/
Текст
.И.
МАКЛЮКОВ
ИНЖЕНЕ НЫЙ
СИНТЕЗ
АКТИВНЫХ
RС-Фильт·ров
низких
И ИНФРАНИЗКИХ
ЧАСТОТ
~ •ЭНЕРГИЯ•
f/1.WOIJJJ./}
ПО IРАД&,18
(/ЩPOH\\JJ.
•·
jl ,,.. .,
; ;......',. ..... ·'·'-
,·
:-
;
·'
t
;
>
•
62,/,3-1•
• БИ БЛИОТЕКА ПО РАДИОЭЛЕКТРОНИК :t1 JS~
-
----
--0
Выпуск 32
М. И. МАКЛЮКОВ
ИНЖЕНЕРНЫЙ СИНТЕЗ
АКТИВНЫХ RС-ФИЛЬТРОВ
НИЗКИХ И ИНФРАНИЗКИХ
ЧАСТОТ
,..,,. .,~ -
··~ -- ~,.
F~~~~~:~.,~~~::~1 ~
'/,,,.~
'. ·.
'\)
'•
.
,'
~~----=»е..-=-•=~=-=в-
--••• •
•.
.
.
.
,
'
~
«ЭНЕРГИЯ»
МОСКВА 1971
~
.
'
6Ф2
М15
УДК: 621.372.542.2
Маклюков М. И.
М 15 Инженерный синтез ~ктивных RС-фильтров низ-
ких и инфранизких частот. М., «Энергия», 1971 г.
(Б-ка по радиоэлектронике. Вып. 32).
184с.сил.
К:ннга посвящена вопросам инженерного расчета и проектирования
активных RС - фильтров низких и инфранизких частот методами синтеза
фильтров по заданным частотным характеристикам. В основу расчетов
положены аппроксимации идеальных амплитудно-частотных характери- •
стик фильтров полиномами Баттерворта, Чебышева и Лежандра. Основ
ное внимание уделцется м~тодцке _рас.чета по заданной избирательности
с обеспечением - стабильности характеристик.
К:нига предназначена для широкого круга рнженерно -технических
работников, занимающихся вопросами спектрального анализа и селек
ции низкочастотных сигналов, а также для - студентов вузов.
3-4 -1
291-71
Михаи л Ил ьи 11 Ма.клюков
6Ф2
\1111111111 p11 1,1n 1· 1111те~ 11кт1щ111,1х ✓~С-ф11J11;1·1100 низ ких и инфранизких:
•111 с·,·01·
P1•1 t111t•ro p Л . В. Корсаков
P 1•1 tt1 1<·1•o p 11 зда 1· ельства В. А. Солдатенков
Корректор Г. Г. Желтова
Технический редактор М. П. Осипова
Сдано n набор 24/V 1971 г.
Форма:r 84Х108 1 /зо
Усл, печ. л. 9, 66
Тираж 8 ООО экз.
Подписано к печати 20/Х 1971 г.
Т-16827
Бумага типографская No 2
Уч . -изд. л. 10,2
Цена 51 коп.
Зак. 200
Издательство .Энергия•. Москва, М-114, 1I1люзовая наб., 10.
Московская типография No 10 Главполиграфпрома
К:омитета по печати при Совете Министров СССР.
Шлюзовая наб., 10.
(
Введение
8-1 . Общие сведения об активных RС-фильтрах
Вопросы теории расчета и конструирования активных
RС-фил•ьтров в настоящее время привлекают внимание
ши рокого круга разработчиков радиоэлектронной аппа
ра туры. Это обусловлено тем, что во многих областях
н ауки и техники (радиотехника, акустика, различные от
ра сли машиностроения, сейомография и океанография,
м едицина и т. д. ) исследуются процессы, имеющие спек
тры в диапазоне низких и инфранизких частот.
При проведении исследовани.й часто возникает необ
х одимость в различного рода частотной селекции сигна
л ов, осуществляемой электрическими фильтрами.
Индуктивно-емкостные фильтры неприменимы в диа
пазоне инфранизких частот вследствие низкой избира
тельности, неприемлемых габаритов и веса, подвержен
ности воздействию магнитных полей .
. Пассивные
RС-фильтры имеют малые габариты и
в диапазоне низких частот, но для обеспечения доста-
' точно высокой избирательности требуют большого числа
элементов и громоздких •схемных струкrур. Кроме того,
для них характерно большое затухание · в полосе пропу
tкания.
Объединение пассивных RС-цепей с электронными
устройствами образует активные RС-фильтры, в которых
обеспечивается высокая избирательность при достаточно
малых весе и габаритах. Они, кроме того, в настоящее
время являются единственным классом электрических
фильтров, имеющих высокую избирательность в диапа
зоне инфранизких частот.
Первые работы по активным RС-фильтрам появились
в конце 40-х годов. Одна из них 1[Л. 1] рассматривает
фи льтры верхних и нижних частот, в которых требуемые
а м п л итудно - частотные характеристики (АЧХ) реализу-
3
ют,ся путем включения iRC-cxeм в цепь отрицательной
обратной связи. Хотя фильтры (Л. 1) несовершенны по
избирательности и схемному исполнению, данный прин
цип ,построения активных фильтров получил развитие
в l[Л . 2-4 и др.], где выполнен более точный анализ схем,
получены расчетные зависимости и внесен ряд схемных
усовершенствований.
В процес.се поиска ,средств повышения избирательно
сти однозвенных фильтров в цепях обратной связи ста
ли применяться более ,сложные RС-схемы. Так, напри
мер, в {Л. 5-7] рассматриваются RС-схемы типа двой
ных Т-мостов и их схемные преобразования для построе
ния фильтров различных типов. Путем добавления
к двойному Т-мосту интегрирующей цепочки RoCo полу
чают фильтр нижних частот (ФНЧ), которым можно
регулировать ,наклон АЧХ изменением •величины ,рези
стора iRo.
Большое значение для развития схемотехнюш актив
ных RС-фильтров имела работа [Л. 8J, посвященная во
просам практических методов их разработки. В ней рас
смотрены ,схем ы звеньев различных типов, позволяющие
·выполнить фильтры всех видов. IB звеньях в качестве
активных элементов применяются усилители напряже
ния, nзаи.мо)I й твую11(и с RC-1\ пями ,с помощью отри-
1 и1т JIЫI й и,,тн но.пож 1·1т J1 ы 1 i:1 об ратных связей. В пo
(',1 1<') \II C'M
, c- . 11 y 1i;1< 1 1r c 110 J 11 1:1yютcrr относительн о простые и
<"1·11)11 ,111 ,111,1(1 yt· 11 ,1111 '1'('.1 11 r ) :1 1101 1о рот а фазы ,с близкими
1< ('J\11111111,(1 1io')!j)I/J111\11 <111•1•11м 11 11 р N1 11и типа катодных или
1~111 '1"1'(' 1)111 ,I X 1101\ 'l'()P ll 'l'('./ 1 11'1.
•
111,11 . !) 11 11 J\P -111р о:1н с1J1нз нрованы схемы фильтров
11 11 1<11'1'()J\11t,1 x 11 п 11·1·орн ·1· .пях, изложена методика их ра,с-
11(1'1'11 11 11рнn J\CJJЫ АЧХ .
.В боль шИJ·Iстве работ вопросы построения и расчета
активных 1RС-фильтров излагались с позиIJ,ий анализа
предложенных схем. Существенным недостатком . такого
подхода к решению задачи является несовершенство ме
тодики расчета фильтров, которая не позволяет ,спр оек
тировать фильтр по заданной характеристике и при бли
зить число его элементов к минимально возможном у .
Эти задачи решаются методами ,синтеза.
Синтез любой электрической цепи начинает,ся с лред
·ставления харан,:теристики, заданной для этой цепи , n ви
де некоторой функции независимого переменного и про
·извальных параметров , удовлетворяющей условиям фи- '
4
зической реализуемости . При синтезе фильтров исходной
функцией является АЧХ, имеющая в идеальном случае
постоянный коэффициент передачи в пол'осе пропускания
и равнь~й нулю в полосе задерживания. Так как функ- '
ция такого вида физически не реализуема, необходимо
ее аппрок,симировать. Нахождение функций, · прибли
жающихся •С заданной точностью к идеальной и отве 0
чающих требованиям физической реализуемости, яв
ляется первой задачей синтеза, решаемой методами при
ближения функций.
Одной из первых в синтезе фильтров стала приме
няться аппроксимация полиномами Баттерворта, обес
печивающая максимально плоские АЧХ фильтров. Наи
большую точность приближения она _имеет в окрестно
сти нуля, а при подходе к границе полосы пропуокания
возрастает и становится наибольшей на частоте среза.
Наиболее совершенны виды аппроксимаций, основан
ные н;:~ приближениях . по Чебышеву. Число элементов
цепей, синтезируемых на их основе, близко к минималь
но возможному, поэтому функции с чебышевскими свой
ствами играют большую роль в ,синтезе фильтров.
Решение аппроксимационных задач, разрабатывае
мых на протяжении довольно длительного времени, по
зволяли ,синтезировать фильтры с заданными частотны
ми и временньrми характеристиками.
.
1В настоящее время большое внимание уделяется раз
работке оптимальных методов синтеза электрических це
пей, с помощью которых удается проектировать цепи,
наилучшие в смысле заранее определенного критерия.
Оптимальные методы синтеза используют широкие воз
можности современной !ВЫчислительной техники, и
следует ожидать, что они в недалеком будущем станут
рабочим инструментом инженера fЛ. 53J.
Второй этап синтеза • состоит в нахождении схемы
фильтра и расчета ее элементов. Для этой задачи харак
терна неоднозначность решения, так как физически реа
лизуемой функции " соответствует множество схем. Для
активных RС-фильтров структура схемы и подход ' к ее
расчету в значите_льной мере определяются видом ак
тивного элемента. При выборе его разработчик может
руководствоваться самыми разнообразными критериями :
весом, габаритами, ча,стотным и динамическим диапа
зонами, чувствительностью . к дестабилизирующим фак
торам, технологичностью и т . д. Поэт о м·у этап реализа•
5
ции в синтезе активных RС-фильтров включает целый
комплекс инженерных задач.
Большой интерес к развитию методов реализации ап
проксимирующих функций активными RС-цепями вы
звал появление значительного количества работ, многие
из которых {Л. 18-22 и др.J стали ,классическими. Но,
несмотря на это, ряд вопросов расчета и конструирова
ния активных RС -фи льтров низких и инфранизких ча
стот нуждается в систематизации и методологическом
развитии; в предлагаемой работе этим вопросам уделено •
основное внимание.
В-2. Основные характеристики фильтров и требования,
предъявляемые к ним
Электрическим фильтром называется линейный четы
рех полюсник, предназначенный для выделения из слож
н о го кол е бания частотных составляющих , расположен
Н1, I х n зад анной области частот, и подавления частотных .
<'OC'Tr1 I1JI пю щ их , р ас положенных в другой, также задан-
1 1оi'1 ofi.11,1 "г Ir частот.
0(· 11 011 111 ,1 м 11 x;ipa rп ри стика ми любого фильтра явля-
1111I·1I 110.II,н·I,I 11ро11усI«1I1111I н 3/1. ржи13ания, т. е. те обла
I·III 11111"1',1 1·, 11 Iio'I·opI,Ix 1Ipo11:moJI,нт·si nI)щ Jreюrc и подав
,111•III II· I' 11( ' I 1I 11,/f\ lf ()l ll,IIX 1(() ,/1(' );\ 1111 51. М жду IIИMH JI С ЖИТ так
11 ,111,111111 ·~1 1111 111 • I н·хII;(11 1I11 110.110(', 1, 11 11р 'Jl •,11ах 1<оторой за
I \1\ ,11I111• 11111 ,111 ,1'1)11 llt>:l i) ll("l'llt''I' ОТ ЗflcJtl llИi\ ДОПУСТИМЫХ
11 1111,111>t·t• 11 po II yc I<n1111 1I, JlO тр бусмых в полосе задержи-
111 1111I 11.
в ав нс и мост и от в з аимного расположения полос
пр опу с ка ния и заде рживания различают следующие ти
пы фильтро в :
фильтры ,нижних частот (ФНЧ);
фи л ьтры верхних частот (ФВЧ);
полосовые фильтры (ПФ);
заграждающие фильтры (ЗФ).
Рас-смотрим более подробно параметры фильтров, оп
ределяющие их характеристики и служащие исходными
данными лри расч ете. На рис. В-1 представл,ен общий
вид амплитудно-частотных хара 1<теристик ФНЧ, ФВЧ и
ПФ.
-
Для большей общности данных характеристик коэф
фициенты передачи в них нормированы до единицы. Нор
мализация АЧХ для ФНЧ произведена относительно ко- ·
6
v
эффициента передачи на нулевой частоте Wн(О), для
ФВЧ - относит,ельно коэффициента передачи на беоко
нечно большой частоте Wв ( оо), а для ПФ - относитель
но коэффициента передачи на средней частоте полосы
пропускания f с, WпCfc). Основными параметрами, харак
теризующими фильтры, являются:
частоты среза;
допустимые амплитудно-частотные искажения, или
величина неравномерности АЧХ в полоое пропускания;
частотная избирательность.
Рис. 1B- 'l . Общий вид АЧХ, ФНЧ, ФВЧ и ПФ.
Частоты среза находятся на границе ·полос пропуска
ния и пер еходной. Они определяют ширину полос про
пускания фильтров, которая для ФНЧ заключена между
О и {1, • в ФВЧ расположена
меж.дуf-1иоо,авПФ-
между нижней и верхней частотами ,ср,еза.
Полос·а пропускания ПФ определяется также средней
частотой fс, которая связана с частотами среза зависи
мостью
J=Vfif-1·
Величина неравномерности АЧХ в полосе пропуска
ния определяется допустимыми ампли_тудно-ч_ астотными
искажениями и с учетом нормализации частотных ха
рактер1Iстик выражается следующим образом:
для ФНЧ d1 = 1Wн(f1);
для ФВЧ ,d-1 = 1Wв U-1);
для ПФ dп = Wп(if1) = WпU-1).
При этом считаем, что величина неравномерности
АЧХ внутри полосы пропускания должна быть равна или
меньше величинь~ d1, о пре деленной для ее границы.
Неравномерность АЧХ, выраженная в децибелах, оп
ределяется как а1 = 20 lg W (f1, f-1).
7
Мерой •частотной и.збирательности фильтров служат
ширина переходной полосы частотн0й характеристики и
величина затухания dз, • вносим ал фильтром на частоте
fз, являющейся щ~чалом ·полосы задерживания.
Ширину переходной полосы удобно характеризовать
нормированной ча:стото.й задерживания 1Qз=fз/fc. !Вели
чина ослабления d3 определяется значением коэффици
~нта •~:rередачи фильтра на частоте затухаr1ия, т. е. d3 =
= W (f з). Затухание в полосе задерживания определяет
ся как dз=201g W({з) и измеряется в децибелах.
В большинстве случаев поведение частотной харак
теристики вне полосы пропускания фильтра не норми
руется, поэтому избирательность таких фильтров доста
точно полно определяется величинами ,Q·3 и ,d3 . В тех
случаях, когда ·важен более точный контроль частотной
характеристики вне полосы пропускания, вводится не
сколько промежуточных значений Q·з и соответствующие
им величины затухания.
В качестве меры избирательности полосовых филь
тров применяется также коэффициент прямоугольности
Кп, позволяющий оценить степень приближения формы
АЧХ к идеальной (прямоугольной).
,коэффициент прямоугольности равен отношению по
лосы ,пропускания фильтра, отсчитанной на уровне тре
бу е мо.го за туханип в полосе задерж•ивания, к полосе про
пуск анип, от считанной н а уровне заданной неравномер
rюсти АЧХ, т. е .
к дF•
.
ndз=дFп,
где 1ЛJf3 -полоса пропус-кания фильтра на уровне dз;
Лfп - полоса пропускания фильтр'а на уровне dп.
Индекс dз обозначает уровень затухания; для катара
-
го определен . коэффициент прямоуг(?льности .
. Очеви дно,
что в -случае идеального • фильтра Кп= 1;
для реальщ,1х_ фильтров он всегда больше -единицы.
Таким образом, избирательнос-~:ь полосовых фильтров
достаточно полно характеризуется · Кп. При нормирова
нии ча-стотной характерисrики ПФ вне полосы пропуска
ния задается несколько значений . · Кп для различных
уровней затухания.
Фильтры классифицируются не только по взаимному
расположению полос пропуокания и задерживания, но и
по виду и порядку аппроксимирующих функций, исполь-
8
зуемых ,при их синтезе . При данном способе классифи
кации в основу кладется порядок аппроксимирующих
функций, содерщащих решение задачи синтеза требуе
мqго фильтра . Чем выше 'порядок аппроксимирующих
функций, тем большее затухание достигается 13 . nолосе
задерживания при заданных требованиях к неравномер
ности частотных характеристик в полосе пропускания.
Фильтр обычно называют по аппроксимирующему
полиному - баттервортовским, чебышевским и т . п.
Требования к фильтрам определяются характером
решаемых задач. Основными задачами час,тотной селек
ции с1игналов, решаемыми с помощью фильтров, явля
ются спектральный анализ колебаний, частотное разде
ление измеряемых па1раметров, выделение наиболее ин
формативных участков спектра исследуемых процессов,
защита -сигналов от помех и т. п. Каждая задача имеет
свои специфические особенности, в соответствии с кото
рыми определяются требования ·к характер'истикам филь
тров. В настоящее время определилась тенденция к -стан- .
дартизации требований, предъявляемых · к фильтрам
определенного типр. С этой целью Международная элек
тротехническая комиссия (МЭК) и Постоянная комиссия
по -стандартизации СЭВ разработат1 рекомендации на
метрологические характеристики фильтров, предназна
ченных для анализа звука и вибраций [Л. 40]. В резуль
тате этого нормализуется форма kЧХ фильтров. а часто
ты •среза приводятся к единой шкале. При этом полосо
вые фильтры разбиваются на три группы :
октавные фильтры, для которых справедливы зависи
мости:
полуоктавные фильтры, для которых справедливы следую
щие соот_ношения между частотами fс, f1 , f __1 :
9
и третьоктавные фильтры - зависимость между fс, f1, f--1
для них определяется соотношениями:
V-
з;-
fс= fif-1; f1=v 2f _1;
f- 1 = [с_ =0,8909fс; f1 = fc }/2= 1, 1225fс•
-р-2
Очевидно, что при заданной полосе пропускания
фильтра его частоты -среза однозначно определяются че
рез значение -средней частоты, поэтому стандарти зация
частот настройки фильтров производится относительно
fc. Шкала стандартных значений fc (табл. 1) приво дит
ся в [Л. 40] только для звукового диапазона, но она мо
жет быть продолжена в сторону инфразвуковьiх частот
путем умножения fс на ·соответствующие масштабные
коэффициенты.
Таблица 1
Шкала стандартных значений средних частот октавных,
полу- и третьоктавных полосовых филыпров
Относительная
Относительная
Относит ельная
1lнсто-
поJюса пропус1<а-
Часто-
поJ,оса пропуска-
Часто-
полоса проп ус-
1111н октавы
ния октавы
кания Ш<Тавы
'1'11, 1•1,
та, гц
та, гц
11 '/'
'/з
11'/,1
'/з
11 '/' 11/з
11,
ххх
х
х
111
х
'
111
,,<
х
ххх
11
1
х
х 111
X IOO
",
х
ххх
х
1'11
х
,1 1,1,
х
х
х
:11,' 11
х
,/()
х
х
ххх
1j /j
х
r.u
х
ххх
х
56
х
63ххх
х
х
71
х
80
х Х!О
хх100ххх
90
х
100
х
ххх
х
112
х
125ххх
х
х
160
х
х
ххх
АЧХ фильтров определяются несколькими точками
в полосе з а д ер ж и в ания, координаты которых заданы ча
стотами, нормированными относительно f с, и соответст
вующими величинами затуханий (табл . 2).
10
Таблица 2
Таблица величин, н,орлtuрован,н,ых частот и затуханий для октавн,ых, полу- и третьокт,авн,ых
полосовых фильтров
Октавный фи Jrьтр
Полуоктавный фильтр
Третьоктавны й фильтр
f
Затухание
Коэффициент
fс
Затухание
Коэффициент
f
Значение Коэффициент
прямо уголь-
прямоуrоль-
прш,оуголь-
ЧастотаТ а1 и а3, дб
ности
Частота
т а1иа3,дб
ности
Частота Т а, и а3, дб
ности
Кп
Кп
Кп
fс
1
---1.о_ =0 8409f О ,5 <а 1 ,;;;;
fс
0,5 ,;;;;а 1,;;;;3
}12 =0 , 7072fс 0,5,;;;;а, <
-
4-
'
с
-
v2=
-
<3
v12
<3
fcf2 = 1 ,4142fc
4;-
=
0,8909fc
fcV2=
V-
=
1. 1892fс
fc 2=
=
1, 1225fc
fс
2fc
а3 ;;;а, 18 Кп18дб,;;;;2, 12 j; =0,7072fc аз ;;;а, 18 Кп18дб < 2
fc_
а3;;;а, 13 КпlЗдб3⁄4 2
2'
у2-
/
= 0 ,7937fc
f0 Y2= l ,4142fc
fci1/2=
=
l ,2599fс
fс
а 3 ;;;, 40 Кп4Од6,а;;;4 , 95
_1_.
4fc
а3 :;;,, 50 Кп50дб,а;;;!О fс . f
а3 :;;,, 50 Кп50дб,а;;;16, 2
т' 4fс
4'
4' 4с
fс
а 3 :;;,, 60 Кп60дб< 11 fс 8fc
' 13 :;;,, 60 Кп60дб,;;;;22' 5
fс
8fc
а3 :;;,, 60 Кп60дб ,;;;; 34
8'8fc
8;
8'
Там же приведены значения Кп, пересчитанные для
каждого уровня затухания.
Аналогичным образом определяются метрологические
характеристики фильтров верхних и нижних частот с пе
рестраиваемыми частотами среза [Л. 5,4]. Различные спо
собы включения позволяют использовать их в четырех
режимах:
,самостоятельная работа ФНЧ и ФВЧ;
режим полосового фильтра при расхо,дном включе
нии ФНЧ и ФВЧ;
режим разделения полосы частот ·при совместном
включении входов ФНЧ и ФВЧ;
режим · заграждающего фильтра при совместном
включении входов и выходов ФНЧ и ФВЧ.
Значения частот среза фильтров определяются чи
словой последовательностью, ,соответствующей стандарт
ной шкале (табл. 1), а частотные . характеристики нор
мируются в полосе затухания в нескольких точках.
Значения контрольных точек кривой затухания для
11 р тра'Иваемых ФНЧ и ФВЧ приведены в табл. 3. Не
("1'нб 1r J r1 )'но ть частотных характеристик ПФ, ФНЧ и
Ф 1\11 11 1 ':1уJ11 ,Г f1т е nо з действип дестабилизирующих фак
'1'11ро11 11(1 ;щ11>1<па 11р 111шrать ±0,5 дб.
Таблица 3
1/1•11, ш11111ы 11 0 f}Atll роатmых •mcmom u затуханий
()/Щ 1111 / ll! l'/11 / 11///11/lf!A fbl X, rf!t/.J/1,tl'I/!О б /Ul:JIC/iUX, U
11(! j)X/1.tlX 1l t1C IIZO/II.
Нижн>JЯ
Верхняя
ФIIЧ
ФВЧ
граница
граница
увеличения
увеличения
затухания
затухания
Частота+.
f
Частота,::;-
а,,, дб
а,, дб
,;;; О,7
;:? 1,4
- 0,5
+о,5
0,34
1, 19
-0,5
+1
1,О
1,О
-0,5
+6
1,4
0,7
+1s
со
2,8
0,35
+40
(Х)
;;,,5,6
,;;;О, 18
+60
со
Эти характеристики дают представление о направле
нии · работ ,по стандартизации требований к фильтрам,
применяемым в некоторых видах измерений. Во многих
случаях они могут служить исходными данными длп
12
расчета и конструирования фильтров рассмотренных ти
пов.
Пом·им·о основных требований к избирателью;>сти
фильтров, к его электрическим хара1перистикам могут
предъявляться дополнительные, определяемые характе
ром решаемой задачи. Например, в случае обработки
импульсных -сигналов возникают дополнительные требо
вания к линейности фаза-частотной характеристики
(ФЧХ) фильтров, которая может быть достигнута либо
коррекцией фазовой характеристики фильтра, спроекти
рованного на заданную избирательность, либо ·нахожде
нием аппрокеимирующей функц·ии, отвечающей требова
ниям к частотной избирательности и фазовым искаже
ниям.
Первый способ усложняет 1расчет и конструкцию
фильтра, особенно в тех •случаях, когда фильтр должен
быть пере-страиваемым. Второй способ, т. е . формули
ровка и решение ап,проксимационной задачи, кардиналь
но решает ·проблему, но требует от разработчиков соот
ветствующей подготовки и достаточно трудоемок. Если
требования, предъявляемые к избирательности фильтра
и фазовым искажениям, не ,слишком жесткие, то задача
может быть решена путем выбора аппроксимирующей
фующии из числа известных. Для этого в первой главе
при рассмотрении аппроксимаций для каждого вида ап
проксимирующей функции будут рассмотрены АЧХ,
ФЧХ, характеристики . времени групповой задержки и
nриведены их графики.
ГЛАВА ПЕРВАЯ
ТИПЫ АППРОКСИМАЦИИ И АНАЛИЗ СВОЙСТВ
АППРОКСИМИРУЮЩИХ ФУНКЦИЙ. ОСНОВНЫЕ
РАСЧЕТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
1-1. Общие положения
Нахождение функциii, аппроксимирующих с задан
ной точностью идеальную АЧХ, является первой задачей
синтеза фильтров. При этом, как правило, аппроксими
рующие функции определяются для ФНЧ . Такой подход
н е с нижает общности результатов и не требует повторе-
111,нт т ех ж е ' ра ,с ч е тов для фильтров других типов, так как
11 <' J) (' XO Jl 1< .m1 м о с уш, ес твляется ,методом преобразования
1111<"1·0·1•1,1 , 1iо то 11,1i:1 будет р ас-смотр ен ниже.
,l\тopoi'1, не мен (' важной задачей является реализа-
1111 11 11 11l'1;1<' 11f11 ,1x н 1111р о 1<с 11м а 1(нi:r , которые -при синтезе
t ' ll\ ' II 0,111 ,:1() 1\ IJ l/ll ('M (l l('l'IIIHfl ,IX · Л 'М IIT O IЗ тила усиЛ'ителей
y;1or1110 р11<·см11·1·р111н1т1> щ11< п р даточные функции. Ре-
111 ,•1111 <' :11 1;\:11111 J) t'f\ J111 з ,щ1н1 н оз ооJшет найти схему филь
тр11 11 011pl'Jl 'J1.ить пачения его эJiементов.
1J •обхо ди м о с ка за ть, что усJiовия физической реали
з у е м ос ти а ппроксимирующих функций должны учиты
ваться уже при решении -первой задачи. Для выполнения
линейной системы, заданной своей передаточной функ
цией, в виде устойчивой цепи с конечным числом сосре
доточенных элементов необходимы ,следующие условия
(Л. 41, 43}:
_
число нулей и полюсов ·передаточной функции долж
но быть конечным; -
полюсы должны ра-сполагаться в левой ,полуплоско
сти р (искJiючая начало координат); если полюсы про
стые, то они могут находиться на оси j,w;
число поJJюсов должно быть не ,меньше числа нулей.
Возможность нахождения простых ' полюсьв переда
точно~ функции на оси jw следует понимать в том смыс-
14
ле, что реакция такой системы на возмущение ограниче
на 'И не представляет собой расходящегося процесса.
Для активных rRС-фильтров этот случай является крити
ческим, соответствующим границе области устойчивости.
Рассматриваемые ниже аппроксимирующие функции
физически реализуемы, так как отвечают указанным вы
ше требованиям.
Для идеального ФНЧ передаточная функция опреде•
ляется постоянным значением модуля в полосе пропу
скания и равенством его нулю в полосе задерживания.
Это условие может быть записано в -следующем виде:
.
-
i ( :, ) о,;;;;;~,;;;;;1
j
Wi(Jю)=Ае
,
(1)1
'
(l-1)
'Wi (jю) =0,
~>l
(1)
'
1
rде w1 - значение частоты среза .
Если нормированные величины частоты и амплитуды
обозначить соответственно О=~= l и А= l, то аппрок-
.
(1)1
симация выражения ( 1-1) должна производиться функ
цией, у которой квадрат модуля равен ед'инице в диа
пазоне частот от нуля до единицы и равен нулю вне это
го диапазона. Эти требования являются исходными для
задания аппроксимирующих функций.
Следует отметить, что аппроксимирующая функция
задается квадратом модуля. Э-то объясняется свойством
квадратной симметрии, присущим квадрату модуля ,пе
редаточных функций, что позволяет, пользуясь крите
риями, вытекающими из условий физической реализуе
мости, найти нули и полюсы, принадлежащие самой -пе
редаточной функции [Л . 41].
Действительно, квадрат модуля передаточной функ
ции W(jw) равен:
1w (jw)l2 = G(ю2)= w(jw) w(-jw).
Для произвольных значени,й р, ограниченных осью
jro, полученное выражение име·ет вид:
G(-p2 ) = W(p) W(-p).
Данная функция является четной рациональной функ
цией р и обладает следующими свойствами . Вследствие
15
четност1~ ее числителя и знаменателя . полюсы и ·нули
G (-р) 2 расположены симметрично . ·по квадрантам р
плос·кости, т. е. функция . имеет квадрантную ·симметрию.
Любые ее полюсы и нули на оси j1w должны иметь чет
ную кратность, ,причем полюсы должны иметь кратность
не более двух.
Переход от функции G (w2 ) к W (р) . заключается
прежде всего в замене w2 на --ср 2. Так как W(p) по ус
ловиям физической реализуемости не может иметь по
люсов в правой полуплоскости, то все полюсы G (-р) 2
в левой полуплоскости следует отнести к функции W (р),
а полюсы ·правой полуплоскости - к W (-р) . Любые по
люсы или нули G(-p2) на оси j,ш должны быть разделены
поровну между W(p) и W(-p). В распределении нулей
имеется некоторая неопределенность. Если W (р) функ
ция минимальной фазы , то ее нули также располагают
ся в левой полуплоскости . Если же это условие не за
дано, то ей можно приписать некоторые нулц правой по
луплоскости. Таким образ·ом, имеется возможность ; ва р ь~
ирования расположением нулей. Для аппроксимирую
щих функщ-iй, рассматриваемых в данной главе, указан
ная неоднозначность отсутствует, так как они относятся
к числу минимально-фазовых.
1-2 . Аппроксимация по Тейлору (максимально
плоская аппроксимация)
По условиям физической реализуемости а п проксимируiощая
фу н кц11 я должна быть рацио11альной . Если все нули функции нахо
дятся в бесконечности, то ее можно записать в следующем виде : .
Первый коэффициент Во взят равным единице, чтобы исходн ая
и аппроксимирующая функции совпадали при Q=0.
Фу н к ц ия отклонения в полосе пропускания р11,вна:
Вводя в выражение ( 1-3) новую переменную 0 2 = х , получаем:
16
Определение коэффициентов В; зависит •от пр11Меняемого кри
те•рия аппроксимащщ. Если аппроксимация осуществляется по Тей
лору, то необходимо, чтобы производные всех порядков функции
отклонения стремились к нулю при х =О . -Следовательно, при аппро
ксимации по Тейлору k-ro . порядка первые k производных от функ.
ций G должны равняться нулю.
Вычисляя производные от функции (1-4) при х=О, можно пока
зать 1[Л. 41], что при аппроксимации п.го порядка п---11 первых ко
эффициентов равны нулю. Следо
вательно, :выражение .( 1-2) в этом
случае примет вид:
ilб
о
20LgW{5?)
( 1-5) 10
На границе полосы пропуска-
ния, т . е. при Q=l, данная функ- 20
ция равна:
G(l)=---
1 +вп
( 1-6) 30
Таким образом, коэффи- 40
циент В п о пр еделяет величину 0,2
0,5
-
---
,, .... - (!..:_1
-
-
\\"
----
,\ '\
\\ 1'\. 2
Н\
"
\\\
'\
1\\ \3
ll\ \
'\
В'-- ~\1\
•7-1\\\
в-\\5\4\
10- ,\\\\ \
11\
\
11\\,г
2345'
ослабления, вносимого · ФНЧ на
частоте среза. При Bn= 1 грщ1ица
полосы пропускан.ия соответствrет
коэффициенту передачи, равно-
Рис. 1-1. АЧХ баттервортов
ских фильтров.
му 0,5 по мощности или -0,707
по напряжению. В этом случае аппроксимирующая
вид:
функция имеет
(1-7)
На рис. 1-1 приведены максимально плоские АЧХ, построенные
для различных значениi1 п.
Определим теперь общее вь1ражение передаточной функции
ФНЧ, выполненного в соответствии с ·максимально плоской аппрок
симацией. Заменив в выражении (1-7) Q 2 на -р2, получим:
G(-р2)=W(р)W(-р) = 1+(-l)np2n
(1-8)
Полюсы функции (1-8) определяются из уравнения
( ПЛЮС CQQJBel_~'.!'J!~!:J:т,He!le'tHЫM~•.ЗШ\'J.eШUIM..,,n-]
2-200 '! ;·,, ,... . •:•" ·.", . r:,·:::.~!.Q,Т.113 E{i
j••
J''-М•
•
~
V
•
-
'I
,,·--_
,.,
~-:...
~1· ;
~ ; :.~.-~1r~;1,1ч..:r:r~ ar @
';
•;( ,"<с)1' ;1
•
~..
• ..гz. -- ~:.:-;._ ,
~ ~ .,... :,.- .Е::
,... -, ...,s:::-w -l
минус- четным) .
На основе представления единицы в комплексной форме выра
жение для определения полюсов максимально плоской функции мо
~ет быть написано в следующем виде :
Рк= ±cos (J)1<±j 5in .(j)к,
где <рк определяется по формулам:
( 1-9)
причетномп'fк=±(2\п 1) 1t k = 1,2,3, ... , (п-2);1
(k)
(1-10)
принечетномп'fк=± п 1t k=О,1,2,3, ..., (п - 2).
Из полученных выражений следует, что полюсы максимально
плоской функции лежат на окружности единичного радиуса с цент- •
ром в начале координат.
Определим полюсы, принадлежащие передаточной функции
ФНЧ , В соответствии с условиями физической реализуемости все
полюсы W(p) должны лежать в левой части плоскости р, вслед
ствие чего выражение ( 1-9) примет вид:
p"=-cos (j)к±j sin :<pк,
( f-11)
З н а ч е ния полюсов ма~,симально плоской функции, аппроксими
рующей ид еа льн у ю ни з кочастотную характеристику, рассчитанные
для п от 2 до 10, представлены в табл. 4.
Одним и з основных параметров аппроксимации является ее сте
п е н ь п , котор а я дgлжна определяться исходя из требований к ча
сто тноi1 ха раю е ри стик е фильтра (ее равномерности в полосе про
п ус кания и з атухания в поло се з адерживания) . Найдем выражение,
о пр едел яющее с т епе нь максимально плоской аппроксимации в зави
с имости от указанных величин. Для этого рассмотрим модуль ма
ксимально плоской ф у нкции, который определяется из (1-5) как
,r-
1
W(О) = r G(02) = -;====-
у'1+в"02n
( 1-12)
Если заданная 11еличина неравномерности частотной характери
стики в полосе пропускания рав.на d 1, то при Q= 1 получим:
откуда
1
1
В,.=-2
-1.
dl
( 1-13)
Значение коэффициента передачи на частоте зад~рживаиия равно:
1
d-
---::=====- •
з- V1+в"о;п
(1-14)
18
Из (1-14) определяем:
[ t-1]
lg
Вn
п;;,, 2 1g оз
( 1-15)
Подставляя в (1-15) значение Вп из (1-13), получаем оконча
те:,ьно: .
1
Формула (1-16) позволяет определить степень баттервортовской
аппроксимирующей . функции по заданным значениям d 1 , dз и Qз.
Рассмотрим теперь вопрос определения полюсов аппроксимиру
ющей функции при различных значениях неравномерности частотной
характеристики ФНЧ в полосе пропускания.
Формулы ( 1-1О) и ( 1-11) были выведены для частного случая
Вп = 1. В общем случае условие определения полюсов максимально
плоской функции запишется в виде
1
р2n=±в,
n
отк у да значения полюсов определяются следующим образом:
Ри =p(-cos (()и±i sili (()и),
где
(1-17)
(1-18)
Выражение (1-17) отличается от (1-11) множителем р, с помощью
которого при - вычислении полюсов учитывается величина неравно
мерности частотной характеристики фильтра. Для заданных значе
ний d, и п величины полюсов могут быть рассчитаны по формулам
(1-17), (1-10), (1-18) или с помощью табл. 4 путем умножения таб
личных значений на коэффициент р .
Передаточная функция ФНЧ п - го порядка выражается через
зн~чения полюсов с точностью до постоянного множителя следую
щим образом :
1
Wн(р)= (р-Р1)(р-Р2)(р - Рз) · ··(р-Рп)
( 1-19)
Так как при четных значениях п. полюсы аппроксимирующей
функции имеют комплексно - сопряженные значения, то их подстаиов-
2•
19
ка в (1- 19) дает п/2 сомножителей второго nорядка, т. е.
1
Wн(р)= n/2
П(Р2+q1iP+qoi)
i=I
(1-20)
При нечетных п к · (п-1) к комплексно - сопряжен н ым полюсам
добавляется один чисто веществе н ный полюс. В этом случае выра
жение (1 -19) имеет вид:
wн(р)= ----,,_----;-J---
--
-
-
-
-2-
(р+qi)П (Р2+q1iP+qoi)
I=\
(1-21)
Функции ( 1-20) и ( 1-2 1) могут рассматриваться как произведе
ние п ереда т очных функций отдель н ых звеньев, поэтому реализация
их осу ществляется каскадным соединением таких звеньев. Данное
положение справедливо в том слу ч ае, если каждое звено является
изолированным, т. е. сохраняющ и м требуемое расположен и е полю
сов, независимо от наличия других звеньев.
Передаточная функция -i -ro звена второго порядка может быть
представлена следующим образом:
Кi\йot
Wнi(P)=
2•
Р2 + 2~ioooiP + 000;
1·де -
~-
от н осительн ый коэффициент з атухания;
roo -;
-
с обственная частота.
Прираш-швап 1<оэ ффи11и е нты хара кт е ристиче с кого полинома к ко
э ффици е нт ам аппрок с ими.ции , пол у ча е м условия определен и я пара
метров зве нь ев, т. е.
(J)~i = q.i; (J)Oi = Vq.i; }
2t
•
!:
qli
~ i OOoi _=qa; <::,t= 2 J1qoi •
(1-22)
Параметры звеньев можно выразить · также через з н ачения по
люсов аппроксимирующи х функций , что во многих случаях бывает
удобнее, чем выражение их через 1<0эффициенты аппроксимации.
Воспользовавшись зависимостью между корнями приведенного
квадратного у равнения и _ его коэффи ц иентами, получаем:
20
qot = P1tP2i= (-ai+jroi)(-ai- jroi)= а7+007,
q1t= -
(P1t+P2t)= at+irot+at- ioot= 2at.
Подставляя полученные значения в ( 1-22) , находим : -
OOot= Va; + 007;
( 1-23)
(1-24)
(1-2 5)
(1-26)
Таблица 4
Полюсы M(J,1(,CUJ.taльнo плоской аппроксимирующей функции
п=4
n=IO
1
- 0,7071 -1,0000
,--0,3827
-1 ,0000
-0,2588 -1,00000
-0, 1950 -1,000000
-0, 1564
±j0,7071 -
±j0 ,9238 -
±j0,9659 -
±j0,9808
-
±j0,9877
-
-0 ,5000
-0,9238
-0 ,3090
, -0 ,7071 -0 ,2225
-0,5556
-0,1736
-0,4540
±i0,8660
±i0 ,3827 ±i0,9510 ±i0,7071
±i0,9749 ±i0 ,8315 ±j0,9848 ±i0,8910
-
~
-
-0,8090
-0 ,9659
-0,6235 -0, 83 15
-0,5000
- 0,7071
±j0 ,5878 ±j0,2588 ±i0,7818
· ±i0,5556 ±j0,8660
±i0,7071
'
-
-
-
-
-
-0, 9009
-0,9808
-0 , 7660
-0 ,8910
±!0 , 4339 ±i0, 1950 ±iG, 6428 ±i0,4540
-
-
-
-
-
-
-
-0,9396
-0,9877
±i0,3420 ±i0, 1564
Для звеньев первого порядка все соотношения упрощаются, так
как звено имеет только один параметр-собственную частоту . Дей
ствительно, передаточная функция звена первого порядка имеет
следующее выражение :
KtIOot
Wнt(р)= +
(!-27)
р Юоt
Приравнивая коэффициенть1 знаменателя ( 1-27) и множителя
первого порядка в (1-21), получаем :
( !-28)
Следовательно, собственная частота звена первого порядка опре
деляется значением вещественного полюса аппроксимирующей функ
ции. Таким образом, (1-25), (1-26) и (1-28) являются основнымп
расчетными соотношениями, связывающими значения полюсов аппро
ксимирующих функций с физическими параметра·ми звеньев (собст
венными частотами и коэффициентами затухания).
Представление аппроксимирующих функций в виде произведения
передаточных функций отдельных звеньев позволяет достаточно про
сто определить фаза-частотные характеристики фильтров путем вы
ражения их через величины параметров звеньев. Как известно,
величина фазового сдвига, вносимого звеном первого или 1_норого
порядка, определяется соответствующими формулами:
где
о
'f't (О) = - arct~
--
root
Так как фаза-частотная характеристика фильтра является сум
мой указанных фазовых сдвигов, то ее выражения примут вид:
для четных значений п
п
-2-
'f' (О)= - IJ arctg
i=l
для нечетных значений п
n-' I
-2-
'f(О)= - arctg~....., ~
Юо .(,,J
i=I
( 1-29)
На основании ( 1-29) могут быть получены выражения для
времени групповой задержки фильтра fз . Учитывая, что оно связано
с величиной фазового сдвига соотношением
22
находи м следующие выражения для фу н кции t3 (О):
для четных значений п
о
~
-
(j)
~r:::::-- -----
п2
.. .. f::5: ~ - .. :::: r--...
-r- -..
20()
'"
~
'
r---.
---
-
.l.
'~:--..
Г",,
--
r--
Lf
....
---
,..... ...... ,
--
,. ___
5
r,......
'
... ...... .._
~
--
'
, ....
-~
-
'
r---. . :z.
--
,-
-
'1'-...
8 ---~
600
-r--
--
2
о
0,5
1,0
1,5
Рис. 1-2. Ф Ч Х баттервортовских фильтров.
12
t3 w1
П ={О
8
о
0,1
-
0,2
~
V
L.,.,
...
-
1,,, '
-
-
0,5
I
JB \-
~
Ji\
)
11J
11
\
/ 6,\
1)J
/1,15\ю
-
,,...- Lf ~\\~,
,,,. ...
з r\.\~~
2
~_о
1
2 ЗLf
Рис . 1-3. Характеристики времени группо
вой задержки баттервортовски х фильтров.
