Автор: Демидов С.С.
Теги: математика история математики математические исследования академия наук ссср институт истории естествознания и техники
ISBN: 5-8037-0074-6
Год: 2001
Текст
Российская Академия Наук
Институт истории естествознания и техники
им. С.И.Вавилова
ИСТОРИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
ИСТОРИКО-
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
ИССЛЕДОВАНИЯ
Вторая серия, выпуск 6 (41), 2001
Александр Дмитриевич Соловьев
1927-2001
РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК
Институт истории естествознания и техники им.С.И.Вавилова
ИСТОРИКО-
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
ИССЛЕДОВАНИЯ
Вторая серия
Выпуск 6(41)
Основаны в 1948 году
Г.Ф.Рыбкиным и А.П.Юшкевичем
«Янус-К»
Москва
2001
Издание осуществлено при финансовой поддержке
Российского фонда фундаментальных исследований
Проект №01-06-87042
УДК 51(091)
ББК 22.1г
И 902
Историко-математические исследования. Вторая серия. Выпуск 6(41). М .
«Янус-К», 2001. С.400.
ISBN 5-8037-0074-6
Редакционная коллегия:
Демидов С.С. (гл. редактор)
А.И.Володарский (зав. отд. информации), Е.А.Зайцев, Ю.В.Прохоров,
В.М.Тихомиров, Т.А.Токарева (отв. секретарь), Ч.Форд (США)
Редакционный совет:
А.Г.Барабашев (Россия), А.Н.Боголюбов (Украина), У.Боттаццини (Италия),
И.Г.Башмакова (Россия), А.Граттан-Гинес (Великобритания), Дж.Даубен (США),
Ж.Домбр (Франция), К.Жилэн (Франция), Э.Кноблох (ФРГ), Р.Кук (США),
Г.П.Матвиевская (Россия), Л.Новы (Чехия), М.Ормигоп (Испания), Ж.Пайффер
(Франция), Л.Пепе (Италия), С.С.Петрова (Россия), Ж.-П.Пир (Люксембург),
Р.Рашед (Франция), Б.А.Розенфельд (США), К.А.Рыбников (Россия), К.Скриба
(ФРГ), К.сбили (Греция), М.Фолькертс (ФРГ), Я.Хогендайк (Нидерланды),
О.Б.Шейнин (ФРГ)
Научное издание
Коллектив авторов
Историко-математические исследования. Вторая серия. Выпуск 6(41)
Сдано в набор 15.07.2001. Подписано в печать 15.09.2001.
Формат 60x88/16. Бумага офсетная №1. Печать офсетная.
Уч.-изд л. 27. Физ.п.л. 25. Тираж 500 экз. Заказ 6616.
«Янус-К*.
Лицензия на издательскую деятельность № ЛР 064784 от 02.10.96.
109319, Москва, ул. Стройковская д. 12, корп. 2
119048, Москва, Кооперативная ул. 3-6-128 (для писем)
Отпечатано в Производственно-издательском комбинате ВИНИТИ
140010, Люберцы, Октябрьский пр-кт, 403. т. 554-21-86
ISBN 5-8037-0074-6
© Коллектив авторов, 2001
Содержание
От редакции . ...................................7
МАТЕМАТИКА И ЕСТЕСТВЕННО НАУЧНОЕ МИРОВОЗЗРЕНИЕ
Шафаревич И.Р. (Москва). Из истории
естественно-научного мировоззрения..... . 11
Чайковский Ю.В. (Москва). Что такое вероятность?
Эволюция понятия (от древности до Пуассона) . 34
МАТЕМАТИКА XIX-XX ВЕКОВ
Аносов Д.В. (Москва). Пуанкаре и проблемы Оскара II. . 57
Монастырский М. И. (Москва). IAS и IHES —история
двух институтов....................................73
МАТЕМАТИКА НА ПОРОГЕ XXI ВЕКА
Демидов С.С. (Москва). «Математические проблемы»
Д. Гильберта и математика XX века..................84
Узель К. (Париж). Как оценить роль Бурбаки в истории
математики (перевод с французского С.С.Демидова
и И.О.Лютер)................................... 100
ИЗ ИСТОРИИ ОТЕЧЕСТВЕННОЙ МАТЕМАТИКИ
Добровольский В.А. (Киев), Стрельцын Ж. (Париж),
Локоть Н.В. (Мурманск). Михаил Николаевич
Лагутинский (1871 —1915)..........................111
Ермолаева Н.С. (Санкт-Петербург). Центробежные силы
судьбы В.А.Костицына .............................127
Токарева Т.А., Володарский А.И. (Москва). А.П.Юшкевич
и Международная академия истории науки............164
Шейнин О.Б. (Берлин). Статистика и идеология в СССР 179
Мышкис А.Д. (Москва). О моей работе в Латвийском
государственном университете (несколько воспоминаний). 198
Токарева Т.А. (Москва). Первые съезды отечественных
математиков: предыстория и формирование Советской
математической школы..............................213
ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Сороково М.Г. (Москва). О применении метода
многоугольника Ньютона в XVIII веке...............232
Ефимова Е.А. (Москва). К истории формальной теории
операторов. ........................ .... 245
4
Иванов В.И. (Москва). Конформные отображения
и их приложения (краткий исторический очерк) . . . . 255
Коробов Н.М. (Москва). О теоретико-числовых
интерполяционных формулах......................... 266
МАТЕМАТИКА АНТИЧНОСТИ И СРЕДНИХ ВЕКОВ
Бычков С.Н. (Москва). Египетская геометрия и греческая
наука..............................................277
Янков В.А. (Москва). Геометрия последователей Гиппаса 285
Гаврильчик М.В. (Курган), Смирнова Г.С. (Москва).
Задачи неопределенного анализа у Герона
Александрийского................................. .319
Зверкина Г.А. (Москва). О трактате Герона
Александрийского «О диоптре» . 330
Жаров В.К. (Москва). О «Введении» к трактату
Чжу Шицзе «Суань сюе ци мэн».......................347
Матвиевская Г.П. (Оренбург), Юсупова Г.Э. (Ташкент).
Сферика в трудах ученых средневекового Востока ... 353
Рожанская М.М. (Москва). Об источниках некоторых
проблем средневековой математики ... . 365
НАУЧНАЯ ХРОНИКА
Защита диссертаций по истории математики...........377
Новые книги по истории математики..................377
Конференции по истории математики..................378
Доклады на конференциях и семинарах по истории
математики.........................................379
ABSTRACTS ... 387
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ. 392
Contents
Editorial............................................... 7
MATHEMATICS AND SCIENTIFIC WORLD OUTLOOK
Shafarevich I.R. (Moscow). The scientific world outlook
(a historical survey) .......................... . .11
Chaikovsky Yu.V. (Moscow). What is the probability?
The evolution of the idea. From ancient era to S. Poisson 34
MATHEMATICS OF XIX AND XX CENTURIES
Anosov D.V. (Moscow). Poincare and Oskar II problems . . 57
Monastyrsky M.I. (Moscow). IAS and IHES —the history
of two Institutes................................... .73
MATHEMATICS AT THE THRESHOLD OF THE XXI CENTURY
Demidov S.S. (Moscow). D.Hilbert’s «Mathematical
Problems» and mathematics of the XX century.............84
Houzel Ch. (Paris). How to appraise Bourbaki’s role in the
history of mathematics (translation from the French by
S.S.Demidov and I.O.Lyuter)........................... 100
MATHEMATICS IN RUSSIA
Dobrovolsky V.A. (Kiev), Strelcyn J. (Paris),
Lokot' N.V. (Murmansk). Mikhail Nikolaevich Lagutinsky
(1871-1915)............................................Ill
Ermolaeva N.S. (Saint-Petersburg). The centrifugal forces
of the V.A.Kostitzin’s fate............................127
Tokareva T.A., Volodarsky A.I. (Moscow). A.P.Yushkevich
and the International Academy of the History of Science . . 164
Sheynin O.B. (Berlin). Statistics and ideology
in the Soviet Union....................................179
Myshkis A.D. (Moscow). On my work in Latvian State
University (some reminiscences)........................198
Tokareva T.A. (Moscow). The early congresses of
the Russian mathematicians: prehistory and forming
of the Soviet mathematical school......................213
FROM THE HISTORY OF CALCULUS
Sorokova M.G. (Moscow). On the application of Newton’s
polygon method in the XVIII century................... 232
Efimova E.A. (Moscow). On the history of formal
theory of operators......................... . . - 245
6
Ivanov V.I. (Moscow). Conformal mappings and their
applications (a short historical survey) ... 255
Korobov M.M. (Moscow). On number-theoretic
interpolational formulas 266
MATHEMATICS IN ANTIQUITY AND THE MIDDLE AGES
Bychkov S.N. (Moscow). Egyptian geometry
and Greek science . ........... . . .... 277
Yankov V.A. (Moscow). The geometry of Hippas’ followers 285
Gavril’chik M.V. (Kurgan), Smirnova G.S. (Moscow).
Indefinite equations of Hero of Alexandria . .319
Zverkina G.A. (Moscow). On treatise of Hero
of Alexandria «On Dioptra»........... . . 330
Zharov V.K. (Moscow). On «Introduction» to the treatise
Zhu Shijie «Suan Xue Qi Meng» ... .................347
Matvievskaya G.P. (Orenburg), Yusupova G.E. (Tashkent).
The spherics in the works of the scientists of the medieval
East . . . ..............353
Rozhanskaya M.M. (Moscow). On the sources
of some problems of medieval mathematics 365
CURRENT SCIENTIFIC NEWS
Dissertations in the history of mathematics . 377
New books on the history of mathematics. 377
Conferences on the history of mathematics . . . 378
Papers presented at conferences and seminars on the history
of mathematics 379
ABSTRACTS . 387
INDEX OF NAMES 392
От редакции
Настоящий выпуск — первый в начинающемся столетии — открывается
статьей И. Р. Шафаревича «Из истории естественно-научного мировоззре-
ния». Это размышления выдающегося математика о кризисной ситуации,
в которую ввергает мир научно-техническая революция XVII —XX вв.
Глубокие корни этого кризиса он видит в отличии «логики» живой приро-
ды от логики рационального, естественно-научного мышления. В результа-
те «человек строит картину миру, в которой ему не находится места.
Прежде всего, просто как живому существу. Но и в более глубоком смыс-
ле, как существу мыслящему и духовному». Одно из проявлений этого
кризиса — замедление развития естествознания во второй половине XX
века, сопровождающееся невиданной экспансией техники (компьютеры,
космос, ядерные технологии и т.д.). Возможный выход из создавшейся
ситуации И.Р.Шафаревич видит в разработке нового подхода к изучению
живой природы, не сводящего ее «к действию типа машины», образцом
чего может служить этология (в современном виде возникшая в 30-е годы
XX в., благодаря работам К.Лоренца). Роль математики (н математизации
картины мира) в этой сложной и далеко небезобидной истории прослежи-
вается особо. Другая статья первого раздела сборника, озаглавленного
«Математика и естественно-научное мировоззрение», написана Ю.В.Чай-
ковским и посвящена эволюции одного из важнейших понятий математики
и математического естествознания — понятия вероятности.
Во втором разделе «Математика XIX —XX веков» известный российс-
кий математик Д.В.Аносов проводит расследование одной «почти детек-
тивной истории», случившейся с работой А.Пуанкаре «О проблеме трех
тел и об уравнениях динамики». В этой работе, удостоенной в 1890 г. пре-
мии Оскара II, сам ее автор обнаружил ошибку, приведшую в итоге к отк-
рытию гомоклинических точек. То «была первая ласточка “гиперболичес-
кой революции”, изменившей в 60-е гг. XX века облик теории динамичес-
ких систем». История Принстонского института перспективных исследова-
ний (Institute for Advanced Studies) и Института высших научных иссле-
дований в Бюр-сюр-Иветт (Institut des Hautes Etudes Scientifiques, Bures
sur Yvette, France), —двух замечательных учреждений, ставших символа-
ми современного международного сотрудничества в области математики и
физики,— приводится в заметке М.И.Монастырского.
Третий раздел «Математика на пороге XXI века», появившийся в на-
шем сборнике в прошлом выпуске, включает выступление французского
математика К.Узеля о роли Н.Бурбаки в истории математики, прозвучав-
шее в феврале 2000 года в Математическом институте в Обервольфахе
(ФРГ), и статью С.С.Демидова, посвященную речи Д.Гильберта «Матема-
тические проблемы» (1900) и ее значению для математики XX века
к
Традиционный раздел сборника «Из истории отечественной математи-
ки» на этот раз открывают статьи: В.А.Добровольского. Ж.Стрельцына и
Н.В.Локоть о творчестве незаслуженно забытого киевского математика
конца XIX —начала XX века М.Н.Лагутинского, Н.С. Ермолаевой об од-
ном из выдающихся учеников Д.Ф.Егорова В.А.Костицыне (1883—1963).
Этот математик, ставший классиком математической биологии XX века,
эмигрировал в 30-е годы во Францию, и его имя было предано забвению в
нашей стране. Достаточно сказать, что предлагаемая публикация —первый
биографический очерк о нем на русском языке, если не считать заметок
справочного характера, появившихся в последнее время. Продолжает на-
учно-биографический ряд сборника работа Т.А.Токаревой и А.И.Володар-
ского, посвященная его основателю, выдающемуся отечественному истори-
ку математики А.II.Юшкевичу, 95-летие со дня рождения которого прихо-
дится на 2001 г. Более 20 приводимых в ней и ранее не публиковавшихся
документов, в том числе из личного архива ученого, включающих пере-
писку с Г.Феттером, А.Койре и К.Фогелем, проливают новый свет на обс-
тоятельства избрания А.П.Юшкевича в Международную академию исто-
рии науки, которую он впоследствии возглавил и связи с которой не по-
рывал до последних дней жизни. Раздел завершают статья О.Б.Шейнина
о развитии статистики в СССР, воспоминания А.Д.Мышкиса о его работе
в 1948 - 1953 гг. в Латвийском государственном университете и обзор ис-
тории первых съездов отечественных математиков, подготовленный
Т.А.Токаревой. В последней из упомянутых публикаций на материалах,
оставленных деятельностью предвоенных математических съездов, беру-
щих начало еще с дореволюционных математических секций Всероссийс-
ких съездов естествоиспытателей, прослеживается процесс формирования
Советской математической школы, существенной стороной которого было
конечное слияние разделенных многолетним противостоянием Петербургс-
кой и Московской математических традиций.
Раздел выпуска «Из истории математического анализа» содержит
чрезвычайно разнообразные материалы: от истории формальной теории
операторов (статья Е.А.Ефимовой) до истории теоретико-числовых интер-
поляционных формул (работа Н.М.Коробова).
Из завершающего раздела выпуска «Математика античности и сред-
них веков» читатель узнает: о возможном влиянии египетской геометрии
на греческую науку (С.Н.Бычков); о геометрических исследованиях древ-
них греков (В.А.Янков); о результатах Герона Александрийского; о «Вве-
дении» к трактату Чжу Шицзе «Суань сюе ци мэн» (1299); о сферике в
трудах ученых средневекового Востока (Г.П.Матвиевская и Г.Э.Юсупова)
и об источниках некоторых проблем средневековой математики (М.М.Ро-
жанская)
9
Александр Дмитриевич Соловьев
(6 сентября 1927—6 апреля 2001)
6 апреля после тяжелой и продолжительной болезни скончался член
редколлегии «Историко-математических исследований», известный рос-
сийский математик, один из создателей математической теории надежнос-
ти. выдающийся педагог, заслуженный профессор Московского государст-
венного университета Александр Дмитриевич Соловьев.
Он родился в Москве в семье врача. Учился на механико-математи-
ческом факультете Московского государственного университета им.
М.В.Ломонсова, который закончил в 1951 году С механико-математичес-
ким факультетом оказалась связанной вся его творческая жизнь: учеба в
аспирантуре, затем преподавание —сначала в качестве ассистента, с
1958—доцента, а с 1975 —профессора. Его учителем был А.О.Гельфонд,
под руководством которого он подготовил кандидатскую диссертацию
«Проблема моментов для целых аналитических функций», которую защи-
тил в 1955 году. От Гельфонда он унаследовал блестящую аналитическую
технику и замечательное владение аппаратом математического анализа.
В 60-е годы под влиянием Б.В.Гнеденко он заинтересовался приложе-
ниями теории вероятностей и вместе с ним, а также Ю. К.Беляевым начал
разрабатывать идеи математической теории надежности. В 1965 году они
опубликовали книгу «Математические методы теории надежности», кото-
рая быстро завоевала мировую известность и была переведена на многие
иностранные языки. Изложенные в ней, а также в ряде других работ ре-
зультаты доставили Александру Дмитриевичу славу одного из создателей
математической теории надежности. По этой тематике он в 1972 году за-
щитил докторскую диссертацию. За работы по теории надежности в 1979
году он вместе с группой коллег был удостоен Государственной премии
СССР. Великолепный педагог, А.Д.Соловьев подготовил ряд замечатель-
ных специалистов, работающих в России, странах ближнего и дальнего
зарубежья. Результаты некоторых из них получили международную из-
вестность. Его лекции по математическому анализу, асимптотическим ме-
тодам, теории вероятностей и теории надежности стали подлинной школой
математического мастерства для нескольких поколений математиков и
прикладников.
Он постоянно интересовался вопросами истории математики. В ка-
кой-то мере этот интерес определялся влиянием его учителей (А.О.Гель-
фонда, А.Н.Колмогорова, Б.В.Гнеденко), с увлечением разрабатывавших
историко-математические проблемы, а также его жены С.С.Петровой —
профессионального историка математики. Однако в значительной мере,
историко-математический интерес был свойственен его натуре и составлял
существенную часть его научных устремлений. Его работам в этой области
[1 -6). большинство из которых было подготовлено им в соавторстве со
Светланой Сергеевной, свойственны—точная (почти математически точ-
ная) постановка историко-математической задачи, глубокое проникновение
в математическую сущность проблемы и блестящая математическая и исто-
рико-математическая ее проработка. Любимыми темами его историко-мате-
матического творчества были —история теории вероятностей и история
10
математического анализа (в частности, теории конечных разностей, теории
преобразования Лапласа, асимптотических методов). Его мастерский ана-
лиз метода перевала П.А.Некрасова [3; 5] и некрасовских же результатов
по центральной предельной теореме [4], а также асимптотических методов
П.С.Лапласа [6] относится к числу наиболее ярких историко-математичес-
ких достижений ушедшего века.
Его интересы распространялись достаточно широко и, как член ред-
коллегии «Историко-математических исследований», он с легкостью и осно-
вательностью рецензировал работы по всем вопросам математического ана-
лиза (в узком и широком смысле), теории вероятностей и математической
статистики. До самого последнего времени он исполнял обязанности замес-
тителя председателя диссертационного совета по истории физико-математи-
ческих наук Института истории естествознания и техники им. С.И.Вавило-
ва РАН и был высшим арбитром по диссертациям по истории математики.
Человек удивительной доброты и открытости, он, в то же самое вре-
мя, становился абсолютно жестким и категоричным при оценке научной
значимости результата (кому бы этот результат не принадлежал) или че-
ловеческих качеств того или иного из коллег (впрочем в последнем он
проявлял куда больше добродушия и снисходительности). Его можно
было попробовать переубедить, но его нельзя было уговорить дать отзыв
не отвечающий его внутренней оценке. С его мнением считались и
А.Н.Колмогоров, и А.О.Гельфонд, и А.П.Юшкевич, и Б.В.Гнеденко. Его
авторитет помогал жить (а в некоторых случаях и выживать!) нашему
историко-математическому сообществу, одним из лидеров которого он стал
в период расцвета отечественной историко-математической школы и оста-
вался им в последнее сложное десятилетие ее истории.
Список историко-математических работ А.Д.Соловьева
1. Kolmogorov Andrej Nikolaevic / Scienziati e technologi contemporanei Ed. by Ed
gardo Macorini. Milano. 1974. Vol.2. P.117 —118.
2. Исчисление конечных разностей // Математика XIX века. Чебышевское направле-
ние в теории функций. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Вариацион-
ное исчисление. Теория конечных разностей / Под ред. А.Н.Колмогорова и
А.П.Юшкевича. М., 1987. С.240 — 285. (Англ, перевод: Theory of finite differences
/ / Mathematics in XIX century / Kolmogorov A. N., Youschkevitch A. P. (Eds.). Ba-
sel-Boston-Berlin: Birkhauser Vcrlag, 1998) (Совм. с С.С.Петровои).
3. Об истории создания метода перевала / / Историко-математические исследования
СПб., 1994. Вып.35. С.148 —164 (Совм. с С.С.Петровои).
4. П.А.Некрасов и центральная предельная теорема теории вероятностей Истори-
ко-математические исследования Вторая серия. М., 1997. Вып.2(37). С.9 —22.
5. The origin of the method of steepest descent // Historia Mathematica. 1997. VoL24.
№4. P.361-375 (With S.Petrova).
6. Асимптотические методы Лапласа // Историко-математические исследования.
Вторая серия. М., 1999. Вып.4(39). С.277 — 287 (Совм. с С.С.Петровои).
Редколлегия
МАТЕМАТИКА И ЕСТЕСТВЕННО-НАУЧНОЕ
МИРОВОЗЗРЕНИЕ
ИЗ ИСТОРИИ ЕСТЕСТВЕННО НАУЧНОГО
МИРОВОЗЗРЕНИЯ
И.Р.Шафаревич
Постулаты естественно-научного мировоззрения
Естественно-научное мировоззрение —это система взглядов,
развившихся в естествознании, в основном в физике и, ввиду свя-
занных с ней громадных успехов и технических приложений, став-
шая популярной и очень привлекательной. Так что теперь считает-
ся, что эти методы мышления применимы в различных областях
знания и являются наиболее точным и достоверным методом поз-
нания и в науке о живом, и об обществе, и о человеке.
Основные положения этой системы взглядов можно сформули-
ровать в виде четырех утверждений.
/. Существование законов природы. То есть, небольшого, во
всяком случае обозримого, числа законов, из которых мы можем
получить описание практически всех природных явлений. Это сов-
сем не очевидное утверждение. Ведь можно было бы предполо-
жить, наоборот, что каждое явление описывается своим законом, а
явления, происходившие раньше управлялись совсем другими за-
конами. Образно можно сказать, что система законов —это нечто
вроде коробочки, в которую можно упаковать всю вселенную, а
потом, открыв коробочку, опять развернуть из нее вселенную, по
крайней мере, умственно. Чтобы пояснить конкретнее, что я имею
в виду, приведу один пример. При создании этой концепции в
XVII в. в исследованиях Галилея большую роль играл «закон сво-
бодного падения тел», согласно которому путь, пройденный сво-
бодно падающим телом, пропорционален квадрату времени паде-
ния. Точнее говоря, имеет место соотношение
12
Математика и естественно-научное мировоззрение
s = gt2ll,
где 5—пройденное телом расстояние, t— время падения, а д —неко-
торая постоянная, называемая ускорением силы тяжести.
Но почему Галилей так упорно искал этот закон или какой-то
ему подобный? Почему не предположить, что каждое тело падает
по своему закону? Вот такая вера в существование единого закона
и лежит в основе естественно-научного мировоззрения.
2. Экспериментальность. Закон извлекается не из обыденного
опыта, не на основании авторитета прошедших поколений, а из
природы, методом наблюдения, точнее эксперимента. Эксперимент
является специальным методом наблюдения, когда явление ставит-
ся в искусственные условия, неограниченное число раз точно вос-
производимые.
3. Объективность. Вера в то, что эксперимент объективен по
своей природе, то есть не зависит от наблюдателя и может быть в
точности воспроизведен различными людьми. В идеале наблюдате-
ля даже лучше исключить, заменив прибором, это считается на-
дежнее.
4. Математичность. В результате эксперимента мы получаем
некоторое число (или более сложное математическое понятие, нап-
ример, функцию). То есть, в эксперименте мы имеем дело с вели-
чинами, которые измеримы и сводятся к числам. Все законы явля-
ются некоторыми математическими соотношениями между этими
числами (или другими математическими объектами). Примером яв-
ляется написанная выше формула, выражающая закон свободного
падения тел. Потом из этих соотношений мы получаем, применяя
методы математики, следствия, которые дают описание все новых
явлений природы.
Сформулированные четыре положения являются постулатами,
лежащими в основе естественно-научного мировоззрения, вроде ак-
сиом в геометрии.
Это Мировоззрение выкристаллизовалось за последние четы-
реста лет и в настоящее время подкрепляется невиданными дости-
жениями науки и техники. Грубо говоря, около 1600 года нашей
эры, произошло резкое изменение характера научного мышления,
давшее взрывообразное увеличение объема научных знаний и влас-
ти над миром. Произошедшие с тех пор изменения называются в
настоящее время «Научно технической революцией XVII —XX ве-
ков» или «Коперниканской революцией» (последнее название объ-
ясняется ролью, которую играла при выработке этого мировоззре-
ния созданная Коперником гелиоцентрическая система мира). В
это время были открыты законы механики, теория электрических
явлений, законы электрического тока, теория электромагнитного
поля и электромагнитная теория света, что привело к созданию те-
ории относительности. Была развита концепция атомного и
и р Шафаревич 13
молекулярного строения вещества, теория газов и теплоты. Воз-
никла атомная физика и квантовая механика. Эти достижения фи-
зики полностью изменили жизнь и дали людям неслыханную до
того власть над природой. Вся наша жизнь, начиная с того, что мы
живем в громадных домах, в громадных городах и кончая тем, что
имеем шанс погибнуть в атомной войне, основывается на некото-
рых открытиях естествознания. Под влиянием возникших в физи-
ке идей, была создана теория эволюции земной коры, и органичес-
кого мира, клеточного строения живого вещества. Последняя тео-
рия позволила исследовать механизм передачи наследственных
признаков.
Научная революция XVII в.
Как произошел этот громадный скачек в развитии человечес-
кого мышления?
Начало было положено изменениями, произошедшими в науке
в XVII веке, и все последующие успехи явились только следствием
тех событий. Поэтому нужно внимательно присмотреться к XVII
веку, к тому, что тогда произошло в науке.
Конечно, XVII в. — это условная точка отсчета. Например,
книга Коперника «О вращении небесных сфер», содержавшая из-
ложение гелиоцентрической системы, была опубликована несколь-
ко раньше—в 1543 г.
Центральная роль в разрушении старых и создании новых
взглядов принадлежит Галилею. В 1610 году он сконструировал
телескоп и обнаружил ряд новых явлений: Млечный путь состоит
из отдельных звезд (до этого считалось, что он является облаком
газов); Юпитер имеет спутники; на Солнце есть пятна; на
Луне — горы. Он исследовал также законы движения тел на Земле,
например, закон свободного падения тел. Главный вывод, который
более всего поразил и его, и его последователей — что и на Земле,
и на небе действуют одни законы. Например, мы видим ежедневно
спутник Земли —Луну, но оказывается и у далекого Юпитера есть
такие же спутники. Значит, вся вселенная управляется едиными
законами!
В период между 1609 и 1621 годами, в результате обработки
громадного числа астрономических наблюдений, Кеплер нашел за-
коны движения планет (знаменитые три закона Кеплера).
В 1630 году Галилей опубликовал книгу «Диалог о двух глав-
ных системах мира», где поддерживал теорию Коперника. Цент-
ральной идеей этой книги является мысль, что законы движения
небесных тел совпадают с законами действующими на земле. Зако-
ны «земной» механики он исследует в сочинении «Беседы, касаю-
щиеся двух новых областей науки», опубликованном в 1638 г.
В 1637 году Декарт опубликовал свою книгу «Рассуждения о
методе», в ней он расширил сферу рассматриваемых явлений изу-
чением явлений оптики, исследовал законы преломления света. Он
14
Математика и естественно-научное мировоззрение
использовал в ней новый математический метод—аналитическую
геометрию. В 1644 году он же опубликовал книгу «Начала фило-
софии», в которой сформулировал так называемый закон инерции
(называемый сейчас обычно первым законом Ньютона), согласно
которому, тело, на которое не действуют никакие силы, совершает
равномерное прямолинейное движение.
В 1686 году вышел труд Ньютона —книга, которая явилась
венцом всего этого направления: «Математические начала нату-
ральной философии». Книга начинается с формулировки некото-
рых основных законов. Затем из них путем математических рас-
суждений выводится описание множества явлений таких как, нап-
ример, движение Луны, планет и комет, приливы и отливы, меха-
ника жидкостей и газов. Чувствуется уверенность автора в универ-
сальности найденных законов и всего его подхода. Часто использу-
ется термин «Система мира», т.е. вся теория —это как бы некото-
рая «Теория мира».
Позже Ньютон включил в свои исследования и оптику (расщеп-
ление света на простейшие цвета, теория света как потока частиц).
Все развитие физики в XVII в. было связано с созданием и
применением новых разделов математики — аналитической геомет-
рии, интегрального и дифференциального исчисления, дифферен-
циальных уравнений, бесконечных рядов.
Перечислим еще раз основные научные события XVII в. На-
чать надо немного раньше:
1543 —Коперник «О вращении небесных сфер»;
1610 —наблюдения в телескоп Галилея;
1609—1621—законы Кеплера;
1630 —Галилей «Диалог о двух системах мира»;
1637 —Декарт «Рассуждение о методе»;
1638 —Галилей «Беседы,касающиеся двух новых области науки»;
1644 — Декарт «Начала философии»;
1686—Ньютон «Математические начала натуральной философии»;
1704 —Ньютон «Оптика».
Напомним, что же в этот век происходило в человеческой ис-
тории:
Россия —от Смутного времени до Петра!;
Германия —Тридцатилетняя война между протестантами и католи-
ками;
Англия — Английская революция, власть Кромвеля, восстановление
монархии;
Франция — эта эпоха всем лучше всего знакома по романам Дюма —
три мушкетера, Д’Артаньян, виконт Де Бражелон —все жили в
этом веке.
Какова же причина прорыва в естествознании, произошедшего
в XVII в.? И почему это произошло в XVII веке, а не на сто, пять-
сот, тысячу лет раньше?
И. Р. Шафаревич
15
Создатели этого нового естествознания вполне отдавали себе
отчет в том, какой громадный переворот в науке они совершают.
Галилей, например, писал свои работы, в основном, в популярной,
доходчивой форме, в виде беседы нескольких человек, не на об-
щепринятом тогда языке науки —латыни, а на народном, итальянс-
ком языке, явно стремясь пропагандировать свои идеи. Были и
идеологи, не внесшие сами вклада в науку, но развивавшие и про-
пагандировавшие ее новые принципы — самые известные —Дж.Бру-
но и Ф.Бэкон. И все они, в основном, сходились в объяснении тех
причин, которые вызвали этот переворот в науке. Они выделяли
две: 1) накопилось много фактов, противоречащих старым взгля-
дам; 2) ученые отказались от домыслов, «схоластики» и «поверну-
лись лицом к природе», то есть к эксперименту. Отказались от
умозрительных объяснений, вроде того, что «у каждого тела есть
естественное место, к которому оно естественно стремится» и по-
пытались выводить законы природы из эксперимента.
Но исследования современных историков естествознания пока-
зали, что, несмотря на внешнюю убедительность, это объяснение
сомнительно. Вот ряд аргументов, приводящих к такому выводу:
1) те «новые факты», которые произвели особенно сильное
впечатление на ученых XVII в., были известны задолго до того: за
2000 лет и даже больше. Например, гелиоцентрическая система
была сформулирована греческим астрономом Аристархом Самос-
ским в III в. до н.э.; то, что Млечный путь состоит из отдельных
звезд, утверждал Демокрит в IV в. до н.э.; что на Луне есть
горы — Анаксагор в V в. до н.э. В XVII в. эти взгляды не были об-
щепринятыми, но специалистам были известны, например, Копер-
ник в своей книге ссылался на «древних» в подтверждение своей
теории. Архимеду (в III в. до н.э.) были известны методы, кото-
рые, с нашей точки зрения, естественно рассматривать как вариан-
ты методов интегрального и дифференциального исчисления;
2) многие открытия, которые, как считалось, были сделаны в
XVII в. «экспериментально», на самом деле не могли быть найде-
ны при тогдашнем уровне экспериментальной техники. Например,
закон Галилея о свободном падении тел верен только если отсутст-
вует сопротивление воздуха (например, если наблюдать падение в
сосуде, из которого выкачан воздух). Шекспир, стоявШий обеими
ногами на почве реального опыта, писал:
«И как тяжеловесные предметы,
Когда их бросишь, с быстротой летят...» [1, с.127].
А согласно закону найденному Галилеем, перышко и ядро па-
дают с одинаковой скоростью. И сам Галилей понимал несоответс-
твие его закона реальному опыту. Он вовсе не изучал эксперимен-
тально реальное свободное падение (хотя иногда и говорит об опы-
тах с падающими с башни предметами). Часто, когда Галилей го-
ворит об эксперименте, он имеет в виду то, что современные
16
Математика и естественно-научное мировоззрение
физики называют «мысленным экспериментом». Так, он предлага-
ет наблюдать падение тел в средах все более «податливых», наде-
ясь так приблизиться к точному закону—но он не говорит, как та-
кие опыты ставить Или же он ставил другие эксперименты, при
которых можно было бы наблюдать движение на коротких интер-
валах, когда сопротивление воздуха сказывается меньше. Вообще
же он ставил данные опыта неизмеримо ниже математической тео-
рии. Например писал, как его восхищают создатели гелеоцентри-
ческой теории (Коперник и Аристарх Самосский), не побоявшиеся
пойти против очевидных показаний своих органов чувств.
Тем более эти аргументы относятся к «закону инерции» —ведь
он постулирует бесконечное движение по прямой —явление в прин-
ципе никак не наблюдаемое (как и тело, на которое не действуют
никакие силы).
Точка зрения многих современных историков науки такова:
поразительный прорыв в науке, начавшийся в XVII в. явился ре-
зультатом слома старых представлений о пространстве и вселен- I
ной. Он основан как раз на отказе от того, что дает повседневный
опыт, что мы «видим своими глазами» (например, что солнце дви-
жется по небу) и на смелом применении экспериментально принци-
пиально не наблюдаемых понятий. Основным таким понятием
было понятие бесконечного пространства — ведь реально мы спо-
собны наблюдать лишь маленькую часть его. А только в бесконеч-
ном пространстве возможно неограниченно продолжающееся пря-
молинейное движение, о котором говорится в «законе инерции».
Насколько я знаю, эта точка зрения была впервые (и очень ярко)
аргументирована Э.Бертом [2], а позже разработана рядом иссле-
дователей, из которых наиболее известным стал выходец из нашей
страны А.Койре [3].
До XVII в. большинством ученых была принята и подтвержде-
на авторитетом церкви концепция, сформулированная в принципе
еще Аристотелем, согласно которой мир конечен, ограничен сфе-
рой, на которой расположены звезды, а вне этой сферы нет ниче-
го - ни времени, ни материи, ни пустоты. Все пространство запол-
нено, каждая точка —место положения какого-либо тела. В центре
сферы, ограничивающей мир, расположена неподвижная Земля.
Кроме того, внутри этой сферы находится еще ряд сфер с центром
в Земле, и все сферы вращаются, это вращение вечно, неизменно и
равномерно. На этих сферах расположены Солнце, Луна и плане-
ты. Всего сфер 56. Взаимное вращение сфер было подобрано так,
что объясняло видимое движение планет. (Вариантом этой системы
была система Птолемея, о которой мы скажем позже.) Самая близ-
кая к Земле сфера —та, на которой расположена Луна. Она разде-
ляет мир на две части, в которых действуют совершенно разные
законы. В надлунном пространстве господствует вечно неизменное
движение. В подлунном пространстве господствует изменение,
И.Р. Шафаревич
17
возникновение и уничтожение. Каждое тело имеет свое естествен-
ное место и естественно движется к нему: тяжелые тела движутся
по направлению к Земле, легкие—от нее.
Вся Вселенная есть олицетворение порядка и красоты. Космос
по-гречески значит красота (одним из производных этого слова яв-
ляется слово косметика). Один современный исследователь пред-
лагает переводить это слово по-русски как слепота» [4].
Эта идея Космоса была разбита в XVII веке и заменена ради-
кально отличной идеей: пространство бесконечно, однородно во
всех его частях и во всех направлениях и в принципе пусто, лишь
отдельные места иногда занимают определенные тела. Тело в та-
ком пространстве может двигаться бесконечно, без воздействия на
него каких-либо сил. Естественно, эта система не могла основы-
ваться на экспериментах —т.е. это была некая математическая абс-
тракция, и привычное нам физическое пространство переосмысли-
валось как абстрактное.
Изложенная выше система взглядов выражается в словах Га-
лилея: «Философия написана в величайшей книге природы, всегда
раскрытой перед нашими глазами, но эту книгу нельзя понять, не
научившись сперва понимать ее язык и не изучив знаки, которыми
она написана. А написана она на языке математики, и ее зна-
ки—это треугольники, окружности и прочие геометрические фигу-
ры, без которых человеческому пониманию ни одно ее слово не
доступно» [5].
Обычно эти слова понимали в том смысле, что изучение физи-
ки невозможно без применения математики. Но в книге [2], опуб-
ликованной в 1925 г., Э.Берт дал новое и более глубокое их толко-
вание. Он считает, что Галилей предложил изучать не физику объ-
емлющего нас пространства, а ту, в которой отсутствуют такие фи-
зические явления, как трение, сопротивление воздуха и т.д., то
есть физику не в реальном мире, а в воображаемом геометричес-
ком мире. Потом туда можно перетащить и сопротивление воздуха,
но пренебречь целым рядом других факторов, действующих в ре-
альном мире, так что общий принцип остается прежним. Только
математически описанная реальность обладает истинной достовер-
ностью, а реальность, улавливаемая органами чувств, сомнительна
и изменчива. Физика становится математичкой, и поэтому явле-
ния — вычислимы и предсказуемы.
Аристотелевская теория —это попытка объединить все факты
естествознания на основе повседневного опыта и здравого смысла.
Но в некоторых случаях приходилось идти на компромиссы, так
как последовательно это провести трудно и, вероятно, не всегда
возможно. Например, Аристотель [6, с.205, 209] высказывал естес-
твенное, с точки зрения здравого смысла, утверждение, что каждое
движение должно иметь причину, приводится чем-то в движение.
У него и его последователей это утверждение формулировалось и
18
Математика и естественно-научное мировоззрение
более определенно — если тело движется, значит его что-то тянет
или толкает. Однако такой формулировке противоречило движе-
ние брошенного рукой камня или выпущенной из лука стрелы.
Для объяснения подобных явлений в разное время предлагались
более или менее логичные объяснения, но постепенно система
взглядов становилась все сложнее и все менее естественной.
Новая физика XVII века решает эту проблему, порывая с ин-
туицией и отказываясь от реального опыта, то есть перемещает все
физические явления в абстрактное пространство и время. Это и
явилось одним из факторов успеха. Таким образом, физика в
принципе поглощается «математической физикой» (хотя методы,
применявшиеся в XVII в., с современной точки зрения, элементар-
ны—этому сейчас учат в старших классах средней школы—тогда
это была вершина математической мысли). То есть успех был дос-
тигнут за счет отказа от физики повседневного опыта и замены ее
некоторой абстракцией. Не удивительно, что это легче, и на таком
пути успехов является все больше. Утрируя такую точку зрения,
можно было бы назвать всю физику, начавшуюся с XVII в. «под-
гонкой под ответ», когда трудную, но реальную задачу заменяют
более простой абстракцией. Это и есть критика русского философа
А.Ф.Лосева, изложенная в еще более парадоксальной форме:
«Говорят: идите к нам, у нас —полный реализм, живая жизнь,
вместо ваших фантазий и мечтаний откроем живые глаза и будем
телесно ощущать все окружающее, весь подлинный и реальный
мир. И что же? Вот мы пришли, бросили “фантазии” и "мечта-
ния”, открыли глаза. Оказывается — полный обман и подлог. Ока-
зывается: на горизонт не смотри —это наша фантазия, на небо не
смотри —ибо никакого неба нет, границы мира не ищи —никакой
границы тоже нет, глазам не верь, ушам не верь, осязанию не
верь... Батюшки мои, да куда же это мы попали? Какая нелегкая
нас занесла в этот бедлам, где чудятся только одни пустые дыры и
мертвые точки? Нет, дяденька, не обманешь. Ты, дяденька, хотел
с меня шкуру спустить, а не реалистом меня сделать. Ты, дядень-
ка, вор и разбойник» [7, с.593].
Именно эти слова Лосева процитировал Л.М.Каганович в 1930
году на XVI съезде ВКП(б), как пример того, как плохо у нас еще
поставлена бдительность. Вспомнили об этом и на открывшемся
осенью 1930 г. следствии по делу об «Истинно-православной церк-
ви», закончившемся для Лосева лагерем, откуда он вернулся почти
слепым...
Что же представляет собой 400 летнее триумфальное шествие
естествознания? Неужели просто «полный обман и подлог»—по
словам Лосева? Если весь успех был в том, чтобы заменить реаль-
ный мир изучением своих «мечтаний» и «фантазий»,—то есть бо-
лее простых абстракций,—то ведь это похоже на фокус карточного
шулера, подсовывающего фальшивую карту! Конечно, и Лосев так
и Р Шафар|В
19
не считал, а лишь указывал, в парадоксальной форме, на некото-
рые опасности одностороннего абстрактно-теоретического восприя-
тия мира.
В громадном числе случаев результаты чисто абстрактных тео-
рий—«мечтания» и «фантазии» — позже настолько точно подтверж-
дались экспериментом, что это никакой «подгонкой» под теорию
объяснить невозможно. Например, древнегреческие математики
много занимались кривыми, которые были названы коническими
сечениями, то есть эллипсами, гиперболами и параболами. Евклид
в Ш в. до н.э. посвятил им целую книгу. А в XVII в., то есть 2000
лет спустя, Кеплер установил, что планеты движутся по эллипсам
(кометы движутся также по гиперболам и параболам). Несколько
позже Ньютон доказал, путем математического вычисления, что
эта форма их орбит вытекает из закона тяготения.
Вог более близкий к нам пример. В 1929 году английский фи-
зик П.Дирак вывел уравнение движения электрона, отвечающее
требованиям теории относительности. Для этого он ввел новые мате-
матические величины, называемые «спинорами». Позже выясни-
лось, что эти величины были введены из чисто математических со-
ображений на 50 лет раньше английским математиком У.Клиффор-
дом. Уравнение Дирака приводило к следствиям, казавшимся снача-
ла парадоксальными. Именно оно описывало, кроме электрона, и
другую частицу, имеющую ту же массу, но противоположный за-
ряд. Причем вероятность перехода одной частицы в другую —поло-
жительна, так что если существует одна, то должна существовать и
другая. Некоторое время это считалось странным дефектом уравне-
ния, пока не была высказана смелая гипотеза, что такая частица су-
ществует. Вскоре она была экспериментально обнаружена в косми-
ческих лучах. Теперь она называется позитроном.
Имеется громадное число подобных совпадений результатов
чисто математических теорий и физических наблюдений. Многие
физики и математики обращали внимание на эту загадку. По-види-
мому, имеется таинственный параллелизм между интеллектуальным
миром математических и физико-математических рассуждений и ре-
альным наблюдаемым миром. Это один из главных выводов, кото-
рые можно сделать из всей предшествующей истории попыток чело-
вечества познать Космос. Но нам не известны границы такого па-
раллелизма. Лосев в парадоксальной форме обращает внимание на
трудности и опасности, возникающие, если исключительно (или
непропорционально) опираться на рационально-интеллектуальный
путь познания мира. Мы позже вернемся к этому вопросу.
Научная революция VI в. до н.э.
Мы видели, что в XVII веке происходит столкновение двух
систем мира, одна сменяется другой. Этот переворот станет немно-
го яснее, если посмотреть на происхождение аристотелевской сис-
темы. Его система была тоже результатом научной революции,
произошедшей в Древней Греции в VI —III в. до н.э.
20
Математика и естественно-научное мировоззрение
Начало этого научного переворота приходится примерно на
VI в. до н.э.—вообще поразительную эпоху в духовном развитии
человечества. В это время в Индии появился буддизм и индуизм.
В Китае —конфуцианство, которое и по сей день остается главной
идеологической основой китайской культуры. В Персии —религия
Заратустры (двух сил: разрушения и созидания, борьбы двух бо-
гов—Ормузда и Аримана). В библейской традиции это начало дви-
жения пророков. В Древней Греции — возникновение греческой фи-
лософии, в рамках которой и возникли идеи той научной револю-
ции, которую мы обсуждаем. Никаких соображений, объясняющих
одновременное появление совершенно новых концепций во всей
Евразии —от Китая до Греции —предложено, по-видимому, не
было. Но зато ученые нашли удачное название для этой порази-
тельной эпохи —ее стали называть «осевым временем*.
В Древней Греции VI в. до н.э. послужил началом грандиоз-
ного интеллектуального движения. Тогда эта деятельность называ-
лась философией, но по содержанию своему была близка тому, что
мы сейчас называем естествознанием.
Именно в ту эпоху возникла, по-видимому, концепция «зако-
нов природы*, лежащая в основе естествознания и по сей день.
Возникшие тогда идеи уходят корнями в греческую мифологию,
которая дошла до нас через мифологическую поэзию. В поэме «Те-
огония* греческого поэта Гесиода [8], написанной в VIII или VII
в. до н.э., изображается война древних богов —Титанов, рожден-
ных Землей и Небом, с поколением новых богов, потомков Време-
ни (Кроноса), во главе с Зевсом. Эти новые боги связаны как раз
с законами, управляющими миром. О них говорится:
«Голосами прелестными Музы
Песни поют о законах, которые всем управляют,
Добрые нравы богов голосами прелестными славят*
[8, с.171].
Древних же богов можно скорее соотнести с миром, в котором
«каждое явление следует своему закону*, Гесиод описывает косми-
ческую битву:
«Заревело ужасно безбрежное море,
Глухо земля застонала, широкое ахнуло небо
И содрогнулось; великий Олимп
задрожал до подножья...
И когда бы увидел
Все это кто-нибудь глазом иль ухом бы шум тот услышал,
Всякий, наверно, сказал бы, что небо широкое сверху
Наземь обрушилось...* [8, с.191].
Благодаря молниям, подвластным Зевсу, новые боги побежда-
ют старых:
и. РШафаревич
21
«Подземь их сбросили столь глубоко, сколь далеко от неба...
Там и от темной земли и от Тартара, скрытого в мраке,
И от бесплодной пучины морской, и от звездного неба
Все залегают один за другим и концы и начала,
Страшные, мрачные» [8, с.192 —193].
Эти мысли развивает трагик Эсхил, писавший в V веке. В тра-
гедии «Прометей» [9] он описывает одного из Титанов —Прометея,
страдающего от гнева Зевса, распятого на скале. Хор поет:
«Новый миру дав закон,
Зевс беззаконно правит.
Что было великим, в ничто истлело.
Зевс свирепый, Зевс пасет мир,
Произвол в закон поставив
Зевс пасет копьем железным
Древних демонов и чтимых» [9, с. 185, 195].
Согласно Эсхилу и традиции, правление Зевса и новых богов
не несет блага людям. Прометей говорит:
«Едва он на престоле сел родительском,
Распределять меж божествами начал он
Уделы, власти, почести: одним —одни,
Другим —другие. Про людское горькое
Забыл лишь племя. Выкорчевать с корнем род
Людской замыслил, чтобы новых вырастить.
Никто не заступился за несчастнейших.
Один лишь я отважился! И смертных спас!» [9, с. 188].
Более того, Прометей дал людям огонь, украв его у Зевса. Во-
обще, Прометей предстает учителем людей в искусствах и ремес-
лах, он «мысль вложил в них и сознанья острый дар», то есть яв-
ляется учителем культуры (такой образ встречается в мифах мно-
гих народов; он называется в этнографии «культурным героем»).
Это, собственно, и есть причина гнева Зевса. Но более того, Про-
метею известна тайна будущего Зевса—«господство его не вечно»,
и на вопрос—«Но кто же у него отнимет скипетр владычест-
ва?»—Прометей знает ответ—«Сам у себя, замыслив безрассуд-
ное» [там же].
Из этого мифологического субстрата в VI веке начинают выде-
ляться более логически оформленные концепции, потом дают нача-
ло потоку новых идей и наблюдений, составляющих научную рево-
люцию VI —III вв. до н.э. Перечислим наиболее принципиальные
научные концепции этой эпохи. Иногда высказывались и противо-
речащие друг другу точки зрения, велись споры. Но так обстояло
дело и в научной революции XVII —XX вв. (например, споры о
том, что такое свет —поток частиц или волны—продолжались до
XX века).
Итак, вот перечень основных идей.
22
Математика и естественно-научное мировоззрение
Земля ни на что не опирается, она висит в пространстве и не
падает, так как ей столько же оснований падать вниз, сколько и
вверх. Земля —круглая. Приблизительно верно были определены
размеры Земли и расстояния от Земли до Луны и Солнца. Было
обнаружено суточное вращение Земли.
Солнце и Луна —раскаленные камни размером со всю Грецию.
Позже —Солнце больше Земли. Но существовала и точка зрения,
что они — одушевленные существа.
Мир бесконечен. Но и наоборот: мир конечен и ограничен
сферой, вне которой ничего нет.
Гелиоцентрическая система (Земля и планеты вращаются вок-
руг Солнца). Но также и геоцентрическая система (Солнце и пла-
неты движутся вокруг неподвижной Земли).
Было дано правильное (с современной точки зрения) объясне-
ние солнечных и лунных затмений.
Была высказана гипотеза об атомном строении вещества.
Дискутировался вопрос, можно ли естествознание (в основ-
ном, физику) основать на математике. Можно ли физические явле-
ния свести к числам или геометрическим понятиям, например, тре-
угольникам и т.д.? Или они больше похожи на наши чувства —гне-
ва или страха? Первую точку зрения отстаивал Платон, вто-
рую—его ученик Аристотель.
В математике была создана концепция строгого доказательства
и вывода всех утверждений из нескольких аксиом. Стройная систе-
ма теорем геометрии, как она до сих пор преподается в школе,
была построена в эту эпоху. Были открыты идеи интегрирования и
дифференцирования, основы того, что сейчас называется интег-
ральным и дифференциальным исчислением.
Новые идеи были высказаны и в изучении живой природы.
Например, что все животные возникли в океане и лишь потом
вышли на сушу. Была открыта нервная система и ее роль в пере-
даче ощущений и т.д.
Вот краткая хронология появления этих идей (все даты—до н.э.).
Приблизительно 600 г. Фалес: идея эволюции мира (все прои-
зошло из воды). Идея строгого доказательства в математике.
Приблизительно 550 г. Анаксимандр: происхождение мира че-
рез остывание раскаленного ядра. Земля, ни на что не опираясь,
висит в пространстве. Расстояние от Земли до Солнца примерно
равно 27 диаметрам Земли. Происхождение животных из океана.
Приблизительно 530 г. Пифагор и основанная им школа пифа-
горейцев: создание сохранившегося до современности представле-
ния о характере математического исследования. (Более поздний
греческий математик писал о вкладе Пифагора в математику: «Он
изучал эту науку, исходя от первых ее оснований и старался полу-
чить теоремы при помощи чисто логического мышления, вне конк-
ретных представлений» [цит. по 10, с. 125].) Решение на основе
И р Шафаревич 23
строгого доказательства вопросов, которые раньше в математике не
ставились (например, существование иррациональных чисел, ирра-
циональность V2). Математичность мира: вещи существуют «по
подражанию числам». Шарообразность Земли.
500 — 428 гг. Анаксагор: Солнце и звезды — раскаленные кам-
ни, Солнце —больше Пелопоннеса. На Луне есть горы и долины.
Объяснение солнечных и лунных затмений.
460 — 380 гг. Демокрит: мир состоит из атомов и пустоты. «Все
в мире происходит по необходимости» (крайняя формулировка
концепции законов, детерминизм).
Около 400 г. Пифагорейцы: Земля и Солнце вращаются вок-
руг единого центра.
427 — 347 гг. Платон: основные элементы, из которых построен
мир - геометрические фигуры. Не занимаясь математикой, нельзя
изучать философию (естествознание).
384—322 гг. Аристотель: создание универсальной картины
мира, включившей некоторые из выдвинутых ранее идей, а некото-
рые- отвергшей.
IV в. Ученики Платона: описание движения планет через вра-
щение сфер; суточное вращение Земли.
Примерно 280 г. Аристарх Самосский: гелиоцентрическая сис-
тема.
Примерно 280 г. Эратосфен и Аристарх Самосский: определе-
ние длины земной окружности, расстояния от Земли до Солнца и
Луны.
287 — 212 гг. Архимед: понятия интегрирования и дифференциро-
вания; статика тел и жидкостей (на строгой математической основе).
В конце III в. Аполлоний предлагает другой вариант описания
видимого движения Солнца и планет. Каждая из них движется по
кРУгу (эпициклу), центр которого движется по кругу, имеющему
центром Землю. Позже, на основании этой системы, Птолемей по-
строил теорию, дающую очень точное описание движения планет,
и сама система стала называться Птолемеевской. В средние века
была принята система, некоторым образом соединяющая Птолеме-
евскую и ту, которую изложил Аристотель (мы не будем говорить
о ней подробнее).
Напомним, как и раньше, основные исторические события,
приходящиеся на тот же период.
Примерно 600 г. Возникновение в Греции множества неболь-
ших городов-государств (среди них —Афины). Такие же греческие
города-колонии в Малой Азии и на прибрежных ей островах (Фа-
лес, Анаксимандр, Пифагор, Анаксагор были родом из таких коло-
ний). Одновременно на Востоке вырастает громадная Персидская
мировая империя.
490 — 480 гг. Греко-персидские войны. Союз маленьких гречес-
ких государств отражает нападение великой персидской державы.
24
Математика и естественно-научное мировоззрение
V в. Расцвет культуры в Афинах. (Платон был родом из Афин,
Анаксагор и Аристотель провели там большую часть жизни).
431 — 404 гг. Междоусобная война между греческими государс-
твами (Пелопонесская война). Конец расцвета Афин.
IV в. Ослабление греческих государств в результате междо-
усобных войн и подчинение Греции северному соседу — Македонии.
334 — 323 гг. Походы Александра Македонского (Аристотель
был его воспитателем). Объединив силы Македонии и большинст-
ва греческих государств, Александр разгромил персидскую держа-
ву и создал империю, охватывавшую Грецию, Малую Азию, Еги-
пет, Персию, Месопотамию, часть Индии и Средней Азии. После
его смерти империя распалась на несколько частей.
IV —III вв. Эллинизм. На обломках империи Александра Ма-
кедонского создаются государства, в которых происходит объеди-
нение местной традиции с греческой культурой. (Аристарх Самос-
ский, Эратосфен, Аполлоний и Архимед жили в таких эллинисти-
ческих государствах.)
Конец III в. Начало завоевания эллинистических государств
Римом. (Архимед был убит при захвате римлянами греческого го-
рода Сиракузы в Сицилии.)
Конечно, III в. до н.э. служит концом этого периода несколько
условно (как и XVII в.—началом научной революции нового вре-
мени). Развитие естествознания продолжалось и дальше, но боль-
ше как развитие уже созданных концепций. Невиданный поток но-
вых идей кончился.
Возвращаясь к истории развития научной мысли, мы видим,
что в античности были выдвинуты многие идеи впоследствии, бо-
лее чем на 2000 лет позже, легшие в основу научной революции
XVII века. Но они не вошли в состав «аристотелевской» системы
мира. Тогда была сделана попытка построить картину Космоса,
учитывающую основные известные факты, но основывающуюся на
принципах, вытекающих из повседневного реального опыта. Ко-
нечно, она утвердилась не из-за авторитета Аристотеля (как он ни
был велик), а потому что соответствовала основным нормам мыш-
ления, принципам древнегреческого, римского и позже — христиан-
ского средневекового общества. Не укладывающиеся в нее положе-
ния были оттеснены на периферию сознания, не получили всеоб-
щего признания, хотя были известны знатокам. Можно считать,
что древнегреческое общество как бы «обдумало» (применяя этот
термин к целому обществу лишь по аналогии) имеющиеся альтер-
нативы и практически сознательно отклонило идеи, позже двигав-
шие научную революцию XVII в. (Также стоит отметить, что она
не произошла в Индии, Китае и Византии.) Видимо, эти идеи тре-
бовали слишком резкого отрыва от реального опыта, противопос-
тавления человека природе. Вероятно, мыслители того времени
ощущали некоторые опасности и трудности, связанные с
И к Шафаревич
25
направлением, возобладавшим в XVII в. Безусловно, такой выбор
был связан с громадной жертвой —он резко затормозил развитие
естествознания, начиная с III в. до н.э. Как говорит один историк
[11], естествознание тогда внезапно остановилось в своем разви-
тии как бы натолкнувшись на невидимую стеклянную стену (вряд
ли из-за внешних причин, так как, например, в математике выдаю-
щиеся достижения относятся даже к III в.). К тому же, развитие
новых идей таким образом не было предотвращено —оно только
было отодвинуто. С XVII в. они стали развиваться взрывообразно.
Произошла «научная революция», которая уничтожила «старый
мир» так же как это делает революция социальная (только в ду-
ховном и интеллектуальном плане). Теперь, после четырех веков
этой революции мы более отчетливо видим опасности, связанные с
ее идеями —в то время, как мыслители античности могли их лишь
интуитивно предчувствовать.
Естественно-научное мировоззрение в современности
Развитие событий показало, что, условно говоря, — «аристоте-
левское»—неприятие принципов будущей научной революции
XVII века имело определенные основания. Эти принципы приво-
дят к своим проблемам, которые связаны с вопросом об области их
применимости.
Уже в XVII веке возникает кардинальный вопрос: какова об-
ласть применения этих принципов? Сначала казалось очевидным,
что это —область неживой материи. Этой областью, например, ог-
раничиваются «Начала» Ньютона в первом издании. Но во втором
издании —1713 г.— появляется, в конце «Общее поучение». В нем
сказано много интересного об этих вопросах, в частности:
«Теперь следовало бы кое-что добавить о некоем тончайшем
эфире, проникающем все сплошные тела и в них содержащемся,
коим возбуждается всякое чувствование, заставляющее члены жи-
вотных двигаться по желанию, передаваясь именно колебаниями
этого эфира от внешних органов чувств мозгу, и от мозга муску-
лам. Но это не может быть изложено вкратце, к тому же нет доста-
точного запаса опытов, которыми были бы точно определены зако-
ны действия эфира» [12, с.658].
Здесь явно содержится заявка на то, что на основании принци-
пов, на которых построены «Начала», возможно построить теорию
ощущений и деятельности нервной системы животных и человека.
Не хватает только места и еще некоторых опытов.
Но это явно вызывало сомнения у самого Ньютона. В «Опти-
ке» и при подготовке последующих ее изданий Ньютон вставлял
«Вопросы» (или «Сомнения»), некоторые из которых так и не
были напечатаны, но сохранились в рукописях (цит. по [13]).
Среди них есть такие :
«Подтверждает ли эксперимент, что биение вашего сердца за-
имствует откуда-то столько же энергии сколько сообщает крови?
26 Математика и естественно-научное миро юззрсние
Если это так, сообщите ваш эксперимент. Если нет—то ваши све-
дения не надежны. Рассуждения не основанные на экспериментах
весьма обманчивы» [там же].
Или такой:
«Разве опыт показывает, что человек своей волей не может со-
общить новое движение телу?» [там же].
Тем не менее, развитие науки и исследования самого Ньютона
способствовали распространению механистического взгляда на
мир. В XVIII в. его идеи пропагандировали во Франции идеологи
«просветительского» направления, более всего— Вольтер. Для них
это был аргумент в пользу того, что Богу остается все меньше мес-
та в мире, это было частью их борьбы с Католической церковью и
стало духовной подготовкой Французской революции. После нее,
в XIX в. те же идеи стали популярны во многих учениях о челове-
ческом обществе. В начале этого века было очень популярно уче-
ние Сен-Симона, утверждавшего, что он открыл законы развития
человеческого общества, основной из которых аналогичен закону
всемирного тяготения (но в чем заключается этот основной закон,
оставалось не ясным). Влияние взглядов Ньютона видно и в том,
что Сен-Симон предлагал, чтобы человечество управлялось еди-
ным правительством—«Высшим ньютонианским советом», состоя-
щим из десяти лучших представителей естественных наук с мате-
матиком во главе, а по всему миру в храмах происходило бы пок-
лонение Ньютону. Соперником Сен-Симона был Фурье, тоже дек-
ларировавший, что в основе его системы лежит «закон страстного
влечения», аналогичный закону всемирного тяготения. Он уверял,
что общество развивается на основе «геометрических принципов»,
«свойств эллипсов, гипербол и парабол», но они нигде не форму-
лируются, вместо этого мы встречаем совершенно фантастические
рассуждения. Марксизм объявил себя «научным социализмом», а
своих предшественников — «утопистами», хотя они также претендо-
вали на «научность». В марксизме этот стиль «под науку» выдер-
жан гораздо удачнее. В «Капитале» Маркса действительно имеют-
ся формулы, вроде
Т-Д-Т',
но это совсем другая формула, чем например, формула, выражаю-
щая закон свободного падения: в нее нельзя подставить конкрет-
ные числа, преобразовать ее по математическим правилам и вывес-
ти новые следствия.
Вопрос о том, могут ли принципы естественно-научной идеоло-
гии, как они были сформулированы в начале статьи, быть приме-
нены к живому организму, человеку и человеческому обществу
имеет важное значение. Ведь объект, изменения которого мотут
быть точно математически рассчитаны, функционирует с предопре-
деленностью машины. Образ Вселенной как машины использовал-
ся еще Коперником, он пользуется термином «Мировая машина».
Кеплер писал о ней так:
И. р. Шафаревич
27
«Моя цель, показать что мировая машина подобна не божествен-
ному организму, но, скорее, часовому механизму [цит. по 14, с.108].
Наш вопрос часто так и формулируют: являются ли животные
и человек машинами? Например, Декарт утверждал, что животные
являются машинами, и, хотя признавал у человека душу, не раз
сравнивал человеческий организм с часовым механизмом, а позже
Ж-Ламетри написал книгу «Человек —машина» [15]. Но что мы
признаем машиной, к тому и относимся как к машине. Машине
нельзя соболезновать, жалеть ее. К машине не применимы понятия
ответственности, вины. Машину бессмысленно наказывать, ее мож-
но только чинить или пускать на слом. Поэтому, когда идеология
современного естествознания применяется ко всем частям природы,
из этого проистекает взгляд на природу как на бездушный матери-
ал, с которым можно делать все что угодно. Но человек сам —
часть природы и такое отношение рано или поздно обращается
против него.
Например, в естествознании укоренился взгляд о допустимос-
ти любых экспериментов над животными (ведь эксперимент —важ-
нейшая составляющая естественно-научного мышления). Так,
И.П.Павлов получил большинство своих результатов о рефлексах
при помощи экспериментов над собаками и поставил памятник со-
баке с надписью: «Собака с радостью приносит себя в жертву ин-
тересам науки».
Подобные эксперименты часто вызывали протесты, на которые
возражали, говоря, что эксперименты над животными дают сведе-
ния драгоценные для медицины. Но тогда для экспериментов нуж-
ны животные наиболее близкие к человеку. В результате перехо-
дят к экспериментам над обезьянами, которые при этом от боли
кричат и плачут как люди. Но и обезьяны не совсем совпадают с
людьми. И вот все время появляются слухи об экспериментах над
людьми, при которых их согласие не получено (например, над ду-
шевнобольными) или вынужденно (в случае заключенных).
То же относится и к обществу. Я встретил, например, в одной
книге название главы: «Марксизм, как и всякая наука имеет право
на эксперимент».
Оставляя даже в стороне вопрос, является ли марксизм дейст-
вительно наукой, мы видим, как одна ссылка на авторитет науки
оправдывает постановку эксперимента, угрожающего существова-
нию целых народов. И действительно, идеология марксизма связа-
на с постановкой эксперимента над целыми народами. Об этом не-
однократно говорили не только противники, но и сторонники мар-
ксизма. Например, в эпоху, когда в нашей стране реализовались
марксистские концепции, их сторонники часто говорили о «блиста-
тельном социальном эксперименте». Таким же экспериментом
были и экономические реформы, осуществленные в нашей стране в
начале 90-х годов. Один из их руководителей сравнил их с экспе-
риментом, проводимым под наркозом без согласия пациента.
28 Математика и естественно-научное мировоззрение
Но есть и другая, еще более серьезная, сторона вопроса. Осо-
бенность научной революции XVII-XX вв. заключается в том, что
достижения науки немедленно находят применения в технике, по-
чему и укоренилось название научно-техническая революция
(НТР). Это дало человеку неслыханную власть над миром. Широ-
ко известно, что эта власть привела к так называемому экологичес-
кому кризису — разрушению окружающей среды. Например, из
приблизительно 2000000 видов живых существ (растений и живот-
ных), обитающих на Земле, сейчас один гибнет каждый час. Это
грозит в близком будущем сокращением числа видов на 20% и на-
рушением равновесия биосферы. Сейчас уже погибла больше чем
половина лесов на планете, которыми она дышит, так что Земля
сейчас подобна существу, у которого ампутировано одно легкое.
Или, промышленная деятельность выбрасывает в атмосферу такие
газы как метан и углекислый газ, создающие так называемый
«парниковый эффект», приводящий к потеплению атмосферы. По
заключениям комиссии ООН, за ближайшие десятилетия ее темпе-
ратура повысится в центральных районах Земли на 4°С, а в север-
ных—на 8°. Подобное повышение температуры последний раз наб-
людалось 120000 лет тому назад, когда оно происходило за несрав-
ненно больший промежуток времени, так что природа имела время
к нему приспособиться.
Таких примеров множество. Все это не случайные побочные
эффекты научно-технического развития. Наоборот, это —логичес-
кое следствие планомерного и универсального применения принци-
пов естественно-научного мышления, как они сложились начиная с
XVII в. Еще в самом начале этого века выступал Ф.Бэкон, оказав-
ший громадное влияние на развитие естествознания не своими на-
учными'трудами (их, собственно, не было), а идеологическими со-
чинениями. Например, все окружение, в котором работал Ньютон
(имевшее центром «Лондонское королевское общество»), состояло
из «бэконианцев». И вот Бэкон сформулировал [16] цель науки
как «господство над природой», выдвинул лозунг—«победить при-
роду». Он писал, что эксперимент —это насилие над природой с
целью вырвать ее тайны, что природу надо пытать пока она не вы-
даст свои секреты. С другой стороны, когда Галилей сформулиро-
вал как свой научный принцип — измерить все, что измеримо и сде-
лать измеримым то, что неизмеримо, то этим он оставил вне преде-
лов естественно-научного мышления такие переживания как сост-
радание, страх, гнев, эстетические переживания, этические нор-
мы... С общепринятой теперь точки зрения, они должны считаться
малонадежным способом контакта с внешним миром. Человечество
до сих пор пользуется их руководством (например, не рассматри-
вается экономическая выгода проекта умерщвления всех стариков,
старше 60 лет), но скорее по инерции, чем на основании сознатель-
ной уверенности. Крупнейший биолог XX в. Конрад Лоренц [17]
и. р. Шафаревич
29
говорит, что вопрос о моральности тех или иных действий имеет
смысл только если они направлены на нечто живое, иначе речь мо-
жет идти лишь об их целесообразности. Современный же человек в
своей деятельности все реже сталкивается с чем-либо живым, поэ-
тому он отучается от оценки своих действий с точки зрения их
нравственности или гуманности, и оценивает их лишь с позиции
целесообразности. Вот почему, когда он встречается с чем-либо
живым, он его быстро уничтожает.
Есть ряд других явлений, указывающих на то, что развитие
естественно-научного мышления, начавшееся научной революцией
XVII в., сейчас приводит к ситуации кризиса. Так, отличительным
признаком современной цивилизации, основанной на НТР, счита-
ется ее «динамичность». Под этим подразумевается не только стре-
мительный темп ее развития, но и то, что она иначе не может раз-
виваться: современная цивилизация имеет устойчивость катящегося
велосипеда. Конкретнее это означает, что решая некоторую проб-
лему, она создает взамен несколько других, которые опять решает,
создавая еще больше новых и т.д. Например, концентрация насе-
ления в больших городах создает жилищную проблему, которая
решается путем роста городов, от чего возникают транспортные
проблемы, которые решаются массовым выпуском автомобилей и
дорожным строительством, что приводит к уменьшению площади
обрабатываемой земли, загрязнению воздуха выхлопными газами и
нехватке горючего. Современная же техника неразрывно связана с
развитием естествознания —например, атомную бомбу делало то же
поколение физиков, которое создало квантовую механику (в Гер-
мании «атомный проект» возглавлял один из создателей квантовой
механики В.Гейзенберг). Но развитие естествознания замедляется
на наших глазах. Если в первой половине XX в. возникли такие
радикально меняющие картину мира области как теория относи-
тельности, квантовая механика и генетика, то во второй половине
века мы ничего подобного не встречаем. Когда сейчас говорят о
последних успехах человечества, обычно упоминают спутники или
компьютеры. Но это не относится к естествознанию, не есть откры-
тие новых законов природы!
Это замедление явно ставит под угрозу динамическую устойчи-
вость всей современной цивилизации.
Можно даже усмотреть более глубокие корни проявляющегося
кризиса. Сама «логика» живой природы отлична от логики рацио-
нального, естественно-научного мышления. В живой природе ос-
новную роль играет ее организация в циклы, открытые Ю.Либи-
хом и иногда называемые «циклами Либиха». Например, трупы и
отходы животных поглощаются бактериями, бактерии являются
основой роста растений, растения поедаются животными. Живая
природа состоит из сотен тысяч таких циклов. Именно организа-
ция в циклы обеспечивает то, что в природе поглощается все, что
30
Математика и сстсствсшю-научнос мировоззрение
производится. Наоборот, логическое мышление состоит из цепи
силлогизмов, соединенных как бы в прямую линию. Когда в рас-]
суждении образуется цикл вывод совпадает с предпосылкой —это|
считается грубой ошибкой, «порочным кругом». Наоборот, вмеша-
тельство технологической деятельности в природу приводит к раз-
рыву «циклов Либиха», что выражается, например, в накоплении
непоглощенных отходов.
Таким образом, человек строит картину мира, в которой ему
не находится места. Прежде всего, просто как живому существу]
Но и в более глубоком смысле, как существу мыслящему и духов-,
ному. Цитированный нами уже выше философ А.Ф.Лосев сказал:]
«Читая учебник астрономии, чувствую, что кто-то палкой вы-
гоняет меня из собственного дома и еще готов плюнуть в физионо-
мию. А за что?» [7, с.4051.
Процесс сращивания науки и техники проявляется не только
во влиянии науки на технику, но и в обратном направлении. В на-
уке используются все более мощные и дорогие технические средст-
ва: грандиозные ускорители, даже не помещающиеся на террито
рии одной страны, мощные компьютеры. На науку приходится
тратить заметную часть бюджета государства —сопоставимую с зат-(
ратами на армию. Эти средства надо планомерно распределять, то
есть наука становится администрируемой. Успех в ней зависит от
доступа к ее техническому оснащению, который находится в руках
администраторов. Уменьшается роль индивидуального таланта,
озарения и увеличивается роль финансирования и организации.
Это меняет характер самой пауки.
Как не сопоставить весь этот кризис с «проклятьем Проме-
тея», предсказавшего богу нового мышления, подчиняющего Кос-
мос диктату законов, что его власть у него отнимет не кто иной
как он «сам у себя, замыслив безрассудное».
Конечно, древнегреческие мыслители не могли конкретно
предвидеть экологический кризис и другие последствия техничес-
кого прогресса и всеобъемлющего применения естественно-научной
идеологии. Но они, вероятно, чувствовали, что некоторые концеп-
ции, возникавшие тогда в естествознании (философии) по необхо-
димости вырывают человека из природы и противопоставляют его
ей. Призыв «победить природу», т.е. воспринять себя как ее врага,
показался бы им просто кощунственным. Такова, возможно, была
мотивировка «аристотелевского тормоза», замедлившего развитие
естествознания на 2000 лет.
В заключение, изложим одно оптимистическое соображение.
Собственно говоря, это неверно, что во второй половине XX в. не
возникло новых, ярких областей естествознания. Одна такая об-
ласть безусловно появилась — наука о поведении животных (этоло-
гия). Главную роль в создании новой области естествознания иг-
рал Конрад Лоренц [17]. Этологами были выделены два пути
и р Шафаревич________________________________________________
«и
взаимодействия животных с внешним миром: наследуемые инстин-
ктивные действия и приобретаемое научением поведение, основан-
ное на понимании (в чем-то аналогично разделению человеческой
психики на бессознательную и сознательную часть). Проанализи-
ровано, как тонко распадается конкретное действие (например,
построение гнезда или охота) на цепь отдельных действий такого
типа. Обнаружены поразительные действия, связывающие живот-
ных (и их группы) —так называемые ритуалы. Исследованы сооб-
щества животных и силы их соединяющие. Достигнуто понимание
того, каким образом некоторые животные воспринимают друг дру-
га индивидуально, когда определенное животное в жизни другого
не может быть заменено никаким другим. И множество конкрет-
ных исследований, включая открытие «языка пчел», которым пче-
ла, найдя медоносный участок, сообщает его местоположение дру-
гим пчелам улья.
Все эти исследования дали много для понимания человека и
человеческих обществ. Причем не за счет «низведения человека до
уровня животного», в чем вначале упрекали этологов. Наоборот,
стало ясно, как много элементов поведения, которые мы считаем
человеческими, присущи животным.
Но это оказалась естественная наука совершенно нового типа.
Она не основана на расчетах, не ищет рассчитываемых, выражае
мых в числах закономерностей. В ней не меньшую роль чем экспе-
римент играет прямое наблюдение, часто длительное пребывание с
определенным видом животных. Эта наука не требует сложной и
дорогой аппаратуры. Она мало зависит от ее финансирования.
Сенсационные открытия делались, когда ученый наблюдал за пла-
вающими по пруду гусями или утками, а единственным прибором
были маскирующие его ветви.
Быть может, здесь мы видим один из путей выхода из кризиса
НТР. Можно было бы надеяться, что это—начало нового подхода
к изучению живой природы, в принципе не сводящее ее к дейст-
вию типа машины. Это могло бы стать началом создания более
уравновешенной картины Природы, в которой ее живая и неживая
часть изучается, исходя из их специфики, не подчиняя ни одну из
них закономерностям другой. Такой подход потребовал бы ради-
кального изменения теперешних взглядов, когда «научной» счита-
ется лишь точка зрения, копирующая физику или математику (как
бы она ни была неестественна в данной конкретной области). Не-
ясной представляется даже граница, отделяющая живое от неживо-
го. Например, Платон считал живым Космос. Ньютон считал жи-
вой Землю, в одном неопубликованном отрывке он сравнивает ее с
огромным растением, которое дышит эфиром.
А ведь то, как человечество воспринимает мир, определяет то,
как оно относится к себе и, в конечном счете, ход его истории.
32 Математика и естественно-научное мировоззрение I
Заключение
Как видно из предшествующего, развитие естествознания в но-
вое время оценивается по-разному. Существуют две точки зрения,]
каждая из которых, конечно, имеет множество вариантов. В самой
крайней форме первая точка зрения утверждает, что все это разви-1
тие есть «полный обман и подлог», трагическая ошибка или даже
грех западной цивилизации. Вторая же утверждает, что это был]
самый блестящий период развития естествознания, так как оно ста-
ло на единственную приемлемую для науки почву: вопрошание
природы при помощи объективного эксперимента и логическое ос-
мысление его результатов.
Обе точки зрения не новы. «Способствовал ли прогресс наук и
искусств улучшению нравов или же содействовал порче их?»—так!
назвал свой трактат Жан Жак Руссо, о котором Вольтер написал
ему: «Прочитав Вашу книгу, мне захотелось встать на четвереньки!
и убежать в лес». Жозеф де Местр считал, что Ф.Бэкон и Р.Де-1
карт были злыми демонами европейской цивилизации, они подго-1
товили Французскую революцию. Вторую же точку зрения мно-
гократно высказывали как научные творцы, так и идеологи естест-
венно-научной революции: Галилей, Ф.Бэкон, Декарт...
Сейчас, в связи с наступлением экологического кризиса, пер-
вая точка зрения вновь обращает на себя внимание, часто заново
ярко и резко формулируется (см. например, работы А.Лапина [18]
и М.Жутикова [19]) —в то время, как в XIX веке она воспринима-]
лась как чисто нигилистическая.
И все же, сердце физика-математика вряд ли может принять!
взгляд на развитие, например физики, начиная с XVI в. (Копер-
ник!), как на вредоносную ошибку. Так же, думаю, как сердце ис-
торика не приемлет концепцию Н.А.Морозова, согласно которой
вся Древняя история есть фальсификация. Причем в случае физи-
ки это неприятие имеет глубокое внутреннее основание. Причина в
том, что все строение «математизированной» физики поразительно
красиво. В нем как в зеркале отражаются красивейшие разделы
математики (симплектическая геометрия, теория комплексных ана-
литических многообразий, алгебраическая геометрия). Такой аргу-
мент может показаться «ненаучным», он апеллирует к чувствам.
Но как раз в XX веке человечество совершило самые трагические
ошибки, следуя общим концепциям (расовым или классовым) и
заглушая «наивные» непосредственные чувства (жалости и отвра-
щения к насилию). Видимо, непосредственные чувства являются
гораздо более надежным руководителем в жизни. В том числе эсте-
тическое чувство.
К тому же причину современного экологического кризиса его
критики указывают по-разному. Одни видят ее в специфике абс-
трактного естественно-научного мышления, другие —во всеобъем-
лющей технизации жизни. Л.Уайт даже усматривает причину в
и .р. Шафаревич
33
истианстве (особенно западном), лишающем мир и природу их
ценности [20]. „ „
Кажется несомненным, что некоторой своей стороной совре-
менный кризис (и не только экологический) связан с основными
категориями естественно-научного мышления. А принятие нового
взгляда на мир неизбежно ведет к его реализации в практической
деятельности. Но на что конкретно можно указать, как на тот «об
ман и подлог», о котором писал Лосев? Его видят и в принципе
математизации естествознания, и в самом характере научного мыш-
ления, и в использовании моделей и абстракций. Тогда возникает
вопрос: когда же возникла эта опасная тенденция? Мне представ-
ляется, что интеллектуальный переворот, произошедший в антич-
ности, был не менее радикален, чем НТР XVII—XX вв. Предста-
вим себе, например, Землю, на которой мы живем, по которой пу-
тешествуем и в которую уходим. Можно поверить, что она покоит-
ся на каких-то фантастических слонах или гигантской черепахе...
Но вместо этого сказать, что «Земля висит в пространстве и не па-
дает, так как ей столько же падать вниз, сколько и вверх»! Это
значит — заменить материальную опору Земли логическим принци-
пом симметрии. Сравнительно с этим «Коперниканская револю-
ция» является меньшим разрывом с традиционным мышлением. А
язык, в котором пластичное восприятие действительности заменя-
ется формализованным аппаратом слов и фраз —еще более древний
и глубокий шаг в абстрактное, аналитическое мышление. Не гово-
ря о письменности —это уже наполовину создание алгебры. Даже
если бы жизнь убедила человечество в ложном характере всех этих
тенденций, сомнительно, чтобы оно было способно вернуться так
далеко назад и отказаться от них. Ведь даже авторы, наиболее ра-
дикально высказывающиеся в этом направлении, сами мыслят ана-
литически, используют модели и абстракции.
Я и решился составить эту сводку соображений, в основном
давно высказанных, чтобы еще раз привлечь внимание к фунда-
ментальному комплексу вопросов, как мне кажется, далеко не ре-
шенных человечеством. А может быть и неразрешимых оконча-
тельно для человека.
Список литературы
1 Шекспир В. Генрих IV / / В.Шекспир. Полное собрание сочинений в восьми то-
мах. М., 1959. Т.4.
2. Burtt Е.А. The Metaphysical Foundations of Modern Physical Science. London, 1925.
3. Койре А Очерки истории философской мысли М., 1985.
4- Павленко А.Н. Европейская космология. М., 1997.
5. Galilei G. Il Saggiatore. 1623.
6. Аристотель. Физика / / Аристотель. Сочинения в четырех томах. М., 1981. Т.З.
7. Лосев А.Ф. Диалектика мифа//Л. Ф. Лосев. Из разных произведений. М., 1990.
8. Гесиод. Теогония // Эллинские поэты. М., 1963.
9. Эсхил. Трагедии. М., 1937.
34
Математика и естественно научное мировоззрение
10. Ван дер Варден Б.Л. Пробуждающая наука. М., 1959.
11. Schadewaldt W. Das Welt-Modell dcr Gricchcn // Die Neuc Rundschau. Frank-1
furt-am-Main, 1957. Bd.68. Heft II.
12. Ньютон И. Математические начала натуральной философии. М., 1980.
13. Merchant С. The Death of Nature. 1980.
14. Кирсанов В.С. Научная революция XVII века. М., 1987.
15. Ламетри Ж. Сочинения. М., 1983.
16. Бэкон Ф. Сочинения. М., 1978. Т.1,2.
17. Лоренц К. Оборотная сторона зеркала. М., 1998.
18. Лапин А. Наука и природа // Наш современник. 1991. №8.
19. Жутиков М. Доброкачественна ли цивилизация? / Москва. 2000. №3.
20. Whyte L. Animals and Man in Western Civilization // Animals and Man in Histori-
cal Perspective. 1974.
ЧТО ТАКОЕ ВЕРОЯТНОСТЬ? ЭВОЛЮЦИЯ ПОНЯТИЯ
(ОТ ДРЕВНОСТИ ДО ПУАССОНА)
Ю.В. Чайковский
Проблема случайности далеко выходит за рамки теории веро-
ятностей (ТВ) и это дает методологам основание говорить о новой
науке, которая уже получила название — алеатика (см. обзоры в
работах [1; 2]). Ее проблематика проходит через всю историю ев-
ропейской науки и в каждую эпоху приобретает ту форму, какая
соответствует господствующей в это время познавательной модели
(ПМ)1. В наше время центральным здесь является понятие вероят-1
ности, однако ясное понимание его существа пока отсутствует, что
тормозит решение ряда актуальных проблем науки.
Ниже изложена попытка анализа данного понятия. Основное
внимание будет уделено тем смыслам вероятности, которые отно-
сятся к самой ТВ и к математической статистике. Лишь в этой свя-
зи будут затронуты гуманитарные аспекты (связанные с логичес-
ким и моральным пониманием вероятности). Тех, кто интересуется
ими особо, отошлю к сводкам [3 — 6], а историко-богословские ас-
пекты вероятности можно найти в [4; 7].
Как и прежде, основным моим инструментом будет истори-
ко-научный подход с использованием метода ПМ. Постараюсь по-
казать, что обращение к истории позволяет не только лучше по-
нять нынешнюю проблематику, но и указать новые пути исследо-
вания. Начнем с уяснения термина, поскольку в разное время его
понимали различно.
1. О термине «вероятность»
Ранее [1; 8] уже говорилось, что слово «вероятность» в наше
время означает меру случайности, однако прежде имело иной
смысл. В прежние времена вероятным называли то 1) во что
jO в.Чайковский
35
можно верить, что может оказаться правдой; 2) что можно прове-
. 3) на что можно надеяться. Если пользоваться нашим ны-
нешним языком, то Аристотель случайным называл то, что проис-
ходит редко, а вероятным — то, что происходит часто. Для собы-
тий, которые могут с равной возможностью как происходить, так и
не происходить, термина тогда не было, а сама такая ситуация
приводила греческих философов в замешательство. В философс-
ком течении скептиков возник термин «изостения» (isostheneia),
который переводят как равносилие, равновесие, равнозначность.
Его можно перевести и как равновероятность, но с той оговоркой,
что имеется в виду только логическая равновероятность, т.е. рав-
нозначность утверждения и отрицания какого-то высказывания (а
не, например, равная частота выпадения монеты гербом и цифрой,
о чем в древности речи не было).
Никакого представления о частоте повторяющегося события,
которую можно измерить, древность, по-видимому, не знала. Счи-
талось, что исход случайного испытания определяется судьбой. В
азартных играх использовались резко несимметричные кости в ка-
честве симметричных, а наибольший выигрыш нередко назначался
за далеко не самый редкий исход. Слово «вероятность» не имело
ничего общего с нынешним термином ТВ.
В русском языке существительное «вероятность» является про-
изводным от прилагательного «вероятный», означающего то, во что
можно верить, что можно «принимать за правду» [9]. То же мы ви-
дим в других славянских языках и в немецком. Такое словоупотреб
ление повторяет греческое и, по-видимому, из него заимствовано.
В греческом было два слова для обозначения вероятности:
eikos (вероятное, правдоподобное) и pithanotes (вероятность, прав-
доподобие), и оба означали вероятность в смысле убедительности
(хотя имели очень различное происхождение —первое от
eikazo — предполагать, умозаключать, а второе от pistis — вера, уве-
рение). Оба слова появились в дни юности Сократа (т.е. веком
позже, чем первые обозначения случайности) для обозначения убе-
дительности довода [10].
Позже, в школе скептиков, появилось понятие вероятности
(pithanotes) как того, чему можно верить, и это понимание, прой-
дя через всю позднюю античность, могло послужить образцом для
славянских языков.
Немецкое wahrscheinlich— вероятный, происходит либо от
wahr — истинный (а оно —от церковнославянского ver а, означавше-
го и веру, и истину), либо от латинского verisimilis — правдоподоб-
ий [11]. Последнее происходит от латинского veritas— истина, и
от него же — французское vraisemblable — правдоподобный, вероят-
ный. Тем самым, корень ver лежит в основе именования вероятнос-
ти во всех этих языках.
Для романских языков и английского характерно иное проис-
хождение (а с тем и понимание) слова «вероятный»: латинское
36
Математика и естественно-научное мировоззрение
probabilitas (правдоподобие, вероятность) и probabilis (достойный
доверия, вероятный) ведут начало от probo — испытывать, прове-
рять. Рудименты такого понимания кое-где остались до сих пор}
Так, английский юридический термин probable cause означает!
«доказательный аргумент», а испанское probable может, кроме!
обычных для нас значений «правдоподобный, вероятный», озна-1
чать еще и «доказуемый». Однако в целом такое понимание веро-
ятного ушло из нынешних языков, сейчас мы обычно говорим «ве-
роятно» в смысле «весьма возможно», тогда как слово «вероят-1
ность» служит обозначением для любой степени правдоподобия (а
не только его высокой степени).
Наоборот, от латинского «вера» {fide, religio) ни одного пони-
мания вероятности не пошло, и в этом мне видится отличие прак-
тичного подхода римлян от абстрактного подхода греков.
Кроме обычных обозначений вероятности, идущих от
probabilitas, в английском и французском бытует еще старомодное
слово chance, которое может означать как случайность, так и веро-1
ятность. Оно является производным не от качества, не от прилага-
тельного, а от действия, от позднелатинского глагола cadere (пан
дать): его сперва стали употреблять в смысле удачного падения,)
затем вообще удачного исхода рискованного действия и, наконец,,
просто счастливого случая [12; 13]. Использование слова chance в
вероятностном смысле было обычным в XVII —XVIII веках. Влия-
ние этого видно в русском языке: слово шанс употребляется как
возможность, а слово шансы — как вероятность.
Надо выяснить, каким образом древнее слово probabilitas по-
лучило новый смысл. Без такого анализа мы рискуем повторить
судьбу прежних авторов, не сумевших договориться о смысле по-
нятия «вероятность», поскольку этим словом одновременно обозна-
чались совсем разные вещи.
Первый сдвиг слова в сторону нынешнего можно усмотреть в
подмеченном католическим философом и историком науки Эдмун-
дом Бирном [4, с. 126] обстоятельстве: при неравноценности авто-
ритетов более авторитетный выступал у средневекового автора как
probabilis.
Далее, в работе [1] кратко рассказано, что средневековые мыс-
лители подошли к так называемому априорному (классическому)
пониманию вероятности, описывая число способов, какими дости-
гается тот или иной исход, что наибольшего успеха добился Джи-
роламо Кардано, один из «титанов Возрождения», впервые сопос-
тавивший то, что мы теперь называем априорной вероятностью, с
тем, что мы называем статистической вероятностью. Он настолько
уверенно рассуждал на эти темы, что в XX в. английский перевод-
чик то и дело использовал, переводя его книгу, слово probability,]
прямого аналога которому у Кардано нет.
Теперь добавлю, что прозрения Кардано, порой блестящие, не
следует модернизировать еще в одном плане: он не выходил за
jq в. Чайковский
37
ще а исходы в играх, и ныне не вполне ясно, искал ли он законы
природы или магические формулы (вроде «тройка, семерка, туз» в
«Пиковой даме» Пушкина). Во всяком случае, он вряд ли прово-
дил между ними сознательное различие.
Задолго до Кардано, в средневековом банке, произошло осоз-
нание феномена статистической закономерности. Оно широко ис-
пользовалось, но как раз ко временам Кардано банковская система
рухнула и статистическая традиция пресеклась [14]. По всей види-
мости, идея заново родилась в 1662 г. в труде Джона Граунта, тор-
говца сукном, и тут же была подхвачена научным сообществом.
Граунт подошел в одном месте к идее вероятности: «Посколь-
ку многие люди живут в большом страхе и опасении чего-то самого
ужасного и предстоящих скверных болезней, я только укажу,
сколько людей умирает от каждой: соответствующие числа, будучи
сравнены с общим [числом умерших] 229250, дадут этим людям
лучше понять вероятность [the hazard] этого» [15, с.31]. Очевид-
но, что здесь the hazard подразумевает статистическую вероят-
ность умереть от данной причины.
В том же году в Париже вышла анонимная книга «Логика,
или искусство мыслить», где вероятность (probabilite) была поня-
та не только как степень уверенности, айв других смыслах. Нап-
ример: «для каждого [игрока. —Ю.Ч.} вероятность проиграть один
экю относится к вероятности выиграть девять экю как девять к од-
ному» [16, с.362].
Через полвека произошло рождение термина probabilitas в
привычном нам смысле. Породил его Якоб Бернулли. Он опреде-
лял вероятность туманно: она есть «степень уверенности и относит-
ся к достоверности как часть к целому». (До него Лейбниц в пись-
ме 1678 года определил вероятность как степень возможности [17,
с.96].) На деле воспользоваться таким «определением» затрудни-
тельно. Подлинный смысл термина «вероятность» выясняется
лишь по мере чтения книги Бернулли, и оказывается, что тот пер-
вый (да по сути и последний) попытался увязать в едином рассуж-
дении четыре понимания вероятности:
моральное — как степень уверенности говорящего в своем мне-
нии;
априорное (классическое)—как отношение числа благоприят-
ных исходов к общему числу исходов;
логическое — как степень подтверждения данного утверждения
доводами или фактами;
статистическое (апостериорное) —как частоту появления
Данного события в неограниченно длинной серии испытаний.
Моральную и логическую вероятности часто смешивают, поэ-
тому нужно пояснение. Моральная вероятность исторически стар-
ше и в быту важнее; в ходе исследования она может меняться, но
38 Математика и естественно-научное мировоззрение
все-таки ее можно грубо оценить дробью р (0 < р < 1); этим она от-
части сходна с априорной и статистической вероятностями. Наобо-
рот, логическая вероятность, если накапливать данные за и против
утверждения, для проверяемой гипотезы стремится к нулю или
единице — гипотеза отвергается или принимается. (Недаром в курсе
Б.В.Гнеденко [18, с.20] логическая вероятность вынесена из обще-
го списка.) Сохранить значение р (0<р<1) она может только в
том случае, если гипотеза оказалась непроверяемой. Тогда логичес-
кая вероятность действительно смыкается с моральной.
Различия этих двух вероятностей подробно исследовали польс-
кие методологи Стефан Амстердамский и Ян Ежи Славяновский
[19]. Последний писал: «Если бы мы доказали, какую историю
действительно имеет система, то... мы начали бы использовать осо-
бое распределение, приписывающее вероятность равную единице
этой истинной истории и равную нулю —всем другим» [19, с.330].
Пример: утверждение «Гомер вероятно был неграмотен» носит
моральный характер (доводов «за» больше, чем доводов «против»,
но последние никогда не исчезнут), а утверждение «Описанная Го-
мером микенская культура вероятно имела письменность»—логи-
ческий (хотя единственное у Гомера описание письма расплывчато
и скорее говорит о незнании феномена письменности, однако ми-
кенская письменность в XX веке обнаружена).
Бернулли не выписывал, разумеется, четырех пониманий —он
был уверен (как и многие теперь), что все его понимания относят-
ся к одному и тому же научному (философскому) понятию. Новую
дисциплину Бернулли назвал «Искусство предположений, то есть
угадывания» (Ars conjectandi sive stochastice), а главной ее целью
считал нахождение вероятностей [17, с.27, 89]. Сам термин веро-
ятность стал центральным в математике случайного после класси-
ческого труда П.-С.Лапласа [20], и с этого времени соответствую-
щая наука называется ТВ.
2. Вероятность н познавательные модели
Глядя на приведенные четыре понимания вероятности, легко
заметить, что их не надо бы выстраивать в один ряд, поскольку
два четные являют собой разные подходы к одному явлению внеш-
него мира (к последовательности однотипных испытаний), тогда
как два нечетные характеризуют мысли. Что же побудило блестя-
щего математика объединить их? И почему в наше время никто
(или почти никто) так не поступает? Потому, что в разное время в
обществе господствуют разные ПМ.
О них уже довольно много написано А.П.Огурцовым [21] и
мной [2]. Далее ПМ понимается как совокупность приемов и ут-
верждений, которые для данного ученого или данных ученых нас-
только наглядны и самоочевидны, что через них принято объяс-
нять (к ним сводить, ими моделировать) все факты и понятия.
Важное достижение Огурцова состояло в том, что он ясно понял
Ю.В-Чайковский 39
малозаметный факт —ПМ естественных наук обычно заимствуются
из наук общественных и из техники. Поэтому приходится говорить
о ПМ данной эпохи в целом. Случайность и вероятность осмысли-
вались в ходе развития науки и общества поочередно в рамках раз-
личных ПМ, и процесс этот отстал от осмысления других научных
понятий.
До рождения европейской науки в обществе царило не оформ-
ленное логически почитание природы как благого или как злобно-
го начала. Это почитание удобно описать как господство нулевой
(донаучной) ПМ, которую можно назвать этико-эстетической
(религиозной) моделью. В ее рамках мир (природа и общество)
понимался как храм.
Долго, много дольше, чем это было для других тем, всякую
случайность видели лишь с позиции нулевой ПМ: бросок кости
или монеты был только лишь вопросом, заданным судьбе. Видно
это хотя бы из анализа старинных игральных костей: частоты их
выпадения на разные грани разительно неодинаковы, но нет ника-
ких данных о том, что это кого-нибудь в то время занимало (ана-
лиз см. [22]). Естественно, что нулевая ПМ обходилась без поня-
тий случайности и вероятности: события, какие мы теперь называ-
ем случайными испытаниями (например, бросание жребия), сред-
невековые люди считали выражением воли божьей. Однако и тут
изредка сверкал проблеск живой мысли о мире случайностей. Та-
кова норвежская легенда о жребии Олафа Святого, короля Норве-
гии (XI в.).
Он воевал со шведским королем, и, по легенде, судьбу одного
города оба пожелали решить путем жребия. Шведский король мет-
нул две кости, и, когда выпало 12 очков, заявил: божья воля ясна
и продолжать нечего, ибо столь редкого исхода повторно ожидать
не приходится. Олаф возразил: если Богу будет угодно, я получу
столько же. Так и случилось. Пришлось метать снова, и опять у
шведа выпало 12. А когда опять кости бросил Олаф, одна из них
раскололась и общее число очков на направленных вверх гранях
оказалось 13. Город отошел к Норвегии.
Легенда как бы признает, что оба короля имели полное право
на город, но при этом Олаф поразительным образом имел прав
больше. Она приводится в философской литературе "как пример
осознания «случайности как таковой», которая не подчиняется за-
конам вероятности и тем самым «привносит с собой действительно
новое» [23, с. 148], но нам поучительны тут еще два момента.
Во-первых, множество реальных исходов оказалось шире множест-
ва, мыслимого участниками до начала испытаний, и несмотря на
полную неожиданность исхода, оба участника приняли его—как
божью волю (в наше время в подобных ситуациях опыт считают
несостоявшимся и берут новые кости). Во-вторых, отмечено, что
комбинация двух шестерок редка, а четырех—так редка, что ее
40 Математика и естественно-научное мировоззрецИе
нечего ожидать; в этом и есть проблеск вероятностного подхода!
(т.е. новой ПМ).
До внедрения его в умы было, впрочем, еще далеко. Ранняя
наука была чужда вероятностного подхода к явлениям. Средним
арифметическим пользовались уже с XVI века, однако еще в конце
XVII века Дж.Флемстид, первый королевский астроном, считал'
научным иной подход —отбор наблюдений, признанных наиболее]
аккуратными [24, с.ЗЗ]. Сейчас это звучит странно, однако подход
отнюдь не так уж наивен: вместо нынешнего огульного усредене-
ния было принято выяснять подробности каждого наблюдения, что
подчас более важно.
Огурцов ввел две ПМ — семиотическую и механическую, ос-
новные при рождении европейской науки. Семиотическая (знако-
вая) ПМ —такой тип описания знания, при котором мир выступает]
как текст, а познание —как чтение, расшифровка. Эта модель исто-
рически была исходной для европейской науки, первой науч-
ной — ею пользовались Высокое средневековье и Возрождение, ког-
да познание понималось как разгадывание замысла Творца. С нею
в науку вошли понятие закона природы и идея математизации нау-
ки. Знаковым было понимание мира и знания у многих классиков
XV-XVII веков [25].
Знаковый подход к вероятности первоначально выразился в
средневековых подсчетах числа равновозможных исходов, и то же
мы видим у Кардано [1; 26]. Еще более ясна знаковая (расшифро-
вывающая) сущность подсчета числа исходов в работах XVII века:
при чтении работ Б.Паскаля и П.Ферма видно, что они фактически
подошли к азартным играм как к разгадыванию шифра. Главный
же вероятностный результат эпохи состоял в том, что Бернулли
полностью данный шифр разгадал, о чем у нас речь пойдет далее. С
тех пор знаковая ПМ господствует в математике случайного.
Вторая (механическая) ПМ сменила в XVI-XVII веках знако-
вую. Она строит систему мира как механизм, автомат. В ее рамках
утвердились принцип причинности и идея эволюции (точнее, прог-
ресса—как социального, так и биологического). До сих пор мы го-
ворим «понять механизм явления», хотя бы явление было вовсе не
механическим. Идея целостности занимает мало места в данной мо-
дели, но все же присутствует: каждый объект определяется, как
деталь, своим местом в целом механизме.
Механическое понимание случайности и вероятности ясно вид-
но у Т. Гоббса. В 1650 г. он коснулся вероятности (не называя ее
никаким словом): «Если знаки [предвещающие некоторое явле-
ние. — Ю.Ч.] в двадцати случаях оказываются верными и только в
одном обманывают, то человек может биться об заклад, ставя
двадцать против одного, что предполагаемое явление наступит»
[27, с.523]. Такие фразы были тогда не только у него, он же инте-
ресен тем, что рассуждал о причине непредсказуемости исходов.
jq ^ Чайковский
гчайность как таковую он отрицал, а непредсказуемость связы-
л исключительно с необозримой сложностью явлений, не позво-
ВяюШей прямо связывать следствия с причинами. Вскоре он выра-
зит эту сложность в понятиях механики: «...при игре в кости на
обеих костях выпало одинаковое число очков; посмотрим, не было
ли это событие необходимым еще до того, как были брошены кос-
ти Так как оно является результатом броска, то у него имеется на-
чало, а следовательно, и причина, достаточная, чтобы его произ-
вести. Эта причина заключается частью в костях, а частью во
внешних вещах, например, в положении частей руки, в степени
силы, примененной при броске, в положении частей стола и т.д. В
общей сложности в данном случае было все, что необходимо для
того, чтобы получился именно данный бросок» [27, с.610].
Этот аргумент —что непредсказуемость полета кости или моне-
ты вызвана необозримо сложными условиями полета—господству-
ет в науке и философии до сих пор. Так, З.А.Сокулер привела в
пример французского методолога: «Ивар Экланд призывает разли-
чать несколько смыслов понятия случайности... Прежде всего под
случайным можно понимать совокупность явлений, описываемых
исчислением вероятностей, например, падение игральной кости.
Однако каждое отдельное падение кости вполне детерминирован-
ное событие — просто мы не можем учесть все факторы, определяю-
щие траекторию кости» [23, с.147]. Несостоятельность такого под-
хода давно доказана [2; 46], но ТВ хранит на сей счет молчание2,
и надо выяснить, почему.
Третья (статистическая) ПМ видит мир как совокупность ба-
лансов, средних и инвариантов. С нею в науку вошли такие поня-
тия, как закон сохранения (а позже—однородное и изотропное
пространство и вообще симметрия), торговый баланс, процент.
Впервые понятие баланса породила бухгалтерия (банк) XV века,
откуда идет традиция видеть государство и природу как исконно
сбалансированные Богом. Там же научились приводить доли к еди-
ной форме —процентной. Эта ПМ поначалу лишь обслуживала ме-
ханику, а стала самодовлеющей и завоевала науку лишь в
XVIII-XIX веках. Она до сих пор занимает в науке центральное по-
ложение (хотя апогей ее влияния уже позади), и в ее терминах при-
нято, к сожалению, трактовать все, что связано со случайностью.
Самодовлеющий характер третьей ПМ обнаружился, когда ба-
ланс стали трактовать не как божью волю, а как равнодействую-
щую разнородных случайностей, в годы торжества Максвелла и
Дарвина.
Что касается понимания вероятности, то еще давно люди обра-
тили внимание: статистика благоприятных исходов вполне работа-
ет не только в азартных играх, но и во многих массовых процес-
сах. Прежде всего это стало ясно из статистики населения.
42
Математика и естественно-научное мировоззрение
Первоначально, до середины XVII века, статистика (от лат.
status —государство, состояние) не была связана с анализом слу-
чайностей, а была частью государствоведения, — той частью, которая
приводила данные к единообразной форме. Первый шаг к математи-
ке сделал в 1662 г. Граунт —он открыл, что в массовых единообраз-
ных записях смертности лондонских жителей имеет место устойчи
вость частот. Этим он породил ТВ как основу статистики, но ма-
тематическое осмысление феномена началось всерьез лишь через
двести лет, когда в 1879 г. немецкий экономист и статистик Виль
гельм Лексис сформулировал само понятие устойчивости частоты
связав его с величиной дисперсии случайной величины: чем выше
относительная дисперсия, тем ниже устойчивость [29].
Граунт вычислил, что на 14 мальчиков в среднем рождается
примерно 13 девочек, и придал этому факту особый смысл: Бог-д<
предусмотрел повышенную смертность мужчин в войнах, путешес
твиях, «от руки правосудия» и т.п. Не будучи ни математиком, нг
философом, Граунт тем не менее оказался одним из основателей
ТВ. Дело в том, что известно два способа ее построения — когда
первично понятие вероятности и когда первично понятие средней
величины, а вероятность вводится как средняя частота [30]. Е
наше время общепринят первый способ, однако метод средних ис
торически старше, он идет от Христиана Гюйгенса.
В его книге «О расчете в азартных играх» (1657 г.) принят
второй способ, и если бы наука пошла тогда за Гюйгенсом, то ма
тематика случайного называлась бы, вернее всего, не ТВ, а теори
ей средних, и трудности у нее сейчас были бы иные. Прежде все
го, было бы общим местом то, что исходная статистическая проце
дура (прямо вытекающая из идеи баланса) — усреднение, а вова
не подсчет частот или комбинаций.
Прочтя Граунта, Гюйгенс занялся задачами, по форме игровы
ми, а по сути статистическими. Вот одна из них: «Мужчина 56 ле
женится на женщине 16 лет, сколько времени они могут жит:
вместе, до смерти одного из них? Если мне обещали 100 франков 1
конце года, который проживут они оба, за сколько было бы спра
ведливо выкупить это обязательство?» [31, с.73]. Под справедли
вой платой здесь понималось ожидаемое (среднее) значение, т.е
игровые задачи ставились там, где не видно равновозможных вари
антов. Их заменила статистика смертности, затем иная статистика
(страхование жизни и имущества, проценты по вкладам, судебные
приговоры, эффективность лечебных средств и т.д.). Неизбежно
должен был встать вопрос: что во всех них общего с игровыми за
дачами? Этим вопросом и занялся в 1690-х годах Бернулли.
3. Четыре понимания вероятности
Теперь надо показать, что четыре понимания вероятности ;
Бернулли (и.2) соответствуют четырем названным ПМ. Других
ПМ (а их выявлено еще три [2]) здесь вводить не будем.
jq в.Чайковский
43
Моральная вероятность просто и естественно трактуется как
атрибут веры и тем вписывается в нулевую ПМ, статистическая
столь же легко относится к третьей. Немногим сложнее и с логи-
ческой вероятностью —она, как мы видели, сводится к вырожден-
ной «вероятности», равной нулю или единице; а Гоббс как раз
выстраивал воображаемую механику полета кости в форме логи-
ческой последовательности причин, и некоторые методологи приш-
ли к выводу, что такое (формально механическое) рассмотрение
полета кости ведет как раз к вырожденной «вероятности» (см. ци-
тату из Славяновского, приведенную в п.1). Труднее всего с апри-
орной вероятностью — как она связана с расшифровкой?
Паскаль писал в 1654 г.: «В последнее время я занимался иссле-
дованием совершенно неизученной еще области, а именно, случайны-
ми комбинациями, которым подчинены азартные игры.. Это в тем
большей мере должно определяться усилиями разума, чем в меньшей
мере может быть найдено из опыта. Ведь неопределенный исход яв-
ления теснее связан со случайностью, чем с законами природы» [32,
с.95]. Данное поразительное признание говорит, что автор решал от-
нюдь не ту задачу, какую ему обычно приписывают, т.е. не исследо-
вал природу случайных явлений; наоборот, он прямо противопоста-
вил законы природы и случайность, поскольку в последней как тако-
вой не видел закономерности. Что же Паскаль искал? Он искал
ключ к шифру и нашел —в своем знаменитом треугольнике.
Цитата противоречит всему, что принято писать о рождении
ТВ, и взята из первой книги по методологии вероятностей. Написа-
на она в 1843 г., и интересно посмотреть, как ее автор, Огюст Кур-
но, начал излагать ТВ. В отличие от нынешних учебников, начина-
ющих с расплывчатой речи о падении монеты и частотах, он назвал
в своей книге первую главу «О комбинациях и порядке» и начал ее
словами: «Среди идей, которые человеческий разум не создает по
своему произволу, но которые ему внушает сама природа вещей,
идея комбинаций представляется одной из наиболее общих и прос-
тых. Рассматривая индивидуальные вещи, каждую в отдельности,
мы замечаем, что эти вещи, в зависимости от их природы, сочетают-
ся одна с другой либо парами, либо тройками и т.д., составляя не-
которые системы...» [32, с.31]. Вот эти-то «системы» Паскаль и ис-
следовал, и только в связи с ними Курно его упоминал.
Проще говоря, Паскаль вычислял, сколькими способами мо-
жет достигаться каждый мыслимый в азартной игре исход. Вопре-
ки его утверждению, область эта была к тому времени подробно
изучена, и он вполне мог что-то об этом слышать, а также читать
что-то в рукописях. Но «избегание предтеч» — феномен обычный
133], и здесь не он интересен. Важнее, что Паскаль, человек глубо-
ко религиозный, рассматривал тем не менее игру как естественный
процесс, в который Бог не вмешивается, и этим шел в ногу с эпо-
хой. О взгляде на игру как на естественный или сверхъестествен-
ный процесс (см. [1, с.200]).
44
Математика и естественно-научное мировоззрение
Эпоха, как уже сказано, видела мир как текст. Напомню часто j
цитируемые слова Галилея: «Философия написана в величествен-!
ной книге (я имею в виду Вселенную)... Написана же она на язы-
ке математики, и знаки ее треугольники, круги и другие геометри-1
ческие фигуры, без которых человек не смог бы понять в ней ни
единого слова».
Паскаль мог не знать этих слов иэ галилеева «Пробирщика»,!
изданного по-итальянски, однако сам находился как раз в положе-
нии читателя, не знающего (но ищущего) игровых «треугольни-1
ков». Зато он не мог не читать «Начал философии» Декарта, в
конце которых чтение книги природы изображалось как разгадка!
шифра. Декарт полагал, что предложенные им описания природ-1
ных процессов обладают «моральной достоверностью», т.е. высоко
вероятны, и добавлял: «...если даже вообразить, что я их предло-1
жил наудачу и помимо убеждений разума, останется столько же
оснований считать их истинными причинами всего мною выведен-
ного, сколько имеется оснований полагать, что найден ключ к
шифру, когда из значения букв, принятых произвольно, получает-1
ся определенный смысл» [34, т.1, с.421].
Вот Паскаль и искал шифр для правил подсчета числа исхо-
дов при падении игральной кости. И найдя, выразил его именно
как шифр —в форме треугольной таблицы, позволяющей по най-
денным значениям находить следующее (треугольник Паскаля). А
вовсе не в привычной нам аналитической форме биномиальных ко-
эффициентов. Высказывалась даже точка зрения, что сама комби-
наторная алгебра была вызвана к жизни запросами тогдашней во-
енной шифровальной техники [26, с. 10].
В понятиях Паскаля, вероятность должна определяться не из
опыта, а «усилиями разума». Отсюда ведет начало априорное по-
нимание вероятности как отношения числа благоприятных случаев
к числу всех возможных случаев. Оно практически определяется,
исходя из внешней симметрии генератора случайности —монеты,
кости, колоды карт, поскольку случаи мыслятся как равновозмож-
ные. Естественно, родилось убеждение, что само это понятие веро-
ятности годно только для этих и подобных им искусственных ситу-
аций. Оно, увы, живо поныне.
Граунта и других статистиков, наоборот, вообще не занимали
азартные игры, а вероятность была для них лишь одной из сред-
них величин (средней частотой). Граунт вычислил ее лишь однаж-
ды, как бы делая уступку обывателю. Я приводил это место в п.1:
«вероятность умереть» означала у него то, что ныне именуют ста-
тистической вероятностью.
Паскаль и Ферма, по-моему, не имели вероятностных интере-
сов (хотя замечу, что логик и историк науки Иан Хэккинг считал
о Паскале иначе [35, с.23]) и, получив удовольствие от решения
чисто комбинаторных игровых задач, больше к данной тематике не
jq в Чайкове!___________________________________________________
„пащались. Можно согласиться с авторитетным мнением [26],
\о их нельзя считать основателями ТВ даже в чисто хронологи-
ческом плане (поскольку задачи, окончательно решенные ими, исс-
ледовались к тому времени уже 700 лет), но нам важнее, что Пас-
каль и Ферма вообще не пытались приблизиться к более общему
пониманию вероятности, оставшись, как за сто лет до них Карда-
но на уровне комбинаторики азартных игр. Ее они сильно продви-
нули, но у них нет1 даже тех смутных статистических догадок, что
были у Кардано.
Большей для ТВ представляется роль вышедшего вскоре «Ис-
кусства мыслить», написанного учителями и сподвижниками Пас-
каля [16] и упомянутого выше, в п.1- В последних его главах мы
видим соединение традиционного понимания вероятности как сте-
пени уверенности (нулевая ПМ) с новым, статистическим (третья
ПМ). Дважды авторы применили прием, бытовавший в тогдашней
статистике и названный мною «измышлением среднего» [14, с.81]
(когда за прокламируемой средней величиной не стоит никакого
массового материала): в одном месте заявили, что на тысячу дого-
воров приходится один подложный, а в другом —что от молнии
гибнет не более одного человека из 2 миллионов.
Еще важнее, что, рассуждая о вероятностях, они несколько
раз прибегли к основному для третьей ПМ понятию —уравновеше-
нию, а однажды прямо назвали его балансом (balance). Это можно
связать с тем, что как раз в те годы статистика быстро проникала
в общественную жизнь.
За полвека между «Искусством мыслить» (1662 г.) и «Искусс-
твом предположений» Бернулли (опубликовано в 1713 г. посмерт-
но) работ с вероятностной тематикой появилось так мало, что все
нити можно проследить. Бернулли сослался на «Искусство мыс-
лить» прямо: «И что не дано вывести a priori, то, по крайней
мере, можно получить a posteriori, т.е. из многократного наблюде-
ния результатов в подобных примерах. Потому что должно пред-
полагать, что некоторое явление впоследствии в стольких же слу-
чаях может случиться и не случиться, во скольких при подобном
же положении вещей оно раньше было отмечено... Этот опытный
способ определения числа случаев по наблюдениям не нов и не не-
обычен. Ибо и знаменитый автор “Искусства мыслить”1, муж боль-
шого ума и проницательности, в главе 12 и следующих последней
части предписывает подобное же, и то же все постоянно соблюда-
ют в повседневной практике» [17, с.42]. Однако Бернулли, цити-
руя по памяти, ошибся —в указанной книге данной мысли нет, а
есть другая, близкая по форме, но совсем иная по сути: авторы не
Раз призывали читателя к сбору как можно большего числа дово-
дов за или против обсуждаемого утверждения. То есть они писали
° логической вероятности, а Бернулли вспомнил у них статисти-
ческую. У кого же он мог прочесть о ней в действительности?
46
Математика и естественно-научное мировозз)
Ответ я могу указать только один—у Кардано. Его рабсл»!
«Об азартных играх» опубликована тогда же (1663 г.), и че^В
много лет легко было их спутать. А связь априорной и стати
ческой вероятностей нигде более не обсуждалась. О Кардано яЦ
подробно писал в других работах, так что здесь напомню только
его загадочную фразу: не надо думать, полагал он, что, бросая
кости много раз, мы получим точно требуемое число очков, «но
при бесконечном числе бросаний это должно случиться почти обя-
зательно, ибо в большом числе повторений проявляется течение
времени, которое указывает все формы» — отсюда берет начало ле-
жащий в основе ТВ «принцип исчерпания равновозможностей» [1,
с. 114]. Если говорить нынешним языком, у Кардано каждое лик-
росостпояние (об этом понятии см. [36]) берется в расчетах ровно
один раз.
Загадочная фраза Кардано означала, как мы теперь понимаем,]
уверенность ее автора в том, что апостериорная вероятность стре
мится в серии игр к априорной. Знаменитая «Часть четвертая»!
книги Бернулли по сути анализирует именно эту фразу, в чем мы
убедимся далее, а пока надо закончить с вопросом —откуда у Бе Л
нулли все четыре понимания вероятности. У Кардано он мог взять||
мысль о связи априорного и статистического понимания, у Паска-1
ля и Ферма — комбинаторный подход к априорной вероятности, у
Гюйгенса —идею единства двух форм статистической вероятности'
(игровой и демографической), а в «Искусстве мыслить» — связь аб-
страктной статистики (например, измышления среднего3) с мо-
ральной и логической вероятностями. Оставалось связать все это в
единую схему, и тут ему несомненно помог великий Лейбниц. С|
Бернулли он состоял в переписке.
Занимаясь вероятностями с юности [32, с.41], Лейбниц, одна-
ко, «не сделал серьезного формального вклада в теорию вероят-1
ностей, но имел длительный и глубокий интерес к проблеме. Он
был, несомненно, первым философом вероятности... пытался раз-
вить арифметику вероятности, не основанную на азартных играх и
тем самым потенциально более общую в прикладном смысле» [35,
с.57]. Очевидно, что Хэккинг имел здесь в виду только вероят-
ность математическую, ибо сам упоминал в той же книге более]
ранних философов вероятности, начиная с Фомы Аквинского, ка-
савшихся логической и моральной вероятности, но не частотной и
априорной. Лейбниц видел «много степеней и, фактически, много
видов вероятности» [7, с.120].
В 1704 г. Лейбниц писал, что при анализе как игр, так и смер-
тности наблюдаются те же общие принципы, что и в финансовых
задачах: «Основой всех этих теоретических построений является
так называемый простаферезис, т.е. берут среднее арифметичес-
кое между несколькими одинаково приемлемыми предположения-
ми. Наши крестьяне, следуя природной математике, уже давно
10 в Чайковский
47
зуются этим методом. Когда нужно, например, продать... ку-
п°’земли, они составляют три группы оценщиков... [и] берут сум-
соК третьйх частей каждой оценки. Это аксиома: aequalibus
ualia — равно принимать в расчет равноценные предположения.
Но когда предположения неравноценны, то их сравнивают между
собой Я уже не раз говорил, что нужен новый раздел логики,
который занимался бы степенями вероятности...» [37, с.478 — 479].
При внимательном чтении этого пассажа (и других, близких)
видно, что кроме априорного и апостериорного, у Лейбница смутно
обрисованы еще два понимания вероятности —моральное (сравне-
ние мнений) и неотличимое тут от него логическое (степень подт-
верждения). Лейбниц полагал, что во всех случаях можно гово-
рить о некоей единой вероятности, которой должен быть посвящен
«новый раздел логики». В дальнейшем математическая ТВ не ста-
ла «разделом логики», однако если мы хотим понять ее основания,
нельзя забывать — родилась она именно как таковой раздел.
А именно, Бернулли разделил моральное и логическое (в ны-
нешнем смысле) понимания вероятности: всюду в его рассуждениях
логический аспект подчеркивается подбором данных в пользу одно-
го из вариантов, который и объявляется «нравственно достовер-
ным», и вероятностный подход при этом фактически отвергается:
«Ибо если я полагаю нотариуса бесчестным, то тем самым полагаю,
что он. . есть именно тот пятидесятый». Наоборот, моральную веро-
ятность (сравнение мнений) он, как и следует, оставляет в форме
дроби: «Так, может случиться, что нечто имеет 2/3 достоверности,
между тем как ему противоположное—3/4, почему каждая из про-
тивоположных возможностей будет вероятной, и, однако, пер-
вая—менее вероятной... в отношении 2/3 к 3/4» [17, с.38].
Легко видеть, что «аксиома aequalibus aequalia»— это аксиома
равновозможности, основа ТВ. В нынешних курсах ТВ ее упоми-
нают только в связи с монетами, костями и другими внешне сим-
метричными атрибутами, здесь же она впервые высказана в более
общем плане. Еще более общий вид приняла она у Бернулли: «Я
предполагаю, что все случаи одинаково возможны... Иначе необхо-
димо уравнять их и вместо каждого легче встречающегося случая
считать столько других, насколько он легче имеет место, чем про-
чие». Он полагал, что такую процедуру можно провести всегда,
Для любых случайностей [17, с.34].
Вот он —«новый раздел логики»: равновозможности введены там,
гДе их не видно, положены в основу новой науки. Это позволило тут
3X6 получить ее основной результат, названный у Бернулли «Главным
предложением», а нам известный как закон больших чисел.
4- Рождение закона больших чисел
Закон больших чисел (ЗБЧ) имеет множество формулировок.
Ут Достаточно напомнить, что он гласит —в широком классе слу-
чайных явлений частота с ростом числа испытаний стремится к
48
Математика и естественно-научное мировоззрдД
вероятности. Без понимания сути и пределов выполнимости ЗБЦ
нельзя понять, что такое вероятность, но в литературе по ТВ о нем
можно прочесть самые странные и порой противоречивые су«де.
ния [8]. Это не раз отмечалось, но понимание от этого ничуть
продвинулось. На мой взгляд, главная причина неуспеха в том
что за почти три века своего существования в литературе ЗБЧ нес';
колько раз менял и форму, и содержание, так что анализ его без
обращения к истории невозможен. И хотя добротные исторические I
труды на сей счет существуют (например, [24; 35]), но в одном
пункте анализа по-существу в них дано не было, и исследователе
вязнут в неадекватном употреблении понятий. Этот пункт —сути
той теоремы, которую сформулировал и доказал Якоб Бернулли и
которая совсем непохожа на «теорему Бернулли» из учебников. 1
Бернулли попытался увязать все четыре понимания вероятнос-
ти и уточнил карданово «почти обязательно», поставив вопрос;
всегда ли с ростом числа испытаний неопределенность уступает
место достоверности или же «задача, так сказать, имеет свою а им-
птоту, т.е. имеется такая степень достоверности, которую никогда'
нельзя превзойти». Его ответ, состоявший в том, что «асимптоты»!
нет, и является теоремой, позднее получившей название ЗБЧ. О
доказательстве Бернулли я писал подробно [8; 38], и здесь о рани-
чусь самым необходимым.
Если для простоты говорить о монетах, то суть теоремы в тома
что N монет не бросаются у Бернулли наугад, а раскладываются на
столе рядами (каждый ряд отличается от других положением хотя
бы одной монеты) всеми возможными для данного № способами, и
выводится формула для числа гербов. Бернулли доказал лишь
одно: почти во всех раскладках число «орлов» равно или почти рав-
но числу «решек», а других раскладок оказывается мало, и их доля!
быстро падает с ростом N. К природе случайности это не имеет ни-
какого отношения, и Марк Кац [39, с.35] был прав, назвав эту тео-
рему всего лишь занимательной задачей комбинаторики.
Нынешняя формулировка «теоремы Бернулли» такова: если
вероятность наступления события А в последовательности незави-
симых испытаний постоянна и равна р, то при достаточно большом
числе п испытаний число тп наступлений события А будет почти
наверняка (с вероятностью Р, сколь угодно близкой к 1) сколь
угодно близко к пр. Однако у Бернулли ничего подобного нет. Вот
какую формулировку дал он сам: «Пусть число благоприятных
случаев относится к числу неблагоприятных точно или приближен-
но как г к s, или к числу всех случаев—как г к (r + s) или г к t,
каковое отношение заключается в пределах (г+ 1) / t и (г - 1) / t.
Требуется доказать, что можно взять столько опытов, чтобы в ка-
кое угодно данное число раз (с раз) было вероятнее, что число
благоприятных наблюдений попадет в эти пределы, а не вне их»
[17, с.56].
Ю в Чайковский
49
Ясно видно, что никаких независимых испытаний в этой фор-
иоовке нет. Более того, лишь однажды упоминается вероят-
МУЛ.в слове «вероятнее». Если бы не это слово, теорема имела
бы чисто арифметическую формулировку. Это слово формально
излишне, поскольку не используется при доказательстве, однако
оно было нужно автору, чтобы показать, что имеется в виду мо-
альная вероятность — та самая, что в нынешней формулировке вы-
оажается буквой Р. (В то же время обычная вероятность, т.е. ве-
роятность благоприятного исхода одиночного испытания, выражае-
мая в нынешней формулировке буквой р, у Бернулли обозначена
дробью Г / t.У
Анализ доказательства убеждает, что сама по себе теорема дейс-
твительно—лишь «занимательная задача комбинаторики», которую
сделали логическим ядром ТВ лишь позднейшие интерпретации.
Первую из них дал сам Бернулли, и ее часто цитируют: «...Если бы
наблюдения над всеми событиями продолжать всю вечность (при
чем вероятность, наконец, перешла бы в полную достоверность), то
было бы замечено, что все в мире управляется точными отношения-
ми и постоянным законом изменений, так что даже в вещах, в выс-
шей степени случайных, мы принуждены были бы признать как бы
некоторую необходимость, и, скажу я, рок» [17, с.59]. Другими
словами, автор видел в своей чисто арифметической теореме некото-
рый всеобъемлющий закон природы. Почему?
Потому, что свой арифметический результат он понимал на
языке равновозможностей: если все раскладки равноправны, то
любая из них должна встречаться в игре одинаково часто. Бросив
N костей на стол как попало, мы получим одну из раскладок, по-
лучающихся при методическом раскладывании, и если все они рав-
новозможны, мы ожидаем встретить их одинаково часто —вот Бер-
нулли и взял их в доказательстве ровно по одному разу. Арифме-
тический смысл налицо, но случайностный утерян.
Было бы наивно думать, что великий Бернулли сделал это по
недомыслию — приведенная выше цитата довольно ясно говорит,
что случайности как таковой в его мировоззрении просто не было
места. Таково было механистическое миропонимание, свойственное
его эпохе. И все-таки, сделанное им для ТВ столь велико, что
А.Н.Колмогоров именно его справедливо считал ее основателем
1*7, с.4]. Гюйгенс вывел ее за тесные рамки игорного дома, а Бер-
нулли провозгласил весь мир игорным домом. Точнее, он первый
фактически провозгласил пять нижеследующих тезисов.
5. Мир как игральные кости
Во-первых, бернуллиев призыв «уравнять» исходы, не облада-
ющие сами по себе равновозможностью, вводил в ТВ фундамен-
тальный принцип элементарных равновозможностей, эксплициро-
ванный в наше время понятием пространства элементарных собы-
тий. Этот принцип уточнял Лейбница и явился тем философским
50 Математика и естественно-научное мировоззрсцД
шагом, который ввел теорию вероятностей в мир природных и со
циальных явлений. Фактически отвечая Лейбницу, Бернулли отме-
тил: «...возражают, что одно — отношение камешков [в урне.
Ю.Ч. ], а другое —отношение болезней или перемен воздуха [т.е.
рассмотренных до этого жизненных случайностей. —Ю. Ч.]. Имен-
но, число первых определенное, а вторых — неопределенное. Нг
это я возражаю, что и то, и другое в отношении к нашему позна
нию одинаково может считаться неопределенным и неясным» [17,'
с.44]. Тезис спорный, но нам вполне достаточно того, что им автс]
подчеркнул центральное для ТВ обстоятельство, а именно, что длз
применения принципа элементарных равновозможностей достаток
но выполнения некоторого общего свойства вещей, свойства гора!
до более общего, чем внешняя симметрия игральной кости.
Удивительно, что это обстоятельство совершенно забыто. В
престижном руководстве читаем: «Понятие равновозможности мо
жет быть применено при физической симметрии объекта» (имеете]
в виду геометрическая), а также «при простой случайной выборке
из конечной популяции», однако «стоит нам принять элементар-
ные исходы не равновозможными, как мы должны изменить опре
деление вероятности» [40, с.258, 261], т.е. сменить априорное оп-
ределение на статистическое. (Откровенность редкая, но суть дел;
типичная.) А ведь элементарные исходы (микросостояния) приня
ты раз навсегда равновозможными — и у Бернулли, и у Колмогоро-
ва. Иначе формулы ТВ не имели бы смысла за рамками азартных
игр. (О роли симметрии в понимании вероятности см. [36; 38].) (
Неигровые задачи допускают игровое описание, если поло-1
жить, что и в них тоже действует принцип элементарных равновоз-
можностей. Если монета симметрична, то она—двугранная кость,
если же несимметрична, ее следует рассматривать как симметрия-1
ную И гранную кость, у которой г близко к t/2. Тем самым, эле- '
ментарная равновозможность работает в очень широких пределах,
она —не редкий частный случай (как пишут в учебниках), а едини-1
ца измерения, нечто вроде наибольшего общего делителя. Напри-1
мер, в идеологии Бернулли надо понимать соотношение полов при
рождении так: при зачатии как бы бросается 27-Гранная симмет-1
ричная кость, на которой 14 граней (элементарных равновозмож-
ных исходов) соответствуют мальчику и 13 —девочке.
Результат Бернулли замечателен тем, что показал: для приме-
нения ЗБЧ вовсе не нужно знать реально эти равновозможнос-1
ти —достаточно, чтобы можно было допустить их существование,
чтобы идея равновозможности была в принципе допустима, чтобы
исследуемое событие можно было в принципе рассматривать как
бросание симметричной кости, пусть с очень большим (но ограни-1
ченным) числом граней. Можно сказать, что обычно элементар-
ные равновозможности являются скрытыми.
Во-вторых, это соответствие игровых и неигровых задач может
быть не просто отмечено (как делали Гюйгенс и Лейбниц), но и
jq g Чайковский
51
ено притом тем точнее, чем больше опытов поставлено.
n3Mjb в этом поясняющем пункте, а не при доказательстве теоре-
мы Бернулли аппелировал к тому, что мы теперь именуем статис-
тикой.
В-третьих, в игровых задачах измерение можно успешно произ-
вести, игнорировав сам процесс игры, т.е. саму случайность. Для
этого надо положить, вместо игры, что каждый мыслимый исход ре-
ализуется ровно один раз. В сущности, Бернулли эксплицировал те
самые «все формы», которые, по Кардано, выявляются при беско-
нечном числе бросаний. «Все формы» взяты при доказательстве
ровно по одному разу, так что доказательство состоит в исчерпании
равновозможностей (см. п.4). Поэтому и саму теорему можно ус-
ловно назвать теоремой Кардано-Бернулли. Случайность здесь не
столько описана, сколько обойдена, отчего и возникла потребность
в интерпретациях, спор о которых не затих до сих пор.
В-четвертых, появилась возможность количественной оценки
уклонений частоты от идеальной вероятности, вычислив коэффи-
циенты бинома Ньютона [32, с.69 — 70]. При этом для точности
10% надо оценить, насколько редко возможна серия из 500 броса-
ний, в которой число гербов не уложится в интервал от 200 до 300.
Это, оказывается, приблизительно одна из 100 тысяч серий по 500
бросаний в каждой. Проверить это на опыте нереально, но всем и
без опыта ясно, что монета, упавшая гербом 200 раз из 500, очень
несимметрична.
Такие оценки приводят (и это —в-пятых) к мысли, что в ны-
нешней формулировке вероятности р и Р имеют различный позна-
вательный статус: первая—частота, которую можно извлечь из
опыта, тогда как вторая —мера уверенности, извлекать которую из
опыта никто не намеревается.
Как же пользоваться подобными оценками? Очень просто —
ими пользуются, когда из самого смысла задачи ясно, что степень
уверенности высока, т.е. достаточно близка к единице и ее оценка
опытом нереальна [41, с.88]. По-видимому, это и имел в виду Бер-
нулли, когда вероятности-частоте дал чисто арифметическую фор-
мулировку, а вероятности-уверенности — описательную («вероят-
нее»). Хотя в схеме Бернулли обе вероятности выражаются на
языке комбинаторики, сам он предпочел их различить, ибо видел в
теореме больше, чем доказал,—всеобщий закон природы, где веро-
ятность-уверенность понемногу обращается в рок.
Как отметил Колмогоров [42, с.262], понимание вероятности
как частоты возможно и для Р, «но это не позволит нам совсем ос-
вободиться от необходимости на последнем этапе обратиться к ве-
роятностям в примитивном грубом понимании этого термина», т.е.
как степени уверенности. Через 20 лет методолог Б.Н.Пятницын с
горечью заметил, что вероятность относится к тем понятиям, о ко-
торых сказано: «чем больше о них говорят, тем меньше знают, что
это такое» [22, с.88].
52
Математика и естественно-научное мировоззрений
6. Эволюция понимания вероятности
Как же так получилось? Мое мнение: главная ошибка coctoJ
ла в отказе от анализа самого понятия вероятности. Все забыли
что в основе ТВ лежит термин, имеющий сразу четыре смысла
Еще Лейбниц был неправ, объединяя их. Разумеется, это не в уп
рек ему —едва ли в то время было возможно осознать, что ТВ, по*
нимаемая как «новый раздел логики», не даст учения о частотах, а
понимаемая как комбинаторика мыслимых исходов, не даст гума-
нитарных пониманий вероятности (логического и морального). Не-
лепо упрекать и Бернулли за попытку спасти единое понимание ве-
роятности отнесением гуманитарных пониманий к ситуациям, в ко-
торых такие вероятности всегда получаются очень близкими к
нулю или единице. Если виноваты, то последователи, равнодуш-
ные к анализу понятий.
Через сто лет Лаплас [20, liv.2, №16] дал новое изящное чис-
то биномиальное доказательство теоремы Кардано-Бернулли (ни
на кого, по своему обыкновению, не сославшись). Поскольку он
мыслил в рамках второй ПМ, а механика не могла тогда предло-
жить для понимания вероятности ничего (сверх вышеприведенного
рассуждения Гоббса), то его знаменитые работы, определившие об-!
лик ТВ на столетие, никак не продвинули исследуемую нами проб-
лему4. Скорее наоборот —у математиков стало (и продолжает быть
до сих пор) нормой и даже некоторым шиком углубляться в аппа-1
рат ТВ, не помышляя о сути применяемых понятий.
Зато еще через 25 лет проблему фундаментально разработал
Симон Пуассон, и его книга [43] повлияла на понимание вероят-
ности самым решительным образом. Он обратился к вероятностям
в связи с одним лишь интересом — правовыми задачами, мыслил
же в рамках третьей ПМ. Статистическое понимание вероятности
он увязывал не с априорным, как мы, а с моральным. Пуассон на-
чал книгу с того, что отделил «абстрактную вероятность», или
шанс (под ними тогда понимали априорную вероятность), от
«субъективной, или моральной вероятности», которую далее в ос-
новном и рассматривал просто как вероятность. Он был уверен,
например, что каждому судье можно приписать вероятность выне-
сения им правильного приговора. В чисто математическом смысле
Пуассона интересовало обобщение теоремы Кардано-Бернулли на
те ситуации, когда вероятность меняется от опыта к опыту (напри-
мер, от судьи к судье). Ему это удалось (путем введения средней
вероятности), и тем самым познавательный статус ТВ очень вырос:
теперь стало понятно, почему ее результаты применимы к социаль-
ным процессам. (Подробнее см. [44].)
Однако данное чисто аналитическое достижение Пуассона зас-
лонило от историков науки тот факт, настолько сильно изменилось
само понимание вероятности: вместо априорной и апостериорной
вероятностей, так или иначе измеримых, главным стало
Ю в Чайк°вский.
53
ытное, так сказать, внутреннее понимание вероятности. Ведь
внеа е наблюдения или вычисления не помогут нам исчислить,
НИК имер, вероятность (хотя бы среднюю) вынесения верного при-
на Р " (в XX веке это понимание перешло в концепции субъек-
тивной вероятности [3], которыми мы заниматься не будем.)
В ТВ является классическим мысленный эксперимент с урной,
из которой надо извлекать, не глядя, шары различных окрасок.
Вероятность при этом вводится просто: если в урне находятся 30
шаров, 20 из которых — белые, то вероятность извлечь белый шар
равна 2/3. Схема опыта настолько проста, что кажется очевидной,
хотя в сущности все вопросы, возникающие в отношении полета
монеты или кости, попросту упрятаны здесь во тьму урны. Как и
все, Бернулли, Лаплас и Пуассон широко пользовались урновой
схемой, но смысл извлекали из нее различный. Если Бернулли пе-
речислял равновозможности и, исчерпав их, писал итоговую фор-
мулу, то Пуассон как бы извлекал из урны мнения.
Если Бернулли не хотел рассматривать Р как частоту, то Пуас-
сон сделал следующий шаг—предпочел даже вероятность р тракто-
вать не как частоту, а как внутренний параметр индивида (уверен-
ность, предрасположенность и т.д.). Возник вековой спор о смысле
вероятности, унаследованный через сто лет философией квантовой
механики. Не вступая в него, отмечу лишь, что следует отличать
ЗБЧ в его первичной форме Кардано-Бернулли от того ЗБЧ, кото-
рый фигурирует в нынешних книгах и идет как раз от Пуассона:
придав вероятности субъективный характер, он открыл последую-
щим математикам путь к формулировкам, определяющим одну ве-
роятность через другую, без попытки объяснить, что же это такое.
Словом, ЗБЧ в нынешней форме можно назвать теоремой
Бернулли — Пуассона. Пуассону же принадлежит и сам термин
«закон больших чисел».
В литературе теорему Кардано —Бернулли не отличают от тео-
ремы Бернулли—Пуассона, а зря: в одной массовая случайность
выступает как исчерпание равновозможностей, а в другой —как со-
единение душевных актов (суждений, оценок, надежд). Незамет-
ная замена одной теоремы на другую связана со столь же незамет-
ной сменой в массовом сознании ученых XIX века господства пер-
вой ПМ на господство третьей. Обе теоремы едины лишь в том,
что обходят феномен случайности.
