А. П. НОРДЕН
ТЕОРИЯ
ПОВЕРХНОСТЕЙ
ГОСУДАРСТВГННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА • 1';5б

А. П. НОРД ЕН
ТЕОРИЯ
ПОВЕРХНОСТЕЙ
Допущено
Министерством высшего образования СССР
в качестве учебника для университетов
а педагогических институтов
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1956

11-5-2
Норден Александр Петрович.
Теория поверхностей.
Редактор Л. Ф. Лапко.
Технич. редактор Н. Я- Мурашова. Корректор Л. О. Сечейко,
Сдано в набор 5/XI 1955 г. Подписано к печати 25/1 1956 г. Бумага 60x927ie-
Физ. печ. л. 16V4. Условн. печ. л. 167*. Уч.-изд. л. 14,58. Тираж 10 000 экз. Т-01762.
Цена книги 5 р. 35 к. Заказ № 768.
Государственное издательство технико-теоретической литературы
Москва В-71, Б. Калужская ул., 15
Министерство культуры СССР. Главное управление полиграфической промышленности.
4-я шп. им. Евг. Соколовой. Ленинград, Измайловский пр., 29.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 6
Глава I. Элементы теории кривых 7
§ 1. Кривая линия и ее уравнение 7
§ 2. Касательная прямая и соприкасающаяся плоскость 9
§ 3. Натуральный параметр и сопровождающий трехгранник кривой . 11
§ 4. Лемма об ортонормальной тройке и формулы Серре — Френе . . 13
§ 5. Винтовая линия и окружность 14
Глава II. Элементы тензорной алгебры 17
§ 6. Аффинная система координат на плоскости 17
§ 7. Скалярное произведение и ковариантные координаты 19
§ 8. Косое произведение и дополнительный вектор 21
§ 9. Понятие тензора 23
§ 10. Основные действия тензорной алгебры 26
§ 11. Симметричный тензор второй валентности 33
§ 12. Свертывание тензоров 37
Глава III. Поверхность и ее касательная плоскость 40
§ 13. Поверхность и ее параметризация 40
§ 14. Касательная прямая и касательная плоскость поверхности .... 44
§ 15. Огибающая семейства поверхностей 46
§ 16. Развертывающиеся поверхности 50
§ 17. Развертывающиеся поверхности, связанные с пространственной
кривой 53
Глава IV. Первая квадратичная форма поверхности 58
§ 18. Местная система координат и метрический тензор поверхности . 58
§ 19. Линейный элемент и наложимость поверхностей 60
§ 20. Угол между линиями на поверхности и конформное отображение 62
§ 21. Семейство линий на поверхности. Ортогональные траектории и
сети 64
§ 22. Мера площади поверхности. Эквивалентное соответствие .... 67
Глава V. Вторая квадратичная форма поверхности 70
§ 23. Нормальная кривизна и вторая квадратичная форма 70
§ 24. Теорема Менье 72
§ 25. Тензор второй квадратичной формы и его инварианты 75
§ 26. Классификация точек поверхности 76
§ 27. Сопряженные направления и сети 82
§ 28. Асимптотические линии 85
§ 29. Линии кривизны 87

4 ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава VI. Поверхность вращения и ее обобщения 90
30. Поверхность вращения и ее изгибание 90
31. Вторая квадратичная форма поверхности вращения 92
32. Частные виды поверхности вращения 94
33. Винтовые поверхности 97
34. Резные поверхности 99
35. Каналовые поверхности 100
Глава VII. Линейчатые поверхности и прямолинейные конгру-
конгруэнции 102
§ 36. Линейный элемент и касательная плоскость линейчатой поверх-
поверхности 102
§ 37. Развертывающиеся поверхности как линейчатые 103
38. Присоединенные точки и точки стрикции 105
39. Параметр распределения 106
40. Асимптотические линии линейчатой поверхности 107
41. Прямолинейная конгруэнция и ее основные квадратичные формы 109
42. Развертывающиеся и фокальные поверхности конгруэнции .... 111
43. Нормальная конгруэнция 113
Глава VIII. Векторные и тензорные поля на поверхности .... 114
§ 44. Скалярное поле 114
§ 45. Ротация векторного поля 115
§ 46. Дивергенция векторного поля 118
§ 47. Лапласово поле, гармонические функции и изотермические коор-
координаты 119
48. Деривационные формулы Гаусса 123
49. Параллельное перенесение векторов 125
50. Абсолютное и ковариантное дифференцирование 128
51. Ковариантная производная 132
52. Основное дифференциальное уравнение векторного поля 135
Глава IX. Геодезическая кривизна и геодезические линии . . . 141
§ 53. Геодезическая кривизна 141
§ 54. Геодезические линии 143
§ 55. Геодезическое поле 145
§ 56. Геодезически-изотермическое поле 148
§ 57. Геодезически-биссекторное поле 149
§ 58. Поверхность Лиувилля 150
§ 59. Геодезические линии поверхности вращения 154^
§ 60. Конгруэнция касательных к линиям геодезического поля 154е
§ 61. Поверхности Вейнгартена 156
Глава X. Элементы теории сетей 159
§ 62. Присоединенная точка векторного поля 159
§ 63. Присоединенная прямая и чебышевский вектор сети .161
§ 64. Кодацциевы сети 163
§ 65. Ортогональные сети 164
66. Геодезические сети 165
67. Чебышевская сеть . 166
68. Поверхность переноса - • 168
69. Сети равных путей 169
70. Изотропные направления и изотропная сеть 171

ОГЛАВЛЕНИЕ 5
Глава XI. Отображение поверхностей 173
71. Общие свойства дифференцируемых соответствий 173
72. Конформное соответствие поверхностей 176
73. Конформное соответствие плоскостей 179
74. Инверсия 182
75. Стереографическая проекция 186
76. Геодезическое соответствие . 188
77. Сферическое отображение 193
Глава XII. Полная кривизна как инвариант внутренней геоме-
геометрии поверхности 200
§ 78. Теорема Гаусса 200
§ 79. Теорема Гаусса — Бонне 204
§ 80. Теорема Гаусса — Бонне для многосвязных областей и замкнутых
поверхностей 206
§ 81. Перемена порядка ковариантного дифференцирования 209
§ 82. Теорема Петерсона 211
§ 83. Уравнение изгибания 215
§ 84. Полная кривизна поверхности вращения 217
Глава XIII. Поверхности постоянной кривизны . 219
§ 85. Геодезически-изотермические поля на поверхности постоянной
кривизны 219
§ 86. Линейный элемент поверхностей постоянной кривизны и их нало-
наложимость 220
§ 87. Геодезические линии и геодезические пучки на псевдосфере . . . 222
§ 88. Внутренняя геометрия псевдосферы 229
§ 89. Геодезические линии поверхностей постоянной кривизны 231
Глава XIV. Минимальные поверхности 234
§ 90. Поверхность наименьшей площади 234
§ 91. Присоединенная поверхность 235
§ 92. Формулы Шварца 236
§ 93. Сферическое отображение и изгибание минимальных поверхностей 237
§ 94. Формулы Вейерштрасса 239
Глава XV. Триортогональные системы поверхностей 242
95. Криволинейные координаты в пространстве 242
96. Триортогональная система поверхностей 245
97. Условия Ляме 248
98. Софокусные поверхности второго порядка 249
99. Эллиптические координаты на центральной поверхности второго
порядка 252
Литература 255
Алфавитный указатель 256
Указатель обозначений 260

ПРЕДИСЛОВИЕ
Тензорное изложение теории поверхностей уже давно положено
в основу специальных курсов и служит предметом семинаров в боль-
большинстве университетов. «Основы теории поверхностей» В. Ф. Кагана
были до сих пор единственным пособием, посвященным этому во-
вопросу в нашей учебной литературе. Однако использование в препо-
преподавании этой во многих отношениях замечательной монографии встре-
встречает значительные затруднения.
Объем настоящего пособия соответствует годовому курсу теории
поверхностей. При этом, естественно, предполагается знакомство
читателя с общим курсом дифференциальной геометрии, в связи
с чем главы I и III носят повторительный характер. Элементарна
по методу и глава VI, хотя в ней и рассматриваются важные классы
поверхностей, не изучаемые в общем курсе дифференциальной гео-
геометрии.
Предполагая также, что читатель знаком с основами тензорного
анализа, можно считать, что глава II и §§ 50, 51 главы VIII пред-
предназначены в основном тоже для справок и повторения. Однако §§ 8
и 11 должны быть внимательно прочитаны, так как они существенны
для понимания дальнейшего изложения.
Характер изложения основного содержания книги определялся
стремлением использовать не только общие преимущества тензор-
тензорного метода, но и те его особенности, которые характерны для
двумерной области. С этой точки зрения особо важное значение имели
следующие понятия и теории:
1. Понятия дискриминантного тензора и дополнительного вектора.
2. Теория векторного поля, дополненная понятием основного
дифференциального уравнения поля и трансверсального вектора.
3. Теория гармонических и аналитических функций.
4. Теория сетей и в особенности понятие чебышевского тензора,
введенного Я, С. Дубновым.
Все это способствовало единообразию изложения и выявлению
связей между отдельными проблемами, а также в ряде случаев осво-
освободило от необходимости перехода к специальным координатам и
позволило заменить выкладки выводами синтетического характера.
В заключение я хочу выразить свою признательность доценту
Казанского университета В. И. Шуликовскому за ряд ценных заме-
замечаний, которые он сделал мне при чтении рукописи книги, и
А, Ф, Лапко за ее внимательное редактирование.
А. П. Норден

ГЛАВА I
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ КРИВЫХ
§ 1. Кривая линия и ее уравнение
1. Методы элементарной и аналитической геометрии с успехом
применяются к рассмотрению только небольшого числа типов раз-
различных линий и поверхностей: прямой, окружности и конических
сечений плоскости, сферы и поверхностей 2-го порядка. Поэтому
при изложении этих математических дисциплин обычно обходятся
без общего определения понятия линии и поверхности. Такое опре-
определение становится, однако, необходимым при переходе к топологии
и дифференциальной геометрии потому, что топология изучает свой-
свойства кривых линий и поверхности во всей их общности, а диффе-
дифференциальная геометрия рассматривает весьма обширный и важный
класс кривых и поверхностей, содержащий бесконечное множество
различных конкретных случаев.
Мы начнем с топологического определения кривой линии, пред-
предполагая, что понятие прямой линии и ее отрезка уже дано в эле-
элементарной геометрии.
Топологическим или непрерывным соответствием двух точечных
множеств называется такое взаимно однозначное соответствие между
точками этих множеств, при котором всяким двум бесконечно сбли-
сближающимся точкам одного множества соответствуют бесконечно сбли-
сближающиеся точки другого множества. Если между двумя точечными
множествами можно установить топологическое соответствие, то гово-
говорят также, что эти множества топологически эквивалентны между
собой.
Простой дугой называют такое множество точек, которое топо-
топологически эквивалентно отрезку прямой. Точки, соответствующие
конечным точкам отрезка, называют при этом конечными точками
дуги, а две дуги называют примыкающими, если одна пара концов
этих дуг или обе пары этих концов совпадают между собойе
Кривой линией называют такое множество точек, которое состоит
из конечного или счетного множества простых дуг, примыкающих
друг к другу.
2. Допустим, что простая дуга АВ отображена топологически
на прямолинейный отрезок Л0В0 так, что всякой точке М дуги
соответствует точка Mq этого отрезка (черт, 1),

8 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ КРИВЫХ [ГЛ. I
Введем на прямой Л0В0 координату, т. е. выберем начальную
точку О, некоторое положительное направление и будем измерять
отрезки некоторым масштабным отрезком. Всякой точке прямой мы
отнесем таким образом ее абсциссу, которую будем считать поло-
положительной для точек, расположенных по одну сторону от О, и отри-
отрицательной для точек, расположенных по другую сторону. Положение
всякой точки Мо отрезка А0В0 будет определяться значением ее
абсциссы t, а если известен закон, по которому точки дуги отобра-
отображаются в точки отрезка, то задание абсциссы t определит также и
положение точки М дуги. Этим способом мы можем отнести всякой
точке М дуги АВ некоторое число. Соответствие между точками
дуги и числами будет взаимно однозначным и непрерывным. Непре-
4, U
Черт. 1.
рывность следует из того, что бесконечно близким абсциссам i и f
соответствуют бесконечно близкие точки Мо и Мо отрезка А0В0,
а им в свою очередь отвечают бесконечно близкие точки М и М!
дуги АВ.
Если указанное соответствие между числами и точками дуги
осуществлено, то говорят, что дуга параметризована, а значение
числа t называют параметром соответствующей точки.
Всякую дугу можно топологически отобразить на отрезок бес-
бесчисленным множеством различных способов, и каждому из этих
способов будет соответствовать свой способ параметризации дуги.
Рассмотрим два таких способа, и пусть при первом из них точке /И
относится значение параметра t, а при втором — значение т. Эти
значения будут связаны между собой функциональной зависимостью
причем очевидно, что функция /(т) должна быть однозначна и не-
непрерывна вместе со своей обратной функцией
Если в пространстве задано начало О, то всякая точка М дуги
определяется ее радиусом-вектором г~ОМ. Если дуга параметри-

§ 2] КАСАТЕЛЬНАЯ ПРЯМАЯ И СОПРИКАСАЮЩАЯСЯ ПЛОСКОСТЬ 9
зована, то положение этой же точки определяется заданием значе-
значения t параметра. При этом всякому значению параметра будет со-
соответствовать определенное значение радиуса-вектора г. Иными сло-
словами: радиус-вектор точки дуги является функцией параметра,
определяющего эту точку:
г = /¦(*).
Согласно предыдущим определениям эта функция должна быть не-
непрерывной. Соотношение, которое определяет зависимость радиуса-
вектора точки параметризованной дуги от ее параметра, называется
параметрическим уравнением этой дуги1).
3. Дифференциальная геометрия изучает некоторый класс кривых,
определенных вышеуказанным топологическим образом.
Эти кривые характеризуются возможностью такой параметризации,
при которой радиус-вектор их точки выражается дифференцируемой
функцией параметра. В дальнейшем мы всегда будем предполагать
эту дифференцируемость, допуская только такие преобразования
параметра, при которых функция t=zf(i) тоже дифференцируема.
Более того: мы будем предполагать у всех рассматриваемых функ-
функций существование всех производных до тех порядков включительно,
которые потребуются для нашего рассмотрения.
§ 2. Касательная прямая и соприкасающаяся плоскость
1. Прямая называется касательной к кривой в данной ее точке,
если она является предельным положением секущей, проходящей
через данную точку и другую точку кривой,
неограниченно приближающуюся к данной.
Предположим, что кривая параметризо-
параметризована и ее уравнение имеет вид r = r(t).
Пусть точкам А и В (черт. 2) этой кри-
кривой соответствуют значения параметра t
и t-\-bd, а их радиусы-векторы равны г
и r-fAr соответственно. В таком случае
вектор Ьг соответствует хорде АВ, а век- u 0
дг черт. z.
тор -?7 направлен по секущей АВ в ту же
сторону, как и эта хорда, если Д/>0, и в противоположную сто-
сторону, если At < 0.
Если точка В неограниченно приближается по кривой к точке Л,
то секущая АВ вращается вокруг точки Л, стремясь занять
1) Мы не будем затрагивать вопроса о параметризации кривой, произ-
произвольным образом составленной из множества простых дуг. Чтобы избежать
затруднений, которые связаны с этим вопросом, будем, вообще говоря, пони-
понимать в дальнейшем под кривой линией простую дугу.

10 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ КРИВЫХ [ГЛ. I
положение касательной. Вместе с тем отношение -^- стремится к про-
производной г, как к своему пределу.
Отсюда следует, что производная от радиуса-вектора точки
параметризованной кривой по параметру есть вектор, направлен-
направленный по касательной к этой кривой. »
Если, кроме того, принять во внимание замечание, сделанное от-
относительно направления вектора АВ, то станет очевидным, что
вектор г направлен по касательной в сторону возрастания пара-
параметра. Направление касательной не определяется с помощью задания
вектора г в тех точках параметризованной кривой, в которых этот
вектор обращается в нуль. Такие точки называются особыми точ-
точками параметризованной кривой и исключаются из рассмотрения.
Про всякую плоскость, содержащую касательную, говорят, что она
касается кривой в той же точке, что и данная касательная прямая.
2. Если вектор второй производной
направлен по касательной в каждой точке линии, то ее радиус-век-
радиус-вектор удовлетворяет дифференциальному уравнению
r=kr, A)
общее решение которого
r = a?@-h* B)
показывает, что эта линия прямая. Исключим из рассмотрения этот
случай, а также и те отдельные точки кривой, в которых имеет
место A).
При переходе к новому параметру мы будем иметь
d?r _ dr_(d^_\ , d?r_(dz
d& ~ dz \dPj* dtf \dt
Эта линейная зависимость показывает, что вторая производная от
радиуса-вектора точки кривой, взятая по любому параметру, нахо-
находится в некоторой вполне определенной касательной плоскости кри-
кривой, которая называется ее соприкасающейся плоскостью.
Расстояние текущей точки кривой r(t) от ее касательной пло-
плоскости в точке ro = r(to) определяется подстановкой радиуса-век-
радиуса-вектора в левую часть нормального уравнения этой плоскости
/ = я{г(*) —г0},
где п есть единичный вектор, перпендикулярный к данной касатель-
касательной плоскости. Разлагая в строку Тейлора r(t) по степеням
kt = t —109 получим

§ 3] НАТУРАЛЬНЫЙ ПАРАМЕТР 1 1
но пго=О, и если касательная плоскость — не соприкасающаяся,
то пг0ф0 и
а если касательная плоскость — соприкасающаяся, то пго = О и
При достаточно малом At знак левой части совпадает со знаком
первого отличного от нуля члена правой части. В первом случае
он совпадает со знаком пг0, т. е. со знаком проекции вектора вто-
второй производной на нормаль к касательной плоскости. Таким обра-
образом, вблизи точки прикосновения все точки кривой находятся по ту
сторону касательной плоскости, куда направлен вектор второй про-
производной, если эта плоскость не совпадает с соприкасающейся. Во
втором случае знак / изменяется вместе с переменой знака Ltt
если пг=Ф0 и вблизи точки прикосновения к соприкасающейся плос-
плоскости кривая, вообще говоря, переходит с одной ее стороны на другую.
Что касается такой линии, во всех точках которой вектор г
лежит в соприкасающейся плоскости, то ее радиус-вектор удовлетво-
удовлетворяет дифференциальному уравнению
(г?г) = 0, C>
ил
r=lr-\-\ir, D)
общее решение которого имеет вид
г = а® (t) -f- Щ (t) -\-c E)
и показывает, что кривая будет плоской.
§ 3. Натуральный параметр и сопровождающий
трехгранник кривой
1. Величина интеграла
t
\r\dt A)
to
¦ не зависит от выбора параметра t, и этот интеграл определяет так
называемый натуральный параметр кривой. В общем курсе диф-
дифференциальной геометрии показывается, что разность двух значений
этого параметра
B)
:=/,;

12 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ КРИВЫХ [ГЛ. I
равна длине дуги, заключенной между точками со значениями пара-
параметра tx и t2.
Дифференцируя A), получим
ds = \r\dt
или
ds* = dr*. C)
Обозначая штрихом дифференцирование по натуральному параметру,
получим
Таким образом, производная от радиуса-вектора точки кривой по
натуральному параметру есть единичный касательный вектор кривой.
Очевидно, что D) равносильно соотношению
= 1. E)
которое показывает, что предел отношения хорды кривой к стя-
стягиваемой ею бесконечно малой дуге равен единице.
В дальнейшем мы воспользуемся одним следствием этого резуль-
результата. Если два значения переменного единичного вектора т изобра-
изображены отрезками О А и ОВ, то длина ЛВ окружности единичного
радиуса с центром в точке О равна углу <р, на который поворачи-
поворачивается вектор т, получивший приращение Дт = ЛВ. Так как
в силу E)
Ит I— = 1, F)
то предел отношения модуля приращения единичного вектора
к бесконечно малому углу его поворота равен единице.
2. Вектор второй производной г" по натуральному параметру
удовлетворяет условию
= 0, G)
т. е. перпендикулярен к касательной.
Но всякая прямая, пересекающая касательную ортогонально
в точке ее прикосновения, называется нормалью кривой, % нормаль,
расположенная в соприкасающейся плоскости, — ее главной нормалью.
Так как вектор второй производной по любому параметру расположен
в соприкасающейся плоскости, то вектор г" направлен по главной
нормали.
Нормаль, перпендикулярная к главной нормали, называется бинор-
бинормалью, а плоскость, содержащая главную нормаль и бинормаль,
а следовательно, и все нормали кривой, называется нормальной.

§ 4] ЛЕММА OB ОРТОНОРМАЛЬЙОЙ ТРОЙКЕ Й ФОРМУЛЫ СЕРРЕ — ФРЕНЕ 13
Наконец, плоскость, содержащая бинормаль и касательную, назы-
называется спрямляющей.
Прямоугольный трехгранник, образованный касательной, главной
нормалью и бинормалью, называется сопровождающим трехгран-
трехгранником кривой. Единичные век-
векторы т, V, р, направленные по
осям этого трехгранника (черт. 3),
называются также главными век-
векторами кривой и определяются
условиями
(8)
Произведя круговую перестановку
в последнем из них, получим
также
v = [p*l. (9)
Черт. 3.
§ 4. Лемма об ортонормальной тройке и формулы
Серре — Френе
1. Три вектора т19 т.2, ть образуют ортонормальную тройку,
если они единичны и взаимно перпендикулярны.
Условие ортонормальности имеет вид
щт^ = Ъц =
1 при i =j,
О при i Фj.
О)
Если векторы ортонормальной тройки являются дифференцируе-
дифференцируемыми функциями аргумента t> то их производные можно разложить
по ним самим и рассмотреть систему уравнений
B)
dt
Дифференцируя левые и правые части A) и пользуясь B), мы
получим
з з зз
2 ацЩ*Пк = 2 а«Ау+ 2 акАк = О
2
k=l
или
н = 0. C)
Таким образом, матрица коэффициентов разложения произ-
производных векторов ортонормальной тройки по этим же векторам

14 Элементы теории кривых [гл. i
кососимметрична, т. е. имеет следующий вид:
О oia <xt8
2. Применяя этот общий результат к производным главных век-
векторов кривой по ее натуральному параметру и пользуясь (8) § 3,
мы получим так называемые формулы Серре — Френе
v' = —At
Р' = — xv
D)
Коэффициенты k и х называются кривизной и кручением кривой,
а величина Р = ~г—радиусом кривизны. Пользуясь F) § 3, легко
показать, что кривизна кривой в любой ее точке равна пределу
отношения угла поворота касательной на бесконечно малой дуге,
содержащей эту точку, к длине этой дуги, а абсолютная величина
кручения равна пределу отношения угла поворота бинормали на
той же дуге к длине этой дуги.
3. Кривизна и кручение выражаются через производные радиуса-
вектора по любому параметру следующим образом:
u — \[rr]\ .c_(rrr)
Точки кривых, в которых k = 0, называются точками спрямления,
и точки, в которых х = 0, — точками уплощения.
Соотношения
выражающие зависимости кривизны и кручения от натурального пара-
параметра, называются натуральными уравнениями кривой. Натураль-
Натуральные уравнения определяют кривую с точностью до ее положения
в пространстве.
Из A) — E) § 2 следует, что прямая линия характеризуется
условием
а плоские кривые — условием
§ 5. Винтовая линия и окружность
1. В дальнейшем мы неоднократно будем встречаться с круго-
круговыми векторными функциями. Значения этих функций e(t) и g(t)
определяются, как такие единичные векторы, которые расположены
в плоскости хОу правой прямоугольной системы координат и образуют

§ 5]
ВИНТОВАЯ ЛИНИЯ И ОКРУЖНОСТЬ
15
углы t и * + -?г с осью Ох, причем положительное значение угла t
отсчитывается по направлению, обратному движению часовой стрелки,
наблюдаемому со стороны положительного направления оси Oz.
Согласно этому определению
e(t) = /cos t-{-jsint, |
g(t) = —islnt + jcost, j 0)
[eg\ = k, [gk\ = e, [he\ = g, C)
где /, j, k — масштабные орты прямоугольных осей.
Отметим, кроме того, правила дифференцирования векторных
круговых функций.
Из A) непосредственно следует,
что
de dg
И~~~?* ~dt
= -е. D)
2. Применим введенные обозна-
обозначения для записи параметрического
уравнения винтовой линии, т. е.
траектории точки, которая уча-
участвует одновременно в двух равно-
равномерных движениях: поступательном
движении по прямой, параллельной
неподвижной оси, и вращательном
движении вокруг этой оси (черт. 4).
Если эта ось совпадает с осью
Ozt скорости указанных равно-
равномерных движений равны v и ш, а в начальный момент времени О
точка находилась на оси Ох на расстоянии а от начала координат,
то уравнение движения будет
r = ae(vt)-\-vtk.
Полагая
Черт. 4.
приведем уравнение винтовой линии к следующему виду:
При Ь = 0 это уравнение принимает вид
r=ae(ff)
E)
F)
и выражает окружность радиуса а, расположенную в плоскости хОу,
центр которой совпадает с началом координат.

16 Элементы теории кривых [гл. i
3. Из D) следует, что касательный вектор винтовой линии
r = ag+bk G)
образует постоянный угол
с плоскостью хОу.
Длина дуги винтовой линии
р р
= J\r\d<? = fVa
или
s = Va2+l>2<?- (8)
В силу (8) вектор главной нормали винтовой линии
v=]|r = -», (9)
откуда следует, что главные нормали винтовой линии пересекают
под прямым углом ее ось.
Пользуясь формулами E) § 4, легко показать, что кривизна и
кручение винтовой линии
и, следовательно, постоянны.
Пользуясь указанным в п° 3 § 4 результатом, можно утверждать,
что всякая кривая, у которой
k = const, x = const Ф О,
есть винтовая линия; если же
k = const, х = О,
1
то это — окружность радиуса -г.

ГЛАВА II
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОЙ АЛГЕБРЫ
§ 6. Аффинная система координат на плоскости
1. Общая декартова или аффинная система координат на пло-
плоскости определяется заданием точки — начала координат и двух не-
независимых между собой векторов тх и т2, которые называются
масштабными.
Всякий вектор а можно разложить по масштабным векторам си-
системы, представив его в виде линейной комбинации
а = а1т1~\-а2т2- A)
Коэффициенты разложения а1, а2 вектора а по масштабным векто-
векторам системы называются координатами этого вектора.
Разложение A) можно записать также сокращенно
2
или еще короче
а = а*т19 B)
условившись подразумевать знак суммирования во всяком выраже-
выражении, содержащем два одинаковых индекса, если один находится
вверху, а другой внизу тех букв, при которых они поставлены.
В дальнейшем мы без особых напоминаний будем пользоваться этим
правилом для сокращенной записи сумм 1).
Одно из важнейших свойств координат вектора выражается сле-
следующей теоремой: для того чтобы векторы находились в линей-
линейной зависимости, необходимо и достаточно, чтобы их соответ-
соответствующие координаты находились в той же линейной зависи-
зависимости.
Действительно, линейная зависимость векторов выражается равен^
ством нулю некоторой их линейной комбинации
ш-f-\ib -f- ... -f-os = 0,
l) Подробнее об этом правиле, которое называется правилом Эйнштейна,
см. Я. С. Дубнов, Основы векторного исчисления, часть II, М., Гостех-
издат, 1952, § 2.

18 Элементы тензорной алгебры [vji. и
причем не все коэффициенты этой комбинации равны нулю. Выразив
каждый вектор через его координаты, перепишем то же соотношение
в следующем виде:
кагтг + ^Ь1тг + ... +as*/f^ = О,
или, перегруппировывая члены,
Но масштабные векторы независимы, и последнее равенство может
иметь место в том и только в том случае, если каждый из скаляр-
скалярных коэффициентов левой части равен нулю. Таким образом,
f- .. . -f-a^ = 0 (/=1, 2).
E)
Проведя рассуждение в обратном порядке, мы докажем также и
достаточность условия.
2. При преобразовании системы координат масштабные векторы
новой системы гть могут быть выражены линейно через векторы
старой системы ть так, что
Матрицу коэффициентов этого разложения
(Р)-Ы 4 ('
мы будем называть матрицей преобразования. Ее определитель
р\ р\
pi p\
должен быть отличен от нуля, для того чтобы векторы тг были не-
независимы между собой.
Разрешая уравнения C) относительно векторов старой системы,
мы получим соотношение вида
Матрица
(Q)= t J F)
есть матрица обратного преобразования. Ее элементы выражаются
через элементы матрицы D) следующим образом:
лг г= г
G)

fc 7] СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ И КОВАРИАНТНЫЕ КООРДИНАТЫ 19
Таким образом, элементы матрицы обратного преобразования
равны приведенным минорам матрицы прямого преобразования.
Легко видеть также, что элементы обеих матриц связаны между
собой соотношением
\tf 4tf4 в)
где oi— символ Кронеккера, который равен нулю при / Ф j и единице
при / =].
Сравнивая выражения вектора в старой и новой системе коорди-
координат, т. е. полагая
а1тг — гаУт{
и заменяя новые координатные векторы по формулам C), мы по-
получим
а*т. = 'аЩтк = гакр\т{ *).
Сравнивая коэффициенты при одинаковых векторах в правой и левой
частях, мы получим формулы преобразования координат вектора
а*=р*к'а*. (9)
Аналогично этому получим формулы обратного преобразования
/ai = qikak. A0)
§ 7. Скалярное произведение и ковариантные координаты
1. Скалярное произведение двух векторов выражается через коор-
координаты векторов двойной суммой
ab = (а* тг) (Wnij) = тгт^а1Ы
или билинейной формой двух рядов переменных а1, а2 и b1, b2.
Если ввести для коэффициентов этой формы обозначения
gij = mintj9 A)
то
ab = gisaW9 B)
или
ab =
v2
В частности, скалярный квадрат вектора выражается квадратичной
формой
a* = giiu*at9 C)
или
которая называется метрической формой плоскости.
х) Так как замена обозначений индекса суммирования не изменяет зна-
значения суммы.

20 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОЙ АЛГЕБРЫ [ГЛ. II
Матрица
р\, Р*.«11
D)
также называется метрической; эта матрица симметрична, так как
gij = gji- E)
Рассматривая векторное произведение масштабных векторов и
применяя известное векторное тождество, мы получим соотношение
w* = [ifijifij2 = т\т\ — (mtmjp = gng22 — g2ir F)
которое показывает, что дискриминант метрической формы w2 по-
положителен.
2. Рассмотрим скалярные произведения
вектора на масштабные векторы системы; эти произведения назы-
называются ковариантными координатами вектора. В отличие от кова-
риантных координат те, которые мы рассматривали ранее, назы-
называются контравариантными.
Координаты обоих типов просто выражаются друг через друга.
Действительно, из B) § 6 следует
или
(8)
Разрешая эти уравнения относительно а* и вводя следующие обо-
обозначения приведенных миноров метрической матрицы
р.11 _ i?22_ р-12 — ___ j?k р-32 — Ilk (Q\
мы получим выражение контравариантных координат через кова-
риантные
al = g^au. A0)
Заметим, что элементы метрической матрицы и ее приведенные
миноры тоже связаны соотношением
Л, = 8> (И)
где 8] — символ Кронеккера.
Соотношения (8) и A0) показывают, что линейная зависимость
между ковариантными координатами равносильна линейной зависи-
зависимости между контравариантными координатами. Отсюда следует, что
и линейная зависимость векторов равносильна такой же линейной
зависимости между ковариантными координатами.

? 8] КОСОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ И ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ ВЕКТОР 21
Понятие ковариантных координат позволяет получить простое
выражение для скалярного произведения. Действительно, в силу
B) и (8)
аЬ = ар* = а% = афг + аф* = а% + а%. A2)
Таким образом, скалярное произведение двух векторов равно сумме
парных произведений ковариантных координат одного из них на
контравариантные координаты другого.
Скалярные произведения можно выразить также и через кова-
риантные координаты обоих сомножителей, подставляя в A2) выра-
выражение а* из A0). После этого мы будем иметь
ab = g*1apj. A3)
§ 8. Косое произведение и дополнительный вектор
1. Всякая плоскость делит пространство на два полупростран-
полупространства. Условимся считать одно из этих полупространств внешним по
отношению к плоскости, другое же полупространство будем назы-
называть внутренним. В согласии с этим будем также называть внеш-
внешней ту сторону плоскости, которая обращена во внешнее про-
пространство, а внутренней — в другую сторону.• Плоскость с опреде-
определенной таким образом внешней и внутренней сторонами называют
ориентированной.
Ориентацию плоскости удобнее всего указать, задав такой еди-
единичный вектор я, которому соответствует отрезок, перпендикулярный
к плоскости и ориентированный так, что если его начало помещено
на плоскости, то его конец находится во внешнем пространстве.
Такой вектор мы будем называть ориентирующим вектором данной
плоскости.
2. Будем называть косым произведением двух векторов ориен-
ориентированной плоскости смешанное произведение этих векторов и
ориентирующего вектора плоскости
(ab) = {аЬп). A)
Легко видеть также, что
(ab) ~ab sin а, B)
где а и Ъ— модули перемножаемых векторов, а а — угол кратчай-
кратчайшего вращения, переводящего первый сомножитель во второй, при-
причем этот угол считается положительным, если это вращение, рас-
рассматриваемое с внешней стороны плоскости, совершается против
часовой стрелки, и отрицательным в противоположном случае.
Косое произведение равно нулю тогда и только тогда, когда
перемножаемые векторы коллинеарны. Если же эти векторы незави-
независимы, то модуль косого произведения равен площади параллело-
параллелограмма, построенного на перемножаемых векторах.

22 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОЙ АЛГЕЕРЫ [ГЛ. II
Отметим, наконец, следующие очевидные свойства косого произ-
произведения:
(аЬ) = — (Ьа), C)
(ка, Ь) = (а, кЬ) = к(а, ft).
Выражая перемножаемые векторы через их координаты, получим
(aft) = (а*тг,
или
(aft) = еф*Ы> E)
где
Коэффициенты билинейной формы E), выражающей косое произведе-
произведение через координаты перемножаемых векторов, образуют матрицу
(е)Ы\ И 13 , G)
II е21 е22 II
которую мы будем называть дискримикактной.
Эта матрица кососимметрична, так как
*У = -'Я (8)
или
еП = е22 = 0» ^12 = % = ^»
так что
где
e = «t3. A0)
Чтобы найти е, рассмотрим соотношение
*ijeki = ini
откуда
В частности,
Таким образом,
щтэ) (nmkmi) =
^ij"kl sikbjl~
1
0
0
2 ^
0
(mitn
{ГПлГП
Т
к)
0
(ЩЩ)
(tn,mi)
О О
u13-g8u. A2)
Если векторы mt, /»2, п образуют правую тройку, то е > 0, что
мы и будем, как правило, предполагать в дальнейшем.

? gi ПОНЯТИЕ ТЕНЗОРА 23
3. Повернув вектор а, расположенный в ориентированной плос-
плоскости, в положительном направлении на прямой угол, мы получим
новый вектор, который обозначим а и будем называть дополнитель-
дополнительным к вектору а. Дополнительный вектор а вектора а
1 = — а. A3)
Легко видеть, что
а = \па\, A4)
вследствие чего ковариантные координаты дополнительного вектора
а-х = (патг) = {пткт^) ак
или
ai = a**fti> . A5)
где еы есть элемент дискриминантной матрицы1).
Умножая обе части A5) на Ь1 и суммируя, мы получим
агЬ* = ekiakb* = — е1кЬ4ак
или
аЬ = —ab — (ab) = a?sin a. A6)
Кроме того,
аЪ = ab = ab cos a, A7)
так как скалярное произведение *не изменяется от поворота обоих
перемножаемых векторов на прямой угол.
§ 9. Понятие тензора
1. В геометрии и различных разделах физики часто приходится
рассматривать скалярные функции векторных аргументов.
Особенно важную роль играет рассмотрение таких функций,
которые обладают свойством линейности.
Будем говорить, что задана скалярная функция векторного
аргумента х, если всякому значению х поставлено в соответствие
число
Эта функция называется линейной, если для гвсяких значений хх
и х.2 ее аргумента выполняется условие
и для всякого значения аргумента х и числа X —- условие
1) Чтобы избежать ошибки в знаке, следует ocq^o отметить, что ъ фор-
формуле A5) суммирование происходит по первому цнд^ксу элемента
минантной матрицы.

24 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОЙ АЛГЕБРЫ [ГЛ. II
Выражая вектор х через его координаты и пользуясь свойствами
линейности, мы получим
w (х) = w (x1mi + х2т2) = w (x1ml) + w (x2m2) =
= *% (wt) -f- *2/о> (/w2) — *% (ть).
Рассмотрим вектор а> ковариантные координаты которого равны
результатам подстановки масштабных векторов системы координат
под знак рассматриваемой линейной функции
В таком случае мы будем иметь
w = w(x) ~агхк C)
Величина w, а следовательно, и вектор а не будут зависеть от вы-
выбора масштабных векторов. Таким образом, всякой линейной функ-
функции одного векторного аргумента можно сопоставить некоторый
постоянный вектор так, что значение функции будет равно ска-
скалярному произведению этого вектора на значение векторного
аргумента,
2. Скалярная функция многих векторных аргументов
^ —^(лг, у, . . .)
называется линейной, если она удовлетворяет условиям линейности
по отношению к каждому из своих аргументов так, что
у, .. .)= w{xv у, .
(*> У\+У* >'.) = w(x, yir ...) + w(x, JF2, .. .) I
и т. д.
у, ...) = kw(x, у, ...),
W(X, ky, . . .)=zkw(X, У, - .)
и т. д.
По аналогии с тем, как функции одного аргумента соответствует
некоторый вектор, считается, что всякой линейной функции многих
векторных аргументов соответствует величина особого рода, кото-
которая называется тензором.
Число независимых аргументов, входящих под знак линейной
функции, называется валентностью тензора; с точки зрения этого
определения вектор есть одновалентный тензор.
Подставляя в выражение линейной функции координатные векторы
во всевозможных комбинациях, мы получим систему величин, кото-
которые будем обозначать одной буквой с индексами внизу так, чтобы
эти индексы соответствовали индексам подставленных координатных
векторов:
ап... =w(mv mv ...)» #12- • •
( mv . . .)» a22- < • = W(Ufa, m2,

§ 9] понятие тензора 25
вообше
( 6)
mjt
Величины uij . . ., получающиеся в результате подстановки коорди-
координатных векторов в выражение линейной векторной функции, назы-
называются ковариантными координатами тензора, соответствующего
этой функции. Одновалентный тензор, как нам это уже известно,
имеет две ковариантные координаты:
ах = атх и #2 — 2
двухвалентный тензор имеет четыре координаты:
аП> п12> a2V п22>
трехвалентный тензор имеет восемь координат:
aHV fll22» #112» #121»
#211» #222» #221» a212*
Вообще я-валентный тензор имеет 2п координат.
Значение всякой линейной функции можно выразить через кова-
ковариантные координаты соответствующего тензора и контравариантные
координаты векторных аргументов. Для этого выразим кдждый аргу-
аргумент через его координаты и подставим его значение в выражение
функции.
Пользуясь свойствами линейности, мы можем представить2)
w = w{xlmi> yintj, zkmk)
в виде многократной (в данном случае трехкратной) суммы
w = xiyJzkw(miJ tfij, mk).
Но величины
aijk = ™(niv ™>}> mk)
являются ковариантными координатами тензора, соответствующего
линейной функции и
w = w (х, у, г) = а^кх1уЗги
или в развернутом виде
w = ainx^z1 +
Пользуясь терминологией, принятой в алгебре, мы можем ска-
сказать, что значение линейной функции п векторных аргументов
выражается п-линейной формой, содержащей п рядов переменных,
*) Для определенности мы рассматриваем случаи трехвалентного тензора,
однако все наши рассуждения сохраняют смысл и в общем случае.

26 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОЙ АЛГЕБРЫ [ГЛ. II
значения которых равны контразариантным координатам век-
векторных аргументов
х^х1, У/, z4*%
а коэффициенты этой формы равны значениям ковариантных
координат тензора, соответствующего данной функции.
3. Перейдем к рассмотрению примеров.
Скалярное произведение двух векторов
w = ху
является линейной функцией этих векторов, и следовательно, ему
соответствует некоторый тензор второй валентности. Этот тензор
называется метрическим тензором плоскости. Ковариантные коор-
координаты метрического тензора по определению равны скалярным про-
произведениям масштабных векторов, т. е. элементам метрической
матРицы gij = щщ,;
они удовлетворяют условиям
gij = gjh G)
т. е. не меняются при перестановке индексов. Тензор, удовлетво-
удовлетворяющий этим условиям, называется симметричным. Таким образом,
метрический тензор есть симметричный тензор второй валент-
валентности.
Косое произведение двух векторов
w = (ху)
тоже является линейной функцией этих векторов, и следовательно,
ему также соответствует некоторый тензор второй валентности. Этот
тензор называется дискриминантным. Ковариантные координаты
этого тензора равны косым произведениям координатных векторов,
т. е. элементам дискриминантной матрицы
они удовлетворяют условиям
*у = — eji-
Тензор, удовлетворяющий таким условиям, называется кососимме-
тричным. Таким образом, дискриминантный тензор есть косое им-
метричный тензор второй валентности.
§ 10. Основные действия тензорной алгебры
1. Вводя понятие тензора, мы назвали его величиной. Но харак-
характерной особенностью различных величин действительных, комплекс-
комплексных и гиперкомплексных чисел, векторов и т. д. является то, что
для них устанавливаются действия, аналогичные, в той или иной
мере, действиям арифметики действительных чисел.

с Ю] ОСНОВНЫЕ ДЕЙСТВИЯ ТЕНЗОРНОЙ АЛГЕБРЫ 27
Аналогичные действия вводятся и для тензоров. Однако, прежде
чем мы перейдем к описанию этих действий, установим понятие
равенства двух тензоров.
Два тензора одинаковой валентности называются равными
между собой, если значения линейных функций, соответствую-
соответствующих этим тензорам, равны для одинаковых значений их вектор-
векторных аргументов.
Таким образом, для того чтобы тензоры aijk и Ь^кг) были равны,
необходимо и достаточно, чтобщ для соответствующих им функций
имело место равенство
f(x, у, z)=E=g(x, у, z),
которое является тождественным по отношению к векторным пере-
переменным х, у, z, т. е. справедливо для всех значений этих пере-
переменных.
В координатах то же равенство имеет вид
Но такое тождественное равенство двух полилинейных форм может
иметь место только при условии равенства коэффициентов при
соответствующих комбинациях переменных.
Таким образом, необходимым и достаточным условием равен-
равенства двух тензоров является равенство их соответствующих
координат h П\
у aijk — Vijk- С1)
В частности, тензор считается равным нулю, если соответствующая
ему линейная функция тождественно равна нулю, а условие
у, 2)еев0,
очевидно, равносильно равенству нулю всех координат этого тензора.
2. Сложение тензоров. Рассмотрим два тензора, имеющих
одинаковую валентность (например, валентность, равную трем), а^к
и Ъцк и соответствующие им линейные функции f(x, у, г) и g(x, у, z).
Складывая значения этих функций при одинаковых значениях
соответствующих переменных, ^ы получим третью функцию тех же
переменных *(*,,,) = /(***) + *(*,,,,). B)
Так как оба слагаемых правой части удовлетворяют условиям линей-
линейности D), E) § 9, то и левая часть удовлетворяет этим условиям, т. е.
h(xL-{-x.2, у, z) = h(xv у, z)-\-h(x2i у, z\
h(x, зч+Уг» z) = h(x, yv z)^rh(xt y.2, z),
h(x, y, ^-1-23) = Л С*. 3>> *i)-M(*. У> **)>
h(kx, у у z) = h{x, ky, z) = h(x, y, kz) = kh(x, y, z)
l) Для того чтобы обозначить тензор, выписывают общее выражение
его координат.

28 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОЙ АЛГЕБРЫ [ГЛ. II
и, следовательно, h(x, у, z) есть линейная функция своих аргумен-
аргументов. Но всякой такой функции по определению соответствует тен-
тензор и тензор, соответствующий функции h(x, у, z), называется
суммой тензоров, соответствующих функциям f(x, у, z) и g(xy у, z).
Очевидно, что валентность суммы тензоров равна валентности сла-
слагаемых тензоров.
Подставляя в левую и правую части B) масштабные векторы,
мы получим
ИЛИ
C)
где координаты тензора с^к, соответствующего функции h(x, у, z),
равны сумме тензоров а^к и Ъцк.
Итак, координаты суммы тензоров равны сумме соответст-
соответствующих координат слагаемых тензоров.
3. Умножение тензора на число. Линейность функции
/(лс, у, z) влечет за собой линейность функции
g(x9 у, г)=Щх, у, z),
где л — некоторое число, не зависящее от х, у, z.
В силу этого функции g(x, у, г) соответствует некоторый тен-
тензор, который называется произведением числа А на тензор, соот-
соответствующий функции f(x> у, z). Очевидно, что валентности обоих
этих тензоров одинаковы.
Обозначая координаты этих тензоров через
мы будем иметь
Ьцк = }^ijk- D)
Таким образом, координаты произведения тензора на число
равны произведениям соответствующих координат данного тен-
тензора на это число.
4. Умножение тензора на тензор. Рассмотрим два тен-
тензора, вообще говоря, различных валентностей и линейные функции,
соответствующие этим тензорам. Составим произведение значений
этих функций при независимых значениях их векторных аргумен-
аргументов. Это произведение будет функцией всех переменных, от кото-
которых зависит значение каждой из данных функций. Так, например,
если даны тензоры а^к и bpqi то новая функция определяется про-
произведением
А(лг, у, z, и, v) = f(x, у, z). g{u, v),
где функция f(xt у, Z) соответствует первому, a g(ut v) — второму
тензору.

§ Ю] основные Действия тензорной алТеб^ы 29
Но функция h(x, у, z, и, v) будет линейна относительно каж-
каждого из переменных х, у, z, и, v и, следовательно, ей соответ-
соответствует некоторый тензор, который и называется произведением двух
данных тензоров.
Валентность этого тензора равна сумме валентностей перемно-
перемножаемых тензоров.
Для координат тензора, равного произведению двух данных, мы
будем иметь
ту ШЪ тр> Я*а)=/(Щ> ™j> *Пк) ' g(mp> mq)
или
Cijkpq = aijk • Ьрг E)
Таким образом, координаты произведения двух тензоров равны
произведениям координат перемножаемых тензоров, взятых при
всевозможных значениях своих индексов.
Действие умножения позволяет получить из тензоров низших
валентностей тензоры более высоких валентностей. Так, например,
перемножая два вектора, мы получим тензор второй валентности
Cij == afij,
и умножая этот тензор на третий вектор, получим тензор третьей
валентности
dijk = cifk = aibjck
И Т. Д.
5. Симметрирование тензора. Тензор второй валент-
валентности а^ называется симметричным при условии
которое равносильно условию
f(x9y) = f(y, х)
для функции, соответствующей этому тензору. Если тензор не сим-
симметричен, то ему можно отнести другой уже симметричный тензор,
пользуясь следующим приемом, называемым симметрированием.
Если f(x, у) есть линейная функция, соответствующая тензору aijt
то функция
Чх> y) = ^lf(x, y)+f(y, x)] F)
остается линейной, но удовлетворяет условию
h(x, y) = h(y, x).
Тензор, соответствующий этой функции, называется симметричной
частью тензора а^ и его координаты обозначаются через aKij),
Подставляя координатные векторы в левую и правую части F),
получим i
( + ) 7

30 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОЙ АЛГЕБРЫ [ГЛ. И
Если тензор а^ симметричен, то его симметричная часть совпадает
с ним самим.
Процесс симметрирования обобщается и на случай тензоров лю-
любой валентности. Так, например, тензору третьей валентности а^к
относится тензор
а(кк) = 3f 1<*ф + ajki + <h ij + akji + <*№ + aikj] • (8)
В заключение докажем две теоремы, которые будут нам полезны
впоследствии. Предположим, что для некоторого тензора а^к имеет
место равенство
aiikx*x*x* = 0, (9)
выполняющееся тождественно для любого вектора хК
В развернутом виде это равенство имеет вид
Но для того, чтобы многочлен обращался в нуль тождественно, не-
необходимо и достаточно, чтобы все его коэффициенты были равны
нулю. Таким образом,
Однако легко видеть, что эти равенства равносильны обращению
в нуль всех координат тензора а^к). Итак, для того чтобы равен-
равенство (9) выполнялось тождественно, необходимо и достаточно,
чтобы симметричная часть тензора atjk была равна нулю, т. е.
0. (Ю)
Еще проще убедиться в том, что и для. тензора второй валентности
условие
ayxW = 0 (90
равносильно условиям
*<«л = о. (юо
Предположим, что квадратичная форма
w =
с коэффициентами а^ = а^ инвариантна, т. е. ее-значение не меняется
при "преобразовании координат произвольного вектора xi. В таком
случае инвариантны и выражение
w =

& Ю] основные Действия тензорной алгебры
а следовательно, и билинейная форма
и —
Но в таком случае и есть линейная функция векторов у1, zi и ей
соответствует тензор с координатами а,^. Итак, коэффициенты ин-
инвариантной квадратичной формы являются координатами сим-
симметричного тензора.
6. Альтернирование тензора. Если тензор а^ — косо-
симметричен, т. е. а^ =—ajit тогда для соответствующей ему функ-
функции имеет место тождество
A*. y) =
Если же тензор не является кососимметричным, то ему можно
отнести другой кососимметричный тензор, рассматривая линейную
функцию
30 = у [А*. У) —
Тензор, соответствующий этой функции, называется кососимметрич-
ной частью тензора а^, его координаты обозначаются через я [у],
а процесс перехода от тензора а^ к тензору а^д называется аль-
альтернированием. Легко видеть, что
\й а^\. (И)
Очевидно также, что кососимметричная часть кососимметричного тен-
тензора равна ему самому, а кососимметричная часть симметричного
тензора равна нулю. Для всякого тензора второй валентности мы
будем также иметь
7. Рассмотрим кососимметричную часть произведения двух векто-
векторов пцЬд.
Равенство
сводится к единственному равенству
а±Ь2 — афх = О,
которое показывает, что векторы коллинеарны.
Таким образом, коллинеарность двух векторов характеризуется
обращением в нуль кососимметрической части их произведения.
8. Перебрасывание индексов. Формула
w = аукх*у3гк
дает выражение значения линейной функции, соответствующей тен-
тензору а,цк через его ковариантные координаты и контравариантные
координаты векторных аргументов. Выражая последние через их

32 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОЙ АЛГЕБРЫ [ГЛ. 11
ковариантные кооординаты по формулам A0) § 7, будем иметь выра-
выражение
содержащее в правой части переменные xpi yqt zri которые являются
ковариантными координатами векторных "аргументов. Введем следую-
следующие обозначения для коэффициентов этого многочлена:
aP<r = gpigQjgr*aiJk A4)
и будем называть их контравариантными координатами данного
тензора.
Аналогичным образом вводятся смешанные координаты тензора,
определяемые по формулам
И Т. Д.
Значение линейной функции может быть, таким образом, выра-
выражено через различные комбинации ковариантных и контравариантных
координат векторов и тензоров
Операция перехода от каждого такого выражения к другому носит
название перебрасывания индексов.
9. Поднимая индексы /, j в A1) § 8, получим новое соотношение
10. При преобразовании координат точек и координаты тензора
преобразуются. Чтобы найти закон этого преобразования, сравним
выражения полилинейной функции через координаты векторов, отно-
относящиеся к различным системам:
w = aijkx*yiz* = 'apqr гхр 'у* '*.
Выразив новые координаты векторов через старые по формулам A0)
§ 6, получим тождество
а.
i
а. „
ijk
которое равносильно соотношениям
выражающим закон преобразования ковариантных координат тен-
тензора.

