/
Автор: Пехович А.И. Жидких В.М.
Теги: физика теплоэнергетика учебное пособие общая физика издательство энергия тепловой режим
Год: 1976
Текст
Б&азп2.
А. И. Пехович,
В. М. Жидких
62X^2.
РАСЧЕТЫ
ТЕПЛОВОГО
РЕЖИМА
ТВЕРДЫХ
ТЕЛ
Издание 2-е, переработанное
й дополненное
Itote»
1 . жаде
TSL^ajijjjW
«ЭНЕРГИЯ»
ЛЕНИНГРАД 1976
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Цель книги осталась прежней — быть:
справочником для широкого круга читателей, которым необходимо
быстро выполнить тепловые расчеты по задачам, решения которых известны;
методическим руководством, позволяющим относительно просто нахо-
дить новые решения сложных задач;
учебным пособием для лиц, желающих углубить свои знания по теории
теплопроводности;
научным исследованием, расширяющим возможности использования
общефизических принципов для решения тепловых задач.
Настоящее издание отличается от предыдущего, в основном, следующим.
1. Введена глава о тепловых расчетах при изменении агрегатного со-
стояния тела. Приведены решения 21 основной задачи затвердевания (про-
мерзания) и плавления (таяния).
2. Введена глава об установившемся тепловом режиме. В отличие от
большинства книг главное внимание уделено расчетам тепловых сопротив-
лений тел различной геометрической формы при разнообразных схемах
расположения источников тепла. Для 45 задач даны расчетные формулы и
графики.
3. Введена глава о принципах эквивалентности и взаимности, в которой
показано, что оба принципа, совместно с принципом суперпозиции, могут
служить эффективным способом решения тепловых задач.
4. Увеличено (до 78) количество задач неустановившегося режима,
для которых даны расчетные графики и формулы.
5. Исключены некоторые схемы решения и численные примеры расчета,
что вызвано, в основном, стремлением сохранить объем первого издания
книги.
С момента выхода в свет, первого издания книги появилось много инте-
ресных работ по теплопередаче как общего характера, так и специализиро-
ванных по отраслям техники. Следует заметить, что труды советских ученых
занимают ведущее положение. Список литературы, приведенной в книге,
не претендует на полноту; он отражает главным образом работы, которые
оказали влияние на содержание и структуру книги.
Авторы признательны всем читателям, приславшим свои замечания и
пожелания по первому изданию, и считают своим долгом поблагодарить
лиц, которые в той или иной форме помогли им в работе над книгой —
К. М. Арефьева, С. С. Кутателадзе, Ш. Н. Плята, Л. Б. Сапожникова,
В. И. Синотина, А. Г. Ткачева, А. Ф. Чудновского. Особо следует отметить
поддержку, оказанную А. В. Лыковым.
В заключение следует заметить, что книга не могла бы быть написана,
если бы авторы не получали неизменно помощь и поддержку во ВНИИГ
им. Б. Е. Веденеева, сотрудниками которого они являются.
Просьба к читателям все замечания по данному изданию направлять
по адресу: 192041, Ленинград, Д-41, Марсово поле, 1, Ленинградское отделе-
ние издательства «Энергия».
1
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Книга написана для лиц, которым нужно:
1) быстро найти численное значение температуры, средней температуры
и градиента температуры в твердых телах различной геометрической формы
при разнообразных краевых условиях;
2) решать обратные задачи, например по температурному режиму в теле
определять теплофизические характеристики материала;
3) найти аналитическое решение задачи и далее выполнить необходимые
численные расчеты;
4) проанализировать различные стороны теплового процесса, например
найти скорость и глубину проникновения теплового возмущения.
Книга может быть использована значительно шире, чем это следует
из ее названия. Содержание книги приложимо ко всем физическим явлениям,
которые, как и задачи теплопроводности, описываются уравнением, типа
= /С\72Ф + А. К числу подобных явлений относятся диффузия веще-
ства, турбулентная диффузия, распространение мелких механических ча-
стиц в жидкости и газе, фильтрация сжимаемой жидкости, скин-эффект, диф-
фузия излучения, диффузия нейтронов, распространение тока в длинных
и малоиндукционных линиях и т. п.
Книга состоит из двух частей. Первая часть книги носит методический
характер. В ней показано, во-первых, как решать задачи, для которых в книге
имеются расчетные графики, и, во-вторых, как, оперируя рядом правил тео-
рии теплопроводности, получать решения новых задач на основе уже ре-
шенных задач.
Вторая часть книги — расчетно-справочная. Она содержит графики
и другие материалы, позволяющие непосредственно выполнить расчеты для
задач, перечень которых дан в табл. П-1.
Итак, каждая часть книги носит самостоятельный характер и может
быть использована независимо одна от другой. В то же время обе части тесно
связаны и их совместное использование создает дополнительные возмож-
ности для анализа явлений, решения задач и практических расчетов. Так,
графики второй части могут быть применены для выполнения расчетов боль-
шого числа задач (сверх 59), решения которых получаются при использовании
материалов первой части. Использование графиков расширяет также воз-
можности теоретического анализа, заложенные в первой части.
ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
а — коэффициент температуропро-
водности тела, м2/ч;
В — ширина тела, м;
b — постоянная, пропорциональная
скорости изменения темпера-
туры на поверхности тела или
температуры среды;
С — теплоемкостное сопротивление,
Вт-ч/(м2-град);
с — удельная теплоемкость тела,
Вт-ч/(кгтрад);
с' — удельная теплоемкость погра-
ничного слоя, Вт-ч/(кг-град);
Е — количество теплоты, теплосо-
держание (энтальпия), Дж;
F — площадь поверхности тела, м2;
h — толщина пластины, м;
h' — толщина слоя хорошо перемеши-
ваемой жидкости («идеального
проводника»), м;
hs — приведенная к теплопроводности
тела толщина слоя теплоемкост-
ного сопротивления, м;
ht — приведенная к теплопроводности
тела толщина слоя температур-
ного сопротивления, м;
Is — источник тепла заданной интен-
сивности;
It — источник тепла заданной темпе-
ратуры;
К — амплитуда колебаний плотности
теплового потока на поверх-
ности тела, Вт/м2;
L — длина тела, м;
Ly — объемная теплота фазового пере-
хода (ледообразования), Вт-ч/м3;
Q = S-F — тепловой поток, Вт;
q — мощность (интенсивность) непре-
рывного точечного источника
тепла, Вт;
qP — то же плоского источника тепла,
Вт/м2;
q г — то же линейного источника тепла,
Вт/м;
qv — то же объемного (равномерно
распределенного) источника теп-
ла, Вт/м3;
Е — радиус цилиндра или шара, м;
R о — внутренний радиус полого ци-
линдра или шара, радиус ци-
линдрической или шаровой по-
лости, м;
7?к — расстояние от центра (оси) тела
до границы затвердевания, м;
/?к, о — начал ьное расстояние от центра
(оси) тела до границы затверде-
вания, м;
г — расстояние от начала координат,
м;
91 — температурное сопротивление,
град/Вт;
91/ — температурное сопротивление
на единицу длины, м-град/Вт;
S — плотность (интенсивность) теп-
лового потока на поверхности
тела, Вт/м2;
So — постоянная, пропорциональная
плотности теплового потока на
поверхности тела;
Т — абсолютная температура тела, К;
Тп — амплитуда колебаний темпера-
туры на поверхности тела, °C;
Тс — амплитуда колебаний темпера-
туры среды, °C;
Тх — амплитуда колебаний темпера-
туры в теле, °C;
t — температура тела, °C;
tK — температура кристаллизации (за-
твердевания, плавления), °C;
tQ — начальная температура тела (оди-
наковая во всем объеме), °C;
/п — температура на поверхности тела
(постоянная), °C;
/ср — средняя за период колебаний
температура тела, °C;
t — средняя по объему температура
тела, °C;
Д/ = tx=h — tx=Q — перепад темпера-
туры между поверхностями не-
ограниченной пластины, °C;
V — объем тела, м3;
v — скорость движения тела относи-
тельно источника тепла, скорость
движения жидкости, м/ч;
IF — мощность (интенсивность) мгно-
венного точечного источника
тепла, Дж, Вт-ч;
Wf — то же плоского источника тепла,
Дж/м2, Вт-ч/м2;
Wl — то же линейного источника тепла,
Дж/м, Вт-ч/м;
хк — координата границы затвердева-
ния (кристаллизации), толщина
затвердевшего слоя, м;
хк,о — координата начальной границы
затвердевания, начальная тол-
щина затвердевшего слоя, м;
х, у, z — прямоугольные пространствен-
ные координаты, м;
а — коэффициент теплоотдачи,
Вт/(м2-град);
₽ — коэффициент, пропорциональ-
ный скорости продвижения гра-
ницы затвердевания;
5
е — коэффициент иррегулярности
теплового режима;
8S — относительная излучательная
способность (степень черноты) по-
верхности тела;
О — температура среды, °C;
X — коэффициент теплопроводности
тела, Вт/(м-град);
Л' — коэффициент теплопроводности
пограничного слоя, Вт/(м-град);
р — плотность тела, кг/м8;
р' — плотность пограничного слоя,
кг/м8;
о — постоянная Стефана—Больц-
мана [о = 5,7-10"8 Вт/(м2трад),
в гл. I], удельная теплота фазо-
вого перехода (Вт-ч/кг, в гл. VI);
т — время, ч;
т0 — продолжительность полного пе-
риода, ч;
НУ — начальное условие;
ГУ — граничные условия;
ПЭС — принцип элементарной суперпо-
зиции;
ПСС — принцип сложной суперпози-
ции.
Критерии и безразмерные параметры
А — параметр амплитуды колебаний
температуры;
Bi — критерий Био;
Fo — критерий Фурье;
G — параметр градиента темпера-
туры;
Н — относительное время;
Ко — критерий Коссовича;
Кп — критерий Кондратьева;
к = -------5
©Т] = 1
М = Bi2Fo;
Ре — критерий Пекле;
Pd — критерий Предводителева;
1] — параметр толщины (безразмерная
координата);
т]к — параметр толщины затвердевшего
слоя (безразмерная координата
границы затвердевания);
© — параметр температуры;
© — параметр средней температуры.
Часть первая
ПОРЯДОК
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Глава первая
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ
1-1. С ЧЕГО НАЧИНАТЬ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ
Прежде всего читателю следует четко сформулировать условия задачи,
по которой требуется выполнить расчеты. Следовательно, нужно знать:
1) геометрическую форму тела;
2) граничные условия (ГУ) задачи;
3) начальное условие (НУ) задачи;
4) интенсивность и местоположение внутренних источников тепла;
5) теплофизические характеристики материала.
Эти пять условий называются условиями однозначности, а совокупность
начального и граничных условий — краевыми условиями.
Составлять дифференциальное уравнение, описывающее процесс тепло-
проводности, читателю практически нет необходимости.
Затем следует установить, находится ли задача с данными условиями
однозначности в «Перечне задач неустановившегося режима, для которых
построены расчетные графики», и если находится, то обратиться ко второй
части книги и воспользоваться имеющимися там графиками и другими
материалами соответствующей задачи. Помощь в постановке задач и
в использовании расчетных графиков, если требуется, окажут материалы
первой главы.
К другим страницам первой части книги следует обращаться в следую-
щих случаях:
1) при отсутствии в «Перечне задач неустановившегося режима, для
которых построены графики» (часть вторая) искомой задачи неустано-
вившегося режима — см. главы II—IV;
2) при решении задачи установившегося режима — см.
главу V;
3) при решении задачи с изменением агрегатного со-
стояния — см. главу VI.
1-2. ВЫБОР УСЛОВИЙ ОДНОЗНАЧНОСТИ
Условиями однозначности называется совокупность условий, которыми
однозначно определяется ход температуры в теле, т. е. никакой другой ход
температуры при данных условиях невозможен — решение является един-
ственным. Выше было перечислено пять условий, которые и составляют
условия однозначности. Переходя к их рассмотрению в ином порядке,
прежде всего вспомним, что такое источники тепла.
1. ИСТОЧНИКИ ТЕПЛА
Понятие об источнике тепла — одно из основных понятий в теории
теплопроводности; оно необходимо для понимания вопроса о граничных
и начальных условиях и о внутренних источниках, а следовательно, для
9
правильного назначения основных условий однозначности. Понятие об
источниках тепла также важно для решения сложных задач и для понимания
сущности процессов теплопроводности.
Источники тепла весьма разнообразны, и этим в большой мере опре-
деляется многообразие существующих тепловых задач. Источники можно
подразделить на:
1) источники заданной температуры lt и источники заданной интенсив-
ности (мощности) или заданного количества тепла /$,
2) положительные (тепло поступает от них) и отрицательные (поглощаю-
щие тепло); последние иногда называют стоками,
3) точечные, линейные, плоские и объемные,
4) внутренние (внутри тела) и внешние (поверхностные, вне тела),
5) мгновенные и непрерывного действия,
6) постоянные и переменные во времени,
7) неподвижные и подвижные.
Каждый из признаков, характеризующих источник тепла, не зависит
от температурного состояния тела. Исключение составляет только второй
признак: знак температурного источника It зависит не только от его темпе-
ратуры, но и от температуры близлежащих точек тела. Источник lt поло-
жителен, если его температура выше температуры близлежащих точек тела.
Со временем источник lt может стать отрицательным. Это может произойти
в результате понижения температуры самого источника или повышения
температуры тела под действием других источников.
Наличие источников является одной из основных причин данного тем-
пературного состояния тела, а изменение теплового состояния — следствием
действия источников. И если подчас в той или иной задаче требуется по
изменению температуры тела определить какое-либо из условий однознач-
ности, например интенсивность источника тепла или теплофизические
характеристики, то не следует все же забывать, что здесь искомое является
причиной, а заданное — следствием. Задачи такого характера называются
обратными задачами в отличие от прямых задач, в которых все условия
однозначности известны, а искомыми являются характеристики теплового
состояния тела: температура, теплосодержание, градиент температуры
и др.
Итак, каждый источник характеризуется семью признаками. При-
мером источника тепла типа ls может служить проложенный в теле тонкий
провод, по которому протекает электрический ток постоянной силы. Этот
провод является положительным, линейным, внутренним, непрерывно
действующим, неподвижным источником постоянной интенсивности.
Другим важным примером источников этого же типа служит начальное
распределение температуры в теле. Имеющееся распределение температуры
можно рассматривать как результат действия внутренних, мгновенных,
объемных, неподвижных источников с заданным количеством тепла. Мгно-
венная мощность этих источников равна произведению температуры тела
на объемную теплоемкость материала тела.
Часто встречающимся случаем действия источников типа Is служит
выделение тепла при химических реакциях, например при твердении бетона.
Здесь источники являются положительными, объемными, внутренними,
непрерывного действия, переменной интенсивности, неподвижными.
В приведенных выше трех примерах источники характеризуются тепло-
выми потоками (мощностью), а не температурой. И это не случайно, так
как рассмотренные источники были внутренними, а внутренние источники
бывают только заданной интенсивности, т. е. типа /$. Напротив, внешние
источники могут быть как типа 7$, так и типа It.
Примером действия источника типа It может служить нагревание (ох-
лаждение) тела в результате конвективного теплообмена с окружающей
средой: охлаждение металлов в закалочной ванне, проникновение темпера-
турных колебаний воздуха в стену здания и в грунт и т. д.
10
Таким образом становится ясной разница между источниками двух
типов: Is и h- И все же в ряде случаев разница не является четкой. Так,
иногда ответ на вопрос о том, каков тип действующего источника, зависит
не от физической природы источника тепла, а от того, что мы об этом источ-
нике знаем. Приведем пример.
Пусть на поверхности пол у ограниченного тела расположен нагрева-
тель, интенсивность которого известна, а на поверхности другого полуогра-
ниченного тела задана температура. Естественно считать, что в первом слу-
чае действует источник типа Is, во втором — типа It. Предположим далее,
что интенсивность источника Is постоянна, а температура источника It
увеличивается пропорционально корню квадратному из времени. Можно
убедиться, что если температура поверхности полуограниченного тела
повышается пропорционально рЧ, то тепловой поток на этой поверхности
постоянен. Поэтому в данном случае одинаково справедливо считать, что
в обоих случаях действуют источники тепла либо типа Is, либо типа It.
Окончательное,'решение вопроса зависит от вида нагревателя. Если нагре-
ватель электрический, то известна его мощность и его надо считать источ-
ником типа Is- Если же нагревателем служит окружающая тело среда задан-
ной температуры, то можно считать, что действует источник типа It. Такое
«произвольное» задание типа источника невозможно, если до местоположе-
ния рассматриваемого источника доходит действие какого-либо другого
источника (подробнее см. §11-3). Кроме того, обычно известна лишь одна
характеристика источника — его температура или его интенсивность; этой
известной характеристикой надо пользоваться при назначении граничных
условий.
2. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
Тепловые' условия на границах тела называются граничными усло-
виями (ГУ) и складываются из двух основных элементов: внешних (поверх-
ностных) источников тепла и условий теплообмена между источниками и
поверхностью тела.
Следует подчеркнуть, что границами тела являются как все его внешние
границы (поверхности), так и любые внутренние границы (поверхности),
отделяющие рассматриваемое тело от другого твердого тела или от поло-
сти (каверны). Внутренняя полость может быть замкнутой или сквозной
и содержать газ или жидкость.
Принято различать четыре рода ГУ. Сперва напомним о них кратко,
а затем рассмотрим более подробно физическую суть ГУ, их взаимосвязи
и приведем характерные примеры назначения ГУ.
Если известна температура поверхности тела, то имеет место ГУ
I рода.
Если задана интенсивность теплового поггйока извне в тело, то говорят
о ГУ II рода. Согласно основному закону теплопроводности, тепловой поток
равен:
-Х^-1 =S; (1-1)
дх |х=4-0 v '
здесь % означает коэффициент теплопроводности тела, а градиент темпера-
туры относится к точке тела, расположенной в непосредственной близости
от поверхности тела, на что и указывает индекс х =4-0. Здесь и ниже ГУ
выражены относительно поверхности полуограниченного тела и пластины
(х = 0). Для тел другой формы надо принимать соответствующее значение
координаты поверхности, например для цилиндра и шара г = R (начало
координат в центре тела).
Если заданы температура среды (жидкости или газа), омывающей
тело, и закон теплообмена между средой и поверхностью тела, то говорят
11
Таким образом становится ясной разница между источниками двух
типов: Is и h- И все же в ряде случаев разница не является четкой. Так,
иногда ответ на вопрос о том, каков тип действующего источника, зависит
не от физической природы источника тепла, а от того, что мы об этом источ-
нике знаем. Приведем пример.
Пусть на поверхности пол у ограниченного тела расположен нагрева-
тель, интенсивность которого известна, а на поверхности другого полуогра-
ниченного тела задана температура. Естественно считать, что в первом слу-
чае действует источник типа Is, во втором — типа It. Предположим далее,
что интенсивность источника Is постоянна, а температура источника It
увеличивается пропорционально корню квадратному из времени. Можно
убедиться, что если температура поверхности полуограниченного тела
повышается пропорционально рЧ, то тепловой поток на этой поверхности
постоянен. Поэтому в данном случае одинаково справедливо считать, что
в обоих случаях действуют источники тепла либо типа Is, либо типа It.
Окончательное,'решение вопроса зависит от вида нагревателя. Если нагре-
ватель электрический, то известна его мощность и его надо считать источ-
ником типа Is- Если же нагревателем служит окружающая тело среда задан-
ной температуры, то можно считать, что действует источник типа It. Такое
«произвольное» задание типа источника невозможно, если до местоположе-
ния рассматриваемого источника доходит действие какого-либо другого
источника (подробнее см. §11-3). Кроме того, обычно известна лишь одна
характеристика источника — его температура или его интенсивность; этой
известной характеристикой надо пользоваться при назначении граничных
условий.
2. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
Тепловые' условия на границах тела называются граничными усло-
виями (ГУ) и складываются из двух основных элементов: внешних (поверх-
ностных) источников тепла и условий теплообмена между источниками и
поверхностью тела.
Следует подчеркнуть, что границами тела являются как все его внешние
границы (поверхности), так и любые внутренние границы (поверхности),
отделяющие рассматриваемое тело от другого твердого тела или от поло-
сти (каверны). Внутренняя полость может быть замкнутой или сквозной
и содержать газ или жидкость.
Принято различать четыре рода ГУ. Сперва напомним о них кратко,
а затем рассмотрим более подробно физическую суть ГУ, их взаимосвязи
и приведем характерные примеры назначения ГУ.
Если известна температура поверхности тела, то имеет место ГУ
I рода.
Если задана интенсивность теплового поггйока извне в тело, то говорят
о ГУ II рода. Согласно основному закону теплопроводности, тепловой поток
равен:
-Х^-1 =S; (1-1)
дх |х=4-0 v '
здесь % означает коэффициент теплопроводности тела, а градиент темпера-
туры относится к точке тела, расположенной в непосредственной близости
от поверхности тела, на что и указывает индекс х =4-0. Здесь и ниже ГУ
выражены относительно поверхности полуограниченного тела и пластины
(х = 0). Для тел другой формы надо принимать соответствующее значение
координаты поверхности, например для цилиндра и шара г = R (начало
координат в центре тела).
Если заданы температура среды (жидкости или газа), омывающей
тело, и закон теплообмена между средой и поверхностью тела, то говорят
11
о ГУ III рода. Согласно закону Ньютона, тепловой поток, поступающий от
омывающей среды, прямо пропорционален разности температур среды и
поверхности тела:
- * L. о = « (О-^=+о). (1-2)
- ил |x=-f~u
ГУ IV рода возникает, если рассматриваемое тело находится в сопри-
косновении с другим телом, имеющим иные теплофизические характеристики.
Контакт на поверхности тел должен быть столь хорошим, чтобы температуры
соприкасающихся точек были одинаковыми:
Z|z=+o= t |Л=_о. (1-3)
Уравнение теплового баланса на границе имеет следующий вид:
— Х-^-1 = —Г-^-1 . (1-4)
дх |х=4-0 дх |л:=—о v 7
Обратим внимание, что левые части уравнений теплового баланса (1-1),
(1-2) и (1-4) одинаковы — ими выражается интенсивность теплового потока,
отводимого от поверхности тела внутрь. Отличие одного ГУ от другого
заключено в правой части уравнений теплового баланса. В них математи-
чески сформулирована закономерность 'Поступления тепла извне к поверх-
ности тела. Таково общее правило формулировки различных ГУ.
Исключением (кажущимся) представляется ГУ I рода, так как оно
выражается температурой поверхности тела, а не уравнением теплового
баланса. В действительности ГУ I рода тоже выводится из уравнения тепло-
вого баланса у поверхности тела, а именно, из уравнения (1-2), но при усло-
вии, что значение коэффициента теплообмена а очень велико (стремится
к бесконечности). Тогда указанное уравнение приводит к следующему
выражению для ГУ I рода:
(1-5)
Таким образом, оказывается, что ГУ I рода является лишь частным
случаем ГУ III рода. Указанный «частный случай» практически важен,
чем, вероятно, и можно оправдать, что он значится под отдельным номером,
в то время как многим другим ГУ до сих пор номера не присвоены.
Приведенная классификация ГУ сложилась исторически и является
в настоящее время общепринятой. Поэтому эта классификация в неизменном
виде принята и в настоящей книге, хотя она, на наш взгляд, несовершенна
как с методической точки зрения, так и с точки зрения полноты охвата
различных реально встречающихся условий теплообмена на границе твер-
дого тела.
Учитывая важность правильного назначения ГУ, дадим еще некоторые
дополнительные пояснения. Эти пояснения будут в основном сводиться
к тому, чтобы помочь правильно составить правую часть уравнения тепло-
вого баланса (поступление тепла извне к поверхности тела). При этом будут
использованы понятия об источниках тепла и о теплбвых сопротивлениях.
Эффективность воздействия внешнего источника тепла на тепловое
состояние данного физического тела зависит прежде всего от самого источ-
ника и от условий теплообмена между источником тепла и поверхностью
тела. Кроме того, оказывают влияние характеристики тела (его геометри-
ческие размеры и теплофизические параметры) и наличие других источников,
если рассматриваемый источник является температурным.
Условия теплообмена в большей или в меньшей степени мешают внеш-
нему источнику тепла достигнуть поверхности тела. Обычно это препятствие
выражается в виде пограничного слоя.
12
В самом общем случае тепло от источника передается к поверхности
тела через пограничный слой, который, во-первых, поглощает часть тепла,
так как обладает теплоемкостью, т. е. теплоемкостным сопротивлением:
С = c'p'h', J (1-6)
и, во-вторых, понижает (гасит) температуру, так как обладает температур-
ным сопротивлением:
(1-7)
Таким образом, до поверхности тела действие источника доходит ослаб-
ленным — с меньшей температурой и с меньшей интенсивностью. Если источ-
ники отрицательные (стоки), то влияние пограничного сопротивления будет
противоположным.
Наличие у поверхности тела слоя, который одновременно обладает
теплоемкостным и температурным сопротивлениями, приводит к схеме
двухслойного тела, при которой имеет место указанное выше ГУ IV рода.
Такие задачи весьма сложны и, за исключением некоторых простейших
случаев (§ IV-2, п. 3), в настоящей книге не рассматриваются.
Однако в подавляющем большинстве случаев ГУ являются более про-
стыми. Так, например, в некоторых задачах оба вида сопротивления отсут-
ствуют. В других задачах можно рассматривать лишь один вид сопротив-
ления. Встречаются случаи, когда имеют место оба вида тепловых сопро-
тивлений, но каждое из них сосредоточено отдельно, и внешним источникам
тепла при их воздействии на тело надо последовательно преодолеть оба
сопротивления.
Этот последний случай является общим и из него могут быть как част-
ные случаи выведены все другие ГУ, за исключением ГУ IV рода. Поэтому
рассмотрим прежде всего этот случай.
Итак, пусть имеются внешние источники тепла обоих типов, а на пути
их действия к поверхности тела расположены сперва температурное, а затем
теплоемкостное сопротивление. Примером возникновения такого ГУ может
служить задача о тепловом режиме ложа широкой, многоводной реки. Для
того чтобы решить эту задачу, нужно написать ГУ для поверхности ложа.
Внешними источниками тепла служат окружающий воздух (темпера-
турный источник It) и солнечная радиация (источник заданной интенсив-
ности Д). Первое препятствие имеет место на пути от источников к поверх-
ности воды, второе — на пути от поверхности воды к поверхности ложа
(твердого тела).
Коэффициент теплоотдачи на границе вода—воздух не является беско-
нечно большим. Поэтому действие температурного источника здесь ослаб-
ляется. На действие источника Is температурное сопротивление на границе
вода—воздух не оказывает влияния, поэтому тепло от него полностью входит
в воду.
Таким образом от обоих источников в воду поступает тепло с интенсив-
ностью, равной S +а ('О’—/х=+о). Далее часть этого тепла благодаря
теплоемкостному сопротивлению расходуется на изменение теплосодержания
воды ср h 1 > а оставшаяся часть проникает в твердое тело. В ре-
зультате уравнение теплового баланса на поверхности тела (ложа реки)
принимает следующий вид:
-1 -аг |„+» = «+“<«-'»+•)- W • (I ~8)
Важно отметить, что величина S в уравнении (1-8) представляет собой
алгебраическую сумму интенсивности всех внешних источников типа ISt
где бы они ни были расположены — в воде или вне воды. Например, дисси-
пация энергии потока является равномерно распределенным в воде объем-
13
ным источником, испарение *воды с заданной скоростью является плоским
источником, расположенным на поверхности воды, солнечное излучение
является источником, расположенным вне воды; причем все эти источники
имеют определенную интенсивность (мощность), т. е. являются источниками
тепла типа 1$. Если они действуют одновременно, их следует суммировать
алгебраически.
Ниже будет показано, что из уравнения (1-8) получается ряд других ГУ.
Сводка различных ГУ дана в табл. 1-1; там же для наглядности оба вида
тепловых сопротивлений представлены не только геометрически, но и в виде
эквивалентной электрической схемы.
А. Пограничный слой обладает температурным сопротивлением, а тепло-
емкостное сопротивление может быть принято равным нулю (О? > 0;
С = 0). Практически это может соответствовать случаю обтекания тела
газом, так как объемная теплоемкость в сотни раз меньше, чем у твердых
тел или жидкостей. В то же время коэффициент теплопроводности газов
небольшой и поэтому температурное сопротивление имеет место. Так как
слоя жидкости у поверхности тела нет, то последний член уравнения (1-8)
равен нулю.
В зависимости от типа действующих внешних источников и величины
температурного сопротивления ГУ будут следующими.
Если действует либо источник типа либо источник типа то воз-
никают указанные выше три рода ГУ. Так, ГУ I рода получается, если дей-
ствует источник типа It и ос = оо, ГУ II рода— если действует источник
типа /$, ГУ III рода — если действует источник типа It и оо =h °о.
Кроме того, могут иметь место еще следующие ГУ.
Если одновременно действуют источники типа It и 7$ и у поверхности
тела имеется температурное сопротивление (коэффициент теплоотдачи не
равен бесконечности), имеем
-Х 4И=+о = $ + «(*-^=+о). (Ь9)
Примерами возникновения такого ГУ могут служить случаи, когда
тело подвержено нагреву за счет конвекции (источник типа It) и охлажде-
нию за счет испарения с поверхности (источник типа /5). Одновременное
действие на тело источников типа It и Is возможно также при конвекции
и радиационном нагреве.
Данное ГУ объединяет ГУ II и III родов и может быть приведено фор-
мально к виду ГУ III рода путем подстановки (см. § it 1-2):
*>экв = ^+4’ <1-10>
где Фэкв—эквивалентная температура среды; тогда вместо (1-9) получим
4Н=+0 = «(Оэкв-^+о). (I-II)
Итак, замена действительной температуры среды эквивалентной темпе-
ратурой позволяет исключить из рассмотрения действие источников типа 1$
и свести весьма просто задачу с ГУ вида (1-9) к задаче с ГУ III рода.
Если коэффициент теплоотдачи ос = 0, действие температурных источ-
ников совершенно не доходит до поверхности тела. Остается лишь действие
тепловых источников, и поэтому уравнение (1-9) принимает вид ГУ II рода
(1-1). Если же и источников типа Is нет, то теплоизоляция поверхности твер-
дого тела оказывается полной и имеет место частный случай ГУ II рода—
отсутствие теплообмена на поверхности тела (адиабатическое условие),
т. е. —| 0= 0- Так как X #= 0, то получаем
14
Таблица 1-1
Сводка основных случаев теплообмена у поверхности тела
(назначение граничных условий)
Условия теплообмена у поверхности тела Тепловая схема Тепловая характе- ристика погра- ничного слоя Тип источ- ника тепла Г раничные условия
91 с 7S математическая формулировка наимено- вание
1 2 3 4 5 6 7 8
На поверх- ности тела за- дана темпера- тура 15 0 0 + 1 1х=4-0 = 1 I рода
1
X
На поверх- ности тела за- дан тепловой поток !' 0 0 — 4- — Х-^-1 =5 дх |х=+о II рода
0 1 -
X ”
У поверхно- сти тела задана температура среды ? 4 .... + 0 + — III рода
г -’-l-i дх 1 = а(е- I II if i t, И
fe
X
У поверхно- сти тела кон- такт со вторым телом; заданы температура и тепловой поток И* 1'* г 1 + + + + t 1х=+0 — 7 1х=—0 IV рода
III , dt Х дх | = —V |х=4-0 А|
j
О' дх \х=—о
У поверхно- сти тела зада- ны температу- ра среды и теп- ловой поток It 1 + 0 4- + -i-FI - дх< |х=+0 = а(О-^=+о) + + S Приво- 1 дится ; к ГУ III рода
•
С
X
Тело покры- то слоем, име- ющим очень малую удель- ную теплоем- кость и не •очень большой коэффициент теплопроводно- сти, у поверх- ности слоя за- дан тепловой поток 12 • 1 + 0 —
1 X 7 “ дх 1 = 5 x=-f-0
15
Продолжение табл. 1-1
Условия теплообмена у поверхности тела Тепловая схема Тепловая характе- ристика погра- ничного слоя Тип источ- ника тепла Граничные условия
91 с ч fs математическая формулировка наимено- вание
1 2 3 4 б 6 7 8
Тело покры- то слоем, име- ющим очень малую удель- ную теплоем- кость и очень малый коэф- фициент теп- лопроводности; у поверхности слоя задана температура ъ С’’ + 0 + 0 * 1 =° дх |x=-j-o Адиабата (частный случай ГУ II рода)
Тело покры- то слоем, име- ющим значи- тельную удель- ную теплоем- кость и очень большой коэф- фициент тепло- проводности (турбулизиро- ванная жид- кость); у по- верхности слоя заданы темпе- ратура среды и тепловой поток £ X ('• р г т + + + + дх == а(& — + < — c'p'h' - L= ’ ^х= S — dt ди +-0 =+о)+ |х=—0 Приво- дится к ГУ VI рода
Тело покры- то слоем, име- ющим значи- тельную удель- ную теплоем- кость и очень большой коэф- фициент тепло- проводности (турбулизиро- ванная жид- кость); у по- верхности слоя задан тепловой поток L 0 X' р 4 0 + — + -^1 дх 1 = < — c'p'h' - |х=-|-0 > — эм дх |х=—0 V рода
Тело покры- то слоем, име- ющим значи- тельную удель- ную теплоем- кость и очень большой коэф- фициент тепло- проводности (турбулизиро- ванная жид- кость); у по- верхности слоя задана темпе- ратура среды i 1 X 1 -CZHF + + + — . dt I Х дх 1 = а(0 — — c'p'h’ - ( и +о) — х——0 VI рода
16
Продолжение табл. 1-1
Условия теплообмена у поверхности тела Тепловая схема Тепловая характе- ристика погра- ничного слоя Тип источ- ника тепла Граничные условия
SR с h As математическая формулировка наимено- вание
1 2 3 4 5 6 7 8
Тело покры- то слоем, име- ющим зна- чительную удельную теп- лоемкость и очень большой коэффициент теплопроводно- сти (турбули- зированная жидкость); у поверхности слоя идеальная теплоизоляция 1 0 + — 0 -1*1 = дх |х=4-о = — c'p'/i' х ХА| Х дх |х=-0 Частный случай j ГУ V и VI ро- дов
1 п
б
ОС
Тело покры- то слоем, име- ющим значи- тельную удель- ную теплоем- кость и очень большой коэф- фициент тепло- проводности (турбулизиро- ванная жид- кость); на по- верхности слоя задана темпе- ратура 1 0 + + — /|Х=+О = 0 I рода
10
Т
X'
Задана тем- пература излу- чателя; тепло- вые сопротив- ления отсут- ствуют !- 0 0 + — -1^1 = дх |х=4-0 =м^- -TL+o) В ряде случаев приво- дится к ГУ II или III родов
0 L 1
ОС'
— температурное сопротивление;
Обозначен
и я:
— теплоемкостное сопротивление;
— единое тепловое сопротивление.
2 Заказ 945
17
(Матлаяьт
Б. Пограничный слой обладает теплоемкостным сопротивлением, а тем-
пературное сопротивление ничтожно мало (С > 0; 92 = 0). Практически
это соответствует случаям, когда на границе тела, имеющего относительно
не очень большой коэффициент температуропроводности, находится слой
хорошо турбулизированной жидкости, а коэффициенты теплоотдачи от
поверхности жидкости в атмосферу и от поверхности тела к жидкости очень
велики.
При наличии только источников It температура жидкости, а следова-
тельно, и температура поверхности твердого тела, равна температуре источ-
ников, т. е. получаются ГУ I рода.
При наличии только источников типа Is уравнение (1-8) принимает вид
— Х-^-1 =S — c'p'h'. (1-13)
дх |г=+о г дх |х=—о ' '
При отсутствии каких-либо внешних источников ГУ записывается
следующим образом:
— Х-^-| =— c'p'h'. (1-14)
дх |х=4-0 г дх |х=—о ' '
Уравнение (1-14) описывает явление теплообмена между слоем жидко-
сти и твердым телом.
В. Пограничный слой состоит из двух частей; в одной части Э? > 0;
С = 0, а в другой 8? = 0; С > 0. Если действует только источник тепла
типа имеем:
— Л#| =а(О—/х=+о)— c'p’h’ -^-1 • (1-15)
дх |х=4-0 v 7 г дх J х=—о v 1
Уравнением (1-15) описываются условия теплообмена твердого тела
с атмосферой через слой хорошо турбулизированной жидкости.
Если, напротив, действует лишь источник типа /$, температурное со-
противление не оказывает влияния, и условие теплообмена выражается
написанным ранее уравнением (1-13).
Когда же одновременно действуют источники тепла обоих типов, ГУ
выражается уравнением (1-8). Заметим, что подстановкой (1-10) уравнение
(1-8) может быть легко приведено к виду (1-15).
Г. Тепловое излучение. Когда теплообмен между поверхностью тела
и внешним источником тепла происходит по законам излучения, тогда урав-
нение теплового баланса будет иметь вид:
^ = ^(^-7^+0). (1-16)
l/A |X=-j-U
До сих пор рассматривались случаи, когда теплообмен с температур-
ными источниками принимался пропорциональным разности температур
источника и поверхности тела [см. уравнения (1-2), (1-8) и др.]. Здесь же,
согласно уравнению (1-16), закономерность более сложная — теплооб-
мен пропорционален разности четвертой степени температур источника
тепла и поверхности тела, т. е. зависимость нелинейная. Решение задач
с таким ГУ сложно, и поэтому удобно приводить это условие к более простым
ГУ. В зависимости от величины разности температур источника и-поверх-
ности тела лучистый теплообмен может быть приведен к ГУ II или III родов.
т
Если разность относительно невелика: 0,9 1,1, то удобно
7 x=-j-o
воспользоваться ГУ III рода. Для этого вместо (1-16) надо написать
<И7>
где
«И = J'~T'=+O~ (1-18)
1 с ~ 1 х=4-0
is .
Если разность температур источника и поверхности тела велика, то
можно по уравнению (1-16) вычислить интенсивность теплового потока
излучения 5И и решать задачу, полагая, что имеет место ГУ II рода. Так как
значения 5И зависят от температуры поверхности тела, то расчетный период
надо разбивать на отрезки времени, внутри которых принимать величину S„
исходя из приближенно задаваемой температуры поверхности тела; затем,
при необходимости, может быть применен метод последовательных прибли-
жений.
Уравнения (1-8), (1-9), (1-12)—(1-16) описывают семь различных ГУ,
не имеющих номера. Вероятно, следовало бы прежде всего дать номера ГУ,
выраженным уравнениями (1-13) и (1-15) — соответственно ГУ V и VI родов.
Д. Упрощение граничных условий. Когда ГУ
выбрано, следует посмотреть, нельзя ли его упро-
стить. Для этого надо сопоставить тепловые со- Bi<0,2
противления пограничного слоя (температурное г-гт—----------71
и теплоемкостное С) с тепловым сопротивлением 7
самого тела. /
Рис. 1-1. Характер распределения температуры в зависимости от величины
критерия Био Bi
Температурное сопротивление тела (внутреннее сопротивление)
*вн=4’ <И9>
Где h — определяющий размер тела: для пластины — толщина, для полу-
ограниченного тела — глубина и т. д.
Температурное сопротивление пограничного слоя (внешнее сопротив-
ление)
9? = —. (1-20)
а
Отношение внутреннего сопротивления к внешнему характеризует
условия теплообмена тела с внешними температурными источниками и
называется критерием Био:
= (1'21)
1 Л
а
Критерий Bi можно также записать в виде
Bi= * (1-22)
Л nt
а
где ht — Ыа имеет размерность длины и представляет собой толщину по-
граничного слоя, на свободной поверхности которого температура равна
температуре окружающей среды. Таким образом, критерий Bi можно рас-
сматривать как отношение определяющего размера тела к толщине погра-
ничного слоя.
Исходя из величины критерия Bi, иногда удается упростить 1 У (рис. 1-1).
Если величина Bi относительно велика, Bi 5s 50, то это означает, что тем-
пературное сопротивление (толщина) пограничного слоя мало по сравнению
с температурным сопротивлением (толщиной) самого тела. Поэтому можно
пренебречь температурным сопротивлением пограничного слоя и принять
температуру поверхности тела равной температуре среды, т. е. вместо ГУ
III рода принять более простое ГУ I рода.
Если 50 > Bi 10, то также можно заменить ГУ III рода на ГУ I рода.
Для этого надо при расчете увеличить толщину или радиус тела на толщину
пограничного слоя ht и учитывать это в вычислениях относительной коор-
динаты и критерия Фурье Fo. Тогда для полуограниченного тела Fox =
ат ат х + х=о
(л + М2 м (x + httX==Q + htiX=:hy 1 h + httX==0±httX=h’
г? ат г
для сплошного цилиндра и сплошного шара Fo = и t] е •
Случай 10 > Bi 0,2 отвечает условиям, при которых температурные
сопротивления (толщины) пограничного слоя и тела соизмеримы между
собой и замена ГУ III рода на ГУ I рода невозможна.
Если значения Bi относительно малы, Bi < 0,1—0,2, то это означает,
что температурное сопротивление (толщина) пограничного слоя относи-
тельно велико и большая часть температурного перепада сосредоточена
у границы тела. Внутри тела перепад температуры относительно мал. В этом
случае тело может рассматриваться как хорошо турбулизированная жид-
кость, обладающая очень большой теплопроводностью и, следовательно,
одинаковой (по всему объему) температурой. В результате задача расчета
температуры в теле сводится к определению температуры его поверхности
или любой другой точки тела.
Иногда тела, в которых перепад температуры относительно мал, назы-
вают «тонкими» в отличие от «толстых» тел, в' которых температурный
перепад относительно велик.
3. НАЧАЛЬНОЕ УСЛОВИЕ
Начальным условием (НУ) задачи называется температурное поле
в теле в какой-либо момент времени. Дальнейший отсчет времени ведется
от этого начального момента.
В книге рассматриваются лишь одноразмерные задачи (исключение
составляют § IV-8 и V-2), поэтому достаточно знать распределение темпе-
ратуры по одной координате: в пластине — по толщине, в цилиндре и
шаре— по радиусу.
Данные о начальном теплосодержании тела или о начальном распреде-
лении градиента температуры не могут быть приняты в качестве НУ, но
в ряде случаев они могут помочь определить начальное распределение
температуры. Так, если известно, что начальная температура в теле одина-
кова, то по начальному теплосодержанию нетрудно найти значение началь-
ной температуры:
Если в начальный момент времени дано поле градиента температуры
= f (*), то Для определения начального распределения температуры
должна быть еще известна температура какой-либо точки тела. В этом случае
tx=0= f^-dx+C, (1-4)
где значение постоянной интегрирования С находится по данной температуре
точки.
20
Пример. Дано. В пластине при т = О
-^j- = — 25 sin [-£- (1 — т])] и /п=0>5 = 4О°С,
где
Найти начальное распределение температуры.
Решение. Интегрируя выражение для градиента температуры, получим:
^o = ^-c°s[2L- (1 _п)] +с.
Подставляя Т] = 0,5 и t = 40° С, находим
С = 40--— cos 28,8° С.
п 4
Окончательно:
<т=0 = 28,8 + cos Г -2- (1 — Т))1 •
Расчетные графики, приведенные во второй части книги, составлены
для случаев, когда в начальный момент времени температура от координаты
не зависит (градиент температуры равен нулю) или изменяется линейно
(градиент постоянен), параболически (градиент изменяется линейно) и коси-
нусоидально (градиент изменяется синусоидально).
При более сложном начальном условии следует попытаться заменить
сложное начальное распределение температуры более простым (вертикаль-
ной или наклонной прямой, параболой, косинусоидой). Если это не удается,
то рекомендуется применить один из способов, изложенных в § IV-3.
Итак, начальным условием может служить распределение температуры
в теле в любой момент времени, предшествующий расчетному. Возникает
вопрос, можно ли использовать данное распределение температуры как
начальное для определения температуры в теле не в последующие, а в пре-
дыдущие моменты времени, если, конечно, граничные условия для этого
периода известны.
На этот вопрос, представляющий как практический, так и теоретиче-
ский интерес, приходится ответить отрицательно. Действительно, данное
распределение температуры в теле может возникнуть при одних и тех же
граничных условиях, но исходя из совершенно различного теплового состоя-
ния. Для примера рассмотрим графики задач № 16 и № 17, которые отли-
чаются друг от друга только начальным условием. Распределение темпера-
туры в задаче № 16 при Fo == 1,0 практически такое же, как и в задаче
№ 17 при Fo = 0,8. Но если в обеих задачах отступить назад на одинаковый
отрезок времени, то окажется, что температурные состояния тел различны.
Это показывает, что последующее распределение температуры не может
служить начальным условием.
Таким образом, становится более понятным физический смысл началь-
ного условия. В начальном тепловом состоянии тела отражена вся его пред-
шествующая тепловая история, и для дальнейшего хода температуры совер-
шенно безразлично, каким образом данное тепловое состояние возникло.
Оно могло возникнуть различными путями. Напротив, последующий ход
температуру может быть только один и поэтому НУ является одним из
условий однозначности решения задачи. Но следует иметь в виду, что чем
больше времени проходит от начального момента, тем меньше начальное
условие влияет на тепловое состояние тела и тем менее точно оно может быть
задано без значительного ущерба для точности конечного результата рас-
чета.
При неточном задании начального условия конечный результат расчета
будет содержать ошибку, причем в зависимости от граничных условий
возможны два случая.
21
Если граничные условия таковы, что с течением времени температура
в теле стремится к постоянной величине или испытывает периодические
колебания, то ошибка в результатах расчета постепенно уменьшается по
абсолютной величине.
Если граничные условия вызывают монотонное, не имеющее конечного
предела изменение температуры всех точек тела, то абсолютная величина
ошибки остается равной первоначальной. Но и в этом случае характер
распределения температуры в теле, а следовательно, и кривая градиента
температуры становятся со временем все менее зависимыми от начального
условия.
Приведем некоторые примеры.
Пример 1. Дано. На одной из поверхностей резиновой пластины ?(а = 0,00035 м2/ч)
толщиной h = 10 см поддерживается постоянная температура tn = 20° С. Другая поверхность
теплоизолирована. Начальная температура равна примерно t0 50° С, причем точность ее
определения составляет Д/о == ~10° С.
Найти величину возможной ошибки в определении температуры на теплоизолирован-
ной поверхности через 3 ч и через 30 ч.
Решение. Воспользуемся материалами задачи № 16. Расчетное уравнение для темпера-
туры имеет вид:
t = tn в (А) —
Для определения ошибки служит формула:
А/ = 0 А/о.
Величины 0 находят по графику 16-1 для = 1 и двух значений Fo:
_ art 0,00035-3 _ lnc
Fo=-f^ = -(0^ =0Л05 и
_ 0,00035-30 , __
Fo=-(oJj^=1’05-
Находим 0 = 0,93 и 0 = 0,10.
Вычисляем пределы возможной ошибки:
через 3 ч Ы = =±0,93-10 = =±9,3° С,
через 30 ч А/ = =±0,10-10= ±=1,0® С.
Убеждаемся, что величина ошибки с течением времени уменьшается. Этого'и следовало
ожидать, так как ГУ таковы, что температура стремится к постоянной величине.
Пример 2. Дано. Условия предыдущего примера, но на одной поверхности пластины
задан постоянный тепловой поток, а не постоянная температура.
Найти величину ошибки, связанной с неточностью в задании начального условия.
Решение. Данная задача соответствует задаче № 22, решение которой имеет вид:
. . . n Sh
i=to+&— •
Так как здесь начальная температура входит в виде постоянного слагаемого, а величина
другого слагаемого не зависит от нее, то ошибка в задании начальной температуры приводит
к постоянной во времени абсолютной ошибке в конечном результате расчета температуры тела.
Что же касается относительной ошибки, то с течением времени она изменяется.
Пример 3. Дано. Стальная плита (Z = 35 Вт/(м-град), а= 0,039$м2/ч) толщиной h =
= 20 см помещена в холодильную камеру с температурой воздуха О' = —10° С. Одна из по-
верхностей плиты хорошо теплоизолирована, на другой происходит конвективный теплообмен
с воздухом, причем коэффициент теплоотдачи а = 44 Вт/(м2-град). Измеренное значение на-
чальной температуры составляет t0 = 100° С, причем возможная ошибка в ее определении
=±А/0 = 10° С.
Найти возможную ошибку в расчете времени охлаждения теплоизолированной поверх-
ности до ^=1 = 0° С.
Решение. Воспользуемся данными задачи № 26. Расчет возможной ошибки сводится
и вычислению разности
Л2
Ат = т2 — Tj — (Fo2 — Fot),
22
где значения Foj и Fo2 находят по графику 26-1 для ч] = 1. Предварительно вычисляем:
n. ah 44-0,2 А ос
В1 = — = ^5- = °’25:
0+10
t0 — $_100—10+10_’
я = Vi-fr _ о+ю = п08о
to+Mo — 100+10+10 ’
Находим FOi = 10 и Fo2 =11. Следовательно, искомая ошибка
4’-Wr<11-10> = 1'02’-
4. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМА ТЕЛА
Во второй части книги даны расчетные графики для тел шести геоме-
трических форм. Из них только сплошной и полый шары имеют ограничен-
ные размеры. Цилиндр принимается бесконечно длинным; пластина огра-
ничена только по толщине, а по длине и ширине простирается в бесконеч-
ность; полуограниченное тело рассматривается как бесконечное тело, огра-
ниченное лишь в одном направлении по одной координате. Начало координат
располагаем в пластине и в полуограниченном теле на поверхности тела,
а в цилиндре и в шаре — в центре. Хотя в цилиндре и шаре тепловые потоки
соответственно плоские и объемные, температура в этих телах, как и в телах
двух других форм, полностью определяется одной координатой.
Кроме того, рассматривается распространение тепла в теле, неограни-
ченном по всем направлениям. В этом случае уместно говорить не о геоме-
трической форме самого тела, а о геометрической форме внутренних границ
(полостей), являющихся источниками тепла, и симметричном распростра-
нении тепла относительно какой-либо внутренней точки, линии или пло-
скости.
А. Возможность упрощения формы тела при расчете. При назначении
геометрической формы тела следует иметь в виду, что истинную форму тела
иногда целесообразно для удобства расчета мысленно изменить. Это может
быть выполнено двумя способами — путем деформации тела, следовательно,
при неизменном объеме, или путем изменения объема тела. Рассмотрим оба
способа.
Способ деформации. Подлежащее расчету тело сложной
формы надо привести к телу простой формы (пластина, цилиндр или шар),
но при этом должны остаться неизменными объем тела и тепловой поток,
поступающий в тело, а сама деформация должна быть минимальной.
Площадь поверхности тела простой формы Fnp всегда меньше, чем
у тела того же объема, но сложной формы FCJI. Поэтому при ГУ II рода
расчетное значение интенсивности теплового потока для тела простой формы
должно быть увеличено во столько раз, во сколько площадь его поверхности
уменьшена, т. е. Snp = 8ГХСЛ, где eF = > 1.
* пр
При ГУ III рода надо увеличивать расчетное значение коэффициента
теплоотдачи оспр= 8/ЛСсл-
Определяющие размеры простых тел и значения &F находятся по данным
размерам сложных тел следующим образом:
, У ^сл
для пластины nnD = -f—, 8F = ,
^пр ГПр
где Fnp — площадь поверхности пластины после ее деформации по толщине,
т. е. по оси х. Площадь сечения тела подлине и ширине, т. е. в плоскости уг,
остается неизменной;
23
для цилиндра
= ~^Г’где f~площадь
поперечного сечения, одинаковая у обоих тел; рсл — периметр поперечного
сечения сложного тела; деформация производится в плоскости сечения
тела, т. е. по двум координатам; по длине деформация не производится;
3/ 2 р
для шара /?„₽ = ]/ V ; eF = -у==- ; деформация произ-
водится по всем координатам.
Способ изменения объема. Общее правило здесь сле-
дующее.
Если источники тепла на той или иной границе тела или внутри тела
за рассматриваемый отрезок времени не оказывают существенного влияния
на температуру точки или области тела, подлежащих расчету, то эти источ-
ники тепла и некоторые части тела могут быть исключены из рассмотрения,
т. е. объем тела может быть изменен. В отличие от других границ и частей
тела, активно формирующих его тепловое состояние, их можно назвать
пассивными.
Как и в каких пределах может быть изменена пассивная граница?
Очевидно, что изменение может быть любым, лишь бы граница осталась
•пассивной. Здесь можно наметить три возможных варианта.
Во-первых, пассивная граница может быть отодвинута дальше от точки,
температура которой рассчитывается, или перенесена в бесконечность и
исключена из рассмотрения. В последнем случае расчетные зависимости
упрощаются, так как исключается один из определяющих геометрических
параметров (сравнить, например, задачи № 1 и 16, 2 и 22 и т. д.). Таким
образом пластина приводится к полуограниченному телу, полый цилиндр—
к бесконечной области с цилиндрической полостью или к сплошному ци-
линдру и т. д.
Во-вторых, пассивная граница может быть придвинута ближе к расчет-
ной точке (уменьшение размеров тела), но, конечно, лишь настолько, чтобы
не стать активной границей. Практически это важно при постановке экспе-
риментальных исследований методом моделирования или методом аналогий,
так как позволяет уменьшить размеры моделей, а также при расчетах, ыв-
как это дает возможность сократить их объем, а сами расчеты удается так
полнить с большей точностью.
В-третьих, пассивной границе может быть придана другая, более удоб-
ная для расчета форма, например граница неправильной формы может быть
в расчете заменена ровной поверхностью.
Для использования указанного выше правила важно уметь определять,
является ли граница (точнее, та или иная часть тела) пассивной или активной.
Граница может рассматриваться как пассивная, если на ней темпер а-
тура и градиент температуры за расчетный интервал времени остаются
неизменными. Так, если в полуограниченном теле внешний источник тепла
за расчетный период вызывает изменение теплового состояния лишь до
глубины х = х0» то пассивной границей может служить любая поверхность
х х0. С другой стороны, если в пластине тепловые условия на одной из
ее поверхностей остаются равными первоначальным, то пластина может
рассматриваться как полуограниченное тело.
Практически ответ на вопрос, является ли граница пассивной, может
быть получен в каждом конкретном случае из анализа графиков темпера-
турного параметра соответствующей задачи.
Рассмотрим, например, пластину с одинаковой начальной температурой
при скачкообразном изменении температуры на одной из поверхностей и
теплоизоляции на другой (задача № 16, график 16-1). Из условия задачи
известно, что на поверхности х = h тепловой поток равен нулю = 0^ .
Температурный параметр в этой задаче имеет вид Э = —"/п . По гра-
*0 ---------------------------------------------------- *п
24
фику 16-1 находим, что при т] = 1 и Fo 0,05 0 = 1, поэтому t =
Следовательно, в начальный период времени, т. е. при небольших значе-
ниях критерия Fo, поверхность пластины т) == 1 является пассивной гра-
ницей; пластина может рассматриваться как полуограниченное тело и для
практических расчетов надо пользоваться решениями и графиками за-
дачи № 1.