,-
•'
( 1-30)
23
Следует подчер](нуть, что представление передаточной фун](ции
фильтра п-го поряд](а в виде произведения . передаточных фуН](ЦИЙ
изолированных звеньев является общим подходом ]( решению зада
чи реализации в си нте зе а](тивных RС-фильтров·. Поэтому формулы,
полученные для определения параметров звеньев, а та](же для рас
чета фаза-частотных хара](теристик и времени групповой задержки,
являются справедливыми и для других видов аппроксимаций, рас
сматриваемых ниже. Для баттервортоВС](ИХ фильтров различных
поряд](ОВ графи](И фун](ЦИИ ер (Q) и fз (,Q), пос-r·роенные в соответст
вии с ( 1-29) и ( 1-30), приведены на р.ис. 1-2 и 1-3.
1-3. Аппроксимация по Чебышеву
(равноволновая аппроксимация)
Характерной особенностью максимально плоской ащ1роксимации
является хорошее приближение в области ,Q=O и менее точное вос
произведение спада частотной характеристики в области Q= 1.
Большую точность обеспечивает аппроксимация по Чебышеву 1[Л. 41,
39, 43], при которой число регулируемых параметров аппроксимиру
ющей функции увеличивается, что позволяет повысить точность
приближения. В основу чебышевской аппроксимации положена сле
дующая теорема [Л. 41].
Если рациональная функция ,f (z), содержащая п параметров,
аппроксимирует вещественную функцию g(z) на данном интервале
по Чебышеву, то все максимальные отклонения f (z) от g (z) равны
между собой, а также равны величинам отклонений на границах
интервала .
Аппроксимирующая функция такого вида носит колебательный
характер с равными амплитудами колебаний, вследствие чего чебы
шевс](ую аппроксимацию называют еще равноволновой.
Обратимся к выражению ( 1-2) и допустим, что нам необходимо
аппроксимировать функцию G (Q 2). Посколь](у аппроксимация поли
нома проще аппроксимации обратной ему величины, воспользуемся
величиной lfG (Q 2) (т . е. отношением величин на входе и выходе).
Теперь общая задача состоит в определении аппроксимирующего по
Чебышеву полинома п-й степени на интервале (-1; 1).
Нормированный полином Чебышева (как функция вещественной
переменной z) определяе"Гся следующим образом:
Vn (z) =cos (п агссо5 z) .
Обозначим
У=arc:co5·z или z= cos у
и введем преобразования:
24_
sinу=VI-z2; z+jV1- z2= eiu"
Тuгда полином (1-31) примет вид:
(z+j111- z2)n+(z+jУ1- z2)- n
Vn(z)=tosпу=
2
(z+jV~)n+(z- jY~)n
2
( 1-31)
( 1-32)
(1 -33)
Учитывая, что -~ = ch Ф;и:;.Уz 2 ;_ 1 = sh ф,
можно получить :
Формула (1-34) удобна для расчетов при z>l.
(1-34)
Полиномы Чебышева для значений п от 1 до 10 приведены
в табл. 5. Полиномы больших порядков редко встречаются в прак
тике . синтеза фильтров ввиду сложности . и_:х, реализ,~'ции.
Таблица 5
Поли11,01,~ы Чебышева для п от 1 до 10
п
V n(z)=cos п у
z
2 2z2-l
3 4z3-3z
4 8z"-8z2+-,1
5 16z 5-20z3 +5z
6 32z6-48z"+18z2-l
7 64z 7 -ll2z5+56z3:-?z
8 128z 8 -256z6 +160z4 -3222 +1
9 256z 9-' --576z 7 +432z 5-120z3 +9z
10 512z 10-l 2802 8 +1 120z6-400z4 +50z2-l
Задача· !аппроксимации идеальной частотной характеристики
ФНЧ рассмотрена в 1[Л. 41, 43], где показано, что функция, аппрок
симирующа_я идеальн ую характеристику по Чебышеву, имеет сле
дующий вид :
(1-35)
Данная функция имеет колебательный характер, причем рассто-
•
s2
яние между пикам и колебан~й по высоте равно 1+ е2 •
На рис. 1-4 показаны графи~и · м~дуля чебышевской функции
для некоторых значений п. • • ••• • •
Для определения •. полюсов функции G (Q2 ) делаем замену неза
висимой переменной0 Q2 на -р 2 . Полюс!'~ находятся из условия
25
Полюсы чебышевской аппроксимирующей функции определяют
ся следующей зависимостью l[Л. 41]:
kn
(1
1)•
k1t
Рк= -
sin -2
-
sh-
arsh - +Jcos -2
-
chХ
.
п
п
"
-
п
>;.,1,
Х ( -3⁄4 -ar-sh +),
где k=l,3,5, .. . ,2n-1 .
Условия физической реализуемости учитываются в (1-36) знаком
минус перед вещественной частью выражения.
___...
-
о
86
5
20LgW(.2}
10
15
20
0,1
0,2
,,, ....
х~
/
I
t/ 51
п,,,z 5
0,5
1
}--.. ez
а1 2fJб
\ ·1+Ei:_
е- О,7Бч-7
\п=2 ;
ч-\
-5\
'
.... 5
'
\\
\\sг
2
3ч-5
Рис. 1-4 . АЧХ чебышевских фильтров .
Для чебышевской аппроксимации не представляется возможнь1м
составить единую таблицу полюсов аппроксимирующей функции для
различных значений п из-за дополнительного параметра в. Это мож
но сделать для некоторых частнь1х значений ,в, соответствующих
наиболее употребимым значениям неравномерности частотной харак
терис т ики ФНЧ в полосе пропускания (например, 0,1; 0,2; 0,3; 0,4;
0,5; 1 и 2. дб). Для данных величин неравномерности и степеней
аппроксимации п от 2 до 110 значения полюсов чебышевских аппро
ксимирующих функ ций представлены в табл . 6-12 .
Найдем теперь выражение I для определения степени чебышев
ской аппроксимации, исходя из заданных значений неравномерности
в полосе пропускания и величины затухания в полосе задерживания.
Рассмотрим для этого модуль функции .G(Q2 ), который определится
из (1-35) как
.
1
W (О)= -,.==а== ·
(1-37)
✓1+e2V~ (О)
Параметр в может быть выражен через величину неравномер
ности в полосе пропускания d1 следующим образом:
26
•
2
е2
1- di
1- d1=1+е2илие2=--2-- •
d1
. Перепишем выражение (1-37) для условия полосы задРрживания:
1
d3 = --; -:====::===-,
(1-38)
V1+e2V; (03)
где dз требуемое значение, коэффициента передачи в полосе задер.
живания на частоте Qз = roa/ro1.
о
<ро~
200
'IOO
600
0,1
о
..._,_
0,2
-
а1 2дб
-
с-::
r--L7=2 -
с-
г-,;::
~~
--
"-....
3~
-
1\..~
-
~
-
1\..
~>-,- -
-
'-..
б
1\
~
-
'-.7
Q
0,5
2 Зlf
-
а1=0,1дб -
2001--+ - -+ -+~W'!,1--r- - .. .~·
.:!_::::-- , -
'- lf
1---+ --+ -+-+-+ -++'V+-i'- . _. . . . _
51::::::1==
1\"
'
1---+ -+ -++ -+ -++++ -_, .,,_ ....: z..-- f-
бOO l---+ -+-++ -+ -++++ - - - -f=---- ... ..
52
0,1 0,2
0,5
2.Зlf
Рис.1-5.• ФЧХ
чебышевских
фильтрв . ·
t3w,
12
8
~L,.- -1'\
V
lf
ч....
t--
п-2
~
'0
0,1 0,2
12 tзl<Jr
8
*
10
0,1 0,2
vP::.
,__
0,5
fl;'! .,J ,,,t '
5,,,
1~ ...
lf
з
2
0,5
а1=2 дб
vП=if
1) 11
t
'--
5i'
2 3lf
а1=0,1 дб f-
,,
~
1, 1,
1,'1\
\\
1'1 .\\
'~
5i'
2 Зlf
Рис. 1-6 . Характеристики вре•
мени групповой задержки че
бышевских фильтров.
Подставляя в выражение (1-38) значение е2 и разрешая его
относительно Vn (Qз) , находим:
V (O)-
1
з2.
"
з - d;(1- dT)
.
(1-39)
[
d2(1- d2) ]_!_
В соотве"fствии с (1-34) представим пол ином Чебышева в виде
Vп (Qз) =ch п arch Qa. Тогда после преобра зования (1 -39) получим:
где
arch D
n= arch03 '
(1-40)
27
ТабJица б
Полюсы равноволновой низкочастотной аппроксимирующей функции для неравномерности а1 =0,1 дб
iz=2
n=З n=4
n=5
n=6
1·
n=7
1.
n=B
n=9
1
n=!O
-1, 1874
-0,9704 -0 ,2642
-0,5426
-
0, 1156
-0 ,3776
-0 ,0648
-0,2906
-0,0408
±jl,3836
-
± jl,1224
-
±j!,0569
-
±jl,0330
-
±j l ,0203
-
-0,4852
,
..
-
±jl ,2065 -0,6426
-0 , 1677
-
0,3159
-0,0835 -0 , 1827
-0,0507
-
0, 1194
-
-
±j0,4662 ±jl,0820 ±i0,7744
±jl ,0426 ±j0,8751
±j l ,0260 •±i0,92 13
-
-
-
± j0;4390 -0,4315
-
0,2368
-0 ,2753
-0, 1450
-0, 1859 .
-
-
-
±i0,6687 . ±i0,2834 ±j0,8359 ±i0,5838 ±i0,9013 ±i0,7311
-
-'-
-
-
- 0,3421
-0 ,3244
-
0,2223
-0 ,2342
-
-
-
-
-
±i0,4632 ±j0,2055 ±i0,6697 ±j0,4694
-
-
-
-
-
-
-
-0 ,2800
-0,2597
-
-
- ---
-
-
-
-
±j0,3563 ±j0,1617
-
.
Th~~7
Полюсы равноволновой низкочастотной аппроксимирующей функции для неравномерности а 1 =0,2 дб
n=З
n=4
n=6
n=B
n=10
-0,9629 -0,8142
-0 ,2249
-0 ,4612
_: _0,0932
-0, 3244
-0 ,0551
-0,2495 . -0,0352
±il ,1947
-
±i1 ,0714
-
±il,0335
-
±i1 ,0191
-
±il ,0 124
-
+О,4071
-0 ,5426
-
0, 1421
- 0 ,2684
-0 ,072 1
-0 , 1564
-0,0433
~ 0,1021
-
±jl,1115 ±i0,4434 ±i l ,0473 ±j0,7563 ±jl,0245 ±i0,8639
±i 1,0150 ±i0 ,9 133
-
-
-
-0,3720
-0,3666
-0 ,20 18
-0 ,2343
-
0, 1248
-0, 1590
-
-
-
-
-
- 0 ,8475
±jl,1037
-
-
-
-
-
-
--
-
ПродолженТ1е табл. 7
n=4
n=S
-
-
±i0,6470 ±j0, 2768 ±i0,821 3 ±i0,5773 ±i0,8926
-
-
-
-
-0,2915
-0,2762
-0,1918
-
-
-
-
±i0,4561 ±i0,2027 ±j0,6625
-
-
-
-
-
-
~ 0,2354
-
-
-
-
-
-
±i0,3525
Полюсы равноволновой. нижоч,астопной аппрок,симирующqй фучк,ции
дЛft неравномер ности а1 =0,3 дб
n=З
n=4
n=5
n=6
- 0 ,7295
-0,2024
-0 ,4172
- 0,0891
-
0 ,2941
- 0,0501
-0,2274
-
±jl,0452
-
±j!,0217
-
±i0,0123
-
-0,3643
-0,4892
- 0, 1289
- 0 ,2436
-0,0655
-0 , 1425
-0;0394
±il,0715 ±i0,4329 ±Л,0305 ±i0,7479 ±jl,0160 ±i0,8584 ±il ,0098
-
-
-0 ,337:5
-0,3328 -О , 1835
-0 ,2133
-0,1134
-
-
±i0,6369
±i0 ,2737 +i0 ,8 146 ±i0,5731 ±i0,8881
-
-
-
·-
=0 ,2651
- 0 ,2518
-0 , 1742
-
-
-
-
±i0,4514 · ±i0,2014 ±i0,6591
-
-
-
-
-
-
-0,2132
-
-
-
-
-
-
±i0,3507
n= 10
± i0,724 8
- 0 ,2004
±i0,4654
-
- 0,2221
±i0, 160 3
Таблица 8
n=10
-0,0320
±il,0081
-0,0928
±i0,9094
-0, 1445
±i0,7217
-0 ,1821
±J0 ,4634 .
- ,-0,2019
±i0,1596
с,,
о
Таблица 9
Полюсы равноволновой низкоч,астотно_й аппроксимирующей функции для ч.ерав1-1.омерности а,=0,4 дб
n=4
n=S
n=6
п=В
n=IO
-0,7999 -0,6709
-0, 1871
- 0,3861
-0,0827
-0,2806
-0, 1464
-0,2110
-0,0297
±il,0453
±i1,0284
±il ,0140
±il,0081
±il,0053
-0,3360
-0,4548
-0, 1294
-0,2224
-0,0605 -0, 1322
-0,0366
- 0,0861
±il,0428 ±i0,4254 ±i1,0195 ±i0,7423 ±jl,0104 ±i0,8546 ±il,0064 • ±iC,9068
-0,3118
-0,3086
-0, 1700
-0, 1978
-0, 1055
-О , 1341
±i0,6300
±i0,2714
±i0,8107
±i0,5706
±i0,8850
±i0,7197
-0,2456 -0,2333
-0,1617
-0, 1690
±i0,4498 ±i0,2008 ±i0,6569 ±i0,4620
-0, 1983
-0, 1873
±i0,3499 ±i0,1594
Таблица 10
Полюсы равноволновой низкоч,астотной аппроксимирующей функции для неравномерности а,=0,5 дб
n=2
n=5
п=6
n=B
n=IO
_: _0,7128 -0,6264
-0 , 1753
- 0 ,3623
-0,0776
-0,2562
-0,0436
-0, 1984
-0,0279
±il ,0040
-
±il ,0162
-
±il,0084
-
±il,0050
-
±il,0032
-
-0,3132
-0,4233
-0,1119
- 0,2121
-0,0570
-0 , 1242
- 0,0344
-0,0809
-
+fl,0219' ±i0,4209 ±jl,0115 ±i0,7382 ±il ,0064 ±i0,8519 ±il,0040 ±i0,9050
-
-
-
- 0,2931
-0,2897
-0, 1597
-0, 1859
-0,0992 -0,1261
Продолжение табл. 10
n=2
n=4
n=б
n=7
n=9
-
-
-
±j0,6252 ±j0,2702 ±j0,8070 ±j0,5692 ±j0,8829 ±j0,7182
-
-
-
-
-
-0,2308
-0,2192
-0, 1519
-0 , 1589
-
-
-
-
-
±j0,4478 ±j0,1999 ±j0,6553 ±j0,461 l
-
-
-
-
-
-
-
- 0,1864
-0, 1761
-
-
-
-
-
-
-
±j0 ,34 87 ±jO, 1589
Таблица 11
Полюсы равноволновой низмчастотной аппроксимирующей функции для. неравнолtерности а 1 =1 дб
n=З
n=4
n=5
n=б
n=B
n=IO
-0,5488 -0,4941
-0, 1395
-0,2895 -0,0621
-0,2054
-0,0350 -0 , 1593
-0,0224
±j0,8951
-
±j0,9833
-
±j0,9934
-
±j0,9965
-
±j0,9978
-
-0,2470
-0 ,3368
-0,0895 -0, 1698
- 0,0457
-0,0997
- 0 ,0276
-0,1013
-'-
±j0,9659_ ±j0,4073 ±j0,9901 ±j0,7272
±j0,9953 ±j0,8448 ±j0,9972 ±j0,7143
-
-
-
-0,2342
-0 ,2320
- 0,1281
-0, 1492
-0,0797
- 0,0650
-
-
..,
-
±j0,6119 ±j0,2661 ±j0,7982 ±j0,644
±j0,8769 ±j0,9001
-
-
-
-
-
-:-О, 185 1 -0, 1759
-0,1220
--,--О, 1277
-
-
-
-
-
±j0,4429 ±j0,1982 ±j0,6509 +U0,4586
-
-
-
-
-
-
-
-0, 1497 .
-0, 1415
-
-
-
-
-
-
-
±j0,3463 ±j0 , 1580
с,:,
Таблица 12
1-:>
• Полюсы равноволновой низ,wч,астотной аппроксимирующей функции для .неравномерности а1=2 дб
n=2
п=З
n=4
n=5
п=·б
'! =7
n=8
n=9
1!=10
- 0 ,4019 -0,3689
-0,0149
- 0,21 83
-0 ,0469
-0,1553 • -0,0265
-0 , 1206
-0,0169
±i0,8133
±i0,9579
±i0 ,9817
±i0,9898
±i0,9934
-О, 1845
-0 ,2532
-0 ,0675
-0, 1283
-0,0346
-0,0754
-0,0209
-0 , 0767
±i0,9230 ±i0,3968
±i0,9735 ±i0,7187 ±i0,9866
±i0,8391 ±i0,9919 ±i0 ,7] 13
-0 , 1766
-0, 1753
-0,0969
-0, 1129
- 0,0603
- 0,0493
------
±i0 ,6016 ±i0,2630 ±i0,7912 ±i0,5606 ±i0 ,8723 ±i0,8962
-
-
-0,1399
-0, 1332
-0 ,0924
'-i - -0,0967
--
-
±i0,4391 ±i0,1969 ±i0,6474 ±i0,4567
-0, 1134
-0, 1072
±i0,3445 ±iO , 1574
Для расчетов более удобна другая форма представления арккоси
нvса: archx=ln{x+1-Vx2 +I) . Используя ее в (1-40) и переходя к
к десятичным логариqэмам, получаем следующую формулу для опре
деления порядка чебышевской аппроксимации:
(1-41)
Знак ~ в формуJ1е говорит о том, что в качестве результата
следует брать ближайшее к расчетному значению большее целое
число. Графики фаза - частотных характеристик и времени групповой
задержки чебышевских фильтров, построенные для различных по
рядков аппроксимации и двух значений неравномерности в полосе
пропускания а1 =0, 1 и 2 дб, показаны на рис. 1-5 и 1-6 .
1-4. Аппроксимация полиномами Лежандра
(фильтры класса L)
Сравнительная оценка фильтров, выполненных на основе ма
ксимально плоской и равноволновой аппроксимаций, показывает, что
'их характеристики отличаются существенно. Так, чебышевские
фильтры при заданном числе элементов обеспечивают наибольшую
избирательность и являются в этом смысле оптимальными. Баттер
вортовские фильтры, уступая в избирательности, имеют лучшие
фаза-частотные характеристики. Стремление к повышению избира
тельности баттервортовских фильтров и улучшению фаза-частотных
характеристик чебышевских фильтров привело к разработке нового
класса L - фильтров, рассмотренного в {Л. 16}. У этих фильтров АЧХ
в полосе задерживания убывает монотонно и имеет максимально
возможную крутизну затухания. J3 общем виде она может быть на
писана следующим образом:
1
W(&!) = У 1+•Ln (&12)
(1-42)
Проблема синтеза фильтров класса L состоит в том, чтобы оп
ределить положительный полином степени п от ,ga так, чтобы его
крутизна в точке Q=1 была максимальной. Математически зада
ча определяется следующими уравнениями:
dLn (&J2)
Ln(0)=0;Ln(l)=l;
d&! ~ОдляО...;;&1,s:;;1. : (1-43)
При этом значение
(1-44)
является максимальным.
Для нечетных значений n=2k+ 1 полиномы ,L опредещ,ютс_я ш•
формуле
3-200
2'1 -1
Ln('12) = Jи2(х)dx,
-1
(1-45)
33
rде
( l-46)
(1-47)
Ph - полиномы Лежандра
( 1-45), ( 1-46) необходимо
смотрим класс полиномов f (х)
полняются условия
первого рода. Для доказательства
сначала решить задачу. Рас-
степени n=2k+1, для которых вы-
df
f(-1)= О,f(1)= 1, dx ~О, - 1,е;;;;х,е;;;;l.
( 1-48)
Определим в данном классе ~олином F (х) так, что
-
-м
dF1
dxх=!-
является максимумом.
При
dF
dx = Ф(х)
имеем:
+1
х
Ф(1) = М, I Ф(х)dx=1, F (х)=I Ф(~) d~. Ф_(х) ;:а, ;о.
-1
-1
( 1-49)
Так как полином Ф (х) положителен, все его корни в интервале
(-:1, + 1) являются парными. Следовательно, его можно предста
вить в виде
(1-50)
где q(x) - четный полином, не им еющий корней в указанном интер
вале значений х;
q(x) >О для -l<x~ 1.
(1-51)
В точке Х=-1 q (х) может равняться нулю . В этом случае
( 1-52)
Если q (х) не является постоянной величиной, то его степень
должна быть равна по крайней мере двум. Следовательно, полином
q(x)-c(1-x2 ) должен быть той же степени, что q(x), и для с, до
статочно малого, должен оставаться положительным, что вытекает
из условий (1-51) и (1-52). Поэтому, если постоянная А 1 выбрана
такой, что
+1
+1
A 1 j u2 (x)[q(x)-c(1-x 2 )]dx= Jи2 (x)q(x)dx=l, (1-53)
-1
-1
34
х
то А1>1 и полином А1Sи2(/;) [q(/;)-с(1 - 1;2)] dl; будет в классе
-1
полиномов f (х) и его производljаЯ в точке х = + 1 определится вы
ражением
Tai, как по условию М является максимумом, а А 1 > 1, то полу
ченное условие невыполнимо. Следовательно, q (х) является посто
янной величиной, равной единице. Таким образом,
Ф(х)=и2(х),и(1)= Vм
(1-54)
и
+1
~u2(х)dx= 1.
-1
( 1-55)
Для определения полинома и(;-,;), имеющего степень
зуем его .в ряд
и(х)=а0+а,Р,(х)+...+ал.Р,._(х)
полиномов Лежандра, удовлетворя ющи х условиям
k, пр еобра-
(1-56)
+1
{ Одляhf=k
SРл.(х)Р,,(х)dx =
_
2_:.·
h-k
-1
2k+1л;ля -
•
( 1-57)
'
Так как Р,._ (1) = 1, то из (1-54) и (1-56) получаем:
а.+а1 + ... +а,.,= Vм,
( 1-58)
а из ( 1-55) и ( 1-56) следует, что
2
22
22
2ао+За1+·..+2k+1ak= 1•
(1-59)
ТеПf'РЬ ·запача состоит в том, чтобы найти коэсjхjJИциенты а0 ,а1 , ...
. . . , а,._, определяемые условиями (1-58) и (1-59):
а1
а,.,
1
ао=3 =
••• = 2k+1= V2(k+1)
(1-60)
Из ( 1-58) и (1-60) величина постоянной М определяется следу
ющим образом:
(k+1)2
М=2
•
Полином L,. (х) может быть получен из F (х) преобразованием
2х-1
L,. (х) =F(2х- 1)= Ju2(/;)dl;,
-1
что аналогично выражению ( 1-45). Таким образом, справедливость
выражений (1-45) и (1-46) доказана.
з•
зs
В I[Л. 1,7, 44) аналогичным образом показано, что при четных
значещ1ях степеней n=2k +2 полиномы Ln (,Q2 ) описываются следу
дующими выражениями:
• (1-61)
где через Р; обозначены полиномы Лежандра первого рода. Коэф
фициенты а; вычисляются по формулам:
для четных k
а2
а"
l
.
ао= 5
=
••• = 2k+1= ✓(k+1)(k+2) ,
для нечетных k
ао=а2= ,,,=ah,-1=0
Крутизна в точке О = 1 определяется выражением
dL,. (02) 1
dO я=I= 2(k+1)(k+2).
(1-62)
(1' -6 3)
(1-64)
Табличные значения первых членов поли•юмов Лежандра [Л .45]:
Р1(Х:)=х:;
1
Р2(х:)= 2 (Зх:2- 1);
1
Ра (.х:) = 2 (5.х: 2 - З.х:);
.
1
р4 (.х:) = 8 (35.х:• - 30.х:2+3).
Из (1-45)-(1-47) и (1-61)-(1-64) получены полиномы Ln(,Q2),
выражения которых для n=2+ Ю сведены в табл. 13.
Значение полиномов Ln1(Q2) позволяет определить передаточные
функции фильтров и найти расположение их полюсов, что необхо
димо для расчета параметров звеньев и их реализации .
С целью нахождения W n (р) в выражении
1
G,. (02) = 1 + eL,.' (01)
производится ·'замена переменной 0 1 на - р 1 , т. е.
•
1
W,. (р) W,.'(- р) = 1+ aL,.'(- р1)
.(1-65)
36
Таблица 13
Полиномы типа
2Q4
3 ЗQ•-ЗQ4+Q2
4 6Q8-8Q•+ЗQ4
s 2OQ 10 -4OQ8+2sQ•-8Q4 +Q2
6 5OQ12- !2OQIO+ !O5Q8-4OQ6+6Q4
7 ! 75Q 14-525Q 12 +6!5QI0_355Q8 + !O5Q 6 -!5Q4 +Q2
8 49OQ 16-l 68OQ 14+2 З !OQ 12-l 624Q 10+6!5Q8-l2OQ6+1OQ4
9 1 764Q 18-7O56Q16 +ll 7O4Q 14-!O4!6Q12+5376Q 10-i 624Q1+ ~
+276Q6-24Q4 +~~ 2
10 5 292Q 20-2З 52OQ 18+44 !OOQ 16 -45 З6,ОQ 14+27 86OQ 12-
-!O 4 !6Qlo+2 3!OQ 8-28OQ6 +15Q4
Для рассматриваемого вида аппроксимации отсутствует выраже
ние, определяющее полюсы аппроксимирующих функций в общем
виде. Поэтому для заданных величин параметров п и ,в значения
полюсов рассчитываются путем нахождения корней знаменателя
(1-65) (например, численными методами). При этом порядок аппро
ксимации определяется из условия требуемой избирательности
фильтра, а в - из условия заданной неравномерности АЧХ в полосе
пропускания. Согласно (1-42) данный параметр может быть рассчи
тан по формуле
в=lldf-1.
1(1-66)
иб
о
10
20
J0
40
201.gW{Q)
О,1
0,2
,,.
З'
0,5
6
.'\.
.\ .',
\\ "\ n=2
\\ 1'\.
1\\
"\
\\\
'\.
\\3
1\.
..1
\.\
\6 4\
1\
\\
\\\
\
52
234
Рис. 1-7 . АЧХ фильтров клас
са l.
В соответствии с условиями
физ!fческой реализуемости корни,
принадлежащие левой части ком
плексной плоскости , являются по-
о
rpo
200
400
бОО
0,1
0,2
..... :::; r-----
r--:r- -.' "
\
0,5
л-2
-
-
'-._3
... ..._
~
'\
-
✓
"' Б"-
5<1
•2
З
Рис. 1-'8. ФЧХ фильтров клас
са L.
37
с.,
00
n=2
1
-О, 707±i О ,'707
-
-
-
-
Полюсы аппроксu,1шрующей функции типа L
п=З
n=4
n=5
r=6
- 0,620
- 0,550 ±j 0,359
- 0,468
-
0,439±j 0,240
'
-0,345±j 0,901 -0,232±i 0,946 - 0,388±j 0,589 -О , 309±j О, 6Э8
-
-
-
-
0, 154±i о, 968 - 0, l 15±i 0,978
-
-
-
-
-
-
-
-
Таблица 14
n=S
-
0,367 ±i о, 181
-0,ЗОО ±i 0,541
-0 , 194±i 0,875
-0, 071 ±i 0,988
-
---
люсами нскомоf1 передаточной функцн н. Так, для n= З и е= i (d1 ="
= 0,707) получаем :
1+ 3р' - 3р4-р20
Выполняя необходимые оп ерац и и, находим :
р1=
-
0,620; р2,3 =
-
0,345 ± j 0,90 1;
0,577
W (р) = ра + 1,310р2 + 1,359р+О,577
О п ределение полюсов ап п роксимирующих функций более в ы со
ких порядков является достаточ н о тр удоемко й о п ерацией, для вы
полн ен ия которой целесообразно ис пользовать ЦВМ .
12 t3."-J.
8
4
о
0,1
n=Б
5
ц.
.,
I
_,, ,
~
"
_
...
;.,
t.
-
''~
2
--
0,5
•1
234
Рис. 1-9. Характе р истики време н и
групповой задержки фильтров клас
са L.
Значе н ия п олюсов ап п роксимирующих функций типа L, рассчи
танных в l[Л. 16, 44] для н ескольких з н а ч ений п и неравномерности
АЧХ в полосе пр о пускания а1=3 дб, приведены в табл. 14. Вид ча
стотны х ха р актеристик Wi (,Q), cp(Q) и iз(Q) фильтров класса L по
казан на рис. 1-7 -1-9 . На й дем теперь выражение для оп р еделения
сте п е н и а пп роксимирую щих функций типа L, исходя из заданных
значений нерав н омерности в п олосе пропускания и величины зату
хания в полосе задерживания. Последний параметр о п ределяет ся
формулой
(1-67)
Подставляя в ( 1-67) значение е пз ( 1-66) и разрешзя выраже н ие
относнтельно L,. (О;) , получ а ем:
(1-68)
39
Данное неравенство является условием определения поря дка
аппrоксимации. Так как величина п входит в (1-68) в неявном виде
как индекс полинома Ln, то по з аданным з начениям d1 и dз сначала
вычисляется правая часть неравенства . З атем по табл . 13 выбирает
ся такой полином, наименьшее з начени е которого при Х= Q 3 удов
летворяло бы неравенству. Степень найденного полинома является
искомой степенью аппроксимации.
1-5 . Метод преобразования частоты. Переход от Ф НЧ
к фильтрам других типов
В предыдущих параграфах рассматривались функции,
аппроксимирующие идеальную АЧХ филыра нижних ча
стот. Чтобы не находить аналогичные аппроксимации
для остальных типов филыров, применяют метод преоб - _
разования частоты, позволяющий преобразовать полосы
пропускания филыров типа ФВ4, IПФ и ЗФ в ·полосу
пропускания ФНЧ. При этом можно распространить ре
зультаты, полученные для низкочастотных аппроксима
ций, на все остальные типы фильтров.
Таким образом, метод преобразования частоты позво
ляет -свести расчет ФВЧ, ПФ и ЭФ к расчету ФНЧ.
Сущность метода заключается в том, что при введе
нии в выражение, определяющее характеристику цепи,
нового переменного Р (ro'), играющего_ роль частоты, про
исходит деформация частотной шкалы исходной харак
теристики и как следствие, самой цепи . Если выбрать со
ответствующую функцию Р (ro'), то возможно преобразо
вание характеристик цепи к необходимому виду.
Вопросы преобр.азования ча·стоты первоначально были
рассмотрены для цепей, состоящих только из реактив
ных элементов. В частности, для данных цепей путем
подстановки новой переменной в выражение для сопро
тивлений элементов цепи могут быть получены соотноше
ния, из которых · непосредственно вытекает не только ха
рактер изменения ,самой цепи (т. е . каким реактивным
двухполюсником должен быть зам енен каждый элемент),
но и величины элем ·е нтов новой схемы. Очевидно, что
результаты, полученные для преобразования LС-цепей,
нельзя распространить на активные RС - цепи вследствие
различия их физических свойств . Поэтому в ,случае · ак -
. тивных
RС-цепей задачу частотного преобразования не
обходимо решать в общем ви де , находя зави с имость
между расположеrшем нулей и полюсов передаточных
функций исходной и искомой цепей . С этой точ,ки зрения
40
и будет рассматриваться метод преобразования частоты
для- активных RС-фильтров.
Условимся для краткости называть ,передаточную
функцию ФНЧ низкочастотной , а передаточные функции
ФВЧ, ПФ и ЗФ -- соответственно высокочастотной, по
лосовой и заграждающей .
Если комплексную частоту низкочастотной функции
обозначить через р, а комплексную частоту искомой
функции - через s, то частотное преобразование в об
щем виде выразится зависимостью
p=P(s).
(1-69)
Выражение ( 1-69) должно связывать однозначной за
висимостью полюсы низкочастотной функции -с полюса
ми функции требуемого типа.
Переход от ФНЧ к ФВЧ. Переход осуществляется
с помощью преобразования
(1-70)
которое меняет на оси частот нуль и бесконечность. Для
нормированного значения частоты среза выражение
\1-70) примет вид:
1
р=-·
s
(1-71)
Допустим, что для Q ·1 = 1 рассч·итан ФНЧ, соответст
вующий аппроксимации ,порядка п. Используя преобра
зование ( 1-71), получим выражение аппроксимирующей
функции для ФВЧ того же порядка и той же частоты
среза.
Для этого достато .чно проследить, как влияет данное
преобразование на параметры звеньев ФНЧ. Рассмотре
ние звеньев в отдельности не уменьшает общности ре
зультатов, так как каждое звено является изолирован
ным.
Рассмотрим звенья первого и второго порядка ФНЧ,
которые назовем звеньями нижних частот (ЗНЧ) перво
го и второго порядка .
Вводя преобразование (1-71) в передаточную функ·
цию ЗНЧ первого порядка, получим передаточную
41
функцию звена верхних частот (ЗВЧ) первого порядка
Кр
1
р+--
.
6>он
(1-72)
Так как член 1/ffioн в знаменателе ( 1-72) определяет
значение собственной частоты звена, то справедливо сле
дуКJщее соотношение между собственным·и частотами
ЗНЧ и ЗВЧ первого порядка:
(1-73)
П?дставляя (1-71) в передаточную функцию ЗНЧ
второго порядка, получаем выражение передаточной
функции ЗВЧ второго порядка:
(1-74)
Знаменатель выражения (1- 74) в приведенной форме
имеет вид:
2+2~н + 1
р ~р -2-•
он
6>он
откуда значения параметров звена определятся следующим
образом:
(1-75)
(1-76)
Как видно из (1-72) и (1-74), в числителях переда
точных функций ЗВЧ имеются множители р и р2, даю
щие простой и кратный нуль в начале координат р - плос
кости. Наличие нулей говорит о характере ,преобразова
ния цепи, т. е. конденсаторы должны включаться после
довательно с источником сигнала. Таким образом, фи-
42
зНчески~"r смыс.tt 11реобразован11я низ1<очастотной 1(егнl
в высокочастотную заключается в замене резисторов кон
денсаторами, а ,конденсаторов резисторами.
Выражение (1-76) говорит о том, что преобразование
не меняет значений коэффициентов затухания звеньев,
поэтому избирательность ФВЧ остается равной избира
тельности ФНЧ. Таким образом, на основании получен
ных результатов можно установить следующий порядок
с интеза ФВЧ при исполь з овании метода преобразования
частоты:
1. По величинам неравномерности в полосе пропу
скания и затухания в ,полосе задерживания, заданным
для ФВЧ, находятся вид и порядок низкочастотной ап
проксимирующей функции.
2. С помощью (1-75) и (1 -7·6) по полюсам низкоча
стотной функции определяются параметры (собственные
частоты и коэффициенты затухания) звеньев ФВЧ. •
3. В соответствии с найденными -параметрами _ произ
водится реализация звеньев ФВЧ.
Переход от ФНЧ к ПФ. Пос11роение полосовых филь
тров может осуществляться двумя способами. Первый
заключается в составлении их из ФВЧ и ФНЧ, частоты
среза которых являются граничными частотами ПФ.
В этом случае благодаря изолированности ФНЧ и ФВЧ
возможны независимая перестройка частот среза и из
менение полосы п·ропускания ПФ . Применение данного
способа целесообразно также в тех случаях, когда ПФ
должен иметь большую относительную полосу пропуска
ния, соизмеримую со средней частотой или превышаю
щую ее.
При этом передаточная функция ПФ представляет
собой произведение низкочастотной и высокочастотной
функций:
(1-77)
Синтез !ПФ в данном -случае сводится к синтезу ФНЧ
и ФВЧ.
1Второй способ заключается в составлении полосового
фильтра из звеньев, имеющих частотные характеристики
«резонансного» ти·па . Если ( 1-77) переписать для п = 2
w,н (р)=рР РР ,
П2
П2
(1-78)
43
то сомно}кители (I-78) можно рассматривать как 1iере
даточные функции звеньев, которые назовем полосовы
ми звеньями (ПЗ) второго ,порядка. Таким образом, по
лосовой фильтр может быть составлен из полосовых
звеньев.
Этот способ имеет большое значение при построении
полосовых фильтров с фиксированной настройкой и от
ньсительно узкой полосой пропускания, когда реализа
ция их с ,помощью ФНЧ и ФВЧ становится невыгодной
ввиду малоэффективного использования звеньев эти х
фильтров.
Передаточная функция полосового звена имеет вид:
(1-79)
Она имеет два полюса и простой нуль в начале коорди
нат.
Как в ЗНЧ и ЗВЧ, параметрами полосового звена
являются собственная частота (i)оп и относительный ко
эффициент затухания ~ -
Параметры ПЗ можно выбрать
таким образом, чтобы результирующая частотная харак
теристика .полосового фильтра соответствовала выбран
ному типу аппро,ксимации. При этом связь меж ду полю
сами низкочастотной · и полосовой функций устанавли-
, вается •С помощью ·преобра з ования типа
где р - ком,плексная частота низкочастотной функции;
s ..:._ комплек -сная
частота полосовой функции; Q·c - ср е д
няя частота полосового фильтра .
Бели нормированная средняя частота равна единице,
то ( 1-80) упрощается:
1 s2+1
p= s+-
=--·
s
s
( 1-81)
Решая · (1-81) относительно s, найдем значения полю
сов полосовой функции, выраженные через р:
(1-82)
44
Из (1-82) видно, что nолюс н-изкочасто i'Ной функции
преобразуется в два полюса полосовой функции, дмеIQ
щих комплексно-сопряженные значения. · Если P1i имеет
вещественное значение, то он дает два комплексно-со
пряженных полюса ,полосовой функции, а если комплекс
но - сопряженное, ,о две пары комплекено - сопряженных
полюсов ,ПОЛОСОВОЙ ф_ункци'И .
Следует отм е тить, что выражение ( 1-81) имеет мно
житель 1/s, означающий , что преобразование ни,зкоча
стотного полюса создает не только два полюса полосо
вой функции, но также н уль в начале координат. Поэто
му вещественный полюс дает один простой нуль, а комh
лексно - со•пряженный полюс - два простых нуля в нача
ле координат р-ллоскости.
Если выразить передаточную функцию ПФ через зна
сrение ее полюсов, найденных в результате преобразова
ния, то получим следующие результаты: каждая пара
комплексно-со ·п ряженных полюсов дает в знаменателе пе
редаточной функции сомножитель-многочлен второй -сте
пени типа (р 2 + 2Sпw0пр + ;w.2оп), а каждый нуль - сомно
житель р в числителе. Следовательно, передаточная
функция ПФ может быть представлена в виде произве
дения ,передаточных функций полосовых звеньев, число
которых равно числу ·полюсов низкочастотной функции,
а параметры звеньев определяются значениями полюсов,
найденных из ( 1-82).
•
Рассмотрим более подробно (1-82). Подставляя в не
го значение p1;.= -
a,, ±jw1i, получаем:
где знаком * обозначены сопряженные значения полю
сов.
Найдем отдельно радикал в ( 1-83):
(1-84)
где
A=i -, .i -4·
1'
1'
'
45
Извлечение корня в (1-84) имеет следующие решения:
VA+jE=± ( Vл+v12+Е2 +
+jv-л+~л2+Е2 }
VА- jE= ±(vrА+V~2+Е2
_
•
1
/
-
А+уА2+Е2 \
iV-2
;·
Уравнение 2aнu)1i =Е показывает, что Е <0 в том слу
чае, если а1, и ffik имеют разные зна -ки. Следовательно,
(1-84) можно переписать как
. /(-a1t+joo,y _ 1=-+--1-х
f4
-
2
х,11j А+уА2+Е _
.-.
/ - А+уА2+Е2)·
·._ V
2
-+-1 V
2
Подставляя полученный результат в ( 1-83), находим вы
ражения для полюсов полосовой функции:
( 1-85)
где ан и ffiн - действительные и мнимые части k-го по
люса низкочастотной функции.
Выражение (1-85) позволяет преобразовать низкоча- .
статную функцию в полосовую.
Для синтеза ,полосовых фильтров на основе получен
ного преобразования необходимо выяснить соотношение
между полосами пропускания исходного ФНЧ и синте
зируемого ПФ, а также установить зависимость между
средней частотой и частотами среза ПФ.
46
Рассмотрим преобразование ( 1-80), приняв в нем р =
=IQ и S= j(J/. Решая его относительно :ю', получаем:
(1-86)
Подставляя в (1-86) значение частоты среза ФНЧ,
т. е. Q-= 1Q1, получаем два значения частоты ffi' = l(J).'t . Од
но из них положительное и лежит выше значения сред
ней частоты Qc
(1-87)
другое отрицательное и по абсолютной величине меньше
частоты_ Ос:
(1-88)
При ,Q=-Q1 получим положительное значение часто
ты, лежащее ниже частоты Qc:
(1-89)
и отрицательное значение частоты, по абсолютной величине
большее частоты Ос:
(1-90)
Частоте Q= 1Q1=0 соответствует ffi'= ±ш't= ± 1ffi'-1=
= 1Qc, т. е. средняя частота полосового фильтра соответ
ствует нулевой частоте в ФНЧ [Л . 55].
Полученным выражениям соответствуют графики ча
стотных характеристик рис. 1-10.
Из выражений для частот среза полосового фильтра
физический смысл имеют только ( 1-87) и ( 1- ·89), так как
они соответствуют положительным значениям частот.
При проектировании полосовых фильтров одним из ис
ходных параметров является полоса пропускания . Пред
положим, что частоты Q·1, ffi' 1 и ffi' -1 (рис. 1-1 О) соответ
ствуют такому уровню частотных хара,ктеристик Wн(Q)
и Wп(ffi'), на котором измеряется полоса пропускания.
Для ФНЧ она измеряется от нуля до Q·1, т. е . ЛIQ=Q1.
Для полосового фильтра полоса пропускания опреде
ляется как разност~, частот среза, т. е. Л<»' = ш't-1ffi'-1 -
47
Подставляя значения (t).' 1 и ffi'-1 , определенные выраже
щrями (1-87) и (1-89), получаем:
( 1-91)
т. е . полосы пропускания ПФ и ФНЧ равны независимо
от значения уровня, на котором они измеряются . Выра-
W
Рис. 1-10 . АЧХ Wн(Q) ФНЧ и Wп(w') ПФ, получен
ного в результате частотного преобразования.
жение ( 1-91) является одним из основных соотношений,
на 1<0тором основывается преобразование низкочастот
ного· фильтра в полосовой.
Так как ,полюсы низкочастотных аппроксимирующих
функций соответствуют относительной полосе пропуска
ния ФНЧ, равной единице, то при преобразовании ФНЧ
в ПФ необходимо значения этих полюсов умножать на
Лw'
требуемую величину полосы пропускания --.
С уче-
wс
том сказанного ( 1-85) окончательно перепишется сле
дующим образом:
48
.,.
(
aii л:~
1 ... /А+ vА2+Е2)-+ -
s-,,,1, s k1 =
-
2
+тV
2
-
Лw'
•
+.( wii6>с__1•, /
-
А+УА2+Е2) •
-1
2
2V
2
,
(
Лw'
.
