <^(oo,ai,... ,an) для соответствующей фор-
формулы (p из Ф. Если Фо ^ {ф | ф G Ф>у* ? Фо}| то $о конечно и
не существует элемента uq € М такого, что Ш t= y?(ao,ai,... ,an)
для всех ^ е Фо, что противоречит условию на Ф. Следовательно,
ЯЛ является рекурсивно насыщенной.
Замечание 3.2.2. На самом деле установлено меньше. В обо-
обозначениях определения рекурсивно насыщенной модели рассмотрен
лишь случай п = 0 (xi,... , х„ = у0,... , ут). Однако общий слу-
случай рассматривается аналогично.
Обратно, пусть 9Л — рекурсивно насыщенная модель. Покажем,
что L(u), M) допустимо. Так как и предельный, достаточно прове-
проверить справедливость аксиом До-ограниченности.
• Множество a € L(cj, M) называется простым, если существу-
существует терм t{x0,... ,xn,xn+i) от функций { , }, U, /ф, где Ф —
До-формула, L(n, ), п € ш, такой, что любой элемент х € a
имеет вид х = t(ao,..., а„, М) с подходящими а» € М, i ^ п.
Легко видеть, что из приведенных ниже утверждений A) и B)
следует справедливость аксиом До-ограниченности для L(w, M).
A) Каждый элемент a G L(u, M) есть объединение конечного
¦числа простых множеств.
Лемма 3.2.3 утверждает, что любой элемент х иэ Ь(ш, М) пред-
представим в виде значения подходящего терма t на элементах из Ми
{М}. На самом деле можно утверждать, что для любого п € ш
существует конечное число термов t0,... , ?т(„) таких, что лю-
любой элемент х из L(n, M) представим одним из этих термов. По-
Поэтому для a € L(n,M) полагаем а* ^ {х | х ^а^ЭрЕ М(х =
fi(p,M))}, i ^ т(п). Очевидно, что а = ао U ... U am(n) и
каждое а*, г ^ т{п), простое. Утверждение A) установлено.
Если (p(x,y,z) — Ао-формула, а € L(u,M) простое, b G
L(ui,M), то
h(u),M) t= Vx € a3ytp(x,y,b) -> ЭсУа; G cBy G ap{x,y,b).
Если через Ф(х, у, z) обозначить ~V(x, у, г), то достаточно уста-
установить справедливость в L(w, M) следующей формулы:
УсЭх G aVy G сФ(х,у,Ь) -> Зх G aVy*(x,y,6).
Пусть посылка верна. Тогда для любого п€ш
Ци,М) 1= Зх € aVy G Цп,М)Щх,у,Ъ). C.2.1 „)
Так как а простое, имеем а С {<о(р, М) \ р G Мт+1} для под-
подходящего терма to(xo,... ,xm,xm+i). Кроме того, существуют
h(yo,--. ,yk,Vk+i) и?€ Мк+1 такие, что a = h(q,M). По-
Поэтому
Зро € М... Зрт € Af (*о(Р, М) Е hE, М)
AVy € Х(п,М)Ф(*о(р,М),у,Ь)). C.2.2„)
Так как 6 G L(w,М), существуют t2(^o,--- ,^s>^s+i) и г G
Ms+1 такие, что 6 = ^гО?, М). Поскольку все функции, образу-
образующие термы to, ti, <2, подстановочны (см. лемму 3.2.2), по лем-
лемме 3.2.5 можно (эффективно по п) построить формулу
Ф„(х0,... ,хт,у0,... ,yk,zo,... ,zs)
сигнатуры а' такую, что для любых р G Mm+1, q1 G Mk+1,
z1 G M*+1 имеет место эквивалентность
Л Vy G L(n, At)9{to(p, M), y, t2(f, M)).
Заметим, что из C.2.1 n) следует, что при п > п'
Ш * Vx0...Ухт(Фп(г,5,г) -»¦ Фп.(г,д,г)). C.2.3)
Полагаем Ф ^ {Ф„(х, q,r) \ n G w}. Ввиду эффективности
построения Фп по п получаем, что Ф есть Д-множество формул,
а из C.2.2 „) вместе с C.2.3) вытекает, что для любого конеч-
конечного подмножества Фо С Ф существует р G Mm+1 такой, что
3.3. Уплощение и вынуждение
171
ЯЛ N Ф(р,9,г) для всех Ф € Фо- Тогда по рекурсивной насы-
насыщенности ЯЛ существуетр0 6 Mm+1 такой, что ЯЛ N Фпфо^Ч^)
для всех п € ш. Но тогда если хо ^ *о(Ро> М)(€ о), то
ЯЛ N Ф„(ро,9,»0 => L(w,M) N Vy € ?(
Следовательно,
L(w,M) t= ЧуЯ!(хо,у,Ь), L(w,M) N Эх е
что и требовалось установить. Утверждение B) доказано.
3.3. Уплощение и вынуждение
В настоящем параграфе рассматриваются еще две конструкции
KPU-моделей, имеющих ряд общих черт. Первая конструкция —
уплощение или инкапсуляция — позволяет построить KPU-моде-
ль В над моделью А, рассматриваемой как алгебраическая систе-
система сигнатуры о\ на праэлементах («забывается» сложная теорети-
теоретико-множественная природа элементов из А), причем сама эта модель
В S-определима в А (см. § 3.4).
Рис. 3.3.1
172
3. Избранные темы
Определим для каждого ординала а в А множество Ва С А
следующим образом:
Во ^ {(о,0)| об4
Ва ^
0<а
о)},
а > 1,
|aeOrdA}.
Все множества Ва, а 6 OrdA, и множество В являются S-под-
множествами модели А. На множестве В определим отношение 6В
так: для a,b E В полагаем
о ?в b z± {существуют a > 0 и с такие, что b = (с, а) и а 6 с}.
Значение константы 0 положим равным 0В ;=* @Д)- Получен-
Полученная алгебраическая система (В, 0В, €в) будет KPU-моделью. На
самом деле мы установим более сильное утверждение. На множе-
множестве В определим структуру сигнатуры о\ U (Cz,E2) (или даже
большей сигнатуры, если А — KPU-модель сигнатуры, расширяю-
расширяющей Cl) И ПОЛОЖИМ
Cg ^ @,0),
Ев ^ {(а, Ь) | а, Ь е Во, существуют с, d 6 А такие, что
Тогда система В = (В, 0В, ев, СВ,ЕВ) будет KPU-моделью.
Заметим, что отображение а н-> (о, 0), a € А, взаимно одно-
однозначно отображает Л на Во, где Во — множество всех праэлемен-
тов модели В. Кроме того, это отображение есть изоморфизм А и
(Во, Св, Ев). Алгебраическую систему
(B,0B,ZB,CB,EB)
будем обозначать F(A).
Теорема 3.3.1. Алгебраическая система F(A) есть KPU-jho-
дель сигнатуры а\ U (С0,Е2).
3.3. Уплощение и вынуждение
173
Доказательство. Справедливость аксиомы экстенсиональности
для В следует из определения €в (и экстенсиональности А).
Аксиома пары проверяется следующим образом. Если bo,bi €
В, то
{ЬоМв ^ ({boM},S{pr(bo))US(pr(bi))) 6 В
обладает требуемыми свойствами. Вообще, если а ? А* к а С В,
то, полагая
а„ *± U{S(pr(b)) | Ь € о} (е Ord А), а* s=± {a,aa),
получим а* € В. Таким образом, {6o,6i}b = {bo,bi}*.
Для проверки остальных аксиом нужно провести предваритель-
предварительные рассмотрения. Из определений множеств Ва, а € Ord А,
нетрудно видеть, что S-рекурсией можно определить S-функцию
/3: Ord А х А —> А такую, что для любых а € Ord А и а € А
Следовательно, все множества Ва, а € Ord A, и множество В явля-
являются Д-подмножествами модели А. Действительно, при а ? А,
а ? Ord А справедливы эквивалентности
аеВа<*ае 0(а, {а}),
aeB<*3je гпк(а)(а € /3(j, {a})).
Используя их, можно построить (эффективное) преобразование Ф(х)
ь> Ф*(х) формул Ф сигнатуры о\ U (С0,Е) в формулы Ф* сигна-
сигнатуры о\, такое, что если Ф — S-формула, то Ф* также S-формула
и для любых &о,... , Ьп € В справедлива эквивалентность
Укажем это преобразование:
{х = у)* ^ х = у,
С(х = у))* ^ -(х = у),
(х е у)' ^ За е TC(yKz е TC(y)(Ord (а) Л у = (a, z) Л х е z),
С(х е у))* ^ Va e TC(j/)Vz G TC(y)(Ord (а) Л у = (*, а) ->
174
3. Избранные темы
(хЕу)*
Эх' G ТС(х)Эу' е TC(tf)(a: = @,х')Лу= @,у')
Ля'€*/'),
За; е TC(y)((s е у)* Л Ф»),
Ухе ТС(у)(С(х € у)У VФ*),
Eа; €
(Уд 6
(\/хФ)* ^ УхС(х 6 В) V Ф').
Построенное преобразование позволит проверить все аксиомы.
Пусть .F(A) t= ЭхФ(х,Ь); множество
С *± {а | о е B,F{A) \= Ф{а,Ь)} = {о | о 6 В, А 1= Ф*М)}
формульно в А. Ввиду аксиомы фундированности в А существу-
существует ординал ао, наименьший в множестве {гпкд(Ь) | b € С}. Если
Ъо ? С такой, чтогпка(Ьо) = ао, то F(k) 1= Ф(Ьо, Ь), и если с €в Ьо,
то гпкд(с) < гпка(Ьо) = а0 и с ^ С, ""(^(А) 1= Ф(с,Ь)). Проверим
аксиому До-выделения. Пусть Ф(х, у) — До-формула языка сигна-
сигнатуры а' = о\ U {Csa,E) яЬ,с? В. Формулы Ф* и рФ)* являются
-S-формулами. По принципу Д-выделения существует d € А* та-
такой, что d = {е | ее й(Ь), А 1= Ф'(е, с)}. Поэтому d С В, d* ? В
и, как легко проверить, е ?в d* <Ф е ?в Ь и F(A) 1= Ф(е, с) для
любого е G В. Аналогично проверяется справедливость аксиомы
объединения.
Проверим аксиомы До-ограниченности. Пусть Ф(а;,у,2) — это
До-формула языка сигнатуры а', a, b G В и
Тогда
А 1= Vz ? ТС(а)Эу(у € В А С(х ? о)* V Ф*(а;, у, Ъ))).
3.3. Уплощение и вынуждение
175
По принципу S-ограниченности в А существует элемент с такой, что
А и Vx e ТС(а)Зу ес(уевл С(х е о)*
V Ф*(х,у,Ь))) AVy € с(у 6 В).
Поэтому с С В, с* € В. Очевидно, что .F(A) t= Vx € аЗу €
с*Ф(х,у,Ъ). Теорема доказана. D
Из доказательства теоремы следует также такое утверждение.
Предикат Р С Вп является ^-предикатом (А-предикатом)
в jP(A) тогда и только тогда, когда Р — Ti-предикат (А-пре-
дикат) в А.
Если KPU-модель А не является допустимым множеством, то
.F(A) также не будет допустимым множеством. Действительно, не-
нетрудно проверить, что упорядоченные множества
изоморфны. Следовательно, можно построить допустимое множе-
множество ^о(А) ^ F(A)wp, на праэлементах которого определена ал-
алгебраическая система, изоморфная А.
Замечание 3.3.1. Допустимое множество ^о(А) обладает следу-
следующим свойством минимальности. Пусть ж — кардинал, мощность
которого больше мощности А. Рассмотрим допустимое множество
ШХ(А). Пусть /А: А -» V(A)(C НЖ(Л)) — функция, определенная
так: /а(о) ^ {Ь \ Ь € A, b ? а}. Рассмотрим семейство допусти-
допустимых множеств С таких, что С < end НЖ(Л), АС С, f\(a) € С для
всех о ? А и (С, Д) допустимо. Тогда пересечение Cov(A, Д) всех
таких С является допустимым множеством и существует естествен-
естественный (единственный) изоморфизм Fq(A) \ <ti и Cov(A,/а), продол-
продолжающий отображение (а, 0) н* а, а € А (см. [4,15]).
Проблема 3.3.1. Пусть A ^end В — КР\]-модели, G С А и
0 ф G ? В*. Существует ли наименьшая KPV-модель С та-
такая, что А < С <end BuGeC?
Укажем два достаточных условия для положительного ответа в
случае, когда G ограничено в А, т. е. существует а ? А* такой,
что GCo. Определим на элементах множества В отношение €<;
176
3. Избранные темы
следующим образом:
о0 €
Заметим, что
во
3g € G((ao,g) ?
rnk(ao) < rnk(ai).
Определим S-рекурсией S-функцию Kg- В —> В на В так, что
^g(o) = а, если a — праэлемент, и Kg(o) ^ {Кс(Ъ) | b ?g о.},
если a € В*. Полагаем
A[G] ^ {KG(a) \ aeA}, A[G] ^ В Г A[G].
Заметим, что А С A[G]. Действительно, зафиксируем элемент до €
G и определим S-функцию ~: В —>¦ В так, что д. = а, если a —
праэлемент, и a = {{b,go) \ b е а}, если а ? В*. Нетрудно
проверить, что для любого Ь € В, Ко(Ь) = Ь, если a € Л, то a ? Л
и, следовательно, А С A[G]. Имеем
Заметим, что G ? A[G]. Действительно, G ограничено в А, т. е.
существует a € Л* такой, что G С а. Если b ^ {(с,с) | с € а}(€
Предложение 3.3.1. Если А является локально рефлексивным
И,-подмножеством KPV-модели В и Orel A = OrdB или В —
допустимое множество, то у В существует наименьшая кон-
концевая подсистема С, содержащая А и G.
Утверждение будет следовать из замечания 3.1.2, если будет уста-
установлена
Лемма 3.3.1. В условиях предложения 3.3.1 множество A[G]
является локально рефлексивным S» -подмножеством множест-
множества В.
Доказательство. Проверим рефлексивность A[G]. Пусть b €
В*,ЬС A[G]. Тогда
В1= Vx € ЪЗу € А(х = Ка{у)),
В 1= Vx ? ЬЗг С АЗу е z(x = KG(y))-
3.3. Уплощение и вынуждение
177
По предложению 2.8.3 существует и ? В такой, что и С А и
В И Vx € ЪЗу е и(х = Ка(у))-
Так как и С А и А локально рефлексивно, существует о € А*
такой, что «Со. Поэтому
В t= Vx е ЬЗу е а(х = KG(y)).
Для ао ^ {(у,до) | У € о}, где д0 € G — фиксированный элемент,
имеем а0 6 Л и b С ATg(oo) = {if<j(y) \ yea}. ?
Отметим, что Л[С] содержится в любой концевой подсистеме
С ^end В, которая является KPU-моделью и содержит A U {G}.
Поэтому KPU-модель, определенная подмножеством
U{L(a,TC(b)) | а е OrdB,b € A[G]},
будет наименьшей в случае Ord A = Ord В. Если В допустимо, то
нужно брать систему, определенную множеством
Са. ^ U{L(a,TCF)) | а<а„Ь(Е A[G}}
с наименьшим ординалом а, ^ 0(В) таким, что множество В \ Са„
допустимо. ?
Существует условие, которое является достаточным для того,
чтобы уже система A[G] была KPU-моделью. Это условие форму-
формулируется в терминах, связанных с понятием вынуждения (форсин-
(форсинга), к изучению которого и переходим.
Пусть С € А* и ^ — частичный порядок на С (являющийся
Д-отношением на С или, что то же самое, ^ € А*). Для элемента
h € С запись х б/, у означает
Аналогично понимается (ограниченный!) квантор Зх €& у(-..)¦
Будем считать, что примитивными связками языка будут символы
0", е, ф, Зх, Зх € у, V, Л, "" (х = у есть сокращение для ~"(х Ф у),
и УхФ есть сокращение для "'Зх^Ф).
• Отношением вынуждения, связывающим некоторые элементы
h ? С и предложения Ф сигнатуры о\ (с константами из А), на-
178
3. Избранные темы
зывается любое отношение h Ih Ф, удовлетворяющее следующим
эквивалентностям:
1) h Ih о е Ъ & Эс еЛ b(h Ih -(а ф с)),
2) /i Ih а ф b <$¦ (а и b — праэлементы кафЬ)
V (а — праэлемент и b — множество)
V (а — множество и Ь — праэлемент)
V (а — множество и Ь — множество)
Л (Эс €Л a(h II- -(с € Ь))
3) h Ih ^Ф & Wg ^ h^(g Ih Ф),
4) h Ih Ф V Ф <**¦ (ft Ih Ф) V (h Ih Ф),
5) /i Ih Ф Л Ф «• (Л Ih Ф) Л (Л Ih Ф),
6) h Ih Зх € оФ(х) & 3b eh a(h Ih Ф(й)),
7)Л1ЬЭ*Ф(в)«>Эо(Л11-Ф(о)).
Замечание 3.3.2. Из определения легко вытекает следующее
свойство монотонности:
если ho, h\ € С и ho ^ Ai, mo /ii Ih Ф влечет ho Ih Ф.
Предложение 3.3.2. Существует отношение вынуждения
h Ih Ф такое, что выполнено следующее условие: для любой фор-
формулы Ф(х1,... ,а;п) языка сигнатуры о\ предикат
является формульным в А, причем если Ф — Л-формула (А-фор-
мула, отрицание ^-формулы), то F& — 71-предикат (А-преди-
кат, дополнение до Ti-предиката) на А.
Доказательство. Определим отношение вынуждения одновре-
одновременно для формул вида х0 € Xi, Хо ф xi, ^(х0 е Xi), ~*(х0 Ф xi):
с помощью теоремы Ганди найдем S-предикаты Rq, Ri, R2 и Лз,
соответствующие отношениям вынуждения h Ib a € b, h II- о ф b,
h If- "'(o € b) и h Ih "'(о ^ Ь) и удовлетворяющие следующим
эквивалентностям:
A) Ro{h, a, b) •» Зс ел
, а, с),
3.3. Уплощение и вынуждение
179
180
3. Избранные темы
B) R3(h, а, Ь) & (а и b — праэлементы ио = 4)
V ( а и b — множества) Л V/io ^ /i(Vc €/»„ a3h\,
^ hoRo{hi,c,b) АУс ено b3hi ^hoRo(hi,c,a))
C) Ri (h, a,b) <fr(anb — праэлементы и о ф Ь)
V (а — праэлемент и Ь — множество)
V (о — множество и b — праэлемент)
V (о — множество и b — множество)
Л (Эс еЛ aR2(h, с, Ъ) V Эс eh bR2(h, с, а)),
D) R2(h, о, Ь) «• (Ь — праэлемент) V V/i0 ^ /Л/с €л
Так как в правые части этих эквивалентностей предикаты Ri
входят положительно, возможно применение теоремы Ганди. Легко
видеть из определения, что если а,Ь — праэлементы, то для любого
ЛеС
(h,a,b) eRi^aj^b,
{h,а,Ь) eR3-&a = b.
Для этих предикатов и любых о, Ь € А* установим следующие со-
соотношения:
E) ^Ro(h, а, Ь) & Vc еЛ b3h0 ^ hRr (h0, а, с),
F)^i(/i,o,ft) <# Vc еЛ оЭЛо ^ hRo(ho,c,b) Л Vc 6Л
,о,Ь),
Предположим, что хотя бы одна из эквивалентностей E)-(8) на-
нарушается. Тогда по аксиоме фундированное™ найдем ао € А* та-
такой, что существует b 6 А*, для которого нарушается одна из экви-
эквивалентностей E)-(8), но для любых с ? ТС(ао) и d ? А* все эти
эквивалентности выполнены. Далее находим bo такой, что для ао,
bo хотя бы одна из эквивалентностей нарушается, но для любого
b € ТС(Ьо) для пары ao, b все эквивалентности справедливы.
G) -Д2(Л,о, Ь) «> Э/io
Предположим, что для ао, &о (и некоторого h € С) нарушена
эквивалентность E) и справедливо соотношение ~"Ro(h, ао, bo). То-
Тогда в силу эквивалентности A) имеем Vc €/, Ьо^ДзСЛ, ао, с) и (по-
(поскольку эквивалентность (8) справедлива для любых b € ТСFо))
имеем также Vc С/, ЬоЗ/io ^ hRi(ho,ao,c), что невозможно в си-
силу предположения о нарушении эквивалентности E). Наоборот,
пусть справедливы соотношения Vc €/, ЬоЗ/io ^ /ii?i(/io,ao,c) и
Ro(h,ao,bo). Тогда в силу эквивалентности A)Эс€л ЬоДз(^)Оо,с).
Пусть с €а Ьо такой, что R3(h,ao,c). Тогда в силу эквивалентно-
эквивалентности (8) имеем ""(Э/io < hRi(ho,ao,c)), что противоречит справед-
справедливости Vc €/, bo3ho ^ /ii?i(/io,ao,c). Итак, нарушение эквива-
эквивалентности E) приводит к противоречию.
Предположим, что для ао, &о и h нарушается эквивалентность F).
Пусть Ri(h,ao,b0) и
Vc €& ao3/io ^ hRo(ho,c,bo) Л Vc G/, bo3ho ^ hRo(ho,c,ao).
Ввиду эквивалентности C) имеем
Зс €л аоД2(/1о,с,6о) V3c еЛ boR2(h,c,ao).
Пусть, например, существует с 6(, ао такой, что Лз(/1,с,Ьо)- В
силу эквивалентности G) "'(ЭЛо ^ hRo(ho,c, bo)), но это противо-
противоречит справедливости Vc €д ao3ho ^ hRo(ho,c,bo). Пусть теперь
"¦#! (Л, ао, 6о), тогда по эквивалентности C) (ао и &о — множества!)
имеем
^(Зс еЛ a0R2(h, с, Ьо) V Эс ел МЫ*,с. «о))
(= Vc ел ao^R2(h, с, Ьо) Л Vc ел bo^R2(h, с, ао)).
В силу эквивалентности G)
Vc eh a03h0 ^ hRo(h0, с, bo) Л Vc еЛ Ьо
т. е. справедлива правая часть эквивалентности F).
Проверку справедливости эквивалентностей G) и (8) оставляем
читателю.
Из эквивалентностей E)-(8) следует, что предикаты Rq, Ri, R2
и Дз являются Д-предикатами на А.
Доопределим теперь отношение вынуждения на более сложные
формулы, пользуясь эквивалентностями C)-(8) как индуктивными
3.3. Уплощение и вынуждение
181
182
3. Избранные темы
шагами. Таким образом определенное отношение вынуждения будет
удовлетворять заключению предложения.
Проверка ведется индукцией по построению формулы Ф. Рас-
Рассмотрим для примера наиболее сложный случай, когда Ф — И-фор-
мула, Ф = Ух € аФ(х) и Fф — S-предикат. Имеем Ф = "'Эх € а^Ф
и для h G С
h Ih Ф & Mho ^ hT{hQ Ih 3a; 6 сГЪ)
& V/ю ^ /Г(Эх €Ло a(ho Ih "Ф))
& V/i0 ^ hVx eho <T(V/n ^ ho^ihi Ih Ф))
¦& V/i0 ^ /iVz еЛо аЭ/ii ^ /io(/ii Ih Ф).
Очевидно, что последнее отношение есть S-предикат. Предложение
доказано. ?
Замечание 3.3.3. Используя аксиому фундированное™ и пред-
предложение 3.3.2, можно установить, что для любых h € С и о € А
имеет место соотношение h Ih "'(о ф а).
Введем еще пару важных понятий, связанных с частично упоря-
упорядоченным множеством (С, ^). Пусть G, D С С.
• Множество D называется G-плотпным, если V</ € G3f € D
(f < 9)-
• Множество G С С называется венерическим в А (для {С, ^)),
если выполнены следующие условия:
(b)g0 e G,g0 < gi е С => gi e G,
(c) Зо, 51 ? G => Зд е G(g ^ до Л 5 ^ ffi),
(d) для каждого G-плотного формульного в А подмножества D С
С выполнено GHD ф 0.
Предложение 3.3.3. Если Л формульно в Ш и G — венериче-
венерическое множество, формульное в В, то для любых Ф(хо,... ,хп)
и по,... , ап € А справедлива эквивалентность
A[G] 1= Ф(Кс(а0),... ,KG(an)) & 3g G G(g Ih Ф(а)).
Доказательство. Применяется индукция по построению ф; ба-
базис индукции — рассмотрение атомных формул и их отрицаний.
Заметим сначала, что из предположений о формульности А и G
в В следует, что для любой формулы Ф предикаты
,...,оп)| (ц€А,к[С!]*:ф(Кс(а0),...,Кс(ап))},
, ...,ап)\ сцеА,Зде G(g Ih Ф(а))}
формульны (для формульности последнего нужно использовать пре-
предложение 3.3.2).
Предположим, что заключение предложения нарушается для не-
некоторой атомной формулы (или отрицания атомной формулы) Ф(хо,
Xi). Тогда можно выбрать ао,а\ € Ас наименьшим возможным
рангом, для которых имеет место нарушение.
Пусть Ф(хо,Х1) = Хо Е х\. Соотношение A[G] 1= Ко(ао) €
Kg{ui) означает, что
КоЫ е Ка(аг) = {Ка(Ь) | Зд <Е G((b,g) 6 oi)}.
Следовательно, существуют b G TC(ai) и д G G такие, что (Ь,д) €
ах и Ко (а0) = Ка(Ъ). Тогда
A[G] l=
ф KG(b)).
Так как rnk(b) < rnk(oi), по минимальности оо, Oj существует
до ? G такой, что </о Ih "'(ao ф b). Пусть д\ € G такой, что
31 ^ 9> 01 ^0о (такой элемент д\ существует в силу условия (с) из
определения генерического множества). По свойству монотонности
31 1Ь "(ао Ф Щ. Тогда
и по условию 1 в определении отношения вынуждения </i Ih оо G ai
и 3gi ? G(gi Ih ao e Oi). Наоборот, пусть 3gi G G(gi Ih ao € ai).
Опять в силу упомянутого условия 1 имеем ЗЬ б91 aj(</i Ih "'(оо ф
Ь)) и ввиду минимальности ao, ai получаем A[G] И ~1(Лс(оо) ^
), т.е. ATG(ao) = KG\b) и Ь 691 аь Поэтому ATG(ao) €
)- Аналогично рассматриваются оставшиеся случаи формул
хофхг, -"(яо 6 xj), ^(х0 Ф хх).
Далее, пользуясь индуктивным предположением о справедливо-
справедливости заключения предложения для формул Фо и Ф\, установим его
справедливость для формул ФоУФь Ф0ЛФ1, "'Фо, ЭхФо, Зх € аФо.
Случаи Фо V Ф1 и Фо Л Ф1 тривиальны. Случай ""Фо вытекает из
следующей леммы.
3.3. Уплощение и вынуждение
183
184
3. Избранные темы
Лемма 3.3.2. Если Ф — предложение, то существует g € G
такой, что g 1(- Ф или g 1Ь ""Ф.
Доказательство. Предположим, что не существует g € G та-
такого, что g II- "'Ф. Тогда для любого g (E.G существует h ^ g такой,
что h II- Ф. Пусть D ^ {h | h € С, h II- Ф}. По предложению 3.3.2
D формульно. Кроме того, D является G-плотным. Следовательно,
GnD ф 0 ввиду генеричности G, и если g € GПD, тор II- Ф.
Рассмотрим случай
Ф(Х1,... ,ХП) = Эх0Фо(Хо,Х1,... ,Х„).
Пусть A[G] 1= Ф(ЛГс(а1),... , KG(an)). Тогда существует а € A[G]
такой, что
A[G\t*0(a,KG(a1),...,Ka(an))-
Однако о € A[G] означает, что существует ао € А такой, что а =
)- Поэтому
A[G] t= Ф0(#в(<>о
и по индукционному предположению существует g 6 G такой, что
яН-Фо(ао,аь... ,а„).