7. Заключение
Дальнейшую историю понимания вероятности можно найти в
недавних работах [5; 6; 28; 45; 46]. К теме данного очерка она до-
бавляет мало, поскольку главная тенденция сложилась ранее и с
loo ПОР почти ничто не изменилось, в том числе —с появлением в
'"31 г. аксиоматики Колмогорова. Как пишет В.Н.Тутубалин, ав-
тор известных руководств по ТВ, «за 200 лет, прошедших со вре-
мен Лапласа и Гаусса, наука не добилась продвижения в
54
Математика и естественно-научное мировозз,
фундаментальном вопросе — когда возникает статистическая ус. .
чивость. Узнать, так обстоит дело или нет, мы можем только *
эксперимента» [45, с.98]. Вопреки мнению Тутубалина, это иногд
удается узнать и теоретически [2; 46]), но он прав в том смысл I
что в рамках ТВ это не делается. Реальное понимание случайное»!
требует, на мой взгляд, перехода к новым ПМ, что в науке и оС-1
ществе как раз и происходит (в частности, статистическая ПМ
почти уступила место системной ПМ), но еще почти не затронул]
математику случайного.
Как прежде, так и теперь различные понимания вероятно®I
прочно и почти единодушно воспринимаются как разные подходы
к одному и тому же явлению5, тогда как реальный прогресс видь
ся мне только на пути осознания простого факта —словом «веровд
ность» обозначаются совсем разные явления, требующие сове
разных средств исследования.
Историк физики А. В.Андреев верно отмечает: «Формально дсЯ
минирующим считается “аксиоматический подход” А.Н.Колмого’
рова.., рассматривающий теорию вероятностей как сугубо матема-
тическую дисциплину (частный раздел теории меры)... Единстве®
ным его недостатком является то, что сам термин “вероятность"
при таком подходе вообще не определяется — он объявляется пер-
вичным понятием теории... Этим путем приходится идти и авторам
соответствующих курсов теории вероятностей, лишь иллюстрируй,
(но не определяя) понятие “вероятность”» [6, с.214].
Уточню: обычное для математиков выражение «вероятностью
называется счетно-аддитивная мера. .» для физиков бессодержа-
тельно и потому не является определением. Они вынуждены поль-
зоваться различными (старыми, но до сих пор математически не
продуманными) пониманиями вероятности, многие из которых как
раз и описаны у Андреева. Поэтому «доминирующий подход»
нуждается, на мой взгляд, отнюдь не в замене, а в содержательном
для нематематиков обосновании, каковое действительно отсутству-
ет. Обсуждение данного вопроса см. в работах [2; 46].
Примечания
1 Это понятие, которое А.П.Огурцов в 1980 г. ввел устно, а в 1995 г. опубликовал, бу-1
дет рассмотрено далее (п.2).
2 Так, Дж. Дуб, автор самого обширного руководства по случайным процессам, пишет: I
простейшее решение состоит в том, чтобы «никогда не обсуждать, что происходит,
когда монета брошена» [28, с.159]. Назвав прием негодным, он ничего не предло
жил взамен.
3 Бернулли писал о подлогах: «Из 50 нотариусов едва ли найдется один, который дер-
знул бы совершить такую гнусность» [17, с.39].
4 «Ниу кого... не вызывает недоумения хорошо известный, по не становящийся от это-1
го менее удивительным факт—корифеем ... "пауки о случае”—оказался человек,
давший имя не оставляющему вообще никакого места для случайности “лапласов-
скому детерминизму”. Этот факт, впрочем, делает легким объяснение того, какой]
смысл вкладывался в понятие “вероятность” на первых порах» [6, с.218]. О роли
Лапласа в становлении ТВ и детерминизма см. также [38].
jq ^ Чайковский
55
e редкого исключения приведу следующее мнение Мариан Смолуховский
’ В качеств физическую вероятность (характеристику случайного явления) и
четко Р та как степець знания: «Поскольку дело касается применения в теоретиче-
^Р-^Ьизике все теории вероятностей, которые рассматривают случайность как нео-
скои Ф частную причину, должны быть заранее признаны неудовлетворитель-
С°ЗН« физическая вероятность события может зависеть только от условий, влияю-
НЫ на его появление, но не от степени нашего знания» [47, с.331 ]. Позже близкую
тозинию занимал немецкий методолог Рудольф Карнап.
Список литературы
. Чайковский Ю.В. О природе случайности. Рождение проблемы z / Историко-фи-
лософский ежегодник—95. М., 1996. С.184 —204.
2 Чайковский Ю.В. Будущая наука алеатика (попытка прогноза с помощью метода
познавательных моделей) // Проблема ценностного статуса науки на рубеже
XXI века. СПб., 1999. С.44 - 68.
3. Кайберг Г. Вероятность и индуктивная логика. М., 1978.
4. Byrne E.F. Probability and opinion. A study in the medieval presuppositions of
post-medieval theories of probability. Hague, 1968.
5. Philosophy of probability / Ed. J.-P.Dubucs. Dodrecht, 1993.
6. Андреев A.B. Роль физики в изменении смысла понятия «вероятность» // Иссле-
дования по истории физики и механики. 1998 — 1999. М., 2000. С.214 — 238.
7 Yakira Е. Contrainte, necessity, choix. La mitaphisique de la liberte chez Spinoza et
chez Leibniz. Zurich, 1989.
8. Чайковский Ю.В. История науки и обучение науке (на примере понятий «случай-
ность» и «вероятность») // Вопросы истории естествознания и техники. 1989.
№4. С.17-28.
9. Этимологический словарь русского языка Ред. Н.М.Шанский. М., 1968. Т.1.
Вып.З.
10. Liddell H.G., Scott R. A Greek-English lexicon. Oxford, 1940. Vol.1,2.
11. Kluge F. Etymologisches WOrterbuch der deutschen Sprache. Berlin-N.Y., 1995.
12. Skeat W. An etymological dictionary of the English language. Oxford, 1898.
13. Dauiat A., Dubois J., Mitterand H. Nouveau dictionnaire ttymologique et histori-
que. Paris, 1981.
14. Чайковский Ю.В. Становление статистического мировоззрения // Метафизикаи
идеология в истории естествознания. М., 1994. С.62 —107.
15. Graunt J. Natural and political observations made upon the bills of mortality (1662).
Baltimore, 1939.
16. Арно А., Николь П. Логика, или искусство мыслить. М., 1991.
17. Бернулли Я. О законе больших чисел. М., Наука, 1986.
18. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М., 1961.
19. Закон, необходимость, вероятность / Пер. с польск. М., 1967.
20- Laplace Р.-S. ТЬёопе analytique des probability. Paris, 1812.
1. Карпинская P.C., Лисеев И.К., Огурцов А.П. Философия природы: коэволюци-
онная стратегия. М., 1995.
Пятницын Б.Н. Философские проблемы вероятностных и статистических мето-
лов. М., 1976.
цОКУлеР ЗА. Спор о детерминизме во французской философской литературе
Вопросы философии. 1993. №2. С. 141 -152.
4- Adams W.J. The life and times of the central limit theorem. N.Y., 1974.
J- Исупов К.Г., Ульянова О.Н. «Homo numerans» Николая Кузанского Истори-
ко-философский ежегодник’92. М., 1993. С.5—15.
6- Kendall M.G. The beginning of a probability calculus // Biometrica. 1956. Vol.43.
№1-2. P.1-12.
56
Математика и естественно-научное мирен
27. Гоббс Т. Сочинения в двух томах. М., 1989. Т.1.
28 Doob J L The development of rigor in mathematical probability / / Development J
mathematics 1900 — 1950. Basel-Boston-Berlin, 1994.
29. О теории дисперсии / Ред. Н.С. Четвериков. М., 1968
30 Уиттл П Вероятность. М , 1982
31 Майстров Л.Е. Развитие понятия вероятности М., 1980
32. Курно О Основы теории шансов и вероятностей (1843). М., 1970.
33. Чайковский Ю.В. Избегание предтеч // Вопросы философии. 2000.
С.91 -103.
34. Декарт Р. Сочинения в двух томах. М., 1989.
35. Hacking 1. The emergence of probability. Cambridge, 1975.
36 Криндач В.П. Симметрия и вероятность ' ' Принцип симметрии. Историко-меш
дологические проблемы М , 1978 С.256 267.
37 Лейбниц Г.В. Сочинения в четырех томах. М., 1983 Т.2.
38. Чайковский Ю.В. Идея равновозможности в физике и биологии '/ Физическое
знание, его генезис и развитие М , 1993. С.104—129
39 Кац М. Статистическая независимость в теории вероятностей, анализе и теории
чисел. М , 1963
40. Kendall’s advanced theory of statistics. Fifth edition. London, 1987. Vol.l.
41. Fine T.L. Theories of probability. An examination of foundation. N.Y.-London, 1973
42. Колмогоров A . H. Теория вероятностей // Математика, ее методы и значение. М.
1956. Т.2 С.252-284.
43. Poisson S.D. Recherches sur lacprobabilite des jugements en matiCre criminelle et en
matiere civile. Paris, 1837.
44. Чупров А.А. Очерки по теории статистики. СПб., 1910.
45 Тутубалин В.Н. Вероятность, компьютеры и обработка результатов эксперимен-
тов // Успехи физических наук 1993. №7.
46. Чайковский Ю.В. Причинность, сложность и разные формы случайности Z
Причинность и тслсопомизм в современной естественнонаучной парадигме. СПб.,
2001.
47. Смолуховский М- О понятии случайности и о происхождении законов вероятно»
стей в физике // Успехи физических наук. 1927. №5. С.329 — 349.
МАТЕМАТИКА XIX—XX ВЕКОВ
ПУАНКАРЕ И ПРОБЛЕМЫ ОСКАРА II
Д. В. Аносов
1. В 1889 г. шведскому королю Оскару II (1829 — 1907, царст-
вовал с 1872) исполнилось 60 лет. Среди различных мероприятий
по поводу этого юбилея было одно необычное: конкурс на премию
по математике. В XVIII —XIX вв. научные конкурсы нередко про-
водились академиями наук (в том числе и нашей Санкт-Петербург-
ской академией), но объявление конкурса царствующей особой по
поводу своего юбилея —это, повторяю, было необычно. Такое ре-
шение короля объясняют двумя причинами. Во-первых, он в моло-
дости изучал математику и, паче чаяния, вынес из этих занятий не
отвращение к сему предмету, а уважение и известную симпатию.
Во-вторых, на него имел влияние известный шведский математик и
организатор науки Г.Миттаг-Леффлер (1846—1927).
У нас в России об организаторской деятельности Миттаг-Леф-
флера более всего известно, что он в 1883 г. устроил приглашение
С.В.Ковалевской (1850 — 1891) работать в новом Стокгольмском
университете (основанном в 1877 г., тогда он назывался Высшей
школой). В те годы приглашение женщины на преподавательскую
работу в университет было необычным делом. Но, конечно, орга-
низаторская деятельность Миттаг-Леффлера не исчерпывается од-
ним этим актом, равно как и организацией конкурса. Он был од-
ним из организаторов Стокгольмского университета и его ректо-
ром. а в 1882 г. при некоторой поддержке короля он основал жур-
нал «Acta mathematical. В последнем и было опубликовано сооб-
щение о конкурсе, а позднее—решение жюри и обе премированные
Работы. Да. °бе, потому что премированы были П.Аппель
11855—1930) и А.Пуанкаре (1854 — 1912).
Как видно из переписки Миттаг-Леффлера, вначале он наде-
ялся, что конкурс будет повторяться раэ в несколько лет; похоже,
58 Математика XIX — XX векД
что это было согласовано с королем. Была предусмотрена процедИ
ра ротации жюри, причем даже после смерти короля, так что пре.1
мия задумывалась всерьез и надолго. Но с первым присуждение]I
премии оказалось столько мороки (см. п.2), что оно стало и пос-|
ледним. Причем особая морока —почти детективная история —по-1
лучилась с работой Пуанкаре «О проблеме трех тел и об уравненмI
ях динамики», о которой я и собираюсь говорить.
Укажу сразу же литературные ссылки. Кое-что о премии сооб-1
щается в комментариях к русскому изданию избранных тру дед I
А. Пуанкаре [1, том II]. После 1990 г. историки узнали о некоторых]I
не публиковавшихся ранее материалах; в связи с этим в одном g I
том же номере журнала «Archive for History of Exact Science» бьищ 1
опубликованы статьи [2; 3]. Публикации двух статей по одному I
тому же поводу предпослано небольшое предисловие известного ис-1
торика Е.Лютцена, где он, в частности, не без юмора замечает, что I
хотя премия Оскара II присуждалась только однажды, она продол-1
жает вызывать соревнование. По словам Лютцена, имеется еще 1
большое (93 стр.) введение Д.Гороффа к новому английскому изда-1
нию классического труда Пуанкаре «Новых методов небесной меха- I
ники», где он говорит о некоторых вопросах, связанных с премией, I
настолько, насколько он мог это сделать на основании опубликован- I
ных тогда материалов. Наконец, после своей статьи [2] Джун Бар- I
роу-Грин написала более подробную книгу на ту же тему. Но я не 1
знаком ни с введением Гороффа, ни с книгой Барроу-Грин. [
О том, что с работой Пуанкаре была связана драматическая и I
почти детективная история, я только напоминаю (а для тех, кто
этого не знал —сообщаю вкратце); об этом написано в [2; 3]. Я
даже определение гомоклинических точек — главных «героев» чис-
то научной части этой истории — привожу мимоходом в п.4, а уж о
значении их открытия говорю и вовсе скороговоркой. Зато я хочу
отметить два обстоятельства, которые лишены «детективного» ин-
тереса, присущего [2; 3], но научного интереса не лишены. Они
называются в п.2 и обсуждаются в п.З и п.4. Но и эти пункты на-
писаны довольно конспективно.
2. Трудности с премией начались еще до объявления о ней-
Первоначально предполагалось, что жюри будет состоять из пяти
человек:
— Миттаг-Леффлер — представитель «Acta mathematica» и нег-|
ласно —самого короля;
— К.Вейерштрасс (1815—1897) и Ш.Эрмит (1822 — 1901)—!
представители Германии и Франции, т.е. стран, в которых уже
давно активно велись математические исследования и имелось не-
мало специалистов в этой области;
— А.Кэли (1821 — 1895) или Дж.Сильвестр (1814—1897), т.е.]
представители Англии, где математические исследования одно время
пришли в упадок, но ко времени конкурса возродились, причем
59
Т В.Анос°в
ждение в немалой степени связано именно с Кэли и Сильвес-
в03Р ипго именно приглашать первым, по-видимому, еще не было
троМ- 1X01
Реше_ ’итальянец ф.Бриоски (1884 — 1897) или русский П.Л.Че-
ев (1821 — 1894), т.е. представители стран, где недавно сложи-
бЫ ь успешно работающие научные школы. На случай, если они
откажутся, имелся еще запасной кандидат—С.В.Ковалевская.
Но когда Миттаг-Леффлер поделился этим планом с Ковалевс-
кой она ответила, что Вейерштрасс, Эрмит, Кэли и Чебышев ни-
когда не смогут придти к единому мнению по поводу одной и той
же работы, что они сами это поймут сразу же, как только узнают о
составе жюри, и что каждый из них откажется от участия в работе.
Она даже не стала сообщать обо всем этом Вейерштрассу, но доба-
вила, что по мнению последнего, вообще очень трудно договорить-
ся путем переписки. Увы, в конечном счете Миттаг-Леффлеру
пришлось согласиться с ней. Окончательно жюри было составлено
из трех человек—Миттаг-Леффлер, Вейерштрасс, Эрмит. Эти трое
прекрасно ладили друг с другом — Миттаг-Леффлер был учеником
Вейерштрасса, а научные интересы Эрмита были в значительной
степени близки к интересам школы Вейерштрасса, и к тому же он
вообще отличался хорошим характером. Но зато раздалась крити-
ка со стороны Л.Кронекера (1823—1891), не без оснований указы-
вавшего, что жюри получилось односторонним. Несомненно, Кро-
некеру хотелось бы самому попасть в жюри, и Миттаг-Леффлер
написал ему, что, безусловно, наиболее заслуженными учеными
Германии являются сам Кронекер и Вейерштрасс, но последнему
пришлось отдать предпочтение, так как он старше. Читай —раньше
умрет. Едва ли такое разъяснение понравилось бы Вейерштрассу,
но Кронекера оно в какой-то степени успокоило. Он не мог пред-
видеть, что хотя он моложе, но умрет первым.
В наши дни при объявлении научного конкурса тематика кон-
курсных работ обычно никак не ограничивается или ограничивает-
ся только в самых общих чертах. Вейерштрасс был именно за та-
кой конкурс, но, видимо, сам король решил следовать имевшейся
тогда традиции, когда при объявлении научного конкурса назнача-
лись одна или несколько тем. В конечном счете были назначены
четыре темы, но была сделана оговорка: если ни одна из работ на
предложенные темы не будет признана достойной премии, то пре-
мия может быть присуждена за работу, содержащую решение ино-
го важного вопроса теории функций. Конкурсные темы приведены
в комментариях И.Б.Погребысского к [1].
Одна из тем вызвала возражения Кронекера, который считал,
что она относится к его компетенции, а не к компетенции членов
жюри, и что она является неудачной. Свое мнение Кронекер соби-
рался довести до сведения короля, дабы тот знал, какие у него со-
ветники. Однако когда Кронекер узнал, что спорная тема предло-
жена не Вейерштрассом, а Эрмитом, он угомонился.
60 Математика XIX — XX I
Когда были объявлены имена победителей, немецкие нациоJI
листы вознегодовали: оба французы! Кронекер испытывал проти. I
воречивые чувства. Как франкофоб, он был недоволен, но был до. I
волен, что среди победителей не было непосредственных ученике]I
Вейерштрасса.
Со временем все эти волнения, которые в общих чертах можно I
было предвидеть заранее (и которые Миттаг-Леффлер, вероятно^
предвидел), улеглись. И тут-то всплыло обстоятельство, которое
невозможно было предвидеть: Пуанкаре обнаружил в своем мемуЯ
ре существенную ошибку!
Какую-то роль в этом сыграл Э.Фрагмен (1863—1937). В то
время это был молодой способный математик. В 1903 г. он пере-
шел на работу по страховому делу, где его жалованье, вероятно,
оказалось куда выше, нежели если бы он пошел по академической
линии. На новой работе от него потребовались познания не в тео|
рии функций, а в статистике, плюс административные способнос-
ти. То и другое тоже оказалось на должном уровне, и Фрагмен ос-
тавил о себе память как один из видных шведских деятелей в стра-
ховой области. (Впрочем, его наиболее известное достижение в
«чистой» математике —теорема Фрагмена-Линделефа в теории фун-
кций комплексного переменного —была опубликована в 1908 г.,
т.е. во второй, «страховой» период его жизни. Однако это не было
связано с отходом от страхового дела. Просто раньше Фрагмен до-|
казал частный случай этой теоремы, а позднее Линделеф получил
другим методом доказательство в общем случае, и тогда была на-|
писана их совместная работа.) Во время же конкурса он находился
в окружении Миттаг-Леффлера, не занимая никакой сколько-либя
приличной должности, но надеясь на будущее. Ему было поручена
редакционная работа по подготовке к печати мемуара Пуанкаре.
Вероятно, имелась в виду чисто техническая работа, но Фрагмен
вышел за эти рамки —ему, видите ли, показалось, что кое-где у
Пуанкаре изложение недостаточно ясно, и он обратился к автору
за разъяснениями. Пуанкаре сообщил ему нужные уточнения, и
Фрагмен, видимо, был удовлетворен. Во всяком случае, слегка
подправленный мемуар пошел в печать. Но вопросы Фрагмена по-
будили Пуанкаре продумать кое-что заново. И вот, продумывая за-
ново, он обнаружил у себя ошибку, куда более существенную, чем
то, о чем спрашивал Фрагмен. Именно, он упустил из виду воз-1
можность гомоклинических точек. О них ранее никто и не знал,
так что осознание этой ошибки означало открытие гомоклиничес-
ких точек, что явилось весьма крупным событием в теории диффе-
ренциальных уравнений, намного опередившем свое время— это
была первая ласточка «гиперболической революции», изменившей
в 60-е годы XX века облик теории динамических систем. Так что
неприятное открытие ошибки у самого себя в конце концов приве-
ло Пуанкаре к крупному научному открытию.
61
дВ-Аносов
Но мемуар тем временем был напечатан, и даже началась рас-
сь1Лка журнала по подписчикам! Правда, успели разослать всего
около Ю экземпляров.
Пуанкаре сообщил о своем открытии (а именно, о его неприят-
ной стороне) Миттаг-Леффлеру, которого эта новость взволновала,
может быть больше, чем самого Пуанкаре. Под ударом могла ока-
заться репутация Миттаг-Леффлера как компетентного организато-
ра науки, что действительно могло иметь прискорбные последст-
вия—не столько для самого Миттаг-Леффлера (по крайней мере, в
материальном отношении ему ничего не грозило —он был весьма
богат), сколько для ревностно насаждаемой им в Швеции новой
математической науки. Он настоял, чтобы все сохранилось в тай-
не. Каким-то образом ему удалось заполучить обратно разослан-
ные экземпляры журнала, и весь тираж последнего был уничто-
жен, за исключением одного экземпляра, который Миттаг Лефф-
лер оставил в архиве и который был обнаружен около 1990 г. Пу-
анкаре написал новый, существенно измененный вариант своего
мемуара, и был заново отпечатан том «Acta mathematica» с этим
новым вариантом (и с мемуаром Аппеля, который остался без из-
менений). Пуанкаре пришлось оплатить связанные со всем этим
расходы —3500 крон, что превышало полученную им премию —
2000 крон. Впрочем, она была не так уж велика (годовое жало-
ванье Миттаг-Леффлера было в несколько раз выше), главное
было в престиже — ученые работают не за деньги!
Вероятно эта история повлияла на Вейерштрасса, который так
никогда и не завершил подготовку для печати отзыва о мемуаре
Пуанкаре. И дело здесь не только в ухудшении его здоровья. Мне
кажется я понимаю Вейерштрасса (как и Фрагмена): у Пуанкаре
не всегда можно понять, что и как доказано, а что утверждается
только на основании более или менее правдоподобных соображе-
нии и должно явиться темой дальнейших исследований. Будь это
работа другого автора, то надо бы настаивать на приведении ее в
полный порядок. Но достоинства мемуара Пуанкаре (новые идеи,
методы и т.д.) столь велики, что просто обидно было бы отклады-
вать его опубликование на неопределенный срок. А в данном слу-
чае еще и премию дали, так что теперь уж просто невозможно за-
держивать публикацию... Но Вейерштрасс был должен четко ска-
зать за что именно дали премию, так что он (в свои 70 с лишним
лет.) был обязан разобраться до конца в том, в чем не до конца
разобрался сам Пуанкаре. А замаскировывать неясность путем бо-
лее или менее искусных словесных оборотов было не в духе Вей-
ерштрасса. В комментариях Погребысского к русскому переводу
мемуара Пуанкаре [I]1 указано, что Вейерштрасс закончил только
часть отзыва, где обосновывался выбор темы. Но в переписке Вей-
ерштрасса имеются и высказывания собственно о мемуаре Пуанка-
ре. Я не знаю, были ли они во всей своей совокупности где-нибудь
62
Математика XIX —XX веков
должным образом проанализированы (чего от собрания сочинений
Вейерштрасса требовать не обязательно и чего в момент его изда-
ния, вероятно, еще и нельзя было бы сделать). На русском языке
кое-что имеется в упомянутых комментариях Погребысского.
Сверх того, мне известна цитата, которую приводит Ю.Мозер
(1928 — 2000) в [4J; она относится к материалу, обсуждаемому в
п.З. Судя по ней, Вейерштрасс проявил кое в чем больше проница-
тельности, чем Пуанкаре.
В связи с этим должен выразить несогласие с отношением к
критическим высказываниям Вейерштрасса, проскальзывающим у
Погребысского, когда он пишет: «Надо признать, что прошедшие с
тех пор десятилетия заставляют внести существенные изменения в
оценки Вейерштрасса» [1, т.П, с.975], и далее говорит об огром-
ном значении мемуара Пуанкаре, как будто защищая последнего от
придирок и как будто Вейерштрасс об этом значении не говорил.
Но это тот случай, когда на Солнце оказались довольно большие
пятна. Они не мешают Солнцу быть Солнцем, но зачем же закры-
вать на них глаза? В астрономии глаза не только не закрывают,
но, наоборот, активно исследуют пятна, и это способствует пони-
манию физических процессов, происходящих на Солнце. В нашем
же случае обсуждение ошибок, неточностей и недоработок у Пуан-
каре способствует пониманию трудного пути развития научной
мысли. Что же до оценок Вейерштрасса, то, по-моему, прошедшие
десятилетия подтвердили эти оценки —по крайней мере, те из них,
которые мне известны.
Как уже говорилось, я только упоминаю об открытии гомокли-
нических точек и связанной с этим «детективной» истории, а под-
робнее останавливаюсь на двух других обстоятельствах Первое из
них связано с точной формулировкой того, что собственно доказал
Пуанкаре насчет расходимости известных в небесной механике ря-
дов (см. п.З). Об этом как раз и говорил Вейерштрасс. Хотя столь
драматическая акция, как ликвидация тиража журнала, была выз-
вана не этим, по существу, формулировки Пуанкаре в этом вопросе
даже и во втором варианте его мемуара были неточными, а при бук-
вальном понимании —неверными; неточность он сам фактически
признал впоследствии. Об этом в литературе упоминалось (в том
числе и в комментариях к «Новым методам небесной механики» в
[1], написанных в данном случае В.М.Алексеевым (1932 — 1980)),
но, по-моему, некоторые связи этого с другими вопросами не отме-
чались явно и едва ли могут быть известны историкам, хотя несом-
ненно они были известны специалистам-математикам. Второе обсто-
ятельство состоит в том, что Пуанкаре фактически натолкнулся на
некий другой (хотя и связанный с гомоклиническими точками) воп-
рос—один из группы вопросов о вычислении или хотя бы точной
оценке экспоненциально малых эффектов в теории возмущений, вы-
зывающих немалый интерес в наши дни. По этому поводу Пуанкаре
П.В.Аносов
63
ничего не установил (для его непосредственных целей этого не тре-
бовалось, так что здесь он «чист») и должно быть оттого не стал
выделять данного вопроса (не только в премированной работе, но
и в более поздних и подробных «Новых методах...»). Однако в
контексте его работы вопрос, можно сказать, напрашивается сам
собой. Этому посвящен п.4. Разумеется, специалисты, занимающие-
ся экспоненциально малыми эффектами, теперь об этом знают, но
даже в комментариях к «Новым методам...», написанных примерно
30 лет назад, об этом нет ни слова.
Поскольку я говорю, главным образом, если не об ошибках
Пуанкаре (о самой главной из них, которую он потом исправил,
говорится в [3] и [2]), то о его неточностях и (неизбежных в то
время) недоработках, может создаться впечатление о моем отрица-
тельном отношении к его мемуару. Правда, выше было высказано
совсем иное отношение, но мимоходом, так что оно может остаться
как бы на втором плане. Поэтому хочу специально сказать, что
моя оценка этого мемуара (и развивающих его «Новых мето-
дов...») ничуть не отличается от оценки Вейерштрасса и редакто-
ров [1]. Ошибки, неточности и недоработки у Пуанкаре —это не
банальные ошибки, из которых нельзя извлечь ничего поучитель-
ного, вроде перепутанных знаков в формуле (что может случиться
с кем угодно) или, тем более, нелепостей в опусах ферматиста. Де-
фекты мемуара Пуанкаре связаны со сложностью и разнообразием
явлений, свойственных динамическим системам небесной механи-
ки; но если иногда Пуанкаре вначале не удалось правильно сори-
ентироваться в них, то ведь все-таки именно он и обнаружил эти
сложность и разнообразие, а это главное. (Вообще, ошибки гениев
обычно гораздо поучительнее ошибок заурядных людей. В ка-
кой-то степени это перекликается с известным высказыванием
А.С.Пушкина, хотя он имел в виду моральную сторону жизни ве-
ликого человека.)
3. Итак, об одной весьма существенной неточности в мемуаре
Пуанкаре. Речь идет о равномерности или неравномерности неко-
торых результатов по параметрам. Требование надлежащей точнос-
ти в подобных вопросах на первый взгляд может показаться скуч-
ным педантизмом, и возможно, что в первый момент так оно и по-
казалось самому Пуанкаре, тогда как Вейерштрасс срАзу обратил
на зто внимание (см. его высказывание, приведенное в [4]). Речь
идет о тригонометрических рядах, которые в случае своей сходи-
мости представляли бы решения исследуемых дифференциальных
уравнений, причем коэффициенты этих рядов зависят от началь-
ных значений этих решений; используются переменные, в которых
начальные значения малы. Пуанкаре доказал, что они не могут
сходиться равномерно по независимой переменной2 и начальным
значениям, сколь бы малыми последние не брались3. Но этот пра-
вильный результат он вначале небрежно сформулировал как
64
Математика XIX —XX веков
расходимость указанных рядов, каковое утверждение можно пони-
мать в различных смыслах, что и отметил Вейерштрасс. Позднее,
в «Новых методах небесной механики», Пуанкаре сам указал, что
предыдущий результат не исключает возможности сходимости этих
рядов при некоторых фиксированных значениях начальных усло-
вий. Сам он, по-видимому, был склонен считать, что в этом смыс-
ле они тоже расходятся, но об этом он теперь говорил только как о
предположении. Оно не подтвердилось: с появлением теории КАМ
(А.Н.Колмогорова (1903 —1987) — В.И.Арнольда— Ю.Мозера) вы-
яснилось, что, по крайней мере, в некоторых задачах небесной ме-
ханики имеются начальные значения, при которых эти ряды схо-
дятся, причем соответствующие решения заполняют множество по-
ложительной меры в фазовом пространстве. См. книгу Мозера [4]
и комментарии В.М.Алексеева в [1].
Данный вопрос теперь преобразовался в два вопроса: чего
можно достичь в задачах небесной механики, применяя метод
КАМ при наличии тех или иных вырождений? Что можно казать
о решениях, «не подпадающих» под этот метод («зоны неустойчи-
вости», «диффузия Арнольда»)? Но здесь мы уже попадаем в об-
ласть современных исследований, где, как мне кажется, говорить о
непосредственной связи с Пуанкаре уже не приходится, хотя никто
не забывает о его пионерской роли.
Вопрос о равномерности по параметру возникает и при иссле-
довании периодических решений. Эта сторона дела волновала Пу-
анкаре до конца его жизни. В самом начале своей последней
статьи 1912 г. «Об одной геометрической теореме» [1, т.П,
с.775—807] он говорит: «Уже довольно давно я доказал существо-
вание периодических решений в задаче трех тел, однако результат
не был полностью удовлетворительным, так как, если существова-
ние каждого вида решений и было установлено для малых значе-
ний масс, оставалось неясным, что получится для больших значе-
ний, какие из этих решений останутся и в каком порядке они ис-
чезнут» [1, т.П, с.775]. «Большие значения»—это не совсем удач-
ное описательное выражение. Речь идет о следующем: в соответст-
вующих задачах (Pg) имеется малый параметр ц (применительно к
небесной механике это действительно некоторое отношение масс, а
именно, отношение массы «Юпитера» к суммарной массе «Солн-
ца» и «Юпитера»); прежними методами Пуанкаре доказал, что у
этого семейства задач имеется счетное множество периодических
решений L” ; каждое из них аналитично по ц и существует при
всех достаточно малых ц, скажем, при 0<|i<Pq. Но прежние ме-
тоды не исключали возможности, что |1q -> 0 при п -> оо. Если бы
это было так, то ни для какого малого ц мы не могли бы гаранти-
ровать, что задача (Рц) имеет счетное число периодических
д. В-Аносов
65
решений. Ведь тогда имелось бы только конечное число |1q, кото-
рые > Ц. скажем, Цд, Цр* , а все прочие Цд, были бы <, ц. И тог-
да мы могли бы гарантировать существование только решений ,
I,”*, а о прочих ничего сказать нельзя, —раз р> ц„, то, мо-
жет быть, эти решения и не существуют. Пуанкаре же стремился
доказать существование такого p.Q >0, что при всех р е (0,рр) зада-
ча (Pg) имеет счетное множество периодических решений. (Это ро
вполне могло бы оказаться весьма малым, так что выражение о
«больших значениях» ро не надо понимать буквально.)
В своей последней статье Пуанкаре сформулировал некую ги-
потетическую теорему, с помощью которой можно было бы пытать-
ся доказать существование такого рд. Эта теорема получила неточ-
ные названия: «геометрическая теорема Пуанкаре» (как будто дру-
гих геометрических теорем у него не было) и «последняя теорема
Пуанкаре» (хотя он ее не доказал, о чем и говорил прямо. По
смыслу, подходило бы название «гипотеза Пуанкаре», но оно, как
известно, закреплено за другой его гипотезой). Пуанкаре сказал,
что хотя доказать эту теорему ему не удалось, она подтвердилась
во всех частных случаях, которые ему удалось рассмотреть, так
что его убеждение, что теорема справедлива, «укреплялось со дня
на день». «Самым мудрым решением было бы предоставить проб-
леме созревать, а мне —отдохнуть от нее несколько лет. Однако
это было бы правильно, если бы я был уверен в том, что смогу со
временем снова взяться за эту проблему, но, учитывая мой воз-
раст, я не могу за это поручиться» [1, т.П, с.275]. На самом деле
Пуанкаре был еще не стар по меркам XIX —XX вв., но, видимо,
он чувствовал, что болен. В тот же год он умер. А в следующем
году теорему доказал Дж.Биркгоф (1884 — 1944).
После этого можно было всерьез попытаться использовать эту
теорему для целей, намеченных Пуанкаре. Он говорит о двух при-
менениях: к ограниченной задаче трех тел и к задаче о замкнутых
геодезических на поверхностях, гомеоморфных сфере. Биркгоф,
естественно, обсуждал вопрос о реализации наметок Пуанкаре, но
оказалось, что это тоже весьма не просто (вопреки, может быть,
надеждам самого Пуанкаре). К.Л.Зигель (1896—1981) отметил в
своей книге [6], немецкий оригинал которой датирован 1956 г., что
Для ограниченной задачи трех тел пока ничего не вышло (§20).
Насколько я знаю, в задаче о замкнутых геодезических на этом
пути тоже долго не было получено сколько-либо законченных ре-
зультатов, а кое-что удалось сделать (самому Биркгофу [5]) толь-
ко для «биллиардной» задачи.
Биркгоф наметил доказательство некоторой родственной ло-
кальной теоремы, гарантирующей при известных условиях сущест-
вование бесконечного числа периодических решений в окрестности
66
Математика XIX —XX веков
замкнутой траектории L. Условия, естественно, связаны со свойст-
вами изучаемой системы уравнений Гамильтона возле L", они фор-
мулируются в терминах ее нормальной формы. Зигель дал акку-
ратное доказательство этой теоремы [6, §22]. Геометрия в нем —это
простой частный случай ситуации, которая может встретиться в
предположениях «последней теоремы» Пуанкаре, зато больше ана
лиза. Зигель считал, что теорема Биркгофа «кажется более полез-
ной для приложений». Такая оценка означала, что «последняя тео-
рема Пуанкаре», сыграв полезную эвристическую роль, может спо-
койно сойти со сцены.
В то время это было трезвой оценкой ситуации, но впоследст-
вии эта «теорема-гипотеза» Пуанкаре вновь появилась на сцене,
притом, так сказать, дважды, и оба раза блистательно. Правда,
опять-таки ее роль состояла в том, что она стимулировала полез-
ные рассуждения. В первый раз это произошло в 60-х гг., когда
В.И.Арнольд задумался над вопросом, нет ли аналога этой теоре-
мы, относящейся к отображениям кольца, для отображений дву-
мерного тора. Он сформулировал (гипотетически) такой аналог и
(подобно Пуанкаре) смог подтвердить его в некоторых частных
случаях, что убедило его в справедливости его гипотезы в общем
случае. Доказательства же пришлось ждать до 1983 г., когда она
была доказано Ч.Конли (1933—1984) и Э.Цендером4. Это доказа
тельство, как известно, означало вступление на порог нового (сим-
плектического) мира (окончательно туда вошел И.Громов).
Несколько более скромным по масштабам, но тоже достаточно
результативным был второй «выход» на сцену гипотезы Пуанкаре,
она же теорема Биркгофа. Она вместе со стимулированными ею
дальнейшими соображениями Дж.Френкса привели в конце-концов
к такому результату, к которому стремились и Пуанкаре, и Бирк
гоф. В.Бангерт и Дж.Френке доказали, что на поверхности, гомео
морфной сфере, любая достаточно гладкая риманова метрика име-
ет бесконечное число замкнутых геодезических5. Доказательство
начинается с принадлежащей В.Бангерту редукции задачи к двум
случаям, для которых доказательства были даны, соответственно,
самим Бангертом и Френксом. Здесь можно отметить замечатель-
ное сочетание новизны и преемственности (а также своего рода
«злементаризации»). На тот случай, который рассмотрел Френке,
обратили внимание еще Пуанкаре и более серьезно Биркгоф. Это
тот случай, когда на поверхности имеется такая «простая» (не име-
ющая самопересечений) замкнутая геодезическая L, что любая пе-
ресекающая L геодезическая спустя некоторое время снова пересе-
кает L. (Он охватывает, в частности, вполне классический случай
метрик положительной кривизны.) В этом случае вопрос сводится
к исследованию некоторого отображения кольцеобразной области в
себя Френке доказал, что данное отображение имеет бесконечное
число периодических точек (эта-то часть и основана на
д. В. Аносов
67
соображениях, возникших в связи с геометрической теоремой Пу-
анкаре— Биркгофа), что означает существование бесконечного чис-
ла замкнутых геодезических. Преемственность здесь очевидна, что
же касается «элементаризации», то в этом доказательстве почти не
используется вариационных соображений, так что оно, так сказать,
целиком конечномерно6.
Естественно надеяться на такой же happy end и в ограниченной
задаче трех тел, но пока, насколько я знаю, этого не произошло.
Литературные ссылки по поводу событий, упоминаемых в пос-
ледних абзацах, можно найти в моем недавнем обзоре [7] (допол-
нительно следует указать еще [8]).
4. Как уже говорилось, Пуанкаре вначале упустил из виду го-
моклинические точки. О них никто не знал до него, но раньше не
рассматривали вопросов, в которых они играли бы роль, так что это
незнание не могло привести к ошибкам, у Пуанкаре же дело обстоя-
ло иначе. Я уже сказал, что это подробно обсуждается в цитирован-
ной мной литературе, и мне незачем повторять сказанное в ней, рав-
но как и данную выше оценку открытия, сделанного Пуанкаре при
исправлении допущенной ошибки. Но стоит сказать вот о чем.
Пуанкаре должен был доказать, что гомоклинические точки
действительно встречаются в задачах гамильтоновой механики. Его
главной целью была плоская круговая ограниченная задача трех
тел, но он не мог доказать, что в этой задаче имеются гомоклини-
ческие точки. Доказать это удалось много позднее, после «гипербо-
лической революции» в теории динамических систем, произошед-
шей в 60-е гг. Да и то тогда удалось установить наличие гомокли-
нических точек в пространственной ограниченной задаче трех тел
(это сделал В.М.Алексеев, существенно опиравшийся, помимо но-
вой «гиперболической идеологии», на работы К.А.Ситникова; см.
недавно переизданные лекции Алексеева [9]), а результат о плос-
кой круговой ограниченной задаче опубликовали намного позднее
Х.Ллибре и К.Симо [10], причем у них речь идет о существовании
гомоклинических точек не в той части фазового пространства, ко-
торая особенно интересовала Пуанкаре. Но для начала было бы
Достаточно продемонстрировать пример гамильтоновой системы с
двумя степенями свободы, в которой имеются гомоклинические
точки. Тогда стало бы ясно, что нет никаких таинственных законов
природы, которые принципиально исключали бы возможность та-
кого явления, после чего можно по крайней мере предположить,
что оно может иметь место и в задачах небесной механики.
Пуанкаре рассмотрел конкретный пример гамильтоновой сис-
темы с двумя степенями свободы, зависящей от двух малых пара-
метров ц и е. Это был нелинейный маятник (переменные Р2, <72
связанный с линейным осциллятором (переменные р\, q\). Гамиль-
тонианом этой системы служит
Математика XIX —XX веков
68
Жр1.Р2>^.?2) = Р1 +Р2-2рsin2 у--ЦБcos91 sinQ2. (1)
где Pi суть импульсы, 9—координаты. Последние являются цик-
лическими или угловыми (при их изменении на 2л ничего не ме-
ияется; можно считать, что они принимают значения на окружно-
сти)- Как обычно, время обозначается через t, а дифференцирова-
нЯе по времени —точкой. Параметр е «отвечает» за связь маятника
осциллятором, а ц—частота невозмущенного маятника. Диффе-
нциальные уравнения движения суть
дН 4 дН
9t=^T = 1- Pi =-7“ =-pc sin 91 sin 92
п дрх dq}
(2)
И . дН _ дН
= Р2 =-^-= MSinQ2+HECOsg1 COSQ2- (3)
др2 oq2
Из (2) видно, что изменение qx не зависит от прочих перемен!
Hbix, - </t возрастает с единичной скоростью, как и положено фазе!
ярмонического осциллятора. В частности, на нее никак не влияет
то что происходит с маятником (с р2, q2)- Переменная рх не яв-
ляется «нечувствительной» к тому, что происходит с маятником,*
н0 она не входит в уравнения для остальных переменных, так что
ои обсужДении изменения р2, q2 на нее можно не обращать вни-
мания. Тогда уравнения для р2, q2 можно интерпретировать как
оавнения, описывающие движение маятника, подверженного воз-
действию некоторой периодической силы. Обращаю внимание, что
гловая переменная 92 отсчитывается не от самого нижнего, а от
самого верхнего положения маятника.
Отмечу качественное сходство этой модельной системы Пуан-
каре с ограниченной плоской круговой задачей трех тел. В ограни-
ченной задаче трех тел имеются: а) две массивные материальные
точки (условно называемые «Солнцем» и «Юпитером»), притяги-
вающиеся по закону всемирного тяготения и обращающиеся вокруг
общего центра масс по законам Кеплера; 6) еще одна материальная
точка («астероид», «комета», «спутник») столь малой массы, что
ее влиянием на первые две точки мы пренебрегаем; она движется в
периодически меняющемся гравитационном поле, создаваемом пер-
выми двумя телами. Если последние движутся по круговым орби-
там. то говорят, что задача круговая, а если третье тело движется
в той же плоскости, что и первые два—что задача плоская. В сис-
теме (2), (3) роль линейного осциллятора аналогична роли Солнца
и Юпитера, а Роль маятника —роли астероида. Правда, как уже
говорилось, маятник все-таки кое-как влияет на осциллятор, но он
вдияет только на импульс р\, который сам ни на что не влияет.
Маятник же подвержен действию силы, зависящей от q\, подобно
тоМУ как притяжение, влияющее на астероид, зависит от положе-
нця Солнца и Юпитера; и эта сила, и это притяжение
д. В. Аносов
69
ериодически меняются со временем. Хотя массой Юпитера мы не
пренебрегаем, в Солнечной системе отношение ее к массе Солнца
мало (1/1000); роль параметра е в модельной задаче аналогична
этому отношению. Если бы Юпитера не было, астероид двигался
бы вокруг Солнца по кеплеровской орбите, а если бы было е = 0,
маятник совершал бы свободные колебания или вращался бы вок-
руг своей оси. К этим качественным наблюдениям можно добавить,
что между (2), (3) и дифференциальными уравнениями ограничен-
ной плоской круговой задачи трех тел в некоторой части фазового
пространства' имеется и некоторое количественное сходство (на
чем я не буду останавливаться). Но все равно система с гамильто-
нианом (1)— не более чем модельная, и те выводы, которые дела-
ются при ее изучении, можно переносить на задачу трех тел толь-
ко гипотетически.
Когда е = 0, модельная система распадается на две системы —
линейный осциллятор с фазовыми координатами р\, q\ и маятник
с фазовыми координатами р2< Q2- У маятника имеются два поло-
жения равновесия —устойчивое «нижнее» (рз Я 2 =п^ и неус-
тойчивое «верхнее» (р2 =0, <?2 = ®)- У всей модельной системы
имеется периодическая траектория Lq, описывающая движение,
при котором движется только осциллятор, а маятник находится в
верхнем положении равновесия:
Pi =0, qx =t, р2=0. <72 =°-
На поверхности постоянной энергии Mq (гиперповерхности
/7=0 в пространстве <й , Pi, </2> Р2! я не указываю явно на ее зави-
симость от е, р) эта траектория гиперболична с характеристически-
ми показателями ±у]2р.. Как и положено, она имеет локальные ус-
тойчивое и неустойчивое инвариантные многообразия, которые при
продолжении совпадают, образуя некую единую поверхность Wp;
она состоит из траекторий, которые отходят от Lq по неустойчиво-
му многообразию и возвращаются к Lq по устойчивому многообра-
зию. Эта поверхность состоит из двух компонент, смыкающихся по
/•0 —на одной из них Р2 >0, а на другой — Р2 ^0. Траектории, ле-
жащие на Wo, описывают такое движение модельной системы, при
котором маятник как бы бесконечно давно начал падать из верхне-
го положения равновесия, в какой-то конечный момент времени
прошел через нижнюю точку, стал подниматься и при1/ ->°о стре-
мится к верхнему положению равновесия. Если на такой траекто-
рии р2 >0, то это бесконечно затянувшееся качание маятника про-
исходит в направлении возрастания q2 (т.е., при обычных согла-
шениях, против часовой стрелки), а если Р2 <0, то соответствую-
щее качание происходит в направлении убывания q2 (по часовой
стрелке). Wq ограничивает в Mq область, образованную теми тра-
екториями, которые соответствуют качанию маятника, тогда как
траектории во внешней области соответствуют его вращению. В
направлении q2 толщина области — порядка -Jp.
70
Математика XIX —XX веков I
При малом е * 0 гиперповерхность Н = 0 близка к прежней Мо
и на ней по-прежнему имеется гиперболическая замкнутая траекто-
рия Lg ® Ло, у которой по-прежнему имеются инвариантные устой-
чивое и неустойчивое многообразия. Пуанкаре понял, что они уже
не обязаны совпадать, хотя можно доказать, что они по-прежнему
пересекаются. (Точки их пересечения — это и есть упоминавшиеся
выше гомоклинические точки.) Но как доказать, что они действи-
тельно не совпадают, а только пересекаются? (Если это будет сде-
лано, то будет установлен принципиальный факт, что гомоклини-
ческие точки действительно существуют.)
Надо как-то описывать эти многообразия аналитически. Это'
несложно: они являются (по крайней мере, при малых е и на неко-
тором своем протяжении) лагранжевыми многообразиями, «хоро-
шо» проектирующимися на плоскость (^, <73 )• Такие многообра-
зия удобно описывать с помощью производящей функции S(q^,
</2)—°ни имеют уравнение
8S 8S
Р1 ~ ' Р2 ~ д(12 '
При е = 0 у обоих многообразий производящая функция одна и
та же (раз они совпадают); она легко вычисляется и оказывается
равной
(4)
50 = ±2A/5pcos^ .
Иными словами, Wq описывается уравнениями
Pl =0, Р2 =тТ2цу
(знак «минус» соответствует нижней компоненте Шо, а «плюс» —
верхней). Сами по себе такие уравнения для VVq еще легче полу-
чаются без всякой S{q\,q2^- Но дело в том,что представление ус-
тойчивого и неустойчивого многообразий (по крайней мере, неко-
торой их части) уравнениями вида (4) с надлежащей производя-
щей функцией 5 можно использовать и при е * 0— по крайней
мере, при малых е.
При фиксированном е * 0 и малом ц можно построить асимпто-
тические ряды по степеням -/ц для функций 5/ и 5“, описываю-
щих неустойчивое и устойчивое многообразия. Эти ряды оказыва-
ются одинаковыми. Но Пуанкаре начал подозревать, что эти ряды
расходятся, а потому из их совпадения не следует, что соответству-
ющие многообразия совпадают. (По-видимому, раньше он думал,
будто эти ряды сходятся.) Чтобы убедиться в этом, он избрал
иной способ действий.
Он построил при фиксированном ц производящие функции 5/
и 5“ как степенные ряды по е, т.е. он построил их в виде
J) — О о + Eu 1 + E j 2 + —
дВАносов
71
Он доказал, что а) эти ряды сходятся (не в пример рядам по
^р); 6) ряды для 5s и Su не совпадают; а именно, ему удалось вы-
числить разность . Оказалось, что она содержит множитель
1
ch
Л
Тем самым было доказано, что соответствующие многообразия
действительно не совпадают, хотя они и пересекаются (что, как го-
ворилось, доказывается). Выяснилось также, что расхождение меж-
ду ними экспоненциально мало по ц, чем и объясняется, почему
данное явление нельзя было заметить с помощью употреблявшихся
ранее степенных рядов по (Сами же по себе слагаемые S%’s от-
нюдь не являются экспоненциально малыми,—ведь уже 5о имеет
порядок -Jp.) Была доказана и расходимость последних. Та непос-
редственная цель, которую ставил себе Пуанкаре, была достигнута.
Но его рассуждения работали только когда
л
с «е~^.
Ведь даже если efo ряды по е" сходятся вне этой области (что
не ясно), нам надо, чтобы разность е5“ -eSj5 была действительно
главным членом для Su —Ss, для чего надо, чтобы она была боль-
ше, чем слагаемые EnS%’s с п> 1. Уже при п = 2 приходим к выводу,
что с должно быть экспоненциально малым сравнительно с ц. Меж-
ду тем, хотелось бы получить результат, который был бы справед-
лив равномерно по всем достаточно малым ц. Мне представляется,
что в общем контексте мемуара Пуанкаре этот вопрос является осо-
бенно естественным ввиду астрономических ассоциаций.
Насколько я знаю, это был первый случай, когда в некоторой
задаче возник (пусть неявно) вопрос об экспоненциально малых
эффектах в нелинейных задачах теории возмущений. Позднее, уже
на моей памяти, такие вопросы возникли и в других задачах. Сей-
час эта область вызывает значительный интерес. Я отмечу только,
что в задаче Пуанкаре —так я буду называть ту задачу, которая
описана выше, хотя, повторяю, вопроса о расширении области
применимости его формулы для № -5s Пуанкаре не ставил, —на-
илучшие результаты принадлежат Д.В.Трещеву и В.Г.Гельфрейху,
которые разработали два различных метода для систематического
исследования ряда задач в этой области (не только задачи Пуанка-
ре; но и в этой задаче при других соотношениях между е и ц фор-
мула для Su —Ss не всегда получается такой же, как у Пуанкаре).
Является ли какой-нибудь из этих методов лучшим или они приз-
ваны дополнять друг друга, пока судить рано.
72
Математика XIX —XX веков
Несколько более подробную информацию о данной области и
ссылки можно найти в моем обзоре [7]. Я благодарен А.И.Нейш-
тадту за обсуждение как соответствующей части этого обзора, так
и настоящей статьи. А первым стимулом к его написанию послу- |
жил доклад В.Г.Гельфрейха на моем семинаре, рассказавшего не
только о своих собственных достижениях, но и о достижениях
Миттаг-Леффлера по сохранению реноме премии Оскара II и жур- I
нала «Acta mathematical.
Примечания
1 Переведена только часть мемуара, так как остальная часть покрывается «Новыми
методами небесной механики».
2 Ряды в данном случае многочастотные, так что роль независимого переменного игра-
ет скорее фаза квазипериодического движения, нежели время.
3 В связи с этим он указал, что эти ряды можно интерпретировать как асимптотиче-
ские разложения для точных решений, так что некоторый смысл за ними все-таки
сохраняется в любом случае.
4 Гипотеза Арнольда была ими доказана в том виде, как ее первоначально сформули-
ровал сам Арнольд, но она подверглась значительному обобщению (отображения
n-мерных симплектических многообразий) и в таком общем виде пока, кажется, не
доказана (хотя доказано несколько частных ее случаев этой общей гипотезы, отлич-
ных от первоначального варианта).
5 Они могут иметь самопересечения. Что же касается несамопересекающихся замкну-
тых геодезических, то еще в конце 20-х гг. Л.А.Люстерник (1899 -1981) и
Л.Г.Шнирельман (1905—1938) методами вариационного исчисления в целом дока-
зали , что обязательно имеются три такие геодезические (а больше может и не быть,
как показывает пример трехосного эллипсоида). У Люстерника и Шнирсльмана
имелись некоторые небольшие геточности, устраненные позднее.
6 Тогда как вариационное исчисление в целом по существу бесконечномерно, хотя это
может маскироваться путем использования конечномерных аппроксимаций Следует
добавить, что позднее Н.Хингстоп нашла другое доказательство теоремы Бангер-
та—Френкса, более близкое к традиционным (отчасти бесконечномерным) методам.
7 Отвечающей приблизительному резонансу между частотами Юпитера и астероида.
Список литературы
1. Пуанкаре А. Избранные труды в трех томах. М., 1971 —1972. Т.1,11.
2. Barrow Green J. Oscar H’s prize competition and the error in Poincare's memoir on the
three body problem // Arch, for History of Exact Sc. 1994. Vol.48. P.107 —131.
3. Andersson K.G. Poincare's discovery of homoclinic points // Arch, for History of
Exact Sc. 1994. Vol 48. P.133-147.
4. Moser J. Stable and Random Motions in Dynamical Systems. Princeton: Princeton
Univ. Press and Univ, of Tokyo Press, 1973.
5. Биркгоф Дж. Д. Динамические системы. М.-Л., 1941. (В русском издании :обствен-
но к книге Биркгофа добавлено еще несколько его статей. Недавно оно было по-
вторено.)
6. Зигель К.Л. Лекции по небесной механике. М., 1959.
7. Аносов Д.В. О развитии теории динамических систем за последнюю четверть века
// Студенческие чтения НМУ. М., 2000. С.74 —179.
8. Franks J. Area preserving homeomorphisms of open surfaces of genus zero // New
York J. of Math. 1996. Vol.2. P.1 —19.
9. Алексеев B.M. Лекции no небесной механике. Ижевск, 1999.
10. Llibre J., Simo C. Oscillatory solutions in the planar restricted three-body problem
Math Ann. 1980. Vol.248. №2. P.153-184.
М. И - Монастырский
73
IAS И IHES—ИСТОРИЯ ДВУХ ИНСТИТУТОВ
М. И. Монастырский
XX век уходит в прошлое. Мы похожи на пассажиров только
что отчалившего парохода. Между нами и берегом узкая, но все
расширяющаяся полоска воды. Мысленно мы еще на берегу, но
скоро он скроется из виду и начнется новая жизнь. Что вспомина-
ется из прошлого?
Несомненно, XX век войдет в историю как век науки, даже
более того —век расцвета чистой математики и теоретической физи-
ки. Теоретическая физика —по существу продукт XX века. Созда-
ние теории относительности и квантовой механики повлияло прямо
или косвенно на все развитие XX столетия.
Наука и ее роль в жизни общества —необъятная тема. Я выб-
рал лишь один фрагмент, представляющийся мне интересным со
многих точек зрения. Речь пойдет об истории возникновения двух
знаменитых институтов. Один из них —Институт высших исследо-
ваний в Принстоне (IAS —Institute for Advanced Studies, Princeton,
New Jersey, USA) известен всему миру —в нем провел последние
20 лет своей жизни Альберт Эйнштейн. Второй — Институт высших
научных исследований в Бюр-сюр-Иветт (IHES —Institut des
Hautes Etudes Scientifiques, Bures sur Yvette, France), французс-
кий аналог IAS, также замечательный институт —известен в основ-
ном математикам и физикам.
Каждый из них существует не один десяток лет. В 1998 г.
IHES отметил свое 40-летие, а в 2000 г. исполнилось 70 лет IAS.
Оба института не имеют аналогов в прошлом. История их созда-
ния весьма любопытна и поучительна.
1. Институт высших исследований (IAS) [1]
Рождение IAS лучше всего может быть описано в духе расска-
зов Конан Дойла, но без криминального оттенка. В один из осен-
них дней 1929 г. в доме Абрама Флекснера (1869—1959), извест-
ного американского деятеля в области образования, зазвонил теле-
фон. Звонившие, представившиеся адвокатами двух клиентов, про-
сили о встрече. Цель их была обсудить возможности разумного по-
мещения денег.
Удивленный Флекснер ответил, что он является специалистом
в области университетского образования и вряд ли может быть им
полезен в столь деликатном деле. Однако его собеседники ответи-
ли, что именно эта сфера его деятельности интересует их клиентов.
События развивались весьма стремительно, и спустя несколько
дней Флекснер был приглашен на ужин. Ему были представлены
мистер Луис Бамбергер и его сестра миссис Феликс Фолд. Мистер
Бамбергер и миссис Фолд сообщили Флекснеру, что их единствен-
ным желанием было бы потратить имеющиеся у них деньги на
74
Математика XIX —XX веков
организацию Института, где выдающиеся ученые могли бы спокой-
но размышлять над своими проблемами и передавать свои знания
талантливым молодым коллегам.
Сама идея создания подобного Института давно бродила в го-
лове Флекснера, но он не мог и помыслить, что осуществление та-
кого проекта станет реальностью. И вот семья американских мил-
лионеров предложила осуществить его план. Ошеломленный
Флекснер сначала пытался уклониться от личного участия, ссыла-
ясь на возраст, ему было в это время уже 61 год, но Бамбергеры
были непреклонны. В результате Флекснер попросил время, чтобы
посоветоваться с женой. Миссис Флекснер не без ехидства замети-
ла: «Ты так много критиковал всех и вся. Попробуй сделать
что-нибудь сам». Реакция миссис Флекснер возымела действие, и
Флекснер согласился.
Финансовые проблемы были разрешены с гениальной просто-
той. На вопрос Бамбергеров о стартовой сумме, Флекснер ответил,
что пока он не выработает детальные принципы, она не должна
быть очень велика. Тем не менее, эта сумма должна быть достаточ-
но внушительна, чтобы проект производил серьезное впечатление.
Дальнейший разговор был по-американски краток и выразителен.
Мистер Бамбергер: «Сколько Вам надо для начала». Мистер
Флекснер: «5 миллионов долларов». Мистер Бамбергер: «О’кей»,
и тут же выписал чек.
Каковы же были принципы, легшие в основу создания Инсти-
тута.
1. Институт должен заниматься фундаментальной наукой.
2. Он не должен требовать больших вложений в оборудование.
3. Его постоянными сотрудниками должны быть самые выдаю-
щиеся ученые в своей области.
С этой точки зрения Флекснер выбрал математику. Она удов-
летворяла первым двум принципам, и Флекснер считал математи
ку той областью знаний, где заслуги ученого можно наиболее объ
ективно оценить, и, что важно, легче придти к согласию в кругу
самих ученых.
Кроме того, Флекснеру хотелось, чтобы Институт не был чис-
то естественно-научным. Поэтому он добавил еще два Отделения
или, как он называл, Школы: Школу экономики и Школу гумани
тарных наук, включающую историю и философию. О Школе эко
номики он подумал, руководствуясь соображением,
которое
сейчас
кажется исключительно современным и принадлежит судье из шта-
та Массачусетс Холмсу: «Человек будущего —это человек статисти-
ки и мастер экономики».
Сейчас эти школы трансформировались в Школу историчес
ких наук и в Школу социальных наук.
После того как
занялся следующим
Флекснер выбрал
этапом — подбором
основные дисциплины,
он
постоянных
сотрудников
М ^ Монастырский
75
разработкой более детальной структуры, правилами функциониро-
вания Института и весьма немаловажным вопросом — размещением
Института.
С самого начала он хотел, чтобы Институт находился в тихом
и красивом месте, но недалеко от крупного университета. Мистер
Бамбергер и миссис Фолд просили, чтобы Институт был бы распо-
чожен в штате Нью-Джерси. Так как там находился один из самых
знаменитых университетов США, Принстонский, то это устроило
обе стороны. Именно в Принстонском университете и располагался
Институт в течение первых нескольких лет, пока не было построе-
но специальное здание. Оно называется «Фолд холл» (Fuld Hall)
в честь миссис Фолд. Долгое время в нем размещался весь Инсти-
тут. В дальнейшем Институт разросся. Были построены новые зда-
ния. Например, в самое последнее время был построен новый дом
для Школы математики (Simony Hall) и прекрасный зал для пуб-
личных лекций и масштабных мероприятий—«Вольфенсон холл»
(Wolfensohn Hall). А в «Фолд холле» располагается дирекция,
библиотека Школы математики и Школы естественных наук и ка-
бинеты нескольких постоянных профессоров. Кабинет, где работал
А.Эйнштейн, теперь занимает Р.Ленглендс, а кабинет фон Нейма-
на — А. Сельберг.
В этом, как и во многих других организационных вопросах,
Флекснер проявил исключительную мудрость и умение предвидеть
будущее.
Но успех любого начинания, особенно такого, как организация
Института, всецело зависит от подбора сотрудников. В начале
1932 г., когда проект уже приобрел реальные очертания, Флекснер
начал подыскивать первых сотрудников. Он начал объезд американс-
ких и многих иностранных университетов, составление списков воз-
можных кандидатов и т.п. процедур. И тут ему исключительно по-
везло. Весной 1932 г. он оказался в Калифорнийском технологичес-
ком института (Калтех) в Пасадене, где находился в качестве приг-
лашенного профессора Альберт Эйнштейн. В день отъезда Флекснер
был представлен Эйнштейну, которому он рассказал о своем проекте.
Эйнштейн проявил большой интерес к проекту, хотя, как пишет
Флекснер, о личном участии речи не было. Однако для Флекснера
было большой поддержкой, что Эйнштейн оценил идею создания та-
кой неформальной организации. Они договорились продолжить об-
суждение проекта позднее в Европе. Летом этого же года Флекснер
встретился с Эйнштейном еще дважды: в Англии и в его загородном
Доме в Потсдаме, под Берлином. В результате этих бесед, Флекснер
передал Эйнштейну официальное приглашение в Институт. Однако,
учитывая его более раннее обязательство перед Калтехом, он появил-
ся в Принстоне только в 1933 г.
Следующим кандидатом стал Герман Вейль, которого Флекс-
нер посетил в Геттингене. В это время Вейль, ученик Гильберта,
76 Математика XIX —XX веков J
стал его преемником на кафедре в Геттингенском университете.!
Вейль выразил сомнение по поводу своего переезда в Америку.
Однако в дальнейшем деятельность нацистов в Германии заставила
Вейля пересмотреть свою позицию. Надо сказать, что Герман
Вейль возник в списке кандидатов не случайно. Перед посещением
Эйнштейна в Берлине Флекснер побывал в Париже и беседовал с
Жаком Адамаром. И Адамар сказал ему: «Вы должны начать с
Германа Вейля».
Далее он пополнил список сотрудников профессорами Принс-'
тонского университета —геометром Освальдом Вебленом и тополо-
гом Джеймсом Александером, профессором Гарвардского универси-
тета Марстоном Морсом и молодым, но уже имеющим мировую
славу, математиком из Берлинского университета Джоном фон Ней-
маном. В этот период фон Нейман читал лекции в Принстонском
университете. Надо сказать, что с приглашениями американских ма-
тематиком у Флекснера были «политические» трудности. Ему хоте-
лось пригласить, что естественно, самых крупных американских ма-
тематиков (коих было не так уж и много), но при этом не быть об-
виненным в «переманивании». С принстонскими профессорами
было проще всего, так как они сохраняли свои позиции в универси-
тете. С профессорами других университетов было труднее. Но
Флекснер справился и с этой задачей. Забавно, что в случае с Мар-
стоном Морсом ему неожиданно повезло. В этот период жена Мор-
са сбежала с другим профессором —математиком Гарвардского уни-
верситета, и для Морса было очень кстати покинуть Гарвард.
В предвоенные годы Школа математики пополнилась такими
выдающимися учеными-математиками, как Хасслер Уитни и Курт
Гедель.
Абрам Флекснер пробыл на посту директора до 1939 г. В пе-
риод его директорства выработались и укрепились те принципы,
которыми Институт руководствуется и в настоящее время.
Институт имеет очень маленький постоянный штат сотрудни-
ков. Каждый год приезжают на различные сроки ученые из раз-
ных стран. Отбор «визитеров» очень ответственное дело, т.к. каж-
дый год поступает огромное число заявок, а Институт может при-
нять не более 120—140 человек в год. Отбор производит комиссия,
состоящая из постоянных членов Института. Ни директор, ни кто
либо из членов попечительского совета (Board of Trustees), никто
другой не может вмешиваться в процесс отбора. Директор только
утверждает список и от его имени формально посылается пригла-
шение. Решение принимается большинством голосов. Даже во вре-
мена Эйнштейна, сам Эйнштейн имел право лишь на личного ас-
систента, но уже приглашение обычного «визитера» он должен
был согласовывать с другими профессорами Института (faculties).
Эта процедура отбора «визитеров» сохранилась практически без
изменения и в наши дни.
уЛ И .Монастырский
77
После войны, вместе с появлением в качестве директора Р.Оп-
пенгеймера, была организована Школа естественных наук, включа-
ющая физику и астрономию. Среди постоянных сотрудников Шко-
пЫ физики, получивших приглашение на постоянную работу, мы
видим таких крупнейших ученых как Т.Д.Ли, Ч.Янг, Ф.Дайсон,
Т.Редже, М.Розенблют. Особенно сильной является математическая
школа. Помимо уже упомянутых математиков, в Институте в разное
время работали и другие крупные математики: Хариш-Чандра, Анд-
ре Вейль, Деан Монтгомери, Карл Зигель, Джон Милнор, Ларс
Хермандер, Майкл Атья, Арне Берлинг, Шинг-Тунг-Яо. В настоя-
щий момент Школа математики имеет следующий состав: Жан Бур-
ген, Пьер Делинь, Энрико Бомбиери, Ави Вигдерсон, Роберт Ленг-
лендс, Роберт Макферсон, Томас Спенсер и почетные профессора
(emeritus) Ат ле Сельберг и Арман Боре ль. Директором Института
также является математик — профессор Филипп Гриффитс.
Научная жизнь. Как же организована современная научная
деятельность Института. Я, естественно, ограничусь Школой мате-
матики и, частично, Школой естественных наук.
Научная деятельность обеих школ исключительно интенсив-
ная. В последние годы в Школе математики принята следующая
схема. Организуется специальная программа, на которую пригла-
шается руководитель, он получает статус специально приглашенно-
го профессора. В рамках этой программы организуются циклы
лекций, проводятся семинары. Большая часть приглашений также
связана с этой программой. Например, за последние годы были ор-
ганизованы программы по математическим вопросам квантовой те-
ории поля (совместно со Школой естественных наук), по теории
автоморфных функций и L-функциям, топологии—«А* гомотопи-
ческой теории» и проблемам вычислительной и дискретной матема-
тики. Появление последней темы связано как с новыми тенденция-
ми в математике (большей связи «чистой» и «прикладной» ее вет-
вей), так и конкретно с приглашением на постоянную работу моло-
дого, но уже знаменитого математика Ави Вигдерсона, лауреата
премии Неванлинны.
Помимо основной программы, проводится большое количество
семинаров по различным областям математики. Докладчиками
приглашаются крупнейшие специалисты в соответствующих облас-
тях. Институт живо откликается на новые веяния в науке. Напри-
мер, в рамках междисциплинарной программы, выделена новая
тема —«Программа по теоретической биологии». Ею руководит ма-
тематик Мартин Новак. Она финансируется в основном из специ-
ального директорского фонда.
В последние годы Институт старается популяризировать физи-
ко-математические знания. Для широкой публики читаются лек-
ции, посвященные замечательным открытиям последних лет. На-
пример, в начале 1999 г., когда я находился в Институте, была
78 Математика XIX —XX BeKoiJ
прочитана лекция, посвященная решению знаменитой проблемы
Кеплера о наиболее плотной упаковке пушечных ядер. Лекции)
прочел автор решения — профессор Мичиганского университета То-
мас Хзйлс. В последние годы в Институте один семестр проводит
профессор Принстонского университета Эндрю Уайлс, доказавннЛ
классическую теорему Ферма. Связь с Принстонским университе-'
том очень важна для деятельности Института. Помимо совместна
проводимых семинаров и издания одного из самых влиятельны^
журналов «Annals of Mathematics», Институт часто приглашаем
молодых математиков (в основном имеющих ученую степень) из
Принстонского университета. Неформальное общение молодых ма-
тематиков с крупнейшими учеными создает неповторимую атмос-J
феру научного творчества.
Все в Институте продумано до мелочей. Учитывая, что многие'
«визитеры» приезжают надолго и с семьями, созданы замечателм
ные условия для жизни. Прекрасные домики, расположенные в
пяти минутах ходьбы от Института. Замечательная столовая, с по-
варом-французом. Ежедневные чаепития в 3.30 с домашним пе-
ченьем, где встречаются сотрудники разных Школ. Очень хорошая
библиотека. Все зто создает абсолютно домашнюю атмосферу!
Нельзя не сказать несколько слов о секретариате дирекции и
Школ. Все они исключительно профессиональны и доброжелатель-
ны. Я до сих пор вспоминаю секретаря директора Арлен Хастингс,
и Мишель Сэж, администратора Школы естественных наук.
Научные результаты Института высших исследований. Сей-i
час, спустя 70 лет после создания Института можно подвести опре-
деленный итог. Каковы успехи Института в научной деятельности,
то ради чего создавался Институт? Оправдались ли надежды его ос-
нователя? Это весьма не простой вопрос. Конечно, уже то, что Инс-
титут стал приютом для Альберта Эйнштейна, сыграло исключи-
тельную роль в жизни Института и сделало его самым авторитет-,
ным научным учреждением Америки. Престиж Института поддер-'
живали ученые масштаба Дж. фон Неймана, Г.Вейля, К.Геделя и
ряд других. Часть из них, имея достижения в прикладных областях
и тесные связи с правительством, например, Дж. фон Нейман, Ро-
берт Оппенгеймер, придали Институту статус верховного судьи во
многих вопросах планирования научных исследований в США
Однако специфика Института такова, что он не предназначен
для проведения крупных исследований с привлечением многих спе-
циалистов. Поэтому ряд ученых, получивших постоянную позицию,
но склонных к работе с учениками или в больших коллективах, че-
рез некоторое время покидали Институт. Например, покинули Инс-
титут физики Нобелевские лауреаты Ли и Янг. Различные причины
заставили уйти и ряд математиков. Но остались истинные патриоты
IAS, например, Атле Сельберг, крупнейший теоретико-числовик, ра-
ботающий в Институте почти 50 лет, или Фримен Дайсон,
м и.Монастырский
79
появившийся в Институте в 1953 г. Работая в IAS, Дж. фон Ней-
ман в соавторстве с О.Моргенштерном написал свою классическую
книгу «Теория игр и экономическое поведение», а Герман Вейль
«Классические группы, их инварианты и представления».
По образцу и подобию IAS, с соответствующими модификаци-
ями, аналогичные институты были созданы в ряде стран, но Инс-
титут высших исследований в Принстоне остается не только ста-
рейшим, но и самым знаменитым из них.
2. Институт высших научных исследований (IHES) [2; 3]
Перенесемся теперь почти на 30 лет вперед, во Францию, где
была сделана следующая попытка создать аналог IAS. Ее автором
был любопытнейший человек —Леон Мотчан (1900—1990). Он ро-
дился в Петербурге в состоятельной русско-швейцарской семье.
После Октябрьского переворота 1917 года он эмигрировал в Швей-
царию, а в 1924 г. переехал во Францию. Его жизнь, полная са-
мых невероятных приключений и событий, включающая работу
импресарио, страхового агента, ассистента физического факультета
в Лозанне, участие во Французском сопротивлении, за которое он
получил Военный крест и медаль сопротивления с лентой, достой-
на отдельной книги.
Леон Мотчан принадлежит к категории людей, потерянных для
России в результате революции. Многие из них, оказавшись за пре-
делами России, сыграли выдающуюся роль в развитии культуры,
науки, промышленности принявших их стран. Можно себе предста-
вить сколь значительна была бы их роль в развитии России, если
бы не трагические события 1917 г. К сожалению, их деятельность
практически неизвестна на родине. Но вернемся к жизнеописанию
Леона Мотчана. Став после войны весьма состоятельным человеком,
он сохранил юношеский интерес к математике. Он опубликовал нес-
колько математических работ в «Comptes Rendus de l’Acad6mie des
Sciences» и защитил в декабре 1954 г. докторскую диссертацию.
По-видимому, это была хорошая работа, так как в состав жюри вхо-
дили такие знамёнитые математики как Поль Монтель, Арно Дан-
Жуа, Жан Фавар и Густав Шоке. У Леона Мотчана была мечта.
Ему хотелось организовать во Франции институт, похожий на Инс-
титут высших исследований в Принстоне. Эта идея ему пришла в
голову в 1949 г., когда он посетил своего старшего брата, жившего
в Принстоне и знакомого с Р.Оппенгеймером.
Дальнейшая история полна самых невероятных трудностей, с
которыми Мотчан столкнулся в сильно социализированной Фран-
ции. Официально датой создания IHES считается 1958 г., а точнее
27 июня 1958 г., когда было проведено первое заседание Админис-
тративного совета и был утвержден Устав. Первым директором
был выбран сам Мотчан. На этом посту он находился до 1971
года. Первоначально Институт снимал помещение в Париже, но
80 Математика XIX —XX веной!
позднее Мотчану удалось приобрести участок земли в чудесном
местечке—пригороде Парижа—Бюр-сюр-Иветт. Создавая Инсти-
тут, Мотчан хотел, наряду с математикой и теоретической физи-
кой, включить некую гуманитарную дисциплину. Он назвал ее
«Методологией гуманитарных наук». Но эта идея осталась невы-
полненным пожеланием. В реальности получился математический
институт с привлечением нескольких физиков-теоретиков с ярко
выраженным интересом к математике.
В период организации Института во Франции доминировала
сильная алгебро-геометрическая школа. Первыми профессорами!
приглашенными Мотчаном, были Александр Гротендик и Жан
Дьедонне. Гротендику было тогда 30 лет, а Дьедонне —за 50. Они
прекрасно дополняли друг друга. Гротендик в этот период был в
пике своей творческой активности. За весьма короткий период он
революционизировал все здание алгебраической геометрии.
Ж.Дьедонне, крупный математик, член группы Бурбаки, очень по-
мог Гротендику в написании первых книг по его теории. Семинар!
организованный Гротендиком и Дьедонне, стал центром притяже-
ния алгебраических геометров всего мира и создал прочную славу
Институту.
В дальнейшем были приглашены для работы в Институт!
крупные математики и других направлений. Так, в 1963 г. появил-
ся тополог Рене Том, а чуть позднее Давид Рюэль, который в Инс-
титуте считался физиком. Но первым реальным физиком в IHES
был недавно скончавшийся Л.Мишель (1923— 1999). До прихода в
IHES он сделал себе имя в области теории элементарных астиц,
но придя в IHES, заинтересовался более математическими аспекта-
ми физики. Основной областью его интересов стало применение
теоретико-групповых методов в физике. В этой области он стал
признанным авторитетом. Надо сказать, что первоначально Л.Мот-
чан хотел пригласить «настоящих» физиков-теоретиков. (Я упот-
ребляю прилагательное «настоящий» для физиков в классическом
смысле слова, т.е. изучающих явления природы и более тесно свя-
занных с экспериментом. Надо ли говорить, что этот эпитет ис-
пользуется лишь для удобства изложения, а не для подчеркивания^
превосходства одной ветви физиков-теоретиков над другой.) Он
вел переговоры с М.Гелл-Маном, но тот после долгих раздумий
отказался. В течение трех лет в Институте работал известный не-
мецкий теоретик Гарри Леман, которому также предложили посто-
янную позицию, но он решил вернуться в Гамбург. Позднее в Инс-
титуте работали специалисты в области математической физики
Ю.Фрелих и О.Ландфорд. В Институте работали в разное время
такие замечательные математики как П.Делинь, Д.Суллеван,
Ж.Бурген. В последние годы наметилось тесное взаимодействие
некоторых разделов теоретической физики, таких как квантовая
теория поля, теория струн с весьма абстрактными областями
и Монастырский
81
математики, включая и столь популярную в IHES алгебраическую
геометрию. Эти тенденции нашли свое отражение в списке профес-
соров IHES. В настоящее время в Институте работают профессора
[4.Громов, Т.Дамур, М.Концевич, Л.Лафорг, Н.Некрасов, Д.Рю-
эль. В состав Института входит также Алан Кон, носящий почет-
ное звание «профессора Леона Мотчана». Он обладает всеми пра-
вами профессора IHES, но его постоянное место работы College de
France. Рене Том является почетным профессором Института. Кро-
ме профессоров в Институте имеется еще несколько прикоманди-
рованных сотрудников Национального центра научных исследова
ний (Centre Nationale de la Recherche Scientifique —CNRS) —глав-
ной научной организации Франции. Их работа в Институте финан-
сируется CNRS.
После Мотчана директорами IHES были крупные математики: с
1971 г. по 1985 г. — Н.Кюпер; с 1985 г. по 1994 г. — М.Берже; с
1995 г.-Жан-Пьер Бургиньон, профессор Ecole Polytechnique, из-
вестный специалист в области дифференциальной геометрии. Любо-
пытно, что и научные интересы двух предыдущих директоров также
близки к геометрии. Особенностью научной политики Института
при приглашении на постоянную работу является ярко выраженное
предпочтение молодым, но уже заявившим о себе математикам.
Практически все профессора Института были приняты в возрасте до
40 лет, а большинство в возрасте около 30 лет и даже моложе. Пра-
вильность таких действий подтверждает, в частности, следующее
наблюдение. Из 10 профессоров математики, работавших и работа-
ющих в Институте, 6 получили медаль Филдса (А.Гротендик,
Р.Том, П.Делинь, А.Кон, Ж.-П.Бургиньон, М.Концевич) и только
один Р.Том пришел в Институт с уже «готовой» медалью. К этому
списку можно добавить и М.Громова, одного из крупнейших совре-
менных геометров, также отмеченного известнейшими научными
наградами (включая премию Вольфа) и членством в ведущих акаде-
миях мира спустя годы работы в IHES.
Надо подчеркнуть истинно интернациональный характер Инс-
титута. Несмотря на то, что с 1980 г. он считается французским
институтом, при приглашении на постоянную работу никакого спе-
циального предпочтения гражданам Франции не делается. Учиты-
вается только квалификация и совместимость с научными интере-
сами и взглядами Института. В списке постоянных сотрудников
Института значительное место занимают представители российских
научных школ. Наряду со «старожилом» IHES, выпускником
мат-меха ЛГУ М.Громовым (принят в 1982 г.), в Институте рабо-
тают выпускник мех-мата МГУ М.Концевич (принят в 1995 г.) и
выпускник Физтеха Н.Некрасов, несколько лет проработавший в
ИТЭФ РАН (принят в 2000 г.).
82
Математика XIX — XX
Институт действует по такой же схеме, как и IAS. Наряду с
небольшим штатом постоянных сотрудников, каждый год в него
приезжают на разные сроки математики со всего мира.
Так же как и в IAS число желающих поработать в Институте
существенно превышает его возможности. Строгий отбор «визите*
ров» осуществляет Научный комитет—высший орган управления
Институтом. В него входят помимо директора и постоянных про-
фессоров несколько специально избираемых известных ученых из
других стран. С момента основания Института членом Комитета
был Роберт Оппенгеймер. В разные годы членами Комитета были
Р.Пайерлс, В.Вайскопф, М.Атья, В.Джонс, Г.Сигал. Помимо
приглашений Комитет выбирает директора и решает все принципи-
альные вопросы научной и практической деятельности Института.!
В Институте весьма активная научная жизнь. Проходит много се-
минаров, издаются до сотни препринтов в год, и выходит под эгидой
Института известный журнал Publications Math&natiques de 1’IHES.
Наряду с регулярными семинарами, например, по алгебрам^
ческой геометрии или математической физике, проходящими круг-
тый год, в Институте организуются специальные семинары или
курсы лекций, посвященные каким-то интересным, новым пробле-
мам. Например, недавно М.Громов организовал новый семинар,
посвященный математическим проблемам в биологии. Со свойст-
венной ему энергией он привлек ряд ведущих биологов и сам про-
читал курс лекций. Научная активность возрастает к лету, когда
многие знаменитые ученые приезжают на каникулы. В течение
ряда лет в IHES на лето приезжал И. М. Гельфанд. Он немедленно
возобновил свой Московский (а теперь продолжающийся в универ-
ситете Ратгерса, Нью-Джерси) семинар. Среди участников семина-
ра были как и те, кто помнит его незабываемый Московский семи-
нар, так и новички — математики разных поколений из университе-
тов Америки и Европы. Руководитель семинара сохранил свою
потрясающую энергию, умение схватить самую суть проблемы, об-
наружить связи между казалось бы совершенно разными пробле-
мами. Появились и новые особенности (пребывание на Западе не
прошло даром!): семинар стал начинаться почти вовремя, да и гла-
ва семинара, комментируя выступления докладчиков сильно по-
мягчел. Годы все же берут свое.
Если сказать, что администрация Института делает все воз-
можное, чтобы «визитеры» чувствовали себя как дома, то это сла-
бо сказано. Исключительно внимательное и доброжелательное от-
ношение со стороны буквально всех сотрудников, многие из кото-
рых работают в Институте не один год, сохраняется в памяти всех,
кому посчастливилось работать в Институте даже самое непродол-
жительное время.
Также как и в IAS, в Институте устраивается ежедневный чай,
где сотрудники и приезжающие ученые знакомятся друг с другом
и обсуждают интересующие их проблемы. Неформальному
л и Монастырский
83
, .еНИю способствуют и превосходные * ланчи». Последние годы
°р<Ь-поваром является Патрик Гурдон, очень веселый и симпатич-
1111Й парень, обеды которого далеко не последнее, что привлекает
посетителей Института.
Предварительные итоги
Организация институтов по типу IAS и IHES оказалась весьма
заразительной. В последние годы появилось много институтов подоб-
ного типа. Наиболее известными и близкими по структуре являются
Математический института Макса Планка в Бонне, Институт Ньюто-
на в Кембридже, Математический институт в Беркли, Институт
Шредингера в Вене, Институт Филдса в Торонто, Институт Эйлера в
Санкт-Петербурге, Институт Миттаг-Леффлера в Стокгольме. Все
перечисленные институты—математические в современном понима-
нии математики и ее приложений. Их польза несомненна, они спо-
собствуют выработке высоких стандартов исследований, укрепляют
международное сотрудничество, помогают научной молодежи быстрее
войти в крут наиболее интересных, животрепещущих проблем совре-
менной науки. Но пока ни один из них не может сравниться с IAS и
IHES. И дело даже не только в отсутствии Эйнштейна, фон Неймана
или Гротендика с одной стороны и Абрама Флекснера и Леона Мот-
чана с другой. И Институт в Принстоне, и Институт в
Бюр-сюр-Иветте возникли в определенную историческую эпоху, на-
ложившую своеобразный отпечаток на всю их деятельность. Каждая,
даже блестящая идея, включая организационную, допускает весьма
малое тиражирование. Даже самая замечательная копия уступает
оригиналу. Когда же копирование ставится на поток, то теряется ис-
ключительность события и возникает ощущение обыденности. Станут
ли элитарные институты типа IAS и IHES такими же естественными
структурными элементами в системе научных исследований как уни-
верситеты или крупные многопрофильные институты покажет буду-
щее. Но то. что оба института сыграли выдающуюся роль в развитии
науки XX столетия, ясно уже сейчас.
Список литературы
Г Flexner A. I remember. New York: Simon & Schuster, 1940.
2- Les relations entre les math£matiques et la physique thtorique // Festschrift for the
40th anniversary of the IHES. Publication IHES, 1998.
3- Petit memorial pour les 40 ans de 1’IHES. IHES, 1999.
МАТЕМАТИКА НА ПОРОГЕ XXI ВЕКА
«МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ»
Д.ГИЛЬБЕРТА И МАТЕМАТИКА XX ВЕКА1)
С.С.Демидов
1. Математика и математическое сообщество
на рубеже XIX—XX веков
На последнюю треть XIX века пришлось начало небывалого
прежде роста математической активности: быстро возрастало число
математических публикаций, математических журналов, начали
выходить даже специальные историко-математические издания, в
наиболее развитых странах возникали математические общества.
Все многообразней становилась деятельность математического со-
общества, численность которого — прежде всего за счет увеличения
корпорации преподавателей высших и средних учебных заведе-
ний—быстро возрастала. И, что особенно важно, деятельность эта
приобретала международный характер. В 1871 г. в Берлине начал
публиковаться реферативный журнал по математике «Jahrbuch
iiber die Fortschritte der Mathematik». В 1885 г. Французское мате-
матическое общество приступило к реализации международного
проекта по созданию <R6pertoire bibliographique des sciences
math6matiques» [1; 2].
В 1897 году в Цюрихе прошел I Международный математичес-
кий конгресс, собравший более 200 участников. В нарождавшемся
международном научном сообществе царило ощущение подъема.
Приближавшееся XX столетие рисовалось общественному созна-
нию как период постепенного вступления человечества в царство
идеалов справедливости, в век торжества разума, культуры. Эти
настроения замечательным образом иллюстрируются довольно
1) Работа выполнена при финансовой поддержке Российского гуманитарного на-
учного фонда (код проекта №01-03-00259)
85
с сДсмидрв
аивными и безыскусными стихами Н.В.Бугаева1, профессора
Московского университета, одного из вице-президентов Первого
между народного конгресса математиков, которыми он в заверше-
нии своего цюрихского доклада так обрисовал высокое назначение
человека наступавшего века [3, с. 118]:
«Но с поднятым челом и с возгласом свобода!
В обетованный край своих лазурных снов,
Сквозь бурю, ливень, мрак, к долине тихой рая,
Шатаясь, падая, под ношей крестных мук.
Вперед идет титан, на миг не выпуская
Хоругви права и добра из мощных рук.
И гордо говорит: Кто-б этот пыл священный
Мне в душу не вдохнул, карая иль любя,
Игра бездушных сил, иль разум сокровенный,
Вновь погасить его нет власти у тебя!
Мертва ты и слепа в своей красе суровой,
А я согрет огнем бессмертного ума.
Из книги бытия, законодатель новый,
Я вычеркну порок, скажу— погибни, тьма!
Скажу: зажгись рассвет! Взойди эдем в пустыне,
Где след я оставлял тяжелого труда!
И будешь ты сама служить моей святыне,
Иль я с лица земли исчезну навсегда...»
Радужным виделось и будущее математики и математического со-
общества. В обстановке творческого подъема и больших надежд в ав-
густе 1900 года в Париже под председательством А. Пуанкаре открыл-
ся II Международный математический конгресс. Конгресс собрал 226
участников. Самой большой делегацией (90 человек), естественно,
была представлена Франция. 25 человек приехали из другой ведущей
математической державы того времени—Германии. 17—из США, ма-
тематическая звезда которых только начала восходить, 15—человек из
Бельгии, 9 —из России, по 8—из Австро-Венгрии, Швейцарии, Вели-
кобритании, Швеции, 4 —из Дании, по 3 человека из Голландии, Ис-
пании, Румынии, по 2 —из Сербии и Португалии, по одному —из Ка-
нады, Греции, Норвегии, Мексики, Турции и Японии.
Работа конгресса протекала на 6 секциях: 1) Арифметики и
алгебры; 2) Анализа; 3) Геометрии; 4) Механики и математичес-
кой физики; 5) Истории и библиографии; 6) Преподавания и ме-
тодологии, и на двух пленарных заседаниях. Первое пленарное за-
седание состоялось в день открытия конгресса. На нем выступили
М. Кантор с докладом об историографии математики со времен
Ж-Монтюкла и Г.Либри и В.Вольтерра с обзором творчества
Э.Бетти, Ф.Бриоски и Ф.Казорати. Второе пленарное заседание
прошло в день закрытия конгресса. На нем Г. Миттаг-Леффлер
Рассказал о последних годах жизни К. Вейерштрасса по его пись-
мам к С.В.Ковалевской, и А.Пуанкаре прочитал доклад «О роли
интуиции и логики в математике».
Математика на пороге XXI ве
2. «Математические проблемы» Д.Гильберта
8 августа на объединенном заседании пятой и шестой секций!
докладом «Математические проблемы» выступил Д.Гильберт.
Само время проведения конгресса — предверие нового XX сто?
летия — настраивало Гильберта на провидческий лад. «Кто из НД
не хотел бы приоткрыть завесу, за которой скрыто наше будущЯ
чтобы хоть одним взглядом проникнуть в предстоящие успехи на?
шего знания и тайны его развития в ближайшие столетия? Каковы
будут те особенные цели, которые поставят себе ведущие математи-
ческие умы ближайшего поколения? Какие новые методы и новые
факты будут открыты в новом столетии на широком и богатом
поле математической мысли?»— такими словами открывается опуб-
ликованный текст доклада [4, с. 13]. И Гильберт предлагает способ
проникновения в «завтра»: «Чтобы представить себе возможны!
характер развития математического знания в ближайшем будущем,
мы должны перебрать в нашем воображении вопросы, которые еще
остаются открытыми, обозреть проблемы, которые ставит совре-
менная наука, и решения которых мы ждем от будущего. Такой
обзор проблем кажется мне сегодня, на рубеже нового столетия,
особенно своевременным. Ведь большие даты не только заставляют
нас оглянуться на прошедшее, но и направляют нашу мысль в не-
известное будущее» [4, с. 13]. Так осторожно подходит Гильберт!
задаче прогнозирования развития математического знания. Он
предлагает математикам список таких проблем, относящихся к раз-
ным разделам их науки. В произнесенном докладе их было 102, а
в опубликованном — 233.
Решение проблем Гильберта составляет одну из наиболее инте-
ресных и содержательных страниц истории математики XX века
Желающих ближе ознакомиться с ней отсылаем к специальной ли-
тературе [5—12]. (Наиболее полную сводку результатов по проб]
лемам, а также литературу вопроса см. в комментариях к [12].)
Мы же ограничимся краткой характеристикой положения дел с ре-
шением проблем и попытаемся сформулировать несколько общих
вопросов, возникающих в связи с анализом истории зарождения
этих проблем и процесса их решения. На некоторые из этих вопро-
сов мы предложим свои варианты ответов, используя материалы,
касающиеся лишь двух проблем—19-ой и 20-ой.
3. Успехи в решении проблем Гильберта—
взгляд с высоты птичьего полета
Под номером один в списке значится знаменитая проблема
континуума, над решением которой безуспешно трудились многие
выдающиеся математики, начиная с самого Г.Кантора. Лишь в
1963 г. в результате усилий в направлении, которое в начале века
трудно было предвидеть и которое в 1940 г. указал К. Гёдель,
П.Коэн доказал, что континуум-гипотеза представляет собой утвер-
ждение, независимое от системы аксиом Цермело-Френкеля.
87
^^ДеМИДОД
Вторая проблема (доказательство непротиворечивости арифме-
\ как показал К.Гедель (1931), финитными средствами, а на
ТИ м настаивал Гильберт, оказалась неразрешимой. Хотя такое до-
ЭТчЯТельство с привлечением более сильных средств получить уда-
К Г.Гентцен (1936), П.С.Новиков (1943).
лось
Третья проблема, о существовании неравносоставленных тет-
паэдров с равными основаниями и высотами, была решена очень
быстро — М-Деном уже в 1901 году. Этим была доказана невозмож-
ность построения стереометрии без применения инфинитезималь-
ных методов.
Четвертая проблема —определение всех проективных метрик —
была решена сравнительно рано (Г.Гамель, 1903 г.) и породила
значительную литературу.
Решение пятой проблемы (которая в современной формули-
ровке звучит так—доказать, что всякая связная локально-евклидо-
ва топологическая группа топологически изоморфна некоторой
группе Ли) было достигнуто лишь в 1952 г. А.Глисоном, Д.Монт-
гомери и Л.Циппиным, как итог последовательных приближений,
отмеченных именами Дж. фон Неймана (1933), Л.С.Понтрягина
(1936), К.Шевалле (1941), А.И.Мальцева (1946).
Шестая проблема носит чрезвычайно общий характер —аксио-
матизация физики и теории вероятностей. Оставляя в стороне фи-
зику (ее аксиоматизация — отдельный и очень важный вопрос ес-
тествознания XX века), скажем только, что общепринятая ныне
аксиоматика теории вероятностей была предложена А.Н.Колмого-
ровым в 1933 г.
Седьмая проблема —выяснение природы чисел вида при ал-
гебраическом а 0, 1 и алгебраическом и иррациональном р. Она
была решена в 1934 г. А.О.Гельфондом и Т.Шнейдером, доказав-
шим их трансцендентность.
Восьмая проблема — совокупность задач теории простых чисел.
На пути их решения были получены известные результаты Г.Хар-
Ди (1914), Л.Г.Шнире; ьмана (1930), И.М.Виноградова (1937),
А.Вейля (1941). Однако ни одна из них —ни проблема нулей дзе-
та-функции Римана, ни проблема Гольдбаха, ни проблема близне-
цов до конца до сих пор не решена.
Девятая проблема — нахождение общего закона взаимности.
После целого ряда исследований (Э.Артин, Г.Хассе и др.), в кото-
рых устанавливались частные его случаи, этот вопрос для любых
полей алгебраических чисел был решен И.Р.Шафаревичем в 1948 г.
Десятая проблема — алгоритмическая разрешимость диофанто-
вых уравнений произвольных степеней с любым числом неизвест-
ных—была решена в 1970 г. Ю.В.Матиясевичем, показавшим, что
алгоритма, выясняющего имеет ли полиномиальное диофантово
Уравнение целочисленное решение, не существует.
88
Математика на пороге XXI ВеКа
Одиннадцатая проблема — построение теории квадратичных фор Л
с любым числом переменных и коэффициентами из произвольного
поля алгебраических чисел—была решена в 1924 г. Г. Хассе.
Двенадцатая проблема — обобщение теоремы Кронекера-ВеберJ
на произвольные поля алгебраических чисел. Окончательное реше-
ние получили Г.Шимура и Т.Танияма в 1961 г.
Тринадцатая проблема — гипотеза о невозможности решения',
алгебраического уравнения седьмой степени в общем случае пос-
редством суперпозиции непрерывных функций только двух пере-
менных. Она была опровергнута в 1956 — 1957 гг. в работах
А.Н.Колмогорова и В.И.Арнольда.
Четырнадцатая проблема —доказательство теоремы конечности
в теории инвариантов для произвольных алгебраических групп.
Результаты в этом направлении для различных групп были полу-
чены Г.Вейлем (1939), М.Нагатой (1964) и В.Хабушем (1975).
Однако в общем случае, как показал контрпример построенный
М.Нагатой в 1959 г., эта гипотеза оказалась неверной.
Пятнадцатая проблема —обоснование так называемой «исчис-
лительной геометрии» Г.Шуберта. Для исчисления над полем ком-
плексных чисел такое обоснование в 1930 г. предложил Б.Л.Ван
дер Варден.
Шестнадцатая проблема —совокупность двух задач. Первая — о
топологии алгебраических кривых и поверхностей. Гильберт выс-
казал гипотезу, касающуюся взаимного расположения ветвей плос-
кой алгебраической кривой шестого порядка. Вопрос о топологии
таких кривых был изучен И.Г.Петровским (1933, 1938). Д.А.Гуд-
ков в 1969 г., построив контрпример, опроверг гипотезу Гильберта.
Вопрос о расположении алгебраических поверхностей четвертой
степени в трехмерном вещественном пространстве был изучем
В. М.Харламовым (1976, 1978, 1984) и В.В.Никулиным (1979).
Что касается второго вопроса о числе предельных циклов диффе-
ренциального уравнения dyldx = P(x,y)/Q(x,y\ где Р(х,у) и
(Хх, г/)—многочлены степени п, то он до сих пор остается без ответа-Т
Семнадцатая проблема —о представимости рациональной фун-
кции от п переменных с рациональными коэффициентами, неотри-
цательной во всех вещественных точках, суммой квадратов рацио-
нальных функций с рациональными коэффициентами —была в по-
ложительном смысле решена Э.Артиным в 1927 г.
Восемнадцатая проблема—три задачи, относящиеся к теории
дискретных групп движений евклидовых пространств. Первая—о
числе кристаллографических групп в Rn —была решена Л.Бибер-
бахом в 1910 г., доказавшим конечность числа таких групп. Вто-
рая—могут ли полиэдры любого наперед заданного разбиения!
пространства Rn служить фундаментальными областями некоторой
группы движений. Отрицательный ответ на этот вопрос дал
К.Рейнгардт в 1928 г. Третий вопрос —о плотнейшей упаковке ша-
ров в Rn —остается открытым.
С С. Демидов
89
Результаты по девятнадцатой и двадцатой проблемам, относя-
щимся к теории эллиптических дифференциальных уравнений с
частными производными, будут обсуждены в следующем разделе.
Двадцать первая проблема — вопрос о существовании системы
линейных дифференциальных уравнений с заданной группой мо-
нодромии, до недавнего времени считался решенным в положи-
тельном смысле: решение связывалось с работой И.Племеля
1908 г. Результат Племеля казалось бы подтверждался, отличным
от племелевского, доказательством Г.Биркгофа 1913 г. Однако, в
1990 г. А.А.Болибруху удалось построить контрпример, выявив-
ший ошибочность результата Племеля — Биркгофа.
Двадцать вторая проблема —проблема униформизации анали-
тических отношений посредством автоморфных функций. Для од-
номерных комплексных многообразий ее решение было получено
почти одновременно П.Кёбе и А.Пуанкаре в 1907 г. Дальнейшей
разработке, связанных с этим вопросов (в том числе и для размер-
ности выше 1), посвящена большая литература.
Наконец, последняя, двадцать третья проблема, носит, как
видно из самого ее названия—развитие методов вариационного ис-
числения—чрезвычайно общий характер. Ее решение в XX веке
составило содержание целой математической дисциплины.
Итак, на подавляющее большинство, поставленных Гильбер-
том вопросов, получены убедительные ответы4 —не всегда, правда,
ожидавшиеся автором. Так, вряд ли он мог предвидеть оборот, ко-
торый преподнесли исследования по первой или второй пробле-
мам. В целом ряде случаев, высказанные Гильбертом гипотезы (в
текстах десятой, тринадцатой, четырнадцатой, шестнадцатой и
двадцать первой проблем), не подтвердились. Без ответа остались
лишь несколько вопросов, высказанные в восьмой, шестнадцатой и
восемнадцатой проблемах.
Не все 23, поставленные Гильбертом проблемы, равноценны.
Так, если, скажем, методы решения первой, пятой, седьмой, вось-
мой, девятой, двадцать первой или двадцать второй оказались на
магистральных путях развития математики, то положение, напри-
мер, третьей или восемнадцатой проблем следует оценить как зна-
чительно более скромное.
Проблемы различаются также и по степени конкретности —одни
представляют собой достаточно точно сформулированные задачи (вро-
де седьмой проблемы), другие—сформулированные в общем виде
программы развития целых дисциплин (вроде двадцать третьей).
Попытка исторического осмысления феномена гильбертовских
«Математических проблем» ставит перед нами целый ряд вопро-
сов, из которых мы выделим следующие:
1) Каковы предпосылки выдвижения Гильбертом тех или
иных проблем?
2) Как развивалась тематика, поднятая в докладе?
90
Математика на пороге XXI век*
3) Правильно ли угаданы Гильбертом основные пути развития
математики? Действительно ли на путях решения этих проблем
сформировалась значительная часть математики XX века?
Мы постараемся проанализировать эти вопросы на примере
двух проблем—девятнадцатой и двадцатой.
4. 19-я и 20-я проблемы Гильберта и теория эллиптических I
уравнений с частными производными
«Одним из наиболее замечательных обстоятельств в основах
теории аналитических функций я считаю то, что существуют диф-
ференциальные уравнения с частными производными, все интегра-
лы которых необходимо являются аналитическими функциями сво-
их независимых переменных; короче говоря, эти уравнения допус-1
кают только аналитические решения»,—такими словами начинает-
ся текст 19-й проблемы [4, с.53].
«Наиболее известные дифференциальные уравнения в частных
производных этого рода, — продолжает Гильберт,—это уравнение
потенциала
d2f 82f
= 0
а 2 Л 2
8х 8у
и известные дифференциальные уравнения, исследованные Пика-
ром [13], кроме того, дифференциальное уравнение
8х2 + 8у2 С ' 1
дифференциальное уравнение в частных производных минималь-
ных поверхностей5 и другие. Подобные дифференциальные урав-
нения имеют между собой то общее, что они являются дифферен-
циальными уравнениями Лагранжа для известной вариационной
задачи, а именно для следующей задачи
\ j j Г & 8г
F(p,q,z,x,y)dxdy = mm p = — ,q= — ,
d'F
где F — аналитическая функция, удовлетворяющая неравенству
82F 82F
8р2 8q2 {дрёф
для всех значений входящих в нее аргументов. Такую вариацион-
ную задачу мы будем называть р егуляр ной вариационной
задачей. Вариационные задачи, которые играют некоторую роль в
геометрии, механике и математической физике, являются преиму-
щественно регулярными вариационными задачами, и возникает
вопрос должны ли быть все решения регулярной вариационной за-
дачи необходимо анали ти чески ми функциями, то есть
обладает ли каждое дифференциальное уравнение Лагранжа в
91
С СДсмидов
тных производных для регулярных вариационных задач тем
пйством, что оно допускает только аналитические интегралы,
яЖе если, как в случае задачи Дирихле, граничные значения не-
прерывные, но не аналитические» [4,с.53 —54].
р 20-я проблема, тесно связанная с 19-й, ставится Гильбертом
сЛедуюЩим образом: «не допускает ли решение каждая регуляр-
ная вар юционная задача, если только на данные граничные усло-
вия наложены определенные допущения, например, непрерывность
или кусочная дифференцируемость до определенного порядка фун-
кций, определяющих условия на границах, —и если в случае необ-
ходимости самому понятию решения придать расширенное тол-
кование» [4, с.55].
Из множества проблем, которые ставила современная теория
дифференциальных уравнений с частными производными, Гиль-
берт выбрал две — относящиеся к теории эллиптических уравнений.
Чтобы оценить этот выбор, обрисуем в нескольких словах об-
становку, сложившуюся к тому времени в теории дифференциаль-
ных уравнений с частными производными.
В XIX веке различали два круга вопросов, две теории, кото-
рые мы сегодня бы отнесли к теории дифференциальных уравне-
ний с частными производными: общую аналитическую теорию та-
ких уравнений и теорию уравнений математической физики. Как
писал в предисловии к своей магистерской диссертации Д.Ф.Его-
ров: «Аналитическая теория уравнений с частными производными
2-го порядка отделилась от математической физики, благодаря
принципиальной разнице в самой постановке вопроса при изыска-
нии интеграла данного уравнения, в зависимости от того рассмат-
ривается ли оно самостоятельно или же как уравнение определен-
ной задачи физики. Действительно, всякая физическая задача при-
водит к определению функции, удовлетворяющей не только урав-
нению с частными производными, но еще некоторым начальным и
предельным условиям, в силу которых задача является вполне оп-
ределенной; искомая функция может быть найдена тем или иным
приемом (разложением в ряд, при помощи определенных интегра-
лов), причем в выражение ее не входит никаких произвольных ве-
личин. Между тем, раз задачей нашей является определение функ-
ции, удовлетворяющей только данному уравнению с частными про-
изводными, то в выражение этой функции необходимо должны
входить произвольные величины, и является желательным опреде-
лить как степень произвола самого общего решения, так по воз-
можности и само это решение» [16, с.И].
Такое различение было общепринятым и сохранялось еще в
Первое десятилетие XX века —обеим теориям посвящались свои мо-
нографии, свои статьи в немецкой энциклопедии математических
наук. Однако общая картина мало-помалу менялась.
Еще в 1864 году П.Дюбуа-Реймон писал: «Если под общим
интегралом понимать аналитическое выражение, содержащее все
92
Математика на пороге XXI века
частные интегралы, то такового, на мой взгляд, вообще говоря, не
существует... Напротив, дифференциальные уравнения с частными
производными приходится рассматривать совместно с граничными
значениями, как целое, и нельзя разрывать их при исследовании»
[17, C.VII VIII].
После того как тот же Дюбуа-Реймон дал в 1889 г. [ 18] общеп-
ринятую ныне классификацию уравнений по типам — эллиптичес-
кие, параболические и гиперболические —начала выстраиваться но-
вая общая теория уравнений с частными производными —теория
краевых задач для уравнений таких (а также смешанного) типов.
Одним из пионеров нового подхода стал Э.Пикар. Этот процесс
трансформации (о нем см. также [19]) хорошо различим в ретрос-
пективе, но плохо угадывался еще в конце XIX —начале XX века.
Так, в своей речи, произнесенной в Харькове в 1913 г. на защите]
докторской диссертации, С.Н.Бернштейн вспоминал: «Аналитичес-
кое направление в теории дифференциальных уравнений утверди-
лось недавно; и еще семь лет тому назад покойный А.Н.Коркин в
беседе со мной пренебрежительно отзывался о “декадентских" ис-
следованиях А.Пуанкаре. Но ввиду блестящих ежедневных успе-
хов новых идей, плодотворность и жизненность их не подлежи»
уже никакому сомнению, и теперь никто не станет серьезно возра-
жать против того, что теория конечного интегрирования потеряла
самостоятельное значение и является только частью быстро разви-
вающейся общей или аналитической теории дифференциальных
уравнений» [20, с.211]. Стала частью, —повторим мы вслед за Бер-
нштейном и от себя добавим, — частью мало-помалу становившейся
маргинальной вплоть до последнего времени, когда она стала
вновь выходить на передний край математических исследований
(об этом см. ниже).
Конечно, не удивительно, что молодой математик масштаба
Гильберта правильно уловил современную тенденцию развития те-
ории дифференциальных уравнений с частными производными,
выбрав из всего множества ее проблем лишь те, которые относи-
лись к новой «декадентской» ее ветви. Самое удивительное —точ-
ность выбора самих проблем. Ведь эти проблемы, 19-я и 20-я, ока-
зались чрезвычайно перспективными. Они, по свидетельству круп-
нейших специалистов в теории уравнений с частными производны-
ми [21, с.8], определили основной путь развития теории квазили-
нейных эллиптических уравнений в XX столетии.
Замечателен сам порядок задач, избранный Гильбертом. Каза-
лось бы логично было бы вначале поставить вопрос о существова-
нии решения граничной задачи для эллиптических уравнений (20-я
проблема) и лишь затем поднимать вопрос о гладкости этого реше-
ния (19-я проблема). Выбранная Гильбертом последовательность,
указывала на то, что вопрос ставился об априорных свойствах ре-
шений в отвлечении от проблемы их существования. Такой подход
Г С. Демидов
93
оказался в дальнейшем чрезвычаино плодотворным и в конце кон-
цов привел к современной теории априорных оценок, которая, в
частности, позволяет из наличия априорной оценки некоторой нор-
мы решения вывести заключение о существовании самого решения.
Современная постановка 20-й проблемы Гильберта такова: «Если
имеется априорная ограниченность каких-либо слабых норм всех
возможных решений краевой задачи (например, их максимумов
модулей), то имеется и ее разрешимость» [21, с.И].
Замечательным является и то, что ставя задачу существования
решения граничной задачи для эллиптического уравнения, Гиль-
берт говорит не о классическом решении, а об обобщенном («если
в случае необходимости самому понятию решения придать расши-
ренное толкование»), понятие которого еще не было введено в ма-
тематику. Сделанное Гильбертом указание на возможность обобще-
ния понятия решения —одно из первых (если не первое!) в исто-
рии математики, хотя де-факто такие решения появлялись и ранее.
Еще Л.Эйлер, допуская в качестве функций, задающих начальную
форму струны, произвольные непрерывные (в его терминоло-
гии—«разрывные») функции, по существу, рассматривал обобщен-
ные решения [22]. По существу, обобщенное решение уравнения
Лапласа рассматривает Б.Риман в своей знаменитой диссертации
«Основания общей теории функций одного комплексного перемен-
ного» 1851 г. [23]. Уже осмысленно, как новое математическое по-
нятие, обобщенные решения используют М.Бохер (1905—1906),
Г.К.Эванс (1920), Н.Винер (1926—1927), К.Фридрихе (1934),
Ж.Лерэ (1934), С.Л.Соболев (1935-1936).
Девятнадцатой и двадцатой проблемами Гильберт задавал не-
которую программу исследований по эллиптическим уравнениям с
частными производными. При этом, если 20-я проблема выглядит
вполне традиционно —доказать теорему существования решения
граничной задачи для уравнения достаточно общего вида (нетради-
ционным представляется лишь указание на класс самих реше-
ний—обобщенные решения), то 19-я проблема—некоторая гипоте-
за. Попробуем понять из каких предпосылок исходил, предлагая
ее, Гильберт.
5. Предпосылки постановки 19-й проблемы
Изучение нелинейных эллиптических уравнений к началу XX
столетия едва началось. Кроме результатов, относящихся к уравне-
ниям типа
( ди du А
Ди = Г х, у, и, —, —
V дх ду)
(Э.Де Руа [24], Э.Пикар [25]), можно насчитать лишь небольшое
Число работ, посвященных исследованию конкретных нелинейных
Уравнений, например, уравнению Ли = еи — Э.Пикар [26], А.Пуанка-
ре [27]. Поэтому особо интересен вопрос о предпосылках, которые
94
Математика на nopoie XXI
могли послужить для Гильберта исходной точкой для постанов^
проблемы столь большой общности как 19-я проблема.
Уже некоторое время до Конгресса Гильберт занимался изуЧе_
нием комплекса вопросов, связанных с принципом Дирихле-
вспомним его доклад 1899 г. на заседании Deutsche Mathematische
Vereinigung [28], в котором он предпринял первую попытку «возв-
ращения к жизни принципа Дирихле» [12, с.10]. Так что 19-я и
20-я проблемы —итог его размышлений о природе решений эллип-
тических уравнений.
Что касается гипотезы, составляющей содержание 19-й пробле-
мы, то ко времени ее постановки имелись результаты, которые
могли послужить Гильберту основанием для ее выдвижения. Было
известно об аналитичности решений ряда уравнений. О некоторых
таких уравнениях упоминает в своем докладе сам Гильберт.
Из других результатов, судя по всему также известных Гиль-
берту, отметим следующие.
В 1890 году в работе [25] Э.Пикар показал, что если в области
D плоскости х, у рассматривается уравнение Дм = F{u,x,y), при
этом функция F(u,x,y) обладает в D частными производными по
и, х, у до порядка (и - 1) включительно, то решение и этого уравне-
ния в свою очередь п раз дифференцируемо. В случае, если
F— аналитическая функция, то решение будет бесконечно диффе-
ренцируемо. Возникало предположение, что, используя тот же ме-
тод последовательных приближений, который применял Э Пикар,
можно доказать и аналитичность решения и. Во всяком случае в
своей энциклопедической статье А.Зоммерфельд так и писал:
«Этот способ доказательства будет, по-видимому, достаточен для
доказательства свойств аналитичности решения м» [29, с.535] Так,
наверное, считал и Гильберт, ставя аналогичную задачу перед сво-
им учеником Г.Люткемейером для более общего уравнения
Дм = F(ux ,иу ,и,х,у),
которую тот успешно решил [30]6.
Кроме этого у Гильберта были соображения философского ха-
рактера, о которых рассказал впоследствии С. Н. Бернштейн: «Ког-
да я спросил Гильберта, каковы общие соображения, которые при-
вели его к предположению, доказанному мною впоследствии, что
все решения регулярных задач вариационного исчисления анали-
тичны, знаменитый геометр ответил, что он считает, что решения
всех естественно поставленных задач должны быть аналитически-
ми» [32, с.434].
Таким образом, при выдвижении гипотезы, составлявшей со-
держание 19 й проблемы, Гильберт руководствовался собственным
опытом, основанной на этом опыте интуицией (математической и
философской), наконец, хорошим знанием математической литера-
туры вопроса, т.е. коллективным опытом сообщества.
c.cj^h^-
95
g ^9>я и 20-я проблемы и математика XX века
Мы уже говорили о том, что 19-я и 20-я проблемы Гильберта
прлелили основное направление развития всей теории квазили-
оПя5ых эллиптических дифференциальных уравнений в XX веке.
Эта область стала одной из наиболее активно и успешно разраба-
тываемых ветвей математики столетия. Ее развитием активно зани-
мались в Германии и в США (ученики Гильберта —Э.Хопф, Л.Ни-
пенберг, Ч.Морри), советская (С.Н. Бернштейн, И.Г.Петровский,
О А.Ладыженская и др.) и итальянская (Л.Тонелли, Э.де Джорд-
жи Э.Джусти, М.Миранда и др.) школы. История этих исследо-
ваний требует объема большой книги. Мы же ограничимся наброс-
ком некоторых основных ее событий.
Первое решение 19-й проблемы было дано в 1903 г. С.Н.Берн-
штейном [15; 33], который решил ее в предположении, что реше-
ние является трижды непрерывно дифференцируемым
и е С3.
В дальнейшем этот результат улучшался и обобщался. Посте-
пенно снижалась априорная гладкость решения до С3:
и еС2
(Л.Ниренберг, 1953). Результаты обобщались на случай многих пе-
ременных (Э.Хопф, 1931) и на системы эллиптических уравнений
(И.Г.Петровский, 1937).
Что касается 20-й проблемы, то ее постановка трансформиро-
валась в следующую, поставленную для краевых задач эллиптичес-
ких дифференциальных квазилинейных уравнений: если имеется
априорная оценка некоторой слабой нормы решения краевой зада-
чи, то отсюда следует разрешимость этой задачи. Успехи в ее ре-
шении связаны с именами С.Н.Бернштейна, Л.Тонелли, Ч.Морри.
В результате, для регулярной вариационной задачи было дока-
зано (Л.Тонелли, Ч.Морри) существование обобщенных решений,
т.е. решений, обладающих обобщенными производными 1-го по-
рядка, суммируемыми с некоторой степенью
т > 1.
Что касается результатов по 19-й проблеме, рассматриваемой
применительно к регулярной вариационной задаче, то априорную
гладкость для нее удалось снизить до Q (Ч.Морри, 1954).
Таким образом, между гладкостью решения регулярной вариа-
ционной задачи, достигаемой теоремами существования такого ре-
шения (20-я проблема), и априорной гладкостью, требуемой для
аналитичности такого решения (19-я проблема), возникал зазор.
Возникла новая проблемы по смыканию результатов по 19-й и 20-й
проблемами.
Такой результат для регулярных функционалов вида
jf(ux)dx
я
96 Математика па пороге XXI век,
получил в 1957 г. Э.де Джорджи [34]. Обобщение этого результа-
та на общие многомерные функционалы вида
jf(x,u,ux)dx
п
было получено в 1960 г. О.А.Ладыженской и Н.Н.Уральцевой [35]
Наконец, в 1968 г. Ч.Морри установил [36], что обобщенные
решения аналитической системы эллиптических уравнений произ-
вольного порядка в многомерном случае будут аналитическими g
окрестности любой точки области существования за исключением
точек, составляющих замкнутое множество меры нуль. Как показа-
ли примеры, построенные почти одновременно Э.де Джорджи
[37], Э.Джусти и М.Миранда [38] и В.Г.Мазья [39], результат
Ч.Морри, в известном смысле, неулучшаем и, следовательно, сое-
динение результатов по 19-й и 20-й проблемам в этом самом общей
случае невозможно.
Из предложенного нами (по необходимости чрезвычайно по-
верхностного) обзора основных результатов, связанных с решени-
ем 19-й и 20-й проблем, хорошо видно, что Гильберт правилы®
угадал (или же хорошо наметил) основные пути развития одной из
важнейших ветвей анализа XX века —теории квазилинейных эл-
липтических дифференциальных уравнений с частными произвол
ными, которую можно отнести к замечательнейшим достижениям
математики XX столетия. Избранный им порядок проблем выве^]
на передний план априорные свойства решений уравнений, а идея
«самому понятию решения придать расширенное толкование» ста-
та одной из ведущих в теории уравнений столетия.
К минусам постановки этих гильбертовских проблем следует
отнести формулировку исключительно для случая двух независи-
мых переменных. В конце XIX века математики (в том числе, оче-
видно, и Гильберт) полагали, что перенос полученных результатов
на случай многих переменных представляет собой исключительно
техническую задачу. Впоследствии, однако, оказалось, что это сов-
сем не так.
7. Проблемы Гильберта и математика XX века
Конечно, не все предложенные Гильбертом проблемы были
поставлены столь же удачно как 19-я и 20-я. Но —и это глав-
ное — большинство из них оказались на магистральных путях раз-
вития математики. Значительная часть математики сформирова-
лась в результате изучения вопросов связанных с ними.
Безусловно, здесь проявилась гениальность Гильберта, сила
его интуиции (хотя именно эти проблемы свидетельствуют и о его
просчетах, об ошибочных путях, на которые эта же самая интуи-
ция его заводила). Однако во многом, как нам кажется, успех
проблем объясняется особенностью исторического момента, когда
эти проблемы были поставлены. На конец XIX века приходился
97
сС_ДемиДО£
ок гладкости кривой развития математики, когда ее дальней-
° е поведение возможно было предвидеть (во всяком случае мате-
Ш тикам ранга Гильберта). Это и обеспечило успех в развитии те-
матики, поднятой гильбертовским докладом, на протяжении трех
четвертей века. Гильбертовская программа начала давать сбои в се-
мидесятые годы вместе со стремительным закатом бурбакизма,
явившимся ее финальным выражением. Когда Дьедонне в 1976 г.
говорит, что «основной фактор развития математики имеет внут-
реннее происхождение» [40, с. 19] и развитие механики и физики
не имеет столь уж существенного значения для развития математи-
ки XX века, то этот его пафос представляет собой выражение духа
гильбертовской программы, доминировавшей на протяжении трех
четвертей века. Именно в 70-е годы начался крутой поворот в раз-
витии математики, когда в нее решительно вторгся со своими проб-
лемами (в частности, с проблемами физики и информатики) внеш-
ний мир. Физика (теория солитонов, например) быстро изменила
приоритеты, скажем, в теории дифференциальных уравнений.
Проблема интегрирования уравнений в конечном виде, казалось
ставшая в XX веке маргинальной, вновь вышла на передний план.
И методы интегрирования геометрической теории дифференциаль-
ных уравнений, упоминавшегося нами выше Д.Ф.Егорова, разви-
тые в его магистерской диссертации [16] и казалось прочно забы-
тые, оказались востребованными новой математикой [41]
Складывается впечатление,, что период гладкого, позволим
себе употребить этот термин, аналитического развития математи-
ческого знания закончился. Если это так, и математика оказалась в
точке бифуркации, то судить о том, какой она будет завтра, предс-
тавляется деятельностью обреченной на неуспех. В этом случае
ожидать повторения успешной попытки «обозреть проблемы», на
путях решения которых будет построена существенная часть мате-
матики следующего столетия, не приходится. Если же точка би-
фуркации пройдена (или ее не было вовсе), и мы вновь оказались
на гладкой кривой развития, то такая попытка может оказаться
удачной. Во всяком случае В.И.Арнольд от имени Международно-
го математического союза обратился к ряду ведущих математиков с
предложением: сформулировать такие математические проблемы —
проблемы XXI века. На этот призыв уже откликнулся С.Смейл,
предложивший список из 18 проблем [42] . Насколько успешным
окажется этот опыт —покажет будущее.
Примечания
1 Известный математик и оригинальный философ Н.В.Бугаев (1837 — 1903) не был
поэтом. Этот «минус» в его творческом портрете был с толикой возмещен его сыном
Б.Н.Бугаевым —известным русским поэтом Андреем Белым.
2 Это были 1-я, 2-я, 6-я, 7-я, 8-я, 13-я, 16-я, 19-я, 21-я и 22-я проблемы [5; 6].
3 Как писал в своей заметке о конгрессе Д.М.Синцов, «сообщение Гильберта вызвало
ряд замечаний со стороны присутствующих, указывающих, что некоторые из пере-
численных Гильбертом задач вполне или отчасти ими разрешены» [4].
98
Математика на пороге XXI ве^,
4 Конечно, может случиться и так, что решение проблемы, рассматриваемое как безу.
пречное, окажется содержащим ошибку, как это случилось с результатом И.Плене! I
ля и Г.Биркгофа по 21-й проблеме.
5 Как указывает Ш.Мюнтц [14], Г.Шварц на своих семинарах неоднократно вспоми-
нал, что еще Вейерштрасс высказывал предположение, что все дважды непрерывно
дифференцируемые решения уравнения минимальных поверхностей суть функция
аналитические. Однако Гильберт ошибался, полагая этот результат доказанными
1900 году. Первое доказательство их аналитичности в предположении, что они
трижды непрерывно дифференцируемы, следует из результатов С.Н.Бернштейна
[15] 1903 г., а в предположении, что они дважды непрерывно дифференцируемы; I
получено Ш.Мюнтцем в [14] в 1925 г.
6 В предположении, что решение априори является трижды непрерывно дифференци-
руемым. Одновременно с ним и независимо от него этот результат был получен
Э.Гольмгреном [31].
7 Две проблемы взяты С.Смейлом из гнльбертовского списка — гипотеза Римана и 16-я
проблема.
Список литературы
1. Бобыцин В.В. Международная математическая библиография / / Физико-матема-
тические науки в их настоящем и прошедшем. 1895. Т.ХШ. №1. С.34 — 39.
2. Laisant С.A Sur 1’etat d’avancement du Repertoire bibliographique des sciences
mathematiques / / Bibliotheca Mathematica. 3-e s6rie. T.l. P.246 — 249.
3. Бугаев H.B. Математика и научно-философское миросозерцание // П.А. Некра-
сов, Л.К.Лахтин, Л. М. Лопатин, А.П.Минин. Николай Васильевич Бугаев. М..
1905. 4.2.
4. Гильберт Д. Математические проблемы // Проблемы Гильберта / Под общ. ред.
П.С. Александрова. М., 1969. С.11—64.
5. Kantor J.-M. Les probtemes de Hilbert et leur devenir // Cahiers du Seminaire
d’Histoire des Mathematiques. 2-e s6rie. 1993. Vol.3. P.95—112.
6. Kantor J.-M. Hilbert’s Problems and Their Sequels // The Mathematical
Intelligencer. 1996. Vol.18. №1. P.21 —30.
7. Синцов Д.М. Второй Международный математический конгресс / / Физико-мате-
матические науки в ходе их развития. 1901. Т.1. №5. С.129 — 137.
8. Bieberbach L. Uber die Einfluss von Hilbert Pariser Vortrag fiber «MathematischeJ
Probleme» auf die Entwicklung der Mathematik in den letzen dreissig Jahren /
Naturwissenschaften. 1933. Bd.18. S.1101—1111.
9. Демидов C.C. К истории проблем Гильберта // Историко-математические иссле-
дования. М., 1967. Вып.17. С.91 — 121.
10. Проблемы Гильберта / Под общ. ред. П.С.Александрова. М., 1969.
11. Mathematical Development Arising from Hilbert Problems / Ed. F.Browder.
Vol.1—2. Providence, 1976.
12. Гильберт Д. Избранные труды / Под общ. ред. А.Н.Паршина. М., 1998. Т.2.
13. Picard Е. Sur la determination des integrates de certaines equations aux derivees
partielles du second ordre... // Joum. de I'EcoIe Polytechn. 1890. Cah.60.
P.89-105.
14. Milntz Ch. Die Lfisung des Plateauschen Problems Ober konvexen Bereichen
Math. Ann. 1925. Bd.94. P.53-96.
15. Bernstein S. Sur la nature analytique des solutions de certaines equations aux derivees
partielles du second ordre / / Compt. Rend. Acad. Sci. 1903. Vol. 137. P.778 —781
16. Егоров Д. Ф. Уравнения с частными производными 2-го порядка по двум независи-
мым переменным. Общая теория интегралов, характеристики / / Ученые записки
императорского Московского университета. Отд. фнз.-мат. 1899. Вып.15.
17. Du Bois Reymond Р. Beitrage zur Interpretation der partiellen Differential-
gleichungen mit drei Variabeln. Erstes Heft —die Theorie dor Charakteristiken.
Leipzig, 1864.
99
сС. Демидов
nu Bois Reymond P. Ueber lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung //
1°' journ. fur d. reine und angew. Math. 1889. Bd.104. S.241—301.
Печидов C.C. К истории теории дифференциальных уравнений с частными произ-
водными // Историко-математические исследования. М., 1973. Вып.18.
С.181 -202.
20 Бернштейн С.Н. Собрание сочинений. М., 1952. Т.1.
21 Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эл-
липтического типа. М., 1964.
22 Демидов С. С. О понятии решения дифференциальных уравнений с частными про-
изводными в споре о колебании струны в XVIII веке // Историко-математичес-
кие исследования. М., 1976. Вып.21. С.158 —182.
23. Демидов С. С. Предыстория 19 проблемы Гильберта // История и методология
естественных наук. М., 1971. Вып.П. С.69 — 79.
24 Le Roy Е. Sur I’inUgration des Equations de la chaleur // Ann. de I’ficole Norm.
1897. Vol.3. №14. P.379 - 465.
25 Picard E. Memoire sur la th6orie des Equations aux derives partielles... //Journ.de
math. 1890. Vol.4. №6. P.145-210.
26 Picard E. De liquation sur une surface de Riemann fermde / /Journ. de math. 1893.
Vol.4. P.273- 291.
27. PoincartH. Les fonctions fuchsiennes et I Equation Au = e“ // Joum. de math. 1898.
Vol.5. №4.
28. Hilbert D. Uber das Dirichletsche Prinzip // Jahresbericht der Deutschen
Mathematiker-Vereinigung. 1900. Bd.8. S.184 —188. (Перепечатано в J.reine und
angew. Math. 1905. Bd.129. S.63 — 67; русск. перев. [12. с.9—12]).
29. Sommerfeld A. Randwertaufgaben in der Theorie der partiellen Differentialglei-
chungen // Encyclopadie. Bd.III. H.4. Leipzig, 1900.
30. Lutkemeyer G. Ueber den analytischen charakter der Integrate von partiellen
Differentialgleichungen. Gottingen. Dissertation. 1902.
31. Holmgren E. Uber eine Klasse von partiellen Differentialgleichungen der zweiten
Ordnung Math. Ann. Bd.57. H.3. S.409 - 420.
32 Bernstein S. Sur la deformation des surfaces // Math. Ann. 1905. Bd.60.
P.434 - 436.
33. Bernstein S. Sur la nature analytique des solutions des equations aux derivOes
partielles du second ordre // Math.Ann. 1904. Bd.59. S.20 — 76.
34. De Giorgi E. Sulla differenziabilita e I’analiticito delle estremali degli integral!
multipli regolari // Memoirie delle Acc. Sci. Torino. Ser.3. T.3. №1. 1957.
P.25 — 43. (Русский перевод: Математика. Сб.переводов. 1960. Т.4. №6.
С.25 - 38.)
35. Ладыженская О. А., Уральцева Н.Н. О вариационной задаче и квазилинейных эл-
липтических уравнениях со многими независимыми переменными // ДАН
СССР. 1960. Т.135. №6. С.1330-1333.
36. Morrey С. Partial regularity results for non-linear elliptic systems // Joum. of
Math, and Meeh. 1968. Vol. 17. №7.
37 De Giorgi E. Un esempio die estremali discontinue per un problema variazionale di
tipo elliptico // Bollettino della unione Mat.Italiana. №4. Febbraio 1968.
P. 135-137.
38. Guisti E., Miranda M. Un esampio di soluzionei discontinue per un problema di
minimo relative ad un integrale regolare del calcolo delle variazioni // Bollettino
della unione Mat. Italiana. №6. Aprile 1968. P.219 —226.
39. Мазья М.Г. Нерегулярные решения квазилинейных эллиптических уравнений
// Функциональный анализ и его приложения. 1968. Т.2. Вып.З. С.53—57.
40. Дьедонне Ж. О прогрессе математики // Историко-математические исследова-
ния. М., 1976. Вып.21. С.9 — 21.
100
Математика на пороге XXI века
41. Царев С.П. Геометрия гамильтоновых систем гидродинамического типа. Обоб-
щенный метод гидрографа // Известия АН СССР. Серия «Математика». Т 54
№5. 1990. С.1048-1068.
42. Smale S. Mathematical Problems for the Next Century // The Mathematical
Intelligencer. 1998. Vol.20. №2. P.7—15.
КАК ОЦЕНИТЬ РОЛЬ БУРБАКИ
В ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ*]
К. Узель
Перевод с французского
С. С. Демидова и И.О.Лютерд
В середине XX столетия в математике сложилась весьма при-
мечательная ситуация. И так как именно на это время приходится]
деятельность Н.Бурбаки во Франции (1935 —1965) *, то мы позво-
лим себе для краткости обозначить этот период как «бурбакист-
ский». Конечно, такое обозначение с неизбежностью влечет за со-
бой сужение содержания реальной математической деятельности в
период, в который разворачивалась деятельность Бурбаки, и по-
нять который возможно лишь при условии подхода к нему с мак-
симально широких позиций, далеко выходящих эа рамки творчест-
ва Бурбаки и границы Франции. Руководствуясь обычными пред-
рассудками, математики оценивают творчество Бурбаки и их влия-
ние на развитие науки, исходя из моральных, политических и
даже эмоциональных соображений. Если же мы хотим достичь
подлинно исторического видения этого феномена, мы должны пре-
одолеть узость такого подхода.
Если подойти к рассматриваемому периоду без всякой пред-
взятости, немедленно обнаруживаются две весьма замечательные
особенности. Прежде всего, значительная часть усилий математи-
ков в 1935—1965 гг. была направлена на разработку мощных об-
щих теорий, начиная иногда с основ целых разделов классической
математики. Это отвечало объективной ситуации, сложившейся в
этот период в математике: многие классические проблемы не под-
давались решению и была осознана недостаточность необходимых
для этого наличных математических средств. Успешному развитию
мешали многочисленные трудности, возникавшие во многих
1) Настоящая статья представляет собой содержание доклада, прочитанного на
конференции «История математики XX столетия», проходившей с 30 января по5 фев-
раля 2000 г. в Институте математических исследований в Обервольфахе (ФРГ).
2) Переводчики благодарят М.И.Монастырского за помощь, оказанную при пере-
воде некоторых терминов, и А.Н.Паршина, просмотревшего перевод и внесшего су-
щественные поправки.
101
К.Узсль
азделах математики. Такая ситуация привела к необходимости
Разработки новых технических средств:
Р — алгебраизации топологии и созданию гомологической алгебры;
— теории пучков;
— абстрактной алгебраической геометрии и развитию комму-
тативной алгебры;
— функционального анализа вместе с теорией распределений;
— теории линейных представлений групп, в частности групп Ли;
— аксиоматизации теории вероятностей и развитию теории
стохастических процессов;
— теории моделей в логике.
Это общее для мировой математики движение сопровождало и,
как мне представляется, даже обусловило рождение Бурбаки. За-
метим, что во все перечисленные теории (за исключением теории
вероятностей и логики) Бурбаки внесли значительный вклад2.
Эти усилия по перестройке естественным образом привели к
некоторому уходу математики в себя. Если в предшествующий пе-
риод взаимодействие математики и физики характеризуется чрез-
вычайной интенсивностью (достаточно вспомнить таких математи-
ков как Г.Вейль или Дж. фон Нейман), то в рассматриваемый
нами период связи между ними (по крайней мере вне СССР) поч-
ти полностью замерли. К тому же, этот разрыв был закреплен и
симметричным обособлением физики. Квантовая физика 30-х го-
дов довольствовалась чрезвычайно ограниченным математическим
аппаратом. Как говорил об этом Рес Ноет3 (цитируемый М.Р.Дуг-
ласом), «в тридцатых годах под деморализующим влиянием кван-
товой теории возмущений математика, необходимая физику-теоре-
тику, свелась к рудиментарному владению латинским и греческим
алфавитами»4. Первые шаги квантовой теории полей были сдела-
ны также вдали от математики.
Вторая замечательная особенность изучаемого периода прояви-
лась в совершенно противоположном направлении. Она, в отличие
°т первой, была обусловлена не внутренними потребностями раз-
вития математики, а скорее посторонними факторами общеистори-
ческого характера. Военные разработки, инициированные Второй
мировой войной, привели многих математиков к активной работе в
прикладных областях: механике жидкостей, теории вероятностей и
статистике, разработках, связанных с созданием атомной бомбы,
операционном исчислении и т.д. Это было естественным для уче-
ных из Соединенных Штатов5, СССР и Великобритании. Но в ок-
купированной Франции ситуация была иной и большинство фран-
цузских математиков оставались далеки от приложений. Так слу-
чилось и с Бурбаки6.
Его создатели —А. Вей ль, А.Картан, Ж.Дельсарт, Ж. Дьедонне,
К.Шевалле —находились под влиянием немецкой алгебраической
щколы Э.Нетер, Э.Артина и Д.Гильберта, и это даже при том, что
102 Математика на пороге XXI век,
зачастую их первые работы были посвящены анализу. В конце*
20-х годов вслед за А. Вейлем они начали посещать Германию д^
знакомства с математическими новостями, остававшимися неизвесЦ
ными в тогдашней Франции. Таким образом, уже при рождении
Бурбаки был отмечен печатью алгебры. Однако непосредственной
причиной создания группы, известной под этим именем, стали
нужды университетского образования. В самом деле, известно, что
первоначальная идея создания группы была ответом на неудовлет-
воренность, испытываемую перечисленными выше молодыми пре-
подавателями при чтении курса математического анализа. Основ-
ным учебником в то время оставался трехтомный «Курс математи-
ческого анализа» Э.Гурса7, казавшийся нашим молодым математи-
кам, поклонникам «современной алгебры», совершенно устарев-
шим. Они, вдохновленные идеями Э.Картана, хотели, например,
дать, согласно программе, достаточно общую версию формулы
Стокса, но не знали —как за это приняться. Пикантность этого
примера в том, что формула Стокса в «Элементах математики» так
и не появилась. Но размышления по ее поводу неотделимы от те-
матики двойственности (в данном случае двойственности между
дифференциальными формами и областями интегрирования),
разъяснению которой так способствовал Бурбаки. Эта тематика
стала впоследствии решающим элементом в разработке теории рас-
пределений и одного важного раздела алгебраической геометрии.
Итак, вначале Н.Бурбаки задумал новый трактат по анализу,
преследуя чисто преподавательские цели. Но педагогический проект
вскоре был оставлен в пользу попытки систематического и унифи
цированного изложения курса фундаментальной математики. Эта
смена цели, без сомнения, имела своей первопричиной необходи-
мость включения в такое сочинение, наряду с анализом, и алгебры.
Бурбаки, таким образом, хотел перестроить математику (во фран-
цузском тексте оборот — «reconstruire les mathematiques, ой plutot la
mathematique» — который не имеет достаточно точного перевода на
русский язык и лучше всего, на наш взгляд, может быть передан
словами—«реконструировать математики, или лучше — математи-
ку». — Перев.) унифицированным образом. Это стремление было от-
звуком распространенной в 30-е годы идеи единства математики, о
которой свидетельствует и диссертация философа А.Лотмана
«Очерк о единстве математики»8. Заметим, что сама эта идея не
была нова: стремление к унификации математики настоятельно про-
являлось на всех этапах ее развития, начиная с середины XIX века:
— в арифметических конструкциях действительных чисел
(Р.Дедекинд, К.Вейерштрасс и Г.Кантор), позволивших построить
теорию действительных чисел, а, следовательно, геометрию и ана-
лиз на основе целых чисел;
— в теории множеств, в которой целые числа возникали как
специальный вид чисел кардинальных.