То же самое можно утверждать и в задаче с постоянным тепловым пото-
ком на поверхности (задача № 22, график 22-1) или в задаче с линейным
изменением температуры поверхности (задача №30, график 30-1), если
Fo=c0,l. Ниже для иллюстрации приведен пример расчета.
Пример. Дано. Стальной стержень (%= 50 Вт/(м-град), а= 0,055 м2/ч) длиной й =
= 2,5 м нагревается с одной из торцовых сторон постоянным тепловым потоком S =
= 100 000 Вт/м2. Все другие поверхности теплоизолированы. Начальная температура стержня
t0 = 12° С.
Найти температуру на поверхности нагрева через 10 мин.
Решение. Если рассматривать стержень нак неограниченную пластину, то для расчета
температуры надо пользоваться графиком 22-1, причем исходными аргументами служат вели-
чины:
_ _ ах 0,055-0,167
F0 = ”^ =--------6/25----
= 1,47.10-3 ит] = 0.
Для столь малого значения Fo расчет выполнить затруднительно. Удобнее рассматривать
стержень как полуограниченное тело или как пластину меньшей толщины. В первом случае
надо пользоваться задачей № 2, во втором, по-прежнему задачей № 22.
Вначале проведем расчет, приняв тело полуограниченным. Так как требуется найти тем-
от
пературу поверхности тела (х = 0), то величина критерия Fox = должна быть принята
достаточно большой. Примем, например, Fo* = 1000. Тогда
-i/ 0,055-0,167 о
х== V Ё5Г= V-----------1000— = 3’13-10 8 м«
т. е. практически х = 0 (поверхность). По графику 2-1 при Fox = 1000 находим 0= 34,6
и вычисляем искомую температуру:
, 4 I a Sx «о I 100 000-3,13.10*3 ooftOr
t = h + в = 12 + 34,6--------------™------= 228 C.
A OU
Этот же результат должен получиться, если воспользоваться задачей № 22, но принять
меньшую, чем 2,5 м, толщину пластины, но не менее h Т/ , где FonP— значение кри-
Г гОпр
терия Фурье, при котором влияние внешнего источника на поверхности х — 0 еще не сказы-
вается на противоположной поверхности х = h. По графику 22-1 находим Fonp = 0,1 и вы-
, т/ 0,055-0,167 лоло
числяем I/ —-—g-p----------^0,302 м.
Примем h — 0,4 м. Тогда Fo = = 0,057.
па 0,16
По графику 22-1 при q — 0 находим 0 = 0,27 и вычисляем температуру
t = tn + в = 12 + 0,27 100^9'0,4 = 228°С.
А Ом
Б. Стержни. Следует иметь в виду, что все решения для пластин и
полуограниченного тела полностью приложимы к задачам со стержнями
ограниченной длины, имеющими хорошую теплоизоляцию боковой поверх-
ности. Это относится к стержням любого профиля, одинакового по длине.
Так, цилиндр или двутавровая балка с теплоизолированной боковой по-
верхностью должны рассматриваться как пластина, толщина которой равна
длине цилиндра (балки). На поверхностях пластины граничные условия
должны быть те же, что и на торцевых поверхностях цилиндра (балки).
В. Изогнутые тела. Методика расчетов для плоских пластин, прямо-
линейных цилиндров и стержней может быть распространена и на случай
изогнутых пластин, цилиндров и стержней. В качестве изогнутых пластин
можно рассматривать не только изогнутые листы, но в ряде случаев и полые
25
цилиндры, и шары. Нужно только, чтобы кривизна была не слишком боль-
шой, а именно, чтобы отношение толщины пластины (диаметра цилиндра,
толщины стержня) к радиусу кривизны ее поверхности (оси цилиндра,
стержня) было бы не более 0,1.
Г. Тела ограниченных размеров. Обычно пластина имеет ограниченную
длину и ширину, а цилиндр—ограниченную длину. Вследствие этого нужно
учитывать дополнительное влияние торцевых поверхностей. Этим влиянием
можно пренебречь, если подлежащие расчету точки удалены в глубь тела
на расстояние, равное не менее чем 4—5Л (или R). В иных случаях надо
воспользоваться методами расчета пластин и цилиндров ограниченных
размеров, данными в § IV-8.
Д. О скорости охлаждения (нагревания) тел различной формы. Во мно-
гих книгах приводится график с кривыми зависимости температурного
параметра от критерия Fo для тел различной формы. Согласно этому гра-
фику, быстрее всего охлаждается шар, медленнее—цилиндр с длиной, равной
диаметру, затем следуют куб, неограниченные цилиндры, стержень квадрат-
ного сечения и, наконец, плоская стенка. Так как шар, как известно, яв-
ляется телом с минимальной поверхностью на единицу объема, то полу-
чается, будто чем меньше поверхность теплообмена, тем быстрее идет охла-
ждение тела, что, конечно, неверно. Напротив, чем больше поверхность
на единицу объема, тем быстрее идет охлаждение. Численно данные графика
верны, но их нельзя сопоставлять, так как значения относятся к телам не
только разной формы, но и разного объема. Так, если взять за основу ско-
рость охлаждения шара и рассматривать скорость охлаждения куба, то для
того чтобы объемы были одинаковыми, надо принимать куб, у которого
RK = = 0,8057?ш. Следовательно, если приведение не сделано,
то на графике сопоставимо охлаждение шара при Fo = Fox с охлаждением
куба при Fo = 0,65Foi.
Перестроенный таким образом график охлаждения куба показывает,
что скорость его охлаждения существенно выше, чем у шара. Это не удиви-
тельно, так как при равных объемах отношение поверхности теплообмена
у куба на 23% больше, чем у шара:
FK -.Fm = 247?к: = 24 (0,805/?ш)2: 4л/^ = 1,23.
1-3. ТЕПЛОВЫЕ РЕЖИМЫ
Перечислим и напомним суть основных тепловых режимов.
Неустановившийся тепловой режим — температура тела меняется во
времени. Неустановившийся режим бывает:
1) иррегулярным — температурная функция является сложной отно-
сительно времени и координат и существенно зависит от начального распре-
деления температуры;
2) регулярным — температурная функция относительно простая и мало
зависит от начального распределения температуры;
3) квазиустановившимся — значения температурной функции периоди-
чески повторяются или остаются неизменными относительно движущегося
источника тепла.
Установившийся тепловой режим — температура тела во времени
неизменна. Установившийся режим бывает:
1) равновесным — температура тела во всех точках постоянна и оди-
накова (на границах тела нет теплообмена, т. е. или имеется идеальная
теплоизоляция, или произошло полное выравнивание температуры тела
с температурой окружающей среды);
2) неравновесным — температура в каждой точке тела постоянна, но
неодинакова (алгебраическая сумма тепловых потоков на границах тела
равна нулю).
26
В начальный период нагрева (охлаждения) тепловой режим обычно
является неустановившимся иррегулярным. Затем наступает регулярный
режим. Вид конечного теплового режима зависит от ГУ (внешних источни-
ков тепла).
Если на границах тела расположены источники тепла типа It (темпе-
ратура среды или поверхности тела), значения которых одинаковы и по-
стоянны или имеют конечный предел, то конечным режимом является уста-
новившийся равновесный режим (задачи № 16, 17, 26 и др.).
Если на границах тела расположены постоянные, но различные по
величине источники типа It (температура среды или поверхности тела),
или на одной из границ действуют постоянные источники типа ls (тепловой
поток), то конечным режимом является установившийся неравновесный
режим (задачи № 23, 27 и др.).
Если на границах тела действуют периодически изменяющиеся по
величине или движущиеся постоянные источники типа It или Is, то конеч-
ным режимом является квазиустановившийся режим (задачи № 39, 40,
70, 71, 72).
Если на границах тела действуют переменные по величине и не имею-
щие конечного предела источники типа It или любые (кроме стремящихся
к нулю, периодических и движущихся) источники типа Is, то конечным
тепловым режимом является регулярный режим. Таким образом, оказывается,
что в зависимости от ГУ регулярный режим может быть либо конечным
режимом, либо предшествовать установившемуся и квазиустановившемуся
режимам. До настоящего времени изучено весьма ограниченное число регу-
лярных режимов; некоторые сведения о них приведены ниже.
Регулярный режим I рода всегда предшествует установившемуся ре-
жиму — задачи № 16, 17, 23, 26, 27 и др. Решение таких задач выражается
рядом:
0= S = S ЛпФ(р„т]) exp (— gnFo), [(1-25)
п=1 п—1
где Аа и |лп — величины, зависящие в общем случае от Bi. При регуляр-
ном режиме все члены ряда становятся малыми по сравнению с каким-либо
одним членом и ими можно пренебречь. Для тел классической формы (пла-
стина, цилиндр, шар) таким членом является первый член (п = 1).
Основное свойство температурного поля при регулярном режиме I рода
состоит в том, что температура в каждой точке тела изменяется во времени
экспоненциально, причем отношение скорости изменения температуры в точке
к перепаду температур между данной точкой и любой точкой тела (или
температурой среды) есть величина постоянная. Например, для задачи № 16:
dt
— = = const. ;(1.26)
Распределение и ход температуры в данном случае выражаются фор-
мулой:
t = tn + (t0—tn) -J-COS (1 — T])]rexp(— Fo). (1-27)
Для тел различной формы темп охлаждения равен
где Rv = V/F, а критерий Кондратьева
Кп = - = Biv .
у В{2 + l,437Biv+ 1
27
Если Biy < 0,1 (ГУ — III рода, «тонкое» тело), то Kn Biv и
а
т = —5- .
cpRy
Если Biy > 50 (ГУ — I рода), то
а
т = Т’
где Л’ — коэффициент формы тела, равный у пластины j , У цилиндра
(2Й05-) ’У шаРа(^-) •
Регулярный режим II рода возникает, когда на границе тела действуют
источники тепла типа (кроме периодических и движущихся) или источ-
ники тепла типа It, потенциал которых изменяется по степенному закону
(задачи № 22, 30, 44, 53 и др.)- Указанный режим является конечным; после
него не возникает ни установившегося, ни квазиустановившегося режима.
Решение задач с такими граничными условиями может быть записано
в виде суммы двух функций:
@ = /1(Fo,t])4-/2(Fo, -п).
(1-28)
где представляет собой степенной многочлен, a f2 — ряд, причем при
регулярном режиме ряд f2 становится малым относительно f±.
Основное свойство температурного поля при регулярном режиме II рода
состоит в том, что температура по координате и во времени изменяется по
степенному закону, а разность между скоростью изменения температуры
в данной точке () и скоростью изменения средней температуры тела
(dt \
не зависит от времени. Например, для задачи № 33 эта разность
-37-1 —= — Т]+4") const, (1-29)
dr Ifot) дх Fo % х 2 1 3 )
а распределение и ход температуры выражаются формулой
Для задачи №22 условие (1-29) выражается еще проще—указанная
разность равна нулю, а это приводит к тому, что температура по толщине
тела изменяется параболически, а во времени —^линейно и градиент
температуры во всех точках от времени не зависит. Общим для регулярных
режимов обоих типов! как показал А. В. Лыков, является постоянство
во времени отношения интенсивности теплового потока внутри тела к интен-
сивности на поверхности.
Время, которое требуется для того, чтобы наступил тот или иной режим,
зависит от начального распределения температуры. Если, например, началь-
ное распределение температуры близко или уже соответствует регулярному
режиму, то ход температуры начинается с этого режима, минуя иррегуляр-
ный режим. Такова, например, задача № 20, в которой НУ выражается
косинусоидой. Если начальное распределение температуры близко к квази-
установившемуся режиму, то дальнейший ход температуры идет только
в этом конечном режиме. Напротив, если начальное условие по своему харак-
теру очень сильно отличается от того, какое должно иметь место при конеч-
ном режиме, то время наступления последнего увеличивается.
Практически важно уметь найти время наступления регулярных режи-
мов, так как использование их закономерностей облегчает ведение расчетов,
28
создает разнообразные возможности экспериментального определения теп-
лофизических характеристик материалов, контроля за тепловым состоянием
тела и т. п.
Для характеристики степени регуляризации температурного поля
служит величина 8, называемая коэффициентом иррегулярности, Коэффи-
Таблица 1-2
Указатель задач, для которых вычислены
коэффициенты иррегулярности
№ задачи
в части второй
Род
регулярного
режима
Схема вычисления е, %
16, 23, 26, 32,
41, 43, 50, 52
I
22, 33, 38, 42,
44, 45, 51, 53,
54
оо
2
л=2
со
п—1
100
циент иррегулярности показывает, на сколько процентов в данный момент
времени (т. е. при данном значении Fo) распределение температуры, вычис-
ленное по формулам регулярного режима, отличается от истинного.
В табл. 1-2 дан перечень задач, для которых вычислены значения 8. Графики
для определения 8 приведены во второй части книги вместе с другими рас-
четными графиками соответствующих задач.
1-4. ПОЛЬЗОВАНИЕ РАСЧЕТНЫМИ ГРАФИКАМИ
1. О ФИЗИЧЕСКОМ СМЫСЛЕ ПРИМЕНЯЕМЫХ КРИТЕРИЕВ
И ПАРАМЕТРОВ
Расчетные графики, приведенные во второй части книги, позволяют
определять температуру, среднюю температуру и градиент температуры
в зависимости от времени, координаты, коэффициента температуропровод-
ности и других независимых переменных, входящих в условия однозначности.
Указанные независимые и зависимые переменные сгруппированы в виде
безразмерных критериев и параметров (Fo, т), Bi, 0, 0, G и т. д.). Таким
образом количество переменных сведено к минимуму и в расчетах можно
пользоваться любой системой единиц измерения. Укажем на некоторые
свойства безразмерных переменных, знание которых полезно при анализе
графиков и выполнении по ним расчетов.
Рассмотрим вначале тела, имеющие характерный размер й; в неограни-
ченной пластине — это толщина пластины, в цилиндре и шаре — радиус
и т. п.
В задачах с ГУ I и II рода зависимые безразмерные переменные 0,
0 и G являются функциями двух независимых переменных: Fo и т| (задачи
№ 16, 17 и др.).
Комплекс Fo = называется числом (критерием) Фурье, В нем
сопоставлены текущее время т и группа величин й2/а, имеющая размерность
времени и характеризующая скорость перестройки температурного поля
в теле. Очевидно, что для заданного тела, т. е. при фиксированных значе-
ниях Ли а, величина Fo изменяется пропорционально т и является безраз-
мерной формой текущего времени.
29
Если по условию задачи -адано какое-либо характерное время, напри-
мер период колебаний температуры поверхности тела т0, то комплекс Fo0 =
= приобретает иной смысл: в нем сопоставлены скорость изменения
внешней обстановки (ГУ) и скорость развития процесса внутри тела, обус-
ловленная его свойствами (h и а). Относительное время в таких задачах
представлено в виде Н = — (задачи №9, 10, 11).
то
Отношение т| = является безразмерной координатой. Если рас-
сматриваемое тело имеет форму пластины, цилиндра или шара, то величина г|
изменяется в пределах от т] = 0 до т] = 1. Если рассматривается неограни-
ченное тело с полостью заданных размеров, то т) изменяется от 1 до сю (задачи
№ 59, 60 и др.).
В задачах с ГУ III рода (задачи № 26, 27 и др.), [кроме Fo и т>, добав-
ляется еще одна независимая переменная — критерии Био Bi =-у.
Физический смысл критерия Bi, а также различные возможные упрощения
задач, вытекающие из анализа численных значений Bi, были рассмотрены
ранее в § 1-2.
Рассмотрим теперь зависимую безразмерную переменную — параметр
температуры 0.
В задачах с ГУ I и III рода, независящими от времени, температурный
параметр составлен из величин, имеющих размерность температуры. Напри-
мер, при постоянной температуре поверхности тела или среды и при одинако-
вой начальной температуре (задачи № 16, 26 и др.) он имеет вид:
гч t — tn t — &
0 = ИЛИ 0 = -7---X-
t0 ~ tn *0 —• V
и называется относительной (избыточной) температурой. Если tn = 0 (или
ft = 0), то очевидно, что параметр 0 представляет собой отношение темпе-
ратуры в данной точке в данный момент времени к начальной температуре
тела. Величина 0 изменяется от 0 = 1 при Fo = 0 до 0 = 0 при Fo = оо.
Если начальная температура неодинакова, причем между поверхностями
тела перепад температуры равен Lt (задача № 17, 18 и др.), то темпера-
турный параметр имеет вид:
0=
At
и представляет собой отношение перепада температур между данной точкой
и поверхностью тела в данный момент времени к начальному перепаду
температур между поверхностями тела. В начальный момент времени (Fo —
= 0) величина 0 соответствует (подобна) распределению начальной темпе-
ратуры; например, в задачах № 17 и 18 0 изменяется линейно. При
Fo = оо величина 0 = 0.
Если температура поверхности тела или среды зависит от времени,
то параметр температуры 0 принимает другой вид. Например, при линей-
ном изменении во времени температуры поверхности тела (температуры
среды) 0 записывается в виде
и может рассматриваться как отношение изменения температуры в данной
точке к изменению температуры поверхности тела (температуры среды)
в данный момент времени.
Температурный параметр 0 в задачах с ГУ II рода типа S = S0Tn
(задачи № 22, 33, 34 и др.) представляет собой отношение приращения тем-
30
пературы в данной точке в данный момент времени к приращению средней
температуры тела в момент времени, равный
х* = 4 (1-31)
Покажем это на примере задачи № 22, в которой температурный пара-
метр имеет вид: 0 = 1 (/— t0)/(Sh). Так как по условию задачи S = const,
т. е. п = 0, то т* = №!а. Приращение средней температуры в любой момент
времени равно t— /0 = 5т/(срЛ), в момент времени т* соответственно
_ s Л2 _ Sh
t0 -
Следовательно, температурный параметр можно записать в виде
А =
Sh fT« — /0 '
X
В задаче № 33 с линейным изменением во времени теплового потока
S = 5вт имеем п = 1 и, следовательно, приращение средней температуры
/— h2
должно определяться к моменту времени т* = у 2 — . Действительно,
приращение средней температуры равно
7__/ _ 1 [ с тят — S0t2
f cph JdoTdT- 2срЛ ’
о
Следовательно, к моменту времени т* приращение средней температуры
7 _/ _ S0(t*)2 _
т* 0 2срЛ 2cph а2 Ха
и температурный параметр имеет вид:
А == ^о
Ка
Практически температурный параметр в задачах с ГУ II рода прямо
пропорционален изменению температуры в данной точке к данному моменту
времени.
Перейдем теперь к рассмотрению полуограниченного и неограничен-
ного тел. В данном случае размер тела оказывается во много раз больше
размеров области, охваченной процессом, и вопрос о влиянии геометриче-
ских свойств тела теряет смысл. Прежде всего это выражается в том, что
относительная координата т] выпадает из рассмотрения, в результате чего
количество независимых переменных уменьшается. Во все другие безраз-
мерные переменные вместо характерного размера тела h входит текущая
координата х (или г). Например, число Фурье записывается в виде:
тт _ дт ‘
•
В задачах с ГУ I и II родов (задачи № 1, 2 и др.) Fox является един-
ственной независимой переменной. В задачах с ГУ III рода добавляется
еще критерий Био Bix =
Физический смысл безразмерных переменных сохраняется. Однако
необходимо учитывать, что в данном случае в них входит текущая коорди-
ната х. Поэтому число Фурье, например, является относительной формой
текущего времени лишь при фиксированном значении х. Кроме того, ком-
плекс 1/]/^Fox = x/]/~at может рассматриваться как относительная форма
текущей координаты при фиксированном значении т.
31
2. РАСЧЕТ СРЕДНЕЙ ТЕМПЕРАТУРЫ, ГРАДИЕНТА ТЕМПЕРАТУРЫ
И ДРУГИХ ХАРАКТЕРИСТИК ТЕПЛОВОГО РЕЖИМА
Для большинства задач даны расчетные графики трех параметров:
температуры 0, средней температуры 0 и градиента температуры G. Но гра-
фики 0 и G даны не для всех задач. Кроме того, существуют и другие харак-
теристики теплового состояния тела, которые иногда надо знать и для которых
расчетных графиков нет, как-то: теплосодержание, скорость изменения
средней температуры, скорость изменения теплосодержания, интенсивность
теплового потока, скорость изменения температуры во времени. Чтобы
частично восполнить этот пробел, покажем взаимосвязь между различными
характеристиками теплового состояния тела и на этой основе возможность
расчета этих неизвестных характеристик по тем, для которых даны расчет-
ные графики. Температура является основной характеристикой, а поэтому
остальные характеристики будем прежде всего находить, исходя из нее.
А. Средняя температура тела
t = -±jtdV, (1-32)
v
где V — объем всего тела или его части. Практическое пользование зави-
симостью (1-32) покажем на примере.
Пример. Дано. Температурное поле в стенке определяется начальным и граничными
условиями задачи № 16 (значения Zo, /п, h и теплофизические характеристики материала
стенки известны).
Найти среднюю температуру всей стенки и в слое Aq = q2 — 41 ПРИ значении критерия
Fo = 0,3.
Решение. Подставим в (1-32) выражение для температуры t = tn + 0 (t0 — tn):
x=h T|=l
t = 4 J tfn + 0(*o-Q]d* = *n + (*o-Q J edn = <n+Wo-Q.
x=0 4=0
По графику 16-1 находим значение площади (интеграла), заключенной между темпера-
турной кривой, осью абсцисс и вертикалью, проведенной через q = 1, т. е. 0 0,37.
Для данной задачи имеется расчётный график средней температуры (график 16-2).
По нему для Fo = 0,3 можно было бы прямо найти это же значение 0.
Для определения средней температуры в слое Aq = q2 — qi расчетных графиков нет
и она может быть найдена только по графикам 0 с использованием выражения (1-32).
Пусть Th = 0,2 и f)a = 0,5. Для слоя стенки уравнение (1-32) примет вид:
41 &
* = + (^о — | = tn + О (tQ — tn). fl-33)
41
Для определения интеграла надо найти площадь, заключенную между температурной
кривой, осью абсцисс и вертикалями = 0,2 И1)2= 0,5. По графику 16-1 находим, что зна-
чение интеграла равно примерно 0 0,32.
Такие же зависимости, как (1-32) и (1-33), позволяющие найти среднюю
температуру по расчетным графикам температурного параметра, могут
быть легко написаны и для всех других задач.
Б. Теплосодержание тесно связано со средней температурой и равно:
Е — cpVt = ср J tdV.
v
(1-34)
Если, например, использовать эту формулу для определения тепло-
содержания части пластины для условий задачи № 16, то получим следующую
зависимость:
41=1
I 0dT]
41=0
Е = cphBL tn + (t0 —1„)
где В и L — ширина и длина части бесконечной пластины,
32
Заметим, что численные значения относительной средней температуры
и относительного теплосодержания равны. Параметр средней температуры
можно написать в виде
t - tQ Е - Eq
0 = —-----5-- = р----ИЛИ
ZT->oo — Z0 £д:-*“ £°
7 ___7 р _________р
Q * Т-> ОО с _ ^Т->оо
*Т->со “ ^0 “ Е0
Первое выражение показывает, насколько уже изменилось теплосодер-
жание тела к данному моменту времени («пройденный путь»), второе — на-
сколько оно изменится за промежуток времени от данного момента до момента
наступления установившегося режима («оставшаяся часть пути»).
В. Изменение теплосодержания А£ может быть вычислено как раз-
ность теплосодержаний в два различных момента времени, каждое из которых
находится по формуле (1-34). Эта же величина может быть вычислена, если
известно изменение температуры А/ в каждой-точке тела за определенный
промежуток времени (абсолютные значения температуры могут быть и
неизвестны):
ДЕ = ср j MdV (1-35)
V
или
А£ = cpVA/. (1-36)
И, наконец, изменение теплосодержания может быть определено как
количество тепла, поступившее за данное время в тело или в слой тела через
его границы. Для этого надо просуммировать плотность теплового потока
по поверхности тела F на каждый момент времени, а затем просуммировать
результат во времени:
т2
ДЕ = % j j(1-37)
(здесь п — направление нормали к поверхности тела).
При наличии внутренних источников тепла надо еще прибавить
AE=j[qvdVd-r. (1-38)
т, V
Поясним сказанное выше на примере.
Пример. Дано. Температурное поле в стенке определяется краевыми условиями задачи
№ 16.
Найти изменение теплосодержания стенки за время от Fo = 0,3 до Fo = 0,6.
Решение. По графику 16-2 находим, что параметр средней температуры будет при Fo =
= 0,3 0 = 0,38; при Fo =0,6 0 = 0,18.
Пользуясь формулами (1-33) и (1-36), вычисляем изменение теплосодержания:
ДЕ = cphBL (Zo — *п) (0,38 — 0,18).
Близкий результат можно получить, если на расчетном графике 16-1 найти значение
площади, заключенной между температурными кривыми при Fo=0,3 и Fo = 0,6; Д0 = 0,19.
Сделаем тот же расчет, но по формуле (1-37), которой можно придать следующий вид:
Fo2
BE = cphBL(ta — tn) f -^-1 dFo. (1-39)
J cnf) |т)=0
FOi
, По графику 16-1 находим, что при q = 0 тангенсы угла наклона кривых, соответствую-
щих Fo = 0,3 и Fo = 0,6, равны:
при Fo = 0,3 = 1, при Fo = 0,6 = 0,4.
r dq dq
3 Заказ 945
33
В среднем за это время
дВ __ 1 + 0,4 _
дт) ““ 2
0,7. Следовательно, значение интеграла в фор-
муле (1-39) равно 0,7 (0,6—0,3) = 0,21, что близко (в пределах точности графиков) к получен-
ному ранее значению Д0 = 0,19.
В выражении (1-39) отсутствует составляющая теплового потока на
поверхности т) = 1; это объясняется тем, что градиент температуры здесь
равен нулю (по условию задачи). В более общем случае для определения
изменения теплосодержания слоя вместо (1-39) надо писать:
4£ = cpftBL((o-<J J
Foj
I \ , г
+ ~5— ) d Fo.
d-40)
Г. Градиент температуры и можно найти по температурным
графикам. Для этого вычисляют и результат подставляют в выражение
для градиента температуры. Например, для задачи № 16:
Для задач с полуограниченным телом по графикам можно найти
и результат также подставить в выражение для градиента температуры.
Например, для задачи № 1: »
-^- = (^0-^)-^ = - (fo-U-7-^з-; (1-42)
для задачи № 2:
4 = 4-^ = ^-(^+е)—4(2Но^+е). (1-43)
Д. Скорость изменения температуры во времени также может
быть вычислена по графикам температур. Для этого по графику 0 находят
дв
значения , которые затем надо подставить в соответствующее расчет-
ное уравнение. Приведем пример.
Пример. Дано. Температурное поле в пластине определяется краевыми условиями за-
дачи № 17, причем а = 0,05 м2/ч, h = 1,2 м, AZ = 170° С.
Найти скорость изменения температуры во времени на глубине 0,3 м через 10 ч.
Решение. Вычисляем:
Ро=-^ = -9Т4Г- = 0’347:
х 0,3 п о-
Т' = -Г = тт=0’25'
По графику 17-1 определяем значения 0 при = 0,25 и Fo = 0,3 и Fo = 0,4, а именно:
0 = 0,14 и 0 = 0,12. Следовательно,=—0,20.
Расчетное уравнение имеет вид:
di______________________а де .
ди ~ h* дРо **
Вычисляем:
А =--------.0,20-170 = — 1,2 град/ч.
дх 1,44
34
Е. Скорость изменения средней температуры может быть определена
двумя путями. Можно просуммировать по всему объему тела скорость изме-
нения температуры:
dt
dx
(1-44)
Тот же результат можно получить, если учесть поступление тепла через
поверхность тела от внешних источников тепла и работу всех внутренних
источников тепла:
dt = J_
dx “ cpV
fk-^-dF+jqvdV-l-jqFdF+j qLdb
F V F L
(1-45)
Ж- Связи между параметрами температуры, средней температуры и
градиента температуры в различных задачах многообразны. Знание этих
связей значительно увеличивает возможности анализа явлений и произ-
водства расчетов.
В § IV-2, п. 3 указаны связи в задачах для полуограниченного тела.
Связи в задачах с точечным, линейным и плоским источниками тепла при-
ведены в «Дополнительных сведениях» к задачам № 65—69 (см. часть вто-
рую).
Кроме того, в задачах № 16, 17, 20—22, 26, 30, 32, 33, 35, 36, 38, 41—
45, 50—54 при Fo 5s 0,5 температура в точке с координатой т] = л* равна
средней температуре. Относительная координата i]k равна: для неограни-
ченной пластины т]* — 0,423; для неограниченного цилиндра r\k = 0,707;
для шара T]fe = 0,775.
Глава вторая
ПРИНЦИП СУПЕРПОЗИЦИИ
П-1. ВВЕДЕНИЕ
Во второй части книги приведены решения 78 задач. Это чрезвычайно
мало относительно числа задач, которые практически встречаются. В то же
время это совсем не так мало, если, использовав ряд правил теории тепло-
проводности, положить эти задачи в основу решения других задач. Ниже
показано, как это делать, для чего с учебно-методической целью решается
много новых задач. Форма изложения и порядок расположения материала
подчинены главной цели — йомочь читателю освоить методику решения
задач, что позволит ему в дальнейшем находить новые решения самостоя-
тельно. Методика решения новых задач относительно простая, но, чтобы
овладеть ею, требуется не только помнить некоторые общие законы теории
теплопроводности, но и ясно понимать ряд правил и приемов, вытекающих
из этих законов; нужно также научиться гибко применять эти правила,
для чего необходима небольшая практика.
Следует подчеркнуть, что каждое полученное таким образом решенйе
представляет собой аналитическое решение новой задачи и, что особенно
существенно, расчеты по этому решению могут быть выполнены с помощью
имеющихся в книге расчетных графиков.
В ряде случаев к решению сложных задач будут применены принципы
эквивалентности и взаимности, суть которых изложена в главе III.
Но краеугольным камнем излагаемого метода решения задач служит
принцип суперпозиции (наложения). Поэтому дальнейшее изложение начнем
с рассмотрения принципа суперпозиции, а затем, в главе IV, исходя из него,
шаг за шагом покажем, как решать новые задачи с помощью имеющихся
решений.
П-2. ПРИНЦИП ЭЛЕМЕНТАРНОЙ СУПЕРПОЗИЦИИ (ПЭС)]
Практическая сторона принципа элементарной суперпозиции (ПЭС)
может быть сформулирована следующим образом.
Если действие отдельных источников тепла, расположенных на границе
тела или внутри него, не зависит друг от друга, то можно рассматривать
действие каждого источника отдельно, а конечный тепловой эффект находить,
складывая алгебраически действия всех источников. Кроме того, можно и
действие отдельного источника определять как сумму действий любой комби-
нации источников, расположенных на том же месте и имеющих в сумме ту же
температуру или интенсивность, что и исходный источник.
Использование этого принципа открывает большие возможности, но он,
к сожалению, не универсален. В данной выше формулировке приложение
принципа суперпозиции, какпоказанно ниже, ограничено. В связи с простотой
его применения он может быть назван принципом элементарной1 суперпо-
зиции (ПЭС). е
36
Посмотрим, в каких случаях можно пользоваться ПЭС, а в каких нельзя,
Распространение тепла в твердых телах описывается, как известно,
дифференциальным уравнением Фурье, в которое входят независимые пере-
менные (аргументы) — врёмя и координаты и зависимая переменная (функ-
ция) — температура. Кроме того, в уравнение Фурье еще входят: объемная
теплоемкость с, коэффициент теплопроводности %, интенсивность объемно-
распределенных источников тепла qv. Значения последних трех величин
могут быть постоянными или зависящими от координат, времени и темпе-
ратуры тела.
ПЭС применим во всех случаях, когда граничные условия, внутренние
источники и теплофизические характеристики не зависят от температуры
тела, т. е. не только когда ГУ, ср, Л, а и qv постоянны, но также когда они
зависят от координат или от времени, или от координат и времени одновре-
менно.
Напротив, ПЭС неприменим в случае, если какие-либо условия решения
задачи (условия однозначности) существенно зависят от температуры. Сле-
довательно, ПЭС неприменим, когда в рассматриваемом диапазоне изменения
температуры не могут быть приняты не зависящими от температуры следую-
щие данные:
1) теплофизические характеристики тела Z и ср (поэтому, в частности,
отпадают все задачи с изменением агрегатного состояния);
2) интенсивность объемно-распределенных источников тепла;
3) интенсивность сосредоточенных источников тепла внутри тела;
4) интенсивность или температура источников тепла у поверхности
тела;
5) условия теплообмена на границе тела (прежде всего коэффициент
теплоотдачи а);
6) геометрические размеры тела (например, в силу температурного
расширения).
Важно понять, почему в перечисленных случаях нельзя непосредственно
складывать действие отдельных источников. Обычно в таких случаях гово-
рят, что дифференциальное уравнение Фурье становится нелинейным.
Поясним, что это значит, хотя обычно это считается само собой понятным,
не поясняется и поэтому зачастую остается непонятным.
Возьмем пример из механики. Рассмотрим связь между деформацией
пружины А/ й приложенной силой Р.
Если зависимость между силой (аргументом) и деформацией (функцией)
прямолинейная, то можно утверждать, что когда сила Рг вызывает дефор-
мацию AZj, а сила Р2 — деформацию Д/2, то сила Рг + Р2 вызывает дефор-
мацию A/i + А/2. Это означает, что приращение деформации зависит лишь
от приращения силы и не зависит от того, нагружена ли пружина или нет.
Здесь ПЭС приложим.
Если, напротив, зависимость &1 = f (Р) не прямолинейна, то очевидно,
что результат действия силы Р = Рг + Р2 вовсе не равен сумме действий Р±
и Р2 в отдельности, так как деформация, вызванная приложением силы Р2»
зависит от того, действует ли уже или нет сила В этом случае ПЭС при-
менять нельзя .из-за физико-механических свойств пружины — они нели-
нейны.
ПЭС нельзя также применять, если значения самих сил не являются
независимыми переменными, а зависят друг от друга. Так, например, возмо-
жен случай, когда приложение силы Рг приводит к изменению величины
силы Р2 и наоборот, причем природа сил может быть любой — механиче-
ской, электромагнитной, гидростатической и т. д. Поэтому здесь нельзя
складывать результат действия Р2 при отсутствии Р19 так как при одновре-
менном действии сами эти силы будут иметь другие значения.
Таким же образом дело обстоит и при рассмотрении других физических
явлений — электрических, тепловых, гидродинамических и т. д. ПЭС здесь
неприменим, если соответствующие физические свойства среды — удельное
37
электрическое сопротивление, коэффициент теплопроводности, коэффициент
кинематической вязкости и другие являются функциями, соответственно,
силы тока, температуры, скорости движения жидкости. Неприменим также
ПЭС, если работа источников взаимосвязана или если результат действия
каждого источника, взятого в отдельности, не является линейным.
Сказанное позволяет более конкретно указать круг тепловых задач,
при решении которых закономерно применение ПЭС. Сюда, прежде всего,
относятся задачи с источниками типа Is, т. е. заданной интенсивности,
в частности задачи с граничными условиями II и V родов. В данном случае
интенсивность источников тепла обычно не зависит от работы других источ-
ников, какого бы рода они ни были.
ПЭС приложим к действию источников тепла типа It, т. е. заданной
температуры, пока они не оказываются в зоне влияния соседних источников
(любого рода). Поэтому, если тело подвержено действию нескольких источ-
ников, то в действии каждого источника типа It следует различать три
периода:
1- й период — зона действия источника является автономной и не
соприкасается с зонами действия других источников;
2- й период — зона действия рассматриваемого источника перехле-
стывается с зоной действия других источников;
3- й период — зона действия какого-либо источника доходит до
местоположения рассматриваемого источника типа It (напомним, что источ-
ник типа It может быть только внешним).
Во время 1-го периода температура в зоне действия источника опре-
деляется только одним источником.
Во время 2-го периода в зоне, которая перехлестывается, следует сум-
мировать действие всех источников.
Во время 3-го периода действие источников типа Ц не может быть учтено
по изложенному здесь ПЭС. Как надо поступать в этом случае — изложено
в следующем параграфе.
П-З. ПРИНЦИП СЛОЖНОЙ СУПЕРПОЗИЦИИ (ПСС)
Принцип сложной суперпозиции (ПСС) касается только действия источ-
ников типа It и может быть сформулирован следующим образом.
При определении действия источника тепла типа It надо принимать,
что все остальные источники типа Ц имеют температуру, равную нулю,
а источники типа Is бездействуют. В остальном справедливы все правила
ПЭС об алгебраическом сложении действия всех источников и о возможности
разложения каждого источника на элементы. Остается в силе и требование
о линейности всех условий однозначности.
Следует отметить, что нулевая температура у источников типа It вовсе
не означает, что они не работают.
Источники типа It располагаются лишь на границах тела, поэтому ПСС
должен применяться, когда сфера влияния какого-либо источника доходит
до границы тела, являющейся местоположением источника Ц.
Для уяснения сказанного рассмотрим подробнее процесс распростра-
нения тепла в пластине при постоянных ГУ I рода (задача № 16).
Пока Fo = 0,05 (см. график 16-1), действие температурных
источников на одной границе практически не достигает противоположной
границы, т. е. источники действуют независимо. Поэтому от начала про-
цесса до этого момента времени изменение температуры в любой точке пла-
стины может быть рассчитано как алгебраическая сумма изменений темпе-
ратуры под влиянием обоих источников (каждой границы). При расчетах
можно пользоваться произвольно решениями или для пластины, или для
полуорганического тела — результаты будут одинаковыми (задачи № 16
или № 1). В этом нетрудно убедиться на примере.
38
Пример. Дано. Пластина (а = 0,0032 м2/ч) толщиной h — 0,8 м имеет начальную тем-
пературу t0 = 0° С. В момент т = 0 на одной границе (х = 0) температура становится равной
4м = 25° С, на другой границе (х = h) — равной tn, 2 — 60° С. Таким образом, на каждой
границе действуют постоянные, но различные по величине источники типа //.
Найти температуру на глубине х = 0,3 м в момент времени т = 6 ч.
Решение. Выполним вначале расчет, пользуясь графиками для пластины при постоянной
температуре на одной из поверхностей и адиабатическом условии на другой (задача № 16).
Вычислим:
ах _ 0,0032-6
F(0,8)2 -о,оз.
Определим, достигает ли влияние каждого из источников до противоположной поверх-
ности q = 1 (т. е. до местоположения другого источника). По графику 16-1 находим, что при
Fo 0,05 и = 1 величина 0 = 1, т. е. влияние источников не достигает противоположной
поверхности пластины и можно пользоваться ПЭС.
Расстояния до расчетной точки от границ равны соответственно:
х 0,3 h — х 0,8 — 0,3 Л
h ~ 0,8 ~ 0,375 и ^2 — h - 0>8 — 0,625.
По графику 16-1 при данных значениях Fo, и г)2 находим соответственно 0Х = 0,88
и 02 = 0,99. Вычисляем искомую температуру:
/ = /1 + /2 = ^п,1(1-01) + /п,2(1-02) =
= 25 (1 — 0,88) + 60 (1 — 0,99) = 3,0 + 0,6 = 3,6° С.
Итак, источник 4т. i повышает температуру в расчетной точке на 3,0° С, источник 4т» 2—
еще на 0,6° С.
Решим ту же задачу, используя графики для полуогра-
ниченного тела при постоянной температуре на поверхности (задача № 1). Вычисляем
исходные аргументы:
для первого источника
Fox =
ах
~х*
0,0032-6
(0,3)2 "
0,213;
для второго источника
_ ат
Fo*“ (h — X)2
0,0032-6
(0,8 — 0,3)2
= 0,077.
По графику 1-1 находим значения температурного параметра 0Х — 0,88 и 02 = 0,99;
они оказались теми же, что и при расчете по графику для пластины, следовательно, и повы-
шение температуры будет таким же. Следует отметить, что пользование графиками для полу-
ограниченного тела дает более точные результаты и более удобно, так как здесь не два, а один
аргумент.
Посмотрим,
при большем зн
= 0,2.
Спервареш
стины. Согласно расчетному графику 16-1 при q = 1 имеем 0 = 0,77. Это означает,
что действие источника, находящегося на одной границе, доходит к этому времени до противо-
положной границы и изменяет здесь температуру на величину Д£ = tn (1 — 0). Так, источник
4ы = 25° С стремится повысить температуру противоположной границы (х = h) на Д?2 =
= 25 (1 — 0,77) = 5,75° С, а второй источник, в свою очередь, стремится повысить темпера-
туру поверхности х = 0 на Д£х = 60 (1 — 0,77) = 13,8° С (рис. П-1). Но температура на каж-
дой поверхности задана и меняться не должна. Поэтому приходится принимать, что источник
не только изменяет температуру на противоположной поверхности на величину Д/, но и одно-
временно вызывает (индуцирует) там новый температурный источник, равный по величине,
но противоположный по знаку (—Д/х = —13,8° С и —Д^2 = —5,75° С). Нередко это явление
представляют как отражение «температурной волны». Индуцированным источником и учиты-
вается то, что работа основного источника, находящегося на этой поверхности, частично подав-
лена действием другого источника, расположенного на другой поверхности.
Таким образом, в данном случае температура в пластине определяется уже как сумма
действия не двух, а четырех температурных источников, расположенных попарно на расстоя-
нии h друг от друга. Поэтому решение основной задачи представляет собой сумму решений
четырех задач — по числу источников тепла.
Вычисляем исходные аргументы:
для задач с источниками 4i, i и — Д£х
ат 0,0032-40 по х 0,3 n
Fo ~ h2 ~ (0,8)2. 0,2 И 11 ~ h ~ 0,8 — 0,37°’
к действуют температурные источники
„ ах 0,0032-40
н и и т, например при т = 40 ч. Тогда Fo = = —_— =
(0,8)2
задачу, пользуясь
графиками
для п л а -
к а
а ч е
и м
39
для задачи с источниками t„, 2 и —Д<2
_ ат h — x 0,8 — 0,3 _ _oR
Fo = -^=0,2 и п = _—= ^-—=0,625.
По графику 16-1 находим 0Х= 0,43 и 62 ~ 0,65. Вычисляем искомую температуру:
= ^1 +^з +^ = ^.1(1-01) 4" ^n.a(l~02)-A^i(l-01)-Afa(l-e2) =
= 25 (1 — 0,43) + 60 (1 — 0,65) — 13,8 (1 — 0,43) — 5,75 (1 — 0,65) =
= 14,24 4-21,00 — 7,87 — 2,01 =25,36° С.
Но источники —Д/х и —Д/2 вызывают, в свою очередь, новые источники на границах,
где находятся источники, их породившие. Теперь уже оказывается шесть источников: два ос-
новных, два индуцированных и еще два индуцированных последними.
Рис. П-1. Два способа решения задачи, в которой температурные источники взаимо-
действуют
Учтем действие этих новых источников (5-го и 6-го). В нашем примере источник —Д/х =
= —13,8° С вызывает на поверхности x~h источник, равный Д£4= Д^ (1—0) = 13,8х
Х(1—0,77) = 3,18° С, а индуцированный источник—Д£2=—5,75° С вызывает на поверх-
ности х = 0 новый источник Д/3 = Д^2 (1 — 0) = 5,75 (1 — 0,77) = 1,32° С.
Повышение температуры в расчетной точке за счет этой второй пары индуцированных
источников уже гораздо меньше и равно:
М = Д/3 (1 — 0Х) 4- Д^4 (1 — 02) = 3,18 (1 — 0,43) 4- 1,32 (1 — 0,65) = 1,81 4- 0,46 = 2,27° С,
а следовательно, уточненное значение температуры t = 25,36 4" 2,27 = 27,63° С.
40
Дальнейшее уточнение может быть получено, если учесть действие третьей пары инду-
цированных источников.
Решим теперь эту же задачу, пользуясь графиками для
полуограниченного тела при постоянной температуре на поверхности (задача
№ 1). Методика решения аналогична рассмотренной выше: надо учитывать действие заданных
(4ь 1 и /п.г) и индуцированных источников (±Д0- Источник /п. i индуцирует источник — Д/2>
который, в свою очередь, индуцирует источник Д/3 и т. д.; источник tn, 2 является причиной
возникновения источников — Д/х и Д£4 (рис. П-1).
Индуцированные источники расположены в полуограниченной области на расстоянии
х = h от основного источника. Исходным аргументом для определения величины индуцирован-
ных источников служит Fo = = 0,2. По графику 1-1 находим 0 = 0,887 и вычисляем
величину источников:
— Д^ = — 2 (1 — 0) = — 60 (1 — 0,887) = — 6,78°С,
— Д/2 = — £п, i (1 — 0) = — 25 (1 — 0,887) = — 2,83° С,
Д/3 = Д/2 (1 — 0) = 2,83 (1 — 0,887) = 0,32° С,
Д/4 = (1 — 0) = 6,78 (1 — 0,887) = 0,77° С.
Расстояние от источников /п, 1» — Д/i и Д£3 до расчетной точки равно хг = 0,3 м, от
источников Zn, 2, — Д/2 и Д^4 — равно х2 = 0,5 м. Вычисляем исходные аргументы:
0,0032-40 , ло ах 0,0032-40 А С1
----------= 1-42и (олр =0’51
г _ ах
х ~ xl ~ (0,3)2
и по графику 1-1 находим 0Х = 0,450 и 02= 0,684. Вычисляем искомую температуру:
t = ti + ^2 + + ^4 + h + ^6 = 1 (1 ®i) + ^п, 2 (1 — ^г) —
- Д/х (1 - 0Х) - Д/2 (1 - 02) + Д/3 (1 - 0Х) + Д/4 (1 - 02) =
= 25 (1 — 0,450) 4- 60 (1 — 0,684) — 6,78 (1 — 0,450) —
— 2,83 (1 — 0,684) + 0,32 (1 — 0,450) + 0,77 (1 — 0,684) = 28,51° С.
Как видим, расхождение между значениями температуры, вычисленной
с помощью задачи для пластины и полуограниченного тела, находится в пре-
делах точности графиков.
Итак, решение задачи распространения тепла в пластине с температур-
ными источниками на границах, действие которых взаимосвязано, может
быть получено суммированием решений для полуограниченного тела. Но
с увеличением времени (т. е. критерия Fo) число слагаемых, которые надо
учитывать, увеличивается и поэтому пользоваться методом суперпозиции
становится неудобно.
Обратим внимание на следующее обстоятельство: изменение температуры
в месте расположения температурного источника под влиянием температур-
ного источника на другой границе полностью компенсируется индуцируемым
источником — в сумме они равны нулю. Это позволяет вместо индуцирован-
ного источника принимать на этой границе температуру равной нулю. Отсюда
и возникает сформулированный в начале параграфа принцип сложной супер-
позиции, говорящий о том, что «при определении действия источника тепла
типа It надо принимать, что все остальные источники типа It имеют темпе-
ратуру, равную нулю».
А теперь посмотрим, что происходит, когда на одной поверхности пла-
стины по-прежнему действует температурный источник 1Ъ а на другой поверх-
ности — источник типа /5.
Прежде всего разберемся, как в этих условиях будет действовать источ-
ник типа It. Если пользоваться решением для полуограниченного тела, то
надо предположить, что этот источник индуцирует на противоположной
границе источник типа Is. Интенсивность индуцированного источника равна
по величине, но противоположна по знаку интенсивности теплового потока,
доходящего до этой границы от источника It. Возникновение (индуцирова-
ние) такого источника необходимо для того, чтобы не нарушить заданное там
граничное условие. Тепло от индуцированного источника Is распростра-
няется как в полуограниченном теле, причем на границе, где расположен
41
источник It9 источник /$, в свою очередь, индуцирует источник, но уже
типа который компенсирует здесь изменения температуры, т. е. сводит
их к нулю, приводя температуру к тому значению, которое задано граничным
условием.
Перейдем к рассмотрению работы источника Is. На противоположной
границе он индуцирует источник типа It, а тот, в свою очередь, индуцирует
на исходной поверхности источник типа Is и т. д.
Температура в любой точке пластины равна сумме действия двух основ-
ных и всех индуцированных источников, расположенных в полуограничен-
ном теле. Поэтому при малых Fo, пока нет индуцированных источников,
решение очень простое — оно равно сумме действия одного температурного
и одного теплового источников, каждый из которых находится на поверхности
полуограниченного тела.
Решение может быть получено и иным путем, а именно, как сумма
действий только двух основных источников в пластине; при определении
действия каждого из этих источников на противоположной границе прини-
мается нулевое значение температуры или теплового потока в зависимости
от типа действующего на этой границе источника. Учет действия каких-
либо внутренних источников, если они имеются, выполняется совершенно
так же — на всех границах принимаются нулевые условия. Действие каж-
дого внутреннего источника может быть учтено отдельно, и тогда принимают,
что остальные внутренние источники бездействуют.
Сказанное выше позволяет дать более общую формулировку принципа
сложной суперпозиции по сравнению с ранее сделанной: температура
в любой точке тела равна алгебраической сумме действий всех источников',
действие каждого источника должно определяться исходя из того, что все
остальные источники имеют нулевую температуру или нулевую интенсив-
ность.
Итак, область применения ПЭС охватывает случаи, когда действие
источника типа It не подавляется действием других источников или когда
действуют источники только типа /$.
Область применения ПСС — это случаи, в которых действие источников
типа It зависит от действия других источников.
Для пояснения сказанного рассмотрим следующий случай. В неогра-
ниченном теле с нулевым НУ параллельно друг другу заложены две трубы
малого диаметра. Если на поверхности каждой трубы задана интенсивность
теплового потока (в общем случае не одинаковая), то температура в любой
точке тела равна сумме температур, которые возникают от каждого источника
(трубы), причем действие этих источников независимо. Если же на поверх-
ности труб задана температура, то действие каждого источника зависит от
работы другого источника — ведь, очевидно, что если, например, на поверх-
ности каждой трубы задана температура 100° С, то, работая одновременно,
они все же не могут повысить температуру тела выше 100° С, хотя и каждый
источник в отдельности может поднять температуру до 100° С. Следовательно,
их действия не суммируются.
В заключение отметим, что качественная разница в суперпозиции источ-
ников типа It и приводит к тому, что решения задач для тел ограниченных
размеров при действии источников типа It имеют вид произведения решений
одноразмерных задач, а при действии источников типа Is — суммы решений
(см. § IV-8).
П-4. ОСНОВНОЕ ПРАВИЛО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
МЕТОДОМ СУПЕРПОЗИЦИИ
Сказанное выше показывает, что распространение тепла в твердом
теле может быть выражено как действие многих источников тепла. Так,
начальное тепловое состояние (начальное условие) выражается мгновенными
внутренними источниками тепла, а граничные условия — непрерывно дей-
42
ствующими внешними источниками тепла. Поэтому решение задач теплопро-
водности может быть сведено к рассмотрению распространения тепла от
источников.
Как же решать сложные задачи? Трудность их решения обычно возни-
кает от того, что НУ или ГУ являются сложными, на первый взгляд, иногда
даже запутанными. Метод суперпозиции позволяет привести решение каждой
такой задачи к решению нескольких более простых задач. При этом следует
руководствоваться' следующим правилом.
Решение задачи со сложными начальным или граничными условиями
может быть представлено в виде суммы решений других задач с любыми
другими НУ и ГУ, но алгебраическая сумма значений источников тепла,
т. е. НУ и ГУ, в этих задачах для каждой точки тела в любой момент вре-
мени, включая начальный, должна быть равна заданным значениям источников
тепла в исходной задаче.
П-5. СУПЕРПОЗИЦИЯ ПРИ СИММЕТРИЧНОМ
РАСПОЛОЖЕНИИ источников
Рассмотрим случаи, когда расположение источников тепла является
симметричным относительно какой-либо поверхности.
Для простоты рассмотрим сначала случаи симметрии относительно
плоскости в бесконечной области. Симметрия состоит в том, что каждому
источнику, находящемуся с одной стороны плоскости, соответствует другой
источник того же типа и той же величины, находящийся по другую сторону
плоскости на том же расстоянии от нее.
Напомним, что существует два рода симметрии. При первом роде сим-
метрии источники равны не только по величине, но и по знаку. При втором
роде симметрии источники равны по величине, но противоположны по знаку.
Сказанное относится к источникам обоих типов (It и /$), постоянным или
переменным во времени, Если действует несколько пар источников, то
зависимость от времени у каждой пары может быть индивидуальной.
При первом роде симметрии источники работают таким образом, что
плоскость симметрии оказывается адиабатической плоскостью — через нее
тепловой поток не проходит (рис. П-2, а). Это объясняется тем, что симме-
тричные точки тела находятся в одинаковых условиях и имеют поэтому
в каждый момент времени одинаковую температуру. Это справедливо также
и для пар точек, находящихся в непосредственной близости от плоскости
симметрии; следовательно, градиент температуры здесь равен нулю и тепло-
вой поток не возникает. Поэтому тепло не переходит из одной полубесконеч-
ной области в другую и в каждой из этих областей нагрев (охлаждение)
происходит только за счет работы источников, расположенных в них. Тем-
пература же на плоскости симметрии изменяется во времени и, если задача
не одноразмерная, в различных точках не одинакова.
При втором роде симметрии источники поддерживают на всей плоскости
симметрии одинаковую температуру, т. е. плоскость симметрии является
изотермической (рис. П-2, б). Это объясняется тем, что в каждой паре источ-
ников один источник нагревает плоскость симметрии наТстолько, на сколько
второй источник охлаждает ее.
В результате температура остается неизменной. Это справедливо и
тогда, когда действуют источники переменной во времени интенсивности
или подвижные источники. Если задача двух- или трехразмерная, то пло-
скость симметрии остается изотермической, так как суммарное действие
пары источников для любой ее точки равно нулю.
Через плоскость симметрии второго рода тепловой поток проходит,
причем он изменяется и, если задача не одноразмерная, его интенсивность
в различных точках не одинакова.
Таким образом, если удается обнаружить симметричное расположение
источников тепла, то можно при решении задачи рассматривать не все тело
43
и действие не всех источников, а лишь часть тела, заменив влияние других
частей тела и расположенных там источников изотермическими или адиаба-
тическими границами. Или, наоборот, можно при желании заменить изотер-
мические или адиабатические границы симметрично расположенными источ-
никами. При этом безразлично, что в действительности существует—сим-
метричные источники или соответствующие границы, но важно не впасть
в ошибку и не учесть и то, и другое вместе.
Рис. П-2. Примеры симметричного расположения источников:
а — симметрия первого рода, б — симметрия второго рода
Симметричное расположение источников тепла часто встречается и
в ограниченных телах.
Возьмем пластину. Если на границах одинаковые по величине, но про-
тивоположные по знаку ГУ, то средняя плоскость является изотермической.
Если же и знаки источников одинаковые, то средняя плоскость является
адиабатической. Из этого, в частности, вытекает, что все решения и расчет-
ные графики для задач с адиабатическим условием на одной из поверхностей
пластины полностью пригодны для задач с одинаковыми по величине и знаку
ГУ на обеих поверхностях пластины.
Источник может располагаться симметрично не только относительно
плоскости, но и относительно точки, прямой и т. д. Во всех этих случаях
достаточно исследовать одну часть тела, так как остальные части имеют тот же
(симметричный) тепловой режим.