а--
1t (J)
;'❖
с
Sk2= -
2
_I 1 / А+ VА•+Е2)-1-
2V
2
-
-+-•(
00
1t~ , 1 I/ - А+VА2+Е2) (1_92)
-
1
2 тт(
2
'
где
Определим теперь зависимость .между частотами сре
за ПФ и его средней частотой . Для этого, перемножив
( 1-87) и ( 1-89), получим:
ш' ш' =ш2
1-1
с•
(1-93)
Следовательно, средняя частота является средним
геометрическим частот среза, отсчитанных на одном
уровне, а частотная характеристика ·полосового фильтра
имеет геометрическую симметрию.
Выражениs ( 1-93) является вторым расчетным соот
ношением, связывающим параметры ФНЧ и ПФ.
Большой практический интерес представляет случай
арифметической -симметрии частотной характеристики
полосового фильтра, который имеет место при узкой по
лосе ·пропус,кания, т. е. при Л,ffi.'/ffic~ 1.
В этом случае, пренебрегая слагаемыми (_&_)
2
-
2roc
-
--(Лrо' )2 в
2rос
подкоренных выражениях (1-87) и (1-89) и скла-
дывая полученные результаты, находим:
( 1-94)
1
шl =шс+тЛш'; l
ш_ 1 =шс-+Лш'. f
(1-95)
Выражения (1-94) и (1-95) говорят об арифметиче
ской симметрии частотной характеристики полосового
фильтра при узкой полосе пропускания, так как средняя
частота в этом случае . является средним арифметиче
ским частот среза. ,Очевидно, что точность полученного
выражения тем выше, чем уже полоса пропускания
лi(J).'/ffic- lfТогрешность узкополосного приближения может
4-200
49
быть оценена •С помощью коэффициента относительной
асимметрии; определенного на уровне полосы пропуска
ния,
(1-96)
где 1Л,(J)1 = 1(J)'t - {2'c , ,~ro2 = ·Rc-•(J)'- 1 части полосы пропуска
ния 1Л1(J)' = ,(J)'1-(J)-1 , лежащие соответственно выше и ниже
средней частоты .Qc.
На основании выражений ( 1-87) и ( 1-89) получаем:
2Q(VQ
2
)
у =-·
1+-
1--1 •
дю'
402
с
(1-97)
Представляя в (1-97) радикал в виде ряда
( о2)-f
Iо2
1+- 1
=1+- - -1
-
4&12
2 4g2
с
с
и ограничиваясь двумя первыми членами, находим:
'
2
12ю&11
Лю'
У~----°-- · --= -- ·
2 Лю' 4ю~
4ю0
(1-98)
Выражение ( 1-98) позволяет определить значение от
носительной полосы пропускания фильтра, при котором
асимметрия частотной характеристики не будет превы
шать заданного значения.
Допустимая величина · асймметрии частотных харак
теристик с точки зрения инженерного расчета фильтров
может быть принята равной '5-10%'. Возникающая при
этом ошибка определения собственных частот звеньев
будет иметь тот же порядок и может быть легко скор
ректирована при настройке фильтров. Из ( 1-98) видно,
что значениям у=5+ 10% соответствует величина поло
сы пропускания Л(J)' /(J)c = 0,2 + 0,4, для которой метод уз-
1<ополосного приближения еще может обеспечить доста
точную для практ1щи точность.
50
Рассмотрим связь между по.ttюёамн 11изкочастоrноi1 н
полосовой функций при арифметической -симметрии ча
стотной характеристики ПФ.
Так как для этого случая ,Лiю'/шс~ 1, то (1-92) может
быть упрощено. Действительно, ввиду того что
величиной Е2 в ( 1-92) можно пренебречь. Кроме того,
вследствие справедливости неравенства
можно считать, что А~ - 4 .
Учитывая сделанные допущения, для случая арифме
тической симметрии частотных характеристик ( 1-92)
можно переписать следующим образом:
(1-99)
Выражение (1-99) ,представляет собой зависимость
между полюсами полосовой и низкочастотной функций
для случая арифметической -симметрии частотной харак
теристики ПФ .
Таким образом, результаты ча-стотного преобразова
ния ФНЧ в ПФ позволяют установить следующий по
рядок синтеза полосовых фильтров:
1. По требованиям, предъявляемым к синтезируемо
му полосовому фильтру (,полоса пропускания, значение
неравномерности в ее ·пределах и величина затухания
в полосе задерживания), определяются тип и степень
низкочастотной аппроксимирующей функции .
.____
2. С .помощью формул ча.стотного преобразования по
люсы низкочастотной функции пересчитываются в полю
сы полосовой функции и определяются параметры
звеньев полосового фильтра.
3. По найденным параметрам производится реализа
ция звеньев.
4*
51
- Переход от ФНЧ к . заграждающему фильтру (ЗФ) .
Как и в случае по/юсно - пропускающих фильтров, по
строение заграждающих фильтров может осуществлять
ся двумя способами. Первый заключается в составлении
· заграждающего
филь11ра из ФНЧ и ФВЧ, ,включевных
параллельно. В этом случае частоты среза ФНЧ и ФВЧ
являются граничными частотами ·полосы задерживания .
Применение данного способа целесообразно, если за
граждающий фильтр должен иметь независимую пере
стройку граничных частот и изменяемую относительную
полосу задерживания . Передаточная функция такого ЗФ
представляет собой су мму низкочастотной и вьюокоча
стотной функций:
Синтез заграждающего фильтра в данном случае сво
дится к синтезу Ф~НЧ и ФВЧ, частоты ,среза и избира
тельность которых -соответствует параметрам ЗФ.
Второй способ заключается в составлении заграж
дающего фильтра из звеньев, имеющих частотные харак
теристики режекторноrо типа. Назовем их режекторны
мн звеньями (РЗ) . В этом случае передаточная функция
З-Ф является ,произведением передаточных функций РЗ.
Данный способ -следует применять при построении узко
полосных заграждающих фильтров с фиксированной на
стройкой.
Синтез заграждающих фильтров данного типа произ
водится на основе выбранного вида а.ппроксимации. При
этом переход от низкочастотной к заграждающей функ
ции осуществляется с помощью следующего преобразо
вания:
р
8
лю
s2 +0~ о;'
(1-100)
r де р - комплексная частота низкочастотной функции;
52
~ - комплексная частота заграждающей функции;
Ос - средняя частота полосы заrражденют;
д;
о;;- - величина относительной полосы заграждения.
Если нормирова1шое з начение ~1с равно единице, то
выражение ( 1-100) получит вид:
(1-101)
Ра3решая (1 -101) относительно s, найдем значения
полюсов зс1граждающей функции, выраженные 'через р :
(1-102)
Из (1-102) следует, что полюс низкочастотной функ
ции ,преобразуется в два полюса заграждающей функ
ции, имеющие ком ,пле1<1сно-,сопряженные значения, при
с1ем чисто вещественное значение Pk дает одну пару
комплек,сно --сопряженных полюсов, а комплексно-сопря
женные значения Pk - две такие пары. Кроме того, урав
нение (1-100), будучи подставленным в выражение про
стого сомножителя ( 1-20), даст множитель в числителе
заграждающей функции типа (s2 + !Q2 c), что образует два
нуля передачи, расположенных в точках ± 'j:Q 'c , Таким
образом, выражение для заграждающей функции п-го
порядка будет иметь вид:
(l s lOЗ)
Рассмотрим более подробно выражение (1-102). Под
ставляя в него значение k-го полюса низкочастотной
функции Pk=- {Jk±j,wk, получаем:
.(1-104)
где знаком * обозначе1;1ы сопр я женные значения полю- .
сов.
53
Представим радiШаЛ в (1 -104) следующим о б разо м :
(1 - 105)
где
Е = __a~h-=--(J)_lt л_oo_2,,...---
2 (ak + 00%)2
Следовательно , извлечение корня в (1-105) имеет вид:
-1-
-.
/
Лоо2
_
.
_
+(. /А+уА2+Е2
--
V4(-ah±joo)2
l--V
2
±
+., / -А+УА2+Е2)
-
1V
2
•
Подстановка данного результата в (1-105) и его пре
образование дают следующие выражения для комплекс
но-сопряженных пар полюсов заграждающей функции:
)
1
· l - оо"л"rо
_
1 /-А+VA2+Е2]
± 1 2(a~+ooi) V
2
'
~·\
2=[- а1~Лю +, /А+ул 2 +Е2 j ±
2(ak+ooi) V
2
(1-106)
+ •[ ооhдоо +v/~А+VА2+Е2j
-
} 2(а~+оо%)
2
'
где величины А и Е определяются по формулам (l-105),
а ,ан и iW1< являются действительной и мнимой частью 1k-го
полюса низкочастотной функции .
Полученные выражения -представляют собой з ависи
мость между полюсами низкочастотной и заграждающей
функций. При арифметической -симметрии частотной ха-
рактеристики .ЗФ, т. е . при ,Л1ш« 1, выражени е (1-106)
может быть упрощ е но .
54
Действительно, при сделанном допущении справедли
во неравенство А 2 ~Е2, вследствие чего величиной Е2
в (1-106) 'можно -пренебречь. Кроме того, ввиду малости
величины rЛrffi,2 можно считать А ""'-1. Следовательно, для
случая арифметической симметрии частотной характери- •
стики ЗФ выражения (1-106) будут иметь вид :
5н2, s'\1 = -
2(:~~ro2) -+ j(1- 2(~"~юrо2)) ; j
k-k
k-k
( 1-107)
-,,.
а,..дrо ' + .(l+ ro,..дro )
Sн2, 6'"н!=- 2(ak+rok) -1
2(ak+ro~)
'
Точность полученного приближения определяется те
ми же .соотношениями, что и для ПФ . Кроме того, для
ЗФ также справедливы следующ11е зависимости между
граничными частотами и полосой заграждения:
2
-
w1w_1 =w· и w1-w_1=Лw.
с
Синтез ЗФ выполняется в порядке, рассмотренном ,п;.пя ПФ
ГЛАВА ВТОРАЯ
СХЕМНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ ЗВЕНЬЕВ ПЕРВОГО
И ВТОРОГО ПОРЯДКОВ
2-1 . Обобщенная блок-схема усилительного звена
Задача реализации аппроксимирующих функций со
стоит в нахождении схем звеньев 1-го и 2-го порядков,
имеющих требуемое расположение нулей и ,полюсов пе
редаточных функций. Реализация чисто вещественных .
полюсов не встречает затруднений, так как она выпол
няется звеньями 1-го порядка, состоящими из элементар
ных RС-цепочек. ,Комплексно-сопряженные полюсы име- .
ют пере.даточные функции звеньев 2-го порядка с коэф
фициентами затухания меньшими единицы (1; < 1), кото
рые не могут быть получены в пассивных RС-цепях. По
этому было предложено -несколько методов реализации
комплексно-сопряженных полюсов с применением актив
ных элементов. В качестве последних в настоящее время
используются электронные устройства типа усилителей,
инверторов импеданса и гираторов .
55
Сравнение существующих методов реализации пок а
зывает, что для построения активных ,RС-фильтров ни з
ких и инфранизких частот наиболее приемлемы схемы
с усилителями напряжения. При этом схемы с операци
онными усилителями обеспечивают наибольшую ста
бильность характеристики фильтров, но удорожают и
усложняют их.
Реализация аппроксимирующих функций схемами
с положительной обратной связью значительно проще и
а ьАь
iL1 ~["n,iв.r
-L___
,---,,,-
~й,
а
Рис . 2-1 . Обобщенная блок-схема усили
тельного звена .
дешевле, так как схемы и конструкции усилителей в дан
ном случае намного у,прощаются.
В данной главе рассматривается схемная реализация
звеньев, в которых используются усилители напряжения
и RС-схемы в цепи положительной обратной связи [Л. 8).
Анализ звеньев производится на основе обобщенной
блок-схемы усилительного звена [Л. 7}.
В общем случае блок--схема состоит из усилителя и
RС-цепи обратной связи с коэффициентами передачи со
ответственно К и μ (рис . 2-1). Величины, являющиеся
функциями комплексной частоты p=,a+'jffi, отмечены
сверху точкой.
Так как рассматриваемая система линейна, то, со
гласно принципу суперпозиции, напряжение и 1 будет ли
нейной функцией напряжения, действующего на зажи
мах RС-цепи.
Поэтому можно н_а-писать:
.
..
.
.
U1 = /J, ·ивых + f-t1Uвx ,
где μ и μ. 1 - коэффици е нты пропорциональн ости .
56
(2-1 )
Если
(2-2)
где К- коэффициент усиления, то, подставляя (2 - 1)
в (2 -2), получим:
ивыхО-~К)=~.Ки»х•
откуда
(2-3)
Выражение (2-3) можно назвать уравнением обоб
ще~нного усилителыного звена, в котором вел~ичина
'
ll1 1
μ.- -
и
•
-о
•х и ■ых.х-:х -
(2-4)
представляет собой коэффициент передачи RС-цепи от
зажимов аа к се при включенном на зажимах ЬЬ вы
ходном сопротивлении усилителя iвых, а
(2-5)
-
коэффициент передачи RС-цепи от зажимов ЬЬ к се при
включенном н~ зажимах аа внутреннем сопротивлении источ-
ника сигнала zи.с·
Иными словами, коэффициенты ~ и μ1 могут быть най
дены путем преобразования RС-цепи. В нижней части
рис. 2-1 приведены эквивалентные схемы, соответствующие
(2-4) и (2-5).
При анализе -схем звеньев будет учитывать-ся конеч
ность величин входных сопротивлений усилителей, кото
рые для диапазона низких и инфранизких частот можно
с·читать чисто активными. Поэтому в дальнейшем будем
полагать iвx=iRвx-
B практических схемах усилителей величины выход
ных сопротивлений равны нескольким сотням ом (это
будет показано ниже). По сравнению с величинами рези
сторов RС-цепей они пренебрежимо малы, поэтому бу-
дем полагать iвых = О.
•
Целью анализа являет,ся нахождение передаточных
функций звеньев и получение расчетных выражений для
определения собственных частот и коэффициентов зату
хания.
57
2-2 . Звенья нижних и верхних частот 1-ro порядка
Звенья 1-го порядка имеют один реактивный элемент.
Поэтому изолированное звено нижних частот 1-го по
рядка состоит из ,RС-цепочки нижн_их частот и буферно
го усилителя с входным сопротивлением Rвх (рис. '2-2) .
Передаточная функция ЗНЧ 1-го порядка имеет вид:
к
(2-6)
Ивы:~:
Рис. 2-2. Схема звена нижних Рис. 2-3 . Схема звена верхних
частот первого порядка.
частот первоrо порядка.
В соответствии -с (2-6) собственная частота звена оп
ределяется по формуле
1_1(
-R1
шо=т;-- R1C1
l + Rвх),
(2-7)
Входное сопротивление усилителя оказывает сущест
венное влияние на собственную частоту звена. Так как
в практических схемах величина Rвх имеет значительный
разброс и сравнительно малую стабильность, то для сни
жения влияния входного сопротивления на величи
ну wo отношение R1/Rвx следует уменьшать.
Определим уход -собственной частоты щледствие из
менения Rвх• Дифференцируя (2-7) по Rвх и заменяя
дифференциалы конечными приращениями, получаем:
дю0=_
R1
ЛRвх
(2-8)
Юо
R,+Rвх Rвх•
При R1/ Rвх ~ 1 формула (2-7) приобретает более про
стой вид:
58
1
w0 =R1C1 •
(2-9)
Относительная ошибка вычисления по (2-9) собст
венной частоты звена определяется отношением R 1 /Rвx•
Рассмотрим теперь звено верхних частот 1-го поряд
ка (рис. 2-3). Нетрудно показать, что передаточная
функция звена выражается
(2-1 О)
где
Собственная частота ЗВЧ 1-го порядка, определяется по
формуле
(2-11)
Так как данная формула идентична (2-7), то для зве
на верхних частот справедливы все выводы, сделанные
в отношении влияния входного сопротивления усилителя
на собственную частоту звена нижних частот. Поэтому
при расчете величины резистора ,RС-цепи следует поль
зоваться выражением (2-8). Аналогично, при условии
R1!Rвx« 1 собственная частота звена верхних частот оп
ределяется по формуле (2-9).
2-3. Звенья нижних и верхних частот 2-ro порядка
а) Звено нижних частот 2-го порядка ·С неизолиро
ванными секциями RС-цепи СЗНЧ2Н) .
Звено состою из двухсекционной RС-цепи нижних
частот и усилителя -с коэффициентом усиления К
(рис. 2-4). Положительная обратная -связь осущест
вляется с помощью конденсатора С1 - элемента RС-це~
пи. Исходным уравнение!'tf для вывода передаточной
функции звена служит уравнение (2-3). Определим его
коэффициенты μ., и μ.
В соответствии с формулой (2-4) и рис. 2-4- величина
~
1 является кq_эффициентом передачи RС-цепи при условии,
что обратная связь отсутствует, а конденсатор С1 соеди
нен с нулевым потенциалом схемы через выходное со
противление усилителя. Соответствующая ,сделанному
59
60
допущению iвых='О эквивале•нтная схема показана на
рис. '2-5. Для данной схемы ·справедлива следующая си
стема уравнений:
j;= ___
(_u~R=--
1
.-хХ:_2_)_
R2 11 R.x+ Х:2
Ис, =Ивх - ir,R, ;
i и.х;
J: =---;-•
•- R+[R2+(RвхIIХ:2)]х:,
z-
'
x,+R2 + (R.x II Х:2) '
(2-12)
1
где х 1 =-с- и х2 =-с, а знаком II обозначено парал-
Р1
р2
лельное соединение соответствующих сопротивлений . Решая
(2-12), находим:
где T1=iR1C1; T2= ,R2C2; Тс=R1С2-постоянные времени
RС-цепи.
йвх
Рис. 2-4 . Схема звена нижних Рис . 2-5 . Эквивалентная схема
частот второго порядка типа з в е на ЗНЧ2Н для оп,ределения
ЗНЧ2Н.
коэффициента μ1.
. Определим
теперь величину ,μ, которая представляет
собой коэффициент передачи RС-цепи при условии, что
действует только напряжение обратной ·Связи , входной
сигнал отсутствует, з на входных зажимах tRС-цепи
'
r
включено внутреннее сопротивление источника сигнала.
Соответствующая условию iи.с = О эквивалентная схема
RС-цепи ЗНЧ2Н -показана на ,рис. 2-6 . Для данной схе
мы составлена система уравнений
U.1 = f1(Rвх 11Х2);
j=
URI
1
R2+(Rвх1\Х2)
URl - Ивых -ir,x,;
(2-13)
Рис. 2-6 . Эквавалентная схема
звена ЗНЧ2Н для опр .еделения
коэффициента ,μ.
С1 uн1
~1--..---c:::э-.....-.....--f!J
~
.
I1: R1
Uвыж
~R
ll1
вз: •Cz
Решая (2-13), получаем:
•
и,
11=-.-=.:
Uвых
Подставляя в (2-3) найденные значения μ. 1 и μ.,
находим
выражение передаточной функции звена:
к~.
W(p) 1-К~ -
(2-14)
61
.В
соответствии с (1-22) параметры звена выразятся
через коэффициенты знаменателя передаточной функции
(2 -14) следующим образом:
Wo=V 1 +R,+R2 ___
R,x
УТ1Т2
(2-15)
(2-16)
Установим зависимость ухода собственной частоты
от изменения ,Rвх • Дифференцируя (2-15) по 1Rвх и за
меняя в полученной функции дифференциалы конечными
приращениями, поJ1учаем:
Лm0=-+ у R,+R2
ЛRвх· (2-17)
~
2
R,+R2 у-
Rвх 1+ R.x
Т1Т2
Деля· обе части (2-17) на (!)о, находим зависимость
относительного изменения собственной частоты от неста
бильности входного сопротивления :
(2-18)
Из (2-18) следует, что для ослабления влияния не
стабильности входного сопротивления на собственную
частоту звена необходимо выполнить условие R1 + IR2~
~,Rвх• В этом ·случае (2-1'5) и (2 -16) упрощаются, так
как членами, содержащими в знаменателе Rвх, можно
пренебречь. Подставив в данные выражения величины
п остоянных времени Т1, . Т2 и Те, получаем формулы для
расчета параметров звена:
(2-19)
(2-20)
62
Можно nока3а t ь, что относительна~ ошибка вычис
ления 'ffio по формуле (2-19) равна:
(2-20а)
Ошибка определения коэффициента затухания по уп
рощенной формуле (2-20) не может быть определена од
нозначно, так как зависит не только от величины вход
J-iого сопротивления, но и от значения S· Однако при вы
полнении условия R 1+:R2~Rnx она незначительна и лег
ко корректируется при настройке фильтров путем изм е
нения коэффициента передачи усилителя /(.
6) Звено нижних частот 2-го порядка с изолирован
ными секциями tRС-цепи (ЗНЧ2И).
Для рассмотренного звена ЭНЧ2Н характерна связь
между секциями R_,С-цепи, определяемая ·постоянной в.ре
мени T0 =1R 1C2 . При такой ,связи коэффициент затухания
RС-цепи возрастает, что требует увеличения коэффици
ента передачи усилителя. При изоляции секции ~RС-цепи
буферным усилителем .пос'Тоянная времени Т0 обращает
ся в нуль, что позволяет при тех же значениях К обес
печить меньшие коэффJАциенты затухания звена.
Рис . 2-7 . Схема звена нижних
частот второго порядка типа
ЗНЧ2И .
Рис. 2-8 . Эквивалентная схема
звен а ЗНЧ2И для о·преде ления
• коэффициента μ1.
~Схема звена нижних частот, использующего этот
принцип, показана на рис. 2-7. Звено состоит из двух-сек
ционной .RС-цепи нижних частот и двух у,силителей с ко
эффициентами передачи ,К1 и К2. Положительная обрат
ная связь осуществляется с помощью конденсатора С1,
являющегося элементом первой секции RС-цепи.
Найдем передаточную функцию звена, для чего опреде-
лим;1и ~-
Для схемы ЗНЧ2И величины ~ 1 представляет
собой коэффициент передачи .RС-цепи при условии, что
обратная связь отсутствует, а конденсатор С1 подключен
63
к «земле» через выходное сопротивление усилителя с ко
эффициентом передачи К2. Этому случаю соответствует
эквивалентная схема, изображенная на рис. 2-8 . Из схе..
мы видно, что цепь представляет собой последователь
ное соединещrе двух ЗНЧ 1 - го порядка, изолированных
буферным уошителем . Следовательно, μ1 - произведе
ние их передаточных функций, выражения для которых
были получены в ·параграфе 2-2 . Для упрощения полага-
Uвы:х:
Rв:х:1
Рис. 2-9 . Эквивалентная
схема звена ЗНЧ2И для
определения ~оэффициен -
та ,μ.
ем, что усилители идентичны и их входные сопротивле
ния равны Rвх1 =~вх2• Тогда выражение для μ1 будет
иметь вид:
➔---~~-~~------
/ "''R,R2+R2Rax+R,R.x). 1
•
+\1+
.
R~
, Т,Т2
Величина ~ является коэффициентом передачи RС-цепи
при условии, что действует только напряжение обратной
связи, входной сигнал равен нулю и к входным зажимам
цепи подключено внутреннее •Сопротивление источника
сигнала. Эквивалентная схема ,RС-цепи ЗНЧ2И, ,соответ
ствующая Эi,ОМУ случаю, представлена на ·рис. ·2 -9 . Как
видно из схемы, полученная цепь представляет coбoji по
следовательное соединение изолирова,нн'i,iх ~iВЧ и ·знч
1-го порядка, вследствие чего коэффициент μ равен про-
64
+(1+ R1R2+R1Rвx+R2Nвx)_1_ .
R;x
Т1Т2
Подставляя f1 и ~1 в (2-3) и ~производя преобразования,
получаем выражение передаточной функции ЗНЧ2И:
W(p)= ~,!~ =
1-~к
К,К2
Т,Т 2
р2+р
Т,Т2
,,+
(2-21)
, Параметры
звена, выраженные в соответствии с
(1-22) через коэффициенты знаменателя (2-21), опреде
~яются по следующим формулам:
(2-22)
(2-23)
где К=К1К2.
Анализ (2-22) показывает, что относительное измене
ние собственной частоты звена связано с относительной
5-200
65
нестабильностью входного сопротивления усилителя за
ви-симостью
дwо =--1-х
Wo
2
Х 2R1R2+R.x(R1+R2)
R;x+R1R2+R.x(R1+R2)
(2-23а)
Из (2-23а) следует, что для уменьшения влияния не
стабильности Rвх на ш0 необходимо брать величины рези
сторов R1 и R2 значительно меньше Rвх· Так, например,
RRR
дw0
ОБдR,х
вслучае 1=
2=
вх получаем -- =
-
, -R ,апри
roo
вх
R1 = R2 = О, 1Rвх нестабильность собственной частоты равна
дwо= -
0,09 дRR•x. Если условие (R1 , . R2 ) ~ Rвх выпол-
000
вх
няется, то для расчетов параметров звена удобнее ис
пользовать упрощенные формулы. !Пренебрегая в (.2 -22)
и С2-23) членами, ,содержащими в знаменателе Rвх, и
подставляя в (2-22) значения Т1 и Т2, получаем:
1
(2-24)
(2-25)
где
т, _!.!. _
-
т2·
Относительная ошибка вычисления собственной частоты
по (2-24) составляет:
0:::::;R1R2+R1+R2.
(2-26)
"'
2Rвх
2Rnx
в) Звено верхних частот второго порядка с неизоли
рованными ,секциями RС-цепи (ЗВЧ2:Н).
Звено состоит из двухсекционной J<С-цепи верхних
частот и усилителя ·С коэффициентом усиления К
(рис. 2-1 О). Напряжение положительной обратной связи
~ tRС-цепь ,подается через резистор R1, являющийся ее
элементом.
Найдем передаточную функцию звена. Эквивалентная
схема RС-цепи для определения μ1 и ~ представлена соот
ветственно на рис. 2-11 и 2-12. Выражения для этих ко-
66
эффициентов, найденные по рассмотренной выше мето
дике, имеют ,следующий вид:
U1
fJ-1= - .-=
и.х
p 2 T,T2Rnx
,
и,
μ=-
.-=
Ивых
p 2T 1T~R.x + р (T2R1 + R0xT 2 + T0R.x+T1R2+T,R.x)+ (R2 + Rвх)'
где T1=IR 1C1, T2=,R2C2, Тс= 1R1С2- ·постоянные времени
RС-цепи .
Р и с. 2-10 . Схема звена верх-
них частот второго порядка
. йвз;
типа ЗВЧ2Н.
Выражение передаточной функции находим, подставляя
в (2-3) значения ~1 и μ:
W()= l(p.,
_
р 2Т,Т2Х
р1-р,
-
p21\T2Rnx +Р [T1Rnx + (1 - К) 7',Rnx +
XR.xK
- - -, . --а;----,.-=-
+R.x+R2 '
Т, Т2Rвх
(2-27) .
Параметры звена ЗВЧ2Н, выраженные в ,соответст
вии с ( 1-22) через коэффициенты знаменателя переда
точной функции, определяются формулами
(1) -V1--1--~ - 1
-
;
(2-28)
0-
'
R.x УТ1Т2
5*
67
(2-29)
Анализ выра :же нип (2-28) показывает, что относи
тельное изменение собственной частоты звена связано
с относительной нестабильностью входного сопротивле
ния усилителя зависимостью
R2
ЛRвх
2 R2+Rвх Rвх•
(2-30)
.
с
Uя1 2
----------w
Rвз:
Рис. 2-11 . Эквивалентная схе
ма звена ЗВЧ2!-I для опреде-
Рис . 2-12. Эквивалентная схема
звена ЗВЧ2Н для определения
коэффициента μ.
ления коэффициента μ1 .
Из (2-30) следует, что для уменьшения влияния не
стабильности Rвх на w0 необходимо выдерживать соот
ношение R2/Rвx« 1. При выполнении данного условия
расчет параметров удобнее проводить по упрощенным
формулам:
(Do
•
- =171::::=R=1R~2=c=Iс=2=-,
2~= T, + (l-J()T2 +Tc_
уТ1 Т2
(2-31)
(2-32)
Относительная ошибка вычисления собственной частоты
звена по формуле (2-31) составляет:
(2-32а)
г) Звено верхних частот второго порядка с изолиро
ванными секциями RС-цепи (3ВЧ2И).
68
Звено состоит из двух
секционной RС-цепи верх
них частот и двух усили
телей с коэффициентами
передачи К1 и К2 (рис.
2-13). Положительная об
ратная связь осуществ- •
ляется r:, помощью рези-
________________.
стара R1, являющегося
элементом первой секции
RС-цепи.
lfПередаточная функция
звена определяется уравнени-
Рис. 2-13. Схема звена верхних
частот второго порядка типа
ЗВЧ2И.
ем (2 -3), при этом коэффициенты
валентных схем RС-цепи (рис.
11 1 и 11, найденные из экви-
2-14 и_, 2-15), имеют еле-
дующий вид:
Подставляя значения коэффициентов в (2-3) и вы
полняя преобразование, получаем формулу ,передаточ
ной функции звена:
69
(2-33)
Выражая параметры звена через коэффициенты знамена
теля (2-33), получаем:
где К=К1К2.
Рис. 2-14 . Эквивалентная схема
зве на ЗВЧ2И для о~:~ределения
коэффициента μ1.
(2-34)
Рис . 2-15. Эквивалентная схе
ма звена ЗВЧ2И для оп_ реде-
ления ко э ффициента μ.
Выражения (2-34) и (2-22), определяющие собствен
ные частоты звеньев типов ЗНЧ2И и ЗВЧ2И, идентичны.
Следовательно, все рекомендации в отношении выбора
величин резисторов 1RС-цепи звена ЗНЧ2И справедливы
и для -31ВЧ2И. Если указа нные соотношения обеспечива
ются, то расчеты величин параметров звена выполняют
ся -по формулам
где Т'= !i.
Т2
(2-36)
(2-37)
Относительная ошибка вычисления -u>o по (2-36), как
и для зве на типа ЗНЧ2И, определяется (2 -'2•6).
70
2-4. Полосовые и режекторные звенья
Полосовое звено с неизолированными секциями
RС-цепи (ПЗН). Реализация полосовых з,веньев состоит
в построении четырехполюсников, имеющих АЧХ «резо
нансного» вида. Очевидно, что если для этого приме
няется положительная обратная связь, то она должна
осуществляться через ,RС-цепь с частотной характерис
тикой ~полосового типа.
К числу , таких цепей от
носится так называемая
Г-образная
RС-цепь,
щ
представляющая собой йв:х:
Йвых
частотно-зависимый дели
тель напряжения, имею-
щий на определенной ча- . -------+ -- --- --'
стоте максимум коэффи- ••
циента передачи. Схема
полосового звена, в кото-
ром используется Г-об -
Рис. 2-16 . Схема полосового зве
на типа ПЗН.
разная цепь, показана на рис. 2-16. Звено состоит из
•усилителя с коэффициентом усиления К и двухсекцион
ной RС-цепи. Через первую секцию (R2C2) подается
входной сигнал, через вторую (R1C1) осуществляется
йвж
щ
Рис. 2-17. Эквивалент н ая схе
ма звена ПЗН для оп~еделе
ния коэффициента μ1.
пол:ожителыная
обратная
СВЯ ,ЗЬ.
JIJ-f1-C::::J-. . -- --t --~ -1Zf
С1 R1
и8ы:~:
Rz Rв:r, Cz
Рис. 2-18. Эквивалентная схе
ма звена ПЗН для опред ::: :, i:: -
ния коэффиц_иента .μ .
Н~йдем~передаточную функцию звена, для чего:опреде
лим~1И ~-
Эквивалентная схема ,RС-цепи, соответствующая слу-
чаю определения коэффициента μ1, показана на рис. 2-17.
71
Данная цепь явля е1'ся tiасtоtно- зй висиМым дМ и·rелем
напряж:ения с коэффициентом перед ачи
.
.
•
U1
Z1
ft1 =-. -= -.---
.
'
U8x
Z1+Z2
(2-38)
где z 1 и z 2 - комплексные сопротивления плеч делителя,
равные
R0x (Х1 + R1)
R2X2
1
1
z1=R.x+ X1+R1; z2= R2+Х2; Xi=рС1·;Х2=рС2•
Подставляя в (2-38) значения z: и г·2 и производя пре
образования, получаем выражение для i 1 :
гдеT1 =R1C
1
,
T2 =R2C
2
и Tc=C1 R
2
•
Эквивалентная схема RС-цепи для определения коэф-
фициента ~ показана на рис . 2-18. К:оэффициент передачи
данной цепи равен:
где
•
---
•
и1
z2
μ=------,
Uвых- 21+22
•
•
Rвх: (R2 11 Х2)
Z1=R1+Х1'Z2= R
R
•
вх+ ( 211Х2)
(2-39)
Подставляя в (2-39) значения 21 и z 2 и производя пре
образования, получаем . выражение для i:
•
R2R 8 xX2
fJ. = R2RвxX1 + (R1Rвx + R1R2+R~Rвx)X2+(Rвx+R2)X1X2+R,R2R0x
pC,R2Rnx
,0 ГJ,R,,-t- 1( ',( ,, 1-
·. ~.., t-
· 1 ~: 1- TcRвx)+(R2+R.x)
Зная величины μ 1 и μ, находим передаточную функцию
звена:
П7(р)= К:~1 . =
1-K!J-
K[р2Т1Т2+р(Т1+Т2)+1]Rвх
= p2Т1T2R.;,,:+P[T,Rвx+T2R,x+T,R2 + ТсRвх (1 - К)]+ (R2 + Rвх) =
72
(2-40)
Параметры звена выражаются через коэффициенты
знаменателя передаточной функции следующим обра
зом:
(D =-. /1 + __&__1_;
оV
Rвх у1\Т2
(2-41)
(2-42)
Выражение (2-41) идентично (2-2 ·8), найденному для
собственной частоты ЗВЧ2Н. Поэтому относительная не
стабильность собственной частоты полосового звена
ПЗН, выраженная через изменение входного сопротивле
ния усилителя, определяется также зависимостью (2-30).
Для уменьшения влияния нестабильности Rвх на ffio
в звене типа ПЗН необходимо, чтобы i.R 2/Rвx<1:. 1. Тогда
формулы для расчетов параметров звена упрощаются:
2~= Т, + Т2 +J2._-K) Т0 •
VT1T2
(2-43)
(2-44)
Относительная ошибка вычисления собственной ча
стоты по (2-43) такая же, как и в случае звена ЗВЧ2Н.
Полосовое звено с изолированными секциями RС-цепи
( ПЗ И) (рис. 2-19). Звено состоит из усилительного
устройства с коэффициентом усиления К1 и двумя вхо
да ми, а также RС-цепи с секциями нижних и верхних
частот, изолированными буферным •усилителем с коэф
фициентом усиления К2. На вход J подается входной
сигнал йвх, 3 на вход 2- напряжение обратной связи.
Обратная связь осуществляется через конденса1ор С2,
тu~щощийся э.11е1у1ецтом R·С-секцют верхних 1:р:1:ст9т.
73
Найдем передаточную функцию звена, для чего опреде
лим р. 1 и μ. Так как сигнал Ивх подается непосредственно
на вход усилителя, минуя RС-цепь, то ~ 1 = 1. Коэффици-
ент μ. является коэффициентом передачи RС-цепи при усло
вии, что действует только сигнал обратной -связи, а вход
ной сигнал равен нулю. Эквивалентная -схема •RС-цепи ,
соответствующая этому случаю, представлена на
рис. 2-20. Цепь представляет собой последовательное
Рис. 2-19. Схема полосово- Рис . 2-20 . Эквi1валентная схема зве-
го звена типа ПЗИ.
на ПЗИ для опредеJ1~ния коэффи-
циента μ.
соединение изолированных звеньев нижних и верхних
ча,стот :первого порядка:
К1
р
Т1
р.-
-
-(
R1+R•x)(
R2+R.x )·-
р + R1R.xC1 р + R2R.xC2
pT2R;xK1 •
= -2--2~
-----2---~2---------- -
р Т1Т2Rвх + р (Т1Rвх + Т2Rвх + T1R2Rвx + T2R1Rux) +
- -,. + (R1R2 +-R1Rвx + R2Rвx + R;J •
Подставив в (2-3) ~ 1 и μ и производя преобразования,
находим передаточную функцию звена:
W(p)=~=
l-fl -K
К1К2 [p 2T1T2R; x + р (R2R;x+T1R~x + T1R2Rвx + T2R1Rвx) ,+
=
2
2
2
__.
р2Т1Т2Rвх + р [Т1Rвх + (1 -К 1 К2) T2Rвx+R.x(T1R2+T2R1)]+
+ (R1R2 + R1Rвx + R2Rвx + R;x)J
--+
74
(2-45)
Параметры звена выражаются через коэффициенты
знаменателя передаточной функции ,следующим обра з ом:
(2-46)
R2
R,
(1-К)Т2 +т1 +Т, г+т2R
2~=
•х .вх
(2-47)
V R,R2+R,R.x+R2Rвx ,rтт
1+
2
у12
RBX
где К = К1К2.
Можно показать, что в ПЗИ, как в ЗНЧ2И и ЗiВЧ2И,
нестабильность -собственной частоты звена входного -со
противления связана зависимостью (2-23). В целях ее
уменьшения величины резисторов R1 и ~ 2 необходимо
выбирать значительно меньше Rвх- В этом случае
(1 -К)Т2+Т,
УТ,Т2
(2-48)
(2-49)
Режекторное звено с RС-цепью типа двойной
Т-мост (РЗ) .
Реализация режекторных звеньев состоит в построе
нии четырехполюсников, имеющих АЧХ заграждающего
типа. Если для этой цели применяеl'ся положительная
75
обратная еi3ЯЗЬ; то · она должн::1 ocyщec'tiЗJ1ЯiъC5t через
RС-цепь с частотной характеристикой также заграждаю
щего типа. К числу таких ,-RС-цепей относятся мостовые
цепи, имеющие на определенной частоте минимальный
коэффициент передачи. Наиболее часто в практике лри
меняет-ся . двойной Т-мост, имеющий большую избира
тельность. Схема режекторного звена ,с двойным Т-мо
стом показана на рис. 2-21. Звено состоит из усилителя
i1
R1
вRz
-А
,
-c::.J·-
С1
Cz
йв:~:
.1
1Сз
д
Рис. 2-21. Схема режекторного звена Рис. 2-22. , Эквивалентная
с 2-Т мостом.
схема RС-цепи режекторно
го звена для опре~еления
коэффициента .μ 1.
с коэффициентом передачи К и двойного Т-моста, через
элементы которого ,R, 3 C3 осуществляется положительная
обратная связь.
Найдем передаточную функцию звена, для чего опреде-
лимμ-1 и ~-
Для рассматриваемой схемы величина 11 1 яв
ляется коэффициентом передачи ]<·С-цепи при условии,
что обратная связь отсутствует, а между зажимом цепи
Д и нулевым потенциалом •схемы подключено выходное
сопротивление усилителя. Эквивалентная ,схема, соответ
ствующая этому -случаю, показана на рис. 2-22. Соста-
"
•
'
вим систему уравнении, связывающих напряжения и то-
ки данной цепи:
где
76
Выражая токи через напряжение Ивх и элементы· i'схёмЬl
u
--•
и определяя их из системы уравнении, находим величину
напряжения и 1 :
111 = i4хз - iвR2 =isRз + iвх2.
Отношение 111 и Ивх является коэффициентом передачи
двойного Т-моста:
Подставляя в (2-50) значения Xi, получаем:
р3Т1Т2Тз + р2 (Т2RзС1 + Т1RзС2) +
1-11 = р3Т1Т2Т3 +р2 (T2R3C1+ Т1Тз +Т2R1Сз +Т1RзС2 +__,.
•
+р(RзС1+R3C2) +1
•
__,. +ТзR1С2)+р(Т2+RaC1 +R1C2+RзС2+R,Сз)+1' ~
где Т1 =R.1C1; T2=R2C2; Тз=RзСз.
Анализ ~Показывает, что наилучшая избирательность
двойного Т-моста обеопечивае'I'СЯ 1при услонии
R1R2
С1+С2 _ 1
С С+С
R3(R1+R2) =
·
С3-
'
т.е.з=
1
•'
Rз= R R1RR
1+2
Определим коэффициент μ1 • для частного, но имеюще
го большое практическое значение .случая, когда R 1=
=R2=2Rз и С 1 = С2=0,5Сз,
т. е. (Т 1 =Т2=Тз=Т):
рЗJЗ+р2Т2+рТ+1
l-11 = рЗJ'З+p25J'2+р5Т+1
р2Т2+ 1
=
p212 + 4Tp+ I (2-51)
О~ределим теперь вели
чину ,μ, являющуюся коэффи
циентом передачи RС - цели
при условии, что действует
только сигнал обратной свя
зи. Входной сигнал равен
с1
А
Рис. 2-23. Эквивалентная схе
ма RС - цепи режекторного зве
на для определе1!ия коэффи-
циента ,μ .
77
нулю, и к входным зажимам цепи подключено внутрен
нее ,сопротивление источника ,сигнала. Эквавалентная
схема RС-цепи режекторного звена, -соответствующая
этому случаю, представлена на р,ис. 2- ·23. Система урав
нений, описывающая данную схему, имеет следующий
вид:
j1=j2+jз=j4+j,; )
jв=j2_j4=j,-jз;
Ивых =j2X3 +j4R1 =jзRз + i,x1;
j4R1 =jвR2 + joX2 + j,x1.
Величина напряжения и 1 равна:
U1=j4R1-jвR2 . j,x1+iвx2.
(2-52)
(2-53)
Отношение ul к Ивых является коэффициентом пере-
дачи RС-цепи. Определяя величины токов и параметров
схемы из уравнений ,системы (i2-52) и подставляя их
в (2-53), найдем величину μ . Можно показать, что для
случая Т1=Т2=Т3 =Т
μ.= р3ТЗ+р25Т2+р5Т+1
р34ТЗ+р24Т2
р24Т 2
р2Т2 + р4Т+ 1
Используя (2-3), при условии (R1 + IR 2) «'Rвх ~полу
чим передаточную функцию режекторного зве1на:
(2-54)
Величины параметров звена определяются выражениями !
(2-55)
(2-56)
При выводе передаточной функции ·режекторного зве
на в целях упрощения выкладок не учитывала ,сь величи
на входного -сопротивления усилителя . Однако можно
78
показать, что для уменьшения нестабильности ,параме
тров режекторного звейа .вследствие изменения Rвх не
обходимо выполнить условие (R , + 1R2 ) «Rnx•
Следует отметить, что влияние Rвых на величины па
раметров в данном звене .проявляется несколько еильнее,
чем в других раосмотренных звеньях. Это объясняется
тем, что параметры RС-цепей мостового типа более чув
ствителы-1ы к изменению величин элементов. Поэтому
для уменьшения влияния Rвых на избирательные -свой
ства двойного Т-моста необходимо иметь Rвых«Rз.
2-5 . Характеристики усилителей звеньев.
