Текст
Российская Академия Наук
Институт истории естествознания и техники
им. С.И.Вавилова
ИСТОРИКО-
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
ИССЛЕДОВАНИЯ
Вторая серия, выпуск 14 (49), 2011
РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК
Институт истории естествознания и техники им. С.И.Вавилова
ИСТОРИКО-
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
ИССЛЕДОВАНИЯ
Вторая серия
Выпуск 14(49)
Основаны в 1948 году
Г.Ф.Рыбкиным и А.П.Юшкевичем
«Я нус-К»
Москва
2011
Издание осуществлено при финансовой поддержке
Российского фонда фундаментальных исследований.
Проект №09-06-07038
УДК 51(091)
ББК 22.1г
И 902
Историко-математические исследования. Вторая серия. Выпуск 14(49). М.:
«Янус-К», 2011. С.368
ISBN 978-5-8037-0509-3
Редакционная коллегия:
С.С.Демидов (гл. редактор), А.И.Володарский (зав. отд. информации), Е.А.Зайцев,
И.О.Лютер, Ю.В.Прохоров, В.М.Тихомиров, Т.А.Токарева (отв. секретарь),
Ч.Форд (США)
Редакционный совет:
А.Г.Барабашев (Россия), У.Боттаццини (Италия), А.Граттан-Гинес (Великобрита-
ния), Дж.Даубен (США), Ж.Домбр (Франция), К.Жилэн (Франция), Э.Кноблох
(ФРГ), Р.Кук (США), Г.П.Матвиевская (Россия), Л.Новы (Чехия), Ж.Пайффер
(Франция), Л.Пепе (Италия), С.С.Петрова (Россия), Ж.-П.Пир (Люксембург),
Р.Рашед (Франция), М.М.Рожанская (Россия), К.Скриба (ФРГ), К.Фили (Греция),
М.Фолькертс (ФРГ), Я.Хогендайк (Нидерланды)
ISBN 978-5-8037-0509-3
© Коллектив авторов, 2011
Содержание
От редакции 7
МАТЕМАТИКА В СССР ЗА 70 ЛЕТ
Паршин А.Н. (Москва). Математика в Москве: у нас была
великая эпоха 11
Демидов С.С. (Москва). Джузеппе Пеано и российское
математическое сообщество его времени 25
Успенский В.А. (Москва). Колмогоров и филологические
науки. 40
Кибрик А.Е. (Москва). А.Н.Колмогоров и лингвистика 51
Визгин В.П. (Москва). Взаимодействие физиков и
математиков в советском атомном проекте
(1940-1950-е гг.) 53
К 100-ЛЕТИЮ СО ДНЯ РОЖДЕНИЯ Л.С.ПОНТРЯГИНА
Зеликин М.И. (Москва). Лев Семенович Понтрягин.
Воспоминания и размышления 77
Письма математика Л.С.Понтрягина к филологу
И.В.Мыльцыной (публикация, предисловие и примечания
А.И.Володарского и Т.А. Токаревой) 85
МАТЕМАТИКА АНТИЧНОСТИ И СРЕДНИХ ВЕКОВ
Хмуркин Г.Г (Москва). К вопросу о происхождении
индийских названий нуля. 92
Люшер И.О. (Москва). Об определениях и постулатах
в трактате «Предложения обоснования» ас-Самарканди и
комментарии к нему ар-Руми. 103
Морозов Б.Н., Симонов Р.А. (Москва). Нумерационные
разработки Стефана Пермского на Руси XIV века 136
СТАТЬИ РАЗЛИЧНОГО СОДЕРЖАНИЯ
Перминов В.Я. (Москва). Системно-генетическое
обоснование непротиворечивости математики 153
Полошовский Г.М. (Нижний Новгород). Топология
вещественных алгебраических кривых: история
и результаты 177
Шейнин О.Б.(Германия). Обратный закон больших чисел 212
Петрова С.С. (Москва). Об обвертывающих рядах
у Л.Эйлера: об одном забытом примере..............220
4
Барабашева Ю.М., Девяткова Г.Н., Тутубалин В.Н.,
Угер Е.Г. (Москва). Анализ работ Г.Ф.Гаузе о динамике
численностей видов в биологических сообществах 224
Шапошников В.А. (Москва). «Плотскость мысли»
(к философии математики о. Павла Флоренского) 242
Беркович Е.М. (Германия). Одиссея одной династии.
Триптих 266
НАШИ ПУБЛИКАЦИИ
Зайцев Е.А. (Москва). Криволинейные «неделимые»
Бонавентуры Кавальери (к публикации трактата
Кавальери «О величинах под спиралями») 297
Бонавентура Кавальери. О величинах под спиралями
(перевод с латинского и комментарии Е.А.Зайцева) 324
НАУЧНАЯ ХРОНИКА
Новые книги 346
Конференции. 347
Доклады на конференциях и семинарах по истории
математики. 348
ABSTRACTS 357
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ....................................361
Contents
Editorial 7
MATHEMATICS IN THE USSR FOR SEVENTY YEARS
Parshin A.N. (Moscow). Mathematics in Moscow:
we have had the great epoch 11
Demidov S.S. (Moscow). G.Peano and Russian
mathematical association of his time 25
Uspenskii V.A. (Moscow). Kolmogorov and philological
sciences 40
Kibrik A.E. (Moscow). A.N.Kolmogorov and linguistic 51
Vizgin V.P. (Moscow). The interaction of the physicists
and the mathematicians in the Soviet atomic project
(1940-1950th) 53
ON THE CENTENARY OF P.S.PONTRYAGIN
Zelikin M.I. (Moscow). Lev Semenovich Pontryagin.
Reminiscences and reflections 77
The letters written by mathematician L.S.Pontryagin
to philologist I.V.Myltsina (publication with commentaries
by A.I. Volodarsky and T.A.Tokareva) 85
MATHEMATICS IN ANTIQUITY AND MIDDLE AGES
Khmourkin G.G. (Moscow). On the problem of origination
of Indian zero names 92
Luyter I.O. (Moscow). On the definitions and postulates
in the treatise «Propositions of Substantiation»
(«Ashkal al-Ta’sis») of al-Samarqandi and commentary
on it by al-Rumi 103
Morozov B.N., Simonov R.A. (Moscow). Stefan Permskii’s
creation of numeration in the 14th c. Russia. 136
ARTICLES
Perminov V.Ya. (Moscow). The system-genetic
substantiation of consistency of mathematics 153
Polotovsky G.M. (Nizhnii Novgorod). The topology of real
algebraic curves: history and results 177
Sheynin O.B. (Germany). The inverse law of large numbers 212
Petrova S.S. (Moscow). On Euler’s enveloping series:
one forgotten example....................................220
6
Barabasheva Yu.M., Devyatkova G.N., Tutubalin V.N.,
Uger E.G. (Moscow). Analysis of Gause’s works
on population size in biological systems
Shaposhnikov V.A. (Moscow). Pavel Florensky’s
philosophy of mathematics
Berkovich E.M. (Germany). The Odyssey of a certain
dynasty. The Triptych
OUR PUBLICATIONS
Zaytsev E.A. (Moscow). Curvilinear «indivisibles»
of Bonaventura Cavalieri (on the occasion of the publication
of the treatise «On Magnitudes under Spirals» by Cavalieri)
Bonaventura Cavalieri. On Magnitudes under Spirals
(De spatijs helicis) (Russian translation from Latin
with comments by E.A.Zaytsev).
CURRENT SCIENTIFIC NEWS
New books
Conferences.
Papers presented at conferences and seminars on the history
of mathematics
ABSTRACTS
INDEX OF NAMES..............................................
224
242
266
297
324
346
347
348
357
361
От редакции
Одной из ведущих (наравне с американской и французской)
математических школ второй половины XX столетия стала Советс-
кая математическая школа. Сформировавшаяся в 1930-е гг. на ос-
новании, прежде всего, Московской школы теории функций
Д.Ф.Егорова - Н.Н.Лузина и Петербургской-Ленинградской шко-
лы, основанной П.Л.Чебышевым, Советская школа громко заявила
о себе в 1950-е гг. и продолжала свое бурное развитие в
1960-1970-е гг. Внешние обстоятельства начали замедлять этот
процесс в 1980-е гг. а разразившийся в стране кризис 1990-х боль-
но ударил по математикам и их исследованиям. Сложившаяся к се-
годняшнему дню в нашей математике ситуация стала темой статьи
нашего известного математика А.Н.Паршина «Математика в Моск-
ве: у нас была великая эпоха», которой открывается выпуск и пер-
вый его раздел - «Математика в СССР за 70 лет». В чем природа
этого удивительного феномена нашей культуры XX столетия - Со-
ветской математической школы? Что выделяет его из общего пото-
ка столь богатой событиями истории математики минувшего века?
Какова судьба отечественной математической школы? Ее предыс-
тория - роль российских провинциальных университетов в форми-
ровании тематики ее исследований - сюжет работы С.С.Демидова.
Изыскания А.Н.Колмогорова в области лингвистики стали предме-
том выступлений В.А.Успенского и А.Е.Кибрика на заседании
круглого стола «Математика и филология», прошедшем весной
2009 г. на филологическом факультете МГУ им. М.В.Ломоносова.
Об участии отечественных математиков в работах по советскому
атомному проекту (1940-1950-е гг.) пишет В.П.Визгин.
К этим материалам естественным образом примыкает второй
раздел, посвященный 100-летию со дня рождения выдающегося
математика XX столетия Л.С.Понтрягина (1908-1988). В нем пуб-
ликуются статья его ученика М.И.Зеликина и письма Льва Семе-
новича 1940-1942 гг. к его знакомой, филологу И.В.Мыльцыной.
Третий, традиционный для нашего издания, раздел - «Мате-
матика античности и средних веков» - очень разнообразен по со-
держанию: от исследований о происхождении нуля и об одном
трактате ас-Самарканди (XIII-XIV вв.) до работы Б.Н.Морозова
и Р.А.Симонова о нумерационных разработках Стефана Пермского
(XIV в.).
8
Раздел «Статьи различного содержания» включает: работу
В.Я.Перминова об основаниях математического знания; исследова-
ние Г.М.Полотовского о топологии вещественных алгебраических
кривых; заметку О.Б.Шейнина об обратном законе больших чи-
сел; статью С.С.Петровой Об обвертывающих рядах у Л.Эйлера;
анализ Ю.М.Барабашевой, Г. Н. Девятковой, В. Н. Туту бал ина и
Е.Г.Угер трудов Г.Ф.Гаузе о динамике численностей видов в био-
логических сообществах; материалы по философии математики о.
Павла Флоренского; а также рассказ о династии немецких матема-
тиков Нётер - М.Нётере (1844-1921) и его детях, знаменитой ал-
гебраистке Э.Нётер (1882-1935) и жертве сталинского Гулага
Ф.Нётер (1884-1941).
Завершает сборник публикация трактата Бонавентуры Каваль-
ери «О величинах под спиралями», комментированный перевод
которого, предваренный статьей «Криволинейные «неделимые»
Бонавентуры Кавальери», подготовлен Е.А.Зайцевым.
♦ ♦ ♦
В 2009 году исполнилось 90 лет известному украинскому исто-
рику математики Вячеславу Алексеевичу Добровольскому. Его ра-
боты по истории отечественной математики и истории теории диф-
ференциальных уравнений пользуются широкой и заслуженной из-
вестностью. Вячеслав Алексеевич наш постоянный автор. Ред-
коллегия поздравляет В.А.Добровольского со славным юбилеем и
желает ему крепкого здоровья, благополучия и дальнейших твор-
ческих успехов.
♦ * ♦
В 2009 году исполнилось 80 лет известному российскому исто-
рику науки Рэму Александровичу Симонову Крупнейший знаток
древнерусской математической культуры, автор нескольких заме-
чательных книг и большого количества статей, Рэм Александрович
- наш постоянный автор. Одна из его последних работ украшает и
настоящий выпуск. Редколлегия поздравляет Р. А. Симонова со
славным юбилеем и желает ему крепкого здоровья, благополучия и
дальнейших творческих успехов.
♦ ♦ ♦
В 2009 году исполнилось 70 лет известному российскому исто-
рику математики профессору Пермского педагогического универси-
тета Алле Ефимовне Малых. Ее работы по истории комбинаторно-
го анализа получили широкую известность. В этой области ею соз-
дана большая и активно работающая школа. Редколлегия поздрав-
ляет Аллу Ефимовну со славным юбилеем и желает ей крепкого
здоровья, благополучия и дальнейших творческих успехов.
9
ГАЛИНА ПАВЛОВНА МАТВИЕВСКАЯ
В 2010 году исполнилось 80 лет выдающемуся российскому ис-
торику науки, действительному члену Международной академии
истории науки, действительному члену Академии наук Узбекиста-
на Галине Павловне Матвиевской. Галина Павловна родилась 13
июля 1930 г. в г.Днепропетровске. В 1954 году окончила математи-
ко-механический факультет Ленинградского университета и посту-
пила в аспирантуру Ленинградского отделения Института истории
естествознания и техники АН СССР, где ее научным руководите-
лем был академик В.И.Смирнов. В 1958-1959 гг. работала в Ле-
нинградском отделении Института истории естествознания и техни-
ки АН СССР, где в 1959 г. защитила кандидатскую диссертацию
на тему «Неопубликованные рукописи Леонарда Эйлера по теории
чисел». В 1959 г. переехала в Ташкент, где до 1994 г. работала в
Институте математики им. В.И.Романовского АН УзССР В
1968 г. защитила докторскую диссертацию на тему «Учение о чис-
ле в средние века». В 1994 г. переехала в г Оренбург, где работа-
ет профессором Оренбургского государственного педагогического
университета. Ее результаты по истории математики в Средние
века (прежде всего на Арабском Востоке) и в эпоху Возрождения,
а также по истории теории чисел принадлежат к числу крупней-
ших отечественных историко-математических достижений XX сто-
летия. В последние годы Оренбургское краеведение естественным
образом расширило сферу ее интересов.
Ею создана большая и активно работающая историко-матема-
тическая школа, представители которой трудятся в различных
странах. Галина Павловна постоянный автор нашего издания, а с
1995 года является членом его редакционного совета.
Редколлегия поздравляет Галину Павловну Матвиевскую со
славным юбилеем и желает ей крепкого здоровья, благополучия и
дальнейших творческих успехов.
Избранные работы Г.П.Матвиевской
1. О неопубликованных рукописях Эйлера по диофантову анализу / / Историко-ма-
тематические исследования. М., 1960. Вып.13. С.107-186.
2. «Постулат Бертрана» в записных книжках Эйлера // Историко-математические
исследования. М., 1961. Вып.14. С.285-288.
3. К истории математики Средней Азии IX-XV вв. Ташкент, 1962.
4. Неопубликованные записи Эйлера по «partition numerorum» // Историко-мате-
матические исследования. М. 1965. Вып.16. С. 145-180. (Совм. с А.А.Киселе-
вым.)
5. Учение о числе на средневековом Ближнем и Среднем Востоке. Ташкент, 1967
6. Развитие учения о числе в Европе до XVII в. Ташкент, 1971.
7 Математика и астрономия у Беруни. Ташкент, 1973. (Совм. с С.Х.Сираждиновым
и А.Ахмедовым.)
8. Рене Декарт. М., 1976.
10
9. Абу Райхан Биру ни и его математические труды. М. 1978. (Совм. с С.Х.Сиражди-
новым.)
10. Математические и астрономические рукописи ученых Средней Азии X-XVIII вв.
Ташкент, 1981. (Совм. с Х.Тллашевым.)
И. Рамус (1515-1572). М. 1981.
12. Из истории математических идей. Становление плоской и сферической тригоно-
метрии. М. 1982.
13. Ал-Хорезми - выдающийся математик и астроном средневековья. М. 1983. (Совм.
с С.Х.Сираждиновым.)
14. Математики и астрономы мусульманского средневековья и их труды (VIII—XVII
вв.). В 3-х кн. М. 1983. Кн.1-3. (Совм. с Б.А.Розенфельдом.)
15. Альбрехт Дюрер - ученый. М. 1987
16. Рене Декарт. М. 1987
17 Очерки истории тригонометрии. Ташкент, 1990.
18. Всеволод Иванович Романовский (1879-1954). М. 1997 (Совм. с А.Н.Боголюбо-
вым.)
19. Улугбек (1394-1449). М. 1997 (Совм. с 3.К.Соколовской.)
20. Насир ад-Дин аг-Туси и его труды по математике и астрономии в библиотеках Сан-
кт-Петербурга, Казани, Ташкента и Душанбе. М. 1999. (Совм. с М.М.Рожанской
и И.О.Лютер.)
21. Институт математики Академии наук Узбекистана. Ташкент, 2001. (Совм.
Р. И. Му хамед хановой.)
22. Владимир Иванович Даль. М. 2002. (Совм. с И.К.Зубовой.)
23. Яков Владимирович Ханыков. М., 2006.
24. Елена Петровна Ожигова. СПб. 2008. (Совм. с Л. И. Брылеве кой.)
25. Жизнь и деятельность П.И.Рычкова. Т.2. Оренбург, 2009. (Составитель и автор
предисловия).
#**
3 июня 2010 года на 73 году жизни скончался наш автор, один
из крупнейших математиков XX века Владимир Игоревич Арнольд.
МАТЕМАТИКА В СССР ЗА 70 ЛЕТ
МАТЕМАТИКА В МОСКВЕ:
У НАС БЫЛА ВЕЛИКАЯ ЭПОХА1
А.Н. Паршин
За последний год оживился интерес к тому, что с нами будет.
Я знаю, по крайней мере, два таких, как теперь говорят, круглых
стола, где обсуждалось состояние нашей математики, ее истоки и
перспективы. Один был в декабре, в Петербурге, в Петербургском
отделении Математического института им. В.А.Стеклова РАН,
другой - в феврале, на философском факультете Московского го-
сударственного университета им. М.В.Ломоносова2
Об этом, конечно, можно много говорить, и я бы хотел раз-
бить свое выступление на три части:
что было,
что есть и
что будет.
В предыдущем выступлении С.С.Демидов очертил нам, пожа-
луй, главное, что было в советской математике - это школы. Шко-
ла это сообщество людей, которые занимаются одной областью на-
уки, тесно общаются друг с другом, имеют лидера-учителя, одни
поколения передают другим поколениям непрерывную эстафету и
все это образует единый целостный организм.
Всем известна школа Н.Н.Лузина, из которой почти все и
вышло, школа А.Н.Колмогорова, школа И.М.Гельфанда, школа
И.Р.Шафаревича, школа Л.С.Понтрягина.
Я буду здесь говорить о том, что всплыло в моей памяти, что
мне наиболее близко. Мои примеры будут, конечно, достаточно
произвольны, а оценки субъективны. Но этого не избежать, если
стараться говорить искренне, а иначе обсуждать такие вопросы и
не стоит.
12
МАТЕМАТИКА В СССР ЗА 70 ЛЕТ
Говоря словами Э.В.Лимонова, у нас действительно была «ве-
ликая эпоха»! Ее место действия мехмат МГУ 60-70-е гг. XX
века3. Я тогда начинал учиться (вместе с Сергеем Сергеевичем).
Мы пришли на мехмат в 1959 г., и можно сказать, что вся эпоха
прошла на моих глазах.
Представьте себе аудиторию 16-10 в МГУ и заседает не мос-
ковское математическое общество, где в те годы аудитория была
заполнена целиком, а семинар по теории деформаций комплексных
структур, разбираются только что появившиеся работы К.Кодаиры
и Дж.Спенсера, стоящие на стыке комплексного анализа, теории
эллиптических уравнений и геометрии. Эти работы решили изу-
чить три человека: Евгений Борисович Дынкин, чья специальность
- теория марковских процессов и теория групп Ли, Михаил Ми-
хайлович Постников, один из создателей алгебраической тополо-
гии, и Игорь Ростиславович Шафаревич, известный своими рабо-
тами по алгебраической теории чисел и теории Галуа. Все трое
были довольно далеки от избранной темы, но, тем не менее, устро-
или такой семинар. И аудитория была если и не забита, то почти
полна. Сейчас такое невозможно себе представить. Я был тогда на
втором курсе и ходил на этот семинар.
Другое мое воспоминание: в те же годы Шафаревичем созда-
валась наша школа алгебраической геометрии. Она началась семи-
наром Шафаревича по теории алгебраических поверхностей. Ал-
гебраические кривые были к тому времени достаточно хорошо ос-
воены, а вот с поверхностями ситуация была очень непростой. Тео-
рия поверхностей имелась, но в рамках итальянской алгебраичес-
кой геометрии, которая создавалась в XIX в. и которую никто не
понимал. Была, например, итальянская книга Ф.Севери по алгеб-
раическим поверхностям, написанная на своеобразном языке, весь-
ма далеком от того как пишутся математические тексты в наше
время. Тем не менее ее прочитали и изучили. Семинар длился два
года. Потом была издана книга в трудах Математического институ-
та им. В.А.Стеклова, где все главы об алгебраических поверхнос-
тях будущие темы нашей алгебраической геометрии, которые
вышли из этого семинара и которые потом развились во внуши-
тельные разделы нашей науки4. Семинар И.Р.Шафаревича про-
должается до сих пор.
Если вспомнить более позднее время, то у меня в памяти вста-
ет семинар В.И.Арнольда. Это было уже в середине или конце
60-х годов. Тогда должна была выйти книга Джона Милнора по
теории Морса и Милнор прислал Арнольду ее гранки. В этой кни-
ге одна глава - замечательный курс римановой геометрии (лучше-
го изложения я не знаю). Арнольд разбил всю книгу на куски и
раздал ученикам. Доклады по этой книге шли целый год. Как это
А. Н. Паршин
13
происходило? Каждый докладчик давал нужные определения (век-
торные поля, индексы геодезических и пр.), подробно проводил
все оценки, писал много формул. Все слушали, записывали. За 5
минут до конца Арнольд вставал, подходил к доске, брал мел, вы-
бирал пустой уголок доски и аккуратно рисовал картинку. Вот,
смотрите! Все смотрели и все было ясно и без формул! Вот такая
была наука, вот такая была среда.
Я помню Арнольда на семинарах И.М.Гельфанда, когда Гель-
фанд объяснял ему, что такое симплектическая форма и чем ее ге-
ометрия отличается от евклидовой геометрии квадратичных форм.
Это все происходило прямо на каком-то докладе на совсем другую
тему. Слово «симплектическая» тогда еще не звучало, и Арнольд
наверное и не подозревал, что пройдет время и он станет одним из
основателей симплектической геометрии.
О семинаре Гельфанда многое можно рассказать. Я ходил туда
несколько лет, когда был студентом. Это было весьма удивитель-
ное действо: неизвестно, когда он начнется, что на нем будет и ког-
да кончится. Я хорошо помню, что в начале 60-х гг. о чем бы ни
был доклад, о преобразовании Лапласа, о дифференциальных
уравнениях, о теории представлений, Гельфанд неизменно спраши-
вал, что такое топологическое векторное пространство (имелось в
виду бесконечномерное пространство). Все молчали, а он говорил:
я думаю, это категория конечномерных пространств. Это я хорошо
запомнил. Удивительным образом недавно в алгебре появилось по-
нятие и-векторных пространств, где 1-векторные пространства суть
любые конечномерные пространства, а следующая ступень, 2-век-
торные пространства - это категории конечномерных пространств.
В точности то, что тогда мучило Гельфанда.
И вот на фоне такого социума в те годы происходил переворот
в математике. Разгорелось пламя, охватившее, преобразовавшее и
сплотившее почти воедино такие науки, как алгебраическая геомет-
рия, алгебраическая и дифференциальная топология, комплексный
анализ, динамические системы, алгебры и группы Ли, теория
представлений, дифференциальная геометрия, автоморфные функ-
ции и дискретные группы, теория чисел, та ее часть, которая вдох-
новлялась и находилась под влиянием топологии и той же алгебра-
ической геометрии. Это была, конечно же, не вся математика, но
очень большая ее часть. Ею занимался огромный круг людей, каж-
дый какой-то своей областью, но при этом все интересовались
всем. Не было никакого обособления, столь характерного для на-
шего времени. Например, на семинаре Шафаревича после доклада
о диофантовых уравнениях следующий доклад мог быть об ограни-
ченных областях в комплексных многообразиях. Тем не менее, все
слушали с интересом и старались все понять. Такая широта инте-
14
МАТЕМАТИКА В СССР ЗА 70 ЛЕТ
ресов не замыкалась только на одну математику, но и распростра-
нялась совсем на другое. Тогда т.н. «чистые» математики интере-
совались не только прикладными задачами или физикой, но и мно-
гими гуманитарными науками. В те годы появлялись работы Кол-
могорова о стихосложении, Гельфанд вел параллельно со своим
большим семинаром семинар по физиологии клетки. Я помню в
студенческие годы семинар по дескриптивной лингвистике. Шел он
не где-нибудь, а в аудитории 01, на первом этаже главного здания
Московского университета5
Можно ли себе такое представить семинар по лингвистике
на мехмате МГУ? Кто же его вел? Андрей Андреевич Марков,
Владимир Андреевич Успенский, оба логики, и тогда еще совсем
молодой лингвист Андрей Анатольевич Зализняк. Он знал все
мыслимые языки, и когда возникал какой-то вопрос, то тут же го-
ворил: в турецком это так, а в суахили вот так-то. На семинаре
разбирали американскую книжку Глисона по дескриптивной линг-
вистике. В ней были упражнения, они давались на дом и каждый
раз Андрей Андреевич спрашивал: было задано три упражнения,
кто сделал первое упражнение? И первым, совсем как пионер, не
поднимал руку, а ставил ее на парту уголком.
И конечно же это дополнялось весьма обширной культурной
жизнью, в широком смысле: походы на природу и на концерты в
консерваторию. На хорошем концерте можно было всегда увидеть
не одно знакомое мехматское лицо. Этот социум цементировался
еще и общностью политических взглядов, в значительной степени
диссидентского свойства. Хотя и были некоторые вариации (при-
ведшие впоследствии к расхождениям принципиального характе-
ра), отношение к таким событиям, как Чехословакия-68 или посад-
ка в психушку А.С.Есенина-Вольпина было вполне единодушным.
Реакция на последнее в виде письма 99-ти стала хорошо известна.
Участие в нем попортило жизнь (прежде всего поездки заграницу)
многим.
Можно еще многое вспоминать, но хотелось бы не только
вспоминать но и попробовать понять, чем этот замечательный
взлет был обусловлен. Теперь, спустя столько лет, это не только
можно, но, думаю, просто необходимо.
Говоря о широте интересов и интенсивности общения между
специалистами в разных областях, я не хочу сказать, что это было
какой-то особой привилегией советской школы. Похожее можно
найти и в других странах, хотя, может быть, и не в такой степе-
ни6 В конце советской эпохи было задумано и в значительной сте-
пени осуществлено грандиозное предприятие - Энциклопедия всей
современной математики. Инициированное Р.В.Гамкрелидзе, она
задумывалось по образцу немецкой «Encyclopedic der mathema-
А.Н .Паршин
15
tischen Wissenschaften». Называлась весьма занудно, как подсерия
одного из серийных изданий ВИНИТИ. Это потом ее стал переиз-
давать Springer в прекрасном оформлении и с таким названием7
Замысел был изложить основные идеи всех областей математики
так как они понимались в нашей школе, с многочисленными при-
мерами, мотивировками всех определений (откуда что возникает и
для чего), можно сказать, в максимально небурбакистском стиле.
Хотя я должен сказать, что к Бурбаки отношусь вполне хорошо, я
сам вырос на книгах Бурбаки. И вообще в математике можно и
нужно писать по-разному. Математика весьма разносторонняя
наука, и в ней есть совсем разные стили.
Думая уже теперь о причинах нашего взлета в те годы, я при-
шел в выводу, на первый взгляд, неожиданному и парадоксально-
му. В математическом сообществе была проблема, которую оно пе-
реживало, можно сказать, весьма мучительно. Это проблема изо-
ляции. Все знают, что поездки заграницу, если и были, то для
немногих. Литературу доставать было весьма непросто. Да и к нам
приезжало не так много математиков.
Помню в 60-х гг. появились у нас записки гарвардских семи-
наров, напечатанные на IBM-овской машинке и переплетенные в
красный картон. У этой машинки был такой круглый шарик со
всеми знаками и можно было отстукать статью с любыми формула-
ми. Такими был записки семинара Майкла Артина по этальным
когомологиям и лекций Дэвида Мамфорда по тета-функциям. Ког-
да такое сокровище появлялось, то был некто - счастливый его об-
ладатель. А остальным доставалось взглянуть, потрогать, попро-
сить на ночь и т.д. Сейчас, в эпоху электронных архивов и библи-
отек, это кажется совершенно диким.
В конце 60-х гг. к нам приезжал Джон Тейт из Америки. Тог-
да как раз создавалась алгебраическая К-теория. Его привезли в
«Стекловку», в отдел алгебры, который был набит битком, сидеть
было негде. Тейт даже здороваться не стал, сразу подошел к на-
шей занюханной доске и стал писать определение группы Так
он полтора часа объяснял определение, откуда что берется и что к
чему. Вопросы сыпались. И только потом напряжение спало, и по-
шел обычный разговор, как жизнь и т.д.
Надо сказать, что гораздо позже, в начале 80-х, и американцы
внесли свой вклад в нашу изоляцию. Когда началась афганская
война, американскими властями был наложен запрет на поездки
американских ученых к нам. Тогда Мамфорд придумал замеча-
тельную вещь. Если какой-то математик находился в Европе, то он
покупал тур и спокойненько ехал в Москву. И проблем не было
никаких. По его словам, это удобно и совсем недорого. Когда он
16
МАТЕМАТИКА В СССР ЗА 70 ЛЕТ
приехал к нам таким образом, то были, конечно, проблемы, как
провести его в институт, устроить лекцию и т.п. Не помню уже
как мы это делали, но помню встречу на целый день в какой-то
квартире, в «хрущевке» недалеко от института. Была весна, выш-
ли на балкон. Нас было человек пять, из семинара Шафаревича.
Он знал все наши работы, знал имена, а лица, конечно же, нет. И
началось: вот вы кто?, а - «векторные расслоения», а вы - «мно-
гообразия Фано», а вы - «поверхности КЗ» и т.д.
Так что контакты какие-то у нас были, да и информация все
же доходила. Письма как сейчас идут две недели, так и тогда шли
две недели, если доходили, конечно. Так чему же был обязан нео-
быкновенный взлет нашей школы? Были ли какие-то причины,
специфические именно для нас? Я думаю, что изоляция сыграла в
этом существенную роль. Тогда мы переживали сильно эту невоз-
можность или редкость контактов. Сейчас мои ученики, совсем мо-
лодые, были заграницей в несколько раз больше чем я за всю
жизнь. В наше время, если и пускали, то до последней минуты не
знаешь, поедешь или нет. Тем не менее, теперь, спустя много лет,
в ретроспективе, я считаю, что изоляция в математике была не
только очевидным злом, но и в какой-то степени благом.
Я хочу проиллюстрировать свою мысль таким сравнением из
области биологии. В эволюции живых существ, как она понимает-
ся в современной науке, изоляция играет очень существенную роль
в возникновении и развитии новых таксонов. При возникновении
совсем нового свойства изоляция дает возможность ему закрепить-
ся. Классический пример из всех учебников - это сумчатые в Авс-
тралии или Южной Америке8 Именно, их изолированность спо-
собствовала тому, что идея сумчатости, появившись там, расцвела
параллельно у самых разных видов. Я думаю, это можно отнести и
к эволюции идей в науке.
Я не хотел бы считать изоляцию определяющей причиной
(позже я приведу примеры того, как расцвел в те годы культ нау-
ки, что было другим значимым фактором), но одной из основных,
она, безусловно, была9
Такие вот мысли о нашем прошлом. Теперь что случилось,
когда Советский Союз рухнул. Новое время началось с 90-х гг.
Огромное количество людей уехало. Неверно, что уезжать стали
после 1991 г., когда жить стало, мягко говоря, трудно. Уезжать
начали, как только это стало возможно. В 1986 г. был конгресс в
Беркли, туда не пустили очень много народа, а уже через два года
можно было ехать куда угодно. И народ поехал, кто куда. Теперь
почти все университеты в Америке, в Англии, во Франции и даже
в Новой Зеландии, если и не забиты нашими людьми, то содержат
А.Н.Паршин
17
весьма ощутимое их количество, это тоже наш «экспорт», не толь-
ко нефть и газ. Для понимания нашего будущего важно понять
состав нашей диаспоры, причины ее породившие. Причины были
разные и тут не место входить в их подробное обсуждение, но вот
отношение уехавших к тому, что здесь осталось, это отношение об-
судить стоит. Это немаловажно для нашего будущего. Отношение
это было и есть очень разное. Вот два примера, весьма полярных.
Один полюс - это люди, сохранившие позиции в своих российских
институтах. Они часто приезжают сюда, делают доклады, иногда
читают лекции. Я знаю даже одного математика, работающего в
Штатах, который провел в Москве свой академический отпуск и
прочитал целый курс лекций для студентов.
Но есть и другой полюс, люди, которые уехали навсегда и для
которых «пропади здесь все пропадом». Вот известная история из
близкой нам науки - физики. Наверное, многие слышали выска-
зывания недавнего нобелевского лауреата А.А.Абрикосова (кто не
слышал без труда может найти их в сети). В такой среде абсолют-
но доминирует точка зрения, что все, кто могут, должны уехать.
Вот характерные слоганы: «все лучшие люди там», или «есть кон-
вертируемые математики и есть неконвертируемые». Понятно, кто
где!
Для меня лично было большим шоком, что многие мои друзья
и хорошие знакомые уехали на Запад. В течение всех 90-х гг. мне
в самых разных местах западные коллеги постоянно задавали один
и тот же вопрос: аге you still in Moscow? Существовал весьма
большой социум, для которого выглядело диким, что вот есть че-
ловек, вроде бы нормальный и чего он «там» делает?! Такое отно-
шение было и, в какой-то мере, осталось. Тем не менее обстановка
в нулевые годы стала постепенно меняться. Причины этого разные.
Одна состоит в том, что многие уехавшие увидели, что здесь не все
рухнуло. Далее, проблемы, возникающие перед наукой и научным
сообществом, существуют и здесь и там и, если они и неодинако-
вы, то все же имеется много общего. В последние три-четыре года
наметился, конечно, не поток, а скорее ручеек людей, которые все
более и более ориентированы на жизнь здесь. Люди чаще приезжа-
ют. В институте Стеклова появились позиции на пять месяцев, ко-
торые заполняются все больше. Есть люди, которые решили вооб-
ще вернуться сюда после десятилетнего и более пребывания на За-
паде. Их немного, но и это дает какую-то надежду. Тем более, что
за последние годы в России появляется все больше молодых лю-
дей, желающих заниматься математикой ради нее самой и не очень
рвущихся уехать на Запад.