103
К Узель
Таким образом, тема единства математики оказалась связанной
задачами оснований математики. Однако после последовавших
С ин за другим крахов логистической программы Фреге и Рассела,
затем формалистской программы Гильберта (теорема Геде-
дЯ —1931 г.), Бурбаки почти не интересовался основаниями. Он,
веривший априори в единство математики, взялся доказывать это
путем ее остроения, подобно Диогену, который шагая доказывал
наличие движения. Нам, находящимся на отдалении от описывае
мых событий, понятно, что предпосылка единства математики но-
сила такой же идеологический характер как и оставленные Н.Бур-
баки проблемы оснований.
Подход Бурбаки не следует квалифицировать как упрощаю-
щий или наивный. В качестве унифицирующего инструмента он
избрал аксиоматический метод в гильбертовской его трактовке9. В
своей знаменитой работе «Архитектура математики»10 Бурбаки
подробно разъясняет действие этого метода. Речь идет о том, что-
бы для каждой теории провести анализ осуществляемых в ней до-
казательств с целью выявления используемых гипотез. Приняв эти
гипотезы за аксиомы, организовать теорию таким образом, чтобы
она оказалась свободной от бесполезных гипотез и, возможно, име-
ющей намного более широкое поле приложений. Плодотворность
метода проявляется в том, что идеи, касающиеся одного из прило-
жений изучаемой теории, оказываются действенными для более об-
щего случая и могут обогатить таким образом другие приложения.
Аксиоматический метод неотделим от понятия структуры, ко-
торому Бурбаки придавал большое значение как основному, через
который раскрывается архитектура математики. Первая часть его
сочинения имеет подзаго овок «Фундаментальные структуры ана-
лиза»11. Его появление обусловлено желанием уточнить для каж-
дой математической теории естественное определение изоморфиз-
мов между объектами. Впоследствии это понятие было поглощено
теорией категорий и было ей переосмысленно. Возникшая из топо-
логической практики (С.Маклейн), теория категорий к концу 50-х
годов была замечательным образом использована А.Гротендиком
Для нужд алгебраической геометрии. Бурбаки впоследствии сожа-
лел, что выбрал в качестве основания своих построений не теорию
категорий, а теорию множеств. Но историю переделать невозмож-
н° —в 1935 г. о категориях еще не знали. По свидетельству А.Вей-
ля, термин «структура» был заимствован у лингвистов — через
Э-Бенвениста, с которым А.Вейль был знаком12.
Как известно, понятие лингвистической структуры было введе-
Но в «Курсе общей лингвистики» Ф. де Сосюра (1916)13; оно встре-
чается в работах Пражского лингвистического кружка (Н.С.Трубец-
кой14, P.O.Якобсон15) и у американских лингвистов (Л. Блум-
филд16, 3.С.Харрис17), и только гораздо позднее этот термин стал
Использоваться в других гуманитарных науках. К.Леви-Стросс,
104
Математика на
пороге XXU~
ознакомившись с понятием лингвистической структуры, будучи
время войны в Соединенных Штатах у Якобсона, широко исполь
зовал его в своей диссертации об элементарных структурах родст
ва (1947)18. Основной смысл этого понятия в лингвистике и антр0
пологий состоит в том, что изучать следует не отдельные объекты
а скорее системы объектов, и что в действительности объекты оц
ределяются отношениями, существующими между ними внутри
системы (видна аналогия между этим понятием и понятием матема-
тической структуры). В 60-е годы книги Леви-Стросса сделали по-
пулярным само слово структура и произвели своего рода структу-
ралистский бум в парижских псевдоинтеллектуальных кругах. Из-
лишне говорить, что этот идеологический «структурализм» не
имел ничего общего с наукой, будь то лингвистика или математи-
ка. Поэтому следует остерегаться относить использование структур
Бурбаки к структуралистской моде тех лет.
Сочинение Бурбаки, таким образом, строилось не традицион-
но—по классическим разделам математики, а в соответствии с ее
фундаментальными структурами: множества, упорядоченные мно-
жества, алгебраические структуры, топологические структуры.
Между структурами существует иерархия: простые структуры (как,
например, группы) предшествуют сложным структурам (например,
топологические группы). Некоторые структуры оказываются еще
более сложными (векторные топологические пространства, функции
действительного переменного, интегрирование). Кроме этого, перво-
начальный план включал дифференцируемые многообразия, распре-
деления, теорию вероятностей и численный анализ, но ни одна из
этих частей так и не была издана (известны только два выпуска с
результатами по дифференцируемым многообразиям).
Другое нововведение Бурбаки связано с выбором словаря и
стиля изложения, а также математической риторики. Манера пода-
чи материала французскими математиками предшествующего поко-
ления, например, та, в которой написаны книги знаменитой серии
Бореля, для Бурбаки была неприемлема. Он придерживался точки
зрения химика Лавуазье, говорившего: «Не остерегайтесь неудоб-
ных наименований: те, кто уже знает, поймут всегда, те же, кто не
знает, поймут еще раньше». Так Бурбаки ввел очень полезные раз-
личения, например, между шаром и сферой или накрытием и пок-
рытием. Кроме того, текст Бурбаки буквально «размечен» опреде-
лениями, предложениями, леммами, теоремами, следствиями и
примечаниями. Каждый термин употреблен точно и не взаимозаме-
няем другими. Это контрастирует с манерой изложения французс-
ких математиков, предшествующих Бурбаки, предпочитавших
непрерывный поясняющий текст без специального выделения выс-
казываний. Способ изложения, предложенный Бурбаки, превос-
ходно выявляет структуру текста и чрезвычайно облегчает ссылки-
105
К Узель _____________________________________________________
ятно, именно благодаря своему стилю Бурбаки приобрел то
Верное влияние на последующих математиков.
°°Ш Бурбаки ввел ряд новых фундаментальных понятий. Так, на-
р в топологии ему принадлежат понятия фильтров, равно-
П оных пространств, паракомпактных пространств. Чаще всего в
Мвоем изложении он избирает минимальную общность, позволяю-
ю охватить все приложения, известные ему ко времени написа-
дая Поэтому нельзя, как это зачастую делается, обвинять его в
формализме или неоправданной абстрактности. Такой выбор, одна-
ко, приводил иногда Бурбаки к неудачным определениям, как это
было, например, в случае интегрирования. После нескольких ре-
дакций, основанных на абстрактной мере, А.Вейль убедил Бурба-
ки, что естественной для интегрирования была бы мера Радона на
локально компактном пространстве. Эта идея возникла в связи с
замечательной теоремой Вейля, доказанной в его прекрасной книге
«Интегрирование на топологических группах»19. Согласно этой
теореме, на группе, наделенной абстрактной мерой, инвариантной
относительно сдвигов (например, левых), можно ввести, исключив
множество меры нуль, локально компактную топологию, для кото-
рой рассматриваемая мера является мерой Радона. Так как тогдаш-
ние приложения интегрирования, известные Бурбаки, лежали в те-
ории групп и теории вероятностей, А.Вейль заключил, что естест-
венными для интегрирования будут меры Радона на локально ком-
пактном пространстве. Что касается групп, то это так, но это вовсе
не так в случае вероятностей. Как заметил А.Вейль, априорные ги-
потезы равновероятности, используемые для определения вероят-
ностных мер, основываются на существовании симметрий, то есть
гРУпп, действия которых оставляют инвариантными рассматривае-
мые меры20. К сожалению, Бурбаки не придавал значения теории
броуновского движения и интегралу Винера, где вероятностная
мера определена на функциональном пространстве, существенно не
локально компактном. Эту меру нельзя охарактеризовать свойства-
ми инвариантности относительно операций такой группы.
Когда уже в 60-е годы Бурбаки осознал важность броуновско-
го движения, он вынужден был приспосабливать свою теорию ин-
тегрирования к возможностям интегрирования в функциональных
пространствах. Достичь этого без значительных затруднений не
Удавалось и пришлось прибегнуть к многочисленным малоэстети-
ческим построениям, вроде предложенного Л.Шварцем, определив-
шим меру на вполне регулярном пространстве (таковы были ис-
пользуемые тут функциональные пространства) как индуцирован-
ную мерой на компактификации Стоуна-Чеха. В итоге, Бурбаки
принял точку зрения П.-А.Мейера, согласно которой мера на топо-
логическом пространстве определялась как проективная система
Мер Радона на компактных частях этого пространства. Заметим,
что в этом случае нужно было исходить из мер Радона на
106 Математика на пороге XXI веца
компактных пространствах, и «локально-компактный» этап оказы-
вался не нужным.
Другими примерами неудачного выбора, сделанного Бурбаки
на этот раз в алгебре, могут служить определения колец без едини-
цы и модулей не обязательно унитарных. Как известно, это приво-
дит к довольно нескладной теории. Что касается псевдоколец (без
единицы), которые встречаются в гармоническом анализе, то это
всегда алгебры над полем. В общей же топологии не ясно, нужнв
ли определять компактные пространства с условием отделимости,
поскольку значительная часть требуемых свойств распространяется
на квазикомпактные пространства (не обязательно отделимые),
столь привычные в алгебраической геометрии. Напротив, совер-
шенно ясно, что Бурбаки был неправ, определяя полные простран-
ства без наложения на них условия отделимости. Универсальная
проблема пополнения равномерного пространства в действитель-
ности имеет решение лишь для пространств, являющихся отдели-
мыми и полными.
Самой слабой книгой Бурбаки является, вероятно, та, в кото-
рой рассматриваются «Векторные топологические пространства».
Достаточно сравнить ее с аналогичным курсом Гротендика21 в уни-
верситете Сан-Паулу, чтобы увидеть, что Бурбаки мог ее сделать
лучше. Отсутствует естественная топология на пространстве линей-
ных отображений одного векторного топологического пространства
в другое. Чтобы определить топологию на пространстве линейных
отображений нужно использовать борнологичность исходного
пространства. Тогда соответствующая топология будет топологией
равномерной сходимости на ограниченных множествах. Выбор
Бурбаки — принять как ограниченные множества, поглощаемые ок-
рестностями 0 (самая тонкая борнология совместимая с топологи-
ей) — совершенно произволен в данном контексте. Единственной
естественной структурой на пространстве линейных отображений
одного векторного топологического пространства в другое является
борнология, ограниченные множества которой —равностепенно
непрерывные множества линейных отображений. Таким образом,
двойственное к векторному топологическому пространству оказы-
вается борнологическим векторным пространством, и топология,
которой его снабдил Бурбаки, оказывается бесполезной22. Эта то-
пология приводит к патологическому определению пространства
второго двойственного (непрерывных линейных форм на двойст-
венном пространстве с топологией Бурбаки, вместо ограниченных
линейных форм на равностепенно непрерывных множествах) и К
скверному понятию рефлексивного пространства.
Впрочем, Бурбаки осознавал свои недочеты и неоднократно!
принимался за критику своих собственных работ. Эта критика иног-
да приводила к новым изданиям, полностью переработанным, как
это было в случае «Полилинейной алгебры» (глава III «Алгебры»)
107
Узель
главы I «Общей топологии». В этих новых изданиях рамки
11ЛИозКения расширялись таким образом, что оказывалось возмож-
й м изложить упущенное в предыдущем издании. Но новое изло-
В ние оказалось значительно более трудным для изучения излагае-
мых теорий. В других случаях эта критика оканчивалась ничем,
как это произошло, например, в случаях категорных оснований
математики или перестройки алгебры, предложенной А. Гротенди-
ком, считавшим целесообразным главу VIII «Модули и полупрос-
тые кольца» поместить перед главой V «Коммутативные тела».
Вряд ли сегодня найдется много студентов, которые взялись
бы за изучение математики по курсу Бурбаки. Однако курс этот
сохранял безусловное воздействие на процесс обучения математике
до конца 50-х годов. Многочисленные упражнения, завершающие
каждый параграф, делали его эффективным орудием. Отметим
другую интересную особенность труда Бурбаки: каждая его глава
заканчивается историческими заметками. Их наличию мы обязаны
настойчивости А.Вейля, заинтересовавшегося историей математики
еще во время своих посещений Германии, где он участвовал в се-
минаре М.Дена, посвященном изучению творчества Кавальери.
Эти заметки Бурбаки объединил в «Очерки по истории математи-
ки»23, которые, возможно, послужили укреплению авторитета этой
дисциплины в математическом сообществе.
Не следует сводить роль Бурбаки в преподавании математики
к злополучным педагогическим неудачам или печальным последст-
виям, которые произвел его труд в преподавании в начальной и
средней школе. Я имею в виду реформу, начало которой было по-
ложено в конце 60-х годов и которая развернулась в начале 70-х.
Несмотря даже на выступления Ж.Дьедонне24 перед учителями
средних школ, подтолкнувшие к этой реформе (вспомним его при-
зыв-*” " " - -
ность за действия, совершенные другими лицами. Ее исполните-
ли-учителя высшей и средней школы, объединенные во Франции
комиссией, возглавлявшейся А.Лихнеровичем, многие из которых
толком даже не знали труда Бурбаки. Приняв его за модель, они
не понимали его сути.
С разговором о влиянии Бурбаки на преподавание в средней
школе, мы перешли уже в иной период—«после Бурбаки». Погра-
ничная полоса между двумя периодами проходит через конец 60-х.
заключение я хотел бы отметить некоторые особенности этого
нового периода, в котором мы пребываем и сегодня. Мощные тео-
ретические средства, созданные в предшествующий период позво-
лили с успехом решить ряд уже давно поставленных проблем. В
качестве примера можно привести успехи арифметической геомет-
рии, которые привели к трем самым замечательным результатам,
Достигнутым в математике после 1970 года: 1973—доказательство
П.Делинем гипотезы Вейля2 , 1983—доказательство Г.Фалтинг-
с°м2Ь гипотезы Морделла, 1994—доказательство А. Уайлсом
x школ, подтолкнувшие к этой реформе (.вспомним его при-
Долой Евклида!»), нельзя возлагать на Бурбаки ответствен-
108 Математика на пороге XXI века I
27 I
великой теоремы Ферма . Два первых результата были отмечены I
Филдсовскими премиями. Во всех этих работах с мастерством цс. I
пользованы средства, созданные в бурбакистскую эру. Можно при- I
вести и другие примеры —например, доказательство в 1981 г.
М.Фридманом26 гипотезы Пуанкаре для размерности 4 или разви-
тие А. Конном некоммутативной геометрии21*.
Бросающаяся в глаза особенность нашего времени—доминиро-
вание геометрии. Самые бурно развивающиеся математические тео-
рии—все, в той или иной мере, геометризированы, в то время как
Бурбаки, как мы об этом уже говорили, был рожден под знаком
алгебры. Преобладание геометрии — результат глубинного течения,
восходящего к далеким временам. Оно связано с изучением задач,
в которых задействованы многие переменные и размерность кото-1
рых превышает 1. Сильная геометризация математики сопровожда-
ется возвратом к Пуанкаре—математику, которым Бурбаки восхи-
щался, но которого не так уж и любил. Другая характерная черта
математики нашего времени —очень тесная связь с теоретической
физикой. Связь эта существовала и в другие периоды, но в послед-
ние годы она приобрела новый характер и стала обильным источ-
ником в высшей степени красивых и продуктивных идей. Доста-
точно напомнить о калибровочных теориях, суперсимметрии, тео-
рии конформных полей и квантовых группах3 .
Наконец, для нашего времени характерно значительное повы-
шение значимости приложений математики. Трудно судить сегодня)
насколько это обусловлено потребностями общества и насколько
логикой развития самой математики. Создание школы прикладной
математики во Франции, осуществленное прежде всего благодаря
усилиям Ж.-Л.Лионса, прошло не без трудностей, отчасти обус-
ловленных реакцией идеологии «чистой математики», царившей в
бурбакистскую эру. Появилась группа математиков, считающих
себя прикладниками, до известной степени обособленная внутр!?
математического сообщества. Можно надеяться, что эта обособлен-
ность постепенно исчезнет —приложения от этого только выиграют.
Прикладная математика вовлекает в свой оборот все разделы мате-
матики, а не только уравнения с частными производными и веро-1
ятности. Препятствием, которое придется преодолевать, оказывает-
ся сегодня идеология «прикладной математики», обратная сторона
идеологии «математики чистой», которая хотела бы заставить
признать самобытность прикладной математики посредством таких
терминов как «модель» и «моделирование». Но история учит нас,
что формы применения математики в высшей степени различны н
что их нельзя сводить к одному единственному типу.
Работа над историей новейшей математики еще только предс-
тоит. Однако, как мне кажется, разворачивать ее нужно как мож-
но скорее, если мы хотим обладать разумным видением математи-
ки сегодняшнего дня, позволяющим понять место, которое
l<jy
j, узель _________________________________________________________
нимает сейчас математика в науке, в приложениях, в образова-
3 и и, шире, в обществе. Настоящий доклад можно рассматривать
ак программу некоторой части предстоящей работы.
Примечание
, Beaulieu L. A Parisian cafe and ten proto-Bourbaki meetings (1934—1935) // Math.
Intell. 1993. №15. P.27 —35; Beaulieu L. Bourbaki: une histoire du groupe de
mathimaticiens fran^ais et de ses travaux / These. Universite de Montreal, 1989; Borel
A Twenty-five years with Nicolas Bourbaki, 1949—1973 // Notices of the Amer.
Math. Soc. 1998. Vol.45. №3. P.373 -380; Guedi D. N cholas Bourbaki, collective
mathematician: an interview with Claude Chevalley // Math. Intell. 1985. №7.
p.18 —22; Mathematiques: revision d’ensemble // 200 ans de science 1789—1989. Sci-
ence et Vie , Ed. C.Houzel. 1989. №166. P.252 — 255; Schwartz L. Un mathcmaticicn
aux prises avec le sciecle. Editions Odile Jacob, 1997.
2 Cartan H. Nicolas Bourbaki und die heutige Mathematik. K61n: Westdeutscher Verlag,
1959. Английский перевод: Nicolas Bourbaki and contemporary mathematics / /
Math. Intell. 1980. Vol.2. №4. P.175-180.
3 Reed M., Simons B. Methods of modern mathematical physics. Acad. Press, 1978.
Vol.IV. P.l.
4 Douglas M.R. Will M theory unify mathematics and physics? ' / Les relations entre
les mathematiques et la physique th6orique. IHES, 1998. P.67.
9 Dahan DalmedicoA. L'essor des mathematiques appliquees aux Etats-Unis: 1’impactde
laseconde guerre mondiale // Revue d’histoire des mathematiques. 1996. T.2. Fasc.2.
P. 149 —213; McArthur Ch. W. Operations analysis in the U.S. Army Eighth Air Force
in World War II // Amer. Math. Soc. 1990.
6 L'influenza di Bourbaki / / La matematica tra le due guerre mondial! / Ed. C.Houzel.
Bologne: Pitagora editrice, 1987. P.241—246.
1 Goursat Ё. Cours d’analyse mathematique. 6е ed. Gauthier-Villars, 1942. 3 vols.; Weil
A. Souvenirs d’apprentissage. Birkhauser, 1991.
9 Lautman A. Essai sur 1'unife des sciences mathematiques dans leur developpement actu-
el. Paris: Hermann, 1937. Reproduit par i’Union generale d’editions, 1977.
P.155-202.
9 Hilbert D. Grundlagen der Geometric. Teubner, 1899; Dieudonni J. Les methodes axio-
matiques modernes et les fondements des mathematiques / Revue scientifique. 1939
№77. P.224-232.
10 Bourbaki N. L’architecture des mathematiques / Les grands courants de la pensee
mathematique // Cahiers du Sud. 1948. P.35—47. Reproduit par Rivages, 1986.
11 Bourbaki N. Elements de mathematique / Premifere Partie. Les structures fondamenta-
les de 1’analyse. Paris: Hermann, 1939—1971 (29 fasc.).
WetM. Souvenirs d’apprentissage. Birkhauser, 1991. См. также: Dieudonni J. The dif-
ficult birth of mathematical structures (1840—1940) / Scientific culture in the con-
temporary world // Scientia.
De Saussure F. Cours de linguistique generate. Payot, 1916.
Troubetskoy N.S. Grundzilge des Phonologic. Prague, 1939. Trad, fran;aise: Principes
de phonologic. Paris, 1949.
Jakobson R. Essais de linguistique generate / Trad, et prefaces par N.Ruwet. Paris: Les
editions de Minuit, 1963.
^Bloom/tefd L. Language. London: George Allen & Unwin Ltd., 1993.
Harris Z.S. Methods in structural linguistics. The University of Chicago Press, 1951.
Levy-Strauss C. Les structures efementaires de la parente. Mouton, 1947. См. также:
I9 Levy-Strauss C. Anthropologic structurale. Pion. 1958.
Weil A. L’integration dans les groupes topologiques et ses applications. Paris: Her-
mann, 1940.
110
Математика на пороге XXI
20 Weil A. Calcul des probabilites, mdthodc axiomatique. integration / / Revue scientifi
que. 1940. Oeuvres 1.
21 Grothendieck A. Espaces vectoricls topologiques. 2еdd. / / Soc. de mat. de Sao Pauin
1958.
22 Floret K., Konig H. There is no natural topology on duals of locally convex spaces A
Arch. math. 1994. Vol.62. P.459 —461.
23 Bourbaki N. Elements d'histoire des math£matiques. Nouvellc 6d. Paris: Hermann
1974.
24 Dieudonni J. The work of Nicholas Bourbaki Amer. Math. Monthly. 1970. №77
P.134-145.
25 Deligne P. La conjecture de Weil I / Publ. math, de 1’IHES. 1974. №43
P.273-307.
26 Fallings G. Endlichkeitssatzc fur abelsche Varietaten iiber Zahlkorpern , Invent.
Math. 1983. №73. P.349 — 366. См. также: Szpiro L. La conjecture de Mordell (d’ap-
r£s G. Fallings) // Sfiminaire Bourbaki. 1983. №619. P.83—103.
27 WifesA. Modular elliptic curves and the Fermat's last theorem / / Ann. of Math. 1995.
№141. P.443 —551. См. также: Serre J.-P., OesterliJ. Travaux de Wiles / Setninai-
re Bourbaki. 1995. №803 — 804; Rubin K., Silverberg A. A report on Wiles’ Cambridge
lectures / Bull. Amer. Math. Soc. 1994. Vol.31. №1. P.15 —38.
28 Freedman M. The topology of 4-manifolds / Joum. of diff. geom. 1982. №17.
P.357 — 404. См. также: Siebenmann L. La conjecture de Poincare en dimension 4
(d'aprds M.H.Freedman) , ' Seminaire Bourbaki. 1982. №588. P.219 —248; Hitchin
N.J. The Yang-Mills equations and the topology of 4-manifolds (after S.K. Donaldson)
/ Sdminaire Bourbaki. 1983. №606. P.167—178.
29 Cannes A. Non-commutative differential geometry / / Publ. math, de 1’IHES. 1985.
№62. P.41 —144; Connes A. Gdomdtrie non commutative. InterEditions, 1990.
30 Giickeler M., S hucker T. Differential geometry, gauge theory, and gravity. Cambridge
Univ. Press, 1987; Fuchs J. Affine Lie algebras and quantum groups. Cambridge Univ.
Press, 1992; Gawedzki K. Conformal field theory // S6minaire Bourbaki. 1988.
№704. P.95—126; Wess J., Bagger J. Supersymmetry and supergravity. Princeton
Univ. Press, 1983; Verdier J -L. Groupes quantiques (d’aprfes V.G.Drinfel’d) it
S6minaire Bourbaki. 1987. №684.
ИЗ ИСТОРИИ ОТЕЧЕСТВЕННОЙ
МАТЕМАТИКИ
МИХАИЛ НИКОЛАЕВИЧ ЛАГУТИНСКИЙ (1871—1915)
В.А.Добровольский, Ж.Стрельцы», Н.В.Локоть
1. Введение
Одной из сложнейших проблем теории дифференциальных
уравнений является проблема интегрируемости их в конечном
виде. До появления работ Н.Х.Абеля и Ж.Лиувилля, посвящен-
ных упомянутой проблеме, интегрирование дифференциальных
уравнений понималось как построение интеграла дифференциаль-
ного уравнения с помощью некоторых символов и функций. Отме-
тим, что у различных авторов символы и функции были разными,
но в основном, интегрирование в конечном виде представляло со-
бой интегрирование в квадратурах. Доказательство Лиувиллем не-
возможности интегрирования в квадратурах некоторых дифферен-
циальных уравнений заставило математиков XIX столетия искать
новые пути решения проблемы:
Первый пг/тъ — исследование тех специальных методов, кото-
рыми удалось проинтегрировать некоторые типы дифференциаль-
ных уравнений, и создание на их основе общих методов (С.Ли,
Вессио, Э.Пикар, Ж.Драш, Д.Ритт, Э.Колчин и др.);
Второй путь — получение возможных форм интеграла диффе-
ренциального уравнения, выраженного в квадратурах, его исследо-
^ание и методы определения (Ж.Лиувилль, Н.Абель, Л.Кенигс-
РГеР, А.Майер, В.П.Максимович, В.П.Ермаков, Д.Д.Морду-
ан-Болтовской и др.) [1, с.96,98].
Среди множества работ по проблеме можно выделить два ос-
°вных типа исследований:
~ по алгебраическому интегрированию линейных дифферен-
альных уравнений (И.Фукс, Г.Шварц, Ф.Клейн, С.Е.Савич,
112 Из истории отечественной математ^И
В.Г.Имшенецкий, А.Н.Коркин, Н.В.Бугаев, Н.М.Гюнтер и многце
другие);
по нахождению общего интеграла дифференциального ураД
нения с помощью известных его частных интегралов (К.Якоби!
Г.Дарбу, Ф.Миндинг, Д.Ф.Егоров, А.В.Летников, А.Н.Коркин
М.Н.Лагутинский и т.д.).
История изучения формы интегралов дифференциальных
уравнений, если они выражаются в конечном виде, довольно под-
робно рассмотрена Д.Д.Мордухай-Болтовским в историческом об-
зоре его обширной работы *06 интегрировании линейных диффе-
ренциальных уравнений в конечном виде» [2]. Приведем из него
лишь одну фразу, которая, отчасти, объяснит наш интерес к теме
публикации:
«Форма частного интеграла, выражаемого в конечном виде с
помощью элементарных трансцендентных, найдена Лиувиллем для
случая уравнения у" = Ру, где Р — целая функция, форма общего
интеграла уравнения первого порядка f(x,y,y') = 0 определена
нами, дальнейшие обобщения, относящиеся к системе уравнений,
принадлежат М.Н.Лагутинскому» [2, с.VIII].
Если имена всех упомянутых выше авторов работ по интегри-
рованию дифференциальных уравнений в конечном виде знакомы
многим, то имя М.Н.Лагутинского, можно сказать, почти неизвест-
но в ученом мире. А вместе с тем интенсивность его научных исс-
ледований и глубина результатов сравнимы с теми же, за которые
ныне присуждают докторские степени. Таким образом, изучение
творческого вклада М.Н.Лагутинского в развитие теории диффе-
ренциальных уравнений представляет несомненный интерес, и как
первый шаг в этом направлении авторы сочли полезным собрать
малоизвестные и малодоступные материалы из жизни ученого [3] и
представить данный биографический очерк вниманию читателей
« Историко-математических исследований ».
2. Материалы о М.Н. Лагутине ком
В современной историко-математической литературе лишь в
«Истории отечественной математики» Лагутинскому отведено нес-!
колько строк: «В 1902 году начал свою преподавательскую деЯ'*
тельность на кафедре чистой математики в качестве приват-доцента!
воспитанник Харьковского университета, сдавший в 1902 году ма-
гистерский экзамен, М.Н.Лагутинский (1871 — 1915). Он опубли-
ковал более десяти научных работ. Наиболее интересными из ним
были работы, посвященные распространению метода Дарбу на сис-
темы алгебраических дифференциальных уравнений и применений
этого метода к задаче Врио и Буке» [4, с.466 —467]. Еще одно упо-
минание о Лагутинском в том же источнике имеется при описании
развития математики в Харьковском технологическом институт!
[4, с.474]. Биографическая ссылка и краткое замечание о двух ра-
ботах М.Н.Лагутинского (№7 и №11. См. список сочинений
д дДобров°льски-
, Ж.Стрельцын, Н.В.Локоть
ИЗ
. Н Дагутинского, приведенный в данной работе) есть в книге
R А Добровольского, посвященной аналитической теории диффе-
нциальных уравнений [5, с. 139, с.433]. В статье С.Н.Киро, пос-
ещенной истории проведения съездов русских естествоиспытате-
лей и врачей, приведены названия докладов Дагутинского [6].
Заметим, что в статьях Д.М.Синцова [7] и М.Н.Марчевского
(81 о Харьковском математическом обществе, нет упоминаний о
Пагутинском, однако в «Сообщениях Харьковского математическо-
го общества» за 1916 год помещен некролог, написанный
д.П.Пшеборским [9, с.77 — 80]. Там же есть и список большей час-
ти работ (13 из 18) М.Н.Лагутинского.
Антон Павлович Пшеборский (1871 — 1941), воспитанник Ки-
евского и профессор Харьковского университета, магистр чистой
математики, был близко знаком с Лагутинским, преподавал вместе
с ним в университете и технологическом институте Харькова. Вот
что он писал:
«Биография М.Н.Лагутинского несложна: родился в 1871 году;
после окончания Харьковской 3-ей гимназии поступил в Харьковс-
кий университет, который и окончил с дипломом первой степени в
1894 году. В университете за сочинение “О плоских алгебраических
кривых 3-го порядка” получил серебряную медаль. После оконча-
ния университета был оставлен для приготовления к профессуре;
выдержал в 1901 году магистерский экзамен и с 1902 года вступил в
число приват-доцентов Харьковского университета. В том же году
был приглашен в Харьковский технологический институт в качестве
руководителя практических занятий по математике» [9, с.77].
Для пополнения вышеизложенного авторами использованы
«Записки Харьковского университета», «Известия Харьковского
технологического института», протоколы заседаний Харьковского
математического общества и другие издания того периода.
3. Годы учебы М.Н.Лагутинского в университете
Как писал сам Михаил Николаевич в найденной нами автоби-
ографии, он происходил из семьи дворян Харьковской губернии
(отец был генерал-майором), «родился в 1871 году, получил дома
первоначальное образование, поступил в 1880 году в Пермскую
гимназию, аттестат зрелости получил в Харькове в 1889 году.
Осенью того же года поступил в императорский Харьковский уни-
верситет на математическое отделение физико-математического фа-
культета» [10, с.42].
Студенты в то время учились в университете четыре года. По
Уставу 1884 года для контроля над занятиями студентов вводились
обязательные, так называемые полу курсовые, экзамены на 2-ом и
4'0м семестрах. Они проводились особыми комиссиями под пред-
седательством назначенных министерством лиц. Министерство
просвещения составляло специальные программы государственных
экзаменов, в соответствии с которыми велось и преподавание дан-
ного предмета [И].
114 Из истории отечественной математики
М.А.Тихомандрицкий (1844 — 1921), профессор Харьковского
университета, работавший в нем с 1883 по 1904 годы, в написан-
ной им истории физико-математического факультета указывал, что
по Уставу университета полагались следующие кафедры: «1) чис-
тая математика; 2) механика аналитическая и практическая; 3) ас-
трономия и геодезия; 4) физика и физическая география; 5) хи-
мия; 6) минералогия и геология; 7) ботаника; 8) зоология, сравни-
тельная анатомия и физиология; 9) технология и техническая хи-
мия; 10) агрономия» [12, с.20]. Эти десять кафедр обслуживали
два отделения физико-математического факультета: физико-мате-
матическое и естественное.
На физико-математическом отделении изучались следующие
предметы: «чистая» математика, механика, астрономия и геодезия,
физика, физическая география и метеорология, неорганическая хи-
мия. Студенты должны были слушать предметы как по собствен-
ному избранному факультету (так называемые «главные»), так и
дополнительные, т.е. богословие, иностранные языки и др. Курсо-
вые экзамены сдавались по всем предметам, экзамены при оконча-
нии университета выбирались из главных за все время обучения,
оценки ставились по пятибалльной системе: «Значение баллов та-
кое: 0 —совершенное незнание, 1—слабое, 2 —посредственное,
3 —достаточное, 4—хорошее, 5 —отличное. Тот, кто получал звание
кандидата, при окончании получал диплом 1 степени, а звание
действительного студента—диплом 2 степени» [12, с.118].
Пояснения относительно вышеуказанных званий находим у
М.А.Тихомандрицкого: «В кандидаты производится тот, кто полу-
чит 2/3 превосходных отметок и 1/3 хороших... Неудостоенные
кандидаты получают звание действительного студента, но если кто
получит 2 в половине всех предметов, или по 1 по двум предме-
там, или из одного 0, то не удостаивается действительного студен-
та» [12, с.117].
Опирась на исторический обзор «Кафедры математики чистой
и прикладной» Д.М.Синцова [13], можно выяснить, чьи же лек-
ции слушал Михаил Лагутинский в годы учебы, какое влияние
оказали на его дальнейшую судьбу профессора Харьковского уни-
верситета.
Синцов упоминает о распределении учебной нагрузки на кафед-*
ре чистой математики по академическим годам: лекционные курсы
читали профессор К.А.Андреев (аналитическая геометрия на плос-
кости и в пространстве, дифференциальное исчисление, теория чи-
сел), профессор М.Ф.Ковальский (интегрирование функций, интег-
рирование дифференциальных уравнений, обыкновенных и в част-|
ных производных), профессор М.А.Тихомандрицкий (высшая ал-i
гебра, теория конечных разностей, теория эллиптических функций),
приват-доцент А.П.Грузинцев (элементарная математика, теория оп-
ределителей, сферическая геометрия); в 1891/92 академическом
В А Добровольский, Ж.Стрельцын, Н.В.Локоть
115
году к ним прибавился приват-доцент В.А.Стеклов (осеннее полу-
годие: теория интегрирования дифференциальных уравнений —2
часа в неделю), в 1892/93 —приват-доцент Г.А.Латышев, который
Bei начертательную геометрию, а перед самым выпуском Лагутинс-
кого—приват-доцент В.П.Алексеевский, читавший теорию функ-
ций комплексного переменного и вариационное исчисление.
Несомненно, что большое влияние на выбор Михаилом Лагу-
тинским темы для дальнейших исследований оказали Матвей Фе-
дорович Ковальский (1836—1900) и Владимир Андреевич Стеклов
(1863 — 1926). Так, Ковальский в 1866 году защитил магистерскую
диссертацию «Теория интегрирующего множителя дифференциаль-
ных уравнений вида f(x,y)dx + F(x,y)dy = 0», в которой особенно
подробно изучен метод Ф.Миндинга—«смесь подстановок с интег-
рирующим множителем» (14, с. 16]. Докторская диссертация Ко-
вальского (1868 г.) тоже посвящена теории дифференциальных
уравнений; сам он неоднократно выступал на съездах русских ес-
тествоиспытателей и врачей (1867, 1869 гг.) с докладами о случаях
интегрируемости некоторых дифференциальных уравнений, иссле-
дуя форму интегралов этих уравнений.
Отметим, что в «Юбилейном сборнике Харьковского универ-
ситета» помещена статья М.Н.Лагутинского о своем учителе —
И.Ф.Ковальском. «Юбилейный сборник», к сожалению, не най-
ден нами, но биография Ковальского, написанная Лагутинским,
имеется в историческом обзоре профессора Д. И. Баталия [10,
с.27-29].
В.А.Стеклов в 1893 году защитил магистерскую диссертацию о
движении твердого тела; серия его статей, посвященных тем же
вопросам, печаталась в «Сообщениях Харьковского математическо-
го общества» именно в годы учебы Лагутинского в университете и
приготовления его к профессорскому званию. Кроме того, Стеклов
и Лагутинский в одно и то же время были членами Харьковского
математического общества; Стеклов являлся председателем Общес-
тва тогда, когда в него был принят Михаил Лагутинский.
Лагутинский не сразу занялся исследованием интегрируемости
Дифференциальных уравнений, сначала его увлекали и другие
проблемы. Об этом отчетливо свидетельствует выбор им тем сооб-
щений на заседаниях Общества и съездах русских естествоиспыта-
телей и врачей. А.П.Пшеборский в некрологе отмечает, что Миха-
ил Николаевич «...по своим склонностям и по складу своего ума
был по преимуществу геометр и алгебраист. Всякого, более близко
знакомого с ним, не могло не поражать его богатое геометрическое
воображение и особое искусство в различных формальных чисто
алгебраических вычислениях» [9, с.78]. Об этом свидетельствует и
сочинение, выполненное студентом Лагутинским в 1892 году.
Правда, выбор темы не был свободным, так как руководство фа-
культета считало, что «...одним из лучших средств возбуждения
116
Из истории отечественной математик^
ревности к науке всегда были темы, задаваемые факультетом на
соискание медалей и премий» [12, с. 130]. Так, когда была объяв-
лена тема «Аналитическая теория кривых третьего порядка», На
нее представили сочинения «студенты: Александр Левченко (се-
ребряная медаль) и Михаил Лагутинский (серебряная медаль)»
[12, с. 132]. В «Записках императорского Харьковского универси-
тета» за 1893 год найдены два отчета, написанные профессоре!
К. А. Андреевым 7 ноября 1893 года на эти студенческие сочинения
представленные на соискание наград под двумя различными деви
зами [15, 1893, кн.2, с.45—49]. Авторами сочинений были указан
ные выше студенты, но которая именно работа принадлежит Лагу-
тинскому, установить не удалось. По характеру отчета складывает
ся мнение, что сочинение Лагутинского было зашифровано фразой
Ж.Дюамеля, но документального подтверждение не найдено. Заме-
тим, что после кончины Михаила Лагутинского на факультете
было утверждено «...положение о капитале имени М.Н.Лагутинс-
кого, учрежденном вдовой генерал-майора Лагутинской в пямять
ее сына, покойного приват-доцента по кафедре чистой математики.
Проценты с капитала выдаются в виде премии за сочинение на
тему, объявленную факультетом» [15, 1917, кн.З —4, с.32].
В 1894 году в отчете о работе Харьковского университета ука-
зано, что «на основании 77 статьи Университетского устава в от-
четном году выпускные свидетельства (о зачете восьми полугодий)
были выданы следующим лицам:»... далее идет список, в котором
«третьим указан М.Н.Лагутинский» [15, 1895, кн.2, с.72]. В отче-
те за 1895 год мы уже читаем, что «стипендиатами для приготовле-1
ния к профессорскому званию состояли... по физико-математичес-
кому факультету: окончившие курс с дипломами 1 степени: ...Ми-
хаил Лагутинский — по кафедре математики» и т.д. [15, 1895, кн.2,
с.20]. При перечислении «важнейших дел Совета университета»
отмечено и такое: «8) об оставлении Лагутинского стипендиатом
для приготовления к профессорскому званию по предмету матема-
тики без назначения стипендии» [там же, с.74]. Два года спустя!
уже упоминается, что по кафедре математики стипендиатами явля-
лись Михаил Лагутинский и Николай Салтыков (будуший профес-
сор Харьковского университета, затем эмигрировавший в Белград,
автор многочисленных работ по интегрированию дифференциаль-
ных уравнений в конечном виде).
В отчете за 1898 год в списках степендиатов Лагутинский уже
не значится, но в отделе «занятий факультетов» по кафедре фило-
софии имеется упоминание о том, что «...ординарный проф-
Ф.А.Зеленогорский производил практические занятия по матема-
тике со студентами 5-го и 7-го семестров. В этих занятиях особен-
но деятельное участие принимали студенты Щекин, Оконевский и
Лагутинский» [15, 1899, кн.2, с.21]. В отчете за 1900 год говорит-
ся, что выпускное свидетельство об окончании университета было
выдано Лагутинскому Алексею Николаевичу [15, 1901, кн.2, с.87]-
g д Добровольский,
117
Ж.Стрельцып, Н.В.Локоть
Обратим внимание на эти даты. Михаил Лагутинский, окон-
чивший университет в 1894 году и состоявший стипендиатом с
jg94 по 1897 годы, уже мог бы написать и защитить магистерскую
диссертацию или хотя бы сдать магистерские экзамены. Почему-то
за этот период у Лагутинского не было статей, а экзамены он сдал
только в 1901 году. У авторов статьи сложилось мнение, что ввиду
плохого материального состояния семьи Михаилу Лагутинскому
пришлось добывать средства к существованию, чтобы дать возмож-
ность брату Алексею закончить университет. Косвенное подтверж-
дение этой догадки имеется и в некрологе у Пшеборского, где упо-
минается о тяжелом материальном положении М.Лагутинского [9,
с.77]. На ту же мысль наводит еще одна фраза из отчета Харьков-
ского технологического института: даже в 1908 году, будучи при-
ват-доцентом в университете и технологическом институте Харько-
ва, Лагутинский вынужден искать допотнительные заработки, пре-
подавать математику еще и в женской гимназии Грегорцевич [16,
1910, т.6, с.21].
В русской высшей школе в то время имелись две ученые сте-
пени—магистр и доктор, и две должности преподавателя универси-
тета—доцент и профессор. Считалось, что нельзя быть профессо-
ром, не имея степени доктора, и нельзя быть доцентом (адъюнк-
том), не имея степени магистра. Студенты, закончившие универси-
тет с дипломами 1-ой и 2-ой степени, допускались к экзамену на
магистра: «Ищущему магистерского или докторского звания декан,
прежде публичного испытания, пригласив двух профессоров, пре-
подающих вспомогательные науки, делает обще с ними предвари-
тельный искус, и об успехах онаго относится к своему отделению,
которое неспособным, утверждаясь на донесении деканов, в пуб-
личном испытании отказать может... Публичные испытания для
магистра и доктора производятся следующим образом: из опреде-
ленного числа написанных и хранимых в тайне вопросов, относя-
щихся до каждой науки особенно, выбираются по жребию два воп-
роса для магистра и 4 для доктора, кои они должны решить осно-
вательно и подробно. За сим следует произвольное словесное ис-
пытание в других предметах, назначаемых экзаменаторами. Потом
Должны они решить такое же число и так же по жребию вынутых
вопросов и в присутствии члена отделения в удобном месте... Пос-
ле сих испытаний ищущий магистерского достоинства читает одну,
а Докторского 3 сряду публичные лекции о предметах от отделения
назначаемых и представляет оному диссертацию для защищения в
публичном собрании» [12, с. 137—138]. Тот, кто сдал магистерские
экзамены, но еще не защитил магистерской диссертации, называл-
ся магистрантом, а тот, кто уже защитился, получал ученую сте-
пень магистра.
Таким образом, видим, что приобретение степеней и званий
было делом весьма нелегким. М.Н.Лагутинский сдал магистерские
118 Из истории отечественной матемадИ
экзамены в 1901 году, став магистрантом, но степени магистра 01!
так и не получил, хотя его сочинение «Приложение полярных оце.
раций к интегрированию обыкновенных дифференциальных урав.
нений в конечном виде» уже было принято в качестве магистерс-
кой диссертации [9, с.77]. Защита должна была происходить на
открытом диспуте после того, как Михаил Николаевич вернется из
Геттингена, но внезапная кончина не дала ему возможности это
сделать. Лагутинский умер скоропостижно в возрасте 44 лет, в са-
мом расцвете творческих сил и планов. Очень часто судьба неми-
лосердна к таким вот талантливым и светлым людям. Пшеборский
писал: «Вся жизнь М.Н. была посвящена науке и только науке,
которую он страстно любил. Скромный и страшно строгий по от-
ношению к самому себе, вечно сомневающийся в ценности своих
результатов, М.Н. был удивительно снисходителен к другим. Его
мягкость и скромность много вредили ему и были причиной мно-
гих огорчений. Но ко всем терниям наш покойный товарищ отно-
сился чрезвычайно добродушно... И вот почему этот человек, не-
сомненно талантливый, несомненно обладавший огромной эруди-
цией, оставался в тени. Не гонялся М.Н. и за материальными бла-
гами. Ему дважды представлялась возможность хорошо устроиться
вне Харькова, но М.Н. предпочитал оставаться в родном универ-
ситете и тянуть тяжелую лямку приват-доцента» [9, с.77].
4. Преподавательская деятельность М.Н.Лагутинского
В Харьковском университете полагалось по Уставу иметь на
кафедрах 12 ординарных профессоров, 5 —экстраординарных, чис-
ло приват-доцентов (преподавателей по найму, не входящих в
штат кафедры) не ограничивалось. Обычно многие профессора на-
чинали свою преподавательскую деятельность в должности при-
ват-доцента, будучи избираемыми в доценты (штатные) вскоре по
получении степени магистра. Приват-доцентам не полагалось опре-
деленного жалованья, но Совету университета разрешалось выда-
вать им денежное вознаграждение, например, если приват-доцент
преподавал обязательный предмет, то обычно получал «вознаграж-
дение в 1000 рублей в год» [12, с.28]. Заметим, что работа могла
не быть постоянной, так как если кто-то из профессоров пожелал
бы разработать какой-то курс, читаемый приват-доцентом, то пос-
ледний просто бы остался без работы... Суммы, отпускаемые на
«вознаграждение» приват-доцентов Министерством народного
просвещения становились к концу XIX столетия все меньше и
меньше, и приват-доценты работали почти бесплатно. Вот на какой
должности оказался Михаил Лагутинский в 1902 году, прочитав
«в январе сего года 2 пробные лекции “О наложении поверхнос-
тей” и “О замене переменных в кратных интегралах”» [10, с.42].
Согласно записей Тихомандрицкого, он «в осенний семестр
преподает начертательную геометрию и ведет практические упраЖ'
нения по интегрированию функций, а в весенний —по
119
итерированию уравнений» [12, с.42]. Видимо, стесненный в
педствах, он одновременно находит себе работу и в Харьковском
Энологическом институте [17]: «с 1902 по 1914 г. в институте ра-
бота-! М.Н.Лагутинский, который вел практические занятия по
аналитической геометрии и математическому анализу, а также чи-
тал факультативный курс —теория вероятностей и способ наимень-
ших квадратов. С марта 1914 года (незадолго до своей смерти) Ла-
гутинский перешел в штат института» [4, с.474]. Просматривая от-
четы о работе профессорско-преподавательского состава ХТИ, мы
натолкнулись на весьма интересный документ, который дает воз-
можность очень выпукло увидеть сложности жизни педагогов в на-
чале века. Это доклад комиссии, избранной Советом Харьковского
императорского университета для обсуждения вопроса о системе
вознаграждения преподавателей университета [16, 1898, кн.2,
с. 1—33]. Выводы этой комиссии очень показательны: при сложив-
шемся на конец века прожиточном минимуме (да простят нас чита-
тели за эту прозу жизни) в 2942 рубля 50 копеек профессор уни-
верситета получал 3000 рублей. В отчете говорится о бедственном
положении профессорско-преподавательского состава и доказыва-
ется, что для безбедного существования необходимо повысить жа-
лованье до 5000 рублей, тогда профессор будет «в состоянии дейс-
твительно посвятить себя наукам без суровых забот о хлебе насущ-
ном... Приват-доценты ...на самом деле угнетены и нравственно и
умственно, и прежде чем добиться кафедры и штатного места, про-
ходят такую школу, которая не может быть признана для них бла-
готворною» [там же, с.23, 29].
Прослеживая по немногочисленным сохранившимся докумен-
там год за годом преподавательскую деятельность Лагутинского,
можно найти некоторые интересные свидетельства—например, ука-
зания на то, какие статьи появились за отчетный год и в каких
сборниках, какие работы планировалось публиковать в следующем
году и т.д. Так в третьем томе отчета ХТИ за 1905 год указано:
«Преподаватель Лагутинский состоял в качестве приват-доцента в
Харьковском университете. Напечатал в “Юбилейном сборнике”
биографию профессора М.Ф.Ковальского» [16, 1907, т.З, с.15].
Или такую запись: «Преподаватель М.Н.Лагутинский... окончил
Печатание сочинения под заглавием “Частные алгебраические ин-
тегралы” и выпустил под своей редакцией перевод сочинения не-
мецкого профессора Делемана “Проективная геометрия”» [16,
1910, т.6, с.21]. В том же источнике можно увидеть в списке раз-
решений Совета ХТИ на командировки следующие строки: «В лет-
нее время 1913 года разрешена командировка с научной целью сле-
дующим лицам: ... на съезд в Тифлис: профессор А.Н.Щукарев;
Преподаватели: П.В.Шепелев и М.Н.Лагутинский», и «в 1914 г.
6ЫЛИ командированы... заграницу преподаватели: ...М.Н.Лагутин-
ский с 1 июня по 1 августа» и т.д. [16, 1915, т.11, с.32]. Видимо,
120 Из истории отечественной математики
это и была последняя командировка в Геттинген. А.П.ПшеборскийГ
указывает: «Покойный М.Н. несколько раз был в заграничных ко-
мандировках в Геттингене; там же он был и летом 1914 года, там
же его застигла война, и оттуда он уже не вернулся» [9, с.77], ft
сожалению, сведений о командировках в изученной нами литерату-
ре не найдено, нет и отчетов о командировках, хотя обычно тако-
вые печатались в «Записках Харьковского университета». Возмож-
но, командировки были даны ХТИ, но тщательная проверка отче-
тов и другой документации новых сведений не дала. Один из авто-
ров статьи, профессор Ж.М.Стрельцын написал письма в Геттин-1
ген профессору Манфреду Денкеру с просьбой переслать сведения
об архивах М.Н.Лагутинского, которые по свидетельству
А.П.Пшеборского, остались там [9, с.78 — 79]. Результат был неу-
тешительным, в архиве Геттингенского университета материалы q
Лагутинском отсутствуют. Харьковский архив очень сильно пост-
радал во время Отечественной войны, поэтому и там новых доку-
ментов не найдено.
5. М.Н.Лагутинский—действительный член ХМО
В конце 70-х годов при непосредственном участии и по иници*
ативе профессора, а впоследствии академика В.Г.Имшенецкого
(1832—1892) «начали собираться по вечерам профессора и препо-
даватели математики Харьковского университета для бесед и сооб-
щений результатов своих научных исследований. Таким образом
мало-помалу возникло ядро будущего Математического общества,
Устав которого, выработанный В.Г.Имшенецким и проф. Д.М.Де-
ларю, был утвержден министерством народного просвещения 28
апр. 1879 года». Целью математического общества при императорс-
ком Харьковском университете (в дальнейшем ХМО) было «со-
действовать разработке как чисто научных, так и педагогических
вопросов в области математических наук». Что касается членов об-
щества, то таковыми «без избрания имеют право считаться налич-
ные и бывшие профессора и другие преподаватели чистой и прик-
ладной математики в Харьковском университете и в других могу-
щих открыться в Харькове высших учебных заведениях», все ос-
тальные лица, занимающиеся математикой, «могут быть приняты в
члены общества по баллотировке» [18, с. 13]. ХМО очень скоро по
праву завоевало себе почетное место в научном математическом
мире. «Его “Сообщения" пользовались репутацией крупного науч-
ного органа и привлекали интерес видных математиков. На стра-
ницах “Сообщений” печатались работы не только харьковских уче-
ных... Научные учреждения не только России, но и многих стран
мира проявили большой интерес к обмену изданиями с Харьковс-
ким математическим обществом. К 1907 году “Сообщения” рассы-
лались 40 русским и 25 иностранным научным обществам и учреж-
дениям, преимущественно в обмен на их издания» [19, с. 125].
121
Р А Добровольский, Ж.Стрельцын, Н.В.Локоть
Истории ХМО посвящены очерки А.П.Пшеборского [18],
п М-Синцова [7], М.Н.Марчевского [8], но о деятельности
И.Лагутинского ничего нет, кроме того, что у Пшеборского на
последней странице в списке докладчиков указано: <Н.Н.Салты-
ков и М.Н.Лагутинский —по 8»(докладов) [18, с.26].
Восстановим по протоколам общества перечень докладов
jv[ H.Лагутинского. Запись об избрании его в Общество была най-
дена в «Сообщениях ХМО» за 1900/1902 годы: в заседании 16
ноября 1901 года «по предложению М.А.Тихомандрицкого и
А.М.Ляпунова в члены Общества избран М.Н.Лагутинский» [20,
1900/1902, т.7, сер.2, №6, с.292]. Но, собственно, доклады он на-
чал делать с 1897 года, когда еще не являлся действительным чле-
ном Общества.
Список сообщений М.Н.Лагутинского в заседаниях ХМО
1) 28 февраля 1897 г. — «Определение производной, как понятия, выводимого из
теории преобразований» [20, 1897 z1898, т.6, №6, с.295].
2) 16 февраля 1901 г.— «Об одной системе кругов» [20, 1900/1902, т.7, №6,
с.291].
3) 19октября 1901 г. —«Синтетическое доказательство теоремы о девяти точках и
девяти прямых» [там же].
4) 16 ноября 1902 г.— «Синтетическое доказательство основного свойства одно-
полостного гиперболоида» [там же, с.292].
5) 18 октября 1902 г, —«О циклических кривых 2-го порядка [20, 1902/1904,
т.6, №6, с.284].
6) 3 декабря 1902 г. — «О первых интегралах систем линейных дифференциаль-
ных уравнений» [там же].
7) 7 февраля 1903 г. — «Обобщение теоремы Malus’a» [там же, с.285].
8) 27 апреля 1903 г. — « Об одной группе преобразований пространства» [там же].
9) 12 марта 1904 г. — «О комплексах прямых» [20, 1904/1906, т.9, №6, с.294].
10) 18 ноября 1906 г. — «Об уравнении в частных производных (s2 - rt)f{x,y) = 1
или s2 - rt= [20, 1907/1909, т.10, №6, с.290].
11)12 января 1907 г. — «Общие исследования, относящиеся к интегрированию в
конечном виде дифференциальных уравнений 2-го порядка» (сообщение по статье
Д-Д.Мордухай-Болтовского) [там же].
12) 5 ноября 1907 г. —«О кратных частных интегралах» [там же, с.292].
13) 17 декабря 1908 г. — «О применении необратимых преобразований при интег-
рировании дифференциальных уравнений» [20, 1907/1910, т.11, №6, с.244].
14) 19 марта 19010 г. — «Значение особых точек для алгебраического интегриро-
вания дифференциальных уравнений в частных производных 1-го порядка» [20.
>910/1911, т.12, №6, с.292]
15) 22 октября 1910 г, —«О приложении полярных операций к интегрированию
Дифференциальных уравнений» [там же, с.297].
16) 17 февраля 1912 г. —«Об интегрировании дифференциальных уравнений»
[20, 1912/1913, т.13, №6, с.1].
17) 1 марта 1913 г. —«О бесконечно удаленных элементах» [там же, с.2].
18) 18 октября 1913 г. —«Об измерении алгебраических форм» [20, 1913/1915,
г 14, №6. с 5].
19) 31 января 1914 г.— «Об алгебраическом интегрировании» [там же, с.9].
20) 25 апреля 1914 г. —«Решение одной системы алгебраических уравнений»
[там же, с.10].
21)9 мая 1914 г. — «О приеме Даламбера в интегрировании дифференциальных
Уравнений» [там же, с. 11].
________________________________Из истории отечественной матема~пДИ
следующем заседании (21 сентября 1914 года) Михаил
колаевцч уЖе отсутствовал, так как находился в Геттингене, а ца
заседали от 27 февраля 1915 года «Д.М.Синцов и А.П.Пшеборс.
кии сообщили о потерях, понесенных О[бщество]м в лице почетно-
го чле^ц акад Н.Я.Сонина и действительного члена приват-доцеи||
та Mil. Лагутинского, память которых была почтена вставанием^
[там же с 1б].
просмотре протоколов ХМО был обнаружен еще один, на
первый взгляд, совсем незначительный факт биографии Лагутинс-
кого, цо очень для него характерный: в протоколах общего годич-
ного заСедания от октября 1907 года имеется запись: «Постанов-
лено просить М.Н.Лагутинского быть и в этом году библиотекарем
Общества> [20, 1907/1909, т.10, сер.2, №6, с.292]. Значит, Миха-
ил Ни^олаевич в 1906 году был библиотекарем ХМО и, вероятно,
остался им еще на ГОД) а это довольно хлопотное и многотрудное
занята^
Итак, М.Н.Лагутинский сделал в Обществе свыше двадцати
соооще^нй, из них —одно по статье Д.Д.Мордухай-Болтовского,
осталЫ(Ь!е_по результатам собственных исследований. Обратим
также внимание на стойкий интерес членов Общества к изыскани-
ям по Ггроблеме интегрируемости дифференциальных уравнений в
конечном виде. На заседаниях докладывались не только работы
членов Общества, но также и исследования по вышеуказанной
проблех1е друГИХ авторов, например, в 1902 году М.А.Тихоманд-
рицкиц излагает результаты статьи Д.Д.Мордухай-БолтовскопТ
«Об одг1ом обобщении теоремы Абеля», А.П.Пшеборский в том же
году дедает сообщение по статье С.Н.Бернштейна «Исследование и
интегрггрование дифференциальных уравнений эллиптического
типа», Д.м.Синцов —снова по статье Мордухай-Болтовского, той
же, что и Лагутинский, затем снова А.П.Пшеборский докладывает
результаты статЬи «О преобразовании ультраэллиптических интег-
оалон 1 . f СУ+ d. гАх + В
ралив д класса формы J , -idy= J , - ах» того же автора, а в
1904 гаду д.м.Синцов излагает результаты изысканий В.П.Ерма-
кова «С>б интегрировании обыкновенных дифференциальных урав-
нении 1 порядка» [20, 1904/1906, т.9, сер.2, с.293—295]. Неуди-
вительно, что с 1906 года меняется и характер сообщений М.Н.Ла-
гутинскОго: Он начинает, в основном, заниматься вопросами интег-
рирования дифференциальных уравнений. Таким образом, влия-
ние '-'б1цества на выбор темы магистерской диссертации и ряда
значитеЛьных рабОт Лагутинского представляется нам очень суше-
ственньхм Отметим также, что шесть серьезнейших математиче-
ских статей Михаила Лагутинского опубликованы на страницах
«Сооб1Цений ХМО».
сУАя по протоколам, обстановка на заседаниях Общества была
дружелюбной, свободной, располагающей к общению: обсуждались
В
д Добровольский, Ж.Стрельцын, Н.В.Локоть
123
оклады, присутствующие задавали вопросы и высказывали заме-
чания по докладам без излишнего соблюдения субординации. По
поминаемым в протоколах замечаниям Лагутинского по сообще
ниям можно судить о широте и глубине его математического обра-
зования; он принимал участие в обсуждении не только тех докла-
дов, которые затрагивали теорию интегрирования дифференциаль-
ных уравнений, но и многих других, живо интересуясь исследова-
ниями своих коллег.
Еще один маленький штрих к отношениям между членами Об-
щества на годичном заседании от 16 октября 1915 года постанов-
лено: «пригласить Н.В.Лагутинскую библиотекарем О[бщест]ва»,
и далее: «принято предложение об увеличении вознаграждения
библиотекарше до 30 рублей в месяц» [20, 1915/1917, т.15, сер.2,
№6, с. 103, с.308 —309]. Предположить, что это однофамилица,
трудно, так как обычно на такую должность приглашали хорошо
знакомого человека. Видимо, члены Общества решили хотя бы та-
ким образом помочь семье Лагутинских после смерти Михаила.
6. Участие М.Н.Лагутинского в съездах русских
естествоиспытателей и врачей
Съезды русских естествоиспытателей и врачей проводились в
России с 1867 года. В различные годы в Отделении математики и
астрономии выступали с сообщениями многие выдающиеся ученые
со всех концов страны, обмениваясь научной информацией, замыс-
лами новых исследований. М.Н.Лагутинский принимал участие в
работе трех съездов: в С.-Петербурге (20 — 30 декабря 1901 г.), в
Москве (23 декабря—6 января 1910 г.) и в Тифлисе (16—24 июня
1913 г.). В статье С.Н.Киро, как уже нами упоминалось, имеются
только названия докладов Лагутинского, но в «Дневниках съездов
удалось обнаружить некоторые дополнительные сведения» [21].
Так, в списках делегатов XI съезда М.Н.Лагутинский числится уже
как приват-доцент Харьковского университета, а в протоколе указа-
на не только тема его выступления: «К вопросу об определении
производной», но и краткие пояснения: «Докладчик рассматривал в
своем докладе вместо касательной к кривой у = f(x) прямую опера-
цию Р, определяемую уравнением У - у = (X - х) • Рх /СО» и удов-
летворяющую некоторым условиям, затем вывел свойства этой опе-
рации, аналогичные основным правилам вычисления производной
суммы, произведения, частного двух функций и т.д., показав, как и
гДе можно использовать это определение [22, с. 121 —122].
На XII съезде в подсекции математики был заявлен доклад
М.Н.Лагутинского «Об интегрировании алгебраических дифферен-
циальных уравнений». Доклад состоялся 2 января на соединенном
заседании подсекции математики и механики [23, №1, с. 14], текст
сообщения напечатан в «Протоколах» съезда [23, №7, с.251]. Ла-
гутинский предложил собственный метод для получения необходи-
мых условий существования алгебраических интегралов
124 Из истории отечественной математику
алгебраической системы ОДУ. Кроме того, он доказал, что если
известны необходимые условия существования алгебраических ин-
тегралов алгебраической системы с р -1 переменными, то они рас-
пространяются и на систему с р переменными, обобщив, тем са-
мым, условия, полученные А.Пуанкаре и П.Пенлеве для уравне-
ния первого порядка на уравнения второго и третьего порядков.
Примечателен также следующий факт: на том же съезде при-
сутствовал Д.Д.Мордухай-Болтовской (1876—1952), профессор
Варшавского университета, автор ряда известных работ по интег-
рированию дифференциальных уравнений. На заседаниях секции
математики он был активнейшим членом всех дискуссий, выступал
по поводу многих докладов, задавал вопросы, высказывал замеча-
ния, но вот каких-либо следов обсуждения доклада Лагутинского в
протоколах съезда, к сожалению, нет. Были ли между ними ка-
кие-нибудь личные научные контакты, сказать сложно, но то, что
Д.Д.Мордухай-Болтовскому известны работы Лагутинского, мы
упоминали выше.
На XIII съезде в Тифлисе (16 — 24 июня 1913 г.) вновь обра-
щает на себя внимание доклад Лагутинского «Об алгебраическом
интегрировании дифференциальных уравнений» [24, №3, с. 102].
Протокол заседания подсекции чистой математики опубликован в
«Дневнике» съезда [там же, с.414]. Лагутинский в своем сообще-
нии рассмотрел ту же систему дифференциальных уравнений, что
и в предыдущем выступлении на XII съезде:
dx\ dx2 ^хр
где X —однородные полиномы одного и того же измерения, и до-
казал уже необходимые и достаточные условия существования ал-
гебраического интеграла системы, обобщив тем самым свой же резу-
льтат. Отметим, что уже две его фундаментальные работы по интег-
рированию дифференциальных уравнений (№6 и №7. См. список
сочинений М.Н.Лагутинского, приведенный в данной работе) уже
были опубликованы в Харькове в 1908 году. Не совсем понятно,
почему же А.П.Пшеборский не упоминал об участии Лагутинского
в съездах русских естествоиспытателей и врачей, а в список работ
не внес упоминание о текстах докладов.
7. Сочинения М.Н.Лагутинского
Авторы статьи уверены, что тщательный анализ научного нас-
ледия Михаила Лагутинского заслуживает отдельной публикации,
и планируют выпуск еще одной статьи, посвященной его трудам-
Здесь же мы помещаем краткий экскурс по содержанию его работ
и дополненный их список.
Первой по времени (1901 г.) идет небольшая заметка (Nel),
помещенная в «Nouvelles annales des mathematiques»; можно счи-
тать, что это «проба пера» молодого автора. Затем, видимо в
В А Добровольский, Ж.Стрельцын, Н.В.Локоть
125
период поиска основной темы для исследований, появляются еще
три статьи (№3), (№4), (№5). Так в работе (№3) «Об определе-
нии уравнения асимптот плоской алгебраической кривой» автор,
показав на паре примеров сложности, возникающие при отыскании
асимптот по методу В.А.Анисимова («Математический сборник»,
т. ХХП), предлагает свой способ, основанный на применении од-
нородных координат и на определении асимптоты, как касательной
в бесконечно удаленной точке кривой.
Преобразованиям развертывающихся поверхностей посвящает-
ся следующая статья (№4), в которой Лагутинский исследовал
случай, недостающий в решении С.Ли задачи о нахождении всех
преобразований касания, переводящих поверхности постоянной
кривизны сами в себя. В следующей заметке (№5) он обобщил
один из результатов Ж.Серре (1848 г.) о линейчатых поверхнос-
тях постоянной кривизны, определив вид функций которые
удовлетворяли бы уравнению s2 -rt = f(p,q\ и уравнение это сос-
тавляло бы интегрируемую систему с дифференциальным уравне-
нием линейчатых поверхностей, причем при интегрировании систе-
мы применил свой частный оригинальный прием.
Дальнейшие его работы (№6 —№18) посвящены вопросам ин-
тегрирования дифференциальных уравнений и их систем, в истин-
ных результатах и значении их для развития проблемы интегируе-
мости в конечном виде еще предстоит разобраться. Обратим вни-
мание еще только на последнюю, посмертно опубликованную
статью (№17), причем не столько с целью отметить результат,
сколько сделать чуть более понятным облик автора. Лагутинский
попытался усовершенствовать метод Даламбера для получения час-
тных интегралов системы дифференциальных уравнений, который
в то время критиковался Г.В.Пфейффером (1912 г.), и изложил в
указанной статье итоги своих исследований в этом направлении.
Как указывает А.П.Пшеборский, статья эта «вдвойне характер-
па для М.Н.: и по постановке, опять-таки вполне определенной,
конкретной задачи, и по своему тону. В то время как другой автор
почти наверно придал бы ей полемический характер, М.Н. написал
чисто объективную научную статью с одною только деловой ссыл-
кой на статью, против которой направлена работа М.Н. И так всег-
да и везде: личное “я” в вопросах научных для М.Н. не играло
роли, так как он жил для науки и только для нее» [9, с.80].
Список сочинений М.Н.Лагутинского
№1. Sur une integrate d’un probteme concernant d’un fil flexible et inextensible //
Nouvelles Annates des Mathematiques. Ser.4. Tome (1901). P.523 — 526.
№2. К вопросу об определении производной / / Дневник XI съезда русских ес-
тествоиспытателей и врачей. СПб. 1902. №1 — 11. С.121 —122.
№3. Об определении уравнения асимптот алгебраической кривой / / Математи-
ческий сборник. М., 1903. Т XXIV. Вып.З. С.474-480.
№4. О преобразовании развертывающихся поверхностей самих в себя / / Извес-
тия Харьковского технологического института. 1907. Т.З. С.1 —20.
126 Из истории отечественной матсматт^И
№5. Об уравнении (s2 - rt)/'(x,^) = 0 или s2 - rt = // Сообщения Харь,
конского математического общества. 2-я сер. 1907. Т.Х. С.65 — 76.
№6. О форме интеграла алгебраической системы обыкновенных дифференци-
альных уравнений, выраженного в конечном виде ' Известия Харьковского техно-
логического института. 1908. T.IV. С.1—55.
№7. Частные алгебраические интегралы. Харьков, 1908. 212 с
№8. Об интегрировании алгебраических дифференциальных уравнений I
Дневник XII съезда русских естетсвонспытателей и врачей. М., 1910. Отдел 2
№1-10. С.251.
№9. Приложение полярных операций к интегрированию обыкновенных диффе-
ренциальиых уравнений в конечном виде / / Сообщения Харьковского математичес-
кого общества. 2-я сер. 1910/1911. Т.ХП. №3, 4 — 5. С.111—243.
№10. К вопросу о простейшей форме системы обыкновенных дифференциаль-
ных уравнений в конечном виде // Математический сборник. М., 1912. T.XXVII
С.420 — 423.
№11. Несколько слов о методе частных интегралов G Darboux Записки
Харьковского университета. 1912. Кн.2. С.1—7.
№12. О некоторых полиномах и связи их с алгебраическим интегрированием
обыкновенных дифференциальных алгебраических уравнений Сообщения Харь-
ковского математического общества. 2-я сер. 1912. T.XIII. №4 — 5. С.200 —224.
№13. Об интегралах одной дифференциальной системы / ' Сообщения Харь-
ковского математического общества. 2-я сер. 1912. Т.ХШ. №4 — 5. С.225 — 241.
№14. К теории исключений / Дневник XIII съезда русских естествоиспытате-
лей и врачей в Тифлисе (16 — 24 июня 1913 г.). 1914. №1 — 10. С.256.
15- Об интегрировании алгебраических дифференциальных уравнений /
Дневник XIII съезда русских естествоиспытателей и врачей в Тифлисе (16 — 24 июня
1913 г). 1914. №1-10. С.414.
№16. Об измерении алгебраических форм / / Сообщения Харьковского матема-
тического общества. 2-я сер 1913/1915. T.XIV. №3. С.113 — 138.
№17. Прием Даламбера в теории линейных дифференциальных уравнений с пос-
тоянными коэффициентами и его обобщение / Сообщения Харьковского математи-
ческого общества. 2-я сер. 1913/ 1915. T.XIV. №3. С.177 —192.
№18. Ковальский Матвей Федорович // Физико-математический факультет
Харьковского университета за первые 100 лет его существования (1805 — 1905 ) z Под
ред. И.П.Осипова и проф. Д.И.Багалия. Харьков, 1908. С.27 —29.
Выше перечисленные сочинения М.Н.Лагутинского можно еще дополнить его
работой но редактированию:
Делеман К. Проективная геометрия в синтетическом изложении. [Перевод с 3-го
дополненного и исправленного немецкого издания Р.И.Гольцберга и П.Ерохина]
Под ред. нрив.-доц. М.Н.Лагутинского. Харьков, 1908. II+122+VI с.
Список литературы
1. Демидов С.С. (при участии Петровой С.С. и Симонова Н.И.). Обыкновенные
дифференциальные уравнения Математика XIX века. Чебышевское направ-
ление в теории функций. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Вариа-
ционное исчисление. Теория конечных разностей / Под ред. А. Н.Колмогорова и
А.П.Юшкевича. М., 1987. С.80—183.
2. Мордухай-Болтовской Д.Д. Об интегрировании линейных дифференциальных равне-
ний в конечном виде / / Варшавские университетские известия. 1911. №1. С.1 — LI
3. Dobrovol'skii Г.Л.. Lokot'N.A., Strelcyn J.-M. Mikhail Nikolaevich Lagutinskii
(1871 — 1915): Un Mathematicien Meconnu / Histiria Mathematica. 1998. Vol.25-
P.245 - 264
4. История отечественной математики Отв. ред. И.З.Штокало. Киев, 1966 — 1970. Т.2.
5. Добровольский В.А. Очерки развития аналитической теории теории дифференци-
альных уравнений. Киев, 1974.
6. Киро С. Н. Математика на съездах русских естествоиспытателей и врачей / / Исто-
рико-математические исследования. М., 1958. Вып.Х1. С.133—158.
ц (^Ермолаева
127
7 Синцов ДМ. Харьковское математическое общество за 50 лет / / Труды Первого
Всесоюзного съезда математиков (Харьков, 1930 г.). М.-Л., 1936. С.97—105.
8 Марчевский М.Н. Харьковское математическое общество за 75 лет Истори-
ко-математические исследования. И., 1956. ВыпЛХ. С 613 —666.
9 Пшеборский А. Михаил Николаевич Лагутинский (Некролог) ' Сообщения
Харьковского математического общества. 2 я сер. 1916. T.XV. №2. С.77 —80.
Ю физико-математический факультет Харьковского университета за первые 100 лет
его существования (1805—1905) / Под ред. И.П.Осипова и Д.И.Багалия. Харь-
ков, 1908.
11. Харьковский государственный университет. 1805—1980. Исторический очерк.
Харьков, 1980.
12. Тихомандрицкий М.А. Опыт истории физико-математического факультета импе-
раторского Харьковского университета за первые 100 лет его существования. СПб,
1904 (1905).
13. Синцов Д.М. Кафедры математики чистой и прикладной в Харьковском универси-
тете за 100 лет его существования (1805— 1905). Харьков, 1908.
14 Ковальский М.Ф. Теория интегрирующего множителя дифференциальных урав-
нений mna.fi.x,y}dx + F{x,y)dy = 0. Магистерская диссертация. Харьков, 1886.
15. Записки импер торского Харьковского университета. Харьков, 1893—1917.
16 Известия Харьковского технологического института императора Александра III.
Харьков, 1905—1915 гг. Т.1 — 11.
17. Двадцатилетие Харьковского технологического института императора Александра
III. 1885—1910 гг. Харьков, 1910.
18. Пшеборский А.П. Математическое общество при Харьковском университете
(1879—1904 гг.). Харьков, 1911.
19. Харьковский государственный университет им. А.М.Горького за 150 лет. Харьков,
1955. С.136.
20. Сообщения Харьковского математического общества. Харьков, 1888—1917. 2-я
сер. Т.6 —15.
21. Локоть Н.В. Вопросы интегрируемости в конечном виде дифференциальных
уравнений на съездах русских естествоиспытателей и врачей. Мурманск, 1992.
(Рук. деп. в ВИНИТИ, №1879-В-92)
22. Дневник XI съезда русских естествоиспытателей и врачей (в Санкт Пет рбурге
20 —30 декабря 1901 г.). СПб., 1902.
23. Дневник XII съезда русских естествоиспытателей и врачей. —М., 1910. Отд.2.
№1-10.
24. Дневник XIII съезда русских естествоиспытателей и врачей в г.Тифлисе (16 — 24
июня 1913 г.). Тифлис, 1914. №1-10.
ЦЕНТРОБЕЖНЫЕ СИЛЫ СУДЬБЫ В.А.КОСТИЦЫНА1)
Н. С.Ермолаева
Эмиграция, порожденная Октябрьской революцией 1917 г.,
стала уделом миллионов наших сограждан. Наибольшее количест-
в° уехавших, уплывших и даже ушедших с родной земли приш-
лось на 1918 год. Но вот настал 1922 г., когда новые правители
сами изгнали многих талантливых сынов нашей Родины, в
1) Работа выполнена при финансовой поддержке Российского гуманитарного на-
учного фонда (код проекта №99-03 19868).
128 Из истории отечественной математики
основном —философов, литераторов и ученых разных специальнос-
тей. Как известно, репрессии против ученого мира начались сразу
же— в 1917 — 1918 гг. Конечно, это было еще далеко до тех масш-
табов, которые эти репрессии приняли в 30-х годах.
Снова, то один, то другой ученый покидал страну. В отличие
от массовой первой волны, когда люди бежали, надеясь вернуться
после того, как все успокоится и жизнь войдет в прежнее русло,
новые эмигранты понимали, что надежд нет —ни на возвращение,
ни на изменение обстановки в лучшую сторону. Выбор их был
вполне осознанным и выстраданным.
Герой нашего повествования—Владимир Александрович Кости-
цын, математик, который покинул Советскую Россию в конце 20-х
годов и оставшуюся часть жизни прожил во Франции, а на родине^
его имя было надолго «забыто». Здесь слово заключено в кавычки
потому, что забвение это было принудительным. Правда, это имя не
имело того блеска, какое имели, к примеру, имена физика Г.А.Га-
мова или одного из изобретателей телевидения В.К.Зворыкина, дос-
тижения которых были слишком весомыми для жизни каждого го-
сударства. Кроме того, результаты таких исследований можно было
хоть как-то объяснить человеку несведущему.
Говоря о физике XX века, нельзя не напомнить, сколь многое
изменила она в наших представлениях об атоме и о Вселенной.
Однако оборотная сторона этой сверкающей медали была весьма
темная: это чудовищное оружие нашего «цивилизованного» столе-
тия—атомная бомба. Но именно эта темная сторона, т.е. возмож-
ность использования достижений физиков в военных целях, и
привлекала правительства разных стран. Именно поэтому резуль-
таты эмигранта Джорджа Гамова не замалчивались, хотя писать о
нем, равно как и о других эмигрантах, было нельзя.
Профессия В.А.Костицына была значительно более «мирной»,
а чем собственно занимаются математики, рассказать популярно
весьма затруднительно, даже если речь идет о приложениях. О де-
ятельности Костицына до самого последнего времени у нас не
было почти никаких сведений.
Однако в 1976 г. в специализированном теоретико-биологичес-
ком журнале появилась совместная статья [1] итальянца Ф.Скудо
и американца Дж.Зиглера, посвященная жизни и некоторым сто-
ронам творчества В.А.Костицына. Если с анализом работ Костицы-
на у них больших проблем не возникло, то с написанием биогра-
фии трудности казались почти непреодолимыми. Они с удивлени-
ем обнаружили, что ни в одном биографическом словаре-ни в
русских, ни в иностранных изданиях —не было даже самых крат-
ких сведений об ученом, труды которого они оценивали весьма вы-
соко. Тогда они провели большую работу по сбору хоть какой-то
информации за рубежом. И нашли его друзей и коллег, знавших
Костицына в эмиграции. Именно с их слов они сумели
Н GEpMQ-паева
129
восстановить в общих чертах биографию ученого, хотя и с неиз-
бежными неточностями и купюрами.
В статье [1] приведен список трудов Костицына, насчитываю-
щий 19 названий его работ, связанных с биологией. Однако пол-
ной библиографии трудов Костицына еще нет; то, что мне удалось
собрать, не включая полного списка рецензий, приведено в данной
работе (см. список сочинений В.А.Костицина).
Прошло еще несколько лет, и в 1984 г. в Москве был издан
перевод (№84) книги Костицына «Эволюция атмосферы, биосфе-
ры и климата», написанной им в Париже в 1935 г. (№54). Редак-
тор перевода академик Н.Н.Моисеев в своем предисловии [2] при-
вел некоторые биографические сведения об авторе книги, исполь-
зовав статью Скудо и Зиглера. В 1997 г. была опубликована биог-
рафическая заметка о Костицыне [3], написанная мною.
Для написания настоящей статьи были использованы материа-
лы из отечественных архивов, а также ряд источников, оставшихся
неизвестными предшествующим авторам. К сожалению, многие ар-
хивы остались для нас недоступными. Особенно много пробелов
относится к эмигрантскому периоду жизни ученого.
• • •
Александр Васильевич Костицын1, отец В.А.Костицына, был
учителем русского языка в небольшом городке Ефремове Тульской
области. В 1882 г. он женился на Ольге Васильевне Раевской, до-
чери священника, а 28 мая 1883 г. в семье Костицыных родился
первенец —сын Владимир2, герой нашего повествования. Вскоре
отец, получив должность учителя в Смоленском реальном училище
и переехав в Смоленск, приобрел дом на Энгельгартовской ули-
це—это было деревянное одноэтажное строение. Семья с течением
времени увеличивалась: в 1887 г. родилась дочь Надежда, в
1892 г.— Нина, а в 1898 г.— второй сын Борис [4].
Владимир Костицын учился в Смоленской мужской классичес-
кой гимназии. Правда, сначала он год проучился в реальном учи-
лище, где работал его отец. Еще год он учился в восьмом, допол-
нительном, классе Смоленской гимназии. Окончание этого класса
Давало право на должность учителя в начальных классах. В
1902 г. он получил аттестат зрелости. Оценки — пятерки и четвер-
ки. На выпускных экзаменах — все пятерки и две четверки: за ла-
тинский и греческий языки. В аттестате отмечалась его любозна-
тельность «весьма достаточная, особенно к физико-математическим
наукам» [4, л.2].
Дальнейший шаг в жизни был вполне естественным — физи-
ко-математический факультет Московского университета, куда
Владимир Костицын и поступил сразу после окончания гимназии.
Признанным лидером математической жизни Московского уни-
верситета был тогда (да и позднее) профессор Дмитрий Федорович
130 Из истории отечественной математик|,Г
Егоров (1869—1931), блестящий ученый и заботливый наставник
молодых математиков. Более того, он был одним из создателей
знаменитой Московской школы теории функций действительного
переменного, а позднее —президентом Московского математическо-
го общества (1922 — 1930), членом-корреспондентом Российской
академии наук (с 1924 г.) и ее почетным членом (с 1929 г.).
В университете В.А.Костицын подружился с Николаем Нико-
лаевичем Лузиным (1883—1950), приехавшим в Москву из дале-
кой Сибири. Н.Н.Лузин, будущий академик и глава известной в
20-е годы под именем «Лузитания» Московской школы теории
функций действительного переменного, поступил в университет го-
дом раньше Костицына. Оба они приняли активное участие в обра-
зованном в 1902 г. под председательством Н.Е.Жуковского студен-
ческом математическом кружке [5]. Костицын, еще только перво-
курсник, сразу же записался в число докладчиков, но предусмот-
рительно на следующий, второй, семестр, понимая, что ему нужно
еще осмотреться, выбрать тему и иметь достаточно времени для
подготовки своего сообщения [5, с. 150].
Секретарем кружка стал знаменитый впоследствии философ,
богослов и естествоиспытатель П.А.Флоренский. В одном из писем
к нему Н.Н.Лузин так охарактеризовал Костицына: «Второй секре-
тарь у нас Костицын —хороший работник, идейный человек» [6,
с. 130]. Эти слова оказались весьма точными. Из другого письма Лу-
зина мы узнаем, что доклад Костицына на заседании студенческого'
общества 28 сентября 1904 г. был посвящен рядам Фурье [6, с. 127].
Впоследствии Н.Н.Лузин, вспоминая студенческие годы, пи-
сал академику А.Н.Крылову о своем товарище по университету
Костицыне: «А ведь мы даже жили одно время, студентами, в од-
ной комнате, и ночи наши были наполнены спорами pro и contra
идеалистической и эмпирической логики» [7, с.205].
Все шло своим чередом: лекции, доклады на заседаниях мате-
матического кружка, экзамены, пока памятные события 1905 г. не
всколыхнули всю Россию, в том числе не оставили равнодушными
и ббльшую часть студенчества.
Весной 1905 г. Московский университет забастовал, занятия
прекратились. Осенью Университет только было возобновил свою
работу, но снова забастовал. И весной, и осенью аудитории прев-
ращались в места сходок и митингов. Здесь шумели, обсуждал ид
но больше агитировали. Военные поражения правительства, забас-
товки и стачки по всей России будоражили жизнь. Ответные же
меры правительства были таковы, что только подливали масло в
разгоравшийся огонь. Университет, как и многие другие учебные
заведения, на несколько месяцев прекратил свою работу.
Биографы Н.Н.Лузина сообщают, что и он не остался в сторо-
не от общественного подъема и пытался принять участие в обшеМ
деле революции. По рекомендации кого-то из товарищей он уехал
Н (".Ермолаева
131
из гостиницы, где жил раньше, и снял комнату в тихом доме на
Аобате. Хозяев было всего двое: пожилая вдова и ее дочь. Дом
имен хорошую репутацию у блюстителей порядка, так что полиция
и не смотрела в его сторону. На октябрь 1905 г. пришлись дни на-
ивысшего подъема революционных масс, и в комнате Лузина ноче-
вали нелегальные лица, а сам он, по просьбе друзей, хранил под
кроватью и нечто весьма взрывоопасное [8, с.И].
Кто были эти товарищи, неизвестно, но поскольку его друг
Костицын принимал весьма активное участие в революции (об этом
написано и в статье Скудо и Зиглера), то выводы напрашиваются
сами. В декабре же в Москве началось вооруженное восстание.
[Как рассказывал в устной беседе с А.П.Юшкевичем и С.С.Де-
мидовым Д.Е.Меньшов, магнитофонная запись которой хранится в
личном архиве С.С. Демидова и частично опубликована (см. Мень-
шов Д.Е. Воспоминания о молодых годах и о возникновении Мос-
ковской школы теории функций // Историко-математические исс-
ледования. М., 1983. Вып.27. С.312 —333), В.А.Костицын примы-
кал тогда к большевикам; его фото вместе с другими дружинниками
на московских баррикадах 1905 г. даже выставлялось в экспозиции
Музея революции; он был знаком с Н.К.Крупской; затем он отошел
от большевиков и, по рассказам некоторых лиц, какое-то время
примыкал к эсерам; в советское время он уже выступал членом пар-
тии большевиков; в период революционных событий 1905 г.
В.А.Костицын имел большое влияние на молодого Н.Н.Лузина, ко-
торый даже хранил под своей кроватью нелегальную литерату-
ру. — Вставка С. С. Демидова. ]
Дмитрий Федорович Егоров решил во чтобы то ни стало спас-
ти для науки своего талантливого ученика Лузина, и это ему уда-
лось. Он отправил его учиться в Париж, понимая, что революцио-
нерами могут быть многие, а настоящим математическим даром об-
ладают единицы. А вот другого своего ученика —Костицына —не
уберег, да и вряд ли бы тот его послушал. Костицын остался в
Москве, и когда все несколько утихло после подавления декабрьс-
кого восстания, продолжил свои учебные занятия, но не слишком
Усердно, так как вряд ли он порвал связь со своими единомышлен-
никами по революции; может быть, он был связан с какой-нибудь
партией, но это остается неизвестным.
Затихшая на время, Москва весной 1907 г. вновь забурлила.
Снова возникали стачки и забастовки, снова шла борьба. И вот в
начале августа этого года профессор Егоров получил известие, ве-
роятно, от отца Костицына, что его ученик арестован и находится
в заключении в Петербурге. Как и почему там он оказался, можно
только догадываться.
Егоров пишет ректору университета профессору А. А. Мануйло-
ву записку следующего содержания: «Студент математического от-
деления физико-математического факультета Московского
132________________________________Из истории отечественной математики
университета Владимир Александрович Костицын арестован в Пе-
тербурге (с месяц), числится за Губернским жандармским управле-
нием. Человек болезненный, долгое заключение может повлиять!
вредно. Отец хлопочет, чтобы выпустили на поруки. Я лично знаю
Костицына как выдающегося студента, весьма талантливого и пре-
данного науке. Нельзя ли что-нибудь сделать для облегчения его
участи?» [4, л.17].
Ректор, не теряя времени, обращается с ходатайством к его
превосходительству А.А.Маклакову, начальнику указанного выше
Управления, и ссылаясь на характеристику профессора Егорова,
тоже просит о снисхождении к питомцу Университета, так как
«заключение вредно отзывается на его слабом здоровье» [4, л. 16].
(Заметим, что, глядя на фотографию студента Костицына, крепко
сбитого русского паренька, трудно верится в слабое здоровье, а
что тюрьма—далеко не курорт, это и так всем известно. А «бедно-
му мальчику» было уже 24 года.)
Прошение ректора датировано 10-ым августа, а на следующий
день, 11-го числа, была написана на имя ректора встречная офици-
альная бумага из Петербургского губернского жандармского управ-
ления. В этой последней начальник управления сообщал ректору
университета, что студент Костицын привлечен к производящемуся
в его управлении «дознанию в качестве обвиняемого в преступле-
нии, предусмотренного 102 статьей Уголовного уложения» и что
он, Костицын, «содержится под стражей в Санкт-Петербургской
одиночной тюрьме» [4, л. 18]. Далее шло требование прислать до-
кументы Костицына, что и было исполнено 20 августа 1907 г. Хо-
датайства Университета и хлопоты отца не помогли и Костицын
более полутора лет провел в заключении.
Тем временем весной 1908 г. Костицыным заинтересовался во-
енно-призывной участок Смоленского уезда, к которому он был
приписан. Костицын подлежал призыву еще в 1904 г., когда он
учился на втором курсе Университета, а потому имел отсрочку. В
ответ на новый запрос комиссии по призыву университетская кан-
целярия по студенческим делам сообщила, что «приписанный к от-
быванию воинской повинности В.А.Костицын выбыл из Универси-
тета» [4, л.22].
Этот ответ на запрос комиссии датирован 27 марта 1908 г., а
26 марта было оформлено «Свидетельство за №2573 от Московс-
кого университета бывшему студенту Владимиру Александровичу
Костицыну в том, что он, поступив в 1902 г., уволен из Универси-
тета на основании п.6 Правил о видах на жительство и входных
билетах» [4, л.20]. (Напомним, что студентам нужно было иметь
разрешение для проживания в данном городе и пропуск в Универ-
ситет.) Видимо, все это время руководство Университета надея-
лось на лучший исход для своего питомца и не отчисляло его. В
Н С.Ермолаева
133
ответе нет ни слова о тюрьме: выбыл в неизвестном направлении,
мол, хотите —ищите сами.
В конце 1908 г. Костицын, выйдя на свободу и имея статус
«бывшего студента», приехал в Москву и решил закончить обуче-
ние в Университете. Об этом мы узнаем из его заявления ректору,
где он сообщает, что еще весной 1906 г. он сдал все положенные
зачеты и экзамены за три курса и имел право сдавать государст-
венные экзамены. (Тогда в университетах было четырехлетнее обу-
чение.) Этим правом он в свое время не воспользовался, так как
«желал посвятить себя научной деятельности и считал целесооб-
разным пробыть еще год в Университете». Цитируем дальше: «В
1907 г. я опять имел право держать экзамены, но не мог им вос-
пользоваться, так как был арестован весной 1907 г. и вышел на
волю в конце 1908 г. Когда я приехал в Москву, то узнал, что
права на государственные экзамены я лишился, так как вошли в
силу новые правила» [4, л.24].
Трудности были и в том, что в Университете пропала бумага с
записью о сданных за летний семестр 1906 г. зачетах. «Таким об-
разом,—пишет далее Костицын,—оказалось, что я должен про-
быть еще полтора года в Московском университете, чего я не мог
сделать по причинам политического характера» [там же].
Мы видим, что Костицын не пытается обойти молчанием свою
революционную деятельность; он подает это как неизбежные обс-
тоятельства, которые при решении вопроса надо учитывать в его
пользу. Суть же вопроса явствует из следующих строк: «В настоя-
щее время я поступаю в Парижский университет с целью достичь
степени docteur ds sciences de I’universite de Paris. По правилам
для этого нужна степень licencid ds sciences, для получения кото-
рой достаточно следующих экзаменов» [там же]. (Далее эти экза-
мены перечислены3.)
Сравнив требования в Парижском университете (Сорбонне) с
таковыми в Москве, Костицын убедился, что в российских универ-
ситетах требования выше и что он отчитался по большему количест-
ву дисциплин4. Ему нужно было только получить об этом справку.
♦Если я это представлю, мне их здесь зачтут, тогда я смогу посвя-
тить себя научной работе и собиранию материалов для докторской
Диссертации. Если нет, то придется еще раз сдавать экзамены, на
что уйдет год, и докторат отложится на два года, между тем я имею
возм >жность (и то условную) жить здесь только год» [там же].
Письмо Костицына ректору заканчивается просьбой срочно вые-
дать ему необходимые документы и припиской о том, что подлинность
вго почерка и справедливость его притязаний может подтвердить про-
фессор Д.Ф.Егоров. Письмо было написано 14 октября (н.ст.) 1909 г.
и отправлено из Парижа с указанием домашнего адреса.
Этот документ, который мы довольно подробно представили,
Доказывает, что приводимые ранее другими авторами сведения об
134 Из истории отечественной математики
окончании Костицыным Московского университета незадолго д0
1905 г. не соответствуют действительности.
Точными данными мы не располагаем, но судя по всему, Кос-
тицын благополучно окончил Парижский университет. В это время
(1909—1913) он активно занимается наукой, а его первая статья о
системах ортогональных полиномов (№1) была опубликована в
московском «Математическом сборнике» в 1912 г. Д.Ф.Егоров из-
дали следил за успехами своего ученика.
Были и научные неудачи. Так, Д.Ф.Егоров в письме от июля
1913 г. к другому опекаемому им ученику Н.Н.Лузину (а послед-
ний с 1912 г. находился в новой научной командировке в Париже)
пишет: «Досадно, что В.А.Костицын потерял свой результат. До-
казательства Hobson-a я еще не видал и теперь не увижу до возв-
ращения в Москву5. Интересно бы знать доказательство В.А.» [9,
с.353]. Эти слова можно комментировать так. Профессор Кембрил
жского университета Э.У.Гобсон опубликовал в 1913 г. теорему о
сходимости ряда по ортогональным функциям; эту же теорему до-
казал и Костицын [9, с.359], в результате чего приоритет был по-
терян, что нередко происходит в жизни ученых. Тем не менее в
том же 1913 г. в «Отчетах Французской академии наук» появилась
заметка Костицына с некоторыми замечаниями о системах ортого-
нальных функций (№2)
Обратимся теперь к упомянутой уже не раз статье [1], в кото-
рой об этом заграничном пребывании Костицына сказано, что он,
принимавший активное участие в революции 1905 г, был вынуж-
ден провести несколько лет за границей —в Австрии, Франции и
Швейцарии, где был связан с другими революционерами и иногда
встречал В.И.Ленина, когда тот жил в Женеве. О политических
взглядах Костицына в статье сказано что он, по всей видимости,
придерживался платформы Г.В.Плеханова. (При этом, вероятно,
имеются в виду те взгляды Плеханова, которые большевиками на-
зывались впоследствии меньшевистскими.) Н.Н.Моисеев в [2] об
этом же периоде жизни Костицына говорит, что тот был «близок к
большевикам», что может и не противоречить предыдущему.
Не имея возможности проверить эти сведения, остается только»
высказать предположение, что Костицын мог видеть Ленина и в
Париже, где тот жил с 1908 г. по 1912 г.
И снова обращаемся за сведениями, собранными Скудо и Зиг-
лером, которые пишут далее, что Костицын вернулся в Россию не-
задолго до начала Первой мировой войны (может быть, вместе е
Лузиным, который вернулся весной 1914 г.) и сразу же был моби-
лизован в армию. Первая мировая война, которая началась 28
июля, а для России 1 августа 1914 г., предчувствовалась раньше ее
начала, и потому многие русские возвращались на родину.
Все это кажется довольно правдоподобным, если бы не одно
обстоятельство. Дело в том, что в «Отчетах Парижской академии
pj ^Ермолаева
135
наук» была опубликована статья Костицына «О периодичности
солнечной активности и о влиянии планет» (№3). Эта статья была
представлена к печати на заседании Академии 21 августа 1916 г., а
самой статье автор оспаривает выводы другого ученого по этому
вопросу, которые были опубликованы в тех же «Отчетах» в апре-
ле 1916 г. Кроме того, в том же году вышла большая статья Кости-
цына «О распределении звезд в звездных кучах» (№4).
Эти публикации заставляют усомниться в том, что Костицын в
ЭТо время был на фронте, иначе придется считать, что ему достав-
ляли туда свежие номера парижских изданий. Скорее всего, он
был еще в Париже и, возможно, работал там нештатно в астроно-
мической обсерватории.
Так что вернулся Костицын в Россию позже, был мобилизован
и отправлен на фронт. После Февральской революции 1917 г. его
назначили, как пишет Н.Н.Моисеев, политкомиссаром того же
полка, в котором он служил ранее. Подтверждением этому могут
быть опубликованные материалы о революционном движении в
Русской армии за 1917 г. [10]. Там приводятся выдержки из доне-
сения временно исполняющего должность комиссара Юго-Западно-
го фронта (сокращенно: «врид комиссарюз») Костицына верховно-
му главнокомандующему А.Ф.Керенскому, который занял этот
пост в начале сентября 1917 г.
В обязанности политкомиссаров входило представление сводок
о настроениях в армии. Напечатанная сводка Костицына дает эти
сведения за период с 24 августа по 6 сентября. В ней, в частности,
говорится об усилении пораженческой агитации в армии и о том,
что «надвигается волна большевизма как естественная реакция
после корниловской авантюры» [10, с.403]. Писал Костицын и о
том, что продовольственный кризис отражается на настроениях
людей, что случаев братания солдат не наблюдается, а на вопрос о
взаимоотношениях командного состава и комиссаров отвечал, что
они «принимали все меры для защиты офицеров и к ним относятся
с доверием» [10, с.592]. Имели место случаи обсуждения боевых
приказов и даже случаи их неисполнения, но это относилось толь-
ко к украинизированным полкам. Писал Костицын и о поступаю-
щих требованиях пересмотра приговоров военно-революционных
сУДов с указанием на нарушение как формы судопроизводства, так
и на неправильности по существу. Из приведенных материалов
можно вывести, что Костицын был не просто комиссаром полка, а
Комиссаром, хоть и временным, всего Юго-Западного фронта.
Итак, когда произошла Октябрьская революция, Костицын
оьтл еще в армии, и может быть контакт с большевиками у него ок-
Реп именно там. После демобилизации из армии (возможно, в кон-
Це 1918 г.) Костицын вернулся в Москву и стал сначала препода-
Вателем, а с 1925 г. профессором математики на химическом фа-
культете Первого Московского университета (I МГУ)—так стал
Именоваться старинный Московский университет.
136 Из истории отечественной математтД
С приходом к власти большевиков и образования РСф^р
была реорганизована и структура управления народным образова-
нием, а ученые степени были отменены (и восстановлены вновь
только в 1935 г.). В конце 1917 г. был образован Народный комис-
сариат просвещения (Наркомпрос) во главе с А.В.Луначарским
Нужны были не просто преданные делу революции люди, что
было главным требованием, но еще и по возможности достаточно
грамотные в деле просвещения. Костицын отвечал всем этим тре-
бованиям, и потому был приглашен на работу в научно-техничес-
кий сектор (НТО Наркомпроса, став членом Коллегии этого сек-
тора не позднее 20 октября 1920 г. [И, л.51].
В 1919 г. был создан Государственный ученый совет (ГУС)
под председательством заместителя наркома просвещения
М.Н.Покровского. Позднее во главе этого учреждения стояли
Г.М.Кржижановский и О.Ю.Шмидт. Все трое были и партийцами,
и учеными. 6 июня 1919 г. Костицын, преподаватель I МГУ, был
введен в состав ГУС'а «в качестве заместителя одного из членов»
[12, л.55 об.]. С 1923 г. состав научно-технической секции ГУС’а
ежегодно пересматривался. Костицын неизменно до 1927 г. входил
в состав этой секции. В сентябре 1922 г. он стал членом редакци-
онной подсекции научно-технической секции ГУС’а по изданию
учебников [13, л.76 об.].
Как проявлял себя Костицын в качестве государственного чи-
новника, мы не знаем. Известно, например, что в начале 1922 г.
принятые Наркомпросом новые уставы высших учебных заведений
вызвали большое недовольство в профессорско-преподавательской
среде, что усугублялось очень низкой заработной платой и плохим
обеспечением лабораторий. Это привело к забастовкам профессо-
ров, и для их прекращения потребовались переговоры с председа-
телем Совнаркома, после чего вопрос с зарплатой был улажен, и
учебный процесс восстановился. Вряд ли Костицын мог иметь ре-
шающее слово в это время, да и позже. Скупые протоколы заседя
ний Наркомпроса фиксировали только знаменитые «слушали -
постановили», мнения же участников не записывались.
В 1922 г. в составе Наркомпроса появилось Главное управле-
ние научными, музейными и научно-художественными учреждени-
ями (Главнаука). 22 ноября этого же года О.Ю.Шмидт был назна-
чен председателем научно-технической секции, а Костицын стал
сначала членом этой секции [14, л.З], затем заведующим отделом
науки этого управления и 30 марта 1926 г. был утвержден членом
Коллегии Главнауки [15, л.85].
Наркомпрос руководил сетью учебных и научных учреждений;
позднее научно-исследовательские институты были переданы в вс
дение ГУС’а. Начало 20-х годов ознаменовалось открытием ряД^
новых университетов, а также учебных и научно-исследователы
ских институтов; некоторые из последних были объединены 8
п сЕрмо-паева
137
Ассоциацию НИИ при I МГУ. Общее руководство Ассоциацией
сх'шествлял ее Президиум, в который с декабря 1922 г. входил и
Костицын [13, л.76 об.].
Научно-техническая секция ГУС’а имела редакционную под-
секцию, которая, в частности, занималась изданием учебной лите-
ратуры- Костицын принимал деятельное участие в работе этой сек-
ции; с 1922 г. входил в экспертные комиссии Учено-консультаци-
онного совещания Главнауки по астрономии, геодезии, физике и
математике [16, л.33].
По заданию Главнауки Костицын писал многочисленные ре-
цензии на вышедшие в свет учебники, научные и научно-популяр-
ные книги. Эти рецензии публиковались в серийном издании «Пе-
чать и революция» с подзаголовком «Журнал марксистской крити-
ки и искусств», который был создан А.В.Луначарским и выходил
с 1921 г. по 1930 г. Там печатались статьи, обзоры и рецензии по
самым разнообразным разделам. Был и отдел «Науки о природе»,
который давал весьма содержательную информацию о научной ли-
тературе.
Рецензии Костицына, а опубликовал он не менее двадцати ре-
цензий и обзоров, характеризуют их автора как эрудированного
ученого в различных областях математики, астрономии, астрофи-
зики, истории науки. Из обзоров упомянем здесь только статью
«Астрономические новости по английским и немецким журналам
за 1919-1921 гг.» (№85).
Все эти статьи и рецензии Костицына написаны ярко, хоро-
шим русским языком, чистоту которого он защищал в печати. Так,
например, в своем отклике (№86) на научно-популярную книгу
«Как произошел мир» известного физика и почетного академика
О-Д.Хвольсона, Костицын, при всем своем уважении к автору,
подверг резкой критике стиль книги. Автор, как показывает Кос-
тицын на цитатах из книги, решил писать своеобразным «мужиц-
ким» языком, полагая, что от этого научные истины станут понят-
нее читателям.
В рецензиях на иностранные книги Костицын всегда отмечал,
что и почему желательно издать в русском переводе. Например, в
1922 г. он высоко оценил и рекомендовал издать на русском языке
*Курс современного анализа» Э.Т.Уиттекера и Г.Н.Ватсона
(№87). Оба тома этого известного курса были опубликованы у нас
впервые только в 1933 и 1934 гг. в переводе и под редакцией ле-
нинградского математика Г.М.Голузина.
Что касается другой знаменитой книги, «Курса анализа беско-
нечно малых» выдающегося бельгийского математика Ш. де Ла
Валле-Пуссена, перевод которой был выполнен Я. Д. Тамаркиным и
Г.М.Фихтенгольцем под редакцией В.А.Стеклова, то здесь Кости-
Ньщ высказывает свои претензии к переводчикам. Во-первых, го-
ворит он, они выбрали не четвертое, а третье издание этой книги,
138
Из истории отечественной математк
что плохо, так как при переиздании автор вносил важные добавле-
ния. Во-вторых, терминология переводчиков существенно отлича-
ется от той, что принята в Московской школе теории функций, и
случалось, что в одно и то же слово вкладывался разный смысл.
Надо отметить, что это различие между Московской и Ленинградс-
кой математическими школами постепенно сглаживалось, но здесь
Костицын ставит вопрос о единой русской терминологии, а так как
в области теории функций Московская школа имела главные ре-
зультаты, то отсюда и стремление Костицына ввести в научный
обиход именно «московскую» терминологию (№88).
В связи с выходом нового «Журнала чистого и прикладного
знания» под редакцией В.Ф.Кагана, Костицын в своей рецензии
писал (1922): «Трагедией для научных деятелей за последние годы
являлась невозможность выполнять социальную функцию учено-
го—печатать свои труды. Социальный момент в деятельности уче-
ного настолько перевешивал личный, что у многих пропадало же-
лание продолжать свою работу. Закрытие научных журналов было
тяжелым ударом по русской науке. В настоящее время мы присут-
ствуем при их возрождении» (№89).
К тому же времени относится еще одна рецензия Костицына
(№90), выдержку из которой хотелось бы здесь привести. Речь в
ней идет о книге эстонского астронома и будущего эмигранта Эрн-
ста Эпика «Солнце по новейшим исследованиям». Костицын, раз-
деляя веру автора книги «во всепобеждающую мощь человеческого
разума», отмечает, что «это особенно ценно сейчас, когда слишком
многие торопятся укрыться от социальной непогоды под сенью
мистицизма». Думаю, что эти слова актуальны и для настоящего
времени.
Кроме «Печати и революции», были и другого рода издания
тех лет, в которых Костицын принял участие как автор. Было и
такое: «Педагогические курсы на дому», основанные при участии1
Н.К.Крупской. Один из выпусков этих «Курсов», издававшихся в
виде небольших книжек, был отведен Костицыну, который напи-
сал для него научно-популярный очерк «Строение Вселенной»
(№28).
Обычно не принято столь подробно описывать критико-рецен-
зионную деятельность ученого, а пишут только об основных тру-
дах, добавляя что-нибудь вроде «не считая многочисленных рецен-
зий», если таковые были. Мы еще не говорили о научной деятель-
ности нашего героя, но уделили внимание этой важной, хоть и вто-
ростепенной для ученого работе, чтобы хоть немного обрисовать
научные вкусы и взгляды Костицына. Не можем оставить эту тему
и сейчас, не приведя напоследок еще одну цитату Костицына из
другого журнала—«Технико-экономического вестника», который
издавал научно-технический отдел Высшего совета народного хо-
зяйства (ВСНХ).
ц ^Ермолаева
139
Здесь в 1926 г. Костицын напечатал статью (№38) о роли
Ц И .Лобачевского в науке, написанную в связи со столетием со
дня опубликования первой работы Н.И.Лобачевского по неевкли-
довой геометрии. Статья появилась после возвращения Костицына
из Казани, где он принимал участие в конференции, посвященной
этому памятному в науке событию. Цитата, которую мы приводим
ниже, демонстрирует не только стиль Костицына, но и то, как он
стремился связать научные «дела давно минувших дней» с днем
нынешним.
Костицын пишет: «Помимо геометрических работ Н.И.Лобачев-
ский выпустил и ряд других, в которых выказал большое критичес-
кое чутье. Например, он указывал на необходимость отличать неп-
рерывность функции от ее дифференцируемости. Это указание
Н.И.Лобачевского, сделанное в 1834—1835 гг., было подтверждено
через 35 лет Вейерштрассом, давшим первый пример функции, всю-
ду непрерывной, но не имеющей нигде производной. В течение 40
лет после Вейерштрасса в найденной им функции видели просто
любопытный экспонат из музея математических ужасов, пока не
оказалось, что непрерывные функции без производных могут иметь
очень большое применение в молекулярной физике» (№38, с.328).
Рецензирование давало Костицыну дополнительный заработок,
о размере которого можно судить по сохранившейся в архивном
фонде Наркомпроса его частной записке, адресованной одному из
работников этого учреждения в 1922 г. Она подтверждает еще
одну сферу деятельности Костицына в Наркомпросе, упомянутую
раньше — работу в качестве эксперта. Вот полный текст этой запис-
ки: «За время работы по научной литературе я получил 700000 р.,
причем остались неучтенными и неоплаченными многочисленные
заключения, которые я давал по разнообразнейшим делам.
В.И.Турбин говорил, что мне причитается 4500000 р. А эти
700000 р. не окупают даже расходов на извозчиков и трамваи»
[17, л.З].
После возвращения в Москву Костицын принял активное
участие в работе старейшего в нашей стране Московского матема-
тического общества6, членом которого он был избран в 1919 г.
Вскоре он стал ученым секретарем редакции «Математического
сборника». До самого своего отъезда Костицын входил в редакци-
онную комиссию, в которой были Егоров и Лузин. Напомним, что
в этом сборнике была напечатана его первая научная работа, а пос-
ле революции —и некоторые другие его статьи.
Разумеется, этим не исчерпывалась деятельность Костицына в
Наркомпросе и в Главнауке. Теперь обрисуем ее несколько под-
робнее, потому что эта работа сказалась и на характере его науч-
ных изысканий.
Как было сказано, в начале 20-х годов были созданы новые
научно-исследовательские институты. При физико-математическом
140
Из истории отечественной математ^Д
факультете I МГУ их стало три (математики и механики, астроа,
зический, геофизический) и во всех трех институтах работал
тицын, входивший в Президиум Ассоциации этих научных учре^
дений.
Институт математики и механики, проект положения и смел,
которого Костицын представил на утверждение Наркомпросу 22
тября 1920 г., был вскоре создан Оргкомитетом, в который, кроМе
Костицына, входили известные математики и механики — Д-Ф.Ег0.
ров, Н.Н.Лузин, Н.Е.Жуковский, С.А.Чаплыгин, О.Ю.Шмидт н
другие ученые [18, л.51]. (К сожалению, Н.Е.Жуковский скончал-
ся 17 марта 1921 г., и Костицын написал для «Математического
сборника» некролог (№8), в котором сжато и ярко обрисовал науч-
ные заслуги этого замечательного ученого и человека.)
Первым директором Института в 1922 г. стал Б.К.Млодзеевс-
кий, а с 1924 г. им руководил Д.Ф.Егоров. Заместителем директо-
ра в то время был Н.Н.Лузин, а В.А.Костицын —ученым секрета-
рем. Должность каждого участника творческой группы называлась
так: действительный член Института. В Институте работали силь-
ные математики, составившие славу Московской математической
школы. Кроме вышеупомянутых, назовем еще В.В.Голубева,
И.И.Привалова, В.В.Степанова, И.Г.Петровского —это были уче-
ники Д.Ф.Егорова. Работали там в разные годы и многочисленные
ученики Н.Н.Лузина: Д.Е.Меньшов, А.Я.Хинчин, П.С.Александ-
ров, М.Я.Суслин, П.С.Урысон, А.Н.Колмогоров, М.А.Лаврентьев
и др.; некоторые из них стали впоследствии академиками.
Костицын был также членом Президиума Российского астро-
физического института (с 1924 г.), а когда Институт расширил-
ся—и заведующим отделом теоретической астрофизики. Следует
пояснить, что первоначально, в 1922 г., этот Институт назывался
Астрономо-геодезическим, и Костицын был назначен туда сверхш-
татным действительным членом [13, л.66]. Астрономией Костицын
начал заниматься, как мы видели, еще в Париже, так что его наз-
начение было вполне закономерным.
Третий институт, где также трудился Костицын сначала как
член Президиума, а потом и как заведующий его теоретическим от-
делом, был Государственный геофизический институт, директором
которого Костицын стал не позднее 1927 г. (точную дату докумен-
тально установить не удалось).
Осветим еще одну сторону деятельности Костицына, которая
также протекала под сенью Наркомпроса. Речь пойдет о Курской
магнитной аномалии, но сначала напомним историю вопроса этого
уникального по своей силе явления, которое наблюдается на тер-
ритории Курской области и прилегающих к ней районов.
Как известно, Курская магнитная аномалия (КМА), была отк-
рыта в конце XVIII в. академиком П.Б.Иноходцевым при состав-
лении карт. Это явление было заново открыто приват-доцентом
HX.EpMO*a£gg----------------------------------------------121
Казанского университета И.Н.Смирновым в 1874 г., а первые ис-
следования и измерения были проведены профессором Московско-
го университета Э.Е.Лейстом.
В ноябре 1918 г. начала работать специальная комиссия по ис-
следованию Курской магнитной аномалии (сокращенно: Магнит-
ная комиссия), которой фактически руководил академик П.П.Ла-
зарев. По его докладу Российской академии наук 5 февраля
1919 г. в составе Московского отделения постоянной академичес-
кой Комиссии по изучению естественных и производительных сил
России (КЕПС) был организован Отдел по изучению КМА. Сама
же постоянная комиссия (КЕПС) была создана еще в 1915 г. по
инициативе нескольких академиков во главе с В.И.Вернадским.
После революции работа проводилась при поддержке прави-
тельства Советской России, В.И.Ленина и Л.Б.Красина. Тогда, в
1919 г.. Комиссия успела сделать немного —ведь на территории
Курской губернии еще шла гражданская война, так что измерения
приходилось проводить в боевой обстановке. Удалось получить
данные только в 400 точках, что для столь большой площади мало.
К работе Магнитной комиссии было решено привлечь как гео-
логов-практиков, так и представителей правительственных учреж-
дений. 20 сентября 1919 г. состоялось первое заседание этой Ко-
миссии с участием довольно большого числа приглашенных деяте-
лей, в числе которых был и Костицын, представляющий научный
отдел Наркомпроса. На этом заседании П.П.Лазарев просил всех
присутствующих принять участие в этой важной для страны работе
И9, с.53 —57]. В результате в Комиссии работали астрономы, ма-
тематики, физики, геофизики, инженеры и, конечно, геологи: все
они были необходимы.
Костицын откликнулся сразу, причем, свое участие он видел
Не в каких-то руководящих советах. Он взялся за теоретическую
работу по определению положения и глубины залегания магнит-
Ных масс. Свои расчеты Костицын основывал на уравнениях маг-
нитного поля, задавая разные формы лежащих под землей залежей
и фактически решая уравнение Фредгольма 1-ого рода (как извес-
тно, некорректное). Результаты Костицына, представленные им 20
"Юня 1922 г., были опубликованы в одном из выпусков «Трудов
собой комиссии» (№23) в 1924 г. Однако его метод расчета глу-
ины залегания не был принят, хотя результаты Костицына впос-
ЛеДствии подтвердились.
Тогда же П.П.Лазарев и А.И.Заборовский предложили другой
етод подбора глубины и некоторых других параметров так, чтобы
Результат согласовывался с распределением наблюдаемой магнит-
н°й напряженности.
Р Вскоре комиссией начал руководить академик И.М.Губкин, а
•П.Лазарев стал его заместителем. И если ранее Магнитную ко-
Чссию курировала Академия наук, то в 1919 г. она находилась в
142
Из истории отечественной матема^М
ведении Горного совета при ВСНХ, а вскоре подчинялась непос.
редственно Президиуму ВСНХ. В конечном счете были проведен^
магнитные и геодезические съемки, а также измерения силы тяжео
ти и другие исследования в 7300 точках.
Результаты расчетов, проведенных различными методами, сов-
пали и подтвердились: 7 апреля 1923 г. из скважин с указанной в
расчетах глубины был извлечен первый образец, оказавшийся же-
лезистым кварцитом. Можно сказать, что работа Костицына была
одной из первых математических работ в данной области—она
была опубликована в 1924 г. За ней последовал ряд других для ре-
шения аналогичных задач.
О Курской магнитной аномалии, которой тогда интересовались
многие, Костицын написал в 1923 г.брошюру в двух вариантах:
(№20) и более популярном (№21). В те годы было еще не вполц^
ясно, чем именно вызвана аномалия и еще только устанавливалось,
что в «качестве материала, который может вызвать подобное явле-
ние, может быть только материал, по магнитным свойствам подхо-
дящий к чистому железу». Здесь были процитированы слова
П.П.Лазарева из его очерка [20], в котором он, наряду с другими,
рассматривал и метод Костицына.
Работы по изучению Курской магнитной аномалии продолжа-
лись и потом, перерыв был лишь во время Великой Отечественной
войны. Промышленное освоение месторождений железных руд на-
чалось в 1959 г. после постройки завода и подготовки рудников.
Теперь пора показать, что же сделал за это время Костицын
как математик. Мы отложили это для того, чтобы сначала познако-
мить читателя со сферой его служебных обязанностей, так как она
во многом определила и его научные исследования.
Математика —наука молодых. Почти все главные результаты
математики получают в молодом возрасте. С возрастом приходит
профессионализм, эрудиция, мастерство. Это не значит, что мате-
матик перестает творить. Но главное —не пропустить самый про-
дуктивный период жизни. Костицын этот период пропустил. Свя-
зав себя с революцией, он много времени, которое надо было от-
дать науке, отдал другим делам. Пока Лузин напряженно работал,
Костицын сидел в тюрьме, затем был в вынужденной эмиграции и
вряд ли за границей он занимался только наукой. Затем —война и
армия. А после 1917 г. судьба распорядилась так, что он попал в
административные структуры, что тоже требовало много времени и
отрывало от научных занятий.
Тем не менее, при всей своей занятости, он получил интересные
результаты по интегральным уравнениям, а эта область оказалась
весьма нужной в то время для решения самых разных вопросов ма-
тематического естествознания. При этом у Костицына обнаружился
весьма редкий дар проникновения в чуждую ему область: понять
стоящие там задачи и сформулировать их математически. Затем,
А ("Ермолаева
143
онечно, надо было эти задачи решить, но и этого мало: надо было
К Ть адекватную интерпретацию математическому решению.
д В «Математическом сборнике» Костицын напечатал несколько
абот о решении различных типов интегральных уравнений (нели-
нейных сингулярных, с интегрально-логарифмическим ядром и
D ). В виде отдельного издания в рамках «Трудов» Института ма-
тематики и механики был опубликован его мемуар «О некоторых
интегральных уравнениях молекулярной физики» (№29). Пос-
кольку эти уравнения возникали и в других науках, труды Кости-
цына публиковались в соответствующих данной области изданиях.
Выбор этих областей определялся его должностями. Он явно не
хотел быть просто директором или членом президиума, то есть чи-
новником, он хотел работать в науке.
Несколько слов о выборе его главной математической темы.
Впервые интегральные уравнения возникли в математике как обра-
щение интегральных преобразований, что было еще в начале
XIX в., а первая задача, которая непосредственно приводила к не-
обходимости решения такого уравнения, появилась в работе нор-
вежского математика Н.Х.Абеля в 1826 г. Далее эти уравнения по-
являются лишь эпизодически, в том числе в статье «Об одной за-
даче электростатики» итальянского математика Вито Вольтерра.
Внимание ученых к этим уравнениям было привлечено рабо-
той 1900 г. шведского математика И.Фредгольма, в которой он
разработал общие методы решения простейших линейных интег-
ральных уравнений (уравнений Фредгольма). Большое значение
для развития этой новой области математики имели исследования
1900—1910 гг. Д.Гильберта, а также А.Пуанкаре, которые своим
авторитетом содействовали привлечению других ученых к изуче-
нию интегральных уравнений.
Вольтерра, который стал известен и как исследователь интег-
ральных уравнений с переменным пределом интегрирования, нося-
щих его имя, в 1913 г. опубликовал в Париже, где он часто бывал
и читал лекции, свой курс лекций по интегральным и интегро-диф-
ференциальным уравнениям, содержащим и его собственные ре-
зультаты (см. [21, с.63]).
Нет сомнения, что Костицын был знаком с лекциями Вольтер-
ра. В статье 1916 г. (№4) Костицын применяет аппарат интеграль-
ных уравнений для решения задач астрофизики. Отметим, что
Вольтерра в то время также предложил свои метод решения неко-
торых астрономических вопросов, и вполне вероятно, что научные
Контакты двух ученых начались тогда же.
Однако не следует забывать и о влиянии Егорова, который ра-
ботал в этой же области (в 20-х годах он опубликовал свои иссле-
дования интегральных уравнений с симметричным ядром и уравне-
нии с фиксированными пределами) и пропагандировал в Москве
ЭтУ сравнительно новую область математики еще в самом начале
144
Из истории отечественной
века. На заседаниях студенческого математического кружка так
ставились доклады по интегральным уравнениям, которые паве
няка слушал Костицын. Отметим здесь же, что в самом начал
своей научной деятельности, когда Костицын стал заниматься о
тогональными системами, выбор темы был определен Егоровы^
который в 1901 г. защитил диссертацию «Об одном классе ортоГо.
нальных систем». Интегральными же уравнениями тогда в наще^
стране занимались лишь отдельные ученые; основные исследова
ния в этой области начались у нас с 30-х годов.
Изучая магнитный гистерезис, Костицын получил интеграль-
ное уравнение типа Вольтерра Результаты этого исследования од
опубликовал в статье (№24), в конце которой, ссылаясь на работу
Вольтерра, отмечает, что тот не совсем точно представляет харак
тер кривых гистерезиса и что уравнение гистерезиса, выведенное
Вольтерра, противоречит опыту и не связано с существующими те-
ориями магнетизма. В данном случае, пишет Костицын, не надо
было «избегать линейных интегральных уравнений и прибегать к
более сложным формам». Эта черта творчества Костицына весьма
для него характерна —стремление иметь по возможности более
простые средства исследования, когда это оправдано.
В 1924 г. в Торонто (Канада) проходил Международный конг-
ресс математиков, на котором была довольно большая группа со-
ветских ученых. Костицын представил доклад (№25) об интег-
ральных уравнениях Кундта Варбурга.
Вернемся к 1920 г., когда с 1 по 6 сентября в Москве прохо-
дил съезд Российской ассоциации физиков, подготовленный науч-
ным отделом ВСНХ при участии Наркомпроса. На этом съезде
О.Д.Хвольсон был избран председателем этой ассоциации. Кости-
цын выступил с докладом «Об интегрировании уравнений
Кундта Варбурга-Хвольсона» [22, с.162], который вскоре был
опубликован (№5). Здесь речь шла о применении интегральных
уравнений в кинетической теории и при изучении теплопроводнос-
ти в газах.
На этом же съезде обсуждался проект устройства Главной аст-
рофизической обсерватории в России, инициатором создания кото-
рой выступил астрофизик В.В.Стратонов; он же возглавил и Орг-
комитет по реализации этого замысла [22, с. 164—165]. (Прошло
немного времени, и в 1922 г. Стратонов был выслан из России
вместе с большой группой ученых [23].)
Костицын не только участвовал в обсуждении проекта на съез-
де, но и впоследствии принял участие в конкретных работах. Тогда
же физики решили, что надо созвать отдельный геофизический ор-
ганизационный съезд для обсуждения проблем этой области науки-
На съезде шла речь и о Курской магнитной аномалии. Дело в
том, что разгорелся спор о типе дефлектора, с применением которо-
го надо было проводить измерения. Академик А.Н.Крылов
145
ожил дефлектор, который применяли на флоте. Но два ин-
пРеД' и3 Магнитной комиссии настаивали на другом приборе, ко-
*еН1Й применяли шведы, причем в других условиях —при неглубо-
Т°Р залегании рудных масс. С экономической точки зрения шведс-
К°е приборы также были неудовлетворительными. Кроме того, эти
Дженеры предложили некий «шведский» метод расчетов, который
также не выдерживал критики. Все ученые, присутствовавшие на
съезде, выступили против их предложения. Костицын впоследст-
вии выступил в печати с аргументированной критикой, показав ма-
тематическую несостоятельность и даже просто безграмотность
этих инженеров. В конечном счете они были выведены из состава
комиссии.
Следующая область —это астрономия. Костицын внес свой
вклад как математик и в эту науку, которой он начал заниматься
еще в 1916 г. Он изучал звездные скопления (тогда был в ходу и
другой термин: «звездные кучи»). Надо было теоретически пока-
зать, что это динамически развивающиеся системы, а не системы в
равновесии. Костицын проверил некоторое условие, предложенное
для объяснения статичности и даже его улучшенный вариант, и по-
казал. что результат получается только отрицательным, то есть
прежние теоретические попытки были на ложном пути. Здесь он
использовал аппарат дифференциальных уравнений.
В Астрофизическом институте Костицын занимался сам и руко-
водил работами по изучению строения звездных систем и, в част-
ности, по исследованию форм спиральных туманностей, для кото-
рых он проверил закон логарифмической спирали. Занимался он и
изучением рассеивания слабых звезд в звездных скоплениях, где
Целью Костицына являлось получение меры их рассеивания и выяс-
нение структуры этих скоплений. В этом случае он также применил
свой излюбленный аппарат интегральных уравнений, теперь уже к
звездной динамике. Некоторые работы Костицына по астрономии
были напечатаны в «Русском астрономическом журнале», который
появился вскоре после организации этого института, а также в
«Трудах Главной Российской астрофизической обсерватории».
Исследования в области астрономии инициировали и написание
Костицыным ряда научно-популярных произведений. Он писал о
Происхождении Вселенной и, конечно, интересовался различными
Космогоническими гипотезами. Он счел нужным познакомить русско-
го читателя с размышлениями о мироздании великих умов. Так, в
ГУ23 г. вышел в свет под его редакцией сборник, посвященный клас-
сическим космогоническим гипотезам, вы казанным в разные годы
^Кантом, П.Лапласом, Э.Фаем, Дж.Дарвиным и А.Пуанкаре.
Что касается геофизики, то вопросы, которыми Костицын за-
нимался в этой области, были связаны в основном с Курской маг-
нитной аномалией, и об этом было уже сказано. Известно также,
Чт° в 1926 г. он принял участие в работе пленума Первого
146
Из истории отечественной математик
Всесоюзного геофизического съезда и выступил с речью, опубли
кованной в (№36).
В 1931 г., когда Костицына уже не было в России, была нале,
чатана статья С.В.Чибисова [24], в которой автор разрабатывал
идею использования упругих волн при разведке залегания пластов
полезных ископаемых. В [24] есть такая фраза: «Считаю своищ
долгом выразить благодарность за помощь советами и указаниями
во время моей работы директору ГНИГИ В.А.Костицыну и заведу-
ющему сейсмическим отделением В.Ф.Бончковскому». Конечно
статья [24] была написана значительно раньше ее выхода в свет
но тогда цензура еще не успела коснуться специализированных на-
учных изданий.
Будучи членом президиума двух институтов и тем более ди-
ректором третьего, Костицын хорошо знал работы, которые там
выполнялись, был знаком и с зарубежной литературой. Это позво-
лило ему публиковать научные обзоры. Так появились статьи «Ус-
пехи современной геофизики и ее ближайшие задачи» (№36) и
«Успехи астрономии в СССР» (№42), рассчитанные на широкого
читателя.
Костицын часто ездил в научные командировки, видимо, ие
столько по линии Наркомпроса, сколько по линии институтов, в
которых он работал. Мы уже говорили о его поездке в Канаду на
Международный конгресс математиков. О других его поездках
почти ничего неизвестно, кроме того, что он ездил в Берлин7 в
1923 г. [25, л. 11], в 1925 г. был на съезде Международного астро-
номического союза в Кембридже (Великобритания) и неоднократ-
но бывал во Франции.
Из архивных материалов следует, что 7 мая 1927 г. Костицын
выехал на три месяца в командировку во Францию, из которой вер-
нулся только в октябре. За время его отсутствия обстановка в Нар-
компросе изменилась. Вот что об этом писал 19 ноября 1927 г. Кос-
тицын в частном письме академику В.И.Вернадскому, с которым он
был хорошо знаком и которому часто помогал преодолевать ведоме!
твенные препятствия при организации Радиевого института: «Вер-
нувшись недавно из-за границы, я нашел себя уволенным из Глав-
науки по формальному поводу —опоздание из командировки. Дело,
конечно, не в этом. Зато кафедру геофизики в I МГУ приведу в по-
рядок» [26]. В чем именно дело, Костицын не сообщил.
Действительно, в его отсутствие на заседании Президиума кол-
легии Наркомпроса под председательством А.В.Луначарского 29
сентября 1927 г. обсуждался вопрос об «освобождении Зав. науч-
ным отделом Главнауки проф. Костицына от занимаемой им долж-
ности» и было принято следующее постановление: «Ввиду того,
что Заведующий научным отделом Главнауки проф. Костицын!
выбывший 7 мая с/г в трехмесячную заграничную командировку,
до настоящего времени не вернулся, несмотря на отказ ГлавнаукИ
147
[, Г Ермолаева
длить его командировку, считать его освобожденным от зани-
ПРеМой должности» [27, л.40]. Далее шло поручение Главнауке
представить Коллегии на утверждение другую кандидатуру.
П” Костицын обжаловал это постановление, написав 10 октября в
президиум коллегии Наркомпроса следующее заявление: «Ознако-
мившись с постановлением Президиума, относящимся ко мне, я
считаю своею обязанностью напомнить Президиуму, что подобные
постановления должны выноситься хотя бы после поверхностной
проверки обвинительного материала и во всяком случае после зат-
ребования объяснения у обвиняемого. В данном случае приходится
констатировать полное отсутствие этих элементарных гарантий.
В. Костицын» [28, л.7].
Записка Костицына возымела свое действие, и начальник
Главнауки Ф.Н.Петров, получив, видимо, соответствующие указа-
ния, 21 октября представил свое «Заключение по заявлению
т. Костицына», которое в протоколах заседаний помечено над-
писью «Секретно». Приведем этот документ полностью в его ори-
гинальной редакции [28, л.8]:
«Постановление Президиума коллегии Наркомпроса, насколько
известно Главнауке, не основано на каком-либо обвинительном ма-
териале, а вынесено вследствие фактического отсутствия т. Кости-
цына в течение более месяца после окончания срока его команди-
ровки. Но вместе с тем в личных переговорах с т. Костицыным я
убедился, что он хотел бы просить изменить редакцию постановле-
ния Президиума коллегии Наркомпроса в том случае, что Коллегия
Наркомпроса освободила его по его просьбе. Принимая во внима-
ние, что одной из причин задержки тов. Костицына явилась, по его
заявлению, потеря его паспорта при визировании в иностранном ми-
нистерстве иностранных дел, полагаю, что изменение редакции пос-
тановления Президиума коллегии Наркомпроса было бы целесооб-
разно. Вместе с тем, считая полезным использовать накопившийся у
Т- Костицына опыт для Главнауки, я прошу Президиум коллегии
Наркомпроса оставить т. Костицына членом Коллегии Главнауки.
Проект измененной редакции постановления Президиума коллегии
Наркомпроса прилагаю. Начальник Главнауки Петров».
Изменение редакции заключалось в том, что Костицын осво-
бождался по своей просьбе от должности заведующего Отделом
научных учреждений Главнауки. 25 октября 1927 г. это предложе-
ние было рассмотрено на Президиуме (без А.В.Луначарского) и
одобрено. Закулисная сторона этого дела остается неизвестной. На
Место Костицына был назначен К.П.Яковлев, профессор кафедры
Физики I МГУ, бывший в 1924 г. деканом физико-математического
Факультета [29, лл.15, 25, 27, 29].
Следующий, 1928-й, год принес немало волнений в ученых
кругах в связи с принятым 3 апреля этого года постановлением
Совнаркома об увеличении числа действительных членов
148 Из истории отечественной математик
Академии наук СССР. Главное же отличие от предыдущих выб^.
ров состояло в том, что все кандидаты должны были широко об-
суждаться в масштабах всей страны. При этом получилось, что со
своей поддержкой кандидата в академики по математическим нД
кам, выступили Кубанский медицинский институт и Белорусская
академия сельского хозяйства [30, с. 197].
В математической среде Москвы это обсуждение проходило
особенно бурно. Были две альтернативные кандидатуры— Д.Ф.Его-
рова и Н.Н.Лузина. Костицын поддерживал своего учителя и, види-
мо. использовал свое влияние в подведомственных ему учреждени-
ях8. В результате этого у него испортились отношения с Лузины^
который на него был смертельно обижен9. Забегая вперед, скажем,
что выборы состоялись, и 12 января 1929 г. академиком был избран
Н.Н.Лузин, а 13 февраля этого года Д.Ф. Егоров был избран почет-
ным членом Академии. В момент избрания ни Костицына, ни Лузи-
на не было в Москве —оба находились в Париже: первый навсегда
покинул страну, а второй был в длительной научной командировке.
Встречались ли они там, забыв обиды, неизвестно.
С приближением «года великого перелома» обстановка в стра-
не становилась все более тяжелой, и Костицын, знавший многих
людей в правительственных сферах, это хорошо понимал. Положе-
ние в Наркомпросе также не радовало. И он постарался уехать в
командировку во Францию, что произошло, видимо, в самом кон-
це 1928 г.
Это известно из протокола закрытого заседания Коллегии
Наркомпроса (тогда почти все заседания стали закрытыми) от 10
января 1929 года10. В тот день рассматривалась просьба Костицы!
на о предоставлении ему годового отпуска для лечения. Заседание
снова проходило под председательством Луначарского, в числе
присутствующих были Покровский, Вышинский, Крупская,
Шмидт. Постановление гласило: «Продлить проф. Костицыну от-
пуск до 1 апреля, поручив Главнауке за это время справиться в на-
шем Полпредстве во Франции о политическом поведении проф-
Костицына в Париже. Одновременно поручить Главнауке совмест-
но с ГПУ проверить обстоятельства и порядок выезда проф. Кос-
тицына» [31, л. 1—2].
Какие действия последовали со стороны ГПУ и Главнауки ®
отношении Костицына и что стало известно ему самому, мы не зна-
ем. Просьба об отпуске, посланная из Парижа, как будто показы-
вает, что он еще не собирался оставаться во Франции. Однако из
этой командировки он не вернулся. Остались неопубликованными
сданные им в Госиздат книги, в том числе и книга о жизни и нау4'
ной деятельности Анри Пуанкаре.
Была и еще одна важная причина невозвращения Костицына-
а может быть, это же было причиной его задержки в командиров-
ке. Жена Костицына, Юлия Ивановна, в 1926 или в 1927 г. уехала
О^рмола£ва
149
Париж на стажировку. В упомянутом выше письме к Вернадско-
в Костицын пишет: «Юлия Ивановна все еще в Париже и пробу-
там несколько месяцев. В прошлом году она работала в качест-
ве лаборантки в лаборатории экспериментальной морфологии
поосЬ- В-М.Данчаковой11 и настолько увлеклась своей работой, что
ы решили оставить ее еще на несколько месяцев для приобрете-
ния общей биологической подготовки» [26]. Далее он объясняет,
что в Москве преподавание рассчитано на плохо подготовленных
студентов, а при приеме в вузы теперь смотрят не на знания моло-
дежи. Но у его жены уже есть высшее образование, и при более
гибкой французской системе, позволяющей учащимся самим выби-
рать нужные дисциплины, она сможет быстро переквалифициро-
ваться. К тому же, добавляет Костицын, условия жизни в Москве
вообще не благоприятствуют никакой работе.
Костицын, судя по письму, очень любил свою жену и тяжело
переживал свою первую длительную разлуку с ней (к этому време-
ни они были уже восемь лет женаты). «Но когда я испытываю
здесь какую-нибудь гадость (а их бывает немало), я радуюсь, что
Юлия Ивановна в Париже» [26].
Вернадский был человеком, с которым Костицын мог поде-
литься своими личными огорчениями и тем более научными сооб-
ражениями. В архиве сохранилась небольшая записка [26], содер-
жание которой позволяет предположить, что Костицын помогал
ему и в таком деле, как сохранение Тверской церкви Знамения.
Есть еще одно письмо Костицына (см. [там же]), в котором он де-
лится с Вернадским мыслями о неудовлетворительной, по его мне-
нию, организации работы в Академии наук. Речь идет о частных
вопросах, и судить о том, прав был Костицын или нет, нельзя.
Однако письмо это показывает, что у Костицына был государст-
венный подход и что он, как говорится, болел душой за дело.
Сведений о жене Костицына очень немного. Видимо, она полу-
чила филологическое образование. Это предположение основано
на том, что в 1923 г. вышла в свет книга известного французского
математика Э.Бореля «Случай», в которой увлекательно и доступ-
но рассказывалось о теории вероятностей и о статистике. Перевод
был выполнен Юлией Ивановной, а редактором издания был ее
муж. Сама книга пользовалась читательским спросом,- но в даль-
нейшем она не переиздавалась из-за эмиграции редактора и пере-
водчика, чьи имена стояли на титульном листе.
Итак, Костицын стал эмигрантом. Что вскоре произошло в ос-
тавленной им стране, хорошо известно. Здесь же мы скажем только
0 тех двух математиках, которых он так хорошо знал со студенчес-
ком скамьи. Началось внедрение марксисткой идеологии в матема-
тику. в печати с негодованием писали, что у нас «была система
покровительства буржуазным, зачастую реакционным ученым (Кос-
тицын, Егоров)» [32, c.V], Московское математическое общество
^50 Из истории отечественной математик
обвинялось в том, что оно «хранит в своих рядах эмиграц.
тов Костицына, Салтыкова (Белград), Селиванова (Прага)» [33
с.69].
Вскоре произошла «реорганизация» Математического общест-
ва. Д.Ф. Егоров также был отстранен от руководства Институтом
математики и механики, а весной 1930 г. был арестован, сослан в
Казань, где через год скончался [34].