Схемные реализации усилителей
На основании анализа передаточных функций звеньев
можно сформулировать следующие основные требования,
предъявляемые к усилителям:
для обеспечения · в звеньях ,положительной ча,стотно
зависимой обратной связи усилители не должны изме
нять фазу входного сигнала;
значение коэффициента передачи по напряжению
должно плавно регулироваться в пределах К= 1-2. Эти
пределы обусловлены величинами к•оэффициентов зату
хания звеньев .i -1 отношениями неличин элементов RС-це -
пей;
&c,,.v,·
,,·
они должны иметь t!,ИЗ~не в!одные и высо1н~е вхо~
ные сопротивления, величины которых связаны с .номи-
1-rал·амй резисторсiв~,RС - цешей завиоимостями, получен,ны
ми в предыдущих ~параграфах;
частотные характеристики усилителей в рабочем диа-
пазоне частот должны быть линейными;
они должны быть экономичны.
Рассмотрим выполнимость данных требований.
Уоилители -без поворота фазы могут быть выполнены
двумя способами: в виде эмиттерных •или катодных по
вторителей, имеющих коэффициент передачи К< 1, и
в виде двухкаскадных усилителей, имеющих коэффици
енты 'Передачи -больше единицы.
.
Основной трудностью в пост,роении усилителей актив
ных ,RС-фильтров является обеспечение в них жесткой
стабилизации 1юэффициеитов передачи и высоких вход
ных ,сопротивлений. Подобные требования предъявляют
ся также к усилительным устройствам различной -изме
рительной апiПаратуры, и в настоящее время имеется
79
значительное количесгво работ, посвященных решению
этой проблемы.
Одним из наиболее распространенных методов уве
личения входного со,противления транз ·исторных усили
телей является применение :положительных обратных
связей для нейтрализации сопротивления коллекторного
перехода входного транзистора и повышения действую-
-
щего значения сопротивления смещения в цепи его базы.
♦Весьма эффективным методом увеличения входных со
противлений усилителей являет,ся также введение отри -
1rкг
~ к._,Uдыz
I,,1⁄2к,
.J...
Рис. 2-24 . Схема двухкаскадно
г-о транзисторного усилителя.
+Еп
Рис. 2-25. Эквивалентная схема
усилите.~rя при разомкнутой цепи
обратной связи.
цательной обратной связи. Для пост,роения усилителей
активных RС-фильтров данный метод следует ·признать
наиболее целесообразным, так как наряду с высоким
входным сопротивлением он ,позволяет обеапечить высо
кую ,стабильность коэффициента передачи усилителя и
улучшить частотные характеристики. Одна из схем ста
бильных усилителей с высоким входным сопротивлением
пока з ана на рис. 2- ,24.
Усилитель состоит из двух каскадов, выполненных на
транзисторах Т 1 и Т2 , имеющих различные ти,пы ,прово
димости. На при·веденной ,схеме входным является , тран
зистор типа п-р-п, а выходным - р-п - р. Применение
транзисторов с различной проводимостью позволяет лег
ко выполнить непосред,ственную связь между каскадами.
Из ,схемы усилителя видно, что его вход и выход
• охвачены отрицательной обратной связью ,по напряже
нию. Действительно, коллекторный ток транзистора Т2,
1протекая через резисторы Ro и Rэ, ,создает на них паде
ния напряжений Uло ц Uлэ, сумма которых равнf! Uрч:·
~!)
Так как Rэ включен в цепь эмиттера Ti, ·ю часть выход
ного напряжения Инэ 1пр-икладывается ко вх-оду усилителя
·В пр,отивофазе с входным сигналом. Цепью обратной
-связ-и является делитель, образованный Ro и Rэ , Вели
чина на1пряжения о·братной связи определяется выраже
ниеJi,1
Следовательно, коэффициент передачи цепи обратной
связи равен:
. (2-57)
Рассмотрим основные соотношения для схемы усили
теля и найдем формулы, определяющие его коэффици
ент передачи, входное и выходное сопротивления.
•
Известно, что коэффиц,иент ,передачи усилителя, охва
ченного обратной ,связью по напряжению, в общем виде
может быть ·выражен следующим образом:
(2-58)
где Ко - коэффициент уtиления iПр-и разомкнутой цепи
обратной связи;
Ко . с - ,коэффициент передачи цепи обратной связи.
Величина К.о для рассматриваемой схемы является
произведением коэффициентов усиления по напряжению
каекадов усилителя пр·и разом~нутой петле обратной
связи (рис. 2-25) . Следовательно,
к и.ыхкк
о =-г= и1 и2,
r
.
(2-59)
где Ки~ и Ки2 - коэффициенты усиления по на·пряжению
соответственно 1-го и 2-,го каскадов усилителя.
На основании теории транзисторных усилителей
[Л . 46] величины Ки~ и Ки2 могут быть определены сле
дующим образом:
К_Uвых1=-·-
Кi1 (Rк1 11 R.x2) •
и~-
Er
Rr + Rnxt
'
К=и.ых=_ Ki2(R.2IIRи) ,
и 2 Uaыxt
Rsx2
где Кп, !(;2 - динамические коэффициенты усиления по
току Т1 и Ti;
8.!
Rн1, Rн2 - ·величины сопротивлений в коллекторных
цепях Т1 и Т2;
Rвxl, Rвх2 - величины входных сопротивлений 1-го и
2-го каскадов.
Подставив выражения Кп 1 ·и Кп2 в (2-69) и произведя
преобразования, получим:
Определим теперь коэффициент пе,редачи усилителя
с учетом действ.ия отрицательной обратной ,связ•и. 'Под
становка в (!2-58) значений Ко.с и Ко дает следующее вы
ражение для ·коэффициента передачи усилителя:
Учитывая, что Rк 2 = R0 + Rз, и преобразовывая полу
ченное выражение, находим:
(2-60)
При значениях: коэффициентов усиления транзисторов
Kil и l(i2 порядка нескольких десятков :первым слагае
мым в знаменателе ('2-60) ·можно пренебречь. В этом
случае формула для коэффициента !Передачи усилителя
приобретает вид:
(2-60а)
Пра1пически при иопользовании транзисторов со
средними величинами коэффициентов усиления по то·ку
погрешно'сть ,вы чи,сле:ния К по (2-60а) не ~превышает ~не
скольких процентов, что В'полне приемлемо для инженер
ных расчетов .
Для определения входного сопротивления усилителя
воспользуемся известной формулой, связывающей вели
чины входного сопротивления усилителя при отрицатель-
82
ной об,ратной связи Rвх и при разомкнутой ~петле обрат
ной •СВЯЗИ Rвхо:
(2-61)
В рассматриваемой схеме усилителя (рис. 2-25)
входное сопротивление первого каскада Rвхо опреде
ляется следующим выражением :
Rвхо= Г51+(1'э1+Rэ11l"\1)(1+Ki1) =Гб1+Rэ(l+Ki1),
(2-62)
где r 61 и r 31 - сопротивления базы и эмиттера Т 1 ;
r'\ 1 = 1 ~~1 - динамическое сопротивление коллектора Т 1 •
Подставив в (2 -61) значения Rвхо, Ко.с, Ка и произве
дя ,преобразования, получим:
(2-64)
Это выражение говорит о том, что при ,использовании
транзи,сторов с высокими ,значениями Kil и К;2 в данной
схеме усилителя может быть обеспечено достаточно вы
сокое входное со1цротивление. Однако 1при заданной вели
чине произведения RэRi1Ki2 входное сопротивление нахо
дится в обратной зависимости •и от величины внутрен
него сопротивления источника ,сигнала в ,силу того, что
в транзисторных усилителях коэффициент усиления по
ll
на,пряжению Ки= Ёых уменьшается с увеличе1J-1ием вну-
•
треннего соtПротивления генератора сИ1гнала. !Вследствие
этого уменьшается коэффиц,иент усиления К.0 , что и при
водит к снижению •входного -сопротивления усилителя.
При ~подключении на вход усилителя ,RС-цепи источник
-сигнала будет ,иметь новое, эквивалентное значение со
противления Rг.экв, зависящее от величин внутреннего со
противления самого источника сигнала и передаточного
б*
83
сd,r1,ро'i'ивления •RС-цепи. Для чactbt, лежащих в 110.flocё
П;роhускания звена, передаточные · ,сопротивления RС-це
пей в первом приближении можно ,считать актиВ'ными,
определяемыми значениями резисторов. Поэтому величи
на Rг. энв в общем случае будет зависеть от величины ре
зисторов RС-цепи и схемы их включения относительно
внутреннего сонротивления источни-ка сигнала. С этой
точки зрения возможнь! два характерных ,случая.
а) Rг .энв ~ О. Этот ,случай ,соответствует ,работе усили
теля в схемах з·веньев, у ,которых рез·исто,ры .RС-цепей
включены ~параллельно внутреннему со-противлению
источника сигнала. Это звенья .верхних частот обоих тi-1-
пов, для которых величина Rг.энв определяется ,главным
образом значением ннутреннего ,сопротивления источни
ка сигнала, являясь при Rг~ ·О величиной ,пренебрежимо
малой .
Если принять Rэ=б, 1 ком, Kil = 15, К;2 • 25 и ,Rг =0,
то в соответствии с (2~64) получим Rвх~2 • 106 ом.
б) Rг=!=О и соизмеримо с 11~вх1, Данный случай соот
вет,ст,вует работе усилителя в таких схемах звеньев, у ко
торых резисторы ,RС-цепей включаются последовательно
с внутренним сопротивлением источника сигнала. Это ха
рактерно для звеньев нижних частот, полосовых, а также
•режекторноrо типа . Для них значение Rг.энв определяется
суммой внутреннею ,сопротивления источника сигнала и
сопротивлений резисторов .RС - цепи, при этом ·преобла
дающее значение имеют величины рези,сторов.
Если Rг= , 100 ком, то для принятых выше значений
параметров транзисторов и элементов схемы величина
Rnx~1•106 ОМ.
Таким образом, в ,схемах ЗНЧ, [13 и РЗ величины
входных сопротивлений транзисторных усилителей ниже,
чем в ЗВЧ, что ,соответственно снижает значения рези
сторов RС - цеnей этих звеньев .
Найдем теперь выра)!<ения для выход}юго сопротив
ления усилителя. Так как усилитель охвачен последова
тельной отрицательной обратной евязыо по на,пряжению,
то его выходное сопротивление может быть определено
следующим образом:
R
Rвыхо
вых=]+кк'
о.с о
(2 -65)
1 .1е Rвыхо - выходное со,противле.ние усилителя при ра
ЗL' ,1 'кнутой uепи обратной связи.
84
Для схемы усилителя (рис. ·2•25) ,величина Rnыxao11pe 0
.деляе тся выражением l[Л. 46J
(2-66)
где
здесь rэ2 - сопротивление эмиттерного пере хода Т2;
Rnыxi - выходное ,сопротивление 1-го .каскада усили
теля.
Подставив в (2-66) значение Rн2=Ra+Rэ и произве-
дя .преобра зования, ,получим :
R
_
(Ro + Rэ) [(rэ2 + rб2 + Rвых1) + ~2l'э2]
•
выхо-
(
Ro+R.
)
(Гэ2+rб2 + Rвых1) , 1 +
r*
+ ~2Тэ2 •
\
к2
(2-67)
Подставляя: значения Rвыхо, Ко . с и КO в (2-65), получаем :
R
Ro+R.
вых -
RL'. 1(.
1+
.,1,,1 12
(
Rвх?)(
(R, + Rвх1) '- 1+ Rк1
1+
• (2 -68)
Если Ki1I<,;2';;J> 1, Rн1=00 и Rн» -Ra+Rэ, что часто
В•стречается в практических схемах, выражение (2-68)
упрощается:
R,
_
(1+Ro)' R,+Rвх1_КR,+Rвxl. (2-69)
вых -
R.
Ki,!\i2 -
Ki1Ki2
Для К= 1,5; • Kil = 1lб; К;2 = 12:5 вых·одное •сопротивле
ни е усилителя равно:
.при Rг.энв= ЮО КОМ Rnыx=80O ом;
при Rг.энв= 10 Rвых=400 ОМ.
Таким образом, благодаря глубокой отрицательной
обратной связи усилитель имеет малую величину выход
ного сопротивления.
Полученные выражения позволяют рассчитать вели
чины ,параметров усилителя. Однако •при п,роектировании
85
фильтров необходимо уч11тывать стабильность rtараме
тров усилителя, особенно ,стабильность коэффициента
передачи, так как ,влияние нестабильности Rвх и Rвых на
характеристики фильтров может быть уменьшено соот
ве1'ствующим выбором величин резисторов RС-цепей.
Известно, что в регенеративных избирательных устрой
ст1вах ,стабильность ,коэффициентов затухания и переда
чи -связана зав 11кимостью
Следовательно, пμи уменьшении ~ (увеличении доброт
ности) требования к стабильности /( резко возрастают, и
при заданном значении д66 величина ~f характеризует макси
мально достижимую избирательность устройства.
Для транзисторных усилителей наиболее сильным де
стабилизирующим факто,ром является изменение темпе
ратуры окружающей ,среды. Поэтому ~проанализируем
зависимость коэффициента ,пе,редачи усилителя от темпе
ратуры, рассматривая выражение (2 -60) как функцию
нескольких ~переменных . При этом сч·итаем, что величина
Ro/Rэ является независимой от температуры, а влиянием
нагрузки можно пренебречь в силу -выполнения условия
Rн»IR.о+IR.э-
Та1ким образом, в анализируемом вы,ражении темпе
ратурно - за,висимыми параметрами являются динамиче
ские коэффициенты усиления транзисторов по току и
входное сопротивление каскадов усилителя. Исследова
ние т,ранзисторов ·показывает, что зави-симости данных
параметров от тем ,пературы в диапазоне от -60 д•о
+бО 0С достаточно точно аппроксимируются линейными
функциями l[Л. 47],. Это ~позволяет ,представить темпера
турный коэффициент изменения коэффициента передачи
усилителя (ТКК) в следующем виде:
Кт- Кто_!_=dl(_1( д!( dK,1 +д!( dK,2+
Т-Т0Кто dTК дК,1dT
дК,2 dT
+~ dRoxl +~ dRnx2)
(2-70)
дRвх\ dT
дRох2 dT '
где Т -температу~ра окружающей ,среды;
Т0 - нормальная темпе,ратура;
86
Кт и Кто - коэффициенты ~передачи усилителя при экс
плуатационной и нормальной температуре
соответС'гвенно.
Дифференцируя (2-60), находим величины ча-стных
произ·водных :
д!(
дl(it к-
дК
дR,х2 к=-
( Rnx2)+ R.
(R,+Rвxt) 1+ Rкt Ki1Ki2 э
Подставляя величи н ы частных производных в (2 -70)
и выполняя ~преобразования, получаем выражение для
ТКК усилителя :
где
_
dR8x1 1 .
авх1--dТ R-,
вхt
(2-71)
dR,x2 1
фф
а11х 2 = -dT ~ - температурные коэ
. ициенты
изменения
l(BX2
87
коэффициента передачи усилителя, динамических коэф
фициентов усиления по току Т1 и Т2 и входных сопротив
лений каскадов усилителя соответст,венно .
Из (2-71) ,следует, что стабильность усилителя возра
стает ,с увеличением 1Коэффициентов усиления транзисто
ров по току. Кроме того, выражение в скобках показыва-
• ет, что при
противо'положных знаках температурных
коэффициентов а; и авх знак и абсолютная величина ТКК .
зависят от отношений сопротивлений Rг!Rвх1 и Rвх2/Rн1-
Для получения чи,сленных значений 1а11 ,найдем вели
ЧИ'НЫ температурных коэффициенто,в 1а;1, П;2, ·авх I , авх2·
Величина Kil определяется выражением (Л. 46J
*
кR
гKl'
ii = 1-'i
*+(R11R)'
f 1<1
И1 вХ2
(2-72)
в котором тем ,пературно-за,висимыми параметрами яв
ляются статический коэффициент усиления транзистора
по току ~' динамичес1юе значение
сопротивления кол
лекторного nе.рехода r*н 1 и величина Rвх2-
Температурный коэффициент изменения Kil , выра
женный через частные производные указанных параме
тров, имеет вид:
а· _dKt ,
_I
___~
_!_+
R.x2
11-
dTKt1-dT~1
*
( Rвх2)+R
Гкl1+R
вХ2
К!
х
Х[dr*к2 _ 1
_
1
~ Rnx2] ,
dT r*к2
~r
Rвх2 \
dT
1+тIR.x2
Kl/
(2-73)
С учетом условия Rн'2>Rн 2 формула для динамиче
ского коэффициента усиления по току транзистора Т2
может бьiть на:писана ,следующим образом:
(2-74)
Дифференцируя (2- 74), получаем:
а. _ dKt2 _1__d~2 _I_+
Rк2
dг"'к2 l (2- 75)
12-
dTKt2-dT ~2
r*к2 + Rк2 -;J'Т" г*.2.
Найдем далее температурный коэффициент измене
ния r'*н, входящий в выражения а; 1 и а;2. ВеJ1и,111на дн
намического сопротивления коллекторного переходо
определяется формулой
Дифференцируя (2-76), находим вьфаж:ение для 1-емпt\
рату рного коэффициента 1"\,.:
_dr'к 1
~
а,*к- dT ~=а,,,- 1+~а~,
(2-77)
dr'"к 1
d~1
где а,к= dT r'''к и а@=dT -~-
-
соответственно тем-
пературные коэффициенты изменения сопротивления
коллектора и статического коэффициента усиления тран
зистора по току. Исходя из формул, определяющих ве
личины ,входных •сопротивлений 1-го и 2-го ка;скадов
усилителя, найдем выражения для температурных коэф
фициентов авх1 и а·вх2- Для первого каскада в соответст
вии с (2 -62) имеем:
Rвх1 = 11'б1 + (rэ1 + IRэ) (Kii + 1),
откуда
(J,вх, = dRdвTxl -R
1 =R~ [rб,аб, + Гэ, (Ki, + 1) (J,Эl +
•
вхl
вхJ
(2-78)
dr61 1
dr01 1
где а51= dT -
,
аз 1 = dT --температурные коэффи-
.
Гбl
Гэ1
циенты изменения сопротивления базы и эмиттера Т1 •
Входное сопротивление 2 - го каскада усилителя равно:
Rвх2= Гб2+Гз2(Ki2+1).
(2-79)
Следовательно,
(2-80)
где ra52 и .а02 имеют тот же ,смысл, что и коэффициенты
а51 и аэ1 в (2-78).
Используя (2-73), (2-75), (2-77), (2-78) и (2-80),
можно рассчитать величины температурных коэффициен
тов изменения параметров усилителя и найти значение
ТКК. При этом, как -следует из /Полученных выражений,
исходными -величинами являются темпера1урные коэф-
89.
фициенты изменения параметров транзисто,ров ,аб, аз, ан
и а\>, которые определялись по температурным завнсимо
стям величин r 6 , rэ, rн и р, приводимым в ,справочной ли
тературе i[Л . 48J, и ,экопериментальным ,путем .
Проводимый ра,счет имеет приближенный ха ,рактер,
так как ,коэффициенты а 6 , ,а.а, а:н и а~ зависят не только
от типа транзисторов, но и от режимов их работы. Не
смотря на это, данный расчет позволяет количественно
проанализировать ха,рактер температу,рных ,изменений
коэффициентов ~передачи усилителей в звеньях различ
ных типов и определить ~порядок величин ТК'К, соответ
ствующих эт,им случаям.
Характерной особенностью рассматриваемого усили
теля я,вляется работа входного т,ранзистора . в •режиме
микротоков, ,при котором коллекторный ток имеет вели
чину / н1 = 1О-;- 20 мк.а. Данный режим необходим для
обеспечения вьюокого входного сопротивления усилите
ля. Однако при малых коллекторных токах существенно
уменьшается коэффициент усиления по току и ухудшает
ся ,стабильность усилителя за ,счет увеличения •влияния
теМ"пературного изменения тока fно- Вследствие этого
в усилителях, ·предназначенных для ра6о:rы в широком
диа,пазоне тем,ператур, должны использоваться транзи
сторы, ,имеющие весьма малый ток fно и достаточно
большие значения р в режиме микротоков. В рассмат.ри
,ваемой ,схеме (рис. 2-124) применены кремниевые тран
зисторы типа МП113А (Т 1 ) и 1М1П 106 (Т2 ), которые нахо
дятся в следующем режиме: Е,{= 10 в, Исм= ·З в, fн 1 =
= :20 мка, fн2= ·О,6 лш, Rз=Б,1 колt, RI{2=tRo: +1Rз= 7,5кoлt.
При этом парамет,ры транзисторов имеют ,следующие
значения: Р1 = 11·3, rI{1 =:210 Молt, r*н1 = 1,2-5 Мом, ,р 2 = 30,
r,;2=11 Мом, r*н2 =:32 колt .
Входные ,сопротивления ю1окадо-в, рассчитанные по
формулам (2-02) и (2-79), имеют величины: RвxI =•
= 105 ком и Rвх 2 = 1,6 ком. Значения 001противлений
эмиттеров и баз Т1 и Т2 при определении входных сопро
тивлений вычислялись по формулам [Л.· 46, 47] •
25-1о-3 ; r
а.о
'э20• С= /
'
620° С =--2
э
l -а0
где /3 - ,величина эмиттерного тока ·при i=20°C; ао
значен-ие статичеекого коэффициента усиления 110 току
транзистора в схеме ,с общей 1базой при i=20°C.
90
По данным ,[Л. 48J, температурные коэффициенты ,па
раметров Т1 и Т2 имеют значения:
ак2 = 1,5- 10-з zрад- 1.
Расчет величин температурных коэффициентов ан,
а;2, авх и 1авх2 по ,вышеприведенным формулам дает ,сле
дующие ·результаты:
ai1 = а~1= 5,5- 10-з zрад-1;
ai2 = 4,4- 1о-з ~рад-1;
а.вх1=8,О-lО-З zрад- 1 ;
аВХ2 = 7,5-10:_З zрад- 1 .
На основаrиш ,получею-rых результатов найдем вели
чину ТКК. Для этого определим значения коэффициен
тов в (2 -71). Коэффиц,ие1-1т, •стоящий перед ,величиной
авхl, определяет,ся отношением Rг!Rnx l , а перед авх2 -
Rnx2/IR.н1- Как отмечалось выше, в рассмотренных типах
звеньев эквивалентная величина внутреннего сопротив
ления источника сигнала может быть либо 6л:изка к ну
шо, либо рав1на нескольким деся1ч<ам или сотням килоом.
Для определенности ра,ссмотр'ИМ два близках -к практике
случа,r Rгf.Rвxl =0 и Rг/;RвxI = 1, для которых вычислим
величину ТКК.
Расчеты ,показыва1от, что 1при Rг.энв=О и указанных
параметрах схемы тем,пературный коэффициент измене
ния ,k имеет величину порядка 0,01 %1 град -1 :и путем со
ответствующего выбора отношения R.nx2/Rн 1 может быть
приближен к нулю.
При Rг.энв = О увеличение Rвx2/R1,1 может привести
к отрицательному .знаку ТК'К, так как некоторые ти,пы
транзисторов 'И!vrеют 1большие температурные 1коэффицн
енты 1а 6 , 1а3 и ан, - вследствие чего в ,схеме обеспечивае'!'ся
·Соотношение
\aii+ai21<1а,вхt+ R.x~•+ Rк, ащ1·
91
При Rг= 100 ком расчетное значение ТКК усилителя
равно ан;:::;; 5 • I0-4 град--', т. е. 1при увеличении внутрен
него сопроти,вления и-сточника оигнала стабильность уси
лителя ухудшает·ся. Характерной чертой данного режима
усилителя является положительный знак ТКК, абсолют
ное зна-чение ,к,оторого при проч,их равных условиях опре
деляе-гся величинами резисторов RС-цепей. Следователь
но, для повышения ,стабильности звеньев, работающих ·
с высокоом1ными R.С-це,пями, необходима термокомпенса
ция изменения коэффициентов передачи у,оилителей, -спо
собы которой приводят,ся ниже .
~ ---~ +/J{j
б)
Рис . 2-26. Трехкаскздный транзисторный усилитель
(два варианта).
Величина ·входного сопротивления рас-смотренного
усилителя в ,ряде случаев недо-статочна. Если исходить
из условия уменьшения воздействия нестабильности
входного ,со,противления на ,собственную частоту звена (!)о
и учесть •влияние велич1ины резисторов R.С-цепей на ста
бильность коэффициента передачи ,усилителя, то ~приме
нение в ЗНЧ, ПЗ и РЗ ·резисторов выше 100 ком, а в
ФВЧ - выше 300 ком нецелесообразно . Для увеличения
номиналов рез1исторов необходимо повышение входного
сопротивления усилителя, что может ,быть до-стигнуто
ро,стом коэффициента Ко. С этой целью в усил;итель до
бавляе-гся транзистор Тз, включенный по схеме с общим
коллектором (рис. 2 ..126,а). Можно показать, что величи
на коэффициента уоиления ло напряжению ,пр·и разомкну
-гой цепи обратной овязи для данной ,схемы определяется
выражением
(2-81)
92
Из (2-81) следует, что коэффициент усиления Ко
в трехтранзисторном усилителе увеличился в К;з раз.
В ,связи с этим ,его входное сопротивление также увели
чивает,ся в К;з 1раз , а выходное во столько же раз умень
шается. Указ,анные параметры усилителя могут быть вы
числены по формулам
•Rвых=(1+'•)
Rr+Rвх
Ki,Ki2Kiз '
_
(2-82)
(2-83)
а коэффициент ,передачи усилителя-по формуле (2-бОа).
Входное 111 выходное ,сопротивления трехтранзисторного
усилителя для указанной на рис. 2 ~26,а схемы имеют сле
д'ующие значения:
'ПРИ Rг = О: Rвх"?:6 Мом, Rвых ~ 50 ом;
1при Rг=200 ком: Rвх"?:3 Мом, Rвых~ 150 ОА1.
Таким образом, у трехтранзисторной ,схемы входное
со.противление в 2-3 раза выше, чем у двухтранзистор
ной, что позвол~яет во столько же раз ,увеличить номи
налы рез1исторов RС - цепей.
_ Дальнейшее
возрастание числа транзисторов в усили
теле для повышения R вх нецелесообра з но, так как эта
мера при числе транзисторов ·больше трех не дает суще
ственного увеличения коэффициента у.С'иления К0,. Это
объя,сняется тем , что первый транзистор Т 1 уоилителя
работает в -режиме микр-отоков и в ,силу этого имеет
малый коэффициент усиления Kil - При огранич е нном
токе коллектора 1выходното тран з истора возрастание чи
сла каокадов усилителя приводит к дополнителыному
снижению эмиттерного тока и ко,эффициента усиления
входного транзистора, в связи ,с чем -1юэффициент Ко -
ра-стет ~езначительно. Кроме того, ,увеличение Чlисла ка
скадов приводит к ухудшению частотных характеристик
усилителя вследствие возра ,стания по,стоянных времени
коллекторных цепей транзисторов. Так, на1пример, верх
няя граница полосы •пропускания усилителя, выполнен
ного на двух транзисторах типа MIПl lЗА тт MJПI 16, ра,вна
10 кгц. В схеме с т,ремя транз,исторами того ж е т,и~па
она снижае11ся ~приблизительно втрое .
93
На рис. 2-26,6 представлен другой вариант трехтран
зисторной ,схемы усилителя, отличающийся от предыду
щего тем, что эмиттерный повторитель включен ·между
первым и вторым ка,скадами. Это позволило ра,сширить
~полосу пропускания усилителя до 6 кгц. !По >Rвх и Rвых
он равноценен первому варианту трехтранзисторного ус:и
лителя.
Анализ показывает, что температурные измене
ния коэффициентов передачи трехтранзисторных усили
телей определяются закономерностями, найденными для
двухтранзисторной ,схемы. Из них ,следует, что ,с увели
чением номиналов резисторов RС-цепей возрастает вели
чина ТКК усилителя. Поэ'I'ому 'При использова;нии
в RС-цепях •резисто,ро·в 1оравнитешшо большой величины
('200-600 колt) ,следует ~предусматривать компен•сацию
температурных уходов иоэффициентов передачи, что осо
бенно важно для звеньев •с -малыми коэффициентами за
тухания.
Как отмечалось выше, абсолютная величина и знак
ТКК в знач1ителыюй мере определяются экви,валентным
внутренним сопротивлением источника ,сигнала. В связи
•с этим в звеньях типа ,ЗНЧ, ПФ и РЗ ТКК ~положителен,
а в звеньях типа ЗВЧ - может иметь разный знак. Для
компенсации положительных уходов 1юэфф~ициентов
передачи усилителей могут применяться различные мето
ды, основанные на использовании элементов с ·отрица
тельным температурным коэффициентом изменения оо
прот1ивления . По эт-ому принципу работает состоящая из
последовательно соединенных резистора и диода термо
ком1Пенсирующая цепочка, подключаемая параллельно
переходу эмиттер - коллектор. Вследствие отрицатель
ного температурного ~коэффициента изменения обратного
сопротивл е ния диода шунтирующее действие rюмпенси
рующей цепочки возрастает ,с повышением тем-пературы.
Часть коллекторного тока транзистора ответвляется, что
приводит к уменьшению роста коэффициента Ki и повы
ше н ию стабильности коэффициента передачи усилителя .
Степень компенсации, 01пределяемая -величиной ответ
вляем-ото тока, регулируется ре з'Истором, включенным
последовательно с диодом. Значение ре з истора подби
рается эксперим-ентально, что позволяет снизить ТКК
,в не.сколько раз. Один из возможных ,способов включе
ния компенсирующих цепочек ,показан пунктиром на СХР·
мах усилителей (рис. 2-24 .и 2~26,6).
94
Другим способом температурной ,компенсации .поло
жительных ТКК является включение термисrоров в цепь
отрицательной обратной связи у,оилителя (ри,с. 12 -27), что
обеспечивает отрицательный температурный ,коэффици
ент велич1ины RofiRэ ,и коМiпенсацию увеличения ,коэффи
циента ~передачи. Температурный ,Jюэффициент такой
цепи определяется величиной ТК~С термистора и соопю
шением величин элементов . Методика ра,счета подобных
це.пей описана в <[Л. 49[1 .
Рис . 2-27 . Схема включе
ния термистора в цепь
обратной связи усилителя .
+1_50
Рис. 2-28 . Схема усили
теля с полевым транзи
стором.
Рассмотрение транзисторных усилителей показало,
что входные сопротивления двух- и трехкаскадных уси
лителей равны ,5_ 1,0 Мол,1. Дальнейшее ~повышение Rnx
связано со значительным усложнением схемы у,силителя.
Проблема обеспечения высоких входных сопротивле
ний усилителей кардинально решается путем примене
ния ,полевых транзисторов и экономичных микромиш1а
тюрных лам.п. Особенно перспективны ,полевые т,ра1ши
сторы, в основу работы которых положена модуляция
ширины канала .пространственным зарядом р-п перехо
дов. Величина входного сопротивления при :этом опреде
ляется обратными токами 'переходов, ,имеющими для
транзисторов различных типов значения 10- 9
-10- 12 а.
Так как входные емкости ,полевых транзисторов •малы
(0,5-5,0 пф), их входные сопротивления в диапазоне
низких частот можно сч ,итать чисто активными. Вслед
ствие 6ш1зк,их величин рабочих напряжений и токов по
левых и биполярных транзисторов возможно их непо
сред:ст,венное соединение, что у,прощает ·схемы и улучшает
·их характе.ристики. Применение ,полевых транзисторов
в схемах усилителей рассмотренного типа (рис . 2-28)
95
rrовышае;.г нх входное соtтро 'гивлеИне 1-1а нескольt<0 поряд
ков. Гальванические :межкаскадные связи в данной схеме
та1кже возможны при применении транзисторов с -разным
типом проводимосТ!и . Так как у полевых транзисторов
про,водимость перехода затвор - канал типа р-п или п-р,
то для данной схемы возможны два варианта соедине
ния полевых и биполярных транзис11оров. В ра•ссматри
Рис. 2-29. Эквивалентная схема
каскада на полевом транзисторе.
фициента передачи, а также
;проти,влений.
ваемой ,схеме иапользован •
транзистор с проводимо
стью р-,п. Индексы в обо
значениях элементов схе
ма изменены 1в соответст
вии ,с н·аименова;ниями
электродов полевого тра ·н
зистора.
Проанализируем •схе
му усилителя и найдем
выражения для его коэф
входного и выходного со-
Определим величину коэффициента усиления -по на
пряжению :при разомкнутой це,пи обратной связи, . рас
сматривая его как ·произведение коэффициентов ус1иле-
1-1ия каскадов на ·,поле,вом и •биполярном транзисторах.
Эквивалентна,я схема усилителя для ,случая разомк
нутой цепи обратной связи аналогична показанной на
•р.ис. 2-25 с учетом обозначений, введенных для полевою
транз1истора .
Рассмотрим выражение для коэффициента усиления 1-ro
каскада. Усилительные свойства полевого транзистора ха
рактеризуются крутизной вольт-амперной характеристики
df
S = dи:· Эквивалентная схема _ каскада на полевом транзи-
сторе приведена на рис. 2-29. На,грузкой ;каскада служит
сопротивление RE = (Rcll-Rвx2). Ток, 1протеl<:ающий через
него, ра,вен:
ik=-Sиз.и R +R '
Е
и
1+ Rt
где
;-)
d110
lч = dfc -- внутреннее сопротивление полевого транзи
стара.
96
Т ак как входное ,с опротивление ка,скада, опредеJiЯ€
мое током затвора, значительно больше внутреннего со
противления -генератора сигнала, то мо,жно считать , что
Следовательно,
.
Sи.
lr. =
-
_l_+_S_R_+__;:R~и-+~R~L-
и
Ri
Таким образом, коэффициент усиления по напряжению
каскада на полевом транзисторе равен:
Rи+Rr.
1 +sRи+ Ri
Коэффициент усиления по напряжению 2-ro каска
д_а, как было установлено раньше, определяется выра•
жением
Следовательно, коэффициент усиления при разомкнутой
цепи обратной связи равен:
Ko=KuiKu2=
SKi2 (Rи + Ro)
Подставив найденное выражение Ко в (2-58) и про·
изведя преобразования, получим выражение для коэф
фициента передачи усилителя с учетом действия отри•
цательной ,обратной связи:
K!=(l+ ~)х
х
1
[1+SRн+ Rи:Rr.] (1 + 1;2 )(1 +
I+
i
с
RиSKi2
Наибольшее усиление полевого транзистора обеспе
чивается при работе в «пентодной» области его вол1,т-
7-200
97
амn е рной характеристики . В этом режи м е внутреннее
сопротивление транзистора имеет весьма большое з на
чение, т. е. выполняется условие Ri~~и+.Rr, . С учетом
сказанного полученное выражение перепишется следую
щим образом :
К=(1+::)х
Х
1
•
•
(2-84)
(1.
1)( Ro+Rи)(i+Rвх2)
1 + RиSKi2+ Ki2
1+ Rн
Rc
Используя (2-65), найдем выражение для выходного ,
сопротивления усилителя, считая, что его значение при
разомкнутой цепи обратной связи равно Rвыхо"'=' •Rо+Rи:
Учитывая, что Rr. ~ RiSKi2 и полагая Rн ► R0 + Rи,
получаем расчетную формулу для выходного сопротивления
усилителя:
Rвых= (1+::)(s1)i2 +1~: ) ( 1+ RRc2 ) •
(2-85)
Входное сопротивление в усилителе с полевым тран
зистором определяется главным образом величиной то
ка затвора и даже при раз-омкнутой цепи обратной свя
зи Rвхо имеег значение 108-1012 ом . Действие отрица
тельной обратной свя з и согласно (2-61) способствует
еще большему увеличению входного сопротивления и
повышению его стабильности .
98
Рассмотрим (2-84) с целью установления темпера
турных изменений коэффициента передачи усилителя .
В этом выражении температурнозависимыми парамет
рами являются крутизна вольт-амперной характеристи
ки полевого транзистора S, коэффициент усиления по
току К;2 и входное сопротивление биполярного тран
зистора Rвxz- Температурные зависимости параметров
Ki2 и Rвxz были определены ранее, поэтому рассмотрим
теперь температурное изменение параметра S.
, Согласно (Л. 50] зависимость крутизны S от напря
жения на затворе Из.и может быть представлена_ в виде
(2-86)
где Sманс - значение крутизны при Из.и=О;
Ио - напряжение отсечки канала полевого тран
зистора, т. е. напряжение стока, соответст
вующее насыщению тока стока при Uз.и=О;
а - показатель степени, определяемый характе
ром распределения заряда в канале.
Тогда температурное изменение крутизны может
быть записано следующим образом:
dS _ dSманс [ l _ (Из.и )а]+аSмакс (Из.и)аduo . (2-86а)
dT
dT
U0
U0
U0
dT
Связь между максимальной крутизной и напряже
нием отсечки и0 определяется выражением ![Л. 50, 51]
(2 -87)
где k2 - постоянный коэффициент, _ зависящий от ди
электрической проницаемости материала и
геометрии канала;
n1 - коэффициент, находящийся в зависимости от
полупроводникового материала и типа его
проводимости.
В результате дифференцирования (2-87) получаем:
dSманс_5 (-l_duo_!! .! ._ ) •
dT - макс ИоdT
Т
(2 -88)
Разделив обе части (2-86а) на S и подставив значение
dSdмТвкс ИЗ (2-88), получаем выражение для температурного
7*
99
коэффициента изменения крутизны:
а=
-
1dS=
-
1 du0 [I+a е:·ои )" ]--~·
s
SdT
Ио dT
1_ c:·:Iу Т
(2-89)
При однородном распределении зарядов в канале
полевого т,ранзистора а ,составляет 0,5 i[Л. 50]. Для это
го случая в соответствии с (2-89) построены графики
0,01 dS '!
11
r1т·s
·-
l'J
Jf
,,.
/ /i/
(}
Up,~
-
.///
'С:..
0,5i.
O,'t.
-
/,, I
--:,,..,
.,
..... ~
о-л=
-
,,,,,-
'
·-
1
1.0
,,,
1
~sp
-0,01
i
±±±11
(/з.м
L.•.. ]
·~ _[_,
·,_
~i 1.:
7lo
С/] 1
0/]5 0,1 0,2
o;s 1
Рис. 2-30 . Графики зависимости температурного
коэффициента крутизны полевого тра н зистора от на
пряжения смещения затвора.
зависимости а8 от смещения на затворе (рис. 2-30).
dи
При этом было принято, что п1 =2, d/=0,002 в· град-1
[Л. 50, 51] и Т=ЗОО 0 К. Анализ графиков показывает,
что температурный коэффициент •изменения S • растет
с увеличением смещения на затворе.
Из графиков следует, что абсолютная величина и
знак температурного коэффициента as зависят от вели
чины напряжения отсечки Ио. Так, на п ример, у полевыz
транзисторов с u0 = 0,3 в при Из.и=О температурный
коэффициент изменения S приближается к нулю. При
больших смещениях as имеет положительный знак.
Транзисторы с напряжением отсечки uo>0,3 в при Из.и=
=0 имеют отрицательные температурные коэффициен
ты, возрастающие с увеличением Ио. При определенном
значении смещения, равном Из.ио, температурный коэф-
100
фициент становится равным нулю . При дальнейшем_
увеличении смещения затвора он приобретает положи~
тельный знак.
Из сказанного следует, чт,о в полевых транзисторах
требуемые величина и знак тем·пературного коэффици
ента S могут быть обеспечены соответствующим выбо
ром напряжения отсечки (типа транзистора) и положе
ния рабочей точки на входной характеристике .
Для рассматриваемой схемы усилителя требования
к знаку и величине as могут быть оценены на основа
нии анализа выражения для ТКК усилителя . Найдем
это выражение, исходя из (2-84) . ТКК в общем виде
может быть определен следующим образом:
dK 1 - 1 (дК dS + .дК dKt2_+ дК 'dRвx2)· (2-90)
dTК-КдSdT дКt2 dT дRвх2dT
Дифференцируя (2-84), rнаходим величины слагае-
мых (2-90):
1дК
КдS =
1 дК_
(1+~:2)(1+SRи)
К дКt---S-- -
-
-- ,(c--- R=- .-x2_)_. Kt ;
RиKt2+(1+SRи) 1+If;
~хс2 (1 + SRн)
дК --------
~--
К дRвх2 -
( Rвх2) •Rвх2 •
Rи.SKt2+(1+SRи) 1. '+If;
(2-91)
(2-92)
(2-93)
Подставив полученные величины в (2-90) и произ
ведя преобразования, приходим к следующему выраже
нию для ТКК усилителя с полевым транзистором:
101
Отсюда может быть получено соотношение между
температурными коэффициентами изменения S, Kiz и
RвХ2, соответствующее нулевому значению ТКК усили
теля. Действительно, полагая ан=О, можно написать, что
(2-94)
Выражение (2-94) позволяет оценить величину тем
пературного коэффициента изменения крутизны поле
вого транзистора, соответствующего указанному усло
вию. Согласно (2-89) данная величина as обеспечивает
ся выбором напряжения отсечки транзистора и смеще
ния на затворе. Графики (рис. 2-30) показывают, что
температурный коэффициент as определяется главным
обр азом напряжением иа, так как в рабочем диапазоне
изменений смещения на затворе
(и·
\
~~и = 0,02 + 0,2)
величина as слабо зависит от из.и• Следовательно, с точ
ки зрения обеспечения стабильности коэффициента пере
дачи усилителя выбор напряжения отсечки полевого
транзистора имеет главное значение. При малых на
пряжениях ,отсечки иа (0,3-0,5 в) ТКК усилителя будет
иметь положительный знак, а при увеличении иа до 5
и выше - отрицательный.
Последний можно уменьшить путем включения ре
зистор а Rдоб в базу биполярного транзистора, что экви
валентно увеличению внутреннего сопротивления источ
ника сигнала для 2-го каскада усилителя. Как отмеча
лось ранее, при Rдоб~Rвхz влияние температурного
изменения Rвxz значительно ослабляется и ТКК 2-го
каскада становится положительным, что частично ком
пенсирует отрицательный уход коэффициента передачи
усилителя.
Величина Rдоб зависит :от температурного коэффи
циента as входного сопротивления Rвх2 и имеет поря
док нескольких килоом. Уточнение значения Rдоб про
изводится экспериментально; при этом необходимо
иметь в виду, что чрезмерное увеличение Rдоб приводит
к уменьшению К и увеличению Rвых,
f • Усилители на полевых транзисторах (рис. 2-28)
имеют следующие параметры: Rвх = 108 7109 ом и Rвых ,
=500 . ом (при S = 1; К = ·1,5). При использовании поле
вых транзисторов с малыми напряжениямтт ,отсечки
102.
сужается диапазон входных напряжений усилителя. Для
его расширения резистор Rи в схеме усилителя под
ключен к источнику напряжения + 1,5 в.
На рис. 2-31 приведена еще одна практичес кая схе
ма усилителя с полевым транзистором на входе, имею
щего высокий входной импеданс . В ней уменьшена в х од
ная емкость путем компенсации емкостей затвор -
исток Сз.и и затвор - сток Сз.с полевого транзистора.
,---..,......______+22.8
1
Рис. 2-31. Схема усилитооя
с высоким входным импедан
сом.
Кроме
р ассмотрен-
ных схем, на ~би пол яр -
ных и .пол евых транзи-
Рис . 2-32. Схема лампо
во-транзисторного уси
лителя.
