Ваня Михайлова

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА
I и II част

<? ciela
г

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА
(I и I I част)

<?cida

©

Ваня Енчева Михайлова, ав т ор

© Л ю бом и р Пенов, художествен дизайн на корицата
Соф ия • 2005
С И Е Л А - СОФТ ЕНД ПАБЛИШИНГ
ISB N 954-649-316-3

ВАНЯ МИХАЙЛОВА

ОСНОВИ
НА ФИЗИКАТА
(I и II част)

I

<? cielo

Учебникът е съобразен с основната учебна програма по физика за по­
лучаване на образователно-квалификационната степен „бакалавър” в
ТУ - София. Състои се от седем раздела, в които са изложени основите на
класическата и съвременната физика. Може да бъде използван от студен­
тите от всички факултети на ТУ - София.
Може да бъде полезен и на всички редовни и задочни студенти от тех­
нически вузове, където се изучава кратък курс по физика.

*

СЪДЪРЖАНИЕ
Предговор...................................................................................................................................... 8
Въведение...................................................................................................................................... 9
1. Предмет и основни дялове на физиката. Връзка с другите науки..............................9
2. Модели във физиката. Физични величини и закони.................................................. 12
3. Измерване на физични величини. Мерни единици. Международна система СИ.... 13
Раздел I. Класическа механика.............................................................................................. 17

Глава 1. Кипсмапшка па материална т оч к а .....................................................................17
1.1. Време и пространство. Материална точка. Отправна координатна система........ 17
1.2. Траектория, път, преместване.................................................................................... 19
1.3. Скорост на движение...................................................................................................20
1.4. Ускорение........ ............................................................................................................22
1.5. Видове движения на материална точка.....................................................................24
1.6. Движение на материална точка по окръжност........................................................ 25
Гласа 2. Динамика па материална т оч к а .......................................................................... 30
2.1. Първи принцип на Нютон. Инерциална система..................................................... 30
2.2. Сила и маса. Втори принцип на Нютон.....................................................................32
2.3. Трети принцип на Нютон. Импулс. Закон за запазване на импулса в затворена
механична система.......................................................................................................35
2.4. Извод на закона за изменение на импулса на отворена механична система........ 37
2.5. Принцип на относителността на Галилей. Галилееви трансформации на
координатите................................................................................................................38
2.6. Неинерциални системи. Инерционни сили...............................................................41
Глава 3. Механична енергия и р а б о т а ................................................................................. 43
3.1. Механична енергия. Работа на сила. Мощност........................................................43
3.2. Кинетична енергия. Връзка между работа и кинетична енергия..........................46
3.3. Консервативни сили. Потенциална енергия. Връзка между работа и
потенциална енергия.................................................................................................. 47
3.4. Закон за запазване на енергията в затворена механична система..........................50
3.5. Извод на закона за изменение на енергията в отворена механична система....... 52
Глава 4. Механика на твърдо т я л о ..................................................................................... 56
4.1. Идеално твърдо тяло. Видове движения. Основни кинематични величини при
въртене на твърдо тяло около постоянна о с ............................................................ 56
4.2. Кинетична енергия при двумерно въртене. Инерчен момент................................59
4.3. Работа при двумерно въртене. Момент на сила. Основно динамично уравнение
при двумерно въртене................................................................................................ 62
4.4. Момент на импулса на тяло при въртене. Закони за изменение и за запазване
момента на импулса. Свободни о си ..........................................................................64
4.5. Законите за запазване като следствия от свойствата на симетрия на времето и
пространството............................................................................................................ 68
Раздел И. Молекулна физика и термодинамнка................................................................ 71

Глава 5. Елементи на молекулната физика ..................................................................... 71
5.1. Статистически и термодинамичен метод за изследване. Основни параметри на
макроскопичните системи. Молекулно-кинетична теория за строежа на
веществата................................................................................................................... 71

6

ОСНОВИ ПА ФИЗИКАТА

5.2. Осповно уравнение на молекулно-кинетичната теория за идеален газ.................. 76
5.3. Закон на Максуел за разпределение на молекулите в газовете по скорости
и енергии..................................................................................................................... 81
5.4. Закон иа Болцман за разпределение на молекулите в потенциално поле.............. 87
5.5. Явления на пренос...................................................................................................... 89

Глава 6. Термооинамика.................................................................................................. ..... 99
6.1. Термодинамична система и термодинамично състояние. Равновесни
и неравновесни процеси. Вътрешна енергия. Първи принцип
на термодинамиката - приложение.................................................................... ..... 99
6.2. Топлинен капацитет. Моларни топлинни капацитети при газове.
Уравнение на Майер.................................................................................................104
6.3. Адиабатен процес. Уравнение на Поасон. Работа при адиабатни процеси......... 107
6.4. Кръгов, обратим и необратим процес. Цикъл на Карно. Втори принцип
на термодинамиката................................................................................................. 109
6.5. Приведена топлина. Ентропия. Изменение на ентропията при различните
видове термодинамични процеси............................................................................115
Раздел III. Електричество и магнетизъм........................................................................... 122

Глава 7. Електроапатика .................................................................................................. 122
7.1. Електрични заряди. Електростатично поле. Закон на Кулон................................ 122
7.2. Интензитет на електростатичното поле. Теорема на Г аус.................................... 126
7.3. Работа на електростатичните сили. Потенциал. Връзка между интензитет
и потенциал на електростатичното поле................................................................ 132
7.4. Проводник в електростатично поле. Капацитет..................................................... 136
7.5. Диелектрик в електростатично поле............ .......................................................... 141
Глава 8. Постоянен електричен т ок ................................................................................147
8.1. Основни величини, коиго характеризират електричния ток. Странични сили.
Електродвижещо напрежение.............................................................. ;................. 147
8 2. Закон на Ом. Съпротивление на проводниците. Работа и мощност на тока........151
Глава 9. Електромагнетизъм ............................................................................................ 157
9.1. Магнитно поле. Основни характеристики. Закон на Био-Савар-Лаплас............ 157
9.2. Действие на магнитно поле върху проволник, по който тече ток.
Закон на Ампер. Действие на магнитно поле върху движещ
се електричен заряд. Сила на Лоренц.....................................................................163
9.3. Електромагнитна индукция и закон на Фарадей....................................................172
9.4. Електромагнитно поле. Уравнения на Максуел.....................................................179
Раздел IV. Трептення и вълни.............................................................................................184

Глава 10. Хармонични трептения ....................................................................................184
10.1. Кинематика на хармоничните трептения..............................................................184
10.2. Динамика на хармоничните трептения.................................................................187
10.3. Суперпозиция на хармонични трептения.............................................................192
10.4. Затихващи и принудени трептения. Резонанс......................................................196
Глава 11. Вълнови процеси................................................................................................. 203
11.1. Вълнов процес в еластична среда. Видове вълни................................................203

Съдържание

7

11.2. Уравнение на плоска хармоннчна вълна. Вълново число и фазова скорост.
Диференциално вълново уравнение.......................................................................205
11.3. Принцип на суперлозицията. Интерференция на вълните. Стоящи вълни...... 210
11.4. Звукови вълни. Ефект на Доплер...........................................................................212
11.5. Електромагнитни вълни. Скала на електромаг нитните вълни...........................219
Раздел V. Релативистична механика.................................................................................. 225

Гпава 12. Елементи о т специалната теория на от н оси т ел н ост т а ......... .............. 226
12.1. Релативистична кинематика. Пространство и време. Лоренцови трансформации
на координатите....................................................................................................... 226
12.2. Релативистична динамика. Импулс и енергия..................................................... 231
Раздел VI. Вьлиопа н квантова оптика..............................................................................237

Глава 13. Светлина. Въ.’июва оп ти ка ............................................................................... 238
13.1. Естество, характер и скорост на светлината.........................................................238
13.2. Интерференция на светлината. Опит на Юнг. Интерференция от тънки
пластинки. Нютонови пръстени............................................................................. 241
13.3. Дифракция на светлината. Френелови зони. Дифракция на плоска
монохроматична вълна от един процеп. Дифракционна решетка......................247
13.4. Поляризация на светлината. Закони на Малюс и Брюстер. Двойно
лъчепречупване. Поляризационни призми............................................................255
Глава 14. Квантова он тика ................................................................................................ 261
14.1. Топлинно излъчване. Закони на Кирхоф, Стефан-Болцман и Вин....................261
14.2. Фотоелектричеи ефект. Закони при външния фотоефект.Уравнение на
Айнщайн....................................................................................................................268
14.3. Рентгенови лъчи. Ефект на Комптън.....................................................................273
Раздел V II. Основи па атомната и ядрената физика....................................................... 280

Глава 15. Елементи ни квантовата механика................................................................280
15.1. Корпускулярно-вълнови свойства на микрочастиците. Вълни на Дьо Бройл.
Експериментално потвърждение............................................................................281
15.2. Принцип на неопределеностга на Хайзенберг. Вълнова функция.....................285
15.3. Уравнение на Шрьодингер. Движение на микрочастнца в потенциална яма.
Тунелен ефект.......................................................................................................... 289
Iлава 16. Атоми, ядра и елементарни частици ............................................................ 298
16.1. Строеж на атома. Модел на Ръдърфорд. Теория на Бор. Квантовомеханичен
модел на водородния атом......................................................................................299
16.2. Радиоактивност. Строеж на атомното ядро......................................................... 3 11
16.3. Елементарни частици.............................................................................................. 319
Л итература.............................................................................................................................. 327

ПРЕДГОВОР
В настоящата книга са изложени основите на класическата и съвре­
менната физика. Включеният в нея материал е определен след прецизен
подбор на изучаваното по съответната дисциплина „Физика” в
Т У - С оф и я . С цел да се ограничи обемът на книгата са изключени или
съвсем бегло са засегнати някои теми, които са застъпени по-подробно в
учебните програми по други дисциплини, като теоретична механика, ос­
нови на електротехниката, материалознание, химия, механика на флуиди­
те и др.
Основната цел на книгата е да се запознаят студентите с развитието на
физичните идеи от класическата механика към релативистичната механи­
ка, от механиката на макросвета към модерната квантова физика, трети­
раща проблемите, свързани със света на микрочастиците. Положени са
усилия изложението на материала да бъде кратко, ясно и на достъпен
език. По-голямата част от формулите, описващи същността на физичните
явления, са изведени теоретично, като са избегнати сложните математични изрази. Използваният математичен апарат е съобразен със съответната
програма по математика в ТУ - София.
Изказвам искрена благодарност на рецензента на книгата проф. д.ф.н.
А. Антонов за обстойния анализ на ръкописа и за полезните съвети и пре­
поръки, а също така на завеждащата редакция „Техника” на Издателска
къща „Сиела” инж. Хр. Иванова и на редакторката В. Лазова за ценните
критични бележки и изключително високия професионализъм при подго­
товката и издаването на книгата. От сърце благодаря на акад. В. Андрейчев и проф. д.ф.н. Тр. Троев за предоставените ми програми за обуче­
ние по физика в някои технически университети в САЩ , Германия и Япо­
ния, на н.с. д-р Ив. Минков за техническата помощ и обсъждането на ня­
кои теми и на Ал. Драговски за прецизната предпечатна подготовка и гра­
фичен дизайн на книгата.
Бих желала да добавя и дълбоката си признателност към инициатора
за написването на тази книга проф. Г. Цветков - декан на Стопанския фа­
култет при ТУ - София, а също така към всички близки роднини и прия­
тели, които ме подкрепяха духовно по време на нейната подготовка.
Ще се радвам, ако книгата се окаже полезна в учебния процес на сту­
дентите. Приемам с удоволствие всички критични бележки, които биха
подобрили нейното качество.
Авторът

ВЪВЕДЕНИЕ
1. Предмет и основни дялове на физиката.
Връзка с другите науки
Физиката е една от най-старите природни науки. Древните гърци са я
възприемали като наука за околния, реално съществуващ свят. В съвре­
менния физичен енциклопедичен речник тя е определена като „наука за
природата“. Невъзможно е обаче да се поставят точни граници между фи­
зиката и другите природни науки. Всички опити да се даде строго опреде­
ление на физиката като наука за ограничен клас обекти остават безуспеш­
ни. Всеки обект притежава общи свойства (механични, електрични, топ­
линни и др.), които са предмет на изучаване от физиката. Ето защо тя мо­
же да се определи като наука за най-общите и най-прости форми на съ­
ществуване на материята (вещество и поле), които влизат в състава на
всички сложни материални системи, за взаимодействието на тези форми и
за тяхното движение.
Висшите и по-сложни форми на движение на материята се изучават от
други природни науки, като химия, биология, геология и др. В процеса на
историческото развитие хората непрекъснато разширяват и задълбочават
знанията си за природата. Заедно с това се разширяват и изменят и обек­
тите, изучавани от различните науки. Предметът на физиката е тясно
свързан с основните етапи от нейното историческо развитие.
Основите на класическата механика - един от първите изучавани дя­
лове на физиката, са поставени от италианския учен Г. Галилей и английс­
кия физик И. Нютон през X V II в. Тя разглежда законите за механичното
движение на телата, като за тази цел се използват редица абстрактни по­
нятия - материална точка, идеално твърдо тяло и др. По-късно физиката
преминава към изучаване движението на реалните тела. На този етап на
преден план възниква въпросът за строежа на реалните тела и на вещест­
вата, от които те са съставени. Едновременно с това се задълбочават и
познанията за термодинамичните процеси, които настъпват в телата. Така
през X IX в. се развиват две нови области на физиката: молекулна физика и
термодинамика. Молекулната физика разглежда вътрешния строеж на ве­
ществата, а термодинамиката - процесите на обмен на топлинна енергия
между различните системи (както помежду им, така и с околната среда). В
началото на X IX в. започва развитието и на друг дял на физиката - елект­
ричеството и магнетизма. Основоположници в тази област са английските
физици М. Фарадей и Дж. Максуел. Характерно свойство на електричните
и магнитните сили е това, че тяхното действие се открива на разстояние.
За обяснение на такова действие е необходимо да се въведе понятието
„поле“. То се разглежда като форма на материята, посредством

10

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

която телата си взаимодействат на разстояние едно от друго. В раздела,
обхващащ електричеството и магнетизма, се изучават полетата, които
се създават около заредените тела и електричните токове, и техните
свойства.
Векове наред хората са смятали, че най-малката градивна частица на
материята е атомът, който е неделим и лишен от вътрешен строеж. В края
на X IX в. с откриването на електрона и в началото на X X в. с опитите на
Ъ. Ръдърфорд и Н. Бор за изучаване строежа на атома се поставя началото
на друга област на физиката - атомната физика. Тя изучава строежа на
атомите, от които са съставени различните вещества. Заедно с развитието
на атомната физика се обособява още един дял — физиката на атомното
ядро (ядрената физика). Тя разглежда строежа и структурата на атомните
ядра. Нейното развитие от своя страна довежда до откриване на голям
брой частици, наречени „елементарни“ (протон, неутрон, позитрон и др.),
и до появата на физиката на елементарните частици, предмет на която са
свойствата, взаимодействията и взаимните превръщания на тези частици.
Оказва се, че законите на класическата механика са неприложими за опи­
сание движението на микроскопичните тела (атоми и елементарни части­
ци), както и това на макроскопичните тела със скорости, близки до ско­
ростта на светлината. Така в началото на X X в. се развиват още два нови
дяла — квантовата механика и специалната теория на относителността на
А. Айнщайн. Според последните постижения на физиката светът, който
ни заобикаля, може условно да се раздели на две области: макросвят (мак­
рокосмос), който обхваща телата с големи маси, и микросвят (микрокос­
мос), включващ микрочастиците, които имат много малки маси (т * 0 ).
Квантовата механика изучава движението на микрочастиците, а специал­
ната теория на относителността —движението на макротелата със скорос­
ти, близки до скоростта на светлината (v * с; v - скорост на тялото, а с =
3.108 m/s - скоростта на светлината във вакуум). Законите на класическата
механика остават валидни само за макротелата, които се движат със ско­
рости, много по-малки от скоростта на светлината (v « с).
Цялото развитие на физиката показва, че човечеството непрекъснато
се движи от разбиране на отделните, частни закони на природата към пообщите. Появата на механиката на големите скорости (специалната тео­
рия на относителността на Айнщайн) не противоречи на класическата ме­
ханика на Нютон. Ако скоростта на движение е много по-малка от ско­
ростта на светлината, класическата механика се оказва следствие на меха­
никата на Айнщайн. Същото се отнася и за законите на квантовата меха­
ника, на които се подчинява движението в микросвета. При определени
гранични условия законите на движение в макросвета представляват част­
ни случаи на законите на движение на микрочастиците.

Въведение

11

Голямото разнообразие от взаимодействия в природата се описва във
физиката с помощта на четирите основни вида:
- силни взаимодействия, които се проявяват в ядрото на атомите; те
свързват отделните частици на ядрата една с друга и са отговорни за съ­
ществуването на ядрата;
- електромагнитни взаимодействия; те се проявяват между електрично
заредените тела;
- гравитационни взаимодействия; благодарение на тях съществуват
планетарните системи, в това число и системата, към която принадлежи
нашата Земя;
слаби взаимодействия; те се проявяват в микросвета при някои про­
цеси на взаимни превръщания на елементарните частици.
В последните години се оказа възможно да се обединят електромаг­
нитните и слабите взаимодействия и да се изгради теория на електрослабите взаимодействия. Една от главните цели на съвременната физика е да
сс сведат четирите вида взаимодействия към нов тип единно взаимодейст­
вие. В този смисъл може да се каже, че с всеки нов етап от развитието на
физиката се появяват все по-общи фундаментални закони, които обединя­
ват частните, но това съвсем не изключва необходимостта да се познават
добре законите от частен характер. Ето защо и традиционното разделяне
на физиката, възникнало в процеса на нейното развитие - механика, термодинамика, електромагнетизъм, атомна физика, квантова механика и т.н.,
съществува и досега и не е загубило своето значение.
От направения кратък преглед на историческото развитие на физиката
се вижда, че нейният предмет непрекъснато се разширява и този процес
щс продължава и в бъдеще. В резултат на това се развиват нови области,
някои от които се обособяват в самостоятелни науки.
Физиката е тясно свързана с останалите природни науки, като химия,
биология, математика, геология и др. Всички химични реакции протичат
по законите на физиката; един от най-важните процеси в живата природа е
фотосинтезата, а разбирането на това явление изисква познания за взаимо­
действието на светлината и веществото; особеност на физиката е фактът,
че тя използва широко математиката - тясната взаимна връзка между тези
две науки съществува от самото им зараждане.
Физиката е непосредствено свързана и с техническите науки, които се
занимават с прилагането на природните закони в производствената
дейност на хората и различните производствени процеси. Редица техни­
чески науки, като енергетика, електротехника, радиотехника, електроника,
авиационна техника, транспортна техника, роботика и др., се основават на
законите на физиката и нейните нови постижения. Много нови области на
физиката раждат отделни технически науки. Така например физиката на

12

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

полупроводниците (нов вид материали, открити през втората половина на
X X в.) даде началото на полупроводниковата техника, ядрената физика - на
ядрената техника и т.н. От своя страна физиката в процеса на своето разви­
тие широко използва последните постижения на различните технически на­
уки. Един съвременен експеримент по ядрена физика е немислим без наймодерната електронна апаратура, компютърна и изчислителна техника.

2. Модели във физиката. Физични величини и закони
Едно от важните понятия във физиката е модел. Моделът е опростено
описание на реален обект, абстракция, с която си служим при изучаването
на дадено явление. Във всяко физично явление може да се определи основното, от което се интересува изследователят в дадена конкретна ситуа­
ция. Например ако разглеждаме движението на самолета от София до Ми­
лано, за нас не е важно каква форма има той, какви са размерите на крила­
та му, нито пък броят на двигателите му. Изучавайки движението на са­
молета на такова голямо разстояние, във всяка точка от пътя му можем да
определим неговото положение, като го разглеждаме като малка точка. Но
ако изучаваме движението на този самолет по пистата на летището, не
можем да използваме вече такъв модел. Понятието модел се отнася не са­
мо до самия обект, но и до условията, в които го изучаваме. Например при
изследване движението на едно тяло по наклонена равнина можем да от­
четем или да пренебрегнем наличието на силите на триене между тялото и
равнината - ако равнината е с гладка, полирана повърхност, можем да ги
пренебрегнем, в противен случай обаче това е недопустимо.
Всеки процес във физиката се характеризира с редица физични величиии, които описват различните страни на процеса или на обектите, участващи
в него. Физичните величини представляват такива характеристики на даде­
но тяло, процес или явление, които могат да се измерват количествено. Те
могат да бъдат прометиви и постоянни. Например ако разглеждаме уско­
рително движение, скоростта и пътят, които го характеризират, са промен­
ливи величини (те се изменят непрекъснато). Ако разглеждаме обаче право­
линейно равномерно движение, скоростта v ще бъде постоянна величина,
докато пътят - променлива. От своя страна постоянните величини биват
физични константи и универсални константи. Физичните величини, които
се запазват постоянни при определени условия, се наричат физични конс­
танти. Например при определена температура електричното съпротивление
на даден метален проводник е една физична константа. Но ако започнем да
загряваме металния проводник, то се променя и престава да бъде физична
константа. Във физиката се използват и т.нар. универсални константи.
Те характеризират най-общите свойства на материята и се запазват пос­
тоянни при всякакви условия. Такива са гравитационната коне-

Въведение

13

танта, скоростта на светлината, електричният заряд на електрона и др.
За описание на физичните процеси и явления ще използваме скаларни и
векторни величини (съществуват и величини от по-висок ранг, но те не са
обект на разглеждане на настоящия курс). Скаларни величини са времето,
температурата, електричният заряд, количеството топлина и др. Те се опре­
делят от едно алгебрично число (положително или отрицателно). Векторни
величини са скоростта, ускорението, силата, която действа на дадено тяло,
интензитетът на елекгростатичното поле и др. Те се характеризират освен с
големина и с посока в пространството. Векторните величини се изобразяват
графично с отсечки, големината на които изразява числената стойност на
съответната величина. Посоката на отсечката в пространството се означава
със стрелка и указва посоката на вектора. Векторите обикновено се пишат с
букви, над които се поставя стрелка, или само с получерни букви. Те могат
да се събират геометрично и се определят от три числа, наречени компонен­
ти на вектора. Компонентите на всеки вектор представляват проекциите на
вектора върху трите оси на дадена координатна система, с която е свързан
съответният вектор.
От своя страна векторните величини се делят на два вида: полярни и аксиални (наричани също псевдовектори). Полярните вектори запазват посока­
та си в пространството независимо от това, дали координатната система, с
която са свързани, е лява или дясна. Такива вектори са скоростта, ускорение­
то, силата. Аксиалните вектори при преход от лява към дясна координатна
система изменят посоката си на противоположната. Примери за аксиални
вектори са ъгловата скорост, ъгловото ускорение, всеки вектор, който се оп­
ределя от векторното произведение на два полярни вектора, и др.
Физичните закони определят връзките между физичните величини, ха­
рактеризиращи даден физичен процес. Установяването на даден физичен
закон се свежда до определяне на функционалната зависимост между вели­
чините, които го характеризират. Всеки физичен закон може да бъде предс­
тавен таблично, графично или аналитично (чрез някакъв алгебричен израз
или формула). Например законът за пътя при праволинейно равномерно
движение изразява функционалната зависимост между пътя S и времето V.
S
Аналитичният израз на този закон е формулата S = V/, където за ско­
ростта е изпълнено условието v = const.

3. Измерване на физични величини. Мерни единици.
Международна система С И
При всеки физичен процес се изменят едновременно редица величини.
Например при нагряване на едно тяло се променят неговите размери, плът­
ност, обем и др. За да се проследи ходът на процеса, трябва да се знае как

14

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

се изменят тези величини в зависимост от температурата, т.е. необходимо
е те да бъдат измерени.
Методите за измерване на физичните величини се изучават в специа­
лен раздел от физиката, наречен метрология (измерителна физика). Измер­
ването на една величина означава сравняването йс друга величина от съ­
щия вид, която е приета за единица.
Ако с В означим големината на измерваната величина, а с b - големи­
ната на величината, приета за единица, отношението В/b = п показва колко
пъти мерната единица се съдържа в измерваната величина; п се нарича
мерно число на величината В. Тогава измерваната величина В се определя
от произведението на мерното число и големината на мерната единица,
В = Ьп. Във физиката е много важно при записване резултатите от измер­
ванията на физичните величини да не се пропускат мерните единици. Нап­
ример ако разстоянието от един предмет до друг е 5 т , безсмислено е да
напишем числото 5, без да укажем към какво се отнася то. Още древног­
ръцките философи са твърдели, че всичко се измерва с „число и мярка“
(мерна единица, или размерност). Всички величини във физиката се харак­
теризират с числа, на които се придава определен смисъл чрез мерната
единица. На сравнение подлежат само физични величини, които имат
еднакви мерни единици: дължина с дължина, интервал or време с друг ин­
тервал и т.н.
Прието е измерванията във физиката да се делят на два вида: преки и
косвени {непреки). Преки са тези измервания, които могат да бъдат извър­
шени непосредствено с помощта на прости измерителни прибори. Напри­
мер: измерване температурата на тяло с термометър; претегляне на даден
предмет с везни, за да се определи масата му; измерване разстоянието
между два обекта с метър и т.н. Ако обаче е необходимо да се измери раз­
стоянието между атомите в даден кристал, тогава трябва да се приложат
косвени измервания. При тях обикновено се използва метод, с помощта на
който се измерват други величини, свързани с търсената чрез някаква
формула. Прост случай на косвено измерване е определянето на обема на
дадено тяло - измерват се пряко дължината, височината и широчината на
тялото, а чрез формулата, свързваща тези величини с обема, се получава
косвено информация за търсения обем. За косвените измервания е харак­
терно това, че обикновено се мери едно нещо, а се получава информация
за друго. Най-често косвените измервания се прилагат за определяне на
величини от микросвета.
За измерването на физичните величини съществуват различни измери­
телни системи. Всяка измерителна система се основава на определени
мерни единици, които се наричат основни. За основни единици се избират
тези, които са свързани с най-общите фундаментални понятия: време,

Въведение

15

пространство, маса, температура и т.н. От тях се получават всички други,
които се наричат производни.

Величини
Дължина
Време
Маса
Термодинамична температура
Големина на електричен ток
Интензитет на светлината
Количество вещество
Равнинен ъгъл
Пространствен ъгъл

Основни
единици
метър
секунда
килограм
келвин
ампер
кандела
мол
Допълнителни единици
радиан
стерадиан

Т а б ли ц а 1
Означения
международни
български
ш
м
S
с
кг
kg
К
К
А
А
cd
кд
mol
мол
rad
ST

рад

В България през 1965 г. като задължителна е въведена Международна­
та система СИ (System International - SI). Тя е изградена върху 7 основни и
2 допълнителни мерни единици, които са дадени в табл. 1. От тях, като се
използват физичните закони и определения, се получават всички произ­
водни единици. Например ако искаме да определим мерната единица за
скорост, ще използваме съответния закон v = Sit, където единицата за път е
метър [m], а за време - секунда [s]; тогава за скоростта получаваме производната единица метър за секунда [m/s]. Аналогично за ускорението на
едно тяло ще получим
Та б лица 2
мерната единица ме­
Наимено­
Означение
Кратност
вание
международно
българско
тър за секунда на
Пико
п
КГ12
Р
квадрат [m/s2] и т.н.
Нано
п
н
КГ9
В практиката за
Микро
мк
кг6
У
по-голямо
удобство
Мили
m
м
10 3
много често се изпол­
Кило
1с
к
103
Мега
М
М
106
кратни
зват
т.нар.
Гига
G
Г
10ч
мерни единици, които
Тера
Т
т
ю 12
се получават чрез де­
ление или умножение на основните или производните единици на числото
10, повдигнато на някаква степен. Кратните единици са дадени в табл. 2.
Въпроси и задачи
1.
2.
3.

Какъв с предметът на физиката и кои са основните йраздели?
Колко вида физични величини познавате? Каква е разликата между скаларна и век­
торна величина? Посочете примери.
Какво означава понятието модел във физиката? Какви модели сте използвали в кур­
са по физика в средното училище?

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

16
4.

5.
6.

Кога Земята може да се разглежда като материална точка: при движението йоколо
Слънцето и л и при въртенето около собствената йос? Обяснете каква е разликата
между двата случая.
Какво означават пряко и косвено измерване? Дайте примери.
Кои са основните мерни единици в системата СИ? Дайте примери с кратните еди­
ници на коя да е основна или допълнителна мерна единица.

РАЗДЕЛ

I

КЛАСИЧЕСКА М ЕХАНИКА
Механиката е наука, която изучава най-простата и най-обща форма на
движение на материята - механичното движение. Под механично движе­
ние във физиката се разбира механичното преместване на едно тяло спря­
мо друго в пространството.
Механиката е тази част от физиката, която най-непосредствено е свър­
зана с нашите всекидневни наблюдения и опит и която разглежда движе­
нието и взаимодействието на заобикалящите ни тела. Основните йзакони
са установени и формулирани от Г. Галилей и И. Нютон през X V II в. Те
описват движението на телата с неголеми скорости, както и на небесните
тела. Механиката на Галилей и Нютон, която изучава движението на тела­
та със скорости, значително по-малки от скоростта на светлината (v « с ),
се нарича класическа механика.
От своя страна класическата механика се дели на три части: кинематика, динамика и статика. Кинематиката е дял от механиката, в който се
изучават характеристиките на движението на телата (път, скорост, уско­
рение), без да се засяга въпросът за причините, които пораждат това дви­
жение. Динамиката е този дял от механиката, в който се изучават законите
за движение на телата във връзка с причините, които го пораждат. Статиката изучава законите за равновесие на телата.
В настоящия раздел ще разгледаме основите на кинематиката и дина­
миката.

Глава 1

КИНЕМАТИКА НА МАТЕРИАЛНА ТОЧКА
1.1. Време и пространство. Материална точка. Отправна
координатна система.
Всяко изменение на състоянието на реалните обекти в природата или на
избраните от нас модели при изучаването на даден процес се нарича съби­
тие. Всички събития се осъществяват във времето и пространството.
Времето характеризира продължителността и последователността на съби­
тията, а пространството - размерите и взаимното разположение на обектите.
В класическата механика Нютон разглежда времето и пространството
като абсолютни, съществуващи самостоятелно и независимо едно от друго.

18

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

Най-простият модел, който се използва в кинематиката при изучаване
движението на телата, е материалната точка. Тя представлява тяло с та­
кива размери, които могат да бъдат пренебрегнати в сравнение с пътя, из­
минат от него. За да изучим движението на материалната точка, е необхо­
димо да знаем какви положения заема тя в пространството в различни мо­
менти от времето. Както е известно, в природата не съществува състояние
на абсолютен покой. Покоят е винаги относителен, т.е. покой на едно тяло
спрямо друго. Същото се отнася и за движението. За да определим дали
едно тяло се движи бързо или бавно, трябва винаги да го сравняваме с
друго тяло. Характерът на движението на едно тяло зависи от това, спря­
мо кое друго тяло го разглеждаме.
За да се определи положението на една материална точка в простран­
ството, обикновено се използва дадена координатна система. Ние ще
използваме правоъгълна координатна система 0ХУ2. Трите координатни
оси ОХ , О У и OZ са взаимноперпендикулярни и се пресичат в точка О,
която се нарича начало на координатната система. Условно можем да при­
емем, че началото на координатната система е неподвижно. В такъв слу­
чай всяко състояние на материалната точка в пространството може да се
разглежда спрямо неподвижното начало, което се нарича отправно тяло.
Свързаната с отправното тяло координатна система се нарича отправна
координатна система. Нека 0ХУ2 е една отправна координатна система
и точката А заема някакво положение в пространството в даден момент от
време (фиг. 1 . 1 ).
Положението на точката се определя еднозначно от трите йкоордина­
ти х, у и z съответно по осите ОХ, О У и OZ или от радиус-вектора г , кой­
то съединява началото О на координатната система с точката А. Радиусвекторът се записва по следния начин:
( 1 .1 . 1)
r = ix + jy + kz ,
където i , j и k са единичните
V
вектори по осите ОХ, О У и OZ.
Големината на радиус-вектора
се определя от израза
у
А

Фиг. 1.1

който се получава след при­
лагане на теоремата на Питагор.
Ако една материална точка
се движи в дадена равнина, тога­
ва нейното положение се описва с
две координати х и у или с ради­
ус-вектора г в координатната
система ОХУ (фиг. 1.2):

Класическа механика

r - i х + jy

19

(1.1.3)

(1.1.4)
= 1 х2 + у2
Ако материалната точка се намира
върху една линия, тя може да се движи
напред или назад по линията. В този
случай нейното положение се определя
еднозначно от координатата х, която е
алгебрична величина и може да бъде
положително или отрицателно число в
зависимост от това дали точката се нами­
ра вдясно или вляво от произволно изб­
Фиг. 1.2
раното начало О на координатната ос ОХ.
Броят на координатите, с помощта на които еднозначно се определя
положението на дадена точка или тяло, се нарича брой на степените на
свобода.
От разгледаните по-горе примери се вижда, че когато точката лежи вър­
ху дадена линия, тя има една степен на свобода и положението йсе определя
от едно число - нейната координата. Ако точката се намира върху една
равнина, тя може да се движи в две направления (напред-назад и нагоренадолу) и следователно ще има две степени на свобода (координатите х и у).
Всяка точка, която се намира в пространството, има три степени на свобода
(координатите х, у и z). Максималният брой степени на свобода за всяка точ­
ка или тяло е при, затова казваме, че пространството около нас е тримерно.

1.2. Траектория, път, преместване
Нека разгледаме материална точка, която в даден момент t\заема по­
ложение 1 в пространството (фиг. 1.3). Да предположим, че с течение на
времето точката се премества и заема нови положения: 2 в момента
3в
момента /3 и т.н. до някакво
крайно положение N в мо­
мента /д/. Преходът на точ­
ката от положение 1 до по­
ложение N се изобразява със
сложна крива линия - в на­
шия случай кривата 1-N.
Тази крива линия се
нарича траектория на дви­
жение/по. Тя винаги е не­
прекъсната, тъй като точката
се преметва постепенно от
едно положение в следващо­
то, без да изчезва някъде и да се появява отново. Ако свържем отделните
положения на точката в различните моменти от време с началото О на коор­
динатната система, ще получим съответните радиус-вектори за всяко поло­
жение: r, (r,), r2(t2), г3 (г3 ),..., rN(tN). Вижда се, че при преместването на точка-

20

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

та радиус-векторът се променя както по големина, така и по посока, а
краят му се движи в пространството и описва траекторията на движението
1-N.
Нека разгледаме интервала от време At = t2- t\, за който точката из­
минава част от траекторията - дъгата 1-2, която се нарича път. Пътят е
скаларна величина и се бележи с S. Той представлява разстоянието по
траекторията, което дадено тяло (или точка) изминава за определено
време, и се измерва в метри [т]. Векторът Аг , който свързва положение 1
с положение 2 , се нарича преместване на точката за разглеждания интер­
вал от време At. Преместването е векторна величина и освен големина има
и посока: от положение 1 към положение 2. От правилото за геометрична
сума на вектори получаваме
+ A? = г2, откъдето следва, че Аг = г2 -Г] .
По големина преместването съответства на изменението на радиусвектора на точката при преход от положение 1 в положение 2. Във всички
случаи, когато траекторията на движение е крива линия, е изпълнено
|Лг| < A S , където AS е пътят, изминат за време At (при праволинейно
движение в една посока Аг = AS). Необходимо е да се отбележи, че
между величините път и преместване има съществена разлика. Ако например вие се движите между две сгради А
и В по права линия и изминете разстояние
В
□
□
100 m от А до В, а след това от В до А
изминете още 1 0 0 т , п ъ т я т , к о й т о сте
□
□
изминали, е 200 m (S = 100 m + 100 m =
□
□
200 m). Резултантното преместване обаче
/ / / /
, Т
7—7
в този случай ще бъде 0 (гАИ + гВА = 0 ,
Фиг. 1.4
защото
за
векторите
е
изпълнено
гАВ = -гИА). При събирането на скаларни
величини се използва обикновеното правило за събиране на числа, докато
при събирането на вектори се вземат предвид посоките на съответните
вектори (фиг. 1.4).

А

А

1.3. Скорост на движение
С течение на времето пътят AS и преместването Аг непрекъснато на­
растват. При всяко движение пътят и радиус-векторът са функции на
времето: S = S(t) и r = r ( t ) . За характеризиране на движението и на него­
вата посока се въвежда физичната величина скорост. За интервала от
време At точката изминава път AS, на който съответства преместване Аг .
Ако разделим преместването Аг на интервала от време At, ще получим
преместването на точката за единица време. Колкото по-голямо е то,
толкова по-бързо ще бъде движението на точката. Отношението на пре­
местването Аг към интервала от време At се нарича средна скорост на
движение.

Класическа механика

21

Средната скорост се означава с (v) и се определя от израза
(1.3.1)
Средната скорост е векторна величина. По големина тя се определя от
(1.3.1), а по посока съвпада с посоката на преместването Аг . От формула­
та (1.3.1) се вижда, че скоростта има размерност дължина върху време,
или мерната йединица е метър за секунда [m/s].
Тъй като |ДЯ| < AS (хордата винаги е по-малка от прилежащата йдъга), при криволинейните движения за средната скорост е в сила неравенс­
твото
(1.3.2)
Ако движението на точката е по права линия в една посока, е изпъл­
нено
(1.3.3)
или в този случай големината на средната скорост се определя от
изменението на пътя за единица време.
Освен средна скорост за характеризиране на движението се въвежда и
величината моментна скорост. Моментната скорост представлява ско­
ростта на движещо се тяло в даден момент от време. Нека опитаме да
определим скоростта на разглежданата точка в началния момент t\(фиг.
1.3). Ако започнем постепенно да намаляваме интервала от време At,
заедно с него ще намалява и преместването Дг . При това намаляване на At
точката с радиус вектор г2ще заема нови положения ( г2 , г2 и г2 ), които
се намират по-близо до точката с радиус - вектор г,. За най-близкото
положение с радиус - вектор г2 , което съответства на най-малкия интер­
вал At (At->0, но At ф 0) |Дг | = AS, а направлението на преместването
съвпада с допирателната към траекторията на движение в момента t\.
Границата, към която клони отношението Ar/At, при Д/->0, се нарича
моментна скорост. Казано с езика на математиката, моментната скорост се
определя като първа производна на радиус-вектора г по времето / и се
записва по следния начин:
(1.3.4)
Тъй като при Д/—>■() е изпълнено \
dr\= dS, големината на моментната
скорост ще бъде:
v

(1.3.5)

22

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

По големина моментната скорост може да се определи и като първа производна на пътя по времето. Посоката на моментната скорост се определя
от допирателната към траекторията на движение в точката, в която се
търси моментната скорост. Процесът на намиране на производната на
една функция се нарича диференциране.
По-нататък за краткост ще отбелязваме моментната скорост с v . Ско­
ростта v има три компоненти v*, vy и vz съответно по координатните оси
ОХ , OY и OZ, които се определят от първите производни на координатите
на радиус-вектора г по времето I съгласно формула (1.3.4):
dx
_
dy
i- 1
dz

= — ;v, s vJ = — .

vy
dt
dt
Vjc| dt',Vy~
=
Като вектор скоростта се определя от следното векторно равенство:

v = /'vx + jv y +kvz .

(1.3.6)

(1.3.7)

По големина векторът на скоростта е
v =№

+ vy + v .-2 •

1.4. Ускорение
В зависимост от това, дали с течение на времето скоростта се проме­
ня, или се запазва постоянна, движението на материалната точка може да
бъде неравномерно или равномерно. В природата равномерно движение
се среща по-рядко. Обикновено с течение на времето се изменя както
големината, така и посоката на скоростта. За характеризиране на промяна­
та на скоростта се въвежда физичната величина ускорение.
Както и при скоростта, подолу ще дефинираме средно и
моментно ускорение.
Нека в момента t\една матери­
ална точка има скорост v,, а в мо­
мента / 2 - скорост v2 (фиг. 1.5). За
интервала от време А/ = h — t\ско­
ростта на точката ще се измени
с Av = v2 - v, За да намерим изме­
нението A v, пренасяме началото на
вектора v, в точката 2 , като запаз­
ваме посоката и големината му.
Съединяваме края на v, с края на
v2. Полученият вектор е A v . От
правилото за геометрична сума на
вектори получаваме Vj + Av = v2, следователно Av = v2 - v, . Отношението
Av към А/ определя изменението на скоростта за единица време и се нарича

Класическа механика

23

средно ускорение. Означава се с (а ):
(а) = ^Г(1-4.1)
' '
At
От формула (1.4.1) се вижда, че мерната единица за ускорението е метър
за секунда на квадрат [m/s2].
Ускорението на една материална точка в даден момент от време се
определя от границата, към която клони отношението Дк/Д/ при At-^0.
Тази граница се нарича моментно ускорение и е първата производна на
скоростта по времето:

а - lim — = — .
Д/->о At
dt
Като заместим моментната скорост с израза (1.3.4), ще получим

(1.4.2)

d dr _ d 2r
dt dt
dt :
което означава, че ускорението е втора производна на радиус-вектора по
времето. (Втора производна в математиката се нарича производната на
първата производна.)
Ускорението, също както скоростта, се характеризира с трите си ком­
поненти яд, ау и а2 върху координатните оси ОХ, OY, OZ , като съгласно
(1.4.2) и (1.4.3) те са
dvr d 2x
dv
d 2y
dv.
d 2z
ax —— = — r-; я = — ^ = — f ; a = — —= — =-.
dt
dr
dt
dt
dt
dr

(1.4.4)

Като вектор ускорението се определя от следното равенство:

a = ia x + j a y +kaz .

(1.4.5)

По големина векторът на ускорението е

2+cl.
a\= J a l + a y

(1.4.6)

Посоката на ускорението невинаги съвпада с посоката на скоростта и
зависи от вида на движение на точката.
При праволинейно равномерно движение скоростта на точката е постоянна и ускорението е нула. При праволинейно неравномерно движение
скоростта се променя, а ускорението е различно от нула, като векторите
на скоростта и ускорението са по направление на правата, съответстваща
на траекторията на движението, но могат да имат различни посоки. Ако
скоростта нараства с времето, ускорението има посока, еднаква с тази на
скоростта, но ако скоростта намалява с времето, ускорението има противоположна посока.
При криволинейните движения векторът на скоростта се изменя не

24

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

само по големина, но и по посока. Съответно и ускорението като величи­
на, характеризираща изменението на скоростта, зависи от два фактора:
изменението на посоката на скоростта и изменението на нейната големина.
В най-общия случай на криволинейно движение ускорението е насочено
към вдлъбнатата част от траекторията и може да се представи като вектор­
на сума от две компоненти: тангенциална а, (насочена по допирателната
към траекторията на движение в дадената точка) и нормална а п (насочена
по нормалата към допирателната в същата точка) - фиг. 1 .6 :

а = ап+а,.

(1-4.7)

Тангенциалното ускорение характеризира из­
менението на скоростта по големина. То има по­
соката на скоростта v в дадения момент от време.
Нормалното ускорение характеризира изме­
нението на скоростта по посока. То е насочено
към центъра на кривината на траекторията. Поподробно на двете компоненти на ускорението ще
се спрем в тема 1 .6 .

1.5. Видове движения на материална точка
В зависимост от вида и големината на двете компоненти на ускорени­
ето движенията на една материална точка могат да се класифицират найобщо по следния начин:
а. Ускорението а п= 0 - скоростта не се изменя по посока. В този слу­
чай движението е праволинейно. Тези движения от своя страна се разделят
на няколко вида в зависимост от вида на тангенциалното ускорение:
- а, = 0, скоростта е постоянна по големина: движението е праволи­
нейно равномерно;
- а, = const Ф 0 , скоростта се изменя по големина с постоянна
стойност: движението е праволинейно равнопроменливо (ако а, > 0 , то е
равноускорително; ако а, < 0 - равнозакъснително);
- w « < *
се изменя непрекъснато с времето): движението е пра­
волинейно неравнопроменливо;
б. Ускорението ап Ф 0 - скоростта се изменя по посока. В този случай
движението е криволинейно. Тези движения от своя страна се разделят на
няколко вида в зависимост от вида на а , :
- а, = 0 , скоростта се запазва постоянна по големина: движението е
криволинейно равномерно (частен случай на криволинейното равномерно
движение е равномерното движение по окръжност, на което ще се спрем
по-подробно в тема 1 .6 );
- а, = const Ф 0 , скоростта се изменя по големина с постоянна

Класическа механика

25

стойност: движението е криволинейно равнопроменливо;
- о , = / ( ' ) ( « , се изменя непрекъснато с времето): движението е кри­
волинейно неравнопроменливо.

1.6. Движение на материална точка по окръжност
Както вече казахме, най-общо движенията, които извършва една мате­
риална точка, се разделят на две групи: праволинейни и криволинейни.
При всички праволинейни движения траекторията на движението се изоб­
разява с права линия, а при криволинейните - с произволна крива.
Като частен случай на криволи­
нейно движение ще разгледаме
движението на материална точка
по окръжност. За характеризиране
на това движение ще въведем три
нови кинематични величини: ъгъл
на завъртане , ъглова скорост и
ъглово ускорение, които са анало­
гични на преместването, линейната
скорост и линейното ускорение
(фиг. 1.7).
Нека една материална точка се
Фиг. 1.7
намира върху равнината XOZ на
координатната система OXVZ и извършва движение по окръжност с ради­
ус R около началото О на координатната система. (Щ е разглеждаме оста
О У като неподвижна ос на въртене.) Ако означим началното положение на
точката с /, след интервал от време At тя ще се завърти на ъгъл дф и ще
заеме новото положение 2. (Величината дф е аксиален вектор (псевдовектор) с големина, равна на големината на ъгъла на завъртане Дф. Неговата
посока се определя по следния начин. Ако движението на точката е в по­
сока, обратна на часовниковата стрелка, както е показано на фиг. 1.7, век­
торът е насочен по оста ОУ, представляваща нормала към равнината XOZ,
в която се извършва движението; ако движението на точката е по посока
на часовниковата стрелка, той е насочен в обратна посока (-OY ).) При за­
въртането си на този ъгъл точката ще измине път AS, който представлява
дъгата, съответстваща на ъгъла Дф. За да определим колко бързо се движи
точката, трябва да разделим ъгъла на завъртане Дф на интервала от време
At. Това отношение показва на какъв ъгъл се завърта точката за единица
време и се нарича средна ъглова скорост. Бележи се с (со):

26

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

(й)=

Дф

( 1.6 .1)

At
Мерната единица за ъглова скорост е радиан за секунда [rad/s].
Моментната ъглова скорост се определя от първата производна на
ъгъла на завъртане на точката по времето:
Дф _ dcp
( 1.6.2)
со = lim — = —
л/->о At ~dt
Ъгловата скорост също е аксиален вектор. Нейната посока съвпада с
посоката на вектора на ъгъла на завъртане.
Физичната величина, която характеризира изменението на ъгловата
скорост, се нарича ъглово ускорение.
Средното ъглово ускорение се определя от изменението на ъгловата
скорост за единица време. Означава се с ( а ) :
<«> = — .
(1.6.3)
'
'
At
Мерната единица за ъглово ускорение е радиан за секунда на квадрат
[rad/s2]. Първата производна на ъгловата скорост по времето се нарича
моментно ъглово ускорение:
Доо d(b
(1.6.4)
а = lim
Д / - > о At
dt
Ъгловото ускорение също е аксиален вектор. Неговото направление
съвпада с направлението на ъгловата скорост, но посоката му невинаги
съвпада с тази на ъгловата скорост. Ако ъгловата скорост нараства с
времето ( Дш > 0, като Дш = ю2 - ©,), ъгловото ускорение има еднаква
посока с ъгловата скорост (фиг. 1.8а). Ако с времето ъгловата скорост
намалява (ДоосО), ъгловото ускорение е в противоположна посока на
ъгловата скорост (фиг.
1.86).
В зависимост от
стойностите на ъглово­
то ускорение движени­
ето на една материална
точка по окръжност
може да се раздели на
няколко вида:
а = 0 , ъгловата
скорост ю = const: рав­
а
номерно движение по
Фиг. 1.8
окръжност;

Класическа механика

27

- а = const Ф 0 , ъгловата скорост се променя с една и съща стойност
за еднакви интервали от време: равнопроменливо движение по окръжност;
- а = / ( / ) , ъгловата скорост се изменя непрекъснато с времето: неравнопроменливо движение по окръжност.
Равномерното движение по окръжност намира голямо приложение в
практиката, поради което за характеризирането му са въведени две допъл­
нителни величини: период и честота на въртене.
Периодът Т на въртене е времето, за което материалната точка (тяло)
извършва една пълна обиколка, или се завърта на ъгъл ф= 2 л rad спрямо
началното положение. В този случай от формула (1.6.1) получаваме
Аф 2 п
2п
со = — = — \Т - — .
(1.6.5)
At
Т
оо
Честотата / на въртене се определя от броя на пълните обиколки, които
извършва точката за единица време:
/ = - = — .
( 1 .6 .6 )
Т 2к
От определенията на тези две величини следва, че те са реципрочно
свързани:
f T = 1.
(1.6.7)
Мерните единици за периода Т и честотата / са съответно s и s”1. За
честотата се използва още мерната единица херц [Hz] ( l H z = l s 4 ).
Между величините линейна и ъглова скорост съществува определена
зависимост. От фиг. 1.7 се вижда, че заедно със завъртането на ъгъл Аф
материалната точка изминава път AS за интервал At. В случая линейната
скорост v на точката е
v = — = lim — =
=
=
( 1 .6 .8 )
dt д/->о At
At
Д*-»0 At
За да определим връзката между линейното и ъгловото ускорение,
първо трябва да определим двете компоненти на ускорението при криволинейно движение: а , и ап_ Ще разгледаме неравномерно движение по
окръжност като частен случай на криволинейното движение. Нека за без­
крайно малък интервал от време dt една материална точка се премества от
положение 1 със скорост v в положение 1 със скорост v*, като при това
изминава пътя dS, на който съответства малкият ъгъл с/ф (фиг. 1.9).
Използвайки геометричните съотношения, от фиг. 1.9 получаваме
/УС
Rdy = dS\ ^ =
( 1 -6 9)
От дефиницията за моментна скорост следва, че dS=vdt. Тогава записваме

28

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

vdt

( 1.6 . 10)
~R
Известно е, че при движе­
ние по окръжност скорост­
та на точката във всеки
В
момент е перпендикулярна
на радиуса R ( v 1 R и
v 1 R ), поради което при
завъртане на радиуса R на
ъгъл с/ф скоростта v също
се завърта на същия ъгъл с/ф (фиг. 1.9 а). За да определим изменението на
скоростта dv , съответстващо на малкия интервал от време dt, трябва да
намерим разликата на двата вектора v и v . Те могат да се извадят
геометрично, ако имат обща начална точка. За тази цел ги пренасяме
успоредно в едно общо начало С, като запазваме големините им.
Съединяваме края на v (точка А) с края на v (точка В) и получаваме
вектора dv (фиг. 1.9б). Тогава е изпълнено
с/ф

dv = v -v .
( 1 .6 . 1 1 )
Разлагаме вектора dv на две компоненти: dv, - по направление на
допирателната към окръжността, и dvn - по направление на нормалата
към тази допирателна:
dv = dvn +dv,.
( 1 .6 . 1 2 )
Разделяме (1.6.12) на dt и получаваме
dv_ dv, с/v.,

(1.6.13)
+
=a,
dt
dt
dt
където d v jd t = at и dvn/dt = an са съответно двете компоненти на
ускорението, съответстващи на измененията dv, и с/v,, на скоростта.
Следователно
_ _
,,,,,,
а = а, +ап.
(1.6.14)
От фиг. 1.96 се вижда, че колкото по-малък е ъгълът с/ф, толкова по-малка
е компонентата dvn . При с / ф 0 е в сила c/v„«0. Тогава от (1.6.13)
следва
dv dv,
(1.6.15)
= аI >
dt
dt
т.е. тангенциалното ускорение е равно по големина на изменението на
големината на скоростта за единица време и има посока на допирателната
към траекторията в дадената точка.
За да определим големината на другата компонента, ще извършим
следното построение: от точка С с радиус v построяваме дъгата A D , за
която dvn представлява хорда (при малки ъгли дъгата и прилежащата й
хорда са равни):

29

Класическа механика

dvn =vdq>.

(1.6.16)

Заместваме d(p от (1.6.10) и (1.6.16) придобива вида

vvdt

,

"=_Г

v dt

,т ,

1

7ч

=~ Г ’

откъдето чрез почленно разделяне на dt получаваме

dv„П _ v2
(1.6.18)
-- = -- = апdt
R
По големина нормалното ускорение се определя от квадрата на скоростта
v, разделен на радиуса R на окръжността. Посоката му е по нормалата
към допирателната, т.е. към центъра на окръжността (при dq> —> 0 векто­
рът v почти съвпада с v и dvn е насочен по радиуса R на окръжността).
Пълното ускорение а е векторна сума от двете компоненти, които
винаги са взаимноперпендикулярни. Големината му във всеки момент мо­
же да се определи от теоремата на Питагор:

Щ = J a j + а\ .

(1-6.19)

А сега можем да намерим връзката между компонентите на линейното
ускорение при неравномерно движение по окръжност и величините ъглова
скорост и ъглово ускорение:

а

=

=

dt

dt

=

( 1.6 .20 )

dt

= v ^ = « V =/to 2
( 1 .6 .2 1 )
"
R
R
Ако движението по окръжност е равномерно, v = const, тогава ап—const —
= v2/R (R = const), a a, = 0.
За общия случай на криволинейно движение R = J{t) ^ const (R е ради­
усът на кривината на траекторията на движението и се изменя с течение на
времето) горните две формули са

a ,= R (t) а ,

(1.6.22)

an = R { t y .

(1.6.23)

Въпроси и задачи
1.

Дайте определения на пространството и времето.

2.

Кои са основните видове движения на материалната точка?

3.

Каква е разликата между път и преместване?

30
4.

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА
Каква ще бъде средната скорост на един автомобил, ако в момента tx= 10 min той се
намира в точка от пътя с координата.Т| = 15 km, а в момента /2= 26 min - в точка с ко­
ордината х2 = 39 km? Ако автомобилът продължи да се движи с тази скорост, какъв
път ще измине след два часа?

5.

Материална точка се движи по оста х. Положението на точката във всеки момент от
време се определя от уравнението х - А г + В , където А = 2 m/s2, а В = 3 т. Определете
преместването на точката за интервала от време At = t2- t\= 2 s, като tx- 3 s, a t2= 5 s.
Намерете средната скорост на точката за този интервал от време и нейната моментна
скорост в момента t2= 5 s.

6.

Уравнението на движение на една материална точка по оста х има следния вид:

х —At2+ Bt + С, където А = 2 m/s2, В = 3 m/s, С = 0,5 т. Определете моментната ско­
рост и моментното ускорение на точката в моментите t\= 2 s и t2= 4 s.
7.

Луната се върти около Земята почти по кръгова орбита. Радиусът на орбитата е

R * 380 000 кт, а периодът Т на една пълна обиколка е приблизително 27 денонощия.
Определете нормалното ускорение а„ на Луната при движението йоколо Земята
8.

Автомобил променя скоростта си от V) = 0,9 m/s до v2= 0,2 m/s за време Л/ = 8 s. Коле­
лата му имат радиус г = 0,40 т. Определете ъгловото ускорение а.

9.

Турбина с диаметьр d = 0,5 m извършва/ = 3000 оборота за минута. Определете ско­
ростта на периферните точки на турбината, периодът йна въртене и ъгловата йско­
рост.

10. Автомобил се движи по околовръстен път с радиус на кривината R = 60 т. Уравнение­
то на движение на автомобила е х = 10 + 10г —0,5/2. Определете скоростта на автомо­
била, тангенциалното, нормалното и пълното му ускорение в момента / = 5 s.

Глава 2
Д ИНАМ ИК А НА М А ТЕРИАЛНА ТОЧК А
2.1. Първи принцип на Нюгон. Инерциална система
В гл. 1 разгледахме движението на материална точка и въведохме ре­
дица понятия, характеризиращи това движение, без да се интересуваме от
причините, които го пораждат. Както вече казахме, динамиката е дял от
механиката, в който се формулират нейните основни закони (принципи),
определящи връзката между действащите върху едно тяло сили и неговото
движение.

Класическа механика

31

Принципите представляват такива общи закони, които не могат да бъ­
дат доказани непосредствено, но до които се достига вследствие на про­
дължителен житейски опит. Тяхната валидност се потвърждава от експе­
рименталната проверка на многобройните им следствия.
Основните принципи на динамиката са формулирани от английския
физик Исак Нютон през 1687 г. в неговата книга „Математически принци­
пи на натурфилософията“. Те са обобщения на многобройни опити и наб­
людения. Тяхната роля в механиката може да се сравни с ролята на аксио­
мите в геометрията. С помощта на аксиомите в геометрията се доказват
теоремите, а с помощта на Нютоновите принципи се извеждат законите на
всички видове механични движения.
Първият принцип на Нютон гласи, че всяка материална точка (тяло)
запазва състоянието си на покой или праволинейно равномерно движение
дотогава, докато някакво външно въздействие не я изведе о т това със­
тояние.
Общото свойство на телата да запазват състоянието си на покой или
праволинейно равномерно движение при отсъствие на външни въздейст­
вия се нарича инертност или инерция. Ето защо и първият принцип на
Нютон е известен още като принцип за инертността на телата.
Непосредствената проверка на първия принцип на Нютон е невъзмож­
на, тъй като в реално заобикалящия ни свят е трудно да намерим тяло, ко­
ето да не взаимодейства с други тела. В природата, както казахме, състоя­
нието на покой е относително. Обикновено състоянието на покой, което
наблюдаваме за някои заобикалящи ни тела, е резултат от компенсиране
на външните въздействия върху тях. Същото се отнася и за състоянието на
праволинейно равномерно движение. Трудно е да си представим в реалния
свят тяло, което се движи праволинейно и равномерно неограничено дълго
време, защото не е възможно да се абстрахираме напълно от действащите
сили на триене и съпротивление. При всякакви опити на Земята силите на
триене и съпротивление съществуват, но се оказва възможно в някои слу­
чаи те да бъдат намалени, вследствие на което движещите се тела запазват
по-дълго време състоянието си на праволинейно равномерно движение.
Например едно търкалящо се метално топче ще се движи толкова по-дълго
по дадена повърхност, колкото по-гладка е тя. Увеличавайки гладкостта на
повърхността, създаваме условия за по-точно изпълнение на първия прин­
цип на Нютон.
Оказва се, че този принцип не е в сила спрямо всяка отправна коорди­
натна система. Нютон го е формулирал спрямо система, за която е предпо­
лагал, че се намира в състояние на абсолютен покой. Цялото по-нататъшно
развитие на физиката показва, че такава система не съществува. Отправни
системи, в които е изпълнен принципът на инертността, се наричат инер-

32

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

циални. Опитно е доказано, че с най-голяма точност принципът на Нютон
се изпълнява в т.нар. хелиоцентрична инерциална система. За център на
тази система се избира една точка от повърхността на Слънцето, а осите й
са насочени към три отдалечени звезди, избрани така, че осите да бъдат
взаимноперпендикулярни.
Всички отправни координатни системи, които се движат праволиней­
но и равномерно спрямо хелиоцентричната, са също инерциални системи.
От това следва, че съществуват безброй много инерциални системи. (Отправната система, която е свързана с повърхността на Земята, не е строго
инерциална поради денонощното въртене на Земята. Тъй като това дви­
жение е много бавно, в някои случаи ефектите от него могат да се пренеб­
регнат и с известно приближение такава система може също да се
разглежда като инерциална.)

2.2. Сила и маса. Втори принцип на Нютон
От първия принцип на Нютон следва, че за да се промени големината
и посоката на скоростта на дадено тяло, то трябва да изпита някакво
външно въздействие. В резултат на това тялото придобива ускорение.
Ускорителното движение на тялото е проява на някакво ново качество,
различаващо се съществено от състоянието на покой или праволинейно
равномерно движение. Появата на ускорение обикновено се свързва с
действието на сили. Във всекидневния ни опит често понятието сила се
отъждествява с мускулно действие, вследствие на което едно тяло се
привежда в движение или, обратно, движението на тялото се забавя до
пълно спиране. Във физиката това битово определение на сила се разши­
рява. Прието е всяка причина за изменение скоростта на дадено тяло да се
нарича сила. При това скоростта на тялото може да се изменя както по
големина, така и по посока.
Реалните физични сили не могат да възникнат от нищо. Тяхната поява
е свързана с наличието на взаимодействия между отделните тела, а също и
между телата и полетата.
По времето на Нютон науката познавала само най-простите механични
явления, свързани със сравнително неголеми скорости, които било
възможно да бъдат подложени на непосредствена експериментална
проверка. Силата при тези явления била разглеждана като мярка за
механично въздействие на едно тяло върху друго. Силата е вектор,
съвпадащ по посока с посоката на ускорението и с големина —
пропорционална на неговата големина. Тя се означава с F . Като векторна
величина силата сс характеризира с големина, посока и приложна точка.
Опитът показвал, че когато на едно и също тяло се действа с различни по
големина сили, ускоренията, които то придобива, са пропорционални на

Класическа механика

33

големините на силите. Коефициентът на пропорционалност, който свързва
големината на силата и големината на ускорението, е скаларна величина и
се нарича маса. Многобройните експерименти показват, че ако с една и
съща сила се действа на тела с различни маси, скоростта им на движение
се изменя по различен начин, т.е. те придобиват различни ускорения.
Например нека по гладка повърхност се търкалят голяма стоманена сфера
и малко стоманено топче. Ако на пътя им се постави някакво препятствие
(картонена преграда), забелязва се как малкото топче рязко променя
скоростта си (отклонява се от преградата), докато голямата сфера реагира
съвсем слабо и почти не променя своята скорост. Примерът показва, че
телата реагират на външните въздействия в зависимост от масата, или от
инертността, която притежават. Телата с малка маса са силно податливи
на всякакви въздействия, докато тези с голяма маса са по-стабилни.
Масата на телата е скаларна физична величина, която се въвежда в
класическата механика като количествена мярка за инертността на телата.
Означава се с т. Колкото масата на дадено тяло е по-голяма, толкова потрудно се извежда то от състояние на покой или праволинейно
равномерно движение, т.е. неговата инертност е голяма, и обратно, леките
тела имат малка инертност. Мерната единица за маса е килограм [kg].
Опитно е установено, че масата на телата с голяма степен на точност е
постоянна величина при движението им със скорости, много по-малки от
скоростта на светлината във вакуум. В класическата механика се изучават
движенията на тела именно с такива скорости, като масата на едно тяло е
една и съща във всички инерциални системи. Гя не зависи нито от движе­
нието на тялото, нито от взаимодействията, в които то участва. Това не се
отнася обаче за движенията на тела със скорости, близки до скоростта на
светлината във вакуум. Този случай ще бъде разгледан по-подробно в
раздел V.
(Важно е да се прави разлика между маса, сила на тежестта и тегло.
Масата е едно от основните свойства на материята. Едно тяло има пос­
тоянна маса на Земята, Луната или някъде в пространството, защото
съдържа един и същ брой атоми независимо къде се намира. Неговата
маса е еднаква на всички места, но силата на тежестта, действаща на
тялото, е различна. Силата на тежестта е мярка за гравитационната сила,
действаща на дадено тяло. За телата на Земята тази сила е G = mg. На
едно и също тяло ще действат различни сили на тежестта на повърхност­
та на Земята и на повърхността на Луната, където гравитационната сила
е значително по-слаба, отколкото земната. Теглото също е сила (нарича
се още сила на натиск), изразяваща действието на дадено тяло върху
опора, на която то е поставено или окачено. Приложната точка на тегло­
то на тяло, което е окачено на нишка, е ц ^п ората (нишката),
U r v M O f t e * lUUBJiEillК0 8 j

34

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

докато приложната точка на силата на тежестта е в самото тяло.)
Вторият принцип на Нютон определя връзката между сила, маса и ус­
корение. Той гласи, че силата, която действа на дадена материална
точка (тяло), е равна на произведението от м асата на точката и уско­
рението, което силата йпридава:

~ а-- —
F .
гВ = т а;
( 2 .2 . 1)
т
Това просто уравнение е основно за цялата динамика и от него следват
логически законите за движение на всички тела с неголеми скорости.
Уравнението (2.2.1) може да бъде записано и в друг вид, като се из­
ползват определенията за ускорение и скорост:
dv
d 2r
m— = m— T = F .
(2 .2 .2 )
dt
dt
От равенството (2.2.1) се определя мерната единица за сила. Тя се на­
рича нютон [N] и представлява силата, която действа на тяло с маса 1 kg и
му придава ускорение 1 m/s2:
1 N = 1 kg .1 m/s
(2.2.3)
Важно е да се отбележи, че уравнение (2.2.1) е векторно уравнение.
Двете векторни величини сила и ускорение са свързани чрез скаларната величина маса. Посоката на ускорението, което тялото придобива под
действие на дадена сила,
приложена към него, съвпада
с посоката на тази сила
т
(фиг. 2.1 а). Когато използва­
ме уравнение (2 .2 . 1 ), за да
опишем движението на няка­
Cl
къв обект, трябва да помним
Фиг. 2.1
винаги, че F е равнодействащата на силите, приложени
към обекта. Ако няколко отделни сили действат на обекта, равнодействащата сила е векторната сума от всички отделни сили и ускорението ще
бъде в посока на равнодейстF2
р
ващата (фиг. 2 . 1 б).
Нека разгледаме няколко
примера, които илюстрират
р
1
/
казаното по-горе (фиг. 2 .2 ).
т
т
* t\
Ако на едно тяло действат
две сили, които са равни по
големина и противоположни
Фиг. 2.2
по посока (фиг. 2 . 2 а), уско­

Класическа механика

35

рението а на тялото ще бъде равно на нула. Двете сили имат обща
приложна точка и векторната им сума е нула; те се компенсират взаимно,
в резултат на което резултантната сила е F = 0, следователно а - 0 и
тялото ще бъде неподвижно. Ако две сили Fx и F2 с различни големини и
посоки (фиг. 2 . 2 б) действат на същото тяло, ускорението ще бъде в
посока на равнодействащата сила и по големина ще бъде а = F/m .

2.3. Трети принцип на Нютон. Импулс. Закон за запазване на
импулса в затворена механична система
Както бе споменато, силата характеризира въздействието на едно тяло
върху друго. Многобройните наблюдения и опити показват, че това въз­
действие е двустранно. Ако между две тела / и 2 съществува взаимодейс­
твие, то първото тяло ще действа на второто със сила Fn , а второто ще му
противодейства със сила F2\■Двете сили са равни по големина, противо­
положни по посока и приложени съответно към двете тела, т.е. имат
различни приложни точки (фиг. 2.3): Flx = -Fn .
Третият принцип на Нютон гласи, че
силите, с които си взаимодействат две
21
^12
1
2
тела, са равни по големина и противопо­
ложни по посока. Действието на този
принцип откриваме
непрекъснато във
ф и г -2 3
всекидневния ни опит. Когато сме на входа на масивно здание и отваряме
към себе си тежката врата, явно чувстваме как вратата в някакъв момент
започва да ни придърпва. При движението си по Земята човек се отблъск­
ва от нея, но поради това че масата на Земята е много по-голяма от масата
на човека, ефектът е незабележим.
В динамиката се въвежда още една основна физична величина, наре­
чена импулс. Импулсът (или количеството на движение) на една матери­
ална точка (тяло) е векторна величина, която числено се определя от
произведението на масата и скоростта на точката. Посоката на импулса
съвпада с посоката на скоростта. Означава се с р :
р = mv .
(2.3.1)
Мерната единица за импулс в системата СИ се определя от формула
(2.3.1) и е килограм по метър за секунда [kg.m/s].
Като се използва понятието импулс, вторият принцип на Нютон може
да се представи във вида
^ = пД
= 4ш £) = ф
(232)

dt
dt
dt
Тъй като в класическата механика масата на телата се разглежда като

36

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

постоянна величина, тя може да се внесе под знака на диференциала, без
това да промени зависимостта. В такъв случай силата, действаща на едно
тяло, може да се определи още като изменение на импулса на тялото за
единица време или като производна на импулса по времето.
За да обобщим принципите на Нютон, необходимо е да въведем още
едно понятие - механична система. Досега разглеждахме обикновено една
материална точка или тяло, но третият принцип на Нютон е безсмислено
да се прилага към едно тяло. Механичната система е съвкупност от опре­
делен брой материални точки (тела), които си взаимодействат помежду си
и се разглеждат като едно цяло. Силите, с които си взаимодействат мате­
риалните точки на системата, се наричат вътрешни сили. Силите, с които
външните тела действат върху материалните точки от една механична сис­
тема, се наричат външни сили. Ако в една механична система действат са­
мо вътрешни сили, тя се нарича затворена (изолирана), а ако действат и
външни сили - отворена.
Нека сега разгледаме затворена система от две тела. Да означим маси­
те на телата съответно с Ш| и т 2, скоростите им с v, и v2 и да приложим
към тях втория и третия принцип на Нютон:

FX1 =

,

^12

+ ^21 =

dVt .
л 2 _П
d(m]vt) , d(m2v2) _ n
т\
—— + т 2—— = 0, ------ +--- --- = 0,
dt
dt
dt
dt

(2.3.3)

_ ч dp
dp\ dp2 . d
-у-+ , = 0 ' т ( й + л > )= - г = ° >
dt
dt
dt
dt
където P\+ p 2 = P e пълният импулс на системата от две тела. От формула
(2.3.3) следва, че пълният импулс на тази затворена система е р = const.
Това твърдение се нарича закон за запазване на импулса в затворена
механична система. В дадения случай той се получава като непос­
редствено следствие от двата принципа на Нютон.
Ако една затворена система съдържа не само две, а по-голям брой
точки, чрез аналогични разсъждения може да се покаже също, че нейният
пълен импулс се запазва постоянен с времето.
От закона за запазване на импулса непосредствено следва изводът, че
за да получи едно тяло импулс в дадена посока, трябва да съществува дру­
го тяло, което да получи същия по големина импулс, но в противоположна
посока. Едно тяло само не може нито да започне да се движи, нито пък да
спре движението си.
Например при плуване човек загребва с ръцете си известно количест­
во вода и я изтласква назад. От своя страна водата противодейства и пре­
дава на плувеца импулс в посока напред. Импулсите на плувеца и водата
са равни по големина и обратни по посока, а пълният импулс на системата

37

Класическа механика

плувец-вода остава постоянен. В случая разглеждаме системата плувецвода като затворена механична система. Строго погледнато, затворени
системи в природата не съществуват. В много случаи обаче действащите
външни сили могат да бъдат незначителни спрямо вътрешните и
системите могат да се разглеждат като затворени.
Друг пример за приложение на закона за запазване на импулса в прак­
тиката е движението на ракетата. Това движение било познато на хората
още в древността. Древните китайци използвали барутни ракети за военни
цели. Голямо значение за изследването на Космоса имат ракетите с течно
гориво, които са били открити значително по-късно. В безвъздушното
междупланетно пространство всяка ракета и нейната газова струя се
разглеждат като изолирана система. Мощната струя, която изтича от
корпуса на ракетата с определена скорост назад, става причина за нейното
движение напред.

2.4. Извод на закона за изменение на импулса на отворена
механична система
Нека разгледаме една отворена механична система от 3 материални
точки (тела) съответно с маси т\, т 2, т з и скорости v ,, v^, v3. Вътрешни­
те сили, с които си взаимодействат телата, означаваме с / ]2, /и , / 2\
> /2 3 >

/ з , и f }2 (първият индекс означава номера на тялото, от което произтича
силата, а вторият - номера на тялото, към което е насочено действието й).
Външните сили, действащи върху системата, означаваме с F], F2 и F3,
като силата Fx означава векторна сума и съответства на равнодействащата на всички външни сили, действащи върху първото тяло (същото се
отнася и за силите F2 и

F3) - фиг. 2.4.
За всяко тяло от сис­
темата може да приложим
втория принцип на Нютон:

Фиг. 2.4

38

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

От почленното векторно сумиране на (2.4.1) получаваме
*л .
като сме отчели равенството на вътрешните сили по двойки съгласно
третия принцип на Нютон: / j 2 = - / 2|, / 2 з = - / з 2 > f n = “ / з 1 • Получената
зависимост (2.4.2) може да се обобщи за механична система от п на брой
материални точки:

d
-r(Pt+P2 + - + Р ,) = ^ | + ^ 2 + - + Л .
dt

d п
dt ,=i

" dn
" 1 * , = » § = !> ,.
,=i
dt ,=i

(2.4.3)

където
P i~ P e пълният импулс на системата. От получения израз
(2.4.3) следва, че изменението на пълния импулс на една отворена
механична система за единица време се определя от действието на
външните сили. Вътрешните сили, които променят импулсите на телата
вътре в системата, при векторното сумиране се унищожават взаимно
съгласно третия принцип на Нютон. Формула (2.4.3) изразява закона за
изменението на импулса в отворена механична система. Вижда се, че ако
на системата не действат външни сили ( Х ^ = ^ ) ’ dp/dt = 0, или
р = const, т.е. получаваме закона за запазване на импулса в затворена
механична система. Според този закон пълният импулс на затворена
система от п на брой материални точки, който е равен на векторната сума
от отделните импулси на точките, се запазва постоянен с времето. (Важно
е да се отбележи, че този закон се отнася за векторната сума на импулсите,
а не за сумата от техните големини.)
Законът за запазване на импулса е в сила не само в класическата меха­
ника, а важи за всички тела в природата, включително и за елементарните
частици. Той е един от фундаменталните природни закони.

2.5. Принцип на относителността на Галилей. Галилееви
трансформации на координатите
Принципът на относителността на Галилей гласи, че законите на кла­
сическата механика действат по един и същ начин във всички инерциални
системи. Те не се променят при преход от една инерциална система в дру­
га, т.е. те са инвариантни спрямо всички инерциални системи. От това
следва, че и механичните процеси, които се описват от тези закони, проти­
чат еднакво във всички инерциални системи. Вследствие на многобройни
наблюдения Галилей установил, че чрез никакви механични опити в една

Класи ческа механ ика

39

инерциална система не е възможно да се установи дали тя е в състояние
на покой или праволинейно равномерно движение. Двете състояния са
неразличими едно от друго.
За да докажем принципа на относителността, ще разгледаме две коор­
динатни системи К н К . Нека координатната система К с оси ОХ, OY и OZ
е инерцииална и условно приета
за неподвижна, а координатната
система К* с оси 0*Х \0*Y* и O Z*
се движи праволинейно и равно­
мерно спрямо К с постоянна
скорост и = const (фиг. 2.5).
Нека предположим, че в на­
чалния момент г0=0 центровете О
и О на двете системи съвпадат.
След известно време (t * 0) сис­
темата К ще измине някакво
разстояние и ще се отдалечи от К (системата К се движи спрямо К така,
че осите о Х о У и o*z * да остават успоредни на ОХ, OY и OZ). Означа­
ваме разстоянието О О с г0 (Г5 = ut). Разглеждаме една произволна точка
А /с координати х, у и z спрямо системата К и координати х ,у и z спрямо
системата К . Построяваме радиус-векторите г и г , които определят
положението на точката спрямо двете координатни системи. От чертежа
на фиг. 2.5 се вижда, че
r0+r* = r, r = r * + u t.
(2.5.1)
На горното векторно равенство съответстват три скаларни уравнения:

X = X* + uxt
y = y '+ u yt ,

(2.5.2)

z = z* + u j
където ux, uy и uz са компонентите
на скоростта и спрямо коорди­
натната система К. Изразите
(2.5.1) и (2.5.2) се наричат
галилееви
трансформации
на
координатите. Ако движението
на системата К се извършва така,
че оста О Х съвпада с О Х* (фиг.
2 .6 ), трансформациите се опро­
стяват значително:
Фиг. 2.6

40

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

X = X* +UJ
#

У=У
z —z

= X - U xt

<=> У ~У

(2-5.3)

*

*
Z

= Z,

където их- w, а иу- иг= 0 .
В класическата механика се предполага, че ходът на времето не зави­
си от движението на една координатна система спрямо друга. Времето
тече по един и същ начин във всички инерциални системи. Това е основно
приближение в класическата механика. Ето защо към изразите (2.5.3)
трябва да прибавим и уравнението за времето
f=

(2.5.4)

Трансформациите (2.5.3) определят връзката между координатите на
точката М спрямо двете координатни системи К и К . Използвайки ги,
можем да получим и съответните изрази за скоростите и ускоренията на
точката М:

dr dr* - _
— = —— +и, v = v +м;
dt
dt

« сч
(2.5.5)

_
d 2r
dY
(2.5.6)
- 7T = —p r > а = a ,
dt
dt~
където v , v*, а и а* са скоростите и ускоренията на точката М спрямо
координатните системи К и К .
Зависимостта (2.5.5) изразява закона за събиране на скоростите в кла­
сическата механика. Нарича се още галилеев закон за събиране на скорос­
ти и се отнася за тела, чиито скорости са много по-малки от скоростта на
светлината във вакуум. Според този закон скоростта на една материална
точка спрямо неподвижна координатна система К е равна на сумата от
скоростта на точката спрямо друга координатна система К , движеща се
праволинейно и равномерно спрямо К, и скоростта на началото на систе­
мата К* спрямо К. От зависимостта (2.5.6) следва, че ускорението е инвариантно спрямо двете системи К и К , т.е. във всички координатни систе­
ми, които се движат праволинейно и равномерно една спрямо друга, точ­
ката М ще има едно и също ускорение. Ако върху точката М не действат
сили ( F = 0 ), за ускорението йе изпълнено а = 0 , т.е. точката ще се дви­
жи праволинейно и равномерно спрямо системата К (или ще бъде не­
подвижна - v = 0). Но щом а = 0 , то съгласно (2.5.6) е изпълнено а = 0 ,
следователно точката ще се движи праволинейно и равномерно и спрямо
системата К .
Ако върху точката М действа някаква сила F и йпридава ускорение
а , то умножавайки (2 .5 .6 ) по т, ще получим уравнението на силата съг­
ласно втория принцип на Нютон:

Класическа механика

т а = та*',

F = F\

41

(2.5.7)

От горното равенство (2.5.7) следва, че основният принцип на Нютоновата
динамика е инвариантен във всички инерциални системи. Силата, която
действа на едно тяло или материална точка, е една и съща във всички
инерциални системи. (В класическата механика масата на телата, както
вече знаем, се разглежда като постоянна величина във всички инерциални
системи.) От това следва, че законите на механиката действат по един и
същ начин във всички инерциални системи.

2.6. Неинерциални системи. Инерционни сили
Принципите на Нютон се изпълняват само в инерциални системи.
Всички координатни системи, които се движат с ускорение спрямо коя да
е инерциална система, се наричат неинерциални системи. В тях принципи­
те на Нютон не са валидни.
*
Нека разгледаме отново примера с двете координатни системи К и К .
Системата К условно приемаме за неподвижна, а К се движи праволиней­
но и ускорително спрямо К, т.е. К* е неинерциална система. Ако г и г са
радиус-векторите на произволно избраната точка М спрямо К и К , полу­
чаваме

r = r0 + r* = v0t + r * (r0 = v ) ,
където v0 е скоростта на ускорителното движение на К
( vQ= v0(/)). Диференцираме (2.6.1) по времето V.

(2 .6 . 1 )
спрямо К

_ _
s
dr
dr* dr
— = —^ +---; v = v0 + v .
(2 .6 .2 )
dt
dt
dt
При повторно диференциране на (2.6.2) no t получаваме
2r
j 2 -*
d 2r _ d zr, d l r
.2 > a = a 0 + a ,
( 2 .6 .3)
.2 j 2 '
dt
dt
dt
if
където a() е ускорението на праволинейното ускорително движение на К
спрямо К. В този случай ускорението а и скоростта v се наричат абсолютно ускорение и абсолютна скорост на точката М спрямо неподвижна­
та система К, а ускорението а* и скоростта v - относително ускорение и
относителна скорост на точката М спрямо движещата се ускорително
система К*. Ускорението а0 и скоростта v0 се наричат преносно ускорение
и преносна скорост (това са ускорението и скоростта на системата К
спрямо К).
От последната зависимост (2.6.3) следва, че ако върху точката М не
действат сили ( F —0 ) и а = 0 , тогава е изпълнено

ап+ а * = 0;

-я0=я .

(2.6.4)

42

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

Последният израз показва, че ако точката М е в покой спрямо системата К
(или се движи праволинейно и равномерно), то спрямо движещата се
ускорително система К тя ще се движи с ускорение а * = -а 0. Оказва се,
че в системата К точката изпитва действието на някаква сила, която й
придава ускорение, равно по големина и обратно по посока на а0.
(Всъщност това ускорение не е резултат от действието на някаква сила
върху точката М, а се появява като резултат от ускорителното движение
на системата К спрямо К. Изводът е, че във всяка движеща се
ускорително система телата изпитват ускорение в отсъствие на външни
действащи сили.) Ако умножим (2.6.4) по масата т на точката,
получаваме

та* = -maQ\ F * = - та0 - Fm ,

(2.6.5)

където FHH= - т а0 се нарича инерционна сила. От (2.6.5) следва, че в
неинерциалните системи възникват допълнителни сили, наречени
инерционни, които са свързани с тяхното ускорително движение, а не с
някакво външно въздействие. Появата на инерционни сили в дадена
координатна система е признак за ускорителното йдвижение.
Нека разгледаме няколко примера на инерционни сили. Да поставим
математично махало (материална точка, окачена на неразтеглива нишка)
върху една количка. При състояние на покой или праволинейно равно­
мерно движение на количката махалото заема вертикално (равновесно)
положение. Когато количката се задвижи ускорително, махалото се отк­
лонява на някакъв ъгъл в обратна посока на движението на количката под
действие на възникналата инерционна сила FMH = - та0. Всички сме забе­
лязали, че при рязко тръгване на превозните средства (ускорително дви­
жение) винаги политаме назад. Причина за това са отново възникващите
инерционни сили, които са свързани с инертността на телата.
От всичко, казано дотук, може да се направи следният извод: в инерциалните системи върху едно тяло действат само сили, които са свързани
с въздействието на други тела върху него; в неинерциалните системи вър­
ху телата действат и допълнителни сили, които не са свързани с въздейст­
вия от страна на други тела. Това са инерционните сили.
Въпроси н задачи
1.

Валиден ли е първият принцип на Нютон във всички координатни системи?

2.

Защо първият принцип на Нютон се нарича още принцип за инерцията?

3.

Каква е разликата между маса и сила на тежестга? Къде силата на тежестта ще бъде
по-голяма - на Земята или на Луната ?

4.

Защо, ако ритнете голям камък, ви заболява кракът?

5.

За какви системи се отнася законът за запазване на импулса? Дайте примери.

6.

Как действат законите на класическата механика в различните инерциални системи?

7.

Кои системи са неинерциални? Коя е причината за появата на инерционните сили?

Класическа механика

43

Дайте примери от всекидневния си опит.
8.

Тяло с маса т = 10 kg се намира в покой. Върху тялото за 10 s се прилага сила с голе­
мина F - 10 N. Каква е крайната скорост на тялото?

9.

Стокилограмов мъж скача от трамплин в плувен басейн със скорост v = 10 m/s. За вре­
ме / = 0,4 s след падането му във водата неговата скорост v0 става равна на 0. Опреде­
лете силата, с която водата действа на мъжа.

10. От пушка с маса т х= 5 kg се изстрелва куршум с маса т 2= 15 g и скорост v2= 300 m/s.
Каква щс бъде скоростта v, на откат на пушката при изстрела?
11. Човек с маса т стои в неподвижна лодка с маса М. Той скача във водата със скорост v,
която е насочена хоризонтално. Определете скоростта V на лодката след скока. (Съп­
ротивлението на водата да се пренебрегне.)

Глава 3

МЕХАНИЧНА ЕНЕРГИЯ И РАБОТА
3.1. Механична енергия. Работа на сила. М ощ ност
Енергията е абстрактно (мислено) понятие, което ни помага да си
обясним множество явления в природата. Обикновено енергията на едно
тяло или система от тела се определя чрез непосредствено измерване на
други физични величини, които характеризират състоянието на системата.
Енергията се въвежда във физиката като количествена мярка за раз­
личните форми на движение на материята и съответните им превръщания
и взаимодействия. Тя е скаларна величина. Означава се с Е. За различните
форми на движение на материята във физиката се разглеждат и различни
видове енергия - механична, топлинна, електромагнитна, ядрена и др.
Най-простият вид енергия е механичната, която характеризира механич­
ното движение и взаимодействие на телата. Тя зависи от тяхната скорост и
взаимно разположение. Изменението на механичната енергия на едно тяло
е свързано с действието на външни сили върху него. За количествено опи­
сание на това изменение се въвежда понятието раб от а на ciua. Работата
също е скаларна величина. Означава се с А. Във всекидневния ни живот
понятието работа изразява всяка форма на дейност, която изисква прила­
гане на определено мускулно или умствено усилие. Във физиката това по­
нятие е твърде неточно. Работата на сила във физиката се свързва с пре­
местването на дадено тяло под действие на приложена сила. Действащите
сили могат да бъдат постоянни по големина и променливи. Ще се спрем
поотделно на двата случая.
Под работа на една постоянна сила, преместваща дадено тяло на опре­
делено разстояние, се разбира величината АА, равна на произведението от

44

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

модула на силата F, модула на преместването А/ и косинуса на ъгъла ос
между посоката на вектора на силата и посоката на вектора на премества­
нето (фиг. 3.1):
АА = F А/ cosa = F A I

(3.1.1)

(В математиката това произведение се дефинира като скаларно произведе­
ние на два вектора.)
Тъй като работата е скаларна величина, тя може да бъде положителна,
отрицателна или нула. Ако действащата сила е насочена по посока на

Фиг. 3.1

движението, a < 90° и cos a > 0, работата е положителна. Ако силата е на­
сочена в посока, обратна на движението, a > 90° и cos a < 0, работата е
отрицателна. Ако направлението на силата е перпендикулярно на премест­
ването, работата винаги е равна на нула (cos 90° = 0). Физичният смисъл
на работата е прост. Ако силата сключва остър ъгъл с преместването, тя
улеснява движението и работата е положителна. Ако силата сключва тъп
ъгъл с преместването, тя затормозява движението и работата е отрицател­
на величина.
Нека сега разгледаме работата на променлива сила, под действие на
която дадена точка се премества по криволинеен участък АВ от пътя
(фиг. 3.2).

Г4

Фиг. 3.2

При
движението
на
точката по кривата АВ си­
лата непрекъснато се изме­
ня по големина и посока.
Ако разделим траекторията
АВ на голям брой малки
участъци, с известно приб­
лижение можем да прие­
мем, че при преместването
на точката по тях силата се
изменя слабо и можем да я
разглеждаме като постоян-

45

Класическа механика

на, а преместванията - като праволинейни. Тогава за всеки участък А/,
може да се приложи изразът за работа на постоянна сила:
АА: « F;AL = F; А/; cos а :

(3.1.2)

За цялата крива АВ работата е сума от работите за отделните участъци:
(3.1.3)
При увеличаване броя на участъците, на които разделяме кривата АВ,
тяхната дължина А/, се стреми към нула, а съответната действаща сила Fs
с по-голяма точност може да се приеме за постоянна. В този случай
общата работа е равна на границата, към която се стреми сумата (3.1.3):
(3.1.4)
F.AI: - \F.dl
I
а
Тъй като при А/, -» 0 броят на участъците i -» оо, не е възможно да се
извърши операцията сумиране. В такива случаи действието сумиране се
замества с друга операция, наречена интегриране. В математиката
границата, към която се стреми изразът (3.1.3) при А/, —> 0, се нарича
интеграл и означава сумиране на безброй много членове.

А - lim

Fcosa

Fcosa

О

А/, Д/2 Д/3 Д/4 Л/ 5 Д/6 Д/,

/

о

Фиг. 3.3

Сумата (3.1.3) може да се изобрази графично (фиг. 3.3а). Построява се
зависимостта на проекцията Fcosa от преместването /, съответстващо на
кривата АВ. (Преместването / е разделено на седем равни части А/, чрез
вертикални пунктирани линии. Стойностите /\cosa, за всеки интервал А/,
са означени с хоризонтални пунктирани линии.) Работата АА,-, извършена
при преместване на точката на разстояние А/„ представлява площта на от­
делните правоъгълници AS, = (F, cosa,)A/,. Вижда се, че общата работа, оп­
ределена от израза (3.1.3), е равна на сумата от площта на тези правоъгъл-

46

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

ници. Ако / се раздели на по-голям брой интервали, общата площ на пра­
воъгълниците ще съответства по-точно на площта, заградена от траекто­
рията АВ и хоризонталната ос /. При А/, —> 0 броят на интервалите / —» оо и
площта под кривата съответства точно на извършената работа А , опреде­
лена от израза (3.1.4) - фиг. 3.3б. С други думи, работата, извършена от
променлива сила при преместване на една материална точка по крива ли­
ния АВ, е числено равна на площта, заградена от кривата АВ и оста /.
Последният израз (3.1.4) представлява най-общото определение за ра­
бота на променлива сила.
Мерната единица за работа в системата СИ се нарича джаул и се озна­
чава с [J]. Един джаул е работата, която извършва сила с големина 1 N при
преместване на дадено тяло на разстояние 1 т . Мерната единица за енер­
гия е също джаул, тъй като работата и енергията са еквивалентни величи­
ни. За да определим енергията на едно тяло, винаги измерваме работата,
която то извършва.
За характеризиране на работата, извършена от една сила за определено
време, се въвежда понятието мощност. Мощността е скаларна величина,
която определя извършената работа за единица време. Означава се с N:
ИЛ
(3.1.5)
N =— .
dt
Мерната единица за мощност е ват [W], Един ват е мощността на сила, ко­
ято извършва работа 1 J за време 1 s.