Это было в 1931 г., а в 1936 г. была организована травля и
шельмование Н.Н.Лузина (подробнее см. в [35]), и все шло к пе-
чальному концу, но по некоторым причинам дело было закрыто, и
Лузин остался на своем месте. За всем этим Костицын наблюдал
уже из Парижа
Переходя к эмигрантскому периоду жизни Костицына, прихо-
дится основываться на биографических сведениях иностранных ав-
торов. Попутно отметим, что дату отъезда Костицына они относят
к 1927 г., так как в середине этого года было отмечено его присут-
ствие в Париже на заседании Академии. Это не противоречит на-
шим сведениям, поскольку в это время он находился в команди-
ровке. Уточним, что в протоколах Парижской академии наук от 23
мая 1927 г. написано, что председатель заседания представил соб-
ранию Владимира Костицына, директора Института геофизики
России [36]. (Еще одно присутствие Костицына, тогда еше замес-
тителя директора, на заседании Академии наук зафиксировано 1
сентября 1924 г. На этом же заседании были также А.Н.Крылов и
Н.М.Крылов [37].)
Итак, сорокашестилетний Костицын, только недавно вернув-
шийся из Парижа, снова туда приехал, и не на пустое место, а к
жене12, которая уже работала. У самого Костицына тоже были
связи в научных кругах. Его местом работы, как неуверенно напи-
сано все в той же статье, был Национальный центр научных иссле-
дований Франции (CNRS). Скорее всего зто именно так, и в су-
ществующем поныне Центре есть возможность иметь должность
для приглашенного (внештатного) ученого. Сразу это произошло
или нет, также не известно. Однако первая статья Костицына
(№44) в эмиграции появилась в 1930 г. в «Анналах» Института
Пуанкаре, и не исключено, что он работал именно там.
Следующая его публикация (№45) вышла в свет в 1931 г., и
написана она была в соавторстве с женой. Речь шла о статистичес-
ком исследовании одного феномена в паразитологии (инвазия ра-
ков-отшельников паразитными морскими уточками). С этого вре-
мени можно начать отсчет работы Костицына в области биологии,
а точнее, математической биологии.
Причин обращения к этой новой области науки было несколь-
ко. Первая, и возможно, основная, заключалась в том. что Париж
привлекал Костицына возможностью тесного сотрудничества с
Вольтерра в области интегральных уравнений. Кроме того,
0 (^Ерматасва
151
Вольтерра прочитал свой знаменитый курс математической теории
борьбы за существование, и эти лекции хотя бы частично мог слу-
шать Костицын во время своего пребывания Париже. Лекции, про-
читанные Вольтерра в Институте Анри Пуанкаре, Сорбонне и Кол-
1еж де Франс, сразу привлекли внимание многих ученых, а в
1931 г- были изданы в виде отдельной книги с тем же названи-
ем—«Математическая теория борьбы за существование» [38].
О второй причине уже фактически было сказано —жена Кости-
цына была биологом. В связи с этим нельзя не упомянуть о том.
что у самого Вольтерра обращение к биологической тематике прои-
зошло в результате бесед с Умберто Д’Анкона, мужем его дочери
Луизы, а оба они были гидробиологами. Об этом Вольтерра пишет
в предисловии к своей книге [31].
Еще одно обстоятельство объединяло двух ученых при всей
разнице в их положении: оба они во Франции были не у себя на
родине. Вольтерра покинул Италию и лишь изредка посещал ее,
поскольку отказался присягнуть на верность режиму Муссолини,
уничтожившему парламентскую систему в Италии.
Однако имелось и существенное различие (мы не обсуждаем
научных заслуг): Вольтерра был иностранным членом Парижской
академии наук; Костицын же был просто научным сотрудником,
имеющим только временную работу.
Прошел еще год, и Костицын публикует новую статью—«Об
одном приложении дифференциальных уравнений к геологии»
(№46). Мы уже знаем, что проблемами геофизики он занимался в
России, но здесь наблюдается качественно иной, системный подход
к геологии, который отличал все его дальнейшее творчество. Если
раньше Костицын решал частные задачи, то теперь за каждой за-
дачей он видит нечто большее, в масштабах планеты. Статья ско-
рее всего появилась в результате общения с Вернадским. Мы уже
говорили о том, что он был давно знаком с этим выдающимся уче-
ным и мыслителем, а выход в свет его статьи (№46) в 1932 г. уди-
вительным образом совпал с пребыванием Владимира Ивановича в
Париже [39, с.83].
За первые десять лет пребывания в новом качестве в Париже,
Костицын сделал очень много, оставаясь при этом последователем
Вольтерра, в соавторстве с которым у него есть одна статья (№68).
Он написал ряд работ, причем всюду в биологии он применяет тот
или иной математический аппарат, в том числе к проблемам естест-
венного отбора, но теперь он ставит проблему шире —как экологи-
ческую. Он и раньше пользовался дифференциальными, интеграль-
ными и интегро-дифференциальными уравнениями, но сейчас в до-
полнение к этому использовал статистические методы.
Еще в 1923 г. в предисловии к упомянутой ранее книге Э.Боре-
ля «Случай» Костицын писал: «Значение статистического метода в
биологии также чрезвычайно велико, и неумение пользоваться им
152
Из истории отечественной матем^
часто гибельно отражается на огромных и сложных научных
роениях» [40]. Так может быть о биологии и ее проблемах
мал значительно раньше? Но и Вольтерра, как известно,
проявлял раньше интерес к этой науке. И все же толчком к
тоятельным исследованиям оказались, скорее всего, личные птяГ
ны.
пост.
ОН Ду.
также
самое -
Статьи Костицына, напечатанные им в «Отчетах» Парижской
академии наук, по процедуре должны были быть представлены
кем-либо из академиков. В случае Костицына их представляли не
биологи, а математики —П.Монтель, А.Вилла, Ж.Адамар. Одну
его работу передал Академии В. Вольтерра.
Помимо статей, Костицын за короткий период времени опуб-
ликовал четыре монографии: (№49, №54, №55 и №61). Это были
небольшие по объему, но очень емкие по содержанию книги. Печа-
тались они в серии монографий, которые выпускались тогда в Па-
риже по различным наукам, и все они имели ограниченный объем.
На титульном листе книги (№61) после фамилии автора идет над
пись, которая наводит на грустные размышления: «Бывший про-
фессор факультета наук и директор Московского геофизического
института».
Начнем со второй из этих книг: об интегральных уравнениях.
В ней Костицын в какой-то мере подвел итог своим исследованиям
в области интегральных уравнений, но, кроме того, познакомил
читателей с работами русских ученых-физиков, также внесших
вклад в решение уравнений, встречающихся в физике Здесь он
рассмотрел диссертацию 1910 г физика и биофизика П.П.Лазаре-
ва, который, кстати, в 1928 г опубликовал на русском языке одну
из лекций Вольтерра [41], имеющую то же название, что и его бу-
дущая книга: «Математическая теория борьбы за существование»
[38]. По ходу изложения Костицын представил читателям резуль-
таты физика А. К.Тимирязева (сына известного естествоиспытателя
и ботаника К.А.Тимирязева), с которым одно время он занимался
близкими задачами. Наконец, рассказал о некоторых статьях ле-
нинградского физика-теоретика В. А.Фока, который также разраба-
тывал проблемы статистической физики. При решении своих задач
физики нередко сами получали нужные им математические резуль-
таты, однако зачастую они остались неизвестными, так как отдель-
но не публиковались Здесь же Костицын привлек внимание мате-
матиков к их результатам.
Книга «Симбиоз, паразитизм и эволюция» (№49), которую
Костицын посвятил своей жене, паразитологу по специальности,
дает читателю не просто математическую теорию симбиоза и пара-
зитизма, но и представление об эволюционных процессах. Кости-
цын пишет в своем предисловии, что трудности при исследования*
таятся не только в математике, но и в том, что нет достаточного
числа достоверных данных, а следовательно, нельзя делать
153
jj^EgMOJiaeBa
иаьные заключения, с одной стороны, и нет возможности про-
П ггь реальность предложенной математической модели, с дру-
Что касается математических трудностей, то они огромны, так
гОЙ' Требуется учитывать очень большое число факторов даже в са-
K3fi простой биологической задаче, а упрощения часто не соответс-
N vtoT биологическим реалиям, и выводы получаются, с точки зре-
ния биологии, абсурдными. Однако эти трудности все-таки можно
преодолеть; ведь это еще только рождение новой науки, и она дол-
жна пройти свой обычный путь, как это видно на примере других
наук.
В книге рассматривается прежде всего схема: «хозяин» и «па-
разит», который внедряется в тело «хозяина», питается им, откла-
дывает яйца, после чего через некоторое время у «хозяина» уже
оказывается так много непрошенных «гостей», что он погибает.
Казалось бы, это некоторая частная задача, но биологи стали рас-
сматривать живую материю как случай симбиоза на клеточном
уровне, и, следовательно, задача выходит за рамки частной и ста-
новится жизненно важной.
Циклические процессы, протекающие в биологии,— говорит
Костицын,—отличаются от таковых в механических системах: если
в последних согласованность периодов указывает на нестабиль-
ность системы, то в биологии — наоборот. Вот почему простое пере-
несение механических конструкций на биологию часто не приводит
к удовлетворительному результату.
В этой монографии Костицын опирается на исследования
А.Лотки, который почти одновременно с Вольтерра разрабатывал
математическую теорию одной из биологических задач, и конечно,
Костицын следует за Вольтерра, хотя в отличие от него иначе дает
интерпретацию так называемых жизненных коэффициентов, с уче-
том возраста индивида, что до Костицына не делалось. Отметим
попутно, что в своей книге он использует статистические данные
по паразитизму, полученные Ш.Пересом (о нем говорится в при-
мечании 12).
Следующая книга—«Эволюция атмосферы, биосферы и кли-
мата» (№54) —была переведена у нас в 1984 г., о чем сообщалось
ejHe во введении. Тогда мы говорили только о предисловии
*т-Н.Моисеева, в котором он представил читателю неизвестного им
Костицына. Однако в этой книге есть чрезвычайно содержательное
послесловие, которое дает представление о книге с позиций совре-
менного знания, а потому можно только рекомендовать обратиться
к этому изданию: там представлены идеи В.И.Вернадского, чьим
Следователем был Костицын, а также исторический ход развития
пэшего знания о планете, на которой мы живем, и четко сказано,
Чтп „ Г ’ ’
“ наше дальнейшее существование во многом зависит от того,
п°имем ли мы эти не известные до конца процессы жизни и суме-
ем ли мы сохранить среду обитания. Что же касается методов
154
Из истории отечественной
МатематиК11
исследования, которыми пользовался Костицын, то, как показыв
ет Н.Н.Моисеев, они не потеряли своего значения и до настоящег
времени.
Дословный перевод названия этой книги такой: «Эволюция ат
мосферы. Органический круговорот. Ледниковый период»,
привели его для того, чтобы сказать, что в книге и в послесловии
редактора рассказано и о механизме возникновения ледниковых
эпох, что тоже не просто интересно, но и жизненно важно. Проб-
лемы экологии, о которых только недавно стали говорить, но фак
тически ничего еще не делать, также подняты в этой книге.
И, наконец, последняя книга—«Математическая биология»
которая вышла с предисловием Вольтерра, в котором он высоко
оценивает эту книгу и ее автора. О Костицыне там есть такие ело
ва: «Г-н Костицын —математик высокого класса. Он очень хорошо
знает все возможности анализа и его самые современные методы.
Он проявил свои способности и умение в решении таких задач, ко-
торые не поддавались усилиям его предшественников. Однако,
чтобы рассматривать вопросы совершенно нового типа, такие, с ка
кими имеет дело Костицын, недостаточно быть хорошим математи-
ком; необходимы —а это в высшей степени обнаруживается в дан-
ной книге — другого типа дарование и другие способности, так же
как и весьма обширные познания вне чисто математической облас-
ти» (№61, с.5).
Действительно, эта книга многое может дать математику, кото
рый хочет познакомиться с математической биологией, а биологу,
знакомому с основным курсом математического анализа, поможет
разобраться с постановкой и решением математико-биологических
проблем. Книга демонстрирует метод применения математики к би
ологии. Можно не понять тех или иных выкладок, тем более, что
они сделаны не всегда подробно, чтобы не загромождать изложе-
ние, но важно понять суть подхода к решению и, что еще более
важно, суметь дать подходящую трактовку полученному результа
ту. Кроме того, Костицын учит и тому, как правильно обращаться
с данными опыта. Ясное изложение и строгая логика сделали эту
книгу своего рода учебным пособием, хотя в ней рассматриваются
совсем непростые вопросы-
Популярности «Математической биологии» Костицына способ-
ствовало ее издание в переводе на английский язык в 1939 г
(№73).
Прошло десятилетие, о котором мы знаем только, что 01,0
было проведено в напряженной и плодотворной работе. Наступили
тяжелые годы Второй мировой войны.
14 июля 1940 г. Париж был занят немецкими войсками. Кос
тицын, как и многие другие иностранцы, и в первую очередь с°*
ветские граждане, был заключен в лагерь, который фашисты УсТ”
роили в г. Компьен в 70 км от Парижа. Лагерь был место#
р гЕрмолаева
155
тировки политических заключенных перед отправкой в другие
с°дЦеНТрационные лагеря.
к Однако через некоторое время Костицын был освобожден. Далее
оН попал в Виши, куда была эвакуирована Французская академия
ук в декабре 1942 г. он был награжден Академией премией Мон-
тъона за цикл своих работ по математической биологии [42]. В де-
нежном исчислении того времени премия составляла 1000 франков.
Находясь в Виши, как сообщают Ф.Скудо и Дж.Зиглер, Кос-
тицын установил связь с французским сопротивлением. Действи-
тельно, не мог же он, участник Первой мировой войны, оставаться
в стороне. В связи с этим расскажем об одном эпизоде из жизни
Костицына, который произошел еще до войны.
В 1936 г. в Польше вышел в свет специальный выпуск журна-
ла «Математико-физические работы», посвященный памяти извест-
ного математика польского происхождения Леона Лихтенштейна
(1878—1933), который много лет работал в Германии. С приходом
фашистов к власти были организованы публичные акции, направ-
ленные против «неарийских» профессоров. Одна газетная публи-
кация 21 августа 1933 г. от имени студентов была направлена про-
тив Лихтенштейна. Такого предательства он не смог вынести, и че-
рез несколько дней умер. Костицын откликнулся единственно воз-
можным для него путем — передал свою статью (№60) в сборник
памяти Лихтенштейна13.
Война окончилась и, видимо, в жизни Костицына мало что из-
менилось, но конечно, с возрастом работать в таком же ритме он
уже не мог. Последняя известная нам его статья (№83) была напе-
чатана в 1956 г., когда ученому было 73 года. Упомянем только,
что Костицын занимался еще и вопросами генетики, о чем ранее не
было сказано.
Известно, что Костицын овдовел и остался в одиночестве: де-
тей у четы Костицыных не было. Настал день, когда и его жизнь
подошла к концу. Он скончался в Париже в 1963 г., а 7 июня об
этом сообщила парижская эмигрантская газета «Русские новости».
Вот текст этого сообщения :
* В среду 29 мая 1963 г. скончался на 80-м году жизни профес-
С0Р Владимир Александрович Костицын, доктор математических
наУк, бывший декан Московского физико-математического факуль-
тет3. бывший Maitre de Recherches Французского национального
Центра научных исследований в Париже. Погребение состоялось 4
июня 1963 г. на кладбище Иври, о чем извещают друзья и знако-
вые покойного» [43, с.З].
Этот текст показывает также, что покойный не был близок
кРУгам русской эмиграции первой волны. Газета пишет о должнос-
ти. которую занимал Костицын: руководитель научных работ вы-
Щеуказанного Центра. Однако информация о деканстве недосто-
156
Из истории отечественной математь
Ки
Прошло много времени, и только теперь мы стараемся восста"
новить историю жизни ученого, который остался мало известен на-
учному сообществу. История его жизни —это и часть нашей общ^
истории. Жаль, что не у нас написана его первая биография и дан
первый анализ его биологических работ.
В 1978 г. Ф.Скудо и Дж.Зиглер опубликовали в серийном
сборнике (издательство Шпрингер) ряд работ известных ученых
под общим названием «Золотой век теоретической экологии-
1923—1940» [44]. Сюда вошли в переводе на английский язык из-
бранные ими работы В.Вольтерра, В.А.Костицына, А.Лотки и
А.Н.Колмогорова. Благодаря этому изданию, тринадцать работ
Костицына по математической биологии (работы со следующими
номерами из приведенного ниже списка, причем именно в данном
порядке с учетом тематики: №76, №77, №71, №68, №59, №49,
№61 (гл.15), №63, №64, №66, №65, №67, №54) стали известны
более широкому кругу специалистов.
Труды, которые оставил после себя Костицын, продолжают
быть востребованы и после смерти их автора. Это наглядно демон-
стрирует «Индекс цитирования», в котором до сих пор встречаю»
ся ссылки на работы нашего соотечественника. Наибольшее число
ссылок приходится на 70-е годы, что связано с подъемом исследо-
ваний в области математической экологии. Книга Костицына «Ма-
тематическая биология» давно уже стала классикой, и многие авто-
ры обращаются к ее изучению. Однако и написанная под конец
жизни статья Костицына 1956 г. «О развитии популяций бакте-
рий» (№83) оказалась весьма актуальной и вызвала многочислен-
ные отклики у ученых.
Закончить эту статью уместно словами, которыми Н.Н.Моисе-
ев начал свое предисловие к книге В.А.Костицына [2]:
«Владимир Александрович Костицын принадлежит к тому по-
колению русских ученых, которое выдвинуло таких блестящих ес-
тествоиспытателей и мыслителей, какими были Л.С.Берг, Н.И.Ва-
вилов, В.Н.Сукачев, Н.В.Тимофеев-Ресовский... Большинство из
них в полной мере испытало влияние В.И.Вернадского. Всем им
свойствен широкий, ныне мы бы сказали системный взгляд на
предмет “естественной истории". У всех у них были трудные биог-
рафии и не менее трудные поиски самостоятельного пути в науке.
И каждый из них внес заметный вклад в естествознание и оказал
влияние на формирование методики и методологии системных ис-
следований биосферы и ее фрагментов».
Примечания
1 Отец В.А.Костицына, Александр Васильевич Костицын, родившийся в 1857 г., отно-
сился к сословию мешай Костромской губернии. В 1880 г. он окончил историко-фи-
лософский факультет Московского университета, получив степень кандидата. Ч
1880 г. он в течение года «исполнял должность» учителя русского языка в прогим-
назии небольшого городка Ефремово в Тульской губернии, а в 1881 г. был
гЕрмолаева
157
^^ржден в этой должности. Одновременно он был и классным наставником, рабо-
тал также библиотекарем и, видно, хорошо себя зарекомендовал, так что в 1883 г
его избрали секретарем Педагогического совета Ефремовской прогимназии. Прошло
Pine два года, и А В.Костицын получил «за отлично-усердную службу» свой первый
орден-Св Станислава III степени.
За этим награждением последовало повышение по службе: 7 июня 1886 г. он «был
перемеЩеи* в Смоленское Александровское реальное училище, где и протекала в
дальнейшем его основная работа.
В 1886 г А В. Костицын был утвержден в чине коллежского ассесора и произведен в
надворные советники, в 1889 г за выслугу лет — в коллежские советники, а в 1893 г
стал статским советником После ордена Св. Станислава III степени ои получил еще
орден Св Анны III степени, а в конце карьеры в 1898 г—Св. Станислава II степе-
ни. Кроме того, в 1896 г. А.В.Костицын получил серебряную медаль на Александ-
ровской ленте, учрежденную в память императора Александра III [4, л.7 —8].
1 Ранее в ряде статей (например, в [5 — 7]) годом рождения В. А.Костицына считался
1882г., чтопеверно Правильная дата 1883 г., что следует из имеющейся в [4, л.4]
копии метрического свидетельства №34 за 1883 г из Покровской церкви г. Ефремо
ва, выдержку из которой приводим: «Мая 28 числа у учителя Ефремовской муж
ской прогимназии кандидата Московского Императорского университета Александ-
ра Васильевича Костицына и законной жены его Ольги Васильевой, православных,
родился сын Владимир, крещен 7 июля»
3 Перечислены экзамены по следующим дисциплинам:
1) дифференциальное и интегральное исчисление;
2) рациональная механика;
3) высший анализ или высшая геометрия.
4 Отметим, что в дореволюционной России не признавали иностранные дипломы и
ученые степени, так что желающие должны были сдавать все экзамены заново и
причем как правило не экстерном, а прослушав полный курс наук. Слушать было не
обязательно, но отбыть четыре года в университете полагалось. Лишь изредка мож-
но было получить право сдавать экзамены экстерном.
5 Д.Ф.Егоров написал это письмо 30 июня 1913 г во время пребывания в Новгороде
[6 Приведем список научных докладов (см. Александров П.С., Головин О.Н. Москов
ское математическое общество / / Успехи математических паук. 1957 Т XII
Вып.6(78). С.9 —46), сделанных В.А.Костицыным па заседаниях Московского ма
тематического общества:
19 октября 1919 г «Распределение звезд в звездных кучах»; 21 марта 1920 г. «Об
интегральном уравнении Кундта и Варбурга»; 19 декабря 1920 г. «О новейших
успехах математики за границей»; 16 января 1921 г. «Нелинейные интегральные
уравнения, разрешимые в эллиптических функциях»; 20 февраля 1921 г. «Гистере
зис и интегральные уравнения», 18декабря 1921 г. «Об одном классе интегральных
уравнений»; 22 октября 1922 г. «Курская магнитная аномалия»; 24 декабря 1922 г
7 «О внутреннем строении звезд» - Вставка С. С.Демидова ]
В [24, л.11] имеется следующая выписка из журнала Оргкомитета Главной астрофи-
зической обсерватории о заседании 3 мая 1923 г. под председательством В.Г.Фесен-
кова, на котором Костицын присутствовал
«Сообщение Председателя Орг Комитета о том, что проф. В В Стратонов за выез
ДОм из I рлина на жительство в Прагу не может быть заграничным представителем
pt Комитета, вследствие чего необходимо найти ему заместителя в Берлине»
«Проф В.А.Костицын, отправляющийся в конце мая с/г в заграничную научную
командировку, предложил свое содействие по подысканию представителя Комитета
в Берлине.»
«Постановили Уполномочить проф. В.А.Костицына найти представителя Комитета
Берлине, с которым войти в соглашение об условиях его службы в Орг. Комитете.»
Добавим, что после ареста и высылки из страны, Стратопов некоторое время жил в
Берлине, а в 1923 г. переехал в Прагу [23]
158
Из истории отечественной матема-»,.
*
8 Институт математики и механики при I МГУ рекомендовал Академии наук избпа
Д.Ф.Егорова, о чем сообщалось в официальном письме от 26 мая 1928 г. за по!ш
сью В.А.Костицына. Московское математическое общество также поддержало цЛ
дидатуру Егорова, однако Костицын и члены совета Общества И.И.Привалов*1
С.П.Фиников направили в Академию отдельный отзыв о научных трудах Н.Н
зима [30, с.196].
9 В [7, с.203 —205] опубликовано письмо Н.Н.Лузина академику А. Н.Крылову от w
июня 1928 г. (часть этого письма цитировалась выше), в котором он сообщает, что
для обеспечения победы Егорова па выборах «были даны директивы» его, Лузина
«уничтожения по всем учреждениям, где имелось влияние Владимира Александр^
вича Костицына», что «на решающем заседании» под председательством Костицы-
на лишали слова тех, кто хотел выступить с поддержкой кандидатуры Лузина. По-
сле этого, пишет Лузин, «для меня умерло в эти дни несколько дорогих мне людей g
благоприятное отношение которых я верил, ибо они старались всегда его показать
Умер для меня и сам Влад. Алек. Костицын, бывший моим университетским товари-
щем. с которым была связана часть моей юности, и который всегда старался пока-
зать пашу близость».
10 Это был протокол №9 от 10 января 1929 г., а предыдущий протокол под №8 датиро-
ван 3 ноября 1929 г. Полагаю, что это опечатка в протоколе №8, и правильная
дата — 3 ноября 1928г. Кстати, на заседании 3 ноября рассматривалась пьеса Миха-
ила Булгакова «Багровый остров», а на протоколе этого закрытого заседания была
сделана надпись: «Нс подлежит оглашению!»
11 Вера Михайловна Данчакова — медик и биолог. Первое известное нам сведение о
ней —выход в 1905 г ее статьи «Об экспериментальном циррозе печени», которую
она подготовила в патолого-анатомическом отделении Института эксперименталь-
ной медицины. В 1907 г. была напечатана ее диссертация па соискание ученой степе
ии доктора медицинских наук на тему об изменении нервных клеток при бешенстве.
Эта работа была экспериментальным исследованием, проведенным в патолого-ана-
томической лаборатории Екатеринославской губернской земской больницы. Заши-
та диссертации состоялась в Военно-морской академии в Петербурге.
Согласно устным сообщениям, В.М.Данчакова вышла замуж за весьма состоятелМ
пого американца и уехала с ним в Америку. Там она работала в лабораториях меди-
цинского факультета Колумбийского университета в Нью-Йорке, а затем переехала
в Европу и работала в Германии, Чехословакии (Братислава), Франции (Коллеж
де Франс в Париже), Литве (Каунас). На какое-то время она вернулась в США, а
оттуда отправилась в Россию.
В 1925— 1926 гг. Данчакова работала в Москве, где организовала лабораторию, для
которой сама купила оборудование. Тем самым опа дала возможность нашим уче-
ным-биологам вести научно-экспериментальную работу. Затем она уехала во Фран-
цию. В своей монографии, вышедшей там в 1934 г., опа представилась читателю так:
«Бывший профессор Колумбийского университета (Нью Йорк). Организатор Ин-
ститута экспериментального морфогенеза (Москва, Останкино)».
Весной 1945 г., когда война еще не была закончена, Данчакова вновь появилась в
СССР. На этот раз опа получила приглашение Академии медицинских наук СССР
возглавить Лабораторию физиологии развития. Ей были предоставлены вполне
приемлемые условия для жизни и работы, которая проходила на Кавказе (вероятно,
в Сухуми, так как Данчакова занималась тогда проблемами пола у обезьян).
В 1947 г. Данчакова уехала в Лозанну (Швейцария), где у псе были условия для на-
учной обработки собранного экспериментального материала. Она успела подгото-
вить только одну публикацию в 1950 г. и в том же году неожиданно скончалась.
12 Юлия Ивановна Костицына, получив, как мы уже знаем, стажировку, вероятно, в
Институт Пастера, стала паразитологом и. судя по ее публикациям, весьма творче-
ским ученым. Возможно, что па первых порах ей помогла рекомендация ДанчаковоН-
Костицына сотрудничала с известными французскими учеными, с одним из кото-
рых академиком Шарлем Пересом—у нее были совместные публикации. Что каса-
ется места работы, то сначала это была Лаборатория зоологии факультета
тем, а скорее одновременно, опа получала практический материал на
паук, о»
Морской
159
[IrEl»l0Jiae—
огической станции Росков, директором которой был Ш.Перес. Еще известно,
^и°а КОНЦе 40-х годов она работала по-прежнему в Париже, но теперь в Лаборато-
410 анатомии и сравнительной гистологии. Дата смерти ее неизвестна, но умерла
Рии оаньше мужа. Последняя ее публикация из тех, что удалось установить, отно-
ся к 1950 г.
й Я благодарна польскому математику Дануте Пшеворска-Ролевич за присылку ее ра-
доты «Leon Lichtenstein <1878—1933)» (препринт №579 Польской академии наук,
1997)- И3 этой работы я узнала, какие трудности пришлось преодолеть в то время
польским ученым, чтобы вышел номер журнала, посвященный Лихтенштейну. В ра-
боте был приведен список авторов, давших свои статьи в этот журнал; средн них
оказалась и фамилия Костицына. Я написала польской коллеге о Костицыне, фами-
лия которого ей ничего не говорила, и в ответ она прислала копию его статьи.
Остается неизвестным, были ли знакомы Лихтенштейн и Костицын, но они не могли
не знать о работах друг друга, т.к. их объединяла общая тематика — интегральные и
интегро-лифференцналы гые у равней ия.
Список сочинений В.А.Костицына
№1. Об одном общем свойстве систем ортогональных функций / Математический
сборник. 1912. Т.28. Выл.4. С. 1 — 10
№2. Quelques remarques sur les systfemes complets de fonctions orthogonales / /
Coniptes Rendus hebdomadaires des sSnces de Г Academic des Sciences. Paris (да-
лее-C.R). 1913. T.156 P.292 - 295.
№3. Sur la periodicity de 1'activity solaire et 1'influence des planfctes // C.R. 1916.
T.163. P.202 — 204.
№4. Sur la distribution des ytoilcs dans les amas globulaircs Bull, astronomique.
Paris. 1916. T.33. P.289 - 293.
№5. Интегральные уравнения Кундта-Варбурга и Хвольсона / . Сообщения о науч-
но-технических работах в Республике. М., 1920. Вып.З. С. 190—192.
№6. О методах определения глубины магнитных залежей , Сообщения о науч-
но-технических работах в Республике- М., 1920. Вып.З. С.193—194.
№7. Распределение звезд в шарообразных звездных кучах // Сообщения о науч-
но-технических работах в Республике. М., 1920. Вып.З. С.194—196.
№8. Николай Егорович Жуковский. Некролог Математический сборник. 1922.
Т.31. Вып.1.
№9. Suruneclassedesdquations intygrales. I / Математический сборник. 1922. Т.31.
Вып.1. С.78-85.
№10. Sur une classe des dquations intygrales. II / Математический сборник. 1922.
Т.31. Вып.2. С. 185- 187.
№11. Интегральные уравнения с интегрально-логарифмическим ядром / / Математи-
ческий сборник. 1922. Т.31. Вып.2. С.188 — 207.
№12. Об одном особом нелинейном интегральном уравнении // Математический
сборник. 1922. Т.31. Вып.З—4. С.373-376.
13. Строение шарообразных звездных куч / / Труды Российской астрофизической
обсерватории. 1922. Т.1. С.28 - 48.
№14. О равновесии лучеиспусканий звезд / Труды Российской астрофизической
обсерватории 1923. Т.2. С.1—6.
№15. Успехи астрономии Печать и революция. 1922.
^'бдОбзор литературы по Курской магнитной аномалии / Печать и революция.
звезд,1ЫХ массах / Труды Российской астрофизической обсерватории.
№18. Классические и космогонические гипотезы и современная астрономия / / Клас-
сические и космогонические гипотезы / Под. ред. В.А.Костицына. М., 1923.
160
Из истории отечественной мат».
-------------------- -----
№19. Кант-Ланлас-Фай-Дарвип-Пуанкаре. Классические космогонические гип
Сборник оригинальных работ / Ред. В.А.Костицын. М.-Пг., 1923.
№20. Курская магнитная аномалия. М.-Пг., 1923.
№21. Курская магнитная аномалия. М.-Пг., 1923. (Научно-популярная б-ка
№22. О нелинейных интегральных уравнениях / Математический сборник
Т.31. Вып.3-4.
№23. Методы определения положения магнитных масс Труды Особой комис
но исследованию КМА при президиуме ВСНХ. Вып.4. Труды матнитно-г*11
витационпого отдела Под ред. П.П.Лазарева М.-Пг., 1924 С.8—34.
№24. Опыт математической теории гистерезиса 'Математический сборник toi<
Т.32. Вып.1. С.192-202.
№25. Quelques applications des equations integrates au probtemc de 1’hy steres,
magnetique // Proc. Int. Congr. Math. Toronto, 1924. Vol.2.
№26. Статистический метод в астрономии / / Статистический метод. М., 1925.
№27. Строение и развитие вселенной по данным современной астрономии / Совре-
менная наука. М., 1925.
№28. Строение вселенной. М., 1926. (Педагогические курсы на дому. №6 — 7).
№29 О некоторых интегральных уравнениях молекулярной физики. М.. 1926.
№30. О строении звездных систем Русский астрономический журнал. 1926. Т.З
Вын.1. С.1 —9.
№31. Исследование форм спиральных туманностей /. Русский астрономический
журнал. 1926. Т.З. Вып.З. С.157 —160. (Совм. с В.Н.Берви н Е.Ф.Ушаковой)
№32. Происхождение вселенной. М., 1926. (Популярно-научная библиотека), я
№33. Строение вселенной. 2-е изд. М.-Л., 1926. (Педагогические курсы на дому.
№6-7).
№34. Происхождение вселенной. М.-Л., 1926.
№35. Что дает геофизика человечеству / 7 Народный учитель. 1926. №1. С.86 — 90.
№36. Успехи современной геофизики и ее ближайшие задачи Научный работник.
1926. №1. С.60-73.
№37. Второй Международный астрономический съезд в Кембридже / Научный ра-
ботник. 1926. №2. С.81 —83.
№38. Н.И.Лобачевский и его значение в науке (К 100-лстию со дня опубликования
первой работы Н.И.Лобачевского по неэвклидовой геометрии) / Техннко-эко
номический вестник. 1926. Т.6. №5. С.327 —332.
№39. Sur quelques Equations integrates de la physique moteculaire. M., 1926.
№40. Sur les solutions singulteres des equations integrates de Volterra // C.R. 1927
T.184. P.1403-1404.
№41. К вопросу о лучистом равновесии звездных атмосфер // Астрономический
журнал. 1928. Т.5. Вып.2 —3. С.112—131.
№42. Успехи астрономии в СССР / Наука и техника в СССР. М., 1928. Т.1.
№43. Sur une equation integro-differenticllc // C.R. 1928 T.186. P.1801.
№44. Quelques applications des equations integrates / Annales de 1'Institut Henn
Poincare. 1930. T. 1.
№45. Sur la statistique d’infestation des Pagurcs par les Chlorogastcr / / C.R. 1931. T.193-
P.86 —88 (Совм. c Julie Kostitzin).
№46. Sur une application geologique des equations differentieltes 7 C.R. 1932. T. 195-
P.1219-1222.
№47. Sur quelques phenomenon quasi-periodiques dans les bassins femes // C.R. 1933-
T.196. P.214 — 215.
№48. Sur les solutions asymptotiques des equations differentieltes de la theorie de
croissance des organismes // C.R. 1933. Т.196. P.841.
№49. Symbiose, Parasitisme et Evolution (Etude mathematique). Paris, 1934.
161
, . nh6nomfenes ylastiques h£r£ditaires et le principe du cycle ferm6 // C.R.
-^T 198. P.47—48.
19 _e Equation integrodiffyrentielle de la thtorie de 1’elasticity // C.R. 1934.
*5‘T 198. P.240-242.
Etude mathymatique du problfeme des ypoques glacieres // C.R. 1934. T.198.
*P 326 - 328.
i 'orieine des ypoques glaciaires / / Revue generate des sciences pures et
^5appH4uto. 1934. №8. P.239 - 243.
,. ]7VOlution de Г atmosphere, circulaire organique, epoque glaciaire. Paris, 1935.
,, Applications des Equations integrates (application statistiques). Paris, 1935.
•'* (Fasc.69 de «Annales de 1’Institut Henri Poincare»).
кьЧК Sur I’intoxication d'un milieu par les produits cataboliques d’une population //
C.R. 1935. T.201. P.516.
№57 Sur la relation entre le sexe et le nombre de parasites dans le meme h6te // C.R.
1935. Т.201. P.624.
№58 Sur les equations differentielles du problfeme de la selection mendelienne // C.R.
1936. T.203. P.156-157.
№59 Sur les solutions asymptotiques dtequations differentielles biologiques // C.R.
1936. T.203. P.1124-1127.
№60. Sur liquation de Laplace dans un milieu stratifte // Prace Matematiczno-Fizycz-
ne. 1936. T.43. P.33-54.
№61. Biologie mathematique. Paris, 1937 (Collection Armand Colin. Section de biologie.
№200).
№62. Sur une generalisation des equations biologiques dans le cas d’une population
intoxiqu6e par les produits de son activite chimique // C.R. 1937. T.204.
P.1683-1685.
№63. Equations differentielles du probteme de la selection naturelle // C.R. 1938.
T.206. P.570-572.
№64. Sur les coefficients mendeliens d’hetedite // C.R. 1938. T.206. P.883 — 885.
№65. Sur les points singuliers des equations differentielles du probteme de la selection
naturelle // C.R. 1938. T.206. P.976-978.
№66. Sur les equations differentielles du probteme de la selection naturelle dans le cas de
mutation d’un chromosome sexuel // C.R. 1938. T.206. P.1273—1275.
№67. Selection naturelle et transformation des especes du point de vue analytique,
statistique et biologique // C.R. 1938. T.206. P.1442—1444.
№68 Remarques sur Faction toxique du milieu & propos de la Note de M. Regnier et Mlle
Lambin // C.R. 1938. Т.207. P.1146-1148. (Совм. c V.Voltend).
№69. Sur la compatibilite des points singuliers stables des equations differentielles
algebriques // C.R. 1939. T.208. P.411.
№70. Sur la compatibility des points singuliers stables des equations differentielles //
C.R. 1539. T.208. P.552-554.
№71. Sur les equations integro-differentielles de la theorie de Taction toxique du milieu
// C.R. 1939. T.208. P.1545-1547.
№72. Erratum // C.R. 1939. T.208. P.1852.
.73. Mathematical Biology / TransL from French Theodore H.Savory. London, 1939.
-24. Sur la permeability des membranes // C.R. 1940. Т.211. P.62.
-<5- Sur le passage de chlorhydrate de novocaine & travers une membrane inerte
№ (cellophane) // C.R. 1940. T.211. P.353.
•26. Sur la loi logistique et ses generalisations // Acta Biotheoretica. 1940. №5.
P 155-159.
' 3ur la segregation physiologique et la variation des espfcces / / Acta Biotheoretica.
M 1940. №5. p.160-168.
° Sur 1’yquation de la chaleur dans le cas d’une sphere soumise it des conditions
sp«ciales // C.R. 1941. Т.213. P.972.
162 Из истории отечественной
►*атсма1
№79. Sur Г equation g4n£ralis4e de la chaleur dans le cas d’unc sphbre / 'CH ln
Т.214 P.47. 19<2
№80. Sur 1 'equation de la chaleur d’une sphfere stratiftee avcc les sources distributee
les surfaces de discontinuity // C.R. 1942. Т.214. P.461.
№81. Sur une generalisation de I'equation integrate d’Abel // C.R. 19-47 т „
P.885-887. Ш
№82 Sur 1'equation integrate du cycle ferm4 // C.R. 1950. Т.230. P.811 - 813.
№83. Sur le developpement des populations bacteriennes // C.R. 1956 T
P.611-612.
№84. Эволюция атмосферы, биосферы и климата / Пер. с франц. Н.К.Буровой. По
ред. и с послеслов. Н.Н.Моисеева. М_, 1984.
Дополнительный список
(включает рецензии и обзоры В.А.Костицына, на которые имеются ссылки в статье)
№85. Астрономические новости по английским и немецким журналам 1919 1921 ;
Печать и революция 1922. №1(4). С. 154.
№86. Хвольсон О.Д. Как произошел мир. Пг., 1921 // Печать и революция. 1922
Ки.1. С.264 - 265.
№87. Whittaker and Watson. Курс современного анализа. Cambr. Univ. Press, 1921
// Печать и революция. 1922. Кн.2. С.332 —333.
№88. Шарль Жан де ла Валле-Пуссен. Курс анализа бесконечно малых. Т.1. Вып 1
Пг., 1922 // Печать и революция. 1923. Кн.7. Вып.1. С.251 —253.
№89. Журнал чистого и прикладного знания. Одесса. 1921 —1922 // Печать и револю-
ция 1922. №8. С.198-199.
№90. Эпик Э.К. Солнце по новейшим исследованиям. М.. 1922 // Печать и револю-
ция. 1922. №8. С.200.
Список литературы
1. Scudo F.M., Ziegler J.R. Vladimir Aleksandrovich Kostitzin and Theoretical Ecology
// Thcor. Popul. Biology. 1976. Vol.10. P.395 — 412.
2. Моисеев Н.Н. Предисловие редактора // В.А.Костицын. Эволюция атмосферы,
биосферы и климата. И., 1984. С.4 —7.
3. Ермолаева Н.С. Костицын Владимир Александрович // Русское зарубежье. Зо-
лотая книга эмиграции. Первая треть XX века. Энциклопедический биографичес-
кий словарь. И., 1997. С.310 — 311.
4. Центральный исторический архив г. Москвы. Ф.418. Он.316. Д.441.
5. Половинкин С.М. О студенческом математическом кружке при Московском мате-
матическом обществе в 1902 — 1903 гг. // Историко-математические исследова-
ния. М_, 1986. Вып.30. С.148—158.
6. Переписка Н.Н.Лузинас П.А.Флоренским / Публ. и прим. С.С.Демидова, А.Н. П<4>
шина, С.М.Половинкина и П.В.Флоренского. // Историко-математичсскне ис-
следования. М., 1989. Вып.31. С.125—191.
7. Переписка Н.Н.Лузинас А.Н.Крыловым / Публ. и прим. Н.С.Ермолаевой
Историко-математические исследования. М., 1989. Вып.31. С.203 —272.
8. Голубев В.В., Бари Н.К. Биография Н.Н.Лузина // Николай Николаевич ЛузИЙ
(к 100-летиюсо дня рождения). М_, 1983. С.8 — 26. (Также: Н.Н.Лузин. Собран**1
сочинений. М_, 1959. Т.З. С.468 —483.)
9. Письма Д.Ф.Егорова к Н.Н.Лузину / Предисл. П.С. Александрова. Публ. и нр*,м
Ф.А.Медведева при участии А.П.Юшкевича // Историко-математические исс-
ледования. М., 1980. Вып.25. С.335—361.
10. Революционное движение в Русской армии. 27 февраля—24 октября 1917 года ’ч
Сб. документов / под рсд. Л. С.Гапоненко. М., 1968.
11. Государственный архив РФ (далее—ГАРФ). Ф А-2306. Он.19. Д.160.
12. ГАРФ. Ф.А-2306. Оп.1. Д.181.
163
ф.А-298. Оп.1. Д.100.
ф.А-2306. Он.69. Д.582.
ф.А-2306. Оп.69. Д.557.
ф.А-298. Оп.1. Д.5.
ф.А-2307. Оп.2. Д.145.
ф.А-2306. Он.19. Д.160.
13
14
15
:б
17
18
19
ГАРф
ГАРФ
ГАРФ
ГАРФ
ГАРФ
ГАРФ
Комиссия по исследованию Курской магнитной аномалии при Московском отделе-
нии КЕПС. Отчет о работе комиссии за 1919 год. / Под ред. П.П.Лазарева. М.,
1920.
20 Лазарев П.П. Курская магнитная аномалия. М., 1924.
21 Полищук Е.М. Вито Вольтерра. Л., 1977.
22 Сообщение о научно-технических работах в Республике. Съезд Российской ассо-
циации физиков. М., 1920. Вын.З
23 Бронштэн В. Стратонов Всеволод Викторович Русское зарубежье. Золотая
книга эмиграции. Первая треть XX века. Энциклопедический биографический
словарь. М., 1997. С.603-605.
24 Чибисов С.В. О некоторых сейсмических годографах // Бюлл. Гос. геофиз.
ин-та РСФСР. 1931. №36.
25. ГАРФ. Ф.А-2307. Он.7. Д.2.
26. Архив РАН. Ф.518. Оп.З. Д.840.
27. ГАРФ. Ф.А-2306. Оп.69. Д.832.
28. ГАРФ. Ф.А-2306. Оп.69. Д.834
29. ГАРФ. Ф.А-2306. Оп.69. Д.835.
30. Ермолаева Н.С. Новые материалы к биографии Н.Н.Лузина / / Историко-мате-
матические исследования. М.. 1989. Вып.31. С. 191- 203.
31 ГАРФ. Ф.А-2386. Оп.69. Д.1876.
32. Редакционная статья «За партийность в философии и естествознании» // Естест-
вознание и марксизм. 1930. №1(5). С.Ill —VII.
33. Кольман Э. Ход задом философии Эйнштейна // Научное слово. 1931. №1.
С.108-113.
34. Демидов С.С. Профессор Московского университета Дмитрий Федорович Егоров
и имеславие в России в первой трети XX столетия / / Историко-математические
исследования. М., 1999. Вып.4(39). С.123—156.
35. Дело академика Николая Николаевича Лузина ' Отв. ред. С.С.Демидов,
Б.В.Левшин. СПб., 1999.
36- C.R. 1927 Т.184. Р.1217
37 C.R. 1924. Т.179. Р.445.
38 Volterra V. Lemons sur lathtone mathfematique de la luttepour la vie. Paris, 1931 -
39. Юшкевич А.П., Якшина Ф.Т. В.И.Вернадский и ученые Франции // Вопросы
истории естествознания и техники. 1991. №2. С.80 —91.
40. Костицын В.А. Предисловие / / Э.Борелъ. Случай / Пер. с франц. Ю.И.Кости-
цыной. Под ред. В.А.Костицына. М.. 1923.
41 Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование / Пер. П.П.Лаза-
рева / / Успехи физических паук. 1928. Т.8.
42 C.R. 1942 Т.215. Р.614.
43. Некролог Костицына , / Русские новости. Париж. 1963. 7 июня №70.
44 Scudo F.M., Ziegler J.R. The Golden Age of Theoretical Ecology: 1923 — 1940. A
Collection of Works by V.Volterra, V. A.Kostitzin, A.J.Lotka and A.N.Kolmogoroff.
Berlin: Springer, 1978.
164 Из истории отечественной математики
А.П.ЮШКЕВИЧ И МЕЖДУНАРОДНАЯ
АКАДЕМИЯ ИСТОРИИ НАУКИ1)
Т. А. Токарева, А. И. Володарский
Интернациональный характер научного знания —факт непре-
ложный. Однако эта когнитивная истина теряет очевидность, спус-
каясь с высот чистого знания на равнину его социальной истории,
испещренную национальными границами. Иногда подробности их
перехода представляют известный интерес, особенно если они отк-
рывают неизвестные страницы известных научных биографий или
приподнимают не всем известные завесы над внутренней жизнью
известных научных институций. История избрания выдающегося
отечественного историка математики Адольфа Павловича Юшкеви-
ча в Международную академию истории науки (МАЙН) дает по-
вод именно для такого рассказа. Его имеет смысл начать с неболь-
шой справки.
Вопрос об организации международного историко-научного со-
общества был поставлен профессором Римского университета Аль-
до Миели в ноябре-декабре 1927 г. Со страниц журнала «Архейон.
Архив истории науки» (Archeion. Archivio storico della scienza),
главным редактором которого он являлся, А.Миели призвал кол-
лег, работающих в истории науки, активизировать свои усилия в
деле создания международной организации, способной содейство-
вать укреплению связей между учеными и пропаганде их достиже-
ний. VI Международный конгресс исторических наук, состоявший-
ся в августе 1928 года в Осло, откликнулся на этот призыв, и 17
августа была принята резолюция об организации Международного
комитета по истории науки, преобразованного, а точнее переимено-
ванного 16 мая 1932 г. в Международную академию истории науки
[1, с.18-20].
С тех пор работой Академии, в соответствие с Уставом, руко-
водит Совет, состоящий из президента и трех вице-президентов,
избираемых на Генеральной ассамблее, проходящей, как правило,
во время очередного конгресса, а также непременного секретаря,
архивариуса, казначея и всех бывших президентов.
В состав Академии входят действительные члены, члены-кор-
респонденты, почетные члены (выбираемые из числа ученых, внес-
ших особый вклад в развитие истории науки, но профессионально
в ней не работающих). Все члены Академии избираются пожизнен-
но. МАЙН имеет свой печатный орган: первоначально это был
журнал «Архейон», а с ноября 1947 г. выходит новая серия этого
журнала—«Международный архив истории науки» (Archives
1) Работа выполнена при финансовой поддержке Российского гуманитарного па
умного фонда (код проекта №01-03-00259)
f ^.Токарева, А. И. Володарский
165
internationales d’histoire des sciences —Nouvelle serie d’Archeion)
[Цтаб-квартира Академии находится в Париже.
В выборах новых членов Академии принимают участие только
ее действительные члены. При выдвижении кандидатов в действи-
тельные члены и члены-корреспонденты МАЙН отсутствуют огра-
ничения на распределение квот по странам и специальностям, необ-
ходимыми являются анкета, заполненная кандидатом, и рекоменда-
ции двух действительных членов Академии из разных стран. Изб-
ранным считается кандидат, набравший больше половины голосов,
участвовавших в голосовании (по переписке) [1, с.29 —31, 34; 2].
20 — 25 мая 1929 г. в Париже состоялся I Международный кон-
гресс по истории науки, посвященный памяти французского исто-
рика математики Поля Таннери (1843—1904). На конгрессе был
создан ряд комиссий: по публикациям, по изучению истории араб-
ской науки, по библиографии, по транскрибированию научной тер-
минологии (для языков, не использующих латинский алфавит). А
также проведены выборы в Академию (первые —состоялись еще на
конгрессе в Осло). Членом-корреспондентом МАЙН от СССР был
избран математик и историк математики А.В.Васильев
(1853— 1929) [2]. Как видно из приводимого ниже списка в после-
дующие годы в состав Академии избирались многие отечественные
историки математики.
Действительные члены'.
А.П.Юшкевич (1960; чл.-корр. с 1956),
В.П.Зубов (1960; чл.-корр. с 1958),
И.Г.Башмакова (1971; чл.-корр. с 1967),
Б.А.Розенфельд (1978; чл.-корр. с 1971),
С.С.Демидов (1993; чл.-корр. с 1986),
Г.П.Матвиевская (1994; чл.-корр. с 1991),
О.Б.Шейнин (1994; чл.-корр. с 1988),
М.М.Рожанская (1997; чл.-корр. с 1991).
Члены-корреспонденты:
Г Б.Петросян (1965),
А-О.Гельфонд (1967),
И.Б.Погребысский (1967),
А-И.Володарский (1993).
Почетные члены:
А.Н.Колмогоров (1977),
И.З.Штокало (1978,чл.-корр. с 1965) [1].
Президентом МАЙН с 1965 по 1968 гг. являлся А.П.Юшкевич,
виЧе-президентом — С.С.Демидов (с 1997 —по настоящее время)
Почти 40 лет жизни Адольфа Павловича Юшкевича было свя-
зано с МАЙН. Его избрание членом-корреспондентом, действи-
тельным членом, наконец, президентом МАЙН (пока единствен-
ным из числа отечественных историков науки), а также присужде-
ние премии им. А.Койре свидетельствует о безусловном междуна-
родном признании его заслуг.
166 Из истории отечественной математищ
Не только для биографа Адольфа Павловича, но и для любого
российского историка математики не безынтересно знать: кто J
представлял его Международной академии?
Один из авторов этой публикации —А.И.Володарский, находясь
в 1997 году в научной командировке во Франции, задал этот вопрос
Рене Татону (Rene Taton, р.1915), который в 1955—1965 гг. был
заместителем непременного секретаря МАЙН, одновременно вы-
полняя обязанности генерального секретаря Международного сою-
за истории и философии науки. В ответ г-н Татон назвал имя чеш-
ского историка математики Гвидо Феттера (Quido Vetter,
1881 — 1960) и посоветовал обратиться к М.Илич (Miriana Ilic),
сотруднице Центра истории науки и техники им. Александра Кой-
ре, долгие годы работавшей в МАИНе. Мириана Илич любезно
откликнулась на просьбу, и вскоре ей удалось получить, при со-
действии нынешнего непременного секретаря МАЙН Эмманюэля
Пулля (Emmanuel Poulle, р. 1928), копии документов из «досье»
А.П.Юшкевича, хранящегося в архиве Академии, и предоставить
их авторам этого небольшого историографического расследования,
за что они чрезвычайно признательны и ей, и г-ну Э.Пуллю.
Присланные документы сопровождались запиской:
«Париж, 8 апреля 1997 г.
Уважаемый г-н Володарский,
Направляю ксерокопии (4 стр.) [документов], которые г-н
Пулль переслал мне; личная анкета А.П.Ю[шкевича] в его досье,
[хранящемся] в Международной академии истории науки отсутст-
вует.
С наилучшими пожеланиями Вашей семье и Вам
М.Илич»1-
Составленные на французском языке документы являются
«рекомендательными письмами» в связи с избранием Адольфа
Павловича в члены-корреспонденты (первый документ на 3-х лис-
тах) и действительные члены (второй —на 1 листе) Академии.
Первый документ.
«Коконин, 24 июля 1956 г.
Дорогой коллега2,
Многочисленные усилия наших добрых друзей, двух первых
непременных секретарей Академии, Миели3 и Серджеску4, были
направлены на то, чтобы придать работе Академии междунароД-
ный характер.
Число членов из славянских стран остается относительно ма-
лым5, и я являюсь единственным их представителем в Совете ака-
демии. Позвольте предложить, в качестве члена-корреспондента,
профессора Адольфа Павловича Юшкевича из Москвы.
T.A
Токарева, А. И Володарский
167
Для сведения прилагаю перевод статьи Маркушевича и Яновс-
кой6, которая появилась в одном из недавно вышедших номеров
журнала "Успехи математических наук” и перевод названий наи-
более важных работ профессора Юшкевича, опубликованных
по-русски.
Примите, дорогой коллега, выражения моего искреннего ува-
жения
Д-р Гвидо Феттер7,
Профессор Карлова университета, ЧСР.
Коконин (до 30 сентября 1956 г.), затем Прага.»8
Далее Г.Феттером прилагается (на 2-х листах) «Список основ-
ных работ, опубликованных Адольфом Павловичем Юшкевичем
(все по-русски)»9.
Документ свидетельствует, что кандидатура А.П.Юшкевича
для избрания его членом-корреспондентом МАЙН была выдвинута
одним из первых президентов Академии Г.Феттером10, но что еще
привлекает внимание исследователей в приводимой рекомендации,
так это то, что она помечена более поздним числом, нежели сооб-
щаемое МАЙН в качестве даты избрания.
Официальные издания Академии указывают, что окончательное
утверждение А.П. членом-корреспондентом состоялось 20 июля
1956 г. [1, с.65; 3, с.98], т.е. за четыре дня до составления рекомен-
дации. Что же касается отечественных источников, то «Математика
в СССР за сорок лет. 1917—1957» в этой связи приводит—1957 год
(5, с.797], а статья к семидесятилетию со дня рождения А.П.Юшке-
вича, опубликованная в «Успехах математических наук», называет
годом избрания—1958-ой. [6, с. 197]. За ответом на вопрос: «Когда
же действительно состоялось избрание А.П. членом-корреспонден-
том МАЙН?», мы обратились к эпистолярной части личного архива
Адольфа Павловича11, поразившей, кстати говоря, удивительным
Даже для историка порядком и сохранностью.
В переписке с немецким историком математики Куртом Фогелем
(1888—1985), опубликованной в 1997 году [7], есть благодарствен-
ный ответ А.П. (письмо от 1 декабря 1957 г.) на поздравления
К Фогеля (письмо от 16 ноября 1957 г.) в связи с избранием чле-
ном-корреспондентом МАЙН, правда, в издании сообщается, что это
письмо «утеряно» [7, с.67]. Среди «деловых писем» второй полови-
ны 50-х годов, хранящихся в архиве А.П., нам удалось его найти.
Письмо начинается словами:
♦Мюнхен, 16 ноября 1957 г.
Глубокоуважаемый г. коллега!
Я весьма благодарен за Ваше письмо от 26.10. [1957] с дру-
жескими поздравлениями по поводу моего избрания в “Леопольди-
НУ”12. Я должен эти поздравления переадресовать Вам, поскольку,
168 Из истории отечественной матсмат^
как сообщил мне г-н Бирман13, Вы избраны в Парижскую Акаде
мию [истории науки]. Вы эту честь действительно заслужили
[...]».“
Таким образом, если нижней временной гранью избрания А.П
является 24.07.1956 г. (рекомендация Г.Феттера), то верхней -
16.11.1957 г. (поздравление К.Фогеля)
Дальнейшее направление поиска определялось именем Гвидс
Феттера. А фактологическая основа —перепиской ученых15.
Приведем «письменный» диалог, состоявшийся в конце 1957
года, между Адольфом Павловичем и супругами Феттер.
А.П.Юшкевич:
«Москва, 25 ноября 1957 г.
Глубокоуважаемый и дорогой профессор!
X том “Ис^эрико-математических исследований” вышел в свет
и Г Ф Рыбкин уже направил Вам экземпляр Большая часть
тома посвящена Эйлеру , важное место занимает также перевод
китайского древнего классического трактата “Математика в 9 кни-
гах”1 . В дополнении к этому я имею честь послать Вам оттиск
моей статьи об Эйлере — текста доклада в Московском математи-
ческом обществе, а также краткую информацию об Эйлеровских
торжествах21.
Я получил еще в сентябре письмо от профессора] Койре, ко-
торый извещал меня об избрании членом-корреспондентом Между-
народной академии истории наук[и]. Мне неудобно было его спра
шивать, и я позволю себе спросить Вас (Вам это, вероятно, извест-
но): должен ли я получить какой-либо диплом? Является ли пись-
мо профессора] Койре окончательным извещением? Появятся ли
списки вновь избранных в Академию лиц в печати? Я думаю, что
Вас не затруднит ответить на эти вопросы, не обращаясь к
профессору] Койре, который, наверное, весьма занят.
И еще один вопрос, конфиденциального характера. Нам извес-
тно, что обсуждалась также кандидатура профессора] В.П.Зубо-
ва22. Выбран ли он? Может быть, его кандидатура не была вклю-
чена в списки для голосования?
Буду весьма признателен Вам за разъяснения по этим двум
вопросам
Готовый к Вашим услугам
[А.П. Юшкевич ] »23-
А.Феттерова:
«Прага, 10 декабря 1957 г.
Глубокоуважаемый профессор!
Мой муж, д-р Гвидо Феттер, который теперь в больнице, [по-
ручил] мне, чтобы я Вам сообщила его ответ.
, лТ£^а' А.И.Володарский
169
Прежде [всего] он благодарит [Вас] за Ваш отдельный оттиск
•Успехов математических наук”.
и Историко-математические исследования” он также получил и
когда возвратится домой, [то] перечитает все с большим интере-
сом У него анемия
[Далее], что касается этого диплома^4 и т.п., мой муж сказал,
чТо [его] прежде [получали] все новые члены. Мой муж также его
имеет. Но какая ситуация теперь, когда ЮНЕСКО2 финансирует
Академию, мой муж не знает Он думает, что именно проф[ессор]
Койре награждает дипломом.
Результаты [выборов в Академию должны] быть опубликова-
ны в “Archives international^ d’histoire des sciences’’26, но’ мой муж
еше не получил этот номер
Работы членов [Академии] могут быть опубликованы в
“Archives” , но также [и] отдельно, [если] ЮНЕСКО имеет для
этого деньги.
Проф[ессор] Койре даст Вам, наверное, [по] этим вопросам
[точную] информацию, пожалуйста, обратитесь прямо [к нему]
Мой муж [обращался ко] всем членам Академии, которых он
близко знает с просьбой, чтобы они отдали свои голоса Вам и
проф[ессору] Зубову.
Он [рад], что имел удачу в Вашем случае, и теперь он [инте-
ресуется], что случилось с кандидатурой профессора] Зубова
И [еще] я Вас прошу, многоуважаемый профессор, чтобы Вы
извинили мои ошибки. [Очень давно] я только приватно училась
русскому [языку]. Я уже старая, многое забыла.
С Рождеством и Новым годом поздравляет Вас от имени нас обоих
Анна Феттерова^.
А.П.Юшкевич:
«Москва, 23 декабря 1957 г.
Глубокоуважаемая госпожа Феттер[ова]!
Я очень благодарен Вам за письмо от 10.12. [1957], в котором
Вы полностью ответили на все мои вопросы. Только из этого пись-
ма узнал о болезни Вашего супруга. От всей души желаю ему ско-
рейшего выздоровления Надеюсь, что праздники он проводит уже
дома вместе с Вами.
Письмо от профессора] Койре получил, он также разрешил
некоторые вопросы относительно Международной академии исто-
рии наук[и].
Рад был узнать, что X выпуск 'Историко-математических ис-
следований" уже у Вас. Г.Ф.Рыбкин, наверное, уже писал что
статья Вашего супруга намечена к публикации в XI выпуске30.
Прошу Вас и профессора] Феттера принять мои Новогодние
поздравления и самые лучшие пожелания
[А. П. Юшкевич ]» 31.
170 Из истории отечественной математику
— _ - - - - - - - -
Из приведенных писем следует, что А. Копре в сентябре 1957
года сообщил А.П. об избрании членом-корреспондентом МАЙН
Чтобы окончательно установить дату избрания, мы обратились к
переписке Адольфа Павловича с Александром Койре того же перц_
ода, которую удалось извлечь из архива А.П.32
В официальном письме от 7 сентября 1957 г., написанном на
бланке непременного секретаря МАЙН, А.Койре сообщает об изб-
рании А.П. членом-корреспондентом Академии:
«Международная академия истории науки
улица Кольбера, 12, Париж-2
Непременный секретарь
Александр Койре
улица Наварре, 4
Париж-5
Париж, 7 сентября 1957 г.
Дорогой коллега,
Имею честь и удовольствие сообщить Вам, что по предложе-
нию Комитета по выборам, Международная академия истории нау-
ки избрала Вас членом-корреспондентом.
Поздравляя Вас с этим избранием, позвольте сообщить, что сог-
ласно Уставу академии выборы считаются окончательными только
после получения письменного согласия от вновь избранного.
Я буду Вам очень признателен, если Вы уведомите меня о ва-
шем согласии как можно скорее.
Примите, дорогой коллега, выражение моей искренней предан-
ности
Александр Койре.
P.S. Я буду Вам также признателен за предоставление в наш
архив библиографии Ваших работ и краткой биографии.»'1'’
Адольф Павлович «уведомил» А. Койре незамедлительно.
«Непременному секретарю
Международной академии истории наук[и]
Профессору А. Койре
Москва, 17 сентября 1957 г.
Глубокоуважаемый коллега,
Позвольте выразить Вам искреннюю благодарность за полу'
ченное мною сегодня сообщение о моем избрании членом-коррес-
пондентом Международной академии истории наук[и]. Принимая
это избрание, я высказываю вместе с тем глубокую признатель’
ность Академии за лестную оценку моих работ по история
Т д Токарева, А.И.Володарский
171
математики. Надеюсь, что мои дальнейшие исследования оправда-
ют честь, оказанную мне столь высокой научной организацией.
Одновременно отдельным письмом посылаю библиографию
моих работ и биографическую справку.
Примите, глубокоуважаемый коллега, заверение в моих пре-
данности и искренних чувствах
А.П. Юшкевич»34.
II на следующий день:
«Непременному секретарю
Международной академии истории наук[и]
Профессору А.Койре
Москва, 18 сентября 1957 г.
Глубокоуважаемый коллега,
В дополнение к отправленному вчера авиапочтой письму посы-
лаю, согласно Вашем}' указанию, список моих работ и (вместо ав-
тобиографии) небольшую заметку, опубликованную в прошлом
году35. Надеюсь, что она заменит автобиографию; в противном
случае я тотчас пошлю текст, который напишу сам [...]
[. .] Быть может, Вас не затруднит подтвердить получение
вчерашнего и сегодняшнего писем.
Прошу Вас принять мои наилучшие пожелания
А.П .Юшкевич»3^.
Однако «подтверждение» А.П. сразу не получил. И по про-
шествии месяца повторно обратился к Койре.
«Профессору А. Койре
Москва, 26 октября 1957 г.
Глубокоуважаемый коллега,
Перед моим отъездом в отпуск, на юг, я отправил Вам по ад-
ресу Академии истории наук[и] два письма от 17 и 18 сентября. В
первом я выразил благодарность Академии за избрание ее чле-
ном-корреспондентом, во втором — список работ и (печатные) биог-
рафические сведения о себе для архива Академии. Я не знаю до
сих пор, получили ли Вы эти письма и, тем самым, является ли
Мое избрание окончательным. Должен ли я получить, помимо Ва-
шего письма от 7 сентября, еще какое-либо подтверждение? Поз-
вольте заодно спросить, в каком издании я могу найти Устав ака-
демии? [...]
[...] Прошу Вас принять мои наилучшие пожелания
[Л. П. Юшкевич ] »37.
172
Из истории отечественной математщ^
И лишь письмом, датированным 15 ноября, Адольф Павлов^
извещается, что его «избрание считается состоявшимся»:
«Париж, /5 ноября 1957 г.
Дорогой коллега,
Извините, что я не ответил на Ваши письма от 17 и 18 сентября
Из-за того, что меня не было в Париже, я получил их одновременно.
Ваше избрание считается состоявшимся.
Устав академии и список ее членов был опубликован в “Меж-
дународном архиве истории науки”. В настоящий момент этот спи-
сок устарел.
Но мы подготовили новый список, и, разумеется, вышлем Вам
экземпляр. Я благодарю за присланные Ваши публикации.
Примите, дорогой коллега, заверения в наилучших чувствах
Александр Койре»®.
К сожалению, и в этом документе не указана точная дата изб-
рания. В апреле 1958 г. А.П., среди других вопросов, задает
А.Койре и такой: «какого числа состоялось мое избрание?»
«Профессору А.Койре
Москва. 11 апреля 1958 г.
Дорогой коллега,
Я позволю себе напомнить Вам, что Вы обещали выслать спи-
сок членов Международной академии истории наук[и]. Мы не зна-
ем полностью ее состав, а также результаты последних выборов.
Надеюсь, эта моя просьба не причинит Вам беспокойства. Разуме-
ется, она действительна, если существует готовый печатный список.
Лично я был бы признателен еще за сообщение, какого числа
состоялось мое избрание.
Нас живо интересует еще один вопрос: когда возобновится из-
дание “Архива”. Ни библиотека, ни подписчики не получают этого
журнала.
Собирает ли Международная академия истории наук[и] еже-
годные сведения о научной работе своих сочленов?
Прошу Вас принять мои лучшие пожелания
[А.П. Юшкевич] »39-
Только 20 апреля 1958 года непременный секретарь Академии
снимает все возникшие вопросы, связанные с датой избрания
Адольфа Павловича Юшкевича членом-корреспондентом МАЙН:
«Париж, 20 апреля 1958 г.
Дорогой коллега,
В настоящее время мы готовим [обновленный] список членов
Академии; к сожалению, мы не можем его опубликовать...
г д Токарева, А И . Во юдарскпи
173
Что касается “Архива”, то с его изданием у нас были дробле-
но через некоторое время [выход этого| издания возобновится,
М подписчики [хоть и с опозданием] получат номера.
" Датой Вашего избрания следует считать 1 сентября 1957 г.
С наилучшими чувствами и надеждой встретится в недалеком
будущем в Париже
Александр Койре»60.
Так устное свидетельство Рене Татона, документы МАЙН и
пичная переписка ученых позволили уточнить дату избрания А.П.
членом-корреспондентом Международной академии истории нау-
ки -1 сентября 1957 года.
Второй документ из архива МАЙН связан с избранием Адоль-
фа Павловича действительным членом Академии.
«Варшава, 28 июня 1958 г.
В Комитет по выборам 1958 г.
Международной академии истории науки
улица Кольбера,12
Париж
Нижеподписавшийся поддерживает предложение, сделанное
профессором Гвидо Феттером из Праги относительно кандидатуры
А.П.Юшкевича, члена-корреспондента МАЙН, по избранию его
действительным членом нашей Академии.
Александр Б иркенмайер4'. »42
Эта информация в какой-то мере была анонсирована в издан-
ном в 1995 г. письме Георгия Федоровича Рыбкина к Адольфу
Павловичу от 15 июля 1958: «Дорогой Адольф Павлович!.. Сегод-
ня был у Феттера и снял вопросы43. Мучили мы друг друга 6 ча-
сов.. Феттер... сообщил мне, что он выдвинул Вас (совместно с
каким-то немцем) в действительные члены Международной акаде-
мии истории науки...» [9, с.38 39]. Теперь становится ясно, что
♦каким-то немцем», поддержавшим выдвинутую Г.Феттером кан-
дидатуру А.П.Юшкевича, был поляк А.Бпркенмайер.
Вероятно, оглашение результатов выборов состоялось на засе-
даниях Генеральной ассамблеи Академии во время IX Междуна-
родного конгресса по истории науки (1—7 сентября 1959 г., Испа-
ния) На эту мысль наводит письмо А.Койре А.П.Юшкевичу от 23
сентября 1959 года.
*Чариж, 23 сентября 1959 г.
Дорогой коллега,
С удовольствием посылаю нижеприлагаемое содержание двух
аседаний [Генеральной ассамблеи] нашей Академии, которые
^°Шли: первое —в Барселоне, а второе в Мадриде во время IX
еждународного конгресса по истории науки. Новый список
174
Из истории псчсствспноп матсматцц
действительных членов и членов-корреспондентов будет Вам П0(,
лан, как только я получу результаты выборов, которые состоя
пись этой осенью.
С уважением
Александр Койре»4i
К сожалению «содержание двух заседаний», о котором гово-
рится в письме, в переписке не обнаружено.
Датой избрания А.П. действительным членом МАЙН считает-
ся 15 февраля 1960 года [1, с.56; 3, с.98]. Официальное сообщение
за подписью А.Койре об итогах выборов 1958—1959 гг. в Акаде-
мию храниться в личном архиве Адотьфа Павловича.
«Международная академия истории науки
улица Кольбера, 12
11ариж-2
Париж, 30 апреля 1960 г.
Дорогой коллега,
С удовольствием посылаю Вам окончательные результаты выбо-
ров в Международную академию истории науки за 1958 1959 годы.
В скором времени я вышлю Вам полный список действитель-
ных членов и членов-корреспондентов нашей Академии.
С искренним уважением
Непременный секретарь
А. Койре
P.S. Я буду Вам крайне признателен, если Вы до 15 июня
1960 г. вышлете на адрес Академии (улица Кольбера, 12, Па-
риж-2) Ваши предложения по кандидатурам (действительных чле-
нов и членов-корреспондентов) [для избрания] на предстоящих
выборах. Позвольте напомнить, что предложения сопровождаются
краткими биобиблиографическими справками, а для того, чтобы
они были приняты к рассмотрению, необходимы рекомендации
[кандидатов], составленные, по крайней мере, двумя [действитель-
ными] членами Академии из разных стран.
[Приложение]
Международная академия истории науки
улица Кольбера, 12, Париж-2
Результаты выборов (1958 - 1959)45
Избранные действительные члены:
Erwin ACKERKNECHT
Walter ARTELT
Georges CANGU1LHEM
Nicolai FIGUROVSKY
Kenneth FRANKLIN
Pierre HUARD
Raymond KLIBANSKY
Pedro LA1N-ENTRALGO
Henri MICHEL
Charles O’MALLEY
Giorgio de SANT1LLANA
Juan VERNET
Adolphe YUSHKEVICH
Vasilii ZUBOV
175
f .Токарева, А И Володарский
Zeljko MARKOVITCH
Muhammad NIZAMUDDIN
Frederick Noel POYNTER
Edward ROSEN
Johannes Gustav STEUDEL
Samuil SOBOL’
Jean THEODORIDES
William Persehouse WIGHTMAN
Harry WOOLF
Rudolph ZAUNICK
Избранные члены-корреспонденты:
Marie Th6r&e d’ALVERNY
Luigi BELLONI
Marie BOAS
Mario Ulysses DIAS
Jean FILLIOZAT
Joachim Otto FLECKENSTEIN
Frederick] William GIBBS
Ashot GRIGOR’YAN
Jfoseph] Efhrenfried] HOFMANN
Pearl KIBRE
[Boris] KUZNETSOV.»46
В августе 1965 г. на проходящем XI Международном конгрессе
по истории науки (24 — 31 августа, Польша) Адольф Павлович был
избран президентом МАЙН. На посту президента Академии
А.П.Юшкевич выступил инициатором многих начинаний, в частнос-
ти, при его деятельном участии были учреждены (1966) награды
Академии — медаль Александра Койре «За выдающиеся научные ра-
боты по истории науки» и премия молодым историкам науки
Вот, кажется и все, что можно было вкратце сообщить об обсто-
ятельствах избрания в Международную академию истории науки
одного из основателей советской историко-математической школы и
неизменного редактора ее старейшего периодического издания -
«Историко-математических исследований» В год 95-летия со дня
его рождения особенно заметно, что впервые приводимые здесь до-
кументы уже давно и без вмешательства историков стали достояни-
ем истории, перейдя из разряда личных, в категорию историко-ма-
тематических. Возможно, это является еще одним свидетельством
вклада Адольфа Павловича Юшкевича в развитие не знающей гра-
ниц мировой математической культуры и его места в ней.
i Примечания
^ОД7Ь,Й аРхив А И.Володарского. Письмо М.Илич А. И Володарскому (8 апреля
г Париж). Беловой автограф на французском языке <1 л ) Бланк Центра ис
2 °РИИ науки и техники им А.Койре Перевод Публикуется впервые.
соответствии с правилами о выборах в МАНН рекомендации кандидатов для изб-
рания направляются на имя непременного секретаря [1, с.4]. С 1955 по 1964 гг. пе-
ременным секретарем Академии (после А.Миели и П.Ссрджсску) был Александр
койре (Alexandre Коуге, 1892-1964)-выходец из России, французский историк
математики и механики, действительный член МАЙН с 1952 г. [3, с.124]
ЛльдоМиели (Aldo Mieli, 1879- 1950)-итальянский историк науки; первый действите-
4 льныи член МАЙН с 1928 г.; непременный секретарь Академии (1929 -1950) [3. с.129]
етрс Ссрджеску (Pierre Sergescu, 1893-1954) -румынский математик и историк
™Уки; действительный член МАЙН с 1935 г.; вице-президент (1937- 1947), прези-
5 лент (1947-1950), непременный секретарь Академии (1950-1954) [3. с 140].
а момент написания документа в состав МАЙН входили 8 представителей славян-
с*<их стран
Биркенмайер А. (действительный член, Польша),
Риисвецкий Б. (член-корреспондент, Польша).
киков К.М (член-корреспондент, СССР),
176 Из истории отечественной математцЛ
Коштоянц Х.С. (член-корреспондент, СССР).
Струве В.В. (член-корреспондент, СССР)
Мильбауэр Я. (член-корреспондент, Чехословакия).
Немец Б. (действительный член, Чехословакия),
Феттер Г. (действительный член, Чехословакия) [3]
6 Имеется в виду статья, написанная А.И.Маркушевичем и С.А.Яновской к пятидеся.
тилетию со дня рождения А.П.Юшкевича [4]. В присланных М.Илич материалу
перевод статьи отсутствует. Заметим, что уже к началу 1957 г. Г.Феттером бЬ11
опубликован перевод этой статьи в чешском журнале «Успехи математики, физики
и астрономии», о чем он сообщил А.П.Юшкевичу:
•Прага, 17 января /957 г.
Уважаемый и дорогой коллега!
Позвольте обратить Ваше внимание на опубликованный мною в журнале "Успехи
математики, физики и астрономии”, вып.1, с.449 — 450 перевод статьи А.Маркуше-
вича и С.Яновской в связи с Вашим 50-летним юбилеем. К сожалению, оттиск, лаже
контрольный экземпляр, достать нс смог п поэтому нс в состоянии его выслать
(...]». (Личный архив А.П. Юшкевича. Из открытого письма Г.Феттера А.П. Юшке-
вичу (17 января 1957 г.. Прага). Беловой автограф па чешском языке (1 л.). Пере-
вод. Публикуется впервые.)
В ответ (8 марта 1957 г.) А. П.Юшкевич благодарит «за внимание и за перевод замет-
ки, написанной А.Маркушсвичем и С.Яновской» и сообщает, «что список работ, на-
печатанный в “Успехах", далеко не полон, в пего многое не включили» (Личный ар-
хив А.П.Юшкевича. Из письма А.П.Юшкевича Г.Фсттеру (8 марта 1957 г., Москва).
Отпуск, машинописный текст на русском языке (1 л ), снабженная рукописной поме-
той А.П.Юшкевича в левом верхнем углу— «Феттеру». Публикуется впервые.)
7 Гвидо (Кидо) Феттер (Quido Vetter, 1881 — I960) —действительный член МАЙН с
1933 г.; президент Академии (1934 — 1937) [3, с.1481.
8 Archive de I'Academie internationale d'histoirc des sciences. Dossier de A.P.Yushke-
vich. (Архив Международной академии истории науки. Личное дело А.П.Юшкеви-
ча) Письмо Г Феттера [непременному секретарю МАЙН А.Койре] (24 июля 1956
г., Кокопин) с приложением. Машинописный подлинник па французском языке (3
л.). Подпись автограф. Перевод ксерокопии документа. Публикуется впервые.
9 Нет нужды приводить здесь «Список основных работ А.П.Юшкевича», т.к. Г.Фет-
тером «прилагается» перевод списка, опубликованного в [4]
10 Кто был вторым «рекомендателем» А.П.Юшкевича для избрания в члены-коррес-
понденты МАЙН пока установить не удалось. Возможно, кандидатуру поддержал
сам А. Койре.
11 Личный архив Адольфа Павловича Юшкевича (о котором уже упоминалось в примеча-
нии 6) хранится в секторе истории математики Института истории естествознания и
техники им. С.И.Вавилова РАН. Архив находится в россыпи, поэтому мы приводим
необходимые контрольно-справочные сведения о каждом из цитируемых документов.
12 «Леопольлипа» — Германская академия естествоиспытателей в г.Галле
13 Курт Бирман (Kurt-Reinhard Bicrmann, р.1919) —немецкий историк математики:
действительный член «Лсонольдины»; действительный член МАЙН с 1971 г.
14 Личный архив А.П.Юшкевича. Из письма К.Фогеля А.П.Юшкевичу (16 ноября
1957 г., Мюнхен). Беловой автограф па немецком языке (1 л.). Перевод. Публику'
ется впервые
15 Переписка А.П.Юшкевича и Г.Феттера 1956— 1960 гг. насчитывает 45 писем: 24 пи-
сьма, написанные Феттером (20 по-чешски и 1 по-французски) или по его просьбе
женой. Анной Фсттеровой (3 письма на русском языке) и 21 копию писем Юшкеви-
ча (по-русски)
,6 Георгий Федорович Рыбкин (1903 —1972) —директор Государственного издательст
ва технико-теоретической литературы: вместе с А.П.Юшкевичем основал сборник
«Историко-математические исследования», был соредактором первых семнадцати
выпусков ИМИ
А Токарева, А. И Володарский
177
|7 Историко математические исследования. И., 1957. Вып.Х.
,8 R том числе в сборнике была опубликована статья А П. Юшкевича «Леонард Эйлер о
квадратуре круга» // Историко-математические исследования. М., 1957. Вып.Х.
С 159-210.
^ХуаЛо Гэн. Предисловия к русскому изданию «Математики в девяти книгах» //
Историко-математические исследования. М„ 1957. Вып.Х. С.425 — 426;
Березкина Э.И. О «Математике в девяти книгах» / / Историко-математические ис-
следования. М., 1957. Вып.Х. С.427 — 438;
Математика в девяти книгах ' Перевод с китайского Э. И. Березкиной //Истори-
ко-математические исследования. М., 1957. Вып.Х. С.439 — 513;
Березкина ЭИ Примечания к «Математике в девяти книгах» / / Историко-мате-
матические исследования. М., 1957. Вып.Х. С.514 —584.
20 Юшкевич А П. Жизнь и математическое творчество Леонарда Эйлера / / Успехи
математических наук. 1957. T.X1I. Вып.4(76). С.3 — 28.
21 Юшкевич А.П. Эйлсровскис юбилейные торжества в СССР и ГЛР / / Успехи мате-
матических наук. 1957 Т.ХП. Вып 4(76) С.223-225.
22 Василий Павлович Зубов (1899 —1963) —советский историк науки, исследователь
древнерусской математики, а также математики и механики раннего западноевро-
пейского средневековья; член-корреспондент МАЙН с 1958 г , действительный
член Академии с 1960 г. [3, с.152]
23 Личный архив А.П.Юшкевича. Письмо А.П.Юшкевича Г Феттеру (25 ноября
1957 г., Москва). Отпуск, машинописный текст на русском языке. Публикуется
впервые
24 Речь идет о дипломе МАЙН, который вручается всем вновь избранным действитель-
ным членам и членам корреспондентам Академии
25 ЮНЕСКО (United Nations Educational, Scientific and Cultural Organization) — Ор-
ганизация Объединенных Наций по вопросам образования, науки и культуры (су-
ществует с 1946 г.)
26 Журнал «Международный архив истории науки».
27 В 1957 году результаты опубликованы не были Это становится ясно из писем
А Койре приведенных далее.
28 См. примечание 26
29 Письмо А Феттеровой, написанное по русски, приводится лишь с незначительной
правкой, в виду того, что для автора русский язык являлся иностранным. Слова, за-
ключенные в квадратные скобки, в ряде случаев добавлены нами, а иногда являются
вынужденными смысловыми эквивалентами. (Личный архив А.П.Юшкевича. Пи-
сьмо А. Феттеровой А II Юшкевичу (10 декабря 1957 г. Прага). Беловой автограф
на русском языке (3 л ). Публикуется впервые.)
30 Речь идет о статье Г Феттера « Краткий обзор развития математики в чешских зем-
лях до Белогорской битвы» [8].
31 Личный архив А.П.Юшкевича. Письмо А.П. Юшкевича А.Феттеровой (23 декабря
1957 г , Москва). Отпуск, машинописный текст на русском языке (1л). Публику-
ется впервые.
32 Переписка А.П.Юшкевича и А.Койре 1957 — 1960 гг. насчитывает 26 писем: 13 пи-
сем Койре (12 на французском и одно на русском языках) и 13 копий писем Юшке-
вича (по-русски).
В одном из первых писем А.П обращается к Койре:
«Москва, / июня 1957 г.
I ] Пишу Вам по-русски, т.к. ироф[ессор] [Р ] Татон как то сообщил мне что Вы
свободно читаете на русском языке, а мне легче писать на родном языке Француз-
ский я понимаю хорошо, но пишу —плохо. г 3
Готовый к вашим услугам
(А. П. Юшкевич].
178
Из истории отечественной математик
(Личный архив А.П.Юшкевича. Из письма А.П.Юшкевича А.Койре (4 и
1957 г., Москва). Отпуск, машинописный текст на русском языке (1 л.). ПублИ|!1в
ется впервые.) Ответное письмо А.Койре было написано по-русски (пока едкие}
венное из найденных).
33 Личный архив А.П.Юшкевича. Письмо А.Койре А.П.Юшкевичу (7 сентября
1957 г., Париж). Машинописный подлинник на французском языке (1 л.). Под.
пись-автограф. Бланк непременного секретаря Международной академии истории
науки. Перевод. Публикуется впервые.
34 Личный архив А.П.Юшкевича. Письмо А.П.Юшкевича А.Койре (17 сентября
1957 г., Москва). Отпуск, машинописный текст на русском языке (1 л.). Публику-
ется впервые.
35 Имеется в виду статья [4]. Быть может, это объяснят тот факт что «личная анкета
А.П.Ю[шкевича] в его досье, [хранящемся] в Международной академии истории
науки отсутствует» (см. примечание 1).
36 Личный архив А.П.Юшкевича. Из письма А.П.Юшкевича А.Койре (18 сентября
1957 г., Москва). Отпуск, машинописный текст на русском языке (1 л.). Публику-
ется впервые.
37 Личный архив А.П.Юшкевича. Из письма А.П.Юшкевича А.Койре (26 октября
1957 г., Москва). Отпуск, машинописный текст на русском языке (1 л.). Публику-
ется впервые.
38 Личный архив А.П.Юшкевича. Письмо А.Койре А.П.Юшкевичу (15 ноября 1957 г.,
Париж). Беловой автограф на французском языке (1 л.). Бланк непременного сек-
ретаря Международной академии истории науки. Перевод. Публикуется впервые.
39 Личный архив А.П.Юшкевича. Письмо А.П.Юшкевича А.Койре (11 апреля 1958г.,
Москва). Отпуск, машинописный текст на русском языке (1 л.). Публикуется впер-
вые.
40 Личный архив А.П.Юшкевича. Письмо А.Койре А.П.Юшкевичу (20 апреля 1958 г.,
Париж). Беловой автограф на французском языке (1 л.). Бланк непременного сек-
ретаря Международной академии истории науки. Перевод. Публикуется впервые
41 Александр Биркенмайер (Alexander Birkenmajer, 1890—1967) —польский историк
науки, директор Ягеллонской библиотеки в Кракове, профессор Варшавского уни-
верситета, действительный член МАЙН с 1947 г.; вице-президент Академии
(1959-1965) [3, с. 104]
42 Archive de I’Academie internationale d’histoire des sciences. Dossier de A.P.Yushke-
vich. (Архив Международной академии истории науки. Личное дело А.П.Юшкеви-
ча). Письмо А.Биркенмайера в Комитет по выборам 1958 г. Международной акаде-
мии истории науки (28 июня 1958 г., Варшава). Беловой автограф на французском
языке (1 л.). Перевод ксерокопии документа. Публикуется впервые.
43 В письме к Г.Феттеру от 2 июля 1958 г. А.П.Юшкевич уже предварял встречу с
Г.Ф. Рыбкиным.
«Глубокоуважаемый и дорогой коллега!
[...] XI выпуск “Историко-математических исследований" с Вашей статьей по исто-
рии математики в Чехословакии пошел в печать [8]. Впрочем, Вы это уже знаете, ве-
роятно, от Г.Ф.Рыбкина, который сейчас находится в Праге. Он должен решить с
Вами несколько небольших вопросов по статье; поправки, если понадобится, будут
сделаны в корректуре.
Я был очень рад узнать, что проф[ессор] Зубов баллотируется в члены-корреспон-
денты Академии истории наук[и] и надеюсь, что его научные заслуги будут прави-
льно оценены ее действительными членами. Все же следует сказать, что советские
историки науки представлены в Академии слишком мало даже среди членов-коррес-
пондентов. Я не говорю уже о том, что их нет среди действительных членов: это явно
несправедливо [...]» (Личный архив А.П.Юшкевича. Из письма А.П.Юшкевича
Г.Фетте’ру (2 июля 1958 г., Москва). Отпуск, машинописный текст на русском язЫ'
ке (1 л.). Публикуется впервые.)
44 Личный архив А.П.Юшкевича. Письмо А.Койре А.П.Юшкевичу (23 сентября
1959 г., Париж). Машинописный подлинник на французском языке (1 л.)-
179
0БД11ейни»
П ппись-автограф. Бланк непременного секретаря Международной академии исто-
ми науки. Перевод. Публикуется впервые
<5 Далее прилагается список избранных в МАЙН действительных членов и членов
корреспондентов, перевод которого мы не даем сознательно, чтобы избежать разно-
чтения фамилий.
д; дичиый архив А.П.Юшкевича. Письмо А.Койре А.П.Юшкевичу (30 апреля 1960 г.,
Париж) с приложением. Незаверенная копия на французском языке (2 л.). Бланк
непременного секретаря Международной академии истории науки. Перевод. Пуб-
ликуется впервые.
а Одним из первых медалью им. Александра Койре в 1971 году был награжден
А.П.Юшкевич, вместе с И.З.Штокало и А.Н.Боголюбовым за четырехтомную «Ис-
торию отечественной математики» (Киев, 1966—1970). А победителем первого кон-
курса молодых ученых в 1968 г. стал С.С. Демидов [3, с.29].
Список литературы
1. The Directory of the International Academy of the History of Science / / Archives
internationales d’hi toire des sciences Ed by R.Halleux. 1993. Vol.43. №130.
2. Володарский А. И. Международные конгрессы по истории науки / / Вопросы ис-
тории естествознания и техники. 1989. №4. С.55 —66.
3. The Directory of the International Academy of the History of Science / Ed. by
J.D.North. Roma, 1985.
4. Маркушевич А.И., Яновская С.А. Адольф Павлович Юшкевич (к пятидесятиле-
тию со дня рождения) // Успехи математических наук. 1956. T.XI. Вып.4(70).
С. 197 - 200.
5. Адольф Павлович Юшкевич / Математика в СССР за сорок лет. 1917 —1957 /
Гл. ред. А Г.Курош. М., 1959. Т.2. С.797-798.
6. Башмакова И.Г., Григорьян А. Т., Колмогоров А. Н., Маркушевич А.И., Медведев Ф.А.,
Розенфельд Б.А. Адольф Павлович Юшкевич (к семидесятилетию со дня рожде-
ния) /' Успехи математических наук. 1977. T.XXXII. Вып.3(195). С.197 —202.
7 Юшкевич А.П., Фогель К. История математики без границ. М., 1997.
8. Феттер Г. Краткий обзор развития математики в чешских землях до Белогорской
битвы / Историко-математические исследования. М., 1958. Вып.XI.
С.461-514.
9. Письма Г.Ф.Рыбкина А.П.Юшкевичу / Публикация и примечания С.С.Демидова
и Т.А.Токаревой / / Историко-математические исследования. Вторая серия. М.,
1995. Вып.1(36). №1. С.27 — 39.
СТАТИСТИКА И ИДЕОЛОГИЯ В СССР
О.Б.Шейнин
1. Введение
1.1. В.И.Ленин. В дореволюционной России региональная
экономика (особенно сельское хозяйство) изучалась земскими ста-
тистиками. Они полагали, что крестьянство представляло собой
единое сословие, тогда как Ленин [1] выделял в нем кулаков, се-
редняков и бедняков. Соответственно с этим, статистика в СССР
была объявлена социальной дисциплиной. Никто не вспоминал,
что по крайней мере со второй половины XIX века статистики
180
Из истории отечественной математи
считали себя обязанными изучать собранные материалы и выЯв
лять в них закономерности и группировки, т.е. играть актива
роль в социологии. И уж конечно советские специалисты не заме
тили у вождя ни «вводящего в заблуждение применения средних»
ни «тенденциозного применения статистики» [2, с.84 —85 и 78].
Философские взгляды Ленина [3, с. 190 и 274] также косвенно
повредили статистике. Он назвал К.Пирсона «добросовестным и
честным врагом материализма» и «одним из самых последователь-
ных и ясных махистов», и советские статистики с порога отвергли
статистические исследования английского ученого. О стремлении
А-А.Чупрова [4, с.224] объединить континентальную школу ста-
тистики с английской биометрией не вспоминали.
1.2. Несколько спокойных лет. Впрочем, несколько лет россий-
ские/советские статистики могли работать так же как и до 1917 г
С.С.Жаркович заключил, что в начале 1930-х годов российская ста-
тистика находилась «наравне с лучшими в других странах» [5, с.336]
и С.Котц [6, с. 134] согласился с этим мнением. Н.Ясный заявил, что
«в годы НЭПа государственная статистика [СССР О.Ш.] достиг-
ла высокого уровня и заняла почетное положение,— только затем,
чтобы быть обращенной в рабство» [7, с.1].
Фактически счастливый период закончился в 1927 г. (см.
п.2.1), притом до 1922 г. положение было очень тяжелым. Не су-
ществовало даже важнейших статистических данных, а 33 статис-
тика из числа мобилизованных для проведения местных переписей
погибло [8, с.358]. Более того, статистики часто сталкивались с
«непреодолимыми трудностями, вызванными прогрессирующей
разрухой...» [8].
1.3. Утопия. С 1927 г. начало ощущаться приближение «года
великого перелома» с выкорчевыванием кулачества и потерями
для страны в целом. «Уровень открытости и гласности» в статис-
тике заметно понизился, а научная критика переродилась в опас-
ные политические обвинения [9, с.53], и многие статистики были
репрессированы. В некоторых важных областях статистические ис-
следования были просто запрещены. Зачем изучать преступность,
ведь она скоро исчезнет. Проституция? Ее вообще больше нет [101-
Наркомания? Признана сквозь зубы с опозданием на несколько Де'
сятилетий.
Да и в «открытых» областях статистика стала ненадежной.
Приписки в промышленности стали повсеместным явлением, а мас-
совые манипуляции со стоимостью оторвали финансовые отчеты оТ
физических показателей выпуска продукции (В.Селюнин и Г.Ха-
нин [11, с. 188]). Эти же авторы сообщают, что уже в 1926 г. (СР
п.1-2) Ф.Э. Дзержинский [12] в качестве председателя ВСН^С наз-
вал цифры промышленной статистики «фантастическими» . Что
уж говорить о дальнейших событиях.
В 1952 г. урожай зерновых составил по официальным данным
130 млн. тонн, фактически же, как позднее указал Н.С.Хрущев’
181
оБДИейн™
33°О меньше. В.Н.Старовский [13, с. 13] разъяснил, что учиты-
НЭ га лишь биологический урожай2. «Обширная достоверная ста-
ВЭ тика была не нужна, более того, — опасна», заявил впоследст-
т’ д Орлов [15, с.67]. Он продолжил: не требовалось ни изучать
В тнок ни повышать качество товаров, ни внедрять современные
статистические методы, —ибо все статистические исследования
были монополизированы. К тому же, официальная идеология пре-
пятствовала правильному пониманию роли случайности (ср. п.4.1
и п.6). В конце-концов появилось даже предложение [16] подчи-
нить статистическую службу Верховному Совету, который, однако,
не имел никакой реальной власти. Состояние статистики привело к
тому, что важнейшие государственные задачи не только не реша-
лись, но порой и не осознавались (см. п.5 и 6). Свежие мысли ста-
ли достоянием гласности с 1989 г., (см., например, дискуссию о
статистике и перестройке в журнале «Экономика и математические
методы» №5 за 1989 год).
1.4. Математическая статистика. В 1948 или в 1949 г. У.Фел-
лер в частном письме заявил, что «в России практически нет ста-
тистики; удивительно, что страна, столь сильная в теории вероят-
ностей не внесла практически никакого вклада в математическую
статистику. Очевидно, что политический климат [там. — О.Ш. ]
весьма неблагоприятен для этого типа приложений [теории вероят-
ностей. -О.Ш. ]» [17, с. 170].
Мнение Феллера было не совсем верно. Советской школы ма-
тематической статистики действительно не было, но В.И.Романовс-
кий продолжал чупровскую традицию объединения двух направле-
ний статистики (см. п.1.1), хотя ему и пришлось в 1948 г. пока-
яться в своих прегрешениях (см. п.2.3)3. Вообще же о советских
Достижениях того времени можно судить по учебнику Б.В.Гнеден-
ко (18, гл.11]. Примечательно, однако, что автор очень скупо упо-
чянул зарубежных математиков и что лишь один из его примеров
касался приложения статистики, притом всего лишь безобидного
статистического контроля качества продукции. В последующих из-
даниях своей книги Гнеденко по сути не изменил этой главы.
2. Вредители
2.1. А.А.Чупров и его ученики. Незадолго до октября 1917 г.
крупнейший русский статистик А.А.Чупров выехал на несколько
Месяцев из страны, но так и не вернулся. По крайней мере трое из
ег° бывших учеников (наряду с десятками, если не сотнями других
статистиков) были репрессированы. Н.С.Четвериков провел четы-
19чв0Да в заключении (видимо, в 1931 — 1935 гг.), а в 1937 или
г. был вновь репрессирован [19]. В.И.Хотимский «математи-
ески очень талантливый и политически весьма левый» (О.Андер-
он [20, с.295]) был арестован в 1937 г. «и вскоре его не стало»
• с. 132]. Б.И.Карпенко был арестован в 1938 г. и пробыл в
182 Из истории отечественной математик^
ссылке до 1943 г. [22]. А вот свидетельство того же Андерсона
также ученика Чупрова, эмигрировавшего в 1920 г.: «я мог бы пе'
речислить целый ряд раннее весьма ценимых в России статистиков
и многих подававших надежды более молодых учеников... Чупр0.
ва, чьи имена после 1930 г. внезапно полностью исчезли из советс-
ко-российской научной литературы» [20, с.294].
Сравним это высказывание с более ранними словами самого
Чупрова: «выдающиеся статистические силы, ...среди которых я
нахожу некоторых из своих лучших учеников, связаны с ним
[Центральным статистическим управлением России; далее
ЦСУ.-О.Ш.}* [8, с.358].
2.2. Вакханалия. Бывшие земские статистики (например,
В.Г.Громан, см. ниже) оказались идеологически сомнительными4 и
вряд ли можно сомневаться в том, что многие из них попали в чис-
ло внезапно исчезнувших (см. п.2.1). Разгромлена была и группа
самых выдающихся экономистов Конъюнктурного института,
вплотную соприкасавшихся со статистикой. Еще в 1926 г. дирек-
тор этого учреждения Н.Д.Кондратьев предложил А.А.Чупрову
вернуться на родину, обещав ему работу в своем Институте. Это
приглашение передал Чупрову Н.С.Четвериков, помощник Конд-
ратьева. В своем письме он указал, что «никакого малейшего наси-
лия над исследовательской совестью нет» и что сотрудники инсти-
тута «от всей души работают над самыми мучительными подчас за-
даниями» [25, с. 16].
Чупров, однако, был уже серьезно болен (а может быть и не
успел получить это сообщение). Воспользуйся он приглашением
Кондратьева, он бы наверное погиб как многие другие выдающие-
ся ученые. Сам Четвериков предупреждал Чупрова, что обстанов-
ка в стране не совсем ясна. И действительно: Кондратьева вскоре
вытеснили из науки, арестовали (1931), а затем и расстрелял»
(1938) [26].
К концу 1920-х годов подросло новое поколение статистиков.
Многие из них имели лишь смутное представление о своем деле,
но все они неукоснительно следовали линии партии и изо всех си-
ленок выявляли «вредителей». Открывая конференцию о «плано-
вом вредительстве», преследовательница «буржуазной статистики»
Мария Натановна Смит-Фалькнер (Смит) заявила, что старые спе-
циалисты вредительствовали, поскольку новые кадры еще не ок-
репли. В своем заключительном слове она призвала присутствую-
щих «сделаться ОГПУ научной мысли в области статистики и в ее
применении к планированию» [27, с.168]5.
Другим идейным сторонником ОГПУ был Б.С.Ястремский
[27, с. 153]. Заслуженно (и даже недостаточно) критикуя уже арес-
тованного В.Г.Громана, бывшего председателя Госплана6, он также
заявил, что «дело было не только в методологии». Неудивительно,
что Ястремский упомянул и Д.Ф.Егорова, оставив, кажется, самое
пБЛЦсйнин
183
подробное свидетельство крамолы этого выдающегося математика:
4 Мне недавно пришлось слушать на заседании Совета института
математики и механики речь проф. Егорова, тогда еще не разобла-
ченного вредителя. Он выступал со своего рода программной
речью и так горячо, со слезой даже в голосе, сказал: “что вы там
толкуете о вредительстве... худших вредителей чем вы, товарищи,
нет ибо вы своей пропагандой марксизма стандартизируете мыш-
ление...”» [27, с. 153].
Но наибольшую прыть высказали авторы первого (притом эле-
ментарного) советского учебника по статистике. В своем предисло-
вии они объявили математику служанкой буржуазной науки и наз-
вали Н.Д.Кондратьева и других арестованных экономистов лакея-
ми буржуазии и французскими шпионами [30. 2-е изд., 1931 ]7.
2.3. Не математика, а политэкономия. Итак, не математика, а
марксистская политэкономия должна быть основой статистики. Так
прямо и заявил Л.Бранд [32, с.234] и многие авторы (см., напри-
мер, [33, с. И — 16]) перепевали это утверждение вплоть до середи-
ны 1970-х годов, а его рецидивы встречались еще совсем недавно
[34, с.36]. И еще до Бранда А.Я.Боярский с соавторами заявил,
что роль статистики «сводится лишь к измерению закономернос-
тей, раскрытых специфическим анализом данной дисциплины»
[марксистским анализом. — О.Ш.] [30, 1-е изд., 1930, с.4].
Аналогичные мысли высказали В.Н.Старовский [35, с.280] и
(через полсотни лет!) М.Р.Эйдельман [36]. В.И.Хотимский, кото-
рый, правда, отметил, что «нельзя больше терпеть невероятную
неграмотность... экономистов и обществоведов в области математи-
ки»8, был, кажется того же мнения: «Буржуазная экономическая
наука широко использует математическую трактовку для придания
видимости доброкачественной науки своим лжетеориям» [27,
с.149]. Чего же тогда можно было ожидать от М.Смит? Вот ее отк-
ровения: математическая статистика не может быть основой эконо-
мической статистики ибо требуется еще предварительный качест-
венный анализ, а теория вероятностей неспособна описывать мас-
совые общественные процессы, поскольку она исходит из понятия
равновероятности, которой в плановом обществе не существует
[37, с.218 —222]9. Далее следовало ее вульгарнейшее утверждение:
система кривых Пирсона неприемлема, главным образом потому,
что в ее основе «лежит фетишизм числа и... классификация их
построена только математически. Хотя Пирсон не так свирепо хо-
чет подчинить весь реальный мир одной единой кривой распреде-
ления, как это делал... Гаус [Так в тексте. — О.Ш.].., но его систе-
ма покоится все же только на математической базе, на которой во-
обще нельзя изучать конкретный мир» [37, с.227 —228].
В 1939 г. ее избрали членом-корреспондентом АН СССР. Осо-
бую неприязнь вызывала чисто математическая теория устойчивос-
ти статистических рядов, среди основных авторов которой были
184 Из истории отечественной математики
В.И.Борткевич, А.А.Марков и А.А.Чупров. Боярский и др. заяви-
ли по этому поводу, что «сознание полной беспомощности застави-
ло буржуазных ученых искать опасения в применении математи-
ческих методов» [30, 1-е изд., 1930, с.4 —5], ср. выше10.
В.Н.Старовский высказался еще резче: теоретики буржуазной
статистики (к которым он приплел и Чупрова) пытались мол дока-
зать незыблемость и неизменность капитализма и устойчивость его
законов [35, с.280]11. Много позднее он упомянул «антинаучную
сущность» теорий В.Лексиса и Пирсона [40, с.15]. Аналогичную
позицию занимал Л.Бранд [32, с.234], который заявил, что «вре-
дители» продолжали дело таких «типичных идеологов буржуазии»
как И.П.Зюссмильх и А. Кет ле.
В 1948 г. преследование буржуазной идеологии, а заодно и ан-
гло-американской школы математической статистики возобнови-
лось в ходе кампании против «космополитизма». Тогда же конфе-
ренция по этой дисциплине осудила факты «раболепия и низко-
поклонства перед иностранщиной», с тревогой отметила, что
«иногда пропагандировались и применялись методы буржуазной
статистики» и с удовлетворением приняла к сведению, что В.И.Ро-
мановский признал «идеологические ошибки, допущенные им в не-
которых ранних работах» [41, с.314]12.
Математические или даже чисто статистические исследования
экономических проблем отвергались, если их результаты не соот-
ветствовали партийным установкам. Вот два примера, снова из
1930-х годов.
1. А.Я.Боярский [27, с. 160] раскритиковал выводы В.Базаро-
ва (В.А.Руднева), изобличенного «врага народа». Базаров соста-
вил и решил дифференциальное уравнение, описывающее рост на-
ционального промышленного производства. Частные решения этого
уравнения асимптотически приближались к «горизонтальным»
прямым и Боярскому следовало либо согласиться с тем, что про-
мышленный рост замедлится, либо проверить предпосылки База-
рова. Вместо этого он заявил, что тот подготавливал «капиталисти-
ческую реставрацию». Кроме того, приведенный Боярским график
одного из частных решений не соответствовал его аналитическому
выражению, а утверждение Боярского [27. с. 163] о том, что пря-
мая относится к «линиям с затухающим темпом», непонятно.
2. В 1935 г. ЦК ВКП(б) постановил [43], что статистические
нормы выработки в промышленности тормозят технический прог-
ресс. А как же иначе? Ведь стахановцы начали в то время многок-
ратно перекрывать нормы. Неясно, впрочем, почему технический
персонал не замечал громадных резервов; и как случилось, что ве-
ликие достижения не нарушили экономических балансов?
Отказ от статистически обоснованных норм означал, что и во-
обще понятие средней выработки теряло смысл,—и так оно и было
заявлено [39, с.120]. Это и подобные высказывания [44, c.H’J
фактически обосновывали волюнтаризм в планировании.
0 в. Щеинин 185
Тезис о подчиненном положении статистики вовсе не был об-
щепризнанным. Еще в первой половине XIX в. [45, с.29 —31] не-
которые статистики (Т.Ф.Степанов, 1831; К.С.Веселовский, 1847)
полагали, что она равноправна с политэкономией, а И.И.Срезневс-
кий (1839) заявил, что статистика может сосуществовать самостоя-
тельно.
В 1926 г. Н.Осинский13 выступил против того, чтобы статисти-
ка подтверждала «предустановленные политические выводы» [9,
с.54; точная ссылка отсутствует.—О.Ш.], а С.Г.Струмилин зая-
вил, что она не должна втискиваться «в теснейшие рамки политэ-
кономии» [46, с.42; 47], что статистика не совпадает с ней и не
должна ей подчиняться [48, с. 118 и 120]. Аналогичные мысли выс-
казал В.С.Немчинов [49, с.105 — 106]. Неудивительно, что подоб-
ным высказываниям был дан решительный отпор (см. п.4.1).
2.4. «Вредительская» перепись. Первые национальные пере-
писи в России/СССР после 1917 г. были проведены в 1920 и
1926 гг. Следующую (1937 г.), однако, признали неудовлетвори-
тельной и повторили в 1939 г. Описывая этот эпизод, В.К.Воблый
и П.И.Пустоход заявили, что враги народа «сорвали» перепись
[50, с.128—130]. Большое количество населения не было учтено
(как они утверждали), поскольку выпущенная в свет памятка для
счетчиков оказалась негодной, а социальный и профессиональный
состав населения был «искажен» по той же причине.
Официально было заявлено, что перепись прошла «с грубей-
шими нарушениями элементарных основ статистической науки, а
также с нарушением утвержденных правительством инструкций» и
что СНК Союза ССР «признал организацию переписи неудовлет-
ворительной, а самые материалы переписи дефектными» [51].
Фактически дело обстояло совсем иначе [52; 53]. Во-первых,
перепись была назначена на 1933 г., но неоднократно откладыва-
лась: вместо быстрого роста населения, который должен был соп-
ровождать построение социализма, произошла демографическая
Катастрофа. В середине 1936 г., в попытке спасти положение,
были запрещены аборты [54]. Во-вторых, программу переписи и
метод ее проведения разрабатывали в ЦК партии и наиболее важ-
ные решения принимал Сталин, статистики же едва успели проин-
структировать счетчиков. И все же лишь 0,3 —0,4% населения ока-
зались неучтенными, но насчитали-то всего 162 млн. человек вмес-
то «требовавшихся» 170—172 млн.
Разумеется, все дело было в происках «вредителей». Государ-
ственная статистическая служба была разгромлена, и одной из
’кертв оказался Л.Бранд (Брандгендлер). Перечислив нескольких
статистиков, включая его, но не упомянув переписи, А.Лозовой
139, с.117] назвал их врагами народа14.
В 1930 г. при Академии наук был учрежден Демографический
институт, но в 1934 г. его расформировали. Обосновывая свое
186 Из истории отечественной математик^
второе решение, Президиум АН СССР указал, что «попытки внес-
ти в работу ДИН моменты социально-экономические не уда_
лись...» [55, с.98]. В Институте работали крупные демографЬ1
С.А.Новосельский и В.В.Паевский. Директором ДИН бьц
И.М.Виноградов, который, кажется, не внес никакого вклада в де-
мографию.
3. Учет
В конце 1920-х годов статистики уверовали, что теория их на-
уки «перерастает в народно-хозяйственный учет» [32, с.236]. Не
упоминая, правда, учета, Смит вообще высказалась против статис-
тики: «старая теория статистики есть вообще теория колебания
случайных величин15, ...эта теория... есть великолепнейшее отра-
жение анархического капитализма и его хозяйства. ...статистики,
сознательно вредительствуя в планировании, воспользовались этим
орудием» [27, с. 143]. Основным сторонником новой точки зрения
оказался Н.Осинский: «рыночная стихия вытесняется деятельнос-
тью организаций, прямо подчиненных плановому руководству.
...статистический метод начинает отступать перед методом прямого
учета» [56, с.6 —7]. Он, правда, добавил, хоть и без должного по-
яснения, что статистика все же продолжает играть определенную
роль и определил ее как науку «о методах качественно-количест-
венного изучения планируемых и регулируемых процессов». По-
нять эту фразу трудно, особенно в связи с его же одновременным
(1932 г.) утверждением, что народно-хозяйственный учет есть «ка-
чественно-количественный охват сознательно намечаемых действий
и их результатов» [56, с.81—82; 57]16.
Мнение Осинского признавалось в течение нескольких лет
[35, с.282]. Затем, однако, все изменилось: А.Лозовой упомянул
«вредительский тезис об отмирании статистики» [39, с. 118], а
В.Н.Старовский впоследствии указал, что эту «ультралевую» тео-
рию впервые выдвинул академик [Уже не враг народа! — О.Ш-]
Осинский [40, с. 16].
Несмотря на изменившуюся официальную точку зрения, ЦСУ.
преобразованное в 1930 г. в Центральное управление народно-хозяйс-
твенного учета, было восстановлено лишь в 1948 г. [13, с.9—10]. Ве-
дущий профилирующий журнал «Вестник статистики» не выходил в
течение 1930—1948 гг., и только незначительное количество статисти-
ческих статей появилось в те годы в «Плановом хозяйстве».
Как бы то ни было, учет, т.е. сводка первичных данных, а не
мистический «качественно-количественный охват» не смог обеспе-
чить надежной информации. Даже статистика, т.е. сводка и изуче-
ние данных, оказывалась негодной (см. п.1.3). Более того, советс-
кая статистика все-таки в основном сводилась к сплошному учету
[15, с.67].
п Б_П1сйии“
187
4,Официальное положение статистики
4,1. Конференция. В 1954 г. в Москве состоялась конферен-
ция по проблемам статистики, организованная Академией наук,
Министерством высшего образования и ЦСУ [59], см. также [6], а
в порядке ее подготовки ряд статей был опубликован в
(952—1954 гг. в «Вестнике статистики» и «Вопросах экономики».
Некоторые участники конференции высказали трезвые мысли.
Так, М.В Птуха заявил, что статистика «не носит характера под-
чиненности по отношению к другим наукам» [59, с.44], а
С.Г.Струмилин утверждал, что она «является самостоятельной на-
укой» [59, с.41]’7. В основном, однако, провозглашалось противо-
положное: «только революционная марксистская теория явилась
прочной базой для развития статистики как общественной науки»
(А.М.Вострикова, [59, с.41]); статистика не изучает массовых слу-
чайных явлений (В.А.Соболь, [59, с.61]), которые вообще не об-
ладают никакими особыми закономерностями (С.П.Партигул, [59,
с.74]); теория устойчивости это буржуазная теория и даже честные
представители «буржуазной статистики» вынужде 1ы фальсифици-
ровать действительность (М.Н.Смит, [59, с.46]).
Особо выделим руководящее указание вице-президента АН
СССР К.В.Островитянова: «Ленин целиком и полностью подчи-
нил [статистические приемы. — О.Ш. ] задаче классового анализа
деревни [правильнее: приспособлял к задаче. — О.Ш. ]» [59, с.82].
И далее: нельзя полагать, что при изучении группировок звезд и
экономических группировок «применяются одни и те же приемы
исследования »’8.
Итак, статистика должна была количественно описывать пре
дустановленные марксистские положения (ср. п.2.3) и можно на-
помнить, что в XVIII в. (И.П.Зюссмильх) на статистику возлага-
лась несравненно более важная задача, — выявлять неизвестные бо-
жественные законы в движении населения.
Конференция оказалась полезной для подчинения статистиков
официальным установкам. Так, В.Н.Старовский заявил, что она
помогла «внести ясность» во многие вопросы [13, с. 13], и что за
ней последовала дружная работа [или застой?. — О.Ш.] [61,
С-162]. Другие авторы заметили, что большинство статистиков [все
еШе. — О. III. ] придерживалось принятого на конференции опреде-
ления статистики [33, с.9]. Вот оно: Статистика — самостоятельная
[Как бы ни так! — О.Ш. ] общественная наука. Она изучает коли-
чественную сторону массовых общественных явлений в неразрыв-
ной связи с их качественной стороной [33, с.87]19. До наших дней
это определение не дожило. Уже А.Орлов заявил, что отвергает
Решения конференции [15, с.69]2 , которые, как оказывается,
были компромиссом между ликвидаторами своей науки, полагав-
шими необходимым лишь уточнять предустановленные установки,
с прогрессивными статистиками, и в первую очередь с В.С.Немчи-
новым [64, с.20].
I g8______________________________Из истории отечественной математики
4.2. Выступление А.Н.Колмогорова. На конференции высту-
пил и Колмогоров. Он заявил, что необходимо «дать резкий от-
дор... проявлениям того злоупотребления математикой при изуче-
нии общественных явлений, которое столь характерно для буржу-
азной науки». В частности, продолжил Колмогоров, представители
этой науки «без всяких оснований» пользуются гипотезами стацио-
нарности и устойчивости временных рядов [59, с.47] (см. п.5.1).
Он также не согласился с концепцией существования, кроме
математической статистики и статистики как социально-экономи-
ческой науки, еще какой-то не математической и тем не менее уни-
версальной «общей» теории статистики, по существу сводящейся к
математической статистике и к некоторым техническим приемам
собирания и обработки статистических данных [59]21. Наконец,
Колмогоров перечислил области существенного приложения ста-
тистики [65], т.е., вопреки мнению некоторых специалистов, под-
черкнул значение массовых случайных явлений в условиях плано-
вого хозяйства (ср. п.4.1)22.
4.3. Притязания и реальность. Задолго до конференции совет-
ские статистики неизбежно заключили, что «их» наука «самая пере-
довая в мире» [68, с.71], что «только в условиях советского госу-
дарственного и общественного строя могла быть создана действи-
тельно научная статистика» (А.Я.Боярский и Л.Цырлин [69,
с.75])23. Естественно, что подобные высказывания продолжали по-
являться и в связи с конференцией, и после нее [33, с.11; 59, с.69;
70, с.43]. Взятые воедино, они напоминают вопли обезьяньей стаи
цз «Книги джунглей» Р.Киплинга: «Мы велики. Мы свободны. Мы
замечательны. Мы самые замечательные создания во всех джунг-
лях. Мы все говорим это, а потому это должно быть правдой».
Но вот трезвая оценка учебника, опубликованного в 1957 г.
[71]: «его... читатели не смогут разобраться в работах по совре-
менной математической экономике или эконометрии» [20, с.297].
Добавим, что западные авторы остро критиковали если не «свою»
статистику, то обществоведение в целом. С.Андрески заявил, что в
этой науке «каждый может безответственно делать все, что угод-
но» [72, с. 16] и объяснил это «повальным бюрократическим забо-
леванием», приведшим к «безопасной посредственности» [72,
с.194].
Цитируя своего предшественника Е.Шаргафа, К.Трусделл за-
метил, что «всюду, где денег куры не клюют, самопроизвольно за-
рождаются шарлатаны» [73, с.117]. Он назвал современное общес-
твоведение «плебсонаукой» и предупредил, что следующей и зак-
лючительной его стадией окажется «пролетарская» наука, «убаю-
кивающая пролетариат путем подтверждения всего того, во что 6yj
дет приказано верить». Жаль, что он не был знаком с советской
статистикой!
Л БДЦейнип
189
5. Эконометрия
5.1. Неудачные начинания. Злоупотребление математикой
действительно имело место за рубежом и вот примечательный при-
мер к тезису А.Н.Колмогорова (см. п.4.2), относящийся, правда, к
концу 1920-х годов. Гарвардская школа политэкономии, которая
чисто эмпирически прогнозировала экономические показатели, не
смогла предвидеть кризис 1929—1933 гг. Справедливо указав на
это, В.И.Хотимский [27, с. 145—146] забыл добавить, что и советс-
кие специалисты, вооруженные истинной экономической теорией,
оказались столь же беспомощными. Лишь Н.Д.Кондратьев (см.
п.2.2) в 1923 г. нарисовал частично верную картину надвигавших-
ся событий. Но лет через 20 эмпирическую экстраполяцию статис-
тических рядов заменило исследование экономических моделей,
т.е. эконометрия.
Неудача, хотя и в другом смысле, постигла В.И.Борткевича,
который в 1910 — 1911 гг. предпринял «одиночную попытку разра-
ботать марксистскую эконометрию [! — О.Ш.]». Его «сухая манера
изложения не позволила марксистам (за исключением Климпта)
[Точная ссылка отсутствует. — О.Ш.] воспринять его метод» [74,
с.26 и 25]24.
Советские ученые наверняка повторили бы подобные попытки,
однако идеологические новшества безусловно запрещались. Даже
юбилейное русское издание 1-го тома «Капитала» (1967 г.) содер-
жало лишь библиографические комментарии.
5.2. Трудный путь. Первая попытка внедрить уже существо-
вавшую за рубежом эконометрию в советскую науку принадлежит
В.С.Немчинову, но его усилия расценили как стремление перенес-
ти в страну «архибуржуазную» школу [66, с.82]. Уже в 1959 г.
была все же созвана конференция, чтобы определить отношение к
этому новому направлению [76]. Подчиняясь духу времени, ее
Участники единодушно признали, что в экономике следует шире
применять математические методы, однако и основной докладчик,
A-Я.Боярский, и несколько других статистиков отказались считать
эконометрию отдельной дисциплиной. Ее предмет,—заявил Боярс-
кий [76, с.55], —все же относится к политэкономии, которая якобы
Не ограничивается «чисто качественными суждениями» [76, с.57].
°н также указал, что марксизм не будет меняться качественно [76,
с-57], но, конечно же, не назвал его застывшим учением.
А.X.Карапетян утверждал, что буржуазные эконометристы
стоят на позициях «вульгарной» [Читай: немарксистской. —О.Ш. ]
Политэкономии [76, с.61], а Ю.А.Кронрод [76] обвинил Л.В.Кан-
т°ровича (очевидно имея в виду книгу [77]) в уклонении от марк-
сизма. Канторович основывал свои выводы на «объективно обус-
ловленных оценках», подчеркивая, как заметил В.С.Немчинов [78.
с °], их близость к рыночным ценам.
Следующая подобная конференция, теперь уже с участием ве-
дущих ученых, прошла в 1960 г. [79; 80]. На ней были заслушаны
190
Из истории отечественной матем^^И
доклады Немчинова, Канторовича и В. В. Новожилова Немчии
обсуждал, например, минимизацию капиталовложений, необхол
мых для достижения некоторой цели; Канторович заявил, что hv*
ни новые методы планирования, новые экономические и статисти'
ческие показатели и дальнейшие исследования в экономике, ста^
тистике и математике А Н.Колмогоров, который выступил в поя
ниях, даже указал, что совместная работа экономистов и математи-
ков должна привести к существенно новой стадии самой Экономи
ческой теории [т е. политэкономии! -О.Ш. ] [79, с.254]. Он пр£
должал: экономике, видимо, придется уточнить многие свои <ЬОп-
мулировки и понятия в свете тех требований, которые поставит пе
ред ней приложение математики25.
Вскоре последовало некоторое движение. В 1963 г. был уч-
режден Центральный экономико-математический институт а
1965 г. все три докладчика конференции I960 г. были удостоены
Ленинской премии (Немчинов —посмертно) за научную разработ-
ку метода линейного программирования и экономических моделей
[82]26.
Мы, однако, сомневаемся в том, что был достигнут существен-
ный прогресс. Во-первых, политические соображения всегда стави-
лись выше экономических доводов; во-вторых, вряд ли имелись
надежные статистические данные (см. п.1.3); в-третьих, экономис-
ты не были готовы пересмотреть свое патологически подозритель-
ное отношение к математике (см. п.2.3) и продолжали обвинять
эконометристов в отказе от марксизма [83]. Они также фактически
отказывались признать статистику независимой научной дисципли-
ной (ср- п 4.1) и оказались беспомощными перед лицом новых
возможностей и требований. Вот четкий вывод Канторовича:
«На 42-м году существования социалистического государства
нашей экономической науке не известно отчетливо, что означает
закон стоимости в социалистическом обществе и как он должен
применяться, что такое социалистическая рента, должно ли вплбЛ
строиться исчисление эффективности капиталовложений и каким
именно образом. Как последнее открытие в области экономики нам
преподносится, например, что “закон стоимости не действует, а
только воздействует” или что “средства производства —не проста
товар, а товар особого рода" и т.д.» [84, с.60].
Но что там Канторович! И что Колмогоров, если есть Мария
Смит: «В полном бессилии стоят адепты буржуазной политэконо-
мии перед страшной для них действительностью. В противополож-
ность им сила и жизненность экономических учений Маркса и Ле-
нина именно и состоит [состоят. — О.Ш. ] в глубочайшем проникно-
вении В сущность законов, управляющих экономическим развитием
человеческого общества» [85, с.294]. Святая простота!
л Б.Щейни"191
6. Генетика
К 1935 г. СССР стал «ведущим центром исследований по мен-
делизму и был признан таковым во всем мире» [86, с.5], но с
1939 г. развитие советской генетики затормозилось, а в 1948 г. она
была разгромлена. Н.И.Вавилов, самый выдающийся советский ге-
нетик, начал подвергаться преследованиям с 1935 г., когда генети-
ку стали называть идеалистической наукой, противоречащей диа-
лектическому материализму [87]. В 1939 г. редакция журнала
«Под знаменем марксизма» организовала конференцию по генети-
ке и селекции (см. его выпуски №10 и Nell за 1939 г.) и Вавилов
был на ней вежливо, но резко раскритикован. В 1940 г. его аресто-
вали и в 1943 г. он умер в заключении [87, с.511].
Окончательный разгром генетики произошел в 1948 г.27 на
Всесоюзной конференции с участием высокопоставленных специа-
листов (в основном противников генетики). Главным гонителем
этой науки был Т.Д.Лысенко. Вот его утверждение о теории веро-
ятностей: «Не будучи в состоянии вскрыть закономерности живой
природы, морганисты вынуждены прибегать к теории вероятности
[! — О.Ш. ].., физика и химия освободились от случайностей. Поэ-
тому они стали точными науками.., наука —враг случайностей»
[89, с.520; 90]28
Травля генетиков не осталась без внимания за рубежом [92;
93]. Дж.Гексли предположил в этой связи, что советские вожди не
признавали случайности ни в идеологии, ни в естествознании [17,
с.82]. А вот резкое утверждение крупнейшего статистика Р.А.Фи-
шера: «под воздействием его [Лысенко. —О.Ш. ] выпадов многие
русские генетики, включая наиболее заслуженных, были убиты»
[94, с.61]. И далее: «Награда, за которую он [Лысенко. — О.Ш. ]
так жадно хватается, это власть, власть для себя, власть, чтобы за-
пугивать и убивать» [94].
Б.В.Гнеденко засвидетельствовал, что «некоторые горячие го-
ловы» начали послушно отрицать теорию вероятностей [95,
с-7 —8]. Он также пожурил А.Н.Колмогорова и других выдающих-
ся математиков за их прежнюю поддержку менделизма и терпели-
во истолковал невежественный тезис Лысенко о науке и случайнос-
ти (не посмев ни назвать его по имени, ни прямо опровергнуть его
мнение о физике).
На конференции 1948 г. выступил и В.С.Немчинов. Его неод-
нократно прерывали грубыми выкриками, но он все же сказал, что
♦хромосомная теория наследственности вошла в золотой фонд нау-
ки». И далее: «Я имею возможность эту теорию проверить с точки
3Рения... статистики. Она соответствует также моим представлени-
ям» [90, с.472].
Неудивительно, что ему вскоре пришлось оставить свой пост
Директора Всесоюзной сельскохозяйственной академии им.
К-A.Тимирязева, отказаться в ней же от заведывания кафедрой
192 Из истории отечественной матема^^И
статистики [64, с. 19] и публично покаяться [49, с. 104]. Более тог0
в 1948 г., упомянутая в п.2.3 конференция по математической ста-
тистике, «решительно осудила» Немчинова за его попытку [Точ-
нее: готовность.—О.Ш.] статистически обосновать«реакционные
вейсманистские теории» и за его выступление «с позиций махистс-
кой англо-американской школы, присваивающей статистике нес-
войственную ей роль арбитра, стоящего над другими науками»
[Над догматами идеологии, —О.Ш. ] [41, с.313].
Существенный вклад в генетику внес С.Н.Бернштейн [96
с.213 —214], по в 1949 или 1950 гг. «математическое издательство»
пересмотрело свое намерение выпустить в свет новое, пятое, изда-
ние его руководства по теории вероятностей, поскольку он «катего-
рически отказался» исключить из него несколько страниц, посвя-
щенных менделизму29. Одним из авторов некролога о С.Н.Бернш-
тейне [96] был Б. В.Гнеденко, который таким образом выказал
свою действительную точку зрения. Другой автор, А.Н.Колмого-
ров, в 1940 г. опубликовал статью [97], статистически подтвержда-
ющую законы Менделя. Легко понять, чего на самом деле стоила
резолюция конференции по математической статистике 1948 г., на
которой присутствовал Колмогоров!
В 1955 г., едва освободившись из заключения, В.П.Эфроимсон
составил длинную записку [98] о деяниях Лысенко, наивно пона-
деявшись привлечь его к суду. Эфроимсон [98, №3, с.106—107]
оценил ущерб, который Лысенко нанес стране внедрением своих
новшеств, не прошедших никакой предварительной статистической
проверки Вот один только вывод этого автора: потеря зерна
вплоть до 1955 г составила 150 млн. тонн, притом дальнейшие по-
тери оставались неизбежными по крайней мере еще 10 лет. Напом-
ним (см п.1.3), что биологический урожай зерновых в 1952 г. сос-
тавлял 130 млн. тонн30. Наконец, Эфроимсон заметил, не приведя,
правда, никаких ссылок, что генетика была разгромлена и в на-
цистской Германии [98, №3, с. 102].
Признательность. Данная статья является переработкой ее
первоначального английского варианта, опубликованного в
«Jahrbiicher fur Nationalokonomie und Statistik». редакция и изда-
тельство Lucius & Lucius которого любезно разрешили выпустить
ее и на русском языке. Выдержки из выступления С.А.Яновской
(см. п.2.2, прим.7) и сочинения Н.Осинского [56] (см. п.З) нам
прислал А.Л.Дмитриев (Санкт-Петербург). Высказывание Ф.Эн-
гельса (см. п.2.2, прим.4) и мнение Яновской до нас описала
Н-С.Ермолаева [24]
Примечания
1 Воспользовавшись другим источником, мы нашли у Ф.Э. Дзержинского безжалост-
ную критику (1926 г.) этой статистики [12].
2 Биографические сведения о советских статистиках см. в [14]. Кроме того, статьи0
А.Я.Боярском, В.С.Немчинове. Н.Осинском, М.Н.Смит-фалькиср и В.Н.СтаровсК°м
193
оБ^Псйшш
1cUIent>i в 3-м издании БСЭ, а в t-м издании этого источника приведена биография
П в. Базарова.
Лпугим специалистам по теории вероятное ей пришлось расплачиваться за свои ис-
следования в области генетики (см. п.6).
f Вспомним предвидение Ф.Энгельса [23]: «если в результате войны мы придем к вла-
сти преждевременно, то “техники” [На новоязе: спецы. — О.LU. ] окажутся нашими
врагами и будут нас предавать; мы должны будем держать их в страхе и даже обма-
нывать (beschissen)». Н.С.Ермолаева [24] процитировала два перевода последнего
иагола на русский язык, но представляется, что оба они неверны. Впрочем, в лю-
бом случае смыл высказывания Энгельса ясен
Через год Смит заметила, что «ряды арестованных вредителей полны статистиками»
[28, 1931, с.4]. Ее собственный вклад в этот процесс вероятен, а стилистические за-
слуги несомненны. И все же, когда в анонимном доносе 1931 г. Боярский, Старо-
вский, Хотимский и Ястрсмский были названы белополяками, то над этим обвине-
нием лишь посмеялись, а вот в 1937 г. Хотимский был арестован по «столь же обо-
снованным наветам» [21, с. 132] (см. также п.2.4). «Вредительство» было, конечно
же. выявлено в каждой отрасли науки (см. Э.Кольмап [29]). Курьезно, что он при-
числил Смит, наряду с настоящими учеными, к «школе распространявших идеали-
стические и механистические теории» в экономике [29, с.74].
6 Исходя из данных предыдущих лет, В.Г.Громан предсказывал урожайность зерно-
вых, полагая ее случайной (зависящей от случайностей погоды). Его предсказание
па 1929 г. каким-то образом сбылось, но следующая попытка, па 1930 г., оказалась
негодной. Ястремский лишь заметил, что подобным образом можно было бы угады-
вать поведение любых случайных величин, по не указал, что их последующие значе-
ния принципиально непредсказуемы.
7 В этом учебнике упомянут «метафизик Лейбниц-Вольф» [30, 1936, с.27]’ С.А.Янов-
ская, впоследствии ученый с мировым именем, безудержно расхваливала первое из-
дание книги А.Я.Боярского, Б.С.Ястрсмского, В.И.Хотимского. В.Н.Старовского
[30]. Указанные авторы, —заявила она, —впервые «нащупали» как внедрить диа-
лектический материализм в математическую статистику (и как, стало быть, проти-
востоять «метафизику Лейбницу-Вольфу») В плановом хозяйстве,—добавила
С.А.Яновская, —метод теории вероятности [!. — О.Ш.] недостаточен для обоснова-
ния этой дисциплины [31].
71 В том же духе косвенно высказался Л.Бранд [32, с.235].
4 Л.Бранд и В.Н.Старовский [38. с.191 ] защищали применение равповозможностп (а
потому и классического определения вероятности) в экономике. Они, однако, не
упомянули статистической вероятности, которая в смысле закона больших чисел
равносильна теоретической, а сослались на неубедительные косвенные высказыва-
ния Маркса, Энгельса и Лепина. Интересно, что А.Лозовой [39, с. 118] независимо
повторил нападки па равповозможпость.
° Они также решительно критиковали А.А.Курно и Р.Мизеса.
Никто не хотел замечать, что со времени, когда Лексис начал исследовать устойчи-
вость статистических рядов (1870-е годы), в капиталистическом обществе произош-
ли существенные изменения.
За год до этого А.Н.Колмогоров, который присутствовал на конференции, одобри-
тельно отозвался о заслугах В.И.Романовского и, в частности, заметил, что тот яв-
лялся «первым пропагандистом этого большого течения [Т.е. работ английских ста-
тистиков. — О.Ш. ] в СССР» [42, с.63]
Настоящая фамилия В.В.Оболенский. Он занимал ряд постов (в 192G—1928
т —начальник ЦСУ) и в 1935 г. был избран действительным членом АН СССР. Он
был арестован в 1937 г. и погиб в 1938 г. [9]. По другим сведениям его арестовали в
035 г. [П, с. 190] и расстреляли [14].
При переписи 1939 г. послушно насчитали 170,1 млн. человек, на 1,6% больше дсйст-
питслыюго числа [53].
Через несколько лет, забыв про «колебания», она начала поносить «буржуазную гс-
'фпю устойчивости» статистических рядов (см. н 2.3)
194
Из истории отечественной математи ।
16 Есть смысл сослаться на М. Дж.Кендалла, который четко, хотя и косвенно оппгу—<
ет различие между целями учета и статистики. Описывая Италию XV в., он ПиСЛя
«Учет сводился к сплошному счету и все еще являлся главным образом регист
цией состояния [общества. — О.Ш. ], а не основой для оценок или прогнозов в раэ₽а’
вающейся экономике» [58].
17 В.Н.Старовский [59, с.50] ратовал за выборочный метод, который на родИн
А.А.Чупрова был почти забыт.
18 Островитянов одергивал одного из участников конференции, А.С.Мендельсона[59
с.57]. Он мог бы с таким же успехом назвать и Б.С.Ястремского [59, с.43] и
А.Н.Колмогорова [59, с.47]! Впоследствии Островитянов несколько смягчил свои
Идеологические нападки [60].
19 Как тут не вспомнить Н.Осинского с его «качественно-количественными» изучения-
ми и охватами (см. п.З)!
20Т.В.Рябу1нкин [621 повторил официальное определение, но затем изменил свою точ-
ку зрения: снова процитировав его, он заявил, что существует и иное определение
которое уже отрекалось от «неразрывной связи» и признавало близость статистики
и математики [63].
21 Эта точка зрения не является общепризнанной. Многие западные математики-стати-
стики называют свою дисциплину теорией статистики и не пользуются термином
«математическая статистика».
22 Некоторые статистики высказали смехотворные мысли о случайности. С.Г.Струми-
лин [66, с.80] заявил, что реальные показатели уклоняются от плановых случайным
образом, а А.Я.Боярский заметил, что возможны различные степени превышения
плана [67, с. 195— 196]. О приписках они, видимо, слыхом не слыхали (см. п.1.3).
23 Эта авторы также заявили, что буржуазная статистика сознательно приукрашивает
показатели безработицы, безразлична к выявленной меньшей продолжительности
жизни черного населения США сравнительно с белыми и т.д. В чужом глазу они
увидели соломинку. Они кроме того кощунственно обвинили «.Пирсона в проновс-
дывании расистских идей, «опередивших ведомство Геббельса» [68, с.74].
24 К идеям эконометрии подошел Г.А.Фельдман (1884 — 1958), но он был репрессиро-
ван и, как кажется, ничего существенного в этом направлении не смог сделать [75]
Опять-таки, очень возможно, что Е.Е.Слуцкий, который работал в Конъюнктурном
институте, оказался бы зачинателем эконометрии в СССР, не будь это учреждение
разгромлено (см. п.2.2).
25 В другом отчете о конференции Колмогорову приписано следующее утверждение
«Основная, трудная но необходимая задача состоит в том, чтобы выразить желате-
льное оптимальное состояние национальной экономики единым показателем» [81
с.44].
26 В 1975 г. Канторович был награжден Нобелевской премией за разработку теории ли-
нейного программирования.
27 Холодная война началась в 1947 г. Международные связи были грубо разорваны, И
именно этим объяснялся выбор момента для расправы с генетиками [88, с.40].
28 Некоторые авторы [91 ] опровергли это высказывание, но вряд ли кто-нибудь из них
посмел прямо сослаться на Лысенко. Кедров [91, с.31 ] упомянул также редакцион-
ную статью из «Вопросов философии» (1948 г., №2), в которой случайность еди-
ничных событий справедливо связывалась с необходимостью в больших числах-
Лысенко, чье выступление состоялось позже чем появилась эта статья, либо нс чи-
тал ее, либо не захотел принять ее во внимание.
29 Член-корреспондент АН СССРЛ.Н.Большее сообщил мне в личной беседе, что отказ
издательства последовал уже после появления корректуры нового издания книги-
30 Невольно вспоминаются кукурузные опыты Н.С.Хрущева, также нс обоснованные
никакими экспериментами и также обошедшиеся в добрую копеечку.
-----------------------------------------------------------------122
Список литературы
1 huh В If- Развитие капитализма в России // Полное собрание сочинений. М.,
1 ''1958. Т.’3.
.z г 5 Seneta Е. Lenin as a statistician // Journal of the Royal Statistical Society.
1 1990 Vol.A153. P.73-94.
Чепип B-H. Материализм и эмпириокритицизм // Полное собрание сочинений.
J м . 1961. Т-18.
j Чупров .4.А. К теории стабильности статистических рядов // А.А. Чупров. О тео-
рии дисперсии / Составит, и нерев. Н.С.Четвериков. М., 1968. С.138 — 224.
< Zarkovic S.S. Note on the history of sampling methods in Russia // Journal of the
Royal Statistical Society. 1956. Vol.Al 19. P.336—338.
6 Kotz S. Statistics in the USSR // Survey. 1965. Vol.57. P.132—141.
7 Jamy N. The Soviet 195G statistical handbook: a commentary. East Lansing, USA.
1957.
8 Tschuprow A. Wcstnik Statistiki, 1920— 1922 // Nordisk Statistisk Tidskrift. 1922.
' T.L P.353 - 3G0.
9. Буханов А. Валериан Осинский // Вестник статистики. 1988. №9. С.50—55.
10 Горфин Д. Проституция ' Большая Советская Энциклопедия. 1-с изд. 1940
Т.47. С.330-335.