ст,орах в активных RС-фильтрах применяю'ГСЯ уси
лители, выполненные по гибридным - л ампово-тран
зисторным схемам. Бла 1годаря непрерывно му ,совер-
.шенствованию
конструкции и технологии изготовления
современные электронные лампы стали мал,огабаритны
ми, экономичными и обладают высокими усилительными
свойствами. Несомненными достоинствами их являются
высокое входное сопротивление и независимост ь пара
метров от температуры . В настоящее время выпускают- .
ся лампы, работающие при анодных напряжения х 12-
50 в с сеточными токами порядка 10- 9
-10-14 а и коэф
фициентами усиления от 1О и выше. Низкие анодные
напряжения позволяют легко согласовывать режимы
ламп и транзисторов, поэтому гибридные схемы просты
и реализуют положительные свойства обоих видов
активных элементов.
Схема такого лампов.о-транзисторного усилителя
представлена на рис . 2-32. Роль транзистора с проводи
мостью п-р-п выполняет лампа. В остальном схема ра
ботает так же, как рассмотренные выше.
103
Ввиду того что эквивалентные схемы полевого траI-1 ·
зистора и пентода аналогичны, для коэффициента пере
дачи и выходного сопротивления гибридного усилителя
справедливы выражения, полученные для усилителя
с полевым транзистором. Поэтому с учетом обозначе
н,ий рис. 2-32 имеем:
К= (1 +&_)х
.
Rк
Х1J)(
i+(RкSKi+Ki J+
(2-95)
(2-96)
Очевидно, что стабильность коэффициента передачи
усилителя определяется температурными изменениями
параметров транзисторов каскада. Выражение для ТКК
лампово-транзисторного усилителя можно получить из
(2-91), положив в нем as =0:
(2-97)
В рассматриваемой схеме усилителя транзистор име
ет высокую температурную стабильность токов базы и
коллектора, вследствие чего коэффициент ai2 имеет не
значительную величину. Это объясняется тем, что база
транзистора питается анодным током лампы, не зави
сящим от температуры. При этом базовый ток имеет
величину порядка 100 мка, а к,оллекторный - соответст
венно 1,5-•3 ма. В кремниевых транзисторах обратный
ток коллектора fно меньше · указанных величин на не
сколько порядков и не влияет на температурную ста
бильность каскада. В результате этого, а также дейст
вия глубокой отрицательной обратной связи обеспечи
вается высокая стабильность тока базы и коллектора
транзистора.
Таким образом, с колебаниями температуры коэф
фициент усиления по току транзистора практически ста
билен и величина ан определяется главным образом
температурным коэффициентом изменения вх,одного со-
104
противления каскада, т. е . изменениями параметров r32
и Гб2• Вследствие этого лампово-транзисторный усили
тель имеет отрицательный температурный коэффициент
изменения коэффициента передачи. Для уменьшения
ТКК в цепь базы транзистора включен резистор Rдаб,
компенсирующее действие которого было рассмотрено
ранее. Величина Rдаб подбирается экспериментально и
для приведенной схемы усилителя лежит в пределах
3-10 ком. Лампово-транзисторный усилитель имеет
следующие параметры: Rвх= 109 ом, Rвых= 100 ом (при
К=2) и аи= (0,02-0,05) % град-1.
Отметим, что включение резистора ,Rдаб = 1О ком уве
личивает выходное сопротивление усилителя приблизи
тельно вдnое .
2-6. Стабилизация постоянных составляющих
выходных напряжений усилителей
В активных фильтрах вопросы стабильности выход
ного уровня постоянной с.оставляющей аналогичны про
блеме уменьшения дрейфа «нуля» в усилителях посто
янного тока. Как известно, в транзисторных усилителях
основной причиной изменения постоянной составляющей
является температурная нестабильность параметров
транзисторов . В рассматриваемых усилителях уменьше
ние дрейфа «нуля» наряду с введением глубокой отри
цательной обратной связи по постоянному т,оку обеспе
чивается применением методов температурной компен
сации.
Рассмотрим с этой точки зрения схему усилителя
(рис. 2-24) и найдем выражение для постоянной состав
ляющей его . выходного напряжения Ивыхо- Для данной
схемы можно написать следующие уравнения:
Исм= Rг (/51- fк01)+Rэ(fэ1+fк2+fк02)+Иэб1; (2-98)
Ивыхо= (R0+Rэ)(fк2+fщ)+fэ1Rэ·
(2-99)
Так как рассматривается режим усилителя по посто
янному току, то в схеме (рис. 2-24) E.r заменено на
пряжением смещения Исм•
В (2-98) величиной lн02 можно пренебречь ввиду то
го, что данный ток значительно меньше коллекторного
тока второго транзистора .
105
Найдем выражения для токов /1<2 и Ia1:
/Н2=/52~2;
I
fк1
62=
R,
,
1+~
Rк,
(2-100)
(2-101)
где Rаб2 - сопротивление по постоянному току перехода
эмиттер - база Т2.
Величина fн1 может быть выражена следующим спо
собом:
(2-102)
где а 1 - статический коэффициент усиления по току
транзистора Т1 в схеме с общей базой.
Подставляя (2-101) и (2-102) в (2-100), получаем:
(2-103)
С учетом (2-103) разрешаем (2-98) относительно / 31 :
(2-104)
Подставив в (2-99) полученные величины /1,2 и / 31 и
произведя преобразования, находим выражение для
постоянной составляющей выходного напряжения:
Ивыхо= [Исм - Rг(/61 - fко1)- Иэб1]Х
Х[ Ro+R.
сх1~2 +
1
]•
Rв• !+ RRэб2+·сх,р2 !+ СХ1~2
к1
!+Rэб2
Rк1
При Rк 1 =ОО имеем
Ивыхо = [Исм - Rг (/61 - fк01) - Иаб1] RoR~ Rэ (2-105)
Таким образом, температурные колебания Ивыхо опре
деляются изменениями величин fно 1 и Uаб1- При больших
. зна чен иях
Rг источник смещения можно считан, гене-
106
ратором tока, поэтому ток базы fб1 становится практи
чески независимым от температуры. При данном допу
щении величина температурного ухода постоянной со
ставляющей определится следующим образом:
ЛUвыхо = Uвыхо (t) - Uвыхо (20° С) =
(2-106)
где приращения тока fно 1 и напряжения Иэб1 определя
ются по формулам i[Л. 52]
д/ -/ (20oC)(20.1sд1•c_ l)·
•ко1-
1101
,
Лиа61 = (-2,3 мв град- 1) лt.
При изменении температуры окружающей среды
в диапазоне 20-60 °С, а также для Rг= 100 колt и
fн01 (20 °С) =0,001 мка температурный уход постоянной
составляющей равен:
дивых о (60• С)= - Ro;:: R. (100-103 • 0,063- 10- 0
-
-
2,3 -40- 10-з) = К-85 мв.
В диапазоне отрицательных температур изменение
постоянной составляющей определяется главным обра
зом величиной ,Лиэб1, так как обратные токи коллектор
ных переходов кремниевых транзисторов при отрица
тельных температурах чрезвычайно малы. Для указан
ных выше значений Rг и fно1 и при изменении
температуры в пределах от 20 до -60 °С уход постоян
ной составляющей равен диnых (60 .> ~-К· 200 мв. Так
как величина температурного у,хода постоянной состав
ляющей пропорциональна коэффициенту передачи уси
лителя, то в ФНЧ, где требуется высокая стабильность
постоянной составляющей, следует применять усилите
ли с к~:1.
Рассмотрим способы уменьшения температурной не
стабильности постоянной составляющей выходного на
пряжения усилителей. Одной из наиболее эффективных
мер является применение усилителей, имеющих равные,
но противоположные по знаку температурные у х оды
постоянных составляющих. Получение противоположных
107
знаков ~Ивыхо может -быть достигнуто включением на
входах усилителей транзисторов с разным типо·м прово
димос-r,и. Схема таких усилителей и их включения для
обеспечения взаимной компенсации нестабильности по
стоянной составляющей показана на рис. 2-33. На вхо
де первого усилителя включен транзистор с проводимо
•стью п-р-п, а на выходе ,вт;орого - р-п-р. Оба усилителя
имеют коэффициенты передач-и, близкие к единице,
и для обеспечения режимов по :постоянному току
Рис. 2-33. Схема включения усилителей
для взаимной компенсации температур
ных изменений постоянных составляю-
щих выходных напряжений.
питаются от источника напряжения ±8 в. Вследствие
противоположного направления коллекторных токов Т1
и Тз температурные изменения постоянных составляю
щих им·еют разные знаки. Поэтому изменение напряже
ния на выходе первого усилителя компенсирует тем
пературное изменение постоянной составляющей на
выходе второго. При идентичных параметрах усили
телей и одинаковых температурных условиях работы
транзисторов обеспечивается высокая стабильность по
стоянной составляющей. Практ-ическим способом полу
чения идентичности параметров усилителей является
применение однотипных деталей, равенство коэффици
ентов передачи и использование транзисторов, изготов
ленных одной партией. Эффективной мерой обеспечения
одинаковых температурных . условий работы транзисто
ров является заключение их в общий теплоотвод, выпол
ненный из пластмассы с высокой теплопроводностью.
Из расс-мотрения этого способа температурной стабили
зации постоянной составляющей следует, что он приме
ним при четном числе усилителей в схеме фильтра. Чис
ло усилителей определяется числом звеньев 2-го поряд-
108
t{a,
реализующих аппроксимирующуtо фу1-11щию
заданного вида. В тех случаях, когда фильтр должен
состоять из нечетного числа звеньев, число усилителей
можно сделать четным, применив звено типа ЗНЧ2И.
Если по конструктивным соображениям использование
его нежелательно, в нечетном усилителе может быть
применен другой способ компенсации, основанный на
уменьшении влияния температурного изменения напря
жения Иэб1 на уход постоянной составляющей.
Ранее было отмечено, что основной причиной неста
бильности Ивыхо являются колебания напряжения на
пер5ходе эмиттер - база входного транзистора, вызы
вающие соответствующее изменение его коллекторн,ого
тока. Так как изменение . напряжения Иэб имеет отрица
тельный температурный коэффициент, то с повышением
температуры ток коллектора растет, а с понижением
падает. Влияние колебаний коллекторного тока на по
стоянную составляющую может быть значительно
уменьшено путем включения параллельно переходу
эмиттер - база транзистора Т1 цепочки, показанной на
рис . 2-33 пунктиром. Она состоит из диода, включенного
в обратном направлении, и резистора, ограничивающего
ег,о ток. Так как сопротивление диода имеет отрицатель
ный температурный коэффициент, то общее сопротив
ление цепочки с повышением температуры падает,
а с уменьшением растет. Благодаря этому коллекторный
ток транзистора Т2 перераспределяется так, что ток ба
зы транзистора Т 1 остается практически неизменным.
Точность компенсации определяется величиной темпе
ратурного коэффициента изменения сопротивления цепи
д1Rз, который подбирается экспериментально регули
ровкой резистора Rз, имеющего величину порядка не
скольких десятков килоом. Практический пример при
менения рассмотренных способов температурной стаби
лизации пост,оянной составляющей будет приведен
в четвертой главе.
Рассмотрим теперь температурное изменение посто
янной составляющей в лампово - транзисторной схеме
усилителя (рис. 2-32) . Для данной схемы без учета
влияния Rдоб справедливы следующие уравнения:
Ис.н = -Rк(/к1 +'fк2);
(2 -107)
(2 -108)
где Ис.н - напряжение между сеткой и катодом лампы.
109
Найдем велич,~1ну !(0J1лекторного тока транзнсtора :
Следовательно,
Iк2= /52~2;
f _ Uоб2.
аR.
(2-109)
Полагая, что токи катода и анода лампы равны, т . е.
f.н1=la, и учитывая (2 -109), найдем из (2-107) величину
анодного тока:
(2-110)
Подставив (2-109) и (2-110) в (2-108) и произведя
преобра зования, находим выражение для постоянной со
ставляющей выходного напряжения лампово-транзи
сторного усилителя:
(2-111)
Знак минус говорит о том, что напряжение сетка -
катод лампы должно иметь отрицательную полярность .
Принимая это во внимание и полагая ,~ 2 ~ ·1, получим:
(2-112)
R+R
Считая отношение 0Rк к неизменным, находим выра-
жение для температурного ухода постоянно й составляющей:
(2-113)
Отсюда следует, ч:го источником температурной не
стабильности Uвыхо в ламгiово-транзисторном усилителе
является изменение напряжения -U852 . При рациональном
выборе отношения величин резисторов Rн и Ra темпера
турный уход постоянной составляющей может быть су
щественно уменьшен. Так, в практической схеме рис . 2-33
110
величина 1~Uвыхо в диапазонах температур от 20 до 60 °С
и от 20 до -60 °С имеет следующие значения:
,Л1ивых0(+60)=-20 мв; UвыхО(-~0)=40 мв .
Следовательно, лампово-транзисторные усилители
имеют значительно · большую температурную стабиль
ность постоянной составляющей, чем транзисторные.
Однако для полной редли з ации ее необходима стабили
зация тока накала ламп, что усложняет схему питания
фильтров.
Применение полевых транзисторов в схемах усилите
лей, кроме указанных ранее достоинств, позволяет так
же обеспечить высокую стабильность постоянной состав
ляющей. Для этого используется зависимость темпера
турного коэффициента изменения тока стока полевого
тра н зистора от величины напряжения отсечки и 0 и на
пряжения затвор - исток из.и• Выбором транзистора
с соответствующим значением напряжения отсечки и
обеспечением необходимого режима по постоянному то
ку ~ож1ю получить высокую стабильность постоянной
составляющей в широком температурном диапазоне.
Рассмотрим этот в-опрос более подробно. Вследствие
аналогичности эквивалентных схем полевого транзисто
ра и электронной лампы выражение для постоянной
составляющей выходного напряжения усилителя с по
левым транз·истором идентично (2-111). Заменяя в нем
наименования элементов схемы, получаем:
(Ro+Rи+
1 )+Rи
llвыхо = Uз.и Rи
l+Pz
R;;Иэб2· (2-114)
В ,отличие от Jrампово-транзисторной с,хемы темпе
ратурная зависимость Uвыхо определяется изменением
напряжения эмиттер - база биполярного транзистора и
затвор - исток полевого.
Дифференцируя (2-114), найдем величину темпера
турного изменения Uвыхо:
d~;xo= ( RoR~Rи+l+1Р2) d~?+ е-~ i
+ И3.п dp +Rи dU95
(1+Р2)2 dT Rc dT.
При ~ ~ 1 (2-115) упрощается:
dивыхо_к duз.и+~'du•б .
dT-
с/Т Rc с/Т
(2-115)
(2-116)
111
Полученное выражение говорит о том, что темпера
турные колебания постоянной составляющей определя
ются главным образом изменением напряжения за
твор - исток полевого транзистора.
Условием независимости Ивыхо от температуры является
dивыхо -0 В
dT-
.
этом случае получаем:
dиз.п -
Rи dиэб
(2 117)
--ш_,--- I(Rc rfГ•
-
Выражение (2-117) определяет условие обеспечения
независимости постоянной составляющей выходного на
пряжения усилителя с полевым транзистором от темпе
ратуры. Для определения возможности его выполнения
рассмотрим выражение для температурного изменения
напряжения затвор - исток полевого транзистора [Л. 50,
51]. Зависимость тока насыщения полевого транзистора
Iп от напряжения на затворе для «пент,одной» области
его в-альт-амперных характеристик имеет вид:
I I (1 •U3.п)2
н === макс
-
--ii;-
,
(2-118)
где lманс - значение тока насыщен,ия при напряжении
Из .и=О;
uo - напряжение отсечки канала полевого тран
зистора.
Из (2-118) получаем:
Из.и=и0 (1-• 1 /н )·
(2-119) '
r MaRC
Определим величину температурного коэффициента
изменения напряжения затвор - исток, считая, что ток
насыщения lн не зависит от температуры.
Дифференцируя (2-119), получаем: •
dиз.н -(l- 1/-у;;-) du 0 + и0 v1-;;- 1 _dlмакс.
dT
JI 1м~кс dT
2
/макс /макс dT
(2-120)
Подставив в (2-120) значение температурного коэффи
циента и изменение максимального тока стока, равного
(J./ макс 1
2duo п[Л50]
ar-!макс=Ио dT- Т
.
, получим уравнение
сlиа.и=du0 _
и0п•/ lн- •
dT
dT
2Т r l.,~1<c
(2-121)
Из (2-121) следует, что величина температурного
изменения напряжения затвор - исток зависит от тем
пературы, напряжения отсечки, значения тока стока и
может быть положительной, отрицательной или равн-ой
нулю.
Для рассматриваемого усилителя знак и величина изме
нения напряжения затвор-исток определяется выражением
(2-117). Подставляя из него d;Ти в (2-121) и разрешая
полученное уравнение относительно fн!Iмai<c, находим:
[(~ +~ dи96)2Т12
~=
dT R0K dT
J
/ макс
nu0
(2-122)
Данное выражение определяет отношение рабочего
значения тока стока полевого транзистора к его макси
мальному значению (приводимому в паспорте при,бора),
при котором )Зеличина температурного изменения посто
янной составляющей на выходе усилителя равна нулю.
Из (2-122) следует, что указанное отношение в значи
тельной степени зависит от велич,ины напряжения отсеч
ки. Выбор данного параметра оказывает большое влия
ние на работу усилителя. Действительно, если Ио равно
нескольким вольтам, то отношение токов fн/!манс мало
и ра·бочая точка смещается в нелинейную -область вход
ной характеристики транзистора. С другой стороны, если
напряжения отсечки uo<l в, то отношение fн/lманс при
ближается к единице, а смещение затвора из.и - к нулю.
Установление такого режима в рассматриваемом усили
теле сложно, так как смещение, создаваемое рез-исто
ром Rи, может превышать требуемое значение, а пода
ча на затвор компенсирующего напряжения от посто
роннего источника нежелательна всдедствие шунтирова
ния це п ями смещения входного сопротивления усилите
ля. Требованиям обеспечения линейности режима уси
лителя и стабильности его постоянной составляющей
отвечают полевые транзисторь~ с напряжениями отсечки
Uo= 1 -2 в. Экспериментальная проверка показала, что
в усилителях с полевыми транзисторами, имеющими
проводимость типа р и указанные величины напряжения
отсечки, величина температурного изменения Ивыхо и_ме
ет порядок 0,1 мв/гр(l,д- 1 при коэффициенте передачи
К == 1,5.
•
2-7 . Стабильность параметров звен ьев
Анализ стабильности фильтр-ов различных типов и
порядков целесообразно проводить позвенно, используя
изолированность звеньев. Это значительно упрощает
анализ и не снижает общности получаемых результатов.
При расчете и проектировании фильтров необходимо
знать следующее:
границы колебания параметров звеньев при измене
нии элементов схемы;
условия обеспечения максимальной стабильности
параметр -ов.
При этом предполагается, что изменения элементов
схемы под воздействием дестабилизирующих факторов
известны .
Рассмотрим стабильность собственной частоты, кото
рая для звеньев 1-го и 2-го порядков определяется вы
ражениями
1
1
ш01 = R,C1 ; ш 02 = ::-V;c::R;:::,::;;:R=2C=1 =C=2=-
Пpи малых изменениях элементов R и С уход соб
ственной частоты звеньев может рассматриваться как
полный дифференциал от ,wo. Поэтому для звена 1-го
порядка имеем:
d
дrоо, dR + дrоо, dC
шо1 = дRi
1
дС~ 1,
где
дrоо, dC
1 dC1
~ i= - R1C1 ~=-шо1ас1•
Следовательно, после преобразования получаем:
(2-123)
Для звеньев 2-го порядка уход частоты составляет:
d
дrо02 dR + дrоо2 dR + дrоо2 dC + дrоо2 dC
шо2 = дR1
t
дR22дС1•t
дС2 2·
По аналогии с предыдущими выкладками находим, что
д:0:2 =-+(а R! + а R~ +ас,+ 1Хс2). (2-124)
tH
Из (2·123) и (2-124) следует, что для увеличений
стабильн,ости собственной частоты звеньев необходимо
выбирать элементы с высокой стабильностью или с раз
ными знаками относительных изменений .
Найдем теперь выражения, определяющие стабиль
ность коэффициентов з атухания звеньев второго по·
рядка.
а) Звено нижни,х частот типа ЗНЧ2Н .
Коэффициент затухания его определяется выражени
ем (2-20):
,.
-. /У
1
. - 2е=о= V с+ VR'C' +(1-K)VR'C' .
Величина ухода коэффициента затухания вследствие
изменения параметров R', С' и К равна:
d" да dR.'+'да dC'+даd}'
0= дR'
дС'
дК ''
где
j!_dR'= f(l- К)R'C'+ R' - !]
дR'
2 yR'C'
~ dC'= [(l-K)R'C '-R' -1]
дС'
2 VR'C'
~ df(--VR -, .IC'K '.
дК'-
ах,
dR'
dC'
dK
aR, =
- -r; ас, =cr; а'х =к·
После подстановки частных производных в исходное
уравнение и его преобразования получаем:
da
т=
[(1-K)(aR , +ас 1 )-2а'кКJ R'C' + (aR, -ас,) R'-aR, -ас,
-
2а VR'C'
Подставляя в (2-125) значение К из (2-20), находим :
da
т=
(2-125)
_
avR'C' (aR, +ас,+2а 1 к)-2R'С' а'к-2R'(ас,+а' к)-2(аR,+ас,+а'к).
-
2aVR'C'
(2-126)
115
Выражение (2-126) определяет неличш-tу нестабиль
ности коэффициента затухания звена типа ЗНЧ2Н при
заданных соотношениях элементов RС-цепи R' и С',
величинах их нестабильности •ан,, •ас, и нестабильности
коэффициента передачи •а'н-
. Из (2 -20) следует, что каждому значению о соответ
ствует бесчисленное множество значений R', С' и К.
Такая свобода выбора значений элементов схемы, свой
ственная изолированным звеньям, может ·быть исполь
зована для определения величин R' и С' с точки зрения
обеспечения максимальной стабильности коэффициента
затухания звена. Условием этого служит минимум пра
вой части (2-126) по аргументу С' или R', при выборе
которого следует иметь в виду, что наибольшую неста
бильность к,оэффициента затухания вызывают измене
ния тех элементов, которые включены в цепь обратной
связи . В звеньях нижних частот ими являются конден
саторы . Для нахождения оптимального отношения их
величин найдем минимум выражения (2 -126), диффе
ренцируя его по С':
3 vi[R' (Cl.c' + 1J.'к)- R'С'С1.'к + l].R' + 1].с' + Сl.'к]
43 2R'C1
Приравнивая числитель данного выражения нулю и
разрешая полученное уравнение относительно С', полу
чаем:
';
Нетрудно показать, что при С' опт функция (2 -126)
имеет минимум . Таким образом, выражение (2 -127)
определяет оптимальное с точки зрения максимальной
стабильности коэффициента затухания отношение емко
стей RС-цепи ЗНЧ2Н.
Ввиду того что в звеньях нижних частот конденса
торы являются элементами цепей обратной связи, изме
нение которых сильно влияет на стабильность парамет
ров звеньев, проанализируем зависимость коэффициен
та зату,хания ЗНЧ2Н от величины конденсаторов С1 и С2.
116
Перепишем (2-20) в следующем виде:
[(1- К)с1+::с2+с2]JYR~
2~=8=
.
YR1VC1C2
=(1-K)VR'~~~ +(1+ J, )vR' yg:, (2-128)
Полный дифференциал функции (2-128) равен:
дri
д3
da= ас1 dC1+ас2dC2,
где
~d~ = [с1-ю vwc1-(1+-f,-) -vwc2]
дС1 1
2 уС1С2
аа [ С2(1+ J, )VR'-(I-K) YR'C1]
дС2 dC2 =
.
2 VC1C2
dCi
dC2
ас1 =с;-; ас2 = ~·
Следовательно,
Подставив в полученное выражение величину К из
(2-128) и преобразовав его, находим:
Можно показать, что минимальное значение стояще
го в с1юбках выражения имеет место при R' = 1. Тогда
2
(1~~){
~ :]., ..
(2-129)
117
Йз (2· 129) следует, что величина нестабильности
коэффициента затухания равна нулю при ас1 =ас2- По
этому для выполнения этого условия необходимо при
менять конденсаторы, имеющие равные по величине и
знаку температурные коэффициенты изменения емкости.
При ас2/,ае1> 1 происходит увеличение коэффициента за
тухания звена и, следовательно, уменьшение его изби
рательн,ости. С практической точки зрения более целесо
образно уменьшение коэффициента затухания звена, так
как при том же значении его нестабильности избира
тельность звеньев повышается. Следовательно, при не·
возможности выполнения условия 1ас1 = ас2 следует стре
миться к выполнению соотношения ac2 /iac 1 < 1.
б) Звено нижних частот типа ЗНЧ2И. •
Коэффициент затухания для него определяется вы
ражением (2-25) и может быть представлен в следую
щем виде:
2~=а= _1
_
+(1-K)V.R'C'
VR'C'
'
где
Величина ухода коэффициента затухания
изменения параметров R', С' и [( равна
_до
,
до
до
do- дR' dR +дС~ dC1+ дКdl(,
где
~ dR'= [(1-I()R'C'-1] а .
дR'
2 f"R1C1
R''
~dC' _
[(1- /() R'C'-1]
.
дС' -
2 yR'C'
ас"
Отсюда получаем:
(2-130)
вследствие
do
(1 - К) R'C' (a.R, + а.с,) - 2R'C'Ка'и - (a.R, + а.с,)
а=
2oyR'C'
118
Подставив в это выражение значение К из (2-130)
и произведя преобразование, найдем:
dд 3VR'C' (aR, + (1.с' + 2а'к) - 2R'C'a'к - 2 (aR, +ас,+ а'к)
т=
2a ✓R'C'
(2-131)
Уравнение (2-131) определяет величину нестабиль
ности коэффициента затухания звена типа ЗНЧ2И при
выбранных значениях R' и С' и полученном из расче
тов значении о. Сравним (2-126) и (2-131). При б:::;;1
для данных выражений ,справедливы •следующие н?ра
венства:
l oVR'C' (aR, +ас,+2а'к)\ < \2R'С'а'к+
+2R' (aR, +а'к) +2 (aR, +ас, +а'к) /;
1 о VR' С'- (aR, +ас,+ 2а'к) 1< \2R'C'a'к+
+2(aR, +ас, + а'к)\.
Для равных значений о, R', С', aR,, ас, и а'к правая
часть первого неравенства больше правой части второго не
равенства на величину 2R' (aR, -+ а'к) . Отсюда следует, что
звенья типа ЗНЧ2И потенциально более стабильны, чем
зве нья ЗНЧ2Н, и их целесообразно применять при ма
лых коэффициентах затухания.
Найдем оптимальное соотношение пассивных элемен
тов з вена типа ЗНЧ2И, обеспечивающее минимальную
нестабильность его коэффициента затуха ния . Для этого
определим минимум правой части (2-131) по парамет
ру R'C'. Дифференцируя (2-131), получаем:
d(i)
d (R'C')
1
~ [2 (aR, +ас,+ а' к) - 2R'C'a'к]
4дR'С'
(2-132)
Приравнивая числитель (2-132) к нулю и разрешая
полученное уравнение относительно R'C', имеем:
(R'С')оп~ = (~)
.=
aR, +а,с, +а'к • (2-133)
Т2 опr
ак
Аналогичным способом была проанализирована ста
бильность коэффициентов затухания: ЗВЧ и ПЗ , в ре
зультате чего получены следующие результаты :
э) Звено верхнцх чапот тщта ЗВЧ2Н.
119
Коэффициент затухания данного звена определяется
выражением
2е=В=VR' +VR'C' + (l ~).
УС'
yR'C'
(2-134)
Величина нестабильности коэффициента затухания равна:
do 2R'C' (a.R, +а.с, + а.,/) -
т=
2oYR'C'
-
oVR'C' (a.R, +а.с, - 2а.'к)+2R' (a.R, -а.'к)-2а.'к
---- -
-
--- -----
-
-----
(2-135)
Оптимальное соотношение величин резисторов RС-цепи
звена составляет:
(2-136)
г) Звено верхних частот типа ЗВ_Ч2И и полосовое звено
типа ПЗИ. Коэффициенты затухания данных звеньев опре
деляются выражением
(2-137)
Величина нестабильности коэффициента затухания равна
do
т=
2R'C' (a.R, + a.c, - a.'к)-oVR'E'(a.;<' +а.с,-2а.'к)-2~'к
20YR'C'
(2-138)
Оптимальное соотношение постоянных времени -секции
RС-це пей звеньев определяется выражением
(2-139)
д) Полосовое звено типа ПЗН.
Коэффициент затухания звена имеет следующее выраже"
ние:
(~ -140)
-
Величина нестабильности коэффици~н1а затухания равна ~
drJ
т=
2R'C' (аR,+"'с,-а'к) -rJ ~/ R'C'(a R'+°'c' -
2а' к) -2а'кС'-2а' к
2lJy'"R'C'
(2-141)
Оптимальные соотношения элементов RС-цепи звена
определяются выражениями
(2-142)
(2-143)
Сравнения величин нестабильности, полученных для
полосовых звеньев и звеньев верхних частот с неизоли
рованными и изоJшрованными секциями RС-цепей, по
казывают, что при равных условиях звенья типа ЗВЧ2И .
и ПЗИ имеют большую стабильность. Поэтому их сле
дует применять для реализации малых коэффициентов
затухания .
ГЛАВА ТРЕТЬЯ
МЕТОДИКА ИНЖЕНЕРНОГО РАСЧЕТА АКТИВНЫХ
.RС-ФИЛЬТРОВ. РЕКОМЕНДАЦИИ
ПО ПРОЕКТИРОВАНИЮ И НАСТРОЙКЕ
3-1 . Общие положения
В предыдущих главах были получены количествен
ные соотношения, необходимые для выбора и расчета
фильтров требуемых типов. В данной главе на основа
нии этих материалов излагается методика расчета ФНЧ,
ФВЧ, широкополосных ПФ с перестраиваемыми часто
тами среза и узкополосных ПФ с фиксированной на
стройкой. Методика расчета для каждого вида фильтров
излагается отдельно .
121
Исходными данными для расчета служат техниче
ские требования, .которые должны содержать следую
щие пункты:
1. Для ФНЧ и ФВЧ:
частоты среза 1f1 или rf-1 в герцах;
значение неравномерности АЧХ в полосе пропуска
ния, выраженное в линейных или логарифмических от
носительных единицах;
ширина переходной полосы, определяемая величиной
нормированной частоты задерживания 1!) 3 или Q_3 ;
величина затухания в полосе задерживания (на ча-
стоте задерживания).
2. Для ПФ:
средняя частота f с в герцах;
ширина полосы пропускания IЛrf в герцах;
значение неравномерности АЧХ в полосе пропуска
ния.
3. Для · ши,рокополосных ПФ с перестраиваемыми ча
стотами среза величины перех-од1-1ых полос и зату;ханий
на частотах задерживания со стороны нижних и верх-
-
них частот.
4. Для узкополосных ПФ с фиксированной настрой
кой - значения коэффициентов прямоуголы-юсти Кп
с указанием уровней затухания, на которых · отсчитыва
ются полосы пропускания.
В исходных данных для всех видов фильтров долж
ны указываться условия эксплуатации. При этом сле
дует прежде всего отмечать факторы, наиболее сильно
влияющие на стабильность величин пассивных элемен
тов RС-цепей и коэффициентов пе,редачи усилителей.
Эти сведения необходимы для определения возможных
отклонений величин R, С и К в условиях эксплуатации
и нахождения оптимальных условий обеспечения ста
бильности характеристик фильтров.
Начальным этапом проектирования фильтра являет
ся выбор ~да апп оксимации и .O!IJ2e.ll~д tни_e _ J}_QP.!!Jl .~ a
?ЛПРО!{симиру19rр.ей __функщrу .Пр,и в·ыбо,ре вида аппро
ксимации приходится руководствоваться многими сооб
ражениями, в том числе требованиями к избиратель
ности фильтра и возможности ее реализации при мини- •
мальном числе активных элементов, допустимыми
фазовыми искажениями, необходимостью перестройки ча
стот среза и изменения полосы пропускания, обеспече
нием требуемой стабильности ха,рактеристик фильтра
122
в заданных эксплуатационных условиях и т. д. Некото
рые требования оказываются противоречивыми, и для
их удовлетворения необходимо принимать компромис
сные решения. Это затрудняет формулировку рекомен
даций по выбору вида аппроксимации в общем виде,
поэтому ответ на данный вопрос следует искать, рас
сматривая конкретные требования, предъявляемые
к фильтру.
Важнейшим параметром аппроксимирующих функ
ций является их порядок, который для заданных ве
личин dc, d 3 и Q3 определяется условиями ( 1-16), ( 1-41)
и (1-68). Нахождение порядка аппроксимации более
просто осущесrвляется г,рафическим путем с использо
ванием диаграмм, содержащих графики зависимости
аппроксимирующих функций от Qз, а также от величин
а1 и аз. Найдем данные зависимости для рассмотренных
видов аппроксимаций. Для максимально гладкой аппро
ксимирующей функции из ( 1-12) получаем:
1
'
l
•
n2n:= w2(&1) - 1.
(3-1)
Так как
l
10lg w2 (О) =а, то
(3-2)
Подставляя (3-2) в (3-1 ), находим:
1
Q2n= lQG,la_ 1 ИЛИ Qn'= [lQG,la -1)2 .
(3-3)
Для границ полос пропускания (1Q1 = 1) и задержи
вания (Q = 1Q 3) справедливо следующее отношение уров
ней затухания:
g~ = [1Oo,Ia8 _ I ]1/2
Ql
1O0,Ia, -1
=n:'
откуда
(3-4)
Данное уравнение положено в основу диаграммы,
изображенной на рис. 3-1 . На прав.ой половине рисунка
представлены трафики зависимости 2n lg ,Qз от величи-
123
ны нормированной частоты задерживания Q 3 для деся
ти значений п. На другой половине рИ'сунка даны
графики правой части уравнения (3-4) для значений не
равномерности частотных ха,рактеристик в полосе про
пускания а1=О,1; 0,2; 0,3; 0,5; 1, 2 и 3 дб.
1
Искомая величина порядка аппроксимации п долж
на удовлетворять обеим частям уравнения (3-4), по
этому определение п производится методом графическо-
~~
100.'llз-1
~/
/
~
Lg .10 0,1a,_
1
2nLg.23
1D 8/
~~~1 0,2
~///
V
/7)
~~ 0,3
11
f/)/
1✓
~V
/б
i~~~05
/1/
//1/
/
/L~
~~ ~!,об
J
//
/
>
.3/
J
,/
l-"
1
-
•-
f
/
~ ,1"
~
--
-
__ ,_
t~,
i-
-
-
1•
/
'v
.
/
:i~
~~1
:,'1✓~
1/ J,;'
11
/, I1~
~/
:1
~~:
~1/,1
/
~/
2 ,,.,,,,,
11
'11 ~I~
.,,,,.
:1
---
~i
//,,.,,~
,А'
/
.,
1!
~~
,,, ,,
-+
n=1
--
-
11
~~.,,,,,
-+
-
аз
'i' :
11
ОзКn
i)(f во
50 4-0
20
·1,0 1,2 1,ч-1,Б ·2 2,5 3 З,5l.f 5
Рис. 3-1 . Диаграмма для определения параметров максимально
плоских аппроксимирующих функций.
го решения. Допустим, требуется определить порядок
баттервортовского фильтра нижних частот', удовлетво
ряющего требованиям а1 = 1 дб, Qз=. 2 и аз~40 дб.
На диаграмме из точки ' аз ·=40 дб проводим перпен
дикуляр до пересечения с графиком, соответствующим
а 1 = 1 дб, затем проводим горизонтальную прямую до
пересечения с перпендикуля,ром, восстановленным из
точки Q3 = 2. Для рассматриваемого примера пересече
ние данных линий произошло между графиками, постро
енными для значений п, равных 7 и 8. Так как число п
должно быть целым, то берем ближайшее большее зна•
чение, т. е. n=8 ,
124
Данная диаграмма позволяет определить любой из
четырех параметров, характеризующиtХ избирательность
фильтра а1, аз, Qз и· п, если известны остальные три.
Для равно.волновой аппроксимации зависимо'сть меж
ду параметрами а 1, аз, Qз и п получаем из (1-37):
(3-5)
ощуда с учетом (3-2) находим:
(3-6)
Для границ п9лос пропускания (Q1 = 1) и задержи
вания (Q = Qз) справедливо следующее отношение:
100,las_)
-
100,lal - !
Так как полиномы Чебышева для Q = 1 при всех зна-
чениях п равны единице, т. е. Vn(l)=l, то
Ola
=Vn(Qз),
[
10o,Ia8 _ 1 ]1/2
)Q'1-]
откуда
(3-7)
По . данному уравнению построена диаграмма для
определения параметров чебышевских фильтров
(рис. 3-2). Смысловое значение графиков, их располо
жение на рисунке , а также правила нахождения пара
метров по 'данной диаграмме те же, что и .в случае ма
ксимально плоской аппрок:симации.
Уравнение, определяющее зависимость между пара
метрами а1, аз, Qэ и п фильтров класса L, имеет следую
щий вид:
(3-8)
По данному уравнению построена диаграмма
(рис. 3-3) . Правила определения порядка аппроксима-
125
100;1ач
---,-,-т--т-
/Vvv
~~
21,g \:л(~з)
t.g 10О.111ч
_No· -,;.,
..,.._
l~ 0,1
1091вvу/
~
1
,1
/
~~ 0,2
lll1111 /
V
~
~
6/
/
;j~
(~~~ O,J
VJ'11
,,,/ /
1) 1/ '11
.....
/
~~'f,..0,5 a1,iJб
/Vl/J/у
~
2
)1/1,'
/
/
~~~
/~llJ11 1 ..~~ /
_,/
3
11
Ч-/
l~--~-'1~~V ~
~., V
,,,. ....
К"
JI
/
11
~
3/
.~ ~~ 1⁄2~V11 /'
,,,
V
,,,.
i,,,, i
~--
,,,, 1,,-"
1
~~\
~/
Vi,,
,,
И'
~.,,,,,.
1
1/
!, .,.
1
: ~ 1//~...
--~
П=1
1
'/ ,,,
.,.,..
---
1
~~...-1'
н-~
-
!кзКn
аз
1
... -
,...
1
-
ilб80 60 W 20
1,0 1,2 1,'f1,б 2. 2,5 З З,5z,.
5.
Pv<;:. 3-2 . Диаграмма для определения параметров равноволновых
аппроксимирующих функций .
r~\ ~
100,1йз_1
t.gLп(2})
1/ .,
l(
~ l'\. ~ \'\. 0,1
Lg ---
8/ 7/
~\~
100,1111 _1
1
,"
/
~ ,'\"' ~ 0,2
/6V"·-·
~ \t\.W
!J
//
/
~f,)...'\'~ O,J
J
/
1~
~ \t\.~
a1,fJtf
1/
,/ 5/
"
l'\'\'~
-
/
/
2-' 1'\.'\.\ ~ "0,5
,,
/
V
'-\l'\~ ~
J
,
/ if./
3;,,
~\~\
/1 11
/
,,,
'-\~'\'~
I,1.
/
V
~\~
~.
J,,,.,
/1/IJ
"l'\'\' ~
11!/
,,,
~\~
'/, I
;
,.
_, ,..
"~~ j '/;
;
2.....
,.
~\
/J'/V 1,'
,,.-
'-\
1tur/ /
П;f
--
.. ~V
~-
·--
.....
23Kn
аз
~::,,: ~ -
iJб 80 50
ч-0 20
1,0 1,2 1,'1-1,б 2 2,5 З З,5 ч- 5
Рис. ·3 -3 . Диаграмма для определения параметров аппроксими
рующих функций класса ,L ,
126
/1
ции и других nараметров фильтров класса L аналогичны
рассмотренным для баттервортовских и чебышевских
фильтр@.
3-2. Расчет активных RС-фильтров нижних частот
Расчет ФНЧ для всех видов аппроксимации выпол
няется в следующем ,по,рядке:
1. По значениям неравномерности АЧХ в полосе про
пускания ,,,..%) затухания в полосе задерживаI-!ИЯ Q5' и
величине относительной частоты задерживания Qз •с по
мощью одной из · номограмм (рИ'с. 3-1 _:_3-3) определяет
ся степень аппроксимирующего полинома. В тех случа
ях, когда заданное значение а1 отличается от приведен
ных .в диаграммах, следует пользоваться формулами
(1-16), (1-41) и (1-68).
_
2. Для найденного значения 11. определяются вели
чины полюсов аппроксимирующей функции и рассчиты
ваются параметры звеньев фильтра. •
Для максимально плос кой аппр,оксимации значения
полюсов определяются п.о формуле
(3-9)
где С51< и jю" - действительные и мнимые части полюсов,
взятые из табл. 4, а коэффициент р, учитывающий не
равномерность в полосе ,пропускания, равен:
2пj__d_2_
p= l/-'-2·
Ji l-d1
(3-1 О)
Значения коэффициента р, рассчитанные для вели
чин неравномерности в полосе цропускания а 1 = 20 lg d1,
равных 0,5; 1; 2 и 3 дб, и порядков аппроксимации о'т 2
де- J О, сведены в табл. 15.
Полюсы чебьiшев.ских аппроксимирующих функций
для значений неравномерности а 1 =0,1; 0,2; 0,3; 10,4; 0,5;
1, 2 дб и с,тепеней аппроксимацюi 11. от 2 до 10 нахо
дятся по табл. 6 - 12. Для иных значений а и п полюсы
определяются по формуле ( 1-36).
-
Аналитические за'висимости для определения полю
сов аппроксимирующих фуr-пщий класса L отсутствуют,
поэтому полюсы данных функций для а 1 =3 дб и n=3--; -8
находятся по табл. 14, а для иных значений парамет
ров рассчитываются по методике, рассмотренной в § 1-4 .
127
Т аблица 15
Зна,tени#, К,Qэr/н/Jициента р
.,
Порядок ап п роксимирующего полинома п
"
1
;~
2
1
1
5
~~
3
4
с,) <:!
1
6
1
7
1
8
1
9
1
!О
0,5 1,691 1,419 1,300 1,234 1, 192 1,162 1, 141 1 , 124 1 , 111
1,0
• 1,401 1,252 1, 183 1,144 1, 119 1,101 1,090 1,078 1,069
2,0 1,142 1 ,093 1,069 1,054 1,045 1 ,038 1,033 1,030 1,027
3,0 1 ,ООО 1, 000 1,000 1,000 1,ООО 1,000 1,000 1,000 1;odo
После определения полюсов находятся величины па
раметров звеньев - собственные частоты и коэффици
енты затухания. В 'соответствии с ( 1-25) собственны е
частоты звеньев выражаются через действительные и
мнимые части полюсов следующим образом:
Для максимально плоской аппроксимации данное выра
жение имеет вид:
(3-11)
Радикал в (3-11) представляет собой радиус окруж
ности, на которой размещены полюсы максимально пло
ской функции . Так как этот радиус всегда равен еди
нице, то получаем :
ffiOk = р.
(3-12)
Формулы (1-25) и (3-12) определяют величины соб
ственных частот звеньев, нормированные относительно
частоты среза ФНЧ ffi1.