3.2. Кинетична енергия. Връзка между работа
и кинетична енергия
Кинетичната енергия е скаларна физична величина, която е свързана
с механичното движение на телата. Означава се с Ек. Известно е, че кинетичната енергия на материална точка се определя от израза Ек=ту /2 , къде­
то /77 и v са съответно масата и скоростта на точката. Вече знаем, че за да се
приведе едно тяло в състояние на движение, трябва да му действа някаква
сила. Силата извършва определена работа върху тялото, вследствие на ко­
ето то преминава от състояние на покой със скорост v = 0 в състояние на
движение със скорост v Ф 0 и съответна кинетична енергия Ек* 0. Изме­
нението на кинетичната енергия на тялото става под действие на при­
ложената към него сила и се определя от извършената от силата работа:
АА = АЕк.
(3.2.1)
Нека сега допуснем, че дадена сила действа върху едно тяло за много кра1 ък
интервал от време dt (dt —> 0 ) и го премества на малко разстояние dr .
Малкото количество работа, което силата извършва (нарича се елементарна
работа), ще бъде dA = F.dr . Тази работа става причина тялото да придобие
кинетична енергия dEk, като съгласно (3.2.1) е изпълнено равенството

47

Класическа механика

dA = dEk.
(3.2.2)
От дефиниционните равенства за работа, сила, скорост и ускорение следва
dA - F.dr = F.dr --madr = m — dr = m — dv = mvdv,
(3.2.3)
dt
dt
\
където c F, е означена големината на проекцията на силата F по
направление на преместването. Тогава от (3.2.2) и (3.2.3) получаваме
dA = dEk= mvdv.
(3.2.4)
Ако силата действа на тялото за краен интервал от време A t и променя
скоростта му от 0 до v, изменението на кинетичната енергия ще определим
чрез интегриране на израза (3.2.4) в граници от 0 до v:
v

2

ДЛ = AEk = J mvdv - ■~V
—.
(3.2.5)
0
2
Последната формула (3.2.5) изразява придобитата кинетична енергия на
тялото вследствие действието на силата.
В практиката често се срещат случаи, когато тялото има някаква ско­
рост Vo* 0, преди силата да започне да му действа. В този случай интегри­
рането се извършва в граници от v0 до v:

АА = АЕк = )mvdv = —
vм>

2

-^

.

(3.2.6)

2

Първият член в горната формула съответства на кинетичната енергия на
тялото в края на движението - в момента t2, а вторият - в началния мо­
мент /|. Разликата от тези два члена определя изменението на кинетичната
енергия на тялото за разглеждания интервал от време At = t2-t\.
Ако една материална точка с маса т, се движи с някаква скорост v„ в
даден момент от време нейната кинетична енергия е
(3.2.7)
Кинетичната енергия винаги е положителна величина и зависи от масата и
скоростта на тялото.
Формулата (3.2.7) може да се обобщи за механична система от п на
брой материални точки (тела). Пълната енергия на системата в този слу­
чай е сума от кинетичните енергии на отделните точки:

Eh = Y . —
1 2

(3-2'8>

3.3. Консервативни сили. Потенциална енергия.
Връзка между работа и потенциална енергия
В тема 3.1 въведохме понятието работа и показахме как може да се
определи работата на сила, под действието на която една материална точка

48

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

се движи по произволна траектория (права или крива линия). От
приведените формули се вижда, че в общия случай работата зависи не
само от действащата сила, но и от пътя, по който точката преминава от
началното в крайното състояние. Съществуват обаче такива сили,
работата на които не зависи от пътя. Те се наричат консервативни сили.
Към тях се отнасят гравитационните, кулоновите, ядрените сили. Една
сила F , действаща на дадена материална точка М, се нарича
консервативна, ако работата, която извършва, зависи само от началното и
крайното положение на точката и не зависи от вида на траекторията на
движението. Математически това може да се изрази по следния начин
(фиг. 3.4):
М - я _ 2 = М -2 = М - * - 2 • (3-3.1)
Работата, която извършва силата
F за преместването на точката
М от началното положение 1 до
крайното - 2 , е една и съща по
трите траектории. Ако обаче
точката М измине разстоянието
между положенията 1 и 2 веднъж
по траекторията 1-а-2, а след
това по 2 -6 -/, тогава е в сила
АА\ - a - 2 = ~AAW

■

(3.3.2)

Причината за това е смяната на посоката на движение на обратната. От
това следва, че при движението на точката по затворената траектория
l-a-2-b-l работата на силата ще бъде равна на нула:
(3.3.3)
= ДЛ,-е-2 + А А 2 6 - 1 = 0 .
‘

-

Точките 1 и 2 са избрани съвсем произвол но. В общият случай работата на
една консервативна сила по произволен затворен контур е нула и може да
се запише по следния начин:

<^F.dr = А = 0,

(3.3.4)

L

където L означава, че интегрирането се извършва по затворения контур L.
Формулата (3.3.4) е математическото определение за консервативна сила.
Силово поле, в което действат консервативни сили, се нарича потен­
циално поле. Всички тела, които се намират в потенциално поле, притежа­
ват определен вид енергия, която се нарича потенциална енергия. Означа­
ва се с U. Тя е свързана с взаимното разположение на телата, които си
взаимодействат, и зависи от техните координати: U = U{x, у, z). (Когато
говорим за потенциална енергия на дадено тяло, винаги се вземат предвид
и другите тела, с които то взаимодейства.)
Нека сега се опитаме да определим връзката между работата и потен­

Класическа механика

49

циалната енергия. Ще разгледаме отново движението на точката М между
двете положения: 1 - начално и 2 - крайно, под действието на консерва­
тивната сила F (фиг. 3.4). Положенията 7 и 2 на точката се определят от
радиус-векторите
и г2, а Аг = г2 - гх. Допускаме, че в положение 1 точ­
ката има потенциална енергия U(r]), свързана с това положение, и в по­
ложение 2 - потенциална енергия U( г2). Силата F действа на точката М и
извършва положителна работа АА\-2 , като я премества от началното в
крайното положение. Според третия принцип на Нютон самата точка про­
тиводейства на силата F и извършва отрицателна работа, вследствие на
което нейната потенциална енергия намалява. По определение работата и
енергията са две взаимносвързани величини. За изменението на енергията
на едно тяло съдим по извършената работа. В случая извършената поло­
жителна работа от силата F върху точката М намалява нейната потенци­
ална енергия, т.е. A ^i _ 2 = -At/ = U{rx) - U(r2). Обратно, при преместването
на точката от положение 2 в 1 силата F извършва отрицателна работа,
вследствие на което потенциалната енергия на точката М се увеличава, т.е.
в сила е равенството -АА2-\= А17 = U(r2) - U(r\). С други думи, работата
на силата върху точката се извършва за сметка на запаса от нейната
потенциална енергия:

AA=-AU.
(3.3.5)
От горните разсъждения може да се направи следният извод. Изменението
на потенциалната енергия на една материална точка е числено равно на
взетата с обратен знак работа, която се извършва при преместването на
точката от едно (начално) в друго (крайно) положение.
Всичко, казано дотук, се отнася само за определените по-горе консер­
вативни сили. Една от най-разпространените консервативни сили е силата
на тежестта G = mg . Когато едно тяло се издига на определена височина
над повърхността на Земята или просто се премества от една точка в дру­
га, работата на силата на тежестта не зависи от траекторията, по която тя­
лото се издига, а само от началното и крайното му положение. Не всички
действащи сили са консервативни. Съществуват и т.нар. неконсервативни
сили. Една сила се нарича неконсервативна, ако при движение на тялото
по затворена траектория тя извършва работа. Пример за найразпространената неконсервативна сила в природата е силата на триене.
Работата, която извършва силата на триене при преместване на дадено
тяло от една точка в друга, винаги е отрицателна, тъй като силата на трие­
не е насочена в посока, обратна на движението. Ето защо, ако тялото се
премества по затворена крива линия, извършената от силата на триене ра­
бота никога няма да бъде равна на нула. Тя винаги ще бъде отрицателна.
Потенциалната енергия е свързана само с консервативните сили и може
да бъде определена от зависимостта АА - -A U. Нека се опитаме да оп­

50

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

ределим връзката между консервативната сила, действаща върху едно тя­
ло, и неговата потенциална енергия. Изразът (3.3.5) може да се запише в
друг вид:

dA = -dU = F .dr .
(3.3.6)
(Тук с dA сме означили малкото количество работа, което извършва силата
при преместване на разглежданото тяло на много малко разстояние d r . )
Като всяка векторна величина консервативната сила има три компо­
ненти Fx, Fy и Fz спрямо дадена координатна система. За простота ще разг­
ледаме едномерен случай, когато силата F премества дадена точка по о с­
та О Х на малко разстояние dx. В такъв случай от (3.3.6) получаваме
(3.3.7)
За тримерен случай, когато силата премества тялото на малко разстояние
dr в пространството, горната формула ще придобие вида
(3.3.8)
където dU/dx, ди/ду и dU/dz са частните производни на потенциалната
енергия и представляват съответно компонентите Fx, Fy и Fz на консерва­
тивната сила F в общия тримерен случай. Последният израз може да се
запише в следния вид:

F = -grad U = -

(3.3.9)

където знакът V означава символичен вектор, наречен оператор на
Хамилтон или набла-оператор; i , j и к са единичните вектори на
координатните оси ОХ, OY и OZ. Зависимостта (3.3.9) показва, че
консервативната сила F се определя от градиента на потенциалната
енергия, взет с обратен знак. Знакът
“ означава, че ако потенциалната
енергия на едно тяло нараства, консервативната сила извършва
отрицателна работа, т.е. възпрепятства движението. Ако потенциалната
енергия намалява, консервативната сила извършва положителна работа и
помага на движението.

3.4. Закон за запазване на енергията
в затворена механична система
Вече казахме, че енергията на едно тяло може да е свързана както с
неговото движение, така и с неговото положение в дадено потенциално
поле. Така бяха дефинирани и двата вида механична енергия - кинетична
и потенциална.
Ако едно тяло се движи праволинейно и равномерно, неговата кине­

Класическа механика

51

тична енергия се запазва постоянна (v = const). Изменението на кинетич­
ната енергия па тя тото за част от траекторията на пътя е свързано с външно въздействие. Действащите върху тялото сили могат да забавят или ус­
корят движението му. Ако кинетичната енергия нараства, силите извърш­
ват работа върху тялото; ако кинетичната енергия намалява, тялото само
извършва работа.
Сумата от кинетичната и потенциалната енергия се нарича пьлна ме­
ханична енергия и се означава с Е (Е = £* + U). Ако в дадена система дейс­
тват само вътрешни сили, т.е. системата е затворена, пълната механична
енергия на системата не се променя.
Кинетичната и потенциалната енергия могат да преминават една в
друга, но при това тяхната сума не се изменя. Като пример ще разгледаме
малко метално топче, висящо на неразтеглива нишка. Ако топчето се отк­
лони встрани, системата придобива допълнителен запас от потенциална
енергия. Ако топчето се пусне, то започва да се движи, като се стреми да
заеме изходното си (равновесно) положение. В момента, когато топчето
преминава през равновесното положение, неговата потенциална енергия е
минимална, но то придобива запас от кинетична енергия. Това му позво­
лява да продължи движението и да се издигне отново на някаква височина
от другата страна на равновесното положение, в резултат на което кине­
тичната му енергия се превръща в потенциална. След това всичко се пов­
таря, но в обратна посока. По този начин непрекъснато потенциалната
енергия се превръща в кинетична и обратно, но тяхната сума се запазва
постоянна. Ако пренебрегнем съпротивлението на въздуха, топчето ще
извършва трептения около равновесното си положение безкрайно дълго
време, съхранявайки пълната си механична енергия постоянна. При отчи­
тане на съпротивлението на средата сумата от кинетичната и потенциална­
та енергия не се запазва постоянна, а постепенно намалява. Този процес се
нарича дисипация {разсейване) на енергията. В реалните системи, където
действат силите на триене, които са неконсервативни, пълната механична
енергия не е постоянна. Това не противоречи на общия закон за запазване
на пълната енергия, тъй като при триенето част от механичната енергия не
изчезва, а се превръща в друг вид енергия, наречена топлина.
Общият закон за запазване на пълната енергия е формулиран покъсно, когато са открити различните видове енергия - топлинна, електрична, магнитна, ядрена и др. Според този закон енергията в природата не
се губи. При различните взаимодействия на телата тя може да се предава
от едно тяло на друго или да се превръща от един вид в друг, но никога не
изчезва.

52

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

3.5. Извод на закона за изменение на енергията
в отворена механична система
Нека разгледаме една отворена механична система от N на брой мате­
риални точки с маси съответно т\, т 2, т
mNи линейни скорости v,, v2,
v3
vN . Допускаме, че вътрешните сили, които действат между точките в
системата, са консервативни, т.е. работата им зависи само от началната и
крайната конфигурация на точките. За външните сили, които действат
вьрху системата, предполагаме, че са неконсервативни. Съгласно втория
принцип на Нютон уравнението на движение на коя да е точка от система­
та е
+

(3.5.1)

където с f ik е означена равнодействащата на всички консервативни сили
върху тата точка, а с FiB — равнодействащата на всички външни сили
върху същата точка. Под действието на силите всички точки в системата
се движат и извършват различни премествания dr{,dr2,...,drN за някакъв
много малък интервал от време dt. Нека горното уравнение за г-тата точка
умножим скаларно по съответното преместване drj на точката:

mi ~ r-dr = f ik.dri +FfB.dri .
(3.5.2)
dt
От определенията за скорост и работа на консервативни сили следва изразът
т •v, .dvi = —dUt + dAlB .
(3.5.3)
В класическата механика масата на телата е постоянна величина. Внасяме
масата ш, и скоростта v;. (скоростта v, се разглежда като променлива) под
знака на диференциала в лявата част на израза (3.5.3) и получаваме
(
2 Л
m iVi
(3.5.4)
+dUj = dAlB.
d

Първият член в лявата страна на (3.5.4) представлява изменението на
кинетичната енергия на разглежданата точка, вторият - изменението на
потенциалната й енергия, а в дясната страна е работата на външните
неконсервативни сили върху тази точка. Можем да обединим двата члена
в лявата част на (3.5.4):
d(Et,+ U ,)= d A lB.
(3.5.5)
Уравнението (3.5.5) се отнася за всички точки, участващи в системата. Ако
искаме да определим общото изменение на енергията на цялата система от
материални точки, ще трябва да извършим сумиране по индекса / (/' заема
стойности от 1 до N):

t d ( E u +Ut)= Z d A * .
1=1

/=/

(3.5.6)

Класическа механика

d(Ek +U) = dAl},

dE = dAB.

53

(3.5.7)

Равенство (3.5.7) показва, че изменението на пълната механична енергия
в една отворена механична система се определя от работата на външните
неконсервативни сили върху системата. Ако силите действат на систе­
мата за определен краен интервал от време А/ и под тяхното действие тя
преминава от едно начално състояние 1 в друго произволно състояние 2,
работата им ще определим като интегрираме израза (3.5.7) в граници от

1 до

2

:
2

2

fd E = fd 4 e; Е 2 - Е, = &Е = ЛЯ1_2.
(3.5.8)
1
I
Последната зависимост изразява закона за изменение на пълната меха­
нична енергия в отворена механична система при преход от едно състоя­
ние в друго. Ако върху системата не действат външни сили
( FlB = 0, Ат = 0), от (3.5.8) следва равенството
А £ = 0; Е = Ek+U= const,
(3.5.9)
или закона за запазване на механичната енергия в затворена механична
система. Зависимостите (3.5.8) и (3.5.9) представляват математическите
изрази на законите за изменение и за запазване на пълната механична
енергия.
Затворени механични системи, в които действат само консервативни
сили, се наричат консервативни системи. Следователно законът за запаз­
ване на механичната енергия може да бъде формулиран и по следния на­
чин. В консервативните системи пълната механична енергия се запазва
постоянна с времето. Строго консервативни системи в природата не съ­
ществуват, тъй като силите на триене действат винаги и навсякъде. Сис­
темите, в които-действат и неконсервативни сили, се наричат неконсерва­
тивни системи. В тях законът за запазване на механичната енергия не е в
сила, тъй като част от нея се превръща в друг вид енергия. В неконсервативните системи е в сила общият закон за запазване на пълната енергия.
Като пример за приложение на закона за запазване на механичната
енергия ще разгледаме абсолютно еластичен удар между две тела. Уда­
рът е краткотраен процес, при който се сблъскват две или повече тела, в
резултат на което скоростта поне на едно от тях се променя. По време на
удара системата от взаимодействащи си тела се разглежда като затворена.
При всички удари пълният импулс на системата се запазва постоянен. То­
ва обаче не се отнася за механичната енергия. Ако механичната енергия на
телата, които участват в удара, е еднаква преди и след него, ударът се на­
рича абсолютно еластичен. Ударите между билярдни топки от слонова
кост или между топки от специална пластмаса или стомана могат да се
разглеждат с приближение като абсолютно еластични. Единствените из­

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

54

вестни абсолютно еластични удари са между елементарни частици, но не
всички такива взаимодействия са абсолютно еластични.
За удобство ще разгледа­
ме удар между две хомогенни
У
стоманени топки, центровете
—►
на които лежат на една права
О
X
и скоростите им са успоредни
на нея (фиг. 3.5). Такъв удар
се нарича централен. Нека
Фиг-З-5
двете топки с маси т\ и пь се
движат постъпателно със ско­
рости v, и v2 по оста ОХ (фиг. 3.5а). Предполагаме, че върху тях не
действат външни сили, а силите на триене са пренебрежимо малки.
(Действащите на телата сили на тежестта и техните уравновесяващи са
насочени перпендикулярно на ОХ, поради което не променят скоростите
им и не извършват работа върху тях.) В такъв случай двете топки обра­
зуват затворена консервативна система. Означаваме с щ и и2техните
скорости след абсолютно еластичен удар (фиг. 3.56) и прилагаме зако­
ните за запазване на импулса и на механичната енергия:
//7,v, +/«,v2 =/»|W, + т2и2’,
(3 5 10)
2
■> - >
2
/77, V,
/W,V2 _ /77,W,
m2U2

2

+

2

~

2

+

2

(Потенциалната енергия на телата в гравитационното поле на Земята не се
променя при движението им по права линия.) От горната система (3.5.10)
може да се определят големините на скоростите W| и и2 на топките след
еластичния удар:
(т, - /и, )v, + 2m-, v->
(т7 - mt)v2 + 2/77, v,
и-= — --- — ------u2 = -----------=------ •
/77, + /77 2
/77, + m2
Ако взаимодействащите тела имат еднакви маси (т\ = w2), тогава е
изпълнено

ux= v2\ и2 —v,,
т.е. двете топки просто разменят скоростите си вследствие на удара.
В случай че второто тяло се намира в състояние на покой преди удара
(v2 = 0), получаваме
—т~)
2т,
щ = v ,----- » 2 = vi — ;— •
w , +т2
т ] + /77 2
/77,

Ударът между две тела, които се движат едно срещу друго, може да се

Класическа механика

55

разгледа аналогично чрез замяна на скоростта v2 с -v2.
Когато при удар в системата от взаимодействащи тела възникват сили
на триене и сили на еластичност (неконсервативни сили), част от меха­
ничната енергия на телата се превръща в количество топлина, т.е. систе­
мата става неконсервативна и в нея е валиден законът за запазване на пъл­
ната енергия. Ако в резултат на удара телата се обединяват и след това се
движат като едно цяло, ударът се нарича абсолютно нееластичен удар.
Пример за такъв удар е ударът между две пластилинови топки.
Законът за запазване на пълната енергия е един от универсалните за­
кони в природата и се отнася за всички процеси както в макросвета, така и
в микросвета.
1.
2.

3.
4.

5.
6.
7.

8.
9.

Въпроси и задачи
Колко вида механична енергия познавате? В кои системи механичната енергия на
телата е постоянна?
Потенциалната енергия на една материална точка има вида U = ax' + bx + d (a, b и d са
константи). Ако на точката действа консервативна сила с големина F и я премества по
оста х, определете компонентата Fx на действащата сила.
Кои сили са неконсервативни и кои консервативни? Кои системи са неконсервативни?
Какви са реалните системи в природата?
Как ще се измени кинетичната енергия на едно тяло, ако скоростта му се увеличи 2
пъти? При какво условие две тела, които се движат с еднаква скорост, ще имат различна кинетична енергия?
В кон случаи една сила не извършва работа?
Мъж бута количка с товар с хоризонтална сила F = 40 N по хоризонтален път. Каква
работа ще извърши мъжът, ако количката е изминала път 1 km?
Материална точка извършва преместване с големина 1 m под действие на постоянна
сила F = 20 N. Определете работата на силата в случаите, когато тя сключва с посока­
та на преместването ъгъл а = 60° и а = 90°.
Автомобилен двигател развива мощност N = 35 kW. Каква работа ще извърши двига­
телят за 5 min?
Лек автомобил с маса 1,5 t се движи по лош участък от пътя със скорост 50 km/h, а
след това по магистрала със скорост 120 km/h. Определете изменението на кинетич­

ната енергия на автомобила.
10. Куршум с маса 10 g лети хоризонтално със скорост 600 m/s. На пътя си той среща
дъска и излиза от нея със скорост 300 m/s. Каква е работата на силата, с кокто дъската
действа на куршума, като намалява скоростта му 2 пъти?

56

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

Глава 4

МЕХАНИКА НА ТВЪРДО ТЯЛО
4.1. Идеално твърдо тяло. Видове движения.
Основни кинематични величини при въртене
на твърдо тяло около постоянна ос
Дотук разгледахме законите за движение на телата, като в качеството
на модел използвахме материалната точка. При нейното движение найсъществен е въпросът, къде се намира тя в даден момент и с каква скорост
и ускорение се движи. Всеки сложен обект, например тяло с производна
форма, може да се разглежда като система от безброй много материални
точки. Идеално твърдо тяло се нарича съвкупността от материални точки,
разстоянията между които не се изменят с течение на времето. От това
следва, че при действие на външни сили идеално твърдото тяло запазва
формата и обема си, т.е. не се деформира. Такива тела в природата няма.
Това е друго абстрактно понятие, което се въвежда в механиката за опрос­
тяване решаването на определени физични проблеми. Всички реални тела
се деформират повече или по-малко под действието на приложени върху
тях сили, но в някои случаи деформациите са малки и могат да бъдат пре­
небрегнати. От дефиницията на идеално твърдото тяло е очевидно, че няма
смисъл да се проследява движението на всяка точка от тялото, след като
разстоянията между точките се запазват постоянни с времето. Достатъчно
е да се избере една точка от него, която да описва движението му просто и
нагледно. Тази точка се нарича център на масите (център на инерцията).
Това е такава въображаема точка С, положението на която характеризира
разпределението на масите в една система и чийто радиус-вектор се опре­
деля от уравнението

(4.1.1)

М ,=i
където т, и rt са съответно масата и радиус-векторът на /-тата точка, а п броят на материалните точки в системата; М =
- масата на система­
та. В най-простия случай - система от две материални точки с равни маси
- центърът на масите лежи върху правата, определена от двете точки (по
средата между тях). Ако една от точките има два пъти по-голяма маса,
центърът ще бъде на разстояние два пъти по-близо до нея, т.е. той разделя
разстоянието между двете точки на части, обратнопропорционални на
техните маси. В общия случай центърът на масите може да не съвпада с
нито една материална точка от системата. Например центърът на масите
на куха хомогенна сфера съвпада с нейния геометричен център и не съв­

Класическа механика

57

пада с нито една точка от сферата (хомогенни се наричат телата с посто­
янна плътност). За геометричен център на тялото се приема точката, спрямо
която то има определена симетрия: за кълбо или сфера това е центърът на
сферата; за паралелепипед - пресечната точка на диагоналите му; за
триъгълник - пресечната точка на медианите и т.н. Необходимо е да се
отбележи, че центърът на масите и центърът на тежестта се различават.
Понятието център на тежестта има смисъл за система, която се намира
в хомогенно гравитационно поле, а понятието център на масите не е свърза­
но със силови полета и има смисъл за всички системи, намиращи се в прос­
транството. За твърдите тела в гравитационното поле на Земята центърът на
тежестта и центърът на масите съвпадат. Ако телата са с правилна
геометрична форма (имат определена симетрия) и са хомогенни, центърът
на тежестта им съвпада с геометричния център. Известно е, че центърът на
тежестта на едно тяло се определя от приложната точка на силата на
тежестта G = mg . Силата на тежестта действа на всички тела, които ни
заобикалят, но едни тела се движат, а други са неподвижни. За да бъде едно
тяло неподвижно, е необходимо силата на тежестта му да се уравновесява от
силата на реакцията на опората (фиг. 4.1 а). Това положение на тялото, при
което действащите върху него сили се уравновесяват, се нарича равновесно
положение. (Вече знаем, че две сили, действащи върху едно тяло, се
уравновесяват само ако са равни по големина, противоположни по посока и
имат обща приложна точка.) Съществуват няколко различни вида
равновесни положения. Опитът и наблюдението показват, че когато една
топка се намира в положение А (фиг. 4.16), нейното равновесие не е
стабилно. Достатъчно е да я бутнем съвсем леко и тя ще се спусне надолу.

а

Фиг. 4.1

Такова равновесие се нарича неустойчиво. В положение В топката е найстабилна. Ако леко я отместим от това положение, тя се стреми да се върне
отново в него. Това равновесно положение се нарича устойчиво. В
положението С, където топката се намира върху хоризонтална равнина,

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

58

всички съседни положения са еднакви и равновесни. Накъдето и да я пре­
местим (вляво или вдясно), нейното равновесие се запазва и тя остава в
новото положение. Равновесното положение в този случай се нарича
безразлично. Видът на равновесието на едно тяло може да се определи по
положението на неговия център на тежестта. Когато центърът на тежестта
заема най-ниското положение от всички други възможни, равновесието на
тялото е устойчиво (фиг. 4.16).
Движенията на твърдите тела са сложни, но винаги едно сложно
движение може да се сведе до по-прости. Най-простите движения за
твърдите тела са две: постъпателно и въртеливо. (По-нататък за краткост
вместо идеално твърдо тяло ще казваме само твърдо тяло.)
При постъпателното движение (на­
рича се още трапелациоипо) всички
точки от тялото се движат с еднакви
скорости и описват еднакви траектории,
успоредни една на друга (фиг. 4.2). Ето
С
защо за описване на постъпателното
движение на едно твърдо тяло е достатъчно да се познава законът за движение
на неговия център на масите:
Фиг. 4.2

Ma = F; M ^C f = M ^ = F ,
dr
dt

(4.1.2)

където c M е означена масата на твърдотвърдото тяло, F - равнодействащата сила, а гс и vr - радиус-векторът и
скоростта на центъра на масите му.
Въртеливите движения са много
О*
разнообразни, но ние ще се спрем на
най-простото от тях - въртене на
твърдо тяло около постоянна ос
(нарича се още двумерно въртене)
(фиг. 4.3). При това въртене всички
точки от тялото описват окръжнос­
ти, чиито центрове лежат върху
една права, наречена ос на въртене
{00*). Равнините на окръжностите,
по които се извършва движението,
са успоредни помежду си и са перпендикулярни на оста 0 0 на върте­
нето. Това въртеливо движение на­
мира широко приложение в техни-

59

Класическа механика

ката. Оста на въртене може да минава през центъра на тежестта на тялото
(фиг. 4.3), но може и да лежи на някакво разстояние от нея.
Най-напред ще разгледаме по-подробно въртенето на твърдо тяло
около ос, минаваща през центъра на тежестта му. Основните кинематични
величини, които характеризират това движение, са ъгъл на завъртане Д ф ,
ъглова скорост ш и ъглово ускорение а . Тези величини дефинирахме
подробно в тема 1.6. Тук само ще отбележим някои характерни особенос­
ти на разглежданото въртене. Нека разгледаме произволна точка от тяло­
то, която в началния момент от време t се намира в положение М,
(фиг. 4.3). За интервал от време At тя се завърта на ъгъл Дср и заема новото
положение М *. При това завъртане точката извършва постъпателно дви­
жение по окръжност с радиус г, с линейна скорост v ,. За разглеждания
М Х, като е изпъл­
интервал от време изминатият път е равен на дъгата МХ
нено равенството AS,= гДф. Заедно с точката М, се завъртат и всички точ­
ки на тялото, намиращи се на различни разстояния г от оста на въртене.
Ъгълът на завъртане е един и същ за всички точки, но изминатите от тях
пътища са различни: AS = гДф. Следователно ъгловата скорост и ъгловото
ускорение, които представляват производни на ъгъла на завъртане по вре­
мето, са еднакви за всички точки от тялото. Не може да се каже същото за
скоростите v на постъпателното движение на различните точки от тялото,
за които е изпълнено равенството v = гсо. Очевидно е, че точките, които са
по-близо до оста на въртене, ще се движат по-бавно, а тези, които са подалеч - по-бързо.

4.2. Кинетична енергия при двумерно въртене. Инерчен момент
Всяка точка, която се движи, притежава кинетична енергия. Твърдото
тяло като съвкупност от материални точки, свързани здраво помежду си,
при въртене също ще притежава някаква кинетична енергия. Да допуснем,
че тялото, което се върти, се състои от
п на брой материални точки. Всички
те се въртят с еднаква ъглова скорост
и имат различни линейни скорости.
Означаваме с т, и v, съответно масата
и линейната скорост на /-тата точка
(фиг. 4.4). Тогава нейната кинетична
енергия може да се запише по
следния начин:

q*

^. =m.v.

N

/
I

\
/

\
о
Фиг. 4.4

където с I, е означена една нова

60

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

величина, характеризираща двумерното въртене. Тази величина се нарича
инерчен момент на материална точка спрямо дадена ос на въртене и се
определя от следния израз:
(4.2.2)
За да се определи инерчният момент на тялото, трябва да се извърши су­
миране по броя п на точките:
п
п
(4.2.3)
/ = £ / , = 2 > ,л 2 •
1=1

1=1

В такъв случай пълната кинетична енергия на цялото тяло е
(4.2.4)
От (4.2.4) се вижда, че изразът за кинетичната енергия на въртящо се тяло
има подобен вид на този за кинетичната енергия при постъпателното
движение. Кинетичната енергия се определя от произведението на
инерчния момент на тялото и квадрата на неговата ъглова скорост, раз­
делено на две.
Инерчният момент е физична величина, която характеризира разпре­
делението на масите в едно твърдо тяло спрямо неговата ос на въртене.
Числено тази величина се определя от сумата на произведенията от масите
на отделните частици на тялото, разглеждани като материални точки, и
квадратите на разстоянията на тези частици до оста на въртене. Аналогично на масата инерчният момент характеризира количествено свойството
инертност при въртеливите движения. Всяко тяло независимо дали се вър­
ти или не притежава определен инерчен момент по отношение на произволно избрана ос на въртене, както и всяко тяло независимо дали се дви­
жи, или е в покой притежава определена маса. Мерната единица за инер­
чен момент е килограм по квадратен метър [kg.m2].
В общия случай твърдите тела могат да имат различна форма и разме­
ри. Инерчният момент зависи от формата, размерите на тялото и от избра­
ните оси на въртене. При непрекъснато разпределение на масите в едно
тяло сумата в (4.2.3) се заменя с интеграл. (Непрекъснато разпределение
на масите означава, че във всяка точка от обема на тялото има частица общият брой на частиците е безкрайно голям и не е възможно да се из­
върши сумиране. Вече казахме, че в математиката в подобни случаи дейс­
твието сумиране се заменя с интегриране.) В такъв случай получаваме
(4.2.5)

v
където dm е масата на една безкрайно малка частица от тялото, а г - разс­
тоянието между тази частица и оста на въртене. Интегрирането се извърш­
ва по целия обем V на тялото.
За пример ще пресметнем инерчните моменти на кух и на плътен хо­

61

Класическа механика

могенен цилиндър при въртене около ос, минаваща през центъра на те­
жестта им, и на хомогенен цилиндър, който се върти около ос, успоредна
на оста, минаваща през центъра на тежестта му. Нека разгледаме един кух
цилиндър с вътрешен радиус R\, външен радиус Ri и маса т , който се вър­
ти около оста 00\ минаваща през центъра на тежестта му (фиг. 4.5). ПосПострояваме тънък пръстен с радиус R, дебелина
dR и височина И. Тъй като цилиндърът е хомоге­
нен, можем да изразим величината dm чрез плът­
ността р на цилиндъра (плътността р на едно хомо­
генно тяло е величина, която определя масата в
единица обем от тялото: р = dm/dV):
dm = pdV,
(4.2.6)
където dV е обемът на тънкия пръстен. От
геометрията е известно, че обемът на този пръстен е

dV=2nRhdR.

(4.2.7)
Фиг. 4.5

След заместване на (4.2.6) и (4.2.7) в (4.2.5) полу­
чаваме
I = \2%phR}d R = 2 n p h ) R 3d R = ^ -

израз

може

да

се

R* -Д,4 =(/?22 -Л|2)(я22 +Д,2),
а
V = 7i(fl22 )/? • В такъв случаи

I=

-R^).

(4.2.8)

по

начин:

Л,

V

Последният

( ^

преобразува
обемът

[к] - * 1 ) ( « 2 +

)=|

следния

на

кухия

цилиндър

т (Л 1

+ R2) ■

е

(4.2.9)

Инерчният момент на плътен хомогенен цилиндър можем да пресметнем
по формулата (4.2.9), като положим R\= 0 и R2= R'.
(4.2.10)

I = -m R2

2
където т е масата на цилиндъра, a R - неговият радиус.
Инерчният момент на всяко тяло при въртене около ос, минаваща през
неговия център на масите, се нарича соб ст ­
вен инерчен момент. Ако собственият инерчен момент на тялото е известен, инерчният
му момент спрямо всяка друга ос, която е
успоредна на тази през центъра на масите
му, се определя от теоремата на Щайнер
(фиг. 4.6).
Да разгледаме хомогенен цилиндър с
маса 1п и радиус R , който се върти около ос,

Фиг. 4.6

62

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

успоредна на тази, която минава през ценгъра на масите му, и отстояща на
разстояние b от нея. Според теоремата на Щайнер инерчният момент на
този цилиндър се определя от следното равенство:
/ = /0+w/>2,
(4.2.11)
където /о= (1/2)mR е собственият инерчен момент на тялото, a b - разсто­
янието между двете оси.

4.3. Работа при двумерно въртене. Момент на сила.
Основно динамичио уравнение при двумерно въртене
Всяко движение на дадено тяло е свързано с въздействието на сили
върху него. На материалните точки, които изграждат твърдото тяло, могат
да действат две групи сили: вътрешни и външни. Вътрешните сили свърз­
ват системата от материални точки и я превръщат в едно цяло. Външните
сили възникват поради взаимодействието между това тяло и кое да е дру­
го. Следователно в сила е изразът

F = L y p + F>B.

(4-3-1)

където с / вътр сме означили вътрешните сили, a с FlB - външните сили.
Съгласно третия принцип на Нютон сумата от всички вътрешни сили
трябва да бъде равна на нула. Ето защо окончателно получаваме

F = FiB.

(4.3.2)

Силата F е равнодействащата на всички външни сили, действащи върху
тялото.
Тъй като твърдите тела извършват най-общо два вида движения постъпателни и въртеливи, ще се опитаме да разграничим и силите, по­
раждащи тези движения. Външните
сили, чието направление на действие
минава през центъра на масите, пре­
дизвикват постъпателното движе­
ние. Въртеливите движения възник­
ват като резултат от действието на
външни сили, чието направление не
пресича оста на въртене и не е успо­
редно на нея. Нека силата F е
такава сила, приложена в точката N,
която се намира на разстояние г от
оста на въртене на дадено тяло
(фиг. 4.7). (За по-голяма прегледност
на фигурата е изобразена само една
точка N от тялото, която извършва

Класическа механика

63

движение по окръжността с радиус г и център O'.) Тъй като частиците в
твърдите тела са здраво свързани помежду си, действието на приложената
сила F се предава и на останалите частици, вследствие на което цялото
тяло извършва въртене около оста 0 0 , минаваща през центъра на тежест­
та му. За много малък интервал от време dt точката N се завърта на малък
ъгъл с/ф, като изминава пътя dS, равен на дъгата NN . Работата на силата
е dA - F.dr = FdS cos(90-P), където dr е преместването, съответстващо на
пътя dS (при малък интервал dt —> 0 е изпълнено условието dS —\dr\
), |3 е
ъгълът между радиус-вектора г и силата F , a F cos(90-|3) е проекцията
на силата върху преместването.
От геометрията е известно, че rdty—dS. Гогава работата е
dA = Frdq>sinp.
(4.3.3)
Векторното произведение r x f , чиято големина е Frsinp, във физиката се
дефинира като момент на силата F и се означава с М :

M = rxF\ М = rF sm $ = F I ,

(4.3.4)

където l—r sinp се нарича рам о на силата F . От фиг. 4.7 се вижда, че
рамото / е най-малкото разстояние между правата, на която лежи силата
F , и оста на въртене (перпендикулярът от точката О ' към направлението
на силата). Моментът на силата е псевдовектор, чиято посока зависи от
посоката на въртене на тялото. Ако тялото се върти по посока, обратна на
часовниковата стрелка, моментът е по посока на О О . Мерната единица за

М е нютон по метър [N.m].
От (4.3.3) и ( 4.3.4) следва, че работата на силата F е
dA = М А ф = М /ф, ( М \\dfi).

(4.3.5)

Очевидно е, че извършената от силата F работа при въртене на твърдо
тяло около ос е равна на произведението от момента на силата и ъгъла на
завъртане на тялото за съответния интервал от време. Ако искаме да
намерим работата за определен (краен) интервал от време At, трябва да
интегрираме горния израз:
ф

A=\ M dy,
(4.3.6)
о
където 0 и ф са съответно стойностите на ъгъла на завъртане на тялото в
началния и крайния момент.
Вече знаем, че работата на една сила върху дадено тяло се изразходва
за привеждане на съответното тяло в движение, т.е.
dA = dEk.
(4.3.7)
Заместваме изразите (4.3.5) и (4.2.4) във формулата (4.3.7) и получаваме
/

,1 /со

-\

2/codco

Mdy = d --- = ----- .

,Л, оч

(4-3.8)

64

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

Разделяме (4.3.8) почленно на dt:

М — = /о)— ; М = 1а.
(4.3.9)
dt
dt
Последната зависимост между момента на силата, инерчния момент на
тялото и неговото ъглово ускорение е аналогична на уравнението на постъ­
пателно движение F = т а на материална точка и се нарича основно динамично уравнение при двумерно въртене.
Очевидно ако е изпълнено условието (3 = 0,
моментът на силата е М = 0 и тялото няма
да се върти. В този случай направлението на
силата пресича оста на въртене. Въртене
няма да се наблюдава и ако направлението
на силата F е успоредно на оста О О \
Всички сме забелязали, че ако натискаме
дръжката на една врата надолу или я дър­
паме нагоре, вратата не се отваря (фиг. 4.8).
Ако на едно въртящо се около посто­
янна ос тяло действат няколко сили Ft , които създават различни въртящи
моменти А/,., то моментът М във формулата (4.3.9) съответства на пъл­
ния въртящ момент М =
А/,

4.4.
Момент на импулса на тяло при въртене. Закони за
изменение и за запазване момента на импулса. Свободни оси
Нека диференцираме формулата £*/=(/,со2)/2, определяща кинетич­
ната енергия на една точка от въртящото се твърдо тяло, по ъгловата
скорост со:

dEki 2/,со
— — - — — = /,со= Ц ■

</со

2

'

(4.4.1)

'

Получаваме една нова величина, която характеризира въртенето на отдел­
на точка около постоянна ос и се нарича момент на импулса на точката.
Тя е аналогична на импулса р , на точката при постъпателно движение.
Означава се с L и се определя от произведението на инерчния момент на
точката и нейната ъглова скорост, която е постоянна величина за всички
точки на тялото. Горният израз (4.4.1) можем да преобразуваме по следния
начин като заместим ъгловата скорост и инерчния момент с равните им
(вж. формули (1.6.8) и (4.2.2)):
L - m ' r' V;

~ = m ivirt = P in ■

(4.4.2)

ri
Формулата (4.4.2) показва връзката между момента на импулса на една точка

Класическа механика

65

при въртене и импулса на същата точка при постъпателно движение. Двете
величини се отличават с разстоянието г, между точката и оста на въртене. Тъй
като при всяко движение по окръжност е изпълнено rt L p t , моментът на
импулса може да се представи като векторно произведение на двата вектора

7) и p l (sina=l):
Ц = г гх р , .

(4.4.3)

От (4.4.3) следва, че моментът на импулса е псевдовектор и посоката му зави­
си от посоката на въртене на тялото (вж. фиг. 4.4). Мерната единица за момен­
та на импулса е килограм по квадратен метър за секунда [kg.m2/s]. Пълният
момент на импулса на тялото се получава, като се сумират моментите на
импулсите на всички точки, които изграждат тялото:

L = '£ l i = Ia ,
(4.4.4)
/
където I е инерчният момент на тялото спрямо дадената ос на въртене. Нека
сега диференцираме (4.4.4) по времето и определим по този начин изменение­
то на пълния момент на импулса на тялото за единица време:
dL
r d(h __
.. . _.
— = / — = Ia = М .
(4.4.5)
dt
dt
Получихме нова зависимост, която е аналогична на уравнението на движение
dp/dt = F на материална точка (вж. тема 2.3). На импулса р на точката при
пос1 ъпателно движение съответства моментът на импулса L на тялото при
въртене, а на равнодействащата сила F съответства пълният момент на
силите М . Зависимостта (4.4.5) е още един израз на основното динамично
уравнение при двумерно въртене и показва, че пълният въртящ момент на
силите, действащи на твърдото тяло, е равен на изменението на неговия пълен
момент на импулса за единица време. Ако на тялото не действат външни
сили, тогава М - 0 ( F{: = 0 ) и изменението на момента на импулса също ще
бъде равно на нула. Следователно моментът на импулса на тялото ще се
запазва постоянен с времето:
— = 0; L = const.
(4.4.6)
dt
Двата израза (4.4.5) и (4.4.6) изразяват законите за изменение и за запаз­
ване момента на импулса на твърдо тяло при въртене около постоянна ос. Те
могат да се обобщят за система от твърди тела, като под момент на импулса в
този случай се разбира сумата от моментите на импулсите на телата, участ­
ващи в системата.
Математически уравненията d(mv)/dt = F и d(l(b)/dt = M са анало­
гични, но трябва да се има предвид, че за разлика от масата, която е посто­
янна величина, инерчният момент на тялото може да се изменя, ако в мо­

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

66

мента на въртене се изменя формата на тялото. Такова изменение на ф ор­
мата на тялото може да става за сметка на вътрешните сили, които му
действат. Например когато фигуристките, въртящи се около собствената
си ос, искат да спрат, те изнасят ръце и крак встрани (фиг. 4.9). По този
начин техният инерчен момент се увеличава, а ъгловата скорост на върте­
не намалява. Този пример демонстрира и закона за запазване момента на
импулса. Нека с 1\и С0 | са означени инерчният момент и ъгловата скорост
на въртене в дадения момент; тогава
съгласно този закон е изпълнено ус­
ловието 7i(i)i=const. Ако фигуристките
искат да увеличат скоростта на върте­
не, те прибират ръцете и крака към
тялото си. В това положение техният
инерчен момент /2 намалява, а ъглова­
та скорост (1)2 се увеличава, за да се
Фиг. 4.9
запази моментът на импулса постоя­
нен: /|G)i=/2co2=const.
Както вече забелязахме, между
величините, характеризиращи постъпателното движение на материална
точка, и тези, характеризиращи двумерното въртене на твърдо тяло, съ­
ществува аналогия. В табл. 3 са показани еквивалентните величини при
двата вида движения.
Таблица 3
Постъпателно движение
Преместване г

ъгъл на завъртане ф

Скорост v

ъглова скорост to

Ускорение а

ъглово ускорение а

Сила F
Маса т
Импулс р = mv

момент на сила М
инерчен момент /

Уравнение на движение

F = т а; dp/dt = F
Закон за запазване на импулса
р = const

Въртеливо движение

момент на импулса L = /а)
уравнение на движение

М = la; d i/d t = М
закон за запазване момента на импулса

Кинетична енергия EK=mv2/2

L = const
кинетична енергия Ек=1(й2/2

Работа dA = F.dr

работа dA = М

Двумерното въртене на телата намира широко приложение в техника­
та при различни въртящи се механизми и системи. Всяко тяло може да се
върти около безброй много оси, прекарани през центъра на тежестта му.

67

Класическа механика

Оказва се обаче, че сред всички възможни оси съществуват такива, които
запазват ориентацията си в пространството при отсъствие на външно
въздействие. Тези оси се наричат свободни оси на въртене. Устойчивостта
на въртене на едно тяло може да не е еднаква за всички такива оси. Нека
разгледаме един правоъгълен паралелепипед и построим трите му главни
оси (а, Ь, с) (фиг. 4.10): спрямо оста а паралелепипедът има максимален
инерчен момент (7шах), спрямо оста с - минимален (/min), а спрямо b инерч­
ният му момент има междинна стойност / (7inin < I < /тах). Най-устойчиво е
въртенето на тялото около оста а. В този случай,
ако външна сила отклони паралелепипеда от това
положение, в него се пораждат центробежни сили,
които го връщат обратно в изходното положение
(това е свързано с инерчния момент /тах, който е
мярка за инертността на въртящите се тела). При
въртене на тялото около оста с то е устойчиво
само при отсъствие на външно въздействие. Всяка
външна сила, която го отклони, макар и съвсем леко, става причина то да
се завърти на 90° и да започне да се върти около оста а. (Въртенето около
оста b е неустойчиво.) Ето защо при всички механизми и системи на
въртене в практиката е много важно да се подбира подходяща ос, особено
при въртене с голяма ъглова скорост. За да се запази положението на оста
непроменено, най-често се използват лагери, към които тя се закрепва.
Когато въртенето се извършва около неподходяща ос, възникналите цент­
робежни сили могат да доведат до огъване или счупване на оста (при
бързо въртене).
Свойството на свободните оси да запазват направлението си в прост­
ранството намира голямо практическо положение в специални устройства,
наречени жироскопи. Жироскопът представлява масивно еднородно тяло,
което се върти с голяма ъглова скорост около свободна ос. Неговото
действие се обяснява със закона за запазване на момента на импулса и
може да се разглежда ка­
то една демонстрация на
този закон. В качеството
на жироскоп ще използ­
ваме бързо въртящо се
колело, което държи в
ръцете си човек, застанал
върху въртящо се столче
(фиг. 4.11). Ако оста на
въртене
на
столчето
означим с OZ, а тази на
жироскопа с OY, в на­

Фиг. 4.11

68

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

чалния момент двете оси са взаимноперпендикулярни. Моментът на им­
пулса L на колелото е насочен по оста OY (L = Ly = const; Z, = 0). Когато
човекът държи жироскопа хоризонтално (фиг. 4.1 \
а) и го премества надо­
лу или нагоре, без да променя направлението на оста му на въртене (тя
остава успоредна на OY), столчето е неподвижно (М = Mz = 0). Ако чо­
векът започне да издига оста на колелото нагоре (фиг. 4.11 б), моментът
на импулса се променя, вследствие на което върху оста OZ се появява вър­
тящ момент Mz= AL/At. Тъй като за системата човек-колело-столче момен­
тът на импулса се запазва постоянен, столчето започва да се върти в посока,
обратна на тази на колелото, при което се появява въртящ момент -М-, кой­
то компенсира М.. Резултантният въртящ момент по оста OZ отново става
равен на нула, т.е. моментът на импулса е L = const. Следвайки аналогията
между постъпателните и въртеливите движения, съгласно горните резултати
може да се формулира следното правило. Ако едно тяло действа на друго и
му придава някакъв въртящ момент М 12, то второто тяло оказва обратно
въздействие върху първото с въртящ момент М2\
, който е равен по големина
и обратен по посока на М\2:

М\2 = —М j 1•
С други думи, третият принцип на Нютон е в сила и при въртеливите
движения. В такъв случай разглежданият опит може да се обясни по
следния начин. Човекът с ръцете си се опитва да промени направлението
на оста на колелото и предизвиква появата на въртящ момент Mz. От своя
страна въртящото се колело противодейства, в резултат на което столчето
и човекът се завъртат в обратна посока (създава се въртящ момент -М-).
Принципът на действие на жироскопите се използва в различни нави­
гационни прибори като жирокомпаси, жирохоризонти и др., които служат
за регулиране посоката на движение на транспортните средства (кораби,
влакове, самолети, ракети и др.).
(Теорията на жироскопите и тяхното приложение се разглежда поподробно в теоретичната механика.)

4.5. Законите за запазване като следствия от свойствата на
симетрия на времето и пространството
При изучаването на всички механични процеси е важен изборът на
подходяща координатна система, в която законите на механиката се пред­
ставят най-просто и нагледно. За такава система се приема инерциалната
система, спрямо която принципите на Нютоновата механика са инвариантни, т.е. запазват формата и вида си. О т гледна точка на съществуваща­
т а симетрия в природата инерциалната система м ож е да се разглежда

Класическа механика

69

като система, спрямо която времето е еднородно, а пространството изотропно и еднородно. В такава система, както знаем, всяко свободно
тяло, което се намира в покой в някакъв момент от време, запазва това си
състояние неограничено дълго. Опитът показва, че съществуват безброй
много инерциални системи, които се движат праволинейно и равномерно
една спрямо друга. Във всички тези системи свойствата на пространството
и времето са еднакви, както са еднакви и известните закони на класичес­
ката механика. В това се състои и смисълът на известния ни принцип на
относителността на Галилей, който представлява един от основните прин­
ципи на механиката.
Нека разгледаме закона за запазване на механичната енергия, който е
свързан с еднородността на времето. Под еднородност на времето се раз­
бира еквивалентността на различните моменти от време, избрани за нача­
ло на даден процес, по отношение на законите за движение в дадена зат­
ворена механична система. С други думи, всички процеси в една система
протичат по еднакъв начин независимо от избрания начален момент, ако
условията в системата са едни и същи и не се променят с времето. Можем
да проведем даден опит в определен момент от време, а след това да го
повторим в друг момент. Той ще протича по еднакъв начин, ако условия­
та, при които се извършва, се запазват същите. Следователно законът за
запазване на енергията не зависи от времето.
Друг закон за запазване, който възниква във връзка с еднородността
на пространството, е законът за запазване на импулса. Еднородността на
пространството се изразява в това, че законите за движение на телата в
затворена механична система не зависят от избора на начало на инерциалната координатна система. Ако общият импулс на дадена затворена сис­
тема има определена стойност спрямо едно начало на избрана координат­
на система, той ще има същата стойност и при всяко паралелно пренасяне
на системата като цяло в пространството, ако телата, участващи в нея, за­
пазват разположението си едно спрямо друго. С други думи, във всички
точки от пространството даден процес протича по един и същ начин. За­
конът за запазване на импулса е инвариантен спрямо преместване на на­
чалото на координатната система, тъй като всички точки от пространство­
то са еквивалентни.
Законът за запазване момента на импулса е свързан с друга форма на
симетрия в природата - изотропността на пространството. Изотропността
на пространството се изразява с факта, че ходът на механичните процеси
не се променя при изменение ориентацията на дадена инерциална система
в пространството. Законите за движение на телата в затворена система се
запазват същите при завъртане на цялата система на произволен ъгъл, тъй
като свойствата на пространството са еднакви във всички направления.

Въпроси и задачи
Колко видове движения на твърди тела познавате и с какво се характеризират те?
Кое от следните две тела ще има по-голям инерчен момент и защо - тънък диск с
радиус R и маса т и пръстен с външен радиус R, вътрешен г и маса т?
Маховик се върти равномерно с ъглова скорост 50 rad/s. При спиране на мотора за
време — 20
ускорение.

ъгловата му скорост става со = 0. Определете големината на ъгловото

Определете големината на ъгловата и линейната скорост на точките от ръба на диска
на грамофон с радиус г= 10 cm, който прави 45 оборота за минута.
В началото на пируета на фигуристка на лед големината па инерчния момент е
/, - 4 kg.m , а големината на ъгловата скорост со, = 5 rad/s. Каква ще бъде нейната ъг­
лова скорост, ако инерчният момент намалява два пъти?
Две топчета с маси т , = 5 g и т 2 = 7 g са закрепени на лека пръчка, масата на която
може да се пренебрегне. Разстоянието между тях е 40 cm. Изчислете инерчния момент­
на тази система в следните случаи: а) при въртене около ос, минаваща през средата на
разстоянието между топчетата; б) при ос на въртене, разположена на разстояние 10 cm
вляво от топчето с маса т = 5 g.
Може ли малка по големина сила да създаде голям въртящ момент?
Определете максималния момент на силата, създавана от велосипедист с маса т = 60 kg,
когато той се изкачва по наклонен път и натиска върху всеки педал с цялото си тегло.
Всеки педал при въртенето описва окръжност с радиус 20 cm.
Маховик във вид па диск с маса т = 50 kg и радиус R = 20 cm се развива и има честота
/= 450 оборота за минута. От този момент нататък маховикът е оставен сам на себе си
и под действието на силите на триене в момент от време t2 гой спира. Намерете мо­
мента Л/ на силата на триене, ако той се смята за постоянен и се знае, че след време
~ 50 s маховикът е спрял.

Електромотор се върти с честота / = 1500 оборота за минута. Определете въртящия
момент М, ако електромоторът развива мощност N = 500 W.

РАЗДЕЛ

II

МОЛЕКУЛНА ФИЗИКА И ТЕРМ ОДИНАМ ИКА
В предишния раздел изучавахме механичното движение на заобика­
лящите ни тела, чиито скорости са значително по-малки от скоростта на
светлината. Тези тела се наричат макроскопични, защото са изградени от
безброй много частици, невидими за човешкото око. Дори най-малката
прашинка, която можем да забележим с просто око, съдържа повече от
100 000 милиарда атома. Както знаем, градивните частици на всички ве­
щества (атоми и молекули) се намират в състояние на непрекъснато дви­
жение. Това движение е в основата на всички топлинни явления, които
наблюдаваме: гоплообмен, топлопроводност, промяна на агрегатните със­
тояния на веществата и др.
Исторически формирането на двата раздела от физиката - молекулна
физика и термодинамика, е свързано с изучаването на топлинните явле­
ния. Молекулната физика разглежда физичните свойства и агрегатните
състояния на телата във връзка с техния вътрешен строеж, а топлинните
явления - като резултат от вътрешното движение и взаимодействие на
съставните частици на телата. Термодинамиката от своя страна не се ин­
тересува от вътрешния атомно-молекулен строеж на веществата, а от тях­
ното състояние като единно цяло. Гя изучава различните превръщания на
енергията в една система и топлинните ефекти, които ги съпровождат.

Глава 5
ЕЛ Е М Е Н Т И НА М О Л ЕК УЛ Н А Т А Ф И ЗИ К А
5.1. Статистически и термодинамичен метод за изследване.
Основни параметри на макроскопичните системи. Молекулнокинетична теория за строежа на веществата
Дотук разглеждахме поведението на единични обекти: материална
точка, идеално твърдо тяло, система от материални точки. В молекулната
физика и термодинамиката се изучават обекти, които се състоят от oipoмен брой отделни елементи и се наричат статистически системи (ансамб­
ли). Всеки елемент от една статистическа система в известна степен има
независимо поведение. Най-простите примери за такива обекти са газовете
и течностите. Знаем, че атомите и молекулите, от които се състоят те, се
намират в състояние на непрекъснато движение. Явленията в статистичес­
ките системи могат да се разглеждат в два аспекта: микроскопичен - свър­

72

ОСНОВИ НЛ ФИЗИКАТА

зан с поведението на отделните частици, и макроскопичен - свързан с по­
ведението на ансамбъла от частици като цяло. В съответствие с това съ­
ществуват и два вида описания на тези обекти - микроскопично и макроскопично. Например ако искаме да проследим движението на една опреде­
лена частица от дадено количество газ, описанието ще бъде микроскопич­
но. Движението на тази частица ще се подчинява на законите на механи­
ката и средствата за неговото описание ще бъдат тези, които използвахме
за материалната точка. Но ако трябва да опишем действието на определе­
но количество газ върху една от стените на съда, в който е поставен той,
не можем да използваме традиционния подход от класическата механика.
По тези причини при изучаването на макроскопични системи във физика­
та се изменят съответно и методите за тяхното описание. Всяка макроскопична система се състои от огромен брой еднотипни частици. Поведение­
то на отделните частици не е толкова интересно, колкото поведението на
системата като цяло. Съществуват два метода за изучаване свойствата на
макросистемите: статистически и термодинамичен. Двата метода са
тясно свързани помежду си и взаимно се допълват. В молекулната физика
се използва статистическият метод на изследване. При този метод се изу­
чават физичните закони в една макроскопична система, като се използват
средни стойности на физичните величини (наричат се просто средни фи­
зични величини), характеризиращи общото поведение на частиците в сис­
темата. Така например температурата на едно тяло е свързана със ско­
ростта на топлинното движение на неговите молекули. В произволен мо­
мент от време молекулите се движат с различни скорости и е невъзможно
да се определи скоростта на всяка молекула поотделно. Средната стойност
на скоростта на топлинното движение на молекулите определя температу­
рата на тялото. Понятието температура на една молекула е лишено от
смисъл. Средните физични величини, използвани при статистическия ме­
тод, се подчиняват на законите на теорията на вероятностите и математи­
ческата статистика, затова и методът се нарича статистически. При термодинамичния метод не се интересуваме от вътрешния строеж и характера
на движението на отделните частици в една макросистема. Чрез този ме­
тод се изучават различните превръщания на енергията, които се осъщест­
вяват в дадена макросистема като цяло. При него се използват физични
величини като налягане, обем, температура, маса, които могат да се измер­
ват опитно и характеризират свойствата на системата като цяло. За найпростите системи от газове състоянието обикновено се описва от трите ве­
личини - налягане, обем и температура, които се наричат основни макрос­
копични параметри. Ще се спрем поотделно на тези три параметъра.
Температурата е количествена мярка за нагряването на телата. От
всекидневния ни опит е известно, че при допир на две тела с различни

Молекулна физика и термодинамика

73

температури между тях се осъществява пренос на топлина до достигане на
топлинно равновесие, при което температурите им се изравняват. Опитно
установен факт е, че температурата е свързана с хаотичното движение на
молекулите. Тя може да се дефинира и като количествена мярка за интен­
зивността на топлинното движение. Колкото температурата на дадено тя­
ло е по-висока, толкова по-интензивно е движението на неговите градивни
частици.
За практическо измерване на температурата се използват главно две
скали - международна температурна и термодинамична температурна. В
международната температурна скала (скала на Целзий) температурата се
изразява в градуси Целзий [°С] и се означава с /. По тази скала температу­
рата на топене на леда при нормални условия се приема за 0 °С, а темпе­
ратурата на кипене на водата е 100 °С. В термодинамичната температурна
скала (скала на Келвин) температурата се изразява в келвини [К] и се оз­
начава с Т. Тази скала се отличава от скалата на Целзий само по положе­
нието на нулата. При нея температурата на леда при нормални условия се
приема за 273,15 К, а температурата Т = 0 К се нарича абсолютна нула.
(Абсолютната нула е практически недостижима температура.) Връзката
между температурата на едно тяло, измерена в келвини, и температурата
му в градуси Целзий се определя от следната зависимост:
Т [К] = t [°С]+273,15.
(5.1.1)
Във всекидневието обикновено си служим с температурната скала на
Целзий, а във физиката е прието температурата да се измерва в келвини.
Келвинът [К] е една от основните мерни единици в Международната
система СИ.
Обемът на единица маса от дадено вещество се нарича специфичен
обем (vcn). Ако веществото е хомогенно, т.е. неговата плътност р е посто­
янна, е изпълнено vcn= Vim = 1/р, където V е общият обем на тялото. Спе­
цифичният обем и плътността на хомогенните тела са реципрочно свърза­
ни: vgnp = 1. Ако едно тяло има постоянна маса (m = const), неговият общ
обем Ve пропорционален на специфичния му обем (V = mvcn), поради кое­
то макроскопичните му свойства могат да се характеризират и с общия
обем V. Мерната единица за обем е кубичен метър [т ].
Като макроскопичен параметър налягането най-общо може да се оп­
редели по следния начин: нормална сила, действаща върху единица площ:

Означава се с Р и се измерва в единици нютон на квадратен метър [N/m2].
В системата СИ тази единица се нарича още паскал [Ра].
Известно е, че всички вещества са изградени от огромен брой микро-

74

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

частици. Идеята за атомния строеж на материята е била изказана още в
дълбока древност от гръцкия философ Демокрит (V в. пр.н.е.), но близо
две хилядолетия тя остава само едно предположение. Причината за това е
фактът, че размерите и масите на атомите и молекулите дълго време са
били неизвестни. Едва през X IX в. заедно с бурното развитие на химията и
физиката тази хипотеза се превръща в научна теория, известна като молекулно-кинетична теория за строежа на веществата.
Съвременната молекулно-кинетична теория се базира на няколко ос­
новни положения:
- Всички вещества имат прекъснат (дискретен) строеж. Те са съставе­
ни от малки, неделими в химично отношение частици, наречени атоми.
Съединенията на атомите се наричат молекули. Молекулите могат да бъ­
дат прости - съдържащи еднакви атоми, и сложни - съставени от два или
повече различни атома.
- Атомите и молекулите, изграждащи всички вещества, се намират в
състояние на непрекъснато хаотично движение независимо от агрегатното
състояние, в което се намират. Това движение се нарича топлинно.
- Между отделните молекули на дадено вещество действат сили на
привличане и отблъскване, които се наричат междумолекулни сили. Тези
сили имат електричен произход.
Характерът на топлинното движение на атомите и молекулите зависи
от взаимодействието между тях и от агрегатното състояние на веществото.
Всществата се срещат главно в три основни агрегатни състояния: твърдо,
течно и газообразно. (От тях теоретично най-пълно са изучени газообразното и твърдото кристално състояние.)
- Твърдо кристално състояние: в това състояние телата се характери­
зират със собствена форма и собствен обем. Съставните им частици са
подредени в периодични структури с близък и далечен порядък, наречени
кристални решетки. Силите, с които си взаимодействат отделните части­
ци в това състояние, са големи и поради това с известно приближение се
приема, че частиците почти не се движат. Движението на частиците на
твърдите тела е силно ограничено. Те извършват трептения около опреде­
лени равновесни положения, които се наричат възли на кристалната ре­
шетка. Потенциалната енергия на взаимодействие между частиците е
много по-голяма от енергията на топлинното движение. Междуатомните
разстояния са много малки (от порядъка на 10 10 т).
- Газообразно състояние: веществата в това състояние нямат нито
собствен обем, нито собствена форма. Те заемат всеки обем, който им се
предостави. Разстоянията между отделните частици са толкова големи, че
практически между молекулните сили не влияят на движението им. По те­
зи причини газовите молекули се движат напълно свободно и хаотично.

Молекулна физика и термодинамика

75

Потенциалната енергия на взаимодействието между тях е пренебрежимо
малка в сравнение с кинетичната им енергия. С достатъчно голяма степен
на точност за тях може да се приеме, че извършват праволинейно и равно­
мерно движение до моментите, в които се сблъскват помежду си или със
стените на съда, в който се намират.
Течно състояние: в това състояние веществата имат само собствен
обем и нямат собствена форма при наличие на външна сила. Те заемат
формата на съда, в който се намират. Движението на молекулите в това
състояние има междинен характер - между движението на газовите моле­
кули и това на молекулите на твърдите тела. Потенциалната енергия на
взаимодействието между тях е приблизително равна на кинетичната. От
една страна, молекулите извършват трептения около някакво равновесно
положение, а от друга, се преместват постъпателно на малки разстояния,
сравними с техните размери. Между молекулните сили, действащи в теч­
ностите, са средни по големина в сравнение с тези в газовете и твърдите
тела. Най-сложно и все още недостатъчно добре изучено е движението на
молекулите в течно състояние.
Размерите на молекулите на всички вещества независимо от агрегат­
ното им състояние са много малки - от порядъка на 10 10 m, а броят им е
огромен. Например в 1 ш3 газ при нормални условия (температура
Г0= 273,15 К и налягане Р 0= 1,01.105 Ра) се съдържат приблизително 1025
молекули, а в твърдите тела и течностите - 1028. Ето защо всяко тяло или
определено количество от него (независимо от агрегатното му състояние)
от гледна точка на молекулната физика и термодинамиката може да се раз­
глежда като макроскопична система.
В системата СИ за единица количество вещество е приета единицата
мол [mol]. Един мол е количеството вещество на система, съдържаща тол­
кова атоми (или молекули), колкото атоми се съдържат в 0,012 kg от хи­
мичния елемент въглерод-12 (С 12). Масата на един мол вещество се нарича

моларна м аса и се означава с М.
В 1 mol от кое да е вещество се съдържат един и същ брой атоми или
молекули, наречен число на Авогадро. То се означава с NA\
Na = 6,022.1023 т о Г ‘.

(5.1.3)

С помощта на молекулно-кинетичната теория се обясняват редица яв­
ления и свойства на телата, като дифузия, топлопроводност, топене, изпа­
рение, кристализация и др. На нея се базират и всички опити за създаване
на различни нови материали с ценни и интересни свойства за найразнообразни технически приложения.

76

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

5.2. Основмо уравнение на молекулно-кинетичната теория
за идеален газ
Както в механиката въведохме един модел на най-просто тяло (мате­
риалната точка), с помощта на което опростено и нагледно формулирахме
основните закономерности при движението, така и тук трябва да въведем
подходящ модел за изследване. Най-простата макроскопична система за
изучаване чрез статистическия метод е идеалният газ. За идеален газ се
приема този, в който собственият обем на молекулите и силите на взаимо­
действие помежду им се пренебрегват. Ударите на молекулите помежду
им и със стените на съда, в който се намира газът, се разглеждат като абсолютно еластични (известно е, че при абсолютно еластичен удар кине­
тичната енергия на системата от тела преди и след удара е една и съща - в
сила са законите за запазване на импулса и енергията).
Моделът на идеалния газ не е силно идеализиран, тъй като голяма
част от газовете при немного големи налягания и немного ниски темпера­
тури отговарят на тези условия. Например въздухът, който е смес от раз­
лични газове, при обикновени условия се подчинява на законите за
идеалния газ.
Състоянията на идеалния газ се характеризират от трите основни па­
раметъра - обем, налягане и температура. Тези три величини се разглеж­
дат като степени на свобода, характеризиращи газа. Може да се въведе
координатна система, в която всяко състояние на газа да се определя от
една точка. Такава система във физиката се нарича фазово пространство.
При изменение състоянието на газа точката се движи по някаква крива,
която се нарича траектория във фазовото пространство. Обикновено
състоянието на газа се определя в равнината „обем (абсцисата)-налягане
(ординатата)” на координатната система. Това е свързано с факта, че при
постоянна маса на газа в даден обем от трите основни параметъра само два
са независими.
Основното уравнение на молекулно-кинетичната теория свързва па­
раметрите на състоянието на газа с характеристиките на движение на мо­
лекулите му, или определя връзката между налягането, обема на газа и
кинетичната енергия на постъпателното движение на неговите молекули.
а
Нека определено количество иде­
ален едноатомен газ е затворен в съд
с цилиндрична форма (фиг. 5.1). Га■V
, "
1
1 '
1 /Ц ^ зовите молекули се движат свободно
\/
и хаотично, техните скорости са раз­
IU
1' /
h = v,A/V ,
лични по големина и посока. Предпо­
f ;
лагаме, че броят на ударите на
Фиг. 5.1
молекулите помежду им е много по-

Молекулна физика и термодинамика

77

малък от броя на ударите им със стените на съда и поради това тези удари
могат да се пренебрегнат. Допускаме, че при всеки удар със стената на съ­
да скоростта на молекулите се променя по посока, но не и по големина.
При тези удари молекулите упражняват определен натиск върху стената,
който отнесен към единица площ определя налягането Р на газа. За опрос­
тяване на пресмятанията предполагаме още, че молекулите се движат по
три взаимноперпендикулярни направления. В такъв случай във всеки мо­
мент от време по всяко направление ще се движат по 1/3 от всички моле­
кули, като половината от всяка 1/3 (1/6 от общия брой) ще се движат в
едната от двете възможни посоки на всяко направление. Избираме произволна малка площ AS от едната основа на цилиндъра. Нека пресметнем
налягането Р, което молекулите на газа оказват върху нея (разглеждаме
движението на молекулите само по оста О Х - вж. фиг. 5.1). Всяка, достиг­
нала до площта молекула при абсолютно еластичен удар й предава няка­
къв импулс, който при голям брой на ударите се проявява като постоянно
действаща сила. Числено тази сила се определя от изменението на импулса
на молекулите за единица време (F = Ар/At). Най-напред ще определим
изменението на импулса на една молекула от газа с маса т, и скорост v,
при удар със стената. Ако импулсът преди удара е р и= w,v„ след удара той
ще бъде рц = -m,v„ а изменението му е Др, = 2/ед. Тъй като разглеждаме
движение на молекулите само по оста ОХ , за интервал от време Д/ до
площта AS ще достигнат само тези молекули, които се намират в цилиндъ­
ра с основа AS и височина h = v,A/ (вж. фиг. 5.1). Броят на молекулите, ко­
ито се намират в този цилиндър, е равен на произведението от обема на
цилиндъра и концентрацията п на молекулите: nASh = nASv,At. (Концент­
рацията на молекулите се определя от броя им в единица обем: п = N/V,
където N е броят на газовите молекули в целия цилиндър, a V - обемът
му.) Общият брой на ударите на молекулите, които се движат по оста ОХ
към площта AS, е: (\/6)nASv,Al, а изменението на общия импулс Ар, обус­
ловен от тези удари, се определя от следния израз:

Ар = 2 т,.V,-—nASv,Af = —m(vf nASAt.
(5.2.1)
6
3
Съгласно определението за налягане (5.1.2) и втория принцип на Нютон от
механиката получаваме
P = IjL = J V - = )-mt f n .
(5.2.2)
AS AlAS 3
В горната формула с V, е означена скоростта на една молекула от газа. Казах­
ме, че в молекулната физика се използват средни физични величини, които
характеризират поведението на системата като цяло. Поради това ще въведем
понятието средна квадратична скорост , която се определя от следния израз:

78

ОСНОВИ ПА ФИЗИКАТА

2> ,2

М

=] 1 ~ .

(5.2.3)

където N е броят на газовите молекули, движещи се постъпателно в
разглеждания обем със скорости съответно vb v2,...,vN. За да обобщим
уравнение (5.2.2) за системата като цяло, заместваме v, с (vkB\:
/>= jOT,«(vk, ) 2.

(5.2.4)

Концентрацията на газа можем да заместим с N/V и ще получим
D

P=

1N

/

\2

•

Умножавайки и разделяйки горната формула на
получаваме зависимостта между налягането Р, обема
енергия на молекулите:

PV = \Ek,

(5.2.5)
2, окончателно
V и кинетичната

(5.2.6)

където (l/2)m /vkB) = (Eki) е средната кинетична енергия на една молекула,
а Ек - пълната кинетична енергия на постъпателното движение на
всичките N газови молекули в цилиндъра. Изразът (5.2.6) се нарича
основно уравнение на молекулно-кинетичната теория за идеалния газ.
Направените точни пресмятания, които отчитат движението на
молекулите по всички възможни посоки, дават същата формула.
Ако в цилиндъра има 1 mol идеален газ, горпото уравнение може да се
запише по следния начин:

PVm=(2/3)Ek,
(5.2.7)
където Vn, е обемът на 1 mol газ. Известно е, че състоянието на идеалния
газ се определя от уравнението на Клапейрон-Менделеев, което свързва
трите основни параметъра Р, V и Т с универсалната газова константа R
(R = 8,31 J/mol К). Или по-точно за 1 mol газ можем да запишем
PVm= RT.
(5.2.8)
От сравнението на (5.2.7) с (5.2.8) следва
Ek = \КТ ■

(5.2.9)

От горната формула непосредствено се вижда, че пълната кинетична
енергия и температурата на газа се отличават само с една константа.
Следователно може да се твърди, че температурата е мярка за кинетичната
енергия на газа. Тъй като молекулите на идеалния газ си взаимодействат
само при удар, а ударът е еластичен, може да се смята, че кинетичната
енергия на газа е равна на неговата пълна енергия:

Молекулна физика и термодинамика

Е = —R T .

79

(5.2.10)

2
От получената зависимост става ясен и смисълът на температурата
О К - абсолютната нула. Това е такава температура, при която се прекра­
тява всяко постъпателно движение на молекулите на газа. (Неправилно е
да се твърди, че при тази температура се прекратява въобще всякакво
движение. Трептенията както в рамките на отделните молекули, така и в
твърдите тела при 0 К се запазват.)
Ако разделим израза (5.2.10) на броя на молекулите в разглеждания
обем, ще получим средната енергия на една молекула:

Е
3R
/г \
1т
---= ----- Т = ( Е ) - —кТ
Na 2 Na
Х '
2
*

(5.2.11)

където к = RINa е константата на Болцман {к = 1,38.10 23 J/К). Необ­
ходимо е да отбележим, че коефициентът 3 не е случаен. Той е следствие
от предположението, че молекулите на идеалния газ извършват само
постъпателно движение. Знаем, че това движение се характеризира с три
степени на свобода. Изводът е, че в идеалния газ на всяка степен на
свобода се пада енергия, равна на 1/2 (движението на молекулите по три
взаимноперпендикулярни направления е равностойно).
За реален газ, който се състои от молекули, извършващи не само пос­
тъпателни, но и по-сложни движения, броят на степените на свобода / е
по-голям. В такъв случай формулата (5.2.11) ще придобие вида:

{ E) = U T ,

(5.2.12)

Не е трудно да се определи и зависимостта между средната квадратична скорост (v^b) и температурата Т на идеалния газ. От приравняването
на (5.2.11) и <£;.,) = (l/2)w,(vkB)2 получаваме
(5.2.13)
Средната квадратична скорост зависи от температурата на газа и масата на
молекулите, от които е съставен. Очевидно при една и съща температура
молекулите на по-тежките газове ще се движат с по-малка скорост.
Основното уравнение на молекулно-кинетичната теория може да се
представи и в друг вид. Заместваме израза (5.2.13) в (5.2.5):
_
1N
3кТ N
.
Р = --- т . --- = — кТ; PV = NkT
3V
т(
V
'

(5 2 14)
К
'

От този вид на уравнението могат да се изведат всички опитно установени
газови закони:

80

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

- Закон на Бойл-Мариот: произведението от налягането и обема на
определена маса газ т при постоянна температура е постоянна величина.
За определено количество газ с параметри Р, V и Т прилагаме основното
уравнение на молекулно-кинетичната теория

PV=NkT ;
където N е броят на молекулите в дадената маса газ и е постоянна
величина, а ке константата на Болцман. В такъв случай

PV = const.
- Закон на Шарл : отношението на налягането към температурата на
определена маса газ m при постоянен обем е постоянна величина. Отново
прилагайки уравнението (5.2.14), получаваме

PV = NkT\

Р
Nk
— = — = const.
T
V

- Закон на Гей-Люсак: отношението на обема към температурата на
определена маса газ m при постоянно налягане е постоянна величина. От
прилагането на (5.2.14) следва
PV = NkT;

V Nk
— = — = const.
T
P

- Закон на Авогадро: два различни газа с равни обеми при еднакви
температури и налягания съдържат еднакъв брой молекули. От основното
уравнение на молекулно-кинетичната теория за двата газа следват зависи­
мостите

P xVx= N xkTx,
P2V2= N2kT2.
От почленното разделяне на горните две равенства и при отчитане на
условията P\=P2t V\= V2 и Т\-Т2 получаваме ЛУЛ^= 1, откъдето следва, че
N\=N2. Ако двата газа заемат еднакъв обем V\=V2-\ m3 при нормални
условия Р 0= 1,01.105 Ра и Т0= 273,15 К, броят на молекулите е

N. = ^ = 2,68.102!ш-3.
*Г0

(5.2.15)

Величината Nl е друга константа, която се нарича число на Лошмид и
определя броя на молекулите в 1 т 3 произволен газ при нормални
условия.
- Закон на Клапейрон-Менделеев за идеалния газ: произведението от
налягането и обема на 1 mol идеален газ е пропорционално на температу­
рата на газа с една постоянна величина R - универсалната газова констан­

Молекулна физика и термодинамика

81

та ( PVm=RT). Прилагаме уравнението (5.2.14) за 1 mol идеален газ:

PVlfl= N AkT;
където Na е числото на Авогадро, a V,„ - моларният обем. Произведението
NAk има една и съща стойност за всички газове, това е универсалната
газова константа R. Следователно
PVm=RT.
(5.2.16)
За произволна маса газ т, в която се съдържат N молекули, трябва да оп­
ределим броя на моловете, които се съдържат в нея. Отношението на маса­
та т на газа към моларната маса М определя този брой: V = т/М. В този
случай получаваме

PV = NkT = N{R/Na)T= vRT,
(5.2.17)
където v = т/М = NmJNAmt. Изразът (5.2.17) се нарича уравнение на Клапейрон-Менделеев за състоянието на произволна м аса идеален газ т. При
V = 1 (т = М) получаваме уравнението на Клапейрон-Менделеев за 1 m o l
газ (5.2.16). Не трябва да се забравя, че това уравнение описва състоянието
на идеалния газ. За реалните газове то може да се използва с достатъчно
голяма точност само при немного високи налягания и немного ниски тем­
ператури.

5.3. Закон на Максуел за разпределение на молекулите в
газовете по скорости и енергии
Съгласно молекулно-кинетичната теория молекулите на всеки газ се
движат свободно и хаотично със скорости, различни по големина и посока.
При извода на основното уравнение за идеалния газ разгледахме една макроскопична система от N на брой молекули, движещи се с различни ско­
рости vb V 2 ,...,V h , и въведохме понятието средна квадратична скорост за
характеризиране на състоянието й. Допуснахме, че в с и ч к и молекули на
газа се движат с еднаква скорост, равна на (vkB). Това предположение е
вярно само за опростения модел на газа, който използвахме при извода на
основното уравнение. Реално в една газова система поради ударите на мо­
лекулите една с друга и със стените на съда винаги съществуват както мо­
лекули с относително малки скорости, така и такива с доста големи ско­
рости.
Един от важните въпроси в молекулната физика е какво ще бъде разп­
ределението на частиците в една система по скорости, т.е. какъв брой час­
тици ще имат скорости в определен интервал. Този въпрос е бил изучен от
английския физик Дж. Максуел и определената от него зависимост носи
названието закон на Максуел за разпределение па молекулите по скорости

82

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

(фиг. 5.2). Оказва се, че сред моле­
кулите, движещи
се
с
найразлични скорости, при определе­
на температура може да се отдели
една голяма част от тях, която се
движи с определена скорост, наре­
чена най-вероятна скорост. Тя се
означава с ve и макар че е твърде
близка до (vkB), се различава от нея.
Молекулите със скорости, поголеми или по-малки от v„, са помалко на брой и се срещат порядко. Характерно за кривата на разпределението на Максуел е това, че тя
не е симетрична спрямо максимума си, съответстващ на най-вероятната
скорост. Броят на бавно движещите се частици се оказва по-малък от този
на бързо движещите се (вж. фиг. 5.2).
Изводът на аналитичния вид на кривата на разпределението на Максу­
ел е твърде сложен, поради което ние ще се ограничим само с изложението
на някои основни физични съображения и окончателния резултат.
Не е възможно да се определи точната скорост, с която се движи всяка
молекула от дадена макроскопична система. Нека разгледаме система от
еднороден газ, заемащ определен обем и съдържащ N на брой молекули.
Означаваме масата на една молекула с т, и предполагаме, че температура­
та във всички части на обема е еднаква (Т = const). Върху системата не
действат външни сили. Допускаме още, че съществува някакъв микроприбор (неговата конструкция в случая не е важна), който може да регистрира
всички частици от системата, скоростите на които попадат в някакъв ма­
лък интервал: от Vi до V\+d\>. Частиците със скорости извън този интервал
няма да бъдат регистрирани от прибора. Приборът е малък и може да се
разполага в различни участъци от обема на газа. За определен интервал от
време той ще регистрира някакъв брой частици със скорости, лежащи в
интервала (vb v\+dv). Ако фиксираният интервал от време е много малък,
възможно е да не бъде регистрирана нито една частица, ето защо е необ­
ходимо интервалът от време да бъде подходящо избран. Броят на регист­
рираните частици в дадения интервал ще бъде еднакъв за различни облас­
ти от обема, тъй като разглежданата система газ се намира в състояние на
топлинно равновесие. Поради това че всички части от обема на газа са ек­
вивалентни, лесно се определя общият брой на частиците в газа, чиито
скорости се намират в зададения интервал. Означаваме техния брой с
dN(vi). Пренастройваме микроприборът за регистрация на частици в друг
интервал от стойности на скоростта - (v2, v2+dv) и получаваме съответно

Молекулна физика и термодинамика

83

друга стойност за броя на частиците със скорости в този интервал - dN(v2).
Така, настройвайки прибора за голям брой стойности на скоростта v, раз­
положени през равни интервали dv, и измервайки съответния брой части­
ци, ще получим редица от стойности: dN(v\), dN(v2),..., dN(vk). Ако всяка от
получените стойности разделим на общия орой газови молекули N в обе­
ма, ще получим относителния брой частици, които имат скорости, лежащи
в съответния интервал (v, v+dv).
От математична гледна точка този брой може да се представи графично чрез площта dS на един правоъгълник с основа, равна на широчината на
всеки от интервалите dv, и височина — стойността на някаква функция на
скоростта на частиците flv) в дадена точка от всеки интервал.

dN(v± = f(v )d v = d S ,
(5.3.1)
N
(flv) определя относителния брой на частиците с определена скорост в
произволна точка от разглеждания интервал). Функцията fly) се нарича
функция на разпределението па молекулите по скорости. Ако кривата на
фиг. 5.2 е възможната форма на тази функция, се вижда, че площта под
нея може да се раздели на безброй много правоъгълници dS, с еднакви
основи dv и различни височини — стойностите на flv) за различните
скорости v във всеки един от интервалите (v, v+dv). Площта на всеки от
тези правоъгълници ще съответства на относителния брой молекули
dN(v)/N, които имат скорости, принадлежащи на съответния интервал. В
такъв случай пълната площ под кривата ще съответства на всичките
(100%) молекули, участващи в разглежданата система газ. Сумирайки
площите на правоъгълниците dS„ ще получим пълната площ, която трябва
да бъде равна на 1. Тъй като при dv—>0 броят на правоъгълниците е
безкрайно голям, действието сумиране се заменя с интегриране:
оо

I N

\f(v)dv = — jdW(v) = 1= 100% .
(5.3.2)
0
^0
Следователно функцията flv) на разпределението на молекулите по
скорости трябва да бъде така определена, че да удовлетворява горното
условие, което се нарича условие за нормировка.
С помощта на теорията на вероятностите Максуел е определил анали­
тичния вид на функцията fly) със следната зависимост:
/ ( v ) = 4n

Щ
V 2пкТ

v2 ехр

2кТ

(5.3.3)

където к е константата на Болцман, Т - температурата на газа в раз­
глеждания обем, а т, —масата на една газова молекула. В такъв случай
броят dN(v) на молекулите със скорости в интервала (v, v+dv), изразен

84

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

чрез функцията на Максуел Ду), ще бъде

dN(v) = N4n

f т.
™ \
3/2
v2exp
2пкТ

2A
dv.
2kT

/7 7, V

(5.3.4)

Кривата на фиг. 5.2 съответства на вида (5.3.3) на функцията^у) и се
нарича крива па Максуел за разпределение на молекулите по скорости. От
израза (5.3.3) се вижда, че конкретният вид на J[v) зависи от вида на газа
(масите ///, на молекулите му) и от неговата температура. За един и същ газ
с повишаване на температурата максимумът на кривата се отмества на­
дясно, тъй като нараства относителният брой на молекулите с по-големи
скорости (фиг. 5.3). При температура Т2 > Т\ се засилва хаотичността на
движението на газовите молекули, поради което съответната крива става
по-плоска и разтегната. Площ­
та на двете криви е еднаква,
тъй като представлява броят
на молекулите в разглеждана­
та система.
Характерно за функцията
на Максуел е, че започва от
нула, достига до определен
максимум и след това плавно
намалява, като при v-»oo отно­
во става нула (в системата не съществуват молекули със скорости у = 0 и
у-»оо). Максимумът на кривата съответства на най-вероятната скорост ув
на молекулите при определена температура. За да определим тази скорост,
трябва да намерим производната на функцията J{v) спрямо у и д а я при­
равним на нула (използваме условието за намиране на максимум на функ­
ция):
2\
/77, У
dj_( v ) _
m,v2\
= 2v 1exp
=
(5.3.5)
dv
~2kT
2 kT

0

При y = 0 и у—>oo изразът (5.3.5) е равен на нула, т.е.Ду) има минимум. От
приравняването на нула на израза в скобите от (5.3.5) получаваме
търсената стойност на ув:
//;,у

~2кТ

= 1; v„ =

(5.3.6)

Вижда се, че тя е близка по стойност до (vkB^ = -JlkT////, . С нарастването на
температурата ув се отмества надясно към по-големите стойности, което е
свързано със засилване на хаотичния характер на движението на молекулите
на газа. От (5.3.6) следва още, че при една и съща температура Т два
различни газа ще имат различна най-вероятна скорост: молекулите на по-

85

Молекулна физика и термодинамика

тежкия газ ще се движат с по-малка най-вероятна скорост. От кривата на
фиг. 5.2 се вижда също, че по-голямата част от молекулите в разглеждана­
та система се движат със скорости, близки до vB. При скорости v < vB и
v > vBброят на молекулите намалява. Това е свързано с топлинното равно­
весие на газа в разглеждания обем.
От закона на Максуел се определя теоретично и още една скорост, с
която се характеризира постъпателното движение на газовите молекули средноаритметичната скорост. Означава се с (v) и се определя от
следната зависимост:
(5.3.7)
7Ш,

Следователно при определена температура състоянието на всеки газ се
характеризира с три скорости на молекулите: най-вероятна, средноаритме­
тична и средноквадратична, чиито стойности са близки една до друга (вж.
фиг. 5.2).
От функцията на Максуел за разпределение на молекулите по скорос­
ти може да се получи и функцията за разпределение на молекулите по тех­
ните енергии. В идеалния газ при отсъствие на външно поле молекулите
имат само кинетична енергия. Скоростите на частиците са свързани с тех­
ните кинетични енергии. В такъв случай, за да получим разпределението
по енергии, е необходимо само да заменим променливата v във функцията
Ду) с кинетичната енергия на една молекула £ = w,v“/2. Изразяваме про­
менливата v чрез енергията е:
m,v
12£
j
d&
£ = —-— =i> v = I— ; dv- ,
2
y mi
д/2m,£

t $ ъ q\
p . 3.5)

Тогава замествайки (5.3.8) в (5.3.4) и извършвайки известни преобразува­
ния, за броя на молекулите dN(z) с кинетична енергия на постъпателното
движение в интервала от £ до £ + dz ще получим

dN (е)= ^
( к т У 2£1/2 ехр(--^-\/£ = N / (£>/£.
(5.3.9)
у/п
{ к1 )
Самата функция f[z) на разпределение на молекулите на газа по енергии
при определена температура Т е
/ ( е ) = - -i=\.
? - ( * w
Г ) ,~ 3 / 2 е ' / 2 v»„
ехр

£

~кТ

.

(5.3.10)

л/л
Изразът (5.3.10) се нарича функция на Максуел за разпределение на моле­
кулите по енергии при определена температура.
За да придобием някаква представа от какъв порядък са скоростите на

86

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

газовите молекули, може да пресметнем най-вероятните скорости на мо­
лекулите на няколко различни газа. Формулата за vB може да се преобра­
зува по следния начин:
(5.3.11)
където р е плътността на съответния газ, а М - неговата моларна маса
( M = N Am,). Да пресметнем най-вероятните скорости на водорода и
въздуха (въздухът е смес от няколко различни газа) при температура Т0 =
273,15 К и нормално налягане Р0 = 1,01.10'' Ра. При тези условия
плътността на водорода е Рц2 = 0,09 kg/m3, а на въздуха рв= 1,29 kg/m3. От
(5.3.11) получаваме съответно за най-вероятната скорост на водорода vB»
1500 m/s, а на въздуха vB« 400 m/s. Следователно най-вероятната скорост
на въздушните молекули е от порядъка на скоростта на обикновен
куршум, а тази на водородните молекули е съизмерима със скоростта на
най-бързите снаряди. Получените резултати се потвърждават и от
експериментални данни.
Първото опитно измерване на скоростта на
хаотичното топлинно движение на газовите мо­
лекули е осъществено от немския физик
О. Щерн през 1920 г. Принципната постановка
на Щерн е показана на фиг. 5.4. Два цилиндъра
с радиуси г и R са поставени един в друг и са
вакуумирани много добре. По оста на вътреш­
ния цилиндър е опъната платинена нишка, пок­
рита със слой от сребро, която може да се наг­
Фиг. 5.4
рява с електричен ток. По една от образувателните на вътрешния цилиндър има процеп Р. Двата цилиндъра могат да се
въртят около обща ос. При нагряване на платинената нишка среброто за­
почва да се изпарява. Отделените молекули сребро се разпръскват радиално по всички посоки. При неподвижно състояние на двата цилиндъра част
от молекулите преминават през процепа Р и попадат върху външния ци­
линдър. Кондензирайки върху вътрешната му повърхност, те образуват
рязко очертана и равномерно покрита със сребро ивица Р\- образ на про­
цепа Р. Когато двата цилиндъра се завъртят около общата си ос с посто­
янна ъглова скорост со, за интервал от време At сребърните молекули се
отместват на разстояние AS от ивицата Р\. Образът на процепа в този слу­
чай представлява размита ивица Р2Р\. Нека означим ъгъла на завъртане на
двата цилиндъра с Дср, тогава AS- RAy. Следователно
Дср = AS/R = соA t ; At =AS/(R(i)).
За същото време сребърните молекули, които се движат със средна
скорост v, изминават пътят, равен на (R-r) (РР{« РР2)- В такъв случай за

87

Молекулна физика и термодинамика

тяхната скорост се получава следният израз:

(R - r ) AS
(о(Л-г
At = ------ = — ; v = — --v
toR
Аф

(5.3.12)

Величините, участващи в горната формула, могат да бъдат измерени огштно
и получената стойност за v в границите на допустимата експериментална
грешка съответства на теоретично определената скорост по формулата на
Максуел. Чрез изследване дебелината на отложения слой сребърни молеку­
ли при този опит може да се оцени и разпределението на молекулите по
скорости. Размитата ивица е най-плътна в средата и постепенно изтънява
към краищата. Причината за това е различната скорост на молекулите. По­
вечето от тях се движат със скорости, близки до най-вероятната, и се отлагат
в средната част на ивицата, където тя е най-плътна.