Теперь я перехожу к тому, что с нами будет. Говорить об этом
пространно я не дерзаю, но какими-то своими мыслями и сомнени-
18
МАТЕМАТИКА В СССР ЗА 70 ЛЕТ
ями по поводу нашего будущего я хочу поделиться. Если говорить
о математике как таковой, то я не вижу никаких причин для сом-
нений. Наука наша развивается вполне успешно. Создаются тео-
рии поразительной красоты. Решаются великие проблемы. В 90-х
гг. Эндрю Вайле доказал теорему Ферма, в нулевые годы Г.Я.Пе-
рельман доказал гипотезу А.Пуанкаре. Но вот стиль работ заметно
меняется.
Свое доказательство Вайле объявил в Кембридже, в мае
1993 г. Все было неожиданно, заранее никто ничего не знал. По-
том стало известно, что есть текст, но его давали особо доверен-
ным людям, которым нельзя было и говорить, что он у них есть.
Через полгода было объявлено об ошибке, ее стали исправлять и
лишь позже появились публикации. А вот как было дело с работой
Перельмана спустя более чем 10 лет. Он написал три текста с ин-
тервалом в год и тут же помещал их в архив, который можно чи-
тать в любой точке земного шара. Из того, что он предложил, сра-
зу вытекала гипотеза Пуанкаре, но он даже не стал об этом пи-
сать. Это было и так ясно. Впоследствии несколько групп матема-
тиков очень подробно изложили доказательство Перельмана и
опубликовали свои изложения.
Вернемся к будущему. Что очевидно будет меняться и уже ме-
няется это отношение общества к математике и к науке вообще. За
последние 10-20 лет резкий рост враждебности к науке происхо-
дит в обществе, и у нас, и на Западе. Это совершенно очевидно, и
особенно видно на фоне того отношения к науке, которое было у
нас в недавнем советском прошлом.
Ясно, какое было отношение к науке в среде интеллигенции,
но оно было весьма положительным и в среде правящего класса,
включая самые верхи. Как можно понять отношение начальства,
так это куда они отдают учиться своих детей. Понятно, что боль-
шая часть детей шла в МГИМО, во внешнюю торговлю. Но ощу-
тимая часть шла в науку. Причем дети самой верхушки, членов
Политбюро. Известные примеры: сын П.Е.Шелеста - физик, внук
А.Н.Косыгина - математик, дочь В.В.Гришина заведует кафедрой
на филологическом в МГУ сын Г.М.Маленкова - биофизик10
Тогда быть в науке считалось престижным. Конечно, это было
обусловлено фантастическими успехами самой науки, ее приложе-
ниями. Вспомним атомный проект и полеты в космос. Я помню,
когда запустили Юрия Гагарина, на Красной площади был митинг
и мы шли в колонне Московского университета. В ней были сту-
денты, мы с Сергеем Сергеевичем, студенты второго курса, но с
нами шел и старейший профессор МГУ С.П.Фиников. Мы дошли
до подъема на Красную площадь справа от Исторического музея и
тут объявили, что митинг закончен. Через минуту мы бы увидели
А. Н. Паршин
19
Гагарина, а тут все, конец. С нами двигалась тяжелая тележка с
огромной ракетой и были среди нас горячие арабские студенты. В
итоге пошли мы на штурм цепи милиционеров. Конечно, не проби-
лись, но энтузиазм был огромный.
Что было в 90-е все знают, нет нужды подробно рассказывать.
Но вот несколько историй (анекдотов), вполне знаковых для той
эпохи: «Странно, мы им зарплату перестали платить, а они все хо-
дят, чего-то там делают, измеряют, считают. Может деньги за вход
брать?». «Экономика у нас как у Турции, а почему наука должна
быть лучше (больше)?», «(в кабинете высокого начальства) И по-
чему мы должны вас поддержать? Но мы же атомный проект дела-
ли! А надо ли было его делать?»
Сейчас отношение несколько изменилось, но в сторону требо-
ваний непременных и немедленных приложений, выходов в техно-
логии. Такое было и в советское время, но тогда были организато-
ры науки, которые умели верхам объяснить, что никаких серьез-
ных приложений без развития совсем «чистой» науки быть не мо-
жет. Вот свежий пример такой деляческой идеологии. Осенью в
«НГ-наука» появилась статья на целую полосу с подробным сче-
том, что в науке не так. Есть там такие замечательные советы:
есть, мол, такой мех-мат МГУ и чем там эти ученые занимаются?
Имеются, конечно, серьезные кафедры, но есть и совсем безобраз-
ные, ну никому ненужные, такие как кафедры геометрии или топо-
логии. То, что автор человек невежественный, это понятно11 Ему
невдомек, что без теории эллиптических кривых (раздел геомет-
рии) невозможно быстро и безопасно перевести деньги из одной
точки земного шара в другую. Вся новейшая криптография на том
основана. Целые математические институты так спасались в ель-
цинские годы, помогая делать финансовые проводки по нашей бес-
крайней родине12.
Чтобы понять изменившуюся ментальность, еще один пример
стоит привести. Это мобильники. Насколько я понимаю, без су-
щественных сдвигов в физике твердого тела и программном про-
дукте, никакие мобильники появиться не могли бы. Уж как они
мир завоевали, весь бизнес без них обойтись теперь не может, но
что-то не слышно о признательности бизнес-сообщества хотя бы
тем наукам, которые непосредственный вклад в это внесли. По
сходному поводу Л.Д.Фаддеев хорошо сказал, что Фарадей и
Максвелл оплатили науку на века вперед.
В самой науке растет процесс бюрократизации. Как бы мы ни
жили в советское время, но тратить силы на выбивание грантов -
такого не было. Были всякие собрания и субботники, но интеллек-
туальных сил они не отнимали. Мое отношение к грантовой систе-
ме довольно негативно. И это мнение многие разделяют. В недав-
20
МАТЕМАТИКА В СССР ЗА 70 ЛЕТ
нем интервью, Ю.И.Манин сказал, что вполне можно заниматься
наукой, находясь на бюджете. Интервьюер сразу возразил, что это
всегда приводит к стагнации (интервью происходило на сайте, где
рыночная идеология - священная корова), на что последовал неп-
лохой ответ: нет, не приводило (имелось в виду советское время).
И я с этим вполне солидарен. Гранты могут иметь смысл для те-
кучки, а появлению Перельманов, или хотя бы четверть-Перельма-
нов, они безусловно противопоказаны13.
Следующий тренд эпохи, очень сильно меняющий науку, это,
конечно, компьютеры или, скорее, компьютерная идеология. Кол-
леги на Западе давно уже начали жаловаться, что эта область
(computer science) отбирает деньги, людей. Более того, в недавнее
время в университетах появилась тенденция включать математику
в департаменты computer science (пока с объединенным названи-
ем). Но это так сказать внешняя сторона вопроса. Есть в нем нечто
намного более глубокое и тревожное. Компьютеры пронизывают
всю нашу жизнь, и осмыслить, куда ведет их влияние, нужно уже
давно.
Начну с математического быта. Раньше я писал свои работы
на машинке, иногда жена вставляла мне формулы в получающую-
ся рукопись. Или надо было найти машинистку. Главное было сде-
лать работу и изложить ее на бумаге. Дальше статьи отправлялись
в журнал, где их рецензировали и редакторы иногда весьма сущес-
твенно правили. Затем типография, наборщики, корректоры, пе-
чатный станок. Такая была мощная инфраструктура.
Теперь все это исчезло. Его величество ТеХ заменил все. Это
значит, что автор теперь в одном лице и машинистка, и редактор, и
наборщик, и корректор, и издатель, и все остальное. Даже рецензи-
ровать не надо, можно просто положить в архив. Последнее обстоя-
тельство носит, безусловно, особый характер и его надо бы обсу-
дить отдельно. Но все остальное означает огромную трату времени
и усилий. Надо прямо сказать, что ТеХ очень неглупо сделан и име-
ет разные преимущества, но сколько я видел в разных математичес-
ких центрах молодых людей, сидящих денно и нощно за компом и
набивающих свои тексты14. Какое время на это уходит? А как раз
то, когда можно пойти на семинар по лингвистике или человеку из
теории чисел хотя бы на семинар по алгебраической геометрии. В
давние докомпьютерные годы время на это находилось.
Теперь вернемся к тому несомненному преимуществу, что, из-
готовив текст и положив его в архив, мы делаем его доступным че-
рез день где угодно и кому угодно. К этому можно добавить гран-
диозные электронные библиотеки, содержащие всю журнальную
литературу и огромное количество книг. Не думаю, что. это так уж
А.Н.Паршин 21
важно для развития науки, теперешней, да, конечно, сильно раз-
росшейся. Но, вот вернемся в наши золотые годы. Пьер Делинь, в
бытность свою в Бюр-сюр-Иветт, придумывая свои замечательные
теоремы, просто писал от руки письма. Если и начинал по-англий-
ски, в зависимости от адресата, то потом переходил на французс-
кий («я должен думать»!). Эти письма посылались нескольким
коллегам, с них делались копии и так наука распространялась.
Совсем как в XVII в. Наука прекрасно развивалась и то, что ее
труды нельзя было прочитать в любой точке земного шара, ничуть
не мешало нашему развитию.
Я думаю, что фантастическая доступность информации, кото-
рая сейчас есть, имеет две стороны. Одна, удобство такой свободы.
Я и сам активно пользуюсь имеющимися возможностями сети
(хотя сетевым человеком назвать себя не могу и не хотел бы). А
вот другая сторона: слишком это все легко и удобно, как бесплат-
ный сыр, бывающий известно где. Иначе говоря, это вещь, за ко-
торую когда-то и как-то придется заплатить. Чтобы сделать мысль
прозрачнее, приведу, как мне кажется, подходящий пример анало-
гичной ситуации, где финал довольно быстро обозначился.
Перестройка, свобода слова, можно печатать все, что угодно.
Все мы помним полуторамиллионные тиражи «Нового мира». Сис-
тема издания и распространения была прекрасно отлажена и нуж-
но было только отменить цензуру. Но продолжалось счастье сие
недолго и долгожданная свобода обернулась совсем другой своей
стороной. Стала доминировать скорее макулатура, а не литерату-
ра. Тиражи специальной литературы (в советское время это 8—10
тысяч, а то и 15) нужно забыть навсегда. Теперь тираж в 3 тысячи
это счастье для серьезной книги по истории, философии или лите-
ратуроведению, а о математике я и не говорю.
Этот исторический пример, совсем недавний и где все видно,
так сказать, невооруженным глазом, подсказывает возможную
судьбу науки: рост псевдонауки внутри самой науки (за громкими
примерами не надо далеко ходить), чиновничий диктат и все боль-
шая степень формализации (пресловутые ЕГЭ и ПРНД это только
первые росточки такого процесса). Вот яркий и конкретный при-
мер - монополия Microsoft’а в рамках вроде бы рыночной эконо-
мики. Чудовищные Windows заполонили мир. Правда, в западных
научных центрах ими и не пахнет. Работают под Unix’ом, теперь
все больше под Linux’ом. Но у нас такое вряд ли будет.
Попытка понять куда приведет вся эта компьютерная агрессия
требует, конечно, более серьезного и, скорее, философского анали-
за. Вот несколько мыслей на эту тему. Давайте начнем с того, как
происходит работа математика и какова роль логики в этой работе.
22
МАТЕМАТИКА В СССР ЗА 70 ЛЕТ
Она состоит в четко сформулированной последовательности опера-
ций. Но, скорее результат работы математика должен быть так
оформлен. А этому предшествует интуитивные ощущения, неясные
образы, даже фантазии. Четкие формулы появляются потом. Об
этом пишут все, от Пуанкаре до Колмогорова. Можно эти способы
работы, интуитивный и логический, описать еще такими термина-
ми: непрерывное и дискретное. В человеке они соединены вместе,
и разделить их непросто. Об этом интересно писал Герман Вейль.
Непрерывное - это область, скорее, геометрии, картинки, а диск-
ретное - это алгебра, ее формулы.
Если теперь посмотреть на работу компьютера, то очевидно,
что именно дискретный, логический способ действия принят в нем
за основу и, даже больше, доведен до абсолюта. Непрерывное ком-
пьютеру чуждо, он его «переваривает» с трудом, дигитализацию
(мерзкое словечко!) для этого придумав15 И истинные компьютер-
ные фанаты это чувствуют. Когда появилась мышка, они ее с през-
рением отбрасывали, предпочитая стучать по клаве. Компьютеры
берут лишь одну сторону человеческой деятельности и предельно
ее гипертрофируют. Непредсказуемы последствия такого разви-
тия16
Заканчивая, хочу сказать, что наука, понимаемая как развитие
заложенных в ней идей, обладает всеми возможностями для даль-
нейшего роста. Наука же как общественный институт и тем более
бюрократическая структура претерпит и довольно скоро карди-
нальные изменения. В частности, наука сильно сократится в объе-
ме. Но пока будут рождаться молодые люди, которым захочется
ею заниматься, не очень думая сколько заработать и кто как к тебе
относится, за наше будущее можно быть спокойным.
Реплики к выступлениям А.В.Булинского
и В.М.Тихомирова
Я хотел высказаться по поводу выступления А.В.Булинского,
но, выслушав Владимира Михайловича, я не могу удержаться от
реплики, с которой и начну. Речь пойдет о национальных традици-
ях и школах в математике17 Все, конечно, читали лекции Клейна
о развитии математики в XIX в. Клейн подробно говорит о фран-
цузской школе, немецкой, британской. Он говорит о философских
традициях, которые сильно влияли на развитие науки. Все это
было и спорить тут не о чем. Это классика истории науки. Сущест-
вует ли сейчас какой-то плавильный котел, в котором все школы
исчезают? Я не думаю, что это так!
Из анекдотов 90-х: в Гарварде есть русский этаж, там секре-
тарша говорит по-русски, там все наши. Когда-то один очень из-
вестный наш математик, начал читать там лекции, естественно,
А.Н.Паршин
23
по-английски. Через какое-то время он оглядел аудиторию, уви-
дел, что тут все свои, и перешел на русский. Серьезнее: как я уже
говорил, в знаменитых письмах Делиня встречается такая фраза: я
сейчас должен думать и перехожу на французский. Я допускаю,
что «обычный» язык имеет существенное значение для работы
мысли.
И во Франции мы знаем традицию высокой культуры мысли.
В математике ее воплотило во второй половине XX в. движение
Бурбаки, идейно связанное с французским структурализмом18 Это
национальное французское достояние, как живопись Сезанна или
философия Декарта. Вы можете не любить Бурбаки, считать их
влияние на математику вредным, но отрицать этот исторический
факт невозможно. Теперь мы видим процесс нивелирования, слия-
ния в нечто гораздо более единое. С этим трудно спорить, отри-
цать это бессмысленно, но относиться можно по-разному: считать
желанным, достижимым или, совсем наоборот. По моему мнению,
происходящий на наших глазах процесс уничтожения школ в нау-
ке, вне всякого сомнения, носит деструктивный характер. Я не
знаю, к чему это приведет в конце концов, но не исключаю, что в
будущем начнется движение в обратную сторону: произойдет рас-
пад имеющегося сейчас единства на относительно независимые, са-
мостоятельные сообщества, необязательно национального характе-
ра. Если вы посмотрите на историю развития математики, то уви-
дите, что нет какого-то непрерывного прямолинейного вектора раз-
вития. Есть эпохи взлета и единения, и эпохи упадка и распада.
К выступлению Александра Владимировича я хочу сказать
только одну вещь. Я не буду говорить про так поразившие его ут-
ренние булочки в сегодняшних общежитиях Эколь Нормаль или
Тринити колледжа. Вспомните 20 и 30-е гг., как люди тогда жили
и какая была наука. Какие там булочки! Прочитайте как Понтря-
гин ездил тогда на лекции на подножке трамвая. Он, слепой, бе-
жал по Стромынке, догоняя трамвай, и прыгал в него.
Но вот что более важно и относится к нашему будущему.
Здесь прозвучала цифра - 238 научных журналов по теории веро-
ятностей и математической статистике. Человек, работающий в
этих областях, чтобы находиться на уровне, должен все время чи-
тать эти 238 журналов. Как же у него время останется, чтобы
просто думать-то? Я приведу другой пример. Есть электронный
архив19, содержащий основные разделы физики, математики и
близких наук. Знаменитый наш астрофизик Андрей Дмитриевич
Линде (создатель теории инфляционной вселенной), сейчас он ра-
ботает в Беркли, рассказывал в одном интервью, как он начинает
утро вхождением в этот архив. Естественно, он смотрит что нового
в разделе астрофизики. Выскакивает полсотни новых текстов, ко-
24
МАТЕМАТИКА В СССР ЗА 70 ЛЕТ
торые он должен просмотреть и составить о них свое мнение. За-
метьте, что умножая 50 на 360, получаем порядка 15 тысяч текстов
в год. Вот этот массив он должен изучить за год. Это не есть его
основная работа, это скорее необходимый ритуал к работе, ну как
зубы чистить. Какой же результат такой деятельности? Порядка
100 интересных, дельных работ, на которые стоит обратить внима-
ние. Из этих ста около десяти действительно глубоких, принципи-
ально новых работ, их нужно не только знать, но и досконально
изучить. Ну, из этих десяти, будет две-три совсем выдающиеся.
Как же заниматься наукой, если так жить и кто может произвести
такой отбор? Теперь в науке налицо переизбыток информации.
Проблема не в том, что читать, а в том, что не читать!
Впечатляющее количество новых журналов (у Springer’а на
сайте их 22 тысячи), и образуются они не всегда по чисто научным
причинам. Иногда это модное направление, которым «все» долж-
ны заниматься20 Иногда просто возникает клан, печатающий «сво-
их» людей. Математический мир уже сегментируется на группы,
направления, кланы, отделенные друг от друга чуть ли не китайс-
кой стеной21 В огромном потоке литературы уже невозможно
как-то ориентироваться. Войдя в любую западную библиотеку, ви-
дишь стену новых поступлений, ее не просмотреть, а просто мимо
пройти, скользнув по обложкам, и то сколько времени надо.
Примечания
1 Выступление в Московском Доме ученых 19 марта 2009 г. на заседании секции мате-
матики под председательством С.С. Демидова. Тема заседания: «Советская матема-
тика, ее место в мировой науке и ее судьба». Выступили также С.С.Демидов,
М.И.Зеликин, А.М.Абрамов, А.Г.Сергеев, А.В.Булинский, В.М.Тихомиров,
А.Я.Хелемский.
2 Уже после этого выступления я узнал о целом ряде других таких обсуждений. Их
можно найти на сайте www.polit.ru/science.
3 Если ограничиваться Москвой. Не менее яркая, а в чем-то и более яркая математиче-
ская жизнь была в Ленинграде, в Ленинградском отделении Математического ин-
ститута им. В. А.Стеклова РАН и на матмехе Ленинградского государственного уни-
верситета. Надо назвать, конечно, и Новосибирский Академгородок.
4 Подробнее об этом семинаре см. мою статью «Числа как функции (развитие одной
идеи в московской школе алгебраической геометрии)» в сб. «Математические собы-
тия XX века». М.: Фазис, 2002.
5 Реплика С.С. Демидова. Нет, начался он на 16-ом этаже, но народу было столько,
что его перенесли туда.
6 Яркий пример, конечно, семинар Бурбаки. С послевоенного времени он служит не-
заменимым источником информации о работах в упомянутых выше областях мате-
матики. Мне неоднократно случалось понимать новые результаты благодаря тому,
что Ж.-П.Серр, или П.Картье, или А.Борель, или кто-либо еще, ясно и подробно
изложили их в докладах этого семинара.
7 Теперь все русские выпуски выложены на сайте www.mathnet.ru.
8 См., например, обзор выдающегося палеонтолога Дж.Симпсона «Великолепная изо-
ляция» (ориг. Splendid isolation). М.: Мир, 1983.
С.С.Демидов 25
9 Недавно сходное мнение об амбивалентном характере изоляции высказал в беседе со
мной один из крупнейших наших специалистов по математической экономике
В. М. Полтерович.
10 Можно добавить и детей Н.С.Хрущева, и сына Д.Ф.Устинова, и дочерей Ю.В.Анд-
ропова и Г.В.Романова и наверняка еще есть. Представить себе такое для сегодняш-
него правящего класса просто невозможно.
11 Так он пишет о целом ряде «ненужных» научных достижений, начиная с «малопрак-
тичной (видимо, позабыл чему его в школе учили) теории относительности Эйнш-
тейна» .
12 Потом я с удивлением обнаружил, что автор статьи в НГ - регулярно публикует ста-
тьи о математической экономике в официальном органе нашей академии «Вестнике
РАН»!
13 Реплика из зала: гранты - это преступление. Мой ответ: я не стремлюсь выразить
свою точку зрения наиболее резким образом.
14 Мне могут возразить, что редактирование текста на компьютере (и тем более на
ТеХ’е) намного проще старой жизни с машинисткой. Верно, но эта простота дает
возможность писать еще и еще. Техника, облегчая труд, затягивает человека откры-
вающимися возможностями. В итоге свободного времени меньше, а не больше! Одна
электронная почта чего стоит.
15 Достаточно сопоставить объемы текстовых и рисуночных файлов. Чтобы последние
могли сравниться с хорошей фотографией им совсем чудовищный объем нужен.
16 Интересные замечания на этот счет см. в статье П.С.Краснощекова «Компьютериза-
ция...Будем осторожны» в сб. «Математические события XX века». М.: Фазис,
2002.
17 В своем выступлении Тихомиров сказал, что его «глубокое убеждение, что и челове-
чество и математика уже едины, что нет российской математики... Наука принадле-
жит всему человечеству и она сейчас стала единой... Все человечество не избежит ги-
бели, если оно не будет таким же единым, какой по идее может стать математика».
18 Совсем неудивительно, что Андре Вейль мог написать математическую заметку о
структурах родства первобытных народов, найденных Леви-Строссом.
19 http://arxiv.org
20 Роль моды в пауке второй половины XX в. была все более и более значимой. Я мог
бы привести целый ряд примеров такого диктата моды в близких мне областях мате-
матики. К сожалению, этот феномен научной жизни, кажется, до сих пор не подвер-
гался подробному анализу.
21 Яркий пример привел Ф.Дайсон в своей известной статье «Missed opportunities»
(рус. пер.: Успехи математических наук. 1980. Т.35. Вып.1. С.171-191.) Я думаю
таких примеров, и гораздо более карикатурных, можно много привести.
ДЖУЗЕППЕ ПЕАНО И РОССИЙСКОЕ
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ СООБЩЕСТВО ЕГО ВРЕМЕНИ1)
С.С.Демидов
1. Предварительные замечания. Такая тема появилась в моих
занятиях случайно: известный итальянский историк математики
профессор Сильвия Роэро предложила мне выступить с докладом
на эту тему на конференции, посвященной 150-летию со дня рож-
дения выдающегося математика, которая прошла в октябре 2008 г. 1
1) Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундамен-
тальных исследований (проект №11-06-00119а).
26
МАТЕМАТИКА В СССР ЗА 70 ЛЕТ
в Турине. Более того, она сделала мне замечательный подарок
прислала мне несколько DVD-дисков, содержавших материалы из
архива Дж.Пеано. Когда я познакомился с ними, то предложенная
задача показалась мне, с одной стороны, очень привлекательной, с
другой, не слишком обременительной - я полагал, что подготовка
доклада займет совсем немного времени (как вскоре выяснилось, в
этом отношении я очень ошибался). И я ответил согласием.
Так я приступил к решению задачи с очень необычной, по
крайней мере для меня, постановкой вопроса - исходя из оказав-
шихся в моем распоряжении материалов туринского архива Пеано,
попробовать бросить взгляд на современное ему российское мате-
матическое сообщество: как воспринимались россиянами его идеи,
как они реагировали на них, что означали для россиян его имя и
его идеи, как вообще принимались в России того времени новые
идеи, зародившиеся на Западе, и как они там укоренялись.
2. Взгляд из столиц. Санкт-Петербург. Первое, что сразу бро-
силось мне в глаза, это несколько странная география его российс-
ких корреспондентов (сразу оговорюсь - я имею в виду только его
корреспондентов-математиков, его же обширные связи по линии ис-
кусственных языков эсперанто, интерлингвы и пр. я затраги-
вать не собирался, хотя этот вопрос также представляет определен-
ный интерес). Среди них отсутствуют ученые из Санкт-Петербурга
и Москвы - двух столиц и ведущих отечественных математических
центров того времени (хотя, заметим сразу, на рассматриваемый пе-
риод ложится начало постепенного роста значимости провинциаль-
ных научных центров, когда, вслед за Казанью, начинают все более
отчетливо заявлять о себе математики Харькова, Одессы, Варшавы
и Дерпта-Юрьева - об этом, впрочем, далее). Их отсутствие нахо-
дит очень простое объяснение из сопоставления фактов научной би-
ографии Пеано и жизни современного ему российского математичес-
кого сообщества.
Если говорить о Санкт-Петербурге, то здесь все совсем просто
- по самому духу и тематике чебышевская школа и круг Дж.Пеано
слишком далеко отстояли друг от друга. Занимавшие Пеано, начи-
ная с 1890-х гг., вопросы оснований математики и математической
логики, не только не входили в круг их интересов, но вызывали у
них резкую реакцию неприятия. Достаточно вспомнить развернув-
шуюся в 1910 г. на страницах «Журнала Министерства народного
просвещения» дискуссию по поводу опубликованного в 1909 г. из-
вестным одесским издательством «Mathesis» перевода «Алгебры
логики» Л.Кутюра. Перевод был осуществлен профессором Ново-
российского (то есть Одесского) университета И.В.Слешинским,
сопроводившего его предисловием и комментариями и включивше-
С. С. Демидов
27
го добавления другого одесского математика С.О.Шатуновского.
Петербуржцы с неодобрением взиравшие на «декадентские вывер-
ты» определенных кругов западных математиков (а к таким «вы-
вертам» они относили зарождавшуюся математическую логику) не
могли пройти мимо вольностей допускавшихся зарвавшимися про-
винциалами. Со страниц названного журнала немедленно раздался
окрик, озвученный заметной фигурой из окружения их лидера
А.А.Маркова профессором Б.М.Кояловичем.
В своей рецензии [1] он, во-первых, ссылаясь на критику ло-
гики Кутюра и Б.Рассела, содержащуюся в книге А.Пуанкаре
«Наука и метод», высказался против самих построений Кутюра.
Во-вторых, он объявил о прямых ошибках, допущенных Кутюра.
В-третьих, он заявил о практической неэффективности алгебры ло-
гики, которая, по его мнению, не обладала никакими приложения-
ми за пределами самой логики. Слешинский дал [2] обстоятельные
возражения на критические замечания петербургского критика.
Ошибок, показал он, - у Кутюра нет, просто критик не попы-
тался вникнуть в существо предмета. Что же касается отсутствия
приложений, то он указал на работу П.С.Порецкого «Решение об-
щей задачи теории вероятностей при помощи математической логи-
ки», опубликованную в 1886 г. в Казани. На это Коялович ответил
[3] замечанием, что ни в одном из известных ему (читай - петер-
бургскому бомонду) серьезных трактатов по теории вероятностей
(в том числе в курсе А.А.Маркова) нет никаких упоминаний о ее
связях с алгеброй логики. За таким ответом скрывалось отрицание
Петербургом1 какой-либо ценности за работами по математической
логике2, в том числе Порецкого («А это еще кто такой?»). В то же
время независимые от «официальных математических кругов» уче-
ные могли в независимых от этих кругов изданиях высказывать
свое отличное мнение, как это сделал работавший тогда в Петер-
бурге известный физик П.Эренфест [5] в «Журнале Русского фи-
зико-химического общества» в своей рецензии3 на русский перевод
книги Л.Кутюра.
Что же касается работ Пеано по разделам, примыкавшим к те-
ории функций действительного переменного (теория интеграла,
«кривая Пеано» и т.д.), то, как следует из реакции петербуржцев
на работы Г.Кантора, исследования Э.Бореля, А.Лебега и Р.Бэра,
и на последовавшие за ними исследования математиков школы
Д.Ф.Егорова - Н.Н.Лузина, они не могли вызвать у них интереса.
Единственной точкой соприкосновения петербуржцев с твор-
чеством туринского математика стал курс дифференциального и
интегрального исчисления А.Дженноки, изданный Дж.Пеано в
1884 г. с его дополнениями [6]. Эти дополнения, вводившие чита-
теля на строительную площадку претерпевавшего в те годы гигант-
28
МАТЕМАТИКА В СССР ЗА 70 ЛЕТ
скую перестройку математического анализа, вызвали особый инте-
рес в мире. Курс был переведен на другие языки (в том числе на
русский [7]) и обратил на себя внимание и в Петербурге. Правда,
внимание это было запоздалым. Петербуржцы долго игнорировали
перестройку, символом которой стал К.Вейерштрасс, но уже в
1910-е гг. не замечать ее уже не смогли даже они. Во всяком слу-
чае наименее политически ангажированные из них (речь идет, ко-
нечно, о «политике» внутриматематической). Здесь пионером выс-
тупил К.А.Поссе4, который в 1913-1914 гг. опубликовал (правда в
далекой от столицы Одессе) двухтомный курс анализа Э.Чезаро5
[8]. Он же в тяжелые годы гражданской войны осуществил пере-
вод курса Дженноки-Пеано6, опубликованный [9] в Берлине (там
Государственное издательство печатало в ту пору многие книги на
русском языке!) в 1922 г. Издание это оказалось неудачным. Вот
что он писал по этому поводу В.А.Стеклову 4 апреля 1924 г. в свя-
зи с выходом в Берлине очередного издания своего «Курса диффе-
ренциального и интегрального исчисления» (цит. по: [10, с.58]):
«По горькому опыту с моим переводом курса Дженноки, в кото-
ром на 320 страниц оказалось 400 опечаток (пропущены целые
страницы моей рукописи), боюсь, не испорчена ли и эта книга».
И хотя сам этот перевод [9], который Поссе снабдил собствен-
ными примечаниями, не сыграл заметной роли в преподавании ма-
тематического анализа в СССР, сама книга [6] и, особенно, приме-
чания Дж.Пеано оказали большое влияние на становление курса
дифференциального и интегрального исчисления самого Поссе
курса, многие идеи которого, задачи и методические подходы были
восприняты его сотрудником Г.М.Фихтенгольцем, учебники ко-
торого, на которых выросло несколько поколений советских мате-
матиков, принадлежат к числу лучших в XX столетии.
Проблема становления корпуса учебной литературы по ма-
тематике для советской высшей школы, в том числе, учебников
по математическому анализу совершенно неисследована и стоит
на повестке дня современных историко-математических исследо-
ваний. Один из важнейших аспектов этой проблемы изучение
становления курсов К.А.Поссе и Г.М.Фихтенгольца, а также
влияния на них идей Дж. Пеано.
Перевод Поссе это единственное, насколько нам известно,
соприкосновение творчества Пеано с деятельностью математиков
петербургской школы.
3. Взгляд из столиц. Москва. Следующим по значимости ма-
тематическим центром России была Москва с ее Университетом и
Математическим обществом вторым (после математического
класса Академии наук) по влиянию на российскую математичес-
С. С .Демидов
29
кую жизнь учреждением Империи. Динамика развития математики
в первопрестольной была отлична от петербургской.
На период активной деятельности Дж.Пеано, предшествующий
его погружению в математическую логику и деятельность, связанную
с интерлингвой, то есть на период охватывающий 80-е годы XIX
начало XX вв., падает время расцвета Московской философ-
ско-математической школы. Главными направлениями ее деятельнос-
ти были (если рассматривать ее ретроспективно с позиций совре-
менной математики) - дифференциальная геометрия (К.М.Петерсон,
Б.К.Млодзеевский, Д.Ф.Егоров) и прикладная математика
(Н.Е.Жуковский, С.А.Чаплыгин). Разумеется, что касается диффе-
ренциальной геометрии, то здесь москвичи сотрудничали с итальян-
цами, но в этих связях Дж.Пеано не играл никакой роли - диффе-
ренциальная геометрия не была объектом его особого внимания.
Что же касается теории обыкновенных дифференциальных
уравнений, теории множеств, математической логики и оснований
математики основных тем его тогдашних исследований, то они
лежали в стороне от интересов москвичей. Ситуация начала ме-
няться в первое десятилетие XX в., когда москвичи заинтересова-
лись теорией множеств и теорией функций действительного пере-
менного - так зародилась Московская школа теории функций дей-
ствительного переменного (Д.Ф.Егоров, Н.Н.Лузин). Однако эта
активность оказалась в противофазе с развитием интересов Дж.Пе-
ано. Его интерес к теории множеств и функций угасал. Математи-
ческая логика и основания математики окажутся в сфере активных
интересов москвичей лишь в 1930-е гг.
Когда москвичи всерьез занялись теорией множеств и функций
для них результаты Пеано были уже классикой. Рассказ о знаме-
нитой кривой Пеано, заполняющей квадрат, стал непременной час-
тью курса по теории функций действительного переменного, регу-
лярно читавшегося Н.Н.Лузиным (см. его книгу: [И]). Точно так-
же классическая теорема Пеано о существовании решения задачи
Коши для дифференциального уравнения с непрерывной правой
частью стала составной частью курсов по теории обыкновенных
дифференциальных уравнений. Никаких сведений о прямых кон-
тактах с Пеано москвичей (равно как и математиков северной сто-
лицы) мы не имеем. Судя по всему, их просто не было.
Так что отсутствие сколько-нибудь активных контактов
Дж. Пеано с петербургскими и московскими коллегами выглядит
совершенно естественным. Однако математическая жизнь России
того времени не сводилась к деятельности математиков двух сто-
лиц. Провинция в последней трети XIX в первом десятилетии
XX в. начинала играть все более заметную роль в жизни российс-
кого математического сообщества. Находясь на почтительном отда-
30
МАТЕМАТИКА В СССР ЗА 70 ЛЕТ
лении от обеих столиц, математики провинциальных университетов
могли чувствовать себя, в достаточной мере, независимыми от них,
в частности, в выборе тематики собственных исследований, изби-
рая подчас направления, как мы это уже видели на примере мате-
матической логики, в столицах игнорировавшиеся. С математиками
российской провинции - с учеными из Казани, Одессы, Варшавы
(Ростова-на-Дону) - и оказалось связанным творчество знаменито-
го ученого.
4. Взгляд из провинции. Казань. С совершенно иными наст-
роениями идеи Дж.Пеано были приняты в Казани, где традиции
математических исследований, заложенные еще Н.И.Лобачевским,
были совершенно иными. Естественно, что геометрия и основания
геометрии (и шире - основания математики) всегда находились в
сфере внимания казанских математиков. Поэтому совершенно неу-
дивительно, что именно в Казани начал свою пионерскую деятель-
ность в математической логике - области только зарождавшейся, в
праве на существование которой отказывали тогда, как мы уже го-
ворили, ведущие математики как на Западе, так и в России - аст-
роном местного университета П.С.Порецкий.
В 1884-1908 гг. он опубликовал на русском и французском
языках цикл статей, в которых, развивая и обобщая идеи Дж.Буля
и Э.Шредера, внес существенный вклад в логику высказываний и
в логику классов. Его результаты получили известность на Западе
(см.: [4]). Высоко оценил их в своей упоминавшейся выше «Ал-
гебре логики» Л.Кутюра. Вопрос о взаимоотношениях Пеано и
Порецкого требует серьезных, прежде всего архивных, изыска-
ний. Вряд ли они встречались7 Однако в 6 томе издаваемого Пеа-
но журнала «Rivista di Matematica» (1896-1899) была опублико-
вана статья Порецкого «La loi des racines en logique».