В силу условия 7 из определения отношения вынуждения
д\\- Зх0Фо(хо,01,... ,а„)(=Ф(а1,... ,а„)).
Наоборот, пусть д II- Ф(ох,... ,а„). Тогда существует ао 6 Атакой,
что
д1(-Ф0(о0,а1,... ,ап),
A[G] t= Фо(
A[G] N Зх0Фо(хо,^0(о1),- ¦ • ,Ко(а„)),
A[G\**(KG(a1),...,Ke(an)).
Рассмотрим оставшийся случай Зхо € аФ0(х0, xi,... , х„). Пусть
A[G] t= Эхо
Тогда существует Ь е Kq(o) = {ATg(c) | с €<з а} такой, что
A[G] t= Ф0(Ь, ATG(ai), • • • , ^(оп)), и существуют cngeG такие,
что (с, д) € о и Ь = Kg (с). Следовательно,
A[G] t= Фо(^с(с),ЛГв(о1),... ,KG{an)).
По индукционному предположению существует д' € G такой, что
д' Ih Фо(с, oi,... ,о„). Можно считать (в силу монотонности от-
отношения вынуждения и условия (с) из определения генерического
множества), чтод' ^ д. Поэтому Эс €д> а(д' Ih Ф0(с,а1,... ,о„))
и в силу условия 6 из определения отношения вынуждения
д' II- Эхо € аФо(яо,а1,... ,а„).
Наоборот, пусть д E.G такой, что
д II- Эхо 6аФ0(а;о,01,... ,а„).
Тогда в силу эквивалентности F) существует с такой, что с е9 о и
д Ih Фо(с, aj,... ,о„). По индукционному предположению A[G] И
Ф0(АГс(с),Л:с(о1),... ,KG(an)) и из с е9 a, g € G следует с €G
о, KG(c) 6 Ач?(а). Поэтому
A[G] N Эхо ? KG(a)*0(x0,KG(ai),...,KG(an)).
Лемма доказана. D
Теорема 3.3.2. Если А формульно в В и G — венерическое мно-
множество, формульное в В, то A[G] — КРИ-модель.
Доказательство. Справедливость аксиомы экстенсиональности
для A[G] вытекает из соотношения A[G] ^ епа В •
Пусть
A[G] И Эх0Фо(хо, Ka{fli\ ... , KG(an)),
где Ф(хо, Xi,... , хп) — произвольная формула без параметров. По
предложению 3.3.3 множество
является формульным в В. По аксиоме фундированное™ для В су-
существует ао ? Аф такой, что а ^ Аф для любого а € ТС(оо). Для
этого ао имеем A[G] N $(KG(ao),KG(ai),... ,KG(an)). Пусть
а € A[G] и а 6 KG{flo). Тогда а = АГс(Ь) для некоторого Ь eG ао-
Следовательно, b € ТС(ао) и b ^ Лф, т. е.
A[G]
,... ,KG(an)).
3.3. Уплощение и вынуждение
185
Таким образом, проверена аксиома фундированное™ для
Ф(х.о>Ка(а1),...,Ко(ап)).
Проверим теперь аксиомы До-ограниченности.
Пусть Ф{х,у,х0,... ,хп) — До-формула, а,ао,... ,о„ е А та-
таковы, что
A[G] H Vx б Кв(а)ЗуФ(х,у,Ка(а1),... ,KG(an)).
По предложению 3.3.3 существует д € G такой, что
gll- Vx е аЗуФ(х,у,а!,... ,а„)(= "Зх е <ГЗуФ(х,у,а)).
Пользуясь свойствами отношения вынуждения, выпишем ряд экви-
эквивалентных утверждений:
д"(до II- Эх е аГЗуФ(х,у,а)),
<Г(Эх е90 а(д0 Ih
1Ь Ф(х,у,а)),
II- Ф(х,у,а)),
V(go,x) eig х ТС(а)Зу(х е9о о -> 3Э1 ^ go(ffi II" Ф(х,у,а))),
где 1д ^ {д0 | до € С,д0 ^ д) € Л*.
Так как отношение pi II- Ф(х, у,а) является S-отношением, по
принципу S-ограниченности существует b € А* такой, что
у. ТС(о)Зу еЬ(х е9о о -> 3gi ^ go(gi II- Ф(х,у,а)))
Vgo ^ ffVx е9о аЗу е ЪЗдг ^ ^0E1 II- Ф(х,у,а)),
^ до3у € Ь(дх 1Ь Ф(х,у,о)).
Положим Ь ^ {(у,р;) \ д1 <: д,У € Ь} = Ьх ]. д. Тогда
91 b(gi 1Ь Ф(х,у,
Так же, как выше (в обратном порядке), устанавливается, что это
утверждение эквивалентно следующему: д Ih Vx € аЗу ? ЬФ(х,у,о)
Поэтому
A[G] l= Vx e ^G(aKy e KG(b)*(x,y,KG(ai),... ,KG(an)).
Наконец, проверим аксиомы До-выделения.
186
3. Избранные темы
Пусть Ф(х0, xi,... , х„) — До-формула без параметров, по, ai,
... , а„ € А, и пусть
а* ^ {{Ь,д) | д € С,3д' > g(F,g') е а) и д II- Ф(МЬ... ,а„)}.
Так как отношение д Ih Ф(Ь, 01,... , an) есть Д-отношение и а* С
pfa х С, по принципу Д-выделения получаем а* € А*.
Покажем, что
,... ,KG(an))
о')) Л Vx0 6
A[G] l=Vxo
Предположим, что это утверждение неверно. Тогда
Эхо € #С(ао)(Ф(хо,#0Ы,. • • ,KG(an))
или
А[С?] Н Эхо €
Покажем, что ни то, ни другое неверно. Пусть
A[G] 1= Эхо € #0(ао)(Ф(х0,#о(о)) Л ~Чх0 € KG(a*))).
Тогда существует д € G такой, что
д \\г Эхо € о0(Ф(х0,а) Л "(яо € а*)).
Следовательно,
Эхо ед ао(д II- Ф(хо,а) Л ""(хо € а*)).
Пусть Ь и д' ^ д такие, что
Из определения а* видно, что (Ь, д) е а*. Но тогда д Ih Ь € а*
невозможно, так как (Ь, д) € а* и д Ih ~"(fc ф b) (по замечанию после
предложения 3.3.2).
Предположим, что
A[G] *= Эхо €
V ^(хо €
),... ,KG(an))
3.3. Уплощение и вынуждение
187
Тогда для некоторого д (E.G
д Ih Эхо € а*рФ(х0, а) V ~*(х0 € о0))
Эхо ед а*{д Ih ^Ф(хо,а) V "(x0 € ао)).
Пусть Ьи д' ^ д такие, что
Так как (Ъ,д') € о*, получаем д' II- Ф(Ь,а). Следовательно, д II-
Ф(Ь,а), и невозможно, чтобы выполнялось соотношение д Ih ~"Ф(Ь,а)
Из {Ъ,д') 6 а* следует, что существует д" ^ д'(^ д) такой, что
(Ь, д") € ао- Но тогда b 69 оо и g Ih ""F ^ &)¦ Поэтому g Ih b € а0
и невозможно, чтобы выполнялось соотношение д Ih"" (b € ао).
Таким образом,
A[G] 1= Vx0
-> хо € Ка(а')) Л Vx0 €
Кв(ап))Лх0еКо(ао))-
Аксиомы До-выделения справедливы в A[G].
Проверим оставшиеся аксиомы. Если ао, сц € А и go € G, то
Если а е Л*
тоабА' и
). Теорема доказана.
Замечание 3.3.4. Если А — допустимое множество, то можно
считать, что A ^end ИХ(?/(Л)) Для кардинала ж, мощность кото-
которого больше мощности множества А. Тогда и Л, и любое множество
G С С(С А) принадлежат НХA/(Л)) и, следовательно, являются
формульными в Ш„(и(А)). В случае допустимого А в определении
генерического множества G можно требовать в условии (d) непусто-
непустоту пересечения G П D лишь для G-плотных D, которые являются
либо S-подмножествами, либо дополнениями S-подмножеств.
Замечание 3.3.5. В условиях теоремы 3.3.2 Ord A = Ord A[G].
188
3. Избранные темы
Замечание 3.3.6. В условиях теоремы 3.3.2 А является локально
рефлексивным множеством в A[G].
В заключение отметим следующие достаточные условия суще-
существования генерических множеств.
Предложение 3.3.4. Если А — счетная KPV-модель и {С, ^
) € А — частично упорядоченное множество, то существует
венерическое множество GCC.
Доказательство. Так как А счетно, существует лишь счет-
счетно много формульных подмножеств А. Пусть Во,В\,... ,В„,...,
п € ш — семейство всех формульных подмножеств множества А.
Построим последовательность элементов go ^ gi ^ . -. ^ дп ^ • • •.
дп € С таким образом: пусть до € С — произвольный элемент; если
дп построен, проверяем существует ли элемент д € Вп П G такой,
что д ^ р„; если такой элемент существует, то выберем его в каче-
качестве gn+i', если такого д нет, то полагаем gn+i — дп- Построение
закончено.
Пусть
G ^ {h | h € С, существует п €w,gn ^ h}.
Легко проверить, что G — генерическое множество. D
3.4. Определимость и Е-определимость
алгебраических систем
В настоящем параграфе введем и изучим ряд понятий, связанных
с расширением понятия конструктивной (рекурсивной) алгебраиче-
алгебраической системы.
Пусть А — KPU-модель и v: В —> М — А-нумерация.
• п-Местный предикат Р С Мп на М называется
— Ли-предикатом, если {(bi,... ,bn) | b G Bn, {vbi,... , vbn)
€ Р}(= и-^Р)) — S-предикат,
— ^„-предикатом, если Р и Мп\Р — Х!„-предикаты.
3.4. Определимость и S-определимость
189
Пусть ЯЛ = (М, Р^,... , Р®1) — алгебраическая система сиг-
сигнатуры (PJ™0,... , Р™") (случай чисто предикатной сигнатуры рас-
рассматривается лишь для простоты).
• А-нумерация v: В —> М основного множества ЯЛ называется
А-конструктивизацией системы ЯЛ, если предикат равенства и
все предикаты Р^,... , Р^1 являются Д „-предикатами.
• Система ЯЛ, для которой существует по крайней мере одна А-кон-
структивизация, называется А-конструктивизируемой.
• Пара (ЯЛ, и), где у. В —> М — А-конструктивизация систе-
системы ЯЛ, называется ^-конструктивной системой.
Замечание 3.4.1. Когда А есть HF@), понятие А-конструк-
А-конструктивизируемой системы совпадает с понятием конструктивизируемой
системы (см. [24]), а понятия А-конструктивизации и А-конструк-
тивной системы отличаются (если «отождествить» HF@) cue по-
помощью 7* (см. § 2.1)) от известных (см. [24]) лишь тем, что областью
определения конструктивизации может быть произвольное непустое
рекурсивно перечислимое множество (а не только и).
Можно дать эквивалентное определение понятия А-конструкти-
вной системы, используя хорошо известное в теории моделей понятие
«определимость».
Пусть ЯЛ = (М, Рот, ... , Р®1) — алгебраическая система сиг-
сигнатуры (Рото,..., Р™»).
Определение 3.4.1. Система ЯЛ называется определимой в А,
если существуют формулы
o,---a:mo-i.),... ,Фп(х0,... ,xmn_i)
(с параметрами в А) такие, что
Мо ^ Ф?[хо] # 0, v - «f [*o, *i] П Мо2
есть отношение конгруэнтности на алгебраической системе
где
[Хо,... , ХГО,._!] П
190
3. Избранные темы
и система DJI изоморфна фактор-системе DJIq/t) (в этом случае го-
говорят, что система формул Фо> Фъ Фо,--- ,$п определяет ЯП
в А). Напомним, что г/ есть отношение конгруэнтности на ЭОТо,
если г) — отношение эквивалентности на Мо и для любых i ^ n и
сщ,... ,am.-i, bo,... ,J)mi-\ € Мо таких, что (aj}bj) er),j< т^
имеем (о) ePf^^ePf10.
Определение 3.4.2. Система ЯЛ называется S-определимой в А,
если существует система S-формул Фо, Фь Фо> • • • , Фп, Ф^. ^о> • • - >
Ф* такая, что Фо, Ф1, Фо,... , Фп определяет Ш в А, и
Ф1А[хо>*1] П Ml = М1\Ъ$[хо,Х1],
Ф:а[х0, ... ,xm,_i] П Momi = Мот-\Ф^[хо,... ,zmj-i],
п,
где Мо ^
Замечание 3.4.2. Если для Мо С А и n-местного предиката
Р С Mq назвать Р /^.-предикатом на Мо в случае, когда суще-
существуют S-формулыФ(а;0,• •. ,xn-i) иФ*(хо,... ,xn-i) такие, что
Р = ФА[х] П Mq7, М?\Р = Ф*А[х] П MJ, то можно дать еще одно
эквивалентное определение понятия «S-определимость» (S-форму-
(S-формулы Ф}1, Фо,. • ¦ , Ф? из определения 3.4.1 «подтверждают» это).
Определение 3.4.2'. Система ЯЛ называется J^-определимой в А,
если существует последовательность S-формул Фо, Фх, Фо,... , ФП1
которая определяет ЯЛ в А и для которой предикаты ФА[хо, х\ ],... ,
ФА[х],..., где i ^ п, являются Д-предикатами на Мо = ФА[хо].
Предложение 3.4.1. Алгебраическая система ЯЛ является А-
конструктивизируемой тогда и только тогда, когда она ^-опре-
^-определима в А.
Доказательство. Пусть ЯЛ является S-определимой в А и Фо,
Фх, Фо, -. • , Фп — последовательность S-формул, определяющая ЯЛ
вА,
Мо ^
3.4. Определимость и ^-определимость
191
Пусть (р: 9Ло/*7 —> ЯЛ — изоморфизм. Определим А-нумерацию
v: Мо -> М, полагая и(тпо) ^ v(["io]), n*o е Мо, где [т0] —
класс ^эквивалентных элементу то элементов из Мо- Рутинная
проверка показывает, что так определенная А-нумерация является
А-конструктивизацией системы ЯЛ.
Наоборот, пусть ЯЛ А-конструктивизируема и v: В -> М — не-
некоторая А-конструктивизация системы ЯЛ. Так как В — Е-подмно-
жество А, существует S-формула Фо(жо) такая, что В = ФА[а:о]-
Поскольку v: В —> М — А-конструктивизация ЯЛ, отношения
В,иЬо = vbi},
| Ьо, • • ¦ , Ьто-1 € В,
Qo ^
Qn - {(Ьо,..., ьТОп_1> | Ьо, • • •, W-1 е в,
являются А^-предикатами. Поэтому существуют Е-формулы
,.+ . ,xmo_i),
Фп(х0,.
такие, что
Г) = Ф^[
,-.. ,Xmo-l],
Нетрудно проверить, что система S-формул Фо, *i, Фо, • • • , Фп оп-
определяет ЯЛ в А, а существование S-формул Щ, Фд,... , Ф? пока-
показывает, что ЯЛ S-определима в А. D
Интересным следствием этого (неинтересного) предложения явля
ется следующее
192
3. Избранные темы
Предложение 3.4.2. Если алгебраическая система ЯЛ сигнату-
сигнатуры а А-конструктивизируема, то существует KPV-модель В
сигнатуры о\ U а, множеством праэлементов которой являет-
является М, такая, что (В f М) \ а = ЯЛ, В ^-определима в А и
«имеет те же ординалы», что и А.
Доказательство. Укажем лишь схему доказательства, оста-
оставляя проверку деталей читателю. По предложению 3.4.1 ЯЛ Е-оп-
ределима в А. Далее придерживаемся обозначений, введенных в
определении понятия S-определимости (Фо, Фь Фо, ••• )Фп> Ф*,
Ф2,... ,Ф;, М0,т], Qo,... ,<Эп,ЯЛо).
Шаг 1. Рассмотрим уплощение F(A) KPU-модели А (см. те-
теорему 3.3.1). Это — KPU-модель сигнатуры о\ U {Cz,E2) та-
такая, что существует естественное «отождествление» А элементов
из Л с праэлементами F(A) (А: а -> @, а), а € Л) и А есть изо-
изоморфизм А и (F(A) f \(A)) f {С0,Е2). Из конструкции систе-
системы F(A) видно, что F(A) S-определима в А. Для дальнейше-
дальнейшего доказательства отождествим А с множеством всех праэлементов
F(A) (с помощью А). Из конструкции F(А) следует, что любой
S-предикат Р С Ап в А является S-предикатом в F(A). В част-
частности, Мо С А = U(F(A)) — ^-множество F(A), а предикаты
г),Qo,•¦ ¦ ,Qn суть Д-предикатына Мо (как в А, так и вF(A)).
Шаг 2. Рассмотрим допустимое множество F(A)m0, определен-
определенное S-подмножеством Мо (см. предложение 2.7.2). Просмотр дока-
доказательства предложения 2.7.2 показывает, что если предикаты Qi,
i ^ п, на Р являются Д-предикатами на Р, то обогащение Ар си-
системы Ар этими предикатами есть KPU-модель обогащенной сигна-
сигнатуры. Таким образом, можно считать, что F(A)m0 ~ KPU-модель
сигнатуры о\ U {ц2,Ро,... ,Рп), множеством праэлементов кото-
которой является Мо и F(A)Mo \ Мо) \ (Ро, ¦ ¦ ¦ ,Рп) — ЭЛо- Заметим
также, что из определения системы F(A)m0 видно, что F(A)jvf0
S-определима в F(A).
Шаг 3. Отношение ц является Д-отношением эквивалентности
на Мо (и отношением конгруэнтности на ЯЛо)- Согласно лемме 2.7.2
по г) определяется экстенсиональное Д-отношение эквивалентности
rf (такое, что ц* П Mq = rj). Поэтому фактор-система F(A)mo/v*
является KPU-моделью (сигнатуры о\ U(Ро,... , Рп)) (см. предло-
предложение 2.7.8) такой, что подсистема F(A)mo/*?*i определенная пра-
праэлементами и сигнатурой (Ро,... , Р„), есть 9D?o/»j(~ Tl). Из опи-
3.4. Определимость и Х-определимость
193
194
3. Избранные темы
сания A/rf видно, что система А/г) ^-определима в А для любых
KPU-модели А и экстенсионального Д-отношения эквивалентно-
эквивалентности г). В частности, F(A)м0 /*?* является S-определимой в F(A)m0 ¦
Шаг 4. Из определений легко вытекает следующее свойство
транзитивности:
если алгебраическая система 91 Т,-определима в KPU-моде-
KPU-модели Ао (сигнатуры а'о), а Ао ^-определима в KPU-модели А
(сигнатуры а'), то *Л будет ^.-определима в А.
Шаги 1-3 показывают, что
ОИ, F(A)MJrf, F(A)Mo, F(A)
являются ^-определимыми соответственно в
Fo(A)Moh*, F(A)Mo, F(A), A.
По транзитивности F(A)mo/v* будет Е-определима в А. Если ото-
отождествить М с Mo/rf, то KPU-модель F(A)mo/v* будет удовле-
удовлетворять заключению предложения.
Утверждение о «тех же ординалах» означает, что существует
естественно определенный изоморфизм между (Ord(F(A)Af0/*?*i€)
H<Ord(A),e). ?
Следствие 3.4.1. Если ОИ является S-определимой в допусти-
допустимом А, то HF(OH) также ^-определима в А.
Доказательство вытекает из предложения 3.4.2 и следующего
общего факта:
для любого допустимого А множество
HF(C/(A)) ^ {о | о € А*,ТС(а) конечно}
является И-подмножеством А. ?
В дальнейшем основное внимание будет уделено Е-определимос-
ти систем в допустимых множествах вида HF(9H) для моделей ЯК
достаточно простых теорий Г (см. следующий параграф). Полезно
сначала получить общую информацию об определимости в таких
системах.
Далее изучим явление Левенгейма — Скулема (спуск) и Маль-
Мальцева (подъем) для моделей, определимых в допустимых множествах
вида HF(9Jt), где 9Л имеет категоричную теорию.
Теорема о спуске (теорема Левенгейма — Скулема) вытекает из
следующего несложного утверждения.
Предложение 3.4.3. EcauSj =4 ИЕ(9Я) ($> — элементарная под-
подмодель HF(OJt)), то fi имеет вид HF(9K') для подходящей моде-
модели аи' ^ аи.
Укажем набросок доказательства того, что предикаты системы
ОИ, которые формульны в HF(OH), могут быть описаны (бесконеч-
(бесконечными) формулами языка LWl <ш.
Пустьn?w. Полагаем
^ HF(n(= {i
U fin =
п})),
Для любых п ? ш, х € S)n, rn G Мп определим элемент х(т) €
HF(M) следующим образом. Пусть Am: п -> М определено так:
Ат(*) = тпг| г < п, где т = (то,... ,mn_i). Отображение \т
однозначно продолжается до отображения А^: fin = HF(n) ->
Ш?(М) так, что
ХШао, ¦ ¦ ¦ , а*}) ^ {А^гЫ, • • • , А?Ы}
для любого множества (не праэлемента) {ао,... ,ojt} G HF(n).
Тогда х(т) ?=^ А^(х). Для любого х G fin можно эффективно
определить терм ix(a:i,... ,a:n) сигнатуры @,{ , У,И2) такой,
что для любых mi,... , mn € М N
1™М(т1,...,тп)=х(т).
Пусть (р(х,у) — формула языка сигнатуры о\ U а', где а' — сиг-
сигнатура системы ЯЛ. Будем предполагать, что переменные иэ списка
х соответствуют праэлементам системы HF(OH) (т. е. элементам
системы ОИ), а переменные из списка у соответствуют произволь-
произвольным элементам из HF(OH). Будем строить-по формуле <р формулу
<р*(х, у) языка Lwuu сигнатуры a' U @, €, { , }, U) так:
1) если (р не содержит кванторов, то <р* ;=* <р,
2)eam<p = <p0qip1,T!Ocp* ^± (<Po)*<l(<Pi)*, Ч 6 {A,V,->},
3)если ср ="• <ро, то у>» ^""
3.4. Определимость и S-определимость
195
4)ecnu<p = Qxtpo,T:o(p* ^Qx((po)»,Q? {V,3},
5) если ip = Зущ, то <p* ^ V V :
n€u) x€J5n
6)если w> = Vi/<z>Oi tow, ?i Л ( Л
Если у>(я)» не содержит переменных из списка у, то у>» (ж) также
не содержит таких переменных. Для любых термов t0 и ti сигнату-
сигнатуры a' U @, { , }, U) от переменных х можно эффективно выписать
бескванторные (конечные) формулы *to>tl(x) и Ф^о ti(af) сигнату-
сигнатуры ст' такие, что t0 = h =W(m) *to,ti(*) и *о 6 h =Ш(т) *Lf»-
Используя эти формулы 4?to,U' *to,ti преобразуем формулу tp,(x)
в формулу у>*(х) языка ЬШ1<и сигнатуры а1 такую, что
Ч>* (*) =да(ал) ?>*(*)¦
Поэтому ^HF(!Dl)[5] = ^*Ш1[ж] (см. доказательство теоремы 3.5.1
ниже). Используя это преобразование и теорему Карп [29, теоре-
теорема 9.10], получаем
Предложение 3.4.4. Пусть ЯЯо u 9Ki — и-нашщенные модели.
Если Шо = ЯИь то HF(9Plo) = HF(OJti); если 9Но =^ Ш-х, то
HF(9Ho) =<: HF(?Wi).
• Модель 9Ло называется достаточно насыщенной, если суще-
существует w-насыщенная модель 9Jli такая, что ЮТо ^ 9Hi и Н F(9Jlo
^ HF(ORi).
Следствие 3.4.2. Пусть Шо « ®li — достаточно насыщенные
модели. Если ЯЯо = ЯИь mo HF(SHo) = HF(OJl1). ?сли 9Ло =^
0Пь то MF(SPlo) )
Доказательство вытекает из определения, предложения 3.4.4
и существования w-насыщенных моделей.
Замечание 3.4.3. В любой достаточно насыщенной модели ЯП
реализуется любой (не обязательно полный) арифметический тип из
формул с ограниченным числом перемен кванторов над конечным
Мо С |9Я|. Является ли это условие эквивалентным достаточной
насыщенности, автору неизвестно.
196
3. Избранные темы
Замечание 3.4.4. Любая полная теория (счетного языка) Г с
бесконечными моделями имеет счетную достаточно насыщенную мо-
модель. Это следует из теоремы Левенгейма — Скулема, предложе-
предложения 3.4.3 и существования а>-насыщенных моделей теории Г.
Любая полная категоричная теория Г имеет достаточно много
w-насыщенных моделей.
Предложение 3.4.5. Если теория Т полна и ш-категорична, то
любая модель теории Т ш-насыщенная. Если теория Т полна и
и>\ -категорична, то любая несчетная модель теории Т насыщен-
насыщенная (тем более ш-насыщенная).
Доказательство. Первое утверждение следует из теоремы
Рылль-Нардзевского о характеризации ш-категоричных теорий (см.
[28, теорема 2.3.13]), а именно из того факта, что имеется конечное
число типов над любым конечным множеством. Второе утвержде-
утверждение хорошо известно (см., например, [28, следствие 7.1.15]). ?
Замечание 3.4.5. Для ш\ -категоричных теорий не любая счет-
счетная модель является достаточно насыщенной. Например, справед-
справедливо следующее утверждение.
Пусть Т — теория алгебраически замкнутых полей харак-
характеристики 0. Если F0,Fi t= T, mo HF(F0) = HF(Fi) то-
тогда и только тогда, когда либо Fo и Fi имеют бесконечную
степень трансцендентности над Q, либо степени трансцен-
трансцендентности Fo и F\ над Q конечны и равны.
Теорема 3.4.1. Пусть ЯЛ — достаточно насыщенная модель.
Если ho,hi € HF(HW), то типы tHF(an)(^o) « tHF(an)(fti) совпа-
совпадают тогда и только тогда, когда существуют п 6 ш, х ? Sjn,
тпо,гп\ € Мп такие, что ho = x(mo), h\ = х(Шу) и
(mi).
Доказательство. Необходимость. Пусть /io,fti 6 EF(SW) и
tm(<m)(ho) = *HF(an)(^i). Пусть sp/io (носитель /i0) имеет п эле-
элементов и sp/io = {wig,... .mJ.J. Как легко видеть, носитель
h\ также имеет п элементов, и существует х G Sjn такой, что
ho = x(m°), m° ;=± (mg,... .го^) и /ii = ^(m1) для подхо-
подходящего m1 ;=± (тпо,... ,JTin-i)- Более того, для любой формулы
3.4. Определимость и S-определимость
197
198
3. Избранные темы
ip(x) 6 *зя(т°) существует перестановка а ? Sn множества п та-
такая, что ip(x) € tmiaim1)), где aim1) *± (m^@))... ,m* <„_!))
и h\ = х((т(т1)). Но тогда существует ст G Sn такая, что h\ =
х(ст(т1)) и tan(m°) = ^(^(т1)). Действительно, если такой ст
не существует, то для любой ст 6 Sn такой, что fti = х(ст(т1)), су-
существует у>о-(х), принадлежащая t<nt(m°), но не принадлежажщая
rn1)). Т\устыр{х) ^ А сра(х),где
о*
°n
Так как ч><,{х) ? *ап(яГ°) для всех ст € •??, имеем ip(x) 6
Как отмечено выше, существует сто б S% такая, что <р(х) €
tmivoim1)), н0 тогда yvo(z) е ^(«^(т1)). Пришли к противоре-
противоречию. Итак, существует ст G S* такая, что ?дя(т°) = tgn^m1)) и
Л1=х(а(т1)).