5.4. Закон на Болцман за разпределение на молекулите в
потенциално поле
Законът на Максуел за разпределение на молекулите по скорости е
изведен теоретично за газ, на чиито молекули не действат външни сили.
Ако обемът с газ, който разглеждаме, се намира в някакво силово поле
(например гравитационно или електростатично), такива сили се появяват.
Молекулите на газа при отсъствие на поле са разпределени равномерно по
целия обем и се различават само по скоростите си. Действието на външно
поле довежда до неравномерно разпределение на молекулите в пространс­
твото, заето от газа. В новото състояние частиците на газа ще се характе­
ризират, от една страна, с разпределение по скорости, а от друга, с някак­
во разпределение в пространството, заемано от газа.
Ще разгледаме разпределението на въздушните молекули в земното
гравитационно поле. Знаем, че газовите молекули имат свойството да за­
пълват равномерно целия обем, който им се предостави. Защо тогава въз­
душните молекули не се разпръсват равномерно из цялото космическо
пространство, а се задържат ниско над повърхността на Земята? Всички
сме забелязали, че когато се изкачваме в планините, колкото по-високо е
мястото, до което сме достигнали, толкова по-разреден е въздухът там.
Разпределението на въздушните молекули се изменя с височината над
земната повърхност. Причината за това са действащите около повърхност­
та на Земята гравитационни сили.
За да определим разпределението на въздушните молекули в гравитационното поле на Земята, ще разгледаме един вертикален въздушен стълб
(фиг. 5.5). От този стълб избираме малък цилиндър с основа S и височина
clh. Елементарният обем, съответстващ на цилиндъра, е dV = Sdh. Означа­
ваме с п концентрацията на молекулите. Допускаме, че земното гравита-

88

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

ционно поле е хомогенно (g = const),
Px+dP температурата Т на въздуха е постоян­
на и масите т, на всички молекули са
р\
еднакви (w, = const). Разстоянието
между долната основа на цилиндъра и
земната повърхност означаваме с h\, а
налягането, съответстващо на h\- с Р\.
На височина h\+dh налягането ще бъде
P]+dP, като dh > 0, a dP < 0, тъй като с
увеличаване на височината налягането намалява (налягането е свързано с
концентрацията на молекулите, която с увеличаване на h намалява). Изме­
нението на налягането dP , съответстващо на изменението на височината с
dh, ще бъде:
dF„
Р, -(/> +dP) = -dP =
(5.4.1)
По дефиниция налягането се определя от нормалната сила, действаща
върху единица площ. В случая нормалната сила се обуславя от силата на
тежестта на въздушните молекули върху единица площ:
_ dp -

g = m.ngdh,

(5.4.2)

S
където силата dF„ сме заместили с общата сила на тежестта на всички
молекули, които се намират в елементарния обем dV. Знакът
показва,
че dh и dP винаги имат обратни знаци: когато h расте, Р - намалява, и
обратно. Допускаме, че в обема dV се намират dN на брой въздушни
молекули и прилагаме основното уравнение на молекулно-кинетичната
теория за газа в този обем:
dNkT
(5.4.3)
PdV = dNkT; Р = - --- = пкТ

dV

Диференцираме горната формула, като отчитаме, че температурата е
Т —const, а А: е константата на Болцман:
dP = dnkT.
(5.4.4)
Приравнявайки (5.4.4) и (5.4.2), получаваме
dnkT = -m,gndh.
(5.4.5)
Разделяме променливите величини в (5.4.5):
dn
dh
л
— =
(5.4.6)
п
кТ
Последното уравнение може да се интегрира спрямо концентрацията в
граници от п0 до п и спрямо височината в граници от 0 до h (приемаме, че
на височина h - 0 концентрацията на молекулите е равна на /7о, а на
произволна височина h -*■0 над земната повърхност концентрацията е п):

Молекулна физика и термодиналшка

п

п

m,gh

Пг

kT

89

(5.4.7)

Антилогаритмуваме последния израз и получаваме

( Е \
/ m ,gh)
_____ ( nijgh'
п
(5.4.8)
= п0ехр
77 — 77 q е х р
— = exp
кТ
кТ
/?0
Ч
/
V
V kT
където Ер е потенциалната енергия на една въздушна молекула в земното
гравитационно поле. Получената зависимост (5.4.8) показва как се изменя
концентрацията на въздушните молекули в гравитационното поле на Зе­
мята. Тя е в сила за всяко потенциално поле, в което действат консерва­
тивни сили, и може да се преобразува по следния начин:
и = /i0expf-— 1,
0 \ кТ)

(5.4.9)

където U означава потенциалната енергия на една частица в дадено по­
тенциално поле. Зависимостта (5.4.9) се нарича болцмановоразпределение
на молекулите в потенциално поле или закон на Болцман.
Частен случай на закона на Болцман представлява барометрична­
та формула, описваща изменението на налягането на въздуха в зависимост
от височината И над земната повърхност. От основното уравнение на молекулно-кинетичната теория за произволен обем газ с параметри Р, V и Т
следва

N
(5.4,10)
P = — kT = пкТ.
V
Нека приложим уравнението (5.4.10) за друго състояние на газа с пара­
метри Р0 и 770, като налягането Р0 съответства на височина h = 0, т.е. на по­
върхността на Земята, където концентрацията на молекулите е щ.
(5.4.11)
Р0=щкТ.
PV = NkT-

Разделяйки почленно последните две уравнения, получаваме
777^/7
77 г

(5.4.12)

кТ

Последната зависимост (5.4.12) се нарича барометрична формула. Тя по­
казва, че налягането на въздуха също се изменя по експоненциален закон с
височината h над земната повърхност. Вижда се, че при g = const атмос­
ферното налягане намалява толкова по-бързо, колкото е по-тежък газът и
по-ниска температурата му.

5.5. Явления на пренос
Ще разгледаме явленията дифузия, вътрешно триене и топлопро­
водност, които се наричат явления на пренос и се отнасят за всички агре-

90

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

гатни състояния на веществата. Това са процеси, при които вследствие на
топлинното движение на молекулите се извършва пренасяне на определе­
ни параметри от една точка в пространството до друга:
- дифузията е процес, при който се пренася маса (или количество ве­
щество);
- вътрешното триене е процес, при който се пренася импулс (или
количество движение);
- топлопроводността е процес, при който се пренася енергия (или
количество топлина).
Пренасянето на маса, импулс или енергия се осъществява винаги в
посока от по-голямата стойност на пренасяната величина към по-малката
и продължава до установяването на равновесно (стационарно) състояние.
Например при допир на две тела с различни температури се пренася коли­
чество топлина от по-топлото към по-студеното тяло. Между двете тела се
осъществява процесът топлопроводност, който продължава до изравнява­
не на температурите им. Ако пръснете няколко капки силен парфюм в
една стая, след няколко минути ароматът се разпространява из цялата стая
вследствие на процеса дифузия.
Преди да се спрем по-подробно на явленията на пренос в газовете, ще
въведем понятието среден свободен пробег на молекулите. Ако една газо­
ва молекула се намира в затворен съд, тя ще извършва движения от едната
до другата стена на съда, като пътят, който изминава между двата удара,
ще бъде равен на разстоянието между стените. Ако в съда има много мо­
лекули, те непрекъснато се удрят както помежду си, така и със стените на
съда. В този случай една молекула може много пъти да се сблъска с други
молекули, преди да достигне някоя от стените, а може да се случи »ттака,
че тя въобще да не достигне до стените. Ако молекулата се движи със
средна аритметична скорост
и на пътя си не среща нищо, за единица
време тя ще измине праволинеен път, равен на скоростта й ( v ) . В дейст­
вителност при движението си молекулата изминава път, чиято траектория
е начупена линия поради нейните многобройни удари. Пътят на газовите
молекули между два последователни удара, който представлява праволи­
неен участък от някаква начупена линия, се нарича дължина на 'свободния
им пробег. Тази величина има случаен характер и може да заема найразлични стойности. Ето защо в молекулната физика за характеризиране
движението на газовите молекули се въвежда още една статистическа ве­
личина, наречена средна дължина на свободен пробег или просто среден
свободен пробег. Означава се с ()Cj и се измерва в метри като всяко разс­
тояние. При нормални условия, налягане Р0= 1,01.105 Ра и температура Т0
= 273,15 К, (?i)»10“7m.
Молекулите на различните вещества могат да имат твърде сложна ге-

91

Молекулна физика и термодинамика

ометрична форма, особено тези, които съдържат по-голям брой атоми. За
опростяване на пресмятанията ще използваме модел на молекула със сфе­
рична форма. При удар две сферични молекули с радиус г се доолижават
на минимално разстояние 2г между центровете им, което се нарича ефек­
тивен диаметър на молекулата (фиг. 5.6). Означава се с deя и също се из­
мерва в метри. Ефективният диаметър е величина, характерна за всеки вид
молекула. Величините среден свободен пробег и ефективен диаметър са
свързани помежду си. Нека определим зависимостта между тях.
Всяка молекула за време 1 s изминава път, равен на средната й арит­
метична скорост (v). Означаваме със (z) средният брой удари, които изпит­
ва молекулата за същото време. Средната дължина на свободния йпробег
можем да определим, като разделим пътя на молекулата за 1 s на средния
брой удари:

fTXT)

( 5 -5 Л )
(> » '
За да определим средния брой удари (z), най-напред ще
допуснем, че молекулата се движи между останалите
; ^ ^е11^ i
молекули в обема, които са неподвижни. В този случай
движещата се молекула ще се сблъсква само с молеку­
лите, чиито центрове са на разстояния, равни или по-малки от deit о т
нейния център (фиг. 5.7). Всички молекули, с които разглежданата моле­
кула се сблъсква, са разположени в цилиндър с радиус R = б/ец- Следова­
телно средният брой удари на молекулата за 1 s ще бъде равен на броя на
молекулите, намиращи се в този цилиндър:
(z )- n V ,

(5.5.2)

където п е концентрацията на молекулите, a V =

(v) е обемът на ци­

линдъра. Замествайки (5.5.2) в (5.5.1),
получаваме

(х )= - % т =

Яе(Т

1
тxd;Kn

(5.5.3)
Фиг. 5.7

Величината Ttc/e2n- се нарича ефективно сечение на удара на две молекули.
При отчитане движението на всички молекули в обема се оказва, че броят
на ударите се увеличава с у[2 . Тогава окончателната зависимост между

(К) и c/eft ше бъде
(Х )=

■

(5.5.4)

V2ю1мП
Дължината на средния свободен пробег зависи обратнопропорционално от

92

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

концентрацията на молекулите и от ефективното сечение на ударите им,
което е напълно логично.
Най-напред ще се спрем на процеса дифузия, при който става проник­
ване на частици от едно вещество между частиците на друго в резултат на
топлинното движение. В зависимост от това, дали веществата, които дифундират, се допират едно до друго или помежду им има някаква прегра­
да, дифузията може да бъде свободна или несвободна. Ще разгледаме яв­
лението свободна дифузия при газове. Дифузията при газове е свързана с
пренасяне на молекули от един обем с по-висока концентрация на молеку­
лите в друг с по-ниска, докато концентрациите в двата обема се изравнят.
Предполагаме, че еднороден газ с маси на молекулите т , заема две съ­
седни допиращи се области I и II от обема на цилиндър (фиг. 5.8). Концен­
Xq^S
трацията на молекулите в двете облас­
I («|)
II (пг)
ти е различна (/2|Ф и2), а температурата
е еднаква (Т = const). Допускаме, че
\
с
/
X двете области имат единични обеми и
0
« >
са разделени с мислена преграда с
ч / % ->
площ S, която е перпендикулярна на
<*> <Х>
оста на цилиндъра. За опростяване на
и
\.
*2
пресмятанията нека предположим, че
газовите молекули се движат в три
Фиг. 5.8
взаимноперпендикулярни направления
(в двете посоки на всяко направление).
Разглеждаме движението на молекулите по оста ОХ, която съвпада с оста
на цилиндъра. Поради хаотичния характер на топлинното движение моле­
кулите от областта I ще прескачат през преградата S в областта II и обратно, тези от областта II ще прескачат в областта I. В такъв случай в посока
от ляво на дясно към преградата S ще се движат (п\/6) молекули, а от дясно на ляво - (п2/6). Означаваме с (v) средноаритметичната скорост на га­
зовите молекули. Тя ще бъде еднаква за двата обема, тъй като зависи от
масите на молекулите и температурата, а по условие /;?,= const и Т = const.
Нека пресметнем броя на молекулите, пресичащи площта S на преградата
от двете страни за малкия интервал от време dt. До преградата S в посока
от ляво на дясно за време dt ще долетят всички молекули от областта I,
които се намират в цилиндър с основа S, височина dh=(v ) dt и обем S(y ) dt
(за време dt молекулите изминават път dh=(y}dt). Броят на тези молекули
ще бъде (п\/6)(у) Sdt. Аналогично за броя на молекулите, които достигат
преградата S от другата страна, ще получим (n2/6)(yj Sdt. Всяка от движе­
щите се молекули има маса in,. Ако умножим броя на молекулите по тяхната маса, ще получим общите маси газ, които преминават през мислената
преграда S за време dt в двете посоки на оста ОХ:

Молекулна физика и термодинамика

dM | = —nlmi{v)Sdl,
6

93

(5.5.5)

dM1 = —n2ml(v}Sdt,
където c dM\ и dM2сме означили съответните маси. При пресмятане броя
на молекулите, пресичащи преградата S от двете страни, е необходимо да
отчетем още един факт. Хаотичността на движението на газовите молеку­
ли е свързана с непрекъснати удари между молекулите, вследствие на кое­
то се променят посоките на скоростите им на движение. Някои от тях по­
ради многобройни стълкновения е възможно да не пресекат преградата
въобще. За малкия интервал от време dt с максимална вероятност до
площта на преградата ще долетят тези молекули, които са претърпели пос­
ледния си удар на разстояние (^) (дължината на свободния пробег) от
преградата S. В такъв случай концентрацията на молекулите, която се из­
меня по оста О Х (п = п(х)), трябва да се отчете конкретно за точките с ко­
ординати Х\ = (Xo—()Cj) w х2 - (.Хо+(^) )• (Приемаме, че преградата S има ко­
ордината х0.) Тогава п, = п(хj), а п2= п(х2). За съответните маси dM\ и dM2
получаваме

с/А/, = —п(х, )т, (v)Sdt,
6

(5.5.6)

dM2 = —n(x2)mi(y
6

Пренесената маса газ през преградата S в резултат на топлинното движе­
ние на молекулите от двете области ще бъде разликата от двете маси:

dM = dM] - dM2 - —

)-

6

п(х2))dt .

(5.5.7)

Ако п(х0 > п(х2), масата се пренася в положителната посока на оста ОХ,
ако «(Xi) < п{х2) - в отрицателната посока, а ако п{Х\) = п(х2), маса не се
пренася (dM = 0). Следователно пренасянето на маса става винаги в посо­
ка от по-голямата към по-малката концентрация и процесът продължава,
докато се изравни концентрацията на дифундиращите молекули в целия
обем на разглеждания цилиндър.
Изменението на концентрацията An = п(х2) - й(*0 ще определим, като
използваме една теорема от математиката, според която, ако точките Х\ и
Х2 са разположени много близко една до друга, е изпълнено

п(х,)-л(х,) = ^ Д х ,
dx

<5'5-8>

където Ах = х2- Х\', в нашия случай Ах = 2(\ ), а знаем, че средният свобо­
ден пробег е много малка величина, следователно можем да приложим те­

94

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

оремата; dnldx е производната на концентрацията по координатата х, т.е.
величина, която определя стойностга на концентрацията в дадена точка и
характеризира скоростта, с която тя се изменя по оста ОХ. За конкретния
случай получаваме
dn
(5.5.9)
п(хх)-п(х2) = -— 2(Л).
Замествайки (5.5.9) в (5.5.7), получаваме

dM -

(5.5.10)
(v)(A,W — S d t.
3 W W 1dx
Означаваме (l/3)(v)(A.) =D, където D се нарича коефициент ua дифузия.
Мерната единица за D е квадратен метър за секунда [m2/s]. Внасяме
масата т, = const под знака на диференциала и заместваме произведението
т,п с плътността р на газа (р = т,п)\
(5.5.11)
dx
dx
Разделяйки (5.5.11) на Sdt, получаваме
п dp
(5.5.12)
т = —D ——
dx
Изразът (5.5.12) е известен като закон на Фик за свободната дифузия.
Пренесената маса газ т за единица време през единица повърхност е
пропорционална на производната на плътността и на коефициента на
дифузията. Знакът
показва, че преносът се извършва по посока на
намаляване плътността на газа (или на концентрацията; т, = const).
На следващите две преносни явления ще се спрем по-накратко. тъй
като разсъжденията при извеждането на съответните формули са анало­
гични.
Вътрешното триене е процес на взаимодействие между два обема газ,
които се движат успоредно един на друг с различни скорости на насочено­
то движение, поради което настъпва обмен на импулс между тях.
Разглеждаме отново два допиращи се обема от един и същ еднороден
газ, които се движат насочено със
скорости щ и й2 ( и * и2). Тем­
пературата на двата обема газ е
еднаква (Т = const) и концентра­
цията на газовите молекули също
(п = const) (фиг. 5.9). Всяка моле­
кула от газа участва в две движе­
ния: в топлинното хаотично със
средноаритметична скорост (v) и
в подреденото насочено движение
със съответна скорост й, която

Молекулна физика и термодинамика

95

по стойност е много по-малка от (v) (и « (v)). Означаваме пълните импулси на двата обема газ като цяло съответно с dK1 и dK2 в даден момент от
време. Тези импулси ще се изменят с времето, тъй като вследствие на топ­
линното движение непрекъснато се извършва обмен на молекули между
двата обема. Ако отново си представим, че съществува някаква мислена
преграда S между тях, по аналогичен начин може да пресметнем броя на
молекулите, преминаващи от двете страни на преградата за малкия интер­
вал от време dt. Тъй като концентрацията на молекулите в двете области в
този случай е еднаква, броят на молекулите, движещи се в двете посоки на
оста ОХ, също ще бъде еднакъв:
(5.5.13)
Общите импулси, пренасяни през площта S, ще получим, като умножим
броя на молекулите по съответните импулси на насоченото движение в
двата обема:

dKx=dNrnlu],

(5.5.14)

dK2 =dNmiu2.
Пренесеният импулс в резултат на топлинното движение на газовите
молекули в двете посоки на оста ОХ е
(5.5.15)
Ог (5.5.15) непосредствено следва, че ако е изпълнено /7, > й2, ще се
пренася импулс в положителната посока на оста ОХ, ако и, < и2 пренесеният импулс ще бъде в отрицателната посока на ОХ, а ако *7, = й2,
dK = 0 и процесът се прекратява. Какво става Ьсъщност при процеса
вътрешно триене? Молекулите с по-голяма скорост на насоченото
движение при попадане сред тези с по-малка такава им отдават част от
своя импулс при ударите с тях; обратно, молекулите с rio-малка скорост
при попадане сред по-бързите приемат част от техния импулс; като
резултат от това импулсът на по-бързо движещия се обем като цяло
намалява, а на по-бавно движещия се - се увеличава. Това довежда до
изравняването на пълните импулси на двете области газ. Във формулата
трябва да се отчете и още една особеност. Скоростта и на насоченото
движение е функция на координатата х, т.е. и = и(х). Тъй като при всеки
удар става обмен на импулс и скоростта се изменя, необходимо е да
отчетем стойностите на скоростите w, и й2 в точките, където молекулите
от съответния обем са претърпели последния си удар: за обема I това е
точката с координата д-| = дг0 - (Я ), а за обема II - х2 = лг0 +(Х) . Тогава
формулата (5.5.15) ще придобие вида

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

96

dK = - X
- ,im,{V)Sdt2{\)^- = - | р (v)(X )^-Sdl

(5.5.16)

Означаваме (l/3)(v)(X )p = r|, където r\ се нарича коефициент на
вътрешно триене или още вискозитет. Разделяме последния израз на dt и
получаваме

dK
du
(5.5.17)
-- = —ri — S = F .
dt
dx
Горната формула определя силата на вътрешното триене при газовете и се
нарича закон на Нютон. Според този закон силата на вътрешното триене е
пропорционална на коефициента на триене, площта на преградата, върху
която действа, и производната на скоростта на насоченото движение на
молекулите. Знакът
показва, че силата на триене и скоростта на
насоченото движение са противоположни по посока, което е изпълнено за
всички видове сили на триене.
Физичният смисъл на коефициента на вътрешното триене може да се
определи от израза (5.5.17):
F
Х] =
(5.5.18)
du
dx
т.е. той представлява силата на вътрешното триене, която възниква между
два слоя газ с площ на допиране S = 1 т 2 при промяна на скоростта и с
1 m/s. Мерната единица за вискозитет е паскал по секунда [Pa.s].
Ще разгледаме и явлението топлопроводност при газове. Топлопро­
водността е процес на взаимодействие между две области газ с различни
температури, в резултат на което между тях настъпва обмен на енергия
(количество топлина). Нека два обема еднороден газ с маси на молекулите т,
и различни температури Т\и Т2 (Т\* Т2) се допират помежду си (фиг. 5.10).
Концентрациите на молекулите в двата обема са еднакви (п = const), а помеж­
ду им е мислената преграда S. Изхождайки от аналогични на предишните раз­
глеждания съображения, ще определим
1 х0
броя на молекулите, пресичащи преграда­
к г ,)
И (Г2)
та в двете посоки на оста ОХ:
0

(\
1 \

6-> 1
I <-о
<х> I <*> I

\

Х\
Фиг. 5.10

|

х2

/\

X

и

dN]=dN 2 =dN = ^n (v )S d t. (5.5.19)
Тук трябва да отбележим
нещо
съществено. Средните скорости на
топлинното движение (v) за двете
области газ в този случай ще бъдат
различни, тъй като температурите са
различни,
a
(v)
зависи
от
Т.

97

Молекулна физика и термодиналшка

В израза за N обаче участва произведението на двете величини п и
( v) : ( v) ~ J t . а п ~ Р/Т. Тогава за произведението е изпълнено
Р -Jr/т ~ р / 4 г . Двата параметъра налягане и температура при
постоянна концентрация се изменят пропорционално, поради което
произведението n(v) може да се разглежда като постоянна величина.
Молекулите на газа от двете области ще имат различни средни
кинетични енергии, определени от температурите Т\ и Т2. Поради
хаотичността
на топлинното движение между двете области
непрекъснато ще се осъществява обмен на молекули. При удар
молекулите с различни енергии обменят енергия помежду си. При този
обмен всъщност се извършва предаване или приемане на количество
топлина, тъй като енергията на газовите молекули зависи само от
температурата. За да определим количеството топлина, което се
пренася в двете посоки на оста ОХ, трябва да умножим броя на
молекулите по съответната им средна кинетична енергия £ = ЗкТ /2 за
всяка област:
dQl = dNet(7j)

dQ2 = dN £2{T2).
Пренесеното през преградата S количество топлина
топлинното движение на молекулите е

в резултат на

dQ = dQl -dQ 2 = ^ n (v )S d th { T l -T2).
(5.5.21)
о
1
Температурата на газа е функция от координатата х: Т = Т(х). При удар
молекулите променят температурите си вследствие обмена на енергия,
следователно температурите Т\ и Т2 във формулата (5.5.21) трябва да
бъдат отчетени в точките, съответстващи на последния удар на
молекулите, преди да достигнат преградата S:
</e = ^ ( v ) S r f / | t ( r ( x ,) - r ( x 2) ) = - i ( v ) ( X ) | t o g s r f / .

(5.5.22)

Величината (3/2)кп в (5.5.22) може да се изрази чрез плътността р на газа и
неговия моларен топлинен капацитет при постоянен обем CV = (3/2)R.
(Величината С ^се разглежда по-нататък в гл. 6, тема 6.2.) Тогава
3
3 R NА 3 _ 1
3
г
—к п - ------ - = — R — = - Д р = С кр ,
2
2 N А Vm 2 Vm 2

(С. с
(5.5.23)

където Na е числото на Авогадро, R - газовата константа, a Vm- обемът на
1 mol газ. Въвеждаме означението (l/3)(v)(A.) pCV = а, което се нарича
коефициент на топлопроводност и се измерва в единици ват за метър по
келвин [W/(m.K)]. Разделяме (5.5.22) на dt:

^ L = -a— S.
(5.5.24)
dt
dx
Получената зависимост е известна като закон на Фурие за топлопро­

98

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

водността при газове. Според този закон количеството топлина, което се
пренася за единица Ереме, е пропорционално на коефициента на
топлопроводност, площта S и производната на температурата. Знакът
показва, че количеството топлина се пренася по посока на намаляване на
температурата.
Всички разгледани дотук явления са макроскопични процеси и харак­
теризират състоянията на системата като цяло. Става ясно как, изхождай­
ки от микроскопичните представи за веществото (хаотичното топлинно
движение на микрочастиците) и използвайки някои средни физични вели­
чини (средна скорост, среден свободен пробег, средна кинетична енергия),
може да се изучат и предскажат макроскопичните ефекти, като пренос на
вещество (маса), енергия или импулс.
Независимо от различията между отделните явления на пренос те се
характеризират с един общ резултат: потокът на дадена физична величина,
който се пренася по направление ОХ, с точност до константа се определя
от скоростта на изменение на някаква функция в същото направление.
Трите процеса могат да се обобщят с едно уравнение:
dL- -const-- Sdt,
(5.5.25)
dx
където dL е величината, която се пренася през площта S за време dt, при
условие че S1.0X\ dG/dx е производната на дадения параметър, който се
изменя по оста ОХ; константата е специфичен коефициент на
пропорционалност за всяко едно от явленията. Горното уравнение може да
се запише и в следния вид:
— = -const ^ - S ,
(5.5.26)
dt
dx
където величината dLldt в някои случаи представлява поток па
пренасяната величина. Така например при дифузията dM/dt се нарича
дифузгюнен поток, а при топлопроводността dQ/dt се нарича топлинен

поток.
Законът на Фик за дифузията е в сила и за течностите, и за твърдите
тела, но при тях коефициентът на дифузия D има различни стойности (за
твърди тела и течности D е стотици до хиляди пъти по-малък от този при
газовете; това се дължи на ограниченото топлинно движение на молеку­
лите при тях). Законът на Нютон за вътрешното триене се отнася само за
газове и течности, като за течности коефициентът /; се определя по друга
формула. Законът на Фурие за топлопроводността също е в сила и за теч­
ности, и за твърди тела. При тях обаче механизмът за пренасяне на топли­
на, а съответно и коефициентът на топлопроводност са различни.

Молекулна физика и термодинамика

1.
2.
3.
4.

99

Въпроси и задачи
По какво се различават кривите па максуеловото разпределение на молекулите при две
различни температури Т\и Г2?
Как се изменя налягането с височината h над земната повърхност?
С колко вида скорости се характеризира топлинното хаотично движение на газовите
молекули и от какво зависят те?
Какви явления па пренос са ви известни? Дайте примери. Напишете обобщеното

уравнение за тези явления.
5.
От коя форма на основното уравнение на молекулно-кинетичната теория може да се
изведат всички опитно установени газови закони?
6.
Определете средната аритметична и средната квадратична скорост на една въздушна
молекула при температура t = 17°С. (Моларната маса на въздуха е М = 0,029 kg/mol.)
7.
Средната дължина на свободен пробег на молекулите на кислорода при t = 27°С е рав­
на на 4,17.10~3 cm. Определете средното време за свободния пробег при тези условия.
(Моларната маса на кислорода в този случай е М = 0,032 kg/mol.)
8.
Определете средната кинетична енергия на постъпателното движение на молекулите,
които се съдържат в 1 mol и 1 kg хелий при Т= 1000 К. (Моларната маса на хелия при
тези условия е 0,004 kg/mol.)
9.
Колко въздушни молекули се намират в стая с площ 20 т 2 и височина 3 т при t - 17°С
и налягане 105 N/nr?
10. В балон с обем 100 лигра при нормални условия се съдържа 9.10“’ kg газ. Определете
моларната маса на газа.

Глава 6

ТЕРМОДИНАМИКА
6.1. Термодинамична система и термодинамично състояние.
Равновесни н неравновссни процеси. Вътрешна енергия.
Първи принцип на термодинамиката - приложение
Термодинамиката е раздел от физиката, в който се изучават законо­
мерностите при различните преобразувания на енергията в дадена макроскопична система. Всяка макроскопична система, изучавана чрез
термодинамичния метод, се нарича термодинамична система.
Една термодинамична система може да съдържа съвкупност от тела
или само едно тяло за разлика от механичната система, която дефинирах­
ме в предишния раздел. Когато се говори за едно тяло в термодинамичен
смисъл, обикновено се има предвид определено количество от дадено ве­
щество, което се характеризира с физичните величини обем, плътност,
температура, налягане и др. Тези величини определят вътрешното състоя­
ние на системата като цяло. Наричат се термодинамични параметри.
(Формата на тялото и движението му не представляват интерес за термо-

100

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

динамичния метод.) На всяка съвкупност от стойности на термодинамичните параметри съответстза определено състояние на системата, наречено
термодинамично състояние. При промяна на някой от параметрите се
променя и съответното състояние на системата.
В термодинамиката се разглеждат два вида термодинамични състоя­
ния и свързаните с тях процеси: равновесни и неравновесни. Състоянието
на една термодинамична система, в което тя може да остане неопределено
дълго време, се нарича равновесно (или топлинно равновесие). За да се
изведе системата от това състояние, е необходимо външно въздействие.
Преходът от едно равновесно състояние в друго се нарича термодинамичен процес. Термодинамиката изучава равновесните състояния. Обикнове­
но се разглеждат процеси, които протичат толкова бавно, че всяко меж­
динно състояние се различава безкрайно малко от равновесното - равно­
весни процеси. В този случай всеки реален процес може да се представи
като непрекъсната последователност от равновесни състояния. Процесите,
които не отговарят на горните условия, се наричат неравновесни. При тях
параметрите се изменят непрекъснато с течение на времето. Всички реал­
ни термодинамични процеси протичат с крайна скорост, поради което са
неравновесни. В отделни случаи тяхната неравновесност може да се пре­
небрегне. Оставена сама на себе си. всяка термодинамична система пре­
минава самоволно от неравновесно в равновесно състояние. Този процес
се нарича релаксация, а времето, необходимо за установяване на равнове­
сието - време на релаксация.
Особено значение в термодинамиката имат равновесните процеси, ко­
ито протичат в системи с постоянна маса и при постоянна стойност на
един от параметрите. Това са т.нар. изотермодинамични процеси, или
просто изопроцеси: изотермен (Т = const), изохорен {V - const), изобарен
(Р = const).
В най-простия случай, когато една термодинамична система предс­
тавлява определено количество газ, нейното състояние се определя напъл­
но от трите основни параметъра - налягане, обем и температура. Зависи­
мостта между тези параметри се записва в най-общ вид по следния начин:

f(P ,V ,T ) = 0.

(6.1.1)

Нарича се уравнение за състоянието на съответната система. Така
например уравнението за състоянието на идеалния газ е PV-vRT= 0. За
реалните газове и течности са предложени голям брой уравнения, но
никое от тях не се съгласува така добре с опитните данни, както
уравнението на Клапейрон-Менделеев за идеалния газ.
Изучавайки механиката, разгледахме две форми на енергията - кине­
тична и потенциална. В тема 5.1 въведохме понятието температура като

Молекулна физика и термодинамика

101

мярка за енергията па топлинното движение на молекулите. Сега ще въве­
дем още една величина, характеризираща равновесното състояние на вся­
ка термодинамична система - вътрешната енергия. Понятието вътрешна
енергия включва пълната кинетична енергия на топлинното движение на
молекулите на едно тяло, потешдиалната енергия на взаимодействието
между тях и вътрешномолекулната енергия на отделните частици (енерги­
ята на електроните и ядрото). С други думи. пълната енергия на микрочас­
тиците, участващи в една термодинамична система, се нарича вътрешна
енергия. Означава се с U и като всеки вид енергия се измерва в джаули [J].
Вътрешната енергия е функция от термодинамичното състояние и не
зависи от това, по какъв начин системата се е оказала в това състояние. Тя
представлява част от пълната енергия на една система. Пълната енергия е
сума от следните величини:
— кинетичната енергия на макроскопичното движение на системата
като цяло;
— потенциалната енергия на системата при наличие на въпшно силово
поле, например гравитациопното;
—вътрешната енергия:
E = E,+ EP+U.

(6.1.2)

Ако дадена система газ се намира в състояние с определени стойности
на параметрите Р, V и Т, нейната вътрешна енергия ще бъде IJ = Д Р,У,Г
Г).
Преходът на системата от произволно състояние 1 в друго — 2 ще бъде съ­
пътстван от определено изменение на вътрешната енергия AIJ — U2— U\,
където U\ и U2 са съответно стойностите на вътрешната енергия в двете
състояния. Изменението на вътрешната енергия на една система се дължи
преди всичко на двата различни процеса - извършване на работа от външ­
ни сили върху системата и топлообмен с околната среда.
Известно е, че енергията, която едно тяло получава или отдава при
топлообмен с околната среда, се нарича количество топлина. Количество­
то топлина се означава с Q и се измерва в същите единици, както и енер­
гията - в джаули. Ако между две тела с различни температу ри се извърш­
ва топлообмен, тяхната вътрешна енергия се променя. Тялото, което е
нагрято до по-висока температура, отдава количество топлина, в резултат
на което неговата вътрешна енергия намалява. Тялото, което е с по-ниска
температура, поглъща това количество топлина и съответно повишава
вътрешната си енергия. Процесът на отдаване или получаване на вътреш­
на енергия, без да се извършва работа, се нарича топлообмен. Топлообменът между двете тела продължава, докато се изравнят температурите им и
между тях се установи топлинно равновесие.
Вътрешната енергия може да се измени, и при извършване на опреде­

102

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

лено количество механична работа. От редица примери във всекидневието
е известно, че силите извършват работа не само при преместването на те­
лата, но и при изменение на техния обем. В единия случай се изменя ме­
ханичната енергия на телата в макроскопичен смисъл, а в другия се изме­
ня тяхната вътрешна енергия, свързана с микроструктурата им. В термодинамиката се разглежда работата, която е свързана с изменението на вът­
решната енергия.
Ако една термодинамична система получава количество топлина
(A Q > 0) или над нея се извършва положителна работа (Д/1*> 0). вътреш­
ната йенергия се увеличава (A U > 0). Обратно, ако тя отдава количество
топлина (AQ < 0) или извършената работа е отрицателна (АА*< 0), вът­
решната йенергия намалява (A U < 0). Ако преходът на разглежданата сис­
тема от едно състояние в друго е свързан едновременно и с топлообмен, и
с извършена от външни сили работа, съгласно закона за запазване на енер­
гията изменението на вътрешната енергия ще бъде

AU = AQ+AA*.
Според третия принцип на Нютон, когато външни сили действат на тяло и
извършват определена работа АА , тялото на свой ред извършва работа
АА = -АА . В такъв случай изменеиието на вътрешната енергия е
AU = AQ-AA; AQ = AU +AA.
(6.1.3)
Равенството (6.1.3) изразява закона за запазване на енергията в една тер­
модинамична система и е математически израз на първия принцип на
термодинамиката. Според този пршгцип количеството топлина, което
се предава на една термодинамична система, се изразходва за увеличава­
не на вътрехината енергия на системата и за извършване на раб от а
срегцу външните си т .
Тъй като състоянието на всяка термодинамична система се определя
от трите основни параметъра Р, V и Г, ще се опитаме да изразим извърше­
ната от системата работа чрез тези величини. Като пример ще разгледаме
цилиндър, който съдържа газ и е затворен с подвижно бутало (фиг. 6.1).
Ако предадем определено количество топлина на газа, като го загреем,
той ще се разшири и ще измести буталото на някакво разстояиие Ah. Из­
вършената от газа работа ще бъде
- jj

Фиг. 6.1

ЛА = FnA h,

(6.1.4)

където F„ е нормалният натиск на газа върху
площта S на буталото. Изразяваме F„ чрез наля­
гането Р на газа (Р = FJS) и получаваме
AA = PSAh = PA V ,
(6.1.5)
където с AV сме означили изменението на обема
на газа. От израза (6.1.5) следва, че работата на

103

Молекулна физика и термодинамика

газа се определя от произведението на налягането и изменението на обема.
(При разширяването на газовете се извършва положителна работа, а при
свиването им - отрицателна. Полученият израз за работата е в сила не са­
мо при разширение или свиване на газ, но също и при всяко изменение на
обема на течност или твърдо тяло.) Заместваме (6.1.5) в (6.1.3):
AQ = AU + PAV .
(6.1.6)
Равенството (6.1.6) изразява първия принцип на термодинамиката в друг
вид. За много малки количества обменена топлина, извършена работа и
съответна промяна на вътрешната енергия, обикновено то се записва в
диференциална форма:
dQ = dU + dA ,
(6.1.7)
където dA = PdV.
Първият принцип на термодинамиката, както и принципите на Нютон
в механиката, е обобщение на всекидневния човешки опит. Той е потвър­
ждение на факта, че енергията не се създава и не се губи - тя само се пре­
дава от едно тяло на друго или се преобразува от едии вид в друг. При яв­
лението топлообмен става предаване на вътрешна енергия от по-топлите
тела към по-студените. При извършването на механична работа става пре­
образуване на енергията от едии в друг вид. Първият принцип на термо­
динамиката представлява частен случай на закона за запазване и превръ­
щане на енергията. В какъвто и вид да се приема енергия от една термодинамична система, тази енергия винаги ще се изразходва за два процеса:
повишаване на вътрешната енергия на системата и извършване на опреде­
лено количество работа от нея.
Казахме, че особено значение в термодинамиката имат изопроцесите.
Ще пресметнем работата, която се извършва при тези процеси, като при­
ложим първия принцип на термодинамиката.
Нека в една термодинамична система идеален газ се извършва пзохореп процес: газът се загрява при V - const. Работата на газа срещу външни­
те сили ще бъде равна на нула, тъй като обемът на газа е постоянен и
А Г = 0 . От първия принцип на термодинамиката
получаваме
AU = AQ; АА = 0 ,
(6.1.8)
т.е. полученото от газа количество топлина изця­
ло се изразходва за увеличаване на вътрешната
му енергия. Ако в резултат на изохорния процес
газът преминава от едно начално състояние 1 с
параметри {Р\,Т\) в друго - 2, с параметри (P 2J 1 ),
можем да изобразим графично този преход в ко­
ординати Р-V (фиг. 6.2). Получената права се на-

Фиг. 6.2

104

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

т

рича изохора. Процесът, протичащ от състояние 1 до състояние 2,
съответства на нагряване на газа при V = const, а процесът, протичащ от
състояние 1 към З - н а охлаждане на газа при V*= const. Вижда се, че при
нагряване на газа при постоянен обем неговото налягане се увеличава и
обратно, при охлаждането му - намалява.
Ако протичащият в системата процес е изобарен (газът се загрява при
Р - const), от първия принцип на термодинамиката получаваме AQ=AU+PAV,
т.е. полученото количество топлина ще се изразходва за увеличаване на
вътрешната енергия и за извършване на определена работа. За да опреде­
лим извършената работа в този случай, ще трябва да интегрираме израза
АА = PAV в граници на изменение на обема от У\до У2 (съответстващи на
състоянията I и 2):

АА= \PdV = P{V2 -VX).

(6.1.9)

Графичната зависимост на изобарния процес в
координати Р-V се нарича изобара (фиг. 6.3).
Изобарата е права, съединяваща състоянията 7 и 2,
съответстващи на обемите У\ и У2 при Р = const.
Работата на газа в този случай се определя от
vx
V2
защрихованата площ, заградена от изобарата и
Фиг. 6.3
абсцисата.
Нека сега разгледаме и една система газ, в коя­
то протича изошермен процес: Т - const. В този случай А Т — 0, а
PV - const. Работата на газа при преход на системата от състояние 1 в със­
тояние 2 с параметри съответно (Р\,У\) и (Р2,У2) ще бъде
vi
Vl\>RT
V
да = \PdV = \
— dV = vRT\n-±, (6.1.10)
у,
г, v
v\

където налягането Р сме изразили чрез обема
V
от уравнението на Кл
(PV = vRT-, Р = vRT/У). Графичната зависимост
на изотермния процес в координати Р-V се
нарича изотерма и е показана на фиг. 6.4.
vx
Изотермата е крива линия, съединяваща
Фиг. 6.4
състоянията
1 и 2, съответстващи на
параметрите (Р\,У\) и (Р2,У2) при Т —const. Работата на газа се определя от
защрихованата площ, заградена от изотермата и абсцисата.

6.2. Топлинен капацитет. Моларни топлинни капацитети
при газове. Уравнение на Манер.
Топлинните свойства на веществата се характеризират с физичната
величина специфичен топлинен капацитет. Означава се с С. Когато едно

Молекулна физика и термодинамика

105

гяло (или част от него) се нагрява или охлажда, то приема или отдава оп­
ределено количество топлина. Величината, която показва какво количест­
во топлина се приема или отдава от 1 K g маса от дадено вещество при
промяна на температурата му с 1К, се нарича специфичен топлинен капа­
цитет:
.
( 6 .2. 1)
тАТ
От формулата се вижда, че мерната единица е джаул за килограм по
келвин [J/(kg.K)].
За газовете се въвежда величината моларен топлинен капацитет,
която се определя от количеството топлина, необходимо за промяната на
температурата на 1 mol газ с 1К:

С „ ,= ^ § г ,
(6-2.2)
vA Т
където v = т !М е броят на моловете, съдържащи се в определена маса газ
m\ М е масата на 1 mol от съответния газ (моларната маса). В зависимост
от конкретния термодинамичек процес, който протича в дадена система
газ, се дефинират два моларни топлинни капацитета : С у- при постоянен
обем и Ср - при постоянно налягане. Ще определим тези две величини,
като разгледаме система от 1 mol едноатомен идеален газ:

C „ = 4 f ( v = l)-

(6.2.3)

АТ
От първия принцип на термодинамиката знаем, че количеството топлина AQ
се определя от (6.1.6):

■

(6.2.4)

АТ
Ако газът се нагрява при постоянен обем, т.е. протича изохорен про­
цес, AV= 0. Тогава

Cm{v . ^ ) = ^ : = Cv .

(6.2.5)

За идеален едноатомен газ пълната вътрешна енергия е равна на пълната
кинетична енергия на всички молекули на газа (моделът на идеалния газ
не отчита взаимодействието между молекулите и те нямат потенциална
енергия), следователно Е = (3/2)/?Г= U. В такъв случай записваме

Cv = - R — = - R .
(6.2.6)
f
2 AT 2
Величината Су се нарича моларен топлинен капацитет при постоянен обем.
От получената зависимост се вижда, че за всички едноатомни идеални газове
Су е постоянна величина. За газове с по-сложни молекули, за

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

106

които броят на степените на свобода не е 3, както при едноатомния, е
изпълнено
СГ = ^ Л ,

(6.2.7)

където / е броят на степените на свобода.
А сега нека предположим, че газът, който разглеждаме, се нагрява при
постоянно налягане, т.е. протича изобарен процес. Аналогично ще полу­
чим
AU + PAV _ A U
d AV _ _
С ,„ (р

ггш сИ
const)

—

ду,

-----------------------------------------—

ду,

-------------------- 1"

Р

—
д------------J

С у

V + R

— С j,,

( 6 . 2 . 8 )

където израза РАКсме заместили с RAT. От уравнението за състоянието на
1 mol идеален газ знаем, че PV = RT. Ако налягането е постоянно, е
изпълнено PAV = RAT. Величината С}> се нарича моларен топлинен
капацитет при постоянно налягане. Полученият израз (6.2.8) се нарича
уравнение на Майер и определя зависимостта между двата моларни
топлинни капацитета при идеалните газове. Очевидно е, че Ср винаги е поголям от Су със стойността на универсалната газова константа R. Защо
това е така? При изохорния процес цялото количество топлина, погълнато
от газа, се изразходва за увеличаване на вътрешната му енергия и работа
не се извършва. При изобарния процес вътрешната енергия също се
увеличава, но освен това допълнително се извършва и определено
количество работа. Следователно погълнатото количество топлина е поголямо и с това се обяснява и по-голямата стойност на топлинния
капацитет при постоянно налягане. За произволен газ е изпълнено
(6.2.9)
Си = - R + R = R
'
2
V^
От (6.2.9) непосредствено следва, че всички газове независимо от тяхната
природа ще имат един и същ топлинен капацитет Ср, ако броят на степените
на свобода на молекулите им е еднакъв. Както Ср, така и Су зависят само от /.
Колкото по-голям е броят на степените на свобода на дадена молекула,
толкова по-голям топлинен капацитет ще има тя. Молекулите на
едноатомните газове (например хелий) имат по три степени на свобода,
защото съдържат само по един атом. За молекулите на двуатомните газове
(например хлороводород) броят на степените на свобода е 5, а за по-сложните
газови молекули / = 7. Доколкото за всеки еднороден газ броят на степените
на свобода е постоянна величина, топлинният капацитет би трябвало да има
постоянна стойност и да не зависи от температурата. В действителност обаче
се оказва, че зависимостта на капацитета от температурата за даден еднороден
газ се изобразява не с права, а с крива линия, която при
ниските
температури
клони
надолу,
а
при
високите
расте

Молекулна физика и термодинамика

107

(фиг. 6.5). Само на определени
Су А
7/2 R
участъци от кривата зависимостта
5/2 R
е праволинейна. Това сложно
поведение на топлинния капацитет
3/2 R
в зависимост от температурата се
обяснява с възникващи квантови
фиг 6 5
Т
ефекти при ниски температури,
както и различни изомерни превръщания на молекулите при високите
температури.

6.3. Адиабатен процес. Уравнение на Поасон.
Работа при адиабатни процеси
Освен разгледаните дотук изотермодинамични процеси важно значе­
ние в термодинамиката имат и още един вид процеси, които се наричат
адиабатни. Тези процеси протичат при отсъствие на топлообмен между
термодинамичната система и околната среда, т.е. A Q = 0. В този случай
системата не получава и не отдава количество топлина, тя е термично изо­
лирана. От първия принцип на термодинамиката получаваме
AQ = AU + AA = 0\ AU = -AA.
(6.3.1)
Както се вижда от (6.3.1), при адиабатните процеси всяко изменение на
вътрешната енергия е свързано с извършване на работа от разглежданата
система. Ако системата, в която протича процесът, извършва работа, вът­
решната й енергия намалява. Когато върху системата се извършва работа,
вътрешната йенергия се увеличава. За да бъде един процес адиабатен, той
трябва да протича толкова бързо, че да не може да се осъществи топлообмен
с околната среда. Дори и при най-съвършената термична изолация, каквато
има например при термосите, топлите течности, поставени в тях, при подълъг престой изстиват, а студените се затоплят. По тези причини всички
равновесни процеси, които протичат бавно, са неадиабатни. Строго адиа­
батни процеси в природата няма. Примери за адиабатни процеси са разши­
ряването и свиването на горещите газове в цилиндрите на двигателите с
вътрешно горене, разпространението на звуковите вълни във въздуха и др.
Допускаме, че една термодинамична система от 1 mol идеален газ се
намира в пълна термична изолация, т.е. в нея протича адиабатен процес.
Ще определим зависимостта между основните термодинамични парамет­
ри, които характеризират състоянието й. Използваме уравнението за със­
тоянието на идеалния газ и го диференцираме:
PdV + VdP = RdT .
(6.3.2)
Изразът (6.3.1) представяме в диференциална форма:
dU = -dA = -PdV .
(6.3.3)

108

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

Изразяваме вътрешната енергия чрез специфичния топлинен капацитет
dU = CydT. Тогава

PdV
.
CvdT = -PdV =>dT = ——

(6.3.4)

Cy

Заместваме (6.3.4) в (6.3.2):

PdV
PdV + VdP = -R-±— .

(6.3.5)

Cy

Разделяйки (6.3.5) на PdV, ще получим
.
VdP
R
CP - C V
1+ ----= ---- = — ---- - = - y +1,
PdV
C y C y

(6.3.6),
V
h

където c у сме означили отношението СУСУ. Преобразуваме (6.3.6) по
следния начин:

dP
dV
— = ~У-- .
(6.3.7)
Р
V
Величините dP и dV съответстват на много малки изменения на наля­
гането и обема на разглежданата система. Ако системата преминава от
едно произволно състояние 1 с параметри (P\,V\) в друго -2, с параметри
{Р2 У 1 ), горният израз може да се интегрира в граници от Р\ до Р2 и от V\
до V2:

/ — = - у / — ; ь Д = - 7ь Д = т ь Д .

J. Р

'\ v

F,

v,

v2

(6.3.8)

Антилогаритмуваме (6.3.8) и получаваме

й
р,

v2

; РУ ? = Р2У 1

(6.3.9)

Тъй като състоянията 1 и 2 са произволно избрани, полученият резултат
може да се обобщи за кое да е състояние на системата, а именно
.fT ^ c o n s t.
(6.3.10)
Горната зависимост се нарича уравнение на Поасон и определя връзката
между параметрите налягане и обем за един адиабатен процес. Отношени­
ето у = Ср/Су се нарича константа на Поасон. Като се използва (6.3.10),
може да се получат аналогични зависимости между обема и температурата
или налягането и температурата:

P V = PVVy-' = RTV<-' = const; T V '' = const.

(6.3.11)

От уравнението на Клапейрон-Менделеев можем да определим обема V и
да го заместим в (6.3.10):

109

Молекулна физика и термодинамика

RT J RT
PV = RT => V = -- ; Р

const;

Р ] УТУ = const.

(6.3.12)

Графичната зависимост на адиабатния процес се нарича адиабата
(фиг. 6.6). Адиабатите са по-стръмни от изотермите. Това може да се до­
каже, като се използват уравненията на двата процеса.
Нека {Р\У\) и {P2 ,V2) са две произволни
Р
състояния на една система, в която протича
7=const
изотермен процес. Допускаме, че за обемите е
изпълнено V2~2V\. Тогава

Р у х = P2V2 = const = P22Vx

2
Ако (P\,V\) и (P2,V2) са две произволни
състояния на система, в която се извършва адиабатен процес,

Фиг. 6.6

р у у = р 2у ] = р 22УК/; Р ,= Р г2\

л = А
'
2У

Р2

2 Рх

Непосредствено се вижда, че Р2<Р2 , т.е. адиабатата винаги ще бъде постръмна от изотермата.
Казахме, че при адиабатните процеси винаги се извършва работа за
сметка на вътрешната енергия на системата. Нека определим тази работа
за система от 1 mol идеален газ, в която се извършва адиабатен процес.
Като използваме отново първия принцип на термодинамиката и условието
за адиабатичност dQ = 0, получаваме
dA = -dU = PdV = -CvdT .
(6.3.13)
За две произволни състояния на разглежданата система с параметри
{P\,V\,T\) и (P2,V2,T2) от (6.3.13) чрез интегриране ще получим
2
h
AА = jdA = -Cv jdT = -Су(Т2 - Г ,)= Су(Т{ -Т2).
(6.3.14)
I
7’,
За произволна маса газ m работата е AA - vCv{T\~Т2).

6.4. Кръгов, обратим и необратим процес. Цикъл на Карно.
Втори принцип на термодинамиката
Друг вид процеси, които намират широко приложение в практиката,
са кръговите процеси. Един термодинамичен процес се нарича кръгов, ако
системата, в която протича, преминава през различни термодинамични
състояния и се връща отново в изходното (начално) състояние. Системата,

110

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

която извършва кръговия процес, обменяйки енергия с околната среда, се
нарича работно тяло. Работното тяло и телата, с които то взаимодейства
по време на процеса, образуват затворена термодинамична система.
(Между затворена система в механиката и в термодинамиката съществува
разлика.) Обикновено работното тяло е някакъв газ. Кръговите процеси са
в основата на всички топлинни машини, като двигателите с вътрешно го­
рене, парните и газовите турбини, хладилните машини и др.
В термодинамиката се разглеждат два вида термодинамични процеси:
обратими и необратими. Обратим е този процес, при който е възможно
връщането на работното тяло от крайното в началното състояние точно по
същия път и без настъпващи изменения в околната среда. При този про­
цес, когато тялото се върне в изходното състояние, всички тела, с които то
е взаимодействало, също трябва да се върнат в началните си състояния. С
други думи, обратимият процес не оставя никакви следи в природата. Като
пример за такъв процес ще разгледаме газ, поставен в цилиндър с подвижно бутало. Ако увеличим температурата на газа с няколко градуса, той ще
се разшири и ще измести буталото, ако го охладим със същите градуси,
той ще се върне в изходното си състояние. Това се изпълнява обаче само
ако пренебрегнем силите на триене и съпротивление, при които загубите
на топлина са необратими. Строго обратими процеси в природата не съ­
ществуват. Това са идеализирани процеси, при които силите на триене и
съпротивление не се вземат под внимание. Процесите, които не отговарят
на условието за обратимост, се наричат необратими. При тях работното
тяло не се връща в изходното състояние, т.е. в околната среда нещо се
променя. Примери за необратими процеси са отдаването на количество
топлина от по-топлите към по-студените тела, смесването на два газа с
различни концентрации и др.
Характерна особеност на обратимите и необратимите процеси е посо­
ката, в която те протичат. Обратимият процес се осъществява еднакво лес­
но в две противоположни посоки, наречени права и обратна. При
необратимите процеси двете посоки не са равностойни. Всеки необратим
процес протича спонтанно в една определена посока, която се нарича ес­
тествена. Обратната посока на необратимия процес, в която той никога
не протича от само себе си, се нарича неестествена. В зависимост от по­
соката, в която протичат, необратимите процеси биват естествени и не­
естествени.
Естествени процеси са дифузията, топлопроводността, намаляването
на скоростта на дадено тяло под действието на силата на триене и др.
Неестествени процеси са преминаването на топлина от по-студено
към по-топло тяло, свиването на газовете, разделянето на газова смес на
съставните йкомпоненти и др.

Молекулна физика и термодинамика

111

Разгледаните примери показват, че естествените процеси протичат
спонтанно, докато неестествените могат да се осъществят само чрез външна намеса. Всички процеси в природата са необратими и естествени.
Първият принцип на термодинамиката е израз на закона за запазване и
превръщане на енергията в термодинамичните системи, но не дава никак­
ва информация за посоката на протичане и вида на процесите в тях.
Съществува друг основен принцип в термодинамиката, който определя
кои процеси в дадена термодинамична система са възможни и кои не.
Известни са няколко различни формулировки на този принцип, които се
нарича втори принцип на термодинамиката. Една от формулировките е
на Р. Клаузиус, според която топлината в естествени условия преминава
винаги о т по-топлото към по-студеното тяло. Пренасянето на топлина
от по-студено към по-топло тяло е невъзможно от само себе си и може да
се осъществи единствено чрез външна намеса, т.е. ако върху системата се
извърши работа. Тази формулировка е твърде конкретна, тъй като се отна­
ся към определен вид процеси. По-точната и обща формулировка на вто­
рия принцип на термодинамиката е свързана с историческото развитие на
топлинните двигатели. Топлинните двигатели са устройства, които преоб­
разуват топлинната енергия в механична работа. В основата на всички
топлинни двигатели е идеализираният кръгов процес на френския инженер
С. Карно. Изучавайки теоретично кръговите процеси, той достига до изво­
да, че най-изгоден за практическо приложение е обратимият кръгов про­
цес, който се състои от два изотермни и два адиабатни процеса и има найголям коефициент на полезно действие. Ще се спрем по-подробно на този
процес и ще определим неговия коефициент на полезно действие. Работ­
ното тяло е идеален газ, поставен в цилиндър с подвижно бутало. Цилин­
дърът и буталото са направени от идеални изолатори и са поставени
между топъл резервоар (нагревател) и резервоар с по-ниска температура
(охладител) (фиг. 6.7). Изходното състояние на газа означаваме с положе­

ние 1 на диаграмата Р-V, на което съответстват параметрите (Р\У\,Т\). Ще
разгледаме изменението на състоянието на газа до положение 2 с парамет­
ри (Р2, Vi,T\) вследствие на изотермен процес ( Т\ = const). Ако Т\ е

112

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

температурата на газа в цилиндъра, за да се разшири той изотермно, е не­
обходимо да погълне определено количество топлина, без да променя
температурата си. Свързваме газа в цилиндъра с нагревател със същата
температура и той поглъща количество топлина А£)| от него. Обемът на
газа се разширява до стойността у2, буталото се измества и заема някакво
ново положение, а налягането вследствие на разширението намалява до
стойността р 2. Изключваме връзката между цилиндъра и нагревателя. Понататък газът се разширява рязко адиабатно и преминава в следващото
положение 3 с обем Уз, на който съответства пониженото налягане р 3.
Адиабатата е по-стръмна от изотермата. Нагревателят е изключен и в сис­
темата не постъпва количество топлина. Вследствие на адиабатното раз­
ширение газът се охлажда и температурата му става Т2. Новото положение
на газа се определя от параметрите {Pi,V^Ti), като Т2 < Т\. При тези два
процеса буталото се издига на възможната горна граница в цилиндъра. За
да се осъществи по-нататък кръгов процес, буталото трябва да се спуска
надолу, т.е. газът ще започне да се свива. За свиването на газа е необходи­
мо да се внесе енергия отвън, или с други думи, трябва да се извърши ра­
бота върху газа. Вторият изотермен процес съответства на свиването на
газа от положение 3 до положение 4 с параметри {P^V^Ti)- При свиването
на газа обикновено неговата температура се повишава. За да бъде проце­
сът изотермен и температурата на газа да се запази постоянна по времето
на прехода от състояние 3 в състояние 4\цилиндърът се свързва с резерво­
ар със същата температура Т2, който приема количеството топлина A Q2,
отделено при свиването на газа. Този резервоар се нарича охладител, за­
щото неговата температура е винаги по-ниска от температурата на нагре­
вателя ( 7 2 < Т\). За да се върне в изходното положение I и да извърши
един кръгов процес, газът трябва да се свие отново адиабатно до обема Vi,
без да отдава количество топлина на околната среда. По тези причини
връзката между цилиндъра и охладителя се прекъсва и газът извършва
адиабатен процес, като се връща в началното си състояние / с параметри
(Pi,V 1,Л)- Вследствие на адиабатното свиване налягането на газа се увели­
чава до стойността Р\, а температурата му се повишава до Т\. Така в ре­
зултат на всички тези процеси се получава затвореният цикъл на Карно,
който се нарича идеален цикъл, тъй като всички етапи от него се разглеж­
дат като обратими процеси. Значението на цикъла на Карно е в това, че
неговият коефициент на полезно действие е най-голям от всички възмож­
ни при разглежданите условия.
Коефициент на полезното действие (КПД) на една топлинна машина
се нарича отношението на полезната работа, извършена от машината при
един цикъл, към количеството топлина, постъпило в цилиндъра с газ от
нагревателя:

Молекулна физика и термодинамика

113

(6-4.1)

да

Очевидно е, че ако цялото количество топлина се превръща в работа, КПД ще
бъде равен на единица. Такъв двигател би бил идеален, но не е възможно да
се създаде. Количеството топлина, което се поглъща от работното вещество в
цилиндъра, винаги е по-голямо от работата, извършена за сметка на тази топ­
лина, а това означава, че винаги КПД<1. За да пресметнем КПД, трябва да
определим работата ЛА, която се извършва при целия цикъл, съставен от
четири процеса:
АА = АЛ12 + АЛ23 + АЛ34 + АЛ4],
(6.4.2)
където ДЛ и, АА23, АА34 и АЛ41 са работите, извършени от газа при всеки
отделен процес. Прилагайки първия принцип на термодинамиката за всеки
процес получаваме
/->2:

АЛ12 = vRT\I n

—AQX\Г, = const; dT = 0\dU = 0,

к
2-+3:
3->4:
4->l:

ДЛ23 = -vCv (Т2 - Г,) = vCv (Г, - Т2); dQ = 0; dA = -dU ,

V
АА34 = vRT2 In — = AQ2', T2 =const; dT-O', dU - 0,
V.
A A ^= - v C y(T{-T2)=-AA23; dQ = 0; dA = - dU .

Тогава общата работа АА ще бъде

АА = AQ\ + АА~,3 + AQ2 + АА4\= Д(5| + Д^ ? 2 •

(6.4.3)

Графично работата се изразява с площта на затворения контур ( 1-2-3-4-1).
Заместваме (6.4.3) в (6.4.1):
AA

vRT, In

V

V
+ vRT7 In -iV.
V-,

V
V
Tx In — In
V,
- V,

= ------v -----L ; л = ----- ~ v — L (6 A 4 )
vRT, In—
T, In —
V\
^
Ако използваме уравнението на Поасон за адиабатните процеси 2->3 и
4^>1, можем да докажем, че V2/V\=V3/V4:
Л=^

ТУ1~' = T2VJ~]

W

(6.4.5)

1= W

След почленно разделяне на (6.4.5) получаваме
(6.4.6)

Ух v4 '
Тогава формулата за КПД окончателно ще придобие вида

114

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

Л = ^ у ^ - = 1-у-<1; (Т2 <ТХ).
(6.4.7)
м
м
От формула (6.4.7) се вижда, че коефициентът на полезното действие на
идеалния цикъл на Карно не зависи от вида на работното вещество, а само
от температурите Т\и Т2. За да се увеличи неговата стойност, е необходи­
мо да се увеличава Т\или да се намалява Т2. Очевидно при Т2 = 0 К или
при Т\— КПД = 1, но това на практика е неосъществимо. Материалите,
от които се изработват топлинните машини, не издържат на много високи
температури, а температурата ОК е практически недостижима. Следова­
телно КПД винаги ще бъде по-малък от единица. Цикълът на Карно дава
математическата формулировка на втория принцип на термодинамиката:
не е възможно да се построи периодично действаща топлинна машина,
която да превръща изцяло топлинната енергия в механична раб от а (ви­
наги АА < AQ). Вторият принцип на термодинамиката отразява качестве­
ните различия между топлинните и механичните процеси. Извършената
механична работа върху едно тяло се превръща изцяло в топлина, но по­
гълнатата от едно тяло топлина не е възможно да се превърне изцяло в ра­
бота.
От формулата (6.4.7) следва още, че за действието на всяка топлинна
машина е необходимо температурата на нагревателя Т\да бъде различна
от тази на охладителя Т2. Ако Т\= Т2, КПД става равен на нула. От това
следва още една формулировка на втория принцип на термодинамиката,
дадена от лорд Келвин: не е възможно построяването на топлинна ма­
шина без охладител (винаги Т2< Т\).
За съвременните топлинни машини, които работят по различни необра­
тими цикли, коефициентът на полезното действие е около два пъти помалък от този на цикъла на Карно:
П <1- А .

(6.4.8)

Т,
Знакът за равенство се отнася само за строго обратим процес, какъвто е иде­
ализираният цикъл на Карно. Например за парната машина КПД=15—20%.
КПД на двигателите с вътрешно горене е малко по-добър и достига 30%.
Най-висок КПД имат газовите турбини, където температурата на нагрева­
теля може да достигне 1500-2000 °С, но като правило КПД на реалната
топлинна машина никога не е по-голям от 50%.
Като всеки обратим процес цикълът на Карно може да протича еднак­
во лесно в права и обратна посока. В първия случай работещото тяло по­
лучава от нагревателя определено количество топлина, част от което се
превръща в полезна механична работа, а останалата част се предава на ох­
ладителя. При протичане на цикъла в обратна посока работещото тяло

Молекулна физика и термодинамика

115

поглъща от охладителя определено количество топлина, като за целта
според втория принцип на термодинамиката е необходимо отвън да се из­
върши определена механична работа върху тялото. В първия случай сис­
темата работи като топлинна машина, а във втория - като хладилна маши­
на (хладилник). Хладилникът пренася количество топлина от нискотемпературния резервоар към високотемпературния. Необходимото условие за
това е да се извърши външна работа върху системата, тъй като процесът е
неестествен. Коефициентът на полезното действие на хладилниците се оп­
ределя от отношението на погълнатото количество топлина от резервоара с
по-ниска температура към извършената външна работа над системата:
п = ^2г- = — ^

да.

—

.

де, - дq 2

(6.4.9)

Коефициентът на полезното действие на хладилниците е около 5%.
Максималната възможна стойност за КПД на една хладилна машина може
да се пресметне от идеализирания цикъл на Карно, като се изрази КПД
чрез температурите Т\и Т2на двата резервоара:
(6.4.10)

Тх-Тг
Равенството се отнася за идеализирания цикъл, а неравенството - за
реалните системи.

6.5. Приведена топлина. Ентропия. Изменение на ентропията
при различните видове термодинамични процеси
При всеки кръгов процес тялото (системата), в к<?ето протича проце­
сът, се връща в изходното си положение, поради йоето изменението на
вътрешната му енергия е равно на нула. От първия принцип на термодйнамиката в този случай следва

AQ = AU + AA = AA,

(6.5.1)

или извършената работа при процеса е равна на полученото количество
топлина. При един кръгов процес тялото едновременно може и да получи,
и да отдаде определено количество топлина, както например това става
при цикъла на Карно, който разгледахме в предишната тема.
Коефициентът на полезното действие се определя от равенството

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

АА
Д О ,- Д О ,
Т-Т+
Л = --- = - ^ --- «2_ = _1-- —.
да
щ
тх

(6.5.2)
к
]

Горното съотношение може да се преобразува по следния начин:
1

М

= 1

\Щ\

7-2 ,|д а|

|да|

т,’ \щ\ т,’ т,

т2

(,)

Двете величини \AQ^\и \AQ2\
са положителни, тъй като сме взели абсолют­
ните им стойности. Ако отчетем знаците на приетото и отдаденото коли­
чество топлина, ще получим
М

Т}

=_д а

Т2

д а +д а = о

Тх

Т2

Величината, която се определя от отношението на приетото или отда­
деното количество топлина към съответната температура, при която става
този топлообмен, се нарича приведена топлина (Q nр):

&„р= —

.

(6.5.5)

В такъв случай от (6.5.4) следва, че при всеки обратим кръгов процес су­
мата от приведените топлини е равна на нула.
В термодинамиката се доказва, че всеки термодинамичен процес може
да се представи като сума от безброй много безкрайно малки елементарни
процеси, всеки от които се характеризира с безкрайно малка приведена
топлина dQnp=dQ/T. Ако процесът е кръгов, общата приведена топлина
може да се пресметне, като се интегрира по затворения контур L, съответ­
стващ на кръговия процес:

•dQ
<2 пр - f
= 0.
Т
L

(6.5.6)

При обратим процес тялото се връща в изходното си положение, т.е.
Qnр=0. От математическия анализ е известно, че когато интегралът по
затворен контур е равен на нула, подинтегралната величина е пълен дифе­
ренциал на някаква функция. Следователно

^2- = dS,
(6.5.7)
Т
където с S сме означили една нова величина във физиката, наречена ент­
ропия. Тази величина е въведена от Клаузиус и характеризира вътрешното
състояние на всяка термодинамична система. Тя не зависи от начина, по
който системата преминава от едно състояние в друго.
Да разгледаме две произволни състояния 7 и 2 на дадена термодина­
мична система и да определим изменението на ентропията на системата
при преход от едното в другото състояние:

117

Молекулна физика и термодинамика

ASn = jdS = S2 - 5 , .

(6.5.8)

1
На всяко състояние на системата съответства определена стойност на ент­
ропията, т.е. ентропията е еднозначна функция на състоянието. Ако в
разглежданата система протича кръгов обратим
2
процес, от (6.5.6) следва
jd S = 0 .
(6.5.9)
/.
Ще докажем това по математичен път. Всеки обратим
кръгов процес може да се раздели на две части
(фиг. 6 .8 ). В такъв случай изменението на ентропията е
Фиг. 6.8
2
I
(6.5.10)
AS = §dS = \dS +\clS = S2 -S\+S]- S 2 =0, AS = 0; S = const.
I.
I
2
Изменението на ентропията при обратимите кръгови процеси е равно
на нула, откъдето следва, че ентропията при тях е постоянна величина.
(Този резултат получихме и при цикъла на Карно - вж. формула (6.5.4).)
Това е логично, тъй като ентропията е еднозначна функция на състояние­
то, а при обратимите процеси системата се връща в изходното си състоя­
ние.
Нека сега определим изменението на ентропията при един необратим
процес, каквито са реалните процеси в природата.
Предполагаме, че сме хвърлили горещ камък в студена вода. Разглеж­
даме камъка и водата като затворена термодинамична система. Означава­
ме температурата на камъка с Т\, а на водата с Tj, като Т\> Т2 според усло­
вието. Какво ще бъде изменението на ентропията при този естествен термодинамичен процес? Да пресметнем ентропията на началното и крайното
състояние на системата камък-вода. Горещият камък при температура Т\
ще отдаде на студената вода количество топлина AQ за интервал от време
At, вследствие на което неговата ентропия ще намалее с величината
AQ/T\ = S\, а водата ще погълне това количество топлина при съответната
температура 7\и ще увеличи ентропията си с AQ/Ti = 5г- Изменението на
ентропията при този процес ще бъде разликата между ентропиите на на­
чалното и крайното състояние на системата:

№ = \dS = S ,- S l = ^ - ^ - = AQ
I
11

1

ти

>

0.

Тъй като Т\> 7?, изменението на ентропията очевидно ще бъде по-голямо
от нула, т.е. ентропията на системата нараства. Ако температурата на ка­

118

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

мъка е по-ниска от тази на водата (Т\< Т2), ентропията отново ще нараства.
В този случай топлата вода ще отдава на студения камък количество топ­
лина AQ при температура Т2 (AQ/T2 = S\), а студеният камък ще приема
количество топлина A Q при температура Т[ (A Q/T\=S2). Изменението на
ентропията ще бъде

AS = S2- S {=A Q

Ту

т2

>0.

И в този случай ентропията на системата нараства. От разгледания пример
може да се направи следният извод: при необратимите процеси ентропията
винаги нараства. Необратим процес, при който ентропията намалява (AS < 0),
е невъзможен. Това би се случило само ако от студено тяло се пренася коли­
чество топлина към топло тяло, което не е възможно при естествени условия.
От всичко, казано дотук, следва изводът: в реалните системи, където про­
тичат необратими процеси, ентропията винаги нараства; в идеализираните
системи', където протичат обратими процеси, ентропията се запазва постоян­
на. С помощта на ентропията вторият принцип на термодинамиката може да
се дефинира със следното неравенство: dS > 0 . Според тази формулировка
процесите в термодинамиката се разделят на няколко групи: естествени, при
които ентропията нараства; идеализирани, при които ентропията не се изменя,
и невъзможни, при които ентропията намалява. Последните процеси не могат
да протичат сами, затова се наричат и неестествени.
Нека пресметнем изменението на ентропията при различните процеси,
които се изучават в термодинамиката. Ще разгледаме термодинамична систе­
ма идеален газ с основни параметри (P,V,T), която преминава от начално със­
тояние 1 с параметри (Р\У\,Т\) в крайно 2 с параметри (P2,V2,T2) вследствие
на различни термодинамични процеси.
Ако в системата протича адиабатен процес, dQ = 0, следователно и dS = 0,
т.е. при адиабатните процеси ентропията се запазва постоянна (те са идеали­
зирани процеси).
Ако протичащият в системата процес е изотермен, Т= const, dT- 0. Да
приложим първия принцип на термодинамиката в този случай:
id U = v C y d T = o l

Изменението на ентропията се дължи на извършената от газа работа при
изотермното му разширяване от обем V\до обем V2. Ще интегрираме гор­
ния израз в граници на обема от V\до V2 :

119

Молекулна физика и термодинамика

bS = jd S = rf ^
1
От

уравнението

на

.

(6.5.11)

Клапейрон-Менделеев

определяме

налягането

Р = vRT/V и го заместваме в (6.5.11):
л
J

кг

.
к,

(6.5.12)

Изменението на ентропията при изотермния процес е по-голямо от нула
(AS 0), тъй като газът се разширява, V2 V\, a V и R са положителни ве­

>

>

личини.
Нека сега в системата протича изохорен процес, т.е. газът се загрява
изохорно (К = const), следователно dV= 0. От прилагането <на първия
принцип на термодинамиката получаваме

Т

т

Изменението на ентропията е свързано с изменението на вътрешната енер­
гия на газа при загряването му (dA = 0). Интегрирайки последния израз в
граници на температурата от Т\до Т2, получаваме
M ’= f —

J1 1т

= Г| ^ ! ^ =
J
Т
г,

у С (, нД

.

(6.5.13)

Ту1

Изменението на ентропията отново е положително (AS > 0), тъй като за
температурата е изпълнено Т2 > Т\, a V и Су са положителни величини.
Най-накрая нека предположим, че в разглежданата термодинамична
система се извършва изобарен процес. Газът се загрява изобарно
(Р = const), следователно dP = 0. От първия принцип на термодинамиката
получаваме

dQ dU + PdV
dS = — = -------- .
T
T
В този случай изменението на ентропията е свързано както с извършената
от газа работа, така и с изменението на вътрешната му енергия и ще бъде
най-голямо в сравнение с предишните случаи (dA Ф 0 и d ll Ф 0). Интегри­
раме горния израз в граници на температурата от Т\до Т2 и на обема от V\
до V2:

y ia f + iv v
\
Т

R + vR ln^
Tt
У,

(6Л14)

Очевидно е, че изменението на ентропията в дадения случай също е поло­
жително (AS > 0), тъй като Т2 > h и V2 > Vx. При изобарните процеси из­

120

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

менението на ентропията е най-голямо, защото част от погълнатото коли­
чество топлина се изразходва за увеличаване на вътрешната енергия на
газа, а останалата част - за извършване на механична работа от системата.
(При изобарен процес заедно с увеличаване температурата на газа се уве­
личава и обемът му, за да се запази постоянно налягането. По тези причи­
ни погълнатото количество топлина е по-голямо в сравнение с другите
процеси.)
Дотук въведохме понятието ентропия по чисто математичен път, а се­
га ще се опитаме да определим неговия физичен смисъл. От примера с ка­
мъка и водата се вижда, че при нарастване на ентропията температурата на
двата обекта се изравнява. Ако понятието порядък се свързва със съсредо­
точаването на частици или енергии в определено място от пространството,
а понятието безпорядък с тяхното равномерно разпределение по целия
обем, то нарастването на ентропията може да отразява вътрешния стремеж
на системите в природата спонтанно да преминават от по-подредено в послабо подредено състояние. В този смисъл ентропията може да се дефини­
ра като количествена мярка за безредието или неподредеността в една сис­
тема. Ентропията, както и вътрешната енергия, е функция на състоянието.
Тя зависи само от термодинамичните параметри, като налягане, обем, тем­
пература и др., които определят всяко състояние на дадена термодинамич­
на система. Като понятие ентропията има смисъл само за макроскопични
системи. За отделните частици, като атоми и молекули, тя няма смисъл.
Това слсдва и от самото определение на ентропията чрез отношението
dQIT. Знаем, че температурата е макрохарактеристика, свързана със
средната кинетична енергия на топлинното движение на всички молекули
в една макроскопична система. Ето защо и вторият принцип на термоди­
намиката е в сила само за такива системи. Законът за нарастването на ент­
ропията може да се разглежда като закон за направление на развитието на
всички спонтанни (самоволни) процеси в природата. Неговото значение е
от изключителна важност, тъй като показва съществуването на преиму­
ществена посока на развитие на сложните статистически системи в приро­
дата. Вторият принцип на термодинамиката може да бъде формулиран
съвсем просто и най-общо по следния начин: естествените процеси в
природата се стремят да приведат системите в състояния с по-голям
безпорядък. Тази формулировка на втория принцип на термодинамиката
излиза извън рамките на термодинамиката като наука. Съществуването на
природни процеси, които се развиват само в определена посока, е довело
до необходимостта от въвеждане на такова фундаментално понятие, как­
вото е времето. Ходът на времето в нашия живот, който е винаги в една
посока (от минало към бъдеще), може да се асоциира с процесите, които се
подчиняват на втория принцип на термодинамиката. Времето се явява ха­

Молекулна физика и термодинамика

121

рактеристика на развиващите се в една посока явления; като физична ве­
личина то винаги е положително (/ > 0 ) и никога - отрицателно (/ < 0 ), т.е.
обратният ход на времето е невъзможен. Целият човешки опит е придобит
в условията на нарастване на безредието, което пък от своя страна е свър­
зано с едностранния ход на времето.
Интересен е въпросът, дали живите организми се подчиняват на вто­
рия принцип на термодинамиката? Известно е, че всеки жив организъм
получава енергия от околната среда и създава определена подреденост.
Това би било в противоречие с втория принцип, ако той не се отнасяше
само за затворени системи (това трябва винаги да се помни!). Ако един
жив организъм се разглежда в изолирано състояние, той просто престава
да живее и в такъв случай се подчинява на втория принцип на термодина­
миката. Не по-малко интересен е въпросът, дали може да се приложи вто­
рият принцип към нашата Вселена? Разглеждайки Вселената като затво­
рена система и прилагайки втория термодинамичен принцип към нея,
Клаузиус е дошъл до извода, че в определен момент ентропията на Вселе­
ната ще достигне своя максимум и ще настъпи т.нар. „топлинна смърт”.
Необятната и непрестанно развиваща се Вселена е напълно несъстоятелно
да се разглежда като затворена система. В това е била грешката на Клау­
зиус. Освен това не е съвсем ясно доколко вторият принцип на термоди­
намиката може да се прилага кьм такива огромни мащаби, както е Вселе­
ната като цяло. Точни отговори на някои подобни въпроси все още не мо­
гат да бъдат дадени.

3.

Въпроси н задачи
Кой всеобщ природен закон изразява първият принцип на термодинамиката?
Колко вида топлинни капацитети при газовете познавате и с какво се свързва всеки от
тях? Напишете уравнението на Майер.
Кой процес е адиабатен и кой изотермодинамичен? Кои са изопроцесите и с какво се

4.

характеризира всеки от тях?
От какво зависи КПД на идеалната топлинна машина? Зависи ли КПД от вида на ра­

5.

ботното вещество?
Кои машини имат по-голям коефициент на полезно действие - топлинните или хла­

1.
2.

дилните, и защо?
За какви системи се отнася вторият термодинамичен принцип?
Определете работата за разширение на 20 1 газ при изобарно нагряване от 300 до
393 К, ако налягането на газа е 80 кРа.
8.
Един киломол едноатомеп газ се нагрява при постоянен обем до 100 К. Определете
количеството топлина, което се предава на газа.
9. Двигател с вътрешно горене има КПД = 28% при температура на изгаряне на гориво­
то 1200 К и температура на изхвърлените газове 720 К. С колко процента КПД на иде­
алната топлинна машина е по-голям от този на двигателя?
10. Азот с маса 280 g е нагрят при постоянно налягане със сто градуса. Намерете извър­
шената при разширението му работа (А/у = 0,029 kg/mol).

6.
7.

РАЗДЕЛ

III

ЕЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗЪМ
Различните взаимодействия между телата могат да се обобщят в две
групи: взаимодействия, които се осъществяват при непосредствен контакт
(допир) между телата, и такива, при които телата се намират на разстоя­
ние едно от друго. Към първия вид се отнасят различните видове удари
между телата, както и прилагането на определена сила върху дадено тяло.
Към втория вид се отнасят например гравитационните взаимодействия,
изразяващи се в привличането между две тела с определени маси на раз­
стояние едно от друго. Действие на разстояние възниква и при електро­
магнитните взаимодействия, най-простият случай от които се описва от
закона на Кулон. Известно е, че две наелектризирани тела, намиращи се на
разстояние едно от друго, си взаимодействат. Ако двете тела са с еднакъв
по знак електричен заряд, те се отблъскват, а ако са с противоположни
заряди, се привличат.
Ефектите на взаимодействие между тела, намиращи се на разстояние
едно от друго, могат да се обяснят с въвеждането на поле, обкръжаващо
телата, чрез което се осъществява взаимодействието между тях. В извес­
тен смисъл полето представлява „предавател“ на влиянието между телата,
разположени на разстояние едно от друго в пространството. Между електричното и магнитното поле съществува неразривна връзка. Учението за
електромагнитните взаимодействия е преди всичко учение за съответните
електромагнитни полета и техните свойства.

Глава 7
ЕЛЕКТРОСТАТИКА
7.1. Електрични заряди. Електростатично поле.
Закон на Кулон
В раздела „Класическа механика“ се запознахме с фундаменталното
свойство на телата - тяхната маса. Тук ще въведем друго важно свойство
на телата — електричен заряд. То е било открито още в древността чрез
различни опити. Известно е, че при триене на суха стъклена пръчка с коп­
ринен плат в нея се появява излишък от положителни електрични заряди,
а при триене на ебонитова пръчка с вълнен плат - излишък от отрицател­
ни електрични заряди. В природата съществуват само два типа електрични
заряди: положителни (ядрата на атомите) и отрицателни (електроните).

Е лект ричест во и м агнет изъм

123

При триене част от електроните на дадено тяло могат да преминат в друго.
В резултат на това второто тяло ще получи отрицателни заряди, а тялото,
което отдава електроните, ще се окаже с недостиг от тях (в него ще пре­
обладават положителните заряди). Всяко тяло, което има излишък от по­
ложителни електрични заряди, е прието да се нарича положително наелектризираио (или заредено). Ако в дадено тяло има излишък от отрица­
телни електрични заряди, то се нарича отрицателно заредено. Опитът е
доказал, че положително и отрицателно заредените тела се привличат, а
едноименно заредените се отблъскват. Ако количествата на положителни­
те и отрицателните заряди в едно тяло са равни, то се нарича електроие-

утрално.
Знаем, че всички тела се състоят от атоми и молекули. От своя страна
всеки атом съдържа ядро и електрони, а всяко ядро включва определен
брой протони. Зарядите на електрона и протона са равни по големина и
противоположни по знак. Това са най-малките електрични заряди, които
могат да съществуват самостоятелно. Те са приети като единични елект­
рични заряди. (Последните изследвания във физиката доказват съществу­
ването на частици, наречени кварки, които имат дробни електрични заря­
ди, но не могат да съществуват самостоятелно. Те се откриват само в ком­
бинации, образувайки по-големи частици вж. тема 16.3.)
Американският физик Р. Миликен опитно е установил, че всички ма­
териални тела (с маса т * 0 ) имат електричен заряд, кратен на заряда на
протона. Зарядът на протона се нарича елементарен електричен заряд.
Означава се с е и има големина 1,6.10 u С (зарядът на електрона е равен
на -е). В системата СИ за количество електричен заряд е въведена едини­
цата кулон [С]:
1C = 6,24.1018 е\ е = 1,602.10-19 С.
(7.1.1)
Големината на заряда на всяко наелектризирано тяло може да се пред­
стави по следния начин:

Q = ±Ne,
(7.1.2)
където Q е общият заряд на тялото, е - елементарният електричен заряд, а
N - цяло число; N = 1, 2, 3 и т.н.
На основата на многобройни експериментални резултати е бил уста­
новен още един фундаментален закон на природата, наречен закон за съх­
ранение на заряда. Съгласно този закон зарядите могат да възникват и из­
чезват само по двойки (положителни и отрицателни с еднаква големина),
поради което сумата от положителните и отрицателните заряди в приро­
дата винаги се запазва постоянна.
В най-простите опити с електростатична машина на единия кондуктор
може да се получи положителен заряд, а на другия - отрицателен, но като
цяло машината е електронеутрална. В този случай зарядите не се създават

124

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

и не изчезват, а само се разделят в пространството. Съществуват обаче
експерименти, при които действително се наблюдава възникване и изчез­
ване на заряди. Например при сблъсък между електрон и позитрон (части­
ца, която е сходна на електрона, но има положителен електричен заряд)
настъпва процес на анихилация, в резултат на което се появява определе­
но количество енергия - гама-кванти (вж. тема 16.3). Обратно, от мощен
сноп електромагнитна енергия (поток от гама-кванти) при определени ус­
ловия може да се получи двойка частици: позитрон и електрон, всяка от
които има електричен заряд.
Полето, което възниква в пространството около неподвижните електрични заряди и осъществява взаимодействието между тях, се нарича
електростатично поле. Силите, които действат във всяко електростатич­
но поле, се наричат електростатични сили. По своя характер тези сили са
консервативни и зависят само от положението на зарядите, между които
действат. Свойствата на електростатичните полета, създадени от не­
подвижни електрични заряди, се изучават в специален раздел, наречен
електростатика.
Силата на взаимодействие между неподвижните електрични заряди е
определена експериментално от Ш. Кулон, а законът на който се подчиня­
ва това взаимодействие, се нарича закон на Кулон. Според този закон два
точкови заряда q\ и q2 си взаимодействат един с друг със сила, която е
правопропорционална на произведението от зарядите и обратнопропорционална на квадрата на разстоянието между тях:

Рп = к Щ - ,

(7.1.3)

г 12

където cj\и q2 са големините на двата заряда, г\2- разстоянието между тях,
a k е коефициент на пропорционалност, зависещ от използваната система
мерни единици. За вакуум в системата СИ k = 1/4ле0, където г0 се нарича
електрична константа или диелектрична проницаемост на вакуума
(е0 = 8,85.10'12 C 2/Nm2). Ако двата заряда се намират в среда с диелектрич­
на проницаемост еГ, е изпълнено
^ , 2 ,= -

^

=— .
(7Л '4)
Бг
12г
където гг е безразмерна величина и показва колко пъти силата на Кулон за
два взаимодействащи във вакуум заряда е по-голяма от тази в диелектрич­
г12

на среда. Съгласно третия принцип на Нютон силата Fn , с която първият
заряд действа на втория, е равна по големина и обратна по посока на сила­
та F2X, с която вторият заряд противодейства на първия. При едноименни
заряди силите действат така, че да ги отдалечат (сили на отблъскване), а
при разноименни - да ги приближат (сили на привличане) - фиг. 7.1.

125

Е лект ричест во и м агнет изъм

Необходимо е да отбележим, че законът на Кулон е установен за
точкови електрични заряди. Точкови електрични заряди се наричат заре-

F2X
—

<7i>0

г2]
<?2>0
___________'

Fu

^

41 < 0
о ---—► --------- —О

> 0

ГП

F2\

F\
2

Фиг. 7.1
дени тела, чиито размери са много малки и могат да се пренеорег нат в
сравнение с разстоянията между тях. Подобно на материалната точка точ­
ковият електричен заряд е абстрактно понятие. Всяко заредено тяло може
да се разглежда като съвкупност от точкови електрични заряди.
При решаването на редица задачи в практиката за удобство се приема, че
електричните заряди в наелектризираните тела са равномерно и непрекъснато
разпределени. В гакъв случай в зависимост от формата и размерите на телата
при определяне на общия им електричен заряд се използват понятията линеина, повърхнинна и обемна плътност на електричните заряди.
Ако зарядите са равномерно и непрекъснато разпределени по дължи­
ната на нишка (или тънка пръчка), на която можем да пренебрегнем сече­
нието, използваме понятието линейна плътност:

Х = ^- ,
(7.1.5)
dl
където dq е зарядът на малък линеен елемент dl от дължината на нишката.
Величината X определя количеството електричен заряд, съдържащо се в
единица дължина. Измерва се в единици кулон за метър [С/m]. Общият
заряд на нишката ще получим, като интегрираме по нейната дължина:
I
Q=\dq = X\dl = \l
о
I
За равномерно и непрекъснато заредена повърхност се въвежда поня­
тието повърхнинна плътност:
а =— ,
(7.1.6)
dS
където dq е зарядът на малък елемент dS от повърхността. Величината а опре­
деля количеството електричен заряд, което се съдържа в единица повърхност.
Измерва се в единици кулон за квадратен метър [С/m2]. Общият заряд, разпре­
делен върху цялата повърхност S, ще определим чрез интегриране:

Q = ^dq = о JdS = oS .
За равномерно и непрекъснато зареден обем се използва понятието

обемна плътност'.

126

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

Р=^ ,

(7.1.7)

dV
4
'
където dq е зарядът на малък елемент dV от обема на тялото. Величината р
определя количеството електричен заряд, което се съдържа в единица
обем, и се измерва в единици кулон за кубичен метър [С/m3]. За общия
заряд Q аналогично получаваме
0 = l<tq = p)dV = pV.

7.2. Интензитет на електростатичното поле.
Теорема на Гаус
Сега ще въведем величините, които характеризират електростатично­
то поле. Нека точковият заряд q0 се намира в дадена точка от пространст­
вото и създава около себе си електростатично поле (фиг. 7.2). Това поле
ще въздейства по някакъв начин на всеки електричен заряд, който се внася
в него. Означаваме с qnp положителен пробен точков заряд, поставен в да­
дена точка М от електростатичното поле, а с г - разстоянието между него
и заряда q0 (qnp «
\q0\
). Ако зарядът q0 е по­
ложителен, между двата заряда ще действа
сила на отблъскване, а ако е отрицателен сила на привличане. (Пробният електричен
заряд винаги е положителен.) Интензите­
тъ т е физична векторна величина, която ха­
рактеризира електростатичното поле в дадена
точка и числено се определя от силата, действаща на неподвижен положи­
телен единичен заряд, поставен в дадената точка. Означава се с Е :

Е =— .

(7.2.1)

Япр

Мерната единица за интензитет е нютон за кулон J N /С]. Посоката на
вектора Е съвпада с посоката на действащата сила F . Интензитетът се
нарича още силова характеристика на електростатичното поле.
Силата F , която действа между двата заряда qQ и qnp, е кулонова. В
такъв случай
Е = кт

л _ = кщ _'

г ?пр

(722)

г

където Л=1/4яео, ако двата заряда са във вакуум. Горната формула
определя големината на интензитета, създаден от всеки точков заряд в
пространството. Очевидно е, че той зависи правопропорционално от
големината на заряда, създаващ полето, обратнопропорционално от

127

Е лект ричест во и м агнет изъм

разстоянието между зарядите q0 и qnp и не зависи от пробния заряд. Даде­
но електростатично поле действа на внесен в него пробен заряд толкова
по-слабо, колкото по-отдалечен е внесеният заряд от този, който създава
полето. Посоката на интензитета Е зависи от вида на електричния заряд
cjq. Ако

qo > 0, векторът Е е насочен по радиуса, който излиза от заряда;

ако qo< 0 , интензитетът Е е насочен по радиуса, който влиза в заряда.
Ако полето е създадено от голям брой електрични заряди
(?оь </02 ,...» Яоп), тогава интензитетът в разглежданата точка М ще бъде ге­
ометрична сума от интензитетите на полетата Е , , създавани от всеки за­
ряд поотделно:
е

= & ,= !—
#-1

/=1

■

(7-2-3)

Япр

Изразът (7.2.3) изразява принципа па суперпозиция на интензитетите
на електростатичните полета, създавани от система електрични заряди
в дадена точка.
Графично електростатичното поле се представя с помощта на силови­
те линии на интензитета. Това са такива линии, допирателните към кои­
то в коя да е точка от полето съвпадат с посоката на вектора на интензите­
та в тази точка. За най-простия случай на поле, създадено от точков заряд,
линиите на интензитета са радиални прави, излизащи от заряда, ако той е
положителен, и влизащи в него, ако той е отрицателен (фиг. 7.3). При
електростатично поле, създадено от два разноименни заряда, силовите ли­
нии започват от положителния заряд и завършват в отрицателния
(фиг. 7.4).