§ 11]
СИММЕТРИЧНЫЙ ТЕНЗОР ВТОРОЙ ВАЛЕНТНОСТИ
33
Аналогичным образом выводятся формулы преобразования для
контравариантных и смешанных координат тензора
A9)
и т. д.
§ 11. Симметричный тензор второй валентности
1. Симметричный тензор второй валентности играет особенно
важную роль в вопросах приложений тензорного анализа. Чтобы
изучить эти свойства, рас-
рассмотрим значение функции
w (х, у) = ацХ*уэ = ацу1х$, A)
соответствующее совпавшим
значениям ее аргументов
w(x, x) = а^х1хК B)
Приведенным значением век-
вектора xi мы будем называть
коллинеарный ему вектор
/It»(х,
C)
Черт. 5.
Направление отрезка ОМ,
изображающего вектор ?*, со-
совпадает с направлением вектора л:* (черт. 5), а его длина не зависит
от длины этого вектора. Таким образом, по каждому направлению,
исходящему из точки О, будет отложен единственный отрезок, а гео-
геометрическое место концов этих отрезков будет плоской кривой, кото-
которую мы будем называть индикатрисой данного тензора.
Уравнение индикатрисы имеет вид
ап (Ji
причем знак плюс в правой части соответствует тем направлениям
вектора х, для которых значение функции w(x, x) положительно,
а минус тем, для которых оно отрицательно.
Вид этого уравнения показывает, что индикатриса тензора
является центральной кривой второго порядка или парой таких
кривых с центром в точке О.
Известные формулы аналитической геометрии1) показывают, что
направления, удовлетворяющие условию
0, E)
aijx<yj
1) С. П. Фиников, Аналитическая геометрия, М., Учпедгиз, 1949,
стр. НО.

34 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОЙ АЛГЕБРЫ [гЛ. II
сопряжены относительно индикатрисы, а направление, удовлетворяю-
удовлетворяющее условию
*10, F)
является ее асимптотическим направлением. Мы будем говорить,
что направления векторов х1 и уо сопряжены относительно тен-
тензора а,ф а направление zl есть нулевое направление этого тен-
тензора. Пользуясь фактом, известным из аналитической геометрии,
отметим, что направления, сопряженые относительно тензора, раз-
разделяются гармонически его нулевым направлениями.
2. Главными направлениями тензора называют такие направле-
направления, которые сопряжены и взаимно ортогональны между собой,
а орты этих направлений v\ vl называют главными ортами тен-
тензора (см. черт. 5). Разложим два произвольных вектора xii yi no
главным ортам тензора и пусть
xi = х (v* cos cp -j- vi sin cp),
yj — у (vi cos ^ -f- vJ sin ф).
Подставляя в (I) и пользуясь E), получим
w = xy (a^vW cos cp cos ty -f- a^vi sin cp sin 6). G)
Результаты подстановки главных ортов в выражение функции A),
т. е. величины
р = a^vo, a = а^г>М, (8)
называются главными значениями тензора или его характерными
числами.
Представив G) в виде
w = xy (p cos cp cos <]>-}- a sin cp sin ф) (9)
и заметив, что
х cos cp = х*юг, у cos ф = y*vit
x sin cp = x*vit у sin ф = y*vif
получим
w =
а вследствие произвольности векторов л:*, yJ
iVj. A0)
Таким образом, симметричный тензор второй валентности опре-
определяется заданием главных ортов и главных значений и выра-
выражается через них по формуле A0).
Представление A0) называется каноническим представлением.
тензора.

§ ll] СИММЕТ^ИЧЙЫЙ ТЕЙЗОР ВТОРОЙ ВАЛЕНТЙОСТИ 35
В частном случае метрического тензора^, условие сопряженности E)
совпадает с условием ортогональности, вследствие чего всякие два
взаимно ортогональных направления являются главными напра-
направлениями метрического тензора. Кроме того, из (8) следует, что
в этом случае
о^р= 1,
так что главные значения метрического тензора равны единице,
и он представляется канонически через любые два взаимно ортого-
ортогональных орта по формуле
С этим каноническим представлением метрического тензора по-
полезно сопоставить более общее его представление через два произ-
произвольных единичных вектора vi и wj — t^cos со-f-?^ sin со, образующих
между собой угол со. Из тождества
wflj — ViWj = {vi cos со -\- vi sin со) Vj — vi (Vj cos со — Vj sin со) =
= {vfij-f- v{Vj) sin со
следует, что
WiVj — VjWj
Отсюда, применяя A5) § 8 и A7) § 10, в свою очередь получаем,
что дискриминантный тензор
%Э Sin (О ' v '
может быть представлен в следующем виде:
или, в частности,
3. Если масштабные векторы совпадают с главными ортами тен-
тензора, то последние имеют координаты ^A, 0) и ^@, 1), и из A0)
следует, что
ап = р, а22 = a, ai2 = 0,
а уравнение индикатрисы D) имеет канонический вид
рл;3-+-ofy9 = =±= 1, A5)
где р и о — характерные числа тензора.

S6 §леМенты тензорйой алгебру [гл. \\
Как известно из аналитической геометрии1), эти коэффициенты
являются корнями характеристического уравнения
s1 —2S*H-W=0 A6)
С коэффициентами
A7)
являющимися инвариантами преобразования координат. Мы будем
называть их инвариантами тензора, первый из них — следом,
а второй — нормой тензора.
Свертывая с g*J правую часть A0), получим
2S = ?% = «*. A8)
а принимая во внимание, что2)
получим опять-таки из A0)
e
или в силу A4) и A7)
paqj = Neij9 A9)
откуда
2N=eP9er*apraq8. B0)
4. Свойства тензора существенно зависят от типа индикатрисы.
Если она является эллипсом, т. е. если
то тензор не имеет нулевых направлений. Если индикатриса является
гиперболой (вернее, парой сопряженных гипербол, каждая из которых
соответствует определенному знаку левой части ее уравнения), т. е/
если Af<0, то тензор имеет два различных нулевых направления.
Предположим, что вектор нулевого направления
B1)
Где v* и vJ—главные орты. В таком случае
1) Н. И. Мусхелишвилй, Курс аналитической геометрии, М. — Л.
Гостехиздат, 1947, § 250.
2) Напомним, что vp — единичный вектор.

§ 12] СВЕРТЫВАНИЕ ТЕНЗОРОВ ' 37
и если о > 0 и р < О, то нулевые направления определяются век-
векторами
VV^ Vlvi — V^Vi* B2)
1 2
а тензор может быть представлен в следующем виде:
1 ^ /¦«-¦
J Z I 2J 2 Г
Если индикатриса является линией параболического типа, т. е.
ЛГ = О,
то она распадается на пару параллельных прямых, и если р^О, а = 0,
то тензор представляется в следующем виде:
<>ij = pvivj. • B4)
5. Два симметричных тензора с координатами пц и a*J назы-
называются взаимными, если они удовлетворяют уравнениям
а*ак$ = ъ1 B5)
Координаты взаимного тензора определяются через координаты дан-
данного однозначно из этих уравнений, если норма данного тензора
отлична от нуля.
Если данный тензор представлен каноническим разложением A0),
то взаимный ему
а»^ *?+*!?, B6)
так как в таком случае B5) удовлетворяются.
Отсюда легко вытекает следующее тождество:
pq, B7)
где N есть норма тензора а{у
§ 12. Свертывание тензоров
1. Рассмотрим некоторую полилинейную функцию трех или боль-
большего числа переменных
Если мы придадим определенные значения некоторым переменным,
например двум последним, то w станет полилинейной функцией
двух первых, и мы будем иметь

38 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОЙ АЛГЕБРЫ [ГЛ. II
где bij — координаты некоторого тензора второй валентности. Но
в силу произвольности х1, уЗ мы будем иметь
Таким образом, суммы произведений координат тензора на коор
динаты векторов, соответствующие некоторым его индексам,
являются координатами тензора более низкой валентности.
Рассмотрим теперь суммы следующего вида:
Cij=aijkk=:aijklgM. A)
Пользуясь каноническим представлением метрического тензора через
единичный вектор и1, получим
откуда согласно предыдущему следует, что и величины с^ являются
координатами тензора второй валентности. Мы будем говорить, что
тензор с^ получен в результате свертывания тензора а^ы по
двум его последним индексам,
2. Очевидно, что действие свертывания уменьшает валентность
тензора на две единицы. Если исходный тензор имеет нечетную
валентность 2лг —|— 1, то, производя над ним повторное свертывание п
раз, мы придем к тензору первой валентности, т. е. к вектору.
Если же валентность тензора равна 2/г-{-2, т. е. четная, то после п
свертываний мы получим тензор второй валентности (например, ci3).
Дальнейшее свертывание приведет нас к скалярной величине
с — ckk,
которая является следом тензора ciy т. е. величиной, остающейся
инвариантной при преобразовании координат. Таким образом, дей-
действие свертывания позволяет построить инвариант из координат вся-
всякого тензора четной валентности. Для того чтобы построить инва-
инварианты из координат тензоров нечетных валентностей, предварительно
составляют произведения этих тензоров на себя или друг на друга,
а потом подвергают эти произведения свертыванию. Так, например,
скалярное произведение векторов
есть свернутое произведение тензоров первой валентности.
3. В заключение выведем одно соотношение для симметричного
тензора второй валентности. Произведение этого тензора на себя,
свернутое по двум индексам
bif = a\*aiH, B)

§ 12] СВЕРТЫВАНИЕ ТЕНЗОРОВ ' 39
дает снова симметричный тензор второй валентности, который назы-
называется квадратом данного тензора. Представив тензор а^- канони-
канонически, мы получим
ощ. C)
Таким образом, квадрат данного тензора имеет те же главные на-
направления, что и данный тензор, а его главные значения равны
квадратам главных значений данного тензора. Кроме того,
следовательно,
t = 0. D)
Считая gij «единичным тензором» и сравнивая полученное соотноше-
соотношение с характеристическим уравнением A6) § 11, говорят, что вся-
всякий симметричный тензор второй валентности удовлетворяет
своему характеристическому уравнению.

ГЛАВА III
ПОВЕРХНОСТЬ И ЕЕ КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ
§ 13. Поверхность и ее параметризация
1. Переходя к изучению поверхности, мы начнем с ^ее топологи-
топологического определения и прежде всего определим понятие простого
куска поверхности, которое играет ту же роль, что и понятие про-
простой дуги для кривой.
Простым куском поверхности называется такое множество точек,
которое может быть отображено топологически (т. е. взаимно одно-
однозначно и непрерывно) на множество точек круга, включая и точки
окружности. Те точки куска, которые отображаются в точки окруж-
окружности, называются его граничными точками. Очевидно, что гранич-
граничные точки составляют замкнутую кривую — границу данного куска.
Мы будем говорить, что два простых куска склеены, если между
точками некоторых дуг их границ установлено взаимно однозначное
соответствие и куски подвергнуты такой непрерывной деформации,
после которой соответствующие точки их границ совместились. В ре-
результате склеивания двух про-
\В Е\ 1/" стых кусков может получиться
снова простой кусок, а может
получиться и такое множество
точек, которое не является
С Н
простым куском. Рассмотрим,
Черт. 6. например, два равных прямо-
прямоугольника ABCD и EFGH
(черт. 6) и склеим их так, чтобы сторона ВС совместилась со сто-
стороной ЕН, а сторона AD — со стороной FG. В результате такого
склеивания мы получим «трубку» (черт. 7). Непрерывной деформа-
деформацией ее можно превратить в «плоское кольцо» (черт. 8) или в двух-
двухсвязную область плоскости, которую нельзя отобразить топологи-
топологически на круг, являющийся односвязной областью плоскости.
Еще более своеобразную фигуру мы получим, если совместим
попрежнему отрезок ВС с отрезком EH, a после этого будем счи-
считать соответственными такие точки отрезков AD и OF, которые сим-
симметричны между собой относительно центра тяжести прямоугольника
pQD Произведя совмещение соответствующих точек, т. е. налагая

§ 13]
ПОВЕРХНОСТЬ И ЕЕ ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ
41
отрезок FO на отрезок DA, мы получим так называемый лист
Мебиуса (черт. 9), обладающий замечательным свойством «односто-
«односторонности» *). Лист Мебиуса тоже, очевидно, не может быть отображен
топологически на круг, т. е. не является простым
куском поверхности.
Черт. 7.
Черт. 9.
Однако, с обычной точки зрения, и «трубка» и «лист Мебиуса»
являются поверхностями. В согласии с этой точкой зрения мы и будем
называть поверхностью не только простые куски, но и такие
множества точек, которые могут быть склеены
из конечного или счетного множества простых
кусков.
Так, например, полная поверхность шара может
быть склеена из двух его полушарий, каждое из
которых является простым куском, а вся беско-
бесконечная плоскость может быть составлена из счет-
счетного числа простых ку-
кусков прямоугольной фор-
формы. Если возвращаются
от рассмотрения • полной
поверхности к отдельному
рассмотрению тех кусков,
из которых она склеена,
то говорят, что поверх-
поверхность разрезана на эти
куски.
ч
2. Рассмотрим поверхность или такую часть поверхности, которая
может быть отображена топологически на некоторую плоскую область,
и пусть точке М этой поверхности соответствует точка Мо плоскости
(черт. 10), прямоугольные координаты которой равны и1 и и1. Если та-
такое отображение задано, то говорят, что поверхность параметризована,
1) См. Д. Гильберт и С. Ко н-Ф о с с е н. Наглядная геометрия, М.—Л.,
I остехиздат? 1951, * ? ?

42 ПОВЕРХНОСТЬ И ЕЕ КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ [ГЛ. Ш
а величины и1, и2 называются криволинейными координатами
точки М данной поверхности. В силу непрерывности соответ-
соответствия всякой линии на плоскости соответствует некоторая линия на
поверхности. В частности, прямым и1 = const и и2 — const соответ-
соответствуют такие линии поверхности, которые называются координат-
координатными линиями данной параметризации. В силу однозначности соот-
соответствия через каждую точку параметризованной поверхности проходит
одна и только одна линия семейства и1 = const и одна и только
одна линия семейства и2 = const. Оба эти семейства, вместе взятые,
образуют правильную сеть, которая называется координатной.
Задание значений криволинейных координат и1, и2 точки М
параметризованной поверхности определяет положение этой точки,
следовательно, и значение ее радиуса-вектора г = ОМ.
Таким образом, радиус-вектор точки параметризованной поверх-
поверхности является функцией криволинейных координат этой точки. Соот-
Соотношение
г = г{и\% и2), A)
определяющее эту функциональную зависимость, называется пара-
параметрическим уравнением поверхности.
Векторное уравнение A) равносильно трем координатным уравне-
уравнениям:
х = # (и1, и1), \
| B)
Так как соответствие между парами значений параметров и точками
поверхности должно быть взаимно однозначным, то уравнения B)
должны быть разрешимы относительно переменных и1, и'1, а коорди-
координаты точки поверхности вследствие этого должны быть связаны соот-
соотношением вида
F(x, у, z) = 0, C)
которое называется неявным уравнением поверхности.
Если поверхность может быть однозначно отображена на пло-
плоскость хОу так, что соответствующие точки Мо и М лежат на пря-
прямых, параллельных оси Oz, то ее уравнение может быть предста-
представлено в виде z = f(xy)t D)
Абсцисса и ордината точки поверхности играют в этом случае роль
криволинейных координат, а координатные линии являются линиями
пересечения поверхности плоскостями, которые параллельны коорди-
координатным плоскостям
х = const и у = const.
3. Метод дифференциальной геометрии позволяет изучать только
такие поверхности, которые могут быть параметризованы так, что

§ 13]
ПОВЕРХНОСТЬ И ЕЕ ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ
3
их уравнение A) определяет радиус-вектор г как дифференцируемую
функцию своих аргументов и1 и и1. В дальнейшем мы всегда будем
предполагать такую дифференцируемость. При этом для разреши-
разрешимости различных конкретных задач требуется дифференцируемость
различных порядков. Мы будем также предполагать этот порядок
достаточно большим для того, чтобы полученные формулы имели
смысл.
В предположении дифференцируемости условие разрешимости
уравнений A) относительно и1 и и2 сводится к тому, что хотя бы
один из определителей второго
порядка, погруженных в мат- z
рицу
дх ду dz
да1 ди^ дах
дх ду dz
ди* ди*
E)
Черт. 11.
был отличен от нуля, или,
иначе говоря, ранг этой мат-
матрицы был равен двум. Точки
поверхности, в которых это
условие нарушено, мы будем
называть особыми точками
параметризации и исключать
эти точки из рассмотрения.
j 4. В качестве примера рас-
рассмотрим поверхность сферы,
параметризованной с помощью
ее географических координат, т. е. широты и долготы (черт. 11).
Зафиксировав полярную ось, т. е. один из диаметров сферы, будем
называть долготой угол ср между плоскостью меридиана данной точки
и плоскостью начального меридиана, а широтой — угол Ь между
радиусом, соединяющим центр сферы с данной точкой, и плоскостью
экватора, приписав ей знак плюс, если точка лежит в северном полу-
полушарии, и знак минус, если она лежит в южном.
Помещая начало координат в центр сферы, совмещая полярную
ось с осью Oz, а плоскость начального меридиана — с плоскостью xOz>
мы получим параметрическое уравнение сферы в следующем виде:
г == а {е (<р) cos 0 -f- ft sin 6},
F)
где а—радиус сферы. В координатах тоже уравнение сводится
к трем следующим:
х = a cos cp cos 6,
у = a sin cp cos 0, . G)
z = a sin 0.

44 ПОВЕРХНОСТЬ И ЕЕ КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ [ГЛ. Щ
Матрица E) для этих уравнений
— a sin <р cos 6 a cos <р cos Ь О |
— a cos <p sin 6 — a sin <р sin 6 а cos 6 ||
имеет ранг два во всех точках, за исключением точек, широта кото-
которых e = rt-2-> T- е- полюсов, которые являются особыми точками па-
параметризации. В этих точках нарушается правильность координатной
сети, так как через них проходит бесчисленное множество линий
<р = const, т. е. меридианов.
Исключая криволинейные координаты из уравнений G), мы полу-
получим неявное уравнение сферы
*2+3>2 + *2 = Д2> (8)
а разрешив его относительно z,—два уравнения:
выражающих поверхности северного и южного полушарий.
§ 14. Касательная прямая и касательная плоскость
поверхности
1. Прямая называется касательной к поверхности в данной ее
точке Ж, если она касается в этой точке некоторой кривой, принад-
принадлежащей поверхности и проходящей через эту точку. Предположим,
что поверхность задана параметрическим уравнением
г = г{и\ и% A)
а кривая — уравнением
u* = u*(t) (/=1,2), B)
которое мы будем называть внутренним.
Подстановка B) в A) приводит к обычному параметрическому
уравнению данной линии
r = r(uHt), u*(t)). C)
Касательный вектор этой линии, а следовательно, и направляющий t
вектор прямой, касающейся поверхности, получим обычным приемом,
дифференцируя радиус-вектор г по параметру t. Однако при этом
мы примем во внимание, что в силу C) г зависит от t через по-
посредство аргументов и1, и2, и получим
Правая часть этого выражения представляет собой линейную комби-
комбинацию двух векторов, для которых мы введем следующие обозначе-
НИЯ: drr it г E)

14] касательная пРяМая й кАсатеЛьная плоскость поверхности 45
и которые будем называть координатными векторами поверхности,
параметризованной с помощью криволинейных координат я1, и2. Легко
видеть, что координатные векторы суть векторы касательных
к координатным линиям. Действительно, одну из координатных ли-
линий можно задать параметрическим уравнением
я1 = /, и1 = const.
Применяя к этому случаю общую формулу D), получим
4? = rv F)
Аналогичным образом для координатной линии
я2 = const, u2 = t
имеем
Так как координаты производной вектора равны производным от его
координат, то координатные векторы поверхности будут равны
^ _ дх . , ду ; , dz
а их векторное произведение
[rv г2] ==
i j k
дх ду dz
ди^ д& ди1-
дх ду dz
ди* ~дФ Ш
Вследствие того, что ранг матрицы E) § 13 равен двум в неособой
точке параметризации, всякая
такая точка характеризуется
условием
[г,га
0.
(9)
Таким образом, координатные
векторы не могут обращаться
в нуль или быть коллинеар-
ными между собой в неосо-
бых точках параметризации.
2. Возвращаясь к общему
случаю формулы D), мы видим,
что касательный вектор любой
кривой, проходящей через дан-
данную точку поверхности, ком-
Черт. 12.
планарен двум координатным векторам, которые независимы между
собой (черт. 12). Отсюда следует, что все прямые, касающиеся

4б ПОВЕРХНОСТЬ И ЕЕ КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ (ГЛ. til
поверхности в данной ее неособой точке, лежат в одной пло-
плоскости. Эта плоскость называется касательной плоскостью поверх-
поверхности.
Вектор
N=[rtr2]t A0
т. е. нормальный вектор касательной плоскости, называется нормаль-
нормальным вектором поверхности, а прямая, проходящая через данную
точку поверхности по направлению этого вектора,—нормалью по-
поверхности. Обозначая через г радиус-вектор точки поверхности,
а через р— радиус-вектор текущей точки, получим уравнение
касательной плоскости в виде равенства нулю скалярного произведения
(N, р — г) = 0, A1)
а уравнение нормали — в виде равенства нулю векторного произведе-
произведения
[N, р— г] = 0, A2)
или в параметрическом виде
. A3)
§ 15. Огибающая семейства поверхностей
1. Если поверхность задана уравнением
F(x,y, z) = 0, A)
а кривая на этой поверхности — параметрическими уравнениями
x = x(t), y = y(t), z = z(t),
то уравнение
F(x(t),y(t),z(t)) = 0
выполняется тождественно.
Дифференцируя это тождество, получим соотношение
дх dt "Г" ду dt~^ dz dt ~ ' ^
которое может рассматриваться как равенство нулю скалярного про-
произведения двух векторов
Первый из них есть касательный вектор кривой, принадлежащей
поверхности, а второй не зависит от направления этой кривой. Так
как соотношение B) справедливо для всякой кривой, проходящей на

§ 15]
ОГИБАЮЩАЯ СЕМЕЙСТВА ПОВЕРХНОСТЕЙ
47
поверхности через данную ее точку, то вектор C) есть нормальный
вектор поверхности, соответствующий этой точке.
2. Семейство поверхностей, зависящее от одного параметра, за-
задается уравнением
F(x, у, z9 с) = 0. D)
При фиксированном значении с это уравнение определяет одну из
поверхностей семейства, а изменение с соответствует переходу к дру-
другим поверхностям.
Если существует поверхность,
касающаяся в каждой своей точке
некоторой поверхности данного се-
семейства, то она называется огибаю-
огибающей данного семейства (черт. 13).
По этому определению каждая
точка огибающей принадлежит не-
некоторой поверхности семейства, а
эта поверхность характеризуется
определенным значением пара-
параметра с. Имея это в виду, мы можем
сказать, что каждой точке огибаю-
огибаюЧерт. 13.
щей соответствует определенное значение с, так что с есть функция
координат х, у, z точки огибающей
с = с(х, у, z). E)
Подставляя в уравнение семейства координаты точки огибающей
и соответствующее ей значение параметра, получим равенство, удо-
удовлетворяющееся во всех точках огибающей
F(x, у, z, с(х9 у, z)) = 0. F)
Чтобы принять во внимание условие прикосновения огибающей и по-
поверхностей семейства, рассмотрим некоторую кривую
расположенную на огибающей.
Так как координаты точек этой кривой должны удовлетворять
уравнению F), то для них тоже будет иметь место тождественное
равенство
F(x(f)9y(f),z(f),c(t)) = O.
Дифференцирование последнего соотношения приводит к новому тож-
тождеству
-к—X—I—^— V —f—=^— -2Г —I т— С •= 0. G)
ох ' ду •* ' dz ' ос
Но касательный вектор огибающей г должен быть одновременно и
касательным вектором соответствующей поверхности семейства,

48 поверхность и её tfAcAfEЛьйAЯ n/iockocfb (гл. iii
условием чего является равенство
Nr= Fj-\-Fyy + Fsz = Ot (8)
выражающее перпендикулярность вектора г и нормального вектора
поверхности семейства. Сравнение G) и (8) приводит к соотношению
?•«=••
имеющему силу для всякой кривой на огибающей.
Так как эти кривые заведомо можно выбрать так> чтобы они со-
соединяли точки различных поверхностей семейства, то последнее усло-
условие должно выполняться и при переменном с, а это значит, что
Итак, координаты точек огибающей должны удовлетворять двум
уравнениям:
(A) F(x, у, 2, с) = О, (В) дР&?*гС) = 0 (9)
или уравнению
<t{x,y,z) = 0, A0)
которое можно получить, исключая с из (9).
3. Значение параметра с, вообще говоря, изменяется при пере-
перемещении точки по огибающей. Однака можно искать на огибающей
такие особые геометрические места, в точках которых параметр се-
семейства сохраняет постоянное значение.
При таком условии уравнения (9)
F(xt уу z, c)=zOt Fc(x, у, z, c) = 0
выражают две поверхности, а место общих точек этих поверхностей
есть, вообще говоря, некоторая кривая, принадлежащая огибающей,
причем всем точкам этой кривой соответствует одно и то же значе-
значение параметра с. Эта кривая называется характеристикой семей-
семейства. Так как все точки характеристики принадлежат в силу урав-
уравнения (А) также некоторой поверхности семейства, то характери-
характеристика есть линия, вдоль которой огибающая касается некоторой
фиксированной поверхности семейства (черт. 13).
К понятию характеристики можно придти и из других соображе-
соображений, которые во многих частных случаях облегчают исследование
геометрической природы характеристик.
Предположим, что две поверхности семейства, соответствующие
двум достаточно близким значениям параметра с и с-\-?±с, пересе-
пересекаются по некоторой линии. Координаты точек этой линии удовле-
удовлетворяют уравнениям
F{,z,c) = 09 A1)
+ bc) = 0. A2)

§ 15] ОГИБАЮЩАЯ СЕМЕЙСТВА ПОВЕРХНОСТЕЙ 49
Пользуясь теоремой Лагранжа, мы можем получить третье уравне-
уравнение
F0(x,y, z, ^=0, A3)
где сх есть значение параметра, заключенное между двумя данными.
Этому уравнению тоже удовлетворяют координаты точек рас-
рассматриваемой кривой.
Предположим теперь, что Дс—>0, т. е. что значения параметра,
соответствующие обеим поверхностям семейства, неограниченно сбли-
сближаются. В таком случае уравнение A3) перейдет в уравнение
Р0(х> У* *> с) = 0 (Н)
и вместе с уравнением D) определит предельное положение рассма-
рассматриваемой линии. Сравнивая уравнения (И), A4) с уравнениями (9),
приходим к следующему заключению: предельное положение линии
пересечения двух поверхностей семейства, соответствующих двум
бесконечно близким значениям параметра, совпадает с его ха-
характеристикой,
4. Характеристики образуют на огибающей поверхности семей-
семейство линий, зависящее от одного параметра. Если это семейство
имеет огибающую, то она называется ребром возврата данного се-
семейства поверхностей.
Предположим, что рассматриваемое семейство поверхностей имеет
ребро возврата, выражающееся уравнением
r = r(t).
Подставляя выражение координат точки этой кривой в уравнения (9),
мы обратим их в тождества, так как по определению ребро воз-
возврата принадлежит огибающей.
Дифференцируя условие, полученное из (В), найдем
Но касательный вектор ребра возврата должен совпадать в каж-
каждой его точке с касательным вектором соответствующей характери-
характеристики и должен поэтому быть перпендикулярен к нормальному век-
вектору всякой поверхности, проходящей через эту характеристику.
Но одна из таких поверхностей выражается уравнением (В) и ее
нормальный вектор Nc имеет координаты
F F F
Приняв во внимание условие перпендикулярности
0 A6)

50 ПОВЕРХНОСТЬ И ЕЕ КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ (ГЛ. Ш
и заметив, что значение параметра с меняется при движении по
ребру возврата, получим из соотношения A5)
*? = 0
дс*
Таким образом, координаты точки ребра возврата должны удовлетво-
удовлетворять трем уравнениям:
F(x, у, z, c) = Q, Fe(x, у, zt с) = 0, Fcc(x, у, z, с) = 0. A7)
Разрешая эти уравнения относительно xt yf z, мы можем опре-
определить их в функции параметра с и получить, таким образом, пара-
параметрические уравнения ребра возврата
если оно существует.
В этом случае, соответственно значению с> на каждой поверх-
поверхности семейства найдется точка, принадлежащая ребру возврата.
Эта точка называется характеристической точкой данного семей-
семейства поверхностей.
§ 16. Развертывающиеся поверхности
Рассмотрим семейство плоскостей, определяемых уравнением
W(a)r + D(a) = 0. A)
Обозначая дифференцирование по параметру а точкой, присое-
присоединим к уравнению семейства уравнение
Nr-+-D = Q. B)
Уравнения A) и B) при фиксированном значении а определят
характеристику семейства, если она существует. Так как уравне-
уравнение B) есть уравнение плоскости, то характеристикой будет прямая
пересечения плоскостей A) и B). Эта прямая существует, если нор-
нормальные векторы этих плоскостей не параллельны между собой.
В противном случае векторы N и N коллинеарны:
й=Ш, C)
а это значит, что N есть вектор неизменного направления, и все
плоскости семейства параллельны между собой. Огибающей у та-
такого семейства, очевидно, нет. Поэтому в дальнейшем мы исклю-
исключаем из рассмотрения случай C), предполагая, что направление нор-
нормального вектора плоскостей меняется вместе с параметром а.
Возвратившись к общему случаю, присоединим к уравнениям A)
и B) уравнение
Q. D)

§ 16] Развертывающиеся Поверхности 51
Системе уравнений
Q) Nr + b = 0, \ E)
0 J
должен удовлетворять радиус-вектор характеристической точки се-
семейства.
Так как эти уравнения линейны, то для их однозначной разре-
разрешимости относительно г необходимо и достаточно, чтобы главный
определитель системы был отличен от нуля. Но этот определитель
имеет вид
ЛВС
ЛВС
ЛВС
F)
где через Л, В, С обозначены координаты вектора N, являющиеся
коэффициентами уравнения плоскости семейства.
Выражение Л может быть, очевидно, переписано в виде смешан-
смешанного произведения
A = (JVAW). G)
Рассмотрим отдельно семейства, для которых Д=?0, и семейства,
для которых А = 0.
В первом случае система E) разрешима относительно радиуса-
вектора характеристической точки и определяет его в функции па-
параметра
г = г{а). (8)
Если уравнение E) определяет кривую, то это есть ребро воз-
возврата. Посмотрим, как связана плоскость семейства с этой кривой.
Так как характеристика, определяемая пересечением плоско-
плоскостей (а) и ф)у касается ребра возврата, то нормальные векторы этих
плоскостей должны быть перпендикулярны к его касательному век-
вектору, так что
ЛГг = О, (9)
ЛГг = О. A0)
Продифференцировав тождество (9), получим
Nr + Nr = 0
или вследствие A0)
Nr = 0.
Таким образом, плоскость семейства, касаясь ребра возврата,
содержит вектор второй производной и, следовательно, является
соприкасающейся плоскостью этой линии.

ПОВЕРХНОСТЬ И*ЕЕ КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСкОСТЬ
[гл. in
Итак, если ребро возврата семейства плоскостей совпадает
с некоторой пространственной кривой, то все характеристики
семейства касаются этой кривой, а плоскости семейства являются
ее соприкасающимися плоскостями.
При условии разрешимости системы E) относительно радиуса-
вектора характеристической точки может оказаться, что он не зави-
зависит от параметра. В таком случае уравнение G) заменится уравне-
уравнением
г = ro = const
и не определит ребра возврата как кривой линии. Однако теперь
можно сказать, что все характеристики семейства проходят через
точку г0 и огибающая образована движением прямой, проходящей
через неподвижную точку, т. е. является конической поверхностью.
Итак, если все характеристики семейства плоскостей прохо-
проходят через одну точку, то все плоскости семейства касаются
конической поверхности, а харак-
характеристики совпадают с ее прямо-
прямолинейными образующими,
.. Предположим, что А = 0. В таком
случае вектор N удовлетворяет диф-
дифференциальному уравнению
общее решение которого имеет вид
Черт. 14. и, следовательно, остается парал-
параллельным постоянной плоскости, и
сама плоскость семейства все время перпендикулярна к этой же
плоскости. Так как характеристики семейства являются предельным
положением прямой пересечения двух плоскостей семейства, то и
они перпендикулярны к той же плоскости и, следовательно, парал-
параллельны между собой. Отсюда следует, что огибающая образована
движением прямой постоянного направления и, следовательно, яв-
является цилиндрической поверхностью.
Итак, если характеристики семейства параллельны между
собой, то огибающая этого семейства есть цилиндрическая по-
поверхность.
По причинам, которые будут выяснены ниже, огибающие семей-
семейства плоскостей называются развертывающимися поверхностями.
Резюмируя результаты этого параграфа, мы можем сказать, что
существует три типа развертывающихся поверхностей:
I. Поверхность, образованная касательными к пространственной
кривой (поверхность касательных) (черт. 14).
II. Конические поверхности (черт. 15).
III. Цилиндрические поверхности (черт. 16).

§
РАЗВЕРТЫВАЮЩИЕСЯ ПОВЕРХНОСТИ
53
К числу развертывающихся поверхностей следует причислить и
плоскость, которая, очевидно, может рассматриваться и как поверх-
Черт. 15. Черт. 16.
ность касательных плоской кривой, и как коническая, и как цилин-
цилиндрическая поверхность с прямолинейной направляющей.
§ 17. Развертывающиеся поверхности, связанные
с пространственной кривой
1. Переходя к рассмотрению развертывающихся поверхностей,
связанных с пространственной кривой, исследуем огибающую семей-
семейства нормальных плоскостей. Огибающая семейства нормальных
плоскостей называется полярной поверхностью данной кривой.
Уравнение нормальной плоскости кривой
r = r(s)
имеет вид
т(р — г) = 0. A)
Дифференцируя это уравнение по параметру, от которого зави-
зависят только т и г, получим систему уравнений
(A) т(р — г) = 0, 1
(B) -^{T(p-r)} } B)
определяющих характеристику полярной поверхности.
Радиус-вектор любой точки характеристики удовлетворяет соот-
соотношению
v(p — r) = p, C)
где р — радиус кривизны кривой.
Уравнение (В) или равносильное ему уравнение C) выражает пло-
плоскость, параллельную спрямляющей плоскости, ибо ее нормаль-
нормальный вектор направлен по главной нормали. Так как эта плоскость
пересекает нормальную плоскость по характеристике семейства, то
эти характеристики параллельны бинормали,

54
ПОВЕРХНОСТЬ И ЕЕ КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ
[ГЛ. III
Теперь нетрудно установить положение характеристики в нор-
нормальной плоскости. Из соотношения C) следует, что проекция на
главную нормаль вектора р — г, соединяющего произвольную точку
кривой с произвольной точкой характеристики, равна радиусу кри-
кривизны, откуда сейчас же следует, что эта ха-
характеристика проходит через центр кривизны
(черт. 17).
Итак, характеристика полярной поверх-
поверхности есть прямая, параллельная бинормали
и проходящая через центр кривизны, соот-
соответствующий точке данной кривой.
Прямую эту называют еще осью кривизны
данной линии.
2. Если в каждой точке кривой
Черт. ,7. Г = Г^
задана определенная касательная плоскость
с единичным нормальным вектором п (черт. 18), то уравнение
семейства этих плоскостей будет
л(р —г) = 0. D)
Дифференцируя это уравнение по параметру t, от которого за-.
висят г и л, и принимая во внимание, что п перпендикулярен к ка-
касательному вектору кривой, по-
получим
ii(p —г) = 0. E)
Уравнения D) и E) опреде-
определяют характеристику семейства
и, очевидно, удовлетворяются при
Отсюда следует, что характе- Черт. 18.
ристика семейства плоскостей,
касающихся данной кривой, проходит через точку прикосновения
этой кривой к соответствующей плоскости семейства.
Этот же результат, очевидно, можно выразить следующим обра-
образом: кривая, касающаяся каждой плоскости семейства, лежит
на огибающей этого семейства.
Зная точку, через которую проходит характеристика, для полного
ее определения достаточно вычислить направляющий вектор т этой
характеристики. Для этого примем во внимание, что т перпендику-
перпендикулярен к нормальным векторам плоскостей D) и E) и может быть
определен условиями
hQ. F)

55
с |7] РАЗВЕРТЫВАЮЩИЕСЯ ПОВЕРХНОСТИ
Уравнение характеристики может быть получено и в явном виде
(?)
3. Предположим, что в каждой точке кривой
r = r(f)
выбрана нормаль с направляющим единичным вектором
m = m(t).
Найдем условие, которому должен удовлетворять этот вектор,
для того чтобы выбранные нормали были образующими разверти
вающейся поверхности. п^рпхности то последняя
Так как данная кривая лежит на этой поверхности, ти »
есть огибающая касательных плоскостей этой кривой и вектор т
должен удовлетворять условиям F).
Дифференцируя первое из них, получим
Очевидно, что для выполнения второго из них необходимо и доста-
достаточно, ЧТОбы ,g
С другой стороны, так как вектор т единичный, то
Векторы п и т лежат в нормальной плоскости данной кривой,
а вектор т перпендикулярен к ним вследствие (8) и (9) и, след
тельно, направлен по касательной, так что
• , • (Ю)
Обратно, из A0) следуют (8) и (9), и если вектор направлен по
нормали, то для него выполняются условия F). „ппяпй об-
Итак, для того чтобы семейство нормалей д°»н?"кР*в%%е?_
разовывало развертывающуюся поверхность, неоохооим д
точно, чтобы производная единичного вектора этих нормале
была коллинеарна касательной этой кривой.
Чтобы найти направление вектора т, представим его в вид
обозначая через в угол, который он образует с главной нормалью
данной линии. пользуясь формулами
Дифференцируя последнее равенство и пользуясь ф»и з
Серре —Френе, получим после простых преобразовании

56 ПОВЕРХНОСТЬ И ЕЕ КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ [ГЛ. Il/
Для того чтобы dm и т были коллинеарны, должно выполняться
условие
O, /A2)
/
которое и позволяет определить искомый угол Ь в виде инт/грала
/
A3)
Таким образом, мы видим, что из нормалей всякой кривой можно
составить развертывающуюся поверхность и притом с известным
произволом, соответствующим произволу в выборе постоянного инте-
интегрирования.
Этому произволу можно дать простое геометрическое истолко-
истолкование. Предположим, что из нормалей данной кривой построены две
различные развертывающиеся поверхности, причем их характеристики
образуют углы Ьх и 62 с главными нормалями данной кривой.
Оба эти угла должны удовлетворять условию A2). Поэтому,
введя обозначение ср — bt — Й2, получим
ф = const.
Отсюда следует, что если нормали^ образующие развертываю-
развертывающуюся поверхность, повернуть в нормальных плоскостях на по-
постоянный угол, то они и после поворота будут образовывать
развертывающуюся поверхность.
Формула A2) позволяет решить вопрос о виде кривых, у кото-
которых главные нормали или бинормали образуют развертывающуюся
поверхность. В этих случаях 6 = 0 или Ъ=~п- и, следовательно,
у = 0, так что это возможно только для плоской кривой.
4. Пространственной эволютой кривой Г называется такая кри-
кривая, касательные которой являются нормалями данной кривой.
Из этого определения прямо следует, что семейство нормалей,
касающихся эволюты, должно образовывать развертывающуюся по-
поверхность, ребром возврата которой будет рассматриваемая эволюта.
Установим теперь положение точки эволюты на нормалях ^этога
семейства.
Для этого заметим, что, касаясь нормали, эволюта должна ка-
касаться и всех нормальных плоскостей данной кривой и в силу этого
должна быть расположена на огибающей их семейства.
Итак, эволюта данной кривой расположена на ее полярной
поверхности.
Приняв во внимание, что точка эволюты лежит на пересечении
оси кривизны с нормалью, образующей развертывающуюся поверх-
поверхность, мы можем представить ее радиус-вектор в следующем виде:
A4)

§ 17] развертывающиеся поверхности 57
где р есть радиус кривизны, а Ь удовлетворяет условию A2). Так
как угол 6 определяется с произволом в выборе постоянного сла-
слагаемого, то всякая линия имеет бесчисленное множество эволют.
Это справедливо, в частности, и для плоских кривых.
В этом случае х = 0, и одну из эволют можно получить, полагая
О = 0. Но эта эволюта расположена в той же плоскости, что и дан-
данная кривая, и совпадает с местом ее центров кривизны. Другие эво-
эволюты той же кривой соответствуют значениям в ~ const =?0.
Все они расположены на полярной поверхности, которая в слу-
случае плоской кривой будет цилиндрической. С другой стороны, угол О,
образованный касательной эволюты плоской кривой с ее плоскостью,
постоянен, значит, они пересекают и оси кривизны над постоянным
углом и являются линиями откоса.

ГЛАВА IV
ПЕРВАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА ПОВЕРХНОСТИ
§ 18. Местная система координат и метрический
тензор поверхности
1. Координатные векторы гг и г2 поверхности независимы между
собой и, следовательно, определяют в касательной плоскости аффин-
аффинную систему координат, которую мы будем называть местной си-
системой, соответствующей точке прикосновения этой плоскости к по-
поверхности.
Про всякий вектор, принадлежащий касательной плоскости, или
тензор, определяющий полилинейную функцию таких векторов, мы
будем говорить, что они принадлежат поверхности в точке прикос-
прикосновения данной касательной плоскости. Мы будем всегда задавать
такие векторы и тензоры их контравариантными, ковариантными
или смешанными координатами по отношению к местной системе
координат в той же точке прикосновения. Если вектор или тензор,
принадлежащий поверхности, задан в каждой ее точке или в каждой
точке некоторой ее области, то мы будем говорить, что на поверх-
поверхности задано векторное или тензорное поле. Координаты вектора
или тензора такого поля, очевидно, являются функциями криволиней-
криволинейных координат точки поверхности. Во всем дальнейшем изложении
мы будем предполагать, что эти функции дифференцируются столько
раз, сколько это требуется для решения задачи.
2. Важнейшим примером тензора, принадлежащего поверхности,
является метрический тензор. Его ковариантные координаты опре-
определяются равенствами
0)
и, очевидно, являются функциями криволинейных координат. Во всех
неособых точках поверхности они подчиняются неравенствам
&t>0. Й22>0, B)
Эти неравенства могут быть нарушены только в особых точках, но
мы уже согласились исключать эти точки из нашего рассмотрения,

Л 18] МЕСТНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ И МЕТРИЧЕСКИЙ ТЕНЗОР ПОВЕРХНОСТИ 59
3. Плоская местная система координат может быть дополнена
до пространственной системы добавлением к векторам г$ третьего
вектора, не лежащего в касательной плоскости. Удобнее всего взять
за такой вектор -единичный нормальный вектор поверхности, т. е.
вектор
Заметив, что согласно известному тождеству векторной алгебры
будем иметь
Ориентация нормального вектора, определенного по формуле D),
очевидно, зависит от того, как&я из координатных линий считается
первой, а какая второй. Этот выбор зависит от нашего произвола,
но, остановившись на нем, мы будем условно называть внешней ту
сторону поверхности, куда направлен вектор п.
Координаты дискриминантного тензора, принадлежащего поверх-
поверхности, мы определяем по формулам
Нетрудно видеть, что при этом поворот вектора а на прямой
угол, определяемый соотношением
происходит против движения часовой стрелки, если его наблюдают
с внешней стороны поверхности.
4. При преобразовании параметров
tf<= tf<(V, 'и2) G)
векторы местной системы подвергаются линейному преобразованию
Таким образом, коэффициенты линейного преобразования, кото-
которому подвергаются координаты векторов и тензоров при дифферен-
дифференцируемом преобразовании криволинейных координат на поверхности,
равны частным производным от новых координат по старым. Оче-
Очевидно также, что коэффициенты обратного преобразования равны
частным производным от старых координат по новым. Зная выраже^
ние этих коэффициентов, мы можем найти по формулам (9) и A0)
§ 6, A8) и A9) § 10 закон преобразования ковариантных, контра-
вариантных и смешанных координат векторов и тензоров,
жащих поверхности,

60 ПЕРВАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. IV
§ 19. Линейный элемент и наложимость поверхностей
1. Линейным элементом поверхности называется квадрат диф-
дифференциала дуги линии, расположенной на этой поверхности, со-
согласно C) § 3
ds2 = dr* = rfj du* duJ
или
A)
Таким образом, линейный элемент поверхности является квад-
квадратичной дифференциальной формой, коэффициенты которой
совпадают с координатами ^метрического тензора поверхности.
Эту форму называют обычно первой квадратичной формой по-
поверхности.
Зная зависимость коэффициентов линейного элемента от ^криво-
линейных координат и внутреннее уравнение кривой на поверхности
можно найти длину любой дуги этой кривой по формуле
t
B)
2. В качестве примеров найдем линейный элемент плоскости
в прямоугольных декартовых координатах х, у и полярных коорди-
координатах г, ср. Для этого заметим, что радиус-вектор точки плоскости
г = xi -f>y, dr = dxi + dyj,
откуда
ds* = dx*-{-dy*. C)
То же в полярных координатах
r = re (cp), dr — dr e -f- rgdy,
откуда
D)
3. Образы, рассматриваемые в геометрии, обычно наделяются
свойствами твердого тела. Это значит, что при перемещении рассма-
рассматриваемой фигуры предполагается, что все ее размеры, т. е. длины,
углы, площади и объемы ее частей, остаются неизменными. С этой
же точки зрения мы рассматривали до сих пор и поверхности, на-
наделяя их свойствами вполне твердых оболочек. Однако в отношении
поверхностей можно встать и на другую точку зрения, наделив их
свойствами нерастяжимой, но гибкой пленки. При этом возникает
вопрос о том, какие свойства поверхности сохраняются при тех
деформациях, которые не сопряжены с растяжениями, или, как

^ 19] ЛИНЕЙНЫЙ ЭЛЕМЕНТ И НАЛОЖИМОСТЬ ПОВЕРХНОСТЕЙ 61
говорят, при изгибании поверхности. Две поверхности, которые
можно совместить всеми их точками, подвергая одну из них изгиба-
нИю, называются наложимыми. Наложение поверхностей может быть
осуществлено с помощью изгибаний, протекающих весьма различными
способами. Вследствие неопределенности и видимой сложности про-
процесса изгибания отвлечемся от него и дадим строгое, пригодное для
математических исследований, понятие наложимости.
Две поверхности называются наложимыми, если между их
точками можно установить такое взаимно однозначное соот-
соответствие, при котором длины соответствующих дуг линий,
расположенных на этих поверхностях, равны между собой.
Это определение вполне согласуется с приведенным выше пред-
представлением об изгибании как о деформации без растяжения. Дей-
Действительно, если после изгибания одна поверхность наложена на
другую, то между их точками установилось взаимно однозначное
соответствие, при котором точки первой поверхности соответствуют
тем, с которыми они совпадут после наложения. С другой стороны,
очевидно, что после совмещения длины соответствующих дуг совпа-
совпадают, однако эти длины не могли измениться при изгибании, так как
такое изменение было бы сопряжено с растяжением или сжатием,
которые исключаются при изгибании.
4. Чтобы получить возможность дифференциально-геометрического
изучения изгибания, следует дать аналитический признак наложи-
наложимости. Предположим, что поверхности (Sx) и E2) наложимы. Пер-
Первую из них параметризуем произвольным способом, отнеся каждой
ее точке Мг координаты и1, и2. Координацию на второй поверхности
установим по соответствию, считая, что точка Ж2, совпадающая
с точкой Mt при наложении, имеет те же криволинейные координаты
на второй поверхности, что и точка Мх на первой.
Такую параметризацию двух поверхностей мы будем называть
общей по отношению к наложимости.
Рассматривая соответствующие кривые на обеих поверхностях,
параметризуем их обе с помощью параметра t и опять-таки так,
чтобы соответствующие при наложении точки отвечали одним и тем
же значениям этого параметра. В таком случае условие равенства
длин двух соответствующих дуг запишется в Следующем виде:
t t
f Vgijdu^duJ = f Vgijdutdui, E)
где Sij и gij — коэффициенты линейного элемента первой и второй
поверхностей соответственно.
Так как это равенство должно иметь место при любом значе*
нии t, то из него следует
gy du* duo = gtj du* duL F)

62 ПЕРВАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. IV
Однако и это условие должно иметь место тождественно, т. е. при
любых значениях du*, так как оно справедливо для соответственных
кривых любых направлений, проходящих через соответствующие
точки. Но две квадратичные формы равны тождественно только при
условии равенства их коэффициентов. Таким образом,
1 2
Итак, для того чтобы две поверхности были наложимы, не-
необходимо, чтобы эти поверхности допускали такую параметри-
параметризацию, при которой в точках этих двух поверхностей с одина-
одинаковыми криволинейными координатами были равны соответствую-
соответствующие коэффициенты их первых квадратичных форм.
Обратно, если такие координации возможны, то наложимость
очевидна, так как, считая соответствующими точки с одинаковыми
координатами, мы получим равенство E), обеспечивающее равенство
соответствующих дуг, т. е. наложимость. Указанное свойство линей-
линейного элемента выражает, кратко говоря, то, что он сохраняется при
изгибании. Поверхности, отличающиеся между собой только положе-
положением в пространстве, очевидно, наложимы, однако этот случай мало
интересен. Важно, что существуют наложимые друг на друга по-
поверхности, различные по форме.
Свойства поверхности и ее частей принято согласно Гауссу раз-
разделять на две группы. Совокупность свойств, сохраняющихся при
изгибании поверхности, образует ее внутреннюю геометрию, а все
остальные свойства, которые существенно зависят от формы, прини-
принимаемой поверхностью во внешнем пространстве, называются внеш-
внешними.
Отметим общий прием, с помощью которого доказывается, что
некоторое свойство принадлежит внутренней геометрии. Этот прием
состоит в указании на то, что это свойство выражается соотноше-
соотношением между коэффициентами первой квадратичной формы (и их
производными). Так как это соотношение не может измениться при
изгибании, то сохраняется и рассматриваемое свойство.
§ 20. Угол между линиями на поверхности и конформное
отображение
1 ¦ Углом между двумя линиями, пересекающимися в некоторой
точке, называется угол между касательными к этим линиям (черт. 19).
Предположим, что эти кривые принадлежат одной поверхности.
Касательные векторы этих кривых
A)
будем различать, употребляя различные обозначения для символов
дифференцирования d и d в направлении первой и второй кривой.