Достаточность. Пусть х G i)n, т0,?^1 б Мп и *ал(т°) =
tmim1). Используя предложения 5.1.7 (ii) и 5.1.8 из [28], найдем эле-
элементарное расширение 371' модели 9Я, которое является специальной
моделью. Так как ОИ' w-насыщенная, имеем HF(9Jt) =^ Ш?(Ш').
Тогда
и ввиду специальности ЯЯ* существует автоморфизм у> модели 9И'
такой, что ^("г°) = "г1 • Продолжим у> до автоморфизма (рш модели
^ = ИЕ(ОП'). Тогда ^(@)) (w(°)) ((°))
х^1). Следовательно,
Теорема доказана. D
Обратимся теперь к изучению мощности определимых множеств.
Предложение 3.4.6. Пусть 9Л — а-насыщенная модель. Если
бесконечное множество S определимо в ЯК, то \S\ ^ а.
Доказательство. Пустьу>о(Ж)^), yi(S,y,m) — формулы, оп-
определяющие S в ЯЛ, гдех = х0,... ,хп-!,у = уо,--- ,1/n-i,"» G
М*. Пусть
Г ^ {а | а € Мп,9П
5^ {(а,Б) |о,БеМп,ЯК(=у)о(а,т)Лу>о(Ь,т)Л^1(а,Б,т)}
есть отношение эквивалентности на Г, и пусть S = T/S. Рассмо-
Рассмотрим множество констант cjg, 0 < a, i < п, и множество предложе-
предложений
{ipo(c0,m) | /3 < a} U {""^(c^.c^.m) | j90 < ft < a},
где с^ = с^,... , с^, /3 < а. Это множество предложений выпол-
выполнимо на ЯЛ для некоторых наборов dp G Мп, /3 < а, так как оно
локально выполнимо (S бесконечно], а ЯЛ является а-насыщенной.
Но тогда dp е Т, р < a, (d/30>d/3i) $ 6, \dpo\s Ф Rftj* Для
Ро < А < а и \S\ > а = \{[d0]s | /3 < а}\. ?
Пусть множество S определимо в модели вида ЫР(ЯЛ) форму-
формулами ifo(x,m), ipi(x,y,m) (не уменьшая общности, можно считать
параметрами набор праэлементов m 6 Mk, а теоретико-множес-
теоретико-множественные конструкции в ЫЕ(ЯЛ) позволяют ограничиться случаем
п = 1, т. е. х = х, у = у). С любыми п 6 ш, х € ^п свяжем
множества
Гх ^ {а | а € Мп ИЕ(ЯЛ) t= tpo(x(a),m)},
5Х ^± {х(а) | а е Г«}/«5 Г {х(а) | а € Тж}2
и отношение
«5Ж ^ {(а.Б) | 5,5 е ГЖ,НЕ(ЯЛ) 1=
Тогда S* С S, i5x — отношение эквивалентности на Тх и \SX\ =
|ГХ/EЖ|. Заметим, что если ЯЛ достаточно насыщенная, то из тео-
теоремы 3.4.1 следует, что множество Тх и отношение <5Х замкнуты от-
относительно типов над тп, т. е. если a € Тж, а' б Мп и <(яп,т)(^) =
*(от,т)(а'), то о* е Гж, и если
(а,Б) € <5Ж, t(an,m)(aiЬ) = *(ап,т)(а',Ь )
для некоторых а', Ь б Мп, то (а*,5) € 5Ж. Отметим также очевид-
очевидное соотношение
3.4. Определимость и ^-определимость
199
Предложение 3.4.7. Пусть а > из и ЯЛ — а-насыщенная мо-
модель, имеющая и>-категоричную теорию. Если множество S оп-
определимо в HF(9Jt), то либо для любого ус € HF(u>) множество
Syc конечно, либо \S\ ^ а.
Доказательство. Пусть S бесконечно для некоторых пбш,
х € Sjn- Тогда ТЖ/8Ж бесконечно. Как отмечено выше, множество
Туе и отношение #ж замкнуты относительно типов над т. Теория
ТЬЯЯ w-категорична и, следовательно, модель 2Л имеет лишь ко-
конечное число (п + /)-типов и Bп + /)-типов. Поэтому множества Тх
и <5Ж формульны над ЯЛ, но тогда по предложению 3.4.6 |ТЖ/#Х| ^ а.
Итак, \S\ > \SH\ = \TH/SH\ > a. D
Предложение 3.4.8. Пусть а > из,9Я — а-насыщенная модель,
имеющая ш-стабилъную теорию. Если несчетное множество S
определимо в ПЩ2Я), то \S\ > a.
Доказательство. Так как \S\ > из, S = U 5* и ||
x€HF(u>)
из, существуют п € и и х G $jn такие, что |5Ж| > о). Выберем по-
последовательность ар б Мп, /3 < а, такую, что К" = [ар | /3 <
wi} С Гх, (а^д,^) ^ ^х для всех fa < fi\ < Ш\. Из доказатель-
доказательства теоремы 7.1.23 [28] следует, что в модели {ffl.,m) можно вы-
выбрать тотально неразличимое подмножество К' С К мощности ш\.
Не уменьшая общности, будем считать, что К' = К. Используя
a-насыщенность 9Я, можно расширить К до тотально неразличимо-
неразличимого множества Ка = {ар \ ар 6 Мп,0 < а} мощности а. Тогда
для любых /Зо < 0i < а имеем
*(an,m)(«/3o>«/3i> "I) = *(9n,m)(oo,Oi,m).
Следовательно, по теореме 3.4.1
HFCR) =- ^(х(Дл)х(гл),»Я),
так как
HF(OJl) ^- ViWab)."Ei).*"). (ab.5i> ^ **¦
Кроме того, очевидно, что а^ 6 Гх, так как
t(tm,m)(ap,rn) = t(<m,m)(ao,m) и a0 € Гж.
Поэтому а = |ЛГО/*Х Г ^1 < |Гх/*х| = |5Ж| < |5|. П
200
3. Избранные темы
Теорема 3.4.2 [Левенгейм — Скулем — Мальцев]. Пусть Т —
полная ш-категоричная или из-стабильная теория, 9Л — доста-
достаточно насыщенная модель теории Т и несчетная модель *П опре-
определима вEF(9Jl). Тогда для любых бесконечных кардиналов а и/3
таких, что а ^ \\Щ\ ^ 0, существуют достаточно насыщенные
модели 9Яа « 9И/3 теории Т такие, что ЯЛа ^ 9Я, Ша =$ Шр.
Модель 9Ла содержит параметры из 9Я, используемые в опреде-
определении *П. ?сл« 91а гх 91^ — это модели, определяемые в HF(9Jta)
и ИЩЙЯ^) соответственно теми оке формулами и параметра-
параметрами, что и 91 в HF(SDI), то ||«Па|| = а, \\У1,}\\ = /3.
Доказательство. Существование требуемой модели ЗЛа выте-
вытекает из обычной теоремы Левенгейма — Скулема и предложения
3.4.3, причем 9Иа можно выбрать так, что ||9fta|| = ct. Выби-
Выбирая /?-насыщенное элементарное расширение ffl!» модели 9И, име-
имеем HF(OJl) ^ HF(OJl^), и если <П^ определима в UF(OJl^) теми
же формулами и параметрами, что и *П в HF(9Jl), то по предложе-
предложениям 3.4.7 и 3.4.8 будем иметь ||9t^|| ^ /3. Опять применяя обыч-
обычную теорему Левенгейма — Скулема и предложение 3.4.3, можно
найти элементарную подмодель Ш?(9Яр) ^ HF(9Jt^) такую, что
та < щ (тогда та 4 т0), \\щ\\ = /з и \щ\\ = 0. а
Замечание 3.4.6. Если теория Г из\-категорична, то можно вы-
выбрать УЯр так, что ЯП =^1 ЯИ^. Можно ли всегда выбрать так 9Яр,
автору неизвестно.
Трудность в нахождении fflp как расширения ЯК состоит в том,
что мощность системы 91 (хотя и большая из) может быть строго
меньше мощности ЯЛ.
3.5. Вычислимость в специальных
допустимых множествах
Под специальными допустимыми множествами будем пони-
понимать допустимые множества вида HF(*TO), где ЯЛ — алгебраиче-
алгебраическая система, являющаяся моделью простой теории Т. Как по-
показывают рассмотрения предыдущего параграфа, многие вопросы
о допустимых множествах вида HFCR) сводятся к соответствую-
3.5. Специальные допустимые множества
201
202
3. Избранные темы
щим вопросам о системе 9Л. С другой стороны, такие допустимые
множества являются примерами структур, в которых имеется есте-
естественное понятие вычислимости без ограничения на мощность струк-
структур. Так, если через Е обозначить поле вещественных чисел, то
Е-определимость в HF(R) является разумным понятием «вычисли-
«вычислимость над R». Понятие «простота теории» требует однако уточне-
уточнения. Одной из необходимых черт простой теории должна быть ее
регулярность в смысле следующего определения.
• Теория Г (конечной) сигнатуры а' называется регулярной, если
она разрешима и модельно полна.
Замечание 3.5.1. В модельно полной теории Г любая формула
эквивалентна 3-формуле (см., например, предложение 3.1.7 в [28]).
Если Г еще и разрешима, то такую 3-формулу можно найти эффек-
эффективно.
Допустимые множества вида HF(9Jt), где 9Я — модель регуляр-
регулярной теории Г, обладают важным для теории вычислимости свой-
свойством квазирезольвентности (теорема 3.5.1, см. ниже), к формули-
формулировке которого и переходим.
• Транзитивное множество В допустимого множества А называ-
называется А-квазиконечным, если следующее множество является Д-
подмножеством А:
{(п, Ь) | п — гёделев номер формулы Ф (сигнатуры А),
(*У(Ф))в АГ?НФ[]}
Отметим ряд простых свойств этого понятия.
A) Если транзитивное В С А k-конечно, то В А-квазиконечно.
B) Если В С А А-квазиконечно, то В — А-подмножество А.
C) Если В С А А-квазиконечно; С С В — транзитивное ^.-под-
^.-подмножество А, то С А-квазиконечно.
• Допустимое множество А называется квазирезольвентным, ес-
если существует последовательность (квазирезольвента)
J50CJ5i С ...СВа С J5Q+i С... , aeOrdA
транзитивных А-квазиконечных подмножеств А такая, что А =
U{J3a | a G OrdA} и следующие предикаты являются Д-преди-
катами на А:
{(а,а) | а€А,а€ OrdA,o е Ва},
{(п,Ъ,а) | nea> = NatA,6eAaeOrdA,(n,6)
Пусть 9Я — произвольная система сигнатуры а'. В допустимом
множестве HF(9Jt) определена последовательность
Во С Вх С ... С Вп С Вп+1 С ...
транзитивных Д-подмножеств ЫР(ЯЯ) так:
Вп ^{
| m
х е HFn(n)}, пёцп>0,
гдеНГп(п)(С HF(n) С НГ(ш)) — конечное семейство всех элемен-
элементов из HF(n)(= HF({0,... , n — 1})) ранга не больше п.
Нетрудно видеть , что HF(|9Jt|) = U Вп и предикат Ua,n) |
о € НР(|0П|),п е и = OrdHF(OJl), a € Вп) является Д-предика-
томнаЛЩЯИ).
Теорема 3.5.1. Если 9Л — модель регулярной теории Т, то
последовательность Ва С В\ С ... С Вп С ... является квази-
резолъвентой для Ш?(Т1).
Доказательство. Укажем как для фиксированного п 6 и>,
п > 0 по любой формуле без параметров Ф сигнатуры о\ U а' (для
простоты изложения будем предполагать, что конечная сигнатура
а1 теории Г является чисто предикатной) эффективно построить
S-формулу Ф без параметров такую, что .РУ(Ф) = FV^) и
Ф =
ф.
При построении формулы Ф на промежуточных шагах будут стро-
строиться формулы сигнатуры О\ U a1 U ({ , V.U2) с двумя сортами
переменных: общие переменные xq, xi ,. ¦ ¦ и прапеременные (пере-
(переменные для празлементов) ио_, щ,... (как в § 3.4).
Укажем процедуру Ф и- Ф элиминации кванторов по общим пе-
переменным для таких формул. Не уменьшая общности, будем пред-
предполагать, что рассматриваемые формулы не содержат ограниченных
3.5. Специальные допустимые множества
203
204
3. Избранные темы
кванторов. Как и в § 3.4 для х 6 HFn(n) через tx («i,... , ип) обо-
обозначается терм сигнатуры @, { , }1, U2) от переменных {щ,... ,«„}
такой, что для любой интерпретации 7: {их,... ,ип} —> |9Я| име-
ем d№(!m)l{' }lU>[7] = x(m), где 7(«i) = m,, i = 1,... ,n; m =
mi,... ,т„. Для того, чтобы операция U была всюду определена,
полагаем о U 6 ^ о' U 6', где с* = с для с G HF(SDt)*, и с* = 0 для
с е |9Л|. _
Если Ф не содержит кванторов по общим переменным, то Ф ?=ь Ф;
если_Ф = ($oq$i), q б {Л, V,-»}, то Ф ^ (ФодФ^); если Ф_="' Фо,
то Ф т^ Фо; если Ф = (?«Фо, Q 6 {3,V}, то Ф ;=s Qu$o', если
Ф = ЗагФо, тоФт=± V 3«i ...Зип(Ф0)^(С); если Ф = УхФ0,
тоФ;=± Л V«i ...Уи„(Ф0)? №\.
«€HFn(n) V U/M")
Из определения преобразования Ф н» Ф видно, что .РУ(Ф) =
.РУ(Ф) и справедливо следующее утверждение.
Для любой интерпретации j: FV(<&) -> Вп такой, что у(и) 6
Во = \Ш\ для любой прапеременной и 6 FV($), имеет место
эквивалентность
<HFCR),{ , },U,Bn) 1= Фя[7] «- (HF(OT),{ , },U) 1= Ф[7],
где формула Фр получено из Ф следующими преобразованиями
вхождений кванторов по общим переменным:
(ЗссФ)я ^ C*(Р(*) ЛФЯ),
(УгФ)я ^ Vcc(P(a;) -> Фя);
сь Qx4f — подформула Ф, опре^елекмоя соответствую-
соответствующим вхождением квантора Qx (Q 6 {3,V}).
Отметим, что если формула Ф не содержит вхождений функцио-
функциональных символов { , } и U, то имеет место эквивалентность
Г Вп t= Ф[7]
п) t= Фя[7].
Укажем теперь как по формуле Ф(п) сигнатуры о\ Uct'U({ , }2,
U2), не содержащей вхождений общих переменных, построить 3-фор-
мулу Ф*(гГ) сигнатуры а' такую, что для любой интерпретации
7: {п} -> |S!Jl| имеют место эквивалентности
<HF(9Jl),
Ф[7]
1= Ф*[7] <Ф Ш. 1= Ф*[7].
Определим по любой паре термов to, h сигнатуры @, { , }х, U2)
над прапеременными формулы Ф^,^ и ^to,ti пустой сигнатуры та-
такие, что
) U FV(h)
-> [®l| справедливы
и для любой интерпретации 7: FV(to =
соотношения
\Щ
«.* w
}>U>W €
•}iU> w с 4
M • }-и> ы
Пусть г обозначает предложение Э«(и = и). Полагаем
1)для t0 = ио
если
если
если
если
= «1, то Ф„0,и1 ^ г, Ф«0,и1 ^ («о =
= 0, то Ф„ОH ^"" т, Ф„о,0 ^ г;
= {ti}, то Ф„0)П ^± Ф^.ио. *«о,П ^ т;
= (ti U tj), то Ф„о,41 ^ Ф^.4. V Ф
„0L», Ф„0L1
г;
2) для t0 = 0
если
если
если
если
= ui, то Ф0>„, ^"" г, *0itll 5=±-" г;
= 0, то Фе,0 ^ ""т, Ф0,0 ^ г;
= {t'J, то Ф0М ^ Ф4'1>0 Л Фа^,
= (ti U ti'), то Ф0,41 ^
V Ф
0,4»,
если h = «1, то Ф4ОI41 ^ "г, Ф*0>и1 ^ "т;
если ti = 0, то $to,z ^^ т, ^to,0 ^^ т;
если ti = {ti}, то $toM ^ Ф4о,п Л «fi.ioJ^foA - Ф*ь
если ti = (ti UtJ'). то ф*о,п ^ ф*о,*', v *«o.ty. *to,ti -
г;
3.5. Специальные допустимые множества
205
4) для *<> = (*(, U $)
если ti = «1, то Ф4о,и1 *=±~" т, Ф4о,щ ^ т;
если ti = 0, то Ф4о,0 ^ т, Ф4о>0 ^ Ф4'о,0 Л Ф4»,0;
если *! = {fj, то Ф4о,п ^ *to,fi.*foA - ф*'о.«1 Л Ф
если *i = (*i U *i*). то ф«о,«1 - *to,*i v ф*о,«1'>
Пусть Ф(и) — формула сигнатуры о\ U от' и ({ , }1, U2), не имею-
имеющая вхождений общих переменных. Произведем над ней следующие
преобразования. Любое вхождение подформулы вида P{t\,... ,te),
Р" € а' такой, что не все термы U есть прапеременные, заменяем
на формулу 3«i... 3us (Р(щ,...,«,) Л Л щ = U).
Полученную формулу обозначим Ф'(п). В формуле Ф'(п) лю-
любое вхождение элементарной подформулы вида to б ti заменяем
на формулу Ф(о^1> а любое вхождение элементарной подформулы
вида to = *i такой, что или ?0 или ti не является праперемен-
ной, заменяем на формулу ^юм Л Ф^,^. Полученная в результате
формула Ф"(п) будет эквивалентна над HF(9Jt) формуле Ф'(п) (и,
следовательно, и формуле Ф(п)). Формула Ф"(п) не содержит вхо-
вхождений символов 0, б, { , }, U, поэтому для любой интерпретации
у: {п} -» |9Л| имеют место эквивалентности:
HF(OJl) 1= Ф[7] <Ф HF(9R) 1= Ф"[7] <* 9И t= Ф"[7].
Далее, согласно замечанию 3.5.1 по формуле Ф" можно эффективно
найти эквивалентную ей (относительно Г) 3-формулу Ф* (п). Тогда
имеет место эквивалентность:
HF(9R) t= Ф[7] & т. t Ф*[7]-
Вернемся к построению формулы Ф по Ф. Пусть Ф — произвольная
формула сигнатуры о\ U а' и пусть к — наименьшее натуральное
число такое, что .РУ(Ф) С {а;0, • • ¦ , а;*}
Пусть п° = «J«°;; п* = щ
Пусть п° = «J,... ,«°;... ; п* = щ,... ,«* — наборы попарно
различных прапеременных, х = (хо,... ,xjt) G HFn(n)*+1, через
Фзс(п°,... ,п*) обозначим формулу
206
3. Избранные темы
Преобразуем с помощью процедуры элиминации кванторов по об-
общим переменным формулу Фз< в формулу Ф«, не содержащую вхо-
вхождений общих переменных. От формулы Фз< перейдем к эквива-
эквивалентной ей Э-формуле Ф^ сигнатуры а1. Для любого х б HFn(n)
можно эффективно построить 3-формулу Е^х, п) сигнатуры о\ та-
такую, что
Полагаем
Из отмеченных выше эквивалентностей следует, что для любой ин-
интерпретации 7: {хо> - • • > я*} —> J5n справедливы эквивалентности
HF(OJl) Г Вп t= Ф[7] « я
<*(HF(an),{, }2,и2)и_
<* HF(SK) N Ф*[7].
Формула Ф* является Е-формулой, однако, она содержит два вида
переменных — общие хо, ¦ ¦ ¦ ,Хк и прапеременные п°;п1;... ;п*.
Последний шаг в построении Ф состоит в переходе от списка прапе-
прапеременных п°;п1;... ;п* к списку общих переменных Зг°; ... ;хк:
V 35°...32*(( Л Щх)))л
Ф(*о, ¦•.,
Ввиду эффективности построения Е-формулы Ф по Ф получаем, что
Тгв„ является S-подмножеством Ш?(Ш) и даже Д-подмножеством
HF(9Jl). Равномерность по п построения Ф влечет то, что предикат
{(т,Ь,п) | т,пеш = OrdHF(9R),be А,(т,Ь) б Тгв„}
является Д-предикатом, и, следовательно,
Во С J5i С ... С Вп С ...
3.5. Специальные допустимые множества
207
208
3. Избранные темы
есть квазирезольвента для HF(SDt). Теорема доказана.
?
Оказывается, что квазирезольвентные допустимые множества
так же, как и резольвентные, обладают универсальными S-функци-
ями.
Предложение 3.5.1. В любом квазирезольвентном допустимом
множестве существует двуместная Т,-функция, универсальная
для одноместных Е-функций.
Доказательство. Рассуждения аналогичны рассуждениям, про
водимым при доказательстве следствия из предложения 3.1.5. Тре-
Требуется лишь сначала доказать аналог этого предложения. ?
Здесь уместно указать, что в Н F(R) справедлива теорема об уни-
формизации, а для плотного линейного порядка L в HF(L) теорема
об униформизации не справедлива.
Примеры регулярных теорий дают теории Th (Ж) и Th (Qp) по-
полей вещественных и р-адических чисел. Однако трудно считать та-
такие теории простыми, так как они имеют много неконструктивизи-
руемых счетных моделей.
• Назовем теорию Т простой, если она регулярна, ш-категорична
и имеет разрешимое множество полных формул.
Замечание 3.5.2. Определение всех теоретико-модельных поня-
понятий см. в [28].
Условие ш-категоричности означает единственность (с точностью
до изоморфизма) счетной модели теории, а модельная полнота и
разрешимость множества полных формул гарантируют автозквива-
лентность любых конструктивизаций этой счетной модели (см. [24]),
т. е. «единственность» теории вычислимости для счетных моделей
таких теорий.
Замечание 3.5.3. Приведенный в § 2.6 пример допустимого мно-
множества вида HF(9Jt), для которого не существует универсальной
S-функции, таков, что теория ТЬ(ЯЯ) является полной, разреши-
разрешимой, ш-категоричной с разрешимым множеством полных формул.
Отсутствует лишь модельная полнота.
Обратимся к вопросу о возможности (Е-)определения классиче-
классических объектов ¦— полей С и М комплексных и вещественных чи-
чисел в специальных допустимых множествах. Рассмотрим сначала
случай, когда простая теория Го — это теория бесконечных систем
с пустой сигнатурой, т. е. моделями теории Го являются бесконеч-
бесконечные множества, не снабженные никакой дополнительной структу-
структурой. Предположим, что некоторая несчетная алгебраическая систе-
система 9Я = (М,...) определена в HF(S). Пусть ао,- • • ,ат € 5 — это
все празлементы, участвующие в качестве параметров в определе-
определении 9Я. Пусть Фо(яо) и *i(x0) Xi) — формулы из определения 9Я
в HFE) такие, что Mo ^ *?ЧЯ)[*о], V ^ Ф^^о.а^ПЖ^ —
отношение эквивалентности на Мо и существует однозначное со-
соответствие (индуцированное изоморфизмом 9Я и VJlo/v) между М
и Мо/г}.
Поскольку М несчетно, так же, как в доказательстве предложе-
предложения 3.4.6, можно найти п € ш, ус б HF(n) и попарно различные
6?,...,6° (Ъ\,...,Ъ1) € S\{ao,... ,am) так, что 1 + m + к =
п, х(а,Ь ), х(а,Ъ ) 6 Mq и {x(a,b ),x(a,b )) ^ rj. He умень-
уменьшая общности, можно предположить, что существует единственное
i, 1 ^ i ^ к, такое, что Ь° ф Ь\. Действительно, рассмотрим такую
последовательность наборов из ^-элементов:
= ь\,...ь\.
Каждые соседние наборы отличаются не более чем на один элемент,
т. е. если бы для каждой соседней пары Ъ,Ь пара (x(a,b),x(a,b ))
принадлежала -q, то и пара (х(а, b ), х(а, b )) принадлежала бы -q,
так как г) — отношение эквивалентности. Заметим, что х(а,Ъ) 6
Мо для любого набора Ь из этой последовательности. Это следует
из того, что типы элементов х(а, 6 ) и х(а,Ъ) совпадают.
Итак, можно предположить, что существуют 6i,... , bk-i такие,
что для любых 6 ф Ъ' ^ {a, fti,... ,bjt-i}
{х(а, 6i,... ,ft*_i, 6), х(а, 6i,... , 6fc_i, 6')) i r).
Заметим, что любая перестановка а множества S однозначно опре-
определяет (поднимается до) автоморфизм а* допустимого множества
HFE), где
a*({alt... ,о„})
,... ,a*{an)}
3.5. Специальные допустимые множества
209
для {аь... ,а„} е HF(S)\S. Если а \ {а} = id{o}> то а* инду-
индуцирует автоморфизм на системах ЯИо и 9Jto/»j. Следствием прове-
проведенных рассмотрений является следующее предложение.
Предложение 3.5.2. Если несчетная алгебраическая система 9Я
определима в HFE), то группа автоморфизмов Aut (9Jt) систе-
системы 371 содержит подгруппу G, изоморфную симметрической груп
пе Sym(S') всех перестановок множества S.
Доказательство. Действительно, если х,а,Ь\,... , 6*-1 име-
имеют тот же смысл, что и выше, то любая нетривиальная перестанов-
перестановка «о множества So ^ 5\{a,6i,... ,bjt_i}, расширенная тожде-
тождественно на 5, индуцирует нетривиальный автоморфизм на Шо/rj.
Тогда Aut (9Jto/»7) — Aut (9Jt) содержит подгруппу, изоморфную
SymE0) ^ SymE). D
Замечание 3.5.4. Проведенные рассмотрения справедливы и для
допустимых множеств вида L(a,S), где a — счетный ординал та-
такой, что L(a, S) допустимо.
Следствие 3:5.1. Поля С и Ж не определимы в HF(S) ни для
какого множества S.
Доказательство. Действительно, поле Е вообще не имеет ав-
автоморфизмов, а поле С не имеет автоморфизмов конечного порядка,
большего 2. D
Замечание 3.5.5. Легко видеть, что если поле Е определимо
(S-определимо) в KPU-модели А, то С также определимо (Е-опреде
лимо) в А.
Таким образом, предложение 3.5.2 является серьезным препят-
препятствием для определимости несчетных систем в допустимых множе-
множествах вида HF(S'), где S — бесконечное множество.
Рассмотрим теперь простую теорию Т\ — теорию линейных плот-
плотно упорядоченных множеств без наименьшего и наибольшего эле-
элементов. Опишем одну общую теоретико-модельную конструкцию,
в терминах которой будут сформулированы необходимые условия
определимости несчетной системы (предложение 3.5.5, см. ниже), а
также необходимое и достаточное условие S-определимости несчет-
несчетных моделей теории (теорема 3.5.2, см. ниже) в ШF(L) для плотного
линейного порядка L без концов.
210
3. Избранные темы
Определим категорию *ш следующим образом. Объектами явля-
являются множества вида [п] ^ {0,1,... , п — 1}, п б ш ([О] ?=ь 0),
а морфизмами — вложения, сохраняющие порядок. Заметим, что
имеется единственный морфизм из [О] в [п] для любого п 6 и>.
• *ш-Спектром называется любой функтор 5 из категории *ш в
категорию Mod* алгебраических систем (некоторой фиксирован-
фиксированной сигнатуры а), морфизмами которой являются всевозможные
вложения.