Глава третья
ПРИНЦИПЫ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ И ВЗАИМНОСТИ
Ш-1. МЕТОД ФИЗИЧЕСКИХ ПРИНЦИПОВ
Применение различных общефизических принципов открывает широкие
возможности для расчета и анализа теплового режима твердых тел и стано-
вится качественно новым методом решения тепловых задач.
Настоящая книга в значительной мере направлена на разработку и
внедрение этого метода, который можно назвать методом физических прин-
ципов, или, короче, методом принципов.
Среди принципов, которые используются в книге, находятся принципы
суперпозиции, симметрии, эквивалентности и взаимности. Первые три прин-
ципа в теплотехнике уже давно применяются, хотя и неоправданно мало.
Принцип взаимности, насколько нам известно, при решении тепловых задач
пока вообще не использовался [56, 57].
III-2. ПРИНЦИП ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ
Суть принципа эквивалентности состоит в том, что замена одного из
условий однозначности, которыми определяется рассматриваемое явление,
другим условием однозначности, не приводит к изменению хода явления
ни в одной точке, охваченной данным явлением; замена приводит к тождеству
задач, а не к моделированию явления.
Принцип эквивалентности применяется в различных областях науки,
в частности и в электротехнике. Так, Л. Р. Нейман и К. С. Демирчян [53,
с. 137] пишут: «. . .для удобства расчета электрических цепей весьма полезно
производить замену источника э. д. с. эквивалентным источником тока или
выполнять обратную замену источника тока эквивалентным источником
э. д. с., . . .», и далее: «Источники э. д. с. и тока являются эквивалентными,
если они обладают одной и той же внешней характеристикой. . . Иными
словами, режим в приемнике не должен изменяться при замене источника
э. д. с. эквивалентным источником тока и наоборот».
Применительно к тепловым задачам принцип эквивалентности состоит
в том, что замена какого-либо условия однозначности не влияет на тепловой
режим рассматриваемого тела — ход температуры во всех точках остается
неизменным.
Принцип эквивалентности говорит о возможности эквивалентной замены
источников тепла и тепловых сопротивлений, а также теплофизических
характеристик, геометрической формы и размеров тела.
Напомним, что существует два типа источников тепла: It—источники
заданной температуры и Is — источники заданной интенсивности теплового
потока. Источники Is могут быть как внешние, так и внутренние. Источ-
ники lt бывают только внешними. Поэтому могут существовать следующие
эквивалентные замены:
45
внешние источники какого-либо одного типа (lt или Is) заменяются
внешними источниками другого типа;
внешние источники типа It и Is заменяются внутренними источниками
типа Is;
внутренние источники типа 7S заменяются внешними источниками
типа /( или /$.
Эквивалентная замена внутренних источников внутренними источниками
другого типа невозможна, так как внутренние источники могут быть только
одного типа — /s.
Замены могут быть полными или частичными, но во всех случаях сохра-
няется принцип эквивалентности — тепловой режим всего тела «не замечает»
изменений условий однозначности.
Все эквивалентные переходы (замены) обратимы. Например, если пока-
зана возможность замещения источника типа /s источником It, то тем самым
показана возможность и обратного перехода. Пусть у поверхности тела дей-
ствуют источники обоих типов и имеется температурное сопротивление
(а =j= оо), т. е. граничное условие имеет вид (1-9). Замена & и S эквивалент-
ными источниками в общем случае должна удовлетворять соотношению:
ad9KB + SeKB = a* + S; (Ш-1)
тогда вместо (1-9) имеем:
--|*_____— 5экв Ч” а ('О'экв -/*=4-о). (Ш"2)
Граничные условия (1-9) и (Ш-2) могут быть приведены к ГУ III рода.
Для этого надо принять S3KB = 0 и вычислять согласно (1-10). Напротив,
переход от ГУ III рода к ГУ II рода невозможен, так как нельзя полностью
исключить действие температурного источника. Действительно, если принять
Оэкв = 0, то это лишь означает, что температурный источник имеет нулевую
температуру (нулевой потенциал). Конвективный теплообмен сохранится.
Переход от ГУ I рода к ГУ II рода и наоборот возможен, если известна
зависимость tx=o = f (S) или зависимость S = q> (/х=о).
Для полубесконечного тела, когда f (S) является степенной функцией
времени
tx^ = bxm, (Ш-3)
переход от ГУ I рода к ГУ II рода элементарно прост:
S = (Ш-4)
где
k = Ь УЪср - /(т+!\ • (Ш-5)
г(”+4)
Примеры подобных эквивалентных замен даны^в § IV-2, п. 2.
Если на поверхности тела имеется жидкость и задано ГУ V рода, то
возможен переход к ГУ III рода. При этом теплоемкостное сопротивление С
заменяется температурным сопротивлением 81, а источник тепла заданной
интенсивности Is заменяется температурным источником It.
Помимо эквивалентных замен источников возможны эквивалентные
замены тепловых сопротивлений. Переход от теплового сопротивления
какого-либо типа к сопротивлению другого типа должен удовлетворять
условию: ht = hs, (Ш-6)
где hs = h’ , ° ф (Ш-7)
ht = — . 1 a (Ш-8)
46
Если имеется система из трех последовательных тепловых сопротивле-
ний — температурное, затем комбинированное (т. е. обычное тело) и, нако-
нец, теплоемкостное, то эквивалентное изменение любого из этих сопоставле-
ний должно удовлетворять постоянству суммы
4 + hs + = idem. (Ш-9)
Важно предостеречь от механического применения эквивалентных пере-
ходов (II1-6) и (II1-9). Примеры использования указанных переходов даны
в § IV-7, где решены задачи, в которых на поверхности тел имеется слой
жидкости.
III-3. ПРИНЦИП ВЗАИМНОСТИ
Учитывая важность и новизну применения принципа взаимности к зада-
чам теплопроводности, вопрос будет изложен подробно.
Принцип, взаимности был установлен Максвеллом в 1864 г. примени-
тельно к деформациям упругих тел и опубликован в его статье «О расчете
равновесия и жесткости рам» (92, с. 598]. Суть принципа может быть изло-
жена следующим образом (рис. Ш-1): «. . . во всякой линейной упругой си-
стеме при статическом ее нагружении перемещение 6ВА по направлению одной
&АВ~$вА
Рис. Ill-1. Проявление принципа взаимности при нагруже-
нии упругой балки
силы В, вызванное количественно равной ей другой силой Л, соответственно
равно перемещению по направлению второй силы, вызванному первой»
[75, с. 123]. В последующем принцип взаимности был распространен на
другие системы.
Применительно к линейным электрическим системам принцип взаимности
Максвелла состоит в том, что если в одной ветви сложной цепи действует
э. д. с. В, а во второй ветви появляется ток /, то, если перенести э. д. с. Е
во вторую ветвь, в первой ветви возникает ток / [53, с. 214 ]. Обобщая, можно
сказать: если в элементе а сложной системы действует возбуждение F, вызы-
вающее в другом элементе этой системы Ь отклик (реакцию) Н, то, если пере-
нести возбуждение F в элемент Ь, оно вызовет в элементе а тот же отклик Н.
Важно отметить, что в остальных элементах системы в обоих случаях отклики
будут различны; «взаимность» имеет место лишь между выбранными двумя
элементами. Таким образом, система в обоих случаях находится в различном
состоянии.
Принцип взаимности может быть применен и при решении некоторых
задач теплопроводности; это значит, что если источник тепла /5, находя-
щийся в точке /, вызывает в точке 2 изменение температуры А/ = f (т),
то, если переместить источник в точку 2, в точке 1 будет иметь место то же
самое изменение температуры АЛ
Следует подчеркнуть, что во взаимных точках скорости изменения
температур одинаковы, но градиенты температур различны, поэтому нужно
помнить, что переход к взаимной задаче не есть переход к эквивалентной
задаче — температурные поля оказываются различными.
47
1. ПРИНЦИП ВЗАИМНОСТИ ПРИ ДЕЙСТВИИ ИСТОЧНИКА ТЕПЛА
В ПОЛУОГРАНИЧЕННОМ ТЕЛЕ
Если в точке 1 неограниченного изотропного и гомогенного тела дей-
ствует источник тепла мощностью 75, который вызывает в точке 2 изменение
температуры &t = f (т) то очевидно, что перенос источника Is в точку 2
вызовет в точке 1 такое же изменение температуры А/ = / (т). Данный случай
взаимности, конечно, тривиален.
Усложним задачу. Пусть точки 1 и 2 расположены в полуограниченном
теле, а у поверхности тела задано адиабатическое условие. Используя прин-
цип симметрии, перейдем к неограниченному телу с расположенной в нем
парой источников одинакового знака (рис. Ш-2). /Изменение температуры
в рассматриваемых точках 1 или 2
происходит под действием двух
источников. При переходе от ис-
ходной схемы к взаимной схеме
расстояния между источниками и
рассматриваемой точкой остаются
неизменными, и поэтому значе-
ния А / оказываются одинаковыми,
т. е. соблюдается принцип взаим-
ности. Но в отличие от бесконеч-
ной области температурная симме-
трия здесь не возникает.
Рис. Ш-2. Принцип взаимности при действии
источника тепла в неограниченной пластине
(в исходной задаче — источник тепла в точке /,
повышение температуры в точке 2; во вза-
имной задаче — источник тепла в точке 2, по-
вышение температуры Д/2 = Д^1 в точке 1)
Важно отметить, что если гра-
ничным условием вместо адиабаты
служит изотерма, то принцип
взаимности также справедлив,
в чем легко убедиться, если на
рис. Ш-2 изменить знак у источни-
ков, действующих в точках Г и 2'.
Итак, знание изменения температуры в точках 2, 3, . . ., k при действии
единичного источника тепла в точке 1 позволяет определить изменение тем-
пературы в точке 1 при действии источников тепла в точках 2, 3, . . ., k.
Заметим, что выводы о взаимности, сделанные для случая действия
точечного источника, полностью приложимы также к случаям, когда дей-
ствует линейный или плоский равномерно распределенный источник, парал-
лельный поверхности полуограниченного тела.
Пример. Дано. В полуограниченном массиве [X = 380 Вт/(м-град), а = 0,4 м2/ч] на
расстоянии х = 0,5 м от поверхности действует пЛоский источник тепла 5 = 1000 Вт/м2.
Начальная температура во всем массиве одинакова. Поверхность массива теплоизолирована.
Найти изменение температуры на поверхности массива через т = 5 ч после включе-
ния источника.
Решение. Если взаимно поменять местоположения источника и плоскости, для которой
отыскивается температура, то получится задача, решение которой хорошо известно (задача
№ 2). Согласно принципу взаимности температура в плоскости х = 0,5 м во взаимной задаче
будет равна искомой температуре поверхности в исходной задаче.
Решение взаимной задачи имеет вид
д/=© •
А
Так как
Fox =
ах
0,4-5
0,25 ~
находим по расчетному графику 2-1 0= 2,3; следовательно, искомое значение температуры
Д/ = 2,3 1^5 = 3,03° С.
2. ПРИНЦИП ВЗАИМНОСТИ ПРИ ДЕЙСТВИИ ИСТОЧНИКОВ ТЕПЛА
В НЕОГРАНИЧЕННОЙ ПЛАСТИНЕ
Принцип взаимности справедлив также и для неограниченной пластины.
Справедливость этого положения доказывается принципиально тем же
Рис. II1-3. Принцип взаимности при действии источника тепла
в пластине: а — источник тепла в исходной задаче на поверх-
ности пластины, б — источник тепла в исходной задаче внутри
пластины
путем, каким выше было доказано действие принципа взаимности в полу-
ограниченном теле. Особенно полезно отметить существование принципа
взаимности между поверхностями х = 0 или х = h и любой другой пло-
Рис. Ш-4. К доказательству принципа вза-
имности в пластине
скостью (рис. II1-3, а), что позволяет пользоваться известными решениями
задач с ГУ II рода для расчета изменения температуры у поверхности при
наличии внутренних источников тепла.
Рассмотрим в качестве иллюстрации справедливости принципа взаим-
ности для пластин задачу № 22 (рис. Ш-4).
4 Зякаэ 945
49
Изменение температуры определяется уравнением
Ы = в ~,
Л
(Ш-10)
где
© = Fo — r] + ^ + -l-+ n)Jexp(—(И1-11)
П=1
Обратим внимание на изменение температуры в плоскости х = h!2\
согласно (II1-10), оно равно:
= (Ш-12)
здесь при определении ©!
= (ПИЗ)
^ = 1 = 4' <ш-14)
Теперь переместим источник тепла S с поверхности в плоскость х = h/2
(рис. III-4). Тогда, если принцип взаимности верен, на границе, где ранее
действовал источник тепла, изменение температуры Д/2 должно оказаться
равным Д/ь Ввиду симметричности температурного поля относительно
плоскости х = A/2J можно решать задачу определения Д/2, рассматривая
одну половину пластины; тогда, очевидно,
£
Д/2 = ©2-^-, (Ш-15)
где при определении значений 03 надо принимать
f°2 = 7TV' (ПИ6)
\ 2 )
@2 = 4©v
Сопоставляя (Ш-12) и (Ш-15), можно заметить, что Д/2 = Д/х, если
(Ш-17)
Нетрудно убедиться, что условие (Ш-17) соблюдается; так как при
Fo > 0,5, когда значение суммы ряда пренебрежимо мало, имеем, согласно
(Ш-11),
е.==но<-4+4-+4--^4
0, = Fo,- 1 + -L+‘fo'=4 (Fo,-
Равенство (111-17) имеет место и при значениях Fo 0,5.
Итак, мы не только подтвердили справедливость принципа взаимности,
но попутно установили любопытный факт, что температура в средней пло-
скости пластины при заданном тепловом потоке на одной поверхности и
адиабатическом условии на другой поверхности равна температуре адиа-
батической поверхности пластины, если ее толщина и заданный тепловой
поток в два |эаза меньше (^ис. II1-4^.
Естественно, что принцип взаимности имеет место и между двумя гори-
зонтальными плоскостями, параллельными прямыми и отдельными точками,
расположенными внутри пластины (рис. II1-3, б).
Указанный вывод может быть сделан и другим путем. Так, например,
возьмем решение задачи о ходе температуры на глубине х = хг теплоизоли-
рованной пластины, в которой при т = 0 в плоскости х = х2 действует
мгновенный единичный источник тепла [30, с. 354]:
® = 1 + 2 У cos pjjTh-cos рпт]2 exp (— p^Fo), (III-18)
n=l
где
t . X1 X2
0 = V ^ = nn’ П1 = -Г; Т12 = ’Л-
Из формулы (111-18) следует, что ход температуры одинаков, нахо-
дится ли источник в плоскости х± и контролируется ход температуры в пло-
скости х2 или источник находится в плоскости х2 и контролируется ход тем-
пературы в плоскости хг. Принцип суперпозиции позволяет распространить
указанный вывод на источники тепла, действующие непрерывно, постоянной
или переменной интенсивности. *
3. ПРИНЦИП ВЗАИМНОСТИ ПРИ ДЕЙСТВИИ ИСТОЧНИКОВ ТЕПЛА
В НЕОГРАНИЧЕННОЙ ПЛАСТИНЕ, ПОКРЫТОЙ СЛОЕМ ТУРБУЛИЗИРОВАННОЙ
ЖИДКОСТИ
Принцип взаимности справедлив и когда у поверхности существует
слой с очень высоким коэффициентом теплопроводности (X' = оо). Подобное
утверждение далеко не очевидно и требует доказательств.
Рис. Ш-5. Принцип взаимности при действии теплового источника в пластине со слоем
жидкости на поверхности
Рассмотрим, например, задачу № 73, в которой на поверхности пластины
имеется слой турбулизированной жидкости, куда извне поступает тепловой
поток интенсивности S (рис. Ш-5).
Решением данной задачи (обозначим ее задача А) является:
0. = ..
А 4*4-1
(1-ч)2
2
3 4~ Чо 1
6 (14-4o)J
— S cos [v„ (1 — Г])] exp (— v2n Fo); (III-19)
n—1
tgv”=-^v";
2Tlo
(III-20)
Д = ________________________
(vn 4-Чо 4-4o)cos vn
(Ш-21)
51
Теперь рассмотрим задачу В, когда источник тепла находится не у по-
верхности х = 0, а у поверхности х = h. Это задача № 77, решение которой
имеет следующий вид:
о __ Ло
~Чо+1
F° + ^-
3 + Ло 1
.6(1 + no)J
+ — £ л„ cos [vn (1 — n)] exp (— v„2 Fo); (Ш-22)
u n=l
2(v2n+ng)
vn(vn +П0 + Л0) ’
(III-23)
значения vn определяются по уравнению (HI-20).
Нетрудно заметить, что если в (Ш-19) подставить т) = 1, а в (Ш-22)
1] = 0, то получим тождество
Т)=1 = Т)=0 •
Таким образом, ход температуры на границах, противоположных грани-
цам с источниками, тождествен, что означает соблюдение принципа взаим-
ности. Говоря иными словами, перенос слоя жидкости на противоположную
границу не меняет хода температуры на границе, противостоящей источнику.
Естественно, что и здесь принцип суперпозиции позволяет распростра-
нить полученные результаты на случаи, когда значение теплового источ-
ника 5 изменяется во времени по любому закону.
4. ПРИНЦИП ВЗАИМНОСТИ В ПЛАСТИНЕ ПРИ НАЛИЧИИ НА ОДНОЙ
ГРАНИЦЕ СЛОЯ ЖИДКОСТИ И АДИАБАТИЧЕСКОГО УСЛОВИЯ,
НА ДРУГОЙ — ГРАНИЧНОГО УСЛОВИЯ Ш РОДА
Выше рассматривалось действие принципа взаимности при наличии
источников тепла заданной интенсивности (мощности). Так как источники
подобного типа могут действовать как внутри тела, так и у его поверхности,
то имелась возможность переноса источников в различные точки и, следова-
тельно, проявления принципа взаимности.
С источниками температуры дело обстоит по-другому. Подобные источ-
ники не могут находиться внутри тела. Поэтому возможности переноса
источника тепла оказываются весьма ограниченными, а явление взаимности
выступает здесь, как мы увидим, несколько иначе, чем при действии источ-
ников теплового потока.
Рассмотрим тепловой режим пластины, когда у поверхности х = О
заданы температура среды и коэффициент теплоотдачи, а у второй поверх-
ности х == h имеется слой турбулизированной жидкости, на свободной по-
верхности которого задано адиабатическое условие (рис. Ш-6, а):
при х = О
= —/х=0); (Ш-24)
при х = h
Решение для случая, когда при т=0 t = t0 и при т>0 & = const,
известно (44, с. 378; 91, с. 71]. Для температуры поверхности х= h, т. е.
для поверхности, противоположной той, у которой действует температурный
источник, решение может быть представлено следующим образом:
0 = = f(F°« BUb), (Ш-26)
V Iq
52
где
= (Ш-27)
ftgj = ht + hs + , (Ш-28)
где ht и hs соответствуют (111-7) и (111-8).
Рассмотрение (111-28) показывает, что ход температуры на границе
х = h одинаков, если /igj = idem. Последнее условие может быть соблюдено
Рис. Ш-6. Принцип взаим-
ности при действии темпера-
турного источника в пластине
со слоем жидкости: а — в ис-
ходной задаче ГУ III рода
и слой жидкости, во взаим-
ных задачах ГУ I рода и
слой жидкости или ГУ III ро-
да без жидкости; б — в исход-
ной задаче ГУ III рода без
жидкости, во взаимной зада-
че ГУ I рода и слой жидкости
при различных комбинациях значений и hs при данной толщине пла-
стины h. Поэтому можно сделать некоторые выводы о возможности замены
одной задачи другой, в которой ход температуры tx=h остается тем же.
Так, например, можно, исходя из соотношения hs = h(, перейти от
задачи с ГУ III рода на одной поверхности и адиабатическим условием без
слоя жидкости на второй поверхности (ht О, = 0) к задаче с ГУ I рода
и со слоем жидкости (ht = 0; hs 4= 0); схема перехода показана на
рис. Ш-6, б.
Это же соотношение позволяет сделать обратный переход от задачи
с ГУ I рода и со слоем жидкости к задаче ГУ III рода и без слоя жидкости.
53
Физический смысл соотношения (II1-6) в данном случае состоит в сле-
дующем. При переносе температурного источника на другую поверхность
пластины теплоемкостное сопротивление должно быть заменено температур-
ным сопротивлением и наоборот. При этом будет соблюдаться условие взаим-
ности — ход температуры на границе, противоположной той, у которой рас-
положен источник тепла, будет неизменен. Конечно, с тем же основанием
можно говорить о переносе теплового сопротивления с одной поверхности на
другую при неизменности местоположения источника тепла. При такой физи-
ческой интерпретации встает вопрос, правильно ли называть это явление
явлением взаимности, а не эквивалентности. Решая этот вопрос положи-
тельно, мы учитываем, что неизменность «откликов» имеет место в определен-
ной точке и только в ней при изменении одного из условий однозначности
задачи — тепловых сопротивлений на границах.
Если в исходной задаче имеет место ГУ III рода (ht =}= 0), то при наличии
слоя жидкости у другой поверхности переход к ГУ I рода выполняется путем
увеличения толщины слоя жидкости (рис. Ш-6, а):
Mis = ht (1 + . (Ш-29)
Напротив, переход к задаче без слоя жидкости происходит путем уве-
личения толщины слоя температурного сопротивления:
АЛ/= /is(l(Ш-30)
Заметим, что в обоих случаях при переходе к одному слою (типу) тепло-
вого сопротивления толщина последнего остается неизменной, равной h%.
Соблюдение условия hgj = idem требует, чтобы при частичном изменении
толщины слоя ht (на ЛЛ<) имело место изменение hs на величину
При изменении толщины слоя жидкости hs на Дй$ надо изменить ht
на величину
мтаг <П1-32>
Естественно, что сделанные выводы справедливы и для случаев, когда
температурный источник не постоянен, а зависит от времени (О’ = f (т)).
Надо, однако, предостеречь от ложного вывода, будто решение задачи оста-
нется’тем же и в случае, если ht и ^меняются во времени, но значение h®
остается все время одинаковым.
Интересно также отметить, что в последние годы в США были вычислены
и построены расчетные зависимости, соответствующие уравнению (III-26)
(см. [87, 911). Указанные работы получили значительное распространение.
Однако в свете сказанного выше становится ясно, что эти данные не нужны,
так как они повторяют лишь давно известное и табулированное решение для
пластины с ГУ III рода без слоя жидкости, в котором Bi = Bi9KB и, следо-
вательно
В тождественности температур адиабатической поверхности в обеих
задачах нетрудно убедиться, если сравнить в [91 ] графики 23/ и 240 с графи-
ком 300 или в [44] графики 6.10 и 6.11 с графиком 10.5; следует только,
иметь в виду, что на графиках для пластины с жидкостью в [44, 91 ] па-
раметр |л соответствует значениям l/Bi9KB здесь.
Ниже приведен пример расчета с помощью принципа взаимности для
задачи, аналитическое решение которой отсутствует
54
Пример. Дано. Бетонная плита [X = 1,2 Вт/(м-град), с = 0,233 Вт-ч/(кг-град), р =
== 2000 кг/м2, а = 2,57 • 10"3 м2/ч] толщиной h = 0,5 м нагревается в газовой среде, имеющей
Ф= 300° С, коэффициент теплоотдачи а = 30 Вт/(м2-град). Начальная температура плиты
/0= 10° С. Нижняя поверхность плиты соприкасается со слоем турбулизированной^воды [с'=
— 1,163 Вт-ч/(кг-град); р' = 1000 кг/м3; X' = оо] толщиной h' = 0,25 м.
Найти, через сколько времени вода нагреется до t = 90° С.
Решение. Находим по (Ш-28)
h t , hths X , c'p'/i' ] % c'p'/i' _ 1,2 ) 1,163-1000-0,25 (
+ h “7Г + '^Г“ + 'а"”фЙ“'’"30"Н 0,233-2000 +
1,2 1,163-1000-0,25
+ 30 * 0,233-2000-0,5 ~
откуда, согласно (111-27),
o- h °’5 0 7
В1экв“ V ~'0ji5'~0’7-
Согласно (111-26),
©
^x=h ^0
90— 10
300— 10
0,276.
На расчетном графике 26-1 задачи № 26 для q = 1 находим, что при 0 = 0,276 имеем
Fo = 0,73. Следовательно, искомое время равно
,_Fo^._0.73
Глава четвертая
ПОРЯДОК РЕШЕНИЯ СЛОЖНЫХ ЗАДАЧ
С ПОМОЩЬЮ ПРИНЦИПОВ СУПЕРПОЗИЦИИ,
ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ И ВЗАИМНОСТИ
IV-1. СВЯЗИ МЕЖДУ РЕШЕНИЯМИ ПРОСТЫХ
И СЛОЖНЫХ ЗАДАЧ
Если присмотреться к решениям сложных задач, то нетрудно заметить,
что они часто представляют собой комбинации из решений нескольких более
простых задач. В свою очередь, решение почти каждой, даже очень простой
задачи является одновременно элементом решения еще нескольких сложных
задач.
Для того чтобы дать предварительное представление о характере свя-
зей между решениями различных задач, перечислим некоторые связи между
решениями, а затем, в последующих параграфах, рассмотрим их подробнее
и покажем, как практически пользоваться этими закономерностями. Понятие
«сложные НУ и ГУ» говорит о том, что для задачи с данными НУ и ГУ отсут-
ствуют аналитическое решение и расчетные графики.
1. Решение задачи со сложным НУ может быть представлено как сумма
решений нескольких задач с простыми НУ (§ IV-3).
2. Решение задачи со сложным ГУ может быть представлено в виде
суммы решений задач с простыми ГУ (§ IV-4). Исключение составляют
задачи, в которых род ГУ или условия теплообмена в течение времени
меняются, так как в этом случае метод суперпозиции неприменим (о решении
таких задач см. § IV-4, п. 3, 4).
3. Решение задачи с равномерно распределенными внутренними источ-
никами тепла сводится к решению двух более простых задач: одной без вну-
тренних источников тепла, но с переменной во времени температурой среды,
и другой — с адиабатическим повышением температуры (§ IV-6, п. 1).
4. Решение задачи с неравномерно распределенными внутренними
источниками тепла может быть представлено в виде суммы решений задач
с равномерно распределенными источниками тепла (§ IV-6, п. 1, 2).
5. Пол у ограниченное тело со слоем хорошо турбулизированной жидкости
на поверхности (ГУ V рода). Решение сводится к решению двух задач:
одной — с заданной температурой поверхности тела, т. е. с ГУ I рода, дру-
гой — с заданной температурой среды, т. е. с ГУ III рода (§ IV-7).
6. Решение задачи, в которой теплофизические характеристики, т. е.
коэффициенты тепло- и температуропроводности (X и а) зависят от времени,
в ряде случаев может быть представлено в виде суммы решений нескольких
задач, в которых X и а не зависят от времени (§ IV-5).
7. Решение задачи для тела одной геометрической формы может служить
также и для решения задачи с телом другой геометрической формы (§ IV-8).
56
1V-2. СВЯЗИ МЕЖДУ РЕШЕНИЯМИ ЗАДАЧ
ДЛЯ ПОЛУОГРАНИЧЕННОГО ТЕЛА
1. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ РЕШЕНИЯ ОДНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ
ДРУГИХ ЗАДАЧ (НА ПРИМЕРЕ ЗАДАЧИ № 1)
В «Перечне задач неустановившегося режима...» под № 1 стоит задача
о тепловом режиме полуограниченного тела при одинаковой начальной тем-
пературе t0 и постоянной температуре поверхности tn.
Решение этой задачи, как известно, имеет следующий вид:
/ = <n + (fo-Qerf-J-r, (IV-1)
z у lvx
где Fox = -^; erf (и) — табулированная функция, называемая функцией
ошибок Гаусса (см. приложение).
Покажем, во-первых, что, пользуясь аналитиче-
ским решением (IV-1), можно получить аналитиче-~
ские решения других задач, и, во-вторых, что рас-
, четные графики задачи № 1 моРут быть использованы
для производства расчетов по другим задачам.
Рассмотрим шесть наиболее простых случаев.
1. Решение (IV-1) и соответствующий ему рас-
четный график 1-1 могут быть использованы также,
для решения задачи о распространении тепла в не-
ограниченном теле при следующем начальном усло-
вии (рис. IV-1):
Рис. IV-1. Скачок темпе-
ратуры в неограниченном
теле
t |т=о = ti при — сю < х < О,
t |т=о = h при 0 < х < + сю.
Указанное распределение температуры обладает симметрией 2-го рода
(см. § 11-5) относительно плоскости х = 0 и создает на этой плоскости изотер-
мическое условие. Очевидно, что при х = 0 температура будет
(х=0 = -Ц^.
Поэтому можно вести расчет, приняв это значение температуры за тем-
пературу поверхности полуограниченного тела tn и далее пользоваться
формулой (IV-1), приняв для одной части полуограниченного тела /0 = tlt
а для другой части t0 — t2. Таким образом, решение задачи принимает вид:
при х<0 < = (IV-2)
при х>0 t = + (Ч —- у)erf -^=-• (IV-3)
Решения (IV-2) и (IV-3) могут быть приведены к единому виду. Для этого
заметим, что
_(^_А±А) =<2_А±Л =А=А, (IV-4)
erf f---) = — erf —у—-. (IV-5)
\ 2 Кат ) 2 Кат V 7
Запишем аналитическое решение задачи для всей области (—сю <
х < +сю):
(=A±4+A-6ert--^- (IV-6)
57
Покажем, как использовать расчетные графики задачи № 1 для решения
численного примера.
Пример. Дано, Неограниченное тело (а = 0,3 м2/ч) имеет следующее начальное распре-
деление температуры:
/0,т = 40° С при —оо < х < 0,
£0,2 = 180° С при 0 < х < + оо.
Найти температуру через 50 ч в плоскости = —2 м и х2 = 3 м.
Решение. Как было отмечено выше, начальное распределение температуры симметрично
относительно плоскости х = 0, температура которой tXz=$ = —^°’2 = ~^ ^ = П0°Сг
и остается неизменной в течение всего процесса. Поэтому расчет температуры в областях, рас-
положенных по обе стороны от плоскости х = 0, можно вести независимо друг от друга, ис-
пользуя в каждом случае расчетный график задачи для полуограниченного тела с постоянной
температурой на поверхности: /п = 110° С (задача № 1, график 1-1).
Вычисляем исходные аргументы:
при = —2 м
xf 4
при х2— 3 м
_ ат 0,3-50
= 9— =1’67‘
По графику 1-1 находим: 61 = 0,285 и 02 = 0,416. Вычисляем искомую температуру:
при хх = —2 м
= /п + Oi (/o.i — /п) = НО + 0,285 (40— 110) = 98,6° С,
при х2 = 3 м
/2 = /п + 02 (/0>2— /п) = 110 + 0,416(180— 110)= 139,1°С.
2. В неограниченном теле имеет место следующее начальное распреде-
ление температуры (рис. IV-2):
tlx=o = ti при —оо < х < —Ьо и при +д0 < х <5 +оо,
//х=о = /2 при —Ьо < х < +Ь0.
Рис. IV-2. Температурный «зуб» в неограниченном теле
Указанное распределение температуры может быть представлено как
сумма двух других распределений температуры, каждое из которых соответ-
ствует более простой задаче:
1) t/x=o = ti при —оо < х < —Ьо,
//т=0 = /2 при —Ьо < х < +°о;
2) t/T=o = 0 при —оо < х < +Ь0>
Их=0 = tx — при +Ь0 < X < +оо.
Каждая из этих задач идентична задаче, решенной в случае 1. Отличие
состоит лишь в том, что здесь плоскость симметрии сдвинута относительно
58
начала координат: в первой задаче на х = —Ьо, во второй задаче на х =
— +Ь0. Поэтому решение (IV-бЦпринимает вид:
для первой£задачи
/ _ h + ty I Ai-- 4 prf ^0
l~ 2 ' 2 еП 2VTx
(IV-7)
для второй задачи
. __ — t% | tg r x bp
2 И ат
Аналитическое решение задачи равно сумме двух последних выражений:
t = (erf i+L_erf -Ll)’ (IV-9)
1 2 2 KFo 2/Fo/ ' ’
где
Fo = -2|, (IV-10)
n = -^- (IV-11)
^0
Можно, пользуясь (IV-9), построить расчетный
график для этой задачи © = f (Fo, т)), где 0 =
t — tg. и
= —---±~. Но можно выполнить расчет, пользуясь
Г2
уравнениями (IV-7) и (IV-8) и соответствующими им
графиками для задачи № 1. Покажем это на при-
мере.
Рис. IV-З. Температурный
«зуб» в полуограниченном
теле с адиабатической
поверхностью
Пример. Дано. В неограниченном теле (а = 0,1 м2/ч) температура в начальный момент
времени повсюду одинакова и равна = 100° С, за исключением области шириной 260 =
= 1,5 м, в которой начальная температура t2 = 250° С.
Найти температуру на расстоянии х = 3 м от центра области с повышенной температу-
рой через 11 ч.
Решение. Данную задачу можно представить в виде двух более простых задач. В первой
задаче
__ 100-4-250
2
175°С;
t2-t± 250- 100 7К)
---~---=---------- = /о
Fox
_ и,1-и _ п пя
(х + Ь0)2 (3,75)® -U,U
По графику 1-1 находим 0 = 0,987; следовательно 1см. уравнение (IV-7)1, t = ?п+
+ в (to — tn) = 1’75 + 0,987-75 = 249° С.
Во второй задаче
in
100 — 250
2
— —75° С; t0 — tn
=75°С;
к к
2
_ ax _ 0,1-11
Ь°х- (х — 60)2 - (2,25)2 ~
0,22.
По графику 1-1 находим 0=0,87; следовательно [см. уравнение (IV-8)], t =
= in — 0 (f0 — /п) = —75 — 0,87 -75 = —140,2° С. Окончательно находим, что искомая
температура t = 249,0 — 140,2 = 108,8° С.
3. В полуограниченном теле начальное распределение температуры
следующее (рис. IV-3):
t |т=о = tg при 0 < х < Ьо,
t 'т=о = fi при Ъо < х < +оо.
59
На поверхности тела нет теплового потока (частный случай ГУ II рода).
Нетрудно убедиться, сопоставляя рис. IV-2 и IV-3, что в силу сим-
метрии (I рода) начального распределения температуры относительно
координаты х = 0 решение (IV-9) предыдущей задачи является одновременно
решением и данной задачи.
4. В бесконечной области имеет место следующее начальное распреде-
ление температуры (рис. IV-4):
t’т=о = /1 при —со < х < —Ьо и при +60 < х < +со,
t ;т=о = при 0 < х < +&о.
Рис. IV-4. Два температурных «зуба» противоположных знаков в неограниченном
теле
Данное НУ может быть разбито на две составляющие:
1) Гт=о = G при
11т=о = ПРИ
2) t jx=o = 0 при
t 'т=0 ~ tl ^2
--СО < х < 0 и при +ьо < X < +со,
о < х < +ь0;
О < х < +оо и при —оо < х < —Ьо,
при —Ьо < х < 0.
Указанные две задачи такие же, как и в случае 2 (рис. IV-2), что позво-
ляет использовать решение (IV-9). Отличие заключается только в том, что
плоскость симметрии сдвинута относительно начала координат: в первой
задаче на х =4-Ь0/2, во второй задаче на х = —Ь0/2. Кроме того, размер
«температурного зуба» здесь обозначен через Ьо, а не через 2&0. Таким обра-
зом, решением первой задачи будет:
х~-Ьр/2
erf
М2
1/
V (М2)2
2
х —М2
erf
(Ь^
= ' + гТТо т'Й/Йг)’ (1V-12>
ах
где по-прежнему Fo
Решение второй задачи:
х ~Ь *о/2 I
erf
V (ЬО/2У
/ = O4-fl~<2~0
-Т--
х±Ьр/2 х
, М2 \
erf--<>' =
2 '
-J=-erf —
2/Fo 2
(IV-13)
2
^2 4
2
60
Рис. IV-5. Температурный
«зуб» в полуограниченном
теле с изотермической
поверхностью
Аналитическое решение задачи, рассматриваемой в данном примере
равно сумме (IV-12) и (IV-13):
t —-|- (t2 — ti) erf —(erf + erf 11T—; • (IV-14)
1112 v 2 p<Fo 2 ( 2 К Fo 2 KFo / ' '
5. В полуограниченном теле начальное распределение температуры
следующее (рис. IV-5)
t |т=о = t2 при 0 < х < Ьо,
t |т=о = ti при Ьо < х < + оо.
При т>0 на поверхности /х=о = tr (ГУ I рода).
Сопоставление рис. IV-4 и 1V-5 показывает, что
НУ в случае 4 антисимметрично (симметрия II рода)
относительно начала координат. Поэтому решение
(IV-14) является также решением настоящей задачи.
6. Условия задачи те же, что и в предыдущем
случае, но «температурный зуб» заглублен на вели-
чину х = Ло.
Полученные выше решения позволяют найти
решение данной задачи различными путями. Ука-
жем на два из них (рис. IV-6).
1-й путь решения. Используем решение
задачи, полученное в случае 2. Для этого надо
заменить изотермическую плоскость соответствующими антисимметричными
источниками в полуограниченном теле •— оо < х < 0 (показаны пункти-
ром на рис. IV-6). Разложение этой задачи на две составляющие позволяет
написать, пользуясь решениями (IV-9) или (IV-12) и (IV-13), следующие
два решения:
t = tt + /2~Z1(erf—erf <°~ Ц; (iv-i5)
2 \ 2 KFo 2/Fo )
Рис. IV-6. Температурный
«зуб» заглублен под изо-
термическую поверхность
полуограниченного тела
61
Рис. IV-7. Температурная «ступенька» в полуогр аниченн ом теле с изотермической
поверхностью
Рис. IV-8. Температурная «ступенька» в полуограниченном теле с адиабатической
поверхностью
62
Рис. IV-9. Температурный «зуб» заглублен под адиабатическую поверхность полуогра-
ниченного тела
Рис. IV-10. Два неодинаковых температурных «зуба» в неограниченном теле
63
где
/in
Ло = *у-
D0
(IV-17)
Аналитическое решение задачи равно сумме (IV-15) и (IV-16):
^2 11
2
( erf -т*4-— + ег^
\ 2 KFo '
t — ti +
n—_4o__
2 VFo
2J/Fo
— erf
n —110271 \
2 KFo )'
(IV-18)
2-й путь решения. Разложение данной задачи на две составля-
ющие показано на рис. IV-6. Решением каждой из этих двух вспомогательных
задач служит решение (IV-14), которое будет иметь следующий вид:
t =ti + (t2 — G)erf
x
hp ~h bp
f ax
(ho + ho)2
(IV-19)
2
t = 0 + (/1— f2) erf
erf
(Яо+М2-1
—х_____1
hp + hp_
i f ax
-[-erf
ax
(fto + M2
x
hp + hp
(IV-20)
Сумма (IV-19) и (IV-20) после простейших преобразований приводит*
как и следовало ожидать, к тому же расчетному уравнению (IV-18).
Действуя методически таким же образом, как показано в рассмотрен-
ных шести случаях, легко получить решение других задач. Схемы решения
некоторых из них показаны на рис. IV-7—IV-10. Но еще большие возмож-
ности, как будет видно из последующего изложения, возникают, если решать
сложные задачи, используя решение не одной, а нескольких задач.
2. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ С ГУ I РОДА
ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ С ГУ II РОДА
В § Ш-2 было указано, что если температура поверхности полуогра-
ниченного тела меняется по степенному закону tx=o = t0 + то тепловой
поток у поверхности тела равен S=Аг” 2, причем k— —Г(т+9_.- bj^hcp.
Некоторые значения отношения гамма-функций даны ниже:
т..............0 0,5 1,0 1,5 2,0
Г (m +1) 1 /л 2 зКл 8
г 7т _|_ /л 2 Кл 4 3 /л ’
Таким образом, для решения новых задач с ГУ II рода могут быть
непосредственно использованы уже известные решения задач с ГУ I рода
и наоборот.
Во второй части книги приведены решения задач с ГУ I рода при т = 0;
0,5; 1,0; 2,0 (зад. № 1,5, 6, 7). Каждое из них является одновременно реше-
нием задачи с соответствующим изменением теплового потока на поверхности
тела (ГУ II рода).
64
Так, если требуется решить задачу распространения тепла в полуогра-
ниченном теле, на поверхности которого тепловой поток изменяется по
закону
S = b1/2, (IV-21)
то надо воспользоваться решением задачи № 5 с линейным изменением
температуры поверхности тела (tn = 1), приняв
(IV-22)
1 V ”*"”2/ * Vuk
Если S = &т3/2, то надо воспользоваться задачей № 7 с квадратичным
законом изменения температуры поверхности (т = 2), приняв
, 3 k
о = —?=••
8 КХср
Задача с S = kr-V2 решается с помощью задачи № 1, в которой т = 0
и, следовательно,
(IV-23)
(IV-24)
, _ , , Кл k
Задача с S = const может быть решена с помощью задачи, в которой
температура поверхности равна /Л=о = Ьт1/2; так как здесь т = 0,5, то
Ъ = -^=. (IV-25)
КзхХср
Из сказанного следует, что задачи № 2 и № 6 эквивалентны, в чем
нетрудно убедиться, сопоставляя расчетные графики этих задач и учитывая
соотношения (IV-25). Приведем пример расчета.
Пример. Дано. В полуограниченном теле [а — 0,053 м2/ч, ср = 445 Вт-ч/(м3-град)]
в начальный момент температура равна tQ = 0° С. На поверхности задано ГУ II рода:
S = 5т?/2, Вт/(м2-ч).
Найти температуру в точке х = 3 м через т = 100 ч.
Решение. Воспользуемся решением задачи с ГУ I рода при т — 2, т. е. задачей № 7.
Находим
31Лгт 5
»тг- iww=°даб гр,д/Л
Вычисляем Fox = = 0,59.
По графику 7-1 находим 0 = 0,11 и вычисляем искомую температуру:
t = t0 + 0frr2 = 0 + 0,11 -0,0326.10 000 = 35,8° С.
3. СВЯЗИ МЕЖДУ РАСЧЕТНЫМИ ПАРАМЕТРАМИ ЗАДАЧ № 1, 2, 5, 6
Тепловой режим в каждой задаче характеризуется тремя параметрами.
Итого в четырех задачах (№ 1, 2, 5, 6) имеется 12 параметров. Рассмотрение
решений этих задач показывает, что между 9-ю параметрами существуют
связи, а именно: между 02 и 0в, между 0Х, G2 и Ge, между 0Х, 02, G6 и 0в
(индексы указывают номера задач). В этих трех группах каждый параметр
может быть выражен через любой другой параметр данной группы:
02=-^Ffo,06, (IV-26)
у л
01 = -^VF^Ge 4- 1 = Gt + 1, (IV-27)
у 31
02 = -j= 0e-------FoA= ®1 + тД- AFoi — 1. (IV-28)
у Л у л
5 Заказ 945
1V-3. СЛОЖНОЕ НАЧАЛЬНОЕ УСЛОВИЕ
Покажем как поступать, когда возникает задача, для которой нет гото-
вого решения из-за того, что НУ является сложным.
Частично ответ на этот вопрос дан в предыдущем параграфе — задачи,
схемы решения которых даны на рис. IV-1—IV-10, относятся именно к таким
задачам. В настоящем параграфе будут показаны ещё и другие способы реше-
ния задач со сложным НУ.
1-й способ исходит из основного правила суперпозиции о равенстве
источников тепла в основной задаче и в элементарных задачах (суммарно)
в любой точке и в любой момент времени. В данном случае надо заданное
сложное начальное распределение температуры представить в виде суммы
нескольких более простых распределений. Решением основной задачи яв-
ляется сумма элементарных задач, в каждой из которых в качестве НУ при-
нято одно из слагаемых. ГУ основной задачи включаются в одну из элемен-
тарных задач, а остальные решаются при нулевых ГУ, а именно: при ГУ
I рода температура поверхности равна нулю, при ГУ II рода тепловой поток
у поверхности равен нулю, при ГУ III рода температура среды равна нулю.
Можно также поступать и следующим образом: все элементарные задачи
решать при нулевых ГУ и, кроме того, решать еще одну элементарную
задачу с заданными ГУ и нулевым НУ. В свою очередь, если возникает необ-
ходимость, эта последняя задача может быть разбита на ряд элементарных.
2-й способ основывается на том, что, как было сказано в § 1-2,
в начальном тепловом состоянии отражена вся предшествующая тепловая
история тела, и для дальнейшего хода температуры совершенно безраз-
лично, каким образом данное тепловое состояние возникло. Это позволяет
для решения основной задачи со сложным НУ использовать решение задачи
с таким же ГУ, но с более простым НУ. При этом заданное сложное НУ
должно оказаться равным промежуточному распределению температуры
в задаче с такими же ГУ, но с более простым НУ (вертикальной или наклон-
ной прямой, параболой, косинусоидой). В этом случае надо рассмотреть рас-
четные графики задач, отличающихся от решаемой задачи лишь НУ. Если
окажется, что на какой-либо момент времени т = тн (что соответствует зна-
чению Fo = FoB) распределение температуры в какой-либо из этих задач
совпадает (или может быть с достаточной точностью аппроксимировано)
с начальным распределением температуры в решаемой задаче, то решение
последней можно получить с помощью рассмотренных графиков. Оконча-
тельно расчет ведется для Fo = FoH + Fo' = 4- (здесь т— по-преж-
нему расчетное время, в основной задаче), и в расчетные формулы для
t, 1 и dtldx следует подставлять начальную температуру задачи, графики
которой использовались для определения FoH.
Практически выбор расчетного НУ может быть сделан следующим
образом. Выбрав на графике какую-либо кривую 0 = f (Fo, t|), определяют
значение 0 при т| = 1. Затем вычисляют t0 = £гн, л/0п=1 и> используя
это значение t0, вычисляют 0 = tXn x/to для других х (т. е. других т|).
Если получившаяся в результате кривая с достаточной точностью совпадает
с кривой расчетного графика, по которой было найдено t0, то значение Fo,
соответствующее этой кривой, и есть искомое FoH. В противном случае
расчет повторяется, для чего надо выбрать другую исходную кривую на
расчетном графике.
Для полуограниченного и неограниченного тела следует находить
не величину FoH, а тн, так как в данном случае значение Fox, соответству-
ющее данному НУ, не является постоянным, а зависит от координаты.
Определение тв удобно выполнять в следующем порядке»
Надо выбрать произвольную точку х и по данному НУ определить ее
температуру. Далее вычислить 0 и по расчетному графику найти Fox; иско-
Fo »л2
мое значение = —=—.
н а
66
Для проверки следует повторить расчет еще нескольких точек. Если
величины тн окажутся одинаковыми (или близкими), то дальнейший расчет
следует выполнять как обычно, но принимая Fo* = - . Если же зна-
чения тн получаются различными, это указывает на то, что данное НУ
не соответствует ни одному промежуточному тепловому состоянию в задаче,
для которой составлен расчетный график. Следовательно, указанным гра-
0
_й.
X’’
tn~*O,n
Рис. IV-11. Пластина с линейным начальным распределением температуры
фиком нельзя воспользоваться для решения задачи с данным НУ, хотя по
ГУ решаемая задача и задача, для которой составлен расчетный график,
совпадают.
Приведем решения задач со сложным НУ.
1. Возьмем задачу, показанную на рис. IV-11. Начальное условие
здесь как будто очень простое — линейное изменение температуры по коор-
динате. Но сопоставление краевых условий этой задачи с условиями
задач № 16—18 показывает, что ни одна из них не совпадает полностью
с заданной и, следовательно, их решения не могут быть непосредственно
применены. Однако, если воспользоваться решениями задач № 17 и 16,
то решение может быть получено. Задача № 17 учтет действие НУ, а за-
Рис. IV-12. Пластина со ступенчатым начальным распределением температуры
дача № 16 — действие источника тепла на границе х — 0. Таким образом,
основная задача разлагается на две элементарные задачи (см. рис. IV-11).
Проверим, правильно ли выполнено разложение основной задачи на
элементарные. Для этого складываем НУ обеих задач — сумма должна быть
равна НУ основной задачи; затем складываем ГУ элементарных задач при
х — 0 — их сумма также должна равняться ГУ основной задачи на той же
границе; то же делаем с ГУ на границе х = h. Нетрудно убедиться, что ука-
занные условия здесь выдержаны — сумма каждого из краевых условий
элементарных задач равна соответствующему краевому условию основной
задачи.
Решение первой элементарной задачи (задача № 17):
* = /«« +©и At (IV-29)
Решение второй элементарной задачи (задача № 16):
i = а„—<о.п) + ©16 (0 — tn + /о,п). (IV-30)
Сумма их и дает решение поставленной задачи:
t — tn~\~ ©I? Af -f- ©is (^о,п—^п)- (IV-31)
2. Пусть требуется найти ход температуры для задачи, показанной
на рис. IV-12. Данная задача по НУ может быть разбита на две элементар-
Б*
67
ные задачи, сумма краевых условий которых равна краевым условиям исход-
ной задачи.
Первая элементарная задача соответствует задаче № 18:
/ = 0 + ©^!. v (IV-32)
Во второй элементарной задаче НУ имеет симметрию 2-го рода относи-
тельно средней плоскости пластины. Поэтому температура по обе стороны
от этой плоскости на равных расстояниях одинакова, но противоположна
по знаку, а сама плоскость изотермична (t = 0). Решением второй элемен-
тарной задачи также может служить решение задачи № 18, но при вычисле-
нии Fo и т] надо вместо h подставлять Л/2 и, кроме того, иметь в виду, что
Рис. IV-13. Пластина с треугольным начальным распределением температуры
Д/ = /х/2. Тогда для верхней половины пластины (О х Л/2) решение
имеет вид:
/ = о + ©18(-4); (iv-зз)
для нижней половины (Л/2 х Л)
/ = 0 + ©18А. (IV-34)
При определении 018 в формуле (IV-35) следует принимать т] = 2 — -щ.
Решением основной задачи для области х «С Л/2 является сумма (IV-32)
и (IV-ЗЗ), для области х Л/2 — сумма (IV-32) и (IV-34). Следует подчер-
кнуть, что численные значения температурного параметра ©18 в каждой из
элементарных задач различны.
Приведем численные примеры.
Пример. Дано. В стенке (а = 0,1 м2/ч) толщиной h = 3 м начальная температура рас-
пределяется, как показано на рис. IV-13 33° С, t2 = 23° С). На границах температура
одинакова: tn = 3° С.
Найти температуру в плоскости х = 2 м через 4,5 ч.
Решение. В «Перечне задач неустановившегося режима...» данная задача не содер-
жится. Для ее решения применим первый способ — разложение НУ на составляющие.
Заданное НУ можно разложить на две составляющие, показанные на рис. IV-13
^3 = ^---— 20* С и решение основной задачи искать в виде суммы решений
двух элементарных задач.
Первая элементарная задача по краевым условиям совпадает с задачей № 18 и для ее
решения надо пользоваться графиком 18-1. Вычисляем исходные аргументы:
ro-f-^-0.05;
4_i__L_o,6T.
п о
По графику 18-1 находим в = 0,38 и вычисляем температуру:
t = t„ 4. вД/ = 3 + 0,38 (23 — 3) = 10,6° С.
Во второй элементарной задаче на границах tx=ofl = 0°С; НУ обладает симметрией
68
1-го рода относительно плоскости х~ следовательно, 5х=Л/2 = 0. Задача с такими
условиями совпадает с задачей № 17. Для решения этой задачи надо пользоваться
графиками задачи № 17, причем применять их надо отдельно для верхней и нижней половин
стенки. Заданная расчетная точка находится в нижней половине. Здесь:
_ ах 0,1-4,5 Л х Л 2
F°“(W 2^5“ “ 0,2: n-2 — ~h]2 =2 — TJ5 = 0,67‘
По графику 17-1 находим 0 = 0,42 и вычисляем температуру:
t = tn + 0 М = 0 + 0,42-20 = 8,4° С.
^Решение^основной задачи равно сумме значений температур в элементарных задачах:
0
0,5-
1,0-
1=1,5.
"^х=о~0 3
^=0
дх
Приведем теперь численный пример на применение второго способа учета сложного НУ.
Пример. Дано. Начальное распределение темпера-
туры в стенке (а = 0,3 м2/ч) и граничные условия пока-
заны на рис. IV-14. Толщина стенки h = 1,51 м.
Найти температуру на средней плоскости стенки
через 2 ч.
Решение. По ГУ задача совпадает с задачами
№ 16, 17, 20 и 21. Если принять, что заданное НУ
возникло из условия fT=0 — const, то в дальнейших
расчетах надо пользоваться графиками задачи № 16, если
принять, что имело место /т==0 = Д/ , то графиками
задачи № 17, и т. д. Из рис. IV-14 видно, что в нашей за-
даче удобнее принять второй вариант исходного НУ. За-
пишем заданное НУ в безразмерной форме, приняв
А/=10° С:
х.м
Ч = -------- 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
1 h
0 = ^ • • • О 0,088 0,190 0,245 0,300 0,325
д/
Рис. IV-14. Пластина со слож-
ным начальным распределением
температуры (к примеру расчета)
По графику 17-1 определяем FoH, которое соответствует данной кривой 0 = f (q): FoH =
= 0,39. Вычисляем исходные аргументы:
Fo = FoH + -g- = 0,39 + = 0,65; т] = 0,5.
По графику 17-1 находим 0= 0,12. Вычисляем искомую температуру: Z = fn+6Af =
= 0 + 0,12.10= 1,2° С.
1V-4. СЛОЖНЫЕ ^ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
Ниже показано, как решать задачи со сложными граничными условиями.
Как и в предыдущем параграфе, понятие «сложное ГУ» говорит о том, что
задача с данными ГУ не содержится в «Перечне задач неустановившегося
режима...».
Правило, которым надо руководствоваться при решении задач со слож-
ными ГУ, согласно основному правилу решения задач методом суперпозиции
(§ II-4), следующее: решение задачи со сложными ГУ может быть представ-
лено в виде суммы решений других (элементарных) задач с любыми другими ГУ,
но при этом алгебраическая сумма ГУ в этих задачах в любой момент времени
должна равняться ГУ основной задачи в каждой точке поверхности.
Напомним, что ГУ включают в себя внешние источники тепла и условия
теплообмена между источниками и поверхностью тела. Раскладывать на
составляющие можно, конечно, только источники тепла, а не условия тепло-
обмена. Последние во всех элементарных задачах должны приниматься
такими же, какими они являются в основной задаче со сложными ГУ. Учиты-
вая сказанное, можно наметить следующие случаи сложных ГУ:
1) внешний источник тепла по величине является сложной функцией
времени;
2) внешние источники тепла на различных границах неодинаковы
по типу или по величине;
69
3) тип внешнего источника тепла меняется во времени;
4) непостоянны во времени условия теплообмена между внешним источ-
ником тепла и поверхностью тела.
Иногда может встретиться и более сложный случай, когда в одной
и той же задаче имеет место сочетание нескольких из указанных выше
условий.