Работами Порецкого было положено начало исследованиям по
математической логике в России. Знаменательно, что начались они
не в столицах, а в Казани - городе, осененном гением Н.И.Лоба-
чевского.
Для обсуждаемого нами вопроса особенную роль сыграл тот
факт, что на 1892 г. пришлось столетие Н.И.Лобачевского, кото-
рое казанцы отпраздновали с особым размахом. Ведущей фигурой
математической жизни Казани того времени выступил воспитанник
Петербургского университета ученик П.Л.Чебышева А.В.Васильев.
Математик широко образованный, с очень большим диапазоном
интересов, чрезвычайно чуткий к новым научным веяниям (напом-
ним только об издававшейся им в 1912-1915 гг. серии «Новые
идеи в математике» или об опубликованной в 1923 г. книге о спе-
циальной теории относительности, в том же году вышедшей с пре-
С. С. Демидов
31
дисловием Б.Рассела в Великобритании) и обладавший многооб-
разными международными связями, начало которым было положе-
но в период его берлинской стажировки, где он слушал лекции
К.Вейерштрасса (см.: [12]), Васильев живо интересовался истори-
ей математики и стал одним из пионеров исследований в этой об-
ласти в России. Именно он положил начало изучению творчества
Н.И.Лобачевского и научному изданию его работ. Естественными
актами в этой деятельности стала предпринятая им организация
празднований 100-летия со дня рождения великого математика, а
также учреждение по его инициативе международной премии за
работы по геометрии, прежде всего геометрии неевклидовой8. Эта
тематика, активно разрабатываемая в Западной Европе, прежде
всего в Германии и Италии (в школе Дж.Пеано), и лежавшая в
стороне от интересов петербуржцев и москвичей, очень занимала
казанцев.
Согласно регламенту премия должна была присуждаться каж-
дые три года. Первое присуждение состоялось в 1897 г. Лауреатом
был назван Софус Ли. Объявление о втором конкурсе было поме-
щено в различных математических журналах, в частности, в шес-
том томе издаваемого Пеано журнала «Rivista di Matematica» за
1900-1901 г. В третьем конкурсе 1904 г. принял участие один из
самых талантливых учеников Пеано Марио Пиери. И именно
Пеано написал отзыв [13] о результатах Пиери, касающихся осно-
ваний геометрии.
Разумеется, между А.В.Васильевым и Дж.Пеано существовали
контакты, которые установились не позднее 1900 г. (об этом свиде-
тельствует упомянутая выше публикация объявления о втором кон-
курсе на премию Н.И.Лобачевского в журнале «Rivista di
Matematica»). Вопрос о характере этих контактов остается
пока открытым. В его прояснении могут помочь материалы из ар-
хивов Казани и Москвы.
В 1907 г. А.В.Васильев переехал в Санкт-Петербург и более
поздний след контактов Дж.Пеано с казанскими математиками мы
находим уже в 1926-1928 гг. - в период, когда страна, в ту пору
уже СССР, начала выходить из периода политической неопреде-
ленности (новая большевистская власть наконец почувствовала
себя уверенно) и экономической разрухи, вызванных событиями
Первой мировой войны, революции и гражданской войны. Казанс-
кие математики приступили к восстановлению нормальной жизни
сообщества, прежде всего, конечно, к возобновлению полнокров-
ных научных исследований. В Казань вернулся геометр Д.И.Зей-
лигер, а в 1928 г. сюда переехал один из крупнейших алгебраистов
того времени Н.Г Чеботарев. Начались попытки по реанимации
международных математических контактов. В этом контексте и
32
МАТЕМАТИКА В СССР ЗА 70 ЛЕТ
следует рассматривать предпринимавшиеся в 1926-1928 гг. усилия
тогдашнего вице-президента Казанского физико-математического
общества Н.Н.Парфентьева9 по восстановлению контактов с Пеа-
но10 И хотя эта деятельность казалась успешной, у нее уже наме-
чались дурные перспективы: на Европу надвигались мрачные вре-
мена.
5. Взгляд из провинции. Одесса. Пожалуй, самыми воспри-
имчивыми к новым идеям, идущим с Запада, оказались на рубеже
веков математики молодого Новороссийского университета. Орга-
низованный в Одессе в 1865 г., он не был обременен традициями и
был открыт новым веяниям, в частности, идеям зарождавшейся
математической логики. Активным ее пропагандистом выступил
профессор университета И.В.Слешинский11 Им был осуществлен
перевод только что упоминавшейся «Алгебры логики» Л.Кутюра,
опубликованной одесским издательством «Mathesis» в 1909 г. с его
предисловием и комментариями, а также с добавлениями другого
одесского математика С.О.Шатуновского. С.О.Шатуновский был
известен своими оригинальными взглядами на основания математи-
ки (достаточно напомнить о его критике закона исключенного
третьего), позволяющих рассматривать его как предтечу идей ин-
туиционизма и конструктивизма. Ряд интересных результатов в об-
ласти математической логики был опубликован в 1896-1899 гг.
другим преподавателем Новороссийского университета Е.Л.Буниц-
ким. Все это создавало благоприятную почву для принятия одесси-
тами идей Пеано в области математической логики и оснований ма-
тематики.
Действительно, результаты Дж. Пеано одесситы хорошо знали
и ценили. Один из наиболее влиятельных одесских математиков
В.Ф.Каган занимался в начале XX в. основаниями геометрии12.
Второй том его магистерской диссертации, опубликованный в 1907
г. содержит такую характеристику школы Пеано: «этой задачей
(задачей обоснования геометрии. - С.Д.) занялись итальянские
математики. Стремление уточнить и обосновать математические
дисциплины, возникшее главным образом в Германии, в послед-
нюю четверть истекшего столетия встретило горячее сочувствие в
Италии. Здесь создалась целая школа последователей этого нап-
равления, во главе которого... Дж.Пеано. Математическая логика,
основания арифметики и основания геометрии, строгое развитие
анализа - таковы вопросы, которым Пеано посвятил свои силы и
на которых сосредоточил внимание своих учеников. Стоя на строго
формальной точке зрения, Пеано понимал, что обычное словесное
выражение математических выводов не может гарантировать нас от
логических ошибок, не может гарантировать строго формального
С. С. Демидов
33
характера вывода. Он придумал поэтому особую идеографию, сог-
ласованную с его взглядами на математическую логику, которая,
при помощи небольшого числа символов, должна выражать мате-
матические предложения и их выводы. Специальный журнал
«Rivista di Matematica» должен был проводить эти идеи и расп-
ространять их среди математиков: журнал содержал почти исклю-
чительно статьи, написанные в идеографии Пеано. Нужно, однако,
сказать, что эта идеография не встретила сочувствия среди матема-
тиков и вряд ли таковое заслуживает. Доказательства Пеано от-
нюдь не представляют собой выводов, механически производимых
на основании известных формальных законов, как того требует
формальная логика; идеография Пеано это те же слова, иначе
обозначенные, но требующие изучения символистики, далеко не
такой простой, как она кажется Пеано. Вместо упрощения, получа-
ется только усложнение дела. Но если идеография Пеано еще не
сыграла значительной роли, то его тонкий ум, глубоко проникаю-
щий в мельчайшие детали вывода, сыграл значительную роль в
деле обоснования математики (курсив наш. - С.Д.)» [18, с.497].
В 1889 г. Пеано опубликовал небольшое сочинение «Основа-
ния геометрии, логически изложенные», написанное в его идеогра-
фии. Эта статья посвящена обоснованию геометрии в тесном смыс-
ле этого слова. Пеано, по-видимому, не был знаком с работой
М.Паша, и совпадение его идей с системой Паша нужно признать
весьма удивительным. И далее: «К сожалению, это небольшое со-
чинение, написанное в идеографии, почти никому неизвестной, по-
лучило очень мало распространение и еще в настоящее время ред-
ко кому знакомо. Но ученики Пеано усвоили его идеи и довели их
до полного обоснования проективной геометрии. Сюда относятся
работы Амодео, Фано, Энриквеса и Пиери» [там же, с.501].
В.Ф.Каган предложил собственную систему аксиом геометрии
[18], но что представляется нам особенно важным для рассматри-
ваемого нами вопроса, это та выдающаяся, роль которую В.Ф.Ка-
ган сыграл в становлении Советского математического сообщества.
Переехав после революции в Москву, он стал одним из самых вли-
ятельных советских математиков, создателем известной школы в
области дифференциальной геометрии. Его деятельность способст-
вовала тому, чтобы идеи Пеано в советском математическом сооб-
ществе высоко ценились, а имя его почиталось.
Но это уже было потом и в Москве, а в Одессе уже в начале
XX века его имя было на слуху, а его идеи развивали. Поэтому со-
вершенно естественным выглядит проведение 16 декабря 1932 г. в
Одесском университете специального заседания его памяти. Док-
лад о его жизни и творчестве сделал учившийся в Италии профес-
сор университета Д.А.Крыжановский.
34
МАТЕМАТИКА В СССР ЗА 70 ЛЕТ
6. Взгляд из провинции. Ростов-на-Дону (Варшава). Много-
образные связи установились у Пеано с математиками, проживав-
шими в Польских землях. Земли эти в рассматриваемый период
переживали непростой период. Если к началу XX века они были
разделены между тремя империями - Российской, Австро-Венгерс-
кой и Германской - то в результате Первой мировой войны они со-
единились в единое государство со столицей в Варшаве. Конечно,
этому предшествовала длительная борьба за независимость, то
вспыхивавшая до открытых революционных выступлений, то зати-
хавшая. Конец XIX - начало XX вв. период, казалось бы, за-
тишья. Протестная активность приняла скрытые формы. Общест-
венность, например, русской части - то есть Царства Польского -
оказалась поделенной на две части: ориентировавшихся на Россию
и на польских патриотов. Такая же поляризация наблюдалась и в
математическом сообществе. Польские патриоты, хотя и превос-
ходно владели русским языком, в своей деятельности, в том числе
научной, старались использовать только польский язык (конечно,
если они выступали в западноевропейских журналах, то писали,
преимущественно, по-французски). Варшавский университет, осно-
ванный в 1869 г., был русским университетом. Его профессора-ма-
тематики также были русскими, в основном, это были воспитанни-
ки Московского и Петербургского университетов. Некоторые из-
вестные польские математики окончили этот университет, напри-
мер, В.Серпинский, ставший учеником Г.Ф.Вороного. Но все же
между обеими обозначенными группами существовала хорошо раз-
личимая дистанция. Национально ориентированные польские мате-
матики предпочитали, как мы только что заметили, получать обра-
зование не на русском языке, печататься в изданиях, выходивших
по-польски или на одном из западноевропейских языков. В их со-
обществе формировалась будущая польская математическая школа
с ее повышенным интересом к теории множеств, теории функций
действительного переменного, логике13. У представителей этого со-
общества (например, у одного из его лидеров С.Дикштейна) завя-
зались особые отношения с Пеано. Их изучение - отдельная зада-
ча, требующая работы в архивах Польши (Варшавы и Кракова)
и Украины (Львова), которую мы оставим в стороне.
Что же касается российски ориентированного математического
сообщества Варшавы, то одним из самых ярких его представите-
лей, оказавшимся связанным с Пеано, был Д.Д.Мордухай-Болтов-
ской.
Еще будучи в статусе оставленного при Санкт-Петербургском
университете «для подготовки к профессорскому званию»,
Д.Д. Морду хай-Во лтовской в 1898 г. начал преподавать в Варшаве-
С. С. Демидов
35
ком политехническом институте, а с 1909 г. стал экстраординар-
ным профессором Варшавского университета. В 1914 г. он был
уже его ординарным профессором. Когда началась Первая миро-
вая война и германская армия приблизилась к Варшаве, универси-
тет был эвакуирован в Ростов-на-Дону и так там и остался. К со-
жалению, наши знания о варшавском периоде жизни Морду-
хай-Болтовского очень ограничены14. Их изучение требует серьез-
ных изысканий в ахивах Польши и Ростова-на-Дону15 Его довоен-
ный домашний архив погиб при бомбардировках Ростова немецкой
авиацией16 Тем ценнее для нас сегодня переписка Мордухай-Бол-
товского с Пеано, сохранившаяся в архиве Пеано в Турине. Она
охватывает период с лета 1925 г. по осень 1931 г. Когда и как на-
чались их контакты и встречались ли они лично, мы не знаем.
Вполне вероятно, что первые их контакты относятся еще к варшав-
скому периоду жизни Мордухай-Болтовского. Во всяком случае,
содержание первого же его письма, датированного 25 августа 1925
г., указывает на то, что это не первый контакт двух математиков.
Речь в нем идет о некотором варианте «металогики», предлагаемом
Мордухай-Болтовским, «Металогики, которая находится в таком
же отношении к логике формальной, в каком пространство многих
измерений соотносится с обыкновенным пространством». Судя по
сохранившимся письмам17 (все они, за исключением цитированно-
го первого, написаны на интерлингве), речь шла о вопросах мате-
матической логики, истории и философии математики и ее препо-
давании, а также о проблемах интерлингвы. В некоторых из них
обсуждаются работы Мордухай-Болтовского, приготовленные для
итальянского журнала «Schola et vita», а также некоторые рукопи-
си Пеано.
Вопрос об идеях Мордухай-Болтовского в области матема-
тической логики и оснований математики и их влиянии на разви-
тие соответствующих вопросов в СССР (не надо забывать, что
он был выдающимся педагогом, крупнейшем тогда математиком,
работавшим в Ростовском-на-Дону университете^) требует
специального изучения, равно как и содержание и возможное
(впрочем, маловероятное) влияние на польских ученых написан-
ной на интерлингве книги [22], не содержащейся ни в одном из
подготовленных Мордухай-Болтовским или его учениками и из-
данных в СССР списков его трудов). Вообще о польских контак-
тах Мордухай-Болтовского, ставших в 1920-1930-е годы чрезвы-
чайно опасными для советских людей (за них вполне можно было
угодить в лагеря), мы ничего не знаем. То, что они на самом деле
существовали мы узнаем только в наши дни из обнаружившегося
факта издания книги [22]19 Неудивительно, что сам Морду -
хай-Болтовской об этой книге предпочитал не упоминать.
36
МАТЕМАТИКА В СССР ЗА 70 ЛЕТ
7. Предварительные итоги. Проведенное нами исследование
породило больше вопросов, отмеченных нами курсивом, чем отве-
тов. Высвечивая исторический материал, касающийся жизни рос-
сийского математического сообщества конца XIX первой трети
XX вв. из некоторой точки, избранной самой постановкой нашей
задачи, мы столкнулись с большим массивом неизученного матери-
ала, погружение в который потребует от нас чрезвычайно большо-
го времени. Однако мы все-таки попытаемся подвести некоторые
предварительные итоги проведенной работы.
Изучение контактов Дж.Пеано с российскими математиками, а
также характера восприятия его идей в России позволяет выявить
один из любопытных аспектов развития математики в стране в
конце XIX первой трети XX в., в период, когда в России и в
СССР закладывались основания одной из ведущих математических
школ второй половины XX в. - Советской математической школы.
Одной из характерных особенностей этой школы была широта
диапазона ее исследований: это была почти вся математика века.
Эта широта и стала одним из важнейших условий ее выживания,
как по настоящему мощной научной школы, в условиях мира раз-
деленного железным занавесом20 Когда этот занавес после смерти
И.В.Сталина в 1953 г. начал подниматься, перед миром предстала
школа, обладавшая мощным потенциалом. Начало процессу пол-
нокровного общения советских математиков с учеными мирового
научного сообщества положил Международный конгресс математи-
ков, собравшийся в Москве в августе 1966 г. В известном смысле
это был триумф Советской математической школы, представлен-
ной выдающимися именами почти во всех разрабатывавшихся в то
время областях математики. Такая широта диапазона не могла бы
быть достигнута, если бы математические исследования в стране
развивались в идеологических рамках, заданных лидерами столич-
ных школ. К счастью, влияние этих выдающихся математиков
было не абсолютным даже в столицах и значительно теряло свою
силу на периферии. Так, именно в провинциальных университетах
были без всякого предубеждения восприняты идеи Дж.Пеано в об-
ласти анализа, оснований математики и математической логики.
Именно там начали воспринимать его результаты как высшие дос-
тижения современной математики, а само его имя относить к числу
наиболее выдающихся математиков. Начали воспринимать и разви-
вать. И когда с течением времени на авансцену начали выходить
математики нового поколения (некоторые из них были выходцами
из провинции), то для них имя Пеано и его результаты восприни-
мались естественно как научная классика, а в спектре научных ис-
следований советских уже математиков появились и математичес-
С .С. Демидов
37
кая логика, и основания математики, и теория функций множеств,
и теория интеграла.
Долгое время к Дж.Пеано и его наследию не было справедли-
вым даже итальянское научное сообщество. Не находил он достой-
ной оценки и в западноевропейской математической и философс-
кой среде. Об объективных и субъективных причинах этого про-
никновенно сказал в своей речи на празднованиях 125-летия
Дж.Пеано известный итальянский философ Л.Джеймонат [23].
Поэтому неудивительно, как отметил Джеймонат, что начало под-
линной оценке значимости вклада великого математика положили
далеко за пределами Италии прежде всего в США (это был
X.Кеннеди, опубликовавший в 1980 г. его научную биографию
[15]), а также в СССР, где в работах Ф.А.Медведева21 была выяв-
лена его фундаментальная роль в развитии ряда идей теории фун-
кций действительного переменного (в частности, в теории функций
множеств). К работам, отмеченным Л.Джеймонатом, мы добавим и
книги Н.И.Стяжкина [4; 25] по истории математической логики,
на которую мы уже ссылались, а также исследования Е.А.Зайцева
о логике Пеано [26-28]. Так Россия начала отдавать долги памяти
великого мастера22.
Примечания
1 Разумеется, мы говорим здесь о настроениях доминирующих в сообществе, то есть о
настроениях круга А.А.Маркова. Были в Петербурге математики иначе смотрев-
шие, например, на математическую логику Известный специалист по математиче-
скому анализу академик В.Г.Имшснецкий так писал в 1874 г П.С.Порецкому:
«Мне приятно высказать... что интерес к предмету и к мастерскому изложению Ва-
шему чувствуется все более, можно сказать с каждой прочитанной страницей... Те-
перь ясные и прочные основы алгебраической логики найдены благодаря Вам...
Труд Ваш нельзя нс признать значительным и отрадным явлением в нашей литера-
туре» (цит. по: [4, с.367]).
2 Напомним, что первая аксиоматика теории вероятностей, предложенная в 1917 г
С.Н.Бернштейном - уроженцем Одессы и в то время профессором Харьковского
университета - создана с привлечением аппарата нормированных булевых алгебр.
3 В этой рецензии П.Эрснфсст писал: «Символическая формулировка дает возмож-
ность «вычислять» следствия из таких сложных систем посылок, в которых при
словесном изложении почти или совершенно невозможно разобраться. Дело в том,
что в физике и технике действительно существуют такие сложные системы посылок.
Пример: пусть имеется проект системы проводов автоматической телефонной стан-
ции. Нужно определить: 1) будет ли она произвольно функционировать при любой
комбинации, могущей встретиться в ходе деятельности станции; 2) не содержит ли
она излишних усложнений. Каждая такая комбинация является посылкой, каждый
маленький коммутатор есть логическое «или» - «или» воплощенное в эбоните и ла-
туни; все вместе - система чисто качественных (в сети слабого тока именно не коли-
чественных) «посылок», ничего нс оставляющая желать в отношении сложности и
запутанности. Следует ли при решении этих вопросов раз и навсегда удовлетворить-
ся... рутинным способом преобразования на графике? Правда ли, что несмотря на
существование уже разработанной алгебры логики своего рода «алгебра распреде-
лительных схем» должна считаться утопией?» [5, с.387].
4 Будучи представителем петербургской школы, человеком близким к А.А.Маркову,
ставшему после смерти П.Л.Чебышева ее лидером, Поссе никогда не заявлял о себе
38
МАТЕМАТИКА В СССР ЗА 70 ЛЕТ
как об ортодоксальном адепте ее идеологии. И хотя он и выступил в двух конфликт-
ных ситуациях на стороне А. А.Маркова (речь идет о критике Марковым результа-
тов В.Г.Имшенецкого и Н.В.Бугаева о рациональных решениях дифференциаль-
ных уравнений и позиции П. А.Некрасова по вопросам теории вероятностей и ее пре-
подавания), он никогда не выходил за чисто научные рамки и его позиция не отли-
чалась нетерпимостью, скажем, к исследованиям москвичей. Он мог спокойно вы-
ступить в московском «Математическом сборнике» со статьей, упрощающей некото-
рый вывод лидера москвичей Н. В.Бугаева, или сотрудничать с другим видным мос-
ковским математиком - Л.К.Лахтиным.
5 Следующим важным вкладом петербуржцев в издание современных западных учеб-
ников математики стал осуществленный Г.М.Фихтенгольцем вместе с Я.Д.Тамар-
киным перевод «Курса анализа бесконечно малых» Ш.Ж. де ла Валле-Пуссена, вы-
шедший в 1922 под редакцией В.А.Стеклова.
6 В 1903 г. уже был издан [7] перевод курса Дженноки-Пеано, выполненный неким
Н.С.Синеоковым. Вопрос о том, чем не устраивал первый перевод и зачем понадо-
бился новый, требует специального изучения.
1 Будучи человеком нездоровым, Порецкий вряд ли много путешествовал. Вероятно,
он вообще не выезжал из России. Судя по косвенным данным, у него были связи с
Л.Кутюра - этот вопрос (и вообще творческая биография П.С.Порецкого) тре-
бует специального изучения.
8 Это празднование стало, пожалуй, первым официальным научным мероприятием,
которым российская провинция громко заявила о себе миру. Отметим, что академи-
ческий Петербург не отметил эту дату сколько-нибудь заметным образом: Н.И.Ло-
бачевский и неевклидова геометрия не входили в круг идеологизированных интере-
сов А. А.Маркова и его окружения. Это особенно контрастирует с организацией в
1913 г. Марковым академических празднований 200-летия публикации закона боль-
ших чисел Я.Бернулли. Эти празднования, по идее Маркова, противопоставлялись
проводившимся в том же году торжествам в честь 300-летия дома Романовых.
9 О Н.Н.Парфентьеве см.: [14].
10 Благодаря любезности проф. С.Роэро, мы располагаем письмами этого периода
Парфентьева Пеано. Ответные письма Пеано следует искать в архиве Казанско-
го университета. Эти написанные по-французски письма высланы по большей час-
ти из Казани, а также из Москвы, где он останавливался в августе 1928 г. по пути в
командировку в Западную Европу у А.В.Васильева, из Берлина, Болоньи (где он
участвовал в Международном конгрессе математиков, на котором надеялся лично
повстречаться с Пеано - этим надеждам не суждено было сбыться, так как Пеано на
конгресс не приехал) и Парижа. В этих письмах обсуждались различные вопросы:
новый конкурс на премию Н.И.Лобачевского, объявленный в сентябре 1926 г., об-
мен изданиями между Академией Interlingva и Казанским физико-математическим
обществом, членство в ней Парфентьева, возможная тема его публикации в журнале
Академии, так, впрочем, и не осуществленная. В 1930 г в Казани отмечался 25-лет-
ний юбилей работы Парфентьева в университете и в Туринскую академию было от-
правлено приглашение участвовать в этом мероприятии. Президент Академии обра-
тился к Пеано с просьбой написать от имени Академии приветственное письмо, что
Пеано и осуществил [15].
11 О его жизни и творчестве см.: [16, с.535-536].
12 О жизни и творчестве В.Ф.Кагана см.: [17].
13 Одним из лидеров этого движения выступил только что упомянутый В.Серпинский,
всю жизнь активно сотрудничавший с Н.Н.Лузиным.
14 О жизни и творчестве Д.Д.Мордухай-Болтовского см.: [19; 20].
15 Вообще варшавский период истории Ростовского-на-Дону университета изучен не-
достаточно, что, впрочем, имеет объективные причины: с одной стороны, архивы и
Варшавы, и Ростова-на-Дону чрезвычайно пострадали во время мировых войн, с
другой, реалии жизни советского государства заставляли участников событий (того
же Мордухай-Болтовского) по возможности «забыть» о периоде своей жизни на
территории недружественного государства, каким стала «панская Польша».
С. С. Демидов
39
16 На основании материалов архива Морду хай-Болтове кого, хранящегося ныне в
Санкт- Петербурге, А.В.Родиным было подготовлено чрезвычайно интересное изда-
ние [21].
17 К сожалению, за исключением нескольких черновиков, хранящихся в том же архиве
Пеано, мы не располагаем письмами Пеано - весь довоенный архив Мордухай-Бол-
товского, как мы уже говорили, сгорел в Ростове-на-Дону во время бомбардировки.
18 Среди его студентов в 1936-1941 гг. был А.И.Солженицын, который вывел его под
вымышленным именем Дмитрия Дмитриевича Горяйнова-Шаховского в романе «В
круге первом».
19 Столь смелое поведение Д.Д.Мордухай-Болтовского во многом объясняется нали-
чием у него высокого покровителя - М.И.Калинина (см.: [19]). Дело в том, что де-
ревенским мальчиком он служил в доме Мордухай-Болтовских, которые замечате-
льно к нему относились, занимались его образованием и определили впоследствии
на один из механических заводов Санкт-Петербурга. Став одним из руководителей
Советского государства, он никогда не забывал хорошего отношения к нему семьи
Морду хай- Болтовских.
20 Конечно, занавес этот не был абсолютно непроницаемым. Продолжал осуществлять-
ся, хотя и в чрезвычайно ограниченном объеме, обмен научными изданиями. Так,
например, в Москву достаточно регулярно поступали выпуски математической се-
рии Comptes Rendus Академии наук Франции.
21 Джеймонат познакомился с его работами, публиковавшимися тогда только по-рус-
ски (английский перевод одной из его книг [24] появился только в 1991 г.).
22 Разумеется, в последние десятилетия итальянские историки науки предприняли зна-
чительные исследования, посвященные жизни и творчеству своего великого сооте-
чественника. Примером может служить опубликованное в 1994 г. исследование
М.Сегре [29], посвященное трудам Дж.Пеано по аксиоматике математики. Одним
из свидетельств глубокого интереса к наследию Пеано стали доклады на торжествах
по случаю его 150-летия, состоявшиеся в Турине в сентябре - октябре 2008 года, в
которых принял участие и автор настоящей статьи. Настоящая статья написана по
материалам, собранным автором в ходе подготовки к докладу, произнесенному 3 ок-
тября в Туринской академии наук.
Список литературы
КояловичБ.М. Рецензия на «Алгебру логики» Л.Кутюра // Журнал Министер-
ства народного просвещения. 1910. Январь. С.И1-115.
2. СлешинскийИ.В. По поводу отзыва проф. Кояловича о книге Л.Кутюра «Алгебра
логики» // Журнал Министерства народного просвещения. 1910. Май.
С.211-220.
3. КояловичБ.М. Ответ проф. И.Слешинскому // Журнал Министерства народно-
го просвещения. 1910. Сентябрь. С. 189-199.
4. Стяжкин Н.И. Формирование математической логики. М. 1967
5. ЭренфестП. Рецензия на книгу Л.Кутюра «Алгебра логики» // Журнал Русско-
го физико-химического общества при Санкт-Петербургском университете. Физи-
ческий отдел. 1910. Т.42. Отдел 2. С.382-387
6. Genocchi A. Calcolo differenziale е principii di calcolo integrate. Publicato con aggi-
unte del Dr. G.Peano. Torino: Восса, 1884.
7. Дженноки А. Дифференциальное исчисление и основы интегрального исчисления,
изданные проф. Guiseppo Peano / Пер. Н.С.Синеокова. Киев-Петербург-Харь-
ков: Южно-Русское книгоиздательство Ф.А.Иогансона, 1903.
8. Чезаро Э. Элементарный учебник алгебраического анализа и исчисления беско-
нечно малых / Пер. К.А.Поссе. Одесса, 1913. 4.1; 1914. 4.2.
9. Дженноки А. Дифференциальное исчисление и начала интегрального исчисления.
Издано с дополнениями и примечаниями проф. Дж.Пеано / Пер. К.А.Поссе. Пет-
роград, 1922.
10. Сергеев А.А. Константин Александрович Поссе. М. 1997
И. Лузин Н.Н. Теория функций действительного переменного. М., 1940.
40
МАТЕМАТИКА В СССР ЗА 70 ЛЕТ
12. Бажанов В. А, Юшкевич А.П. Александр Васильевич Васильев // А.В. Васильев.
Николай Иванович Лобачевский. М. 1992. С.221-228.
13. Peano G. Sur les principes de la Geometric selon Mario Pieri. Rapport pr6sent6 q la
Soci6t6 physique et math^matique de Kazan / / Известия Казанского физико-мате-
матического общества (2).1905. Т.4. С.92-95.
14. Лаптев Б.Л. Воспоминания о Н.Н.Парфентьеве // Очерки истории НИИ мате-
матики и механики имени Н.Г Чеботарева. Казань, 1989. С.119-124.
15. Kennedy Н.С. Peano. Dordrecht, 1980.
16. Юшкевич А.П. История математики в России до 1917 года. М., 1968.
\1 .Лопшиц А.М., Рашевский П.К. Вениамин Федорович Каган. М. 1969.
18. Каган В.Ф. Основания геометрии. Т.1-2. Одесса. 1905-1907
19. Родин А.В. Биографический очерк // Д.Д.Мордухай-Болтовской. Философия.
Психология. Математика. М., 1998. С. 12-25.
20. Черняев М.П., Несторович Н.М., Ляпин Н.М. Дмитрий Дмитриевич Морду-
хай-Болтове кой // Успехи математических наук. 1953. Т.8. Вып.4(56).
С.131-139.
21. Мордухай-Болтовской Д.Д. Философия. Психология. Математика. М., 1998.
22. Mordukhaj-Boltovskoj D. Insolubiles in scholasticaet paradoxes de infinite de nostro
tempore. Warszawa, 1939.
23. ДжеймонатЛ. Труды Пеано и их место в Итальянской культуре // Вопросы ис-
тории естествознания и техники. 1984. №1. С.84-88.
24. Medvedev F.A. Scenes from the history of real functions. Basel: Birkhauser, 1991.
25. Styazhkin N.I. History of mathematical logic from Leibniz to Peano. Cambridge
(Mass.)-London: MIT-press, 1969.
26. Зайцев E.A. Теория определений Дж.Пеано // Методологический анализ основа-
ний математики. М. 1988. С.46-55.
27 Зайцев Е.А. Семантическая структура логики Дж. Пеано / / Историко-математи-
ческие исследования. М., 1990. Вып.32-33. С. 146-157
28. Zaitsev Е.А. An interpretation of Peano’s logic // Archive for history of exact
sciences. 1994. Vol.46. P.367-383.
29. Segre M. Peano’s axioms in their historical context / Archive for history of exact
sciences. 1994. Vol.48. P.201-342.
КОЛМОГОРОВ И ФИЛОЛОГИЧЕСКИЕ НАУКИ1)
В. А. Успенский
Сперва - два комментария к заголовку.
Филологию нередко противопоставляют лингвистике, и нельзя
отрицать целесообразность такого противопоставления в отдельных
случаях. Однако в заголовке настоящей статьи прилагательное
«филологический» понимается в том же широком значении, как в
номенклатуре учёных степеней и в названии Филологического фа-
культета МГУ
Чтобы иметь самое беглое представление о том, кто такой Кол-
могоров, достаточно знать, что среди многочисленных мемориаль-
ных досок на стенах Московского университета только на колмого-
1)Выступление на Круглом столе «МАТЕМАТИКА И ФИЛОЛОГИЯ», прошед-
шем 27 марта 2009 года на Филологическом факультете МГУ.
В.А.Успенский
41
ровской написано «великий учёный». Не встречается на других
досках и слово «великий». И действительно, Андрей Николаевич
Колмогоров (25(12).04.1903-20.10.1987) это не только великий
математик, один из крупнейших математиков XX века (а в ка-
кие-то годы, возможно, и самый крупный), но и великий учёный.
Пушкин и Лермонтов - великие поэты, но Крылова, при всей не-
сомненности его величия, назвать великим поэтом неудобно. Кры-
лов великий баснописец, Лобачевский великий геометр, Пав-
лов - великий физиолог; а Ломоносов, Менделеев, Колмогоров
великие учёные.
Теперь - комментарий к содержанию. Настоящий очерк по не-
обходимости краток. За деталями отсылаю читателя к вышедшему
в 2002 г. моему двухтомнику «Труды по нематематике с приложе-
нием семиотических посланий А.Н.Колмогорова к автору и его
друзьям» (сокращенно ТпН), прежде всего к статьям «К определе-
нию падежа по Колмогорову» и «Предварение к “Семиотичес-
ким посланиям” из самих семиотических посланий к стиховед-
ческим можно отнести Первое и, отчасти, Второе.
* * *
Вклад Колмогорова в филологические науки можно условно
разделить на три компонента. Первый компонент состоит в его исс-
ледованиях в области лингвистики и теории стиха. Второй - в ор-
ганизационной поддержке новых направлений в филологии. Тре-
тий - это участие в создании той благоприятной атмосферы в об-
ществе и в науке, без которой развитие указанных направлений
было бы затруднено.
Организационный компонент менее известен, а потому с него и
начну.
Пятидесятые годы прошедшего века. 19 мая 1959 г. ректор
МГУ Иван Георгиевич Петровский созывает совещание. На повест-
ке - открытие на Филологическом факультете новой специальнос-
ти «Теоретическая и прикладная лингвистика». Участвовавший в
совещании Колмогоров решительно поддержал новое начинание и
даже предложил создать при Филологическом факультете смешан-
ные группы из студентов этого факультета и Мехмата, дав им
шесть лет обучения. Столь же решительно он поддержал предло-
жение об обучении студентов-лингвистов математике - причём всех
лингвистов, а не только теоретических и прикладных. Хотя оба
эти предложения оказались слишком впереди времени, чтобы быть
полностью осуществлёнными, всё же обучение математике студен-
тов названной специальности происходит (хотя и в объёме, сильно
уменьшившемся по сравнению с первыми годами), а студентов
Мехмата теперь можно заметить на лекциях и семинарах Филоло-
42
МАТЕМАТИКА В СССР ЗА 70 ЛЕТ
гического факультета, что лет двадцать назад выглядело немысли-
мым.
В шестидесятых и семидесятых годах Колмогоров персонально
поддержал двух выдающихся выпускников (и даже однокурсни-
ков) Филологического факультета великого лингвиста Андрея
Анатольевича Зализняка и великого филолога Михаила Леоновича
Гаспарова. В случае Зализняка поддержка была особенно значи-
мой.