§ 20] УГОЛ МЕЖДУ ЛИНИЯМИ НА ПОВЕРХНОСТИ И КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ 63
Косинус искомого угла 6 определится по обычной формуле
или через координаты
cos Ь =
cos Ь =
drdr
\dr\\dr
dsls
B)
C)
где
ds = Vgki duk dul, ds = V gkx duk du1.
Синус этого угла находится по формуле
ndr dr
sin 6 =
или
sin в =
\dr\\dr\
е^ dtf dut
ds ds
D)
E)
Полученные формулы показывают, что угол выражается через
коэффициенты первой квадратичной формы, т. е. не изменяется при
изгибании поверхности и принадлежит ее внутренней геометрии.
2. Для координатных линий мы будем иметь
du1 = 0,
du1 Ф 0,
ф 0,
0,
а для угла ш между ними
cos со = gl2
sin (о —
w
F)
Черт. 19.
Учитывая B) § 18, мы можем ввести обозначения
и тогда линейный элемент примет вид
ds2 = Л2 dul2 + 2AB cos ш du1 dv? + В2 dti**,
G)
где со есть угол между координатными линиями. Ортогональная ко-
координатная сеть характеризуется видом линейного элемента
(8)

64 ПЕРВАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. IV
Если орт т, принадлежащий поверхности, образует угол ty с ор-
ори1, то
= ™-t = A cos ф, т2 = тг2 = В cos (со — <50» (9)
ах = А, а2 = В cos со, |
fll = 0, aa = Bsin«>, J
том а линии и1, то
в частности,
но
аг11 = а2т2 = cos [ ф — -у) = sin
отсюда и по аналогии получим
_ sin ф
5 sin а) ' v ч
Л sin а) ' 5 sin а)
3. Если между точками двух поверхностей установлено соответ-
соответствие так, что угол между двумя кривыми на одной поверхности
равен углу между соответствующими кривыми на другой поверх-
поверхности, то соответствие называется конформным.
Наложимость дает пример конформного соответствия. Однако
конформность имеет место и при более общем условии. Действи-
Действительно, достаточно предположить, что коэффициенты первых квадра-
квадратичных форм в системе координат, общей по отношению к некото-
некоторому соответствию, пропорциональны, чтобы показать, что
такое соответствие будет конформным.
В самом деле, допустим, что
*<*=**«¦ О2)
и вычислим косинус угла между двумя линиями на второй поверхности
cos 6 =
V gpq du? da* V gr8 dur dus
Правая часть выражения, полученная после сокращения на X, оче-
очевидно, дает выражение косинуса угла между кривыми, соответствую-
соответствующими данным на первой поверхности, что и доказывает конформность
соответствия.
§ 21. Семейство линий на поверхности.
Ортогональные траектории и сети
1. Однопараметрическое семейство линий на поверхности может
быть задано с помощью дифференциального уравнения вида
где v1, V2 — контравариантные координаты касательного вектора
линий семейства, которые в свою очередь заданы как функции кри*

§ 21] СЕМЕЙСТВО ЛИНИЙ НА ПОВЕРХНОСТИ 65
волинейных координат точки прикосновения. Если эти функции диф-
дифференцируемы, то в силу основной теоремы теории дифференциаль-
дифференциальных, уравнений общее решение уравнения A) имеет вид
/(а1, и2, с) = 0,
где \с — произвольная постоянная, и через каждую точку области
существования решения проходит одна и только одна интегральная
кривая. Семейство, обладающее этим свойством, называют правиль-
правильным.
Уравнение A) можно также представить в следующих равносиль-
равносильных формах:
(a) du^v^ = 0,
(с) Vidut — O.
B)
2. Если семейство задано с помощью своего касательного век-
вектора vii то семейство его ортогональных траекторий, т. е. таких
линий, которые пересекают ортогонально каждую кривую данного
семейства, проще всего может быть задано уравнением вида
vidui = Q. C)
3. Сетью линий на поверхности называется совокупность двух
правильных семейств, линии которых, пересекаясь, не касаются друг
друга. Направления этих линий в каждой точке называются напра-
направлениями сети.
Уравнение всякой линии сети можно получить, интегрируя диф-
дифференциальное уравнение
в котором Vi и Wj являются касательными векторами семейств.
Но то же уравнение, очевидно, можно представить и в виде равен-
равенства нулю следующей квадратичной формы:
j D)
где
E)
Тензор ау, представляющий симметрированное произведение допол-
дополнительных векторов к касательным векторам сети, называется тензором
сети. Направления сети совпадают с его нулевыми направлениями.
Условием того, что линии различных семейств не касаются друг
Друга, будет неравенство нулю а — нормы тензора.

66 ПЕРВАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. IV
Согласно B7) § 11 тензор, взаимный тензору сети,
или
v. 1
aw — — v^wJ\ (Q)
a v '
Если сеть совпадает с координатной, то уравнение D) должно
удовлетворяться при и1 — const, и2 = const, условием чего будут
равенства
eu = flaa = 0. a* = a™ = 0. G)
Сеть называется ортогональной, если линии ее различных семейств
пересекаются под прямым углом. Признаком такой сети, очевидно,
может служить каждое из двух следующих равенств:
= 0. (8)
Две сети называются аполярными, если направления каждой из
них делятся гармонически направлениями другой.
Так как направления сеги являются нулевыми направлениями ее
тензора, а направления сети, аполярной данной, должны быть сопря-
сопряжены относительно ее индикатрисы, то в силу E) § 11 и F) условие
аполярности имеет вид
где пц — тензор одной сети, a W — взаимный тензор другой.
4. Для всякого поля симметричного тензора пц можно построить
так называемую глазную сеть, линии которой касаются главных
направлений тензора.
Так как главное направление сопряжено своему ортогональному,
то для каждого из этих направлений
aikvi:vk = аше*р)%1 = 0;
отсюда следует, что уравнение главной сети имеет вид
где
Если а^ — тензор сети, то направления его главной сети направлены
по биссектрисам углов, образуемых линиями данной сети. Такая сеть
называется биссекторной по отношению к данной.

§ 22]
МЕРА ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТИ. ЭКВИВАЛЕНТНОЕ СООТВЕТСТВИЕ 6?
§ 22. Мера площади поверхности. Эквивалентное соответствие
Рассмотрим некоторую область S точек поверхности, правильную
сеть в этой области и две достаточно близкие точки этой области —
тОчку М с координатами и* и точку Р (черт, 20).
Линии различных семейств сети, проходящие через эти точки,
пересекаются между собой в точках Ых(и*-{-Ни*) и Л^2(^ + Ам*) и
образуют криволинейный четырехугольник MN^PN^» Будем называть
элементом площади, соответствующим данному криволинейному
четырехугольнику, площадь паралле-
параллелограмма, построенного в касательной
плоскости точки М на векторах с коор-
координатами Да* и Да*.
Согласно этому определению эле-
элемент площади
До = *у Да'Дя*. A)
Выберем теперь некоторое число
первого и второго
Черт. 20.
линий первого и второго семейства,
разобьем всю область на п криволинейных четырехугольников, кото-
которым будут соответствовать элементы площади Дох, Да2, ..., Доп,
и составим сумму
п
5n=SiA^. B)
Если эта сумма стремится к некоторому пределу при неограни-
неограниченном увеличении числа криволинейных четырехугольников и при
неограниченном уменьшении сторон каждого из них, то предел этой
суммы называется мерой площади данной области точек ?.
Чтобы свести. вычисление этого предела к интегрированию, введем
параметризацию линий сети, приняв за параметры значения а, C
прямоугольных координат той точки Мо плоскости, в которую пере-
переходит точка М при отображении сети на прямоугольную декартову
сеть. В таком случае для этих линий мы будем иметь
= const, и<=иг(а\ Да* — ^-
а = const, и< = «'(? ^
гДе ггх и s* — величины более высокого порядка малости, чем Да и ДC.
Но в таком случае
du* duf

68 ПЕРВАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. IV
где гк есть величина более высокого порядка малости, чем первое
слагаемое правой части. Таким образом,
и при переходе к пределу вторая сумма стремится к нулю, а первая
имеет своим пределом двойной интеграл, распространенный на данную
область,
JJ^Jj^ C)
который и выражает меру площади *).
Если сеть линий, использованная нами для разбиения области,
совпадает с координатной, а параметры о и ^ — с криволинейными
координатами, то
и интеграл C) принимает вид
= § j el2 du1 du2
или
При преобразовании координат и1 = иг('и1, 'и2)
ui du* du* di
где Л есть якобиан преобразования.
Принимая во внимание правило преобразования кратных интегра-
интегралов, мы видим, что
J J ev2 dui du2 = J J rei2 d 'ai d 'Uzt
Таким образом, мера площади не зависит от выбора сети, раз-
разбивающей область.
Так как подинтегральная функция интеграла D) составляется из
коэффициентов первой квадратичной формы, то мера поверхности
принадлежит ее внутренней геометрии, т. е. не изменяется при изги-
изгибании.
• 1) Приведенные рассуждения нельзя считать строгими; они объясняют
только, почему формула C) принимается за определение меры площади по-
поверхности.

§ 22] МЕРА ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТИ. ЭКВИВАЛЕНТНОЕ СООТВЕТСТВИЕ 69
2. Соответствие между точками двух поверхностей называется
эквивалентным, если меры площадей любых двух соответствующих
областей одинаковы.
Из D) следует, что условием эквивалентности отображения будет
равенство дискриминантов основных квадратичных форм обеих поверх-
поверхностей
^11^22 ^12 = §П§22 5*12' \У)
11 1 и 2 2
если эти поверхности отнесены к общей системе координат.
Обобщенная эквивалентность характеризуется условием
5*11^22 ^12 ~ С" \SllS22 5*12^
11 1 2 2 2
где с — постоянное число.
В этом случае отношение площадей соответствующих областей
постоянно и равно с. Иначе говоря, каждая из поверхностей нахо-
находится в эквивалентном соответствии с поверхностью, подобной другой.

ГЛАВА V
ВТОРАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА ПОВЕРХНОСТИ
§ 23. Нормальная кривизна и вторая квадратичная форма
1. Кривизны линий, расположенных на поверхности, связаны рядом
замечательных соотношений. Для того чтобы получить эти соотно-
соотношения, следует изучить расположение сопровождающего трехгранника
кривой по отношению к поверхности. При этом касательный ректор
кривой т всегда расположен в касательной плоскости поверхности,
а векторы главной нормали и бинормали наклонены под некоторыми
углами к этой плоскости. Рассмотрим вектор кривизны
г" = &v
кривой, расположенной на поверхности. Проекция вектора кривизны
линии на нормаль поверхности в точке, через которую проходит эта
кривая, называется нормальной кривизной этой кривой.
При этом нормаль считается ориентированной с помощью заранее
выбранного единичного вектора п. Нормальная кривизна обозначается
через kn, а обратная ей величина R называется радиусом нормаль -
ной кривизны. Так как нормаль считается ориентированной, то проек-
проекция на нее может быть положительной или отрицательной, так что
радиус нормальной кривизны выражается относительным числом в про-
противоположность существенно положительному радиусу кривизны кри-
кривой, рассматриваемой независимо от поверхности.
Таким образом, нормальная кривизна
fcn = npnr". A)
2. Для вычисления нормальной кривизны будем дифференци-
дифференцировать выражение
единичного касательного вектора кривой, расположенной на по-
поверхности. Пользуясь правилами дифференцирования сложной функ-
функции и вводя обозначения
&г 2
duiduj —rW K >

§ 23] НОРМАЛЬНАЯ КРИВИЗНА И ВТОРАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА 71
получим
Чтобы найти проекцию вектора кривизны на нормаль, достаточно
умножить г" скалярно на п. При этом следует принять во внимание,
что векторы гг расположены в касательной плоскости и, следова-
следовательно, перпендикулярны к я.
Таким образом,
Скалярные произведения единичного вектора нормали и вторых
частных производных радиуса-вектора точки поверхности являются
функциями точки. Введем для них особые обозначения, полагая
*у = "'V C)
После этого нормальная кривизна примет вид
А» = А«(«*У(»0/- D)
Форма
<р2 = Ay dul dui E)
называется второй квадратичной формой поверхности.
Выражение D), очевидно, можно переписать в следующем виде:
где
Таким образом, нормальная кривизна равна отношению второй и
первой квадратичных форм, определенных для дифференциалов кри-
криволинейных координат, соответствующих направлению кривой, про-
проходящей через ту точку поверхности, для которой подсчитаны
коэффициенты обеих форм.
В заключение запишем выражение коэффициентов второй квад-
квадратичной формы в развернутом виде.
Так как вектор нормали
'ГО
W
Полезно отметить еще следующие выражения тех же коэф-
коэффициентов:.
8
Эти выражения легко получаются при дифференцировании тождеств
пг% = О,
которые дают

72 ВТОРАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. V
§ 24. Теорема Менье
1. Формула F) § 23 показывает, что нормальная кривизна
линии, проходящей через данную точку поверхности, зависит
только от направления ее касательной. Действительно, коэффи-
коэффициенты обеих квадратичных форм можно вычислить, как только
задано уравнение поверхности, а отношение дифференциалов опре-
определяется направлением касательной. Иначе можно также утверждать,
что все кривые поверхности, проходящие через данную точку и
имеющие в ней общую касательную, имеют в этой точке равные
между собой нормальные кривизны.
Обратимся теперь к рассмотрению кривизны
кривой, которую мы будем называть полной кривизной, чтобы под-
подчеркнуть ее отличие от нормальной кривизны. Зависимость между
полной и нормальной кривизной получим, вводя угол между нор-
нормальным вектором поверхности и вектором главной нормали кривой
6r=rtV. A)
По определению нормальной кривизны
kn= kcos 0,
или
p = Rzosb. . B)
Таким образом, полная кривизна зависит от нормальной кривизны
и угла 0, который дополняет до прямого угол между касательной
плоскостью поверхности и соприкасающейся плоскостью кривой.
Обратно, если соприкасающаяся плоскость кривой на поверхно-
поверхности, в данной ее точке, задана, то она определяет своим пересече-
пересечением с касательной плоскостью поверхности и касательную прямую
данной кривой. Но, зная направление касательной прямой, можно
найти нормальную кривизну, и так как угол 0 тоже известен, то
полная кривизна определится.
Итак, полная кривизна кривой, расположенной на повехности,
определяется заданием положения ее соприкасающейся плоскости*).
Или иначе: все кривые на поверхности, имеющие общую точку
и общую соприкасающуюся плоскость в этой точке, имеют
в ней одинаковые полные кривизны.
Полученный результат позволяет свести рассмотрение кривизны
линий, принадлежащих поверхности, к рассмотрению кривизны ее
плоских сечений. Действительно, желая рассмотреть произвольную
1) Исключение имеет место только для тех кривых, для которых
kn = h cos 0 = 0, т. е. для асимптотических линий (см. § 28).

§ 24] ТЕОРЕМА МЕНЬЕ 73
кривую, пересечем поверхность ее соприкасающейся плоскостью.
Полученная плоская кривая будет по доказанному иметь в точке
соприкосновения ту же кривизну, что- и данная кривая, так как
соприкасающиеся плоскости обеих линий, очевидно, совпадают.
2. Среди плоских сечений поверхности, проходящих через дан-
данную ее точку, нормальными называют те, плоскости которых содер-
содержат нормаль поверхности в этой точке. В этой же точке главная
нормаль нормального сечения совпадает с нормалью к поверхности.
При этом возможны два случая: 1) вектор v главной нормали и век-
вектор п нормали поверхности совпадают; 2) они отличаются знаком.
Так как вектор главной нормали всегда направлен в сторону во-
вогнутости плоской кривой, то в первом случае вектор нормали по-
поверхности направлен в сторону вогнутости, а во втором — в сторону
выпуклости нормального сечения. Мы будем называть в первом слу-
случае нормальное сечение вогнутым, а во втором случае выпуклым.
Свойство вогнутости и выпуклости зависит от выбора направления
нормального вектора поверхности, которое, вообще говоря, зависит
от нашего произвола и, следовательно, является свойством относи-
относительным. В противоположность этому абсолютным является различие
или совпадение направлений выпуклости или вогнутости для двух
различных нормальных сечений, соответствующих данной точке по-
поверхности.
Обозначим полную кривизну некоторого нормального сечения,
соответствующего данной точке, через .
Рп
Ее значение в данной точке связано с нормальной кривизной по-
поверхности того же направления формулой B), где угол может иметь
одно из двух значений 0 или тс; первое отвечает случаю вогнутости,
а второе — случаю выпуклости.
Отсюда
pn = ±R. . C)
Итак, кривизна нормального сечения и нормальная кривизна
поверхности, соответствующая направлению этого сечения,
совпадают для вогнутых и отличаются только знаком для вы-
выпуклых нормальных сечений.
3. Формула B) допускает простое геометрическое истолкование.
Предположим, что в данной точке М поверхности построены два
плоских сечения с общей касательной в этой точке, причем одно из
них нормальное (/) (черт. 21), а плоскость второго (//) наклонена
к плоскости первого под некоторым углом. Для удобства рассужде-
рассуждений предположим, что направление нормального вектора поверхно-
поверхности выбрано так, что это нормальное сечение вогнуто. В таком
случае радиус нормальной кривизны равен радиусу кривизны нор-
нормального сечения, и формула B) принимает вид
p = pwcos6. D)

74
ВТОРАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА ПОВЕРХНОСТИ
[ГЛ. V
Построив центры кривизны Сп и С нормального и наклонного
сечений, мы сейчас же получаем из этого соотношения так назы-
называемую теорему Менье:
Центр кривизны наклонного сечения поверхности совпадает
с проекцией на его плоскость центра кривизны нормального сече-
сечения, имеющего ту же касатель-
касательную, что и данное наклонное
сечение (черт. 21).
Если строить центры кривизны
различных наклонных сечений,
касающихся между собой в дан-
данной точке поверхности, то любой
из них будет служить вершиной
прямого угла, опирающегося на
радиус кривизны нормального
сечения, имеющего данную каса-
касательную.
Вследствие этого все центры
Черт 21 кривизны будут располагаться на
окружности, диаметр которой
равен радиусу нормальной кривизны, соответствующей данному на-
направлению (черт. 22).
Приняв, кроме того, во внимание, что кривизна любой кривой на
поверхности равна кривизне соответствующего плоского сечения, можно
сформулировать следующий результат:
Центры кривизны всех кривых по-
поверхности, проходящих через данную
точку и имеющих в ней общую каса-
касательную, расположены на окружности,
которая лежит в общей нормальной
плоскости этих кривых и имеет своим
диаметром отрезок между точкой по-
поверхности и центром кривизны нор-
нормального сечения.
Наконец, в качестве следствия из при-
приведенных соотношений отметим, что из
всех кривых поверхности, проходящих
через данную точку и имеющих в ней об-
общую касательную, наименьшую кривизну
имеют те, соприкасающаяся плоскость которых нормальна поверх-
поверхности в данной точке. Кривизна других кривых тем больше, чем
больше угол (в пределе от 0 до ~\ между соприкасающейся пло-
плоскостью этой кривой и плоскостью нормального сечения.
Этот факт подтверждается и нашим представлением. На приве-
приведенных рисунках построены радиусы кривизны нормального сечения

л 25] тензор второй квадратичной формы и его инварианты 75
и нескольких наклонных сечений поверхности и изображены сами
сечения; кривизна этих сечений увеличивается по мере увеличения
угла их плоскости с плоскостью нормального сечения,
§ 25. Тензор второй квадратичной формы и его инварианты
Легко видеть, что коэффициенты второй квадратичной формы
являются координатами симметричного тензора второй валентности.
Действительно,
*ii = *ii 0)
и, кроме того, правая часть равенства
hij du* duo — k^ du* du* B)
есть инвариант преобразования координат, следовательно, и вторая
квадратичная форма ^
C)
в которой переменные dul являются контравариантными координа-
координатами произвольного вектора, остается инвариантной при преобразо-
преобразованиях координат, а отсюда следует (п° 5 § 10), что h^ есть тензор.
Будем называть сопряженными или главными направлениями
поверхности направления, исходящие из данной точки и сопряжен-
сопряженные или главные относительно этого тензора. Таким же образом мы
будем называть асимптотическими направлениями поверхности
нулевые направления тензора.
Вектор
является единичным касательным вектором поверхности и в силу B)
D)
Таким образом, значение полилинейной функции тензора Нц,
соответствующее значению единичного вектора, равно нормаль-
нормальной кривизне, отвечающей направлению этого вектора.
Главные значения тензора Нц, для которых мы введем обозначения
i
равны
V, k2 = Н$У% E)
где v% и Vх — орты главных направлений.
Таким образом, главные значения тензора второй квадратич-
квадратичной формы равны значениям нормальной кривизны, отвечающим
главным направлениям поверхности. Будем называть эти значения
главными кривизнами поверхности в данной ее точкек

76 ВТОРАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. V
Сумма и произведение главных кривизн
называются средней и полной кривизнами поверхности.
Так как средняя кривизна равна следу, а полная — норме тен-
тензора h-ф то они выражаются в любой системе координат по фор-
формулам A7) § 11:
JLti ¦¦ ¦ tlj ¦ - ~ ¦¦ -¦ G)
1 А А А2
К = ~ elPe^hijh = \ ~. (8)
Применяя формулу (9) § 11 и подставляя в ее левую часть два
равных между собой единичных вектора, получим соотношение
kn = ki cos*2 cp -\- k2 sin2 <f, (9)
которое позволяет выразить нормальную кривизну любого данного
направления через главные кривизны и угол ср между первым из
главных направлений и данным
направлением. Формула (9) была
впервые получена Эйлером.
Принимая во внимание способ
получения индикатрисы тензора
(§11) и геометрическое значе-
значение D), мы видим, что индикат-
индикатриса тензора второй квадратичной
формы является геометрическим
местом отрезков, отложенных от
Черт. 23.
точки поверхности по направле-
направлениям, принадлежащим касательной
плоскости, и равных по величине
V\R\* где R есть радиус нормальной кривизны, соответстйующей
этим направлениям. Эта индикатриса рассматривалась впервые
Дюпеном (черт. 23).
Каноническое уравнение индикатрисы Дюпена имеет вид
М9 + АаУ8 = ±1, A0)
причем знак при единице в правой части совпадает со знаком левой
части, или, иначе говоря, правая часть положительна для точек х, у,
радиус-вектор которых касается вогнутых сечений, и отрицательна,
если эти сечения выпуклы.
§ 26. Классификация точек поверхности
1. Мы видели, что каждой точке поверхности соответствует кри-
кривая второго порядка — индикатриса Дюпена. Как и всякая кривая
второго порядка, она может принадлежать к эллиптическому, гипер-
гиперболическому или параболическому типу. Ниже мы увидим, что эти

< 26] классификаций то^ек п6§еРхн6с'ГИ 77
возможности действительно могут иметь место дЛй различных по-
поверхностей, или даже для различных точек одной и той же поверх-
поверхности. В связи с этим точки поверхностей распределяются на три
класса и называются эллиптическими, гиперболическими и пара-
параболическими в зависимости от того, к какому из этих трех типов
принадлежит индикатриса Дюпена, соответствующая этим точкам.
Чтобы определить, к какому классу принадлежит данная точка
поверхности, достаточно вычислить коэффициенты второй квадратич-
квадратичной формы в этой точке и составить дискриминант этой формы
b = hnh^-h\r A)
Так как величина 8 является дискриминантом старших членов
уравнения индикатрисы Дюпена, заданной уравнением D) § 11, то ее
значение и решает вопрос о типе данной точки.
Если в данной точке 8 > 0, то точка эллиптическая, если 8 < О,
то точка гиперболическая, если же 8 = 0, то точка параболическая.
Заметим, что знак 8 совпадает со знаком полной кривизны.
Таким образом, точка будет эллиптической, гиперболической или
параболической, если полная кривизна положительна, отрицательна
или равна нулю соответственно.
Строго говоря, кроме этих трех возможностей, существует еще
и четвертая. Может случиться, что в данной точке все коэффи-
коэффициенты Нц обращаются в 'нуль одновременно. В таком случае все
нормальные сечения имеют кривизну, равную нулю, и понятие инди-
индикатрисы Дюпена теряет смысл. Такие точки мы будем называть
точками уплощения. Приняв во внимание возможность существо-
существования точек уплощения, будем называть точку параболической только
в том случае, если 8 = 0, но при этом среди коэффициентов второй
квадратичной формы, соответствующей данной точке, должны быть
и отличные от нуля. Полная кривизна в точке уплощения, очевидно,
равна нулю.
2. Если индикатриса Дюпена принадлежит к эллиптическому типу,
то в канонической системе координат ее уравнение имеет вид
^ + ^ = ±1, B)
причем
K=kik2>0, C)
т. е. радиусы главных кривизн имеют один и тот же знак. Так как
выбор направления нормального вектора зависит от нас, то его
всегда можно направить таким образом, чтобы kt и k.2 были поло-
положительными.
Формула Эйлера
kn = kt cos2 cp + k.2 sin2 cp D)
сейчас же показывает нам, что в рассматриваемой точке нормальные
кривизны всех направлений положительны, т. е. все нормальные

78 ВТОРАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФО^МА ПбВЕРХНОСТИ [гл. V
сечения вогнуты. Отсюда следует, что все точки поверхности, доста-
достаточно близкие к эллиптической точке, расположены по одну сторону
от касательной плоскости в этой точке (черт. 24).
Обратно, если все точки поверхности, достаточно близкие к дан-
данной, лежат по одну сторону касательной плоскости и кривизна
нормального сечения не обращается
в нуль, то все нормальные сечения,
в том числе и сечения главных на-
направлений, имеют кривизну одного
знака, так что
ktk2 > О,
и данная точка эллиптическая.
Черт. 24. При надлежащем выборе ориен-
ориентации все сечения в эллиптической
точке вогнуты. Поэтому в правой части уравнения индикатрисы
следует удержать только + 1.
Итак, в эллиптической точке индикатриса будет действи-
действительным эллипсом.
Если в некоторой точке поверхности индикатриса имеет форму
окружности, то эта точка называется омбилической. Так как это
возможно только при условии равенства kx = k2, то из формулы
Эйлера следует, что все нормальные кривизны равны между собой.
В общей системе координат омбилическая точка характеризуется
пропорциональностью соответственных коэффициентов обеих квадра-
квадратичных форм
так как только при этом условии нормальная кривизна, выражаемая
отношением обеих форм, не будет зависеть от направления.
3. Если точка гиперболическая, то
К=к^2<0, E)
откуда следует, что главные нормальные кривизны имеют разные
знаки. Выбрав направление нормального вектора, мы можем положить
*1 = а ' *2 = — -Щ F)
и записать формулу Эйлера в таком виде:
_ COs2cp
где а2 и Ь2 — положительные числа. Нормальная кривизна в этом
случае может принимать положительные и отрицательные значения.

§ 26]
КЛАССИФИКАЦИЯ ТОЧЕК ПОВЕРХНОСТИ
79
Выясним, для каких направлений сечений имеет место та или другая
возможность. Из неравенства kn > 0 следует
Для того чтобы нормальная кривизна была отрицательной, необхо-
необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство
Проведем в касательной плоскости через точку прикосновения
две прямые с угловыми коэффициентами — и , которые, как
легко видеть, совпадают с асимптотами индикатрисы Дюпена (черт. 25).
Л
Эти прямые разделят касательную плоскость на четыре четверти,
перенумерованные нами, как это показано на чертеже. Направление
прямой, проходящей через точку О из первой в третью четверть,
будет соответствовать положительным, а такой же прямой, прохо-
проходящей из второй четверти в четвертую, — отрицательным значениям
нормальной кривизны. Таким образом, все нормальные сечения,
проведенные по направлению прямых, заключенных внутри верти-
вертикальных углов / и ///, будут вогнуты, а нормальные сечения по
направлению прямых, проходящих внутри вертикальных углов //,
IV, — выпуклы.
Отсюда видно, что, обходя по поверхности точку О по доста-
достаточно малому замкнутому контуру, мы должны будем два раза
перейти из верхней части пространства в его нижнюю часть и два
раза совершить обратный переход, если считать, что пространство
Разделено на эти части касательной плоскостью в данной точке.
Учитывая распределение выпуклых и вогнутых нормальных сечений,

80
Вторая квадратичная форма поверхности
[гл. v
мы можем заключить, что вблизи гиперболической точки поверхность
имеет седлообразное строение (черт. 26).
Переходя к рассмотрению вида индикатрисы Дюпена гиперболи-
гиперболической точки, мы должны обратить внимание на то, что для напра-
направления с положительной нор-
нормальной кривизной ее урав-
уравнение имеет вид
(8)
а для сечений с отрицатель-
отрицательной нормальной кривизной
Черт. 26.
02
(9)
Таким образом, индикатриса в гиперболической точке имеет вид
двух сопряженных гипербол, т. е. таких гипербол, которые имеют
общие асимптоты, причем действительная ось одной совпадает с мни-
мнимой осью другой и наоборот (см. черт. 25).
4. Параболическая точка поверхности характеризуется равенством
Предполагая, что нормальная кривизна &2 = 0, выберем напра-
направление нормального вектора поверхности так, чтобы было kt > 0.
В таком случае уравнение индика-
индикатрисы в нормальной системе координат
примет вид
кгх*=\, (И)
а формула Эйлера сведется к соотноше-
соотношению
Отсюда следует, что нормальная кривизна
обращается в нуль при ср = ^ и отлична
от нуля во всяком другом направлении.
- Это положение вещей становится осо-
особенно ясным, если принять во внимание Черт. 27.
форму индикатрисы. Уравнение A1) пока-
показывает, что она распадается на пару параллельных прямых (черт. 27)
х- 1 х---±-
A3)
Радиус-вектор любой точки этих прямых имеет конечное значе-
значение. Прямая же, совпадающая с осью Оу, параллельна обеим прямым;

§ 26] КЛАССИФИКАЦИЯ ТОЧЕК ПОВЕРХНОСТИ 81
соответствующая ее направлению нормальная кривизна равна нулю.
Направление оси Оу является одновременно и главным и асимптоти-
асимптотическим направлением индикатрисы.
Чтобы выяснить строение поверхности вблизи параболической
точки, заметим, что все нормальные сечения можно считать вогнутыми,
за исключением сечения, касающегося асимптотического направления
индикатрисы. Кривизна этого последнего в рассматриваемой точке
равна нулю, так что она является точкой спрямления.
В простейшем случае это будет точка перегиба, и тогда поверх-
поверхность имеет вблизи данной точки «полуседлообразное» строение,
показанное на черт. 28.
Однако и точка спрямления мо-
может быть точкой выпуклости или
вогнутости. В этих случаях поверх-
поверхность может иметь различное и до-
довольно сложное строение, в рас-
рассмотрение которого мы не можем
войти.
Отметим, наконец, одно суще- Черт. 28.
ственное отличие между эллиптиче-
эллиптическими и гиперболическими точками, с одной стороны, и параболиче-
параболическими точками, — с другой.
Первые два типа точек характеризуются неравенствами /С> О
или /С<0, последние же—равенством К=0.
Это равенство можно рассматривать как соотношение между кри-
криволинейными координатами точек, и оно выражает, вообще говоря,
некоторую линию, состоящую из параболических точек. Неравенство же
определяют не линии, а целые области эллиптических и гиперболи-
гиперболических точек.
Если на поверхности имеются и та и другая области, то при усло-
условии непрерывности функций, определяющих уравнение поверхности
и их производных, эти области разделяются линией /С= 0, состоящей
из параболических точек.
Ниже мы увидим, однако, что не исключена возможность суще-
существования и таких поверхностей, для которых условие К=0 выпол-
выполняется тождественно и которые, следовательно, состоят из одних
параболических точек.
Что касается точек уплощения, то ввиду большого разнообразия
возможностей в строении поверхностей вблизи этих точек мы его
рассматривать не будем.
5. В качестве примера приложения классификации точек по-
поверхности рассмотрим различные типы поверхностей второго по-
Рядка.
Начнем с некоторых замечаний общего характера.
Всякое плоское сечение поверхности второго порядка есть кривая
второго порядка.

82 ВТОРАЙ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. V
Кривизна такой кривой может обратиться в нуль в какой-либо
ее точке в том и только в том случае, если эта кривая распадается
на пару прямых.
Таким образом, кривизна нормального сечения поверхности второго
порядка равна нулю в том и только в том случае, если его плос-
плоскость содержит прямолинейную образующую этой поверхности. Отсюда
следует, что нормальная кривизна не обращается в нуль в точках
нелинейчатых поверхностей второго порядка и обращается в нуль
для одного или для двух сечений, если через точку проходят одна
или две прямолинейные образующие соответственно.
Если принять, с другой стороны, во внимание, что в эллипти-
эллиптических точках нормальная кривизна не обращается в нуль, а в пара-
параболических точках она обращается в нуль для сечения одного
направления, а для гиперболических точек для сечений двух напра-
направлений, то получаются следующие выводы:
I. Эллипсоид, двуполостный гиперболоид и эллиптический
параболоид не имеют прямолинейных образующих и, следовательно,
состоят из эллиптических точек.
II. Через каждую точку однополостного гиперболоида и гипер-
гиперболического параболоида проходят две прямолинейные образующие,
следовательно, они состоят из гиперболических точек.
III. Через каждую точку цилиндра и конуса второго порядка
проходит одна прямолинейная образующая, вследствие чего они
состоят из параболических точек.
Так как всякая точка плоскости есть точка уплощения (все нор-
нормальные сечения плоскости — прямые), то к предыдущему можно
еще добавить
IV. Если поверхность второго порядка распадается на пару
плоскостей, то она состоит из точек уплощения.
§ 27. Сопряженные направления и сети
1. Рассмотрим семейство плоскостей, касающихся поверхности
в точках некоторой кривой
Это семейство будет однопараметрическим, так как каждая его
плоскость определяется значением параметра t, соответствующего
положению точки на кривой.
Характеристика семейства проходит через точку прикосновения
соответствующей плоскости и поверхности, единичный направляющий
вектор характеристики т определяется из условий F) § 17
тп=0, тп=О. A)
Обозначим через
dn = щ du*

§ 27] сопряженные Направлений и сети 83
дифференциал нормального вектора поверхности при движении по
данной кривой, а через
dr = гг du*
касательный вектор, направленный по характеристике рассматри-
рассматриваемого семейства (черт. 29). В таком
случае второе из условий A) принимает
вид уравнения
dndr = 0,
из которого найдется отношение диффе-
дифференциалов du1 и du1, определяющее на-
направление характеристики, но
dn dr = nxr$ da duj,
и, приняв во внимание второе выражение
коэффициентов второй квадратичной фор-
формы, получим окончательно
Й^Л' = 0. B)
Но эта зависимость между двумя направлениями есть сопряженность
относительно индикатрисы Дюпена.
Полученный результат мы можем сформулировать следующим
образом: для того чтобы прямые, касающиеся поверхности в точ-
точках некоторой кривой, были характеристиками семейства пло-
плоскостей, касающихся поверхности в тех же точках, необходимо
и достаточно, чтобы направления этих прямых и направления
касательных данной кривой были сопряжены относительно инди-
индикатрисы Дюпена в точках их пересечения.
Характеристики семейства плоскостей всегда образуют разверты-
развертывающуюся поверхность, что позволяет сформулировать предыдущий
результат в следующем виде:
Для того чтобы прямые, касающиеся поверхности в точках
некоторой кривой, составляли развертывающуюся поверхность,
необходимо и достаточно, чтобы их направления были сопря-
сопряжены направлению касательных к этой кривой.
Применим полученные результаты к рассмотрению развертываю-
развертывающихся поверхностей.
Какую бы линию (отличную от образующей) мы ни брали на такой
поверхности, огибающая семейства касательных плоскостей будет
совпадать с самой поверхностью. Таким образом, в каждой точке
развертывающейся поверхности любому направлению сопряжено напра-
направление ее прямолинейной образующей. Однако, если всякому напра-
направлению относительно кривой второго порядка сопряжено одно и то же

84 ВТОРАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. V
направление, то эта кривая принадлежит параболическому типу,
Отсюда следует, что всякая развертывающаяся поверхность состоит
из параболических точек, т. е. является поверхностью нулевой полной
кривизны.
2. Сеть линий на поверхности называется сопряженной, если
направления этой сети сопряжены в каждой точке их пересечения.
Касательные векторы линий сети должны удовлетворять условию B), и
если одно семейство линий задано, то другое определяется из уравнения
=0. C)
Это уравнение теряет смысл только при
А^ = 0. D)
Но эта возможность имеет место только в области параболиче-
ких точек, так как условие совместимости уравнений D) имеет вид
8 = ^11^22 — h\2 ~ 0. E)
Неопределенность решения объясняется в этом случае тем, что
у параболической кривой второго порядка всякому направлению
сопряжено ее единственное асимптотическое направление.
Таким образом, в области параболических точек семейство асимп-
асимптотических линий (т. е. линий, касающихся асимптотического напра-
направления индикатрисы Дюпена) образует сопряженную сеть со всяким
другим семейством.
3. Из B) следует, что тензор, взаимный тензору сопряженной сети,
а
удовлетворяет условию
^' = o, F)
которое равносильно условию
Л% = 0, ^ ^ (б')
и если сопряженная сеть принята за координатную (т. е. а11 = а'22 = 0),
то
А19 = 0, G)
и вторая квадратичная форма имеет вид
ср2 = htl (da1) -f- Л22 (й?й2) . (8)
Из G) и G) § 23 следует также, что
Итак, радиус-вектор точки поверхности, отнесенной к сопряженной
сети, удовлетворяет уравнению Лапласа
*г дг . а дг Q
а W

§ 28]
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ЛИНИИ
85
4. Примером сопряженной сети, которая существует на всякой
поверхности, может служить сеть
Кёнигса (черт. 30), т. е. сеть,
образованная линиями пересечения
поверхности плоскостями некото-
некоторого пучка и линиями прикоснове-
прикосновения поверхности к конусам с вер-
вершинами на оси того же пучка.
Эта сеть будет сопряженной, так
как прямые, касающиеся линий
семейства вдоль линии другого
семейства, образуют разверты-
развертывающиеся поверхности.
Основатель московской гео-
геометрической школы Карл Михай-
Михайлович Петерсон A828—1881) по-
поставил вопрос о таком непрерыв-
непрерывном изгибании поверхности, при
котором некоторая сопряженная
сеть этой поверхности остается
сопряженной, назвав его изгиба-
нием на главном основании.
Кроме Петерсона, в разработку
этой проблемы существенный
вклад был внесен Б. К. Млодзеев-
Черт. 30.
ским, Д. Ф. Егоровым, С. П. Финиковым, С. С. Бюшгенсом, Н. Н. Лу-
Лузиным и др,
§ 28. Асимптотические линии
1. Асимптотической называется такая линия, которая в каждой
своей точке касается асимптотического направления поверхности,
соответствующего этой точке.
Так как нормальная кривизна, соответствующая этому направле-
направлению, равна нулю, то асимптотическая линия может быть определена
так же, как линия нулевой нормальной кривизны.
Отсюда в свою очередь следует, что асимптотическая линия либо
является прямой, либо характеризуется тем, что ее главная нормаль
лежит в касательной плоскости поверхности, бинормаль совпадает
с нормалью, а соприкасающаяся плоскость — с касательной плоскостью
к поверхности, причем все эти условия равносильны.
2. Так как асимптотические направления совпадают с нулевыми
направлениями тензора второй квадратичной формы, то асимптоти-
асимптотические линии ящяются интегральными кривыми уравнения

86 ВТОРАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. V
Они образуют действительную сеть в области гиперболических точек,
мнимую сеть в области эллиптических точек и одно семейство
в области параболических точек.
Если асимптотическая сеть принята за координатную, то со-
согласно п° 3 § 21
ftu = /г22 = 0, B)
и вторая квадратичная форма имеет вид
92 = 2A12da1dtt9. C)
Рассмотрим асимптотическую линию, состоящую из параболических
точек или точек уплощения. Так как в параболической точке одно
из главных направлений должно совпадать с асимптотическим, а в точке
уплощения оно неопределенно, то рассматриваемая асимптотическая
линия есть вместе с тем и линия кривизны. Отсюда следует, что
бинормали данной кривой, совпадающие с нормалями поверхности,
образуют развертывающуюся поверхность. Но выше (конец п° 3 § 17)
мы видели, что это возможно только у плоских кривых.
Таким образом, асимптотическая линия, состоящая из пара-
параболических точек или точек уплощения, есть плоская кривая,
причем содержащая ее плоскость касается поверхности во всех
точках этой линии.
Рассмотрим теперь поверхность нулевой кривизны
Эта поверхность состоит из параболических точек или из точек
уплощения.
Если поверхность состоит из параболических то\*ек, то ее асимп-
асимптотические по предыдущему образуют семейство плоских линий, за-
зависящих от одного параметра, причем касательная плоскость поверх-
поверхности остается неизменной вдоль каждой из линий этого семейства.
Но вследствие этого поверхность огибает семейство плоскостей, за-
зависящих от одного параметра. Таким образом, поверхность, соста-
составленная из параболических точек,—развертывающаяся.
Если поверхность состоит из точек уплощения, то всякая линия
на ней является асимптотической. Взяв семейство линий, зависящих
от одного параметра, докажем, как и в предыдущем случае, что
вдоль каждой из линий этого семейства касательная плоскость по-
поверхности остается неизменной. Возьмем теперь новую линию так,
чтобы она пересекала все линии первого семейства. Так как для
этой линии справедлив тот же результат, то, значит, все плоскости
семейства совпадают между собой. Таким образом, все точки поверх-
поверхности лежат в одной плоскости, так что поверхность, состоящая
из точек уплощения, есть плоскость.

§ 29]
ЛИНИИ КРИВИЗНЫ
87
§ 29. Линии кривизны
1. Линией кривизны называется такая линия, которая в каждой
своей точке касается главного направления поверхности, соответ-
соответствующего этой точке.
Так как главное направление сопряжено ортогональному напра-
направлению, принадлежащему поверхности, то нормали линии кривизны,
расположенные в касательных плоскостях, образуют развертываю-
развертывающуюся поверхность (черт. 31). Так как
нормали кривой, повернутые на прямой
угол, будут снова составлять разверты-
развертывающуюся поверхность (п° 3 § 17), то
мы приходим к следующему результату:
линия кривизны характеризуется тем,
что нормали поверхности образуют
вдоль этой линии развертывающуюся
поверхность.
Отсюда и из той же теоремы § 17 не-
непосредственно вытекает теорема Иоахим-
сталя: для того чтобы две поверхности
пересекались под постоянным углом по
линии кривизны одной из этих поверх-
поверхностей, необходимо и достаточно,
чтобы эта линия была линией кривизны
и на другой поверхности.
2. Из формулы A0) § 17 следует
также, что для дифференцирования в на-
направлении линии кривизны характерно
соотношение
dn^kdr, A)
где г — радиус-вектор точки поверхности, Черт. 31.
ал — ее единичный нормальный вектор.
Умножая обе части скалярно на dr и вспоминая определение основ-
основных квадратичных форм поверхности, получим
х dndr ъ и
где kn — нормальная кривизна поверхности, соответствующая тому
из главных направлений, которого касается данная линия кривизны,
т. е. одна из главных кривизн.
Так мы приходим к формулам Родрига
dn^ — ktdr, B)
где ki — одна из главных кривизн, а дифференцирование происхо-
происходит по соответствующему главному направлению.

88 ВТОРАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. V
3. Точка огибающей семейства нормалей поверхности, взятых
вдоль линии кривизны, должна лежать на оси кривизны этой линии
(п° 4 § 17).
Но согласно теореме Менье эта ось пересекает нормаль поверх-
поверхности в центре кривизны нормального сечения, касающегося данной
линии или, в данном случае, — главного направления. Итак, харак-
характеристическая точка развертывающейся поверхности нормалей
совпадает с центром кривизны главного сечения, касающегося
соответствующей линии кривизны.
Радиусы-векторы обеих характеристи-
характеристических точек равны, таким образом,
p = r-f-/fyf, p=rr + /?2/t. C)
1 2
Если точка г пробегает данную по-
поверхность, то точки р и р описывают
1 2
поверхности центров или эволютные
поверхности (черт. 32). Ребра возврата
все^ развертывающихся поверхностей,
составленных из нормалей поверхности,
принадлежат поверхностям центров, а
каждая нормаль данной поверхности ка-
Черт. 32. сается поверхностей центров в центрах
кривизны своих главных сечений.
4. Так как сеть линий кривизны является главной сетью тен-
тензора hy, то ее тензор имеет согласно (9) § 21 следующий вид:
D)
5. Тензор сети линий кривизны обращается в нуль при условии
*« = *&*¦ ^ , E)
характеризующем омбилические точки. В области этих точек всякую
линию следует считать линией кривизны, так как всякое направле-
направление, принадлежащее поверхности, будет в этом случае главным.
Чтобы охарактеризовать поверхность, состоящую из омбилических
точек, возьмем на ней некоторую точку А и проведем через нее
нормальное сечение. Как всякая линия на рассматриваемой поверх-
поверхности, полученная кривая будет линией кривизны, и нормали поверх-
поверхности должны образовать вдоль нее развертывающуюся поверхность.
Но в таком случае угол наклона всех этих нормалей к плоскости
сечения должен быть постоянным и равен нулю, так как нормаль
в точке А заведомо лежит в этой плоскости (п° 4 § 17). Таким
образом, плоское сечение омбилической поверхности, нормальное
в одной из своих точек, нормально и в любой другой своей точке.
Проведем теперь общее нормальное сечение поверхности через две
фиксированные точки А и В и рассмотрим произвольную точку С,

§ 29] линии кривизны 89
не расположенную в плоскости этого сечения. Если нормальные се-
сечения, соединяющие точки А и В с точкой С, пересекаются, то
нормаль в точке С, очевидно, пройдет через точку их пересечения.
Если же нормали в точках А и В будут параллельны, то им будет
параллельна и нормаль в точке С.
Итак, все нормали омбилической поверхности или пересе-
пересекаются в одной точке, или параллельны между собой.
Однако последний случай отпадает, потому что при его наличии
вторая квадратичная форма обращается в нуль, и мы имеем дело
с плоскостью, которая состоит не из омбилических точек, а из точек
уплощения. Остается рассмотреть первый случай. Всякое нормаль-
нормальное сечение, проходящее через некоторую точку, есть плоская кри-
кривая, нормали которой пересекаются в одной точке, т. е. окружность.
Все эти окружности имеют одну и ту же кривизну, так как точка
омбилическая, откуда видно, что омбилическая поверхность есть
сфера.
Принимая во внимание, что всякая линия на плоскости или
на сфере есть линия кривизны, приходим к такому следствию тео-
теоремы Иоахимсталя: поверхность может пересекаться под постоян-
постоянным углом или соприкасаться со сферой или плоскостью только
по своей линии кривизны.

ГЛАВА VI
ПОВЕРХНОСТЬ ВРАЩЕНИЯ И ЕЕ ОБОБЩЕНИЯ
§ 30. Поверхность вращения и ее изгибание
1. Поверхность, образованная вращением плоской кривой вокруг
прямой, расположенной в ее Плоскости, называется поверхностью
вращения. Эта прямая называется осью вращения поверхности. Се-
Сечения поверхности плоскостями, проходящими через ось вращения,
называются меридианами. Все меридианы — плоские кривые, кон-
конгруэнтные кривой, вращением
которой образована данная
поверхность. Линии пересече-
пересечения поверхности плоскостями,
ортогональными оси вращения,
называются параллелями. Все
параллели — окружности с
центрами на оси вращения,
расположенные в параллель-
параллельных ПЛОСКОСТЯХ.
Чтобы полупить уравнение
поверхности вращения, допу-
допустим, что ось вращения совпа-
совпадает с осью Oz (черт. 33).
Введем в подвижной плоскости
систему координат с осью О?,
совпадающей с Oz, и осью Qy\,
к ней перпендикулярной. Координатный вектор оси ОС совпадает
с вектором k оси Oz, а единичный вектор подвижной оси Оч\ выра-
выразится как круговая функция #(<р) угла, который он образует
с осью Ох.
Образующую кривую поверхности зададим параметрическим урав-
уравнением по отношению к осям ч\О^ так, что радиус-вектор ее точки
М будет
A)
Черт. 33.
Уравнение A) дает зависимость радиуса-вектора точки М по-
поверхности от Двух параметров и является искомым; параметрические

§ 30] ПОВЕРХНОСТЬ ВРАЩЕНИЯ И ЕЕ ИЗГИБАНИЕ 91
линии ср =. const будут меридианами, а линии t = const — парал-
параллелями поверхности.
2. Чтобы вычислить линейный элемент поверхности вращения,
найдем дифференциал радиуса-вектора
dr =
откуда
^52 = т]2 Лр* + (V8 + &) dt2. B)
Отсутствие члена с произведением дифференциалов показывает,
что координатная сеть, состоящая из меридианов и параллелей, орто-
ортогональна.
Выражение B) принимает более простой вид, если за параметр
вдоль меридиана принять длину его дуги /.
В таком случае ;
и, следовательно,
C)
Наконец, приведя линейный элемент к виду
и полагая
получим
ds* = т]9 (и) (du* + dv2). D)
Такой вид линейного элемента, когда он отличается от линей-
линейного элемента плоскости в прямоугольных координатах только мно-
множителем, называется изотермическим.
3. Покажем, что любую поверхность с линейным элементом вида
ds2 = Р2 (и) du2 + 2Q (и) du dw + В2 (и) dw2 E)
можно наложить на поверхность вращения, так что при этом
линии и = const наложатся на параллели. Для этого представим его
в следующем виде:
и введем новый параметр
и обозначение
— л •

92
ПОВЕРХНОСТЬ ВРАЩЕНИЯ И ЕЕ ОБОБЩЕНИЯ
[ГЛ. VI
После этого линейный элемент E) примет вид
ds* = А2 (и) du* + Я2 (и) dv\
F)
и мы будем искать такую поверхность вращения, для которой он
совпадает с линейным элементом вида B). Очевидно, что этого
можно добиться, положив
G)
(8)
и искомая поверхность определится уравнением
г = се —
\V A*(u) — с2В
du
с точностью до произвольного постоянного с, изменяя которое,
можно осуществить ее непрерывное изгибание. Так как при этом
изгибании сеть линий кривизны сохраняется, то она является изги-
изгибанием на главном основании (п° 5 § 27).
§ 31. Вторая квадратичная форма поверхности вращения
1. Плоскость всякого меридиана поверхности вращения есть ее
плоскость симметрии. Отсюда следует, что индикатриса Дюпена,
построенная для какой-либо точки поверхности вращения, должна
быть симметрична относительно плоскости меридиана, проходящего
через эту точку. Но ось симметрии кривой второго порядка совпа-
совпадает с одной из ее главных осей. Таким образом, одно из главных
направлений поверхности вращения, в данной ее точке, совпадает
с направлением меридиана, а дру-
другое, перпендикулярное к первому,
есть направление касательной к па-
параллели. Установив это, выясним,
чему будут равны радиусы главных
кривизн. Так как меридиан является
одним из главных сечений, то один
из радиусов главной кривизны
совпадает с радиусом кривизны
меридиана.
Центр кривизны нормального се-
сечения С2, касающегося параллели,
по теореме Менье, должен проектироваться в центр кривизны
са^ой параллели С, а последний, очевидно, лежит на оси вращения
в'плоскости параллели. Отсюда следует, что С2 лежит на оси вращения
(черт. 34). Таким образом, второй радиус главной кривизны равен
отрезку нормали между точкой поверхности и осью вращения.
Если меридиан обращен вогнутостью к оси вращения (на черт. 35
участок АВ), то центры кривизны обоих главных сечений находятся
по одну сторону от касательной плоскости, полная кривизна поло-
положительна и точка эллиптическая.
Черт. 34.

§ 31] ВТОРАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ
93
Наоборот, если меридиан обращен к оси вращения своей вы-
выпуклостью (на черт. 35 участок ВС), то центры главных кривизн
расположены по разные стороны от касательной плоскости, вслед-
вследствие чего полная кривизна отрицательна, а точка гиперболическая.
Точка поверхности вращения будет параболической в двух сле-
следующих случаях.
1) Если точка меридиана будет точкой спрямления (на черт. 35
точки В и С), то его кривизна, т. е. одна из главных кривизн по-
поверхности, в этой точке равна нулю,
а значит, равна нулю и полная кривизна
поверхности.
2) Если касательная к меридиану
в данной точке, не принадлежащей оси
вращения, перпендикулярна к оси враще-
вращения (на черт. 35 точки А и С), то радиус
главной кривизны, равный отрезку нор-
нормали, обратится в бесконечность, так как
нормаль параллельна оси вращения. Таким
образом, и в этой точке полная кривизна
равна нулю, а точка параболическая.
Наконец, точка уплощения на поверх-
поверхности вращения будет такой точкой мери- Черт.*35.
диана, для которой имеют место оба
последних условия (на черт. 35 точка С), т. е. если она будет точкой
спрямления с касательной, перпендикулярной к оси вращения.
Действительно, при этом по формуле Эйлера нормальная кривизна
любого направления будет равна нулю, что возможно только в слу-
случае обращения в нуль второй квадратичной формы.
Меридианы и параллели поверхности вращения будут ее линиями
кривизны, так как они касаются главных направлений. Следует это
и из того, что нормали поверхности вдоль меридиана лежат в одной
плоскости, а вдоль параллели образуют конус. И та и другая по-
поверхности — развертывающиеся.
2. Из A) § 30 следует, что нормальный вектор поверхности вра-
вращения
а его абсолютная величина N= У L2-\-y\2.
Так как
dN = l (t \
то вторая квадратичная форма поверхности вращения
_ drdN
?2— N

94 ПОВЕРХНОСТЬ ВРАЩЕНИЯ И ЕЕ ОБОБЩЕНИЙ [гЛ. VI
будет иметь вид
где М = С-г)—-г) С, а ее полная и средняя кривизны
§ 32. Частные виды поверхности вращения
1. Сфера есть поверхность вращения круга вокруг его диаметра.
В географических координатах ее уравнение имеет вид
г = а (^ (ср) cos^ + ftsin^), A)
а ее линейный элемент вида B) § 30
ds2 = а2 (*/фа + cos2 ф d<f). B)
Так как нормаль сферы направлена по ее радиусу, то
"=т-
и вторая квадратичная форма сферы
dr2 ds*
т. е. только постоянным множителем —V- отличается от ее первой
квадратичной формы. Это соответствует тому факту, ^что все точки
сферы омбилические, а кривизна любого нормального сечения об-
ратна радиусу сферы.
2. Псевдосфера. Трактриса есть плоская кривая, характе-
характеризуемая тем свойством, что отрезок ее касательной между точкой
прикосновения и некоторой прямой {базой трактрисы) постоянен. Со-
Составим уравнение трактрисы, приняв базу за ось Ох, а угол а на-
наклона касательной к оси Ох за параметр (черт. 36). Если а есть
длина постоянного отрезка касательной, то
у ^= a sin a, dy = a cos а da,
, , , cos2 а .
dx = ctgf а dy = а —. da,
6 ^ sin а
откуда, интегрируя, получим

§ 32]
ЧАСТНЫЕ 6ИДЫ ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ
95
При сделанном выборе постоянного интегрирования кривая сим-
симметрична относительно оси Оу.
При а-» 0 и a~>ic кривая асимптотически приближается к базе.
Приаму кривая имеет точку возврата; ее координаты х = О,
у = а. Касательная в ней совпадает с осью Оу.
Найдем кривизну трактрисы. Так как
= а?
¦ cos2 a) da2 = a2 ctg2 a
то
da_
ds
a
_ У
a2cos a '
С другой стороны, отрезок нормали ВМ
между базой и точкой прикосновения
V
COS a
Отсюда следует
D)
Таким образом, постоянный отрезок каса-
касательной трактрисы есть среднее пропор-
пропорциональное между отрезком нормали и ра- Черт. 37.
диусом кривизны.
Псевдосферой называется поверхность вращения трактрисы во-
вокруг ее базы (черт. 37).
Примем во внимание, что главные радиусы кривизны поверхности
вращения равны отрезку нормали, ограниченному осью вращения, и
радиусу кривизны меридиана, а также то, что выпуклость трактрисы
обращена к ее базе.