11. Селюнин В., Ханин Г. Лукавая цифра // Новый мир. 1987. №2. С.181 —201.
12. Дзержинский Ф.Э. Речь на пленуме ЦК РКП(6) 1926 г. // Избранные произве-
дения. М., 1967. Т.2. С.50 —65.
13. Старовский В.Н. Развитие советской статистической науки и практики за 40 лет
Вестник статистики. 1958. №1. С.3—15.
14. Корнев В.П. Видные деятели отечественной статистики. М., 1993.
15. Орлов А. О перестройке статистической науки и ее применении // Вестник ста-
тистики. 1990. №1. С.65 — 71.
16. Дикалов С. Кому должна подчиняться статистика // Вестник статистики. 1990.
№5. С.46-47.
17. Huxley J. Soviet genetics and world science. London, 1949.
18. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. И.-Л., 1950. Ряд последующих русских,
немецких и английских изданий.
19. Аноним. Юбилейные и памятные даты // Вопросы статистики. 1995. №11. С.77.
20. Anderson О. Mathematik fur marxistisch-leninistische Volkswirte // Jahrbucher fur
Nationalokonomie und Statistik. 3.Folge. 1959. Bd.171. P.293 —209.
21. Кольман Арношт {Эрнест). Мы не должны были так жить. Нью-Йорк, 1982.
22. Карлик Е. Б.И.Карпенко // Вестник статистики. 1992. №8. С.37 — 39.
23. Энгельс Ф. Письмо А.Бебелю 24 — 26.10.1891 // F.Engels. Politisches Ver-
maechtnis. Berlin, 1920. S.26. (Также: K.Marx, F.Engels. Werkc. Berlin, 1979.
Bd.38. S.189.)
24. Ермолаева H.C. О так называемом «Ленинградском математическом фронте» //
Вопросы истории естествознания и техники. 1995. №4. С.66 — 74.
25. Шейнин О.Б. А.А.Чупров. Жизнь, творчество, переписка. М., 1990. (Авторский
перевод: O.Sheynin. Aleksandr A. Chuprov: life, work, correspondence. Gottingen,
26 Кондратьев Н.Д. Особое мнение. M., 1993. T.l—2.
27. Смит М. Плановое вредительство и статистическая теория // Плановое хозяйст-
во. 1930. №10. С. 139-168.
28. Смит М. Теория и практика советской статистики. М., 1930. 2-е изд. М.-Л., 1931
(Добавлено предисловие: Статистика как орудие вредительства. С.4 —9.)
29 Кольман Э. Вредительство в науке // Большевик. 1931. №2. С.73 —81.
196
Из истории отечественной г',атсматцк1(
30. Боярский А.Я., Ястремский Б.С., Хотимский В.И., Старовский В.Н. Тсори
математической статистики. М., 1930. 2-е изд. М., 1931. (Ряд последующих И31а
пий вышел под названием «Статистика».)
31. Яновская С.А. Выступление па заседании президиума Комакадсмии (дек. 1930-
янв.1931) // За поворот на фронте естествознания. М.-Л., 1931. С.38 39
32 БрандЛ. Рецензия: Боярский А.Я., Ястремский Б. С., Хотимский В. И., Старое,
ский В.Н. Теория математической статистики. М., 1930. // Плановое хозяйство
1931. №4. С.234-236.
33. Статистика / Под ред. С.Г.Струмилина. М., 1969.
34. Назаров М. О коренной перестройке социально-экономической статистики
Вестник статистики. 1990. №8. С.28 —38.
35 Старовский В.Н. Экономическая статистика / / Большая Советская Энциклопе-
дия. 1-е изд. 1933. Т.63. С.279-283.
36 Эйдельман М.Р. Экономическая статистика // Большая Советская Энциклопе-
дия. 3-е изд. 1978. Т.29. С.616.
37. Смит М. Против идеалистических и механистических теорий в теории советской
статистики / Плановое хозяйство. 1934. №7. С.217 —231.
38. БрандЛ.. Старовский В.Н. По поводу статьи: Смит.М. Против идеалистических
и механистических теорий в теории советской статистики Плановое хозяйство.
1935. №8. С.187 —194.
39 Лозовой А. О последствиях вредительства в статистической науке ' / Большевик
‘ 1938. №23. С.116-123.
40. Старовский В.Н. Советская статистическая наука и практика // История советс-
кой государственной статистики. М., 1960. С.4 —21.
41 Резолюция / / Второе Всесоюзное совещание по математической статистике. Таш-
кент, 1948. С.313-317.
42 Колмогоров А.Н. Роль русской науки в развитии теории вероятностей // Ученые
’ записки МНУ. 1947. №91. С.53 - 64.
43 Резолюция декабрьского (1935 г.) Пленума ЦК ВКП(б) / / Известия. 26 декабря
’ 1935 г. С.1.
44. Петров А. Рецензия на курс обшей теории статистики Л.В.Нскраша / Плановое
хозяйство. 1940. №5. С.112—115.
45 Плошко Б. Г. Из истории учений о предмете статистики / / Вестник статистики-
1964. №5. С.28-33.
4G. Струмилин С.Г. К вопросу об определении статистики как науки // Вестник ста-
тистики. 1952. №1. С.42 —50.
47. Струмилин С.Г. Статистико-экономические очерки. М., 1958.
48. Струмилин С.Г. К итогам статистической дискуссии // С. Г. Струмилин.
Статистико-экономические очерки. М., 1958. С.118— 129.
49 Немчинов В.С. Статистика как наука // Вопросы экономики. 1952. №10-
С.100-116.
50. Воблый В., Пустоход П.И. Переписи населения. М.-Л., 1940.
51. О Всесоюзной переписи населения / Известия. 26 сентября 1937 г. С.2.
52 Цаплин В.В. Статистика жертв сталинизма в 30-е годы // Вопросы истории-
1989. №4. С.175-181. U
53 Волков А. Из истории переписи населения 1937 г. // Вестник статистики. 1990
№8. С.45-56
54 Аноним. Аборт // Большая Советская Энциклопедия. 2-е изд. 1949. Т.1-
С.23 — 25.
55. Типольт А.Н. Из истории Демографического института АН СССР / Ученые за-
писки но статистике. 1972. Т.20. С.72 —99. (Советская статистика за нолвска-
Вын-2-й.)
5G. Осинский Н. Положение и задачи народно-хозяйственного учета. М.-Л., 1932
п Б Шейнин
197
'7 С«‘РУмил,,н С-Г- Задачи п перспективы советской статистики С.Г.Струми-
3 пт. Статистико-экономические очерки. М., 1958. С.69 —94.
'Я Kendall M.G. Where shall the history of statistics begin / Biomctrika. i960.
VoL47. P.447-449.
co Аноним. Обзор научного совещания по вопросам статистики / Вестник статисти-
ки. 1954. №5. С.39-95.
ЛО Островитянов К.В. К итогам дискуссии по статистике // Вестник АН СССР.
1954. №8. С.3-12.
61 Старовский В.Н. Отчет / Всесоюзное совещание статистиков 1968 г. М., 1969.
С.5-31, 159-163.
62 Рябушкин Т.В. Статистика Большая Советская Энциклопедия. 3-е изд. 1976.
Т.24 1. С.437-439.
63. Рябушкин Т.В. Статистика Экономическая энциклопедия. М., 1980. Т.4. По-
литическая экономия. С.42 —43.
64. Лифшиц Ф.Д. В.С.Немчинов как статистик В. С.Немчинов. Избранные про-
изведения. М., 1967. Т.2. С.5—22.
65. Аноним. О роли закона больших чисел встатистикс / Ученые записки по статис-
тике. 1955. Т.1. С.153— 165. (О выступлении А.Н.Колмогорова см. с.156— 158.)
66. Аноним. О теоретической работе в области статистики / Вопросы экономики.
1948. №5. С.79-90.
67. Боярский А.Я. Советское плановое хозяйство и закон больших чисел А.Я. Бо-
ярский. Теоретические исследования по статистике М., 1974. С.194 —208.
68. Гуревич С. За большевистскую теорию статистики Плановое хозяйство. 1938.
№4. С.71 -84.
69. Боярский А.Я.. Цырлин Л. Буржуазная статистика как орудие апологетики капи-
тализма // Плановое хозяйство. 1947. №6. С.62 — 75.
70. Боярский А.Я. К вопросу о предмете статистики // Вестник статистики. 1953.
№2. С.43-54.
71. Боярский А.Я. Математика для экономистов. М., 1957.
72. Andreski S. Social science as sorcery. London, 1972.
73. Truesdell C. The role of mathematics in science C.Truesdell Idiot’s fugitive
essays on science. New York a.o., 1984. P.97 — 132.
74. Gumbel E.J., Bortkicwicz L. von. International encyclopedia of statistics Ed.
W.H.Krushkal. J.M.Tanur. New York-London, 1978. Vol.1. P.24 —27
75. Вайнштейн А.Д., Ханин Г.И. Памяти Г.А.Фельдмана Экономика и математи-
ческие методы. 1968. Т.4. №2. С.296 —299.
76. Аноним. Совещание о применении математики в экономических исследованиях и
об эконометрике '/ Вестник статистики. 1959. №9. С.54 — 70.
77. Канторович Л. В. Эконометрический расчет иаилучшего использования ресурсов.
И., 1959.
78. Немчинов В.С. От редакции / ' Л .В. Канторович. Экономический расчет паилу ч-
шего использования ресурсов. М., 1959. С.3—11.
79. Гекрчук Я.П., МинцЛ.Е. Научное совещание о применении математических мето-
дов в экономических исследованиях и планировании > / Ученые записки по ста-
тистике. 1961. Т.6. С.248 —261.
8® Общие вопросы применения математики в экономике и планировании. М., 1961.
81. Бирман И. Научное совещание по применению математических методов в эконо-
мических исследованиях и планировании Вестник статистики. 1960. №7.
С.41-52.
82. Известия. 22 апреля 1965 г. С.4.
83 Канторович Л .В. О состоянии и задачах экономической пауки Экономика и
математические методы. 1990. Т.26. №1. С.5—14.
84. Канторович Л. В. [Выступление в прениях на Годичном собрании Академии наук]
// Вестник АН СССР. 1959. Т.29. №4. С.59 —61
198
Из истории отечественной математик
85. Смит М. Очерки истории буржуазной политической экономии. И., 1961
86. Report on the Lysenko controversy. An anonymous pamphlet. Association of scientif
workers. London, 1951. Ic
87. Adams M.B. Vavilov Dictionary of scientific biography / Ed. C.Gillispie \re
York, 1981. Vol.15. P.505 - 513.
88. Кременцов H .JI. «Американская помощь» всоветской генетике 1945—1947 гг. rl
Вопросы истории естествознания и техники. 1996. №3. С.25 —41.
89. Лысенко Т.Д. О положении в биологической науке О положении в биологичес-
кой пауке. М., 1948. С 7 — 40, 512 — 523.
90. О положении в биологической пауке. И., 1948
91. Кедров Б.М. Категории марксистской диалектики как методологическая основа
статистической науки Ученые записки по статистике. 1961. Т.6. С.5 —38.
92. Cook R.C Lvsenko’s marxist genetics Journal of heredity. 1949. Vol 40
P 169-202.
93 Leikind M.C. The genetics controversy: a bibliographic survey / Journal of
heredity. 1949. Vol.40. P.203 208.
94. Fisher R.A. What ;ort of man is Lysenko? R.A.Fisher. Collected works
Adelaide, 1974. Vol.5. P.61-64.
95. Гнеденко Б.В. Теория вероятностей и познание реального мира / Успехи мате-
матических наук. 1950. Т.5. №1. С.3-23.
96. Александров П.С., Ахиезер Н.И., Гнеденко Б.В., Колмогоров А. Н. С.Н.Бернш-
тейн. Некролог // Успехи математических наук. 1969. Т.24. №3. С.211—218.
97. КочмогоровА.П. Ободном новом подтверждении законов Менделя '/ Доклады
АН СССР. 1940. Т.27. С.38-42.
98. Эфроимсон В.П. Лысенко и лысенковншпа Вопросы истории естествознания и
техники. 1989. №1. С.79-93. №2. С.132-147. №3. С.96 109. №4. С. 100 — 111.
О МОЕЙ РАБОТЕ В ЛАТВИЙСКОМ ГОСУДАРСТВЕННОМ
УНИВЕРСИТЕТЕ (НЕСКОЛЬКО ВОСПОМИНАНИЙ)1»
А.Д.Мышкис
Назначение на работу в Ригу в 1947 году было неожиданным
для меня. Перед этим я окончил в 1941 году Московский государс-
твенный университет, в 1944 году — Военно-воздушную инженер-
ную академию и был оставлен на кафедре высшей математики
ВВИА младшим преподавателем (т.е. ассистентом); в 1946 году за-
щитил кандидатскую диссертацию. Положение мое на кафедре,
как мне кажется, было довольно прочным. Однако в результате
некоторых неосторожных высказываний и, порой, независимого
поведения я, по-видимому, приобрел среди политорганов репута-
цию человека, от которого лучше избавиться. Думаю, что сыграло
роль и то, что мать у меня —еврейка. В ту пору на это стали обра-
щать внимание. Так или иначе, но в июне 1947 года меня вызвали
1) Несколько дополненная одноименная статья, опубликованная в сборнике «Ма-
тематика. Дифференциальные уравнения. Научные труды. Том 599». Рига: Латвийс-
кий университет, 1995. С.90—108.
Д МЫШКИС
199
Отдел кадров ВВС и предложили поехать в одно из двух выс-
щпх военных училищ ВВС, организуемых в Риге на базе средних
военных училищ. Я не возражал, так как хотелось испытать себя
на новом месте, хотя и было жаль оставить МГУ, где я уже два
года работал на полставки.
Итак, 23 июня 1947 года последовал приказ Главкома ВВС о
назначении меня преподавателем, т.е. доцентом кафедры высшей
математики II ЛКВАИВУ. Оно располагалось в Цитадели, хорошо
известной рижанам. 7 августа я впервые приехал в Ригу. В те дни
я вел дневник (к сожалению, только до конца 1947 года) и потому
восстановить события того года мне очень легко. В частности, вот
первая запись о Риге: «Рига очень красивая»—ее парки, канал,
прекрасные здания (запись: «А безобразных домов совсем нет»),
Старый город, спокойные вежливые люди, своеобразный благоз-
вучный язык —все это произвело на меня глубокое впечатление. Я
навсегда полюбил Ригу.
Наша кафедра была очень маленькая. Сначала ее начальником
был С.Н. Крачковский1, но потом начальство решило, что на такой
должности лучше иметь военного и поэтому' со второго семестра
назначили «и.о.»—меня; впрочем, я так и остался «и.о.» до конца.
Еще было в разное время от одного до трех преподавателей школь-
ного типа. Начальство училища благосклонно относилось к мате-
матике; помимо обычных учебных занятий я работал с интересую-
щимися слушателями, т.е. студентами — их было не так уж мало,
читал лекции преподавателям, консультировал их.
С С.Н.Крачковским я быстро сошелся, он был мне симпати-
чен. Глубоко интеллигентный, всегда спокойный, доброжелатель-
ный, в то же время эрудированный математик, он сделал много по-
лезного для развития математики в Латвии в те годы. Он образцо-
во читал лекции и привлекал молодых людей к своей исследова-
тельской работе, прежде всего в теории функциональных уравне-
ний в банаховых пространствах. В частности, его прямым учени-
ком был М.А.Гольдман , который позже в течение многих лет был
Доцентом ЛГУ. Были и другие ученики.
Очень скоро я стал посещать физмат ЛГУ, прежде всего из-за
богатой математической библиотеки, правда, имевшей издания, в
основном,- до 1940 года. Но труды классиков в ней имелись, что
было для меня очень полезно. Некоторые же более поздние изда-
ния оказались в библиотеке Академии наук, так что я стал систе-
матически пользоваться обеими.
Насколько я помню, я начал преподавать на полставки на
Физмате с 1948 /49 учебного года, еще будучи военным, начав с
Чтения лекций по дифференциальным уравнениям на II курсе.
По-моему, тогда деканом был Эрнст Густавович Кронберг, а заве-
довал кафедрой общей математики Н.А.Бра.змаФ К сожалению, де-
тали я плохо помню и могу потому ошибаться, это относится и к
Дальнейшему изложению.
200 Из истории отечественной математики
Через С.Н.Крачковского я вскоре познакомился с Аринем*
(Евгением Генриховичем, как мы его звали, хотя по-латышски эТо
звучало иначе). Е.Г.Арынь стал одним из моих ближайших друзей
в Риге. Это был в высшей степени симпатичный человек. Он был
широко образован, свободно говорил на нескольких языках, играл
на скрипке, обладал живым, легким характером, высоким чувст-
вом юмора, был доброжелателен. Мы с ним часто встречались, гу-
ляли по Риге или на взморье, подолгу беседовали на самые разно-
образные темы. Немного позже к нам присоединился И.М.Рабино-
вич5 начались прогулки втроем. Между прочим, Е.Г. отчаянно
ругал всякое начальство и считал себя по складу характера совер-
шенно чуждым тому, чтобы чем-либо или кем-либо руководить.
Поэтому я позже с большим удивлением узнал, что он стал дирек-
тором Вычислительного центра, организованного при ЛГУ, и вид-
ным общественным деятелем Латвии. Видно, его темперамент на-
шел выход в этом направлении.
Е.Г.Аринь любил математику (особенно теорию функций дейс-
твительного переменного), хорошо читал лекции, был популярен у
студентов, но ему не хватало научной инициативы. Мы не раз с
ним говорили о возможной теме научной работы, которая могла бы
послужить основой кандидатской диссертации. В конце концов мы
остановились на обобщении вопроса о связи непрерывности функ-
ции нескольких переменных по их совокупности с непрерывностью
по каждой из переменных в отдельности. Я уже раньше интересо-
вался этим вопросом и некоторые соображения по этому поводу У
меня были. Е.Г. существенно развил эту тему, мы его работу неод-
нократно обсуждали, и в итоге он успешно защитил диссертацию.
Его официальным руководителем считалась Л.В.Келдыш, но эта
тема была далека от ее научных интересов, и, по-моему, она в ра-
боте Е.Г. непосредственного участия не принимала.
Позже научная активность Е.Г. ослабла, хотя я помню канди-
датскую диссертацию, выполненную под его руководством в том
же направлении. Возможно, что он принадлежал к числу людей,
которые охотно занимаются наукой, но при этом нуждаются в не-
котором подталкивании время от времени. Когда я уехал из Риги,
у меня как-то был разговор с Е.Г. о возможной теме его докторс-
кой диссертации, но из этого так ничего и не вышло.
Теперь скажу о И.М.Рабиновиче, с которым я также подру-
жился. Это была, без сомнения, колоритная фигура, как внешне,
так и по манере держаться, и по внутреннему содержанию. Очень
темпераментный, обладающий познаниями в разнообразных облас^
тях, он был любитель построения всякого рода теорий п заядлый
спорщик. Помню, например, как он с увлечением развивал собст-
венную теорию происхождения русского слова «раз» или дискути-
ровал по вопросу: верно ли, что в спичечной коробке число содер-
жащихся слонов равно нулю. Е.Г.Аринь с юмором парировал эти
рассуждения, хотя я отнюдь не считал их бессодержательными.
Д дМышкис
201
14. М. Рабинович не занимался исследованиями в области собст-
венно математики, но имел большие заслуги в области популяриза-
ции элементарной и основ высшей математики. Он издавал брошю-
ры типа «Математика в жизни», читал небольшие циклы лекций
(как я думаю, на уровне техникумов) и т.п. Я считаю эту его рабо-
ту очень полезной.
И.М. с энтузиазмом занимался также историей науки. В част-
ности, именно ему мы обязаны значительным усилением интереса
к выдающимуся рижскому математику П.Болю. По-моему, И.М.
изучал архивные материалы, связанные с Болем, в Тарту и Риге.
Ранее имя Боля ассоциировалось только с квазипериодическими
функциями; как-то считалось, что его результаты в области диф-
ференциальных уравнений покрываются работниками его великих
современников. И.М. решил это проверить и дал мне оттиски всех
работ Боля, чтобы я разобрал, что в них есть еще. Начав их чи-
тать, я с удивлением обнаружил, что в одной из них (опублико-
ванной в «Journal fur reine und angewandte Mathematik». 1904.
Bd.107) получен результат, из которого в качестве тривиального
следствия вытекает знаменитая теорема Брауэра о неподвижной
точке, доказанная последним лишь через несколько лет (Mathe-
matische Annalen. 1910. Bd.69/2). («Я знаю, вы будите смеяться»,
но П.Боль подробно доказал следующую лемму (!): при суперпо-
зиции двух непрерывных отображений «-мерного куба в себя по
крайней мере одна точка остается на месте!)
Я прочитал об этом доклад от имени двух авторов на заседа-
нии Московского математического общества, и он был воспринят
как сенсация: даже сам П.С.Александров не знал об этом резуль-
тате в работе Боля. (Впрочем, П.С. знал о наличии в этой же ра-
боте теоремы о невозможности непрерывного снятия тождественно-
го отображения сферы и упомянул имя Боля в связи с этим в сво-
ей книге.) Подробный отчет об этом докладе с изложением доказа-
тельства Боля был помещен в журнале «Успехи математических
наук», правда, редактор без моего ведома изменил название докла-
да, написав «...латышским математиком П.Г.Болем», что не впол-
не точно. (Боль был не латышом, а немцем; у меня было «латвий-
ским».)
Обнаружил я в работах Боля и некоторые другие понятия и
Утверждения, опередившие свое время. Мои выступления по этому
Поводу относятся к более позднему времени, когда я уехал из
Риги, но я думаю, что о них здесь следует сказать. Так, в 1961
году вышли избранные труды Боля в переводе И.М.Рабиновича;
предисловие написали мы с И.М., причем ему принадлежала биог-
рафическая часть, а мне —обзор научных работ Боля. Затем мы
это предисловие значительно расширили и в 1965 году вышла
наша книжка «Математик Пирс Боль из Риги». (В нее был вклю-
чен также обзор шахматного творчества Боля, написанный
202
Из истории отечественной матсмати
экс-чемпионом мира М.М.Ботвинником, который оказался даль
ним родственником И.М. Когда издательство «Зинатне» узнало 0
включении этого обзора, оно удвоило тираж книжки.) В том я<е
году я выступил с обзором трудов Боля на Всесоюзной научной
конференции, проведенной в Риге в связи со 100-летием со дня его
его рождения. Позже наследием Боля активно занялся Л.Э.Рей-
зинь6; на XIII Международном конгрессе по истории науки (Моск-
ва, 1971 год) он выступил с докладом «Пирс Боль - один из созда-
телей качественных методов математического анализа» в соавторст-
ве со мной.
Я возвращаюся к концу сороковых годов. Вскоре после моего
знакомства с С.Н.Крачковским мы с ним решили, что было бы хо-
рошо организовать постоянно действующий семинар или кружок,
имеющий как учебный так и научный характер, по образцу семи-
наров в Московском и Ленинградском университетах. Я не помню
точно, когда такой семинар начал работать и чем мы занимались.
Во всяком случае, это было еще до моего перехода в ЛГУ, а встре-
чались мы у С.Н. дома, на улице Калнциема в Задвинье. По-мое-
му, в работе семинара принимали участие Е.Г.Аринь, М.А.Гольд-
ман, Я.Л.Энгельсон7 и несколько студентов старших курсов.
Занимаясь математикой, я чересчур поспешно, как я теперь
понимаю, переходил от одной темы к другой, как бы следуя прин-
ципу Дон Жуана из оперы Моцарта: «Если ты верен одной жен-
щине, то изменяешь всем остальным». Этот стиль работы был
свойственен мне и в дальнейшем, он не давал возможности углу-
биться в какую-либо одну тему; результаты получались поверхнос-
тными, но, возможно, это и отвечало моим способностям. Одно из
немногих исключений составила теория дифференциальных урав-
нений с запаздывающим аргументом. Я впервые узнал о таком
уравнении 24 октября 1947 года в беседе с инженером О.В.Бялков-
ским (в дневнике сохранилась запись об этом) и тогда абсолютно
ничего не знал о них8. Но оказалось, что хотя подобные уравнения
уже встречались, начиная с 1770 года, систематически они не изу-
чались. Передо мной открылось чистое поле для работы, и резуль-
таты посыпались как из ведра. В декабре 1949 года я закончил
докторскую диссертацию, представлявшую собой объединение че-
тырех опубликованных и четырех принятых к печати статей на эту
тему. Конечно, тут мне повезло. Позже, когда перешел в ЛГУ, я
продолжал заниматься этой темой, привлекая к ней и студентов. И
в 1951 году в Москве была издана моя первая книга «Линейные
дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом»!
Ученый совет ЛГУ за эту работу выдвинул меня на Сталинскую
премию. (Однако гонорар за нее я получил с большим трудом, так
как по неопытности написал тему «Дифференциальные уравнения
с запаздывающим аргументом» в план моей научной работы, а для
выплаты гонорара надо было представить справку о том, что книга
А 1 Мышкис
203
не входила в план моей научной работы! Ссылки на то, что у меня
есть и другие публикации, успеха не имели и меня выручило толь-
ко то, что в названии книги присутствовало слово «линейные», ко-
торого не было в теме работы, а это, якобы, существенно меняет
содержание.)
В конце 1949 года оба высших авиационных инженерных во-
енных училища были слиты в одно, в результате чего произошли
кадровые сокращения. В частности, обе математические кафедры
объединили, и один из двух начальников оказался лишним, приш-
лось выбирать между Н.К.Усмановым9 и мной. Как мне позже
рассказывал В.А.Дьяков10, бывший заместителем начальника на-
шего училища и поддерживавший мою кандидатуру, на все его до-
воды следовал ответ: «Да, но Усманов —советский человек». На
чем и порешили. В Москве мне предложили поехать начальником
кафедры в Тамбовское среднее военное училище, и когда я, в свою
очередь, предложил меня демобилизовать, за это предложение ух-
ватились, как мне показалось, с явным облегчением. 20 января
1950 года я был демобилизован.
Два эпизода до демобилизации, которые мне трудно датиро-
вать. Как-то ко мне обратились (не помню, из какой инстанции) с
просьбой принять участие в обследовании работы Рижского педа-
гогического института. Я беседовал с заведующим кафедрой мате-
матики Сиполсом, с преподавательницей, со студентами, впечатле-
ние осталось у меня негативное. Думаю, что объединение РПИ с
ЛГУ, которое произошло уже после моего отъезда из Риги, было
вполне обоснованным, тем более, что значительная часть выпуск-
ников ЛГУ все равно становились педагогами средних школ.
Другой эпизод. Как-то ко мне на квартиру пришли Янис Яно-
вич Икауниекс и еще кто-то. Они имели определенный вес (по-мо-
ему, по партийной линии) и обратились ка мне с предложением
Демобилизоваться, перейти на работу в Академию наук Латвии и
стать директором реорганизуемого Института физики и математики
Академии наук. Мне показалась демобилизация нереальной, и я
остался. Тогда такое же предложение было сделано И.М.Кирко11
(он заведовал кафедрой физики в том же училище, где работал я),
и он согласился. В результате через некоторое время Институт фи-
зики и математики был реорганизован в Институт физики, и Лат-
вия на многие годы осталась без академического института матема-
тики. Как велика роль случайностей в нашей жизни!
Итак, с февраля 1950 года я перешел на работу в ЛГУ и вскоре
стал заведующим кафедрой общей математики. Я не знаю точно, по-
чему решили заменить мной Н.А.Бразму; возможно, из-за того, что,
как я слышал, он преподавал и во время оккупации Латвии нем-
цами, а к этому тогда относились с преувеличенным вниманием.
В то время на физмате ЛГУ были две математические кафед-
Ры. Кафедрой математического анализа заведовал профессор
204
Из истории отечественной математ.
А.Я.Лусис12, на ней, если я не ошибаюсь, были еще Е.Г.Аринь я
Марцевич Томсон, Г.К.Энгелис13, не помню, кто еще. На кафёдЛ
общей математики кроме меня были Л.Я.Березина14, Н.А.Бразма
В.К.Детловс15, Э.Я.Риекстыньш16 и Я.Л.Энгельсом. Немного п'Оз’
же ликвидировали маленькую кафедру при инженерном факульте-
те и на нашу кафедру пришли ее члены—В. Викс не, К.Вишкинд I
К.А.Залт17. Кафедра математического анализа вела почти все дис.
циплины для математиков, а наша кафедра обслуживала физиков
и астрономов, а также вела курсы математики на других факульте-
тах. Впрочем, некоторые курсы мы читали и математикам: в част-
ности, я читал лекции по дифференциальным уравнениям и мате-
матической физике, Л Я.Березина —по геометрии.
Общим уважением пользовался А.Я.Лусис. Он был долгое вре-
мя единственным профессором на факультете; был доброжелатель-
ным, всегда спокойным, не вступал в дискуссии. Во время моей ра-
боты в ЛГУ он, насколько мне известно, уже мало занимался актив-
ными исследованиями в области математики. Думаю, что в то время
его деятельность была больше нацелена на общее математическое
образование студентов: но при переходе к самостоятельным иссле-
дованиям у студентов появлялись другие руководители (это отно-
сится, в частности, к Л.Э.Рейзиню). Мне известна за это время
только одна довольно простая статья А.Я. в «Ученых записках» фа-
культета, а также две статьи, написанные совместно А.Я. с несом-
ненно способным студентом Б.Б.Леви на основе дипломной работы
последнего. К сожалению, Леви после окончания ЛГУ не приняли в
аспирантуру, хотя мы его рекомендовали. Думаю, причиной было
то, что Леви —еврей. (Помню, как А.Я.Лусис негодовал по поводу
того, что Леви предъявили обвинение: как тот мог выжить, нахо-
дясь в немецком концлагере.) Как я слышал, в дальнейшем Леви
оставил математику и в конце концов уехал в США.
На нашей кафедре самым опытным преподавателем был
Н.А.Бразма. Он был очень добросовестным и исполнительным сот-
рудником, по характеру педантичным и несколько суховатым.
Помню, как он при каждой встрече со мной доставал тетрадь с
большим числом вопросов, которые он считал нужным обсудить.
Каждый из этих вопросов после обсуждения он аккуратно вычер-
кивал; некоторые из них были совсем мелкие, но все равно они
имели в списке свой номер. (При этом он употреблял своеобразное
выражение: «Меня озобачивает, что...».) Ему очень долго не прис-
ваивали звание доцента, хотя он был кандидатом наук, и кафедра
неоднократно ходатайствовала об этом. Вероятно, причина была та
же, что я упоминал выше, в связи с его заведованием кафедрой.
Н.А.Бразма занимался исследованием обобщенной системы те-
леграфных уравнений (обобщение состоит в том, что вместо одного
провода рассматривается пучок взаимодействующих проводов). Он
имел ряд публикаций на эту тему, поддерживал связь с
205
А д Мышкис
стными специалистами В.И.Коваленковым в Ленинграде и
О Кузнецовым18 в Москве, вовлек в эту тематику Э.Я.Риекс-
ньша, меня и дипломников. Думаю, что отчасти из-за этого у
р екстынына усилился интерес к специальным функциям, а через
Г|(Х к асимптотическим разложениям, что определило основное
направление его работы в дальнейшем.
У меня с Н.А.Бразмой была совместная статья на эту же тему,
где по его предложению было четко оговорено, какая часть кем на-
писана (обычно в совместных статьях я этого не делаю). Впоследс-
твии у меня эта тема трансформировалась в исследование систем
^равнений гиперболического типа с одной пространственной пере-
менной, что стало для меня одним из основных направлений рабо-
ты.
Э.Я.Риекстыньш был также одним из основных сотрудников
кафедры. В нем всегда чувствовалась некая основательность, уве-
ренность в сочетании с ровным отношением ко всем и необидным
юмором. Думаю, что к нему хорошо относились все, кто его знал.
В исследованиях он уверенно шел своей дорогой, и я нисколько не
был удивлен, когда увидел (уже после моего отъезда), что его це-
леустремленная работа привела к значительным результатам, и он
превратился в выдающегося ученого. Когда я в 1953 году уезжал
из Риги и меня спросили (проректор по научной работе и кто-то
еще), кого я рекомендую на свое место, я уверенно назвал Э.Я.
Надеюсь, что это в какой то мере повлияло на его назначение, и
полагаю, что он был образцовым заведующим кафедрой —во вся-
ком случае, гораздо лучшим, чем я.
В.К.Детловса я знал хуже, так как его научные интересы (ма-
тематическая логика) были далеки от моих. Но когда возник воп-
рос о его поездке в Ленинград к А. А. Маркову для обучения в ас-
пирантуре, я его поддержал вопреки возражениям декана Эрнста
Карловича Папедиса («зачем нашему факультету это надо» и
т-п.), обратившись непосредственно к проректору по научной рабо-
Те- Эта поездка состоялась, и диссертация Детловса написана на
высоком уровне. Я знал его также как принципиального, смелого
человека и, когда уезжал из Риги, рекомендовал его на должность
декана факультета: это место освободилось, так как Папедис стал
проректором по учебной работе. И эта рекомендация была принята
в° внимание, несмотря на то, что Детловс был одним из молодых
Преподавателей.
С удовольствием я вспоминаю работу с Я.Л.Энгельсоном, ко-
т°рый тогда был самым молодым из преподавателей математики,
СтУденты называли его «Яша». Мне приятно думать, что его выбор
Направления диссертации и научного руководителя (М.М.Вайн-
°еРг) вылился из обзорного доклада, который я поручил ему про-
читать на семинаре по дифференциальным уравнениям.
Старейшим преподавателем на факультете в мое время был
А-Залтс. Правда, он работал на нашей кафедре совсем недолго.
206
Из истории отечественной матсматц
Он был очень спокойным, тихим, даже, пожалуй, робким. Кт0-То
мне говорил, что он сохранял копии всех записок, даже самых нез.
начительных, которые кому-либо писал. Он имел несчастье по-
пасть в немилость к ректору: где-то непочтительно отозвался 0
московском метро, а во времена Ульманиса опубликовал четыре
статьи в газете крайне правого направления. (Правда, это были
статьи о статистических материалах в латышских дайнах.) Его со-
бирались уволить из ЛГУ; не помню, успели ли это сделать, так
как он в 1953 году умер.
Важной формой моей работы со студентами, весьма полезной
и для меня, был семинар исследовательского характера при нашей
кафедре. Я передал в ЛГУ сохранившиеся у меня объявления о
140 занятиях семинара, начиная с февраля 1951 года и до моего
отъезда из Риги; занятия были и ранее, но материальных следов от
них не осталось. Занятия проходили раз в неделю по вечерам в те-
чение четырех часов—обычно два независимых заседания по два
часа. В объявлениях указывалось, на какой уровень подготовки
было рассчитано каждое занятие. На них студенты выступали с из-
ложением журнальных статей, которые мне казались интересными
или перспективными для самостоятельной работы, либо рассказы-
вали о собственных результатах. Я привлекал студентов к моим
направлениям работы — помимо упомянутых выше, это были раз-
личные другие вопросы теории дифференциальных уравнений, а
также топологии, ТФДП и др.; в результате появился ряд совмест-
ных статей. На семинаре выступали и преподаватели, а также гос-
ти из других организаций Риги и других городов.
Из числа наиболее активных участников семинара отмечу
А.Я.Лепина19. Он стал получать самостоятельные результаты, начи-
ная со второго курса, а в аспирантуру поступил сразу после четвер-
того курса. (Правда, вскоре его чуть не отчислили, так как какое-то
сочинение по основам марксизма-ленинизма он для ускорения дела
откуда-то списал, и мне пришлось писать объяснение по этому пово-
ду.) Когда я переехал из Риги в Минск, он в качестве аспиранта
поехал со мной, там он и защитил диссертацию. После этого он за-
интересовался программированием на ЭВМ, и я «сосватал» его
вместо себя в один из ВЦ в Подмосковье. Оттуда он вернулся в
Ригу, стал работать в ВЦ при ЛГУ и, в конце концов, стал его ДИ'
ректором, вскоре после того как Е.Г.Ариню из-за плохого состояния
здоровья стало трудно занимать эту беспокойную должность.
В начале шестидесятых годов, когда я уже жил в Харькове, Я
как-то встретился с А.Я.Лепиным, по-моему, па одной из матема-
тических школ. Я тогда занимался статьей М.А.Рутмана об оценке
производных априори ограниченного решения линейного дпффе'
ренциального уравнения и предложил А.Я. распространить эти ре-
зультаты на сильно нелинейные уравнения с точной оценкой степе-
ни нелинейности Отсюда и из идеи априорной оценки решении
д МЫШКИС
207
„аевой задачи получилось несколько совместных статей А.Я. со
мной. В дальнейшем это направление активно развивалось с сот-
удниками ВЦ ЛГУ, появились монографии, а А.Я. защитил док-
торскую диссертацию, хотя и по ряду причин со значительной за-
держкой. Кстати, я не исключаю, что эта работа могла как-то пов-
тиять и на Ю.А.Клокова20, так как он тогда занимался исследова-
ниями на близкую тему.
Из других участников семинара хочу отметить Э.И.Вигант21
(позже —Лепина), Д.А.Фреймане (Боже)22 и И.Ю.Эгле23, которые
позже были моими аспирантками, успешно защитили диссертации
п стали доцентами ЛГУ и РПИ. А самой первой моей аспиранткой
была В.Э.Аболиня24, которая закончила диссертацию в Минске и
после этого работала в ВЦ ЛГУ.
Теперь я хочу написать о Л.Э.Рейзнне. Когда я начал препо-
давание в ЛГУ, он только что закончил университет и стал аспи-
рантом, его руководителем был А.Я.Лусис. Но через год ему
предъявили какое-то обвинение и его исключили из аспирантуры
(в декабре 1949 г.); он на несколько лет (с 1950 по 1959 гг.) стал
преподавателем средней школы. Вскоре он заинтересовался качест-
венной теорией дифференциальных уравнений. (Я не помню сей-
час, как это произошло; возможно, что как-то повлиял спецкурс,
который я тогда читал в ЛГУ на эту тему.) Прочитав рукопись од-
ной из его первых работ по теории точек покоя в трехмерном прос-
транстве, я обратил его внимание на то, что здесь можно с успехом
применить алгебраическую топологию, чем он в дальнейшем широ-
ко пользовался. В итоге упорной целеустремленной работы он за-
щитил докторскую диссертацию, получил заслуженную извест-
ность и стал одним из наших основных специалистов в данной об-
ласти. Я неоднократно с ним встречался на различных конферен-
циях, а также, когда приезжал в Ригу; переписывался с ним по
различным поводам и вообще считал его своим другом в широком
смысле этого слова. В результате этих контактов возникло нес-
колько совместных работ с любопытными примерами поведения
траекторий автономных систем в трехмерном пространстве. Ду-
маю, что его интерес к уравнениям Пфаффа также возник, в ка-
кой-то степени, в связи с моими выступлениями на эту тему. Я
горжусь тем, что как он мне как-то сказал, он считает •меня одним
из трех своих основных учителей, наряду с А.Я.Лусисом и
В-В.Немыцким. Л.Э.Рейзинь обладал ярко выраженным общест-
венным темпераментом в хорошем смысле слова. Думаю, что никто
из математиков не сделал столько для развития науки в Латвии,
как он. Он мне рассказывал о своем участии в различных советах,
экспертных (причем не только по математике), в работе Латвийс-
кой энциклопедии и т.д. Он был редактором полного собрания со-
чинений П.Боля и написал к ним содержательные комментарии о
Развитии идей Боля. Когда Э.К.Фогеле25 (серьезный специалист в
208
Из истории отечественной
Ц^емаг^
области теории чисел и весьма оригинальный человек— гак, он От
казался от получения зарплаты, как его ни уговаривали) написад
большую работу с доказательством гипотезы Римана о нулях д3е
та-функции, Л.Э. подробно разобрал рукопись и обнаружил ощИб.
ку, не замеченную Фогелсом. А когда я лет 15 назад подумывало
том, чтобы вернуться в Ригу, Л.Э. предпринял шаги в этом нап-
равлении, которые, правда, окончились ничем. Впрочем, с учетом
современной ситуации, это, пожалуй, получилось к лучшему.
Возвращаюсь к рассказу о моей работе в ЛГУ. Я в те годы
тоже обладал общественным темпераментом. Не раз я читал лекции
для преподавателей средней школы на различные темы. Принимал
участие в организации одной из первых школьных математических
олимпиад. Много сил затратил на подготовку первого выпуска
«Ученых записок» физмата ЛГУ (издан в 1952 г.). С тех пор «Уче-
ные записки» регулярно выходили. Еще помню, как однажды напи-
сал сочинение на тему «Как подготовиться к исследовательской ра-
боте», и оно долго висело в коридоре на русском и латышском язы-
ках (В.К.Детловс перевел по собственной инициативе).
Кстати о языках. Я неплохо понимал латышский язык, если
разговор велся на известную мне тему, но сам говорить по-латышс-
ки стеснялся. Поэтому на экзаменах в латышской группе было так:
я задавал вопрос по-русски, но просил студента отвечать по-ла-
тышски, если ему так было удобней.
Особо хочу вспомнить организованный мной студенческий
конкурс решения задач «на е и 8». Идея была такая: в обычном
определении равномерной непрерывности функции что-либо изме-
няется (например, не сказано что е>0, и т.п.) и требуется выяс-
нить, какой класс функций обладает данным свойством, написав
соответствующее доказательство. (Такие задачи предлагал в моей
группе доцент И. М. Гельфанд, когда я был студентом первого кур-
са.) Задач было около 25, за каждую ставились баллы в соответст-
вии со степенью трудности; и эти балы суммировались. Победите-
лем оказался Б.Б.Леви, набравший почти стопроцентный резуль-
тат. (Вспоминается как курьез, что один из участников конкурса в
случаях, когда сформулированным свойством обладали все функ-
ции, писал «все и только все», причем доказательство, как и в
других случаях, состояло из двух частей: «все обладают» и «толь-
ко все обладают». После этого мы часто говорили «все и только
все».) Впоследствии группа сотрудников ВЦ ЛГУ под руководст-
вом А.Я.Лепина существенно пополнила набор этих задач и выпус-
тила в свет брошюру «Задачи на е и 8», которая имела успех, как
в Риге, так и за ее пределами.
Воспитанный в духе традиций мехмата МГУ, я был сторонни-
ком неформального общения, как со студентами, так и с препода-
вателями, когда это было возможно. После заседаний семинара
студенты провожали меня, я ходил на их вечера и т.п. (ПозЖе
Д>1ыШКИС
209
которые из них —А.Я.Лепин, Э.И.Лепина, И.Ю.Эгле —стали мо-
ближайшими друзьями.) Моя квартира на улице К.Маркса
(ГертрУдинекой). 54—1 была открыта для посещений знакомым и
незнакомым, для консультаций и деловых бесед. Летом такой же
открытой становилась дача на взморье, которую мы каждый год
снимали в другом месте.
Вот один из примеров. Как-то ко мне на квартиру пришла нез-
накомая пожилая женщина и принесла толстенную рукопись, кото-
рая осталась от ее покойного мужа—преподавателя средней шко-
ты. Оказалось, что он в течение многих лет составлял таблицы ум-
ножения трехзначных чисел на двузначные: такие таблицы могут
сищественно помочь при вычислении вручную. Женщина просила,
чтобы я помог в издании этих таблиц. Но они не только по содер-
жанию, но даже по форме полностью совпадали с хорошо извест-
ными таблицами О’Рурка! Конечно, женщина была очень огорче-
на. Я написал заметку «Об одном педагоге —выдающемся вычис-
лителе» и попытался опубликовать ее в «Математике в школе»,
но, к сожалению, там этим материалом не заинтересовались. Тогда
я передал рукопись вместе с заметкой в библиотеку факультета;
возможно, что она и сейчас там находится.
Постепенно я стал в какой-то мере известен и среди «сильных
мира сего». Меня несколько раз приглашали в ЦК КП Латвии,
чтобы я составил ответы на письма, имеющие отношение к матема-
тике, которые поступали непосредственно в ЦК КП Латвии, либо
пересылались туда из ЦК КПСС. По большей части это были «от-
крытия», сопровождавшиеся пышными словами. Так, запомнилось
послание такого содержания: «Я открыл, что если концы отрезка
движутся по сторонам прямого угла, то каждая точка этого отрезка
описывает эллипс, и хочу преподнести это открытие в дар Советс-
кому народу».
Репутация эксперта осталась за мной и после отъезда из Риги.
Уже через несколько лет мне прислали из ЦК КП Латвии на от-
зыв рукопись учебника по высшей математике не известного мне
автора. Но отзыв оказался отрицательным, так как в рукописи
было много существенных недостатков. (Запомнился такой «ше-
Девр»: в качестве примера на применение интегралов автор вычис-
лил площадь розы, вписанной в круг радиуса г, и в результате вы-
числительной ошибки получил ответ пг22, после чего было написа-
но: «Мы пришли к интересному результату — площадь розы, впи-
санной в круг, равна площади этого круга»!)
К концу моего пребывания в Риге относится моя первая и, к
счастью, последняя попытка вступить в КПСС. Должен сказать,
Что я, как и многие из моего поколения, был убежден в прогрес-
сивности нашего строя и правильности направления нашей полити-
ки, а ошибки и всякого рода эксцессы, вплоть до грубейших нару-
шений законности (я их, конечно, видел, но истинных масштабов
210 Из истории отечественной математики
не представлял), относил к деятельности отдельных людей. Ду.
маю, что такие идеи я сообщал и студентам, в чем теперь должен
покаяться: прозрение пришло значительно позже. Я советовался
по этому поводу в ЦК КП Латвии, указав на два наиболее беспо-
коивших меня тогда явления: грубую критику наших великих ком-
позиторов и поощрение антисемитизма. Получив разъяснения по
этому поводу, я стал собирать рекомендации; но «к счастью» в .что
время произошел скандал, о котором я чуть позже напишу, и этот
вопрос отпал.
В работе возникали и конфликты, порой довольно существен-
ные. Надо сказать, что на факультете «общественная жизнь» била
ключом. Ни до, ни после ЛГУ я не видел, чтобы профсоюзные
собрания собирали столь обширную аудиторию, проходили в такой
активной форме и длились часами. Порой усердно обсуждались
странные вопросы, например: можно ли подавать дипломные рабо-
ты на конкурс студенческих научных работ; или — в качестве кого
я руковожу семинаром по дифференциальным уравнениям. Время
от времени сверху спускали кампании: по связи с предприятиями,
по изучению и внедрению трудов Сталина и т.п., обо всем этом
надо было отчитываться. А я все время говорил и писал об одном:
надо развивать научную работу на кафедрах. Здесь я выступал
вместе с моим другом, заведующим кафедрой теоретической физи-
ки, Петром Ефимовичем Куниным. (Позже я узнал, что он был
другом и А.Д.Сахарова.) Думаю, что я при этом по молодости лет
перегибал палку и не всегда был тактичен, о чем сейчас глубоко
сожалею; я не учитывал психологию людей, воспитанных в совер-
шенно других условиях, с отличными от моих приоритетами.
Особенно трудные отношения у меня сложились с деканом
(позже проректором) Э.К.Папедисом, который, по-моему, был со-
вершенно чужд науке, но мог без подготовки произносить длинные
речи на любую общественную тему. Он откровенно тормозил пред-
ставление меня к званию профессора. Плохие отношения сложи-
лись у меня и с партийной организацией факультета. В «Цине»
появилась большая критическая статья Н.А.Бразмы по моему ад-
ресу, в значительной мере основанная на недоразумениях; но мои
ответ редакция опубликовать отказалась. Все это выводило меня
из равновесия. Как-то раз, придя на лекцию, я обнаружил в ма-
ленькой аудитории, кроме студентов еще стенографистку и тсхни
ка, записывающего лекцию на сильно свистящий магнитофон-
(Позже такая практика была осуждена.) Я был совершенно выбит
из колеи и думал только о том, не прекратить ли мне лекцию, ко-
торая, по существу, была сорвана. В конце я не выдержал и про-
изнес несколько резких слов, а позже подал ректору протест, сос
тавленный в еще более резких выражениях. Разразился скандал-
по разным линиям меня дружно осуждали; как я узнал позже,
ректор отозвал представление меня на Сталинскую премию, сде-
ланное ранее.
д Мышкис 211
На это наложилось еще одно существенное обстоятельство. У
моего младшего сына обнаружилась бронхиальная астма, и за зиму
оН несколько раз болел воспалением легких. Врач сказал, что при-
чина—влажный климат Риги. Надо было уезжать, хотя я сердцем
прирос к Риге. Студенты, бывшие в курсе моих дел, трогательно
прощались со мной.
Ректор МГУ И. Г.Петровский предложил мне перейти в МГУ.
Но ректорат ЛГУ оказал мне «последнюю услугу» — характеристи-
ку выслали в МГУ после окончания срока подачи документов на
конкурс (тогда была распространена такая форма мести). Петровс-
кий рассказал мне, что характеристика содержала, в частности, та-
кие слова, вызвавшие общее удивление: «По характеру самолюбив
и вспыльчив».
В итоге с осени 1953/54 учебного года я перешел в Белорусс-
кий государственный университет. Но контакты с рижскими мате-
матиками длились еще долго, о чем я частично написал выше.
Вероятно, мне следует рассказать еще об одном мрачном эпи-
зоде. Примерно в 1956 году, когда я приехал в Ригу, мне переда-
ли, что со мной хочет встретиться доцент Эйдус (физик). Я был с
ним немного знаком, когда жил в Риге, знал его как высокоинтел-
лигентного квалифицированного преподавателя. Знал, что он был
репрессирован незадолго до смерти Сталина и реабилитирован,
по-моему, в 1955 году. Он рассказал мне подробности своего арес-
та и сообщил, что при реабилитации он имел возможность ознако-
миться со своим «делом». В числе прочего, там были утверждения,
принадлежащие различным авторам, о том, что я являюсь органи-
затором шпионско-вредительской группы. Эйдус назвал мне и ав-
торов этих утверждений, один из них был мне довольно близок.
Конечно, это могли быть фальшивки или результаты усиленного
давления, но все равно было тяжело узнать об этом.
В заключение хочу сказать несколько общих слов. Прежде
всего, я пишу по памяти, почти без каких-либо материалов. Поэто-
му возможно, что я допустил те или иные фактические ошибки, но
не по умыслу26. Кроме того, моя персона занимает в этих записках
порой слишком много места, да и кое-что может показаться не
слишком скромным. Но по названной причине я воспроизвожу, в
основном, эпизоды, в которых я непосредственно участвовал. А по
поводу нескромности могу сказать, что по прошествии стольких
лет местоимение «я» почти не отличается от «он»; по существу, я
вспоминаю о совсем другом человеке, чем автор этих записок...
Примечания
Крачковский Сергей Николаевич, 17.4.1910 — 6.2.1992, родился в г. Витебске, окоп
ЧИЛ Ленинградский университет (1937), кандидат физико-математических наук
(1947), доцент (1952), старший научный сотрудник (1964) (См. ИАН ЛатвССР.
1950. №11; Ученые записки Латвийского университета. 1958. №20; ИАН ЛатвССР.
1965. №3.)
212 Из истории отечественной математик,,!
2 Гольдман Михаил Абрамович, кандидат физико-математических наук, доцент.
3 Бразма Николай Адольфович, 28.5.1913 — 28,12.1966, родился в г.Резекне, окончил
Латвийский университет (1936), кандидат физико-математических наук (1946) пр.
цент (1956).
4 Аринь Эйжен Индрикович, 16.5.1911—?, родился в г.Красноярске, окончил Дат.
вийский университет (1946), кандидат физико-математических наук, доцент, заслу-
женный деятель науки и техники Латвийской ССР.
5 Рабинович Исаак Моисеевич, 1.9.1911 — ?, родился в г.Краславе, окончил Латвий-
ский университет (1945).
6 Рейзинь Линард Эдуардович, 14.1.1924 — 31.3.1991, родился в г.Ригс, окончил Лат-
вийский университет (1948), доктор физико-математических наук, профессор.
7 Энгельсов Яков Леопольдович, родился 29.7.1925 в г.Риге, окончил Латвийский
университет (1948), кандидат физико-математических наук (1959), доцент (1964).
8 Первые мои попытки в этой области были весьма наивными, и мои друзья, к которым
я обращался, также не имели понятия об этих уравнениях. Наконец, А.Н.Колмого-
ров указал мне на работы Ф.Шюрера и О. Н. Полосу хи ной, а И. И. Ворович —на не-
которые прикладные работы в этом направлении; отталкиваясь от этих работ, я об-
наружил около сотни других.
9 Усманов Нури Калимуллович, родился 3.12.1912 в деревне Шихирданы Чувашии, окон-
чил Казанский университет (1936), кандидат физико-математических наук доцент.
10 Дьяков Владимир Александрович, доктор технических наук, профессор.
11 Кирко Игорь Михайлович, родился 16.4.1918, окончил Московский университет
(1941), доктор физико-математических наук, профессор.
12 Лусис Арвид Янович, 24.11.1900—1969, родился в с.Кони Руснского района Лат-
вии, окончил Латвийский университет (1924), доктор физико-математических наук
(1946), профессор (1946).
,3 Энгелис Георгий Карлович, родился 6.10.1917 в г.Петрограде, окончил Латвийский
университет (1940), кандидат физико-математических наук, доцент.
14 Березина Любовь Яковлевна, родилась 30.6.1921 в г.Риге, окончила Латвийский
университет (1946), кандидат физико-математических наук (1957).
15 Детловс Виталнис Карлович, родился 26.5.1923 в г.Риге, окончил Латвийский уни-
верситет (1948), кандидат физико-математических наук (1953), доцент (1956).
16 Риекстыньш Эдуард Янович, 9.10.1919 — 22.5.1992, родился в Рижском районе Лат-
вии, окончил Латвийский университет (1946), кандидат физико-математических
наук (1952), доцент (1955).
17 Залтс (Залт) Карл Яковлевич, 22.3.1885 —28.6.1953, окончил Киевский политехни-
ческий институт (1912), Латвийский университет (1936), магистр математики, док-
тор инженерных наук.
18 Кузнецов Петр Иванович, родился 21.9.1911 в деревне Леоново Тверской губернии,
окончил Московский торфяной институт (1934), Московский университет, доктор
физико-математических наук (1949), профессор (1952).
19 Лепин Арнольд Янович, родился в 1930 г., окончил Латвийский университет (1952).
доктор физико-математических наук, профессор.
20 Клоков Юрий Александрович, родился 10.5.1929 в поселке Коловертнос Запад-
но-Казахстанской области, окончил Латвийский университет (1951), доктор физи-
ко-математических наук, профессор.
21 Вигант (Лепина) Эра Ивановна, родилась 23.4.1928 в г. Костроме, окончила Латвий-
ский университет (1952), кандидат физико-математических наук.
22 Фреймане (Боже) Дзидра Альбертовна, окончила Латвийский университет (1952)-
кандидат физико-математических наук, доцент.
23 Эгле Ина Юльевна, родилась 9.6.1930, окончила Латвийский университет (1953)-
кандидат физико-математических наук, доцент.
24 Аболиня Велта Эдуардовна, родилась 9.7.1926 в г.Риге, окончила Латвийский уп**,'
верситет (1951), кандидат физико-математических наук (1955), старший научный
сотрудник (1960).
Т Л.ТркаРева_____________________________________________________________213
25фогслс Эрнест Кристович, родился 12.10.1910 в Скрундском районе Латвии, окон-
чил Латвийский университет (1933), кандидат физико-математических паук (1951),
чоиент (1947), старший научный сотрудник (1951).(См. ИАН ЛатвССР. серия фи-
зико-технические науки. 1961. №3.)
26 Некоторые из этих ошибок устранила И.А.Хсниня, зачтоясй глубоко благодарен.
ПЕРВЫЕ СЪЕЗДЫ ОТЕЧЕСТВЕННЫХ МАТЕМАТИКОВ:
ПРЕДЫСТОРИЯ И ФОРМИРОВАНИЕ СОВЕТСКОЙ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ШКОЛЫ1)
Т.А. Токарева
До революции съезды отечественных математиков не созыва-
лись. Лишь в рамках Всероссийских съездов естествоиспытателей
и врачей работали математические секции, где обсуждались также
вопросы астрономии и механики.
Вообще, история съездов ученых-естественников берет начало
в Западной Европе в 1815 г. (Швейцария). Затем прошли первые
съезды естествоиспытателей и врачей в Германии (1822 г.) и Анг-
лии (1831 г.). Эти события не остались незамеченными в России.
В 1856 г. в Министерство народного просвещения поступила док-
ладная записка от киевского зоолога К.Ф.Кесслера о необходимос-
ти проведения естественно научных съездов в России. Однако его
инициатива не получила поддержки. К.Ф.Кесслеру удалось соз-
вать лишь два съезда естествоиспытателей Киевского учебного ок-
руга в 1861 и 1862 гг.
Первый Всероссийский съезд естествоиспытателей и врачей от-
крылся уже в пореформенной России, в Петербурге 28 декабря
1867 г. по ст. стилю. Его организаторами, как и всех последующих
Двенадцати съездов (II —Москва (1869 г.), III —Киев (1871 г.),
IV —Казань (1873 г), V —Варшава (1876 г.), VI —Петербург
(1879/80 г.), VII —Одесса (1883 г.), VIII - Петербург (1889 г.),
XIX —Москва (1894 г), X —Киев (1898 г.), XI —Петербург
(•901 г.), XII —Москва (1909 г.), XIII—Тифлис (1913 г.)), высту-
пали российские университеты. Работу, в частности, математичес-
ких секций курировали физико-математические факультеты.
Примечательны задачи, ставившиеся перед ученым сообщест-
вом с трибуны съездов.
м Обращаясь к участникам III Киевского съезда, А.О.Ковалевс-
кий определил их следующим образом: «1) исследование России в
естественно-историческом отношении; 2) распространение естест-
венно-исторических знаний в публике; 3) сближение и знакомство
Русских ученых между собой» [1, с. 19 —20].
1) Работа выполнена при финансовой поддержке Российского гуманитарного на-
Увчого фонда (коды проектов: №99-03-19868; №01-03-00259)
214
Из истории отечественной математик
На VI Съезде (1879 80 г.) Д.И.Менделеев призвал русских
ученых «подумать о том, чтобы послужить нуждам той страны, где
мы живем и работаем. Работая на пользу всемирной науки,
конечно, вносим свою дань родине. Но ведь у нее есть нужды лич-
ные, местные. К числу таких относятся иные, которые восполнить
и удовлетворить мы можем легче и удобнее, чем кто-либо другой
нам они виднее и доступнее» [2, с.74].
Возможно, лучшая из характеристик Всероссийских съездов ес
тествоиспытателей как «Праздников русской науки» была дана в
1894 г. К.А.Тимирязевым при открытии IX Съезда: «Если первые
съезды считали своих участников сотнями, то последние насчитыва-
ют их уже тысячами. Этот факт, прежде всего, останавливает на
себе наше внимание, - все частные недочеты, все теневые стороны
нашей будничной научной жизни на время заслоняются отрадным
общим впечатлением, заставляющим безраздельно любоваться этой
наглядною картиной могучего и все ускоряющегося роста всем нам
дорогого дела. Вот это-то общее настроение я не умею лучше харак-
теризовать, как назвав его радостным, праздничным» [3, с.39].
Съезды естествоиспытателей очевидным образом способствова-
ли образованию научных обществ в России. При университетах,
например, были основаны математические общества: Московское
(1867 г.), Харьковское (1879 г), Петербургское (1890 г.), Казанс-
кое (1890 г.).
Что до собственно математических секций съездов естествоис-
пытателей, то они собирали от 50-ти (на первых) до 450-ти (на
последних съездах) участников, в числе которых в разное время
были: П.Л.Чебышев, В.Г.Имшенецкий, А.А.Марков, А.Н.Коркин,
Н.Я.Сонин, Е.И.Золотарев, Г.Ф.Вороной, С.В.Ковалевская,
Н.Е.Жуковский, В.А.Стеклов, A. IO. Давидов, Н.В.Бугаев,
Б.К.Млодзеевский, Д.Ф.Егоров, В.П.Ермаков, К.А.Андреев,
Д.М.Синцов, А.В.Васильев, В.В.Бобынин.
Около 230-ти докладов и сообщений по математическому ана-
лизу, теории дифференциальных уравнений, математической физи-
ке, теории функций, алгебре, теории чисел, геометрии, истории
математики, а также по элементарной математике и вопросам пре-
подавания было заслушано на протяжении всей истории съезд08
естествоиспытателей. Цифры эти колебались от 6-ти (на первом
съезде), 10-ти и 12-ти (на втором и третьем соответственно) Д°
27-ми (на двенадцатом съезде) и 31-го (на последнем в 1913 г.) [4:
5; 6, с.320].
Особо следует отметить деятельное участие в работе съездов
Пафнутия Львовича Чебышева [7], «одного из величайших масте-
ров анализа всех времен» [8, с.450]. На II, III, V, VI съездах ес-
тествоиспытателей Пафнутий Львович выступил с 12 докладами и
сообщениями: «Об особом методе исследования функций при п°'
мощи суммирований», «О функциях, наиболее подходящих к
т А/Г°каР-_____________________________________________________
ю в данных пределах», «О параллелограммах» (1869 г.) [9,
293 — 295]; «О наибольших и наименьших величинах», по докла-
У Н-В.Бугаева «О некоторых приложениях учения о числовых
производных», по докладу В.П.Ермакова «О критерии сходимости
рядов» (1871 г.) [там же, с.296 — 303]; «Об определении орбит
планет по многим наблюдениям», «О вспомогательном множителе
для дифференциальных уравнений первого порядка», «О сумми-
рующей машине с непрерывным движением», «О сочленении, дос-
тавляющем плоскости горизонтальное движение» (1876 г.) [там
же, с.307 —310]; «О простейших параллелограммах», «О центро-
бежных регуляторах» (1879 80 г.) [там же, с.310 —312].
Не станут отвлечением и еще несколько слов о роли П.Л. Че-
бышева и съездов естествоиспытателей в судьбе самих естествоис-
пытателей и научных сообществ, неразделимых тогда с математи-
ческим корпусом. Так, когда в 1874—1880 гг. Софья Васильевна
Ковалевская отошла от научной работы и «мысленно порвала с ма-
тематикой», Пафнутий Львович, пытаясь побудить ее интерес к
математическим занятиям и математического сообщества к ней,
предложил принять участие в работе VI Съезда. С.В.Ковалевская
с энтузиазмом откликнулась и за одну ночь написала доклад «О
приведении абелевах интегралов 3-го ранга к эллиптическим», ко-
торым «произвела общее впечатление и заслужила одобрение Че-
бышева» [10, с.107]. На этом же съезде присутствовал профессор
Гельсингфорсского университета Г.Миттаг-Леффлер, ранее знако-
мый с С.В.Ковалевской, но именно эта петербургская встреча ста-
ла началом их многолетней дружбы и плодотворного сотрудничест-
ва [И, с.33-34].
На Петербургском съезде 1879/80 г. П.Л.Чебышев выступил
ч был поддержан с ходатайством от имени Съезда «перед минист-
ром народного просвещения об увеличении ежегодной субсидии
Московскому математическому обществу» [2, с.90, 213]. Это было
не первое его обращение по поводу Московского математического
общества. В бытность членом Ученого комитета министерства на-
родного просвещения (с 1856 по 1873 гг), Чебышевым был состав-
лен документ «О проекте Устава московского математического об-
щества» на имя министра народного просвещения, датированный
1866 г., в котором говорилось о необходимости государственной
поддержки Общества. Аргументировалось это тем, что «кроме вы
еокого значения математики в деле общего образования и пользы
ее практического применения, эта наука для нас, русских, предс-
тавляет особый интерес: это—наука, к которой по отзыву иност-
ранных ученых и по истории образования в нашем отечестве, мы
Русские, имеем особое призвание, и по этой науке, в большей или
меньшей степени, мы можем состязаться с иностранцами. Такому
состязанию в деле науки, лестному для национальной гордости,
нельзя отказать в пособии...» [12, т.5, с.400- 401].
216
Из истории отечественной матемащ.
Приведенный выше перечень выступлений П.Л.Чебышева ца
съездах естествоиспытателей позволяет составить представление це
только о его научных интересах, но и об основных направлениях
развития отечественной математики конца XIX в., периода, когда
Петербургская математическая школа—«Школа Чебышева»—выд.
винулась на одно из ведущих мест в европейской математике, а
другая — Московская в это же время, по словам П.С.Александре,
ва и О.Н.Головина, «в математической жизни Европы: занимала
провинциальное положение» (13, с. 15]. Однако такое «положе-
ние» изменилось уже во втором десятилетии XX в. «в московскую
математическую жизнь: влилась светлая струя —новое направление
теории функций действительного переменного» [там же].
В 1911 г. Д.Ф.Егоров опубликовал в «Comptes Rendus» Па-
рижской академии наук заметку «О последовательности измери-
мых функций», в которой доказал одну из основных теорем тео-
рии функций (ныне носящую его имя), и поставил в связи с ней
ряд существенных проблем перед своим учеником Н.Н.Лузиным.
Через год в том же журнале была опубликована статья Н.Н. Л узи-
на «К основной теореме интегрального исчисления», где сообща-
лась знаменитая теорема о так называемом «С-свойстве».
Выходом в свет этих публикаций «принято датировать рожде-
ние одной из самых знаменитых математических школ XX века-
Московской школы теории функций Егорова-Лузина» [14, с. 145].
В 1915 году Н.Н.Лузин завершает диссертационное исследование
«Интеграл и тригонометрический ряд» (опубликованное в том же
1915 г.), которое успешно защищает в 1916. Хотя книга Н.Н.Лузи-
на стала богатейшим источником новых задач для последующих
математиков, представители классической «Школы Чебышева» от-
носились к подобным исследованиям скептически.
В.А.Стеклов о монографии «Интеграл и тригонометрический
ряд» говорил: «Вы посмотрите, здесь же нет формул. Разве это
математика?» [там же, с. 147]. Другой петербуржец, Я.В.Успенс-
кий, в письме к А.Н.Крылову (правда, уже в 1926 г.) выказывал
свое отношение к «московскому направлению» так: «Относительно
Лузина я знаю, что он хороший специалист в своей области (тео-
рия множеств и связанная с нею канторовско-лебеговская дребе-
день), блестящий профессор, создавший в Москве школу своих
учеников и своим влиянием упразднивший настоящую математику
в Москве. . Лично я Лузина почти не знаю и потому, если я позво-
ляю себе высказываться неодобрительно о его направлении, то
только потому, что чувствую к этому направлению глубокое омер-
зение и твердо уверен, что мода на это скоро пройдет...» [15»
с. 193]. Таким образом, с середины второго десятилетия XX в-
обострились противоречия между петербургскими и московскими
математиками.
т дДокарспа
217
Поводом для первой в советский период встречи двух ведущих
тематических школ послужил юбилей Пафнутия Львовича Че-
бышев. В июне 1921 г. в Петрограде состоялась расширенная сес-
сиЯ физико-математического отделения Академии наук, посвящен-
ная 100-летию со дня его рождения. Организатором проведения
юбилея выступил один из учеников П.Л.Чебышева и «политичес-
ких лидеров» [16, с.379 —380] Петербургской школы, академик
А.А.Марков. Московский университет и Московское математичес-
кое общество получили приглашение принять участие в работе сес-
сии. Московскую делегацию возглавлял Н.Н.Лузин, в нее входи-
ли: С.П.Фиников, В.А.Костицин, В.В.Степанов, В.Н.Вениаминов,
П.С.Урысон; аспиранты и студенты старших курсов Московского
университета: С. Д. Российский, В. С. Богомолова, А. Ю. Зе ленская,
С.С.Ковнер, Н.К.Бари, Ю.А.Рожанская, Т.Ю.Айхенвальд,
Д.И.Перепелкин, Н.Д.Нюберг, Л.А.Люстерник; а также приехав-
шие из Иванова-Вознесенска А.И.Некрасов, Д.Е.Меньшов,
А.Я.Хинчин, А.Н.Власов.
На заседаниях выступили: А.А. Марков —с воспоминаниями о
П.Л.Чебышеве и о его работах по теории вероятностей; Я.В.Успен-
ский—о работах П.Л.Чебышева по теории чисел; В.А.Стеклов —с
известной речью «Теория и практика в исследованиях Чебышева»;
А.И.Некрасов —о работах по распространению волн; Н.Н.Лу-
зин-об аналитических функциях равномерно бесконечных вблизи
границы; П.С.Урысон —о своих первых топологических работах и
др. [17, с.48-50; 18; 19].
Оценивая значение этой встречи, один из ее участников тогда
студент, а в будущем член-корреспондент АН СССР, Л.А.Люстер-
ник писал: «Состоялась первая после революции встреча двух ос-
новных математических школ, ...она показала, что, несмотря на все
трудности и потери, математическая наука в нашей стране жива.
Более того, она пускает молодые ростки. И мы... оказались у исто-
ков большой реки советской математической науки» [18, с.28].
Шесть лет спустя, 27 апреля —4 мая 1927 г., в Москве состо-
ялся Всероссийский съезд математиков, созванный по предложе-
нию Научно-исследовательского института математики и механики
при I МГУ и Московского математического общества (председате-
лем Оргкомитета съезда был Д.Ф.Егоров, секретарем —В.В.Степа-
нов). В работе Съезда приняли участие 378 математиков из 33 го-
родов СССР. Москва была представлена 210 участниками, Ленин-
град— 37, Харьков —21, Киев—10, Воронеж —9, Ташкент —7, Смо-
ленск-7, Казань —6, Одесса —6, Томск —6, Иваново-Возне-
сенск—6, Днепропетровск —4, Омск —4, Ростов-на-Дону— 4,
р КУ 3, Минск —3, Тифлис —3, Пермь —3, Нижний Новгород —3,
^вердловск —3, Новочеркасск —3, Краснодар —3, Саратов —2,
"фа — 2, Симферополь —2, Вятка—1, Тула—1, Тверь—1, Полта-
Ва~-1, Павлово—1, Киржач—1, Владивосток — 1 [17, с.52 —53; 20,
с-5-8].
218
Из истории отечественной математ]
Кроме пленарных заседаний на Съезде была организована о
бота 4-х секций:
Анализа и теории чисел;
Геометрии;
Математического естествознания;
Математической статистики.
Всего было заслушано 87 докладов (9 пленарных и 78 секцц.
онных).
После приветственных выступлений от Наркомпроса РСФСР
(О.ГО.Шмидт), от I МГУ (А.Я.Вышинский), от Всесоюзной акаде-
мии наук (Н.М.Гюнтер), от Украинской академии наук (Д.А.Гра-
ве), от Харьковского математического общества (Д.М.Синцов), от
Общества естествоиспытателей природы (П.П.Лазарев), от Казанс-
кого математического общества (Д.Н.Зейлнгер), от Ассоциации
научно-исследовательских институтов при I МГУ (Н.Н.Лузин), от
ЛГУ (В.И.Смирнов), от Тифлисского университета и Наркомпро-
са Грузии (А.М.Размадзе), от Одесского политехнического инсти-
тута (Г.К.Суслов), от Математической предметной комиссии при
физико-математическом факультете I МГУ (И.И.Жегалкин), от
студенчества физико-математического факультета I МГУ (И.Г.Пет-
ровский) с обзорным докладом «Современное состояние теории
функций действительного переменного» выступил Н.Н.Лузин [20,
с.И —32]. Это выступление задало тон Съезду. В повестку пленар-
ных заседаний было включено еще 8 докладов, посвященных тем
областям математики, в рамках которых, в СССР в то время ве-
лась систематическая научная работа:
П.С.Александров (Москва) «Об основных направлениях сов-
ременной топологии»;
С.Н.Бернштейн (Харьков) «Современное состояние теории
вероятностей и ее приложений»;
Б.Н. Делоне (Ленинград) «О неопределенных уравнениях»;
В.Ф.Каган (Москва) «Геометрические идеи Римана и их сов-
ременное развитие»;
P.O.Кузьмин (Ленинград) «Успехи аналитической теории чи-
сел» ;
И.И.Привалов (Москва) «Современное состояние теории фун'
кций комплексного переменного»;
С.П. Фиников (Москва) «Современное состояние дифферении-
атьной геометрии»;
А.Я.Хинчин (Москва) «Диофантовы приближения».
На заключительном пленарном заседании Съезда слушались-
доклад А.В.Васильева «Следует ли писать историю математики ®
России», сообщение Д.М.Синцова о необходимости продолжения ра'
бот над «русской математической библиографией», а также информ0'
ция о деятельности математических обществ и учреждений
с.278]. Последняя послужила поводом для принятия резолюции:
219
ТАТокарева
ганизовать Всесоюзную ассоциацию математических учреждений,
*°ковая и должна созывать математические съезды, для проведе-
К я устава этой Ассоциации и временного исполнения ее функций
Н*Аиоается Бюро в составе Организационного комитета и Президи-
унасъезда» [20,с.278].
В Совет (Бюро) ассоциации вошли: С.Н.Бернштейн (Харь-
ков), Д-А Граве (Киев), В.Б.Гуревич (Москва), Н.М.Гюнтер (Ле-
нинград), Д.Ф.Егоров (Москва), Д.Н.Зейлигер (Казань),
В ф.Каган (Москва), Ф.Э.Молин (Томск), Н.И.Мусхелишвили
(Тифлис), А.И.Некрасов (Москва), И.И.Привалов (Москва),
Г.В.Пфейффер (Киев), А.М.Размадзе (Тифлис), В.И.Романовс-
кий (Ташкент), Д.М.Синцов (Харьков), В.И.Смирнов (Ленинг-
рад), В.В.Степанов (Москва), Г.К.Суслов (Одесса), О.Ю.Шмидт
(Москва).
Московский съезд продемонстрировал, что в первое пострево-
тюционное десятилетие математика в СССР развивалась достаточ-
но успешно. На математическом горизонте появились новые имена
и целые направления. Однако наблюдались и тревожные в новой
исторической ситуации симптомы: стихийность проводимых иссле-
дований и отсутствие их видимых связей с потребностями общест-
ва. Ситуация осложнялась разобщенностью математического кор-
пуса. По ряду принципиальных вопросов отсутствовало взаимопо-
нимание между представителями ленинградской («классической»)
и московской («теоретико-множественной») школ.
Созданная на Съезде Ассоциация сразу приступила к работе.
Совету ассоциации удалось организовать публикацию материалов
Московского съезда (в 1928 г. появились «Труды Всероссийского
съезда математиков в Москве, 27 апреля —4 мая 1927» под редак-
цией И.И.Привалова), а также провести необходимую работу по
подготовке и проведению первого всесоюзного математического
съезда.
24 — 29 июня 1930 г. в Харькове состоялся I Всесоюзный съезд
математиков (председатель Организационного комитета съезда
С Н.Бернштейн). В работе Съезда приняли участие 471 представи-
тель от 46 городов СССР. Москву представляли 149 участников,
Харьков —62, Ленинград—57, Днепропетровск —24, Киев—15,
Гифлис —15, Одессу—14, Минск—10, Ташкент —9, Казань —9, Во-
ронеж—8, Ростов-на-Дону — 8, Луганск —5, Краснодар —5, Симфе-
рополь— 5, Херсон—5, Тверь —3, Нижний Новгород —3, Каме-
нец-Подольский—3, Сталино —3, Ереван —3, Омск —3, Сара-
тов— 3, Томск —3, Баку —2, Чернигов —2, Пермь—2, Запо-
рожье—2, Владивосток —2, Свердловск —2, Иркутск —2, Новочер-
касск—2, Житомир —2, Иваново-Вознесенск —2, Алма-Ату—1,
Гостов—1, Вятку—1, Уфу—1, Смоленск—1, Старобельск—1,
Владикавказ — 1, Винницу — 1, Полтаву — 1, Козин — 1, Камьянс-
Кое 1, Купянск—1. На Съезд прибыли также зарубежные гости:
220
Из истории отечественной математик
из Франции —пятеро, из Польши —четверо, из Германии—трое, В
Англии и Латвии по одному [17, с.59; 21, с.358 —368].
В рамках Съезда работало 7 секций:
Алгебры и теории чисел;
Теории функций и теории рядов;
Дифференциальных и функциональных уравнений;
Геометрии;
Механики и математической физики;
Теории вероятностей и математической статистики;
Философии математики.
Всего было прочитано 167 докладов, из них 13 —иностранны-
ми учеными. Доклады общего характера заслушивались как на
пленарных, так и на секционных заседаниях (всего их было сдела-
но 29, из них 8 — зарубежными математиками). Специальные пле-
нарные заседания были посвящены 50-летию Харьковского матема-
тического общества и вопросам истории и философии математики.
Вот список докладов, представленных на обсуждение всех учас-
тников Съезда, открытого программным выступлением О.Ю.Шмид-
та «Роль математики в строительстве социализма» [21, с.27 — 35].
С обзорными пленарными докладами выступили:
П.Монтелъ (Франция) «Новейшие методы изучения особен-
ностей аналитических функций»;
С.Н.Бернштейн (Харьков) «Современное состояние и пробле-
мы теории приближения функций действительного переменного
посредством полиномов»;
Д.М.Синцов (Харьков) «Харьковское математическое общест-
во за 50 лет»;
Н.М-Гюнтер (Ленинград) «О некоторых научных работах
академика В.А.Стеклова»;
Л.Лихтенштейн (Германия) «Об одной статической теореме в
гидродинамике»;
Ж.Адамар (Франция) «Уравнения в частных производных и
теория функций действительного переменного»;
А.Данжуа (Франция) «Предмет и смысл обобщения понятия
интеграла после Лебега»;
М.Я.Выгодский (Москва) «Проблемы истории математики с
точки зрения методологии марксизма»;
С.А.Яновская (Москва) «Критика основных современных те-
чений в области оснований математики с точки зрения диалекти-
ческого материализма»; J
В.Бляшке (Германия) «Новые течения в дифференциальной
геометрии»;
Э.Картан (Франция) «Проективная геометрия и риманова ге-
ометрия»;
Б.Н.Делоне, В.А.Тартаковский (Ленинград) «Современное
положение дискретной геометрии»;
^Токарева________________________________________________£££
Б ГГ Герасимович (Харьков) «Статистические ансамбли звезд-
ной астрономии»;
В.ф. Каган (Москва) «О теоретической и прикладной матема-
тики в СССР».
Обзорные доклады на секционных заседаниях сделали:
Ж.Адамар (Франция) «Принцип Гюйгенса и теория Гюгонио»;
Н.И.Ахиезер (Киев) «О полиномах, наименее уклоняющихся
от нуля»;
О,Блюменталь (Германия) «О полиномах с некоторыми ми-
нимальными свойствами с приложением к теории целых трансцен-
дентных функций»;
Б.А.Венков (Ленинград) «Современное состояние арифметики
гиперкомплексных чисел»;
Д.А.Граве (Киев) «Сопротивление жидкости движению тел»;
Н.М.Гюнтер (Ленинград) «О модулях алгебраических форм»;
Д.Н.Зейлигер (Сталино) «Современное состояние комплекс-
ной геометрии линейного пространства»;
И.А.Лаппо-Данилевскии (Ленинград) «Основные задачи тео-
рии систем линейных дифференциальных уравнений с произволь-
ными рациональными коэффициентами»;
Д.М.Синцов (Харьков) «Современное состояние теории кон-
нексов»;
Е.Е.Слуцкий (Москва) «О связных функциях одной независи-
мой переменной»;
А.К.Сушкевич (Харьков) «Системы с одним действием»;
С.П.Фиников (Москва) «Теория прямолинейных конгруэнций
в проективной дифференциальной геометрии»;
В. А.Фок, С.А.Янчевский (Ленинград) «Предельные задачи в
математической физике»;
Н.Г. Чеботарев (Казань) «Современное состояние теории ал-
гебраических чисел»
Итоговая резолюция Съезда «с величайшим удовлетворением»
констатировала «наличие значительных успехов математической
мысли в СССР, обеспечивающих советской математике почетное
место в мировой науке». А также с «удовлетворением» отмечала
«присутствие и активное... участие в его работе крупнейших запад-
ноевропейских математиков» [там же, с. 12].
Участники Съезда поддержали положение «о роли и значении
Математики в социалистическом строительстве Советского Союза»,
высказанное «в докладе проф. О.Ю.Шмидта» и сочли, «что дальней-
шее развитие математики в СССР должно происходить в возможно
более тесной связи с задачами народного хозяйства Союза» [там же].
«Впервые в истории математических съездов» на харьковской
Встрече математиков «были заслушаны и обсуждены доклады, де-
монстрирующие применение метода диалектического материализма
к проблемам философии и истории математики», а также были
222
Из истории отечественной
матемаТи^
совершены попытки «применения этого метода к конкретным мате
магическим проблемам» [там же].
С сожалением Съезд отмечал «отсутствие среди секций съеЯ
педагогической секции, необходимость которой особенно остро
ощущается ввиду того, что подготовка наших новых специалистов
диктует необходимость коренного изменения в постановке препода-
вания математики в вузах и втузах» [там же, с. 13].
Съездом была одобрена деятельность Совета всесоюзной мате-
матической ассоциации, в члены которой были приняты 13 общест-
венных математических организаций:
«Московское математическое общество;
Ленинградское физико-математическое общество;
Харьковское математическое общество;
Казанское физико-математическое общество;
Физико-математическое общество при Кубанском государст-
венном педагогическом институте;
Математическое общество при Томском государственном универ-
ситете;
Математическая конференция при Дальневосточном государ-
ственном университете (Владивосток);
Математическая секция Днепропетровского физико-математи-
ческого общества;
Математический отдел Общества естествоиспытателей (Ростов-на-
Дону);
Тульский математический кружок;
Секция математики и механики Научно-исследовательского
института математики и естествознания при Северокавказс-
ком государственном университете (Ростов-на-Дону);
Физико-математическое общество при Пермском государст-
венном университете;
Математическая секция при Пермском педагогическом фа-
культете» [там же, с.И].
Состоялись выборы Совета всесоюзной математической ассо-
циации (в количестве 50 членов) и ее Президггума, в новый состав
которого вошли С.А.Чаплыгин (председатель), Н.А.Глаголев,
В.Ф.Каган, В.В.Степанов (секретарь), О.Ю.Шмидт [там
с. 10—12]. На Съезде было высказано пожелание созвать следую-
щий съезд в 1933 г. в Ленинграде или Тифлисе.
В период после I Съезда Президиум ассоциации занимался,
прежде всего, вопросами издания его «Трудов». Однако по ряДУ
причин, о которых говорилось на II Всесоюзном математическом
съезде, их публикация к началу съезда не была осуществлена, хотя
материалы были Президиумом ассоциации собраны для издания в
1932 г. Кроме того, Ассоциация принимала деятельное участие в ре"
шении вопросов, связанных с изданием трудов Н.И.Лобачевского-
Было достигнуто издательское соглашение, и Президиум
т А Токарева
223
гоциации в качестве редакторов полного собрания сочинений Ло-
л чевского рекомендовал А.Н.Колмогорова и В.Ф.Кагана. И, на-
онеИ> на протяжении межсъездовского периода Ассоциация про-
води13 организационную работу по созыву очередного математи-
ческого съезда, который первоначально планировалось провести в
июне 1933 г., но осуществить это удалось лишь через год [22,
с.71-73].
24 — 30 июня 1934 г. в Ленинграде состоялся II Всесоюзный ма-
тематический съезд (председатель Оргкомитета съезда И.М.Виног-
радов, секретарь—В. Д. Ку прадзе). В работе Съезда приняли учас-
тие 732 представителя от 50 городов СССР: от Ленинграда было
208 участников, Москвы 192, Харькова —51, Казани —26, Днепро-
петровска — 20, Киева —20, Ташкента—19, Минска—18, Росто-
ва-на-Дону —16, Новочеркасска—15, Одессы—14, Саратова—12,
Свердловска — 11, Тифлиса—11, Воронежа—10, Томска—9, Ивано-
во 8, Перми —6, Горького —5, Омска —5, Баку —4, Владивосто-
ка-4, Луганска —4, Куйбышева —3, Рыбинска —3, Иркутска—2,
Мелитополя—2, Саранска- 2, Полтавы 2, Симферополя 2, Смо-
ленска—2, Еревана—1, Самарканда — 1, Краснодара 1, Вятки- 1,
Кривого Рога—1, Калинина- 1, Новосибирска—1, Чернигова-1,
Ленинска- 1, Астрахани 1, Орджоникидзе 1, Энгельса—1, Жи-
томира 1, Тирасполя—1, Бежицы —1, Пулково—1, Рязани- 1,
Николаева—1, Ростова—1. В качестве гостя на Съезде присутство-
вал ученый из США С.Лефшетц [17, с.70; 22; 23].
Кроме пленарных (общих) заседаний на Съезде была органи-
зована работа 9-ти секций:
Алгебры и теории чисел;
Геометрии;
Топологии;
Анализа I (Теории функций);
Анализа II (Дифференциальных, интегральных и
функциональных уравнений. Вариационного исчисления);
Механики и математической физики;
Теории вероятностей и математической статистики;
Приближенных вычислений;
Истории и философии математики.
Всего на Съезде было прочитано 253 доклада.
На первом пленарном заседании, состоявшемся 24 июня, с
приветствиями к Съезду обратились: от Академии наук СССР
А.П.Карпинский, от Оргкомитета съезда— И.М.Виноградов, от
Московского математического общества и Научно-исследователь-
ского института математики и механики МГУ П.С.Александров,
От ЛГУ — М.Ф.Субботин, от Харьковского университета и Украин-
ского научно-исследовательского института математики и механи-
ки — А.К.Сушкевич, от Белорусской академии наук — Ц.Л.Бурстин,
От МГУ — А.Н.Колмогоров. Было принято решения послать от
224
Из истории отечественной матемаТи
имени участников Съезда приветственные телеграммы на цМя
Сталина, Калинина, Молотова, Кирова. Текст приветствия тОв
Сталину огласил самый молодой член-корреспондент АН СССР
двадцатипятилетний математик С.Л.Соболев:
«Центральный Комитет ВКП(б) тов. Сталину.
Дорогой тов. Сталин!
II Всесоюзный математический съезд приветствует в Вашем
лице гениального руководителя и вождя мирового пролетариата
Огромные успехи нашей социалистической родины, ощущение
стремительно нарастающей ее мощи, чудеса отваги и героизма ее
блистательных дел —наполняют нас восторгом и гордостью. Мате-
матика Советской страны играла и продолжает играть не послед-
нюю роль в повышении ее культуры, в укреплении ее мощи, Ваш
призыв догнать и перегнать передовые капиталистические страны
стал действенным лозунгом для математиков так же, как и для
всей страны.
И теперь мы уверенно заявляем Вам, тов. Сталин, что советс-
кая математика является одним из тех участков, где этот лозунг в
значительной степени уже осуществлен. В то время как в странах
зоологических расовых теорий и фашистской вакханалии идет бук-
вальный разгром некогда больших и знаменитых математических
школ и направлений, у нас мы видим небывалый расцвет матема-
тической мысли, громадный рост ее кадров и появление работ,
достойных по своему значению великой нашей эпохи.
Уровень математической культуры страны есть яркое свиде-
тельство интеллектуальной и духовной мощи ее населяющего наро-
да, и для нас, советских математиков, дело чести, доблести и ге-
ройства—возвеличить нашу социалистическую родину в достойных
ее творениях.
Мощь и сила СССР, величие и необходимость его —наш свя-
щенный пароль. И пусть знают наши враги, что научные и техни-
ческие основы обороны нашей родины столь же неприступны и не-
сокрушимы, сколь верны и несомненны расчеты в формулах мате-
матики. (Аплодисменты!)» [22, с.25].
Приведем теперь перечень основных обзорных докладов, сде-
ланных на Съезде:
П.С.Александров (Москва) «Алгебраические методы в тополо-
гии»;
В.И.Смирнов (Ленинград) «Некоторые ленинградские работы
в области анализа и его приложений»;
А.О.Гелъфонд (Москва) «Трансцендентные числа»;
Н.Г. Чеботарев (Казань) «Проблемы современной теории Га-
луа»;
В.В-Степанов (Москва) «Качественные методы теории диф'
ференциальных уравнений»;
225
т ^Токарева
д.д.Люстерник, Л.Г.Шнирельман (Москва) «Применение то-
ологии к экстремальным задачам»;
П Д.С.Понтрягин (Москва) «Структура непрерывных групп»;
^.А.Лаврентъев (Москва) «Геометрические вопросы
теории
функции комплексного переменного»;
И.М.Гюнтер (Ленинград) «Интегралы Стильтьеса в матема-
тической физике и в теории интегральных уравнений»;
Г.М-Мюнтц (Ленинград) «Функциональные методы в крае-
вых задачах»;
С.Лефшетц (США) «Алгебраическая геометрия, методы,
проблемы, тенденции»;
А.Н.Колмогоров (Москва) «О некоторых современных течени-
ях в теории вероятностей»;
И.А.Кибель (Ленинград) «Механика сжимаемой жидкости»
[там же, с.89 —371].
В принятой на Съезде 30 июня 1934 г. резолюции отмечалось,
что «результаты, полученные советскими математиками за послед-
нее время, бесспорно, выдвигают советскую математику на одно из
первых мест в мире». Наблюдается значительный «рост научно-
исследовательских институтов по математике, образование новых
математических центров», успешно осуществляется подготовка
«кадров молодых научных работников», повышается уровень и ка-
чество научно-исследовательских работ. Внедрение «плановости в
работе» способствует преодолению «разобщенности между отдель-
ными математическими школами» и улучшению «научного обслу-
живания конкретных запросов социалистического строительства и
обороны страны». Говоря о двух основных направлениях отечест-
венной математики, «из которых одно характеризовалось общнос-
тью постановки проблем и отвлеченным характером исследова-
ний», а для другого «характерным является конкретная тематика,
связанная с задачами математического естествознания, и забота об
эффективности в решениях задач, без забвения, однако, строгости
и четкости общих теоретических основ», Съезд с удовлетворением
констатировал «наряду с общим подъемом и ростом активности
обоих направлений, их взаимное сближение» [22, с.78 —79].
Но, «несмотря на указанные успехи советской математики»
Съезд отмечал и «наличие целого ряда недостатков в организации
научной работы по математике», в целях устранения которых,
предлагалось проведение целого ряда «мероприятий», связанных:
с развитием научно-исследовательских учреждений [там
же, с.79 —80];
с вопросами планирования математики [там же, с.80 —81];
- с кадрами [там же, с.81];
- с организацией научного обмена и специализированных
конференций [там же, с.81—82];
226 Из истории отечественной математик,,
— с изданием математической литературы и журналов [там
же, с.82 83];
— с улучшением работы математических обществ [там же
с.83-84];
— с исследованиями по истории и философии математики
[там же, с.84];
— с расширением работы в области приближенных вычисле-
ний [там же, с.84 — 85];
— с проведением математических олимпиад школьников [там
же, с.85].
Среди материалов первых математических съездов объясни-
мый для историка математики интерес представляют, связанные со
статусом истории математики в математическом сообществе и в
системе математических знаний.
Как выше отмечалось, уже на Съезде 1927 г. А.В.Васильевым
был поставлен вопрос: «Следует ли писать историю математики в
России?» И, хотя, ответ на него — «желательно продолжить печата-
ние истории математики в России» [20, с.278]—был дан даже в
постановительных документах Съезда, все же подобные вопросы
никем более не задавались, и в истории Съезда он остался единст-
венным в своем роде.
Тремя годами позже, на Харьковском съезде 1930 г. наблюда-
ется заметное оживление интереса к истории и философии науки.
На пленарное заседание Съезда выносятся два, связанных с этой
проблематикой, доклада (М.Я. Выгодского «Проблемы истории ма-
тематики с точки зрения методологии марксизма» и С.А.Яновской
«Критика основных современных течений в области оснований ма-
тематики с точки зрения диалектического материализма» [21,
с. 14]) и три —на заседание специально организованной секции фи-
лософии математики (Ф.И.Франкля «Диалектическая логика и
математика»; Л.П.Гокиели «Критика аксиоматического метода»;
В.Я-Ру^асва «Об основных понятиях математики» [там же]).
Последовавший за ним Ленинградский съезд 1934 г. еще пока-
зательнее в этом отношении, что подтверждается 19 докладами,
прочитанными в рамках секции истории и философии математики-
р[еЛишне будет напомнить о некоторых из них, поскольку имена и
темы выступлений могут оказаться небезразличны современному
историку математики:
П. А. Александров «О значении теории множеств в современной
математике»;
В-И.Гливенко «Современный кризис основ математики»;
И.И.Жегалкин «О проблеме разрешимости в брауэровской ло-
гике положений»;
С-А.Яновская «О так называемых определениях “через абс-
тракиию” и роли их в математике»;
А. Н .Колмогоров «Основания математики Гильберта»;
227
т ^Токарев __
J.——
AJI. Юшкевич «Английская философия эмпиризма и теория
аноксий»;
* М.Я.Выгодский «Кеплер и его стереометрия бочек» [23,
с .427-460].
Наметившаяся тенденция нашла отражение в резолюции II
Съезда, которая констатировала «значительные сдвиги в деле раз-
вития научной работы по истории и методологии математики», от-
мечая рост «научных работников в этих областях в количествен-
ном и качественном отношении», наряду с проявлением «активного
интереса к историческим и философским вопросам» у специалис-
тов математиков. Съезд отмечал «повышение удельного веса исто-
рико-философских работ в деятельности руководящих исследова-
тельских институтов, а также образование при Академии наук
СССР Института истории науки и техники с физико-математичес-
кой секцией». Съезд одобрил «предпринятый Технико-теоретичес-
ким издательством и Издательством Академии наук выпуск работ
классиков, исторических монографий и сборников по философии
математики» [22, с.84].
Кроме всего перечисленного текст цитируемой резолюции со-
держал и такие пункты:
«1. Чтобы в журнальной литературе, наряду с исследованиями
конкретно-математического характера, печатались исследования по
истории и философии математики.
2. Чтобы при руководящих научно-исследовательских институ-
тах была более широко организована подготовка кадров научных
работников в этих областях и особенно выделена специальность
история математики.
При этом Съезд считает целесообразным учреждение аспиран-
туры по истории математики и дополнительной специальности по
философии некоторой части аспирантов-математиков» [там же].
Разумеется, что подобное, или скорее бесподобное внимание
съезда математиков к истории и философии своей науки могло
быть обусловлено условиями проживания в идеологизированном
государстве. Во всяком случае, такая трактовка не удивила бы,
приди она из-под пера иного «социального» историка науки. Одна-
ко какую часть истины вскрывают стереотипные объяснения?
Даже беглый просмотр исторических документов позволяет легко
различать дань, отдаваемую эпохе с ее условностями и императи-
вами, от чего-то другого, порой схожего внешне, но более глубоко-
г° и инвариантного? Не стоит ли за традиционным интересом мате-
матиков к истории своей науки, то, что искомое единство научного
знания более всего свойственно математике, соединяющей матема-
тиков всех времен их собственными и неизменно актуальными тру-
дами. Но, вернемся к излагаемой теме.
На Ленинградском съезде (1934 г.) Совет всесоюзной матема-
тической ассоциации был избран в составе: П.С.Александрова
228
Из истории отечественной математики!
(Москва), Н.И.Ахиезера (Харьков), С.Н.Бернштейна (Ленинг.
рад), И.Р.Брайцева (Горький), Ц.Л.Бурстина (Минск), Л.А.Вищ.
невского (Томск), М.Я.Выгодского (Москва), А.О.Гельфонда
(Москва), Н.М.Гюнтера (Ленинград), Б.Н.Делоне (Ленинград)
В.Ф.Кагана (Москва), А.Н.Колмогорова (Москва), Э.Кольмана
(Москва), М.Ф.Кравчука (Киев), М.Г.Крейна (Одесса)
P.O.Кузьмина (Ленинград), А.Р.Кулишера (Ленинград)
В.Д.Купрадзе (Ленинград), М.А.Лаврентьева (Москва), Н.Н.Лу-
зина (Москва), Л.А.Люстерника (Москва), Н.И.Мусхелишвили
(Тифлис), М.Х.Орлова (Харьков), Г.В.Пфейффера (Киев),
В.И.Романовского (Ташкент), Б.И.Сегала (Ленинград), Д.М.Син-
цова (Харьков), В.И.Смирнова (Ленинград), В.В.Степанова
(Москва), А.К.Сушкевича (Харьков), Г. М. Фихтенгольца (Ленин-
град), А.К.Харадзе (Тифлис), Г.К.Хворостина (Москва),
А.Я.Хинчина (Москва), А.А.Холщевникова (Москва), С.А.Чаплы-
гина (Москва), Н. Г. Чебота рева (Казань), П.А.Широкова (Ка-
зань), О.Ю.Шмидта (Москва), Л.Г.Шнирельмана (Москва),
С.А.Яновской (Москва) [там же, с.74 —75]. В Президиум ассоциа-
ции вошли: О.Ю.Шмидт (председатель), М.Я.Выгодский,
А.Н.Колмогоров, Б.И.Сегал (секретарь), В.И.Смирнов.
Резолюция Съезда новому составу Президиума ассоциации,
среди прочих содержала следующие напутствия:
— в плане развития сети научно-исследовательских учрежде-
ний и подготовки кадров «поручить Президиуму ассоциации соста-
вить список учреждений, где можно допустить подготовку аспи-
рантов по математике; ...принять меры для создания работникам
новых математических центров преимуществ в отношении матери-
ально-бытовых условий, а также в отношении снабжения их лите-
ратурой; предоставления командировок и т.д.» [там же, с.80];
— в части планирования исследований по математике «про-
сить Президиум математической ассоциации, учитывая результаты
Математического съезда, а также план работы математических инс-
титутов, созвать в октябре 1934 г. конференцию для обсуждения
вопросов перспективы дальнейшей научной работы» [там же,
с.80-81];
— касательно научной периодики, издаваемой под эгидой Ма-
тематической ассоциации; «считать необходимым издание нового
журнала “Успехи математических наук”, печатающего обзоры сов-
ременных направлений математики и перепечатывающего полнос-
тью наиболее интересные статьи из мировой математической лите-
ратуры» [там же, 83];
— с учетом роли математических обществ (особенно отмеча-
лись Московское, Харьковское и Киевское) в развитии советской
математики, Съезд просил «Президиум ассоциации установить ре-
гулярную связь с отдельными математическими обществами» [там
же, с.84].
т а Токарева
229
- в отношении созыва очередного съезда «провести III Всесо-
зный математический съезд в Тифлисе или в Минске в сентябре
1937 г* [там же> с-73].
Президиуму всесоюзной математической ассоциации, избран-
ному на II Всесоюзном математическом съезде в 1934 г., удалось
подготовить и издать в 1935/1936 гг. «Труды» Ленинградского
съезда в двух томах; закончить работу по изданию «Трудов» Харь-
ковского съезда в 1936 г.; а также сформировать редколлегию и
осуществить выход первого сборника «Успехи математических
наук» в 1936 г. (В 1936—1944 гг. «Успехи» выходили как непери-
одическое издание по одному/два выпуска в год. Десятый выпуск,
появившейся в 1944 г., стал последним, изданным Всесоюзной ма-
тематической ассоциацией. С 1946 г. «Успехи математических
наук» становятся периодическим журналом Московского математи-
ческого общества и Академии наук [17, с.87 —90].) И, наконец,
Президиум ассоциации принял решение о созыве III Всесоюзного
математического съезда летом или осенью 1938 г. в Тбилиси, изб-
рав председателем Оргкомитета съезда Н.И.Мусхелишвили. Одна-
ко собрать съезд в 1938 г. не удалось, а начавшаяся война и дру-
гие обстоятельства отложили этот вопрос вплоть до 1956 г. В силу
всех этих причин Всесоюзная математическая ассоциация как пос-
тоянная межсъездовская организация фактически прекратила свое
существование, и до сих пор не удалось создать подобного ей ус-
тойчивого объединения.
Подводя итоги развития советской математики сразу после Ле-
нинградского съезда, непосредственные его участники Л.А.Люстер-
ник и Б.И.Сегал в журнале «Под знаменем марксизма» писали:
«В первые годы революции математическая работа протекала в
замкнутых, изолированных друг от друга областях. Например, ле-
нинградская математика с ее высокой алгорифмической культу-
рой... была отделена целой пропастью от московской качественной
математики. Изолированность отдельных направлений работы
внутри математики отвечала еще большая изолированность матема-
тики от ее приложений, от других наук... Еще Московский съезд
[1927 г.] носил на себе отпечаток этих... явлений». Что же касает-
ся Ленинградского съезда 1934 года, то на нем, по мнению авто-
ров, «вместо изолированных математических областей мы уже име-
ем широкий фронт математического исследования, простирающий-
ся от решения непосредственных практических задач социалисти-
ческого строительства до наиболее общих теоретических дисцип-
лин... Изолированность отдельных дисциплин преодолевалась ра-
ботой наших математиков над узловыми вопросами, в которых
скрываются методы и темы различных математических дисциплин.
Именно эта работа принесла советской математике ряд лучших ее
Достижений... Интересно отметить, как сблизились между собой
темы работы отдельных математических центров Союза, в том
230 Из истории отечественной
числе Ленинграда и Москвы. Мы можем говорить, наконец, о еди
ной советской математике» [24].
Таким образом, многолетнее противостояние двух ведущ^
отечественных математических школ к середине 1930-х годов зд.
вершилось. Здесь историку трудно избежать аналогии, и не наз-
вать Ленинградский съезд «объединительным», связав с ним воз-
никновение Советской математической школы. Впрочем, настоя-
щая публикация ни в коей мере не предлагает комментарий к тако-
му сложному и многомерному явлению как Советская математичес-
кая школа. Все, что она преследует — это обратить внимание чита-
теля на еще одну сторону ее истории и снабдить его некоторыми
историческими сведениями, облегчающими дальнейший самостоя-
тельный поиск в этой области.
Список литературы
1 . История естествознания в России. Физико-математические и химические науки (вто-
рая половина XIX —начало XX века) Отв. ред. А.Т.Григорьян. И., 1960. Т.2.
2 . Речи и протоколы 6-го съезда естествоиспытателей и врачей в С.Петербурге с 20 по
30 декабря 1879 г., СПб., 1880.
3 . Тимирязев К.А. Праздник русской пауки / К.А.Тимирязев. Сочинения. М
1938. Т.5.
4 Киро С.Н. Математика на съездах русских естествоиспытателей и врачей Тру-
ды Третьего Всесоюзного математического съезда. Москва, июнь-июль 1956
Отв. ред С.М.Никольский. М., 1956. T.l. С.231—232
5 . Киро С.Н Математика на съездах русских естествоиспытателей и врачей Исто-
рико-математические исследования. М., 1958 Вып.XI. С.133—158.
6 Юшкевич А.П. История математики в России до 1917 г. М., 1968.
7 Беспамятных Н.Д. Участие П.Л.Чебышева в работе съездов русских естествоис-
пытателей Ученые записки Гродненского государственного педагогического
института. Серия математическая. 1955. Вып.1. С.13—16.
8 . Письмо Г.Миттаг-Леффлера П.Л.Чебышеву от 8 апреля 1884 г. // П.Л.Чебышев.
Полное собрание сочинений в пяти томах. М.-Л., 1951. Т.5. С.450.
9 Киселев А.А., Ожигова Е.П. П.Л.Чебышев на съездах русских естествоиспытате-
лей и врачей Историко-математические исследования. М., 1963 Вып.XV.
С.291 -317.
10 Прудников В. Е С.В.Ковалевская и П.Л.Чебышев Памяти С.В.Ковалевской.
Сборник статей Отв. ред. П.Я.Полубаринова-Кочина. М., 1951. С.98—119-
11 Полубаринова-Кочина П.Я. Жизнь и научная деятельность С. В. Ковалевской I
Памяти С.В.Ковалевской. Сборник статей / Отв. ред. П.Я.Полубаринова-Кочи-
на. М., 1951. С.7-66.
12 . Чебышев П.Л. Полное собрание сочинений в пяти томах. М.-Л., 1944—1951-
13. Александров П. С., Головин О. Н. Московское математическое общество // Успе-
хи математических наук. 1957. Т.ХП. Вып.6(78). С.9—46.
14. Демидов С.С. Москва математическая / Москва научная Отв ред В М.Орел
М„ 1997. С.136—160.
15. Ерчочаева Н.С. Новые материалы к биографии Н.Н.Лузина / Историко-мате-
матические исследования. М.. 1989. Вып.31. С.191 —203.
16. Демидов С.С. Математика в Российской академии наук со времени ее основания Д°
конца 30-х гг XX столетия Российская академия наук: 275 лет служения Рос-
сии '' Отв. ред. В.М.Орел. М.. 1999. С.371— 393.
17. Лапко А.Ф., Люстерник Л.А. Математические съезды и конференции в СССР
/ Успехи математических наук. 1957. Т.ХП. Вып.6(78). С.47 — 130.
рТокарева_______________________________________________________________
^юстерник Л.А. Выступление па юбилейном заседании Московского математи-
четкого общества Успехи математических наук 1965. Т.ХХ. Вып.3(123).
С.21-30.
„ цюстерник Л А. Молодость московской математической школы / Успехи мате-
матически^ наук. 1970. T.XXV. Вып.4(154). С.189—196.
-п Труды Всероссийского съезда математиков в Москве, 27 апреля —4 мая 1927 /
' ' Под ред. И.И.Привалова. М.-Л., 1928.
21 Труды Первого Всесоюзного съезда математиков (Харьков, 1930 г.). М.-Л., 1936.
22 Труды Второго Всесоюзного математического съезда, Ленинград, 24 — 30 июня
1934 / Отв. ред. В.И.Смирнов. Л.-М., 1935. Т.1.
23 . Труды Второго Всесоюзного математического съезда, Ленинград, 24 —30 июня
1934 Отв. ред. В.И.Смирнов. Л.-М., 1936. Т.2.
24 . Люстерник Л.А., Сегал Б.И. Итоги II Всесоюзного математического съезда
Под знаменем марксизма. 1935. №1. С.149—157
ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО
АНАЛИЗА
О ПРИМЕНЕНИИ МЕТОДА МНОГОУГОЛЬНИКА
НЬЮТОНА В XVIII ВЕКЕ
М. Г. Сороково
1. Краткий очерк истории многоугольника Ньютона
в XVII—XX вв.
Метод многоугольника Ньютона позволяет разлагать неявные
функции, заданные алгебраическим уравнением от двух перемен-
ных Р(.х,у) = О, в ряды, вообще говоря, по дробным степеням неза-
висимой переменной х. Этот метод сыграл важную роль в матема-
тике XVII —XIX вв. и вплоть до настоящего времени сохраняет
свою актуальность. Он был создан Ньютоном во второй половине
XVII в. и впервые приводится в работах «Анализ с помощью урав-
нений» [1, с.11 —15] (1669) и «Метод флюксий и бесконечных ря-
дов» [1, с.33 44] (1670—1671). Автор кратко изложил свой метод
в письме к Лейбницу от 1676 г. [1, с.222 —223], а позже развил и
существенно дополнил его в незавершенном труде «О вычислении
рядов» [2] (1684). Валлис опубликовал метод многоугольника в
своей «Алгебре» [3, с.338—340] (1685). В 1692 г. Ньютон сооб-
щил в письмах Валлису [1, с.260 —262] новый вариант метода,
пригодный для решения дифференциальных уравнений, который
тот привел в латинском издании «Алгебры» (1693). Подробнее
ранняя история метода многоугольника рассмотрена в [4 — 7].
В XVIII в. метод многоугольника приобрел широкую извест-
ность. Его неоднократно комментировали крупные математики,
например Б.Тейлор, Дж.Стирлинг, Ж.-Л.Лагранж. Важное приме-
нение он нашел в бурно развивающейся в тот период теории алгеб-
раических кривых. Однако в историко-математической литератур6
вопрос об использовании в XVIII в. метода многоугольника
(И Г-Сор°кова-
233
свешен неполно. В этом контексте недостаточно изучены книги
р Крамера «Введение в анализ алгебраических кривых» [8],
jK -П.Де Га де Мальва «Применение анализа Декарта» [9], и в
особенности незавершенная третья часть «Дифференциального ис-
числения» Л.Эйлера [10] Анализу трех названных сочинений пос-
вящена настоящая статья. Мы покажем, как именно в этих сочине-
ниях был разработан аппарат исследования алгебраических кри-
вых при помощи многоугольника Ньютона.
Новый этап в истории метода многоугольника начался в XIX
веке. Это было связано с именами целого ряда крупных математи-
ков, таких как В.Пюизе (1820—1883), Ж.Лиувилль (1809—1882),
К.Гензель (1861 — 1941), Н.В.Бугаев (1837—1903). Пюизе зало-
жил основы теории алгебраических функций, широко применяя
при этом метод многоугольника Ньютона. Систематическое изло-
жение этой теории имеется в книге К.Гензеля и Г.Ландсберга [11].
В основу построения теории они положили подход Пюизе. Много-
угольник Ньютона использовался также в теории эллиптических
функций и абелевых интегралов [12—13]. Со второй трети XIX в.
начинается систематическое и весьма плодотворное применение
этого метода в теории дифференциальных уравнений [14 — 16]. В
конце XIX в. возникают обобщения метода многоугольника Ньюто-
на и приложения его, в частности, к вопросам неприводимости ал-
гебраических уравнений нескольких переменных [17—18].
Активный интерес к методу многоугольника и его обобще-
нию- многограннику Ньютона —сохраняется и в настоящее время.
Так А.Н.Варченко [19] применил диаграмму Ньютона при вычис-
лении главного члена асимптотики осциллирующего интеграла в
окрестности вырожденной критической точки фазы. Он показал,
что при некоторых условиях этот главный член определяется точ-
кой пересечения диаграммы Ньютона с диагональю координатного
октанта. Он вычислил показатели главных членов асимптотическо-
го разложения для всех функций-фаз, расклассифицированных
В.И.Арнольдом [20]. А.Г.Кушниренко [21] получил формулы,
связывающие числа Милнора всех особых точек многочлена
f'C -»С с геометрическими характеристиками многогранника
Ньютона этого многочлена. Продолжается применение метода мно-
гоугольника в теории алгебраических кривых [22] и теории диф-
ференциальных уравнений [23 — 24].
2. В чем состоит метод многоугольника Ньютона
Напомним кратко суть метода многоугольника в современной
форме [5; 22; 25]. Пусть имеется алгебраическое уравнение вида
Р{х,у) = Ап{х)уп +/!„_! (х)уп~1+...+А1 (х)у + Л0(х) = 0, (1)
где Ak(x) = akoxp* + а^хРк+} +...+ak хРк+т —полиномы от х с дей-
ствительными коэффициентами, *0, рк, т— целые
234 Из истории математического аиалИза
неотрицательные числа, Л =0,1,...,и. Требуется найти все разлом Л
ния функции у = у(х) по степеням (вообще говоря, дробным) Пе.
ременной х в окрестности некоторой точки х- комплексной
плоскости С. Без ограничения общности можно считать, что x = q
В противном случае в уравнении (1) можно сделать замену
г = х - х^ и рассмотреть точку г = 0. В окрестности точки х - 0 ис-
комые ряды должны иметь вид:
У = В^хЕ' +В2хе2 + В3хЕз+..., е1<е2<ез<- (2)
е, g Q, В^ gC, г = 1,2,3,....
По условию задачи при подстановке ряда (2) в уравнение (1)
должен получиться тождественный ноль. Найдем первый член раз-
ложения Ву хЕ' так, чтобы в уравнении (1) сократились члены низ-
шего порядка. Первых членов вида В^хЕ' может быть несколько,
тогда они определяют различные разложения. Очевидно, что при
подстановке (2) в (1) низший порядок могут иметь только члены с
показателями вида
Р0 , Pi + е, , р2 + 2е, ...., р„_, + (п - De, , р„ + не, . Ч
Сначала подберем е, так, чтобы членов низшего порядка в (1)
было не менее двух, а затем В, так, чтобы они взаимно уничтожи-
лись. Для нахождения е, Ньютон предложил остроумный геомет-
рический прием, который состоит в следующем.
Выберем на плоскости прямоугольную систему координат ОХУ
и отметим точки с координатами (0, р0), (1, р,), ... , (п, р„) (рис.1).
235
м гТ°Рокова
Построим выпуклую ломаную так, чтобы каждое ее звено со-
держало не менее двух из отмеченных точек, причем все остальные
точки находились бы выше прямой, содержащей это звено. Эта ло-
маная и называется многоугольником Ньютона (ломаная ABCDEF
на рис.1). Рассмотрим одно из ее звеньев, например звено ВС, сое-
диняющее точки B(i,pi) и С(/, р,). Тогда искомое е^ выражается
Pi — Ру
формулой s1 =-—; —. В самом деле, пусть прямая (ВС) пересе-
кает ось ОУ в точке М. Через любую из точек, не лежащих на
прямой (ВС), проведем прямую, параллельную прямой (ВС), нап-
ример через точку P(k,pk). Пусть она пересекает ось ОУ в точке
д' (рис.1). Тогда
р, + i Et = ру + /Et = | OAT], pk +kEy = | ON] и |OM|< I ON],
что и требовалось. Таким образом, каждое звено многоугольника
Ньютона дает одно или несколько значений Ej. Далее выражение
у = В\ХЕ', где Ej известно, подставляют в (1), приравнивают к нулю
сумму коэффициентов членов наименьшей степени х и определя-
ют возможные значения В\. Легко показать [5],что так получаются
все возможные первые члены хЕ| ряда (2).
Далее в (1) производится замена переменных у = В\ХЕ' + р,
где BtxE1 известно, р —остаток ряда (2), а для функции р = р(х)
задача сводится к предыдущей. Продолжая этот процесс, получим
все п искомых разложений (2).
Если же функцию у = у(х), заданную уравнением (1), требует-
ся представить в виде ряда по убывающим степеням х в окрестнос-
ти точки х = оо, то при подстановке первого члена искомого ряда в
Уравнение (1) снова должны уничтожиться члены одинаковой, но
теперь уже высшей степени х. В этом случае ломаная Ньютона
строится так, чтобы каждая прямая, содержащая некоторое из ее
звеньев, лежала выше всех отмеченных точек, не попавших на нее
(ломаная KHL на рис.1).
3. Некоторые особенности изложения метода у Ньютона
У Ньютона метод многоугольника выглядел несколько иначе.
В частности, вместо системы координат Ньютон чертил прямоу-
гольную таблицу или, в его терминологии, параллелограмм
(табл.1). Каждому члену Схтуп данного уравнения, где т, и —це-
лые неотрицательные, он сопоставлял клетку хтуп, отметив ее
Центр звездочкой, и при помощи вращения линейки строил требуе-
мую ломаную. Затем он выбирал члены данного уравнения, соот-
ветствующие звездочкам, попавшим на одно и то же звено лома-
ной, составлял из них новое уравнение, откуда находил первый
член разложения. Традиция пользоваться таблицей, иногда, впро-
чем, несколько видоизменяя ее, сохранилась и в XVIII в
236
Из истории математического апац^д
Табл. 1
До недавнего времени считалось, что Ньютон всегда строил
оЛько одну сторону многоугольника. В 1989 г. С.С.Петрова [7]
Проанализировала рукопись неоконченного сочинения Ньютона «О
Счислении рядов» (1684). Эта рукопись впервые увидела свет
Р1цць в XX в., а именно в 1971 г., благодаря публикации Д.Т.Уай-
Лсайда. С.С.Петрова показала, что в данной работе Ньютона име-
ТтсЯ пример, где он построил полный многоугольник и нашел все
е Зможные показатели первых членов разложений.
4. Де Га де Мальв
По-видимому, первым, кто применил многоугольник Ньютона
-Л систематического исследования алгебраических кривых, был
П.Де Га де Мальв. Его содержательная и богатая новыми идея-
книга «Применение анализа Декарта» была издана в 1740 г. Де
строит так называемый алгебраический треугольник, который,
его замечанию, есть параллелограмм Ньютона, повернутый на
45° (рис.2).
мН
Р
по
угол
fxy
А
Рис.2
№ ранга
2
1
О
Клетки треугольника соответствуют членам данного алгебраи-
сКого уравнения от х, у, как показано на рис.2. Центры клеток,
че ержащих члены с одинаковой суммой степеней переменных, со-
С ннены горизонтальными прямыми, которые называются рангами
нумерУются снизу вверх, начиная с нулевого. С помощью этого
^угольника Де Га находит асимптоты, исследует кратные точки и
находит в них касательные к ветвям кривой. Рассмотрим его метод
определения асимптот.
Пусть кривая задана алгебраическим уравнением от х, у. Сог-
ласно Де Га, чтобы найти ее асимптоты, параллельные оси орди-
нат, нужно сначала упорядочить это уравнение по степеням у, т.е.
записать его в виде
(д + сх + дх2 + 1х3+...) + (Ь+ fx + kx2+...)y +
+(<? + ix+...)y2 +(h+...')y3+...= Q. (3)
Коэффициентами при степенях у будут полиномы от х. Члены
каждого из этих полиномов располагаются в клетках с центрами,
лежащими на некоторой прямой, параллельной стороне AL алгеб-
раического треугольника. Приравняем к нулю коэффициенты при
высшей степени у и найдем все действительные корни х = х^,
х = Х2, x = xk полученного уравнения. Каждая из прямых
х = х,, г = 1, ..., k может быть искомой асимптотой кривой, если
только корень х = xi не обращает в ноль коэффициент при ка-
ких-то других членах уравнения (3). В противном случае Де Га
предлагает исследовать такие корни особо. Асимптоты, параллель-
ные оси абсцисс, отыскиваются аналогично.
Для нахождения наклонных асимптот у Де Га имеется следую-
щее правило. Приравняем к нулю сумму членов высшего порядка
X X
уравнения кривой. Тогда корни вида — = а, — = В, .... а, В... е К. но-
У У
вого уравнения зададут прямые, параллельные асимптотам гипер-
болических или осям параболических ветвей кривой. Для уточне-
ния расположения асимптот нужно преобразовать систему коорди-
нат таким образом, чтобы ось ординат сохраняла свое положение,
а ось абсцисс становилась параллельной одной из полученных пря-
мых, и рассмотреть уравнение кривой в новых осях. Позже это
правило было более четко сформулировано Крамером.
Исследование особых точек кривой проводится следующим об-
разом. Без ограничения общности можно считать, что особой будет
нулевая точка. Расположим члены уравнения нашей кривой в виде
алгебраического треугольника. Согласно Де Га, если ровно s ниж-
них рядов или, в его терминологии, рангов останутся незаполненны-
ми, то (0,0) есть s-кратная точка кривой. В книге приведено следую-
щее доказательство. Кратность точки (0,0) равна числу пересечений
и касаний нашей кривой в начале координат с любой прямой
{х = пи
у = ти
т и « — произвольные, вообще говоря, комплексные
Подставим в уравнение кривой формулы (4) и получим
Уравнение вида
вида
(4)
числа.
новое
238
Из истории математического ли,
-------------------------
а + (Ьт + сп)и +• (ет^ + fmn + дп^')и^+...= 0.
Чтобы число пересечений было равно з, это уравнение должно
иметь з кратный корень и = 0 при любых т, п. Отсюда все коэсЬ
фициенты при з его низших членах должны быть равны нулю, т е
а = 0, 6 = 0, с = 0, ..., т.е. ровно з нижних рангов в треугольнике ос-
гаются пустыми, что и требовалось доказать. Обратное также верно
Пусть точка (0,0) имеет кратность s. Чтобы определить в ней
касательные к кривой, нужно приравнять к нулю сумму членов
уравнения этой кривой, расположенных на низшем непустом ранге
алгебраического треугольника, и найти все действительные значе-
ния частного х/у, удовлетворяющие новому уравнению. Получен-
ные равенства вида
— = Р,.... а, р... g К.
— =а,
У
зададут искомые касательные.
Рассмотрим пример Де Га [9, с.396]. Кривая задана уравнением
х4 - аух± +ЬуЗ = 0,
члены которого нужно поместить в алгебраический треугольник
(рис.З).
Три нижних ранга остаются пустыми, поэтому (0,0)—тройная
точка кривой. Касательные в ней найдем из уравнения
, Ч 2 л %
by - аух =0, откуда г/ = 0или — =±^~
Получим три различные касательные. Вид кривой в окрестнос-
ти нуля изображен на рис.4.
Помимо перечисленных правил Де Га поясняет, как опреде-
лить, является ли точка (0,0) точкой перегиба какой-либо проходя-
щей через нее ветви кривой, и классифицирует двойные и тройные
точки.
Книга Де Га свидетельствует о высоком творческом потенциа-
ле и хорошем знакомстве автора с работами его современников по
теории алгебраических кривых. Тем не менее она имеет ряД
239
q [.Сор014011*1
достатков. В ней сравнительно
аю примеров, доказательства
обычно недостаточно строгие и
оиведены в словесной форме,
имеются даже некоторые оши-
бочные утверждения. В частнос-
ти Де Га считал, что при иссле-
довании бесконечных ветвей и
кратных точек кривой достаточ-
но одного только первого члена
разложения у = Bt .гЕ’. Очевид-
но, это не так, поскольку уже
второй член разложения может
иметь комплексный коэффици- Рис 4
ент с ненулевой мнимой частью,
а определяемая этим разложением ветвь кривой окажется мнимой.
Эту погрешность заметил Крамер, к работе которого мы и обра-
тимся.
3. Крамер
Фундаментальный труд Г.Крамера «Введение в анализ алгеб-
раических кривых» увидел свет в 1750 г. Целью автора было соз-
дание строгой теории таких кривых, свободной от неточностей и
ошибок его предшественников, и притом без применения диффе-
ренциального исчисления. Он хорошо знал книгу Де Га, о чем сви-
детельствуют многочисленные ссылки на нее. По его собственным
словам, Крамер воспользовался идеей Де Га заменить параллелог-
рамм Ньютона треугольником, который он называл не алгебраи-
ческим, а аналитическим. Несомненным достоинством книги Кра-
мера является ясное, систематическое, снабженное примерами из-
ложение предмета. Идеи Де Га получили здесь четкие формули-
ровки, доказательства и дальнейшее развитие. Был выдвинут так-
же ряд новых идей и, как уже говорилось, исправлена ошибка Де
Га. Крамер особо подчеркивает, что при изучении алгебраических
кривых одного только первого члена разложения у = В] хЕ’, вообще
говоря, недостаточно, т.к. последующие члены могут оказаться
мнимыми, а ветвь кривой —несуществующей.
По терминологии Крамера прямые, на которых лежат звенья
ломаной Ньютона, называются детерминатрисами. Напомним, что
ПРИ изучении бесконечных ветвей рассматриваются только детерми-
натрисы, лежащие выше всех клеток, через центры которых они не
проходят. Отталкиваясь от правил Де Га, Крамер установил, как по
наклону детерминатрис к сторонам треугольника можно судить о
типе и расположении бесконечных ветвей. Он выделил 4 случая.
1. Детерминатриса проходит через центр нижней угловой клет-
ки треугольника или пересекает лишь одну из его боковых сторон
и не параллельна другой.
240
Из истории математического анади
2. Детерминатриса параллельна одной из боковых сторон
гольника MN или NP.
треу.
3. Детерминатриса отсекает неравные части от обеих боковых
сторон.
4. Детерминатриса проходит через высший запотненный ранг
треугольника и, следовательно, отсекает равные части от его обеих
боковых сторон.
Подчеркнем, что в каждом из этих случаев нередко возникает
необходимость определения второго или даже последующих членов
ряда, соответствующего рассматриваемой ветви, для уточнения ее
расположения.
Первый случай означает, что кривая имеет в качестве асимпто-
ты ось абсцисс или ось ординат. Так для кривой [8, с.245]
ху2 -а^у-Ь3 =0
обе координатные оси являются асимптотами (рис.5). Они соот-
ветствуют детерминатрисам АВ и АС, изображенным на рис.6.
Во втором случае асимптоты
кривой параллельны либо оси абс-
цисс, либо оси ординат, но не сов-
падают с ними. Третий случай ука-
зывает, что кривая имеет параболи-
ческие ветви, осью которых являет-
ся одна из осей координат. Случай
четыре самый сложный и подробно
рассматривался еще у Де Га. Как
уже говорилось, в этом случае мож-
но найти только наклон асимптоты
гиперболической ветви либо нап-
равление оси параболической ветви
кривой. Для определения типа и
уточнения расположения ветви тре-
буется дополнительное исследова-
ние. Крамер предлагает преобразо-
вать систему координат так, как
Де Га, но уточняет при
в новых осях уравнение
кривой сведется к расс-
мотренным выше трем
случаям.
При исследовании
особых точек и каса-
тельных к кривой в них
Крамер воспроизводит
правила Де Га, ссыла-
ясь на него. Кроме того,
с помощью аналитичес-
кого треугольника он
J г Сорокова 241
ещает и более общую задачу: по данному уравнению кривой най-
все ее кратные точки, а также точки экстремума. Таким обра-
зом, аналитический треугольник является у Крамера основным ин-
струментом исследования алгебраических кривых.
4. Эйлер
Особый интерес с точки зрения истории метода многоугольни-
ка Ньютона представляет работа Эйлера «Institutionum calculi
jifferentialis sectio 3» («Третья часть дифференциального исчисле-
ния»)- Предположительно она создавалась около 1750 г., но уви-
дела свет лишь в 1862 г. в посмертном издании его рукописей
«Opera postuma». Бытует мнение, что Эйлер не применял метод
многоугольника. Анализ указанного сочинения позволяет утверж-
дать, что это не так.
Четвертая глава третьей части «Дифференциального исчисле-
ния» посвящена алгебраическим кривым. Рассматривается уравне-
ние плоской кривой Р(х,у) = 0, где Р(х,у) — полином. Требуется
найти касательные к этой кривой в данной ее точке. Асимптоту
Эйлер считает касательной в бесконечно удаленной точке. Он рас-
суждает следующим образом.
Рассмотрим поведение кривой в окрестности точки х = 0. Для
этого найдем всевозможные первые члены разложений у по степе-
ням х и запишем их в виде ут =Схп, где т, п — целые. Имеется 2
основных случая.
1 Пусть tn, п>0, тогда при х = 0 будет у = 0 и ветви кривой
проходят через точку (0,0). Тангенс угла а наклона касательной к
этим ветвям в нуле есть
tga = ^ =П_с\/тх(п-т>'п
dxx=0 т _т=0
Отсюда, касательная совпадает с осью абсцисс, наклонна или пер-
пендикулярна ей в зависимости от того, п > т, п = т или п < т.
2. Если же т > 0, п < 0, то при х = 0 будет у = оо, причем
. dy
tga = — = со
dx л = 0
и ось ординат является асимптотой исследуемых ветвей кривой.
Обратимся к табл. 2 (ср. с табл.1), считая ее клетки квадрат-
НЫми.
1 У у2 у3
х ху ХУ2 ху3
х2 3 — 2 т У х3У Х3У2 Х2У3 Х3У3
Табл.2
242
Из истории математического auaq113a
Для данной кривой Р(х,у) = () построим ломаную Ньютона
Приложим линейку к какому-либо ее звену. Поскольку наклон ли"
нейки к горизонтали указывает на соотношение между т и п, то по
нему уже можно судить о расположении касательных к кривой
Рассмотрим верхнюю часть ломаной, расположенную выше прямой
АВ (рис.7) и соответствующую поэтому разложениям в окрестнос-
ти точки х = 0.
Пусть линейка восходит слева направо вверх (как, например
АА!, АА", АА'") и образует с горизонталью угол Р, тогда в зависи-
л л л
мости от того, р > —, р = — или р с —, касательная к рассматривае-
мой ветви кривой совпадает с осью абсцисс, наклонна или перпен-
дикулярна ей. Если линейка опускается слева направо вниз, то бу-
дем иметь вертикальную асимптоту, совпадающую с осью ординат.
Если же линейка горизонтальна, то при х = 0 у принимает конечные
значения вида у = а, а = const. Теперь, чтобы найти касательную к
кривой в точке вида (0, а), нужно сделать замену у = а + г и проана-
лизировать уравнение от х, z по приведенным выше правилам.
Предположим теперь, что х велико. Рассмотрим часть ломаной
Ньютона, расположенную ниже прямой АВ (рис.7). По наклону
В
В"
Рис.7
В"
q fC<>POKO?a
243
динейки к горизонтали можно судить о типе бесконечных ветвей
конвой. Пусть линейка восходит слева направо вверх (как, напри-
мер, В#', ВВ", В В'") и образует с горизонталью угол у. Тогда если
7Г я ,
? — или у < то ветвь параболическая и задается уравнением
j х 4 4
7С
,,т = Ах , где п > т и п < т соответственно. При у = — определяет-
ся только наклон асимптоты гиперболической или оси параболи-
ческой ветви кривой. Для уточнения расположения ветви требует-
ся дополнительное исследование. Очевидно, это как раз случай
четыре по классификации Крамера. Если же линейка наклонена
слева направо вниз, то ветви кривой гиперболические, а их асимп-
тота совпадает с осью абсцисс. Горизонтальное положение линейки
дает асимптоты, параллельные оси абсцисс.
Эйлер приводит 3 примера, один из которых мы рассмотрим
[10, с.390]. Кривая задана уравнением
л2 -ху + 2у3 + 2х4 -Зх3у2 -2ху4 -
-2х5у + 5х4у3 - х5у4 + 4х4у5 =0. (6)
Найти касательные к ней при х = 0. Запишем члены уравнения
(6) в параллелограмме (табл.З).
Табл.З
Линейку можно приложить тремя способами так, чтобы над
ней не было членов нашего уравнения. Положение линейки Аа
Дает касательную у = х. Положение ВЬ даст уравнение гиперболы
ХУ = 1, которая имеет асимптотой ось ординат и сама является кри-
волинейной асимптотой гиперболической ветви кривой. Положение
Сс снова даст гиперболическую ветвь с вертикальной асимптотой,
совпадающей с осью ординат. Ее уравнение
2т3г/ = 1.
Все результаты Эйлер сводит в таблицу. Кроме того он, как и
Крамер, замечает, что одного только первого члена разложения
при изучении кривых недостаточно. Таким образом, Эйлер
244
Из истории математического а»
-----------------------------------------------------------~----—
детально проанализировал взаимосвязь между касательными
асимптотами алгебраической кривой с одной стороны и наклоном
звеньев многоугольника Ньютона с другой.
В заключение приведем таблицу, где выводы Эйлера сопостав-
ляются с результатами Де Га де Мальва и Крамера (табл.4).
Автор Де Га де Мальв Крамер Эйлер
Год издания книги 1740 1750 1862 (созд. ок. 1750)
Предмет исследования Алгебраические кривые
Метод исследования Основные результаты Метод многоугольника Ныс Исследование бесконечных ветвей угона Нахождение каса- тельных и асимптот кривой. Детально рассмот- рена взаисвязь между наклоном стороны много- угольника и поло- жением касатель- ной или асимп. кривой. Выделил 16 положений сто- роны многоуголь- ника.
Правило определе- ния асимптот. То же, но более строго. + Устано- вил взаимосвязь между наклоном стороны много- угольника и типом исследуемой ветви. Выделил 4 осп. по- ложения стороны м ногоу гол ьни ка.
Исследование особых точек.
Правило определе- ния кратности точ ки (0,0) и касатель- ных к кривой в этой точке То же + правило нахождения крат- ных точек кривой.
Особенности Излагает основные идеи. Доказательст- ва словесные, их мало. Рассматривал только первый член ряда. Утверждения подробно доказываваются. Указано, что при исследовании кривой одного только первого члена ряда недос- таточно.
Табл.4
Список литературы
I. Ньютон И. Математические работы. М.-Л.. 1937.
2. The mathematical papers ot Isaac Newton Ed. D.T. Whiteside Cambridge, 1971
Vol. 4.
3. Wallis J. A treatise of algebra. London, 1685.
4. Юшкевич А.П Арифметика и алгебра // История математики с древнейших врс'
мсп до начала XIX столетия Под ред. А.П.Юшкевича. М., 1970. Т.2. С.22 — *>3-
5. Чеботарев И. Г. Многоугольник Ньютона и его роль в современном развитии мате-
матики // Исаак Ньютон. 1643—1727. Сборник статей к трехсотлетию со Д11Я
рождения / Под ред. С.И.Вавилова. М., 1943. С.99 —126.
6. Вилейтнер Г. История математики от Декарта до середины XIX столетия. М., i960.
245
g д Ефимова__________________________________________________________________________
Петрова С.С., Булычева М.Г. Из истории метода многоугольника Ньютона
' [Историко-математические исследования. И., 1989. Вып.31. С.38 — 51.
8 Cramer G. Introduction a 1’analyse des lignes courbes algebriques. Geneve, 1750.
о Qe Gua de Malves J.P. Usages de 1’analyse de Descartes pour decouvrir. sans le
sccoui5 du calcul differentiel, les propridtds, ou affections principales des lignes
geometriques de tous les ordrs. Paris, 1740.
lO Euler L. Institutionum calculi differentialisscctio3 Opera postuma. Petropoli, 1862. T. 1.
.. Hensel K.. Landsberg G. Theorie der algebraischen Funktionen eincr Variabeln
Leipzig, 1902.
l2 Briot C. Thdorie des fonctions abeliennes. Pans, 1879.
13 Briot C.. Bouquet J Theorie des fonctions dlliptiqucs. 2-mc ed. Paris, 1875.
14 Бугаев H.B. Начало наибольших и наименьших показателей в теории дифферен
циальпых уравнений Математический сборник. М.. 1891. Т.16. С.39 80
l5 Frobenius G Ucbcr die Integration der lincarcn Diffcrcntialglcichungcn durch
Rcihcn Journal dcr rcinc und angewandte Mathcmatik. 1873. Bd.76. S.214— 235
16. Liouville J. Sur la determination des int^gralcs dont la valour est alg^brique
Journal de 1’Ecolc Politechniquc. 1833. V.l. Cah.22 P.124- 148.
|7. Бугаев H.B. Различные применения начала наибольших и наименьших показате-
лей в теории алгебраических функций ' / Математический сборник. М., 1888
Т.14. С.553-590.
18. Dumas G. Sur quelque cas d’irreductibilitd des polynomes a coefficients rationnels
Journal de mathematique pures et appl. 1906. Ser.6. V.2. P.191 —258.
19. Варченко A.H. Многогранники Ньютона и оценки осциллирующих интегралов
' ' Функциональный анализ. 1976. Т.10. Вып.З. С.13—38.
20. Арнольд В.И. Критические точки гладких функций и их нормальные формы
Успехи математических наук. 1975. Т.30. Вып.5. С.3 — 65.
21. Кушниреико А.Г. Многогранники Ньютона и числа Милнора Функционалы
иый анализ. 1975. Т.9. Вып.1. С.74 75.
22. Уокер Р. Алгебраические кривые. М., 1952
23. Вайнберг М.М.. Треногий В.А. Теория ветвления решений нелинейных уравне-
ний. М., 1969
24. Брюно А.Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравне-
ний. М., 1979.
25 Треногий В.А. Ныотоиа диаграмма Математическая энциклопедия. М.. 1982
Т.З. С.1090-1091.
К ИСТОРИИ ФОРМАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОПЕРАТОРОВ
Е. А. Ефимова
В середине XIX века в Великобритании предпринимались по-
пытки создания исчисления некоммутирующих символов операций.
Символы операций отделялись от функций, изучались их фор-
ельные свойства, а затем эти свойства использовались для прило-
жений, прежде всего,—для решения дифференциальных и разнос-
тных уравнений. Истории данного вопроса посвящен ряд исследо-
Ваний, среди которых отметим (1—8].
В настоящей работе рассматриваются основные коммутацион-
ные соотношения, которые появились в ходе исследований
246
Из
истории математического
ш,4лмза
некоммутирующих символов операций. Обсуждается также обца
ружейная в середине XIX века алгебраическая по своей прирОд
связь между сопряженными дифференциальными операторами а
также дифференциальными и разностными операторами, процс’Те.