Чтобы определить *а>-спектр S, нужно задать последователь-
последовательность 9Ло, SDfci > • • • > ЯИп,..., п 6 и>, алгебраических систем сигна-
сигнатуры а и каждому вложению v: [n] —> [т], сохраняющему поря-
порядок, сопоставить вложение /х»: 9Л„ -> Шщ, причем так, что если
цот. [п] -» [то], Hi: [то] -> [к], п ^т ^ к € ш, — морфизмы кате-
категории *ш, то (/xi/х0)» = /ii*/xo*, и если /х: [п] -> [п] — единственный
морфизм (= idrn]), то /х» = ici^: 9ЛП —> ЯЯп, п € и>. Если опреде-
определен *ш-спектр 5, т. е. {9Л„, /х» | п б ш, /х 6 Мог*ш}, то для любого
линейно упорядоченного множества L можно определить алгебраи-
алгебраическую систему Шь (9tf) как предел \imWl'Lo прямого спектра
{aJt'io,?>?„,?, | Lo C L\ С L,Li конечно},
где 9Jt'io ^ Шп, если Lq С L конечно и |L0| = n, а вложение
4>LoM: ®K'l9 ~* VDI'li А™ конечных Lo С L\ (С L) определено так:
если Li = {lo < h < ¦ ¦ ¦ < lm-i}, Lo = {lio <ht < ...< /in_J
(тогда 0 ^ »o < *i • • • *n-i ^ "») и /х: [n] -> [то] определено как
*j.J <", то
Екхли L С L' — линейно упорядоченные множества, то система ЯЛх,
естественно отождествляется с подсистемой
Замечание 3.5.6. Любой изоморфизм линейно упорядоченных
множеств L и V индуцирует изоморфизм между Шь и Шь1 ¦
Предложение 3.5.3. Если L С V — плотные линейно упорядо-
упорядоченные множества без концов, то
Доказательство. Для счетного V утверждение вытекает из
[25, предложение 24.2]. Доказательство в случае произвольного L'
3.5. Специальные допустимые множества
211
можно получить, применив теорему Тарского — Воота об элемен-
элементарных вложениях. D
Следствие 3.5.2. Если L и L' — плотные линейные порядки без
концов, то
Пусть (to и ^i — морфизмы из [1] в [2], такие, что цо(®) ^ 0 и
(*) Условия fj,Qt ф /ii» достаточно, чтобы |9Wf | ^ \L\ выполня-
выполнялось для любого линейно упорядоченного множества L.
Действительно, пусть ? € Mi такой, что |*о*(?) Ф A*i*(?)- Для
любых линейно упорядоченного множества L и / € L определено
соответствующее вложение щ: ЯЯ'го = 9Ri -> ЯЯх,; полагаем
6 ^ Щ(О- Тогда / / /' влечет & ?? &. и |L| = |{$ | Z G 1}| <
\ML\.
Следующее теоретико-модельное утверждение приведем без до-
доказательства.
Предложение 3.5.4. Пусть S — *ш-спектр такой, что fto*(?)
Ф /*i*(?) для некоторого ? G Mi, и L — плотное линейно упоря-
упорядоченное множество без концов. Тогда {ф | I G L} — множе-
множество неразличимых элементов системы ffii, (с порядком, инду-
индуцированным L).
Предложение 3.5.5. Пусть ЯЯ — несчетная алгебраическая си-
система, определимая в Ш?(Ь) для некоторого плотного линейно-
линейного порядка L без концов. Тогда существует *ш -спектр S такой,
чтоц0, ф ци иЖ 1
Доказательство (набросок). Анализ определимых множеств,
проведенный в § 3.4, показывает, что существуют к Е ш, х е HF(fc)
и наборы а, Ъ Е Lk, имеющие одинаковый тип над (L, с), где с — кон-
константы, участвующие в определении 9Л в HF(L) (можно считать,
что {с} С {5} П {6}), такие, что x(a),x(b) E Mq и (х(а),х(Ь)) $
г}ц. Тогда а фЬ и можно показать, что существуют а и Ь такие,
что Oj ф bi только для одного i < к (a.j = bj, j $ i, j < к).
Предположим, что ао < ai < ... < ak-i иО<г<&— 1. Пусть
do < di... < dn < ... ,n Еш, — элементы множества L такие, что
212
3. Избранные темы
Ot_i < do < di < ... < dn < ... < Oj+i, и Ш„ — подсистема си-
системы ЯЯ, определенная элементами, содержащими представителей
и Е Ш?(Ь) таких, что
spu С (-oo,Oi_i]u[oi+i,-l-oo)u{do,--- ,dn-i}.
Нетрудно естественно доопределить последовательность ЯЯо, SSJli,...
до *и;-спектра 5, который будет удовлетворять условию (*), так как
х(а0,... ,ai-i,di,
Нетрудно также проверить, что Ш =
П
Предложение 3.5.5 дает необходимые условия определимости в
Ш?(Ь) для плотного порядка L без концов. Оказывается, что эф-
фективизация этого условия является уже необходимым и достаточ-
достаточным условием Е-определимости.
• Система нумераций vn: ш —> Мп, п Е и>, называется вычисли-
вычислимой последовательностью конструктивизаций
(SWo,*b)l(SNi,i'i),... ,(mn,i/n),... , new,
если выполнены следующие условия (предполагается, что сигна-
сигнатура а систем ЯИо, SSJli,... конечна и не содержит функциональ-
функциональных символов):
± {(п,то,т1) | n,mo,mi Е ш,ип(
Д-предикат на и>,
2)NP ^± {п = (по,пь... ,пк) | п € wfc+1,(i/no(ni),...,
^no (n*)) G Рт"о} — Д-предикат на ш для любого (fc-мест-
ного) предикатного символа Р € а,
3) для любого константного символа с € а существует S-фун-
кция fc:u)—?u) такая, что с371" = ^„^(п).
Каждый морфизм \i: [n] -> [т] категории *и> однозначно опре-
определяется числом т и подмножеством м([та]) С [т]. Это замечание
позволяет определить взаимно однозначное соответствие Ц*: Д —>
Мог*ш между подмножеством Д ^ {п | п Е и,г(п) < 2*^} С
ш и множеством Мог*ш, считая, что п Е А кодирует морфизм
ц: [к] -> [I] такой, что I = 1(п), а г(п) — номер подмножества
/i([fe]) С [I] = [1(п)}. Очевидно, что Д есть Д-подмножество и).
3.5. Специальные допустимые множества
213
214
3. Избранные темы
Пусть S = {ЯЯ„, ц* | пеш^е Mor*u>} — *им;пектр.
• Конструктивизацией S называется любая вычислимая после-
последовательность конструктивизаций
(oHo,*id),(sWi,i/i),... ,(mn,!/„),..., new,
вместе с Е-функцией /: Д х и> —? и> такой, что для любых
п,т,к € ш, ц: [п] -> [т] € Mor*w, если п* € А такой, что
Ц*{П*) =/i)TO/i»I/n(fc) = I/m/(n*,fc).
• *и>-Спектр S называется конструктивизируемым, если для не-
него существует конструктивизация.
Теорема 3.5.2. Теория Т имеет несчетную модель, И-опреде-
лимую в Ш?(Ь) для некоторого плотного линейного порядка L
без концов, тогда и только тогда, когда существует конструк-
тивизируемый *и>-спектр S, удовлетворяющий условию (*) и та-
такой, что ЯЛ? 1= Т.
Доказательство. Пусть ЯЛ — несчетная модель теории Т, Е-
определимая в Ш?(Ь) для некоторого плотного линейного порядка
L без концов. Так же, как в_доказательстве теоремы 3.5.1, най-
найдем к € ш, х € HF(fc), о,Ь € Lk, г < к, удовлетворяющие
сформулированным там условиям. Применим теорему Левенгей-
ма — Скулема к Ш?(Ь) и найдем счетную элементарную подси-
подсистему HF(L') -< W?(L) такую, что а,Ъ € (?')*• Тогда те же
формулы, что и для ЯИ, Е-определяют в HF(L') модель Ж' тео-
теории Т, а к € и, х € HF(fc), а,Ъ € (L')k, i < к, удовлетворяют
тем же условиям, что и в доказательстве теоремы 3.5.1. Упрощая
обозначения, далее штрихи опускаем. Так как L — счетное плот-
плотно линейно упорядоченное множество, оно изоморфно множеству Q
рациональных чисел с естественным порядком. Отсюда легко следу-
следует существование конструктивизаций v: и> —> Ш?(Ь) допустимого
множества Ш?(Ь) (~ HF(Q,^)). Легко проверить, что множе-
множество i/~1(Mo) = {п | пеш, и{п) е Мо} есть S-подмножество ш.
Предикат
{(п,т) | n,mew;i/(n),«/(m) G M0,(i/(n),«/(m)) € г)}
является Д-предикатом на v~1{Mq). Предикаты
^ . {(Пи...,пк) | щеш-Мт),... Мъ)) е Рт°}
являются Д-предикатами на v 1 (Мо) для любого (fc-местного) пре-
предикатного символа Pea.
Можно выбрать элементы do<<^i <...<dn<...,neui,
множества L такие, что Oj_i < dn < o^+i для всех п € и> и су-
существует Е-функция d: и> —> и> такая, что vd(n) = dn для всех
пеи>. Екши подсистема ЯЯ„ системы ЯЯ определяется элемента-
элементами, содержащими представителей и е HF(L) таких, что sp(u) С
(—со, Oj_i] U [oj+i, со) U {doj ¦ ¦ • ,dn-i}. то очевидно, что соответ-
соответствующий *и>-спектр имеет конструктивизацию.
Наоборот, пусть 5 — *и>-спектр такой, что ЯИ^ И Т для (любого)
плотного линейного порядка L без концов. Пусть
(ЯПо,"о),--- ,(ЯИп,«/„),..., new,
и f: А х w -t w — конструктивизация этого *ш-спектра.
Укажем идею Е-определения модели ЯИ^ в HF(L). Пусть Lq =
{lo < ... < Zn-i} Cl — конечное подмножество множества L,
А)
Ln,
(если п = 0, то полагаем Lo ^ 0). Полагаем
W,
для (m-местного) предикатного символа Р ест. Для сби выбира-
выбираем к е ш так, что с3"" = fn(&)> и полагаем с Lo
тух,0 — отношение конгруэнтности на системе
(Lo, fc). Тогда
и фактор-система 9Их,0 ^ ^lo/Vlo изоморфна 9Л„. Пусть Lq С
Li С L — конечные подмножества множества L,
= {/о < ... < /„-l
= {I'o
и 0 ^ jo < • • • < Jn-i < "i такие, что /j = Vj., i < п. Пусть ^ ^
ЦЬоМ- [п] ~* I] — морфизм из *ш такой, что ц(г) = ji, i < п.
Тогда вложение /i»: 9И„ —> ЯИт определяет вложение /Z»: ЯИ?,0 —>
3.5. Специальные допустимые множества
215
,. На множестве
М° ^ U{Af?0
С L — конечное подмножество L}
определим отношение эквивалентности ту С (М0^ следующим обра-
образом. Если (Lo,k),(Li,l) € М°, то полагаем {(L0,k),(Li,l)) € т),
если
(t*L0,L2)*([(Lo,k)]VLo) = («„.ЬаМОЬъОк.,)
для 1г ^ioUli. Легко проверить, что г? П (М°оJ = г)ь0 для
конечных Lo ? ¦?- Заметив, что Lo Я. L\ С Lq С L (для конеч-
конечного L2) влечет цьом ~ /*?i,?a/<Lo.bi> и используя определение
*и>-спектра, получим следующую эквивалентность:
((Lo,k), (Li,l)) € т? ¦?> существует конечное подмножество
1*2 С L такое, что .Lo U Li С L2>
Благодаря этой эквивалентности нетрудно проверить, что ц есть от-
отношение эквивалентности на М°. Более того, г? есть отношение кон-
конгруэнтности на алгебраической системе
9К° ^ (М°,... ,U{РОТ° о | Lo С L конечно},... ,ст°,...).
Фактор-система ЯП0/»? изоморфна ЯЛ?.
Проверка того, что множество М является Д-подмножеством
HF(L), а отношение rj и предикаты UjP^^o | 10 С I конечно},
Р € <т, являются Д-предикатами на HF(L), не представляет труда,
если использовать свойства конструктивизаций *w-спектра S и заме-
замечание о том, что Д-подмножество (Е-подмножество) и Д-предикат
(S-предикат) в П являются таковыми и в любом допустимом мно-
множестве. Теорема 3.5.2 доказана. v ?
Рассмотрим пример применения этой теоремы. Обозначим через
Q(ao, ai,... , а„,...) чисто трансцендентное расширение поля ра-
рациональных чисел Q, рассматриваемое как линейно упорядоченное
поле такое, что все элементы поля Qn ;=* Q(oo,... , on_i) (полага-
(полагаем Qo ^ Q) бесконечно малы относительно элемента ап, п € и).
Такое упорядочение единственно, и существует однозначная кон-
структивизация
v: и)
216
3. Избранные темы
такая, что п —? v * (а„), п 6 и>, есть Е-функция на П.
Пусть К* — вещественное замыкание упорядоченного поля
(Q{an\ newHJ.
Тогда (см. [25]) существует конструктивизация v*: и> —ь Ш*, «про-
«продолжающая» v. Заметим, что вложение Q(an \ п € и>) —> К* есть
морфизм из (Q(an | п е oj),v) в (K*,i/*).
Если R?, n € w, — алгебраическое замыкание Qn в Ш*, то n ^
(j/*)~1(R^), п € w, — вычислимая нумерация S-подмножества ш,
которая позволяет построить вычислимую последовательность кон-
конструктивизаций
такую, что вложения RJ^ С Ш* являются морфизмами из
(.)
Пусть /х: [п] —> [т] — морфизм иэ *и>, по ц однозначно опреде-
определяется вложение j*':Qn -> Qm такое, что ^'(а«) = ад@- ^^ вл0"
жение сохраняет порядок и, следовательно, индуцирует однозначно
определенное вложение Д: flfc^ ^ R?,. Поэтому система
является *а>-спектром, который конструктивизируем. Действитель-
Действительно, выше указана вычислимая последовательность конструктивиза-
конструктивизаций (Kq, j/0), ... , (!?, vn),..., п Е ш. Можно предполагать, что
все конструктивизаций ип однозначны. Тогда по ц ? Мог*ш опре-
определяется однозначно функция /й такая, что Ji{vn(l)) = 1>т/цA) для
любого I € ш. Эти функции являются S-функциями, и соответству-
соответствующая функция /: Д х ш -> ш такая, что f(n*,k) = /й«(п*)(^).
п* 6 Д, fc 6 ш, является Е-функцией. Таким образом, *а>-спектр
{Ж^, Д | п € ш, \i € Mor*w} конструктивизируем и по теореме 3.5.2
система Kjf, являющаяся вещественно замкнутым полем мощности
|L|, S-определима в HF(L).
Следствие 3.5.3. Если L — плотное линейно упорядоченное мно-
множество без концов мощности континуум, то поле С комплекс-
комплексных чисел ^-определимо в HF(L).
Доказательство. Действительно^ Ш?(Ь) S-определимо не-
некоторое вещественно замкнутое поле R мощности континуум. По-
3.5. Специальные допустимые множества
217
218
3. Избранные темы
этому его конечное расширение К(г]_— алгебраическое замыкание
Е — также определимо в HF(L) и Е(г) изоморфно С. ?
Ни предложение 3.5.5, ни теорема 3.5.2 не могут помочь при
решении вопроса об определимости (S-определимости) конкретной
несчетной модели. По следствию 3.5.3 поле С комплексных чисел
Е-определимо в Ш?(Ь) для любого линейного порядка L мощности
континуум. Как обстоит дело с определимостью поля R веществен-
вещественных чисел?
Предложение 3.5.6. Поле Ж не определимо в Ш?(Ь) ми для ка-
какого плотного линейного порядка L.
Доказательство. Если R определимо в Ш?(Ь) для некоторо-
некоторого плотного линейного порядка L, то можно выбрать два счетных
подпорядка Lo ~< Li (~< L) таких, что Lq содержит все параметры
определения R в HF(L), и если Ко и Ж\ — подполя Е, определен-
определенные в HF(Lo) и HF(Li) соответственно (так же, как R в HF(L)),
то Ко < Ri < К. Поскольку Ro и Ri — различные счетные под-
подполя R, они не изоморфны (следствие архимедовости Ж). С дру-
другой стороны, существует изоморфизм между Lq и L\ (сохраняющий
параметры). Следовательно, должно быть Ко ~ Ri. Полученное
противоречие доказывает предложение. ?
Замечание 3.5.7. Аналогично доказывается неопределимость по-
поля Qp р-адических чисел в Ш?(Ь) для плотного линейного поряд-
порядка L.
Установим теперь общий факт, из которого будет следовать, что
R не является Е-определимым в Ш?(Ь) ни для какого линейно-
линейного порядка L. Алгебраическая система ЯЛ конечной (рекурсивной)
сигнатуры называется локально конструктивизируемой, если для
любого конечного семейства элементов оо,... , о„ б М 3-теория
ТЪз(9К, о) системы (971, о0,... , о„) является перечислимой.
Замечание 3.5.8. Система ЯЛ локально конструктивизируема
тогда и только тогда, когда для любых оо,... , оп € М найдут-
найдутся конструктивизируемая система 9t и элементы bo,...,bn € N
такие, что ТЪ3(ЯЛ,а) = Th3(W,6).
Достаточным условием локальной конструктивизируемости ЯЛ
является разрешимость теории Th(9Jl) и ее категоричность в не-
некоторой бесконечной мощности. В частности, все модели простых
теорий локально конструктивизируемы.
Предложение 3.5.7. Если 9Л локально конструктивизируема и
У1 Ti-определима в HF(9Jt), то У1 локально конструктивизируе-
конструктивизируема.
Доказательство. Утверждение вытекает из замечания 3.5.9 и
следующего общего факта:
если Ш конструктивизируема uOq,... , ап-\ ? М, то Е-те-
ория системы (HF(9Jt),x(a))xgHF(n) перечислима. ?
Замечание 3.5.9. Любые два бесконечных линейно упорядочен-
упорядоченных множества имеют одинаковую Э-теорию. Отсюда легко следует,
что любое линейно упорядоченное множество локально конструкти-
визируемо.
Следствие 3.5.4. Поле R не является ^-определимым в HF(L)
ни для какого линейного порядка L.
В заключение укажем пример полной разрешимой теории, у ко-
которой только простая модель является локально конструктивизиру-
конструктивизируемой. Пусть Е ^ {0,1}* — множество всех конечных последова-
последовательностей из 0 и 1. Сигнатура а ^± \Р\ \ е ? Е} состоит только
из одноместных предикатов. Теория Г определяется выбором беско-
бесконечного рекурсивного бинарного дерева D(С Е), не имеющего бес-
бесконечных рекурсивных ветвей (пример такого дерева можно найти,
например, в [31]), и следующей системой аксиом:
Vx((P?0(x) -Г Р?1(х)) Л (Р?1(х) -Г Р?0(х))), е е Е,
Зх(Р?(х) Л Р?0(х) Л P?i(x)), e e D,
Vx-\Pe(x), eeE\D,
VxVj/(P?(x) Л- Ре0(х) Л Ре1(х) Л Ре(у),
3.6. Е-допустимые семейства
219
3.6. S-допустимые семейства
S-подмножества допустимых множеств (более общо, KPU-моде-
лей) играют важную роль в применениях, как, например, в исполь-
использовании теоремы компактности Варвайса. Поэтому представляется
существенной возможность расширения семейства Е-подмножеств
подмножествами, «играющими роль» Е-подмножеств с сохранением
основных свойств теории вычислимости. Укажем один из способов
такого корректного расширения теории KPU.
Пусть G D о\ — @, е) — сигнатура, Ро,... , Рп-\ — новые
одноместные предикатные символы. Полагаем
где п € и>. Приведем определение До-формул и Е+-формул сигна-
сигнатуры <т".
• Ао-формулы сигнатуры <тп
— До- формулы сигнатуры сгп — это в точности До-формулы
сигнатуры а.
-формулы сигнатуры &п
Y^~-формулы сигнатуры ап определяются индуктивно так:
—любая До-формула есть Е+-формула,
— если t — терм сигнатуры <т, г < п, то Pi(t) — Е+-формула,
— если ФиФ — Е+-формулы, то (Ф V Ф), (Ф Л Ф) — Е+-фор-
мулы,
— если х — переменная, t — терм сигнатуры а и Ф — ^-фор-
^-формула, то Эх ^ ?Ф, Vi ^ *Ф, ЭхФ — Е+-формулы.
С каждой Е+-формулой Ф(ж) сигнатуры <т" и любым набором
тго,... ,тгп-1 различных переменных, не встречающихся в Ф, свя-
свяжем Е-формулу Ф*(х,п), полученную подстановкой:
Другими словами, формула Ф* получается из формулы Ф заменой
каждой подформулы вида Pi(t) формулой t G тг^, г € п.
220 3. Избранные темы
• Е-формула Ф(х,ir), 7Г = тго,. -. , тг„_1, называется W-специаль-
ной, если Ф(ж,ir) = Ф*(х,7г) для некоторой Е+-формулы Ф(х).
Примем следующие сокращения:
Этт* С Р4Ф — сокращение ЗтгДУх € 7rjPi(x) Л Ф), i < п,
Зтг С РФ — сокращениеЗтг0 С Po3tti С Р1...Зтг„_1 С Рп_хФ.
KPU4-теорией (сигнатуры стп) называется теория, аксиомами
которой являются аксиомы экстенсиональности, пустого множества,
пары, объединения, схемы аксиом До-выделения, схемы аксиом фун-
фундирования (для всех формул сигнатуры <т") и приводимой ниже схе-
схемы аксиом До-ограниченности.
• Схема аксиом А о-ограниченности
для любой тг-специальной До-формулы Ф(х,у,1г,1г)
Vx G v3y3W С РФ -> 3u37r С PVx € v3y G иФ.
КРи+-модели будем обозначать так: А+ ?=i (A,Qo,... ,Qn-i),
где А ^ А+ \ a a. Qi ^ Р*+ С A, i < п. Заметим, что если
А+ = (А, Q) — КРи+-модель, то А — KPU-модель (сигнатуры <т).
Предложение 3.6.1. Пусть Ф(х) — Е+ -формула сигнатуры а";
и, тго,... ,тгп-1 — попарно различные переменные, не входящие в
Ф(х). Тогда
Ф(х) =
С РФ*(х,тг), =
Доказательство. Заметим, что Ф*(х,тг) — Е-формула сигна-
сигнатуры а. Следовательно,
Но тогда
Зтг С РФ*(х,тг) =КРи+ Зтг С РЗиФ*(х\тг)(и>
Поэтому достаточно доказать эквивалентность крайних формул.
3.6. S-допустимые семейства
221
Применим индукцию по построению Е+-формулы Ф. Если Ф —
До-формула, то Ф* и Ф*(") — это просто Ф, и доказывать нечего.
Если Ф есть Pi(t), то Ф* и Ф*(") — это t € щ. Поэтому
Pi(t) =KPU+ 37Ti(Vx e Wi{Pi{x) л t е тгО), =s Зтг с p(t e тг*).
Пусть для ?+-формул Фо и Фх требуемые эквивалентности имеют
место. Тогда
Фо Л Фг =Кри+ ЗиЗтг С РФ*(и) Л ЗиЗтг С ^()
Последняя эквивалентность имеет место ввиду леммы 3.6.1.
Лемма 3.6.1. Если Ф(х,тг) — тг-специальная 12-формула, то
KPU+ h VTTo С 7Г0 ... V7rn_! С <_!(*(<«?, 7Г) -^ Ф(х, ТГ*)).
Доказательство. Это следствие предложения 1.3.2 и опреде-
определения тг-специальной формулы. ?
Проверка эквивалентности для Ф = Фо V Фх еще проще. Пусть
Ф = Vx € г;Фо(х). Тогда из
Фо =KPV+3u3W СРФ*(х,п)Ы
следует
Ф =KPU+ Vx € иЗиЗтг С РФ*(х,ж)^
=кри+ ЗуЗк С PVx € иЗи € уФ2(х,тг)(и)
=КРи+ Зи*Этг С FVx e v^*0{x,W)^'K
Предпоследняя эквивалентность — это следствие аксиомы До-огра-
До-ограниченности. Последняя эквивалентность устанавливается так. Если
А+ — КРи+-модель и для некоторой интерпретации j: X -? А
А+ И ЭуЗтг С FVx € иЗи € уФ*01и)Ы,
aj'-.XU {у} -+ А такая, что
А+ N Зтг С FVx G
222
3. Избранные темы
то для о ^ j'(y) полагаем а* ^ Uo. Тогда
А+ 1= Зтг С PVx € v3u С о*Фо(и)[7]
и в силу монотонности Фо по и
А+НЭтТ CFixevQ^'^i],
А+ И Зи*3тг С PVa: € уФ^'^ч].
Таким образом,
ЗуЗж С PVx e v3u € 2/Фо"(и) =>kpu+ Зи*3тг С PVx e «Ф^"^.
Наоборот, пусть
А ^Зи'Зт^
и о* € Л* такой, что
А И Зтг o[7]
Положив о ^ {а*}, получим
A t= Зтг С PVz € v3u € аФоМ[7],
А И Зз/Зтг С PVx € v3u € уФ^(и)Ы-
Обратная импликация установлена. Таким образом,
Ф =КРи+ Зи'Зтг С PVx € иФоЧх,^"*)
=кри+ ЗиЗтг С P(Vx € уФ{х))<и1
Случай, когда Ф = Зх € уФо, проверяется еще проще. Проверим
оставшийся случай Ф = ЭхФо. По индукционному предположению
имеем
Поэтому
Ф = ЗхФ0 =kpu+ ЗхЗиЗтг С РФ5(тг)(и)
=кри+ ЗиЗтг С РЗх € иФо"(тг)(и)
= 3и3тг СР(За:Фо)*(и).
3.6. Е-допустимые семейства
223
224
3. Избранные темы
Последняя эквивалентность проверяется так же легко, как и в слу-
случае KPU-тёории. Предложение 3.6.1 доказано. D
Из предложения 3.6.1 вытекают следующие принципы.
Принцип Л-выделения. Для любых Е+ -формул ФыФ следую-
следующая формула есть теорема KPU+:
Vx е о(Ф v Ф) -4 36(Vx е ЬФ л Vx е а(х е ь v Ф)).
Доказательство. Пусть Vx € а(Ф V Ф). Тогда
ЗиЗтг С PVx G а(Ф* V Ф*)<«>.
Если с, тго,... ,тг„_1 такие, что тг» С Pt, i < n, и Vx € а (Ф* V
Ф*)(с), то по аксиоме Д0-выделения ((Ф* V Ф*)(с) — До-форму-
До-формула!) существует 6 такой, что 6 = {х € а | Ф*(с)}; этот элемент 6 и
является искомым. D
Принцип ?+-ограниченности. Для любой Л+ -формулы Ф сле-
следующая формула есть теорема KPU+:
Vx € аЗуФ -»¦ 36(Vx е аЗу е ЬФ Л Vj/ е ЬЗх € аФ).
Доказательство. Пусть Vx € аЗуФ. Тогда
Если с, тго,... , тг„_1 такие, что щ С Р^ i < п, и Vx e а(ЗуФ)*(с),
то для 6 ^ {у G с | Зх е аФ*(с)} имеем Vx € аЗу е ЬФ Л Vy €
ЬЗх € аФ. П
Из доказательства принципа Е+-ограниченности видно, что спра-
справедливо и следующее более общее утверждение.
Для любой Yl-формулы Ф(х,у, Т) сигнатуры а, где W = тго,... ,
тг„_1 — список различных переменных в KPU, справедлива
формула
УхеаЗуЗж С РФ -+ ЗиЗтг С P(Vx G аЗуеиФЛУу G иЗхбоФ)
Очень важно, что для КРи+-моделей сохраняется теорема Ганди.
Теорема3.6.1 [Ганди].ЯустпьФ(х0,xi,Ро,... ,Р„_1,Р„) —Е+-
формула сигнатуры <т"+1. Существует S+ -формула Ф(хо)а:1>
Pi,--- ,Pn-i) сигнатуры <т" такая, что для любых KPU"-мо-
KPU"-модели А+ сигнатуры <т" и элемента а € А множество Ф(хо,а,
Р)А [хо] является неподвижной точкой оператора Г: V{A) —>
V(A), определенного по формуле Ф так.