Дело в том, что весной 1965 г. Зализняк представил в Инсти-
тут славяноведения Академии наук, где он работал тогда и работа-
ет сейчас, кандидатскую диссертацию на тему «Классификация и
синтез именных парадигм современного русского языка», явившу-
юся совершенно новым словом не только в русистике, но и в линг-
вистике вообще. Стало ясно, что она более чем достойна докторс-
кой степени. К сожалению, это было ясно не всем. События разви-
вались чрезвычайно драматично и могли бы стать темой увлека-
тельного романа. Заседание Учёного совета, начавшееся 31 марта
при большом наплыве публики, ещё до выступления диссертанта
было отложено на неопределённый срок. После чего Зализняка
стали призывать на военную службу как полиглота, а Институт
славяноведения решил вовсе не рассматривать его диссертацию,
причём аргументация была вполне разумной: если диссертация та-
кая замечательная, пусть она защищается в одном из языковедчес-
ких институтов. Но обстановка в советском языкознании тогда
была такова, что и в Институте русского языка, и в Институте
языкознания её провалили бы с треском. О ситуации было расска-
зано Колмогорову. На моих глазах он написал на пишущей ма-
шинке письмо в Учёный совет Института славяноведения. Приведу
из него две знаменательные выдержки. Первая: «...Работа <...>,
представленная А.А.Зализняком в качестве кандидатской диссерта-
ции, <...> должна занять выдающееся место не только в русском,
но и в общем языкознании, так как, насколько мне известно, ни в
отечественной, ни в зарубежной литературе исчерпывающему фор-
мальному исследованию современными в смысле логических
приёмов методами не подвергался столь большой массив фактов».
Это совершенно верно, но откуда бы это знать Колмогорову? От-
вет: Колмогоров знал всё. Вторая выдержка: «Судя по отзывам
оппонентов, фактическая состоятельность проведённого анализа не
вызывает сомнения». Почему упомянуты отзывы оппонентов? От-
вет: из чувства ответственности, потому что за свою оценку состоя-
ния мирового языкознания Колмогоров отвечать готов, а вот за со-
ответствие построений диссертации реальным фактам языка пусть
отвечают оппоненты. Отзыв Колмогорова явился одним из тех
факторов, кои способствовали успеху предприятия. Отложенное
В.А.Успенский
43
заседание совета состоялось 26 мая, и уже 19 июня пленум ВАКа
присудил Зализняку докторскую степень. Наличие у Зализняка
этой степени было весьма существенным для последующего разви-
тия лингвистики в нашей стране.
Что касается Гаспарова, то когда он в 1977 г. представил в
Институт мировой литературы в качестве докторской диссертации
свою монографию «Современный русский стих. Метрика и ритми-
ка» (М., 1974), Колмогоров выступил в качестве одного из офици-
альных оппонентов. Статьи Гаспарова Колмогоров читал и рань-
ше, о чём свидетельствуют слова самого Гаспарова из его письма
от 8.07.1997 к автору этих строк: «Он указал мне на вопиющую
неправильность одного расчёта в статье о стихе Маяковского; в
книге 1974 г. я её исправил».
Перехожу к исследовательскому компоненту вклада Колмого-
рова. Буду говорить о том, чему мне посчастливилось быть свиде-
телем.
В 1956 г. Вячеслав Всеволодович Иванов и я решили учредить
на Филологическом факультете семинар по применению в лингвис-
тике математических методов. Перед первым занятием семинара,
которое состоялось 24 сентября, я пришёл к Колмогорову за сове-
том, с чего начать.
Он рекомендовал начать с задач, а именно предложить участ-
никам семинара две задачи на определение понятий понятия
‘ямб’ и понятия ‘падеж’
Казалось бы, что такое ямб, знают все: это та-ТА, та-ТА,
та-ТА: «Открылась бездна, звезд полна»; «Сидеть с больным и
день, и ночь». Но при этой схеме уже во второй строке первой
главы «Евгения Онегина» слово «занемог» должно произноситься
с ударением на первом слоге. Тогда же Колмогоров сообщил мне
математически строгое определение ямба.
Теперь о другой, грамматической задаче Колмогорова. Паде-
жей в русском языке шесть; так учат в школе, в университете их
становится восемь. В немецком языке четыре падежа, в эстонском
- четырнадцать. При этом неясно, чего именно шесть или восемь в
русском, четыре в немецком и четырнадцать в эстонском. Академи-
ческие грамматики, не говоря уже о школьных учебниках, умело
обходили (да и сейчас обходят) этот вопрос. Итак, задача состояла
в том, чтобы чётко определить те сущности, количество коих подс-
читывается. Тогда же Колмогоров указал мне и решение этой зада-
чи. Тут надо сделать отступление. У Колмогорова была редкая
особенность: многие свои важнейшие мысли он высказывал мимо-
ходом, при обсуждении чьего-либо доклада, а то и в частных бесе-
дах, не заботясь, будут ли они услышаны и поняты (увы, боюсь,
что не все они были услышаны и поняты). Так, на моих глазах, в
44
МАТЕМАТИКА В СССР ЗА 70 ЛЕТ
краткой реплике Колмогорова, сделанной в феврале 1954 г. на од-
ном из семинаров, родилась теория нумераций, ныне представляю-
щая собою сформировавшийся раздел теории алгоритмов. Если бы
один из присутствовавших не осознал важность сказанного и не
опубликовал колмогоровские формулировки в «Докладах Акаде-
мии наук», появление теории нумераций было бы отложено. Не
знаю, как развивался бы раздел грамматики, посвящённый теории
падежа, не окажись я рядом и не внуши мне Провидение изложить
идеи Колмогорова в опубликованной в 1957 г. статье «К определе-
нию падежа по Колмогорову». Колмогоровское определение паде-
жа впоследствии было развито и усовершенствовано Зализняком и
вошло в 1965 г. в его упоминавшуюся уже диссертацию, а в
1967 г. в его классическую монографию «Русское именное словоиз-
менение».
Сказанным не ограничивается вклад Колмогорова в лингвисти-
ку. Применяя методы математической статистики и теории инфор-
мации, он указал подходы к некоторым вопросам, чрезвычайно
важным для понимания устройства языка; ответы на них позволяют
разложить количество содержащейся в тексте информации на от-
дельные слагаемые, даваемые грамматикой, семантикой, поэтикой.
Вопросы эти находятся на самом переднем рубеже наших знаний, а
то и вне его пределов. Среди подобных вопросов мы находим такие.
Если считать текстом любую цепочку, составленную из букв и про-
белов, то каков процент грамматически правильных текстов? А ка-
ков процент текстов осмысленных? Сколькими способами можно
выразить одно и то же содержание? Как изменятся ответы на эти
вопросы, если к требованию осмысленности добавить ограничения,
диктуемые художественной, в частности стихотворной, формой?
Эти вопросы были предметом интенсивных исследований созданной
и руководимой им группы его молодых сотрудников. В своих пуб-
ликациях Колмогоров касался этой тематики лишь вскользь, огра-
ничиваясь, как правило, кратким сообщением о числовых итогах.
Так, в своей знаменитой статье 1965 г. «Три подхода к определению
понятия «количество информации»» Колмогоров отмечает результа-
ты подсчётов, полученные двумя его лаборантками:
«Для двоичного логарифма числа N русских печатных текс-
тов, составленных из слов, включённых в Словарь русского языка
С.И.Ожегова и подчинённых лишь требованиям “грамматической
правильности” длины и, выраженной в “числе знаков” (включая
“пробелы”), М.Ратнер1 и Н.Светлова2 получили оценку
h = (log 2^) / п = 1,9 ± 0,1. Это значительно больше, чем оценки
сверху для «энтропии литературных текстов», получаемые при по-
мощи различных методов “угадывания продолжений”. Такое рас-
В.А.Успенский
45
хождение вполне естественно, так как литературные тексты подчи-
нены не только требованию “грамматической правильности”».
Уже после кончины Колмогорова обнаружилось несколько ма-
шинописных страниц, содержащих его неопубликованную заметку
«О возможном применении простейших представлений теории ин-
формации к исследованию стиха, художественной прозы, техники
перевода». Автор этих строк взял на себя смелость опубликовать
её в ТпН на стр.743-745.
Заголовок названной заметки соединяет лингвистические исс-
ледования Колмогорова с его стиховедческими исследованиями, к
каковым я и перехожу. Колмогоров справедливо считается одним
из крупнейших исследователей русского стиха - наряду с Андреем
Белым, Романом Якобсоном, Борисом Томашевским, Кириллом
Тарановским, Михаилом Гаспаровым.
Истоки интереса Колмогорова к теории стиха, можно пола-
гать, таковы.
Во-первых, это его широкие обще-гуманитарные и, в частнос-
ти, литературные интересы. Отсюда - интерес к стихам.
Во-вторых, его стремление к научному анализу явления, к сис-
тематизации понятий и к поискам их точных определений. Отсюда
- интерес к стиховедению, возникший с молодости, в каковой он,
по его собственному признанию, читал работы сначала Андрея Бе-
лого, а затем и Шенгели, и Томашевского.
В-третьих, высший уровень научного анализа и систематиза-
ции - это математизация. Математизация отнюдь не сводится к вы-
ражению явлений в формулах, числах, таблицах и графиках. Фор-
мулы, числа, таблицы и графики могут вообще отсутствовать.
Главное в математизации - это создание такого описания явления,
которое было бы безупречным с логической точки зрения, а мате-
матика выступает здесь в роли оценщика (и одновременно идеала)
степени логической безупречности. Математизации легче всего под-
дается метрический аспект стихосложения. Отсюда - интерес Кол-
могорова к тому разделу стиховедения, который называется мет-
рика и ритмика. Именно потому, что из всех разделов стиховеде-
ния именно метрика и ритмика была наиболее продвинута в нап-
равлении формализации, отсутствие должного порядка в её основ-
ных понятиях могло быть обнаружено достаточно быстро. Оно и
было не только замечено, но и исправлено Колмогоровым. Он
предложил безупречное с формально-логической точки зрения оп-
ределение классических метров, а также описание и разграничение
метров неклассических. По скромности, Колмогоров вряд ли бы
согласился с такой формулировкой; скорее он сказал бы, что лишь
выразил в явной форме общеизвестные представления.
46
МАТЕМАТИКА В СССР ЗА 70 ЛЕТ
В-четвёртых, Колмогоров был классиком математической ста-
тистики. Приложение методов этой науки к явлениям речи - в час-
тности, к явлениям стихотворной речи - не могло его не интересо-
вать. Он не был, конечно, чужд формулам, числам, таблицам и
графикам, столь характерным для статистики, но только полагал,
что им непременно должно предшествовать чёткое описание подс-
читываемых явлений.
В-пятых, в конце 1950-х годов стиховедческие интересы Кол-
могорова сплелись с его занятиями кибернетикой. И сложение сти-
хов (как процесс) и стихосложение (как способ организации текс-
та, возникающего в результате такого процесса) стало возможным
рассматривать под углом зрения кибернетики и даже в качестве
объекта, ею изучаемого.
В-шестых, в начале 1960-х годов Колмогоров приступил к ре-
конструкции теории информации на основе последнего из своих
математических шедевров - своей теории сложности, называемой
сейчас теорией колмогоровской сложности (the theory of Kolmo-
gorov complexity). Эта теория позволяет оценивать уровень слож-
ности тех или иных объектов, прежде всего текстов (то есть конеч-
ных цепочек букв и пробелов). Колмогорова интересовал, в част-
ности, вопрос о сложности литературных текстов, в том числе о
том, какая доля сложности приходится на содержание текста, а ка-
кая на те или иные литературные приёмы; литературные же
приёмы - такие как рифма, метр и т.п. - легче всего формализу-
ются и вычленяются в поэзии.
В-седьмых, ритм вообще занимал особое место во внутреннем
мире Колмогорова. Он любил и знал музыку. Некоторые его выс-
казывания о поэзии можно было понимать в том смысле, что сти-
хи, подобно метроному, задают такт эмоциональной сфере.
При оценке вклада Колмогорова в теорию стиха следует неп-
ременно иметь в виду, что количество замыслов Колмогорова было
непосильно для смертного и большинство из них осталось неосу-
ществленными. Так, из задуманного большого труда под названием
«Метр как образ» имеется лишь 18 машинописных страниц, из
коих первая содержит только заголовок и эпиграфы, а остальные
17 озаглавлены очень выразительно: «Предварительный набросок
начала введения». Тем не менее, в 1962 г. Колмогоров опублико-
вал совместную с А.М.Кондратовым статью о ритмике поэм Мая-
ковского и с тех пор по 1968 г. включительно публиковался на
стиховедческие темы ежегодно. А всего колмогоровских статей по
теории стиха, включая опубликованные посмертно, двенадцать.
В четырёх из них соавтором Колмогорова был его ученик и глав-
ный помощник в делах стиховедения Александр Владимирович
Прохоров (которому принадлежит и полезная самостоятельная
В.А.Успенский
47
статья «О случайной версификации», опубликованная в 1984 г.).
Детальные библиографические описания приведены в ТпН на
стр.735-739 (первые 8 статей Колмогорова отражены также в биб-
лиографии к упомянутой монографии Гаспарова).
Однако многие идеи и результаты Колмогорова либо не сохра-
нились вовсе, либо сохранились лишь в виде свидетельских пока-
заний. Например, в своей статье в сборнике «Поэтика и стилисти-
ка русской литературы» (Л., 1971) Тарановский указывает: «На
Варшавской конференции 1964 г. акад. Колмогоров сообщил, что
по профилю ударности в общем можно вычислить частоты всех
ритмических форм данного стиха. К сожалению, результаты вы-
числений, сделанных его сотрудниками (для 4 ст. ямба Жуковско-
го и Багрицкого), до сих пор ещё не опубликованы».
Но если понятие профиля ударности (введённое, кстати, са-
мим Тарановским в 1953 г.) можно отнести к хотя и важным, но
всё же скорее техническим понятиям статистики текста, то предло-
женное Колмогоровым понятие «трудности рифмы» представляет-
ся весьма содержательным. Кажется непонятным, как можно вы-
числять такую трудность. Но вот что пишет Гаспаров в §11 своей
монографии 1974 г.:
«Методика вычисления «трудности рифмы» была предложена
А.Н.Колмогоровым. Согласно этой методике, из прозаического
текста, принимаемого за «норму языка», выписываются порознь
все слова с мужским окончанием, с женским, с дактилическим и
т.д.; в каждой из этих групп высчитывается число всех возможных
пар слов и среди них - число рифмующихся пар слов; отношение
числа рифмующихся пар к общему числу пар будет «коэффициен-
том трудности» рифмы, т.е. вероятностью случайного возникнове-
ния в языке данного типа рифмы. Так, в русском языке эта веро-
ятность оказалось равной для мужских рифм около 0,008, для
женских - 0,005. С помощью этих показателей можно ориентиро-
вочно оценить объём «локального словаря поэта», т.е. число слов,
проходящих перед «мысленным взором» поэта, когда он подбирает
нужную рифму - по-видимому, он сравнительно невелик, порядка
100 слов <...>».
Изложенные в приведённой цитате идеи Колмогорова не были
им опубликованы, но были изложены в сентябре 1961 г. в его док-
ладе «Локальный словарь поэта и рифма» на совещании в Горьком
(ныне Нижний Новгород), посвящённом применению математичес-
ких методов к изучению языка художественных произведений.
Подробный отчёт об этом совещании и, в частности, об этом докла-
де дан И.И.Ревзиным в сборнике «Структурно-типологические ис-
следования» (М., 1962). Колмогоров отнюдь не был на этом сове-
щании «свадебным генералом» (каковым он, впрочем, не был ниг-
48
МАТЕМАТИКА В СССР ЗА 70 ЛЕТ
де и никогда). Совещание открылось 23 сентября лекцией Колмо-
горова «Комбинаторика, статистика и теория вероятностей в стихо-
ведении». В последующие дни Колмогоров, помимо упомянутого
выше доклада о локальном словаре поэта, сделал доклад «Энтро-
пия речи и стихосложение», был одним из авторов (вместе с
Н.Г.Рычковой3) доклада «Ритмика Багрицкого» и весьма активно
выступал в прениях. Отчёт Ревзина ценен, в частности, тем, что в
нём отражены идеи Колмогорова, высказанные им в прениях,
редкая для хроникальной заметки черта!
В своей монографии 1974 г. Гаспаров так писал о стиховедчес-
ких исследованиях Колмогорова:
...Работы по усовершенствованию методики Томашевского (нача-
тые в 1960 г.) стали началом оживления точных методов в советском
стиховедении, надолго заглохших после опытов 1920-х годов. Цент-
ром этой оживленной деятельности остаётся группа А.Н.Колмогорова
(А.В.Прохоров, Н.Д.Светлова, некоторое время Н.Г.Рычкова); с
нею связано и большинство других работавших в этом направлении
стиховедов, в том числе С.П.Бобров и В.В.Иванов».
И далее Гаспаров выделяет три направления, в которых кол-
могоровская группа усовершенствовала статистическую методику
Томашевского:
«Во-первых, уточнено было понятие ритмического словаря, от
которого вычисляются частоты слов. Томашевский брал ритмичес-
кий словарь самого исследуемого стихотворного произведения,
например «Евгения Онегина». Колмогоров показал, что это сильно
смещает картину: ритмический словарь стихотворного произведе-
ния не может служить эталоном «естественных данных языка»,
так как самый отбор слов в стихе уже скован ограничивающим
влиянием метра. Показательнее брать за основу ритмический сло-
варь прозы - скажем, художественной прозы того же периода, к
какому относятся разбираемые стихи. <...>
Во-вторых, уточнён был принцип расстановки ударений. <...>
В-третьих, был обнаружен другой, вспомогательный способ мо-
делирования «естественного стиха» для сравнения его с эмпиричес-
ким - посредством прямых выборок из прозаического текста. ..»
И, наконец, в статье «Воспоминания о С.П.Боброве» (1993 г.)
Гаспаров высказывается по поводу стиля колмогоровских исследо-
ваний:
«Колмогоров в это время, около 1960 г., заинтересовался сти-
ховедением; этот интерес очень помог полузадушенной науке
встать на ноги и получить признание. Ещё Б.Томашевский в
1917 г. предложил исследовать ритм стиха, конструируя по языко-
вым данным вероятностные модели стиха и сравнивая их с реаль-
ным ритмом. Колмогорову, математику-вероятностнику с мировым
В.А.Успенский
49
именем, это показалось интересно. Он усовершенствовал методику
Томашевского, собрал стиховедческий семинар, воспитал одно-
го-двух учеников-стиховедов. <...> Колмогоров, профессиональ-
ный математик, в своих статьях и докладах обходился без матема-
тической терминологии, без формул, это были тонкие наблюдения
и точные описания вполне филологического склада, только с заме-
чаниями, что такой-то ритмический ход здесь не случаен по тако-
му-то признаку и в такой-то мере. Математика была для него не
ключом к филологическим задачам, а дисциплиной ума при их ре-
шении. Томашевский и Колмогоров всматривались в расхождения
между простой вероятностной моделью и сложностью реального
стиха, чтобы понять специфику последнего <...>.»
Уже первая фраза последней цитаты подчёркивает роль треть-
его компонента филологических заслуг Колмогорова, а именно его
участия в создании атмосферы, благоприятствующей прогрессу
филологии. Сюда относятся и контакты с филологами, как непос-
редственные, так и эпистолярные. Так, он состоял в активной пе-
реписке с А.П.Квятковским автором известного «Поэтического
словаря» (говорят, что начата работа по подготовке этой перепис-
ки к опубликованию). К этому прибавим разрешение спора между
двумя известными стиховедами относительно результатов статисти-
ческих вычислений: оказалось, что всё дело было в том, что ува-
жаемые оппоненты по разному понимали, что такое слово и что та-
кое ударный слог. Колмогоров учил, что бессмысленно заниматься
статистикой, не дав чёткого определения, что именно подсчитыва-
ется. Учил он и тому, что статистикой литературных текстов над-
лежит заниматься в определённой последовательности, в против-
ном случае за художественный приём можно принять неизбежную
статистическую закономерность.
К сказанному прибавим, что Колмогоров выписывал журнал
«Вопросы языкознания» и живо откликался на некоторые из его
статей. Вот что, например, рассказывает заведующий кафедрой те-
оретической и прикладной лингвистики Филологического факуль-
тета МГУ член-корреспондент РАН Александр Евгеньевич Киб-
рик4. В 1961 г. он окончил обучение на названном факультете,
был зачислен на него старшим лаборантом и в этом качестве пред-
ставил в «Вопросы языкознания» статью о методе определения
дифференциальных признаков гласных новогреческого языка при
спектральном анализе. Статья была напечатана в №5 журнала за
1962 г. Не более чем через пару недель Кибрику позвонили из ре-
дакции и попросили зайти за откликом читателя на его статью. Чи-
тателем оказался никто иной как Колмогоров, сообщавший «ува-
жаемому профессору Кибрику», что статья ему понравилась и он
хотел бы кое-что обсудить; в письме указывался номер телефона
50
МАТЕМАТИКА В СССР ЗА 70 ЛЕТ
для связи. В результате Кибрик сделал доклад на семинаре, кото-
рый Колмогоров вёл на Мехмате. Всё это, включая обстановку на
семинаре, произвело на Кибрика сильное впечатление.
К созданию атмосферы относятся и лекции и доклады Колмо-
горова на филологические темы, а также его участие, всегда актив-
ное, в конференциях на эти темы. Так, осенью 1960 г. Колмогоров
объявил на Мехмате курс лекций «Некоторые вопросы математи-
ческой лингвистики». Реально состоялись всего три первые лек-
ции, объединённые названием «Теория вероятностей и анализ рит-
ма русского стиха». Поражал спектр поэтов, ритмы коих подверга-
лись анализу: Кантемир, Ломоносов, Державин, Капнист, Жуковс-
кий, Гнедич, Пушкин, Баратынский, Лермонтов, Фет, Блок, Гу-
милёв, Маяковский, Пастернак. Лекции эти слушали не только ма-
тематики (от студентов до профессоров), но и видные филологи,
среди них А.К.Жолковский, А.А.Зализняк, Вяч.Вс. Иванов,
И.А.Мельчук, Е.В.Падучева, И.И.Ревзин, В.Н.Топоров, Б.А.Ус-
пенский, Р.М.Фрумкина, Ю.К.Щеглов. В декабре того же года
Колмогоров дважды выступает со стиховедческими докладами в
Московском математическом обществе, а в январе 1961 г. делает
доклад «Математика и стиховедение» на Учёном совете Меха-
нико-математического факультета МГУ В июле 1961 г. на IV Все-
союзном математическом съезде он, выступая в прениях, высказы-
вает ряд глубоких мыслей по теории художественного перевода, в
том числе такую: мышление человека прежде, чем стать логичес-
ким, было языковым. О совещании в Горьком осенью 1961 г. было
уже сказано. Необходимо хотя бы бегло упомянуть ленинградский
симпозиум по изучению художественного творчества 1963 г. (Кол-
могоров называл его «симпозиумом Мейлаха») и варшавскую кон-
ференцию по теории стиха 1964 года, организованную М.Р.Май-
еновой (на этой конференции Колмогоров познакомился с Якобсо-
ном и Тарановским; впоследствии оба они бывали в его московс-
кой квартире). К Тарановскому Колмогоров послал на длительную
стажировку уже упоминавшегося А.В.Прохорова.
Не будем забывать, что во время своих занятий стиховедением
Колмогоров не переставал быть действующим математиком, и
объём его научной, педагогической и организационной деятельнос-
ти в этой области был велик необычайно.
На с.22 своей монографии 1974 г. Гаспаров сообщает, что ра-
боты группы Колмогорова по большей части остались неопублико-
ванными. Полагаю, что причина кроется в необыкновенной ответс-
твенности Колмогорова за публикуемый материал.
Научное наследие Колмогорова в области филологических
наук должно быть собрано, прокомментировано и издано. Но для
этого нужен подвижник, коего пока не видно.
А. Е. Кибрик
51
Примечания
1 Ныне - Marina Ratner, профессор университета в Беркли (Калифорния), член На-
циональной Академии наук США.
2 Ныне - Наталья Дмитриевна Солженицына.
3 Наталья Григорьевна Рычкова сменила впоследствии фамилию на «Химченко».
Именно эта последняя фамилия (в качестве фамилии лица, подготовившего текст)
значится на титульном листе четырёх мемориальных изданий, посвящённых памяти
Колмогорова.
4 Подробнее рассказ А.Е.Кибрика излагается в его статье, печатающийся в настоящем
выпуске. - Прим. ред.
А.Н.КОЛМОГОРОВ И ЛИНГВИСТИКА
А.Е. Кибрик
Мне посчастливилось лично познакомиться с А.Н.Колмогоро-
вым при удивительных обстоятельствах. Предыстория этого такова.
Я окончил филологический факультет МГУ по специальности
«классическая филология» в 1961 г. Последний 1960/1961 учеб-
ный год я ходил на занятия по математике на только что открыв-
шееся отделение теоретической и прикладной лингвистики и реши-
тельно стремился по окончании филфака перейти так или иначе на
эту специальность. Поэтому дипломную работу я писал не по клас-
сической филологии, а в области экспериментальной фонетики.
Связующим мостиком между моей классической специальностью и
темой дипломной работы был новогреческий язык: в этой статье
объектом анализа были гласные новогреческого языка.
Стоит заметить, что это сейчас имеются широко использующи-
еся компьютерные программы акустического анализа речи, выдаю-
щие на экране on line различные параметры: осциллограммы, ин-
тонограммы, спектрограммы и т.п. А в то время в СССР в откры-
том доступе существовал лишь один анализатор1 с 28-ю ламповы-
ми фильтрами, собранный вручную русскими инженерами-умель-
цами (позднее вершиной инженерно-конструкторской мысли было
появление в нашей лаборатории анализатора с 48-ю фильтрами).
Исследование речевых акустических сигналов в СССР только-
только начиналось. Заняться этой областью мне посоветовал (ныне
академик) Вячеслав Всеволодович Иванов, а моим руководителем
был профессор Петр Саввич Кузнецов - кстати, многократно расс-
казывавший, что знает Колмогорова с раннего детства.
Его воспоминания заслуживают того, чтобы на них отвлечься.
Родители Кузнецова дружили с семьей Колмогоровых. Как-то, как
вспоминал Петр Саввич, ему, тогда пяти летнему, сказали, что ско-
ро приезжает из Тамбова его будущий дружок, мальчик Андрюша.
Все пошли на вокзал встречать Колмогоровых, и Петя Кузнецов с
52
МАТЕМАТИКА В СССР ЗА 70 ЛЕТ
нетерпением ждал встречи с этим будущим другом. Ему на всю
жизнь запомнилось то разочарование, которое он испытал, когда
увидел, что мальчик прибыл лежащим в плетеном лукошке. Потом
они поддерживали связь всю жизнь, и П.С.Кузнецов в старости
очень в душе гордился этим эпизодом из детства и своим тогдаш-
ним возрастным превосходством.
По окончании обучения я был принят в лабораторию экспери-
ментальной фонетики при кафедре проф. В.А.Звегинцева2 в долж-
ности старшего лаборанта (в аспирантуру, несмотря на красный
диплом, партбюро меня не рекомендовало по причинам, не связан-
ным с темой этой заметки). Часть диплома я переработал в статью
и подал ее в журнал «Вопросы языкознания». Через год эта статья
была опубликована3.
Не более чем через пару недель после выхода номера журнала
в свет мне позвонили из редакции и просили зайти за откликом чи-
тателя на мою статью. Этим читателем оказался никто иной как
академик Колмогоров, обращавшийся ко мне «Уважаемый профес-
сор Кибрик». Он писал, что ему понравилась моя статья, и он хо-
тел бы обсудить со мной несколько возникших у него вопросов. В
письме указывался номер телефона для связи.
Я очень волновался, как это позвонить самому Колмогорову,
как представиться и что сказать. Но все оказалось довольно прос-
то, Андрей Николаевич взял инициативу на себя, говорил совер-
шенно неофициально, по-домашнему. Он предложил мне высту-
пить у него на семинаре на мехмате. Я был, конечно, очень взвол-
нован. Ведь я никогда не выступал в такой обстановке и в присут-
ствии такого великого человека. На семинаре обстановка была до-
вольно непринужденная. Было человек 15, в большинстве юноши,
но народ тертый и раскованный, не ощущавший того трепета перед
академиком, как я. Как я говорил и как отвечал на многие вопро-
сы, я не помню, да и сразу после семинара не помнил.
Но для меня это был замечательный урок пытливости ума и
широты интереса к самым различным проблемам и наукам. Как
ему попалась на глаза моя статья, статья неведомого лингвиста, и с
какой скоростью это произошло! Скорее всего Колмогоров был
первым или почти первым среди читателей журнала, кто успел его
раскрыть. Речь здесь не обо мне, а о Колмогорове. Правильно на-
писал В.А.Успенский, что на всякий случай «Колмогоров знал
все».
Примечания
1 В лаборатории экспериментальной фонетики Института иностранных языков имени
Мориса Тореза.
2 Эта кафедра в тот период проходила процесс реорганизации и разделения ее па две
кафедры, одной из которых стала кафедра теоретической и прикладной
В.П.Визгин
53
лингвистики (вскоре переименованная в кафедру структурной и прикладной линг-
вистики, с 1982 но 1988 гг слитая с чужеродной кафедрой, в 1988 г восстановлен-
ная под именем кафедры прикладной лингвистики и, наконец, в 1992 г. вернувшая
свое первоначальное имя), где я и проработал по настоящее время.
3 К вопросу о методе определения дифференциальных признаков при спектральном
анализе // Вопросы языкознания. 1962. №5. С.81-89.
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ФИЗИКОВ И МАТЕМАТИКОВ
В СОВЕТСКОМ АТОМНОМ ПРОЕКТЕ (1940-1950-Е ГГ.)
В.П.Визгин
Введение
Физика и математика были связаны между собой с начала воз-
никновения научных знаний о природе. Достаточно вспомнить Пи-
фагора и Платона, Евклида и Архимеда. С ньютоновских времен
становилась все более очевидной идея о том, что физика немысли-
ма без математики. Квинтэссенцией теоретической физики
XIX-XX вв. становились дифференциальные уравнения физичес-
ких процессов уравнения Фурье, Максвелла, Больцмана, Эйн-
штейна (гравитации), Шредингера, Дирака и др. С другой сторо-
ны, и математика в эти же времена черпала из физики плодотвор-
ные идеи и нетривиальные структуры. Математический анализ, те-
ория дифференциальных уравнений (как обыкновенных, так и с
частными производными), вариационное исчисление, векторный
анализ, в XX в. функциональный анализ возникали и развивались
под сильным воздействием импульсов, идущих из механики и фи-
зики.
Точно так же были органически сплетены между собой физики
и математики и соответствующие научные сообщества с присущими
им научно-дисциплинарными структурами. Нередко между физи-
ками и математиками было такое сильное, как бы обменное, взаи-
модействие, что математики оказывались в стане физиков и наобо-
рот. Именно первый случай имел место в период создания ядерно-
го оружия в СССР в 1940-1950-е гг. Решающий вклад в создание
первых атомных и термоядерных зарядов внесли физики при под-
держке математиков, которые вместе с физиками-теоретиками рас-
считывали реакторы и каскады установок по газодиффузионному
разделению изотопов урана, а также ожидаемые мощности и коэф-
фициенты полезного действия атомных и водородных бомб. В на-
чале расчеты велись с помощью арифмометров (т.е. фактически
вручную) и только с середины 1950-х гг. началось использование
для этого первых ЭВМ.
Ниже мы рассмотрим основные формы совместной работы фи-
зиков и математиков - от привлечения отдельных математиков и
54
МАТЕМАТИКА В СССР ЗА 70 ЛЕТ
математических групп до создания целых математических отделов
(или секторов) в ядерно-оружейных центрах страны. При этом мы
будем использовать методологическую концепцию «зон обмена»
П.Галисона, согласно которой каждая из взаимодействующих дис-
циплин, находящихся в этих зонах, в обмен на свои результаты и
методы, заимствованные другой дисциплиной, получает от послед-
ней также нечто весьма важное для своего развития (новые темы,
задачи, структуры) [1]. Это ведет к тому, что в зонах обмена про-
исходит интенсивный (и двойной!) рост научного знания. Для нас
существенно, что «обменное взаимодействие» распространяется и
на научные сообщества. Так, в обменной зоне или зоне пересече-
ния физического и математического сообществ, включенных в раз-
работку атомного проекта, возникают специфические «обменные
подсообщества», иногда стабильные, иногда короткоживущие,
иногда перетекающие одно в другое.
Атомный проект в СССР стартовал осенью 1942 г. С августа
1945 г. темпы его реализации резко возросли, и вскоре после этого
проект обрел промышленное измерение. Вехой в этом пути стал
август 1949 г., когда была успешно испытана первая отечественная
атомная бомба. В последующее десятилетие в рамках проекта было
создано термоядерное оружие (1953 г. «слойка» А.Д.Сахарова,
1955 г. - двухступенчатая, основная, конструкция водородной бом-
бы; 1961 г. - самая большая бомба этого типа - 50 мегатонн в тро-
тиловом эквиваленте испытана на полигоне «Новая Земля»),
построена первая АЭС в г. Обнинск (1954 г.), созданы первая
атомная подводная лодка и первый атомный ледокол (1957 г.), пу-
щен импульсный реактор на быстрых нейтронах (1960 г.) и т.д.
Большинство ведущих физиков страны, в том числе физи-
ков-теоретиков, приняло самое непосредственное участие в этом
проекте. Среди них И.Е.Тамм (и его ученики А.Д.Сахаров,
В.Л.Гинзбург и др.), И.Я.Померанчук (и его ученики М.Д.Гала-
нин, А.П.Рудик, Б.Л.Иоффе и др.), Л.Д.Ландау (и его ученики
Е.М.Лифшиц, И.М.Халатников, А.Б.Мигдал и др.), Я.Б.Зельдо-
вич, Ю.Б.Харитон, Д.И.Блохинцев, Д.А.Франк-Каменецкий и др.
Математики, за небольшими исключениями (С.Л.Соболев), стали
подключаться несколько позже, с начала 1948 г. (группа А.Н.Ти-
хонова и А.А.Самарского, связанная с Геофизическим институтом
АН СССР, и математики Математического института им.
В.А.Стеклова АН СССР М.В.Келдыш, И.М.Гельфанд, а также
группа Н.Н.Боголюбова, математики Ленинградского отделения
Математического института АН СССР во главе с Л.В.Канторови-
чем и др.).
Мы не ставим перед собой задачу подробно и последовательно
рассмотреть работу математиков в Советском атомном проекте
В.П.Визгин
55
(САП). Это - дело будущего. Мы хотим только отметить некото-
рые характерные черты и формы этой работы, протекавшие, ко-
нечно, в тесном контакте с физиками-теоретиками. Эта зона обме-
на возникла под давлением насущных проблем САП, что способст-
вовало укреплению союза между физиками и математиками, разви-
тию вычислительных методов решения сложных систем дифферен-
циальных уравнений, ускорению работ по созданию цифровой вы-
числительной техники.
Ниже мы рассмотрим несколько конкретных наиболее важных
примеров участия математиков в атомном проекте.
1. Работу С.Л.Соболева в «Лаборатории №2» (расчеты газо-
диффузионных каскадов).
2. Расчеты энерговыделения первой атомной бомбы (группы
Л.Д.Ландау и А.Н.Тихонова).
3. «Термоядерные расчеты».
4. Феномен Н.А.Дмитриева.