/ |\ ^
Фиг. 7.3

фиг. 7.4

За пресмятане интензитета на електростатичното поле, създадено от
система точкови електрични заряди в пространството, е необходимо да се
извърши сумиране на интензитетите на електростатичните полета от всеки
заряд. В някои случаи такова сумиране се оказва доста сложно. Задачата
се опростява с въвеждането на величината поток на вектора па интензи­
т е т а , която се определя от броя на силовите линии, пресичащи перпен­
дикулярно дадена площ AS. Означава се с Ф /;:

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

128

ДФ/. = Е. AS = Е A S .
(7.2.4)
(При AS = 1m потокът на вектора на интензитета характеризира чис­
лено интензитета на електростатичното поле.)
В общия случай, ако силовите линии на интензи­
тета пресичат малка елементарна площ dS под
П
някакъв ъгъл а спрямо нормалата п към площта
(фиг. 7.5), потокът на вектора на интензитета се
дефинира като скаларно произведение от вектора
2

на интензитета и вектора на елемента dS = dS f i :
Фиг. 7.5

d O E = E.dS = E„dS = EdScos a

(7.2.5)

където En е компонентата на вектора Е по нап­
равление на нормалата п (проекцията на Е върху п : En=Ecosa). За да
определим големината на общия поток, пресичащ цялата площ S, трябва
да интегрираме (7.2.5) по S:
(7.2.6)

s
За произволна затворена повърхност интегрирането трябва да се из­
върши съответно по затворената повърхност:
(7.2.7)
5

(При затворени повърхности за положителна посока на нормалата се
приема посоката на външната нормала - от повърхността навън, а за отри­
цателна - посоката на вътрешната нормала, т.е. от повърхността навътре.)
Теоремата па Гаус дава друга формулировка на потока на вектора на
интензитета и позволява много лесно да се пресмятат интензитетите на
различни електростати<ши полета, представляващи интерес за практиката.
Според тази теорема общият поток на вектора на интензитета, пресичащ
дадена затворена повърхност, е равен на заградения от повърхността общ
електричен заряд, разделен на произведението на двете диелектрични
проницаемости е0 и ег:
(7.2.8)
Изразът (7.2.8) се отнася за електростатично поле в произволна дие­
лектрична среда, а за вакуум трябва да положим 8 Г= 1 :
(7.2.9)
Ще приложим теоремата на Гаус за следния прост случай (фиг. 7.6).
Точков заряд q0 се намира във вакуум и е заграден от сферична повърх­
ност S с радиус R и център самият заряд. Съгласно (7.2.9) получаваме

Е лект ричест во и м агнет изъм

129

Ф Е = jE „dS = Е \dS = E4nR2 = - ^ ,
5сф
^'сф
80
Е=

Яо
AtzZqR'

(7.2.10)

(В разглеждания случай Еп = Е, тъй като за
всяка точка от повърхността на сферата е изпълне­
но Е -L dS , a R съвпада с посоката на нормалата
Ф ИГ. 7.6
п : а = 0. Освен това разглежданото поле има радиална симетрия и Е = const.) От горната формула следва, че във всяка
точка от повърхността на сферата интензитетът е постоянна величина и
зависи само от големината на точковия заряд q0, създаващ полето.
При равномерно и непрекъснато разпределение на електрични заряди
по дадена повърхност S или в обема V на дадено тяло, сумата
от ф ор­
мулите (7.2.8) и (7.2.9) се заменя с общия заряд Q, разпределен съответно
върху повърхността S или в обема V:
(7.2.11)

Ф е = fa d S =
0

°г

За определяне на общия заряд Q в подобни случаи се използват поня­
тията повърхнинна и обемна плътност на електричните заряди. При рав­
номерно и непрекъснато разпределение на електрични заряди по дадена
повърхност S получаваме

Q = jdgr - a

=<
jS

Аналогично при равномерно и непрекъснато разпределение на заря­
дите в даден обем имаме

Q = fdq = p fd V = pV
Ще използваме теоремата на Гаус, за да оп­
ределим интензитета на електростатичното по­
ле в няколко интересни по отношение на прак­
тиката случая.
На фиг. 7.7 е показана част от една без­
крайна равнина, равномерно и непрекъснато
заредена с положителен заряд с повърхнинна
плътност о, която се намира във вакуум. Лини­
ите на интензитета на полето, създадено от рав­
нината, са перпендикулярни на нейната площ и насочени навън от нея. Ще
пресметнем интензитета на полето в произволна точка М\. Определяме

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

130

огледалния образ на точката М\ спрямо равнината и го означаваме с М>.
Построяваме две еднакви успоредни на равнината кръгли сечения
ДS] = ASj с центрове точките М\ и М2. Свързваме двете сечения и получа­
ваме една затворена цилиндрична повърхност, за която можем да прило­
жим теоремата на Гаус. Заграденият от тази повърхност заряд се намира
върху сечението AS0, което цилиндърът отсича от заредената равнина.
Околната повърхност на цилиндъра е успоредна на силовите линии на ин­
тензитета и перпендикулярна на заредената равнина. Нека пресметнем
потока на вектора на интензитета, пресичащ затворената повърхност на
цилиндъра. Пълната повърхност на цилиндъра може да представим като
сума от повърхностите A.S'i и ASS на двете основи и околната повърхност
ASi. В такъв случай записваме
crASn
(7.2.12)
Ф я = \E„dS+ j£„rfS+ j£„rfS =
ДЛ',

ДS 2

и

AS,

За първите два интеграла е изпълнено Е„ = Е = const, тъй като силови­
те линии са перпендикулярни на двете основи, а електростатичното поле,
създадено от равнината, е хомогенно. В последния интеграл Е„ = 0, тъй
като силовите линии са успоредни на околната повърхност и а = 90°. То­
гава формулата (7.2.12) ще се преобразува по следния начин:

Ф Е = EAS{+ Е AS2 =

g AS,

AS]=AS2 =AS0;

E=

o

(7.2.13)

2zn

Полученият израз за интензитета на електростатичното поле, създаде­
но от безкрайна, равномерно и непрекъснато заредена равнина, показва, че
той не зависи от разстоянието между точката и равнината, а само от повърхнинната плътност на електричните за­
ряди. Във всички точки около заредената
*
равнина интензитетът е един и същ.
1
Да разгледаме сега електростатичното
+
поле, създадено от две безкрайни успоред­
1
+
ни равнини, равномерно и непрекъснато
• м,
• мх
1
заредени с разноименни заряди с повърх+
нинна плътност ст. Картината на разполо­
1
жението на силовите линии е показана на
+
фиг. 7.8.
Тъй като равнините са разноименно за­
Фиг. 7.8
редени, векторите на интензитета са насо­
чени в единия случай към равнината (тази, която е заредена отрицателно),

Е лект ричест во и м агнет изъм

131

а в другия - от равнината навън (тази, която е заредена положително). Из­
бираме точката М\ от пространството между двете равнини и точката М>
от пространството извън тях. За точката М\ съгласно принципа на суперпозиция получаваме

Е = Et + Е2; £ = — +— = — ■
2 sq
2 е0
8q

(7.2.14)

Извън равнините векторите Е х и Е2 са в противоположни посоки и
пълният интензитет е Е = 0. Тогава за точката М2 Е = 0. Този пример е
интересен за практическо приложение, тъй като интензитетът на полето
между двете равнини се удвоява, а извън тях се оказва равен на нула. Във
всички кондензатори се използва електростатично поле, създадено от две
равномерно и непрекъснато заредени с разноименни заряди пластинки,
поставени близко една до друга.
Накрая ще разгледаме електростатично
поле, създадено от равномерно и непрекъс­
нато заредена сферична повърхност, която
се намира във вакуум (фиг. 7.9). Нека по
сферата с радиус R и център О е разпреде- ^
лен равномерно общ електричен заряд Q.
Линиите на интензитета са радиално насо­
чени навън от сферата. За всяка точка М\,
намираща се извън сферата, можем да прес­
метнем интензитета Е , като приложим
теоремата на Гаус. Построяваме през точка­
та М\ сферична концентрична повърхност с
радиус г = ОМ\. Поради равномерното разпределение на заряда създаде­
ното поле има централна сферична симетрия и интензитетът е еднакъв за
всички точки, които са на еднакви разстояния от центъра на сферата. За
всяка точка от повърхността на сферата с радиус г е изпълнено

Е = Еп= const. Тогава
Ф ,! =<\E„dS = S-;

si
EAw 7 = 2- ;
е0

£ = — 2-^.
4ле0г

(7.2.15)

Получената формула за интензитета на електростатичното поле в този
случай се отнася за r > R и показва, че повърхностно заредената сфера
създава в пространството електростатично поле, аналогично на това, което
създава един точков електричен заряд с големина qo (вж. формула
(7.2.10)). Интересно е да определим и интензитета на полето вътре в сфе­

132

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

рата. Построяваме концентрична сферична повърхност с радиус с големи­
на r < R и център О. От теоремата на Гаус получаваме

Ф Е = §E „dS = 0,

(7.2.16)

тъй като вътре в сферата няма електрични заряди (Q = 0). Следователно
вътре в заредената сферична повърхност няма електростатично поле
( Е = 0). Този ефект се използва, когато трябва да се защити някакъв при­
бор от въздействието на силни външни електростатични полета. Приборът
се поставя в метална клетка. Клетката може да бъде заредена, но полето
вътре в нея е равно на нула. По същия начин се предпазват и хората, рабо­
тещи във високопланинските наблюдателни станции, където съществуват
условия за по-чести поражения от мълнии. Сградите се обвиват изцяло с
метална мрежа, която се свързва със Земята.

7.3. Работа на електростатичните сили. Потенциал. Връзка
между интензитет и потенциал на електростатичното поле
От механиката е известно, че работата на консервативните сили по
всеки затворен контур е равна на нула:

А = <jdA = jF .(B = jF ,d l = 0,
I.
I.
L
където Ft = Fcosa е проекцията на действащата сила F върху посоката на
преместването dl . Електростатичните сили са консервативни и зависят от
разположението на взаимодействащите заряди един спрямо друг. От де­
финиционното равенство на кулоновата сила се вижда, че тя зависи само
от разстоянието между двата взаимодействащи заряда (коефициентът к и
големините на зарядите са постоянни величини). В такъв случай работата
на електростатичните сили по затворен контур също трябва да бъде равна
на нула. Използвайки формулата за работа на сила в механиката, работата
на електростатичните сили можем да представим по следния начин:
dA л = F e„ d I = qnpEdlcosa = qnpE ,d l,

(7.3.1)

където dl е преместването на даден пробен електричен заряд под действие
на електростатичната сила FCA, а Е/ е проекцията на вектора на интензитета
върху направленнието на преместването (проекцията може да бъде положи­
телна или отрицателна в зависимост от посоката на вектора на интензитета
и на вектора на преместването). За единичен заряд qnp= 1C получаваме
dAe„ = E ,d l.
(7.3.2)
Ако действащата сила премества заряда по затворен конту р L, работа­
та ще определим чрез интегриране на израза (7.3.2) по L :

Е лект ричест во и .магнетизъм

Ал = jd A tl,= jE ,d l
L

(7.3.3)

L

Трябва да докажем, че горният израз е равен на нула. Всеки затворен
контур може да се раздели на две отворени криви линии. Предполагаме,
че разглежданият единичен заряд се премества от положение 1 в положе­
ние 2 по кривата 1 - а - 2 (фиг. 7.10). Извършената работа в този случай ще
определим, като интегрираме (7.3.2) по dl в граници от 1 до 2:
2

ААп = J E ,d l.
/
При преместване на заряда от положение 2 в
1 по кривата2 - b - J аналогично получаваме

АА21 = \E,dl.
Общата работа, извършена от силата, за
преместване на заряда по затворения контур 1а - 2 - b -1 е
Ал = М

2

+^

2 1

= °.

тъй като &Л,2 = -ДА, • (При преместването на заряда от положение 2 в /
работата е отрицателна, тъй като векторът на преместването сключва тъп
ъгъл с посоката на действащата сила.) Тогава
2
1
А,„ = fE,d/+ fE,d/ = jE ,d l = 0,
(7.3.4)
I
2
L
където интегралът cfEtdl се нарича циркулация па вектора па интензитета
на електростатичното поле по затворения контур L. От получената формула
(7 .3 .4 ) следва, че циркулацията на интензитета на електростатичното поле по
всеки затворен контур е равна на нула, а ли­
ниите на интензитета на електростатичното
поле не могат да бъдат затворени криви.
Силово поле, интензитетът на което удов­
летворява горното условие, се нарича по­
тенциално. Следователно по своя характер
електростатичното поле е потенциално.
От механиката е известно също, че работата
на консервативните сили е свързана с по­
тенциалната енергия чрез следното равенст­
во: dA = -dU. Нека сега определим каква
<7о > °
работа ще извърши електростатичната сила
, премествайки пробния заряд
от по­
ложение 1, определено от радиус-вектора г,, в 2, определено от г2 (фиг. 7.11).
Разглеждаме малко преместване dl на заряда между две близки поло-

ОСНОВИ НЛ ФИЗИКАТА

134

жения с радиус-вектори г и г * до източника на полето <у0. Означаваме с а
ъгъла между действащата сила и преместването. Ог (7.3.1) чрез интегри­
ране получаваме

2
= p ^ c o s a = \F^dr =

2Д^12 =
I

I

_ )k q 0qnpdr
' rj,

r,

*<Mnp

kq0qap

r2

r{

r2

= -{U(r2)- U (r{))= - A U ,

(7.3.5)

където действащата сила сме заместили с дефиниционното равенство за
кулоновата сила (7.1.3), dlcosa = dr (dr е проекцията на преместването dl
върху направлението на силата - вж. фиг. 7.11), а U(r\) и U(r2) са функции,
които зависят от разстоянието между двата заряда qnp и q0. Получената
формула (7.3.5) е аналогична на тази от механиката и показва, че работата
на консервативната сила Fen по големина се определя от изменението на
една функция U(r), взето с обратен знак. Изразите (\/r\)kq0qnp и (\/r2)kq0qnp
са функции на една променлива - съответното разстояние между qn]> и qo в
двете положения. Следователно в електростатиката също може да се въ­
веде потенциална функция U(r), която характеризира влиянието на елект­
ростатичното поле върху Енесените електрични заряди и се нарича потен­
циална енергия. Определя се от следното равенство:

U(r) = kq°qJi2. .
(7.3.6)
r
От (7.3.6) се вижда, че при r->оо, U(r)->0, т.е. колкото по-далеч от из­
точника на електростатичното поле се намира внесеният пробен заряд,
толкова по-малка ще бъде потенциалната му енергия или толкова по-слабо
ще му влияе даденото поле. Обратно, с приближаването на пробния заряд
към заряда източник потенциалната му енергия нараства. В случая е важно да се отбележи още, че потенциалната енергия зависи от знаците на
двата електрични заряда. За разноименни заряди U(r) < 0, а за едноименни
U(r) > 0. Ако пробният заряд е равен на единица, тогава може да запишем
U _ kq0 _
= ф.
(7.3.7)
?пр

Г

С горния израз се въвежда нова скаларна величина, която характери­
зира електростатичното поле във всяка точка и се нарича потенциал. Оз­
начава се с ф и определя потенциалната енергия на единичен положителен
заряд, поставен в дадена точка от електростатичното поле. Нарича се още
енергетична характеристика на полето:

Електричество и магнетизъм

Ф

Яо

135

(7.3.8)

47Г80Г

където k = 1/4яе0. Очевидно потенциалът зависи от големината на заряда,
създаващ полето, и се изменя в зависимост от разстоянието между внесе­
ния заряд и източника на полето. Мерната единица за потенциал е волт
[V]. Един волт е потенциалът на такава точка от дадено електростатично
поле, в която единичен пробен заряд qnp= 1 C притежава потенциална енер­
гия U = 1J:
,v = i i .
1C
Във всяко електростатично поле съществуват гочки с еднакъв потен­
циал. Геометричното място на точки с еднакъв потенциал се нарича екви­
потенциална повърхност. Еквипотенциалните повърхности, както и сило­
вите линии, се използват за графично представяне на електростатичното
поле. Например за точков заряд с големина q всяка сфера, която го ограж­
да така, че той се намира в центъра й, ще бъде еквипотенциална повърх­
ност (фиг. 7.12). От дефиницията за потенциал съгласно (7.3.7) в дадения
случай получаваме
kq
Ф=
R
където R е радиусът на всяка сфера, ограждаща
заряда.
Еквипотенциалните повърхности в този
случай са концентрични сфери. Линиите на ин­
тензитета, които са радиални прави, са перпен­
дикулярни към еквипотенциалните повърхности
във всяка точка.
През всяка точка на електростатичното по­
Фиг. 7.12
ле може да преминава само по една еквипотен­
циална повърхност. Уравнението на една еквипотенциална повърхност се
определя ог условието ф = const. При пренасяне на електрични заряди по
еквипотенциални повърхности не се извършва работа, гъй като
ЛЛ, 2 = -A U = -д(Ф2 ~ ф|) = 0 (ф, = ф 2 = const). От това следва, че електрос­
татичните сили, действащи на зарядите, са перпендикулярни на еквипо­
тенциалните повърхности (насочени са по нормалата п към съответната
еквипотенциална повърхност).
Накрая ще определим връзката между двете характеристики на елект­
ростатичното поле - интензитет и потенциал. Интензитетът като силова
характеристика на полето е свързан с действащата електростатична сила, а
потенциалът като енергетична характеристика е свързан с потенциалната

136

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

енергия. От механиката е известно, че всяка консервативна сила е свърза­
на с потенциалната енергия чрез следната зависимост:

F = -grad (7 .
Логично е да се предположи, че между интензитета и потенциала мо­
же да съществува аналогична зависимост.
Работата, извършена от електростатичната сила, за преместване на
единичен заряд q = 1 С на малкото разстояние dl по посока на силовите
линии е

dA = F .d l = qEdl cos a = E d l ,

(7.3.9)

където £cosa = Е (в случая a = 0).
От друга страна, работата е свързана с потенциалната енергия съглас­
но формулата (7.3.5) и за q = 1 С получаваме
dA = -dU = -qd(p = -d(p .
(7.3.10)
Левите части на (7.3.9) и (7.3.10) са еднакви, следователно можем да
приравним десните:

Edl = -dq>\ £ =

; £ = -gradq>.
(7.3.11)
dl
Последната формула изразява връзката между интензитета и потенци­
ала и показва, че интензитетът на електростатичното поле числено е равен
на изменението на потенциала на единица разстояние. Знакът
означа­
ва, че векторът на интензитета е насочен в посоката, в която потенциалът
намалява.

7.4. Проводник в електростатично поле. Капацитет
По своите електрични свойства телата в природата се делят главно на
две групи: проводници и диелектрици. Значително по-късно са открити и
нов тип вещества, наречени полупроводници. 1 е имат редица интересни за
практическо приложение свойства, позволяващи им да бъдат обособени в
отделна група. Ще се спрем накратко само на основните два типа — про­
водници и диелектрици. Основното свойство на проводниците се състои в
това, че под действието на приложено електростатично поле в тях протича
електричен ток. Диелектриците не провеждат електричен ток, затова се
наричат още изолатори.
Проводниците са вещества, съдържащи свободни Електрични заряди,
които лесно могат да се придвижват при прилагане на външно електроста­
тично поле. Типични проводници са металите, където ролята на свободни
електрични заряди се изпълнява от валентните електрони.
Всеки метален проводник в отсъствие на външно електростатично по­
ле е електронеутрален. Зарядът на неговите свободни електрони се урав-

137

Е лект ричест во и м агнет изъм

новесява от положителните йони в кристалната решетка. Повърхността на
такъв проводник е една еквипотенциална повърхност. Ако поставим съ­
щия проводник във външно електростатично поле, свободните електрични
заряди започват да се движат, докато се компенсира приложеното поле и в
проводника се установи равновесно разпределение на зарядите. Като ре­
зултат електростатичното поле в проводника отново става равно на нула
( £ въгр = 0 ). От това следва, че във вътрешността на проводника потенциа­
лът ф е една постоянна величина: ф = const (dcp/dr = 0). Ако даденият мета­
лен проводник се наелектризира (получи опреде­
лено количество електричен заряд Q), интересен
е въпросът, как ще се разпределят електричните
заряди в него. Под действие на кулоновите сили
на отблъскване електричните заряди се разпреде­
лят по повърхността на разглеждания проводник.
Интензитетът на електростатичното поле вътре в
проводника отново става равен на нула ( £ вътр = 0 )
(фиг. 7.13). Следователно повърхността на всеки
зареден проводник също представлява еквипо­
тенциална повърхност.
Нека сега определим интензитета на електростатичното поле, създа­
вано от един зареден проводник близо до неговата повърхност. Избираме
произвол на точка М\, разположена на близко разстояние до повърхността
на заредения проводник, и определяме нейния
симетричен образ (точката М2) спрямо тази по­
върхност (фиг. 7.14). Построяваме две успоредни
малки кръгли сечения AS] = AS2 с центрове М\ и
М2. Свързваме сеченията и получаваме една зат­
ворена цилиндрична повърхност, за която можем
да приложим теоремата на Гаус. Заграденият
електричен заряд е разположен върху сечението
ASo, което околната повърхност на цилиндъра
Фиг. 7.14
отсича от заредената повърхност на проводника:

Ф £ = <$E„dS = \E„dS+ \E„dS +
AS,
Д52
AS,

=^

.

(7.4.1)

S°

Вторият и третият интеграл от горния израз са равни на нула, тъй като вътре
в проводника електростатичното поле е нула (Е = 0 ), а околната повърх­
ност Д»S/ не се пресича от силовите линии на интензитета ( Еп = 0 ). Тогава

138

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

EAS, =

aASn

; Е=

(7.4.2)

(За сеченията според построението е изпълнено AS\= AS2= AS0, a En=E.)
Следователно интензитетът на електростатичното поле близо до заре­
дената повърхност се определя от големината на повърхнинната плътност
на зарядите.
Ще се спрем по-подробно на процесите, които настъпват в даден ме­
тален проводник, поставен във външно електростатично поле. Означаваме
интензитета на приложеното електростатично поле с Ев. Преместването на
електроните под действие на полето довежда до преразпределение на по­
ложителните и отрицателните заряди върху повърхността на проводника
(фиг. 7.15). Двете срещуположни
+
стени се оказват заредени с разноименни заряди, които се нари­
чат индуцираии. Тези заряди се
разпределят по такъв начин, че
създаденото от тях електроста­
тично поле и външното поле се
компенсират взаимно. В резултат
Фиг. 7.15
на това полето вътре в проводни­
ка става равно на нула, а силовите линии на приложеното външно елект­
ростатично поле се прекъсват и деформират. Те са перпендикулярни на
заредените повърхности на проводника, като завършват в отрицателните
индуцирани заряди и започват от положителните. Процесът, при който
става преразпределение на електричните заряди в даден проводник под
действие на външно електростатично поле, се нарича електростатична
индукция.
Вече казахме, че при зареждането на един проводник с някакво коли­
чество електричен заряд, зарядът се разпределя по неговата повърхност,
която се оказва еквипотенциална равнина (ф = const). Опитно е установе­
но, че определено количество заряд създава точно определен потенциал на
даден проводник. Между потенциала ф на повърхността и количеството
заряд Q , разпределено върху нея, съществува следната зависимост:
Q = С Ф.
(7.4.3)
Коефициентът на пропорционалност С се нарича електричен капаци­
т ет (или просто капацитет). (Горният израз е в сила за всеки про­
водник, който се намира много далеч от други проводници и заредени те­
ла, които могат да му влияят.) Капацитетът е физична величина, която се
определя от отношението на заряда, предаден на даден проводник, към
неговия потенциал:

Елект р и чест во и м агнет изъм

С =—.

139

(7.4.4)

Ф
Мерната единица за капацитет се нарича фарад [F]. Един проводник
има капацитет 1 F, ако при увеличаване на заряда му с 1 С потенциалът се
изменя с 1 V:
IF = — .
(7-4.5)
IV
Капацитетът зависи от формата и размерите на проводника, но не за­
виси от материала, агрегатното състояние и вътрешността му (по-точно
дали е плътен или кух - и в двата случая зарядите се разпределят по по­
върхността му).
Като пример ще разгледаме заредена проводяща сфера с радиус R.
Нека зарядът, разпределен равномерно по повърхността й, е Q. На разсто­
яние г от центъра на сферата потенциалът ще бъде

ср = ^ .

(7.4.6)

г
На повърхността на заредената сфера потенциалът е

ф=М =£ ,
R
откъдето за капацитета С получаваме

(7.4.7)

С

С = — = 4ле0Л.

(7.4.8)

k

Очевидно е, че капацитетът на сферата с точност до константа се оп­
ределя от големината на радиуса й (за среда, различна от вакуум,
С = 4 я 80£ ^ ) .
Сега ще разгледаме от какво зависи капацитетът на един конденза­
тор. Система от два изолирани един от друг проводника, които са зареде­
ни разноименно с еднакви по големина електрични заряди, се нарича кон­
дензатор. Най-простият кондензатор е плоският —състои се от две зареде­
ни пластинки с еднаква площ S, разположени на разстояние d една от дру­
га. Зарядите на пластинките са равни по големина и противоположни по
знак: Q и -Q. Силовите линии започват от положителната пластинка и за­
вършват в отрицателната. Електростатичното поле е съсредоточено в
пространството между двете пластинки, което се запълва с някакъв дие­
лектрик. Ако означим с ф| и ф 2 потенциалите на двете пластинки, капаци­
тетът на кондензатора се определя от следното отношение:

с = — 2 _ = -2-,
ф |- ф 2

(7.4.9)

Дф

където Q е големината на заряда на всяка от пластинките, а Дф - потенци­

140

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

алната разлика между тях. Нека пространството на кондензатора е запъл­
нено с диелектрик с диелектрична проницаемост ег. Потенциалната разли­
ка Аф можем да определим, като използваме формулата (7.3.11). В такъв
случай получаваме
JCD

Ф2

Аф

Е - --- ; - J^/ф = ^Edl\ ф, - ф 2 = Аф = Ed\ Е =
dl
ф,
о
w
d

(7.4.10)

Интензитетът на полето между двете пластинки се определя, като
формулата (7.2.14) се приложи за диелектрик:
£ =—

.

(7.4.11)

Тогава замествайки (7 . 4 . 1 1 ) в (7.4.10), за Аф получаваме
Аф = —

.

(7.4.12)

Мг
Нека изразим общия заряд Q, разпределен върху пластинките, чрез
повърхнинната плътност <т и площта им S (Q = aS) и го заместим заедно
със (7.4.12) в (7.4.9). За капацитета С окончателно получаваме

c = ° t e £ i_ = S

(7413)

<jd
d
Следователно капацитетът на плоския кондензатор нараства с увели­
чаване диелектричната проницаемост на средата и площта на пластинките
и намалява с увеличаване на разстоянието между тях. Очевидно е, че вър­
ху по-голяма площ могат да се разположат повече заряди, а това от своя
страна води до увеличаване капацитета на кондензатора.
В техниката и особено в радиотехниката кондензаторите се използват
като системи за натрупване на електрични заряди. Обикновено увеличава­
нето на заряда Q в тях става за сметка на увеличаване на капацитета С, тъй
като увеличаването на потенциалната разлика А ф е ограничено (Q = САф ).
Вече знаем, че всеки проводник със заряд Q притежава определен по­
тенциал ф. Нека определим работата, която трябва да се извърши, за да се
зареди един проводник. Разглеждаме дадена сфера, заредена до потенциал
ф. Потенциалът ф е функция от заряда Q, който има сферата: cp(Q) = Q/C .
Предполагаме, че малко количество заряд dQ се пренася от безкрайност
до повърхността на заредената сфера. Извършената работа съгласно
(7.3.10) е
dA = - ^ ( ф да - ф ( £ ? ) ) ; dA = y(Q)dQ = ^ dQ .
(При г —*оо от (7.3.7) следва, че ф«>=0.)

Електричество и магнетизъм

141

Пълната работа А, която трябва да се извърши, за да се зареди сферата
със заряд от 0 до Q, ще получим, като интегрираме горния израз в граници
от

0

до Q :
(7.4.14)
i\ С

2 С

Тази работа всъщност е равна на потенциалната енергия на проводни­
ка. Следователно енергията на всеки зареден проводник се определя от
израза:
(7.4.15)
Плоските кондензатори представляват системи, в които съществува
еднородно електростатично поле. Интензитетът Е на това поле е свързан
с потенциалната разлика Дср между пластините съгласно (7.4.10) със съот­
ношението Ed = Д ф . В заредените кондензатори се съдържа потенциална
енергия, която е равна на работата, необходима за тяхното зареждане. За
пресмятане на тази енергия може да се използва формулата (7.4.15), къде­
то вместо ф ще положим Д ф = Ed, а капацитетът С ще изразим чрез полу­
чения израз (7.4.13) за плосък кондензатор. В такъв случай получаваме

U = -ц>2С = L M A Е 2d 2 = - в 0 8 rE 2Sd .
2
2 d
2
Произведението Sd определя обема, който заема електростатичното поле
на кондензатора. Разделяйки горната формула на обема, получаваме енер­
гията, която се съдържа в единица обем от кондензатора, или плътността
на енергията'.
w

2

(7.4.16)

7.5. Диелектрик в електростатично поле
Диелектриците са вещества, които не съдържат свободни електрични
заряди. Те са изградени като всички тела от атоми и молекули. За да се
разбере тяхното поведение в електростатично поле, е необходимо да се
разгледа поведението на електричните заряди на отделните диелектрични
атоми или молекули. Всеки атом от диелектрика може да се представи във
вид на точково положително ядро и съвкупност от електрони, които оби
калят около ядрото по електронни орбити. Като цяло атомите и молекули­
те са електронеутрални, тъй като съдържат еднакво количество положи­
телни и отрицателни електрични заряди. При прилагане на външно елек­
тростатично поле те не се движат, а само се преориентират по посока на
полето. Електричните заряди в диелектриците не могат да напускат гра-

142

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

ниците на атомите или молекулите и се наричат свързани заряди.
С известно приближение молекулите на дие+q
р,
лектриците могат да се разглеждат като електО —
рични диполи. Електричен дипол се нарича сис|
тема от два разноименни заряда с еднаква голе"
1
"
мина, които са разположени на определено разФиг. 7.16
стояние един от друг (фиг. 7.16). Всеки електри­
чен дипол се характеризира с величините рамо на
дипола I и електричен момент (диполен момент) р , . Правата, съединя­
ваща двата електрични заряда с посока от отрицателния към положител­
ния, се нарича рамо на дипола. Диполният момент се определя от равен­
ството

p,=\Q\h

(7.5.1)

където \
Q\ е големината на електричните заряди. Посоката на диполния
момент се определя от посоката на рамото (от
към „+”)• Действието на
положителните и отрицателните заряди в една диелектрична молекула е
такова, че те могат да се разглеждат като съсредоточени в две различни
точки, наречени съответно център на т е ж е ст т а на положителните и
център на т е ж е ст т а на отрицателните заряди. Ако с / означим разсто­
янието между тези два центъра, a с +Q и -Q - съответно общия положите­
лен и отрицателен заряд на молекулата, нейният диполен момент ще се
определя от равенството (7.5.1).
В зависимост от строежа на молекулите, от които са изградени, дие­
лектриците се разделят на две групи: неполярни и полярни диелектрици.
Неполярните диелектрици съдържат неполярни молекули, а полярните ди­
електрици — полярни молекули. Ще се спрем накратко на характерните
особености на двата вида молекули и ще разгледаме поведението им във
външно електростатично поле.
Неполярните молекули имат симетричен строеж. При тях центровете
на тежестта на положителните и отрицателните заряди съвпадат (/ = 0 ),
поради което те нямат собствен диполен
О
С
О
момент ( р/ = 0 ) и затова се наричат непо('Т')------ ( Т ) ------ ("Т)
лярни. Примери за неполярни диелектрици
са въглеродният диоксид (С 0 2) (фиг. 7. 17),
+0 = -Q
водородът (Н 2), азотът (N 2 ), кислородът
Фиг. 7.17
( 0 2) и др. Ако поставим една неполярна
молекула във външно електростатично по­
ле, двата центъра на тежестта (на положителните и отрицателните заряди)
се отдалечават един от друг. Ядрата на атомите се отместват в една посо­
ка, а електроните - в противоположната. В резултат на това молекулата

Е лект ричест во и м агнет изъм

придобива собствен диполен момент p t *

0

143

, който се нарича индуциран и

се определя от следното равенство:
Й = р е 0£ .

(7.5.2)

Величината р се нарича поляризуемост на молекулата и зависи от
обема й, Е е интензитетът на приложеното електростатично поле, а £о електричната константа на вакуума.
Полярните молекули имат несиметричен строеж. При тях центровете
на тежестта на положителните и отрицателните заряди не съвпадат и те
притежават собствен диполен момент
р, * 0 (/ * 0 ) . Наричат се полярни, тъй
като имат диполен момент, различен от
нула и в отсъствие на приложено елект­
ростатично поле. Примери за полярни ди­
електрици са водата (Н 20 ) (фиг. 7.18),
амонякът (NH 3 ), сол пата киселина (НС1), въглеродният оксид (СО) и др.
Когато поставим една полярна молекула във външно електростатично по­
ле, нейният диполен момент се завърта и се ориентира по посока на поле­
то, но големината му се променя пренебрежимо малко.
Нека сега разгледаме поведението на двата вида диелектрици в отсъс­
твие и при наличие на външно електростатично поле. Неполярният дие­
лектрик в отсъствие на електростатично поле е електронеутрален. Отдел­
ните молекули, от които е изграден, нямат диполни моменти, следовател­
но и общият диполен момент на диелектрика е равен на нула. Полярният
диелектрик се характеризира с различни от нула диполни моменти на от­
делните молекули. В отсъствие на електростатично поле вследствие на
хаотичното топлинно движение диполните моменти на отделните молеку­
ли са ориентирани в най-различни посоки. Общият диполен момент на
диелектрика в този случай също е равен на нула.
При поставянето на кой да е от двата вида диелектрици във външно
електростатично поле настъпва процес на диелектрична поляризация: явле­
ние, при което на две срещуположни повърхности на диелектрика, разпо­
ложени перпендикулярно на посоката на приложеното електростатично по­
ле, се появяват разноименни електрични заряди. Тези заряди се характери­
зират с величината повърхнинна плътност на свързаните заряди, която се
означава със <5Р и по големина е еднаква за двете повърхности
(а~ = а* =ст/;). Поляризацията на диелектрика е състояние, при което в
рамките на малък обем от веществого геометричната сума от векторите на
диполните моменти се оказва различна от нула. Всеки диелектрик, в който е
протекъл процес на поляризация, се нарича поляризиран. Като количествена
мярка за степента на поляризация на диелектрика се въвежда вектор­

144

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

ната физична величина диелектрична поляризация (или поляризованост),
която определя общия диполен момент на единица обем от диелектрика:
N

р

р
_

V

_

Za,
<=1

(7.5.3)
V
V
където V е общият обем на диелектрика, р, - диполният момент на една
отделна молекула, N - броят на молекулите в целия обем V, а Рг- пълният
диполен момент за целия обем V. Механизмът на процеса поляризация е
различен за неполярните и полярните диелектрици, затова ще разгледаме
поотделно двата случая.
Ако в дадено електростатично поле внесем неполярен диелектрик, в
него настъпва електронна поляризация. В неполярните молекули се осъ­
ществява отместване на центровете на тежестта на положителните и отри­
цателните заряди, в резултат на което те се превръщат от неполярни в по­
лярни молекули със собствен диполен момент. Индуцираните диполни
моменти са по посока на интензитета на полето. В действителност това
отместване на центровете представлява деформация на електронните ор­
бити в атомите, затова и настъпилата поляризация се нарича електронна.
Тя не зависи от температу­
рата на диелектрика, тъй
като топлинното движение
о —•
+
J 0—• о—•
не влияе на положението на
О-р* о
—• » -• + Е
центровете на тежестта на
1 О
—•
о
—•
________
положителните и отрица­
—
•
о
—• о
телните заряди (фиг. 7.19а).
а
Интересно е да се види
как зависи електронната
Фиг. 7.19
поляризация от големина­
та на интензитета на приложеното електростатично поле. Ако неполярният диелектрик, който разглеждаме, е еднороден (съставен от еднакъв вид
молекули) и полето е хомогенно ( Е = const), индуцираните диполни мо­
менти на всички молекули ще бъдат еднакви по големина и строго ориен­
тирани по посока на полето (поляризацията е пълна). Общият индуциран
диполен момент за единица обем ще бъде Р = пр, , където п е концентра­
цията на молекулите, а р, = (Зб0Е - диполният момент на една молекула. То­
гава поляризоваността (диелектричната поляризация) е Р = /7(Зе0£ = зее0 /Г.
Коефициентът ае = «Р се нарича диелектрична възприемчивост и харак­
теризира свойствата на всеки диелектрик (ае е безразмерна величина, ви­
наги по-голяма от нула: аз > 0 ).
На фиг. 7.195 е показана зависимостта на електронната поляризация
от интензитета - тя е линейна. С нарастването на интензитета се увелича­
—

Електричество и магнетизъм

145

ва и общият диполен момент за единица обем на диелектрика. (За различ­
ните диелектрици наклонът на правата е различен.)
А сега нека внесеният във външно електростатично поле диелектрик е
полярен. Поляризацията, която настъпва, се нарича ориентационна. Различно ориентираните диполни моменти на отделните молекули (поради
топлинното хаотично движение) се ориентират по посоката на полето.
Поляризацията в този
случай не е пълна, тъй
като се влияе от темпера­
турата на диелектрика
(фиг. 7.20а). Електроста­
тичното поле се стреми
да ориентира диполите
на диелектрика в една
Фиг. 7.20
определена
посока,
а
топлинното
движение
променя тази ориентация. Ориентацията ще бъде толкова по-пълна, кол­
кото интензитетът на приложеното поле е по-голям и топлинното движе­
ние на молекулите е по-слабо интензивно (ниска температура на диелект­
рика). Ориентационната поляризация зависи нелинейно от интензитета на
полето (фиг. 7.206). За малки стойности на интензитета зависимостта е
линейна. С нарастването на Е увеличаването на Р се забавя и при опре­
делена стойност на Е настъпва насищане, при което диполните моменти
на всички молекули се ориентират по полето.
Нека определим връзката между диелектричната поляризация и повърхнинната плътност на свързаните заряди. Да разгледаме един малък
цилиндричен образец от някакъв диелектрик с основа S и височина /, кой­
то е поставен в електростатично поле с интензитет £ , насочен по оста на
цилиндъра (фиг. 7.21). Означаваме
_
+
със а р~и стг+повърхнинните плътнос­
ти на свързаните заряди (ар~= ая+),
появяващи се върху двете срещупо­
1
ложни стени на образеца, които са
/
перпендикулярни на Е. Общите ко­
личества положителни и отрицател­
Фиг. 7.21
ни заряди, които са разпределени
равномерно по двете основи S, ще бъдат съответно Q+= or S и Q = gp~S.
Цилиндърът можем да разгледаме като електричен дипол с момент
Pt - Q l - Gj , SI = g,,V . Тогава диелектричната поляризация Р на дипола
ще бъде
а „SI
(7.5.4)
- а,
Р=
Следователно диелектричната поляризация на образеца се определя от

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

146

повърхнинната плътност на свързаните заряди на срещуположните стени на
дадения диелектрик. Измерва се в единици кулон за квадратен метър [С/т2].
Накрая ще определим интензитета на резултантното електростатично
поле, което възниква при поставяне на неполярен диелектрик във външно
електростатично поле. Нека две безкрайни, успоредни и равномерно заре­
дени равнини с повърхнинна плътност на свободните електрични заряди
а +и сГ създават хомогенно електростатично поле с интензитет Е0 във ва­
куум. Силовите линии на интензитета са насочени от положително към
отрицателно заредената равнина и са перпендику+
£
алярни на двете равнини (фиг. 7.22). Внасяме плас­
тинка от еднороден неполярен диелектрик в това
—
+
поле. Под влияние на полето диелектрикът се поля­
ризира, като на двете срещуположни стени на плас­
тинката се появяват некомпенсирани свързани
' Vелектрични заряди с повърхнинна плътност съот­

г ^ Е„1
ф и г - 7 -2 2

1

ветно (5 Р~и <
5 р. Те създават в диелектрика собстве­
но еднородно електростатично поле с интензитет
Е р , насочен в посока, обратна на Е 0 . Следователно
интензитетът на сумарното (резултантно) поле в диелектрика ще има големина
_ Е = Е0- Е Р.
(7.5.5)
Интензитетът Е можем да определим, като

използваме формулите (7.2.14) и (7.5.4):
(7.5.6)

'0
Тогава, замествайки (7.5.6) в (7.5.5), получаваме
„
зее0Е
Р
Е = Е „ --- = £ „ ---- — = Ее. зе£,
Ео=Е(\+аз) = Е £„
(7-5-7)
където величината er = (l+ as) се нарича относителна диелектрична про­
ницаемост. Тя е характерна величина за всеки диелектрик и определя ко­
личествено свойството му да се поляризира при поставяне във външно
електростатично поле. Както и диелектричната възприемчивосг зе, дие­
лектричната проницаемост е,- е безразмерна величина. За вакуум
1, а
зе = 0. Следователно за всяка диелектрична среда, различна от вакуум, zr> 1.
Физичният смисъл на константата егсе определя от следното съотношение:
е = £ sl.
(7.5.8)
г Е
Относителната диелектрична проницаемост показва колко пъги ин-

147

Е лект ричест во и м агнет изъм

тензитетът на електростатичното поле във вакуум е по-голям от интензи­
тета на електростатичното поле в диелектрична среда.
Стойностите на относителната диелектрична проницаемост е,, зависят
от стойностите на диелектричната възприемчивост 86. За повечето диелек­
трици 3 9 и zr имат стойности, по-малки от 10. Например за хартията е, — 2,
за стъклото zr — 5—10, за слюдата sr = 4~8 , а за порцелана ег — 6 . Изключе­
ние прави водата, за която zr = 81.
Въпроси п задачи
1.

Кои са основиите величини, които характеризират електростатичното поле?

2.

Каква е работата на електростатичните сили по затворен контур?

3.

Как се разпределят електричните заряди в даден наелектризиран проводник'7

4.

От какво зависи капацитетът на проводниците?

5.

Как може да се увеличи капацитетът на плоския кондензатор?

6.

Колко вида диелектрици познавате в зависимост от строежа им?

7.

Точкови заряди с големини q\= 10 7 С и q-i = 10”* С си взаимодействат във вакуум със
сила F = 0,36 N. След това същите заряди са поставени в керосин (s, = 2). С колко
трябва да се измени разстоянието помежду им, за да не се измени силата на взаимо­
действието между тях?

8.

Сфера е равномерно заредена със заряд с повърхнинна плътност а — 6,4.10

—8

2

С/m .

Определете интензитета на електростатичното поле, създадено от сферата, в точка,
намираща се от центъра на сферата на разстояние 6 пъти радиуса (г = 6/?; R е радиусът
9.

на сферата).
Две паралелни пластинки с еднаква площ S = 2.10"2 т 2 са заредени разноименно със
заряди Q = 10 7 С. Каква работа трябва да се извърши, за да се увеличи разстоянието
между пластинките с 1 mm (средата е въздух)?

10. Колко електрона се намират на повърхността на метална сфера с диаметър d = 4 cm,
която е заредена във вакуум до потенциал ф = 100 V (сферата е отдалечена от други
проводници)?
11. Определете капацитета и повърхнинпата плътност на заряда върху пластините па пло­
сък въздушен кондензатор, зареден до потенциална разлика Дф = 200 V . Площта на
всяка от пластините е S = 0,25 m2, а разстоянието между тях е d = 1 mm.

Глава 8
П О С Т О Я Н Е Н ЕЛ ЕК ТРИ ЧЕН ТОК
8.1. Основни величини, конто характеризират електричния ток.
Странични сили. Електродвижещо напрежение
Всяко насочено движение на електрични заряди се нарича електричен
ток. В проводниците се осъществява насочено движение на свободни

148

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

електрични заряди, което се нарича ток на проводимост. Примери за то­
кове на проводимост са електричният ток в металите, обусловен от насо­
ченото движение на свободни електрони, токът в газове, дължащ се на
насоченото движение на йони и електрони, и токът в електролити, където
насоченото движение се осъществява от йоните. (Насоченото движение на
електрични заряди, което се осъществява в резултат на преместването на макроскопично заредено тяло в пространството, се нарича конвекционен ток.)
Основните величини, характеризиращи електричния ток, са посока,
големина и плътност.
Прието е за посока на електричния ток да се смята посоката, в която
се движат положителните електрични заряди (от „+“ към
В металите
свободните електрони се движат в посока, обратна на общоприетата.
Количествена мярка за електричния ток е неговата големина - скалар­
на физична величина, която се определя от количеството електричен заряд
dq, преминаващо през площта на сечението на даден проводник за едини­
ца време. Означава се с /:
/ =— .
( 8 . 1 . 1)
dt
Единицата за големина на тока в системата СИ е ампер [А]. Ако голе­
мината и посоката на тока с течение на времето се запазват постоянни,
токът се нарича постоянен :

1 = 1 = const.
( 8 . 1 .2 )
t
Ток, чиято големина се изменя с времето, т.е. I = / (/), се нарича
променлив.
За характеризиране на електричния ток се въвежда още величината
плътност на тока - векторна физична величина, която се определя от го­
лемината на тока, преминаващ през единица площ от напречното сечение
S на даден проводник (ако с (v) означим средната скорост на движение на
електричните заряди, то (v) _L S). Означава се с j :
/=— .
(8.1.3)
dS .
Посоката на вектора на плътността се определя от посоката на тока.
Мерната единица за плътност е ампер за квадратен метър [А/m2]. Използвайки
( 8 .1.3), можем да определим големината на тока чрез неговата плътност:
d l = jd S .
(8.1.4)
За постоянен ток изразът за плътността ще бъде

j = ~ ;I= J S .

(8.1.5)

Ще разгледаме тока на проводимост в металите, където насочено се

Е лект ричест во и м агнет изъм

149

движат свободните електрони. Ако напречното сечение на даден метален
проводник е S, средната скорост на движение на електроните - (v), а п е
концентрацията на електроните за съответния метал, големината на тока
през него може да се изрази чрез следната зависимост:
I = ne(v)S,
(8.1.6)
където е е електричният заряд на електрона. Плътността на тока в този
случай ще бъде

j = ne(v).

(8.1.7)

Важна особеност за металите е тяхната постоянна (за всеки метал различна) концентрация п — броят на свободните електрони в единица обем.
Тя не зависи от температурата на съответния метал.
За да възникне и да се поддържа ток на проводимост в един провод­
ник, е необходимо да действат сили, осигуряващи постоянното насочено
движение на електричните му заряди.
Кулоновиге сили довеждат до такова разпределение на електричните
заряди в даден проводник, при което интензитетът на електростатичното
поле вътре в него е нула, а потенциалът на всички точки от проводника
постоянен (вж. тема 7.4). Поради това тези сили не могат да осигурят про­
дължително протичане на електричен ток в проводниците. Например нека
два разноименно заредени метални проводника 7 и 2 с потенциали съот­
ветно ф] и ф 2 са свързани помежду си с някакъв проводник (фиг. 8.1). Под
действие на кулоновите сили електроните
ще се придвижат в посока от 7 към 2, а по
проводника ще протече ток 7 в обратна по­
сока. Токът обаче протича за кратко време
и процесът продължава до изравняване на
потенциалите ф| и ф2. Интензитетът на по­
лето вътре в проводника става нула и токът престава да тече (7 = 0). За
продължително протичане на постоянен ток в даден проводник е необхо­
димо да бъдат изпълнени няколко условия:
- интензитетът на полето в проводника трябва да бъде различен от
нула и постоянен с течение на времето;
- веригата на постоянния електричен ток трябва да бъде затворена;
- на свободните електрични заряди освен кулонови сили е необходи­
мо да действат и друг вид неелектростатични сили, които се наричат
странични; страничните сили могат да се създават чрез източници на
електрична енергия (галванични елементи, акумулатори, електрични гене­
ратори и др.).
Нека разгледаме един пример: в електрична верига с консуматор R е
включен източник на електрична енергия 8 , който осигурява непрекъснато
протичане на електричен ток през веригата (фиг. 8.2). Във веригата през

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

150

консуматора R ще пролича електричен ток /
от „+“ към
т.е. по посока на елекгричното гюле, създавано от източника на електрична енергия. Очевидно е, че за да се осигури
непрекъснато протичане на ток във веригата,
в самия източник на електрична енергия
трябва да се осигури протичане на ток в об^2
ратна посока (от
към „+“). В рамките на
самия източник е необходимо да се пренасят
Фиг. 8.2
електрични заряди в посока, обратна на ин­
тензитета на електростатичното поле. Стра­
ничните сили извършват такова пренасяне (на положителни заряди към
точката 2 и на отрицателни заряди към точката 7) и благодарение на тях в
краищата 1 и 2 на веригата се поддържа постоянна потенциална разлика
Дф. По този начин във веригата непрекъснато протича електричен ток. За
да се поддържа постоянното протичане на ток, страничните сили извърш­
ват работа за сметка на енергията на източника.
Да пресметнем работата на страничните сили вътре в източника за
пренасяне на положителния електричен заряд q. По аналогия с електрос­
татичното поле въвеждаме величината интензитет на страничните сили,
който числено се определя от следния израз:

Естр = ^

.

( 8 . 1 .8 )

<7
Посоката на вектора на интензитета на страничните сили съвпада с
посоката на F . В такъв случай работата на страничните сили може да се
определи с формула, аналогична на тази за работата на електростатичните
сили:

d A ^ = F a f. d U q E ^ . d i .

(8.1.9)

Работата за пренасяне на заряда q от точката 1 до точката 2 е
Ллр =

•

(8.1.Ю)

За да получим извършената работа за пренасяне на единичен положи­
телен заряд, трябва да разделим изразът ( 8 . 1 . 1 0 ) на q:

±sL=U.dl =en.

( 8 . 1. 11 )

я
1
Получената величина £\2 се нарича електродвижещо напрежение на
участъка 1-2 и числено се определя от работата, която извършват стра­
ничните сили за преместване на единичен положителен електричен заряд
по този участък.

151

Е лект ричест во и м агнет изъм

В такъв случай протичането на постоянен ток по даден проводник е
свързано с действието на два вида сили: кулонови (електростатични) и
странични. По своя характер страничните сили не са електрични. Тяхната
природа може да бъде различна: химична, механична, светлинна и др. Ра­
ботата на електростатичните сили за пренасяне на електричен заряд q е

dAen = Ftn.dl = qE.dl = -qdy .
Тогава общата работа за пренасяне на единичен положителен заряд по
даден участък 1-2 е (вж. формула 7.3.10)

— =
^

d> + \E ^ .d l = Д<р+ е12 = U,2,
/

( 8. 1.12)

I

където Аф = ф| - фгВеличината U\2 се нарича напрежение (или пад на напрежението) на
участъка от веригата 1—2 и числено се определя от общата работа, която
извършват кулоновите и страничните сили при преместването на едини­
чен положителен заряд от точката 1 до точката 2. Понятието напрежение е
обобщение на понятието потенциална разлика. Ако на дадения участък
1-2 от електричната верига няма приложено електродвижещо напрежение
( £ 12 = 0 ), напрежението U\2 в краищата му е равно на разликата от потен­
циалите в точките У и 2:
С/ , 2 = Аф = ф, -Ф2.
Мерната единица както за напрежение, така и за електродвижещо
напрежение е волт [V].

8.2. Закон на Ом. Съпротивление на проводниците.
Работа и мощност на тока
Ще разгледаме един участък 1-2 от метален проводник, по който тече
постоянен електричен ток. Предполагаме, че сечението на проводника S е
постоянна величина и че на този участък няма включено електродвижещо
напрежение ( £ j2 = 0) (фиг. 8.3). За време / = 1 s големината на тока, про­
тичащ през сечението S, ще бъде равна на количеството електричен заряд
q (/ = q), който преминава за това вре­
ме през даденото сечение. Количествои
то електрични заряди, които пресичат
площта S за 1 s, може да пресметнем,
1
като определим броя на електроните,
намиращи се в цилиндър с височина

h=

(v) ((v ) е п ъ т я т , к о й т о и з м и н а в а т
е л е к т р о н и т е з а в р е м е / = 1 s), и го у м ­
н о ж и м по з а р я д а е н а е л е к т р о н а :

h=(v)

Фиг.

8.3

152

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

q = I = S(v) пе ,

(8.2.1)

където п е концентрацията на електроните в дадения метал, от който е
направен проводникът, a (v) - средната скорост на движение на свободни­
те електрони. От физични съображения тази скорост зависи правопропорционално от интензитета на електричното поле Е с константа на пропор­
ционалност к:
(v) = кЕ.
(8.2.2)
Заместваме (8.2.2) в (8.2.1):
/ = na kES; Е = —
,
(8.2.3)
^ел
където с п^—пе сме означили електронната плътност на метала (количест­
вото електричен заряд в единица обем). За участък от веригата, където
£, 2= 0 , напрежението Ul2 се определя от равенството

Un = \ E.dl.
I
Заместваме (8.2.3) в (8.2.4) и получаваме

(8.2.4)

и хг=\ -Щ - = 1Я,

(8.2.5)

където величината R = ]d l/n cnkS се нарича съпротивление на проводника
и характеризира неговата съпротивителна способност. Последният израз
( 8 .2 .5 ) изразява зависимостта между напрежението, големината на тока и
съпротивлението. Тя е установена опитно от немския физик Г. Ом и се
нарича закон на Ом за еднороден участък от електричната верига (едноро­
ден участък е този, в който няма включено елекгродвижещо напрежение:
£\2 ~ 0). Единицата за съпротивление е ом [Q], Съпротивлението на един
проводник е 1 Q, ако при напрежение между краищата му 1 V през него
протича ток с големина 1 А:
in - iX .
1А
Съпротивлението R зависи от размерите и вида на проводника:
„

f

Л = | _

dl

-

i'd l

= р | —

I

= p - ,

(8 .2 .6 )

, n™ks
i s
s
където p = 1/n a k е коефициент на пропорционалност, наречен специфично електрично съпротивление на проводника, а / е общата дължина на
проводника. Специфичното електрично съпротивление р характеризира
свойствата на материала, от който е направен проводникът. Измерва се в
единици ом по метър [Q.m].
А сега да разгледаме част 1-2 от електрична верига, в която има

153

Е лект ричест во и м агнет изъм

включено електродвижещо напрежение. Такъв участък от веригата се на­
рича нееднороден. Означаваме с

£ |2

електродвижещото напрежение на

разглеждания нееднороден участък, a с U\i - напрежението в краищата
му. В такъв случай от ( 8 .1.12) и (8.2.5) получаваме

иа = Д<р +еа = i(R +/-); / =

,

( 8 .2 .7 )

където г е вътрешното съпротивление на източника на електродвижещо
напрежение, a R - съпротивлението във външната част от веригата.
Горният израз се нарича обобщен закон на Ом, или закон на Ом за не­
еднороден участък от веригата. Очевидно е, че ако £ 12 = 0, се получава
законът на Ом за еднороден участък.
Ако електричната верига е затворена, точките 7 и 2 съвпадат и ф| = ф2.
Тогава
F

F

/ = — = —— .
R0 г + R

( 8 .2 .8 )

Получената формула изразява закона на Ом за затворена електрична
верига. Съпротивлението R0 = r + R е общото съпротивление на веригата.
Обобщеният закон на Ом позволява да се пресмятат сложни елект­
рични вериги, които съдържат по няколко затворени контура. Електрична­
та верига представлява съвкупност от проводници и
източници на електричен ток. В общия случай една
електрична верига може да бъде разклонена и да съ­
държа възли. Всяка точка от разклонена електрична
верига, в която се събират не по-малко от три про­
водника, се нарича възел (фиг. 8.4). Пресмятането на
разклонена верига се състои в следното: по дадени
съпротивления на участъците от веригата и прило­
жените електродвижещи напрежения в тях да се оп­
ределят големините на тока във всеки участък. Подобни пресмятания се
извършват по-лесно, като се използват двете нравила на Г. Кирхоф за раз­
клонени електрични вериги. Според първото правило (нарича се още правию на възлите) алгебричната сума от големините на токовете, събиращи
се в един възел, е равна на нула:
£ / * = 0,
(8.2.9)
*=1
където п е броят на проводниците, събиращи се в дадения възел. Токовете,
които влизат във възела, се приемат за положителни, а тези, които излизат
- за отрицателни. За възела А от фиг. 8.4 получаваме

1\+ /2 + /з -

/4

- h ~0-

154

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

В т орот о правило на Кирхоф (правило па контурите) гласи, че във
всеки произволно избран затворен контур от една разклонена верига ал­
гебричната сума от произведенията на големините на тока и съпротивле­
нията в отделните участъци на контура е равна на алгебричната сума от
електродвижещите напрежения в тези участъци:
п
т

Я Л

(8 .2 . 10)

*=1
/=1
Важна величина за всеки затворен контур е неговата посока. Посоката
на часовниковата стрелка се избира за положителна посока на контура.
Токовете, чиито посоки съвпадат с тази посока на контура, са положител­
ни, а тези, чиито посоки не съвпадат - отрицателни. Аналогично елек­
тродвижещите напрежения се приемат за положителни, ако създават токо­
ве, съвпадащи по посока с положителната посока на контура.
Да разгледаме затворения контур на фиг. 8.5.
В
Прилагайки закона на Ом и отчитайки посоките
на токовете и електродвижещите напрежения в
контура, получаваме
/,/?, =Ц)А-<р„ +£,,
— / 2/?2 = Фй — Ф с ~^2>
/ 3/г3 = Ф с - Ф /4 + ^ з .

След почленно събиране на горните уравне­
ния се получава
/ ,Я, - I 2R2 +/ 3 Д3 = £ ]- £ 2+£3. (8.2.11)
Уравнението (8.2.11) изразява второто правило на Кирхоф, приложено
към дадения на фиг. 8.5 контур.
При образуване на електрични вериги проводниците могат да бъдат
свързани последователно или успоредно (паралелно). При последователно
свързване на проводниците големината на тока във всички части от вери­
гата е постоянна (/ = const), а общото съпротивление е сума от съпротив­
ленията на отделните проводници:
R = Rl +R2+. .. + R„,

(8.2.12)

където п е броят на последователно свързаните проводници. При паралел­
ното свързване падовете на напреженията в отделните паралелно свързани
участъци са еднакви (U = const), а реципрочната стойност на общого съп­
ротивление е равна на сумата от реципрочните стойности на съпротивле­
нията на отделните проводници:
! =—
.
(8-2.13)
R Я| R2
r„
Експериментално е установено, че за голяма част от металите и тех­

Електричество и магнетизъм

155

ните сплави зависимостта на съпротивлението R от температурата t в ши­
рок температурен интервал е линейна:
R - Rq(\+ а/),

(8.2.14)

където R0 u R са съпротивленията на проводника при 0 °С и / °С, а а се
нарича температурен коефициент па съпротивлението. От (8.2.14) за а
се получава

а = К~ А .

(8.2.15)

R0t
Температурният коефициент а определя относителното изменение на
съпротивлението на даден проводник при нагряването му с един градус.
Измерва се в единици градус на минус първа степен [deg ]. За металите и
сплавите в интервал от 0-100 °С стойността на температурния коефициент
а се изменя в границите (3,3-6,2). 10 3 deg"1. Съгласно (8.2.14) при намаля­
ване на температурата съпротивлението също намалява, като при t —0 С
то има някаква определена стойност R0.
При температури, близки до абсолютната нула, много метали и техните сплави про­
явяват интересни и неочаквани свойства
(фиг. 8 .6 ). При определена температура, на­
речена критична (Гкр), която е различна за
различните вещества и е близка до 0 К, се
наблюдава скокообразно намаляване на
кр фиг
съпротивлението до R = 0, т.е. веществото
загубва съпротивителните си свойства и става идеален проводник. Това
явление е наречено свръхпроводимост. За чистите метали температурата
7’кр се изменя от 0,14 К (иридий) до 9,22 К (ниобий), а за сплавите - от
0,155 К (B i 2 Pt) до 23,2 К (Nb 3Ge). Широкото практическо използване на
свръхпроводящите материали се затруднява от ниските температури. В
последните години явлението свръхпроводимост е ооект на многобройни
изследвания с цел да се открият материали със свръхпроводящи свойства
при по-високи температури. Неотдавна бяха открити и в момента се изс­
ледват интензивно различни керамични материали на основа!а на итрий,
барий, мед и кислород, които проявяват свръхпроводящи свойства при
температури ThV> 100 К.
Явлението свръхпроводимост се използва за получаване на твърде
силни магнитни полета. Ако намотките в електромагнитите се изготвят ог
свръхпроводящи проводници, магнитното поле се увеличава многократно
и се намалява разходът на електрична енергия. Явлението свръхпроводи­
мост се използва и при разработката на някои елементи от паметта на
електронно-изчислителните устройства.

156

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

В тема 8.1 видяхме, че електричният ток възниква вследствие насоче­
ното движение на електроните в електрично поле, създавано от източник
на електрична енергия. Под действие на приложеното поле електроните
получават допълнителна кинетична енергия ((v)~E), която отдават на въз­
лите на кристалната решетка (положителните йони) при непрекъснатите
си удари с тях. Този процес е необратим, вследствие на което отдадената
енергия на кристалната решетка на метала се превръща в количество топ­
лина. Експериментално установен факт е загряването на металните про­
водници при протичане на електричен ток през тях. Съгласно закона за
запазване на енергията отделеното количество топлина трябва да бъде
равно на извършената работа за преместването на зарядите по електричната верига. Ако токът, който протича по една електрична верига, е постоя­
нен, а металните проводници, образуващи веригата, неподвижни, тогава е
изпълнено
dQ = dA .
(8.2.16)
(Величините dQ и dA в случая означават малки количества топлина и
извършена работа.) Общата работа, която извършват кулоновиге и стра­
ничните сили за преместване на единичен положителен заряд по участъка
1-2 се определя от формулата ( 8 .1.12). В такъв случай извършената работа
за пренасяне на малко количество електричен заряд dq за малък интервал
от време dt е
2

dA = dqU = IdtU = I Rdt =

U*

dI = d Q .

(8.2.17)

Изразът (8.2.17) е опитно установеният закон от двамата физици Дж.
Джаул и Е. Ленц независимо един от друг. Във физиката този закон е из­
вестен като закон на Джаул-Ленц\ количеството топлина, което се отделя
в даден проводник, е правопропорционално на големината на тока, пада
на напрежението и времето, за което протича токът през проводника.
Мощността на електричния ток се определя от извършената работа за
единица време:
✓
7А
(8.2.18)
Р = — = IU .
dt
Формулата (8.2.18) е в сила както за постоянен, така и за променлив ток.
При променливия ток големината на тока и напрежението са функции на
времето: U =J[t) и I =J{t). Мерната единица за мощност на тока е ват [W].
Въпроси п задачи
1.

Кои са основните величини, които характеризират постоянния електричен ток?

2.

По какво се различават еднородният и нееднородният участък на дадена електрична
верига? Напишете закона на Ом за двата случая.

157

Електричество и магнетизъм
3.

Каква е зависимостта на съпротивлението от температурата при металите и техните
сплави?

4.

За какво се използват правилата на Кирхоф? Напишете математическите изрази, които
ги определят.

5.

По колко начина могат да бъдат свързани в електрична верига

п на брой метални про­

водника?
6.

Електричният заряд на електрона е 1,6.10"19 С. Колко електрона трябва да преминат
през площ 5 = 10 т 2 за време / = 1 s, за да се получи

7.

п лъ тност

на тока 1 А /т 2?

Какво ше бъде общото съпротивление R на пет проводника, всеки от които със съпро­
тивление от 100 Q, ако са свързани последователно и успоредно?

8.

Какъв диаметър трябва да има меден проводник с дьлжина / = 20 т , за да бъде съпро­
тивлението му R не по-голямо от 0,1 Q (специфичното електрично съпротивление р за
медта е I.7.10'8 mQ)?

9.

Съпротивлението на платинов термометър при 0 С е равно на 164 Q. При поставяне
на термометъра в съд с течност то става 190 Q. Каква е температурата на течността
(температурният коефициент е а = 3,9.10”3 d e g ')?

10. По меден проводник с диаметър d = 3.2 mm тече електричен ток с големина / = 5 А.
Определете плътността на тока в този проводник.

Глава 9
ЕЛ ЕК Т РОМ А ГН ЕТ И ЗЪ М
9.1. Магнитно поле. Основни характеристики.
Закон на Био-Савар-Лаплас
Веществата, които притежават магнитни свойства, били известни на
човечеството още преди повече от 2000 години. Те са открити за пръв път
на територията на Мала Азия в местността Магнезия и поради това са на­
речени магнити. Магнитите били използвани за създаването на първите
компаси, които се появили в Китай през XI в., а в Европа масово започна­
ли да се използват през XII в. През 1600 г. английският физик У. Джилбърг написал труд, посветен на магнита и неговите интересни свойства,
достигайки за пръв път до заключението, че Земята е един голям магнит.
По-нататъшното развитие на научните знания показало, че между елект­
ричните и магнитните явления съществува тясна връзка. Датският физик
X. Оерстед направил фундаментално откритие през 1820 г., установявай­
ки, че около всеки проводник, по който тече електричен ток, съществува
магнитно поле. През същата година френският физик А. Ампер открил
взаимодействие между два успоредни проводника, по които протичат то­
кове. Така се оформила нова област, наречена електромагнетизъм.
Дългогодишният човешки опит показал, че както в пространството

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

158

около неподвижните заряди възниква електростатично поле, така и в
пространството около проводниците, по които протича ток, движещите се
електрични заряди и постоянните магнити съществува силово поле, наре­
чено магнитно. Съществена особеност на магнитното поле е, че то въз­
никва само около движещите се електрични заряди за разлика от елект­
ростатичното поле.
За изучаване свойствата на магнитното поле е необходимо да използ­
ваме някакъв пробен обект, върху който полето да въздейства по опреде­
лен начин.
п
Обикновено ролята на пробен обект се
в
изпълнява от равнинен затворен токов контур
, р
(правоъгълна рамка с ток), чиито размери са
/
малки и могат да се пренебрегнат в сравнение
с разстоянието между контура и източника на
магнитното поле (фиг. 9.1). Означаваме с /
големината на тока, протичащ през контура
фиг 9. 1
(/ = const). Токовият контур се характеризира
с две величини: посока на нормалата п и
магнитен момент р т . За положителна посока на нормалата се приема по­
соката, свързана с посоката на тока по контура по следния начин (правило
па свитите пръсти па дясната ръка)', ако свитите пръсти показват посо­
ката на тока, положителната посока на нормалата се определя от посоката
на палеца нагоре. Магнитният момент на рамката се определя от произ­
ведението на големината на тока, площта на контура и единичния вектор
п на нормалата: р т —ISn . Той е векторна величина и има посока, съвпа­
даща с посоката на нормалата на контура. Действието на магнитното поле
върху токовия контур се изразява в това, че той се завърта на някакъв ъгъл
и спира да се върти в момента, когато нормалата му е насочена успоредно
на посоката на магнитното поле. Следователно магнитното поле ориенти­
ра нормалата на контура по определен начин. Завъртането на контура се
дължи на двойка сили, създаващи въртящ момент, който е различен от
нула. Ако внесем контура в такова положение, че нормалата му да бъде
успоредна на посоката на полето, на него не му действат никакви сили

V

(въртящият момент е равен на нула).
Означаваме с ос ъгъла между нормалата на контура и посоката на по­
лето. Направените опити показват, че възникващата двойка сили при
а = 0° има въртящ момент равен на 0, а при а = 90° въртящият момент има
максимална стойност. Следователно възникващият въртящ момент може
да се представи чрез векторното произведение на два вектора.

159

Електричество и магнетизъм

М = р т *В ; М т

= р яВ ,

(9.1.1)

където величината В представлява количествена характеристика на магнитното поле и се нарича вектор на мазнитната индукция. Вследствие на
редица опити се установява, че в една и съща точка на магнитното поле
при поставяне на токови контури с различни магнитни моменти се регист­
рират различни въртящи моменти, но отношението Мтах/рт се запазва постоянно. Ето защо това отношение е избрано за основна величина, характе­
ризираща магнитното поле. Магнитната индукция в дадена точка от едно­
родно магнитно поле числено се определя от максималния въртящ мо­
мент, действащ на токов контур с единичен магнитен момент {р,„ = 1 ):
(9.1.2)

Рш
Еднородно (хомогенно) магнитно поле се нарича това поле, чийто
вектор на магнитната индукция не се променя по големина и посока във
всички точки от полето.
Графично магнитното поле се изобразява с помощта на линиите на
магнитната индукция, които се наричат магнитни силови линии. Това са
такива линии, чиито допирателни във всяка точка от магнитното поле
съвпадат с посоката на вектора на магнитната индукция в тази точка. Го­
лемината на магнитната индукция е пропорционална на броя на силовите
линии, пресичащи единица площ. Важна особеност на магнитните силови
линии е, че те винаги са затворени линии. Причината за това се дължи на
факта, че в природата не съществуват свободни магнитни заряди. На кол­
кото и възможно най-дребни частици да се раздроби един магнит, всяка
малка частица представлява нов магнит с два полюса — северен и южен.
Двата полюса не могат да съществуват разделени един от друг. Нека раз­
гледаме силовите линии на магнитно поле, създадено от един постоянен
магнит (фиг. 9.2). Външно картината наподобява случая на електроста­
тично поле, създадено от два разноименни заряда, където силовите линии
започват от положителния и свършват в отрицателния заряд (фиг. 7.4).
Сходството е само на пръв поглед. Опитно е установено, че магнитните силови
линии се затварят в рамките на обема на
самия магнит и остават винаги затворени
поради невъзможността да се разделят
ргидсли!
полюсите му. При електростатичното поле, създадено от два разноименни заряда,
когато отдалечим двата заряда един от
друг толкова, че да престанат да си влия­
ят, получаваме две отделни електроста-

f'
--- \
I J ' S '^ ~ S S L Z ^ ч \ ' i ^
\\\Д {
) Jj s '
^^
т ~ ?
f{
J / 'i ‘
т \\
--- ' / /
----- ^
х
S.

-А .

/

Фиг. 9.2

160

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

тични полета от двата отделни електрични заряда: положителен и отрица­
телен (разноименните електрични заряди могат да съществуват
индивидуално) (фиг. 7.3).
Да разгледаме сега силовите линии на магнитно поле, създадено от
праволинеен проводник, по който тече ток (фиг. 9.3). Посоката на силови­
те линии в този случай се определя от правилото на свитите пръсти на
дясната ръка. Палецът определя посоката на тока, а свитите пръсти - по­
соката на магнитните силови линии. Вижда се, че силовите линии в този
случай представляват концентрични окръжности с
център проводника с ток. Построени за коя да е
точка от проводника, те лежат винаги в една рав­
нина, която е перпендикулярна на проводника и се
пробожда от него в дадената точка. Необходимо е
да подчертаем, че различните силови линии на
електростатичното и магнитното поле показват
различния характер на двете полета. Силово поле
Фиг 9 3
/~>
със затворени линии се нарича вихрово. Следова­
телно по своя характер магнитното поле е вихрово (непотенциално).
Токовете, които текат по проводниците и създават магнитно поле в
пространството около себе си, се наричат макротокове. Френският физик
Ампер е предположил, че във всяко тяло съществуват микроскопични т о ­
кове (микротокове), свързани с движението на електроните в рамките на
отделните атоми и молекули. При внасяне на тяло в магнитно поле него­
вите микротокове се променят и оказват влияние върху магнитната ин­
дукция на полето, създадено от даден макроток. От това следва, че при
един и същ макроток векторът на магнитната индукция ще има различни
стойности във вакуум и в среда, различна от вакуум. Векторната величина,
която характеризира изменението на магнитната индукция в различни
среди при един и същ макроток, създаващ полето, се нарича интензитет
на магнитното поле. Означава се с Н :
Я — — ,
(9.1.3)
НоHr
където |!о е магнитната проницаемост па вакуума, а
- относителната
магнитна проницаемост на средата.
От (9.1.3) следва, че големината на магнитната индукция във вакуум
се определя от равенството В = ро# , а в среда, различна от вакуум B = \.io\irH. Очевидно е, че относителната магнитна проницаемост е безразмерна величина и показва колко пъти се увеличава магнитната индук­
ция в среда, различна от вакуум, поради действието на микротоковете.
Френските физици Ж. Био и С. Савар са изследвали магнитното поле

161

Електричество и магнетизъм

на различни проводници, по които тече ток. Те установили, че стойността
на магнитната индукция в дадена точка от пространството около про­
водниците зависи от големината на тока, от формата и дължината на про­
водниците, а също и от разстоянието между тази точка и съответния про­
водник. Резултатите от техните изследвания били обобщени от френския
математик П. Лаплас, който определил математическия израз на опитно
установените зависимости. Този израз станал известен като закон на БиоСавар-Лаплас. Нека разгледаме един проводник с произволна форма и
размери, по който тече постоянен ток / (фиг. 9.4). Избираме малък еле­
мент dl от дължината на проводника. В прост­
ранството около проводника съществува маг­
нитно поле. В произволна точка А от полето
елементът dl ще създава определена магнитна
индукция dB , която според закона на БиоСавар-Лаплас е
4яг 3

’

Фиг. 9.4

където dl е вектор, който има посоката на тока /; г е радиус-векторът,
свързващ dl с точката А. Посоката на вектора на магнитната индукция в
точката А се определя от правилото на свитите пръсти на дясната ръка:
свитите пръсти показват посоката на тока, а палецът посоката на магнит­
ната индукция (на фиг. 9.4 посоката на dB е от равнината на чертежа към
нас - графично това се означава чрез кръгче с точка в средата). По голе­
мина магнитната индукция се определя от следното равенство:
dB = t W f H / s i n g j

(915)

4лг
където а е ъгълът между вектора dl и радиус-вектора г . Общата магнит­
на индукция, създавана в дадена точка от целия проводник с дължина /,
може да се определи чрез интегриране по цялата дължина / на проводника:

B=\ dB.
(9.1.6)
/
Опитно е установено, че за магнитното поле също е в сила принципът
на суперпозицията. Нека два проводника, по които текат токове 1\ и /2,
създават магнитни полета в пространството. Магнитната индукция в даде­
на точка, в която се наслагват двете полета, ще бъде равна на векторната
сума от векторите на магнитните индукции, създадени от двете полета в
тази точка:
В = Ву+В2,

(9.1.7)

където Вх е векторът на магнитната индукция на полето, създадено от то­
ка / ь а В2 - от тока /2. Законът на Био-Савар-Лаплас се използва за прес­

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

162

мятане на магнитната индукция в различни случаи, интересни за практи­
ката. Ще разгледаме няколко примера.
Нека определим магнитната индукция на поле, създадено от праволи­
неен, безкрайно дълъг проводник, по който тече ток (фиг. 9.5). Избираме
елемента dl от проводника и го свързваме с точката А, в която ще опреде­
лим големината dB на магнитната индукция, създадена от него. С а озна­
чаваме разстоянието между проводника и точката
А, с а - ъгъла между вектора dl и радиус-вектора
r ; da. е много малък ъгъл, съответстващ на мал­
кия елемент dl от дължината на проводника. По­
соката на магнитната индукция dB ще бъде от
равнината на чертежа към нас и е еднаква за все­
ки елемент dl от проводника. За да определим
общата магнитна индукция В , създавана от целия
проводник в точката А, трябва да интегрираме по
дължината / на проводника. В случая, който разг­
леждаме, проводникът е безкрайно дълъг и това
Фиг. 9.5
не е възможно. От чертежа се вижда, че интегри­
рането по / може да се замени с интегриране по а,
като за целта трябва да изразим величините dl и г чрез ъгъла а. От право­
ъгълните триъгълници CDP и ОРА получаваме
а
rda-dls\na\ г - —-- .
sin a
Заместваме г и c//sina с равните им в закона на Био-СаварЛаплас (9.1.5):

dB

_ lUoJ^./dasina

(9.1.8)

ха
Съгласно израза (9.1.6), за да определим големината на общата маг­
нитна индукция В, трябва да интегрираме (9.1.8) по
а в граници от 0 до те:
47

в= \
dB = iV iZ 'fs in ad a = M

J

4na J

Inni l .

(9.1.9)

За всички елементи dl от проводника с ток I
ъгълът а се изменя в граници от 0 (/ —> +°о) до п
( / —> -оо). Големината на магнитната индукция в то­
зи случай зависи само от големината на тока I.
Ако проводникът е с крайна дължина /, големи­
ната на магнитната индукция В в същата точка А ще
определим, като интегрираме (9.1.8) по а в граници
от Р до 71—у, където Р и у са ъглите, под които се
вижда проводникът от дадената точка А (фиг. 9.6):

163

Е лект ричест во и м агнет изъм

В _ М-оМт^. fsjn a ^ a = l M i £ l ( C0 Sp-|-C0 SY).
4 тш
р
4 7 ia

(9.1.10)

В този случай магнитната индукция зависи и от косинусите на двата
ъгъла Р и у.
Сега да определим магнитната индукция в центьра на кръгов проводник, по който тече постоянен
ток I (фиг. 9.7). Означаваме с R радиуса на кръго­
вия проводник. От фигурата се вижда, че всички
елементи dl от проводника са перпендикулярни на
разстоянието до центъра и еднакво отдалечени от
него (R = const, sin a = 1, R l d J ) . В такъв случай
за големината на магнитната индукция В в центъра
О на кръговия проводник получаваме

в = M j L 2n\dl =
.
(9.1.11)
4nR2 о
2R
Интегрирането в този случай се извършва по /, тъй като ъгълът е ех —
const. (Посоката на В е от нас към равнината на чертежа - графично това
се означава чрез кръгче и кръстче в него.)

9.2. Действие на магнитно поле върху проводник, по които
тече ток. Закон на Ампер. Действие на магнитно поле върху
движещ се електричен заряд. Сила на Лоренц
В тема 9.1 разгледахме действието на магнитното поле върху правоъгълна рамка с ток. Видяхме, че в резултат на полето рамката се ориенти­
ра по определен начин. Моментът М , завъртащ рамката, е резултат от
действието на магнитното поле върху отделните йелементи, които предс­
тавляват праволинейни проводници. По всеки от тези проводници тече
постоянен ток с определена посока. Ампер е изследвал как действа маг­
нитното поле върху линеен проводник, по който тече ток. Той установил,
че при внасяне на такъв проводник в хомогенно магнитно поле, полето
действа на проводника с определена сила (фиг. 9.8). След многобройни
експерименти Ампер определил големината и посоката на тази сила чрез
следната зависимост:

dFA = I(d J х В ) ,

(9.2.1)

_

където d l е вектор с посоката на тока и съответст­
ва по големина на малък елемент от дължината / на
проводника, а В е векторът на магнитната индук­
ция на полето. Изразът (9.2.1) се нарича закон на
Ампер. Посоката на силата на Ампер се опре-

Фиг. 9.8

J

164

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

деля от правилото на изпънатите пръсти на лявата ръка: ако изпънатите
пръсти показват посоката на тока по проводника, а векторът на магнитна­
та индукция В пробожда дланта отвътре навън, изпънатият палец показва
посоката на силата, действаща на вектора d l. По големина силата на Ам­
пер се определя от равенството
dFA = IdlB sina,
(9.2.2)
където а е ъгълът между вектора dl и вектора на магнитната индукция.
От (9.2.2) следва, че силата, с която магнитното поле действа на малък
елемент от проводник, по който тече ток, е правопропорционална на го­
лемината на тока, на големината на магнитната индукция и зависи от ъгъ­
ла между векторите dl и В. Силата ще бъде максималиа, ако dl _L В:
(9.2.3)
dFmах = lB d l .
Ако искаме да определим силата на Ампер, действаща на целия про­
водник с дължина /, трябва да интегрираме (9.2.3) по /:

FA =IB\dl = IB l,

(9.2.4)

откъдето се вижда, че силата зависи правопропорционално и от дължина­
та на проводника. От формулата (9.2.4) лесно може да се определи мерна­
та единица за магнитната индукция:
FЛ
1N
(9.2.5)
= 1Т.
В=
=1A im
II
Единицата се нарича тесла [Т]. Един тесла е магнитната индукция на
хомогенно магнитно поле, което действа със сила FA= IN на проводник с
дължина / = 1 т , по който протича ток с големина / = 1 А.
Вследствие на многобройните опити, които е провел, Ампер устано­
вил и още един интересен ефект: два успоредни проводника, по които тече
ток в една и съща посока, се привличат. При промяна на посоката на тока
в единия от тях, те започват да се отблъскват един от друг. Нека разгледа­
ме този случай и определим силата на взаимодействие между два успо­
редни, безкрайно дълги проводника
(фиг. 9.9). Означаваме с 1\и / 2 токовете,
които протичат по тях, а с а - разстоя­
нието помежду им. Най-напред ще раз­
гледаме случая, когато токовете 1\ и / 2
протичат в една и съща посока. Всеки от
проводниците създава в пространството
магнитно поле с магнитна индукция съ­
ответно В} и В2. Магнитното поле с
индукция В\ ще действа на всеки еле­
мент с дължина dl от проводника с ток

Е лект ричест во и м агнет изъм

165

/2 със сила dFx, а магнитното поле с индукция В2- на всеки елемент dl от
проводника с ток 1\със си л ао^2. По правилото на свитите пръсти на дясната ръка определяме посоката на магнитните силови линии на двете по­
лета. Избираме два еднакви елемента с дължина dl от двата проводника и
построяваме векторите на магнитните индукции
и В2 за тях
( d l ± Я, и d l 1 В2; равнините, в които лежат магнитните силови линии, са
перпендикулярни на проводниците с токове 1\и Ь\ векторите
и В2 ле­
жат в тези равнини, тъй като са допирателни към затворените магнитни
силови линии). По правилото на изпънатите пръсти на лявата ръка опре­
деляме посоките на силите dF\ и dF2, а от формулите (9.2.2) и (9.1.9) тяхната големина:
^

= w
1 2 1

i

/= M

m

A ,

2па

dF; = I,B2dl =

.
(9.2.6)
2па
От получените изрази (9.2.6) следва, че по големина двете сили са
равни. По посока те са противоположни (вж. фиг. 9.9), а от фигурата се
вижда, че в този случай двата проводника ще се привличат. Изводът е, че
два безкрайно дълги, успоредни проводника, по които протичат токове 1\
и 12 в еднаква посока, се привличат със сила

dF = ^ r 1\
I i dl
(9 2.7)
2па
Ако токовете 1\и 12 протичат в различни посоки, по аналогичен начин
може да се докаже, че между тях действа сила на отблъскване, която по
големина се определя от (9.2.7).
Ако проводниците, които разгледахме, са с еднаква дължина /, от
(9.2.7) чрез интегриране получаваме
F =W rW ш
(9.2.8)
2па
Изразът (9.2.7) се използва за дефиниране на мерната единица за го­
лемина на тока в системата СИ. Ако двата проводника са разположени във
вакуум на разстояние а = 1 m един от друг и по тях протичат токове с ед­
наква големина 1\= /2 = / = 1 А, силата на взаимодействие между тях за
всеки метър дължина е

— =

= 2.10"7 — .

(9.2.9)

dl
2па
m
Замествайки / = 1 А и а = 1 m в (9.2.9), получаваме стойността на
магнитната константа fio за вакуум в съответните единици:

166

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

ц0 = 4тс10

7 N
—у

(9.2.10)

Сега можем да определим лесно и мерната единица за интензитета Н
на магнитното поле:

Н =

В
ц0

4тс10

N

NA^ 4я10~7 _

А

AmN 4л10~7

m

(9.2.11)

Вижда се, че за да бъде интензитетът на дадено магнитно поле във ва­
куум равен на 1 А/m, магнитната му индукция трябва да бъде равна на
4тс10~7 Т.
Законът на Ампер определя големината на силата, с която магнитното
поле действа върху проводник с ток. Ако проводникът не е закрепен
неподвижно, той ще започне да се премества в магнитното поле под дейс­
твието на тази сила. Да пресметнем ра­
ботата, която извършва магнитното поле
(фиг. 9.10). Нека проводникът с дължи­
н а / е част от правоъгълен токов контур,
по който тече ток с големина /. Допус­
каме, че проводникът е подвижен и
може да се премества свободно в равни­
ната на контура, която е перпендику­
лярна на силовите линии на хомогенно
магнитно поле с магнитна индукция
В (а = 90°). Знаем, че на всеки проводник с ток, който се намира в
магнитно поле, действа силата на Ампер. Под действието на тази сила за
малък интервал от време проводникът се премества на определено разсто­
яние dx. Извършената работа за преместването е
dA = FAdx = IldxB = IdSB,
(9.2.12)
където dS = Idx е площта, описана от проводника при това преместване. В
такъв случай работата може да се изрази чрез следното равенство:
(9.2.13)
dA = МФ и •
Величината с/Фй се нарича магнитен поток (или поток на вектора
на магнитната индукция). Следователно работата, извършена от магнит­
ното поле, се определя от произведението на големината на тока и маг­
нитния поток, който пресича площта dS. Формулата (9J2.13) е в сила за
произволна посока на вектора на магнитната индукция В . Аналогично на
потока на вектора на интензитета Ф/. на електростатичното поле (вж. фиг.
7.5) магнитният поток е величина, която се определя от скаларното произ­
ведение на векторите В и dS :

d$>E =B.dS = BndS,

(9.2.14)

Електричество и магнетизъм

167

където Вп - В cos(3 е проекцията на вектора на магнитната индукция върху
направлението на нормалата п към площта dS\ (3 е ъгълът между вектори­
те п и В ; dS = dS п е вектор, чиято посока съвпада с посоката на п , а по
големина е равен на площта dS (в разглеждания по-горе случай Р = 0,

Вп= В).
За произволна площ S магнитният поток се определя чрез интегриране
на (9.2.14):
Ф я = |5„<й\

(9.2.15)

S

Ако магнитното поле е хомогенно (В = const), а площта е разположена
перпендикулярно на магнитните силови линии (Р = 0), получаваме
фд = B S .
Очевидно е, че за площ S = 1 пг магнитният поток числено се опреде­
ля от големината на магнитната индукция. Единицата за магнитен поток е
вебер [Wb]. Един вебер е магнитният поток, който пресича перпендику­
лярно площ S = 1 пг в хомогенно магнитно поле с индукция В = 1 Т:
1 W b = 1 irf.l Т.
Законът на Био-Савар-Лаплас, който разгледахме в тема 9.1, дава
възможност да се определи магнитната индукция в произволна точка на
полето, създадено от проводник, по който тече постоянен ток. Тъй като
електричният ток представлява насочено движение на електрични заряди,
логично е да се допусне, че всеки отделен движещ се електричен заряд
също може да бъде източник на магнитно поле. Интерес представлява
въпросът, от какво зависи магнитната индукция на полето в този случай.
След обобщаване на редица опитни данни е бил определен следният израз
за магнитната индукция на поле, създадено от точков електричен заряд,
който се движи с постоянна скорост v в пространството (фиг. 9.11):

В
(9.2.16)
4
4яг3
Горният израз е аналогичен на закона на Био—Савар-Лаплас. Векторът
Вч е перпендикулярен на равнината, в която лежат двата вектора г и v ,
тъй като се определя от тяхното векторно произведе­
ние; г е радиус-векторът, съединяващ заряда и точка­
та А, в която определяме магнитната индукция Вч. По
големина магнитната индукция Вч се определя от ра­
венството
в _ ц0ц^У51па
(9.2.17)
4
4лг2
където а е ъгълът между векторите v и г . Формулата
(9.2.16) може да се изведе от закона на Био-Савар-

168

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

Лаплас. Магнитната индукция dB , създадена от токовия елемент dl , мо­
же да се разгледа като сумарна индукция от насочено движещи се елект­
рични заряди, които се намират в елемента dl от токовия проводник. Ако
напречното сечение на проводника е S (S = const), а плътността на тока
е j , то е изпълнено
Idl - jS d l .
(9.2.18)
Плътността на тока можем да изразим чрез формулата j = qnv , където
q е зарядът на един токов носител, п е броят на токовите носители в еди­
ница обем, a v - средната скорост на насоченото им движение. Тогава
Idl = nSdlqv = dNqv .
(9.2.19)
В горния израз произведението nSdl представлява обемът на елемента
dl от проводника, умножен по концентрацията /?, т.е. броят dN на токовите
носители в този елемент. Заместваме (9.2.19) в закона на Био-СаварЛаплас (9.1.4) и получаваме
= МоМ/М х г) = p0n r(dNqv х г)
4лг3

dB

4лг3

МоИ/qv х г)

(9.2.20)
= Вч'
dN
4лт"
където В., е магнитната индукция на полето, създадено от един отделен
токов носител, движещ се със скорост v . От (9.2.20) се вижда, че движе­
щият се електричен заряд и токовият елемент са еквивалентни по своите
магнитни свойства: Idl <=> qv . Формулата (9.2.20) се отнася за скорости
на електричните заряди v « с. Магнитната индукция на полето, създадено
от движещ се електричен заряд, зависи още и от знака на заряда. В дадена
точка от магнитното поле тя може да има две противоположни посоки:
при q > 0 В е в посока на векторното произведение v х г , а при q < О - в
обратната посока. Освен това характерно за нея е, че с течение на времето
тя се изменя: Вц = / ( / ) . Причината за това е изменението на радиусвектора г при движението на заряда: г = / ( / ) .
Нека сега разгледаме един електричен за­
ряд, който се движи със скорост v в магнитно
поле с индукция В (фиг. 9.12). Ще определим
силата, с която му действа това поле, като из_£<
ползваме отново аналогията с магнитното по­
ле, действащо на проводник, по който протича
ток. На всеки малък елемент dl от дължината
на проводника действа силата на Ампер:

dFA = IdlBs'ma.
Фиг. 9.12

Тази сила действа на всички електрични

Електричество и магнетизъм

169

заряди, които се намират в обема Sdl, където S е напречното сечение на
проводника. Ако означим броя на зарядите в този обем с dN и използваме
зависимостта (9.2.19), за dFA получаваме
dF
dFA=dNqvBs\na\ —^- = qvBsina = F jj ,

(9.2.21)

където а е ъгълът между векторите v и В . Формулата (9.2.21) определя
силата, с която магнитното поле действа на отделен електричен заряд q,
движещ се със скорост v в пространството. Определена е за първи път от
холандския физик X. Лоренц и се нарича сила на Лоренц. Тя е валидна за
произволни стойности на скоростта на заряда. Ако скоростта на заряда е
v = 0, т.е. зарядът е неподвижен, силата на Лоренц не действа. Това пот­
върждава факта, че магнитното поле действа само на движещите се заря­
ди. Силата на Лоренц може да се представи и във векторен вид:

F ,, - q(v х В) .