Коэффициенты затухания з веньев в соотве тствии
с ( 1-26) определяются следующим образом :
~н= l2J._ _
V ai +(J)i
(3-13)
Для звеньев баттервортовских фильтров при
V а: +ш: = 1 соответственно пол учаем :
128
3. После расчета параметров звеньев выбирается
схема фильтра и определяются типы звеньев. При этом
надо иметь в виду, что в фильтрах невысоких порядков
следует применять звенья типа ЗНЧ2Н, обеспечиваю
щие достаточно высокую стабильность параметров и
имеющие меньшее число актипных элементов. Послед
ние п.редпочтительны также в схемах ФНЧ со стабиль
ным уровнем постоянной составляющей (§ 2-6) и
в тех случаях, когда фильтр ,со-Держит звенья с малы
ми коэффициентами затухания и сравнительно близки
ми значениями собственных частот. Рассмотрим мето
дику расчета звеньев выбранных типов.
Расчет элементов звеньев нижних частот
с неизолированными секциями RС-цепи (ЗНЧ2Н) .
. Суммарная
величина резисторов R1 +IR:2 звена
(рис. 2-4) определяется, исходя из допустимого измене
ния собственной частоты звена ,Л·ffio/wo, известных вели
чин входного сопротивления усилителя Rnx и его не
стабильности ,ЛRnx/ Rвх• Преобразовывая (2-18), полу
чаем формулу, определяющую для данного звена соот
ношение МР>Кду величинами R1 +R2 и Rвх:
Лwо
Wo
R1+R2,;;;Лwо.. 1 ЛRвх Rвх·
--t---
Wo
2 Rnx
(3-14)
Величина нестабильности входного сопротивления
транзисторного усилителя может быть найдена и з
(2 -64). Пренебрегая слагаемым Rэ(l +K;i1) вследствие:
его малости и дифференцируя (2-64), получаем:
(3-15)
Величины температурных коэффициентов изменения
Ki! и Ki2 были получены в § 2-5. Подставляя
их значения в (3-15), находим авх= 1% град-1 . Для диа
пазона температур ЛТ, соответствующего условиям экс
плуатации, нестабильность входного сопротивления
определяется как
9-200
(3-16)
129
Таким образом, исходя из допустимой величины из
менения ,wo вследствие нестабильности входного сопро
тивления, по формуле (3-14) определяем величины ' ре
зисторов RС-цепи.
При использовании в ЗНЧ усилителей на лампах или
полевых транзисторах с, входными сопротивлениями по
рядка 109 ом величины резисторов, определенных по
(3-14), могут достигать десятков мегом. Включение их
в цепь сетки или затвора повышает чувствительность
фильтра к электромагнитным наводкам, влияет на ре
жим усилителя по постоянному току и с1шжает его ста
бильность. Кроме того, резисторы с такими номиналами
имеют большие э . д. с. шумов, что увеличивает и без
того значительные в диапазоне инфранизких частот соб
ственные шумы усилителей. По этим соображениям
суммарную величину резисторов R1 + R2 для усилителей
с лампами и полевыми транзисторами выше 10 Мом
брать не следует.
Большое значение для обеспечения стабильности па
раметров звеньев имеет выбор типов элементов RС-це
пей и Оfобенно типа конденсаторов, являющихся в ЗНЧ
элементами цепи обратной связи. Это связано с тем,
что на инфранизких частотах в звеньях с транзисторнь1-
ми усилителями требуются конденсаторы с емкостью от
нескольких десятых долей до единиц МИfрофарад.
В § 2-7 проанализирована нестабильность собствен
ной частоты звена, которая, как следует из (2-124) , про
порцищ1альна сумме нестабильностей емкостей и на
границах температурного диапазона ±60 °С при исполь
зовании бумажных конденсаторов равна нескольким
процентам.
Такой уход собственных частот звеньев в широкопо
лосных фильтрах еще допустим, но изменения емкостей
С1 и С2 разных знш,ов приводят к большим изменениям
коэффициентов затухания и сильной деформации ча
стотной характеристики фильтра. Компромиссным ре
шением этого вопроса является обеспечение стабиль
ности коэффициентов затухания, так как одинаковые
изменения величин ,w0 приводят к сдвигу частотной ха
рактеристики при сохранении ее формы . Очевидно, что
условием стабильности коэффициентов затухания явля
ется равенство по знаку и абсолютной величине темпе
ратурных коэффициентов изменения емкостей (ТКЕ)
конденсаторов С1 и Cz. Поэтому в ЗНЧ следует избе-
130
гать применения конденсаторов, не имеющих определен
ного знака температурного коэффициента ..
К стабильности резисторов RС-цепей ЗНЧ предъяв
ляются меньшие требования, так как коэффициенты
затухания данных звеньев менее чувствительны к изме
нению-- Юс · величин. Поэтому в ЗНЧ могут применяться,
как правило, резисторы группы общего назначения.
.
Приведенные соображения служат основой для вы
бора типов усилителей, конденсаторов и резисторов, для
которых по справочным и экспериментальным данным
находятся величины нестабильности, соответствующие
конкретным условиям эксплуатации:
На основании их по формуле (2-127) определяется опти
мальное отношение величин I<онденсаторов С1 и С2. Для
нахождения С' опт необходимо задаться величиной R'.
Анализ показывает, что при R' = 1, т. е. при R1 = R2,
величины конденсаторов получаются наименьшими .
В этом случае формула (2-127) будет иметь вид:
(3-17)
Зная R', С', ,шо и s, рассчитываем значения конденса
торов, резисторов и коэффициента передачи усилителя
звена. Учитывая, что 1ffio=2n:fo, и выражая собственные
частоты звеньев через R' и С', получаем:
откуда, полагая R1 =R2 , находим:
1
с2 = 21tfoR2 УС' ; cl = С2С'.
(3-18)
Значение коэффициента передачи усилителя знена
для заданных величин ·s, R' и С' рассчитывается по
формуле
9*
(3-19)
131
При К> 1 величины резисторов обратной связи уси
лителей (рис. 2-24, 2-28 и 2-32) вычисл.яются как
Ro=R(K-1),
(3-20)
где под R подразумеваются эмиттерный, катодный или
истоковый резисторы соответствующих схем усилителей.
Расчет элементов звена нижних частот
с изолированными секциями RС-цепи (ЗНЧ2И)
• Величины резисто , ров R1 и R2,RС-цепи звена (рис. 2-7)
рассчитываются по заданной величине допустимого из
менения собственной частоты звена и известным вели
чинам входных сопротивлений усилителей и их неста-
бильности.
•
Полагая в (2-23а) R 1 = .R2 и преобразовывая его, по
лучаем формулу, определяющую соотношение между
величинами R.1, ,R2 и Rnx для звена типа ЗНЧ2И:
(3-21)
где
,
ЛRnx / Л(l)о
у---
1-
Rвх/(l)o •
Значение нестабильности входного сопротивления
транзисторного усилителя определяется по (3-15) и
(3-16). Для усилителей с лампами и полевыми транзи
сторами величины резисторов R1 и R2, как и в звене
3НЧ2Н, следует брать не более 10 мом.
Типы элементов RС-цепи звена ЗНЧ2И выбираются
на основе требований, сфо·рмулированных для звена
знч2н . Для применяемых усилителей и пассивных эле
ментов в соответствии с заданными условиями эксплуа
тации находятся величиньr •an" ас, и ·а\,, на основании
чего по (2 -133) находится оптимальное соотношение
емкостей С1 и С2:
(~ \) = · a.R, +а.~,+ а.'и
С2 опт
а.к
По веJ1ичннам R1 , С' и параметрам звена Шон и 1;1,
находим значения п ассивных эле,1ентов схемы и коэф-
фициентов передачи усилителе,й.
.
Ввиду идентичности выражений для собственных ча
стот звеньев ЗНЧ2Н и ЗНЧ2И расчет элементо? RС-це-
132
пи последнего производитсн в соответствии с (3-18).
Для заданных s, R' и С' коэффициент передачи усили
телей звена рассчитывается по формуле
К=1+-1
_
_3_~--
С' j/'C'
(3-22)
Этот коэффициент передачи обеспечивается двумя
усилителями. При условии, что коэффициенты передачи
обоих усилителей звена одинаковые, их величины опре
деляются по формуле
K1=K2=VK .
При К1 и К2> 1 величины резисторов обратной связи
усилителей определяютсп согласно (3-20).
Рассмотрим некоторые прнмеры применения выше
изложенной методики.
Пример 1. Рассчитать баттервортовсl(ИЙ ФНЧ, отвечающий сле-
дующим требованиям:
частота среза :f1= l О · гц;
неравномерность А ЧХ в полосе пропускания а,,::;; 1 дб;
нормированная частота затухания Qз=2;
затухание в полосе задержипания аз;?:30 дб;
температура Оl(ружающей среды 20-60 °С.
Рас ч ет.
По номограмме рис . 3-1 находим порпдок ма1<с 1-Iмн.пьно плоской
аппроl(симирующей фуНl(ЦИИ, l(ОТорый для значений а 1 = 1 дб, Па =
=30 дб и Qз=2 рапен n=6.
В соответствии с табл. 15 l(Оэффициент р длп а1 = 1 дб и n.= 6
ранен
p=l,119.
Из табл. 4 для n.=6 выписываем значения полюсоп :
/J l , 2 =- 0,96'59±jQ,2588;
f]з, r. =
-0,7071 ±j0,707 1;
/J5, a=- 0,2588±j0,9659.
Так l(al( n=6, то фильтр реализуетсп тремп звеньпми второго
порядка.
Найдем параметры этих звеньев. При маl(симально плоской
аппроксимации собственные частоты равны, поэтому в соответствии
с (3 -1 2) получаем: •
'
Wo1=Wo2=Woз=P= 1,119.
По (3- _13) определяем велиi1ины коэффициентов затухания
звеньев:
SI = 10'11 = ,0,9659, sz= 1u21 =0,7071, sз= 1О'.з 1 = 0,2588.
-----
._.___
Для реа л изации фильтра берем звенья типа 3НЧ2Н. Рассчитаем
величины элементов RС-цепей и значения коэффиц и е н тов передачи
10-200
133
усилителей з веньев, в которых применим бумажные конденсаторы и
транзисторные усилители .
Анализ выражеиня (2 - 126) по1<а зывае т, что в зве ньях с боль
шими коэффициентами затухания . при один,аковых требованиях
к стабильности ~ допустима меньшая стабильность элементов схемы.
С этой точки зрения в первом и втором звеньях фильтра целесо
образно применение двухкаскадных усилителей (рис. 2-24). Это по
зволяет у простить схему ФНЧ без снижения стабильности ее харак
теристик. В третьем звене, имеющем меньший коэффициент затуха
ния, следует применнть трехка с кадный усили тель, обеспечиваюш,иi"t
большую стаб н льность гtараметров зве н а.
Определим суммарную велIIчиIIу резисторов RС-цепей зве ньев ,
исходя и з велнчнны допустимого изменен ия ' собственных частот .
Допустимое изменение вел ич ины ,ш 0 в з аданном диапазоне темпера
тур принимаем равным .Лшо/,шо=О,03. Анализ стабильности входных
сопротивлений двух - и трехкаскадных транзисторных усилителей
показывает, что сред н ие величины температурных коэффициентов
н зме нения Rnx этих усилителей составляют 1 и 1,5% град- 1 соот
ветственно. Таt<им образом, для заданного диапазона изменения тем
перат у ры окружающей с реды ,Лl=4-О 0 С в соответствии с (3-16) по
лучаем:
для двухкаскадного ус и л ит еля ЛRnx/Rвx = 0,4;
для трехкаскадного ,ЛRвx/Rnx=0,6.
Считая их входные сопротивления равными 1,5 и 3 Мом, най
дем суммарные величи н ы резисторов RС -ц епей звеньев. Для указа н
ны х выше велиЧ'ин н естабильности Шо и Rnx в соответст вии с (3-14)
находим:
для I и 11 звеньев R11+R21=R12+R22=0, 1З • 1;5 • 10 6 =195 ком;
для III звена R,з+R2з=О,09 •3 • 106 =270 ком.
Первая цифра индекса означэ.ет номер резистора по схеме звена
(рис. 2-4), а вторая - номер звена рассчитываемого фильтра.
Округляя пол уче нны е значения, принимаем суммарную величину
ре з исторов дл я всех звеньев равной 200 ком . В качестве элементов
RС-цепей зве ньев выбираем резисторьi типа УЛИ с ТК:С (0,05-;-
0,l) • 10- 2 град-1 и конденсаторы типа К:4OУ-9 с ТК:Е 0,1 Х
Х 10 - 2 град- 1 . Близкие абсолютные величины и противоположные
знак и температурных коэффициентов данных деталей повышают ста-
бильность собственных частот звеньев.
•
Определим оптимальные соотношения величин резисторов и кон
денсаторов, обеспечивающих наилучш у ю стабильность коэфф ици ен
тов затухания зве н ьев. С это й целью найдем температурные и зме
н ен и я величин С'= С ,/С2, R' =R,/R2 н коэффициента передачи ус и
лнтеля К Величина а.с, может быть выражена через относительные
изменения емкостей конде н саторов С 1 и С 2 следующим образом:
лс,
1+~
а.с,
t,.C2 - 1,
(3-23)
1+-
С2
В н д еальном случае прн равных относительных изменениях ем
костей С I и С2 ,вел11чина а.с,= О. Однако реальные конденсаторы
н меют определенный разброс величин ТКЕ, который мож но харак
тер и зовать некоторой обла стью возмож ны х з начений ЛС/С, завися
щих от температуры. Как следует и з справочных данных и резуль-
134_
татов эксперимента, верхняя граница данной области для конденса
торов типа К::4OУ-9 определяется максимальным ТК:Е , равным
0,1 % град-1, а нижняя - примерно вдвое меньшим значением. Если
рассматривать наих у дший с точки з рения с табильности ко э ффици е н
та затухания случай, то относительные изм ен е ния емкостей С1 и С 2
будут различаться вдвое . Для заданного диапа з она температур на
ибольшее изменвние емкости равно ЛС/С=О,n4. Р а ссматрив а я два
возможных случая: ,ЛС1/С1=0,04, ,Л С2/С2=0,02 и ~С2/С2=0,04 ,
ЛС1/С1 =0,02, по (3-23) на ходим, что I ас, 1 = 0,02.
Резисторы имеют з начит ельно меньший ра з бро с ве л 11ч11ны ТКС.
Для резисторов типа УЛИ он пренебрежимо м ал, поэтом у значение
температурного изменения R' можно при11ять рав11ым нулю, т. е.
aR, =0.
Определим теперь температурный уход коэффициентов передачи
усилителей a'i,.
Температ у рный коэфф1щиент изменения величины
для двухкаскадного усилителя определяется выражением (2-71) . При
Rг . энв =200 ком ТКК усилителя, рассчитанного по (12-71), имеет ве•
личину ан :::::::0,09% град- 1 . Тогда
-а'~,1,2= 'ан ,Лt=9 • J0- '• • 40=0,036.
ТКК трехкаскадного усилителя []РИ ,Rг.экв = ,200 ком имеет вели
чину ,ак=О,03% град- 1 . Следовательно, температурный уход его
коэффициента передачи равен
а'кз=•акЛt=3 • 10-• • 40=0;012.
Подставляя найденные значения ас,, aR, и :а'к в (3-17), находим:
для I и II звеньев с двухкаскадными усилителями
ас,
•
О02
С'опт = 2+2 -,-
.-
= 2+2--'
-
:=::::3;
а.Kl,2
0,036
для 111 звена с трехкаскади ым усилителем
ас,
0,02
С'оп,з=2 + 2 а.'кз =2+20,012 ::::::,5.
Определ им велич;-~ны коэф:риц ,,ентов передачи усилителей:
для I звена
2
21;1 _
2 1,9318
.
К1-1+ С' -V-,--1+ 3- 173
-0,55,
1,2
С 1,2
,
для II звена
2
21;2
2 1,4142
К2-1+С' -V-C'-1+ 3--1 73 -0,85,
1,2
1,2
.
'
для 111 звена
2
2~3
2 О, 5176
Кз-1+С'-11-с,-1+ 5- 924 =1,17.
з
3
..., '
При оптимальном зн ачении С' опт коэффициенты передачи уси
лителей I и II звеньев меньше единицы, т. е. напряжение обратной
связи должно сниматься с части эмнттерных сопротивлений у сил и
телей. Выходное сопротивление усилителя по цепи обратной связи
в этом случае существенно возрастает и влияет на величины пара-
10*
135
метров , звена. следовате,1ы10, такоfr способ установки коэффициентов
передачи являетсп нежелательным. Поэтому прв расчете элементов
RС0 цепей звеньев с коэффициентами затухании, меньшими единицы,
целесообразно исходить из К= 1..
Пересчитаем для этого слу чал вели,шны элементов RС - цепей
I и II звеньев.
Величина С', выраженнаая через s, при !( = 1 опредеJ1яется нз
(3-19) следующим образом:
'
1
С'=-2 •
ek
Тогда для I звена по.г~у,1аем:
1
1
С'1 =-v= (0,9659) 2 l,D72 ,
Rн=tR22=lOO ком.
k.•
Найдем величины емкостеи, исходя нз значений собственных
1 1астот звеньев. Определенные выше значен ия Wo нормированы отно
сительно частоты среза фильтра. Переход от относительных значе
ний собственных частот к абсолют ным осуществляется по формулам
Wo=pW1 или fo=pft.
Для расс матр и ваемого примера собственные частоты звеньев:
io1 =fo 2=rfoз=pf1 =1,119· 10 Щ=ll,19 щ.
Такнм образом, для 1 звена находим:
---------=--~=О, 137 мкф;
6,28-11,19-100·103 Уl,072
С11 = С21С', = О, 137. 1,072 = О, 147 J,tKф.
Р<1ссчиtаем элементы IJ звена:
(0,707 1)2 = 2;
R1=R2= 100ком;
1
----------=О, 102 1,1кф;
6,28-11,19· 100-10 3 - у2
С12 = С22 С'2 = 0,12-2,О = 0,204 мкф.
Элементы III звена определяются аналогичным образом:
R1з = R2з = 100 ко,11;
,
1
С\з =
,r-
V 0,0637 мкф;
21tfoзR2з r С'з
6,28 -11, 19-100- 103 5
С1з=С2 3 С'з ·=О,0637 • 5=0,318 1,1кф .
Величину резистора обратной связи усилителя III звена Rоз
рассчитаем по формуле (3-20):
Rоз=Rэ(Кз-1) =5,1 • 10 3 (1,17-1) =859 ом.
136
\
Принципиальная схема баттервортовского ФНЧ шесто го порндl(а,
выполненного в соответствии с расчетными данными, показана на
рис. ~-4. Гальванические связи между звеньнми обеспечивают про
хождение постоянной сост а вл яющей с игнала. Для по вы ш ения вели
чин Rвх усилители выполнены без к ол лекторны х нагр уз ок вх о д ны х
транзисторов. На схеме у казаны расчетные зн а чения ре з и сторов и
конденсаторов ,RС-цеп е й з вен ьев. О т р ебования х к точности подбо
ра номиналов данных деталей и о методике настройки филыр n"
нижних частот будет сказано в § 3-4 .
•
Рис. 3-4 . Схема баттервортовского ФНЧ ше стого порядк а .
Т:ребуемые величины коэффицнентов п е р ед ачи у с ил ител ей уст а
навливаются изменением резисторов R. з , R.1 и R. 12.
1Г,рафик АЧХ фильтра ·показа •н н а рис. 3 -5 . ,Стабильн ость фи ль
тра проверялась [lрИ +60 °-С. ~График АЧХ, с-нятой в э ти х условиях ,
показан пунктиром . Результаты и з м е рений п ок азы в ают, что по
оравнению •с нормалЬ'ными ·условия м и значение 1, о эффици ента ·п е:ре
дачи фильт.ра в полосе пропуокаю1я возросло на 0 ,'2 дб, ч ас тота с ре
за увеличилась на 4 %, •.а зату
хание в полосе задерживан и я
осталось неизменным.
•
и_б
о·-
--г т
.~
~ --- -.'60°.С
Vil(f}
~
ii:
;ti\'""cdi3r-•1
2DLgwroJ
--.: _. t20 ,C
~
-20
1
1
11 1\
1
11-
-·W
-----
- -~. __JJ..I 1
\1 it
2
5
2D 3Dгц
1
Рис. 3- 5 . АЧХ б атте рвортовског о
ФНЧ шестого поряд1ш.
У,величение коэффициента
передачи фильтра .в полосе
пропускания про.изошло в ре
зультате температурного роста
коэффициентов передачи уси
лителей. Ухо•д частоты срез а
:>бусловлен не только темпе
ратурной неста ,бильностыо ре
зисторов и конденсаторов , но
главным образом уменьш е ни ем
коэффициентов затухания III
звена . вследств.ие увеличения
к~. ,что проявилось в подъеме
частотной характерист,ики и
~мещении частоты ореза вправо .
R,г
Для температурной 1комп енс а ции и з,ме н ения к оэфф и циента пере
.дачи усилителя III ·зв ена включена ;цепочк а д1R , 1 , позволяющая
уменьшить уход частоты с-реза n,рибли'З ит ел Ь'но в 2 .раза . Компенси
рующее действие такой цепочки опи с ано в § 2-5 .
.•
137
Пример 2. Рассчитать чебышевский ФНЧ, отвечаю щий следу ю-
щи м требованиям:
частота среза [1=4 гц;
нер11зномериость АЧХ в пол осе лропус·кания а1 ~ 1 дб;
'1-l'СУрмированиая частота затуха·н ия Qз= 1,4;
затухан ие в полосе заде ржива н ия а8 ;;,,30 дб;
температура ок,ружа ющей ср ед ы ±60 °С .
Р а счет.
По ном огр ам ·ме рис. 3-'2 ~находим порядок рав·новолновой алп,ро-
1,с и.1vш р ую щей функции : n=6.
Из т а бл. 11 выпи:сываем зн ач е ния полюсов апп-рокс имир у ющей
ф унк·ции для ·н ера1З'!-1омер·ности АЧХ, ра1Зной I дб :
P1,2=-O,232O±jO,2661;
Р з, ,=-0, 1698±jO,727'2;
Р5, в=~О,O62/±jО,9934.
Так ка·к n=б, то фильтр реализуется т,ремя звеньями 13ТОро•го
поряд1<а. По ( 1-"2'5) и ·( l-"26 ) опр еделим соб с·rвенные частоты и 1<0-
эффициенты 1зат уха нип зве нь ев .
Для I з1Зена
0001 = V ат+ rот = У(О,2320) 2+(O,266!) 2 = 0 ,353 ;
1а11 О,232
f01 = roo,f, = 0,353-4,0 = 1,41 zц; 1;, = ~
= О, 353 =О,657.
Для II -зве на
= JТ(О,1698)2+(O,7272) 2 = 0,745;
fo2=ro 02 f1=O,745 •4, O=2,98 zц;
Для II I звена
Ja2 I о,1698
s2 = ~= 0,745= 0,228.
0003 = Vа5+ ro~ = ( (0,0621)2 + (0,9934)2 = :0,995;
fоз=ООозf,=O,995 -4 ,O =3 ,98 zц;
103 1 0,0621
~з=~= о,995 -О,O624.
Для •реалИ'за ции фил~,-гра прим ен яе~1 ·зве ,1 ья типа З НЧ2Н. Ра с
считаем величи•ны элеме нт ом RС-цепей звенье13 и з н ачения коэфф1;-
1щ ент ов переда•чи их усилителей.
Та 1к •как фильтр ·пр ед назн а ч е·н дл я ,раб оты в ш11роком диапазон~
температур, то 13 звеньях цел есообраз•н о прим•енитъ л ам :пово -транзи
с~:ор·ные ус илител 11 , ,позволяющие ис-пол ьзов атъ в RС-цепях стабиль
нъrе малог абар И'11ные ко нденс ато·ры. По ·расс~мо-гренным выше причи- .
•нам сум ·ма р1ную величин у ,резисторов берем равной 10 Молt. В кач Е>
ств е •элементов RС-целей применяем ,резисторы типа С'2-1 с ТКС
138
1 • 10- 3 град- 1 и ·конденсаторы типа СГМ ·группы Г с ТКЕ
±60•10-6 град-1.
Определим з·начения температур·ных изменений величин С', R'
и К. !Наибольшее изменение Лt ·составляет 80 °С. Для ·зтих условий
от,юсителЬ'ные измеие1ния емкостей и резистор ·ов равны:
ЛС
ЛR
~ = ±0,004;!! т=О,08.
·С точюr з,рен ия стабильности коэффициентов затухания з-веньев
наи худ шим вариантом являются раз ·ные зн аки относительных изме
•нений емкости С1 и С2. Оп,ре.деляя для этого слу чая величи,ну ас,,
по формуле 1 (3-'2-З) ·находим l•ac, 1=0,00S .
Величина ,ап, вычисляется по формуле, аналогичной (З-12,З),
в которой ЛС/С за,м-еняется ·на ЛR/R. Та·к 1,ак -отно ,сителЬ'ные и зме
нения рези:ст(}ров R1 и R2 типа :С2-1 имеют оди•накqвый з·нак и весь
ма близкие абсолютные величины, то мож1rю считать ап,=0. Т,КК
лампово-тра·нзисто·рното усил ит ел я без тер 1моком,пе н-сации име ет ве
личину а"=-0,02% град-1, поэтому температурный уход коэффи
циента передачи для Лl=-80 '"С равен:
а'11=анЛf=О,О!6.
На основюrии найде,гных з·начений ас,, ап, и а'н по '(3-17) опре
дели·м оптимальное отношение емкостей С1 и С2:
а.с' _
0,008
С'опт= 2+2-,--2+ 20,016=З.
а.к
Найдем ве.rшчrrны коэфф:щ--rентов п '° редачЕ усилителей:
для I звена
2
2~1
2
2. о, 657
к,=r+ст-vс = 1 + 3 - vз =о,9о;
для II зве на
для III звена
')
2-0,228
К2 = 1+~з-----
Vз
i ,40;
2
Кз=1+з
2-0,0624
Vз =1,59 .
Рассчитаем элемент ы RС -цепей звеньев. Та•к •как К1 < 1, то ·пере
сч итае м величи-ну С' дл я I звена. Пола.гая К1 = 1, в соотве1'ствии
с (3 - 19) находим:
1
1
С',=-2 = (О657)2 =2,32.
G1
,
Поскольку R' =.1, то при
,R1+ ,R2 = 1О Молt примем ,R1=IR2 =
=5,1 Мо.м.
Определяя величины емкостей RС-цепей, получаем:
для I звена
1
1
Cz,=-2 -f_R _V_C_'_= 628-141
-51.10°V2 32=О,Оl 45 мкф;
7t0121
,
,
,
,
С11 = С21 С' = 0,0145-2,32 = 0,0338 мюф;
139
для II звена
С22= --------=с--=6060 пф;
6,28-2 ,98-5 , 1 .106 Jf3
С2, = С22С' = 6 060,3:::::::: 0,0182 мкф;
для III звена
1
С2,=
V
6,28-3 ,98 -5 ,] ,]06 , 3
4 525 пф;
С1з=С2зС'=4 525 • 3 ""0,0136 мкф.
BeJIИ'-lИIJ-IЫ резисто·ров обратной св,кш 1, 11 и 111 усилителей,
определе·нные со1Гла.сно ·(-:J-20), 11меют следующие значения :
.с,
ао
R15,i ~
~зt~
Вrt:од i_
0,0145
Ro2=Rк(K2-l) = 1 • 1031(1,4-1) =404 ом;
Rоз= 1 • 1031(1,59 -1) =594 ом.
i(3
1011
+JОб
7jMП!!il
--Л:;-',1""·пл2:-<Л';;,a--:1D::fl:-----l..r--<>------~-1,-.-----o
•
~+JOD
Рис. 3-6. Схема чебышевского ФНЧ шестого порядка.
Принципиальная схема чебышевс1<,J.rо ФНЧ шесто·го паряд1«1 ,
выполн е1-11юго п соответстпии с ,расчетными да·нн ыми, •по:каза·на •11а
рис. 3-6 . Звенья фильтра имеют непосред•сrвенную связь, блаrода:ря
ч ему обеспечивается 'П']J-Охождение постоя·н•ной составляющей ситна
па. Усилители звеньев выполнены по схеме рис. 2-32, где указаны
расчетные значения 'Н:оминалов резиста.ров и 1юнденсаторов RС-цепи .
Уста1нов1<а требуеrмых значений коэффициентов передачи выпотrяет
с я иэменением величин R,, R10 и R1в. Для плавности ,регуJ 1 ировки
во II и 11! звеньях ,п,рименены 1перемен·ные резисторы, ·1юторые по•с ле
·1 1 ас-1'роiiки могут быть за·менены постоянными, имеющи,ми 'Рав н ые ве
личины.
В базы транзисторов Т2 и Тз включены Rэ и •R1s, служащие для
уменьше ния отрицательных тем 1перату ряых уходов коэффициентов
п ереда чи усилителей 11 и !!1 звеньев . Их ко.мпен.сирующее действие
рассмотрено в § 2-5 . На схеме указаны ориентировочные
веJ1и·ч1шы Rэ и R1s, кото•рые уточняют,ся в ·п·роцесс е наст.рой•1ш фиJ)ь
тра . АЧХ ;фильтра по1<аза•на на рис. 3-7. Результаты иэмерений ста
билыности ,фильтр.а при теrм1перату:рах ±60 °С шжазь1вают, что вели
чина коэффициента передачи фильтра вблизи границы полосы n,pa -
14()
В:сод
п- --
-
W(f}
20Lg W(0j
-10 _ j__~~
1::rт--1 .,,,1 11.-я
0,1
0,2 О,ч-
1
2
Рис. 3-7 . АЧХ чебышевского ФНЧ
порядка.
шестого
Рис. 3-8. Схема ФНЧ I{ласса ,L шестого порядка.
1
35
10
20 ч-0 гц
Рис. 3-9. АЧХ ФНЧ класса ,L шестого порядка.
- JS(J
Тб
MПIIЗR
+/56
J41
пускюш,я п,ри темлературе +60 °С уменьшает ся прим е рно на 0,15 дб,
а ·при температу:ре _,50 "С у величивается на 0,4 дб. •Это и~меиение
обусловлено от1рицательным Т1~К: лампово - тра·нзистор:ных усили
телей.
На рис. 3-8 и 3-9 показаны схе м а ФНЧ класса L шестого по
ряд~<а и ето АЧХ. В фильтре использ уются усилители ,с "Полевыми
тра·нзисторами. Для о-бес1Печения 1гальваничеС1Кой -свя~зи между
з·в·енья.ми ·применены дели т ели напряжения , кото,рые позволяют у.ста
новить ,режимы "Полевых ~ранзисl'оров, с оответствующие наимень
шему температур~ному изменению ·крутизны .
3-3 . Расчет активных RС-ф и льтров верхних частот .
Расчет фильтров верхних частот выполняется в сле
дующем порядке:
1. По значению неравномерности АЧХ в полосе п р о
пускания а- 1, затухания в полосе задерживания а_3 и
относительной частоте задерживания Q_3 с помощью
одной из номограмм (рис. 3-1-3-3) определяется сте
пень аппроксимирующей функции. При этом следует
иметь в виду, что в номограммы подставляется значе
ние 1Q·з, обратное величине Q~ 3 , заданной для ФВЧ. В тех
случаях, когда требуемая неравномерность в полосе
пропускания отличается от приведенной в диаграммах,
следует пользоваться расчетными формулами (1 -16),
(1 -41) и (1-68) с учетом замечаний, сделанных в отн о
шении величины Q-э -
2. Для найденного порядка аппроксимирующей
функции определяются значения ее полюсов и величи
ны параметров звеньев фильтра.
В параграфе 1-5 было показано , чт,о частотное п р е
образование ФНЧ в ФВЧ не меняет значений коэффи
циентов з атухания з веньев , а величины с обственных ча
стот ЗНЧ и ЗВЧ связаны обратными з ависимостями .
На основании этого па,раметры з веньев ФВЧ могут
быть выражены через значения полюсо в низкочастот н ых
аппроксимаций следующим образом :
(3-24)
гдеа"иffi1,-
де йствительные и мнимы е части полюсов
низкочастотны х функций, определенны е по соответст-
вующнм формулам или таблицам , ·
•
142
Для максимально плоской аппроl<симацни величи
ны собственных частот ЗВЧ соответственно равны:
1
illo== -.
р
(3-25)
3. После расчета пара метров звеньев производится
выбор схемы фильтра и определяются типы звеньев.
При этом следует руководствоваться рекомендациями,
сделанными в отношении выбора типов звеньев ФНЧ.
4. На основании величин параметров звеньев, полу
ченных в предыдущих пунктах, производится расчет эле
ментов RС-цепей и коэффициентов передачи усилителей.
Рассмотрим методику расчета звеньев верхних ча
стот.
Расчет элементов звеньев верхних частот с неизоли
рованными секциями RС-цепи . (ЗВЧ2Н).
Величина R2 RС-цепи звена (рис . 2-10) определяется
исходя из до11устимого изменения собственной частоты
звена ,Л,w 0/.w 0 , входного сопротивления усилителя Rnx и
его нестабильности ЛrR.вх/Rвх-
•
Преобразовывая (2-30), получаем формулу, опреде
ляющую соотношение между R2 и Rnx для звена типа
ЗВЧ2Н:
(3-26)
Нестабильность входного сопротивления транзистор
ного усилителя оценивается при помощи (3-16). Зада
вая величину допустимого изменения собственной ча·
стоты звена, определяем величину резистора R2, котоа
рая при использовании в ЗВЧ усилителей на лампах или
полевых транзисторах может быть увеличена до 10-
20 Мом. Большие значения R2 брать нецелесообразно
(см.§3-2).
Типы резисторов RС-цепи звена, являющихся в ЗВЧ
элементами цепи обратной связи, для обеспечения ма
ксимальной стабильности следует выбирать с ТКС
одного знака.
По сравнению с ЗНЧ к 1<01-щенсаторам, применяемым
в ЗВЧ, предъявляются менее жесткие требования, так
как они не являются непосредственно элементами цеп11
143
обратной связи. Однако при эксплуатации ФВЧ в широ
ком диапазоне температур целесообразно применять
высокостабильные конденсаторы.
Для диапазона темпе,ратур, определенного условия
ми эксплуатации, находятся з начения ан,, ас,, а'н, с по
мощью которых по (2-136) определяется оптимальное
отношение величин резисторов. При этом необх,одимо
задаться величиной С'. С конструктивной точки зрения
наиболее удобным является значение С'= 1, при кото
ром для заданной величины ,ш 0 обеспечиваются наимень
шие номиналы конденсаторов.
Для этого случая (2-136) имеет вид:
'
а.' к
Rоnт= 2 (a.R, +а.'к)+а.с, •
(3-27)
Используя значения R', Ct, >еоо и ~ .
рассчитываем ве
личины ·конденсаторов, резисторов и коэффициента пе
редачи усилителя звена по формулам табл. 16, полу
ченным на оенове материала § 2-3 .
Расчет элементов звена верхних частот типа ЗВЧ2И
произв,одится в том же порядке, что и типа ЗВЧ2Н. Рас
четные фор.мулы для определения всех параметров зве
на представлены также в табл. 16.
Рассмотрим конкретные примеры расчета ФВЧ.
Пример 1. Рассчитать баттервортовский ФВЧ, отвечающий еде-
дующим требованиям:
частота 1среза f-1=5 гц;
неравномерность А ЧХ -в полосе пропускания а-1 = 1 дб;
нормированная частота затухания Q_з = 0,5;
затухание в полосе задерживания а-з~40 дб;
температура окружающей среды 20-60 °С.
Р а счет.
По номограмме р.ис. 3-1 для заданных значен1ий а1, а-1 и Q_a
определяем порядок максимально-плоской аппроксимирующей функ
ции. Имея в виду соотношение -Rз= 1/Q-з, находим значение поряд-
ка, равное n=8.
•
Из табл. 4 ·вьшисываем значения полюсов для n=8:
Р1, 2=-0,9808±j0,19'50; р5, в=-0,18556±j0,18З!б;
Рз , ,=-0,83115±j0,5i556 ; р7 ,s=-0,19'50±j0,9808.
Таю11м о•бразо·м, фильтр реализуется четы.рымя эвенья ·ми -вто:рого
поряд:I{а.
1П ри 1ШI{сималЬ'но ,плос,I{ой аппроксимации со·бственные часrоты
звеньев ·рав·ны и в соответствии с 1(13-25) о•пределяются формулой
Фо=-,
Ро
144
Та6лица~1(;
Пере ч,ень формул для рас ч,ета звеньев верх н их ч,астот второго порядка
1
Ве~r~нчииы ко -
Схема
Условия для определения велиtшн
Оптимальные соотношения
Велн ч ины элементов
эфф ициенто1>
Тип зве на
звена
1
резисторов RC - цеп ей
RС-цепей
RC- цeneii
передачи
усилителей
д<u о
--
а.'
1
(1)0
R'опт=
к
С,=С2 =
; K=l+2R' -
ЗВЧ2Н Рис. 2- 10
R23⁄4 Лrоо + 1 ЛRвх Rвх
2(::r.p, + a.' к) + а.с''
27tf 0R2 if R'
~2RБХ
С'= l
R,=
R2R'
-
2~YR'
ЗВЧ2И Pr-;c. 2 - 13
R23⁄4
а.' к
1
K=l+R'--
R'опт = +ас,+ а.'к '
С1=С2=
__
;
[2-у',+V (у'-2)2+4(у'-1)]R .
ар,
21tfoR2{R'
-2~VR•Г
3⁄4
2(У'- 1)
вх•
C' =l
R1, =
R2R'
ЛR.х / Лrо0
у' --- --
-
Rвх 1 (!)о
Для а-1=1 об и n=fJ ,по та•бл. 17 нахо д им p=l,090, следователь
но, Шо=О,9 или fo=Шof-1=0,9 • 5 Щ=4,5 гц.
Коэффициенты затухания з в е ньев в ,с-оответствии ,с (3-124) рав1ны:
51 = 10'11 =0 ,980'8; 5з = l ·uз 1=0,65'56;
s2= lu2I =О,8315; 5,,= 1 , а.1 =О,19150.
Для реализации фильгра ,бе;рем звенья типа З-ВЧ2Н. О пределим
величи н ы эл ементов RС-цепей звень ев и з нач ения ·коэ·фф1щне11тов
передачи их усилителей.
Зада·ни ые условия •эк1сплуатации [юзволяют применять •бумажные
конденсаторы большой емкости, следовательно, требуемое з 11 ачение
[о обеспеч и вается при сравнитель-но небольших величи н ах резисто
ров ,RС- цепей. Поэтому в звеньях применим транзисторные усил н
тел и : в пе:рвых грех звеньях фильтра, и,меющих относитель-но боль
шие :коэффициенты затухания, в .це л ях ,сокращени-я числа транзисто
ров применим двух1шскадные усилители, а в четвертом, имеющем
нанмень,w и й коэффициен т затухания, трехка ·скадный усилитель, обес
печивающий лучшую •ста-биль'Но·сть 1парамет.ров -звена.
·Определим величины ·резисторов R2 RС --цепей зв-еньев, исходя
из ,следующих величи ·н ·неста-билыно•стей в заданном диапа-зо·не тем
ператур:
допустимое изменение ,собств·ен,ных частот звеньев Лшо/.Шо =0;03;
н естабильность Rвх двухкаскадного усилителя :ЛIRвxl'Rвx = 0,4;
нестабильность R.вх трехкаскадного усилителя :Л1R.,;х/Rвх =0,6.
Для звеньев ФВЧ эквивалентное в1нутреннее сопротивление
источ,ни ·ка сиг н ала мало, · поэтому входные ,сопротивления двух- и
т,рехкаокадных ·усилителей выше, чем в ЗНЧ, и равны соответств·ен
но ·2,5 и 5 Мом ~ (см. § 2-'5). Определяя по (3- '26) вели-чины резисто
ров RС-.цепей звеньев, ,получаем:
для !, II и III звеньев R.21=R.22=R.2з=32!5 ком;
для IV звена R2,=450 ком.
В да'Н'ном обозначении ,первая :цифра и·ндекса означает иоме•р
рез1-1сто·ра по •схеме звена рис . '2 - 10, а втора я - 11юмер -звена рас,счи
тываем-01го фильт,ра .
Округляя, ·принимаем для всех звеньев •1юм1н1ал сопротивления
300 КОЛt.
,В R.С-цепях звеньев применяем резисто·ры типа УЛIИ и конден
саторы типа К40У-9, для :которых ·найдем т емпературные изме н ения
С' и R.'.
Как было показано в § 3-2, относительная нестабильность
от н ошения С 1 / С 2 д;ш конденсаторов типа К40У -9 в заданном
д и апазоне температур может быть принята равной а.с,= 0,02. Разница
в ТКС резисторов типа УЛИ весьма незначительна, поэтому можно
считать а. R,=0. Уход коэффициентов передачи двух- и трехкаскадного
усилителей в заданном температур,ном диапазоне 1при ·работе в схе•
ме ЗВЧ и меет вели ч ину аи=О,01 . Определяя для этого случая о:пти
мальное ·соотноше н ие рези•сто·ров по (3- '27), находим:
0,01
R.'опт= 2-0,01+ 0,02 = О,25•
Для этото случая коэффициенты ·передачи усилителей !, II
,,
III звеньев меньше еди н ицы (табл . 16) . При расчете ФНЧ было по-
146
каза1но, что в 'Гаких случаях -отношение величнн элементов RC-цerteй
целесообразно ра-ссчитыва'Гь для ·ко~ффицие,пов передачи усил ите
лей, . равных единиц е. При заданных значениях К и s величина С'
для ЗВЧ2Н определяется из уравнения (2-134), которое при К=!
имеет ,следующее решение:
R.' = ,s2.
На основаюш сказа нно1го ·произведем расчет элеме1НТ'ОВ зв~ньев.
Для I звена
R'1 =sT = (0,980)2 = 0,962;
R11 = R21R.'i = 300 колt-0,962 = 289 ком;
1
С2, = ----=== -
----------,===-
О, 122 мкф;
21tf0R21 VR' 1
6,28-4,5-300 -10 3 уО,962
С11= С21С'= О,122-1 = О,122 мкф.
Для II зве на
R.'2 = ~~ = (0,831) 2 =0,691;
R.12 = R.2?R'2= 300 ком - 0,69 1 = 207 кол1;
,I
=0,l42л1кф;
6,28-4,5-300 - 10 3 ,; 0,691
С12 = 0,142 л~кф.
Для Ш звена
R'з = ~~ = (0,555)2 = 0,308;
R1з = R2,R', = 300 кол~-0,308 =:с 93 кол1;
Для IV звена
6,28-4,5-300 - 10 3 Jf0,308
С1з=0;210 лtкф .
R\=0,25;
Rн=RнR',,= :300 колt • 0 ;25=7б ком;
0,210 мкф;
6,28-4,5-300 . 1оз Vo,25 = 0
•
236 мкф;
С14 = 0,236 .мкф.
Коэф:jтциент передачи уснлителя равен:
К4= 1 + 2R'4-2 ~4 VR.\= 1s---2 : o,1950V0,25= 1,3.
Величина •резистора обраТ'н-ой -с)вязи усилителя IV зве на в соо·1-
ветствии с ·(3-20) равна:
IR.o.=iRэ(I(.-1) =5,1 • 10 3 (1,3-1) = 1,55 кол~.