На основе анализа этих примеров мы получим картину взаи-
модействия физиков и математиков в атомном проекте и опишем
характерные особенности рассматриваемого взаимодействия.
1. Случай С.Л.Соболева
(расчеты газодиффузионных каскадов)
С.Л.Соболев был, по-видимому, первым крупным математи-
ком, включившимся в работу атомного проекта. Он был учеником
В.И.Смирнова, ставшего членом-корреспондентом АН СССР в
1932 г. Через год этого же звания был удостоен и его 25-летний
ученик, избранный академиком в 1939 г. В этом же году он стал
заместителем директора Математического института им. В.А.Стек-
лова АН СССР (кстати говоря, В.И.Смирнов был учеником Стек-
лова), а в 1941 г. директором этого института. С.Л.Соболев в
предвоенные годы был признанным специалистом в области диф-
ференциальных уравнений математической физики, умело сочетав-
шим исследования в сфере чистой, абстрактной математики с ее
приложениями в физике и механике [2, с.346-350; 6].
Учитывая все это (в том числе молодость и организационные
способности), И.В.Курчатов пригласил С.Л.Соболева в свою «ко-
манду», составившую костяк «Лаборатории №2». Сергей Львович
стал заместителем Курчатова и вошел в сектор И.К.Кикоина, кото-
рому было поручено заниматься диффузионным методом разделе-
ния изотопов урана. В «Справке о состоянии и результатах
научно-исследовательских работ» на август 1945 г., составленной
Курчатовым и Кикоиным, из четырех пунктов, касающихся газо-
диффузионного способа обогащения урана, два связаны с участием
С.Л.Соболева: «1. Закончены предварительные расчеты, связан-
56
МАТЕМАТИКА В СССР ЗА 70 ЛЕТ
ные с устройством диффузионной разделительной установки (Ки-
коин И.К., Соболев С.Л. и Вознесенский И.Н.). 4. Ведется проек-
тирование всей разделительной установки. Технический проект од-
ной секции производительностью 75 г. урана-235 в сутки будет за-
кончен в IV квартале 1945 г. (Кикоин И.К., Соболев С.Л., Возне-
сенский И.Н.)» [3, с.307-308] (см. также [4, с.351-352]).
Заметим, что И.Н.Вознесенский был выдающимся специалис-
том по гидромашиностроению и автоматическому регулированию
машин. Тройственный союз физик-экспериментатор (И.К.Кико-
ин), инженер и специалист по автоматическому регулированию
(И.Н.Вознесенский) и математик (С.Л.Соболев) вскоре попол-
нился молодым физиком-теоретиком Я.А.Смородинским, прини-
мавшим активное участие в расчетах.
Сначала создавались математические модели разделительных
элементов и каскадов из них, разрабатывалась газодинамическая
теория потока шестифтористого урана. Особое внимание было уде-
лено разработке теории устойчивого функционирования каскадов.
Под руководством Соболева была рассчитана и технологическая
схема завода D-1 по производству обогащенного урана, состоящего
из более, чем полусотни каскадов из несколько тысяч разделитель-
ных установок. Завод был пущен в 1950 г., по этой схеме создава-
лись впоследствии и другие заводы по обогащению урана. С.Л.Со-
болев был удостоен за эту работу звания Героя Социалистического
Труда и награжден Сталинской премией 1-ой степени.
В воспоминаниях физика-теоретика Я.А.Смородинского, рабо-
тавшего в это время в группе С.Л.Соболева, рассказывается и о
вычислительной технике, и о некоторых задачах. Сначала, вспоми-
нает Смородинский, использовались немецкие трофейные счетные
полуавтоматы «рейнсметаллы», «нелепые сооружения,... гремев-
шие, шумевшие и довольно медленно считавшие» [5, с.202]. «По-
том появились более быстродействующие полуавтоматы, их стало
много, и в 1948-1949 гг. появилось первое вычислительное бюро
(оно, вероятно, было одним из первых в физических лаборатори-
ях). Потом оказалось, что где-то в статистическом управлении име-
ется целая серия перфорационных машин, которыми обрабатыва-
лись результаты переписи и что они могут быть переданы нам...
Мы научились работать с перфорационными картами, вычислять с
их помощью, но счет этот был все-таки достаточно медленный»
[там же]. «В это время, продолжает Я.А.Смородинский, - поя-
вился целый штат молодых математиков разной квалификации,
стали думать уже о настоящей теории газодиффузионного разделе-
ния изотопов, о его физике, об устойчивой работе каскадов» [5,
с.203]. Математика позволяла строить математические модели про-
цессов разделения изотопов, численно решать соответствующие
В.П.Визгин
57
уравнения и затем получить формулы, используемые при констру-
ировании разделительных машин. «Было очень интересно видеть,
как наши несложные формулы облекались затем в металл»,
вспоминал далее Смородинский [5, с.204].
В эти годы С.Л.Соболев продолжает исследовательскую и пре-
подавательскую работы в области теории уравнений математичес-
кой физики, вводя в нее также современные методы функциональ-
ного анализа. В 1947 г. выходит его учебник «Уравнения матема-
тической физики», в 1950 г. монография «Некоторые примене-
ния функционального анализа в математической физике». Появле-
ние первых цифровых ЭВМ в начале - середине 1950-х гг. приве-
ло к радикальному преобразованию вычислительной математики.
Резко возросла при этом и роль функционального анализа. Как
показал Соболев, «строгое изучение любых приближений возмож-
но лишь в конкретном функциональном пространстве, только при
таком подходе могут быть найдены и скорость сходимости итера-
ционного процесса, и оценка погрешности счета» [6, с. 129]. Это
соединение современной абстрактной математики (функционально-
го анализа) с прикладной, вычислительной математикой во многом
произошло под влиянием задач, порожденным атомным проектом.
Соболев вспоминал потом: «Работая в Институте атомной энергии,
я приобрел вкус к вычислительной математике, осознал ее исклю-
чительные возможности» (цит. по: [6, с. 128]).
В 1952 г. С.Л.Соболев принял предложение И.Г.Петровского
возглавить первую в стране кафедру вычислительной математики
механико-математического факультета Московского государствен-
ного университета им. М.В.Ломоносова, которой руководил до
1959 г. В 1957 г. он, став директором Института математики СО
АН СССР, переезжает в Новосибирск. Так математика (в лице
С.Л.Соболева и его сотрудников) вносила свой вклад в физику и,
тем самым, в реализацию атомного проекта, сама получая в ре-
зультате ответные импульсы для своего развития (в частности, но-
вые задачи и методы вычислительной математики)1. Добавим, что
С.Л.Соболев был одним из пионеров кибернетики в СССР (наряду
с другими математиками А.А.Ляпуновым, А.Н.Колмогоровым,
В.М.Глушковым, Л.В.Канторовичем) [7].
2. Расчеты энерговыделения атомной бомбы
(группы Л.Д.Ландау и А.Н.Тихонова)2
Наиболее сложной задачей в разработке ядерных зарядов
были расчеты энерговыделения при их взрыве и их коэффициен-
тов полезного действия (КПД). Это требовало построения матема-
тической модели ядерного взрыва и проведения соответствующих
приближенных вычислений. Сложные физические процессы, про-
58
МАТЕМАТИКА В СССР ЗА 70 ЛЕТ
текающие при этом с огромной скоростью (ядерное деление, расп-
ространение нейронов, перенос энергии и газодинамический разлет
разогретого вещества), моделировались системой нелинейных
уравнений с частными производными, которые тогда (в конце
1940-х гг.) еще не умели решать.
Для проведения расчетно-теоретического обоснования первых
атомных бомб были привлечены две группы. Сначала (в конце
1946 г.) это было поручено группе Л.Д.Ландау (Институт физи-
ческих проблем АН СССР, которым тогда руководил А.П.Алек-
сан дров).
Началом включения Л.Д.Ландау и его группы в эту работу
следует считать решение Техсовета от И февраля 1946 г. по докла-
ду Ю.Б.Харитона об атомных бомбах: «Поручить группе физиков
под общим руководством проф. Ландау Л.Д. подготовить все мате-
риалы для количественного расчета испытаний образцов промыш-
ленной продукции (т.е. атомных бомб. - В.В.)» [15, с.74-75].
В постановлении СМ СССР от 30 ноября 1946 г. «О плане ра-
бот Института физических проблем АН СССР и мерах помощи Ин-
ституту» в качестве одной (из трех) первоочередных работ плана
ИФП на первое полугодие 1947 г. значились «теоретические иссле-
дования процессов развития ядерной реакции в критической массе»,
конкретизация которых, данная в Приложение 1, содержала пункт
о руководстве этой работой Л.Д.Ландау и пункт о том, что эта ра-
бота должна закончиться «ориетировочным расчетом КПД» атомной
бомбы [16, с.79-82]. В числе сотрудников Ландау был упомянут
Е.М.Лифшиц; было также отмечено, что в работе должны принять
участие теоретики Лаборатории №2 и ИХФ АН СССР
В плане работ ИФП по расчетно-теоретическому обоснованию
атомных бомб на второе полугодие 1947 г., принятом на заседании
НТС ПГУ от 2 июня 1947 г. говорилось, что этот план предусмат-
ривает решение проблемы «вычисления величины полного выделе-
ния энергии и КПД в зависимости от различных факторов...» и
что руководителем этой работы является Л.Д.Ландау, а исполните-
лями Лифшиц Е.М., Халатников И.М, вычислительное бюро Мей-
мана Н.Н. и Лаборатория №2 АН СССР» (Архив Росатома, ф.2.
оп.2, дело 77; цит. по: [10, с.963]).
«В это время, - вспоминает И.М.Халатников, - в теоротделе
Ландау было всего два сотрудника: Е.М.Лифшиц и я. Задача, ко-
торую поручил нам Ландау, была связана с большим объемом чис-
ленных расчетов. Поэтому при теоротделе создали вычислительное
бюро: двадцать-тридцать девушек, вооруженных немецкими элект-
рическими арифмометрами, во главе с математиком Наумом Мей-
маном. Первой задачей было рассчитать процессы, происходящие
при атомном взрыве, включая (как ни звучит это кощунственно)
В.П.Визгин
59
коэффициент полезного действия. То есть оценить эффективность
бомбы. Нам дали исходные данные, и следовало посчитать, что
произойдет в течение миллионных долей секунды... Рассчитать
атомную бомбу нам удалось, упростив уравнения» [8, с.43-44].
Примерно через год, т.е. в начале июня 1948 г., когда основы
расчетно-теоретического обоснования атомных бомб Л.Д.Ландау и
его группой уже были заложены, состоялось заседание Спецкоми-
тета, на котором присутствовал Л.Д.Ландау (по-видимому первый
и последний раз), а также математики С.Л.Соболев, И.Г.Петровс-
кий, А.Н.Тихонов и Президент АН СССР С.И.Вавилов. Одним из
основных вопросов, которые там обсуждались, был вопрос о даль-
нейшей работе по вычислению энерговыделения и КПД атомных
бомб и начало расчетно-теоретических работ по РДС-6, т.е. водо-
родной бомбе [17, с.283-287]. Более подробно и конкретно все, о
чем говорилось на этом заседании Спецкомитета, было сформули-
ровано в Постановлении СМ СССР от 10 июня 1948 г. «О допол-
нительных заданиях по плану специальных научно-исследователь-
ских работ на 1948 г.» [18, с.495-498]. Вторым пунктом Постанов-
ления шло поручение ИФП, а именно группе Л.Д.Ландау, «произ-
вести вычисления к.п.д. для различных систем РДС».
Подключался к расчетным делам и Институт геофизики АН
СССР (п.4), в котором предлагалось создать Бюро математичес-
ких расчетов под руководством члена-корреспондента АН СССР
А.Н.Тихонова (в составе 30 человек). Привлечение более мощной
в математическом отношении группы А.Н.Тихонова было вызвано
крайней важностью проблемы расчетно-теоретического обоснова-
ния ядерных зарядов и тем, что сильные упрощения и методы
приближенных вычислений, используемые небольшой «физичес-
кой» группой Л.Д.Ландау, могли вызвать определенные сомнения
в правильности полученных результатов. Кстати говоря, в Поста-
новлении СМ СССР от 10 июня 1948 г. говорилось также о созда-
нии специального расчетно-теоретического семинара. «Для увязки
теоретических и расчетных работ и контроля за выполнением зада-
ний, предусмотренных настоящим Постановлением, организовать
при Лаборатории №2 АН СССР закрытый семинар в составе акад.
Петровского, акад. Соболева, акад. Фока, чл.-кор. Зельдовича,
чл.-кор. Тамма, чл.-кор. Тихонова, чл.-кор. Харитона; проф. док-
тора Щелкина. Возложить руководство семинаром на акад. Собо-
лева» [18, с.497]. Этот математико-теоретический «академический»
семинар оказался весьма эффективным. Именно на нем в начале
1948 г., по воспоминаниям А.А.Самарского, «присутствовавший на
семинаре А.Н.Тихонов предложил провести методом конечных
разностей прямой численный расчет взрыва (атомной бомбы.
В.В.) на основе полных моделей физических процессов,... описы-
60
МАТЕМАТИКА В СССР ЗА 70 ЛЕТ
ваемых системой нелинейных дифференциальных уравнений в час-
тных производных... В то время ни теории, ни опыта практическо-
го применения разностных систем для сложных задач математичес-
кой физики фактически не было. Поэтому это заявление было нео-
жиданным для физиков и вызвало реплику Л.Д.Ландау, что такой
расчет явился бы научным подвигом» [13, с.215].
Обе группы («физики» и «математики») находились в контак-
те друг с другом. Заметим, кстати говоря, о некоторой условности
такой квалификации групп. Хотя руководителем второй группы
был выдающиеся математик (А.Н.Тихонов), костяк группы состав-
ляли выпускники физфака, занимавшиеся задачами математичес-
кой физики (А.А.Самарский, В.Я.Гольдин, Н.Н.Яненко, Б.Л.Рож-
дественский). Распределение обязанностей в группе было таково.
А.А.Самарский разрабатывал численные методы для полной систе-
мы уравнений с частными производными, описывающими взрыв
атомной бомбы. В.Я.Гольдину и О.П.Кремер, возглавившей груп-
пу вычислителей, было поручено проведение расчетов по заданиям
группы Ландау, и Гольдин же должен был проверить результаты
этой группы по приближенному решению системы обыкновенных
дифференциальных уравнений ядерного взрыва3
В начале 1949 г. под руководством А.Н.Тихонова были завер-
шены прямые расчеты взрыва плутониевого, а затем и уранового
шаров. «Таким образом, резюмирует свой рассказ об этом
А.А.Самарский, - меньше, чем за год группа из трех научных ра-
ботников и вычислителей, считавших на «арифмометрах», сумела,
начав работу с нуля», построить методы, наладить расчеты и полу-
чить первые производственные результаты» [13, с.216].
В докладе Ю.Б.Харитона и К.И.Щелкина от 15 апреля 1949 г.
о состоянии работ КБ-11 на 15 апреля 1949 г. (на имя Л.П.Берии)
этот вклад теоретиков и математиков выглядел очень внушитель-
ным и важным: «В процессе создания РДС-1 в КБ-И и частично
других организациях по заданиям КБ-И решены все принципиаль-
ные и конструктивные вопросы (все подчеркивания здесь и дальше
принадлежат, вероятно, Берии. В.В.)... На 15 апреля выполне-
ны следующие работы:
1. Построена общая теория изделия (руководитель чл.-корр.
АН СССР т. Зельдович Я.Б.), включающая в себя следующие раз-
делы:
2) теория коэффициента полезного действия РДС-1 (ряд раз-
делов разрабатывались по заданиям КБ-И академиком Л.Д.Лан-
дау ...).
К численному решению дифференциальных и интегральных
уравнений, возникавших в процессе теоретических работ, были
привлечены крупные математические силы (Математический инс-
В.П.Визгин
61
титут Академии наук и его Ленинградское отделение, а также Инс-
титут теоретической геофизики). Специальное математическое
бюро было организовано в КБ-11.
Перечисленные работы (конечно, не только теоретико-мате-
матические. - В.В.) дали уверенность... в получении удовлетвори-
тельного коэффициента полезного действия. Эти работы представ-
ляют собою крупное научное достижение» [19, с.547-550]. По сви-
детельству А.А.Самарского, группа Тихонова образовала Специ-
альную лабораторию при Геофизической комплексной экспедиции
Геофизического института АН СССР [13, с.215-216].
Успешное испытание первой атомной бомбы в 1949 г. подтвер-
дило правильность расчетов групп Ландау и Тихонова. В результа-
те руководители и члены этих коллективов были удостоены Ста-
линских премий и правительственных наград. Были награждены и
руководители так называемых «счетных фабрик» в Ленинграде и
Москве. В Ленинграде при Ленинградском отделении Математи-
ческого института АН СССР (ЛОМИ) под руководством Л.В.Кан-
торовича, будущего Нобелевского лауреата по экономике, и при
участии только что окончившего матмех Ленинградского универси-
тета В.С.Владимирова было создано Вычислительное бюро, кото-
рое работало по заданиям физиков, теоретиков из КБ-И и других
ядерных центров. Аналогичным вычислительным бюро руководил
в Москве математик К.А.Семендяев. Оно было создано при Инсти-
туте точной механики и вычислительной техники АН СССР В
1953 г. оно вместе с группой Тихонова вошло в состав Отделения
прикладной математики МИАНа, которое возглавил акад.
М.В.Келдыш. Расчеты на этих «счетных фабриках» проводились
на арифмометрах либо отечественного производства, либо немецко-
го коллективами девушек (до 30 человек).
По воспоминаниям ветерана КБ-11 В.Б.Адамского, нейтрон-
ные расчеты, связанные с численным решением интегрального
уравнения Пайерлса (для определения критических масс) «прово-
дились по заданиям лаборатории Д.А.Франк-Каменецкого (КБ-11)
в ЛОМИ»4, а газодинамические расчеты, связанные с решением
одномерных задач (уравнений с частными производными с двумя
переменными) по заданиям лаборатории Е.И.Забабахина - в отде-
ле К.А.Семендяева в Институте механики [14, с.447]5
Избранный в 1946 г. академиком М.В.Келдыш вскоре стано-
вится центральной фигурой, ответственной за математическое обес-
печение Советского атомного проекта.
В 1949 г. Келдыш стал заместителем директора в Математи-
ческом институте им. Стеклова АН СССР (МИАНе), возглавив-
шим всю прикладную математику и, прежде всего, те ее разделы,
которые относились к ракетному и ядерно-оружейному направле-
62
МАТЕМАТИКА В СССР ЗА 70 ЛЕТ
ниям. И.Д.Софронов, с середины 1950-х гг. работавший в матема-
тическом секторе КБ-11, а затем возглавлявший его на протяжении
более 30 лет, так оценивал вклад Келдыша в математическое обес-
печение САП: Мстислав Всеволодович был первым главным ма-
тематиком Минсредмаша. Все вопросы, связанные с развитием ма-
тематики в отрасли и в КБ-11, находились в поле его зрения. В
Отделе прикладной математики Стекловского института - ОПМ,
как тогда мы говорили, разрабатывались первые программы, ве-
лись первые расчеты для атомной отрасли. Тихонов, Семендяев,
Годунов, Жуков, Гельфанд и другие родоначальники отечествен-
ной прикладной математики (добавим к ним А.А.Самарского,
В.Я.Гольдина, Б.Л.Рождественского, Н.Н.Яненко и др. В.В.)
все это сотрудники ОПМ, который с самого начала возглавлял
М.В.Келдыш. Потом ОПМ стал институтом (Институт приклад-
ной математики АН СССР В.В.), но работы по нашей тематике
продолжались, и многие математики КБ-И проходили там стажи-
ровку, привозили оттуда программы для счета наших изделий»
(цит. по: [2, с.183]).
3. «Термоядерные расчеты»
Расчетно-теоретические работы по «проблеме использования
ядерной энергии легких элементов» были начаты с июня 1946 г. по
инициативе Н.Н.Семенова в Институте химической физики АН
СССР Первое правительственное решение, касающееся проблемы
водородной бомбы, было принято 6 апреля 1948 г. В нем проведе-
ние предварительных расчетов изделия «С», т.е. «сверхбомбы»,
возлагалось на ИХФ (рук. Н.Н.Семенов, исполнители
Я.Б.Зельдович и К.Д.Синельников из харьковского УФТИ АН
УССР) [20, с.91-93] (см. также [21, с.77]). Вскоре к разработке
этой проблемы была привлечена группа теоретиков из ФИАНа под
руководством И.Е.Тамма, в которую вошли молодые теоретики
А.Д.Сахаров, В.Л.Гинзбург, С.3.Беленький и Ю.А.Романов. Ве-
хой на пути к созданию водородной бомбы стало заседание закры-
того семинара под руководством С.Л.Соболева при Лаборатории
№2 2 декабря 1948 г., на котором А.С.Компанеец и С.П.Дьяков из
ИХФ докладывали о состоянии работ по «трубе» (т.е. первому ва-
рианту водородной бомбы, аналогу американского «классического
супера»), а И.Е.Тамм о первом варианте «слойки» Сахарова.
Уже тогда обнаружились трудности с РДС-бт (так вскоре стала
именоваться «труба») и, наоборот, наметилась перспективность
РДС-бс (т.е. слойки).
Тезисы обоих докладов были направлены Ю.Б.Харитону в
КБ-И [20, с. 139-151]. План научно-исследовательских работ по
РДС-6 на 1949-1950 гг., датированный 9 июня 1949 г., предусмат-
В.П.Визгин
63
ривал проведение расчетно-теоретических работ с участием групп
И.Е.Тамма (ФИАН) и Я.Б.Зельдовича (ИХФ) (при этом был на-
мечен их перевод в КБ-11), группы Л.Д.Ландау (ИФП), а также
математических групп А.Н.Тихонова (Институт геофизики) и
МИАНа (И.Г.Петровский, И.М.Гельфанд и К.А.Семендяев) [20,
с.218-221]. Впрочем подключение Л.Д.Ландау к расчетам «слой-
ки» потребовало специального разрешения. С соответствующей
просьбой к Л.П.Берии Ю.Б.Харитон обратился 21 ноября 1949 г.
[20, с.237].
26 февраля 1950 г. Сталин утвердил подготовленное Спецко-
митетом постановление о двух вариантах водородной бомбы [20,
с.283-289]. В нем особое внимание уделялось расчетно-теоретичес-
ким задачам. В отношении РДС-бс предлагалось усилить фиановс-
кий коллектив группой чл.-корр. АН СССР Н.Н.Боголюбова, в
которую наряду с И.Я.Померанчуком включались ученики Бого-
любова Д.В.Ширков и В.Н.Климов (позже в нее вошли также
В.С.Владимиров, Д.Н.Зубарев, Е.В.Малиновская и Ю.А.Церков-
ников). Далее, проведение расчетных работ по заданиям КБ-И
предлагалось возложить на МИАН и ГЕОФИАН (группу Тихоно-
ва). Расчетно-теоретическими работами по РДС-бт должна была
заниматься группа Ландау (по заданиям КБ-11). И.Е.Тамм, возг-
лавивший расчетно-теоретическую группу в КБ-11, считал необхо-
димым существенное усиление ее молодыми математиками и вы-
числителями, а также более опытными математиками (в том числе
группой Л.В.Канторовича из ЛОМИ, киевскими математиками
С.Г.Крейном и И.Б.Погребысским и др.). [20, с.301-302]. Реали-
зация последних предложений, впрочем, была признана нецелесо-
образной.
О трудностях и проблемах, возникших в проведении расчет-
но-теоретического обоснования обоих вариантов водородной бом-
бы, писали (в препроводительной записке к отчету о состоянии ра-
бот по РДС-6, датированной 18 декабря 1950 г.) Ю.Б.Харитон,
К.И.Щелкин и В.И.Алферов: «В процессе работы выяснилось, что
объем расчетных работ очень велик. В настоящее время на чисто
вычислительных работах (т.е. не считая 25 физиков-теоретиков,
работающих в группах Зельдовича, Тамма и Ландау) занято около
100 человек. При этом удается проводить решение только самых
важных и первоочередных задач и то совершенно неудовлетвори-
тельными темпами. Совершенно не удается просчитывать ряд сход-
ных вариантов, несколько отличных один от другого по» числовым
характеристикам, для отбора наилучшего варианта. Необходимо
скорейшее увеличение числа математиков и расчетных работников
в Математическом институте, в группе Ландау, в Институте теоре-
тической геофизики и в КБ-И... Необходимо скорейшее создание
64
МАТЕМАТИКА В СССР ЗА 70 ЛЕТ
универсальных машин и обеспечение средней математической ме-
ханизации (подчеркнуто, вероятно, Л.П.Берией. В.В.)» [20,
с.338]. Кстати говоря, в этой записке также говорится о желатель-
ности привлечения к работе А.Н.Колмогорова и А.М.Обухова (как
специалистов по теории турбулентности).
В начале 1951 г. к изучению возможности детонации в дейте-
рии и расчетам РДС-бт были подключены группы из МИАНа (под
руководством М.В.Келдыша) и Лаборатория «В» (впоследствии -
ФЭИ) во главе с Д.И.Блохинцевым. В постановлении правительс-
тва от 29 декабря 1951 г. к расчетам по РДС-бс предлагалось
привлечь также тех, кто занимался РДС-бт: Л.Д.Ландау Я.Б.Зель-
довича, М.В.Келдыша, Д.И.Блохинцева и А.Н.Колмогорова, хотя
основными руководителями и разработчиками РДС-бс оставались
И.Е.Тамм и А.Д.Сахаров [20, с.442-443]. Фактически, уже с
1950 г. в КБ-И было два теоретических отдела: первый возглав-
лял Я.Б.Зельдович, второй И.Е.Тамм и А.Д.Сахаров; в послед-
ний входила и группа Н.Н.Боголюбова [14]. Важный вклад в рас-
четно-теоретическое обоснование «слойки» внесли и сотрудники
первого теоретического отдела сам Зельдович, Н.А.Дмитриев и
Г.М.Гандельман. В газодинамических расчетах РДС-бс, помимо
Зельдовича и Забабахина, участвовали математики К.А.Семендя-
ев и А.И.Жуков. Расчеты энерговыделения РДС-бс параллельно
велись группой Тихонова и группой Ландау. При этом группа Лан-
дау в 1952 г. была освобождена от порученных ей ранее работ по
РДС-бт.
В комиссию, обсуждавшую состояние расчетно-теоретических
работ по РДС-бс, наряду с теоретиками, в феврале 1952 г. входи-
ли математики М.В.Келдыш и А.Н.Колмогоров, а в январе 1953 г.
Н.Н.Боголюбов (как председатель) и Келдыш (с участием
А.Н.Тихонова и Л.Д.Ландау). После успешного испытания «слой-
ки» 12 августа 1953 г., подтвердившего проделанные расчеты, зва-
ния Героя Социалистического Труда, помимо И.Е.Тамма, А.Д.Са-
харова и Я.Б.Зельдовича, были удостоены Л.Д.Ландау и А.Н.Ти-
хонов (Сталинские премии и правительственные награды были
вручены и другим участникам расчетно-теоретических групп).
В термоядерных расчетах роль М.В.Келдыша резко возросла.
В сентябре 1952 г. руководство АН СССР предполагало назначить
его академиком-секретарем Отделения технических наук и в связи
с этим просило освободить от работы в атомном проекте. 19 сен-
тября 1952 г. А.П.Завенягин обратился к Л.П.Берии с письмом «о
нецелесообразности освобождения М.В.Келдыша от работ по тема-
тике ПГУ», в котором отмечалась не только большая работа Кел-
дыша по расчетно-математическому обоснованию водородной бом-
бы, но и его деятельность по созданию ЭВМ и организации вычис-
В.П.Визгин
65
лительного центра ПГУ: а) Товарищ Келдыш М.В. возглавля-
ет математическое расчетное бюро, занятое расчетами изделий
РДС-6Т\ б) кроме того, т. Келдыш М.Б.... возглавляет руководст-
во работы по созданию конструкций быстродействующих вычисли-
тельных машин и разработке методов работы на машинах; в) т.
Келдыш М.В. руководит организацией вычислительного центра
ПГУ,... в котором будут установлены мощная вычислительная ма-
шина «Стрела» и другие вычислительные машины...» (подчеркну-
то, вероятно, Л.П.Берией. В.В.). В результате Келдыш продол-
жил работу в атомном проекте, а за несколько месяцев до испыта-
ния «слойки» (распоряжением СМ СССР от 18 апреля 1953 г.) в
МИАНе было создано Отделение прикладной математики (ОПМ
МИАН во главе с М.В.Келдышем). Ядро ОПМ, на которое было
возложено расчетно-математическое обеспечение ядерно-оружейной
и ракетно-космической программ, образовали группы М.В.Келды-
ша из МИАНа и А.Н.Тихонова из ГЕОФИАНа, а также Вычисли-
тельное бюро К.А.Семендяева из Института точной механики и
вычислительной техники АН СССР ОПМ и ИФП (группа Лан-
дау) в ноябре 1953 г. были поручены расчетно-вычислительные ра-
боты по более мощным водородным изделиям типа «слойка», хотя,
как вспоминал впоследствии А.Д.Сахаров, уже в начале 1954 г. те-
оретики КБ-И пришли к выводу о бесперспективности развития
«слоечного направления» [21, с. 115]. К этому времени становился
все более очевидным тупиковый характер работ по «трубе». В мар-
те 1954 г. КБ-И было освобождено от этих работ. Наибольший
вклад в доказательство невозможности ядерной детонации в «тру-
бе» внесли группы Зельдовича и И.Я.Померанчука, вскоре вернув-
шегося из Арзамаса-16 в ТТЛ.
В 1954 г. происходят два важных события. В КБ-И с весны
возникают контуры двухступенчатой схемы термоядерной бомбы, в
которой ключевое значение приобретает идея «атомного обжатия»,
или «радиационной имплозии» (так называемая «третья идея»
А.Д.Сахарова). Развитие именно этой схемы привело к двухсту-
пенчатой конструкции водородной бомбы РДС-37, успешно испы-
танной 22 ноября 1955 г. Второе событие это начало работы в
ОПМ (под руководством А.Н.Мямлина) первой серийной ЭВМ
«Стрела», которая позволила резко увеличить скорость и качество
расчетов. Как вспоминал А.А.Самарский, «перевод расчетов на
ЭВМ «Стрела» существенно ускорил получение результатов. Это
было особенно важно в связи с разработкой нового изделия. В
этой работе у нас было тесное сотрудничество с А.Д.Сахаровым,
Ю.А.Романовым, Я.Б.Зельдовичем, К.И.Щелкиным, Ю.Н.Бабае-
вым, Г.А.Гончаровым, Ю.А.Трутневым, В.М.Заграфовым,
Л.П.Феоктистовым, Е.И.Забабахиным, Е.Н.Аврориным и другими
66
МАТЕМАТИКА В СССР ЗА 70 ЛЕТ
теоретиками» [13, с.218]. Несомненно, что речь здесь идет как раз
об изделии РДС-37, отчет о котором от 25 июня 1955 г был под-
писан упомянутыми теоретиками6 Кстати говоря, в отчете отмечен
и вклад математиков в расчетно-теоретическое обоснование
РДС-37 Подчеркнута особая роль ОПМ МИАНа, руководимого
Келдышем и Тихоновым, и упомянуты конкретно Самарский,
Гельфанд, Семендяев, а также И.М.Халатников (из ИФП),
И.А.Адамская и А.А.Бунатян из математического сектора КБ-11
[21, с.138].
Начиная с этого времени, набирают силу математические сек-
тора (или отделы) как в Арзамасе-16, так и в возникшем в 1955 г.
втором ядерно-оружейном центре - Челябинске-70.
Как уже говорилось, масштабные расчетные работы по первым
изделиям велись в ОПМ, ЛОМИ, ИФП, в вычислительных бюро
(или «счетных фабриках») Л.В.Канторовича, К.А.Семендяева,
Н.Н.Меймана. Впрочем, в КБ-11 было небольшое вычислительное
бюро, возглавляемое М.М.Агрестом и состоявшее из четырех жен-
щин, которых научили работать на немецких электромеханических
арифмометрах «Мерседес». Как самостоятельное подразделение
математический сектор (отделение) в КБ-И возник в 1952 г под
руководством Н.Н.Боголюбова. В него входили ученики и сотруд-
ники Н.Н.Боголюбова: Д.Н.Зубарев, В.Н.Климов, Д.В.Ширков,
В.С.Владимиров, Е.В.Малиновская и Ю.А.Церковников. «Живую
ЭВМ» образовывали примерно 50 молодых женщин-вычислитель-
ниц, привлеченных в Арзамас-16 из ряда геодезических учрежде-
ний. В.С.Владимиров по поручению Боголюбова руководил этой
вычислительной группой [22, с. 136]. После отъезда Боголюбова из
ВНИИЭФ начальником математического отделения стал С.А.Авра-
менко, затем Ю.К.Пужляков (до 1966 г.). С 1955 по 1959 г. на-
чальником отдела в математическом отделении был Н.А.Дмитриев,
о котором речь пойдет позже. С 1966 г до конца 2001 г. математи-
ческое отделение ВНИИЭФа возглавлял И.Д.Софронов, работав-
ший там с середины 1950-х годов [23]. Первая ЭВМ во ВНИИЭ-
Фе появилась в 1956 г. Освоение машины проходило с помощью
сотрудников ОПМ, откуда в Арзамас-16 поступили и первые прог-
раммы. В 1956 г. математический сектор был создан и во ВНИИТ-
Фе (Челябинске-70) под руководством Н.Н.Яненко. В математи-
ческих подразделениях ядерно-оружейных центров уже с середины
1950-х гг. стали разрабатываться новые «машинные» методики и
программы, и вскоре эти подразделения догнали другие математи-
ческие коллективы, занимающиеся родственными задачами.
Какого рода задачи были при этом наиболее распространенны-
ми? «Долгое время наиболее массовыми задачами, - говорится в
В.П.Визгин
67
статье Софронова, были так называемые одномерные задачи...
Решаемые уравнения имеют вид:
— V + A— + BV=C, (1)
dt dx
где А, В,С и V матрицы коэффициентов, вектора свободных чле-
нов и неизвестных функций, их размерность равна р. Уравнение
(1) корректным образом дополняется начальными и граничными
условиями. Они описывают задачи адиабатической газовой дина-
мики, газовой динамики с учетом теплопроводности, детонации, сил
прочности, переноса нейтронов в кинетическом и диффузионном
приближениях» [23, с.270].
Позже перешли к двумерным задачам, уравнение которых
выглядят аналогично уравнениям (1):
4^ + B^ + C^+DV=Z,
dt дх ду
(2)
где физический и математический смысл величин не требует до-
полнительных пояснений.
И в ОПМ, и во ВНИИЭФе, и ВНИИТФе в результате были
построены основы современной теории разностных схем для широ-
ких классов стационарных и нестационарных уравнений математи-
ческой физики, развиты «такие разделы этой теории как теория
устойчивости разностных схем, включающая и теорию итерацион-
ных методов решения сеточных уравнений, общая теория регуля-
ризации разностных схем с целью... ее применения к решению об-
ратных (или некорректных) задач, новые принципы аппроксима-
ции многомерных задач... [13, с.219]. Прежде чем сформулиро-
вать общие выводы о характере взаимодействия физиков и матема-
тиков в работе по созданию ядерного оружия и, тем самым, о спе-
цифике обмена между ними, кратко рассмотрим один особый сю-
жет, связанный с феноменом Н.А.Дмитриева математика и теоре-
тика из ВНИИЭФа.