(9.2.22)

Посоката на F п за положителен заряд q > 0 можем да определим по
правилото на изпънатите пръсти на лявата ръка: ако магнитната индукция
В пробожда дланта, а изпънатите пръсти са насочени по посоката на ско­
ростта v , палецът определя посоката на силата. На отрицателен заряд,
движещ се със същата скорост и в същото магнитно поле, силата на Л о­
ренц действа в противоположна посока (фиг. 9.12).
Характерна особеност на силата на Лоренц е това, че тя винаги е пер­
пендикулярна на скоростта v на заряда. Следователно тази сила никога не
извършва работа (проекцията йвърху посоката на преместването е винаги
равна на нула). От това следва още, че тя променя скоростта на движещия
се заряд само по посока, но не и по големина, т.е. неговата кинетична
енергия се запазва постоянна.
Силата, която действа на електричен заряд, движещ се едновременно
в електрично и магнитно поле, се нарича обобщена сила на Лоренц и се
определя от следната формула:
F = qE + q (v x B ).

(9.2.23)

Посоката на обобщената сила на Лоренц според правилото за събира­
не на сили зависи от посоката на двете сили, участващи във формулата.
Силата на Лоренц дава възможност да се изследва движението на за­
редени частици в магнитно поле (протони, електрони, a -частици и^др.).
Тъй като тя зависи от взаимното разположение на векторите v и В , ще
разгледаме няколко случая:
—
Ако частицата навлиза в хомогенно магнитно поле ( В = const) с
постоянна скорост v , насочена по посоката на вектора на магнитната ин­
дукция (а = 0), от формулата (9.2.21) следва:
Fji = qvB sin 0 = 0 .

170

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

Магнитното поле не оказва действие върху частицата и тя ще про­
дължи да се движи праволинейно и равномерно (същото се отнася и за
движение на частицата в противоположна на В посока; ос = 7t).
Ако частицата навлиза в хомогенно магнитно поле с постоянна ско­
рост v _1_ В , на нея ще йдейства постоянна, максимална по големина лоренцова сила:

F,, = qvB - const.
В този случай действието на полето се изразява в изкривяване траекVCOSC1

В

v s in a

В
Фиг. 9.13

торията на частицата (фиг. 9.13а). Във всеки момент от движението силата
на Лоренц е перпендикулярна на скоростта и поради това действа като
центростремителна сила (от курса по физика в средното училище е извест­
но, че центростремителната сила е mv2/r = Fn). Нека означим с г радиуса на
кривината на траекторията. Тогава
.2

777V

= qvB\ г =

777V

= const.

(9.2.24)

r
qB
Очевидно траекторията на частицата ще бъде окръжност, тъй като по
условие v = const и В = const. Действието на полето върху частицата в то­
зи случай може да се използва за определяне на различни величини: ако са
известни скоростта и зарядът на частицата, може да се определи нейната
маса, и обратно - при дадени маса и скорост лесно се пресмята нейният
заряд.
Ако частицата навлиза в полето със скорост v , която сключва ъгъл
a < 90° с посоката на магнитната индукция, тя извършва сложно движение по
винтова линия (фиг. 9.136). Това движение може да се разглежда като супер-

Електричество и магнетизъм

171

позиция от две прости: едно праволинейно движение по посока на маг­
нитната индукция със скорост vcosa и едно кръгово движение със скорост
vsina.
Един от най-широко използваните уреди за анализ на строежа на многоатомните молекули е масспектрометърът. Неговото действие е осно­
вано на способността на магнитното поле да отклонява движещите се за­
редени частици от праволинейната им траектория (обратнопропорционално на техните маси). В масспектрометъра чрез облъчване на сложни моле­
кули с електрони с определена енергия се предизвиква отделяне на елект­
рони от всяка молекула, или образуване на молекулярни йони (молекуля­
рен йон се нарича всяка молекула, загубила един електрон). Молекуляр­
ните йони преминават през хомогенно магнитно поле, където траектории­
те им стават кръгови. От израза (9.2.24) може да се определи отношението

q /M на молекулярния йон:
=— ,
(9.2.25)
М
гВ
където q е зарядът на йона, а М - неговата маса. Тъй като зарядът на йона
е q = е, измерената маса М в случая може да се коригира, като се прибави
към нея масата на един електрон, която е известна величина. По този на­
чин се определя масата на молекулата. Съществува голямо разнообразие
от масови спектрометри, някои от които позволяват много прецизни из­
мервания на атомните и молекулните маси.
Зависимостта на силата на Лоренц от знака на заредените частици да­
ва възможност снопове от разнородни частици (положително и отрица­
телно заредени) да бъдат разделяни в магнитно поле. Получените в резул­
тат на това еднородни снопове се използват в специални устройства, наре­
чени ускорители. Всеки ускорител се характеризира от вида на заредените
частици, както и от тяхната енергия. В зависимост от вида на частиците
ускорителите биват електронни, протонни, мезонни, йонни и др. Според
формата на траекторията на заредените частици те се разделят на линейни
и циклични. В линейните ускорители частиците се движат по права (или
близка до права) линия, а в цикличните траекторията може да оъде окръж
ност или спирала. В ускорителите отделните снопове частици се ускоряват
до големи енергии с помощта на мощни електрични и магнитни полета.
Ускорителите намират широко приложение в научноизследователската
дейност. Облъчвайки със заредени частици най-различни нови и интерес­
ни за практическо приложение материали, изследователите получават ин­
формация за техните свойства. Чрез бомбардиране на ядра на различни
химични елементи с някакъв вид частици се предизвиква например изкус­
твена радиоактивност (вж. тема 16.2) - получават се нови радиоактивни
елементи, някои от които се използват в медицината.

172

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

9.3. Електромагнитна индукция и закон на Фарадей
Съществуването на магнитно поле около всеки проводник, по който
протича електричен ток, показва, че съществува връзка между електрич­
ните и магнитните явления. Логично е да се зададе въпросът, дали не е
възможен и обратният случай - възникване на електричен ток под дейст­
вие на магнитно поле. Английският физик М. Фарадей в продължение на
10 години провел множество опити с цел да даде отговор на този въпрос.
Неговите опити показали, че при определени условия в затворени прово­
дящи контури възниква електричен ток. На фиг. 9.14 я, 6 са показани два
от опитите на Фарадей.

Фиг. 9.14

Намотка от изолиран проводник е свързана с галванометър (уред за
измерване на много малки стойности на електричния ток). Стрелката на
уреда показва нула. При бързо вкарване на постоянен магнит в намотката
стрелката се отклонява (фиг. 9.14а). Това показва, че през нея протича
електричен ток. При бързо изваждане на магнита токът протича в обратна
посока (стрелката на галванометъра се отклонява в противоположната по­
сока). Ако поставим магнита неподвижен в намотката, електричен ток не
протича. Появата на електричен ток е свързана с изменението на магнит­
ния поток, пресичащ площта на контура. Броят на магнитните силови ли­
нии, които проводникът обхваща, се изменя при движението на магнита.
Следователно причината за възникване на електричния ток е изменението
на магнитния поток. Ако вместо постоянен магнит в намотката се вкарва
или изважда втора по-малка намотка, през която протича електричен ток,
стрелката на галванометъра отново се отклонява в двете противоположни
посоки (фиг. 9.14б). Ако поставим втората намотка неподвижна в първата,
електричен ток не протича. Следователно постоянното магнитно поле не е
в състояние да създаде електричен ток. Появата на електричен ток в даде­
ния затворен контур е свързана с наличие на променливо магнитно поле.
Явлението, при което в затворен проводящ контур възниква електричен
ток, наречен индуциран, вследствие на изменение на магнитния поток през

Електричество и магнетизъм

173

площта на контура, се нарича електромагнитна индукция.
Известно е, че за да протича ток през една верига, е необходимо да
има включено електродвижещо напрежение. Индуцираният електричен
ток в случая показва, че във веригата възниква електродвижещо напреже­
ние, което се нарича индуцирано електродвижещо напрежение.
Откритието на Фарадей доказва тясната връзка и единство между
електричното и магнитното поле. Променливото магнитно поле, както и
неподвижните електрични заряди, се оказва източник на електрично поле.
От друга страна, както видяхме в тема 9.2, всички движещи се с постоянна
скорост електрични заряди създават магнитно поле в пространството око­
ло себе си.
Вследствие на многобройни опити Фарадей достига до няколко изво­
да: причината за индуцираното електродвижещо напрежение е изменение­
то на броя на силовите линии, които пресичат площта на затворения кон­
тур, т.е. на магнитния поток Ф йпрез контура (фиг. 9.15); големината на
това напрежение зависи само от скоростта, с която
се изменя магнитният поток във времето; ако пото­
кът на магнитната индукция расте, индуцираното
електродвижещо напрежение е отрицателно, и обратно - когато магнитният поток намалява,
индуцираното
напрежение
е
положително.
Обобщавайки тези изводи Фарадей определя
следната зависимост, известна във физиката като
закон на Фарадей за електромагнитната индукция'.
(9.3.1)
dt
където €, е индуцираното електродвижещо напрежение, а Ф й- магнитни­
ят поток, пресичащ площта на разглеждания затворен проводящ контур.
Знакът
е в съгласие с установеното от руския физик Ленц правило за
определяне посоката на индуцирапия ток. Според това правило посоката
на индуцирания ток в един затворен контур е такава, че създаваното от
него магнитно поле е противоположно по знак на полето, предизвикало
появата му (ако d<X>H
/dt > 0 , €, < 0; ако d<&B/dt < 0, €, > 0). Математичният
извод на закона на Фарадей е направен от X. Хелмхолц въз основа на за­
кона за запазване на енергията.
Големината на индуцирания ток се определя от закона на Ом:
d<&и

dt
R
където R е съпротивлението във веригата.
1=

(9.3.2)

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

174

Нека правоъгълен токов контур, в който е включено електродвижешо
напрежение £ , се намира в еднородно магнитно поле. Площта на контура
е перпендикулярна на магнитните силови линии, а големината на тока,
протичащ през него, е I. Ако едната от страните на контура има дължина /
и е подвижна, под действие на силата на Ампер тя ще се премести на оп­
ределено разстояние dx за малък интервал от време df (вж. тема 9.2,
фиг. 9.10). Извършената от силата на Ампер работа е

dA |= FAdx - IBldx = 1ЛФВ,
където dФв е магнитният поток, пресичащ площта dS=ldx, която провод­
никът с дължина / описва при движението си. За същото време в контура
се отделя определено количество топлина съгласно закона на ДжаулЛенц:

dA2=I2Rdt,
където R е съпротивлението във веригата на контура. В съгласие със зако­
на за запазване на енергията работата на източника на електродвижещо
напрежение dA (вж. формула (8.2.17)) за същия интервал от време dt ще
бъде равна на сумата от горните два израза sadA\ и dA2:

dA=dA[+dA2,
I£ d t= M » + I2Rdt.
Разделяме (9.3.3) на Idt и получаваме
dФ„

(9.3.3)

е-

S = ^ J L +ir ; j = --- Ж— .
dt

(9.3.4)

R

Получената формула изразява закона на Ом за разглеждания случай.
Тя показва, че вследствие изменението на магнитния поток през площта
на контура във веригата възниква добавъчно електродвижещо напреже­
ние, което е равно на индуцираното:
/ =£ ^ - .
(9.3.5)
dt
R
От (9.3.4) се вижда непосредствено, че индуцираното електродвиже­
що напрежение намалява електродвижещото напрежение в контура, тъй
като е с отрицателен знак. Мерната му единица е волт. Това следва и от
закона на Фарадей:
1

<1ФВ
* /«

dt

T .m 2

N .m 2

J

A .V .s

A .m .s

A .s

s .A

= [V]

Явлението електромагнитна индукция намира широко приложение в
техниката за преобразуване на механичната енергия в електричен ток в
специални устройства, наречени генератори. Принципното действие на
един генератор може да се обясни чрез явлението въртене на правоъгълна

175

Електричество и магнетизъм

токова рамка в еднородно маг­
нитно поле (фиг. 9.16). Нека в
началния момент от време (/ = 0)
равнината на рамката е перпен­
дикулярна на магнитните силови
линии на полето, създадено меж­
ду полюсите на постоянен маг­
нит. Магнитният поток има максимална стойност Ф h ^BS. Кога­
то завъртим рамката с постоянна
ъглова скорост (со = const), магнитният поток, пресичащ площта й, започва
да се променя В произволен момент от време (/ Ф 0) рамката се е завъртя­
ла на някакъв ъгъл а (а е ъгълът между нормалата към равнината на рам­
ката и вектора на магнитната индукция; в момента / = 0 а = 0). Магнитни­
ят поток ще бъде
(9.3.6)
Ф „ = BScosa = BS coscot.
Формула (9.3.6) показва, че с течение на времето магнитният поток се
променя и в рамката ще се индуцира електродвижещо напрежение:
с1Ф *

_

.

(9 3 7)

— = wBS sin a>t.
dt
Това напрежение се изменя с времето по хармоничен закон, т.е. в рам­
ката възниква променливо електродвижещо напрежение, в резултат на което
в нея започва да протича променлив ток. По такъв начин въртенето на рам­
ката довежда до появата на променлив ток. На този принцип работят всички
генератори за променлив ток. Процесът на превръщане на механичната
енергия в електрична е обратим. Ако през рамката се пропуска променлив
електричен ток, в нея възниква въртящ момент и тя започва да се върти. То­
ва е принципът на действие на електромоторите. Тяхното предназначение е
да превръщат електричната енергия в механична.
Индуцирани токове възникват не само в линейните проводници, вклю­
чени в електрични вериги, но и в отделни масивни проводници. В този слу­
чай индуцираните токове образуват затворени електрични вериги в рамките
на самите проводници, които се характеризират с големи напречни размери.
За да се появи индуциран ток в
даден масивен проводник, пос­
ледният трябва да бъде поставен в
променливо магнитно поле. Нека
разгледаме следния пример: маха­
ло с формата на плътен метален
W
диск се люлее между полюсите на
електромагнит (фиг. 9.17). При
включване на електричния ток в
електромагнита махалото бързо

О

176

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

спира. Причината за това са появилите се индуцирани токове, които се
подчиняват на правилото на Ленц. Те имат такава посока, че магнитното
поле около тях противодейства на полето, създадено от електромагнита.
Ако повторим опита с друг метален диск с дълбоки прорези, махалото
продължава да се люлее. В този случай прорезите изпълняват ролята на
изолиращи пластинки, които пречат на затварянето на електричните вери­
ги на индуцираните токове. Индуцираните токове в масивните проводни­
ци за пръв път са установени от френския учен Ж. Фуко и се наричат т о ­
кове на Фуко или вихрови токове.
Големината на вихровия ток се определя от закона на Ом:
/

=

(9.3.8)

e R
dt R
където R е съпротивлението на метала, от който е направен масивният
проводник, а £, -индуцираното електродвижещо напрежение. Ако замес­
тим съпротивлението R с формулата (8.2.6), получаваме
d<&B S
*=

(9 3 -9)

Очевидно стойността на вихровия ток ще бъде толкова по-голяма,
колкото по-голямо е сечението на проводника и по-бързо изменението на
магнитния поток през площта му. От формулата (9.3.9) следва още, че в
проводници с големи напречни размери индуцираните токове ще имат го­
леми стойности даже и при слабо изменящи се магнитни полета. Това
предизвиква силното им загряване, което в редица случаи е свързано и с
нежелани загуби на електрична енергия. Такъв е случаят при електродви­
гателите, генераторите за променлив ток и трансформаторите. За да се из­
бегнат вредните ефекти от вихровите токове в тях, металните сърцевини
се изработват от отделни пластинки, изолирани една от друга с лакови
покрития. По този начин се намаляват токовете на Фуко и съответните
количества отделена топлина, свързани с тях.
Нека сега разгледаме друг случай, при който отново се индуцира елект­
родвижещо напрежение. В затворен контур е включен източник на елект­
родвижещо напрежение и съпротивление. Чрез потенциометър може да се
изменя големината на тока, протичащ през контура. При промяна на тока
магнитното поле, създадено от него, също се променя. В резултат на това се
изменя и потокът на магнитната индукция, който пресича площта на конту­
ра. Следователно в контура възниква индуцирано електродвижещо напре­
жение. Това явление е открито от Дж. Хенри и се нарича самоиндукция. Самоиндукцията е процес, при който възниква индуцирано електродвижещо
напрежение в затворен токов контур вследствие изменението на големината
на тока, протичащ през него. За да определим от какво зависи индуцира-

177

Електричество и магнетизъм

ното напрежение в този случай, можем да изразим магнитния поток чрез
големината на тока:
Ф B = B S = kIS = LI,

(9.3.10)

където с L сме означили един коефициент на пропорционалност (L = kS)\
k е величина, зависеща от дължината на проводника и средата, в която е
поставен; S е площта на контура. Магнитната индукция в (9.3.10) сме из­
разили със зависимостта B = kl, която следва от закона на Био—Савар—
Лаплас. Величината L се нарича индуктивност и представлява характе­
ристика на контура, каквато например е неговото съпротивление R. От
формулата (9.3.10) може да се определи мерната единица за индуктивност,
която се нарича хенри [Н]:
1U lW b
lV.s
1Н —
—
•
1А
1А
Индуктивността на даден токов контур е равна на 1 хенри, ако маг­
нитният поток, пресичащ площта му, се променя с 1 вебер при промяна на
големината на тока с 1 ампер.
Ако приложим закона на Фарадей за явлението самоиндукция, ще по­
лучим формулата за индуцираното електродвижещо напрежение, което в
този случай се нарича ссшоиндуцирано:

(1Ф и
dt

_

</(!/) =

dt

j L d l x J dL

dt

dt

(9.3.11)

Индуктивността L зависи от формата и размерите на контура и от
магнитната проницаемост на средата. Ако контурът не се деформира и
средата, в която е поставен, не се променя с времето (ц, = const), от
(9.3.11) получаваме (dL/dt = 0):

e s, = - L —
(9.3.12)
S'
dt
Горният израз определя самоиндуцираното електродвижещо напре­
жение. Вижда се, че ако токът в контура с течение на времето нараства,
самоиндуцираното електродвижещо напрежение е отрицателно, и обратно
- при намаляване на тока то е
положително, т.е. в сила е пра­
вилото на Ленц (самоиндуцира­
в,
ното напрежение противодейства
на изменението на тока в конту­
ра, което го поражда).
Да разгледаме два затворени
токови контура, които са не­
ф 12
подвижни и са разположени бли­
зо един до друг (фиг. 9.18). Оз-

178

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

начаваме с 1\и /2 токовете през двата контура, които създават в пространс­
твото две наслагващи се магнитни полета.
Магнитният поток Ф ]2, създаден от тока 1\
, пронизва площта на кон­
тура 2, а магнитният поток Ф 2|, създаден от тока /2, пронизва съответно
площта на контура 7. Тогава
Ф 12 = L]2I }, Ф 21 = L2]I 2,
(9.3.13)
където L \2 и L2\са коефициенти на пропорционалност, които зависят от
размерите, геометричната форма, взаимното разположение на контурите и
от магнитната проницаемост на средата. Ако с течение на времето токът 1\
се променя, в контура 2 ще се индуцира електродвижещо напрежение £ ;2,
тъй като потокът Ф 12 също се изменя:
_

_

С.Л —
' ,2

di

—

т d ln
“ di

L>1Л

Аналогично, ако токът /2 се изменя с времето, в контура 7 ще възник­
не индуцирано електродвижещо напрежение
:

п

^ Ф 21 _
dt

г d I2
21 dt

Това явление се нарича взаимна индукция. Взаимната индукция е про­
цес, при който в единия от два токови контура, разположени на близко
разстояние един от друг, възниква електродвижещо напрежение вследст­
вие изменението на големината на тока в другия контур. Може да се до­
каже, че двата коефициента Ь\2 и Ь2\са равни (L\2 = L2\
) и се наричат
взаимна индуктивност на контурите. Мерната единица за взаимната ин­
дуктивност е същата, както за индуктивността - хенри.
Вече се убедихме, че около всеки проводник, по който протича елект­
ричен ток, се създава магнитно поле. Опитът показва, че това поле се поя­
вява и изчезва едновременно с появата и спирането на електричния ток.
Логично е да се предположи, че част от енергията на електричния ток се
изразходва за създаване на магнитно поле, което, както и електричното,
притежава определена енергия. Нека определим тази енергия. От механи­
ката е известно, че за определяне на енергията обикновено се пресмята
количеството извършена работа. Да разгледаме един токов конту р, който
се характеризира с индуктивност L. Включването на променлив ток през
контура е свързано с появата на самоиндуцирано електродвижещо напре­
жение. Работата, която се извършва от електричния ток, съгласно закона
на Джаул-Ленц (8.2.17) е
d A = I £ sidt.
(9.3.14)
По големина самоиндуцираното електродвижещо напрежение се оп­
ределя от израза

Елект ричест во и м агнет изъм

Ldl
&Si ~

179

(9.3.15)

dt

Замествайки (9.3.15) в (9.3.14), получаваме
dA =ILdI.
Пълната работа ще получим, като интегрираме горния израз в граници
на изменение на тока от 0 до някаква крайна стойност /:

A = b \ ld l = —

1

II2

0

1

Тази работа се превръща в енергия на възникналото магнитно поле:

W .- 2 т
2
Вижда се, че енергията на магнитното поле зависи само от големината
на тока, тъй като за контур, който не се деформира, и постоянна среда (цг
= const) величината L е константа.

9.4. Електромагнитно поле. Уравнения на Максуел
Опитите на Фарадей и откритото от него явление електромагнитна
индукция показват, че променливото магнитно поле поражда електрично
поле. Изучавайки трудовете на Фарадей, английският физик Дж. Максуел
допуска съществуването и на обратната възможност — променящото се с
времето електрично поле предизвиква появата на магнитно поле. Това
предположение било основано на представите за симетрия на законите в
природата. Така през 60-те години на X IX век била създадена теорията на
електромагнитните явления. В тази теория Максуел доразвива идеите на
Фарадей и с помощта на четири уравнения показва тясната и неразривна
връзка между електричеството и магнетизма. Той за пръв път въвежда по­
нятието електромагнитно поле като физична реалност.
Електростатичното поле, което съществува около неподвижните елек­
трични заряди, както и магнитното поле, създавано от проводниците, по
които протича постоянен ток, могат да съществуват независимо едно от
друго, тъй като са постоянни във времето. В споменатите случаи картина­
та се променя съществено, ако двете полета се изменят с течение на вре­
мето. Според Максуел изменението на електричното поле в дадена точка
от пространството води до появата на променящо се магнитно поле. От
своя страна променливото магнитно поле предизвиква поява на ново про­
менливо електрично поле и т.н. По този начин възникващите едно след
друго променливо електрично и магнитно поле могат да се разглеждат
като единно електромагнитно поле, което се разпространява в пространст­
вото с определена скорост.

180

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

Досега разгледахме стационарно електрично и магнитно поле
( Е = const; В - const). Те могат да съществуват независимо едно от друго
и да се изучават поотделно. За електростатичното поле са изпълнени съ­
отношенията (7.2.9) и (7.3.4), известни като теорема на Гаус и теорема за
циркулацията на вектора на интензитета на електростатичното поле. Ана­
логични зависимости са в сила и за постоянното магнитно поле. Според
теоремата на Гаус магнитният поток през произволна затворена повърх­
ност е равен на нула:

Ф в = $BndS = 0.
(9.4.1)
s
Горната формула е обобщение на многобройните опити, които доказват,
че в природата не съществуват свободни магнитни заряди. Тя показва, че
магнитните силови линии винаги са затворени криви. С тази характерна
особеност на магнитното поле е свързан и още един експериментално ус­
тановен факт: циркулацията на вектора на магнитната индукция В по зат­
ворен контур L не е равна на нула и зависи от избора на контура. За про­
изволен затворен контур, който обгръща проводник с постоянен ток /,
циркулацията на B e еднаква за всички линии на магнитната индукция и
се определя от произведението на магнитната константа на вакуума и го­
лемината на тока:
jB.d7 = jB ,d l = n QI.
(9.4.2)
L
II
Последният израз се отнася за магнитно поле във вакуум. Двете формули
(9.4.1) и (9.4.2) определят характера на магнитното поле, което за разлика
от електростатичното не е потенциално, а вихрово.
Фарадей установява, че изменението на магнитния поток, който пре­
сича площта на неподвижен токов контур, поражда индуцирано елект­
родвижещо напрежение:
р -

^

в
dt

Ако в горната формула изразим магнитния поток чрез съотношението
(9.2.15), получаваме

£ i =-±\B„dS = - \ ^ S .
dt s
s dt

(9.4.3)

Очевидно е, че изменението на магнитното поле с времето предизвиква
поява на електрично поле в неподвижния токов контур. Можем да използ­
ваме дефиниционното равенство за електродвижещо напрежение (8.1.11)
за затворен контур. В този случай

£, = § E .d I = §E,dl,
L

L

(9.4.4)

Електричество и магнетизъм

181

където Е е интензитетът на възникналото електрично поле. От обединя­
ването на (9.4.3) и (9.4.4) следва
(9.4.5)
Полученият израз показва, че циркулацията на вектора на интензитета на
електричното поле Е, което се поражда като следствие от променливото
магнитно поле, е различна от нула. С други думи, това поле не е потенци­
ално, а вихрово. Неговите силови линии ще бъдат затворени криви линии
за разлика от тези на електростатичното, които започват и завършват на
електрични заряди. Изводът е, че променливото магнитно поле поражда
вихрово електрично поле с толкова по-голям интензитет, колкото побързо се изменя магнитната индукция на полето, пресичащо площта на
неподвижния токов контур. Съотношението (9.4.5) е известно като първо
уравнение на Максуел.
Максуел допуска, че не само изменящото се с времето магнитно поле
поражда вихрово електрично поле, но и обратно, променливото електрич­
но поле води до възникване на вихрово магнитно поле. Като пример нека
разгледаме електрична верига с кондензатор
(фиг. 9.19). През такава верига няма да протича пос­
тоянен ток (ток на проводимост), тъй като прост­
ранството между плочите на кондензатора предс­
тавлява непреодолимо препятствие. Оказва се обаче.
че при включване на източника на електродвижещо
напрежение във веригата стрелката на галванометъра се отклонява. Този факт показва, че в първия мофиг-9 19
мент по контура протича електричен ток. Как да си обясним появата на
този ток? При включването на източника плочите на кондензатора се за­
реждат разноименно, вследствие на което между тях възниква електрично
поле. Това поле се променя до момента на пълното зареждане на конден­
затора. Ако в съседство с кондензатора поставим магнитометър (уред за
измерване характеристиките на магнитното поле), ще забележим, че при
включването на източника стрелката на уреда променя положението си.
Следователно около кондензатора редом с електричното поле се появява и
магнитно. Максуел нарекъл променливото електрично поле, което пораж­
да магнитно поле, ток на отместване за разлика от тока на проводимост,
обусловен от насоченото движение на свободни електрични заряди. Токът
на отместване е свързан с изменението на количеството електрични заря­
ди, които се разполагат върху повърхностите S на двете плочи на конден­
затора:

dQ

182

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

Интензитетът на полето между плочите на кондензатора е

където
е потокът на вектора на интензитета между двете плочи. Тогава
за тока на отместване получаваме израза

dФ Е
dt
Следователно токът на отместване през определена площ се определя от
произведението на изменението на векторния поток на интензитета, пре­
сичащ тази площ, и електричната константа на вакуума. В общия случай
токът на проводимост и токът на отместване не са разделени в пространс­
твото и могат да съществуват в даден общ обем. Максуел въвежда поняти­
ето пълен ток /п и обобщава израза (9.4.2) за този случай:
(9.4.6)
където пълният ток /п е равен на сумата от тока на проводимост и тока на
отместване. Уравнението (9.4.6) е известно като второ уравнение на Мак­
суел и представлява обобщение на теоремата за циркулация на вектора на
магнитната индукция В. Според това уравнение магнитното поле може да
възникне както при движение на електрични заряди (ток на проводимост),
така и при променливо електрично поле (ток на отместване).
Когато в даден обем от пространството не съществува ток на прово­
димост (както в разгледания пример с кондензатора), изразът (9.4.6) при­
добива вида

Горното уравнение е подобно на (9.4.5) и показва, че изменението на елек­
тричния поток с времето също поражда магнитно поле. Пълната система
от уравнения на Максуел за електромагнитното поле включва още две
уравнения, изразяващи теоремата на Гаус, която той обобщава и за про­
менливи електрични и магнитни полета:
(9.4.7)
(9.4.8)

s
Ролята на уравненията на Максуел за всички електромагнитни процеси е
аналогична на ролята на Нютоновите принципи в класическата механика.

Ej]ект ричест во и м агнет изъм

183

Въпроси и задачи
1.

Кои са основните характеристики на магнитното поле?

2.

С какво се характеризират магнитните силови линии?

3.

Какво е магнитното поле по своя характер?

4.

За какви случаи се отнасят силите на Ампер и Лоренц? По какво се различават?

5.

Кои са по-важните случаи при движение на заредени частици в магнитно поле?

6.

Кръгов контур с диаметър d = 20 cm е поставен в еднородно магнитно поле с индук­
ция В = 10~3Т. При протичане на ток с големина / = 2 А по контура, той се завърта на
ъгъл а = 90°. Определете въртящия момент, който действа на контура.

7.

В магнитно поле с индукция В = 0,! Т е поставена пръчка с дължина 1 т , която се
върти в равнина, перпендикулярна на магнитните силови линии. Оста на въртене пре­
минава през единия край на пръчката. Определете магнитния поток, пресичащ площта,
която образува пръчката при въртенето си.

8.

Електрон със скорост v = 2.107 m/s се движи в равнина, която е перпендикулярна на
вектора на магнитната индукция В = 0,1 Т на еднородно магнитно поле. Определете
траекторията на движение на електрона.

9.

Намереге кинетичната енергия на електрон, който се движи по дъга от окръжност с
радиус R = 8 mm в еднородно магнитно поле с индукция В = 0,2 Т. Направлението на
магнитната индукция е перпендикулярно на равнината на окръжността.

10. По вертикален проводник, прикрепен към стената на здание, тече електричен ток с
големина / = 25 А в посока нагоре. Определете магнитната индукция в точка, намира­
ща се на разстояние 10 cm встрани от проводника.

РАЗДЕЛ

IV

ТРЕПТЕНИЯ И ВЪЛНИ
В природата съществуват най-разнообразни видове движения на
известните ни форми на материята - частици и полета. Във
всекидневието често се наблюдават движения, които се повтарят. В
такива случаи раз-глежданият обект при движението си многократно се
връща в изходно положение. Примерите за подобни движения са
многобройни: биенето на сърцето, дишането, движението на махалото на
стенния часовник, на струната на цигулката, на люлката и много други.
Всички движения или изменения на състоянието на дадено тяло, които се
характеризират с определена повторяемост във времето, се наричат
периодични движения, или трептения. Ако трептящото тяло се намира в
еластична материална среда, то предава трептенията си на допиращите се
до него частици. С течение на времето всички частици от средата стават
участници
в трептенето, т.е. трептенето се разпространява в
разглежданата среда. Наличието на еластична среда не е задължително
условие за разпространение на различните видове трептения. Например
електромагнитните трептения могат да се разпространяват и във вакуум.
Процесът на раз-пространение на трептенето в дадено вещество или поле
се нарича вълна, или вълнов процес. Всички видове вълни могат да се
характеризират с изменение на една физична величина, която се предава в
пространството. Примери за вълни, разпространяващи се в материална
среда, са звуковите вълни. Светлината е електромагнитна вълна, която се
разпространява както в материална среда, така и във вакуум. При
електромагнитните вълни физичните величини, които се изменят
периодично, са електричното и магнитното поле.

Глава 10
Х А РМ О Н И Ч Н И ТРЕПТЕНИЯ
10.1. Кинематика на хармоничните трептения
Състоянието на една материална точка в кой да е момент от време се
определя от радиус-вектора г и скоростта v . Ако точката извършва пе­

185

Трептения и вълни

риодично движение, всяко нейно състояние ( r , v ) се повтаря през равни
интервали от време. Хармоничното трептене е най-простият вид трептене,
което се описва с периодичните функции sin и cos:
х (0 = 4 ) sin( ° V + cPo)’

\

x(t) = A0 cos(ov +cp0),

( 10.1.1)

където х е моментната стойност на величината, която се изменя периодич­
но; t - времето; со0, фо и А0 са постоянни величини. Коефициентът А0 опре­
деля максималната стойност на величината х и се нарича амплитуда на
трептенето, со0 е кръгова (циклична) честота, а аргументът
(со0/+фо) = Ф (0 на функциите - фаза на трептенето. В началния момент
от време t = 0 фазата е Ф(0) = ф0 и се нарича начачна фаза.
Интервалът от време, през който се повтарят стойностите на величи­
ните, характеризиращи едно трептене, се нарича период. Означава се с Ги
се измерва в секунди. За един период се извършва едно пълно трептене.
Броят на пълните трептения за единица време се нарича честота. Означа­
ва се с / и се измерва в единици херц [Hz], 1Hz = 1 s_1. Честотата на треп­
тенията е свързана с периода чрез съотношението/= \/Т.
От условието за периодичност на функциите sin и cos може да се оп­
редели зависимостта между периода и кръговата честота, както и между
честотата/ и кръговата честота со0:
x(t) = x(t+T),
[а>о(/+7)+фо] = ((00Н-фо)+2л,

Т=

/ =
со0

2п

о)0 = 2тс/.

(10.1.2)

Във формулата за хармонично трептене фазата може да се изрази
ч р е з/и Г :
А-= 4,sin(© 0f + Ф0) = v40sin 2 л + ф0 \
= А0 sin(27t/? +Фо)■ (Ю-1-3)
\ Т
)
Нека разгледаме една материална точка, която извършва хармонични
трептения около равновесното си положение х = 0. В произволен момент
от време отместването на точката от това положение е
x(0 = A sinoV(10.1.4)
(Допускаме, че началната фаза е фо = 0.)
Скоростта на точката ще определим, като намерим производната
на х по /:

dx
. (
(10.1.5)
v(0 = --= Д)СО0cos со0Г = v0COS0у = v0sin w0' + dt
4
LJ
където v0 = ^ cOq е максималната стойност, т.е. амплитудата на скоростта.
Формулата (10.1.5) показва, че скоростта на точката, както и отместване-

186

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

то, се изменя с времето по хармоничен закон, но фазата йсе различава с
7i/2 от тази на отместването. В момента, когато отместването х е равно на
нула, скоростта на точката е максимална.
Тъй като скоростта на точката при хармоничните трептения се изменя
непрекъснато, движението е променливо. За да определим ускорението,
трябва да диференцираме скоростта по времето:

а(1) = — = — (Aqсо0cosсо00 = -^qCOq s'n ° V = ао sin(co0/ + п), (10.1.6)
dt dt
където а0 = Лц(£>0 е максималната стойност (амплитудата) на ускорението.
Очевидно е, че ускорението също се изменя по хармоничен закон. Негова­
та фаза се различава от тази на отместването с п, а от тази на скоростта с
Ti/2 (фиг. 10.1). Ако във формула (10.1.6) заменим ^ sin со0г = лг(/), ще по­
лучим още един израз за ускорението:
a(t) = —cOqJc(/),

(10.1.7)

от който непосредствено следва, че при хармоничното трептене ускорени­
ето на точката е правопропорционално на отместването йот равновесното
положение, но има противоположен знак. На фиг. 10.1 са показани графично измененията на отместването х, скоростта v и ускорението а с тече­
ние на времето. Вижда се, че във всеки момент от време ускорението и
отместването са противоположни по знак.

(Периодично могат да се изменя i не само отместването, скорос тта и
ускорението на дадено тяло, но и редица други физични величини: сила,
напрежение, големина на електричен ток и т.н.)
Хармоничните трептения на едно тяло (точка) могат да се илюстрират
нагледно със следния прост пример. Ще разгледаме равномерното движе­
ние на топче с ъглова скорост соо по окр: kik ct с радиус А, (фиг. 10.2).
Нека в началния момент от време t = 0 ра.шус-ьекторът на топчето сключ­
ва ъгъл ф0= Ф(0) с хоризонталната ос. След известно време топчето ще
заеме ново положение, като изминатият от него път е S - Л0Ц>- Л0(Оо/, а

Трептения и вълни

187

радиус-векторът му ще сключва съответно нов ъгъл Ф (0 фо+соо/ с хоризонталната ос. Проекциите на радиус-вектора на топчето в началния
момент / = 0 и в крайния мемент t върху вертикалната ос О Х са

х(0) = \ q o s ( 9 0 - ф0) = Aqsin cp0,

x(t) = Aq cos (90 - (со0Г+ ф0)) = A sin(oV + Ф0)Вижда се, че проекцията на радиус-вектора на топчето в този случай
описва едно хармонично- трептене с начална фаза ф0, амплитуда А0 и кръ­
гова честота со0. Линейната скорост на постъпателното движение на топ­
чето е v(/) =
= ^ /d t). Проекцията на тази скорост върху оста ОХ е
v, = A^(o0 cos((o0t + ф0),

(1 0 .1 .8 )

което очевидно съвпада с израза (10.1.5) за скоростта на хармонично треп­
тяща материална точка. Следователно проекцията на линейната скорост
на топчето също се изменя по хармоничен закон с времето и съответства
на скоростта при хармоничните трептения. От фиг. 10.2 се вижда, че при
пълна обиколка на топчето по окръжността проекцията на неговия радиусвектор описва едно хармонично трептене, чиято фаза се изменя в граници
от 0 до 271. Тъй като с течение на времето се изменя както отместването
;с(/) от равновесното положение дг = 0, така и фазата Ф(0> чрез фигурата
лесно може да се обясни понятието фаза на трептене. Фазата Ф(/) в произ­
волен момент от време се определя от ъгъла, който сключва радиусвекторът с големина А0 с хоризонталната ос. При едно пълно трептене радиус-векторът А0 на топчето се завърта на ъгъл, равен на 2п радиана. За
четвърт период от време (774) фазата се изменя с ъгъл, равен на я/2 радиа­
на, а за половин период (772) - с п радиана и т.н.

10.2. Динамика на хармоничните трептения
Както видяхме, всяко хармонично трептене се извършва с ускорение,
което показва, че върху трептящото тяло трябва да действат сили.

188

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

Нека една материална точка с маса т извършва хармонични трепте­
ния. Съгласно втория принцип на Нютон действащата върху точката сила е

F = т а = -т<л\х ,

(10.2.1)

където ускорението а сме заместили с израза (10.1.7). Тъй като масата на
точката и кръговата й честота са постоянни величини, те могат да бъдат
обединени в коефициент на пропорционалност к - т co^ . Тогава големина­
та на силата F се определя от следното равенство:
F = -kx.
(10.2.2)
Посоките на силата и ускорението съвпадат, а посоката на ускорението
съгласно (10.1.7) е противоположна на посоката на отместването. Следо­
вателно, за да извършва дадена материална точка (тяло) хармонични треп­
тения, върху нея трябва да действа сила, която винаги е насочена към рав­
новесното положение и по големина е правопропорционална на
отместването от това положение. Такива сили, които винаги се стремят да
върнат тялото в неговото равновесно положение, се наричат възвръщащи.
Ще разгледаме най-простите хармонични трептения, които се извър­
шват от пружинното, математичното и физичното махало.
Пружинното махало представлява топче с маса т, което е окачено на
пружина (фиг. 10.3). В равновесното положение на пружинното махало
силата на тежестта му G се уравновесява от сила F , възникваща при раз­
тягане на пружината. Ако външна сила изведе топчето от равновесното
положение (* = 0) и го отмести
на някакво разстояние х ф 0,
махалото започва да извършва
хармонични
трептения
под
действие на равнодействаща
сила на G и F, която се стре­
'O'
ми да го върне отново в равно­
весното положение. Тази сила
в случая изпълнява ролята на
възвръщаща сила и се нарича
Фиг. 10.3
еластична сила, т.е.
F^ = -кх ,
(10.2.3)
а к е коефициентът на еластичност. Този коефициент може да се опре­
дели чрез измерване големината на приложената външна сила F и отмест­
ването х, което тя предизвиква, а чрез него се определят кръговата честота
и периодът на хармоничното трептене:

Трептения и вълни

к = -- = /исод; со0
х

189

(10.2.4)

_
2п _ \т
Т = — = 2 n J— .
СОл

Математичното махало представлява ма­
териална точка с маса ш, окачена на тънка неч^
разтеглива нишка с дължина / (фиг. 10.4). В
равновесното положение силата на тежестта,
действаща върху материалната точка, се уравновесява от силата на реакция на нишката.
G = mg
При отклоняване на махалото на малък ъгъл а
от равновесното
положение двете сили
фиг ю.4
сключват ъгъл помежду си и не се уравновесяват. В този случай връщащата сила представлява проекция на силата на
тежестта върху направлението на движение на точката:
F - mg cos(90 - a ) = mg sin a .
При малък ъгъл a s i n a = x / / * a . Отчитайки факта, че посоките на връ­
щащата сила и отместването са противоположни, получаваме

F = -mg— = -кх\ к =
I
I
(10.2.5)
От горните изрази следва, че кръговата честота и периодът не зависят от
масата на трептящата точка, а само от дължината на нишката. Ако нишка­
та на махалото е неразтеглива (/ = const), коефициентът к и честотата сооса
постоянни величини. В такъв случай, за да бъдат трептенията на матема­
тичното махало хармонични, към малкия ъгъл на
отклонение а трябва да се добави и условието за
постоянна дължина на нишката.
Физично махало се нарича всяко твърдо тяло,
извършващо хармонични трептения около не­
подвижна ос, която е разположена над центъра на
тежестта му (фиг. 10.5). Нека видим коя е силата,
под чието действие физичното махало извършва
хармонични трептения. Означаваме с /о разстояни­
ето между центъра на тежестта и оста на въртене.
Ако отклоним махалото на малък ъгъл а от равно­
весното му положение, се появява компонента на
силата на тежестта, която се стреми да го върне

190

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

отново в това положение. Махалото започва да се люлее, като по време на
люлеенията то извършва част от въртеливо движение в права и обрагна
посока. Моментът на действащата сила в този случай е
М = -mglQsin a = -mgl0a,
( 10.2 .6)
където F = mg sin а е компонентата на силата на тежестта, а /0 - нейното
рамо (при малки отклонения на махалото от равновесното положение от­
ново приемаме, че sina » а). Знакът
показва, че действието на момента
е насочено в посока на намаляване отклонението от равновесното поло­
жение. Получената зависимост (10.2.6) може да се разглежда като динамично уравнение на хармоничните трептения на физичното махало. Из­
ползвайки аналогията с математичното махало, произведението m gl о мо­
жем да означим с коефициент
: mglQ= к} (трите величини, които участ­
ват в този коефициент, са постоянни в разглеждания случай). Ъгълът a
съответства на отклонението * на махалото от равновесното му положе­
ние. Тогава
М = - к\а.
Използвайки формулите (10.2.4), за честотата и периода получаваме
(10.2.7)
където масата т е заменена с инерчния момент / на махалото, който е
нейна еквивалентна величина при въртеливото движение. Ако означим
величината 11 ml0 = / , формулата за периода придобива вида
( 10 .2 .8 )

Величината /пр се нарича приведена или редуцирана дължина на физично­
т о махало. Тя се определя от отношението на инерчния момент на маха­
лото към произведението от масата и разстоянието между центъра на те­
жестта му и оста на въртене.
Физичното махало може да се използва за определяне на земното ус­
корение. Ако е известна приведената му дължина, чрез измерване на него­
вия период лесно се определя g:

В разгледаните по-горе примери хармоничните трептения възникват в
резултат на еднократно отклонение на трептящото тяло от началното със­
тояние на равновесие и в отсъствие на външни сили. Такива трептения се
наричат свободни. Свободните хармонични трептения се съпътстват от
периодични превръщания на кинетичната енергия на трептящите тела в
потенциална енергия на взаимодействие и обратно. Нека разгледаме тези

191

Трептения и вълни

енергетични превръщания при пружинното махало. Допускаме, че топчето
и пружината са една затворена система, в която действа еластичната сила
с големина F. От дефиниционното равенство на еластичната сила следва,
че тя е консервативна сила (нейната работа по затворен контур е равна на
нула). За много малък интервал от време dt, на който съответства отмест­
ване dx, изменението на потенциалната енергия на пружинното махало
съгласно (3.3.5) е

dU - -dA - -Fdx = kxdx .
(10.2.9)
Изменението на потенциалната енергия за краен интервал от време ще по­
лучим чрез интегриране на (10.2.9) в граници от 0 до х:
U =)kxdx = — .
0
2
Замествайки отместването х с израза (10.1.4), получаваме
v

= Н

2 s in 2 ° У

2

_ w c°o A 2 s in 2 ° У

(10.2.10)

(10211)

2

Кинетичната енергия на махалото в произволен момент от време / ще
получим, като заместим израза за скоростта (10.1.5) във формулата

£

_ M V _ /720)qA^ COS (Oq/ _ Н
k~~Y~
2

COS (Dq/

(1 0 2 12)

2
Пълната енергия на пружинното махало е сума от неговата кинетична и
потенциална енергия:

E = Ek +U = mco°^° (sin2 со0/ +cos2 со0/)=
.
(10.2.13)
2
2
Получената формула показва, че пълната енергия е пропорционална на
квадрата на амплитудата на трептенията.
Превръщанията на енергията при трептенията на пружинното махало
се извършват в съответствие със закона за запазване на механичната енер­
гия в консервативна система. При движението на махалото надолу или
нагоре спрямо равновесното положение неговата потенциална енергия се
увеличава, а кинетичната - намалява. В точката с максимално отместване
х потенциалната му енергия има максимална стойност и е равна на пълна­
та енергия, а кинетичната енергия е равна на нула. Когато махалото пре­
минава през равновесното положение (х = 0), неговата потенциална енер­
гия става равна на нула, а кинетичната придобива максимална стойност,
равна на пълната енергия.
На фиг. 10.6 са показани измененията на потенциалната и кинетичната
енергия с течение на времето съгласно изразите (10.2.11) и (10.2.12).

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

192

10.3. Суперпозиция на хармонични трептения
Във всекидневието често се наблюдават случаи, когато едно тяло
участва едновременно в няколко хармонични трептения. В този случай
движението на тялото ще бъде по-сложно, но като всяко сложно движение
то може да се сведе до сума от по-прости, като се приложи принципът на
суперпозицията. Резултантното отместване на тялото във всеки момент t
ще представлява векторна сума от отделните отмествания, съответстващи
на хармоничните трептения, в които то участва.
10.3.1. Събиране на две хармонични трептения в едно направление
За събиране на хармонични трепте­
ния се използва т.нар. метод на вектор­
ната диаграма. При този метод всяко
трептене се представя графично чрез
радиус-вектор с големина Ао, равна на
амплитудата, и ъгъл фо с оста ОХ, равен
на началната фаза на трептенето. Ако
х
този вектор се завърти с постоянна ъг­
лова скорост С0о около точката О, него­
вата проекция върху оста ОХ ще се из­
меня в граници от +Ао до -Ао (фиг. 10.7).
Точката С, в която се проектира върхът
Фиг. 10.7
на вектора, ще извършва хармонично
трептене около точката О, като отмест­
ването йх от равновесното положение х = 0 в кой да е момент от време е
х(t) = А0 cos(ip0 +(o0t).
(10.3.1)
В началния момент / = 0 отместването на края на радиус-вектора е
x0 =v40COS(Po*

(10.3.2)

За време t радиус-векторът се завърта на ъгъл ф = (£>ot и фазата на
трептенето става Ф(/)=фо+а>о^
(Аналогично
за
проекцията
Я 0 = A sin(9 o +0V )-)

върху

оста

OY

ще

получим

193

Трептения и вълни

Нека една трептяща материална точка участва в две хармонични треп­
тения с еднакви кръгови честоти и
различни амплитуди, които се из­
вършват в едно направление (по
оста ОХ):
*,(/) = Л, co sO ,(0,

x2(t) = А2cosO2( 0 .
Построяваме
графично
двете
трептения (фиг. 10.8) и радиусвекторът с големина А, съответст­
ващ на тяхната векторна сума (диа­
гонал на паралелограма, построен
върху А | и А2). Означаваме с Ф (0
ъгъла, който резултантната амп­
литуда А сключва с оста ОХ.
Нейната проекция върху О Х е
*=
+ х2 = y4cosO(0-

(10.3.3)

Големината А на резултантния радиус-вектор можем да определим,
като приложим теоремата на Карно за триъгълника OCD:

А = tJ a 2 + А\ + 2 А{А2cos ДФ,

(10.3.4)

където ДФ = Ф 2 - Ф| е фазовата разлика между двете хармонични
трептения. Тъй като векторите с големини А\ и А2 се въртят с една и съща
ъглова скорост (Оо, разликата във фазите ДФ се запазва постоянна с
времето. Фазата на резултантното трептене, получено при сумирането на
X\(t) и х2(/), определяме от правоъгълния триъгълник ОСВ:
ч У У\+ У-}
А, з т Ф , +Aj бш Ф ,
tg(&(t) = — = —— — = — --- ---- г--- Т2-,
х
х,+ х2 Ахсоб Ф , + А2с о з Ф 2

у
Ф(/) = arctg— ,

(10.3.5)

където
s i n Ф , и /12 5 т Ф , са проекциите на А\ и А2 върху оста OY.
Замествайки изразите (10.3.4) и (10.3.5) в (10.3.3), получаваме трептенето,
което е резултат от събирането на двете трептения с еднакви честоти и
различни амплитуди. Очевидно е, че резултантното движение е също
хармонично трептене в същото направление, със същата кръгова честота
со0 и с амплитуда А, която зависи от амплитудите и фазите на двете
трептения. Когато фазовата разлика е ДФ = 2кп и собДФ = 1, амплитудата
е А = А\+ А2, а ако ДФ =(2 к + 1)л и cos ДФ =-1, А = А\- Л2. При равни
амплитуди на двете трептения (А] = А2 = Ао) резултантната амплитуда се
изменя в граници от 2Ао до 0.
Ако двете трептения са с близки честоти, но се извършват в едно
направление и имат еднакви амплитуди, резултантното трептене има посложен характер.

194

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

Нека трептенията имат близки честоти С0 | и со2, като со2=со 1+Асо (Асо е
много малка величина, т.е. С0]^С02). Допускаме, че началните им фази са
равни на нула (cp0i = Ф02 = 0). Тогава
*,(/) = А0cos со,/,

х2(г) =

c o s c o 2/

(10.3.6)

.

Резултантното трептене ще бъде от вида:
л:(/) = *,(/) + x2(t) = 2/^ cos

Асо/

cos

(10.3.7)

Тъй като по условие Асо« (со, +со2)/2, функцията cos(Aco//2) се изменя
слабо с времето в сравнение с функцията cos(coi+ со2)//2. По тези причини
изразът |2Л0cos(Aco//2)( можем да разглеждаме като променлива амплиту­
да А на резултантното движение. В такъв случай

x(t) = Acoscot, (10.3.8)
където сме положили
со,=со2=со. Графиката на
такова резултантно дви­
жение е показана на фиг.
10.9. Процесът на перио­
дично изменение на ам­
плитудата с времето се
нарича биене. Времето
между два последовател­
ни максимума на ампли­
тудата е периодът на

биене:
2п

(10.3.9)
Асо
От израза (10.3.9) лесно може да се определи и честотата на биене при
този процес:
r
1 _ Асо _ со2 - со, _ r
г
(10.3.10)
J6 ~ ~ ~ ~ ~ „
“ J2 J I •
271
27Т
2л = Асо Т,б> Тб =

Явлението биене се използва за сравняване честотите на различни източници
на трептения в звуковата техника (камертони, тонгенератори и др.).
10.3.2. Събиране на две взаимноперпендикулярни
хармонични трептения
Нека допуснем, че една материална точка участва в две взаимнопер­
пендикулярни хармонични трептения с еднаква кръгова честота со0, из­
вършващи се по осите ОХ и OY. Траекторията на резултантното движение
на точката ще бъде някаква крива линия, зависеща от фазовата разлика на

195

Трептения и вълни

двете трептения. За да определим вида на траекторията, трябва да изклю­
чим времето t от уравненията на двете трептения.
х = 4)С08(©о* + Фо1)»

П)

у = В0 cos(co0/ + Ф02),
където А0 и В0 са амплитудите, а ф01 и ф02 - началните фази на трептени­
ята. Полагаме (со0/ + Ф0 1 )~ Ф и ^Ф = Ф02 ~ Ф01 • Тогава
— = cosO; — = cos(0 + Аф) = соб Ф соб Аф - s in O s in Аф . (10.3.12)
В0
г---Л
Замествайки cosO = * / A и smO = yj\-x2/ 4 в (10.3.12) и повдигаики на
квадрат, получаваме

(

(
а
у х
—----- созА ф
У

f

У_

Л2

VBo j

2ху

соб Аф

+

1 --- -Бш Дф
А)

V

( х \2

.2 \
sin2 Аф
cos2 Аф = 1-

А)во

2ху

'у ?

соб Аф

= sin2 Аф

+

(10.3.13)

Л)В0
v 4 ))
\В0 J
Полученият израз (10.3.13) представлява уравнение на елипса, чиято главна ос сключва ъгъл с оста ОХ. Видът на елипсата се изменя в зависимост
от амплитудите А0, В0 и фазовата разлика Аф.
Ще разгледаме няколко частни случая:
Фазовата разлика е Аф = 0; в този случай уравнението (10.3.13) се
трансформира в права (правата минава през I и III квадрант).
(

—

\2

У
Во

во
= 0 -» у = — х.

(10.3.14)

Фазовата разлика е Аф = тс/2 ; осите на елипсата съвпадат с коор­

динатните оси ОХ и OY:

X

= 1.

(10.3.15)

\А /
Ако амплитудите на двете трептения са еднакви (.A0- B 0- R ) елипсата се
трансформира в окръжност.
- Фазовата разлика е Аф = я; уравнението отново се трансформира в
права, но с обратен наклон (правата минава през II и IV квадрант):

196

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

У = -- —А .
(10.3.16)
А)
При изменение на фазовата разлика от п до 2п случаите се повтарят. На
фиг. 10.10 са показани трансформациите на елипсата в зависимост от фа­
зовата разлика Аф при еднакви честоти на двете взаимноперпендикулярни

трептения (coi=co2)- Ако честотите на трептенията не са еднакви, траекто­
рията на резултантното движение се трансформира в по-сложни фигури,
които се наричат фигури на Лисажу.

10.4. Затихващи и принудени трептения. Резонанс
Когато разглеждахме трептенията на пружинното махало казахме, че
превръщанията на енергията се извършват в съответствие със закона за за­
пазване на механичната енергия. Това е възможно само при предположение,
че системата е затворена и консервативна. Свободните трептения в този
случай се наричат незатихващи трептения. Такива трептения са възможни
само в системи, където се пренебрегват силите на триене и съпротивление.
Следователно незатихващите трептения са идеализирани. Те се характери­
зират с амплитуда, която се запазва постоянна с времето (фиг. 10.1 \
а), и мо­
гат да продължават неограничено дълго време. Свободните трептения, кои­

то се извършват в реалните системи, се наричат затихващи трептения. По­
ради действащите сили на триене амплитудата на тези трептения с течение
на времето намалява (фиг. 10.116) и те постепенно затихват.

Трептения и вълни

197

Ще приложим втория принцип на Нютон към две трептящи системи,
извършващи съответно незатихващи и затихващи трептения:

т ^ - = Y F ,.
(Ю.4.1)
dt 2 V
Дясната част на уравнението (10.4.1) представлява сума от всички сили,
действащи върху трептящото тяло. В първия случай - незатихващи
трептения, върху тялото действа само еластичната сила, т.е.
у

И 2х

к

(10.4.2)
2 JL +JLx = o.
dl
df
m
Полученият израз (10.4.2) представлява диференциал}ю уравнение на
незатихващо хармонично трептене. Негови решения могат да бъдат
функциите sin или cos, чрез които се изразява всяко хармонично трептене:
х = А0 sin(co0/ + ф0) ,

х = А0 cos(co0r + ф0) .
Това може да се провери непосредствено чрез две последователни
диференцирания на всеки от горните два израза. Нека х = A0sin(co0t + ф0) е
решение на уравнението (10.4.2). Тогава
^ 2
— = А0со0 cos(co0/ + фо); — - = -А0со\sin(coQt +ф0).
at
at
Замествайки х и d 2x/dt2 в (10.4.2), получаваме
к

- Д)0 )о sin(co0/ + фо) + — Aqsin(co0/ + Ф0) = 0
т

Амплитудата на трептенето Ао и неговата начална фаза фо зависят от началните
условия - разстоянието, на което сме отклонили тялото от равновесното му
положение, и момента от време, в който сме го пуснали. Големината на
амплитудата може да бъде различна в зависимост от енергията, която сме
придали на тялото, извеждайки го от състоянието на равновесие х = 0 (т.е. на
покой). В отсъствие на сили на съпротивление в средата, в която трепти тялото,
както и на външни въздействия върху него, енергията и амплитудата му ще се
запазват постоянни с времето ( £ = (1/2)Ау^ = const). Такива трептения се
наричат собствени трептения. Честотата соо на трептящото тяло зависи от
свойствата на самата система - от коефициента на еластичност к и от масата т
на тялото. Нарича се собствена честота на незатихващо трептене.
Нека сега допуснем, че върху тялото, извършващо хармонично треп­
тене, действат две сили: еластична сила
пропорционална на отмества­
нето му от равновесното положение, и сила на триене F2, пропорционална
на неговата скорост v, а именно:

198

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

dx
(10.4.3)
F,=-kx\ F7 - -rv = —r — .
1
2
dt
Знакът
в силата на триене показва, че нейната посока е винаги противоположна на посоката на скоростга на движение. Коефициентът г е пос­
тоянна величина, характеризираща съпротивлението на средата, и се на­
рича коефициент на триене. Тогава прилагайки (10.4.1), получаваме
d 2x
,
d 2x r dx kx
.
(10.4.4)
m — —= -kx - rv; — r +----+— = 0.
dt
dt2 m dt m
Изразът (10.4.4) е диференциалното уравнение на затихващо трептене.
Заместваме к / т = а>2
0 , като со0 е собствената честота на трептящото тяло,
т.е. тази честота, която то би имало в отсъствие на силите на съпротивле­
ние. Отношението г/т заместваме с 2Р, където величината (3 се нарича
коефициент на затихване и характеризира бързината на затихване на
трептенията в разглежданата система. В такъв случай уравнението (10.4.4)
придобива следния вид:
^ ± +2р— +а>1х = 0.
(10.4.5)
dt2
dt
Решение на горното уравнение може да бъде всяка функция от вида
х = А0е~р' sin со/,
де

(10.4.6)

= Аае р/ C O S O ) t,

където
со = V » ^ - P 2

(Ю.4.7)

се нарича честота на затихващите трептения. (Изразът за со се получа­
ва след двукратно диференциране на една от функциите (10.4.6) и замест­
ване в (10.4.5).) Графиката на функциите (10.4.6) е показана на
фиг. 10.116. Вижда се, че ако на трептящото тяло освен еластична сила
действа и сила на триене, неговото движение е трептеливо, но не и хармо­
нично. Величините, които характеризират затихващите трептения, се из­
менят непрекъснато — те не се повтарят през равни интервали, както при
незатихващите трептения. Затихващите трептения не са периодични дви­
жения. Честотата на трептене со в този случай зависи не само от k и т, а и
от коефициента на затихване р. Коефициентът на затихване Р се определя
от равенството
в=—
(Ю.4.8)
2т
и характеризира скоростта, с която намалява амплитудата с течение на
времето. От формула (10.4.7) следва, че честотата со на затихващите треп­
тения е по-малка от собствената честота соо на незатихващите. Това е на­

Трептения и вълни

199

пълно логично, тъй като наличието на сили на съпротивление в системата
намалява скоростта на движение на трептящото тяло. Вследствие на това
периодът Т се увеличава и предизвиква намаляване на кръговата честота
со. Ако сравним периодите на затихващите и незатихващите трептения, ще
забележим, че периодът на затихващите трептения е по-голям от този на
незатихващите:
2п

2п

V®o - p 2 >со»'
Характерна особеност на затихващите трептения е постепенното на­
маляване на амплитудата им с времето:

А - Л0(ГР'.
В момента t = 0 тя има максимална стойност Д пах = А0, а след време t = 1Т,
2 Т, 3 Т и т.н. експоненциално намалява: А\=Аое~^т; А2=А0е~2^т; А3=А0е зр/.
Отношението на две съседни амплитуди е постоянна величина:

А\

А2

Натуралният логаритъм на горното отношение се нарича логаритмичен
декремент на затихването и се означава с 8:
5 = 1пер7 = р Г .

(10.4.9)

Ако за една система, извършваща затихващи трептения, са известни
величините 8 и Т, лесно може да се пресметне коефициентът на затихване
(3, а чрез равенството (10.4.8) и коефициентът на триене г.
От всичко казано дотук е ясно, че когато в една трептяща система
действат силите на триене, трептенията, които се извършват в нея, след
известно време се преустановяват. По тези причини те се наричат затих­
ващи. Ако в системата се внесе енергия отвън, която да компенсира загу­
бите, дължащи се на силите на триене, съпротивление и др., трептенията
могат да се превърнат от затихващи в незатихващи, наречени принудени
трептения. Принудените трептения се предизвикват от действието на
външни периодичнопроменливи сили върху системата и се наричат още
несвободни трептения. Нека разгледаме една система, в която действа
външна сила, изменяща се с времето по периодичен закон:
F (t ) = F0c o s cof,

F(t) = F0sinco/.
Силата F(t), определена от горните равенства, се нарича принуждаваща
сила. Този случай е много важен за практиката, затова ще се спрем на него
по-подробно. Съгласно втория принцип на Нютон получаваме

200

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

dt
d 2x

r dx

k

_ F0

(10.4.10)
dt
m dt m
m
Изразът
(10.4.10)
представлява диференциалното уравнение
на
принудените трептения. Ако заместим отношенията г/т и к/т с равните
им и положим FJm
то ще придобие вида
— — + --------+ — x = — c o s c o / .

(10.4.11)
където соо е честотата на собствените трептения на тялото (когато в
системата не действат сили на съпротивление), а Р - коефициентът на
затихване (при наличие на съпротивителни сили в системата). Честотата со
е кръговата честота на периодичната сила F(t), която ще извършва някаква
работа върху тялото. Ако посоката на тази сила е противоположна на
посоката на движение на тялото, тя ще извършва отрицателна работа, или
ще затруднява движението на тялото; ако посоката й съвпада с посоката
на движение на тялото, тя ще извършва положителна работа, следователно
ще ускорява неговото движение. Това предизвиква трептения на тялото,
които ще се извършват със същата честота со, с която се изменя и
външната сила. Тази честота се нарича честота на принудените
трептения на тялото.
До същия извод може да се стигне и ако се анализира диференциално­
то уравнение (10.4.10). То трябва да е изпълнено във всеки момент от вре­
ме, ето защо, ако силата F се изменя по периодичен закон, едновременно с
нея трябва да се изменят и величините отместване, скорост и ускорение на
трептящото тяло; следователно честотата на изменение на тези величини
трябва да съвпада с честотата на изменение на външната действаща сила.
Фазите на тези величини обаче могат да се различават от фазата на вън­
шната сила. В конкретния случай, който разглеждаме, резултантната рабо­
та на силата трябва да бъде положителна и съответно равна на работата на
силата на триене, за да се компенсират загубите на енергия, дължащи се
на силите на триене. Това може да бъде изпълнено при определена разли­
ка във фазите на външната сила и скоростта на движение. Допускаме, че
разликата между фазите на силата и отместването на трептящото тяло е
равна на ср. В такъв случай
(10.4.12)
х = A cos(co/ +ср).
Тогава анапогично на (10.1.5) и (10.1.6) фазите на скоростта и ускорението
ще се различават с я/2 и п:

201

Трептения и вълни

dx

/
= Awcos

_\
п

=

СО/ + Ф + —

?

It

у4со2 c o s ( co/ + ф + л).

(10.4.13)

dr

Интересно е да се определят амплитудата А и фазата ф на принудените
трептения, съответстващи на израза (10.4.12). Замествайки (10.4.12) и
(10.4.13) в уравнение (10.4.11) и извършвайки редица преобразувания,
получаваме

/о

А=
- ^ (© 0

>2со2
- со2)2 + 4р2

. tgф =

2N
со0 -

(10.4.14)
со

От (10.4.14) се вижда, че амплитудата на принудените трептения зависи от
амплитудата и честотата на външната сила, от коефициента на затихване,
собствената честота соо на трептенето и от масата на трептящото тяло
(fo = F 0/m ). При постоянни F 0, т и Р амплитудата А зависи от
съотношението между кръговата честота со на външната сила и
собствената честота со0 на свободните незатихващи трептения.
Зависимостта на амплитудата А от со
при различни коефициенти на затихване
Р е показана на фиг. 10.12.
Ще разгледаме няколко частни слу­
чая на формулата за амплитудата на при­
нудените трептения:
- Ако кръговата честота е со=0:

■
= const

А = Л0 =
/НСО,

Върху тялото действа постоянна сила
F = F0, к о я т о го отмества от равновесно­
то му положение на разстояние Aq. Постоянните сили не предизвикват
трептения. Ако в новото си равновесно положение тялото получи еднок­
ратен тласък, то ще започне да извършва хармонични трептения със собс­
твена честота соо.
- При пренебрежимо малък коефициент на затихване (Р ~ 0) амп­
литудата на принудените трептения расте с увеличаването на со. Когато
со = соо, знаменателят на амплитудата става равен на нула и амплитудата
А—>оо . При по-нататъшно увеличаване на со амплитудата започва да нама­
лява и при со—>оо се стреми към нула. Явлението, при което амплитудата
А нараства силно при честота на принудените трептения со-»со0, се нарича

резонанс.
- При коефициент на затихване Р *0 амплитудата А на принудени­
те трептения зависи и от р. За да се определи условието за резонанс в този
случай, трябва да се намери минимумът на знаменателя във формулата за

202

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

амплитудата (10.4.14). За целта е необходимо изразът под корена да се
диференцира по со и да се приравни на нула (условие за намиране на ми­
нимум на функция). По такъв начин се получава стойността на честотата
со, при която настъпва явлението резонанс:
со = С0рез = д/со“ - 2 Р 2 .

(1 0 .4 .1 5 )

Тази честота се нарича резоиансна честота, а стойността на амплитудата,
получена след заместване на (10.4.15) в (10.4.14) - резонансна амплитуда:
---М = = .

(10.4.16)

2РК -Р2
Очевидно резонансната амплитуда зависи силно от коефициента на затих­
ване, което се вижда и от графиката на фиг. 10.12. Кривите, изразяващи
зависимостта на А от со, се наричат резонансни криви. Формата на резонансните криви зависи от големината на коефициента на затихване. С уве­
личаването на Р кривите стават по-полегати, с по-ниски максимуми на ам­
плитудата, съответстващи на со = сорез. Резонансните явления се проявяват
при всички принудени трептения, които намират широко приложение в
различни области на техниката. В акустиката резонансът се използва за
анализ и усилване на звуковите трептения. В радиотехниката той намира
приложение във всички радиопредаватели и радиоприемници. С явление­
то резонанс се обясняват и много процеси от ядрената физика.

3.
4.

Въпроси и задачи
Посочете примери на грептеливи движения от всекидневния живот. Какви общи приз­
наци имат тези движения?
Ще бъде ли периодът на математичното махало един и същ в различни точки от зем­
ната повърхност?
От какво зависи енергията на хармоничните трептения?
Колко вида свободни трептения познавате? Какви са трептенията в реалните системи?

5.
6.

Какво представлява явлението резонанс?
По какво се различават периодите на пружинното и математичното махало? Напишете

1.
2.

7.

8.
9.

формулите за тях.
Материална точка извършва хармонични трептения с период Т = 2 s. Амплитудата на
трептенията е Aq = 10 cm. Определете отместването, скоростта и ускорението на точка­
та след време t = 0.2 s от началото на трептенията. Началото на трептенията съвпада с
равновесното положение.
Средата на трептяща струна има максимално ускорение атлх= 2,02.10 m/s . Определе­
те честотата на трептенията, ако амплитудата е А = 2 mm.
Математично махало с период Т - 2 s има дължини 1\= 0,997 m и /2 = 0,995 m в две
места с различни географски ширини. Определете съответните земни ускорения на те­

зи две ширини.
10. Пружинно махало извършва хармонични трептения с амплитуда на отместването
А = 0,04 т. При отместване х = 0,03 m действащата еластична сила е F = 9.10 N. Оп­
ределете потенциалната и кинетичната енергия, съответстващи на даденото отмества­
не, и пълната енергия на махалото.

Трептения и вълни

203

Глава 11

ВЪЛНОВИ ПРОЦЕСИ
11Л. Вълнов процес в еластична среда. Видове вълни
В гл. 10 разгледахме хармоничните трептения, които извършва дадено
тяло. Определихме кинематичните величини, характеризиращи тези треп­
тения, както и силите, под действие на които те възникват, но не се инте­
ресувахме от средата, в която се извършват.
Ако едно трептящо тяло (камертон, пружина, махало и т.н.) се намира
в дадена точка на непрекъсната еластична среда, то привежда всички до­
пиращи се до него частици от средата в трептеливо движение. Защо става
така? Дадена среда се нарича еластична, ако между изграждащите я час­
тици съществуват сили на взаимодействие, които оказват съпротивление
срещу всякакъв вид деформации. При трептенето тялото предизвиква от­
местване на най-близките до него частици от равновесните им положения,
вследствие на което в съседните на тялото области се появяват периодич­
ни деформации (свиване и разтягане). Като резултат от това в средата въз­
никват еластични сили, стремящи се да върнат деформираните области
към първоначалното състояние на равновесие. Поради взаимодействието
между отделните частици еластичните деформации се предават от съ­
седните на трептящото тяло области към други, по-отдалечени от него. По
такъв начин периодичните деформации, предизвикани първоначално в
мястото, където се намира трептящото тяло, с течение на времето се
разпространяват и обхващат цялата среда. Постепенно всички частици от
средата започват да трептят около равновесните си положения, повтаряй­
ки с известно закъснение хармоничните трептения на тялото, намиращо се
в определена точка на средата. Това тяло изпълнява ролята на източник
или център на разпространяващия се вълнов процес, който се нарича още
вълна. Колкото по-далеч от източника се намира дадена частица, толкова
по-късно тя ще започне да трепти. В такъв случай фазите на трептене на
източника и на частиците от средата ще бъдат различни. При предполо­
жение че в средата няма загуба на енергия, амплитудите на трептенията
на източника и различните частици на средата ще се запазват постоянни с
времето. Следователно, за да наблюдаваме вълни в дадена еластична сре­
да, т.е. частиците йда започнат да трептят, е необходимо да внесем източ­
ник (трептящо тяло) в нея. Знаем, че всяко тяло, което извършва хармо­
нични трептения, притежава механична енергия. Енергията на източника
се предава от частица на частица и се разпространява в средата. Важно е
да се отбележи, че при вълновите процеси се пренася енергия, а не маса,
както изглежда на пръв поглед.

204

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

В зависимост от характера на възникващите еластични деформации
вълните биват надлъжни и напречни. При надлъжните вълни частиците на
средата трептят по направлението, в което се разпространяват вълните.
При напречните вълни частиците на средата трептят в направление, което
е перпендикулярно на това, в което се разпространяват вълните. На
фиг. 11.1. е показано разположението на частиците на средата (условно
изобразени с вертикални линии) в надлъжните (а ) и напречните (5) вълни.
В течностите и газовете е възможно да възникнат само надлъжни
вълни, които се разпространяват във вид на редуващи се области на

б
Фиг. 11.1

едностранно свиване и разтягане на средата. В твърдите тела могат да се
разпространяват както надлъжни, така и напречни вълни. Напречните въл­
ни са свързани с напречните деформации, които възникват само в
твърдите тела (плъзгане, усукване и огъване). Действащите върху течнос­
тите и газовете сили предизвикват само надлъжни деформации, които до­
веждат до сгъстяване или разреждане на частиците в тях.
В зависимост от областта, която обхващат вълните при разпростране­
нието си, те могат да бъдат обемни (обхващат целия обем на средата) и
повърхнинни (обхващат само повърхностния слой на средата). Обикновено
повърхнинните вълни възникват на повърхността на течностите (напри­
мер морските вълни), а обемните - при разпространението на звука в теч­
ностите и твърдите тела.
Нека предположим, че точков източник на вълни започва да трепти в
начален момент / = 0. За време t неговото трептене се разпространява в
различни направления на определено разстояние г,. Всички точки, които
се намират на това разстояние от източника, започват да трептят едновре­

Трептения и вълни

205

менно и лежат върху една повърхност, обгръщаща източника на трептени­
ята. Тази повърхност представлява геометричното място на точките, до
които достигат трептенията на източника в даден момент t, и се нарича
фронт на вълната. С течение на времето фронтът се изменя непрекъснато
и определя границата между две области от пространството - една, в коя­
то частиците вече са започнали да трептят, и друга, до която трептенията
на източника още не са достигнали. Всички точки, до които вълната дос­
тига за едно и също време, трептят с еднакви фази и образуват повърхнос­
ти, които се наричат вълнови повърхности. Вълновите повърхности предс­
тавляват геометричното място на точки, трептящи с еднакви фази. Те са
свързани с конкретни стойности на времето и са неподвижни. Ако един
вълнов процес се разпространява в дадена среда, след време t = 20 s от нача­
лото му (t = 0) той ще се характеризира с един вълнов фронт и безброй мно­
го вълнови повърхности (за различните моменти от време t,= 1, 2, ..., 20 s
могат да се построят съответни вълнови повърхности). Фронтът на вълната
е свързан с крайния момент от време (/ = 20 s) и определя границата, до
която е достигнала вълната в този момент. Вълновите повърхности могат
да имат различна форма в зависимост от конфигурацията на източника на
трептене и свойствата на средата. Най-простите вълни в зависимост от
формата на вълновите повърхности са плоските (вълновите повърхности
представляват множество равнини, успоредни една на друга) и сферични­
те (вълновите повърхности са концентрични сфери). Друга величина, с
която се характеризират вълновите процеси, е разстоянието между две
най-близки частици, трептящи с еднакви фази. Тази величина се нарича
дължина на вълната. Означава се с X и като всяко разстояние се измерва в
метри [т]. Дължината на вълната може да бъде дефинирана и по следния
начин: разстоянието, на което се разпространява фронтът на дадена вълна
за време, равно на един период от трептенията на източника. Ако означим
скоростта, с която се разпространява фронтът, с v, тогава

X = vT = — ,
(И .1.1)
/
където/ = \/Т е честотата на трептенията на източника. От зависимостта
(11.1.1) лесно може да се определи скоростта v на вълновия фронт: v —X/.
Тази скорост v, както и дължината на вълната X зависят от свойствата на
средата. Честотата/ на трептенията на източника зависи само от свойства­
та на източника.

11.2. Уравнение на плоска хармонична вълна. Вълново число и
фазова скорост. Диференциално вълново уравнение
При описание на един вълнов процес е необходимо да се определят
амплитудите и фазите на отделните частици от средата, които се намират
на различни разстояния от източника. Тази задача може да бъде решена,

206

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

ако е известно на какъв закон се подчиняват трептенията на източника.
Всички точки от средата, до които достига вълновият процес, повтарят
трептенията на източника с известно закъснение. Причина за това са раз­
личните разстояния, на които те се намират от източника. Техните трепте­
ния започват след различни интервали от време, които променят съответ­
но фазите им. Ще се спрем по-подробно на този въпрос.
Допускаме, че даден вълнов процес се разпространява в еднородна сре­
да в положителна посока на оста ОХ (фиг. 11.2). Означаваме с у отместване­
то на частиците на средата от равновесното им положение. За простота
предполагаме също, че разпро\= vT
страняващата се вълна се изме^
_
ня по синусов закон, а в точката
/ 1\
/ I\
/
Р
О, с координата х = 0, в начал---- /__ |
__ V______ /
t
О
\ /
\
/
\х
ния момент (/ = 0) е изпълнено
^ _^ X
\у
I
.
I
________________ ц_____ ^
у - 0, т.е. началната фаза е
Фиг. 11.2
ф0= 0. Тогава
_у(0, Г) = /4sin со/, (11.2.1)
където со = 2пIT е кръговата честота; Т - периодът; А - амплиту-дата;
Ш = Ф(/) - фазата на трептенията. Нека определим фазата на трептенията
в произволна точка Р, отстояща от О на разстояние х. Времето, за което
движението ще се предаде на точката Р, е т = x/v, където v е скоростта, с
която се предава трептенето. С други думи, трептенето в точката Р ще
изостава по фаза спрямо О с време Д/ = т, следователно

'
y(x,t) = //sinco(r- х) = /isinco t --

( 11.2 .2 )

V

Последният израз се нарича уравнение на плоска хармонична вълна.
То показва от какво и как зависи отместването на коя да е точка от среда­
та, до която е достигнал вълновият процес. Очевидно е, че отместването
у{х, t) е периодична функция не само на времето, но и на разстоянието
(координатата х). В аргумента на функцията sin (в разглеждания случай
фазата на трептенията) участва и координатата х. Знаем, че за време t = 1Т
фронтът на вълната се разпространява на разстояние X, а стойността на
аргумента се изменя с 2п (А. е разстоянието между съседни частици, които
трептят с еднакви фази). Следователно при всяко изменение над: с X фаза­
та ще се изменя с 2п:
f
(
х +Х'
(
х>\
СО t —
-со t ----- = 2п:
1
V )
1
vj
— = 2п=>к = - = — ,
(11.2.3)
v
v
X
където к е нова величина, характеризираща вълновите процеси, която се

207

Трептения и вълни

нарича вълново число. Вълновото число определя броя дължини на вълна­
та, които се нанасят на разстоянието 2п метра. В такъв случай уравнение­
то (11.2.2) може да се запише по следния начин:
y(x,t) = ^sin(co/-b:).
(11.2.4)
Ако изразим кръговата честота в горното равенство с израза со = 2п/Т,
ще получим друг вид на уравнението:
л

y(x,t) = A s m 2 n (j- ^ Фазата на вълната в този случай е Ф(/) = 2n(t/T—x/X). От всичко, каза­
но дотук, става ясно, че промяната на времето с един период Т е еквива­
лентна на промяна на координатата х с една дължина на вълната X. Следо­
вателно за време Т, през което източникът и всяка частица от средата из­
вършват едно пълно трептене, вълновият процес се предава на разстояние
S=\. Тогава скоростга на разпространение на вълната в дадената среда
ще бъде

v = - = Xf,

т

(11.2.5)

което всъщност е скоростта, с която се разпространява вълновият фронт
(вж. формула 11.1.1).
В процеса на разпространение на една вълна в дадена среда фазата се
изменя непрекъснато. Всички точки, до които достига вълновият процес,
започват последователно една след друга да трептят. Ако точките се на­
мират на еднакви разстояния х от източника О, техните фази ще бъдат
еднакви (вълната достига до тях за едно и също време). Следователно с
изменението на координатата х се изменя и фазата на трептене на отдел­
ните частици. Ако допуснем, че в уравнението (11.2.4) фазата е постоянна,
т.е. (со/ -кх) = Ф (0 = const, тогава диференцирайки Ф(/) по двете промен­
ливи, получаваме

d((x)t -кх) = 0; сodt = kdx\

=
=
.
к dt
Получената величина показва скоростта на изменение на координата­
та х с времето, т.е. скоростта с която се изменя фазата, и се нарича фазова
скорост. Скоростта на разпространение на вълновия процес (11.2.5) и фа­
зовата скорост са две еквивалентни величини. Това се доказва лесно, като
умножим числителя и знаменателя на (11.2.5) с 2п:
у = 2лХ= ш = ^

(112.6)

2пТ k
Ако разглежданият вълнов процес се разпространява в обратна посо­
ка, т.е. от точката Р към О (по посока, обратна на оста ОХ), уравнението
(11.2.4) добива вида

208

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

y(x,t ) = ^sin(co/ + kx).
В такъв случай уравнението на плоска хармонична вълна може да се
запише в следния общ вид:
(11.2.7)
y(x,t) = .4sin(cor +kx +<р0),
където знакът
се отнася за разпространение в посока ОХ, знакът „+” за
разпространение в обратна посока, а ф0 е началната фаза.
При извода на уравнението (11.2.7) предполагахме, че амплитудата Л
на трептенията в процеса на разпространение на вълната в дадената среда
не се изменя. Това условие се отнася за плоски вълни. За сферични вълни
амплитудата на трептенията се изменя обратнопропорционално на разсто­
янието, поради което уравнението (11.2.7) има вида
( 11.2 .8)
r
където г е разстоянието между източника и съответната точка, до която е
достигнало движението в даден момент от време /.
В уравнението (11.2.7) величината у зависи от две променливи: х и t.
Ако определим производната на у по времето /, при предположение че
А' = const, получаваме частната производна

Тя показва как се изменя величината у с времето t за дадена точка от
средата с координата х - const. Аналогично частната производна на у по
координатата х, при условие че t - const, е
ду
^ - Ч Д * Л = С0,ш дх
В този случай производната показва изменението на у с разстоянието

х в даден момент t = const.
Нека определим частните производни (първата и втората) на функци­
ята, определена от израза (11.2.7), по t и по х:

(11.2.9)

дх

От горните равенства (11.2.9) следва

209

Трептения и вълни

£!z_L=^!z ' =>| z =vj | z >

(н.2.10)

дг со
cbr к
dt~
дх
където отношението со/к е заместено с фазовата скорост съгласно (11.2.6).
Получената зависимост (11.2.10) се нарича диференциално вълново
уравнение на плоска вълна, която се разпространява по оста ОХ. То е по­
лучено от уравнението (11.2.7) чрез двукратно диференциране по промен­
ливите I и х. Възможно е обаче да се направи и обратното заключение: ако
една величина у = у(х, t) зависи от времето и координатите така, че нейни­
те частни производни удовлетворяват уравнението (11.2.10), тази величи­
на съответства на разпространяваща се плоска хармонична вълна по оста
О Х (такава вълна се нарича още бягаща вълна).
В общия случай, когато една плоска хармонична вълна се разпростра­
нява в тримерното пространство, уравнението (11.2.10) се записва найчесто по следния начин:
+

дх2

=

ду2

dz2

=

(11.2.11)

Уф dt2

където ^(r,t) = ^sin(co/ + £ r + ср0) е отместването на трептящите частици
на средата от равновесното им положение; г е радиус-вектор на точката, в
която разглеждаме вълната, а к — вълновото число; Д представлява опера­

торът наЛаплас :
д2

д2

д2

дх2 ду2 dz2
Източникът на трептения в една хомогенна еластична среда притежа­
ва определена енергия. В процеса на разпространение на вълната тази
енергия се пренася от една частица в пространството до друга. При елас­
тичните вълни (тези, които се разпространяват в еластична среда) тя може
да се определи просто. Ако в разглежданата среда няма загуба на енергия,
амплитудите на трептящите частици са еднакви. Извършвайки хармонично трептене около равновесното си положение, всяка частица от средата
притежава пълна механична енергия съгласно формулата (10.2.13):
Е = —т а 1А2у

(11.2.12)

2
където т е масата на частицата, со - кръговата йчестота, а А - нейната ам­
плитуда. В единица обем от средата броят на трептящите частици се опре­
деля от концентрацията
а пълната енергия ще бъде
w = —пти>2А2 = ^ р с о 2Л2,
(11.2.13)
2
2
където р = пт е плътността на средата. Горният израз определя пълната
енергия на единица обем от средата и се нарича още плътност на енерги­
ят а на вълната.

210

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

11.3. Принцип на суперпозицията. Интерференция
на вълните. Стоящи вълни
Досега разглеждахме случаи, когато в дадена среда се разпространява
само една вълна (от един източник). Ако в средата се намират два или по­
вече източника, в някои точки от пространството около тях вълните се
пресичат. Вследствие на това резултантните трептения на частиците в тези
точки се оказват геометрична сума от трептенията на отделните източни­
ци. Този експериментално установен факт се нарича принцип на суперпозицията на вълните. След точките на наслагването всяка от вълните про­
дължава разпространението си в своята посока независимо от другите.
Опитът показва, че при пресичането на две или повече вълни те не взаи­
модействат помежду си и поведението на всяка от тях е такова, каквото би
било и в отсъствие на другите (това се отнася само за среди, които не
променят свойствата си от разпространяващите се в тях вълнови процеси).
Особено явление се наблюдава, когато в дадена точка от простран­
ството се наслагват две или повече вълни, които имат постоянна фазова
разлика. Такива вълни се наричат кохерентни, а възникналото явление интерференция. В резултат на сумирането на кохерентните вълни трепте­
нията на частиците от средата в едни точки се усилват, а в други - отслаб­
ват (по-подробно на условието за кохерентност на вълните и на процеса
интерференция ще се спрем в раздел VI).
Нека определим резултата от интерференцията на две плоски хармо­
нични вълни с еднакви амплитуди и честоти, разпространяващи се в двете
противоположни посоки на оста ОХ (допускаме, че в средата, в която се
разпространяват вълните, няма загуба на енергия):

у х =^sin(co/-bc),

(113 1)

у 2 = /4sin(co/ +kx).
В точката О с координата х - 0 двете вълни предизвикват трептения с
еднаква фаза. В произволна точка Р с координата д: Ф 0 резултантното
трептене съгласно принципа на суперпозицията е
у■
=ух+y2 =2Acoskxs,\v\(dt.
(11.3.2)
Горното уравнение показва, че в резултат на интерференцията на две­
те вълни във всяка точка от средата с фиксирана координата х ще се из­
вършва хармонично трептене със същата честота со, но с друга амплитуда
,
2пх
А = 2Acoskx = 2 л с о б --- ,
X
която зависи от координатата х. В точките от средата, в които
cos27ur/A, = 0, у = 0, т.е. в тях няма трептения ( А^т = 0). В точките, където
cos27ltA. = ±1, амплитудата на трептенията е максимална, т.е. А тах = ±2А.
t

211

Трептения и вълни

Вълнов процес, който се описва с израза (11.3.2) се нарича стояща
вълна. Точките от средата, за които е изпълнено условието
\

2пх

1
= + т л— К (/77 = 0 ,1,2,...),
2
ч
се наричат възли на стоящ ата вълна, а тези, за които

(11.3.3)

(11.3.4)

———-= ±пт (/77 = 0,1,2,...)

- върхове на стоящ ата вълна. От (11.3.3) и (11.3.4) непосредствено
следва, че за всеки връх е изпълнено х = ±т\/2, а за всеки възел
х = ±{т+\/2)\/2. Лесно може да се покаже, че разстоянието между съ­
седните възли или върхове е равно на Х/2, а между всеки възел и връх А./4. Например ако искаме да определим разстоянието между два съседни
върха, ще получим
,

.Л

X

X

2

2

(/77 + 1 )--- /77— = — .