кающая из принципа двойственности, и в основе которой лежщ
известное соотношение Гейзенберга [ш,т]=1. Приводится обзор ре.
зультатов по символическому исчислению, относящихся и к неко-
торым другим коммутационным соотношениям, полученным бри-
танскими математиками в середине XIX века.
1. Как известно, Дж.Буль положил начало исследованиям не-
коммутирующих символов операций в (9] (см., например, [5]) в
этой работе он изучал символы операций лир (будем называть их
операторами), которые подчиняются следующему «закону комму-
тации» :
f(n)pn = pnf(r. + п)
(1)
для произвольной действительной функции f(t\ представимой в
виде ряда по целым степеням £,и любого целого п.
Покажем, что в рамках рассматриваемых исследований «закон
коммутации» Буля (1) равносилен соотношению:
[л,р] = р, (2)
где [л, р] = пр - рп — коммутатор операторов лир (эта равносиль-
ность не была указана в работах британских математиков того вре-
мени; обозначение коммутатора ввел позднее С.Ли [10])
Очевидно, что равенство (2) получается пз (1) при = t и
п = 1.
В работе (11] Буль отметил, что соотношение (1) равносильно
равенству
/(л)р= р/(л + 1), (3)
для произвольной действительной функции /(£), представимой в
виде ряда по целым степеням £, что нетрудно проверить по индук
ции.
Покажем, что из (2) следует (3). Если лир удовлетворяют (2), т.е.
лр=р(л + 1), и л*-1р=р(л + 1)*_|, то л*р = лр(л + I)*-1 = р(л +1)*
для положительных степеней k. Теперь, если умножить формально
лр= р(л + 1) слева на л-1, а справа на (л + I)-1, то получится равен-
ство л-1р = р(л + I)-1, из которого по индукции выводится соотно-
шение л“*р=р(л + 1ГЛ для положительных k. Таким образом-
Kftp = p(n+l)fe для любого целого k. Следовательно, для произ-
вольной функции /(£), представимой в виде ряда по целым степе-
ням t, /(л)р= р/(л + 1).
Мы не будем подробно касаться вопроса интерпретации симво-
лических выражений. Как правило, операторы лир были линей-
ными дифференциальными или разностными операторами (ниже
247
A Екимова
. лут приведены примеры пар операторов, удовлетворяющих (1)),
поэтому очевидно, что вопрос интерпретации тесно связан с вопро-
сом существования и единственности решений дифференциальных
ц1И разностных уравнений. Однако в середине XIX века британс-
кие специалисты по символическому исчислению не уделяли боль-
шого внимания этой стороне вопроса. Их больше привлекали фор-
мальные манипуляции с символами операций и получение ка-
ких-либо тождеств и соотношений между ними (при этом с симво-
1ами операций они фактически обращались так, как будто они об-
разуют группу). С помощью полученных соотношений они созда-
вали символические методы решения некоторых дифференциаль-
ных или разностных уравнений («обычные» методы решения кото-
рых, конечно, были хорошо известны). Если символическим выра-
жениям можно было придать смысл для некоторых операторов, то
они считались интерпретируемыми. Обычно это были частные слу-
чаи приложения «общей теории» к удобной и красивой записи ре-
шений дифференциальных уравнений, которым удовлетворяют ци-
линдрические или сферические функции.
Приведем несколько примеров, связанных с интерпретацией
символических выражений. Самый известный пример —это форму-
ла Лагранжа ehd' Xf(x) = f{x + h} (5]. Оператор ehd/ х применялся
для приложения символического исчисления к решению уравнений
в конечных разностях, а также к решению дифференциальных
уравнений в частных производных. В частности, этот оператор ис-
пользовал еще в 1822 г. Ж.Фурье для символической записи реше-
ния уравнений в частных производных, полученных обычным ме-
тодом [2]. В качестве другого примера отметим, что решение и ли-
нейного дифференциального или разностного уравнения Ри = V, где
линейный дифференциальный или разностный оператор, соот-
ветственно, записывалось в виде и = Р10, где Р-1 v— частное
Решение неоднородного, а Р-10—общее решение ассоциированного
с ним однородного уравнения (5]. Один из наиболее нетривиальных
Примеров — это представление цилиндрических функций в виде
AXx) = 2xv/(7t1/2r(v+12)) • (1 + O2)v-1'2 sinx/x, для Rev >-1/2.
Это представление вывел Н.Я.Сонин в 1880 г. с помощью символи-
ческой записи общего решения уравнения (Ри/dx^ + 1/х • du/dx +
^1~у2/х2)1г=0 в виде и = xv(l + О2)v-1/2 (С( sinx + Cj cosх)/х
Для v>-i/2 [12]. Указанное решение получил Ч.Харгрев в [13].
фи этом Харгрев отметил, что его решение не является интерпре-
ТиРуемым для v?t 1/2 + fe, где ft —целое (см. также [14]).
, В работе [9] Буль выделил класс уравнений следующего вида
'приведем метод Буля в изложении В.Г.Л.Рассела [ 15]; подробнее
Методе Буля и его работе [9] см. [5; 16]):
248
Из
истории математического
а,,а^Иза
(р”ф(л)ф(л + 1)...ф(л + П - 1) +
+«п_1р”_|ф(я)ф(л + 1)...ф(л + п - 2)+...+л1 р<р(л) + я0)м = Х(Д
где операторы лир удовлетворяют соотношению (1), а а0,аь
a,;_j - постоянные.
Решение таких уравнений сводилось методом факторизации к
системе двучленных уравнений. С помощью (1) уравнение записы-
валось в виде:
((рф(л)У1 + (р«р(л))”-1+...+«! р<р(л) + Д0)м = X,
откуда
(рф(л) + ац) (р«р(л) + а[ )...(рф(л) + an_j )и = X,
где ац.сц - корни многочлена tn + +...+<7^ + о0 =0.
Символические методы для интегрирования некоторых двуч-
ленных уравнений вида (р^ф(л) + vM'lu = X разрабатывали
Дж.Буль [9; 17; 18], Б.Бронвин [19], Р.Кармайкл [20; 21], а позд-
нее П.А.Некрасов [22; 23].
Приведем теперь примеры пар операторов, удовлетворяющих
(1), которые появились в ходе рассматриваемых исследований.
Основной пример- это операторы:
(1.1) л = xD, где D = d/dx, р = х (оператор умножения на х).
С помощью замены переменной х = еу операторы (1.1) можно
записать также в виде n=d/dy, р=е& (это основные примеры в
работах Буля и В.Г.Л.Рассела).
Пример (1.1) является основным, т.к. пары операторов ос-
тальных примеров получаются из операторов (1.1) или с помощью
только замены переменной, или сочетанием замены переменной с
принципом двойственности (см. ниже). Трудно сказать, понимали
ли это авторы остальных примеров, но, по-видимому, Буль это за-
метил (судя по его краткому замечанию по отношению к некото-
рым работам последователей, сделанному в трактате [17] и по его
попыткам обобщить свой метод решения уравнения (4), первона-
чально изложенный для л = d/dy и р= еу).
Общий случай операторов лир, удовлетворяющих (2), когда
л является линейным дифференциальным оператором первого по-
рядка, а р—оператором умножения на функцию, рассмотрел Брон-
вин в [19], т.е. Бронвин рассмотрел следующие операторы:
(1.2) л =<p(x)D + X(x), р= ехр( j</x/<p(x)).
Сам Бронвин на общность данного случая не указал. Однако
нетрудно проверить, что если л =ф(х)О +Х(л), то для того чтобы
выполнялось соотношение (2), оператор умножения на функцию Р
дотжен быть связан с оператором л следующим образом-’
р= ехр( |г/х/ф(х)).
249
L дЕфиМОва
Очевидно, что с помощью замены переменной, такой что
jv/(p(f) = от операторов (1.2) можно перейти к операторам
t^d/dy + \&у) и P=gJ/> удовлетворяющим (2) для любой ц(г/). Из
этих рассуждений следует также, что поскольку операторы
^-d)dy и р=е^ удовлетворяют (2), то и операторы (1.2) также
удовлетворяют (2).
Бронвин заметил, что если в операторах (1.2) формально за-
менить х i-> D, D х, а перед знаком интеграла добавить знак ми-
нус, то полученные операторы:
(1.3) л =<р(Е>)х + Х(Е>), р= ехр(-jc/D/<p(D)),
также будут удовлетворять соотношению (1).
Рассуждения Бронвина следуют из принципа двойственности,
сформулированного Ч.Харгревом в [13] (подробнее см. ниже),
согласно которому можно, не нарушая символического тождества
(в каких тождествах, и почему его можно применить здесь, будет
также сказано ниже), сделать формальную замену х i-> (—£>),
D н> .г. Если после этого написать <р(£>) вместо <р(-О) и Х(£>) вместо
Х(-О), то получится пример (1.3).
Заметим, что по принципу двойственности можно заменить
также х I—> D, DI—> (~х) в операторах (1.2). Тогда операторы
=ср(£>)(-х) + Х(£>) и pi = ехр(|с/£)/<р(£») будут удовлетворять
(1). В частности, при <р(£>) = £> и Х(О) = 1 получатся операторы
it] =-xD и pi = D (впрочем, эти операторы также являются частны-
ми случаями предыдущих примеров).
Отметим, что Бронвин для каждой пары операторов, удовлет-
воряющих (1), всякий раз проверял выполнение (1).
Выполнение соотношения (2) для операторов (1.3) нетрудно
проверить непосредственно, учитывая, что [y(D),x] = yi'tD) для
Функции ту, представимой в виде формального степенного ряда (та-
кое соотношение было известно уже Б.Бриссону в 1808 г. [24]).
Р.Кармайкл в статье [25], а также в трактате [21] рассмотрел
следующие операторы, удовлетворяющие (1):
(1.4) л = V,r/xe V - х\д/дх\ + х 26/6x2 +..л-хпд/дхп, р = 0 ,
где 0 = O(xj ,Х2,...,х„) — однородная функция первой степени.
Отметим, что с помощью замены переменных по методу Лаг-
ранжа, которая находится из системы уравнений dx\ ]х\ =
= t^-r2/x2 ~ • = <^хп/хп =dy< от операторов л = V и р = 0 можно пе-
рейти к операторам л = д/ду и р=еу (1.1).
Приведем еще два примера из работы Буля [9] (1844):
(1.5) л = D-a<p(D)ex, p = <p(D)ex,где а — постоянная;
(1.6) H=x-xe_D, р= xe~D т.е. (лн)(х) = хи(х) - хи(х - 1),
(рм)(х) = хи{х - 1).
250
Из истории математического аи
---------------------------
Заметим, что операторы (1.5) легко конструируются с
мощью операторов (1.1) следующим образом. Операторы D н х
удовлетворяют (2), а если пир удовлетворяют (2), то, очевцдн
что пары операторов л и <р(п)р, а также тг — ар и р, где а~постояв
ная, также удовлетворяют (2). Буль общих рассуждений не про
вел, а непосредственно проверил выполнение соотношения (1) Д1я
пар операторов (1.5) и (1.6).
Легко видеть, что пара операторов (1.6) получается из (1.5) в
силу замены по принципу двойственности .г (-D), Г) ь-> д- пои
<р(Г>) = D и с = 1.
Перечисленные примеры пар операторов, удовлетворяющих
(1), вместе с повторением изложения общего метода Буля для ре-
шения уравнений вида (4), для каждой из пар операторов отдель-
но, в работах, указанных выше, привели Буля к формулировке его
метода в общем виде в трактатах [17; 26].
В 1861 — 1862 гг. Рассел попытался построить алгебру неком-
мутирующих операторов —полиномов от л и р, удовлетворяющих
соотношению (1). Такие полиномы он записывал в виде р- или it-
разложений, т.е. разложений по степеням операторов р или л с ко-
эффициентами, зависящими от л или от р соответственно:
р"ср„ (тг) + р”-1<р„_1 (л)+...+ р<р1 (л) + <рр(л) (р-разложение);
<р„(р)лп +ф„-1(р)л” 1+...+<Pj (р)л + <ро(р) (л-разложение).
В частности, при л = xD и р= х в виде каждого из этих разло-
жений можно представить любой обыкновенный дифференциаль-
ный оператор с полиномиальными коэффициентами. Рассел нашел
критерии делимости р-разложения справа на двучлены вида
РФ! (тг) + фо (л), а также р^ф] (тг) + щ0(тг) и указал, что ф) (л) следует
искать среди делителей <р„(л), а фд(л)—среди делителей <ро(л)
Различные критерии делимости р- и л-разложений на некоторые
двучлены привел также В.Споттисвуд в 1862 г. (подробнее сМ-
|15; 27]).
2. Следующий круг вопросов, рассматриваемых британскими
математиками, связан с операторным тождеством:
[со,т]=1. (5)
Это тождество выделил Ч.Грейвс в [28]. В работе [28] Грейвс
получил ряд обобщений некоторых разрозненных результатов его
предшественников по символическому исчислению. Некоторые из
результатов Грейвса, полученных в [28], изложил Г.Девис в м°'
нографии [29].
Для операторов, удовлетворяющих (5), Грейвс сформулир0'
вал следующий принцип двойственности: если символическое ра'
венство <р(со,т) = О выводимо из (5), то полученное из него с по-
мощью формальной замены символов онт, t н (-со) равенств0
<р(т,—со) = 0 также будет верным. Это следует из того, что замена не
251
[^ЕФ«мова—
ушает тождество (5). Поэтому в таких символических равенст-
” " можно делать любую формальную замену, сохраняющую (5),
Пример, о >-> (—т), т (-> со, или со г-> со, т i-> т + /(со) и т.п.
Н Приведем примеры операторов, удовлетворяющих соотноше-
нию (5), рассмотренные в работах британских математиков.
Основной пример:
(2. 1) со = Д т=х.
Операторы (2.1) и связанные с ними соотношения, выводи-
мые, как показал позднее Грейвс, из (5), были объектами изуче-
ния Ч.Харгрева в [13].
В работе [30] Г.Р.Грира появилась также следующая пара опе-
раторов, удовлетворяющих (5):
(2. 2) со = V,r/[e V = Х\д/дх\ + Xjd/ch^ + ^хпд/дхп, т = L,
где /, = 1п0 и 0 = 6(xj ,Х2,---,хп ) — однородная функция первой сте-
пени.
Очевидно, что с помощью замены переменных от операторов
(2.2) можно перейти к операторам (2.1) (как и в случае перехода
от операторов (1.4) к операторам (1.1)).
Грейвс заметил, что если [со,т] = 1, то
[со,/(т)] = /'(т), (6)
и, далее,
g((a)f(x) = /(т)с?(со) + (1/1!)/' (t)cz' (со) + (1/2 !)/"(т)с?"(со )+...=
= /(т + d/da)gi<a); (7)
/(т)с?(со) = с?(со)/(т) - (1/1 !)<?' (со)/' (т) + (1/2!)с?"(со)/"(т)-...=
= </(со - Д/с/т)/(т) (8)
Для функций fit) и git),представимых в виде ряда по целым степе-
ням t.
Отметим, что для операторов со = D и т = х равенства (7) и (8)
получил Харгрев в [13]. С помощью полученных соотношений Хар-
грев также сформулировал принцип двойственности: если в уравне-
нии ср(х, D)uix) = Xix) и его решении и = (1 / cp(x,D))X, записан-
ных в символическом виде, в выражении <р(х,О) сделать формаль-
ную замену х i—> D, D f—> (-х), то функция v= (1 / ср(Д—х))Х будет
Решением уравнения ср(Д- xk(x) = Xix). В этой же работе Харгрев
Указал на связь со сформулированным им принципом двойственнос-
ти преобразования Лапласа (подробнее о [13] см. [31]).
Для операторов со и т, удовлетворяющих (5), Грейвс вывел
также формулы коммутации с экспонентой. Он положил в (6)
/(г) = еч><т) и получил равенство со + ср'(т) = е~ф^х^соеф^х\ откуда.
Учитывая, что F(p-1np)= p1F(n)p для произвольных операторов тг
[ Р (это тождество вывели независимо друг от друга Бронвин в
I32] и В.Ф.Донкин в [33]), сразу следует соотношение:
Н<в+ср'(т)) = е-ч₽(х)Г((В)еф(х), (9)
252 Из истории математического анализ
- - ———
для функции Fit), представимой в виде ряда по целым степеням t
Формулу (9) и двойственную к ней (т.е. полученную с по-
мощью формальной замены символов о н-т, т н о) для операто-
ров о = D и т =х получил ранее Буль в [34] (подробнее см. [16])
а еще раньше формулу (9) для со = D и т = х вывел Р. Морфи (см
[6])-
Алгебраическая по природе связь между сопряженными диф-
ференциальными операторами, а также дифференциальными ц
разностными операторами, которая следует из принципа двойст-
венности, проявляется в следующем. Если [со,т] = 1, то, как нетруд-
но проверить, используя соотношения (6) и (9), каждая из пар
операторов
(i) тг =тсо и р = т;
(ii) тг = ср(т)со +Х(т), р = ехр( |с/т/ср(т));
(iii) тг = со - йср(со)ех , р = ср(со)ех,
где а —постоянная, —удовлетворяет соотношению (2). Таким обра-
зом, пары операторов, полученные по принципу двойственности из
операторов (1.1),(1.2) и (1.5) автоматически удовлетворяют соот-
ношению (2).
Символические методы решения уравнений вида
Х(р(Г))и + \yiD)u = Х(х) разрабатывали Буль [35], Харгрев [13],
С.Робертс [36], позднее —А.В.Летников [23]. При этом британские
математики применяли (9) и принцип двойственности.
3. В 1850 г. Донкин [33] получил следующие формальные раз-
дожения для произвольных операторов о и р:
fi(a)p=pfiv)) + (1/1 !)р1 f'i&) + (1/2!)р2/"(со)+...; (Ю)
р/(со) = /(со)р-(1/1!)/'(со)р1 + (1/2!)/"(со)р2- , (1^
где Рь = [о,[со,. .,[о,р]...]] (коммутатор вычисляется k раз). Он за-
метил,что при со = D и р= Xix) из них получаются упоминавшие-
ся выше разложения Харгрева. Отметим также, что если со и Р
удовлетворяют (2), т.е [со,р]=р, то (10) и (И) для таких со и Р
можно символически записать следующим о б разом:
/(со)р = ped,da fito)- pfia + 1) и р/(со) = e~d dw/(co)p = /(со - 1)р, т К-
все операторы pk при А = 1, 2,... в этом случае совпадают. Таким
образом,(3) является частным случаем любого из разложений (Ю'
или (11)-
Используя приведенные выше соотношения, Донкин получил
также следующее разложение
qid/dD)f(D) = |
= /(/Ap(x)-(r/l!)/WV(i) + a2/2!)/'(<’(jC)-.... (12)
М.В.Крофтон в [37] записал разложение (12) в виде
ср/ d/dD)f(D) = f(D)<pix - х), ИЗ)
253
г ^Ефимова
где х следует заменить на .г после действия оператора D, т.е.
^(dl dD )f( D ) = f( Уф{х(^-x(3)), где индексами (по Р.Фейнма-
, [38]; см. также [39]) указан порядок действия операторов. В
частности, Крофтон отметил, что при <p(t) = ellt, где h - постоянная,
нз равенства (13) получается известное соотношение f(D + h) =
е~'к f(D)ehx (подробнее о [33] и [37] см. [7]).
4. Отметим еще некоторые исследования операторов, удовлет-
воряющих тождеству
[тг,р] = О.
Примеры коммутирующих линейных дифференциальных опе-
раторов с переменными коэффициентами привел Рассел в [40]. Он
предложил для решения дифференциальных уравнений вида
(<рй(р)тг" +<р„-1 (ph”-,+...+ <Pi (ph+<Po(P^w = использовать метод
факторизации: найти корни многочлена фп(р)7,! +<pn_t (p)tn-1 +
+<P|(pk+<Ро(р) по t, а затем разложить оператор на линейные по тг
множители [27].
Известно, что для обыкновенных коммутирующих дифферен-
циальных операторов тг и р порядков т и п соответственно первый
интересный результат получили Дж.Л.Бечнелл и Т.В.Ченди в
[41]: существует полином Fix,у) степени п по г и степени т по у,
такой что /(тг, р) = 0.
Таким образом, в рамках исследований по символическому ис-
числению, проводимых в середине XIX века в Великобритании,
было продолжено развитие формальной теории операторов, нача-
тое в работах Ф.Сервуа и Р.Морфи [42; 5].
Список литературы
1 . Pincherle S. Functionaloperationen und -Gleichungen Enc Math Wiss. 1906
II.1. Thcil A.11. P.761-817.
2 Koppelman E. The Calculus of Operations and the Rise of Abstract Algebra Arch.
Hist. Ex. Set. 1971. Vol.8. № 3. P.155-242.
3 Боголюбов A. H. Развитие илей операционного (символического) исчисления
И.З.Штокало. Операционное исчисление. Киев, 1972.
4 Петрова С.С. Хевисайд и развитие символического исчисления Историко-ма
тематические исследования. М.. 1985. Вып.28. С.98 122
5 Математика XIX века. Чебышевское направление в теории функции Обыкновен-
ные дифференциальные уравнения. Вариационное исчисление. Теория конечных
разностей Под ред. А.Н.Колмогорова и А.П.Юшкевича М.. 1987
б Panteki М. Relationships between Algebra, Differential Equations and Logic in
England. 1800 1860 Ph D Thesis. CNAA. Britain 1992
' Ефимова E.A. К истории символического исчисления Вопросы истории сстсст
познания и техники. 1994. №4. С. 144 147.
Ефи чова Е А. О развитии символического исчисления в последней трети XIX века
Историко-математические исследования Вторая серия М., 1999. Вып 3(38)
С.383-390.
8- Poole G On a General Method in Analysis Phil Trans Rov. Six’. London. 1844.
Vol.134, P.II. P.225-282.
251
Из истории математического
Историко-математические исследования. М.. 19R5
10. Демидов C.C. От скобок Пуассона до алгебр Ли Историко-матсматичгч-
следования. М., 1985. Вып.27. С.275 —289. к,1с1«с-
11. Boole G. Remarks on the Rev В. Bronwin's Method for Differential Eouat
Phil. Mag. 1847. Vol.30. P.6-8. 4 Ons
12. Сонин Н.Я. Исследования о цилиндрических функциях и специальных иолш
Ред. и коммент. Н.И.Ахиезера. М., 1954.
13. Hargreave Ch. On the Solution of Linear Differential Equations Phil т
Roy. Soc London. 1848. Vol.138, P.I P.31-54.
14. Гуссов В.В. Развитие теории цилиндрических функций в России и СССР о
торико-матсматичсскис исследования. М.. 1953 Вып.6 С.355 - 475.
15. Symbols. Calculusof The English Cyclopedia. SuppL 1873. Vol.4. P.2020 - 2026
16. Петрова C.C Дж.Буль и развитие символических методов в теории дифферент
альпых уравнений ,л----------------- ............-
Вын.29 С.88- 102.
17. Boole G. A Treatise on
Cambridge. London. 1865
18 Boole G. A Treatise on
l.Todhunter Cambridge: London. 1865.
19. Bronwin В On the Solution of Linear Differential Equations Phil. Trans Roy
Soc. London. 1851. Vol.141. P.461-482.
20. Carmichael R. Remarks on Integration Cambr. Dubl. Math. J.1854 Vol 9
P.227-233.
21 Carmichael R. A Treatise on the Calculus of Operations. London. 1855
22. Некрасов П.А. Приложение общего дифференцирования к интегрированию урав-
нений вида ^2 (а5 + f\.v).t ’D'у = 0 / Математический сборник 1888. Т.14
С.344 393.
Differential Equations London, 1859. Sec. cd rev
Differential Equations. Supplementary volume Ed
23. Шостак Р.Я Алексей Васильевич Летников Историко-математические исслс
новация. М.. 1952. Вып.5. С.167- 238.
24. Петрова С.С. Работы Бриссона по математическому анализу История и мето-
дология естественных наук. М.. 1974. Выи.16. С.159 167
25. Carmichael R. On the Index Symbol of Homogeneous Functions Cambr Dubl
Math. .1.1851 Vol.6. P.277-284
26. Boole G. A Treatise on the Calculus of Finite Differences London, i860
27. Ефимова E..4 О работах В. Рассела по символическому исчислению Истори
ко-математическнс исследования М.. 1994. Вып.35. С.247 254.
28. Graves Ch On the Principles which Regulate the Interchange of Symbols in Certain
Symbolic Equation Proc. Roy. Irish Acad. 1853—1857 Vol.6. P.144 152
29. Davis П.Т. The Theory of Linear Operators (from the Standpoint of Differential
Equations of Infinite Order) Bloomington, Indiana. 1936.
30. Greer H.R. A Theorem in the Calculus of Operations, with Some Applications
Quar. J. Math. 1860. Vol.3. P. 148-155. Note. P.268
31. Петрова C.C О работах Ч.Харгрсва no символическому исчислению История
и методология естественных паук. М., 1986. Вып.32. С.148 —158.
32. Bronwin В. On Some Theorems of Use in the Integration of Linear Differential
Equations Cambr. Dubl. Math. J. 1848. VoL3. P.35 —43.
33. Donkin W.E. On Certain Theorems in the Calculus of Operations Cambr. Dubl
Math. J. 1850. Vol.5 P.10-18.
34. Boole G. On the Theory of Developments. Part I Cambr Math J 1845- Vol 4
P 214 223
35. Boole G. Note on a Class of Differential Equations / Phil. Mag. 1847 Vol.30
P 96 97.
36. Robir s S. On the Solution of Differential Equations Quar J Math I860-Vol 3
P.218-225
255
41
42
В-ИИванм
fton М W Theorems in the Calculus of Operations Quar. J. Math. 1879
37 $16 P.323 - 329.
r unman R- An Operator Calculus Having Applications in Quantum Electrodynamics
38 p]^ Rev. 1951. Vol.84. P. 108 — 128 На русском я.1ыкс в ген : Проблемы сов
осменпой физики. М. 1955. Вып.З. С.37 —78.
Масчов В.П Операторные методы М., 1973.
A ftussell W.H.L. On the Calculus of Symbols. Fifth Memoir. With Applications to
I jncar Partial Differential Equations and the Calculus of Functions Proc. Roy
Soc. London. 1864. Vol.13. P.432-442.
Rurchnall J.L., Chaundy T.W. Commutative Ordinary Differential Operators
Proc Roy. Soc. London. Scr.2. 1923. Vol.21 P.420 —440
Петрова С. С. Зарождение теории линейных операторов в работах Сервуа и Мор
фи История и методология естественных наук. М., 1978. Вып.20. С. 122 - 128
КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
(КРАТКИЙ ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК)
В.И.Иванов
1. Конформные отображения в картографии
Первые конформные отображения были построены и примене-
ны в картографии как отображения поверхности сферы (земной
пли небесной) на плоскость карты, при которых мельчайшие учас-
тки подобны их отображениям. Простейшее из конформных отоб-
ражений сферы на плоскость - стереографическая проекция было
известно еще Клавдию Птолемею [1] (II в. н.э.).
Другая конформная картографическая проекция - цилиндри-
ческая, Меркаторова —появилась в эпоху Великих географических
открытий. В 1569 году фламандский картограф Герард Меркатор
(1512-1594), эмигрировавший в Германию, издал карту мира в
виде атласа [2], построенную в конформной цилиндрической про-
екции. Правда, карта Меркатора была лишь приблизительно кон-
формной. В точной конформной проекции координаты точки на
карте выражаются формулами
ш , , .
г at (у тг)
х = Мт, и = М\----= A/lntan — + — , (1)
'cos£ <2 4/
гДе <р — географическая долгота, ф—широта, М -масштабный мно-
житель. Во времена Меркатора ни логарифмы, ни интегралы еще
Не были известны. Точная конформная цилиндрическая проекция
бьтла построена только в конце XVII столетня.
Карта Меркатора оказалась весьма удобной для прокладки
маршрутов морских судов, так как на такой карте кривая постоян-
ного курса (локсодрома) представляет прямую линию. Со време-
нем проекция Меркатора стала основной проекцией для морских
навигационных карт.
256
Из истории матсмашчсского □„
-----------------------I—
Еще две конформные картографические проекции появились
1772 году, когда И.Г.Ламберт (1728 -1777) опубликовал треть
книгу «Очерков об употреблении математики и ее приложении
[3]. В одной из глав этой книги, посвященной картографии, бы1и
построены две новые конформные картографические проекции-
коническая и поперечная цилиндрическая (последняя называется в
современной картографии проекцией Ламберта Гаусса).
Создателями математической картографии являются Л.Эйлеп
(1707—1783), И.Г.Ламберт и Ж.Л.Лагранж (1736 1813). Они с
самого начала выделили класс конформных проекций как важней-
ший (наряду с равновеликими) класс картографических проекций
Правда, термином «конформный» эти авторы не пользовались
(они говорили об отображении, «подобном в бесконечно малых
частях»)1 Впервые использовал термин «конформная проекция»
петербургский математик и астроном, академик Ф. И. Шуберт
(1758 1825) в картографической работе 1789 года, опубликован-
ной в «Трудах Петербургской академии наук» [4].
Эйлер впервые применил функции комплексного переменного
к задачам картографии в двух статьях 1777 года, опубликованных
в «Трудах Петербургской академии наук» [5; 6] (представлены в
Академию в 1775 году). В частности, Эйлер заметил, что переход
от одной конформной (равноугольной) проекции к другой осущес-
твляется с помощью функции комплексного аргумента f(x + ух/-1),
что на современном языке означает аналитическую функцию.
Эйлер впервые рассмотрел [6J дробно-линейное преобразова-
ние полярной стереографической проекции и нашел, что при таком
преобразовании сеть меридианов и параллелей отображается в два
взаимно ортогональных семейства окружностей. Теперь такая сеть
линий называется биполярной сетью, а соответствующие конформ-
ные картографические проекции- поперечными и косыми стереог-
рафическими
Вслед за Эйлером использовал комплексные переменные в
картографии Лагранж в мемуаре 1779 года [7]. Он построил, в
частности, конформные отображения поверхностей вращения на
сферу и плоскость.
Дальнейшее развитие теории конформных картографических
проекций связано с именем К.Ф.Гаусса (1777- 1855). Гаусс подо-
шел к задаче о конформных проекциях с общей точки зрения как
к задаче конформного отображения одной кривой поверхности на
другую. Эту задачу Гаусс решил в работе 1822 года [8] (подана на
конкурс Датской академии наук и опубликована в 1825 году). Эта
классическая работа заложила основы теории поверхностей.
В более поздней работе [9], опубликованной в виде двух ста-
тей в 1844 и 1847 годах, Гаусс рассмотрел конформное отображе-
ние земного сфероида и построил картографическую проекцию
(конформную поперечную цилиндрическую проекцию сфероида)-
257
в[[Ива1Ю1
оторая в современной картографии называется проекцией Гаус-
са Крюгера.
К.Г.Я.Якоби (1804—1851) построил конформное отображение
оВерхности трехосного эллипсоида на сферу [10] (работа издана
посмертно, год ее написания неизвестен).
Упомянем еще две работы, посвященные применениям кон-
формных отображений в картографии.
Замечательная теорема о конформных проекциях в картогра-
фии была высказана П.Л.Чебышевым (1821 — 1894): «Из всех кон-
формных проекций данной области на сфере (страны, континента
или океана) на плоскость (карту) наилучшеп является та проек-
ция, для которой масштаб изображения в точках границы области
постоянен» [И]. Доказательство теоремы Чебышева было дано в
1894 г. русским математиком Д.А.Граве (1863 1939) [12].
2. Геометрическая теория функций комплексного
переменного
Современная теория конформных отображений представляет
раздел теории функций комплексного переменного. Основы теории
аналитических функций были заложены Эйлером. Эйлер впервые
получил [13; 14] условия, связывающие вещественную и мнимую
части аналитической функции w = и + iv :
ди 8v ди dv , х
— = — —=-— (2)
дх ду ’ ду дх ’
которые обычно называются условиями Коши—Римана2.
Эйлер детально изучил основные элементарные функции ком-
плексного переменного [16] и, в частности, установил связь между
показательной и тригонометрическими функциями. Ои же впервые
рассмотрел степенные ряды с комплексными членами [13] и интег-
ралы от функций комплексного переменного [14].
В работе 1769 года [17] Эйлер нашел, что функция и = г>7-Т =
= F(x + yj-i) (на современном языке это означает аналитическую
Функцию) отображает любую ортогональную сеть линий в ортого-
нальную сеть. По существу в этой работе впервые установлено
свойство локальной конформности отображения, осуществляемого
аналитической функцией.
Вслед за Д’Аламбером [15] Эйлер применил теорию аналити-
ческих функций к плоским задачам гидродинамики идеальной нес-
жимаемой жидкости [13].
Основы строгой теории аналитических функций создал
О Д.Коши (1789—1857) в ряде работ, выполненных в 20 — 30 го-
дах XIX века (теория интегрирования функций комплексного пе-
ременного, представление аналитических функций в виде контур-
ных интегралов и степенных рядов, теория вычетов и др.). Поня-
тие аналитического продолжения, играющее фундаментальную
Роль в теории аналитических функций, было введено в 1842 году
258
Из истории математического aiiai, ,
К-Вейерштрассом (1815 — 1897) [18]. Им же была доказана едцНст
венность аналитического продолжения.
Создателем геометрической теории аналитических функщц
(т.е. собственно теории конформных отображений) является Б.рц
май (1826—1866). Диссертация Римана [19] положила начало щи.
рокому применению идей и методов математической физики в тео-
рии функций.
Риманом была сформулирована основная теорема о существо-
вании конформного отображения любой плоской односвязной об-
ласти на круг, носящая ныне его имя3. Доказательство этой теоре-
мы, данное Риманом, было основано на некотором вариационном
принципе, используемом в математической физике —так называе-
мом принципе Дирихле. Он предполагает существование миниму
ма некоторого положительного функционала, имеющего смысл
энергии поля,—интеграла Дирихле.
Принцип Дирихле (а с ним и доказательство Римана) были
подвергнуты критике Вейерштрассом в работе [23], опубликованной
в 1870 году уже после смерти Римана. Вейерштрасс показал на при-
мере, что минимум положительного функционала может не дости-
гаться на множестве допустимых функций. Только в 1901 году, че-
рез 50 лет после появления работы Римана [19], Д.Гильберт
(1862— 1943) строго доказал принцип Дирихле [24], реабилитиро-
вав тем самым риманово доказательство теоремы существования.
Другие доказательства теоремы Римана (без использования
принципа Дирихле) были даны Г. А.Шварцем (1843 1921) [20] и
К.Каратеодори (1873— 1950) [25].
Риман ввел в теорию аналитических функций понятие много-
листной поверхности, связанной с многозначной функцией [19].
Теперь такие поверхности называются римановыми поверхностями.
Современная теория рассматривает конформное отображение с об-
щей точки зрения как взаимно однозначное отображение одной
многолистной римановой поверхности на другую посредством мно-
гозначной и многолистной аналитической функции.
Ж.Лиувилль (1809 -1892) изучил конформные отображения
областей N-мерного евклидова пространства и доказал, что при
/V > 2 все конформные отображения сводятся к линейным преобра
зованиям и инверсии [26].
Принцип симметрии, играющий большую роль в приложениях
при построении конформных отображений областей с одной или
несколькими осями симметрии, был сформулирован Риманом [191
н обоснован Шварцем [211.
Метод построения конформного отображения полуплоскости
(пли круга) на произвольный многоугольник разработали незави-
симо Э.Б.Кристоффель (1829 — 1900) и Г.А.Шварц [21; 27; 28|
Конформные отображения круга на прямоугольник и эллипс
впервые построил Шварц [21; 22]. Эти отображения
plUfaaiiQB
259
..ществляются эллиптическими функциями. Основы теории эл-
цщтических функций были разработаны Якоби [29], Риманом
1301. Вейерштрассом [31; 32] и в дальнейшем развивались многи-
ми математиками.
Шварц [33] впервые осуществил конформное отображение по-
1хт1лоскости на круговой треугольник (т.е. область, ограниченную
тремя дугами окружностей). Такое отображение осуществляется с
помошью гипергеометрической функции. Основы теории гипергео-
метрической функции заложены Гауссом [34], Риманом [35] и
ф.Клейном (1849—1925) [36].
Шварц рассмотрел также задачу конформного отображения пра-
вильных сферических многоугольников на круг [33]. На этой основе
ему удалось построить конформные отображения поверхности тетра-
эдра [38] и других правильных многогранников [33] на сферу.
Круговые треугольники специального вида (например, круго-
вой треугольник с нулевыми углами) отображаются на круг с по-
мощью так называемых модулярных эллиптических функций. Ос-
новы теории модулярных функций заложены Шварцем [33] и
Клейном [37; 39].
Теоремы существования конформного отображения для мно-
госвязных областей были доказаны Гильбертом [40] и П.Кебе
(1882 1945) [41]. Они доказали, что любую N-связную плоскую
область можно конформно отобразить на плоскость с N разрезами
вдоль отрезков параллельных прямых (теорема Гильберта), либо
на плоскость с N выброшенными кругами (теорема Кебе).
3. Приложения конформных отображений
в математической физике
После того, как Риман связал задачи конформного отображе-
ния с краевыми задачами математической физики [13], началась
интенсивная разработка приложений конформных отображений в
Различных областях механики и физики.
Г.Кирхгоф (1824 — 1887) первым применил конформные отоб-
ражения для решения плоских задач гидродинамики, электроста-
тики и магнитостатики. Он впервые включил конформные отобра-
жения в курс лекций по математической физике [42; 43]. Позже
это сделал Г.Вебер (1842—1913), перерабатывая лекции Римана
по математической физике [44]. С тех пор конформные отображе-
«Ия прочно вошли во все основные руководства по уравнениям ма-
тематической физики [45 — 48].
Кирхгоф разработал [49] метод решения задач о плоских
струйных течениях идеальной несжимаемой жидкости, в котором
Используется конформное отображение4.
Позже метод Кирхгофа был усовершенствован Н.Е.Жуковс-
К1,м (1847- 1921), нашедшим с его помощью решения многих за-
Лач о плоских струйных течениях [51]. В двадцатом столетии тео-
Рия плоских струйных течений получила законченный вид в
260
Из истории математического
монографиях Г.Биркгофа (род. 1911) и Э.Сарантонел.ю [521
М.И.Гуревича (1909 1975) [53].
Г.Кирхгоф [54] и Н. А.Умов (1846 1915) [55] примени-,
конформные отображения поверхностей к задаче о распределение
электрического тока на проводящих кривых поверхностях.
В XX веке в связи с развитием авиации приобрела актуать.
ность задача расчета обтекания потоком воздуха различных аэро-
динамических конструкций, прежде всего крыла самолета. Основы
теории крыла бесконечного размаха при малых скоростях потока
были заложены Жуковским. Отображая окружности с помощью
простой рациональной функции
1
^=2
(3)
Z
Жуковский теоретически построил и рассчитал аэродинамические
профили с нулевым углом на острой кромке [56; 57]5. Функция
(3) называется ныне функцией Жуковского, а построенные с ее по-
мощью профили — профилями Жуковского.
Жуковский изучил также отображения, осуществляемые ирра-
циональной функцией, представляющей обобщение функции (3)
А+1 kz + lJ
где р>0 6. С помощью функции (4) Жуковский построил в 1911
году [59] аэродинамические профили с ненулевым углом пр на
кромке, несправедливо названные позже профилями Карма-
на—Треффтца.
Профили крыльев с закругленной задней кромкой построил
Э Карафоли (род. 1901) [60].
Дальнейшие приложения конформных отображений к теории
крыла бесконечного размаха разрабатывали С.А. Чаплыгин [61].
В.В.Голубев (1884-1954) [62; 63], Г.Глауэрт (1892-1934) [64] и
многие другие исследователи.
Жуковский и Чаплыгин впервые применили конформные
отображения при расчете обтекания решеток аэродинамических
профилей [65; 66]. Конформные отображения периодических
структур (решеток) исследованы также Н.Е.КочинЫМ
(1901-1944) [67], Г.Ф.Проскурой (1876-1958) [68] и Г.Ю Сте-
пановым (род. 1922) [69].
В аэродинамике малых скоростей воздух можно рассматривать
как несжимаемую среду, но при больших скоростях следует у411’
тывать сжимаемость газа. Метод учета сжимаемости газа при Д°3‘
буковых скоростях, использующий конформные отображения, бЫл
разработан Чаплыгиным [70]. Этот метод, основанный на линей-
ной аппроксимации адиабаты, называется ныне приближенным Не'
тодом Чаплыгина (в отличие от точного метода Чаплыгина, в kotoj
ром используется точная адиабата Пуассона). Приближенны11
261
р ^Иванов
етод Чаплыгина позволяет после замены переменных привести
авнения плоской дозвуковой аэродинамики к уравнению Лапла-
са и затем использовать конформное отображение. Этот метод Чап-
1Ь1гнн применил к расчету газовых струй со скоростями порядка
q 5 — 0,8 от скорости звука.
Г.В.Колосов (1867—1936) положил начало широкому исполь-
зованию функций комплексного переменного при решении двумер-
ных задач' теории упругости [71; 721. Он свел плоскую задачу те-
ории упругости к разысканию двух аналитических функций (по-
тенциалов Колосова)
Методы Колосова были развиты Н. И. Мусхелишви л и
(1891 1976), который использовал конформные отображения при
решении задач о кручении сплошных и полых стержней, а также
при решении некоторых плоских задач теории упругости [73].
Н.Н.Павловский (1884 — 1937) впервые применил конформные
отображения к плоским задачам фильтрации, т.е. движения грун-
товых вод под гидротехническими сооружениями [74]. Дальней-
шие приложения конформных отображений к плоским задачам те-
ории фильтрации разработаны П.Я.Полубариновой —Кочиной
(1899-1999) [75; 76] и П.Ф.Фильчаковым (1916 1978) [77].
Л.И.Седов (1907—1999), М.А.Лаврентьев (1900 — 1980) и
М.В.Келдыш (1911 — 1978) решили с помощью конформных отоб-
ражений ряд задач об ударе твердого цилиндра о поверхность нес
жимаемой жидкости [78 -81].
М.А.Лаврентьев [82] и В.М.Кузнецов [83] использовали кон
формные отображения при построении математических моделей в
задачах направленного взрыва.
В связи с задачами расчета и проектирования физических по-
тенциальных векторных полей в различных областях механики,
физики и техники приобрели особое значение численные методы
конформных отображений. Численные методы развивались многи-
ми математиками [84]. Здесь следует отметить работы отечествен-
ных ученых Лаврентьева [85], Л.В.Канторовича (1912 1986) и
В И.Крылова (род. 1902) [86], П.Ф.Фильчакова [87].
В свое время для решения прикладных задач разрабатыва чпсь
и использовались методы моделирования конформных отображе-
ний на аналоговых вычислительных машинах [88], однако с разви-
тием современной вычислительной техники они утратили свое зна-
чение.
4. Заключение
Мы завершим этот краткий обзор истории развития теории и
приложений конформных отображений высказываниями двух уче-
ных, имена которых упоминались выше. Первое высказывание
принадлежит Ф.Клейну. В «Лекциях о развитии математики в
XIX столетии», заканчивая раздел о развитии теорем Римана о
консформных отображениях, он говорит: «В итоге можно сказать,
262
истории математического
^"а-тиза
что Риман был прав, отстаивая свои теоремы существования, Нес_
мотря на критику Вейерштрасса, несмотря на непризнание боль-
шинства математиков и несмотря на то, что доказательства этих те-
орем были тогда действительно далеко не безупречными. Эти тео-
ремы должны быть отнесены к глубочайшим и величайшим дости-
жениям математической науки во все времена» [39, с.309].
Второе высказывание принадлежит академику М.А.Лаврентье-
ву: «Теория функций комплексного переменного и в особенности
ее геометрическая часть теория конформных отображений — воз-
никла и развивалась на основании различных физических предс-
тавлений... С другой стороны, обратно, развитие теории функций
комплексного переменного позволило создать новые методы реше-
ния важнейших практических задач из различных разделов мате-
матического естествознания (гидро- и аэродинамика, теория упру-
гости, электрические, магнитные и тепловые поля и т.д.). Приори-
тет и главные заслуги в приложениях теории функций комплекс-
ного переменного безусловно принадлежат ученым нашей страны»
[89, с.176].
Примечания
1 Впрочем, и современные картографы редко пользуются термином «конформная про-
екция», предпочитая эквивалентный ему термин «равноугольная проекция».
2 Несколько раньше Эйлера условия (2) получил Ж.Л.Д’Аламбер (1717 —1783), рас-
сматривая задачу о плоском безвихревом движении несжимаемой жидкости [15]
Однако Д'Аламбер не связывал условия (2) с дифференцируемостью функции ком-
плексного переменного.
2 Следует отметить, что Риман еще не использовал термин «конформное отображе-
ние» (он говорил о «преобразовании малейших частей плоскости в подобные им час-
ти»). Применительно к отображениям, осуществляемым аналитическими функция-
ми термин «конформное отображение» впервые использовал, по-видимому, Шварч
[20-22].
1 Ранее одну частную задачу о струйном течении решил с помощью комплексных пере-
менных Г.Гельмгольц (1821 — 1894) [50].
5 Исторически первый аэродинамический профиль, представляющий инверсию пара-
болы, был построен несколько ранее С.А.Чаплыгиным (1869—1942) [58] Позже
выяснилось, что профиль Чаплыгина тождественен профилю Жуковского.
6 При р = 0 функция (4) совпадает с (3).
7 К числу двумерных задач теории упругости относятся задачи о кручении и изгибе од-
нородных стержней и плоская задача теории упругости. Под последней понимается
задача, в которой одна компонента вектора деформации равна пулю, а две другие
компоненты зависят только от двух координат.
Список литературы
1 Claudii Ptolemaei planisphaerium / / Claudii Ptolemaei opera quae exstant omnia-
Opera astronomica minora. Leipzig: Teubner, 1907. Vol.2. P.225 —259. (См. нем. пе-
ревод: Das Planisphaerium des Claudius Ptolemaeus // ISIS. 1927. Vol.9. №30-
P. 255 - 278.)
2 . Gerard Mercator's Map of the World in Atlas-form (1569). Rotterdam: Gravenhagc.
1961.
3 Lambert J. H. Beytragc zum Gcbrauch der Mathematik und dcren Anwendung. Berlin,
1772. Bd.3.
В ^ Иванов ~263
д Schubert F.T. De projectionc sphacroidis ellipticac gcographica // Nova Acta
Acadcmiae Scicntiarum Imperialis Pctropolitanac. 1789. Vol.5. P 130—146.
5 Эйлер Л. Об’изображении поверхности шара на плоскости (1777) // Л.Эйлер.
Избранные картографические статьи. М., 1959. С.21—47.
g ЭйлерЛ. О географической проекции поверхности шара (1777) Л.Эйлер. Изб-
ранные картографические статьи. М„ 1959. С.49 —61.
7 Laqrange J.L. Sur la construction des cartes gtographiques (1779) //J.L.Lagrange.
Oeuvres. Paris: Gauthier-Villars, 1869. T.4. P.637 —692.
8 Гаусс К.Ф. Решение в общем виде задачи: изображение частей заданной поверх-
ности на другой заданной поверхности с сохранением подобия в бесконечно малых
частях (1822) К.Ф.Гаусс. Избранные геодезические сочинения. М., 1958. Т.2.
С.19-37.
9. Гаусс К.Ф. Исследования по высшей геодезии. Статьи 1—2 (1844, 1846) //
К.Ф.Гаусс. Избранные геодезические сочинения. М., 1958. Т.2. С.38—91.
10. Jacobi C.G.J. Uber die Abbildung eines ungleichaxigcn Ellipsoids auf einer Ebcne,
bei wcicher die kleinsten Thcile ahnlich blcibcn / C.G.J.Jacobi Gesammelte
Werke. Berlin: Reimer, 1882. Bd.2. S.399 —416.
11. Чебышев П.Л. О построении географических карт(1856) П.Л.Чебышев. Пол-
ное собрание сочинений. М.-Л., 1951. Т.5. С.146—149
12. Граве ДА. Об основных задачах математической теории построения географичес-
ких карт. СПб., 1896.
13. Euler L. Continuation des recherches sur la theoric du mouvement des fluides (1755)
L.Euler. Opera omnia. Ser.II. Berlin-Leipzig: Teubner, 1954. Vol.12. P.92— 132.
14. Euler L. Ulterior disquisitio de formulis integralibus imaginariis (1777) / L.Euler.
Opera omnia. Ser.I. Lausannac, 1932. Vol.19. P.268 —286-
15. D'Alembert J. Essai d’une nouvcllc theoric de la resistance des fluides. Paris, 1752.
16. ЭйлерЛ. Введение в анализ бесконечных (1748). М., 1961. Т.1 — 2.
17. Euler L. Considerationes de traiectoriis orthogonalibus (1769) / L.Euler. Opera
omnia. Ser.I. Vol.28. Commentationes gcometricac. T.3. P.99—119
18. Weierstrass K. Definition analytischer Funktioncn einer Vcrandcriichcn vcrmittelst
algcbraischer Diffcrcntialgleichung (1842) / K. Weierstrass. Mathcmatischc
Werke. Berlin' Mayer and Mueller, 1895. Bd.1. S.75- 84.
19 Риман Б. Основы общей теории функций комплексного переменного (1851)
Б.Риман. Сочинения. М., 1948. С.49 —87.
20. Schwarz H.A. Zur Theoric dcr Abbildung (1869) H.A.Schwarz. Gesammelte
mathcmatischc Abhandlungcn. Berlin' Springer, 1890. Bd.2. S.108—132.
21 Schwarz H.A. Ubcr cinigc Abbildungsaufgabcn (1869) / H.A.Schwarz.
Gesammelte mathcmatischc Abhandlungcn. Berlin: Springcr, 1890. Bd.2. S.65 —83.
22. Schwarz H.A. Notizia sulla rappresentazionc conformc di un’ area cllittica sopra un
area circolare (1869) // H.A.Schwarz. Gesammelte mathcmatischc Abhandlungcn.
Berlin: Springer, 1890. Bd.2. S.102—107.
23. Weierstrass K. Uber das sogenanntc Dirichlet’sche Prinzip (1869) / /
K. Weierstrass. Mathcmatischc Werke. Berlin: Mavcr and Muller, 1895. Bd.2.
S.49-54.
24- Hilbert D. Das Dirichletschc Prinzip (1901) D.Hilbert. Gesammelte
Abhandlungcn. Berlin: Springcr, 1935. Bd.3. S.15-37.
25 Caratheodory C. Elementarer Bcwcis fur den Fundamentalsatz der kontormcn
Abbildungen (1914) / C.Caratheodory. Gesammelte mathcmatischc Schriftcn.
Munchen: Beck, 1955. Bd.3. S.273 299.
26. Monge G. Application d’analyse a la geometric Annotec par J.Liout ille Pans:
Bachelier, 1850. Ed.5. Suppl.6.
22. Christoffel E.B. Sul problcma dello temperature stazionarie e la rappresentazionc di
una data superficic (1867) E.B.Christoffel Gesammelte mathcmatischc
Abhandlungcn. Leipzig: Teubner. 1910 Bd.l. S.245 —258.
264 Из истории математического аиа 1113а
28 Christoffel Е.В. Sopra un problema proposito da Dirichlet (1871)
E.B.Christoffel. Gesammclte mathematische Abhandlungen Leipzig: Teubner lorn
Bd.2. S.1-8.
29 Jacobi C.G.J. Fundamenta nova theoriac functionum ellipticarum (1829) j
C.G.J.Jacobi. Gesammclte Werke. Berlin: Rcimcr, 1881. Bd.l. S.49.
30. Riemann B. Elliptische Funktionen. Vorlesungen (1856). Leipzig Teubner, 1899
31. Weierstrass K. Vorlesungen iibcr die Theorie der elliptischen Funktionen
K. Weierstrass. Mathematische Werke. Berlin: Mayer und Mueller, 1915. Bd.5.
32 Schwarz H.A. Formcln und Lchrsatzc zum Gebrauch der elliptischen Funktionen
Berlin: Springer, 1893.
33. Schwarz H.A. ber diejenigen Faile, in welchen die Gaussische hyper-gcometrischc
Reihe cine algebraischc Funktion ihres vierten Elcmcntcs darstcllt (1872)
H.A.Schwarz. Gesammclte mathematische Abhandlungen. Berlin Springer, 1890
Bd.2. S.211-259.
34. Gauss C.F. Allgcmeinc Untcrsuchungen uber die unendlichc Reihe. (1812)
(jbersetzt aus dem Lateinischcn. Berlin: Springer, 1888.
35. Риман Б. Новые результаты из теории функций, представимых гауссовым рядом
Е(а,р.у,х) (1856) ' Б.Риман. Сочинения. М.-Л., 1948. С.159 175.
36. Klein Е. Vorlesungen uber die hypergeometrische Funktionen (1893/ 94). Berlin:
Springer, 1933.
37. Klein F Vorlesungen iibcr die Theorie der elliptischen Modulfunktioncn Leipzig:
Teubner, 1890-1892. Bd.l 2.
38. Schwarz H.A. Konforme Abbildung der Obcrflachc cincs Tctraedcrs auf die
Oberflachc cincr Kugel (1868) HASchuarz. Gesammclte mathematische
Abhandlungen. Berlin: Springer, 1890. Bd.2. S.84—101.
39. Кгейп Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетни. М., 1937. Т.1.
40. Hilbert D. Zur Theorie der konformcn Abbildung (1909) / I). Hilbert Gesammclte
Abhandlungen. Berlin: Springer, 1935. Bd.3. S.73 —80.
41. Kobe P. Ober die konforme Abbildung mehrfach zusammenhangender Bcrcichc
Jahresbericht dcr Dcutschen Mathematiker Vcrcinigung. 1910. Bd.19. H.11 12
S.339-348.
42. Кирхгоф P. Механика. Лекции по математической физике (1876). М., 1962.
43. Kirchhoff G.R. Elcktrizitat und Magnctismus л G.R.Kirchhoff. Vorlesungen iibcr
mathematische Physik. Leipzig: Tcubner, 1891.
44. Riemann B.. Weber H. Die particile Diffcrcntial-GIcichungcn dcr mathcmatischen
Physik. Braunschweig: Vicweg, 1900—1901. Bd.1—2.
45. Франк Ф., Мизес P. Дифференциальные и интегральные уравнения математичес-
кой физики. М.-Л., 1937.
46. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Методы математической физики. М., 1950.
47. Джефрис Г., Свирлс Б. Методы математической физики. М., 1970. Т.2.
48. Морс Ф., Фешбах Г. Методы теоретической физики. М., 1960. Т.1 —2.
49. Kirchhoff G.R. Zur Theorie freicr Fliissigkcitsstrahlcn (1869) G.R.Kirchhoff
Gesammclte Abhandlungen. Leipzig: Barth, 1882. S.416 — 427.
50. Гельмгольц Г. О прерывном движении жидкости (1868). Г.Гельмгольц. Два иссле-
дования по гидродинамике. М.,1902. С.52 —66.
51 Жуковский Н.Е. Видоизменение метода Кирхгоффа для определения движения
жидкости в двух измерениях при постоянной скорости, данной на неизвестной ли-
нии тока (1890) Н.Е.Жуковский. Собрание сочинений. М. 1949. Т-2-1
С 489-626
52. Биркгоф Г., Сараитонелло Э. Струи, следы и каверны (1957). М., 1964.
53. Гуревич М Н. Теория струй идеальной жидкости. М.. 1961.
54. Kirchhoff G.R. Uber die stationaren clektrischcn Stromungen in cincr gekriimmten
Icitendcn FlSche (1875) ' G.R.Kirchhoff. Gesammclte Abhandlungen. Leipzig
Barth, 1882. S.56-66.
В ^Иванов 265
умов Н А. О стационарном движении электричества на проводящих поверхностях
3 произвольного вида Н.А.Учов. Избранные сочинения. М.. 1950. С.447—453.
'6 Жуковский Н.Е. О контурах поддерживающих поверхностей аэропланов (1910)
3 Н.Е.Жуковский. Собрание сочинений. М., 1949. Т.4. С.92— 116.
57 Жуковский Н.Е. Теоретические основы воздухоплавания (1911) Н.Е.Жуков-
ский. Собрание сочинений. М., 1950. Т.6.
58 Чапяыгин С.А. О давлении плоскопараллельного потока на преграждающие тела
(к теории аэроплана) (1910) С.А. Чаплыгин Собрание сочинений. М., 1948.
Т2 С.184-229.
59 Жуковский Н.Е. О поддерживающих планах типа «Антуанетт» (1911) //
Н.Е.Жуковский. Собрание сочинений. М., 1949. Т.4. С.179 —206.
60 Карафоли Э. Аэродинамика крыла самолета. М., 1956.
61. Чаплыгин С.А. К общей теории крыла моноплана (1922) // С.А. Чаплыгин. Соб-
рание сочинений. М.-Л., 1948. Т.2. С.246 —299.
62 Голубев В. В. Теория крыла аэроплана в плоско-параллельном потоке // Труды
ЦАГИ 1927. Вып. 29.
63. Голубев В.В. Лекции по теории крыла. М., 1950.
64. Глауэрт Г. Основы теории крыльев и винта (1927). М., 1931.
65. Чаплыгин С.А. Теория решетчатого крыла (1914) // С. А.Чаплыгин. Собрание
сочинений. М., 1933. Т 2. С.191—204.
66 Жуковский Н.Е. Вихревая теория гребного винта (статья третья, 1915)
Н.Е.Жуковский. Собрание сочинений. М., 1950. Т.4. С.494 — 528.
67. Копии Н.Е. Гидродинамическая теория решеток. М., 1949.
68. Проскура Г.Ф. Гидродинамика турбомашиц. М.-Л., 1934.
69. Степанов Г.Ю. Гидродинамика решеток турбомащин. М., 1962.
70. Чаплыгин С.А. О газовых струях (1901). М.-Л., 1949.
71 Колосов Г.В. Об одном приложении теории функций комплексного переменного к
плоской задаче математической теории упругости. Юрьев, 1909.
72. Колосов Г. В. Применение комплексных диаграмм и теории функций комплексной
переменной к теории упругости. М.-Л., 1935.
73. Мусхелишвили И. И. Некоторые основные задачи математической теории упругос-
ти. Л., 1933.
74. Павловский Н.Н. Теория движения грунтовых вод под гидротехническими соору-
жениями и ее основные приложения (1922) // Н.Н.Павловский. Собрание сочи-
нений. М., 1956. Т.2. С.3-352.
75. Копина П.Я. (Полубаринова-Кочина П.Я.) Некоторые задачи плоского движения
грунтовых вод. М.-Л., 1942.
76. Кочина П.Я. (Полубаринова-Кочина П.Я.) Теория движения грунтовых вод. М.,
1952.
^7 Фильчаков П.Ф. Теория фильтрации под гидротехническими сооружениями.
Киев, 1959-1960. Т.1-2.
78. Седов Л.И. Об ударе твердого тела, плавающего на поверхности несжимаемой
жидкости / Труды ЦАГИ. 1934. Вып.187.
79. Седов Л.И. Теория плоских движений идеальной жидкости. М.-Л., 1939.
80 Седов Л.И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. М., 1950.
81 Лаврентьев М.А., Келдыш М.В. Общая задача о жестком ударе о воду / Труды
ЦАГИ Сборник статей по вопросам удара о поверхность воды. 1935. Вып. 152.
С 5- 12
82 Лаврентьев М.А. Кумулятивный заряд и принцип его работы (1957)
М.А.Лаврентьев. Избранные труды. М., 1990. С.570 — 585.
83. Кузнецов В.М. Математические модели взрывного дела. Новосибирск, 1977
84. Seidel IV. Bibliography of Numerical Methods in Conformal Mapping // US Nat
Bureau Standards, Appl. Math. Ser. 1952. Vol.18. P.269 — 280.
266
Из истории математического аиа_1113
85. Лаврентьев М. А. Ктеории конформных отображений (1934) / М.А.Лавпенгп
ев. Избранные труды. М., 1990. С.72 —139.
86. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа м
1936. 1’
87. Фильчаков П.Ф. Приближенные методы конформных отображений. Киев, 1964
88. Степанов Г.Ю. Применение электрического моделирования для отыскания кон
формного отображения при решении плоских краевых задач (обзор) Ниже-
нерпый журнал. 1965. Т.5. Вын.З. С.587 —598.
89. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного перемен-
ного. М.-Л., 1951.
О ТЕОРЕТИКО-ЧИСЛОВЫХ
ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫХ ФОРМУЛАХ
Н. М. Коробов
В 1957 г. в Математическом институте АН СССР начал рабо-
тать семинар по теоретико-числовым методам в приближенном ана-
лизе. Работа этого семинара положила начало новому направлению
в вычислительной математике, основанному на применении теории
чисел к ряду задач приближенного анализа. Краткое описание пер-
вых лет работы семинара было дано в статье [1]. Основное внима-
ние в ней уделено истории возникновения семинара и анализу од-
ного из главных аспектов его работы — исследованию вопроса о
применении теории чисел к построению квадратурных формул для
функций многих переменных.
Настоящая статья посвящена другому аспекту работы семина-
ра—построению многомерных интерполяционных формул. В ней
дано краткое изложение двух подходов к построению теорети-
ко-числовых интерполяционных формул, полученных в первые
годы работы семинара.
Приведем прежде всего необходимые сведения о теорети-
ко-числовых квадратурных формулах на классе функций Ef(C)
Пусть функция , .... xs) непрерывна, имеет период равный еди-
нице по каждой из переменных X], .... xs и С(тпу , ..., ms)— ее коэф-
фициенты Фурье:
11
С(ту = J.. f/Xx, ,...,xs)e“2’"(w- +m^dx}...dxs.
о о
Класс Е“(С) определяется условием
|c(m1,...,ffl5)|< с , (О
где а>1 и С —константы не зависящие от mt, .... ms и гДе
т = max(l, | zw|)’.
ц 5iJ<opo6oB 267
Выберем функции £. (£), ...,E,s(k) так, чтобы при k = 1, 2, .... N
точки M(5,i 5,s(/0) лежали в единичном s-мерном кубе
(0<^v(*)<l) и рассмотрим квадратурную формулу
11 1 N
J. \f(xx, .,xs)dxx. .dxs==~Yf^k).....^s(k))-RN[f]. (2)
О О fe=1
Совокупность точек (£),...,£$(&)) называется сеткой, а ве-
личина погрешностью квадратурной формулы. Пользуясь
разложением функции f(xy ,...,xs) в кратный ряд Фурье запишем
(*).-•-,£$(*)) в виде ряда
оо
f^(.k),...,^k)) = £с (гщ..........
ГГЦ,..., 7П3=-СО
Подставляя этот ряд в квадратурную формулу (2) после пере-
мены порядка суммирования и очевидных преобразований полу-
4HMZ
1
Rn[/] = — X C(mi,...,ms)S(mt,...,ms), (3)
где
S(mx ,...,ms) = (4)
Л=1
Сумма S(m\ называется тригонометрической суммой,
соответствующей сетке
(k = \,2,....N)
квадратурной формулы (2).
Пусть функция f(x\ ,...,х5) принадлежит классу £“(С). Тогда
выполняется оценка (1), и из равенства (3) следует оценка модуля
погрешности квадратурной формулы:
m >|
N (ntj ...ms)
(5)
При натуральном p > 1 и произвольном целом m обозначим че-
рез 5p(7?z) характеристическую функцию делимости на р:
{1 если m = O(modp)
О если m 5* O(modp)
Выберем N = р и рассмотрим сетку3
I [ fli &] f а.,&] ]
мН —Ь-.Л —И (* = 1.2.......р),
Il Р I Р JJ
(6)
гДе av — произвольные целые взаимно простые с р. Так как,очевидно,
то для тригонометрической суммы соответствующей сетке (6) noiy
чим
D 9
Р ZTti-------------
S(mx ,...,ms)=2-,e р = pbp(axmx+...+asms). (j)
k=\
Теперь, замечая что N = p, из (5) и (7) получим оценку пог-
решности квадратурных формул с сетками вида (6):
5Р(«1 «j +...+as?«s)
I [/](< С S'
Целые av = av(p) (v= 1, 2,...,s), для которых существует беско-
нечная последовательность значений р такая, что
{m\ ...ms)a
(8)
S’
ni|,...,ms=-(p-l)
SpCflj my +...+asms)
——zz—=---------= О
mx ...ms
In^ р
Р
где Р не зависит от р, называется оптимальными коэффициентами
по модулю р или просто оптимальными коэффициентами.
Определим функцию Тр (гх ,...,гп ) равенством
р-1 п Г ' - "
p-1
zjt
TAzx,...,zn)='2L П l-21nbsinnS-^-
и . I n
v=H I Р J7J
и zv — целые (1<а<р). Пусть а( =1 и при
величина ам\ равна одному из значений
которых достигается минимум функции
Л=1
где п > 1, р—простое
заданных , .... ап
Z (1 < 2 < р), При
Тр(ах...ап,г) :
ТЛах ,...,ап+х )= min TD(a, ,z) .
' l<z<p н
В работе [2], опубликованной в 1959 г., показано, что полу-
ченные таким путем целые at, as будут оптимальными коэффи-
циентами, причем Р = х и для любого а > 1 выполняется оценка
In^p
р“
6p(ai?Wi+...+flsn2s)
(mx...ms)a
где Cj зависит только от а и х. Подставляя эту оценку в (8) при-
ходим к следующему результату:
Теорема 1. Пусть р—простое, N = р и (л( ,...,as)оптимальные
коэффициенты. Тогда при f(xx ,...,xs) е Ef(C) для погрешности
квадратурной формулы
1 i
Л/
О o
fe=l
ask
P
- fyjfl <9)
р] М_Коро6ов 269
выполняется оценка
I^IHl^cc, —, (10)
где q =Cf(a,s) не зависит от N.
Заметим, что ни при таком выборе сеток квадратурных фор-
мул оценку (10), полученную в теореме 1, нельзя существенно
усилить. Можно лишь, как это показал Н.С.Бахвалов [3], полу-
чить квадратурные формулы, у которых в оценке погрешности бу-
дет уменьшена степень InN.
Перейдем теперь к вопросу о построении интерполяционных
формул. Пусть значения функции /(xj ,...,х5), принадлежащей не-
которому классу, известны в точках сетки
М(^(А),...,^(А)) (fc = l,2,...,N),
и мы хотим составить представление о ее значениях в точках, не
принадлежащих сетке. Определим функцию F^(xj, ...,х5 ) равенст-
вом
,...,хх
*=1
где \|/fc(xi ,...,хх) функции, значения которых известны в любой
точке М(хугх), принадлежащей единичному 5-мерному кубу
0<xv <1 (v = 1,2,..., 5). Обозначим через RN(.x^ ,...,xs) погрешность,
возникающую при замене функции f(x\,...,xs) функцией
Fw(*l...xs ):
Дх, ,...,.rs) = Fjy(xj.x5) + Rn(xx ,...,xs). (11)
Если при неограниченном возрастании N погрешность
F,v(xj ,...,х5) в той или иной норме стремится к нулю, то функция
ЛуЦ ,...,хх) называется интерполяционным полиномом, а соотно-
шение (И)- интерполяционной формулой.
Первые теоретико-числовые интерполяционные формулы были
получены В.С.Рябеньким [4] и С.А.Смоляком [5] в 1960 г. Эти
работы заинтересовали А. Н. Колмогорова и были представлены им
в редакцию ДАН СССР. Не останавливаясь подробно на техничес-
ких выкладках, рассмотрим метод построения интерполяционных
формул, предложенный в работе |4|.
s
Пусть р —простое, N = p, N\ =>/Nln 2N и d\, ..., as— опти-
мальные коэффициенты. Будем предполагать, что значения функ-
ции /(xj ,...,хЛ) известны в точках сетки
([rtiAl f a.k1А
МН —k..J —И (А = 1,2.........N).
U Р J I Р JJ
Определим функцию FN(.xi.....хх) с помощью равенств
270
Из истории математического анализ
( f
Fv(x1,...,x5) = X/11 —
k=l V1 P
(12)
где
ш,..
В работе [4] получена оценка интеграла от квадрата модуля
погрешности интерполяционной формулы
f(xx ,...,xs) = Fn(x] xs) + RN(xy ,...,xs): (13)
Теорема 2. Если функция f(x\ ,...,xs) принадлежит классу
Е“(С), и тригонометрический полином Еу(х( ,...,xs) определен ра-
венствами (12), то для погрешности интерполяционной формулы
(13) выполняется оценка
11 6 1'
J... Jl-Rjy (л’1 ,-.-,хЛ )|2 dxi...dxs = О N 2 lnY1 N ,
0 0 k ,
где у! < (а + 1)5.
Доказательство. Подставляя значения функций (jq ,...,xs)
в первое из равенств (12) и меняя порядок суммирования, полу-
чим
Fv(.q ,. ...rs )= X ,...,ws)<?27CI("I^t|, (14)
/«I ../к, <.V,
1 ( f *71 k 1
где
(<2|П||+ ..+ а,7„,)Л
2ni
Р
Основная идея доказательства теоремы состоит в возможности
применения теоретико-числовой квадратурной формулы (9) к
приближенному вычислению коэффициентов Фурье функции
f(xi, ...,xs ). Из равенств (14) видно, что именно этим соображени-
ем был обусловлен выбор интерполяционного многочлена
Fjy (xj,..., xs ). *
Обозначим соответственно через С(т^,..., ms) и С (w?i,...,Ws)
коэффициенты Фурье функций /’(х1..........х5) и Rn(xi ,...,xs). Так
как
R(xj, .., хv) = /'(х1 х5) - FjV (x-j xs), (15>
то,согласно (14), при т\ ...ms <
С ,...,ms) = C(.ml ,...,тпх)-Ср(ту.....ms)
и при т\ ...ms > ;Vj
С (т\....тх) = С(лщ,...,тх).
р] ^Кор°6°в
271
Следовательно, применяя равенство Парсеваля, получим
1 1 •
J... ||Ядг(Х1 ,...,.rs)|2 dxj-.-Jxs =
О 0 .
= 2L ICC/z?! ,...,ms) - Ср(ту ,...,»?5)|2 +
mv.ms<Ny
+_ SlC(wi,.-,^)|2. (16)
Nt
Пусть ту, ..., ms — произвольные целые, удовлетворяющие ус-
човию ту. ms<Ny. Легко показать (см., например, [9, с. 171]),
что если f(xy ,...,xs) g £“(С), то
f(xy...Хх)е-2п1(т,х,+...+тЛ) е Ef(ByCN^),
где By = By{a,s). Но тогда, согласно теореме 1,
С(ту ,..,ms) - С (ту =
1 1
= J...рСи.....Xs)e-2ni(n^+...+m.xs)dxi dXs _
О О
„ (am,+...+ajn,)k \
— Не р =О—-----------------
Пользуясь этой оценкой и замечая, что4
Е= O(Ny In''1 N) ,
после очевидных преобразований получим
( М2а+1
IС(ту ,...,ms) - С (ту ,...,w?5)|2 = О -lnYl N
где у р = 2ал + 5-1.
Так как (см., например, [9, с. 125])
1 (In'-1 n'
>. —----=-----= О-------,
m1...mv>N1 (ту ...ms)a у Ny' j
т°, очевидно,
2LlС(ту ,...,ти5)|2 <
1 (In'-1
>. -----------5“ = О —5—г
пц-..fn^Nf (т\ ms) к >
(17)
(18)
Наконец, пользуясь оценками (17) и (18), из (16) получим
272
Из истории математического a..
---------------------------
1 1
j-
0 0
,...,xs)|2 dx^...dxs =O
^l2a+1 У1 w In-1 N
N2a ° +
Отсюда, так как Ni = -JN In 2 N
и у, = 2as + 5 - 1 < (2a +
следует утверждение теоремы
1 1
J„. j|BN(x1 ,...,x5)|2 dxt...dxs
0 0
( 1
= O N a+2 ]n<2a+l)s N
l)s,
7
Тем же путем, как и в теореме 2 (см. [9, с. 173]), можно оце-
нить не только интеграл от квадрата модуля погрешности интерпо-
ляционной формулы
fix' ,...,x5) = FN(x1,...,x5) + BN(x1.xs),
но и непосредственно модуль погрешности:
Теорема 3- Если функция f(x\, ..., х5) принадлежит классу
£“(С) и тригонометрический полином F^(xj ,...,х5) определен ра-
венствами (12), то справедлива интерполяционная формула
( а-1 >
f{x\ ,...,xs) = FN(xy ,...,xs) + О N 2 lny2N ,
где у 2
Заметим (см., например, [9, с. 180]), что ни при каком выборе
сеток М(^ (£),...,2;5(&)) (k = 1, 2, .... N) на классе £“(С) нельзя пос-
троить интерполяционную формулу, погрешность которой имела
бы оценку лучшую чем
BN(x1,...,x$) = OCV“(a'1)).
Другой подход к построению интерполяционных формул, ос-
нованный на возможности представить функцию многих перемен-
ных в виде интеграла от произведений ее частных производных на
полиномы Бернулли, был предложен в работе [6], опубликованноп
в 1961 г. I
Приведем некоторые известные свойства полиномов Бернулли
(см., например, [7]), необходимые для дальнейшего изложения.
Числа Бернулли Bq, В\, ... и полиномы Бернулли Bq(v'’
В, (х), ...определяются с помощью равенств:
л-1
Во = 1, £c*Bv=0 (n>2)
V=1
B0(x) = l, B„(x)= Sc*Bvxn~v (n>l). (19>
v= 0
,i Mj<opo6o°'-
273
Отсюда, в частности, получаем
1 „ 1
=-2 ’ '6 ’
1 2 1
В] (х) =.х - - , В2 (х) = х - х + -.
Пользуясь определением (19), легко убедиться, что выполня-
ются равенства
[О если п * 1
Г (!) - В„ (0) = т (п>0)
" (1 если п = 1
2° В'п (.г) = пВп_х (х) (п > 1) (20)
1
3° jB„(x)dx = 0 (n > 1)
0
и что при п > 1 для любого X
Вп{{х}) g Ef.
Обозначим через f^no-’ns^ частные производные функции f
-----^( ,-,Xs).
8х\... 8xss
Пусть, далее, р — простое, N-p, ах, ...,as оптимальные коэф-
фициенты и при г >2 функция Fn(x\ ,...,xs) определена равенства-
ми
Fv(x1,...,xs) =
М h"'....................ИМ...............MU...................*.> (2i>
Ar=l Т|...т,=0 VI P ) I P )J
где
В работе [6] оценивается модуль погрешности интерполяцион-
ной формулы
f(xx ,...,х5) = FN(xx ,...,xs) + RN(xx ,...,xs ).
Теорема 4. Если функция f(xx ,...,xs) принадлежит классу £“,
где а > 4 — четное целое и при г = ^ полином FN{xx,...,xs) опреде-
лен равенствами (21), то справедлива интерполяционная формула
r a as '
,,хх) + О N 2ln2N
Лл’1 ,...,xs) = Fn(x1
Доказательство. Покажем прежде всего, что при v= 1, 2, .... г
274
Из истории математического ана_ц
Л*1) = \f(yx )dyy + — $f(v)(x + У1 )Bv(yy )dz/!, (22)
О о
где )—v-й полином Бернулли.
Действительно, пользуясь периодичностью функции fix,),,
равенством By (1) - By (0) = 1 (см. (20), свойство Г), получим
1 1
JfUi + уу )Ву (уу )dy} =f(xy + 2/])Bi(?/i)|o-JfUi +y\)dyy =
0 0
1
= f(xj)- \f{yy)dyy.
0
Отсюда следует соотношение
1 1
Лт, ) = \f{yy )dyy + Jf (xy + у у )By {у у )dyy,
0 0
совпадающее с (22) при v=l. Далее, пользуясь свойствами поли
номов Бернулли, с помощью индукции по v получаем утверждение
(^2) ддя любого v (1 < v < г).
Покажем теперь, что при v= 1, 2, ..., г справедливо равенство
АЦ,...х5) =
1 1
= L-J S/’(x,V" ’XsV)<Z/i..-xy,...,ys-xs)dyy...dys,
о 04...4=0
(23)
где
<(-i)v-1 Y,+-+Ti 5
Легко проверить, что равенство (22) можно записать в виде
1 1 fr_nv'-1Vl
) = J Z —Г" /Г(Х,'',)<^1 >*1 «*/1 - *1 •
OTt=0\ V1 • J
Но при л = 1 такой же вид принимает равенство (23) и, следо-
вательцО1 оно выполняется при 5 = 1. Проводя индукцию по 5 убеж-
даемся в справедливости этого равенства и для произвольного $-
Выберем в равенства (23) v=r. Дифференцируя ряд Фурье
функцИи f убеждаемся, что частные производные f^'rпрИ'
надлезкат классу Е“ т
а
и, так как г=—, то
а
/^T'r-..^х^) е eJ.
(24)
jl \tKopo6°B 275
Далее, замечая, что согласно (20)
вг(И>^1.
получим
а
,...,xs) е £2. (25)
Из (24) и (25) следует (см., например, [9, с.37]), что npnv = r
подынтегральная функция в равенстве (23) принадлежит классу
а
Е? Применяя к интегралу (23) теоретико-числовую квадратурную
формулу (9), получаем утверждение теоремы:
a as
/Хх'! ,...,х5) = Fn(xi + CXN 2 In 2 N).
Заметим, что в теореме 4 интерполяционный полином зависит
не только от значений функции f, но и от значений ее производ-
ных в точках сетки
МИ —( (* = 1,2,....N).
Ц Р J I Р ))
В работе [8|, опубликованной в 1996 г., при f е £“ для чет-
ных a > 2 удалось получить интерполяционную формулу
a ал
f(X',...,xs) = Fx(xx..xs) + O{N~^\vJ N), (26)
свободную от привлечения информации о производных функции
/. При a = 2 для погрешности формулы (26) выполняется оценка
£N(x1,...,xs) = OGV~1 In5 Ю. (27)
Согласно замечанию к теореме 3 на классе £2 не существует
интерполяционных формул, погрешность которых имела бы оцен-
ку, лучшую чем О(№' ). Следовательно оценка (27) не допускает
существенного улучшения и в ней можно улучшить лишь степень
In N.
Теоретико-числовым квадратурным и интерполяционным фор-
мулам посвящена обширная журнальная литература и ряд моног-
рафий (см., например, [9; 10]).
Примечания
1 В тех случаях, когда значение константы С не играет существенной роли, вместо
Е“(С) пишем Е° .
В равенстве (3) и всюду далее суммирование Z' распространено на целыеmt, ...,ms
не равные одновременно пулю.
3 -j f 1 «V*
«здесь и далее 1 f дробные доли чисел- (у = 1,2,..., s).
I Р J Р
* Так как In = O(ln N), то в знаке О вместо In можно писать In N.
276 Из истории математического аиалщ
Список литературы
1. Коробов Н.М. О теоретико-числовых методах приближенного интегрирования
Историко-математические исследования. М., 1994. Вып.35. С.285 -301
2. Коробов Н.М. О приближенном вычислении кратных интегралов ДАН СССР
1959. Т.124. №6. С. 1207 1210
3. Бахвалов Н.С. О приближенном вычислении кратных интегралов Вестниц
Московского университета. 1959. №4. С.2- 18.
4 Рябенький В.С. О таблицах и интерполяции функций из некоторого класса
ДАН СССР. 1960. Т.131 №5. С.1025-1027.
5. Смоляк С.А. Интерполяционные и квадратурные формулы па классах 11'“ и £«
ДАН СССР 1960. Т.131. №5. С.1028-1031.
6. Коробов Н.М. Применение теоретико-числовых сеток в интегральных уравнениях
и интерполяционных формулах / Труды Математического института
им. В. А. Стек лова. 1961. Т.60. С.195 —210.
7. Гелъфонд А.О. Исчисление конечных разностей. М.-Л.. 1952.
8. Коробов Н.М. Специальные полиномы и их приложения Математические за-
писки. 1996. Выи.2. С.77 —89.
9. Hlawka Е., Firneis F., Zinterhof Р. Zahlentheorctische Methoden in der numcrischen
Mathematik. Wien; Munchen; Oldcnbourg, 1981.
10. Hua Loo Keng, Wang Yuan. Applications of number theory to numerical analysis
Berlin; Heidelberg; New York, 1981
МАТЕМАТИКА АНТИЧНОСТИ
И СРЕДНИХ ВЕКОВ
ЕГИПЕТСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ГРЕЧЕСКАЯ НАУКА
С. Н. Бычков
Вопрос о степени влияния восточной математики на древнегре-
ческую науку продолжает оставаться дискуссионным, свидетельст-
вом чему является наличие диаметрально противоположных оце-
нок в работах современных авторов. Так, согласно М.Берналу,
совсем непросто показать, что хотя бы в одном из своих разде-
лов — за возможным исключением аксиоматического метода — гре-
ческой науке удалось к середине IV в. до н.э. достичь уровня зна-
ний Месопотамии или Египта [1, с.599]. Л.Я.Жмудь, напротив,
полагает, что приписываемые Фалесу четыре теоремы об углах и
треугольниках (DK И А 20) никак не могут соотноситься с египет-
ской геометрией [2, с.171 —172]*.
Основную роль в аргументации Л.Я.ЖмуДя играют работы
[3 5], в которых утверждается, что заслуга рассмотрения углов
как измеряемых величин принадлежит всецело эллинским матема-
тикам. Целью настоящей статьи является демонстрация того обсто-
ятельства, что принятие тезиса о греческом происхождении «угло-
вой геометрии» отнюдь не требует отрицания «египетских корней»
геометрических познаний Фалеса. Мы покажем, что по крайней
мере один из приписываемых Фалесу результатов — теорема о ра-
венстве углов при основании равнобедренного треугольника мог
быть заимствован им только в Египте.
Равенство углов при основании равнобедренного треугольни-
ка— факт, имеющий не только историческое, но и важнейшее логи-
ческое значение для теоретической геометрии. Без него нельзя,
например, доказать третий признак равенства треугольников. Ка-
ким же образом он мог быть впервые открыт в той или иной
278 Математика античности и средних веки
цивилизации? Для ответа на этот вопрос нет необходимости в об-
ращении к историческим источникам. Их отсутствие вполне могут
восполнить соображения логического характера.
Рассмотрим в первую очередь возможность обнаружения свой-
ства углов равнобедренного треугольника на основе непосредствен-
ного чувственного созерцания природных тел, содержащих части
симметричной треугольной формы. Не могло ли это произойти
например, при созерцании самородных кристаллов меди октаэдри-
ческой формы?
Субъективная уверенность в рассматриваемом равенстве углов
может быть достигнута и без операции наложения одного экземп-
ляра треугольной грани кристалла на другой (что, конечно же, в
реальности невозможно из-за различий в размерах кристаллов).
Для этого достаточно лишь осознания идеи симметрии, «правиль-
ности» геометрической формы кристалла Но что могло бы побу-
дить размышляющего на досуге человека обратить внимание на по-
добные свойства граней кристалла?
Правильная геометрическая форма кристалла имеет значение
только при таком его использовании, которое не разрушает его как
твердое тело. Это возможно, когда кристалл применяется в качест-
ве составной части украшения или содержится в качестве экспона-
та коллекции, однако ни в том, ни в другом случае специальное
свойство углов его граней не связано существенным образом с его
«функционированием» в соответствующем качестве (равенство уг-
лов может осознаваться лишь как частное проявление симметрии
кристалла, но отдельно от этой симметрии никакого значения не
имеет). Геометрическая форма твердого тела может оказаться так-
же важной, когда используются его немеханические (например,
оптические) свойства. Но и в этом случае важно только взаимное
расположение граней трехмерного тела относительно друг друга,
но никак не определенность формы его отдельных плоских граней:
прохождение физического поля через кристалл зависит исключи-
тельно от его стереометрических свойств, но не от особенностей ге-
ометрии граничных поверхностей. Незначительная деформация,
нарушающая «равнобедренность» отдельных треугольных граней
кристалла, не в состоянии привести к качественным изменениям в
используемых на практике его свойствах.
По указанным причинам если кому-то даже и придет в голову
сформулировать явно рассматриваемое свойство, оно будет иметь
изолированный характер и не вызовет какого-либо отклика со сто-
роны окружающих. «Невписываемость» рассматриваемого свойст-
ва углов равнобедренного треугольника в практику использования
кристаллов исключает, таким образом, возможность «утвержде-
ния» его в качестве общезначимого факта посредством простого со-
зерцания симметричных природных форм.
С и. Бычков-
279
По той же причине равенство углов равнобедренного треуголь-
никз не может стать фактом общественного интереса и в случае
«самопроизвольного порождения» его гением какого-то экстраор-
динарного" мыслителя. Данное свойство с самого момента своего
«возникновения» должно представлять не один только личный ис-
следовательский интерес, должно «отвечать» на какую-то вне голо-
вы любого отдельного индивида находящуюся потребность. Что же
может представлять обладающая указанной своеобразной объек-
тивностью потребность?
Поскольку ни усилий индивидуальной человеческой головы,
ни созерцания доступного всем природного объекта не достаточно
для превращения рассматриваемого геометрического свойства в об-
щественно значимый факт, то единственной реальной возможнос-
тью подобной трансформации оказывается совместная деятель-
ность по построению сооружения симметричной формы, граница
которого содержит в качестве составных частей равнобедренные
треугольники. Предпосылкой фиксации рассматриваемого свойства
в коллективном сознании тем самым оказывается внешняя по отно-
шению к математике потребность в построении имеющего симмет-
ричную форму сооружения. В каком же случае симметричная фор-
ма сооружаемой конструкции становится существенной, когда даже
малозначительное отклонение от нее может привести к неприемле-
мым с точки зрения архитектурного замысла последствиям?
Крыши небольших домов нередко имеют форму призмы, в ос-
новании которой лежит равнобедренный треугольник, однако ука-
занная конструкция является устойчивой по отношению к незначи-
тельным «флуктуациям» в ту или иную сторону: с точки зрения
«чистоты» исполнения замысла важнее контролировать плоский
характер скатов крыши, нежели выверять до сантиметров равенст-
во боковых сторон сечения. По этой причине в строениях, имею-
щих треугольные грани в качестве элементов призматических конс-
трукций, незначительные отклонения от симметричной формы не
разрушают план всего сооружения. По-иному обстоит дело в строе-
ниях пирамидальной формы (пирамидальными и призматическими
телами, как легко видеть, исчерпываются все возможные случаи
сооружений рассматриваемого вида).
Так как составные части (блоки или кирпичи), из которых
складывается сооружение, в силу естественных причин обладают
прямоугольной формой, то пирамида должна иметь не треуголь-
ное, а четырехугольное основание. Треугольная пирамида, подобно
призматическим сооружениям, устойчива по отношению к незначи-
тельным отклонениям от равенства боковых сторон граней: для ус-
пешного завершения постройки вполне достаточен контроль за
«прямолинейностью» боковых ребер, даже если в результате дот -
Щенной на начальном этапе ошибки конструкция и не окажется в
точности правильной пирамидой. Четыре плоских боковых грани.
280
Математика античности и средних векон
если не предпринимать для этого специальных строжайших мер
уже не будут пересекаться в одной точке. По этой причине симмет-
рия для четырехугольной пирамиды оказывается гораздо более су-
щественной (фактически необходимой) для сведения всех граней
постройки в общую для них вершину, нежели в случае ее треу-
гольного аналога.
При постройке пирамиды симметричность сооружаемой конст-
рукции гарантируется равными отступами нового выкладываемого
слоя плит по отношению к нижележащему. Главную трудность при
этом составляет не столько соблюдение симметрии граней, сколько
обеспечение прямолинейности ребер пирамиды. Равенство углов
боковых граней строящейся пирамиды по существу обеспечивается
уже при выкладывании второго ряда пирамиды (и не наложением
еще не построенных углов, а за счет гарантии равенства их «котан-
генсов», как сказали бы мы сейчас). Главная практическая труд-
ность в дальнейшем —сохранение величины котангенсов углов при
переходе с последнего выложенного слоя строения на следующий,
что как раз и равносильно обеспечению прямолинейности боковых
ребер. Сложнее построить сами треугольные грани, а уж их равно-
бедренность будет гарантирована автоматически.
Сказанное выше относительно связи рассматриваемой геометри-
ческой теоремы со строительством пирамид, которые, как известно,
до верха возводились только в Египте, ориентировалось пока в
большей мере на конечный продукт усилий — завершенную построй-
ку. Подобный подход соответствует взгляду современного туриста,
разглядывающего вблизи древнюю пирамиду. Для него «предмет-
ным прообразом» свойства углов равнобедренного треугольника яв-
ляется равенство углов при основании ее боковых граней (вообра-
жение дорисовывает при этом уже давно разрушившуюся облицов-
ку). Для строителей пирамид дело обстояло иным образом. Конт-
роль за симметрией возводимой пирамиды осуществлялся не слеже-
нием за каждой из не построенных еще отдельных боковых граней,
а путем строжайшего соблюдения симметричности постройки как
целого. Необходимым условием этого (на современном математичес-
ком языке) является гомотетичность всех имеющих квадратную
форму слоев пирамиды. Крайние вершины четырех угловых блоков
каждого уровня кладки задавали направление боковых ребер строя-
щейся пирамиды, для сохранения прямолинейности которых требо-
валось отодвигать блоки нового уровня вдоль диагоналей предшест-
вующего слоя на одну и ту же величину, пропорциональную высоте
выкладываемого в данный момент ряда.
Главным в процессе строительства пирамиды являлся конт-
роль за симметрией не ее боковых граней, а «диагональных сече-
ний». Именно это являлось основным средством обеспечения сиМ"
метрии и правильности формы возводимого целого и использова-
лось многократно (и потому совершенно осознанно) в процессе
С р. Бычков 281
строительства. Что касается равенства углов при основании боко-
вых граней, то если даже оно и осознавалось строителями, все же
не могло играть никакой роли с точки зрения достижения постав-
ленной цели —сведения воедино всех граней в вершине пирамиды,
будучи сугубо побочным продуктом, «следствием» решения глав-
ной архитектурной задачи. Простое созерцание уже построенной
пирамиды не в состоянии восстановить подлинное практическое
значение факта одинаковости углов при основании равнобедренно-
го треугольника2, требуя для подобной реконструкции специально-
го теоретического рассуждения.
Приведенный анализ показывает, что в рассматриваемом ут-
верждении не равенство сторон выступает «причиной» равенства
соответствующих углов (как в V предложении первой книги евкли-
довых «Начал»); соответственно, не равенство углов оказывается
причиной равенства сторон в обратном утверждении (VI предложе-
нии Евклида), а обеспечение симметрии постройки специальными
строительными приемами оказывается одновременно причиной и
равенства противоположных боковых ребер пирамиды, и одинако-
вости углов при основании ее диагональных сечений.
Никакие манипуляции над уменьшенной копией диагонального
сечения пирамиды (наподобие перегибания ее пополам) ничего не
дают для достижения реальной симметрии возводимого сооруже-
ния. Если какое-то общее свойство треугольников и использова-
лось для обеспечения симметричности постройки, то таковым мог-
ло быть лишь равенство двух прямоугольных треугольников с оди-
наковыми катетами (равенство вертикальных катетов маленьких
треугольников, «расположенных» на противоположных краях слоя
кладки, обеспечивалось каменотесами, следившими за постоянст-
вом высоты строительных блоков одного уровня; равенство же го-
ризонтальных катетов достигалось средствами «египетской плани-
метрии», точность построений которой должна была гарантировать
прямолинейность и равенство боковых ребер пирамиды). Все ос-
тальные действия были подчинены соблюдению симметрии соору-
жаемой пирамиды на каждой промежуточной стадии, что автомати-
чески гарантировало симметрию окончательной постройки.
Равенство углов при основании равнобедренного треугольника
связывалось египтянами, таким образом, не с абстрактной геомет-
рической фигурой, как это, благодаря основанному на греческой
геометрии школьному образованию, привык делать современный
Читатель. Для них указанное равенство представляло собой не отв-
леченный геометрический факт, а обеспечиваемый реальными
Практическими средствами строительный прием, имеющий с совре-
менной точки зрения не геометрическую, а «арифметическую»
(т.е. дискретную) природу. Именно эта соразмерность (одинако-
вость) всех четырех сторон возводимой грандиозной постройки как
282
Математика античности и средних век
нельзя лучше соответствует первичному смыслу греческого термп
на обццетрод.
Приведенное объяснение генетической связи равенства уГ10в
при основании равнобедренного треугольника с опытом строитель
ства пирамид не предполагает, как видим, наличие специальной
«угловой геометрии» у египтян и вполне согласуется с выводам,,
работ [3 — 5]. Вместе с тем оно не противоречит убеждению древ-
них в египетском происхождении эллинской геометрии.
Кардинальное отличие египетской геометрии от геометрии гре-
ков состояло в различном взаимоотношении в этих науках стерео
метрии и планиметрии. Для египетских землемеров, производивших
разметку и измерявших площади обрабатываемых крестьянами
участков, особая точность в построении фигур была излишней. Сов-
сем по-иному обстояло дело при закладке пирамид, где сравнитель-
но незначительная погрешность на начальной стадии могла в итоге
оказаться фатальной для успеха всего предприятия. Соблюдение
симметрии квадратного основания пирамиды и ее диагональных се-
чений играло важнейшую роль для правильности постройки.
Для греков и равенство углов в равнобедренном треугольнике,
и существование квадрата на заданном основании являлись сугубо
планиметрическими фактами, не имеющими непосредственной свя-
зи со стереометрией. Без этих фактов в теоретической геометрии
невозможно обосновать существование правильных тетраэдра и ок-
таэдра3, но для самого их доказательства нет никакой необходи-
мости выхода в третье измерение4. У египтян, напротив, квадрат-
ное основание и равнобедренные диагональные сечения располага-
лись в трех взаимно перпендикулярных плоскостях, и от размеще-
ния всех их в одной горизонтальной плоскости на архитектурном
плане пирамиды никакого толка не было. Все сведения относитель-
но свойств геометрических форм, использовавшихся в процессе
построения пирамиды, носили исключительно вспомогательный ха
рактер и вне этой деятельности не могли иметь какого-либо само-
стоятельного значения. Небольшие пирамиды возводились непода-
леку от Египта и во времена завязывания научных контактов гре-
ков с египтянами [6, с.90], поэтому вполне естественно, что дан
ные свойства были переняты у египтян родоначальником греческой
геометрии Фалесом примерно в таком же виде, в каком они сушес
твовали во времена Древнего царства, т.е. как практические прие-
мы сооружения пирамидальных конструкций.
Так как греки пирамид никогда не строили, то почерпнутые
Фалесом сведения относительно свойств равнобедренного треу-
гольника могли представлять для них исключительно теоретичес
кий (в буквальном смысле —созерцательный5) интерес. Если у егИ
петских жрецов, пусть в качестве воспоминания, свойства квадрат'
ного основания и диагональных сечений6 выступали как оргапизУ
ющие моменты строительства, то для греческих ученых данное
с н Бычков .283
бстоятельство объективно представляло гораздо меньшее значение
п0 сравнению с самими свойствами как таковыми. И если «сверх-
точное» построение квадрата могло и не вызвать у них особого ин-
терес3. поскольку на практике достаточны были более примитив-
ные приемы, применявшиеся при нарезке земельных прямоуголь-
ных участков, то свойства вертикальных треугольников, не имев-
шие аналогов в собственной хозяйственной деятельности эллинов,
должны были произвести на наиболее восприимчивых к новому
представителей восходящей древнегреческой цивилизации сильное
впечатление7.
Превращение высших разделов практической геометрической
мудрости египтян в «знание ради знания» происходило, таким об-
разом, не в головах отдельных выдающихся математиков, но лишь
при посредстве этих неординарных голов «в теле самой древнегре-
ческой цивилизации». Абстрагирование от практики и переход к
созерцательному рассмотрению достижений египетского землемер-
ного искусства — единственно возможный способ усвоения мудрос-
ти древнейшего из народов [7, 1329 b 31—32] молодой, энергично
развивающейся цивилизацией.
При созерцательном8 подходе стереометрические по характеру
их взаимоотношения свойства горизонтального квадратного основа-
ния и вертикальных диагональных сечений превращаются в «рядо-
положенные» планиметрические факты, никак со стереометрией
уже не связанные. И это понимание геометрии сохранилось и до
наших дней.
Подобное превращение взаимосвязанных частей архитектурно-
го плана в обособленные планиметрические факты являлось необ-
ходимой предпосылкой перевертывания взаимоотношения между
стереометрией и планиметрией. В теоретической геометрии иссле-
дование свойств плоских фигур обязательно должно предшество-
вать изучению трехмерных объектов. В «практической геометрии»
египтян задача состояла не в изучении свойств неизвестно откуда
взявшихся геометрических фигур и тел, а в реальном построении
фигур и тел с заданными наперед свойствами. Правильность всех
производимых вспомогательных планиметрических операций га-
рантировалась при этом успехом построения требуемой стереомет-
рической конструкции.
Судя по тому, что Прокл в комментариях к первой книге «На-
чал» Евклида нигде не упоминает о генетической связи эллинской
Геометрии с практическими приемами египетских строителей пира-
мид, после того, как греческие геометры стали развивать плани-
метрию на ее собственной основе9, необходимость удержания в па-
мяти конкретного вида указанной связи окончательно отпала.
«Плоская» теоретическая геометрия греков к началу V в. до
уже превосходила по объему геометрические познания егип-
Во всяком случае для проводившихся в школе пифагорейцев
н.э.
тян.
284
Математика античности и средних цСк
исследований свойств углов треугольника [8, с.9] «египетская цн
терпретация» геометрических фактов уже ничего не могла дать
Этим, видимо, и объясняется оформившееся в V в. до н.э. оконча
тельное отделение греческой геометрии от своих египетских исто
ков.
Примечания
1 Еще меньше, на его взгляд, оснований для разговоров о вавилонском влиянии на гре-
ческую математику [2, с.173—174].
2 Исключение может составить лишь случай наблюдения с зависшего над вершиной
пирамиды вертолета.
3 Они в числе других правильных многогранников строятся в XIII книге «Начал» Ев-
клида.
4 Геометры, строящие чертежи, естественно, используют трехмерные инструменты, но
рассуждение ведется исключительно для нарисованных плоских фигур.
50ешрт|т1к6<; в переводе с греческого означает «созерцательный».
в Важно иметь в виду, что они были важны нс по отдельности, а именно вместе, в ком
плсксс.
7 Достижения развитой цивилизации либо не оставляют отклика у представителей бо
лес отсталых народов, либо воспринимаются последними в качестве более высокого
знания ио сравнению с имеющимися у них собственными достижениями Последнее
произошло нс только у эллинов по отношению к египтянам, по и у арабов, воспри
пявших спустя несколько столетий выдающиеся научные достижения греков
8 Т с. противоположном подходу предметно-практическому
9 Исследование пифагорейцами способов замощения плоскости многоугольниками од-
нозначно свидетельствуют о приобретении греческой геометрией самостоятельного,
независимого от ее египетских корней, значения, когда постановки проблем приоб-
ретают специфически теоретическую окраску и связь с практикой окончательно
утрачивается.
Список литературы
1. Bernal М. Animadversions on the Origins of Western Science / Isis. 1992. Vol 83
P.596-607.
2. Жмудь Л.Я. Наука, философия и религия в раннем пифагореизме. СПб, 1994
3. Vogel К. Vorgriechische Mathematik. Hannover, 1958—1959. T.l —II.
4. Szabo A., Maula E. ЕГКА1. Untersuchungen zur Friihgeschichtc dcr antiken
griechischen Astronomic, Geographic und Sehnentafeln. Athcn, 1982.
5. Gands S The Origin of Angle-Geometry Isis. 1929. Vol. 12. P 452 482
6. Целлар К. Архитектура страны фараонов. М., 1990.
7. Аристотель. Политика Аристотель. Сочинения в 4-х т. М., 1984. Т.4.
8. Apollonii Pergaei Conicum libri IV priorcs cum Pappi Alcxandrini lemmatics ct
Eutocii Ascolonitac Commentariis. Oxoniac, 1710.
ВдЯпков -85
ГЕОМЕТРИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЕЙ ГИППАСА
В.А.Янков
Вступление
В своей предыдущей публикации о математике Гиппаса и его
школы [1] я пытался реконструировать общий характер этой мате-
матики в связи с открытием бесконечной делимости величин и его
философскими и геометрическими последствиями. В этой статье я
стремлюсь восстановить более детально состав выраставшей «гео-
метрии величин», задаваясь каждый раз вопросом, можно ли пред-
положить, что пифагорейцы-«математики» имели средства для со-
вершения открытий, которые традиционно им приписываются. Как
скоро выяснится, ключевой является проблема, владели ли матема-
тики этой школы точным понятием отношения величин. Речь здесь
идет не о понятии словесно определяемом, такой техники мы не
можем предполагать в их время, а скорее о точных и оперативных
геометрических свойствах, связанных с представлением о пропор-
циональности величин.
Я предполагаю, что ответ на вопрос является положительным,
и выдвигаю соответствующую гипотезу. Приняв ее, можно дать
правдоподобные реконструкции доказательств для основных при-
писываемых пифагорейцам результатов.
Средние
Имя Гиппаса часто упоминается в связи со средним геометри-
ческим и средним гармоническим (подборка свидетельств о «сред-
них» содержится в монографии [2, с.85]; между прочим в ней при-
водятся места из комментария Ямвлиха к «Арифметике» Никомаха
[3, с.113, И 18; с.116, 1—4], где Гиппасу (и Архиту) приписыва-
ется изучение еще трех «средних»).
Обе темы, вероятно, ведут свое происхождение от первого по-
коления пифагорейцев, но, если Гиппас и его поколение открыли
геометрию величин, то трактовка тем должна была измениться. В
самом деле, старшее поколение истолковывало музыкальные ин-
тервалы как соотношения между числами, как это видно, напри-
мер, из приведенного в [1] пифагорейского построения гаммы. Но
Гиппас уже не мог трактовать струны как «линейные» числа. Его
философия и геометрия требовали их понимания как величин, во
всяком случае, как величин линейных, отвлекаясь от двух измере-
ний. Значит, возникал вопрос, что такое оба средних, да и вообще,
что такое отношение для величин.
Этого требовало уже понимание среднего гармонического.
Свое имя оно получило по Ямвлиху от «последователей» Архита и
Гиппаса, а до Гиппаса оно называлось «противоположным сред-
ним». Это отражает тот факт, что среднее гармоническое величин
а и Ь делит интервал между ними на те же интервалы, на которые
286
Математика античности и средних веков
делит его среднее арифметическое, только в противоположном по-
рядке. Т.е. оно является решением, например, следующей пропор-
ции:
а:((а +Ь) / 2) = х:Ь.
Ясно, что понимание отношения между величинами, хотя бы
линейными, здесь необходимо. Каким оно могло быть?
Я хочу здесь обратить внимание на одно место в «Началах»
Евклида, не до конца еще понятое. Это второе определение Vl-g
книги. Привожу его вместе с первым.
а'
“Оцоюг обрата ейббурарца eotiv, боа те yoxviaq юа<;
ката pav кат тао<; nepi та<; ioac; ycovi'ai; лЛеирас; avaAoyov
[Р’ ‘AvTinenov0OTa бё охвата eotiv, orav ev ектеры tgJv
o%iipaTG)v т|у oupevoi те кат enopevoi Aoyoi aioiv ]”.
«1. Подобные прямолинейные фигуры суть те, которые имеют
углы равные по порядку и стороны при равных углах пропорцио-
нальные.
2. [Обратно-сопряженные фигуры суть те, в каждой из кото-
рых имеются предыдущие и последующие отношения.]» [4]
Переписываю примечание Д.Д.Мордухая-Болтовского ко вто-
рому определению.
«Второе определение Гейберг заключает в квадратные скобки
как неподлинное; действительно, это определение, во-первых,
страдает неясностью, во-вторых, нигде у Евклида не употребляет-
ся. ' AvTiTtenovOota ахлреста —буквально “обратно пропорциональ-
ные фигуры”. Может быть, под ними следует подразумевать рав-
новеликие параллелограммы и треугольники, в которых высоты
обратно пропорциональны основаниям; однако, в предложениях 14
и 15, где речь идет о равновеликих параллелограммах, Евклид
рассматриваемым определением не пользуется. Мысль здесь та,
что если линиям а и b в одной фигуре А отвечают а' и Ы в другой
А', то <r.b = ti .а', т.е. на месте предыдущего а в А будет в А' стоять
последующее Ь, на месте же последующего — предыдущее. Следует
iy/oGpcvoq Acr/oq (предыдущее отношение) мыслить как Aoyoq той
Tyyovpevou—отношение предыдущего (подразумевается к последую-
щему), а enopevoc, Aoyoq (последующее отношение) понимать как
Aoyoq той EitopEvou— отношение последующего (к предыдущему)»
[4, с.173].
Истолкование Мордухая-Болтовского близко к истине, но сом-
нения Гейберга относительно подлинности определения II он под-
держивает напрасно. Не говоря уже о том, что текст определения
просто продолжает текст определения I (бе!), существуют и более
содержательные основания рассматривать оба определения как
единую пару.
р А Яиков 287
К теореме 43-й первой книги «Начал» предлагается следую-
щий чертеж (см. черт.1).
Эта конструкция используется в тексте для обоснования равен-
ства «величин» CD и EF. Любопытным образом та же самая конс-
трукция появляется у китайского математика XIII в. Ян Хуэя в
том же контексте, причем упоми- D В
наемая теорема является основ- _________________
ным достижением в теории пло- / /
щадей позднего Китая [5, с. 104]. /___________/
Впрочем, не исключено, что Ян Fq ~//G) / F
Хуэй мог быть знаком с китайс- / / /
ким (с арабского) переводом Евк- / s' f /
лида с трудами каких-нибудь / s' / /
арабских математиков [5, с. 105]. s'________/ /
Однако, присмотревшись к . EG
чертежу, мы можем обнаружить
еще и другие его свойства. В са- Черт.1
мом деле, в параллелограммах АО
и ОВ существует следующая пропорция: AE'.OF = AC'.OD. а в пря-
моугольниках CD и EF— пропорция СО.ЕО = OF'.OD. Первые две
фигуры подобны в смысле определения 1.
Что же касается второй пары фигур, то они подходят под оп-
ределение 2, если мы следующим образом подправим истолкование
Мордухая-Болтовского: вместо пропорции а'.Ь = В'.а’ возьмем про
порцию а'.а'=В\Ь. Кстати, только так и можно истолковать опреде-
ление, если предполагать, что оно дает понятие, отличное от подо
бия, введенного 1-м определением. Пропорции устанавливаются
между соответствующими сторонами разных фигур, а не между
сторонами одной и сторонами другой фигуры, причем отношение
первой пары соответствующих сторон (предыдущее!) равно обрат-
ному отношению второй пары (последующему!).
Как отмечено, понятие «обратно-сопряженных фигур» Евкли
Дом нигде не используется. Однако, по сути дела эти фигуры яв-
ляются основными героями предложения 14 книги VI-й:
«В равных и равноугольных параллелограммах стороны при
равных углах обратно пропорциональны; и из равноугольных па
раллелограммов равны те, у которых стороны при равных углах
обратно пропорциональны».
Чертеж, прилагаемый к теореме, почти одинаков с чертежем
теоремы 43 из I-й книги (см. черт.2).
Заметим, что эта теорема и определение «обратно-сопряжен-
ных фигур» (определение 2) принадлежат одной и той же Vl-ii
книге. Почему же Евклид не пользуется им в теореме? Чтобы объ-
яснить это, нужно взглянуть на содержание теоремы.
По моему предположению, «иметь предыдущие и последую-
щие отношения» означает то же самое, что «иметь при равных
288
Математика античности и средних веков
углах обратно пропорциональные сторо-
ны». Обозначим теперь для наглядности
следущим образом свойства пары парат-
лелограммов:
«быть равноугольными» А,
«иметь при равных углах обратно-
пропорциональные стороны»—В,
«быть равными»—С.
Теперь определение «обратно-сопря-
женных» означает, что параллелограммы
обладают свойствами А и В. Теорему же
14 можно сформулировать следующим
образом: если пара параллелограммов об-
ладает свойством А, то свойства В и С для нее эквивалентны. Поэ-
тому определение не может быть непосредственно использовано в
формулировке теоремы: две его компоненты (/1 и В) выступают в
ней порознь.
Очевидно, определение 2 было взято из более ранних текстов,
где оно имело какое-то использование, ставшее ненужным Евкли-
ду. Обращает на себя внимание различие двух формулировок
свойства В: «иметь предыдущие и последующие отношения» и
«при равных углах обратно пропорциональные стороны». Первая
формулировка, как мы скоро увидим, получает надлежащее истол-
кование в контексте пифагорейской математики. Вторая формули-
ровка в контексте евдоксовой теории отношения подразумевает
произвольные, не обязательно меньшие единицы отношения. Как
будет объяснено ниже, это означает «ионийский» контекст, в ко-
нечном счете восходящий к «ионийскому» понятию числа как сово-
купности единиц. Поскольку конструкция черт. 1 мне представляет-
ся древней и пифагорейской, я хочу рассмотреть ее для случая со-
измеримых сторон в связи с понятием логоса-отношения, как оно
понималось в пифагорейской арифметике. Для краткости в даль-
нейшем черт.1 будет называться «ключевым чертежом».
В изложении Никомаха понятие отношения выглядит следую-
щим образом [6, I, 17].
Отношение устанавливается между парой чисел, из которых
первое меньше второго. Собственно говоря, речь идет о классифи-
кации отношения «меньше», т.е. о разбиении его на подслучап-
Это разбиение руководствуется следующим принципом: различают-
ся способы построения большего числа из меньшего, что, впрочем,
на мифологическом уровне означает способы порождения большего
числа меньшим. Напомню, что согласно представленному у Нпко-
маха пифагорейскому пониманию чисел они образуют собою поток
становления, так что определение отношения вполне соответствует
пониманию числа, которое, как представляется, восходит к самому
Пифагору [6; 8 — 9: 14].
р д Япков 289
В этой связи стоит вспомнить, что у Евклида мы встречаем
другое понятие числа. Число здесь - совокупность единиц. Неуди-
иительно и изменение концепции отношения —оно определяется
способом построения меньшего числа из большего. Новое понима-
ние числа дает здесь свободу выбора, а выбор определяется, ско-
рее всего, просто практическим удобством —о процессе порожде-
ния никаких упоминаний нет.
Нам не нужно вдаваться в подробности пифагорейской класси-
фикации. Вводимые классы отношений (кратное, партикулярное,
суперпартикулярное и т.д.) широко используются в традиционной
пифагорейской теории музыки. Поставим другой вопрос: как мыс-
лилось на этом языке нахождение неизвестных членов в пропор-
ции?
Для нас нахождение х в пропорции а.Ь = с.х и в пропорции
a:b = x.d - по сути дела одна и та же задача, поскольку вторая про-
порция эквивалентна следующей: b:a = d\x. Но для пифагорейцев
дело обстояло не так. Напоминаю, что а должно быть больше Ь.
Решение первой пропорции состоит в том, чтобы построить х из с
так, как b строится из а. Решение же второй пропорции заключа-
ется в нахождение такого х, чтобы d строилось из х так же, как Ъ
строится из а. Задачи это разные, и первая решается просто повто-
рением процесса построения, тогда как вторая требует новых идей.
Впрочем, обе задачи при перенесении их на соизмеримые от-
резки (для чисел они разрешимы только в случае целочисленных
х) требуют геометрических методов. «Ключевой чертеж» решает
обе задачи.
Если взять на чертеже АЕ = a, EG = b, АС = с, то х оказывает-
ся равным СН. Для конкретных рациональных отношений (боль-
ших единицы) это доказывается, как на черт.З, где в качестве от-
ношения взято 1 и 1 /3.
Но еще интересней, что «ключевой чертеж» можно использо-
вать и для решения второй пропорции. Для этого полагаем АЕ = а,
AC = b, CH = d, достраиваем чертеж, и х оказывается равным EG.
Вопрос о том, как уста-
навливается нужная про- /------у------т------7----—77
порция, однако, наталкива- 1111 /
ется на трудности. Непос- L______________X______/ /
Родственного доказательст- /II .// /
ва, как в первом случае, не [ / /______/
получается. Ниже я указы- / 7 .X/ 7 7
ваю метод, применяя кото- / III
рый, можно все же устано- г------- .S]-----Т------Т-------7
вить пропорцию, но этот /III/
метод существенно опирает- -------L--------L------L------/
ся на теорию величин, в Черт.З
частности, на теорему 43
290
Математика античности и средних nrv
——— И*-Крй
первой книги Евклида и на ее обращение. Все средства, используе
мые в предлагаемом доказательстве, были известны математикам
начавшим «геометрию величин».
Обращение теоремы 43 ут-
верждает, что при расположе-
нии двух равновеликих парал-
лелограммов с одинаковыми уг-
лами так, как это показано ц;|
черт.4 (имеются в виду \В и
CD) и при достроенип паралле
лограмма МN, точка О окажет-
ся на диагонали MN последне-
го. Вот несложное доказательст-
во от противного:
Предположим, что заключе-
ние теоремы не выполняется, и
точка О лежит вне диагонали
ММ Если она лежит так, как
это показано на черт.5, то пусть
F — точка пересечения OD и
ММ Проводим через F отрезок
GFE параллельно ND. По пря-
мой теореме AG равно ED. Но
АВ меньше AG, a CD больше
ED. Мы можем заключить, что
АВ меньше CD, а это противо-
речит предположению об их
равновеликости
Докажем теперь основную
пропорцию. Возвращаемся к
«ключевому чертежу». Для
простоты предположим, что
отношение АЕ к АС есть т.п,
где т > п и т, и —целые числа.
Разделим в параллелограмме
CD сторону СО на п равных
отрезков, а сторону СН на т
равных отрезков и проведем
две системы параллельных,
как это показано на черт.6-
Если проделать такое же пост-
роение с параллелограммом
EF (черт.б), то последний Ра'
зобьется, как и CD, на тп рав
ных параллелограммов. По те-
ореме 43, CD равно EF
g А Янков
291
Отсюда следует, что каждый из малых параллелограммов, на кото-
оЫе разбит CD, равен каждому малому параллелограмму из разби-
ения СЕ. Пусть PQ и RS — представители первого и второго семей-
ства. Углы при Р и R у них одинаковые. Составим их, как показа-
н0 на черт.7, и дополним фигуру до параллелограмма UV В силу
теоремы, обратной к 43-й точка X
hi параллелограмма. Рассмотрим
параллелограмм UX. Поскольку
CR — это п2-я часть ЛЕ, a RX тг-я
часть АС, то параллелограмм бу-
дет ромбом, а треугольник URX
будет иметь равные углы при U и
X. Но в треугольнике XSV угол
при X равен углу при U первого
треугольника по свойствам пря-
мой, пересекающей параллельные
линии; по той же причине угол
при V второго треугольника равен
должна находиться на диагона-
Чсрт.7
углу при X первого. Отсюда сле-
дует, что треугольник XSV имеет равные углы при XV, а, значит,
параллелограмм XV тоже является ромбом. Так как XS т-я
часть EG, a XQ тг-я часть СИ, то между EG и СИ действительно
установлена нужная пропорция.
Впрочем, если существовало такого рода доказательство, то
оно должно было быть более усложненным, поскольку в определе-
нии отношения должны были перебираться все случаи, известные
нам ио Никомаху. Но, как мы видим, доказательство было вполне
под силу рождавшейся «геометрии величин».
Евклидов чертеж к теореме 43 не только позволяет понять та-
инственные «обратно-сопряженные фигуры», но и увидеть, как
они должны были работать и как они обеспечивали переход от
арифметики к геометрии величин-отрезков.
И здесь мы подходим к центральному пункту последней тео-
рии.
Если Гиппас и кружок пифагорейцев-«математиков» вокруг
него перешли к представлению о струнах как о величинах, то ес-
тественно возник вопрос о пропорциональности этих величин. Его,
в частности, требовало нахождение «противоположного» среднего.
Заметим, что в музыке пропорциональность отрезков имела физи-
ческий смысл. Ухо воспринимало равенство музыкальных интерва-
лов (а. Ь) и (с, d) при пропорции a:b = c:d. Более того, среднее гар-
моническое .г в «музыкальном» уравнении а:(.(а+Ь) / 2) = х:Ь мож-
но было найти эмпирически с помощью подходящего укорачивания
(зажима) одной из струн. Это относилось и к общим пропорциям
вида а-.Ь=с.х и a'.b=x\d. Разумеется, пифагорейцы ясно осознава-
ли, что эмпирический метод неточен, и стремились к точному
292
Математика античности и cncmuv
----------------------- 'веков
методу. Но этот точный метод как раз и дается использованиец
описанной выше конструкции. То, что при этом действительно По
лучается решение пропорции, до известной степени могло прове
ряться эмпирически с помощью подходяще подобранных струн.
Словом, я полагаю, что, говоря нашим языком, гиппасовские
математики пришли к тому, чтобы определять пропорциональность
произвольных отрезков посредством конструкции «ключевого чер-
тежа» .
Реально это отнюдь не значит, что у них было определение
пропорциональности. Известные «определения» пифагорейцев
(среди них, наверняка, имеются и определения самого Пифагора;
кроме того, от Аристотеля мы знаем, что пифагорейцы первыми
стали давать определения) построены по образцу сопоставления
феноменальным понятиям (справедливость) тайной числовой
структуры (квадратное число). Такого рода определения не могли
перейти в математику, и действительно мы ничего не слышим о ма-
тематических определениях у пифагорейцев. Новые введенные ими
понятия, как то квадратные числа, разнодлинные числа, гномоны
и т.п. разъяснялись в основном на примерах, хотя и не исключено,
что иногда применялись и точные формулировки во всяком слу-
чаи они не были основным методом (примеры такого рода изложе-
ния сохранились в «Арифметике» Никомаха). Точно так могло
вводиться при обучении и понятие пропорциональности для отрез-
ков. Хотя никто не говорил точно, чем является эта пропорцио-
нальность, кроме как в случае соизмеримых отрезков, но оператив-
ное владение этим понятием имелось, поскольку опиралось на
«ключевой чертеж».
Я приведу два соображения, подкрепляющих эту реконструк-
цию.
Александр Афродизийский, комментируя одно место у Аристо-
теля [7, с.545], сообщает, что древнее наименование для пропорци-
ональных пар отрезков было «opoiog», а не «йтод». Как мы знаем
из прокловских цитат из Евдема, слово opoiog у Фалеса означало
одинаковость углов. В этом употреблении оно было вытеснено тер-
мином йтод, что произошло по моему предположению в пифаго-
рейские времена и было связано с осознанием углов как величин-
‘Opotog осталось без употребления. На каком же основании оно
вдруг нашло применение к пропорциональным парам отрезков?
Ответ, как мне кажется, лежит в музыкальной теории. Пропорцио-
нальные пары отрезков дают одинаковые (opoiog!) музыкальные
интервалы, так что применение этого термина представляется ес-
тественным. Позднее он был перенесен на подобные, т.е. состав-
ленные из пропорциональных отрезков фигуры и получил тот
смысл, который мы сейчас правильно передаем с помощью терми-
на «подобие»
I___________________________________________________________—
Второе соображение относится к одному месту из фрагментов
Гиппократа Хиосского.
Гиппократ пишет: «...подобные сегменты суть такие, которые
составляют ту же самую часть круга» (цитировано по книге [8,
C.48J.
Ван дер Варден, комментируя это место, замечает: «Гиппократ
пользуется здесь тем же самым понятием о пропорциональности,
которое лежало и в основании пифагорейской теории чисел: четы-
ре величины пропорциональны, если первая от второй является
той же самой частью или кратным, как третья от четвертой. Собст-
венно говоря, это определение применимо только к рациональным
отношениям, но до строгого употребления иррациональных отно-
шений Гиппократ еще не дошел» [9, с. 185].
Для начала заметим, что Гиппократ исходит из отношения
меньшего к большему, а не наоборот. Это значит, что он не при-
надлежит пифагорейской традиции, в которой числа рассматрива-
лись как поток, где большее число вырастает из меньшего, а пото-
му отношение мыслится как отношение большего к меньшему. Его
понятие отношения для чисел совпадает с тем, которое мы встреча-
ем в определениях Евклида. Это может быть рассмотрено как сви-
детельство и «евклидова» понимания Гиппократом самих чисел
(«совокупность единиц»), тем более, что традиция возводит это
понимание к Фалесу. Во всяком случае здесь мы встречаемся с
ним на ионийской почве.
Но от евклидовой формулировки формулировка Гиппократа
отличается неточностью, которую не замечает Ван дер Варден. В
самом деле, Евклид говорит о «части или частях». Под «частью» у
него понимается дробь с числителем единица, под частями — скорее
всего, любая другая правильная дробь. Нет единомыслия по воп-
росу о том, должна ли быть последняя дробь несократимой, но
этот вопрос не имеет значения для нашей темы.
Конечно, Евклид жил намного позже Гиппократа, но его фор-
мулировка по своей структуре архаична. Подтверждение этому на-
ходим опять же в никомаховом определении логоса, а точнее в его
классификации отношения «больше». Никомах различает следую-
щие классы: большее равно меньшему плюс его часть, большее
равно меньшему плюс его части, большее равно кратному меньше-
му, большее равно кратному меньшему плюс его часть, большее
равно кратному меньшему плюс его части.
Я думаю, что формулировка Никомаха относится к пифаго-
рейским временам и древнее времени Гиппократа. Если бы в пифа-
горейской традиции существовало бы понимание слова «часть» как
любой правильной дроби, то неясно, как и зачем можно было пе
рейти от него к более узкому пониманию части как дроби с числи-
телем единица. Таким образом, экспликация Гиппократом понятия
«подобный» не является правильным определением. Но тогда воз-
никает вопрос, является ли оно определением вообще?
294 Математика античности и средних веКов
О математических текстах Гиппократа Евдемом было передано-
«...его изложение было признано правильным» [10, 60.22]. Оценка
должна распространяться на всю предварительную теорию Гиппок-
рата, включая теорему об отношении кругов -трудно предполо-
жить, что в античности могли считать предварительную теорию нео-
боснованной, признавая только обоснованность следования из нее
основных теорем. Значит ли это, что последующие математики сог-
ласились с тем, что Гиппократ доказал правильно свои теоремы
только для рациональных отношений? В этом случае должна была
возникнуть некоторая оговорка, которой Евдем не упоминает.
Форма и контекст «определения» побуждают меня считать его не
определением, а пояснением сведущему читателю, с каким понятием
он будет иметь дело. Читатель сам должен знать правила обращения
с этим понятием, а именно, правила составления фигур «ключевого
чертежа», и, может быть, какие-то более развитые правила.
На самом деле во времена Гиппократа математические опреде-
ления в нашем смысле еще не использовались. После пифагорей-
цев определения начал использовать Демокрит, но структура де-
мокритовских определений также не подходила к математике.
Примером его определений может служить определение теплого,
как расширяющего.
Конечно, во времена Гиппократа молодой Сократ в своих бесе-
дах терзал афинян вопросами о том, что есть смелость и что есть
добродетель, требуя именно «гороса» (бро^), определения, но Гип-
пократ мог этим и не интересоваться, да и все это было далеко от
геометрии, и только в следующем поколении —у Платона — вдруг
было поставлено в связь с математикой. Впрочем, еще для Аристо-
теля определения выявляют суть вещей, но отнюдь не исчерпыва-
ют собою всю вещь и не могут служить единственным основанием
для вывода (следы этого понимания остались в определениях пер-
вой книги Евклида). Определений, полностью выражающих все о
вещи, Аристотель не знает. Мы встречаем их впервые в определе-
ниях Евклида «второго рода», вроде определений тех же пропор-
циональностей. Впрочем, имеется текст диалога «Теэтет», где сам
Теэтет дает такие определения. Но, во-первых, текст все-таки при-
надлежит Платону, и, во-вторых, исчерпывающие пояснения и оп-
ределения даются для вводимых понятий, а не для экспликации
старых.
Впрочем, не исключено, что эти понятия и определения появля
ются и в соответствующих текстах Теэтета, если они у него были.
Но в конце концов Теэтет —сверстник Платона, а не Гиппократа.
На этом я заканчиваю обсуждение вопроса о понятии пропор-
циональности величин-отрезков у пифагорейцев времен Гиппаса.
Если Гиппас успешно рассматривал среднее гармоническое двух
отрезков, то описанное понятие пропорциональности или близкое
должно было у пего быть.
g А Янков
295
Черт.п
Черт. 9
Отметим, что владение таким понятием могло продвинуть тео-
рию пропорциональности довольно далеко, поскольку основное
свойство пропорции перестановочность средних членов- при
этом подходе легко получается.
В самом деле, предположим для определенности, что а<Ь и
а<с. Тогда пропорция a:b-c:d выражается черт.8, а пропорция
(1c = b:d -черт.9. Но, если в парал-
лелограммах выбраны одни и те же
углы, то заштрихованные горизон-
тально части первого и второго чер-
тежа просто одинаковые паралле-
лограммы, а заштрихованные вер-
тикально параллелограммы зер-
кально симметричны, а поэтому
тоже равны. Тогда, первая пропор-
ция означает равенство двух зашт-
рихованных параллелограммов в
первой фигуре, а вторая пропор-
ция аналогичное равенство во вто-
рой фигуре. Отсюда, с использова-
нием теоремы, обратной к теореме 43
первой книги «Начал», легко получим
эквивалентность рассматриваемых
нами пропорций. В случае, когда
ос, вероятно, рассматривались про-
порции a.b = с:d и с:а = d:b.
Если такого рода теория пропор-
ций существовала в действительности,
то у нее был один существенный изъ-
ян. В самом деле, пропорциональ-
ность отрезков, когда она выражается
в «ключевом чертеже», не должна за-
висеть от угла основных параллелог-
раммов. Но откуда следует, что если, например, отрезки а, Ь, с,
Укладываются в чертеж при одном угле, они будут укладываться
чертеж и при другом угле? Заметим, что при соизмеримых а и
нужное доказательство легко получается. Однако, общее доказа-
тельство не так-то легко найти — я не знаю такого доказательства в
Рамках того, что можно предположить известным пифагорейцам.
Существует, впрочем, вполне элементарное стереометрическое до-
казательство, но вряд ли мы можем предполагать его существова-
ние для того времени.
Мне кажется, что распространение данного утверждения с со-
измеримых отрезков на произвольные делалось, исходя из очевид-
ности, подкрепленной эмпирическими соображениями. Либо же
проблема вообще не осознавалась. Я предполагаю, что эта
d
в
b
О в
Черт. 10
Математика античности и средних веков
логическая лакуна и была причиной иници
ирования другого ряда обоснования для д0.
казанных в начале с помощью пропорцИо.
нальности теорем, что привело к созданию
материала второй книги Евклида, где раз-
вивается «чистая» теория величин.
Затронутая проблема требует специаль-
С ных исследований Нужно переоце-
нить с точки зрения высказанной ги-
q потезы содержание книг Евклида
I IV, VI и другие свидетельства. В
этой статье ниже я разберу некото-
рые из возникающих вопросов.
Наконец, заслуживает внимание
упоминание в связи с Гиппасом сред-
него геометрического. Здесь само наз-
вание показывает связь с геометрией решение ускользает от ран-
ней пифагорейской арифметики даже в случае, когда оно ищется
для целых и само является целым (например, 26 = 6:18), поскольку
нет никакого метода, кроме подбора. Если же рассматривать струны
как отрезки, то теория величин дает известное решение (см.
черт. 10). Доказательство несложно провести, понимая пропорцио-
нальность «геометрически», как это было описано выше, и опираясь
на то, что угол АСВ является прямым. Поэтому углы ВСО и АСВ
равны, и, располагая прямоугольники, как это показано на черт.11,
получаем требуемую пропорциональность.
Уже было указано, что, по сведениям Ямвлиха, Гиппас знал
также «четвертое», «пятое» и «шестое» средние. «Четвертое» сред-
нее называлось «противоположным к гармоническому». Оно удов-
летворяло уравнению (.а - Ь):(Ь - с) = с.а (здесь а > с и Ь— их чет-
вертое среднее) и находилось как частное суммы квадратов а и с И
их суммы. Ясно, что теоремы Пифагора и описанного способа «де-
ления» прямоугольника на отрезок достаточно для геометрического
нахождения этого среднего.
«Пятое» и «шестое» средние назывались «противоположными К
геометрическому». Первое из них удовлетворяло уравнению
{а - Ь):(Ь - с) = с:Ь, второе — {а - Ь):(Ь-с) = Ь\а (здесь а, Ь, с как Д Iя
четвертого среднего). Оба средних требуют для своего нахождения
решения квадратного уравнения. Геометрическое решение, как хоро-
шо известно, находится методами «избытка» и «недостатка», изло-
женными во второй книге «Начал», и очень может быть, что за вре-
мя жизни Гиппаса эти методы и были развиты. В таком случае за-
дача нахождения пятого и шестого среднего была одним из стиму-
лов для развития «геометрической алгебры» второй книга «Начал»-
р д.Яннов 297
Отметим еще согласованность процитированных свидетельств
Ямвлпха в отношении терминологии. Очевидно, что, когда откры-
тое четвертое среднее решили назвать «противоположным» к
третьему, а третье само называлось «противоположным» (т.е. к
среднему арифметическому), то естественно потребовалось переи-
менование этого третьего, чтобы не получилась отпугивающая язы-
ковая конструкция «противоположное к противоположному».
Несоизмеримость
Как мы видели в [1], несоизмеримость называется в числе
тайн, «разглашенных» Гиппасом. С нею конкурирует додэкаэдр,
но трудно представить себе, что вторая тема могла излагаться в от-
рыве от несоизмеримости.
Схолия к Евклиду, приведенная в начале [1], непосредственно
связывает бесконечную делимость величин и несоизмеримость.
Фактически автор схолии различает два случая: 1) все величины
одного рода не имеют общей меры, а потому «несоизмеримы», что
и устанавливает пифагорейское доказательство, 2) две конкретные
величины не имеют общей меры, а потому несоизмеримы. Послед-
ний случай, разумеется, требует специального построения, но сама
мысль о конкретной несоизмеримости естественно возникает, коль
скоро установлена «общая» несоизмеримость.
Но пифагорейцы, долгое время занимавшиеся «фигурными»
числами и теорией чета/нечета, должны были открыть факты, ко-
торые в соединении с теорией величин приводят к «конкретной»
несоизмеримости. Здесь имеется в виду в первую очередь следую-
щее положение: не существует «квадратного» числа, равного тако-
му «продолговатому» числу, у которого одна сторона вдвое больше
другой (см. черт. 12). Пифагорейцы говорили о «разнодлинных»
числах в случае монадного прямоугольника, у которого одна сто-
рона содержит одной мона-
дой больше, чем другая, ио • • • •
«продолговатых» числах в* * * I * * * * * * *
случае других монадных ••••
прямоугольников. Доказа- ••••
тельство (см. «камушковое»
Доказательство в [11, Чсрт.12
с.51—52]) использует теоре-
мы о четности: поскольку «разнодлинное» число четно, то четно и
«квадратное», поэтому четной является и сторона квадрата. Разде-
лив обе фигуры пополам, как это показано на чертеже, мы перехо-
дим к меньшей паре «квадратного» и «разнодлинного», тоже рав-
ных друг другу. Итерируя эту процедуру и доходя до наимень-
ших, мы в конце концов получим сторону квадрата, являющуюся
одновременно четной и нечетной, что дает противоречие.
Теперь, когда возникла теория величин, к этому доказательст-
ву следует присоединить известное доказательство «Менона» (см.
298
Математика античности и средних веко
черт.13) того, Что
квадрат, построенный
на диагонали, вдвОе
больше исходного, т е
квадратная и разнод-
линная фигуры, пока-
занные на черт. 13, рав-
ны как величины Но
Черт. 13 тогда из теоремы о фи-
гурных числах непос
редственно следует несоизмеримость сторон этой фигуры, т.е сто-
роны и диагонали квадрата.
Была ли эта пара единственной? Другим кандидатом является
пара отрезков знаменитого «золотого сечения», и мы сейчас расс-
мотрим эту возможность.
Черт. 14
В «Началах» Евклида золотое сечение появля-
ется впервые в теореме 11 книги II. Здесь оно оп-
ределяется с помощью равенства площадей (см.
черт. 14) (АВ задано; ЛИ —квадрат на АВ; Е делит
АС пополам; EI равно ЕВ и АН — квадрат; в ре-
зультате прямоугольник со сторонами АВ, BG ра-
вен квадрату со стороной GA). Теорема дает конст-
рукцию золотого сечения, а в книге IV-й (теоремы
10, И, 12) эта конструкция используется для пост-
роения правильного пятиугольника. Само построе-
ние теоремы 11,11 опирается на несложные теоремы
«геометрической алгебры».
В книге VI-й, посвященной подобию фигур, золотое сечение
появляется в определении 3 как «деление отрезка в крайнем и
среднем отношении», что соответствует пропорции
АС;АВ = СВ.АС. Предложение 30, опирающееся на предыдущее
предложение 29, дает конструкцию «золотого сечения». Казалось
бы, каждое из двух понятий возникает на своем собственном пути
и связи между ними нет. Однако, в книге XIII [12], где Евклид
приводит серию теорем, устанавливающих род иррациональности
золотого сечения, в первой же теореме этой серии (теорема 1) при
доказательстве со ссылкой на теорему VI, 17 (общая связь между
пропорциональностью отрезков и величинами прямоугольников, из
них построенных) отмечается эквивалентность понятий из 11,11 11
VI, определение 3.
Какое историческое развитие лежит за этими пассажами Евк
лида? Какое из двух понятий было первым и как была установле-
на связь между ними?
Понятие, используемое в теоремах 11,11 и IV, 11 —12, связано г
теорией величин как и по историческим свидетельствам, так и по
логике является пифагорейским, поскольку оно служит
g д Япков 299
построению правильного пятиугольника. Но если оно было истори-
чески первым, то почему оно не имеет собственного имени? Это
собственное имя («деление отрезка в среднем и крайнем отноше-
нии») есть, напротив, у второго понятия.
Это обстоятельство позволяет сделать вывод, что второе поня-
тие возникло раньше первого. Очень вероятно, что оно имеет про-
исхождение в музыкальной теории, где логосы-отношения, так ска-
зать, «экспериментальны», и возможно как задача оно было осоз-
нано еще при жизни самого Пифагора. Но правильная постановка
вопроса стала возможной только при переходе к струнам-величи-
нам и при появлении корректного понятия отношения, т.е. при по-
нимании пропорциональности как заданной «ключевым чертежем».
А если это так, то первое понятие Евклида, естественно, воз-
никает при осознании эквивалентности пропорции a:b=c:d и ра-
венства прямоугольников на a, d и Ь, с. Эту эквивалентность уста-
навливает теорема 43 книги I и обратная к ней теорема. Надо по-
лагать, они были известны пифагорейцам (см. предыдущий
пункт).
Евклиду, базировавшемуся на евдоксовой теории пропорций,
при изложении «геометрической алгебры» и теории правильных
многоугольников нужно было освободиться от ссылок на древнюю
пифагорейскую пропорциональность. Поэтому пифагорейские тео-
рии были переработаны в нужном направлении и понятие отрезка
«разделенного в среднем и крайнем отношении» попало в эту пере-
работку только анонимно. Свое законное имя понятие получает го-
раздо позже, после того, как в книге VI изложена новая теория
Евдокса.
Представляется, что и сам материал П-й книги во многом раз-
работан с целью получить многие важные результаты без теории
пропорций. Это относится и к теории правильных многоугольни-
ков (книга IV), и к теореме Пифагора, что мы разберем в дальней-
шем. Поэтому следует считать, что возникновение этой книги при-
надлежит времени, когда уже был осознан пробел в «геометричес-
кой» теории пропорций, но еще не было предложено полноценной
замены, т.е. евдоксовской теории.
Между тем деление отрезка в крайнем и среднем отношении
способно довольно быстро и естественно открыть новую иррацио-
нальность.