T(Q)i±{beA\(A,Q0,...tQn-1,Q)**{bta,P,Pn)}, Q С А.
Доказательство. Рассмотрим формулу Ф* (хо, Si, v, Р„), опре-
определенную так:
ф* —' ( р р
Она является Е-формулой сигнатуры a U (Р„), в которую преди-
предикатный символ Р„ входит положительно. Так как А — KPU-mo-
дель, по теореме Ганди существует S-формула Ф*(хо, Xi, тг) такая,
что для любых о и ttq, ... , 7г°_! ? А множество Ф*(а:о, 0Oг°)А[^о]
есть неподвижная точка Е-оператора, определенного Е-формулой
Ф*(хо,а,тг°)Р+).
Положим
Ф(ХО, XI, Р) ^ ЗТГ С РФ* (ХО, Xi, 7Г)
и проверим, что
До ^Ф(х0,о,Р)А [хо]
есть неподвижная точка оператора Г. Пусть 6 € До- Тогда суще-
существуют тг° С Qo,... ,n^i_1 С Qn-i такие, что А ^ Ф*(Ь,а,7г°),
но
есть неподвижная точка оператора Го ^о, определенного формулой
Ф'(х0)а,7г°,Р+), 6 ? Дв>„о и 6 € Го,^(ДОMго) С Г(ДО;5?о) С
Г(Д0), так как r0jWo(<2) С Г(<3) для любого Q САи A0iWo С Д„.
Итак, До С Г(ДО). Пусть 6 € Г(Д0). Тогда существуют Яд С
Qo, ¦ ¦ ¦ ,тг°_1 С <3„_1 и с С Да такие, что
<А,с)НФ*(М,7г°,Р„).
Так как с С До, имеем
Ух0ес37гСРФ*(х0,а,7г).
3.6. S-допустимые семейства
225
Следовательно,
Пусть irl С Qo,... ,7г^_1 С <2„_! такие, что
Тогда с С Д0Mг1. Положим
тг0* ^ Trg U7r^(C Qo),--- ,<_i ^7r°-
Тогда
с С Д0M?, СДО,Г,
_!(С Qn_x).
6 G Г0;?.(с) С Г0,5р.(Да,?.) = ДО)?. С До.
Следовательно, Г(Д0) С До и Г(Д0) = До. Теорема доказана. П
Замечание 3.6.1. Как и в случае теоремы Ганди для KPU-моде-
лей, можно показать, что построенная в доказательстве формула Ф
определяет наименьшую формульную неподвижную точку операто-
оператора Г.
• Если А_+ = (А,Qo,... ,Qn-i) — КРи+-модель и Ф(Х(ь ¦ ¦ • ,
Xk-i, Р) — ?+-формула сигнатуры <т" с параметрами из А, то
fc-местный предикат ФА [хо,--- ,s*-i] Я Ак называется S+-
предикатом (И+-подмножеством для к = 1) на А+.
Предложение 3.6.2. Пусть А+ = (A,Q0,... ,Qn-i) есть
KPU+ -модель сигнатуры <т" и Qn — Е+ -подмножество А+. То-
Тогда
есть KPU -модель сигнатуры <тп+1.
Доказательство. Пусть Фо — Е+-формула сигнатуры <тп та-
такая, что Qn = ФА [хо]. Проверке подлежит лишь схема аксиом
До-ограниченности.
Пусть Ф(х, у,тг, 7Г„) (где 7Г = 7Г0,... , 7rn_i) — 7f, тг„-специаль-
ная До-формула, и пусть в А+ имеет место соотношение
Vx e аЗуЗп С Р3тг„ С д„Ф.
226
3. Избранные темы
Тогда
А+ И Vx € аЗуЗп С P37rn(Vx0 е тг„Ф0 Л Ф)
Vx0 € 7г„Ф0 =Kpu+ Зя1 С P(Vx0 е ТпФЗС'г))-
Используя монотонность Ф и Ф*, по тг, получаем
А+ И Vx G аЗуЗтг С P37rn(Vx0 € тг„Ф0 Л Ф).
Поэтому
А+ Ё ЗиЗтг С Fix € оЗу € u37rn(Va;o ? тГпФо Л Ф),
А+ t= ЗиЗтг С PVx € а3тг„3у € u(Vx0 G тг„Фо" Л Ф).
Так как Зу € u(Vxo € тг„Фо Л Ф) — До-формула сигнатуры <т,
Vx e o3irn3y Е u(Vx0 € тг„Ф5 Л Ф)
^•А 3wVx € оЗтг„ € wCy € и
(Vxo € тг„ФЗ Л Ф) Л V?rn € iuVxo € ^пФо)-
Если положить тг^ ?=ь Uw, то
А И Vx е аЗу е и((Ф)^; л... л Vxo e <Ф5)-
Из Vxo ? ""п^о следует, что тг* С Qn. Поэтому
А+ И 3u3W С Р3тгп С QnVx € оЗу € иф,
А* И ЗиЗтг С Р3тг„ С PnVx € аЗу G иф,
что и требовалось доказать. ?
Следующее предложение показывает, как находить KPU+-mo-
дели А+ = (А, Ро,... , Pn_i), у которых существуют Е+-подмно-
жества, не являющиеся Е-подмножествами А. В формулировке это-
этого предложения используется понятие ? * -подмножества KPU-моде-
ли А, которое было введено в § 2.8.
Предложение 3.6.3. Если А — КР\]-модель сигнатуры а и
Qo С А — ?,-подмножество А, то (A,Qq) — KPU"-модель
сигнатуры а1.
Утверждение сразу следует из предложения 2.8.3.
Замечание 3.6.2. В допустимом множестве вида ЕЩЯЯ) любое
подмножество является ^«-подмножеством.
3.6. Е-дОпустимые семейства
227
Замечание 3.6.3. Легко заметить, что справедливо следующее
обращение предложения 3.6.3: если А+ = (A.,Qo,..- ,Qn-i) —
KPU+-модель сигнатуры ап, то Qi — Е»-подмножество KPU-
модели А.
Замечание 3.6.4. Нетривиальный пример КРи+-модели сигна-
сигнатуры а\ = а\ U (Ро) доставляет следующее утверждение:
Если A ^end В, (С, ^) € A, G С А, удовлетворяют услови-
условиям теоремы 3.3.2, то (A[G],A) есть КРХ5+-модель сигнату-
сигнатуры а\.
Для проверки этого утверждения следует расширить понятие вы-
нуждения, положив
ft \\- Ро(а) Ф> существует ао € А такой, что ft Ih a = So-
Тогда {(ft,a) | ft Ih Po(a)} С А2 есть S-предикат на А и пред-
предложение 3.3.3 верно для (А[С7], А) и формул сигнатуры а\.
Введем теперь понятие, которое не является элементарным (т. е.
не описывается системой аксиом языка первого порядка), но удобно
для глобального взгляда на возможные расширения KPU-моделей
до моделей КРи+-теории.
• Пусть А — KPU-модель сигнатуры а. Семейство Е+(.А) под-
подмножеств А называется ^-допустимым для А, если для любого
neu}nQ0,...,Qn-1eS(A)
—А+ ;=i (А, Qo,... , Qn-i) есть КРи+-модель сигнатуры <тп,
— если Qn — Е+-подмножество А+ = (А, Qq, ... , Qn-i), то
Qn e Е+(А).
Для любой KPU-модели А семейство Т,(А) всех Е-подмножеств
будет S-допустимым для А, как это следует из предложения 3.6.2 и
следующей очевидной леммы (см. доказательство предложения 1.2.3
Лемма 3.6.2. Если Qo,... , Qn-i — И-подмножества KPU-мо-
KPU-модели A; Qn — Е+ -подмножество KPU+ -модели
сигнатуры ап, то Qn — ^-подмножество А.
228
3. Избранные темы
Таким образом, семейство S(A) является наименьшим Е-допус-
Е-допустимым семейством для KPU-модели А.
В некоторых случаях имеется и наибольшее такое семейство.
Так, для А = HF(S) семейство V(A) всех подмножеств множе-
множества А является Е-допустимым.
Однако не для каждой KPU-модели А существует наибольшее
S-допустимое семейство. Заметим, что если А имеет наибольшее Е-
допустимое семейство, то оно должно совпадать с семейством Е» (А)
всех ?*-подмножеств модели А. Это следует из предложения 3.6.3
и замечания 3.6.3.
Рассмотрим следующий пример. Пусть 5 — счетное бесконечное
множество, А ?=* L(w, 5) — допустимое множество конструируе-
конструируемых из S множеств до уровня и>. Пусть Qo С S — бесконечное
подмножество 5 с бесконечным дополнением S\Qq.
Предложение 3.6.4. Множество Qo является И*-подмножес-
твом модели А.
Прежде чем доказывать предложение 3.6.4, разовьем некоторую
технику работы в допустимом множестве L(u>, 5).
Для п > 0 полагаем
• В случае конечного тг С 5 подмножество В С S" называется
тг-однородным, если для любой перестановки а множества S та-
такой, что a(s) = s для s € тг (группу таких перестановок будем
обозначать SymE\Tr)), имеет место о{В) = В.
• тг-Однородное подмножество В С S" называется простым, если
существует Ь Е В такой, что В = {а(Ь) \ а € SymE\7r)}.
Легко проверить следующее утверждение:
если В С 5" простое -к-однородное, то В = {а(Ь) \ а ?
SymE\Tr)} для любого b € В.
Лемма 3.6.3. Любое ж-однородное подмножество В С S" явля-
является объединением конечного числа простых.
Доказательство. Так как
В = U{{<tF) | 6 € В, а € SymE\Tr)},6 € В},
3.6. Х-допустимые семейства
229
достаточно доказать лишь утверждение о конечности числа простых
подмножеств, содержащихся в В.
Для любого F С {0,... , п - 1} полагаем Bf ^ {Ь € В \ b —
(bo,... ,bn-i),F ^ {i | bi e тг,i < n}}. Нетрудно видеть, что
B = U{BF\ FC{0,...,n-l}}
и каждое Bp является тг-однородным. Пусть F С {0,... , п — 1}
фиксировано, {0,... ,n — 1}\F = {to < ... < u-i}, и для с =
(со,... ,cfc_i) етг* пусть
\с - {Ь | 6 € Вр, \ = с,-, j < к}.
Заметим теперь, что если Вр,с / 0, то Bf,c — простое тг-однородное
множество. Очевидно, Вр^ тг-однородно. Пусть b — (bo,... ,bn),
Ь" = %,... X) е Вр,с, и пусть ь* е 5\(тг и {b,V}), i e F,
попарно различны. Тогда существуют a, a1 G SymE\7r) такие, что
<r(bi) = b*it i € F, аЧЬ\) =b*itieF. Полагаем
где 6^ для i € F определено выше, а для i = ij € {0,... ,п- 1}\F,
j < к полагаем 6* ?=ь с,-. Тогда Ъ Е Вр,г и (т(Ь) = b , a'(b) = Ь ,
а~1а'(р ) = Ь, следовательно,
BF? = {(т(Ъ) | а е SymE\7r)}
= {*$) | а е SymE\7r)}(= {<т(Г) | a G SymE\7r)})
простое. Тогда В есть объединение всех (непустых) Вр^- Таких
множеств Bf,c конечно (F С {0,... ,п - 1}, с € тг"~^1). ?
• Размерностью d(B) простого тг-однородного множества В С
5" называется мощность множества {i | t < n,bi ? тг}, где
6 = {bo,...,bn-i) € В произвольно.
Множество {t | i < n, bi $ тг}, а следовательно, и его мощность
не зависят от выбора b € В.
• Размерностью d(B) тг-однородного подмножества В С S" на-
называется максимум размерностей простых тг-однородных под-
подмножеств В.
230
3. Избранные темы
Отметим, что В имеет размерность 0 тогда и только тогда, когда
В — (конечное) подмножество тг".
Пусть тг С тго (С S) — конечные подмножества 5 и В С Sn —
простое тг-однородное подмножество размерности к > 0.
Лемма 3.6.4. Подмножество В как ко-однородное множество
имеет единственное простое тго -однородное подмножество Во С
В размерности к (и тогда В\Во имеет размерность меньше,
чем к).
Утверждение легко вытекает из анализа доказательства лем-
леммы 3.6.3 и определения простого тго-однородного подмножества.
Лемма 3.6.5. Подмножество В С S" формульно в A=L(w, 5)
тогда и только тогда, когда В ^-однородно для подходящего ко-
конечного тг С S.
Доказательство. Если В — ФА[хо,..., х„] для некоторой фор-
формулы Ф и
тг = U{sp(o) | о € А — параметр из Ф},
то В является тг-однородным, так как любая перестановка а €
SymE\Tr) поднимается до автоморфизма модели А, сохраняющего
параметры формулы Ф. Но тогда ст(В) = В.
Обратное утверждение справедливо в более сильной форме:
любое п-однородное множество В является А.-конечным.
Лемма доказана. ?
Следующая лемма уточняет для случая L (ш, S) утверждение
A) из § 3.2. Пусть тг С 5 конечно. Элемент о G L(ui,S)* называ-
называется к-простым, если существуют S-терм t(x, z) без параметров и
тг-простое множество В С S" такие, что о = {t(b, S) \b € В}.
Лемма З.б.б. Любой элемент а Е L(w, 5)* представим в ви-
виде конечного объединения п-простых элементов для подходящего
конечного тг С S.
Доказательство предложения 3.6.4. Достаточно установить,
что если в (A,Qo) истинна формула
Vx € оЭтго С Р0Ф(х,тг0)
3.6. Е-допустимые семейства
231
для S-формулы Ф(тго") (сигнатуры о\ = @,6)), то в (A,Qo) ис-
истинна формула
Зло С P0Vx e аФ(х,7г0).
Ввиду леммы 3.6.6 достаточно доказать это утверждение для
тг-простого а. Предположим, что тг содержит носители всех пара-
параметров формулы Ф. Пусть а = {t(b,S) \ b 6 В}, подмножество
В С Sn является тг-простым, t — Е-терм без параметров. Дока-
Доказывать будем индукцией по размерности В. Если размерность В
равна нулю, то В одноэлементно. Тогда и а также одноэлементно.
Допустим, что для а таких, что имеется представление {t(b, S) \
Ъ 6 В} с размерностью В, меньшей к, утверждение справедливо.
Пусть размерность В равна к(> 0). Пусть b 6 В такой, что если
bi $ тг, то Ь{ $ Qo, i <n. Такой элемент существует, так как S\Qo
бесконечно. Пусть яо С Qo такое, что А 1= Ф(*(Ь,5),7Го). Положим
7Ti ;=± 7rU7ro. Пусть Вх С В — простое пх -однородное подмножество
В размерности к. Такое Вх единственно по лемме 3.6.4, и Вх =
{а(Ь) | а 6 Sym(S\in)}.
Заметим, что любая перестановка а Е SymE\7Ti) сохраняет
параметры формулы Ф. Следовательно, А И ФD(Ь,?),7Го) влечет
А И Ф(?(сг(Ь),.5),7Го). Таким образом, яо С Qn «подходит» для
любого элемента вида t(b ,S),b e Bx- Множество J5\J5i является
тг-однородным и имеет размерность, меньшую к. Можно применить
индукционное предположение и найти тгг С Qo такое, что
А' \= Уже а'Ф(х,тг2),
где а' = {t(b ,S)\b e B\Bx}. Положив 7г3
А N Vx еаФ(х,7г3).
Предложение доказано.
7Го U 7Ti, получим
?
Предложения 3.6.3 и 3.6.4 показывают, что (Цш, 5), Qo) являет-
является КРи+-моделью; аналогично и (L(lj, S), S\Qo) является KPU+-
моделью. Однако если Qx ^ S\Qo, то {TL(uj,S),Qo,Qi) не явля-
является КРи+-моделью (сигнатуры а2), так как в противном случае
по принципу Д-выделения должно быть Qo,Qi 6 Ь(ш, S), что не-
невозможно (в частности, это противоречит лемме 3.6.5).
В связи с рассмотренным примером полезно установить следую-
следующее утверждение.
232
3. Избранные темы
Предложение 3.6.5. Пусть S — бесконечное множество и Qo С
S — бесконечное подмножество с бесконечным дополнением. Если
а > ш — ординал такой, что L(a, S) допустимо, то (L(a, S), Qo)
не является KPU -моделью (сигнатуры а\)-
Доказательство. Для допустимых множеств вида L(a, S) оста-
остается справедливой лемма 3.6.5. В частности, В С S является фор-
формульным в L(a, S) тогда и только тогда, когда В конечно или S\B
конечно.
Теперь предположим, что (L(a, S),Q0) — КРи+-модель (для
некоторого а > и)). В этой модели истинно утверждение
Vn € С1>3/3я"о С Pq (/ — разнозначное отображение из п в яо).
По принципу Е+-ограниченности должны существовать тго С Qo
и F e L(a, S) такие, что
(/ — разнозначное отображение из п в тго).
Тогда тго С Qo должно быть бесконечным, яо € L(a, S) и 5\тго 2
5\Qo бесконечно. Это противоречит отмеченному выше свойству
подмножеств S, формульных в L(a, S). ?
Используя допустимое множество А ^ L(a, S) из предложе-
предложения 3.6.5, приведем обещанный в § 2.3 пример ?+-формулы Ф(х, Р+)
такой, что соответствующий оператор ^фм не является непрерыв-
непрерывным. Пусть
Ф(х,Р+) ?± Ord(x) Л Vj/ e хЭ/
(/ — разнозначное отображение из у в Р).
Если Q С S бесконечно, то
Если, кроме того, S\Q бесконечно, то не существует А-конечного
Qo QQ такого, что ш 6 f^.^Qo), так как такое Qo конечно.
В заключение параграфа приведем без доказательств ряд утвер-
утверждений о «сохранении» Е-допустимых семейств.
Пусть А ^ В — две системы сигнатуры а Э ах ¦ Для семейства
V С V(B) — подмножеств В через V \ А обозначим семейство
{Q П А | Q 6 V} подмножеств А.
3.7. Динамическая логика
233
234
3. Избранные темы
Предложение 3.6.6. Пусть А — KPU-модель, Е+(Л) — ?-&>-
пустимое семейство для A, Q 6 Е+(Л) и Ag — KPU-модель.
Тогда ?+(Л) f Aq — ^-допустимое семейство для
катные символы Р0,Рп... , Рп,... будут программными перемен-
переменными языка DL. Дадим индуктивное определение одновременно
понятиям «?+-формула» и «программа языка DL».
Предложение 3.6.7. Пусть А — KPV-модель, WFA С OrdA —
наибольший вполне упорядоченный начальный отрезок и Е+(Л)
является ^-допустимым семейством для А. Тогда ?+(Л) f
Awfk содержится в некотором ^-допустимом семействе для
Заключение предложения означает, что для семейства ?+ (A) f
Awfk выполнено первое условие из определения S-допустимого се-
семейства.
Отметим, что если Е+ (А) — семейство всех Е-подмножеств А,
то?+(Л) \ A\vfk может, вообще говоря, не содержаться в ?(Awj?a)
Рассмотрим цепь
Ао ^Sj Ai ^Sj • • • ^Ej А„ ^Sj • • •
Si-вложенных KPU-моделей, такую, что А» ^ UA — KPU-моде-
ль (удовлетворяет схеме аксиом фундированности). Пусть Vn —
Е-допустимое семейство для А„ и Vn = Vn+i Г Ап для всех new.
Определим V так: Q С А» лежит в V» тогда и только тогда, когда
Q П Ап е Vn для всех new.
Предложение 3.6.8. Семейство V* содержится в некотором
^-допустимом семействе для А»; V» \Ап = Vn для всех п Ей.
3.7. Динамическая логика
В настоящем параграфе будет введено расширение обычного язы-
языка исчисления предикатов (с ограниченными кванторами) сигнатуры
а* ^ a U {Pq ,Pf,... , Р*,...), a D о\, до языка, на котором бо-
более удобно говорить об одноместных Е-предикатах как о программах
(описания и вычисления этих предикатов) и о свойствах программ.
Языки (исчисления) с такими свойствами называют языками (исчи-
(исчислениями) динамической логики.
В определяемом ниже языке динамической логики DL два основ-
основных вида синтаксических объектов: формулы и программы. Преди-
Преди-формулы и программы языка DL
1. Любая Е+-формула Ф сигнатуры <тп С ег* является ^-фор-
^-формулой.
2. Любой предикатный символ Р„, п 6 ш, является програм-
программой.
3. Если Ф — Е+-формула языка DL их — предметная пере-
переменная, то [ХхФ] — программа.
4. Если а — программа и t — терм (сигнатуры а), то a(t) —
?+ -формула.
5. Если а к J3 — программы, х — переменная и t — терм, то
[а Л /?], [а V /?], [Vx e to], [Эх е ta], [Зха] — программы.
6. Если Ф и Ф — ?+-формулы, х — переменная и t — терм, то
(Ф Л Ф), (Ф V Ф), Vx е *Ф, Зх е *Ф, ЗхФ — ?+ -формулы.
7. Если а — программа, Ф — Е+-формула, то [а Л Ф], [Ф Л а],
[а V Ф], [Ф V а] — программы.
8.Если осаР — программы, Ф — Е+-формулаих — перемен-
переменная, то Зх 6 аФ — ?+ -формула, а [Зх ? а/?] — программа.
9. Если а — программа, то (Pn)oi, где пЕ ш, — программа.
Для каждых ?+-формулы Ф и программы а определено мно-
множество .РУ»(Ф) (FV»(a)) свободных переменных по следующим
правилам.
• Множество FV+(&) (FVt(a)) свободных переменных
1.Если Ф — ?+-формула сигнатуры и" С и', и .РУ»(Ф) ^
U {Pi | i < п, Pi встречается в Ф}.
4.FV,(a(t)) *± FV.(a)\JFV.(t).
5.FV.(aA/3){= FV.(aV/3)) ^ FV»(a)
ta)(=FV,Cx e to)) ^ (FV,(a)\{x})UFV.(t); FK»Cxa)
()\{}
3.7. Динамическая логика
235
7.FV.{aVi)(=
Ufy,(§).
6 аФ) ^
){
U *V.(a); FV.Cx 6
Эти правила образования множества FV»(E) свободных перемен-
переменных выражения Е (?+-формулы или программы) позволяют есте-
естественным образом разделить вхождения переменных (как предмет-
предметных, так и программных) в выражении Е на «свободные» и «свя-
«связанные».
Определим точную семантику выражений языка DL. Пусть А —
KPU-модель (сигнатуры ег), V — Е-допустимое семейство подмно-
подмножеств Аи Е — выражение языка DL.
• Интерпретацией свободных переменных Е называется отобра-
отображение г- X -»¦ AuV, где* С VU{P0,Pi,... ,Pn}, FV»{E) С
X, такое, что ~f(x) € А для предметных переменныхх € XC\V
и т(Рп) € "Р Для программных переменных Рп Е ХП {Ро, ...}¦
Если Ф — ?+-формула языка DL n'y.X—bAuV — интер-
интерпретация (свободных переменных формулы Ф), то будет определено
отношение истинности (А, V) И $[7]. Если a — программа, то будет
определено множество а^А>т>^[7] € V. Определение индуктивно.
• Определение (А,Т)
и а^Т)[-/]
1. Если Ф — Е+-формула сигнатуры ап С ег* и 7 определена
на {Ро,... ,Pn-i}, то (A,V) N Ф[7] тогда и только тогда,
когда (A,Qn,... ,Qn-x) N $[70], где Q* ^ 7(Рг)> » < ",
7о ^ 7 Г (X П V).
3.
^ {а | а б A, (A,V) И Ф[7о]},
}
236
3. Избранные темы
5. [а Л /?]<А-7'> [7] ^ Q{A-V) [7] П
[а V /3]<A'V> [7] ^ а<А^> [7] U
[Vx 6 ta]<^v> [7] ^ n{a<A^> [7а] | а 6 А, а 6 *А[7]},
[Зх 6 to]<AlP>[7] ^ и{а<А^>[7а] | а € А, а 6 *А[7]},
[Зха]<А-р>[7] ^ U{a<A^>[7a] | а б А}.
1= (Ф Л Ф)[7] ^ (A,V) N Ф[7] и <А,7>) 1= Ф[7],
1= (Ф V Ф)[7] ^ (A,V) N Ф[7] или (A,V) И Ф[7],
N Ух€*Ф[7] — (А,^> N Ф[7о] для любогоа е
И Эх 6 *Ф[7] ^ {А,Р} N Ф[7о] для некоторого а е
6.
(A, V) И ЭхФ[7] ^ (А, V) N Ф[7о] для некоторого обА
/а<А-*%], если(А,Р)ИФ[7],
7. [аЛ
[ФЛа]<А-р>[7]
[ау Ф]<А^>[7] ^ |а<А,7»>ф[7]> е^и ^({Aj v) N ф[7])(
[Ф V а]<А>р) [7] ^ [а V Ф]^75) [7].
Эх 6 аФ[7] ^ (А,Р) N Ф[7о] для некоторого
[Зх 6 а/?]<А-р>[7] ^ U{^<A^>[7a] I a 6
9. С программой а и интерпретацией 7: -У -> A U Т5 свободных
переменных программы (Pn)a такой, что Рп ^ X, свяжем
оператор T'.V-^V определенный так: для Q ? V
где 7Q - 7 U {(Р„, <Э». Тогда «Р„)а)<А-'р>[7] - наимень-
наименьшая неподвижная точка оператора Г.
Остается доказать, что такая неподвижная точка существует. Суще-
Существование ее будет следствием основной теоремы об этой семантике
(см. теорему 3.7.1, ниже). Для доказательства теоремы 3.7.1 потре-
потребуется следующая лемма.
3.7. Динамическая логика
237
238
3. Избранные темы
Лемма 3.7.1. Пусть Ф(х,х,Р,Рп) — ?+-формула сигнатуры
<xn+1 и Фс(х,?, Р) — ?+ -формула сигнатуры ап, которая выра-
выражает следующее:
3/3a(Ord(a) Л / — функция
Л 6f = а Л /@) = 0 Л V/? е aVy е /(/?)
Ф(у,х,Р, U/G)) Л 3/? Е а(х е /(/?))).
7€<8
Тогда для любой KPU+ -модели (A, Qo,... , Qn-i) сигнатуры ап
и любых по,... ,а*_1 € Л множество Ф@ '(х,а,Р)[х] есть
наименьшая (среди Ъ+-подмножеств (A, Q)) неподвижная то-
точка оператора, определенного ?+-формулой Ф(х,а,Q,Р)
Доказательство непосредственно вытекает из доказательства
соответствующей теоремы Ганди (см. теорему 3.6.1). ?
Теорема 3.7.1. Справедливы следующие утверждения:
(а) для любой Е+ -формулы Ф языка DL существуют число п ?
+
и> и такая Л+ -формула Ф» сигнатуры <тп, что ()
^У„(Ф»), a для любой пары {A,V), где А — KPV-модель,
V — Е-допустимое семейство для А, и для любой интерпре-
интерпретации 'у: X -> A U V свободных переменных Ф (Ф») имеет
место эквивалентность
(Ь) для любой программы а существуют п € и), Е+ -формула Фа
сигнатуры ап и предметная переменная х ^ FV* (а) такие,
что ^У»(Фа) = FV»(a) U {х}, а для любой пары (A,V), где
А — KPXS-моделъ, V — 'Е-допустимое семейство для А, и
для любой интерпретации 'у: X —> A U V свободных перемен-
переменных а имеет место равенство
Доказательство проведем индукцией по построению выраже-
выражений языка DL.
1. Если Ф — Е+-формула сигнатуры ег, то, очевидно, что Ф» ^ Ф
удовлетворяет заключению теоремы.
2. Если а — Рк, то в качестве Фа можно взять
3. Если Ф — Е+-формула языка DL и Ф» — ?+-формула сигнату-
сигнатуры ап такая, что для Ф и Ф» справедливо заключение теоремы,
то для a = [АхФ] в качестве Фа можно взять Ф».