4. Феномен Н.А.Дмитриева
Конечно, резко разделить теоретиков (физиков) и математи-
ков атомного проекта невозможно. Были теоретики, которые «счи-
тали», т.е.фактический работали как математики-вычислители,
были и математики, которым приходилось вникать в физику, вно-
ся в нее существенный вклад. Первый случай на первых порах
был весьма типичен. Расчетами «изделий» занималась группа Лан-
дау (хотя к собственно счетной работе пришлось привлечь при
этом математика Н.Н.Меймана). Ядро математического отделения
ВНИИЭФа поначалу образовала группа Н.Н.Боголюбова, которо-
го физики считали физиком (теоретиком или матфизиком), а мате-
68
МАТЕМАТИКА В СССР ЗА 70 ЛЕТ
матики математиком. Его же главные ученики В.Н.Климов,
Д.Н.Зубарев, Д.В.Ширков были физиками-теоретиками, исключе-
ние составлял В.С.Владимиров, который в этой группе представ-
лял математиков.
Второй случай не очень типичен. Наиболее ярко он проявился
в «феномене Н.А.Дмитриева». Отсылая за подробностями к книге
статей Н.А.Дмитриева и воспоминаний о нем [24], кратко опишем
его работу в зоне обмена математики и физики по созданию ядер-
ного оружия. В 1945 г. он закончил мехмат МГУ, поступив за год
до окончания в МИАН, где он продолжил свои аспирантские заня-
тия, начатые в МГУ, под руководством А.Н.Колмогорова. Он за-
нимался стохастическими матрицами (в 1946 г. вышло две его ра-
боты на эту тему, написанные совместно с Е.Б.Дынкиным) и вет-
вящимися случайными процессами (в 1947 г. появилась в «Докла-
дах АН СССР» статья Колмогорова и Дмитриева по теории этих
процессов [24, с.274-278]). На одном из семинаров в МИАНе его
внимание привлек доклад Д.А.Франк-Каменецкого из ИХФ АН
СССР, в октябре 1946 г. он перешел в этот Институт и стал зани-
маться в теоротделе Я.Б.Зельдовича вычислительной работой, ис-
пользуя арифмометр «Триумф». В августе 1948 г. Н.А.Дмитриев
был зачислен во ВНИИЭФ, защитив в 1953 г. кандидатскую дис-
сертацию и проработав там до своей кончины в 2000 г.
Николай Александрович внес значительный вклад в расчет-
но-теоретическое обоснование атомных и термоядерных зарядов и
был за это награжден дважды орденом Трудового Красного Знаме-
ни (в 1949 и 1956 гг.), в 1951 г. был удостоен Сталинской премии,
а в 1961 г. награжден орденом Ленина. При этом он так и остался
кандидатом наук. Н.А.Дмитриев обладал выдающимися математи-
ческими способностями. Мемуарный очерк о нем, написанный
В.С.Владимировым, называется «Математик божьей милостью»
[24, с.41]7 Приведем отрывок из воспоминаний В.Б.Адамского о
Н.А.Дмитриеве, в котором в несколько утрированной и юмористи-
ческой форме оценивается его математический талант: «Когда поя-
вились численные методы, использующие электронно-вычислитель-
ную технику, и закладывался фундамент этого направления, Ни-
колай Александрович и здесь был одним из основоположников...
Не могу не упомянуть об одном курьезном эпизоде, о котором
рассказывал Юлий Борисович Харитон. Когда появились элект-
ронно-вычислительные машины, он решил посоветоваться с акаде-
миком А.Н.Колмогоровым о том, какие машины стоит приобретать
и как организовать их использование. А.Н.Колмогоров ответил:
«Зачем Вам электронно-вычислительная машина? У Вас же есть
Коля Дмитриев!» [24, с.63].
В.П.Визгин
69
С самого начала работы в КБ-11 он проявил себя и как фи-
зик-теоретик. Ветеран ВНИИЭФа математик М.И.Феодоритова
рассказывает: «1948-1949 годы для Объекта (т.е. для КБ-11.
В.В.) были периодом очень интенсивной работы по атомной проб-
леме решалась задача определения критической массы «начин-
ки» для РДС-1, шел обсчет газодинамических опытов, определял-
ся выбор конструктивных элементов заряда, сотрудники вели по-
иск ответов на многие другие вопросы, возникавшие в ходе иссле-
дований. И как правило, Я.Б.Зельдович в самые ответственные
моменты не принимал решений, «не посоветовавшись с Колей»
[24, с.37]. В цитируемой книге глава 3 «Слово о теоретике» содер-
жит 12 мемуарных очерков о Н.А.Дмитриеве как о физике-теоре-
тике, а глава 4 «Математик Дмитриев» содержит столько же очер-
ков о нем как о математике.
В.Б.Адамский отметил своеобразие таланта Н.А.Дмитриева,
который был органически двойственным: физик и математик соче-
тались в нем на редкость органично: «Николай Александрович
постоянно находился в состоянии двуязычия или, точнее, двоемыс-
лия. Я имею в виду то, что он оказался в двух положениях: физи-
ка и математика. Причем и физики и математики считали его «сво-
им» и черпали из этого «источника мудрости» (так называл иногда
Николая Александровича Д.А.Франк-Каменецкий). Как-то раз он
пожаловался мне, что эта ситуация создает для него некоторый
дискомфорт. Математическое и физическое мышление - не одно и
то же, и, переходя от физических проблем к математическим, при-
ходится переключаться. Я очень удивился этому высказыванию,
мне казалось, что Николаю Александровичу никаких усилий для
такого переключения не требуется. Оказывается, все-таки ничто не
дается даром» [24, с.63].
Можно сказать, таким образом, что «зона обмена» в данном
случае находится в уме одного человека. И это оказывается стиму-
лирующим фактором и для Дмитриева - физика, и для Дмитриева
- математика. Но такое расщепление одного ума, одной личности,
как заметил В.Б.Адамский, «не дается даром» и может оказаться
дискомфортным для нее.
Выводы
На основе рассмотренного материала сформулируем некоторые
выводы, касающиеся взаимодействия физиков и математиков в со-
ветском атомном проекте, в основном в 1940-1950-е гг.
1. Ведущую роль в проекте играли физики, прежде всего, фи-
зики-теоретики. Именно они, в первую очередь, могли понять
сложную природу физических процессов, ведущих к ядерному
взрыву и протекающих после него, тем более что до создания заря-
70
МАТЕМАТИКА В СССР ЗА 70 ЛЕТ
дов (изделий) возможность экспериментирования в этой сфере
были крайне ограничены. В силу математичности теорфизики и
комплексного характера соответствующих физических процессов,
используемые математические модели оказывались весьма сложны-
ми: как правило, они сводились к системам нелинейных диффе-
ренциальных уравнений с частными производными (а иногда к ин-
тегральным или интегро-дифференциальным уравнениям). В очень
редких случаях такие задачи допускали точные решения в анали-
тическом виде. Как правило же, их надо было решать численными
методами, которые для решения столь сложных задач не были тог-
да разработаны. Поэтому возникла настоятельная потребность в
математиках.
2. К решению математических задач атомного проекта были
привлечены такие выдающиеся математики (уже увенчанные про-
фессорскими и академическими титулами, но еще относительно мо-
лодые, 35-45-летние), как А.Н.Тихонов (род. в 1906 г., акад, с
1946 г.), М.В.Келдыш (род. в 1911 г., акад, с 1946 г.), С.Л.Собо-
лев (род. в 1908 г., акад, с 1938 г.), Н.Н.Боголюбов (род. в
1909 г., чл.-корр. АН СССР с 1947 г.), М.А.Лаврентьев (род. в
1900 г. акад. АН УССР с 1939 г., акад, с 1946 г.), И.Г.Петровс-
кий (род. в 1901 г., акад, с 1946 г.), А.Н.Колмогоров (род. в
1903 г., акад, с 1939 г. Добавим к перечисленным еще нескольких
ученых из этого поколения: И.М.Гельфанд (род. в 1913 г., став-
ший чл.-корр. АН СССР в 1953 г.), Л.В.Канторович (род. в
1912 г., стал чл.-корр. АН СССР в 1958 г.), К.А.Семендяев (род.
в 1908 г.), Н.Н.Мейман (род. в 1912 г.). Значительный вклад в
разработку вычислительных методов и их непосредственное приме-
нение к задачам атомного проекта внесли более молодые математи-
ки (которым было в конце 1940-х по 22-30 лет и многие из кото-
рых впоследствии были удостоены высоких академических званий
и государственных наград). Среди них А.А.Самарский (род. в
1919 г.), Л.В.Овсянников (род. в 1919 г.), Н.Н.Яненко (род. в
1921 г.), А.С.Кронрод (род. в 1921 г.), В.С.Владимиров (род. в
1923 г.), Н.А.Дмитриев (род. в 1924 г.), Г.И.Марчук (род. в
1925 г.), С.К.Годунов (род. в 1929 г.) и др.
В этом списке не названы физики-теоретики, которые также
участвовали в расчетно-математической работе, например,
Л.Д.Ландау и его группа, в которую входил и математик
Н.Н.Мейман) и группы И.Я.Померанчука (в которую входил ма-
тематик А.С.Кронрод) и Д.И.Блохинцева (в которой были матема-
тики Е.С.Кузнецов и Г.И.Марчук). Таким образом, к расчетно-
математическому обеспечению советского атомного проекта была
привлечена значительная часть математической элиты страны и де-
В.П.Визгин
71
сятки молодых талантливых математиков, пополнивших эту элиту
впоследствии.
3. Конечно, математики, наряду с физиками-теоретиками при-
нимали участие в создании математических моделей сложных фи-
зических процессов. Однако основная специфика их вклада в об-
щее дело заключалась в разработке приближенных (численных)
методов решения соответствующих уравнений и проведении вычис-
лений с выходом на конкретные числа (например, при оценке
энерговыделения и КПД ядерных зарядов). Как правило, получен-
ные ими результаты подтверждались на практике (в частности,
при испытании этих зарядов). В итоге физики получали подтверж-
дение теоретических представлений, на которые опирались конст-
рукторы «изделий», что им придавало уверенность в правильности
избранных путей в решении ядерно-оружейных задач. С другой
стороны, решение о нецелесообразности продолжения работ по од-
ному из вариантов водородной бомбы, а именно по РДС-бт («тру-
ба») было принято в 1954-1955 гг. на основании расчетно-теорети-
ческих результатов, полученных группами Я.Б.Зельдовича в ИХФ
и КБ-11, И.Я.Померанчука в ТТЛ АН СССР и Д.И.Блохинцева в
Обнинске.
4. Формы участия математиков в общей работе, или формы
взаимодействия математики и физики в атомном проекте, были
весьма разнообразными.
а) В коллективе, занимавшемся крупной проблемой, были
один или несколько математиков и своего рода вычислительное
бюро, состоявшее из 20-40 вычислителей, как правило, молодых
женщин, обученных работе на арифмометрах того или иного типа.
Один или несколько теоретиков выполняли при этом посредничес-
кие функции. Характерный пример - коллектив И.К.Кикоина, за-
нимавшийся газодиффузионным методом разделения изотопов ура-
на, в котором расчетно-математическую работу возглавлял С.Л.Со-
болев, а роль посредника физик-теоретик Я.А.Смородинский.
Основная работа была сосредоточена в «Лаборатории №2», впос-
ледствии ЛИПАНе, где С.Л.Соболев был заместителем И.В.Кур-
чатова.
б) Важнейшее значение имело расчетно-математическое обос-
нование ядерных зарядов, связанное с расчетом их энерговыделе-
ния. Первый вариант решения этой проблемы заключался в том,
что в высококвалифицированную группу теоретиков включался
один математик, возглавлявший вычислительное бюро. В коллек-
тиве теоретиков находился по крайней мере один человек, который
был посредником между математиком и остальной группой. Так
была устроена группа Л.Д.Ландау, математиком в ней был
72
МАТЕМАТИКА В СССР ЗА 70 ЛЕТ
Н.Н.Мейман, а роль медиатора выполнял И.М.Халатников. Груп-
па Ландау была сосредоточена в ИФП АН СССР
в) Придавая особое значение проблеме расчетно-математичес-
кого обоснования первых ядерных зарядов, в том числе термоядер-
ных, руководство нередко дублировало такую работу. Так, расче-
тами энерговыделения ядерных зарядов, наряду с группой Ландау,
занималась группа А.Н.Тихонова, которая сначала находилась при
Геофизическом институте АН СССР, а затем при Отделении прик-
ладной математики МИАНа, ставшем впоследствии Институтом
прикладной математики и возглавляемом М.В.Келдышем. Особен-
ностью группы было то, что несколько молодых ведущих сотруд-
ников группы были выпускниками физического факультета
(А.А.Самарский, В.Я.Гольдин, Б.Л.Рождественский). Такое дуб-
лирование приводило к определенной, полезной для дела конку-
ренции (вообще характерной для работы в атомном проекте), кото-
рая, впрочем, нередко перерастала в сотрудничество. Кстати гово-
ря, на ОПМ в начале 1950-х гг. было возложено руководство мате-
матическим обеспечением атомного проекта, а руководитель ОПМ
М.В.Келдыш считался главным математиком проекта.
г) Еще одна форма взаимодействия, которая практиковалась
на начальных стадиях атомного проекта это работа «счетных
фабрик», специально организованных вычислительных бюро по
заданиям физиков из КБ-11, Лаборатории №2, ИХФ. Наиболее
важными здесь была «счетная фабрика», созданная при Ленинг-
радском отделении МИАНа (ЛОМИ) во главе с Л.В.Канторови-
чем, впоследствии лауреатом Нобелевской премии по экономике, и
«счетная фабрика» при Институте точной механики АН СССР во
главе с математиком К.А.Семендяевым, соавтором знаменитого
справочника по математике. Оба математика были крупными спе-
циалистами по численным методам; их вклад в «ядерно-оружейные
расчеты» был высоко оценен правительством.
д) Со временем (в 1950е гг.) в ядерно-оружейных центрах
(КБ-11, впоследствии ВНИИЭФ, и Челябинске-70, впоследствии
ВНИИТФ) сформировались собственные математические отделы
(или сектора, или отделения), которые выполняли основной объем
вычислительных работ. Ядро такого отделения во ВНИИЭФе об-
разовала в 1952 г.группа математиков и теоретиков во главе с
Н.Н.Боголюбовым, который был одновременно и математиком, и
физико-теоретиком (впоследствии Боголюбов и его школа тяготела
к тому направлению, которое он сам называл «современной мате-
матической физикой»). Аналогичный отдел во ВНИИТФе возгла-
вил прошедший школу ОПМ математик Н.Н.Яненко.
е) Некоторым из названных выше мастеров физико-математи-
ческого синтеза были в высшей степени свойственны оба начала:
В.П.Визгин
73
физико-теоретическое и математическое. «Зона обмена» в этих
случаях пролегала и в уме этих мастеров». К таким фигурам мож-
но отнести и Н.Н.Боголюбова, и Н.А.Дмитриева, который в тече-
ние нескольких лет руководил отделом в математическом отделе-
нии ВНИИЭФ.
5. Что же в обмен на свой вклад физику и реализацию атомно-
го проекта получали математики? Конечно, их работа была удосто-
ена государственных премий и высоких правительственных наград.
Звание Героя Социалистического Труда получили С.Л.Соболев
(1952), А.Н.Тихонов (1953), М.В.Келдыш (1956) (за расчетно-те-
оретические работы по «слойке» этого звания был удостоен в
1954 г.и физик Л.Д.Ландау). На волне атомного проекта вырос,
таким образом, авторитет и престиж не только физиков, но и мате-
матиков. В условиях идеологического пресса в конце 1940 - нача-
ле 1950-х гг. зона действия «ядерного щита» распространялась тем
самым и на математиков, доказавших свою «ядерно-оружейную»
эффективность. Но математики получили также сильные импульсы
для развития самой математики, прежде всего вычислительной ма-
тематики, а также математической физики (труды Л.С.Соболева,
А.Н.Тихонова и А.А.Самарского, В.С.Владимирова, Н.Н.Яненко,
С.К.Годунова и др.). Именно в Арзамасе-16 Н.Н.Боголюбов вмес-
те со своими учениками начал разработку математических аспектов
квантовой теории поля, обогатившую функциональный анализ и
теорию функций многих комплексных переменных.
6. Настоятельная потребность в проведении численных расче-
тов при решении сложных систем дифференциальных уравнений с
частными производными резко ускорила создание ЭВМ в стране.
Первые ЭВМ появились в ОПМ, а затем и в ядерно-оружейных
центрах в середине 1950-х гг. Разработка ЭВМ в начале 1950-х гг
была связана с восприятием и развитием кибернетики, которая на
первых порах подвергалась идеологическим атакам. И здесь защи-
та кибернетики математиками, послужившими на благо атомного
проекта, была весьма эффективной. Важную роль на этом пути иг-
рали выступления С.Л.Соболева, А.Н.Колмогорова, Л.В.Канторо-
вича, И.М. Гельфанда.
7 Отметим одну важнейшую институциональную особенность
организации взаимодействия математиков и физиков в атомном
проекте: основную роль в этом деле играла АН СССР По крайней
мере, на первых порах, т.е. с конца 1940-х - до середины или кон-
ца 1950-х гг. все математические группы и «счетные фабрики»
были либо локализованы в академических институтах, либо «де-
сантировались» в ядерные центры из этих институтов. Группы
Л.Д.Ландау и отчасти Я.Б.Зельдовича, занимавшиеся расчетно-ма-
тематическими работами, были сосредоточены, соответственно, в
74
МАТЕМАТИКА В СССР ЗА 70 ЛЕТ
ИФП АН СССР и ИХФ АН СССР Первые «счетные фабрики»
(во главе с К.А.Семендяевым и Л.В.Канторовичем) находились,
соответственно, в Институте точной механики и вычислительной
техники АН СССР и в ЛОМИ АН СССР Группа А.Н.Тихонова
сначала работала в Геофизическом институте АН СССР (ГЕОФИ-
АНе), а затем, объединившись со «счетной фабрикой» Семендяева
и группой И.М.Гельфанда, образовала ядро ОПМ МИАНа СССР,
которым руководил М.В.Келдыш, и которое стало главным мате-
матическим центром советского атомного проекта.
Группа Боголюбова также первоначально была связана с МИ-
АНом и ИХФ АН СССР Группа И.Е.Тамма прибыла в КБ-11 из
ФИАНа, где также проводились расчеты. Более того, до
1956-1957 гг. Лаборатория №2 (позже ЛИПАН) и Лаборатория
№3 (позже Теплотехническая лаборатория АН СССР - ТТЛ) так-
же находились в системе Академии наук и только впоследствии пе-
решли в ведение Минсредмаша.
В СССР очень высоко котировались академические титулы
ученых. В физико-математических отделениях эти титулы можно
было получить, как правило, если академические кандидаты поль-
зовались уважением и авторитетом в научном сообществе. Боль-
шинство ведущих математиков и теоретиков атомного проекта либо
уже имели академические звания до начала работы в атомном про-
екте (математики С.Л.Соболев, А.Н.Тихонов, А.Н.Колмогоров,
И.Г.Петровский, М.А.Лаврентьев, М.В.Келдыш, Н.Н.Боголюбов;
физики-теоретики И.Е.Тамм, Л.Д.Ландау, Д.И.Блохинцев), либо
получили эти звания в 1950-е гг. (математики И.М.Гельфанд,
Л.В.Канторович и др, теоретики А.Д.Сахаров, Я.Б.Зельдович,
И.Я.Померанчук, К.И.Щелкин, Е.И.Забабахин и др.).
Постепенно, с середины 1950-х гг., когда в ядерных центрах
появились сильные математические отделения и собственные ЭВМ,
основной объем вычислительных работ стал выполняться и самих
этих центрах, и академическая математика стала отходить на вто-
рой план. Однако в решение ядерно-оружейной проблемы в герои-
ческие 1940-1950-е гг. ее вклад в реализацию атомного проекта
был значительным.
Примечания
1 Математический и вычислительный потенциал С.Л.Соболева, обладающего колос-
сальной «пробивной силой» при решении задач «математической физики», исполь-
зовался и по другим направлениям атомного проекта. Он принял участие в расчетах
сферического реактора с отражателем, промышленных реакторов и систем их регу-
лирования и аварийной защиты [2, с.349].
2 В настоящее время появилась литература (как документальная, так и мемуарная),
касающаяся проблемы расчетно-теоретического обоснования атомной бомбы
[8-14]. Важнейшие документы собраны во II томе серии книг «Атомный проект
СССР. Документы и материалы», некоторые из них цитируются ниже.
В.П.Визгин
75
3 Из полной системы дифференциальных уравнений с частными производными и ин-
тегро-дифференциального уравнения переноса нейтронов он вывел систему обыкно-
венных уравнений Ландау, использовав приближения, указанные Халатниковым
[13, с.216].
4« Это были громоздкие расчеты, в которых участвовало 20-25 девушек-вычислитель-
ниц под руководством Л.В.Канторовича и В.С.Владимирова...Весь цикл от посыл-
ки задания до получения результата из Ленинграда составлял не меньше 1-1,5 меся-
цев» [14, с.83-84].
5« Математической базой газодинамических расчетов было вычислительное бюро
К.А.Семендяева...входившее в состав Института точной механики и вычислитель-
ной техники АН СССР». [14, с.84].
6 Точнее, в качестве 15 авторов отчета указаны Аврорин, Бабаев, Гончаров, Зельдо-
вич, Романов, Сахаров, Трутнев (из упомянутых Самарским) и еще 8 теоретиков.
Еще отмечены 16 теоретиков, принимавших участие в работе. Из названных Самар-
ским - это Забабахин, Заграфов, Феоктистов. Единственный теоретик, который на-
зван Самарским, но отсутствует в списке авторов отчета из 16 участников работы,
это - К.И.Щелкин.
7 В.С.Владимиров заметил, что «талант и труд Коли (т.е. Н.А.Дмитриева) оценены
недостаточно. Он, конечно, награжден орденами и двумя Государственными преми-
ями. Но какая бы ни была тому причина (и в этом есть доля «вины» самого Коли),
он так и не удостоился докторской степени. Попытка представить его к почетному
званию заслуженного деятеля науки России не увенчалась успехом опять же по при-
чине отсутствия докторской степени. А Коля должен был по праву быть членом Рос-
сийской Академии наук!» [24. с.44].
Список литературы
Галисоп П. Зона обмена: координация убеждений и действий // Вопросы исто-
рии естествознания и техники. 2004. №1. С.64-91.
2. Герои атомного проекта / Авт.-сост. Н.Н.Богуненко, А.Д.Пелипенко, Г.А.Сос-
нин. Саров, 2005.
3. Атомный проект СССР Документы и материалы. В трех томах / Под ред.
Л.Д.Рябева. М., 2002. Т.1. 4.2.
4. И.К.Кикоин - Физика и судьба / Отв. ред. С.С.Якимов. И., 2008.
5. Смородииский Я.А. «Это было необычайно интересное и удивительное время...»:
воспоминания о раннем периоде жизни. Лаборатории №2 (публикация Н.В.Кня-
зькой) // История советского атомного проекта: документы, воспоминания, ис-
следования / Отв. ред. и сост. В.П.Визгин. М., 1998. Вып.1. С.196-206.
6. Писаревский Б.М., Харин В.Т Беседы о математике и математиках. И. 2004.
С.102-141.
7 Очерки истории информатики в России / Ред.-сост. Д.А.Поспелов, Я.И.Фет.
Новосибирск. 1998.
8. Халатников И.М. Дау, Кентавр и другие. Top non-secret. М., 2007
9. Гончаров Г.А. Лев Ландау и ядерный щит Родины // Содружество. Март 2008 г.
С.4-5.
10. Киселев Г.В. Участие Л.Д.Ландау в советском Атомном проекте (в документах)
// Успехи физических наук. 2008.Т.178. №9. С.947-990.
И. Горобец Б.С. Круг Ландау: физика войны и мира. М., 2008.
12. Горелик Г.Е. Советская жизнь Льва Ландау. М.., 2008.
13. Самарский А. А. Прямой расчет мощности взрыва // Наука и общество: история
советского атомного проекта (40-50-е годы). Труды международного симпозиума
ИСАП-96. М., 1997 Т.1. С.214-222.
14. Адамский В.Б. Избранные труды, воспоминания. Саров, 2008.
15. Атомный проект СССР. Документы и материалы. В трех томах / Под ред.
Л.Д.Рябева. М.-Саров, 2003. Т.П. Кн.4.
16. Атомный проект СССР Документы и материалы. В трех томах / Под ред.
Л.Д.Рябева. М-Саров, 2002. Т.П. Кн.З.
76 МАТЕМАТИКА В СССР ЗА 70 ЛЕТ
17 Атомный проект СССР Документы и материалы. В трех томах Под ред.
Л.Д.Рябева. М.-Саров, 1999. Т.П. Кн.1.
18. Атомный проект СССР. Документы и материалы. В трех томах Под ред.
Л.Д.Рябева. М.-Саров, 2000. Т.П. Кн.2.
19. Атомный проект СССР Документы и материалы. В трех томах / Под ред.
Л.Д.Рябева. Документы и материалы. В трех томах / Под ред. Л.Д.Рябева.
М.-Саров, 2006. Т.П. Кн.6.
20. Атомный проект СССР Документы и материалы. В трех томах Под ред.
Л.Д.Рябева. М-Саров, 2008. T.III. Кн.1.
21. Гончаров Г. А. Термоядерный проект СССР: предыстория и десять лет пути к водо-
родной бомбе // История советского атомного проекта: документы, воспомина-
ния, исследования / Отв.ред. исост. В.П.Визгин. СПб., 2002. Вып.2. С.49-146.
22. Владимиров В. С. Николай Николаевич Боголюбов - математик Божьей милостью
// Математические события XX века / Председатель род. колл. Ю.С.Осипов.
М., 2003. С. 119-143.
23. Софронов И. Д. Математическое моделирование во ВНИИЭФ // Историко-мате-
матические исследования. Вторая серия. М. 2005. Вып.9(44). С.265-281.
24. Николай Александрович Дмитриев: воспоминания, очерки, статьи / Председа-
тель ред. колл. Р.И.Илькаев. Саров, 2002.
К 100-ЛЕТИЮ СО ДНЯ РОЖДЕНИЯ
Л. С. ПОНТРЯГИНА
ЛЕВ СЕМЕНОВИЧ ПОНТРЯГИН.
ВОСПОМИНАНИЯ И РАЗМЫШЛЕНИЯ
М.И.Зеликин
Третьего сентября 2008 г. исполнилось ровно 100 лет со дня
рождения Льва Семеновича Понтрягина одного из величайших
математиков двадцатого века. Жизнь его была очень непроста. В
возрасте 13 лет с ним произошло несчастье. Он чинил примус, и
примус в его руках взорвался. Мальчик лишился обоих глаз. Но
сила духа этого мальчика оказалась сильнее даже такого страшно-
го физического недостатка как абсолютная слепота. Он сумел
стать не только замечательным человеком, но и великим математи-
ком.
Мне выпало большое счастье: Лев Семенович был моим непос-
редственным научным руководителем, начиная со второго курса
механико-математического факультета МГУ им. М.В.Ломоносова.
Случилось это так. Семинары по аналитической геометрии в нашей
группе вел тогда еще молодой преподаватель Евгений Фролович
Мищенко (сейчас он академик Российской академии наук). Мои
выступления на семинаре ему, по-видимому, понравились, и он
мне сказал: «Миша, разумно учиться у Понтрягина». Он рекомен-
довал меня Льву Семеновичу и таким образом я оказался его уче-
ником. Помню нашу первую встречу. Лев Семенович пригласил
меня к себе домой и просил прийти к одиннадцати часам. Я очень
волновался, боялся опоздать и подъехал к его дому заранее. Погу-
ляв перед домом, я поднялся на нужный этаж и посмотрел на
часы. Было без двух минут одиннадцать. Выждав эти две минуты,
ровно в одиннадцать я нажал на кнопку звонка. Лев Семенович от-
78
К 100-ЛЕТИЮ СО ДНЯ РОЖДЕНИЯ Л.С.ПОНТРЯГИНА
крыл дверь, пригласил войти и спросил меня: «Это Вы несколько
минут назад поднялись на лифте?» Он конечно же слышал звук
подъехавшего лифта. Я подтвердил, и он с его мамой весело пос-
меялись над моей излишней педантичностью. Потом он сказал: «Я
сейчас думаю над одной проблемой, давайте мы будем работать
вместе». Надо сказать, что математика мне нравилась со школьных
лет. Но в сознании моих одноклассников слово «математик» свя-
зывалось с понятием «учитель». Они говорили: «Разве в математи-
ке возможна творческая работа? Там ведь все известно». Но уже
на первом курсе мехмата я почувствовал, насколько необозрима
математика. Да что там «я»! Сам И.Ньютон, который знал, навер-
ное, все известные в его время математические достижения, и не
только знал, а сам создавал новые математические направления,
говорил, что он чувствует себя ребенком, играющим камушками на
берегу океана Неведомого. И вот великий Понтрягин приглашает
меня, желторотого студента, работать вместе.
Он объяснил мне ситуацию и начал диктовать, временами об-
думывая создаваемое им доказательство. Я едва успевал записы-
вать. Текст был сложный, с большим количеством довольно длин-
ных формул. Было такое впечатление, что он читает книгу, откры-
тую перед его мысленным взором. Изредка он просил меня перечи-
тать какую-нибудь из формул, но чаще он их и так помнил. В ка-
кой-то момент он надолго задумался над доказательством. Потом
сказал: «Кажется, что-то похожее было у У.Осгуда. Миша, возь-
мите на второй слева и третьей сверху полке седьмую слева книгу.
Это книга Осгуда по теории функций. Откройте такую-то главу и
прочтите ее мне». Книга была на немецком языке, но к счастью я
учил немецкий в школе. Выслушав текст, Лев Семенович восклик-
нул: «Так вот как он это делает! Ну что же, используя эту идею,
мы сделаем слегка покороче и посовременнее.» «Ага! решил я
тогда про себя. - Значит, главное в профессии математика это изу-
чить методы доказательств и уметь их применять.» Теперь я думаю
немного по-другому. Мне представляется, что гораздо важнее осоз-
навать связи между математическими объектами, которые кажутся
различными, и, используя эти связи, усматривать результаты и те-
оремы, которые надо доказать, для того чтобы эти связи проясни-
лись еще ярче и полнее. Правда, есть еще одна очень важная мате-
матическая деятельность по самому созданию математических объ-
ектов. Но это надо делать крайне осторожно, так как новые объек-
ты могут оказаться мертворожденными. Например, великий немец-
кий математик Карл Гаусс писал, что он всегда старался избегать
введения новых понятий для преодоления реальных трудностей.
Есть старый вопрос, вызывающий много споров: каков источ-
ник математических открытий? Придумывает ли математик новую
М. И. Зел икин
79
реальность, или, согласно теории Платона, он всего лишь вспоми-
нает то, что он каким-то образом уже знал о вечных неизменяемых
идеях? Являются ли математические открытия результатом интел-
лектуальных усилий исследователя, или сам Господь Бог указыва-
ет ему решения? Приведу несколько примеров в пользу последнего
утверждения. Карл Гаусс в течение многих лет тщетно пытался
найти доказательство закона взаимности (некоторое важное соот-
ношение в теории чисел). И вдруг, в один момент, он увидел идею
доказательства, лежащую совершенно в стороне от тех путей, на
которых он ее до той поры искал. Гаусс в дневниках писал, что
это было так, как будто бы ему внезапно была показана вся карти-
на доказательства. Гениальный французский математик Анри Пу-
анкаре упорно работал над проблемой автоморфных функций. И
вдруг однажды, в тот момент, когда он поднимал ногу на ступень-
ку омнибуса, он внезапно осознал, что изучаемые им функции это
те, которые остаются инвариантными относительно дискретной
группы движений плоскости Лобачевского. Но с другой стороны,
замечательный немецкий математик Леопольд Кронекер считал,
что Господь Бог создал только целые числа, а все остальные конст-
рукции это дело рук человеческих. Заметим кстати, что русский
философ Владимир Соловьев, в отличие от Платона, считал, что
идеи не являются вечными и неизменными. Они способны изме-
няться подобно живым существам. Это мнение тесно связано со
странной и глубокой мыслью греческого философа Плотина, кото-
рый полагал, что идеи имеют тела и души. Лично мне очень нра-
вится точка зрения прекрасного французского математика Шарля
Эрмита. Он писал, что источником математических прозрений яв-
ляется внимательное вглядывание. Это означает, что математичес-
кая реальность в каком-то виде существует. Общаясь с соответст-
вующими живыми идеями, математик видит некий совершенный
образ (по выражению Гамлета «в очах своей души»), и нужно
внимательно в него вглядеться, чтобы осознать, а может быть луч-
ше сказать, чтобы вложить в него, его истинный смысл.
О математических достижениях Л.С.Понтрягина красноречиво
говорят даже термины, вошедшие в золотой фонд математической
культуры: двойственность Понтрягина, характеристические классы
Понтрягина, принцип максимума Понтрягина и др. В этой краткой
заметке невозможно хоть сколько-нибудь полно охватить замеча-
тельную и многообразную математическую деятельность Понтряги-
на. Я коснусь лишь вышеназванных тем.
Если раньше определяли двойственность как равенство чисел
Э.Бетти, то Понтрягин определил ее как ситуацию, в которой одна
группа гомологий служит группой характеров другой. Это и стало
называться двойственностью в смысле Понтрягина. Исходя из это-
80 К 100-ЛЕТИЮ СО ДНЯ РОЖДЕНИЯ Л.С.ПОНТРЯГИНА
го взгляда, Лев Семенович развил общую теорию групп характе-
ров, которая служит основой гармонического анализа. Эта теория
(наряду с целым рядом других результатов) изложена им в знаме-
нитой книге «Непрерывные группы», являющейся образцом чет-
кой строгости и при этом понятности и доступности изложения
сложных математических фактов. Другая прекрасная книга Льва
Семеновича «Гладкие многообразия и их применение в теории
гомотопий» содержит, в частности, изложение метода оснащенных
многообразий, который, по существу, послужил основой созданной
впоследствии теории кобордизмов. Кстати сказать, первый тополо-
гический инвариант, препятствующий тому, чтобы данное гладкое
замкнутое многообразие было границей, тоже был найден Понтря-
гиным. Характеристические классы для группы вычетов по моду-
лю 2 были построены X.Уитни, а в случае поля комплексных чи-
сел Ш.Чженем. Случай действительных чисел оказался самым
трудным. Соответствующая теория была построена Львом Семено-
вичем. Она получила название характеристические классы Понтря-
гина.