2

Положението на възлите и върховете не се изменя с времето, ето защо
вълната се нарича стояща.
Графично стоящата вълна е показана на фиг. 11.3. Точките с коордиY

Х \о 7 "1 К; ?И
Л' Р

VI

Аи

V

Х/4

! ! 1 ? \Я
\i '
Ч j
'-L
Ч Ь >
Х/2

П
п:
L >
Х/2
''А

\у

<? X

шу/

Ч

Фиг. 11.3

нати А\, Л2, Лз,... съответстват на върховете на вълната, а В ь В2, В 3,... - на
нейните възли.
Характерните особености на стоящата вълна в сравнение с бягащата
са няколко:
- В стоящата вълна амплитудите на трептене са различни в различни­
те точки (^*=Д.х)). Съществуват възли и върхове на трептенията (Л,™ и
Дпах )■В бягащата вълна всички амплитуди са еднакви (А не зависи от х);
- В областта, заключена между два съседни възела, всички точки от
средата трептят с еднаква фаза (Ф (0 = со/); при преход към съседната така­
ва област фазите на трептенията се изменят на обратните (знакът пред
sinco/ се променя съгласно (11.3.2) от „+” на
или обратно: от
на

212

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

„+”)• Следователно точките от двете страни на даден възел трептят с
противоположни фази. В бягащата вълна фазите на трептене зависят от
координатата л: на точките (Ф (0 = (соt-kx))-,
При стоящата вълна не се пренася енергия, тъй като двете наслаг­
ващи се вълни пренасят еднаква енергия в две противоположни посоки
(амплитудите на двете вълни са еднакви); при бягащата вълна се пренася
енергия в посока на разпространението й.
Стоящи вълни могат да се наблюдават при отражение на вълни от
преграда. Падащата върху дадена преграда вълна и разпространяващата се
в обратна посока отразена вълна се наслагват една върху друга, в резултат
на което се получава стояща вълна.
Към вълните и техните свойства ще се върнем още веднъж в гл. 13
„Светлина. Вълнова оптика”, тъй като светлината е електромагнитна въл­
на. Там ще разгледаме по-подробно и някои оптични явления, присъщи на
вълните.
11.4. Зв у к ов и вълни. Е ф ек т на Д оплер

Звуковите вълни представляват надлъжни вълни, които се разпрост­
раняват в материална еластична среда с определена честота, варираща в
граници от 20 Hz до 20 kHz. Те предизвикват в нашите слухови органи
специфично възприятие, наречено звук.
Източници на звук са всички трептящи тела - мембрани, струни (в то­
ва число и гласните струни на човека), вибриращи части на различни уре­
ди и други, чиито трептения са с честоти, принадлежащи на указания диа­
пазон.
Звукът като понятие може да се разглежда в два аспекта: като психофизиологично възприятие, регистрирано от нашите уши, и като физично
явление. Ще разгледаме тези два аспекта поотделно.
Като физично явление звукът се характеризира с величините честота,
интензитет и скорост.
Честотата на звуковите вълни се определя от условието:
20 Hz < / < 2 0 kHz.
(11.4.1)
Те могат да бъдат изобразени графично чрез поредици от последова­
телни сгъстявания и разреждания на частиците в съответната среда, в коя­
то се разпространяват (вж. фиг. 11.1а). Интервалът на звуковите честоти
(11.4.1) е осреднен спрямо човешките сетивни възможности: отделни хора
могат да възприемат звукове в по-тесни честотни граници, а други - в пошироки. Има животни, които възприемат звукови трептения с честота,
много по-голяма от 20 kHz: кучетата - до 70 kHz, делфините - над

Трептения и вълни

213

100 kHz, а други, като например някои риби и медузи, с честота, по-малка
от 20 Hz. Трептенията с честота/ < 20 Hz се наричат инфразвукови, а тези
с честота/ > 20 kHz - ултразвукови.
Интензитетът (силата) на звука е величина, която определя средна­
та енергия, пренасяна от звуковите вълни за единица време през единица
площ, разположена перпендикулярно на посоката на разпространение на
вълните:
(11.4.2)
/=—
St
Мерната единица за интензитет на звука в системата С И очевидно е
ват за квадратен метър [W/m2]. Ако звукът се разпространява със скорост
v3B в цилиндър със сечение S — 1 т 2, за време / = 1 s той изминава път
h = v3B. Обемът на този цилиндър е V —Sh = v3B, а интензитетът I на звука в
него ще бъде I- w V = w v ZB. В този случай като се използва формулата
(11.2.13) за плътността на енергията (енергията на вълната в единица обем
от средата) получаваме

I = WV,B= - рузв«2Л2,

(11.4.3)

където с v3B е означена скоростта на звука в съответната среда, р - плът­
ността на средата, со = 2n f — кръговата честота и А — амплитудата на зву­
ковите вълни.
За да предизвикат усещане за звук в слуховите органи, звуковите въл­
ни трябва да имат определен интензитет в границите, съответстващи на
диапазона от честоти (11.4.1). Най-ниският интензитет, който възприема
човешкото ухо при определена честота, се нарича долен праг на чуване (/о),
а най-високият интензитет, при който не се възприема звук, а само има усе­
щане за болка - праг на болезнено усещане или горен праг на чуване (1тяк).
Човешкото ухо реагира на интензитети в интервала от /0= 10 "W/m" до
/тах= 1-10 W/m2. Най-голяма чувствителност то проявява в интервала от
честоти (1000-5000) Hz, където може да възприеме изключително слаби
звукове с интензитет I = 10 1'-10' 12 W/m'.
Скоростта, с която се разпространява звукът в различните материални
среди, зависи от техните еластични свойства. В твърдите тела и течности­
те звуковите вълни се разпространяват по-бързо в сравнение с газовете.
Това е естествено, тъй като частиците при тях са разположени по-близко
една до друга и звуковите трептения се предават по-бързо. За газове и
течности скоростта се определя от следните изрази:
(11.4.4)
където ДР и Др са измененията на налягането и плътността в газовата сре­

214

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

да, а К - модулът на обемна деформация в течностите. В твърдите тела се
разпространяват както надлъжни, така и напречни звукови вълни, чиято
скорост се определя от аналогични изрази:

[е
^зв(тв.тял о) — у~р~’

[g
^зв(тв.тяло) ~ V р ’

(1 1 .4 .5 )

където Е и G са съответно модулите на еластичност при надлъжна (линей­
на) и напречна деформация. За водата скоростта на звука е около 1500 m/s,
а в твърдите тела достига до 5000-6000 m/s. Скоростта на звука във въздух
при температура 17 °С е 340 m/s.
При преход на звука от една среда в друга неговата честота се запазва
постоянна, а дължината на вълната се изменя пропорционално на скорост­
та на разпространение:
A.,

v2

Например ако звукова вълна с честота/ = 1000 Hz преминава от въз­
дух във вода, дължината на вълната във въздуха е X-i = v\/f= 0,340 *ф-'©, във
водата - Х2=
1>5 т Звуковите вълни, които възприемаме най-често, се разпро^г^няват
във въздуха, затова ще се спрем по-подробно на този случай и ще опреде­
лим скоростта на звука във въздух. Разпространението на звука във въздух
може да се разглежда като един адиабатен процес (скоростта на звука е
голяма и поради това не се осъществява обмен на енергия с околната сре­
да). Нека приложим уравнението на Поасон (6.3.10) за адиабатен процес:

( V
Р — = const => Рр~у = const,
(11.4.6)
I p;
където обемът V е изразен чрез масата и плътността на средата (V- /и/р).
Диференцираме горния израз и получаваме
dP
Р ,
п
--- у--- -dp = 0,
pY
pY+1
р у у = const

dP _ yp 'P _ уP
dp
py+l
p
За краен интерват на изменение на налягането Р и плътността р гор­
ният израз се представя по следния начин:
— =
(11.4.7)
Ар
р
С известно приближение всички реални газове в разредено състояние
могат да се разглеждат като идеален газ, включително и въздухът, който
представлява смес от няколко газа. От уравнението на Клапейрон—
Менделеев (5.2.16) за идеалния газ следва

215

Трептения и вълни

PVm = RT => Р =

RT

(11.4.8)

к,т ’
където Vmе обемът на 1 mol газ. Тогава замествайки (11.4.8) в (11.4.7), по­
лучаваме
АР
уRT уRT
(11.4.9)
Др
pVm
м
J '>
В горния израз М е моларната маса на газа, a R —универсалната газоН??»
константа. Ако заместим (11.4.9) във формулата за скоростта на звука в
газове (11.4.4), получаваме
(11.4.10)
Следователно скоростта на звука във въздух зависи правопропорционално от температурата на средата, в която се разпространява, и от нейни­
те физични свойства. Макар че изразът (11.4.10) е изведен чрез прилагане
на закона за идеален газ, чрез него се получават задоволителни резултати
за редица газове, в това число и за въздух.
Да пресметнем скоростта на звука във въздуха при температура
17 °С = 290 К. Коефициентът на Поасон у = Ср/Су за въздуха е 1,40, а мо­
ларната маса е М~ 29.10 3 kg/mol. Заместваме тези стойности в (11.4.10):

Получената чрез тази формула стойност за v3Bсе съгласува добре с ек­
спериментално определената.
Многобройните звукове, които възприемаме всекидневно, са найразнообразни: високи или ниски, дразнещи или успокояващи, приятни или
неприятни. В психофизиологичен аспект всички те се характеризират със
своята височина, тембър и ниво на звука (ниво на интензитета).
Възприемането на звука зависи от това, какви честоти участват в със­
тава на звуковата вълна. Звуковете, на които съответства един непрекъс­
нат набор от честоти в даден интервал, се наричат шумове. Звуковите
трептения, съдържащи редица дискретни (отделни) честоти, се наричат
музикални или тонални звукове. Звукът, съответстващ на една определена
честота о)0=2я/0, се нарича прост или чист тон. Такива,тонове дават ка­
мертоните. Височината на тона зависи от неговата честота - колкото поголяма е честотата, толкова по-висок е съответният тон.
В един сложен музикален звук тонът, който съответства на и#ймалката честота, се нарича основен тон. Тоновете, съответстващи на о с­
таналите честоти от набора, се наричат обертонове. Музикалните звукове
с един и същ основен тон се различават по своя тембър, който е свързан с

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

216

наличието на обертонове. Тембърът зависи от броя на обертоновете, тех­
ните честоти и амплитуди. Простите тонове нямат тембър.
Нивото на звука зависи от интензитета на звуковите вълни. На долния
и горния праг на чуване съответстват определени нива на възприемания
звук. За измерване нивото на звука обикновено се използва мерната едини­
ца децибел [dB], която е кратна на
L, d B
единицата бел [В] (1 dB = 10-1В).
120
-~
На долния праг на чуване съот­
горен праг на
100
ветства ниво на звука 0 dB, а на
чуване
А 80
горния - 130 dB (фиг. 11.4). За
60
определяне нивото на звука се
долен праг на
40
използва
психофизиологичният
чуване
20
закон на Вебер-Фехнер, според
който с нарастването на интензи­
0
тета на звука нивото на звука рас­
20
200
2000
20000 / , Hz
те по логаритмична зависимост:
Фиг. 11.4

i = lOlg-^-,
'0
където / е интензитетът на възприемания звук, L - нивото на звука в dB, а
/0=10"12 W/nr. Чувствителността на човешкото ухо е пропорционална на
логаритъма на интензитета на звука. Този извод е верен и за зрението и за
обонянието на човека. По тези причини е по-удобно силата, с която въз­
приемаме звука, да бъде безразмерна величина, както е отношението lg I/Iq
в случая. В табл. 4 са представени някои нива на звука, измерени за чо­
вешкото ухо.
Честотната област на звука, както казахме, се разделя на три обхвата:
инфразвуков, звуков и ултразвуков.
Таблица 4
Въздействието
на
Ниво на звука,
Вид на звука
инфразвуковите
вълни
dB
върху живите организми
0
Долен праг на чуване
все още не е добре изу­
20
Шум на листа
40
Шум в стая
чено и е предмет на из­
60
Обикновен разговор
следвания. За тях е ха­
70
Уличен шум
рактерно, че се поглъщат
90
Симфоничен оркестър
слабо от средата, поради
110
Рокгрупа
130
Горен праг на болка
което се разпространяват
(на разстояние 3 m от излитащ
на големи разстояния.
самолет)

Ултразвуковите вълни намират широко приложение в техниката и
медицината.
Поради голямата си честота те имат силно диспергиращо действие,

Трептения и вълни

217

което се използва при различни технологични процеси: приготвяне на
емулсии и суспензии, получаване на сплави с дребнозърнеста структура,
обработка на твърди материали (рязане, шлайфане, пробиване на отвори и
т.н.), почистване повърхностите на различни малки детайли и др.
Ултразвукът се разпространява във водата без чувствителни загуби на
енергия, поради което се използва за подводна сигнализация, откриване на
най-различни обекти под водата, както и за изследване релефа на морско­
то дъно. Уредите, които се прилагат за тези цели, се наричат ултразвукови
локатори. Чрез тях се откриват и вътрешни дефекти в' различните твърди
материали.
В медицината ултразвуковите вълни се използват за най-различни це­
ли. Напоследък ултразвуковите апарати за диагностика заменят успешно
рентгеновите апарати. В неврохирургията ултразвукът се използва за тре­
тиране на много малки участъци от мозъка, върху които оказва разруши­
телно действие, без да се нарушава нормалното функциониране на остана­
лите части от мозъка.
Възприемането на звуковите вълни е свързано с наличието на няколко
необходими условия: източник на звукови трептения, какъвто може да
бъде всяко трептящо тяло (камертон, струна, мембрана на високоговори­
тел и др); материална среда, в която звукът да се разпространява (във ва­
куум звукови вълни не съществуват), и приемник (детектор), който да ре­
гистрира звуковите вълни (човешкото ухо например). Опитът показва, че
ако източникът на звука и приемникът се движат спрямо средата, в която
се разпространяват звуковите вълни, честотата на възприемания звук се
променя. Това явление е било обяснено от К. Доплер и е известно във фи­
зиката като ефект на Доплер. Нека разгледаме един пример. По оста 00\
се разпространява хармонична звукова вълна (фиг. 11.5). За положителна
посока на оста избираме посоката OjO. Ще се спрем поотделно на три
възможни случая:
I'

източник на звук
Фиг. 11.5

- Източникът на звука се движи спрямо средата със скорост vH3T, а при­
емникът е неподвижен (vnp= 0). В този случай за време t = 1Т звуковата въл-

218

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

на се отдалечава от източника на разстояние v3BТ, а самият източник се
премества за същото време на разстояние vmiT. Ако източникът се
отдалечава от приемника, както е показано на фиг. 11.5 (т.е. той се движи
в посока, обратна на посоката на разпространение на звуковите вълни), за
всеки период от време Т дължината на вълната ще се увеличава с
величината vm
TT:
''И ЗТ
+ V

\'=V* З В T +vИЗТ Т = — -у- —
където с X' е означена увеличената дължина на вълната, а / = МТ е често­
тата на излъчената от източника звукова вълна. Честотата f на възприе­
маната от приемника вълна ще бъде

От получената зависимост се вижда, че честотата / ' е различна от / и в
случая р < f Причината за това е скоростта на източника. При неподви­
жен източник ( v h3T = 0) f ' ~ f т.е. ефектът няма да се наблюдава. Ако из­
точникът на звука се приближава към приемника, дължината на вълната X
намалява (X' = (узв-уизт)7), а честотата/ ’ нараства ( f> J). Двата случая мо­
гат да се обединят със следната формула:

f = ___Хзв___у.

(11.4.11)

V
к зв +
— Vизт

—
Източникът на звука е неподвижен (vH3T= 0), а приемникът се движи
спрямо средата със скорост vnp. В този случай дължината на вълната в раз­
глежданата среда не се променя и е равна на X —v3nT —v3Jf. При отдалеча­
ване на приемника от източника на звука разстоянието между тях се увеI
Т
личава, вследствие на което скоростта на звука намалява: v3B = v3B-vnp. югава времето Т\ за което звуковата вълна изминава разстоянието X, ще се
увеличи, т.е.
V
узв — Vпр

^ = (V3B-Vnp)r =
у ,

V

г
—V
пр у

зв
V 3B

Очевидно възприеманата честота / ' в този случай също е променена
if' <_/). Ако приемникът се приближава към източника, разстоянието меж­
ду тях се скъсява и скоростта на звука ще се увеличи: v3B — v3B+vnp. Често­
т ат а/' също се увеличава:/*> f Обединявайки двата случая, получаваме
у , = узв+упР у
V 3.

(11.4.12)

Трептения и вълни

219

Източникът и приемникът се движат спрямо средата със скорости
Уизт* 0 и vnp* 0. Този случай обединява резултатите от предните два:
у» - У” + У / ,
(11.4.13)
V3B —^ИЗТ
като възприеманата честота f също е променена. Ако източникът и при­
емникът се отдалечават един от друг f < / а ако се приближават/ > / При
неподвижен източник и неподвижен приемник (v„3T- 0 и vnp = 0) от ф ор­
мулата (11.4.13) следва, че f = / . Ефектът на Доплер се наблюдава само
при движение на източника или приемника. Ако приемникът е неподви­
жен (vnp = 0), от (11.4.13) следва първият случай, а ако източникът е не­
подвижен (vM3T= 0) — вторият случай. Формулата (11.4.13) обединява всич­
ки възможни случаи, при които се наблюдава ефектът на Доплер.
11.5. Е л ект ром агн и тн и вълни. С к а л а на
електром агнитните вълни
С помощта на електромагнитната теория Максуел успява не само да
обясни всички даблюдавани до момента електромагнитни явления, но и да
предскаже теоретйчно съществуването на електромагнитните вълни. Тях­
ното експериментално наблюдение, осъществено малко по-късно от нем­
ския физик X. Херц, разкрива принципно нови възможности за комуника­
ция - отначало безжичния телеграф, а по-късно радиото и телевизията.
Съгласно теорията на Максуел разпространяващото се в пространст­
вото електромагнитно поле представлява вълнов процес и се нарича елек­
тромагнитна вълна. Тази вълна обединява електричното и магнитното
поле и се характерйзира от двете величини интензитет на електричното
поле Е и интензитет на магнитното поле Н . Ако дадена електромагнит­
на вълна се възбужда от променлив електричен ток, който се изменя по
синусов закон с времето, rto същия закон ще се измейКТ^и величините Е и
Н . Такива вълни де наричат монохроматични (фиг. 11.6). От фигурата се
вижда, че във всяка точка от простран­
ството векторите Е и Н са перпенди­
кулярни както помежду си, така и
спрямо посоката на разпространение на
вълната. Следователно електромагнит­
ните вълни са напречни вълни. Те са
аналогични на еластичните вълни, но
при тях трептят електричното и маг­
нитното поле, а не частиците на среда­
та. За разлика от еластичните вълни, които могат да съществуват само в
материална среда, електромагнитните вълни се разпространяват и във

220

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

вакуум. Двете величини Е и Н удовлетворяват вълнови уравнения от
вида
ДЕ =

1

д2Е

v i dt2 ’

1

ДЯ = —

Уф

г)2И,
дг

(11.5.1)

където уф е фазовата скорост, а Д - операторът на Лаплас. Според Максу­
ел променливото електромагнитно поле не се разпространява мигновено, а
с определена крайна скорост, която се нарича скорост на разпространение
на електромагнитните вълни (фазова скорост). За тази скорост във вакуум
той предлага следния израз:
vo = _т = = >
•у^оР-о

(11.5.2)

където с 0 и ц0 са електричната и магйитната константа на вакуума. Вижда
се веднага, че ако се заместят стойностите на двете
константи Ео и ц .0 в
о
горната формула, се получава стойността v0 =3.10 m/s, която съвпада с
експериментално определената скорост на светлината с. Този удивителен
резултат довел Максуел до извода, че светлината представлява електро­
магнитна вълна. Идеята за електромагнитната природа на светлината била
подкрепена и от други учени по това време, още повече че в началото на
X IX в. били открити някои явления, в които светлината проявявала вълно­
ви свойства (на въпроса за естеството и характера на светлината ще се
спрем по-подробно в раздел VI).
Скоростта на разпространение на електромагнитните вълни в диелек­
трична среда Максуел определя по формулата
V = - Д

=

=

= Уф

(11.5.3)

където zr и ц,. са диелектричната и магнитната проницаемост на средата.
Очевидно е, че в среда, различна от вакуум, електромагнитните вълни ще
се разпространяват с по-малка скорост, тъй като е, цг> 1 .
Разглеждайки светлинатЗЧсато електромагнитна вълна, Максуел полу­
чил и известното съотношение п = zr\
ir, определящо коефициента на
пречупване за дадена прозрачна диелектрична среда. Тогава формулата
(11.5.3) може да се запише по следния начин:
v = —.
(11.5.4)
п
При преминаване на дадена електромагнитна вълна от една среда в друга
честотата на трептене/ и периодът Т нСсе променят, но дължината на вълната

Трептения и вълни

221

X се променя, тъй като X = vT=v/f а скоростта v в двата случая е различна.
Известно е, че всяка функция, удовлетворяваща уравнение от вида
(11.5.1), описва някаква вълна. Следователно за прост едномерен случай
(дадена електромагнитна вълна се разпространява по оста ОХ, както е по­
казано на фиг. 1 1 .6 ) можем да запишем
Е = E V= £ 0 s i n ( c o / - f o + (p0 ),
Н = Н , = # 0 s i n ( c o / - f o : + (p0),
където Е и Н са решения на вълновите уравнения (11.5.1), E q и Но са ам­
плитудите на интензитетите на електичного и магнитното поле, к —2и/Х,
со = 2п/Т, а фо - началната фаза. От фиг. 11 . 6 се вижда, че двата взаимноперпендикулярни вектора Е и Н трептят винаги с еднаква фаза и всеки от
тях е перпендикулярен на посоката, в която се разпространява електромаг­
нитната вълна. Техните модули са свързани със следното съотношение:

е0ггЕ 2 =[х0[хгН 2.

(11.5.5)

Източници на електромагнитни вълни могат да бъдат променящи се
във времето електрични токове или движещи се ускорително отделни
електрични заряди. Процесът на генериране на електромагнитни вълни от
даден източник се нарича излъчване на електромагнитни вълни, а източ­
никът на излъчване - излъчвателна система. Излъчването на електромаг­
нитни вълни от даден източник е свързано с пренасянето на определено
количество енергия в пространството. Тази енергия е равна на сумата от
електричната и магнитната енергия на променливото електромагнитно
поле.
В тема 7.4 беше показано, че плътността на електричната енергия на
електричното поле е w = (\/2)zoZrE ", а за плътността на магнитното поле по
аналогичен начин може да се получи изразът w - (1 /2 )ц о \
*-гН . Тогава в
единица обем от електромагнитното поле ще се съдържа енергия

Е £ Л ; +М Л 1
2
2

(и.5.6)

Обемната плътност на енергията на електромагнитните вълни можем
да представим, като използваме зависимостта (11.5.5):

7
W = е0е,.£- =

2

I------ rrr Е Н
= V еоМгИг ЕН = --- »

където v = с/п е скоростта на електромагнитните вълни в дадена среда (вж.
формулите (11.5.2) и (11.5.3)).
Електромагнитните вълни имат твърде широк Диапазон от честоти
/ = со/271. Обикновено те се класифицират по дължината на вълната X = c/f
и се разделят на няколко области (фиг. 11.7):
- Диапазон на дългите радиовълни (104 —102 т); използва се най-мйого

222

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

за радиовръзки. Основният недостатък на разглежданите радиовълни се
дължи на факта, че йоносферата (въздушният слой с повишена концент­
рация на заредени частици, който има височина 100-300 km над земната
честота, Hz
10

109

а

—г~

1 0 13

1 0 15

1 0 17

---- 1--инфрачер­
вена област

радиовълни

10

-1

10

-з

дължина на вълната, m

ултравиолетова област

10

10

1 0 19

10

— г~

Т

рентгенови лъчи

-9

10

21

гама-лъчи

-и

видим спектър
Фиг. 11.7

повърхност) ги поглъща. По тази причина те не са ефективни за радио­
връзка на големи разстояния. Използват се повече за радиовръзки в под­
водния флот.
-Диапазон на средните и късите радиовълни ( 1 0 2- 1 0 т ); използва се
основно за радиосъобщения. За разлика от дългите вълни тези вълни се
отразяват от йоносферата. Вследствие на многократно отражение от нея те
могат да обходят земното кълбо и да осигурят далечна радиовръзка.
—
Метров диапазон (10—1 т); използва се за телевизия и радиолока­
ция. В телевизията е необходимо да се предават на големи разстояния не
само звукови сигнали, но и изображения. Всяко изображение посредством
фотоелектронен преобразувател се превръща в редица от електрични сиг­
нали. Вълните от този диапазон се разпространяват добре през йоносфера­
та и не се връщат към повърхността на Земята. Поради това, за да се уве­
личи разстоянието на телепредаванията, излъчвателите на телевизионните
станции трябва да се поставят на много високи места (телевизионни кули).
В днешно време на специално избрани околоземни орбити се изпращат
спътници, които постоянно се намират над определени райони и служат за
ретранслация на телевизионните предавания.
За радиолокацията е необходимо използваните вълни да се фокусират
лесно в определено направление. (Радиолокацията е област от науката и
техниката, която се занимава с наблюдение и откриване на различни обек­
ти във въздуха и водата. Тя е основана на явленията отражение и раз­
сейване на радиовълните оТ телата.) За да, се изгГълни това условие, е не­
обходимо размерите на отражателя на антената да са от същия порядък на
дължината на вълната, а понякога и много по-големи от нея. Ето защо ра­
диолокацията винаги се осъществява на вълните на метровия, а в някои

Трептения и вълни

223

специални случаи и на по-късовълновите диапазони.
- Сантиметров диапазон (1-1 (Г2 ш); използват се в авиацията за точна
и близка радиолокация. Вълните от сантиметровия диапазон се поглъщат
силно от веществото, поради което са удобни за изучаване на неговите
свойства.
- Милиметров (микровълнов) диапазон (10 2-10 3 ш); използва се за
точна радиолокация и за научни цели. При изучаване поглъщането на
микровълните от многоатомните молекули се получава информация за
строежа им. С помощта на този метод неотдавна е открито, че в Космоса
съществуват не само прости молекули като амоняк, водород и др., но и
молекули на сложни съединения — аминокиселини. Общият брой на от­
критите сложни молекули достига около 200. Във връзка с това в пос­
ледно време се дискутира хипотезата за извънземен произход на живота
на Земята чрез пренасяне на молекули от Космоса.
- Инфрачервен диапазон (10~3-10^ ш); използва се при изучаване вът­
решната структура на веществата - определяне вида на взаимодействието
между молекулите, характера на движението на ядрата в атомите и др.
- Видима светлина (7,5.Ю-7- 4.10-7 ш); обхваща електромагнитните
вълни, които се възприемат от зрителния орган на човека, и включва цяла­
та информация, която той получава за заобикалящия го свят. Спектърът на
видимата светлина е показан на
фиг. 1 1 .8 .
- Ултравиолетов диапазон
(4.10“7-10~7 ш); тези вълни имат
способността да въздействат
много силно на веществото. За­
гарът, който получава човек от
Слънцето или кварцовата лам­
па, в чиито спектър присъстват
ултравиолетови лъчи, може да
X, m
спектър
окаже вредно действие върху
човешкия организъм. Поради
Фиг. 11.8
силното си взаимодействие с
веществото ултравиолетовото излъчване на Слънцето се поглъща почти
напълно (99%) от атмосферата и по този начин се предпазва Земята. Съ­
ществува опасност обаче от възможно нарушаване на естествения защитен
механизъм на земната атмосфера. При попадане на различни химични
продукти в нея се образуват т.нар. „дупки" в озоновия слой, който има
свойството силно да поглъща ултравиолетовите лъчи от спектъра на
Слънцето. Наличието на „дупките” улеснява свободното проникване на
ултравиолетовото излъчване до земната повърхност.

224

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА
-

ч

-Диапазон на рентгеновите лъчи и гама-лъчите (к < 1 0 " т ); рентге­
новото излъчване се използва в медицината за рентгенова диагностика, а в
техниката за откриване на различни дефекти в материалите (рентгенова
дефектоскопия). Гама-лъчите поради голямата си проникваща способност
(f> Ю 20 Hz) намират приложение за изследване структурата на ядрата.
Въпроси и задачи
1.

Каква е разликата между фронта на вълната и вълновата повърхност?

2.

Какво представляват звуковите вълни и могат ли да се разпространяват във вакуум?

3.

В каква среда звукът се разпространява с най-голяма скорост, и защо?

4.

В какви граници се изменя интензитетът, възприеман от човешкото ухо?

5.

По какво се различават звуковата и електромагнитната вълна?

6.

Намерете честотата / на звукова вълна, която се разпространява в стомана, ако най-

,

малкото разстояние между две точки, трептящи с фазова разлика л/4 е 45 cm. Скорост­
та на звука в стоманата е 5000 m/s.
7.

Две плоски хармонични вълни се разпространяват по оста ОХ. Определете отношение­
то на техните интензитети, ако амплитудите им са А\= 6 cm и Л2= 10 cm, а кръговите
им честоти са еднакви.

8.

Дължината на звукова и електромагнитна вълна във въздух е еднаква: X = 2 cm. Наме­
рете честотите на двете вълни, ако температурата на въздуха е 0°С (скоростга на звука
v3B= 332 m/s).

9.

При преминаване на една електромагнитна вълна от вакуум в друга немагнитна среда
скоростта йнамалява 5 пъти. Определете диелектричната проницаемост на тази среда.

10. Влак преминава покрай железопътна гара със скорост v = 72 km/h. Честотата на излъ­
чения от влака звуков сигнал е/ = 300 Hz. Каква честота на звука ще възприеме човек,
който се намира на перона на гарата, при приближаването и отдалечаването на влака
(скоростта на звука във въздуха v3B= 340 m/s)?

РАЗДЕЛ

V

РЕЛАТИВИСТИЧНА М ЕХАНИКА
Нютоновите принципи са основните закони на класическата механи­
ка, където се разглеждат движенията на макротелата с неголеми скорости
(v € с ). Електромагнитната теория на Максуел обединява електричните и
магнитните явления. Тя доказва, че електричеството, магнетизмът и свет­
лината представляват по своята същност електромагнитно поле. Уравне­
нията на Максуел стават основни закони на класическата електродинамика, която изучава свойствата на електромагнитното поле, чрез което се
осъществява взаимодействието между електричните заряди.
В края на X IX и началото на X X в. пред науката възникват нови въп­
роси. Вече е известно, че атомът, смятан векове наред за неделима части­
ца, има сложна структура. Той се състои от ядро, изградено от протони и
неутрони, и електрони, които обикалят около ядрото. Градивните частици
на атома се оказват най-малките частици от веществото, поради което би­
ли наречени микрочастици или елементарни частици. Проведените екс­
перименти със заредени микрочастици показали, че движението им не се
подчинява на законите на Нютон. Техните скорости при определени усло­
вия (силни ускоряващи електрични полета) били твърде големи и близки
до експериментално определената вече скорост на светлината с. От друга
страна, уравненията на Максуел се оказали неинвариантни по отношение
на галилеевите трансформации, а принципът на относителността на Гали­
лей - невалиден за електромагнитните явления. Възникнала необходи­
мостта от нова теория, описваща движението на частиците с големи ско­
рости, близки до скоростта на светлината с ( v » c ) . Тази теория била съз­
дадена от А. Айнщайн през 1905 г. и представлява едно от най-великите
постижения на човешката мисъл. Нарича се специална (частна) теория на
относителността и обединява върху една обща основа класическата меха­
ника и електродинамиката. Тя може да се разглежда като нов раздел от
механиката, наречен релативистична механика, която изучава движението
на телата с големи скорости. Ще се запознаем накратко с основните поло­
жения на тази теория.
Освен специалната теория на относителността Айнщайн създава и
друга теория, наречена обща теория на относителността, която обобщава
специалната теория за случая на гравитационните сили. Тази теория обаче
не е предмет на разглеждане в настоящата книга.

226

- —-

- - --

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

I,-—

Глава 12
Е Л Е М Е Н Т И О Т С П Е Ц И А Л Н А Т А ‘Т Е О Р И Я Н А
ОТНОСИТЕЛНОСТТА
12.1. Релативистична кинематика. Пространство и време.
Лоренцови трансформации на координатите
Теорията на Айнщайн е изградена върху два основни принципа (постулата): общ принцип на относителността и принцип за постоянството на
скоростта на светлината във вакуум. В резултат на прецизен и задълбочен
анализ на механичните и електромагнитните явления Айнщайн доказал, че
съществуващите дотогава представи за пространството и времето са твър­
де ограничени и неправилни.
Основоположниците на класическата механика - Нютон и Галилей разглеждали пространството и времето като абсолютни и независещи едно
от друго. Те смятали, че техните свойства не се влияят от физичните явле­
ния, протичащи в тях. Според принципа на относителността на ГалиЛей
всички механични процеси протичат по един и същ начин в различните
инерциални системи. Това се потвърждавало и от инвариантносттр на
принципите на Нютон спрямо всички инерциални системи. Неинвариантността на уравненията на Максуел спрямо галилеевите трансформации
първоначално навела учените на мисълта, че принципът на Галилей не е
валиден за електромагнитните явления. В края на X IX в. след експеримен­
талното откриване на електромагнитните вълни от Херц били направени
опити за проверка на верността на горния извод. Опитите показали, че за­
коните, по които протичат електромагнитните явления, също имат един и
същ вид във всяка инерциална отправна система. Фактите говорели, че
принципът на относителността на Галилей може да бъде обобщен и за
електромагнитните явления.
За разрешаване на съществуващите противоречия Айнщайн предло­
жил да се отхвърлят класическите представи
времето и пространството
и да се заменят с една нова концепция. Според нея пространството и вре­
мето са взаимно свързани и зависят от физичните процеси, които протичат
в тях. На основата на тази концепция принципът на относителността на
Галилей бил обобщен за всички физични процеси: механични, топлинни,
електромагнитни и др., и бил наречен общ принцип на относителността
на Айнщайн. Според този принцип всички физични закони са едни и същи
спрямо всяка инерциална отправна система. Праволинейното и равно­
мерно движение на една инерциална система не влияе върху хода на про­
тичащите в нея явления. Те протичат по същия начин, както и в дадена
неподвижна отправна система. Изводът е, че състоянията на покой и пра­

227

Релативистична механика

волинейно равномерно движение са неразличими за физичните процеси в
природата. Всеки изследовател, който се намира в дадена инерциална сис­
тема и изучава определено явление в нея, може да смята, че системата е
неподвижна. Това няма да промени хода на изучаваното от него явление.
Всички явления, открити по-късно, потвърждават валидността на този
принцип, независимо че от времето, когато е бил формулиран за пръв път,
дб днес са Изминали почти 100 години.
Съгласно закона на Галилей за събиране на скорости (вж. формула
( 2 .5 .5 )) скоростта на светлината спрямо двама наблюдатели, намиращи се
в две инерциални системи —К (неподвижна) и К (движеща се с постоянна
скорост й спрямо К) - ще бъде различна (с = с + и) и зависи от посоката
на движение на системата К* спрямо посоката, в която се разпространява
светлината. Този резултат е бил опроверган от редица астрономични опи­
ти, проведени през X IX в. Айнщайн формулира втория основен принцип
на специалната теория на относителността по следния начин. Скоростт а
иа светлината във вакуум е една и съща във всички инерциални отправни
системи и не зависи от скоростта, с която се движат източникът или
приемникът на светлина. 1 ози принцит? е потвърден експериментално и
изразява едно важно основно свойство Hto светлината — нейната постоянна
скорост, която Айнщайн разглежда като универсална природна константа.
Докато скоростта на едно тяло е различна в движещите се една спрямо
друга отправни системи, скоростта на светлината във вакуум има една и
съща стойност с = 3 . 1 0 8 m/s спрямо всяка инерциална система.
Когато уравненията на Максуел се оказали неинвариантни по отно­
шение на галилеевиге трансформации, много учеци решили, че тези урав­
нения просто не са верни. Започнали редица опити те да бъдат видоизме­
нени по такъв начин, че принципът на относителността на I алилей да сс
окаже в сила. Всички опити се оказали безуспешни, докато холандският
физик X. Лоренц не открил забележителен факт: уравненията на Максуел
не изменят вида си при замяна на координатите със следните изрази.

х +ut

х=

x- ut

х

У-У

У =У

z-z

Z

( 1 2 . 1 . 1)

= Z

•
*12
t +их jc~

Тези изрази в негова чест били наречени лоренцови трансформации на
координатите. Техният физичен смисъл бил разкрит от Айнщайн с по-

228

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

мощта на специалната теория на относителността. От изразите (12.1.1)
непосредствено следва, че времето не е абсолютно, а тече по различен на­
чин в различните инерциални системи (в случая системите са К и К?, като
К се движи праволинейно и равномерно със скорост и спрямо К - вж.
фиг. 2.6, тема 2.5). Очевидно е също, че координатите на пространството и
времето са свързани помежду си. Сравняването на уравненията в (12.1.1)
показва, че те са симетрични и се различават само по знака на скоростта
и . Ако един наблюдател се намира в системата К, за него началото О* на
движещата се по оста О Х система К ще се отдалечава непрекъснато с раз­
стоянието u t , което представлява пътят, изминат от К за време t . Обратно, ако наблюдателят се намира в системата К*, той ще се движи заедно с
нея със скорост и и спрямо нея ще бъде неподвижен. В същото време за
него началото О на системата К ще се отдалечава на разстояние - ut, т.е.
системата К ще се движи със скорост -и спрямо К . Лоренцовите транс­
формации се оказали напълно в съгласие с възгледите на Айнщайн за
пространствено-времевата връзка. С помощта на тези трансформации мо­
гат да се получат някои от най-важните следствия от теорията на Айн­
щайн.
Да разгледаме движението на материална точка в системата fC, която
се движи по оста О Х със скорост и = const. Ако искаме да определим ско­
ростта на точката спрямо системата К, трябва да диференцира**»© коорди­
натите и х, у и 2 по времето
dx
_ dy
_dz

Vx~~dt ’ Vy~~dt ’ V :~~dt
Съгласно лоренцовите трансформации (12.1.1) записваме
dx" +udt*
,
.♦
,
,*
,
dt'+ udx*lc 2
dx= -= = = =■ dy = dy ; dz=dz ; dt = — .
ф - и /с
ф - и /с
Разделяйки почленно dx, dy и dz на dt и извършвайки някои преобразува­
ния, получаваме
v*+и
Vx =

*.
1

/

2 ';

+ vx u/c~

v

=

v j\ - u 2/c 2
• v
.
.
1 + vx u/ c

vzJ\-u2/c 2
vz =

v

.

,

(1 2 .1 .2 )

\ + vx u/c

Получените съотношения (12.1.2) изразяват закона за събиране на скорос­
тите в теорията на Айнщайн, който е известен b i,b физиката като релативистичен закон за събиране на скоростите. Аналогично могат да бъдат
Ф •
•
получени и компонентите на скоростта vx,
и vz.
Ако точката, която разглеждаме, се движи по посока на оста ОХ*,
нейната скорост е v* = v*, a v* = v! = 0 . В такъв случай ще получим ^закона
за събиране на скорости в по-опростен вариант:

229

Релативистична механика

v=

V

+и

(12.1.3)

1 + V * и/с

Релативистичният закон за събиране на скорости е в съответствие с втория
основен принцип на теорията на Айнщайн за постоянството на скоростта
на светлината. Ако разгледаме светлинен лъч, движещ се в системата А
по оста 0)С със скорост с = v\ съгласно (12.1.3) за неговата скорост спря­
мо системата К получаваме

с +и
V =
1

+ см/с 2

= с.

Следователно скоростта на светлината спрямо двете инерциални системи
К н К* е една и съща. От лоренцовите трансформации като частен случай
се получават класическите галилееви трансформации. Ако скоростите и и
V* ( v ) са много по-малки от скоростта на светлината с, съотношенията
( 1 2 . 1 . 1 ) и ( 1 2 . 1 .3 ) се превръщат в познатите ни галилееви трансформации
и закон на Галилей за събиране на скоростите. Следователно движението
на телата с малки скорости се описва добре от законите на класическата
механика, а движението с големи скорости - от специалната теория на
относителността или релативистичната механика на Айнщайн.
Ще разгледаме още няколко интересни следствия от лоренцовите
трансформации.
Нека А/* е дължината на една
пръчка в системата К* (фиг. 12.1).
Пръчката е разположена успоредно
на оста О Х* и е неподвижна спрямо
К*, но се движи заедно с нея със
скорост и = const по отношение на
К. Да определим дължината на
пръчката в системата К. Ако
&1* =х\-х *, съгласно лоренцовите
трансформации ( 1 2 . 1 . 1 ) получаваме
х, - ut
ut
А/ =
>с'
иг/ с

Vi -

Фиг. 12.1

М

2 V1- “2А2

ДГ > AI,

(12.1.4;

където с Д/ е означена дължината на пръчката А/ = х 7 де, спряно системата К. Тъй като е изпълнено множителят ф ^ и 2/с 2 <1, последната ф о р ­
мула ( 1 2 . 1 .4 ) показва, че дължината на пръчката намалява в посоката на
движението й. За наблюдател, който се на\$фа в системата К, нейната
дължина ще бъде А/ < А/*. Напречните размери на пръчката ще се запазят
постоянни поради това, че координатите у - у и z - z не се променят
при движейието: у\-у\ = у2~ У\ и z\- z } = z2- z ]. Първото следствие от

230

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

лоренцовите трансформации е, че размерите на телата са относителни. Те
са максимални в инерциалната система, спрямо която разглежданото тяло
е в покой. Тези размери се наричат собствени {абсолютни) размери.
Ефектът на намаляване дължината на пръчката се нарича още лоренцово

скъсяване. Причината за него не е свързана с действието на някакви вън­
шни сили върху тялото, а се дължи на голямата скорост на движение.
Колкото по-близка е скоростта на разглежданото тяло, т.е. на системата, с
която е свързано то, до скоростта на светлината, толкова по-забележим е
ефектът на скъсяването (множителят
- и jc 1 намалява при и-+с).
А сега нека разгледаме един
у'
процес, извършващ се за опреде­
лен интервал от време в дадена
А/* М
точка М, която е неподвижна
спрямо отправнага система К*
(фиг. 12.2). Означаваме неговата
х, з х
продължителност, измерена по
Z
часовник в системата К , с
Фиг. 12.2
At* —12 —t]) а тази, отчетена по
часовник в K ,t At = t2
. Ще определим продължителността на процеса,
отчетена по двата часовника, като използваме трансформациите на Лоренц за времето. В началния и к-райния момент на процеса координатите
if* и А'2 на точката М съвпадат: а,’ = х*2 (Л/е неподвижна спрямо К?). Това
обаче не се отнася за нейните координати а , и а 2 спрямо неподвижната
отправна система К. За интервала от време At началото О на системата К
се премества на разстояние uAt от О, следователно а 2 - а , = uAt . Прила­
гайки трансформациите на Лоренц, получаваме

©

f©

A f.

(t2 - 1 ] )I -

( a 2 - A,

yj\-u2/c 2

V

c2 _

A/(l - u2!c 2 \

J\-u2/c 2 ’
(12.1.5)

От формула (12.1.5) следва, че интервалът от време между началото и края
на процеса в точката М е различен в двете инерциални системи, т.е. вре­
мето тече по различен начин. Интервалът от време е минимален в тази от­
правна система, спрямо която точката М е неподвижна. Тук времето тече
бавно и часовникът отмерва най-кратък интервал. Ефектът, който се наб­
людава в този случай, се нарича забавяне хода на времето. Времето, отче­
тено по часовник, който се движи заедно с даден обект, се нарича сооствено време на обекта. Колкото по-бързо се движи обектът (в разглеждания
случай точката М се движи заедно със системата К ), толкова по-бавно
тече неговото собствено време в сравнение с времето, отчитано по часов­

Релативистична механика

231

ника на неподвижен наблюдател (намиращ се в системата К). Ето защо
спрямо земните наблюдатели космонавтите в един движещ се с голяма
скорост космически кораб ще стареят по-бавно от връстниците си на Зе­
мята. Времето, отчетено по часовника на техния кораб, тече по-бавно (то­
ва е вярно само при условие, че полетът се.извършва равномерно и право­
линейно). Изводът в този случай е, че не може да се говори за единен ход
на времето във всички инерциални системи. Времето е относително. За
негов определи ход може да се говори само спрямо дадена отправна сис­
тема.
Лоренцовото скъсяване на размерите на телата по посока т движени­
ето им и ефектът на забавяне хода на времето са важни следствия от ло­
ренцовите трансформации. Те се наричатрелативистични ефекти и могат
да се наблюдават забележимо само при движение на телата със скорости,
близки до скоростта на светлината във вакуум. Да разгледаме един при­
мер. Мюоните са елементарни частици с маса я 207 т е, които са открити в
състава на космичните лъчи в горните слоеве на атмосферата (над 1 0 km
височина). Те са нестабилни частици и бързо се разпадат, превръщайки се
в други частици. Установено е, че тяхното собствено време на живот е
2 ,2 . 1 0 ^ s (това е времето, измерено с часовник, който се движи заедно с
тях). Скоростта им на движение е близка до скоростта на светлината с :
v = 0,995с. Поради краткото време на живот мюоните изминават път
S я 660 m (S = 0,995.3.1 0 8 .2 ,2 .10-6) и се разпадат» неуспявайки да до<^мгнат повърхността на Земята. Тези частици обая< СЙоткрити по висоУйте
върхове на планините. Как са успели да стигна? До там? Ако приложим
формулата ( 1 2 . 1 .5 ), можем да определим с кол^СГ ще се увеличи техният
живот спрямо отправна координатна система К, Свързана с повърхността
на Земята:

At =
За това удължено време на живот мюоните ще изминат път
S - 0,995.3. 108.2 2 .Ю _6я 7000 h и могат да достигнат до земната повърх­
ност. Покушението на тези частици очевидно удовлетворява принципа на
относителността на Айнщайн. Този принцип е полезен и с това, че позводя$а да се правят предсказания за неща, за които нямаме никаква достъпна
информация.

12.2. Релативистична динамика. Импулс и енергия
Повече от двеста години принципите на Нютон се използвали за оп­
ределяне движението на всички тела в природата. Основното уравнение на
класическата динамика d{mv)/dt = F , в което масата на телата се смята за

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

232

постоянна величина, се оказва неинвариантно по отношение на лоренцовите трансформации. В края на X IX в. при опити с бързи електрони било
установено, че масата на частиците се изменя със скоростта им на движе­
ние по следната зависимост:

Ш= 1 =

Vi - v2/c 2

C2.2.I)

където то е масата на частицата в състояние на покой (v = 0 ), а с скоростта на светлината във вакуум. Масата т 0 се нарича маса в покой
(масата, измерена в такава отправна система, спрямо която тялото е
неподвижно), а масата т - релативистична маса. Основният закон на
Нютоновата
динамика
става
инвариантен
спрямо
лоренцовите
трансформации, ако заместим масата т с релативистичната йстойност:
f
m0v
d_
~ dp d(mv)
dv „ dm
= F ’ T = — ^— = w — +v— = F,
( 1 2 .2 .2 )
dt
dt
dt
dt
dt

V_vV
1

където
p = mQv/ ^\- v2 /c 2
се нарича релативистичен импулс, a
уравнението ( 1 2 .2 .2 ) - основно уравнение на релативистичната
динамика. В класическата механика, където масата на всяко тяло е
постоянна величина, е изпълнено dm/dt = 0. В такъв случай основното
уравнение на класическата динамика ma = mdv/dt = F и уравнението на
релативистичната динамика (djdt)mv = F са еквивалентни.
От зависимостта (12.2.1) непосредствено следва, че с нарастване на
скоростта релативистичната маса на тялото расте. Ефектът е незабележим,
ако скоростта на движение е v « с. В този случай масата е постоянна ве­
личина (v 2 /c 2 -> 0; т = т 0 = const). При скорости v « c масата се изменя
чувствително. Например ако разгледаме движението на един спътник на
Земята със скорост v = 8.103 m/s, изменението на масата му при това дви­
жение ще бъде пренебрежимо малко. Замествайки големината на скорост­
та v във формулата ( 1 2 .2 . 1 ), за това изменение ще получим една милиардна част от самата маса. Но ако в (12.2.1) поставим скоростта на мюоните
v = 0,995с, получаваме

т =

то

^ * 1ЮПш 0 ,
^1 -0,995

т.е. масата на частицата ще се увеличи - 1 0 пъти, а това е твърде
забележим ефект.
Всички тела имат маса в покой т 0 > 0, от което следва, че при нараст­
ване на скоростта им и при v—>с релативистичната им маса и импулс ще
растат неограничено. Това води до противоречие, тъй като всички реални
сили, действащи в природата, са ограничени по големина и не могат да

233

Релативистична механика

предадат на едно тяло безкрайно голям импулс. Следователно скоростта
на реалните тела спрямо коя да е инерциална система не може да бъде
равна на скоростта с на светлината във вакуум, а ще бъде винаги по-малка
от нея. Това означава, че скоростта на светлината във вакуум е гранична
скорост за големините на скоростите на телата в природата.
С релативистичното нарастване на масата е свързан още един интере­
сен ефект. Да разгледаме движението на молекулите на даден газ, поста­
вен в затворен съд. Ако загреем газа до определена температура, скорост­
та на молекулите му ще нарасне, а заедно с нея съгласно формулата
(12.2.1) ще се увеличи и тяхната маса. С други думи, при изменение на
вътрешната енергия на газа ще се измени и масата му. Нека разложим из­
раза m0(\-v2/c2)~l/z в ред по формулата на нютоновия бином:
1

г
т0

V
1

V

2 Л
2

(

2
=

1

1 V

1

/7 ? 0
V

-j

2

3 V

4

\

Н--- —"I--- т "I" ••
2 с 2 8 с4

Тъй като скоростта на топлинното движение на газовите молекули зависи
от температурата ( v ~ V r ) , при немного високи температури тя не е много
голяма (v < с). В такъв случай горният ред е бързо сходящ и може да се
ограничим само с първите два члена:
2

m = m0 +—w 0 —7 ;
2
с
1

(12.2.3)
2

m - m 0 = Am = —т 0— ,
(12.2.4)
2
с
където изразът (12.2.4) показва нарастването на масата за сметка на уве­
личената при нагряването скорост. Членът v2 расте правопропорционално
на Т (v2 ~ Т). Следователно нарастването на масата ще бъде пропорционално на увеличението на температурата. Но (1/2)m 0 v" е кинетичната
енергия на газа при съответната температура. В такъв случай нарастването
на масата на газа се определя от нарастването на кинетичната енергия,
разделено на с2:
А
Am
= — y ~.
с
Подобни разсъждения довели Айнщайн до предположението, че масата на
едно тяло може да се изрази просто и чрез неговата енергия. Умножавайки
(12.2.3) по с2, получаваме

т с 2 = т 0с 2 +-^-/w0 v2.

(12.2.5)

Члена вляво Айнщайн определя като пълната енергия на тялото, а члена
Е0 = т 0с 2 - като енергия в покой (вътрешната му енергия, която е част от

234

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

пълната). По такъв начин била формулирана зависимостта между масата и
енергията на едно тяло в релативистичната динамика:

Е = т с 2.
(12.2.6)
Формулата (12.2.6) е забележителна със своята простота, но представлява
едно от най-гениалните открития на цаучната мисъл през X X в. Тя изразя­
ва един универсален закон и намира приложение не само във физиката, но
и в останалите природни науки. Нарича се закон за взаимната връзка
между маса и енергия. От него непосредствено следва, че ако енергията
на едно тяло се изменя с АЕ, то и масата на тялото ще се промени с опре­
делена стойност Ат:
(12.2.7)
АЕ = Атс2.
А сега нека определим кинетичната енергия на едно тяло, което от
състояние на покой с маса гщ (тялото е неподвижно, v = 0 ) под действие на
приложена външна сила се ускорява до скорост v Ф 0. От класическата ме­
ханика знаем, че за да придобие тялото определена скорост, приложената
върху него сила трябва да извърши някаква работа. Тази работа се прев­
ръща в кинетична енергия. Нека за малък интервал от време dt действаща­
та сила F премества тялото на разстояние dS и извършва малко количество
работа dA :

dA = dEk = FdS = ^ - ^ - d S .
(12.2.8)
dt
За краен интервал от време силата ще премести тялото на разстояние S, в
резултат на което то ще придобие определена скорост v. Кинетичната
енергия определяме чрез интегриране на ( 1 2 .2 .8 ):
Д4 = АЕ1 =

= H (m v ) =

(]2

2

9)

= ^(v2dm + mvdv).
За да интегрираме горния израз спрямо една от двете променливи, напри­
мер по dm, трябва да изразим произведението mvdv чрез dm. За целта пов­
дигаме ( 1 2 .2 . 1 ) на квадрат кго представяме по следния начин:
1 - 4 =

с

- 4 -

(1 2 .2 .1 0 )

т

Диференцираме (12.2.10):
- 2 v ^

= - 2

,

(1 2 .2 .1 1 )

с
т
След заместване на (12.2.10) в (12.2.11) и извършване на някои преобразу­
вания получаваме следната зависимост:
mvdv = (с 2 - v2 )dm.

Релативистична механика

235

В такъв случай изразът (12.2.9) придобива вида
т(
\
т
\Ek = J (v2dm + (с 2 - v 2 )dm)= с 2 jdm = тс~ - т 0с~,

к £ к = (т - т 0)с2 = А тс 2.

( 12 .2 . 12 )

Получената формула показва, че изменението на кинетичната енергия
на тялото е свързано с изменение на неговата маса при промяна на ско­
ростта му от 0 до v. Кинетичната енергия може да бъде изразена и чрез
разликата от енергията Е на тялото, когато се движи със скорост v, и енер­
гията му в покой Eq:

АЕк = Е - Е 0.
При малки скорости (v < с) Ajn във формулата (12.2.12) може да се
замести с израза (12.2.4):
(12.2.13)
В този случай релативистичният закон се превръща в класическата ф ор­
мула за кинетичната енергия Ек = тх~{2 .
В обикновени условия изменението на енергията е свързано с много
малки и незабележими изменения на масата. Така например произведена­
та електрична енергия Е —7,10 12 J за 1 s в мощна водно-електрическа цен­
трала предизвиква изменение на преминаващото през централата количес­
тво вода с 0,08 g. В същото време при една атомна бомба с енергия на
взрива Е х Ю 14 J събраната пепел след експлозията се оказва с 1 g по-лека
от първоначалната маса на бомбата. Тук ефектът е по-значителен и показ­
ва, че масата на отделената енергия е равна на 1 g в съответствие с форму­
лата АЕ = А тс2.
Законът за взаимната връзка между масата и енергията намира найшироко потвържд&ние в ядрената физика и физиката на елементарните
частици. Например разпадането на неутралната елементарна частица пимезон с маса в покой 1Щ —2,4.10 s kg на два у-кванта показва превръщане­
то на масата на частицата в електромагнитна енергия. Според направените
измервания получената електромагнитна енергия в резултат на това раз­
падане съответства на енергията в покой пцс~ на частицата. При определе­
ни условия е възможно да се наблюдава и обратният процес - превръщане
на електромагнитна енергия в определен вид елементарни частици.
Специалната теория на относителността предизвика революция не са­
мо във физиката, но и в останалите природни науки. Тя измени коренно
възгледите ни за пространство, време, маса и енергия. Според съвремен­
ните представи времето играе роля на четвърто измерение, допълващо
трите пространствени измерения, а масата и енергията са взаимнопревръ-

236

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

щаеми. Релативистичната теория не противоречи на класическата механи­
ка. Тя всъщност представлява по-обща теория, описваща движението на
телата с големи скорости. При скорости, значително по-малки от скорост­
та на светлината, релативистичните формули преминават в класическите.
По такъв начин двете теории се допълват взаимно.
Въпроси и задачи
1

За какви случаи се отнасят лоренцовите трансформации? Кои са по-важните следствия
от тях?

2.

Кои са основните принципи, върху които е изградена специалната теория на относи­
телността?

3.

Кога масата на телата се изменя в зависимост от тяхната скорост? Напишете основното уравнение на релативистичната динамика.

4.

В какво се състои разликата между принципа на относителността на Галилей и общия
принцип на относителността на Айнщайн?

5.

Защо релативистичните ефекти са незабележими в условията на реалния живот?

6.

Космически кораб се отдалечава от Земята със скорост v. За наблюдател, който се на­
мира на повърхността на Земята, дължината на кораба е два пъти по-малка от неговата
собствена дължина. Определете скоростта на космическия кораб.

7.

Частица се движи със скорост v = 0,995с. Колко пъти нейният релативистичен импулс
е по-голям от импулса йспоред формулата от класическата механика?

8.

Кинетичната енергия на едно тяло е равна на неговата енергия в покой. Определете
скоростта v на тялото.

9.

Енергията на един електрон е 1,6. КГ12J. Колко пъти неговата маса е по-голяма от ма­
сата му в покой (масата на електрона в покой е /7i0= 9,1.10~31kg).

10. Пи-мезон с маса в покой т 0= 2,4.1 (Г28 kg се движи със скорост v = 0,8с. Намерете не­
говата кинетична енергия. Сравнете получения резултат с изчислената енергия по фор­
мулата Ек= mv2/2.

РАЗДЕЛ

VI

ВЪЛНОВА И КВАНТОВА ОПТИКА
От най-дълбока древност до днес светлината е очаровала човека и в
същото време остава една от най-големите загадки на природата. Немис­
лимо е да си представим живота на Земята без светлина. Чрез фотосинтеза
растенията преобразуват слънчевата светлинна енергия в химична, за да
живеят, а с помощта на зрителните органи човек получава над 80% от ин­
формацията за света, който го заобикаля. Но нищо в природата не е така
неуловимо и тайнствено, както светлината. Векове наред хората са се
опитвали да дадат точен отговор на въпроса, какво всъщност представлява
тя. Първите научни теории за нейния произход и естество са били създа­
дени през XV II в. от двамата съвременници Нютон и Хюйгенс. Нютон е
авторът на корпускулярната теория за светлината, а младият холандски
физик Хюйгенс — на вълновата теория. През първата половина на X IX в.
били направени серия успешни опити за определяне скоростта на светли­
ната от френските физици Физо и Фуко. Малко гю-късно английският фи­
зик Максуел теоретично обосновал съществуването на електромагнитните
вълни. Определяйки тяхната скорост, която удивително съвпадала с токущо измерената скорост на светлината, Максуел изказал хипотезата, че
светлинните вълни са електромагнитни. Бурното развитие на физиката
през X IX и началото на X X в. показало, че светлината е твърде сложен
процес и има двойствен характер. В няКои новооткрити явления, като интерференция и дифракция, тя проявявала вълнови свойства, описвани доб­
ре от електромагнитната теория на Максуел. Но в други, открити по-късно
явления, като топлинно излъчване и поглъщане и фотоелектричен ефект,
светлината проявявала необикновени свойства на особени частици, наре­
чени кванти, или фотони. Разделът от физиката, в който се изучават про­
цесите, свързани с разпространението и взаимодействието на светлината с
веществото, се нарича оптика. Както и в някои други раздели на физиката,
необходимо е да отбележим, че в оптиката също може да се говори за
макроскопични и микроскопични явления. Към първите се отнасят интерференцията, дифракцията, поляризацията и др., където светлината проявя­
ва макроскопичните си свойства (свойствата на електромагнитна вълна).
Те се изучават в отделен дял на оптиката, който се нарича вълнова оптика.
Към вторите се отнасят тези процеси, при които светлината взаимодейства
с отделните атоми на веществата (топлинно излъчване и поглъщане, фото­
ефект и др.) и проявява квантовите си свойства. Тези явления са обект на
друг дял от оптиката, наречен квантова оптика.

238

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

Глава 13
СВЕТЛИНА. ВЪЛНОВА ОПТИКА
13.1. Естество, характер и скорост на светлината
Като едно от най-интересните природни явления светлината е била
обект на изследване от много поколения учени, докато се стигне до съв­
ременните представи за нея.
Първите научни теории за нейната природа и същност датират от края
на XV II в.: корпускулярната теория на Нютон и вълновата теория на
Хюйгенс.
Нютон разглеждал светлината като поток от дребни частици (корпускули), които се излъчват от източниците на светлина във всички направ­
ления и при попадане в окото предизвикват зрителни усещания. Различни­
те цветове на светлината той свързвал с различната големина на частиците
- най-малките при попадане в окото предизвиквали усещане за виолетов
цвят, а най-големите - за червен. Белият цвят според Нютон бил резултат
от едновременното действие на частици с различна големина. Теорията на
Нютон давала задоволително обяснение на явленията отражение и пре­
чупване, но от нея следвал погрешният извод, че светлината се разпрост­
ранява във вода с по-голяма скорост, отколкото във въздух. Това непра­
вилно следствие било невъзможно да се провери, тъй като по това време
скоростта на светлината още не била измерена.
Хюйгенс разглеждал светлината като вълна, която се разпространява в
безтегловна, обхващаща всичко среда, наречена етер. Той твърдял, че вся­
ка точка до която достигат светлинните вълни, става източник на нови
вълни и по такъв начин светлината се разпространява във всички посоки
на пространството, заобикалящо светлинния източник. Неговата теория
обяснявала добре явленията отражение и пречупване, но не могла да даде
цялостно разбиране на вълновия процес. По това време изглеждало невъз­
можно да се свърже праволинейното разпространение с вълновия процес.
Идеята за безтегловния етер, в който се разпространяват светлинните въл­
ни, също не намерила подкрепа всред по-голямата част от учените. Освен
това Нютон имал голям научен авторитет, той бил смятан за гения на
XVII в. Неговите принципи били основата на тогавашната наука. През це­
лия XVIII в. корпускулярната теория на Нютон заемала господстващо по­
ложение. Нещата се променили едва в началото на X IX в., когато били
наблюдавани явленията интерференция и дифракция на светлината. Ре­
зултатите от теоретичните и експерименталните изследвания на Юнг и
Френел потвърдили вълновите свойства на светлината и теорията на
Хюйгенс излязла на преден план. Тя била приета от всички физици. Оста­

Вълнова и квантова оптика

239

вал неясен само един въпрос - какво е естеството на саеищнните вълни,
т.е. кой извършва периодичните движения в тях.
През втората половина на X IX в. се появила електромагнитната те­
ория на Максуел, в която той твърдял, че светлинните вълни са електро­
магнитни вълни с голяма честота. Съвпадението между определената от
него скорост на електромагнитните вълни и опитно измерената наскоро
скорост на светлината не било случайно. Максуел определил точно харак­
тера на трептенията при светлинните въЛни —те се извършват от два век­
тора: интензитетите на електричното поле Е и на магнитното поле Н ,
които трептят в две взаимноперпендикулярни равнини и поотделно са
перпендикулярни на посоката на разпространение на светлината. (Поподробно вж. тема 11.5.) По своя характер електромагнитната теория е
вълнова теория. Въпреки успехите й при обяснйване на редица явления,
като интерференция и дифракция, свързани с разпространението на свет­
лината, тя не могла да даде задоволително обяснение на явленията топ­
линно излъчване и поглъщане, фотоелектричен ефект и др., които били
свързани с взаимодействието на светлината с веществото. Възникналите
затруднения били преодолени през 1900 г. с хипотезата на немския физик
М. Планкс, според която излъчването на електромагнитни вълни от вещес­
твата не става непрекъснато, а на определени части (порции), които били
наречени кванти. Тези кванти се проявяват като частици с определена
енергия, за която Планк предложил следната формула:
Е = hf,
(13.1.1)
където величината И е константа (h - 6,63.10 4 J.s), наречела в негова чест
константа на Планк, а / е честотата на електромагнитната вълна.
Стойността на константата на Планк най-напред била определена по дан­
ните от излъчване на абсолютно черно тяло.
През 1905 г. Айнщайн обяснил законите на явлението фотоелектри­
чен ефект (фотоефект ), като допуснал, че светлината не само се излъчва,
но се поглъща и разпространява също във вид на поток от светлинни
кванти. които той нарекъл фотони. Айнщайн разглеждал фотоните като
реални светлинни частици, чиято енергия се определя от формулата На
Планк (13.1.1), а масата им от известното отношение
т ф = 4

= ^ -

(13Ь2)

с
Фотоните не могат да съществуват в състояние на покой, т.е. масата им в
покой е /770= О$ 0 се движат със скоростта на светлината с = 3.10 m/s. Като
всяка движеща се частица те притежават импулс, който е насочен в посо­
ката на разпространение на светлинните вълни:

240

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

РЪ =Щ С = — С= — .
(13.1.3)
с
с
Теорията на Айнщайн се нарича квантова теория за светлината.
Квантовите представи за светлината (а също и за електромагнитните въл­
ни) се съгласували добре със законите на топлинното излъчване и поглъ­
щане, както и тези на фотоелектричния ефект, но се оказали несъвместими
с такива добре изучени явления като интерференцията и дифракцията, при
които светлината се проявява с вълновите си свойства. Така в началото на
X X в. науката достигнала до извода, че светлината е сложен обект и има
двойствен характер. Тя не може да се разглежда нито само ^т© вълни, ни­
то само като частици. Светлината представлява единство на противопо­
ложни видове движения: от една страна, движение на частици (кванти), а
от друга - движение на вълни с електромагнитна природа. В определени
явления се проявяват нейните вълнови свойства, а в други - квантовите й
свойства. Тази двойствена същност на светлината се нарича корпускулярно-вълнов дуализъм.
През първата половина на X X в. била открита аналогична двойстве­
ност и в свойствата на някои елементарни частици като електрони, прото­
ни и др. На този въпрос ще се спрем по-подробно в раздел VII.
Историческото развитие на физиката е свързано с многобройни опити
за определяне скоростта на светлината с. Първите опити, направени от Га­
лилей, не дават резултат, тъй като по това време науката разполагала с
несъвършени технически средства.
Първото успешно определяне на скоростта на светлината е реализира­
но от датския астроном О. Рьомер в Парижката обсерватория през 1676 г.
По астрономичен път, наблюдавайки затъмнението на един от спътниците
на Юпитер, той получава за скоростта на светлината стойността
с » 2 2 0 0 0 0 km/s.
През 1849 г. френският физик А. Физо предлага по-директен метод за
определяне на с при земни условия и получава стойността 315 000 km/s.
Неговият сънародник Ж. Фуко, използвайки подобен метод, определя за с
стойността 298 000 km/s, а малко по-късно успява да определи и скоростта
на светлината във вода, която се оказва по-малка от скоростта на светли­
ната във въздух. Американският физик А. Майкелсън усъвършенства ме­
тода на Фуко и в продължение на 50 години (1880-1930) провежда серия
от опити за определяне скоростта на светлината във въздух и във вакуум.
Получената от него стойност е 299 796 km/s.
Най-прецизното измерване на скоростта на светлината във вакуум е нап­
равено през 1972 г. в Национапното бюро за стандарти в Булдър, Колорадо,
чрез използване на съвременни източници на кохерентна светлина

Вълнова и квантова оптика

241

- лазери. В тези експерименти са измерени дължината на вълната X и чес­
тотата/на лазерен лъч поотделно, а след това по формулата с = X/ е полу­
чена стойността
с = 299 792 458,2±1,1 m/s.
Обикновено за случаите, в които не се изисква голяма точност, тази
стойност се закръглява на с = 3.10s m/s. Скоростта на светлината във
всички среди, различни от вакуум, е по-малка и се определя от формулата
у = с/п (вж. формули (11.5.3) и (11.5.4)). (Приема се, че във въздух и
вакуум скоростта на светлината е една и съща.)

13.2. Интерференция на светлината. Опит на Юнг.
Интерференцпя от тънки пластинки. Нютонови пръстени
Интерференцията е явление, което се наблюдава при всички вълнови
процеси. Необходимо условие за протичане на този процес е кохерентността на вълните. Когато две или повече кохерентни светлинни вълни се
наслагват в дадена точка от пространството, се наблюдава изменение на
интензитета на светлината в тази точка. Ако вълните не са кохерентни,
интензитетът на светлината в разглежданата точка с течение на времето се
запазва постоянен, т.е. не се наблюдава явлението интерференция. Ще оп­
ределим условието за кохерентност на две вълни. Нека разгледаме следния
пример. В точката Р от дадена среда се срещат две вълни, изминаващи
разстоянията л*| и xi (фиг. 13.1). Нека двете вълни имат еднаква честота со и
различни амплитуди А\ и Ai. В аналитичен вид
техните уравнения са
*,
у, =Л , cosO,(/),
у 2 = А 2 c o s 0 2(/).

Величината у може да бъде интензитетът Е на
електричното поле или интензитетът Н на маг­
нитното поле. Интензитетите на електричното и
магнитното поле се подчиняват на принципа на
суперпозицията, поради което амплитудата на резултантното трептене в
точката Р ще бъде

А2 = А2 + А2 + 2АхА2 c o s АФ,
където ДФ е фазовата разлика между двете вълни. Интензитетът на
светлинните вълни е величина, която се определя аналогично на
интензитета на звуковите вълни (вж. формули (11.4.2) и (11.4.3), тема 11.4)
и зависи правопропорционално от квадрата на амплитудата: I ~~А~. В такъв
случай интензитетът на резултантната вълна, получена от наслагването на

ух и у 2 , се определя от израза

242

ОСНОВИ НЛ ФИЗИКАТА

I = /,

+ /2

+ 2T vTcosAO

(13.2.1)

и както се вижда, зависи от фазовата разлика ДФ.
Ако фазите на двете вълни се изменят във всяка точка от пространст­
вото, но разликата между тях се запазва постоянна с времето, вълните се
наричат кохерешпни. Тогава за тези точки от пространството, в които
собДФ > 0, интензитетът е / > /,+/2, а за тези, в които совДФ < 0 ,1 < /,+/2. В
точките, в които собДФ= 1, интензитетът / ще бъде максимален (ако ам­
плитудите на двете вълни са еднакви: А, = Л 2,1\= 12, тогава 1 = 4/, = /тах), а
в тези, в които собДФ = -1 - минимален (ако А\= Л2,1\ = /2, / = 0 = /1111П
).
Следователно при наслагването на две кохерентни вълни се получава
пространствено преразпределение на интензитета на светлината, в резул­
тат на което в едни точки от пространството възниква усилване на интен­
зитета (/max), а в други - отслабване (/mjn). Именно в това се изразява
явлението интерференция на светлината, а получената картина се нарича
интерференчна картина. Тя представлява съвкупност от редуващи се
светли и тъмни ивици (максимуми и минимуми на интензитета).
Ако вълните са некохерентни, фазовата им разлика ДФ се изменя непре­
къснато с времето: ДФ = J[t). В този случай ДФ ще заема различни
стойности между 0 и 2я, а средната стойност на собДФ ще бъде равна на
нула: cosAФ = 0. Резултантният интензитет от наслагването на двете въл­
ни няма да се изменя с времето, т.е. I — I\+ I2 = const, поради което в точ­
ката Р няма да се наблюдава явлението интерференция.
Нека определим фазовата разлика ДФ на двете вълни, които се наслагват
в точка Р на дадена среда. Допускаме, че в началния момент фазите на вълни­
те в точките У и 2 са еднакви: Ф](/) = Ф 2(/) = со/, а началните им фази са <р0|=
Фо2 = 0. След известно време двете вълни достигат до точката Р, изминавайки
различни разстояния х\и х2, вследствие на което техните фази се променят:

ух = Ахcos со / —

У 2 = А 2 COS СО

t--±V)

където e v e означена скоростта, с която се разпространяват вълните в
дадената среда. В такъв случай фазовата разлика ДФ ще бъде
Дф = Ф, - Ф 2 = со

ДФ = — (х2п -Дчл).

(13.2.2)

Скоростта v е изразена съгласно формулата (11.5.4). Величините х2п и

Вълнова и квантова оптика

243

Х\П представляват изминатите от двете вълни разстояния, умножени по
коефициента на пречупване на средата, в която те се разпространяват. На­
ричат се оптични пътища и се означават с 5*1 и ^ Ако вълните се раз­
пространяват в две различни среди с коефициенти на пречупване П\и п2,
S\= X\n\. a S2= х2п2. Тогава фазовата разлика АФ може да се изрази по
следния начин:
ДФ = 2 £ (
* £ ( $ , - 5 ,) = ^ ,
(13.2.3)
с
с
А,
където с А е означена разликата в оптичните пътища на вълните, а А. е
дължината на светлинната вълна във вакуум.
Ако разликата А в оптичните пътища е равна на четно число полувълни (или цяло число вълни), получаваме

АФ = — 2 т — = 2тп; созД Ф = 1.
(13.2.4)
А
2
В точката Р ще се наслагват трептения с еднаква фаза, следователно ще
наблюдаваме усилване на интензитета, или интерференчен максимум.
Ако разликата А в оптичните пътища е равна на нечетно число полувълни,получаваме
д ф = — (2/и + 1)— = (2/и + 1)тс; созА Ф = -1.
(13.2.5)
А
2
В този случай наслагващите се в точката Р вълни ще бъдат в противо­
положни фази, т.е. ще наблюдаваме отслабване на интензитета, или ин­
терференчен минимум. И в двата случая т е цяло число ( т = 0, 1 , 2,...) и
показва порядъка на съответния максимум или минимум.
Необходимо и задължително условие в дадена точка от пространство­
то да наблюдаваме явлението интерференция е кохерентността на наслаг­
ващите се вълни. Опитите показват, че при наслагване на светлинни вълни
от два независими източника, например две лампи, интерференция не се
наблюдава. Това показва, че вълните, излъчени от тях, не са кохерентни.
(Два източника се наричат кохерентни, ако излъчват трептения с еднаква
честота и фаза.) Кохерентни светлинни вълни се получават чрез разделяне
на светлинните вълни, излъчени от даден източник, на две или повече час­
ти. Това се постига, като се поставят процепи на пътя на светлинните въл­
ни на даден източник. За първи път интерференция на светлината от два
процепа е наблюдавана през 1803 г. от английския физик Т. Юнг
(фиг. 13.2). В опита на Юнг, станал по-късно класически, светлината от
точков монохроматичен източник (източник, който излъчва светлинни
вълни с определена дължина А. = const) пада върху два тесни процепа Р\ и
Р->. Процепите действат като два източника на кохерентни вълни с еднаква
честота со. С 1\и 12 означаваме разстоянията, които изминават два свет­

244

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

линни лъча от процепите Р\ и Р 2 до
точката Р от екрана, поставен на разс­
тояние L от равнината на процепите. В
геометричната оптика широко се из­
N
ползва понятието светлинен лъч, което
означава много тесен сноп светлинни
О
вълни, разпространяващи се праволи­
нейно. Разстоянието между двата про­
М
цепа е d. Величината d е много помалка от L (d < < L). Точката О от ек­
рана Е съответства на средата на цен­
тралния максимум на наблюдаваната
интерференчна картина. В точката Р, където се наслагват двата лъча, ще се
наблюдава интерференчен максимум или минимум в зависимост от разли­
ката А в оптичните пътища. В случая средата, в която се разпространяват
лъчите, е въздух (/? = 1 ) и разстоянията 1\и / 2 са равни на оптичните пъти­
ща S\и S2: А = / 2 - l\= S2- S\. Означаваме с х разстоянието ОР. Ще опреде­
лим разликата А в този случай. От триъгълниците РР2М и PP\N получаваме

d I = //
L2 + х +—
2 ’
Тогава

/2

d^
1} + х -= i;
2 /
Ч

- I2 = (ле + d/2)2 - (х - d / 2) 2 = 2xd = ( / 2 - /, \l2 +/,). Следователно
2хd
xd
A = -— - = — ,
(13.2.6)
/] + 12
L

където съгласно условието d < < L полагаме /, « /2» L. Ако разликата А е
четно число полувълни, в точката Р ще се наблюдава усилване на
интензитета (максимум) и OP = jcmax ще определя разстоянието от
централния максимум (т = 0 ) до кой да е максимум ( т = 1 , 2 , 3,...):

d 0 X
А = х max — = 2/77—
(13.2.7)
*m ax = П А ^ '
L
2
Ако А е нечетно число полувълни, в точката Р ще има отслабване на
интензитета, съответстващо на минимум. В този случай OP =
л = * тту = ( 2 " '+ 0 |

(13.2.8)

min

Разстоянието между два съседни минимума или максимума
интерференчната картина е еднакво и се нарича широчина
интерференчната ивица. Тя може да се определи по следния начин:
А * т а х = ^тах(/п) “ * т ах (* - 1 ) =

тХ^~

^

( 13 2

от
на

^

Същия резултат ще получим, ако използваме условието (13.2.8) и
определим Ajcmin. Тогава

Вълнова и квантова оптика

245

Дх = Д*т„ = Л * т, „ = ^ .

(13.2.10)

Очевидно широчината Дх на интерференчната ивица не зависи от
порядъка т. Тя е постоянна величина за даден опит, т.е. за определени d, L
и Л. От (13.2.10) следва също, че ако разстоянието d между процепите е
голямо (d ~ L ) отделните ивици ще бъдат неразличими, тъй като за
видимата светлина А. ~ 1 0 7 ш. Ето защо, за да се наблюдава
интерференчна картина, е необходимо да бъде изпълнено условието
d < < L. Интерференчната картина, наблюдавана върху екрана,
представлява редуващи се светли и тъмни ивици с еднаква широчина,
които са успоредни една на друга и симетрично разположени около
централния максимум. Той съответства на точките, в които се наслагват
лъчи с фазова разлика ДФ = 0 (т = 0). Над и под него се редуват
максимумите и минимумите от различен порядък т — ±1, ±2, ±3,...
Описаната интерференчна картина се отнася за монохроматичен източник
на светлина. Чрез измерване на величините Дх, L и d може да се определи
дължината X на светлинната вълна. Ако източникът излъчва не
монохроматична,
а
бяла
(съдържаща
няколко
монохроматични
компоненти) светлина, интерференчната картина ще бъде цветна. В
средата на екрана, където се събират лъчите с различна дължина на
вълната, но с фазова разлика ДФ = 0, ще има бяла ивица, съответстваща на
централния максимум (т = 0). От двете му страни ще се разполагат
последователно отделните цветни максимуми от различен порядък, като в
началото са виолетовите, а накрая - червените.
В природата често се наблюдават цветни интерференчни картини
върху тънки прозрачни слоеве като маслени петна във вода, сапунени
балони, тънки слюдени пластинки и др. Нека разгледаме тънка пластинка
с постоянна дебелина d и коефициент на
пречупване п, върху която пада сноп успо­
редни светлинни лъчи от даден източник на
монохроматична светлина (фиг. 13.3). За
простота разглеждаме пътя на двата лъча 1
и 2. Пластинката се намира във въздушна
среда ( пЛ= 1). Лъчът 1 пада върху горната
В
повърхност на пластинката в точка А под
Ф и г - 13 3
ъгъл а , пречупва се под ъгъл р (Р < а ) и
достига долната йповърхност в точка В. Част от него се отразява и дости­
га горната повърхност в точката С, където, пречупвайки се отново, се раз­
пространява в посоката СЕ. Лъчът 2 се отразява от горната повърхност

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

246

на пластинката в точката С и се разпространява в същата посока СЕ. (Гор­
ните разсъждения следват от законите на геометричната оптика.) Двата
лъча 1 и 2, които се разпространяват в една посока, са кохерентни, тъй
като са получени от един и същ източник - имат еднаква честота со, но
изминават различни оптични пътища. При наслагването си в дадена точка
те ще интерферират. В точката на наслагването ще се наблюдава усилване
или отслабване на интензитета в зависимост от разликата в оптичните пъ­
тища на лъчите. Пътищата на лъчите са еднакви до точките А и D и в по­
соката СЕ. Очевидно разликата А е
А = (АВ + ВС )п - CDnB;

АВ = BC = d/ cosp; CD= ^Csina; AC = 2dt$\
A = 2J/?/cosP-2Jsina tgP = 2J«cosp,

(13.2.11)

тъй като от законите на геометричната оптика е известно, че sina/sinp = п.
Изразът (13.2.11) може да се представи и по следния начин:
Д = 2<r//7Cos|T= 2dyln2 - sin2 a ,

(13.2.12)

където cosp = -^1 —sin” p =(1 /n)yln2 - sin2 a . Известно е, че при отражение
от оптично по-плътна среда (п > пв) оптичният път на вълната намалява с
половин дължина 7J2. Като отчетем този факт, формулата (13.2.12) можем
да запишем по следния начин:
А = Idncosfi - — = 2dyjn2 -sin 2 a -- .

2

(13.2.13)

2

Ако разликата А в оптичните пътища е (2т + l)A./2, лъчите У и 2 се гасят
взаимно и в направлението СЕ няма да се наблюдава отразена светлина
(интерференчен минимум); ако А = 2 т к /2 , интерферирашите лъчи се
усилват взаимно и в точката на наслагването се получава интерференчен
максимум.
От получената формула (13.2.13) следва, че ако величините d,nv\ a(P)
са постоянни, разликата А в оптичните пътища ще бъде еднаква за всяка
точка от повърхността на пластинката. В такъв случай повърхността на
пластинката ще бъде или тъмна (светлината не се отразява от нея) или
светла в зависимост от стойността на разликата А. Ако дебелината d или
коефициентът на пречупване п се променят, тогава на повърхността на
пластинката ще се наблюдава интерференчна картина от редуващи се
светли и тъмни ивици. Ще се спрем на няколко интересни случая:
Интерференция от пластинка с равномерно
променяща се дебелина d. Такава пластинка се на­
рича оптичен клип (фиг. 13.4). Ако коефициентът
на пречупване на оптичния клин е постоянна ве­
личина, а ъгълът на падане а на лъчите върху него
Фиг. 13.4

Вълнова и квантова оптика

247

е еднакъв за всички точки от повърхността му, ще се получат редица
еднакво отдалечени светли и тъмни ивици. За всички точки от клина, къ­
дето дебелината d е еднаква, разликата Д също ще бъде еднаква. В такъв
случай в тези точки резултатът от ингерференцията е един и същ (усилва­
не или отслабване на интензитета в зависимост от стойността на Д). От
това следва, че на всяка тъмна или светла ивица, наблюдавана върху по­
върхността на клина, ще съответства една и съща дебелина d,. Получените
интерференчни ивици се наричат ивици на еднаква дебелина. Те се изпол­
зват в практиката за проверка на точността, с която се изработват различ­
ни оптични пластинки с определена дебелина.
Нютонови пръстени. Те представляват частен случай на ивиците на
еднаква дебелина. Получават се като резултат от интерференция на свет­
лината от въздушния клин между стъклена пластинка Р и сферична леща
L с радиус R (фиг. 13.5). В този случай ивиците на
еднаква дебелина имат форма на концентрични
пръстени. За различните дебелини d, на въздушния
клин се получават съответни пръстени с радиуси г„
които са светли или тъмни в зависимост от разлика­
та Д в оптичните пътища. Нютоновите пръстени се
използват при някои методи за определяне дължи­
ната на светлинната вълна.
Интерференция от пластинка с постоянна де­
белина и постоянен коефициент на пречупване. В
този случай от израза (13.2.13) следва, че при про­
мяна на ъгъла на падане а, на лъчите разликата Д,
непрекъснато се изменя. За всички лъчи, които по­
падат под еднакъв ъгъл върху пластинката, оптичгг
фигната разлика ще бъде еднаква. Гези лъчи имат една­
къв наклон спрямо повърхността на пластинката и съответстващите им
интерференчни ивици се наричат ивици на еднакъв наклон.

13.3. Дифракции на светлината. Френелови зони. Дифракция
на плоска монохроматична вълна от един процеп.
Дифракционна решетка
Дифракцията представлява отклонението на светлинната вълна от
праволинейното разпространение в дадена еднородна среда, когато срещне ^р^пятствие, съизмеримо с дължината на вълната
Както и интерференцията, това явление е характерно за всички вълнови процеси. Обяснява
се с принципа на Хюйгенс, според който всяка точка от фронта на една
вълна става източник на нови вторични вълни, разпространяващи се във

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

248

всички посоки на пространството. Тези вълни са кохерентни и при наслаг­
ването им в дадена точка интерферират, като се усилват или отслабват
взаимно в зависимост от разликата Д в оптичните пътища. На пръв поглед
принципът на Хюйгенс като че ли противоречи на праволинейното раз­
пространение на светлината. Френел доказва, че това противоречие е
привидно, като използва т.нар. метод на зоните, който впоследствие става
известен като метод на френеловите зони. Нека от точковия източник S се
излъчва сферична вълна, която се разпространява в еднородна изотропна
среда (фиг. 13.6). След
време / вълната се прид­
вижва на разстояние SO =
R = ct. Означаваме с К
фронта на вълната, който
*Р
представлява част от сфе­
рична вълнова повърх­
ност. Според принципа на
Хюйгенс всяка точка от К
Фиг. 13.6
става източник на нови
сферични кохерентни въл­
ни, които се разпространяват във всички посоки. Допускаме, че след ин­
тервал от време А/ тези вълни достигат точката Р и интерферират. За да
определи амплитудата на резултантната вълна в Р, Френел разделя фронта
К на пръстеновидни зони с такива размери, че разстоянията от техните
краища до точката Р да се различават с Х/2. Разстоянието ОР е означено с
Г\. С радиус т2 = i"\+ АУ2 се построява концентрична сферична повърхност с
център Р. Тази повърхност отсича от фронта К един малък сферичен сег­
мент, който се нарича централна френелова зона. По същия начин, пост­
роявайки концентрични сферични повърхности с център Р и радиуси
г/ = r/_1 + А./2 , получаваме пръстеновидни ивици, които съответстват на
втората, третата и т.н. зона, наречени френелови зони. Централната френе­
лова зона е заключена между радиусите гх и г2, втората - между г2 и г3,
третата - между г3 и гАи т.н. Сумарните амплитуди на вълните, излъчени
от всяка зона, се означават c A itA2,...,A„. Достигайки до точката Р, ампли­
тудите на вълните ще имат различни знаци, тъй като вълните от всяка зона
изминават пътища, различаващи се с Х/2, и фазите им се изменят с и. Ако с
А означим сумарната амплитуда, получена от наслагването на А\, А2,..., А„
в точката Р, получаваме

А=А]-А2+А3-А4+---±Лп,

(13.3.1)

където знакът
се отнася за четна зона, а
- за нечетна. Съгласно
уравнението на сферична вълна (11.2.8) амплитудите А, намаляват посте­

249

Вълнова и квантова оптика

пенно с нарастването на г, и могат да се разглеждат като членове на сходяща аритметична прогресия. Всеки член се представя като средноарит­
метична стойност от двата му съседни члена:

д_ А-1+А+1
От своя страна изразът (13.3.1) може да се преобразува по следния начин:
А Л
(А
,
А-, >1 ( АзJ
-л4 + 5
-+-Л? +— +
2
2
2 )
^2
2

1

J

( а
а
Л А,м+1
(13.3.2)
+•
+{Л!-±-Ап + Л^
2
2
)
2
\
Като използваме горните равенства и предположим, че броят на зоните е
безкрайно голям (я->оо), така че последният член от редицата (13.3.2) мо­
же да се пренебрегне (Ап+]/2 * 0 ), получаваме
л=4-.

(13.3.3)

2
Следователно интензитетът / на резултантната вълна в точката Р ще зави­
си само от амплитудата на вълните, излъчени от половината на централна­
та френелова зона. Вълните от другите зони пристигат в точката Р с про­
тивоположни фази и се гасят взаимно. По такъв начин Френел доказал, че
противоречието в принципа на Хюйгенс е само привидно и светлината се
разпространява почти строго праволинейно. За да се убедим в това ще
разгледаме един пример. Нека даден монохроматичен източник излъчва
светлина с дължина на вълната А. = 6.10 т . Да пресметнем радиуса R\ на
централната френелова зона, като е известно, че ОР = Г\= 15.10 “ m
(фиг. 13.7). Прилагаме теоремата на Питагор
за триъгълника ВСР\

R\ = Vr22 - r\ = y ^ + y =
л

( 13-3-4)

където величината X /4 се пренебрегва като
много малка. (Допускаме, че с приближение е
изпълнено
СР « ОР=г\.) Като заместим
стойностите на г\ и X в (13.3.4), получаваме
R\х 0 , 3 . 1 0 m. Следователно интензитетът в точката Р ще се създава от
сумарната амплитуда А\ на вълните, излъчени от половината площ на
малко кръгче с радиус R\- 0,3 mm, центърът О на което лежи върху пра­
вата SP.
Ако броят на френеловите зони не е безкрайно голям, а е крайно чис­
ло, от формулата (13.3.2) за амплитудата А получаваме

250

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

А = ~ (А + Д ,) (и-нечетно)

(13.3.5)

А = —(Ax- Ап) (я-четно).

(13.3.6)

В първия случай в точката Р ще наблюдаваме интерференчен максимум
(нечетен брой зони), а във втория - минимум (четен брой зони).
Явленията дифракция и интерференция имат доста общи признаци,
поради което е трудно да се постави точна граница между тях. И в двата
случая наблюдаваната картина възниква в резултат на наслагване на кохе­
рентни вълни. Интерференцията е явление, възникващо в случаите, когато
първоначалната вълна се разделя на неголям брой участъци (например
процепите Р\ и Р2 в опита на Юнг) и се сумират вълните от тези участъци.
При дифракцията се сумират вълни, водещи началото си от различни точ­
ки, принадлежащи на един и същ участък отдадена вълна.
Най-простият случай на дифракция се наблюдава, когато разпростра­
няващите се светлинни вълни срещат по пътя си тесен процеп (фиг. 13.8).
Нека плоска монохроматична вълна пада върху непрозрачен екран Р с те­
сен процеп а (а » А.).
Ако зад равнината на
процепа
поставим
екран Е и събирателна
леща L пред него, ще
наблюдаваме явлени­
ето дифракция. За
пръв път тази диф­
ракция е наблюдавана
от Фраунхофер, зато­
ва се нарича още
дифракция на Фраун­
Фиг. 13.8
хофер. Според прин­
ципа на Хюйгенс вся­
ка точка от процепа
става източник на нови кохерентни вълни, които се разпространяват във
всички посоки. За простота разглеждаме двата крайни лъча АМ и BN, кои­
то се отклоняват от процепа на определен ъгъл ф| и се наслагват в точката
Р\ върху екрана. Разликата в техните оптични пътища ВС = А) е
Д, = a sin c p ,.

Допускаме, че ъгълът cpi има такава големина, за която е възможно
разликата Д| в оптичните пътища да се раздели на две ивици с широчина \12.
Построяваме през средната и крайните точки на процепа три вълнови по­

Вълнова и квантова оптика

251

върхности, които са перпендикулярни на посоката на разпространение на
лъчите, определена от ъгъла ср,. При тези условия светлинният сноп в
избраната посока се разделя на две части, чиито лъчи изминават до
точката на наслагването пътища, които се различават с Х/2 и взаимно се
гасят (те пристигат с противоположни фази).
Нека разгледаме друго направление на лъчите, определено от поголям ъгъл (р2 , който позволява разликата А в оптичните пътища да се раз­
дели на три ивици с широчина Х/2. В този случай светлинният сноп се раз­
деля на три части, съответните лъчи от които отново изминават пътища,
различаващи се с Х/2. В точката на наслагването Р i лъчите от първите две
части на снопа се компенсират взаимно, защото са с противоположни фа­
зи, но тези от третата част остават некомпенсирани. В този случай ще наб­
людаваме усилване на интензитета в точката на наслагването. Очевидно е,
че с нарастването на ъгъла ф расте А и се увеличава броят на ивиците с
широчина XI2, които разделят процепа на френелови зони. На екрана ще се
наблюдават редуващи се точки (Pi, Pi,---) на усилване и отслабване на ин­
тензитета, които образуват дифракционната картина. Броят на фре!(елови­
те зони в определено направление ф, се определя, като се раздели разлика­
та А, в оптичните пътища на Х/2. За монохроматичен сноп лъчи (X — const)
този брой зависи само от ъгъла ф,. Следователно при дадена дължина на
вълната и определен ъгъл ф, ако броят на зоните е четно число, в точката
на наслагването се наблюдава отслабване на интензитета (минимум).
X
A = asin({) = 2k— (min).

2
При нечетен брой на зоните в точката на наслагването се наблюдава
усилване на интензитета (максимум):
X
А = ^sin ф = (2к + 1)— (max).
И в двата случая к е цяло число, определящо порядъка на минимума или
максимума (к = i l , ±2 ,...,), който е разположен отляво или отдясно на
централния максимум ( ф = 0). Дифракционната картина представлява
система от светли и тъмни ивици, разположени симетрично около
централния максимум. Ъгълът ф може да се отчита наляво или надясно от
нормалата, построена през средата на процепа, перпендикулярно на равни­
ната на екрана, върху който се наблюдава картината. Ако успоредните
лъчи в различните направления се събират чрез събирателна леща в една
линия на екрана, дифракционната картина е много по-ясна. Лещата не
променя фазовата разлика между лъчите, преминаващи през нея.

252

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

Когато вместо процеп светлината среща на пътя си кръгъл отвор с
малки размери (съизмерими с дължината на вълната X), дифракционната
картина представлява светло (или тъмно) централно петно, оградено от
тъмни и светли пръстени.
Нека сега разгледаме дифракционната картина, която се получава от
редица процепи с еднаква широчина а, които се намират в една равнина и
на еднакво разстояние Ъ един от друг
(фиг. 13.9). Такава система от процепи се на­
рича дифракционна решетка. Броят на про­
цепите върху 1 mm може да бъде значителен.
Стандартните решетки имат по 300, 600, 1 2 0 0
и 1800 процепа на 1 mm. Съвременното раз­
витие на техниката позволява изготвянето на
такива решетки. Най-простите дифракционни
решетки се получават от прозрачни стъклени
пластинки, върху които със специален диа­
Фиг. 13.9
мантен резец се нанасят голям брой тънки
щрихи. В този случай ролята на процепите се изпълнява от прозрачните
участъци, разделящи щрихите. Величината d, определена от равенството d
= a+b, се нарича константа на дифракционната решетка. Съгласно
принципа на Хюйгенс всички процепи на дифракционната решетка може
да се разглеждат като източници на кохерентни вълни, които при наслаг­
ването си върху екрана ще предизвикват усилване или отслабване на ин­
тензитета в зависимост от разликата в оптичните пътища А = (а + &)sin(p
(фиг. 13.9). Тази разлика е една и съща за всички лъчи, разпространяващи
се в определено от ъгъла ф направление. Ако разликата в оптичните пъти­
ща е равна на четно число полувълни, наблюдаваме максимум; ако разли­
ката А е нечетно число полувълни, наблюдаваме минимум:

A = dsin(p = 2m— (max) ,
A=

X
sin ф = (2m + l)— (m in).