Рассмотрим различные случаи более подробно.
1. ВНЕШНИЕ ИСТОЧНИКИ ТЕПЛА ЗАВИСЯТ ОТ ВРЕМЕНИ
Пусть величина источника тепла у поверхности тела в моменты вре-
мени тх, та, . . . меняется скачкообразно, а внутри отрезков времени посто-
янна. На рис. IV-15 в качестве примера дан график / = f (т). Важно отме-
тить, что схема решения задачи будет совершенно одинаковой, каков бы
Основная задача
Рис. IV-15. Величина источника тепла меняется скачкообразно
ни был конкретный вид источника: это может быть и источник Is — тепловой
поток (ГУ II рода), и источник типа I/— температура поверхности тела
(ГУ I рода) или температура среды (ГУ III рода). Решение основной задачи
разбивается на три элементарные задачи по числу скачков ГУ, включая
и момент начала действия источника. Разложение на элементарные задачи
может быть произведено различным путем. На рис. IV-15 показано три
варианта разложения.
70
Первый вариант наиболее ясный. Все время действует первоначальный
источник тепла 1±. Начиная с момента тх включается дополнительный источ-
ник, равный (/2 — /j), таким образом, суммарно в это время источники
дают /х + (/2— /х) = Z2.
С момента времени т2 включается третий источник, равный (13— /2).
Следовательно, суммарно все три источника дают 1г + (Z2 — Л) +
(Z3 — /2) — 13. Таким образом, выдерживается требование, чтобы сумма
источников элементарных задач в любой момент времени равнялась величине
источника тепла основной задачи. Определяя действие источника в каждой
элементарной задаче, следует помнить, что первый источник действует все
время т; продолжительность действия второго источника равна т—тг,
а третьего источника будет т—т2. Исходя из этих значений времени и должны
определяться величины критерия Фурье Fo.
Второй и третий варианты разложения (см. рис. IV-15) также полностью
соответствуют основному правилу суперпозиции, но пользоваться ими
более сложно. Так, по второму варианту источник /2 работает все время т,
Рис. IV-16. Действовавший источник тепла отключается
но в первый период, кроме того, действует источник — /2), в результате
чего, как и требуется, в первый период сумма элементарных источников
равна /2 -|- (/х— Z2) = Zx; во второй период работает лишь источник /2;
в третий период, кроме того, действует еще источник (Z3— Z2). По третьему
варианту разложения постоянно действует источник Z3; кроме того, с самого
начала работают еще два источника: (Z2— /3), действующий в течение пер-
вых двух периодов, и (Zx— Z2), действующий лишь в первый период.
Естественно, что конечный результат расчета не зависит от того, какая
схема разложения была принята. Однако разложение должно быть произве-
дено таким образом, чтобы все элементарные задачи захватывали расчетный
момент времени. Это следует из того, что при вычислении расчетного значе-
ния критерия Fo в него должен входить расчетный момент времени, а начало
отсчета времени должно совпадать с моментом включения данного элемен-
тарного источника.
Поясним сказанное на примере (рис. IV-15). Если разложение основной
задачи производилось по второму варианту и требуется определить темпе-
ратуру в момент времени ть, то вторая элементарная задача, в свою очередь,
должна быть представлена в виде суммы двух задач, схемы которых показаны
на рис. IV-16.
Некоторые другие задачи и соответствующие схемы разложения этих
задач на элементарные показаны на рис. IV-17. Приведем пример расчета.
Пример. Дано. Шар (Х = 0,5Вт/(м-град), а = 0,1 м2/ч] радиусом R = 1 м нагревается
с поверхности тепловым потоком, интенсивность которого изменяется во времени по следую-
щему графику:
0 < т < Tj Sx = 5 Вт/м2,
Тх < т < т2 32 = 2 Вт/м2,
где = 1 ч и т2 = 3 ч.
Температура шара в начале нагрева t0 — 10° С.
Найти температуру в центре шара по прошествии 3 ч.
Решение. Схему разложения данной задачи на элементарные примем следующей: пер-
вый источник $х работает все время, т. е. в течение т2 = 3 ч. Второй источник, равный S2 —
—Sx=—3 Вт/м2, работает только второй период, т. е. в течение т2 — Тх= 2 ч. Следовательно,
решение задачи является суммой решений двух элементарных задач, каждая из которых со-
ответствует задаче № 51.
71
В первой задаче начальная температура принимается равной t0 = 10° С, во второй —
равной нулю.
Вычисляем исходные аргументы:
первая задача
Fo=^- = = 0>3: Ч = 0;
вторая задача
Fo = = ОЦЛ = о,2; г] = 0.
R2 1
По графику 51-1 находим = 0,6 и02= 0,31. Вычисляем искомую температуру:
/ / I / ____О *$1^ I о (*$2 $1) -
» ~ h + *2 — ----Г ^2 ---------------Г Ч) “
5.1
= 10’0 + 0>6-0j
+- 0,31 = 10,0 + 6,0— 1,9= 14,1° С.
U,O
Рис. IV-17. Разложение источников тепла, сложно изменяющихся во времени,
на сумму элементарных источников
Приведем еще один пример, когда действуют источники тепла типа //.
Пример. Дано, Неограниченная пластина (а = 0,07 м2/ч) толщиной h = 1 м имеет на-
чальную температуру t0 = 0° С. Одна из поверхностей пластины теплоизолирована. На дру-
гой поверхности в течение тх = 5 ч поддерживается постоянная температура /п = 15° С.
Затем температура поверхности возрастает по времени линейно со скоростью b = 2,5 град/ч.
72
Найти температуру в центре пластины через т2 = 10 ч.
Решение. Начальное и граничные условия задачи следующие:
11т=о = О° С,
t |х=0 == 15°С при 0 <т
t |х=0 =15-4- 2,5 (т — тх) при тх < т гс: т2,
М =°-
дх \x=h
Данную задачу можно представить в виде суммы двух задач, имеющих следующие НУ
и ГУ:
первая задача
Пт=о = ОвС,
t |ж=0 = 15° С при 0 < тт2,
#1 =°;
дх lx=h
вторая задача
<1т=о = О°С,
t |х=0 = 2,5 (т — тх) при тх < т s£t2,
^1 =°-
дх \x=h
Первая из этих задач соответствует задаче № 16, вторая — задаче № 30. Нетрудно
убедиться, что сумма НУ и ГУ элементарных задач равна условиям основной задачи.
Вычисляем исходные аргументы:
первая задача:
Fo = = °^-° = 0,7; т) = 0,5;
h2 1
вторая задача:
Fo = = 0,07(10 — 5) = 0 5 =
№ 1
По графикам 16-1 и 30-1 находим: 0Х = 0,17 иО2= 0,11.
Вычисляем температуру:
первая задача:
= tn + ©! (f0 — М = 15 + 0,17 (0 — 15) = 12,45° С;
вторая задача:
= <<> + ©2^- = 0+0,11 = 5,36° С.
Температура в основной задаче равна:
t = + t2 = 12,45 + 5,36 = 17,81° С.
2. ВНЕШНИЕ ИСТОЧНИКИ ТЕПЛА НА РАЗЛИЧНЫХ УЧАСТКАХ ПОВЕРХНОСТИ
НЕОДИНАКОВЫ ПО ТИПУ ИЛИ ПО ВЕЛИЧИНЕ
Здесь будем рассматривать лишь тела, имеющие форму неограниченной
пластины. Если же взять, например, тело в форме шара или полуограничен-
ного тела, то неравномерное распределение ГУ (источников) по их поверх-
ности приведет к двум- или трехмерным задачам, которые здесь не рассма-
триваются. Некоторые указания по решению двух- и трехмерных задач
даны в § IV-8.
Основное правило разложения сложной задачи на элементарные и здесь
остается прежним — сумма источников тепла в элементарных задачах на
каждой поверхности в любой момент времени должна соответствовать ГУ
основной задачи.
73
Вначале для иллюстрации рассмотрим простейший случай. Пусть на
поверхности пластины х = 0 задан тепловой поток, равный Sb а на другой
поверхности х = h тепловой поток равен S2. Решение этой задачи является
суммой решений двух задач. На рис. IV-18 показаны три варианта ее разло-
жения на две элементарные задачи.
Оснобная задача
Рис. IV-18. Три варианта решения задачи для пластины,
на каждой поверхности которой действуют различные источ-
ники тепла
Дадим численный пример расчета»
Пример. Дано. Стенка (X— 1 Вт/(м*град), а= 0,08 м2/ч] толщиной ft = 0,8 м нагре-
вается тепловым потоком, плотность которого на обеих поверхностях различна и равна со-
ответственно Sj = 500 Вт/м2 и S2 = 750 Вт/м2 (см. рис. IV-18). Начальная температура стенки
равна tQ = 10° С.
Найти температуру в точке х — 0,2 м через 1 ч.
Решение. Примем вначале за основу первый вариант разложения. Каждая из элемен-
тарных задач совпадает с задачей № 22. Различия между ними состоят в том, что во
второй задаче ось х должна быть направлена в противоположную сторону, т. е. при пользова-
ла ft — х
нии расчетным графиком вместо т] = -у- надо принимать q = -у—. Начальное условие за-
дачи можно включить в любую из этих задач.
Вычисляем исходные аргументы:
первая задача:
_ ат 0,08-1 л inc Х л ос
Fo=^ = -^r = 0’125; — = oj=°’25;
вторая задача:
ах _ h — x 0,8 —0,2 п__
Fo = — =0,125; т) = -7- = —=0,75.
По графику 22-1 находим 0Х = 0,2 и 02 = 0,03 и вычисляем искомую температуру:
t = t +в1 + е8 = ю + о,2 50010’8 + о,оз 750' °’8 = 108°с.
А Л 1 1
74
Решим ту же задачу, но пользуясь вторым вариантом разложения. И в этом случае каж-
дая из двух элементарных задач совпадает по краевым условиям с задачей № 22. Однако
первая задача обладает симметрией 1-го рода относительно центральной плоскости стенки
х = Л/2, вследствие чего здесь имеет место адиабатическое условие 5=0. Поэтому при вы-
числении Fo и Г) надо вместо h писать Л/2. Во второй элементарной задаче, как и ранее, ось х
h — x
направлена вверх и поэтому т) = —.
Вычисляем исходные аргументы:
первая задача:
_ ах 0,08-1 х 0,2 Л
F° “ (Л/2)а ~ 0,16 ~°’5; 11 - Л/2 ~ 0,4 “°’5’
вторая задача:
Fo = = 0,125; т] = = 0,75.
Л2 1 h
По графику 22-1 находим = 0,46 и 02 = 0,03 и вычисляем температуру стенки:
5
, _+е,2* + в, _ ю + о,« + о.оз <75°"^>0-8- = ™-с.
Л Л 1 1
Как видим, результат получился одинаковый.
3. ТИП ВНЕШНЕГО ИСТОЧНИКА ТЕПЛА МЕНЯЕТСЯ ВО ВРЕМЕНИ
Такое изменение приводит к изменению рода ГУ и может происходить
лишь скачкообразно. Например, довольно часто бывает, что некоторое время
к поверхности тела подводится заданный тепловой поток, а затем поддер-
живается определенная температура.
Решение таких задач не может быть получено путем суперпозиции реше-
ний. В этом случае надо решать две самостоятельные задачи: одну — до
изменения типа ГУ и другую — после изменения. Решение первой задачи
дает НУ для второй задачи.
4. УСЛОВИЯ ТЕПЛООБМЕНА МЕЖДУ ВНЕШНИМ ИСТОЧНИКОМ ТЕПЛА
И ПОВЕРХНОСТЬЮ ТЕЛА ЗАВИСЯТ ОТ ВРЕМЕНИ
Такие условия могут возникнуть, например, из-за непостоянства коэф-
фициента теплоотдачи или вследствие изменения толщины слоя жидкости
у поверхности тела. Получить простое решение этой задачи невозможно.
Здесь, так же как и в предыдущем случае, метод суперпозиции неприменим.
Поэтому надо поступать следующим образом. Разделить весь расчетный
период времени на временные участки, внутри которых условия теплообмена
можно принять постоянными; произвести расчет для первого участка; затем,
приняв полученный результат в качестве НУ, произвести расчет для второго
участка и т. д.
1V-5. ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИЕ
ХАРАКТЕРИСТИКИ ТЕЛА НЕПОСТОЯННЫ
1. ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЗАВИСЯТ ОТ ВРЕМЕНИ
Если в задаче с ГУ I и II рода теплофизические характеристики зависят
от времени, например, если известны а = f (т) и X = <р (т), то имеющиеся
решения задач для постоянных теплофизических характеристик могут быть
использованы и в этом случае. Рассмотрим вопрос более подробно.
А. Граничные условия I рода. При решении задач с ГУ I рода надо
учитывать лишь изменения коэффициента температуропроводности а, кото-
рый непосредственно входит в критерий Фурье Fo = -р-. Коэффициент
теплопроводности X входит в коэффициент температуропроводности (а —
= —), но вне этого коэффициента он нигде не встречается и поэтому его
изменения сами по себе при расчетах температуры могут не учитываться1.
75
Учет изменения коэффициента температуропроводности производится
путем введения в расчет его среднего значения:
аср = -J- j a dx. (IV-35)
О
Далее все расчеты ведут, принимая коэффициент температуропровод-
ности постоянным и равным аср. Тогда значение критерия Fo оказывается
равным:
Fo = 4-fadT = ^. (IV-36)
О
Если решение основной задачи находится путем разложения на отдель-
ные элементарные задачи, то для каждой элементарной задачи надо прини-
мать свое значение аср, соответствующее периоду действия источника тепла.
Рис. IV-19. Схемы решения задач при скачкообразном изменении во времени
теплофизических характеристик и ГУ I рода
Пользование данным приемом не вводит каких-либо неточностей: реше-
ния задач, с постоянными а остаются вполне строгими и для задач с перемен-
ным значением а.
Понимание этого положения требует некоторых разъяснений. Вначале
напомним, что вся тепловая предыстория тела содержится в НУ и что для
дальнейшего хода теплового процесса неважно, каким путем данное НУ
возникло (см. § 1-2). Представим себе теперь, что два тела отличаются друг
от друга значениями коэффициента а, а ГУ и НУ у них одинаковые. Тогда
в дальнейшем при равных значениях Fo их поля температур будут одинако-
выми. При этом безразлично, каким образом к рассматриваемому моменту
времени возникло данное распределение температуры: прошло ли много
времени от некоторого начального состояния, а коэффициент температуро-
проводности был все время мал, или, напротив, времени прошло мало, а коэф-
фициент температуропроводности был велик. Можно сказать, что «тепловые
пути», проходимые обоими телами, одинаковы, но «скорость» их прохождения
различна — она пропорциональна величине коэффициента а. Таким образом,
температурное состояние обоих тел полностью определяется значением кри-
терия Fo, а поэтому можно принимать любое температурное состояние
за НУ и вести далее расчет в соответствии с имеющим место в данное время
значением а, хотя до этого значение а могло быть иным. Это и позволяет
пользоваться осредненным значением а. Схемы решения двух таких задач
показаны на рис. IV-19. Ниже приводим пример расчета.
76
Пример. Дано. На одной из поверхностей пластины толщиной h = 0,5 м в течение тх =
= 2 ч поддерживается постоянная температура tr = 80° С, затем температура становится
равной /2 = 0° С. Другая поверхность теплоизолирована. Начальная температура /0 = 10° С.
В течение первого периода (т^Тх) коэффициент температуропроводности линейно зависит
от времени: аг = а0 + а'т, где а0 = 0,05 м2/ч, а' — 0,015 м2/ч2, а затем его величина может
быть принята постоянной и равной а2 = 0,055 м2/ч.
Найти среднюю температуру пластины в момент времени т2 = 7 ч.
Решение. По НУ и ГУ данная задача совпадает с задачей № 16, но отли-
чается от нее тем, что а = f (т). Согласно вышеизложенному, решение такой задачи является
суммой двух элементарных задач (см. первую задачу на рис. IV-19). НУ основной задачи вклю-
чим в первую элементарную задачу, а для второй примем t0 = 0.
Вычисляем исходные аргументы:
первая задача:
Fo- 1 f‘g.dT I = 1 аЧ' I
й« J 1 + ft® ft, + +
о
। аг(т2 — т1) 0,05-2 ) 0,015-4 1 0,055(7 — 2)
4 Л2 “ "О^Г+ 2-0,25 4 (\25 “ ’
вторая задача:
а2(т2 — Tj) 0,055(7 — 2) .
F°=-------------------(\25--- =,’L
По графику 16-2 находим 0х = 0,016 и02~ 0,08. Вычисляем среднюю температуру в эле-
ментарных задачах:
71 = /1 + 0! (tQ — /х) = 80 + 0,016 (10 — 80) = 78,9е С;
*2 = —*1 + &2 (*о+Ь) = —80 + 0,08 (0 + 80) ==—73,6° С.
Решение основной задачи: t = tx + t2 = 78,9 — 73,6 = 5,3° С.
Б. Граничные условия II рода. Если решается задача с ГУ II рода,
то помимо изменений а надо учитывать и изменения %. Разъяснение того,
каким образом удается здесь применить метод суперпозиции, представляет
не только практический интерес, но и помогает более глубокому пониманию
закономерностей распространения тепла в твердых телах.
Изменение а не вносит особых трудностей в расчет и может быть учтено
путем осреднения, как это было сделано выше для задач с ГУ I рода. С учетом
коэффициента Л дело обстоит иначе. Важно уяснить, почему а можно осред-
нять, а % — нельзя. Трудность здесь вызвана тем, что коэффициент Л рходит
непосредственно в температурный параметр 0. Например, для задачи № 22:
0= MZ~Zo) = /(Fo, т]). (IV-37)
Поэтому даже при одинаковых значениях Fo, но различных X будет
иметь место не равенство, а лишь подобие температурных полей, что уже
не дает права решать задачу осреднением X. Такие задачи могут быть решены
двумя способами.
Пер в ы й способ. Рассмотрим вначале следующий простой слу-
чай: у поверхности тела некоторое время работает источник тепла постоян-
ной интенсивности Sx, а затем источник выключается (S2 = 0) и одновре-
менно изменяются теплофизические характеристики а и К (рис. IV-20).
Задача состоит в определении теплового состояния тела во втором периоде.
Прежде всего обращает на себя внимание то, что во втором периоде,
когда происходит выравнивание температуры при нулевом значении ГУ,
решение не зависит от X. Например, в задаче № 25, имеющей в ка-
честве ГУ условие S = 0, температурный параметр имеет вид:
0 = +~-*0;2- = f (Fo, Т]), (IV-38)
Г0»1 ?0.2
поэтому процесс выравнивания температуры при одинаковых НУ идет оди-
наково в телах с различными значениями X — определяющим является
77
только, критерий Fo и, следовательно, лишь а, а значения Л могут прини-
маться любыми, например равными Таким образом, задача свелась к за-
даче с переменными значениями ГУ и а. Решение этой задачи можно предста-
вить в виде суммы решений двух элементарных задач, как это показано на
рис. IV-20.
Рис. IV-20. Схема решения задачи при скачкообразном изменении во времени
теплофизических характеристик и ГУ II рода
Если в период действия источника величина % меняется, например
один раз (рис. IV-21), то основная задача разбивается на две, в каждой из
которых можно выделить два периода период нагревания и период вырав-
нивания температуры (вторая задача охватывает период времени, равный
т8— в свою очередь, эти задачи разбиваются на элементарные по способу,
изложенному выше.
Рис. IV-21. Схема решения задачи с ГУ II рода при многократном
изменении во времени теплофизических характеристик
Совершенно так же следует поступать, если в период действия источи*
меняется его значение — решение следует искать как сумму решений за;
с постоянными Л (рис. IV-22).
Пример. Дано. Неограниченная пластина толщиной h = 1 м в течение = 3 ч под
гается нагреву с одной стороны постоянным тепловым потоком S = 1000 Вт/м2. Затем на
ватель отключается. Вторая поверхность теплоизолирована. В течение периода нагрева та
физические характеристики материала пластины равны: а* — 0,05 м2/ч, = 0,5 Вт/(м.гр
после выключения нагрева они изменяются: а2 == 0,15 м2/ч, Х2 = 1,5 Вт/(м-град). Начал!
температура пластины равна /0 == 0° С.
78
Найти температуру в центре пластины через т2 = 5 ч после начала нагрева.
Решение. Согласно изложенному выше, решение данной задачи можно представить
в виде суммы решений двух задач (рис. IV-20), каждая из которых по краевым условиям
совпадает с задачей № 22. Вычисляем исходные аргументы:
первая задача:
Fo = -ffi- + °>15^-3Uo,45; п=0,5;
вторая задача:
Fo = —?1) = 0.15 (5 — 3) = 0 3. = 0>5;
По графику 22-1 находим 0Х = 0,41 и 02 = 0,26. Вычисляем искомую температуру
, _,, + в “ + в, <-*>» _о +
и,о и,о
Второй способ. Изменение коэффициента теплопроводности
может быть учтено путем изменения расчетного значения теплового потока
на границе тела таким образом, чтобы градиент температуры тела у границы
Рис. IV-22. Схема решения задачи при многократном изменении во вре-
мени теплофизических характеристик и плотности теплового потока
на поверхности тела
оставался равным его истинному значению. Для этого, согласно основному
уравнению теплопроводности (1-1), изменению значения А, должно соответ-
ствовать такое же изменение значения S. Так, если коэффициент Л возрос
в 2 раза, но в расчете он принят неизменным, т. е. заниженным в 2 раза,
то расчетное значение S с данного момента времени должно быть также
уменьшено в 2 раза по сравнению с его действительным значением. При этом
безразлично, является ли S в действительности постоянным или переменным.
Таким образом, задача с переменным во времени % сводится к задаче с пере-
менным во времени S.
Пусть, например, S = Sx = const, а X является линейной функцией
времени: X = Хо + Х'т. В данном случае вместо задачи с постоянным тепло-
вым потоком и линейно изменяющимся % можно решать задачу с любым,
79
но постоянным X (например, X = Ло) и переменным тепловым потоком, изме-
няющимся по закону:
В температурный параметр 0 надо подставлять «опорное» значение
к = Хо. Учет зависимости коэффициента температуропроводности от времени
производится путем осреднения его значения.
В. Граничные условия III рода. Задачи с ГУ III рода при переменных
теплофизических характеристиках изложенными выше способами не могут
быть решены. Это объясняется тем, что с изменением теплофизических
характеристик поля температур в двух одинаковых телах при равных Fo
не являются ни равными, ни даже подобными, если не равны значения
Bi = Поэтому в данном случае задачу надо решать следующим образом.
Разделить весь расчетный период времени на отдельные интервалы, внутри
которых значения аик могут быть приняты постоянными, и решать отдельно
задачу для каждого интервала. Граничные условия во всех этих задачах
должны соответствовать ГУ основной задачи в данный момент времени.
Распределение температуры в конце интервала служит НУ в задаче для
следующего интервала.
2. ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЗАВИСЯТ ОТ ТЕМПЕРАТУРЫ
Если теплофизические характеристики тела аик существенно зависят
от температуры, то можно поступать таким же образом, как и в задачах
с ГУ III рода и к = f (т), т. е. разбить весь расчетный период на отдельные
части, внутри которых принимать значения аик постоянными и одинаковыми
во всем теле. Температура в конце каждого расчетного промежутка служит
основанием для задания новых значений аик для следующего промежутка
времени, причем величины теплофизических характеристик должны осред-
няться по толщине тела в соответствии с полученной кривой t — f (х). Для
уточнения можно проделать повторные расчеты, задаваясь значениями а
и к средними за данный промежуток времени.
3. ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ МЕНЯЮТСЯ ПО КООРДИНАТЕ
СКАЧКООБРАЗНО (ГУ IV РОДА)
Рассмотрим неограниченное тело, в котором в полуограниченной области
х > 0 теплофизические характеристики равны klt с1г рх, а в полуограничен-
ной области х < 0 они равны Л2, с2, р2.
Оказывается, что в ряде случаев тепловой режим тела здесь может
быть рассчитан совершенно так же, как и в задачах для полуограниченного
тела. Нужно только знать тепловое условие при х = 0.
А. Начальная температура меняется скачкообразно (ГУ IV рода при-
водится к ГУ I рода). Если при т = 0 в области х > 0 начальная темпе-
ратура равна to,!, а в области х < 0 соответственно /0.2, то на границе между
областями (х — 0) устанавливается постоянная температура, равная:
где
tx=S3 = to,2 4- (Й),1
т
Вместо (IV-39) можно написать
*Ж=0 ^0,2
(IV-39)
^lglpl ^2^2 Р 2 (IV-40)
т (IV-41)
т + 1
А>.1 — ^0.2
Таким образом, задача сводится к решению двух самостоятельных задач
с ГУ I рода: определению теплового режима двух полуограниченных тел при
заданной на поверхности постоянной температуре (см. задача № 1).
80
Заметим, что если коэффициент теплопроводности Л (точнее говоря,
коэффициент теплоусвоения J^kcp) одного из полуограниченных тел относи-
тельно велик, то на границе х = 0 устанавливается начальная температура
этого полуограниченного тела. Например, если Л2с2р2 А1с1р1, то т О
и tx=Q = /е>2. Поэтому, если рассматривается не два полуограниченных тела,
а неограниченное тело, в котором в области —h х h коэффициент
теплоусвоения гораздо меньше, чем в областях х > Ли х < —Л, а начальные
температуры равны /0|1 и Z0t2, то расчет ведут как для неограниченной пла-
стины, на поверхностях которой поддерживается постоянная температура
tx=h tx=—h ‘ ^о>2-
Пример. Дано. Два полуограниченных стержня, имеющих начальную температуру,
соответственно, ZOll — 10° С и £0,2 = 30° С, приведены торцами в соприкосновение. На боко-
вых поверхностях теплообмена нет; поперечное сечение стержней по длине неизменно. Тепло-
физические характеристики первого стержня (%>0) равны: = 0,76 Вт/(м-град), =
= 0,24 Вт-ч/(кг-град), рх = 1700 кг/м3, а± = 1,82 «Ю"3 м2/ч; второго стержня (х< 0) равны:
Х2 = 1,3 Вт/(м-град), с2 — 0,24 Вт-ч/(кг-град), р2 = 2000 кг/м3, а2 = 2,75-10“3 м2/ч.
Найти температуру на расстоянии 0,1 м по обе стороны от места стыка через 2 ч.
Решение. В соответствии с изложенным выше задачу о тепловом режиме неограничен-
ного тела с различными теплофизическими характеристиками можно свести к двум самостоя-
тельным задачам для полуограниченных тел с постоянными Z, с и р, так как на границе х = О
температура постоянна и равна:
(к=о ~ ^0,2 + (4),1 — ^0,2)
1/ViPi
г ^2с2р2
1/^рГ+1
Г A2CjjP2
= 30+ (10 —30)
-у Г 0,76-0,24-1700
V 1,3-0,24 «2000
j/* 0,76-0,24-1700
V 1,3-0,24-2000
Каждая из этих задач совпадает с задачей № 1. Вычисляем исходные аргументы:
при х = 0,1 м _ агх 1,82- IO'3- 2 Fo‘ х* “ 0,01 "°’36:
при х = —0,1 м рп g2T 2,75-10 3-2 л 55 Fo* —0,01 °’55-
По графику 1-1 находим = 0,76 и 02 = 0,67.
Вычисляем искомую температуру:
при х = 0,1 м
*1 = tx=0 + 0! (/0,1 - <х=о) = 21,7 + 0,76 (10 - 21,7) = 12,8° С;
при х = —0,1 м
/2 = /х=0 + 02 (/о,2 - ^=о) = 21,7 + 0,67 (30 - 21,7) = 27,3° С.
Б. Действует источник тепла (ГУ IV рода приводится к ГУ II рода).
Пусть в плоскости стыка двух полуограниченных тел выделяется тепло
с постоянной во времени интенсивностью S. Начальная температура во всей
неограниченной области одинакова и равна /0. Очевидно, что некоторая
часть этого тепла поступает в область х > 0, а остальная часть — в область
х < 0. Каждая из этих частей во времени не меняется и равна:
для х *= +0
<iv-42>
для х = —0
s2 = S-S1 = S—(IV-43)
6 Заказ 94 5
81
Заметим, что если теплофизические характеристики обоих полуогра-
ниченных тел одинаковы, то т = 1hSi = S2 = S/2. Если же теплопровод-
ность одного из полуограниченных тел значительно превышает теплопровод-
ность другого тела, то все тепло, выделяющееся на границе х = 0, поступает
в первое тело, а во втором теле температура остается практически неиз-
менной.
Метод суперпозиции позволяет сделать важное обобщение на случай,
когда S является функцией времени. Для этого достаточно мысленно разло-
жить действующий источник S на ряд элементарных источников, каждый
из которых постоянен во времени, но начинает действовать в различное
время. Так как для каждого из этих источников справедливы соотношения
(IV-42) и (IV-43), то они будут справедливы и для суммарного (действующего)
источника, интенсивность которого переменна. Следовательно, отношения
Sj/S и Sz/S от времени не зависят не только при постоянном S, но также
и при S = f (т). Поэтому все решения с ГУ II рода для полуограниченного
тела непосредственно применимы и здесь.
В. Приближенное решение. Приближенно решение для многослойного
тела можно найти путем его приведения к однослойному. Для этого следует
принять коэффициент температуропроводности всех слоев одинаковым,
равным значению а в каком-либо одном слое, и изменить при расчетах тол-
щину других слоев таким образом, чтобы сохранились неизменными значе-
ния обоих типов тепловых сопротивлений этих слоев:
температурного
я? hl
и теплоемкостного
С, = с,рД.
Для того, чтобы соблюсти одновременно оба условия, необходимо:
Hit, (Cl = = idem
или, иначе,
Fo,- = idem.
Например, если слой i приводится к эквивалентному слою с тенлофизи-
ческими характеристиками слоя i = 1, то его расчетная толщина
t ЭКВ
__I, l/" ciPi
~hl V w •
Эквивалентная толщина тела, состоящего из i слоев, равна
1V-6. ВНУТРЕННИЕ ИСТОЧНИКИ ТЕПЛА
1. ИСТОЧНИКИ РАВНОМЕРНО РАСПРЕДЕЛЕНЫ ПО ВСЕМУ ОБЪЕМУ ТЕЛА
Напомним, что внутренние источники тепла могут быть только типа /s.
Решение задачи с внутренними источниками, согласно принципу суперпо-
зиции, может быть получено путем суммирования решений двух задач:
одной — без внутренних источников, но с данными НУ и ГУ (tj и вто-
рой — с внутренними источниками, но с нулевыми НУ и ГУ (tg):
t = tt + tr (IV-44)
Методы решения первой задачи изложены выше. Остается показать,
как решать вторую задачу, с внутренними источниками тепла.
82
Воспользуемся для этого следующей замечательной и, в то же время,
простой связью между решениями задач с внутренними, равномерно распре-
деленными по всему объему тела источниками тепла и задачами с перемен-
ными во времени ГУ I или III рода:
^ = ^ад—it- (IV-45)
Здесь t4 — температура в теле с внутренними источниками тепла к конечному
(расчетному) моменту времени тк; /ад — адиабатическая температура в теле
к моменту времени тк, т. е. температура, которую тело с внутренними источ-
никами приобрело бы при полном отсутствии теплообмена на поверхности.
Эта температура равна:
тк
*ад=“ J qvdx. (IV-46)
Величина tt представляет собой температуру тела без внутренних
источников, но при переменной температуре внешнего источника тепла
равной:
при ГУ I рода /х=о = тк
44 (IV-47)
при ГУ III рода -О1 = 0
Заметим, что температура на поверхности тела и температура среды
в момент времени т равны адиабатической температуре тела к этому моменту
времени.
Если, например, интенсивность внутренних источников постоянна
во времени qv = q0, то задача, которой определяется 4» есть задача
с линейным изменением температуры на поверхности, (см., например,
задачи № 5 и 30), где Ь = ^0/(ср). Если qv = q^m, то имеем 4=о = 6тга+1,
где b = q9/tcp (т +1)], а при qv = qoe~^ имеем tx=o = t„ (1 — e-₽t)>
где tn = 9»/(cp₽).
При ГУ III рода вместо 4=о надо принимать температуру среды О.
Если имеет место ГУ II рода, то нулевое значение ГУ означает, что на
поверхности отсутствуют какие-либо источники и поэтому 4 = 0, а урав-
нение (IV-45) упрощается
t9 = ta„. (IV-48)
Пример. Дано. На поверхности цилиндра радиусом R = 1 м [а = 0,05 м2/ч, ср =
= 0,48 Вт-ч/(м8-град)] поддерживается постоянная температура tn = 80° С. В цилиндре
действуют равно ерно распределенные источники тепла постоянной интенсивности qy =
= 30 Вт/м8. Начальная температура цилиндра /0 = 20° С.
Найти температуру на оси цилиндра через тк = 5 ч.
Решение. Данную задачу можно представить в виде суммы двух задач t = + tq>
где tr — решение задачи с данными НУ и ГУ, но без источников тепла, a tq — решение задачи
с источниками тепла, но при нулевых НУ и ГУ.
Первая задача совпадает с задачей № 41. Вычислив
~ аик 0,05-5 о_
Fo = =----*----= 0,25 и т] = 0
и найдя по графику 41-1 0 = 0,39, определяем
1г = tn + 0 (/о ~ *п) = 80 + 0,39 (20 — 80) = 56,6° С.
Для определения tq используем прием, изложенный выше:
tq ~ tan tt.
Вычисляем адиабатическую температуру:
4д = — ( qvdx = -^ = ^ = 312.5° С
ад СР / с9 0,48
6 83
Величина tt является решением задачи без источников тепла, когда температура поверх-
ности изменяется по закону:
тк
= w& = = ==62»9 гРад/4-
По краевым условиям эта задача совпадает с задачей № 44. Значения исходных аргу-
ментов Fo и т) те же, какие использовались ранее для определения t±. По графику 44-1 находим
в = 0,07 и вычисляем:
/* = <о+©-^- = 0 + 0,07 -^^- = 88,1° С.
Вычисляем искомую температуру: t— + ^д — it = 56,6+ 312,5 — 88,1 = 281,0е С.
2. РАВНОМЕРНО РАСПРЕДЕЛЕННЫЕ ИСТОЧНИКИ
РАСПОЛОЖЕНЫ В ЧАСТИ ОБЪЕМА ТЕЛА
Решения задач с источниками, равномерно распределенными в неогра-
ниченном или полуограниченном телах, могут быть использованы и для
решения задач, в которых равномерно распределенные источники занимают
не весь, а лишь часть объема этих тел. Источники могут быть как постоянные,
так и переменные во времени, что не влияет на схему получения новых реше-
ний. Рассмотрим два случая.
Рис. IV-23. Схема решения задачи для неограниченного тела с равномерно
распределенными источниками тепла в области х > 0
А. Неограниченное тело, источники в области х >0, равномерно
распределенные, интенсивности qv = qx. В области х<0 источников нет.
Решение этой задачи может быть получено как сумма решений двух
задач (рис. IV-23), в каждой из которых интенсивность источников равна
91/2:
tq--4 + 4*
В первой задаче имеет место симметрия 1-го рода относительно пло-
скости х = 0, и поэтому Sx=o = 0. Тогда, согласно (IV-48),
= ^ад = —" [ “К" Т*
1 ад ср J 2 2ср
о
Во второй задаче плоскость х = 0 является плоскостью симметрии
2-го рода, и поэтому /х=о = 0. Решение этой задачи ищем в виде (IV-45)
^2 = ^ад
Здесь tt является решением задачи для полуограниченного тела, тем-
пература поверхности которого изменяется по закону:
= где ь = ^-
84
По «Перечню задач неустановившегося режима...» убеждаемся, что
такая задача совпадает с задачей № 5. Следовательно, tt = 6т08, и тогда
Для второй половины неограниченного тела (х < 0) величина /2 имеет
обратный знак.
Таким образом, окончательно решение основной задачи имеет вид:
при х > 0
при х < 0
= (IV-49)
Значения 05 могут быть найдены по расчетным графикам. Для получения
развернутого аналитического уравнения надо подставить выражение для 05.
Взяв за основу решение данной задачи, можно решить, например, все
задачи, показанные ранее на рис. IV-1—IV-10, пользуясь указанными там
схемами. Разница состоит лишь в том, что вместо начального распределения
температуры (мгновенных источников) здесь будут фигурировать длительно
действующие источники. Покажем, как получить решение следующей задачи.
Б. Неограниченное тело, источники в слое —Ьо <х < +&0, равно-
мерно распределенные, интенсивностью qv = q0.
Задача подобна задаче, показанной на рис. IV-2. Ее решение равно
сумме решений двух элементарных задач, каждое из которых выражается
формулами (IV-49). В первой элементарной задаче: qv = +qG при х >—&0,
причем аргумент равен
Fo = ат
1 (Х + &О)2-
Во второй элементарной задаче
qv = —qQ при х > +b0 и аргумент Fo2
ат
(х —Ь0)2*
Для х> +60 можем
написать
/ Г1 (Foi) 1 „ / _
[ 1------2----J и ~
Следовательно,
— д^
ф
05 (Fo2)
2
t = /1 + /2 = [06 (Fo2) — 05 (Fox)J. (IV-50)
1
3. ИСТОЧНИКИ РАСПРЕДЕЛЕНЫ В ТЕЛЕ НЕРАВНОМЕРНО
Если интенсивность внутренних источников тепла зависит от коорди-
наты, то истинное распределение источников тепла по координате надо заме-
нить ступенчатым, т. е. таким, чтобы можно было принять в данном слое qv
постоянным по координате. Задача разбивается на элементарные задачи,
каждая из которых учитывает действие источников только в данно'м слое
при отсутствии источников в остальной части тела (рис. IV-24). Заметим, что
в каждом слое может быть свой закон изменения qv во времени*
Рис. IV-24. Схема решения задачи для полуограниченного тела с неравномерно^рас-
пределенными источниками тепла
85
IV-7. НА ПОВЕРХНОСТИ ТЕЛА СЛОЙ ЖИДКОСТИ
В книге приведены решения 6 задач, в которых на поверхности пластины
имеется слой жидкости или слой твердого тела (h')t у которых коэффициент
теплопроводности 1' очень высок (задачи № 73—78). При выводе формул
принимается к' — оо, что приемлемо, если
Здесь ft — характерный размер тела, имеющего конечный коэффициент
теплопроводности к.
Пользование принципом суперпозиции и здесь справедливо и позволяет
поэтому, учитывая эти решения, получать решения других задач. Кроме
Рис. IV-25. Схема решения задачи для полуограниченного тела с теплоемкостным (жидкость}
и температурным (коэффициент а') сопротивлениями на поверхности
того, в § II1-3 было показано, что применение принципа взаимности позво-
ляет весьма просто получать частичные решения задач с жидкостью на по-
верхности с помощью задач с ГУ III рода.
В настоящем параграфе рассматривается вопрос о тепловом режиме
полуограниченного тела, покрытого слоем турбулизированной жидкости
(X' = ©о), нагреваемым тепловым потоком Sy, в общем случае зависящим
от времени (ГУ V рода), причем переходное температурное сопротивление
между жидкостью и твердым телом равно к/a. Так как безразлично, посту-
пает ли тепло в жидкость извне (S) или выделяется внутри жидкости (S' =
= qyh'), то Sv = S + S'.
Решением задачи для полуограниченного тела со слоем жидкости на
поверхности служит алгебраическая сумма решений двух задач с ГУ III рода
каждая (рис. IV-25):
(у = (щ, !— Ли. a- (IV-52)
Коэффициенты теплоотдачи равны:
в первой задаче
+ <IV-53>
во второй задаче
В обеих задачах температура среды равна:
1
— h 4* c'o’h’ J 4“ 5*) dx
V р ffr •/
1
(IV-54)
(IV-55)
где tt и — начальные температуры в теле и в жидкости.
86
В частном случае, практически часто встречающемся, когда коэффициент
теплоотдачи а' от жидкости к поверхности твердого тела очень велик
^Bi = > 50^, решением является алгебраическая сумма двух задач— од-
ной с ГУ I рода и другой с ГУ III рода; вместо решения (IV-52) имеем:
tv = t\ — Ли,
(IV-56)
причем коэффициент теплоотдачи в задаче с ГУ III рода и температурные
источники равны:
а = 7^т, (IV-57)
hс'р v 1
=ol 1 ?
= J (S + S,) + W “/о)-
(IV-58)
Пример. Дано- На поверхности грунта [X = 1,49 Вт/(м-град); с = 0,321 Вт-ч/(кг-град);
р = 1960 кг/м3; а = 2,37 • 10“3 м2/ч] имеется слой хорошо турбулизированной воды [Xх = оо,
с' ~ 1,163, Вт-ч/(кг-град); р' = 1000 кг/м3] толщиной h' — 0,5 м. Начальная температура
грунта и воды t0 = t'Q = 6° С. В воду поступает тепловой поток, интенсивность которого S =
— 20 Вт/м2.
Найти температуру воды и грунта на глубине х = 1,0 м через т = 1 месяц.
Решение- По принципу эквивалентности данная задача с ГУ II рода и со слоем жидкости
может быть представлена в виде суммы двух задач с ГУ I и III рода, но без жидкости [см.
формулу (IV-56) ]. Температуры поверхности и среды в эквивалентных задачах найдем по фор-
муле (IV-58):
ст 9Лт
**=° = d = с;р,А, = ijl63.1000.0(5 = 0,034т;
согласно (IV-57), во второй эквивалентной задаче
Хер __ 1,49-0,321-1960
Л'с'р' " 0,5-1,163-1000 ~
1,61 Вт/(м2-град).
Слагаемые (эквивалентные) задачи совпадают по условиям с задачами № 5 и 8. Расчет-
ная формула для искомой.температуры поверхности грунта (воды) имеет вид
t — t0 + tn — 6т0,
причем исходным аргументом для определения температурного параметра 0 по графику 8-1
служит
М- а*ах - 0»61)2*2,37-10“3-720
X2 ~ (1,49)2
Находим 0 = 0,53 и вычисляем искомую температуру:
t = 6 + 0,034-720 (1 — 0,53) = 17,5° С.
Температуру грунта на глубине х = 1,0 м найдем по формуле
t = t0-\-bx (01 — 02),
причем исходные аргументы для определения температурных параметров 0Х и 02 равны:
для величины 0Х
„ ат 2,37-10“3«720 ,
F°x = ^- =----------j------=1,71;:
для величины 02
_ 1^1 г>- 1,61-1 ,
Fox - 1,71; Bix — — 1>49 - 1,08.
Найдя по расчетным графикам 5-1 и 8-1 0Х = 0,4 и 02 = О,3, вычисляем искомую тем-
пературу:
t = 6 + 0,034-720 (0,4 — 0,3) = 8,4° С.
Если, начиная с т = тх = 0,5 мес., было бы S = 50 Вт/м2, то решение надо искать сле-
дующим образом. Следует разбить задачу на две составляющие. Одна полностью совпадает
с решенной выше задачей. Во «торой надо вести начало отсчета времени от тх, т. е. приняв
вместо т значение (т — тх) и приняв, что начальная температура tQ = t'o = 0° С и S = 50 —
—20 = 30 Вт/м2.
87
Приведенный способ решения задач прост и практически удобен. Учиты-
вая, что способ является новым и представляет теоретический интерес,
кратко укажем путь, который и привел к нему. Сперва рассмотрим решение
(IV-56). Схема решения показана на рис. IV-25. Исходная задача расклады-
вается на две составляющие задачи. В обеих составляющих задачах толщина
слоя жидкости у поверхности тела очень (бесконечно) велика. В первой
составляющей задаче источники расположены во всем объеме жидкости
(—оо < х < 0).
Так как в исходной (решаемой) задаче источники qv= —£?,- дей-
ствуют лишь в области —hs х < 0, то во второй составляющей задаче
Рис. IV-26. Эквивалентная замена источников тепла и тепловых сопротивлений
источники обратного знака (—qv) располагаются в области —оо < х <
< —hs- Теперь совершаем эквивалентные переходы в каждой составляющей
задаче, заменяя в них источники теплового потока температурными источ-
никами и теплоемкостные сопротивления температурными сопротивлениями
(рис. IV-26). В обеих задачах эквивалентные температурные источники оди-
наковы по абсолютным значениям и равны
X X
«=^д = -^-|(±<7у)^ = J(S + S')dT. (IV-59)
о о
Эквивалентные температурные сопротивления определяют, исходя из
необходимости соблюсти равенство ht = hSt откуда получаем (IV-57).
В первой составляющей задаче hs = 0 и поэтому после эквивалентного
перехода ht = 0, т. е. имеет место ГУ I рода.
Во второй составляющей задаче hs > 0 и поэтому и ht > 0, что соот-
ветствует ГУ III рода.
Таким образом, решение задачи для полуограниченного тела со слоем
турбулизованной жидкости на поверхности и с внешними источниками тепло-
вого потока (ГУ V рода) находится в виде алгебраической суммы решений
двух составляющих задач, из которых в одной задаче задан ход температуры
поверхности (ГУ I рода), а в другой — ход температуры среды (ГУ III рода).
Справедливость полученного общего решения (IV-56) может быть также
подтверждена, если рассмотреть два относительно простых случая, для
которых решения известны.
88
1-й случай: S + S' = const. Согласно (IV-58), надо принимать,
что температура поверхности тела и температура среды изменяются ли-
нейно:
^=о — & = Ъх,
где
6-^-.
c'p'h
Значение коэффициента теплоотдачи от поверхности тела определяется
по формуле (IV-57). Решения обеих составляющих задач известны и для
каждой из них имеются расчетные графики (задачи № 5 и 8); их сумма,
согласно (IV-56), является решением для рассматриваемого случая (см.
выше последний численный пример).
2-й случай: S + S' = 0, начальная температура в теле равна нулю,
а в слое жидкости h' отлична от нуля t'x=o = /6 4= 0.
Начальное теплосодержание жидкости может быть представлено как
результат действия в момент т = 0 мгновенного источника Is, выделяющего
(на единицу площади поверхности тела) количество тепла, равное W —
= cphsto. Очевидно, что интеграл в (IV-58) равен W и, следовательно, в дан-
ном случае tx=o = *0* = to-
Поэтому /[ и представляют собой решения составляющих задач
при постоянных температурах поверхности тела tx=o = й и среды б = to.
Как и в первом случае, решения обеих составляющих задач известны
(см. задачи № 1 и 4), поэтому решение для этого, второго, случая, согласно
(IV-56), также можно считать найденным.
Мы выбрали указанные два частных случая, так как для них уже ранее
имелись решения, что позволяет проверить, верна ли полученная нами фор-
мула (IV-56). Решения для обоих случаев даны в [30, с. 301, формулы (4.11)
и (4.12)]. Внимательное рассмотрение позволяет обнаружить, что каждое
решение действительно представляет собой сумму решений двух задач и
полностью совпадает с решением (IV-56).
Но если метод решения задач теплопроводности полуограниченных
тел, покрытых слоем воды, верен при ls = const и при мгновенном выделении
тепла, то очевидно, что, согласно принципу суперпозиции, он справедлив
и при любом законе изменения /$. Таким образом, подтверждается правиль-
ность решения (IV-56) для более общих случаев.
Труднее и в то же время важнее изложить схему получения зависимости
(IV-52).
Известно аналитическое решение задачи с жидкостью при а' =£ оо
для простейшего случая, когда S + S' = 0 и начальная температура тела
равна нулю, а температура жидкости равна to [30, с: 301 и 302, формулы
(4.17) и (4.18)]. Указанное решение в наших обозначениях и после простей-
ших преобразований имеет следующий вид:
t = zo [exp (ух 4- у2х2Fo) erfc 4- ух рТо ) -
— exp (|3х + р2х2 Fo) erfc (—P^Fo
\ 2 V Fo
(IV-60)
причем значения 0 и у являются корнями квадратного уравнения
’‘+v+w = (’+?)<’+ii>- <IV-61>*
* Заметим, что в [30] имеется опечатка: вместо (q + 7) напечатано (q — у); в английском
оригинале опечатки нет.
89
Сопоставим решение (IV-60) с решением задачи распространения тепла
в полуограниченном теле при нулевом начальном условии и постоянной
температуре среды, которое, как известно, имеет следующий вид:
= erfc ——exp (-^- + -^-Fo')erfc(—-J=.- 4- -г- V Fo V (IV-62)
О 2 KFo \ ht 1 h2t ) \ 2 KFo ht r ) 1 '
Первый член правой части описывает изменение температуры при
ГУ I рода, а второй член является поправкой, равной замедлению процесса
нагрева (охлаждения) вследствие того, что имеет место ГУ III рода, т. е.
у поверхности существует температурное сопротивление. Нетрудно заметить,
что решение (IV-60) представляет собой арифметическую разность решений
(IV-62) для двух задач; в указанных двух задачах
= (IV-63)
и, соответственно» в первой задаче ht. 1- = 1/р, (IV-64)
во второй задаче ht. 2 = 1/v- (IV-65)
Итак, доказано, что решение (IV-60) может быть выражено зависимостью
(IV-52), (что и требовалось доказать), где /1П, j и /П], 2 — соответственно,
решения (IV-62) задач с нулевыми начальными условиями, постоянными и
одинаковыми температурами среды и различными коэффициентами тепло-
отдачи ах и а2.
Помня, что ht — 1/а, из (IV-64) и (IV-65) найдем:
at = Ар, (IV-66)
а2 = Ку. (IV-67)
Остается найти, чему равны р и у: для этого воспользуемся уравнением
(IV-61).
Очевидно, что
-^ = г + Р. - 7р' (IV-68) (IV-69)
Следовательно,
. _ 1 1 А ' ? + Р 1 , 1 «1 + «а ’ (IV-70)
Й/, 1 2
_! 1 1 h 1 h 1 1 \ ЛУ-7П
(IV-/
откуда находим систему уравнений, которая определяет значения «J и ос2:
а' = tZj 4- а2, (IV-72)
hs = 1 1 А ах 1 а2 (IV-73)
Подставляя (IV-72) в (IV-73), получим:
а2—a'ai 4--Д-а' = 0, (IV-74)
откуда окончательно находим (IV-53) и (IV-54).
90
Значение температуры среды находится подстановкой (IV-66) и
® (IV-63)
(IV-75)
(IV-76)
или, раскрывая значения коэффициентов теплоотдачи, получаем
/1 - 4X/(a'/is)
Из принципа суперпозиции следует, что, когда S + S' =£ 0 и
надо принимать температуру среды для обеих составляющих задач по зави-
симости (IV-55).
Очевидно, что, если а' = оо, решение (IV-52) переходит в решение
(IV-56). Интересно отметить, что условие эквивалентного перехода сопроти-
влений ht = hs в данном случае, когда а' =£оо, приняло вид hs = ht, i +
+ ht, 2, а эквивалентная замена источника теплового потока на температур-
ный источник повела к увеличению последнего, так как ^= ======= > 1.
1V-8. ТЕЛО ОГРАНИЧЕНО ВЗАИМНО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫМИ
И ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ ПОВЕРХНОСТЯМИ
Имеющиеся решения задач для полуограниченного тела, пластины и
цилиндра (тел простой формы) могут быть легко использованы для решения
задач с телами, геометрическая форма которых образуется при взаимно
перпендикулярном пересечении этих трех тел. Таким образом образуются
тела еще девяти геометрических форм (табл. IV-1).
Следует подчеркнуть, что приводимые ниже способы решения задач
применимы и для анизотропных тел в случаях, когда по направлению рас-
пространения тепла в простых телах теплофизические характеристики не
меняются.
1. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ I И III РОДА
В задачах с ГУ I и III рода для расчета температуры служат, как обычно,
уравнения
t = tn + &(t0-tn) (IV-77)
или
t = О-|-в(/0_ fl), (IV-78)
но здесь значения температурного параметра 0 определяются как произведе-
ние температурных параметров задач для тел простой формы (табл. IV-1).
Указанный прием может быть использован в тех случаях, когда началь-
ная температура во всем теле одинакова. Температура среды у всех поверх-
ностей тела (при ГУ I рода — температура поверхности) также должна быть
одинаковой и во времени не изменяться; коэффициенты теплоотдачи у разных
поверхностей могут быть различными.
В связи с последним обстоятельством могут возникнуть случаи, при
которых тело в одном или двух направлениях является в тепловом отношении
«толстым» (Bi > 0,2), а в перпендикулярном направлении — «тонким»
(Bi < 0,2). В этих случаях температура может изменяться лишь в толстом
теле. В сечениях тонкого тела температура практически одинакова. Расчет
температуры тела производится по-прежнему путем перемножения всех
температурных параметров, в данном случае параметров толстого и тонкого
тел. Математическое выражение для температурного параметра тонкого
тела ©чень простое:
(IV-79)
91
0 = ехр (— BiFo),
Таблица IV-1
Расчет температуры в телах прямоугольного
или цилиндрического сечения
Геометрическая форма тела Схема Коли- чество составля- ющих простых тел Расчетная формула
полуогра- 1 ниченное пластина ЦИЛИНДР 1 ГУ I или * III рода е ГУ II рода Xt
Двухгранный угол 'У X 2 — — tx +
Трехгранный угол /у Z ' г 0 1 - х 3 — — 0*0002 tx + + iz
Полуограничен- ная пластина г /У 7 1 1 — 5» Ф R С Ф ^пл + ty
Четверть неог- раниченной пла- стины 1 # /У /Л Ж 2 1 — 0ПД0#02 61л + ^ + 4
92
Продолжение табл. IV-1
Г еометр ическ ая
форма тела
Схема
Брус прямо-
угольного сече-
ния и неограни-
ченной длины
Брус прямо-
угольного сечения
и полуограничен-
ной длины
Параллелепипед
Цилиндр полу-
ограниченной дли-
ны
Цилиндр огра-
ниченной длины
Коли-
чество
составля-
ющих
простых
тел
О S
к к
Расчетная формула
ГУ I или
III рода
ГУ II рода
®пл, х®пл, у
Мл.х + Мл»£
®пл, х@пл. y®z
^ПЛ.Х®ПЛ.у®ПЛ, 2
1 1 0ц0пл
Мл.х +
+ Мл. у +
Мл. X +
+ Мл. у +
+ Мл. 2
М + М
М + Мл
93
причем для вычисления Bi и Fo в качестве характерного размера V надо
принимать отношение объема тела к площади поверхности тонкого тела:
Г = у/р. Интересно отметить, что рассмотренным способом могут произво-
диться тепловые расчеты также и для тел, не указанных в табл. IV-1. Такими
телами являются тонкая пластина круглого сечения (очень короткий ци-
линдр); пластина прямоугольного сечения (очень короткий параллелепи-
пед), стержень любого поперечного сечения ограниченной или полуограни-
ченной длины.
Пример. Дано. Боковая поверхность цилиндра [а =0,1 м2/ч, к= 1,5 Вт/(м-град)]
радиусом R = 0,5 м и длиной 2L = 0,8 м омывается средой с температурой О' = 100° С, при-
чем а — 20 Вт/(м2-град). На основаниях цилиндра (х = поддерживается постоянная
температура, равная температуре среды tn ~ 100° С. Начальная температура цилиндра /0 =
= 10° С.