4. Если а — программа, Фа — соответствующая ?+-формула (сиг-
(сигнатуры <гп) и t — терм, то для Ф = a(t) в качестве Ф» можно
ВЗЯТЬ формулу (Фа)? ¦
5. Если Фа и Ф^ — ?+-формулы (сигнатуры и"), соответствующие
программам а и /? (с той же переменной х), у — переменная,
отличная от х, t — терм такой, что х $ FV(t), то полагаем
^ Vy 6
^ Зу €
ф
[Э»€ог]
Если у = х или х 6 FV(t), то выберем переменную х*, не встре-
встречающуюся в а, Фа, t и отличную от у. Полагаем Ф? ^ (Ф)^..
Тогда формула Ф^ с переменной х* вместо х также удовлетво-
удовлетворяет заключению теоремы (для а).
6. Если Ф» и Ф» — ?+-формулы сигнатуры <тп, удовлетворяющие
заключению теоремы для ?+-формул Ф и Ф языка DL соответ-
соответственно (с той же переменной х), то полагаем
(ФЛФ), ^(Ф.ЛФ,),
(ФУФ)»^(Ф, УФ,),
(Vy 6 *Ф), ^ Vy 6 *Ф„
(Эу 6 *Ф), ^ Зу 6 *Ф„
(ЗуФ), ^ ЭуФ»;
здесь, как и выше, предполагается, что
FV(t).
3.7. Динамическая логика
239
240
3. Избранные темы
7. Если Фа — требуемая формула для программы а, а Ф» — ?+-
формула для Ф, то, предполагая, что х ^ FV($»), полагаем
^ (Ф<* Л Ф»),
] ] — (Фог V Ф.).
8. Пусть Фа и Ф^ определены для программ а и /? (с одной и той
же переменной х, не встречающейся в Ф и отличной от у), Ф»
определена для Ф. Полагаем
C» 6 аФ). ^ Э»((Фв); Л Ф.),
*[3»6<«fl - Ы(*аI Л Ф/?)-
9. Пусть для программы а определена ?+-формула Фа. Для про-
простоты обозначений предположим, что Фа — ?+-формула сиг-
сигнатуры an+1 = a U {Во,... , Рп-х,Рп), а свободными предмет-
предметными переменными формулы Фа являются х, Хо, xi,... , хь-х;
г^ж0,... ,xfc_i (Фа = Фа(х,х,Р0,... ,Pn-i,Pn))-
Пусть А — KPU-модель, V — S-допустимое семейство для А;
ао,... ,ak-i € A; Qo,--- ,Qn-i € V. Тогда по индукционному
предположению для любого Q е V
для 70: {^}U{Po,--- j-Pn-i} -*¦ ЛиР, определенного так:
Ог при i < к, j(Pi) = Qj при г < п и 7 ^ 7о U
Поэтому оператор Г, связанный с а (и со значениями свободных
переменных (Pn)oi — а, ф^совпадает с оператором, определен-
определенным ?+-формулой Фа(х,а, Q,P+). По теореме Ганди (см. § 3.6)
для Е+-допустимого множества {k,Q0,... ,Qn-i) этот оператор
имеет наименьшую неподвижную точку среди всех Е+-подмножеств
(A, Q). Эта неподвижная точка и есть crAlQ) [70]- Для определения
Е+-формулы Ф(рп)а(х,х,Р) используется лемма 3.7.1. Полагаем
Ф{Рп)а(х,х,Р) ^± (Фа)о.
На этом заканчивается рассмотрение всех индукционных шагов. Те-
Теорема 3.7.1 доказана. ?
Замечание 3.7.1. Из доказательства теоремы 3.7.1 видно, что
нахождение (построение) ?+-формулы Ф» по Ф и ?+-формулы Фа
по а осуществляется эффективно. Это означает, что при любой
разумной гёделевой нумерации всех выражений языка DL (?+-фор-
мул и программ) существует ?-функция р: ш -»• и (на п) такая,
что если п — номер Е+-формулы Ф языка DL, то р(п) — номер
формулы Ф», и если п — номер программы а, то р(п) — номер
формулы Фа.
Как сказано выше, в процессе доказательства теоремы 3.7.1 уста-
установлена также корректность определения семантики программы ви-
вида (Рп)а.
Чтобы говорить о свойствах программ (и Е+-формул языка DL),
введем в рассмотрение выражения вида Ф С. Ф и а С. /3, где Ф и
Ф — ?+-формулы языка DL, а а и 0 — программы, и построим
некоторое исчисление DL для таких выражений.
Запись Ео = Ei, ще Ео, Ei — выражения языка DL одного
типа (т. е. либо ?+-формулы, либо программы), есть сокращение
пары выражений Ео Q Е\ и Е\ С Ео- Полагаем Т ;=± (хо = хо),
т ^± [\х0Т].
• Аксиомы DL
\.Е С Е; Ei С Ео V Еи i = 0,1;
Л
С Et, i = 0,1;
II.Vx 6 t0E Л *i е *о Е (Я)?,; (Е)и Ati е«о ЕЗ16 t0E;
(E)fAa(t) ПЗхеаЕ;Зх?аЕС: Эу(а(у)Л(ЕI) рдяуфх,
не встречающегося в атл Е; {Е)" С. ЗЁ
III. [АхФ](х) = Ф; [Ла;Ро](х) = Ро.
YV.a(x)AP(x) С [аЛ/3](х); [aV/?](z) Cq(i)Vj3(i)| [аЛФ](х) =
[Ф Л а](х) = а{х) Л Ф; [а V Ф](х) = [Ф V а](х) = а(х) V Ф.
V. Ф С Ф, если Ф и Ф — ?+-формулы сигнатуры с" и Ф -»• Ф есть
теорема теории KPU+ сигнатуры <тп.
VI. (Р„)[Аа;Ф(а;,ж,Р,Рп)] = [\хФа(х,х,~Р)], где Ф и Фа такие же,
как в лемме 3.7.1.
Здесь Е, Ео, Ex — выражения языка DL (одного типа); Ф, Ф —
формулы языка DL и а, /3 — программы языка DL. При исполь-
использовании обозначения (E)f подразумевается, что при подстановке t
3.7. Динамическая логика
241
242
3. Избранные темы
вместо всех свободных вхождений х в выражение Е ни одно из вхо-
вхождений переменного в t не станет связанным.
• Правила вывода DL
И.
(Я
Eq
Eq
э)?
С
Е
с
Ei
Ei
Ei
l)?
С
' (Eo)
E2 I
JTI |— 771
a" E {El)fr '
P Г"~ С1 С1 Г~ С
1/Q ^~* ^J •C'l ^— *^/
Е0СЕ2 ' EoV
Eq С Ei Eq E Ei
III.
г , если х не входит свободно в Eq;
(xetAEfdQEh. ,
—^ —, если х не входит свободно в .
За: G t?b Е
а(х) AEoQEi
¦=* = =-> если х не входит свободно в Ei;
Зх 6 аЕо П. Ei
IV.
—-, если х не входит свободно в J
аЕ/3 аЕ/3 ФЕФ
a(t) E
v
Соглашение об использовании символов Е, а, /3, Ф, Ф то же, что и
при описании аксиом. Аналогично понимается использование сим-
символов подстановки (Е)* и (Е)%п ¦
Понятие доказательства в исчислении DL определяется как обыч
но. Основным результатом об этом исчислении является теорема о
полноте (см. теорему 3.7.2, ниже), для доказательства которой по-
потребуется следующая
Лемма 3.7.2. Справедливы следующие утверждения:
(a) для любой П+-формулы Ф языка DL, если Ф» — Е+ -форму-
-формула сигнатуры ап, построенная по Ф в доказательстве теоре-
теоремы 3.7.1, то в исчислении DL доказуемы выражения Ф С Ф„
и Ф» С Ф (короче, доказуемо Ф = Ф»),
(b) для любой программы а, если Фа — Е+ -формула сигнату-
сигнатуры ап, построенная по а в доказательстве теоремы 3.7.1,
то в исчислении DL доказуемо выражение а = [ЛхФа].
Доказательство леммы состоит в рутинной проверке сохране-
сохранения требуемых свойств на индукционных шагах. Существенной, ко-
конечно, является аксиома VII для рассмотрения случая (Рп)а. ?
Теорема 3.7.2 [о полноте]. Справедливы следующие утвержде-
утверждения:
(а) если Ф и Ф — Ъ+ -формулы языка DL, то выражение Ф С Ф
доказуемо в исчислении DL тогда и только тогда, когда для
любых КР\]-модели А, И-допустимого семейства V для А и
интерпретации 'у: X —»• A U V свободных переменных формул
Ф и Ф имеет место импликация
(Ь) если а и /3 — программы, то выражение а С. /3 доказуе-
доказуемо в исчислении DL тогда и только тогда, когда для любых
KPU-модели А, И-допустимого семейства V для А и интер-
интерпретации 'у: X —> A U V свободных переменных а и 0 имеет
место включение
Доказательство (набросок). В одну сторону нужно проверить
справедливость заключения теоремы для аксиом. Затем для каждо-
каждого правила вывода проверить, что если выражение над чертой удо-
удовлетворяет заключению теоремы, то и выражение под чертой также
удовлетворяет заключению теоремы. Проверка всех этих утвержде-
утверждений довольно рутинна. Для доказательства импликации в другую
сторону применяется лемма 3.7.2. Завершает доказательство тео-
теоремы следующее рассуждение. Пусть Ф и Ф — Е+-формулы язы-
языка DL такие, что
3.7. Динамическая логика
243
для всех подходящих А, V и 7- Пусть Ф, и Ф, — ?+-формулы
сигнатуры ап такие, что в DL доказуемы Ф = Ф» и Ф = Ф». Тогда
по первой части теоремы Ф» и Ф» удовлетворяют
при всех подходящих А, V и 7- Но по теореме о полноте Гёделя по-
получаем, что Ф» —> Ф» есть теорема теории KPU+ (сигнатуры и").
Следовательно, Ф.СФ, — аксиома DL, и доказуемость в DL вы-
выражений Ф С Ф», Ф» С Ф», Ф» С Ф влечет доказуемость Ф С. Ф.
Случай программ рассматривается аналогично. D
Замечание 3.7.2. Правила вывода группы V, как и аксиомы
группы VII, не являются необходимыми для доказательства теоре-
теоремы полноты (т. е. они допустимы в исчислении DL). Однако, как
это будет видно из приводимых ниже примеров, эти правила и ак-
аксиомы позволяют быстро устанавливать свойства оператора (Рп)-
Укажем, как известные программистские конструкции выража-
выражаются на языке DL.
• Композиция
Если а — программа, хо, • • ¦ , хп — список различных предмет-
предметных переменных и в качестве значений параметров х нужно ис-
использовать значения, «вычисленные» программами $>,. -. , /?n-i
то программа Зх0 6 /Зо... 3xn_i e /?n-i<* реализует эту компо-
композицию.
• Присваивание
Оператор присваивания х := t, примененный к а, реализуется
так: Зх G [\у(у = t)]a, у i FV(t).
• Конструкция «если Ф, то а, иначе /3»
Для простых Ф (когда Ф — Aj-формула сигнатуры ап) реали-
реализуется как программа [[Ф Л а] V [~"Ф Л /3]].
• Рекурсия
Рекурсия реализуется с помощью оператора наименьшей непо-
неподвижной точки (.Рп)<*-
244
3. Избранные темы
• Операция * (см. [26])
Если a — программа их — предметная переменная, полагаем
id х ^ [Ху(у = х)]; уфх,
а% ^ <Р„)Р<и V Зх 6 Рпа], Рп I FV.(a).
Полагая
aS^icU,
a*+1 ^ [Эх е акха], к 6 ш,
получим а\ = [Эх е idxa]. Покажем для примера, что в исчисле-
исчислении DL доказуемо а? = а. Заметим, что idx(ar) = Т. Действи-
Действительно, по аксиоме из группы III
Используя правило подстановки, получаем idx(x) = (х = х) и
(также по правилу подстановки) (х = х) = Т. Поэтому a Q а;
а С [a AT]; а С [a A \dx(x)]; [a A \dx(x)] С [Зх 6 idxa] —
аксиома и а С а?(= [Зх б idxa]). Наоборот,
[3x€idxa)C[3z(idx(z)A{a)xz)]
есть аксиома для z ф х,у, не встречающегося в а, и
id,(*)(=
есть аксиома. Следовательно,
[3z[id.(z) Л (аП = [3z[(z = xA (а)*ж]],
и [Эх 6 id xa] С а доказуемо. Тогда
0 = 0:1 = [Зх е idxa]
также доказуемо. Для операции * справедливо следующее семанти-
семантическое утверждение.
Предложение 3.7.1. Пусть А — допустимое множество, V —
И-допустимое семейство для A wy: X —* AUV — интерпрета-
3.7. Динамическая логика
245
246
3. Избранные темы
ция всех свободных переменных а. Тогда
Доказательство. Включение Э очевидно. Нетрудно проверить,
что правая часть является неподвижной точкой соответствующего
оператора, откуда следует обратное включение. ?
• Логическое программирование
Укажем, как по логической программе написать соответствую-
соответствующую программу языка DL. Пусть логическая программа L опре-
определена списком хорновых дизъюнктов вида
Pn{U), i=l,...,k
Выберем (предметную) переменную х, которая не встречается в
L, и дизъюнкту Ф{ —»• Рп(и) сопоставим формулу $j ;=± ((х =
U) Л Ф{), i = 1,... , к. Образуем программу
Заметим, что эта конструкция корректна, так как каждая фор-
формула $i является конъюнкцией (быть может, пустой, и тогда
ф4 ;=* (я = ti)) атомарных формул. Ясно, что программа аь
имеет ту же семантику, что и логическая программа L.
В заключение продемонстрируем возможность исчисления DL.
Пусть а и 0 — произвольные программы. Полагаем
В исчислении DL можно установить, что пары (ai,02) и (a2,0i)
являются «неподвижными» точками для а и 0 в следующем смысле:
(ofiSsox, @M5=0*.
(«5:8 s a. («5a sa-
Установим лишь соотношение (<*)а°'л2 = <*i, остальные устанавли-
устанавливаются аналогично. По аксиоме VII имеем ai = ((«)^)a?- Нетруд-
Нетрудно видеть из определения подстановки, что
Итак, (a)^5 ^ ai" ^°лее интересным оказывается то, что можно
доказать, что эти пары эквивалентны, т. е. в DL доказуемо, что
ai = ai2, 02 =0i- Это будет следовать из следующего утверждения
о минимальности (oi2,0i).
Лемма 3.7.3. Если j и 6 — программы такие, что Pq,Pi ^
FV*(-y) U FV,F) и в DL доказуемы выражения (a^f1 С 7 и
(P)f°s ' E^i mo доказуемы также выражения а^ С 7 и 0\ С 5.
мости
Доказательство. Так как (a)fyPl = ((a)f1 )y°, из доказуе-
доказуе^'Pl С 7 следует доказуемость (Po)(a)f1 E 7- Обо-
Обозначим а' ^ {Ро)(<")Р ¦ Из доказуемости а1 С )и равенства
@9)?)Г = (^)Г)? следует доказуемость W)*f С f^
по ((/3)f)?> = (/?)?>Д (/3)^Я С S. Нетрудно видеть, что
2f
, №- Но тогда @9)Й)Г Е («йЛ; («Uft Е «¦
Следовательно, (Pi)@)%, С <5; <i^H9)g = А, и ft С « доказу-
доказуемо. Из доказуемости /?i С й следует доказуемость аг Q (о^о)^1!
(ao)f1 = «P0)o)F = (Po>(a)f = а', а' С 7. Следовательно,
аг С 7 также доказуемо. D
Так как определения пар (ах,02) и (a2,0i) симметричны, из
леммы 3.7.3 вытекает доказуемость в DL соотношений а\ = <*2 и
As А.
В следующем параграфе будет рассмотрено расширение понятия
«S-предикат» на KPU-модели на более «высокие» конечные типы.
В работе [12] предложены также расширения и исчисления DL, с
3.8. S-предикаты конечных типов
247
248
3. Избранные темы
помощью которых можно описывать (и доказывать) свойства таких
Е-предикатов.
3.8. S-предикаты конечных типов
В настоящем параграфе укажем некоторую конструкцию объек-
объектов, которые можно естественно интерпретировать как предикаты
высших типов (предикаты над предикатами, предикаты над преди-
предикатами над предикатами и т. д.). Начнем с некоторых общих опре-
определений и конструкций. Как всегда, А обозначает произвольную
KPU-модель.
• Четверка 53 ^ (В, ^,Cons,U) называется }-базой на А, если
выполнены следующие условия:
1) В — Д-подмножество модели А;
2) ^ — Д-предпорядок на В;
обозначим через [JB] фактор-множество множества В по от-
отношению эквивалентности =, определенному предпорядком
^ (Ьо = &i ^ bo 4 6i Л Ьх ^ 6о); через [Ь] обозначим эле-
элемент из [В] — класс эквивалентности элемента b € В; если
С С В, то [С] = {[Ь] | b е С}; сохраним обозначение ^ для
порядка, индуцированного предпорядком ^ на [В];
3) Cons — Д-подмножество В*\{0}, и для 6» е В*
ь, е Cons <& 36 е J5V6' е б» (Ь' ^ ь).
4) U : Cons —> В — Е-функция такая, что [Ub«] для любого
6» е Cons является точной верхней гранью подмножества
[К] С [В] в
Если «Во = (^o^o.Conso^o) и <8i = (B1: ^bConsi,Ui) —
/-базы над А, то прямым произведением ЯЗо X 531 /-баз ЯЗо и
Q3i называется /-база {Во х В\, ^*, Cons*, U*), где ^*, Cons*,
U* определены так:
для всех bo,Ъ'о е Во и bi,b\ 6 В\;
Ь» е Cons* -Ф* р*Ь» е Conso Лр*Ь» е Consi
для всех 6» е (Во х J5i)*;
U*b, ^(Uop*K,Uxp*rK)
для всех Ь» е Cons*.
Нетрудную проверку того, что так определенная четверка ЯЗо х
531 является /-базой над А, оставляем читателю.
• Четверка 53 = {В,&o,^,U) называется f'-базой над А, если
{В, ^, J5*\{0}, U) является /-базой над А, [bo] — наименьший
элемент в ([В], ^) и LJ0 = &о-
Из определения видно, что /*-базу можно рассматривать, есте-
естественно, как /-базу. Поэтому определены прямые произведения
ОЗо х «Bi /-базы Q30(93i) и /*-базы Q3i(Q30). Если Q30 и Q3i явля-
являются /'-базами, то и 53о х 53i являются (можно считать) /*-базой
с наименьшим элементом (boi Ьх).
Определим еще одну конструкцию. Пусть
ЯЗо = (Во, 4:0, Conso, Uo) — /-база,
®i = <BiA,<i,Ui} — /'-база.
• Функциональным произведением F(*8o, 53i) /-базы 53о и f*-ба-
f*-базы 53i назовем /*-базу {(Во х Вх)*, 0, ^, U), где ^ и U опреде-
определены так:
лены так:
/о < Л
6 «Л(=
HLJifo | ЗЬ0 б 5ЛFо <о 6о
Л (bo.6i> е /о)} < Uaibi | ЗЬ0 6 Sfl(b0 ^ bo
л (ь'0,Ьх) е Л)}) для /о.Л е (д> х ВО*
U /. ^ и/, для /» 6 ((Во х В1)*у.
Замечание 3.8.1. С каждым элементом / е (Во х Bi)* можно
связать следующее монотонное отображение Fj : Во —* В\:
F}{bo) ^ Ui{bi | ЗЬ0 ^о bo ((Ь'0М) е /)}
3.8. Е-предикаты конечных типов
249
250
3. Избранные темы
для bo € Во. Если на множестве М(Во, В\) всех монотонных ото-
отображений из Во в В\ определить отношение порядка С так, что
Fo С Fx & V&o 6 Во (Fo(bo) ^
для Fo,Fi e M(Bo,Bi), то имеет место эквивалентность
/о ^ /i <* Ffo С Fh
для /о, Л e(#ox#i)*.
Нетрудно проверить, что
произведение .F(93o,93i) f-базыЪо и/*-базы
9$i является f*-базой над А.
Для любой /-базы © = (jB,^,Cons, и) определим семейство
Je(93) %-идеалов 95 — непустых Е-подмножеств С С В таких, что
с ЕС, ЬеВ, Ь < с =» Ь е С,
с е С* -»¦ с e Cons л ис е С.
Примерами Е-идеалов 93 являются главные идеалы. Для b €. В
положим
Тогда h — это Е-идеал 93, называемый главным идеалом, который
определен элементом Ь и Ь б h- На множестве /е(93) определим
топологию базисом
Vb^{C\ Се/Е(93),ЬеС}, Ьев.
Заметим, что для этого базиса справедливо следующее свойство:
Vb = VUb. для 6» е Cons.
666.
Кроме того, отображение b -* Уь, b e В, индуцирует отображе-
отображение [Ь] -> Vb (bo = bi =*• Ио = Vb,), и последнее есть изоморфизм
упорядоченных множеств {[В], ^) и ({Уь | b e В}, С). Множество
/е(93) вместе с введенной топологией будем называть простран-
пространством И-идеалов f-базы 93. Пространство Js (93) является отдели-
отделимым (То-пространстюм).
Предложение 3.8.1. Если 93о и 93i — f-базы над А, то про-
пространство /е(93о х 931) естественно гомеоморфно прямому про-
произведению /е(930) х Je(93i) пространств /е(93о) и Js(93i).
Доказательство. Укажем взаимно обратные отображения
Jo : Js(93o x 93a) -> /Е(93О) х /е^),
3i : /s(930) х /Е(«8!) -> /Е(93О х 93а),
оставляя проверку их непрерывности читателю. Пусть С € /е(93оХ
93i), С — S-подмножество Во х В\. Определим
Со ^ U{p,*c» | с» С С,с» е А*} =
» | с,СС,сеА'}= р*гС.
Из определения видно, что С{ является Е-подмножеством В^ г =
0,1. Проверим, что Со является Е-идеалом 93о- Пусть со € Со,
b е Во, b ^о со- Так как Со = Р*С, существует с Е С такой,
что со = pic (с = (co,Ci), где ci ;=± ргс). Рассмотрим пару с' ^
F, ci). Имеем с' ^* с в 93о х 93i, поэтому с' € С иЬ = ptc' € Со-
Пусть Cq e Cq- Тогда Vco € Cq3c е С (со = pjc). По принципу
S-ограниченности существует с* е А* такой, что Vco € cjKc e
с* (со = pjc) и с* С С Тогда рг*с* D cj. Из с* С С следует, что
с* е Cons(930 х 93i). Тогдар*с* € Cons93o- Следовательно,
Cons930,U0cS
Со.
Таким образом, Со — Е-идеал 93о- Аналогично доказывается, что
Сх — S-идеал 93i.
Полагаем 30(С) ^ (C0,Ci), С е /S(93O x 93i).
Пусть Со е /е(930), Ci e Js(93i) и С ^ Со х Ci; С — Е-под-
множество Во х В\. Проверка того, что С есть Е-идеал 93о х 93i,
аналогична рассмотрениям, проведенным выше. Полагаем
MCo,Ci)^C, Со6/е(93о), Ci
Отображения 30 и 3i взаимно обратны. Предложение доказано. D
Пусть 93о — /-база, 93i — /*-база. Укажем, как по любому
Е-идеалу I /*-базы F(93o,93i) можно естественно определить не-
некоторую непрерывную функцию // : /е(93о) —»• /e(93i). Пусть
/о € ^s(93o). Полагаем
//(/о) ^
с* 6
с*)}.
3.8. S-предикаты конечных типов
251
Заметим, что если {(bo,bi)} € I,b0 E /о, то 6i € //(/о)- Рутинная
проверка показывает, что //(/о) является S-идеалом Q5i и функция
// : -fs(®o) -> JeOBi) является непрерывной.
Установим следующее утверждение.
A> Отображение I -? U из /e(F(Q50, »i)) в C(/E(930),/E(93i))
(множество всех непрерывных отображений пространства
в пространство /EB3i)^ является разнозначным.
Пусть /о g /i 6 /e(F(B0,»i)). Покажем, что ^(//о С //,),
где порядок С на функциях из C(JsB3o), ^e(®i)) определяется
покоординатно. Имеем
/oE/i- V/o e /e(»o)(/o(/o) С Л(/о)).
Отметим, что если / С /' е /E(F(Q3o,93o)), то // Q fp. Пусть
д 6 /q\/i, Ig — главный идеал F(Q5o,!8i), определенный эле-
элементом д, тогда 1д С /0 (и /9 $? Д, так как <? 6 /o\/i)- Доста-
Достаточно теперь установить, что ~'(fig С /^).
Предположим противное. Пусть fjg С. fjx. Для любой пары
(bo>&i) G 5> бели До — главный идеал ©о, определенный эле-
элементом &о, т0
bi ед,(/Ьо) с /л(/6о) = {bi | К е ви3с* е h
Следовательно, существуют с* ? /i, b'o е /ь0 F{, ^0 Ьо), bi G Bi
такие, что (Ьо>&1) 6 с* и 6i ^i б^. Таким образом, в А истинна
формула
,6i> е 3Эс*(с* е h a 3b'03b[(Ь'о
C.8.1)
По принципу S-ограниченности существует dj С Д такой, что
в, 6i) € дЗс* 6 dK3b[3b'o(b'o ^о Ьо
Полагаем д\ ^ Uid*, g\ G /i, так как е?[ С Д. Проверим, что
д $С ^1 в F(Q5o,Q5o)- Рассмотрим F9(bo) для произвольного 60 €
Во (определение функции F/ : Во -> Bi для / 6 (Во * -ВО*
252
3. Избранные темы
см. в замечании 3.8.1):
F9(bo) = U1{61 | 3b'o ^
Пусть Fo,6i) € g и &о ^о ^o- Согласно C.8.2) существуют
с* ? di, 6{,' e Bo, &i e Bi такие, что b'o' ^0 bo= bi ^i b'i
и Fo',bi> ^ с*. Поэтому 6i ^i Fc.F0). Но с* е dj влечет
с* ^ gi = LJidp Следовательно, 6i ^i Fc»(b0) ^ ^91(Ьо) для
всех &o G Во, что, как было отмечено в замечании 3.8.1, влечет
9 ^ 9\- Однако gi ? h; h — идеал, следовательно, д ? h,
что невозможно. Итак, отображение / ь> // из /?(-^B505®!))
в C(/e(Q5o),/e(Q5i)) является разнозначным.
Образ множества /Е(^E5о,®1)) в C(/e(Q50),/e(®i)) обозна-
обозначим через Се(/е(®о)> -fs(®i)) и его элементы будем называть не-
непрерывными ^-отображениями из пространства /Е (©о) в простран-
пространство /eB$i). Иногда (когда зто не может привести к путанице)
будем отождествлять /e(F(Q50,!8i)) и Ce(/eABo),/e(®i)).
Рассмотрим два примера.
Пример 3.8.1. Четверка 21 = (A, =,Vi(A), U f Pi (Л)) является
/-базой, где Vi(A) ^ {{а} \ а е А}. Заметим, что S-идеалами
21 являются лишь одноэлементные подмножества А, т. е. /еB1) =
Гг(А).
Пример 3.8.2. Пусть а — произвольный ординал в А. Тогда
четверка 05а ;=± (а, 0, С, U \ а) является /*-базой.
Легко проверить, что /е(®<») = (<* + 1)\{0}-
Рассмотрим /'-базу FBl, ©2) и ее пространство /е(-^B1,!82))
Е-идеалов; 2 = {0, {0}} = {0,1}, О С 1.
Лемма 3.8.1. Существует естественное взаимно однозначное
соответствие между пространством Iz(FB1,052)) и семейст-
семейством 'Z(A) всех 1^-подмножеств А.