В пятидесятые годы во Франции организовалась группа моло-
дых талантливых математиков, решивших перестроить все здание
математики на новых, более разумных, как они считали, основах,
стремясь вывести все математические результаты из нескольких ос-
новополагающих положений и принципов. Как и всякие революци-
онеры, они считали, что к этой работе не следует привлекать ни
«стариков», утративших чувство нового, ни недостаточно компе-
тентных специалистов. Поэтому они организовали замкнутую за-
конспирированную группу, выступавшую под псевдонимом Н.Бур-
баки. Свои математические статьи они публиковали, используя
создаваемую ими терминологию, не только не заботясь о понима-
нии со стороны остального математического сообщества, но, может
быть, даже сознательно отгораживаясь от него. Получалось нечто
вроде шифрования математических результатов и методов. Лично
мне кастовость Бурбаки представляется серьезным математическим
грехом, который, кстати, имел вредные последствия при попытках
применения принципа «от общего к частному» в реформе матема-
тического образования. Тем не менее, среди публикаций Бурбаки
был ряд замечательных результатов, в частности, о гомотопичес-
ких группах сфер. Желая осознать новые результаты, Понтрягин
обратился в правительство СССР с просьбой о командировке во
Францию. Нет никаких сомнений в том, что при прямых контак-
тах с соответствующими учеными Лев Семенович мгновенно овла-
дел бы новыми методами, и вновь вошел бы, как это было для
него привычным, в группу ведущих топологов мира. Но в коман-
дировке ему было отказано. Быть на вторых ролях Понтрягин не
М.И.Зеликин
81
привык и не хотел. Не знаю, явилось ли это причиной для смены
математической тематики творчества Понтрягина, но сам он объяс-
нял эту смену своим давним стремлением заниматься вопросами,
имеющими непосредственные реальные приложения.
Самой, пожалуй, знаменитой из прикладных работ Льва Семе-
новича является принцип максимума Понтрягина. Поведение физи-
ческой системы: полет самолета или ракеты, поведение атомного
или химического реактора, работа станка и пр. описывается диф-
ференциальными уравнениями. Если мы управляем физической
системой, то в эти дифференциальные уравнения входят функции,
выбираемые нами в процессе управления. Эти функции и называ-
ются управлением. Часто, если управление выбрано, то результат
процесса определяется однозначно. Обычно выбирается какой-ни-
будь критерий, который численно характеризует результат процес-
са. Он называется функционалом. Цель управления состоит в том,
чтобы найти оптимальное управление, т.е. выбрать управление, ко-
торое минимизирует (или максимизирует) этот функционал. Прин-
цип максимума Понтрягина - это некоторая система соотношений,
которая позволяет находить оптимальное управление для очень
широкого класса задач. Общность полученного результата такова,
что принцип максимума Понтрягина с момента его создания с ус-
пехом был неоднократно применен и продолжает применяться чуть
ли не во всех областях техники и экономики. Именно он сделал
имя Понтрягина известным во всем мире.
Чтобы дать более полное представление о личности Понтряги-
на, необходимо рассказать о том, какую роль сыграл Лев Семено-
вич в общественной жизни своей эпохи. Одной из характерных
черт Льва Семеновича было подлинное духовное бесстрашие.
Ниже я приведу несколько примеров. Но забавно, что сам Лев Се-
менович однажды сказал Игорю Ростиславовичу Шафаревичу: «Я
всю жизнь боялся». Зная его, Игорь Ростиславович принял это за
шутку или даже кокетство, пока не обратил внимания на то, чего
же Понтрягин боялся. А ведь он действительно боялся неудачи тех
дел, за которые брался, того, что начатое математическое исследо-
вание не удастся и затраченные громадные усилия пропадут да-
ром, того, что напечатанная работа окажется ошибочной, того, что
важное общественное начинание натолкнется на противодействие.
И этот страх заставлял его забывать о том, чего чаще всего боятся
люди: переутомления, неудовольствия начальства, притеснения
властей, ареста.
Приведу примеры бесстрашия Льва Семеновича. Математик
В.А.Ефремович, который в сталинское время отбывал весь срок в
лагере, регулярно получал письма от Л.С.Понтрягина. И это в то
время, когда человек, пославший даже одно такое письмо, риско-
82
К 100-ЛЕТИЮ СО ДНЯ РОЖДЕНИЯ Л.С.ПОНТРЯГИНА
вал свободой. Замечательный математик Владимир Абрамович
Рохлин, во время войны оказавшийся в окружение и попавший в
немецкий концлагерь, был после окончания войны арестован. Лев
Семенович не только добился его освобождения, но, что было не
менее трудно, устроил его на работу в Математический институт
им. В.А.Стеклова Академии наук СССР
Конец 40-х годов был эпохой погромных постановлений про-
тив «формалистических» направлений в литературе и искусстве,
«буржуазных и лженаучных» направлений в биологии. Один рети-
вый партийный деятель решил идти в ногу со временем и высту-
пил на одном из заседаний Ученого совета Математического инсти-
тута им. В.А.Стеклова АН СССР с заявлением, что, дескать, топо-
логия это буржуазная лженаука, не нужная для народного хозяйс-
тва. Лев Семенович встал и спросил: «Скажите, пожалуйста, ре-
шение какой конкретной задачи механики было бы по вашему мне-
нию важно для народного хозяйства?» Выступавший был ученым,
мягко говоря, очень посредственным, занимавшимся теорией меха-
нических систем. Он не нашел ничего лучшего, чем с целью само-
рекламы сказать о задаче, связанной с его собственными, весьма
неглубокими исследованиями. Тогда Лев Семенович сказал, что к
очередному заседанию Ученого совета он берется решить эту зада-
чу средствами «буржуазной лженауки» топологии. Свое обещание
он выполнил и принес свое решение на следующее заседание сове-
та. Его оппонент, струсив, конечно же, не явился. Лев Семенович
просто проинформировал Ученый совет, что задача решена. С тех
пор разговоры о топологии, как о буржуазной лженауке больше не
возникали.
Расскажу о вкладе Л.С.Понтрягина в дело победы над ужас-
ным природоразрушительным проектом поворота северных рек на
юг. Идея переброски части стока северных рек на юг приобрела к
1970-м годам, по существу, статус закона. Она была поддержана
постановлением ряда Пленумов ЦК КПСС, включена в программу
«Основных направлений развития народного хозяйства СССР на
1976-1980 гг.», закреплена решениями XXV съезда КПСС. Над
реализацией этого проекта работали 44 научно-исследовательских
института различных министерств и ведомств. Поразительно, что
ни одно из этих научных учреждений не выступило против проек-
тов переброски. Максимум, на что отваживались отдельные сот-
рудники этих институтов, это на осторожное указание некоторых
возможных трудностей и негативных последствий перераспределе-
ния стока рек. По всем канонам эпохи бороться против идеи пе-
реброски как таковой казалось абсолютно бессмысленным. Она
была подобна локомотиву, развившую полную скорость. На ее сто-
роне была вся партийная и государственная машина СССР. Выс-
М.И.Зеликин
83
тупление против этой «стройки века» означало выступление про-
тив политики партии, а в те времена на это требовалось немалое
мужество. Но вся жизнь Льва Семеновича была жизнью по-настоя-
щему мужественного человека. Подпись Понтрягина стояла под са-
мым первым письмом против переброски, направленным в ЦК
КПСС от ряда выдающихся деятелей науки и культуры. Это пись-
мо было проигнорировано правительственными чиновниками, пос-
кольку его аргументация была чисто гуманитарной. Кроме того,
оппозиция проекту была в то время представлена довольно узким
кругом людей. Одним из самых активных и результативных бор-
цов с проектом поворота рек была покойная Людмила Филипповна
Зеликина, сумевшая очень много сделать для консолидации движе-
ния протеста против переброски. Мы с ней изучали прогнозы па-
дения уровня Каспийского моря, игравшие ключевую роль в обос-
новании экономической эффективности проекта. Были найдены
математические и концептуальные ошибки этих прогнозов. После-
дующее развитие событий показало, что наша критика была впол-
не оправданной. Вопреки предсказаниям горе-прогнозистов, уро-
вень Каспийского моря вместо падения начал вскоре расти и неп-
рерывно повышался вплоть до самого последнего времени.
Мы рассказали результаты нашего анализа Льву Семеновичу.
Он очень обрадовался возможности воспользоваться математикой
для критики проекта с профессиональных позиций и решил дать
нашим результатам как можно более широкую огласку. Лучшим
средством для этого было решение Отделения математики АН
СССР Лев Семенович был неукротим как в любви, так и в непри-
ятии. А ведь глубокие чувства заразительны. Непререкаемый науч-
ный авторитет Льва Семеновича Понтрягина и его страстный тем-
перамент помогали ему оказывать нравственное влияние на все От-
деление математики. К тому же, высшее математическое общество
состоит, в основном, из очень благородных людей. Может быть это
происходит потому, что получение серьезных математических ре-
зультатов требует от человека высокой общей культуры, напря-
женнейшего сосредоточения и огромной внутренней работы. Эта
работа и воспитывает душу. Лев Семенович добился того, что ма-
тематические ошибки прогноза стали предметом обсуждения снача-
ла Бюро, а потом и Общего собрания Отделения математики АН
СССР Решение было единогласным: методика прогнозирования
является научно несостоятельной, и ее нельзя класть в основу на-
родно-хозяйственных решений. Нам говорили, что после этого пос-
тановления в правительственных кругах пошли разговоры: «Мате-
матики нашли ошибки.» Это было первым публичным выступлени-
ем против проекта переброски с естественно-научных позиций.
Именно оно позволило ученым разных специальностей сбросить
84
К 100-ЛЕТИЮ СО ДНЯ РОЖДЕНИЯ Л.С.ПОНТРЯГИНА
оковы страха и высказать наконец свою настоящую точку зрения.
Были приняты постановления еще четырех Отделений АН СССР о
научной необоснованности проекта и о его вредных последствиях.
Протест против проекта стал принимать все более массовый харак-
тер. Вице-президент АН СССР академик Александр Леонидович
Яншин был председателем комиссии Академии наук, созданной
для изучения проблем переброски. Он принимал участие в заседа-
нии Совета Министров СССР, решавшем судьбу проекта. Он расс-
казывал нам, членам его комиссии, что все основные ведомства
СССР: Госплан, Госкомитет по науке, Госкомгидромет, ВАСХ-
НИЛ, Министерство водного хозяйства и др. высказывались за пе-
реброску.
Однако, председатель Совета Министров СССР Николай Ива-
нович Рыжков, подводя итог обсуждения, сказал: «Передо мной
бумаги с решениями пяти Отделений Академии наук. Тут стоят
подписи таких ученых как Л.С.Понтрягин и Н.Н.Красовский, к
каждому слову которых прислушивается весь мир. Я думаю, что
их мнение наиболее авторитетно, и его следует поддержать».
Окончательное решение должен был принять съезд Коммунисти-
ческой партии СССР И тут немалую роль сыграло письмо Льва
Семеновича, написанное М.С.Горбачеву накануне открытия съез-
да. Решением съезда работы по переброске были исключены из
списка перспективных направлений развития народного хозяйства
в следующей пятилетке.
В моем представлении Лев Семенович Понтрягин - это истин-
ный воин. Воин, сумевший справиться с тяжелейшим недугом, по-
разившем его в детстве, - слепотой. Воин, одержавший грандиоз-
ные победы в своей профессиональной математической деятельнос-
ти. Воин, никогда не поступавшийся своими нравственными и мо-
ральными принципами, и, более того, умевший добиваться их тор-
жества.
А.И.Володарского и Т.А.Токаревой 85
ПИСЬМА МАТЕМАТИКА Л.С.ПОНТРЯГИНА
К ФИЛОЛОГУ и.в.мыльцыной1)
Публикация, предисловие и примечания
А.И.Володарского и Т.А.Токаревой
Публикуемые 7 писем выдающегося математика Льва Семено-
вича Понтрягина (1908-1988) адресованы Ирине Владимировне
Мыльцыной (в письмах - «Мыльцина») (1912-1999) - преподава-
телю русской литературы, кандидату филологических наук, в пос-
левоенные годы преподававшей на факультете журналистики Мос-
ковского государственного университета им. М.В.Ломоносова.
Корреспонденция датируется декабрем 1940 - июлем 1942 гг. Пер-
вое - от 5 декабря, на почтовой карточке - было послано из Моск-
вы в Москву, остальные 6 из Казани (ул. Щапова, д.Юа, кв.29) в
Бугуруслан (Крестьянская ул., д.2, Учительский институт), где
Лев Семенович и Ирина Владимировна, соответственно, находи-
лись в эвакуации. В московской открытке, Понтрягин обращается
к «Зине и Ире». (Послание было направлено по адресу: «Москва,
Конюшковская ул. д.30, кв. 19, Зине Удальцовой».) «Зина» - Зи-
наида Владимировна Удальцова (1918-1987), историк, в ту пору
аспирантка МГУ, впоследствии член-корреспондент АН СССР -
сестра Мыльцыной. Они познакомились на курорте в Теберде ле-
том 1940 г., там же отдыхали и упоминаемые в письмах Л.Д.Лан-
дау, Е.М.Лифшиц, И.М.Виноградов, М.А.Стырикович, Н.Н.Мей-
ман, а также муж Зинаиды Владимировны - Иван Иванович
Удальцов (в письмах - «Ива»).
Возможность познакомиться с эпистолярным наследием
Л.С.Понтрягина, а также необходимые комментарии, были любез-
но предоставлены сыном Зинаиды Владимировны членом-коррес-
пондентом РАН Владимиром Михайловичем Алпатовым, которому
публикаторы выражают искреннюю благодарность.
Оригиналы, издаваемых документальных свидетельств жизни
людей и ушедшей эпохи, хранятся в настоящее время в секторе ис-
тории математики Института истории естествознания и техники
им. С.И.Вавилова РАН. Данной публикацией они вводятся в науч-
ный оборот впервые. Учитывая то, что Лев Семенович в детстве
потерял зрение, свои письма он печатал сам на обычной пишущей
машинке, при подготовке к печати были исправлены имеющиеся в
оригинале грамматические огрехи.
1) Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментал!
ных исследований (проект №11-06-00119а).
86
К 100-ЛЕТИЮ СО ДНЯ РОЖДЕНИЯ Л.С.ПОНТРЯГИНА
JMol1
5 декабря 1940 г., Москва
Дорогие Зина и Ира,
Наконец, совершилось великое событие, у меня на днях поя-
вился телефон, его номер В18839. Надеюсь, вы скоро позвоните
мне.
Шлю привет.
Л. [С. ]П[онтрягин]
№22
8 августа 1941 г. Казань
Дорогая Ира,
Очень рад был получить от Вас открытку. Почта из Москвы,
по-видимому, идет очень плохо, по крайней мере, я еще не полу-
чил ни одного ответа на письма, отправленные двенадцать дней на-
зад3 Мы здесь устроились в общем не плохо, принимая во внима-
ние военное время. У нас комната в одиннадцать метров в кварти-
ре, которая имеет не только водопровод и канализацию, что само
по себе уже блестяще, но даже ванну. Впрочем, вода идет только
по ночам. Пища имеется на базаре, но довольно дорого. Мы здоро-
вы и у меня исключительно хороший аппетит, который совершен-
но не знаю чем объяснить, возможно, что недостатком сахара, а
может быть просто отощал за военное время в Москве и за пере-
езд4.
Шлем Вам привет. Пишите, привет Зине и Иве5 Здесь много
знакомых из академии, и я в общем не скучаю.
[Л. С. Понтрягин ]
№36
29 сентября 1941 г., Казань
Дорогая Ира,
Третьего дня я получил Ваше письмо. Вы спрашиваете, где
[И.М.]Виноградов7, он здесь и если хотите писать, то пишите прос-
то: Казань, Академия наук, академику [И.М.]Виноградову. Точный
адрес [ Л. Д.] Ландау8, я не помню, но ему нужно писать также с до-
бавлением «Институт физических проблем». Впрочем, [Л.Д.Лан-
дау утверждает и раньше утверждал, что писем он не пишет. Здесь
же имеется [Е.М.]Лифшиц9, больше не могу назвать никого из об-
щих знакомых. Вы не думайте, что здесь собрались все работники
Академии, наш институт10 пока целиком в Москве, его ленинградс-
кий филиал в Ленинграде, там же институт Павлова11 Вообще
здесь академики и членкоры, но далеко не все, и несколько инсти-
А.И.Володарского и Т.А.Токаревой 87
тутов. Я сам. живу у казанского математика12 и пользуюсь его
очень хорошей библиотекой, она отнюдь не чисто математическая.
Это я говорю к тому, что лиц моей профессии здесь имеется доста-
точно, как местных, так и приехавших из Москвы. Благодаря это-
му, в частности, здесь москвичи не имеют никакой возможности по-
лучить педагогическую работу, и я без нее довольно сильно скучаю.
Пусик старший13 теперь в Москве и читает лекции в МГУ, я ему
сильно завидую. Он мой учитель по университету и, в основном, у
нас с ним очень хорошие и дружеские отношения. Иногда, правда,
они портились, но теперь опять все в порядке.
У нас уже довольно давно очень холодно и уже начали топить
в квартире, хотя с дровами довольно трудно. За городом в течение
всего этого лета я был только три раза, из них два на Волге. В Ка-
зани, как известно, Волги нет, а протекает она за семь километров
от нее, туда идет трамвай и затем нужно переехать на лодке на
другой берег, там уже хорошо. Последний раз был там в первой
трети сентября в прекрасный солнечный день и было прекрасно,
но купаться не пришлось, так как было холодно.
Я здесь занимаюсь математикой и уже имел некоторые успе-
хи14, но это мои прежние темы. Теперь у нас организованы семи-
нары по оборонным темам, и я намерен этому учиться. Зато здесь
довольно много знакомых, но встречаюсь я с ними не очень часто
и не подолгу, время идет как-то незаметно, и не могу сказать, что-
бы скучал. По вечерам мы или куда-нибудь ходим, или читаем,
электричество работает исправно, да без него и в другом смысле
было бы совершенно плохо, так как на нем мы готовим пищу. За
керосином огромные очереди, в которых простаивают по двенад-
цать часов. Вообще разная хозяйственная деятельность занимает
порядочно времени. Папиросы, например, представляют большие
трудности, в городе купить их невозможно, приходиться ходить в
Академию и временами там выдают, точно также относительно
дров: приходиться ходить без конца и разговаривать с различными
лицами. Так и идет время.
Мама и я шлем Вам привет. Пишите.
Л. [ С. ]Понтрягин
№415
16 октября 1941 г., Казань
Дорогая Ира,
Вчера получил Ваше письмо, но отвечаю Вам открыткой, так
как настроение унылое и писать нечего. Все новости в газетах. Мы
живем по-прежнему без всяких перемен, только немного возраста-
ют некоторые неудобства, но это, конечно, совершенная мелочь.
88
К 100-ЛЕТИЮ СО ДНЯ РОЖДЕНИЯ Л.С.ПОНТРЯГИНА
Не считая последних дней я находился в настроении вполне исп-
равном, занимался математикой и читал беллетристику, в частнос-
ти, прочел впервые «Опасные связи»16 и мне очень понравилось.
Много моих товарищей сейчас в Москве, в частности, [П.С.]Алек-
сандров и [А.Н. ] Колмогоров17 Некоторые здесь. [Е.М.]Лифшиц
здесь ввиду того, что весь его Институт18 не считая директора, на-
ходится здесь. Не знаю как сегодня, но [Л.Д.]Ландау все время
был настроен бодро.
Шлю привет. Пишите.
Л. [С. ]Понтрягин
№519
22 ноября 1941 г., Казань
Дорогая Ира,
Почему от Вас нет писем, я понимаю, что москвичам теперь не
до них, впрочем, многие из моих знакомых уже прибыли сюда,
именно, весь наш институт [Математический институт им.
В.А.Стеклова АН СССР], [Московский государственный] универ-
ситет [им. М.В.Ломоносова] отправился сперва в Ташкент, а затем
в Ашхабад. Впрочем, некоторые, по-видимому, до сих пор остают-
ся в Москве, однако немногие и притом не пишут, хотя письма из
Москвы вообще и получаются, но мои знакомые молчат, и я очень
скучаю ввиду полного отсутствия писем. Напишите, пожалуйста.
Наша жизнь, в основном, не изменилась, только стала еще более
суетливой и сложной, так что бытовая деятельность занимает мас-
су времени. Впрочем, никаких особенно острых нарушений жизни
не произошло, электричество по-прежнему исправно действует,
хлеб выдается и только на рынке стало все еще дороже, да и за
деньги достать трудно. Благодаря приезду наших знакомых из
Москвы, выехавших почти без вещей, пришлось много времени
посвятить им20
Шлем Вам привет. Пишите.
Л. [С. ]П[онтрягин]
№621
И июня 1942 г., Казань
Дорогая Ира,
Также как и Вы я давно не получал от Вас писем, но, нас-
колько помню, ответил на Ваше давнишнее письмо. Наша жизнь в
общем также идет без существенных перемен, но все же некоторые
изменения происходят. В смысле пищи мы стали чувствовать себя
увереннее, так как наше снабжение улучшилось, теперь имеется
некоторый сухой паек и столовая для академиков и членкоров,
А.И.Володарского и Т.А.Токаревой
89
последняя, однако, совершенно неудовлетворительная по вкусовым
качественным показателям, пища в основном тошнотворна. С дру-
гой стороны, за последние месяцы рынок стал почти недоступен
нам по ценам. Трудности бытовые остаются прежними, каждая ме-
лочь требует больших усилий. Мое здоровье опять разладилось
обычным способом, т.е. повышается температура по причинам не
вполне понятным, вот уже полтора месяца как я болен вроде как
легким гриппом, помните, тогда Вы снабжали меня стрептоцидом,
теперь он у меня есть, но я уже знаю, что против моей болезни он
не помогает22. Я здесь довольно часто встречаюсь с [Л.Д.]Ландау
и его учеником [Е.М.]Лифшицем, у последнего недавно мобилизо-
вали жену в армию как врача, теперь она близ фронта и он очень
грустный. Был здесь из Свердловска [М.А.]Стырикович23, воз-
можно переедет сюда. Имею сведения о [Н.Н.]Меймане24. Он с са-
мого начала войны отбил чужую жену, с которой и раньше воз-
можно находился в хороших отношениях, это Зоя Михайловна
[Мейман], помните в Теберде. Роман развертывался в Самарканде,
далее [Н.Н. ]Мейман покинул этот город ввиду переезда его места
работы в Ташкент. У З.М.[Мейман] был мертворожденный ребе-
нок, кажется, его. Состояние ситуации в настоящее время неясно.
Вот, пожалуй, и все, что знаю об общих знакомых. Здоровье мамы
несколько лучше.
Пишите. Шлю привет всем Вашим. Как Ива?
Л. [С. ]Понтрягин
№725
8 июля 1942 г. Казань
Дорогая Ира,
Сегодня получил Ваше письмо. У нас тоже стоит плохая пого-
да, так холодно и дождливо, что это, несомненно, вредно для на-
шего огорода. Мы тоже учредили огород и я им чрезвычайно увле-
чен26 К сожалению, он довольно далеко. Есть также опасения, что
огород окажется не более чем простая забава. Посевы были произ-
ведены очень поздно, так дали землю. Посевы не охраняются и
часть нашего участка уже закатана лошадьми, которые там пасут-
ся. Погода неблагоприятная. Я так интересуюсь теперь огородами,
что с большим удовольствием узнал бы, что у Вас. У нас есть сто
кв. м. картошки на сухом месте и она хорошо растет. Сверх того
имеется полтораста кв. м. очень хорошей сырой и плодородной
почвы, которая засеяна в основном свеклой и морковью, там же
рассада капусты и брюквы по пятьдесят штук, и разные мелочи
вроде редиски, редьки и салата. Живем мы без существенных пе-
ремен и не имеем перспектив на скорое возвращение в Москву. Во-
90
К 100-ЛЕТИЮ СО ДНЯ РОЖДЕНИЯ Л.С.ПОНТРЯГИНА
обще попасть туда теперь очень трудно. Знаете ли Вы, что имеется
правительственное распоряжение о реэвакуации МГУ из Ашхабада
в Свердловск. Математики этим очень недовольны, они, по-види-
мому, боятся, что можно застрять в Свердловске или надолго, а
некоторые и навечно. Пусики старались пристроиться в Москве
для работы в оставшейся там части МГУ, но им не разрешили на
том основании, что их жизни так драгоценны, что жить в Москве
и подвергаться опасностям им невозможно. У меня, также как и у
Вас, температура и я не купаюсь, это грипп, от которого я очень
страдаю.
Мама и я шлем Вам привет. Пишите.
[Л. С. Понтрягин]
Примечания
1 Письмо Л.С.Понтрягина 3.В.Удальцовой от 5 декабря 1940 г. Машинописный под-
линник на почтовой карточке (1 л.).
2 Письмо Л.С.Понтрягина И.В.Мыльцыной от 9 августа 1941 г. Машинописный под-
линник на почтовой карточке (1 л.).
3 Вспоминая эвакуацию в Казань Лев Семенович писал: «Вообще во время войны пи-
сание писем занимало огромное место в моей жизни. Все мои друзья были разброса-
ны по различным частям Советского Союза, и со всеми я переписывался» [1, с. 105].
4 Из воспоминаний Л.С.Понтрягина: «В первые дни войны...началась эвакуация из
Москвы заводов. Стали поговаривать об эвакуации Академии наук с обязательной
эвакуацией членов Академии в тыл... Наконец стало известно, что Стекловский ин-
ститут эвакуируется в Казань. Выезд был назначен на 22 июля... [1, с.95]. Подроб-
нее о его жизни в начале войны, эвакуации и обустройстве в Казани см.: [ 1, с.95-99;
2, с.32-33].
5 Первый муж Зинаиды Владимировны Удальцовой, к этому времени они разошлись.
6 Письмо Л.С.Понтрягина И.В.Мыльцыной от 29 сентября 1941 г. Машинописный
подлинник (1 л. + об.).
7 Иван Матвеевич Виноградов (1891-1983).
8 Лев Давыдович Ландау (1908-1968) - физик.
9 Евгений Михайлович Лифшиц (1915-1085) - физик.
10 Математический институт им. В.А.Стеклова АН СССР.
11 Институт физиологии им. И.П.Павлова АН СССР
12 Морозов Владимир Владимирович (1910-1975), алгебраист, профессор, с которым
в одной квартире во время эвакуации в Казань жил Л.С.Понтрягин с семьей.
13 Александров Павел Сергеевич (1896-1982) - «Пусик старший», в отличие от Анд-
рея Николаевича Колмогорова - «Пусика младшего».
14 О математической деятельности Л.С.Понтрягина подробнее см.: [1, с. 105-106]. В
этот период им были задуманы, опубликованные по возвращении в Москву работы
[3-8].
15 Письмо Л.С.Понтрягина И.В.Мыльцыной от 16 октября 1941 г Машинописный
подлинник на почтовой карточке (1 л.).
16 «Опасные связи» (1782) - психологический роман в письмах французского писате-
ля Пьера Шодерло де Лакло (1741-1803).
17 Андрей Николаевич Колмогоров (1903-1987).
18 Институт физических проблем АН СССР
19 Письмо Л. С. Понтрягина И.В.Мыльцыной от 22 ноября 1941 г. Машинописный под-
линник на почтовой карточке (1 л.).
А.И.Володарского и Т.А.Токаревой 91
20 По поводу этих событий Лев Семенович вспоминал: «Шестнадцатого октября 1941 г
из Москвы выехала целая группа математиков, среди них П.С.Александров и
А.Н.Колмогоров, которые, впрочем, имели свое барахло и семьи уже перевезенны-
ми сюда, но были и новые, именно: А.И.Плеснер, Л.А.Люстерник и ряд других. Вы-
ехали они крайне поспешным образом, почти без вещей и в отвратительном настрое-
нии...» [2, с.32].
21 Письмо Л.С.Понтрягина И.В.Мыльцыной от 11 июня 1942 г Машинописный под-
линник на письме-конверте (1 л.).
22 О своей болезни Лев Семенович писал так: «Осенью 1942 года, уже после возвраще-
ния из дома отдыха на пашу казанскую квартиру, я перенес очень тяжелое легочное
заболевание...В Казани начала повышаться температура каждый день почти на це-
лый градус. Врач, который поставил диагноз крупозное воспаление легких, сказал,
что нужно искать сульфидин. Тогда это было новое лекарство, и достать его было
трудно. Но раньше, чем мы его добыли, температура достигла 41 градуса и после
этого в одну ночь упала почти до нормальной. Произошел кризис, болезнь минова-
ла. Я жестоко ослабел, не мог сойти с кровати» [1, с. 100].
23 Стырикович Михаил Адольфович (1902-1995) - теплотехник.
24 Наум Натанович Мейман (1912-2001), доктор физико-математических наук, про-
фессор [9].
26 Письмо Л.С.Понтрягина И.В.Мыльцыной от 8 июля 1942 г. Машинописный под-
линник на письме-конверте (1 л.).
27 Подробнее см.: [1, с.99—100; 2, с.39-40].
Список литературы
Понтрягин Л. С. Жизнеописание Льва Семеновича Понтрягина, математика, со-
ставленное им самим. Рождения 1908, г. Москва. М., 1998.
2. Письма Л.С.Понтрягина И.И.Гордону (публикация и примечания Е.И.Гордона)
// Историко-математические исследования. Вторая серия. М., 2005. Вып.9(44).
С.27-208.
3. Понтрягин Л. С. О нулях некоторых элементарных трансцендентных функций
// Известия Академии наук СССР Серия математическая. 1942. Т.6. №3.
С.115-134.
4. Понтрягин Л .С. Отображения трехмерной сферы в n-мерный комплекс // До-
клады Академии наук СССР 1942. Т.34. №2. С.39-41.
5. Понтрягин Л. С. Характеристические циклы многообразий // Доклады Акаде-
мии наук СССР 1942. Т.35. №2. С.35-39.
6. Pontrjagin L.S. A method of calculation of homology groups // Математический
сборник. 1942. Т.Н. №1-2. С.3-14.
7 Понтрягин Л. С. Эрмитовы операторы в пространстве с индефинитной метрикой
// Известия Академии наук СССР Серия математическая. 1944. Т.8. №6.
С.243-280.
8. Понтрягин Л. С. Некоторые топологические инварианты римановых многообра-
зий // Доклады Академии наук СССР 1944. Т.43. №3. С.95-98.
9. Аносов Д.В., Монастырский М.И., Соловьев М.А. Нас осталось так мало...//
Историко-математические исследования. Вторая серия. М., 2002. Вып.7(42).
С. 166-189.
МАТЕМАТИКА АНТИЧНОСТИ
И СРЕДНИХ ВЕКОВ
К ВОПРОСУ О ПРОИСХОЖДЕНИИ
ИНДИЙСКИХ НАЗВАНИЙ НУЛЯ
Г. Г.Хмуркин
Многочисленные исследования, касающиеся древних и средне-
вековых индийских систем нумераций, с различной степенью под-
робности описывают так называемую систему бхута-самкхья
(санскр. bhUta-saMkhyA, ‘исчисление сущностями’) способ
записи числа, при котором каждая цифра1 обозначалась санскритс-
ким словом, выражающим понятие, так или иначе увязываемое с
соответствующей цифрой; эти слова-цифры записывались друг за
другом и в совокупности соответствовали современной позицион-
ной записи числа (за исключением, быть может, порядка следова-
ния цифр). Фиксируя различные наименования цифр а иногда
такой список для одной цифры содержит около ста названий - ис-
торики, насколько известно автору, ограничивались указанием
лишь на очевидные связи между термином и соответствующей
цифрой; попыток же более глубокого анализа, по-видимому, не
предпринималось. В настоящей работе мы попытаемся по возмож-
ности полно осветить эти вопросы в случае с наиболее интересной
цифрой - цифрой ноль. Конкретно, (1) мы дадим список всех из-
вестных нам санскритских наименований нуля, (2) снабдим каж-
дое наименование основными переводами, (3) попытаемся выде-
лить общие семантические оттенки, вокруг которых группируются
эти значения, и, наконец, (4) попытаемся понять, почему именно
выписанные наименования, а не какие-то иные, стали названиями
нуля. Последняя задача представляется наиболее трудной, потому
максимум, на что мы можем претендовать - это предварительные,
во многом поверхностные наброски к ее решению.
Г.Г.Хмуркин 93
Примеры записи чисел в системе «бхута-самкхья». Для
того, чтобы читателю стало ясно, о чем идет речь, приведем нес-
колько примеров из классических санскритских трактатов:
1. «Явана-джататка» Спхуджидхваджи (269/270 г. н.э.):
sphujidhvajo пАта babhUva rAjA
ya indravajrAbhiridaM cakAra |
nArAyaNAGkendumitAbdadRSTaM
kRtsnaM caturbhirmatimAn sahasraiH\\2
В разложении третьей строки nArAyaNa-aGka-indu-
mita-abda-dRSTaM - выделенные слова представляют собой число
191. Действительно, nArAyaNa - осн. знач. Нараяна, сын перво-
человека, отождествляемый с Брахмой, Вишну или Кришной (наз-
вание цифры 1); aGka - доел, цифра; здесь употреблено как наз-
вание цифры 9 (от количества «полноценных» цифр); indu - осн.
знач. Луна (название цифры 1).
2. «Брихат-самхита» Варахамихиры (VI в. н.э.):
gatAni varSANi zakendrakAlA-
ddhatAni rudrairguNayeccaturbhiH |
navASTapaJcASTayutAni kRtvA
vibhAjayecchUnyazarAgarAmaiH ||3
В разложении последней строки vibhAjayet-zUnya-zara-
aga-rAmaiH выделенные слова имеют значение «пустой, стре-
ла, гора, Рама» и содержательно переводятся как: «0 5 [по коли-
честву стрел у бога любви] 7 [по числу гор в пуранической космог-
рафической традиции] 3 [по числу известных мифологических
персонажей по имени Рама]»; в итоге перед нами число 3750.
Индийские названия нуля. Традиционная стихотворная фор-
ма санскритских трактатов предполагала тщательный подбор наи-
менований цифр, которые бы, с одной стороны, давали в совокуп-
ности нужное число, а с другой - укладывались в заданный поэти-
ческий метр. Это приводило к появлению множества - причем, как
было отмечено ранее, порою весьма обширного множества4 - наи-
менований для одной и той же цифры. Ниже мы приводим пере-
чень всех известных нам терминов, использовавшихся для обозна-
чения нуля; каждому сопутствует список основных значений5 и, в
некоторых случаях, наши комментарии (отмеченные символом
«*»). Но для начала отвлечемся и сделаем несколько замечаний
касательно обсуждаемых в дальнейшем понятий.
Замечание 1: О термине «эфир». Чаще всего этим термином
переводят санскритское AkAza (в русскоязычной литературе так-
же закрепилось наименование акаша) - согласно некоторым древ-
ним учениям, один из первоэлементов материального мира, особая
тонко-материальная субстанция, выступающая средой передачи
94
МАТЕМАТИКА АНТИЧНОСТИ И СРЕДНИХ ВЕКОВ
звука. Выбор греческого термина эфир для обозначения сходной
категории индийской философии, по мнению некоторых исследо-
вателей6, не совсем удачен, ибо первый понимался либо как один
из космологических элементов, служащий вместилищем небесных
тел (Древняя Греция), либо, позже, как гипотетическая субстан-
ция, выступающая носителем света (европейская наука XIX в).