Найти температуру на центральной оси цилиндра на расстоянии х = 0,3 м через 1 час.
Решение. В соответствии с вышеизложенным, температура в цилиндре ограниченной
длины определяется по формуле (IV-76): t = О + 0пл®ц (А)— v), где 0ПЛ и определяются
раздельно из решений задач для неограниченной пластины толщиной L и неограниченного
цилиндра радиусом R (задачи № 16 и 43).
Вычисляем исходные аргументы:
пластина
_ ат 0,Ы n L — х 0,1 п ос
ро = 1Г = Чтб- = 0’62: п=—=-бТ=0’25:
цилиндр
ат 0,1-1 л г о. а₽ 20-0,5 д
' Fo = -^- = -0^5- = °’40; 4 = -R- = 0; В1 = — = ~L5----=6,67.
По графикам 16-1 и 43-1 находим 0ПЛ = 0,1 и 0Ц = 0,3.
Вычисляем искомую температуру: t = 100 + 0,1-0,3 (10 — 100) = 97,3° С.
2. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ II РОДА
Температура в теле находится как алгебраическая сумма начальной
температуры /0, изменений температуры, возникающих в составляющих
тело простых телах при данных ГУ и нулевых НУ (20» и изменений темпе-
ратуры, возникающих под влиянием внутренних источников тепла tq (см.
табл. IV-1):
* = + + (IV-80)
Если определение температуры в простом теле является по ГУ или
теплофизическим характеристикам сложной задачей, то она может быть
решена путем разложения на элементарные (см. § IV-4 и IV-5). Таким обра-
зом, не встречает трудностей решение задач, в которых интенсивность тепло-
вого потока на различных поверхностях тела не одинакова и даже зависит
от времени.
1V-9. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ СЛОЖНЫХ ЗАДАЧ
МЕТОДОМ СУПЕРПОЗИЦИИ С ПРИМЕНЕНИЕМ РАСЧЕТНЫХ
ГРАФИКОВ
Пример 1. Дано. В неограниченной пластине [а = 0,002 м2/ч, Х=0,8 Вт/(м-град)]
толщиной h = 0,4 м в начальный момент времени имеет место линейное распределение тем-
пературы, причем /0|П = 5°Си At = 15° С (рис. IV-27). Затем на одной поверхности пла-
стины (х = 0) постоянно поддерживается температура tn = 25° С; с другой поверхности пла-
стина нагревается тепловым потоком S = 500 Вт/м2.
Найти температуру в точке х == 0,1 м через т = 10 ч.
Решение. Условия задачи формулируются следующим образом:
начальное условие:
* l-г—о = *о, п + ’
граничные условия:
/lx-0 = V. * + 1 =5.
fx-o п» дх
94
По «Перечню задач...» убеждаемся, что решаемая задача не совпадает ни с одной из
задач, для которых построены расчетные графики. Например, от задачи № 17 она отличается
ГУ, а от задачи № 23 — НУ. Однако решение задачи легко найти, если разложить ее на
элементарные задачи.
Один из возможных вариантов разложения показан на рис. IV-27. Первые две эле-
ментарные задачи отражают влияние на температуру пластины НУ и ГУ на поверхности х =
= 0, третья элементарная задача — ГУ на поверхности х = h. Для всех трех задач в книге
имеются расчетные графики — это графики задач № 16, 17, 23.
tyf-S'C tn-25X $
\At=15*C
|й|
f S-500Bt/m2
7
X
"o' \ ”
|
дП ^3=500Вг/мг
Рис. IV-27. Схема решения задачи в примере I
Вычисляем исходные аргументы для первой и второй элементарных задач:
ах 0,002-10 х 0,1 _
Fo = -^ = -0j6- = °’125; Г| = 1Г = Ж = 0>25-
0,16
Третья элементарная задача по НУ и ГУ совпадает с задачей № 23, но отличается от нее
местоположением начала координат и направлением оси х. Поэтому при определении пара-
метра температуры О по графику 23-1 вместо надо принимать
« = 1---£- = 0,75.
1 h
По графикам 17-1,16-1 и 23-1 (см. часть вторую) находим 01 = О,22; 02 = 0,39 и03 =
= 0,02.
Вычисляем температуру в каждой из трех задач:
/х = t0, п + Ы = 5 + 0,22-15 = 8,3° С;
/а = /п — /о, п + 62 (0—/п+4), п) = 25 — 5 4-0,39(0 — 25 + 5) = 12,2° С.
<з = в8 = 0,02 50Q-g-^- = 5,0° С.
Решение основной задачи является суммой решений элементарных задач:
t == fx 4- tt + t3 = 8,3 + 12,2 + 5,0 = 25,5° С.
S.Bt/m2
600’
300
0
Si a2
I
।
Рис. IV-28. Схема решения задачи в примере 2
Пример 2. Дано. Одна из поверхностей неограниченной пластины [at = 0,02 £м2/ч,
Х^= 0,8 Вт/(м.град)] толщиной Л = 0,4 м теплоизолирована. С другой поверхности в те-
чение = 0,8 ч пластина нагревается тепловым потоком = 300 Вт/м2. Затем плотность
теплового потока увеличивается до S2= 600 Вт/м2, и одновременно изменяются значения тепло-
физических характеристик [а2 = 0,04 м2/ч и Х2 = 1,2 Вт/(м-град) J. Начальная температура
по толщине пластины изменяется скачкообразно (рис. IV-28), причем /0.1 = 40° С и /0,2 =
= 16° С, 1= 0,1 м.
Найти температуру в точке х = 0,1 м через т = 1,8 ч.
Решение. Данную задачу надо вначале разложить на отдельные составляющие задачи,
по НУ и ГУ совпадающие с задачами, для которых имеются расчетные графики, а затем каж-
дую из этих задач решать с учетом зависимости а и Л от времени (см. § IV-5).
95
Разложение основной задачи на составляющие показано на рис. IV-28. Первая задача
отражает процесс выравнивания начального распределения температуры при адиабатических
условиях на границах и совпадает с задачей № 25. Решение этой задачи не зависит от коэф-
фициента теплопроводности и поэтому она может рассматриваться как элементарная. Исход-
ные аргументы для определения 0 по графику 25-2 следующие:
Fn_ . а2(т2 —_ 0,02-0,8 0,04-1
* Л2 + Л2 “ 0,16 + 0,16 -0’35’
х 0,1 _ I 0,1 _
Ч = -h = от = 0>25; 110 = т = от = °’25-
Тогда 0 = 0,27 и = /0,2 + © (А>, i — *0,2) = 16 + 0,27 (40 — 16) = 22,5° С.
Вторая составляющая задача отличается от задачи № 22 тем, что теплофизические ха-
рактеристики материала пластины зависят от времени, а тепловой поток на границе меняется
скачкообразно. Поэтому воспользуемся правилом, изложенным в § IV-5 и показанным на
рис. IV-20 и IV-22. Очевидно, что решение этой задачи надо представить как сумму решений
трех элементарных задач (см. рис. IV-22), причем каждая из них решается с помощью графиков
задачи № 22.
Первая элементарная задача показывает, насколько изменится температура в пластине,
если в течение всего расчетного периода т2 = 1,8 ч будет действовать тепловой поток =
= 300 Вт/м2. Но так как в действительности действует лишь в течение времени = 0,8 ч,
то надо учесть излишнее повышение температуры, имевшее место в течение т2 — = 1ч.
Для этого служит решение второй элементарной задачи.
Третья элементарная задача показывает, насколько изменится температура в пластине
в течение т2 — под влиянием теплового потока $2 ~ 600 Вт/м2 при изменившихся теплофи-
зических характеристиках.
Вычисляем величины Fo:
первая задача:
Fo = Т = 0,35;
вторая и третья задачи:
Fo = = °-£%- = 0,25.
Л2 0,16
Относительная координата во всех трех задачах равна т] = 0,25.
По графику 22-1 находим 0Х= 0,46 и 02= 03 = 0,36 и вычисляем температуру во вто-
рой слагаемой задаче:
+ е. ^>+е, - о.« + о,зб'^«±+
+ 0,36 6001°2’4 =87° С,
Решение основной задачи является суммой решений двух слагаемых задач: t = t± +
+ t2 = 22,5 + 87,0 = 109,5° С.
Пример. 3 Дано. В стенке [а = 0,002 м2/ч, X — 0,76 Вт/(м-град)] толщиной h = 0,5 м
в начальный момент температура равна t0 = 18° С. Эта температура сохраняется в дальнейшем
на поверхности стенки х — 0; на другой поверхности (х = h) происходит нагрев изменяющимся
во времени тепловым потоком S = So Vт, причем So = 10 Вт/(м2-ч0,5).
Найти температуру в стенке на расстоянии х — 0,1 м через т = 96 ч.
Решение. Используем свойства тепловой симметрии. Увеличим толщину стенки со сто-
роны поверхности х = 0 на величину h и зададим на новой границе тепловой поток S =
= —10 W Вт/м2. Тогда, очевидно, плоскость х = 0 является плоскостью симметрии 2-го
рода и на ней все время сохраняется заданная температура, равная начальной. Таким образом,
решение основной задачи со смешанными граничными условиями свелось к решению задачи
с ГУ II рода. Однако в «Перечне задач...» не содержится задачи с различными по знаку ГУ
Il СЛОЖИМ эту задачу на две элементарные задачи (рис. IV-29). Обе эти задачи
приводятся к задаче № 36 следующим образом.
В первой элементарной задаче надо перенести начало координат на поверхность х = —h
и тогда для определения параметра температуры 0 по графику служат величины
Fo______°.°°2-96 - 0192- „=*±£ = 2=^+0!= 06.
(2h)2 1 ’ ’ П 2ft 1
Во второй элементарной задаче начало координат надо перенести на поверхность х — Я,
и тогда исходные аргументы для определения 0 вычисляются следующим образом:
Fo - =0 192- т)= = °»5--0’-1-= 04.
(2ft)2 1 ’ Я 2ft 1
96
Ио графику 36-1 находим ©i = 0,03 и 02 = 0,06. Вычисляем температуру в каждой
элементарной задаче:
— 10-1
<!=/„ + —М2^8 = 18 + 0,03---------= 9,2° С;
° X/а 0,76 Кб,002
ta = t0 + в, S°= 0 + 0,06----------1O1L_ = 17.6° С
8 8 ХКа 0,76 Ко,002
и в основной задаче: t = tr + t2 = 9,2 + 17,6 = 26,8° С.
Рис. IV-29. Схема решения задачи в примере 3
Пример 4. Дано. Цилиндр [а= 0,03 м2/ч, 1 Вт/(м-град)] радиусом R = 0,6 м
и длиной L — 1 м имеет начальную температуру t0 = 40° С. С боковой поверхности цилиндр
нагревается постоянным тепловым потоком — 100 Вт/м2; с торцовых сторон цилиндр ох-
лаждается, причем на одной из них (х = 0) плотность теплового потока постоянна S2 =
= —240 Вт/м2, а на другой (х — L)—изменяется линейно S3 = —50т Вт/м2, где So =
= 80 Вт/(м2-ч).
Рис. IV-30. Схема решения задачи в примере 4
Найти температуру на оси цилиндра на расстоянии х = 0,4 м через т = 5 ч.
Решение. Решение данной задачи для цилиндра ограниченной длины при ГУ II рода,
согласно IV-8, находится как сумма решений задач для неограниченного цилиндра и неогра-
ниченной пластины при соответствующих НУ и ГУ (рис. IV-30). Первая из этих задач пол-
ностью совпадает по краевым условиям с задачей № 42. Решение второй задачи легко получить,
если разложить ее на две задачи: одну — соответствующую задаче № 22, другую — задаче
№ 33. Таким образом, основная задача сводится к трем элементарным задачам.
7 Заказ 945
97
Вычисляем исходные аргументы:
первая элементарная задача: <
с ат 0,03-5 п.о А
Fo — — о,36 — 0,42 И 4 ~ 0;
вторая элементарная задача:
- ат 0,03-5 Л |С х 0,4 п
Fo = ~[г=—х— = 0,15 HT) = -j- = -j-= 0,4;
третья элементарная задача:
_ ат Л t с L — х 1 — 0,4 _ _
Fo = тт = 0,15 и т) = —=— =--------z-1— — 0,6.
L* L 1
По графикам 42-1, 22-1 и 33-1 находим 0Х= 0,59; 02= 0,15 и 03 = 0,006 и вычисляем
искомую температуру:
, _ ,. + в1^ + в. + в3 _ « + 0.59 + о.,5 +
Л л лм 1 1
__ОЛ, 1
Глава пятая
УСТАНОВИВШИЙСЯ ТЕПЛОВОЙ РЕЖИМ
V-1. ВВЕДЕНИЕ
Тепловой режим, как было показано в § 1-3, называется установившимся,
если температура тела во времени неизменна (-^-= о). Считается, что в таком
случае одновременно обеспечивается постоянство и других параметров тепло-
вого режима тела—градиентов температур ( = 0 1 и интенсивности
f dS — Kdt/dx t\\ 'г а и
тепловых потоков ( -5— = —— = 0 ). Такое мнение обычно верно. Но
\ от от / г
бывают исключения. Так, если теплопроводность во всем объеме тела меня-
ется во времени, то при неизменности остальных условий однозначности S
будет меняться, а поля температур и градиентов температур останутся без
изменений. Изменение коэффициента теплопроводности может иметь самое
различное происхождение — физическое, химическое, а в случаях, когда
рассматривается тепловой режим жидкости, и гидродинамическое.
Установившийся тепловой режим в отличие от неустановившегося
является идеальным режимом. Он, строго говоря, никогда не наблюдается,
так как, во-первых, условия однозначности не бывают в действительности
абсолютно неизменными и, во-вторых, время наступления установившегося
режима равно бесконечности. Тем не менее установившийся режим имеет
исключительно большое практическое значение; необходимость уметь его
рассчитать вызывается следующими обстоятельствами.
1. Практически тепловой режим тел часто бывает установившимся.
2. Установившийся режим, к которому стремится тепловое состояние
тела, является существенной характеристикой неустановившегося режима;
их сопоставление показывает направление процесса, позволяет оценивать
скорость изменения температур, устанавливать, какие части тела уже «вошли»
в установившийся режим, и т. д.
3. При медленно изменяющихся условиях однозначности тепловой режим
может приниматься установившимся, соответствующим в каждый момент
времени существующим условиям однозначности. Таким образом, удается
получать приближенные решения тепловых задач с изменением агрегатного
состояния (см. главу VI). Так как температурный режим все же меняется
во времени, переходя от одного установившегося состояния к другому, здесь
имеет место квазиустановившийся («как будто установившийся») режим.
4. Установившийся режим может быть расчетным случаем, например,
при определении температуры нагревателя постоянной мощности.
5. Знание установившегося режима необходимо при решении сложных
задач неустановившегося режима.
В отличие от неустановившегося режима установившийся режим может
быть лишь, если все условия однозначности постоянны. Поэтому отпадают
все задачи с переменными во времени ГУ, с мгновенными и с движущимися
источниками тепла.
7*
99
В отличие от неустановившегося режима при установившемся режиме
не 5, а всего 4 условия однозначности: геометрическая форма тела, граничные
условия, интенсивность и местоположение внутренних источников тепла,
теплофизические характеристики материала. Начального условия здесь нет.
В отличие от неустановившегося режима при установившемся режиме
единственным определяющим теплофизическим свойством является коэффи-
циент теплопроводности, в то время как при формулировке задач неустано-
вившегося режима всегда нужно знать коэффициент температуропроводности,
а иногда еще коэффициент теплопроводности или объемную теплоемкость.
Установившийся режим отличается качественно от неустановившегося
режима, причем отличие столь глубокое, что оба режима описываются
дифференциальными уравнениями различного типа. Вместо уравнения пара-
болического типа сР^-= div (XV/) + qy имеем уравнение эллиптического
типа div (XV/) + qy = 0. Последнее уравнение называется уравнением
Пуассона, а при отсутствии внутренних источников тепла (qv = 0) — урав-
нением Лапласа.
Цель расчета установившегося режима может состоять в определении:
1) температурного поля тела;
2) температуры источников тепла заданной интенсивности;
3) мощности источников тепла, необходимой для поддержания в данной
точке тела заданной температуры.
V-2. ТЕПЛОВЫЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ ТЕЛ*
Тепловой поток между двумя изотермическими поверхностями
s = Ai^’
где 81 — температурное сопротивление между поверхностями, температуры
которых равны tr и /2.
Иногда имеется лишь одна поверхность внутри бесконечной области,
а вторая изотермическая поверхность бесконечно большая, бесконечно уда-
лена, например труба при постоянной температуре погружена очень глубоко
в грунт.
Формула (V-1) позволяет определять тепловой поток или температуру
поверхности, если известно тепловое сопротивление. Значение 8? равно раз-
ности температур, при которой тепловой поток равен единице. Сопротивле-
ние 81 всегда имеет конечную величину. Исключение составляют бесконечно
длинные трубы, провода, шины любой формы поперечного сечения — сопро-
тивление между ними и бесконечностью бесконечно велико.
Приведем два примера определения 81.
Пример 1. Найти сопротивление 81 шара радиусом/?, погруженного в бес-
конечную область. Сопротивление шаровой оболочки толщиной dr равно:
Следовательно,
га __________________________ 1 Г dr ____ 1
~ 4лХ г2 “ ‘
Пример 2. Найти сопротивление 81 бесконечно длинной трубы радиусом R,
погруженной в бесконечную область. Расчет ведем на единицу длины трубы:
dsi> = ^r-
Поэтому
8tz =
1 С dr 1 . оо
2лГ J ~ ~ "2ЙГ П R ~ °°’
r=R
* В настоящем параграфе использованы материалы [12, 25, 40].
100
Ниже рассматриваются 45 задач определения тепловых сопротивлений
различных систем *. Анализ полученных результатов выходит за рамки
данной книги. Укажем лишь, что большой интерес представляет, например,
сопоставление сопротивления тел
различной геометрической формы,
имеющих одинаковые объемы или
площади поверхности. Интересно
также сравнить, как влияет на со-
противление адиабатическая или
изотермическая граница. Формулы дают основание полагать, что связь
очень простая: если Шад = ЛадЭ10 и 9?ИЗОТ = k^Vlo, то &изот & 2 — kaR.
1. Сфера в неограниченном теле.
811 = 4л/?Х •
(V-2)
2. Полусфера в полуограниченном теле основа-
нием совпадает с адиабатической поверхностью.
аЬ (V-3)
3. Сфера на глубине х0 под адиабатической поверх-
ностью полуограниченного тела.
Э?з —
Значения k3 даны на рис. V-1. Для приближенных расчетов
Когда сфера касается адиабатической поверхности (х0 = R), то
8!«~45кПЕ2=-ет-
(V-4)
(V-5)
(V-6)
* Цифровые индексы у 9^ и у k соответствуют номеру задачи.
101
4. Сфера на глубине х0 под изотермической поверхностью полуогра-
ниченного тела.
--------------------Ч;---------------• (V-7)
С
р
При -Н-— < 1 получим
(V-8)
5. Куб в неограниченном теле.
9^ 1,53911,
(V-9)
где 9li — сопротивление сферы радиусом R = h. Если
куб и сфера имеют равные объемы, то 1,14911, а если
одинаковые площади поверхности — то 9?в 1,05911.
6. Круговой диск (бесконечно тонкая круглая пла-
стина) в неограниченном теле.
«.= вйг- (V-10)
7. Круговой диск на адиабатической поверхности
полуограниченного тела.
^=^r = 29i«- (v-н)
8. Круговой диск расположен на глубине х0 парал-
лельно адиабатической поверхности полуограниченного
‘ •I
II ж *
J
______
тела.
(V-12)
Значения даны на рис. V-2. При 1
(V-13)
9. Круговой диск расположен на глубине х0 перпен-
дикулярно адиабатической поверхности полуограничен-
ного тела. При 1,5
8t«^8l6(l + J-). (V-14)
10. Круговой диск расположен на глубине х0 парал-
лельно изотермической поверхности полуограниченного
тела.
9?10 —
(V-15)
______
н| е»
| «2Я |
— ^8^6*
102
Значения kw даны на рис. V-3. При-^->1,5
SRio 8le 1
—)•
лх0 /
(V-16)
11. Эллиптический диск в неограниченном теле.
(V-17)
Значения полного эллиптического интеграла K(k)
даны в приложении 3.
12. Эллиптический диск на адиабатической поверх-
ности полуограниченного тела.
8112 = Ж1- (V-18)
13. Плоское тонкое круговое кольцо [(тонкая шайба)
в неограниченном теле.
8?1з = ^1з8?в» (V-19)
где 9?g — сопротивление диска радиусом 7?. Значения Л13
даны на рис. V-4.
При £
1,1 можно пользоваться формулой:
in (16
8?1з
2л®МЯ + Я0)
(V-20)
*7
uiuil /
р
При -я- > 2 практически Э?18 *=« 3?6.
**0
14. Плоское тонкое круговое кольцо (тонкая шайба)
на адиабатической поверхности полуограниченного
тела.
81x4 = 281x3. (V-21)
4LUJJ1
02/?
Хо/К
Рис. V-3. Значения &хо в формуле (V-15)
Рис. V-4. Значения &13 в формуле (V-19)
R + flo
103
15. Цилиндрическое круговое кольцо в неограничен-
ном теле.
(V-22)
16. Тонкая прямоугольная пластина размером L хВ
в неограниченном теле.
9116 = ktedie, (V-23)
где 9ie—сопротивление кругового диска радиусом R=L.
Значения kis даны на рис. V-5. При 1=с-|-^2
9?1в Э?в»
(V-24)
где 9J6—сопротивление кругового диска радиусом
Z,
17. Тонкая прямоугольная пластина на адиабати-
ческой поверхности полуограниченного тела.
9117 = 29lie. (V-25)
18. Тонкая прямоугольная пластина расположена на глубине х0 парал-
лельно адиабатической поверхности полуограниченного тела.
При -><1
J- (V-26»
При »1
9118 ~ 9118 Ч"
(V-27)
, 8/?
In —jr
*1
2 ’
где 91 j — сопротивление сферы радиусом х0, расположенной в неограничен-
ном теле.
19. Тонкая прямоугольная пластина расположена на глубине х0 пер-
пендикулярно адиабатической поверхности полуограниченного тела.
При -^ » 1 и А » 1
91i9~9l16 + 4->
(V-28)
где 9li — сопротивление сферы радиусом х0, располо-
женной в неограниченном теле.
104
Рис. V-5. Значения &1в в формуле (V-23)
Рис. V-6. Значения &20 в формуле (V-29)
20. Тонкая прямоугольная пластина расположена на глубине х0 парал-
лельно изотермической поверхности полуограниченного тела.
При 5=3 1 (квадратная пластина)
Stgo ^20^1-
Значения k2Q даны на рис. V-6,
При-£-»1 и -f.»l
8120 ~
(V-29)
(V-30)
где 9?! — сопротивление сферы радиусом х0, расположенной в неограничен-
ном теле.
21. Тонкая прямоугольная пластина расположена на глубине х0 пер-
пендикулярно изотермической поверхности полуограниченного тела,
При -^ « 1 и -^ » 1
4Uln[4(1+i)]’
при §-»! И
b[4(l + 2^)].
а*21-------Ж ’
(V-31)
(V-32)
при у 1 и произвольном L/B
8121 —811, (V-33)
где Э?! — сопротивление сферы радиусом х0, располо-
женной в неограниченном теле,
105
22. Две бесконечно длинные, взаимно параллельные и симметричные,
тонкие пластины^(полосы) в неограниченном теле.
При В} =j= В2
Э1а22 = -^-; (V-34)
значения k22 даны на рис. V-7.
При Вг = В2
<v'35>
значения Л» даны на рис. V-8; кроме того, можно пользоваться следующими
(V-36)
(V-37)
Рис. V-8. Значения k22 в формуле (V-35)
(V-38)
Формулы [ V-341— [ V-38 ] являются также решениями следующих задач:
а) бесконечно длинная тонкая пластина расположена параллельно
изотермической поверхности полуограниченного тела (рис. V-9, а); в рас-
четах вместо х0 надо принимать 2х0, а вычисленные значения 2а необхо-
димо уменьшить в два раза;
б) две бесконечно длинные тонкие пластины расположены у адиаба-
тической поверхности полуограниченного тела перпендикулярно к ней
(рис. V-9, б); в расчетах вместо В надо принимать 2В, а вычисленные значе-
ния 22 необходимо увеличить в два раза;
106
в) бесконечно длинная тонкая пластина внутри двугранного телесного
угла, одна из граней которого адиабатическая, а другая — изотермическая;
пластина касается своим торцом адиабатической грани и проходит парал-
<>)
Рис. V-9. Схемы дополнительных задач в п. 22: а — задача «а»,
б — задача «б»; в — задача «в»
лельно изотермической грани (рис. V-9, в); в расчетах вместо х0 надо при-
нимать 2х0, а вычисленные значения 81/, 22 необходимо увеличить в два раза.
23. Две бесконечно длинные тонкие пластины
(полосы) расположены под углом ср друг к другу в не-
ограниченном теле.
= (V-39)
значения kaa даны на рис. V-10.
24. Две бесконечно длинные тонкие пластины (полосы) одинаковой
ширины расположены в одной плоскости на расстоянии х0 друг от друга
в неограниченном теле:
где К (k) и К (&') — полные эллиптические интегралы I рода, модули кото-
рых равны k = k' = 1—
Для приближенных расчетов можно пользоваться формулами:
при — > 1
л0
24 ----
2% In
В ,, .
при — < 1
хо
In
24 ---
лХ
(V-41)
(V-42)
л
107
Приведенные формулы являются также решениями следующей задачи:
бесконечно длинная тонкая пластина расположена перпендикулярно изо-
термической поверхности полуограниченного тела (рис. V-l 1); в расчетах
Рис. V-10. Значения &2з в фор-
муле (V-39)
вместо х0 надо принимать 2х0,
а вычисленные значения 8?Zf 22
необходимо уменьшить в два раза.
Рис. V-l 1. Схема дополнительной
задачи к п. 24
25. Бесконечно длинная тонкая пластина (полоса) расположена в цен-
тральной плоскости пластины конечной толщины:
“.«TW' (v-43>
где К (k) и К (k') — полные эллиптические интегралы 1 рода, модули кото-
рых равны k = th W — ГТ”— ^2- Для приближенных расчетов
можно пользоваться формулами:
при
при
(V-44)
(V-45)
Приведенные формулы являются также решениями следующих задач:
а) бесконечно длинная тонкая пластина расположена на адиабатиче-
ской поверхности пластины конечной толщины (рис. V-12, а)\ в расчетах
вместо h надо принимать 2ft, а вычисленные значения 9?z, 26 необходимо’уве-
личить в два раза;
Рис. V-12. Схемы дополнительных задач к п. 25: а — за-
дача «а», б — задача «б»
108
б) бесконечно длинная тонкая пластина расположена на краю адиаба-
тической поверхности пластины конечной толщины, торцевая грань которой
также является адиабатической (рис. V-12, б); в расчетах надо вместо h
принимать 2h и вместо В принимать 2В; вычисленные значения 9tz, 25 необ-
ходимо увеличить в два раза.
26. Две бесконечно длинные тонкие пластины (полосы) одинаковой
температуры, отстоящие друг от друга на расстояние г/0, расположены в цен-
тральной плоскости пластины конечной толщины:
<V'46>
fe' = yi—
для приближенных расчетов можно пользоваться формулами:
при и
при -у < 1 И < 1
1 16
п Л2
’’- 4' (V-48)
Приведенные формулы являются также решениями следующих
задач:
а) две бесконечно длинные тонкие пластины одинаковой температуры
расположены на адиабатической поверхности пластины конечной толщины
(рис. V-13, а); в расчетах вместо h надо принимать 2h, а вычисленные зна-
чения 26 необходимо увеличить в два раза;
Рис. V-13. Схемы дополнительных задач к п. 26: а — задача «а»,
б — задача «б»
б) бесконечно длинная тонкая пластина расположена на адиабатиче-
ской поверхности пластины конечной толщины на расстоянии у0 от адиаба-
тической торцевой грани (рис. V-13, б); в расчетах вместо h надо принимать
2h и вместо у0 надо принимать 2у0, а вычисленные значения SHZ, 26 необхо-
димо увеличить в два раза.
109
27. Бесконечно длинная тонкая пластина расположена внутри пластины
=йН°И толщины перпендикулярно и симметрично относительно ее поверх-
ностеи: *
Я», _ 1 K(k')
гдей sin ( 2 А k _ cos(—Для приближенных
пользоваться формулами:
(V-49)
расчетов можно
при -
fy, 27
1
h ~ 2
__ л 1
8Х . 4 ’
in -гт
В ,, .
при -^-<^1
, 8й
SB ln mS
Рис. V-14. Схема до-
полнительной задачи
(V-51) к п. 27
Приведенные формулы являются также решениями следующей задачи:
бесконечно длинная тонкая пластина перпендикулярна адиабатической по-
верхности пластины конечной толщины
и касается ее (рис. V-14); в расчетах
вместо h и В надо принимать соответ-
ственно 2Л и 2В, а вычисленные значе-
ния 9t/127 необходимо увеличить в два
раза.
28. Стержень прямоугольного сече-
ния параллелен изотермической по-
верхности полуограниченного тела
Рис. V-15. Значения k23 в форму-
ле (V-52)
m _______ ^28 .
Л/, 28 — —>
(V-52)
значения й28 даны на рис. V-15. Если h = В (стержень квадратного сечения),
то можно пользоваться следующими приближенными формулами:
х0 . 3 . п
при > -у- И V > 7
, (V-S3)
где v= 1,695(^4- 1);
при -у- > И V > 10
0,542+ In f-^-+ Л
Я/, as ~< (V-54)
110
29. Бесконечно длинный цилиндр расположен на глубине х0 параллельно
изотермической поверхности полуограниченного тела.
Arch
-gar-
Если R < х0, то
1П^
91/. 29^—2^--
(V-55)
(V-56)
30. п одинаковых цилиндров, каждый длиной L, расположены на глу-
бине х0 параллельно изотермической поверхности полуограниченного тела;
расстояние между цилиндрами одинаково.
При L =}= оо и п =/= оо
In + (п - 1) In -^2- - 2,303n (D + В„)
$» К_____________Уо________________
^•зо~ 2плл
(V-57)
значения D = f (L/2x0) и Вп = <р (п) даны в табл. V-1 и V-2;
при L —> оо и п =!= ©о
9J/, зо
1п + (« — 1) In — — 2,303пВ„
А_______________Ур____________
2ппк
(V-58)
при L —> оо и п —» оо
2лХ
(V-59)
Таблица V-1
Значения величины D = f (L/2x0)
L 2х0 D ' । L 2х0 D L 2х0 D L 2х0 D
оо 0,0 1,00 0,336 0,65 0,457 0,30 0.721
10 0,042 0,95 0,350 0,60 0,482 0,25 0,790
5 0,082 0,90 0,364 0,55 0,510 0,20 0,874
2,5 0,157 0,85 0,379 0,50 0,541 0,15 0,990
2,0 0,191 0,80 0,396 0,45 0,576 0,10 1,155
1,25 0,283 0,75 0,414 0,40 0,617 0,05 1,445
1,Н 0,310 0,70 0,435 0,35 0,664
Значения величины Вп
Таблица V-2
п вп п Вп п вп । П вп п вп л вп
2 0,0 6 0,252 10 0,425 14 0,550 18 0,647 40 0,970
3 0,067 7 0,302 11 0,460 15 0,576 19 0,668 50 1,063
4 0,135 8 0,347 12 0,492 16 0,601 20 0,688 100 1,357
5 0,197 9 0,388 13 0,522 17 0.625 30 0,847
111
31. Бесконечно длинный цилиндр в неограниченной пластине. При 7? ^:х0
^’31-------Six
Я D h
при xQ = -j- и R<~2~
(V-60)
81/. ЗХ
2лХ
(V-61)
32. n бесконечно длинных цилиндров расположены в одной плоскости
в неограниченной пластине.
, (V-62)
ср L \ гь
32 2лпХ
где 01(т)— тэта-функция.
Если х0 = й/2 (цилиндры расположены в средней
плоскости пластины), то
h-_^sin3^-th^-
ср 2л у$ у0
32----------
Для приближенных расчетов:
й/, 32 -ГТ (h + 1П ‘
4#0Л' \ л 2л/< J
(V-63)
(V-64)
33. п бесконечно длинных цилиндрических теплоизолированных поло-
стей в одной плоскости в неограниченной пластине»
где
йл33^4- Г— + /(—)— 2—1, (V-65)
1'88 ь L Уо 1 ' \ Уо J Уо J v ’
h , л , , . arcsin Н ~тг f (JL\ — _ л ZV-661
2 ’ \ v ии/
34. Бесконечно длинные цилиндр и тонкая пла-
стина (полоса), симметричные относительно друг'друга,
в неограниченном теле.
I В 4хо \
1П|Д7Г+B/r)c°s2'a
34 ~ 2лХ
(V-67)
При а = л/2 формула (V-67) переходит в (V-56).
35. Цилиндр конечной длины в неограниченном теле.
При 0=е-^-=е20
8?35^ г 7 L \0,76Т ’
4л7?Х I 0,6372 4- 0,3194 ( \ I
при 20<-^-< 100
(V-68)
(V-69)
(V-70)
112
36. Полуцилиндр конечной длины на адиабатиче-
ской поверхности полуограниченного тела.
9^38 — 29^35»
(V-71)
37. Цилиндр конечной длины расположен на глубине х0 перпенди-
кулярно адиабатической поверхности полуограниченного тела.
9^37-
1П 4+41п +1п - °-307
2л£Л
(V-72)
ГТ
При х0 > т
9^37
1п 4+,п
2л£Х
2(Хо + Ь)
2х0 4" Ь
При Хе = О
5^37 — 9^36 — 29?35.
(V-73)
(V-74)
38. Цилиндр конечной длины расположен на глу-
бине х0 параллельно изотермической поверхности полу-
ограниченного тела.
Оу
In —2.303D
—-w~’ <v-re>
значения D даны в табл. V-1.
39. п одинаковых цилиндров конечной длины рас-
положены на глубине х0 перпендикулярно изотерми-
ческой поверхности полуограниченного тела.
In А + (п - 1) In . - 2,303п (Вп + От)
>____ А_____________________Уо ~Т~ _____________________
>39~~ 2nnLk
(V-76)
значения Вп и D± даны в табл. V-2 и V-3.
Значения величины
Таблица^У~3
Хр L Dt Хр L Dt Хр L Dt Хр L D, Xp L Dt
Qfi2 0,403 0,15 0,323 0,50 0,247 1,00 0,207 5,0 0,153
0,04 0,384 0,20 0,305 0,60 0,236 1,11 0,202 10,0 0,144
0,06 0,369 0,25 0,291 0,70 0,227 1,25 0,196
0,08 0,356 0,30 0,280 0,80 0,219 2,0 0,177
0,10 0,345 0,40 0,261 0,90 0,2125 2,5 0,170 |
8 Заказ 945
113
40. Полый тонкостенный цилиндр (7? — 7?0 0) конечной длины
в неограниченном теле.
Я> _ ^40
Л40~ Ш '
Значения ki0 даны на рис. V-16. Кроме того, можно пользоваться формулами:
при
(V-77)
4<i°
(V-78)
при
|<20
Л 8L
(1П-7Г
2
1 +Т2
2n3LX
• (V-79)
1 2£
ln R 1
(V-80)
й4о:
При
цилиндр
-%- > 1 можно также применять формулы п. 35
конечной длины в неограниченном теле).
(сплошной
27?Яо
41. Бесконечно длинный полый цилиндр.
При d + 0
/?2 + ^-d2
Arch
®1'41 = “ 2лХ
при d = 0
si1"®1-£)h <V-8I>
in
(V-82)
114
42, Два бесконечно длинных одинаковых цилиндра
расположены внутри третьего цилиндра симметрично
относительно его оси:
In-----------------
+ 4/?о
4лХ
42
Rod
4пк
(V-83)
43. Бесконечно
сечения.
длинный цилиндр внутри стержня прямоугольного
м)’
(V-84)
значения М даны в
Если В = h, то
К/, 44 *=» -
4Х
В/2 В/2
табл. V-4.
43
(V-85)
2лХ
Таблица V-4
Значения величины M—f (B/h)
В h м В h м
1 0,16580 2 0,00746
1,25 0,07926 2,25 0,00340
1,50 0,03562 2,50 0,00156
1,75 0,01632 3,00 0,00032
44. Два соосных бесконечно длинных прямоугольных стержня с парад
дельными сторонами.
1
/_+ Л ^/1пД+^ у» Уо
2*о 2у0 г л \ ,4хоуо х0 Уо Уо хо
(V-86)
Если h — В и х0 = уо (стержни квадратного' сечения), то
(V-87)
8*
115
где
45. Полый шар.
При dФ О
9*45=----------~
8nkR0 sh ах
п=0
1
, (V-88)
exp [— (2n+ 1) ax]
1 — exp [— (2n + 1) a2]
. ,R2-R20-d2
ос, = Arch
2R0d
-A ,R2+R20-d2
a2 Arch 2R°R
Если Ro > d и
формулой:
Яо то можно пользоваться приближенной
9*45
4лХ7?0/? 1
R-d*
(V-89)
при d = О
4лХ ( Ro
(V-90)
Глава шестая
ИЗМЕНЕНИЕ АГРЕГАТНОГО СОСТОЯНИЯ ТЕЛА
VI-1. ВВЕДЕНИЕ
А. Общие положения. В данной главе рассматриваются задачи тепло-
обмена с изменением агрегатного состояния материала тела. Сюда относятся
процессы затвердевания (плавления) металла, промерзания (протаивания)
влажного грунта, изменения физико-химической природы вещества и пр.
Для определенности будем вести изложение применительно к решению
задач затвердевания (промерзания) тела, причем будем рассматривать задачи,
в которых изменение агрегатного состояния происходит при какой-либо
определенной температуре /к, и поэтому имеется четкая изотермическая
граница (поверхность), отделяющая области затвердевшего тела и жидкости.
Величины, помеченные индексом «/», будем относить к затвердевшей области,
а индексом «2» — к незатвердевшей области.
Изменение агрегатного состояния тела в общем случае имеет два след-
ствия, влияющие на тепловой режим тела: при перемещении границы затвер-
девания выделяется скрытая теплота фазового перехода и изменяются тепло-
физические характеристики материала. Постановка таких задач существенно
отличается от обычных задач неустановившегося режима, а именно: появля-
ется необходимость решать систему двух уравнений теплопроводности (для
затвердевшей и незатвердевшей областей) и помимо граничных условий
на поверхностях тела дополнительно задавать два условия на границе за-
твердевания:
1) теплового баланса
Ь14г-| —
1 дх |х=хк-о 2 дх |х=хк+о v dx
2) равенства температур
|х=х((—0 ^2 |х=жк-|-0 ^к-
(VI-1)
(VI-2)
Первый член левой части уравнения (VI-1) выражает плотность тепло-
вого потока Зъ который отводится от границы фаз через затвердевшую
область; второй член — плотность теплового потока S2, поступающего к гра-
нице фаз из жидкости.
Правая часть уравнения (VI-1) представляет собой плотность теплового
потока, возникающего благодаря выделению скрытой теплоты фазового
перехода. При затвердевании значение объемной теплоты фазового перехода
Lv = mapi, (VI-3)
Где т — пористость тела, а — теплота фазового перехода единицы веса
жидкости, рх — плотность затвердевшего вещества. Например, для водона-
сыщенного грунта при т = 0,3 а = 93 Вт-ч/кг и рх = 920 кг/м3 имеем:
= 0,3-93-920 = 25,7-10s Вт-ч/м3. Если происходит плавление, то вме-
сто рх надо принимать р2 = 1000 кг/м3.
117
Рассмотрим для примера задачу затвердевания (промерзания) полуогра-
ниченного тела при следующих краевых условиях (начало координат —
на поверхности тела):
^|т=0 = А) > ^к> I |х=0 = ^к>
дополненных условиями (VI-1) и (VI-2).
Решение данной задачи, которую часто называют задачей Стефана,
имеет следующий вид:
при 0 т] 1 (затвердевшая область)
А = _______I^Fox erf (ф) ,
*к-/п eri 2. erf(P) ’ 1
2 VFojT)
при 1 < i) < оо (незатвердевшая область)
, 1
erfc----------------------------------
q _ it ip ___________2 к Foa _ erfc (т)РКо) /VI-61
2~ tK—10 crfc 1 erfc(PKa) * ' '
2 VFo2t)
Здесь
F01 = -^-; Foa = -^; n=f; (VI-7)
л л лк u>2
Как видим, распределение температуры в затвердевшей и жидкой обла-
стях является функцией интеграла вероятностей Гаусса. Подставив (VI-5)
и (VI-6) в уравнение теплового баланса на границе затвердевания (VI-1),
получим
ехре(гГвр2) - = ^s₽Ko’ (VI’8>
erI Р erfc (Р V Ка)
где Ко = .. F ... ; С1Р1 (^к fo) (VI-9)
ГГ = Л fo 1^2g2P2 . fo — fo Г XiCiPi (V1-10)
хк
2 Kafr
(VI-11)
Решая это уравнение (например, графически), находим значение р,
что позволяет определить местоположение границы затвердевания:
хк = 20 (VI-12)
Решение (VI-12) показывает, что продвижение границы затвердевания
не имеет предела и идет со скоростью, пропорциональной корню квадратному
от времени.
Критерий Ко (Коссовича) выражает отношение количества тепла, выде-
ляющегося при затвердевании единицы объема вещества, к количеству тепла,
которое надо отвести от этого объема для его охлаждения от температуры
затвердевания tK до температуры поверхности тела tn.
Критерий Ц$ является мерой отношения тепловых потоков (количеств
тепла), подводимых к границе затвердевания из затвердевшей области и
118
из жидкости, в предположении, что рассматривается не полуограниченное
тело, а неограниченное тело с различными начальными температурами
в областях твердого тела и жидкости. Это отношение, так же как и Ко,
не зависит от времени, следовательно, и 0 не зависит от времени.
Если в начальный момент времени температура тела равна температуре
затвердевания (t0 = tK), то П5 = 0 и уравнение (VI-8) упрощается:
^У^-21 = Р^РКо. (VI-13)
Условие t0 = tK физически тождественно условию, что тепловой поток
из жидкости к границе затвердевания равен нулю, т. е. второй член левой
части уравнения (VI-1) равен нулю. Температура жидкости остается все
время постоянной, равной Критерий Fc^ = изменяется в пределах
FoK Foi оо, причем значение FoK равно:
Т7 1
Fo —-------.
1 к 402
(VI-14)
Возможен и другой случай: начальная температура не равна, а выше
температуры затвердевания и теплофизические характеристики вещества
в затвердевшем и жидком состоянии не различны, а одинаковы, т. е. имеет
место только первая особенность задач с фазовыми превращениями — выде-
ление скрытой теплоты затвердевания. Тогда в уравнении (VI-8) Ка — 1
и П$ = ' • Значения 0 = f (Ко, П$), вычисленные для этих условий,
даны на рис. VI-2. Распределение температур в затвердевшей и жидкой обла-
стях вычисляются по формулам (VI-5) и (VI-6), причем Fo2 изменяется в пре-
делах 0 < Foa < FoK, a FOi, как и в предыдущем случае, — в пределах
FoK Fojsg; оо. Значения FoK вычисляются по формуле (VI-14).
119
Как видим, решение рассмотренной задачи оказалось довольно слож-
ным, хотя краевые условия задачи (VI-4) очень простые. В действительности
условия задач более сложные. В реальных случаях тело зачастую является
слоистым — имеется один или несколько слоев незатвердевающего вещества
с различными теплофизическими характеристиками (теплоизоляция); кроме
того, обычно задается не температура поверхности тела, а температура среды,
которая к тому же переменна во времени и т. д. Точное аналитическое реше-
ние таких задач невозможно, так как их нелинейность не позволяет приме-
нить принцип суперпозиции. В постановке таких задач вводится одно допу-
Б. Основное допущение — температурный режим в затвердевшей области
квазистационарен. Решение задач с фазовыми превращениями можно
значительно упростить, если заранее задаться распределением температур
в затвердевшей и жидкой частях тела. Тем самым отпадает необходимость
в вычислении температур и остается только определить местоположение гра-
ницы затвердевания. Такой прием не требует решения уравнения теплопро-
водности, так как для расчета перемещения границы затвердевания достаточно
уравнения теплового баланса (VI-1). Этот способ с успехом применяется не
только при решении задач с фазовыми переходами, но и в обычных задачах
неустановившегося режима [8, 11, 44].
Естественно, что характер распределения температуры надо выбирать
по возможности ближе к действительному. Заметим, что процесс затверде-
вания идет довольно медленно. Поэтому температура в теле хотя и изменяется,
но ее распределение в каждый момент времени можно принять соответствую-
щим установившемуся состоянию. Безынерционный (мгновенный) переход
от одного установившегося состояния к другому при перемещении границы
120
затвердевания предполагает, что коэффициент температуропроводности
затвердевшего тела бесконечно велик. Так как в расчетах теплопроводность
тела конечна, то тем самым предполагается, что объемная теплоемкость
равна нулю. Физически это означает, что изменение температуры тела не свя-
зано с затратой или выделением тепла. В действительности это не так (тепло-
емкость не равна нулю), и по мере продвижения границы затвердевания
теплосодержание тела изменяется. Тепловой поток от изменения тепло-
содержания затвердевшего тела может быть учтен, если во все расчеты
вместо скрытой теплоты Lv вводить
т * т I С1Р1 (^К ^п)
Ьу — Ly -|------------g-------
(VI-15)
Анализ точных аналитических решений показывает, что приближенные
решения, основанные на замене неустановившегося режима квазиустанови-
вшимся, с поправкой (VI-15) соответствуют первым, наиболее весомым
членам ряда, составляющего решение [44].
В. Основные расчетные случаи; определение составляющих теплового
баланса на границе затвердевания. Ниже в § VI-3 приводятся расчетные
формулы и графики задач затвердевания полуограниченного тела, неогра-
ниченной пластины, сплошных и полых цилиндров и шаров и неограничен-
ного тела с цилиндрической или шаровой полостью, полученные с использо-
ванием основного допущения о квазистационарности температурного режима
в затвердевшей области.
Рассмотрим кратко вопрос об определении тепловых потоков из затвер-
девшей области (5Х < 0) и из жидкости (S2 >0) к границе затвердевания,
входящих в уравнение 'Теплового баланса (VI-1), и укажем основные расчет-
ные случаи.
Прежде всего отметим, что рассмотрены задачи, в которых на поверх-
ности тела, где начинается затвердевание, задана либо постоянная темпера-
тур3 = const < /к (ГУ I рода), либо постоянный тепловой поток Sx =
= const < 0 (ГУ II рода). Значение Sx на границе затвердевания
определяется весьма просто:
для тел плоской формы
для тел цилиндрической формы
(VI-16)
(VI-17)
для тел шаровой формы
(VI-18)
Определение теплового потока S2 > 0 зависит
не только от геометрической формы тела, но и главным образом от физиче-
ских особенностей процесса.
На практике иногда оказывается возможным принимать S2 0, напри-
мер, когда /0 /к.
Другим расчетным случаем является условие S2 = const. Так, напри-
мер, если рассматривается полуограниченное пористое тело (0 < х < + оо;
—оо^у^оо), в котором фильтрует жидкость, с температурой t0>tK в створе
121
у = 0, то величина теплового потока 32 постоянна во времени, но зависит
от длины пути обтекания (у) границы затвердевания:
$2 = (/o-Q (VI-19)
г му
Здесь v — скорость фильтрационного потока, а сжрж — объемная удельная
теплоемкость жидкости. Из (VI-19) видно, что значение 32 по пути движения
потока жидкости уменьшается, и поэтому у входа жидкости скорость про-
мерзания наименьшая.
Условие 5 2 = const может иметь место и в других случаях. Например,
если в полуограниченном теле к началу затвердевания температура распре-
деляется линейно
/т=о = tK-\-byy, (VI-20)
то
S2 = \2ЬУ = const. (VI-21)
Постоянство теплового потока S2 наблюдается также при затвердевании
тел любой формы, если по каким-либо причинам постоянны коэффициент
теплоотдачи от жидкости к твердому телу <х2 и средняя температура жидко-
сти /2;*тогда
S2 = a2(/2 — tK). (VI-22)
Если имеем неподвижную жидкость с одинаковой начальной темпера-
турой tQ, то величина S2 будет (третий расчетный случай)
5г= 7? ’ (VI-23)
где
So = (<o-U У^~- (VI-24)
Четвертый расчетный случай характерен для тел цилиндрической и
шаровой формы, при затвердевании которых площадь поверхности затверде-
вания изменяется. Поэтому возможно условие, когда 32 =/= const a Q2 =
= FKSa = const.
И, наконец,'для полуограниченного тела рассмотрены две задачи с пере-
менной во времени температурой поверхности, изменяющейся линейно
(/0 + tn) и гармонически (tcp + 7^ cos 2л В этих задачах особое зна-
чение имеет вопрос о возможности принять тепловой режим квазиустано-
вившимся.
При линейном законе изменения температуры поверхности необходимо,
чтобы
Ьх2
-^-<10. (VI-25)
При гармонических колебаниях температуры поверхности необходимо,
чтобы период колебаний был либо достаточно большим
> 2, (VI-26)
хк
либо, напротив, малым
< 0,05. (VI-27)
Во втором случае при расчете Зх можно принимать, что температура
поверхности постоянна: tn = tcp.
122
В заключение параграфа заметим, что затвердевание начинается со сво-
бодной поверхности и распространяется внутрь тела. Поэтому, в частности,
при формулировке основных расчетных случаев в качестве граничного усло-
вия на поверхности тела были использованы оба типа источников тепла:
It и Is. Граница затвердевания расположена внутри тела, и поэтому здесь
всегда надо задавать источник типа /s.
VI-2. РАСЧЕТ ПОЛОЖЕНИЯ ГРАНИЦЫ ЗАТВЕРДЕВАНИЯ
Рассмотрим порядок решения задач расчета границы затвердевания
на примере простейшей задачи: на поверхности тела температура постоянна
и ниже температуры кристаллизации (/п = const; /п < /к); на границе затвер-
девания тепловой поток из жидкости S2 = 0. Далее покажем, как приме-
нять это решение для более сложных случаев: когда на поверхности тела
имеется один или несколько слоев теплоизоляции, в начальный момент вре-
мени часть тела находится в затвердевшем состоянии, задана не температура
поверхности, а температура среды -& < /к.
А. Полуограниченное тело и неограниченная пластина. Пусть начальная
температура полуограниченного тела равна температуре затвердевания
(/0 = 4) и, следовательно, S2 = 0. При постоянной температуре на поверх-
ности тела тепловой поток из затвердевшей области к границе затвердевания
определяется по формуле (VI-16) и уравнение теплового баланса (VI-1) при-
нимает вид:
где
in
Хк
г dxK
(VI-28)
Если при т = 0 имеем хк = 0, то решение уравнения (VI-28) следующее:
X2
т 2Ai(/K-<n)/iv ’
(VI -29)
Если на поверхности тела имеется слой теплоизоляции йиз, то
С у in
(VI-30)
h ~ h
"из i ’
лиз
(VI-31)
и тогда решением является
у2
Xk
т = - 4- х
2А* (tK — tn)/LV Xi (tK — ta)/Lv
(VI-32)
Вместо (VI-29) и (VI-32) можно также написать:
__ ^п) т
ХК = — ht + .
(VI-33)
(VI-34)
Обратим внимание, что формулу (VI-32) можно представить в виде суммы
двух величин:
т = тА<==0 + АтЛ/,
(VI-35)
где тА(=о — время затвердевания при отсутствии теплоизоляции, АтЛ/ —
дополнительное время затвердевания, связанное с наличием теплоизоляции.
123
Таким образом, становится понятным влияние теплоизоляции: во-пер-
вых, ее эффект пропорционален ее толщине и, во-вторых, наличие теплоизо-
ляции увеличивает время затвердевания на постоянную величину на каждую
единицу глубины затвердевания независимо от толщины ранее затвердев-
шего слоя.
Если к началу затвердевания уже имеется слой xKt0 > 0, то решение
можно получить, пользуясь (VI-29), в результате простейших рассуждений.
Пусть т0 — время затвердевания слоя хк, 0, ат* — время затвердевания
всего слоя от хк = 0 до х . Тогда, очевидно, истинное время затвердевания
слоя от хк, о до хк равно
т = т* — т0 = у----2. **’°. ... • (VI-36)
^1 у к — twILy (гк — Гп)/ьу
Положение границы затвердевания:
хк = о + 2X1 т . (VI-37)
Это же решение может быть получено логически из (VI-32).
Начальный слой затвердевания хк, 0 принципиально играет ту же роль
температурного сопротивления, как и тепловая изоляция. Поэтому если
начало координат перенести с поверхности тела на нижнюю поверхность
слоя хк, 0, то справедливы зависимости (VI-32) и (VI-34), но вместо ht надо
писать хк> 0. Перенос начала координат на поверхность теплоизоляции при-
водит к формуле (VI-37), в которой под xKt 0 надо понимать ht + хк, 0.
Если одновременно имеются и слой теплоизоляции hf и слой хк, 0,
причем начало координат расположено под теплоизоляцией на поверхности
тела, то
т = *«~**;° + х rt (Хк—хк, 0) (VI-38)
2X1 (*к “ *п) /£у Л1 Ик — М/ьу
И
Хк = -Л/ + + л-к.о)2 + 2Х1^~<п)т . (VI-39)
Первый член (VI-38) есть время затвердевания без теплоизоляции, но при
наличии начального слоя хК1 0 [см. (VI-36) ], второй член выражает увеличе-
ние времени затвердевания, вызываемое теплоизоляцией [см. (VI-32)].
В том случае, когда теплоизоляция состоит из нескольких слоев и
задана не температура поверхности, а температура среды и коэффициент
теплоотдачи, имеем:
'i<=4+S','4j- <VI-40>
(«)
Приведенные решения задач затвердевания полуограниченного тела
полностью применимы и к неограниченной пластине толщиной h. Особенность
состоит лишь в том, что ввиду ограниченности толщины тела через неко-
торое время тшах происходит полное затвердевание тела. Значение ттах
можно найти, пользуясь выше приведенными формулами, заменив в них
хк на h.
Б. Тела цилиндрической формы. Рассмотрим затвердевание сплошного
неограниченного цилиндра при t0 = tK (т. е. при S2 = 0) и in = const < tK.
Плотность теплового потока, отводимого от границы затвердевания
в твердое тело, определяется формулой (VI-17). Уравнение теплового баланса
на границе затвердевания имеет вид:
<к~*п _£_^к (VI-41)
Як to-dX
«К
124
Знак «минус» в правой части уравнения (VI-41) означает, что при затвер-
, / dRK . л\
девании граница фаз перемещается внутрь цилиндра (—<01.