Пусть отрезки b и с делят отрезок а в среднем и крайнем отно-
шении, причем Ъ>с. Это значит, что АВ— квадрат со стороной b
(см. черт. 15) равен прямоугольнику EF со сторонами а и с. Отни-
маем от обеих фигур равные прямоугольники АС и EG со сторона-
ми b {CD первой фигуры и ЕН второй фигуры) и с {AD первой
фигуры и GH второй фигуры). Получающиеся в остатке величины
4F и DB будут равны. Но HF есть квадрат со стороной, равной с.
Поскольку GF есть разность а и Ь. Стороны DB равны b и b - с.
300
Математика античности и средних вексц
Таким образом отре.
зо к Ь делится отрез-
ками с и b - с тоже в
среднем и крайнем
отношении, откуда
между прочим, сле-
дует неравенство
с > b - с.
П редположим
теперь, что отрезки
Ь, с имеют общую
меру. Тогда все три
отрезка а,Ь,с будут иметь ту же самую общую меру и пусть они бу-
дут кратными этой общей меры соответственно т, п, I раз, где
т = п + 1. Тогда отрезки Ь, с, Ь - с будут тоже кратными этой же об-
щей меры, а именно п, I, п-1 раз. Заметим, что п < т, т.е. если
«среднее и крайнее отношение» выражается тройкой чисел, то оно
выражается другой тройкой, причем первый член второй тройки
строго меньше первого члена первой тройки. Это, однако, ведет к
противоречию, поскольку никакое число нельзя неограниченно
уменьшать.
О.Беккер, обсуждая иррациональность «золотого сечения»,
дает другую реконструкцию [11, с.72 —73]. Она связана с рассмот-
рением пифагорейской пентаграммы (см. черт. 16). Реконструируе-
мое доказательство идет через вписывание одной пентаграммы в
Черт.16
другую и использование «антанарейтичес-
кого метода». Беккер считает возможным,
что именно это доказательство и привело к
открытию антанарейзиса. «Антанарей-
зис» — метод последовательного вычитания
меньших отрезков из больших, где начина-
ют с некоторой пары, а потом берут все
время вычитаемое и разность в качестве
следующей пары. Если мы доходим до рав-
ных отрезков, то исходные отрезки оказы-
ваются соизмеримыми, а, если процедура
уходит в бесконечность,— несоизмеримыми
Но доказательство, приведенное выше, проще, оно естественно
для музыкальной теории и базируется еще на монадных рассмотре-
ниях. Фактически оно тоже является «антанарейтическим», но не
связано с полным осознанием метода. Антанарейзис был тоже
изобретен пифагорейцами, но, по-видимому, позднее Гиппаса; во
всяком случае он не требуется при обосновании несоизмеримости
«золотого сечения». В известном смысле приведенное доказательс-
тво даже проще доказательства несоизмеримости стороны 11
g А.Яиков
301
диагонали квадрата, поскольку не приходится обращаться к тео-
рии чета/нечета.
Конечно, это доказательство требует обоснования существования
«золотого сечения», и здесь возникает вопрос, каким образом в «гип-
пасово» время могла быть найдена соответствующая конструкция.
Разберем сначала предложения 29 и 30 из VI-й книги «Начал».
Хотя обе теоремы имеют дело с «евдоксовым» понятием пропорцио-
нальности, правдоподобно, что здесь переделываются старые дока-
зательства, относящиеся к «геометрическому» понятию. Во всяком
случае, стоит взглянуть на них именно с этой точки зрения.
Предложение 29 решает следующую проблему: «К данной пря-
мой приложить равный данной прямолинейной фигуре параллелог-
рамм с избытком в виде параллелограмма, подобного данному».
Предложение 30 решает следующую задачу:
«Данную ограниченную прямую рассечь в крайнем и среднем
отношении» (смотрите черт. 17).
АВ — данный отрезок. На нем строится q
квадрат ВС. К АС «прикладывается с избыт-
ком» параллелограмм CD, равный СВ так,
чтобы AD было квадратом. Для этого-то и ис-
пользуется конструкция предыдущей теоремы А
29. Равенство BI = AD вместе с предложением
14 этой же книги дают нужный результат.
Я не буду пересказывать конструкцию
предложения 29 в общем случае. Предполо-
жим, что доказывается частный случай этого
утверждения — тот самый, который используется при доказательстве
утверждения 30. Этот частный случай можно сформулировать следу-
ющим образом (используется черт. 17): приложить к АС с избытком
прямоугольник CD, равный квадрату ВС, так, чтобы AD было квад-
ратом (дополним конструкцию до прямоугольника CF: теперь в силу
построения равенство CD= АС влечет за собой равенство AD= ЕС, а
это и означает пропорцию AE:GB(= АВ) = EB.BF(.= АЕ), т.е. пропор-
цию «среднего и крайнего отношения»).
Само доказательство теоремы 29 в этом частном случае ведется
следующим образом (см. черт. 18):
Отрезок АВ делим пополам в точке Е и строим квадрат BI на
ЕВ. Далее строим квадрат IX, равный сумме квадратов на АВ и
ЕВ. Точки I, В, X находятся на одной прямой, поскольку EL и IX
квадраты. Поэтому EQ равно LO. Если теперь на левой половине
АВ, т.е. на АЕ, построить прямоугольник AN, равный EQ, то
AN + EQ + ВХ = 2EQ + ВХ = EQ + ВХ + LO, так называемому «гно-
мону», который в свою очередь равен разности IX и EL, т.е. квад-
рату на Л В.
Соль конструкции в построении квадрата IX, и мы это сейчас
разберем. Пока же заметим, что все другие построения
Математика античности и средних
Черт. 18
осуществляются в рамках
«геометрического» пони-
мания пропорциональнос-
ти. Не обязательно пред-
полагать, что стадии, со-
ответствующие теоремам
29 и 30 в первоначальном
доказательстве уже были
разделены. Ничто не ме-
шает соединить оба черте-
жа и оба этапа доказа-
тельства в одно целое, ц
мы позднее встретимся с таким «объединенным» чертежом.
Как быть, однако, с теоремой Пифагора? Доказательства пред-
полагают ее знание,
Черт. 19
притом не только для соизмеримых отрезков.
Как предположил Хис [2,
с. 147 149], теорема Пифагора была сна-
чала доказана для соизмеримых отрезков
методом, сохранившимся в доказательстве
теоремы VI,31 «Начал» Евклида (см.
черт. 19) Используются пропорции
BD:BA = ВА.ВС и DC: АС = АС: ВС. Пос-
кольку это пропорции между числами, то
получаем, что квадрат на В А равен пря-
моугольнику на BD и ВС (BE) и квадрат
на АС равен прямоугольнку на DC и ВС
(СЕ), откуда и следует теорема.
В другом месте я высказал предполо-
жение, что теорема возможно доказыва-
лась подобным образом еще до появления
понятия величины, а именно для прямоу-
с «монадными» сторонами. Появление до-
гольных треугольников
казательства Хиса при переходе к величинам в этом случае совер-
шенно естественно.
Чего же можно ожидать для случая несоизмеримых сторон?
Здесь перестает работать понятие пропорциональности в его огра-
ничении применительно к числам. Одно из основных выдвинутых
мною предположений заключается в том, что пифагорейцы, оттал-
киваясь от смутного понятия пропорциональности, возможно моти-
вированного «музыкальными» соображениями, открыли для него
точный «геометрический» критерий, связанный с чертежом теоре-
мы 1,43 Евклида. Посмотрим, можно ли, основываясь на этом кри-
терии, провести доказательство общей теоремы Пифагора «мето-
дом Хиса».
g д.Янков
303
Обе пропорции доказываются
одинаковым образом Рассмотрим
первую. Дополним треугольники
BDA и ВАС до параллелограммов
BE, BF, как это показано на
черт.20. В D С
Составив из них фигуру, изоб-
раженную на черт.21 (соответству- р
юшие стороны треугольников па-
раллельны), и дополнив ее до парал-
лелограмма, мы видим, что в силу
равенства прямых углов при D и А”
точки D, А’=А" и С" оказываются
на одной прямой, являющейся диаго-
налью параллелограмма. Это доказы-
вает пропорцию BD.BA = ВА.ВС.
Вторая пропорция доказывается ана-
логичным образом. Образуем теперь
квадрат со стороной, равной АВ (U)
Чсрт.21
и прямоугольник со сторонами, рав-
ными BD и ВС (Г), и составим их.
как показано на черт.22. В силу до-
казанной пропорции линия SPT будет диагональю прямоугольника
ST, и поэтому квадрат U равен прямоугольнику V. Проведя ана-
логичное доказательство для квадрата на АС и прямоугольника со
сторонами ВС, DC, завершаем доказательство, как в случае соиз-
меримых отрезков.
Нельзя, однако, не обратить внимание на имеющийся в этом
доказательстве пробел. При установлении основной пропорции бе-
рутся параллелограммы с одним углом (черт.21), а при ее исполь
зованпп- с другим (черт.22). Я уже высказал мнение, что перво-
начально этот пробел мог оставать-
ся незамеченным, поскольку для
«рациональной» (в нашем смысле
слова) пропорции легко показыва-
ется, что можно использовать лю-
бой угол. Однако, со временем
пробел должен был быть осознан.
Мы вернемся к этому вопросу в
следующем разделе. Сейчас же
только заметим в заключение, что
рассмотрения этого раздела делают
вероятным подлинность имеющих-
ся свидетельств об открытии иррациональности пифагорейцами на-
чала V-ro столетия.
304 Математика античности и средних вскоь
Правильный пятиугольник и додекаэдр
«О Гиппасе говорят, что он был из числа пифагорейцев; за то
что разгласил и построил впервые сферу из двенадцати пятиуголь-
ников, он погиб в море как нечестивец, зато снискал славу перво-
открывателя, хотя все [открытия должны принадлежать] “оному
мужу”—так [пифагорейцы] величают Пифагора, не называя его по
имени» [13, 88].
В другом месте у того же Ямвлиха открытие описывается нес-
колько по другому: «...тот, кто выдал конструкцию исагона, т.е
додекаэдра, одной из так называемых телесных фигур, [и пока-
зал], что она вписывается в сферу...» [13, 247].
Бронзовый додекаэдр обнаружен в Этрурии и принадлежит,
может быть, ко времени до Пифагора. Гиппасу могла принадле-
жать его конструкция, а также решение одной из двух следующих
задач: описать вокруг данного додекаэдра сферу или вписать в
данную сферу додекаэдр; наконец, возможно, что были сразу ре-
шены две упомянутые задачи. В конце этого раздела я сформули-
рую предположение, кажущееся мне наиболее правдоподобным.
Теперь же отметим, что построение додекаэдра очевидным обра-
зом предполагает некоторую теорию правильного пятиугольника.
Последний был у пифагорейцев священным символом, и, вероятно,
его пытались изучать со времен Пифагора. Однако, отсутствие тео-
рии произвольных пропорций делало такое изучение невозможным.
При Гиппасе появляются две возможности подхода к теории: на ос-
нове предположенной мною «геометрической» теории пропорций,
путь более непосредственный, и на основе возникшей теории вели-
чин—путь более окольный. Мы должны обсудить эти возможности.
Мне уже неоднократно приходилось обращаться к евклидовым
«Началам» при попытках восстановить «гиппасовские» доказатель-
ства. Поскольку такие обращения будут иметь место и впредь, то
стоит специально обсудить «Начала», особенно их первые четыре
книги. В знаменитом «Каталоге геометров» Прокла-Евдема содер-
жатся упоминания различных изложений «начал» геометрии. На-
зываются следующие авторы: Гиппократ Хиосский, создатель пер-
вых «Начал», Леонт, ученик Неоклида, судя по всему, современ-
ник позднего Платона и Аристотеля, и Тевдий Магнезийский, на-
верное, живший уже после Платона. Почему возникали одна за
другой эти изложения геометрии? «Каталог» сообщает немногое.
«Начала» Леонта «более тщательны в отношении полноты и поль-
зы доказываемого»: Тевдий же «многое из частного сделал более
общим» [14, с. 163- 167].
Сам Евклид характеризуется как «собравший многое из отк-
рытого Евдоксом, улучшивший многое из открытого Теэтетом. а
помимо этого сделавший неопровержимыми доказательствами то,
что до него доказывалось менее строго» [14, с.163— 167].
в д.Япков
305
В общем движение идет в сторону пополнения и обобщения.
Евклид же хвалится за достижение «неопровержимости», т.е. за
большую и — по мнению Прокла —окончательную строгость.
Непонятно, однако, зачем надо писать новые «Начала», если
речь идет только о новых результатах. «Начала» (отт/ета), бук-
вально «буквы», «элементы», предполагают новое изложение ос-
нов всей геометрии. Из прокловских характеристик понятно, зачем
написал «Начала» Евклид, и немногое проясняется о мотивах Тев-
дия (обобщение более ранних результатов).
Я предполагаю, что для трехкратного пересмотра «начал»
главным побуждением была возобновлявшаяся время от времени
необходимость пересмотра методов с целью удовлетворения воз-
росшему требованию строгости. Из того, что мы знаем о геометрии
V-IV веков можно предположить, по крайней мере, следующие три
более конкретных стимула для такого пересмотра.
Первый из них —общие требования строгости, начавшие появ-
ляться с середины V-ro века. Вероятную роль здесь сыграла софис-
тика, хотя до нас дошел только один пример ее критики, а именно
протагорова критика «роговидных» углов. Но и сами геометры ста-
рались заменить некоторые положения, ранее использовавшиеся без
должной рефлексии, на конструктивные построения. Важную роль
сыграл при этом Энопид, что совершенно правильно отмечает Сабо
в своей известной монографии [15, с.369 —373]. К Энопиду восхо-
дит обоснование таких геометрических возможностей, как восста-
новление перпендикуляра, деление отрезков и углов пополам и т.п.
Это позволило отказаться от «фалесовских» методов перегибаний
или вращений, а также —до известной степени—и от «мамерковско-
го» метода переноса на неопределенное расстояние.
Следы переработки в этом духе старого материала усматрива-
ются в первую очередь в первой половине I-й книги «Начал». Од-
нако и III я книга «Начал» проникнута этим духом. Характерно,
что схолии к «Началам» не называют книгу «пифагорейской»,
хотя делают это в отношении П-й и IV-й книг. Очевидно, что со-
держание IV-й книги (правильные многоугольники) опирается на
содержание Ш-й, т.е. на геометрию круга. Так что у пифагорейцев
была какая-то геометрия круга. Если Ш-я книга все же пифаго-
рейской не признается, то это может означать либо, что пифаго-
рейская геометрия круга не осознавалась как особый раздел, а ис-
пользовалась на интуитивно-наглядном уровне, включая в себя ме-
тоды вращения и симметрии, либо же, что изложение книги Ш-й
настолько превосходит ее пифагорейские источники по новым ре-
зультатам, что собственно пифагорейский вклад в эту книгу ощу-
щался как незначительный.
Вторым стимулом по моему предположению является первона-
чальное использование «геометрической» пропорциональности для
получения ряда важных результатов, дальнейшее осознание
306
Математика античности и средних веКов
нестрогости этого метода (о чем я уже говорил, в частности, в свя-
зи с теоремой Пифагора) и желание получить эти результаты без
использования пропорциональности «геометрической», а—по при-
чине того, что других определений пропорциональности величин в
тот момент либо не было вообще, либо же они были, но являлись
очень трудными при использовании (я имею в виду здесь пропор-
циональность, понимаемую из «антанайрезиса») исходя из «гео-
метрии величин» развитой пифагорейцами параллельно теории
пропорций.
Собственно, эта программа и воплощена в первых четырех
книгах «Начал». Она увенчивается теорией правильных многоу-
гольников, а попутно устанавливает многие факты, известные ра-
нее «теоретикам отношений», в том числе и теорему Пифагора, и
деление отрезков «в среднем и крайнем отношении».
Третьим стимулом было появление точного определения отно-
шения между величинами, а именно знаменитого определения Ев-
докса. После этого оказалось возможным включить в «строгую»
геометрию многие результаты, базировавшиеся ранее на «нестро-
гом» геометрическом понимании отношения. Большая доля в этой
переработке должна быть приписана самому Евклиду —во всяком
случае это относится к Х-й книге «Начал», в основе которой лежат
открытия Теэтета.
Как раз по поводу Теэтета возникает следующий вопрос. Не
было ли в промежутке между пропорциональностью «геометричес-
кой» и пропорциональностью «евдоксовской» еще одного периода
пропорциональности «антанайретической»? Не было ли попыток
перестроить теорию, исходя из этого понятия? Тем более, что в де-
сятой книге «Начал» есть следы применения антанайрезиса, види-
мо, присутствовавшего в первоначальных рассуждениях Теэтета.
Мне кажется все же, что, строго говоря, такого отдельного пе-
риода не было. Во-первых, развивать теорию отношений на основе
антанайрезиса —технически очень трудная задача (это хорошо ос-
вещается в книге Норра [16, с.332 —344]). Во-вторых, собственно
определения отношений через антанайрезис не было, а скорее
было использование метода с четким пониманием того, что пропор-
циональность дает одинаковый антанайрезис и обратно. При этом
в основе продолжало лежать старое интуитивное понятие, основан-
ное, быть может, и не на геометрии, а на равенстве музыкальных
интервалов. Впрочем, открытие метода было настолько плодотвор-
ным, что какие-то «Начала» могли переизлагать старый пифаго-
рейский материал, применяя этот метод. С такой поправкой можно
принять условно и гипотезу о «четвертом стимуле».
Разберем теперь в абстрактной форме вопрос о том, чего мож-
но ожидать, когда старый материал переорганизуется из новых ос-
нов. Более конкретно нас будет интересовать переорганизация, ис-
ходящая из первых перечисленных выше мотивов: общего мотива
g д Яиков
307
строгости и стремления исключить пропорциональность, используя
только геометрию величин.
Геометр, идущий этим путем, разумеется знает, что пропорцио-
нальность а:Ь = с d равносильна равенству квадратов или «обрат-
но-сопряженных» прямоугольников со сторонами Ь, с и a, d. Он бу-
дет пытаться использовать старые доказательства, но переделывать
их с помощью «геометрии величин»; там же, где в старом доказа-
тельстве есть пробел, он вынужден будет обращаться к поиску но-
вых путей. Наконец, можно ожидать, что какие-то старые теоремы
не смогут быть доказаны новым методом. Некоторые же из теорем
старой теории окажутся не нужны для его узких целей (теория пра-
вильных многоугольников). Кроме того, теоремы, явно упоминаю-
щие пропорции и отношения, он будет вынужден либо отбросить,
либо переформулировать их, исключив эти упоминания.
В результате можно ожидать, что в созданной теории будут
доказываться новыми методами старые теоремы, что к ним приба-
вится и какое-то число новых теорем, но что не все старые теоре-
мы будут здесь фигурировать, а какая-то их часть будет ждать но-
вого определения отношения и появится потом в VI-й книге «На-
чал» или даже позднее.
Рассмотрим с этой точки зрения доказательство теоремы Пи-
фагора из первой книги «Начал» (теорема 1,47; черт.23).
Автор его, будучи знаком с «классическим» пифагорейским
доказательством, которое мы реконструировали, исходя из доказа-
тельства теоремы VI,31 (!), и которое основывается на «геометри-
ческой» теории пропорции, изначально знал, что квадрат ВН дол-
жен быть равен прямоугольнику BL, а квадрат CG —прямоуголь-
нику CL. Но в пифагорейском доказательстве этих утверждений
был пробел, который был мной отмечен при его разборе и который
уже сознавался автором. Поэтому он
стремится заменить старое доказательс-
тво новым, основанным только на ис-
числении величин —и добивается успе-
ха.
Трудно точно определить, кто был
этот автор. Слова Прокла, содержащие
похвалу Евклиду за доказательство тео-
ремы 1,47, часто принимают за утверж-
дение, что именно Евклид и является
автором этого доказательства. На мой
взгляд, однако, мы имеем дело с похва-
лой геометру, показавшему весь путь
геометрии от ее определений и постула-
тов до данной знаменитой теоремы, т.е.
возведшему все здание в безупречной,
как думал Прокл, форме.
308
Математика античности и
Можно только сказать, что весь замысел перестройки мог соз
реть лишь после Гиппократа Хиосского, который еще основывается
на «геометрических» отношениях. Первая кандидатура, приходя-
щая в голову,—это Феодор. Так, между прочим, думает Норр
с.273 —286]. Я считаю это возможным, но не безусловно верным'
Впрочем, Норр приписывает Феодору открытие «геометрической
алгебры» со всем ее содержанием, я же склонен считать работу об-
суждаемого геометра, которым мог быть Феодор, в основном пере-
делкой старой геометрии, в процессе которой, разумеется, могли
совершаться и новые открытия.
В пользу Феодора говорит следующий, правда, отнюдь не ре-
шающий аргумент. Феодор был учеником Протагора, а Прота-
гор—критиком математики. Правда, от содержания этой критики
осталось немного — отвержение «роговидных» углов. Во всяком
случае от Феодора следует ожидать повышенного внимания к стро-
гости доказательства.
Обратимся теперь к построению правильного пятиугольника.
Предложение 11 IV-й книги «Начал» Евклида посвящено за-
даче: вписать правильный пятиугольник в данную окружность (см.
черт.24). Построение начинается с создания равнобедренного треу-
гольника HIG, в котором угол при вершине вдвое меньше каждого
из углов при основании. Далее в окружность вписывается треу-
гольник ACD, подобный построенному.
Мы знаем, что фактически задача уже решена, поскольку дуга
CD составляет пятую часть окружности. В доказательстве Евклида
затем проводятся бисектриссы углов при С и D и используется те-
орема о том, что равные углы, вписанные в окружность, опирают-
ся на равные обводы. Это доказательство предполагает теорию ок-
ружности, изложенную в книге III. Пифагорейцы времен Гиппаса
могли быть с ней незнакомы. В частности, это относится к основ-
ной использованной теореме (111,26).
В.Д-Янков
309
Нам нужно поэтому ответить на следующие вопросы:
1) был ли у пифагорейцев какой-нибудь «наивный» способ за-
вершить построение правильного пятиугольника после построения
треугольника ACD7
2) как они могли вписать в окружность треугольник, подоб-
ный HIG7
3) как они пришли к необходимости построения равнобедрен-
ного треугольника, в котором угол при вершине вдвое меньше угла
при основании?
4) как они, наконец, его строили?
Я изложу следующую гипотезу.
Пифагорейцы исходили из рассмотрений своего символа, т.е.
пятиконечной звезды, вписанной ими в правильный пятиугольник
(черт.25) (этот чертеж рассматривает О.Беккер [И], но связывает
с ним другие рассуждения).
Проведя радиусы из центра и пользу-
ясь наглядными свойствами окружности и
теоремой о сумме углов треугольника,
легко провести вычисления основных воз-
никающих углов. Все углы при центре
равны четырем пятым прямого угла (ра-
зумеется, пифагорейцы выражались ина-
че: «каждый из этих углов, будучи взят
пять раз, дает четыре прямых»). Приме-
няя теорему о сумме углов треугольника
к АОЕ, находим, что углы ОАЕ и ОБА, Чсрт.25
каждый равен трем пятым прямого. Сле-
довательно, угол ВАЕ равен шести пятым прямого. Опять же для
равнобедренного треугольника АВЕ получаем, что углы АВЕ и
ЕВА равны по две пятых прямого каждый; к тому же в силу сим-
метрии равны ВСА и DCE. Теперь можно вычислить углы в треу-
гольниках EFD, CFD. Углы ECD, CED, ADE все равны двум пя-
тым прямого, поскольку в силу соображений симметрии они совпа-
дают с углом АВЕ. Значит, в треугольнике EFD оставшийся угол
при F равен шести пятым прямого. Угол при F в треугольнике
CDF будет дополнением к последнему углу до двух прямых и поэ-
тому равным четырем пятым прямого. Наконец, угол CDA, кото-
рый можно теперь подсчитать даже двумя способами, тоже равен
четырем пятым прямого угла.
Таким образом, треугольник FDE оказывается равнобедрен-
ным, причем FE = FD. Треугольник CFD тоже равнобедренный,
причем FC = CD. В заключение заметим, что треугольник CDE,
Который состоит из двух изученных, тоже равнобедренный, при-
чем CD = ED.
Обратимся теперь к предложению 8 книги ХШ-й «Начал». В
нем устанавливается, что в правильном пятиугольнике прямые,
310
Математика античности и
^S^BeK0B
«стягивающие два смежных угла», «делят друг друга в крайНеЛ1
и среднем отношении». В применении к нашему чертежу это 6v
дут, например, отрезки EF и CF. Доказательство исходит из у^е
данного пятиугольника; вокруг него описывается окружность
(IV,14) и далее идет исследование углов на основании «теории
круга» (книга III). Мы видели, что то же самое получается, если
исходить из круга, предполагая вписанный пятиугольник уже су-
ществующим, и далее считать все углы «наивно», т.е. предпола-
гать углы в центре равными друг другу, а равно и другие пары уг-
лов (например, АВЕ и DAE) или отрезков, если они переводятся
друг в друга с помощью вращения или симметрии. При этом нуж-
но еще применить теорему о сумме углов треугольника и теорему
фалеса о равнобедренных треугольниках. У меня мало сомнений в
том, что пифагорейцы с мистическим воодушевлением изучавшие
любимую пятиконечную структуру, добрались до всех этих оценок
углов. Доказательство в XIII,8 —не что иное, как замена древнего
пифагорейского показа строгим доказательством с различением
факта и конструкции и с использованием разработанной теории ок-
ружности.
Присмотримся к дальнейшему ходу рассуждений в XII 1,8.
Отмечается, что треугольники СЕ>Е и FCD равноугольны, а
потому их соответствующие стороны пропорциональны, откуда по-
лучается пропорция FE.ED = CD.CE. Но, в силу равнобедренности
треугольников CDE и FCD, ED = CD = CF; мы получаем пропор-
цию FE.CF = CF.CE, которая и выражает собой деление «в край-
нем и среднем отношении».
Пропорция устанавливается на основании равноугольности
треугольников. Естественно в тринадцатой книге «Начал» это де-
лается на основе евдоксовского понятия отношения и со ссылкой
на теорему VI,4: «В равноугольных треугольниках стороны при
равных углах пропорциональны и соответственными <будут>
стягивающие равные углы» Но эта теорема легко устанавливается
на основе «геометричес-
кого» понимания отноше-
ний (см. черт.26).
Таким образом, пифа-
горейцы времени Гиппаса
могли доказать теорему
ХШ,8 «Начал», пользуясь
доступными им математи-
ческими средствами. Я
Чсрт.26 предполагаю, что они ее
действительно установили.
Если концепция «среднего и крайнего отношения» возникла
ранее как спекуляция в музыкальной теории, то какой же радос-
тью и каким удивлением должно было наполниться сердце
g Д.ЯпКОВ 311
пифагорейца, открывшего, что это же отношение получается при
изучении правильного пятиугольника?
Дальнейшие рассмотрения черт.25 выявляют еще следующее.
Поскольку угол ECD равен углу АВЕ, т.е. двум пятым прямого, а
угол BCD равен шести пятым прямого, то остающийся угол АСЕ
тоже равен двум пятым прямого. Теперь можно посчитать равные
друг ДРУГУ углы при основании равнобедренного треугольника
ЛСЕ. Они оказываются равными четырем пятым прямого угла. Та-
ким образом, оказывается, что треугольники CFD и АСЕ равноу-
гольны. В предложении IV,10 «Начал» все такие треугольники
именуются «равнобедренными, имеющими каждый из углов при
основании вдвое большим остающегося». Мы видели, что CF рав-
но CD, а значит и АЕ. Таким образом, обнаруживается, что треу-
гольник ACD — это равнобедренный треугольник, у которого сторо-
на, отличная от равных друг другу, получается как больший отре-
зок при делении одной из оставшихся сторон в среднем и крайнем
отношении. Мы оказываемся теперь в состоянии построить такой
треугольник, если нам задана его большая (одна из пары равных)
сторона. Собственно такое построение мы и обнаруживаем в пред-
ложении IV,10 «Начал».
В этом доказательстве не говорится о делении «в среднем и
крайнем отношении». Вместо этого используется предложение
11,11, которое уже упоминалось выше и которое дает способ «дан-
ную прямую рассечь так, чтобы прямоугольник, заключенный
между целой и одним из отрезков, был равен квадрату на остав-
шемся отрезке».
Мы уже заметили, что скорее всего имела место сознательная
замена терминологии. Автор теории стремился избежать всякого
упоминания отношений и вместо отношений оперировал равенства-
ми величин прямоугольников. В IV, 10 эта линия продолжает-
ся— треугольники характеризуются соотношениями углов, а не сто-
рон, как это было бы естественно для пифагорейцев. Но опять же,
как и в доказательстве теоремы Пифагора, автор знает старые пи-
фагорейские доказательства и в общем следует им, заменяя отно-
шения новыми средствами. Разумеется, это — непростая работа. Пи-
фагореец, изучая черт.25, уже знал, что для равнобедренных треу-
гольников условия «основание получается из бедра как больший
отрезок при делении бедра в среднем и крайнем отношении» и
«угол, противолежащий основанию, вдвое меньше углов, к нему
прилежащих» эквивалентны. Автор IV, 10 тоже знает это, но вы-
нужден искать доказательство заново, потому что первое условие у
Него имеет формулировку на языке «теории величин».
Завершение построение правильного пятиугольника у Евклида
происходит в предложении IV, 12, которое мы уже начали разби-
рать выше. Пифагорейскую конструкцию можно представить при-
мерно следующим образом.
312
Математика античности и средних веков
Пусть треугольник HIG (черт.24) уже построен. В круге про-
ведем диаметр AF. В треугольнике проведем ось симметрии IK, де.
лящую угол HG1 пополам. Оба угла-половинки построим по обе
стороны диаметра около точки А. Точки пересечения двух постро-
енных прямых с окружностью вместе с точкой А и дадут нам нуж-
ный треугольник. Из предварительного анализа черт.24 известно
что дуга CD составляет пятую часть окружности, так что теперь
можно завершить построение правильного пятиугольника, вписан-
ного в круг.
Ясно, что такое доказательство не могло удовлетворять более
поздним требованиям строгости. Поэтому в IV, 11 оно заменяется
на доказательство, опирающееся на развитую в третьей книге тео-
рию круга.
Р.Герц-Фишлер посвятил истории «золотого сечения» целую
книгу. В своем анализе он исходит из того, что сама теория воз-
никла из стремления построить правильный пятиугольник метода-
ми «геометрии величин». Познакомимся с его точкой зрения:
«Возможно, что сначала появилось определение 3 книги VI [т.е.
определение “деления в среднем и крайнем отношении”], а 11,11
было добавлено, чтобы построение пятиугольника можно было
дать в книге IV Действительно Мюллер [Mueller I. Philosophy of
Mathematics and Deductive Structure in Euclid’s Elements.
Cambridge. Mass., 1981.J считает построение в 11,11 просто пере
делкой доказательства VI.30. Мне, однако, кажется, что довольно
(relatively) сырая форма IV,10 и использование 11,6 через посредс-
тво 111,36 [11,6 “гномональная" теорема, выражающая следующее
равенство величин: (а+б)б+квадрат на («, 2) = квадрату на
((и/2)+б). — В.Я. ] и 11,11 свидетельствуют против обратного дви-
жения от теории пропорции к “фигурным величинам” (an “area”
development). Более того, мы можем спросить, почему Евклид не
захотел избежать повторения, просто поместив книги III и IV,
слегка изменив терминологию, после книг V и VI» [17, с.31].
Как я понимаю, реконструкция Мюллера подтверждает разви-
ваемую в настоящей статье концепцию. «Сырая форма» IV, 10 объ-
ясняется попыткой следовать путем более старого доказательства,
но используя только методы «теории величин» в виду ненадежнос-
ти старых методов. Этим же объясняются ссылки на 11,6 и II, П
Что касается последнего аргумента Герца-Фишлера, то на него
можно ответить так. Теория первых четырех книг, заменяющая те-
орию «геометрической пропорциональности» и в то же время раз-
вивающая и свои собственные концепции и получающая новые ре-
зультаты, видимо, предшествовала Евклиду (я уже говорил о по-
пытках Норра приписать ее Феодору), и Евклид не желал ее те-
рять. Кроме того, эта теория устанавливает факты геометрии пра-
вильных многоугольников без обращения к пропорциям, т.е. более
экономным способом, и это тоже могло быть мотивом для ее
В.А Янков 313
автономного изложения. Все это, разумеется, не означает, что Евк-
лид просто переписал в «Начала» уже существовавший текст без
всякой переработки. Тогда была бы непонятна упомянутая выше
похвала Прокла.
Герц-Фишлер разбирает и теорему XIII,8. По его мнению
«ХШ,8 не была известна даже на интуитивном уровне во время от-
крытия IV, 10 и IV, 11» [17, с.31], поскольку некоторая вариация
11,11 в совокупности с XIII,8 позволяет получить более прямое до-
казательство основной теоремы IV,11, чем то, которое фигурирует
у Евклида.
Это рассуждение справедливо, если считать, что путь
11,11 — IV,10 — IV,11 был путем первоначального открытия послед-
ней теоремы. Однако, выдвигаемое здесь предположение, что на
этом пути шла переработка уже известного пифагорейского доказа-
тельства, лишает аргумент его доказательной силы.
Нам осталось разобрать собственно построение додекаэдра.
Оно содержится в предложении XIII,17 «Начал», которое гла-
сит: «Составить додекаэдр, охватить его сферой, как и упомянутые
фигуры [т.е. уже изученные ранее другие правильные многогран-
ники. В.Я] и показать, что сторона додекаэдра будет иррацио-
нальной—так называемым вычетом».
Последнюю задачу мы можем оставить в стороне —она принад-
лежит кругу идей Теэтета и наверняка им и была решена. Обраща-
ясь к оставшимся конструкциям, мы скоро убедимся, что все они
основаны на уже перечисленных ранее средствах гиппасовой пифа-
горейской математики. Правда, для строгого их обоснования нуж-
на некоторая «общая» стереометрия, развиваемая Евклидом в Х1-й
книге, и нам неизвестно, насколько владели ею пифагорейцы.
Перечислим средства, используемые в доказательстве XIII,17.
Прежде всего, это ранее доказанные предложения 1—5 той же
тринадцатой книги. Я приведу их целиком.
«Предложение 1. Если прямая линия разделена в крайнем и
среднем отношении, то больший отрезок с присоединением поло-
вины всей <линии> в квадратах <будет равен> упятеренному
квадрату на половине.
Предложение 2. Если прямая линия в квадратах будет в
пять раз больше своего отрезка, и если удвоенный упомянутый
отрезок разделить в крайнем и среднем отношении, то осталь-
ная часть первоначальной прямой будет большим отрезком.
Предложение 3. Если прямая линия разделена в крайнем и
среднем отношении, то меньший отрезок с прибавлением полови-
ны большего отрезка будет в квадратах в пять раз больше квад-
рата на половине большего отрезка.
Предложение 4. Если прямая линия разделена в крайнем и
среднем отношении, то вместе взятые квадраты на целой и на
меньшем отрезке будут в три раза больше квадрата на большем
отрезке.
314
В
Черт. 28
Математика античности и средних ВскОв
Предложение 5. Если прямая линия разделена в крайнем и сред-
нем отношении и к ней приставлена <прямая>, равная большему
отрезку, то вся прямая уже разделяется в крайнем и среднем от-
ношении, и большим отрезком будет первоначальная прямая»
Доказательства этих предложений основаны на знании эквива-
лентности пропорции A.B = C\D и равенства прямоугольников,
построенных на A, D и В, С. Применяется гномональная техника.
Чертежи к предложениям 1 —2 одинаковы (см. черт.27) и являют-
ся как раз тем «объединенным» чертежом, о котором шла речь при
разборе конструкции «деления в
среднем и крайнем отношении»
Пользуясь этим чертежом, можно
обратить рассуждения, скажем,
предложения 1 и получить доказа-
тельства обратной теоремы, что дает
разобранный мною ранее метод де-
ления отрезка в крайнем и среднем
отношении. Остальные чертежи
примыкают к первому (см. черт.28).
Доказательства естественно ис-
пользует евдоксово понятие отноше-
ния, но это —чисто формально, пос-
кольку пропорция заменяется равен-
ством прямоугольников.
Я предполагаю, что мы имеем
дело с усовершенствованными пифа-
горейскими теоремами. Интересно,
что за ними непосредственно
следовал текст, посвященный
«анализу» и «синтезу». В
нем для каждого из предло-
жений даются его «анализ» и
«синтез». Издатель Евклида
Гейберг предполагает здесь
интерполяцию и считает, что
это —«остаток ранних анали-
тических исследований Ев-
докса или Теэтета» (см. при-
мечание Мордухая-Болтовс-
кого [12, с.291]).
У меня здесь нет возмож-
ности углубляться в эту тема-
тику. Поэтому только выска-
жу свое мнение. Доказательс-
тва скорее принадлежат Део-
даманту и на самом деле
Черт.27
D
В д.Япков
315
представляют собой исследование старых пифагорейских доказа-
тельств с точки зрения новой концепции «анализа и синтеза», выд-
винутой Платоном. Леодамант изучает, как можно старые чертежи
пифагорейцев вместе с их несовершенными рассуждениями превра-
тить в строгое доказательства теорем ([18 III, 24]: «[Платон] пер-
вый представил способ исследования путем анализа Леодаманту
фасскому»)
В доказательстве теоремы XIII, 17 из рассмотренной группы
предложений непосредственно используются четвертое (с. 132, 8-я
строка снизу; с. 133, 4-я строка снизу; с. 135, 8-я строка свер-
ху-ссылки даются по переводу Мордухая-Болтовского, т.Ш) и
пятое (с. 133, 6-я строка снизу).
Используется также предложение 7 той же тринадцатой книги:
«Если у равностороннего пятиугольника будут равны по три
смежных или же не смежных угла, то пятиугольник будет равно-
угольным». Это использование имеет место на с.134, в строке 18-й
сверху по цитированному изданию, причем используется вторая
половина утверждения.
Заметим, что в предложении 7 вторая его половина доказыва-
ется фактически независимо от первой и на более простом чертеже
(см. черт. 16). Рассуждение использует обычные свойства равно-
бедренных треугольников, равенство треугольников и сложение уг-
лов, так что теорема вполне является «пифагорейской» по своим
средствам и характеру.
Наконец, при оценке радиуса сферы, описанной вокруг доде-
каэдра, используется предложение XlII,15, в котором сфера опи-
сывается вокруг куба и выясняется, что «диаметр сферы будет в
квадратах в три раза больше стороны куба». Доказательство ес-
тественно (см. черт.29) и основывается на дважды примененной
теореме Пифагора.
Из всех перечисленных предло-
жений книги XIII специфически сте-
реометрическими являются предложе-
ния 15 и 17. Проследим поэтому име-
ющиеся в них ссылки на одиннадца-
тую книгу.
В XIII,15 есть ссылка на XI,4
(прямая, пересекающая плоскость в
точке, где она перпендикулярна к
двум пересекающимся прямым на
плоскости, будет перпендикулярна са-
мой плоскости, т.е. по определению
XI,3 —любой прямой, проходящей в плоскости через точку пересе-
чения) В XIII,17 имеются ссылки на XI,1 (если часть прямой
принадлежит плоскости, то и вся прямая) и XI,6 (две прямые,
перпендикулярные плоскости, параллельны).
316
Математика античности и средних векгщ
Все перечисленные предложения достаточно наглядны и во
всяком случае наглядно поясняются. В случае XI,3 можно, напри-
мер, вращать одну из прямых на плоскости вокруг перпендикуля-
ра к этой плоскости и отмечать, что она не будет от плоскости от-
рываться. XI,6 можно легко доказать, проведя плоскость через
прямые и прямую в плоскости между ними.
Я думаю все эти факты были очевидны пифагорейцам. Может
быть, на них даже не ссылались явно в ходе доказательства, а все
становилось ясно из чертежа.
На основании проведенных рассмотрений средств доказательс-
тва теоремы о додекаэдре я заключаю, что мы имеем дело с усо-
вершенствованным пифагорейским доказательством, т.е. скорее
всего с доказательством самого Гиппаса.
Я не собираюсь пересказывать его в подробностях, но мне хо-
телось бы показать, что интуитивные основы для его открытия не
так уж непостижимы. Как уже отмечено, додекаэдры были извест-
ны еще в VI-м столетии. Изготовив такое тело и изучая его, естест-
венно было проводить диагонали пятиугольников, изображая та-
ким образом на гранях священные
фигуры. Счастливой догадкой могло
стать, что выбранные на каждой гра-
ни по одной диагонали образуют куб
(см. черт.30). Такая догадка также
подкрепляется соображениями сим-
метрии. Теперь, если сосредоточить
свое внимание на одной из граней
этого куба вместе с относящейся к
ней частью додекаэдра (см. черт.31),
то возникает геометрическое тело,
имеющее форму «крыши». Теперь
известно, что сторона правильного
пятиугольника возникает как боль-
ший отрезок при делении диагонали
в среднем и край-
нем отношении.
Поэтому, если за-
¥ дано ребро куба
(или сторона квад-
рата AD), то зада-
ны все линии AG,
CG> вн> DH- сИ
’ Кроме того, из со-
F ображений симмет-
рии следует, что
линия GH при про-
ектировании на
В.А.Яиков
317
квадрат перейдет в отрезок U V, лежащий точно посередине отрез-
ка EF> делящего квадрат пополам. Поэтому известна величина VF
(она равна половине меньшего отрезка стороны квадрата при его
делении в среднем и крайнем отношении). Из треугольника VFB
можно определить VB, а затем из треугольника HVB определить
BV. После чего у нас имеется возможность построить «крышу»,
когда нам дан квадрат-основание; отрезок Н, кстати, оказывается
равным OF.
Чтобы убедиться теперь, что, составляя шесть «крыш» так, чтобы
их основания стали гранями куба, мы действительно получим додека-
эдр, достаточно показать (см. черт.32), что «трапециальный» склон
верхней крыши А образует одну плоскость с «треугольным» скло-
ном крыши В.
Видимо, все эти рассуждения
и конструкции были проделаны.
Теперь легко было угадать и диа-
метр описанной сферы, который
просто равен расстоянию между
дальними вершинами куба. То,
что эта сфера действительно про-
ходит через все вершины додека-
эдра, можно доказать, вычисляя
расстояние от центра куба до вер-
шины Н, например, (черт.31),
что можно сделать, применяя
дважды теорему Пифагора. В до-
казательстве Евклида фигурируют
все эти моменты, но оно начинает
с «конца»—с построения отрезка
может быть и не было построения самого додекаэдра — он мог
предполагаться заданным, а шли вычисления, увенчивающиеся по-
лучением радиуса описанной сферы. Впрочем, свидетельства гово-
рят и о построении самого додекаэдра. В таком случае достижение
Гиппаса, вероятно, правильнее всего формулируется так: при за-
данном кубе на нем строится додекаэдр, так что куб оказывается
составленным из диагоналей его граней, и показывается, что этот
Додекаэдр вписан в сферу, описанную вокруг куба.
Надо думать, что предложения 4, 5 книги XIII и родились при
создании теории додекаэдра. Они были присоединены к более ран-
ним предложениям 1,2, происходящим из теории правильного пяти-
угольника. Предложение 3, используемое при построении икосаэдра
(ХШ,16), может иметь несколько более позднее происхождение.
Основные конструкции, применимые при построении правиль-
ных тел, мало зависят от теории пропорций. Во всяком случае
нужные теоремы здесь могли быть прекрасно заменены своими
318_____________________________Математика античности и средних веков
эквивалентами из теории величин, как это сделано в теории пра-
вильных многоугольников (книга IV). Почему этого не делает Евк-
лид?
Одно из возможных соображений заключается в том, что в
тринадцатую книгу включена теэтетова теория иррациональностей,
связанных с правильными телами, которая уж во всяком случае
требует хорошей теории пропорций.
Но ведь сами «Начала» можно было построить по другому, и
поместить нужные части XI и XIII книг до теории пропорций, а
оставшийся материал этих книг—после нее.
Я думаю, что у Евклида просто не было парадигматического
изложения теории правильных тел, основывающейся на геометрии
величин, как это имело место в случае книг I—IV для теории пра-
вильных многоугольников. Поэтому вопрос нужно поставить так:
почему первая теория не возникла сразу же после второй?
И здесь можно выдвинуть разумное предположение. Авторы
переработки пифагорейских теорий на основе теории величин
имели в своем распоряжении базовую «строгую» теорию объектов
на плоскости (первая половина первой книги и частично третья
книга «Начал»), созданную Энопидом и его продолжателями, и
не имели еще аналогичной теории для стереометрии (одиннадца-
тая книга «Начал»), Когда же последняя теория была создана, то
уже существовала строгая теория пропорций, и необходимость со-
ответствующей переработки пифагорейской теории правильных
тел отпала.
На этом я заканчиваю обсуждение теории правильных фигур и
гел у пифагорейцев времени Гиппаса, а равно и обсуждение сохра-
нившихся свидетельств о самом Гиппасе.
Заключение
Мне представляется, что реконструкции и аргументы, мною
приведенные, доказывают правильность имеющихся у нас в распо-
ряжении сведений о составе пифагорейской геометрии школы Гип-
паса (пифагорейцев-«математиков») и позволяют понять трансфор-
мацию этой геометрии в руках последующих поколений.
Рассмотрения этой статьи и ей предшествующей не претендуют
на полноту охвата всей пифагорейской математики пятого столе-
тня. Укажу на два существенных в этом отношении момента.
Во-первых, развивалась теория делимости в арифметике, изло-
женная в «Началах» (книги VII- IX), в частности, был открыт
алгоритм нахождения общего наибольшего делителя, а параллель-
но этому возникло понятие антанарейзиса, приведшее к новым
подходам в теории несоизмеримости. Во-вторых же, заслуживает
внимания изучение логико-доказательственной формы пифагорейс-
кого мышления. Замечания Платона в «Политейе», а равно извест-
ная «лакуна» доказательства Архита в его музыкально-теорети-
ческой книге позволяют предположить, что пифагорейцы владели
jq В.Гаврпльчик. Г С.Смириова 319
тем, что платоники назвали потом «анализом», но не владели
«синтезом». Это значит, что, скажем, при попытках какого-то гео-
метрического построения они, исходя из требуемых свойств, дохо-
дили до чертежа, который они могли построить, и полагали, что
их работа на этом закончена, не выводя требуемые свойства из уже
полученной конструкции. Говоря современным языком, они не раз-
личали необходимое —достаточное. Открытие этого различия и яв-
ляется заслугой Платона.
Слисок литературы
1. Янков В.А. Гиппас и рождение геометрии величин Историко-математические
исследования. Вторая серия. М., 2000. Вып. 5(40) С.192 —222.
2. Heath T.L. History of Greek mathematics. Oxford. 1921
3. lambltchus Nicomachi arithmcticam introductioncm Ed. H.Pistelh. Leipzig.
1894.
4. Евклид Начала Перса, и коммсит. Д.Д.Мордухай Болтовского при рсдакциоп
пом участии М. Я. Выгодского и И. И. Веселовского. М.-Л . 1948 T.I. Книги I-VI
5. Needham J. Science and civilisation in China. Cambridge, 1959. Vol.3
6. Nicomachus. Introductions Arithmctici Libri II Ed. R. Hoche. Leipzig, 1866
7. Alexander. In Topica Ed. M. Wallies. Berlin. 1891
8. Rudio F Das Bericht des Simplicius ueber die Quadraturcn des Antiphontos und des
Hyppokratcs. Leipzig, 1907.
9. Ван дер Варден Б.Л. Пробуждающаяся паука. М., 1959.
10. Simplicius. In Physicam Commcntaria in Aristitelem Gracca. Berlin, 1887— 1909
11 Becker O. Das mathcmatischc Denken der Antikc. Goettingen, 1957
12. Евклид. Начала Персв. и коммсит. Д.Д.Мордухай-Ботповского при редакцион-
ном участии М. Я. Выгодского и Н.Н.Веселовского М.-Л., 1950. T.III. Книги
XI-XV.
13. lamblichus. De vita pythagonca. Berlin, 1937. (См. Лебедев А.В. Фрагменты ран-
них греческих философов. М.. 1989. 18 4)
14 Прокл. Комситарий к первой книге «Начал» Евклида (Введение) М. 1994
15 Szabo A Anfaengc dor gricchischcn Mathcmatik. Budapest. 1)69
16 Knorr IV.K. The evolution of the Euclidian Elements London. 1975.
17 Herz Fischler R A mathematical history of division in cxircincand mean ratio.
Waterloo, 1987
18 Diogene-: Laertius Vitae philosophorum Ed H.S.Long. Oxlord. 1964
ЗАДАЧИ НЕОПРЕДЕЛЕННОГО АНАЛИЗА
У ГЕРОНА АЛЕКСАНДРИЙСКОГО
М.В.Гаврилъчик, Г. С. Смирнова
Герои Александрийский -один из выдающихся ученых I в
н.э. — представляет собой фигуру в высшей степени загадочную.
Занимаясь исследованием одного из дошедших до нас трактата Ге-
рона «О диоптре» О.Нейгебауэр обратил внимание на то место, в
котором автор рассказывает о произведенном им измерении рассто-
яния между Римом и Александрией. Разницу долгот Герои
320
Математика античности и средних веков
определил путем одновременного наблюдения полного лунного зат-
мения, дату которого удалось вычислить Нейгебауэру —62 г. н.э.
Обширный список в большинстве своем не дошедших до нас
сочинений Герона показывает, что это был исключительно разнос-
торонний и плодовитый ученый. Центр тяжести его интересов ле-
жал в области механики. Среди произведений, посвященных этой
дисциплине, особенно выделяются «Механика», дошедшая до нас
в переводе Косты ибн Луки, «Пневматика», «Об автоматах», «Бе-
лопойика», «О диоптре», «Катоптрика». Из математических сочи-
нений сохранились «Метрика», две первые части которой сущест-
вуют отдельно как «Геометрика» и «Стереометрика»1, известны
комментарии Герона к первым восьми книгам «Начал» Евкли-
да «Определения», представляющие собой введение в элементар-
ную геометрию. В настоящее время имеется пятитомное собрание
сочинений Герона, в котором арабские и греческие тексты сопро-
вождаются переводами на немецкий язык [1].
Общая черта всех произведений Герона состоит в том, что в
первую очередь автор обращает внимание на задачи, представляю-
щие практический интерес. Именно поэтому неожиданным оказы-
вается тот факт, что в одном из самых популярных математичес-
ких сочинений Герона—«Метрике» — помещены 12 задач, сводя-
щихся к неопределенным уравнениям. Только в III в. н.э. в
«Арифметике» Диофанта Александрийского впервые появятся не-
которые из методов решения этих задач, а строгой теории для ре-
шения диофантовых уравнений не существует и поныне. Это обс-
тоятельство и побудило авторов статьи заняться исследованием ре-
шений Герона неопределенных уравнений. Первоначально интерес
к ним возник у М.В.Гаврильчик, а позже, разбирая полученные
ею первые результаты, к этим исследованиям присоединилась и
Г.С.Смирнова. Поэтому в настоящей статье мы постараемся отра-
зить точку зрения каждого из авторов, указывая, кому принадле-
жит та или иная реконструкция.
По традиции того времени, берущей свое начало еще от древ-
них вавилонян, правила решения задач, как определенных, так и
неопределенных. Герои никогда не доказывает и нигде не форму-
лирует в общем виде. Однако исследование предлагаемых им ре-
шений наглядно демонстрирует их общий характер.
Задача 1. Найдите два прямоугольника таких, чтобы пери-
метр второго был равен трем периметрам первого, а площадь
первого была равна трем площадям второго.
Если обозначить стороны прямоугольников через х,у и и, v со-
ответственно, а через Р\ и Р2 их полу периметры, то условие зада-
чи можно переписать в общем виде
| а(х + у) = и + v
[ху=auv
где а = 3.
до В.Гаврильчик, Г.С.Смирнова
321
Для решения этой задачи Герои предлагает проделать следую-
2. щеег З3 =27 27-2 = 54 54 - 1 = 53 и это будет а3 2а3 2«3 -1= г/
одна сторона прямоугольника. Другая же сторона этого прямоугольника равна 54. 2а3 =х
53 + 54=107
107-3 = 321
Р\=х +у
Рх а = Р2
Р2 - а = и
a-v
321-3 = 318и это сторона второго
прямоугольника, другая сторона которого
равна 3.
При исследовании этого решения наше внимание было обраще-
но на два вопроса. Первый —каким образом были получены фор-
мулы для вычисления х и у, и второй —почему v=a2
Ответить на второй вопрос можно, если учесть, что решение
своих задач Герои, как правило, ищет на множестве натуральных
чисел. Тогда из первого уравнения системы можно предположить,
что стороны второго прямоугольника и, v пропорциональны числу
\и = а - k,
а, т.е. можно считать, что j _ , где k, « — натуральные числа3.
Для ответа на первый вопрос М. В.Гаврильчик предлагает сле-
дующую реконструкцию.
Если считать, что в своем решении Герои в качестве обязатель-
ного условия предполагает, что одна из сторон второго прямоу-
гольника обязательно равна а, то вторая должна равняться at (где
£- некоторый параметр), что следует из первого уравнения систе-
мы. Тогда система приобретает вид
х + у - 1 = t,
з
ху -a t,
откуда нетрудно найти уравнение, связывающее х и у.
ху = а3(х + у - 1).
Для того, чтобы выделить х и у как функции от а, преобразу-
ем это уравнение следующим образом:
3 3 3
-а = ху - а х — а у
-а3 + а^ = ху - а3х — а3у + а^
а3(а3 - 1) = (х - а3)(г/- а3).
3 3 3 3
Приравнивая множители а =х—а , а — 1 = г/ - а , можно
получить решение Герона, которое в этом случае является одним
из возможных.
322
Математика античности и средних веков
В приведенном рассуждении, однако, содержится предположе-
ние о том, что Герои рассматривал шестую степень числа а, что
представляется весьма сомнительным для математики того време-
ни. Поэтому Г.С.Смирнова предлагает другую реконструкцию по-
лучения формул Герона для решения этой задачи.
Перепишем заданную систему с учетом предположения о про-
порциональности сторон прямоугольников:
(а(х + у) = a(k + п)
[ху=a3kn
или
k = X + у - п,
о
a kn = ху.
Подставив выражение для k из первого уравнения во второе,
получим
а3(х + у - п)п = ху. (1)
Для решения этого уравнения можно предположить, что одна
из сторон этого прямоугольника пропорциональна а3, т.е. х = ша3,
где т — целое. Тогда из (1) получаем уравнение для у:
убт -п) = п(та$ - п).
Выбирая пару натуральных чисел тип, разность между кото-
рыми равна 1, мы всегда можем получить целочисленное решение.
Решение Герона получается при т = 2, п = 1, и оно не является
единственным. Взяв т = 3, п = 2, мы получим другое решение зада-
чи: х=За3, г/ = 6а3 -4, и=9(За3 -2), v=2a. Герои нигде в тексте
не упоминает о такой возможности, тем не менее, проведенное рас-
суждение несомненно носит общий характер. С его помощью мож-
но решить и вторую задачу, предложенную Героном:
Задача 2. Найдите два прямоугольника таких, чтобы пери-
метр первого был равен периметру второго, а площадь первого
равнялась четырем площадям второго.
Однако сам Герои для решения задачи 2 не использует этот
способ. В современной символике эта задача Герона также может
быть записана системой
х + y = u + v fa(x + у) = и + v
, , или в общем виде (
ху = 4 иг? \ху = buv
Для ее решения Герои предлагает следующий алгоритм:
43 =64; Ь3
43 - 1 = 63 и это — полупериметр Ь3 - 1 = Р
обоих прямоугольников;
в.Гаврпльчик, Г.С.Смирнова
323
4 - 1 = 3 и это — сторона второго
прямоугольника;
63 - 3 =60—другая его сторона;
4-4=16;
16-1 = 15 — сторона первого
прямоугольника;
63 - 15 = 48— его вторая сторона.
Ь-1=и
Р- u = v
Ь2 -1 = х
Р-х = у
В решении Герона существенным является условие равенства
периметров обоих прямоугольников (а = 1), т.е. предлагаемый им
способ относится к системе вида
х + у = и + v
, (2)
ху = buv
Попытаемся ответить на вопрос о том, почему Герон в качестве
общего полупериметра прямоугольников принимает величину
Р = 63-1.4 Возможно, сначала он заметил, что из всех алгебраи-
ческих формул, известных к тому времени, только разность кубов
Ь3 - с3 можно разложить в сумму двух слагаемых только двумя
способами:
Ь3 - с3 = (Ь - с)(Ь2 + Ьс + с2 ) =
= (Ь - с)(Ь2 + Ьс) + (Ь - с)с2 = (Ь - с)Ь2 + (Ь - с)(Ьс — с2 ). (3)
В этом случае можно получить целочисленное решение, прини-
мая за сторону одного из прямоугольников какое-нибудь из слагае-
мых первого разложения, а за сторону другого прямоугольни-
ка—слагаемое из второго разложения Задавая различные целые
значения Ь и с, мы можем получить бесконечное число целочислен-
ных решений.
Если с = 1, имеем:
Ь3 -1 = (Ь-1)(Ь2 + Ь+1) =
= (Ь-1)(Ь2 + Ь) + (Ь-1) = (Ь-1)Ь2 + (Ь- 1)(6+ 1) ,
и поэтому можно считать, что самая маленькая сторона меньшего
прямоугольника и = b - 1, а одна из сторон другого х = (Ь - 1)(Ь + 1).
Из этих посылок и можно получить решение Герона, в котором
всегда вторая сторона каждого из прямоугольников вычисляется с
помощью полупериметра:
y-b2(b~ 1), о=(Ь- 1)(Ь2 +Ь).
Однако все еще остается неясным, почему в качестве стороны
первого куба в формуле разности кубов (3) Герон выбирает число
b Ответить на этот вопрос можно, подставив формулы для сторон
прямоугольников, полученные с помощью предыдущего рассужде-
ния, во второе уравнение системы (2). Пусть в решении
324
Математика античности и средних веков
(4)
используется некоторое другое число вместо заданного Ь. Тогда
второе уравнение системы (2) приобретает вид
(b2 - 1)^(Ь0 - 1) = b(b0 - 1)(Ь0 - 1)(b$ + Ьо),
откуда вытекает, что Ьр =Ь.
Задача 3, помещенная Героном среди интересующих нас задач
представляется несколько неожиданной, поскольку с помощью сов-
ременных обозначений она может быть записана в виде квадратно-
го уравнения
х2 + 2х = 896,
где х — сторона искомого квадрата. Для ее решения Герои предла-
гает обычный способ решения квадратного уравнения, которым он
также пользуется в задачах 10—13. Поэтому останавливаться на
этом решении мы не будем.
Подробный историко-математический анализ задач 4 — 8 содер-
жится в [6, с.30 —32]. Приведем его вкратце.
Задача 4. В прямоугольном треугольнике периметр равен 50
футам. Найти стороны.
В современных обозначениях условие можно переписать с по-
мощью системы
(2 2 2
)х +у = г
[х + у + г =50 ’
здесь х, у, г — стороны искомого прямоугольного треугольника. Инте-
ресно отметить, что для решения этой задачи сам Герои предлагает
использовать «пифагоров метод». Сначала он рассматривает треуго-
льник со сторонами 3,4,5, периметр которого будет равен 12 футам.
Однако искомый треугольник имеет периметр 50, следовательно, пер-
вая сторона должна равняться 12%, вторая — 16 2 3, и третья—20 % * 3-
Очевидно, что в своем решении Герои находит только одно из
возможных решений, т.к. вместо прямоугольного треугольника (3,
4, 5) можно взять любой другой, не подобный ему, например, (5,
12, 13), но нигде об этом не упоминает.
В общем виде это рассуждение можно записать следующим об-
разом.
Решение первого уравнения системы (4) в целых числах есть
х = т2 -п2, у = 2тп, г = т2+п2, (5)
где т,п — натуральные числа и т>п. Тогда периметр этого треуго-
льника зависит от параметров т,п и будет равен
Ртп = 2глг(глг + п).
Методом ложного положения Герои получает:
Р , ) ). т-п
х = ~—(п?2 - п2) = —---Р,
Ртп 2т
В Гаврил ьч iiK. Г. С. Смирнова
325
|. В задаче VI12 Диофант предлагает с самого на-
Р и
ц = —— 2тп =-------Р ,
ртп п-т
Р , ) >. т2 + п2
г = -^—Ьп +пл) = -г—(------Р.
Ртп 2т(т + п)
Аналогичным методом неоднократно пользуется Диофант в
книге VI своей «Арифметики», однако в отличие от Герона он от-
мечает, что не всегда можно выбирать треугольник вида (3, 4, 5),
поскольку условие задачи может накладывать свои ограничения на
вспомогательный треугольник. Например, в задачах Vl3_4 после
тонкого анализа Диофант получает, что для того, чтобы существо-
вало решение в рациональных числах, надо вместо прямоугольного
треугольника (3,4,5) взять прямоугольный треугольник
(331151 332401^
1 14400 ’ 2’ 14400
чала взять треугольник (5, 12, 13). Возможно, более подробные
разъяснения этого аспекта задачи делались Героном устно, ведь су-
ществовавшая тогда традиция требовала догматического изложения
материала в книге. Нам здесь важно отметить, что один из методов
Диофанта восходит к Герону, который сам называет его «пифаго-
ровым», т.е. имеет весьма древнее происхождение.
Следующая задача Герона представляет особый интерес, пос-
кольку позже в более сложном виде она встречается у Диофанта, у
математиков арабского Востока, у Леонардо Пизанского и у Луки
Пачоли.
Задача 5. Площадь прямоугольного треугольника равна 5-
Найти его стороны.
В современной символике эта задача эквивалентна системе
(2 2 2
.rz + г/
1 1
[2^ = 5
для решения которой Герои использует утверждение о том, что
площадь прямоугольного треугольника в целых числах кратна 6.
Это важное свойство лишь много позже было доказано Леонардо
Пизанским в его «Книге квадратов» (1225).
Поскольку в задаче 5 площадь треугольника равна 5. то сторо-
ны искомого треугольника не могут быть целыми, и Герои ищет
сначала подобный ему треугольник с целыми сторонами и пло-
щадью 5k2, где /г — коэффициент подобия. Его площадь должна де-
лится на 6. Наименьший квадрат, обладающий этим свойством,
есть 36, поэтому уравнение, определяющее условие на параметры в
формулах (5), будет иметь вид
mnbn2 - п 2 ) = 5 - 36
326
Математика античности и средних веков
и решить его можно подбором, поскольку тп, « — натуральные чис-
ла. В нашем случае правая часть может быть разложена в произве-
дение 4 5 9, следовательно, положив т—5 и и = 4, мы получим
вспомогательный треугольник (9,40,41), который и использует Ге-
рон: «Умножим 5 на 36, получим 180. Это число равно площади
прямоугольного треугольника с высотой 9 футов, основанием 40
футов и гипотенузой 41 фут».
Как отмечается в [6, с.32], задача нахождения прямоугольного
треугольника с рациональными сторонами и заданной площадью
может быть сведена к системе уравнений
[2 2
г + а = и
2 2 '
(г - a = v
которую рассматривали математики средневекового Востока, а впо-
следствии и Леонардо Пизанский. Решения этой системы, а также
2 2 2
уравнения 2г — и + v , к которому она сводится, можно найти
даже в клинописных табличках древнего Вавилона, поэтому весь-
ма вероятно, что Герон опирался на древневавилонскую традицию.
Задача 6 является обращением задачи 5, а в задачах 7—9 речь
идет о прямоугольных треугольниках, в которых известны некото-
рые элементы и требуется найти остальные. Так, в задаче 7 даны
высота (12 футов) и площадь (96) футов, в задаче 8 —основание
(24 фута), а в задаче 9 —гипотенуза (30 футов). Во всех трех зада-
чах Герон снова предполагает, что искомый треугольник подобен
треугольнику (3, 4, 5) и не отмечает, что вместо него можно взять
любой другой, определяемый с помощью формул (5).
Особый интерес представляют задачи 10- 13, для решения ко-
торых Герон применяет одинаковый метод. Во всех этих задачах
требуется найти стороны и площадь прямоугольного треугольника,
если задана сумма его площади и периметра. В современной сим-
волике условие задачи может быть записано системой
Г 2 2 2
* + у
ху + (х + у + г) = Д.
В задаче 10 Д =280, в задаче ИД =270, в задаче 12 Д =100, и
в задаче 13 Д =90. Для метода Герона решения этой задачи сущест-
вует реконструкция Э.М.Брейнса в его издании Герона [2, т.З,
с.89 —90], а также реконструкция И.Г.Башмаковой и Е.И.Славу-
тина в [6, с.33]. Мы предлагаем две других, одна из которых опи-
рается на прием, впоследствии часто используемый Диофантом
при решении неопределенных уравнений. Рассмотрим подробно за-
дачу 10.
Герон пишет: «Ищу все множители 280. И это есть 2- 140 =
= 4 70 = 5 36 = 7 40 = 8 35 = 10 28= 14 20. Нахожу, что 8 и 35
(6)
М.В.Гаврильчик, Г С.Смирнова 327
будут удовлетворять требованиям». Нигде далее в тексте не указы-
вается, какие именно требования имеет в виду Герои. Получить за-
тем его решение можно, проделав следующую цепочку вычисле-
ний:
1) ^-280=35;
2) 8-2 = 6;
3) 35 + 6 = 41;
4) 41 41 = 1681;
5) 35-6 = 210;
6) 210 -8 = 1680;
7) 1681-1680=1;
8) Л = 1;
9) 41-1 = 40;
ч 1
10) - • 40 = 20 и это - основание;
И) 41+1 = 42;
12) - • 42 = 21 и это будет высота;
13) 35-6 = 29. Это есть гипотенуза.
Если обозначить множители числа 280 через а и Ь, то последо-
вательность вычислений Герона может быть записана с помощью
формул
х = ^(6+д-2-7(6+а-2)2 -86(а-2)) ,
у = |(6 + а-2 + 7(6+а-2)2 -86(я-2)) , (7)
г = b - а + 2.
Поскольку разложить число 280 (Д) на множители можно ко-
нечным числом способов, то, перебрав все варианты, Герои выби-
рает такой, чтобы выражение, стоящее в формулах под корнем
квадратным, являлось полным квадратом5. В результате ему удает-
ся найти решение поставленной задачи в положительных целых
числах.
Из системы (6) выведем уравнение для х, у, решение которого
задается формулами (7).
Если второе уравнение системы умножить на 4 и сложить с
первым, получится уравнение
(х + г/)2 + 4(х + г/)= г2 - 4г + 4Д, (8)
которое М.В.Гаврильчик в своей реконструкции предлагает ре-
шить как квадратное относительно х + у. В этом случае получаем
дискриминант
328
Математика античности и средних веков
D
— = (z -2) 2 + 4ab,
4
и, если г -2 = Ь- а, то дискриминант становится полным квадратом
D
~ = (Ь + а)2.
4
Тогда, учитывая, что х, у — натуральные числа, получим в ка-
честве корня квадратного уравнения (8) х+у=-2+Ъ+ а, а из вто-
рого уравнения системы (6) следует, что ху - 2Ь(а - 2).
Два последних уравнения сводятся к квадратному относитель-
но х:
х2 -(Ь+ а - 2)х + 2Ь(а - 2) = О,
корни которого и определяются с помощью формул (7) Герона.
Г.С.Смирнова в своей реконструкции решения уравнения (8)
предлагает использовать один из приемов, впоследствии использу-
емых Диофантом, позволяющий объяснить, почему Герон начинает
решение задачи с разложения числа Д на множители и о каких
требованиях, упоминаемых им, может идти речь.
Перепишем уравнение (8) в виде
(х + у+2)2 = (г-2)2 +4Д.
Обозначив г - 2-и, х + у + 2 = v, получим и + 4Д = v .
Так же, как впоследствии при решении неопределенных урав-
нений типа
2 2 2
у -а х +Ьх + с
поступал Диофант, положим сторону одного из квадратов v=u + k,
тогда
ц 2 + 4 Д = iz2 + 2uk + k 2,
откуда
4Д-й2 2Д k
2k ~ k 2 ’
Так как Герона интересует решение в натуральных числах, то
для этого необходимо выбрать в качестве k четное число k = 2п, где
п е N. Тогда
Д
и = — - п,
п
и это выражение будет натуральным числом, если п является од-
ним из делителей Д. Тем самым становится понятно, почему Герон
рассматривает различные варианты разложения Д на множители.
Итак, пусть Д = ab, где а<Ь. Будем считать, что а = п, тогда
полученные формулы дают следующие выражения
и = Ь-а, г = Ь- а + 2, k = 2a,
x+y=u+k~2=b-a+2a-2=b+a-2
и остается решить систему
ivf.В.Гаврильчик, Г.С.Смирнова 329
{х + у = Ь + а ~2
х2 + у2 = (Ь - а + 2)2
которая представляет собой один из типов канонических систем
Древнего Вавилона.
Из первого уравнения этой системы получаем, что
у = (Ь + а-2)-х
и,подставляя его во второе уравнение системы,получаем уравнение
х2 — (Ь + а —2)х + 2Ь(а -2) = 0,
дискриминант которого и есть подкоренное выражение, стоящее в
формулах (7):
D = (fe + а - 2)2-8Ь(а - 2). (9)
Поскольку эта разность не всегда является полным квадратом
(в чем нетрудно убедиться, взяв в качестве а, b другие пары из
разложения А на множители), то и решение задачи в общем случае
не является рациональным. Во всех четырех задачах кроме пары
множителей, выбранных Героном, имеется еще одна пара, при ко-
торой дискриминант становится квадратным числом: а = 2, Ь = Д/2.
Однако во всех этих случаях одна из сторон искомого треугольни-
ка становится равной 0, что, конечно же, не устраивает Герона.
Заметим также, что решение такой задачи в рациональных
числах существует не всегда, поскольку не всегда из делителей
числа Д можно выбрать пару, удовлетворяющую требуемому усло-
вию (например, это невозможно сделать, если Д —простое число
или при Д=21, 42, 105, 168 и др.). Исследование этого вопроса
представляется нам делом достаточно трудным для математика I в.
н.э., поэтому вряд ли такое исследование было проведено Героном.
Возможно, ограниченное применение изложенного метода решения
задач отмечалось при устном изложении.
Задачи 10—13 представляют собой, на наш взгляд, очень инте-
ресный цикл, поскольку задачи, связанные с прямоугольными треу-
гольниками, были, судя по всему, очень популярны. В «Арифмети-
ке» Диофанта мы находим, что вся ее VI книга посвящена этой
проблематике, однако, несмотря на то, что здесь Диофант рассмот-
рел большое число похожих задач (например, найти прямоугольный
треугольник, если известна сумма его площади и двух каких-нибудь
сторон), задач, совпадающих с задачами Герона, в ней нет.
Интересно, что именно в этой книге Диофант также широко
применяет «пифагоров метод», полагая стороны неизвестного пря-
моугольного треугольника пропорциональными сторонам треуголь-
ника (3, 4, 5). Герои задолго до Диофанта использует этот метод в
решении задач 4, 7, 8, 9, называя его одним из самых древних.
Но, к сожалению, всегда довольствуется лишь одним решением, не
ставя даже вопроса о его существовании или о числе возможных
решений.
330 Математика античности и средних веков
Примечания
1 Как указывает в [3, с.310 —315] А.Г.Драчман, только «Метрика» и «Определения»
без сомнения принадлежат самому Герону. Другие математические произведения
представляют собой лишь более поздние изложения его сочинений, принадлежащие
комментаторам
2 В левом столбце помещены действия, которые Герон предлагает проделать для реше-
ния задачи, а справа—описание этих действий в общем виде с использованием со-
временной символики.
3 Вообще говоря, это утверждение неверно. Например, сумма двух нечетных чисел
есть число четное. Однако предположение о пропорциональности сторон прямоуго-
льников позволяет упростить поставленную задачу. Может быть, Герон неявно
предполагает все фигуры подобными — подтверждение этой гипотезе можно найти и
в решении других задач, разобранных нами.
4 Автор этой реконструкции Г.С.Смирнова.
5 Эта реконструкция принадлежит М.В.Гаврильчик.
Список литературы
1. Heronis Alexandrini Opera quae supersunt omnia. Leipzig, 1899— 1914 VoLl —5.
2. Codex Constantinopolitanus / Ed. E.M.Bruins. Leiden, 1964.
3. The Dictionary of Scientific Biographies / Ed. C.C.Gillispie. New York, 1972. T.VI.
4. Диофант. Арифметика и Книга о многоугольных числах Пер. с дрсвнсгрсч.
Н.Н.Веселовского. Ред. и коммент И.Г.Башмаковой М., 1974.
5. Башмакова И.Г. Диофант и диофантовы уравнения. М., 1972.
6. Башмакова И.Г., Славутич Е.И. История диофантова анализа от Диофанта до
Ферма. М., 1984.
7. Башмакова И.Г., Смирнова Г.С. Возникновение и развитие алгебры Очерки
по истории математики / Под ред. Б.В.Гнеденко. М., 1997. С.94 —244.
О ТРАКТАТЕ ГЕРОНА
АЛЕКСАНДРИЙСКОГО «О ДИОПТРЕ»
Г.А.Зверкина
Сравнительно небольшой (около 1,5 п.л.) трактат Герона Алек-
сандрийского «О диоптре» [1], датируемый приблизительно 60 г.
н.э., является руководством для землеустроителей. Он в основном
касается использования диоптры, прообраза современного теодоли-
та, конструкцию которой и способы применения Герон, в основном,
и описывает в этом трактате. Кроме того, имеются описания исполь-
зования и других землеустроительных приспособлений.
Трактат Герона был переведен на русский язык И.Н.Веселовс-
ким (текст перевода в двух тетрадях хранится в архиве ИИЕТ
РАН, в фонде И.Н.Веселовского), но не был изучен отечественны-
ми исследователями. Так, в [2] сказано, что в этом трактате «изло-
жены правила землемерной съемки, фактически основанные на ис-
пользовании прямоугольных координат». На самом деле этот трак-
тат гораздо богаче; разделы, которые можно интерпретировать как
использование прямоугольных координат, занимают в нем значи-
тельное, но не основное место.
Г. а . Звсркина 331
Трактат «О диоптре» —это руководство, ориентированное на
землеустроителей, которым надо было измерить некоторые объек-
ты на местности, прорыть или отремонтировать тоннель (подзем-
ный ход), провести воду из одного места в другое, изменить опре-
деленным образом рельеф почвы, разметить земельные участки и
пр. Вопросы определения расстояний и высот на местности также
были важны для военных нужд. Кроме того, в конце трактата име-
ется несколько глав, по смыслу не связанных с основным текстом
(доказательство формулы Герона для вычисления площади треу-
гольника, описание устройства одометра — измерителя расстояния,
пройденного повозкой, и т.д.). По-видимому, Герон не предпола-
гал у своих читателей достаточной математической подготовки: он
излагает практически все необходимые для вычислений матема
тические факты, и лишь некоторые из них доказывает; он сооб-
щает процедуры использования диоптры, почти не подкрепляя их
теорией. Часто вместе с описанием метода дается практический
пример его' применения, причем оговариваются различные вариан-
ты результатов измерения.
Несмотря на свою исключительно прикладную направлен-
ность, трактат Герона Александрийского «О диоптре» представля-
ет значительный интерес для истории математики античности, пос-
кольку в нем собраны настолько разнообразные математические
методы, что можно рассматривать этот текст как проекцию доста-
точно объемной части античной математики на ее практические
приложения.
Дело в том, что при решении прикладных задач у античных ин-
женеров и ученых часто возникали приемы, идеи и методы, опережав-
шие развитие современной им математики. Иногда эти идеи получали
дальнейшее развитие (см. [3]). Однако, видимо, в большинстве случа-
ев (как в случае описываемого трактата) эти методы инженеров-прик-
ладников не получали признания современников-теоретиков и благопо-
лучно забывались до лучших времен.
Устройство диоптры
В главах I —V описано назначение и устройство диоптры, а
также необходимых для ее использования приспособлений.
Диоптра представляла собой устанавливаемый на подставке
горизонтально с помощью уровня диск, на котором располагается
визирная линейка — линейка с двумя смотровыми прорезями на
концах; на концах линейки были расположены сообщающиеся
стеклянные цилиндрики с водой (уровень), позволяющие выравни-
вать диск диоптры по горизонту. Линейка могла вращаться в гори-
зонтальной плоскости и фиксировать горизонтальные углы, а иног-
да и диск, на котором расположена линейка, мог поворачиваться
под измеряемым углом к горизонту. Также иногда диоптра имела
специальное приспособление для визирования перпендикулярных
332 Математика античности и средних веков
-------линий. Для измерения углового
-------расстояния между предметами
(звездами) диск диоптры делился
• р S-s на 360° (глава XXXII). Реконст-
\ I } руированная диоптра по описа-
I/ нию Герона представлена на
рис. 1.
' ч Для работы с диоптрой также
J J->^> использовались линейки верти-
кально по отвесу устанавливаемые
планки. В отсутствие увеличи-
тельной оптики для измерения
высоты линейки относительно го-
ризонтальной визируемой по ди-
оптре линии, на каждой из них
имелся подвижный черно-белый
диск. Диск передвигался вверх
или вниз по линейке так, чтобы в
, 1 щель визирной линейки диоптры
f J В был виден горизонтальный диа-
О-—' лч метр диска —граница белого и
черного цветов. При этом на раз-
Рис. 1 меченной линейке фиксировалась
высота диска, т.е. высота визир-
ной линейки диоптры относитель-
но точки установки линейки на почве.
Кроме того, для измерения расстояний использовалась нерас-
тяжимая и несжимающаяся мерная лента или цепь.
Герои неоднократно указывает, что сообщаемые им сведения
достаточно стары, то есть диоптра или сходные приспособления
использовались задолго до новой эры.
«Повышения* и «понижения*
Первая задача, решение которой с помощью диоптры описано
в главе VI,—задача определения высоты одной точки (Л) относи-
тельно другой (В), невидимой из первой. Знание этой высоты
было важно при проведении воды из Л в В.
Герои предлагает по пути следования из Я в В расставить ли-
нейки (в том числе и в точках А и В) таким образом, чтобы диопт-
рой, стоящей в некоторой точке между двумя соседними линейка-
ми, можно было визировать (поворачивая горизонтальную визир-
ную линейку) обе эти линейки. Выставив черно-белые диски лине-
ек на одном горизонтальном уровне с визирной линейкой диоптры,
замеряют расстояние от дисков до почвы. Если на линейке М диск
находится на высоте х, а на линейке N — на высоте у, то почва в
точке N расположена на высоте (х - у) по отношению к точке М.
[• д.Звсркина
333
Поскольку по пути следования от Л к В почва может как по-
вышаться, так и понижаться, то разность «повышения» и «пони-
жения» может оказаться отрицательной, а отрицательные числа,
как нам известно, в I в. еще не использовались. Поэтому Герон на-
ходит следующий выход из положения. Визируя последовательно
Рис.2
каждую пару линеек по пути от Л кВ, он записывает /ва стотбика
чисел, озаглавленных «Повышение» и «Понижение», татем сумми-
рует их, и, если суммарное «повышение» не превосходит С' ммар-
ного «понижения», он сообщает о возможности провести воду из А
в В и указывает перепад высоты - разность суммарных «пониже-
ния» и «повышения» X — Y. Если же суммарное «повышение»
больше суммарного «понижения», то, не говоря прямо о величине
разности высот точек А и В, Герон сообщает о необходимости при-
менения приспособлений для подъема воды на определенную уже
(т.е. вычисленную по формуле У - X) высоту. Далее Герон сооб-
щает о необходимости производить такие же вычисления для про-
межуточных пунктов («средних мест»), лежащих между точками
Л в В, с тем, чтобы слишком высокие места понизить, а слишком
низкие - повысить.
334 Математика античности и средних веков
Итак, мы видим, что Герону пришлось работать как с положи-
тельными, так и с отрицательными перепадами высот, для чего он
нашел подходящие термины: «повышение» и «понижение». Пос-
кольку для проведения воды из Л в В более важно было пониже-
ние уровня почвы, «повышения» играют роль положительных, а
«понижения» - отрицательных чисел. Отмечу, что Диофант Алек-
сандрийский, впервые систематически употреблявший отрицатель-
ные числа, не давал им никакой физической интерпретации, назы-
вая их Хе цуге;—недостаток [4].
Фактически Герон использовал правило вычитания для любых
положительных чисел, в том числе для того случая, когда раз-
ность получается отрицательной; он дал естественную интерп-
ретацию для отрицательного или положительного результата.
Поскольку проектирование водопровода кроме вычисления от-
носительных высот начальной и конечной точек требовало и вы-
числения разностей высот «средних мест», или промежуточных то-
чек, то используемое Героном правило должно было применяться
землеустроителями систематически.
Предложенный Героном прием сложения большого количества
положительных и отрицательных величин (счетов «Дать» и
«Иметь» или счетов «Прибыль» и «Убыток») - -их группировка по
знаку, отдельное вычисление суммы положительных и суммы от-
рицательных чисел и последующее сложение (уже учитывая знак)
этих сумм —вновь был изобретен Лукой Пачоли (1454—1514) в его
«двойной бухгалтерии» [5].
Направленные отрезки
В главах VIII —XIV, XXII описываются методы определения
длин и направлений различных лежащих на местности или верти-
кальных прямых и построения прямых с заданными направлением
и /или величиной на местности. Так, даются способы измерения
ширины реки, расстояния между недоступными видимыми точка-
ми, высоты удаленной видимой точки относительно положения
наблюдателя и пр. Все эти способы основаны на построении подоб-
ных треугольников и параллельных переносах. С помощью подоб-
ных треугольников определяются и площади фигур, недоступных
для непосредственного измерения (глава XXVI).
Важное место занимает здесь вопрос об определении «положе-
ния» (направления) отрезка прямой на местности. Герон говорит о
прямой (в недоступной местности), что она «дана по положению»
в том случае, если он может построить в доступной местности па-
раллельную ей прямую одним из описанных в его трактате спосо-
бов. Естественно, он всегда учитывает и направление прямой, о
чем, правда, явно не говорит.
Этот термин «данности по положению» имеется и у Евклида
(IV в. до н.э.) в его небольшой работе «Данные» [6]. Он опреде-
ляет «данность по положению» следующим образом:
Г.А.Зверкипа 335
«[ОПРЕДЕЛЕНИЯ]
...4. Точки, линии и углы, которые всегда сохраняют одно и
то же расположение, называются данными по положению...»
Это означает данность образуемых фигурой (чаще всего отрез-
ком прямой) углов, расстояний и направлений по отношению к не-
ким другим расположенным на чертеже фигурам; «данность по по-
ложению» - понятие относительное.
Евклид использует понятие прямой, «данной по положению и
по величине», введя его следующим образом:
«ПРЕДЛОЖЕНИЕ XXVI
Если концы прямой даны по положению, то эта прямая дана
по положению и по величине.
Пусть концы А, В прямой АВ даны по положению; я говорю,
что прямая АВ дана по положению и по величине.
Поскольку если точка А остается неподвижной, а прямая АВ
меняет положение или величину, то точка В переместится. Но она
не перемещается; прямая АВ следовательно дана по положению и
по величине.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ XXVII
Если один из концов прямой линии, данной по положению и по
величине, дан; то другой конец будет дан.
Пусть конец А прямой АВ, данной по положению и по величи-
не, дан; я говорю, что другой конец В дан.
Поскольку если точка А остается неподвижной, а точка В пе-
ремещается, то прямая АВ изменит положение или величину; но
она не изменяет ни положение, ни величину; следовательно точка
В дана.
Из центра А с интервалом АВА проведем окружность ГВА; ок-
ружность ГВА будет дана по положению (опр. б). Но АВ дано по
положению; следовательно точка В дана (25)».
Мы видим, что в определении и построении «прямой линии,
данной по положению и по величине» Евклид явно учитывает нап-
равление этой линии: ведь в противном случае определение отрез-
ка в 26 и 27 предложениях было бы неоднозначно.
Говоря современным языком, можно определять «прямую,
данную по положению и по величине», как приложенный к точке
вектор.
Зачем же Евклид ввел это понятие? Видимо, исключительно
Для упрощения изложения геометрического материала. Евклид ис-
пользовал понятие данной по положению фигуры в основном для
описания геометрических построений в доказательствах предложе-
ний «Данных». Сообщив, при каких геометрических построениях
случаются данные по величине и по положению прямые, он в
дальнейшем, не оговаривая этого особо, использует «данные по ве-
личине и по положению» прямые в своих рассуждениях.
J36 Математика античности и срсдцих
Практически всегда у Евклида направление «данного по положе
нию» отрезка было определено: хотя явно понятие направления от-
резка Евклид не вводит, он различает, например, отрезок АВ и от-
резок ВА.
Например, в доказательстве 78 предложения мы читаем:
«...на ZB построим квадрат ZH\ приложим к ЕЛ параллелог-
рамм ЕК равный ZH, и расположим его так, что ГЕ пусть на нап-
равлении Е&, прямая М® будет на направлении Д/<...»
Однако говорить о том, что «данный по величине и по поло-
жению» отрезок являлся у него аналогом современного понятия
вектора, было бы чрезмерно смело. Никакой другой цели, кроме
удобства описания чертежа, это понятие не преследовало.
Такую же цель преследует и Герон: «положение» прямой ис-
пользуется для построений на местности параллельных прямых.
(На этих прямых строятся затем подобные имеющимся в недоступ-
ной местности треугольники, по которым и производятся вычисле-
ния характеристик недоступных объектов.)
С другим использованием отрезка, имеющего величину и нап-
равление, мы встречаемся у Аристотеля (384 — 322 гг. до н.э.) в
его небольшом трактате «Механические задачи» [7]. Здесь понятие
направленного отрезка применяется уже для обозначения физичес-
кой величины, а именно скорости тела. Аристотель показывает,
что если тело движется одновременно в двух направлениях, и дви-
жение по этим направлениям прямолинейно и отношение скоростей
по этим направлениям постоянно, то и суммарное движение будет
прямолинейно и направлено по диагонали параллелограмма, нап-
равление сторон которого совпадает с направлениями указанных
скоростей, а отношение сторон параллелограмма совпадает с отно-
шением этих скоростей (так называемый «параллелограмм скорос-
тей»). Кроме того, Аристотель указывает, что если отношение ве-
личин складываемых скоростей не постоянно, то суммарное движе-
ние тела будет происходить по кривой линии.
Рассуждения Аристотеля практически совпадают с современ-
ным рассуждением о сумме векторов. Подобные же рассуждения
имеются и в малоизвестном трактате Прокла Диадоха (ок.
410 — 485 гг.) «Элементы физики» [8].
Герон Александрийский (I в. н.э.) в «Механике» ([9], кн.1,8)
дает обратное утверждение:
«Возьмем [некоторый] прямоугольник, а именно, прямоуголь-
ник ABCD.
Пусть линия АС —его диаметр [=диагональ], точка А, двигаясь
равномерно, пробегает линию АВ, а линия АВ, двигаясь равномер-
но, перемещается по линиям АС и BD, постоянно оставаясь парал-
лельной линии CD. Пусть также время, за которое точка А дос-
тигнет точки В, равно времени, за которое линия АВ достигнет
Г.А-Зверкина 337
[положения] CD. Я утверждаю, что точка А за одно и то же время
опишет две неравные линии».
То есть равномерное движение точки по диагонали прямоу-
гольника состоит из двух равномерных движений по сторонам пря-
моугольника. В этом утверждении мы видим и понятие вектора,
разложенного по ортогональному базису, и то, что произвольный
ортогональный базис может быть приложен к любой точке.
Замечу, что в «Механике» Герои также различал противопо-
ложно направленные и сонаправленные (мгновенные) движения
точек, рассматривая движение точек окружности.
Итак, мы видим, что Герои в различных контекстах использо-
вал понятие направленного отрезка данной величины и скорости,
как объекта, имеющего величину и направление, то есть понятия,
совпадающие с современным понятием вектора. Однако они появля-
ются у этого автора в разных ситуациях, и, видимо, их общая мате-
матическая природа не была замечена древнегреческими учеными.
Прямоугольные координаты
В VII главе трактата Герои описывает способ определения расс-
тояния и направления между двумя удаленными и невидимыми
друг из друга точками. Он предлагает выбрать два перпендикуляр-
ных направления и, двигаясь небольшими «шагами» по лома-
ной—то параллельно одной оси, то другой,— пройти из одной точки
в другую. Затем, измерив сумму расстояний по обеим осям и учиты-
вая знаки этих расстояний (не всегда перемещения вдоль одной из
осей сонаправлены; в построенном Героном примере вдоль одной из
осей дважды появляются отрицательные, то есть вычитаемые пере-
мещения), определяется направление (отношение катетов прямоу-
гольного треугольника, гипотенуза которого нас интересует) и расс-
тояние между данными точками. То есть, как говорит Герои, иско-
мая прямая дана (известна) «по величине и по положению».
Подобным же образом в XV главе Герои предлагает опреде-
лять направление копания прямого (горизонтального) туннеля
сквозь гору. Определив в начале и в конце туннеля направление
копания, Герои говорит: «Если поведем так туннель, то рабочие
встретятся друг с другом». Б.Л,Ван дер Варден полагает, что
именно таким образом был спроектирован и построен около 530 г.
до н.э. горизонтальный туннель Евпалина длиной около 1 км для
водопровода на острове Самос, который имел ряд вертикальных
шахт от туннеля до поверхности почвы [10]. (В главе XVI Герои
дает аналогичный способ для определения точек на поверхности,
из которых можно пробить шахту— например, для удаления грун-
та, — к прямолинейному туннелю. А в главе XX он указывает спо-
собы определения таких точек для рытья шахт и в случае непрямо-
го туннеля, о чем будет сказано ниже.)
338
Математика античности и
срсдних_веко„
Итак, фактически в этих двух главах Герон определяет Коо
динаты одной точки в ортогональной системе координат с началом
в другой точке.
Замечу, что еще Менехм (IV в. до н.з.) использовал аналог
прямоугольных координат при исследовании конических сечений
Он впервые охарактеризовал эллипс, гиперболу и параболу соот-
ношениями между отрезками, играющими роль наших прямоуголь-
ных координат:
2 2
У = Р У = Р
х(2р - х) а' х(2р + .г) а
у1 - 2рх (см. [И]).
Но именно у Герона мы встречаем систематическое использо-
вание перпендикулярных прямых в самых различных задачах,
например, при измерении площадей, измерении расстояний и пр.
Для измерения площади фигуры на местности Герон в XXIII
главе предлагает вписать в нее по возможности наибольший прямоу-
гольник (площадь которого легко вычисляется), и оставшееся прос-
транство фигуры разбить параллельными сторонам прямоугольника
прямыми на криволинейные трапеции, близкие к прямолинейным
(площади которых можно вычислить приближенно как площади
прямолинейных трапеций). Если какая-либо из криволинейных тра-
пеций сильно отличается от прямолинейной, с ней предлагается пов-
торить ту же процедуру, что и со всей фигурой. То есть площадь
фигуры приближенно равна сумме площадей одного или несколь-
ких прямоугольников и сумме приближенно вычисленных площадей
криволинейных трапеций и треугольников (рис.З).
Вообще Герон неоднократно предлагает заменять кривую
«близкой» к ней прямой. Так, в главе XXVI плоская фигура рас-
секается лучами, исходящими из одной точки и ее площадь равна
сумме площадей получающихся криволинейных треугольников,
что приблизительно равно сумме площадей близких к ним прямо-
линейных треугольников (рис.4).
В главе XXIII Герон
предлагает вычислять пло-
щадь фигуры, разбив ее
только на криволинейные
трапеции с помощью одной
прямой, пересекающей фигу-
ру по самому широкому мес-
ту и нескольких перпендику-
лярных к ней прямых, рас-
положенных на различных
(в зависимости от кривизны
границы фигуры) расстояни-
ях (рис.5).
Рис.З
д Зверкина
339
Такой подход совпадает
с современным методом тра-
пеций для приближенного
интегрирования (нахождения
площади криволинейной тра-
пеции); Герон здесь опять
использует прямоугольную
сетку, наложенную на криво-
линейную фигуру. Предло-
женный Героном метод отли-
чен от применявшегося Архи-
медом в теоретических иссле-
дованиях метода оценки пло-
щадей, эквивалентного совре-
менному методу верхних и
нижних интегральных сумм
[11]. Сам Герон считает ме-
тод трапеций предпочтитель-
ным в практических измере-
ниях на местности, т.к. ис-
пользуя такую схему измере-
ний можно затем без боль-
ших дополнительных усилий
разделить измеренную фигу-
ру параллельными прямыми
на нужное число равных час-
тей, составив эти части из
трапеций или их частей, от-
сеченных параллельными основаниям прямыми.
Вообще, применение прямых углов в измерениях и построени-
ях фигур на местности Герон использует достаточно часто.
Так, при измерении расстояний, высоты или глубины, при оп-
ределении основания опущенного из удаленной точки на опреде-
ленную плоскость Герон систематически использует в построениях
и расчетах прямоугольные треугольники; он обстоятельно излагает
нужные для этого методы построения перпендикуляров к данным
прямым и (горизонтальным) плоскостям.
Для переноса на местность фигуры с известным абрисом (гла-
ва XXV) он также использует разбиение этой фигуры перпендику-
лярными линиями и последующие построения с помощью прямоу-
гольных треугольников.
Итак, мы видим, что использование Героном ортогональной
сетки (системы координат) не было случайным, и, видимо, он
понимал перспективность такого подхода в геометрических пос-
троениях и измерениях. Более того, он предлагал использовать
для изучения движения ортогональный базис, по которому это
340
Математика античности и cdcthuv
----------------—-------1-4Ц21;_всков
движение раскладывалось. Однако математика I в. нашей эры ец,е
не была готова к восприятию координатного представления Плос
кого пространства (и, по-видимому, в нем не нуждалась). Поэтому
нельзя говорить об изобретении (или изложении) Героном орто
гональной системы координат —придуманная как оригинальный
прием для решения нескольких конкретных задач, она не получи-
ла своего дальнейшего развития. Хотя, повторюсь, оба примера
ортогональных систем (декартовы координаты и ортогональный
базис) встречаются в трудах одного человека, который, видимо
подозревал перспективность такого подхода, но не смог его надле-
жащим образом оформить.
Проектирование
Для переноса кривых на поверхность земли Герои использовал
не только координатный (основанный на прямоугольной сетке)
подход, но и проектирование. Он предлагал разместить на гори-
зонтальном диске диоптры контур переносимой на поверхность
земли фигуры (в главе XVIII —вертикальный, а в главе XVII го-
ризонтальный сегмент круга или другую фигуру). Затем он распо-
ложил глаз в такой точке, чтобы «луч зрения» (проектирующая
прямая) проходил через концы этой фигуры, и отмечал на поверх-
ности земли точки, куда падал «луч зрения». Смотря через раз-
личные точки проектируемого контура, он отмечал на поверхности
земли (предварительно подготовленной) те точки, куда упал луч
зрения. Таким образом Герои предлагал размечать по сегменту
круга или любой другой кривой контур гавани или округлять (вы-
равнивать) почву по данному (в главе XVIII —сферическому, а в
главе XIX —плоскому наклонному) рельефу.
Рис 6
г А Зверкина
341
В главе XXXIII Герон показывает преимущество диоптры в за-
дачах по выравниванию рельефа почвы по сравнению с другим
землеустроительным инструментом—«звездочкой», представляв-
шей собой крест с подвешенными на его концах отвесами (рис.6).
Называемый Героном «звездочкой» инструмент активно ис
пользовался землемерами Древнего Рима и назывался «грома»
[12]. Использование этого гораздо более простого в конструирова-
нии и применении, чем диоптра, инструмента, видимо, было оп-
равдано при грубых разметках на местности прямоугольных фи
гур, однако являлось шагом назад в геодезии.
Более интересен прием проектирования прямой на плоской го-
ризонтальной поверхности земли на вертикальную прямую, изло-
женный Героном в XXI главе. Этот прием возник из необходимос-
ти разметки и измерения на горизонтальной поверхности достаточ-
но большого расстояния от фиксированной точки, в которой нахо-
дится вертикальная линейка. По-видимому, описанный ниже при-
ем применялся в тех случаях, когда расстояние невозможно или
сложно было измерить мерной лентой.
Для разметки на местности точек на данном расстоянии от ли-
нейки Герон предлагает следующим образом отградуировать эту
линейку. Разместив диоптру на фиксированном расстоянии от вер-
тикальной линейки, с помощью визирной линейки диоптры на
Рис.7
342
Математика античности и
^Рсдиих-век,*
вертикальной линейке отмечается проекция у произвольной точки
х, лежащей на прямой, проходящей через основания диоптры и
линейки. При этом на вертикальной линейке рядом с проекциями
точек этой прямой отмечаются расстояния от диоптры до проеци-
руемой точки (рис.7). Отградуированная таким образом линейка
позволяет отложить от диоптры любое, достаточно большое, расс-
тояние, проведя обратное проектирование—точки на линейке с от-
меченным на ней нужным нам расстоянием через визирную линей-
ку диоптры на плоскую поверхность земли. Наибольшее расстоя-
ние в приведенном Героном примере —500 локтей.
Устанавливается взаимно-однозначное соответствие между
каждой точкой полупрямой |Л,+со) {на рисунке |Д,В)) и полуин-
тервалом [C,D).
Как уже было сказано выше, подобное же взаимно однознач-
ное соответствие устанавливается Героном и для контура фигуры,
закрепленной на диске диоптры, и ее проекции на почву.
Триангуляция
В XX главе Герон указывает способ отыскания таких точек на
поверхности, через которые можно прорыть вертикальные шахты в
непрямой подземный ход.
Полагая, что две таких шахты на небольшом расстоянии друг
от друга уже имеются, Герон отмечает в подземном ходе и на по-
верхности расположенные точно друг над другом отрезки горизон-
тальных прямых с помощью опущенных в эти шахты отвесов. За-
тем, используя нерастяжимую и несжимаемую мерную ленту, он
строит в подземном ходу последовательность горизонтально распо-
ложенных треугольников, причем одной из сторон первого треу-
гольника является отмеченный отрезок, для которого уже построен
равный отрезок вертикально над ним на поверхности почвы. Для
каждого из построенных в подземном ходу треугольников Герон
предлагает строить на поверхности равный и расположенный вер-
тикально над ним треугольник. Поскольку из вершин расположен-
ных на поверхности земли треугольников можно прорыть в под-
земный ход вертикальную шахту, Герон предлагает строить в под-
земном ходу и на поверхности треугольники до тех пор, пока не
дойдет до того места, где надо пробить шахту. Из вершины пос-
леднего треугольника на поверхности и будет прорыта вертикаль-
ная шахта в подземный ход.
Мы видим, что Герон применяет триангуляцию в подземном
ходе и на поверхности почвы для разметки вертикально друг над
другом расположенных точек.
Измерение больших расстояний с помощью астрономии
Для измерения больших расстояний между географическими
местами, разделенными островами, морями и другими «недоступ-
ными местами», в XXXV главе Герон предлагает использовать
Г А-Звсркина 343
астрономические наблюдения. Он приводит пример измерения
пути между Александрией и Римом по прямой или по окружности
большого круга на земле, предполагая, что периметр земли равен
252000 стадий, как показал произведший наиболее точные из всех
исследований Эратосфен в книге, озаглавленной «Об измерении
земли». Герои использует наблюдение лунного затмения, произо-
шедшее в Александрии в 5 часу ночи, а в Риме —в 3 часу той же
ночи (по местному времени; часы ночи отсчитывались от времени
заката солнца). После вычислений Герои делает вывод, что градус-
ное расстояние между Римом и Александрией —20°, а полагая в
252000
каждом градусе 700 = — -- стадий, искомое расстояние равно
ЗоО
1400 стадий.
Эти рассуждения Герона приводят к следующим соображени-
ям о возникновении в Древней Греции астрономии, изучающей
движение небесных тел, что затем привело к возникновению сфе-
рической геометрии и тригонометрии. Действительно, почему в Ва-
вилоне и Египте, имевших огромное количество зафиксированных
астрономических наблюдений, не возникло астрономии как науки,
дающей реальное представление о движении солнца и планет как
небесных тел и объясняющей небесные феномены?
Дело в том, что и в Вавилоне, и в Египте наблюдения за не-
бесными явлениями производились из местности, не имевшей зна-
чительной протяженности по широте земного шара; все точки наб-
людений находились рядом с одним и тем же меридианом. Поэто-
му не возникало разногласий в оценке наблюдений из разных наб-
людательных пунктов.
Греческая же цивилизация, протянувшаяся по широте от Нила
до Кавказа и далее, имела большое количество наблюдений одних
и тех же небесных явлений, случавшихся в разных (на значитель-
ном по широте расстоянии) местах в разное (местное) время. Это
привело к идее о вращении Земли и, как следствие, к развитию
сферической геометрии и тригонометрии.
Вспомогательные математические утверждения
В главах XXVIII-XXX даются с доказательствами упоминав-
шиеся ранее математические предложения:
— способ отделения от данной трапеции с помощью прямой,
параллельной основаниям, трапеции данной площади. Этот метод
используется при разбиении фигуры на равные по площади части
параллельными прямыми в главе XXIV. Действительно, после из-
мерения площади по методу трапеций (рис.4) на земле осталась
произведенная при измерениях разметка. Теперь, соединяя имею-
щиеся на поверхности трапеции или их части, отделенные парал-
лельными основаниям линиями, можно разбить эту площадь на
любое заданное число равных частей.
344
Математика античности
- средних векп„
— способ отделения от данного треугольника прямой, прохо-
дящей через данную вершину треугольника, треугольника данной
площади. Этот метод также используется при делении плоской фи.
гуры на несколько равных долей исходящими из одной точки лу-
чами в главе XXVI. Измерив площадь на земле по схеме рис.5
можно, соединяя уже размеченные на поверхности треугольники
или их части, отделенные исходящими из точки О прямыми лини-
ями, можно разбить эту площадь на любое заданное число равных
частей, имеющих одну общую точку (такое разбиение сельскохо-
зяйственной земли необходимо, когда в этой точке находится ис-
точник воды).
формула Герона вычисления площади треугольника по его
сторонам (используется при вычислении площади фигуры, разби-
той на треугольники, в главе XXVII). Доказательство повторяет
приведенное Героном в «Метрике» [13].
Механические приспособления
В трех главах трактата (XXXIV, XXXVI и XXXVII) приведе-
ны описания трех механических приспособлений: одометра (изме-
рителя пройденного повозкой расстояния), механизма для подня-
тия тяжестей и весьма спорного приспособления для измерения
пройденного кораблем пути.
Описанный в главе XXXIV одометр представляет собой зак-
репленный на повозке ящик, имеющий внутри насаженный на ось
диск с восемью стержнями. За эти стержни при каждом обороте
колеса повозки цепляется скрепленный с ним штифт и поворачива-
ет диск на - оборота (колесо повозки имеет вымеренную длину
о
обода у Герона это 10 локтей). На ось диска насажен червяк,
сцепленный с зубчатым колесом; последнее поворачивается на
один зубец при каждом полном обороте диска. В свою очередь на
оси этого зубчатого колеса также насажен червяк, сцепленный со
вторым зубчатым колесом, и так несколько раз. К каждой из осей
на внешней стороне ящика прикреплен указатель, размеченный по
числу зубцов соответствующего зубчатого колеса, и показываю-
щий, на сколько зубцов повернулось соответствующее зубчатое ко-
лесо; полному обороту каждого зубчатого колеса соответствует лег-
ко вычисляемый пройденный повозкой путь. Поделив этот путь на
число зубцов соответствующего колеса, на каждом указателе над-
писывается пройденный за поворот на один зубец путь. По состоя-
нию всех указателей несложно вычислить весь пройденный повоз-
кой путь.
Подобным же приспособлением Герон предлагает в главе
XXXVII измерять путь, пройденный кораблем; здесь зубчатые ко-
леса приводятся в движения колесом с лопастями, опущенными в
воду. При том, что в XXXI главе при обсуждении способа
р д.Зверкипа 345
измерения мощности водного источника Герои не забывает упомя-
нуть о необходимости учитывать скорость истечения из него воды
(зависящую от метеорологических условий), здесь никак не упоми-
нается ни влияние ветра, ни влияние течения на пройденный ко-
раблем путь. Описание прибора для измерения пути корабля нахо-
дится в самом конце трактата «О диоптре», имеет лакуны и, види-
мо, не полно. Сложно предположить эффективное использование
этого прибора в практике водных передвижений.
Еще одно механическое устройство, описанное в XXXVI главе,
никак не связано с темой трактата и предназначено для подъема
данного груза данной потенцией (силой). Это приспособление сос-
тоит из нескольких последовательных зубчатых передач, подобран-
ных так, чтобы суммарное передаточное число было таким же, как
отношение веса груза к имеющейся потенции (силе человека). Для
того, чтобы преодолеть сопротивление силы трения, возникающее
от погрешностей в соединении зубчатых колес, Герои предлагает
первое из колес (к которому прикладывают силу) вращать с по-
мощью червяка, насаженного на вращаемую человеком ручку (это
сразу во много раз увеличивает передаточное число механизма).
Измерение мощности водного источника
Изложенный в главе XXXI способ измерения величины исте-
чения воды использует диоптру только для устройства необходи-
мого для этого стока воды. Мощность источника предлагается из-
мерять, фиксируя площадь вертикального сечения потока воды в
прямоугольном лотке; в этом случае Герои указывает на необходи-
мость учета и скорости истечения вод, зависящей от внешних усло-
вий. Поэтому более предпочтительным Герои считает измерение
количества воды, вытекшей из источника в подготовленную ем-
кость за определенный промежуток времени.
Заключение
Итак, мы видим в трактате Герона Александрийского ряд не-
востребованных теоретической античной математикой его времени
идей и методов: зачатки понятия отрицательного числа, идеи пря-
моугольной системы координат и использование в построениях ор-
тогональной сетки, направленные отрезки и проектирование.
То, что эти идеи не были востребованы современной Герону
теоретической математикой, может иметь следующие причины:
Во-первых, по уровню развития математика, с одной стороны,
еще не была готова к восприятию и развитию этих идей, а, с дру-
гой стороны, в них не нуждалась.
Во-вторых, разделение математики на «чистую» и «приклад-
ную» (здесь мы позволим себе для краткости воспользоваться сов-
ременными терминами) было в то время весьма сильно. Несмотря
на то, что многие идеи и методы античной математики возникали в
процессе решения практических задач, прикладные методы антич-
ными учеными не связывались с «теоретической математикой».
34G Математика античности и средних всков
Теоретическую математику они старались строить в отрыве от
практических приложений и поэтому часто не замечали новых
идей и методов, возникавших при решении прикладных задач.
Автор выражает глубокую признательность профессору
И.Г.Башмаковой за ценные замечания в ходе подготовки статьи к
печати.
Список литературы
1. Герон Александрийский. О диоптре , Перов. Н.Н.Веселовского. Рукопись. Тетра-
ди 1 —2. Архив ИНЕТ РАН. Фонд И.Н.Веселовского.
2. Бородин А.И., Бугай А. С. Биографический словарь деятелей в области математи-
ки. Киев, 1979
3. Зверкина Г.А. Метод простой итерации: от Вавилона до Ньютона Историко-ма-
тематические исследования. Вторая серия. М.. 1999. Вып. 3(38). С.270 —315.
4. Диофант. Арифметика и Книга о многоугольных числах Пер. с дреннсгрсч.
Н.Н.Веселовского. Ред. и коммент. И.Г.Башмаковой. М., 1974.
5. Пачоли Л. Трактат о счетах и записях. М., 1974.
G. Les donnees d’Euclide // Les oeuvres d'Euclide / Trad. F.Peyard. Pans, 1966.
P.519-603.
7. Aristotle. Mechanical Problems / Aristotle in twenty-three volumes. Cambridge-
London, 1980. Vol.XIV. P.329-411.
8. Rozenfeld A. Prodi Diadohi Lycii Institute physica. Leipzig, 1912
9. Герон Александрийский. Механика Псрсв. М. М. Рожанской. Рукопись Личный
архив М.М. Рожанской.
10. Ван дер Варден Б.Л. Пробуждающаяся наука. М., 1959.
И. История математики с древнейших времен до начала XIX столетия Под ред.
А.П.Юшкевича. М., 1970 Т.1.
12. Даннеман Ф. История естествознания. М., 1932. Т.1.
13. Heronis Alexandrini. Opera quae supersunt omnia. Lipsiae, 1976. Vol III.
g К-Жаров 347
О «ВВЕДЕНИИ» К ТРАКТАТУ
ЧЖУ ШИЦЗЕ «СУАНЬ СЮЕ ЦИ МЭН»
В. К. Жаров
Статья посвящена четырем фрагментам «Введения» к первому
трактату Чжу Шицзе «Суань сюе ци мэн» (1299) [1].
Прежде всего, отметим, что предлагаемый нами перевод назва-
ния трактата отличен от перевода И.Миками «Введение в матема-
тику» [2], но ближе к переводу Лам Лай Йонг «Введение в изуче
ние математики» [3]’.
В оригинале «Введение» занимает всего несколько страниц [1,
с.1127— 1129]. Оно содержит необходимый автору трактата спра-
вочный материал2. Вся оригинальная справочная информация
трактата в переводе может быть оформлена таблицами, исключе-
ния составляют: цзюе5, мин цзун хэн*, мин и мин5 и мин чжэн фу
шуЬ, мин чен чу дуанъ1, мин кай фан фа%.
Заметим, что расположение информации, ее последователь-
ность не случайны. «Введение» к этому трактату образует целое с
аналогичным разделом второй книги Чжу Шицзе «Сы юань юй
цзин» [4].
Нас во «Введении» к трактату интересуют четыре фрагмента:
«Классификация больших чисел», «Классификация малых чисел»,
«Пояснение к технике [представления] отрицательных [и] положи-
тельных [величин]» и «Пояснение к правилу кай фан».
Первые два фрагмента классификаций9 интересны тем, что:
1) в них дана симметричная классификация дробных и целых чи-
сел от 10’28 до 10’28; 2) анализ наименований разрядных групп по
108 приводит к следующим соображениям: а) китайская математи-
ка испытала влияние со стороны арабской и индийской математики
(косвенное подтверждение этой мысли мы находим, например, в
разделе «Классификация больших чисел»— э сэн чжи, возможно, э
фен ди (арабский эквивалент), или следующее за ним на ю та
(слово индийского происхождения); б) об отсутствии у китайских
средневековых ученых психологических неудобств при оперирова-
нии числами порядка 1098 {хэн хэ ша-бесчисленный ), 10,2° {бу
кэ сы и —не подлежащих обсуждению).
Располагаются эти информационные фрагменты в тексте «Вве-
дения» после правила записи чисел (палочками—коу цзюе цзун
хэн) и перед метрологическими таблицами, что показывает вполне
сформированное отношение китайских ученых к числам как к объ-
ектам, обладающими высокой степенью абстракции. Идеографи-
ческое письмо и числовая система, ориентированная для работы на
счетном поле (вычислительном поле) создали предпосылки к раз-
витию понятия числа в традиционной китайской математике на ос-
нове индуктивного стиля мышления.
348 Математика античности и средних веков
Как видно из первых двух фрагментов большие и малые Чиста
(см. ниже) можно представить так:
10’28, 108, ..., 10, 10°, 10-8,10’28, ...
Поместим между числами 10° и 10’1 коронку для обозначения
мест на плоскости шан, ши, фан, ..., фа, юй, тогда возникнет
счетная плоскость:
...10128 ... 108... 10 10°
101... 10'8... кг128
I
шан
ши
фан
юй
многоточие после минимального и
В нашей интерпретации
максимального чисел, безусловно, относятся к известным расшире-
ниям ряда больших чисел о которых говорилось, например, в [5].
Предварительным выводом из этой части статьи может быть
утверждение Ли Яня о «равноправности» целых и дробных чисел.
Приведем перевод двух вышеупомянутых фрагментов.
«...Класс больших чисел
(Вкратце: большие числа не являются естественными [обычны-
ми числами], ими нельзя [выразить] поверхность, покрывающую
Землю, нельзя эти числа все записать в книгах. По этим причинам
говорят о больших числах.
Прежде, введем названия [чисел этого разряда]: один и, де-
сять и, сто и, тысяча и, ванъ [десять тысяч] и, десять ваней и, сто
ваней и, тысяча ваней и, вань ваней и [тогда] говорят о чжао. Эта
[классификация] без затруднений распространяется на дальнейшее
[рассмотрение чисел].)11
Один, десять, сто, тысяча, вань, десять вань, сто вань, тысяча
вань, вань ваней. Говорят о ванъ ванях, как об и, а о вань ваней
и, как о чжао. о вань ванях чжао говорят как о цзин, а о вань ва-
нях цзин — как о гай, о вань ванях цзы говорят как о чжан, о вань
ванях чжан говорят как о гоу, ванъ ваней гоу говорят как о цзянь.
ванъ ваней цзянь говорят как о чжэн, ванъ ваней чжэн говорят как
о цзай. вань ваней цзай говорят как о цзи. о ванъ ваней цзи гово-
рят как о хэн хэ ша, о ванъ ваней хэн хэ ша говорят как о э сэн
чжи, о вань ваней э сэн чжи говорят как о на ю та, о ванъ ваней
на ю та говорят как о не подлежащих обсуждению, а ванъ ваней
не подлежащих обсуждению — не измеримые числа (неисчисли-
мые). >>
«Класс малых чисел
(Вкратце, эти числа: все не рассматриваются, все не сравнива-
ются по форме, по облику, числа неисчерпаемы. По этим причи-
нам говорят о малых числах.)
В К Жаров 349
Одна дробь (фэнь) [состоит из]: ли, хао, сы, хоу, вэй, сянь,
та, вань ваней чэнь говорят [об одном] ша, ванъ ваней ай говорят
[об одном] чэнь, ванъ ваней мяо говорят [об одном] ай, вань ваней
мо говорят о мяо, вань ваней мо ху говорят о мо, ванъ ваней цю-
ань сюй говорят о мо ху, вань ваней сюй юй говорят о цюлнь сюй,
вань ваней шунъ си говорят о сюй юй, ванъ ваней дань чжи гово-
рят о шунъ си, ванъ ваней ванъ ган говорят о дань чжи, ванъ ваней
лю дэ говорят о ванъ ган, ванъ ваней сюй говорят о лю дэ, ванъ ва-
ней кун говорят о сюй, ванъ ваней цин говорят о кун, ванъ ваней
цзин говорят о цин. Говорят [также о]: 1000 ваней цзин, 100 ваней
цзин, 10 ваней цзин, одном ванъ [10 000] цзин, 1000 цзин, 100
цзин, 10 цзин, 10 цзин, 1 цзин.»ХА
Переходя к третьему фрагменту «Введения» «Пояснение к
технике [представления] отрицательных [и] положительных [ве-
личин]», необходимо отметить следующих два обстоятельства:
1) Чжу Шицзе изменил это правило по сравнению с классическим
из «Девяти книг по математике», введя глаголы-связки: 2) он ут-
верждает в своем комментарии, что изначально в тексте должны
быть иероглифы жэнъ, а не жу, как можно встретить в последую-
щих изданиях и комментариях «Девяти книг по математике».14
«...Пояснение к технике [представления] отрицательных [и]
положительных [величин].1^
Единые (одинаковые по знаку [числа]) имена взаимно вычи-
тай, поэтому с различными именами взаимно складывай;
Положительное [число], не имеющееся у человека отрицатель-
но, отрицательное не имеющееся у человека положительно;
[Числа с] различными именами вычитай, поэтому складывай
[прибавляй] с одинаковыми именами;
Положительное [число], не имеющееся у человека положи-
тельно, а отрицательное [число] нс имеющееся у человека отрица-
тельно.16
(Содержится [это правило] в “Девяти книгах..." и говорится в
нем о двух вычислениях: взаимному возвращению, получению уте-
рянного. Имена их [вычислений] положительные и отрицательные
[числа]. Положительные [числа цветом] красные, отрицательные
[числа цветом] черные. Не по правилам —это и не все люди будут
отличать положительные и отрицательные [числа], [поэтому] бу-
дут не верные [вычисления], вычтешь не то, что получил, поэтому
удобно рассчитывать, уничтожая [числа] в установленных местах
[для вычислений], а также работать с жэнъ, но не с жу.)»
«...Пояснение к правилу кай фан.
Установи цзи17 будет ши.
Перейди к фан, лян, юй, одинаковые [по имени], объединяй,
различные [по имени] вычитай, это [и есть] кай.»18
350 Математика античности и средних
Таким образом, в рассмотренных четырех фрагментах «Введе-
ния» наблюдаются переходы от фундамента китайской математи-
ки—счетного инструмента —к абстрактному числу (первый и вто-
рой фрагмент); от логического представления рассуждения в при-
менении к жизненной ситуации получения возврата долга к оформ-
лению и видоизменению классических правил автором трактата в
которых видна необходимость создания единой математической
системы; вершиной лаконичного изложения, может быть, форма-
лизации (в рамках китайской математики) явился четвертый фраг-
мент текста.
Примечания
1 Об этом трактате можно найти упоминание во многих книгах по истории математики
Несколько страниц ему посвятил И.Миками [2]. Он же первый перевел название
книги как «Введение в математику».
Мой же, предварительный, перевод названия книги «Разъяснение темных мест в ма-
тематике», по мнению китайских ученых не точный, поскольку, как они утвержда-
ют. в средневековом китайском языке уже укрепилась традиция записи слов, состо-
ящих из двух иероглифов. Поэтому сочетание иероглифов «ни мэп» следует перево-
дить па русский язык вместе, как одно понятие, а именно, либо как элементарное
обучение, азбука, либо—просвещение (см. Ошанин И.М. Китайско-русский сло-
варь. М., 1952 г )
Принимая отчасти доводы китайских коллег, все же считаю, что название «Введе-
ние в математику» отстоит от замысла автора этой книги еще лалыне. Возможно.
«Элементарное обучение математике» или «Азбука математики» менее удовлетво-
рительны, чем мой первый перевод названия. По мнению китайского историка
математики Яо Фан название лучше было бы перевести па русский язык как
«Математическое просвещение», пожалуй, более точным является название «Эле-
ментарное обучение математике или математическое просвещение».
Перевод же названия И.Миками песет оттенок академичности двадцатого века. Оно
не говорит читателю, что па самом деле эта книга —сборник методических рекомен-
даций для желающих обучиться математике или изучать математику, является спра-
вочником по истории развития китайской математики, что в нем находится богатый
справочный материал но алгоритмам решения задач. Текст снабжен многими автор-
скими комментариями, это придает ему cine больший просветительский характер, и,
наконец, вместе с этим, обладает оригинальными обобщениями автора, отличающи-
ми это пособие от всех трудов по традиционной китайской математике вплоть до
конца тринадцатого века.
2 Однако для решения задач иногда приходится пользоваться дополнительной инфор-
мацией, которая, как правило, имеется в комментариях. Иногда же требуются и до-
полнительные усилия в поиске недостающей информации в других источниках.
Следует отметить устное замечание, которое сделал китайский историк математики
Го Шучупь относительно появления раздела «Введение» в китайской математиче-
ской литературе. Он обратил внимание па то, что с появлением этой книги в матема-
тическую китайскую средневековую литературу вошла традиция написания сира
вочпого материала, предваряющего основной текст трактата.
1 В трактате записано цзюе. по попятно, что имеется ввиду именно коу цзюе. Коу
цзюе — рифмованный текст (песня, стихотворное полотно) математического прави-
ла удобного для запоминания.
1 Мин цзунхэн —рифмованное правило написания (изображения) чисел палочками.
5 Мин и чин —пояснение названий основных дробей.
6 Мин чжэн фу шу —пояснение к технике (способу представления) отрицательных и
положительных величин; другими словами —соотношение между отрицательными
и положительными числами
В к Жарой
351
' Мин чен чу дуанъ пояснение к умножению и делению отрезков. На самом деле не-
обходимо отмстить, что с работами Ли Е счетное слово дуанъ претерпело значитель-
ные смысловые изменения
Мии кай фан фа — пояснение к правилу кай фан
S Описаны в статье [3]. К сожалению, в пашем распоряжении этой статьи пет. по кос-
венная информация получена из [5]
|° У Чжу Шинзе фа (делитель, закон) приобретает еще одно значение — фан фа. кото-
рое уточняет смысл коэффициентов фан или лянъ в алгоритме
В круглые скобки мы заключили перевод текста, написанного в трактате малыми
иероглифами. В квадратные скобки—дополнения переводчика
II в данном фрагменте —число, равное 10й, поэтому в периоде 10и, 100п. ЮООп.
ЮОООн, ЮОООООп, ЮООООООп. ЮОООООООн = чжао (см. табл.1).
Перевод этой части текста можно представить таблицей 1:
12
1 Один
10 Десять
100 Сто
I 1000 Тысяча
10 000 Десять тысяч = вань
100 000 10 вань
1 000 000 100 вань
. 10 000 000 1000 вань
100 000 000 = ю8 10 000 вань = и
1 10|в Вань ваней и = чжао
; юг-! Вань ваней чжао = цзин
10-’2 Вань ваней цзин = гай
10"' Вань ваней гай = цзы
I018 Вань ваней цзы = чжан
10’6 Вань ваней чжан = гоу
10м Вань ваней гоу = цэянь
10’2 Вань ваней цзяпь = чжэп
108(| Вань ваней чжэп = цзай
1088 Вань ваней цзай = цзи
1096 Вань ваней цзи = хэп хэ ша
10'01 Вань ваней хэп хэ ша = э сэп чжи
Г 10112 г, Вань ваней э сэп чжи = на ю та
10120 Вань ваней па ю та = не подлежащих
исчислению
Ю128 Вань вайей не подлежащих исчисле-
пию = неисчислимым числам
18 Перевод этой части текста можно представить таблицей 2:
1 фэнь 10-1
1 фэнь 10'2 Ли
1 фэнь 10 3 Хао
1 фэнь 10м Сы
1 фэнь 10° Ху
352_______________________ Математика античности и средних веков
— — - _ —. _ .—
1 фэнь 10-6 Вэй
1 фэнь 10"7 Сянь
1 фэнь 10 s Ша
, 1 фэнь 1016 = ЧЭНЬ Вань ваней чэнь = ша
1 фэнь 1024 = ай Вань ваней ай = чэнь
1 фэнь (О-»2 = мяо Вапь ваней мяо = ай
1 фэнь Ю'40 = МО Вапь ваней мо = мяо
1 фэнь 10'1я = мо ху Вапь ваней мо xv = мо
1 фэнь 10''’б = цюапь сюй Вапь ваней цюапь сюй = мо ху
1 фэнь 1О'64 = сюй Вань ваней сюй юй = цюапь сюй
1 фэнь 10'72 = шупь сн Вапь ваней шупь си = сюй юй
1 фэнь Ю«° = дань чжи . ... Вапь ваней дань чжи = шупь си
1 фэнь 10яя = вапь гаи п •• ‘1 Вань ванен вапь ran = лань чжи
1 фэнь 10 «« = лю дэ Вапь ваней лю дэ = вапь гап
1 фэнь 1О104 = сюй Вапь ваней сюй = лю дэ
1 фэнь 10112 = куп 1 фэнь 10 120 = цин 1 фэнь 1012Я = цзин Вапь ваней куп = сюй Вапь ваней цин = куп Вань ваней цзин = цин
14 В личной беседе с автором статьи Го Шучунь говорил о том, что такое изменение
классического текста было введено Ян Хуэсм. В настоящее время многие исследова-
тели считают, что в тексте должен стоять иероглиф жу. [6; 7]. Однако, считая, что
комментарий к правилу принадлежит Чжу Шицзе, мы следуем указанию в нем о
применении иероглифа жэнъ, а нс жу. Таким образом, в дальнейшем считаем прави-
льным написание иероглифа жэнь, хотя для построения модели данного фрагмента
текста этот спор об истинности написания того или иного иероглифа нс является
принципиальным.
|л Или «Понятный способ [представления] положительных [и] отрицательных [чисел]».
Ih Этот фрагмент представим с помощью алгебраической символики.
1 «Единые (одинаковые по знаку [числа]) имена взаимно вычитай, поэтому с раз-
личными именами взаимно складывай»
Это предложение можно записать так. а-Ь = а + (-Ь), где а. b положительные
числа
2 . «Положительное [число], пе имеющееся у человека, отрицательно, отрицатель-
ное, не имеющееся у человека, положительно»
Это предложение можно представить как (а - (-b))((-b) - а), не определяя пока ло-
гического знака между скобками до прочтения всего ко у цзюе. «Нс имеющееся у че
ювека» можно интерпретировать как долг—положительное, с точки зрения полу-
чившего, и отрицательное, с точки зрения отдающего.
3 «[Числа с] различными именами вычитай, поэтому складывай [прибавляй], с
одинаковыми именами».
Иначе а - (-Ь)= а + Ь.
4 . «Положительное [число], пе имеющееся у человека, положительно, отрицатель-
ное. не имеющееся у человека, отрицательно». Иначе a - a = —b - (-t>).
Очевидно, что высказывания 1, 3 и 4 равносильны, а второе—следует из третьего.
Тогда между частями второго высказывания можно поставить знак импликации, а,
следовательно, возникает интерпретация высказывания алгебраической опера-
ции—перепое частей равенства с изменением знака у переносимых элементов.
17 Цзи произведение, совокупность.
18 Это самое короткое пояснение в китайской средневековой математике к метолу каи
фан В этом трактате рассмотрены правила кай пин фан, кай ли фан. В нем показана
Г П.Матвисвская, Г.Э.Юсупова
353
содержательная часть различия этих методов, т.е. не только констатация, что пер-
вым методом получишь корень квадратный из числа, а во втором - кубический ко-
рень из числа, ио обсуждается появление элемента пин и его видоизменения во вто-
ром алгоритме.
Список литературы
1 Чжу Шицзе Суапь сюе ци мэп Собрание математических манускриптов, из-
данных в Академии паук Китая в 5 томах. Пекин, 1993. T.l. С.1119— 1200 (на ки-
тайском языке)
2. Mikami У. The development of mathematics in China and Japan. Leipzig, 1913.
3. Lam Lay Yong. Chu Shih-chieh’s Suan-hsueh ch’i-meng (Introduction to mathema-
tical studies) / Archive for History of Exact Sciences. 1979. Vol.21. №1. P.1 —31.
4. Чжу Шицзе. Сы юань юй цзин , / Собрание математических манускриптов, из-
данных в Академии паук Китая в 5 томах. Пекин, 1993. T.l. С.1201 — 1297.
5. Lam Lay Yong, Апд Tian Se. Fleeting Footsteps. Tracing the concept of arithmetic
and algebra in ancient China. Singapore, 1992.
6. Кун Гопин. Ли E. Чжу Шицзе и математика династий Цзинь и Юань. Хэй Бэй, 1999
(на китайском языке)
7 Систематическая история китайской математики «Чжун го шу сюе ши да си»
Под. ред. У Вэнъцзюня. Пекин, 1998. Вып.б (па китайском языке)
СФЕРИКА В ТРУДАХ УЧЕНЫХ
СРЕДНЕВЕКОВОГО ВОСТОКА
Г.П.Матвиевская, Г.Э.Юсупова
Среди математических наук, получивших развитие на средне-
вековом Востоке, особой популярностью пользовалась сферика —
дисциплина, которая занимала промежуточное место между мате-
матикой и астрономией. По существу это была геометрия на сфере,
разработанная с целью решения астрономических задач.
Сферика возникла в Древней Греции и во времена Евклида
уже получила полное развитие. В сочинениях по сферике исследо-
вались свойства круговых дуг на сфере, то есть рассматривались
вопросы, которые фактически не были затронуты в «Началах» Ев-
клида.
Появление сферики было вызвано потребностями астрономии.
Древние астрономы, изучая звездное небо, исходили из того, что
светила расположены на сфере, в центре которой находится наб-
людатель. Положение светила определяли по отношению к некото-
рому кругу на небесной сфере. Были введены известные сейчас
системы сферических координат: горизонтальная, экваториальная
и две эклиптические.
При решении конкретных астрономических вопросов приходи-
лось производить сложные построения на сфере и решать связан-
ные с ними вычислительные задачи. Для этого был необходим ма-
тематический аппарат, применение которого гарантировало бы
354 Математика античности и средних исков
точные результаты. Первоначально именно сферика давата такой
аппарат, а его разработка постепенно привела к созданию сфери-
ческой тригонометрии [1].
Методы сферики находили применение также в географии, так
как многие астрономические вопросы решаются в зависимости от
географической широты места наблюдения. Сферика была связана
и с теоретической механикой —с задачами построения кинематичес-
кой модели, изображающей мир. Такая модель позволяла наглядно
продемонстрировать и проверить выводы теории. Она лежала,
например, в основе конструкции астрономического инструмента -
армиллярной сферы (или армиллы), широко применявшейся аст-
рономами вплоть до XVIII в.
В то же время в рамках сферики решались и чисто геометри-
ческие вопросы. В частности, как показал И.Н.Веселовский, дан-
ная Евклидом формулировка его знаменитого пятого постулата по-
явилась в результате рассмотрения не только параллельных пря-
мых линий на плоскости, но и круговых параллелей на поверхнос
ти сферы [2].
Наиболее древними из дошедших до нас произведений, кото
рые имеют отношение к сферике, являются сочинения Автолика из
Питаны (ок. 310 г. до н.э.) «О вращающейся сфере» и «О восхо-
дах и заходах» [3-5].
Автолик изучает сферу, равномерно вращающуюся вокруг оси,
и круговые сечения на ее поверхности: большие круги, проходя-
щие через оба полюса, малые круги, полученные при сечении сфе-
ры плоскостями, перпендикулярными оси, и большие круги, про-
веденные наклонно к оси сферы. Движение точек дуг этих кругов
рассматривается по отношению к некоторой фиксированной секу-
щей плоскости, проходящей через центр сферы. Легко увидеть
здесь модель небесной сферы с небесными меридианами, паралле-
лями, экватором, эклиптикой и горизонтом.
Сочинение аналогичного содержания, озаглавленное «Явле-
ния» («Феномены») написал Евклид, младший современник Авто-
лика, прославленный автор «Начал» [6]. Во многом он повторяет
Автолика, но связь сферики с астрономией у него выражена еще
более явственно [7].
Автолик и Евклид следовали какому-то более раннему образ-
цу, так как они привели ряд предложений относительно сферы без
доказательства, по-видимому, считая их известными. Возможно,
что автором такого общепризнанного, позднее утерянного, труда
по сферике был великий математик и астроном древности Евдокс
Книдский (ок. 408 — 355 гг. до н.э.) [8, с.115 —116].
О его содержании сейчас судят по сохранившейся «Сферике»
Теодосия (II в. до н.э.), который, несомненно, в основном повто-
ряет своего предшественника [9; 10]. Теодосий подробно изучает
свойства линий на сфере, которые получаются при ее сечении
Г П Матт <ская, Г.Э.Юсупова 355
различными плоскостями. Следует подчеркнуть, что сферический
треугольник у него еще не фигурирует. Сочинение построено по
образцу «Начал» Евклида и состоит из трех книг.
Первая книга, включающая 23 предложения, начинается с
шести определений. Сфера определяется как «телесная фигура, ог-
раниченная одной поверхностью так, что все прямые линии, пада-
ющие на нее из одной точки, лежащей внутри фигуры, равны меж-
ду собой», то есть аналогично тому, как определен круг в «Нача-
лах» [И, т.1, книга 1, 15-е определение]; интересно отметить, что
сам Евклид в книге XI «Начал» определяет сферу по-иному —как
тело, образованное вращением полукруга вокруг неподвижного ди-
аметра [11, т.Ш, книга XI, 14-е определение]. Далее следуют оп-
ределения центра сферы, ее оси и полюсов. Полюс круга, прове-
денного на сфере, определяется как такая точка на сфере, что все
прямые, проведенные через нее к окружности круга, равны между
собою. Наконец, шестое определение касается кругов на сфере,
равноудаленных от ее центра: согласно Теодосию, зто такие круги,
что перпендикуляры, проведенные из центра сферы к их плоскос-
тям, равны между собой
Предложения книги I достаточно элементарны: доказано, в
частности, что любое сечение сферы плоскостью есть круг, что
прямая, проведенная из центра сферы к центру кругового сечения,
перпендикулярна плоскости этого сечения, что сфера и плоскость
имеют одну точку касания и т.д.
Вторая книга «Сферики» Теодосия начинается определением
двух кругов на сфере, касающихся друг друга, и содержит 23
предложения о свойствах кругов, наклонных друг другу.
Третья книга состоит из 14 предложений, более сложных, чем
предшествующие, и относящихся к системам параллельных и пере-
секающихся кругов на сфере. Здесь выясняется служебная роль
сферики по отношению к астрономии, хотя все теоремы сформули-
рованы и доказаны чисто геометрически.
К греческим трудам о сферике можно также отнести сохранив-
шееся до наших дней небольшое сочинение Гипсикла из Александ-
рии, жившего между 200 и 100 гг. до н.э. [8, с.116; 12, т.1,
с.310 —312], которое озаглавлено «О восхождении созвездий по
эклиптике». В нем мы встречаемся с подразделением окружности
круга на 360 частей, чего не было у Автолика.
Однако наиболее видную роль в истории науки сыграла «Сфе-
рика» Менелая, работавшего в Александрии в I в. н.э. [13; 14]. В
его сочинении впервые был введен сферический треугольник, пос-
ледовательно доказаны основные теоремы сферической тригоно-
метрии и создана теоретическая база для тригонометрических вы-
числений.
«Сферика» Менелая в греческом оригинале не сохранилась и
известна лишь по средневековым арабским переводам [15]. Она
356
Математика античности и средину ..
--------------—----!
состоит из трех книг и построена по образцу «Начал» Евктцда
Вначале даны определения основных понятий, в том числе понятие
сферического треугольника. Значительная часть сочинения посвя-
щена исследованию свойств этой фигуры. При Доказательстве
предложений о свойствах линий и фигур на сфере Менелай опира-
ется на определения и теоремы из «Сферики» Теодосия. В истории
тригонометрии особенно важную роль сыграло 1-е предложение
книги III, известное под названием «теоремы Менелая», «теоремы
о полном четырехстороннике», «правила шести величин», «теоре-
мы о трансверсалях» [1, с.83 —92].
На результатах, полученных Менелаем, базировался Клавдии
Птолемей (II в. н.э.), предложивший в своем «Математическом со-
чинении в тринадцати книгах», известном как «Альмагест» [16],
систему методов для решения задач сферической тригонометрии.
Там же была изложена и греческая «тригонометрия хорд», то есть
основы плоской тригонометрии.
Труд Птолемея, в котором были обобщены все достижения
древних в астрономии, приобрел определяющее значение для раз-
вития этой науки на многие столетия вперед. Вероятно, в III в. он
был назван «великой» (megale) или величайшей (megiste) книгой
по астрономии, откуда в средние века произошло ставшее общеп-
ринятым название «Альмагест» (от «ал-маджисти» —арабизирован-
ной формы «megiste»).
Наряду с ним в эллинистический период большим научным ав-
торитетом пользовались трактаты, объединенные не позднее IV в.
под общим названием «Малая астрономия». Их следовало изучить
после «Начал» Евклида, чтобы быть в состоянии понять «Альма-
гест» [8, с.90, 116—117], и поэтому они назывались «средними
книгами». Среди них главное место занимали сочинения о сферике
Автолика, Евклида, Теодосия, Гипсикла и Менелая.
В следующий период истории физико-математических наук,
связанный с творчеством ученых стран ислама IX —XVI вв.. инте-
рес к сферике не уменьшился. Как известно, особое значение в это
время придавалось астрономии, потребности которой являлись
важнейшим стимулом быстрого развития многих разделов матема-
тики. Поэтому наряду с «Альмагестом» внимательно изучались и
«средние книги» (по арабски «кутуб ал-мутавассита»), в том числе
сочинения о сферике.