Доказательство. Пусть / — S-подмножество А. Положим
Ri^±{a\ aeA,3f(feIA(a,{0})ef)}.
Из определения видно, что Rj — S-подмножество А. Пусть R —
S-подмножество А. Пусть Ir ^ ({(а, 0) | а € A} U {(а, 1) | а ?
Л})*.
3.8. Х-предикаты конечных типов
253
Проверим, что Ir является S-идеалом FBt, ОЗ2). Из определе-
определения видно, что Ir — подмножество (А х 2)*. Покажем, что если
9 G Ir, f G {A x 2)* и / $С д, то / € Ir. Достаточно установить,
что
/С{(а,0)| aeA}U{(a,l)\ а е Я}.
Пусть (ао,е> 6 /. Если е = 0, то (ао,е> € {(а, 0) | а € Л}. Если
е = 1, то 1 = i^(ao) ^ Fg(ao)- Но тогда i^(ao) = 1 и
(ао,1)едС{{а,0)\ае A}U{(a,l) | о€Й}.
Следовательно, <ю G Я, / С {(а, 0) | а 6 A} U {(а, 1) | а 6 Я} и
Аналогично проверяется, что для любого / 6 /s(.FBt, ©о)) име-
имеет место равенство / = /д,, а для любого Е-подмножества R С А
имеет место равенство R = Д/я. D
Определим теперь Е-предикаты конечных типов над А. Введем
понятие типа.
Множество всех типов Т вместе с его собственным подмноже-
подмножеством РТ определяется так:
-оет\рт, вертст;
—если ro,Ti е Т (РТ), то (т0 х п) ? Т (РТ);
— если то G Т,п е РТ, то (п ->• п) 6 РТ.
Для каждого типа а € Т определим /-базу J> так:
¦' (toXti) '— •'та ^ •'тк
Заметим, что если т ? РТ, то J> — /"-база (устанавливается ин-
индукцией).
• Л-предикатом типа т € Т на А называется любой элемент из
Укажем без доказательства следующий результат (см. [10] для
доказательства).
254
3. Избранные темы
Предложение 3.8.2. Для любого т ? РТ семейство 1^{ТТ) ?-
предикатов типа т, рассматриваемое как семейство Ъ-подмно-
жеств А, имеет главную вычислимую А -нумерацию.
Предложение 3.8.2 — это частный случай более общего утвер-
утверждения.
Предложение 3.8.2'. Для любой /*-базы 03 над А семейство
¦Те @3) всех И-идеалов 03 имеет главную вычислимую А-нумера-
А-нумерацию.
Лемма 3.8.1 показывает, что S-предикаты типа (о —> В) есте-
естественно отождествляются с Е-подмножествами А (одноместными
S-предикатами на А). Введем следующие обозначения для т ? Т:
т1 ^ т, rn+1 ;=* (тп х т), п > 1, и, используя их, сформулируем
следующее обобщение леммы 3.8.1.
Лемма 3.8.2. Для любого п > 0 существует естественное
взаимно однозначное соответствие между Т,-предикатами типа
(оп —> В) и п-местными S-предикатами на А.
Е-предикаты типа ((оп -> В) -»• В) п > 1 можно рассма-
рассматривать как «Е-подмножества» множества Е„(Л)(~ ^(^о")). а
S-предикаты типа ((о" —> В)та —> В), п,т > 0, — как т-местные
«Е-предикаты» на Е„(А).
Рассмотрим S-предикаты типов ((о -> В) -> В) и ((о -> В) ->
(о —? В)), когда теория KPU имеет сигнатуру о\ (= @, ?)). Е-пре-
дикатам типа (@ -> В) -> В) в KPU-модели А соответствуют
некоторые подсемейства 5 семейства ?(А) всех S-подмножеств А.
Пусть 5 С
• Индексным множеством i(S) семейства S назовем множество
{а\ а ? А, {Ь | (а, Ь) е Qu} ? S} С А, где Qu — главный
универсальный Е-предикат, определенный в § 2.6.
Предложение 3.8.4 (ниже) дает две характеризации Е-предика-
тов типа ((о -» В) -> В). Для его доказательства понадобится
следующее утверждение, имеющее самостоятельный интерес.
Предложение 3.8.3. Отображение F: Е(А) -> Е(А) являет-
является ограничением некоторого Y,-onepamopa тогда и только тогда,
когда F — непрерывное отображение из Е(А) в Е(А) в силъ-
3.8. Х-предикаты конечных типов
255
ной топологии и существует Л-функция f:A—^A такая, что
F(Qu,a) = Quj(a) для всех а е А.
Доказательство. Необходимость установлена в § 2.6.
Используя свойство B) главного универсального Е-предиката
Qu (§ 2.6), можно найти Е-функцию g: A —? А такую, что для
любого а е А* а = Qu,9(a); тогда Qu,/ff(a) = F(a) для любого
a G А*. Следовательно, предикат
T*F ^ {(а,Ь) | a G A\b G F(a)} = {(а,Ь) \ а € А*,Ъ е Qu,fg{a)}
является S-предикатом и F* \ Е(А) = F. П
Предложение 3.8.4. Для семейства S С 'Е(А) следующие ут-
утверждения эквивалентны:
(а) 5 есть (соответствует) Т,-предикат типа ((о —> В) —> В);
(ЬM является открытым подмножеством пространства Т,(А)
в сильной топологии, и индексное множество i(A) является
И-подмножеством А;
(с) существует Л-формула Ф(Р+) сигнатуры О\ U (Р1) такая,
4moS = {Q\ Qe Е(Л), (А, Q) И Ф(Р)}.
Доказательство. Установим импликацию (а)=Ф-(с). Пусть / —
S-идеал F(FBt,Q52),Q52) такой, что
5 = {Q | Q С
Iz(F(n,<B2))),fi(lQ) = 2};
здесь « — отождествление Т,(А) и 7^(^B1,05о)) по лемме 3.8.1,
а // — непрерывное отображение из /s(.FBl, 052)) в /s(®2) =
{1,2} (// 6 C(/E(FBt,Q32)),/E(Q32))),соответствующееЕ-идеалу
/ /*-базы F(FBt, <82), ®2).
Пусть Ф — Е-формулатакая, что / = ФА [х]. Определим Е-фор-
мулу Ф(Р+) так:
3x3y{Vu е уР(и) Л Ф(х) Л (у х {1}, 1) € х).
Проверим, что 5 = {Q | Q е Е(Л),(А,<Э) N Ф(Р)}. Пусть
Q ? S. Тогда //(Q) = 2 = {0,1} и по определению отображения //
существуют с* ? I (с* е F(FBt,<82),!82) С (F(Sl,®a)x{0,l})*),
60 G FBl, <82)(С (^(Л) х {0, !})•) такие, что 60 G Iq и (Ьо, 1) е
256
3. Избранные темы
с*. Напомним (см. доказательство леммы 3.8.1), что Iq = ({(а, 0) |
аб4}и {(а, 1) | а ? Q})*. Пусть
Тогда 6i х {1} С Ъо и
<» 61 С Q
х{1}Лбх
х {1} е Iq,
в FB1,1B2). Из (Ьо,1) ? с*, последнего соотношения (и того, что
/ — Е-идеал F{F(% Q52), Q52)) вытекает, что {Fi x {1}, l)}Uc* ^
с*, с* ^ с* U {Fi х {1}, 1)} в F(F(a,«82),Q52). Следовательно,
так как с* € /. Если в качестве у взять 6Ь а в качестве х —
{(&i х {1}, 1)} U с*, то в (А, Q) будет истинна формула
Vu е уР(и) А Ф(з) Л (у х {1}, 1) ? х.
Включение С показано.
Пусть Q е Е(А) и (A,Q) t= Ф(Р), тогда существуют с* е I
(значениех) и &i (значениеу) такие, что &i С Q и Fi х {1}, 1) е с*.
Так как &i С Q, имеем &i х {1} е Iq. Следовательно, 1 € /i(Iq),
/i(Iq) — 2 и Q 6 5. Импликация (а)=^(с) установлена.
Установим импликацию (с)=Ф-(а). Пусть Ф(Р+) — Е-формула,
и Ф*(х) — Е-формула (сигнатуры оч), полученная из Ф(Р+) под-
подстановкой вместо предиката Р предиката (у ? х)[у] (Ф*(х) ^
По формуле Ф* определим Е-идеал / /'-базы F(FBl, Q52), ©2)
следующим образом:
/^ {с | 6 F(FBt,<82),<82),3t; б Л*(Ф*(г;)Лс ^ {(v x {1},
Легко проверить, что для а ? А*
fj(Ra) = 2 о А N Ф*(а) оо?5.
Покажем, что
5 = {Q | Q е Е(А),Эа е Л*(А N Ф*(а)),а С Q}.
3.8. Х-предикаты конечных типов
257
258
3. Избранные темы
Рассмотрим S-формулу Ф(Р+,а;) ^ Ф(Р+) Л х = 0. Связанный
с этой формулой S-оператор F* , очевидно, удовлетворяет условию
S = {Q | Q е Е(Л),Рф(<Э) = {0}}. Используя теорему 2.4.2,
получаем равенство
S = {Q\ QeJl(A),3aeA'(aeSAaCQ)}.
В силу непрерывности функции // для Q Е Е(.А) имеем
//(Яд) = 2 <* За е А'{а С Q Л //(Яв) = 2).
Таким образом, для Q 6 Е(Л)
= 2 «» F»(Q) = 1 & Q € 5.
Импликация (с)=>-(а) установлена.
Для завершения доказательства предложения 3.8.4 достаточно
установить эквивалентность (Ь)'О(с).
Установим импликацию (с)=Ф-(Ь). При доказательстве имплика-
импликации (с)=Ф-(а) определен Е-оператор F*: ЩА) -»2 С Е(Л) такой,
что 5 = F^l) = F~l(V{0}). Так как V{0y открыто, 5 также
открыто. Далее,
а е i(S) <*0€ F*(QU,O) #0€ 0«,/,(в),
где /* — S-функция, связанная с Е-оператором F$, как указано в
предложении 3.8.3. Остается заметить, что {о | 0 € <9u>/«(o)} есть
S-множество.
Установим импликацию (Ь)=Ф-(с). Пусть R ;=± {(о, 0) | а 6
гE)} — S-предикат; тогда существует (по свойству B) предиката-
<Э«, см. § 2.6) Е-функция /: А -^ А такая, что
(a,b)eR&(f(a),b)eQu
для любого а € А.
Определим отображение F: Е(Л) ->2С ЩА) так:
*± 1(= {0}), если В ^ 5,
^ 2(= {0, {0}}), если В 6 S.
Так как 5 открыто, F — непрерывное отображение. Легко также
проверить, что для определенной выше Е-функции / для любого
а ? А имеет место равенство
Тогда по предложению 3.8.3 F — ограничение на Е(Л) некоторого
S-оператора F*, т. е. F* имеет вид Ф*(х,Р+)[х][Р] для подходя-
подходящей S-формулы Ф*(х,Р+). Если положить Ф(Р+) ^ (Ф*)%, то
S = {Q | Q e EU),(A,Q) 1= Ф(Р+)}. Импликация (Ь)=»(с)
установлена. Предложение доказано. ?
Замечание 3.8.2. В классической рекурсивной теории (= вычи-
вычислимость на HF@)) известна теорема Майхилла— Шепердсона, из
которой следует, что если семейство 5 С Е(Л) таково, что i(S) —
Е-множество, то 5 является открытым в Е(Л).
Однако в общем случае это не так. Приведем пример из [7].
Пусть X — бесконечное множество (праэлементов), А ?=± HF(X)
• Е-подмножество В С А называется широким, если Х\В конеч-
конечно.
Пусть So — множество всех широких Е-подмножеств А. Спра-
Справедливы следующие два утверждения.
A) So не является открытым.
Утверждение справедливо, поскольку So не содержит конечных
множеств.
B) г (So) — S -подмножество А.
Утверждение следует из равенства
i(So) = {а | существует праэлемент х такой, что
х $ sp(a) к х Е Qu,a}-
Приведем описание Е-предикатов типа ((о —> В) —> (о —» В)) —
«преобразователей» Е-предикатов.
Предложение 3.8.5. Существует естественное взаимно одно-
однозначное соответствие между И-предикатами типа ((о -? В) ->
(о -> В)) и (одноместными) И-операторами.
Доказательство. Укажем лишь это соответствие. С любым
Е-идеалом / /'-базы F(F(a,®2),FBl, ©2)) связано непрерывное
отображение//: /?(FBt,Q32)) -»• /E(FBt,Q32)). По лемме 3.8.1
элементы из /e(FB1, B2)) имеют вид Rq, где Q ? Е(Л). Поэтому
3.9. Эффективные /-пространства
259
с // однозначно связано отображение jFj: Е(.А) —>
для любого Q ?
такое, что
= RF,(Q)-
Как и в доказательстве предложения 3.8.2, проверяется, что это ото-
отображение Fj есть ограничение некоторого E-onepaTopa.F/: V(A) —>
Г(А).
Наоборот, по любому Е-оператору F: Т{А) -»• Р(А) можно по-
построить Е-идеал If /"-базы F(FBL, В2), jFB1, ©2)) такой, что для
любого Q ? Е(Л) верно равенство fjF(RQ) = Rf(q)- D
3.9. Эффективные /-пространства
В этом заключительном параграфе построения предыдущего па-
параграфа будут расширены и проведены под другим углом зрения.
Введем в рассмотрение один из классов топологических прост-
пространств, которые хорошо себя зарекомендовали при определении и
изучении семантик для всевозможных языков программирования.
Здесь же укажем, как, используя вычислимость в допустимых мно-
множествах, строить эффективные версии этих пространств. Это пред-
представляется важным с точки зрения семантического программирова-
программирования, в основе которого лежит эффективная семантика.
Пусть X — топологическое пространство. Определим на X пред-
порядок специализации ^х Для хо,х\ ? X полагаем х0 ^х
xi ^ для любой открытой окрестности U точки xq элемент xi при-
принадлежит U.
Легко проверить, что отношение <* действительно является
предпорядком. Это отношение есть (частичный) порядок тогда и
только тогда, когда X является Го-пространством, т. е. удовлетво-
удовлетворяет слабейшей аксиоме отделимости:
для Хо ф х\ ? X существует открытое U С X такое, что
Xq ? U U Х\ $. U UAU Xq ^ U U Х\ ? U.
В дальнейшем все рассматриваемые топологические простран-
пространства предполагаются То-пространствами.
Для х ? X через t х обозначается множество {х' \ х' 6
Х,х ^х х'}. Элемент х ? X называется конечным (или ком-
260
3. Избранные темы
пактным), если множество t х является открытым подмножеством
X. Множество всех конечных элементов X обозначим через F(X).
• Топологическое пространство X называется /-пространством,
если система {f х \ х ? F(X)} открытых подмножеств X обра-
образует базис топологии X, т. е. выполнены следующие условия:
—для любого открытого U С X имеет место равенство U =
U{ts| х ? U П F(X)};
— для любых xo,xi ? F(x) либо t xqC\ t X\ = 0, либо суще-
существует x ? F(X) такой, что t xqC\ t x\ =t x.
/-Пространство Х называется fo-пространством, если в X име-
имеется наименьший элемент относительно порядка специализации
(этот элемент принадлежит тогда F(X)).
Пусть А — KPU-модель.
• Тройка 05 = {В, ^, L), L С В* х В, называется слабой f-базой
(короче, wf-базой) над А, если
1) В — S-подмножество А;
2) $; — Е-предпорядок на В,
обозначим через [В] фактор-множествЪ множества В по от-
отношению эквивалентности =, определенному предпорядком
$С (&о = h ^± bo ^ bi Ab\ ^ b0); через [b] обозначим эле-
элемент из [В] — класс эквивалентности элемента b ? В; если
С С В, то [С] = {[Ь] | b ? С}; сохраним обозначение $С для
порядка, индуцированного предпорядком sj на [В];
3) L — S-предикат на А такой, что F* ? В*, b ? В)
a) (Ъ*, Ъ) ? L ¦» 6* ф 0 Л Vc ? Ъ*(с ^ Ъ) Л Vd ? B(Vc ?
b*(c ^d)^b^d),
b) 0 ф b* ? В* и 3d ? BVc ? b*(c ^ d) => 36 ? B((b*,b) ?
L).
Пусть X — /-пространство.
• А-эффективизацией пространства X называется пара @5, v:
В -t F(B)), состоящая изwf-базы 23 = {В, $;, L) и А-нумерации
v: В —> F(B) множества /-элементов пространства X, такая,
что выполнены следующие условия:
3.9. Эффективные /-пространства
261
а) для любых bo,bi ? В имеет место эквивалентность &о ^
Ъ% <$ ub0 ^х vb\ (в частности, bo = bi <$ vb0 = vb\)\
Ь)для любых 0 фЬ* ? В*, х ? X, если Vc ? b* {ус ^х я), то
существует Ь ? В такой, что (Ь* ,Ь) ? L и vb 4-х х;
с) для любого х Е X множество Вх ;=* {Ь \ Ъ ? B,vb ^х я}
является Е-подмножеством А.
• А-эффективным пространством называется пара X = {X, @3,
v: В -> F(X))), гдеХ — /-пространство, E3, и: В ->• F(X)) —
А-эффективизация X.
Пусть 03 = (В, ^, L) — ш/-6аза.
• Непустое Е-подмножество С С. В называется Л-идеалом 03,
если выполнены следующие условия:
еС*=>зь&С((с*,ъ)
Следствие 3.9.1. Если X = (X, @3, v: В -> F(X))) — А-эффек-
тивное пространство, то для любого х € В множество Вх =
{6 | Ь ? В, vb sjx #} является Л-идеалом 53.
Замечание 3.9.1. Если X = (X, @3, v: В -> F(X))) — А-эффек
тивное пространство, то
Хо ^х Х\ <$ ВХо С ВХ1
для любых хо,х\ 6 X. В частности, 30=3!^ В10 = ВХ1.
Действительно, импликация =$¦ очевидна. Если ~'(а;о ^х ?i), то
существует открытое !/С1 такое, что Xq 6 [/ hii ^ С/. Пусть
элемент а; ? F(X) таков, что а; ? U и а: ^х ^о- Тогда для любого
элемента b е В такого, что ub = х, имеем b ? В1о, но 6 ^ ВХ1.
На множестве /е@3) всех Е-идеалов wf-базы 03 можно задать
структуру /-пространства, взяв в качестве базиса топологии семей-
семейство Ve, ^ {С | Се /Е@3),6 ? С}, Ь ? В. Отображение i/: Ь ->¦
/е, ^± {6' | 6' ? В, 6' ^ Ь}, 6 ? В, определяет А-нумерацию семей-
семейства F(/e@3)) всех конечных элементов этого пространства и пара
@3,1/: В —? F(/s@3))) является А-эффективизацией /-пространс-
/-пространства /е@3). Для соответствующего А-эффективного пространства
сохраним обозначение /е@3).
262
3. Избранные темы
Замечание 3.9.2. Аналог предложения 3.8.2' не справедлив в об-
общем случае, т. е. существуют w/-базы 03 такие, что семейство/е @3)
всех Е-идеалов не имеет главной вычислимой А-нумерации.
Если X = {X, @3,1/: В -> F(X))) — А-эффективное простран-
пространство, то отображение х —> Вх, х € X является гомеоморфным
вложением пространства X в пространство /е@3).
• А-зффективное пространство (X, @3, v: В -»• F(X))) называет-
называется полмам, если определенное выше вложение X в /б @3) явля-
является гомеоморфизмом на /е@3).
Хо = (Хо, (ОЗо, vo: Во -+ F(xo)>),
Пусть
суть А-зффективные пространства. Тогда для прямого произве-
произведения Хо х Х\ этих пространств можно построить естественную
А-эффективизацию следующим образом.
• Прямым произведением wf-баз ОЗо = (Аь^с-^о) и 03i =
Fi,^i, Li) называется wf-база, 03о х 03i ^ (Во х Bi,^.,L),
где
<ьо,г>1> ^ (ь^ь'х) ^ ь0 ^о ъ'о Ah ^! ь\
для всех Ьо, Ь'о ? Во и 61,61 ? Bi;
(с*, Fо,б!)> € L ^ 0 # с* € (Во X ВО* Л (р,с*,60) ? Lo
для всех с* ? (Во х Вг)*, 60 ? Во, 6Х 6 Вь
Рутинная проверка показывает, что 03о х 53i является wf-базой.
Предложение 3.9.1. А-нумерация v: BoxBi -? F(B0)
определенная так: v(bo,bi) = (^060,^161), 60 6 Во, 6i ? В1(
задает А-эффективизацию /-пространства Xq x Х\.
А-эффективное пространство {Хо х Xi, (ОЗо х 03i, v: Во х Bi -?
F(X0 х Xi)(= F{X0) x F(Xi)))> будем обозначать как Хо х ЭСь
Замечание 3.9.3. Если Хо и Х\ — полные А-эффективные (/0-)
пространства, то и Хо х Х\ — полное А-эффективное (/о-)простран-
ство.
3.9. Эффективные /-пространства
263
264
3. Избранные темы
Пусть
суть А-эффективные пространства и ц: Xq —> X\ — непрерывное
отображение. С отображением ц свяжем следующее подмножество
e Bo,bx
Замечание 3.9.4. Непрерывное отображение ц восстанавливает-
восстанавливается по множеству LM:
B0((b0,bi) 6
Хо.
• Непрерывное отображение ц: Хо —> Х\ называется А-вычисли-
мым отображением Хо в Х\, если LM — S-предикат на А.
Семейство всех А-вычислимых отображений из Хо в Х\ обозна-
обозначим через Са(Хо, Xi). При определенных условиях зто семейство
Ca(Xo,Xi) имеет естественно определенную структуру А-эффек-
тивного /-пространства.
Одним из естественных ограничений на Х\ является условие
быть /о-пространством.
Предложение 3.9.2. Пусть Хо — /-пространство, Xi — /0-
пространство. Тогда семейство С{Хо,Х\) всех непрерывных
отображений из Хо в Х\ в топологии поточечной сходимости
является /о-пространством.
Доказательство (набросок). Топология поточечной сходимости
определяется предбазисом множеств вида
(xo,U)
U — открытое подмножество Xi. Так как
ва, достаточно предбазиса множеств вида
<*о,*1> ^ {/ I /6
€ Щ, хо 6 Хо,
о и Х\ — /-пространст-
/-пространст! ^Х, /(ХО)},
хо G F(Xo), x\ & F(Xi). Тогда базисом топологии будут множе-
множества вида
х*о G F(X0), х\ Е F(Xi), i ? I, I конечно. Без труда проверяется,
что множество указанного вида является непустым тогда и только
тогда, когда выполнено следующее условие совместности:
v/oc/(f|
П
Необходимость проверяется непосредственно. Пусть выполнены
условия совместности. Построим отображение /: Хо —> Х\. Пусть
1,х0
для х ? Хо- Если 1Х = 0, то полагаем /(х) равным наименьшему
элементу пространства Xi относительно порядка ^Xi ¦ Напомним,
что Xi — /о-пространство! Если 1Х ф 0, то пусть х\ ? jP(Xi) та-
таков, что t х\ — Pi t х\ (существование такого xi следует из того,
что Pi t х\ ф 0, и того, что Xi — /-пространство). Полагаем
/(х) ^xi.
Без особого труда проверяется, что так построенное отображение
/ является непрерывным и что / 6 Vjtx0,xi ¦ Более того, / является
наименьшим элементом этого множества относительно порядка ^ ,
определенного на C(Xo,Xi) так: /0 ^ /\ ^ Var0 € Хо (/о(а;о)
Проверив, что этот порядок ^ является порядком специализа-
специализации для топологии поточечной сходимости в C(Xo,Xi), получаем
заключение предложения. ?
Для лучшего понимания дальнейших определений укажем явно
условия того, что /у ^ /у, где /у — наименьшая функция из
3.9. Эффективные /-пространства
265
266
3. Избранные темы
а /у — наименьшая функция из
где /, J конечны.
Тогда /v ^ /у & fv(xh) ^*i fv'(z0) ^пя любого i e I <&
для любого i е I, если Jj ?=± {j | у30 4:Х0 х0}, a zi e F(X{) таков,
что t ^1 = D{t J/i | j G Jt} {z\ — наименьший элемент Х\ в
случае Jj = 0), то x{ ^Xi Zi для любого i' ? I, если x'o' ^xa xo-
Для удобства работы с А-эффективизациями /0-пространств оп-
определим понятие w/o-базы.
• Тройка 2$о = (В, $) L0) называется wfo-базой, если
— (B,^.,L) является ш/-базой, где L ^ Lo\{0} x А, такой,
что ([В], $;) имеет наименьший элемент,
— @,6О) eLo-»boeBAV6
Замечание 3.9.5. Если (В, ^,L°) — w/o-база, то L° — Е-пре-
дикат на А; если {В, $;, L) — wf-бзза. такая, что {[В], ^) имеет наи-
наименьший элемент, то существует однозначно определенная w/o-база
{В, ^, L0) такая, что L = Lo\{0} x А.
Пусть «Во = (B0,^0,L0) — wf-база,, <8i = (Bb^i,L?> —
iw/o-база. Рассмотрим множество F(B0,Bi) С (Во х Bi)* всех
элементов с* С Во х Bi (с* е Л*) таких, что выполнено условие
(c)Vc с c*Cbo е во((р1с,Ъо) е U) -+ Эбх e Boi&ch) e Ц)).
и F(Bq,Bi) окажется S-подмножеством А, то будем говорить,
что условие (с) эффективно для пары (©о, 2$i).
Если условие (с) эффективно для (Q5o,Q5i), то можно опреде-
определить w/o-6a3yF(Q5o,55i) = (F(Bo,Bi),^.,L°), называемую функ-
функциональным произведением ОЗо, 2$ь следующим образом:
*± V60 e
Л Vd е
с ^3bi e ^^
bb) AVF'ON'1>
c,h) e
для
(с*,с) 6 L° ?± (Uc* e
Л (Uc* ^ с) Л (с ^ Uc*)
для с* е F(B0, Bi)*, с е F(Bo, 50.
Из определения видно, что отношение ^ является S-предикатом
на F(Bo, Bi), а множество L0 является S-подмножеством А. Для
понимания этих определений сделаем ряд замечаний. Условие (с)
для с* С [Во х Bi) соответствует условию совместности из до-
доказательства предложения 3.9.2. Более точно зто можно выразить
следующим образом. Пусть Xo = (Xo,(9Bo,v: Bq -? F(xo))) —
А-эффективноепространство, 3?i = (Xi, (Q5i, i>i: B\ -? F(Xi))) —
полное А-эффективное /о-пространство (тогда будем считать, что
Q3i — w/o-база). Пусть С С Во х В\ — Е-подмножество такое, что
С* С F(B0, В\),т. е. любое Л-конечное подмножество с* С С удо-
удовлетворяет условию (с). Построим отображение /?: Хо -t V{Bi),
полагая для xo G Хо
Гс{хо) И«>1 I
(Wo
с* С СЗЬ[ 6
'o 4ха *о) Л
Рутинная проверка показывает, что для любого хо G Xo fc(xo)
является Е-идеалом 55i, следовательно, можно считать, что /? есть
отображение из Хо в /e(Q5i). Так как X — полное А-эффективное
/о-пространство, /? индуцирует отображение /с: Хо —> Х\, кото-
которое, как нетрудно проверить, является А-вычислимым (непрерыв-
(непрерывным) отображением из Хо в Х\.
Множество C\(Xo,Xi), рассматриваемое как подпространство
/о-пространства C(Xq, X\), является /о-пространством, и если с* С
F(Bo,Bi), то соответствующая функция /с- будет конечным эле-
элементом этого /о-пространства Сх(Хо,Х\). Тем самым определено
отображение с* н> /с», с* G F(Bq,Bi) из F(Bq,Bi) в множество
конечных элементов /о-пространства Ca(Xq, Xi).