Интегрирование (VI-41) при начальном условии RK = /? при т = 0
приводит к формуле:
R*
(VI-42)
Пусть на поверхности цилиндра имеется слой теплоизоляции йиз =
= #из — R- Введем в рассмотрение «приведенный» радиус цилиндра Rt,
который определяется из условия равенства тепловых сопротивлений слоя
теплоизоляции и слоя температурного сопротивления ht = Rt — R:
s<=(M£lnT+
Al \
aRns )
(VI-43)
Решение задачи может быть получено обычным путем из уравнения
(VI-41). Для этого надо заменить R на RK и интегрировать в пределах от Rx =
= 7? до Rx. Но более интересным и поучительным является путь решения
с использованием формулы (VI-42).
Если затвердевал бы цилиндр радиусом Rt = R + ht, то время затвер-
девания определялось бы формулой (VI-42), в которой вместо R надо подста-
влять Rt. В действительности время затвердевания меньше, так как в слое
теплоизоляции от Rt до R затвердевания не происходит. Время, которое
«экономится», также находится по формуле (VI-42), для чего в нее надо под-
ставлять Rt вместо R и R вместо RK. Следовательно,
(VM4>
После простейших преобразований уравнение принимает вид:
т =______&______/17 V fin А.________L\ - _L] + Г!_ ( ЯкЛ2] inЯИ
2ЛХ(/К —/n)/^v IL\ R ) \ R 2 / ’ 2 J ’ L1 \ R ) J1 П ЯГ
(VI-45)
И здесь мы имеем качественно ту же картину, как и при затвердевании
полуограниченного тела с теплоизоляцией [см. (VI-32) и (VI-35) 1: первая
составляющая правой части уравнения есть время затвердевания при отсут-
ствии теплоизоляции, вторая составляющая — время, которое требуется
дополнительно, благодаря наличию теплоизоляции. При этом выявляется
закономерность общая для тел различной формы: дополнительное время
затвердевания является величиной постоянной на единицу объема затвер-
девающего тела в течение всего процесса. Надо подчеркнуть, что сказанное
справедливо лишь при S2 = 0.
Если помимо слоя теплоизоляции на поверхности цилиндра имеется
начальный слой затвердевшего материала R — RKt 0, то формула (VI-45)
остается справедливой, если в ней R заменить на RKt 0.
Рассмотрим теперь затвердевание неограниченного тела с цилиндриче-
ской полостью при тех же граничных условиях: t0 = tK и tn = const. В дан-
ном случае граница затвердевания перемещается во вне и -^>0; знак
«минус» в правой части уравнения (VI-41) объясняется тем, что аргумент лога-
р
рифма <1. Расчеты затвердевания неограниченного тела с цилиндриче-
125
ской полостью выполняются по тем же формулам, что и для сплошного цилин-
дра. Наличие теплоизоляции и в этом случае увеличивает время затвердева-
ния, согласно формуле (VI-45).
В задачах на затвердевание цилиндрических тел площадь поверхности
затвердевания во времени изменяется: для цилиндра уменьшается, для
неограниченного тела с цилиндрической полостью увеличивается; это при-
водит к изменению плотности тепловых потоков Зт и S2 на границе затвер-
девания.
Поэтому, например, в задаче затвердевания цилиндра при tn = const
и Q2 = const плотность теплового потока Зх уменьшается, плотность
теплового потока 32 = увеличивается во времени. Когда Sx S2,
граница затвердевания достигает предельного положения /?Ит.
Все решения для сплошных тел цилиндрической и шаровой формы одно-
временно являются решениями для полых тел, когда затвердевание идет
к центру. Все решения для неограниченного тела с цилиндрической или шаро-
вой полостью являются одновременно решениями для полых тел, когда
затвердевание идет от центра.
В. Температура поверхности переменна. Если на поверхности полуогра-
ниченного тела температура изменяется линейно (Zx=o = tQ + bx) и S2 =
= 0, причем имеется теплоизоляция, то уравнение теплового баланса при-
нимает вид:
/к-^o-frr =L (VI-46)
1 + v dx ' '
После интегрирования в пределах от т = 0 до т и от 0 до хк находим
[см. также (VI-92)]:
т = t^-t^ + < о + 2 (хк — хк. о) ht] (УЫТ)
и
*к = ~ht + хК10)2 4- . (VI-48)
При гармоническом изменении температуры поверхности расчетная
формула имеет вид [см. также (VI-95)]:
xK = -^ + /(4 + xK.o)2 + 2^^T--^-sin2n^ . (VI-49)
Если температура поверхности изменяется по более сложному закону,
то надо весь расчетный период времени разбить на отдельные интервалы
с каким-либо простым законом изменения /х==0 и вести расчет затвердевания
отдельно для каждого интервала, принимая в качестве xKt 0 результат, полу-
ченный при расчете предыдущего интервала.
Г. Расчет плавления тел. Плавление имеет место, если /п > /к или
5 2 >51. Все расчетные зависимости для затвердевания тел могут быть
использованы и для расчета плавления. Различие состоит лишь в том, что
теплофизические характеристики с индексом «1» относятся к возникающей
при плавлении жидкости, а с индексом «2» — к твердому плавящемуся телу.
Поэтому, например, при вычислении Lv надо подставлять плотность жид-
кости.
В книге рассматриваются случаи, когда образующаяся при плавлении
жидкость остается на месте. Если плотность вещества изменяется, то уровень
поверхности тела соответственно перемещается. Возможны, однако, и два
других случая. В одном — отметка тела остается без изменения в резуль-
126
тате сброса излишка жидкости или, напротив, добавления ее до уровня;
в этом случае в расчетах надо принимать
Lv — op2m.
Во втором случае вся образующаяся жидкость удаляется, и при вычис-
лении по формуле (VI-30) надо принимать хк = 0.
Vl-З. РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ И ГРАФИКИ ЗАДАЧ
С ИЗМЕНЕНИЕМ АГРЕГАТНОГО СОСТОЯНИЯ
I. ПОЛУОГРАНИЧЕННОЕ ТЕЛО И НЕОГРАНИЧЕННАЯ ПЛАСТИНА
Задача №1. На поверхности тела температура tn < tK постоянна,
на границе затвердевания тепловой поток из жидкости равен нулю
(рис. VI-За,).
Рис. VI-3. Тепловая схема задачи № 1: а — полуограниченное тело,
б — пластина
Уравнение теплового баланса на границе затвердевания:
Xi^L = L^_. (VI-50)
Лк UL
Расчетная формула: __________
= j/.a.,fezz.<n)T
(VI-51)
Если на поверхности тела имеется слой температурного сопротивления
ht > 0 и, кроме того, в начальный момент времени часть тела находится
в затвердевшем состоянии (хк, 0 > 0), то
Хк = - ht + У{ht + хк, о)2 + 2Х1(/£-/п) т . (VI-52)
Величина хк предела не имеет.
Решение данной задачи является одновременно решением задачи затвер-
девания неограниченной пластины (0 .-с л'-<: /i) при /х=о = t„ < tK и
S2 = 0 (рис. § VI-3, б). Время полного затвердевания пластины равно:
(VI-53)
Для сравнения приводим более точное решение, при котором распре-
деление температуры в затвердевшей области соответствует функции инте-
грала вероятностей Гаусса (см. § VI-1, п. А):
хк = 20 Va^, (VI-54)
ft2
тшах - 4p2fli
(VI-55)
значения 0 определяются по рис. VI-1.
127
Задача № 2. На поверхности тела температура tn < tK постоянна,
на границе затвердевания тепловой поток из жидкости S2 >0 постоянен
(рис. VI-4, а).
Рис. VI-4. Тепловая схема задачи № 2: а — полуограниченное тело,
б — пластина
Уравнение теплового баланса на границе затвердевания:
= (VI-56)
Решение
nK + ln(l — Пк) + П = О, (VI-57)
где
П = ------Si_____• п = Хк^2 — хк /VT чя\
- KLv(tK-tn) ’ <VI-58)
По уравнению (VI-57) построен график т]к = f (П), показанный на рис. VI-5.
Расчетная формула для драницы затвердевания:
128
Таким образом, порядок определения положения границы затвердева-
ния хк к моменту времени т следующий. По формуле (VI-58) вычисляют
значение П, затем по графику на рис. VI-5 находят величину т]к и, наконец,
находят по расчетной формуле (VI-59) искомое значение хк.
Так как тепловое сопротивление затвердевшей области возрастает,
то тепловой поток уменьшается и граница затвердевания достигает пре-
дельного положения:
хНт = . (VI-60)
Если ht 0, то вместо решения (VI-57) имеем:
Ъ + Щ In + Пд = О, (VI-61)
где
nL = П5 = Х1(^Г/п) ; Пк = & • (VI -62)
ъ Lvht ° SJit IK ht v 7
Расчетные формулы:
граница затвердевания (рис. VI-5)
хк = пЛ; (Vi-63)
предельное положение границы затвердевания
*1ип = Ып$— 1). (VI-64)
Решение данной задачи является одновременно решением задачи затвер-
девания неограниченной пластины (О х ==£ h) при tx=o = t„ < tK и
S2 = const (рис. VI-4, б). Пластина может полностью затвердеть, если
h Хцт- Время полного затвердевания пластины равно:
при ht — О
тшах = Пшах ; (VI-65)
при ht =р О
ттах = Щтах-^-. (VI-66)
Значения Пшах иПД1Ш находят по рис. VI-5, причем аргументы равны:
для определения Птах (по штриховой кривой)
<VI-67>
для определения П£шах
<VI-68>
Задача №3. На поверхности тела температура tn <tK постоянна,
на границе затвердевания тепловой поток из жидкости изменяется по закону
S2 = S0/J/t (рис. VI-6).
Уравнение теплового баланса на
затвердевания:
Л _ Т dxK
1 Хк Кт ~ V dT
Решение
Р = — 1 + Vn$ + Ь
где
о _ ЬуХк в у-f ___ (/к /п)
₽ = s" з?
(VI-71) Рис. VI-6. Тепловая схема за-
дачи № 3
9 Зякяз 945
129
Расчетная формула для границы замерзания:
= (VI-72)
причем хк предела не имеет.
Порядок расчета хк следующий. Сначала по (VI-71) вычисляется Щ,
затем по (VI-70) находится (3 и, наконец, по (VI-72) определяется положение
границы хк к моменту времени т.
Задача №4. На поверхности тела тепловой поток Sr < 0 постоя-
нен, на границе затвердевания тепловой поток из жидкости равен нулю
(рис. VI-7, а).
Рис. VI-7. Тепловая схема задачи №4: а — полуограниченное тело,
б — пластина
Уравнение теплового баланса на границе затвердевания:
-S^Ly^-. (VI-73)
Расчетная формула:
(VI-7D
причем хк предела не имеет.
Решение данной задачи является одновременно решением задачи затвер-
девания неограниченной пластины (О х h) при Sx = const < 0 и S2 =
= 0 (рис. VI-7, б). Время полного затвердевания пластины
тшах = —(VI-75)
Задача №5. На поверхности тела и на границе затвердевания
из жидкости тепловые потоки постоянны, но различны по величине и знаку
(Si < 0 и S2 > 0, рис. VI-8, а).
Рис. VI-8. Тепловая схема задачи № 5: а — полуограниченное тело,
б — пластина
Уравнение теплового баланса на границе затвердевания:
-(51 + 5,) = ^^-.
Расчетная формула:
у.___________________________(•$! + Sg) т
Ly
причем хк предела не имеет.
130
(VI-76)
(VI-77)
Решение данной задачи является одновременно решением задачи затвер-
девания неограниченной пластины (0 х «С h) при — const < 0 и Sa =
= const > 0 (рис. VI-8, б). Время полного затвердевания пластины
Тщах = Si + S2 • (VI-78)
Задача №6. На поверхности тела4тепловой поток Sr < 0 постоя-
нен, на границе затвердевания тепловой поток из жидкости'^изменяется
по закону S2 = SJyfт > 0 (рис. VI-9).
Уравнение теплового баланса на границе затвердевания:
(VI-79
Расчетная формула:
хк = —£ (S^ + 2S0 pV), (VI-80)
Рис. VI-9. Тепловая схема за-
дачи № 6
Рис. VI-10. Тепловая схема за-
дачи № 7
Задача № 7. Температура поверхностей пластины х = 0 и х = h
постоянна, но различна по величине и знаку (/п i < 4 и 2 > /к,
рис. VI-1O).
Уравнение теплового баланса на границе затвердевания:
Решение-.
1 + П$ (^ ("¥ + 1 + Пз“1) + 14-ns х
X (-ПГ^-1)1п(1-(1+П5)1д} = Пь, (VI-82)
где
тт __ ^15 (*к.— ^п. 1) . п _ ^г(^п,2 — W . _ *к л/т оо\
’ lls = = Т • (V1 83>
Расчетная формула для границы затвердевания (рис. VI-11):
хк = TjKft. (VI-84)
Тепловое сопротивление затвердевшей области во времени увеличи-
вается, а жидкости — уменьшается. Поэтому в некоторый момент времени
Si = — S2 и граница затвердевания достигает предельного положения:
= ттпг <Vb85>
• Так как Ц$ > 0, то Хцт < h.
9*
131
Задача № 8: на поверхности пластины х = 0 тепловой поток
Si < 0 постоянен, на поверхности х = h постоянна температура tn 2 > tK
(рис. VI-12).
Уравнение теплового баланса на границе затвердевания:
где
Рис. VI-12. Тепловая схема
задачи № 8
Л ^П» 2 С Г &ХК
Решение:
Т1К-Щ1П =nL>
(VI-86)
(VI-87)
^ = ~h-- (У1-8®
^2 Uk-----^П, 2) .
Расчетные формулы:
граница затвердевания (рис. VI-13)
хк = т]к/г;
(VI-89)
предельное положение границы затвердевания
Xlta = h— М*к-_*п.а) .
(VI-90)
Если П5 5= 1, затвердевание не происходит, Хит = 0; так как П5 <
< ОО, ТО Хит < h.
132
Рис. VI-13. Расчетный график задачи № 8
Задача №9. На поверхности тела температура изменяется с по-
стоянной скоростью b (tx=o — tnt 0 + Ьх),
тепловой поток из жидкости равен нулю
{рис. VI-14).
Уравнение теплового баланса на гра-
нице затвердевания:
= Lv . (VI-91)
Расчетная формула:
на границе затвердевания
. _ 1/ (*к — ^п,о W2) . (VI-92) Рис. VI-14. Тепловая схема за-
к г Ly дачи № 9
Если b < 0, то хк предела не имеет. Если b > 0, то имеется
предел
— (^к
(VI-93)
f tyt ~~~
который наступает при Tlim = — ~ь \ затем начинается плавление.
133
Задача №10. На. поверхности тела температура изменяется гар-
монически, на границе затвердевания тепловой поток из жидкости равен
нулю (рис. VI-15).
Уравнение теплового баланса на границе затвердевания (1ср—tK—7'п<0):
Рис. VI-15. Тепловая схема за-
дачи № 10 причем хк предела не имеет.
2. ТЕЛА ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ФОРМЫ
Ниже значения тепловых потоков Q принимаются на единицу длины тела.
Задача №11. На поверхности неограниченного цилиндра темпе-
ратура ta < tK постоянна, на границе затвердевания тепловой поток из жид-
кости равен нулю (рис. VI-16, а).
Рис. VI-16. Тепловая схема задачи № Ц: а — сплошной цилиндр, б — неограничен-
ное тело с цилиндрической полостью
Уравнение теплового баланса на границе затвердевания:
1 - tn т dRK
р in * ~Lv dr
Решение:
где
^(MK-4-)+-r=2nJ>
TT —; (tK - tn) . _ Rk
L - LVR* ’ ,K - R •
Расчетная формула (рис. VI-17, кривая /):
R* = Чк#-
Время полного затвердевания цилиндра (7?к — 0):
_ Ly&
ПШХ~ 4Х1(/к _/п) >
T. е. Г1д, тах = •
(VI-96)
(VI-97)
(VI-98)
(VI-99)
(VI-100)
134
Решение данной задачи является одновременно решением задачи затвер-
девания неограниченного тела с цилиндрической полостью (А?о г °°).
; на поверхности которой температура tr=Ro < tK постоянна, а на границе
затвердевания из жидкости тепловой поток равен нулю (рис. VI-16, б).
! Отличие заключается в том, что направление перемещения границы затвер-
! девания совпадает с направлением оси г (граница перемещается во вне).
dR
। Поэтому > 0 и безразмерный параметр границы затвердевания т)к =
i _ rk
г = дг изменяется в пределах 1 т]к оо. В расчетных формулах вместо R
| надо подставлять
I Если размеры тела вокруг полости ограничены (7?0 г то имеем
I полый цилиндр, время полного затвердевания которого
i . тшах = п£1Шах ; (VI-101)
значения определяются по рис. VI-17, аргумент равен т]„ = -^-.
I о
I Задача № 12. На поверхности неограниченного цилиндра темпе-
I ратура ta < tK постоянна, на границе затвердевания тепловой поток из жид-
I кости Q8 > О постоянен (рис. VI-18, а).
135
Уравнение теплового баланса на границе затвердевания:
+ Q,=2nRKLv-^. (VI-102)
1П«Г
Решение-.
граница затвердевания
ехр (2 In Пк)- [Ei (4Пе + 2 1п Чк) - Ei (4лПс)] -1 =Ь=; (VI-103)
предельное положение границы затвердевания
Пит = ехР (— 2лП<Д (VI-104)
где
П4=-^-; По= ^=*5., (VI-105)
Рис. VI-18. Тепловая схема задачи № 12: а — сплошной цилиндр, б — неограничен-
ное тело с цилиндрической полостью
Расчетные формулы (рис# VI-19, а):
= ЧЛ
^l!m = 'niltn-R-
(VI-106)
(VI-107)
Решение данной задачи является одновременно решением задачи|затвер-
девания неограниченного тела с цилиндрической полостью (Z?e г ^оо),
на поверхности которой температура /г=я0 < /к постоянна, а на границе
затвердевания тепловой поток из жидкости Q2 > 0 постоянен (рис. VI-18, б).
dR R
Отличие заключается в том, что > 0. Значения т]к = —изменяются
в пределах 1 т]к 00 и даны на рис. VI-19, б. В расчетных формулах
вместо R надо принимать 7?0.
Если имеем полый цилиндр (7?0 г #)» то ег0 полное затвердевание
возможно, если -^^='ПИт (при затвердевании внутрь) или ЛПгп
(при затвердевании во вне). Время полного затвердевания
^tnax = Hl, шах ИЛИ Tmax = IIl, тах • (VI-108)
Значения П£ тах определяются по рис. VI-19, а, причем аргумент равен
R *
т)к = а значения П£п1ах— по рис. VI-19, б, причем аргумент равен
136
Рис. VI-19. Расчетные графики задачи № 12: а — сплошной цилиндр (qK Г);
б — неограниченное тело с цилиндрической полостью (i)K 1)
137
Задача № 13. На поверхности неограниченного цилиндра тепловой
поток Qi < 0 постоянен, на границе затвердевания тепловой поток из жидко-
сти равен нулю (рис. VI-20, а).
Рис. VI-20. Тепловая схема задачи № 13: а — сплошной цилиндр, б — неограничен-
ное тело с цилиндрической полостью
Уравнение теплового баланса на границе затвердевания:
Q1 = 2nRKLv-^-. (VI-109)
Расчетные формулы:
граница затвердевания
я«-|/ (VI-110)
время полного затвердевания
Формула (VI-НО) служит также для расчета затвердевания неограни-
ченного тела с цилиндрической полостью (7?0 г 00) и полого цилиндра
(₽о г Я), если затвердевание идет во вйе и Q2 = 0 (рис. VI-20, б).
В этом случае надо принимать > 0 и вместо 7? подставлять /?0. Время
полного затвердевания полого цилиндра
__ siLy (т?2 — /?ц)
max~ Qi
(VI-H2)
Задача №14. На поверхности неограниченного цилиндра и на гра-
нице затвердевания из жидкости тепловые потоки постоянны, но различны
по величине и знаку Qx < 0 и Q2 > 0 (рис. VI-21, а).
Рис. VI-21. Тепловая схема задачи № 14: а — сплошной цилиндр, б — неограничен-
ное тело с цилиндрической полостью
138
Уравнение теплового баланса на границе затвердевания:
Q1 + Qa=2ji7?KLv-^.
Расчетная формула:
Время полного затвердевания цилиндра
nLyR2
™х~ Qt + Qi'
(VI-113)
(VI-114)
Формула (VI-114) служит также для расчета затвердевания неограни-
ченного тела с цилиндрической полостью (/?0 г оо, рис. VI-21, б) и
Рис. VI-22. Тепловая схема задачи № 15: а — сплошной цилиндр, б — неограниченное тело
с цилиндрической полостью
полого цилиндра (Ro г R). Для этого надо принимать Q1>0hQ2<0
и вместо R подставлять Ro. Время полного затвердевания полого цилиндра
_ nLv (Я2 — R%)
^max —
Qi + Qa
(VI-116)
Задача №15. На поверхности неограниченного цилиндра тепловой
патак Qi < (7 постоянен, на границе затвердевания плотность теплового
потока из жидкости S2 > О постоянна (рис. VI-22, а).
Уравнение теплового баланса на границе затвердевания:
(VI-117)
Решение-.
п0
Пл Пк-------
’Ik "Ь 2л П Пл- ‘ 1 ~ ^L’ (VI-118)
’“IF
где
Г|^В' 4^4- (VI-119>
Расчетная формула (рис. VI-23, а):
= (VI-120>
Время полного затвердевания цилиндра
^шах = Пд, шах > (V1-121)?
значения nL,max находят по рис. VI-23, а, аргумент равен т]к = 0.
139
a)
nQ=2Jt
S)
Рис. VI-23. Расчет-
ные графики задачи
№ 15: а—сплошной
цилиндр (<qK 1),
б — неограниченное
тело с цилиндри-
ческой полостью
140
Решение данной задачи является одновременно решением задачи затвер-
девания неограниченного тела с цилиндрической полостью (/?0 г со,
рис. VI-22, б) и полого цилиндра (Ро г Р). Отличие заключается в том,
dR
что-^г- > 0 и поэтому надо принимать Q1>0hS2<0, а вместо Р подста-
влять Ро (рис. VI-23, б). Тепловой поток из жидкости к границе затвердева-
ния по мере увеличения Рк увеличивается j(Q2 = 2nZ?KS2), что приводит
к ограниченности значений Рк; предельное положение границы затвердева-
ния равно:
р ________
Klim “ 2л52 ’
(VI-122)
T- e* ?him - “ 2л ’
Затвердевание тел цилиндрической формы возможно, если nQ > 2л.
3. ТЕЛА ШАРОВОЙ ФОРМЫ
Задача №16. На поверхности шара температура 1П < /к постоянна,
на границе затвердевания тепловой поток из жидкости равен нулю.
Уравнение теплового баланса на границе затвердевания:
Xi А-(п„ = ^2 Lv db' (V1 J 23)
~R
Решение:
n 9
= nL, (VI-124)
где
nL = X1T(/«~Zn) ; Пк = • (VI-125)
Расчетная формула (рис. VI-24, кривая I):
RK = ^R. (VI-126)
Время полного затвердевания шара
rr I
т. e. max — g .
Решение данной задачи является одновременно решением задачи затвер-
девания неограниченного тела с шаровой полостью (Z?o г ^°°) при tr=R0 <
< /к и Q2 = О* Отличие заключается в том, что направление перемещения
границы затвердевания совпадает с направлением оси г (граница перемещается
dR R
во вне). Поэтому -г-2- > 0 и т]к = —> оо (рис. VI-24). В расчетные формулы
ЛТ х\0
вместо Р надо подставлять Ро.
Если размеры тела вокруг полости ограничены (7?0 г Р), то имеем
полый шар, время полного затвердевания которого
L рр
ттах = П£ / 0 ; (VI-128)
р
значения П£ определяются по рис. VI-24, аргумент равен -qK = -=->1.
141
Задача №17. На поверхности шара температура tn < tK посто-
янна, на границе затвердевания тепловой поток из жидкости Q2 > 0 по-
стоянен.
Уравнение теплового баланса на границе затвердевания:
Решение:
(4л)3П2р (1-7)0
(1 4-4л Пр)2
где
+ (?2= 4nR*Lv
~R~R^
(VI-129)
1 - Чк + 4"по [3 + (Ч- Ч - 5)1 -
т)к (1 + 4лПр) — 1
1П 4ЙЩ Пк+1
4лПр(1 — 7)к)
= Пд,
(VI-130)
ГТ ___ Os* . ТТГ —. ^-1R (^К 4) .
11£ - LVR> ’ - Q2
(VI-131)
Так как тепловое сопротивление затвердевшей области увеличивается
во времени, то величина RK имеет предел (рис. VI-25):
(VI-132)
^Пт ~ Т111т^’
142
Задача № 18. На поверхности шара температура in < ^постоянна,
на границе затвердевания плотность теплового потока из жидкости S2 > О
постоянна.
Уравнение теплового баланса на границе затвердевания:
+ R2A = dR^
"R
(VI-133)
Решение:
3 . Пз + 'Пк-^к , 2HS + 1
Лк 2 Н
Hs
/4л$+ 1
|п Лк ~ 2П$ + (1 — Лк) + 1
Лк 2^S (1 Лк)к V 4П$4-Т
1 =ц
(VI-134)
где
рг __ ^2^ . гт __ (Ас ^п) .
Us = ----’
№19. На поверхности шара
•n = — .
Я» - R
тепловой
(VI-135)
поток Qj < О
границе затвердевания тепловой поток из жидкости равен
Задача
постоянен, на
нулю.
Уравнение теплового баланса на границе затвердевания:
Qi = 4n/?2KLv^.
(VI-136)
143
Расчетная формула:
Время полного затвердевания шара
4л/?»£у
"Чпах — 3Qi •
(VI-137)
(VI-138)
Задача № 20. На поверхности шара и на границе затвердевания
из жидкости тепловые потоки постоянны, но различны по величине и знаку'.
Ql < 0 и Q2 > О.
Уравнение теплового баланса на границе затвердевания:
Qi + Q2 = 4«7?k2Lv^-.
Расчетная формула:
Время полного затвердевания шара
4nfl»Lv
(VI-139)
(VI-140)
(VI-141)
Задача №21. На поверхности шара тепловой поток Qi < 0
постоянен, на границе затвердевания плотность теплового потока S 2 > 0
из жидкости постоянна.
Уравнение теплового баланса на границе затвердевания:
Qi + 4nR2KS2 = 4nR2Lv . (VI-142)
где
Решение-.
t 2лПсКпк—K«nq(l—lAfe)—-у
—r__---------“--------- г-
4уяП^ глПоГпк + КлПса-Гпк)--^-
1 = nL, (VI-143)
UQ “ Qi ’ ’Ik - R
(VI-144)
LVR ’
Приведенные выше решения задач затвердевания шара являются одно-
временно решениями задач затвердевания неограниченного тела с шаровой
полостью (7?о г °°) и полого шара (Ro г R), когда направление
перемещения границы затвердевания совпадает с направлением оси г (гра-
dR
ница перемещается во вне). В данном случае > 0 и во всех уравнениях
теплового баланса перед вторым членом левой части надо поставить проти-
воположный знак.
4. ПРИМЕР РАСЧЕТА ЗАТВЕРДЕВАНИЯ
Покажем на нескольких конкретных примерах порядок пользованияТприведенными
выше формулами и графиками для решения задач с фазовыми превращениями материала.
Пример 1. Дано. В водоеме перед началом образования ледяного покрова температура
воды близка к температуре замерзания: t0 = tK^ 0® С. Температура воздуха й = —10° С.
Коэффициент теплоотдачи в атмосферу а = 15,5 Вт/(м2 «град). Коэффициент теплопроводности
144
льда = 2,326 Вт/(м-град), удельная теплота ледообразования о = 93 Вт-ч/кг; плотность
льда pj = 920 кг/м3 и, следовательно, Ly = 93• 920 = 85 560 Вт-ч/м3.
Найти толщину ледяного покрова через т = 5 сут = 120 ч.
Решение. Будем считать, что температурный режим ледяного покрова квазиустановив-
шийся. Так как по условию задачи задана не температура поверхности льда, а температура
воздуха, то, хотя снежный покров (теплоизоляция) отсутствует, у поверхности льда имеется
слой температурного сопротивления, толщина которого равна [см. формулу (VI-40) ]:
. Xi 2,326 П1С
Л' = -^ = Л5^=°-15м-
На нижней поверхности ледяного покрова S2 = 0, так как t2^ 0° С. Следовательно,
решаемая задача по условиям совпадает с задачей № 1 и для расчета толщины ледяного по-
крова служит формула (VI-52), в которой надо принять хк, о = 0*
Вычисляем искомую толщину льда:
Л1К . l/n I 2-2,326(0+ 10) 120
хк = — 0,15+ у 0,152Н----J—85566 "------«*0,15 м.
Усложним задачу: примем, что к нижней поверхности ледяного покрова из водной толщи
подводится тепловой поток S2 = 50 Вт/м2, и найдем толщину льда, образующегося через т =
= 5 сут = 120 ч. Эта задача соответствует задаче № 2.
Вначале вычисляем исходные аргументы по формулам (VI-62):
п _ 50-120 __А7 п _ 2,326 (0+10)
Пд --- Л ----------- 0 47 И Us ---- ЕЛ Alt — 3,1.
85 560-0,15 * 50-0,15
Отметим, что при данных условиях толщина льда не возрастает беспредельно. Макси-
мально возможная толщина льда, согласно формуле (VI-64), равна:
?lim = 0,15 (3,1 — 1) = 0,32м.
Найдем толщину ледяного покрова, образующегося через 5 сут. По рис. VI-5 опреде-
ляем *]к = 0,67 и по формуле (VI-63) вычисляем хк = 0,67-0,15= 0,10 м.
Покажем теперь, как найти толщину льда, если в начальный момент уже имеется слой
ранее образовавшегося льда: хк, 0 = 0,05 м.
Расиоложим начало координат на нижней поверхности слоя хк. о- Тогда:
ht = ‘7Г + *К’<’ =п^-+0,05 = 0,2 м.
Си 10,0
Вычисляем исходные аргументы:
_ 50-120 ... _ 2,326-10 „„
П£~ 85560-0,2“ 0,35 И Пз“ 50-0,2 ~ 2,33‘
По рис. VI-5 находим т]к = 0,35 и вычисляем толщину льда, образующегося за т = 5 сут:
хк = 0,35-0,2 = 0,07 м. Следовательно, общая толщина ледяного покрова составляет Лл =
= 0,05+ 0,07= 0,12 м.
Пример 2. Дано. Диаметр наружной трубы воздушной колонки, предназначенной
для замораживания водонасыщенного грунта, составляет 2/?0 = 0,4 м. Температура поверх-
ности колонки равна tn = —15° С. Теплофизические характеристики замораживаемых грун-
тов: Xj = 3 Вт/(м-град), Ly = 25-103 Вт-ч/м3. Притоком тепла из талой области к границе
замерзания можно пренебречь (Q2 = 0).
Найти время, необходимое для образования льдогрунтового цилиндра диаметром 27?к —
= 1,2 м.
Решение. Будем рассматривать воздушную колонку как цилиндрическую полость в не-
ограниченном теле (замораживаемом грунте). Тогда решаемая задача совпадает по условиям
с задачей № 11.
Вычисляем по формуле (VI-98) исходный аргумент
. 0.6 _ о
Пк - Ro ~ 0,2 ~ д
10 Заказ 945
145
и по рис. VI-17 находим Пд= 2,95. Искомое время замораживания, согласно формуле (VI-101),
равно:
Предположим теперь, что^в начальный момент времени часть грунта вокруг колонки уже
находилась в мерзлом состоянии: 2/?к, 0 = 0,6 м. Время замораживания^такого цилиндра
заняло бы при данных условиях время т0. В этом случае
и по рис. VI-17 находим Щ = 0,145,^следовательно,
0,145.25» 103-0,09
3-15
Находим, что время замораживания
т = 66 — 7,2 = 58.8 1.
Часть вторая
РАСЧЕТНЫЕ ГРАФИКИ
И ФОРМУЛЫ ЗАДАЧ
НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ
РЕЖИМА
(БЕЗ ИЗМЕНЕНИЯ АГРЕГАТНОГО СОСТОЯНИЯ)
Таблица П-1
Перечень задач неустановившегося режима,
для которых построены графики
№ задачи Наименование задачи Тепловая схема Начальное и граничные условия
1 2 3 4
Полуограниченное тело
1 Начальная темпера- тура одинакова. Тем- пература поверхности постоянна, на беско- нечном удалении от по- верхности тепловой по- ток равен нулю, а тем- пература постоянна tn t - ~ I Г £ 11 и II
0 *0
X
2 Начальная темпера- тура одинакова. На по- верхности задан тепло- вой поток, на бесконеч- ном удалении от по- верхности тепловой поток равен нулю, а температура постоянна |-A^-=S f дх t , 1 - §1* =r * I 1 II ° о II GO
П> I -
Ху w II ?> > t-to
3 Начальная темпера- тура при 0 Z из- меняется линейно, а при х > 1 — постоянна. На поверхности тепловой поток равен нулю; на бесконечном удалении от поверхности тепло- вой поток равен нулю, а температура постоян- на at дх =0 + sis? г *7 - f — =»' «= 8 8 ft о" Л t II о- o II /Л Г - о x О I + V
1 ° I 1 *0,1 I f*0,2 I z t^o /
X dx '
4 Начальная темпера-
тура одинакова- Тем-
пература среды посто-
янна, на бесконечном
удалении от поверхно-
сти тепловой поток ра-
вен нулю, а темпера-
тура постоянна
I к=о —
л dt I
дх |аг=О~
= «(^-^=о)
Ф = const
t 1х=00 — *0
149
Продолжение табл. II-1
Наименование задачи
2
5
Начальная темпера-
тура одинакова. Тем-
пература поверхности
изменяется линейно, на
бесконечном удалении
от поверхности тепло-
вой поток равен нулю,
а температура постоян-
на
6
Начальная темпера-
тура одинакова. Тем-
пература поверхности
изменяется по закону
t0 + б/т, на беско-
нечном удалении от по-
верхности тепловой по-
ток равен нулю, а тем-
пература постоянна
Тепловая схема Начальное и граничные условия
3 4
11т=0 *0 11х=0 = to + 6т
0 •
dt I дх 1 = 0 X=oo
X t=t0 ox t lx=co tQ
t I-- А = tn
1 a 0 * lx=o dt дх = <0 + & К T = 6 |X=oo
r t=t0 doc t L-oo = Ч • X=CO V
8
Начальная темпера-
тура одинакова. Тем-
пература поверхности
изменяется по закону
t0 -|- 6т2, на бесконеч-
ном удалении от поверх-
ности тепловой поток
равен нулю, а темпе-
ратура постоянна
t |т=о — Ч
t\x=S) = t0 + b^
М =0
дх |х==оо
t lx=co = t$
Начальная темпера-
тура одинакова. Темпе-
ратура среды изменяет-
ся линейно, на беско-
нечном удалении от по-
верхности тепловой по-
ток равен нулю, а тем-
пература постоянна
t 1т=о —
-
дх |х=о
= а(0-*х=о)
О = to + b%
т-1 -°
дх |х=оо
t lx—оо ^0
Квазиустановивший-
ся режим. Температура
поверхности изменяет-
ся гармонически, на
бесконечном удалении
от поверхности тепло-
вой поток равен нулю,
а температура посто-
янна
* L=0 — *ср +
+ Тп cos 2л —
dt
^"1 =0
дх |х=оо
t 1х=оо ^ср
150
Продолжение табл. П-1
№ задачи Наименование задачи Тепловая схема Начальное и граничные условия
1 2 3 4
10
Квазиустановивший-
ся режим. Тепловой
поток на поверхности
изменяется гармониче-
ски, на бесконечном
удалении от поверхно-
сти тепловой поток ра-
вен нулю, а температу-
ра постоянна
П
+ К cos 2л —
то
1х=оо ^ср
Квазиустановивший-
ся режим. Температура
среды изменяется гар-
монически, на бесконеч-
ном удалении от по-
верхности тепловой
поток равен нулю, а
температура постоянна
t
=
дх |х=о
= «(^-z*=o)
ф = /ср 4- Тс cos 2л —
то
dt
дХ |х=оо
1х=оо == ^ср
12
Начальная темпера-
тура одинакова. На по-
верхности при у 0
задан постоянный теп-
ловой поток, а при
у > 0 тепловой поток
отсутствует; на беско-
нечном удалении от
поверхности тепловой
поток равен нулю, а
температура постоянна
?L-0 х' t=t°
Вх ’
I 1т=о ~
—Л-^-1 =5, (у^О)
дх U=o '
JLI =о, (у>о)
дх |д?=0
-0
дх |х=со
1х=оо ~
,£-s Тг-‘
—1___д
о j
13
Начальная темпера-
тура одинакова. На по-
верхности при —Уо^
у +Уо задан по-
стоянный тепловой по-
ток, а при у< —Уо и
при> у > тепловой
потдк отсутствует; на
бесконечном удалении
от поверхности тепло-
вой поток равен нулю,
а температура постоян-
на
В1_л yBt_. Bt„
а ~0 ""«Л “л—“S Л-»- ~0
дх дх ох
1т=0 — *0
-X-J-I =s,
дх |х=о
(— Уо^У^ + Уо)
dt I п /
— =0 (—оо^у<
дх |х=о '
< — Уо и yQ< у sgco)
151
Продолжение табл. П-1
№ задачи Наименование задачи Тепловая схема Начальное и граничные условия
1 2 3 4
14 Начальная темпера- тура одинакова. На по- верхности при у < —Уь и при у > +^0 задан постоянный тепловой поток, а при —Уь^ У +Уо тепловой поток отсутствует; на бесконечном удалении от поверхности тепло- вой поток равен нулю, а температура постоян- на st st п —=s z—=п - 1т=о = ^0
дх । 1 =s |х=0
'дх ох ъ v Л L- i L И Уо<У^сю)
° «0 £т=(Г to 1
dt дх 1 =0 |х=0
nt t-tQ ч У о У У о /
дх J AI дх 1 = 0 Х=оо
ljC=co ^0
15 Начальная темпера- тура одинакова. На ча- сти поверхности, име- ющей форму круга, за- дан постоянный теп- ловой поток, а на осталь- ной части поверхности тепловой поток отсут- ствует; на бесконечном удалении от поверхно- сти тепловой поток ра- вен нулю, а темпера- тура постоянна ах $ - -В=0"лл л Г J J ” < со II '1,- дх 1 0 — ^0 = S х=0
-/?Х2 t T=0= ^0 1 \ -*4/ -J-I =0, (-оо^г< дх |х=о v < — R и /?<г^со)
н II t=t0 dt I дх | а 8 8 II II о
Неограниченная пластина
16
Начальная темпера-
тура одинакова. На од-
ной поверхности темпе-
ратура постоянна, на
другой — тепловой по-
ток равен нулю
to t
0 й to
х
дос
* к=о —
1х=о =
#-1 -«
дх |х=*
17
Начальная темпера-
тура изменяется линей-
но. На одной поверх-
ности температура по-
стоянна, на другой —
тепловой поток равен
нулю
* U=o = tn +
t lje=O =
152
Продолжение табл. П-1
№ задачи Наименование задачи Тепловая схема Начальное и граничные условия
1 2 3 4
Начальная темпера-
тура изменяется линей-
но. На обеих поверх-
ностях температура
постоянна и одинакова
* 1т=0 ~ ft
t 1х=о =
\x=h =
19
Начальная темпера-
тура изменяется ли-
нейно. На одной по-
верхности задана посто-
янная температура, око-
ло другой поверхно-
сти — постоянная тем-
пература среды
= +
1х=0 =
Х-^-1 = а(О —
дх \x=h 4
G=ft)» ==
20
Начальная темпера-
тура изменяется гармо-
нически. На одной по-
верхности температура
постоянна, на другой —
тепловой поток равен
нулю
21
Начальная темпера-
тура изменяется пара-
болически. На одной
поверхности темпера-
тура постоянна, на дру-
гой — тепловой поток
равен нулю
'k_0 = <n +
1х=0 ==
>1 =°
дх 1х=ь
Начальная темпера-
тура одинакова. На од-
ной поверхности задан
постоянный тепловой
поток, на другой —
тепловой поток равен
нулю
i 1т=о —
=
дх |х=о
“I -»
дх [x=h
153
Продолжение табл. II-I
№ задачи Наименование задачи Тепловая схема Начальное и граничные условия
1 2 3 4
23 Начальная темпера- тура одинакова. На од- ной поверхности задан постоянный тепловой поток, на другой — по- стоянная температура /I t
0 h t^=O~tQ * 1т=1 дх t lr=J D — "0 1 =$ |х=0 h ~ М
X
24 Начальная темпера- тура одинакова. На од- ной поверхности задан постоянный тепловой поток, около другой поверхности — посто- янная температура сре- ды, равная начальной температуре l-A^=S 1 дх j i 1т=0 *0
0 h to . dt Х дх 1*1 дх | j =s |х=0 x—h
X ^t0 II II Ф II о*
25
Начальная темпера-
тура изменяется скачко-
образно. На обеих по-
верхностях тепловой
поток равен нулю
^-=<2
дх t
0 £
h ^t^s
X f t ^-=0
/|т==о = ^од.
t 1т=0 = ^0,2> G <
_0
дх |х=о ~ дх |x=ft ~
26
Начальная темпера-
тура одинакова. Около
одной поверхности за-
дана постоянная тем-
пература среды, на дру-
гой поверхности тепло-
вой поток равен нулю
I 1т=0 — ^0
-‘М -
дх |х=е
= а(^-<х=о)
Ф = const
27
Начальная темпера-
тура одинакова. Около
одной поверхности зада-
на постоянная темпера-
тура среды, на другой
поверхности — постоян-
ная температура, рав-
ная начальной
* 1т=о — *0
_ХЛ! =
дх |х=о
= а(д-/ж=0)
О = const
\x=h =
154
Продолжение табл. П-1
№ задачи Наименование задачи Тепловая схема Начальное и граничные условия
1 2 3 4
28 Начальная темпера- тура одинакова. Темпе- ратура среды по обе стороны пластины по- стоянна, но различна, причем около одной из поверхностей она равна начальной температуре fl, t к==о ~ - ох |х=о $1 = const 1^-1 = дх 1х=А — а (#2 ^x=h)’ ^2 =
^0 h ^т=о~^о
X $2 - *О
29
30
31
Начальная темпера-
тура одинакова. Тем-
пература среды и коэф-
фициенты теплоотдачи
по обе стороны пласти-
ны постоянны, но раз-
личны, причем около
одной из поверхностей
температура среды рав-
на начальной темпера-
туре
Начальная темпера-
тура одинакова. Тем-
пература одной поверх-
ности изменяется линей-
но, на другой поверх-
ности тепловой поток
равен нулю
Начальная темпера-
тура одинакова. На од-
ной поверхности темпе-
ратура изменяется ли-
нейно, около другой
поверхности задана по-
стоянная температура
среды, равная началь-
но® температуре
Начальная темпера-
тура одинакова. Тем-
пература одной поверх-
ности изменяется экс-
поненциально, на дру-
гой поверхности тепло-
вой поток равен нулю
1т=о ~
-1*1 =
дх !х=о
= а, (#i — *х=0)
~ const
1*1 =
дх x=h
= ^2 (^2 ^x=h)
^2 = ^0
t lT=o —
1х=о ~
-О
дх \x=h
0 h Лт=0~^0
Xх'
t 1х=о — zo
1х=о ~ t^ + bx
1*1 =
дх |х=л
= а(О —*Х=Л), о = /0
11т=о ~ *о
1 1х=0 = *0 + (^к ~ *о) Х
X (1 — е-₽т)
155
Продолжение табл. П-1
№ задачи Наименование задачи Тепловая схема Начальное и граничные условия
1 2 3 4
33 Начальная темпера- тура одинакова. На од- ной поверхности тепло- вой поток изменяется линейно, на другой — равен нулю |~Л&г=,?оГ t * 1т=0 = *0 , dt 1 „ — ™ ”5 — <ЬпТ дх !х=о ° ^1 =° дх \x=h
0 h tx=Q~t0 ।
X | ах
34 Начальная темпера- тура одинакова. На од- ной поверхности тепло- вой поток изменяется линейно, на другой по- верхности задана посто- янная температура, равная начальной тем- пературе
0 h 1
35 Начальная темпера- тура одинакова. На од- ной поверхности тепло- вой поток изменяется по закону SJVт, на другой — равен нулю кг t
0 h
X *•- II
36 Начальная темпера- тура одинакова. На од- ной поверхности тепло- вой поток изменяется по закону So Кт, на другой — равен нулю
0 tx*O~^O
г C7vv
t 1т=о — ^0
lx—h ~
t 1т==0 — ^0
дх |х=о т
-^1 =0
дх \x=h
t 1т=0 — ^0
f h=°
37
Начальная темпера-
тура одинакова. На од-
ной поверхности теп-
ловой поток изменяется
гармонически, на дру-
гой — равен нулю
'Xdx=S°(r'cosZ,rTa)
1k—0 — ^0
-^1 =
дх |х=о
= So ( 1 — cos 2п —
\ то
дх I x=h
156
Продолжение табл. II-I
№ задачи Наименование задачи Тепловая схема
1 2 3
38 Начальная темпера- тура одинакова. Темпе- ратура среды около од- ной поверхности изме- няется линейно, на дру- гой поверхности тепло- вой поток равен нулю d=to+br t
Г И to
X II
39 Квазиустановившийся режим. Температура одной поверхности из- меняется гармонически, на другой поверхности тепловой поток равен нулю
0 h X 1 дх
40
Квазиустановившийся
режим. Температура
одной поверхности из-
меняется гармонически,
другой поверхности —
постоянна
^OC=0=^Cp^^S/n^-}0
о Л
tx=h=tcp
41
42
Начальное и граничные
условия
i 1т=0 — ^0
=
дх |ж=о
= «(0-'ж=о)
# = *0 + 6т
=0
дх 'x=h
t lx=o = *ср +
+ Тп sin 2л —
11*=0 ^ср
+ Тп sin 2л —
* L=h = *ср
Неограниченный сплошной и полый цилиндры
Начальная темпера-
тура одинакова. Темпе-
ратура поверхности по-
стоянна
к=о —
Т-1 =°
дг |г==о
1г=Я =
Начальная темпера-
тура одинакова. На по-
верхности постоянный
тепловой поток
* к=о — *0
di
дг
дг
= 0
157
Продолжение табл. П-1
№ задачи Наименование задачи Тепловая схема Начальное и граничные условия
1 2 3 4
43 Начальная темпера- тура одинакова. Темпе- ратура среды постоян- на Г 1 ^consx к=0 ~ *0 dr |г=0 = dr |г=я = «(^-иЛ) -0* = const
V j ж *
(я
Г’ f ^=const
44
Начальная темпера-
тура одинакова. Темпе-
ратура поверхности из-
меняется линейно
11т=о —
«I =0
ОТ |г=о
t lr=R = *0 + bx
46
Начальная темпера-
тура одинакова. Тем-
пература среды изме-
няется линейно
t 1т=о ~ *о
#1 =0
dt |r=o
>*\ -
dr |г=я
Ф = tQ + Ьт
Начальная темпера-
тура одинакова. На на-
ружной поверхности
полого цилиндра темпе-
ратура постоянна, на
внутренней поверхности
температура равна на-
чальной температуре
Л
0
tr=R=Cn
*0
^0 I )
* k=0 = *0
* = *0
t 1г=Я = *п
Начальная темпера-
тура одинакова. На на-
ружной поверхности
полого цилиндра тем-
пература равна началь-
ной температуре, на
внутренней поверхно-
сти температура посто-
янна
I 1т=о —
11г=я — *Q
158
Продолжение табл. П-1
9
СО
£
Наименование задачи
Тепловая схема
Начальное и граничные
условия
2
48
Начальная темпера-
тура одинакова. Около
наружной поверхности
полого цилиндра темпе-
ратура среды постоян-
на. На внутренней по-
верхности тепловой по-
ток равен нулю
49
Начальная темпера-
тура одинакова. На на-
ружной поверхности по-
лого цилиндра тепловой
поток равен нулю, око-
ло внутренней поверх-
ности температура сре-
ды постоянна
tT
Ko
4
t It=0 — *0
#1 =°
dr |г=я0
a*i =
=^-tr=R)
. О = const
lx=0 — 4
-XAI =
dr |r=/?.
= а(«-^Л.)
О = const
di
л-1 =0
дг |г=я
50
Начальная темпера-
тура одинакова. Темпе-
ратура поверхности по-
стоянна
Сплошной и полый шары
1k=o —
—I
dr |r=o
t\r=R = tn
= 0
51
Начальная темпера-
тура одинакова. На по-
верхности постоянный
тепловой поток
к=о — *о
Al -«
dr |r=o
-s
dr |r=j?
52
Начальная темпера-
тура одинакова. Темпе-
ратура среды постоян-
на
* 1т=о ~
dt
-л-l =°
дг |г=о
А дг |г=я
О- = const
159
Продолжение табл. П-1
№ задачи Наименование задачи Тепловая схема Начальное и граничные условия
1 2 3 4
53 Начальная темпера- тура одинакова. Темпе- ратура поверхности из- меняется линейно Г W*fe*b* t 1<Г=0 — ^0 >L=° 1г=я = /0 + frt
54 Начальная темпера- тура одинакова. Темпе- ратура среды изменяет- ся линейно г г £ $=t0+bT 1 — H £** а/ । аг I Л Л дг = а(О 0 = =0 ~ = 0 г=0 U- — zr=«) + 5т
55 Начальная темпера- тура одинакова. На на- ружной поверхности по- лого шара температура постоянна, на внутрен- ней поверхности темпе- ратура равна началь- ной температуре \ 0 ^Г=Р=^П i 1 1 t ° -J3 fi «т j i j
56 Начальная темпера- тура одинакова. На на- ружной поверхности по- лого шара температура равна начальной темпе- ратуре, на внутренней поверхности темпера- тура постоянна 0 J i vr /tiJ=l]a "Ьф t *-k=o = lr=/?e ~ 11г==я = ^0
57 160 Начальная темпера- тура одинакова. Около наружной поверхности полого шара темпера- тура среды постоянна, на внутренней поверх- ности тепловой поток равен нулю for g- V о г/ г (Г "U r 'r~0’h t 11 >• > Наг ? i ,11 ? и S- 1 II II 4* О
Продолжение табл. П-1
№ задачи Наименование задачи Тепловая схема Начальное и граничные условия
1 2 3 4
58 Начальная темпера- тура одинакова. На наружной поверхности шара тепловой поток равен нулю, около вну- тренней поверхности температура среды по- стоянна /"я 1 t * 1т=о — Z0 -x“l - dr |r=R. 0 = const fl -» dr |г=я
\ 0 аги'
Неограниченное тело с цилиндрической или шаровой полостью
59 Начальная темпера- тура одинакова. Тем- пература поверхности цилиндрической поло- сти постоянна, на бес- конечном удалении от полости температура равна начальной тем- пературе 7»| / п tr-R0-tn 1 о ,= „$> II II II J 1 J
60 Начальная темпера- тура одинакова. На по- верхности цилиндриче- ской полости постоян- ный тепловой поток, на бесконечном удалении от полости температура равна начальной тем- пературе /Ч / d 1 to 1 II 1 fl II * и °" ’ II Со
61
Начальная темпера-
тура одинакова. Тем-
пература среды внутри
цилиндрической поло-
сти постоянна, на бес-
конечном удалении от
полости температура
равна начальной тем-
пературе
i 1т=о — *0
dr |r=R.
= а(О-^
& = const
1 1г=со = ^0
11 Заказ 945
161
Продолжение табл. П-1
№ задачи Наименование задачи Тепловая схема Начальное и граничные 4 условия
1 2 3 4
62 Начальная темпера- тура одинакова. Тем- пература поверхности шаровой полости посто- янна, на бесконечном удалении от полости температура равна на- чальной температуре 1 J д.. f ii1 1 II 8 о II II 1^ О* д*
V < Ги
63 Начальная темпера- тура одинакова. На по- верхности шаровой по- лости постоянный теп- ловой поток, на беско- нечном удалении от по- лости температура рав- на начальной темпера- туре ( 1 ( А г i ”1 q- г- II J, II °" II °" Со
64 Начальная темпера- тура одинакова. Темпе- ратура среды внутри шаровой полости посто- янна, на бесконечном удалении от полости температура равна на- чальной температуре -к II -° 11 И __1 7 g II О I U Q <8 Lfe ф И II - - । и
KSI
Неограниченное тело и полуограниченное тело с источниками тепла
65
Начальная темпера-
тура одинакова. Дей-
ствует точечный мгно-
венный источник тепла;
на бесконечном удале-
нии от источника тем-
пература постоянна
1х=о “
*1Г==Со=*0
nqx=o, г=о = ^
Начальная темпера-
тура одинакова. Дей-
ствует линейный мгно-
венный источник тепла;
на бесконечном удале-
нии от источника тем-
пература равна началь-
ной температуре
1т=0 ^0
t 1г=со =
Г|т=0> r=0 = wL
162
Продолжение табл. П-1
Ns задачи Наименование задачи Тепловая схема Начальное и граничные условия
1 2 3 4
67 Начальная темпера- тура одинакова. Дей- ствует плоский мгновен- ный источник тепла; на бесконечном удалении от источника темпера- тура равна начальной температуре £ Ж 11т=0 = *0 t 1г=оо ~ Iq 1т=о, r=0
68 Начальная темпера- тура одинакова. Дей- ствует точечный непре- рывный источник тепла; на бесконечном удале- нии от источника тем- пература равна началь- ной температуре / ° Г /у Г г •: s 1 & и и II <5-
69 Начальная темпера- тура одинакова. Дей- ствует линейный непре- рывный источник тепла; на бесконечном удале- нии от источника тем- пература равна началь- ной температуре 0 * 1т=0 ~ ^0 *Uoo=*0 Я 1т>о, г=о = Яь
70 Квазиустановивший- ся режим. На поверх- ности полуограничен- ного тела, движущегося в направлении оси х с постоянной скоростью v, действует точечный источник тепла q\ тепло- обмен на поверхности тела отсутствует; место- положение источника совпадает с началом ко- ординат / гч -Л—j =° дг |z=o 1|z=oo = 0 <71-^0 = <7
11
163
Продолжение табл. II-I
№ задачи Наименование задачи Тепловая схема Начальное и граничные условия
1 2 3 4
71 Квазиустановивший- ся режим. На поверх- ности полуограничен- ного тела, движущегося в направлении оси х at 1 V ш- «у* А| =° dz |z=o <U=o Я 1т>0 = 4l
с постоянной скоростью о, действует линейный источник тепла qL', теп- лообмен на поверхно- Г—\ и 0 1
сти тела отсутствует; местоположение источ- ника совпадает с нача- лом координат Z
72
Квазиустановивший-
ся режим. Внутри неог-
раниченного тела, дви-
жущегося в направле-
нии оси х с постоянной
скоростью v, действует
плоский источник тепла
qp\ местоположение ис-
точника тепла совпадает
с началом координат
d = —
к=оо c()v
*U-oo=0
= Яр
Неограниченная пластина и полуограниченное тело со слоем жидкости
(идеального проводника) на поверхности
73
Начальная темпера-
тура одинакова. На по-
верхности жидкости за-
дан постоянный тепло-
вой поток, на поверх-
ности пластины тепло-
вой поток равен нулю
1т=0
Slx=_ft'=S
74
Начальная темпера-
тура одинакова. На по-
верхности жидкости за-
дан постоянный тепло-
вой поток, на поверх-
ности пластины — по-
стоянная температура
I 1т=0 — ^0
-ХА| =
дх |х=о
е ' dt I
= S — c p'h
дх |х=0
t lx=h = *0
164
Продолжение табл П-1
№ задачи 1 Наименование задачи Тепловая схема Начальное и граничные условия
1 2 3 4
75 Начальная темпера- тура одинакова. На по- верхности жидкости тепловой поток равен нулю, на поверхности пластины задана посто- янная температура * 1т=о — $1х=-А' = 0 - дх |х=0 . z /«., dt I = СРА TkLo i lx=h ~ in
к' “о Л - — —- Л’-* <х» t
X'
Nt=o = — Л')
Начальная темпера-
тура изменяется скачко-
образно. На поверхно-
сти жидкости тепловой
поток равен нулю, на
поверхности пластины
температура равна на-
чальной температуре
S|^<=0
дх |х=о
' dt I
= c'p'h' -r-
d% |x=o
i\r=t. =0
Начальная темпера-
тура одинакова. На по-
верхности жидкости теп-
ловой поток равен нулю,
на поверхности пла-
стины задан постоянный
тепловой поток
i k=o — io
>.Л| -
dx |x=0
, /1,/ di I
-'P* Л-1
-s
Ox \x^h
|х=0
78
Начальная темпера-
тура равна нулю. Ско-
рость движения жидко-
сти постоянна, а тем-
пература при у = О
равна На поверхно-
сти жидкости тепловой
поток равен нулю; на
бесконечном удалении
от поверхности твердого
тела тепловой поток и
температура равны ну-
лю
i lr=o — i It=o — 0
ir ^=o — h
X 1 = c'p'h' X
dx U=o
fdt\ , t dt I
4\dT|x=o^"W dx |x=o
M -«
dX |x=eo
dx=«=o
165
1. ПОЛУОГРАНИЧЕННОЕ ТЕЛО
Задача № 1
Начальное условие: t |t=0 = t0
Граничные условия: t |х=0 = /п;
dt I
~дх~ |х=<» = ° и * U=“ “
Решение:
параметр температуры 0=1 — erfc--
2^Fox
параметр средней температуры 0=1 — erfc
2/Fox
166
Задача № 1
Расчетные формулы:
температура (график 1-1) t = tn + 0 — /д),
средняя температура (график 1-2) t = tn + 0 (f0 —
градиент температуры (график 1-3) = G *° -1-,
Дополнительные сведения.