96 ПОВЕРХНОСТЬ ВРАЩЕНИЯ И ЕЕ ОБОБЩЕНИЯ [ГЛ. VI
Отсюда и из D) следует, что полная кривизна псевдосферы отри-
отрицательна и постоянна или
*=--ЗГ, (б)
где а — отрезок касательной меридиана, ограниченный его базой.
Обозначив угол наклона касательной МА (см. черт. 36) к оси
вращения через а, будем иметь 'для ординаты точки меридиана
т) = a sin a.
С другой стороны, дифференциал дуги / меридиана связан с диффе-
дифференциалом ординаты точки этого меридиана соотношением
dr\ = dl sin ос,
откуда
Линейный элемент поверхности вращения
принимает в нашем случае вид
Вводя новые параметры
<Р 1
a s Y] '
получим линзйный элемент изотермического вида
3. Катеноид. Цепной линией называется эволюта трактрисы
(см. черт. 36). Координаты центра кривизны последней, как это сле-
следует из D),
хх = х — a cos a = a In tg -^-,
а а (. а
G)
Исключая параметр а, получим уравнение эволюты трактрисы
Это есть цепная линия, база которой совпадает с базой тракг
трисы, а вершина х — 0, у = а с особой точкой трактрисы.

§ 33]
винтовые поверхности
97
Чтобы найти кривизну цепной линии, используем тот факт, что
длина дуги цепной линии связана с радиусом кривизны трактрисы
соотношением
dst = —dp.
С другой стороны, угол наклона касательной к цепной линии
откуда следует, что ее раплус кри-
кривизны
dst
HO
dp_
da
= У1
¦ Sin a
Уг
la Sin a '
Черт. 38.
есть отрезок нормали^цепной линии,
ограниченный точкой пересечения с
базой. Итак, радиус кривизны цеп-
цепной линии равен отрезку ее нормали
между точкой прикосновения и базой
Nx = pt. (8)
Поверхность вращения цепной линии вокруг ее базы называется
катеноидом (черт. 38).
Примем снова ва внимание значение главных радиусов кривизны
поверхности вращения, а также и то, что выпуклость цепной линии
обращена к ее базе так, что знаки главных кривизн противоположны.
Отсюда следует, что средняя кривизна катеноида равна нулю и
он принадлежит классу минимальных поверхностей.
Уравнение катеноида имеет вид
r = ae(<f)ch ^ + kt> (9)
а его линейный элемент
или, полагая и = — , v = <р,
ds2 = a2ch2 и
dv2).
A0)
§ 33. Винтовые поверхности
Если плоская кривая вращается равномерно вокруг оси, располо-
расположенной в ее плоскости, и вместе с тем движется равномерно и по-
поступательно в направлении этой оси, то она описывает при этом
винтовую поверхность. Принимая ось Oz за ось вращения и

98
ПОВЕРХНОСТЬ ВРАЩЕНИЙ И ЕЕ ОБбЫДЁНИЯ
гл. Vi
предполагая, что плоская кривая, описывающая поверхность, задана
параметрическим уравнением
A)
B)
получим параметрическое уравнение винтовой поверхности
-f a
и выражение ее линейного элемента
ds* — (rf -f С2) dt2
которое показывает, что винтовая поверхность наложима на поверх-
поверхность вращения (§ 30).
При а = 0 винтовая поверхность вырождается в поверхность вра-
вращения.
Если образующая линия поверхности прямая, то поверхность на-
называется геликоидом, который называется прямым (черт. 39), если
образующая прямая составляет с осью
вращения прямой угол, и косым, если
этот угол острый.
Для геликоида можно положить
4\=ztsin a, C=?cosa,
и %го уравнение имеет вид
г = te (cp) sin a 4- (t cos a -f- acp) ft, C)
а его линейный элемент
ds2 = d*2 + 2a cos a.
Черт. 39.
Наконец, для прямого геликоида имеем
r = fe(?)+a<p*f E)
ds* = dt2 + (fl + a2) dcp2. F)
Сделав замену
приведем линейный элемент прямого геликоида к изотермическому
виду
ds2 = a2 ch2 и (du*-\-dv*). G)
Сравнивая с A0) § 32, мы видим, что прямой геликоид наложим
на катеноид.
Легко видеть, что этот геликоид состоит из главных нормалей
винтовых линий t = const. Вследствие этого его касательные пло-
плоскости совпадают с соприкасающимися плоскостями этих линий, которые

§ 34]
ПОВЕРХНОСТИ
99
поэтому будут асимптотическими* Но они ортогональны прямолиней-
прямолинейным асимптотическим линиям <р = const. Отсюда следует, что сред-
средняя кривизна геликоида
и он принадлежит классу минимальных поверхностей.
§ 34. Резные поверхности
. Резной поверхностью называется поверхность, составленная из
ортогональных траекторий однопараметрического семейства плоско-
плоскостей (черт. 40). Если это семейство вырождается в пучок, то эти
ортогональные траектории об-
обращаются в окружности, и рез-
резная поверхность вырождается
в поверхность вращения.
Возвращаясь к общему слу-
случаю, мы будем называть парал-
параллелями резной поверхности
ортогональные траектории дан-
данного семейства плоскостей, а
меридианами — сечения по-
поверхности этими плоскостями.
Нормали резной поверх-
поверхности, очевидно, лежат в пло-
плоскостях меридианов, вследствие
чего меридианы являются ли- Черт. 40.
ниями кривизны поверхности.
Другое семейство линий кривизны совпадает с семейством паралле-
параллелей, так как последние являются ортогональными траекториями
меридианов.
Чтобы составить уравнение резной поверхности, рассмотрим урав-
уравнение одной ее параллели, которую будем называть начальной:
A)
считая и ее натуральным параметром.
В каждой точке этой линии мы введем местную систему коорди-
координат, образованную двумя взаимно перпендикулярными нормальными
векторами этой кривой:
( }
В таком случае уравнение любого меридиана может быть запи-
записано в следующем виде:
(a, v)q.

100 ПОВЕРХНОСТЬ ВРАЩЕНИЙ И ЕЁ ОБОБЩЕНИЯ [ГЛ. VI
Потребуем, чтобы нормали, содержащие р и q, описывали разверты-
развертывающиеся поверхности. Для этого достаточно положить согласно
A3) § 17 и A1) § 17
J C)
В таком случае
dp = — т& cos tidu,
dq = %k sin 0 du
Но параллели, т. е. линии v = const, должны быть ортогональ-
ортогональными траекториями плоскостей, содержащих векторы р, q, что
имеет место только в том случае, когда функции т) и С не зависят
от «, а это показывает, что все меридианы резной поверхности
конгруэнтны между собой. Последнее свойство позволяет утвер-
утверждать, что резная поверхность описывается кривой, которая
расположена в плоскости, катящейся без скольжения по некото-
некоторой развертывающейся поверхности {огибающей данного семей-
семейства плоскостей).
По доказанному уравнение резной поверхности имеет вид
г - Р («) + Ч (<*р (и) + С (v) q (в), D)
где р и q определены по формулам B) й C), а и, х, v, {$ суть
длина дуги, кручение и векторы главной нормали и бинормали кри-
кривой A). Линейный элемент поверхности имеет вид:
in6 — т] cos в)]а4й9 + Сча+ ?)*>*. E)
§ 35. Каналовые поверхности
Каналовыми поверхностями называются огибающие однопара-
метрического семейства сфер.
Если уравнение этого семейства имеет вид
[/? — г(и)]а — аа(а) = 0, A)
то его характеристика определится при его совместном рассмотре-
рассмотрении с уравнением
(Д — г)г —<ш = 0. B)
Однако последнее уравнение выражает плоскость с нормальным
вектором г, и таким образом, характеристики семейства будут кру-
кругами, расположенными в плоскостях, параллельных нормальным пло-
плоскостям линии, на которой расположены центры сфер семейства.

§ 35] КАНАЛОВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ 101
Так как каналовая поверхность касается сфер A) вдоль харак-
характеристических кругов, то эти последние будут согласно теореме
Иоахимсталя (п° 5 § 29) ее линиями кривизны.
Если радиус сфер семейства постоянен, то поверхность назы-
называется трубчатой. Из B) следует, что характеристические круги
трубчатой поверхности лежат в нормальных плоскостях линии цен-
центров сфер семейства и являются большими кругами сфер семейства.
Но вследствие этого нормаль поверхности лежит в плоскостях харак-
характеристических кругов, и ортогональные траектории этих кругов
являются вместе с тем и ортогональными траекториями этих плоско-
плоскостей. Таким образом, трубчатая
поверхность принадлежит к чи-
числу резных поверхностей.
Каналовые поверхности с прямо-
прямолинейным местом центров сфер се-
семейства состоят из кругов, располо-
расположенных в плоскостях, ортогональных
этой линии, и, следовательно, вы-
вырождаются в поверхности вращения.
Особым случаем каналовых по- Черт. 41.
верхностей являются такие поверх-
поверхности, которые являются огибающими двух различных семейств кру-
кругов одновременно. Они называются циклидами. Оба семейства линий
кривизны циклиды являются кругами. Примером циклиды может слу-
служить поверхность вращения круга вокруг оси, расположенной в его
плоскости. Уравнение этой поверхности может быть представлено
в следующем виде:
г = (с -f- a cos ф) е (с?) + a sin tyk.
Если образующий круг поверхности не пересекает ось вращения
т. е. если
с > а,
поверхность называется тором (черт. 41).

ГЛАВА VII
ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ И ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ
КОНГРУЭНЦИИ
§ 36. Линейный элемент и касательная плоскость линейчатой
поверхности
1. Линейчатой поверхностью называется место точек, принад-
принадлежащих прямым некоторого однопараметрического семейства. Эти
прямые называются обра-
образующими поверхности, а
линия, пересекающая в одной
и только одной точке всякую
образующую, называется на-
направляющей (черт. 42).
Вводя уравнение напра-
направляющей
и предполагая, что единич-
единичный вектор образующей,
проходящей через точку
этой направляющей,
т = т(и), B)
мы можем представить уравнение поверхности в следующем виде:
r = p(a) + vm(u), C)
где v — абсцисса точки на прямолинейной образующей.
2. Обозначая точкой производную по и, получим
dr = (p-^-vm)da-\-mdv. D)
Отсюда следует, что линейный элемент поверхности
ds2 = (р2 + 2nipv + m2v2) du2 + 2тр du dv + dv2. E)
Направляющая кривая является ортогональной траекторией обра-
образующих, если
/яр — 0. F)

§ 37] РАЗВЕРТЫВАЮЩИЕСЯ ПОВЕРХНОСТИ КАК ЛИНЕЙЧАТЫЕ 103
Но в таком случае линейный элемент поверхности принимает вид
' u* + dv\ G)
и всякая линия v = const будет ортогональной траекторией обра-
образующих. Отсюда следует, что геометрическое место точек линей-
линейчатой поверхности, равноудаленных от точек ортогональной
траектории образующих, есть тоже их ортогональная траек-
траектория.
3. Нормальный вектор поверхности
N=[pm]-\-v[thm]i (8)
а ее касательная плоскость имеет уравнение
{[pm] + v[mm])(R — р) = 0. (9)
§ 37. Развертывающиеся поверхности как линейчатые
Касательная плоскость будет одной и той же во всех точках
образующей, если векторы [рт] и [mm] коллинеарны между собой,
а если это имеет место для всех образующих, то поверхность оги-
огибает однопараметрическое семейство плоскостей, т. е. будет развер-
развертывающейся.
Применяя известное векторное тождество
[[рт] [mm]] = т (ртт) — т (ртт)
и приравнивая нулю векторное произведение, получим условие кол-
коллинеарности указанных векторов или условие того, что линейчатая
поверхность развертывающаяся г)
(ртт) = 0. A)
Пользуясь этим условием коллинеарности, мы можем положить
р = \т + у-Щ* т — \т\тх,
где mt — единичный вектор, перпендикулярный к m, a \ и {х — функ-
функции параметра и. После этого линейный элемент развертывающейся
поверхности принимает вид
ds* — (>,2 + (|х +1 т | vf) da*-\-2\dudv + dv*, B)
а если направляющая ортогональна образующим, то
. C)
1) Условие A0) сохраняет силу и ~в том случае, когда направляющий
вектор т не является единичным,

104 ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ И ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ КОНГРУЭНЦИИ [ГЛ. VII
В случае цилиндрической поверхности т = 0, и, полагая
получим ее линейный элемент
ds2 = dx2-\-dy2. D)
Считая, что р = const—радиус-вектор вершины конической по-
поверхности, и полагая
получим
ds3 = r9d<pa4-dr2. E)
Если поверхность есть место касательных прямых кривой A)
§ 36, а и есть длина ее дуги, то р = т = т есть ее единичный
касательный вектор, a |m| = ft — ее кривизна и линейный элемент
поверхности имеет вид
ds* = A + k№) du* + 2du dv + dv°\ F)
Покажем, что все развертывающиеся поверхности наложимы на
плоскость, что и объясняет их название.
Для цилиндра и конуса это очевидно, так как их линейные эле-
элементы D) и E) совпадают с линейными элементами плоскости в пря-
прямоугольных декартовых и полярных координатах.
Остается рассмотреть развертывающуюся поверхность с ребром
возврата, которая имеет линейный элемент вида F).
Мы видим, что его коэффициенты зависят только от кривизны
ребра возврата, т. е. от вида функции
где k — кривизна, а и—длина дуги этой линии. Отсюда следует,
что если деформировать ребро возврата так, чтобы при этом его
кручение изменялось, а зависимость кривизны от длины дуги оста-
оставалась неизменной, то линейный элемент поверхности, составленной
из касательных к этой линии, будет оставаться неизменным и, зна-
значит, поверхность будет изгибаться.
Но так как соотношения между кривизной, кручением и длиной
дуги могут быть выбраны независимо, то, не меняя первое, мы
можем выбрать кручение так, чтобы оно было тождественно равно
нулю. При таком выборе ребро возврата станет плоской кривой,
а все его касательные расположатся на плоскости. Следовательно,
изгибая нашу поверхность, мы можем добиться того, что все ее
точки расположатся на плоскости. Таким образом, развертывающаяся
поверхность с ребром возврата тоже наложима на плоскость,

§ 38] ПРИСОЕДИНЕННЫЕ ТОЧКИ И ТОЧКИ СТРИКЦИИ 105
§ 38. Присоединенные точки и точки стрикции
Точка М называется присоединенной точки Мо на образую-
образующей М0М, если в этих точках касательные плоскости линейчатой
поверхности взаимно перпендикулярны.
Предположив, что Мо есть точка направляющей кривой, будем
искать абсциссу v присоединенной точки. В силу (8) § 36 условие
перпендикулярности касательных плоскостей будет иметь вид
N0N = [рт]2 + v [рт] [mm] = [рт]2 + v {(рт) т2 — (рт) (mm)} = 0,
и так как т2 = 1, mm — 0, то
(pm)
Точка Мо называется точкой стрикции или сжатия, если ее
присоединенная точка не существует, или, иначе говоря, неограни-
неограниченно удаляется по мере приближения точки образующей к точке Мо.
Из A) следует, что точка направляющей будет точкой стрикции
при условии
(гт) = 0. B)
Если же это условие выполняется во всех точках направляющей,
то она состоит из стрикционных точек и называется стрикционной
линией или линией сжатия.
Чтобы объяснить название точки сжатия, найдем расстояние до
образующей от некоторой точки соседней образующей. Как известно
из аналитической геометрии1), это расстояние
а квадрат его главной части в случае бесконечно близких образующих
равен
[т drf -{~2[m dr\ [m dm] v-\-[m dm]2v2 =
= [т dr]2 + 2 (dr dm) v+[m dm]2v2.
Если точка Мо есть точка сжатия, то
dr dm = 0
и расстояние будет наименьшим при ^ = 0.
Таким образом, точка сжатия есть предельное положение такой
точки образующей, которая является ближайшей к другой образую-
образующей, бесконечно приближающейся к данной.
l) H. И. Мусхелишвили, Курс аналитической геометрии, М.—Л.?
Гостехиздат, 1947, § 158.

106 ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ И ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ КОНГРУЭНЦИИ [ГЛ. VII
Ребро возврата поверхности касательных и всякую линию цилин-
цилиндрической поверхности следует считать их стрикционными линиями,
а вершину конической поверхности — ее единственной стрикционной
точкой, так как во всех этих случаях условие B) выполняется.
§ 39. Параметр распределения
1. Кратчайшее расстояние между двумя прямыми определяется
по формуле *)
1 (/*! — /*2 #*! #*2)
где гх и r2 — радиусы-векторы начальных точек этих прямых, а т\
и т2 — их направляющие векторы.
Применяя эту формулу к двум бесконечно близким образующим
не цилиндрической линейчатой поверхности, получим следующее вы-
выражение главной части этого расстояния:
д/^ (mdmdr)
~ I \m dm] | '
но
\mdrn]2'= dm*ж Дер2, A)
т. е. квадрату элемента угла между двумя бесконечно близкими
образующими, и вследствие этого
/— ^1— Л*т\
B)
Величина /?, т. е. предел отношения кратчайшего расстояния
между бесконечно близкими образующими к углу между ними, назы-
называется параметром распределения поверхности.
Параметр распределения обращается в нуль для всех разверты-
развертывающихся поверхностей, кроме цилиндрических.
2. Предположим, что направляющая кривая совпадает со стрик-
стрикционной линией поверхности.
В таком случае единичный вектор нормали в стрикционной точке
(т. е. при v = 0)
No= [pm],
но
¦ • *• •• ••
[Nom] = [ [pm] m] = (pm) m — (mm) p = 0,
Af0 = ш,
причем
/газ
i)H. И. Мусхелишвили, Курс аналитической геометрии, М.—Л.,
Гостехиздат, 1947, § 160,

§ 40] АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ЛИНИИ ЛИНЕЙЧАТОЙ ПОВЕРХНОСТИ 107
Таким образом, вектор нормали в любой точке образующей
имеет вид
N~pm-{-v [mm], C)
но векторы т и [mm] взаимно перпендикулярны и имеют одинако-
одинаковую абсолютную величину |т|, вследствие чего
D)
где 6 есть угол между нормалями в точке стрикции и в точке с абс-
абсциссой V.
Из D) следует, что для любых четырех точек одной прямоли-
прямолинейной образующей с абсциссами v{ (/=1, 2, 3, 4) имеет место
соотношение
tg 63 — tg вг . tg 64 — tg 6t
e2 — tg e3 * tg e2 — tg e4'
которое показывает, что ангармоническое отношение четырех пло-
плоскостей, касающихся поверхности в точках одной прямолинейной
образующей, равно ангармоническому отношению этих точек.
§ 40. Асимптотические линии линейчатой поверхности
1. Введем следующие обозначения для выражения нормального
вектора линейчатой поверхности:
• •
N= [pm]-\~v[mm] = a-\-vb.
Умножая скалярно
dN=(a-\-vb)da-{-bdv
на
dr ~ dp ~\~ v dm -\-dvm
и принимая во внимание, что
Ът = Ът = 0,
получим для второй квадратичной формы поверхности
dNdr
где Л, Ву С, D зависят только от а.
Приравнивая ср2 нулю, мы получим, кроме семейства прямолиней-
прямолинейных образующих и = const, которые, очевидно, являются асимптоти-
асимптотическими, дифференциальное уравнение второго семейства асимптоти-
асимптотических линий

108 ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ И ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ КОНГРУЭНЦИИ [ГЛ. VII
Это есть обыкновенное уравнение типа Риккати. Известно, что
всякая четверка его решений^ (/— 1, 2, 3, 4) удовлетворяет условию
— vs * v2 —
= const.
Но величины vx есть абсциссы точек, в которой асимптотические
линии второго семейства пересекают прямолинейную образующую,
и мы приходим к следующему результату: ангармоническое отно-
отношение точек, в которых четыре асимптотические линии линей-
линейчатой поверхности пересекают ее образующие, постоянно для
всех этих образующих.
2. В числе асимптотических линий второго семейства линейчатой
поверхности могут содержаться прямые линии. В зависимости от
числа этих прямых линий мы будем говорить о линейчатых поверх-
поверхностях с одной, двумя или большим числом прямолинейных напра-
направляющих. Так, например, косой геликоид, рассмотренный нами в § 33,
имеет одну прямолинейную направляющую, которая совпадает с осью
вращения.
С проективной точки зрения прямолинейную направляющую имеют
и так называемые поверхности Каталана, т. е. такие линей-
линейчатые поверхности, все образующие которых параллельны одной
направляющей плоскости. Прямолинейная направляющая совпадает
в этом случае с несобственной прямой этой плоскости.
Поверхность Каталана называется коноидом, если она имеет еще
вторую прямолинейную направляющую, а если эта прямая перпен-
перпендикулярна к направляющей
плоскости поверхности, то ко-
коноид называется прямым.
Легко видеть, что для прямого
коноида эта направляющая
является стрикционной линией.
Примером прямого коноида
может служить прямой гели-
геликоид.
3. Предположим, что ли-
линейчатая поверхность имеет
три прямолинейные' направляю-
направляющие а, Ъ, с (черт. 43), не
лежащие в одной плоскости1),
и рассмотрим два пучка пло-
плоскостей (а) с осью а и ($) с осью Ь. Любые две плоскости а
пучка (а) и р пучка ([3), пересекающиеся по прямолинейной образу-
образующей поверхности, встречаются в некоторой точке С направляющей с.
Черт. 43.
*) В противном случае все образующие лежали бы в одной плоскости.

§ 41] ПРЯМОЛЙНЕЙН. КОНГРУЭНЦИЯ И ЕЁ ОСНОВНЫЕ КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ 109
Отсюда следует, что, считая соответственными те плоскости пучков (а)
и ф), которые пересе каются по прямолинейной образующей поверх-
поверхности, мы установим проективное соответствие между плоскостями
этих пучков.
Однако известо, что геометрическое место прямых пересечения
соответствующих плоскостей двух проективных пучков есть линей-
линейчатая поверхность второго порядка. Таким образом, линейчатая
поверхность с тремя направляющими есть линейчатая поверх-
поверхность второго порядка, и эти направляющие входят во вторую
систему ее прямолинейных образующих.
§ 41. Прямолинейная конгруэнция и ее основные
квадратичные формы
1. Прямолинейной конгруэнцией называется семейство прямых,
зависящих от двух параметров.
Всякую прямую конгруэнции можно задать уравнением
г = р(и\ u^ + vmiu*, u% A)
где т есть единичный направляющий вектор луча конгруэнции,
а р — радиус-вектор точки ее опорной поверхности. Опорную по-
поверхность конгруэнции можно, конечно, выбрать с большим произ-
произволом, так как всякая поверхность, заданная параметрическим ура-
уравнением
будет опорной для той же конгруэнции.
Относя всякому лучу точку сферы единичного радиуса, радиус-
вектор которой
т~ т(иг, и2)у
мы построим сферическое отображение конгруэнции. В дальнейшем
мы будем исключать из рассмотрения такие конгруэнции, сферическое
отображение которых вырождается в линию. Такие конгруэнции
называются цилиндрическими.
Всякую линейчатую поверхность, принадлежащую конгруэнции,
можно задать ее внутренним уравнением, т. е. уравнением вида
В сферическом отображении ей соответствует некоторая кривая
линия, принадлежащая сфере единичного радиуса.
2. Квадрат бесконечно малого угла А<р между двумя образую-
образующими этой линейчатой поверхности конгруэнции
Дер2 да dnfi = ^jdWdui, B)
где
, C)
есть основной метрический тензор сферического отображения.

НО ЛЙЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ И ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ КОНГРУЭНЦИИ [ГЛ. Vll
Таким образом, квадрат угла между бесконечно близкими обра-
образующими конгруэнции эквивалентен линейному элементу сфери-
сферического отображения.
3. Параметр распределения той же Линейчатой поверхности
mdmdp
Р -~ dm? '
Вводя вторую квадратичную форму конгруэнции ср2 с коэффициен-
коэффициентами
I
будем иметь
P = fr E)
Вид формулы E) показывает, что параметр распределения ли-
линейчатой поверхности, принадлежащей конгруэнции, зависит только
от направления касательной к линии, являющейся сферическим ото-
отображением этой поверхности.
Кроме того, так как срх и р инвариантны, то и форма ср2 инва-
инвариантна по отношению к преобразованию координат, а следовательно
(п° 5 § 10), величины [х^- являются ^ординатами тензора, заданного
на поверхности сферы единичного радиуса.
Рассмотрим орты а1 и а1 главных направлений этого тензора или
главных направлений конгруэнции и его главные значения рх и р2.
Рассуждая так же, как в § 23 по отношению к тензору второй
квадратичной формы поверхности, мы получим для любого единич-
единичного вектора
vl = a1 cos ср -(- a1 sin ср,
принадлежащего сфере,
3 — jx^-aW cos2 ср -|- ц^а^ sin2 ср.
Но [x^-i/^tV = /?, т. е. параметру распределения, соответствующему
направлению v*t з.
i
— значения этого параметра, соответствующие главным направлениям
конгруэнции.
Окончательно для всех введенных величин получается соотношение
p = pt cos2 ср+р2 sin2 ср. F)
Величины
называются средним и полным параметрами конгруэнции. Согласно
A8) § 11 и B0) § 11
.jq. (8)

§ 42] РАЗВЕРТЫВАЮЩИЕСЯ И ФОКАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ КОНГРУЭЙЦИИ 1 1 1
Луч конгруэнции называется эллиптическим, гиперболическим
или параболическим в зависимости от того, к какому из этих типов
принадлежит тензор \i{j, соответствующий этому лучу.
Каждый из этих лучей характеризуется положительным, отрица-
отрицательным или нулевым значением полного параметра. Конгруэнция
называется изотропной, если ее главные параметры одинаковы. При-
Признаком такой конгруэнции является пропорциональность коэффициен-
коэффициентов ее основных форм
§ 42. Развертывающиеся
и фокальные поверхности конгруэнции
1. Чтобы найти развертывающиеся поверхности, принадлежащие
конгруэнции, примем во внимание, что параметр распределения этих
поверхностей равен нулю. Поэтому из формулы E) § 41 мы полу-
получим дифференциальное уравнение
Оу A)
интегральные кривые которого расположены на сфере единичного
радиуса и соответствуют развертывающимся поверхностям конгруэн-
конгруэнции. Эти линии составляют сеть, образованную двумя различными
действительными, мнимыми или двумя совпавшими семействами линий
в зависимости от типа тензора [х^-.
Таким образом, в области гиперболических лучей конгруэнция
содержит два семейства развертывающихся поверхностей, в обла-
области параболических лучей эти семейства совпадают между собой,
а в области эллиптических лучей действительных развертываю-
развертывающихся поверхностей не существует.
2. Рассмотрим конгруэнцию неэллиптического типа и семейство
ее развертывающихся поверхностей. Каждая из них содержит после-
последовательность лучей конгруэнции, а все эти поверхности, вместе
взятые,— все лучи конгруэнции. Если все эти поверхности — цилин-
цилиндрические, то конгруэнция будет цилиндрической, так как направляю-
направляющий вектор будет в этом случае зависеть только от одного пара-
параметра.
Когда все развертывающиеся поверхности — конические, то место
их вершин будет кривой линией. Наконец, если все развертываю-
развертывающиеся поверхности имеют ребра возврата, то геометрическим местом
этих ребер будет некоторая поверхность, которая называется фо-
фокальной поверхностью конгруэнции. Все лучи конгруэнции касаются
фокальной поверхности (черт. 44).
В области гиперболических лучей конгруэнцию можно разбить
двумя различными способами на семейство развертывающихся

112 ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ И ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ КОНГРУЭНЦИИ [ГЛ. Vlt
поверхностей. Каждому такому разбиению будет соответствовать
своя фокальная поверхность и конгруэнция будет состоять из общих
касательных своих фокальных поверхностей.
Каждая фокальная поверхность содержит семейство линий, кото-
которые совпадают с ребрами возврата развертывающихся поверхностей
Черт. 44.
одного семейства. Кроме того, на. ней же лежит другое семейство
линий, вдоль которых ее касаются^развертывающиеся поверхности
второго семейства. Но по основному свойству сопряженных направле-
направлений направления линий первого семейства должны быть сопряжены
направлению линии второго семейства в каждой ее точке. Таким
образом, сеть ланий, вдоль которых развертывающиеся поверх-
поверхности конгруэнции гиперболического типа касаются каждой фо-
фокальной поверхности, есть сопряженная сеть этой поверхности.
3. По свойству развертывающихся поверхностей касательная пло-
плоскость к этой поверхности будет одной и той же во всех точках ее
образующей. Если развертывающаяся поверхность принадлежит кон-
конгруэнции, то ее касательная плоскость называется фокальной плоско-
плоскостью конгруэнции. Очевидно, что эта плоскость касается одной из фо-
фокальных поверхностей конгруэнции. Через луч гиперболического типа
проходят две фокальные плоскости. Так как нормальные векторы
этих плоскостей совпадают с нормальными векторами развертывающихся
поверхностей конгруэнции и мы можем взять их в любой точке луча,
т. е., например, при г> —О, то согласно (8) § 36 их можно поло-
положить равными [mdtn] и \mdrn], где d и d — символы дифференци-
дифференцирования в направлении линий, соответствующих развертывающимся
поверхностям. Но эти векторы ортогональны векторам dm и dm,
которые ортогональны лучу конгруэнции и лежат в фокальных
плоскостях. Таким образом, угол между фокальными пло-
плоскостями конгруэнции равен углу между векторами dm и dm,
касающимися линий сферического отображения развертывающихся
поверхностей.

§ 43] НОРМАЛЬНАЯ КОНГРУЭНЦИЯ 113
§ 43. Нормальная конгруэнция
Конгруэнция называется нормальной, если все ее лучи являются
нормалями некоторой поверхности. Легко видеть, что если конгруэн-
конгруэнция нормальна по отношению к одной поверхности
то она нормальна и по отношению к целому семейству поверхно-
поверхностей, определяемых уравнением
т{и\ и% A)
где т — единичный направляющий вектор луча, а с — произвольная
постоянная величина.
Действительно,
и так как
р^т = ttt^nt = 0,
то и fitn = 0, а это значит, что т есть нормальный вектор поверх-
1
ности A). Любые две поверхности семейства A) называются парал-
параллельными между собой; из п° 2 § 36 следует, что расстояние с между
соответствующими точками параллельных поверхностей постоянно для
любых пар этих точек.
По свойству линий кривизны лучи нормальной конгруэнции обра-
образуют вдоль них развертывающиеся поверхности, а так как эти линии
пересекаются под прямым углом, то фокальные плоскости нормаль-
нормальной конгруэнции взаимно перпендикулярны. Но в таком случае и
те направления, которые касаются сферических отображений развер-
развертывающихся поверхностей, тоже взаимно перпендикулярны, а это
значит, что индикатриса тензора |х^- есть равносторонняя гипербола,
а средний параметр нормальной конгруэнции
% = 0. B)
Впоследствии мы покажем, что это условие не только необходимо,
но и достаточно для того, чтобы конгруэнция была нормальной
(см. § 60).
В заключение заметим, что фокальные поверхности нормальной
конгруэнции совпадают с эволютными поверхностями тех поверхно-
поверхностей, которым нормальна данная конгруэнция.

ГЛАВА VIII
ВЕКТОРНЫЕ И ТЕНЗОРНЫЕ ПОЛЯ
НА ПОВЕРХНОСТИ
§ 44. Скалярное поле
Основные понятия теории скалярного и векторного поля могут
быть без труда определены для полей, заданных на поверхности.
Пусть каждой точке поверхности отнесено значение скалярной
функции U. Параметризуя поверхность, мы будем иметь функцию
криволинейных координат
U = U($, и*)9 A)
которую будем, как и всегда, считать дифференцируемой.
Линиями уровня скалярного поля называются такие линии на
поверхности, всем точкам которых соответствует одно и то же зна-
значение скалярной функции, т. е. линии, определяемые уравнением
U(и1, и*)= const. B)
В точках произвольной линии Г, заданной внутренним уравнением
««= *<(*),
скалярная функция будет функцией параметра
U = U(ui(t); a*(t)).
Рассматривая U как сложную функцию i и дифференцируя, мы
получим
а предполагая, что t совпадает с натуральным параметром линии Г,
будем иметь
где
Ui = diU, D)
— единичный вектор касательной к линии Г.

§ 45] Дотация векторного поЛя 115
Из формулы C) следует прежде всего, что производная -т- за-
as
висит в данной точке скалярного поля только от направления каса-
касательной кривой Г, и вследствие этого ее называют производной по
направлению.
Далее очевидно, что значение^ производной по направлению не
зависит от способа параметризации поверхности, и вследствие этого
линейная форма Up,1 инвариантна. Но т* есть вектор, значит, и вели-
величины U\ являются ковариантными координатами некоторого вектора.
Этот вектор называется градиентом функции U, а формула C)
показывает, что производная скалярного поля по направлению равна
скалярному произведению градиента поля на единичный вектор
данного направления.
Предполагая, что линия Г совпадает с линией уровня так, что
dU = 0,
мы будем иметь условие
которое показывает, что градиент скалярного поля направлен по
нормали к линии уровня этого поля.
С другой стороны, при дифференцировании в направлении орто-
ортогональных траекторий линий уровня
dU , , ,,,
так что модуль градиента равен производной по направлению,
нормальному к линии уровня.
Скалярный квадрат градиента называется первым дифференциаль-
дифференциальным параметром функции U и обозначается кхи, а скалярное про-
произведение градиентов двух функций называется их смешанным пара-
параметром и обозначается Ах (f/, V).
Согласно этим определениям
j. F)
§ 45. Ротация векторного поля
1. Векторное поле на поверхности задается координатами своего
вектора V, которые определяются в функции параметров так, что
У,= У<(«*. и*). A)
Векторными линиями называются такие линии на поверхности,
которые касаются в каждой своей точке вектора поля. Дифферен-
Дифференциальное уравнение векторных линий имеет вид B) § 21
V, **< = (), B)

116 ВЕКТОРНЫЕ И ТЕНЗОРНЫЕ ПОЛЯ НА ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. VIII
а уравнение ортогональных траекторий поля
Vidui = 0. C)
Теория векторного поля заимствует из механики понятие работы.
Работой поля по некоторой линии Г, принадлежащей поверхности,
называется криволинейный интеграл от проекции вектора поля на ка-
касательный вектор этой кривой, распространенный на всю эту кривую.
Таким образом, работа
Р=
или короче
J* D)
Работа по замкнутому контуру называется циркуляцией. При
этом для определенности будем предполагать, что направление инте-
интегрирования совпадает с положительным направлением обхода контура,
т. е. таким направлением, при котором область, ограниченная кон-
контуром, находится на левую руку ас наблюдателя, движущегося
с положительной стороны поверхности.
Применение формулы Грина к выражению циркуляции дает
V. dui = J J (dxV2 — dsVt) du* du*. E)
Двойной интеграл в правой части может быть представлен в сле-
следующем виде:
/ / е12 (d±V2 — d%V0 ei2 dot du*>
где ?l2 и е12 — координаты дискриминантного тензора поверхности.
Но в таком виде он совпадает с выражением интеграла по поверх-
поверхности, а интегрируемую функцию можно представить в виде суммы
F)
Величина F) называется ротацией векторного поля. Таким
образом, формула
&V4du* = f J rot Vei$ du* duo = j J rot V do G)
Г 1 2
говорит, что циркуляция векторного поля по замкнутому кон-
туру равна интегралу от ротации поля по поверхности области,
ограниченной этим контуром.

§ 45] ротация векторного поля 117
Применяя теорему об интегральном среднем к правой части G)
и стягивая контур Г к некоторой точке М поверхности, мы без
труда получим
^. (8)
Итак, ротация поля в некоторой его точке равна пределу
отношения циркуляции поля по замкнутому контуру, стягиваю-
стягивающемуся к этой точке, к площади области, ограниченной этим
контуром.
Этот результат показывает, что значение ротации не зависит от
способа параметризации поверхности, или, иначе говоря, ротация
есть инвариант.
2. Поле называется потенциальным, если его ротация равна
нулю в каждой его точке.
Из условия
dtV% — d2Vt = О
следует, что Vx и V2 являются частными производными некоторой
функции V
Vt = dtV.
Итак, для того чтобы поле было потенциальным, необходимо
и достаточно, чтобы вектор этого поля был градиентом неко-
некоторой скалярной функции. Эта функция называется потенциалом
поля. Заметим, что потенциал определяется не однозначно, а с точ-
точностью до произвольного постоянного слагаемого.
3. Ортогональные траектории произвольного векторного поля
образуют семейство, зависящее от одного параметра U. Относя
каждой точке поверхности то значение этого параметра, которое
соответствует ортогональной траектории, проходящей через эту точку,
мы можем рассматривать U как функцию координат точки
U^zUiu1, и*).
Но линии уровня этого скалярного поля совпадают с ортогональ-
ортогональными траекториями поля, и вследствие этого вектор поля коллинеа-
рен градиенту функции
Уг = *др. (9)
Таким образом, вектор всякого поля отличается только ска-
скалярным множителем от вектора потенциального поля.
Как известно, множитель — называется интегрирующим множи-
множителем для уравнения C), определяющего ортогональные траектории.
Нам чаще придется иметь дело с величиной \i, которую мы будем
называть интегрирующим делителем поля; мы будем также назы-
называть вектор дги его направляющим градиентом,

118 ВЕКТОРНЫЕ И ТЕНЗОРНЫЕ ПОЛЯ НА ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. VIII
Направляющий градиент определяется неоднозначно, так как при
замене его потенциала U через W~f(U) имеем grad W=^f (U)gradU,
который коллинеарен прежнему градиенту.
4. Метрический тензор поверхности может быть представлен
через единичные и взаимно ортогональные векторы а{ и Ьг по фор-
формуле A1) § 11
gij = ai<lj + l>ibj. A0)
Если Л и В являются интегральными делителями этих полей, а по-
потенциалы их направляющих градиентов U, V, то
i A1)
и линейный элемент поверхности
ds2 = gij du* daJ = A2 dU* + B*dV*. A2)
Таким образом, величины Л и В в выражении линейного эле-
элемента вида A2) совпадают с интегрирующими делителями единичных
векторов координатных линий, образующих ортогональную сеть.
§ 46. Дивергенция векторного поля
1. Представим себе, что поверхность обтекается тонким слоем
жидкости и что движение это установилось, т. е. что вектор ско-
скорости V, с которой частица жидкости движется в данной точке
поверхности, не зависит от времени.
В этом случае легко вычислить количество жидкости, проходящее
в единицу времени через некоторую область поверхности, ограни-
ограниченную замкнутым контуром Г.
Рассмотрим для этого внешнюю нормаль контура, расположенную
в касательной плоскости поверхности, и пусть тг есть единичный
вектор этой нормали. Количество жидкости, протекающее через эле-
элемент дуги ds, будет зависеть только от проекции вектора скорости
на внешнюю нормаль и будет равно
а количество жидкости, протекающее через весь замкнутый контур,
выразится интегралом
П = & тгУ* ds,
г
который называется потоком вектора V через контур Г.
Повернем теперь векторы mi и V* на прямой угол против часо-
часовой стрелки. После этого вектор тг совпадет с касательным век-
вектором т* контура Г, указывающим направление положительного
обхода, и мы будем иметь

§ 47] ЛАПЛАСОВО ПОЛЕ, ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 119
или
"~\du*. A)
Называя поле векторов Vi дополнительным по отношению к полю Vit
мы приходим к следующему результату: поток вектора поля через
замкнутый контур равен циркуляции вектора дополнительного
поля по тому же замкнутому контуру.
Дивергенцией векторного поля называется ротация дополнитель-
дополнительного поля или величина
div V = rot V = eV дг Vj. B)
Согласно G) § 45
П = J J div Уе^йи1йШ= J J div Vdo C)
или: поток векторного поля через замкнутый контур равен инте-
интегралу от дивергенции поля по поверхности той области, кото-
которая ограничена этим контуром.
2. Поле называется соленоидальным, если его дивергенция равна
нулю в каждой его точке. Соленоидальное поле вполне характери-
характеризуется тем, что его дополнительное поле потенциально.
3. Дивергенция градиента скалярной функции U называется ее
вторым параметром и обозначается A2U. Согласно этому опреде-
определению
&2U = div (grad U). D)
Пользуясь определением дивергенции, легко показать, что
div (XV) = X div V-f- Vgrad X, E)
откуда вытекает следующее выражение второго параметра сложной
функции:
^. F)
§ 47. Лапласово поле, гармонические функции
и изотермические координаты
1. Поле называется лапласовым, если оно одновременно потен-
потенциальное и соленоидальное.
В силу результатов п° 2 предыдущего параграфа потенциаль-
потенциальное поле будет лапласовым тогда и только тогда,. когда его
дополнительное поле тоже потенциально, или, иначе говоря, если
его вектор остается потенциальным после поворота на прямой
угол.
Применяя поворот к вектору U\ дополнительного поля, мы получим

120 ВЕКТОРНЫЕ И ТЕНЗОРНЫЕ ПОЛЯ НА ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. VIII
и если поле U\ было потенциальным, то и поле —U^ тоже будет
потенциальным. Отсюда следует, что поле, дополнительное к ла-
пласову, тоже будет лапласовым.
Потенциальная функция всякого лапласова поля называется гармо-
гармонической. Чтобы найти все функции U, гармонические на данной
поверхности, запишем условие того, что вектор
Ог = дкие\ A)
будет потенциальным. Таким образом, гармонические функции являются
решениями уравнения второго порядка в частных производных
epqdp(drUer.q)=0. B}
Раскрывая это уравнение и вводя обозначение для коэффициентов,
мы приведем его к следующему виду:
AduU + 2Bd212U + Cd222U + 2DdtU + 2Ed2U = 0, B')
где А, В, С, D, Е — функции я1, и1, которые вполне определяются
заданием дискриминантного тензора поверхности. Уравнение A) назы-
называется уравнением Лапласа, соответствующим данной параметризации
поверхности, и принадлежит известному классу уравнений Монжа —
Ампера.
Так как поле, дополнительное к лапласову, тоже лапласово, то
его потенциал будет тоже гармонической функцией. Гармонические
функции, соответствующие дополнительным лапласовым полям, назы-
называются сопряженными. Из A) следует, что сопряженные гармони-
гармонические функции U и V связаны уравнением
2. Мы будем называть изотермическим семейством линий семей-
семейство линий уровня гармонической функции, а изотермической функ-
функцией такую функцию, линии уровня которой образуют изотермиче-
изотермическое семейство; очевидно, что она является также функцией от
гармонической функции. Из F) § 46 следует, что изотермические
функции удовлетворяют уравнению
= ?(№). D)
Изотермическим векторным полем мы будем называть такое
поле, линии которого образуют изотермическое семейство. Поле,
дополнительное к изотермическому, тоже будет изотермическим, так
как за направляющие градиенты этих полей можно принять гра-
градиенты сопряженных гармонических функций, а так как эти гра-
градиенты равны по абсолютной величине, то дополнительные изотер-
изотермические поля имеют общий интегрирующий множитель.

§ 47] ЛАПЛАСОВО ПОЛЕ, ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 121
Изотермической сетью называется ортогональная сеть, обра-
образованная семействами линий уровня двух сопряженных гармонических
функций.
3. Изотермическими координатами точки поверхности называют
значения двух сопряженных гармонических функций, соответствую-
соответствующие этой точке.
Так как поля единичных векторов, касающихся линий изотерми-
изотермических координат U и Vt связаны с градиентами этих координат
очевидными соотношениями
где
, _ 1 _ 1
Л "^ | grad U | ~~ | grad V | '
то согласно A2) § 45 линейный элемент поверхности, отнесенной
к изотермическим координатам, имеет следующий вид:
Этот линейный элемент замечателен тем, что он отличается
только множителем X2 от линейного элемента плоскости, отнесенной
к прямоугольным декартовым координатам.
Отсюда согласно п° 3 § 20 следует, что если между плоскостью
и произвольной поверхностью установлено соответствие так, что
прямоугольные координаты точки плоскости равны изотермическим
координатам точки поверхности, то это соответствие будет кон-
конформным.
В более общем случае, когда мы имеем, кроме данной поверх-
поверхности, еще другую поверхность, отнесенную к ее изотермическим
координатам, то линейный элемент последней будет иметь вид
и, сравнивая его с линейным элементом F), мы приходим к следую-
следующему результату: если между точками двух поверхностей уста-
установлено соответствие так, что изотермические координаты
соответствующих точек этих поверхностей имеют одинаковые
значения, то это соответствие конформно.
Найдем вид, который принимают условия C), связывающие сопря-
сопряженные гармонические функции в изотермических координатах хуу.
Так как они выражают только тот факт, что градиент функции V
получен из градиента функции U поворотом на прямой угол против
часовой стрелки, то они должны сохранить свою форму и значение
и при конформном отображении поверхности на плоскость, после
которого изотермические координаты станут прямоугольными декар-
декартовыми.

122 ВЕКТОРНЫЕ И ТЕНЗОРНЫЕ ПОЛЯ НА ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. VIII
Однако в прямоугольных координатах
И
grad V = р (— sin <p* + cos <y),
где
p = |gradt/| = |gradK|. G)
Следовательно, уравнения C) принимают вид
дх~ ду ' ду ~ дх' W
отсюда следует также, что уравнение Лапласа примет в изотерми-
изотермических координатах следующий вид:
Уравнения (8), очевидно, совпадают с основными уравнениями
теории функций комплексного переменного, в силу которых функция
U + iV = f(x + ty) A0)
есть аналитическая функция своего аргумента z~x-\-iy'.
Таким образом, для того чтобы две функции U и V были со-
сопряженными гармоническими функциями на поверхности, необ-
необходимо и достаточно, чтобы они совпадали с действительной
и мнимой частью аналитической функции аргумента, действи-
действительная и мнимая часть которого совпадает с другой парой со-
сопряженных гармонических функций.
Обозначим через ?/$,« Vit xit y{ градиенты функций U, V, х, у.
В силу уравнений C) они будут связаны соотношениями
Положим, кроме того,
и{ = р (х{ cos cp -f- хг sin cp),
V^ = р С— xi sin <p -f- xx cos <p)
и будем иметь
dU -{-idV= (Uk + iVk) drf =
= p {dx cos cp -|- dy sin 9 + / (— dx sin v-j-dy cos <p)} =
= p (cos <p — / sin 9) (dx -\-idy).
Отсюда следует, что производная функция A0)

§ 48] ДЕРИВАЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ ГАУССА 123
не зависит от направления дифференцирования. Так как хк и ук еди-
единичные векторы плоскости, то по определению скалярного произве-
произведения мы будем иметь
. f(x + ty) = UbX* + tUkx* = (Uk + lU?x*. A1)
Предположим теперь, что U и V—прямоугольные координаты
соответствующей точки второй плоскости. В таком случае линейный
элемент последней
= \f'(z) |21 dz* |.
Таким образом,
A2)
где ds* — линейный элемент первой плоскости.
Отсюда следует, что соответствие между двумя плоскостями,
отнесенными к своим прямоугольным координатам х, у и U, V,
определяемое (9), будет конформным, если функция f(z) аналити-
аналитическая.
§ 48. Деривационные формулы Гаусса
Для дальнейшего нам понадобятся формулы разложения векторов
вторых производных радиуса-вектора точки поверхности
'**A)
по векторам местного триэдра rv г2, п.
Равносильные им формулы были впервые рассмотрены Гауссом
и носят с тех пор его имя.
Производя указанные разложения, мы будем иметь
Умножая скалярно левую и правую части на п и принимая во
внимание, что
получим
hij = nrij> C)
откуда следует, что коэффициенты Нц совпадают с координатами
тензора второй квадратичной формы.
Сложнее протекает вычисление коэффициентов G^., называемых
коэффициентами связности. Умножая левую и правую части B)
на гг и имея в виду, что
получим

124 ВЕКТОРНЫЕ И ТЕНЗОРНЫЕ ПОЛЯ НА ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. VIII
С другой стороны,
или
diftj = 0«fiy+Q*«ftft. F)
Так как это равенство справедливо для любых значений индек-
индексов, то мы можем получить из него еще два, переставляя индексы
i, j, I в круговом порядке. Запишем эти равенства
digji = Ojigki + Ougjk > F0
t F")
и вычтем первое из суммы двух последних. По свойству вторых
производных
оЪ=О%, G)
г,
т. е. величины Gis- симметричны по отношению к перестановке своих
нижних индексов.
В силу этого мы будем иметь
^Olgki = digji + djgu — digij>
а после свертывания левой и правой частей равенства с glr и
замены
получим окончательно
Gij = -g- grl (digji + djgu — digij) • (8)
Выражения справа, составленные из коэффициентов основной
квадратичной формы поверхности, рассматривались впервые Кристоф-
фелем, носят название символов или скобок Кристоффеля второго
рода и обозначаются в классической литературе знаком
или | .
Так как они выражаются только через коэффициенты основного
тензора и их производные, то они не меняются при изгибании
поверхности.
С другой стороны, следует отметить, что они преобразуются при
замене параметров по закону, который является более сложным, чем
закон преобразования координат тензора.
В заключение полезно будет получить выражения символов Кри-
Кристоффеля для того случая, когда линейный элемент имеет вид
ds* = E du^ + 2Fdu

4 49] ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ПЕРЕНЕСЕНИЕ ВЕКТОРОВ
Вот эти выражения, которые легко получить из (8):
i rip OFF -L- FF о FF _L- OFF FF \
Olg= GEv-FGu Q2iz=z EGU-FEV
Qi _ —FGV + 2GFV—GGU Q2 _EGv — 2FFv + FGb
В частном случае ортогональной системы координат
°11 = Ш> Gti:=z~25'
°12=Z2E> Gl2==2G'
Полагая в этих формулах Е = Л2, О = В2, получим
125
(9)
(Ю)
O12--J,
Bu
(П)
§ 49. Параллельное перенесение векторов
1. Если в каждой точке некоторой кривой на поверхности
r = r(t)
a=a(t),
задан вектор
принадлежащий поверхности, то дифференциал этого вектора не
принадлежит, вообще гоборя, данной поверхности, т. е. не лежит
в ее касательной плоскости.
Действительно, если
a =z
то
da = dairi -f- atr
или в силу деривационных формул B) § 48
da = dairi + a1 {Q%rk + h^n) du3.
Изменяя индекс суммирования и собирая коэффициенты при соот-
соответствующих векторах, получим окончательно:
da = (da1 + Ojya*di^) r{ + h^aWn. A)

126 ВЕКТОРНЫЕ И TEtf3OPHbiE ПОЛЯ НА ПОВЕРХНОСТИ (ГЛ. Vlll
Таким образом, полный дифференциал вектора разлагается на
две части:
dTa = (da* + Oj^duf) rit B)
dna = НфЧшп, C)
из которых первая принадлежит поверхности и может быть названа
поэтому внутренней, а вторая направлена по нормали и может счи-
считаться внешней частью дифференциала. Только в случае вектора,
принадлежащего плоскости, внешняя часть дифференциала всегда
равна нулю, так как в этом случае /г^ = 0.
2. Среди понятий внутренней геометрии поверхности, рассмот-
рассмотренных нами, до сих пор отсутствует всякий аналог понятия парал-
параллелизма.
Чтобы получить такое понятие, будем исходить из понятия
параллельного перенесения отрезка.
Если этот отрезок принадлежит плоскости, то при его парал-
параллельном перенесении соответствующий ему вектор остается неиз-
неизменным, так что условие параллельного перенесения имеет вид
da = 0. D)
Рассмотрим теперь отрезок, соответствующий вектору а, при-
принадлежащему поверхности в ее точке М.
Если мы перенесем его параллельно, в обычном смысле этого
слова, в соседнюю точку М', то мы встретим там касательную пло-
плоскость, направленную иначе, чем в точке М. Перенесенный отрезок
не будет, вообще говоря, лежать в этой плоскости, а соответствую-
соответствующий ему вектор а перестанет принадлежать поверхности.
Постараемся теперь видоизменить понятие о параллельном пере-
перенесении вектора так, чтобы при этом перенесении вектор оставался
принадлежащим поверхности.
Для этого заменим условие D) более слабым условием равенства
нулю внутренней части дифференциала вектора а.
Будем говорить, что вектор, принадлежащий поверхности в точ-
точках кривой г = г (t), переносится параллельно вдоль этой кривой,
если внутренняя часть его дифференциала равна нулю при любом
значении t:
dTa~0. E)
Очевидно, что из этого условия не вытекает неизменность вектора а.
Его полный дифференциал будет, вообще говоря, отличен от нуля.
Он должен быть только направлен по нормали к поверхности.
Итак, для параллельного переноса вектора, принадлежащего
поверхности, необходимо и достаточно, чтобы его полный диф-
дифференциал был направлен по нормали этой поверхности в соот-
соответствующих точках кривой, по которой он переносится:
da = Ы. F)

§ 49] ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ПЕРЕНЕСЕНИЕ ВЕКТОРОВ 127
Из B) следует также, что в силу независимости векторов гх и г2
условие параллельного перенесения сводится к системе уравнений
Интегрируя равносильную ей систему уравнений
da1
при начальных условиях
а* = а* при t = /0,
о
мы получим определенное решение а* = а*У), которое позволит по-
построить значение вектора а, перенесенного из точки, соответствую-
соответствующей значению параметра t0, в любую точку данной кривой.
^ Заметим, кроме того, что коэффициенты уравнения G) совпадают
с символами Кристоффеля и, следовательно, остаются неизменными
при изгибании поверхности.
Отсюда следует, что если вектор, принадлежащий данной поверх-
поверхности, переносится параллельно, то соответствующий емуt вектор
поверхности, наложимой на данную, тоже переносится параллельно
по соответствующей кривой этой поверхности, и, таким образом,
понятие параллельного переноса принадлежат внутренней гео-
геометрии поверхности.
Чтобы отличить параллельное перенесение вектора в обычном
смысле этого слова от параллельного перенесения по поверхности,
мы будем называть последнее внутренним параллельным перене-
перенесением.
Заметим, наконец, что для векторов, принадлежащих плоскости,
внутреннее параллельное перенесение совпадает с параллельным
перенесением в обычном смысле этого слова.
3. Леви-Чивита, который первый ввел понятие параллельного
перенесения, дает еще следующий способ его осуществления.
Опишем развертывающуюся поверхность вдоль некоторой кри-
кривой Г, расположенной на поверхности, т. е. построим огибающую
плоскостей, касающихся поверхности в точках данной кривой.
Если в этих точках задан вектор а, принадлежащий поверхности,
то его, как и самую кривую, можно считать принадлежащим опи-
описанной развертывающейся поверхности.
Развернем последнюю на плоскость и предположим, что кривая Г
перейдет в плоскую линию Го1), а вектор а — в вектор а0, принад-
принадлежащий плоскости.
1) Будем, следуя Миндингу, говорить, что кривая Г развернута на пло-
плоскость и перешла при этом в кривую Го.