Предложение 3.9.3. При сделанных выше предположениях об
Хо и Xi, если условие (с) эффективно для пары E5o,©i), то
отображение с* ь* /с«, с* € F(B0,Bi) есть А-нумерация и се-
семейства F{C\{Xo,Xi)) и
является гмшодлс
fo-пространством.
Доказательство состоит из не сложной, но утомительной про-
проверки всех условий (полное доказательство см. в [11]). ?
3.9. Эффективные /-пространства
267
268
3. Избранные темы
В условиях предложения 3.9.3 А-эффективное пространство
®!),!/: F(Bo,B1) -
A) Имеет место эквивалентность: для с ? (Во х В\)*
обозначим через €.а(Хо,Х\).
Отметим без доказательства следующее интересное свойство пол-
полных А-зффективных /о-пространств.
Предложение 3.9.4. Пусть X = (X, (<Ви: В ->• F(X))) — пол-
полное А-эффективное fo-пространство, /: X —? X — А-эффек-
А-эффективное отображение (/ ? Са(Х,Х)). Тогда для f существу-
существует наименьшая (относительно порядка Sjx) неподвижная точ-
точка \if ? X. Если условие (с) эффективно для пары @5,05), то
отображение f ь> /и/, / ? Са(Х,Х) является К-вычислимым
отображением из Са(Х,Х) в X.
Для доказательства см. [11].
Укажем теперь ряд достаточных условий эффективности усло-
условия (с) для пары @5OH5i). Пусть 05 — wf-база,, через Cons@5)
обозначим множество {Ь* | Ь* ? В*,Ь* = 0 или 36 ? B({b*,b) ?
L)}. Отметим, что Cons@5) — Е-множество. Пусть N > 1 —
натуральное число.
• Будем говорить, что wf-база 05 удовлетворяет
условию A (TV)-Cons, если следующее множество является Е-
вом:
множеством:
BN\{{blt... ,bN) \bu...,bNe в,
условию Cons (AT), если для любого b* ? В*
Ь*е Cons@5) *> V6xG 6*...V6N ? b*({bu... ,
е Cons@5)};
Cons@5))
Лемма 3.9.1. Предположим, что wf-база 05o удовлетворяет
условию A(iV)-Cons, a wfo-база 05i — условию Cons(AT). Тогда
условие (с) эффективно для пары @5о, 05i) и wfo-база i^@5o, 05i)
удовлетворяет условию Cons(AT). Если, кроме того, 05i удовле-
удовлетворяет условию A(iV)-Cons, то jP@5o,05i) также удовлетво-
удовлетворяет условию A(AT)-Cons.
Доказательство будет следовать из приводимых ниже утвер-
утверждений A), B).
i Cons@50) V {b\,... ,Ъ?} ? Cons(»i)).
Импликация =>• очевидна. Пусть с ^ F(Bq, В\), тогда существу-
существует с' С с такой, что p,V ? Cons@50) и р*с' $ Cons@5i). Так
как 05i удовлетворяет условию Cons(AT), существуют b\,... ,6^
? р*гс' такие, что {Ь\,... , 6^} ^ Cons@5i), и, так как Ь\,... ,
6f ? p*d, существуют 6j,... , b? € Во такие, что FJ, &}),... ,
№,Ъ?) ? с'. Тогда {Ъ1,... ,Ъ$} С fid и, очевидно, pftf ?
Cons@5o) влечет {6о,...,Ь^} ? Cons@50). Следовательно,
правая часть ложна и эквивалентность установлена.
Ввиду условия A(AT)-Cons для 05о правая часть установленной
эквивалентности является S-условием. Следовательно, условие (с)
эффективно для пары @5о, 05i).
B) Справедливы эквивалентности
с* ? Cons(F@50,05i)) <*c*± Uc* ? F@5o,05i)
V{b},...,6f}?Cons@51))
Cons@50)
Из этихэквивалентностей следует условие Cons(AT) для ^@50,05!).
Если, кроме того, 05i удовлетворяет условию Д(А^)-Сопб, то
jP@5o,05i) удовлетворяет следующему условию (более сильному,
чем Д(АГ)-Сопб)
условие A-Cons:
F@50,05i)*\Cons(F@5o,05i)) — ^-множество.
Это легко следует из зквивалентностей:
с* ?F@50H5i)*\Cons(F@50H5i))^c^Uc* ^JF'(B0,B1)
\) € c...3F0w,bf> ? c({bl0,... X) е Cons@50)
дляс?^@5о,051)*.
3.9. Эффективные /-пространства
269
Лемма доказана.
?
Замечание 3.9.6. Если wf-базы ©о и Q5i удовлетворяют усло-
условию AGV)-Cons (Cons(TV)), то wf-база. Q50 x QSi также удовлетво-
удовлетворяет условию A(AT)-Cons (Cons(AT)).
Лемма 3.9.1 позволяет определить для каждой KPU-модели А
семейство частных Е-функционалов конечных типов. Введем поня-
понятие функционального типа FT (D PFT):
l)oeFT\PFT,o* ePFT,
2)ro,Ti 6 FT(PFT) => (ro x n) G FT(PFT),
3) r0 € FT.n € PFT => (t0 -> Ti) G PFT.
Для каждого функционального типа т определим полное А-эффек-
тивное пространство FT (так, что FT — /о-пространство, если т €
PFT) следующим образом:
=FT0 XFT], TcTlGFT,
= ?A(FT0,FT1), T0 e FT,n € PFT.
Остается определить лишь Fo и Fo.. Определим wf-базу Q5o как
тройку
(A,=,{({a},a)\ a
Тогда Е-идеалы этой wf-базы — это одноэлементные подмножества
А. Поэтому Fo ^± /s(©o) можно отождествить с множеством А с
дискретной топологией.
Определим iw/o-базу 03о* как тройку
где Vi(A) = {0, {а} | а <Е А}. Тогда элементы пространства
Fo* ^ -fs(®o*) будут множествами вида {0} и {0, {а}}, а ? А.
Легко проверить, что полные А-эффективные пространстваFo и
Fo* удовлетворяют условиям AB)-Cons и ConsB), поэтому опре-
определение
имеет смысл.
270
3. Избранные темы
Рассмотрим множество ?a(Fo,Fo-). Если / — (непрерывное)
отображение из А (= Fo) в V\ (А), то / определяет частичную функ-
функцию /*: 6f* -t А так:
Sr^{a\ aeA,f(a)?0}.
Если a G <J/«, то /*(а) = Ь для единственного Ь ? А такого, что
f(a) = {&}.
Нетрудно проверить, что / является А-вычислимым отображе-
отображением из Fo bFo. тогда и только тогда, когда /* является частич-
частичной Е-функцией. Таким образом, ?a(Fo,Fo. ) можно отождествить
с семейством всех одноместных частичных Е-функций. Так как
?a(Fo, Fo» ) можно отождествить с I^(F(?O, Fo«)), существование
допустимых множеств А, у которых нет универсальной частичной
Е-функции (см. § 2.4), показывает, что у семейства Е-идеалов w/o-ба-
зы F(Q5O,Q5O*) может не быть ни одной вычислимой А-нумерации.
Результаты § 3.8 показывают, что Е-предикаты конечных типов
образуют пространства с главными вычислимыми А-нумерациями.
Частичные Е-функционалы конечных типов образуют лишь полные
А-эффектйвные /-пространства (/0-пространства).
Можно расширить понятия wf-базы (w/o-базы) и полноты А-эф-
фективных /-пространств, если рассмотреть KPU-модель А вместе
с Е-допустимым семейством Т,+ (А) и всюду в определениях вместо
«Е-подмножество» говорить «подмножество из Е+(Л)». Все основ-
основные конструкции и их свойства сохранятся.
Приложение
Настоящее приложение содержит определения основных понятий,
связанных с исчислением предикатов и семантикой его языка.
Сигнатурой а языка исчисления предикатов называется пара,
состоящая из трех непересекающихся множеств ар, aF, ac и ото-
отображения fjt: ар U aF -? {1,2,...}. Если Ре/и ц(Р) = п,то
Р называется п-местным предикатным символом сигнатуры а.
Если / 6 aF и fi(f) = т, то / называется т-местным функцио-
функциональным символом. Элементы из ас называются константными
символами.
Отображение ц при задании сигнатуры часто не указывается, а
используется запись вида
а — \гг ,... ,гк ,/j ,... , js ,с\,... ,ct),
где верхние индексы являются значениями функции ц на соответ-
соответствующих символах.
Алгебраической системой (или просто системой) 21 сигнатуры
а называется пара, состоящая из непустого множества |21| (чаще А),
называемого основным множеством системы 21 и наборов преди-
предикатов Ра С А^р\ Р 6 ар, функций /а: Л"М -^Л./б/.и
элементов са, с 6 ас, называемых основными предикатами, опе-
операциями (функциями) и константами.
271
272
Приложение
Рассмотрим две системы
Я=(Л,Ри,...;/и...;си), В= (В,РВ,...;/»... ;св)
сигнатуры <т. Система 21 называется подсистемой системы 53 (обо-
(обозначается 21 ^ 05), если
(a) А С В,
(b) Л замкнуто относительно операций Z23 и / € aF,
(с)Ра =
се а
, Р
6 <7
F 0* =
Если 55 — подсистема сигнатуры <т и А — непустое подмноже-
подмножество множества В = |55| такое, что с® 6 Л для всех с ? ас и А
замкнуто /в, / € <rF, то существует (единственная) система 21 сиг-
сигнатуры а такая, что 21 ^ 55 и |21| = А. Эта подсистема обозначается
53 \А.
Определим понятие терма и формулы языка (исчисления преди-
предикатов) сигнатуры а. Пусть V = {xq, х\, ... , хп,... } — множество,
элементы которого будем называть переменными, не пересекающе-
пересекающееся с ар UaF Uac.
Множество Т„ термов сигнатуры а определяется по индукции:
—любая переменная х € V и любой константный символ с е ас
являются термом сигнатуры ст,
—если / 6 aF, т = fj,(f) и ti,... ,tm — термы сигнатуры а, то
(слово) f(t\,..., tm) — терм сигнатуры а.
Через FV(t) обозначим множество всех переменных входящих в
терм t.
Множество Fa формул сигнатуры а определяется по индукции
так:
если to i
ры <т,
Та, то (слово) to — ti является формулой сигнату-
сигнату— если Р 6 ар, п = р(Р) nti,...,tn — термы сигнатуры а, то
P(t\,... ,tn) — формула сигнатуры а,
—если Ф и Ф — формулы сигнатуры а, то (Ф Л Ф), (Ф V Ф),
(Ф -> Ф), ~"Ф — формулы сигнатуры <т,
Приложение
273
— если Ф — формула сигнатуры ст, х 6 V, то УяФ, ЗяФ — форму-
формулы сигнатуры ст.
Таким образом, термы и формулы сигнатуры ст являются слова-
словами в алфавите стр U aF U ac U V U {(,),,, Л, V, ->,~\ V, 3}.
Подслово формулы Ф, которое также является формулой, на-
называется подформулой. Формулы вида t\ = t2 и P(ti,... ,tn)
р ()
(Р 6 <т
п =
, где fi,<2, • • ¦ ) *п — термы, называются ато-
атомарными. Атомарные формулы, содержащие не более одного сиг-
сигнатурного символа, называются атомными.
Для каждой формулы Ф определим множество FV{$) свобод-
свободных переменных формулы Ф по индукции следующим образом:
— если Ф есть tx =*2,то?Т(Ф) ;=± FV(ti)UFV{t2), если Ф есть
l
—если Ф есть "Ф, то FV{$) ^
—если Ф есть (Ф1гФ2), т е {A,V,-*-}, то FV{$) ^ FV($i) U
—если Ф есть QxV, Q 6 {V, 3}, то ^У(Ф) =
Если 21 — алгебраическая система сигнатуры а, то отображение
7 множества ХСУвА называется интерпретацией переменных
множества X в А.
Если ? — терм сигнатуры ст и FV(t) С X, то индукцией можно
определить элемент f [7] из Л, называемый значением терма t в
системе 21 при интерпретации 7, так:
— если t = с е стс, то *и ^ си, если t = i6X,TO ^[7] ^ ч(х),
— если* = /(ti,... ,tro),/ест^,т
Если Ф — формула сигнатуры ст, то для любых системы 21 сигна-
сигнатуры ст и интерпретации у. X -+ A, FV{$) С Х(С V) индуктивно
определяется ситуация, когда имеет место соотношение 2t t= Ф[7]
формула Ф истинна в 21 при интерпретации 7 (если это отноше-
отношение не имеет места, то Ф ложна в 21 при интерпретации 7):
1)если Ф есть tx — t2, то 21 И Ф[7] тогда и только тогда, когда
274
Приложение
2)если Ф есть P(ti,... ,tn), то 2t t= Ф[7] тогда и только тогда,
к<ида<<?[7],...,#[7]>еРя,
3) если Ф есть "^Ф, то 2t t= Ф[7] тогда и только тогда, когда Ф ложна
в 21 при интерпретации 7>
4)если Ф есть (Фх Л Фг), то 2t t= Ф[7] тогда и только тогда, когда
5) если Ф есть (Фх V Фг), то 2t t= Ф[7] тогда и только тогда, когда
]
6) если Ф есть (Фх -^ Фг), то 21 И Ф[7] тогда и только тогда, когда
Фх ложна в 21 при интерпретации 7 или 21N Ф2[7],
7) если Ф есть ЗяФ, то 21 И Ф[7] тогда и только тогда, когда суще-
существует интерпретация 71: XU{x} -+ Атакая, ЧТ071 f \{}
}]
8) если Ф есть УхФ, то 21 ^ Ф[7] тогда и только тогда, когда для
любой интерпретации 7х: Хи{х} -> А такой, что 7х Г \{}
7 f ^\{а;}, имеет место 2t t= Ф[7х]-
Формула Ф сигнатуры а называется тождественно истинной,
если для любых алгебраической системы 21 сигнатуры ст и интер-
интерпретации 7: FV($) -> -А формула Ф истинна в 21 при этой интер-
интерпретации B1 И Ф[7])-
Исчисление предикатов ИПха сигнатуры ст (гильбертовского ти-
типа) задается следующей системой аксиом и правилами вывода.
• Аксиомы
2. (Ф -+ Ф) -> ((Ф
3. (Ф Л Ф) -> Ф.
4. (ФЛФ) -» Ф.
5. (Ф -> Ф) -+ ((Ф
6.Ф-> (ФУФ).
(Ф ^ X)) -> (Ф
(Ф ^ (Ф Л
8. (Ф Л X) -+ ((Ф
(Ф V Ф
Приложение
9.(Ф->
10. ~"Ф -
П.УхФ-
12. (Ф)? -
13.х = х.
14. х = у
• Правила
Ф,Ф-
1 Ф
Ф У
*)->(
>ф.
* (*)f •
-»• ЗхФ.
->((*)
вывода
->Ф
Ф
Ф
275
((ф -> ф)
(*);)•
>ф
В правилах 2, 3 переменная х не входит свободно в Ф.
Доказательством в ИП^ формулы Ф называется последова-
последовательность Фо, •.. , Фп формул (сигнатуры а) такая, что Ф„ = Ф и
для каждого i ^ n выполнено одно из следующих условий:
— Ф i есть аксиома ИП",
—существуют jo, ji < i такие, что Ф< получена из Ф^о и
правилу 1 или Ф{ получена из Ф^о по правилу 2 или 3.
по
Формула называется доказуемой в
ют доказательство в HII
, если для нее существу-
существуТеорема Гёделя о полноте. Формула Ф является доказуемой
тогда и только тогда, когда она тождественно истинна.
Доказательство см., например, в [23, 25].
Литература
(Основной список)
1. ADAMSON, A., Admissible sets and the saturation of structures,
Ann. Math. Logic, 14, No. 2, 111-157, 1978.
2. Adamson, A., Saturated structures, unions of chains and preser-
preservation theorems, Ann. Math. Logic, 18, No. 1,2, 67-96, 1980.
3. Ацел, П., Введение в теорию индуктивных определений,
Справочная книга по математической логике, Часть III, На-
Наука, 224-268, Москва, 1982.
4. Barwise, J., Admissible Sets and Structures, Springer-Verlag,
Berlin-Heidelberg-New York, 1975.
5. Вайцбнавичюс, Р. Ю., О главных нумерациях функциона-
функционалов над допустимыми множествами, Алгебра и логика, 29,
No. 4, 398-420, 1990.
6. Goncharov, S. S., Ershov, Yu. L., and Sviridenko, D. I.,
Semantic programming, Information Processing, 86, 1093-1100,
North-Holland, Amsterdam, 1986.
7. Дворников, С. Г. и Руднев, В. А., О теореме Раиса в до-
допустимых множествах, Восьмая Всесоюзная конференция по
мат. логике, Тезисы докладов, Москва, 56, 1986.
8. Ершов, Ю. Л., Теория нумераций, Наука, Москва, 1977.
9. Ершов, Ю. Л., Динамическая логика над допустимыми мно-
множествами, Докл. Акад. наук СССР, 273, No. 5,1045-1048,1983.
10. Ершов, Ю. Л., Е-предикаты конечных типов над допустимым
множеством, Алгебра и логика, 24, No. 5, 499-536, 1985.
277
278
Литература
11. Ершов, Ю. Л., Об /^-пространствах, Алгебра и логика, 25,
No. 5, 533-543, 1986.
12. Ершов, Ю. Л., Язык Е-выражений, Логические вопросы те-
теории типов данных (Вычислительные системы 114), 3-10,
Ин-т математики СО АН СССР, Новосибирск, 1986.
13. Ершов, Ю. Л., S-допустимые множества, Логические вопро-
вопросы теории типов данных (Вычислительные системы 114),
35-39, Ин-т математики СО АН СССР, Новосибирск, 1986.
14. Ершов, Ю. Л., Принцип Е-перечисления, Докл. Акад. наук
СССР, 270, No. 4, 786-788, 1983.
15. Ершов, Ю. Л., О порождаемое™ допустимых множеств, Ал-
Алгебра и логика, 26, No. 5, 571-596, 1987.
16. Ершов, Ю. Л., S-определимость в допустимых множествах,
Докл. Акад. наук СССР, 285, No. 4, 792-795, 1985.
17. Ершов, Ю. Л., Форсинг в допустимых множествах, Алгебра
и логика, 29, No. 6, 648-658, 1990.
18. Ершов, Ю. Л., Любое семейство подмножеств праэлемен-
тов порождает допустимое множество, Сиб. мат. эюурн., 30,
No. 6, 65-70, 1989.
19. Ершов, Ю. Л., Теорема Левенгейма-Скулема-Мальцева для
определимых моделей, Логические методы в информатике
(Вычислительные системы 148), 9-17, Ин-т математики СО
РАН, Новосибирск, 1993.
20. Ершов, Ю. Л., Определимость в наследственно конечных
надстройках, Докл. РАН, 340, No. 1, 12-14, 1995.
21. Руднев, В. А., Об универсальной рекурсивной функции на
допустимых множествах, Алгебра и логика, 25, No. 4, 425-435,
1986.
22. Руднев, В. А., О существовании неотделимой пары в рекур-
рекурсивной теории допустимых множеств, Алгебра и логика, 27,
No. 1, 48-56, 1988.
Литература
(Дополнительный список)
23. Барвайс, Дж., Введение в логику первого порядка, Справоч-
Справочная книга по математической логике, Часть I, 13-54, Наука,
Москва, 1982.
24. Ершов, Ю. Л., Проблемы разрешимости и конструктивные
модели, Наука, Москва, 1980.
25. Ершов, Ю. Л. и Палютин, Е. А., Математическая логика,
Наука, Москва, 1987.
26. Harel, D., First-order Dynamic Logic, Lecture Notes in Comput.
Sci., 68, Springer-Verlag, Berlin, 1979.
27. Gordon, C, Comparisons between some generalizations of recur-
recursion theory, Compositio Math., 22, 333-346, 1970.
28. Кейслер Г., Чэн Ч. Ч. Теория моделей, Мир, Москва, 1977.
29. Кейслер, X. Дж., Основы теории моделей, Справочная книга
по математической логике, Часть I, 55-108, Наука, Москва,
1982.
30. Moschovakis, Y. N., Abstract first order computability I, Trans.
Amer. Math. Soc, 138, 427-464, 1969.
31. Перетятькин, М. Г., Сильно конструктивные модели и ну-
нумерации булевой алгебры рекурсивных множеств, Алгебра и
логика, 10, No. 5, 535-557, 1971.
32. Sacks, G. E., Higher Recursion Theory, Springer-Verlag, Berlin-
Heidelberg, 1990.
279
282
Предметный указатель
Предметный указатель
Аксиома
объединения 87
пары 87
пустого множества 87
экстенсиональности 87
аксиомы 13, 274
аксиомы DL 240
Вычислимость 75
Ганди теорема 37, 39, 103, 223
Гёделевская нумерация 119
Гёделя теорема
о неполноте 62, 69
о полноте 275
Доказательство 275
Замыкание транзитивное 75,92,
114
Идеал главный 249
интерпретация
переменных 273
свободных 235
Квазирезольвента 201
композиция 243
конструктивизация 213
Лемма об усечении 136
логика динамическая 233
Множества Д-неотделимые 60
множество
G-плотное 181
А-квазиконечное 201
генерическое 181
допустимое 95, 159, 200
индексное 254
281
индуктивное 84
квазирезольвентное 201
локально рефлексивное 161
наследственно конечное 75,88
основное 271
простое 169
резольвентное 157
чистое 116
модель
KPU,, 88
достаточно насыщенная. 195
резольвентная 158
Нумерация
вычислимая 150
гёделевская 119
Оператор
слабо непрерывный 101
операция * 244
ординал 80, 92
предельный 94
отношение
вынуждения 177
экстенсиональное 140
отображение А-вычислимое 263
Пара упорядоченная 81
переменная 272
подмножество
Л-конечное 90
тг-однородное 228
простое 228
подсистема 272
подформула 273
правила
вывода 13, 275
вывода DL 241
праэлемент 87
предикат
(т-формульный 14
главный универсальный 126
предпорядок специализации 259
принцип
Д-выделения 223
Е-ограниченности 12
Е-параметризации 26
Е-рефлексии 10
Е+-ограниченности 10
совместности 115
присваивание 243
проблема порождения 159
программирование логическое
245
произведение
прямое 247, 262
функциональное 248, 265
пространство
Е-идеалов 249
А-эффективное 261
Размерность 229
ранг 76
расширение концевое 3
резольвента 158
рекурсия 243
Семейство
Е-допустимое 227
Е-идеалов 249
сигнатура 271
символ
константный 271
предикатный 271
функциональный 271
система 271
Е-определимая 190
А-конструктивизируемая 189
А-конструктивная 189
Предметный указатель
локально конструктивизируе-
мая217
ограниченная 9
определимая 189
рекурсивно насыщенная 104
следствие 5
семантическое 5
схема
аксиом До-выделения 88
аксиом До-ограниченности 88
аксиом фундированное™ 88
Теорема
о неподвижной точке 126
об униформизации 128
теория 61
вычислимости 75
неразрешимая
наследственно 61
непротиворечивая 61
полная 61
простая 207
разрешимая 61
регулярная 201
терм 272
топология
сильная 101
слабая 101
Уплощение 171
Формула 272
атомарная 273
атомная 273
доказуемая 275
истинная тождественно 274
истинная 273
ложная 273
формулы
21-эквивалентные 6
эквивалентные
283
284
Предмеи
семантически 6
функция
(Т-формульная 15
конечная 82
носителя 116
подстановочная 165
ранга 116
характеристическая 35
частичная 118
Чёрча теорема 61
Элемент
тг-простой 230
компактный 259
конечный 259
конструируемый 155
До-формула 2, 219
Дп -формула 52
Д-предикат 18, 190
До-параметризация 95
Д^-предикат 188
Е-подмножество широкое 258
Е-формула тг-специальная 220
Е-идеал 261
Е-оператор 102,147
Е-отображение
непрерывное 252
Е-предикат 18
типа т 6 Т 253
Е-рекурсия по ТС 115
Е-формулы 2
Е-функция 18
частичная 28
Е+-подмножество 225
Е+-предикат 225
Е+-формула 219
Ei-расширение 136
Ei-формула 136
Е«-множество 148
Е„-предикат 188
Е„-формулы 52
ро-сводимость 150
'w-спектр 210
конструктивизируемый 213
/-база 247
слабая 260
/-пространство 260
/'-база 248
/о-пространство 260
т-сводимость 143
тЕ-перечислимость 145
тпЕ-сводимость 143
тЕ-скачок 147
тЕ-степень 144
ртпЕ-цилиндрификация 146
и;/-база 260
ш/о-база 265
А-конструктивизация 189
А-нумерация 150
А-эффективизация 260
А-эффективное пространство
полное 262
КРи+-теория 220
RQ-формулы 1
286
Обозначения
А*
Ca(X
F(A)
S(A)
WFA
с
I.
Обозначения
90
263
172
248
54
249
154
152
152
144
152
152
87
135
29
144
29
32
Pi
Pt
Pt
P*t
r
CovA
?tF
Funct
Ord
Ord(A)
HIT7
Sen
Sub
T
TC
Trans
Trs
81
81
81
81
29
159
54
82
92
92
1
54
54
253
75
80
44
41
ch
rnk
sg
sg
sp
TT
V(S)
HF(a)
HC
Hx
г
хк
SCF
7»
0(А)
О(ЗЛ)
п
и
= S
285
131
116
40
40
116
253
76
88
133
88
89
89
157
32
23
6
99
13
118
150
148
41
76
144
95
157
81
• 80
90
90
6
6
143
259
149
60
3
143
145
145
136
5
5
145
144
178
Научное издание
СИБИРСКАЯ ШКОЛА АЛГЕБРЫ И ЛОГИКИ
академик Ершов Юрий Леонидович
ОПРЕДЕЛИМОСТЬ И ВЫЧИСЛИМОСТЬ
Издание подготовлено в A\z^S-WT^i
с использованием кириллических
шрифтов семейства LH
НАУЧНАЯ КНИГА
НИИ математико-информационных основ обучения
Новосибирского государственного университета
Заведующий академик МАН ВШ С. С. Гончаров
Главный редактор к.ф.-м.н. Т. Н. Рожковская
Ведущий программист к. ф.-м. н. С. Г. Дворников
Литературный редактор Н. А. Кубанова
Компьютерная графика и обложка Н. А. Рожковская
Подписано в печать 28.03.96. Формат 60x901/ie- Печать офсетная. Бумага
офсетная. Усл. печ. л. 20. Уч.-изд. л. 18. Тираж 1 000 экз. Заказ 101.
Лицензия ЛР № 020853 от 31.01.94 г.
Издательство НИИ МИОО, 630090, Новосибирск, Пирогова, 2
Отпечатано по заказу НИИ МИОО (НГУ)
АОЗТ «Февраль», 630058, Новосибирск, Русская, 43
СИБИРСКАЯ ШКОЛА АЛГЕБРЫ И ЛОГИКИ
1996 г. 1-е полугодие
Юрий Л. Ершов Определимость и вычислимость
Валерий М. Копытов, Николай Я. Медведев Правоупорядоченные группы
1996 г. П-е полугодие
Сергей С. Гончаров Счетные булевы алгебры и разрешимость
Михаил Г. Перетятькив Конечно аксиоматизируемые теории
на русском языке
Ориентировочная цена тома серии в 1996 г. — 25 тыс. рублей
В пределах России книги высылаются наложенным платежом
Принимаются предварительные заявки и подписка на серию
Россия, 630090, ул. Пирогова 2, НИИ МИОО (НГУ), Научная книга
Телефоны: C832) 397299, C832) 397682 Факс: C832) 357808
E-mail: sales@books.nsu.ru
на английском языке
Заказы на книги серии следует направлять
в Plenum Publishing Corporation
Plenum Publishing Corporation, 233 Spring St., New York, N.Y. 10013-1578.
http://www.plenum.com gopher://plenum.titlenet.com: 6200
E-mail: books@plenum.com