1) Градиент температуры на поверхности тела:
dt 1 t$ — /д
&х Кл Кат
2) Количество тепла, поступившее в тело за время от т^ до т2:
Q = 2BL J/(in -t0)
1в7
Задача № 1
3) Скорость повышения температуры:
dt __ G tn —10
дх ~~ 2 х
4) Стах = 0,484 при Fox = поэтому
х ’
-^Л =0,484
дх /щах
= 0,242 Ь--Ь.
дХ / щах Т
0,20-
0,!5 -
0J0-
0,05-
Ц25-
168
Задача № 2
Начальное условие: t !т==0 = /0.
Граничные условия: —Л ~ i =5; ~ I =0
дх \х=о дх |х=оо
и t'Xs=oo = t0.
Решение:
параметр температуры 0 = 2 1/ ехр (--------\ —
Гл \ 4Fox )
— erfc —;
2/Fox
параметр средней температуры
169
Задача № 2
параметр градиента температуры G — erfc
2 И гОх
А С ДТ
Аргумент: Fox=-^.
Расчетные формулы:
Sx
температура (график 2-1) t = t0 + 0 ;
_ ________ $х
средняя температура (график 2-2) t = tQ + 0—;
dt S
градиент температуры (график 2-3)-^- =—
О 20 00 00^ 80 —fOO
5 02 Ofc 08 08 ^^Fo^l,0
S J f5 " f5 —^Fo^O
График 2-2
17«
Задача Лз 2
Дополнительные сведения.
1) Температура поверхности тела:
(_<.+ * «Д.
jArt КЛф
2) Скорость повышения температуры поверхности:
д/ 1 S
Эт j/’n V Лсрт
0 20 Щ)80 80 —~FOrv МО
О 0,2 Ор 0,6 0,8 —~Гои 1,0
О ~5 То То ——Гош2О
График 2-3
171
Задача № 3
dt_n
дх &
, -» -г-* Начальное условие; t |т=0 = /0.1 + (<о,2 “ <0.1) (1 “
I —) при O^x^Z; Z|t==0 = Z01 при Z<x^oo.
Лт*о \ dt I dt I
__ __.____) Граничные условия —5— = 0: -ч— = 0
1 * дх 'х=='° дх 1*=°°
X» t'tnj .
дХ ' И <|х=оо = <0.1.
Решением в = ((1 — Л)ег^ —<=- + (1 + т]) erf - - -2n erf-— +
2 V 2l<Fo 2J<Fo 1 2/Fo
+2 /^[ex₽{--T^)+ex4~T^}“2exp{- tff}]} '
Аргументы: Fo = s -y- •
Расчетная формула температуры (график 3-1): t = ZOfl + 0 (Z0,2 — ZOtl).
172
Задача № 4
Начальное условие: t |т=0 == /0.
Граничные условия:
-ь *
-ч— I = а (л / V О = const;
дх х=о v Ъг=о'’
-Е-|„.= 1,и'1—='»
Решение:
параметр [температуры’
в = 1 — erfc--Д- -4-
2 KFox 1
+ Bix KFox) x eXp (В
173
Задача № 4
параметр средней температуры
в = |ехр (Bix 4- Bi^Fox) р — erfc Q
+ В'л K*4j| + exP (Bi^FoJ (erfcBi* p^Fo^— 1) +
+ (Bix + 0 (erfc---!-----1
\ 2/Fox
2BixKFox
]/Fox exp (Bix + Bi^Fo*).
параметр градиента температуры
G ~ Bi„ erfc (--}---4- Bi„
x \ 2 KFox x
Аргументы:
_ .. a2ax _ ат o. ax
при x = 0 M = —; при x > 0 Fox = , Bix = -y- .
174
Задача № 4
Расчетные формулы:
температура (график 4-1) t = Ф + 0 (/0 — Ф);
средняя температура (график 4-2) t = 0 + 0 (t0 — &);
, . л ох Л dt _ а (Ф —t0)
градиент температуры (график 4-3) при х = 0 -ч— = —G ——5——
ОХ Л
при X > О
dt
dx
G-
х
175J
Задача JVs б
Начальное условие: t |т==0 = ^о-
dt
Граничные условия: t |х=0 = /0 + Ьъ “gj”
И t |ж=<я = t0.
параметр температуры в = (1 + erfc -р^=ехр (- -J-) ;
параметр средней температуры 6 = 1 -f- erfc j/"X
Х [1-(1“’4^г)еХР( 4₽БГ)];
0 20 t/O 60 80 Пщ 100 >
О Ч " 8 -^-Fou 20
График 5-1
176
Задача № 5
параметр градиента температуры G
-=— erfc---7=
Fox 2KFox
ГНЁ37еХР( 4Fox ) •
Аргумент: Fox = .
Расчетные формулы:
температура (график 5-1) t = t0 + ©frr;
средняя температура (график 5-2) t = t0 + ©frr;
, , - dt „ bn
градиент температуры (график 5-3) =—G-^-.
График 5-2
12 Заказ 945
177
Задача № 5
Дополнительные сведения.
1) Градиент температуры на поверхности тела:
dt
дх
1 b/т
Кл Ка
.2) Ощах = 0,406 при Fox = 1,335, поэтому
дх /max
= —0,406—.
х
178
Задача № &
Начальное условие: t ft==0 = /0.
__ dj. I
Граничные условия: t |х=0 = tQ + b Кт; -ч— = О
ОХ |х=оо
и 11х=оо = 4)-
Решение:
параметр температуры в = ехр (- -±- ) - -L erfc J
о#7'оо
о ~~о£ ^6 4^ —7о
б Г 8 & -»Л?Ж"7/?
График 6-1
12*
179
Задача № 6
параметр средней температуры 6 == —- |ехр ---4FcT~) ~\1Г
x‘"cTpW+KirKi];
„ 1 i Г~п - 1
параметр градиента температуры G == I/ =— erfc _ 77=— •
2 у гох 2 у гох
д Г7 _ ат
Аргумент: г Ох == •
Расчетные формулы:
температура (график 6-1) / = /0 + 06 Кт;
средняя температура (график 6-2) / = Ц- 06 Кт;
градиент температуры (график 6-3) = — G
х
__________2р__________UO__________60__________80 Fo„ fOO
О 0,2 О,U 0,6 Ofi ~^Fo„ f,0
OU 6 f2 16 ~^Fom 20
График 6-2
180
Задача № в
Дополнительные сведения.
1) Градиент температуры на поверхности тела: ==-----.
ОХ 2 |/ д
2) Стах = 0,426 при Fox = 0,885, поэтому
( di \
\ дх / max
— 0,426
х
181
Задача № 7
Начальное условие: /|t=o=/q.
Граничные условия: t |х=0 = /0 + Ьх2\
И 1х=со ^0’
Решение9.
параметр температуры
Х ( 10Fox + ’) еХр ('
е 1 Г. / 1 ,
2 [ 12Fo| 4
w)];
=r---1- l') erfc
F°x j
2/Fox 3j/nFox
0 2Z?40 00 00 —^Fb„ 100
Ь Ц2 0$ 0$ W
6 3 8 12 16 —20
График 7-1
182
Задача № 7
параметр средней температуры в = f 1 — ( + —А-- -|- Л erfc —-1_ 4
2 [ у oUrox огОх J 2 у Fox
+5r^(w+3)exp (~w)+4 [ехр (~4ifer)_l]};
параметр градиента температуры G = -4~Г ._L^ (т~-к 4^ ехр (-rJ—\ —
3 IV JtFox \ F°x / X 4Fox /
— -ег— ( «в— + 3^ erfc —^=-1.
Fox \ 2Fox / 2 Fox J
183
Задача № 7
Расчетные формулы:
температура (график 7-1) t = t0 + ®^т2;
средняя температура (график 7-2) t = /0 + ®^т2;
dt Ьт2
градиент температуры (график 7-3) •
Дополнительные сведения.
1) Градиент температуры на поверхности тела:
dt_____ 8 . 6т Кт
д* ~ ~ 3 /Н ’ /а
/ dt \ Ьт?
2) Стах = 0,390 при Fox = 2,333, поэтому ( ) = — 0,390 ---.
\ / шах X
0.__________20______W._________________60.____________80. 12°
О 02 О* 06 06 ~*~6о^7,О
(--- —* 1 "" " I------- I ————I 1 1 1 ,
Z? 8 t2 16 —^Гош 20
График 7-3’
184
Задача № 8
Начальное условие: t |т==0 = tQ.
Граничные условия:
х д?|х=о = ^ = /о+^;
dt
дх
« t 1х=оо = *о-
Решение:
ехр (Bix+ Bi^FoJ / i —\
параметр температуры 0 = 1 -|---------------erfc ( — + Bix V Fox +
Bi^Fo \2FFox /
( Bix +’) exp ( 4FoJ ( Bi2Fox + BixFox + 2Fo* + 9 erfC 2 '*
параметр средней температуры 0=1 +
exp (Bix + Bi^FoJ
Bi^Fo*
erfc I В ixl/~Fox 4-
exp(Bi^Fox)
* Bi^Fox
erfc BixKFox +
4Fox ,
¥+
1____I 2
К л Fox \ В i*
1
Bi®Fo„ + Bi^Fo + 2BixFox + Bix + 6Fox + J erfc 2/Foz + Bi^Fo + Bix
X X Л> ' X X
185
Задача № 8
параметр градиента температуры
ехр (Bi+Bi^Fo) / , 1 \ . 2 / 1 \
°- BixFox Р\ 4Fox;
/ 1 , 1 \ t 1
\ BixFox 'Foz J 2/Fo*
Аргументы:
л .. а2ат
при х = О М =
« ах п. _ ах
при х>0 Fox = -J, Bix = .
186
Задача № 8
Расчетные формулы:
температура (график 8-1) t = t0 + ©fo;
средняя температура (график 8-2) t = t0 +
градиент температуры (график 8-1 и 8-3) при х = 0 = — (1 — 0) ; при х > О
dt „ Ьх
—— = — о ----.
дх х
График 8-3
187
Задача № У
*J>os *ср+ Tncos2x
75! /
Квазиустановившийся режим.
Граничные условия: t |х==0 = £ср + Тп cos 2л — ;
X л
Решение:
I т
параметр температуры 6 = cos 12л —
\ то
параметр средней температуры
0 = -А- 1/ | sin 2л — + cos 2л —------
2 V л ( т0 т0
-ехр sin (2л - ]/5) + cos(2л ---------1/=£-)]);
\ Г FoJL \ то ' Р°х/ \ *0 Г FOjt/JJ
параметр градиента температуры
। . L т л\
+ COS 2л------I/ =г-
\ Ъ г FoJ
Аргументы: .А - = /Х.._ , И = — .
/Fox Кат0 *0
&,А
-ц) — —---------———---------L_ -------—-----
График 9-1
188
Задача № 9
Расчетные формулы:
температура (график 9-1) / = /ср + 0Гп;
амплитуда колебаний температуры (график 9-1) ТХ = АТВ;
средняя температура (график 9-2) F=/Cp + 67n.
Дополнительные сведе-
ния.
1. Сдвиг фазы колебаний т', скорость
распространениям и длина температурной
волны Л;
, 1 X А ..
т = пгт ToJ м = N —; Л = Nx.
N т0
Величина N находится по графику
9-3; tf = f(Fox).
2) Время наступления максимальной
температуры:
на поверхности тела (х = 0) т = О
и т = тв,на глубине (х> 0) т = т0.
График 9-3
189
Задача № 10
Аргументы:
Квазиустановившийся режим.
Граничные условия: —X | q = К cos 2л ;
~дх |х=га = 0 и < 1х=со = Zcp-
Решение: параметр температуры
VFox V ах0 ’
1 х
Н =
Расчетные формулы: температура (график 10-1) t __ /Ср + 0 ;
Л
Кх
-амплитуда колебаний температуры (график 10-1) Тх — А—г—.
К
Дополнительные сведения.
1) Сдвиг фазы колебаний т', скорость распространения и и длина температурной волны Л:
т' = -4г т0, и = N — , Л = Nx.
N 09 т0
Величина N находится по графику 9-3; N = f (Fox).
2) Время наступления максимальной температуры:
«а поверхности тела (х = 0) т = т0; на глубине (х > 0) т = т0 Г”^"+ •
6,А
График 10-1
190
Задача № 11
t
Квазиустановившийся режим.
Граничные условия: —0 = а — G=o)»
b = tcp + Tccos2n у-;
•'О
dt
дх
= 0 и t
= tcp.
График 11-1
19Т
Задача № 11
Решение: параметр температуры 0 = cos (2л —----е0 — 1/ I k0 ехр I — 1/ .
\ то F гох/ \ у FoxJ
Расчетные формулы:
температура (график 11-1) t —
амплитуда колебаний температуры (график 11-1) ТХ=АТС.
Дополнительные сведения.
1) Сдвиг фазы колебаний т', скорость распространения и и длина температурной волны Л:
1 х
т' = -гт- т0, и~ N —, Л = Nx. Величина 7V находится по графику 9-3; N — f (Fox).
JV Tq
2) Время наступления максимальной температуры: т = Гт0.
Величина F находится по графику 11-2; F = f (Fox, Bix).
График 11-2
192
Задача № 12
St
ox
i
£«_„
Ox~^
t У
P=o;
9x >
О
tTsft0
_______J
t=t0
Начальное условие: t |г=0 = f0.
dt I
Граничные условия: —Q = S ^0);
~1 = 0 (oor^y >0); -f-1 — 0 и t L__ = t9.
dx |x=o ” dx |x=oo 0
Решение: 0 = -i= [erfc —4—;• Ei (---•
21<F0j, 2KnFoj, \ 4Foi,/J
я 1 1^1
Аргумент: ? ‘ — ,- = —~=r.
I KFof | Кax
Расчетная формула температуры поверхности тела х= 0 (график 12-1):
13 Заказ 945
193
Задача № 13
1U -Лн ^-0
Ох ° *8х S 0х~°
Л____t_____ i___У
\-Уо °
Ot
Ox
y0
tr^t0
Начальное условие: t |х=0 = t{
Граничные условия: —X 1
м х=°
дх |х=0
'о.
|х=О
^о; х'
t=t0
УоУ,
Решение:
дх L=co“° И Z|X=“-Z0.
4-erf-l=J-----Lh^Ei
2/Fo 21/nFo
(i + n)2
4 Fo
_____ Ei
л Fo
-п)2
4Fo
1 —п
Аргументы: Fo = —; т) = .
У о У о
Расчетная формула температуры поверхности тела х — 0 (график 13-1):
г = А> + в-^-
График 13-1
Задача № 14
Начальное условие: t |т=0 = tQi
Граничные условия:
dt I Л z
(-у^у^уоУ,
— x-^l =s
дх |*=о
(— OOSg#< — Уо и оо^у > у0)\
dt
дх
1х=о> ^0-
Решение :
» + П
2KnFo
Ei
(1 + n)2
4Fo
> —П
2/nFo
Ei
Г-(1-Т))2
L 4Fo
« i- ax У
Аргументы: Fo = —g-; t) =
Уо Уо
Расчетная формула температуры поверхности тела х= 0 (график 14-1):
t =
/о+в-^2-.
13*
195
Задача № 15
Начальное условие: t ]т=0 = /0<
Граничные условия:
— Х-^-1 =5 (О^г^Т?);
дх |х=о
I
>- =0 (—oosgr < г-7? и оо^з г > Я);
Решение:
0 = 2|/”Fo ierfc---—
2 /Fo
Аргументы: Fo = т) =
К t\
Расчетная формула для температуры вдоль оси х (при г = 0, график 15-1):
/ = /о + е-^-.
19S
2. НЕОГРАНИЧЕННАЯ ПЛАСТИНА
Задача № 16
tn t
Начальное условие: t |т=0 — tQe
Граничные условия: t\x==0=tn; &
Решение’.
1 = 0.
дх \x=h
параметр температуры 0 = Ап cos [pn (1 — т])] ехр (—Fo).
* Р-П
параметр средней температуры 0 = Впехр(—p^Fo),
П—1
2-
со
параметр градиента температуры G = sin [РпО — “П)] ехР (—Нп^0), = 2 (—I)'1’*4.
л „ ат л:
Аргументы: Fo = “П = •
Расчетные формулы:
197
Задача № 16
Дополнительные сведения.
~ самом начале процесса (при Fo == +0) на поверхности пластины <] = 0 величина
G = оо, во всех остальных плоскостях (0<J q 1)( величина G— 0.
График 16-3
198
Задача № 17
параметр температуры
х
Начальное условие: t |т=0 = /п Л/ .
Граничные условия: t |х=0 = tn; == 0.
®= 2 AiC0S[Pn<1 — П)]ехр(—HnFo),
П=1
g„=(2n-l)4, Л„ = Ц-;
параметр средней температуры 0= 5пехр(—p^Fo),
П=1
вя = (-1)"+1 ;
Ни
оо
параметр градиента температуры Сп sin [р>л (1Г—т))] ехр (—Мпро),
п=1
2
Мп
График 17-1
199
Задача № 17
Расчетные формулы:
температура (график 17-1) /=/п-|-0Д/;
средняя температура (график 17-2) f=/n4-0A/;
200
Задача № 18
параметр температуры
Начальное условие:
Их-О^п + Ы^.
Граничные условия: t |х=0 = /п; Цх=/1 = /п.
0 = S АП sin (Hnn) ехР (—Pn Fo), Рп = пл, Ап = (—1)"+* -2— ;
п=1 Мл
параметр средней температуры . 0 = &n ехР ("“Мп Fo), , Мл = (2п— 1) л;
п=1 Мп
параметр градиента температуры G ~ 2 сп cos (Мп*)) ехР (—Мп Fo), сп = (— 1)л+1»2.
п=1
Аргументы: Fo = ~-9 т] =
Расчетные формулы:
температура (график 18-1) t = /п+ 0 А/;
201
Задача № 18
202
Задача 19
%
Начальное условие: t |T=s=0 = /п Ц- А/ —.
Граничные условия: t |V_Q = tn\
дх
|ж=й=а(О-^А). О = /„.
График 19-1
Задача № 19
Решение:
параметр температуры 0 = 2 &п sin (v/i*)) ехР (—vn^°)>
n—l
+ _ . 2 (Bi + 1) .
g Vn Bi ’ П (Bi2 + Bi + v2) sin vn ’
co
параметр средней температуры 0 = Bnexp (—v2 Fo),
n=i
Bn ==^-(1— cos vn).
Аргументы: Fo = Bi = —jj—; i) = .
204
Задача № 20
Решение'.
Начальное условие * |т=0 — cos
Граничные условия: t [^q = /ц; 1 = 0.
параметр
температуры 0 = cos
л2
Т
параметр
средней температуры 0 =
л2
Т
параметр
градиента температуры G = -g-
л2
4
[-у- (1—1))] •
* т- ан х
Аргументы: Fo = ; т| = .
Расчетные формулы:
температура (график 20-1) t = Yn + в Д^;
средняя температура (график 20-2) t = ta + 0 Д^;
/ , dt Ы
градиент температуры (график 20-3) = G —.
205
Задача № 20
Дополнительные сведения.
В начальный момент (Fd == 0) параметр средней температуры равен
__ о
е = — = 0,637
л
График 20-3
206
Задача № 21
Начальное условие: / |т=0 =/ц4-Д/
X
~h
dt
Граничное условия: 1= tn- = 0.
параметр температуры 0 = 2 cos {Рп (1 — т1)] ехР (— Рп F°) >
П=1
Pn = (2п—1) Ап=(—1)п+1 -±;
__ °0 4
параметр средней температуры 0 = 2 BnexP(-^Fo), вп = —г;
п=1
со
параметр градиента температуры G = 2 Сп sin [И» U ехР (— PnFo),
Аргументы: Fo = 'И = •
207
Зад ача № 21
Расчетные формулы:
температура (график 21-1) г = /п4-0Д/;
средняя температура (график 21-2) t = /п + 0 Д/;
градиент температуры (график 21-3) = G .
Дополнительные сведения.
В начальный момент (Fo = 0) параметр средней температуры равен 0 =
сч со
График 21-3
208
Задача № 22
Начальное условие: t |т=0 =
Граничные условия: — X -4^- I = S; I = 0.
дх |х=0 дх \x=h
параметр температуры 0 = Fo — т) 4
Л2
2
4" + 2 АП cos [»*„(’- n)] ехр (- jx’Fo),
° П=1
Ип = ял, Ап = (— 1)п+1 ;
параметр средней температуры 0 = Fo;
со
параметр градиента температуры G = 1 — П - S Сп Sin 1>л О - ’l)] еХР (- PnFo)>
п=1
Аргументы: Fo =
а%
П =
х
h
График 22-1
14 Заказ 945
209
Задача № 22
Расчетные формулы:
температура (график 22-1) t = 10+ 0
У Л
средняя температура 1 = tQ + = tQ + 6 , где © = р0;
210
Задача № 23
Начальное условие: t |т==0 = /0.
Граничные условия: —о ~ * |х—Л ~ ^о-
Решение*.
со
параметр температуры в = 1 — т) — У Ап Sjn [ря (1 — т))] ехр (— g^Fo),
g„ = (2n-.l)-^, Л„ = (-1)л+1
z Ил
параметр средней температуры 0 = -А---#пехР(—PnFo), = (“10
2 л=1 Рп
со
параметр градиента температуры G = 1 — Сп cos (|хЛ (Г — т))] ехр (— H«Fo),
с„=(- 1)п+1-7Г.
* ' „ат х
Аргументы: Fo = ; т] н .
14*
211
Задача № 23
Расчетные формулы:
Sh
температура (график 23-1) t = t0 Ц- 0 —т—;
Л
_ _ Sh
средняя температура (график 23-2) / = Zo-|-0 —т—;
Л
dt S
градиент температуры (график 23-3) -ч— = — G -г- •
ОХ К
Дополнительные сведения.
При установившемся режиме 0 = 1 — 0 = 0,5; G = 1.
212
Задана № 23
График 23-4
213
Задача №24
Начальное условие: t |t=0 = tQ,
dt I
Граничные условия: ——I =S:
дх |*=о ’
lil
дХ |;
Lee(#-U),
Решение:
параметр температуры 0 = 1 — -и 4- -X-
1 1 Jt5j
Мп — g. Мл»
параметр средней температуры в = _
2
“ Ап cos W ехр (- p*Fo)
2Н + ВР) .
П p^ + Bi2 + Bi) ’
+-Щ-- 2 влехР
Задача № 24
Расчетные формулы:
температура (графики 24-1, 24-2 и 24-3)
/_/ _1_A Sh •
средняя температура (график 24-4)
7 = 4 + ©^-.
Л
Дополнительные сведения.
1) Градиент температуры на поверхности пластины:
при q = О G = 1; при q = 1 G = В 1©п=1.
2)” При установившемся режиме: 0=1 — т] + -j^-~;
График 24-2
215
ьэ
о
Задача. № 24
Задача № 25
Начальное условие:
t [т=о ~ ^о,1 0» t |т==о = ^о,2 U < x^h).
Граничные условия:
dt
дх
I = °:#
1х=0 дх
= 0
jx=h
со
Решение: параметр температуры 0 = -q + J} ^ncos (НЛг1)ехР(—Нп^0),
п=1
Аргументы:
я 2 sin (цпт10)
и = пл, А„ =-----107 .
л п Рл
~ ах I х
Fos-^; г)0^—; я н —.
Расчетные формулы:
температура (графики 25-1, 25-2 и 25-3) t =/0,2 + О (/0,i — А>.г);
средняя температура t = /0,2 + 0 (^0>1 — /0,2), где 0 = rfo.
График 25-1
217
Задача № 25
Дополнительные сведения.
1) При q0 J> 0,5 вместо q и q0 надо принимать соответственно 1 — Т) и 1 — »]0.
2) При q0= 0,5 надо пользоваться графиками 16-1, 16-2 и 16-3 (задача № 16); исход-
ными аргументами служат величины: при г] < 0,5 Fo и ч], при Т]> 0,5 Fo и 1 — q.
3) Величина G имеет максимум в точке х = *]mh.
Значения г)™ находятся по графику 25-4, a Gmax —- по графику 25-5. Максимальный градиент
температуры равен:
218
Задача № 25
219
Задача №26
Решение'.
Начальное условие: t |т=о ~ По-
граничные условия: — X | = a (ft —
’д — const; — = 0.
дх \x=h
параметр температуры © = 1— Ancos[jin(l —т])]ехр(—p.2Fo),
Л=1
ctg и» = -4- Мп. An = (- 1)"+» 2Bi J/^ + BP .
Мп (М„ + Bi2 + Bi)
°° Ап
параметр средней температуры © = &n ехР (— М-л^0), ~ Sin ’
п=1
оо
параметр градиента температуры G = S сп sin [М„ (1 — г1)] ехР (— M^Fo),
п=1
Сп — АпРп
Л тт п • X
Аргументы: Fo = ; Bi = ——; т] = .
ПГ л, п
Расчетные формулы:
температура (графики 26-1, 26-2) t= t0 + © (Ф — /0);
средняя температура (график 26-3) 1 = $ + © (£0 — О);
градиент температуры (график 26-4) = G -- .
Дополнительные сведения.
1) Распределение температуры внутри пластины приближенно определяется по формуле
/= tQ + ^©^=1 ('О' — Значения k даны на графике 26-5, а величина ошибки е — на гра-
фике 26-6.
220
Задача № 26
Задача № 26
222
Задача № 27
Начальное условие: t |т=0 =
Граничные условия: —
|ж=0=а(0-^=о),
О = const, t\x=h =t0.
223
Задача № 27
Решение'.
параметр температуры 0 = —pj'V ।------2 Аг sin tvn — *01 ехР (— vn^°),
‘ и=1
График 27-4
224
Задана № 27
параметр градиента температуры G
Bi
Bi+1
C„cos [vn(l-n)]exp (-v*Fo),
Ся — Ллуя.
. —, ах . ah
Аргументы: Fo = -г%- ; Bi = —г—;
Л л
Расчетные формулы:
температура (графики 27-1 и 27-2) t = t0 + 0 (ft — /0);
средняя температура (график 27-3) 7 = t0 + 0 (д —10);
градиент температуры (графики 27-4 и 27-5) == — G
Дополнительные сведения.
1) Градиент температуры на поверхности пластины х = 0:
—Bi (1 — в 0) -^~/о .
дх v л—и/ h
2) При установившемся режиме: 0 = ; 0 = x--z1 Р* ;
1 -f- Bl 2 (1 -f- Bl)
График 27-5
15 Заказ 945
225
Задача № 28
Начальное условие: t |Тв0 == /0.
Граничныегусловия: — X | 0 = а
>= const; XI = а — tv_
дх |jc=h v 2
О2 — ^о-
Решение:
параметр температуры 0
~ Д-(~ёГ П? “ S Ап {cos 1/л {1 - n,l+ V sin 1/л (1 _
П=1
— Л)]}ехр(—/«Fo), tgj„
2 Bl . л _ 1
“Д-Bi-'- ”-с0!,-п + _Д^ + ил1ЕА '
jnL sm/n м
— 1
параметр средней температуры 0 = —
Bi /t
7^(1-со»А
226
: Задача № 2S
параметр градиента температуры
СО ’
° = ТТвГ + S с" { Sta [/"(1 “ “ "Г “S l/n (1 ~ n)J} ;хр Fo> ’
== ^nJn^
Аргументы:
Т7
Fo = -^
Bi =
ah .
ns
X
7Г
График 28-2
15*
227
Задача № 28
Расчетные формулы:
температура (график 28-1, 28-2, 28-3) f =/в +0 (О> —/0);
средняя температура (график 28-4) t = + О (Oi — /0);
di О' t
градиент температуры (график 28-5) = — G —~—2- *
Дополнительные сведения.
1) Градиент температуры на поверхности пластины:
График 28-3
228
Задача № 28
График 28-4
График 28-5
229
Задача № 29
Q
л,
*
^2^ К,0^2
Начальное условие: t |T_n =^= tQ.
Граничные условия: — X(Ох — fx=0),
= const; X = а2 (Ф2 — ?Х==Л), vO2 ^о.
Решение: параметр температуры в
Вк+Вц (1 — Л)
Bii .-}* Big -f- Bi]Bi2
cos [fln (1
— П)] + sin [fin (1 — T))]j exp (— p^Fo),
cig P„ =
pg—BiiBi2
Mn (Bii + Bia)
График 29-1
230
Задача № 29
___________________1___________________
А" = Л Bia \ sin Uncos g„+ g„ Bi2
к1 + Bi? ) 2^ГпЦ„ — + 77sm и"
Аргументы: Fo = ~; Bix =; Bi2=^; Ч=4
fl Л Л fl
Расчетная формула температуры (графики 29-1, 29-2 и 29-3)
Bij Ц- Bi2 4~ Bi1Bi2 (1 — т|)
Bij 4~ Bi2 4" ^iiBi2
(fli-U.
s T]= 0,5 В
231
Задача № 29
Дополнительные сведения.
1) Градиент температуры на поверхности пластины:
при х = О ^- = _Вц(1-вч=0)^А;
dt в'г(в'1+в*г) ®»i=i ^1 — h
прИх-й дх - Bix + Bi2+BixBi2 ’ h •
2) При установившемся режиме:
д Bit Ч- Bit-Big (1 — Т]) .
Bix+Bi2+Bix-Bi2 ’
ert_________Bix-Bi2____. — tp
дх ~ Bix+ Bi2+ Bix-Bi2 h
График 29-3
232
Задача № 30
Решение:
Начальное условие: t |т=0 = /0.
Граничные условия: t |х=0 — t0 + Ьь
dt
дх
= 0.
\x=h
параметр
температуры 0 = Fo — т]
2
n=l
cos [ц„ (1 — Т])] ехр (— и* Fo),
р„ = (2п-1)-^-, Лп = (-1)п+1-?-;
* Рп
— 1 00 2
параметр средней температуры 0 = Fo---— + 2 ехР (— ^°)> ~ “Г >
6 п=л Р'п
со
параметр градиента температуры G = 1 — т) — Сп sin [цп (1 — т])] ехр (— Fo);
п=1
in+14
(- 1У
График 30-1
233
Задача № 30
Расчетные формулы:
гч ^2
температура (график 30-1) t t0 + 0 ——;
Ь№
средняя температура (график 30-2) = fo +
градиент температуры (график 30-3) — — G .
Д о'п о~л ни тельные сведения.
1)’При Fo > 2,0 величины вД 0 и G приближенно определяются по формулам: 0
^Fo—‘П + Д-'П2; 0^Fo—G^ 1 — т].
Z о
Величина ошибки 8 находится по графику ЗОЛ.
2)|ПриТРо > 2,0 имеют место следующие соотношения:
— t t — t« t — tn * . I / I о \
-t -------= 2т) — T)2; ---L_ = l+ -(—г^-И;
tx=O—<x=h ^x—O *0 Fo \ 2 /
t ^0 |____
to ~ tx=0 —10 ~ 3Fo
234
Задача М 30
График 30’3
235
Задача № 31
0 h
Начальное условие: t |т=0 = tQ.
Граничные условия: i |x=0 = t0 + bx, К |*=ft = a (0 — tx=h), 0 = t0.
A AT «Л X
Аргументы: Fo = -r«-; Bi = ; ti == —.
пл A n
Расчетная формула температуры (график 31-1): t = /0 + 0
График 31-1
236
Задача М 32
t
Начальное условие: /|Ttw0»<0<
Граничные условия: t = t0 + (/’ —10) (1 — |x=ft = 0.
cos Pd (1____nil
Решение: параметр температуры 0 в 1-------------—— ехр (— Pd Fo) —
cos у Pd
S An рЗ^ЙГ C0S [Ип (1 “11)1 exp < ~ Fo>'
n=l
jx„ = (2nJ-l) -J-, An^(- 1)"+! A;
“ z M-n
237
Зйдача № 32
параметр средней температуры в = 1
IjtgKPd Ир(_раЕо)-2в.ра^.х
О
Xexp(-^Fo), ВЯ = Л;
параметр градиента температуры 6 == KPd ехр (— Pd Fo) +
cos у Pd
со
+ S С» Pd- I? Sin Iй"(1 “ЭДехр (~^Fob Сп =.(-’)"+х • 2.
п=1 п - !
Аргументы: Fo = ; Pd = ; т] =
Расчетные формулы:
температура (графики 32-1, 32-2) t.= t0 + © ((к —- /в);
средняя температура (график 32-3) F= t0 + 0 (tK — /0);
градиент температуры (графики 32-4, 32-5) .
их h
238
Задача № 32
е
V>
График 32-3
Графин 32-4
239
Задача № 32
Дополнительные сведения.
Значения коэффициента иррегулярности даны на графике 32-6.
График 32-5
Pd
240
Задача № 33
Начальное
Граничные
условие: t |т=0 — /0.
. dt I
условия: —Л'ТъГ
—
М -о-
дх |x=h
Решение'.
параметр температуры 0
Fo2 Fo
2 + 3
Т]2 1
For)2 ~ , т]4 т]8
2 FoT) + 24 6 "г 6 45
°° 2
— 2 АП C0S [Mn (* — П)] ехР (— Рп Fo)> Рп = пп> Ап = (—0"+1 ГГ;
/1=1
График 33-1
16 Заказ 945
241
Задача № 33
Б F°2 .
параметр средней температуры 0=——;
Т]8 Т]
параметр градиента температуры G = Fo — Fo т) — + ---------- + У sin [pn (1 —
ь л 3 п=1
-T))]eXp(-^Fo), С„ = (-1)"+1А.
г^П
л т? ах . - х
Аргументы: го = ; т] = —
Расчетные формулы:
S h3
температура (график 33-1) t = t0 + О ;
средняя температура i == /0 + = t0 + 0 ;
градиент температуры (график 33-2) = — G
OX f\iCL
График 33-2
242
Задача № 33
Дожолнительные сведения.
1) При Fo j> 0,5 значения в и G приближенно определяются по формулам:
Foa Fo Fot)a _ t]* т]а т]« 1
+ + ---------F0T1 + ir-^ + 4—45’
G^Fo-Fon-4 + 4-f.
Величина ошибки е находится по графику 33-3.
2) При Fo >> 2 имеют место следующие соотношения:
^==0 * , 12 Fo т| (2 —- ту) — т]2 (tj2 — 4т) + 4)
t^-t^- 12FO-1
. 45For)2 — 90Foт) + Зт]4 — 15т]8+ 15т]2
tx=Q — t0 ~ “Г 45Fo2 + 30Fo —2 ;
t — t0 45 Fo2
tx===0 — t0 45Fo2 + 30Fo —2 ’
dt
dx G
(—\ ~ F°
\ ~dx /x=0
График 33-3
Задача № 34
Начальное условие: t |Хв0 = /0.
Граничные условия: —1 | q = Sot; t |Х==Л ~t0*
Решение:
параметр температуры
в-тЁ(-'>"+1
л=1
_1_ Г (2п — 2-|-т])2~| ехп Г (2п-2 + п)2
Ул[1ф 4Fo JexpL 4Fo
К л
14
2л — 2 + т)
4 Г₽о
(2п-2+т1)2
2Fo
erfc
2n — 2 + т]
2J<Fo
(2n —т])2~|
4Fo J
(2n-Ti)2
4Fo
2n—T)
4/Fo
34
(2n-ri)2]
2Fo J
erfc — Fo КFo.
2KFoJ
a „ an x
Аргументы: Fo = , *q = .
Расчетная формула (график 34-1): t = tQ + 0
Soft3
Xa
244
Задача № 35
Начальное условие:
И 1т=о = По-
граничные условия:
дх |х=о ’ dx[x=h
Решение*.
параметр температуры
со
6 = Г (44 V (erfc Г—(2я — 2 + Т))1 + erfc Г —
\2j£i{ I2KF0 Tvj-г [2|<Fo
n=l
(2n—т))
График 35-1
245
Задача № 35\
параметр средней /температуры 0 = 2 КFo;
параметр градиента температуры G = Г —7===
\ 2 / К л Fo
(2п—т])а 1
4Fo J
(2л-2 + п)2
4Fo
Аргументы: Fo = , т| = .
nr n
Расчетные формулы:
температура (график 35-1) t = f0 + 0
Л ’
средняя температура t = t0 -f-
2S0Kt
cph
= *o+e
градиент температуры (график 35-2) = —6
ox Лл
246
Задача № 36
| to
t
xt
Начальное условие: t |T=0 = tQ.
К
дх
Граничные условия:
=50ГТ;>1
дх |х=о 0 дх |.
= 0.
|х=Л
n—l
Решение: параметр температуры
(2л —24-т))2
2Fo
-24-7)
2KF0
2 л — 2 + Л
---'ехр
Кл Fo
-2 + т])2
4Fo
(2л — т])а
2Fo
2п — т]
2/F0
2л— т]
(2л—тр8
4Fo
0 =
________________________________ 2 __
параметр средней температуры 0== —Fol^Fo.
о
Аргументы: Fo = ; -q = .
‘Расчетные формулы:
S Я2
•температура (график 36-1) t — /0 + 0 —
% у а
т , 2£от1/т , . х SJi2
средняя температура t = t0 4----— = t0 4- 0 —
'к у а
График 36-1
247
Задача № 37
График 37-1
248
Задача № 37
Аргументы: Fo0 =
Н =
х
~h'
Расчетная формула температуры (графики 37-1, 37-2, 37-3, 37-4): t = tQ + 0 .
Л
249
Задача № 38
d‘t0+bT t
Л
XI
Начальное условие: t |т==0 == fo-
Граничные условия: — X = а ('О' — *Жяв0), $ = I
ОХ |х=0 х 7 ОХ |л;=Л
250
Задана № 38
Решение*.
параметр температуры 0 = Fo — ---т) + Ц-
со
V. cos(1 — n)J ехр (- |г* Fo).
п—\
! .. 2Bi 1/^ + Bi2
ctgpn--gj-Ип. Ап-(— О Р/?(И2+Bi24-Bi)’
251
Задача № 38
параметр средней температуры в = Fo
1
Bi
ОО
l+2’§rexp(~H"Fo)’
Вп = Sin ц„;
параметр градиента температуры G =
sin [Мп u — M)J ехр (— Ц2п Fo),
Сп “ ^пРп-
Аргументы: Fo = ; Bi = ; т) = .
Ла л Л
График 38-3
252
Задана Ns 38
Расчетные формулы:
температура (графики 38-1, 38-2 и 38-3) / = /0-|-6-—;
— ЬЛа
средняя температура (график 38-4) t = t0 + 0 ;
градиент температуры (график 38-5) = — G —.
График 38-4
253
Задача № 38
Дополнительные сведения.
1) Значения 0, 0 и G приближенно определяются по формулам:
е „н,_ _2_ - л + > ё ~ Ро - -i-- J-; о~1 -
Величина ошибки в находится по графику 38-6.
2) Градиент температуры на поверхности пластины (х == 0): = Bi (Fo— ^=,0)
3)1При Fo> 5 справедливы следующие соотношения: -----------т----= т](2— т]);
‘x=0“"*x==h
t — to Bi Т)(2 — Т]). 7—^0 Bi
*х-о-*о 2 BiFo-1’ tx=o-to 3(BiFo-l)’
254
Задача № 39
Tnsm2?t г
t
Л
Квазиустановившийся режим.
Граничные условия: t |х==0 = + Тп sin 2л —;
д£1
дх \x=h
= 0.
Решение', параметр амплитуды колебаний температуры
Аргументы: Fo = ;
ch 2
0 =
р cos 2
Tl- h
Расчетная формула для определения амплитуды колеба-
ний температуры (график 39-1): Тх•== 0ГП.
Дополнительные сведения.
Количество тепла, аккумулированное пластиной
за время т0/2 (отнесенное к единице поверхности), равно:
Q = DTu VАсрт0. Величина D определяется по графи-
ку 39-2.
255
Задача № 40
Квазиустановившийся режим. •
Граничные условия: t |x=s0 = *ср + sin »
* lx=ft “ *ср •
Решение*, параметр амплитуды колебаний температуры
6 =
х
^s~h-
Аргументы: Fo = ;
Расчетная формула для определения амплитуды колебаний температуры (график 40-1):
тх^етп.
256
Задача № 41
3. НЕОГРАНИЧЕННЫЕ СПЛОШНОЙ И ПОЛЫЙ ЦИЛИНДРЫ
Начальное условие: t |т==0 = tQ.
Граничные условия: /| г=7? = /п;
“I -о-
дг |г=о
t
Решение:
параметр
параметр
в = 2 VoM^Pb HnFo), yo(gn) = O, Ап
n=l
_ 00 4
средней температуры 0 = Bn exP (— Fo)» s T ’
n=i
температуры
2
PnJI (p-n) ’
параметр
градиента температуры G = 2 ^Fo). с,
2
* r? r
Аргументы: Fo = ; r] = —.
Расчетные формулы:
температура (график 41-1) t = tn + 0 (/0 — /п)’,
средняя температура (график f= -f-
Г
17
Заказ 945
Задача № 41
Задача №[ 42
I Mr*
t
Начальное условие: t |т==0 = t0.
г 7 dt I
Граничные условия: л =
= 0.
Решение:
параметр температуры 0 = 2Fo + ---------2 АгЛ) (Мт/П) ехР?(— Р* Fo)» (Рп) = °*
А 2
" ^о(Рл) ’
параметр средней температуры 0=2 Fo;
17
259
Задача № 42
Дополнительные сведе н4и я.
1) При Fo 0,5 значения 0 и G прибли-
женно вычисляются по формулам:
•п? 1
0^2Fo + -J-----
Величина ошибки в находится по графику 42-3.
2) При Fo 0,5 перепад температуры
между поверхностью и осью цилиндра
м = tr=R — tr==o - -2X-
3) При Fo< 0,1 имеем
260
Задача № 43
$»const
v •const
Начальное условие: t |т==0 = /0*
Граничные условия: 1 I = а (ф — *г=я)’
О = const; 4“ ] = 0.
дг |г=о
Решение:
параметр температуры 0 = 1 — £ AnJ0 (ад) ехр (— Fo), = тн- Мп!
п==1 ' •MW bi
A t2Bi
со
параметр средней температуры 0=1— &п ехР (— РпВо)»
"=1 p*(p2 + Bi2)*
Аргументы: Fo = ;
Bi =
aR
—; 115
г
R~*
Расчетные формулы:
температура (графики 43-1д 43-2) t = /0 + ® (О — ^о)>
средняя температура (график 43-3) t = ОН- 0 (t0 — ft).
261
Задача № 43
График 43-2
262
Задача № 43
Дополнительные сведения.
1) Распределение температуры внутри цилиндра приближенно вычисляется по формуле
/= /0 + k&^_Q (О— Значения k даны на графике 43-4, а величина ошибки е — на гра-
фике 43-5.
2) Градиент температуры на поверхности цилиндра г = R: 4^- = — 0 j Bi -° .
ОТ • г\
3) При Bi 0,1 имеем 0 — 1 — Jo (КBi т]) ехр (— 2BiFo).
2<3
Задача № 44
Начальное условие: t |Xs=0 = t0.
Граничные условия: t |r=/? = tQ 4~ 6т; | q = 0.
Решение*.
параметр температуры 0 = Fo + -^- + -^- + A. jQ exp (— p* Fo), Jo (p„) = 0,
A = - ’
параметр средней температуры 0 = Fo —
£-exp(-p*Fo), B„ = -A-;
71 Гп
График 44-1
264
Задача № 44
Расчетные формулы:
bR2
температура (график 44-1) t = tQ + 0 —;
- - bR2
средняя температура (график 44-2) / = /о+0 ——;
градиент температуры (график 44-3) = G .
Дополнительные сведения.
При Fo> 1 значения 0 и 0 приближенно вычисляются по формулам:
*12— 1 — 1
e = Fo+3-_J; e=Fo—1_.
Величина ошибки е находится по графику 44-4.
265
Задача № 44
График 44-3
266
Задача № 45
Начальное условие: t |т=0 = t0.
г . dt I
Граничные условия: X | — а (*0- — tr=
# = *0 + ^; 4М =°-
и дг |г==о
Решение:
параметр температуры 0 = Fo
'П2
4
1
2Bi
со
1 ЖП А
T + (М ехр (- Fo),
п=1
Jо (Мп) __ 1 л ____________________2Bi__________.
J1 (Рп) Bi л “ (М2 + BP) Jo (р„) ’
параметр средней температуры 0 — Fo —
1
2Bi
00
^+2^ехр(_(г"р0)*
П=1
R 4ВР
• ^Н + вр)'
Аргументы: Fo = ;
о-
В1= —’
г
~R'
267
Задача № 45
Задача № 45
Расчетные формулы:
bR2
температура (графики 45-1, 45-2 и 45-3) t== +
- bR2
средняя температура (график 45-4) t = t0 + 0---.
Дополнительные сведения.
1) Значения 0 и 0 приближенно (с ошибкой 8) вычисляются по формулам:
e~Fo__|r+fcl; §^0-^-4-.
2) Градиент температуры на поверхности цилиндра (г = /?): = Bi (Fo — 0Л==1) ~ .
3) Градиент температуры внутри цилиндра (0^г<<7?) приближенно (с сшибкой 8)
dt Ьг
вычисляется по формуле:
Величина ошибки 8 находится по графику 45-5.
График 45-4
269
Задача № 46
График 46-1
Задача № 47
1 + По
2
270
Задача № 48
Начальное условие: t |т=0 = t0.
Граничные условия: =0; X —= а (О — tr=R).
Аргументы: Fo = ; Bi = , т]0 = .
Расчетная формула для температуры (графики 48-1—48-7): t = /0 + 0 (Ф — /0)-
271
Задача № 48
Задана № 48
18 Заказ 945
273
Задача № 49
Начальное условие: /| х==0 = /0>
Граничные условия:---р V 4^-1 = О
дг |г=я0 К г=^о/» дг
Аргументы: Fo = ; Bi = ; т]0 = -ф-.
К Л к
Расчетная формула для температуры (графики 49-1 -49-7):
18*
275
Задача № 49
Задача]№ 49
1,0
0
График 49-5
Задача № 49
График 49-6
Задача № 50
4. СПЛОШНОЙ И ПОЛЫЙ ШАРЫ
Начальное условие: t |^*4 ~ /0.
Граничные условия: t L__n — t * I = 0.
Г —П ПТ I _д
Решение:
со
параметр температуры 0 = Э —— sin (р,пт)) ехр (—р,^Ро)?
п
р.„ = лп, Ап = (— 1)"+1
Рп
со
параметр средней температуры 0 = S Вп ехР (- PnFo),
п—1
279
Задача № 50
Расчетные формулы:
температура (график 50-1) t — tn + 0 (f0 — /п);
средняя температура (график 50-2)
* = *п + 0(*о--*п)-
Дополнительные сведения.
2
Величина G имеет максимум при г) = -3- .
О
График 50-2
Начальное условие: t |х==0 = f0.
г 1 dt I
Граничные условия:
= 8; 4
= 0
-п2
Решение: параметр температуры 0 = 3Fo -|—%-
—ТО—S -Vsta(^) ехр (-!*>), tgp„=pn, Л„ = -р|—
П=1
. Y- аТ — Г
Аргументы: Fo = •
Расчетные формулы:
SP
температура (график 51-1) t = t0 + 0 —— »
_ 35т _ 57^ _
средняя температура t = t0 = /0 + 0 -у- > где 0 — 3Fo.
280
Задача № 51
Дополнительные сведения.
1) При Fo> 0,5 значение 0 приближенно (с ошибкой е) вычисляется по формуле:
e^3Fo+-^-—о,з.
dt S
2) Градиент температуры на поверхности шара (г = R): — = -у- •
иГ г»
3)Градиент температуры внутри шара (0^ r< R) приближенно (с ошибкой 8) вычис- t
dt S
ляется по формуле: -ч—т].
or л.
Величина ошибки 8 находится по графику 51-2.
281
Задача № 52
Начальное условие: t |т=0 — 70,
Граничные условия: X = а (-О’—7r=J?)> $ = const; 1-^-1 Q
Решение9.
параметр температуры 0 = 1 — _n— sin (jxnT)) exp (— p^Fo),
n=l
, 2BiV (Bi - l)2-g2
tgpn = —bT— i Ип> л« = <—1>"+
P2„ + [Bi2-Bi
параметр средней температуры 0 = 2 Вл ехР (—u^Fo),
П==1
6Bi2
^(^-FBP+Bi) *
. Г7 aX Г> • «7? Г
Аргументы: Fo = Bi = —; ч e-j.
Расчетные формулы:
температура (графики 52-1, 52-2) / = tQ + 0 (ft— t0),
средняя температура (график 52-3) t — ft + 0 (t0 — ft)»
Дополнительные сведения.
1) Распределение температуры внутри 1шара приближенно вычисляется
t = fo+^б^о — ^о)* Значения k даны на графике 52-4, а величина ошибки е
52-5.
2) Градиент температуры на поверхности шара
по формуле
-на графике
3) При Bi 0,1 имеем 0 = 1----S*n exp (— 3BiFo).
w т]И 3Bi
282
283
График 52-1
Задача № 52
Задача № 52
0,01 0,05 0,1 0,5 1 5 10 50 100 500 Fa 1000
284
Задача №15?
График 52-4
График 52-5
285
Задача № 53
Начальное условие: t |т=0 = /0.
Граничные условия: t |г==7? = /0 + ^т>
параметр температуры 0 = Fo -f- -5---------1- 4- sin (р,пт)) X ехр (— Ип^°),
[г«11
|лл = пл; Ап = (— 1)п+1 ;
параметр средней температуры 0 = Fo
СО
R -_L
2
Ин
Аргументы: Fo =
ах г
Л = ~R
Расчетные формулы:
bR2
температура (график 53-1) t = /04- 0 —— ;
- bR2
температура средняя (график 53-2) t = tQ + 0---
286
Задача № 53
График 53-3
287
Задача № 54
Решение'.
Начальное условие: t |х=0 = /0.
г 1 dt
Граничные условия:
fi. = <0 + bx,
к=Я
= а
I =0.
|г=0
параметр температуры в = Fo 4
и*
6
1 1 VI Ап
3Bi 6 „4i
(О-/Г=Л),
sin (p„T))exp(— i^Fo),
2Bi 1)2+Мп
р.2+ Bi2— Bi
tg Мп = —
оД-г Мп. Лп=(-1)'1+1
D1-- 1
288
Задача № 54
Дополнительные сведения.
1) Значения © и © приближенно (с ошиб-
кой 8) вычисляются по формулам:
e~F°--ЗЕГ + тС’-'>•
0~Fo 3Bi 15 •
2) Градиент температуры на поверхности
шара (r= R): = Bi (Fo — ©л=1)-^-.
3) Градиент температуры внутри шара
(0^ r<J 7?): приближенно (с ошибкой 8) вычис-
dt br
ляется по формуле: .
J дг За
Величина ошибки 8 находится по графику 54-5,
290
Задача № 55
Начальное условие: t |т=0 = /0.
Граничные условия: t |r==J?e = t0-, t |г=д = tn.
Аргументы: Fo=-^|-; т]0 = -^-; ») = -£-’
1 | - T]
Расчетная формула для температуры при q = —10 (график 55-1):
/=/o + 6(^n-*o).
19*
291
Задача № 56
Начальное условие: 11 т=0 = /0.
Граничные условия: t |r==^ = ^п; t |r=^ = /0.
л т- Ro г
Аргументы: Fo = ; т)0 = ; т] = .
1 1 п
Расчетная формула для температуры при т] = —- (график 56-1):
<=Zo + 0(/n-Q.
2L2
Задача Лг 57
Начальное условие: t |t==0 =
Граничные условия:
a—i =°;
dr |r=R0
X-^-| =art>— tr_R)
dr |r=y? V r-Ri-
. _ ах . n. aR .
Аргументы: Fo = , Bi = —;
n = ^.
л “ R
Расчетная формула для температуры (графики 57-1—57-7):
t = t0 + ®^-t0).
293
Задача № 57
График 57-3
294
Задача № 57
График 57-5
295
Задача № 57
График 57-7
Задача № 58
Начальное условие: t |т=0 = /0,
Граничные условия:|r=^ = а (0-_|^ = 0.
К _ ЯТ „ . «7? #0
Аргументы: Fo = ; Bi = —; т)о = •
Расчетная формула для температуры (графики 58-1—58-7):
297
Задача № 58
Задача №'58
График 58-4
299
График 58-6^
5. НЕОГРАНИЧЕННОЕ ТЕЛО С ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ИЛИ ШАРОВОЙ ПОЛОСТЬЮ
Задача, № 59
Начальное условие: t т==0 = /0.