128 ВЕКТОРНЫЕ И ТЕНЗОРНЫЕ ПОЛЯ НА ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. VIII
Так как касательные плоскости описанной развертывающейся по-
поверхности совпадают с касательными плоскостями данной поверхно-
поверхности, то вектор а будет переноситься по ней параллельно тогда и
только тогда, когда он переносится параллельно и по развертываю-
развертывающейся поверхности.
С другой стороны, при наложении на плоскость вектор, перенося-
переносящийся параллельно, перейдет в вектор, переносящийся параллельно.
Сопоставляя эти факты, придем к следующему условию парал-
параллельного перенесения: для того чтобы вектор переносился парал-
параллельно вдоль кривой на данной поверхности, необходимо и доста-
достаточно, чтобы он переходил в вектору переносящийся параллельно
по плоскости при развертывании на эту плоскость развертыва-
развертывающейся поверхности, описанной вдоль данной кривой.
Из свойств обычного параллельного перенесения следует, что
длина векторов, углы между ними, площади параллелограммов, по-
построенных на этих векторах, а также скалярные и косые их произ-
произведения сохраняются при внутреннем параллельном перенесении этих
векторов вдоль кривой на поверхности.
Полезно отметить также следующий очевидный результат: вектор
постоянной длины переносится параллельно, если он образует посто-
постоянный угол с другим вектором, переносящимся параллельно по по-
поверхности.
§ 50. Абсолютное и ковариантное дифференцирование
1. Понятие параллельного перенесения может быть положено
в основу построения особого исчисления, которое было названо его
создателем Г. Риччи абсолютным дифференциальным исчислением,
а в настоящее время чаще называется тензорным анализом.
Основным понятием этого исчисления является абсолютный диф-
дифференциал тензора.
Рассмотрим тензор, принадлежащий поверхности, в точках неко-
некоторой кривой и соответствующую полилинейную функцию векторных
аргументов
A)
Будем дифференцировать значение этой функции, предполагая,
что векторы х\ уЗ, zk переносятся параллельно вдоль данной кри-
кривой. В выражении
dw = da^kxlyhk + aijk (dxlyhk
дифференциалы векторных аргументов можно заменить из условий
их параллельного перенесения G) § 49, согласно которым
dx* = — О1тхР dm, dyo = — О^ур dm, dzk = — GkqzP dm,

§ 50] АБСОЛЮТНОЕ И КОВАРИАНТНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ 129
и после соответствующей замены индексов суммирования получим
dw = (daijk — О* dusarjk — Grjs du8airl%— Ok3 du8aijr) х1у'гк.
Но величина dw как дифференциал инварианта есть тоже инвариант,
который является в силу строения правой части последнего равенства
полилинейной функцией векторных аргументов х1, уз, zk. Отсюда
следует, что выражения в скобках, для которых вводятся обозначения
baijk = daijk — Gri8 du8arjk — Qrj8 du3airj — Orks du8aijr, B)
будут координатами тензора. Этот тензор и называется абсолютным
дифференциалом данного тензора.
Таким образом, если значения полилинейной функции, соот-
соответствующие некоторому тензору, дифференцируются в предпо-
предположении, что векторные аргументы переносятся параллельно, то
дифференциал данной функции оказывается новой полилинейной
функцией тех же аргументов) тензор, соответствующий этой
функции, и называется абсолютным дифференциалом данного
тензора.
2. Рассмотрим некоторые важные частные случаи. Так как ска-
скалярное произведение двух векторов
сохраняется при их параллельном перенесении, то
dw = Q.
Отсюда непосредственно следует, что абсолютный дифференциал
метрического тензора равен нулю при дифференцировании в лю-
любом направлении или
*gij = dgij — Ori3 du°grj — Orjs du8gir = 0. C)
Таким же образом из сохранения косого произведения при парал-
параллельном перенесении сомножителей следует, что абсолютный диф-
дифференциал дискриминантного тензора равен нулю при дифферен-
дифференцировании в любом направлении или
Ьеч = de{j — Ori3 du8erj — 0% du8eir = 0. D)
Будем рассматривать скалярное произведение
w = а{х*
как линейную функцию векторного переменного х*. Если вектор аг
переносится параллельно, то при условии параллельного перене-
перенесения х* мы снова будем иметь
dw = 0;
отсюда следует, что
8^ = da{ — Oris du8ar =0, E)
9 Зак. 768. А. П. Норден

130 ВЕКТОРНЫЕ И ТЕНЗОРНЫЕ ПОЛЯ НА ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. VIII
и, таким образом, условием параллельного перенесения вектора
является обращение в нуль его абсолютного дифференциала.
3. Формула B) дает выражение абсолютного дифференциала тен-
тензора через его ковариантные координаты, однако нетрудно получить
его выражение через смешанные или контравариантные координаты.
Для этого будем, например, дифференцировать выражение
w = а\§кхгу3гч
в предположении, что векторные аргументы переносятся параллельно,
пользуясь при этом попрежнему условием G) § 49 для векторов yi
и zk и условием E) для вектора хг. Произведя соответствующую
подстановку, мы получим
Ьа% = da\jk + OU dusa7:jk — G7js dusalrk — G7k3 du8aijr, F)
или аналогично этому
duaa?.k + Ojr8 du*ah'.k — Grks du3aij.ri G)
e du*arJ* + Gf.s du*airk + Gkrs du*a*Jr. (8)
В частности, абсолютный дифференциал вектора, выраженный
через его контравариантные координаты:
Ъа* = dai + O*8 dusar, (9)
а внутренний дифференциал вектора
dTa — bairi.
Приравнивая 8а* нулю, мы возвращаемся к условию G) § 49 —
параллельного перенесения вектора.
4. Абсолютное дифференцирование во многом аналогично обыч-
обычному. Так, например, рассмотрим две полилинейные векторные функ-
функции одних и тех же аргументов
и = ацкХ1уЗгк, v = biJkx*yJzk
и будем дифференцировать их сумму
w = u-\-v = (aijk -f bijk) x*ylzk = сцкх*уэгк
в предположении, что векторные аргументы переносятся параллельно.
Но в таком случае
du = lai5kxlyozk, dv = ЪЬ^кх1уЗгк, dw =
С другой стороны,
dw =zdu~\- dv,

§ 50] АБСОЛЮТНОЕ И КОВАРИАНТНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ 131
откуда следует, что абсолютный дифференциал суммы двух тен-
тензоров равен сумме абсолютных дифференциалов слагаемых или
8 (aijk + bijk) = baijk + Uijk. A0)
Рассмотрим произведение скаляра к и полилинейной функции
Дифференцируя произведение
и снова предполагая, что векторную аргументы переносятся парал-
параллельно, получим
dw = dktt + к du.— (dka^k-{-kbaijk) xiyh'k,
откуда следует правило дифференцирования произведения тензора
на скалярную функцию
8 (baiJk) = dkaijk -^kbaijk. A1)
Рассмотрим произведение двух полилинейных функций
и = aijkx*yJzk, v = bmnp*
независимых между собой переменных.
Из соотношения
d (uv) = udv-\-duvt
полученного снова при условии параллельного переноса векторных
аргументов, следует правило дифференцирования произведения двух
тензоров
jkbmn. A2)
Последнее правило, которое мы выведем, касается действия
свертывания. Из соотношения
записанного в предположении, что вектор у* единичный и переносится
параллельно вместе с вектором х1, следует, что и
так как вектор у*, полученный поворотом вектора yi на прямой
угол, тоже переносится параллельно.
Складывая оба равенства, мы получим
d [aiJkx
но
vJyk -hyjyk = gjk

132 ВЕКТОРНЫЕ И ТЕНЗОРНЫЕ ПОЛЯ НА ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. VII
и мы имеем
откуда следует соотношение
№ A3)
Но слева дифференцируется тензор а\?, который получен в резуль-
результате свертывания тензора а^к по двум его последним индексам,
а справа свертывается по двум соответствующим индексам тензор,
полученный в результате абсолютного дифференцирования тен-
тензора aijk.
Таким образом, соотношение A3) показывает, что действия
свертывания и абсолютного дифференцирования перестановочны
между собой, и позволяет записать их результат в единой форме —
*<¦
Если считать, что ковариантный дифференциал скаляра совпадает
с его обыкновенным дифференциалом, то правило остается в силе
я для выражений, полученных в результате полного свертывания.
Так, например, выражение
ba\ = da\ A4)
можно рассматривать как дифференциал скаляра акк и как результат
свертывания тензора 8а^.
§ 51. Ковариантная производная
1. Если задано тензорное поле, т. е. значение тензора отнесено
каждой точке некоторой двумерной области, то дифференциал коор-
координаты этого тензора может быть выражен через частные производ-
производные от этих координат
а координаты его абсолютного дифференциала представлены в сле-
следующем виде:
**ijk = (dsaijk — Ori8arjk — Orj8airk — Ork3aijr) du\
Свернем правую и левую части этого равенства с произвольными
векторами xii уз, zk. Так как Ьа^к есть тензор, то левая, а следо-
следовательно, и правая части будут выражать полилинейные функции
четырех векторов xi, yJ, zk, dus. Отсюда следует, что величины
в скобках, для которых мы введем обозначение
Vsaijk = dsaijk — GriSarjk — GjSairk — Ol8aiiri (*)
представляют координаты тензора, валентность которого на единицу
больше валентности данного тензора.

§ 51] КОВАРИАНТНАЯ ПРОИЗВОДНАЯ 133
Тензор A) называется ковариантной производной данного тензора.
Таким образом, абсолютный дифференциал тензора, образую-
образующего поле, равен результату свертывания некоторого тензора
с вектором du8. Этот тензор называется ковариантной произ-
производной данного.
Правила ковариантного дифференцирования непосредственно выте-
вытекают из правил абсолютного дифференцирования. Так мы будем
иметь
Vs (aijk + bijk) = Vsaijk + Vsbijk, B)
Vs 0<aiJk) = ds\ aijk + kVsaijk, C)
Vs (aijkbmn) = Vsaijkl>mn + aijkSsbmn • D)
Будет также иметь место правило, согласно которому действия
свертывания и ковариантного дифференцирования перестановочны
между собой.
Ковариантная производная скаляра считается равной его градиенту,
и тогда последнее правило сохраняет свою силу и для выражений,
полученных в результате полного свертывания. Так, из A4) § 50
следует
dhaU = VhaU. E)
2. Так как абсолютные дифференциалы метрического и дискри-
минантного тензоров равны нулю независимо от направления диффе-
дифференцирования, то это же будет иметь место и относительно их
ковариантных производных.
Таким образом,)
V*ftj = dkgij - Qrikgrj - Qjugir = 0, F)
Vy - dhei3 — Grikerj — GrJkeir = 0. G)
Соотношение F) совпадает с F) § 48, a G) в силу косой сим-
симметрии дискриминантного тензора сводится к-одному уравнению
dkei2 — Olke12 — G2kex2 = 0,
или
Огк = дк In e12 = дк\п Vgng22 — gl2. (8)
Пользуясь выражением (8) § 48 для символов Кристоффеля, мы
получим также
й (9)
Формула (9) остается справедливой для всякого симметричного
тензора второй валентности, дискриминант которого отличен от нуля,
что можно проверить непосредственно. С другой стороны, для
этого же тензора
УкаГ8 = dkars — Gkrams — Z

134 ВЕКТОРНЫЕ И ТЕНЗОРНЫЕ ПОЛЯ НА ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. VIII
откуда вытекает соотношение, которое мы используем позже:
dklnN=a^Vjflr8t A0)
где N—норма тензора ars.
3. Ковариантное дифференцирование дает средство для построе-
построения инвариантов векторных и тензорных полей.
Так, например, выражения
являются инвариантами векторного поля Vit так как они получены
свертыванием его ковариантной производной с тензорами еУ или gti.
Но
e%Vj - eij (d.Vj - 0%Vk) = e%Vj9
откуда
eWtVj^rotV. A1)
С другой стороны, в силу A7) § 10
g*J=e**e?,
откуда
ИЛИ
gi^iVj^d\v V. A2)
4. Выразим радиус-вектор точки поверхности через его прямо-
прямоугольные координаты, положив
r=xi+yj+zk.
Если поверхность параметризована, то каждую из величин х, у, z
можно рассматривать как значение некоторого скалярного поля,
принадлежащего поверхности.
В таком случае координаты вектора
будут градиентами функций х, у, z. Но в силу деривационных ура-
уравнений Гаусса
полагая, кроме того,
п = nj + nyj-\- nzk,
мы получим
dx GX = hn

§ 52] ОСНОВНОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ 135
Пользуясь символом ковариантной производной, мы можем залисать
эти соотношения в следующем виде:
Возвращаясь к векторным обозначениям, мы будем пользоваться
в дальнейшем следующей сокращенной записью уравнений A3),
равносильных деривационным формулам Гаусса:
^fi = h4n. A4)
Так как вторая квадратичная форма плоскости равна нулю, то
радиус-вектор ее точки удовлетворяет уравнению
Vi==0. A5)
§ 52. Основное дифференциальное уравнение векторного поля
1. Пусть вектор а{ определяет векторное поле на поверхности.
Его абсолютный дифференциал
можно разложить по векторам данного и дополнительного полей,
положив
и так как левая часть равенства зависит линейно от дифференциа-
дифференциалов du{, то и коэффициенты его правой части должны иметь вид
az^aiduii A = Aidui.
Но в силу произвольности значения du* мы приходим к соотно-
соотношению
которое мы будем называть основным дифференциальным уравне-
уравнением векторного поля.
Займемся рассмотрением векторов а^ и Aj, входящих в правую
часть этого уравнения.
Обозначив^ через | а \ модуль вектора а, будем дифференцировать
соотношение
Учитывая A), мы получим
2 [а\dj
откуда следует, что вектор
2 [а\dj\a\=
Л^=^1п|а|, B)
т, е, равен логарифмическому градиенту модуля данного вектора,

136 ВЕКТОРНЫЕ И ТЕНЗОРНЫЕ ПОЛЯ НА ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. VIII
Мы будем называть вектор aj трансве реальным вектором поля]
он обладает многими замечательными свойствами и играет основную
роль во всех вопросах теории поверхностей, связанных с заданием
векторного поля.
Прежде всего заметим, что два векторных поля, векторы кото-
которых коллйнеарны между собой, имеют одинаковые трансверсаль-
ные векторы.
Действительно, если
Ь{ = Щ, C)
то
Vjbi = IVjui + dfkat = A (afy + Ар$ + д,\аг,
так что
Wjbi = ajbj + {Aj + djln k)bit D)
что и доказывает наше утверждение.
Мы будем говорить, что направление вектора аг переносится
параллельно по линии Г, если направляющий орт этого вектора
переносится параллельно по этой линии. Если вектор аг принадлежит
полю, то мы будем называть линию Г трансверсалью этого поля.
Чтобы найти дифференциальное уравнение трансверсали, рассмо-
рассмотрим направляющий орт поля
В силу B) мы будем иметь
о о
Vifli=opti. E)
При дифференцировании в направлении трансверсали должно
выполняться условие параллельного перенесения
о
8ai=0,
равносильное условию
ajdttJ=09 F)
которое и является дифференциальным уравнением трансверсалей.
Условие F) показывает, что трансверсальный вектор поля на-
направлен по нормали к трансверсалям этого поля.
2. Рассмотрим поле единичного вектора ait который можно счи-
считать также и направляющим ортом некоторого поля, и вектор аг его
дополнительного поля.
Так как
то

§ 52] ОСНОВНОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ 137
Сравнивая уравнение
Ifli = Ьаг G)
с уравнением
Vfii = *fii = — «jV G')
мы видим, что трансверсальные векторы дополнительных полей
одинаковы.
Рассмотрим теперь произвольный единичный вектор Ъх, образую-
образующий с вектором а{ угол ср. В таком случае
Ьг = а{ cos ср -\- а{ sin cp,
и если этот вектор задан вдоль некоторой кривой Г, то при диф-
дифференцировании в направлении этой кривой
ЪЪ{ = Ьаг cos cp -f- Ьаг sin ср -|- (— ах sin cp -f- a{ cos cp) tfcp,
откуда
(8)
Если вектор Ь{ образует поле, то из (8), имеющего место для
любого направления дифференцирования, следует
4fii = {?fl + *j)\ (9)
но
есть трансверсальный вектор поля Ьг.
Таким образом, трансверсальные векторы двух полей отли-
отличаются на градиент скалярной функции, значение которой
совпадает со значением угла между векторами этих полей.
В частности, для того чтобы трансверсальные векторы двух по-
полей совпадали, необходимо и достаточно, чтобы угол между векто-
векторами этих полей не зависел от точки. Такие поля можно назвать
взаимно изогональными.
3. Найдем связь инвариантов векторного поля с векторами о^.
и Aj. Для этого подставим правую часть A) в выражения ротации
и дивергенции и получим
div a = gP*Vpaq = араР + АраР = а~аР + АраР = (ар + Ар) аР.
Применяя полученную формулу к полю вектора а, получим
но вследствие B) § 46
div a = rot а == — rot a.

138 ВЕКТОРНЫЕ И ТЕНЗОРНЫЕ ПОЛЯ НА ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. VIII
и, таким образом,
«<+^=rotfl*+dlv'fr. (id
Воспользуемся этой формулой для того, чтобы найти трансверсаль-
ные векторы единичных векторов координатных линий.
Если линейный элемент имеет вид G) § 20
ds1 ~ АЧи1* + 2АВ cos а> dul du* + & du*2,
то согласно A0) § 20 для орта линии и1
. ю /^ ^ \ di (В cos
rot а —- е12 (д<а.2 — d2at) = —^—j^
и, применяя формулу A1), мы получим
(В cos о
<xt = rot аа± =
Учитывая, что знак координатного угла зависит от направления
отсчета, мы получим для трансверсального вектора координатной
линии и2
0 — d2 (A cos o>) + dtB
1 2 Л sin о)
Однако вследствие A0)
откуда
8
Pi -
окончательно
д^В cos (о — д%
В sin <о
COS 0)
В sin
а2
t 2
г) i
д2А
cos
аи
cos (о — д±В
A sin о)
A2)
В частном случае ортогональной системы координат
4. Лапласово поле характеризуется одновременным обращением
в нуль обоих инвариантов, откуда вследствие (И)
Ь=-д^Гп\а\. 1 A4)
Таким образом, для того чтобы поле было лапласовым, необ-
необходимо и достаточно, чтобы его трансверсальный вектор был
дополнительным к логарифмическому градиенту модуля вектора
поля.
Из A4) следует, что вектор оц соленоида лен.

§ 52] ОСНОВНОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ 139
Рассмотрим такое поле а{, трансверсальный вектор которого
удовлетворяет этому условию так, что
Однако в таком случае для векторного поля
и мы будем иметь
так что поле bi будет лапласовым, а поле а{ изотермическим.
Таким образом, для того чтобы поле было изотермическим,
необходимо й достаточно, чтобы его трансверсальный вектор
был соленоидальным.
Из A2) следует, кроме того, что линейный элемент поверхности,
отнесенной к гармоническому потенциалу поля и его сопряженной
функции, имеет в силу E) и F) § 47 вид
A5)
5. Предположим, что трансверсальный вектор некоторого поля
сам образует потенциальное поле, и пусть V есть его потенциаль-
потенциальная функция
OjZzzdjV. A6)
Рассмотрим векторное поле, орт которого Ь{ образует угол ср = —V
с вектором данного поля. В таком случае согласно A0) трансвер-
трансверсальный вектор этого поля
?,= 0 и V^ = 0,
но в таком случае и
Оба поля Ьг и Ь^ очевидно, потенциальны, так что линейный
элемент поверхности
j) duhdui =
Таким образом, существование поля с градиентным трансвер-
сальным вектором характеризует поверхность, наложимую на
плоскость, и, в частности, если этот вектор равен нулю, то
вектор поля является координатным вектором такой системы
криволинейных координат, которые соответствуют при нало-
наложении на плоскость системе прямоугольных декартовых коор-
координат.
6. Единичные векторы двух дополнительных полей а и а и еди-
единичный вектор нормали п определяют прямоугольный трехгранник,
заданный в каждой точке поверхности,

140 ВЕКТОРНЫЕ И ТЕНЗОРНЫЕ ПОЛЯ НА ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. VIII
Выразив вектор а через его ковариантные координаты и диффе-
дифференцируя его, мы будем иметь
В силу E) § 52 и A4) § 51
дха = сига + hikakn.
Присоединяя аналогичное разложение для дга и д-п, которое
получается сразу в силу косой симметрии матрицы коэффициентов
разложения производных векторов нормальной тройки (§ 4), мы по-
получим следующую систему разложений:
{ г ikakn,
дгп = — hikaka — hikaka. \

ГЛАВА IX
ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ КРИВИЗНА И ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ЛИНИИ
§ 53. Геодезическая кривизна
1. Дифференцируя по натуральному параметру единичный каса-
касательный вектор
1 = Г'=&1 A)
кривой на поверхности и пользуясь A4) § 51, мы получим следующее
выражение вектора кривизны:
где kn~ hijzHJ есть нормальная кривизна кривой.
Но "с — единичный вектор, и его абсолютный дифференциал пер-
перпендикулярен к нему, откуда
и разложение вектора кривизны принимает вид
jnn. D)
Величина
~ hi*
которая равна по модулю проекции вектора кривизны на касатель-
касательную плоскость поверхности, называется геодезической кривизной
кривой, расположенной на поверхности.
2. Формула E), в правую часть которой входят только вели-
величины, зависящие от коэффициентов первой квадратичной формы, по-
показывает, что геодезическая кривизна линии на поверхности не
изменяется при ее изгибании, т. е. принадлежит внутренней
геометрии поверхности.
Чтобы дать геодезической кривизне такое определение, которое
опирается только на понятия внутренней геометрии, рассмотрим неко-
некоторое поле единичного вектора а^ (черт. 45) и пусть касательный

142
ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ КРИВИЗНА И. ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ЛИНИИ [ГЛ. IX
вектор кривой образует угол ф с вектором поля, заданным в точке
кривой. В таком случае согласно (8) § 52
откуда следует, что
dw^ I dty
о ~~~~ ^к ~~л —' 75— • (о)
Рассмотрим также вектор Ь{) переносящийся параллельно вдоль
кривой, и пусть он образует угол ср с вектором поля. Тогда опять-таки
согласно (8) § 52
Но в силу условия параллель-
параллельного переноса 8^ = 0 и, следова-
следовательно,
akduk = — d<o,
Черт. 45.
так что
у ds ds ds x '
где 6 = 6 — ср — угол между век-
вектором bit переносящимся парал-
параллельно по кривой, и хг— вектором
ее касательной.
Развертывая кривую на плоскость по способу, указанному в п°3
§ 49, мы не изменим ее геодезической кривизны, а также длины
дуги линии и углов между векторами. Однако после развертывания
вектор ait переносящийся параллельно вдоль кривой, перейдет в
вектор постоянного направления. Таким образом, геодезическая кри-
кривизна линии на поверхности равна кривизне плоской кривой, ко-
которая получается при развертывании данной линии на плоскость.
3. Применив формулу F) к линиям, совпадающим с линиями
поля аг, и к их ортогональным траекториям, т. е. положив в этих
формулах последовательно
Ф—0, -^- = а1, ф = ~, -^-rzztf*,
т ds т 2 ' ds
мы получим для геодезических кривизн этих линий
k~ = «<
или
(8)
(9)
Отсюда следует, что проекции трансверсального вектора на
векторы данного и дополнительного поля равны соответственно
геодезическим кривизнам векторных линий этого поля и их орто-
ортогональных траекторий.

§ 54] геодезические линии 143
Сравнивая (9) с A1) § 52, мы видим также, что для поля еди-
единичного вектора а%
rota=ka, diva=ks. A0)
4. Чтобы получить развернутое выражение геодезической кри-
кривизны, подставим в F) выражения A1) § 20 координат вектора
il = -г-. Отсюда
, sin (со — ф) , sin ф , db
Па1 ~*~*2 В sin оз "+"Si"'
или согласно формулам A2) § 52
В частном случае ортогональной координатной сети
__ «^Д sin ф — д2Л cos ф , а'ф
а для координатных линий и2— const и w1 — const
§ 54. Геодезические линии
1. С точки зрения отмеченной выше аналогии между геодезиче-
геодезической кривизной линий на поверхности и кривизной линий на плоскости
мы, естественно, приходим к представлению о линиях, которые играют
во внутренней геометрии поверхности ту же роль, что и прямые
линии на плоскости. Такие линии на поверхности называются гео-
геодезическими и характеризуются тем, что их геодезическая кривизна
равна нулю во всех их точках. Согласно этому определению гео-
геодезические линии остаются геодезическими при изгибании поверх-
поверхности и переходят в прямые линии при развертывании кривой на
плоскость.
Очевидно также, что прямая линия, принадлежащая поверхности,
будет геодезической.
Что касается кривых линий, то для обращения в нуль их геоде-
геодезической кривизны необходимо и достаточно, чтобы их вектор кри-
кривизны был направлен по нормали к поверхности, а это значит, что
их главная нормаль совпадает с нормалью к поверхности.
Считая, что главная нормаль прямой неопределенна, мы можем
сформулировать такое общее положение: для того чтобы линия
была геодезической, необходимо и достаточно, чтобы ее главные
нормали совпадали с нормалями поверхности, на которой эта
линия расположена.

144 ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ КРИВИЗНА И ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ЛИНИИ [ГЛ. IX
Из этого результата сейчас же вытекает, что геодезическая ли-
линия является вместе с тем и асимптотической тогда и только
тогда, когда она прямая.
Если геодезическая линия является плоской, то все главные нор-
нормали этой геодезической лежат в ее плоскости и вместе с тем со-
совпадают с нормалями поверхности. Отсюда сразу же следует, что
плоская геодезическая является вместе с тем и линией кривизны.
Если на поверхности существует однопараметрическое семейство
плоских геодезических, то их ортогональные траектории будут орто-
ортогональны нормали поверхности и будут ортогональными траекто-
траекториями тех плоскостей, в которых расположены эти геодезические.
Отсюда следует, что поверхности, содержащие семейство плоских
геодезических, суть резные поверхности, а указанные геодезиче-
геодезические совпадают с их меридианами. В частности, и меридианы по-
поверхности вращения будут геодезическими.
2. Из C) § 53 следует, что для геодезической линии
так что единичный касательный вектор геодезической линии пере-
переносится вдоль нее параллельно.
В развернутом виде условие A) сводится к системе уравнений
lt *Hl*!!Lo B)
ds dS — U' W
При условии дифференцируемости коэффициентов G# эта си-
система имеет решение, которое определяется заданием начальных
значений функций и1, и2 и начальных значений их производных
du\ dut
ds ' ds *
Отсюда следует, что через каждую точку поверхности и
в любом направлении, исходящем из этой точки, можно провести
одну и только одну геодезическую линию.
Принимая во внимание порядок уравнений B), можно также
утверждать, что семейство всех геодезических линий поверхности
зависит от двух параметров.
Уравнения B) можно преобразовать, исключив из них перемен-
переменное 5. Обозначив для удобства и1 = и, u2 — v, заметим, что
dv
du
d*v
ds*
\
/
V
du
ds
ds
du
ds
)
\
/
d*u
ds*
dv
ds
\ds )

геодезическое поле 145
Подставляя значение ^~, ^ из B), мы получим
-2О?2)?-О?1. C)
Из этого уравнения вытекает, в частности, что линия и2 = const
будет геодезической при условии
О?! = 0. D0
Аналогичным образом можно показать, что линия и1 = const будет
геодезической при условии 1)
Gl2 = 0. D")
Вследствие F) § 53 угол ф, под которым геодезическая линия пере-
пересекает линии векторного поля а{, удовлетворяет уравнению
<*«* = 0, E)
или согласно (И) § 53 для угла ф с линией и2 = const
d<b I
5s = АВ sin со ^Л cos ф — ^В cos (« — ф) + ^соЯ sin (со - ф)], F)
которое в случае ортогональных координат принимает вид
dty д2А cos d> — dt? sin ф ._.
F"" АВ * V>
§ 55. Геодезическое поле
1. Мы будем называть векторное поле геодезическим, если его
векторные линии — геодезические.
Согласно A0) § 53 для единичного вектора аг геодезического
поля
?a = rota=r0, A)
и следовательно, для того чтобы поле было геодезическим, не-
необходимо и достаточно, чтобы его направляющий орт был гра-
градиентом.
2. Назовем геодезическим потенциалом потенциал единичного
вектора геодезического поля и установим его геометрическое зна-
значение.
Заметим, прежде всего, что линии уровня геодезического по-
потенциала совпадают с ортогональными траекториями поля.
1) Условия D') и D") можно непосредственно получить из B).
Ю Зак. 768. А. П. Нордвн

146 ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ КРИВИЗНА И ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ЛИНИИ [ГЛ, IX
Обозначая геодезический потенциал через а и дифференцируя
его в направлении геодезических линий, мы получим
—— = I grad a\=\.
Интегрируя это уравнение при условии, что длина дуги каждой
геодезической отсчитывается от начальной ортогональной траекто-
траектории а = 0, мы получим
a = s. B)
Таким образом, геодезический потенциал равен длине дуги
векторной геодезической линии этого поля, отсчитанной от
точки ее пересечения с некоторой начальной ортогональной траек-
траекторией.
Указанную длину дуги называют также геодезическим расстоя-
расстоянием точки от начальной ортогональной траектории.
Так как для точек двух таких траекторий st = const, s2 = const,
расположенных на одной геодезической, разность
s2—st = const,
то длина дуги геодезической линии поля, заключенной между
двумя его ортогональными траекториями, постоянна для всех
соответствующих точек этих траекторий.
Отсюда, в частности, вытекает отмеченное в п° 2 § 36 постоян-
постоянство расстояний между двумя ортогональными траекториями прямо-
прямолинейных образующих линейчатой поверхности.
Частным случаем этой же теоремы является и теорема о постоян-
постоянстве расстояний между соответственными точками двух эволют дан-
данной кривой.
3. Геодезический потенциал удовлетворяет дифференциальному
уравнению первого порядка в частных производных
1. C)
Предположим, что мы нашли полный интеграл этого уравнения,
т. е. его решение, зависящее от одного произвольного постоянного
а = а(а1, и1, с),
причем это постоянное входит в него не аддитивно, т. е. не в виде
слагаемого при функции, зависящей только от и1, и2.
Подставляя в C), продифференцируем левую и правую части
частным образом по с, имея в виду, что коэффициенты g*o не за-
зависят от с.
Полученное соотношение
• дсдлп = О

§ 55] ГЕОДЕЗИЧЕСКОЕ ПОЛЕ 147
показывает, что линии уровня функций а и -?- образуют ортого-
ортогональную сеть.
Но линии а = const есть ортогональные траектории геодезических
полей, а следовательно, линии уровня функции -^-, т. е. линии,
ос
определяющиеся конечным уравнением
да(и\ и*, с) _
C
содержащим две произвольные постоянные с, cv будут геодезиче-
геодезическими линиями. Это двупараметрическое семейство исчерпывает,
вообще говоря, все геодезические линии поверхности.
В заключение рассмотрим произвольную функцию v геодези-
геодезического потенциала. Если их связь выражена уравнением a = f(v),
то kia=f'2(v)k1v=l> откуда следует уравнение, характеризующее
такую функцию:
D)
4. Если вектор аг есть единичный вектор геодезического поля,
a v — направляющий потенциал дополнительного вектора ait так что
то метрический тензор поверхности
Тогда линейный элемент поверхности имеет вид
Таким образом, линейный элемент поверхности имеет вид E)г
если координата а есть геодезический потенциал, а линии v= const —
геодезические векторные линии поля.
5. Вид E) линейного элемента позволяет установить экстремаль-
экстремальное свойство геодезических линий.
Рассмотрим две точки Мх и Ж2, расположенные на одной линии
геодезического поля, и проведем через эти же точки произвольную
линию, допустив, что она целиком находится в той области, в ко-
которой задано поле. В таком случае ее можно задать уравнением
вида
v = v(a)t
а длина ее дуги выразится интегралом
а»
5 —
ах

148 ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ КРИВИЗНА И ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ЛИНИИ [1*Л. IX
где av а2 — значения геодезического потенциала в точках Мх и М.2
соответственно.
Подинтегральная функция не может быть отрицательной и при-
принимает наименьшее значение во всякой точке промежутка интегри-
интегрирования при условии
т. е. при v = const, а это есть уравнение геодезической линии,
соединяющей точки М{ и Ж2.
Итак, длина дуги геодезической линии, принадлежащей геоде-
геодезическому полю, меньше длины дуги всякой другой линии, соеди-
соединяющей ее концы и целиком находящейся в области заданного
поля.
Следует заметить, что условия, позволяющие включить геодези-
геодезическую линию, соединяющую две точки поверхности в геодезическое
поле, весьма сложны. Они не выполняются, например, для дуги
большого круга на сфере, если угловая мера этой дуги превы-
превышает it. Действительно, в этом случае всегда можно найти негео-
негеодезическую дугу, которая короче геодезической дуги. Но по дока-
доказанному это было бы невозможно, если бы эту геодезическую дугу
можно было включить в геодезическое поле.
6. В заключение отметим, что в силу (9) § 53 транс нереальный
вектор геодезического поля
а. = kzat, F)
т. г. ортогонален вектору поля и равен по абсолютной вели-
величине геодезической кривизне его ортогональных траекторий.
§ 56. Геодезически-изотермическое поле
1. Изотермическое поле характеризуется тем, что его трансвер-
сальный вектор соленоидален.
Для геодезического поля из E) § 55 следует, что в этом случае
вектор
— градиент, но так как вектор а% — тоже градиент, то
*;=/(«), О)
где а — геодезический потенциал, так что геодезическая кривизна
яоетоянна вдоль линии а= const.
Таким образом, для того чтобы геодезическое поле было изо-
изотермическим, необходимо и достаточно, чтобы его ортогональ-
ортогональные траектории имели постоянную геодезическую кривизну.

§ 57] ГЕОДЕЗИЧЕСКИ-БИССЕКТОРНОЕ ПОЛЕ 149
2. Единичный вектор изотермического поля аг коллинеарен век-
тору лапласова поля vit так что
а{ = Bvit
и если а{ — единичный вектор геодезического поля, то в силу его
градиентности В есть функция одного а.
С другой стороны,
где w{ — градиент функции w> сопряженной функции v.
Но в таком случае метрический тензор поверхности
Sij = aiaj
и ее линейный элемент
ds* = da2 + В2 {a) dw*. B)
Однако согласно E) § 30 это есть линейный элемент поверхности
вращения.
Таким образом, поверхность, допускающая существование гео-
геодезически-изотермического поля, наложима на поверхность вра-
вращения, причем линии поля соответствуют меридианам.
3. Из D) § 47 и D) § 55 следует, что всякая функция геоде-
геодезически-изотермического потенциала удовлетворяет уравнениям
§ 57. Геодезически-биссекторное поле
1. Будем называть поле геодезически-биссекторным, если его
вектор направлен по биссектрисе угла между векторами двух гео-
геодезических полей.
Если даны единичные векторы геодезических полей а{ и Ьь то
с ними можно связать векторы Двух взаимно ортогональных биссек-
торных полей
Чг = ах — Ьг. - A)
Эти векторы — градиенты и выражаются через геодезические потен-
потенциалы так, что
Pi=di(a + b\ дг=дг{а — Ь). B)
Вследствие этого векторные линии полей р± и qi будут линиями
уровня
a-\-b= const, а — b = const. ' C)
Так как величины а и b раЕны геодезическим расстояниям точки
от начальных ортогональных траекторий
я = 0, Ь = 0 , _ D)

150 ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ КРИВИЗНА И ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ЛИНИИ [ГЛ. IX
геодезических полей а{ и bi9 то линии C) называют также геодезиче-
геодезическими эллипсами и гиперболами, а линии D) — их фокальными много-
многообразиями. В частном случае, когда эти кривые вырождаются в точки,
а поверхность — в плоскость, уравнения C) выражают семейства
конфокальных эллипсов и гипербол в обычном смысле этого слова.
2. Найдем единичные направляющие векторы полей pi и q{.
Обозначая через о» угол между векторами геодезических полей
аг и bit получим
и искомые единичные векторы
0 _ dj(a + b) ° __ дг(а-Ь)
ft— 5"» 9i — ~'
2 cos -у 2 sin ^
Вводя новые параметры
а-\- b q а — b
а — 2 ' ^ — 2 '
мы получим выражение линейного элемента поверхности, отнесенного
к криволинейным координатам, линии которых совпадают с линиями
взаимно ортогональных геодезически-биссекторных полей
оо оо
ds'2 = (ptfj + ftfy) du* duJ,
или
В частном случае, когда <в постоянно, этот линейный элемент
может быть приведен к виду
Отсюда следует, что позерхностъ, допускающая существование
двух геодезических полей, линии которых пересекаются под по-
постоянным углом, наложима на плоскость.
§ 58. Поверхность Лиувилля
1. Поверхностью Лиувилля называется такая поверхность, ко-
которая допускает существование изотермической сети, образованной
линиями двух биссекторно-геодезических полей. Такая сеть назы-
называется сетью Лиувилля.

§ 58] поверхность лиувилля 151
Допустим, что эта сеть принята за координатную. В таком слу-
случае линейный элемент поверхности может быть представлен в виде E)
§ 57, и, кроме того, параметры а и ^ можно заменить так, что он же
примет изотермический вид, так что
О) ' (О
cos2 -~- sin2 -у
где
Делая замену da = a'dx, d$ = $'dy и полагая последовательно
у = const или х = const, мы получим
(О
cos2-
откуда
Введя обозначение
а = л, р = У,
получим окончательный вид линейного элемента поверхности Лиу-
Лиувилля, координатная сеть которой совпадает с сетью Лиувилля
ds* = (X+Y) (dx*
где X и Y—функции х и у соответственно.
2. Применим метод Якоби для нахождения геодезических линий
поверхности Лиувилля. Для изотермических координат уравнение C)
§ 55 принимает вид
а для поверхности с линейным элементом A)
и его полный интеграл естественно искать в виде
где Хх и Yv — функции соответственно только х и только у. Под-
Подставляя в C), получим
Х[2 — X=Y— rf,
а вследствие независимости переменных это возможно только при
условии
Х[2 — Х=с, Y—Y'*=c,
где с = const.

152 ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ КРИВИЗНА И ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ЛИНИИ (ГЛ. IX
Интегрируя эти уравнения, получим окончательно
а= J УХ-\-с dx ± J УУ~^с dy.
Дифференцируя по параметру с под знаками интегралов, полу-
получим искомое уравнение геодезических
dy _
T^ C D)
Таким образом, для нахождения конечного уравнения геодезиче-
геодезических линий поверхностей Лиувилля с линейным элементом A) доста-
достаточно выполнить две квадратуры.
Возьмем полный дифференциал от левой чЪсти D). Так как его
правая часть постоянна, то
Ух+с
и после переноса второго члена в правую часть и возведения в ква-
квадрат мы будем иметь дифференциальное уравнение
которое определяет направление касательного вектора геодезических
линий.
Так как линейный элемент A) имеет изотермический вид, то по-
поверхность отображается конформно на плоскость, точка которой
имеет прямоугольные координаты xt у. Вследствие этого
где 6 есть угол геодезической линии с координатными линиями
у — const, или
dy = \ cos 6, dx = к sin 6.
Подставляя в E), получим так называемый первый интеграл урав-
уравнения геодезических
Г cos2 6— Xs\n2b = c. G)
Уравнение G) удовлетворяется одновременно значением dr6, вслед-
вследствие чего каждому значению с соответствуют два геодезических
поля:
о о
аг — рг cos 6 -f- дг sin 6,

§ 58] поверхность лиувилля 153
о о
где рг и 0»—единичные векторы сети Лиувилля. Отсюда ясно, что
координатные векторы направлены по биссектрисам углов между векто-
векторами геодезических полей аг и Ьг.
Таким образом, сеть Лиувилля является биссекторной сетью
для оо1 пар геодезических полей, направления которых опреде-
определяются из E).
3. Уравнение E) может быть преобразовано к виду
Y dx* — *dya = с (dx* + dyt) = с
или
(*+ Y) Y{^-{X+ Y)X^?)=c. (8)
В произвольной системе координат это соотношение имеет вид
dul dv? /пч
ai4——— — с, (9)
гэ ds ds v '
где a^ — тензор, координаты которого принимают значение
при переходе к системе х, у.
Соотношение (9) есть дифференциальное уравнение первого по-
порядка, решение которого при любом значении с определяет геоде-
геодезическую линию поверхности 'Лиувилля. Имея в виду это соотноше-
соотношение, говорят, что уравнение геодезических линий на поверхности
Лиувилля имеет первый квадратичный интеграл,
4. Вводя обозначение
^ dw>
и принимая во внимание, что i1 есть единичный вектор геодезиче-
геодезического поля, мы будем иметь
Дифференцируя левую часть (9), мы получим вследствие этого
и, свертывая с тл,
Так как это будет иметь место для любой геодезической линии
поверхности Лиувилля, то вследствие A0) § 10
0. A0)
Ниже (§ 76) будет показано, что существование тензора а^,
удовлетворяющего уравнению A0), характеризует поверхности Лиу-
Лиувилля, где он определяет с помощью (9) квадратичный интеграл гео-
геодезических.

154 ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ КРИВИЗНА И ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ЛИНИИ [ГЛ. IX
§ 59. Геодезические линии поверхности вращения
Вследствие того, что линейный элемент поверхности вращения
может быть приведен к виду D) § 30 или
ds* = tl*(y)(dx*-\-dy*), A)
•see поверхности, наложимые на поверхность вращения, принад-
принадлежат классу поверхностей Лиувилля, и сеть, соответствую-
соответствующая при наложении сети меридианов и параллелей, есть сеть
Лиувилля.
Полагая в D) § 58
Х=0, Y=-n*(y),* B)
мы получим уравнение геодезических поверхностей вращения
Ус J У^ —с
или, полагая с = /г2,
=h Г dy -; C)
Таким же образом из G) § 58 следует
т] cos 6 = h. D)
Последнее равенство выражает теорему Клеро: произведение ра-
радиуса параллели на косинус угла, под которым геодезическая
пересекает эту параллель, остается постоянным вдоль геодези-
геодезической.
§ 60. Конгруэнция касательных к линиям
геодезического поля
1. Рассмотрим конгруэнцию, фокальные плоскости которой взаимно
перпендикулярны. Каждая такая плоскость является соприкасающейся
плоскостью ребра возврата развертывающейся поверхности, распо-
расположенного на фокальной поверхности. Так как другая фокальная
плоскость, проходящая через тот же луч, касается фокальной по-
поверхности, то первая плоскость нормальна к ней, а отсюда следует,
что ребро возврата будет геодезической линией фокальной поверх-
поверхности.
Таким образом, ребра возврата развертывающихся поверхно-
поверхностей конгруэнции являются геодезическими линиями фокальных
поверхностей, если фокальные плоскости конгруэнции взаимно
ортогональны.
Очевидно и обратное положение: если все лучи конгруэнции ка-
касаются линий геодезического поля на фокальной поверхности, то
фокальные плоскости конгруэнции будут взаимно ортогональны.

§ 60] КОНГРУЭНЦИЯ КАСАТЕЛЬНЫХ К ЛИНИЯМ ГЕОДЕЗИЧЕСКОГО ПОЛЯ 155
Рассмотрим конгруэнцию, всякая точка луча которой будет опре-
определяться радиусом-вектором
A)
где
г = г{ц\ и>) B)
— радиус-вектор точки фокальной поверхности, а а — единичный
вектор геодезического поля.
Задав параметр v как функцию криволинейных координат фо-
фокальной поверхности, мы можем рассматривать A) как уравнение
некоторой другой поверхности. Производные от радиуса-вектора
точки этой поверхности
R. = гг + д^а + vd{a.
Однако легко видеть, что
а в силу A7) § 52 и F) § 55
дга = ага + hikakn = аага + hikakn, C)
где а =к~ — геодезическая кривизна ортогональных траекторий поля.
Таким образом,
/^ — (аг-\-др))а-\-{\ -\-va) uia-\-vhikakn. D)
2. Если
v = —а,
где а есть геодезический потенциал, то векторы /?,; ортогональны
лучу конгруэнции, а луч конгруэнции является нормалью поверх-
поверхности, выражающейся уравнением
R = r — aa, E)
где а есть потенциал геодезического поля а^. Мы доказали следую-
следующее положение: если фокальные плоскости конгруэнции взаимно
перпендикулярны, то конгруэнция нормальна.
Кроме того, мы получили, что абсолютная величина геодезиче-
геодезического потенциала равна расстоянию между точками фокальной по-
поверхности и поверхности, которая пересекает под прямым углом
все лучи конгруэнции.
При этом следует заметить, что геодезический потенциал опре-
определяется с точностью до постоянного слагаемого и в полном соот-
соответствии с этим существует сю1 параллельных между собой поверх-
поверхностей, которым нормальны лучи данной конгруэнции.

156 ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ КРИВИЗНА И ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ЛИНИИ [ГЛ. IX
3. Если положить в формуле D)
т. е.
1
F)
то векторы Я^ лежат в нормальной плоскости данной поверхности,
т, е. в касательной плоскости второй фокальной поверхности. Отсюда
следует, что уравнение R = r — $a, G)
в котором р есть радиус геодезической кривизны ортогональных
траекторий геодезического поля, выражает вторую фокальную
поверхность; или иначе: абсолютная величина радиуса геодезиче-
геодезической кривизны ортогональных траекторий геодезического поля
равна расстоянию между фокальными точками конгруэнции пря-
прямых, касающихся линий этого поля.
4. Если мы будем исходить из поверхности D), которая нор-
нормальна лучам конгруэнции, то ее фокальные поверхности будут
выражаться уравнениями B) и G).
Обозначая через А и В точки этих поверхностей (черт. 46),
а через М— точку поверхности E), мы видим, что AM — а и
MB = АВ — AM = р — а — радиусы главных кривизн поверхности E).
А
*-•—
Черт. 46.
Учитывая направления, мы видим, что радиусы главных кривизн
поверхности, пересекающей ортогонально лучи конгруэнции, каса-
тельны к линиям геодезического поля,
R = —a, R = p — a, (8)
где а — геодезический потенциал, а р—радиус геодезической кри-
кривизны ортогональных траекторий этого поля.
§ 61. Поверхности Вейнгартена
Конгруэнция называется принадлежащей классу W, если ее лучи
определяют на фокальных поверхностях такое соответствие, при ко-
котором их асимптотические линии соответствуют друг другу.
Мы рассмотрим здесь только нормальную l^-конгруэнцию; поверх-
поверхности, которым нормальны лучи такой конгруэнции, называются

§ 61] . ПОВЕРХНОСТИ ВЕЙНГАРТЕНА 157
поверхностями Вейнгартена. Таким образом, поверхности Вейн-
гартена характеризуются соответствием асимптотических линий на их
эволютных поверхностях.
Будем предполагать, что исходная поверхность задается уравне-
уравнением
R = r — aa, A)
а ее эволютные поверхности — уравнениями
г = г(и1, и2) B)
г = г — 9а, C)
где г, а, аир имеют тот же смысл, что и в предыдущем пара-
параграфе.
Найде»м выражение тензора второй квадратичной формы фокаль-
фокальной поверхности C). Для этого заметим, что в силу D) § 60 ее
касательные векторы
h = (я» — <?#) а — phika*n, D)
а единичный вектор нормали равен а.
Искомый тензор второй формы равен, таким образом,
а так как вследствие C) § 60 и A7) § 52
— 1 ~~
dja = dj
то
j ai<> + рАла* V*1 — у-
к j = j ai<>j + рАла* V*1 — у- ау E)
Свертывая с а* и aJt получим соотношения
AV = ^,5 — d-fap*, E0
hifit = vhua\ ' E")
где
Для того чтобы асимптотические линии поверхностей B) и C)
соответствовали, необходимо и достаточно выполнение условия
h4=\h4. F)
Но в таком случае из E") следует, что к = \l, а из E')
= 0

158 ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ КРИВИЗНА И ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ЛИНИИ [ГЛ. IX
ИЛИ
дг? = Щ. (?)
Обратно, если это условие выполнено, то в силу симметрии h{j E')
и E") принимают вид
k - Ц*у) S* - 0, (Ау - jiAy) а< = О,
а в силу независимости а* и а1 отсюда следует F).
Обратимся к условию G). Так как аг есть градиент геодезиче
ского потенциала а, то
Р = /(«)> (8)
а в силу A) § 56 отсюда следует, что поле аг — геодезически-изо-
геодезически-изотермическое.
Таким образом, для того чтобы поверхность принадлежала
классу Вейнгартена, необходимо и достаточно, чтобы ее эволют-
ные поверхности были наложимы на поверхность вращения,
а ребра возврата развертывающихся поверхностей совпадали
с линиями, соответствующими меридианам.
Кроме того, в силу (8) § 60 соотношение (8) равносильно функ-
функциональной зависимости между R и /?.
1 2
Итак, поверхность Вейнгартена характеризуется функциональ-
функциональной зависимостью между радиусами ее главных кривизн.
Отсюда непосредственно следует, что поверхности вращения,
а также поверхности постоянной средней или полной кривизны суть
поверхности Вейнгартена.