(13.3.7)
(13.3.8)

Горните условия определят интерференчната картина, получена от
наслагването на кохерентните лъчи, излизащи от всеки два съседни
процепа. В рамките на всеки един процеп поотделно ще се наблюдава
дифракционна картина, определена от условията за минимум и максимум
при дифракция от един процеп:
А = яБтф = 2А— (min),

(13.3.9)

Вълнова и квантова оптика

A = tfsin(p = (2£ + l)— (шах).

253

(13.3.10)

Следователно пълната картина при дифракционната решетка ще бъде посложна, съставена от главни и допълнителни максимуми и минимуми.
Условието за главни максимуми се определя от израза (13.3.7), а
условието за главни минимуми — от (13.3.9). Условията за допълнителни
максимуми и минимуми зависят от броя на процепите на решетката. При
голям брой процепи интензитетът на допълнителните максимуми е
пренебрежимо малък в сравнение с този на главните.
Колкото по-голям е броят на процепите в една дифракционна решетка,
толкова повече светлинна енергия преминава през нея. Получената карти­
на е с по-ярко изразени минимуми и максимуми.
Ако през решетката се пропуска бяла светлина, всички максимуми с
изключение на централния (т = 0 ) ще се разложат в спектър и картината
ще бъде цветна. Това свойство на дифракционната решетка се използва в
спектроскопията за изследване спектралния състав на различни светлинни
източници. Определят се дължините на вълните на отделните монохроматични компоненти на даден светлинен източник.
Измерването на дължината на вълната на монохроматични светлинни
вълни с дифракционна решетка показва, че зрително усещане в човешкото
око предизвикват електромагнитни вълни с дължина на вълната X от 400
до 750 nrn. Човешкото око възприема светлината с дължина на вълната
X = 400 nm като виолетова, а тази с X = 750 nm като червена. Електромаг­
нитните вълни с дължини извън този интервал не се възприемат от човеш­
кото око.
Често дифракционните решетки се използват и за решаване на обратната задача: при известна дължина на вълната X чрез измерване на ъгъла ср
за дадено направление на лъчите да се определи константата d на дифрак­
ционната решетка.
Както е известно, една от важните задачи на науката е да се определят
разстоянията между отделните атоми в твърдите тела и да се установи
кристалната им структура. Тази задача може да се реши чрез осветяване на
кристал с рентгенови лъчи. Рентгеновите лъчи са електромагнитни вълни
с много голяма честота (вж. тема 14.3) и малка дължина на вълната
(А.« Ю -10 т ). За да се наблюдава дифракция на рентгенови лъчи, е необхо­
дима дифракционна решетка с константа d, съизмерима с X. Толкова фина
дифракционна решетка не е възможно да се изработи, но ако на пътя на
рентгеновите лъчи се постави кристал с правилна периодична структура,
става възможно наблюдаването на явлението дифракция. Тъй като атомите
в кристалната решетка са разположени на еднакви разстояния d един от

254

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

друг, които са от порядъка на дължината на вълната на рентгеновите лъчи,
условието за дифракция става изпълнимо. Всъщност кристалът представля­
ва пространствена тримерна дифракционна решетка с константа d « 1 0 ",0 m,
от която рентгеновите лъчи дифрактират. Получената дифракционна кар­
тина се регистрира на специален екран (фотографска плака) и представля­
ва съвкупност от светли и тъмни петна. Тя е резултат от взаимодействието
между рентгеновите лъчи и атомите на кристала. От условията за дифракционни максимуми и минимуми, които са свързани с константата d и дъл­
жината на вълната X, може да се получи информация за разположението
на атомите и молекулите в кристала. Този метод за изследване вътрешна­
та структура на веществата се нарича рентгено-структурен анализ. Едно
от най-крупните открития на X X в. - определяне пространствената струк­
тура на молекулата ДНК - е направено с помощта на рентгеноструктурния анализ. Получени са данни за пространствения строеж на неколкостотин белтъчни молекули. На основата на тези данни усилено се
развиват молекулярната биология и генното инженерство.
Ще разгледаме един прост метод за определяне на условията за дифракционни максимуми и минимуми при явлението дифракция на рентге­
нови лъчи. Методът е предложен от английския физик У. Брег и руския
физик Г. Вулф, поради което се нарича метод на Вулф и Брег. Нека рент­
геновите лъчи падат под определен ъгъл 9 към повърхността на даден
кристал (фиг. 13.10). Атомите на кристала са разположени на еднакви раз­
стояния един от друг и лежат върху равнини, които са успоредни една на
друга и се намират на разстояние d помежду си. За простота разглеждаме
само първите две атомни равнини и два рентгенови лъча / и 2 , които се
разсейват от атомите А и В. Спо­
ред принципа на Хюйгенс всеки
атом, върху който попада рентге­
нов лъч, става източник на вто­
рични вълни, разсейващи се в раз­
лични посоки. Разсеяните рентге­
нови лъчи са кохерентни и интерферират при наслагването си в
дадена точка. Означаваме с Г и 2'
отразените от атомите А и В рентгенови лъчи. Разликата в оптичните пъти­
ща на тези два лъча очевидно е

A = CB + BD = 2ds'mQ.
(13.3.11)
(Показателят на пречупване на рентгеновите лъчи за всички среди е
близък до единица.) Ако дължината на рентгеновите лъчи е X, условието
да се наблюдава максимум върху екрана ще бъде

255

Вълнова и квантова оптика

(13.3.12)

2d sinQ = 2т — - тХ,

2

където т = 1 , 2 , ... е цяло число, определящо порядъка на съответния
максимум. Изразът (13.3.12) се нарича условие на Вулф-Брег за
наблюдаване дифракция на рентгенови лъчи от кристал. То позволява при
известна дължина на вълната на рентгеновите лъчи да се определи
разстоянието d, или константата на съответната кристална решетка.
Методът дава възможност да се реши и обратната задача - при известна
константа d чрез измерване на ъгъла 0 (за т — 1 ) да се определи
дължината на вълната X на рентгеновите лъчи.

13.4.
Поляризация на светлината. Закони на Малюс и
Брюстер. Двойно лъчепречупване. Поляризационни призми
Поляризацията на светлината е процес, който се наблюдава при взаи­
модействие на светлинните вълни с веществата. Според електромагнитна­
та теория на Максуел светлинните вълни са електромагнитни напречни
вълни: трептенията на електричния и магнитния вектор се извършват в
направления, перпендикулярни на посоката на разпространение на свет­
лината (вж. тема 11.5).
Светлината се разглежда като сумарно електромагнитно излъчване от
голям брой атоми, принадлежащи на даден източник. Тъй като всеки атом
от източника излъчва трептения независимо от другите, това сумарно
електромагнитно излъчване се характеризира с всевъзможни равновероятни ориентации на електричния вектор Е , който се нарича още светлинен
вектор. Такава светлина, при която светлинният вектор има всевъзможни
посоки, се нарича неполяризирана (фиг. 13.11а). Всички светлинни източ­
ници излъчват неполяризирана свет­
‘«ч
лина, затова тя се нарича и естестве­
на. Ако в резултат на някакво външно
въздействие сред всевъзможните ори­
f t
ентации на вектора Е се получи едно
\
,
преобладаващо направление, светли­
в
а
6
ната се нарича частично поляризирана
(фиг. 13.116). Светлина, при която
Фиг. 13.11
светлинният вектор има едно опреде­
лено направление, се нарича линейно- или плоскополяризирана (фиг.
13.11 е). Равнината, в която се извършват трептенията на вектора Е , се
нарича равнина на поляризация. Тя се определя от двата вектора — вектора
Е и вектора на скоростта v, задаващ посоката на разпространение на

Ч

Й.\
\/ \ '
N vV

светлинните вълни.

(\
V
Y
'

,

256

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

Естествената светлина може да се преобразува в поляризирана при
взаимодействие с определени вещества. Съществуват няколко начина за
получаване на поляризирана светлина. Ще се спрем на по-важните от тях.
13.4.1. Поляризация на светлината при преминаване
през поглъщащи анизотропни вещества
В природата съществуват прозрачни кристали, които се характеризи­
рат с това, че светлината в тях се разпространява с различни скорости в
различните им направления. Тези кристали се наричат анизотропни. Ня­
кои от анизотропните кристали, като турмалин, херапатит и др., притежа­
ват свойството при преминаване на светлина през тях да поглъщат трепте­
нията на електричния вектор във всички направления освен в едно, което
пропускат, т.е. преобразуват естествената светлина в плоскополяризирана.
Пластинки от такива кристали служат за получаване на поляризирана
светлина и се наричат поляризатори. Ако например върху пластинка от
турмалин с дебелина 1 mm пада лъч естествена светлина, от пластинката
излиза напълно поляризиран лъч. Ще разгледаме класическия опит с турмалинови пластинки, осъществен от френския физик Е. Малюс (фиг. 13.12).

Перпендикулярно на пътя на тесен сноп естествена светлина се поста­
вя пластинка от турмалин, която пропуска само тези трептения на елек­
тричния вектор, които са по направлението ОО*, т.е. по оста р (ос на поляризатора). Преминалата през пластинката светлина е поляризирана. Ч о­
вешкото око не различава поляризираната от неполяризираната светлина.
За да се определи каква част от падналата върху поляризатора светлина е
поляризирана, е необходимо на пътя на поляризираните лъчи да се поста­
ви втора пластинка със същите свойства, която се нарича анализатор.
Малюс установява, че когато осите на двете пластинки са успоредни, ин­
тензитетът на преминалата през анализатора светлина е максимален, а ко­
гато осите са кръстосани, интензитетът е минимален. Интензитетът на
преминалата светлина е пропорционален на квадрата на амплитудата на

Вълнова и квантова оптика

257

трептенията на електричния вектор Е (1~Е~). Поляризаторът пропуска
само трептенията, които са успоредни на оста р. Означаваме амплитудата
им с Ер, а ъгълът между осите на поляризатора и анализатора с а. Опитът
показва, че при ъгъл а = 0 ° анализаторът пропуска напълно падналата
върху него светлина, т.е. Еа= Ер (.Еа е амплитудата на пропусканите от
анализатора трептения), а при а = 90° той не пропуска светлина, т.е.
Еа = 0. В такъв случай зависимостта се определя от косинусова функция:
Еа = Е р c o s a ,

I a = I pcos2a,

(13.4.1)

където 1а и 1р са интензитетите на преминалата през анализатора и поляри­
затора светлина. Зависимостта (13.4.1) е опитно установена от Малюс и се
нарича закон на Малюс. Експериментално установен е още един интере­
сен факт. Независимо ог добрите поляризационни свойства на турмалина
интензитетът на преминалата през поляризатора светлина намалява два
пъти, т.е. ако с / 0 е означен интензитетът на падащата върху поляризатора
естествена светлина, lp —I q/2. В такъв случай законът на Малюс може да се
запише по следния начин:
/ = — cos2 a .
°
2
Освен естествено срещаните в природата кристали с поляризационни
свойства съществуват и изкуствени поляризатори, наречени поляроиди. Те
представляват изкуствено получени пластинки с ориентирана структура,
които имат същите, а в някои случаи и по-добри поляризационни свойства.
Поляроидите намират все по-голямо приложение в най-различни области.
13.4.2. Поляризация на светлината при отражение и пречупване
Нека върху граничната по­
пя па hi
върхност, разделяща две дие­
естествен лъч
i
лектрични среди (например въз­
I
дух и стъкло или въздух и слю­
да), пада лъч естествена светли­
на (фиг. 13.13). Според законите
на геометричната оптика една
част от лъча се отразява, като
ъгълът на падане а е равен на
ъгъла на отражение a (a = a ),
Фиг. 13.13
а друга част се пречупва под
ъгъл Р (при преход от въздух в
по-плътна среда е изпълнено a > Р) и се разпространява

отразен плоскополяризиран лъч

пречупен частичнополяризиран лъч

във втората среда.

258

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

За падащия и пречупения лъч е в сила отношението
s in а
п-,
sin Р

и,

където п2 и П\ са коефициентите на пречупване съответно на втората и
първата среда. Тъй като в разглеждания случай първата среда е въздух и
п|= 1 , горната формула придобива вида
sina
— — = п,
sin (3

/ n ,-v
(13.4.2)

където с п е означен коефициентът на пречупване на втората, оптичио поплътна среда (стъкло или слюда). Ако на пътя на отразения и пречупения
лъч се постави анализатор, се оказва, че те са частично поляризирани. В
отразения лъч преобладават трептения на електричния вектор, които са
перпендикулярни на равнината на падане (на фигурата са изобразени с
точки), а в пречупения - трептения, успоредни на равнината на падане
(изобразени са със стрелки). (От геометричната оптика е известно, че рав­
нината на падане се определя от падащия, отразения (пречупен) лъч и
перпендикуляра към граничната повърхност в точката на падане.) Степен­
та на поляризация зависи от ъгъла на падане а и от коефициента на пре­
чупване п. Опитно е установено, че при ъгъл на падане а , удовлетворяващ
условието
tga -п,
(13.4.3)
отразеният лъч е напълно поляризиран, а пречупеният - частично. Зави­
симостта (13.4.3), определена от шотландския физик Д. Брюстер, е извес­
тна във физиката като закон на Брюстер. Ъгълът а , съответстващ на усло­
вието (13.4.3), се нарича ъгъл на Брюстер и се бележи с а д . Нека опреде­
лим ъгъла на пречупване (Зд, който съответства на а # . Приравняваме леви­
те страни на (13.4.3) и (13.4.2), като заместваме а с а й :
sin Q-н = sino^
cosa^
sin

(13.4.4)

От (13.4.4) следва, че cos a#= sin (Зд. Това условие може да бъде изпълне­
но, ако а.ц+ Рд= 90°. В такъв случай Рд = 90° - ад. Но според закона за от­
ражение a = а * и а н = а н ; тогава а и + Р й = 90° , откъдето следва, че ъгъ­
лът между отразения и пречупения лъч е равен на 90°. Ако е изпълнено
условието (13.4.3), може да се получава плоскополяризирана светлина при
отражение от различни диелектрични пластинки, като слюда, стъкло и др.
Недостатък на този метод е малката част на отразеното лъчение. Например
от стъклена пластинка се отразява 3—5% от падащата естествена светлина.

259

Вълнова и квантова оптика

13.4.3. Поляризация на светлината при двойно лъчепречупване
Друг начин за получаване на поляризирана светлина се основава на
явлението двойно лъчепречупване. То е характерно за всички прозрачни
анизотропни кристали (с изключение на тези от кубичната система), като
например исландски шпат, кварц, апатит и др. Когато върху стената на
такива кристали попадне лъч естествена светлина, след навлизане в крис­
тала лъчът се разделя на два лъча (фиг. 13.14). Единият преминава през
кристала, като не се подчинява на законите на геометричната оптика, llo
тези причини той се нарича необикновен лъч (бележи се с е). Вторият лъч
оптична ос
оптична ос \

канадски балсам

\
Фиг. 13.14

Фиг. 13.15

се подчинява на законите на геометричната оптика и се нарича обикновен
лъч (бележи се с о). Двата лъча се оказват поляризирани в две взаимноперпендикулярни равнини. (В обикновения лъч трептенията на електрич­
ния вектор Е са перпендикулярни на равнината на падане, а в необикно­
вения - лежат в нея.) Направлението в анизотропния кристал, по което
светлината се разпространява, без да изпитва двойно лъчепречупване, се
нарича оптична ос. Оптичната ос на даден кристал характеризира изорано
направление в него и може да се построи през всяка негова точка. Различното пречупване на двата лъча показва, че за всеки от тях кристалът има
различен коефициент на пречупване. Следователно обикновеният и нео­
бикновеният лъч се разпространяват с различна скорост в анизотропните
кристали. Обикновените лъчи се подчиняват на законите за пречупване и
имат постоянна скорост на разпространение във всички направления на
даден кристал (v„= cln0i п0= const). Необикновените лъчи не се подчиняват
на законите за пречупване и се разпространяват в различните направления
на кристала с различни скорости (vt.= с/пс, псФ const).
От двойнолъчепречупващите кристали се изработват специални приз­
ми, които изпълняват ролята на поляризационни прибори. Призмите оиват
два вида: поляризационни призми, чрез които се получава един вид поляри­
зирана светлина, и двойнолъчепречупвагци призми, чрез които се полу 1ават
два лъча, поляризирани в две взаимноперпендикулярни равнини.
Най-разпространената поляризационна призма е тази на Никол. 1я да­
ва възможност да се получат само един вид поляризирани лъчи, като за
другия вид се създават условия за пълно вътрешно отражение (фиг. 13. ).
Призмата на Никол се състои от две триъгълни призми от исландски
шпат, които са слепени една с друга с канадски балсам. Ъглите в призмите

260

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

са подбрани така, че обикновеният лъч да претърпи пълно вътрешно от­
ражение от повърхността на канадския балсам.
Двойнолъчепречупващите призми не намират много широко прило­
жение, тъй като двата поляризирани лъча излизат от кристала много близ­
ко един до друг и това затруднява разделното им използване. Тяхното
действие е основано на явлението двойно лъчепречупване. Проблемът при
тези призми е двата поляризирани лъча (обикновеният и необикновеният)
да се отместят един спрямо друг колкото е възможно повече. Пример за
такава призма са две триъгълни призми от ислан­
дски шпат и стъкло, които се слепват една с друга
(фиг. 13.16). По такъв начин се създават условия за
двойно пречупване на обикновения лъч - от ис­
ландския шпат и от стъклото, вследствие на което
той се отклонява по-силно и се отдалечава от нео­
бикновения.
Въпроси и задачи
1.

Кои са научните теории за естеството и характера на светлината? Какви свойства
притежават светлинните вълни: корпускулярни или вълнови?

2.

Какво е условието за кохерентност на две вълни? По какъв начин могат да се по­
лучат кохерентни вълни от даден светлинен източник?

3.

Какво представлява дифракционната решетка и за какво може да се използва?

4.

На какво се дължи оцветяването на маслените петна върху водните повърхности
при слънчево време?

5.

Каква е разликата между поляризирана и неполяризирана светлина?

6.

Дължината на вълната на жълтата светлина (X = 589 nm) при преминаване от въз­
дух в течност намалява с 147 nm. Намерете показателя на пречупване на течност­
та и скоростта, с която се разпространява светлината в нея.

7.

Върху тесен процеп с широчина ЗЛО-5 m пада перпендикулярно на равнината на
процепа лазерен лъч с дължина на вълната X = 633 nm. Определете ъглите, под
които ще бъдат разположени първите три дифракционни минимума на екрана.

8.

Перпендикулярно на равнината на дифракционна решетка с /V = 600 процепа на
1 mm пада съставна светлина (съдържаща няколко монохроматични компоненти).
Върху екран се наблюдава цветна дифракционна картина. Червената линия от
първия максимум се вижда под ъгъл ф| = 23°, а зелената под ъгъл ф2 = 19°. Наме­
рете дължината на вълната, съответстваща на тези линии.

9.

Определете ъгъла на Брюстер за стъклена пластинка с коефициент на пречупване

п = 1,56, която е поставена във въздух.
10. Естествена светлина пада перпендикулярно на оста на поляризация на поляризатор. Оста на анализатора сключва ъгъл 45° с тази на поляризатора. Какъв е интен­
зитетът на преминалата през поляризатора и анализатора светлина?

Вълнова и квантова оптика

261

Глава 14
КВАНТОВА ОПТИКА
14.1. Топлинно излъчване.
Закони на Кирхоф, Стефан-Болцман и Вин
Всички твърди тела, нагрети до висока температура, излъчват видима
светлина. Например при нагряване на парче желязо до температура 700 °С
то започва да излъчва червена светлина. С повишаване на температурата
цветът на излъчването се променя. При 1000 °С цветът става жълт, а при
1500 °С - виолетово-бял. Очевидно с нарастване на температурата макси­
мумът на излъчването се измества към по-малките дължини (или поголемите честоти —с —X f= const) на вълните. При по-ниски температури
телата също излъчват електромагнитни вълни, но те не се възприемат от
човешкото око, тъй като са извън видимия диапазон (400 < А, < 750 пш).
Излъчването на електромагнитни вълни от телата, нагрети до някаква
температура, по-висока от абсолютната нула, се нарича топлинно (темпе­
ратурно ) излъчване. Опитът показва, че едновременно с излъчването те­
лата също и поглъщат попадналите върху тях електромагнитни вълни.
Ако температурата на едно тяло е по-висока от тази на околната среда, то
главно излъчва, и обратно - ако температурата му е по-ниска — поглъща.
(Това е така, защото основното състояние на телата е температурното рав­
новесие.) Топлинното излъчване е най-разпространеното в природата. То е
универсално явление и се дължи на топлинното движение на атомите и
молекулите във веществата. Телата излъчват електромагнитни вълни
вследствие преобразуване енергията на хаотичното топлинно движение на
частиците им в енергия на излъчване (лъчиста енергия). Най-големият из­
точник на топлинно лъчение в природата е Слънцето, чиято повърхност е
нагрята до температура Т ~ 6000 К.
Интензитетът и спектралният състав на топлинното излъчване зависят
от температурата на излъчващото тяло. При ниски температури в излъчва­
нето преобладава лъчение с малка честота и голяма дължина на вълната
(инфрачервено), а при високи —с голяма честота и малка дължина на въл­
ната (ултравиолетово) (вж. тема 11.5, фиг. 11.7). Както инфрачервените,
така и ултравиолетовите електромагнитни вълни са невидими за чо­
вешкото око.
Като количествена характеристика на топлинното излъчване се въ­
вежда физичната величина излъчвателна ( емисионна) способност. Тя се
определя числено от енергията на топлинното излъчване с определена дъл­
жина на вълната, която се излъчва от единица повърхност на дадено тяло,
нагрято до някаква температура Т, за единица време. Означава се с E\f-

262

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

dW
_ и
"изл

г

£^ - —

>

................

(14.1.1)

където d W ^ всъщност представлява мощността на лъчението, излъчено от
единица площ , a dX е много тесен интервал от дължини на вълните, съот­
ветстващ на излъчената енергия. (Излъчвателиата способност може да се
изрази и като функция на честотата / на лъчението и температурата Т:
Е. т = d\Vmn/ d f .) Мерната единица за излъчвателна способност е W/m".
Изразът (14.1.1) определя излъчвателната способност на тяло при опреде­
лена дължина на вълната и постоянна температура. В процеса на излъчва­
не тялото непрекъснато губи част от енергията си, поради което темпера­
турата му се понижава. За да се поддържа процесът на излъчване при пос­
тоянна температура, тялото трябва и да поглъща енергия. Такъв процес на
топлинно излъчване, при който източникът на електромагнитно лъчение
се намира в състояние на термодинамично равновесие (Т- const), се нари­
ча равновесно топлинно излъчване. Всяко тяло при термодинамично рав­
новесие излъчва толкова електромагнитна енергия, колкото и поглъща.
Общата електромагнитна енергия, която излъчва Слънцето за единица
време може да се определи чрез интегриране на (14.1.1) по X.:
оо
W = \ExrdX (Т = const).
о
Както казахме, всички тела, освен да излъчват, притежават способност и
да поглъщат попадналото върху тях електромагнитно лъчение. Това тяхно
свойство се характеризира от друга физична величина, наречена поглъщателна (абсорбционни) способност. Тя се определя от отношението на по­
гълнатата към падналата електромагнитна енергия за единица време върху
единица повърхност от тялото при дадена температура Т и определена
дължина на вълната X. Означава се с A\f.

A

= ‘E s m ..

(14.1.2)

'

Очевидно е, че поглъщателната способност е безразмерна величина и по­
казва каква част от падналото електромагнитно лъчение с определена
дължина на вълната върху единична повърхност от дадено тяло се поглъ­
ща от него за време / = 1 s. Освен от температурата и дължината на вълна­
та двете величини E\j и A\j зависят още от материала и вида на повърх­
ността на тялото.
Най-подходящи за източници на топлинно излъчване са телата, които
изцяло поглъщат падналите върху тях електромагнитни вълни независимо
от X и Т. Те се характеризират с поглъщателна способност А^т = 1 и се
наричат абсолютно черни тела. Такива тела в природата не съществуват.

Вълнова и квантова оптика

263

Слънцето се приема за най-силно доближаващо се до абсолютно черно тяло.
Други примери на тела с близки такива свойства са саждите, черното кадифе
и др. Всички тела, които могат да се приемат за абсолютно черни, поглъщат
еднакъв спектър от дължини на вълните, зависещ само от температурата, но
не и от състава и повърхността им. Абсолютно черните тела поглъщат елект­
ромагнитните вълни с всички възможни дължини, които попадат върху тях.
Като модел за абсолютно черно тяло се използва куха сфера
с малък отвор и почернена вътрешна повърхност (фиг. 14.1).
/ \
Електромагнитните вълни, които влизат през отвора на сфе­
/
рата, след многократни отражения от почернената повърх­
ност се поглъщат изцяло от нея независимо от дължината на
So
вълната им. Необходимо условие, за да се постигне това, е
Фиг. 14.1
площта So на отвора на сферата да бъде много по-малка от
повърхността йS (So « S).
Тъй като повечето от телата в природата не са близки до абсолютно
черно, ще въведем и понятието сиво тяло. Това е такова тяло, чиято поглъщателна способност е по-малка от единица: АХТ < 1. Реалните тела в
природата са сиви. Поглъщателната способност, както казахме, зависи и
от вида на повърхността на телата. Добре полираните повърхности отразяват по-голямата част от падналото върху тях лъчение, а матираните и гра­
павите обратно —поглъщат по-голямата част.
Ще се спрем на опитно установените закони при топлинното излъчва­
не. Първата количествена зависимост между поглъщателната и излъчвателната способност на дадено непрозрачно тяло е установена от немския
физик Г. Кирхоф. Законът на Кирхоф гласи, че отношението между излъчвателната и поглъщателната способност на дадено тяло е равно на една
универсална функция на дължината на вълната и температурата на тялото,
която е еднаква за всички тела и не зависи от тяхното естество.

^ - = f(X J).
(14.1.3)
А,7От горното равенство следва, че колкото по-силно поглъща едно тяло даден
вид лъчение с определена дължина А., толкова по-силно ще излъчва то същия
вид лъчение (при една и съща температура). Законът на Кирхоф е в съгласие с
условието за температурно равновесие на телата. За да се поддържа
температурата на едно тяло постоянна, то трябва да излъчва толкова енергия,
колкото и поглъща. В противен случай неговата температура ще се повиши
или понижи и равновесието му ще бъде нарушено. Тъй като за абсолютно
черното тяло е изпълнено А'1Т = 1, от (14.1.3) се получава Ехт = f (КТ).
Следователно универсалната функция е равна на излъчвател ната
способност на абсолютно черното тяло. В такъв случаи всички

264

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

тела, които имат поглъщателна способност А{ т < 1, имат и излъчвателна
способност Е х
с1 по-малка от тази на абсолютно черното тяло:

K j = A lTf ( k , Т) < f(X , Т) = Е1 Т.
От закона на Кирхоф следва още, че ако едно тяло не поглъща
електромагнитни вълни с определена дължина X при дадена температура
—
0), то няма и да ги излъчва {E\j~ 0)- Законът на Кирхоф позволява
при известна за дадено тяло поглъщателна способност A\j да се изрази
неговата излъчвателна способност чрез тази на абсолютно черното тяло.
От израза (14.1.3) се вижда, че излъчвателната способност на абсо­
лютно черното тяло е функция от температу рата и дължината на вълната,
но явният вид на функцията не е известен. Решаването на тази задача се
оказало не толкова лесно и било проведено на няколко етапа. Първоначално на основата на експерименти, направени от австрийския физик
И. Стефан, е определена зависимостта на излъчвателната способност на
абсолютно черно тяло само от температурата му. По-късно от друг авст­
рийски физик JT. Болцман е изведен теоретично израз, известен във физи­
ката като закон на Стефан-Болцман:

E t = g T4,
__8

2

(14.1.4)
4

където величината о = 5,67.10
W/irf.K се нарича константа на
Стефан-Болцман, a E j е интегралната излъчвателна способност - това е
енергията, излъчена за единица време от единица повърхност на
абсолютно черно тяло при дадена температура Т за всички възможни
дължини на вълните. Съгласно закона на Стефан-Болцман излъчвателната
способност на абсолютно черното тяло е пропорционална на четвъртата
степен на температурата, до която то е нагрято. Този закон показва
извънредно бързо
нарастване на излъчвателната способност с
температурата. Например при повишаване на температурата от 800 до
2400 К излъчването на абсолютно черното тяло нараства 81 пъти.
Следващият етап в определянето на универсалната функция бил из­
вършен от немския физик В. Вин, който успял да установи зависимостта
между дължината на вълната, съответстваща на максималната излъчвател­
на способност на абсолютно черно тяло, и неговата температура:

където Ъ е постоянна величина, наречена константа на Вин; b=2,9.10~3 т.К.
Законът на Вин обяснява защо при понижаване температурата на
нагретите тела в спектъра на излъчването им се появяват дългите вълни.
Например при топене цветът на металите е почти бял, а при изстиването им
преминава постепенно в червен. На фиг. 14.2 са показани кривите на раз­
пределение на енергията на електромагнитното излъчване при няколко раз­

Вълнова и квантова оптика

265

лични температури. От тях се
вижда, че при повишаване на
температурата
максимумът
на
излъчването се отмества към помалките дължини на вълните. От
гледна точка
на
класическата
физика видът на тези криви не
може да бъде обяснен. Абсолютно
черното
тяло
представлява
идеалният излъчвател и се състои
Фиг. 14.2
от огромен брой атоми, всеки от
които излъчва електромагнитни вълни. Тъй като атомите излъчват вълни с
различна дължина, сумарното електромагнитно излъчване от цялото тяло е
с всевъзможни дължини на вълните. С това може да се обясни
непрекъснатият спектър на електромагнитното излъчване, но не и неговото
отместване с нарастване на температурата, както и формата на кривите. За
тяхното обяснение М. Планк предложил формула, известна като формула
на Планк, определяща функционалната зависимост на излъчвателната
способност отХнТ:

F

2nhcI____
~

(14.1.6)

-\У

където с е скоростта на светлината, h - константата на Планк, X
дължината на вълната на излъчването, k - константата на Болцман, а Т термодинамичната температура на излъчващото абсолютно черно тяло. На
фиг. 14.3 е показана теоретичната
крива, съответстваща на израза (14.1.6).
С точки са означени опитно получените
стойности.
Очевидно
е
доброто
съвпадение
между
теорията
и
експеримента. Възникналите трудности
в теорията на топлинното излъчване на
абсолютно черното тяло били свързани
с едно от основните положения в
класическата физика, според което
енергията на всяко тяло (или система) може да се изменя непрекъснато и
да заема всякакви стойности (Е е (0 ,оо)). За да обясни формулата (14.1.6),
Планк през 1900 г. изказва хипотезата, че излъчването на електромагнитно
лъчение от атомите и молекулите на абсолютно черното тяло става не
непрекъснато, а на определени порции, наречени кванти. Всеки излъчващ
атом или молекула може да съществува в енергетични състояния, чиято
енергия е кратна на енергията на един квант:

266

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

= nhf,
където п е цяло число {п - 1 , 2 , 3,...), а/ - честотата на вълната на лъчени­
ето. Енергията на всеки отделен квант е правопропорционална на честота­
та и обратнопропорционална на дължината на вълната:

Е - h f - h —.
X
Например във видимата част на спектъра за дължина на вълната
X = 500 nm големината на един квант енергия е
£ = 6,63.10-*3л08

10_,9 j

500.10
От формулата на Планк (14.1.6) като частни случаи се получават за­
коните на Стефан-Болцман и Вин. По-нататъшното развитие на хипотеза­
та на Планк довежда до създаването на квантовата теория за светлината
(електромагнитните вълни).
Ще разгледаме по-важните приложения на законите на топлинното
излъчване.
Явлението топлинно излъчване е свързано с получаването на различ­
ни изкуствени източници на светлина. Главен недостатък на тези източни­
ци е тяхната малка икономичност. Както знаем, човешкото око е чувстви­
телно към много тесен интервал от спектъра на електромагнитните вълни
(вж. фиг. 11.7). Максимална чувствителност то проявява към жълтозеле­
ната светлина с дължина на вълната X ~ 550 nm. В такъв случай, изхож­
дайки от това свойство на очите, е добре да се използват такива източници
на светлина, чиито максимум в спектъра на излъчването е A ^ ^ ^ S O n m .
Нека по закона на Вин (14.1.5) пресметнем температурата, до която трябва
да бъдат нагрети тези източници:
9 10_3
•
-- «5300 К.
550.10
Очевидно най-добри топлинни източници на светлина ще бъдат тези, кои­
то са нагрети до температура 5300 К, което съответства с приближение на
температурата на слънчевата повърхност ( Т « 6000 К). Теоретични прес­
мятания показват, че при температура около 5000-6000 К светлинният
КПД е около 15% (за абсолютно черно тяло). При изкуствените източни­
ци, където температурата на нагряване е Г » 3000 К, този коефициент на­
малява до 1-5%.
Най-широко разпространените в практиката температурни източници
на светлина са електрическите лампи с нагреваема волфрамова нишка.
Температурата на топене на волфрама е около 3600 К, но в лампите той се
нагрява не повече от 2400 К, тъй като при по-високи температури нишката

Т=

2

Вълнова и квантова оптика

267

се разпрашава и се разрушава. Максимумът в спектъра на излъчването при
тази температура е Amax= 1 1 0 0 пт, т.е. далеч от областта, за която окото е
най-чувствително. По тази причина светлината на лампите с волфрамова
нишка има жълточервен цвят в сравнение със слънчевата светлина, а КПД
е около 3%. За да се повиши температурата на нагряване на волфрама, без
да се скъсява животът на лампата, обикновено стъклените балони на лам­
пите се запълват с инертни газове (азот, аргон или криптон). По такъв на­
чин температурата на нагряване на волфрама може да се увеличи до 3000 К.
Разгледаните по-горе закони на топлинното излъчване на абсолютно
черно тяло позволяват да се определя температурата му, ако е известна
дължината на вълната Хтгх (по закона на Вин) или интегралната му излъч­
вателна способност £-/•(по закона на Стефан-Болцман). Методите за опре­
деляне на температурата, основани на законите на топлинното излъчване,
се наричат оптична пирометрия. Те са много удобни, особено при измер­
ване на много високи температури, където класическите методи са непри­
годни. Тъй като законите на топлинното излъчване са изведени за абсо­
лютно черно тяло, оптичната пирометрия дава добри резултати при из­
мерване температурите на тела, които са близки до него. Ще се спрем на
три метода за определяне температурата на топлинните източници:
- Метод, основан на закона на Вин. Ако е известна дължината на въл­
ната А,лах, съответстваща на максимума в спектъра на излъчването, темпе­
ратурата се определя по формулата (14.1.5). По такъв начин се определя
температурата на повърхността на Слънцето, звездите и др. Определената
с помощта на този метод температура се нарича цветова. Цветовата тем­
пература за сивите тела е твърде близка до истинската, поради което този
метод често се прилага за определяне температурите и на сиви тела.
- Радиационен метод, основан на закона на Стефан-Болцман. В този
случай се измерва интегралната излъчвателна способност Е Т на тялото и
по формулата (14.1.4) се определя неговата температура Т. Измерената
чрез този метод температура се нарича радиациоипа. Когато радиацион­
ният метод се използва за сиви тела, измерената температура е винаги пониска от истинската, тъй като излъчвателната способност при тях е помалка от тази на черните: Ех т = ЛХГЕХТ. Тогава

FтЛкт
4 Ас
д
с

_\

ч

тъй като поглъщателната способност Л\т < 1 .
Метод, основан на закона на Кирхоф. При този метод визуално се
сравнява яркостта на еталонен източник с тази на изследваното тяло чрез
специален уред. Еталонният източник се нагрява при протичане на елект­
ричен ток през него. Големината на тока се регулира с реостат. Темпера-

268

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

турата на загряване се отчита по скалата на амперметър, който е градуи­
ран спрямо нея.

14.2. Фотоелектричен ефект. Закони при външния фотоефект.
Уравнение на Айнщайн
Явлението фотоелектричен ефект (за краткост фотоефект ) е наб­
людавано за пръв път от немския физик Херц, който експериментално ус­
тановява и съществуването на електромагнитните вълни, предсказани от
Максуел. Опитите на физиците да се обясни това явление чрез електро­
магнитната теория на Максуел не дават резултат. Отново възниква необ­
ходимостта от развиване на нови идеи във физиката, които да допълнят
съществуващите представи за електромагнитните вълни. На основата на
квантовата хипотеза на Планк Айнщайн развива квантовата теория на фо­
тоефекта, с която блестящо обяснява това явление и получава Нобелова
награда.
Фотоелектричният ефект е процес на взаимодействие между светли­
ната (електромагнитните вълни) и веществото, при който енергията на
светлинните кванти (фотони) се предава на електроните на веществото.
Съществуват два вида фотоелектричен ефект в твърдите
тела: външен фотоефект , при който поглъщането на фо­
тоните от веществото довежда до отделяне на електрони
от повърхността му, и вътрешен фотоефект , при който
се наблюдава увеличаване броя на свободните електрони
в облъчваното вещество.
Ще разгледаме външния фотоефект и закономернос­
тите, които се наблюдават при него. Най-простият начин
за предизвикване на този процес е осветяване на метални
повърхности с ултравиолетова светлина. На фиг. 14.4 е
показана проста схема за наблюдаване на фотоефекта.
Върху полирана метална пластинка К, наречена фотокатод, пада тесен монохроматичен сноп светлинни лъчи с
малка дължина на вълната X (Х = const). Срещу катода се
поставя метална мрежа А, изпълняваща ролята на анод.
Съдът, в който се намират двата електрода, се вакуумира добре и се свър­
зва в електрична верига с източник на електродвижещо напрежение, по­
тенциометър R, волтметър V и галванометър G. При осветяване на катода
К във веригата протича електричен ток, регистриран от галванометъра.
Причината за появилия се електричен ток са електрони, които се отделят
от повърхността на осветявания катод и се наричат фотоелектрони. Те се
устремяват към анода и достигайки до него, затварят електричната верига,

Вълнова и квантова оптика

269

в която се регистрира електричен ток, наречен ф от от ок (токът, обусловен
от фотоелектроните). При осветяване на анода фототок не се отчита, тъй
като отделените електрони не се привличат от катода и електричната вери­
га не може да се затвори.
Руският физик А. Столетов изследва подробно външния фотоефект и
опитно установява основните закони, на които се подчинява това явление.
На фиг. 14.5 а и б са показани волт-амперните характеристики при посто­
янен интензитет, както и при различни стойности на интензитета на свет­
лината, с която се осветява фотокатодът. Волт-амперните характеристики
определят зависимостта на големината на фототока /ф от напрежението U
между двата електрода при постоянен интензитет J на светлината: /ф =
flJJ). (Интензитетът се определя от потока лъчиста енергия, попадащ върху
единица площ.) От фиг. 14.5бг се вижда, че при постоянен интензитет J и
напрежение между електродите
U = 0 големината на тока във
веригата е различна от нула. То­
ва означава, че отделените от
катода електрони притежават
някаква скорост (а също и кине­
тична енергия), благодарение на
която достигат до анода без по­
мощта на приложено външно
електрично поле. Тези електрони
обуславят първоначалния ток /ф във веригата. Когато във веригата се при­
ложи ускоряващо напрежение U > 0, големината на фототока започва да
расте и достига определена максимална стойност при някаква стойност на
напрежението U. Този ток се нарича ф ототок на насищане и съответства
на състоянието, когато всички отделени електрони достигат анода. При
по-нататъшно увеличаване на напрежението фототокът остава постоянен.
Неговата големина се определя от броя п на фотоелектроните, които дос­
тигат до анода всяка секунда: /ф(нас)= пе ie е електричният заряд на елект­
рона). Изменението на фототока с напрежението показва, че отделените
електрони имат различна скорост (някои от тях са отделени от горната по­
върхност на катода, а други от по-дълбоките слоеве). При напрежение U =
0 до анода се придвижват най-бързите електрони. По-бавните електрони,
за да достигнат до анода, се нуждаят от прилагане на ускоряващо напре­
жение U > 0. При определена стойност на напрежението, наречена нап­
режение на насищане (U = UHac), до анода достигат и най-бавните елект­
рони (тези, които се отделят от катода с най-малка скорост). На фиг. 14.56
са показани волт-амперните характеристики, получени при увеличаване
интензитета на светлината, с която се осветява катодът (измене­

270

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

нието на интензитета може да стане чрез пропускане на по-широки снопо­
ве от същите лъчи (X = const)). Ходът на кривите е аналогичен. Прави впе­
чатление, че с нарастването на интензитета пропорционално се увеличава
както големината на първоначалния фототок, така и на наситения фототок. Този факт показва, че с нарастване на интензитета се увеличава броят
на отделените от повърхността на катода електрони. Столетов изследвал
волт-амперните характеристики и при напрежения U < 0 . Неговата цел
била да определи при каква стойност на напрежението фототокът във ве­
ригата ще стане равен на нула. При задаване отрицателни стойности на
напрежението, то изпълнява ролята на задържаща (спираща) движението
на електроните сила. В този случай електричните сили извършват отрица­
телна работа, която компенсира кинетичната енергия на електроните,
движещи се към анода. Увеличавайки постепенно отрицателните стойнос­
ти на U, се стига до някаква определена стойност, при която големината
на фототока става равна на нула (/ф=0). Тази стойност се нарича задър­
ж ащ о (спиращо) напрежение (£/3ад< 0). Работата на електричните сили в
този момент компенсира кинетичната енергия на най-бързите електрони,
като не им позволява да достигнат до анода. Следователно

mv.2max
' к max

_
=
eU зад

(14.2.1)

Горната формула показва, че измервайки стойността на приложеното за­
държащо напрежение във веригата, може да се определи максималната
скорост на фотоелектроните (масата т и електричният заряд е на електро­
ните са постоянни величини). От фиг. 14.56 се вижда, че за трите различни
стойности на интензитета максималната скорост, с която се отделят елек­
троните от повърхността на катода, е една и съща (U3aa= const). Това по­
казва, че тази скорост не зависи от интензитета на лъчението.
Столетов изследвал и зависимостта между максималната кинетична
енергия на фотоелектроните и честотата (дължината на вълната,/ = с/Х) на
лъчението, с което се осветява катодът (фиг. 14.6а). За целта той използ­
вал тесен процеп с определена широчина (J = const), през който върху по­
върхността на катода пропускал лъчения с различни честоти (фиг. 14.6б).
При тези честоти във веригата били регистрирани
различни стойности на пър­
foKf \ <f2<f i <f*
воначалния фототок, обус­
ловен от електроните с
максимална скорост. При
някаква гранична честота/)
стойността на фототока ста­
вала нула, т.е. от повърх­
ността на съответния ме­

Вълнова и квантова оптика

271

тал на катода не се отделяли електрони. Тази честота/), ПРИ която фотое­
фект не се наблюдава, е наречена червена граница на фотоефекта. Из­
мерванията показани, че за различните метали граничната честота е раз­
лична (за повечето метали / 0 лежи в областта на ултравиолетовите лъчи).
Чрез задаване на различни отрицателни стойности на напрежението бил
установен фактът, че максималните скорости на отделените електрони в
този случай са различни. На всяка честота съответствала определена
стойност на задържащото напрежение, при която фототокът ставал равен
на нула. От формулата (14.2.1) били определени максималните кинетични
енергии (или скорости) за различните честоти. Получените данни са пока­
зани на фиг. 14.6а. Очевидно е, че с намаляването на честотата намалява и
кинетичната енергия на фотоелектроните. За честот и/< / е в сила £* = 0,
т.е. явлението фотоефект не се наблюдава. При смяна на катода с друг
метал се получава аналогична праволинейна зависимост между/и Е к^ , но
с друга червена граница/ .
Обобщавайки данните от направените изследвания, Столетов форму­
лирал следните основни закони при външния фотоефект:
- При монохроматично лъчение ( X(f) = const) броят на отделените
електрони от повърхността на даден метал за единица време е пропорцио­
нален на интензитета на лъчението: п ~ J (вж. фиг. 14.56);
- Кинетичната енергия на отделените електрони зависи линейно от
честотата / на лъчението и не зависи от неговия интензитет: Ек^ ~ /
(вж. фиг. 14.6а);
- За всеки метал съществува т.нар. червена граница на ф отоеф екта/
(минимална честота), под която явлението фотоефект не се наблюдава.
Тази граница зависи от химичното естество на метала, който се осветява.
Опитно установените закони на фотоефекта не могли да бъдат обяс­
нени с вълновите свойства на електромагнитните вълни. Енергията, която
получават при осветяване електроните на метала, зависи от амплитудата
на вектора Е на вълната. Следователно при всяка честота (или дължина
на вълната), ако лъчението има достатъчен интензитет, може да се очаква
отделяне на електрони от метала и червена граница не би трябвало да има.
Освен това кинетичната енергия на фотоелектроните би трябвало да зави­
си от интензитета на лъчите, тъй като с неговото увеличаване на електро­
ните се предава по-голяма енергия.
Айнщайн предлага следната теория за обяснение на фотоефекта. Той
предполага, че светлината (електромагнитните вълни) не само се излъчва,
но се и поглъща и разпространява във вид на кванти, наречени фотони. В
такъв случай интензитетът на светлината може да се разглежда като брой
фотони, попадащи върху единица площ за единица време. Енергията на
всеки фотон се определя от формулата на Планк Е = hf. Падащите върху

272

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

повърхността на катода фотони взаимодействат с електроните на метала
като частици с частици и им отдават енергията си. Всеки фотон се поглъ­
ща от един електрон и ако енергията му е равна или по-голяма от енергия­
та на свързване на електроните в атома за съответния метал, от който е
направен катодът, може да предизвика отделяне на електрона от атома.
Отделеният електрон се устремява към анода. Неговата скорост е различ­
на и зависи от взаимодействията му с други електрони. Ако е отделен от
горната повърхност на катода, той ще има определена максимална енергия
(тъй като не взаимодейства с други електрони), а ако е отделен от повътрешните слоеве на катода, вследствие на взаимодействие с други елек­
трони от атомите във вътрешностга на метала той ще намали скоростта си.
В такъв случай, ако енергията, получена от електрона, е h f част от нея се
изразходва за отделяне на електрона от атома и се нарича отделителна
раб от а (А). (Енергията на свързване на електроните в атомите за даден
метал се нарича отделителна работа и е различна за различните метали.)
Друга част от енергията се губи при удари с други електрони (А \
), а оста­
налата част представлява кинетичната енергия на отделения от повърх­
ността на метала електрон. Съгласно закона за запазване на енергията

mv2
Е = hf = А + А, + — .
Ако електронът не е претърпял удари във вътрешността на метала, е из­
пълнено Л] = 0 и тогава

E = hf = A +! ^

l.

(14.2.2)

2
Горната проста формула е предложена от Айнщайн и се нарича уравнение
на Айнщайн за външния фотоефект. Съгласно това уравнение енергията
на всеки падащ фотон се изразходва за отделяне на един електрон от по­
върхността на даден метал и за придаването на някаква максимална ско­
рост на този електрон. Колкото повече фотони попадат върху метала, тол­
кова повече фотоелектрони се отделят и толкова по-голяма стойност на
фототока във веригата се регистрира, което е в съгласие с първия закон на
фотоефекта. Останалите два закона следват непосредствено от уравнение­
то (14.2.2). Тъй като отделителната работа е постоянна величина за всеки
метал, с нарастването на честотата f на падащото лъчение ще расте линей­
но и максималната скорост (т.е. кинетичната енергия) на фотоелектроните. Обратно, ако честотата на лъчението постепенно намалява, при някак­
ва гранична стойност fo енергията на фотона ще бъде такава, че Ек^ = 0 .
Тогава

E = hfa =A- / 0 = Д

(14.2.3)

Вълнова и квантова оптика

273

При тази честота няма да има движещи се към анода електрони, т.е. фото­
ток не протича и явлението фотоефект изчезва. Това е червената граница
на фотоефекта. В този случай енергията на падащия фотон е равна на от­
делителната работа и е достатъчна само за отделяне на електрона от по­
върхността, т.е. придадената скорост е vmax= 0 . Следователно, за да се
наблюдава явлението фотоефект за даден метал, е необходимо да бъде
изпълнено условието Е > hfQ. От (14.2.3) следва още, че червената граница
зависи от химичната природа на веществото, от което е направен катодът
(отделителната работа е характерна величина за всяко вещество).
Уравнението на Айнщайн може да се запише и в следния вид , като се
използва зависимостта (14.2.1):
h f = A + eU„a = hf0 +eV:ф ;

K f - f 0) = e U ^ .

(14.2.4)

Последният израз дава възможност да се определи ч.хспериментално конс­
тантата на Планк, като се облъчи даден метал с лъчения с известни често­
ти fo и / и се измери задържащото напрежение във веригата. Получената
стойност се съгласува добре с тази, определена от Планк от законите на
топлинното излъчване. Този факт е още едно потвърждение за верността
на хипотезата на Планк и квантовата теория на Айнщайн.
Удобна единица за измерване на енергията в разглежданията от об­
ластта на микросвета е електрон волтът: leV = 1,6.10 п J.
Външният фотоефект намира многобройни приложения в науката и
техниката. В основата им е възможността даден светлинен сигнал да се
преобразува в електричен чрез специални фотоелектронни прибори, наре­
чени фотоклеткй. Получените електрични сигнали лесно могат да бъдат
усилвани чрез други прибори, наречени фотоелектронни умножители, в
които заедно с фотоефекта се използва и явлението вторична емисия на
електроните.

14.3. Рентгенови лъчи. Ефект на Комптън
Рентгеновите лъчи представляват електромагнитно лъчение с дължи­
на на вълната от порядъка на 10 10 т . В скалата на електромагнитните
вълни (вж. фиг. 1 1 .7 ) те заемат областта след ултравиолетовите лъчи, тъй
като имат по-голяма честота от тях. За първи път тази област от спектъра
на електромагнитните вълни е наблюдавана от немския физик В. Рьонтген
през 1895 г., за което през 1901 г. той получава първата Нобелова награда
за физика. Рьонтген установил, че при облъчване на метал със сноп от
бързи електрони се получава нов вид лъчение, което по-късно в негова
чест било наречено рентгенови лъчи. Най-характерното свойство на тези
лъчи е тяхната голяма проникваща способност, свързана с голямата им
честота (/"« 1017—1019 Hz).

274

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

В днешно време рентгеновите лъчи
се получават чрез специални рентгенови
тръби, които представляват стъклен ва­
куумиран балон с два метални електро­
да - катод и анод (фиг. 14.7). От нагре­
тия катод се излъчват електрони, които
се ускоряват от високо напрежение
рентгенови лъчи
(U = 1 04—105 V), приложено между два­
Фиг. 14.7
та електрода. Снопът бързи електрони
при попадането си върху анода предизвиква появата на рентгенови лъчи.
Някои от електр^ите при срещата си с анода рязко спират и при това ге­
нерират рентгенови лъчи. Полученото по този начин лъчение се нарича
спирачно и се характеризира с непрекъснат спектър (фиг. 14.8). Възникна­
лото спирачно лъчение може да се обясни по следния начин. Движещите
се с голяма скорост електрони създават около себе си магнитно поле. При
удара с анода тяхната скорост рязко се
променя, което води до изменение на
магнитното поле, предизвикващо поя­
вата на електромагнитни вълни. Непре­
къснатият спектър на спирачното рент­
геново лъчение се дължи на факта, че
едни електрони
спират по-бързо, а
други - по-бавно (едни намаляват ско­
ростта си до нула веднага, а други постепенно, след взаимодействие с
частиците на метала). От гледна точка
на квантовата теория непрекъснатият
Фиг. 14.8
рентгенов спектър се обяснява просто.
Нека кинетичната енергия на един електрон преди удара с анода е mv 12.
Ако част от тази енергия при удара се превръща в топлина А, останалата
част се предава на рентгеновия фотон:

h f=

mv

(14.3.1)

Тъй като при случайните удари величината Л има различни стойности,
енергията на излъчения рентгенов фотон може да бъде различна. Това
обяснява присъствието на фотони с различни честоти и непрекъснатия
спектър на полученото лъчение.
Съществуването на долна граница на дължината на вълната на излъ­
чените рентгенови лъчи може също да се обясни с уравнението (14.3.1)
(вж. фиг. 14.8). В някои случаи при ударите си с анода електроните могат

да отдадат цялата си енергия на рентгеновите фотони. Тогава от (14.3.1)
следва, че т А 2 = hfm = hc!Xm„. Тъй като енергията на електроните се оп­
ределя от работата на електричните сили за ускоряването им (вж. формула
(14.2.1)), за \тхп се получава следният израз:

JH - = еeU
О 4-3-2)
и =>
=> X в т = —
е Ц ,,
/vmm
където U е приложеното ускоряващо напрежение между анода и катода.
Равенството (14.3.2) определя късовълновата граница на спирачното рент­
геново лъчение. Очевидно е, че минималната дължина на вълната е обратнопропорционална на приложеното напрежение.
При големи напрежения в рентгеновите тръби наред със спирачното
лъчение възниква и друго лъчение, чийто спектър е линеен. Той се наслаг­
ва върху непрекъснатия, както се вижда на фиг. 14.8. Това лъчение се на­
рича характеристично , тъй като зависи от материала на анода и е различно за различните вещества. (Спирачното лъчение не зависи от веществото
на анода, а само от напрежението на рентгеновата тръба.) Появата на ха­
рактеристично рентгеново лъчение е свързана с взаимодействието между
падащите електрони и електроните от метала на анода. Някои от попада­
щите върху анода бързи електрони успяват да проникнат до найвътрешните, здраво свързани електрони от атомите на материала, от които
е направен анодът. Взаимодействайки с тях, те им отдават част от енерги­
ята си като ги привеждат във възбудено състояние. Когато тези възбудени
атоми се връщат в основното си състояние, те излъчват рентгенови фото­
ни Излъчените при този процес на възбуждане фотони са характерни за
веществото на анода и определят т.нар. характеристичен спектър на
рентгеновите лъчи.
Дифракцията на рентгеновите лъчи (вж. тема 13.3) е едно важно не­
посредствено доказателство за тяхната вълнова природа. Разгледаните
обаче по-напред явления, като топлинното излъчване на абсолютно черно
тяло и фотоефектът, говорят в подкрепа на квантовите свойства на елект­
ромагнитните вълни. Следователно може да се очаква, че рентгеновите
лъчи също ще притежават квантови свойства.
Квантовите свойства на рентгеновите лъчи се проявяват в явление, от­
крито от американския физик А. Комптън през 1923 г. и известно във фи­
зиката като ефект на Комптън. Изследвайки разсейването на монохроматични рентгенови лъчи от леки вещества (графит, парафин, бор, които
имат малка атомна маса), той забелязал, че в снопа разсеяни рентгенови
лъчи винаги присъстват не само лъчи с първоначалната дължина на въл­
ната, но и такива с по-голяма дължина. Експериментът показвал, че това
увеличение на дължината на вълната не зависи от вида на разсейващото

276

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

вещество, нито от началната дължина на вълната на рентгеновите лъчи, а
зависи само от ъгъла ср между направлението на падащия сноп лъчи и раз­
сеяния:
-coscp),
(14.3.3)
където X е дължината на вълната на разсеяните лъчи, X — дължината на
вълната на падащите, а Х с е една константа, наречена комптънова дължи­
на на вълната за електрона.
А Х = X * - Х = Х с(\

Комптън не успял да обясни получените резултати с вълновите свойства
на рентгеновите лъчи. Когато допуснал, че рентгеновите лъчи са поток от
фотони, които взаимодействат със свободните електрони на разсейващото
вещество като частици с частици, ефектът станал лесно обясним.
При обяснението на фотоефекта допуснахме, че при срещата си с
електрона фотонът се поглъща изцяло, отдавайки му пълната си енергия.
При ефекта на Комптън фотоните взаимодействат със слабо свързаните
електрони в атомите на леките вещества. С приближение тези електрони
могат да се разглеждат като свободни. Когато една свободна частица се
среща с друга такава, тя взаимодейства с нея, като йотдава част от енер­
гията си. В случая рентгеновият фотон отдава част от енергията си на сво­
бодния електрон. В резултат на това електронът придобива импулс и отскача в някакво направление, енергията на фотона намалява, а дължината
на вълната му се увеличава. Направлението на движение на фотона също
се променя, т.е. той се разсейва от свободния електрон.
За количествено обяснение на получените резултати Комптън предпо­
ложил, че ударът между рентгеновия фотон и свободния електрон може да
се разглежда като еластичен удар между две частици. Импулсът на фотона
се определя от формулата на Айнщайн:

Е = т фс 2 = т фсс = р фс;
А>=- =— •
(14.3.4)
с
с
В такъв случай, ако енергията на падащия рентгенов фотон е Е - hf, а им­
пулсът му р ф = hflc, след удара със свободния електрон неговата енергия и
импулс намаляват, а направлението
му на движение се променя вследст­
вие на разсейването (фиг. 14.9). Сво­
бодният електрон, който преди удара
се намира в състояние на покой и има
енергия в покой Е0 = т 0с 2 (/5 = 0),
при удара приема част от енергията
на фотона и придобива импулс, раз­
личен от нула - р = mv ( т е масата

277

Вълнова и квантова оптика

на електрона в движение, a v — скоростта, която той придобива в някакво
направление).
От законите за запазване на енергията и импулса, които са в сила при
еластичните удари, получаваме

hf + т 0с 2 = me2 + hf*,

(14.3.5)

hf + 0л = mv +--hf
—

(14.3.6)

където Е = т с 2 е енергията на електрона в движение. От схемата на фиг.
14.9 се вижда, че условието за запазване на импулса във векторен вид е
Ad = mv + р*ф .

(14.3.7)

Големината на импулса на електрона може да се определи, като се
използва косинусовата теорема за триъгълника OMN :

( v = \—У '2
(wv)

2 h2
■ff

COSCP .

с у
Умножавайки горния израз по с2, получаваме

(m vfc2 = (hf)2 + (h f'J - 2h2f f cos (p.

(14.3.8)

Уравнението (14.3.5) можем да представим по следния начин:

тс2 = h[f - /*)+ w0c2.

(14.3.9)

Повдигаме (14.3.9) на квадрат:

т 2сА = h 2( f - f * J + 2hm0c2( / - / * ) + т] с 4.

(14.3.10)

Чрез почленно изваждане на (14.3.8) от (14.3.10) получаваме следния
израз:
2Л
= /7?qC4 - 2 h2ff* (\-cos(p) +2hm0c2[f - f * ) . (14.3.11)

т 2с 4 1

Масата на електрона при движението му е свързана е масата в покой то
((12.2.1)):

т =

тг

=> т0 - т J 1 —

VT v / c
Отчитаме Горната зависимост в израза (14.3.11) и получаваме
2

/i2(l- c o s 9 ) # ’ = 2 hm0c2( f - f * ) .

(14.3.12)

Получената формула разделяме почленно на 2hm0cjf :
(14.3.13)
0
с
h .(i_cos(p) => A,* - A. = X.c (l - cosq>).
/*
/
ЩС
Последният израз описва експериментално получената от Комптън зави-

278

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

симост, където Хс = h/mQc\ като се заместят стойностите на h, /;/0 и с за
комптъновата дължина на вълната за електрона се получава стойността
0,0024 nm. Тогава изменението на дължината на вълната за разсеяните
рентгенови лъчи окончателно придобива вида
ДХ. = 0,0024(l -costp), nm,
(14.3.14)
което съвпада с получените резултати от измерванията. На фиг. 14.10 е
показана схема на опитна постановка, с помощта на която може да се
наблюдава ефектът на Комптън. Върху графитен блок пада тесен сноп
рентгенови лъчи с определена
дължина (честота) на вълната.
С
помощта на специален
детектор
се
регистрират
разсеяните рентгенови лъчи,
които са взаимодействали със
свободните
електрони
на
графита. Ако ъгълът е ф = 0,
ДА, = 0, т.е. в направлението на
разсеяния сноп рентгенови
лъчи не се наблюдава измене­
ние на дължината на вълната.
Ако ф = тс/2, изменението ДА. е
равно на комптъновата дължина на вълната ДА. = Хс■При ф = п се получава ЛХ = 0,0048 nm,
следователно при разсейване в обратна посока изменението на дължината
на вълната е най-голямо.
Ефектът на Комптън, както и фотоефектът, потвърждава квантовите
свойства на електромагнитното лъчение. Тези свойства се проявяват при
взаимодействие на електромагнитните вълни с микрочастиците. Класи­
ческите вълнови свойства се проявяват в процеса на разпространение на
електромагнитните вълни. В гл. 13 използвахме класическата вълнова тео­
рия, за да обясним явленията интерференция и дифракция, свързани с раз­
пространението на светлината, която по своята същност е електромагнит­
на вълна, заемаща определено място в скалата на електромагнитните въл­
ни. В настоящата глава разгледахме процеси, свързани с взаимодействието
на електромагнитните вълни с атомите на различни вещества. За обясне­
ние на тези процеси използвахме квантовите представи, т.е. разглеждахме
електромагнитното лъчение като поток от фотони с определена енергия.
Вълновата и квантовата теория взаимно се допълват, обуславяйки сложното поведение на електромагнитните вълни и в частност на светлината.

Вълнова и квантова оптика

279

Въпроси и задачи
1.

Какво представлява топлинното излъчване и как зависи от температурата?

2.

По какво се различават сивото и абсолютно черното тяло?

3.

Към какви дължини на вълната се измества максимумът в спектъра на излъчва­
телната способност на абсолютно черното тяло?

4.

Обяснете законите на фотоефекта с помощта на уравнението на Айнщайн.

5.

От какво зависи изменението на дължината на вълната на рентгеновите лъчи, раз­
сеяни от атомите на леки вещества?

6.

Каква е енергията в електронволти на фотон с дължина на вълната Xj = 500 nm и

7.

7^2~ 0,5 nm?
Определете температурата па повърхността на Слънцего, ако А,111ах= 470 nm (конс­
тантата на Вин b = 2,9.10'3 т.К). Приемайки Слънцето за абсолютно черно тяло,
пресметнете неговата интегрална излъчвателна способност Ег (константата на
Стефан-Болцман е о = 5,67.10'8 W/in'.K4).

8.

Рентгенова тръба работи при напрежение 60 000 V. Намерете късовълновата гра­
ница на излъчените рентгенови лъчи.

9.

Върху метална повърхност пада светлина с дължина на вълната X = 400 nm. Мак­
сималната енергия на отделените фотоелектрони е 1,3 eV. Намерете отделителна­
та работа за този метал.

10. Определете ъгъла на разсейване на рентгенов фотон, взаимодействащ със свобо­
ден електрон, ако изменението на дължината на вълната е АХ = 0,0004 nm.

РАЗДЕЛ

VI I

ОСНОВИ НА АТОМНАТА И ЯДРЕНАТА
ФИЗИКА
Разгледаните в гл. 14 явления показват, че класическата физика е „без­
помощна“ при описание на процесите, които се извършват на атомно
ниво. Физиката, подходяща за света на макротелата, не може да обясни
взаимодействията между електромагнитните вълни и микрочастиците
(атоми, електрони, протони и т.н.). Възниква необходимостта от нова тео­
рия, която да допълни класическата физика. Тази теория се нарича кван­
това механика и дава възможност не само да се обясняват, но и да се пред­
сказват сложните явления в микросвета. За тела с големи размери от кван­
товата механика се получават резултати, които са в съгласие с класичес­
ките закони. С други думи, тя е по-обща теория от класическата механика.
Ситуацията е аналогична на тази при специалната теория на относител­
ността, която разгледахме в раздел V. Ще припомним, че описанието на
явленията, свързани с движението на свръхбързи частици, изисква нова,
по-обща връзка между енергията и скоростта (масата), но тази връзка се
превръща в класическата формула Е/е= mv2/2 при малки скорости (вж.
формула 12.2.13). По този начин новите съотношения по-скоро разширя­
ват, отколкото отхвърлят класическите закони. Никакъв експеримент с
макротела не е в състояние да отхвърли принципите на квантовата меха­
ника, а всички процеси, които протичат в атомен мащаб (К Г10 т), потвър­
ждават тяхната валидност. Следователно законите на квантовата механика
допълват и обобщават тези на класическата физика.
В настоящия раздел ще се спрем най-напред на основните принципи
на квантовата механика, а след това ще разгледаме тяхното приложение в
света на микрочастиците.

Глава 15
ЕЛ ЕМ ЕН ТИ НА КВАНТОВАТА М ЕХА Н И К А
Квантовата механика описва поведението на движещите се микрочас­
тици. Подобно на Нютоновата механика тя представлява обобщение на
редица опитни данни и за съвременната физика играе такава роля, каквато
Нютоновата механика за класическата физика. Редица явления, открити
през X X в., показват, че микрочастиците аналогично на електромагнитни­

Основи на атомната и ядрената физика

281

те вълни проявяват сложни корпускулярно-вълнови свойства. За изучаване
на движението им се въвеждат нови принципи, съответстващи на техния
сложен двойствен характер. В квантовата механика се разглеждат явле­
ния, които протичат на разстояния от порядъка на 10“10—10_|5 ш. Тя се раз­
вива в първата половина на X X в. Нейни основоположници са Планк, Дьо
Бройл, Хайзенберг, Шрьодингер, Борн, Дирак и др. От своя страна кван­
товата механика се разделя на две области: релативистична механика, коя­
то изучава движенията на микрочастиците с големи скорости ( v » c ) , и
нерелативистична - изучава движенията с неголеми скорости (v « с).

15.1. Корпускулярно-вълнови свойства на микрочастиците.
Вълни на Дьо Бройл. Експериментално потвърждение
В предишния раздел разгледахме експерименти, които показват, че в
определени случаи електромагнитните вълни (в частност светлината) се
проявяват като вълни, а в други - като обикновени частици. В съвремен­
ната квантово-вълнова теория за светлината тези две диаметрално проти­
воположни гледни точки се обединяват. Всеки фотон се характеризира с
енергия, маса и импулс, определени от следните формули:

£ = * /: »<ф = Щ-Х />ф = т фс = ^ = £ .

(15.1.1)

с
С
X
Ще отбележим, че фотонът не съществува в състояние на покой и по­
ради това няма маса в покой ( шоф = 0); с това той се различава от обикно­
вените микрочастици, като електрони, протони, неутрони, които имат
много малки и близки до нула маси в покой ( ///0 —> 0; например
н,0ел = 9,11 ■10“31k g ).
През 1923 г. френският учен Луи дьо Бройл, изхождайки от съществу­
ващата в природата симетрия, изказал хипотезата, че всички микрочасти­
ци (не само фотоните) притежават вълнови свойства. Той допуснал, че на
всяка частица с маса т и скорост v съответства дължина на вълната X, ко­
ято се определя от следното съотношение:

% =- =— ,
р

(15.1.2)

111V

където h е константата на Планк. Горната формула определя т.нар.
дължина на вълната на Д ь о Б р о й ч и представлява едно от основните
съотношения в квантовата механика. Ако частицата се движи с малка
скорост, т е нейната маса в покой, а при движение със скорости, близки
до скоростта на светлината с, т = т 0/ yf1- v2/c2 .
Вълните на Дьо Бройл нямат аналог в класическата физика. Те не са
нито еластични, нито електромагнитни и не се излъчват от даден източ-

282

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

ник. Природата им е специфична и по-скоро могат да се разглеждат като
вълни, присъщи на веществото (материята). Хипотезата на Дьо Бройл ут­
върждава универсалния характер на корпускулярно-вълновия дуализъм.
По-късно тя била потвърдена експериментално от редица опити, чрез кои­
то се откриват дифракционни явления при взаимодействие на снопове
микрочастици (електрони, неутрони, атоми, молекули) с веществото.
Първото експериментално потвърждение на вълните на Дьо Бройл е
осъществено от американските физици К. Дейвисън и JI. Джърмър през
1927 г. Изучавайки разсейването на електрони от никелов монокристал, те
наблюдават ясно изразена дифракционна картина. Схемата на техния опит
е показана на фиг. 15.1а. От нагорещен катод К се отделят електрони, кои­
то преминават през малък отвор на анода А и попадат върху никеловия
кристал. Тесният сноп електрони притежават определена скорост, зависе­
ща от приложеното ускоряващо напрежение U във веригата на анода и
катода (vejl =^J(2eU)/m; вж. формула (14.2.1)). При попадане под опреде­
лен ъгъл върху
образеца електро­
ните се отразяват
от него и се улавят
от фарадеев ци­
линдър F, свързан
с
галванометър.
Цилиндърът F мо­
же да се движи в равнината, определена от падащите и отразените елект­
рони. Цялата постановка е поставена във вакуумиран съд. Подвижният
цилиндър позволява да се регистрират електроните, отразени от никела в
различни направления. При определен ъгъл на падане 9 от повърхността
на кристала се отразяват електрони под различни ъгли. При това в едни
направления се регистрират максимален брой отразени електрони, а в дру­
ги - минимален брой. На фиг. 15.16 е показана кривата на разпределение
на отразените електрони в различни направления при зададен ъгъл 9 на
падащия сноп. Получената картина е идентична на тази, наблюдавана при
отражение на рентгенови лъчи от кристална решетка (вж. тема 13.3.). Из­
ползвайки формулата на Вулф и Брег 2dsin9 = тХ, Дейвисън и Джърмър
определили дължината на вълната, съответстваща на разсеяните електро­
ни, която потвърдила справедливостта на формулата на Дьо Бройл:

X-JL _
h
mv m<J(2eU)/m
^2 eUm
където m и е са масата и зарядът на електроните, a U — приложеното
ускоряващо напрежение между анода и катода.

Основи на атомната и ядрената физика

283

Дифракционни явления били открити и при преминаване на тесни
снопове електрони през тънки слоеве от различни метали с поликристална
структура. Всички опити показали, че се наблюдава дифракция на елект­
рони от пол икристал и, аналогична на дифракцията на рентгеновите лъчи.
По-късно било установено, че не само електроните, но и други микрочастч-щи, като протони, неутрони, атоми и даже молекули, притежават вълно­
ви свойства. При отражение на снопове от тези частици от повърхността
на различни кристали било наблюдавано явлението дифракция.
В днешно време опитите с дифракция на електрони и неутрони и ос­
нованите на тях прибори се използват широко в науката и техниката.
Дифракцията на електрони се прилага при изследване структурата на раз­
лични повърхности, например при изучаване корозията на металите и
адсорбцията на газове на повърхностите. Този метод се нарича електролография. Наличието на електричен заряд в електроните предизвиква силното им взаимодействие с повърхностните слоеве на веществата. По тези
причини електронографията се използва ефективно при изследване струк­
турата на повърхностите. Дифракцията на неутрони намира приложение в
друг метод за изследване на структурата, наречен неутронография. Пора­
ди своята електронеутралност неутроните имат по-голяма проникваща
способност и се използват за изучаване структурата на по-дълбоките слое­
ве на веществата.
Експерименталното наблюдение на вълновите свойства на микрочас­
тиците превърнало хипотезата на Дьо Бройл в научно потвърден факт.
Учените си задавали въпроса каква е връзката между тези на пръв поглед
напълно несъвместими свойства - на вълна и на частица. На всяка дви­
жеща се микрочастица Дьо Бройл съпоставя вълна с дължина X, опреде­
лена от съотношението за импулса на фотона
р = — = — —

= /№ ,

(1 5 .1 .3 )

X X 2п
където h = h/2п е една нова константа, a k = 2 п/Х е вълновото число, ха­
рактеризиращо всеки вълнов процес. Изразът (15.1.3) представлява ф ор­
мулата на Дьо Бройл в друг вид. Импулсът, съответстващ на вълната на
Дьо Бройл, е пропорционален на вълновото число с една константа. Ако с
/ означим честотата на вълната на Дьо Бройл и допуснем, че за микрочас­
тиците е в сила формулата на Планк за енергията на фотоните, ще полу­
чим

E = hf = h f — = 1ico,
(15.1.4)
2п
където со е кръговата честота, т.е. също класическа вълнова характеристи­
ка. Зависимостта Е = hf е въведена за електромагнитните вълни, притежа-

284

ОСНОВИ НЛ ФИЗИКАТА

ващи корпускулярно-вълнови свойства, но тя може да бъде отнесена и към
микрочастиците, притежаващи същата двойственост. По такъв начин съ­
отношението между честотата и енергията на фотоните също може да се
разглежда като универсално, отнасящо се за всички микрообекти, изуча­
вани в квантовата механика. От една страна, импулсът и енергията харак­
теризират състоянието на всяка частица в класическата физика, а от друга,
чрез зависимостите (15.1.3) и (15.1.4) те са свързани с класическите въл­
нови характеристики ( X ,f к, со). Константата на Планк h (или П = h/2n) е
отличителен белег на всички зависимости в квантовата механика. Ние
можем да кажем дали дадена теория е „квантова” или „класическа” според
това, дали в нейните резултати фигурира константата h. За макротелата
може да се смята, че /7—>0 и в такъв случай резултатите от квантовата фи­
зика съвпадат с тези от класическата. Класическата физика се явява частен
случай на квантовата механика.
Наличието на корпускулярно-вълнови свойства на микрочастиците
води до извода, че макротелата, които са съставени от елементарни части­
ци, също трябва да притежават вълнови свойства. Тогава естествено въз­
никва въпросът за тяхното експериментално наблюдение. В действител­
ност вълните на Дьо Бройл съпътстват движението и на телата с големи
размери, но при тях дължините на вълните са толкова малки, че не е въз­
можно да бъдат наблюдавани в какъвто и да е експеримент. Например за
една топка за тенис с маса 100 g и скорост 20 m/s дължината на вълната на
Дьо Бройл е
,
6,63.Ю'И , „ , а -34_
Л.=--------= 3,32.10
т.
0 , 1.20

Такава дължина на вълната не е възможно да бъде регистрирана. В също­
то време един електрон, преминал през ускоряваща потенциална разлика и
придобил скорост 7,3.106 m/s, ще има дължина на вълната
6,63.1<Г34
Х = ------ ------ г ~ Ю
т.
9,11.10 .7,3.10
Твърдите тела, които имат кристална периодична структура, се харак­
теризират с междуатомни разстояния d х 10”'° т . За да се наблюдава явле­
нието дифракция, е необходимо частиците, попадащи върху тях, да имат
вълнова характеристика X от порядъка на d (X « d). (Електроните дифрактират от кристална решетка, тъй като тяхната дължина на вълната на Дьо
Бройл е съизмерима с константата d.) Следователно вълновите свойства
на макротелата биха могли да се наблюдават, ако съществуваха перио­
дични структури с междуатомни разстояния d « 10 34 m, каквито засега не
са открити. По тези причини се приема, че макроскопичните тела проявя­
ват само корпускулярните си свойства. Техните вълнови свойства се пре­

Основи на атомната и ядрената физика

285

небрегват, тъй като са много слабо изразени и практически не е възможно
да бъдат регистрирани (А, ~ 10 34 т). За микрочастиците, които имат много
малка маса, дължината на вълната на Дьо Бройл е в граници от 10 —10 m
в зависимост от скоростта им. Ето защо квантовата механика изучава
движението на частиците в областта на т.нар. микросвят (в линейни ма­
щаби това е областта 10“9—10-15 т). Към този свят принадлежат атомите,
молекулите и елементарните частици, които ги изграждат.

15.2. Принцип на неопределеността на Хайзенберг.
Вълнова функция
Дотук разгледахме явления, в които както фотоните (малки порции
електромагнитна енергия), така и микрочастиците (електрони, неутрони,
протони) проявяват сложен корпускулярно-вълнов характер. В рамките на
класическата физика е невъзможно да се обясни едновременното прите­
жаване на толкова различни (корпускулярни и вълнови) свойства. От това
неизбежно следва изводът, че някои понятия от класическата механика,
въведени на основата на многобройни опити с макротелата, са неприло­
жими към света на елементарните частици. Например за едно движещо се
тяло или материална точка в класическата механика винаги е възможно
едновременно и точно да бъдат определени неговата скорост и координата
(положение в пространството); възможно е също така да се определи и
траекторията на движението му. За микрочастиците поради вълновите им
свойства е безсмислено да се говори за едновременно и с еднаква точност
определени стойности на скоростите и координатите им. Да разгледаме
следния пример. Нека частица с точно определена скорост vt, т.е неопре­
делеността в скоростта е Av* « 0, се движи по оста ОХ. На такава частица
съответства вълна на Дьо Бройл с дължина \= h/mvx. Тази вълна ще се
простира по оста ОХ от —оо до +оо, а частицата ще се намира някъде в тези
граници. В този случай интервалът Ах, в който можем да открием части­
цата, е напълно неопределен: Ах—»°о. Следователно микрочастицата, при­
тежаваща точно определена скорост (или импулс р х—rnvx), не може да има
точно определена координата х. Да разгледаме и друга възможност: мик­
рочастицата има точно определена координата х (неопределеността е
Ах « 0). В гакъв случай нейното положение е фиксирано в някаква точка
от интервала (—оо,+оо), където ще бъдат изявени корпускулярните йсвойс­
тва; при това положение няма смисъл да се говОри за нейната скорост
(импулс) или дължина на вълната. В този момент вълновите свойства на
частицата не се проявяват. Опитът показва, че в един и същ момент мик­
рочастиците не изявяват /уюйствената си природа. Ако в едни явления се
наблюдават корпускулярните им свойства, в други се проявяват вълновите

286

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

им свойства. От това следва и невъзможността едновременно да бъдат оп­
ределени техните координати и скорости.
Изхождайки от тези ограничения в поведението на микрочастиците,
немският физик В. Хайзенберг през 1927 г. установил следните съотноше­
ния на неопределеност за координатите и импулсите (скоростите) на всяка
микро частица:

I

АхАр v > h

mAxAvr > h

AyАр v > h

mAyAvy > h

AzAp. > h

mAzAv. > h

(15.2.1)

Изразите (15.2.1) се наричат съотношения на неопределеност на Хайзен­
берг и изразяват т.нар. принцип на неопределеността в квантовата меха­
ника. Според този принцип произведението от неопределеностите на ко­
ординатите и импулсите не може да бъде по-малко от константата на
Планк. Той показва, че в областта на микросвета координатата и импулсът
на една микрочастица не могат да бъдат измерени едновременно. Колкото
по-точно определяме координатата на частицата (Ах-»0), толкова понеопределен става нейният импулс (Арх—»со) и обратно. Двете неопределености Ах и Арх (Avx) не могат едновременно да бъдат нули; в този случай
съотношението на неопределеност губи смисъл. Важно е да се подчертае,
че този принцип не е следствие от несъвършенството на измерителните уре­
ди или методи, а се дължи на двойствената природа на микрочастиците.
Към съотношенията (15.2.1) може да се добави и още една еквивален­
тна зависимост

AEAt > h,
където АЕ е неопределеността на енергията, a At - неопределеността във
времето.
Принципът на неопределеността е един от основните принципи на
квантовата механика, която се базира на вероятностно възприемане на яв­
ленията и физичните променливи. Той е израз на неприложимостта на
класическите понятия към поведението на микроооектите и показва, че
сигурността от класическата физика не е възможна в квантовата физика.
Това не означава обаче, че той е невалиден за макротелата. В областта на
макросвета съотношенията на неопределеност просто нямат^ никакво
практическо значение. Нека разгледаме една частица с маса 10 g и до­
пуснем, че неопределеността на нейната координата, свързана с юплинното движение на атомите в нея, е 10 s m. Неопределеността в скоростта й
ще бъде
Av = —— * 7.10"23 m/s.
тАх

Основи на атомната и ядрената физика

287

Такава неопределеност въобще не може да се измери опитно. Това е една
много малка величина, т.е. практически скоростта на частицата ще бъде
точно определена (Дуд-* 0). А сега нека разгледаме движението на елект­
рона в рамките на атома. Размерите на атома са от порядък 10 т . До­
пускаме, че при най-груба оценка неопределеността на координата Ал^на
електрона може да бъде от порядъка на размера на атома, т.е. Ах — 10 пт
(електронът се намира вътре в атома). В такъв случай неопределеността в
неговата скорост съгласно принципа на неопределеността е
6,63.10'34
_ 1Л6 ,
Av = ---!-- 77--- — ~ 7-10 m/s* 9,11.10 .10
Като се има предвид, че скоростта на електрона в атома е от същия поря­
дък («106 m/s), напълно безсмислено е да се определя неговата скорост с
такава голяма иеопределеност. Следователно в света на микрокосмоса съ­
отношенията на неопределеност играят съществена роля. Гам в един мо­
мент електронът може да се проявява като малка частица с електричен
заряд, която се намира в дадена точка, а в следващия момеш като вълна,
разпространяваща се навсякъде в пространството.
От всичко, казано дотук, става ясно, че поведението на микрочастици­
те не може да се опише с понятията на класическата физика. Движещите
се микрочастици нямат определено положение в пространството — те мо­
гат да бъдат открити с еднаква вероятност навсякъде. От друга страна,
тяхното регистриране става винаги в една точка. В квантовата механика
възниква задачата да се определи някаква функция, която да обединява
вълновите и корпускулярните свойства на микрочастиците и да описва
тяхното поведение.
Тъй като светлината също притежава корпускулярно-вълнови свойст­
ва, ще разгледаме един прост пример. Нека върху повърхността на прозрачна пластинка пада сноп светлинни лъчи. Съгласно вълновите предста­
ви за светлината част от лъчите ще се отразят от горната повърхност на
пластинката, а друга част ще се пречупят и ще преминат през нея. Ако оз­
начим интензитетите на падащия, отразения и пречупения сноп с /, /г и I,,
за тях ще бъде в сила следното равенство:
I = /г+ /,.
Известно е, че 1~А2, поради което горният израз може да се запише още
като

И 2= К М

12>

( ,5 -2-2)
където А, Аг и А, са амплитудите на падащата, отразената и преминалата
вълна. Ако светлината се проявява с корпускулярните си (квантови)
свойства, интензитетът на падащия светлинен сноп ще бъде пропорциона­
лен на броя на фотоните, които се съдържат в него. Ако с N, Nr и N, озна­
д

288

ОСНОВИ НЛ ФИЗИКАТА

чим броя на падащите, отразените и преминалите фотони, тогава

N = N r + Nr

(15.2.3)

За да обединим двете представи за същността на светлината, очевидно
трябва да допуснем, че броят на фотоните в светлинния сноп е пропорци­
онален на квадрата на модула на амплитудата на съответната вълна. В
(15.2.2) полагаме \
а\
~= 1 и получаваме
1= К |2+И|-

(15-2.4)

Изразът (15.2.3) можем да разделим на N:
N
N
(15.2.5)
+
N
N
Тъй като левите части на (15.2.4) и (15.2.5) са равни, приравняваме десни­
те, откъдето следва
— = к | 2; — =И,|2N
1 1
N
11
Отношението N JN определя каква част от общия брой падащи фотони се
отразява, или вероятността един фотон да се отрази от повърхността на
разглежданата пластинка. Отношението NJN определя каква част от па­
дащите фотони преминава през пластинката, т.е. вероятността даден фо­
тон да премине през нея. Ние не знаем кой от падащите фотони ще се от­
рази, нито кой ще премине. Тяхното поведение може да се опише вероятностно чрез квадратите на амплитудите на съответните им вълни. Изхож­
дайки от подобни съображения, немският физик М. Борн предложил пове­
дението на всяка микрочастица да се описва от една функция ¥(л:, у, z, t),
наречена вълнова функция. Вероятността да намерим дадена микрочастица
в малък обем dV от пространството се определя с помощта на тази функ­
ция по следния начин:

dW = M 2dV; — = У 2 =Ч'Ч'\
(15.2.6)
11
dV
където
е функция, комплексно спрегната на ЧЛ От (15.2.6) следва, че
квадратът на модула на вълновата функция определя всъщност плътността
на вероятността, т.е. вероятността една частица да се намира в единица
обем от пространството. Следователно физическият смисъл на вълновата
функция е вероятностен.
За да се определи вероятността дадена частица в определен момент от
време да се намира в някаква точка от пространството, трябва да се из­
върши интегриране по dV в граници от -оо до +оо :
+00
W = ]\tfdV = \
.
(15.2.7)
-оо

Тъй като вероятността е величина, която се изменя в граници от 0 до 1

Основи на атомната и ядрената физика

289

(единицата съответства на вероятност 100%), горното условие се нарича

условие за нормировка на вълновата функция.
Физическият смисъл на (15.2.7) е свързан с факта, че при определени
условия частицата със сигурност трябва да се намира в някоя точка от
пространството. Следователно вероятността частицата да се намира някъ­
де в пространството ще бъде равна на единица. С други думи, условието
за нормировка говори просто за обективно съществуване на частицата във
времето и пространството.
Вълновата функция обединява квантовите и вълновите свойства на
микрочастиците и служи за описание на тяхното поведение. За да бъде
обективна характеристика на състоянието на частиците, тя трябва да
удовлетворява следните условия:
- да бъде ограничена (вероятността не може да заема стойности, поголеми от 1);
- да бъде еднозначна (еднозначно трябва да показва дали дадена час­
тица се намира в определена точка от пространството или не),
- да бъде непрекъсната (вероятността не може да се изменя скокообразно —частицата може да се намира във всяка точка от пространството),
-д а се подчинява на принципа на суперпозицията - ако една частица
се намира в различни състояния, на които съответстват вълнови функции
4 V 4 4 ...,Ч',,, то тя може да заема и състояние с вълнова функция 'F, която
е линейна комбинация от тези функции:

п
където с„ са коефициенти (комплексни числа), a n - броят на състоянията,
заемани от частицата.

15.3. Уравнение на Шрьодннгер. Движение на микрочастица в
потенциална яма. Тунелен ефект
В класическата механика движението на телата се описва от втория
принцип на Нютон. Микрочастиците притежават и вълнови свойства, по­
ради което за характеризиране на тяхното поведение е необходимо да се
използва друго уравнение. Логично е да се предположи, че това уравнение
трябва да се отнася за вълновата функция и да бъде подобно на тези, кои­
то описват звуковите или електромагнитните вълни. Такова уравнение е
формулирано от австрийския физик Е. Шрьодингер през 1926 г. То не се
извежда теоретично, а представлява основен постулат за нерелативистичната квантова механика (v « с). Верността му се потвърждава от доброто
съответствие между неговите следствия и получените експериментални
резултати. Нарича се общо уравнение на Шрьодингер или само вълново
уравнение и има следния вид:

290

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

П

д ^_

a 2vF

a 2vF

2т

дх2

ду2

dz2

+ C/(jc,.у, z ,/) ^(х, у, z, /) = ih

avF
а/

където h = h / l n ; /и е масата на движещата се микрочастица; / имагинерната единица (/ = V^T ); U —потенциалната енергия на частицата
в полето, в което тя се движи.
За редица разглеждания във физиката горното уравнение може да се
използва в по-прост вид, което се нарича стационарно уравнение на
Шрьодингер. В този случай движещата се микрочастица се намира в ста­
ционарно силово поле и нейната потенциална енергия не зависи от време­
то: U = U (x,y,z ). Видът на това уравнение можем да получим, изхождай­
ки от общи физични съображения. Допускаме, че вълновата функция
удовлетворява следното уравнение:
d 2vF

1 d2vF

дх
v dt
където v е скоростта на разпространение на вълната на Дьо Бройл,
съответстваща на движещата се микрочастица. Неговият вид е аналогичен
на класическото вълново уравнение (вж. тема 11.2., формула (11.2.11)). За
простота разглеждаме едномерен случай, т.е. движение на частицата по
оста ОХ. Решение на (15.3.1) може да бъде всеки израз от вида
Ч' = A cos27t f t - 1
X

(1 5 .3 .2 )

Диференцирайки два пъти по /, получаваме
32vF

= -A4iz2f 2 с о б 2 л f t - — =
X
dt
ч
/V
Заместваме получения израз (15.3.3) в (15.3.1):

2 r 2,
- 4 tc / / z 4 - ' .

(15.3.3)

4к2 f 2
(1 5 .3 .4 )
— j- +
/ - У = 0.
дх
v"
Скоростта е v = Xf където / е честотата на вълната на Дьо Бройл, а
X = h/mv е дължината на вълната на Дьо Бройл. В такъв случай
/ 2 _ 1 _ /7/2v2 _ mv2 2т _ 2Ект

И2

h2

2т (Е -Ц )

__

h2

където Е е пълната, a U - потенциалната енергия на микрочастицата.
Замествайки (15.3.5) в (15.3.4), получаваме уравнението на Шрьодингер в
следния вид:

д2У

+

8тг/г/

(E - U )'¥ = 0.