Граничные условия: t = /п; ^lr=oo = ^о-
Решение'.
параметр температуры:
0 = erfc - -- -J1- +
К т| _ 2 К Fo
(Г) — 1) к Fo т) — 1
4ЛГЙ 2/Го
+ (9-2n-7g)Fb i2erfcJlzJ_+ .
32т]2 Кп 2 К Fo
ах _ г
Аргументы: Fo = ; “Ц = -5—.
Ко Ко
Расчетные формулы:
температура (график 59-1)
/ = /о + ®(^п-/о);
градиенту температуры (график 59-2)
dt_ _ __Р
дг “ и Яо •
0 Ifi ^0^щ1Ь,0
График 59-2
301
Задача № 60
Начальное условие: t |т=0 = /0.
Граничные условия: — X —| — 5; t |г==00 == t(
Решение*
параметр температуры:
1 f Fo Г.
F ~V~ 1еГ^С
0 = 2
n-l (3ti+1)KFo _ п-1 ,
2»<Fo 4т1 1 erfc2KFc> ’
Аргументы: Fo = ; т) = .
Расчетные формулы:
температура (график 60-1) t = t0 + 0 ;
Л
Ot S
градиент температуры (график 60-2) .
302
Задача № 60
О ^25 ЦМ Ц75 —^!F0if1,00
О $0 W1 % ЩО
График 60-2
Задача № 61
Начальное условие: t |т=0 = /0.
Граничные условия: — Л | = а (-0 — /г=/?о),
О = const; 11 r==oo = tQ.
Решение: параметр температуры:
4 F ехр(—p2Fo)
2 Bi I Г LL -12 a.a-T
J н [•MfA) + -gpA(M)J
о
+ H [Yo (H) + Y± (И) ]2.
A „ ат „. a/?0 r
Аргументы: Fo = —5-; Bi = ; r] = -77-.
303
Задача № 61
Расчетные формулы:
температура на поверхности полости (график 61-1) t = *6 + 0 Go — О);
градиент температуры (график 61-1) на поверхности полости = Bi О
Задача № 62
Начальное условие: t |т=0 =
Граничные условия: t |г=до = /п; t |г==оо = /0.
Решение'.
1 f Т] — 1
параметр температуры 0 = erf с - ,
П 1 ( 1 Г П—1
параметр градиента температуры G = епс
(п- 1)2Л
4Fo J f
ТТгё “р[
Л с ах . т
Аргументы: Fo = —; т] = —.
^0 ^0
Расчетные формулы:
температура (график 62-1) t = tQ + 0 (/п —
градиент температуры (график 62-2) — — G .......
304
Задача № 62
аказ 945
ЗЭ5-
График 62-2
Задача № 63
Начальное условие: t |т==0 = /0.
Граничные условия:
a dt
К дг
= 5;
а=»='о-
Решение',
1 г т1 — 1 г [ тъ— 1 .
параметр температуры 0 = — erfc — erfc I +
КFo | ехр (т] — 1 + Fo)
параметр градиента температуры G
1
Т|2
erfc
•n—
2 /Fo
+- (т) — 1) erfc f
\2 /Fo
+- /Fo
X
X ехр (Т] — 1 + Fo).
306
Задана № 63
Расчетные формулы:
20*
307
lT=o — fo-
r 1 dt I
Граничные условия: — л-g^-
= «(ft—^я,). ft =const;t lr=~ = 4>-
' T)— 1 c
erfc —— ercf
21<Fo
I r—Ro
л-2
2/Fo
Bi
Решение*, параметр температуры: 0 = jj
+ /Fo (Bi + 1)] exp {(Bi 4- 1) [т] - 1 4- Fo (Bi + 1)1}].
Аргументы: Fo - ; Bis K^° ; t] = .
Ro Л
Расчетные формулы:
температура на поверхности полости (график 64-1) t = tQ + 0 (-0* — /0);
градиент температуры на поверхности’полости (график 64-1) = —Bi (1 — 0) — —.
г; = /
308
Задача № 65
6. НЕОГРАНИЧЕННОЕ И ПОЛ ОГРАНИЧЕННОЕ ТЕЛО
С ИСТОЧНИКАМИ ТЕПЛА
Решение9,
Начальное условие: /т=0 = tQ.
Граничное условие: /|г=00 = /0.
Внутренний источник тепла: №|г=0, т=о =
параметр
температуры
© = —!у=
8л FoF лРо
1
4Fo
параметр
_ з
средней температуры 0 =
. £ 1 1
1 — erfc ——:-------г..-
2 KFo Ил Fo
1
4Fo
параметр
1
„ - ( 1
градиента температуры и =------.... ехр-----
16nFo2KnFo \ 4Fo
л _ 6ZT
Аргумент: Fo = ,
Oft
’FoB 1.0
0.6
Of
0.2
о
График 65-1
309
Задача № 65
Расчетные формулы:
температура (график 65-1) t = t0 + 0 ;
— U7
средняя температура (график 65-2) t = /0 + 0 ;
dt W
градиент температуры (график 65-3) = — G ~f4.
Дополнительные сведения.
1) вШах = 0,075 при Fo = ; Ошах = 0,291 при Fo = 0,1.
__ Q
2) при Fo = 0 0 = & 0,238.
3) Связи между решениями задач при мгновенном точечном, линейном и плоском источ-
никах тепла (задачи № 65, 66, 67):
температура ев5 = -^= = ^.
График 65-2
310
Задача № 65
Г $2 до 7,0
График 66-1
Задача № 66
£10^0 20J dOfi =sJ6^fO,O
О M Ф ^8 ~^~Fo^1,O
График 66-2
Расчетные формулы:
температура (график
66-1) /=/о+©^;
средняя температура
(график 66-2)
7_, , S .
Z~Z° + 07^’
градиент температуры
график 66-3)
д г сргЗ
(Г ' Ц2 0$ 0$
сведения.
О ®шах — 0,117 при
Fo = 0,25; Gmax = 0,345 при
Fo = 0,125.
2) При Fo = 0
© = —«=: 0,318.
Л
Дополнительные
3) Gee =
=2F°lTo +20ee
График 66-3
312
Задача № 67
Решение'»
Начальное условие: t |т=:() = /0.
Граничное условие: t |,=оо = t0.
Внутренние источники тепла*. W |г=0> т=0 = WF.
параметр температуры 0
2 К л Fo еХ₽ ( 4Fo ) ’
параметр средней температуры 0
1
2
1__
2/Fo
параметр градиента температуры G =----- • ехр (-------
4Fo V л Fo X 4^° .
Аргумент: Fo
ах
= ~г^’
График 67-1
313
Задача № 67
Расчетные формулы:
температура (график 67-1) t = t0 + 0 ;
— — р
.средняя температура (график 67-2) t = t0 + 0 ;
dt U7р
градиент температуры (график 67-3) = — G .
Дополнительные сведения.
1) 0шах = 0,242 при Fo = 0,5; Gmax = 0,462 при Fo = -L.
2) При Fo = 0 0 = 0,5.
3) Ge7= 2Fo-|^-+e67.
314
Задача № 67
График 67-3
Задача № 68
Начальное условие: t |т==0 = tQ.
Граничное условие: t |г=00 = /0.
Внутренние источники тепла: q |г=а0> = q.
параметр температуры
1 , 1
6 = —— erfc-----
4л 2 KFo
параметр средней температуры
п 3 ГР гг \ f 1
0 = -т— -х— Fo erfc —7=
4л |Д 2 ) 2 J/Fo
— ~l/~ — ехр f— -7-^-} + Fo] ;
Г л 4Fo/ * J’
параметр градиента температуры G = -д—
Г F 1 , 1 / 1 \1
erfc —+ -т= ехр ( т=г- ) .
L 2 /Fo /л Fo \ /]
Аргумент: Fo = .
315
Задача № 68
Расчетные формулы:
температура (график 68-1) t = t0 + © —-;
средняя температура (график 68-2) t = /0 + © -У— ;
ЛГ
dt о
градиент температуры (график 68-3) -г— = — G -Л*-.
иГ Кг*
Дополнительные сведения.
1) при установившемся режиме © = G == 0,080.
2) GM = 2Fo 4- ев8.
20,0
40,0
60,0 60,0 —^00^ 100,0
316
Задача № 68
График 68-2
График 68-3
317
Задача № 69
Начальное условие:
П 1т=0 — По-
граничное условие:
П 1г=оо — По-
Внутренние источники"тепла:
Я 1г=о, т>о Яь*
Решение:
параметр
температуры
в=—г.
4л
1
4Fo
параметр
средней температуры
^4
О
0,2
0,6
Ofi —^~Fou КО
График 69-1
318
Задача № 69
СТС
Аргумент: го =
Расчетные формулы:
температура (график 69-1)
t= t0+e^-;
средняя температура (график 69-2)
- —Яг
/ = /0+в-^-.
Дополнительные сведения.
Gee — 2Fo dFo .
График 69-2
31»
Задача № 70
Условие. Квазиустано вившийся режим. На поверхности полуограниченного тела,
движущегося в направлении оси х с постоянной скоростью и, действует точечный источник
тепла q; теплообмен на поверхно сти тела отсутствует; начало координат совпадает с источником
тепла.
Решение: параметр температуры
в = ^ГехР
Ре 1
----2~(1— cos q>) J .
Аргументы:
v ]/~х2 + у2 + z8
Ф — угол между ради усом-вектором г и осью х; Ре =-------------!--------
Расчетная формула повышения температуры (график 70-1): / = 0—г 4----------
X V х2 + у2 + г2
320
Задача № 71
У с л о в и е. Квазиустановившийся режим. На поверхности полуограниченного тела,
движущегося в направлении оси х с постоянной скоростью v, действует линейный источник
тепла qL\ теплообмен на поверхности тела отсутствует; начало координат совпадает с источ-
ником тепла.
Решение: параметр температуры ® = -^-К0
. „ vx . ~ v Кх2+#2
Аргументы: Рех = ; Ре^ = ----- - =
Расчетная формула повышения температуры
vr
а
(график 71-1): t — © .
Л
21 Заказ 945
221
Задача № 72
I
Условие. Квази установившийся режим. Внутри неограниченного тела, движущегося
в направлении оси х с постоянной скоростью v, действует плоский источник тепла qF\ начало
координат совпадает с источником тепла.
Решение: параметр температуры
при О в = 1,
при х < 0 0 = ехр Рех.
я их
Аргумент: Ре = .
Расчетные формулы повышения температуры (график 72-1):
прил>0 прих<0 f =
0.5 0,6 0,7 0,8 0,9—^PeB ЦО
График 72-1
322
Задача № 73
7. НЕОГРАНИЧЕННАЯ ПЛАСТИНА И ПОЛ УО ГРАН И ЧЕН НОЕ ТЕЛО
СО СЛОЕМ ЖИДКОСТИ («ИДЕАЛЬНОГО ПРОВОДНИКА») НА ПОВЕРХНОСТИ
h' 1 Л—*-оо + Начальное условие: t |т==0 = tQ.
~о
h Граничные условия:
дх с > _ С. 4 й 1 _ „ ., dt I , dt I •S ly — A ~5— I — *“* — c p h — I , —— I = 0. lx—ft Qx |x=0 к |x=0 fix |x==h
Решение (параметр температуры): в =
(1-Н)2 З + Ло
2 6(1+ Т]„)
— ^ncos[v„(l—Т])ехр(—v2Fo),
tg vn —--------~~~ 'VM> An
Ho
2По
(Уп + Но + По) cos v„
. _ ax h x
Аргументы: Fo = ; r)0 = -^-; H = -y-
График 73-1
21*
323
Задача № 73
Расчетные формулы: температура (графики 73-1, 73-2 и 73-3) / = /о-|-0
Л
т j. , arS Sh' с'р' . , — Sh —
средняя температура t = tQ + ----вт]=о —-----+ 0 -у , где 0 == Fo —
е<п=о с'р'
11о
Дополнительные сведения.
При Fo > 1 величина 0 определяется по формуле: 0 = £ Fo +
, (1-г))2 3 + ло 1
+ 2 6(1 + t]0)J-
График 73-2
324
Задача № 74
X' tx=h~to
Начальное условие: t |т==0 = /0.
Граничные условия:
•Slx=_ft«=S; —х йг|х=0 = 5-с,Р,/1'-^|х=0 ; /|Х=Л = ^О.
Решение'.
со
параметр температуры 0 = 1 — т) — £ Ап sin [р„ (1 — т])] ехр (— ц? Fo);
п~1
2т]о
Мл tg Мл — т|0; Ап-- 5-т---------,
МРп+Чо+По)008 Ип
параметр градиента температуры G = — 1 + У Сп cos [pn (1 — т])] ехр (— ц* Fo);
п~1 '
Аргументы: Fo = ; г)0 = -^-; т) = -^-.
Расчетные формулы:
температура (графики 74-1, 74-2) / = /o-|-0-^L;
Л
3?5
Задача J\& 74
График 74-2
326
Задача № 75
S=0
О
h
tx=h= tn
Начальное условие: /т==0 = tQ.
Граничные условия: S \x=_h. = 0; X = c’p'h' ; t |x=ft = in.
СО
Решение: 0 = 1 — Ап sin [цп (1 — tj)] ехр (— pg Fo),
п=1
Рп tg Рп — По. АП =
2(Нп+Т)о)
МНл + Ио+Нл)'
Аргументы: Fo = ; т)0 =
h
F;
X
h
Расчетная формула температуры (графики 75-1, 75-2): t = t0 + 0 (/п — ^о)*
327
Задача № 75
Задача № 76
Начальное условие: t |т=0 = /0 i (0— h'); t |т==0 = tQ 2 (0 х <с h).
Граничные условия: S ]x=_h, - 0; X I = c'p'ft' I ; t \x=h = t0>2
ОО
Решение-. 0 = У, Ап sin (1 — т))] ехр (— Fo);
п~ 1
Мп tg Мп — 'HoJ &п
_______2По
(^п+Чо + Чо) sin и/
л ах h
Аргументы: Fo = ; т]0 = ; т] =
х
~h*
Расчетная формула температуры (графики 76-1, 76-2): t = /0>2 + О (/0,i — /0,2).
328
Задача № 76
329
Задача № 77
Начальное условие: t |т==0 = t0.
Граничные условия: SL ь,=0; X -3— = c'p'h' -7— : Х-ч— = S.
|Х-Л дх |a:=o г дх |х=о дх \x=h
Решение: параметр температуры
. По Гр, , И8 З + Но ] , П
14-HoL 2 6 (1 + По) J + 1 + По
ОО
У A1COS[V„(1— г))] ехр (— Fo),
n=l
1
tg Vn = — — Vn,
40
л _ 2(v2 + T]§)
л p ат . h
Аргументы: Fo s = ~^7
X
^s~h-
33q
Задача № 77
Расчетные формулы:
ct.
температура (графики 77-1, 77-2 и 77-3) t — /0-j- 0-т—;
Л
Sh' с'р'
т 4. . ~ с'р' , । х Sh
средняя температура t = f0 + — 0п==о— = *о + 0 ’
где 0 — Fo---------—— -^-2-
По ср
Дополнительные сведения.
При Fo> 1 величина 6 определяется по формуле
© = _ *10 rFt> + -^_1-I-—а—
l+»loL +2 6 (1+Ло)] + 1 +V
331
Задача № 77
Задача № 78
У
Начальное условие: t |т==0 = t' |т_0 = 0.
Граничные условия: V |^=э = /0; S |х=___h, = 0;
, dt I , (dt I , , dt I \
=cph +^-ч— l,
dx |*=o \ dx |x=o dx |x=o/
dt
dx
I
Решение'. 0 = erfc
2KFOje
Fo»
0' = erfc—.
. _ or e у
Аргументы: Fox = Foy =
ylv,u
332
Задача № 78
Расчетные формулы температуры:
твердого тела (график 78-1) t = t'Q®\
жидкости (график 78-2)
Ь OJ to
График 78-2
Приложение 1
Значение величин Ан
Пластина: An — (—l)n+1
2 Bi ]/~Bi2 4- Цп
p-n (Bi -f- Bi 4" Ил)
Bi Л1 As a9 a4 А Б Ag
1 2 3 4 5 6 1
0 1,0000 —0,0000 0,0000 ^-0,0000 0,0000 —0,0000
0,001 1,0002 —0,0002 0,0000 —0,0000 0,0000 —0,0000
0,002 1,0004 —0,0004 0,0001 —0,0000 0,0000 —0,0000
0,004 1,0008 —0,0008 0,0002 . —0,0001 0,0000 —0,0000
0,006 1,0012 —0,0012 0,0003 —0,0001 0,0001 —0,0000
0,008 1,0015 —0,0016 0,0004 —0,0002 0,0001 —0,0001
0,01 1,0020 —0,0020 0,0005 —0,0002 0,0001 —0,0001
0,02 1,0030 —0,0040 0,0010 —0,0004 0,0003 —0,0002
0,04 1,0065 —0,0080 0 0020 —0,0009 0,0005 —0,0003
0,06 1,0099 —0,0119 0,0030 —0,0013 0,0007 —0,0004
0,08 1,0130 —0,0158 0,0040 —0,0018 0,0010 —0,0006
0,1 1,0159 —0,0197 0,0050 —0,0022 0,0013 —0,0008
0,2 1,0312 —0,0381 0,0100 —0,0045 0,0025 —0,0016
0,3 1,0450 —0,0555 0,0148 —0,0067 0,0038 —0,0024
0,4 1,0581 —0,0719 0,0196 —0,0089 0,0050 —0,0032
0,5 1,0701 —0,0873 0,0243 —0,0110 0,0063 —0,0040
0,6 1,0813 —0,1025 0,0289 —0,0132 0,0075 —0,0048
0,7 1,0918 —0,1154 0,0335 —0,0153 0,0087 —0,0056
0,8 1,1016 —0,1282 0,0379 —0,0175 0,0100 —0,0064
0,9 1,1107 —0,1403 0,0423 —0,0196 0,0112 —0,0072
1,0 1,1192 —0,1517 0,0466 —0,0217 0,0124 —0,0080
1,5 1,1537 —0,2013 0,0667 —0,0318 0,0184 —0,0119
2,0 1,1784 —0,2367 0,0848 —0,0414 0,0241 —0,0157
3,0 1,2102 —0,2881 0,1154 —0,0589 0,0351 —0,0231
4,0 1,2287 —0,3215 0,1396 —0,0750 0,0451 —0,0300
5,0 1,2403 —0,3442 0,1588 —0,0876 0,0543 —0,0366
6,0 1,2478 —0,3604 0,1740 —0,0991 0,0626 —0,0427
7,0 1,2532 —0,3722 0,1861 —0,1089 0,0701 —0,0483
8,0 1,2569 —0,3812 0,1959 —0,1174 0,0768 —0,0535
9,0 1,2598 —0,3880 0,2039 —0,1246 0,0828 —0,0583
10,0 J,2612 —0,3934 0,2104 —0,1309 0,0881 —0,0676
15,0 1,2677 —0,4084 0,2320 —0,1514 0,1072 —0,0795
20,0 1,2699 —0,4147 0,2394 —0,1621 0,1182 —0,0901
30,0 1,2717 —0,4198 0,2472 —0,1718 0,1291 —0,1015
40,0 1,2723 —0,4217 0,2502 —0,1759 0,1340 —0,1069
50,0 1,2727 —0,4227 0,2517 —0,1779 0,1365 —0,1098
60,0 1,2728 —0,4232 0,2526 —0,1791 0,1379 —0,1115
80,0 1,2730 —0,4237 0,2535 —0,1803 0,1394 —0,1132
100,0 1,2731 —0,4239 0,2539 —0,1808 0,1405 —0,1141
oo 1,2732 —0,4244 0,2546 —0,1819 0,1415 —0,1157
2 Bi
Цилиндр: An —
Bi A -A2 As -A A& ~Ae
1 2 3 4 5 6 7
0 1,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
0,01 1,0031 0,0034 0,0013 0,0008 0,0005 0,0004
0,02 1,0049 0,0067 0,0027 0,0015 0,0010 0,0007
0,04 1,0102 0,0135 0,0052 0,0031 0,0021 0,0015
334
Продолжение прилож. 1
Bi A -As л3 — a4 At — Л,
1 2 3 4 5 6 7
0,06 1,0150 0,0201 0,0081 0,0046 0,0031 0,0023
0,08 1,0190 0,0268 0,0110 0,0062 0,0041 0,0030
0,1 1,0245 0,0333 0,0135 0,0077 0,0051 0,0037
0,15 1,0366 0,0497 0,0202 0,0106 0,0077 0,0056
0,2 1,0482 0,0658 0,0269 0,0154 0,0103 0,0075
0,3 1,0711 0,0972 0,0401 0,0231 0,0155 0,0112
0,4 1,0931 0,1277 0,0582 0,0307 0,0205 0,0150
0,5 1,1142 0,1571 0,0662 0,0383 0,0256 0,0187
0,6 1,1345 0,1857 0,0790 0,0458 0,0307 0,0224
0,7 1,1539 0,2132 0,0917 0,0533 0,0358 0,0261
0,8 1,1724 0,2398 0,1043 0,0608 0,0408 0,0298
0,9 1,1902 0,2654 0,1167 0,0682 0,0459 0,0335
1,0 1,2071 0,2901 0,1289 0,0756 0,0509 0,0372
1,5 1,2807 0,4008 0,1877 0,1117 0,0756 0,0554
2,0 1,3377 0,4923 0,2422 0,1404 0,0998 0,0732
3,0 1,4192 0,6309 0,3384 0,2114 0,1463 0,1084
4,0 1,4698 0,7278 0,4184 0,2699 0,1898 0,1420
5,0 1,5029 0,7973 0,4842 0,3220 0,2301 0,1735
6,0 1,5253 0,8484 0,5382 0,3679 0,2672 0,2038
7,0 1,5409 0,8869 0,5825 0,4080 0,3010 0,2317
8,0 1,5523 0,9225 0,6189 0,4430 0,3316 0,2579
9,0 1,5611 0,9393 0,6491 0,4735 0,3593 0,2826
10,0 1,5677 0,9575 0,6784 0,5000 0,3843 0,3042
15,0 1,5853 1,0091 0,7519 0,5901 0,4760 0,3913
20,0 1,5918 1,0309 0,7889 0,6382 0,5303 0,4461
30,0 1,5964 1,0488 0,8195 0,6827 0,5853 0,5062
40,0 1,5988 1,0550 0,8335 0,7018 0,6133 0,5390
50,0 1,5995 1,0587 0,8396 0,7112 0,6227 0,5544
60,0 1,6009 1,0589 0,8428 0,7165 0,6301 0,5642
80,0 1,6012 1,0599 0,8463 0,7212 0,6398 0,5770
100,0 1,6014 1,0631 0,8505 0,7245 0,6415 0,5850
oo 1,6021 1,0648 0,8558 0,7296 0,6485 0,5896
Шар:
Ап = (-Dn+1
2BiK(Bi-l)2 + |4
|4 + Bi2 —Bi
Bi At — A± Л3 - A4 At — As
i 2 3 4 5 6 1
0 1,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
0,005 1,0025 0,0023 0,0013 0,0009 0,0007 0,0006
0,01 1,0035 0,0046 0,0026 0,0018 0,0014 0,0012
0,02 l,0Q55 0,0091 0,0052 0,0037 0,0029 0,0023
0,03 1,0089 0,0137 0,0078 0,0055 0,0043 0,0035
0,04 1,0121 0,0182 0,0104 0,0074 0,0057 0,0047
0,05 1,0147 0,0227 0,0130 0,0092 0,0071 0,0058
0,06 1,0181 0,0273 0,0156 0,0110 0,0085 0,0070
0,08 1,0239 0,0363 0,0209 0,0147 0,0114 0,0093
0,10 1,0297 0,0454 0,0260 0,0184 0,0142 0,0116
0,15 1,0443 0,0679 0,0390 0,0276 0,0214 0,0174
0,2 1,0592 0,0894 0,0520 0,0368 0,0285 0,0232
0,3 1,0880 0,1345 0,0779 0,0551 0,0427 0,0349
0,4 1,1164 0,1781 0,1036 0,0734 0,0569 0,0465
0,6 1,1713 0,2633 0,1546 0,1098 0,0852 0,0696
0,8 1,2237 0,3455 0,2050 0,1460 0,1134 0,0927
1,0 1,2732 0,4244 0,2546 0,1819 0,1415 0,1157
1,2 1,3200 0,4999 0,3035 0,2175 0,1694 0,1387
1,4 1,3640 0,5720 0,3515 0,2528 0,1972 0,1616
1,6 1,4051 0,6405 0,3986 0,2878 0,2248 0,1843
335
П родолжен ие пр и лож. 1
Bi >11 — а2 Ая ~а4 At — Aq
1 2 3 4 5 6 7
1,8 1,4436 0,7063 0,4447 0,3228 0,2522 0,2078
2,0 1,4793 0,7673 0,4899 0,3565 0,2795 0,2296
2,5 1,5579 0,9073 0,5980 0,4365 0,3449 0,2855
3,0 1,6223 1,0288 0,6993 0,5205 0,4122 0,3405
4,0 1,7201 1,2253 0,8811 0,6719 0,5384 0,4476
6,0 1,8338 1,4860 1,1673 0,9333 0,7702 0,6428
8,0 1,8920 1,6409 1,3703 1,1415 0,9633 0,8264
10,0 1,9249 1,7381 1,5141 1,3042 1,1269 0,9827
16,0 1,9663 1,8766 1,7489 1,6058 1,4633 1,3305
21,0 1,9801 1,9235 1,8385 1,7360 1,6256 1,5149
31,0 1,9905 1,9626 1,9180 1,8616 1,7950 1,7225
41,0 1,9948 1,9780 1,9515 1,9161 1,8732 1,8263
51,0 1,9964 1,9856 1,9680 1,9441 1,9145 1,8802
61,0 1,9974 1,9901 1,9773 1,9601 ‘ 1,9387 1,9135
81,0 1,9985 1,9942 1,9869 1,9769 1,9644 1,9492
101,0 1,9993 1,9962 1,9915 1,9850 1,9767 1,9667
оо 2,0000 2,0000 2,0000 2,0000 2,0000 2,0000
Примечание. Корни характеристических уравнений см. в [55].
- Приложение 2
Некоторые математические выражения и зависимости,
часто встречающиеся в тепловых расчетах
1. Функция
и
erf (и) = -±=- f е~“2 du
oJ
называется функцией ошибок Гаусса. Значения erf (и) приведены в справочнике Б. И. Сегала
и К. А. Семендяева «Пятизначные математические таблицы», Физматгиз, 1959.
Иногда вместо erf (и) используется функция
При отрицательном аргументе erf (—и) = —erf (w); erfc (—и) = 2 — erfc (и).
2. Дифференцирование функций erf (и) и erfc (и):
d erf (м) = -Д=- е_“%
V л
4 _ 2
d2 erf (и) =--ие и и т. д.
V я
3. Интеграл функции erfc (и) обозначается
со *
J erfc gdg = ierfc (и),
и
Тогда i°erfc (и) = erfc (и),
ierfc (и) = I erfc g dg = е~и2 — иerfc (и),
J V л
и
со J
i2erfc (и) = J ierfc g dg = — [erfc (и) — 2и ierfc (и)] и т. д.
и
Значения i"erfc (и) для п = 1, 2, 3, 4, 5, 6 приведены в [43].
336
4. При расчетах теплового режима полуограниченного тела используются следующие
соотношения:
а) Производные:
с Л/ \ /V / Л
erfc------ =-----7= ехР (-------~л—
2 Кат/т 2т Кзтат \ 4ат
/ 1 V п /IV п ат
---- =-------; -- =------, где Fo = -г-.
\2Fon/T 2tFoh \2Fon/x х Fon *2
б) Интегралы:
Г - х . х 2 Кат Г, ( х2 \ "I
erfc ——— dx=- х erfc —4--1 — ехр I------— ) ;
J 2 Кат 2 Кат К зт L 4ат J J
( х erfc —dx +
J . 2 Кат \ 2
х
Г 9 е Х Л X3 , X
I х2 erfc —Tzzr- dx - —- erfc —
J 2 /ат 3 2 /ат
\, х х/ат / х2 \
ат I erfc—----ехр (---— ) 4- ат;
J 2 /ат /л \ 4ат '
—(х2 Кат + 4ат К ат) ехр (
3 V л \
*2 \ _[_
4ат ) 1
। 8ат К ат
[ х3 erfc —dx ~ ----За2т2>) erfc —^=-
J 2 Кат \ 4 / 2 Кат
— - (хз Кат + Зхат К ат) ехр + За2т2;
Гаг X5 г X
I x4erfc—dx = -р- erfc —7=- —
J 2 Кат 5 2 Кат
о
---^=г (х4 Кат + 8х2ат Кат + 32а2т2 Кат) ехр (-4- ^4а т
5 Кэт \ 4ат/ 5Кя
X
[ ехр ( — 4— ) dx = /лат 11 — erfc —|:
J F\ 4ат/ 2/ат/
22 Заказ 94S
337
5. В цилиндрических задачах используются функции Бесселя первого рода
v-порядка:
(— l)w / « \v4-2m
/nir(v + /n+l) \ 2 /
m=0
Соотношения между функциями Jv (и) и их производными:
V V
Jу (М) == ^у-1 4 JV (W) Ан-1
Значения функций Бесселя приведены в справочнике Э. А. Чистовой «Таблицы функ-
ций Бесселя от действительного аргумента и интегралов от них». М., изд-во АН СССР,
1958.
6. Значения функции Макдональда
Kv(«) = -^-
/-У (ц) 1у (и)
sin vji
даны в [63].
7. Функция
—00
называется интегральной показательной функцией.
Разложение в ряд:
г/2 оЗ
Ei (и) — С In (— и) + и + 2Т2Г + 1ГзТ ’
где С = 0,577216. . . — постоянная Эйлера. При больших значениях и:
Интегрирование функции Ei (и):
X
J Ei (ag) d% = х Ei (ax) -}
0
1—eflX
a
Значения функции Ei (и) и —Ei (—и) даны в приложении 4.
8. Ф у н й ц и я
л/2
J ]/* 1 — k2 sin2 ф
о
называется полным эллиптическим интегралом первого рода. Значения К (k) и К (k')t где
k' = К1 — /г2, даны в [25].
9. Функция
со
f’tU—1
exp (g)
0
называется гамма-функцией или интегралом Эйлера второго рода. Свойства гамма-функции:
Г (п) — п ! (п = 0, 1, 2, . . .);
Г (и+ 1) = мГ (и);
/ 1 \ / 1 \ л
\~2" \ 2 UJ~ cos яи
338
Приложение 3
Полные эллиптические интегралы первого рода
k* 1 K(k) К (ft') К (k) К (k)/K (ft') / (£')z
1 2 3 4 5 6
0,00 1,57080 оо ОО 0,00000 1,00
0,01 1,57475 3,69564 2,34682 0,42611 0,99
0,02 1,57874 3,35414 2,12457 0,47068 0,98
0,03 1,58278 3,15587 1,99388 0,50153 0,97
0,04 1,58687 3,01611 1,90067 0,52613 0,96
0,05 1,59100 2,90834 1,82799 0,54705 0,95
0,06 1,59519 2,82075 1,76828 0,56552 0,94
0,07 1,59942 2,74707 1,71754 0,58223 0,93
0,08 1,60371 2,68355 1,67334 0,59761 0,92
0,09 1,60805 2,62777 1,63414 0,61194 0,91
0,10 1,61244 2,57809 1,59887 0,62544 0,90
0,11 1,61689 2,53333 1,56680 0,63825 0,89
0,12 1,62139 2,49264 1,53734 0,65047 0,88
0,13 1,62595 2,45534 1,51009 0,66221 0,87
0,14 1,63058 2,42093 1,48471 0,67353 0,86
0,15 1,63526 2,38902 1,46094 0,68449 0,85
0,16 1,64000 2,35926 1,38258 0,69513 0,84
0,17 1,64481 ’ 2,33141 1,41744 0,70550 0,83
0,18 1,64968 2,30523 1,39738 0,71562 0,82
0,19 1,65462 2,28055 1,37829 0,72553 0,81
0,20 1,65962 2,25721 1,36007 0,73526 0,80
0,21 1,66470 2,23507 1,34262 0,74481 0,79
0,22 1,66985 2,21402 1,32588 0,75422 0,78
0,23 1,67507 2,19397 1,30978 0,76349 0,77
0,24 1,68037 2,17483 1,29425 0,77265 0,76
0,25 1,68575 2,15652 1,27926 0,78171 0,75
0,26 1,69121 2,13897 1,26476 0,79066 0,74
0,27 1,69675 2,12213 1,25070 0,79955 0,73
0,28 1,70237 2,10595 1,23707 0,80836 0,72
0,29 1,70809 2,09037 1,22381 0,81712 0,71
0,30 1,71389 2,07536 1,21091 0,82583 0,70
0,31 1,71978 2,06088 1,19834 0,83449 0,69
0,32 1,72577 2,04689 1,18607 0,84312 0,68
0,33 1,73186 2,03336 1,17409 0,85172 0,67
0,34 1,73805 2,02028 1,16238 0,86030 0,66
0,35 1,74435 2,00760 1,15091 0,86887 0,65
0,36 1,75075 1,99530 1,13986 0,87744 0,64
0,37 1,75727 1,98337 1,12867 0,88600 0,63
' 0,38 1,76390 1,97178 1,11786 0,89457 0,62
0,39 1,77065 1,96052 1,10723 0,90315 0,61
0,40 1,77752 1,94957 1,09679 0,91175 0,60
0,41 1,78452 1,93891 1,08652 0,92037 0,59
0,42 1,79165 1,92853 1,07640 0,92903 0,58
0,43 1,79892 1,91841 1,00642 0,93771 0,57
0,44 1,80633 1,90855 1,05659 0,94644 0,56
0,45 1,81388 1,89892 1,04688 0,95522 0,55
0,46 1,82159 1,88953 1,03730 0,96404 0,54
0,47 1,82946 1,88306 1,02782 0,97293 0,53
0,48 1,83749 1,87140 1,01845 0,98188 0,52
0,49 1,84569 1,86264 1,00918 0,99090 0,51
0,50 1,85407 1,85407 1,00000 1,00000 0,50
339
00
ф
Й-4 Материал Приложение 5 Теплофизические характеристики различных материалов
№ о О
оо Р» кг/м3
Ф ккал кг-град
СЛ кДж
кг-град
Oi ккал >>
м-ч-град
-з Вт
м-град
00 s 2, "> о Л w
с© г
№ № — н- ь- н- и- н- Q о о о о р о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о
О "сО 00 **q о сл 4* 00 ьо Q СО СО 00 go V] Vj о О СИ СП Ф* Ф- оо оо ЬО 1о О о о о о о о о о о
ослослослослослослослослослосооо^]спсл4^ооьо1-—о
СЛ4^00ЬО*—ОСООО-Ч СП СЛ Ф> ф^ фь ф» Ф- Ф-Ф- Ф Ф Ф 00 OOOOOOOOOOOOOOOOOObONDbObONDNObONO
О СО 00 СП СЛ Ф^ СО NO М>— О СО 00 <J сл СЛ фь оо ьо о "со 00 <J О СЛ Ф* оо 1о
I
W
Значения функций Ei (х) и Ei (—х)
о
Продолжение прилож. 5
Материал t, °C р» кг/м3 с Л а -103, м2/ч а-10% м2/с
ккал J кг-град кДж кг-град ккал м-ч-град £ м-град |
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Асбестоцементные плитки 1 800 0,200 0,837 0,300 0,349 0,833 0,232
и листы (в сухом состоянии)
Бемит (плиты из сечки со- — 250 0,350 1,465 0,060 0,070 0,686 0,191
ломы и камыша)
Битумопер л ит (в сухом — 400 0,400 1,674 0,095 0,110 0,594 0,164
состоянии)
Битумы нефтяные (строи- — 1 300 0,400 1,674 0,210 0,244 0,404 0,112
тельные и кровельные) в су-
ХОМ состоянии
Борулин — 700 0,350 1,465 0,250 0,291 1,020 0,284
Битумно-литая изоляция -— 180 0,350 1,465 0,050 0,058 0,794 0,220
Вата — минеральная 50 200 0,220 0,940 0,048 0,056 1,091 0,303
То же 175 300 0,200 0,837 0,068 0,079 1,133 0,315
То же (с битумной эмуль- 25 390 0,250 1,047 0,054 0,063 0,554 0,154
сией)
То же, стеклянная 0 200 0,160 0,670 0,032 0,037 1,000 0,276
30 200 0,200 0,837 0,039 0,045 0,975 0,269
65 200 0,200 0,837 0,046 0,054 1,150 0,322
100 200 0,180 0,754 0,056 0,065 1,555 0,431
То же, хлопковая —30 50 0,372 1,557 0,041 0,048 2,204 0,616
0 50 0,401 1,679 0,046 0,054 2,294 0,637
50 50 0,437 1,830 0,055 0,064 2,520 0,699
То же, хлопчатобумажная — 100 0,200 0,837 0,040 0,046 2,00 0,550
Водоросли 25 ПО 0,570 2,386 0,045 0,052 0,718 0,198
Воздух сухой в тонких — 1,2 0,240 1,005 0,060 0,070* 208 58,043
прослойках — 1,4 0,240 1,005 0,280 0,326 833 231
Войлок стеклянный —30 50 0,192 0,803 0,032 0,037 3,31 0,922
0 50 0,206 0,862 0,035 0,041 3,400 0,974
50 50 0,222 0,929 0,041 0,048 3,690 1,025
То же, минераловатный — 250 0,180 0,754 0,065 0,075 1,444 0,400
То же, шерстяной — 150 0,470 1,968 0,050 0,058 0,709 0,196
Волокно асбестовое — 100 0,200 0,837 0,045 0,052 2,25 0,624
— 250 0,200 0,837 0,070 0,081 1,400 0,387
Газобетон — 450 0,200 0,837 0,130 0,151 1,440 0,401
Газо шлакобетон — 450 0,200 0,837 0,130 0,151 1,440 0,401
Газостекло 30 280 0,200 0,837 0,086 0,100 1,540 0,427
Г идроизол — 700 0,350 1,465 0,250 0,291 1,020 0,284
Дерево — береза (струж- 25 154 0,660 2,762 0,077 0,090 0,759 0,212
ка)
То же, бук 60 700 0,560 2,345 0,214 0,249 0,546 0,152
То же, дуб (вдоль воло- 12 819 0,570 2,386 0,300 0,349 0,643 0,178
кон)
То же (поперек волокон) 0 825 0,570 2,386 0,170 0,198 0,360 0,100
15 825 0,570 2,386 0,180 0,209 0,383 0,106
То же, ель (вдоль воло- — 550 0,600 2,512 0,250 0,291 0,758 0,211
кон) — 600 0,600 2,512 0,300 0,349 0,833 0,232
То же (поперек волокон) — 550 0,600 2,512 0,150 0,174 0,455 0,126
— 600 0,600 2,512 0,200 0,232 0,555 0,154
То же, сосна (вдоль во- — 550 0,600 2,512 0,250 0,291 0,756 0,211
локон) — 620 0,600 2,512 0,300 0,349 0,806 0,224
То же (поперек волокон) — 550 0,600 2,512 0,150 0,174 0,454 0,126
— 620 0,600 2,512 0,200 0,232 0,538 0,149
То же, ясень 60 770 0,530 2,219 0,250 0,291 0/612 0,170
Диатомит 5 400 0,228 0,955 0,053 0,062 0*582 0,162
Древесные опилки прес- — 300 0,550 2,303 0,110 0,128 0,670 0,185
сованные
Древесно-волокнистые — 150 0,600 2,512 0,050 0,058 0,560 0,154
плиты — 250 0,600 2,512 0,065 0,075 0,433 0,120
— 600 0,600 2,512 0,140 0,163 0,390 0,108
Зола древесная — 400 0,200 0,837 0,080 0,093 1,000 0,278
Зонолит — 125 0,200 0,837 0,080 0,093 3,200 0,889
341
Продолжение прилож. 5
Материал t, °C Р» кг/м3 с к а-103, м2/ч а-10®, м2/с
ккал кг-град кДж | кг-град 1 1 ккал м-ч-град и м-град
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Камышит 400 0,360 1,465 0,120 0,140 0,857 0,239
Картон бумажный волок- — 150 0,350 1,465 0,055 0,064 1,048 0,291
нистый
То же, гофрированный — 200 0,350 1,46 0,060 0,070 0,857 0,239
То же, обыкновенный — 700 0,350 1,46 0,150 0,175 0,610 0,170
То же, плотный — 1 000 0,350 1,46 0,250 0,290 0,714 0,198
Каучук синтетический — 1 600 0,373 1, 62 0,184 0,214 0,308 0,086
Клинкер 30 1 400 0,339 1,420 0,140 0,163 0,294 0,082
Кожа (подошва) 30 1 000 0,340 1,424 0,140 0,163 0,410 0,114
Кокс порошкообразный 100 449 0,291 1,220 0,164 0,191 1,250 0,346
Костра льняная — 150 0,350 1,465 0,050 0,058 0,953 0,264
Лигнолитиз — 200 0,620 2,600 0,050 0,058 0,403 0,112
Линолеум — 1 100 0,450 1,884 0,160 0,186 0,320 0,090
— 1 200 0,350 1,465 0,200 0,233 0,476 0,132
То же, поливинилхлорид- — 1 600 0,350 1,465 0,280 0,326 0,500 0,139
ный, многослойный (в су- — 1 800 0,350 1,465 0,330 0,384 0,523 0,146
хом состоянии)
То же на тканевой основе — 1 500 0,350 1,465 0,220 0,256 0,419 0,116
— 1 700 0,350 1,465 0,270 0,314 0,454 0,126
Ми пор а —80 20 0,261 1,090 0,025 0,029 4,790 1,330
—30 20 0,302 1,264 0,030 0,035 4,970 1,380
0 20 0,322 1,348 ; олзз 0,038 5,120 1,410
-К 20 20 0,338 1,415'' 0,035 0,041 5,180 1,450
Нафталин 20 720 0,305 1,277 0,126 0,146 0,574 0,159
Опилки древесные — 250 0,600 2,510 0,080 0,093 0,533 0,148
Парафин — 790 0,540 2,260 0,230 0,268 0,540 0,150
Пемза в зернах — 300 0,200 0,837 0,120 0,140 2,000 0,558
Пемзобетон — 650 0,200 0,837 0,250 0,290 1,920 0,533
Пенобетон —18 420 0,210 0,879 0,094 0,109 1,066 0,295
25 360 0,190 0,795 0,082 0,096 1,200 0,335
90 400 0,200 0,837 0,108 0,125 1,350 0,373
Пенопласт (в сухом со- — 125 0,320 1,340 0,040 0,046 1,000 0,277
стоянии) ПВ-1
То же, ПХВ-1 — 100 0,320 1,340 0,040 0,046 1,250 0,346
— 125 0,320 1,340 0,050 0,058 1,250 0,346
То же, ПС-1 — 100 0,320 1,340 0,035 0,041 1,094 , 0,304
То же, ПС-4 — 75 0,320 1,340 0,035 0,041 1,458 0,405
Пенополиуретан — 75 0,320 1,340 0,035 0,041 1,458 0,405
Пеносиликат — 600 0,200 0,837 0,180 0,209 1,500 0,416
— 500 0,200 0,837 0,140 0,163 1,400 0,389
Пергамин — 600 0,360 1,507 0,120 0,140 0,555 0,155
Песок речной мелкий 20 1 500 0,190 0,795 0,280 0,326 0,982 0,273
Плиты асбоцементные теп- — 300 0,200 0,837 0,080 0,093 1,330 0,370
лоизоляционные
То же, минераловатные, — 400 0,180 0,754 0,100 0,116 1,390 0,385
жесткие
То же, пробковые 80 198 0,420 1,757 0,046 0,053 0,553 0,152
Портланд-цемент 30 1 900 0,270 1,130 0,260 0,302 0,507 0,141
Пробка-крупа (в зернах) — 120 0,500 2,093 0,040 0,046 0,666 0,183
То же, натуральная 20 315 0,440 1,842 0,054 0,063 0,390 0,108
Резина твердая (обыкно- 0 1 200 0,330 1,382 0,135 0,157 0,341 0,095
венная) 100 1 200 0,330 1,382 0,138 0,160 0,348 0,096
То же, пористая 20 160 0,330 1,382 0,043 0,050 0,814 0,226
Рогозит — 160 0,350 1,465 0,050 0,051 0,893 0,248
Рубероид — 600 0,350 1,465 0,150 0,174 0,714 0,198
Сера — 1 100 0,087 0,364 0,060 0,070 0,627 0,175
Снег свежевыпавший — 180 0,500 2,093 0,100 0,116 1,110 0,308
— 200 0,500 2,093 0,120 0,140 1,200 0,334
То же, слежавшийся — 350 0,500 2,093 0,300 0,349 1,710 0,476
Солома в матах — полот- — 150 0,350 1,465 0,100 0,116 1,900 0,528
нищах — 200 0,350 1,465 0,200 0,232 2,860 0,792
342
Продолжение прилож. 5
Материал t, °C Р> кг/м3 с К а-10®, м®/ч а-10®, мг/с
ккал кг-град кДж кг-град ккал м-ч-град и PQ м-град
1 2 3 4 5 6 7 8 9
То же, в снопах 120 0,350 1,465 0,080 0,093 1,900 0,529
— 150 0,350 1,465 0,120 0,140 2,290 0,637
Соломенная резка набив- — 120 0,350 1,465 0,040 0,047 0,950 0,267
ная
Соломит в плитах — 250 0,350 1,465 0,080 0,093 0,914 0,254
— 350 0,350 1,465 0,100 0,116 0,816 0,226
Текстолит 20 1 300 0,360 1,507 0,200 0,233 0,427 0,119
Ткань шерстяная 20 240 0,320 1,340 0,045 0,052 0,586 0,162
Толь — 600 0,350 1,465 0,150 0,174 0,714 0,198
— 800 0,360 1,507 0,200 0,232 0,694 0,192
Торф измельченный . 20 200 0,360 1,507 0,050 0,058 0,694 0,192
То же, кусковой 20 245 0,420 1,758 0,060 0,070 0,583 0,583
То же, сфагнум — 200 0,400 1,675 0,060 0,070 0,750 0,208
— 300 0,400 1,675 0,080 0,093 0,666 0,185
То же, фрезерный Уголь бурый 25 700 0,700 2,931 0,260 0,302 0,531 0,147
— 1 210 0,270 1,130 0,218 0,254 0,669 0,186
То же, древесный — 180 0,600 2,512 0,050 0,058 0,463 0,128
— 220 0,600 2,512 0,060 0,070 0,454 0,127
То же, каменный 20 1 400 0,313 1,310 0,160 0,186 0,365 0,101
Фанера клееная 0 600 0,600 2,512 0,130 0,151 0,361 0,100
Фибролит в плитах — 400 0,550 2,303 0,150 0,174 0,682 0,189
— 600 0,550 2,303 0,200 0,232 0,606 0,168
Шерсть минеральная 50 200 0,220 0,920 0,040 0,046 0,909 0,250
Шивелин из льняных оче- — 130 0,400 1,675 0,050 0,058 0,961 0,266
сов
Шлак доменный гранули- — 450 0,180 0,754 0,120 0,140 1,481 0,413
рованный — 600 0,180 0,754 0,160 0,186 1,481 0,411
То же, котельный — 800 0,180 0,754 0,200 0,232 1,389 0,385
— 1 000 0,180 0,754 0,250 0,291 1,389 0,385
Штукатурка гипсовая — 1 100 0,240 1,005 0,200 0,233 0,758 0,211
Эбонит 20 1 200 0,340 1,424 0,140 0,163 0,343 0,095
Ячеистый бетон (газобе- — 300 0,200 0,837 0,070 0,081 1,167 0,322
тон, пенобетон, газосиликат) — 600 0,200 0,837 0,120 0,140 1,000 0,279
— 1 000 0,200 0,837 0,240 0,280 1,200 0,334
* 0,35 < X < 7,00 Вт/(м«град)
Апатит — 3 210 0,240 1,005 1,520 1,770 1,970 0,549
Асфальт 20 2 100 0,500 2,09)3 0,600 0,700 0,571 0,159
Асфальтобетон — 2 100 0,400 1,675 0,900 1,050 1,070 0,298
Базальт — 2 800 0,220 0,921 2,500 2,910 4,060 1,130
Бетон с каменным щеб- — 2 400 0,200 0,837 1,300 1,512 2,708 0,753
нем или гравием (в сухом состоянии)
То же, с кирпичным щеб- 20 1 900 0,200 0,837 1,000 1,163 2,630 0,731
нем
Вода 10 999,7 1,002 4,193 0,505 0,586 0,504 0,140
Гипс в плитах — 1 100 0,220 0,921 0,350 0,407 1,450 0,402
То же, литой 20 1 100 0,230 0,963 0,300 0,349 1,190 0,330
То же, с органическими — 700 0,250 1,047 0,260 0,303 1,485 0,413
наполнителями
То же, строительный 25 1 100 0,268 1,122 0,340 0,396 1,150 0,321
То же, формовочный 20 1 250 0,200 0,837 0,370 0,430 1,480 0,411
Гипсобетон — 1 300 0,190 0,795 0,480 0,558 1,940 0,540
То же, с доменным шла- — 1 100 0,190 0,795 0,350 0,407 1,670 0,465
ком
То же, с котельным шла- — 1 300 0,190 0,795 0,450 0,523 1,820 0,506
ком
Глина 20 2 000 0,200 0,837 0,800 0,930 2,000 0,556
То же, каолиновая 45 1 790 0,190 0,795 0,630 0,734 1,850 0,516
То же, огнеупорная 450 1 845 0,250 1,047 0,890 1,040 1,930 0,538
343
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ко второму изданию.................................................. 3
Из предисловия к первому изданию................................................. 4
Основные обозначения............................................................. 5
Часть первая
ПОРЯДОК РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Глава перавя. Постановка задач................................................... 9
1-1. С чего начинать решение задачи....................................... —
1-2. Выбор условий однозначности.......................................... —
1. Источники тепла ................................................... —
2. Граничные условия ................................................ 11
3. Начальные условие ................................................ 20
4. Геометрическая форма тела ........................................ 23
1-3. Тепловые режимы .................................................... 26
1-4. Пользование расчетными графиками.................................... 29
1. О физическом смысле применяемых критериев ,и параметров............ —
2. Расчет средней температуры, градиента температуры и других характе-
ристик теплового режима ............................................. 32
Глава вторая. Принцип суперпозиции.............................................. 36
П-1. Введение.............................................................. —
П-2. Принцип элементарной суперпозиции (ПЭС) .............................. —
П-3. Принцип сложной суперпозиции (ПСС) ................................. 38
П-4. Основное правило решения задач методом суперпозиции.................. 42
П-5. Суперпозиция при симметричном расположении источников................ 43
Глава третья. Принципы эквивалентности и взаимности............................. 45
II1-1. Метод физических принципов.......................................... —
Ш-2. Принцип эквивалентности............................................... —
Ш-З. Принцип взаимности................................................... 47
1. Принцип взаимности при действии источника тепла в полуограничен-
ном теле .......................................................... 48
2. Принцип взаимности при действии источников тепла в неограничен-
ной пластине........................................................ 49
3. Принцип взаимности при действии источников тепла в неограничен-
ной пластине, покрытой слоем турбулизированной жидкости .... 51
4. Принцип взаимности в пластине при наличии на одной границе
слоя жидкости и адиабатического условия, на другой — граничного
условия III рода..........................................'. . . . 52
Глава четвертая. Порядок решения сложных задач с помощью принципов супер-
позиции, эквивалентности и взаимности.......................................... 56
IV-1. Связи между решениями простых и сложных задач........................ —
IV-2. Связи между решениями задач для полуограниченного тела.............. 57
1. Использование решения одной задачи для решения других задач (на
примере задачи № 1) ......................................... —
2. Использование решений задач с ГУ I рода для решения задач с ГУ
II рода........................................................... 64
3. Связи между расчетными параметрами задач № 1, 2, 5, 6............ 65
IV-3. Сложное начальное условие........................................... 66
IV-4. Сложные граничные условия .......................................... 69
1. Внешние источники тепла зависят от времени....................... 70
2. Внешние источники тепла на различных участках поверхности не-
одинаковы по типу или по величине .................................. 73
350
3. Тип внешнего источника тепла меняется во времени................ 75
4. Условия теплообмена между внешним источником тепла и поверх-
ностью тела зависят от времени...................................... —
IV-5. Теплофизические характеристики тела непостоянны..................... —
1. Теплофизические характеристики зависят от времени................ —
2. Теплофизические характеристики зависят от температуры........... 80
3. Теплофизические характеристики меняются по координате скачко-
образно (ГУ IV рода)................................................ —
IV-6. Внутренние источники тепла ........................................ 82
1. Источники равномерно распределены по всему объему тела........... —
2. Равномерно распределенные источники расположены в части объема
тела............................................................... 84
3. Источники распределены в теле неравномерно...................... 85
IV-7. На поверхности тела слой жидкости................................. 86
IV-8. Тело ограничено взаимно перпендикулярными и параллельными поверх-
ностями ................................................................ 91
1. Граничные условия I и III рода.................................... —
2. Граничные условия II рода ....................................... 94
IV-9. Примеры решения сложных задач методом суперпозиции с применением
расчетных графиков ....................................................... —
Глава пятая. Установившийся тепловой режим .................................... 99
V -1. Введение ......................................................... —
V -2. Тепловые сопротивления тел........................................ 100
Глава шестая. Изменение агрегатного состояния тела ........................... 117
V I-1. Введение......................................................... —
V I-2. Расчет положения границы затвердевания........................... 123
V I-3. Расчетные формулы и графики задач с изменением агрегатного состоя-
ния ...................................................................... 127
1. Полуогр а ниченное тело и неограниченная пластина................ —
2. Тела цилиндрической формы........................................ 134
3. Тела шаровой формы............................................... 141
4. Примеры расчета затвердевания ................................... 144
Часть вторая
РАСЧЕТНЫЕ ГРАФИКИ И ФОРМУЛЫ ЗАДАЧ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ РЕЖИМА
(без изменения агрегатного состояния)
Перечень задач неустановившегося режима, для которых построены графики 149
1. Полуограниченное тело..................................... 166
2. Неограниченная пластина ....................................... 197
3. Неограниченные сплошной и полый цилиндры.................. 257
4. Сплошной и полый шары..................................... 279
5. Неограниченное тело с цилиндрической или шаровой полостью .... 301
6. Неограниченное и полуограниченное тело с источниками тепла .... 309
7. Неограниченная пластина и полуограниченное тело со слоем жидкости
(идеального проводника) на поверхности............................ 323
Приложения.................................................................... 334
1. Значения величин Ап ............................................. —
2. Некоторые математические выражения и зависимости, часто встречаю-
щиеся в тепловых расчетах......................................... 336
3. Полные эллиптические интегралы первого рода ................... 339
4. Значения функций Ei (х) и Ei (—х).............................. 340
5. Теплофизические характеристики различных материалов.............. —
6. Перевод величин из одних единиц измерения в другие............. 346
Список литературы........................................................... 347