Арабский перевод «средних книг» появился в числе первых
переводов трудов классиков греческой науки. Позднее они неод-
нократно комментировались. Среди переводчиков и комментаторов
можно назвать таких выдающихся ученых, как Коста ибн Лука
ал-Баалбаки (IX в.), Абдаллах Мухаммад ибн Иса ал-Махани (IX
в.), Сабит ибн Курра ал-Харрани (X в.), Абу Наср Мансур ибн
Ирак (XI в.), Насир ад-Дин ат-Туси (XIII в.) и др. К греческой
«Малой астрономии» восточные ученые добавили позже некоторые
[ П.Матвиевская, Г.Э Юсупова 357
оригинальные сочинения братьев Бану Муса, Сабита ибн Курры,
ат-Туси.
О внимании к сферике свидетельствует знаменитый историк
Ибн Халдун (1332—1406), который в своей классификации наук
выделил ее в особый раздел геометрии. Он писал, что труды Тео-
досия и Менелая «необходимы тем, кто хочет изучить астроно-
мию», так как знание астрономии «зависит от познания законов,
управляющих поверхностями и сечениями сферических фигур»
[17, т.1, с. 131 ].
Восточные ученые, комментируя сочинения древних, нередко
делали важные дополнения, предлагали собственные доказательст-
ва математических предложений, а иногда вносили в античную тео-
рию существенно новые идеи. В отношении сферики их подход от-
личался в двух основных моментах. Во-первых, сферика рассмат-
ривалась прежде всего как вспомогательная астрономическая дис-
циплина; сохраняя греческую строгость изложения, восточные
комментаторы систематически переводили теоремы сферической ге-
ометрии на язык астрономии и тем самым выявляли прикладной
смысл каждой из них. Во-вторых, они развили основы сферичес-
кой тригонометрии, заложенные в «Сферике» Менелая; в их тру-
дах она оформилась в самостоятельную научную дисциплину и по
существу приобрела современный вид.
Вопрос об арабских комментариях к античным сочинениям о
сферике представляет несомненный истбрико-научный интерес
прежде всего потому, что до сих пор не все сохранившиеся руко-
писи этих комментариев в достаточной мере изучены. Особенно
важным представляется исследование комментариев к сочинениям
Теодосия и Менелая.
«Сферику» Теодосия на арабский язык впервые перевел в IX
в. Коста ибн Лука; его перевод, доведенный до 5-го предложения
11 книги, был завершен Сабитом ибн Куррой. О важном значении,
которое придавалось на Востоке сочинению Теодосия, свидетельст-
вует следующее высказывание известного историка Ибн ал-Кифти
(1172 1227): «Теодосий принадлежал к ученым, а именно к мате-
матикам и измерителям, которые были широко известны греческим
ученым От него происходят очень хорошие труды по математике
и геометрии. Ему принадлежит знаменитое сочинение, которое яв-
ляется самым прекрасным из сочинений, которые изучались между
трудом Евклида и “Альмагестом”, а именно, сочинение о сфере»
[18, с.254].
Существуют многочисленные комментарии к этому, как и к
другим сочинениям Теодосия, составленные восточными учеными
XIII —XV вв., среди которых можно назвать таких крупных мате-
матиков и астрономов, как ат-Туси, Мухи ад-Дин ал-Магриби (ум.
ок. 1285), Мухаммад ибн Ма’руф ибн Ахмад Таки ад-Дин
(1525 1526 — 1585) и др. Комментаторы значительно изменяли
358 Математика античности и средних искО|
первоначальный текст, дополняя его новыми определениями и схо-
лиями. Так как для них трактат был важен прежде всего из-за его
связи с астрономией, теоремы часто формулировались с помощью
астрономической терминологии. Это характерно, например, ДЛя
обработки «Сферики» Теодосия, принадлежавшей представителю
знаменитой Марагинской научной школы XIII в. ал-Магриби. Ее
исследовал и частично перевел на французский язык Б.Карра де
Во [19]. В таком арабизированном виде труд Теодосия после XII
в. стал известен в Европе благодаря переводам на латынь. С под-
линным греческим текстом европейские ученые познакомились
только в XVI в.
Однако не все комментаторы стремились изложить сочинение
Теодосия на языке астрономии. Это доказывает исследованный
нами комментарий (шарх) к «Сферике» Теодосия, принадлежащий
ат-Туси [20]. Исследование велось по рукописи, которая находится
в рукописном отделе Российской национальной библиотеки в Сан-
кт-Петербурге (бывшая Государственная публичная библиотека
им.М.Е.Салтыкова-Щедрина) —в сборнике «средних книг» (собра-
ние Ханыкова, №144, лл.137 об.-159). Была использована также
фотокопия рукописи трактата, которую нам любезно предоставили
французские ученые П.Пинель и А.-К.Таха [21]. Ат-Туси дает чис-
то геометрическую трактовку теорем Теодосия. Первая книга ком-
ментария начинается с восьми определений (сферы, ее центра, оси
сферы, ее полюсов, полюса круга на сфере, равных кругов на сфе-
ре, наклона одной плоскости к другой, равных наклонов). В своем
сочинении ат-Туси, следуя канонам построения евклидовой геомет-
рии, впервые вводит пять постулатов. Приведем их.
I. Любую точку на поверхности сферы можно принять за ее
полюс.
II. Из любой из них можно провести окружность на поверх-
ности сферы любым радиусом [имеется в виду радиус окружности
на секущей сферу плоскости, по которой эта плоскость пересекает-
ся со сферой], меньшим диаметра сферы.
III. Любую дугу можно продолжить до окружности
IV. Окружность не может иметь менее двух полюсов.
V. Если две дуги порознь равны третьей, то они равны между
собой.
Предложениям первой книги предшествует доказательство тео-
ремы, в которой (в современных обозначениях) утверждается:
(АВ > 2AE,GD < 2GR) => (AB.GD > AE:GR).
Затем следуют 22 предложения (теоремы 1, 3—18 и задачи 2,
19 — 22). В версии ал-Магриби первой книги «Сферики» Теодосия,
на которую опирался ат-Туси, содержится 23 предложения. В ней
отсутствует предложение 9 «Сферики» Теодосия, обратное предло-
жению 8, но в конце добавлены предложения 22, 23, принадлеж-
ность которых Теодосию сомнительна [10, с.29 30 по парижскому
рП.Матвисвскзя, Г.Э.Юсупова
359
изданию]. Каждое предложение снабжено доказательством и чер-
тежом. Так как трактат Теодосия, в трактовке ат-Туси, предлагает
геометрическую интерпретацию теорем сферической астрономии,
все стереометрические чертежи выполнены в предположении, что
наблюдатель находится в «центре мира», а не вне его, как это при
нято после Г. Монжа в современной геометрии и астрономии.
Вторая книга начинается с определения кругов, касающихся
друг друга. Формулировка ат-Туси лаконичнее классической, но
столь же безупречна: круги на сфере, касающиеся друг друга, суть
те, которые имеют общую касательную к каждому из кругов (ср. с
формулировкой оригинала [10, с.33 парижского издания]). Из
двадцати трех предложений второй книги двадцать одно — теоремы
о параллельных и наклонных кругах на сфере и лишь четырнадца-
тое и пятнадцатое -задачи на построение больших кругов, касаю-
щихся данных.
Третья книга содержит 14 предложений о системах параллель-
ных и пересекающихся кругов на сфере. Все предложения полнос-
тью соответствуют предложениям третьей книги трактата Теодосия
и версии ал-Магрпби. Имеются лишь небольшие уточнения доказа-
тельств.
Приведем для примера доказательство предложения 8 второй
книги трактата ат-Туси. Это один из немногих результатов, кото-
рые можно очевидным образом сформулировать и доказать на язы-
ке внутренней геометрии сферы, хотя доказательства существова-
ния равных кругов, параллельных данному и касающихся данного
большого круга сферы у Теодосия существенно стереометрические.
Предложение 8. Если на сфере большой круг наклонен к дру-
гому кругу, то есть не проходит через его полюсы, то он касается
двух равных друг другу кругов, параллельных этому кругу.
Пусть ABG — большой [круг] на сфере, наклоненный к кругу
BD, не параллельному кругу ABG, и пусть точка Е- полюс круга
BD. Начертим большой круг, проходящий через точку Е и [один
360 Математика античности и средних веков
- “ •—- ,
из] полюсов круга ABG. Это круг AGH. Проведем круг AZ рассто-
янием АЕ от полюса Е. Круг AZ параллелен кругу BD. не прохо-
дящему через полюс |Е| [ки.П, предложение 2]. И так как круги
ABG и AZ пересекают окружность [большого] круга AGH в точке
Л и он проходит через пх полюсы, то эти круги касаются один
другого [ки.П, предложение 3]. Тогда большой круг ABG будет
также касаться и другого круга, равного и параллельного кругу AZ
[кн.П, предложение 6]. Пусть это круг GH. Тогда круг GH, па-
раллельный кругу AZ, также параллелен кругу BD. Следователь-
но, большой круг ABG, наклоненный к кругу BD, будет касаться
обоих равных кругов AZ и GH и оба они параллельны кругу BD.
И это то, что требовалось доказать.
Наибольшее внимание ученые Ближнего и Среднего Востока
уделяли «Сферике» Менелая. Ибн Халдун рекомендовал читать
ее, как более трудную, после того, как будет усвоен труд Теодосия
[17, т.1, с.131]. "
Впервые «Сферику» Менелая перевел на арабский язык Хад-
жжадж ибн Юсуф ибн Матар — известный переводчик сочинений
древних греков, живший между 786 и 833 гг. Его перевод был об-
работан и исправлен выдающимся математиком ал-Махани (ум.
ок. 880 г.), который однако не закончил свой труд. В конце IX в.
«Сферику» Менелая перевел другой знаменитый переводчик Ис-
хак ибн Хунайн. К тому же времени относился еще один перевод,
который позднее упоминает, не называя имени переводчика, Ахмад
ибн Са’д ал-Харави (X в.) в сочинении, посвященном «Сферике»
Менелая. Ал-Харави пересмотрел и завершил оставшуюся незакон-
ченной обработку ал-Махани [22]. Кроме того, «Сферику» Мене-
лая комментировали такие крупные ученые IX -X вв., как ад-Дп-
мишки и Юханна ибн Юсуф. Наиболее совершенную, по отзывам
современников, обработку «Сферики» Менелая составил выдаю-
щийся хорезмийский астроном и математик ибн Ирак
(ок.960 — ок.1036) [23]. Позднее труд Менелая в числе других
«средних книг» прокомментировал выдающийся астроном, глава
Марагпнской обсерватории ат-Туси (1201 — 1274). Его коммента-
рий пользовался широкой известностью и сохранился в многочис-
ленных рукописях. Существует также обработка «Сферики», вы-
полненная сотрудником Марагинской обсерватории ал-Магриби и
«Примечания» к труду Менелая, составленные ученым XVI XVII
вв. Мухаммад Бакир ал-Иазди.
В Европе труд Менелая стал известен в ХП в. Он был переве-
ден с арабского языка на латынь известным переводчиком Герардо
Кремонским (1114 — 1187), который основывался, по-видимому, на
двух различных арабских версиях «Сферики». Этот перевод сох-
ранился в многочисленных рукописях ХП1 -XVI вв.
В печати латинская «Сферика» Менелая впервые появилась в
1588 г. Она вошла в сборник древнегреческих сочинений о
Г П.Матвиевская, Г.Э.Юсупова
361
сферике, который издал Ф. Мавролико (1494 — 1575). Как оказа-
лось, он, не используя перевода Герардо, сам перевел сочинение с
какой-то арабской версии, причем внес в текст много произволь-
ных изменений и даже включил несколько новых теорем. Текст пе-
ревода Герардо Кремонского, более близкого к оригиналу, был из-
дан в выдержках только в 1644 г. М.Мерсенном (1588—1648)
[24].
В XIII в. был выполнен перевод «Сферики» Менелая на древ-
нееврейский язык —либо с одной из арабских версий, либо с ла-
тинского текста, принадлежащего Герардо. Этим переводом, наря-
ду с арабскими рукописями, пользовался в XVII в. выдающийся
астроном Э.Галлей (1656 — 1742), который подготовил новое ла-
тинское издание «Сферики», вышедшее из печати в 1758 г. [25].
Галлей постарался восстановить рассуждения из утерянного гре-
ческого оригинала и дал разъяснения сформулированных теорем с
помощью новой математической символики.
В дальнейшем попытки реконструировать первоначальный
текст сочинения Менелая по его арабским версиям продолжались.
В 1902 г. А.Бьернбо, автор «Исследований “Сферики” Менелая»
[13], подчеркивал, что только арабские версии позволят составить
правильное представление о месте этого труда в истории геометрии
и тригонометрии. Он настаивал на необходимости выяснить зави-
симость между различными арабскими комментариями и обработ-
ками, имеющими иногда существенные различия. Такую работу
провел М.Краузе и опубликовал ее результаты в 1936 г., в осущес-
твленном им издании арабской версии «Сферики» Менелая, при-
надлежащей ибн Ираку [15]. Он пользовался единственной сохра-
нившейся рукописью, которая находится в библиотеке Лейденско-
го университета. Вместе с арабским текстом сочинения ибн Ирака
Краузе опубликовал его немецкий перевод и дал исчерпывающие
филологические комментарии.
За время, прошедшее после публикации М.Краузе, появилось
немало новых сведений о трудах ибн Ирака, были обнаружены ра-
нее неизвестные рукописи его сочинений о сферике. Поэтому инте-
рес историков математики к его творчеству в этой области не уга-
сает [ 1, с. 106— 111].
В 1983 г. Г.П.Матвиевской и Х.Х.Талашевым был опублико-
ван сокращенный русский перевод комментария ибн Ирака к
«Сферике» Менелая и трех его трактатов о сферике и сферичес-
кой тригонометрии [26]. В 1992 г. Г.Э.Юсупова дала оценку роли
ибн Ирака в истории сферической геометрии, проанализировав с
этой точки зрения его комментарий к «Сферике» Менелая [27].
Заслуживают более пристального внимания впервые привле-
ченные к исследованию комментарии к «Сферике» Менелая, кото-
рые принадлежат ат-Туси и ал-Йазди.
362 Математика античности и средних вс-<ов
О них было опубликовано краткое сообщение в 1995 г. [28]
Оба трактата содержатся в рукописном сборнике «средних книг»
(собр. Ханыкова, №144, лл. 164об — 210об, лл.239 —277об).
К тексту комментария ат-Туси имеется большое количество за-
меток на полях, из них некоторые подписаны ал-Йазди. В резуль-
тате тщательного анализа удалось установить, что все заметки на
полях данного экземпляра трактата ат-Туси входят в текст ал-Йаз-
ди практически без изменений. Основному тексту комментариев
ат-Туси к «Сферике» Менелая предшествует введение, в котором
автор указывает, что он изучил обработки «Сферики» Менелая,
принадлежащие ал-Махани, ал-Харави и др. Все они представля-
ются ему недостаточно полными и не во всем правильными. После
того, как у него появилась возможность познакомиться с сочинени-
ем ибн Ирака «Улучшение “Сферики” Менелая», он, по его сло-
вам, получил подтверждение многих своих догадок. Таким обра-
зом, автор особо выделяет версию ибн Ирака. Во введении ат-Туси
приводит данные о числе книг и предложений в рассмотренных им
версиях, подчеркивая, что независимо от того, состоит ли сочине-
ние из двух или трех книг, количество предложений в нем колеб-
лется от 85 до 91.
Первая книга трактата ат-Туси состоит из восьми определений
и 39 предложений о свойствах сферических треугольников, многие
из которых аналогичны свойствам плоских треугольников (это
суть предложения «абсолютной геометрии» в терминологии
Я.Бойаи). Особо подчеркнем, что в определении 1 сферическую
фигуру, обладающую тремя сторонами, ат-Туси, впервые в исто-
рии сферической геометрии, называет треугольником, придержива-
ясь этой терминологии на протяжении всего трактата. Тем самым,
установленная в сочинении аналогия между плоской и сферичес-
кой геометрией распространяется и на ее терминологию.
Во второй книге (21 предложение) рассматриваются свойства
системы параллельных малых окружностей на поверхности сферы
при пересечении их различными большими окружностями.
В третьей книге (25 предложений), которая является основной
(первая и вторая — подготовительные к ней) изложена сферическая
тригонометрия на языке тригонометрии хорд.
Несмотря на то, что ат-Туси во многом следует ибн Ираку, в
его версии имеется и много существенных отличий и дополнений в
формулировках и доказательствах. Он ставит перед собой задачу
передать текст «Сферики» Менелая, снабдив его критическими за-
мечаниями, исправлениями и дополнениями, содержащими все воз-
можные, по его мнению, частные случаи. К каждому рассмотрен-
ному им частному случаю приводится соответствующий чертеж-
Приведем данную М.Краузе характеристику «Сферики» Менелая
в версии ат-Туси: «Версия ат-Туси может рассматриваться как пер-
вая и единственная критическая версия “Сферики” Менелая у
I' ll Матвисвская, Г.Э.Юсупова
363
исламских математиков. Конечно, он распоряжается текстом Мене-
лая столь же свободно, как и его предшественники. Однако он не
удовлетворяется тем, чтобы просто переписать отдельную рукопись
трактата, снабдив ее своими добавлениями (замечаниями, альтер-
нативными доказательствами и комментариями), но привлекает все
известные ему рукописи (и переводы), также как и более ранние
версии, указывает на их существенные отличия друг от друга и
пытается представить доказательство в таком виде, в каком оно
было у Менелая... Таким образом, в его версии, как ни в одной
другой, отражается все развитие, которое претерпела “Сферика”
Менелая у исламских математиков, включая его самого. С нею это
развитие достигло своего апогея... » [15, с.54].
Второй трактат—«Примечания к “Сферике” Менелая» — напи-
сан малоизвестным математиком и астрономом XVI-XVII вв.
ал-Йазди, работы которого практически не изучались. Известно,
что ал-Йазди жил при шахе Аббасе (1587 — 1628) и шахе Сафи
(1628- 1642)—правителях из династии Сефевидов и что его учите-
лем был известный математик, астроном и философ Баха ад-Дин
ал-Амили (1547—1622). Некоторые работы ал-Йазди посвящены
геометрии. К ним относятся «Примечания к «Изложению книги
“О шаре и цилиндре” Архимеда в обработке ат-Туси», «Коммента-
рии к «Изложению “Сферики” Теодосия»» и «Примечания к
“Сферике” Менелая», несколько сочинений, посвященных коммен-
тариям к «Началам» Евклида, геометрическому трактату ал-Бузд-
жани и др.
Комментарии ал-Йазди к «Сферике» Менелая существенно от-
личаются от подобных сочинений его предшественников. Автор не
приводит определений и, чаще всего, не дает формулировок пред-
ложений. В своем кратком введении ал-Йазди пишет, что его сочи-
нение основано на «Комментариях к “Сферике" Менелая» ат-Ту-
си, поэтому, только имея перед собой этот текст, можно изучать
сочинение ал-Йазди.
Ал-Йазди впервые предлагает классификацию теорем о равен-
стве сферических треугольников и выделяет восемь случаев. После
комментария к последнему предложению о равенстве треугольни-
ков (I книга) он пишет: «Любой треугольник имеет три стороны и
три угла. Если некоторые из них в одном треугольнике равны со-
ответствующим в другом, то остальные элементы будут равны каж-
дый соответствующему. Всего восемь случаев. Первый: две сторо-
ны и угол между ними. Второй: все три стороны. Это доказывает-
ся в четвертом [предложении]. Третий: прямой угол и его дуга и
непрямой угол. Это доказывается в двенадцатом [предложении].
Четвертый: угол и две стороны, окружающие другой [угол]. Это
доказывается в тринадцатом [предложении]. Пятый: два угла и
сторона между ними. Это доказывается в четырнадцатом [предло-
жении]. Шестой: два угла и их дуги с тем условием, что ни одна
364
Математика античности и средних веков
из двух вершин оставшихся углов не является полюсом основания
Это доказывается в шестнадцатом [предложении]. Седьмой: угол ц
его дуга и другой угол с условием, что дуги последних [углов], со-
ответствующие им, вместе не равны полукругу. Это доказывается в
семнадцатом [предложении]. Восьмой: три угла. Это доказывается
в восемнадцатом [предложении].» Заметим, что средневековые ма-
тематики, комментирующие «Сферику» не называют треугольники
равными. Речь идет только о равенстве соответствующих элемен-
тов, что свидетельствует о том, что они понимали разницу между
конгруэнтностью и симметрией на сфере.
Несмотря на то, что замкнутое в себе изложение ал-Йазди зат-
рудняет изучение его сочинения, это своеобразие изложения дает
возможность выделить вклад автора в сферическую геометрию.
Таким образом, можно констатировать, что арабские математи-
ки позднего средневековья продолжали интересоваться «Сфери-
кой» Менелая, творчески развивая сферическую геометрию и до-
полняя ее предложения недостающими частными случаями, упро-
щая и усовершенствуя доказательства.
Список литературы
1 Матвиевская Г.П. Очерки истории тригонометрии. Ташкент, 1990.
2. Веселовский Н.Н. Неевклидова геометрия в древности История и методология
естественных наук. М.. 1971. Вып.И. С.152 —160.
3. Autolyci de sphaera que movetur liber De ortibus et occasibus libn duo Ed
F.Hultsch. Leipzig, 1885.
4. Mogenet J. Autolycos de Pitane; histoire du texte, suivie de Г edition critique des
traites de la Sphere cn Mouvcmcnt et des Levers et Couchcrs. Recueil de travaux
d’histoirc et de philologie. 3-e scr., fasc. 37. Louvain, 1950
5. Huxley G.L Autolycos de Pitane / ' Dictionary of scientific biography Ed
Ch.Gillispie. Vol.l. N.Y., 1970. P.338-339.
6 Euclides. Opera omnia / Ed. J.L.Heiberg et H.Menge. Lipsiae, 1888. Vol.l- V.
7. Aujac G. Euclide ct la spherique: le traite des phenomencs / / Intern. Congress of
math. Sci., 14 —20 July, 1975, Pakistan.
8. Гейберг И.Л. Естествознание и математика в классической древности / Псрев. с
нем. С.П.Кондратьева под ред. и с предисл. А.П.Юшкевича. М.-Л., 1936-
9. Theodosii Sphaerica: methodo novo illustrata, et succencte demonstrata. Londini.
1675.
10. Ver Eecke P. Les Spheriques dcTheodose de Tripoli. Bruges, 1927; 2ded. Paris, 1959.
11. Евклид. Начала / Персв. и коммент. Д.Д.Мордухай-Болтовского при редакн
участии М.Я.Выгодского и И.Н.Веселовского. М.-Л., 1949—1950. T.I —III.
12. Cantor М. Vorlesungen iiber Geschichte der Mathcmatik. 1880. Bd.I; 1892. Bd.H
Tcil 1
13. BjornboA. Studien fiber Menelaus Spharik. Beitragc zur Geschichte dcr Spharik und
Trigonometric der Gricchcn AbhandL zur Gesch. d. math. Wiss. H.XIV Leipz g,
1902.
14. Sarton G. Introduction to the history of science. Baltimore, 1927. Vol.l.
15 Krause M. Die Spharik von Menelaos aus Alexandrien in dcr Vcrbcsscrung von Abu
Nasr Mansur b.AIi b.Iraq mit Untcrsuchungcn zur Geschichte des Tcxtcs bei den
islamischen Mathematikcrn AbhandL d.Gcs. d.Wiss. zu Gottingen, phil.-hist.
KI. F.3. №17. Berlin. 1936.
у МРожаиская
365
16. Птолемей К. Альмагест или Математическое сочинение в тринадцати книгах
Пер. с древнегрсч. 11.Н. Веселовского. Научи, ред. Г.Е.Куртик. М., 1998
17 Ibn Khaldun The muqaddima or Introduction to history Transl F. Rosenthal
London, 1958. Vol. 1-4.
18. Wiedemann E. Einige Biographicn von griechischcn Gelchrtcn nach Qifti
Sitzungsber. d. phys.-mcd.Soz. in Erlangen. 1905. Bd.35.
19. Carra de Vaux B. Notice sur deux manuscrits arabes. 1. Rcmanicmcnt des Sphcriqucs
de Theodose par Jahia ibn Muhammad ibn Abi Schukr Almaghrabi Alandalusi
Journ. asiatique. 1891. 8-e scr. T.17. P.287 —295.
20. Матвиевская Г.П., Юсупова Г.Э. Об арабских обработках «Сферики» Теодосия
/ / Годичная научная конференция. Институт истории естествознания и техники
нм.С.И.Вавилова РАН. М., 1997. 2-я часть. С.39 — 42.
21 Kitab al-qurra li Teodosiis. Ms. 5974. Bibl. Nation. Paris.
22. Матвиевская Г.П. Астроном надежный и достоверный. Обучепом X в. ал-Харави
Историко-астрономические исследования. М., 1992. С.356 -365.
23. Матвиевская Г.П. История сферики в древности и на средневековом Востоке
Математика и астрономия в трудах Иби Сины, его современников и последовате-
лей. Ташкент, 1981. С.95—117.
24. Mersenne М. Univcrsac geometriae mixtaeque mathematicac synopsis. Paris. 1644
25. Menelai sphacricorum. Libri HI. Quos olim. collatis Mss. Hcbracis ct Arabicis Tvpis
exprimendos curavit Vir Cl Ed. Halleius. Oxonii, 1758.
26. Матвиевская Г.П.. Галатее X Сочинения Абу Насра Мансура ибн Ирака о сфе
рике Из истории средневековой восточной математики и астрономии Таш
кепт, 1983 С.82-171
27 Юсупова Г.Э. Сферическая геометрия на средневековом Востоке. Автореф. капд
дисс. (физ.-мат. наук). Ташкент. 1992.
28. Jussupova G. Zwci mittclaltcrliche arabischc Ausgabc der «Sphacrica» des Mcnclaos
von Alexandria Histona mathematica. 1995. Vol.22 P.64-66
ОБ ИСТОЧНИКАХ НЕКОТОРЫХ ПРОБЛЕМ
СРЕДНЕВЕКОВОЙ МАТЕМАТИКИ
М. М. Рожанская
Развитие математики как от древности к средневековью так и
далее, вплоть до нового времени показывает, как постепенно из
частных приемов решения тех или иных задач вырастали общие
методы. Конечной целью в решении стоящей перед математиком
проблемы было создание правила, состоящего из некоторого числа
шагов, которые необходимо проделать, чтобы, отправляясь от за-
данных величин, получить искомую. Иными словами, надо было
сконструировать алгоритм, пользуясь которым, можно было в лю-
бом случае, исходя из заданных величин, получить искомую неза-
висимо от их числовых данных. Один из классических примеров
создания такого алгоритма классификация и методы решения ли-
нейных и квадратных уравнений, т.е. то, что легло в основу «Ал-
гебры» ал-Хорезми.
366
Математика античности и средних веков
Речь в настоящей работе идет о задачах, приводящих к линей-
ным уравнениям с одним неизвестным, и методах их решения, а
также к проблеме представления целого числа с помощью алгебра-
ической суммы степеней целых чисел.
Проблема решения задач, приводящих к линейным уравнени-
ям, стояла уже в древнем Двуречье эпохи Хаммурапи (XVIII в. до
н.э.). Правда, записи, эквивалентные линейным уравнениям и их
системам, встречаются в клинописных текстах достаточно редко. К
линейным уравнениям сводились задачи на наследство, задачи тор-
говой практики и др. Способы их решения были различны, это ис
ключение неизвестных, введение вспомогательных неизвестных, а
для линейного уравнения с одним неизвестным, главным образом
правило «ложного положения» и «ложных положений».
В древнекитайской математике отдельные линейные уравнения
практически ие рассматривались. Постановка многих классов задач
сводилась к составлению систем линейных уравнений. Для их ре-
шения разрабатывались канонические формы и алгоритмы. Таково
знаменитое «правило фан-чэн», изложенное в «Математике в девя-
ти книгах» и «Математическом трактате» Суньцзы. Но для реше-
ния некоторого класса задач, сводящихся к линейным уравнениям
с одним неизвестным, применялся метод, называемый «правилом
избыток-недостаток» или «правилом двух ложных положений»
(см. [1, с.165-167; 2, с.182]).
Задачи, приводящиеся к линейным уравнениям с одним неиз-
вестным, часто встречаются и в индийской математике. Они име-
ются у Ариабхаты 1 (V в.). Это обычно задачи купли-продажи,
сводящиеся к уравнениям вида ах -г b = а\ х + bj. Решение Ариабха-
ты имеет вид х = (fy - b)l(a - at).
К линейному уравнению с одним неизвестным приводится и
знаменитая «задача о курьерах» Ариабхаты, обошедшая всю миро-
вую алгебраическую литературу и вошедшая в школьные учебни-
ки. В задаче требуется определить время t встречи двух небесных
светил по данным скоростям ц , и расстоянию а между ними.
Решение Ариабхаты t = a/(v\ ±02) при ц ж?, если они движутся в
одном направлении или навстречу друг другу.
Линейные уравнения с одним неизвестным встречаются и у бо-
лее поздних индийских математиков: Магавиры (IX в.), Шридха-
ры (IX —X в.), Шрипати (XI в.) Бхаскары II (ХП в.), Нарайяны
(XIV в.). А классификация уравнений (линейных, квадратных,
кубических и биквадратных) имеется уже у Брахмагупты (VII в.)
[3, с.88-95].
Математики стран ислама, вероятно, заимствовали «правило
ложных положений» непосредственно из китайских источников.
Оно успешно применялось для решения задач, сводящихся к ли-
нейным уравнениям с одним неизвестным. Позднее вместе с деся-
тичной позиционной системой оно попало в средневековые запад-
ноевропейские руководства.
ММ. Рожанская
367
Это правило, которое в арабоязычной математической литерату-
ре называлось «правилом двух ошибок», очевидно, уже хорошо из-
вестное в Багдаде во времена ал-Хорезми, широко применялось при
решении задач торговли и юриспруденции на всем арабоязычном
Востоке. Его подробное изложение содержится в трактате египетс-
кого математика IX века Абу Камила ал-Мисри (ок.850 —ок.930).
Оно применяется здесь к задачам, которые можно представить с по-
мощью набора нескольких линейных уравнений с одним неизвест-
ным, эквивалентного системе линейных уравнений с двумя неизвес-
тными. Абу Камил приписывает это правило индийцам, хотя ника-
кими другими источниками это не подтверждается.
Можно предположить, что в основе индийских математических
сочинений такого содержания лежит китайское правило «избытка»
и «недостатка» [4, с.202; 5, т.П, с.112]. Но на формирование этого
метода, безусловно, оказало влияние знакомство арабских ученых
с греческой математикой, а именно, с классическими методами гре-
ческой геометрической алгебры. У Абу Камила это влияние сказы-
вается не слишком явно. Но есть другие сочинения, в которых гео-
метрические методы используются непосредственно.
Специальное сочинение о «правиле двух ошибок» и его дока-
зательстве написал известный арабский математик, автор многих
переводов и обработок трудов античных ученых, Коста ибн Лука.
Его сочинение так и называется «Трактат Косты ибн Луки о дока-
зательстве действий при исчислении двух ошибок» [4, с.202 —204:
5, т.Ш, с.108].
Коста ибн Лука начинает с утверждения, что с помощью этого
способа можно решать все задачи, в которые не входят корни
(.джизр), т.е. линейные задачи. Основное содержание тракта-
та — теоретическое обоснование «правила двух ошибок» в общем
случае для решения уравнения вида ах = Ь средствами греческой
геометрической алгебры.
«Правило двух ошибок» приобрело большую популярность в
математике стран ислама и, как сказано выше, перешло в европей-
скую математику, где применяется вплоть до настоящего времени
как средство линейной интерполяции.
Такова вкратце история одного из приемов решения задач,
сводящихся к линейным уравнениям с одним неизвестным или
приводимых к ним. Заметим, что этот прием нельзя в полной мере
назвать общим методом. Каждая задача решалась с помощью инди-
видуального подхода для частных случаев, даже если это решение
сопровождалось геометрическим доказательством.
В то же время уже в IX веке в арабоязычной математике появ-
ляется общий метод решения уравнений первой и второй степени,
впервые изложенный в знаменитой «Алгебре» ал-Хорезми [6], ко-
торая впоследствии в латинских переводах оказала большое влия-
ние на европейскую математику, Ее изучение и комментирование
368
Математика античности и средних веков
продолжалось в Западной Европе вплоть до XVIII века (см., нап-
ример, [7, с.220- 223]).
Впервые в истории математики ал-Хорезми дает в этом тракта-
те классификацию рассматриваемых им шести типов уравнений и
способов их решения, а далее поясняет каким образом другие
уравнения приводятся к этим шести формам. Уравнения первой и
второй степени должно иметь вид одной из этих форм. Линейное
уравнение с одним неизвестным в этой классификации должно
иметь вид ах = с. В этой нормальной форме все члены уравнения
должны фигурировать в виде слагаемых, а не вычитаемых.
Именно для приведения к этой форме ал-Хорезми применяет
две основные операции, которые дали название трактату:
«ал джабр ва ал-мукабала», буквально «восполнение и противо-
поставление». Если уравнение (в нашем случае линейное с одним
неизвестным) содержит вычитаемые члены, к нему применяется
операция «ал-джабр» (восполнение), состоящая в том, что к обеим
частям прибавляются члены, равные вычитаемым. Далее следует
операция «ал.чу кабала», когда все эти величины размещаются в
одной части уравнения (иными словами, происходит приведение
подобных членов) и противопоставляются неизвестному с коэффи-
циентом, приведенным к единице (это необходимое условие клас-
сификации ал-Хорезми), располагающимся в другой его части [4,
с.191 -201].
Метод «ал-джабр ва ал-мукабала» получил широчайшее расп-
ространение на мусульманском Востоке. Во многих сочинениях по
арифметике и алгебре этого периода значительное место занимают
главы, содержащие совокупность практических задач, в которых
этот метод применяется. К линейным уравнениям с одним неизвес-
тным или к приводящимся к ним системам линейных уравнений
сводится большинство задач, связанных с мусульманским правом,
наследованием имущества, торговыми операциями, определением
удельного веса и состава сплавов. Задачи такого рода составляют,
в частности, значительную часть самого трактата ал-Хорезми,
«Ключа арифметики» ал-Каши [8, с.214 —254] и сочинений ал-Би-
рунп (9; 10].
Естественно встает вопрос о происхождении этого метода.
Если истоки «правила ложных положений» более или менее опре-
делены, то проблему происхождения «ал-джабр ва ал-мукабала»
до сих пор нельзя считать решенной.
Сама «Алгебра» ал-Хорезми, включая всю совокупность как
классификации линейных и квадратных уравнений, так и приемов
их решений, прямого влияния как китайской, так и индийской ма-
тематики не отражает. С греческой геометрической алгеброй ее как
будто сближает геометрическое построение корней квадратных
уравнений, но в целом трактовка ал-Хорезми существенно отлича-
ется от античной Если можно говорить об ее влиянии, то в сильно
М М. Рожанская
369
преобразованной и приспособленной для решения комплекса упо-
мянутых выше задач форме, ранее исторически не засвидетельст-
вованной. Нельзя говорить и о прямом влиянии Диофанта. Скорее
всего, как и в некоторых других областях средневековой математи-
ки, это дальнейшее развитие традиции, сложившейся в математике
Ближнего и Среднего Востока на основе элементов как вавилонс-
кой, так и эллинистической традиции.
Если же говорить о самой сути операций «восполнения» и
«противопоставления» и происхождении этого названия, можно
выдвинуть гипотезу, возводящую их к практике и теории взвеши-
вания на Ближнем и Среднем Востоке.
В чем смысл операции взвешивания?
Пусть нам требуется взвесить груз с помощью некоторого на-
бора гирь на обычных равноплечих весах с двумя чашами. При
этом в одну из чаш кладется груз, вес которого подлежит опреде-
лению, а в другую- набор соответствующих гирь, в результате
подбора которых весы приводятся в равновесие. Равновесие в этом
простейшем случае достигается как результат уравновешивания ве-
сов при противопоставлении двух чаш по обе стороны от точки
опоры или подвеса весов.
Таким образом, «противопоставление» чаш с грузом и гиря-
ми необходимое условие приведения весов в равновесие. Но при
одном условии: чтобы в одной чаше весов находились только гири,
а в другой — только взвешиваемый груз. В этом простейшем случае
сумма величин разновесов дает вес груза.
Более сложный случай —если в наборе гирь для взвешивания
нет таких разновесов, чтобы взвесить груз при этом условии. Тогда
приходится часть разновесов поместить в чашу с грузом. Тогда для
определения веса груза после приведения весов в равновесие необ-
ходимо переместить эту часть разновесов из чаши с грузом в чашу
с гирями и добавить вес разновесов. Это чаще встречается в прак-
тике взвешивания.
Легко усмотреть аналогию в операции взвешивания и матема-
тической операции «восполнения и противопоставления». В общем
случае первая операция в практике взвешивания —перенесение
гирь из одной чаши в другую, если нельзя подобрать такие разно-
весы, чтобы в одной чаше находился только груз, а в дру-
гой только гири. Это действие аналогично математической опера-
ции «восполнения» (и термин «восполнение» вполне адекватно от-
ражает его смысл).
Далее следует уравновешивание весов в процессе «противопос-
тавления» обеих чаш друг другу. В процессе «восполнения» чаш
гирями и их «противопоставления» друг другу достигается равно-
весие весов. Эта операция эквивалентна «противопоставлению»
друг другу обеих частей уравнения. В результате «противопостав-
ления» левая часть уравнения равна правой. Таким образом,
370_____________________________Математика античности и ере щих веков
можно предположить, что математическая операция «восполнения
и противопоставления» восходит к последовательности действий
при взвешивании грузов на простых равноплечих весах с двумя ча-
шами. И эта аналогия отражена в названии математического мето-
да. Она прослеживается вплоть до перемены знака при перенесе-
нии членов уравнения из одной части в другую (замене вычитания
сложением при приведении подобных членов).
В пользу этого свидетельствует и термин шай (вещь) для обоз-
начения неизвестного в уравнении. Именно так называли груз, вес
которого подлежал определению при взвешивании
Существует предположение, что само слово «ал-джабр» (если
говорить о лингвистическом аспекте его происхождения) восходит,
через посредство сирийской и арамейской традиции, к ассирийскому
«габру-джабру-махару», а через него - к вавилонскому термину
«махару-гебру», означающему равенство двух объектов [И; 12].
Характерно, что к практике взвешивания некоторые арабоя-
зычные авторы возводят и «правило двух ложных положений».
Так западноарабский математик Ибн ал-Банна (ок. 1256 ок. 1321)
в своем «Кратком изложении арифметических действий» [5, Т.П,
с.443] прямо именует его «правилом чаш весов».
Схематически его рассуждения можно представить следующим
образом. Значения «ложных положений» Xj и х-±, по выражению
Ибн ал-Банны, «кладутся на чаши весов». Число пишется навер-
ху, над точкой подвеса весов, а ошибки и с/2—наД или П°Д ча“
шами, в зависимости от того, как сказали бы мы теперь, являются
они положительными или отрицательными. Заметим, что Ибн
ал-Банна приводит свое правило весов не на числовом примере, а
сразу в общих выражениях. В этом же трактате он приводит и
правило «ал-джабр ва ал-мукабала» как самостоятельный метод
[4, с.114].
В качестве универсального метода «ал-джабр ва ал-мукабала»
содержится практически во всех алгебраических трактатах и руко-
водствах по решению практических задач X —XV вв. Именно как
универсальный метод оценивает его, например. Омар Хайям в сво-
ем трактате об определении удельных весов, полностью дошедшем
до нас в пересказе автора XII века ал-Хазини ]13, с.82 —84]. Хай-
ям излагает три способа решения задачи о разделении сплава:
арифметический, метод теории отношений и метод «ал-джабр ва
ал-мукабала», который считает наиболее простым и эффективным.
Сам ал-Хазини, кроме задач на определение состава сплава, при-
меняет этот метод к задачам «монетного двора» (т.е. проблеме че-
канки и порчи монеты), не говоря уже обо всем комплексе задач
торговли, обмена и наследственного права [13].
Интересно, что ал-Хазини применяет и «обратный» метод ре-
шения задач, сводящихся к линейным уравнениям с одним неиз-
вестным: с помощью непосредственного взвешивания на
М М. Рожанская
371
описываемых им «универсальных весах», которые он называет
«весами мудрости». Кроме упомянутых выше задач это еще и зада-
чи размена денег.
В истории математики практика взвешивания стала исходным
пунктом в постановке и решении еще одной проблемы: представле-
ния натурального числа в виде алгебраической суммы различных
степеней меньших натуральных чисел.
Речь идет о так называемой «задаче о взвешивании», широко
известной и разрабатываемой фактически на всем протяжении ис-
тории средневековой математики. В терминологии средневековой
теории взвешивания эта задача сводится к нахождению наимень-
шего числа гирь, с помощью которых можно взвесить все целые
веса, меньшие или равные данному.
До недавнего времени считалось, что эта задача впервые появ-
ляется у Леонардо Пизанского. Такой точки зрения придерживает-
ся А.П.Юшкевич в своей «Истории математики в средние века»
[4, с.367]. Новейшие исследования историков математики, когда
стали известны многие из недоступных ранее арабоязычных источ-
ников, позволили отнести ее появление к более раннему перио-
ду эпохе средневековой математики стран ислама.
Наиболее подробное и четкое ее изложение дает упомянутый
уже выше ал-Хазини, посвятивший ей почти целую главу своей
«Книги весов мудрости» [13, с.99—100]
Обратимся к тексту трактата.
Вначале ал-Хазини описывает общепринятый на средневеко-
вом Востоке метод подбора гирь для взвешивания.
В каждом разряде чисел (в десятичной системе) выбирают три
числа: в разряде единиц 1, 2, 5; в разряде десятков 10, 20, 50; в
разряде сотен 100, 200, 500 весовых единиц. Этот подбор теорети-
чески можно продолжить и далее, но для практики взвешивания
достаточно, как правило, этих трех групп. Общий вес гирь в таком
наборе составляет 888 весовых единиц. С его помощью можно
взвесить любой груз весом до 888, помещая гири в одну или в обе
чаши весов. Однако если помещать гири только в одну чашу весов,
то не все грузы, веса которых входят в последовательность 1, 2 ...
888 можно взвесить с помощью одного такого набора разновесов.
Можно, например, взвесить груз в три единицы веса (3=1 + 2), но
нельзя в четыре и в девять (4 = 2 + 2=1 + 1 + 2, 9=1+1 + 2 + 5 =
= 2 + 2 + 5). Таким образом, если пользоваться одним таким набором
гирь и при взвешивании класть их только на одну чашу весов,
можно взвесить все грузы от 1 до 888 единиц веса, и притом един-
ственным образом (например, 6 = 5+1, 8 = 5 + 2+1 и т.д.), за иск-
1ючением грузов в 4 и 9 единиц веса в разряде единиц, 14 и 19, 24
и 29—в разрядах единиц и десятков, 104 и 109 —в разрядах еди-
ниц и сотен и т.д. Для взвешивания грузов, подпавших под исклю-
чение, при этом условии требуются уже два «общепринятых»
372
Математика античности и средних веков
набора, т.е. 18 гирь общим весом 888x2= 1776 единиц. Если же
помещать гири в обе чаши весов, то все грузы, в том числе подпав-
шие под исключение, можно взвешивать и с помощью одного «об-
щепринятого» набора. Например, груз весом в три и четыре весо-
вых единицы можно взвесить несколькими способами:
3 = 14-2 = 5-2 = 10-5-2 = 20-10-5-2;
4 = 5- 1 = 104-1-5-2 = 20-10-5- 1 и т.д.
Таким образом, «общепринятый» порядок подбора гирь име-
ет, по мнению ал-Хазини, два существенных недостатка. Если на-
бор один и гири кладут в одну чашу весов, то их выбирают един-
ственным образом, но при этом не все грузы можно взвесить.
Если же их кладут в обе чаши, то одним набором можно взвесить
груз несколькими способами, т.е. решение неоднозначно. А для
полного решения проблемы, когда можно было бы взвесить и гру-
зы, подпавшие под исключение, если гири класть только в одну
чашу, необходимы, как мы уже говорили, два «общепринятых»
набора.
Чтобы исключить это «неудобство» ал-Хазини предлагает со-
вершенно другой принцип подбора гирь.
В случае, когда гири помещают только в одну чашу весов,
вместо «общепринятого» набора в 9 гирь предлагается набор в 10
гирь, но подобранных таким образом, что их веса в порядке воз-
растания составляют геометрическую прогрессию с первым членом
1 и знаменателем 2. Хотя гирь в этом наборе на одну меньше, чем
в «общепринятом», с его помощью можно взвесить все грузы весом
до 1023 целых единиц веса. Во втором случае, когда гири помеща-
ют на обе чаши весов, набор состоит всего из семи гирь (на две
меньше, чем в «общепринятом»). Гири в нем подобраны так, что
их веса в порядке возрастания образуют геометрическую прогрес-
сию с первым членом 1 и знаменателем 3. С помощью этого набора
можно взвесить все грузы весом до 1097 единиц веса.
В обоих случаях задача сводится к нахождению минимального
числа гирь, с помощью которых можно взвесить все целые веса,
меньшие или равные заданному. Таким образом, оба варианта под-
бора гирь, предлагаемого ал-Хазини, можно рассматривать как
частные случаи общей задачи о представлении целого числа п в
виде алгебраической суммы т степеней (?и < п) целых чисел. В
первом случае п = 1023, т = 10, во втором п = 1097, т = 7.
У этой задачи есть еще один математический аспект. Если в
первом случае вес груза представить в виде
9
P = aQ+ax pi -г а2Р2+ -+я9Р9 (Е о.р, < 1023),
i=0
где принимают значения 1,2,22 ... 29,аа,- равны либо 0,либо 1,
то решение ал-Хазини эквивалентно представлению целого числа Р
в двоичной системе счисления.
»М. М. Рожа! ic кая
373
Во втором случае
6
Р = я0 + Й1Р1 + й2Р2+-+йбРб <Ю97),
i=0
где р, принимают значения 1,3,32,33...36,а Л, могут принимать зна-
чения только -1,0 и +1, решение ал-Хазини эквивалентно пред-
ставлению целого числа Р в троичной системе счисления.
Такой способ представления числа в троичной системе счисле-
ния отличается от принятого в наши дни только тем, что вместо 0.
1, 2 в нем употребляются числа -1, 0, +1. С помощью простейших
преобразований это представление легко привести к современному
виду. Вышеизложенное, однако, не означает, что ал-Хазини ставил
перед собой задачу о представлении целого числа в двоичной и
троичной системах счисления. Ведь эквивалентность двух задач, с
математической точки зрения, отнюдь не говорит об их историчес-
кой эквивалентности.
Вернемся, однако, к тем возражениям, которые ал-Хазини
выдвигает против «общепринятого» набора гирь и к его требовани-
ям к предлагаемым им наборам. Оно состоит в том, чтобы с по-
мощью предлагаемых им двух наборов можно было взвесить лю-
бой целый вес, заданный в указанных пределах (Р < 1023;
Р< 1097) и притом единственным образом. То есть, по сути дела
это требование существования единственности решения задачи.
В такой постановке «задача о взвешивании» получила в исто-
рии математики название «проблемы Баше», по имени французс-
кого математика XVII века Баше де Мезириака, в трактате которо-
го она впервые появилась в печатном виде в 1612 г. [14]. Строгое
ее решение дал Л. Эй лер в главе 16 тома I своего «Введения в ана-
лиз бесконечных» [15, т.1, с.315].
Ал-Хазини придает большое значение требованию единствен-
ности решения. Он замечает, что если это условие не соблюдается,
мы имеем дело с совершенно другой задачей: сколькими способами
данное целое число можно разложить на сумму степеней меньших
целых чисел. Применительно к «задаче о взвешивании» это озна-
чает, что если помещать гири в обе чаши весов, можно пользовать-
ся и «общепринятым» набором. Этот вариант средневековой зада-
чи не что иное, как исходный пункт так называемой «проблемы
Лейбница». Название ее объясняется тем, что в строгой постановке
она была поставлена Г.Лейбницем в 1666 г. [16]. Эйлер рассматри
вает ее вместе с «задачей о взвешивании».
«Задача о взвешивании», вероятно, имеет восточное проис-
хождение. Корни ее прослеживаются еще в памятниках индской
цивилизации (IV тысячелетие до н.э.). Множество гирь, обнару-
женных в ходе археологических работ в долине Инда, позволяют
говорить о принятой там системе мер веса, основанной на удвое-
нии. Веса гирь из находок составляют ряд 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64.
374 Математика античности и средних веков
Характерны в этом смысле и размеры строительного кирпи-
ча- 1:2:4 или 1:3:9 [3, с.13].
О связи «задачи о взвешивании» с шумерской и вавилонской
математикой нам пока неизвестно. Помочь делу сможет детальное
изучение метрологического материала из археологических находок,
тем более что археологические источники убедительно свидетельст-
вуют о достаточно тесных связях между шумерской и индской ци-
вилизациями. Если же обратиться к-более позднему периоду (сред-
невековью), то «задача о взвешивании», безусловно, пересекается
с «шахматной задачей», проникшей в средневековую арабоязыч-
ную математику, как известно, из Индии. (В обоих случаях речь
идет о сумме геометрической прогрессии.) В китайских источниках
опа пока не обнаружена, хотя таблица, включающая степени двой-
ки и тройки, входит в состав «Математического трактата» Суньц-
зы [2, с.8].
«Задача о взвешивании», вероятно, была достаточно широко
известна на средневековом Востоке, и ал-Хазини был не первым,
кто включил ее в свой трактат. В настоящее время она обнаружена
еще в двух арабоязычных математических сочинениях.
Первое из них —трактат автора XI века ат-Табари под названи-
ем «Ключ сделок» [5, т.П. с.213; 17; 18, с.634]. Само это название
свидетельствует о том, что трактат представляет собой достаточно
популярное руководство по практической арифметике. «Задача о
взвешивании» одна из многих задач этого сборника. Набор гирь у
ат-Табари состоит из десяти разновесов 1, 3, З2...З9. Второй трак-
тат — гораздо более позднее сочинение западноафриканского автора
XVI в., уроженца г. Феса ал-Микнаси «Цель изучающих и разъяс-
нение "Желания вычислителей”» [5, т.П. с.533]. А.Сайдан оши-
бочно считает этот трактат единственным арабоязычным сочинени-
ем, в котором рассматривается «задача о взвешивании» [19, с.29].
У ал-Микнаси задача сводится к нахождению набора из четырех
гирь 1, 3, 9, 27, с помощью которых можно взвесить груз до 40
единиц веса. Как мы видим, и ат-Табари, и ал-Микнаси рассматри-
вают лишь один вариант задачи, когда веса набора гирь представ-
ляют степени тройки. Ал-Хазини же приводит два варианта задачи
и ставит вопрос о существовании и единственности ее решения.
В Западной Европе «задача о взвешивании» впервые встреча-
ется у Леонардо Пизанского в его «Книге абака» [20]. Как и
ал-Микнаси, он рассматривает случай т = 4 (1, 3, 9, 27). Однако
далее Леонардо указывает, что если требуется взвесить груз свыше
40 единиц веса, берут следующую гирю, равную 81 единице «и так
далее до бесконечности» (ad infinitum), т.е. фактически формули-
руется второй случай ал-Хазини, но для прогрессии с бесконечным
числом членов. (По-видимому, ал-Хазини также мог распространить
«задачу о взвешивании» на большее число членов, чем он указыва-
ет Но он сравнивает предлагаемые им наборы с «общепринятым»
М М.Рожанская
375
до 888 единиц веса, состоящим из девяти гирь и доказывает их
преимущество перед ним при том же числе разновесов.)
Можно предположить, что Леонардо мог познакомится с «за-
дачей о взвешивании» как во время своих путешествий по Восто-
ку, так и в процессе изучения арабоязычной математической лите-
ратуры (он об этом упоминает неоднократно). И, скорее всего, это
знакомство с литературой западноарабского региона. Литература
центральной части этого ареала вряд ли была ему доступна и, тем
более, знакома. (Там он не бывал.) Можно даже предположить,
что «задача о взвешивании» у Леонардо и у ал-Микнаси восходит
к общему источнику, известному именно в западной части средне-
векового мусульманского мира. Ни трактата ат-Табари, ни тракта-
та ал-Хазини он не знал, как не знали их западноарабские авторы,
сочинения которых были более доступны и известны в Западной
Европе. Трактат ал-Хазини, например, стал известен Европе толь-
ко во второй половине XIX века, благодаря деятельности русского
ученого и дипломата Н.В.Ханыкова, который купил рукопись на
базаре в Тебризе [13, с.232).
«Задача о взвешивании» получила широкое распространение в
средневековой Европе. Почти в таком же виде, как у Леонардо,
она встречается у Н.Шюке (XV в.), Л.Пачоли, Н.Тартальп,
М.Шгифеля, Геммы Фризиуса (XVI в.) и других, вплоть до ее пе-
чатного изложения у Баше де Мезирпака (XVII в.) и далее до исс-
ледования Эйлера в XVIII в. [16]. Однако никто из них (естест-
венно за исключением Эйлера) не решал ее с такой степенью стро-
гости, как сделал это ал-Хазини в XII веке. Именно поэтому мы
позволили себе столь подробно изложить его решение.
Итак, мы попытались показать, что две проблемы средневеко-
вой математики на Востоке и в Западной Европе- проблема реше-
ния линейных уравнений с одним неизвестным (и сводящихся к
ним систем линейных уравнений) и проблема представления цело-
го числа в виде алгебраической суммы степеней меньших целых
чисел- имеют своим источником практику взвешивания.
То, что импульс к развитию многих математических теорий за-
дают во многих случаях потребности общественной практики ут-
верждение бесспорное и даже тривиальное. Но чем это определяет-
ся, как это сочетается с внутренними потребностями науки, как это
способствует дальнейшему развитию самой науки, как это происхо-
дит в каждом конкретном случае и к каким результатам это приво-
дит? Вот вопрос, который всегда стоит перед историками матема-
тики. Исследование же каждого явления, каким бы оно не было на
первый взгляд мелким и частным, практически всегда дает воз-
можность проникнуть в незнаемое и расширить рамки известного,
взглянув на это известное другими глазами.
376 Математика античности и средних веков
Список литературы
1. История математики с древнейших времен до начала нового времени История
математики с древнейших времен до начала XIX столетия В трех томах Под
ред. А.П.Югикевича. М.. 1970 T.I.
2. Березкина Э.И Математика древнего Китая М., 1980.
3. Володарский А.Н. Очерки средневековой индийской математики М . 1977
4. Юшкевич А.П. История математики в средние века. М., 1961.
5. Матвиевская Г.П.. Розенфельд Б.А. Математики и астрономы мусульманского
средневековья и их труды (VIII-XVII вв). М., 1983. Т. I —III
6 al Khwarizmi. Kitab al jabr wa al-muqabala. Le Cairo, 1939.
7 Allard A. L’influence des mathematiques arabes dans [’Occident medieval Histoirc
des sciences arabes. Mathematiques ct physique Paris. 1997. Vol II P.199- 230
8. Ла-Каши Дхемшид Гиясэддин. Ключ арифметики. Трактат об окружности Пер.
с араб. Б.А.Розенфельда. Род. В. С.Сегаля и А.П.Юшкевича. Коммент. А.П.Юш
кевича и Б.Л.Розенфельда. М., 1956.
9 Бируни Лбу Рейхан. Канон Мас’уда Избранные произведения . Ташкент, 1973
T V. 4.1.
10. Бируни Абу Рейхан. Книга вразумления начаткам пауки о звездах / Избранные
произведения. Ташкент, 1975. T.VI.
11. GandzS. The sources of al-Khowarismis algebra // Osiris. 1936. VoLI. P. 263 —277.
12. Gandz S. The origin and development of the quadratic equations in Babilonian, Greek
and early arabic algebra / Osiris. 1937. Vol.3. P.509 —557.
13. Ал Хазини. Книга весов мудрости Из истории физико-математических паук па
средневековом Востоке. Научное наследство Пер. с араб. М.М.Роханской и
И.С.Левиновой М., 1983. Т 6.
14. Bachet de Meziriac Р Problemcs plaisants et delectables qui sc font par les nombres.
Lion, 1612. 1624 (Nouveau t rage, augmente d'un avant propos par J.Hard. Pans
1959.)
15. Эйлер Л. Введение в анализ бесконечных Пер. Е.Л. Пацаиовского. М . 1961
16. Knobloch Е Zur Ubcrlicferung des Bachctischcn Gewichtsproblem Sudhotfs
Arch Leipzig, 1973. Bd.57. №2. S.142— 151.
17 Hermelink H. The earliest reckoning books existing in the Persian language Hist.
Math. 1975. Vol.2. P.299-303.
18 Tropfke J. Arithmetik und Algebra Gcschichtc der Elcmentarmathcmatik. New
York, 1980. Bd.l.
19 Saidan A. Numeration ct anthmetique Histoirc des sciences arabes. Pans, 1997.
Vol.II. P.11 -29.
20. [Leonardo Pisano], Scritti di Leonardo Pisano matematico del sccolo dccimo terzo.
pubblicati de Baltassare Boncompagni. Liber abaci. Roma, 1857. Vol I.
НАУЧНАЯ ХРОНИКА1)
ЗАЩИТА ДИССЕРТАЦИЙ ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ
на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук
Институт истории естествознания и техники им. С.И.Вавилова
Российской академии наук
3 октября 2000 г.
ПРОЯЕВА Ирина Владимировна (Оренбург) —Учение о правиль-
ных многоугольниках в историческом развитии. Руководитель'
Г.П.Матвиевская. Оппоненты: С. С.Демидов, А.К.Рыбников.
НОВЫЕ КНИГИ ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ
Явление чрезвычайное. Книга о Колмогорове / Под общей редакцией В. М.Тихомиро-
ва Соетавптсль Н.Х.Розов. М.: ФАЗИС, МИРОС, 1999. 256 с.
Ф.АРАГО. Биографии знаменитых астрономов, физиков и геометров Псрев. Д.Пе
ревощикова. 2-е изд. М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000
Том I. 496 с. Том II. 464 с
Вопросы истории информатики Предварительные публикации. Вын.1 Под ред
Д. А. Поспелова. Я.И.Фета. Новосибирск: Институт вычислительной математики и
математической геофизики РАН. 2000. 71 с
Б.В.ГНЕДЕНКО. О математике. Б.В.ГНЕДЕНКО. Книга I. Математика и жизнь
С.8 85 Б.В.ГНЕДЕНКО. Д.Б.ГНЕДЕНКО. Книга II. Об обучении математике в
университетах и педвузах на рубеже двух тысячелетий. С.88 205. М.. Эдиториал
УРСС. 2000. 208 с.
А.ДАЛБМА. Эварист Галуа: революционер и математик. П.ДЮПЮИ. Жизнь Эва-
риста Галуа М -Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000. 175 с.
Из истории математики XVIII века. К предстоящему юбилею Леонарда Эйлера
(1707— 1783). Выпуск I / Отв. редактор Г.П.Матвиевская. Оренбург: Издательство
Оренбургского государственного педагогического университета, 2000. 80 с.
1)Раздел подготовили А.И.Володарский и Т. Л. Токарева
378_________________________________________________Научная хроника
Историко-математические исследования Главный редактор С.С.Демидов. М
Янус-К, 2000 Вторая серия. Вып. 5(40) 392 с.
А. Ш.ЛЕФФЛЕР. Софья Ковалевская. Ижевск НИЦ «Регулярная и хаотическая
динамика», 2000. 138 с
Математика в образовании и воспитании Сост. В.Б.Филиппов. М : ФАЗИС. 2000
248 с.
Математика и практика. Математика и культура Главн. род. В.Н.Чубариков М
Ссмигор, 2000. 200 с.
М.ИМОНАСТЫРСКИЙ. Современная математика в отблеске медалей Филдса. И
Янус-К, 2000. 198 с.
Рассказы о математике и математиках Сост. С.М.Львовский. М.: МЦНМО, 2000
123 с.
К. А. РЫБ НИКОВ. Математические модели конфликтов. Очерк истории. М.: Изд-во
механико-математического факультета Московского университета, 2000. 53 с.
С. СИНГХ. Великая теорема Ферма. История загадки, которая занимала лучшие умы
мира на протяжении 358 лет / Псрсв. с англ. Ю.А.Данилова. М.: МЦНМО, 2000. 288 с
А.А.ТУЯКБАЕВА. Исаак Барроу и его дифференциальные и интеграционные методы.
Алматы: Былым, 2000. 136 с.
Математика и математическое естествознание на Украине в XX столетии. Труды меж-
дународной летней научной школы (1 —7 июля 1999 г., Каменец-Подольский) Отв.
ред. А. Н. Боголюбов. Киев: Институт математики НАН Украины, 2001. 240 с.
Т.С.ПОЛЯКОВА. История отечественного школьного математического образования
Два века. Кп.П Век девятнадцатый. Первая половина. Ростов-на-Дону: Изд-во Рос
товского государственного педагогического университета, 2001. 208 с
КОНФЕРЕНЦИИ ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ
7 сентября 2000 г. Москва, Московский государственный универси-
тет им. М.В.Ломоносова. Чебышевские чтения—2000. Организато-
ры: механико-математический факультет Московского государствен-
ного университета им.М.В.Ломоносова.
8 — 11 сентября 2000 г. Красновидово, Московская область. 10-я Все-
российская конференция «Закономерности и современные тен-
денции развития математики». Стержневая тема: «Математика и
опыт: априоризм и эмпиризм в научном познании». Организаторы:
Московский государственный университет им.М.В.Ломоносова, Ин-
ститут истории естествознания и техники им.С.И.Вавилова РАН,
Российский государственный гуманитарный университет.
5 — 7 октября 2000 г. Москва, Институт истории естествознания и тех-
ники им.С.И.Вавилова РАН. Наука и искусство в культуре сред-
них веков и эпохи Возрождения. К столетию со дня рождения Ва-
силия Павловича Зуоова (1900—1963). Организаторы: Институт
истории естествознания и техники им.С.И.Вавилова РАН, Научный
совет по истории мировой культуры РАН, Maison des sciences de
I’homme (Paris), Исторический факультет Московского государст-
венного университета им. М.В.Ломоносова, Societe Internationale
Leon Battista Alberti (Paris), журнал «Albertiana».
379
ДОКЛАДЫ НА КОНФЕРЕНЦИЯХ
И СЕМИНАРАХ ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ
Чебышевские чтения-2000
( 7 сентября 2000 г., Москва)
ЧУБАРИКОВ В.Н. (МГУ). Вступительное слово
МЕЛЬНИКОВ И.И. (МГУ), ЧУБАРИКОВ В.Н. (МГУ). О матема-
тическом образовании в современной России.
ЯГОЛА А.Г. (МГУ). О реформе математического образования в со-
временной России.
ПЕРМИНОВ В.Я. (МГУ). Математическое образование в современ-
ной России в историческом аспекте.
ДЕМИДОВ С.С. (ИИЕТ). Об историко-математическом образова-
нии студентов-математиков.
БАРАБАШЕВ А.Г. (МГУ). Преподавание философии математики в
университете.
МАЛЫШЕВ Ф.М. (МГУ). Криптография и математика.
10-я Всероссийская конференция «Закономерности
и современные тенденции развития математики*
(8—11 сентября 2000 г., Красновидово, Московская область)
Пленарные заседания
8 сентября 2000 г.
АНОСОВ Д.В. (МИ РАН). Пуанкаре и конкурс шведского короля
Оскара II.
ПОСТНИКОВ М.М. (МГУ). О доказательстве Уайлса теоремы
Ферма.
ПАРШИН А.Н. (МИ РАН). Платоновы небеса и умопостигаемое
р-адическое пространство (теорема Геделя — пятнадцать лет спустя).
9 сентября 2000 г.
ПОСТНИКОВ М.М. (МГУ). О предыстории «новой хронологии».
ВЛАДИМИРОВ Ю.С. (МГУ). Фундаментальная физика и матема-
тика.
САМОХВАЛОВ К.Ф. (Новосибирский государственный универси-
тет). «Новый подход» Ершова и «трансцендентальный метод» Кан-
та.
ВИЗГИН В.П. (ИИЕТ). Проблема «пифагорейского синдрома» в
современной физике
10 сентября 2000 г.
ШИЧАЛИН Ю.А. (ИФ РАН). Математика и история математики в
системе гимназического образования.
11 сентября 2000 г.
ДЕМИДОВ С.С. (ИИЕТ). О работе секции истории математики
БАРАБАШЕВ А.Г. (МГУ). О работе секции философии математики.
ВЛАДИМИРОВ Ю.С. (МГУ). О работе секции «Математика и фи-
зика».
Секция истории математики
9 сентября 2000 г.
КАТАСОНОВ В.Н. (ИФ РАН). Философские аспекты генезиса но-
воевропейской математической концепции бесконечности.
380
Научная хроника
ДОБРОНРАВОВ С.В. (РГГУ). Проблема априоризма в философии
математики в работах русских позитивистов начала XX века.
ЯН КО В В. А. (РГГУ). Опыт и онтология математики.
ЗАЙЦЕВ Е.А. (ИНЕТ). Деятельность и проблема реконструкции ис-
торико-математических источников.
КРУШИНСКИЙ А.А. (ИВ РАН). К проблеме теоретичности ран-
ней китайской математики.
ВОЛОДАРСКИЙ А.И. (ИИЕТ). Проблема доказательства в стра-
нах Востока.
10 сентября 2000 г.
СТРЕЛЕЦ А.А. (МГУ). Причины заката античной теоретической ма-
тематики.
ГИЛЬДЕРМАН С.А. (МГУ). Двойные равенства в арабской версии
«Арифметики» Диофанта.
РОЖАНСКАЯ М.М. (ИИЕТ). Математика и опыт в творчестве
арабских ученых Х-ХП вв.
ЗВЕРКИНА Г.А. (МИИТ). Прикладные задачи — основа развития
теоретической математики в Древней Греции.
КУЗИЧЕВА З.А. (МГУ). Математика, язык, логика.
СМИРНОВА Г.С. (МГУ). Из истории дифференциальной геомет-
рии XIX века.
ДЕМИДОВ С.С. (ИИЕТ). «Математические проблемы» Д.Гильбер-
та и математика XX века.
Секция философии математики
9 сентября 2000 г.
ПЕРМИНОВ В.Я. (МГУ). Универсальная онтология как генетиче-
ское и логическое основание математики.
КРИЧЕВЕЦ А.Н. (МГУ). Врожденное, приобретенное и иное.
ГУТНЕР Г.Б. (ИФ РАН). О понятии «опыт».
БАРАБАШЕВ А.Г. (МГУ). Программы взаимодействия математики
и реальности.
МОРОВ В.Г. (Отдел теоретических проблем РАН). Границы опыта:
историческая эволюция.
РОДИН А.В. (Калининградский государственный университет).
Априоризм и идея внутренней геометрии.
10 сентября 2000 г.
ВЕДЕНОВА Е.Г. (Москва). Непрерывность и дискретность в кон-
тексте архетипов коллективного бессознательного.
СУЛТАНОВА В.Б. (Башкирский государственный педагогический
университет). Необходимость априоризма в современной философии
математики.
НУЖДИН Г.А. (МГУ). Метафора и опыт.
СОЛОДУХИНА М.А. (МГУ). Критика Ф.Китчером априоризма
Канта.
КАТРЕЧКО С.Л. (МГУ). Онтологическая классификация логи-
ко-математических теорий.
ПАНФИЛОВ В.А. (Днепропетровский государственный универси-
тет). Философия математики Декарта.
381
КУДРЯШЕВ А.Ф. (Башкирский государственный университет).
Парадигмы математики.
ВОЙЦЕХОВИЧ В.Э. (Тверской государственный университет).
Древний опыт как основание математического познания.
БЕЛОУСОВ А.И. (МГТУ). Гегелевская конструкция противоречия
и теоретико-групповое мышление.
МИХАЙЛОВСКИЙ А.В. (РГГУ). Априоризм в методической фило-
софии Гуго Динглера.
ГИЛЕНКО М.В. (МГУ). Априори и язык математики.
Секция «Математика и физика*
9 сентября 2000 г.
ПОЛИЩУК Р Ф. (ФИ РАН). Границы физики и математики.
КУТАЛО А.А. (Москва). Ограниченность применимости математи-
ческих моделей на практике.
КОГАНОВ А. В. (Москва). Эмпирические основы математических
теорий.
КАССАНДРОВ В.В. (РУДН). От физических законов к расшиф-
ровке кода природы.
ВАГАНЯН В.О. (Москва). Первоначальные идеи математики с пара-
метром времени.
ЗЕНКИН А.А. (ВЦ РАН). Экспериментальная математика: онтоло-
гические основы понятий «число» и «точка».
10 сентября 2000 г.
ЗАХАРОВ В.Д. (МГУП). Геометрия и опыт в свете современного
кантианства.
БЫЧКОВ С.Н. (РГГУ). Математика и опыт.
СУХАНОВ А.Д. (МГУ). Роль вероятностных представлений в со-
временной физике.
СТЕПАНОВ М.Е. (МПГУ), КУЛАНИН Е.Д. (Российская акаде-
мия образования). Геометрия и искусство.
МАСЛОВ А.Н. (Российская академия образования). Пифагорей-
ский музыкальный строй и его бесконечное развитие.
ШАШКИН Л.О. (РГГУ). Априорные и апостериорные аспекты мо-
делирования.
ДОБРЫЙ В.В. (ИФ РАН). К проблеме образования в университет-
ских и академических сообществах.
Объединенный Московский семинар по истории
и методологии математики и механики
(руководители: К.А.РЫБНИКОВ. И .Г.БАШМАКОВА,
И.А.ТЮЛИНА. С.С.ДЕМИДОВ. Проходит в помещении
механико-математического факультета Московского
государственного университета им.М.В.Ломоносова)
25 сентября 2000 г.
БАРАБАШЕВ А.Г. (МГУ), ДЕМИДОВ С.С. (ИИЕТ), ПЕТРОВА
С.С. (МГУ), СМИРНОВА Г.С. (МГУ). Историко-математические
события лета 2000 г
382
Научная хроника
2 октября 2000 г.
ГУЗЕВИЧ Д.Ю. (Париж). «Петровская школа» и преподавание ма-
тематики в России (XVIII —начало XIX вв.).
9 октября 2000 г.
ШИЧАЛИН Ю.А. (ИФ РАН). История математики и математика в
подготовке учителя классической гимназии.
16 октября 2000 г.
ПУСТОВОЙТОВА Ю.М. (МГУ). Из истории теории гироскопов в
МГУ (о работах Я.Н.Ройтенберга).
ЖЕЛИГОВСКИЙ А.В. (МГАПИ). Приложение аналитического
синтеза механизмов в школе Н. И. Мерцалова к инженерным задачам.
23 октября 2000 г.
СМИРНОВА Г.С (МГУ). Из истории дифференциальной геомет-
рии в XIX в.
30 октября 2000 г.
КУЗИЧЕВ А.С. (МГУ) Об истоках основании математики.
13 ноября 2000 г.
ИСАК И.В. (МГУ) Становление теории игр: спор о приоритете.
20 ноября 2000 г.
ЗВЕРКИНА Г.А. (МИИТ). Трактат Герона Александрийского «О
диоптре».
27 ноября 2000 г.
АНАНЬЕВА М.С. (Пермь). Вклад К.Г.Якоби в теорию определите-
лей.
МАГДАНОВА И.В. (Пермь). О возникновении аналитической гео-
метрии.
4 декабря 2000 г.
КУКСЕНКО Б.В. (МГУ). Силы как потоки импульса.
18 декабря 2000 г.
РОЖАНСКАЯ М.М. (ИИЕТ). Об арабской математике XV века.
ДЕМИДОВ С.С. (ИИЕТ). О Международной конференции, посвя-
щенной ал-Каши (ноябрь 2000 г., университет города Кашана,
Иран).
12 февраля 2001 г.
ЛУПАНОВ О Б. (МГУ), ШАФАРЕВИЧ И.Р. (МИ РАН), ПАР-
ШИН А.Н. (МИ РАН). ДЕМИДОВ С.С. (ИИЕТ). К 80-летию Иза-
беллы Григорьевны Башмаковой.
19 февраля 2001 г.
ЗЕЛИКИН М.И. (МГУ). Эпизод из истории прикладной математи-
ки. К истории вопроса о повороте рек.
26 февраля 2001 г.
КУЗИЧЕВ А.С. (МГУ). Программа А.Н.Колмогорова в области
оснований математики.
5 марта 2001 г.
СИНИЦЫНА И.Г. (МГУ). Преподавание теории функций комплек-
сного переменного в Московском университете с 60-х годов XIX в. до
начала XX в.
12 марта 2001 г.
ЧИНЕНОВА В.Н. (МГУ). Алексей Николаевич Боголюбов: к 90-ле-
тию со дня рождения.
383
19 чарта 2001 г.
МОНАСТЫРСКИЙ М.И. (ИИЕТ). IAS и IHES история двух ин
статутов.
26 .чарта 2001 г.
ЖАРОВ В.К. (СТАНКИН). О трактате Чжу Шицзе «Элементарное
обучение математике или математическое просвещение» (1299 г.).
2 апреля 2001 г.
ТКАЧЕНКО Е.В. (МГУ). Из истории страхования жизни в России
9 апреля 2001 г.
ЧАЙКОВСКИЙ Ю.В. (ИИЕТ). Понятие вероятности у Я. Бернулли.
16 апреля 2001 г.
ЗВЕРКИНА Г.А. (МИИТ). Еще раз о геометрической алгебре древ-
них.
23 апреля 2001 г.
БАШМАКОВА И.Г. (МГУ), ИЛЬИНА Е.А. (МГУ). О книге Евкли-
да «Данные».
ТЮЛИНА И.А. (МГУ), КАШИРИН А.В. (МГУ). К 90-летию ака-
демика М. В. Келдыша.
Семинар « Доклассическая наука»
(руководители: С.С.ДЕМИДОВ, М.М.РОЖАНСКАЯ.
А. И. ВОЛОДАРСКИЙ. Проходит в помещении Института
истории естествознания и техники РАН)
30 сентября 2000 г.
ВОСКОБОЙНИКОВ О.С. (МГУ). Представления о природе при
дворе Фридриха II Штауфена (1220 - 1250).
4 ноября 2000 г.
ШИШКОВ А.М. (МГУ). Естествознание Роберта Гроссетеста и его
«Трактат о свете».
16 декабря 2000 г.
ФОНКИЧ Б.Л. (Институт всеобщей истории РАН). Типографская
школа (1681 — 1687).
17 марта 2001 г.
РОЖАНСКАЯ М.М. (ИИЕТ). Научные школы на средневековом
Востоке.
5 мая 2001 г.
БРАГИНА Л.М. (МГУ). Из истории ренессансной науки: Лука Па-
чоли и Леонардо да Винчи.
Конференция «Наука и искусство в культуре средних
веков и эпохи Возрождения. К столетию со дня
рождения Василия Павловича Зубова (1900 1963)»
(Программный комитет: председатель Н. В.ГРАЩЕНКОВ
(МГУ), сопредседатель- М.ЭМАР (Париж).
заместители председателя Б. В. РАУ ШЕНБАХ (ИИЕТ),
В.М.ОРЕЛ (ИИЕТ), Ф.ФУРЛАН (Париж),
секретарь Д.А.БАЮК (ИИЕТ)).
5 октября 2000 г.
ГРАЩЕНКОВ В.И. (МГУ). В.П.Зубов и история искусства.
384
Научная хроника
ЭМАР М. (Париж). Приветственное слово (зачитано Ф.Фурланом).
ЗУБОВА М.В. (МАрхИ). Жизнь и деятельность Василия Павлови-
ча Зубова.
ДЖУСТИ Э. (Флоренция). У истоков западной кинематики: Герард
Брюссельский и его «De motu».
РОЖАНСКАЯ М.М. (ИИЕТ). Античная традиция в средневековой
механике.
ЛАБУЗНОВ А.В. (ИИЕТ). «Механическиепроблемы» Псевдо-Ари-
стотеля и их судьба в России.
ДЕМИДОВ С.С. (ИИЕТ), СИМОНОВ Р.А. (МГАП). Князь Аль-
бертус Далмацкий и первый русский трактат по теоретической гео-
метрии.
ХАРИТОНОВИЧ Д.Э. (Институт всеобщей истории РАН). Альберт
Великий и средневековая наука.
НАПОЛИТАНЙ Д. (Пиза). Издание сочинений Франческо Мауро-
лико: история, филология и информатика.
6 октября 2000 г.
ХЕЛЬБИНГ М.-О. (Цюрих). Франческо Буонампчи, Микеле Варро
и Галилей
ШИШКОВ А.М. (МГУ). Естествознание оксфордской школы: оп-
тика, математика, кинематика.
СУФРЕН П. (Ницца). Галилеева теория приливов: к переоценке
«Диалога».
СЕЛЕЙРЕТ Ж. (Лилль). Трактовка «искусственного» у Буридана и
Орема.
ВОСКОБОЙНИКОВ О.С. (МГУ). «Сокровище» Брунетто Латиии:
наука и политика в XIII веке.
КАРНО М. (Сен-Этьен). Модули, геометрия и числа в ренессансной
теории колонных систем.
МИЧУРИН Л.В. (МАрхИ). Портал в системе пропорциональных
построений Дмитриевского собора во Владимире.
ЛОПАТКИНА Е.Ю. (МАрхИ). Тема времени в западном портале
Дмитриевского собора во Владимире.
ПУТЯТИН И.Е. (МАрхИ). «Ордер царя Соломона» в храмострои-
тельной теории Нового времени.
РЕВЗИНА Ю.Е. (МГУ). Чертежи и модели архитектора в теории и
практике Альберти.
ФУРЛАН Ф. (Париж). Филология и история науки: измерение бо-
льших расстояний у Альберти («Математические забавы», задача
№17).
БРАГИНА Л.М. (МГУ). Политические идеи Альберти в «Моме» и
«Десяти книгах о зодчестве».
КЭЙ П. (Париж). Интерпретация Витрувия В.П.Зубовым.
АРАСС Д. (Париж). Живопись и политика у Альберти (доклад зачи-
тан).
ШОЭ Ф. (Париж). «Украшение» по Альбертиу В.П.Зубова (доклад
зачитан).
7 октября 2000 г.
ПАРШИН А Н. (МИ РАН). Античная натурфилософия и современ-
ная наука.
385
ДМИТРИЕВ И.С. (Музей Д.И.Менделеева, Санкт-Петербург).
Чисто английская наука.
СОКОЛОВСКАЯ З.К. (ИИЕТ). В.П.Зубов и его участие в серии
РАН «Научно-биографическая литература».
Семинар сектора истории математики Института
истории естествознания и техники им. С.И.Вавилова
РАН (руководитель: С.С.ДЕМИДОВ)
10 октября 2000 г.
ЧЕНДОВ Б. (София). Проблемы периодизации истории науки.
12 октября 2000 г.
ЖАРОВ В.К. (СТАНКИН). Большие и малые числа в древнекитай-
ской математике.
24 апреля 2001 г.
ДОМОРАДЗКИЙ С. (Жешув). История математики в Польше в
XIX и начале XX вв.
62-й пленум Национального комитета РАН
по истории и философии науки и техники
(проходит в помещении Института истории естествознания
и техники им. С. И. Вавилова РАН)
Пленарное заседание
5 декабря 2000 г.
ДЕМИДОВ С.С., КИРСАНОВ В.С., ВОЛОДАРСКИЙ А.И.
(ИИЕТ). О международных связях отечественных историков естест-
вознания и техники и о подготовке к XXI Международному конгрес-
су по истории науки.
Годичная научная конференция Института истории
естествознания и техники им. С. И. Вавилова
РАН 2001
Секция истории математики
24 апреля 2001 г.
БАТУРИН М.В. (ИИЕТ). К истории теории псевдодифференциаль-
ных операторов.
ВОЛКОВ В.А. (ИИЕТ). Д.Ф.Егоров: новые архивные документы
(к истории Московской математической школы).
ВОЛОДАРСКИЙ А.И. (ИИЕТ). Развитие математики в средневе-
ковой Индии.
ВОРОБЬЕВА И.А. (ИИЕТ). Движение за реформу преподавания
математики в средней школе в конце XIX— начале XX вв.
ДЕМИДОВ С.С. (ИИЕТ). Математика в культуре XX в.
ИГНАТЬЕВ Ю.А. (ИИЕТ). К.Трусделл —математик и историк нау-
ки.
КИТАЕВ Д.Б. (ИИЕТ). Исследования периодических решений ли-
нейных дифференциальных уравнений второго порядка в трудах
А. М. Ляпунова.
КОПЫТОВ А.А. (ИИЕТ). Чебышевское направление в теории при-
ближения функций в конце XIX —начале XX в.
386 Научная хроника
КОРОБОВ Н.М. (ИИЕТ) О теоретико-числовых интерполяцион-
ных формулах.
МОНАСТЫРСКИЙ М.И. (ИИЕТ). 1AS и IHES история двух ин-
ститутов.
ТОКАРЕВА Т А. (ИИЕТ). О влиянии исследований В.Оутреда н
Т.Гариота на развитие алгебры в Англии в XVII в.
ЧАЙКОВСКИЙ Ю.В. (ИИЕТ). Что такое вероятность? Эволюция
понятия (от древности до Пуассона).
ЮНУСОВА Р. Б. (ИИЕТ). Преподавание математического анализа в
Московском университете в начале XX века.
25 апреля 2001 г.
Круглый стол: Математика в Москве в первой трети
XX века и рождение советской математической школы
(руководитель: ДЕМИДОВ С.С. (ИИЕТ);
участники: ВОЛОДАРСКИЙ А. И. (ИИЕТ), ЕРМОЛАЕВА Н С.
(СПбГАСУ), ПЕТРОВА С.С. (МГУ), ТОКАРЕВА Т.А.
(ИИЕТ)).
25 апреля 2001 г.
Круглый стол: Общая теория дифференциальных
уравнений с частными производными в Москве в конце
XIX—первой трети XX вв.
(руководитель: ДЕМИДОВ С.С. (ИИЕТ);
участники: МОНАСТЫРСКИЙ М.И. (ИИЕТ),
СМИРНОВА Г.С. (МГУ)).
Abstracts
Shafarevich I.R. The scientific world outlook (a historical survey).
The principal stages of development: the scientific revolutions of
XVII- XX centuries in Western Europe and IV —III centuries B.C. in Antiq-
uity The possible reasons of success and different estimations of impact on the
modern world
Chaikovsky Yu.V. What is the probability? The evolution of the
idea. From ancient era to S.Poisson.
There is so far no clear understanding of the essence of probability idea It
has been understood differently at different times. But nowadays it is also possi-
ble that the same author means completely different things using this term.
The Latin word probabihtas in the meaning, which is common for us, was
brought into use by Jacob Bernoulli. He tried to link the following four mean-
ings of probability in one reasoning: mental probability —the extent to which
the speaker was sure in his opinion; a priori probability—the ratio of favorable
outcomes to the total number of outcomes; logical probability—the extent, to
which a statement could be proved by arguments or facts and statistical prob-
ability—the frequency of occurrence of a specific event in an endless series of
outcomes.
On the contrary, Simon Poisson understood probability as subjective one
and opened the way for the later mathematicians to the definition of deferent
probabilities through each other not trying to explain what the probability was.
Anosov D. V. Poincare and Oskar II problems.
The paper of Poincare «On the three body problem and the differential
equations of dynamics» is well-known to be extremely fruitful. It is less known
its specific heuristic role. Some problems (which generated whole scientific di-
rections) stem from analysis of its shortcomings (especially those of its first ver-
sion). It is worth mentioning that the problem of the estimating exponentially
small effects under perturbations (which became actual now), in fact, appeared
in Poincare's work (although he did not dwell on it).
Monastyrsky M.I. IAS and IHES—the history of two Institutes.
Creation of the Institute for Advanced Study is one of the remarcable
achievement in the organizing of science in the XX century. Albert Einstein
worked in this Institute the last twenty years of his life. His French conterpart
the Institut des Hautes Etudes Scientifiques was created almost 30 years later
and now is the leading mathematical Institute in Europe. The history and mod-
ern life of these Institutes are discussed in the article.
Demidov S.S. D.Hilbert’s «Mathematical problems» and mathemat-
ics of the XXth century.
This article contains the brief characteristics of the solutions of Hilbert’s
problems and the discussion (on the example of two problems —the nineteenth
and the twenteeth) of some general questions:
388
1. Which premises are of the propositions by Hilbert of such or such prob-
lems?
2. How was developed the topics examining in this paper?
3. It is correct that Hilbert guess the principal ways of the mathematical de-
velopment? Really in the ways of the solution of his problems was formed an im-
portant part of the mathematics of XXth century?
Houzel Ch. How to appraise Bourbaki’s role in the history of mathe-
matics (translation from the French by S.S. Demidov and I. O.Lyuter).
Bourbaki’s activity took place principally between 1935 and 1965. The war
effort pushed a lot of mathematicians towards applied topics, if not in France,
which was an occupied country. Most of the French mathematicians were far
away from applications. This was the case of the founders of Bourbaki’ A. Weil,
H.Cartan, J.Delsarte, J.Dieudonne, C.Chevalley. They wanted to write a new,
and quite modern treatise of analysis. The «abstract package» of algebra and
general topology they planned to write at the beginning grew and became almost
the whole book. One main idea behind Bourbaki’s conception is the unity of
mathematics. The method adopted was axiomatic. These efforts resulted in a
withdrawal of mathematics from physics in a tendency of abstraction
In its heritage from Bourbaki, we find a new style to write mathematics and
some useful concepts. (This abstract is extracted from the abstract of
Ch.Houzel’s report made by S.Slembek—Tagungsbericht 05/2000. The History
of mathematics of the XXth century. 30.01.—05.02.2000. Mathematisches For-
schungsinstitut Oberwolfach. P.ll.)
Dobrovolsky V.A., StrelcynJ., Lokot’ N.V. Mikhail Nikolaevich
Lagutinsky (1871—1915).
The paper is devoted to little known facts of scientific biography of Russian
mathematician M.N.Lagutinsky and his contribution in the development of the-
ory of differencial equations.
Ermolaeva N.S. The centrifugal forces of the V.A.Kostitzin’s fate.
Moscow mathematician V.A.Kostitzin (1883— 1963) was more known as an
author of the significant works on the mathematical biology. In 1976 first biogra
phers F.Scudo and J.Ziegler published his brief biography and the survey of works
on theoretical ecology. The value of this biography consist in utilization of the
reminiscences those people who knew V. A. Kostitzin during his life in Paris In the
USSR his name for a long time was forgotten although he engaged responsible
posts in the State scientific council and in other establishments. Only in 1984 one
of the V.A.Kostitzin’s book was published in the USSR. Academician
N.N.Moiseyev, editor of Russian translation, in the preface briefly described
course of V.A.Kostitzin’s life, mainly based on biography written by F.Scudo and
J.Ziegler In present article it is given more detailed biography of the scientist
based on the archive materials concerning his life in Russia and in the USSR. Also
it is given sufficiently complete bibliography V.A.Kostitzin’s works.
Tokareva T.A., Volodarsky A.I. A.P.Yushkevich and the Interna-
tional Academy of the History of Science.
Remembering Adolph Pavlovich Yushkevich on the eve of his 95th birth-
day notices certain episodes of his life inseparably linked with International
Academy of the History Science. One of them relates to his election to the IAHS
had long interested the eminent historian of mathematics himself, since his cor-
respondence with Q.Vetter, A.Koyre, K.Vogel, and others reveals it. The
389
authors of the present publication for the first time puts into scientific circula-
tion this part of A.P.Yushkevich’s personal archive to clear up circumstances
and a course of those events.
Sheynin O.B. Statistics and ideology in the Soviet Union.
The paper describes the development of statistics in the USSR. After ca.
1922 Russian statisticians were able to work successfully drawing on the con-
temporaneous national and foreign knowledge. From 1927 onward, however,
many of them were labelled saboteurs, arrested and even shot. Pre-Soviet statis-
tics was denied, Sussmilch and Quetelet were called ideologists of the bourgeoi-
sie and Karl Pearson, an enemy of materialism. The aim of statistics was
restricted to confirm Marxism. Econometrics had to overcome ideological resis-
tance, and genetics, crushed in 1948, in particular because of its ties with statis-
tics, had not returned to life until the 1960’s.
Myshkis A.D. On my work in Latvian State University (some remi-
niscences).
Author’s reminiscences are given on his work in the Latvian State Univer-
sity (1948 1953), on his contacts with Latvian mathematicians (Arins E.G.,
Rabinovich I.M., Riekstins E.Ja., Reizin L.E. etc.), on the mathematical life in
this period. The work of scientific seminar on differential equations is enlighted.
Tokareva T.A. The early congresses of the Russian mathematicians:
prehistory and forming of the Soviet mathematical school.
The detailed survey of the primary meetings of the Russian mathematicians
since All-Russian congresses of naturalists in the second half of the XIX century
till the mathematical conventions of 1930's in the USSR.
The author shows up the influence of the mentioned congresses of natural-
ists along with their mathematical sections on the joining up of the mathematical
community as a part of the national scientific intelligentsia. The present article
sheds light on a key role of P.L.Chebyshev in this process.
The describing of the most representative prewar meetings of the Soviet
mathematicians from 1921 up to 1934 including All-Union congresses of mathe-
matics contains materials regarding circumstances of their holding, joint resolu-
tions, organizational decisions, participants, and noteworthy papers The
findings reflect a historical amalgamation of the Moscow and the Leningrad
Schools of Mathematics in spite of former antagonisms in the new frame of the
Soviet mathematical school.
The author produces proofs of the growing in 1930’s interest of mathemati-
cians in the history of mathematics by citing papers specially prepared for con-
gresses by A.N. Kolmogorov, P.A.Aleksandrov, l.I.Zhegalkin, and others.
Sorokova M.G. On the application of Newton’s polygon method in
the XVIIIth century.
The article is devoted to the history of application of Newton’s polygon
method to the theory of algebraic curves in the XVIII century. The fundamental
works of J.-P.De Gua de Malves, G.Cramer and L.Euler are analysed, the con-
tribution of these mathematicians to the development of the theory of algebraic
curves is demonstrated. The peculiarities of application of the Newton’s polygon
method to the investigation of special points, branches, asympthotes and axises
of a curve are revealed.
390
Efimova E.A. On the history of formal theory of operators.
The article is devoted to some investigations on non-commutative symbols
of operations in the middle of XIXth centurv Research of British mathemati-
cians is considered.
Ivanov V.I. Conformal mappings and their applications (a short his-
torical survey).
The main stages in the development of conformal mappings and their appli-
cations are revised: 1. Historically the first conformal mappings were conformal
(equiangular) cartographical projections. C.Gauss introduced concept of con-
formal mapping into the geometry of surfaces (1822). 2 The modern theory of
conformal mappings is the part of the theory of functions of a complex variable.
The foundations of geometrical theory of analytical functions were laid by
B.Riemann (1851) and H.A.Schwarz. 3. Since the last quarter of the XIX cen-
tury the applications of conformal mappings to the problems of mathematical
physics are developped. They are used for the calculations of plane harmonic
vector fields in electro- and magnetostatics, hydrodynamics, low-speed aerody-
namics, jets theory, filtration theory and elasticity.
Korobov N.M. On number-theoretic interpolational formulas.
In 1957 at V.A.Steklov Mathematical institute was organized seminar on
number-theoretic methods in the approximate analysis. The article is devoted to
one of the aspects of the work of seminar, namely to construction of number-
theoretic interpolational formulas for the functions of many variables
Bychkov S.N. Egyptian geometry and Greek science.
The connection between initial geometrical knowledge of ancient Greeks
and Egyptian practice of pyramid building is investigated It is shown that the
geometrical abstractions «appeared» not in the heads of Greeks scientists, but in
the ancient civilization «body»
Yankov V.A. The geometry of Hippas’ followers.
The aim of the paper is to describe a geometry of Hippas’ Phythagereans
The following hypothesis is putting forward: this geometry had the precise con-
cept of proportionality founded on the similarity of triangles. This hypothesis al-
lows to reconstruct the demonstrations of many results that are traditionaly
attributed to Hippas’ school up to the construction of dodecahedron. From this
reconstruction follows that many Euclid’s proofs are modifications of Phythago-
rean’s proofs having an aim to replace the methods of proportionality by the
methods of «geometry of magnitudines»
Gavril’chik M.V., Smirnova G.S. Indefinite equations of Hero of
Alexandria.
Hero of Alexandria (I A.D ) was a very practical genius with considerable
mathematical powers. There is opinion that there is in his work a strong bias to-
wards the applications and away from the abstractions of mathematics. Then it
was suddenly and interesting to find in his «Metrica» 12 problems, which are
concerning to indefinite equations. Our article is devoted to the investigation of
these problems. We will show that Hero never proves or declares his rules for
solving of these problems, but if we begin to study them, we can see that they
have got common sense. We can find an infinite set of solutions by Hero's rules
even he never shows this.
ЗУ I
It s very difficult to know exactly what kind of knowledge of indefinite
analyses Hero had got because this mathematical material is no enough for reli-
able conclusion Nevertheless, we can say that the studv of this type of equations
was begun before Diophantus of Alexandria. In our report we will show' that
sometimes Hero is using the method which he is calling as «Pythagorean» and
which was used also after him by Diophantus of Alexandria (111 A.D.). It means
that this method was not created bv Diophantus, but had got more ancient ori-
gin.
Also there is one problem of Hero which we can find in treatises of Dio-
phantus, Arabian mathematicians, Leonardo Pisano, Luca Pacioli etc Hero uses
here the statement that the area of right triangle can be divided for 6. Leonardo
Pisano was the first who proved this (1225) This problem can be led up to the
famous Babylonian equation 2г2=и2+&. Then it is possible to say that Hero had
got Babylonian origin for his methods also.
In our article we are proposing new reconstructions of Hero s method for
solving of problems 1—2, 10- 13. This reconstructions are different from
EM.Bruins’ reconstruction and from reconstruction of Russian historians of
mathematics LG.Bashmakova and E.I.Slavutin. In one of this reconstruction
there is one of ordinary way of Diophantus
Zverkina G.A. On treatise of Hero of Alexandria «On Dioptre».
We give a description of mathematical ideas of Hero’s treatise written near
60 AD. Mathematical ideas of this applied work were not claim by the antique
mathematics.
Zharov V.K. On «Introduction» to the treatise Zhu Shijie «Suan Xue
Qi Meng».
Given article is devoted to Introduction to the treatise, rather known in the
middle ages, Zhu Shijie «Suan Xue Qi Meng». Under the certificate J.Mikaini
especially valuable it was for development of the Japanese mathematics. In arti-
cle the translation of four fragments of Introduction are given: their interrela-
tion with inductive style of thinking is shown.
Matvievskaya G.P., Yusupova G.E. The spherics in the works of
the scientists of the medieval East.
The sphenes was studied and commented upon by Qusta ibn Luqa. ibn Hu
nayn, al-Mahani, Thabit ibn Qurra, ibn Iraq, at-Tusi and other Arabic scientists
and commentators.
Rozhanskaya M.M. On the sources of some problems of medieval
mathematics.
In the work the role and significance of practical weighting are discussed
being regarded as a source and starting point in the development of some funda-
mental problems in the history of mathematics. The focus of the practice and the
theory of weighting reduce to the methods of linear equation solutions and to the
problem of representing an integer as an algebraic sum of integer powers in the
medieval mathematics
Именной указатель1)
Абель Н.Х. (AbelN.H ) 111. 143
дболиня В Э. 207, 212
Абу Камил Шуджа ибн Аслам ибн
Мухаммад ал-Хасиб ал-Мисри 367
Автолик 354-356
Атамар Ж (Hadamard J.) 76, 152,
220, 221
дйхспвальд Т.Ю. 217
Александер Дж. (Alexander J ) 76
Александр Афродизнйский 292, 294
Александр Македонский 24
Апексаидров П.С 140, 201, 216, 218.
223. 224, 226, 227
Алексеев В.М. 62, 64. 67
Алексеевский В. П. 115
ал Амилн Баха ад-Дин 363
Амстердамский С (Amsterdarnsky S.) 38
Анаксагор 15, 23. 24
Анаксимандр 22, 23
Андерсон О. (Anderson О ) 181. 182
Андреев АВ 54
Андреев К.А. 114, 116, 214
Андрески С. (Andreski S.) 188
Анисимов В А. 125
Аносов Д .В 7
Аполлоний Пергский 23, 24
Аппель П. (Appell Р.) 57, 61
Ариабхата 1 366
АрпньЭ.И (Е.Г) 200,202,204.
206, 212
Аристарх Самосский 15. 16, 23. 24
Аристотель 16. 17, 22-24, 35,
292 304, 336
Арнольд В.И. 64, 66, 72. 88, 97, 233
Артни Э. (Artin Е.) 87, 88, 101
Архимед 15, 23, 24, 339, 363
Архит 285. 319
Атья М. (Atiyah М.) 77
Ахиеаер Н И. 221,227
Баталий Д.И 115
Базаров (Руднев) В А 184, 193
Бамбергер Л. (Bamberger L.) 73-75
Бангсрт В (Bangcrt W.) 66, 72
Бану Муса 357
Бари П К. 217
Барроу Грин Дж. (Barrow Green J.) 58
Бахвалов Н.С. 269
Баше де Мсзириак П.
(Bachct de Meiriac Р ) 373, 375
Башмакова И Г 165, 326, 346
Беккер О (Becker О ) 309
Бсивспист Э. (Benvcnistc Е ) 103
Белый А (Бугаев Б Н ) 97
Беляев КЗ К. 9
Берг Л .С. 156
Березина Л Я. 204,212
Берже М. (Berger М ) 81
Бердинг A (Bonding А.) 77
Бернал М. (Bernal М.) 277
Бернулли Я. (Bernoulli J.) 37, 40, 42,
45-54
Бернштейн С Н 92, 94, 95, 98,
122, 192, 218-220, 227
Берт Э. (Burtt Е.) 15, 17
Бетти Э. (Betti Е.) 85
Бечпслл Дж.Л. (Burchnall J L.) 253
Бибербах Л. (Bicberbach L.) 88
Биркгоф Г. (Birkhoff G.) 65-67, 89,
98, 260
Биркснманср A (Birkenmajer А ) 173,
175, 178
Бирман К (Bicrmann K.-R.) 168
Бирн Э (Byrne Е.) 36
ал-Бируин Абу-р-Райхаи Мухаммад
ибн Ахмад 368
Блумфилд Л. (Bloomfield L.) 103
Блюменталь О. (Blumental L ) 221
Бляшке В (Blasclike W.) 220
Бобынин В.В 214
Боголюбов А Н. 179
Богомолова В.С 217
Бойаи Я. (Boljai J.) 362
Болибрух А А. 89
Боль П. 201, 202, 207
Большов Л.Н. 194
Бомбиери Э. (Boumbieri Е ) 77
Бопчковский В.Ф. 146
Борсль A (Borel А.) 77, 104
Борель Э. (Borel Е.) 149, 151
Борткевич В.И. 184, 189
Ботвинник М.М. 202
Бохер М (Bocher М.) 93
Боярский А.Я. 183, 184, 188,
189, 192-194
Бразма Н А. 199, 203-205, 210, 212
Брайнов 14. Р. 227
Бранд (Брапдгендлер) Л. 183-185, 193
Брахмагупта 366
Брейне Э М (Bruins Е.М ) 326
Врио Ш.О.А (Briot Ch.А.А ) 112
Бриоски Ф. (Brioschi F.) 59. 85
Бриссон Б. (Brisson В.) 249
I)Составители Л.Ц.Ночодарский н Т.Л.Токарева
Именной указатель
393
Бронвин Б. (Bronwin В.) 248, 249, 251
Бруно Дж. (Bruno G.) 15
Бугаев Н. В 85,97,112,214,215,233
ал-Бузджапи 368
Букс Ж.К. (Bouquet J.С.) 112
Булгаков М.А. 158
Буль Дж. (Boole G.) 246-250, 252
Бурбаки Н. (Bourbaki N.) 7, 100-108
Бурген Ж. (Bourgain J.) 77, 80
Бургиньон Ж.-П. (Bourguignon J.-P.) 81
Бурстин Ц.Л. 223, 227
Бхаскара II 366
Быков К.М. 176
Бычков С.Н. 8
Бьерпбо A. (Bjdrnbo А.) 361
Бэкон Ф. (Bacon F.) 15, 28, 32
Вавилов Н.И. 156, 191
Вайнберг М.М. 205
Вайскопф В. (Weisskopf V.) 82
Вал те-Пуссен Ш. де ла
(Value Poussin Ch. de la) 137
Валлис Дж. (Wallis J.) 232
ван дер Варден Б.Л.
(van der Waerden B.L.) 88, 293, 337
Варченко А.Н. 233
Васильев А.В. 165, 214, 218, 226
Ватсон Г.Н. (Watson G.N.) 137
Вебер Г.(Weber Н.) 259
Веблен О. (Veblen О.) 76
Вейерштрасс К. (Weierstrass К.) 58-64,
85, 98, 102, 139, 258, 259, 262
Вейль A. (Weil А.) 77, 87,
101-103, 105, 107
Вейль Г. (Wcyl Н.) 75, 76. 78, 88, 101
Вениаминов В.Н. 217
Венков Б.А. 221
Вернадский В.И. 141, 146, 149,
151, 153, 156
Веселовский И.Н. 330, 354
Веселовский К.С. 185
Вессио Э.П.Ж. (Vessiot E.P.J.) 111
Вигант (Ленина) Э.И. 207, 209, 212
Внгдсрсоп A. (Wigderson А.) 77
Виксне В. 204
Вилла A. (Villat Н.) 152
Випер Н. (Wiener N.) 93
Виноградов И.М. 87, 186, 223
Вишкинд К. 204
Вишневский Л.А. 227
Власов А.Н. 217
Володарский А.И. 8, 165, 166, 175
Вольтер (Аруэ) Ф.-М. де
(Voltaire или Arouet F.-M. de) 26, 32
Вольтерра В. (Volterra V.) 85, 143, 144,
150-154, 156
Воронин И И. 212
Вороной Г.Ф.
Вострикова А.М.
Выгодский М.Я.
Вышинский А.Я.
214
187
220, 226, 227
148, 218
Гаврильчик М.В. 319-321,327,330
Галилей Г. (Galilei G.) 11-15, 17,
28, 32, 44
Галлей Э. (Hallcius Е.) 361
Гамель Г. (Hamel G.) 87
Гамов Г.A. (Gamov G.) 128
Гаусс К.Ф. (Gauss C.F.) 53, 183,
256, 259
Гедель К. (Godel К.) 76, 78, 86, 87 103
Гейберг И. (Heiberg J.L.) 286, 315
Гейзенберг В. (Heisenberg W.) 29
Гелл-Ман М. (Gell-Mann М.) 80
Гельмгольц Г. (Helmholtz Н.) 262
Гельфанд И.М. 82, 208
Гельфонд А.О. 9, 10, 87, 165, 224, 227
Гельфрейх В.Г. 71, 72
Гемма Фризиус К.
(Gemma-Frisius С.) 375
Гензель К. (Hensel К.) 233
Гентцен Г. (Gentzen G.) 87
Герардо Кремонский
(Gherardo Cremonese) 360, 361
Герасимович Б.П. 221
Герои Александрийский 8, 320, 325-345
Герц-Фишлер Р.
(Herz-Fischler R.) 312, 313
Гесиод 20
Гильберт Д. (Hilbert D.) 7, 86-98, 101,
103, 143, 258, 259
Гиппас 285, 291, 296, 297, 300,
304, 308, 310, 316, 317, 319
Гиппократ Хиосский 293, 294, 304, 308
Гинсикл 355, 356
Глаголев Н.А. 222
Глауэрт Г. (Glauert Н.) 260
Гливепко В.И. 226
Глисон A. (Gleason А.) 87
Гнеденко Б.В.
Гоббс Т. (Hobbes Т.)
Гобсон Э.У. (Hobson E.W.)
Гокиели Л.П.
Головин О.Н.
Голубев В.В.
Голузин Г.М.
Гольдман М.А. 1
Гольмгреп Э. (Holmgren Е.)
Гомер
Горофф Д. (Goroff D.)
Го Шучупь
Граве Д.А.
Граунт Дж. (Graunt J.)
Грейвс Ч. (Graves Ch.)
9, 10, 38, 181, 191, 192
40, 43, 52
134
226
216
140, 260
137
199, 202, 212
> 98
38
58
350, 352
218, 219, 221, 257
37, 42, 44
250, 251
394
Гриневецкий Б. (Hryniewiecki В.) 175
Гриффитс Ф. (Griffiths Ph.) 77
Грир Г.Р. (Greer H.R.) 251
Громан В.Г. 182, 193
Громов М. 66, 81, 82
Гротендик A. (Grothcndieck А.) 80, 81,
83. 103, 106, 107
Грузннцев А.П. 114
Губкин И.М. 141
Гудков Д.А. 88
Гуревич В.Б. 219
Гуревич М.И. 260
Гурса Э. (Goursat Е.) 102
Гюйгенс X. (Huygens Ch.) 42, 46, 49, 50
Гюнтер Н.М. 112, 218-221, 225, 227
Давидов А.Ю. 214
Дайсон Ф. (Dyson F.) 77, 78
Д’Аламбер Ж.Л.
(D’Alembert J.L.) 125,257,262
Дамур Т. (Damour Т.) 81
Данжуа A. (Denjoy А.) 79, 220
Д’Анкона У. (D’Ancona U.) 151
Данчакова В.И.
( Dante hakoff V. М.) 149, 158
Дарбу Ж.Г. (Darboux J.G.) 112
Дарвин Дж. (Darwin J.) 145
Дарвин Ч. (Darwin Ch.) 41
Девис Г. (Davis Н.Т.) 250
Де Га де Мальв Ж.-П. (De Gua de
Malves J.-P.) 233, 236-240, 244
Дедекинд P. (Dedekind R.) 102
Декарт P. (Descartes R.) 13, 14, 27, 32,
43, 233, 236
Деларю Д.М. 120
Делииь П. (Deligne Р.) 80. 81, 102
Делоне Б.Н. 218, 220, 227
Дсльсарт Ж. (DelsartcJ.) 101
Демидов С.С. 7, 131, 157, 165, 179
Демокрит 15, 23, 294
Ден М. (Dehn М.) 87, 107
Денкер М. (Denker М.) 120
Детловс Г.К. 204, 205, 208, 212
Джонс В. (Jones V.) 82
де Джорджи Э. (de Giorgi Е.) 95, 96
Джусти Э. (Guisti Е.) 95, 96
Дзержинский Ф.Э. 180, 192
ад-Димишки 360
ад-Дин Мухаммад ибн Ма’руф
нбн Ахмад Таки 357
Диоген 103
Диофант Александрийский 334, 369
Дирак П. (Dirac Р.) 19
Дмитриев А.Л. 192
Добровольский В.А. 8, 113
Донкин В.Ф. (Donkin W.F.) 251, 252
Дпвчмап А. Г. (Drachman A.G.) 330
111
54
101
91. 92
14
294, 304
299. 304, 354
Евналин
Егоров Д.Ф. I
139, 140,
158, 182,
Ермаков В.П.
Ермолаева Н.С.
Ефимова Е.А.
Жегалкин И.И.
Жмудь Л.Я.
Жуковский Н.Е.
Жутиков М.
Заборовский А.И.
Залтс (Залт) К.Я.
Заратустра
Зворыкин В.К.
Зейлигер Д.Н.
Зслсногорский Ф.А.
Зеленская А.Ю.
Золотарев Е.И.
Зигель К.Л. (Siegel C.L.)
Зиглер Дж. (Ziegler J.)
Драш Ж. (Drach J.)
Дуб Дж. (Doob J.)
Дуглас М.Р. (Douglas M.R.)
Дьедонне Ж.
(Dicudonne J.) 80, 97, 101, 107
Дьяков В.А. 203, 212
Дюамель Ж.М.К. (Duhamel J.M.C.) 116
Дюбуа-Рсймон П.
(Du Bois Reymond Р.)
Дюма A. (Dumas А.)
Ев дем
Евдокс
Евклид 19, 283, 286, 287, 289, 290, 293,
294, 296-299, 302, 304 308, 312, 313,
315, 319, 320, 335, 336, 353-357, 363
338
8, 91, 97, 112, 130-134,
143, 144, 148-150, 157,
, 183, 214, 216, 217, 219
111, 122, 214. 215
8. 192. 193
8
218
277
130, 140. 214. 259. 260
32
141
204, 205, 212
20
128
218, 219, 221
116
217
214
65, 66, 77
128, 129, 131,
134. 155, 156
Зоммерфельд A. (Sommerfeld А.) 94
Зубов В.П. 165, 168, 169, 177, 178
Зюссмильх И.П.
(Sussmilch I.P.)
Ибн ал-Банна Абул-Аббас
Мухаммад ибн Ахмад
Ибн ал-Кифти
Ибн Ирак Абу Наср Мансур
184, 187
Ибн Халдун
Илич М. (flic М.)
Исхак ибн Хунайн
Икауниекс Я.Я.
Имшепсцкий В.Г.
Иноходиев П.Б.
Пост Р. (Jost R.)
370
357
356,
360-362
357. 360
166, 175. 176
360
203
112. 120, 214
140
101
ал-Йазди Мухаммад Бакир 360-364
Именной указатель
395
Кавальсри Б. (Cavalieri В ) 107
Каган В.Ф. 138, 218, 219, 221, 222, 227
Каганович Л.И. 18
Казорати Ф. (Casorati F.) 85
Калинин М.И. 223
Кант И. (Kant I.) 145
Кантор Г. (Cantor G.) 86, 102
Кантор М. (Cantor М.) 85
Канторович Л.В. 189, 190, 194, 261
Карапетян А.Х. 189
Каратсо.юри К. (Carathcodory С.) 258
Карафоли Э. (Carafoli Е.) 260
Кардано Дж. (Cardano G.) 36, 37, 40,
45, 46, 51, 52
Кармайкл Р. (Carmichael R.) 248, 249
Карнап Р. (Carnap R.) 55
Карпенко Б.И. 181
Карпинский А.П. 223
Карра де Во Б. (Carra de Vaux В.) 358
Картап A. (Carlan Н.) 101
Картан Э. (Cartan Е.) 102, 220
Кац М. (Кас М.) 48
ал-Каши Гийас ад-Дин Джсмшпд 368
Кебе П (Koebc Р.) 89, 259
Кедров Б.М. 194
Келдыш Л. В. 200
Келдыш М.В 261
Кендалл М Дж. (Kendall M.G.) 194
Кснигсбсргер Л. ( Koenigsberger L.) Ill
Кеплер И. (Kepler J.) 13, 14, 19, 26, 68
Керенский А.Ф. 135
Кесслер К.Ф. 213
Кетле A. (Quetlel L.A.J.) 184
Кибсль И.А. 225
Киплинг Р. (Kipling R.) 188
Кнрко И.М. 203, 212
Киро С.Н. 113,123
Киров С.М. 223
Кирхгоф Г. (Kirchhoft G.) 259, 260
Клейн Ф. (Klein F.) Ill, 259, 261
Клиффорд У. (Clifford W.) 19
Клоков Ю.А. 207, 212
Ковалевская С.В 57, 59, 85. 214, 215
Ковалевский А О. 213
Ковальский М.Ф. 114, 115, 119
Ковалепков В.И. 205
Ковнер С.С. 217
Койре А. (Коуге А.) 8, 15, 165, 168-179
Колмогоров А.Н. 9, 10, 49-51, 53, 54,
140, 156, 188-194, 212,
222, 223, 225-227, 269
Колосов Г.В. 261
Колчин Э. 111
Кольман Э.Я. 193, 227
Коп A. (Connes А.) 81
Кондратьев Н.Д. 182, 183, 189
Конли Ч. (Conley Ch ) 66
Кони A. (Connes А.) 108
Концевич М. 81
Коперник Н.
(Copernicus N.) 12-16, 26, 32
Коробов Н.М. 8
Коркин А.Н. 92, 112, 214
Коста ибн Лука
ал-Балабакки 320, 356, 357, 367
Костицын А.В. 129, 131, 132, 156, 157
Костицын Б.А. 129
Костицын В.А.
(Kostitzin V.) 8, 128-162, 217
Костицына Надежда А 129
Костицына Нина А. 129
Костицына Ю.И.
(Kostitzin J.) 148,149,158
Кочин Н.Е. 260
Кочина П.Я.
(Полубаринова-Кочина П.Я.) 261
Коши О.Л. (Cauchy A.L.) 257
Коштоянц Х.С. 176
Коэн П. (Cohen Р.) 86
Кравчук М.Ф. 227
Крамер Г.
(Cramer G.) 233, 237, 239-244
Красин Л.Б. 141
Краузе М.( Krause М.) 361, 362
Крачковский С.Н. 199, 200, 202, 211
Кржижановский Г.М. 136
Крейн М.Г. 227
Кристоффель Э.Б.
(Christoffel Е.В.) 258
Кромвель О. (Cromwell О.) 14
Кронберг Э.Г. 199
Кронекер Л. (Kronecker L.) 59, 60
Крофтон М.В. (Crofton M.W.) 252, 253
Крупская Н.К. 131. 138, 148
Крылов А.Н. 130. 144, 150, 158, 216
Крылов В.И. 261
Крылов Н.М. 150
Кузнецов В.М. 261
Кузнецов П.И. 205, 212
Кузьмин P.O. 218, 227
Кулишер А.Р. 227
Кунин П.Е. 210
Купрадзе В.Д. 223, 227
Курно О. (Cournot А.) 43, 193
Кушниренко А.Г. 233
Кэли A. (Cayley А.) 58, 59
Кюнср Н. (Kuiper N.) 81
Лаврентьев М.А. 140, 225, 227, 261, 262
Лавуазье А.Л. (Lavoisier A.L.) 104
Лагранж Ж.Л. (Lagrange J.L.) 232, 256
Лагутинская Н.В. 123
Лагутинский М.Н. 111-126
396
Ладыженская О.А. 95, 96
Лазарев П.П. 141, 142, 152, 218
Ламберт И.Г. (Lambert J.H.) 256
Ламетри Ж. (Lamettrie J.) 27
Лам Лай Йонг (Lam Lay Yong) 347
Ландсберг Г. (Landsberg G.) 232
Ланфорд О. (Lanford О.) 80
Лапин А. И. 32
Лаплас П.С.
(Laplace P.S.) 10, 38, 52-54, 145
Лаппо-Данилевский И.А. 221
Латышев Г.А. 115
Лафорг Л. (Lafforgue L.) 81
Леви Б.Б. 204, 208
Леви-Строс К. (Levy-Strauss С.) 104
Лейбниц Г.В. (Leibniz G.W.) 37, 46, 47,
49, 50, 52, 232, 372
Лейст Э.Е 141
Лсксис В. (Lexis W.) 42, 184, 193
Леман Г. (Lehmann Н.) 80
Леиглендс Р. (Langlands R.) 75, 77
Ленин В.И. 134, 141, 179,
180, 187, 190, 193
Леодамант Фасский 316
Леонардо Пизанский (Leonardo
Pisano) 325, 326, 371, 374, 375
Лсонт 304
Лепин А.Я. 206-209, 212
Ле Руа Э. (Le Roy Е.) 93
Лсрэ Ж. (Lcrey J.) 93
Летников А.В. 112, 252
Лефшетц С. (Lcfschetz S.) 223, 225
Ли С. (LieS.) 111,125,246
Ли Т.Д. (Lee T.D.) 77
Ли Янь 348
Либих Ю. (Liebig J.) 29
Либри Г. (Libri G ) 85
Липделеф Э.Л. (Lindelof E.L.) 60
Лионе Ж.-Л. (Lions J.-L.) 108
Лиувилль Ж.
(Liouvillc J.) 111,112,233,258
Лихнерович A. (Lichnerowicz А.) 107
Лихтенштейн Л.
(Lichtenstein L.) 155, 159, 220
Ллибре И. (Llibre J.) 67
Лобачевский Н.И. 139, 222
Лозовой А. 185, 186, 193
Локоть Н.В. 8
Лорепн К. (Lorenz К.) 7, 28
Лосев А.Ф. 18, 19, 33
Лотка A. (Lotka А.) 153, 156
Лотман A. (Lautman А.) 102
Лузин Н.Н. 130, 131, 134, 139, 140,
142. 148, 150, 158, 216-218, 227
Луначарский А.В. 136, 137, 146—148
Лусис А.Я 204, 207, 212
Лысенко Т.Д. 191, 192, 194
Люстерник Л.А. 72,217,224.227-229
Люткемейер Г. (Liitkcmeycr G.) 94
Лютцен Е. (Lutzen J.) 58
Ляпунов А.М. 121
Мавролико Ф. (Mourolico F.) 361
Магавира 366
ал-Магриби Мухи ад-Дин 357-360
Мазья В.Г. 96
Майер А. (Мауег А.) 111
Маклаков А.А. 132
Маклейн С. (Mac Lane S.) 103
Максвелл Дж.К. (Maxwell J.C.) 41
Максимович В.П. 111
Макферсон Р. (MacPherson R.) 77
Мальцев А.И. 87
Мануйлов А.А. 131
Марков А.А. 184, 205, 214, 217
Маркс К. (Магх К.) 26, 190, 193
Маркушевич А.И. 167, 176
Марчевский М.Н. ИЗ, 121
ибн Матар Хаджжадж ибн Юсуф 360
Матвиевская Г.П. 8, 165, 361
Матиясевич Ю.В. 87
ал-Махани Абдаллах Мухаммад
ибн Иса 356, 360, 362
Мейер П.-А. (Meyer Р.-А.) 105
Менделеев Д.И. 214
Мендельсон А.С. 194
Менелай 355-357, 360-364
Менехм 338
Меньшов Д.Е. 131, 140, 217
Меркатор Г. (Mercator G.) 255
Мерсепн М. (Mcrsenne М.) 361
Мсстр Ж.М. де (Maistrc J.M. de) 32
Миели A. (Midi А.) 164, 166, 175
Мизес Р. фон (Mises R. von) 193
Миками И. (Mikami J.) 347, 350
ал-Микнаси Абу Абдаллах ибн
Мухаммад ал-Гази ал-Усмани
ал-Фаси 374, 375
Милнор Дж. (Milnor J.) 77
Мильбауэр Я. (Milbaucr J.) 176
Миндинг Ф.Г. 112, 115
Миранда М. (Miranda М.) 95, 96
Миттаг-Леффлер Г.
(Mittag-Leffler G.) 57-61, 72, 85, 215
Мишель Л. (Michel L ) 80
Млодзеевский Б.К. 140, 214
Мозер Ю. (Moser J.) 62, 64
Моисеев Н.Н. 129, 134, 135.
153, 154, 156
Молин Ф.Э. 219
Молотов В.М. 223
Монастырский М.И. 7, 100
Монж Г. (Monge G.) 359
Именной указатель
397
Монтгомери Д. (Montgomery D.) 77, 87
Моптсль П. (Montcl Р.) 79, 152, 220
Монтьон де Ж.-Б.
(Montyon de J.-В.) 155
Моптюкла Ж. (Montucla J.E.) 85
Моргенштерн О. (Morgenstern О.) 79
Морделл Л. (Mordcll L.) 107
Морду хай-Болтовской Д.Д. 111,112,
122, 124, 286, 315
Морозов Н.А. 32
Морри Ч. (Моггеу С.) 95, 96
Морс М (Morse М.) 76
Морфи Р. (Morphy R.) 252, 253
Мотчан Л. (Motchane L.) 79, 83
Муссолини Б. (Mussolini В.) 151
Мусхелишвили Н.И. 219, 227-229, 261
Мышкпс А.Д. 8
Мюллер И. (Mueller I.) 312
Мюнтц Г.М. 225
Мюнтц Ш. (Muntz Ch.) 98
Нагата М. (Nagata М.) 88
Нарайана 366
Нсйгсбауэр О. (Neugebauer О.) 319, 320
Нейман Дж. фон (Neumann J. von) 75,
76, 78, 79, 83, 87, 101
Нойштадт А.И 72
Некрасов А.И. 217, 219
Некрасов Н. 81
Некрасов П.А. 10, 248
Немец Б. (Nemec В.) 176
Немчинов В.С. 185, 187, 189-192
Немыцкий В.В. 207
Неоклид 304
Нетер Э. (Noether Е.) 101
Никомах 285. 288, 292, 293
Никулин В.В. 88
Ниренберг Л. (Nicrcnberg L.) 95
Новак М. (Nowak М.) 77
Новиков П.С. 87
Новожилов В.В. 190
Новосельский С.А. 186
Норр В. (Knorr W.R.) 306, 308, 312
Ньютон И. (Newton Г.) 14, 19, 25, 26,
31, 232- 244
Нюберг Н.Д. 217
Огурцов А.П. 38
Олаф II Святой 39
Оппенгеймер Р. (Oppenheimer R.) 82
Орлов М.Х 227
Осинский Н. (Оболенский В.В.) 185,
186, 192-194
Оскар II (Oskar II) 7, 57, 58, 72
Островитянов К.В. 187, 194
Павлов И.П. 27
Павловский Н.Н. 261
Паевский В.В. 186
Пайсрлс Р. (Pcicrls R.) 80
Папсдис Э.К. 205, 210
Партигул С.П. 187
Паршин А.Н. 100
Паскаль Б. (Pascal В.) 40, 43-46
Пачоли Л. (Pacioli L.) 325, 334. 375
Пенлеве П. (Painleve Р.) 124
Перепелкин Д.И. 217
Перес Ш. (Perez Ch.) 153, 158, 159
Петр I 14
Петров Ф.Н. 147
Петрова С.С. 9, 236
Петровский И Г. 88, 95, 140, 211, 218
Петросян Г.Б. 165
Пикар Э. (Picard Ch.E.) 90, 92-94, 111
Пирсон К. (Pearson К.) 180, 183,
184, 194
Пифагор 22, 23, 289, 292, 296,
299, 302, 304, 306, 307, 311
Платон 22-24, 31, 294, 304,
316, 319, 320
Племель И. (Plemelj J.) 89, 98
Плеханов Г.В. 134
Погребысский И.Б.
Покровский М.Н.
Полосухина О.Н.
Понтрягин Л.С.
Привалов И.И.
Прокл
Проскура Г.Ф.
Протагор
Птолемей К.
59, 61, 62, 165
136, 148
212
87. 225
140, 158, 218, 219
283, 304, 307, 336
260
308
16, 23, 255, 356
Птуха М.В. 187
Пуанкаре А. (Ро1псагё Н.) 7, 57-68, 70,
71, 85, 89, 92, 124, 143, 145, 148
Пуассон С. (Poisson S.) 52, 53
Пулль Э. (Poullc Е.) 166
Пушкин А.С. 37, 63
Пфейффср Г.В. 125, 219, 227
Пшеборский А.П. ИЗ, 115, 117, 118,
120-122, 124, 125
Пшеворска-Ролевич Д.
(Przcworska-Rolewicz D.) 159
Пюизе В. (Puiseux V.) 233
Пятницын Б.Н. 51
Рабинович И.М. 200, 201, 212
Размадзе А.М. 218, 219
Раевская О.В. 129
Рассел В.Г.Л. (Russell W.H.L.) 103,
247, 248, 250, 253
Редже Т. (Rcgge Т.) 77
Рейзинь Л.Э. 202, 204, 207, 212
Рейнгардт К. (Rcingardt К.) 88
Риекстыньш Э.Я. 204, 205, 212
Риман Б. (Riemann В.) 93. 257-259. 262
398
Ритт Д. (Ritt J.) Ill
Робертс C. (Roberts S ) 252
Рожанская М М. 8
Рожанская Ю.А. 217
Розенблют М. (Rosenbluth М.) 77
Розенфельд Б.А. 165
Романовский В.И. 181, 184, 193,
219. 227
Россинский С.Д. 217
Рудаев В.Я. 226
Руссо Ж.Ж (Rousseau J.) 32
Рутман М.А 206
Рыбкин Г.Ф. 168, 169, 173, 178
Рюэль Д. (Ruelle D.) 80
Рябенький В С. 269
Рябушкнп Т.В. 194
Сабит ибн Курра ал-Харрапи 356, 357
Сабо A. (Szabo А.) 305
Савич С.Е. 111
Сандал A. (Saidan А.) 374
Салтыков Н.Н. 116. 121, 150
Сарантопелло Э. (Sarantoiicllo Е ) 260
Сахаров А Д 210
Сегал Б. И 227-229
Седов Л.И 261
Селиванов Д.Ф. 150
Ссльберг A. (Selberg А.) 75, 77, 78
Сен-Симон К.А.
(Saint-Simon К.А. de) 26
Сервуа Ф. (Sersois F.J.) 253
Ссрджсску П. (Sergescu Р ) 166, 175
Серрс Ж. (Serre J.) 125
Сигал Г. (Segal G.) 82
Сильвестр Дж (Sylvester J., ) 58, 59
Снмо К. (Simo С.) 67
Сивцов Д.М 97,113,114,121,
122, 214, 218-221, 227
Ситников К.А. 67
Скудо Ф.М. (Seudo F.M.) 128, 129,
131, 134, 155, 156
Славутин Е.И. 326
Славяновский Я.Е
(Slawianowski J.J.) 38
Слуцкий Е Е. 194, 221
Смейл С. (Smale S.) 97, 98
Смирнов В.И. 218. 219. 224, 227
Смирнов Н.Н. 141
Смирнова Г.С. 319, 320, 322, 328, 330
Смнт-Фалькнср (Смит) М.Н. 182, 183,
186, 187, 190, 192. 193
Смолуховский М. (Smoluhowski М.) 55
Смоляк С.А. 269
Соболев С. Л 93, 224
Соболь В.А. 187
Сократ 35. 294
Сокулер З.А. 41
Соловьев А.Д.
Сонин Н.Я.
Сосюр Ф. де (Saussure F. de)
Спенсер Т (Spencer Т )
Споттисвуд В. (Spottiswoodc W.)
Срезневский И.И.
Сталин И. В.
Старовский В.Н.
9, 10
122, 214, 247
103
77
250
185
211, 223, 224
181, 183, 184,
186, 187, 192-194
115. 137, 214,
216, 217, 220
140, 217, 219,
222,
Стеклов В.А.
Степанов В. В.
224. 227
260
185
232
102
144, 157
8, 120
176
187, 194
223
156
80
366, 374
140
218, 219
221, 223. 227
78
Степанов Г.Ю.
Степанов Т.Ф.
Стирлинг Дж. (Stirling J.)
Стокс Дж. (Stokes G.G.)
Стратонов В.В.
Стрсльнып Ж.М. (Strelcyn J.)
Струве В.В.
Струмилин С.Г.
Субботин М.Ф.
Сукачев В.Н.
Суллсвап Д. (Sullivan D.)
Суньцзы
Суслин М.Я.
Суслов Г. К.
Супгкевич А.К.
Сэж М. (Sage М.)
185,
ат-Табари Абу Джафар Мухаммад
ибн Аййуб ибн Хасиб
Талашев Х.Х.
Тамаркин Я.Д.
Танияма Т. (Taniyama Т )
Таннери П (Tannery Р.)
Тартаковский В.А.
Тарталья Н. (Tartaglia N.)
Татон Р. (Taton R.)
Тевдий Магнезинский
Тейлор Б. (Taylor В.)
Теодосий
Теэтет
Тимирязев А. К.
Тимирязев К.А.
Тимофеев-Ресовский Н.В.
Тихомаидрицкий М.А.
374,
375
361
137
88
165
220
375
177
Токарева Т.А.
Том Р. (Thom R.)
Томсон Я М.
Топелли Л. (Tonelli L.)
Трещев Д.В.
Трубецкой Н.С.
Трусделл К. (Truesdell С.)
Турбин В.М.
166, 173,
304, 306, 315
232
354-360, 363
304, 305, 315
152
152, 191, 214
156
114, 118,
121. 122
8
80, 81
204
95
71
103
188
139
Именной указатель
399
ат Туси Насир ад-Дин 356-363
Тутубалин В.Н. 53, 54
Уайлс Э. (Wiles А.) 78, 107
Уайтсайд Д.Т. (Whiteside D.T.) 236
Узель К. (Houzel Ch.) 7
Уитни X. (Whitney Н.) 76
Уиттекер Э.Т (Whittaker Е Т ) 137
Умов Н.А. 260
Уральцева Н.Н. 96
Урысон П.С. 140, 217
Усманов Н К. 203, 212
Успенский Я.В. 216, 217
Фавар Ж. (Favard J.) 79
Фай Э.О. (Faye Н.А.) 145
Фалес 22, 23, 277, 282, 292, 310
Фалтингс Г. (Fallings G.) 107
Фейнман Р. (Feynman R.) 253
Феллер У. (Feller W.) 181
Фельдман Г.А. 194
Феодор Кнрепский 308, 312
Ферма П. (Fermat Р.) 40, 44-46, 108
Фесенков В. Г. 157
Феттер Г (Vetter Q.) 8, 166-169,
173, 176, 178
Феттерова А.
(Vetterova А.) 168, 169. 177
Фильчаков П.Ф. 261
Фиников С.П. 158, 217, 218, 221
Фихтенгольц Г.М. 137, 227
Фишер Р.А. (Fisher R.A.) 191
Флекснер A. (Flexner А.) 73-76, 83
Флемстид Дж. (Flamsteed J.) 40
Флоренский П.А. 130
Фогеле Э.К. 207,208,213
Фогель К. (Vogel К.) 8, 167, 168, 176
Фок В.А. 152, 221
Фолд Ф. (Fiild F.) 73-75
Фома Аквинский (Thomas Aquinatiis) 46
Фрагмен Э. (Fragman Е.) 60, 61
Франкль Ф.Н. 226
Фрейманс (Боже) Д.А. 207, 212
Фреге Г. (Frege G. F.L.) 103
Фредгольм И. (Fredholm I.) 143
Фрелих Ю. (Frohlich J.) 80
Фрейкс Дж. (Franks J.) 66, 72
Фридман М. (Freedman М. Н.) 108
Фридрихе К (Friedrichs С ) 93
Фукс И. (Fuchs I.) Ill
Фурье Ж.Б. (Fourier J.В.) 247
Фурье Ш (Fourier Ch ) 26
Хабуш В. (Haboush W.) 88
ал-Хазини Абу Мансур Абд
ар-Рахман 370-375
Хайям Гийас ад-Дин Абу-л-Фатх
Омар ибн Ибрахим 370
Ханыков Н.В. 375
ал-Харави Ахмад ибн Са'д 360, 362
Харадзе А.К. 227
Харгрев Ч. (Hargreave Ch.) 247, 249,
251, 252
Харди Г. (Hardy' G.H.) 87
Хариш-Чандра (Harish-Chandra) 77
Харламов В.М. 88
Харрис З.С. (Harris Z.S.) 103
Хассе Г. (Hasse Н.) 87, 88
Хастингс A (Hastings А.) 78
Хвольсон О.Д. 137, 144
Хворостин Г.К. 227
Хениня Н.А. 213
Хермандер Л. (Hfirmander L.) 77
Хингстон Н. (Kingston N.) 72
Хинчип А.Я. 140,217,218,227
Хис Т. (Heath T.L.) 302
Холщевников А.А. 227
Хопф Э. (Hopf Е.) 95
ал-Хорезми Абу Абдалла Мухаммад
ибн Муса ал-Маджуси 365, 367, 368
Хотимский В.Н. 181, 183, 189, 193
Хрущев Н.С. 180, 194
Хэйле Т. (Hales Т.) 78
Хэкинг И. (Hacking I.) 44, 46
Цендер Э. (Zender Е.) 66
Циннии Л. (Zippin L.) 87
Чайковский Ю.В. 7
Чаплыгин С.А. 140, 222. 227, 260, 262
Чеботарев Н.Г 221, 224, 227
Чебышев П.Л. 59, 214-217, 257
Чеидн Т В. (Chaundy T.W.) 253
Четвериков Н.С. 181, 182
Чжу Шицзе 8, 347, 351, 352
Чибисов С.В. 146
Чунров А.А. 180—182, 184, 194
Шафаревич И.Р 7, 87
Шварц Г.А. (Schwarz Н.А.) 98, 111,
258, 259, 262
Шварц Л. (Schwartz L.) 105
Шеваллс К (Chevalley С.) 87, 101
Шейнин О Б. 8, 165
Шекспир У (Shakespeare W.) 15
Шепелев П.В. 119
Шимура Г. (Shimura G.) 88
Шииг-Тунг-Яо (Shing-Tung-Yau) 77
Широков П.А. 227
Шмидт О.Ю. 136, 140, 148,
218-222, 227
Шнейдер Т. (Schneider Т.) 87
Шнирельмап Л.Г. 72, 87, 224, 227
Шоке Г. (Choquet G.) 79
Шридхара 366
Шринати 366
400
Штифель M. (Stifel М.) 375 Эрмит Ш. (Hermite Ch.) 58, 59
Штокало ИЗ. 165, 179 Эсхил 21
Шуберт Г. (Schubert Н ) 88 Эфроимсон В.П. 192
Шуберт Ф.И. 256 Юсупова Г.Э 8, 361
Шюке Н. (Chuquet N.) 375 Юханна ибн Юсуф 360
Шюрер Ф. 212 Юшкевич А.П. 8, 10, 131,
Щукарев А.Н. 119 164-179, 226, 371
Эванс Г.К. (Evans G.C.) 93 Якоби К.Г.Я.
Эгле И.Ю. 207, 209, 212 (Jacobi K.G.J.) 112, 257, 259
Эйдельман М.Р. 183 Якобсон P.O. 103, 104
Эйлер Л. (Euler L ) 93, 168, 233, Яковлев К.П. 147
241-244, 256, 257, 262, 373, 375 Ямвлих 285, 296, 297, 304
Эйнштейн A. (Einstein А.) 73, 75 Янг Ч. (Yang C.N.) 77
Экланд И. (Ekland I.) 41 Ян ков В.А. 8
Энгелис Г.К. 204, 212 Яновская С.А. 167, 176, 192,
Энгельс Ф. (Engels F.) 192, 193 193, 220, 226, 227
Энгельсов Я.Л. 202, 204, 205, 212 Янчевский С.А. 221
Эпопид 305, 319 Ян Хуэй 287, 352
Эпик Э.Ю. (Opik E.J.) 138 Яо Фан 350
Эратосфен 23, 24, 343 Ястремский Б.С. 182, 193, 194
ISBN 5-8037-0074-6
В выпуске публикуются:
статья И.Р.Шафаревича о кризисной ситуации,
в которую ввергает мир научно-техническая
революция XVII—XX вв.
и роли математики в ней;
результаты предпринятого Д.В.Аносовым
расследования одной «почти детективной
истории», случившейся с работой А. Пуанкаре
«О проблеме трех тел
и об уравнениях динамики»;
материалы о знаменитой речи Д. Гильберта
«Математические проблемы» (1900),
о роли Н.Бурбаки в истории математики,
об истории Принстонского института
перспективных исследований.
Разнообразен раздел сборника,
посвященный истории отечественной
математики: от первого на русском языке
биографического очерка о почти забытом
в нашей стране классике математической
биологии В.А.Костицыне (1883—1963)
до анализа материалов первых съездов
отечественных математиков
и формировании Советской математической
школы.
Завершают издание работы,
посвященные истории математического
анализа и математике античности
и средних веков (влиянию египетской
геометрии на греческую науку,
геометрическим исследованиям древних
греков, трактату Чжу Шицзе, арабской
математике и др.)
Сборник адресован лицам, интересующимся
математикой, путями ее развития
и местом в науке и культуре
ИСТОРИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ I 6(41)