(15.3.6)

дх2
И2
Ако разглежданата микрочастица се движи не по оста ОХ, а в произволно

291

Основи на атомната и ядрената физика

направление в пространството, уравнението (15.3.6) придобива вида
Д ¥ + ^ 4 ^ ( £ - С / ) ¥ = 0,
h

_ a 2vF

където Д е операторът на Лаплас: ДЧ1-

a2vF

(15.3.7)

a 2vF

■

Полученият израз се нарича стационарно уравнение на Шрьодингер. В
него не се отчита зависимостта на функцията 4* от времето /, а потенциал­
ната енергия на частицата зависи само от координатите: U = U (x,y,z). Ще
отбележим, че това уравнение се отнася за малки скорости на движение на
частицата (v € с) и затова се нарича иерелативистично вълново уравне­
ние. Вълновото уравнение за скорости на движение, които са близки до
скоростта на светлината ( v * с ), е определено от английския физик П. Дирак и се нарича релативистично вълново уравнение. 1о има значително
по-сложен вид и на него тук няма да се спираме.
Ще приложим стационарното уравнение на Шрьодингер за няколко
частни случая.
15.3.1. Движение на свободна микрочастица
За свободна микрочастица в квантовата механика се приема всяка
частица, която се движи с постоянна скорост v в пространството и не при­
тежава потенциална енергия (U (r) = 0). Стационарното уравнение на
Шрьодингер за такава микрочастица в едномерен случай има вида

дх2

' 8п-тЕ„ у _ ^

h2

05.3.8)

където Ек= Е е пълната енергия на частицата (U = 0). Кинетичната енергия
Ек може да представим, като използваме съотношението (15.1.3) за им­
пулса: р = tik . Тогава
= оту2 _ P V т - Р 2 - Й2^ ,
(15.3.9)
к
2
2 т
2т
2т
където Ь - И / 2л, а к = 2п/Х. Изразът (15.3.9) определя пълната енергия
на свободната частица. Тъй като на вълновото число к не се налагат ни­
какви ограничения (то може да заема произволни стойности), енергията на
свободната частица също може да заема всякакви стойности. Следовател­
но нейният енергетичен спектър е непрекъснат. Ако в уравнението (15.3.8)
въведем константата h = Л/2тс и използваме зависимостта (15.3.9), то ще
£

придобие следния вид:
5-3!. +— £ хр = 0; 5 - ^ + /:2Ч, = 0.
а^2
п2 к
дх2

(15.3.10)

292

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

Горното уравнение има две частни решения:
Ч ^ х ) = Ае,кх и
Ч*2(х) = Ве~'ь (А и В са константи, а / = V-Т е имагинерната единица). От
физична гледна точка двете решения представляват две монохроматични
плоски вълни, които се разпространяват в две противоположни посоки:
една по ОХ с амплитуда А и втора по - О Х с амплитуда В.
15.3.2. Движение на микрочастица в потенциална яма
Нека разгледаме движението на микрочастица, която се намира в
едномерна правоъгълна енергетична яма с
безкрайно високи стени (фиг. 15.2). Допус­
каме, че частицата има потенциална енергия
U=да
U=0
U=оо
- о в границите на ямата и U{x) - со из­
вън тях. Такава яма се нарича потенциална
яма. Означаваме нейната широчина с /. При
тези условия частицата не може да излезе от
_____^ ямата, поради което при х = 0 и х = I е изх=0
x=l
X пълнено Ч* = 0; това са граничните условия
_
за вълновата функция Ч^х). Допускаме, че
Фиг 15 2
вътре в ямата частицата извършва движение
само в две посоки (ОХ и -ОХ). Прилагаме уравнението на Шрьодингер
(15.3.10) за движението на частицата в потенциалната яма:

^+

r t B 0.
ах2
Общото решение на това уравнение ще бъде от вида
4>(х) = Ае,кх + Ве~,кх .
За х = 0 е изпълнено Ч/(0) = 0 и следователно А + В = 0; В = -А. Тогава
4>(х) = А(е,кх - е~,кх) = А]sin кх,

(15.3.11)

където А\= /2А. За х = / е изпълнено Ч^(/) = 0 и Ч/(/) = А\$'\пк1 = 0. За конс­
тантата А 1 е изпълнено А\ф 0, тъй като, ако А \
= 0, функцията Ч^х) ще бъ­
де нула вътре в ямата, а това противоречи на условието на задачата. В та­
къв случай sinkl = 0, следователно kl = пп, където п е цяло число, заемащо
стойности п = 1,2,3,... За вълновото число к получаваме условието

к=— ,
(15.3.12)
/
от което следва, че к заема определени стойности в зависимост от числото
п. Кинетичната енергия на частицата можем да изразим чрез съотношени­
ето (15.3.9), замествайки к с (15.3.12):
Е

№

2т

= hW
2ml'

(15313)

293

Основи на атомната и ядрената физика

Горното уравнение изразява важен резултат: енергията на микрочастицата, намираща се в потенциална яма, може да заема само дискретни
стойности Е и Е2, £ 3 и т.н. Тези стойности се наричат енергетични нива, а
числото п — главно квантово число. Изводът е, че енергията на частицата
се квантува, а енергетичният йспектър е дискретен. Тъй като енергията на
частицата се изменя в зависимост от п, изразът (15.3.13) може да се запи­
ше и по следния начин:
2_2

Е.. =

Гя

(15.3.14)

-п

2тТ
Важно е да се отбележи, че съгласно (15.3.14) енергията на микрочастицата в потенциалната яма не може да бъде равна на нула: нейното минимално значение при п = 1 е
2

2

Е

=—
mm 2m12
Получените резултати показват, че микрочастицата, намираща се в потен­
циална яма, е в състояние на непрекъснато движение. (Пример за такова
движение са движенията на свободните електрони в атомите на металите.)
Общото решение (15.3.11) на уравнението на Шрьодингер също може
да се представи като функция на квантовото число п:
У„(х)=Л| sin

mi

т

(15.3.15)

Вълновите функции Ч',, 4 ^, ¥ 3, ... описващи състоянията на микрочасти­
цата в ямата, се наричат собствени вълнови функции. Константата А\ може
да се определи от условието за нормиране (15.2.7):
I
а

sin
1= A2 Jsi

Г/771

0
\
2I
N
* = 4 - J 1-cos2| — х dx = Al\ A x= J —
2 J
/

Тогава решението (15.3.15) придобива окончателно вида
7771

т

(п = 1,2,3,...).

Знаем, че на всяка движеща се микрочастица съответства дължина на
вълната на Дьо Бройл. Тогава можем да определим X за частицата, нами­
раща се в потенциалната яма:

h
777V

h
yl2mEk

М '
rtnh

21
п

(15.3.16)

където енергията Ек-е заместена с израза (15.3.13). Очевидно е, ч£ Хп зави-

294

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

си обратнопропорционално от главного квантово число п. Максималната
дължина е при /7 — 1 : \тах—21, а широчината на ямата съответно е
/ = А.тах/2. При п = 2 Х.2= /; при
/7 = 3 Х3= 2//3, а / = ЗА-з/2 и т.н.
Ч
'»
l4"»
И
I
п
п
Е
Е
От това следва, че ло дължина­
3
5
Еъ
Е.,
та на ямата могат да се разпо­
ложат цяло число полувълни на
Дьо Бройл (фиг. 15.3а). Всяко
2 £•>
Ei
енергетично състояние на час­
1 Е,
Е\
тицата се характеризира с оп­
0
/
0
ределена дължина на вълната
Фиг. 15.3
Х„. Знаейки вълновите функции

АДА

/\/\

на отделните състояния, можем да пресметнем и съответните плътности
на вероятностите [Ч*,, ”, които са представени графично на фиг. 15.36:
Ut,

(

м2

2

. 2(

1

|¥„W| = T sin ~ у х •
/
у / j
Според условието на задачата в краищата на ямата е изпълнено
=0
(при х = I и jc = 0), т.е. вероятността частицата да бъде там е равна на нула.
За различните точки вътре в ямата вероятността е различна и се изменя в
зависимост от п. Например при /7 = 1 jT,|' има максимална стойност при
х = //2; при /7 = 2 hFJ има минимум, равен на нула, в точката х-112 и
максимум при * = (1/4)/ и jc = (3/4)/; при п = 3 |lF3j2 има максимуми при
х = (1/6)/, (3/6)/, (5/6)/ и минимуми при х = (2/6)/, (4/6)/ и т.н. Следовател­
но в различните състояния на частицата вероятността да я намерим в да­
дена точка се изменя. В едни точки тя е максимална, а в други - равна на
нула, т.е. в тях частицата не може да съществува. Такова поведение е не­
съвместимо с класическото понятие траектория на частица. Според класи­
ческата механика вероятността да намерим частицата в коя да е точка е
еднаква и не зависи от нейната енергия. Но при големи стойности на п
(големи енергии и малки дължини на вълната А.,,) броят на вълните, които
се нанасят върху широчината на ямата, става много голям и точките, в ко­
ито може да се открие частицата, се разполагат много близко една до дру­
га; в такъв случай с еднаква вероятност може да намерим частицата във
всяка точка от интервала (0, /). С други думи, при големи стойности на
енергията (w->oo) микрочастиците не проявяват вълновите си свойства
(А.,,->0) и резултатите от квантовата механика съответстват на тези от кла­
сическата физика.
Ако размерите на потенциалната яма са големи, дискретността на
енергетичния спектър става незабележима и той в действителност се
превръща в непрекъснат. Обратно, при размери на ямата, сравними с

Основи на атомната и ядрената физика

295

атомните размери, се проявява дискретният характер на енергетичния
спектър на частицата. Например ако един електрон се намира в потенци­
ална яма с широчина 1 = 1 cm, от формулата (15.3.14) за разликата между
енергиите на две съседни енергетични нива получаваме
Д£„ =37,7.10_l6(2 n - l)e V ,
т.е. енергетичните нива се разполагат много близко едно до друго, като
практически се сливат. Ако широчината на ямата е / = 1СГ10 т , получаваме
А£„ =37,7 (in - l)e V ,
което показва явна дискретност на спектъра. Следователно при преход ог
света на микрочастиците към макросвета принципите на квантовата
механика се превръщат в класическите закони.
15.3.3. Преминаване на микрочастица през потенциална бариера.
Тунелен ефект
Нека допуснем, че областта, в която се движи дадена микрочастица, е
разделена на две части от потенциална бариера. Такова движение извърш­
ва например един електрон, отделящ се от повърхността на даден метал
във вакуум. При това отделяне той преодолява определена потенциална
бариера, което е свързано с извършване на работа.
J1
На фиг. 15.4 ’е показана потенциалната
бариера с широчина / и височина U0. Предпо­
Uo
---Е
лагаме, че дадена микрочастица се движи по
1
2
3
направление на оста ОХ и среща на пътя си
W
■
W
тази бариера. Според принципите на класи­
ческата механика, ако частицата има пълна
X
0
/
енергия Е > UQ, тя ще премине над бариерата.
Фиг. 15.4
Ако нейната енергия е Е < UQ, тя не може да
премине и ще достигне до такава височина от бариерата, до която йпоз­
волява енергията Е. Вълновата картина на движението на микрочастицата,
която се описва от уравнението на Шрьодингер в квантовата механика,
довежда до твърде по-различен резултат. Според квантовата механика
съществува вероятност, различна от нула, частицата да премине през
потенциалната бариера и при енергия Е < Uq. Разделяме пространството, в
което
може
да
се
окаже
частицата,
на
три
области:
1(х < 0), 2(дге(0, /)) и 3(х> Г). Стационарното уравнение на Шрьодингер за
областите 7 и 3 ще бьде

дх
а за областта 2:

^ PV = 0,

Л2

(15.3.17)

296

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

^ - + ^ - ( E - U 0}¥ = 0.
дх2
П2
Общите решения на горните уравнения за трите области са

4*1 з(х)= Л, , е 'к'х
'
,

(15.3.18)

+ В п е - ‘к' х ,

% (* ) =

*

(15.3.19)
2>

където А |, А2, А3 и 5,, Д2,
са константи; * ,- V 2 т Е /h, а
к2 = J2m(E -U0)/h е имагинерно число, ако разглеждаме случая £ < £/0.
Тогава, полагайки /г2=/£, където к = ^2m{U0 - E )/h , за решението ^ ( х )
получаваме

4>2{х)= А ^ + B2eb .

(15.3.20)

Всяко от решенията (15.3.19) се състои от два члена, които описват две
монохроматични вълни, разпространяващи се в двете възможни посоки:
ОХ и -ОХ. Така «апример членът А / к'х съответства на вълната, движеща
се към потенциалната бариера в посока ОХ (падащата вълна), а Вхе 1 на вълната, движеща се в посока —ОХ (отразената вълна). Вероятността да
открием частицата при движението йкъм преградата се определя от |^4|| ,
а вероятността да намерим частицата при движението йв обратна посока
от |jf?ij2 • Отношението на тези две вероятности се нарича коефициент на
отражение на бариерата и се означава с R:

R=

,Г
И.Г

Този коефициент всъщност определя вероятността микрочастицата да се
отрази от потенциалната бариера. Аналогично А2е 1 и В2е 2 описват
двете вълни, съответстващи на движението на преминаващата през барие­
рата частица в двете възможни посоки. Областта 3 се простира от / до +оо,
поради което в нея няма отразена вълна, т.е. константата В3 = 0. В такъв
случай решението (15.3.19) придобива вида *Рз(х) - Аъе 1 и съответства на
преминалата през бариерата вълна, която се разпространява само в поло­
жителната посока ОХ. Величината, която се определя от отношението на
квадрата на амплитудата на преминалата през бариерата вълна към
квадрата на амплитудата на падащата вълна, се нарича коефициент на
прозрачност на бариерата и се означава с D\

И
D = [Между величините R и D съществува зависимостта R + D=\. Наистина
ако една микрочастица се е отразила от потенциалната бариера, за нея
R = 1, a D = 0, и обратно: ако частицата е преминала през бариерата, за нея

R = 0, aD=\.

Основи на атомната и ядрената физика

297

От израза (15.3.20) се вижда, че когато микрочастицата има енергия
Е < U0, вероятността тя да премине през бариерата е различна от нула и е
равна на |Ч!2(х) \
2=\А2\
2е~21сс. Тази различна от нула вероятност показва,
че поведението на микрочастиците, разглеждани в квантовата механика, е
по-различно от това на частиците в класическата физика.
От граничните условия за непрекъснатост на вълновата функция и
нейните производни на границата на потенциалната бариера (при х = 0 и
х = 1) може да се определят константите А]2,з и 5 12,з от решенията
(15.3.19). Чрез тях лесно се определят и коефициентите на отражение и
прозрачност на бариерата.
За правоъгълна потенциална бариера с широчина / коефициентът на
прозрачност D се определя от следната формула:

D = D0e

-lpm (U 0-E)l

= D0e h

,

(15.3.21)

където k = 1J 2 m(U0 —E) jfi ХПРИ Е < Uq), Dq е коефициент със стойност,
близка до единица, а т е масата наг частицата. Вижда се, че коефициентът
на прозрачност D зависи от величините т, 1 и разликата в енергиите
(Uq —Е), като с нарастването им вероятността за преминаване на частицата
през бариерата намалява. Оттук отново следва изводът, че за макротелата
квантовата механика преминава в класическата: частиците с голяма маса
не преминават през бариерата. Преминаването на микрочастица през
потенциална бариера се нарича тунелен ефект.
Чрез тунелния ефект се обясняват редица явления във физиката, като
студена емисия на електрони от металите (отделяне на електрони от по­
върхността на даден метал под действие на външно електрично поле),
а-разпадането на радиоактивни ядра, контактните явления на границата
между твърди тела и др.
Тунелният ефект е специфично квантово явление и се наблюдава само
при много малка широчина на бариерата (от порядъка на размерите на
атомите d « Ю~10 т).

1.

Въпроси и задачи
Какви опити, показващи наличието на вълнови свойства на микрочастиците, са ви

2.
3.

известни?
Защо вълновите свойства па макротелата не могат да се наблюдават?
Какъв е физичният смисъл на вълновата функция? На какви условия трябва да отюва-

4.
5.

ря тя?
За какво служи уравнението на Шрьодингер и има ли то аналог в класическата физика?
Защо електронът в електроннолъчевата тръба на телевизора се проявява като класи­
ческа частица, докато същият електрон в рамките на атома се проявява като квантова
частица?

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

298
6.
7.

8.

Куршум с маса т = 40 g лети със скорост v w 100 m/s. Каква е съответстващата му дължииа па вълната ма Дьо Бройл?
Сноп неутрони с кинетична енергия Ек- 0.025 eV попада върху кристал, действай!
като дифракционна решетка с константа d = 2,5.10"10 т. Определете на какъв ъгъл ще
се отклонят неутроните, дифрактирали в първия максимум (к = 1).
Заредена частица, ускорена от електрично поле с напрежение 206 V, има дължина на
вълната на Дьо Бройл X =0,2.Ю~10 т. Намерете масата на частицата, ако зарядът йе

<7= 1,6.10'|9С.
9.

Изчислете неопределеността на скоростта на частица с маса 1 g. ако местоположение­
то йсе определя с точност 0,1 mm.
10. Електрон се намира в потенциална яма с широчина / = 5.10-10 т. Определете наймалката разлика АЕ между енергетичните му нива.

Глава 16
А Т О М И , ЯДРА И Е Л Е М Е Н Т А РН И Ч А С Т И Ц И
Предстои ни да навлезем в невидимия свят на атомите и техните ядра.
Думата атом означава неделим. Според представите на древните гърци
съществуват само атоми и празно пространство. Самите атоми нямат вът­
решна структура. Разнообразните свойства на веществата били свързвани
с различния брой, вид и определено подреждане на атомите като градивни
частици.
Дотук използвахме понятията атом, молекула, твърдо тяло, без да се
спираме на въпроса какъв е вътрешният строеж на тези обекти. Съвремен­
ните представи за строежа на атома започват да се оформят едва в начало­
то на X X в. след откриването на явлението радиоактивност и опитите на
английския физик Ъ. Ръдърфорд по разсейване на а-частици от различни
вещества. Ръдърфорд установил, че атомите имат сложен вътрешен стро­
еж: състоят се от положително ядро с малки размери, около което се дви­
жат отрицателни електрони. Като цяло атомът е електронеутрален, тъй
като положителните и отрицателните заряди се компенсират взаимно. Те­
зи резултати естествено поставили въпроса за вътрешния строеж на атома,
както и за разположението на електричните заряди в рамките на неговия
обем. Малко по-късно след откриването на неутрона от Дж. Чадуик става
ясно, че от своя страна ядрата на атомите също имат сложен строеж, който
е обект на интензивни изследвания и до днес. Наблюдаваните вълнови
свойства на микрочастиците показват, че те имат корпускулярно-вълнов
характер и поведението им се описва от принципите на квантовата меха­
ника, които разгледахме в предишната глава.

Основи на атомната и ядрената физика

299

16.1. Строеж на атома. Модел на Ръдърфорд. Теория на Бор.
Квантовомеханичен модел на водородния атом
През 1911 г., изучавайки разсейването на а-частици (положително за­
редени частици) от различни вещества, Ръдърфорд открива, че целият по­
ложителен заряд и почти цялата маса на атомите е съсредоточена в ядро с
размери от порядъка на 10"'5 т . Схемата на опитната постановка, която
той използва, е показана на фиг. 16.1 а. От радиоактивен източник 1, пос­
тавен в оловна защита, се отделя тесен сноп а-частици 2, който попада на
тънка метална пластинка 3 (злато, платина, алуминий). Зад пластинката е
поставен екран 4, покрит с флуоресциращо вещество, което има способ­
ността при всеки удар на а-частицата в него да светва. Тези светвания се
наричат сцинтилации. По такъв начин по ороя на сцинтилациите върх\
екрана се определя броят на а-частиците, разсеяни от пластинката. Прост­

ранството между пластинката и екрана се вакуумира добре, за да се избег­
не допълнителното разсейване на а-частиците от въздуха.
Опитите показали, че някои от а-частиците се отклоняват рязко от
първоначалното направление, а останалите - по-слабо (фиг. 16.1 б). Обст­
релваната метална пластинка съдържа голям брой атоми. Ако тези атоми
са плътни, всяка частица би срещала на пътя си атом и след удара с него
би се отклонявала. Анализът на получените данни обаче показвал, че само
една на всеки 10 000 частици се отклонява рязко (на по-голям ъгъл), дока­
то останалите слабо променят направлението си. От това следвал изводът,
че почти цялата маса на атома е съсредоточена в малка част от неговия
обем, наречена ядро. В такъв случай а-частиците преминават през атома
като през празно пространство и само при среща с ядрото, което е поло­
жително заредено, се отклоняват на по-голям ъгъл спрямо първоначалната
посока на разпространение. (С електроните те практически не взаимо­
действат, тъй като масата им е значително по-голяма.) Следователно поголямата част от обема на атомите е незапълнена. Измерванията на размерите
на ядрата с различни методи дават стойност в интервала (1,2-1,3)10 ш. О с­
таналата част от атома, която се заема от движещите се електрони, има
линейни размери, приблизително равни на 10 10 т . По този начин се оказ-

300

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

ва, че основният градивен материал на веществото - атомът - в поголямата част от обема си е незапълнен: отношението на обема на ядрото
към обема на областта, в която се движат електроните, е приблизително
равно на 10~15.
Основавайки се на тези резултати, Ръдърфорд предложил т.нар. ядрен
модел на атома. Според този модел атомът се състои от положително за­
редено тежко ядро, около което по затворени орбити се движат електро­
ните, образувайки т.нар. електронна обвивка на атома. Зарядът на ядрото
по големина е равен на общия заряд на всички електрони. Този модел
обяснявал добре опитите по разсейването на а-частици от веществото и
позволил да се определи зарядът на ядрото; било показано, че зарядът q на
ядрото е равен на поредния номер Z на елемента в периодичната система
на Менделеев, умножен по електричния заряд е на електрона: q = Ze.
Моделът на Ръдърфорд обаче се оказал свързан с редица затруднения.
Съгласно законите на класическата електродинамика всеки електричен
заряд, който се движи ускорително, трябва да излъчва електромагнитни
вълни. В такъв случай електроните, движейки се около ядрото, непрекъс­
нато ще излъчват електромагнитни вълни, вследствие на което енергията
им постепенно ще намалява. В електричното поле на ядрото всеки елек­
трон притежава потенциална енергия U--Ze~/r, където г е радиусът на
съответната орбита на движение на електрона. Очевидно с намаляване
енергията на електрона ще намалява и радиусът на орбитата му, при което
в определен момент той ще падне върху ядрото, т.е. атомът ще престане
да съществува като устойчива система. С приближаването към ядрото
периодът и честотата на електромагнитното излъчване също ще се изменят
непрекъснато, поради което спектърът на излъчването ще бъде непрекъснат
(в действителност излъчването на атомите има линеен (дискретен) спектър).
Противоречията в модела на Ръдърфорд били избегнати с новата тео­
рия на атома, предложена от датския физик Н. Бор през 1913 г. Тя се ос­
новава на следните три постулата:
- Атомът може да съществува само в определени стационарни състо­
яния, всяко от които се характеризира с определена стойност на пълната
енергия; тези състояния не се изменят с течение на времето, ако върху
атома не действат външни сили. На стационарните състояния съответстват
определени стационарни орбити, по които се движат електроните. При
движението си по тези орбити електроните не излъчват електромагнитни
вълни.
- При преминаване на атома от едно стационарно състояние в друго
се излъчва или поглъща фотон. Атомът излъчва един квант електромаг­
нитна енергия, ако се извършва преход на електрон от състояние с поголяма енергия Ет към състояние с по-малка енергия Еп(Е,„> Еп):

Основи на атомната и ядрената физика

301

¥тп=*Ет - Е „.
При поглъщане на фотон с енергия

hfkm * Ei( ~ Е т
се извършва преход от състояние с по-малка енергия към състояние с поголяма енергия (Ек> Ет). Вторият постулат на Бор представлява понататъшно развитие на идеята за квантовия характер на излъчването и
поглъщането на електромагнитни вълни.
Стационарните орбити се характеризират с то&а, че моментът на
импулса на електрона по тези орбити може да има само дискретни (квантувани)стойности:

Ln = mvnrn = nti; п = \
, 2, 3,...,
където /7? е масата на електрона; v„ - неговата скорост; г„ - радиусът на
съответната орбита на движение; п - главното квантово число, определя­
що орбитата и състоянието на електрона, a h = h/2n .
Третият постулат на Бор може да се получи като следствие от вълно­
вите свойства на електрона. Нека определим колко дължини на вълната на
Дьо Бройл Х„= h/mvn за електрона се нанасят върху дължината на кръгова­
та орбита (подобно на случая за микрочастица в потенциална яма
(15.3.16)), по която се движи електронът:
h
2пгп =пХп; 2кгп = п --- => mv„r„=nh.
mv„
Теорията на Бор може да се приложи за най-простия атом - атома на
водорода, който съдържа един протон и един електрон. Масата на протона
е много по-голяма от масата на електрона (« 5.104 пъти), поради което за
простота се допуска, че електронът се движи около неподвижния протон,
намиращ се в центъра на атома. За разлика от масите електричните заряди
на протона и електрона са еднакви по големина, но противоположни по
знак. Силата на взаимодействие между електрона и протона се определя
от закона на Кулон. Тя представлява центростремителна сила, под дейст­
вие на която електронът се движи по съответната орбита:
g2- - ,
(16.1.1)
г„
4кe0r;
където Бо е електричната константа на вакуума. Съгласно третия постулат
на Бор радиусът гп на орбитата трябва да удовлетворява условието

m v r =nh = n — .

(16.1.2)

271

Решавайки съвместно уравненията (16.1.1) и (16.1.2), за радиуса гп по­
лучаваме следния израз:

302

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

2 h24KEn

2 h2Sn
^
гп = п2--- --±= п2--- (16.1.3)
пте

те

където п - 1, 2, 3...
Ако заместим в (16.1.3) константите с техните стойности и положим
п = 1, ще определим радиуса на първата възможна орбита г\= 0,53.10 10 т .
Получената стойност е в добро съответствие с това, което се определя от
кинетичната теория на газовете.
Енергията на водородния атом се състои от потенциалната енергия на
взаимодействие между ядрото (протона) и електрона и кинетичната енер­
гия на движение на електрона по съответната орбита (със скорост v„). По­
тенциалната енергия може да се пресметне, като се използва връзката
между работа и потенциална енергия. Работата на електростатичните сили
за преместване на електрона от разстояние г„ до оо е равна на изменението
на потенциалната енергия с обратен знак. Следователно

е2 r"rdr
е2
у = _ £ _ р 1 = — £—

4ле0 IK

.

(16.1.4)

гп4ж0

Кинетичната енергия на електрона определяме, като използваме израза (16.1.1):

Ек =

^
2

=-^— .
8тге0г„

(16.1.5)

В такъв случай пълната енергия е

е2

Еп = Ек +U =

8nz0rn

Замествайки г„ от (16.1.3), получаваме
4

1

4

1

me
I
те
1
= --- j ----- Т ~ Т - --- Г Т Т 2Й (47i80) п2
8h2z2
0 п2

л
(16.1.6)

Тъй като пълната енергия на атома е отрицателна, с увеличаване ра­
диуса на орбитата, на която се намира електронът, енергията нараства.
При и —> оо Е„ = 0, т.е. това е максималната енергия на водородния атом.
От формула (16.1.6) се вижда, че енергията на атома зависи само от
главното квантово число п. Различните стойности на п определят енерге­
тичните нива на електрона в атома. Енергетичното ниво при п = 1 се нарича
основно енергетично състояние (нормално състояние). Енергетичните нива
при п > 1 се наричат възбудени енергетични състояния на атома. Във възбу­
дените състояния атомът не съществува дълго. Обикновено той излъчва
квант енергия и преминава в по-ниско енергетично състояние, а по-късно,
изпускайки още един или няколко кванта, се връща в основното състояние.
Основното състояние е най-устойчивото, тъй като се характе­

Основи на атомната и ядрената физика

303

ризира с най-малката стойност на пълната енергия.
Замествайки п с 1, 2, 3 и т.н., можем да получим стойностите на енер­
гиите в различните енергетични състояния на водородния атом:
Е, =-13,55 еУ (л = 1); Е2 = -3,37 eV (п = 2); £ 3 = -1,50 eV (и = 3).
С помощта на теорията на Бор може да се обясни произходът на
линейните спектри на излъчване и поглъщане на атомите; за атома на
водорода тази теория позволява да се установят определени съотношения
между честотите (дължините на вълните) на отделни линии в спектъра,
които са били открити по-рано по емпиричен път. Едно такова
съотношение е определено от Дж. Балмер и има следния вид:

където / и А, са честотата и дължината на вълната за съответната
спектрална линия, с - скоростта на светлината, a R е константа, която се
нарича константа на Рндберг (R = 3,29.1015s '). Спектралните линии,
удовлетворяващи горната формула, образуват т.нар. серия на Балмер.
Задавайки на п стойности п = 3, 4, 5 и т.н., ще получим всички линии от
спектъра на водорода, които се излъчват във видимата област. При п = 3
съответната линия се означава с На, при п —4 —с Щ и т.н. На фиг. 16.2а е
показана схема на разположението на тези линии.
Серията на Балмер се обяснява лесно с теорията на Бор. Действително
съгласно втория постулат излъчването на атома е в съответствие с равенс­
твото hf2l = Е 2
където Е\ и Е2 са дискретни стойности на енергията.
За две енергетични нива с номера п = щ и п = п2, използвайки (16.1.6),
получаваме

те

4

(

/ =
където we4/8/i3£o2- R- Замествайки стойностите на постоянните величини,
за R ще получим R = 3,27.1015 s-1, което съвпада добре със стойността,
получена от опитните данни. Ако в горната формула положим п\ = 2, а
п2 = 3, 4, 5... получаваме съответна група линии, които се излъчват от
атома при преход на електрона от третата, четвъртата и т.н. орбита на
втората, т.е. серията на Балмер.
Ако положим п\= 1, а п2 = 2, 3, 4,... получаваме нова серия (серия на
Лайман), която е разположена в ултравиолетовата част на спектъра. Тази
серия се образува при преход на електрона от коя да е орбита (п2> 1) на
първата. Когато п\= 3, а пг = 4, 5, 6,... се получава още една серия (серия
на Пашен), разположена в инфрачервената област. По такъв начин чрез
теорията на Бор не само бил обяснен смисълът на формулата на Балмер,

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

304

Н„

Нп ИуН&

ио и били предсказани нови
серии от спектъра на водоро­
да, които по-късно са открити
експериментално.
синя виоле­ ултра­
червена
На фиг. 16.26 схематично
това виолетова
са представени сериите на во­
дородния спектър. За да из­
Е, eV
лъчва, атомът трябва да бъде
0
възбуден, т.е. необходимо е
възбудени
-1,5
той да получи порции енергия
състояния
серия на Пашен
(/7 = 3)
отвън (например при удар с
-3,37
друг атом (електрон) или при
серия на Балмер
поглъщане на фотон). При та­
(* = 2)
кова възбуждане електронът
отива на по-висока орбита с
по-голяма енергия; за да се
върне в основното състояние,
-13,55
основно
серия
той излъчва фотон. Хоризон­
състояние
на Лайман
талните линии графично пред­
(/7=1)
ставят енергетичните нива
Фиг. 16.2
(състояния) на водородния
атом; вертикалните линии показват преход от едно ниво на друго. Необ­
ходимо е да обърнем внимание на факта, че с нарастването на п енерге­
тичните нива се разполагат все по-близко едно до друго, като при п— те
са така гъсто разположени, че не е възможно да се разделят (практически
те се сливат). Физически това състояние съответства на Е„= 0 (атомът
престава да съществува като. стабилна система).
С помощта на теорията на Бор се обясняват добре наблюдаваните
спектри на излъчване и поглъщане на атомите на водорода. Пресметнати­
те стойности на енергетичните нива съвпадат с опитно получените резул­
тати. За по-сложните атоми (с по-голям брой електрони) задачата става
значително по-трудна и опростяванията не водят до задоволителни резул­
тати. При изучаване строежа на многоелектронните атоми теорията на Бор
се оказва недостатъчна. Тя претърпява редица усъвършенствания (въвеж­
дане на елиптични орбити) и допълнения, но нейният най-съществен еле­
мент — наличието на дискретни енергетични нива в атома — се запазва.
Моделът на Бор е комбинация от класически (орбити) и квантови (фото­
ни) представи. Шрьодингер и Хайзенберг развиват основите на съвремен­
ната квантова теория на атомите. Съгласно тази теория електронът в атома
се характеризира с вълнова функция, с помощта на която може да се
пресметне вероятността за намирането му в дадена точка от обема на ато-

3

Основи на атомната и ядрената физика

305

ма. Тази функция удовлетворява уравнението на Шрьодингер и определя
стационарните състояния на атома, които се характеризират с четири
квантови числа вместо единственото квантово число в модела на Бор.
Квантовите числа, характеризиращи състоянията на атомите, са
следните:
- Главно квантово число /?, от което зависи енергията на електрона в
атома; то може да бъде само цяло число със стойност от 1 до оо; в състоя­
ния с по-малка енергия (по-малко п) електронът е по-силно свързан с
ядрото и се намира по-близко до него;
- Орбитално квантово число /, определящо големината на момента на
импулса на електрона; то също приема само цели стойности от 0 до п - 1,
където п е главното квантово число.
Различните стойности на / при дадено п съответстват на движение на
електроните в различни състояния. Съвкупността от всички електрони с
дадено главно квантово число представлява електронен слой с определено
енергетично състояние.
Слоят с /? = 1 се означава като /С-слой, с п = 2 - Z-слой, с п = 3 М-слой и т.н.
Числените стойности на квантовото число / се означават обикновено с
букви по следната схема:
1:0, 1,2, 3,4, 5;
буква: s, р, d , f g, h.
Електронните състояния е прието да се записват, като главното кван­
тово число п се изписва с цифра, а / - със съответната буква. Например
състояние на електроните в слоя К (п = 1, / = 0) се означава като Is; в слоя
L (п = 2) при / = 0 като 2s, а при / = 1 като 2р и т.н.
- Магнитно квантово число //?/, което определя проекцията на вектора
на момента на импулса на електрона върху зададена ос.
Движещият се електрон притежава орбитален магнитен момент. При пос­
тавяне на атома във външно магнитно поле в електрона се появява добавъчна
енергия, големината на която зависи от проекцията на орбиталния магнитен
момент върху направлението на полето. Следователно ще се появят нови (до­
пълнителни) енергетични нива, променящи спектъра на излъчване на атома. В
този случай се наблюдава разцепване на спектралните линии.
В съответствие с основните положения на квантовата теория енергия­
та на атома в магнитно поле също трябва да бъде квантувана; тя може да
приема редица дискретни стойности. Тъй като тази енергия зависи от про­
екцията на момента на импулса на електрона върху направлението на по­
лето, следователно проекцията също се квантува. Наистина за проекцията
на момента на импулса на електрона върху направлението х на външно
магнитно поле се получават стойности, кратни на h:

306

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

к х = hml’
където т / е магнитното квантово число. При дадено / магнитното квантово
число може да приема следните стойности:
Щ) —+/, +(/ —l) ,... , 0 , —l), —
следователно т/ може да има общо 21 + 1стойности.
—
Магнитно спиново число т$. Съществуването на това число е откри­
то при прецизен анализ на спектрите. Оказва се, че спектралните линии
имат фина структура (разцепване на линиите), която се наблюдава и при
отсъствие на външни магнитни полета. Например всички линии в спектъ­
ра на водорода се наблюдават като двойни (дублети), съставени от две от­
делни, близко разположени линии.
За обяснение на дублетите е изказана хипотеза, според която електро­
нът има собствен момент на импулса, който се нарича спин. Спинът е век­
торна величина, чиято големина се определя чрез квантовото число S пос­
редством израза hyJS(S +1) . За електрона S'= 1/2. Проекцията на спина
на електрона върху дадена ос може да заема само две стойности (в едини­
ци /?): +1/2 и —1/2, които съответстват на паралелна или антипаралелна
ориентация по оста. Днес е известно, че по-голямата част oi елементарни­
те частици имат спин. Той не е резултат от въртенето около собствена ос,
а е особено свойство на елементарните частици; стойността му не може да
бъде увеличена или намалена. Спинът е важна характеристика на елемен­
тарните частици подобно на масата и заряда им и не е свързан с тяхното
движение в конфигурационното пространство.
Интересно е как се разпределят електроните на даден атом в различ­
ните състояния, определени от четирите квантови числа: п, 1, mt и ms- Те не
се движат хаотично около ядрото, а се групират в определени слоеве.
Всички електрони, които участват в състава на един слой, са свързани
почти еднакво здраво с ядрото. За да се отдели кой да е електрон от някой
слой, е необходимо да се изразходва определено количество енергия, чия­
то стойност е различна за различните слоеве.
Броят на електроните, които се съдържат в даден слой, се определя от
принципа на В. Паули: в един и същ атом не може да има два ши повече
електрона с еднакви четири квантови числа\ с други думи, състоянията
на всички електрони в атома са различни. Отчитайки този факт, може да
разгледаме как са разпределени електроните в първите елементи от пери­
одичната система на Менделеев.
Най-малката стойност на главното квантово число е п = 1; в такъв
случай / = 0 (/ = п - 1); т ,= 0; ms= ±1/2. В съответствие с приетия начин на
записване състоянието на електрона в атома на водорода е 15. В атома на
хелия двата електрона се намират в състояние 15, но спиновете им са ан

307

Основи на атомната и ядрената физика

типаралелни: +1/2 и -1/2. Схематично това е представено на фиг.

15
Н —I—

15
Не

16.3а.
/С-слой(п = 1) К-слой(п = 1)
Литият има три електрона
Q
(фиг.16.36). Съгласно принципа
Is
Ъ
2р
на Паули третият електрон не мо- Li ^..j— —|^*
^
7^71
же да бъде в слоя с п — 1, тъй като
и=1 п=.2
g
—р ~| ||
всички състояния там са заети. Be
__|Л
п_ j
'
Неговата енергия трябва да бъде
по-голяма и той попада в следва­
щия слой L (п = 2). Състоянието
фиг-16 3
му се означава с 2s. В берилия
четвъртият електрон се отличава от третия само по стойността на спина.
Той също попада в състояние 25. В атома на бора има пет електрона. Пе­
тият електрон не може да попадне в състояние 2s\той заема състояние 2р
(в това състояние могат да бъдат общо 6 електрона, тъй като при / - 1 W/
може да приема три стойности (1, 0,-1), а за всяка от тях спинът може да
има две стойности (+1/2 и —1/2). В такъв случай за бора два електрона се
намират в състояние Is, 2 електрона — в състояние 2s и един електрон — в
състояние 2р.
По-нататък за елементите С, N, О, F електроните запълват постепенно
всички състояния 2р\при неона целият слой с п = 2 е запълнен.
При натрия единадесетият електрон трябва да се намира в слоя с п —3
(М-слой). При п = 3 / може да заема три различни стойности (0, 1 и 2). При
/ = 0 в състоянието Зл’ може да има два електрона с противоположни спи­
нове. При / = 1 в състояние 3р могат да бъдат 6 електрона. При 1= 2 в състо­
яние 3d квантовото число mi може да приема 5 стойности (2, 1, 0, —1, —2), а
за всяка от тях спинът може да има две стойности (+1/2 и —1/2). Следова­
телно в състоянието 3d могат да бъдат общо 10 електрона. Изчисленията
показват, че в слой с главно квантово число п може да има не повече от
2п2 електрона в различни състояния (с различни квантови числа /, т, и ms).
Свойствата на елементите от периодичната система зависят oi раз­
пределението на електроните по слоеве. Така например при атомите на
инертните газове (He, Ne, Аг) слоевете са изцяло запълнени и свойствата
на тези елементи са аналогични.
В атомите Li, К, Na има по един електрон над запълнените слоеве, те­
зи атоми също притежават сходни свойства. Редът, по който се запълват
квантовите състояния, се определя от правилото най-напред да се заемат
най-ниските енергетични състояния.
А сега ще разгледаме модела на водородния атом, използвайки основ­
ните съотношения на квантовата механика. Потенциалната енергия на

308

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

електрона в полето на ядрото се определя от израза (16.1.4):

U=

—,
4пг0г

(16.1.7)

където г е разстоянието между електрона и протона. Графично горната
функция представлява потенциална яма (фиг. 16.4). Ако електронът се наЕ
мира достатъчно близко до ядрото, където
неговото движение се ограничава от стените
на ямата, енергията му е квантувана. Колко­
то по-близо е той до ядрото, толкова поtA
— тясна е ямата и толкова по-отдалечени са
енергетичните нива едно от друго. С нараст­
ването на енергията електронът се намира на
по-големи разстояния от ядрото, където ни­
вата на енергията се доближават и всъщност
се сливат, когато той достигне края на ямата. На основата на подобни разсъждения може да се направи изводът, че
енергетичните нива на електрона в атома на водорода образуват последо­
вателност, стремяща се към определена граница, след което се наблюдава
непрекъснат спектър на енергията (при п-> оо, Е„-+ 0).
Уравнението на Шрьодингер за този случай има вида
(16.1.8)
Неговото решаване е сложна задача, поради което ще разгледаме само
някои по-важни резултати:
- Както и при движение на микрочастица в потенциална яма, решени­
ето на уравнението на Шрьодингер в този случай води до дискретни
стойности на енергията, т.е. наличие на енергетични нива. На всяко енер­
гетично ниво съответства главно квантово число п — 1, 2, 3,... и т.н. Това
съвпада с резултатите от теорията на Бор, но там този резултат се получа­
ва вследствие на специално въведен постулат; тук дискретните енергетич­
ни нива са следствие от самата теория и се появяват като конкретни
резултати от решаването на основното уравнение на тази теория.
— Оказва се, че на всяко енергетично състояние (с изключение на ос­
новното) съответстват по няколко стойности на вълновата функция. На
всяко състояние с главно квантово число п > 1 съответстват п стойности
на ^-функцията (при п=\ п2= 1). Например на квантовото число /7 —2
съответстват четири стойности на ^-функцията и енергията, на п —3 —
девет и т.н. Всяка една стойност на вълновата функция физически съот­
ветства на определено състояние на електрона в атома. Ще поясним какъв
е физичният смисъл на тези състояния.

Основи но атомната и ядрената физика

309

Състоянията на електрона в атома могат да се различават не само по
стойностите на енергията, зависещи от квантовото число п, но още и по го­
лемината и направлението на момента на импулса на електрона. Големината
на момента на импулса в атома на водорода също е квантувана; за всяка
стойност на енергията Ептя може да приема редица дискретни стойности.

L = J l( l + \)— = J l( l + \)h,
(16.1.9)
2п
където стойностите на / са целите числа от 0 до (/7—1). 0, 1, 2,..., (/7—1).
Проекцията на момента на импулса върху всяко направление също се
квантува. За всяка стойност на / векторът L се ориентира по такъв начин,
че неговата проекция Lxда удовлетворява равенството
Lx =m,ht
(16.1.10)
където стойностите на т / са целите числа от +/ до —/, включително и нула.
От уравнението на Шрьодингер следва, че всяко квантово състояние
на електрона в атома на водорода се характеризира с набор от цели числа
(/7, / и mi), на които съответства определена енергия на електрона, опреде­
лен момент на неговия импулс и определена проекция на този момент
върху дадено направление. Тези три числа са следствия от решенията на
уравнението на Шрьодингер и условията за еднозначност, непрекъснатост
и ограниченост на вълновата функция. В теорията на Бор са въведени съ­
щите квантови числа, но не със същия физичен смисъл. Движението на
електрона в теорията на Бор се разглежда като движение на класическа
частица по определена елиптична орбита с дадени оси и ориентация в
пространството. Главното квантово число п определя енергията на елект­
рона, орбиталното квантово число / - момента на импулса му, а магнитно­
то квантово число т, - ориентацията на орбитата в пространството. Кван­
товата теория отхвърля въобще съществуването на определени електрон­
ни орбити в атома, а заедно с това отпада и въпросът за тяхната ориента­
ция. Решавайки уравнението на Шрьодингер, можем да получим инфор­
мация само за вероятността да намерим електрона в една или друга точка
от атома. Функцията |Т|1dV определя вероятността частицата да се нами­
ра в малкия обем dV, а произведението е\У\2dV представлява плътността
на заряда в този елементарен обем. Определяйки стойността на |т| във
всяка точка от атома, можем да представим статистическото разпределе
ние на заряда в атома за дадено квантово състояние. В едни точки вероят­
ността е максимална, а в други - минимална. В такъв случай се оказва, че
зарядът на електрона е размит с различна плътност по обема на целия
атом, образувайки електронен облак.
Например за нормалното (Is) състояние на електрона в атома на водо­
рода от уравнението на Шрьодингер се получава, че вероятностното раз­

310

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

пределение има сферична симетрия. При това величината ej'i'J~dV има
различни стойности в пространството около ядрото: на разстояния от
ядрото, по-големи от 2 .Ю '10 т , вероятността за пребиваване на електрона
е много малка и практически равна на нула (фиг. 16.5а). Този факт като че
ли определя размерите на атома. Във вътрешността на сферата с радиус
г —2.Ю-10 m вероятността също не е еднаква. Отначало с отдалечаване от
ядрото тя расте и достига максимум при г = 0,53.10 10 т , след което започ­
ва да намалява и при г = 2.10"10 m става равна на нула. Следователно найвероятно е присъствието на електрона на разстояние г = 0,53.10 1 т , к®ето
е равно на радиуса на първата борова
орбита. При по-високи енергетични
състояния: 2s, 3s и т.н., функцията
dV също има сферична симет­
рия, но за състояние 2s тя има два
максимума (фиг. 16.5б), а за състоя­
нието 3s - три (фиг. 16.5в). При това
максимумите не са еднакви. За със­
тояние 2s по-големият максимум се
намира на разстояние /*=1,12.10' m
от ядрото. Това показва, че на такова
разстояние от ядрото електронът се
намира най-много време (състояние
Фиг. 16.5
2s). От фиг. 16.5 се вижда, че прй
преход от състояние Is към по-високи възбудени състояния, 2s и 3s, елек­
тронният облик около ядрото заема все по-голяма област, т.е. разпростира
се по-далеч от ядрото (облакът като че ли се размива).
Решението на уравнението на Шрьодингер за други състояния (нап­
ример състояния р или d) показва,
че разпределението на плътността
на електронния облак не е сферичносиметрично. На фиг. 16.6. са
представени разпределенията на
плътността на електронния облак
за състояние 2р с / = 1. Възможни­
/?!/= —1
те състояния са три: /и/= 0 и
in/ = ±1. Тези фигури дават прибли­
зителна картина за строежа на атома.
От всичко, казано дотук, става ясно, че в квантовата механика не мо­
же да се говори за електрона като за заредена частица, движеща се по оп­
ределена орбита. По-скоро той може да се разглежда като размит облак в
пространството около ядрото, чиято плътност е различна в различните
точки от обема на атома. Тази плътност е пропорционална на вероятност­
та електронът да се намира в дадена точка.

Основи на атомната и ядрената физика

311

16.2. Радиоактивност. Строеж на атомното ядро
Радиоактивността представлява самопроизволно превръщане на
ядрата на даден химичен елемент в ядра на друг елемент. Наблюдава се
при някои по-тежки елементи, разположени в края на периодичната сис­
тема на Менделеев (естествена радиоактивност ), но може да се предиз­
вика по изкуствен път и за леки елементи при облъчване на ядрата им с
високоенергетични лъчения ( изкуствена радиоактивност). Тъй като е
процес, свързан с ядрата на атомите, радиоактивността не се изменя, ако
даден атом участва в различни химични съединения.
Естествената радиоактивност е открита през 1896 г. от френския учен
А. Бекерел. Той установил, че урановата руда спонтанно (при отсъствие на
външни въздействия) изпуска лъчи, които подобно на рентгеновите имат
голяма проникваща способност, йонизират въздуха, действат на фотог­
рафска плака, предизвикват сцинтилации при попадане върху редица ве­
щества. В резултат на дълги изследвания съпрузите Пиер и Мария Кюри
показали, че в урановата руда се съдържат два нови химични елемента полоний и радий, които излъчват същите лъчи много по-силно от урана.
По-късно било установено, че всички елементи с атомен номер, по-голям
от 82, притежават такива свойства. Тези елементи били наречени радио­
активни.
Лъчението от радиоактивните вещества съдържа три компоненти —
а-лъчи (а-частици), Р-лъчи (р-частици) и у-лъчи (у-кванти):
— а-Лъчите се отклоняват от електрично и магнитно поле. Те предс­
тавляват поток от ос-частици, които имат положителен електричен заряд 2е
и маса, равна на масата на хелиевото ядро (съставено от 2 протона). Х а­
рактеризира се със силно йонизиращоицействие и малка проникваща спо­
собност.
— Р*Лъчите представляват поток от бързи електрони (Р-частици). Те
също сс отклоняват от електрично и магнитно поле, но имат отрицателен
електричен заряд —е и се отличават с по-голяма проникваща способност.
Поради по-малката маса имат и по-слабо йонизиращо действие.
— у-Лъчите са електронеутрални и не се отклоняват от електрични и
магнитни полета. Характеризират се с много голяма проникваща способ­
ност и са подобни на рентгеновите лъчи, но имат по-малка дължина на
вълната (10 |0-Т(Г13 т). Представляват електромагнитни вълни, които по­
ради малката дължина на вълната проявяват силно изразени корпускулярни свойства (поток от фотони).
Радиоактивността, която е свързана с излъчване на а- или Р-частици,
се нарича съответно а- или Р-разпадане.
При а-разпадането от ядрото на даден елемент се излъчва а-частица.

312

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

Тъй като тя има заряд 2е и масово число 4, новополученото вследствие на
разпадането ядро ще има електричен заряд с две единици по-малък, а ма­
сово число - с 4 единици по-малко от това на изходния елемент. Напри­
мер при а-разпадане на радия се получава
288Ra->i Не+JgjRn,
където до символа на съответния химичен елемент долу вляво е указан
поредният номер на елемента, т.е. броят на протоните в ядрото му, а горе
- масовото число. (С Rn се означава благородният газ радон.)
Ако протича p-разпадане, зарядът на полученото ядро се увеличава
с 1, а масата му практически не се променя, тъй като масата на електрона е
много по-малка от тази на протона. Новополученият елемент ще се намира
с един номер надясно от изходния в периодичната система. Например
23*Th->23{Pa + p-,
където с Р" е означен електронът. (С Ра се означава елементът протактиний, a с Th - торий.)
Гама-излъчването е свързано с преход на ядрата от едно енергетично
състояние в друго. Обикновено то съпътства а- и Р-разпадането. Ако
вследствие на ос- или Р-разпадане дадено ядро се окаже във възбудено със­
тояние, то преминава в основно състояние чрез излъчване на у-кванти с
голяма енергия.
За характеризиране на явлението радиоактивност се въвежда величи­
ната период на полуразпадане Т\п- времето, за което началното количест­
во атоми от даден елемент намалява наполовина вследствие на разпадане.
За някои елементи това време е части от секундата, а за други - милиарди
години. Установено е, че разпадането на ядрата е случаен процес и има
вероятностен характер, както всички процеси в микросвета. Това означа­
ва, че не е възможно да се определи в кой момент едно или друго ядро ще
излъчи сс-, Р- или у-лъчи. Възможно е обаче да се пресметне вероятността
дадено ядро да се разпадне за определен интервал от време.
Нека с dN означим броя на ядрата от даден радиоактивен елемент, ко­
ито се разпадат за малкия интервал от време dt. Естествено е, че колкото
повече са ядрата N на елемента и колкото по-голям е интервалът от време,
толкова повече ядра ще се разпаднат, т.е.
dN = -XNdt,

(16.2.1)

където X е положителен коефициент на пропорционалност, наречен конс­
тан т а на разпадане. Знакът минус показва, че с течение на времето ороят
на ядрата намалява вследствие на разпадането. От (16.2.1) можем да опре­
делим X:

Х = -— .
Ndt

(16.2.2)

Основи на атомната и ядрената физика

313

Константата на разпадане има размерност s~' и определя относителния
брой на ядрата, разпадащи се за 1 s, т.е. характеризира скоростта на радиоактивното разпадане. Тя не зависи от началния брой на ядрата, нито от
външни условия като налягане, температура и др., а зависи само от свойс­
твата на разпадащите се ядра. (Изразът (16.2.2) определя всъщност веро­
ятността за разпадане на дадено ядро за единица време.)
Чрез интегриране на формулата (16.2.1) получаваме закона за радиоактивното разпадане:

N , = N ae-h ,

(16.2.3)

където No е броят на ядрата в началния момент t = 0, a N, - броят на неразпадналите се ядра след време t. От горния израз следва, че с течение на
времето първоначалният брой на ядрата експоненциално намалява. Ако в
(16.2.3) положим N, = N0/2 при t = TV2, можем да определим връзката
между X и Т\
/2:

I k = N e- l l 'l>; 7" = — = М 2 1 ,
2
'
X
X
С откриването на радиоактивността става ясно, че атомните ядра имат
сложен строеж и че е възможно тяхното взаимно превръщане едно в дру­
го. През 1932 г. английският физик Чадуик доказва, че при попадане на
а-частица в ядрото на берилий се образува въглерод и се отделя неутрална
частица с маса, малко по-голяма от масата на протона. Новата частица би­
ла наречена неутрон. Неутроните нямат електричен заряд, поради което
не предизвикват йонизация и преминават свободно през дебели слоеве от
веществата. Установено е, че свободният неутрон спонтанно се превръща
в протон, т.е. той е радиоактивен. Както показват опитите, неговият пери­
од на полуразпадане е ~ 12 min. Той е стабилен само когато се намира в
състава на ядрото.
Освен естествените радиоактивни ядра съществуват и изкуствени та­
кива, които са свързани с явлението изкуствена радиоактивност. Тези ядра
се получават при бомбардиране на стабилно ядро с високоенергетични
частици (протони, неутрони, а-частици). По този начин се предизвиква
процес, при който става изкуствено превръщане на един химичен елемент
в друг. Подобно на химичните реакции превръщанията на ядрата се изра­
зяват с ядрени реакции. Докато химичните реакции са свързани с промени
в електронната обвивка на атомите, ядрените реакции представят физични
процеси, при които се извършват промени в самите атомни ядра. Тяхното
изучаване позволява да се получават сведения за строежа и свойствата на
ядрата, за действащите в тях сили, както и за механизма на протичането. В
повечето случаи в тези реакции участват две ядра и две частици. Символично те се записват по следния начин:

314

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

А +а = > В + Ь,

(16.2.4)

където А и В са съответно изходното и крайното ядро, а а и Ъ - бомбарди­
ращата и излъчената частица в съответната реакция. Съществуват различ­
ни типове реакции в зависимост от вида и енергията на частиците, с които
се бомбардират ядрата, както и от свойствата на самите ядра. Реакциите
могат да бъдат със заредени частици (а-частици, протони, йони на тежки
химични елементи и др.), с неутрони и с у-кванти. В зависимост от ядрата,
които се облъчват, ядрените реакции биват реакции на леки, средни и
тежки ядра. За тежките ядра са характерни още реакциите делене на
ядрата. При тях бомбардираното с неутрони ядро се разделя на две приб­
лизително равни части, наречени продукти на деленето, при което се от­
деля огромно количество енергия. Например при делене на ядрата, съдър­
жащи се в 1 g уран 2Ц U се отделя енергия «101 J. Деленето на едно ура­
ново ядро се предизвиква от един неутрон, а се излъчват най-често 2-3 не­
утрона. Всеки от тези неутрони може да породи делене на съседни урано­
ви ядра с отделяне на нови неутрони. По такъв начин процесът може да се
разрасне за кратко време, обхващайки все по-голям брой ядра. Такъв про­
цес се нарича верижна реакция и се използва в ядрените реактори. На ос­
новата на тази реакция е създадена и атомната бомба.
Интерес представляват и т.нар. термоядрени реакции. Те са реакции
на свързване на две леки ядра в едно по-тежко ядро. Изследванията показ­
ват, че при свързването на тези ядра се отделя огромно количество енер­
гия - няколко пъти повече, отколкото при деленето. Необходимо условие
за осъществяване на синтез на две леки ядра е те да имат достатъчно го­
ляма кинетична енергия, за да преодолеят кулоновите сили на отблъскване
и да се приближат на много малко разстояние, където започват да дейст­
ват ядрените сили на привличане. Един от начините за осигуряване на го­
ляма кинетична енергия е нагряването на веществата, чиито ядра трябва
да се свържат, до неколкостотин милиона градуса ( Г * 10 К). При такива
температури веществата се намират в т.нар. четвърто състояние - със­
тояние на плазма, където атомите не съществуват вече като такива. Плаз­
мата представлява смес от свободни електрони и ядра. Термоядрени реак­
ции протичат в недрата на Слънцето и звездите и представляват източни­
кът на тяхната светлинна енергия. Те имат редица предимства в сравнение
с реакциите на делене, поради което се правят непрекъснати опити за кон­
струиране на термоядрени реактори. Тези реактори са особено перспек­
тивни, тъй като при тяхната работа не се отделят радиоактивни отпадъци
и няма опасност от радиоактивни замърсявания.
Въз основа на откриването на неутрона руският физик Д. Иваненко и
Хайзенберг предлагат през 1932 г. протонно-неутронен модел на ядрото,
който е потвърден от последвалите го експерименти. Според този модел

Основи на атомната и ядрената физика

315

всяко ядро е изградено от протони и неутрони, наречени с общ «то име
нуклеони. (Протонът е частица с положителен заряд, равен на заряда на
елект рона, а неутронът е частица без заряд.) Масата на протона т р е равна
на 1836 електронни маси (т е) - т р - 1836 т е, а масата на неутрона т„ е с
2.5 електронни маси по-голяма - т„= 1838,5 т е. Броят на протоните се,
означава със Z, а на неутроните - с N. Общият брой протони и неутрони
представлява масовото число на различните химични елементи от перио­
дичната система и се означава с A ( A = N + Z). Следователно броят на не­
утроните в ядрото q N —А —Z. Атомният номер на всеки елемент е равен
на броя на протоните Z.
Ядрата, които имат еднакъв брой протони и различен брой неутрони,
се наричат изотопи, а тези с еднакъв брой неутрони и различен брой протони - изотопи. Ядрата с еднакво масово число А, но различен брой про­
тони и неутрони се наричат изобари.
Досега са известни около 1300 ядра, от които приблизително 300 са
стабилни. Интересен е фактът, че по-голямата част от стабилните ядра
(159) имат четен брой протони и неутрони. Ядрата с четни стойности на Z
и N ee наричат четно-четни, а тези с нечетни Z w N - нечетно-нечетни
(такива са само 5). Ядрата с четен брой протони и нечетен брой неутрони
се наричат четно-нечетни (54) и обратно — нечетен брой протони и четен
брой неутрони - нечетио-четни (50). Това показва, че при формиране на
вътрешната структура на ядрата четността на протоните и неутроните е от
особено значение.
С известно приближение може да се приеме, че ядрата на атомите
имат почти сферична форма. Проведените чрез различни методи измерва­
ния на радиусите на ядрата показват, че те се подчиняват на следната об­
ща закономерност:

R = (1,2 -1,5) 10"151[Л, т ,

(16.2.5) .

от която следва, че обемът на ядрото е пропорционален на броя на нуклеониге ( V-А). Експериментите показват, че ядрата нямат рязко очертани
граници. (Това е свързано с факта, че нуклеоните притежават вълнови
свойства и размерът на ядрата придобива условен смисъл.) Средната
плътност на ядреното вещество може да се пресметне, като се раздели ма­
сата на ядрото М ~ Атр (допускаме, че т р ~ т„) на обема му V = (4/3)7iR .
Получената стойност е от твърде висок порядък (р ~ 10 kg/m ). Това е
невероятно голяма плътност в сравнение с плътностите на обикновения
вещества, в които участват химичните елементи и техните съединения
(например плътността на водата р « 103 kg/m ).
Интерес представлява въпросът, какви са действащите в ядрата сили,
които ги поддържат в устойчиво състояние. Известно е, че от всички фун-

316

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

даментални сили в природата ядрените са най-интензивни. В ядрата дей­
стват два вида сили: кулонови (електростатични) сили между протоните и
ядрени сили между нуклеоните, които се характеризират с редица особени
свойства: това са сили на привличане, действащи на малки разстояния, срав­
ними с линейните размери на самите нуклеони (при разстояния, по-малки от
0,6.1СГ1:>ш, те се проявяват като сили на отблъскване); не зависят от електрич­
ните заряди на нуклеоните - действат по еднакъв начин между два протона,
два неутрона и между протон и неутрон; зависят не само от разстоянието
между нуклеоните, но и от ориентацията на техните спинове спрямо правата,
която ги съединява (нецентрален характер на ядрените сили).
Въпросът за природата на ядрените сили е един от най-трудните и все
още не е напълно разрешен. Според съвременните схващания ядрените
сили имат обменен характер. Взаимодействието между отделните нуклео­
ни се осъществява чрез непрекъснат обмен на елементарни частици, наре­
чени пи-мезони. Те могат да бъдат отрицателно или положително зареде­
ни, а също така и електронеутрални: п , п+, п°. Тяхната маса е около 270
пъти по-голяма от масата на електрона. Предполага се, че нуклеоните
непрекъснато раждат и поглъщат пи-мезони по следната схема:

р<г^п + п+; п<г>р + п~,
т.е. всеки нуклеон е обкръжен от облак от пи-мезони.
Масата М на ядрото се оказва по-малка от общата маса на съставящи­
те го нуклеони, тъй като ядрото представлява свързана система от нуклео­
ни с минимална енергия. Величината
Zmp + Nmn - М = АМ

(16.2.6)

се нарича дефект на м асата (масов дефект). Енергията, съответстваща
на масовия дефект, се нарича енергия на свързване на ядрото. Съгласно
формулата на Айнщайн (12.2.7) е изпълнено
АЕ = АМс2.
(16.2.7)
Енергията на свързване на всяко ядро определя работата, която трябва да
се извърши, за да се раздели ядрото на всички негови съставни части протони и неутрони. Всъщност тази енергия представлява разлика между
енергиите на нуклеоните в свързано и в свободно състояние. Атомните
ядра аналогично на атомите имат дискретни (квантувани) стойности на
енергията. Ако едно ядро има възможната най-малка енергия Е], равна на
енергията на свързване АЕ (Е\= А Е), то се намира в основно енергетично
състояние; ако неговата енергия е Е > Е\, то се намира във възбудено
енергетично състояние. Случаят А Е = 0 съответства на разделяне на ядро
то на съставящите го нуклеони. Съвкупността от всички възможни
възбудени състояния, които може да заема дадено ядро, се нарича спек­
тър на ядрените енергетични нива. Разликата между енергията на всяко

Основи на атомната и ядрената физика

317

възбудено състояние и енергията на основното се нарича енергия на въз­

буждане:
Д£ , = £ , - £ „

(16-2.8)

където / е номерът на съответното възбудено състояние. Обикновено ядра­
та преминават от основно във възбудено състояние при облъчване с
различни частици (протони, неутрони, а-частици) или фотони. Възбуде­
ните състояния са нестабилни и ядрата се връщат в основно състояние
чрез различни процеси на излъчване в зависимост от енергията на възбуж­
дане.
Ядрата на атомите се характеризират със спин и магнитен момент.
Спинът на ядрото се определя от векторната сума на спиновете на съста­
вящите го нуклеони. Протонът и неутронът имат спин S = ±(\/2)h. В та­
къв случай за спина на ядрото има значение четността или нечетността на
А^или Z:
— за четно-четните ядра спиновете в основните състояния са равни на
нула, а във възбудените имат стойности цели числа, кратни на Й;
— за ядрата с нечетен брой нуклеони спиновете в основното и възбу­
деното състояние заемат стойности, които са кратни на tij2 ,
— за нечетно-нечетните ядра спиновете имат целочислени стойности,
кратни на h : 0, \h, 2 h ,
10f i.
Магнитните моменти на ядрата са свързани със спиновете им. Теоре­
тично е доказано, че всяка частица със заряд е и маса т има магнитен мо­
мент
ц0 = ^ .
(16.2.9)
2т с
За електрона горната формула дава стойност, която е твърде близка до
измерената. Ако в (16.2.9) заместим масата т с масата т р на протона, ще
получим теоретичната стойност на неговия магнитен момент, която се
оказва значително по-голяма от измерената (« 3 пъти). За неутрона съг­
ласно тази формула получаваме нулев магнитен момент (като неутрална
частица той няма електричен заряд), докато измерванията показват, че не­
говият магнитен момент е отрицателен. Магнитният момент на неутрона
се дължи изцяло на наличието на спин (1/2) у неутрона.
Магнитните моменти на ядрата не са равни на векторната сума от
магнитните моменти на нуклеоните, участващи в състава им. Опитните
данни показват, че всички четно-четни ядра имат магнитни моменти, рав­
ни на нула (спиновете на тези ядра също са равни на нула). От тези факти
следва изводът, че протоните (а също и неутроните) вътре в състава на
ядрата са комбинирани по двойки с противоположно ориентирани маг­
нитни моменти и спинове.

318

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

За обяснение на ядрените свойства и процеси се използват различни
модели, като капков, слоест, обобщен (колективен), оптичен и др. Всеки
модел е основан на редица опростяващи предположения и обяснява свойс­
твата на определена група ядра, но никой от тях не може да опише пове­
дението на всички съществуващи ядра. Ще разгледаме съвсем накратко
най-простите ядрени модели.
Капковият модел е предложен от Бор. Той е построен въз основа на
предположението, че ядрото има аналогични свойства с тези на капка теч­
ност. Основания за това предположение са близкодействащите ядрени си­
ли, взаимодействието на нуклеоните с най-близките им съседи, еднаквата
плътност на ядрата. С помощта на този модел е изведена полуемпирична
формула за енергията на свързване между нуклеоните в ядрата и е обяснен
механизмът на ядрените реакции, а в частност и деленето на ядрата. Съ­
ществено в модела е, че ударението се поставя на колективното поведение
на нуклеоните.
Слоестият модел е изграден на предположението за независимо дви­
жение на нуклеоните в ядрото и се различава коренно от капковия модел.
Съгласно този 1\?юдел нуклеоните заемат определени енергетични слоеве
(нива) в ядрото аналогично на електроните в атома. Запълването на тези
нива е свързано със стабилността на ядрата. Най-устойчиви са ядрата с
напълно запълнени слоеве. Опитите показват, че такива ядра наистина
съществуват и се наричат магични', това са ядрата, съдържащи 2, 8, 20, 28,
50, 82, 126 протона или неутрона. Съществуват и още един вид ядра, наре­
чени двойномагични, които са най-стабилните. При тях броят на протони­
те и този на неутроните се определят от магичните числа (например
4 Не; 1gО; ^ С а и др.). Този модел дава задоволителни резултати при опи­
сание на леките и средните ядра, както и за тези в основно състояние.
По-късно при обяснение на новополучените данни за свойствата на
ядрата са създадени и други модели, като колективния (обобщен) модел и
оптичния модел. Колективният модел обобщава някои от основните
предположения в капковия и слоестия модел. В него се отчита деформа­
цията на слоестата структура в тези ядра, в които слоевете не са изцяло
запълнени с нуклеони. Оптичният модел на ядрото се използва за обясне­
ние на взаимодействието между ядрата и бомбардиращите ги частици.
Фактът, че нито един от ядрените модели не дава пълно количествено
обяснение на известните свойства на ядрата, води до следния извод, или
ядрата са много сложни системи и по тази причина е трудно за тях да се
намери аналогия с изучените досега физични системи, или в тях действат
сили с неизвестен произход, за чието разбиране са необходими нови идеи
и представи, неизвестни до настоящия момент.

Основи на атомната и ядрената физика

319

16.3. Елементарни частици
Физиката на елементарните частици е един от най-новите и интензив­
но развиващи се дялове на съвременната физика. Причината за това е же­
ланието на човека да проникне все по-дълбоко в строежа на материята и
да открие законите, на които се подчиняват най-малките градивни частици
на веществото, наречени елементарни. Според съвременните представи
елементарната частица е обект, който не може да се разглежда като съста­
вен от други по-малки, и при взаимодействия с други обекти се проявява
като единно цяло. Днес физиците познават стотици елементарни частици.
До 1932 г. във физиката са известни само две елементарни частици:
електрон и протон. Те се разглеждат като основни градивни елементи на
веществото, които се запазват неизменни при каквито и да оило външни
въздействия. През 1932 г. Чадуик доказва съществуването на неутрона, а
американският физик К. Андерсън открива нова частица в състава на космичните лъчи, наречена позитрон. Пози гро^ът има маса, близка до масата
на електрона, и положителен електричен заряд +е. Неговото съществуване
било предсказано теоретично от Дирак през 1930 г., а откриването му се
превръща в може би най-големия успех на квантовата механика. Колкото
и странна да изглеждала тя в началото, вече никой не се съмнявал в ис­
тинността й.
Едно от най-интересните свойства на позитрона се проявява при взаи­
модействието му с електрона. При среща на тези две частици те анихилират, т.е. унищожават се, като тяхната маса най-често се превръща в енер­
гията на два у-кванта. Наблюдаваният процес се нарича анихилация и се
оказва фундаментално свойство за света на микрочастиците. Поради това
свойство позитронъг се нарича още античастица на електрона. Анихилацията на позитрона и електрона може да се изрази със следната реакция.

е~ + е* -> 2у,
където енергията на у-квантите е 2т 0с~ = 2 h f . Възможно е да се наблю­
дава и обратното явление —от у-кванти с достатъчно висока енергия спонтанно се ражда двойка електрон—позитрон. По-късно било доказано, че
всяка частица има своя античастица. През 1955 г. е открит антипротонът, а
през 1956 г. - антинеутронът. Протонът се отличава от антипротона по
знака на електричния си заряд, както и по знака на спина си. Неутронът се
отличава от антинеутрона само по знака на спина (магнитния момент).
Материята, изградена от античастици, се нарича антивещ ество. Първото
антиядро (антидеутрон - свързано състояние на антинеутрон и антипротон) е получено в ускорител през 1965 г., а през 1996 г. в Европейската
лаборатория по физика на елементарните частици (ЦЕРН) в Женева е син­
тезиран атом на антиводорода (свързано състояние на антипротон и по-

320

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

зитрон). Трябва да се отбележи, че състоянието на антивеществото може
да бъде устойчиво само ако е изолирано от веществото. В противен случай
настъпва процесът анихилация, който е съпроводен с отделяне на големи
количества енергия. Въпросът за разпространение на антиматерията във
Вселената е обект на интензивни изследвания и засега остава открит.
При изследване на (3-разпадането на радиоактивни ядра се оказва, че
съществуват два случая: при единия от ядрото се излъчва електрон, а при
другия - позитрон. За да бъде изпълнен законът за запазване на енергията,
в двата случая било необходимо да се допусне съществуването на два вида
леки частици: неутрино и антинеутрино. Неутриното (ve) се свързва с
позитронното разпадане:

р —> п + е++ ve,

(16.3.1)

а антинеутриното ( ve) - с електронното:

п -» р +е~ + ve.

(16.3.2)

Неутриното е много малка неутрална частица. То взаимодейства слабо с
веществото и по тази причина може да прониква на големи разстояния,
което затруднява неговото регистриране. Неутриното може да измине
средно около 101 km през среда с плътност, равна на земната, преди да
взаимодейства с някое ядро. Чрез сондиране на Земята със снопове от тези
частици е възможно да се изследва разпределението на веществата и по­
лезните изкопаеми в нея. Точната маса на неутриното не е известна досе­
га. Обикновено се предполага, че масата му в покой е равна на нула.
Опитно съществуването на неутрино е потвърдено през 1956 г.
Голям брой нови елементарни частици са открити при изучаването на
космичните лъчи - поток от бързо летящи заредени частици (предимно
протони), пристигащи на Земята от космичното пространство. Те имат
уникално голяма енергия - до 1021 eV. Взаимодействайки с ядрата на ато­
мите на въздуха, поради голямата си енергия те предизвикват ядрени ре­
акции с отделяне на различни частици — протони, неутрони и др. Сред от­
делените частици се срещат такива, които не се съдържат в ядрата. Те са
наречени мезони и хиперони. Мезоните имат маса, по-голяма от тази на
електрона и по-малка от тази на протона, а хипероните - по-голяма от тази
на протона. Мезоните биват няколко вида: пи-мезони, ка-мезони и др. Пимезоните се появяват като резултат от взаимодействието между космични­
те частици и ядрата и могат да бъдат положителни (тс ), отрицателни (я ) и
неутрални (л°), наричат се още пиони. Масата им е еднаква и приблизи­
телно 270 пъти по-голяма от масата на електрона, а зарядите им съответно
са +е и —е. Заредените пи-мезони са нестабилни частици и при разпадане­
то им се получават два вида мюони (jj. и ц ) и мюонно неутрино или ан­
тинеутрино:

Основи на атомната и ядрената физика

71*

+

321

(16.3.3)

където
и v се наричат съответно мюонно неутрино и антинеутрино.
Мюонното неутрино (антинеутрино) е частица без маса в покой и без
електричен заряд, която се излъчва при процесите на разпадане на пимезоните. Тези частици се различават от неутриното (антинеутриното),
което се излъчва заедно с позитрона (електрона) при p-разпадането (вж.
формули (16.3.1) и (16.3.2)) и се нарича електронно неутрино
{антинеутрино). Двата вида неутрино (антинеутрино) се означават и по
различен начин:
) и vt, ( v tf). От своя страна мюоните също са
нестабилни и се разпадат на позитрон (електрон), електронно неутрино
(антинеутрино) и мюонно антинеутрино (неутрино):
ц*

+ v4/ v J + v / v J1J.

(16.3.4)

Мюоните имат маса, приблизително равна на 207 електронни маси.
Пионите взаимодействат силно с ядрата и предизвикват деленето им.
По тези причини те се използват в специални „мезонни фабрики” за изу­
чаване свойствата на различни ядра.
Хипероните са също неустойчиви частици и се разпадат на нуклеони
и леки частици. Те са най-тежките елементарни частици с маса, намираща
се в интервала (2183—3273)/ие.
Броят на новооткритите елементарни частици нараства с всеки изми­
нал ден. През последните години непрекъснато се правят опити за постро­
яване на единна теория, в която елементарните частици да намерят места­
та си така, както атомите на химичните елементи в периодичната система
на Менделеев. Елементарните частици могат да се разделят най-общо на
следните четири групи според основните им характеристики (маса, спин,
електричен заряд):
- Фотони; те нямат електричен заряд и маса в покой. Енергията им се
определя от формулата на Планк Е = hf, а спинът им е равен на единица
( 5 = 1Й);

- Лептони; към тях се отнасят 6 двойки частици: електрон и позитрон;
електронно неутрино и антинеутрино; отрицателен и положителен мюон;
мюонно неутрино и антинеутрино; отрицателен и положителен т-лептон,
наречени таони\ таонно неутрино и антинеутрино. Всички разновиднос­
ти на неутриното нямат електричен заряд, масата им в покой е нула и се
движат със скоростта на светлината, както фотоните. Останалите частици
се различават твърде силно по маса, но имат еднакви по големина елект­
рични заряди. За всички лептони спинът е S = (l/2)/i;
- Мезони; към тях принадлежат пи-мезоните (пиони), ка-мезоните
{каони) и откритият по-късно г\-мезон. Общата характеристика за тази
група е отсъствието на спин {S = 0). Каоните и г|-мезонът се различават от

322

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

пионите по значително по-голямата маса в покой (* 1000 mt)\
Бариони; към тази група се отнасят двойките протон-антипротон,
неутрон-антинеутрон и четири вида хиперони, наречени ламбда-, сигма-,
кси- и омега-хиперони. Общи характеристики за тази група са спинът
S = (l/2)fr (изключение прави само омега-минус-хиперонът със спин
S = (з/2)й ) и сравнително големите маси в покой (от 1836 до 3273 т е).
В табл. 5 са дадени по-важните характеристики на четирите групи
елементарни частици: заряд, маса, спин и време на живог. Ще напомним
още веднъж, че понятието спин на елементарните частици е специфично
квантово понятие и не допуска класическа интерпретация (вж. тема 16.1).
Както електронът, така и всяка елементарна частица притежава собствен
момент на импулса (спин). Големината на спина се измерва в единици Й и
е равна на hJS(S +1), а проекцията му е msh, където ms може да бъде цяло
или полуцяло число. Броят на възможните проекции на вектора на спина
върху произволна ос може да бъде (2S+1). В такъв случай частица със
спин S = (\/2)h може да има две нови състояния ±(1/2), а частица със
спин S = \
ti - три (0, ±1). Елементарните частици с полуцял спин се нари­
чат фермиоии, а с цял спин —бозони. Фермионите се подчиняват на прин­
ципа на Паули, а бозоните — не. Следователно всички лептони и бариони
са фермиони, а фотоните и мезоните - бозони.
До началото на 30-те години се приема, че всички взаимодействия в
природата се извършват посредством сили от два типа - гравитационни и
електромагнитни. Днес многообразието от взаимодействия на материята
се свежда до четири основни вида: електромагнитно, силно (ядрено), сла­
бо и гравитационно. На електромагнитното взаимодействие, както видях­
ме, съответстват електромагнитно поле и електромагнитни кванти - фото­
ни. То се проявява при образуване на атомите и молекулите и е свързано с
наличието на електричен заряд у частиците. Носители на това взаимодейс­
твие са фотоните. Оказва се, че всяка заредена частица може да излъчва
или поглъща фотони. При наличие на два заряда единият поглъща фотони
от обкръжението на другия, като по този начин се осъществява и самото
взаимодействие между тях. Фотоните, които си обменят заредените еле­
ментарни частици, се наричат виртуални фотони. При ускорено движение
на заредени частици част от виртуалните фотони се откъсват от тях и се
разпространяват като реални фотони. Електромагнитните вълни предс­
тавляват съвкупност от реални фотони.
На силното взаимодействие съответстват ядрените сили, които осигуряват
свързването на протоните и неутроните в атомни ядра. На малки разстояния
това взаимодействие е около 103 пъти по-силно от електромагнитното, но
силите, които се пораждат при него, намаляват много бързо с отдалечаване на
частиците една от друга: при разстояния, по-големи от 10
т , то
практически не се проявява. Механизмът на силното взаимодействие

323

Основи на атомната и ядрената физика

лсптони

фотон

стабилен

т е

1

Заряд е

0

е~

е

1

1

1/2

стабилен

електронно
неутрино

Ve

V,

0

0

1/2

стабилно

мюон

й"

Ц+

1

206,8

1/2

мюонно неут­
рино

V..и

П*

0

0

1/2

стабилно

таон

т“

т+

1

3487

1/2

«10-12

таонно неут­
рино

VT

V,

0

0

1/2

?

0

264,1

0

«10~16

каони

0
71

г

Л

S

2

0
+

■

електрон

ПИОНИ
X
о
РО

Време на
живот, S

Фотони

античастици

частици

Наименование
на частицата

Група

Спин h

Символ

Маса в покой

Таблица 5

[

*

10~б

. __р

п

я“

1

273,1

0

«10 8

к°

К°

0

974,0

0

/Г

К

1

966,2

0

«Ю~10-Ю "8
_ Q

0

1074

0

« ю -19

ета-мезон

Р

Р

1

1836,2

1/2

стабилен

S

неутрон

п

п

0

1838,7

1/2

«103

е
Q.

хипсрони:
ламбда
сигма

Д°

д
°
/V

0

2183

1/2

« Ю ~10

1°

1°

0

2334

1/2

« ю -20

Х+

Е“

1

2328

1/2

« Ю ~10

Z”

Г

1

2343

1/2

«10_1°

—0

5°

0

2573

1/2

« Ю ~10

1

2586

1/2

« Ю ~10

1

3273

3/2

S

X
о
S
О.
СО
О

Ч

КСИ

омега

—-

1
П "

Q~

О

1

<

*-*

протон

о1

0

« ю -8

е аналогичен на електромагнитното. Силата, действаща на всяка двойка
частици в ядрата, възниква вследствие на непрекъснат обмен на виртуал­
ни пи-мезони между тях. Следователно пи-мезоните могат да се раз­
глеждат като кванти на полето, т.е. носители на силното взаимодействие.
Процесите, в които се проявяват силните взаимодействия, протичат много
бързо и се характеризират с време, наречено ядрено време, което е от по­
рядъка на 10
10~23 s.
Слабото взаимодействие е свързано с разпадането на нестабилните
частици. То е около Ю10 пъти по-слабо от електромагнитното, но е харак­

324

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

терно за всички нестабилни елементарни частици и има универсален харак­
тер. Примери за такова взаимодействие са
и ц-разпадането в ядрата (вж.
реакциите (16.3.1), (16.3.2) и (16.3.3)). То се осъществява също чрез обмен
на елементарни частици (бозони), но не е напълно изучено. Съществува
теория, която обединява слабото и електромагнитното взаимодействие като
две страни на едно общо взаимодействие, наречено електрослаоо (анало­
гично на електричните и магнитните сили, които са проява на едно общо
взаимодействие - електромагнитното).
Гравитационното взаимодействие е четвъртият вид взаимодействие,
което не е съществено за процесите, протичащи в микросвета. Тъй като
масите на всички елементарни частици са твърде малки, гравитационните
сили между тях са пренебрежимо малки. Гези сили са важни за макросвета — те определят движението на небесните тела и структурата на Вселе­
ната. Подобно на електромагнитното поле, където съществуват електро­
магнитните кванти (фотони), за гравитационното поле също може да се
допусне наличието на гравитационни кванти (гравитони), които осъщест­
вяват това взаимодействие. Възможно е аналогично на електромагнитните
вълни да съществуват и гравитационни вълни. Търсенията на физиците от
различни страни са съсредоточени в тази насока, но досега съществувансто им не е потвърдено експериментално.
За всички типове взаимодействия на елементарните частици се изпъл­
няват законите за запазване състоянието на физичните величини, характе­
ризиращи частиците преди и след взаимодействията: законите за запазва­
не на енергията, импулса, момента на импулса и електричния заряд. (О с­
вен универсалните закони за запазване при елементарните частици са в
сила и някои особени закони, на които тук няма да се спираме. Тези зако­
ни са свързани със специфични характеристики на елементарните части­
ци. Някои от тях са общовалидни, а други са в сила само в определени
случаи.)
Частиците, участващи в реакции, които са обусловени oi силните вза­
имодействия, се наричат с общото название адрони (самото название оз
начава силно взаимодействащи частици). Адроните включват две големи
групи частици: мезони и бариони (вж. таол. 5). Частиците, участващи в
електрослабите взаимодействия, са наречени лептони (леки частици).
Почти всички новооткрити частици принадлежат към едната от двете го­
леми групи - лептони и адрони. Интересен е фактът, че през 60-те години
са били известни само 4 лептона (през 1975 г. са открити т-лептонът и не­
говото неутрино - таонно неутрино) и повече от сто адрона. Множеството
адрони предизвиква въпроса, който вълнува днес всички физици - еле
ментарни ли са елементарните частици? Малковероятно изглежда в при­
родата да съществуват стотици наистина елементарни частици. Лептоните

Основи на атомната и ядрената физика

325

могат да се възприемат като истински елементарни частици, тъй като не се
разпадат и не проявяват признаци за наличие на вътрешна структура. Не
може да се каже същото за адроните, които експериментално демонстри­
рат вътрешна структура. През 1969 г. е изказана хипотеза за съществува­
нето на т.нар. кварки - частици, от които се състоят всички елементарни
частици. Съгласно кварковия модел всички известни частици могат да се
получат от шест основни, фундаментални частици — три кварка и три антикварка. Мезоните представляват комбинация от един кварк и един антикварк. барионите (нуклеони и хиперони) - от три кварка, а антибарионите — от три антикварка. В последствие кварковият модел се изменя и
доразвива. Първите три кварка са означени с буквите и, d и s, а съответни­
те антикварки с u ,d u s. През 1974 г. е открита нова частица, представля­
ваща свързано състояние на четвъртия кварк с и неговия антикварк с.
През 1977 г. е открит нов мезон, който се разглежда като свързано състоя­
ние на петия кварк b и антикварка Ь. Съществуването на кварки вече не
предизвиква съмнения. Експерименталното им регистриране е невъзмож­
но, тъй като те съществуват само в свързано състояние. Според една от
съвременните теории между лептоните и кварките съществува симетрия:
броят на лептоните е равен на броя на кварките. През 1995 г. е открит
шестият кварк, който се означава като /-кварк. Названията на кварките са
свързани с началните букви на английските думи: up - горен (и), down долен (d), strange - странен (s), charmed - очарован (с), beauty - красив ( Ъ)
и truth — истински (/). Най-интересната им характеристика е техният дро
бен електричен заряд: ± (l/3)e или ±(2/3)е. Взаимодействието между
кварките не зависи от електричния им заряд, а се определя от една нова
характеристика, наречена цвят, която е специфична за тях и може да има
три различни стойности. Първите три кварка са с червен, син и зелен цвят
(понятието цвят за кварките няма нищо общо с нашите зрителни възприя­
тия). Ядрените сили, действащи между нуклеоните в атомните ядра, са
много по-слаби от силите на взаимодействие между кварките, които ги
изграждат. Физичната теория, описваща взаимодействието между кварки­
те, се нарича квантова хромодинамика.
Физиката на елементарните частици навлиза в нов етап от своето раз­
витие. Пред физиците стои задачата да се създаде единна теория, описва­
ща динамиката на елементарните частици и обединяваща всички взаимо­
действия в природата. Такава теория би позволила да се опишат физични­
те явления в изключително широк диапазон —от космичните до свръхмалките мащаби, да се разкрият тайните на раждането и еволюцията във Все­
лената, както и да се дадат отговори на редица други неразрешени въпро­
си. Множеството теории, предложени през последните години, все още не
могат да удовлетворят напълно новополучените експериментални данни.

ОСНОВИ НА ФИЗИКАТА

326

Опитите показват, че при увеличаване енергията на взаимодействащи­
те частици интензитетът на електрослабото взаимодействие нараства, а на
силното - намалява. Естествено е да се предполага, че при някаква енер­
гия Е интензитетът на тези взаимодействия ще бъде един и същ. Различ­
ните теоретични модели предсказват различни стойности за тази енергия,
но в повечето случаи Е » 1014—1016 GeV. Засега енергии от такъв порядък
са недостижими, поради което експерименталната проверка на теориите е
невъзможна. Оказва се, че доброто познаване на процесите в микросвета
дава ключ за разбиране на процесите в космически мащаби.
Каква ще бъде по-нататъшната съдба на човешките представи за стро­
ежа на материята и еволюцията на Вселената, едва ли може точно да се
предвиди. С течение на вековете човешкото познание непрекъснато е из­
граждало и изменяло представата за най-малките (елементарните) части­
ци, изграждащи веществото. Тази представа е свързана непосредствено с
постоянно разширяващия се кръг явления, достъпни за познанието. На
различните етапи от развитието на науката съответстват и различни пред­
стави за елементарност. Най-напред като елементарни частици са били
възприемани атомите и молекулите, по-късно - ядрата (протоните и неут­
роните), а днес това са лептоните и кварките. Стъпка по стъпка развитието
на науката унищожава старите представи за елементарност и ги заменя с
нови. Възможно е в настоящия момент човешкото познание да е достиг­
нало тази граница, на която ще бъде уточнена последната представа за
истинските елементарни частици. Дали това е така, ще покажат бъдещите
експерименти.
1.
2.
3.

Въпроси н задачи
Какво представлява атомът според модела на Ръдърфорд?
Какви са основните постулати в теорията на Бор за водородния атом?
Колко квантови числа определят състоянието на атомите според съвременната квантова

4.
5.

теория?
Кои са основните серии в спектъра на излъчване на водородния атом?
Какъв е съставът па атомните ядра? От какво се определя масовото число на всеки хими­

6.

чен елемент?
Колко вида радиоактивност съществува? Защо радиоактивните процеси не зависят от

външните въздействия върху атомите?
7.
Какво представлява процесът анихилация?
8.
Колко вида взаимодействия се наблюдават в природата?
9.
Определете радиуса на орбитата на електрона във водородния атом, ако е известно, че
енергията му е 13,6 eV (е0 = 8,85.10“'" F/m; leV = 1,6.10 19J).
10. При преход на електрона на водородния атом от едно енергетично ниво на друго се из­
лъчва фотон с честота f —4,6.1014Hz. Намерете изменението на енергията, съответстващо
на този преход.
11. Периодът на полуразпадапе зададен радиоактивен източник е 1600 г. В някакъв момент
от време образецът съдържа 10"" броя ядра. Определете скоростта на разпадане dNIdt на
ядрата на този източник.

ЛИТЕРАТУРА
1.

Вайнберг, С. Откритие субатомних частиц. М ир, М ., 1986.

2.

Грибов, JI., Н. Прокофьева. Основи физики. Наука, М ., 1995

3.

Детлаф, А. А., Б. М . Яворский. Курс физики. В и сш а я школа, М ., 1989.

4.

Джанколи, Д. Физика, т. 1 и 2. М ир, М ., 1989.

5.

М арион, Дж. Общая физика с биологическими примерами. В и сш а я ш к о ­
ла, М ., 1986.

6.

М ухи н , К .Н . Зкспериментальная ядерная физика, т. 1 и 2, Знергоатом,
М ., 1983.

7.

Намбу, Е. Кварки. М ир, М ., 1984.

8.

Окунь, JI. Б. Tlenmoubi и кварки. Наука, М ., 1981.

9.

Павленко, Ю . Основи на физиката. Унив.изд. „С в. Кл. О хри д ски “ , С.,
1995.

10. Савельев, И. В. Курс общей физики, т. 1, 2 и 3. Наука, М ., 1986.
11. Тош ев, С., Ив. Баев, М . М аринов и др. Физика. Н аука и изкуство, С.,
1987.
12. Трофимова, Т. Курс по физика. Унив.изд. „С в. Кл. О хри д ски “ , С., 1994.
13. У илям с, У . С. С. Физика на ядрото и елементарните частици. У нив. издат. „С в. Кл. О хридски“ , 2000.
14. Ф ейнман, P., Р. Лейтон, М . Сзндс. Фейнмановские лекции по физике.
т. 1-9, М ир, М ., 1977.
15. Ф улър X . и др. Физиката в з/сивота на човека. Н аука и изкуство, С.,
1988.
16. Hecht Eugene. Physics. Wadsworth, Belmont, Californ ia, 1994.
17. Hewitt, P. G. Conceptual Physics. Harper C o llin s Publishers, 1989.
18. M arion, J. B. Ph\>sics: The Foundation of Modern Science. John W ile y &
Sons, N ew Y o rk, 1973.
19. Sproul, R. L. Modern Physics. John W ile y & Sons, N ew Y o rk , 1979.
20. Tipler, P. A. Physics for Scientists and Engineers. W orth Publishers, N ew
Y o rk, 1991.
21. W eidner, R. T., R. L. Sells. Elementary Physics: Classical and Modern.
A lly n and Bacon, Boston, 1979.

Ваня Енчева Михайлова
О С Н О В И НА ФИЗИКАТА
(I и II част)
Бъ лгарска
В т о р о издание
Рецензент: проф. д.ф.н. Антон Н. Антонов
Редактор: Виктория Лазова
Технически редактор: Божидар Стоянов
Предпечатна подготовка: Александър Драговски и Стефан Стефанов
Графичен дизайн: Ивайло Минков и Александър Драговски
Формат 70/100/16

Печатни коли 20,50

СИЕЛА - СОФТ ЕНД ПАБЛИШИНГ
1463 София, бул. „Патриарх Евтимий“ № 80 А
тел./факс (02) 954 10 30
www.ciela.net; е^таП: books@ciela.net
Книгите на СИЕЛА могат да бъдат закупени
от интернет-книжарница:
www.mobilis.bg

9 7 8 9 5 4 6 * 4 9 3 1 63

ИНТЕРНЕТ КНИЖАРНИЦА
w w w .m o b il is .b g

8,00 лв