ГЛАВА X
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ СЕТЕЙ
§ 62. Присоединенная точка векторного поля
1. Рассмотрим некоторую линию Г, отличную от линии вектор-
векторного поля единичного вектора а{. Прямые, касающиеся линий поля
в точках кривой Г, образуют линейчатую поверхность
a, A)
а точка этой поверхности, присоединенная к точке г, имеет согласно
A) § 38 абсциссу
_ [adrf
V ~ (da dr) #
Но
[a dr]2 = (па drf = (е^а1 duof = (aj duif,
(da dr) = аг (ryz) da1 duo — (a{ du{) (aj dui),
откуда
где uj есть дополнительный, аг — трансверсальный вектор поля, a
соответствуют дифференцированию вдоль кривой Г.
2. Для того чтобы линия Г была трансверсалью поля, необхо-
необходимо и достаточно, чтобы
но в таком случае v= oo, а это значит, что линия Г является стрик-
ционной линией поверхности A).
Таким образом, для того чтобы вектор а переносился парал-
параллельно вдоль линии Г, необходимо и достаточно, чтобы эта ли-
линия была стрикционной для поверхности, образованной прямыми,
направленными по вектору а.
3. В частности, мы видим, что на всякой неразвертывающеися
линейчатой поверхности вектор образующей переносится па-
параллельно вдоль ее стрикционной линии. Отсюда можно сделать
некоторые выводы. Допустим, что стрикционная линия пересекает
все образующие под постоянным углом ср. В таком случае ее

160 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ СЕТЕЙ [ГЛ. X
касательный вектор образует постоянный угол с вектором, перенося-
переносящимся параллельно, и, следовательно, сам переносится параллельно
вдоль стрикционной линии, которая оказывается, таким образом, геоде-
геодезической. Обратно, из последнего утверждения следует сейчас же посто-
постоянство угла. Таким образом, для того чтобы стрикционная линия
линейчатой поверхности была изогона аъной траекторией обра-
образующих, необходимо и достаточно, чтобы она была геодези-
геодезической.
В частности, если стрикционная линия является ортогональной
траекторией образующих, то, будучи геодезической, она имеет глав-
главную нормаль, которая совпадает с нормалью поверхности, а ее
бинормаль должна совпадать с образующей. Итак, для того чтобы
стрикционная линия была ортогональной траекторией образую-
образующих, необходимо и достаточно, чтобы образующие были ее би-
бинормалями.
4. Возвращаясь к случаю произвольной поверхности, предполо-
предположим, что линия Г является ортогональной траекторией поля. В таком
случае ее касательный вектор
du?
ds
а присоединенная точка имеет абсциссу
a ,aJ
i
или вследствие (9) § 53
v = —? = —!%• <3>
Итак, присоединенные точки точек ортогональных траекторий
поля совпадают с центрами геодезической кривизны этих траек-
траекторий.
5. Если поле геодезическое, то
, ~ п{
и для любого выбора линии Г
V — р.
Но точка
R = г — ра
совпадает согласно G) § 60 с фокальной точкой конгруэнции каса-
касательных к линиям поля. Итак, точки, присоединенные к точкам
любой линии, пересекающей линии геодезического поля, совпадают
с фокальными точками конгруэнции прямых, касающихся линий
поля.

§ 63] ПРИСОЕДИНЕННАЯ ПРЯМАЯ Й ЧЁБЫШЕВСКЙЙ ВЕКТОР СЕТИ 161
§ 63. Присоединенная прямая и чебышевский вектор сети
1. Рассмотрим сеть, образованную линиями двух полей единичных
векторов х* и у1, и присоединенные точки тех последовательностей,
которые образуют вектор" каждого поля вдоль линии другого поля.
Согласно B) § 62 радиусы-векторы этих точек будут
где {jj и i\i — трансверсальные векторы полей xi и у* соответственно.
Назовем присоединенной прямой сети прямую, соединяющую
обе присоединенные точки.
Так как эта прямая лежит в касательной плоскости и не про-
проходит через точку г, то ее можно задать уравнением «в отрезках»
по отношению к местной системе координат г1, z2
Подставляя координаты присоединенных точек
мы получим
&? Щ D)
Исходя из этих выражений, найдем коэффициенты разложения
Подставляя в D), получим, например,
Но
хкук = —ykxh = cos(а) — -^-) = sin а>,
где а) есть угол между направлениями векторов xi и yi, и, таким
образом,
и. zrz
г Sin2<o
аналогично

162 Элементы теории оетей [гл. х
Таким образом, вектор tk, координаты которого совпадают
с коэффициентами уравнения {2) присоединенной прямой сети, опре-
определяется по формуле E), где х1 и у* — единичные касательные
векторы линий с'ети, ^ и у\г — трансверсальные векторы полей х*
и у1, 2l о) — угол между линиями сети.
Вектор tk был введен из других соображений Я. С. Дубновым
и был назван им чебышевским вектором сети,
2. Чебышевский вектор сети может быть выражен через тензор
этой сети а^у
Для того чтобы получить это выражение, выразим тензор сети
и взаимный ему тензор через векторы хг, у{. Согласно B3) и B7)
§ 11 мы будем иметь
аИ=Х sin. ' «" =
где а) — угол, отсчитанный от х* к у*, а норма тензора
Из условия
пцх'хЗ == О
получим дифференцированием
где lk — трансверсальный вектор поля х{. Но
COS ( оз 4~ —
V 2
sin
откуда
Аналогичным образом из условия
СуУУ=0
получим для трансверсального вектора поля 1)
(8)
Подставляя выражения обоих трансверсальных векторов в E),
получим для чебышевского вектора сети
2k sin2 utk = V{apq (
1) Различие в знаке обусловлено тем, что знак а^ зависит от направле-
направления отсчета угла оз.

§ 64] кодХцциевы сети 163
Но вследствие F)
xiyq4-х9у* — — ^sin
ipqy УрРдХ*уР = — \ X sin
откуда
2 sin arfft = 4{ата«* (yPxk — xPyk) — ~ V^
или в силу A2) § 11
и окончательно
А о ^ \ р qh о к pqj* \ )
Отсюда можно получить выражение координат чебышевского
вектора сети координатных линий.
Полагая
ап = а22 = а11 = а22 =0, а12 = ~-,
будем иметь
§ 64. Кодацциевы сети
Если а^ — тензор сети, то система уравнений
^ [kaj\ г =:: ^Т [kaj] i> A)
которая сводится к двум уравнениям:
разрешается однозначно относительно координат вектора ^, так как
определитель правой части не равен нулю.
Из (9) § 63, A) и A0) § 51 следует, что чебышевский вектор
сети
к = а^[рак] q + \ aPWkapq = — Та +1 дк In N,
где N—норма тензора а{у Следовательно,
Tft = jdftlntf—*ft. C)
Тензор пц удовлетворяет уравнению Кодацци, если
= 0. D)

164 Элементы tEot>ntt сетей
или подробнее
— dta21 — G\2an+(Ой — G212) a1
dia22 — d2a12 — G2ia22 -f- (G22 — G21) + G^ 0j
Сеть называется кодаццаевой, если ее тензор можно пронорми-
пронормировать так, чтобы после этого он удовлетворял уравнению D). Но
при перенормировании тензора сети
происходит преобразование его нормы
вследствие чего вектор yi преобразуется следующим образом:
Для того чтобы после перенормирования тензор удовлетворял урав-
уравнению Кодацци, необходимо и достаточно, чтобы множитель мог
быть определен из уравнений
Для этого необходимо и достаточно, чтобы вектор yfc был потен-
потенциальным, а вследствие C) это равносильно потенциальности tk.
Таким образом, для того чтобы сеть была кодацциевой, не-
необходимо и достаточно, чтобы ее чебышевский вектор определял
потенциальное поле.
Будем называть кодацциевым такое нормирование тензора, при
котором он удовлетворяет уравнениям E). Так как при этом уй = 0,
то согласно C) мы будем иметь в этом случае
tk = ±dklnN. F)
Таким образом, чебышевский вектор кодацциевой сети равен
одной четверти логарифмической производной нормы тензора
этой сети, находящегося в кодацциевом нормирований.
§ 65. Ортогональные сети
Если сеть ортогональна, то единичные векторы, касающиеся ее
линии, связаны условием
Кроме того, трансверсальные векторы обоих полей одинаковы.
Вследствие этого выражение E) § 63 чебышевского вектора сети

§ 66] ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ СЕТИ 165
принимает вид
х*хк —
1 = ч
sin3T
или
tk=t*. A)
Итак, чебышевсшй вектор ортогональной сета является до-
дополнительным к общему трансверсальному вектору полей каса-
касательных векторов ее линий.
В частности, для изотермических полей согласно п°4 § 52 век-
вектор (|Л соленоидален и, следовательно, tk градиентен.
Отсюда следует: для того чтобы ортогональная сеть была
изотермической, необходимо и достаточно, чтобы она была кодац-
циевой.
§ 66. Геодезические сети
Сопоставляя формулы (8) § 53, G) и (8) § 63, мы получим сле-
следующие выражения для геодезических кривизн линий сети, касаю-
касающихся единичных векторов х1 и yi, если а,у — тензор сети, а N—его
норма:
В силу этого для такой сети, все линии которой геодезические,
т. е. геодезической сети, оба корня х* и у* уравнения
^0 B)
должны быть также корнями уравнения
0, C)
что возможно в том и только в том случае, если кубическая
форма C) делится на квадратичную форму B). Если частное от
этого деления есть линейная форма hkzkt то
или
откуда вследствие A0) § 10
С другой стороны, для всякого тензора имеет место соотноше-
соотношение A) § 64

166 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ СЕТЕЙ [ГЛ. X
Сложив три соотношения почленно
мы получим
Vftfly = [V^ + V*# + VJifcf E)
где
H = j (h-+-^k), чк = ~ (kk — 2?A).
Подставляя в выражение чебышевского вектора (9) § 63, по-
получим
к = ^а»
откуда
h = Щ + 2 Т*> Н-а =
а вследствие C) § 64
Ь = д1пМ+*
ъ ЪЬ. F)
Таким образом, соотношение E) принимает окончательный вид
I dA In N — (k) a4 G)
и выражает условие того, что а,ц есть тензор геодезической сети.
Достаточность условия E) можно показать следующим образом.
Свертывая обе его части с любым из векторов сети, мы получим
аналогично этому
1
следовательно, сеть геодезическая.
§ 67. Чебышевская сеть
1. Сеть, образованная линиями двух векторных полей, называется
чебышевскойу если вектор каждого из этих полей переносится парал-
параллельно по линиям другого поля, или, иначе говоря, если линии каж-
каждого из этих полей совпадают с трансверсалями другого поля.
Таким образом, если единичные касательные векторы линий сети
будут удовлетворять уравнениям вида G) § 52

§ 67] ЧЕБЫШЕВСКАЯ СЕТЬ 167
I
то сеть будет чебышевской при одновременном выполнении условий
Е«У = О, ъ** = 0. B)
Однако из E) § 63 следует, что эти условия выполняются тогда
и только тогда, когда
U = 0, C)
так что чебышевская сеть характеризуется обращением в нуль
ее чебышевского вектора.
Отсюда вытекает, в частности, что чебышевская сеть принад-
принадлежит к числу кодацциевых.
2. Если чебышевская сеть принята за координатную, то вслед-
вследствие A0) § 63, (9) § 48 и C)
Но определитель ЕО — F2 ф О, вследствие чего
EV=QU = O, E)
тдк что Е есть функция только и> а О — функция только v. Однако
пр>и этих условиях мы можем произвести такое преобразование
параметров, после которого будем иметь
E=Q=U F)
и линейный элемент поверхности, координатные линии которой обра-
образуют чебышевскую сеть, примет следующий вид:
ds2 = du*-\-2 cos vdudv-Ar dv2. G)
Так как для параметрических линий
ds = du, ds — dv,
1 2
то параметры и и v в выражении линейного элемента G) совпа-
совпадают с натуральными параметрами координатных линий. Отсюда
следует, что длины дуг всех линий каждого семейства чебышевской
сети, заключенные между двумя линиями другого семейства, равны
между собой.
Это свойство также вполне характеризует чебышевскую сеть.
3. Если чебышевская сеть одновременно является и геодезической,
то она изогональна, так как вектор, переносящийся параллельно
вдоль геодезической линии, должен сохранять свой угол с каса-
касательным вектором последней, который тоже переносится параллельно.
Но изогональная геодезическая сеть существует только на поверх-

168 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ СЕТЕЙ [ГЛ. X
ностях, наложимых на плоскость (§ 57), где она совпадает с сетью
координатных линий декартовой системы координат, или, короче,
декартовой сетью. Итак, чебышевская геодезическая сеть является
декартовой сетью поверхности, наложимой на плоскость.
§ 68. Поверхность переноса
Рассмотрим поверхность, допускающую существование сопряжен-
сопряженной чебышевской сети.
Если эта сеть принята за координатную, то согласно G) § 27
коэффициент ее второй квадратичной формы
С другой стороны, так как эта сеть чебышевская, то в силу D) § 67
Ojt = 0}a=Of
и одно из деривационных уравнений B) § 48 принимает вид
*г _Q m
и имеет общее решение вида
г = а(«1)+ *(«*). B)
где а, Ь — векторы, зависящие только от и1 и только от и2 соот-
соответственно.
Уравнение B) показывает, что поверхность может быть получена
в результате параллельного переноса кривой 1\
точка которой Ro = а (и1)-{-b (и2) скользит по кривой Г2:
о о
Очевидно также, что ту же поверхность можно получить парал-
параллельным переносом кривой Г2 по кривой Тх.
Называя сеть, образованную линиями, переносимыми параллельно,
сетью переноса, мы приходим к следующему результату: сопряжен-
сопряженная чебышевская сеть есть сеть переноса.
Следует отметить, что вторая квадратичная форма плоскости
всегда равна нулю и, следовательно, уравнение A) выполняется для
всякой чебышевской сети плоскости. Таким образом, всякая чебы^
шевская сеть на плоскости есть сеть переноса.
Поверхность, имеющую сеть переноса, называют поверхностью
переноса.

§ 69] СЕТИ РАВНЫХ ПУТЕЙ 169
Отметим некоторые частные случаи таких поверхностей.
Всякий параболоид
есть поверхность переноса параболы по параболе.
Всякая цилиндрическая поверхность есть поверхность переноса
прямой по любой направляющей кривой.
Прямой геликоид есть тоже поверхность переноса. Чтобы пока-
показать это, сделаем в его уравнении
г z=e(u)v-\-auk
замену переменных
= —р-, v — ccos—
после которой
а — В/.
г = с cos —^ ^ cos
а 
{/(соза + совр)+У(81па + 81пР)}+
или
Таким образом, геликоид есть поверхность переноса винтовой
линии, расположенной на цилиндре радиуса с по такой же винтовой
линии. Так как с есть произвольная постоянная, то на геликоиде
существует бесконечное число сетей переноса.
§ 69. Сети равных путей
1. Определим положительное направление движения по линии
сети и будем считать длину дуг ее линий, отложенных в этом
направлении, положительной, а в обратном направлении — отрица-
отрицательной. Возьмем две точки А и В и соединим их некоторой лома-
ломаной, составленной из дуг линий сети. Сеть равных путей, или
равнопутная сеть, характеризуется тем, что длина этой ломаной
зависит только от положения точек А и В, а не от выбора дуг,
составляющих этот путь, иначе говоря, криволинейный интеграл
взятый по этой ломаной, не зависит от пути. Условием этого, однако,
является обращение подинтегрального выражения в полный диф-
дифференциал некоторой функции <р так, что при дифференцировании
в направлении линий сети

170 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ СЕТЕЙ [ГЛ. X
а дифференциальное уравнение равнопутной сети имеет вид
ds2 — d<f2 = (gij — ytfj) da1 du? = 0
и ее тензор
aij = gij — 4i4j> 0)
где 9i — градиент.
Если равнопутная сеть принята за координатную, то
«11=^1! —Т? = 0. «8а=ЙГя2 — Т| = 0,
и линейный элемент поверхности имеет вид
ds2 = <p2 (du1 J-f- 2cp1cp2 cos о du1 du2 + <pjj (du2J. B)
Чтобы вычислить чебышевский вектор равнопутной сети, найдем
тензор, взаимный ее тензору. Согласно B7) § 11
а так как аг*ац = 2, то
с другой стороны,
Подставляя полученные величины в (9) § 63, легко получим
искомое выражение чебышевского вектора
2A—
Из очевидного равенства
следует, что 9г есть вектор главного направления тензора а^, т. е.
что чебышевский вектор равнопутной сети направлен по бис-
биссектрисе ее направлений.
Можно показать, что это условие характеризует равнопутную
сеть.
2. Чебышевская сеть является такой равнопутной сетью, у кото-
которой «потенциал путей» ср удовлетворяет уравнению в частных произ-
производных второго порядка
(jfP4* — g*t)Vp<tq=0. D)
Зная ср» удовлетворяющее этому уравнению, можно получить
тензор чебышевской сети по формуле A). Отсюда следует, что
на всякой поверхности можно найти бесконечное множество

§ 70] ИЗОТРОПНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ И ИЗОТРОПНАЯ СЕТЬ 171
чебышевсках сетей с произволом в выборе двух функций одного
аргумента.
3. На поверхности вращения равнопутной будет всякая сеть
вращения, т. е. такая сеть, линии которой симметричны относительно
меридиана, так как в силу симметрии самой поверхности и ее чебы-
шевский вектор будет направлен по меридиану. В частности, и сеть
асимптотических линий будет равнопутной.
Интересный частный случай такой сети был отмечен A.M. Комис-
саруком. Потенциал ее пути V — co, где <р— широта. Эта сеть
будет чебышевской, так как <р есть гармоническая функция, а на-
направление градиента 9г переносится параллельно вдоль меридиана,
вследствие чего
= 0, ?<ф%#а = 0,
и уравнение D) удовлетворяется.
§ 70. Изотропные направления и изотропная сеть
До сих пор мы рассматривали только действительные Векторные
поля и сети. Однако в дифференциальной геометрии, как и в дру-
других разделах высшей геометрии, часто обращаются к рассмотрению
мнимых элементов, достигая этим большей общности и единообразия.
Так, например, говорят, что уравнение с действительными коэф-
коэффициентами
а^ du% duj = 0
определяет мнимую сеть, если норма тензора а^ положительна,
а системы комплексно сопряженных величин v* и v\ которые удо-
удовлетворяют уравнениям
a^vo = 0, uijvivJ = 0,
определяют поля мнимых векторов.
К этим векторным полям применяются все определения теории
действительных векторных полей, если определяющие их комплексные
величины являются аналитическими функциями изотермических коор-
координат и удовлетворяют соответствующим дифференциальным урав-
уравнениям.
В частности, к мнимым векторным полям применима, вообще
говоря, и теория трансверсального вектора, однако здесь есть один
исключительный случай, который нужно отметить особо.
Исключительными свойствами обладают поля так называемых
изотропных направлений, или нулевых направлений, метрического
тензора, которые удовлетворяют уравнению
0 A)

172 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ СЕТЕЙ [ГЛ. X
и будут комплексно сопряженными, так как норма тензора gij равна
единице, т. е. положительна. Из соотношения
следует, что вектор vl, дополнительный к изотропному, и сам изо-
изотропный вектор vl удовлетворяют одному и тому же линейному
уравнению с коэффициентами g^v1 и, следовательно, могут отли-
отличаться только скалярным множителем, т. е.
^=Ху\ B)
Линейная зависимость между вектором изотропного направления
и его дополнительным вектором не позволяет разложить по ним
всякий третий вектор, а на свойствах этого разложения основаны
теории трансверсального вектора.
Дифференцируя левую часть A) и принимая во внимание, что
= 0, получим
откуда следует, что для изотропного поля
bvi = lv\ C)
Этому уравнению можно дать следующее истолкование: изотроп-
изотропное направление переносится параллельно по любой кривой или
образует поле абсолютно параллельных направлений.
Так как, в частности, это параллельное перенесение можно осу-
осуществить и вдоль самих линий изотропной сети, определяемой урав-
уравнением
gijduiduJ = 0, D)
то эту сеть следует рассматривать и как чебышевскую и как геоде-
геодезическую, в согласии с чем для тензора g^, очевидно, выполняются
условия G) § 66 и C) § 67.
Таким образом, в комплексной области результат п°3 § 67
должен быть сформулирован с поправкой: существование сети,
которая является" одновременно и геодезической и чебышевской,
характеризует развертывающуюся поверхность, если эта сеть
неизотропная.

ГЛАВА XI
ОТОБРАЖЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ
§ 71. Общие свойства дифференцируемых соответствий
1. Если между точками двух поверхностей установлено взаимно
однозначное и непрерывное соответствие, то каждой из двух соот-
соответствующих точек можно'отнести одинаковые значения криволиней-
криволинейных координат. Такая параметризация данных поверхностей назы-
называется общей по отношению к рассматриваемому соответствию.
Уравнения поверхностей, находящихся в общей параметризации,
будут иметь вид
г = г{и\ и2), г = г(и\ и2). A)
Мы будем считать, что отображение дифференцируемо, т. е.
предполагать, что обе векторные функции дифференцируемы по
своим скалярным аргументам.
2. Рассмотрим две соответствующие точки М и М и две соот-
соответствующие кривые, исходящие из этих точек на обеих поверхно-
поверхностях. Обе эти кривые будут выражаться одним и тем же внутренним
уравнением
«< = «*(*).
Предел отношения длин соответствующих дуг
зависит только от направления касательной к кривой, исходящей
из точки Ж, и носит название коэффициента искажения данного
отображения.
Если откладывать от точки Ж в ее касательной плоскости отре-
отрезок, равный обратной величине коэффициента искажения, т. е.
строить вектор, имеющий в местной системе координаты
» = ТТ' C)
то геометрическое место концов этих векторов будет в силу B)
иметь уравнение
??=!, D)

i 74 ОТОБРАЖЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ (гл. XI
т. е. будет центральной кривой второго порядка, центр которой
находится в точке М. Эта кривая совпадает с индикатрисой тен-
тензора gy. Так как дискриминант этого тензора D)
* * * *2
W* = SnS22~ gi2
всегда положителен, то кривая эта будет эллипсом, который назы-
называется эллипсом искажений.
Главные направления эллипса искажений называются главными
направлениями соответствия, а коэффициенты искажения, соот-
соответствующие этим направлениям, — главными коэффициентами. Оче-
Очевидно, что в общем случае главные коэффициенты совпадают с мини-
минимальным и максимальным значениями коэффициента искажения в данной
точке. Векторы х* и у1 главных направлений соответствия должны
быть ортогональными и сопряженными относительно кривой D), т. е.
должны удовлетворять одновременно двум условиям:
Второе из этих условий показывает, что направления, соответ-
соответствующие направлениям векторов xi, уэ, ортогональны и на второй
поверхности. Итак, главные направления соответствия — это такие
ортогональные направления на первой поверхности, которым со-
соответствуют ортогональные направления на второй поверхности.
Линии полей векторов главных направлений отображения обра-
образуют на обеих поверхностях ортогональные сети, соответствующие
друг другу при данном отображении, которые называются сетями
Тисе о.
Если данное отображение допускает существование двух пар
ортогональных направлений xl, yi и х1, у1, которым будут соответ-
11 2 2
ствовать ортогональные направления и на второй поверхности, то
индикатриса искажений будет иметь больше двух главных напра-
направлений и должна вырождаться в окружность. Но в таком случае
ее уравнение должно иметь вид
вследствие чего
а это есть условие, характеризующее конформность отображения.
Таким образом, если в данной точке можно указать две такие
пары взаимно ортогональных направлений, которым соответ-
соответствуют тоже взаимно ортогональные направления на второй
поверхности, то угол между любыми двумя направлениями, исхо-
исходящими из данной точки на первой поверхности, сохраняется

§ 71] ОБЩИЕ СВОЙСТВА ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ СООТВЕТСТВИЙ 175
при их отображении на вторую поверхность. Такая точка назы-
называется точкой конформности. Индикатриса искажений в точке кон-
конформности будет окружностью, всякое направление является главным,
коэффициент искажения не зависит от направления, а метрические
тензоры обеих поверхностей отличаются друг от друга только мно-
множителем.
if *&
3. Рассмотрим коэффициенты связности G^ и Gy двух поверх-
поверхностей, находящихся в соответствии и отнесенных к общей системе
криволинейных координат, и образуем с помощью их выражения
абсолютных дифференциалов некоторого вектора первой поверхности
и соответствующего ему вектора второй поверхности1). Эти выра-
выражения будут иметь вид
= dv* + 0}kvj duk, bvl = dvl + G)kvj du
k
и так как каждое из них определяет вектор, то разность между
ними будет тоже вектором
to* _ to* = (G}k — G)k) vj dukt
а при свертывании с произвольным вектором мы получим инвариант
Из инвариантности этого выражения следует, однако, что раз-
разности
Т}к=0%~01к F)
являются координатами тензора. Таким образом, разности между
соответствующими коэффициентами связности двух поверхностей,
находящихся в общей параметризации, являются координатами
некоторого тензора третьей валентности. Этот тензор называется
тензором аффинной деформации, соответствующей данному ото-
отображению. По свойству коэффициентов связности очевидно, что
Т}к=П:: G)
В силу (8) § 51 мы имеем, кроме того,
*
7U=d,lnJ, (8)
где w2 и w2 — дискриминанты метрических тензоров отображаемых
поверхностей.
!) Соответствующими называют такие векторы, принадлежащие двум
поверхностям, отнесенным к общей параметризации, которые приложены
в соответствующих точках и имеют одинаковые координаты.

176 ОТОБРАЖЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ [ГЛ. X1
§ 72. Конформное соответствие поверхностей
1. Из основного соотношения между ковариантными координа-
координатами метрических тензоров двух поверхностей, находящихся в кон-
конформном соответствии,
gij^e^gy A)
легко следуют следующие соотношения для контравариантных коор-
координат этих же тензоров, для дискриминантных тензоров и для кон-
контра- и ковариантных координат единичных векторов соответствующих
направлений и их дополнительных векторов:
B)
Ц J C)
%=е*ф D)
а* = е-ра*9 ах = epait E)
а* =: е~ра\ а{ = еРаг. F)
2. Рассмотрим тензор аффинной деформации, соответствующий
конформному отображению.
Так как в силу (8) § 71
то вследствие C)
Ям = 2Л. G)
Градиент
мы будем называть вектором конформного отображения. Если
этот вектор равен нулю, то коэффициент растяжения q постоянен,
и поверхности становятся наложимыми после подобного преобразо-
преобразования одной из них. Этот случай конформного соответствия мы будем
называть тривиальным,
*
Рассмотрим поля аг и аг единичных векторов, направления кото
рых соответствуют друг другу на конформных поверхностях и раз-
разность их соответственных трансверсальных векторов
Эта разность не зависит от выбора полей, так как при повороте
их. векторов на один и тот же угол к их трансверсальным векторам
прибавится градиент этого угла (A0) § 52).

§ 72] конформное Соответствие поверхностей 177
Чтобы найти выражение тензора Т)и, введем символы ковариант-
ного дифференцирования на первой и второй поверхностях и рассмотрим
соотношение
Но вектор аг есть единичный вектор первой поверхности, который
«
выражается через единичный вектор второй поверхности а{ по фор-
формуле E), т. е. имеет на ней модуль е~р. Вследствие этого
откуда следует, что
= pja{ — s^ = (р$ — Sje%) ak
и в силу произвольности вектора ак
Ti = Pfi se
Свертывая по индексам k, j и принимая во внимание G), получим
откуда следует окончательное выражение тензора аффинной дефор-
деформации
Tij=P$—Pje*i (8)
и связь между трансверсальными векторами соответствующих полей
*i — *i = Pi- (9)
3. В силу A) § 65 и (9) чебышевские векторы ортогональных
сетей на поверхностях, конформных друг другу, связаны соотноше-
соотношением
h-h = ~Pv (Ю)
С другой стороны, норма тензора а^ преобразуется при том же
конформном преобразовании по формуле
откуда следует, что комбинация
составленная для тензора ортогональной сети и его чебышевского
вектора, не изменяется при конформном преобразовании. Отсюда и
из E) § 64 следует, в частности, что кодацциево нормирование тен-
тензора изотермической сети не нарушается при конформном преобра-
преобразовании.

ОТОБРАЖЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ . [ГЛ. XI
Но всякую изотермическую сеть можно отобразить конформно
на декартову прямоугольную сеть плоскости и, например, задать
в прямоугольных декартовых координатах уравнением
которому соответствует тензор с координатами ап = — 02а=с,
al2= О, удовлетворяющими уравнению Кодацци на плоскости. Отсюда
вытекает, что в любой системе координат уравнение
ац du* duo = с (dx2 — dy2) = О
определяет тензор изотермической сети, находящийся в кодацциевом
нормировании, и этот тензор выражается через градиенты xit у^ двух
сопряженных гармонических функций следующим образом:
A1)
4. Найдем закон преобразования геодезической кривизны линии
на поверхности при ее конформном отображении на другую поверх-
поверхность.
Если эта линия пересекает линии поля аь под углом ф, то со-
согласно F) § 53
и dui I d*t
Используя (9) и A), согласно которому
ds = ер ds,
получим
Отсюда следует, в частности, что геодезическая линия переходит
в геодезическую при конформном отображении A), если она является
интегральной кривой уравнения
а для того, чтобы геодезическое поле а{ переходило в геодезическое,
вектор конформного отображения р^ должен быть коллинеарен век-
вектору этого поля
Рь= Щ-
Но Pi есть градиент* а а^ можно считать градиентом геодезического
потенциала. Таким образом,
и следовательно, геодезическое поле остается геодезическим только
при таком конформном преобразовании, коэффициент растяже-
растяжения которого является функцией геодезического потенциала
этого поля.

§ 73] КОНФОРМНОЕ СООТВЕТСТВИЕ ПЛОСКОСТЕЙ 170
Всякая геодезическая линия остается геодезической только при
тривиальном конформном преобразовании, так как оно характери-
характеризуется условием
Л=0.
5. Продифференцировав левую и правую части A2) по sy получим
dka о„ dK j i j Ь ()
Однако согласно C) § 53
а
tp
du? = k?Pi drf = (Pkgpi drf—Pi dupj ~
откуда
dkg ds = dkg ds — (VjPi—Pipj) da1 duK A3)
Это соотношение позволяет заключить, что линия постоянной геоде-
геодезической кривизны переходит в такую же линию при конформном
преобразовании, если она является интегральной кривой уравнения
(VjPi—PiPj) duiduJ=0. A4)
Отсюда в свою очередь следует, что существование трех различных
однопараметрических семейств таких линий возможно только при
условии
Pij = VuPj) —PiiPj) = 0, A5)
и в таком случае все линии постоянной геодезической кривизны пе-
переходят в такие же линии, а для любой кривой имеет место соот-
соотношение
dkgds = dkgds. A6)
§ 73. Конформное соответствие плоскостей
Рассмотрим две плоскости, находящиеся в конформном соответ-
соответствии. Если их линейные элементы связаны, как и в общем случае,
ссотношением
ds = epds, A)
то формула A0) § 72
связывает трансверсальные векторы соответствующих полей. Но эти
векторы градиентны (§ 52), а следовательно, и вектор/^—градиент,

186 ОТОБРАЖЕНИЕ ПОВЁРХНОС?еЙ
а это значит, что функция /?, градиент которой равен pit — гармо-
гармоническая.
Итак, при конформном отображекии плоскости на плоскость
логарифм коэффициента растяжения является гармонической
функцией точки.
Задавая конформные отображения с помощью аналитической
функции
= f(z),
т. е. считая х, у и и, v прямоугольными координатами соответ-
соответствующих точек обеих плоскостей, и сравнивая A) с A2) § 47, мы
будем иметь
p = ln\f'(z)\, B)
откуда
f C)
где q есть аргумент производной и является гармонической функ-
функцией, сопряженной с функцией р.
Будем дифференцировать функцию y(z), имея в виду, что она
и все ее производные — аналитические функции z. Согласно A1)§ 47
*P(*) = (ft + 'A)**<k. D)
Далее мы предположим для общности, что плоскости отнесены
к общим криволинейным координатам и1, и2. Согласно A5) § 51
х и у удовлетворяют дифференциальным уравнениям
Принимая это во внимание, мы будем иметь
(z) = cp" (z)dz* = dyr (z) dz = (bpk + ibpn) X* dz.
С другой стороны, вектор Ьрк будет дополнительным к вектору hpk,
и мы можем применить к выражению
те же рассуждения, которые применили к выражению Uk-\-iUk
в § 47.
Проведя эти рассуждения, мы получим
ЙА) Xй dz,
откуда окончательно
<&Г (z) = (VjPi + Ярд dtf daf. E)
Производной Шварца аналитической функции w~f(z) назы-
называется выражение

§ 73] КОНФОРМНОЕ СООТВЕТСТВИЕ ПЛОСКОСТЕЙ 181
или, как легко видеть, положив <p(z)=\nf' (z), в наших обозначе-
обозначениях
но вследствие D) и E)
[w, z} dz* = [v,ft — ~ (Pjpk +PjPk) ] duJda* +
^ G)
Сравнив с A5) § 72, мы видим, что при конформном отображении
плоскости на плоскость квадратичная форма
Pij du{ did = (Vjjfj—ptf)j) dul dut (8)
совпадает с мнимой частью производной Шварца, отображающей
функции, что же касается ее действительной части, то, как легко
видеть, она совпадает с квадратичной формой
Q{j du* duJ = e\iPj) к da* duf. (9)
Конформное соответствие между двумя плоскостями называется
круговым, если оно отображает всякий круг на круг или прямую1).
Так как при этом конформном соответствии линии постоянной кри-
кривизны переходят в такие же линии, то согласно § 72 оно характери-
характеризуется обращением в нуль тензора рц, а. следовательно, и производ-
производной Шварца.
Общее решение дифференциального уравнения
{w, z}=0 A0)
известно. Оно имеет вид
az-\-b /11Ч
W= -f-т , A1)
и, таким образом, отображающая функция кругового соответствия
есть общая дробно-линейная функция своего аргумента.
Из A6) § 72 следует, что при круговом преобразовании
kd A2)
* *
где k, k — кривизны плоских линий, a s и 5 — длины их дуги, и так
называемый параметр Либмана, который определяется для плоской
кривой интегралом
^YlJ A3)
инвариантен при круговом преобразовании.
*) Можно показать, что круговое соответствие необходимо является кон-
конформным.

182 . ОТОБРАЖЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ [ГЛ. XI
§ 74. Инверсия
1. Линейное преобразование комплексного переменного
Z = mz + п
может быть представлено в виде
Z = pe**z -f* n
и определяет такое преобразование в плоскости этого переменного,
которое сводится к ее повороту на угол а, подобному преобразова-
преобразованию с коэффициентом подобия р, и параллельному переносу на вектор,
изображающийся комплексным числом п.
Общее дробно-линейное преобразование может быть представлено
формулой
Отсюда следует, что общее круговое преобразование плоскости
сводится к движению и к преобразованию, выражаемому формулой
где а — действительное число.
Произведем зеркальное отражение относительно действительной
оси и рассмотрим преобразование
z = x—tr=7^T9 A)
Z — Zq
которое называется инверсией.
Окружность, выражаемая уравнением
\~ ~ 12— „2
| z — Zq\ — а ,
называется кругом инверсии, а ее центр — центром инверсии. Поме-
Поместив для простоты центр инверсии в начало координат, мы получим
более простую формулу
Z = %, B)
из которой легко видеть, что точки М и N, соответствующие при
инверсии, лежат на одной прямой, исходящей из центра инверсии,
причем, если одна из них лежит внутри, то другая — вне круга
инверсии, и их расстояния от центра связаны так, что
Точка, расположенная на круге инверсии, переходит в себя. Центр
инверсии не имеет соответствующей точки, однако для общности
говорят, что он переходит в бесконечно удаленную точку плоскости.

§ 74] инверсия 183
Всякую окружность можно задать уравнением
O, C)
где Р и R— действительные, a Q и Q — комплексно сопряженные
числа. Окружность вырождается в прямую при Р = 0. После замены
а*
z= —
Z
уравнение C) примет вид
Ра4 -[- a*QZ + a?QZ + RZZ = О.
Таким образом, при инверсии окружность преобразуется
в окружность, если она не проходит через центр инверсии, и в пря-
прямую, если она проходит через него, прямая же преобразуется
в окружность, проходящую через центр инверсии.
Дифференцируя A), получим
откуда
dzdz
а 7 а Ч
dZ dZ =
Мы получили соотношение между линейными элементами плоскости
до и после инверсии
2. Действительную и мнимую части числа z=.x-\-iy, которое
являются прямоугольными координатами точки z, можно рассматри-
рассматривать как криволинейные координаты для инвертированной точки
Z = X—iY. Прямоугольные координаты последней X и Y выра-
выражаются через х и у по формулам
непосредственно следующим из B).
Чтобы выяснить характер координатной сети, заметим, что линии
х = const, y= const, которые до преобразования были прямыми,
перейдут, вообще говоря, в окружности, проходящие через начало
координат, и только прямые х = 0, у = 0 останутся прямыми и
перейдут в себя. С другой стороны, из конформности преобразования
следует, что окружности ^у^с011^ ортогональны прямой х-=0,
а окружности х = const — прямой у = 0. Таким образом, координат-
координатная сеть состоит из двух семейств окружностей, касающихся в одной
точке двух взаимно перпендикулярных направлений. Каждое из этих
семейств называется параболическим пучком окружностей (черт. 47),

184
ОТОБРАЖЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ
[ГЛ, XI
а пучки — сопряженными между собой. Сеть, образованную этими
пучками, мы будем называть сетью окружностей первого рода.
Черт. 47.
Из D) следует, что линейный элемент плоскости, отнесенной
к криволинейным координатам х, у, которые мы будем называть
круговыми координатами первого рода, имеет вид
F)
3. Возвращаясь к общему случаю инверсии при г:о^0и производя
дополнительно параллельный сдвиг на вектор, соответствующий ком-
комплексному числу
мы получим преобразование, выражающееся формулой
G)
При этом преобразовании начало, координат и бесконечно удаленная
точка перейдут в точки А и В с аффиксами
= — k,
= k.

§ 74]
ИНВЕРСИЯ
185
а пучок прямых, проходящих через начало координат, — в эллипти-
эллиптический пучок окружностей, т. е. в совокупность таких окружностей,
Y
Черт. 48.
которые проходят через эти точки. Семейство окружностей с центром
в начале координат перейдет при том же преобразовании в гипер-
гиперболический пучок, сопряженный указанному эллиптическому, т. е.
в совокупность окружностей, пересекающих под прямым углом все
окружности данного эллиптического пучка. Сеть, образованную обоими
этими пучками, мы будем называть сетью окружностей второго
рода (черт. 48).
Для того чтобы использовать эту сеть в качестве координатной,
выразим переменное z в формуле G) через полярные изотермические
координаты at vt положив
Если X и Y—прямоугольные координаты точки с аффиксом
Z = X— iY,
то вследствие G)
Так как
1) @*5 — 1) — е2и — 2 cos v еи + 1 = 2еи (ch и — cos v),
— i) = еъи — 2ieu sin v — 1 = 2eu (sh и — I sin v),

186
ОТОБРАЖЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ
[ГЛ. XI
то при действительном значении k
sh и
X=k
Кроме того,
ch и — cos v '
Y=k
sin v
ch и — cos v '
(8)
следовательно, линейный элемент плоскости, отнесенной к этим криво-
криволинейным координатам, которые мы будем называть круговыми коор-
координатами второго рода, имеет вид
или
"" (chtf —cost/J' yuj
Заметим, что линии и = coast образуют гиперболический, а линии
v = const—эллиптический пучок окружностей.
§ 75. Стереографическая проекция
1. Проекция Мх точки сферы М из ее полюса Р (черт. 49) на
экваториальную плоскость называется стереографической.
Черт. 49.
Обозначим через <р и ф долготу и широту точки М, а положение
точки Мх определим ее полярными координатами <р и р, поместив их
полюс в центр сферы О, а полярную ось ОС — в плоскость началь-
начального меридиана.
Угол ОМХМ измеряется полуразностью дуг ВР и AM и, следо-
1 /я \
вательно, равен -«"("о"—ч' ^3 ПРЯМОУГОЛЬНОГО треугольника ОМХР
находим, что
т те
где a — радиус сферы.
=atg
A)

§ 75] СТЕРЕОГРАФИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ 187
Подставляя полученное выражение радиуса-вектора точки М±
получим для линейного элемента экваториальной плоскости
ИЛИ
С другой стороны, линейный элемент сферы
ds2 = а? Щ2 + cos2 ф Ар2],
вследствие чего
dsl = 2 P\i ^2. B)
0 a2cos2^ v '
Таким образом, стереографическая проекция дает конформное
отображение сферы на плоскость. Это свойство стереографической
проекции используется в картографии главным образом при соста-
составлении карты полярных стран.
2. Стереографическими называются такие криволинейные коорди-
координаты точки сферы, которые равны прямоугольным координата^, сте-
стереографической проекции этой точки.
Если начало этих прямоугольных координат х, у помещено в центр
сферы, а ось Ох расположена в плоскости начального меридиана, то
—
С другой стороны, из A) следует, что
и радиус-вектор точки сферы
R = а {е (<р) cos ф+ ft sin
имеет координаты

188 ОТОБРАЖЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ [ГЛ. XI
Линейный элемент сферы в стереографических координатах получится
из B) и имеет вид
где
§ 76. Геодезическое соответствие
1. Соответствие между точками двух поверхностей называется
геодезическим, если всякой геодезической линии одной поверхности
соответствует геодезическая линия другой.
Рассмотрим уравнение геодезической линии
du? duk n
Если мы преобразуем это уравнение, перейдя от натурального
параметра 5 к произвольному параметру t, то оно примет вид
Если данная поверхность отображена геодезически на вторую по-
верхность и Gij — коэффициенты связности последней в системе ко-
координат, общей по отношению отображения, то всякое решение
уравнения B) будет также решением уравнения
*i duf du* da* _
0**-зг-зг = *-зг- C)
Вводя обозначение тензора аффинной деформации
D)
и вычитая почленно B) и C), мы получим
откуда следует уравнение
которое может быть также переписано в следующем виде:
b\mT$dujdukdul = O.
Так как это уравнение должно выполняться для любой геодези-
геодезической, а геодезическую можно провести по любому направлению

§ ?б] ГЕбДЁЗиЧЕСкОЕ СООТВЕТСТВИЕ
то оно должно выполняться тождественно или согласно (9) § 10
= о.
Производя свертывание по индексам т и /, получим
4. 4 4.
Tkj= Pk&j-\-Pjh> E)
где
Таким условиям должен удовлетворять тензор аффинной дефор-
деформации при геодезическом отображении.
Эти условия не только необходимы, но и достаточны, в чем не-
нетрудно убедиться, подставив выражение
*i 4. 4. i
Gkj =F Gkj -f- pk0j -f- pjOfc
в уравнение (З), которое сохранит после этого форму уравнения гео-
геодезической линии.
Вектор pi называется вектором геодезического отображения.
Так как в силу (8) § 71
*
* *
где w и w — дискриминанты метрических тензоров g^ и g^ отобра-
отображаемых поверхностей, то вектор геодезического отображения есть
градиент. При /?^=0 отображение называется тривиальным.
2. Дифференцируя метрический тензор второй поверхности кова-
риантно с помощью коэффициентов связности первой поверхности,
мы получим
* * s * s *
* *8 * *8 * 9 *
= dkgij — Gkjgis — Gkigj8 + Ты g8:
Но ~
и, заменяя Т\ его выражением E), мы будем иметь окончательно
Чтобы выяснить, какие поверхности допускают нетривиальное гео-
геодезическое отображение, рассмотрим тензор

который вследствие (8) удовлетворяет уравнению
У*Рц = Рр* + Р/*1к- (9)
Выразим тензор a{j через его главные орты a{i ai и характер-
характерные числа р, о:
Подстановка этого выражения в (9) дает
Ч (Р — °) (fii^j + <у**) + Pifli^j + °ifli*j =
= Pi (Pajak + оа^л) + pj (pa{ak + аа{ак), A0)
где рк = дкр, ок=дка, а ак есть трансверсальный вектор поля а{.
Положив
и произведя последовательно свертывание обеих частей A0) с про-
произведениями а1а3\ а1а3, а1а3, получим
рк = 2грак, ок = 2saak, 1
ал(Р — о)=гоал + 5рал> j
откуда
afc = -7 г- (soak — гоак) = тгт ^ (р — — ° — I =
* (р — а) ^ Л kJ 2 (р — а) V а р /
JP]fc
или окончательно
A2)
Трансверсальный вектор поля а$ оказался соленоидальным, и сле-
следовательно, это поле изотермическое (п° 4 § 52), но это поле является
также биссекторным для геодезической сети а^. Отсюда следует,
что поверхность допускает существование изотермического геодези-
чески-биссекторного поля и, следовательно, является поверхностью
Лиувилля. Мы доказали, таким образом, теорему Дини: только по-
поверхности Лиувилля могут допускать нетривиальное геодезиче-
геодезическое отображение на другую поверхность.
Так как направления аг и аг — главные направления тензора а^
в метрике, определенной тензором g{j, то они удовлетворяют условию
т. е. ортогональны на второй поверхности. Отсюда следует, что
сеть Тиссо нетривиального геодезического отображения есть сеть
Лиувилля,

§ ?6] ГЕОДЕЗИЧЕСКбЕ СООТВЕТСТВИЕ 1§1
В силу A5) § 52 линейный элемент первой поверхности может
быть представлен в виде
или
ds2 = (- — -) (dx*-\-dy2), A3)
\ ^ P /
причем
или вследствие A1)
P& =
а это значит, что р есть функция только х, а о — функция только у.
Вводя обозначения
будем иметь для линейного элемента первой поверхности
ds* = (X-\- Y) (dxt+dy*). A4)
С другой стороны, опять-таки вследствие A1)
откуда
= p0 ( ~ 7
и линейный элемент второй поверхности
ds*= \x'~T'
3. В заключение возвратимся к вопросу о квадратичном интеграле
уравнения геодезических линий. В § 58 было показано, что его су-
существование равносильно существованию такого тензора Агр кото-
который удовлетворяет дифференциальному уравнению
0. A6)

l9U 01Ч)ЁРАЖЁНЙЕ ЙОВЕРХНОСТЕЙ [гл. XI
Так как сеть с тензором Л^ — геодезическая, то согласно D) § 66
где N—норма тензора Ai3-, a tk— чебышевский вектор сети. Свер-
Свертывая с тензором Л#, взаимным с Ац, получим
= 0 A7)
2tkAi5. A8)
Таким образом, чебышевский вектор всякой геодезической сети,
принадлежащий квадратичному интегралу геодезических линий,
градиентен и эта сеть является кодацциевой 1).
Обратно, если геодезическая сеть кодацциева, то ее тензор можно
пронормировать так, чтобы имело место A8), но в таком случае
будут выполнены и A6), ас ним и A7), и сеть принадлежит квад-
квадратичному интегралу.
Из A8) следует также, что тензор
где t — потенциал градиентного вектора tit удовлетворяет уравнению
Vrftf = tifit + *?п + 2 hgir A9)
и, сравнив с (8), мы видим, что поверхность с линейным элементом
отображена геодезически на данную поверхность, причем вектор
этого отображения
Но только поверхности Лиувилля допускают нетривиальное геодези-
геодезическое отображение и, таким образом, только поверхности Лиу-
вилля допускают существование квадратичного интеграла геоде-
геодезических.
Приведенные рассуждения нуждаются в одном уточнении. Для
того чтобы тензор Ац мог быть метрическим тензором поверхности,
необходимо и достаточно, чтобы его норма была положительна,
чего мы не предполагали относительно тензора Ац. Однако, если
1) Геодезическая кодацциева сеть называется также сетью Риччи.

§ 77]
СФЕРИЧЕСКОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ
193
некоторый тензор B{j удовлетворяет уравнению A6), то этому же
уравнению удовлетворяет и тензор
при любом значении постоянного с.
Но при с = О дискриминант тензора A{j положительный, значит,
в некоторой области, окружающей данную точку, этот дискриминант
остается положительным и при достаточно малом с, отличном от нуля.
§ 77. Сферическое отображение
1. Сферическим отображением поверхности называется сфери-
сферическое отображение ее нормальной конгруэнции.
По этому определению точке поверхности М (черт. 50), опреде-
определенной радиусом-вектором
п i
= г и\
A)
соответствует точка сферы Мо еди-
единичного радиуса, определенная
радиусом-вектором
п — п{иг, и*), (Z)
где п—единичный вектор нормали
поверхности в ее точке М.
2. По свойству сферы радиус-
вектор ее точки коллинеарен нор-
нормальному вектору в той же точке.
Вследствие этого касательные пло-
плоскости поверхности и сферы в соот-
соответствующих точках параллельны
между собой или, как говорят,
сферическое отображение есть соот-
соответствие по параллелизму касатель-
касательных плоскостей
Черт. 50.
Вследствие этого параллелизма векторы местной системы коорди-
координат в точке Мо сферы
Щ = дгп C)
должны быть компланарны координатным векторам ri в точке М
поверхности, а так как последние независимы, то должны иметь
место линейные соотношения вида
п^ — т\г^
Умножая скалярно обе части этого равенства на г$ и имея в виду
выражения A) § 18 и (8) § 23 коэффициентов основных квадратичных

194 ОТОБРАЖЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ [ГЛ. XI
форм поверхности, мы будем иметь уравнения
к
из которых и получим
Таким образом *),
Щ = — hirk' D)
3. Рассмотрим линейный элемент сферы
" 1и\ E)
или третью квадратичную форму поверхности.
В силу ее инвариантности значения коэффициентов
*[ц = ЩПй F)
являются координатами симметричного тензора второй валентности,
или третьего основного тензора поверхности.
Из уравнений D) следует, что
так что третий основной тензор поверхности равен* квадрату ее вто-
второго основного тензора, и, применяя формулу D) § 12, мы получим
важное соотношение
0i (8)
где 2Н и К—средняя и полная кривизны поверхности.
Будучи квадратом тензора второй квадратичной формы, тензор *[%з
имеет те же главные направления, которые совпадают, следовательно,
с главными направлениями поверхности. Иначе говоря, сеть линий
кривизны есть сеть Тиссо сферического отображения. Характер-
Характерные числа *(у равны квадратам характерных чисел А^-, т. е. квад-
квадратам полных кривизн.
Отсюда следует, что норма тензора ^ц равна квадрату полной
кривизны
* = klki = K2, (9)
а его след
г = ? 4- k\ = (kt + k2f — 2kxk2
или
x=4tf2 — 2K. A0)
l) В литературе по теории поверхностей эти формулы часто называются
формулами Вейнгартена.

§ 77] СФЕРИЧЕСКОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ 195
4. Отношение компонент дискриминантных тензоров сферического
отображения и поверхности е^« и е^
?i2 (nntn2) (nrtr2) ____ hnh22 — h\2
так что
•ц = Ке„. A2)
Таким образом, тройки векторов (пгхг2) и (пп^) местных систем
координат поверхности и сферы будут иметь одинаковую ориентацию
в эллиптических точках поверхности и обратную — в ее гиперболи-
гиперболических точках.
Рассмотрим на поверхности некоторую односвязную область S и
ограничивающий ее контур Г. Будем говорить, что обход этого кон-
контура совершается в положительном направлении, если наблюдатель,
движущийся в этом направлении по внешней стороне поверхности,
видит обходимую область по левую руку от себя. Обход области
в направлении, обратном положительному, будем называть обходом
отрицательного направления.
Предположим теперь, что в области Е кривизна не меняет своего
знака, и введем такую систему криволинейных координат, чтобы
линия и2 = const совпадала с участком контура Г, а тройка векто-
векторов rv r2, n была правой. В таком случае, если параметр и1 воз-
возрастает в направлении положительного обхода, вектор гх касается
контура Г и направлен в ту же сторону, а вектор г2 касается линии,
входящей внутрь области 2.
Перейдем к сферическому отображению, и пусть область 2 и ее
граница Г соответствуют области Ео с ее границей Го. В силу непре-
непрерывности и дифференцируемости уравнений, определяющих отобра-
отображение, вектор пх касается контура Го, определяя направление его
обхода, соответствующего положительному обходу контура Г, а век-
вектор п2 направлен внутрь области Ео. Отсюда следует, что обход
контура Го будет положительным, если тройка п, nv n2 правая, и
отрицательным, если она левая.
Таким образом, при положительном обходе контура Г на дан-
данной поверхности обход соответствующего контура Го на сфере
совершается в положительном направлении, если область состоит
из эллиптических точек, и в отрицательном, если она состоит
из гиперболических точек. На прилагаемом черт. 51 наглядно пока-
показывается связь между обходами на сферическом отображении и на
поверхности положительной и отрицательной кривизн.
Из A2) следует интегральное равенство
J J гч dul duo = ff Ke{j du* 1ш, A3)

196
ОТОБРАЖЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ
[ГЛ. XI
справедливое для области знакопостоянной кривизны. Припишем знак
мере площади сферической области в зависимости от того, какой
знак имеет обход этой области на сфере, соответствующей положи-
положительному обходу области 2, и назовем интегральной кривизной
Черт. 51.
интеграл от полной кривизны по поверхности. При этих условиях
формула A3) выражает тот факт, что интегральная кривизна неко-
некоторой области точек на поверхности равна мере площади соот-
соответствующей сферической области.
Этот результат распространяется и на произвольную область,
если ее разбить предварительно на области знакопостоянной кри-
кривизны и считать мерой ориентированной поверхности на сфере алге-
алгебраическую сумму мер этих областей.
В заключение рассмотрим некоторую точку М поверхности, одно-
связную область Е, содержащую эту точку, соответствующую ей
сферическую область ?0, и пусть 5 и So — меры этих областей.
В таком случае теорема о среднем, примененная к правой части
равенства A3), дает соотношение
So ¦= KaS,
где Ка есть значение кривизны в некоторой точке области S. Пред-
Предположим теперь, что вся эта область стягивается к точке М, к той же
точке стремится и точка Лив силу непрерывности
Км=
A4)
т. е. полная кривизна поверхности в некоторой ее точке равна
пределу отношения площади сферического отображения области,

§ 77] СФЕРИЧЕСКОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ 197
стягивающейся к данной точке, к площади самой этой об-
области.
5. Из условия сопряженности двух направлений
следует: для того чтобы направления двух векторов были сопря-
сопряжены, необходимо и достаточно, чтобы вектору соответствую-
соответствующий одному из них в сферическом отображении, был ортогонален
другому.
Так как асимптотическое направление является самосопряженным,
то асимптотическое направление ортогонально своему сфериче-
сферическому отображению.
Так как^главное направление ортогонально своему сопряженному,
то главное направление параллельно своему сферическому отобра-
отображению, что следует также из формулы Родрига A) § 29.
6. Деривационные уравнения для радиуса-вектора п точки сферы
единичного радиуса имеют вид
д^ = Т%пк — ЧцП, A5)
так как тензор ее второй квадратичной формы равен — у у, a
— скобки Кристоффеля этого же тензора.
Пользуясь уравнениями F) и деривационными уравнениями поверх-
поверхности
и дифференцируя координаты тензора второй квадратичной формы
мы получим следующее соотношение:
= 0. A7)
Его альтернация по индексам к и j и по индексам к, i приводит
к уравнениям
а;№Лдг=0 A8)
|l Ijfi*Ai]r = O. A9)
Таким образом, тензор второй квадратичной формы поверх-
поверхности удовлетворяет уравнению Кодацци как по отношению

198 ОТОБРАЖЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ [ГЛ. XI
к метрике поверхности, так и по отношению к метрике ее сфе-
сферического отображения.
Из того, что норма тензора Нц равна полной кривизне поверх-
поверхности /С, а также из формулы F) § 64 следует непосредственно,
что чебышевский вектор асимптотической сети
*, = !<?, In/С. B0)
Легко найти также чебышевский тензор ъ{ сферического отобра-
отображения асимптотической сети по отношению к метрике сферы, Дей-
Действительно норма тензора h^ по отношению к этой метрике
= /С : /Сj = д
отсюда следует, что
"н = — \^\пК. B1)
7. Формуле A7) может быть дано интересное геометрическое
истолкование. Рассмотрим значение билинейной функции
w = hijXlyJ
и будем дифференцировать ее вдоль некоторой кривой Г, предпо-
предполагая, что вектор х* переносится вдоль этой кривой параллельно на
данной поверхности, а вектор, соответствующий вектору у1 на сфере,
переносится параллельно по поверхности сферы. В таком случае мы
будем иметь
dxi + (?рях? duq = 0f dyl + Г?я/ duq = 0,
dw = dh^xy - hifitpgx? duqyj — к^х11%ур duq =
= (Рфц — G7kihrj — T'kjhir) *V duk = 0,
и в силу A7)
dw= 0.
Таким образом, значение функции w сохраняется, если вектор х1
переносится параллельно по поверхности, а вектор, соответствующий
вектору уз при сферическом отображении,— по поверхности сферы,
на которую отображена данная поверхность.
В частности, если векторы х1 и yJ были сопряжены на данной
поверхности в начальной точке кривой Г, то они останутся сопря-
сопряженными вдоль всей кривой, так как условие сопряженности w = 0
будет выполняться во все время перенесения.

§ 77] СФЕРИЧЕСКОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ 199
Для того чтобы дать пример приложения последнего результата,
рассмотрим так называемую сеть Фосса, которая является одновре-
одновременно и сопряженной и геодезической. Если вектор хг касается линии Г
этой сети, то он переносится параллельно вдоль этой линии, а век-
вектор уК направление которого касается линии второго семейства
в некоторой начальной точке, остается касательным к линиям этого
семейства во всех точках линии Г, если вектор, соответствующий
ему при сферическом отображении, переносится параллельно по сфере.
Те же рассуждения могут быть проведены и для вектора уЗ. Отсюда
следует, что сферическое отображение сети Фосса есть чебышев-
ская сеть на сфере.
Сеть Фосса существует не на всякой поверхности. Поверхности,
допускающие существование такой сети, называются поверхностями
Фосса.

ГЛАВА XII
ПОЛНАЯ КРИВИЗНА КАК ИНВАРИАНТ ВНУТРЕННЕЙ
ГЕОМЕТРИИ ПОВЕРХНОСТИ
§ 78. Теорема Гаусса
1. В § 52 было показано, что трансверсальные векторы различ-
различных полей отличаются друг от друга на слагаемое, равное градиенту
угла между векторами этих полей.
Вследствие этого величина ротации трансверсальных векторов
или величина
не зависит от выбора векторного поля, а зависит только от той по-
поверхности, которой принадлежит это поле.
Так как трансверсальный вектор всякого поля, принадлежащего
плоскости, градиентен, то во всякой точке плоскости
К=0.
Мы назовем предварительно величину К внутренней кривизной
поверхности, так как она, очевидно, не изменяется при изгибании этой
поверхности.
Принимая во внимание формулы A2) § 52, мы получим из A)
выражение внутренней кривизны через коэффициенты линейного
элемента
ds2 = Л2 (du1J-]- 2AB cos о du1 du2-{- B*(du*f
в следующем виде:
В случае ортогональных координат формула принимает вид
Эта формула позволяет определить, например, внутреннюю кри-
кривизну сферы. Взяв ее линейный элемент в виде

§ 78] ТЕОРЕМА ГАУССА 201
мы получим
так что внутренняя кривизна сферы обратна по величине квад-
квадрату ее радиуса,
2. Чтобы установить геометрическое значение внутренней кри-
кривизны в общем случае, рассмотрим на поверхности односвязнук>
область S, ограниченную контуром Г, и будем, двигаясь в направле-
направлении положительного обхода, переносить по Г параллельно некоторый
вектор Ьу начиная с некоторой его точки М.
Чтобы определить направление вектора в каждой точке контура,
предположим, что контур пересечен линиями правильного поля еди-
единичного вектора а так, что угол ab~y.
Тогда в силу (8) § 52
а интеграл
? J г dul
Дер — ? dy = — J <хг
определит приращение угла <р после параллельного обвода вектора
по замкнутому контуру Г.
Но, применяя формулу Грина G) § 45, мы получим
= — [ [
«/ m
ИЛИ
D)
Лср= J f
Таким образом, при параллельном обводе вектора по замкну-
замкнутому контуру Г, ограничивающему односвязную область точек
поверхности, переносимый вектор испытывает поворот на уголг
равный интегралу от внутренней кривизны по площади области.
Применяя теорему об интегральном среднем, мы получим
Км= Нт 4г> E)
или: внутренняя кривизна поверхности в некоторой ее точке
равна пределу отношения угла поворота вектора, обносимого
параллельно по замкнутому контуру, стягивающемуся к данной
точке, и площади, ограниченной этим контуром.
3. Заметим, что вектор Ь, принадлежащий поверхности в ее
точке М, может считаться также принадлежащим сфере в ее точке Мо>
соответствующей М при сферическом отображении, так как каса-
касательные плоскости в обеих точках параллельны.

202 ПОЛНАЯ КРИВИЗНА КАК ИНВАРИАНТ ВНУТРЕННЕЙ ГЕОМЕТРИИ [ГЛ. XII
Кроме того, условие параллельного переноса F) § 49
db=\n
будет одновременно условием параллельного перенесения вектора и
по поверхности и по сфере, так как опять-таки вектор п является
нормальным вектором обеих поверхностей в их соответствующих
точках.
Итак, для того чтобы вектор переносился Параллельно вдоль
некоторой кривой Г по поверхности, необходимо и достаточно, чтобы
он переносился параллельно по кривой Го, соответствующей Г при
сферическом отображении, по поверхности сферы.
Предположим теперь, что контур Г ограничивает на поверхности
односвязную область 2 такую, что полная кривизна Кх сохраняет
свой знак во всех точках этой области, и пусть 20 есть соответ-
соответствующая область сферы, ограниченная контуром Го.
Параллельный обвод вектора Ь по Г равносилен его же обводу
по контуру Го по сфере единичного радиуса, вследствие чего угол
поворота после этого обхода
=Ш=¦//*.=«>
где о0 есть ориентированная площадь сферического отображения.
С другой стороны, в силу A3) § 77 эта площадь равна инте-
интегральной кривизне области
отсюда вследствие D)
и так как равенство этих интегралов должно иметь место при про-
произвольном выборе области 2 точек поверхности, имеющих полную
кривизну одинакового знака, то в каждой точке последней
и, таким образом, внутренняя кривизна поверхности равна ее
полной кривизне.
Этот результат равносилен положению, которое известно в лите-
литературе под названием теоремы Гаусса: полная кривизна поверхно-
поверхности сохраняется при ее изгибании г).
1) Эту теорему называют еще «egregium», или «выдающаяся теорема».
Сам Гаусс считал ее доказательство одним из своих лучших достижений.

§ 78] ТЕОРЕМА ГАУССА 203
4. В заключение дадим еще одно выражение полной кривизны.
Из выражения (9) § 53 трансверсального вектора
следует
что дает после свертывания с
еЧ =
формулу Лиувилля
где ka и k~ — геодезические кривизны линий любой ортогональной
сети, а дифференцирование происходит по ее направлениям.
5. Пользуясь C) § 72 и (9) § 72, выведем закон преобразова-
преобразования полной кривизны при конформном отображении
К=
или окончательно
К=е-*Р(К— А2р). G)
Отсюда следует, в частности, что полная кривизна равна дивер-
дивергенции вектора конформного отобраэюения поверхности на пло-
плоскость.
6. Соотношение A) можно рассматривать как необходимое и до-
достаточное условие того, что вектор аг является трансверсальным
вектором некоторого поля. Действительно, если рассмотреть транс-
версальный вектор аг некоторого известного поля aiy то разность
о о
есть градиент, и поле, вектор которого получается из аг поворотом
о
на угол <р, равный потенциалу вектора уг, имеет вектор ai своим
трансверсальным.
Приняв во внимание A) § 65, мы можем также утверждать, что
вектор ti есть чебышевский вектор некоторой ортогональной сети
тогда и только тогда, если
или
= К. (8)

204 ПОЛНАЯ КРИВИЗНА КАК ИНВАРИАНТ ВНУТРЕННЕЙ ГЕОМЕТРИИ [ГЛ. XII
§ 79. Теорема Гаусса — Бонне
1. Рассмотрим замкнутый контур Г, ограничивающий на поверх-
поверхности односвязную область X и обходимый в положительном напра-
направлении.
Допустим, что этот контур (черт. 52) состоит из конечного числа
дуг 1\ = М±М2, Г2=Ж27И3, ..., Тп= MnMv каждая из которых
является «гладкой второго порядка», т. е. вдоль каждой такой дуги
направления касательной и геодезическая кривизна меняются непре-
непрерывно. Допустим также, что точки Mv М2, . .., Мп являются угло-
Черт, 52.
выми точками, так что углы между касательными в конце предыду-
предыдущей дуги и в начале следующей дуги 6lf 62, . . ., Ьп отличны от
нуля и имеют положительный или отрицательный знаки в зависимо-
зависимости от того, приходится ли их отсчитывать в положительном или
отрицательном направлении на внешней стороне поверхности.
Предположим, что контур Г пересечен линиями регулярного поля
единичного вектора а, и обозначим через т единичный вектор каса-
касательной к Г, через Ь — единичный вектор, переносимый параллельно
по тому же контуру, и введем обозначение углов
а6 = ср, ат = ^, &т —б —<^ — ср.
При перемещении по каждой из гладких дуг 1\, Г2, ..., Г^
каждый из трех введенных углов получит приращение, причем между
этими приращениями будет иметь место соотношение
в силу G) § 53

§ 79] ТЕОРЕМА ГАУССА БОННЕ 205
Просуммируем теперь эти приращения по всему замкнутому кон-
ТУРУ» учитывая, что в угловых точках угол Ь получит еще прира-
приращения bv 02, .. ., Ьп.
После этого мы будем иметь
Но первую сумму можно считать интегралом от геодезической кри-
кривизны по всему контуру Г. Вторая сумма равна Дер — углу поворота
вектора, обведенного параллельно по контуру Г, т. е. интегральной
кривизне области ?,
Что же касается суммы 2 A<W» то она может быть равна только
целому числу окружностей 2&ir, так как касательный вектор т* при-
принимает после обхода свое исходное положение. Покажем, что k=l.
Для этого будем стягивать контур Г, деформируя его непрерывно, й
к некоторой его внутренней точке. При этой непрерывной дефор-
деформации целое число к не может изменяться, а в пределе, когда кон-
контур стянется в точку, вектор т, очевидно, совершит один оборот,
т. е. повернется на угол 2ir.
Приняв все сказанное во внимание, мы получим следующее соот-
соотношение:
$ J7 2*, A)
которое и выражает содержание теоремы Гаусса — Бонне и дает
связь между интегралом от геодезической кривизны кусочно-
гладкого контура Г, ограничивающего односвязную область ?, углами
поворота касательной в угловых точках контура и интегральной
кривизной области ?.
2. В частности, для гладкого контура формула Гаусса — Бонне
принимает вид
B)
§kgds + JJ Л:do =2*,
я для геодезического полигона, т. е. замкнутого контура, состав-
составленного из конечного числа дуг геодезических линий,
2в4 —2* = —JJ/Cdo. C)
S
Величина в левой части, т. е. разность между суммой внешних
углов многоугольника и углом 2тг, называется его дефектом.
Из C) следует, что дефект всякого геодезического многоуголь-
многоугольника положителен на поверхностях отрицательной кривизны,

206 ПОЛНАЯ КРИВИЗНА КАК ИНВАРИАНТ ВНУТРЕННЕЙ ГЕОМЕТРИИ [ГЛ. XII
отрицателен на поверхностях положительной кривизны и равен
нулю на поверхностях нулевой кривизны. Для плоскости последний
результат дает известную теорему элементарной геометрии: сумма
внешних углов многоугольника равна четырем прямым.
§ 80, Теорема Гаусса — Бонне для многосвязных областей
и замкнутых поверхностей
1. Рассмотрим односвязную область 1>х точек плоскости и внутри
этой области тоже односвязные области И2, ?3» • • •» ^л» не имеющие
между собой общих точек (черт. 53).
Будем говорить, что область И получена вычитанием областей
?2, 23, ..., 2Л из области Eii если она состоит из всех точек
области 2t> которые не принадлежат об-
областям ?2, ..., И#.
Будем записывать это в виде равенства
2 = 2t — 22 — ^з — • • • — %к-
Область 2, полученную указанным обра-
образом, называют многосвязной или ^-связной
по числу областей Хг, 22, ..., 2Л.
Область 2 точек любой поверхности тоже
называется ^-связной, если ее точки можно
взаимно однозначно и непрерывно отобра-
зить в точки ^-связной области точек пло-
-~ скости. Отметим существенную разницу
т' ' между ^-связной областью на поверхности
и на плоскости. Последняя всегда может быть дополнена до односвязной
области 2t добавлением к ней односвязных областей, состоящих из точек
той же плоскости, тогда как строение поверхности может исключить эту
возможность. Так, например, область на торе, ограниченная двумя
его параллелями, двусвязна, но не может быть сделана односвязной
с помощью присоединения к ней других точек того же тора. Однако
многосвязная область на поверхности всегда может быть сделана
односвязной путем добавления односвязных областей, если не тре-
требовать, чтобы все точки этих областей принадлежали поверх-
поверхности.
Предположим теперь, что некоторая ^-связная область поверх-
поверхности дополнена присоединением односвязных областей 22, ?3, ..., Sfe
до односвязной области Ех и что к каждой из этих областей может
быть применена теорема Гаусса — Бонне. Будем считать одну из
сторон поверхности в области внешней и ее же будем считать внешней
и для областей 22, ..., ?л, установив в согласии с этим и положительные
обходы контуров Г^Гд, ...,ГА, ограничивающих эти области.

§ 80] ТЕОРЕМА ГАУССА БОННЕ ДЛЯ МНОГОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ
Записав для каждой области формулы Гаусса — Бонне
207
f:
f f Kdo = 2K9
вычтем из первого равенства все остальные. При этом вторые сла-
слагаемые левой части каждого равенства, очевидно, составят инте-
интегральную кривизну многосвязной области 2. Первые слагаемые обра-
образуют алгебраическую сумму
Эту сумму можно считать интегралом от геодезической кривизны
составного контура Г, ограничивающего многосвязную область ?,
причем знак минус перед интегралами по Г2, • • • > Г& может быть
получен за счет изменения направления обхода, так что каждый из
Черт. 54.
участков этого контура будет проходиться в том направлении, при
котором наблюдатель, движущийся по внешней стороне поверхности,
видит область ? по левую руку (черт. 54). Установив такое согла-
соглашение относительно интеграла по составному контуру Г, ограничи-
ограничивающему многосвязную область ?, мы можем записать для этой
области
A)
? kg ds+ J J Kdo = 2it B — k).
2. Формы замкнутых поверхностей могут быть весьма разнооб-
разнообразны. Мы будем рассматривать только такие замкнутые поверх-

208 ПОЛНАЯ КРИВИЗНА КАК ИНВАРИАНТ ВНУТРЕННЕЙ ГЕОМЕТРИИ [ГЛ. XI
ности, которые не имеют линий самопересечения и могут быть по-
получены путем склеивания двух многосвязных областей одинаковой
связности в соответствующих точках составных контуров, ограничи-
ограничивающих эти области.
Если каждая из этих областей имеет связность /?+1, то обра-
образованная с помощью их замкнутая поверхность называется поверх-
поверхностью рода р.
р-0
Черт. 55.
[ В частности, если /?—0 (черт. 55), то поверхность может быть
отображена взаимно однозначно на поверхность сферы, а при
р = 1—на поверхность тора (черт. 56).
Поверхности других родов изображены на прилагаемых черт. 57
и 58.
Р-2
Черт. 57.
Черт. 58.
Интегральную кривизну всей замкнутой поверхности рода р можно
получить, применяя теорему Гаусса — Бонне к каждой из/?+1-
связных областей 2/ и 2", образующих эту поверхность. В соот-
соответствующих формулах
&kgds + f f К da = 2ти A —р),
kg ds+ J J К da = 2-ir A —p)
I
нужно учесть, что контуры Г' и Т" совпадают между собой, но
должны быть проходимы в противоположных направлениях, так как
области 2/ и 2" лежат по разные стороны от этих контуров. По-
Поэтому интегралы от геодезической кривизны отличаются знаком.

§ 81] ПЕРЕМЕНА ПОРЯДКА КОВАРИАНТНОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 209
Складывая, получим, что интегральная кривизна всей замкнутой
поверхности рода р
J = JJ/С da =4тгA— р). B)
В частности, для поверхности рода сферы У=4тг, а для поверх-
поверхности рода тора У=0.
§ 81. Перемена порядка ковариантного дифференцирования
1. При вычислении частных производных удовлетворяется тожде-
тождество
didjZ = djd^y
или
дцдлг = 0. A)
Аналогичное тождество, вообще говоря, не имеет места для вто-
второй ковариантной производной тензора и заменяется другим, более
сложным.
Действительно,
Альтернируя и принимая во внимание, что Ai — градиент, мы
получим
V[ftVi]ai=V[fcai,flif B)
а свертывая с бивектором е№, будем иметь в силу определения пол-
полной кривизны A) § 78
e**V*V« = tfa,. C)
Так как всякий кососимметричный тензор отличается от дискри-
минантного множителем, который легко определяется свертыванием
с е№, то
и соотношение B) принимает вид1)
— \Кеирх. E)
Уравнение E) показывает, что альтернированная вторая кова-
риантная производная вектора обращается в нуль только на поверх-
поверхностях нулевой полной кривизны.
1) Следует отметить, что каждая из систем C) и E) состоит из двух
независимых уравнений, вследствие чего эти системы равносильны между
собой.

210 ПОЛНАЯ КРИВИЗНА КАК ИНВАРИАНТ ВНУТРЕННЕЙ ГЕОМЕТРИИ [ГЛ. XII
2. Найдем выражение альтернированной производной другим
способом, исходя из выражения
Дифференцируя еще один раз и альтернируя, получим
а{ = д[кУл аг — Ga[kj] V^ — G?
Но
#i = d№dJ\ai — Gi\idk] as — d{kGjn as — G\[кдлas — Gf lAGjj8ar,
Принимая во внимание, что
=0, F)
и меняя индекс суммирования, чтобы вынести as за скобку, по-
получим
V№Vi,a4=I/?iW?ae, G)
где
Rjki. = 2 {дь0ак]г — G3ruGrk]i]. (8)
Сравнив с E), которое тоже справедливо для любого вектора aif
приходим к следующему соотношению:
Rjkif' = Kejke*i. (9)
Величины Rjkl, очевидно, являются координатами тензора, который
называется тензором кривизны или тензором Римана — Кристоф-
феля. Из (8) следует, что координаты этого тензора выражаются
через символы Кристоффеля и их первые производные.
Вводя так называемый тензор Риччи
(Ю)
и пользуясь формулой A6) § 10, будем иметь
Ru = Kgu> (И)
откуда получим еще одно выражение для полной кривизны
3. Из A1) следует, что

§ 82] ТЕОРЕМА ПЕТЕРСОНА 211
Логарифмируя, дифференцируя и пользуясь соотношением (8) § 51,
получим дифференциальное уравнение
di\nK=±dilnR — Ojfif A3)
которое позволяет определить полную кривизну с точностью до
постоянного множителя, если известны значения коэффициентов связ-
связности Gjj.
Заметив это, мы видим, что формула A1) позволяет определить
с точностью до постоянного множителя метрический тензор поверх-
поверхности, полная кривизна которой отлична от нуля, если символы
Кристоффеля известны.
Отсюда в свою очередь следует, что если две поверхности не-
ненулевой кривизны находятся в таком соответствии, при котором тен-
тензор аффинной деформации
то метрические тензоры этих поверхностей связаны соотношением
Sij = cSij>
которое характеризует тривиальное конформное соответствие.
§ 82. Теорема Петерсона
1. В § 77 было показано, что тензор второй квадратичной формы
удовлетворяет уравнению Кодацци, а в § 78 была доказана теорема
Гаусса, согласно которой внутренняя кривизна поверхности равна
ее полной кривизне.
Записав оба эти соотношения
V[khj]i=Qi A)
, B)
мы видим, что три коэффициента второй квадратичной формы по-
поверхности удовлетворяют трем соотношениям: двум дифференциаль-
дифференциальным уравнениям первого порядка Кодацци и одному алгебраическому
уравнению Гаусса, которые могут быть построены, как только задана
первая квадратичная форма поверхности.
К. М. Петерсон1) в 1852 г. первый доказал теорему о том, что
две квадратичные формы, удовлетворяющие условиям B) и условиям,
равносильным A), определяют с точностью до положения в простран-
пространстве такую поверхность, для которой они соответственно являются
первой и второй квадратичными формами.
1) К. М. П етерсон, Об изгибании поверхности, Историко-математи
ческие исследования, вып. VI, М., Гостехиздат, 1952.

212 ПОЛНАЯ КРИВИЗНА КАК ИНВАРИАНТ ВНУТРЕННЕЙ ГЕОМЕТРИИ [ГЛ. XII
Чтобы доказать эту теорему, предположим, что заданы два сим-
симметричных тензора g{j и А^, координаты которых определены как
дифференцируемые функции1) двух параметров и1, и2, причем во
всей области их определения форма н
ds2 =
является положительно определенной, вследствие чего выполняется
неравенство
— ?12 >0.
В таком случае можно построить тензор g^t взаимный тензору g^-,
определить операцию перебрасывания индексов, вычислить по фор-
формулам (8) § 48 символы Кристоффеля о\ и производить ковариант-
ное дифференцирование.
Рассмотрим теперь следующую систему дифференциальных урав-
уравнений с векторными неизвестными:
(A) дкг=г»
(B) Vjri = hijn1 } C)
(C) др = — h\rk. \
Очевидно, что уравнения (В) построены по аналогии с A4) § 51,
а уравнения (С) — по аналогии с D) § 77.
Чтобы составить условия интегрируемости уравнения (А) или (С),
нужно продифференцировать их левые и правые части по перемен-
переменному Ш и проальтернировать их по индексам /, у, потребовав выпол-
выполнения условий
dljdi)r=0, dljdi]n = O
или равносильных им условий
V|/i] = 0, D)
Но D) выполняется тождественно в силу уравнения (В) и сим-
симметрии тензора А^, а E) — в силу симметрии правой части соот-
соотношения
которая в свою очередь вытекает из симметрии тензора h^h^ и
условия A).
Что касается уравнений (В), то их можно заменить равносиль-
равносильными уравнениями
1) Следует предположить двукратную дифференцируемость gij л одно-
однократную hjj. t .

§ 82] ТЕОРЕМА ПЕТЕРСОНА 213
условия интегрируемости которых получатся после дифференциро-
дифференцирования, альтернирования и учета соотношения
Однако это соотношение равносильно тождеству C) § 81
jr^KefiTs, (б)
применение которого позволяет пользоваться ковариантным диффе-
дифференцированием вместо обыкновенного частного.
Дифференцируя и используя уравнение (С), мы получим, таким
образом, из уравнений (В) уравнение
Vfc V; = VftA^ii — A,4A|re>
а свертывая с дискриминантным бивектором и принимая вЪ внима-
внимание F), — соотношение
Ke*iT8 = ekj4khjitn — ekjhi:jhskrs,
которое выполняется тождественно в силу A9) § 11 и условий A), B).
Таким образом, система C) вполне интегрируема и ее решение
определяется заданием начальных значений г, rif n искомых вектор-
ооо
ных функций г, ri9 n, соответствующих начальным значениям пара-
параметров иг= и1.
о
Мы должны показать, что существует такая интегральная по-
поверхность E)
квадратичные формы которой совпадают с заданными квадратичными
формами
cpt = g{j dul duo и <ра = hy dul duf.
Для этого достаточно выбрать начальные условия так, чтобы
имели место равенства
па=1, пгг = 0у rirj = gijy
О 00 0 0 0
где g^ — значения коэффициентов формы cpt, соответствующие на-
о
чальным значениям и1 параметров.
о
Дифференцируя ковариантно тензоры (/уу) и (пг$) и принимая
во внимание систему C), получим систему дифференциальных урав-
уравнений первого порядка
= hk
hki (пг? + hkj

214 ПОЛНАЯ КРИВИЗНА КАК ИНВАРИАНТ ВНУТРЕННЕЙ ГЕОМЕТРИИ [ГЛ. XII
которая, очевидно, удовлетворяется следующими значениями входя-
входящих в нее неизвестных
rirj = gij> nrj = °> J*3 = 1»
удовлетворяющими начальным условиям.
Имея в виду, единственность этих решений, мы приходим к за-
заключению, что первая форма интегральной поверхности (S) совпа-
совпадает с срг
Кроме того, вектор п есть единичный нормальный вектор поверх-
поверхности E), а значит, ее вторая квадратичная форма имеет коэффи-
коэффициенты
ho == —rinj = гггФз = Ау»
т. е. совпадает с ср2-
Предположим теперь, что интегральная поверхность (а)
соответствует другим начальным условиям, согласно которым
в точке и1
г г ili 1
Однако попрежнему
1 11 11 0 ^
или, иначе говоря,
т. е.
cos (rtr2) = cos (г^2),
11 О
а векторы п и п соответственно перпендикулярны к векторам г$
1 0 1
и гх.
о
Но в таком случае поверхность (а) можно подвергнуть такому
перемещению, после которого векторы rit n совместятся с векто-
1 1
рами г{ и п соответственно, и так как после этого перемещения обе
о о
поверхности станут интегральными поверхностями одной системы
уравнений, соответствующими одной системе начальных условий, то
они совпадут всеми своими точками.
Таким образом, теорема Петерсона доказана.
2. Виртуально-асимптотической называется такая сеть поверх-
поверхности, которая после надлежащего изгибания последней становится
асимптотической.

§ 83] УРАВНЕНИЕ ИЗГИБАНИЯ 215
Из теоремы Петерсона вытекает, что сеть указанного вида
характеризуется тем, что для ее тензора должны выполняться одно-
одновременно условия Кодацци и Гаусса.
Но оба эти условия равносильны условию B0) § 77
Ь = \д<1пК. G)
Действительно, сеть будет кодацциевой, так как ее чебышевский
вектор градиентен. Но если ее тензор находится в кодацциевом нор-
нормировании, то его норма удовлетворяет условию E) § 64, и выбо-
выбором постоянного множителя у тензора сети можно добиться выпол-
выполнения условия Гаусса.
§ 83. Уравнение изгибания
Мы будем называть горизонтальной функцию точки поверхности,
если ее значение равно расстоянию этой точки от некоторой непо-
неподвижной плоскости Р, и считать это расстояние положительным, если
точка расположена по одну сторону от этой плоскости, и отрица-
отрицательным— по другую ее сторону.
При совмещении плоскости хОу прямоугольной системы коор-
координат с плоскостью Р значение горизонтальной функции будет выра-.
жаться координатой z. Но эта координата удовлетворяет уравне-
уравнению A3) § 51
где
zi = d{z = krit nz = kn,
a k — единичный вектор оси Oz.
Рассмотрим следующее разложение:
Умножая скалярно на гк и я, получим кр = zp, \i = пг, так что
k=zprp-\-n/i9
а возводя левую и правую части в квадрат, будем иметь
1 = zpzq (rprq) + п\ = zpzp + nl
откуда
Таким образом, тензор второй квадратичной формы поверхности
выражается через горизонтальную функцию следующим образом:

216 ПОЛНАЯ КРИВИЗНА КАК ИНВАРИАНТ ВНУТРЕННЕЙ ГЕОМЕТРИИ [ГЛ. XII
Применив уравнение Гаусса B) § 82, мы получим уравнение
в частных производных второго порядка типа Монжа — Ампера х),
" которому удовлетворяет всякая горизонтальная функция
= К. B)
Правая часть этого уравнения есть гауссова кривизна поверх-
поверхности, вследствие чего его коэффициенты и свободный член пол-
полностью выражаются через координаты метрического тензора поверх-
поверхности и их производные.
Предположим теперь, что задана квадратичная дифференциаль-
дифференциальная форма
tfl = gijdu*duJi C)
коэффициенты которой являются дважды дифференцируемыми функ-
функциями переменных а1, и2 в некоторой области их изменения, при-
причем эта форма является положительно определенной во всей этой
области. Спрашивается: существует ли такая поверхность, линейный
элемент которой выражается этой формой, и если да, то с каким
произволом определяется такая поверхность?
Чтобы ответить на этот вопрос, попытаемся определить вторую
квадратичную форму й^ искомой поверхности. Если мы сумеем
определить эту форму так, чтобы ее коэффициенты удовлетворяли
уравнениям Гаусса и Кодацци, то согласно теореме Петерсона
определяется и поверхность, основные квадратичные формы которой
будут совпадать с g^ и й#. На этой поверхности определяются
также и горизонтальные функции. Имея это в виду, мы можем све-
свести задачу определения величин й^ к разысканию такой функции z,
через которую они выражаются по формуле A).
Для того чтобы выполнялось условие Гаусса, мы должны пред-
предположить, что z есть решение уравнения B). Кроме того, мы
должны еще потребовать выполнения условий Кодацци. Но из A)
следует
Однако согласно A9) § 11
*) Э. Гурса, Курс математического анализа, т. III, ч. 1, М. — Л.,
ГТТИ, 1933, § 473.

§ 84] ПОЛНАЯ КРИВИЗНА ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ 217
где К есть норма тензора h^ которая совпадает с внутренней
кривизной, так как условие Гаусса уже выполнено, а в силу C) § 81
Подставляя оба выражения, получаем
и видим, что уравнение Кодацци удовлетворяется тождественно.
Таким образом, коэффициенты квадратичной формы, удовлетво-
удовлетворяющей условиям Гаусса и Кодацци, можно получить, подставив
в правую часть A) любое решение уравнения B). Но это решение
определяется через две произвольные функции одного аргумента и,
следовательно, всякая положительно определенная квадратичная
дифференциальная форма с дважды дифференцируемыми коэф-
коэффициентами совпадает с линейным элементом некоторой поверх-
поверхности, которая определяется с произволом в выборе двух функ-
функций одного аргумента г).
Очевидно, что такой же произвол имеет место и при опреде-
определении всех поверхностей, наложимых на данную.
Уравнение A) называется уравнением изгибания и было впервые
получено Бианки.
§ 84. Полная кривизна поверхности вращения
Формула Лиувилля F) § 78 принимает для изотермически-геоде-
изотермически-геодезической сети следующий вид:
dk~
^ kt, A)
da a
где k~ — геодезическая кривизна ортогональных траекторий поля —
функция его геодезического потенциала а.
Отсюда вытекает, что полная кривизна поверхности является
функцией геодезического потенциала, т. е. остается неизменной
вдоль ортогональных траекторий изотермически-геодезического поля,
вследствие чего она удовлетворяет уравнениям C) § 56
At* =?(*), Да/С=ф(/С), B)
и эти уравнения характеризуют поверхность, наложимую на поверх-
поверхность вращения, по крайней мере в том случае, если ее полная
кривизна непостоянна.
!) Для того чтобы эта поверхность была действительной, необходимо
потребовать, чтобы решение уравнения B) удовлетворяло неравенству

218 ПОЛНАЯ КРИВИЗНА КАК ИНВАРИАНТ ВНУТРЕННЕЙ ГЕОМЕТРИИ [ГЛ. XII
Если изотермически-геодезические линии и их ортогональные
траектории приняты за координатные и линейный элемент поверх-
поверхности имеет вид
ds* = da* + Я3 (a) db*, C)
то согласно A3) § 53 геодезическая кривизна ортогональных тра-
траекторий
а в силу A) полная кривизна

ГЛАВА XIII
ПОВЕРХНОСТИ ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ
§ 85. Геодезически-изотермические поля на поверхности
постоянной кривизны
1. Уравнение F) § 78 принимает для геодезического поля вид
связывая полную кривизну поверхности К с геодезической кривиз-
кривизной ортогональных траекторий поля и ее производной по направле-
направлению линий поля.
Если полная кривизна постоянна, то можно ввести вспомогатель-
вспомогательную функцию
которая в силу A) будет удовлетворять условию
вследствие чего разложение ее градиента по единичному вектору
поля а{ и его дополнительному вектору а{ будет иметь вид
Но единичный вектор геодезического поля есть градиент геоде-
геодезического потенциала а, вследствие чего можно рассмотреть функцию
v= й — а,
линии уровня которой совпадают с линиями поля, так как ее гра-
градиент
Предположим теперь, что все линии поля пересекают под пря-
прямым углом некоторую кривую постоянной геодезической кривизны.
Приняв эту линию за линию а = О, мы будем иметь вдоль нее
a)= Const,

220 ПОВЕРХНОСТИ ПОСТОЯННОЙ КРИЕИЗНЫ [ГЛ. XIII
а так как линии поля являются линиями уровня функции v, то она
постоянна и во всей области задания поля. 'Но в таком случае
Ф(*а) = Л+С C)
и геодезическая кривизна ортогональных траекторий зависит только
от геодезического потенциала, что является признаком геодезически-
изотермического поля (п° 1 § 56), и мы приходим к следующей
теореме: всякое геодезическое поле поверхности постоянной кри-
кривизны, линии которого секут ортогонально кривую постоянной
геодезической кривизны, есть изотермическое поле,
2. К аналогичному результату мы придем, рассматривая такое
поле, линии которого проходят через одну точку. Отсчитывая длины
геодезических дуг от этой точки, мы снова будем иметь, что при
а= 0 v= const, вследствие чего соответствующее поле будет изо-
изотермическим.
Существование бесчисленного множества геодезически-изотер-
геодезически-изотермических полей, вытекающее из доказанной теоремы, является
не только необходимым, но и достаточным признаком поверх-
поверхности постоянной кривизны. Действительно, если на поверхности
существуют хотя бы два различных геодезически-изотермических
поля, то ортогональные траектории этих полей образуют сеть,
покрывающую поверхность в области их общего существования. Но
в § 84 было показано, что полная кривизна остается постоянной
вдоль этих ортогональных траекторий, а следовательно, и во всей
области их существования.
В дальнейшем мы будем называть семейства линий геодезически-
изотермических полей поверхности постоянной кривизны пучками
геодезических.
§ 86. Линейный элемент поверхностей постоянной
кривизны и их наложимость
1. Если параметрические линии совпадают с линиями геодезиче-
геодезического пучка и их ортогональными траекториями, то коэффициент
линейного элемента
A)
поверхности постоянной кривизны может быть определен из урав-
уравнения E) § 84
которое легко интегрируется в случае постоянного /С.

§ 86] ЛИНЕЙНЫЙ ЭЛЕМЕНТ ПОВЕРХНОСТЕЙ ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ 221
Как известно, его общее решение будет иметь следующий вид
при различных значениях этого постоянного:
C)
I. При К=0 B =
II. При АГ>0 В =CtcosY^(a-\-C2sinYKa.
III. При К<0 B^Y^^ Y^
2. Потребуем, чтобы начальная ортогональная траектория пучка
геодезических сама была геодезической. Для этого нужно найти
такое значение постоянных Cv С2 в формулах C), при которых
для линии а = О выполняются условия
В' »
kg=-g- = 0 при а = 0.
Выберем, кроме того, параметр v так, чтобы он совпадал с дли-
длиной дуги начальной траектории, что равносильно условию
В = 1 при а= 0.
Из этих условий следует для всех трех случаев
Сг=19 С2=:0,
и мы приходим к линейным элементам вида:
I. При К = 0 ds9=<ta3 + dtf*. D)
II. При К> 0 ds* = da? + cos'1 Y% dv*t E)
III. При К <0 ds^^da^-i-ch^Y^^Kdv^. F)
Эти результаты показывают, что вид линейного элемента поверх-
поверхности постоянной кривизны вполне определяется значением этой кри-
кривизны. Иными словами, если две поверхности имеют одинаковую
постоянную кривизну, то их линейные элементы можно привести
к одинаковому виду и, значит, они наложимы. С другой стороны,
вследствие теоремы Гаусса совпадение полных кривизн является
необходимым признаком наложимости. Таким образом, для того
чтобы две поверхности постоянной гауссовой кривизны были
наложимы, необходимо и достаточно, чтобы их кривизны
совпадали.
Общая по отношению к наложимости система координат на двух
поверхностях постоянной кривизны устанавливается так, что за линии
а = 0 на каждой из этих поверхностей берутся две произвольные
геодезические линии.
Кроме того, начальные точки этих линий, например точки а = 0,
ю = 0, тоже выбираются совершенно произвольно. Отсюда следует,
что две поверхности с одинаковыми постоянными кривизнами могут

222 ПОВЕРХНОСТИ ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ [ГЛ, ХШ
быть наложены друг на друга бесчисленным множеством способов.
Точнее говоря, соответствие можно установить так, что любые две
точки и любые два исходящих из этих точек направления (например,
направления геодезической а = 0) будут соответствовать друг
другу.
3. На полученный результат можно смотреть еще и с другой
точки зрения. Рассмотрим на поверхности постоянной кривизны
точку М и некоторую ее окрестность. Отделив мысленно часть
поверхности, состоящую из точек этой окрестности, мы можем ее
изгибать и наложить на ту же самую поверхность, но так, чтобы
при этом точка М совпала с другой и притом вполне произвольной
точкой Mt поверхности. В частности, мы можем вернуть точку М
и на прежнее место, однако так, чтобы некоторое исходящее из нее
направление заняло уже новое и совершенно произвольное напра-
направление.
Итак, всякую фигуру, расположенную на поверхности постоян-
постоянной кривизны, можно, изгибая, перемещать по этой поверхности.
Так как при этом любую точку этой фигуры можно совместить
со всякой другой точкой поверхности и всякое направление, исходя-
исходящее из этой точки, совместить с любым другим направлением,
то можно считать, что для фигуры возможно и поступательное и
вращательное перемещение. Таким образом, перемещение фигуры
по поверхности постоянной кривизны происходит со столькими же
степенями свободы, как и перемещение фигуры по плоскости. Сво-
Свободная подвижность фигур в указанном смысле возможна только для
поверхностей постоянной кривизны. Действительно, если окрестность
точки М некоторой поверхности можно наложить на окрестность
любой точки той же поверхности так, чтобы эти точки соответство-
соответствовали, то в силу теоремы Гаусса кривизна в этих точках должна
иметь одинаковое значение и, следовательно, не меняется от точки
к точке.
Заметим, что вследствие постоянства кривизны плоскости, сферы
и псевдосферы всякая поверхность нулевой, постоянной положитель-
положительной, постоянной отрицательной кривизны наложима соответственно
на плоскость, сферу или псевдосферу (той же самой полной кривизны).
§ 87. Геодезические линии и геодезические пучки
на псевдосфере
1. Возвратимся к общему виду коэффициента линейного элемента
псевдосферической поверхности
В = Сх ch У~^Ка + С.2 s h У—Ка
и вычислим геодезическую кривизну ортогональных траекторий соот-
соответствующего изотермически-геодезического поля. Из A3) § 53 еле-

§ 871 ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ЛИНИИ И ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ПУЧКИ НА ПСЕВДОСФЕРЕ 223
дует, что
к = в' =
8 В
ClSh Kz
z5
C2 sh Y— Ka
где
Рассмотрим следующие три возможности:
I. |С|<1 или C = th"jA— Kc,
A)
B)
C)
В соответствии с этими возможностями будем рассматривать гео-
геодезические пучки первого, второго и третьего рода. Легко видеть,
что замена переменного
и = а-\-с
в первых двух случаях и включение постоянного множителя в значе-
значение переменного v позволяют привести линейные элементы псевдо-
псевдосферы к следующим трем видам, соответствующим трем родам пучков:
II. ds9=
III. ds* =
Произведя замену переменных
Y=Kda f Y=Kdu
Г
J
ch
= f
sh Y — Ки '
JC = V^
мы приведем эти линейные элементы к изотермическому виду
III'. ^ = 0»

224 ПОВЕРХНОСТИ ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ [ГЛ. XIII
где
2. Если отождествить в случае III' криволинейные координаты х, у
точки поверхности с декартовыми координатами соответствующей
точки плоскости, то определится конформное отображение псевдо-
псевдосферы на плоскость, причем линейный элемент ds'2 поверхности
будет связан с линейным элементом ds* плоскости соотношением
ds* = ^dsl, F)
где у — ордината точки плоскости.
Найдем те линии плоскости, которые будут соответствовать гео-
геодезическим линиям псевдосферы. Так как линейный элемент III' имеет
форму линейного элемента поверхности вращения, то уравнение
геодезических будет иметь вид C) § 59 или для данного случая
h Г УаУ а _/": (hy\
Полагая a=hr, получим конечное уравнение геодезических
(х — т)*+у* = г*, G)
которое показывает, что при конформном отображении F) геоде-
геодезические линии псевдосферы изображаются кругами, центры кото-
которых расположены на оси Ох.
Отметим, кроме того, что линии изотермического поля х= const
изображаются прямыми, параллельными оси Оу.
Считая прямые окружностями бесконечного радиуса, мы можем
сказать, что любая геодезическая изображается окружностью, орто-
ортогональной оси Ох.
Так как геодезическую линию, т. е. линию постоянной нулевой
кривизны, можно провести по любому направлению и эта линия
изображается окружностью, т. е. опять-таки линией постоянной кри-
кривизны, то из теоремы п°5 § 72 следует, что при конформном
отображении F) всякая кривая постоянной геодезической кри-
кривизны псевдосферы изображается окружностью.
Относя плоскость к круговым координатам второго рода и поль-
пользуясь формулами (8) и (9) § 74, получим из F), полагая у = Y:
sin2 v
т. е. линейный элемент вида Г. Но линии и = const, изображающие
геодезические, образуют гиперболический пучок. Таким образом,
геодезический пучок первого рода изображается гиперболическим

§ 87] ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ЛИНИИ И ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ПУЧКИ НА ПСЕВДОСФЕРЕ 225
пучком окружностей, ортогональных оси Ох, а ортогональные
траектории этого пучка, т. е. линии постоянной геодезической
кривизны kg < У— К , изображаются окружностями эллиптиче-
эллиптического пучка, пересекающимися на оси Ох (черт. 59).
Отнесем теперь плоскость к круговым координатам второго рода,
тогда в силу (8) и (9) § 74 находим из F), полагая v = X:
Теперь геодезические линии v = const изображаются окружностями
эллиптического пучка и, следовательно, геодезический пучок второго
Черт. 60.
рода изображается эллиптическим пучком окружностей, орто-
ортогональных оси Ох, а ортогональные траектории этого пучка,
т. е. линии постоянной геодезической кривизны kg>V—К* из°ш
бражаются окружностями гиперболического пучка (черт. 60).

226
ПОВЕРХНОСТИ ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ
[ГЛ. XIII
Наконец, если мы отнесем плоскость к круговым координатам
первого рода, то из E), F) § 74 и F) получим
— а
Таким образом, геодезический пучок третьего рода изобра-
изображается параболическим пучком окружностей, ортогональных
оси Ох у а ортогональные траектории этого пучка, т. е. линии
постоянной геодезической кривизны kg~\^—/С,—окружностя-
kg~\^—/С,—окружностями, касающимися оси Ох в одной точке (черт. 61).
Черт. 61.
3. Отметим одно интересное свойство пучка третьего рода.
Вследствие F) § 60 и C) расстояние точки Mt второй фокальной
поверхности конгруэнции касательных к линиям этого пучка от точки
данной псевдосферической поверхности
1
1
;= COnSt.
\kg\ V
Но этот же отрезок равен радиусу кривизны ортогональных'
траекторий геодезического семейства второй фокальной поверхности.
Применяя к этой поверхности формулу Лиувилля F) § 78, мы получим
1 ds
Таким образом, вторая фокальная поверхность конгруэнции
касательных к линиям геодезического пучка третьего рода псевдо-
псевдосферической поверхности есть псевдосферическая поверхность
той же кривизны, что и данная. Эта конгруэнция называется
псевдосферической', она нормальна и принадлежит классу W, так как
радиусы главных кривизн любой ее ортогональной поверхности

§ 87] ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ЛИНИИ И ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ПУЧКИ НА ПСЕВДОСФЕРЕ 227
связаны соотношением (8) § 60
R-R = —-^y= = const. (8)
4. Как и всякая поверхность, обладающая геодезически-изотер-
геодезически-изотермическим полем (п°2 § 56), поверхности постоянной кривизны
наложимы на поверхности вращения. Рассмотрим псевдосфериче-
псевдосферические поверхности вращения.
Если линейный элемент этой поверхности имеет вид
ds2 = du2 -\- В2 (и) dv2, * * (9)
а ее меридиан задан уравнением
т! =т! (и), С=С(и),
то согласно G) § 30
или
Рассмотрим теперь отдельно три случая пучков геодезических,
которым соответствуют линейные элементы D), введя для кривизны
обозначение К= %• Тогда Для пучка первого рода
, a da a \
7] = ССП—, =-у====1, I
Минимальное значение -ц достигается при и = 0, а максимальное
определяется пределом действительности для — и т\ подчинено
неравенствам
а его крайним значениям соответствуют значения
#=-. #¦ = <>•
Если заметить, кроме того, что меридиан будет симметричен
относительно плоскости параллели и = 0 и его вогнутость обращена
к оси вращения, то мы получим форму меридиана и вид поверхности,
изображенный на черт. 62.

228
ПОВЕРХНОСТИ ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ
[ГЛ. XIII
Для пучка второго рода *
¦ и du
а ' dt\
1.
Предельные значения ч\ определяются неравенствами
Черт. 62.
(И)
Черт. 63.
поверхность действительна при а > с, а предельные значения про-
производной
U
откуда и выясняются форма меридиана и вид поверхности (черт. 63

§ 88] ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПСЕВДОСФЕРЫ 229
Для пучка третьего рода
du a
A2>
Легко видеть, что уравнение A2) выражает тот факт, что длина
отрезка касательной меридиана, ограниченной осью ОС, постоянна
и равна а. Отсюда следует, что меридиан будет трактрисой, а по-
поверхность— псевдосферой, которую мы уже рассмотрели в § 32.
5. Из G) § 82 следует, что чебышевский вектор асимптотиче-
асимптотической сети поверхности постоянной кривизны
*4=0f A3;
т. е. асимптотическая сеть поверхности постоянной кривизны
чебышевская.
Согласно п° 3 § 69 всякому изотермически-геодезическому полю
будет соответствовать чебышевская сеть, уравнение которой имеет
вид ds*
где <р— гармоническая функция, сопряженная геодезическому потен-
потенциалу поля. Отсюда следует, что для линейного элемента (9) по-
поверхности постоянной кривизны сеть
ds* — c*dv* = 0 A4)
будет чебышевской и совпадает с асимптотической сетью поверх-
поверхности вращения, на которую наложима данная поверхность постоян-
постоянной кривизны.
§ 88. Внутренняя геометрия псевдосферы
1. Внутренняя геометрия псевдосферы допускает аксиоматическое
построение, подобное аксиоматическому построению планиметрии
При этом большинство аксиом последней оказывается справедливым
и для геометрии псевдосферы при условии замены понятия прямой
понятием геодезической линии и понятия движения понятием нало-
наложения на себя.
Так, например, аксиома соединения {через две различные точки
проходит одна и только одна прямая) выполняется для геодези-
геодезических линий псевдосферы, в чем можно убедиться, рассматривая то
конформное отображение псевдосферы на плоскость, при котором гео-
геодезическая линия переходит в полуокружность с центром на оси Ох.
Легко видеть также, что в геометрии псевдосферы выполняются
все аксиомы порядка и непрерывности и движения.
Так, например, если понимать под движением изгибание поверх-
поверхности с наложением на себя, то (см. § 86) оказывается справедли-
справедливой аксиома, согласно которой существует одно и только одно

230
ПОВЕРХНОСТИ ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ
[гл. хш
движение, совмещающее точку и направление, исходящее из этой точки,
с произвольно заданной точкой и направлением.
Таким образом, можно показать, что все аксиомы абсолютной
планиметрии, т. е. все аксиомы, кроме аксиомы о параллельности,
выполняются во внутренней геометрии псевдосферы.
Что касается аксиомы о параллельности, то, как известно, она
равносильна теореме о сумме углов треугольника, которая в обык-
обыкновенной планиметрии равна двум прямым.
Иначе обстоит дело на псевдосфере. Согласно C) § 79 дефект
геодезического треугольника на псевдосфере
Черт. 64.
где 6Х, 02, 63 — внешние углы этого
треугольника, а — его площадь, а
К—полная кривизна.
Заменяя внешние углы через
внутренние, с которыми они свя-
связаны соотношением (черт. 64)
6t = тг — а, 62 —^ — Р» ^з^71 — Т'
мы получим
Таким образом, дефект геодезического треугольника на псевдо-
псевдосфере положителен и пропорционален его площади, или, иначе
говоря, сумма внутренних углов этого треугольника меньше
двух прямых.
Однако последнее положение наряду с аксиомами абсолютной
геометрии характеризует геометрию Лобачевского, и таким образом,
внутренняя геометрия псевдосферы совпадает с геометрией Ло-
Лобачевского.
Этот замечательный факт был открыт в 1868 г. итальянским
геометром Э. Бельтрами, который пришел к нему, сопоставив фор-
формулы тригонометрии Лобачевского с формулами для геодезического
треугольника на поверхности постоянной отрицательной кривизны,
полученными Ф. Миндингом еще в 1840 г. г).
*) Ф. Миндинг A813—1855 гг.) — профессор Дерптского (ныне Тарту-
Тартуского) университета. Автор ряда работ по теории поверхностей и, в част-
частности, поверхностей постоянной кривизны.
В 1900 г. Д. Гильберт показал, что не существует аналитической и
всюду регулярной поверхности постоянной отрицательной кривизны, и
вследствие этого на такой поверхности можно осуществить только кусок
плоскости Лобачевского. (См. Д. Гильберт, Основания геометрии, М.—Л.,
Гостехиздат, 1948, стр. 304—314.)