147
При·нцилиаль·ная ·схема ·баттерво•ртовско·го ФВЧ 8-го порядка ,
выполненного в соответствии с :результатами расчета, rпохазана иа
рис. 3-1 О . Связь между звеньями осуществляется ,с помощью RС-це
пей. Коэ·ффициенты передачи усилител ~.й ус та ·навливаются с по
мощью р е з н сторов о·братной сnязи Rз, R1, R11 и R 1s-
Ha схеме ука з а,ны ·рас четные з начения элементов RС - цепей
звеньев. О требованиях к l'очно:сти подбо.ра номиналов резистороn
и конденсато,ров и о методике ·настройки ФВЧ ·б у дет с·казано в па
раграфе 3-4.
C,Ql22
-1
Рис . 3-1 О. Схема баттервортовского ФВЧ носьмого порядка.
На рис. 3- 11 показа·н трафик АЧХ фильтра. Стабильность ф н .1ь
тр:1 пров е ряла ,с ь п,ри +60 °С. Изме.рения ,показали , что нераююмер-
1 1 ость АЧХ в п оло с е пропускания практически не из~1ею-1лась, а 1 1а
стота ереза фильтра у,меньшилась на 3% вс.пе .~ с твие т е мп е рату рных
нзм е нений элементов RС-:цепей и ·некоторого уве.111ч е н11я коэфф н
uиента з атуха•ния IV з в е·на.
iJf/
а
20L 'N(f) -i
~ gW(100гц) l
11/
~
-1D
'"-.
'-..
"-
+БD0С +20°С
1
2З5
1U 2030гц
Рис. 3- 11. АЧХ баттерnортовского ФВЧ
восьмого порядкя .
Пример 2. Рассчитать чебышевский ФВЧ, отвечающий следую-
щим требова ·ниям:
148
частота среза f-1 = 3 гц;
•неравномерность АЧХ в полосе пропускания а-1 ~0,5 дб;
нормированная частота затуха н ия Q_з=О,66;
затухание в полосе задерж и ва н ия а-з:;?::30 дб;
тем ,пература окружающей с.реды :±-60 °С.
Расчет.
По ном О'г ра мме ,рис. 3-2 по исход·ным да ·нным определяем по
ря д ок ·равновол новой аппроксимирующей ф унк ции , равный n=6.
И з т а б л . 1О выписываем з нач ен ия полюсо-в ап прок·с111мирующей
фу1шщии для а_1=0,5 дб и n=6:
Р1, 2= - 0 ,2897,±j0,2702;
Рз, ,, =-0;21 '2l±j0,7 .382;
/J5, в= -О,ОП6±j 1,0084.
Так 1<ак n=·6, т о ·фи л ьтр !реа лизуеl'ся т·р емя зв с•ны1ми вто,р ого
п о ря дка . Для да нных з·начений полюс.ов п араметры ·зnе иь ев, ,ра·ссчи
тан·ные ,по 1(3-'24), имеют следующ ие величины:
дл я I зве на 1Wo1 =12, '5'2; fo1 =7,56 гц; 51 =0,7•30;
дл я 11 звена •Wo 2= 1,3'2 ; fo 2=13,96 гц; 52=0 ,278;
дл я 111 з вена Wоз= 1,0; fоз= 13 гц; 5з=О,07'8.
Для ·реализа-ции фильтра применяем 13ве нья пша ЗВЧ2Н . Рас
считыва ем величины элементов RС-щепей зве1ньев и ·з•нач ения 1<оэ·ф
фищ и е нтов ·передачи ус ил ителе й. Прове дем расчет для усил ит елей
на пол евых тран з нсто.ра х . В качестве :элементов RС-цепей при мени м
резисторы типа С2-1 и ю:тденсаторы типа СГ.М группы Г. В усло
виях наи6олышето пер е пада температ ур ы -80 °С тем,пературные
и з1менения элементов с.оставляют
1ас, 1 =0,008 и •an, =0.
Как было от мече но в параграфе 12- '5, з·1~ач ение ТКК ус илит еJ1 я
с. полевым транзистором, вы п олнеН'но1го по ·схеме ,ри с . 2 -218, 1за ви-сит
о т на~пряж ения от-сечки пол ево,го трю1зистора. Поэтому в р.асчете
(:Ледует испол ьзоват ь среднее з·начение ТК,К, учитывающее возмож
ный ·разброс величин ·напряжения отс ечк и , Д ля ди апа зО1 на з·н ачен ий
данного ·п арамет ра Ио= 1:5---:3 в меужно -принять ,аи=О ,00· % г рад- 1 .
СледователЬ'но , при 1 ,Лt 1= ·8 0 ° тем:пературный уход коэффициента пе
р еда чи у,с илит е лей имеет величину
-а'"= •ан,Лt=О,0 1 6.
Оптн маль·l1о е отиоше11 ие ,ре:зистор·ов R1 и R2, . олрещ:ле·1-111юе по
(3-'27) дл я указанных величин нестабильности элементов, !равно
а'
0,016
R'опт. =
и,
= ---
О4
2(aR, +аи) + ас, 0,04-
'•
Р а-ссчита ем вел1-1чи•и ы элементов RС-цепей З В(Я-1 ьсв и з·н ач ення
коэффиц 11 е1п- ов п ереда чи у,с илит елей .
Для I звена
к,=1+2R' -
25,VR' = 1,8 - 0,957= 0,843.
Так 11<а-1< К1 < 1, '!lерес,1 итываем отношение вею1чи-н эл с,м е нтов
RС-ц(:ПИ да шюго зве на дл я значе ния коэффици ента ,передачи К= 1.
В этом случзе R' 1 = ~i = (О,730)2 = 0,533. Для данных типов
усил ит елей приннм аем в еличин у рези стора R21=4,7 Мол•t. Тогда R11 =
= ·R2,R.'1=.4,7 • 1·06 • 0,533 =2,5 Молt;
6,28-7,56-4 ,7 - 106 -0,730 6 140 пф ;
Для II звена
К2 = 1 +2R'-2~2YR' = 1,8-0,35= 1,45;
R12=R22·R'=4,7-l06 -0,4= 1,88 Мом;
6,28-3,96-4,7-106 уо,4
0,0137 мюф;
R11 R~
12к 6,Вк
-
- f[j(j
/5
МПIIЗР.
8:roiJ
~
R2 4:J.
Z,5
8Ы.LOiJ
150
Рис. 3-12 . Схема чебышевского ФВЧ шестого порядка.
Для III &вена •
Кз= 1+ :2R' -
21;2 yR' = 1,8 -:- 0,098 = 1,702;
R,3= R,зR' = 4,7•106-0,4 = 1,88Мом;
6,28 -3 -4,7-106 Jf0,4
0,0 178 мкф;
2DL W{f)
iJб g W(fООгц)
а
:::,.... -,
,_
-
-
-
-
'--
-б0°С ' о
·r20 С
-
+БО°с
i-
-10
-.
-
--.
--
1
2З5
10
20 за sогц
Рис. 3-13. АЧХ чебы шевского ФВЧ ш е стого по
рядка.
ttринципиалъная схема чебышев·ского ФВЧ шестого IiopsiдШ\,
выпол•ненного в СQответствии с расчетными данными, ·показа·на на
рис. Э-1 ·2. :При,менение полевых тра1шисторов :позволило на порядок
увеличить значения !резисторов RС-цепей по сравнению с предыду
щей схемой ФВЧ. С целью ,обеспеч ения температурнQЙ стабиль·ности
ко·эффициентов передачи усилителей в них иапQльзовались полевые
транзисторы ,с напр.яжениями отсечки о·коло 2 в.
На ,рис. Э-13 показа•н график АЧХ фильтра. Измерение стабиль
ности фильт,ра п•ри ±60 <iC показали, что коэффициент передачи ето
в·близи грающы полосы :пропускания с уменьшением •гемпературы до
~ 6 0 °С увеличивается примерно ,на 0,5 дб, а с увеличением падает
на 0,3 дб. Частота с.реза при IЭТО.м и з·меняется соотве1'ст_в енно на
±2,5% . Да 1и-IЫе изменения о·бу,словл~ны отр1щателы-1ым ll~K усили
телей звенье·в, а та1кже температурным~i изменениями резисто:ров и
конденсаторов RС-цепей . ,Для повышения ста·бильности 1юэффИ1ЦИе}1-
та передачи усилителя III звена в цепь базы ~ран:зистора Т6 в1клю
чен резистор R1,, ком :пенсирующее действие которого расс,МQт,рено
в§2-5.
3-4 . Методика настройки Ф НЧ и Ф ВЧ
Рассмотрение методики настройки ФНЧ и ФВЧ нач
нем с пояснения процесса формирования их ~ЧХ. Так
как фильтры составляются .путем каскадного включения
изолированных ЗНЧ или ЗВЧ, то АЧХ фильтра являет
ся произведением · АЧХ звеньев. Если АЧХ представ
ляются в логарифмическом масштабе, то АЧХ фильтра
является суммой АЧХ звеньев.
Передаточная функция звена нижних частот при
р = j,uJ может быть представлена следующим образом :
откуда АЧХ 3~4 определяется выражением
к
w(Q)= ~=====·
V (1-
.0 2)2 + 4;202
где
(3-28)
Семейство нормированных АЧХ звена нижних ча
стот, построенных в соответствии · с (3-28), представлено
на рис. 3-14 . Форма АЧХ и расположение ее на оси ча
стот определяются значениями коэффициента затуха
ния и собственной частоты звена. Рисунок 3-15 иллюст
рирует процесс формирования АЧХ баттервортовскоrо
151
Ф НЧ шестого порядка, имеющего а1 = 3 дб. Собственны~
частоты звеньев при максимально плоской аппроксима
ции ·равны, а их коэффициенты затухания имеют такие
величины, что в полосе пропускания фильтра обеспечи
вается плоская характеристика (L·плошная линия) за
счет взаимной ком п енсации затуханий звеньев.
дб
ro
о
-10
-20
-30
201g W/Л/
W(O)
~
ll S.=Ц05
-
-0 .1
sic 02
~~~' ~1,
1i1._~ 12
5
~ cio
Q6
"',..
,,
{
0,1
0,2 о,з о,4 o.s 0р а.в 1,0
Z 3456810
Рис. 3-14. Семейство АЧХ звена нижних частот вто
рого порядка .
Формирование АЧХ в ФВЧ происходит аналогичным
образом, с той лишь разницей, что для них шкала ча
стот имеет обратный характер .,
Графики рис. 3-14 показывают, что основ н ым при
настройке фильтров является правильность установки
величин собственных частот и коэффициентов затухания
звеньев. РассмотD1iм практические с п особы установки
i:
i!
2З
Рис. 3-15. АЧХ звеньев бат
тервортовского ФНЧ шесто
го порядка.
152
.данных
параме11ров.
•
Из анализа стабильности
зв.еньев следует, что относи
тельный уход ~собственной час
't оты равен алгебраической
t умме ухqдов номиналов 1рези
сто_ров и конденсаторов RС-.це
:~ей. ·следовательно, погреш
ность установки собственных
частот может быть уменьшена
либо высокой :точно,стью под
бо,ра всех деталей RС - цепей,
либо индивидуальной наеr1рой
кой величины w0 каждого зве
на. Первый способ достаточно
сложен, если подбор деталей выполняется вручную. Од
нако в на-стоящее :время цромышленностью вып у скается
несколько типов деталей с 1ра1сширенной шкалой номи
нальных значений. К ним относятся ·конденсаторы типа
СПМ.З, имеющие наибольший ша,г между соседними зна
чениями ряда ,± 5 пф и допуски изготовления
,± (0,3-1) %, что позволяет обеспечить практически лю
бое номинальное значение 06
емкости в пределах 50- w---1
--
-
---
---
~
1О ООО пф с точностью не 20Lg 2t
хуже ± 1%. Аналогичны-
••
ми F\ОЗМОЖНОСТЯМИ обла- 1---" '< -+-
-+--t-
дают конденсаторы ти-
п а С С Г, выпускаемые •с 2lJ 1----1
-
-J..-."-
-+---1--
-1--
--1 --1
номинальными з начения-
ми до 0,2 л1кф и точно- 10 1----1- -J .-
-
+-..,.__-1---1----1--1
стыо изготовления ±0,3%.
По ,специальной 1рас
ширеиной шкале номи- а '=-==""=-=~:-; ---::~~h:--=~:-'- -- .!c:::1
нальных значений изго-
т а вливаются
1р ез и с торы -ю 1.----1_
__,___.,L__.,___.__--'....J
типа УЛИ, O2-il и др., поз- ·
валяющие ;пол у чить лю
бое -значение в пределах
от сотен ом до 5,1 •106 о.м
Рис . 3-16 . График функцни А=
l
=20 lg 2[·
с точностью 11-2%. Таким образом, при и,с-
пользовании указанных типов деталей достато•ч-
но п1росто обеспечивает,ся допуск на .отклоне-
ние от ·ра1счетного -значения, равный ± 1(11-2) %.
Для большинства типов фильтров эт,ого вполне доста
точно, и дополнительной настройки собственных частот
звеньев не требуется. В тех случаях, когда использова
ние указанных типов деталей по каким-либо причинам
невозможно, применяется второй способ . Так как плав
ная регулировка конденсаторов большой емкости прак
тически исключена, то для RС-цепей з вена выбираются
конденсаторы оо стандартными номиналами, наиболее
бли·зкими к расчетным значениям, а настройка частоты
осуществляется изменениями резисторов. При этом же
лательно настройку производить пропорциональным
изменением обоих резисторов, так как регулировка
только одним элементом приводит к изменению не
только собственной частоты, но и коэффициента з атуха
ния . Это об с тоятельство особ е нно существенно в ЗВЧ,
11-200
153
где ре з исторы явлшот.ся элементамн цепи обра тной свн
зи. Кроме того, большое отклонение номиналов эJ1емен-
1
u
тов от расчетных значении нежелательно вследст,вие
невыпЬлнения оптимальных условий с точки зрения ста
бильности коэффициентов затухания .
Рассмотрим, как можно контролироват ь величину
собственноГ, 1 1астоты звена. Из графиков ри с. 3-14 сле
дует, что с уменьшением коэффициента затухания
растет «резонансньrй» подъем АЧХ звена, максимум
которого находится на частоте , свя·занной с собст,венной
частотой звена зависимостью
(3-29)
Из (3-29) видно, что при s=0 частота незатухающих
колебаний равна собственной частоте звена Qмai,c = 1.
Данный режим обеспечивается увеличением коэффици
ента передачи УСИЛИТеЛЯ, ПрИ ЭТОМ следует устанавли
вать минимально во з можную а-мплитуду колебаний, со-
011ветствующую порогу самово з буждения. Частота полу
ченных колебаний, равная собственной частоте звена,
измеряется и сопоставляется с расчетным значением .
И~меняя величины резисторов и поддерживая незату
хающие колебания, получают необходимое з начени ~ соб
ственной частоты звена.
Такой способ определения величины w0 и ее настрой
ки удобен при сравнительно высоких значениях частот ,
когда могут быть использованы приборы широкого пр11-
менения для измер ~ния частоты. Измерение инфраниз
ких частот значительно сложнее , поэтому в практике на
стройки низкочастотных фильтров можно применять
способ контроля собственных частот по положению ма
ксимума АЧХ . Из (3-29) следует, что при s<O, 1 вели
чина Qмai{ c . отличается от собственной частоты звена
меньше, чем на 1%. Таким образом, если установить
достаточно малый -коэффициент затухания зnена, то ча
стота максимума АЧХ звена с незначительной ошибкой
определит его собственную частоту . Настройка собст
венных частот звена ,в данном случае производится так
же изменением резисторов . .
После того как определены величины элементов
RС-цепей звеньев и настроены их собственные частоты,
производится установка требуемых значений коэффици
ентов затуханий. В том случае, когда рез исторы 'и кон
денсаторы подобраны с точностью ± (l -2) % и коэф-
154
фициенты зату х ания з веньев сравнительно велики (на
пример, в баттервортовскн х фильтрах), для обеспечения
требуемого значения 's достаточно вьн;тавить рас
ч етные значения коэффициентов передачи усилителей.
После предварительной настройки каждого звена сни
мается АЧХ фильтра и производится корректировка
коэффициентов передачи усилителей для получения тре
буемой неравномерности ,в полосе пропускания .
В тех случаях, 1шгда звенья фильтров им е ют малые
коэффициенты затухания или в результате настройки
собственных ча. стот звеньев изменились расчетные соот
ношения величин элементов RС-цепей, рассмотр,енный
выше способ не обеспечивает необходимой точности.
Тогда следует пользоваться более общим методом на
стройки, при котором коэффици ентыз атухания устан а,в-0
'лirna"io--fcя по характерным точкам АЧХ звеньев. Дан
ные точки определяются абсциссами, равными собствен
ным частотам звеньев, и ординатами, равными коэффи
циентам передачи звеньев на этих частотах. Величины
данных коэффициентов определяются из (3 -28) путем
подстановки ,в него значеf!ия частоты .Q = 1. Их величи
ны, выраженные в децибелах, рассчитываются по фор
муле
• W(l)
1
А=20lgW(О) =20lg2f"
(3 -30)
Для удобства определения величин А на рис. 3-16
представлен график функции (3-30), пользуясь которым
найдем в качест,ве примера коэффициенты передачи
зве.ньев баттервортовскою ФНЧ шестого порядка (АЧХ
показаны на рис. 3-15). Для I звена, имеющего s1 =
=0,966, получаем А1= - 6 дб . Аналогично для II и III
з веньев находим А2=-3 дб и Аз= +6 дб.
Величины ко э ффициентов передачи звеньев на соб
ственных частота х устана ,вливаются путем изменения
коэффициентов пер едачи усилителей. При этом в ЗНЧ
за исходный уровень, соответствующий А= О, можно
принять коэффициент передачи звеньев на частотах,
примерно в 10 ра з меньших их собственных. И з рис. 3-14
видно, что этот уровень практически ра,вен нулевому.
Аналогично при настройке ЗВЧ за исходный уровень
r;rринимается коэффициент передачи з веньев на часто
тах, в 10 раз больших собственных.
При составлении схе м ФНЧ и · Ф ВЧ
образно включать по .мере умен ь ш е н:ия
11"
звенья целесо
коэффициентов
155
затухания, при этом обеспечивается наибольший дина
мический диапазон фильтров . Действительно, если изме
нить порядок включения на обратный, то , на входе
фильтра окажется звено, имеющее на собственной ча
стоте коэффициент передачи больше единицы. Следо
вательно, для исключения перегрузки последующих
звеньев необходимо уменьшить уровень входного сиг
нал а. В первом случае этого не требуется, так как на
вход высокодобротного з,вена сигнал поступает ослаб
ленный звеньями с большими коэффициентами затуха
ния (см. рис. 3-15).
3-:5. Расчет полосовых активных RС-фильтров
С точки зрения ширины полосы пропускания поло
совые фильтры можно условно разбить на две группы .
К первой относятся широкополосные фильтры
(ШПФ), имеющие величину -относительной полосы про
пускания большую единицы. Их целесообразно выпол
нять, используя ФНЧ и ФВЧ, что позволяет при широкой
полосе пропускания обеспечить требуемую неравномер
ность в пределах полосы и крутые спады АЧХ за ча
стотами среза. Кроме того, такой способ построения
ШПФ необходим в тех случаях, когда требуются изме
няемая полоса пропускания и независимая перестройка
частот среза фильтра.
Ко второй группе можно отнести фильтры, имеющие
постоянную величину относительной полосы пропуска
ния, меньшую единицы. Выполнение таких фильтров
с помощью ФНЧ и ФВЧ нецелесообразно, так как при
сужении полосы пропускания использование звеньев
с малой добротностью в них становится неэффектив
ным. Поэтому узкополосные полосовые фильтры (УПФ)
следует выполнять, используя ПЗ, ЗНЧ и ЗВЧ ,второго
порядка, параметры которых рассчитываются на основе
частотного преобразщзания исходного ФНЧ в ПФ. Рас
смотрим, как выполняется реализация полосовых функ
ций звеньями указанного типа. Передаточная функция
ПФ п-го порядка имеет вид
Pn
wн (р)= -,,-
. -------
(3-31)
П ! (p2;+ : 2;ip + (J)~j)
i=l
156
Так как характеристические полиномы, стоящие
в знаменателе (3-31), для всех типов з,веньев второго
порядка имеют одинаковый вид, то характер звена опре •
делится видом сомножителя числителя, который может
быть представлен различными комбинациями сомножи
телей l, р и р2. К:ак отмечалось выше, передаточные
функции ЗНЧ имеют в числителе сомножите л ь, равный
единице, ПЗ - р, а ЗВЧ
-
р2. Таким образом, если п -
число четное, то полосовой фильтр .может быть ре а
лизован либо п поло'совыми з в е ньями, ли б о п/2 З ВЧ и
п/2 ЗНЧ.
п-1 НЧ п-1
Если п нечетное, то выполняется либо - 2
-
3,-
2-
ЗВЧ и одним ПЗ либо п полосовыми з веньями . С пои1-1-
ципиальной точки зре~ния все реализации рав,ноценны, что
обеспечивает свободу выбора их при расчете и кон
струировании.
Рассмотрим методику расчета ШПФ и УПФ .
Широкополосные полосовые фильтры . Полоса про
пускания ПФ связана со средней частотой и частотами
среза следующими зависимостями :
которые позволяют перейти к формулам, определяющим
величины частот среза:
(3-32)
. Таким
образом, если требования к ШП:Ф з аданы
величинами полосы пропускания и средне й ч астоты, то
переход к частотам среза осуществляется с помощью
(3-32) . После определения f1 и f-1 расчет полосового
фильтра сводится к расчету ФНЧ, и ФВЧ. При -этом
неравномерность АЧХ каждого фильтра определяется
из требований, предъявляемых к ПФ, и порядок низко
частотной и высокочастотной аппроксимаций определя
ется исходя из значений неравноме'рности АЧХ ПФ и
затуханий на частота х задерживания . Qз и Q_з со :сто-
157
раны нижних и верхних частот . Расчет ФНЧ и ФВЧ
по этим данным производится в соответствии с методи
· кой, изложенной в предыдущих параграфах. •
Исходными данными для расчета ШПФ с перестраи
ваемыми частотами среза служит диапазон изменения
данных частот и требования к избирательности ·фильтра.
Исходя из заданного диапазона перестройки фильтра,
рассчитываются значения элементов RС-цегiей звеньев.
Как следует из выражений для собственных частот
звеньев, перестройка фильтров может осущест,вляться
изменением либо емкости конденсаторов, либо ·сопротив
лений резисторов. Осуществление плавной перестройки
многозвенных фильтров сталкивается с рядом · трудно
стей конструктивного характера . Дейст,вительно, приме
нение в диапазоне низких частот блоков переменных
1ю,щенсаторов практически невозможно из-за недоста
точной величины их емкости и громоздкости. Для пере
стройки фильтров изменением сопротивлений необходи
мы бло1ш многосекционных переменных резисторов, от
вечающих следующим требованиям:
высокая стабильность сопротивления;
высокая точность согласования изменения сопротив
ления в секциях по углу поворота;
логарифмическая зависимость сопротивления от угла
поворота, необходимая для обеспечения равномерности
частотной шкалы перестройки.
Данным требованиям могут соответствовать только
прецизионные потенциометры, но они имеют сравнитель
но небольшие номиналы (30-40 ком) и большие габа
риты. По этим соображениям перестройку активных
RС - фильтров более удобно осуществлять методом ди
скретных изменений элементов RС-цепей. При этом,
применяя способ декадного набора частоты, широко
используемого в генераторах ин:франизких частот, мож
но получить высокую точность настройки. Декадный
метод основан на том, что при параллельном соедине
нии нес.1юльких резисторов RС-цепи звена значение его
собственной частоты равно сумме частот, полученных ·
•при использовании каждого из сопротивлений в отдель
: ности. Допустим, что резистор R представляет собой
- r~ар -аллельное соединение резистров R1, R2 , . . : , Rn:
Выражение дJiя собственной частоты звена, соответ
ствующее этому случаю, будет иметь вид:
·!(11
'1)
UJij = с v~ Тi+R;+ •••+ R,.
=
= 0001 + 0002+ •••+00on·
(3-33)
При выпоJiнении набора резисторов перестройки
в виде параJiлеJiьных декад величину ,соо можно рассма
тривать 1<ак некоторое десятичное чисJiо, цифры раз
рядов которого опредеJiяются веJiичинами резисторов
каждой декады. СJiедовательно, таким способом может
быть установлено любое значение данного п-разрядного
чисJiа. В практических схемах число декад резисторов
берут равным 2-3, разбивая весь диапазон частот на
поддиапазоны. При эгом переключение поддиапазонов
производится изменением емкостей, а перестройка вну
три поддиапазона - изменением резисторов RС-цепей
звеньев.
Узкополосные полосовые фильтры. Для УПФ крите
рием избирательности служит коэффициент прямо
уголы-юсти К.п, заданный для определенных уровней
затухания. Между ним и порядком аппроксимации су
ществует однозначная зависимость . В параграфе 1-5
было показано, что при частотном преобразовании
ФНЧ в ПФ их полосы пропускания равны независимо
от уро1вня, на котором измеряется полоса. При частот
ной шкале ФНЧ, нормированной относительно f1, поло
сы пропускания, отсчитанные на уровнях а 1 и аз, равны
соответственно ,ЛQ 1 = 1 и Л1Qз= •Q 3 . Следовательно, Кп
ПФ, определенный для данных уровней, будет ра,вен:
к
ДQ3 о
паз= Л&\ = з·
Таким образом, Кп и Qз численно равны, поэтому
определение порядка аппроксимации по заданным вели
чинам Кп, а1 и аз производится по номограммам пара-
графа 3-1.
,
Для более точного контроля АЧХ ПФ в полосе за
держиваюiя целесообразно использовать несколько про- ·
межуточных значений уровней ослабления, как это сде
лано в стандартных требованиях на октавные, полу-
01павные и третьоктавные фильтры для анализа и изме-
159
рения зву 1,а и вибраций. При определении порядка
аппроксимация в этом случае следует сопоставлять тре ·
буемые значения Кп с данными номограмм и выбирать
то значение п, которое обеспечивает наилучшую изби
рательность.
Для найд,е,нното значения порясПJка аппроксимации п
,по таблица'М нах,одятся з на ,чения ,полюсов низкочастот
ных аппроксимирующи х функ'ций и произ,водится их
. преобразование
в полюсы полосовых функ,ций. При этом,
как отмечалось выше, каждый полюс JIИз1кочастопюй
функции преобразовывается в два полюса полосовой
фу:ныции , порядо.к котор,ой вс J~е,щствие этого повышается
вдвое. Ка·к было ~показано в па~раграфе 1-:5, п·ри величи
нах относительной полосы пропускания ПФ Лlw'/,wc>0,4
следует применять формулу точного преобразования
( 1-92), при относительной полосе пропускания ПФ
Л1w'/wc<O,4 справедлива фоj)мула частотного пре,образо
ва,ния (il -99), полученная для случая а,рифметической
си 1мме11рии . 1
По своей стру,кту,ре (11-912) критична к погрешно,стям
вычислений, поэтому необ х оди,мо вь11полня1ъ •расчеты
с точностью до 'Четвертог,о 'Знака. Для упl))ощения рас
четов ПФ, предназначенных для анализа з1вука и ,виб1ра
ций, значения полюсов полосовых а,п:про,к~си.мщрующих
фу,J-11кций рассrvютренного вида рассчитаны и ,сведены
в табл. 17- 21.
По з1начениям полюсов ~полосовых функций ,раосчиты
ваются ,величины .паршметров звеньев.
Полосо:вые филы,ры могут быть обiразованы из звень
ев ниж,них, ,верхних 'Частот и поло:оавого типа. При этом
возможно применение звеньев как с изолированными,
так и с неизолированными ,секциями RС-'Цепей. В лер
вом случае обеспечивается . большая ста.билыюсть ·па1ра
метров, но у:вели 1чивается число активных элементо1в, что
нежелательно. Однако ,п~ри конструщр•о1Вании уз·кололос
ных фильтров ,эта мера чаею бывает нео:бходима, так
как раосмотренные звенья не яrвляются абсолютно раз
вязанными вслеwсствие частотной за1висимости входных и
выходных импедансов. Возникающее в результате этого
взаимное ~влияние звеньев вызывает изменение коэффи
ци~нтов ·затухания и собственных частот и проявляется
тем ,сильнее, ,чем меньше ,коэффициенты затухания и чем
ближе з1;шчения ,собс11ве,нных частот звеньев. Это хара 1к
терно ,для УПФ, поэтому в них пеобходи ,мо предусмат-
16~
Таблица 17
Полюсы маК,сuмалы-ю плоской поло совой аппро1С с имирующ е й
функции для неравномеркости 1i1=3 дб
n=lO
n=l2
Лоо'
Октавная полоса пропускания-
= О, 7071
Wc
-0, 1876
+j 0,7519
=0,3123
±j 1,2519
- 0,3535
+i 0,9702
=о, 1243
+i 0,7259
=0,2292
±i 1,3382
- 0,09295
+i 0,7175
=о, 1775
+i 1, 3707
=0,2304
+i 0,8206
=о,3728
±i 1,0911
- 0 ,3534
+i О, 9354
=о,07426
+i 0,7136
=о, 1442
+i 1,3861
=0,2255
±i О, 7745
-0,3465
±i 1,1901
Лоо'
- 0,06182
+i 0,7116
=о. 1212
+i 1,3946
=о , 1876
+i о, 7519
=0,3123
+i 1,2519
=о,3084
+i 0,8534
=о,3745
±i 1,0364
Полуоктавная полоса пропУ.сканин -
= О, 3483
Wc
-0,1079 '
+i 0 ,8769
=о, 1383
±i l,1232
- 0, 1741
±i 0,9847
- 0,07404
±i 0,8568
- 0,1001
±i 1,1584
- 0,05602
±i 0,8498
- 0,07723
±i 1,1715
-О, 1500
±i 0,9226
-0,1717
±i 1,0559
- 0, 1741
+i о, 9847
=0.04500 ·
+i 0,8466
=0,05251
+i 1, 1778
=о, 1264
±i 0,8930
-0, 1553
±i 1,0977
Лоо'
- 0,03758
+i 0,8448
=0,05255
±i 1,1 812
-0,1079·,
±i 0,8769
-0, 1383
±i 1, 1232
- 0, 16052
· +; 0,9417
=ь. 1758
±i 1,0318
Третьоктавная полоса пропускания--= О,2316
Wc
- 0,07517
±i 0,9181
- 0 ,0885
±i 1,0819
- 0,01157
±i 0,9932
-0,05211
+i 0,9030
=0,06368
±i 1, 1036
- 0,03958
+i 0, 8977
=0,04902
+i 1, 1117
=о, 1022
+i 0,9509
=о, 1117
±i 1,0395
-0,1157
±i 0,9932
- 0,03186
+i 0,8952
=0,03959
+i 1, 1155
=о,08729
±i 0,9298
- 0, !ООО
±i 1,0660
- 0,02663
±i 0,8939
- 0,03329
+i 1, 1176
=0,07517
+i 0,9181
=o.oss5s
+i 1,0819
=о, 1084
+i 0,9642
=о, 1152
±i 1,02415
161
Таблица 18
Полю сы равноволновой полосовой аппрОК,СUJиирующей фyHК,Цllll
длЯ- неравномсрноста а,=0,2 д6
n=4
n.=6
n=IO
n. =12
Лw'
Октавная полоса r1ропускания--= О,7071
Wc
-
0,2014
+j 0,6 193
=о , 4748
±j 1,4602
- 0,2871
+j 0,9579
=-0,09047
+j 0,6723
=о , 1966
±j 1,4610
-0 ,05 1107
+j 0,6882
=о , 1012
+i 1,4450
=о, 1510
+j 0,8377
=0,2213
±/ 1, 1512
-0, 1625
±j О, 9867
- 0,03278
±i 0,6952
- O,r6769
±j 1,4353
- 0,1019
+ i 0,7890
=b ,i61,I
±j 1,2465
Лw'
- 0,02279
±i 0,6986
- 0,04664
+j 1,429 8
=o,0802s
±j 0,763 7
-0, 11 95
±i 1,2984
- 0, 1169
+j 0,8986
=о, 1423
±i 1,0943
Полуо1<тавIIаяполосапропус1,а1-111н -
=0, 3483
Wc
- 0, 1323
+ j 0,8010
=0,2001
±i 1,2152
-0, !414
+ j о,9899
=о,оы 1 9
+i 0,8220
=0,08421
±i l ,2105
-0,03184
+ i 0,8300
=о,046 1 4
+i 1, 2029
=o,C858G
+i 0,9214
=о, 1014
±i 1,07557
-О, 0799 8 -О, О 1407
± j О,9968 +i О,8359
-О,02Г30 = 0, 020 13
±i 0,8338 + i 1, 1960
-0,02918 =о , 0 405з
±i 1,1984 ±j О,8758
-О, ('575 1 -О, 05285
±i 0,8916 +i 1, 1392
-
0,01205
, =о,с5016
±i 1,1169' +i 0,9509
=о, С66 92
±i 1,0473
Лw'
Трет!ооктавн ап полоса _ проп уска ния --=0,2316
Wc
- 0,09554
+i 0,8657"
=о, 1259
±i 1,1411
!62
-0,09394
+i 0,9955
=0,04093
±i 0,8780
_:0,05304
±i 1, 1364
- 0,02273
±i 0,8833
- 0,02912
±i 1, 1313
-0, 05938
+i 0,9480
=о,06581
±i 1,0507
- 0,05316
-0,0 1002
±i О, 9986 ±i О ,8873
-О , 01448 -О ,01272
+i 0,8859 +i 1, 1268
=0,01843
=0,02837
±i 1, 1284 ±i 0,9157
-О, 03985 -О, 03379
+i 0,9269 ±i 1,0909
- 0,04629 -0 ,04109
±i 1,0768 ±i 0,9675
-0,04381
±i 1,0316
Таблица 19
Полюсы равноволновоii полосовой аппроксимирующей
функции .для ч,еравномерности а 1 =0,5 дб
n=IO
n=l2
Лw'
Октавная полоса пропускания-
=0, 7071
Wc
-0, 1655
±i 0;5794
- 0,3384
±i 1,3893
- 0,2213
±1 0,9751
- 0,07292
+i 0,6968
--0,1485
±i 1,4194
- 0,04099
--н о, 7017
- -0,08296
±i 1,4202
-0, 1273
±i 0,8513
-0, 171 9
±i 1, 1489
- 0, 1281
±i 0,9917
- 0,02623
±i о, 7037
- 0,05289
+i 1,4189
- -0,08115
±i 0,7981
- 0,1261
±i 1,2401
Лw'
- 0,01823
-1
- i О,7048
=o,036fi7
±i 1,4178
- 0,05600
±i 0,7699
- 0,99397
±i 1,2919
- 0,09263
±i 0,9038
-0, 1122
±i 1,0948
Полуоктавная полоса пропускания-
=0, 3483
Wc
- 0, 1026
±i 0,8329
- 0, 1456
±i 1, 1826
-0, 1090
+i 0,9940
=0,04497
+i 0,8363
=0,06411
±i 1,1 922
- 0,02520
+i 0,838 1
=0,03534
+i 1, 1920
=0,0533 1
+i О, 9266
=0,079 12
±i 1,0732
-0,06301
+i 0,9980
=о,01611
+i 0,8391
=0.02286
+i 1, 1913
=0,04551
+i 0,8957
=0,05657
±i 1, 1134
- 0,01118
+i 0,8395
=0,01586
+i 1, 1908
=0,03222
+i 0,8790
=0,04154
+i 1, 1361
=о,04807
+i о, 9527
=0,05232
±i 1,0468
Третьоктавная полоса
Лw'
пропускания --=0,2316
Wo
- 0,7297
+i 0,8871
=0,09210
±i 1,1196
- 0 ,07253
+i 0,9973
=0,03200
+i 0,8879
=0,04053
±i 1, 1246
- 0,01792
+i 0,8890
=0,02266
+i 1, 1243
=0,04553
+i 0,9512
=0,05140
±i 1,0487
- 0,04195
+i 0,9991
=о,01145
+i 0,8896
=о,01446
+i 1, 1238
=о,03149
+i 0,9296
=0,03539
±i 1,0744
- 0,0079
+i 0,8899
=0,0100
+i 1, 1235
=0,02247
+i О, 9178
=0,02555
+i 1,0888
=0,03250
±i о, 9686
- 0,03459
±i 1,0312
163
Табли1,;а. 20
Полюсы равноволновой полосовой аппроксадtuрующей фун'Кции
длЯ, нерав1-юд1ерности а,=1 д6
n=4
n=б
n=B
n=IO
n=l2
Лrо'
.
Октавная nолоса nропускания -
=0,7071
roc
-0, 1345
+ о, 7160
-=j0,2535
±j 1,3489 .
- 0,1747
+j 0,9846
=0,05901
+j 0,7119
=0,1156
±j 1,3949
- 0,03311
+j 0,7100
=0,0555
+j 1,4053
=0,1019
+j 0,8594
=0,01361
±j 1, 1474
-0, 1023
±j 0,9947
- 0,02116
±j 0,7090
- 0,04205
+j 1, 4091
=о,06523
+j 0,8035
=о, 1003
±j 1, 2362
Лrо'
-0,01467
+j О, 7084
=0,0292
±j 1,4108
- 0,04506
±j 0,7737
-0,0750
+j 1,2879
=0,0743 1
+j о, 9070
=0,08973
±j 1,095 17
Полуоктавная полоса пропускания-
=0, 3483
{1).:;
- 0,08078
+j 0,8517
=0,1103
±j 1, 1635
- 0,08596
+j 0,9962
=0,03587
+j 0,8449
=0,0501
±j 1, 1813
- 0,02019
+j 0,8430
=0,02839
+j 1, 1855
=0,05449
+j 0,9298
=о,06280
±j 1,0717
- 0,05039
+j 0,9987
=0,0129
+j 0,8422
=0,01821
+j 1, 1870
=о,03646
--Н о,8982
=0,04511
±j 1,1114
- 0,00897 1
+j 0,8417
=0,01265
+j 1, 1877
=0,02585
+j 0,8809
=о,03328
±j 1, 1342
- 0,03853
+j 0,9539
=0,04227
±j 1,0466
Лrо'
Третьоктавная полоса · пропускания -
=0,2316
roc
- 0,05698
+j 0,8997
=0,07015
±j 1, 1070
164
- 0,05713
±j о, 9983
-0,02542
+j 0,8939
=о,03178
± j 1,1176
- 0,01432
+j 0,8924
=0,01798
+j 1,1202
=о,03716
±j 0,9531
- 0,04083
±j 1,0475
-0,03351
+j 0,9994
=0,0092
+j 0,8918
=0,01152
±j 1, 1211
- 0,02520
±j 0,9312
- 0,02903
±j 1,0730
- 0,00637
+j 0,8915
=0,00801
+j 1,1216
=0,01801
±j 0,9191
-0,0213
+j 1,0087
=0,02503
±j 0,9692
- 0,02769
±i 1,0309
Таблиц а 21
Полюсы полосовой аппрок,сuлщрующей L-фyflк,цuu для
неравномерности а1 =3 дб
n=4
n=6
n=B
n=IO
n=l2
дrо'
Октавная полоса пропускания-
=0, 7071
Wc
-0, 1876
±j 0,7519
-0,3123
±j 1,2519
- 0,2191
+j 0,9757
=0,03472
+j 0,7245
=0,0 1592
±j 1,3616
-0, 1695
+j 0 ,8624
=0,2193
+j 1, 1163
=0,05593
+i о, 7171
=о, 108 1
±i 1,3860
-0, 1655
+i о, 9862
=0,1089
+i 0, 8043
=о, 1653
+i 1,2208
=0,03679
+i о, 7134
=0,01209
±i 1,3979
дrо'
-0, 1419
+i 0,9067
=о, 1685
+i 1, 07646
=0,03293
+i 0,7777
=о, 1355
+j 1,2713
=0,02140
+i о, 7123
=0,05391
±i 1,4017
f:о.Т!уоктавнап-полоса пропусканипы;;- =0,3483
- 0, 1079
+i 0,8769
=о. 1383
±i 1, 1232
- 0, 1079
+i 0,9942
=0,05075
+i 0,8535
=0,0594 1
±i 1,1674
- 0,08977
+i 0,9348
=о. 101 1
+i 1,0599
=0,03383
+i 0,8479
=о .04697
± i 1,1774
- 0,08141
+i 0,9966
=о,О6О66
+i О, 9004
= 0,01447
+j 1, 1055
=-0,02236
+i 0,8452
=0 ,31 21
±i 1, 1823
-0,07325
+i 0,9562
=0,01965
+ i 1,0397
=0,04131
+i 0,8843
=0,0603 1
+i 1,1275
=о,0 1 667
+i 0,8443
=0,02338
±i l, 1839
дrо'
Третьоктавная полоса пропускания-=0,2316
ffic
-0 ,075 17
+i 0,9181
=о,08858
±j 1,0819
- 0,07 180
+i 0,9974
=о,03580
+i 0,9003
=о,04409
±j 1, 1089
- 0,06103
+i о, 9572
=0,06634
+ i 1,0404
=0,02394
+i 0,8960
:::--0,2979
±i l,1151
- 0,054 19
+i О, 9985
=о,041 87
+i 0,933 1
=о , 04798
+i 1,0695
=0,0 1584
+i 0,8940
=о,01981
±i 1,1182
- 0,04942
+i 0,97 13
=o,os224
±i 1,0268
- 0,03289
±i 0,9218
- 0,03866
+i 1,0834
=о,01183
+i 0,8933
=0,0148 1
±i 1,1191
165
о,
о,
Тип
звена
пзн
-
--
пзи
Схема
звена
~
.
7•,у
,.~~
Рис.2- 1 6
Рис. 2-19
Таблица 22
Пеpeite нь форлtул для расчета полосовых звеньев второга порядка
Велиqины ко-
Условия для определения величины
Оптимальные .соотношения
Величины элементов
эффициентов
резисторов RC - цепей
элементов RС-цепей
RС-цепей
передаqи у сн-
лителей
дrо 0
Юо
2а'к
1
K= 2+R'-
R2,,;;;;, дrо 0 1 ЛR•х R.x
Rопт= а; +а +а',. • Ci=C2=21tf0R2 У R';
-
+--
R'
С'
-
2sY R'
ro0
2 R,x
С1=1
R1 = R2R'
R,,2,;;;;;
а;' к
R1=R2;
K= l+C'-
С'опт =
+
'
[2- y',+V (Y'i-2)2+4(Y11- l)]
а.к, + а.с, a.R,
-
~2sv с'
,;;;;;
2(у'1 - 1)
R,x;
у'1 = ЛRвх / Лrо0
1
R.x
Ю0
R'=1
С2=
2nfo Vc R2
С1 =С2 С1
ривать условия для наиJiучшей ра зшязки зве!'!ьев. Пра ,к
тика показала, что звенья с изолированными с е 1~циями
RС-цепей в значит е лыrо меньшей степени ,подвержены
указанному влиянию , чем с неизоли ·рованным ·и секция
ми, ,вследствие чего им следует отдавать щредпочтение
при констр у ировании УПФ. Надо 011метить, что ,в у зко
полосных фильтр а х ноз:можно применение звеньев с не
изолиро1ванными се кциями, но для обеспечения необхо
димой .развязiКи требуются буферные у,силители, что в об
щем ито г е не д а ет э кономии а1ктmв1-1ых элементов.
В соотвег,ствии ,с выбранной схемой ,произ,водится ра ,с
чет элементов звеньев фильт•ра . Звенья ЗНЧ и ЗВЧ рас
считывают.ся по расомотренной ,выше методике . Расчет
элемен т ов ,полос-овых з1веньев а ,налог.ичен и п1рои з во1дится
по формула•м табл. 22 . Рассмо11ри,м не,которые при1меры
расчета УПФ.
Пример 1. Ра,ссчитать <баттервортовбшй октавный ПФ, отвечаю-
щий еледующим т,ребованиям :
ширина полосы прQlпуока·ния - 1 октава;
е-редняя частота - 63 гц;
•
нерав<номерност.ь АЧХ в полоее пропускания а1~3 дб;
коэффициент прямоугольности Кп 1s дб ~2. 12 Кп .о дб ~4,95;
температура окружающей с:реды + '20-60 °С.
Расчет.
IПо ~номограмме 1 (рис. З - 1) для а1=З дб и указанных значений
l(п определяем значение по.рядка аппроксимации. Для уров·ней 18
и 40 дб при n=3 Кп равны заданным, т. е. соответствуют границе
допуетимых з·1-1ачений. Для обеспеч ения ,запа·са по избирательности
фильтра ·11ринимаем з·начение порядка аппрокси,мации n=4. Так как
порядок полосовой функции удваивает•ся, то и з табл. 17 выписываем
значения полюсов для n=8:
р, , z=-0,09295±j0,7175; Ps. 5=-0,2804±j0,8206;
Рз. , =-0,177'5±jl,3707; Р1. s=-0;3728±jl,0911.
При n= B пф р еа ли з уется четырьмя звеньями второго :по,рядка.
Всле дс тви е простоты м е ж,каскадных свя з ей р е ализацию ·следует
выполнить •звены1ми ,верхних и •ниж•них частот, при этом имеем два
з в е на типа ЭВЧ и два з 1юна - ЗНЧ . Определим их параметры.
Для I звена
Юо1 = v-a-. , ,.f_+ _ro-ci=- = Jf(0,09295) 2 + (0,7175) 2 _ = 0,723;
,,,, 1 _0,0929 _
,
~ 1 = ~-0,7230-0,128.
Для II звена
I0 02 =Jf a~+ro~ =У(О,1775) 2 +(1,3707) 2 =1,385;
l "2I 0,1775
~2 = ю;;-; = 1,3850=0 ,128.
167
Для I!! звена
W03 = Vа~+ W~ = V(0,2804)2+ (0,8206)2
= 0,867;
1аз I О,2804
~з = ~= 0,8671 =О,324 .
Для IV звена
W04 = V а~+W~ = V(0,3728)2+(i,0911)2 = 1,153;
104 1 о'3728
~ 4 = -(J)--: - =т,тgз = 0,323.
По найденным значен иям собственных частот звеньев определим
нх типы. Полученные величины Шо нор,мнрованы относителыrо сред
ней ча-стоты филы1ра, ·поэтому II и IV звенья с собственным и ча -сто
тами, -большими единицы, являются звенья,ми ни,жних частот, а I и
III зве·ны1 с собствет1ыми частотами, ме ньшими единицы, - звенья
ми •верхних частот.
Переходя к абсолютным вел ичинам собственных частот, полу
чае~, следующ и е значения:
fo 1=W o1fc=0,723 • 63 Щ=45,6 гц-(ЗВЧ);
fo2=Wo2fc= 1,385 • 63 щ=87 щ- : (ЗIНЧ);
fоз=Wоз{с=О,867·63 щ=54,6 Щ-(ЗВЧ);
fo,,=wo,.f c= 1,153 •63 щ=712,6 гц - (ЗНЧ),
Для реализации фильтра приме·ни,м звенья типа ЗНЧ2И, в кото
рых испо льзуем бумажные конденсаторы типа К4OУ-9, резисторы
типа У ЛИ и т:ранзисто·рные усил итс: л и. Определим з,начею1я ,ре:зн
сторов RС-цепей зв·ен ьев, нсходя из величины до п устим-ого измене
ния собстве 1л1ых частот вследствие н естабильности входных со,про
тивлений усилителей. Величину допуст имой ,не ста·бильности собст
венных частот звеньев прини маем iЛ,wo/Wo=0,0'3 .
Для ·тем перат урного коэффициента изменения R"x усилителей,
рав·ноr-о Иnх = 1% град- 1 , нестабилыно-сть R"x для заданното измене
.ния температур 40 °С будет равна Л<R"x/iRnx =0,4. По формуле для
определения величин резисто'ров RС-цепей ЗНЧ'2И находим R1, 2:
Считая вхо ~tные со пр отнвле ння усил итеJJсЙ равными 1,5 Мол~, по
лучаем R1, 2~ 120 ко;1~. Для ра·счета принимаем велич~шы резисторов
R1, 2= 100 1'0А1.,
Для при меняемых типов дета.пей и усилителей ·найдем опти
мальные соот ношения элементов RС-цепей. В соответствии 'С данны
ми паратрафа 3-2 для ре з исторов и ·,юнден,саторов этого типа спра
ведливы -следующие значения темп е ра т урных нзмеле1ний С' и R' :
ас,=0,02 и ап,=0.
168
· Для
Rг.энu = 100 колt Т'КК д вухкасl(а дного уситпсля сотланю
фор ,муле ·( '2 -71) им еет в еличину ан=О,05% • град- 1 . То:гда а'к=
=а"лt=О,05 • 10-2
• 40 °С=0,0'2.
По дставляя найден ·ные значения ас,, ап, и а' к в фо.рмулу для
определ е ния оптимального •с оопюшения емкостей RС-цеш1 ЗНЧQИ,
находим:
а.'1< +а.с, +a.R,
а.с,
С'опт =
----N,~--- = 1+-,- =
2.
V.к
а. :к
Определим теперь
(ри с . '2-13).
в еличи•ны резисторо•в RС-цепей ЗВЧ2И
Так как условия ,для определения величин р ез исторов RС--цепей
ЗНЧЗИ и ЗВЧ2И ид ентич-ны, а параметр v'1 име ет то же зна чение ,
получаем аналогичное ·соотно ш ение между величи,r10й ·рез исто·ра R2
11 входным со -противлени ем усилителя ЗВЧ2И:
R2~0 ,08Rnx-
Считая для схе,1 ЗВ Ч входно е •с опротивлени е двухка с-кад:ного
тра·нзисториого усил ителя раВ'НЬ!IМ 3 Мо ,11, получаем R2~· 240 ко,11.
Дл.я ,расчета принимаем R 2 = 1200 KOA i .
Определим оптималы10е соотношен и е между вел ичинами ре з и
сторов RС-,цепей ЗВЧ2И, ис ходя из следующих значений темпера
турных и з,менений величин С', R' и К:
ас,=0,02; ап,=0 и а'н=О,01.
По дставляя данные величины в фо:рмулу для -оп ·редел ения R' 011т
в ЗНЧ2И, нахо д им: -
R'onт = а.
.
R'
а.' н
0,01
о о?+О 01 =О,33.
,-
,
Рас.считаем элементы RС-цспей
тот. Для зве нь ев ·нижни х частот:
звt: нь ев ш- 1 жних н uерхннх ча ·с-
II звено :
С,2= ·
V
= 0,0129 мкф;
-
21tfo2R22 С'
6,28-87 -100, 10 3 V2
С 12 =С,,С'=0,0129 - 2=0,0258 мкф;
R12=R,2 = 100ком;
1
2~2
О, 256
К2= 1 +ст--vст =1 ,5-v2 = 1,32;
к21=к22=Vк2=
- V 1, 32:::::::: 1, 15 .
В обозначениях коэффициентол п е.реда чи усилителей первая
цифра индекса обозначает номер звена, вторая - номер усилителя.
IV звено:
С24= --- --=,...
21tfo 4R 24 {С'
6,28-72 ,6-100-103 у2
С14 = С,4С' = 0,0155-2 = 0,031 лисф;
R14 = R24 = 100 ко,и;
0,0155 АtКф;
1
2~4
0,648
К4=1+С-уС'= l,5-V2 = 1,04;
к.1= к.2 =Vк4= V1,04= 1,02.
12-200
169
Для звеньев верхних час гот:
I звено:
6,28-45,6-200. 10• уо , 33_
0,0304 ,11,кф;
С11 = С21С' = 0,0304 мкф;
R11 = R21R1 = 200-108-0,33 = 66 ком;
К1= 1+R' - 2~1Vк= 1,33- 0,256Vo,33~1,1;
К11 = К12= у'Т:Т = 1,05.
III звено:
-
--
-
---
~
=-
'" "" " 0,0253 ,нкф;
6,2 8 -54,6-200 . 10 • Vo,33
С1з =с~,= 0,0253 J\tKф;
R1, = П.2,R' = 200- 103 -0,33 = 66 кол-~;
к,= 1+ R' - 21;, VF= 1,33-о,648 уо,33 = о,96;
К,1= К,2 = 0,98.
По ;lа,I-I I-I ы1м .расчета выполн ен октавны й ПФ во с ьмого порпдка,
пр I-I·нцип иаю;нап схема которото ;показа н а н а р ис. 3-17. Звенья ~о
еди и ен ы в соответствии с ·нумерацией, введенной при •расч ет е . На
схеме указаны ,расчетные з1Iа ч елия величин резисторов и конденса
торов RС-цепей звень е в. О требованиях к точ н о·сти по дбора ·номнна-
Т, НП//ЗЛ Tzl1Пl16 ljМПffJ/1 Т,/fП116
7sнп11зл т,;нп116
B:coiJ
1
- tIO
Вы:соi!
.1
Рис . 3-17. Схема полосового октавного баттервортовского фильтра .
170
лов даrРных д еталей н о методике настройки УIПФ будет сказано
ню1(е . График АЧХ фильт,ра ~ (рис. 3-18) показыва ет, чт-о полученные
параметры в•полне удовлетво'рительно 'Совпадают с •расчетными . Ре- .
зультаты из,мерений стабильности фильт.ра 'ПРИ +60 ~С показывают,
что по ·с.рав·нен ию с нормальными условиями ко,эффициент -передачи
фильтра возрос ·на 0,5 дб, частоты среза увеличились примерно на
6 %, коэффициент прямоуголь
ности на уровнях 18 и 40 дб
остал ,ся пра ктичес ·ки неизмен- .
ным.
Увеличение ·коэффициента
пер еда чи фильтра в поло-се про
пускания объясняется :положи
тельным ТКК усилителей
зве ньев. При нео·бходимости
неста·бильность коэффициента
передачи фильтра может быть
уменьшена применени ем в ус и
лителях ЗНЧ2И компенсирую
щи х диодных • цепочек, в:клю
чаемых параллельно участкам
коллектор - эмиттер
входных
тран зисто ров данных .усили
телей.
Пример 2. Рассчитать че
быш ев•сrшй октавный ПФ, отве-
чающий требованиям, изложен
ным в пре дыдущем примере, и
имеющий ·неравномерность АЧХ
в ·полосе проп ускания а, _= 1 дб.
Расчет.
По номограмме (рис. 3-2)
•-1аходим n=3.
Из та ·бл . 20 выписыв11ем
з11а че н ип полю сов рашюпол11О
вой пол осо~ой аппроксимирую
щей фушщии шестого порядка:
Р1 , 2= -0,0590±j0,7 119;
Рз, ,.=-0,1747±j0,9&16;
Ps, 6=-0,1156±jl,Э949.
I----J - -+- -1Jf-+-t-t-+ -ttf--+ -,;.+ .,,- .. -, .. .-
-10 l---+--+----11-+--H-Нf--+-t-++----+-
-201--+c-+--ll-+-+-!-+-Н-+-+-lf+---Н
-301----+-----!-+-,i-+-+-f"-Н+1⁄4-+-++-·-+-
'
- 4 0 1----1 --/1+---+-+-+-+-+++ -+1..- + +- -+ -i
/
/
/
- 50 .____
_,&1_. ., __ .. _, __, _.... .... .... .... _ L. ..J. -'Jl..,t..т-......,
10 20
50 100 200гц
Рис. 3- 18. АЧХ полосового октав
наго баттервортовского фильтра.
При n=6 ПФ реализует'ся т.ремя звенья;ми второго порядка, из
которых одно является звеном верхних частот, второе - полосовым,
а третье - нижних частот.
12*
Расчет параме-гров дает следующий результат:
для I звена
;/2•2
roo1 = r 01+(J)I
для II звена
ro02 = у а~+ ro~ ;,:,, 1; ~2 = О,175;
для II I звена
ro03 = Vа~+ ro~ ;,:,, 1,4; ~. = 0,082.
171
По найденным з1начениям собствентrых частот определим типы
звеньев. Второе -звено, с 1Шо 2 = \, следует выполнить полосовым, пер
вое, с Шо1<1, -
звеном верхних частот, а третье, Шоз >J, -
звеном
-нижних частот.
Переходя 1, абсолютным значениям соб-ствен ·ных час·тот, ,получаем
следующие данные:
fo1= ·Шo1fc=0,71 • 6'3 гц=4б гц ,(.ЗВЧ);
[02={1>02{с=l ·6З щ=63 гц 1 (1П1Ф);
fоз= ,Шозfс=l,4·63 гц=88 гц 1(ЗIНЧ).
Для ,реализации !фильтра приме:ни,м зве:нья типа ЗНЧ2И и ПЗИ,
конденсаторы типа К4OУ-9, резисторы типа У ЛИ и траизистоJ;JНые
усилители.
Величины резисторов RС-rцепей звеньев ЗIНЧ2И для данных ти-
пов усилителей, найден·ные в :предыдущем примере, ,равны:
для ЗНЧ21И -R1, 2= 100 ком;
для ЗВЧ2И - R2= '200 ком.
Величины резиеюров RС-цепи звена IПЗ~И определяются по ·со
ответствующим формулам табл. 22. Для ,ра·сче:та :примем Rnx усили
теля равным 1,5 Мом. По данным предыдущего прнмера от•ношение
не,стабиль·ностей Rnx и Шо •составляет v't = 1 -З,З. Следовательно, ,рези
сторы RС-цеш1 ПЗИ , определенные по указанной выше формуле, ,мо
гут быть R1,2~ 120 ком, на основании чего для расчета принимаем
R1, 2= 100 ком. Оптималь·ные ,соотношения элементов RС-цепи, :полу
чен н ые в ·предыдущем примере для ЗНЧ2И и 31ВЧ2И, имеют соот
вет-ственно следующие величины:
С'=2·; R'= I ; R'опт=О,'33; С'=\.
При ас,=0,02 и ап,=0, оп·ределенных выше для rюнденсато•роL
тrша К40У - 9 и ,рез· 1 ,торов типа УЛИ, а -rаюке при а'н=О,01 "2, най
денном эксперимент;,льно, величина С' опт для звена типа ПЗИ и,меет
с.педующее з·наченне:
а18
0,012
С'опт= ,
--=--=-с-,с-~~~-=О,375.
а. к+ ас,+ aR,
0,012 + 0,02
Расчет элементов RС-цепей и коэффициентов передачи усилите
лей звеньев дает следующие результаты:
для I звена С11=С21=0,0307 мкф; R11=66 колt, R 2,= ·200 ,со.м,
К1=1,23, Кн =К,2=1,11;
для II звена С 1 2=0,О\5!5 мкф; С22=0,041 '3 мкф, R12=R22=
=100 КОМ, K2= l ,!6, К2,=К22=!,О8;
для III звена С~з=О,02'54 мкф, С2з=0,0 1 27 мкф, R1з=R2з=
=100 ком, Кз=l,39, Кз1=К32=l,\8.
Принципиальная схема фильтра, выполнепн·ая в соотвеТ'Ствии
с расчетом, представлена ·на 'РИС. 3- 19. Зве·нья -соединены в порядке
номеров, присвоен ·ных им при ,расчете. Звено верхних частот связа•но
с полосовым с помощью цепи, состоящей из резисторов R9, R1o и
R1s- В :поло·совом звене для подачи напряже•ния обратной связи и
входного ·сигнала используются разные входы. На ,пряжение об-рат
ной связи подается в цепь базы 'I'р·а·нзистора Т5 , а в качестве второ
·го входа используется его 1же эмиттер . Цепь связи такого вида по
зволяет обойтись ·без 'конденсаторов и в то же время обеспечивает
развязку звеньев по ·постоян·ному точ<у, так 1<ак ввиду равен ·ства па
де11ия напряжений на резисторах Rg и R1s постоянный ток в ,резис'то-
172
ре связи 1< 10 o·i'Cyi•ctвyeт. Поло совое звено и ЗНЧ ·с вя зан ы ,гальвани
чески. На схеме, ка:к и в предыдущих пример·ах, указа·ны расче-гные
величи:ны ,р ез исторов и конденсаторов RС-,цеп ей. На ,рис. 3-'20 п.ри
веден трафик АЧХ, показывающий, что фил ьтр обеспечивает требуе
мые величины к~эффи щ1 еюов пря мо уго льности . И спытан и е фильтра
при +60 °С ·показало, что он имеет впол •не удо вл етво рительную ста
билыюсть. Тем пературный рост коэффициента -передачи УПФ в по
лосе п,ропус1<ания, ·р ав·ный прим ер'fI О 0,5 дб, объясняется положнтель
ны,м ТЮ( ·усн.п ителей звеньев. д~-1-1,нilя •н еста•би.пыюсть коэффи,t1,иент•а
передачи фи.пьт:ра .может быть умен1,ше'l1а .путем применения темпе
рат у рной компе·н сации , рассмотрен-ной в пар а граф е '2- '5.
R1
Ббк
1
+-138
Rz ц:,
R17
2к с::.; 5,1к
910 с::.; R29
,-c:~- C::::)--_ ._- t=t--,
5,1к
1
R9 Зк Rю12к
R15Зк
-88
Рис . 3-19. Схема полосового октавиого чебыш евс кого фильтра .
Пример 3. Рассчитать батт е рвортов ск ий т•р е тьоктав·ный ПФ во•сь
мого порядка ·со средней ча стотой f с =63 гц и ие,равномерностыо
в ·полосе :проп ус~шния а1 = 1 дб. Температ у ра окружаю щей ·с·реды
+20-80°С.
Расчет.
Во сь мом у поряд,ку полосовой аппрок·симирующей функции со от
ветствует ч етвертый порядок 11ш з:кочастотной аппроксимации. И з
диа.rрам,мы ,рис . 3-1 видно, что :при а1 = 1 дб дан·ный 1порядок о·беспе
чивает требуемый Кп фи лы.ра (см. табл. '2). Для нахожде-ния полю
со в полосовой аппроксимирующей ф у нкции nрименим формулы ·час
тотного пр еобр азова ния. Так как для третьоктавного фильтра
Лw' /шс=О,2316 , то в соответствии с выводами , сдела 1нными в пара
графе 1-5, в данном случае может быть применена формула уз:ко:rю
лосного приближения (1-99). Для n=4 и з табл. 4 выписываем з на
ч е ния полюсов низкочастотной аппроксимирующей ф у нкции:
р1, 2=-0,3826±j0,9238; рз , .= -0,9238±j0,3826.
По дставляя абсолютные в е личи·ны де й-с твит ел ьных и ,мнимых
частей ни зкочастотных ,п олюсов в фор мулу ( 1-99), получа е м:
_
3-2!:_
.(
ro,l) __ 0 ,3826-0,2316 , 1,183
s,,2-- 2 ±1 1--2 -
-
2
±
.(
0,9238,0,2316, 1,183 )
±1 1-
2
= 0,0524 ± j0,873;
a,l
·
( ro,l\_ О,3826-0,2316-1,183
S з,4 = --2-±J l+-2-) --
2
±
173
.(
0,9238-0,2316- ] ,183 )
±1 1--1-
_
2
= -0,0524 ± jl,1 26;
0,9238 -0,2315 . i , 183
.
(
о,3826 - О,2316 - 1,183)
S5,5=-
2
±J 1-
.
2.
=
= - о,126±j0,947;
О,9238-0 , 2316 - 1,183 . (
О,3826 - 0,2316 - 1 , 183)
s1,s =
-
2
±J 1+
2
=
= О, 126 ± 1,052,
дrо,
где l= --
р
Юс
дб
о 20L ~V(f}
с, gW(б3гц)
_,С,-·
~
·h50°C
iJб
о
W(f} IL __
- .,,,j -+Б UОС
2DLg~aoз i j'i~ бr:з
~гц; · терма-
+БО 0С с 20б;:J /(ампен--
...
~
-10
~
-
~
-20
-
~
с.
-30
~
с.
~
...
~
~
с.
~
-50
10
')
I
20
+20°с
j
\
\\
\{
t,a 7[} 100 200щ
тr:рма- + "
сации
кампен-
-10
сацией
-20
-
-ч{}
-50
10 20
1/
f
''
100 гц
Рис. 3-20 . АЧХ полосового октав
ного чебышевского фильтра.
Рис. 3-21. АЧХ полосового
третьоктавного баттервортов
ского фильтра.
По иайден·ным значениям полюсов полосовой аппроксимации
с ·помощью рас·смотре'Н11ых выше формул находим параметры
звеньев:
174
для I з вена {J)o1 = 0,87'5; 51 =0,059·8;
дл я II зв ена Wo2= 1,128; sz=0,0464;
для III з вена Wоз = О,956; sз=О,1324;
для IV звена •Wo,. = 1,0'59; 54=0,1193.
По э·начениям собственных частот определим типы звеньев. Так
как ,нормированная сред:няя ча·стота полосы пропускания ·равна еди
нице , то I и III звенья, имеющие собственные частоты меньшие еди
ницы, следует выполнить в виде ЭВЧ, а II и IV звенья с ·собствен
ными частотами большими единицы - в виде ЗНЧ.
Абсолютн ые в е личины •собственных частот звеньев имеют сле
дующие значения:
fo1=Wo1fc=0;87-5 • 63 гц=-55,1 гц , (ЗВЧ);
fo2=Wo2fc=l,l '28 ·63 гц=71 гц 1 (ЗНЧ);
fоз =•Woзfс =0,95"6 •63 гц=·60;2 Щ 1(ЗВЧ);
fo.= •Wo,fc=l,059·63 гц=66,7 гц r (ЗНЧ).
Так :как полоса пропускания т.ретьоктав ·ного фильтра достаточно
узкая и ,собственные частоты звеньев имеют близкие значения, то
для лучшей развязки зв ень е в необход1-гмо их выполнить -по схеме
с изолированными секциями RС-цепей. Следовательно, для реализа
ции фильтра применим звенья типа ЗНЧ2И и ЗВЧ2И.
Величи-ны резисторов RС-цепей и оптимальные соотношения ве -
:1ичин их 3 ,1 е :v1ентов, опре д еленные в предыдущих при,мерах, рав,;1ы:
для ЗRЧ2И-R2= 12·00 ком; R 1 опт=О,33; С1=1;
для З!-IЧ2И - R1,2=100 ком; С1опт='2; R 1 =l.
Для данных параметров и собственных частот з веньев элементы
RС - цепей и коэ·ффиrциенты передачи усилителей звеньев рас·считы
ваются по рассмотренной выше мето д ике.
Так как третьоктавный ·фильтр имеет то •же число и тот же тип
з в е11 ьеn , что и , рассчита1нный nыше октаn·ный '6аттервортов·сю1й, то
с хемы и х аналогиЧ'ны. Прнменительно ,к о·бозначенням, с.:~_еланным
в схеме октаnного ,филнра • {рис. 3-18), ,юнденсаторы RС-rцепей и
сопротивления обратной ,связи усилителей третьоктав·ного фильтра
имеют -следующие величины:
С1=С2=0,02'51 мкф; Rs=б60 ом; Rg= '510 ом; Сз=О,03 1 6 мкф;
С4=0,0158 мкф; С,з=l к, R11=l к; R,в=820 ом; Сs=Св=
=0,230 мкф; R2=470 ом; R2в=330 ом.
•
R21=4·30 ом; С1=0,Ю36 мкф; Св=О,0168 лtкф; Rз2=820 ом; Rзs=
=-510 ом; Rзв=7'20 ом.
Осталь:ные элементы имеют величины, указа 1шые на рис. 3- 18 .
·График АЧХ (рис. 3-·2 I) :по·казывает, что фильтр обеспечивает
·необходимую избирательность . Испытания фильт,ра при + ·60 °С по-
1<а з али, что ·1<оэффициент п ередачи в полосе пропускания возрос 1на
2 дб, а :полоса лропус,шния ·на уровне 1 дб уве.пичил·ась ·на 2,5%.
Та101е изменения АЧХ объяс-нтотся темлературны.м умен~,ш ением ко
эффициентов затухю,ия зве нь ев n,следствие лоложителы1ы х ТКК уси
лителей. Да,;шое явление имело место и в ранее рассмотрен-ных ти
пах фильтров, однако оно проявилось не так .сильно и неста,биль
ность :па ,рамет.ров фильтров 'была вполне приемлемой. Звенья т.реть
октавното фильтра по •срав·нению с дру~гими типами ра·ссчита·нных
фильтров имеюг меньшие ·1юэ·ффициенты затухания, вследствие чего
их чувствитель:ность 1к изменению температуры возрастает . Для
уменьшения нестабилЬ"ности коэффициента затухания ввеньев была
применена температурная ,компен,сация. С этой целью параллельно
участкам коллектор - эмиттер т,ранзисторов Т 1, Тз, Т s, Т1, То, Т н,
Т1з и Т 1s ·были ,подключены ,германиевые точечные диоды типа Д9.
Отрицатель:ный 11!(:С диодов ,позволил уменьшить Т,КrК усилителей
175
воспроизведени11 записи. Так как частоты указанных по
мех часто раопола ,гаются выше опек11ра ре,гис11рир у емо 1го
прюдесса, то эффектишным срещством защиты ,от ·них яв
ляется фильтрация. Ввиду того что участок спектра
,вблизи нуля я,вляекя инф орма тивным, к данны м филь
тра1м прмъявляются до,полните л ьные требования по ста
бильности постоянной сост а вл я ю1цей выхо д ного напря
жения. Принципиальная с х ема' ФНЧ с,о ста6илиз ирован-
R1
100к
13 1гц
fi Згц
о:, 5гц
1
1
/
1
1
1
!
с,,.2,1 !
1
1
1~ С1а 1,57
1
J ..__-fl---➔:
f
f ~...о."-,5_2_3 _
_
1
С5 O,lfZ
1
1 С 0.31';
1
1
!...... -f i- ---. . ., 1
ч--1, 1-"п"-',_ _ _
.....
L ____________ j_ _
__
l
________ j_ _
_
__J .
Р11с. 4 -1 . Схем а ФНЧ со стабили з ированным уровнем постоянной
составляющей.
ным уровн е м п,остоюшой соста,вляющей показана на
:ри!С. 4- ,1. Он .представляет со бой баттервортовский ФНЧ
шестого по1рядка, имеющий следующие характ еристики:
двойная амплитуда выходного напряжения - 5 в .
нерашномерность в полюсе пропускания а 1 = 1 дб;
wрутизна затухания з а частотой среза не ,менее
30 дб/окт;
двойная амплитуда выходного напряжения - 5 в .
температурный дрейф ,постоянной соста1Вляющей в
диапазоне темпера тур 10-30 °С не превышает ± 26 мв .
Для температурной стабилизации 1в филь11ре исполь
зован описанный в па'раграфе 2-6 ,п~рилцип, основанный
на применении в усилите.лях звеньев триодов с разным
типом проводимости. На вх-оде усилителя I звена в'клю
чен транзистор с проводим-остью п-р-п . С ростом тем,п е
ратуры постоянное напряжение на выходе э того ус и л и
теля увеличивается относит е льно нулевого лотенциала
178
схемы . На входе усилителя II з вена фильтра вк.11ючен
т1ранзистор с проводимостью р-п-р. Постоянная состав
ляющая этого усилителя с ростом темлерату,ры умень
шае11ся. Разные знаки и блиэкие абоолютные величины
тем1Пературных изменений постоянных составляющих
обоих усилителей обеспечи,r;ают их взаи,мную ком1Пенса
цию. Температу1рная стабилизация постоянной составля
ющей III звена обеспечивается диодно-резистивными
цепоч:ками, включенными ,параллельно учас-nка,м база -
эмиттер транзи1сторо1в Т6 и Т7 . Действие цепочек расомот-
1рено в параграфе 2-6, отметим только, что заданная ста
бильность достигает-ся под6о1ром ,величины ,резистора Rg,
определяющей температу,рный коэффициент ,цепочки
Rgд 1.
Стабильность постоянной составляющей ф.иль11ра в
зна чительной мере определяется температурньi,ми усло
виями тра :1ви,сторов. Для обеспечения идентичности усло
вий в,се транзисторы помещены в теплоотвод, вьшол -нен
ный из фтор.опла,ста, обладающего .высокой теллопровод-
1юст1;,ю . Эти меры обес1Печивают тем1Перату1рный дрейф
выходного напряжения меньший, чем 1 .мв • град- 1 . По
следний мщкет быть обеспечен такж~ в более широком
диа1пазоне температур, если III звено выполнить по схе
ме ЗНЧ2И, в котОjром усилители должны быть включе
ны так же, как и пер-вых двух звеньях.
Уста.но,вка «·нуля» выходного напряжения производит
ся потенциометром R15 . Изменение частоты ореза фильт
ра ,выполняется переключением конден,сатор·ов RС~це111ей
звеньев. Перестройка резисторами в данном случае не- •
желательна, та1К .ка:к их изменение влияет на величину
температурного д1рейфа постоянной составляющей : В схе
ме примене.ны рези,сторы типа УЛИ и конденсаторы типа
К40У-9.
4-2. Полосовой перестраиваемый фильтр с октавной
полосой пропускания
На 1ри,с. 4-2 пока'зана принципиальная схема октавно
го фильтра, входяще,г,о в состав виб1роизмерительной ап
паратуры, предназна;ченной для частотного анализа и :из
мерений 1виб~ра1ций. Фильтр имеет следующие характе
ристики: •
ши,рина лолосы пропускания - 1 октава;
.
с-редние частоты полосы пропускания f0= 12; 4; 8 ; 16 ;
31,5; ·63; •1Q5; 250 и: 500 гц;
: 179
неравноме,рность АЧХ ,в полосе пропускания а 1 = 3 дб;
·затухание в полосе задерживания на частотах 0,5 f с,
и2-fсболее20дб, на0,2:5fOи4fс- более40дб,а на
0;1215 fс и ,8 fс,- не ,менее 60 дб;
коэффициент 1п~редачи фи.льт-ра в полосе проп,уокания
при изменении температуры окружающей срмы в пре
делах -10 до + 140 °С меняется не более чем на 10,:5 дб.
Фильтр состоит из трех зшеньев второго по1рядка. На
его входе включено звено верхних частот типа ЗВЧ2Н :
II звено - полосовое (типа ПЗИ), а на выходе вкшочено
+308
Rз R"
5,бк 10к
0--J
Л1Л2Лз1DD
•
~+ЗОВ
Рис. 4-2 . Схема полосового перестраиваемого фильтра с октавной
полосой пропускания.
звено нижних частот (типа ЗНЧ2Н). Применение зшень
ев с неизолированныти ,секциями RС-цепей в октавном
фильтре О1казалось возм,ожным блатода•р я ла •мпово -тран
зи,сто~рны,м усилителя,м, обе:опечивающим необходим~ую
ра'Звязку и п~р~крытие широко го диапазона частот, гра
нИJцы которого отличаются в 260 раз. Такое пере1<1рытие
частот без из1менения емкостей ,RС-1цепей т1ребует соот
rве11ствующег,о из1менения величин резиtСто~ров, что ,воз
можно при иополь~зовании усилителей, имеющих не т-оль
ко вью01юе входное, но и весьма малое шых,одное сопро
пrвление, ОiПределяющее г,раницу нижних значений ·рези
сторов RС-цепей при 1пе~рестрой1ке.
В ас1-юву расчета фильтра была положена макси
мально плос~кая апцроксимация шесто1го порядка для
зна,чения н~ра1вно,мерности а1 =3 дб . Одна.ко величины
180
параметров звеньев, 1рассчитанные по полюса1М дашюrr
аппроксимации, не обеспечивают запаса по избиратель
ности относительно стандартных требований, предъя,в
ляемых к октавным фильт,ра ,м. Поэтому для повышения
избирательности фильтра П!ри нас'Грой~ке были увеличены
коэффициенты ,передачи усилителей, что дало некоторое
отклонение от ма·к,сималы-rо плоской АЧХ. Пршмененные
усилители имеют по д1ва 'Гранзи·сто1рных ка,скада . Между
ламповыми и :выходными кас1~а д а, ми Вiключены эмиттер
ные повторители, способствующие повышению коэффи
циентов усиления по нацря,жению при разо~мкнутой пет
ле обратной связи и уменьшению выходных сопротив
лений усилителей, что позволило улучшить развязку
з·веньев, имеющих при акта,вной полосе пропускания
близ1кие значения собственных ча-стот. Зв·енья соедине·ны
между ,собой галывани,чески. Так как они и,меют на соб
ственных частотах сравнительно большие коэффициенты
передачи, то суммарный коэффициент передачи фильтра
в по.лосе пропускания пол,учается значитель·ным. Для
улучшения соотношения сигнал/шу,м коэффи1IJ:иент ,пере
дачи филь11ра у,меньшен путем ~подачи на входы ПЗ и
ЗНЧ ча ,сти выходных напря,жений предыдущих звеньев .
Это поз,в,оляет увеличить у1ровень входного сиrшала, .по
даваемого от усилителя с малым уровнем собственных
ш ум•ов. Следует 011метить, что собственные шу,мы фильт
ра воз1ра,стают ,с у,меньшением ча -стоты нас11ройки, что
обусло·влено увеличением шумав ламп и транзи1сторов
13 диапазо1-rе инфраниз1ких частот и ростом э. д. с . шумов
резисторов, величины которых в низкочастотно ,м конце
диа п азона возра ·стают до :10 Мом.
Перест,р-ойка филь1'р1а о:существляется из,менением ре
зисторов RС-цепей звенье1в, которые в о.бозначениях схе
мы ри•с. 4-2 имеют следующие ~величины:
2
2,5
10,0
10,0
10,0
5,0
5,0
4
1, 25
5,0
5,0
5,0
2,5
2,5
8
625к
2,5
2,5
2,5
1,25
1,25
16
312,5к
1,25
1, 25
1,25
625к
625к
31,5
158,7к
635к
635к
635к 317,5к 317,5к
63
79,4к 317 , 5к 317,5к 3!7,5к !58,7к 158,7к
125
40к
160к
!60к
J60ю
80к
80к
250
20к
80к
80к
80ю
40к
40к
500
!Ок
40к
40к
40к
20к
20к
181
ЛИТЕРАТУРА
1. -М i 11 е г С. Н., Wirelles World, 1950, v . 17, No 316 ,(5'16).
2. Т h i е I е А. N., Electr-onics Engineering, 1956, I, v. 28, ,No 335.
3.Тidе1mаn D.,
.Radio ancl Televisions News, 1951, Х, v. 46 ,
No4.
4. Кр и к,суно в В. ,г. - «Электро·связь», 1964, ,No 3.
·5. М i 11 е г G. В., Electronics Engineering, 1958, III, v. 30,
No 361.
·6.W11itе G., !RE Trans., 1955, v.AU-8,iN'o 54.
7. С а а к о в Э. А.,Теория и расчет RС-из·бирательш,1х •систем.
М., Госэ11е1жоиздат, 1954.
8.Sа11епR. Р. andКеуЕ.L., IRE Tгans. опCircuitТhеогу,
1955, III, v. СТ-2, No 1.
9.FгуегW.D., Electronics, 1959,IV, v. 32,No15.
10.Меvеу Р. !.,
Electronics Engineering, 1962 , VII, v . 3 4,
No 413.
11 . G е га 1 d F., ,Electron. Design, 1961, 9, IN'o 24 .
1·2. К ал а х а н Д. А., Сов-ременный синтез цепей. М., «Энер-
гия», 1966 .
13.ТhоmрsоnW.Е.,Ргос.!ЕЕ,1949, v. 96.
14.Ре1еss У.,Мuгаkаmi Т.,RCARevie,v, 1957,111, v. 18.
15.Ме1shеimег R., Electron. Design, 1967, April 12.
16. Рароu1isА.,Ргос.IRE,'1958, III, v. 46.
17.FukаdаМ., IRETrans., 11959, IX, v. СТ-6, ·No3.
18.Linvi11J.С.,Ргос.I1R:E,1954,!И, v. 42.
19.УаnаgisаwаТ., !НЕTr~ns., 1957, IX, v. СТ-4.
20.Ноrоwitz !.М., IRIETrans., 1961,VI, v. СТ-8,iNo 2.
21 . F га n k 1i n D. Р., Electronics Technology, 1961, VIII, v" 38,
No 28.
•
22 . К u h Е. S., I,RE International Convention Record, 1960, II 1,
Pt 2.
23. Ваngеrt J. Т., BellSystem Techn. J., 1954, 33, No 3'29.
24 . Ра,счет транзист-о·рных .цепей . Под ред. Р. Ф. Ши, пер. с англ.,
М., «Энер ,гия» , 1964 .
25. Слав с .кий 1Г. :Н., Аюивные RC и RСL-фильтры и избира-
тел1:,ные усилители. М., « Связь», 19'66.
26.Тен -Най
-
Д ь ю1-1, «9лектросв-язь», 196'2, No 3.
27.Тен -Най
-
Д ь юн, «Электросвязь», 1963, No 4.
28. Хаз ан о в Г. Л., «Электросвязь», 1961, No 12 .
29.Никольс, Раух, Радиотелемет.рия, шор . с англ. Изд-во
иност,р. лит. , 1958.
30. FоstегЕ. J., ШЕ!ЕTrans. Audio, .1965, ·13, No5.
31.Мс.Мu11еn А. L.,
IE'E:E ,Mag . Circuit Design Eng., 1966,
No 10.
'
•
182
32. Се м е но в В. В. и др., Сборник работ по вопросам электро-
механики АН СССР, 1962, вып. 7.
33.Dе Рiаn, МеItzеr А.,Electronics, 1968, IX, v. 41,iN'o18.
34.JасhМ., Siрrеss, IRE Trans.,
1961, IX, v . СТ-8.
35 . Риз к ин А. А. Исследование ,селективных ,систем, содержа-
щих реактивные лампы, Научно-те хн. с·б. ЛЭИС, 194'8 , вып. iЗ.
36. Хаз ан о в Г. Л., «Электросвязь», 1959, No 3.
37. Те пл ю к И . Н., ,«.Электрvсвязь», 1969, iN'o 2.
·38.Аrms1гоngD. В.,RеzаiE.М., J:RIEТга11s., 1954, v. СТ-!,
No2. ·
39. Белец кий А. Ф., Теоретич еские основы электропровод,ной
с вязи, Связьиздат, 1959 .
40.РuЬ1. Соmmiss. е1есtrоtесhn. intеr11аt.,
1966,
No '2215.
41. Б а л а б а '1-1 я н Н., Синтез элект:рических цепей, Госэ11ергоиз
дат, 1961 .
4·2 . Альба ц М. Е., С11,рав-оч·ник по расчету фильтров и линий
заде рЖII(И, Госэн е ргои здат , 19'63.
43. Айз и и о в М. ,М., Анализ и синтез линейных радиотехниче
ских цепей в переходн ом реж им е, «Э нергия», 196 8.
44.РароuIisЛ.,Ргос.!НЕ,19'59,II,v.47.
45. Я и к е Е., Эм д с Ф., Ле ш Ф., СпециаJ1ы1ые функции. М.,
«Наука», 1968.
46. Степ а ·11 с 11 1< о И. П., Основы теории тр-анзисторов и тра·н
зисто.рных схем. М . , «Эн ергия», 1967.
47. П о JI 1, о 1з с ки й И. М., Стабилизированные у,силителы rые
устройства 11 а т,ра и з исто,рах. М., «Э·нертия», 1965.
48. Тр а 11 з и ст оры и полупроводниковые диоды. Справочник под
ред. Н. Ф. 1J-]11колаевс1<ого, Связьиздат, 1963.
49. Ш е ф те л ь И. Т., «Автоматика и тел емехаю1ка», 1953,
XIV, 2.
50. Мал ин Б. В., С он и ·н Н. •С., Лар·ам-етры и свой•ства поле
в ых тра ·нзисторов, «Эне.р~гия», 1967.
•
51. Се вин Л., Полевые тран з исторы, «Советское радио», 196 8.
52. Ча11овский М. 3., Улучшение
качественных пок азатеJ1 е й
т,раизисториы х усилителей, «•Связь», 1968.
•53. Ла ·и и э А. А. , Оптимальный .,~ инте з ли н ейных электричес•1ш х
\
цеп ей. к,Свя з ь» 1969.
•
-
- --- --·
---
·-·--·
-
54. Пер ест раива-ем ые фильтры ве рх•них и ·нижних частот для
элекrроа:куеги ческих измерений. Проект стандарта ФРГ DIN
1No 456'54.
1
5·5. Ар т ы м А . Д., Элек·, •,рические корректирующие цепи и уси
лители, k<Эн ергия» , 1965 .
56. Ст ю а рт Дж., Тео р ия и синтез электри че с·ких цепей, Изд-во
и ,юстр . лит., '1962 .
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
3
В-1. Общие св едения об активных RС-фильтр ах
3
В-2. Основные характеристики фильтров и требования,
предъявляемые к ним .
6
Глава первая
Типы аппроксимаций и анализ свойств аппроксимирующих
функций. Основные расчетные соотношения
14
1-1 . Общие поло жен ия
.
14
1-2. Аппроксимация по Тейлору (максимально плоская
аппрокс и мация)
16
1-3. Аппроксимация по Чебышеву (равново л новая
аппрокс и мации)
24
1-4. Аппроксимации полиномами Лежандра (фильтры
класса:L)......
33
1-5 . Метод пр еобразова нии ча'стоты. Переход от ФНЧ
к фильтрам других типов .
40
Глава вторая -
Схемная реализация звеньев первого и второго поря дков
55
2-1 . Обобщенная блок-схема усилительного звена
55
2 -2 . Звенья нижних и верхних частот 1-го порядка
58
2-3 . Звенья нижних и верхних частот 2 - го поря дка
59
2-4. Полосовые и р ежектор ны е звенья
71
2-5. Характеристики усили телей зве н ьев. Схемные реа-
J1изации ус илит елей
79
2-6. Стабилизации постоянных составляющих выходных
напряжений усилителей
105
2-7. Стабильность параметров звеньев
l13 •
Глава третья
Методика инженерного расчета актив ных RС -фи льтров. Реко-
мендации по проектированию и настройке
121
3-1 . Общие положения
121
3-2 . Расчет активных RС-фильтров нижних частот
127
3-3 . Расчет активн ых RС-фильтров верхних частот
142
3-4 . Методика настройки ФНЧ и ФВЧ
.·
151
3-5 . Расчет полосовых активных RС-фильтров
156
3-6 . Методика настройки полосовых фильтров
176
Глава четвертая
Применение активных RС - фильтров в измерительной аппара-
ратуре . .
177
4-1 . Фильтр нижних частот со стабилизированным уров-
нем постоянной составлщощей
177
4-2 . Полосовой перестраива е мый фильтр с октавной по-
лосой пропускан11я .
179
Литература
182
184
Цена 61 коп.