§ 89) ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ЛИНИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ 231
2. В геометрии Лобачевского рассматриваются три виАа пучков
прямых.
I. Сходящимся пучком называется совокупность прямых, прохо
дящих через одну точку (центр пучка). Ортогональными траекто-
траекториями такого пучка являются окружности с центром в центре пучка.
II. Расходящимся пучком называется совокупность прямых, пер-
перпендикулярных к одной прямой (базе пучка).
Ортогональные траектории расходящегося пучка называются
гиперциклами.
III. Параллельным пучком называется совокупность прямых,
параллельных одному и тому же направлению.
Ортогональные траектории параллельного пучка называются ори-
орициклами.
В зависимости от вида ортогональных траекторий пучки можно
называть также циклическими, гиперциклическими и орицикличе-
скими.
При конформном отображении F) § 87 псевдосферы на плоскость
пучки геодезических линий изображаются пучками окружностей,
ортогональных оси Ох.
Расходящийся, сходящийся и параллельный пучки изображаются
соответственно гиперболическим, эллиптическим и параболическим
пучками окружностей и отвечают геодезическим пучкам первого,
второго и третьего рода на псевдосфере.
Вследствие этого гиперциклы, окружности и орициклы изобра-
изображаются окружностями, которые соответственно пересекают, не пере-
пересекают или касаются оси Ох и отвечают кривым постоянной геоде-
геодезической кривизны на псевдосфере, у которых соответственно эта
кривизна меньше, больше или равна У—К.
§ 89. Геодезические линии поверхностей
постоянной кривизны
Если линейный элемент поверхности нулевой кривизны приведен
к ВИДУ ds* = dx* + dy\ A)
то любая ее геодезическая выражается уравнением
Ах + Ву-\-С=0, B)
так как при наложении на плоскость они соответствуют прямым.
Линейный элемент поверхности постоянной положительной кри-
кривизны
ds* = du2 + cos2 VKu d& C)
может быть отождествлен с линейным элементом сферы B) § 32
путем замены параметров
и = аф, v ¦=. ау,

232 ПОВЕРХНОСТИ ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ [ГЛ.
где
Но геодезические линии сферы есть ее большие круги, т. е.
линии пересечения сферы с плоскостями, проходящими через ее
центр, и если сфера задана уравнением A) § 32, то ее геодезиче-
геодезические определяются уравнением
Л cos cp cos ф-f-5 sin cp cos ^ —(-- С sin ^ = 0.
Уравнение геодезических линий псевдосферы G) § 87 может быть
записано в следующем виде:
*2 Л-У1 — ^гпх + т* — г2 = 0.
Если мы введем на сфере криволинейные координаты
Х= coscpctg^, Г = sin cp ctg ф,
а на псевдосфере координаты
У 1
v •*¦ у 1
то мы придем к следующему общему результату: на всякой по-
поверхности постоянной гауссовой кривизны можно ввести криво-
криволинейные координаты, так что геодезические линии поверхности
выразятся уравнениями, линейными относительно этих коорди-
координат.
Принимая эти координаты за декартовы координаты плоскости,
на которую отображается поверхность постоянной кривизны, можно
сформулировать предыдущее так: всякая поверхность постоянной
кривизны отображается геодезически на плоскость, или, как
говорят еще, является проективной.
Чтобы обратить этот результат, допустим, что некоторая по-
поверхность (S) отображена геодезически на плоскость E0) и вектор а{,
единичный в геометрии E), образует поле абсолютно параллельных
направлений в геометрии E0). В таком случае он удовлетворяет на
плоскости уравнению
Так как поле должно оставаться геодезическим после геодези-
геодезического преобразования, то в силу E) § 76 и F) § 55 мы будем
иметь для ковариантной производной соответствующего вектора на
поверхности (S)
^ = Л*я*+лл* + Ъ\Ргаг = akal = k~\
Свертывая последовательно с а{ и аг, получим

§ о9] геодезические линии поверхностей постоянной кривизны 23&
I
/
откуда
а так как Ак и рк— градиентные векторы, то трансверсальный
вектор поля ai соленоидален и это поле изотермически-геодезическое
(п° 4 § 52).
Вследствие того, что на плоскости существует оо1 полей абсо-
абсолютно параллельных направлений, проективная поверхность допускает
существование оо1 изотермически-геодезических полей и, Значит, ее
гауссова кривизна постоянна (пс 2 § 85).
Таким образом, мы приходим к теореме Бельтрами: для того
чтобы поверхность была проективной, необходимо и достаточно,
чтобы ее гауссова кривизна была постоянной.
Отсюда и из теоремы Дини следует, что поверхности постоянной
кривизны принадлежат к классу поверхностей Лиувилля.

ГЛАВА XIV
МИНИМАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
§ 90. Поверхность наименьшей площади
Рассмотрим некоторый замкнутый контур Г и простой кусок
поверхности E), ограниченной этим контуром.
Будем варьировать эту поверхность, т. е. смещать каждую ее
точку по нормали, сохраняя условие прохождения через контур Г.
Радиусы-векторы точек данной и проварьированной поверхности E)
будут связаны соотношением
где I — функция криволинейных координат на поверхности, обра-
обращающаяся в нуль на Г.
Дифференцируя по общим криволинейным координатам, получим
откуда
где gfy кц, 4{j — тензоры основных форм исходной, a G^ — основной
метрический тензор проварьированной поверхности.
Полагая X = sjx, где s — бесконечно малая величина, получим для
отношения дискриминантов основных форм обеих поверхностей
^ = 1 еР*е'°Оргад8 = 1 — 4eP*e"gprhq8v.* + (...) s2 -
= 1—4//}ie + (...)ea
или, извлекая корень по формуле Тейлора,
W=z [1 _2Я}хз + (.. .)s2] w.
Интегрируя по области, ограниченной контуром Г, получим следую-
следующее соотношение между площадями обеих поверхностей:
J J Wda1 йФ= J J w da1 du2 — 2z
Для того чтобы исходная поверхность имела наименьшую пло-
площадь по сравнению с проварьированными, необходимо, чтобы при-

§ 91] ПРИСОЕДИНЕННАЯ ПОВЕРХНОСТЬ 235
ращение площади имело знак, не зависящий от знака г, а это воз-
возможно только при условии
J j wH\>.duldu* = 09 (I)
причем это равенство должно иметь место при любом выборе функ-
функции {х. Отсюда следует, что средняя кривизна исходной поверхности
= 0. B)
Действительно, если в некоторой точке области 2Н Ф О, то в силу
непрерывности это неравенство сохраняется и в некоторой окрест-
окрестности этой точки. Выбирая |а так, чтобы в этой окрестности выпол-
выполнялось неравенство
2Н|х>0,
а вне ее [х = 0, мы получим нарушение условия A).
Имея в виду рассмотренную задачу, поверхности нулевой сред-
средней кривизны называют минимальными.
Из B) непосредственно следует, что минимальные поверхности
характеризуются ортогональностью своей асимптотической сети.
Очевидно также, что индикатриса Дюпена в каждой неособой точке
минимальной поверхности является равносторонней гиперболой и,
следовательно, ее полная кривизна отрицательна.
§ 91. Присоединенная поверхность
Из основного дифференциального уравнения минимальной поверх-
поверхности (S)
Vjri=hijn
следует уравнение
*,= Д2(г) = 0, A)
которое показывает, что каждая из прямоугольных координат
точки минимальной поверхности или, общее, всякая горизон-
горизонтальная функция на минимальной поверхности является гармо-
гармонической.
Из A) сейчас же следует, что дифференциальное уравнение
fi = di?= ekirk B)
вполне интегрируемо, а координаты ?, tj, С радиуса-вектора р, явля-
являющегося его решением, будут сопряженными гармоническими функ-
функциями для функций х, у у z на исходной поверхности.
Поверхность (о), заданная уравнением
9 = $ e*idardu\ C)
называется присоединенной минимальной поверхности (S).

236 МИНИМАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. XIV
Из B) следует
dpn = О,
dpri = ek.jr1/'i du3 = e{j dri = (nri dr).
Первое из этих уравнений показывает, что вектор dp принадле-
принадлежит поверхности (S) так, что присоединенная поверхность соот-
соответствует данной с параллелизмом касательных плоскостей.
Второе уравнение выражает равенство ковариантных координат
векторов dp и —[ndr], и мы приходим к уравнению
dp=[drn\i (б)
которое равносильно B).
Уравнение E) выражает перпендикулярность соответствующих
элементарных смещений на минимальной и присоединенной ей поверх-
поверхности или их соответствие с ортогональностью линейных эле-
элементов.
Кроме того,
dp2 = [dm]2 = dr2 п2 — (dmJ = dr2, F)
так что присоединенная поверхность наложима на данную мини-
минимальную.
Но если это так, то координаты ?, ?), С являются гармоническими
функциями и на присоединенной поверхности, и поверхность, при-
присоединенная минимальной у есть тоже минимальная поверхность.
§ 92. Формулы Шварца
Так как соответствующие координаты радиуса-вектора г мини-
минимальной поверхности и ее присоединенной поверхности р являются
сопряженными гармоническими функциями, то координаты комплекс-
комплексной комбинации
R=zr + ip = r —i j[ndr] A)
будут аналитическими функциями на поверхности E). Однако ана-
аналитическую функцию достаточно задать на некоторой кривой, для
того чтобы она была определена в круге сходимости, т. е. в дву-
двумерной области плоскости комплексного аргумента.
Вследствие этого формула A) позволяет определить минимальную
поверхность, если заданы принадлежащая поверхности кривая r = r(t)
и нормальный вектор n = n(t) в точках этой кривой, причем г и п
являются аналитическими функциями параметра /.
Радиус-вектор точки поверхности определится в функции действи-
действительной и мнимой части этого параметра

§ 93] СФЕРИЧЕСКОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ И ИЗГИБАНИЕ МИНИМ. ПОВЕРХНОСТЕЙ 237
по формуле
r(u, v) = R[r(t) — I J[i* (*)*•]}, ' B)
а радиус-вектор точки присоединенной поверхности
р (я, v) = I {г (О — I fin (t) dr\]. C)
В качестве примера рассмотрим такую минимальную поверхность,
которая содержит дугу окружности
причем ее нормаль в точках этой окружности лежит в плоскости
окружности, т. е. определяется единичным вектором n = e(t).
Составим комбинацию
R(t) = а [е{t) — i J [e(t)g(t)]dt) =
= a{e(t)~itk) =
= a {cos (u + iv) i+ sin (u-{-iv)j—i (u + iv) k] =
= a {cos и сЬш+sin uchvj-{-vk}-\-
-f- ia {— sin и sh vi + cos и sh vj — uk),
действительная и мнимая части которой дают уравнение искомой ми-
минимальной поверхности
г =za {e(u)chv-\-kv},
которая является катеноидом (п° 3 § 32), и ее присоединенной по-
поверхности
? = а {g(u)shv — ku}t
которая есть геликоид (§ 33).
§ 93. Сферическое отображение и изгибание минимальных
поверхностей
1. Соотношение (8) § 77 между тензорами основных квадратич-
квадратичных форм принимает для минимальной поверхности вид
?«+*?<* = О A)
и показывает, что минимальная поверхность конформна своему
.сферическому отображению.
То же условие дает признак наложимости поверхности на мини-
минимальную: поверхность отрицательной гауссовой кривизны нало-
наложима на минимальную, если при умножении на абсолютную ве-
величину этой кривизны линейный элемент поверхности приобре-
приобретает гауссову кривизну, равную единице.

238 МИНИМАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. X
Достаточность этого условия следует из формулы G) § 78, ко-
которая принимает в данном случае вид
diluK). B)
Отсюда согласно (8) § 78 следует существование такой ортого-
ортогональной сети, чебышевский вектор которой
а согласно п° 2 § 82 такая сеть является виртуально-асимптотиче-
виртуально-асимптотической. Но минимальная поверхность характеризуется ортогонально-
ортогональностью своей асимптотической сети и, следовательно, данная поверх-
поверхность наложима на минимальную.
2. Решим задачу о нахождении всех минимальных поверхностей,
наложимых на данную минимальную.
Из A) следует, что если две минимальные поверхности отнесены
к общей системе координат, то вследствие совпадения их линейных
элементов и гауссовых кривизн совпадают и элементы их сфериче-
сферических отображений.
Однако линейный элемент сферы единичного радиуса выражает и
первую и вторую квадратичные формы сферы. Отсюда вследствие
теоремы Петерсона вытекает, что сферы с совпадающими линейными
элементами можно переместить так, чтобы их соответствующие точки
совпали.
Для наложимых минимальных поверхностей это дает в свою оче-
очередь то, что их можно переместить в пространстве так, чтобы во
всех соответствующих точках касательные плоскости обеих поверх-
поверхностей стали параллельными.
Произведя такое перемещение, обозначим через г и р радиусы-
векторы данной и присоединенной ей поверхности, а через R—ра-
R—радиус-вектор минимальной поверхности, наложимой на данную. Вслед-
Вследствие установленного параллелизма касательных плоскостей будем
иметь
dR= kdr-\-\idp,
а вследствие наложимости и ортогональности dr и dp
так что можно положить
dR = dr cos a -f- dp sin а (З)
или
Ri = гг cos а+ pi sin а. D)
Дифференцируя ковариантно и обозначая тензоры вторых форм
соответствующих поверхностей через А^, Xij» H%j> будем иметь в силу

§ 94] ФОРМУЛЫ ВЕЙЕРШТРАССА • 239
наложимости и соответствия по параллелизму касательных плоскостей
nHij = nhij cos a -f- nyjj sin a — r% sin a a^ + pi cos a c^.
Свернув с g^' и приняв во внимание, что все три поверхности
минимальны, мы получим условие
г$} sin a i= p^a* cos а. у
которое может выполняться только при olj = О вследствие ортогональ-
ортогональности линейных элементов присоединенных поверхностей. А
Имея в виду, что a — const, можно проинтегрировать уравне-
уравнение C), и тогда получим общее уравнение всех минимальных поверх-
поверхностей, наложимых на данную:
/? = г cos a-f- p sin a. E)
Все поверхности этого семейства называются ассоциированными.
Рассмотренное изгибание минимальной поверхности можно считать
изгибанием на главном основании, так как при нем сохраняется изо-
изотропная сеть, которая на минимальной поверхности является сопря-
сопряженной.
§ 94. Формулы Вейерштрасса
Так как асимптотическая, сеть минимальной поверхности —
ортогональная и кодацциева, то она изотермическая (§ 65). Изотер-
Изотермической сетью будет и ее изображение на сфере единичного радиуса,
так как сферическое отображение конформно.
Если Ajj и fjj — тензоры вторых форм данной минимальной по-
поверхности и ее присоединенной, то вследствие B) § 91
или
Xij = e*ibai. A)
Таким образом, согласно D) § 29 асимптотическая сеть при-
присоединенной поверхности соответствует сети линий кривизны
данной поверхности.
Рассмотрим разложения
=4
Умножая скалярно на rij, получим
откуда
Г i = — ЬгкПк, ?i = — X«ft**. B)
где индекс у пк поднят с помощью метрического тензора сфери-
сферического отображения.

240 МИНИМАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. XIV
Для комплексной комбинации A) § 92 мы будем иметь теперь
Но согласно A1) § 72 можно выразить h^ через градиенты х{,
двух сопряженных гармонических функций, положив
и тогда вследствие C) § 47 и A)
Xij = — (
откуда
dR
или
dR = dzzkn^t C)
где z = x-\-iy— аналитическая функция на сфере единичного
радиуса, a zk = dkz — комплексный градиент этой функции.
Формула C) позволяет определить уравнение минимальной и ее
присоединенной поверхности
D)
Таким образам, задание минимальной поверхности равносильно
заданию аналитической функции на сфере единичного радиуса.
Если криволинейные координаты их = и и и2 = v — изотерми-
ческие, то z есть аналитическая функция переменного
?е/— u-{-ivt dz — zLdx-\-z2dy =z' (dx-\-t dy),
откуда
zt = zf, z2=iz',
и если линейный элемент сферического отображения имеет вид
то, вводя обозначение
f{w) = z'\
мы получим из C)
n+Jth dw. E)

§ 94]
ФОРМУЛЫ ВЕЙЕРШТРАССА
241
Предположим теперь, что и, v — стереографические коорди-
2
наты единичной сферы (§ 75). В таком случае А = а , 2 , .,
и координаты комплексного вектора R вычисляются по формулам
— w2)f(w)dw,
= \ wf(w)dw,
F)
которые называются формулами Вейерштрасса.
Считая f(w) многочленом, можно получить с помощью этих фор-
формул уравнения f алгебраических минимальных поверхностей.
Так, при f(w) = 6 получаем алгебраическую поверхность девя-
девятого порядка, которая называется поверхностью Эннепера:
G)
z=S(u2 — v2).

ГЛАВА XV
ТРИОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ПОВЕРХНОСТЕЙ
§ 95. Криволинейные координаты в пространстве
1. Если радиус-вектор точки задан как дифференцируемая функ-
функция трех переменных
r^riu1, и2, и*) A)
и эта зависимость устанавливает взаимно однозначное соответствие
между точками некоторой области пространства и значениями этих
переменных, то они называются криволинейными координатами
точки.
Условием взаимной однозначности соответствия, т. е. разреши-
разрешимости системы
* = *(«*, я2, и8),
у =у{иг9 и*, я8),
относительно и{,
или в векторной
где
Z —
U у
м8)
служит неравенство
форме
дх
дФ
дх
дФ
дх
дФ
ду
ди*
ду
дФ
ду
дФ
гг ==
дг
ди*
дг
дФ
дг
дФ
1
)ФО,
дг
ди*'
B)
C)
Геометрическое место точек, для которых одна из криволинейных
координат сохраняет постоянное значение, есть координатная по-
поверхность. Действительно, такое геометрическое место выражается,
например, уравнением
я8 = const

-* 95)
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ В ПРОСТРАНСТВЕ
243
= г(а*. и2, с)
ф О,
или
при условии
которое следует из B).
Координатные поверхности хшресекаются по координатным ли-
линиям, которые характеризуются тем, что вдоль них значения двух
криволинейных координат остаются неизменными (черт. 65).
.Так, линия пересечения поверхностей ul = a и u2 = b выражается
параметрически уравнением
Вектор
Га =
дг
Черт. 65.
очевидно, будет касательным
вектором этой линии и вообще:
векторы ri или координатные
векторы касаются соответ-
соответствующих координатных линий.
Условие B) показывает, что
координатные векторы, исходя-
исходящие из всякой точки рассматри-
рассматриваемой области пространства,
независимы между собой.
2. Указанная независимость позволяет прингять координатные
векторы за масштабные векторы местной декартовой системы коор-
координат и разлагать по ним всякий вектор, заданный в соответствую-
соответствующей точке пространства. Коэффициенты такого разложения г)
а = a*rk9 D)
а1, а2, аь — контравариантные координаты вектора а.
Скалярное произведение векторов а и 6, заданных в данной
точке, выражается через контравариантные координаты этих векто-
векторов в виде суммы
аЬ
а коэффициенты этой суммы gtj = r-r$ — ковариантные координаты
метрического тензора пространства. Линейный элемент простран-
пространства выражается квадратичной формой
ds2 = gijdu*du^ E)
Величины
F)
!) Мы сохраняем правило суммирования Эйнштейна, предполагая в этой
главе, что значки суммирования пробегают значения 1, 2, 3.

244 ТРИОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ПОВЕРХНОСТЕЙ [ГЛ. XV
попрежнему будем называть ковариантными координатами век-
вектора я.
Разрешая F) относительно контравариантных координат, мы
получим
* G)
где gki—приведенные миноры матрицы с элементами g^ или кон-
травариантные координаты метрического тензора. Мы будем
пользоваться величинами g^ и g^ для перебрасывания индексов
срвершенно так же, как это было указано в п° 8 § 10.
Вычисляя объем параллелепипеда, построенного на трех незави-
независимых векторах, мы получим инвариант
^к (8)
Величины
(9)
являются координатами дискриминантного тензора, который, оче-
очевидно, кососимметричен по всем своим индексам.
Вследствие этого его компоненты, не равные нулю, могут отли-
отличаться только знаком от его существенной компоненты
е = (>УУз)- 0°)
Возводя в квадрат обе части этого равенства, без труда по-
получим
e = w9 . (И)
где
§*11 §12 §13
§21 §Г22 #23 A2)
§31 §82 §33
— дискриминант метрического тензора.
Ковариантные координаты векторного произведения двух векторов
с = [ab]
можно вычислить по формуле
с< = [аЬ]г{,
откуда
сг = е1таР№, A3)
3. Ротацией векторного поля называется вектор, координаты
которого определяются условиями
Обращение в нуль ротации необходимо и достаточно для того,
чтобы поле было потенциальным и его вектор был градиентом

§ 96] ТРИОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ПОВЕРХНОСТЕЙ 245
потенциала, т. е. некоторой скалярной функции v:
аг = д^. A5)
i Для того чтобы вектор Ь был коллинеарным потенциальному
ректору а, необходимо и достаточно, чтобы его ротация была
к нему перпендикулярна.
Действительно, если ^.х^
Ьг = ка{,
то
(rot Ь) r% = e?.q.dpkaq
или
6 rot 6 = О, J
откуда и следует необходимость утверждения. Его достаточность
доказывается в теории дифференциальных уравнений х).
4. Примерами криволинейных координат могут служить поляр-
полярные координаты, характеризуемые соотношением
г = r\e($) cos ф ¦+- *з!пф]. A7)
Координатные поверхности г = const, <p = const, ф = const будут
соответственно сферами с центром в начале координат О, плоско-
плоскостями, проходящими через Oz, и круговыми конусами с вершиной
в точке О и осью Oz.
Линейный элемент в полярных координатах
ds* = dr2 + r2 dtp + r2 cos2 ф dy*. A8)
Цилиндрические координаты характеризуются соотношением
г = ?*(?) + **. A9)
Координатные поверхности р = const, ср = const, z = const —
круговые цилиндры с осью Oz, плоскости, проходящие через Oz,
и плоскости, перпендикулярные к Oz.
Линейный элемент в цилиндрических координатах
ds* = р2 Жр2 + Ф2 + dz*. B0)
§ 96. Триортогональная система поверхностей
1. Если координатные поверхности различных семейств пере-
пересекаются в каждой точке пространства под прямым углом, то про
эти поверхности говорят, что они образуют триортогональную
систему.
1) Э. Г у р с а, Курс математического анализа, т. II, М. —* Л., ОНТИ,
1936, § 446.

246 ТРИОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ПОВЕРХНОСТЕЙ [ГЛ. XV
Введем наряду с произвольными криволинейными координа-
координатами а1, а2, а3 координаты и, у, w, соответствующие поверхностям
некоторой триортогональной системы, и единичные векторы а, 6, с,
нормальные к поверхностям и = const, v — const, w = const l) соот-
соответственно и образующие правую тройку.
Разложение производных этих векторов по ним самим дает си-
систему уравнений
A)
Так как векторы а, 6, с коллинеарны градиентам функций
я, v, w, то они должны удовлетворять условиям A6) § 95.
Но
a rot а =
где aiy bif Ci — ковариантные координаты соответствующих векторов.
ТаТким образом,
a rot а = Xi \ba] г1 — р4 [са] г1 == — ^с* — $$\
Принимая во внимание A6) § 95 и произведя круговую neper
становку, получим три условия:
| B)
«** = 0.
откуда следуют условия
а^=№ = Ьс* = 0, C)
которые показывают, что векторы ар {^, ^ принадлежат поверхно-ч
стям а, v, w соответственно.
При сравнении A) с A7) § 52 мы видим, что векторы а{, j3f, ^—
трансверсальные векторы направлений той ортогональной сети, по
которой каждая из поверхностей и, v, w пересекается с двумя дру-
другими поверхностями системы,
2. Рассмотрим сеть линий v = const и а == const на поверхно-
поверхности w, и пусть dul и da1 —r векторы элементарных смещений вдоль
12
этих линий. Так как йекторы а и Ь касаются тех же линий, то
йиУ = \а\ du* = a**,
1 2 «,.._.-.
Будем называть их в дальнейшем поверхностями и9 v, w.

§ 96] тРио*>тОгональНая сйс?ема поверхностей 247
и из третьего уравнения A) с помощью C) мы получим
dc = длс du* = 6. dula,
i i i
} dc = дгс du* = — ft dulb.
I 2 2 2
Сравнив с формулами Родрига B) § 29, видим, что линии и = const
и v = const поверхности w суть линии е^кр«визны.
Таким образом, мы приходим к теореме Дюпена: поверхности
триортогональной системы пересекаются' по линиям кривизны.
Из теоремы Дюпена следует, что два семейства взаимно орто- «
тональных поверхностей могут быть дополнены третьим семейством
до триортогональной системы только тогда, когда они пересекаются
по линиям кривизны. Покажем, что это условие не только необхо-
необходимо, но и достаточно.
Пусть векторы а, 6, с образуют ортонормальную тройку, при-
причем первые два соответственно нормальны поверхностям двух взаимно
ортогональных семейств v = const, u = const.
В таком случае мы попрежнему будем иметь систему A), и пер-
первые два условия B) выполнены, так как векторы а и Ь коллинеарны
градиентам функций а и v.
Так как поверхности пересекаются по линиям кривизны, то в силу
формул Родрига
с1 дга = с^гЬ — сг$га = \а
и, следовательно,
но в таком случае и
и третье из условий B) выполнено, а это значит, что
с rot с = О
и с коллинеарен градиенту некоторой функции w9 поверхности уровня
которой дополняют поверхности и и v до триортогональной системы.
3. Конформным преобразованием пространства называется такое
его точечное отображение на себя, при котором сохраняются углы
между двумя любыми линиями, пересекающимися между собой. При
конформном преобразовании пространства триортогональная система
поверхностей, очевидно, остается триортогональной. Но всякую по-
поверхность можно включить в триортогональную систему, дополнив
ее семействами развертывающихся поверхностей конгруэнции ее нор-
нормалей и семействами параллельных ей поверхностей. Подвергнув эту
систему конформному преобразованию, мы получим новую триорто-
триортогональную систему, а поверхности, в которые перейдут разверты-
развертывающиеся, в силу теоремы Дюпена снова будут пересекать по линиям
кривизны ту поверхность, в которую перейдет данная. Таким

248 триортоГональные системы поверхностей [гл. XV
образом, при конформном преобразовании линии кривизны пере-
хфдят в линии кривизны.
Отсюда следует, что при конформном преобразовании шар или
плоскость может переходить только или в шар, или в плоскость, так
как — это единственные поверхности, каждая линия которых является
линией кривизны.
§ 97. Условия Ляме
Составляя условия интегрируемости системы A) § 96, мы получим
Приравнивая нулю коэффициенты при независимых векторах и
пользуясь круговой перестановкой, мы получим следующие девять
условий интегрируемости всех трех уравнений системы A):
(О
Однако не все эти условия являются независимыми. Чтобы показать
это, предположим, что криволинейные координаты и1, и2, аь совпа-
совпадают с функциями и, vt w, поверхности уровня которых образуют
данную триортогональную систему. В таком случае
rtr2 = г2гь = гл = О,
и линейный элемент пространства принимает вид
ds2 = A2 du2-\-В2 dv*+C* dw*. B)
Однако в таком случае компоненты трансверсальных векторов
координатных направлений на поверхностях с линейными элементами
ds2 = Л2 du2 + В2 dv2, ds2 = В2 dv2+С2 dw2,
1 2
ds2 = C2dw2-\-A2du2
з
определятся по формулам A3) § 52, и мы будем иметь
Ti — g у Т2 — л 9 Тз — и»
„ "го „ (*v „ П
ос2 — -q~, аз —~g"> al —и,
Рз — j-9 h — ~c~9 P2-— и-

§ 98] СОФОКУСНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 249
Подставляя во второе из условий A), получим
Г л AVBW Av/Jv I ^
— ~TL "• В c~J
Остальные соотношения получаются из этих двух круговой пере-
перестановкой, и мы приходим к следующим шести условиям:
C)
в
Эти соотношения называются уравнениями Ляме и являются уело-
виями того, что дифференциальная форма вида B) будет линейным
элементом пространства, отнесенного к триортогональной системе
координат.
§ 98. Софокусные поверхности второго порядка
1. Системой софокусных поверхностей второго порядка назы-
называется семейство, определяемое уравнением
"^^=1. О)
Чтобы найти поверхность семейства, проходящую через точку
с координатами х, у, z, нужно решить уравнение третьей степени
= 0. B)
Но это уравнение имеет три действительных корня, если а > Ъ > с > О,
так как /(— а)< 0, /(—»)> 0, /(— с)<09 /(+^о)>0 и эти
корни Xv X2, Х3 принадлежат следующим промежуткам:
Таким образом, через каждую точку пространства проходят три
поверхности семейства, причем легко видеть, что одна из них будет

250
ТРИОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ПОВЕРХНОСТЕЙ
[ГЛ. XV
однополостным, другая двуполостным гиперболоидом, а третья эллип-
эллипсоидом (черт. 66).
Полагая в тождестве
C)
= (Х-Х1)(Х-А2)(Х-Х3)
= — а, X = — Ь, А = — с, получим выражения
(а-Ь)(а-с)
(Ь-сНЬ-а)
— а)(с-Ь)
D)
которые относят всякой тройке значений At, X2, Х3 восемь точек,
расположенных симметрично^ относительно координатных плоскостей.
Черт. 66.
Если рассматривать один координатный квадрант, то соответствие
между значениями переменных Х^ и точками пространства будет
взаимно однозначным, и эти переменные можно принять за криво-
криволинейные координаты, которые называются эллиптическими. Ко-
Координатные поверхности эллиптических координат, очевидно, сов-
совпадают с поверхностями семейства A).
2. Рассмотрим конгруэнцию общих касательных двух софо-
кусных поверхностей:
х*
= 1,

§ 98] СОФОКУСНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 251
и пусть Mx(xv yv 2tV и М2(х2, у2, z2)— фокусы луча этой
конгруэнции, расположенные соответственно на первой и второй по-
поверхностях. Каждая из эт#х точек должна быть расположена на
поляре другой относительно поверхности, содержащей последнюю,
вследствие чего
У1У2 1 *1*2 __ 1
У1У2 I ZlZ2 __ 1
Вычитая и сокращая на Х2 — ^i» получим
Но .векторы Nx и ЛГ2 с координатами
У1 *i \ кг
b + ^' + xj* N2
— нормальные векторы поверхностей, соответствующие фокусам луча,
т. е. нормальные векторы фокальных плоскостей рассматриваемой
конгруэнции, и в силу E) эти плоскости взаимно ортогональны.
Таким образом (п° 2 § 60), мы приходим к следующей теореме
Шаля: конгруэнция общих касательных к двум софокусным по-
поверхностям второго порядка — нормальная.
Ортогональность касательных плоскостей имеет место и в том
случае, когда точки Mt и М2 совпадают с общей точкой двух
конфокальных поверхностей. Отсюда следует, что всякие две софо-
кусные поверхности пересекаются под прямым углом, а так как
через каждую точку пространства проходят три такие поверхности,
то они образуют триортогональную систему.
3. Подсчитаем линейный элемент пространства в эллиптических
координатах.
Дифференцируя C) логарифмически, получим для координатных
векторов
дг ( х У 2
С другой стороны, из B) и C) следует тождество
— а + Х'6
с + X)
Дифференцируя обе его части по X и делая подстановку X = Xlf
получим
X* , У2 , 20 _ (Xi — X2){Xt — Хв)
J *~ (Ь + Х02 ' (с + Х^а — (а + Хх) (Ь + Хх) (с + Хг) '

252
ТРИОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ПОВЕРХНОСТЕЙ
[ГЛ. XV
откуда находится выражение коэффициента линейного элемента
л* дг дг
Производя круговую перестановку, получим окончательно
(h — h) (h —
a\ 2
2
(h — ^i) (h —
j} 2
1
T
§ 99. Эллиптические координаты на центральной поверхности
второго порядка
Всякую центральную поверхность второго порядка, очевидно,
можно включить в семейство софокусных поверхностей, так что ее
уравнение примет вид
у2
Т" AJ.1 "Г
~" 1в
Не уменьшая общности, можно также считать, что корень уравне-
уравнения B) § 98, соответствующий этой поверхности, А3=0 (черт. 67),
Черт. 67.
и тогда ее линейный элемент в эллиптических координатах будет
иметь вид
^_
1
У

§ 99] ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ НА ЦЕНТРАЛЬНОЙ ПОВЕРХНОСТИ 253
Вводя новые параметры
уг1а\1
У —
v%
приведем его к виду
ds* = [кх (а) — Х2 (v)] (d
который показывает, что координатная сеть или согласно теореме
Дюпена сеть линий кривизны центральной поверхности второго
порядка есть сеть Лиувилля1).
В заключение отметим одно интересное свойство сетей Риччи
п° 3 § 76 поверхностей второго порядка, связанное с теоремой
Шаля.
Рассмотрим четыре софокусные поверхности (St), E2), E3), E),
из которых три первые проходят через точку М (черт. 68), а чет-
Черт. 68.
вертая произвольна. Построим конус второго порядка (К) с верши-
вершиной в точке Мне образующими, касающимися поверхности E).
Каждая из плоскостей aif касающаяся поверхностей E^) в точке М,
будет содержать две образующие этого конуса Zi и т{. Плоскости К{
и \ii9 касающиеся конуса вдоль этих образующих, будут касаться и
поверхности E) и в силу теоремы Шаля будут перпендикулярны
1) Для линейчатой поверхности второго порядка этот факт непосред-
непосредственно следует из того, что сеть ее прямолинейных образующих, которая
будет кодацциевой, как асимптотическая, будет вместе с тем и геодезической,
а значит, и сетью Риччи. Сеть же линий кривизны будет ее биссекторной
сетью, т. е. сетью Лиувилля.

254 ТРИОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ПОВЕРХНОСТЕЙ [ГЛ. XV
к касательной плоскости ait т. е. пересекутся по ее нормали. Но
это значит, что нормаль поверхности E^) будет полярна ее каса-
касательной плоскости относительно конуса (/С), а так как нормаль и
касательная плоскость перпендикулярны, то, значит, нормаль каж-
каждой из поверхностей (Sj) является главной осью конуса (/С).
Рассмотрим теперь касательную плоскость одной из поверхно-
поверхностей E^, например (St). В ней расположены нормали п2, п6 по-
поверхностей (S2) и E3) и образующие lv mt конуса (К), и так как п2
и п3 являются главными осями этого конуса, то они направлены по
биссектрисам угла \mv
Но в силу той же теоремы Шаля конгруэнции прямых lv mv
касающихся поверхности (Sj), будут нормальны и касаются линий
некоторой геодезической сети (п° 2 *§ 60), а так как биссекторная
сеть этой геодезической сети с касательными п2, Щ будет сетью
Лиувилля, то геодезическая сеть будет сетью Риччи.
Таким образом, сеть Риччи поверхности второго порядка со-
состоит из таких геодезических линий, касательные которых
касаются одной и той же поверхности второго порядка, софо-
кусной с данной.

ЛИТЕРАТУРА ~ ^
*
I. Общие курсы дифференциальной геометрии
П. К. Р а ш е в с к и й, Курс дифференциальной геометрии, изд. 3-е, М.—Л.,
Гостехиздат, 1950.
А. П. Н о р д е н, Дифференциальная геометрия, М., Учпедгиз, 1948.
II. Тензорная алгебра и тензорный анализ
П. К. Рашевский, Введение в риманову геометрию и тензорный анализ,
М. —Л., ОНТИ, 1936.
A. П. Норден, Пространства аффинной связности, гл. I, III, M. — Л., Гос-
Гостехиздат, 1950.
III. Курсы теории поверхностей
С. П. Фиников, Теория поверхностей, М. —Л., ГТТИ, 1934.
B. Ф. Каган, Основы теории поверхностей, М. — Л., Гостехиздат, часть I,
1947; часть II, 1948.
IV. Специальные вопросы теории поверхностей и конгруэнции
C. П. Фиников, Изгибание на главном основании, М. — Л., ОНТИ, 1937.
С. П. Фиников, Теория конгруэнции, М. — Л., Гостехиздат, 1950.

АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абсолютное дифференцирование 128—132
Альтернирование тензора 31
Асимптотическая линия 85
Асимптотические направления поверхно-
поверхности 75
тензора 34
База трактрисы 94
Бельтрами Э. 230
Бианки Л. 217
Бинормаль 12
Бонне О. 205
Бюшгенс С. С. 85
Валентность тензора 24
Вейерштрасс К. 241
Вейнгартен И. 157, 194
Вектор геодезического отображения 189
— дополнительный 23
— касательный единичный 12
— конформного отображения 176
— нормальный к поверхности 46
— поля, трансверсальный 136
— сети чебышепский 162
Векторные линии 115
Векторы координатные 17
— масштабные 17
Винтовая линия 16
— поверхность 97
Гаусс К. 62, 123, 202
Геликоид 98
— косой 98
— прямой 98
Геодезическая линия 143
на поверхности вращения 154
Геометрия поверхности внутренняя 62
Гильберт Д. 41, 230
Гипербола геодезическая 150
Гиперцикл 231
Главные векторы кривой 13
— кривизны поверхности 75
— направлениия поверхности 75
соответствия 174
Градиент направляющий 117
— потенциала 244
— скалярного поля 115
— функции 115
Граница куска поверхности 40
Граничные точки 40
Гурса Э. 216, 245
Делитель поля интегрирующий 117
Дивергенция векторного поля 119
Дини У. 190
Дискриминант метрической формы 20
Дифференциал, внешняя часть 126
—, внутренняя часть 126
— дискриминантного тензора, абсолют-
абсолютный 129
Дифференциал метрического тензора, аб-
абсолютный 129
— тензора, абсолютный 129
Долгота 43
Дубнов Я. С. 17, 162
Дуга простая 7
Дуги примыкающие 7
Дюпен Ф. 76
Егоров Д. Ф. 85
Изгибание на главном основании 85
— поверхностей 61
Изотермическое семейство линий 120
Изотропное направление 171
Инварианты тензора 36
Инверсия 182
Индикатриса Дюпена 76
— тензора 33
Иоахимсталь Ф. 87
Каноническое представление тензора 34
Касательная к поверхности 44
— плоскость поверхности 46
кривой 10
— прямая 9
Каталан Е. 108
Катеноид 97
Квадрат тензора 39
Квадратичная форма винтовой поверхно-
поверхности, первая 98
— — геликоида, первая 98
катеноида, первая 97
конической поверхности 104
линейчатой поверхности, вторая 107
, первая 102
поверхности вращения, вторая 93
, первая 91
, вторая 71
, первая 60
, третья 194
псевдосферы 96
развертывающейся поверхности, пер-
первая 103
резной поверхности, первая 100
сферы, вторая 94
, первая 94
цилиндрической поверхности 104
Кёнигс В. 85
Клеро А. 154
Ковариантная производная 133
Ковариантное дифференцирование 133
Кодацци Д. 163
Комиссарук 171
Конгруэнция, главные направления НО
— изотропная 111
— класса w 156
— нормальная 113
— прямолинейная 109
— псевдосферическая 226
— цилиндрическая 109

АЛФАВИТНЫЙ УкАЗАТЕЛЬ
257
Конечные точки дуги 7
Коноид 108
— прямой 108
Конформное соответствие 64
плоскостей 179
поверхностей 176
Кон-Фоссен С. 41
Координатные векторы 17
в пространстве 243
на поверхности 45
— линии 42
Координаты в пространстве, криволиней-
криволинейные 242
— вектора 17
в пространстве, коварна нтные 244
, контравариантные 243
, ковариантные 20
, контравариантные 20
— второго рода, круговые 186
— географические 43
— изотермические 121
— криволинейные 42
— на сфере, стереографические 187
— первого рода, круговые 184
— полярные 245
— тензора, ковариантные 25
, коитравариантные 32
, смешанные 32
— цилиндрические 245
— эллиптические 250
Кососимметрическая часть тензора 31
Коэффициент искажения 173
— растяжения 176
Коэффициенты главные 174
— связности 123
Кривая линия 7
Кривизна геодезическая 141
— интегральная 196
— кривой 14
, нормальная 70
, полная 72
— поверхности, внутренняя 200
вращения, полная 94
, средняя 94
, полная 76
, средняя 76
Кристоффель Э. 124
Кронеккер Л. 19
Круг инверсии 182
Круговое конформное соответствие 181
Кручение кривой 14
Кусок поверхности, простой 40
Лагранж Ж. 49
Ламе Г. 249
Леви-Чивита Т. 127
Либман Г. 181
Линейный элемент, изотермический вид
91
поверхности 60
пространства 243
Линии уровня 114
Линия асимптотическая 85
— геодезическая 143
— кривизны 87
— нулевой нормальной кривизны 85
— откоса 57
— сжатия 105
— стрикционная 105
— цепная 96
Лист Мёбиуса 44
Лобачевский Н. И. 230
Лузин Н. Н. 85
Луч конгруэнции, гиперболический 11
, параболический 11
, эллиптический 11
Матрица дискриминантная 22
— метрическая 20
— обратного преобразования 18
— преобразования 18
Менье Ж- 74
Мера площади 67
Меридиан 90
— резной поверхности 99
Мёбиус А. 41
Миндинг Ф. 127, 230
Млодзеевский Б. К. 85
Множестватодологически эквивалентные 7
Множитель интегрирующий 117
Мусхелишвили Н.> И. 36, 105 »
Наложимость поверхностей 61
Направление изотропное 171
— обхода контура, отрицательное 195
, положительное 195
— тензора, асимптотическое 34
, нулевое 34
, сопряженные 34
Направления нулевые 171
— поверхности, асимптотические 75
, главные 75
, сопряженные 75
— сети 65
— соответствия, главные 174
— тензора, асимптотические 34
, сопряженные 34
Направляющая поверхности 102
Норма тензора 36
Нормаль главная 12
— кривой 12
— поверхности 46
Нормирование тензора, кодацциево 164
Область многосвязная 206
Образующие поверхности 102
Огибающая семейства поверхностей 47
Опорная поверхность конгруэнции 109
Ориентированная плоскость 21
Ориентирующий вектор плоскости 21
Орицикл 231
Ортонормальная тройка 13
Орты масштабные 15
— тензора, главные 34
Особые точки 10
параметризация 43
Ось вращения 90
— кривизны линии 54
Отображение пространства, конформное 247
— сферическое 193
конгруэнции 109
— тривиальное геодезическое 189
Параллель 90
— резной поверхности 99
Параллельное перенесение 125
, внутреннее 127
Параметр 8
— дифференциальный, первый 115
— конгруэнции, полный 110
, средний ПО
— Либмана 181
— натуральный 11
— распределения поверхности 106
— скалярной функции, второй 119
— смешанны^ 115
Параметризация дуги 8
— поверхности 41
Перебрасывание индексов 32
Петерсон К. М. 85, 211
Плоскость касательная 10
— конгруэнции, фокальная 112
— нормальная 12

258
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Плоскость соприкасающаяся 10
— спрямляющая 13
Поверхности ассоциированные 239
Поверхность 41
— Вейнгартена 157
— вращения 90
— каналовая 100
— Каталана 108
— конгруэнции, фокальная 111
— коническая 104
— кривой, полярная 53
— линейчатая 102
— Лиувилля 150
— минимальная 235
— огибающая 47
— омбилическая 89
— переноса 168
— присоединенная 235
— развертывающаяся 52, 103
— резная 99
— рода р 208
— трубчатая 101
— Фосса 199
— центров 88
— цилиндрическая 104
— эволютная 88
— Эннепера 241
Поле векторное 58
— геодезически-биссекторное 149
изотермическое 148
— геодезическое 145
— изотермическое векторное 120
— лапласово 119
— потенциальное 117, 244
— соленоидальное 119
— тензорное 58
Полигон геодезический 205
Полная кривизна поверхности 76
Полупространство плоскости, внешнее 21
, внутреннее 21
Поля изогональные 137
Полярная поверхность кривой 63
Потенциал геодезический 145
— поля 117
Поток вектора через контур 118
Правило Эйнштейна 17
Преобразование конформное 247
Приведенное значение вектора 33
Произведение двух векторов, косое 21
— скалярное 19
Производная по направлению 115
— Шварца 180
Прямая сети присоединенная 161
Псевдосфера 95
Пучки окружностей сопряженные 184
Пучок геодезический, второго рода 223
, первого рода 223
, третьего рода 223
— геодезических 220
— гиперциклический 231
— окружностей, гиперболический 185
, параболический 183
, эллиптический 185
— орициклический 231
— параллельный 231
— расходящийся 231
— сходящийся 231
— циклический 231
Работа поля 116
Равенство тензоров 27
Радиус кривизны 14
геодезической 156
нормальной 70
Разрезание поверхности 41
Расстояние геодезическое 146
Ребро возврата семей:тва поверхностей <
Риман Б. 210
Риччи Г. 128, 192
Родриг О. 87
Ротация векторного поля 116, 244
Свертывание тензора 38
Семейство линий на поверхности, правил]
ное 65
изотермическое 120
Сеть аполярная 66
— биссекторная 66
— виртуально-асимптотическая 214
— вращения 171
— геодезическая 165
— главная 66
— декартова 168
— изотермическая 121
— изотропная 172
— Кёнигса 85
— кодацциева 164
— линий 65
— Лиувилля 150 _
— окружностей второго рода 185
первого рода 184
— ортогональная 66, 164
— переноса 168
— поверхности, координатная 42
— правильная 65
— равнопутная 170
— равных путей 170
— Риччи 192
— сопряженная 84
— Тиссо 174
— Фосса 198
— Чебышевская 166
Сечение нормальное 73
вогнутое 73
выпуклое 73
Символ Кронеккера 19
Символы Кристоффеля 124
Симметрирование тензора 29
Симметричная часть тензора 29
Система координат аффинная 17
местная 58
общая декартова 17
— поверхностей, триортогональная 245
— софокусных поверхностей второго по
рядка 249
Склеивание двух кусков поверхности 40
Скобки Кристоффеля 124
След тензора 36
Сложение тензоров 27
Соответствие геодезическое 188
— конформное 64
круговое 181
плоскостей 179
поверхностей 176
тривиальное 176
— непрерывное 7
— поверхностей эквивалентное 69
— топологическое 7
Соприкасающаяся плоскость 10
Сопровождающий трехгранник 13
тензора 34
Спрямляющаяся плоскость 13
Средняя кривизна поверхности 134
Стереографическая проекция 186
Сторона плоскости внешняя 21.
внутренняя 21
— поверхности внешняя 59
Стрикционная линия 105
Сфера 94
Тензор 24
—, альтернирование 31
—, асимптотическое направление 34

АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Тензор аффинной деформации 176
—, валентность 24
— взаимный 37
— , главные значения 34
— , — орты 34
— , — направления 34
— дискриминантный 26, 244
поверхности 59
— , каноническое представление 34
— , кодацциево нормирование 164
—, кососимметрическая часть 31
— кососимметрический 26, 31
— кривизны 210
— метрический в пространстве 243
плоскости 26
поверхности 58
— , нулевое направление 34
— , перебрасывание индексов 32
— поверхности, третий основной 194
— Римана — Кристоффеля 210
— Риччи 210
—, свертывание 38
— сети 65
—, симметрирование 29
—, симметрическая часть 29
— симметричный 26, 29
— , сложение 27
—, сопряженные направления 34
—, умножение 28
— , условие равенства 27
—, характерные числа 34
Теорема Бельтрами 233
— Гаусса 202
— Гаусса — Бонне 205
— Дини 190
— Дюпена 247
— Иоахимсталя 87
— Клеро 154
— Менье 74
— Петерсона 211
"— Шаля 251
Тиссо М. 174
Тор 101
Точка гиперболическая 77
— граничная 40 '
— конформности 175
— омбилическая 78
— особая 10
— параболическая 77
— присоединенная 105
— сжатия 105
— спрямления 14
— стрикции 105
— уплощения 14, 77
— эллиптическая 77
Трактриса 94
. Трансверсаль 136
Трехгранник прямоугольный 139
— сопровождающий 13
Угловой дефект 205
Угол между линиями 62
Умножение тензора на тензор 28
число 28
Уравнение векторного поля, основное диф-
дифференциальное 135
— винтовой линии, параметрическое 15
— дуги, параметрическое 9
— изгибания 217
— кривой на поверхности, внутреннее 44
, параметрическое 44
— Лапласа 120
— поверхности, неявное 42
, параметричео1сое~^42
— сферы, параметрическое 43
Уравнения Кодацци 163
— кривой, натуральные 14
— Ламе 249 >
Условие ортогональности сети 66
— нормальности конгруэнции 113
Фиников С. П. 33, 85
Форма метрическая 19
Формула Лиувилля 203
— Эйлера 76
Формулы Вейерштрасса 241
— Вейнгартена 194
— Гаусса, деривационные 123
— преобразования координат вектора 19
— Родрига 87
— Серре — Френе 14
— Шварца 236
Фосс А. 198
Функции круговые векторные 14
— сопряженные 120
Функция векторного аргумента, скаляр-
скалярная 23
— гармоническая 120
— горизонтальная 215
— изотермическая 120
— линейная 23, 24
— многих векторных аргументов, скаляр-
скалярная 24
Характеристика семейства 48
Характеристическая точка семейства по-
поверхностей 50
Характерные числа тензора 34
Центр инверсии 182
Цепная линия 96
Цикл иды 101
Циркуляция 116
Шаль М. 251
Широта 43
Эволюта пространственная 56
Эйлер Л. 76
Эйнштейн А. 17
Эквивалентность обобщенная 69
Элемент площади 67
Эллипс геодезический 150
— искажений 174
Эннепер А. 241
Якоби К. 151

УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ1)
a
aU )
aW
i*1
dn
dT
div*
e
e(*)
eij
eijk
°jk
g(*)
gip
grad *
23
29
31
37
126
126
119
22
15
22
244
124
15
19
20
115
H
hij
J
j
i
К
k
k
К
N
N
n
P.
Pj
76
71
209
15
15
76
15
14
75
141
70
, 17
46
36
21, 59
14
1 Q
18
R
R\, R%
rot*
Si
U
w
in*.*)
18
70
75
210
210
44
116
36
175
161, 162
20 24
13
109
115
115
0*
b
i
V
a
x
«Pi
X
119
129, 130
77
13
19
195
14, 194
110
13
34
34
13
71
71
191
132
21
l) Вместо звездочек должно быть подставлено соответствующее буквен-
буквенное выражение.