Оба значения пересекаются с индийским понятием лишь частично;
однако, следуя сложившейся в востоковедении традиции, мы, учи-
тывая сделанные оговорки, в дальнейшем будем пользоваться тер-
мином эфир.
Замечание 2: О терминах «небо» и «атмосфера». Согласно ве-
дической традиции, мир состоит из трех «сфер», или космографи-
ческих областей (т.н. троемирие, санскр. tri-loka): 1) «земля», 2)
«небо, небесный свод, небеса7», и 3) промежуточное пространство,
именуемое в русскоязычных изданиях «средним миром, атмосфе-
рой, атмосферным пространством, воздухом, воздушным простран-
ством, воздушным миром и т.п.»8 Последние две «сферы» доста-
точно четко различались между собой еще в Ригведе9, самой древ-
ней из четырех Вед (датируется ориентировочно ХП-Х вв. до
н.э.). Однако, по-видимому, различные тексты в разное время на-
зывали эти две «сферы» по-разному, что привело в конечном итоге
к полисемии большинства терминов. Потому не стоит удивляться
упоминанию в [3] рядом со многими санскритскими наименования-
ми одновременно двух переводов и «неба, небес и т.д.» (sky,
heaven), и «атмосферы и т.д.» (atmosphere, air).
Теперь обещанный список:
1. ananta, санскр. бескрайний, безграничный, вечный, беско-
нечный; небо, атмосфера.
* an-anta, основной перевод «не имеющий предела [вре-
менного и/или пространственного]». Слово anta, кроме того,
имеет значение «близость, присутствие», поэтому an-anta может
быть переведено как «отсутствие»; например, «отсутствие [единиц
в соответствующем разряде]».
* * Из предложенных наименований это, кажется, единствен-
ное10, с которым традиционно увязывают значения «вечного, беско-
нечного». Не исключено, что кружок, изображавший ноль, служил
простейшей иллюстрацией сансары (потенциально) бесконечной
циклической смены рождений-смертей, представление о которой бы-
товало как в буддизме, так и в некоторых других направлениях ин-
дийской философии (например, в упанишадах и джайнизме).
2. antarikSa, санскр. атмосфера, воздух, небо.
* Среди синонимов слова antarikSa указывают близкородст-
венное antarikSa^. Одно из значений глагола IkS - «принимать
Г. Г. Хмуркин
95
во внимание, рассматривать, наблюдать», откуда IkSam - «нечто
видимое, рассматриваемое». И, следовательно, antarlkSa может
быть переведено как «то, что между видимыми [мирами, т.е. зем-
лей и небом]». Поскольку «земля и небо» только подразумевают-
ся, кажется естественным, что под IkSa могут пониматься и «ви-
димые» (т.е. заведомо отражавшиеся в записи числа) цифры - от
1 до 9 в отличие, от «невидимого» нуля, стоящего между
(antаг) ними. Таким образом, в случае наименования нуля термин
antarikSa, так же, как и близкий к нему antarlkSa, может оз-
начать «[располагающийся] между [традиционно] выписываемыми
[символами для цифр]».
3. abhra, санскр. облако, туча, грозовая туча; дождливая по-
года; небо, атмосфера; пыль; золото.
4. ambara, санскр. окружность, обхват, окрестность, бли-
зость; одеяние, одежда, платье; хлопок; небо, атмосфера; эфир12;
«безграничное мировое пространство, в котором находятся солнце,
луна и звезды»13; губа, край (кратера, сосуда, раны и т.д.); шаф-
ран; аромат.
5. ambuda, санскр. облако, туча.
6. asat, санскр. несуществующий, нереальный; неверный; не-
истинность, ложность; плохой, дурной; презренный человек.
7 AkAza, санскр. эфир; пространственный резервуар, вмес-
тилище вещей, причем не только небесных тел (как в случае с
греч. эфиром), но и всех конечных вещей, каждая из которых мо-
жет найти в нем убежище; в упанишадах - особое вместилище не-
бесных тел, а также некое «мистическое тело», или «чувствили-
ще», Брахмана-Атмана; небо, небесный свод, атмосфера; небеса,
обитель богов; протяженное открытое пространство (обеспечиваю-
щее возможность беспрепятственного движения); пустота, пустое
место; дыра; в веданте (особ, в адвайта-веданте) - близко к поня-
тию Абсолюта; символ бесконечности (пространственной и/или
временной); неизменяемость, отсутствие перемены; символ Брах-
мана, сам Брахман14.
8. kha, санскр. солнце; полость, впадина; пустой, полый, пус-
тота; дыра15, дупло, пещера, отверстие, скважина; отверстие в че-
ловеческом теле (рот, уши и т.д.); орган чувства; отверстие в сту-
пице колеса, через которую продевается ось; пустота, пустое прос-
транство, воздушное пространство; эфир; небо, небеса; Брахма
(высший дух); анусвара, записанная в виде кружка {binduY, го-
род; поле; счастье (в смысле - степень «счастливости»); действие;
понимание.
9. дадапа, санскр. атмосфера, небо, небесный свод.
96
МАТЕМАТИКА АНТИЧНОСТИ И СРЕДНИХ ВЕКОВ
10. chidra, санскр. разодранный на куски; содержащий
дыры, проколотый; протекающий; дыра, щель, продольный раз-
рез, трещина, отверстие; дефект, недостаток, неполнота, немощь,
слабое место; число 9 (ибо в человеческом теле древнеиндийская
анатомия насчитывала 9 отверстий).
И. jaladа, санскр. дождевая туча, океан.
12. jaladhara, санскр. дождевая туча, океан.
13. jaladharapatha, санскр. доел, «путь, которым следует
туча» - очевидно, подразумевается атмосфера.
14. div, санскр. небеса, небо; день.
15. падпа, санскр. голый, непокрытый, обнаженный; новый;
покинутый, необитаемый, пустынный; армейский певец; обнажен-
ная игривая женщина; девушка перед менструацией (которой доз-
волено ходить нагой).
16. nabhas, санскр. туман, облака; пар, дым; небо, атмосфе-
ра; эфир; солнце; возраст; сезон дождей и др.
* Близко по значению к nabha («безграничное мировое прос-
транство, в котором находятся солнце, луна и звезды»16), которое,
согласно Моньер-Вильямсу, происходит скорее от nabh и означает
«внезапно возникающий, прорывающийся, вырывающийся; увели-
чивающийся в размерах» (внимание, оттенок набухания!), нежели
от корня nah, который дает значение «соединяющий [небеса и
землю]».
17 payoda, санскр. дающий молоко; приносящий воду (нап-
ример, об облаке); облако, туча.
18. payodhara, санскр. облако, туча; женская грудь, вымя.
19. puSkara, санскр. цветок голубого лотоса; «черпак» у
ложки; кожа барабана; конец слонового хобота; вода; небо, небеса;
стрела; лезвие или ножны меча; клетка; часть; искусство танца;
союз, объединение; война, сражение; опьянение; один из видов ба-
рабана; один из видов змеи; солнце; пруд, озеро; один из видов
болезней.
20. pUrNa, санскр. наполненный, полный, заполненный
(чем-л.); обширный, богатый; исполненный (например, долг), за-
конченный, завершенный; заключенный (например, договор); пол-
ный, целый, весь; удовлетворенный; в совершенстве знакомый с
ч.-л.; натянутый, согнутый до предела (о боевом луке); полнозвуч-
ный, звонкий, сулящий счастье (о криках птиц и животных); про-
изводящий такие звонкие крики; сильный, способный; эгоистич-
ный, себялюбивый, потворствующий своим желаниям; спец, форма
солнца; муз. такт; полнота, изобилие, обширность; вода.
* Д. Пингри связывает использование термина pUrNa с обра-
зом полной луны [9, с. 139].
Г.Г.Хмуркин 97
21. pRthu, санскр. широкий, обширный, распространяющий-
ся, большой, крупный; великий, значительный; просторный;
обильный, многочисленный, многообразный; многословный, под-
робный; умный, способный, ловкий; спец, единица длины; огонь.
22. pRthula, санскр. широкий, большой, крупный, великий.
23. bindu, санскр. капля, шарик, точка, пятнышко, отдельная
частичка; «капля воды» (единица измерения); пятно или отметина
цветной краски на теле слона; точка над буквой, обозначающая
анусвару; спец, пометка в виде точки, получающаяся от прижига-
ния; след зуба любовника на губах его любовницы; цветная отме-
тина на лбу меж бровей; драм, внезапное развитие второстепенной
линии.
24. megha, санскр. «обрызгиватель», облако, туча; куча, мно-
жество.
25. randhra, санскр. щель, трещина, брешь, разрыв, раскол,
отверстие, дыра, бездна, впадина, полость; дефект, ошибка, недос-
таток, несовершенство, слабое место; число 9.
26. varlyaxl, санскр. более широкий, более свободный, более
легкий; более широкое пространство, свободное пространство; сво-
бода, комфорт, покой, легкость, отдых.
27 vindu, санскр. обретение, получение, добыча, завоевание;
знающий, знакомый с ч.-л.
* Судя по приведенным значениям, термин выбивается из об-
щего ряда наименований нуля. Вероятно, в данном случае имеет
место вариантность корней (колебание v - &), и слово приближа-
ется к bindu (см. выше).
28. viyat, санскр. распадающийся, разъединяющий(ся); раст-
воряющийся, исчезающий; небо, небеса, воздух, атмосфера (види-
мо: «то, части чего порознь», или - «то, что образует промежуточ-
ную область между небесами и землей»); эфир; вид поэтического
метра.
29. viSNupada, санскр. местопребывание (или след) Вишну;
зенит, высшая точка; небо; лотос; море молока.
* Можно дать еще один перевод «шаг Вишну», который,
очевидно, относится к трем (иногда говорится о семи) мифологи-
ческим шагам Вишну. Поздневедийская (особенно в Яджурведе)
традиция связывает эти три шага с землей, атмосферным простран-
ством и небом интерпретация, широко принятая в позднейшем
индуизме («Махабхарата», Калидаса и т.д.)18. Кроме того, всячес-
ки подчеркивается структурная функция Вишну как посредника,
соединительного звена, чего-то, занимающего промежуточное поло-
жение. ...В самый момент сотворения дуального мира пишет
Кейпер, - он (Вишну. - Г.Х.) поднялся из центра, в силу чего он
98
МАТЕМАТИКА АНТИЧНОСТИ И СРЕДНИХ ВЕКОВ
связан со столбом, который ныне поддерживает небо. Как этот
столб соединяет небо и землю, «подобно оси между двумя колеса-
ми», так и Вишну является соединительным звеном, принадлежа-
щим обоим мирам» [11, с. 110]. В таком взаимном расположении
можно углядеть связь Вишну (или viSNupada, «[одного из] ша-
гов Вишну») с атмосферным пространством.
30. viSNupAda, санскр. «стопа Вишну» или «достопочтен-
ный Вишну». По всей видимости, термин приближается к
viSNupada (см. выше).
31. vihAyas, санскр. открытое пространство, воздух, небо,
атмосфера; птица; мощный, активный, могучий.
32. vRhat, санскр. высокий, возвышенный (например,
стиль); великий, большой, широкий, громадный, обширный; эпи-
тет Брахмы; плотный, твердый; веский, солидный; сильный, могу-
чий; вполне зрелый, старый; ясный, чистый, громкий (о звуке);
речь; высота, небеса, небо; крепко, плотно; ясно; очень, в высокой
степени; громко.
33. vyoma*9, от vyoman - санскр. небеса, небо, атмосфера,
воздух; пространство; эфир; ветер (т.е. один из ветров индийской
анатомии); вода; храм, посвященный солнцу; спец, большое число;
сохранность, благосостояние.
34. zUnya, санскр. пустой, полый; бесплодный; покинутый,
заброшенный; пустой, ничего не выражающий (например, взгляд);
отсутствующий; не имеющий никакого определенного намерения
или цели; ничем не обладающий, абсолютно нищий; абсолютно
одинокий; не имеющий друзей или товарищей; лишенный ч.-л.,
свободный от ч.-л.; отсутствующий, недостающий; несуществую-
щий; тщетный, напрасный, бесполезный; нереальный, бессмыслен-
ный; безрезультатный, неэффективный; нечувствительный (напри-
мер, о коже); обнаженный; простодушный, невинный; безразлич-
ный; бесплодная женщина; пустота, вакуум, пустое/покину-
тое/уединенное место; филос. пустота, бессущностность, абсолют-
ное несуществование; пространство, небеса, атмосфера.
* Кроме того, слово zUnya используется как эпитет Брахмы,
имя которого происходит от глагола bRh, санскр. «быть толстым,
вырастать великим или сильным, возрастать, увеличиваться». На-
лицо перекличка смысловых оттенков пустотности и увеличения в
размерах, набухания.
35. zUnyabiMdu, см. значения zUnya и bindu.
Анализ наименований нуля. Как нетрудно видеть, термины,
использовавшиеся для обозначения нуля, употреблялись также
(причем главным образом) в связи с другими понятиями, в некото-
рых случаях семантически отстоящими довольно далеко - по край-
Г. Г. Хмуркин 99
ней мере, так кажется на первый взгляд - как друг от друга, так и
от рассматриваемого математического концепта. «Ноль» всегда
одна из коннотаций, основные значения терминов лежат вне преде-
лов математического дискурса и концентрируются вокруг несколь-
ких понятий, или смысловых оттенков, связанных с:
(1) атмосферой, атмосферными явлениями (облако и т.д.);
(2) небом;
(3) эфиром;
(4) пространством20;
(5) пустотностью;
(6) бесплодностью, неэффективностью;
(7) ложностью;
(8) дефектностью, неполноценностью, недостатком;
(9) округлостью (отверстие, дыра, край сосуда и т.п.);
(10) наполненностью, пухлостью, увеличением в размерах, на-
буханием.
Сейчас, по прошествии многих веков, мы вряд ли в состоянии
установить наверняка, какой из смысловых оттенков каждого терми-
на сыграл свою решающую роль, благодаря чему именно перечислен-
ные названия, а не какие-то другие, стали приписываться нулю. Все
же попытаемся выдвинуть некоторые предположения а именно, в
каждом из перечисленных десяти случаев постараемся ответить на
вопрос: мог ли (и, если мог, то почему) данный смысловой оттенок
натолкнуть древнего автора на мысль о том, чтобы закрепить за циф-
рой (или числом) ноль соответствующее наименование?
Смыслы (9)~(10), очевидно, увязываются с геометрическими
особенностями символа о. Здесь, надо полагать, мы имеем дело с
присвоением имени в тот момент, когда ученый, вводящий новый
термин, уже знаком с таким обозначением. Напомним, эта тради-
ция могла быть привнесена в Индию извне - например, греками
[15, с.25-29].
Смыслы (5)~(8) естественным образом согласуются как с фун-
кционированием цифры ноль в составе десятичной записи числа,
так и со свойствами числа ноль. Значит, соответствующие назва-
ния могли подбираться уже при наличии оформившегося понятия
(но необязательно устоявшейся символики для) нуля, после осоз-
нания его функциональной специфики, - и, следовательно, могли
даваться «индийскому», независимо изобретенному нулю.
Любопытно, что при таком обилии названий нуля именно с
термином zUnya (санскр. пустой и т.д.), как правило, связывают
появление арабского сифр (пустой), первоначально обозначавшего
цифру ноль, а в дальнейшем - после того, как это название пере-
кочевало в другие языки21 - вообще все десять цифр.
100
МАТЕМАТИКА АНТИЧНОСТИ И СРЕДНИХ ВЕКОВ
Пункты (1)—(4) не подразумевают сколь-нибудь очевидных
референций и нуждаются в более детальном осмыслении, тем бо-
лее что эти семантические оттенки в той или иной степени прису-
щи большинству (около 80%) приведенных санскритских наимено-
ваний.
Смыслы (1). В первую очередь интересен мотив атмосферного
пространства. Наиболее естественным, как нам представляется,
объяснением настойчивости обращения к «атмосферной» тематике
может служить семантика пустоты - ведь атмосфера могла воспри-
ниматься как ничем не заполненное пространство, обитель пусто-
ты. Группа (1) в этом случае оказывается коррелятом группы (5),
и логика присвоения соответствующего имени понятию нуля22 ста-
новится ясной поскольку мы имеем дело с «пустым» разрядом,
то и слово, приписываемое «отсутствующему» разряду, должно
стойко ассоциироваться с пустотой.
Смыслы (2). Как было отмечено ранее, понятия «небо» и «ат-
мосфера» в результате семантических сдвигов зачастую получали
одинаковые наименования, поэтому группа (2) предположительно
может быть редуцирована к группе (1).
Другая возможность состоит в том, что имена, означающие
«небо», могли присваиваться нулю в силу некоторых особенностей
восприятия небосвода древними индийцами. А именно, многочис-
ленные санскритские эпитеты небосвода - вроде nabhomaNDala
(‘небесный круг’), khagola (‘небесная сфера’),
vRttabhapaJjara (‘круглая сеть созвездий’23), ambara
(‘окружность, обхват’) - указывают на тесную связь небосвода с
кругом (сферой); кроме того, прямые указания на «круглую фор-
му» небесного свода можно встретить, к примеру, в средневековых
индийских астрономических работах, где, в частности, обсуждают-
ся размеры его окружности24
И все же маловероятно, чтобы именно «округлость» неба слу-
жила кузницей столь обширного словаря для цифры ноль. Ведь
если древнему индийцу требовалось отыскать слово, основными
своими значениями отсылающее к чему-то круглому, то - как и в
случае с названиями остальных цифр - он обратился бы к общез-
начимым категориям своей культуры: как правило, это мифологи-
ческие, религиозные, эпические сюжеты, человеческая анатомия,
повседневный опыт и т.п. В нашем случае, скорее, следовало бы
ожидать названия вроде cakra (‘колесо повозки или колесницы,
гончарное колесо, чакра25’), maNDala (‘круг, диск, шар, кольцо,
окружность, колесо, орбита небесного тела, нечто круглое’), gola,
golaka (‘шар, круглый кувшин для воды’), bimba (‘любой пред-
мет, имеющий форму диска, сфера, шар’), sUrya (‘солнце’, восп-
Г.Г.Хмуркин 101
ринималось как круглый объект) и т.п. Однако этого, как видим,
не происходит - названий нуля с явными оттенками «округлости»
в приведенном списке довольно мало. Указанное положение вещей
наводит на мысль о том, что если ноль действительно пришел в
Индию с греками, то рукописи, с которых делались переводы на
санскрит (или же по которым обучались туземные ученые) не
особенно последовательно изображали ноль в его теперешней тра-
диционной форме - в виде °.
Смыслы (3) и (4) как таковые представляют наибольшую
трудность. Не имея сказать что-либо содержательное на сей счет,
мы ограничимся ссылкой на близость групп (3)-(4) к (1), (2), (5)
и (10).
Примечания
1 Отмстим, что означенная система нс ограничивается наименованиями для цифр от 0
до 9, но предлагает также обширный список названий для чисел больших 9. Эта, ме-
нее существенная, часть системы в настоящей статье обсуждаться не будет.
2 yavanajAtaka, 79.62. Цит. по: [1, т.1, с.506].
3 bRhat-saMhitA, VIII, 20. Цит. по: [2, с.50].
4 Как следствие, одно и то же наименование в отдельных случаях могло использовать-
ся для обозначения двух, а то и трех различных цифр/чисел.
5 Под «основными» мы - сознавая некоторую условность такого допущения -разуме-
ем, прежде всего, значения, зафиксированные в классическом словаре [3], за иск-
лючением имен собственных, названий растений, веществ и пр. специальных терми-
нов, в обилии встречающихся в подавляющем большинстве статей указанного спра-
вочного издания.
6 См. например: [4, с.141].
7 Последний термин возникает как перевод английского heaven, и в отличие от двух
предшествующих, обозначает не столько видимое, «физическое» небо, поэтически
обозначенное, сколько религиозно-мифологическую категорию (в значении «вы-
сшей сферы, обители божеств, рая и т.п.»). Разделение этих двух значений в случае
каждого из выписываемых ниже наименований нуля не входит в наши задачи. Увы,
тотальная неоднозначность санскритской лексики вынуждает на определенном эта-
пе «погружения в материал» остановиться и довольствоваться достигнутым прибли-
жением.
8 Строго говоря, помимо названного троичного деления вселенной, в Ведах встречают-
ся и альтернативные варианты - двоичное (земля-небо, разделение которых вскоре
и привело к появлению атмосферы), шестеричное (3 неба~3 земли) и др.; в Ригвсде
однако именно троемирие упоминается особенно часто [5, с.143-155].
9 См., например, космогонический миф о жертвоприношении первочсловска Пуруши,
из пупа которого произошло воздушное пространство, а из головы - небо (Ригведа,
Х.90); или же «Гимн о сотворении мира» (Ригведа, Х.129), в котором указывается,
что в начале «.. .не было ни воздушного пространства, ни неба над ним» [6, с. 185].
10 Коннотация «бесконечного» имеется также у термина AkAza, но это именно конно-
тация.
11 Которое, однако, среди наименований нуля нами не зафиксировано.
12 Взято из [3] и подтверждается [4, с.460].
13 Взято из: [7, с.78].
14 При составлении этого абзаца мы опирались почти исключительно на работу [4,
с. 141-144]; несколько значений взяты из [7, с.44, 79].
15 Перевод «дыра» взят из [8, с. 116].
102 МАТЕМАТИКА АНТИЧНОСТИ И СРЕДНИХ ВЕКОВ
16 Взято из: [7, с.78].
17 Наименование взято из работы [10, с.59], однако по оригинальным текстам не уста-
новлено. Перевод формы varlya оказался затруднительным; приводимые значе-
ния взяты из статьи varlyas [3, с.921].
18 Хотя, заметим, более древняя традиция (Ригведа) тяготеет к дуалистическому
взгляду на мир и вряд ли ассоциировала акт Вишну с тройственным делением все-
ленной [11, с. 108].
19 В индексе [12, с.294] указано vyAma, которое, однако, не установлено ни по одно-
му из исследовавшихся оригинальных текстов. Вместо этого, в сводных списках из
[10, с.59; 13, с. 164; 14, с. 185] указан vyoma (vyoman) в качестве имени нуля, ко-
торое, как и большая часть терминов, среди основных значений имеет «небо, атмо-
сферу и т.д.». Ввиду чрезвычайной схожести написания обоих слов в традиционной
индийской манере (графикой дэванагари), мы склонны считать, что в издании [12]
допущена опечатка.
20 В [3] всегда space. Выяснение точного значения каждого термина, переводимого с
санскрита как space, представляет собою весьма трудную задачу. Исследователи
указывают на отсутствие в индийской мысли какого бы то ни было термина, кото-
рый можно было бы безоговорочно перевести как «пространство» [4, с. 141].
21 Ср., например, рус. цифра', также англ, cipher (реже cypher}, означающее и ‘нуль’
(число), и вообще ‘цифру’ [16, с.48].
22 Или даже символу нуля, если таковой наличествует, причем теперь это уже не обяза-
тельно °.
23 См. «Ариабхатия», раздел «Сфера» {gold), п. 6: «vRttabhapaJjaramadhye
kakSyApariveSThitaH khamadhyagataH | mRjjalazikhivAyumayo bhU-
golaH sarvato vRttaH Ц» [17, с.258]. Дословно: «В середине круглого небосво-
да, окруженная орбитой планеты [Луны?], в центре [мирового] пространства распо-
лагается / Из земли, воды, огня, воздуха состоящая сфера Земли, совершенно
круглая» (перевод автора). Вырванное из контекста, высказывание Ариабхаты мо-
жет удостоиться различных толкований (опять же, в силу полисемии санскритской
лексики) - прежде всего, в случае интересующей нас фразы vRtta-bha-paJjara
(«круглый небосвод»). Слово vRtta может означать как «круглый», так и «обра-
щающийся, вращающийся, приведенный в движение», и, следовательно, вне кон-
текста допустим перевод «вращающийся небосвод» - традиционное представление
для древней и раннесредневековой астрономии. Однако хорошо известно, что Ари-
абхата был первым индийским астрономом, выступавшим в пользу неподвижности
звездного неба и вращения Земли, что подтверждается несколькими местами в его
знаменитом трактате [18, с.226]. Таким образом, vRttabhapaJjara именно
«круглый небосвод».
24 См., например: «Ариабхатия», 1.4 [19, с.13]; «Сиддханта-широмани», III.67 [20,
с.126].
25 Атрибут Вишну; о символизме чакры Вишну см., например: [И, с.103].
Список литературы
1. The yavanajAtaka of sphujidhvaja (in 2 vols) / Edited, translated and commen-
ted on by D.Pingree. Cambridge, Massachusetts, and London, 1978.
2. The bRhat-saMhitA of varAha-mihira (Sanskrit text) / Edited by H.Kern. Cal-
cutta, 1865.
3. A Sanskrit-English Dictionary: etymologically and philologically arranged with speci-
al reference to cognate Indo-European languages. By M.F.Monier- Williams. Delhi,
1997
4. Лысенко В.Г Универсум вайшешики (по «Собранию характеристик категорий»
Прашастапады). М., 2003.
5. Дандекар Р.Н. От вед к индуизму: Эволюционирующая мифология / Сост.
вступ. ст., коммент. Я.В.Василькова. Отв. ред. Г.М.Бонгард-Левин. Пер. с англ.
К.П.Лукьяненко. М. 2002.
6. Бонгард-Левин Г.М., Ильин Г.Ф. Индия в древности. СПб., 2001.
И. О. Лютер 103
7 Щербатской Ф.И. Теория познания и логика по учению позднейших буддистов.
Ч. II: Источники и пределы познания / Санскр. параллели, ред. и прим. А.В.Па-
рибка. СПб, 1992.
8. Маламуд Ш. Испечь мир: ритуал и мысль в древней Индии / Пер. с фр. и вступ.
статья В.Г.Лысенко. М., 2005.
9. Pingree D. Zero and the Symbol for Zero in Early Sexagesimal and Decimal Place-Va-
lue Systems // The Concept of zUnya / Ed. by A.K.Bag and S.R.Sarma. New Del-
hi, 2003. P. 137-141.
10. Sanna К. V Word and Alphabetic Numerical Systems in India // The Concept of
zUnya / Ed. by A.K.Bag and S.R.Sarma. New Delhi, 2003. P.37-71.
Кейпер Ф.Б.Я. Труды по ведийской мифологии (пер. с англ.) Предисл.
Т.Я.Елизаренковой. М. 1986.
12. The gaNita-sAra-sangraha of mahAvIrAcArya. With English translation and
notes by m.raMgAcArya. Madras, 1912.
13. Bag A.K. Need for Zero in the Numerical System in India / / The Concept of zUnya
/ Ed. by A.K.Bag and S.R.Sarma. New Delhi, 2003. P 159-169.
14. O.Neugebauer, D.Pingree. The paJcasiddhAntikA of varAha-mihira. Part I.
Kybenhavn,1970.
15. Нейгебауер О. Точные науки в древности (пер. с англ.) / Под ред. и с предисл.
А.П.Юшкевича. М. 2008 (3-е изд.).
16. Англо-русский словарь математических терминов / Под ред. П. С.Александрова и
др. М., 1962.
17 AryabhaTIya of AryabhaTa with the Commentary of bhAskara I and
somezvara / Critically edited and with Introduction and Appendices by
K.S.Shukla. New Delhi, 1976.
18. Бонгард-Левин Г.М. Индия: Этнолингвист, история, политико-социал, структура,
письменное наследие и культура древности. М. 2003.
19. The AryabhaTIya of AryabhaTa. An Ancient Indian Work on Mathematics and
Astronomy / Translated with notes by W.E.Clark. Chicago, 1930.
20. Translation of the sUrya-siddhAnta by pandit bApU deva sAstri and of the
siddhAnta-ziromaNi by the late L. Wilkinson, revised by pandit bApU deva
sAstri, from the Sanskrit. Calcutta, 1861.
ОБ ОПРЕДЕЛЕНИЯХ И ПОСТУЛАТАХ В ТРАКТАТЕ
«ПРЕДЛОЖЕНИЯ ОБОСНОВАНИЯ» АС-САМАРКАНДИ
И КОММЕНТАРИИ К НЕМУ АР-РУМИ1)
И.О.Лютер
Трактат «Предложения обоснования» («Ашкал ат-та’сис»)
Шаме ад-Дина ас-Самарканди1 (ок. 1250-ок. 1310) был составлен,
как пишет автор, по просьбе его «достойных друзей», нуждающих-
ся «во введении в многообразие доказательств наук вычислитель-
1) Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундамен-
тальных исследований (проект №09-06-00122а «Концептуальные, методологические и
текстологические особенности позднесредневековых арабских комментариев к «Нача-
лам» Евклида»).
Автор выражает особую благодарность бывшему директору Научной библиоте-
ки им. Н.И.Лобачевского КГУ Г.А.Аухадиевой и сотрудникам Отдела рукописей и
редких книг за предоставление необходимых для исследования рукописей.
104
МАТЕМАТИКА АНТИЧНОСТИ И СРЕДНИХ ВЕКОВ
ных, таких как действия алгебраические и геометрические (миса-
хийа, букв, измерительные), и инструментарии [этого]; основано
это на предложениях обоснования (ашкал ат-та’сис) из книги Евк-
лида; эти предложения признаны, на них возводятся геометричес-
кие доказательства и к ним обращаются с математическими проб-
лемами»2. «Ответ» представляет собой критическое изложение
тридцати пяти предложений, главным образом, первой книги «На-
чал» Евклида, а также предложений второй книги, относящихся
к геометрической алгебре. «Предложения обоснования» неоднок-
ратно комментировались средневековыми мусульманскими уче-
ными. Наиболее известен комментарий выдающегося представи-
теля Самаркандского научного сообщества Кади заде ар-Руми
(1364-1436)3
Своей известностью в современной историко-научной литера-
туре трактат ас-Самарканди и комментарий к нему ар-Руми обяза-
ны французскому и русскому переводам, а также историко-матема-
тическому анализу Х.Дильгана, Б.А.Розенфельда и А.Ахмедова
доказательства пятого постулата в этих сочинениях4 Эти работы,
однако, не исчерпывают все значимые для истории и философии
математики аспекты указанных трактатов. В частности, они не зат-
рагивают некоторые философские и методологические темы, опре-
делившие данное исследование, которое проводилось по ранее не
изучавшимся рукописям этих сочинений из Научной библиотеки
им. Н.И.Лобачевского Казанского государственного университета5
Популярность сочинений ас-Самарканди и ар-Руми в средние
века была обусловлена иными причинами: признанием их своего
рода учебными пособиями по основаниям геометрии, прежде всего
в Средней Азии и Турции. При этом в Средней Азии трактат
ас-Самарканди получил наибольшую известность не столько пото-
му, что автор был родом из Самарканда, где и провел значитель-
ную часть жизни, сколько благодаря преподавательскому таланту
его комментатора ар-Руми, а также увлеченности астрономией и
математикой прославленного тимуридского правителя-ученого
Улугбека (1394-1449), покровительствовавшего науке и образова-
нию.
Сочинение ар-Руми - это не просто комментарий, а своеобраз-
ный конспект геометрических лекций, составленный на основании
тщательного критического разбора трактата ас-Самарканди с ис-
пользованием большого числа арабо-мусульманских источников.
Комментарий начинается с посвящения Улугбеку6 В казанской ру-
кописи указан год завершения работы над ним -1412г7В том же
году ар-Руми составил и комментарий к «Краткому изложению ас-
трономии» хорезмского ученого XIV в. ал-Джагмини (ал-Чагми-
ни), также получивший признание как учебное пособие, но по аст-
И. О. Лютер
105
рономии. В этом 1412 году Улугбеку исполнилось 18 лет, од-
нако, он не только уже был знаком с ар-Руми, но и начал изучать
под его руководством математику и астрономию. Поэтому, весьма
вероятно, что свои «лекции», и геометрические и астрономические,
ар-Руми изначально предназначал для Улугбека.
Впоследствии ар-Руми преподавал в медресе, основанном
Улугбеком в 1417-1420 гг., что добавило известности не только его
комментарию, но и сочинению ас-Самарканди. Косвенное подтвер-
ждение этому мы находим в письме к отцу крупнейшего средневе-
кового математика и астронома, также представителя научного
круга Улугбека, Джамшида ал-Каши (1380-1429), в котором сооб-
щается, что в медресе Улугбека математика преподавалась и изуча-
лась по «Началам» Евклида, «Предложениям обоснования» ас-Са-
марканди и арифметическому трактату «Таджнис ал-хисаб»8 Си-
радж ад-Дина ас-Саджаванди (XII—XIII вв.)9
Спустя много лет после смерти Улугбека, приблизительно в
1472 г., еще один не менее знаменитый представитель Самаркандс-
кого научного сообщества, астроном и математик ‘Али ал-Кушчи
(ок. 1402-1474) переезжает со своей семьей и учениками из Самар-
канда в Стамбул, вероятно, по приглашению османского султана
Мехмеда II (1432-1481 )10 Он привозит с собой рукописи из биб-
лиотеки Улугбека, среди них и сочинения ас-Самарканди и ар-Ру-
ми, которые впоследствии использует в своих лекциях: сначала в
основанном Мехмедом медресе Сахи‘и Саман, затем в руководи-
мом самим ал-Кушчи медресе Айя София.
Об известности трактата ас-Самарканди в Турции свидетельст-
вует и известный мусульманский библиограф, турецкий историк и
географ Хаджжи Халифа (ок. 1599-1658). В автобиографическом
заключении к своему трактату «Мизан ал-хакк фи ихтияр
ал-ахакк» («Мерило справедливости относительно могущества На-
исправедливейшего»), в котором обсуждаются противоречивые по-
ложения исламского учения и религиозной практики, он отмечает,
что не только изучал комментарий к трактату ас-Самарканди, но и
преподавал по нему геометрию своим ученикам11 Такое предпочте-
ние особенно знаменательно, если учесть, что его высказывает ав-
тор библиографической энциклопедии «Кашф аз-зунун ан ал-аса-
ми кутуб ва’л-фунун» («Раскрытие мнений относительно названий
книг и отраслей наук»), включающей более 15000 названий трак-
татов по всем областям средневекового знания.
Примечательно, что Хаджжи Халифа усматривал одну из при-
чин потери Оттоманской империей военного превосходства над Ев-
ропой в XVII в. в односторонности традиционного мусульманского
образования, сведенного по существу к образованию духовному.
Подъем образования, который начал изменять Европу, миновал
106
МАТЕМАТИКА АНТИЧНОСТИ И СРЕДНИХ ВЕКОВ
Оттоманскую империю, в которой даже выдающиеся мусульманс-
кие ученые не находили должной оценки. В предисловии к тракта-
ту «Мерило справедливости» Хаджжи Халифа как раз и ведет по-
лемику по поводу необходимости изучения рациональных наук, в
том числе математических.
О том, что комментарий ар-Руми - «учебное пособие» свиде-
тельствуют также встречающиеся в нем историко-математические
отступления, что (в более лаконичной форме) свойственно и трак-
тату ас-Самарканди. Так, ар-Руми в связи с самым первым упоми-
нанием ас-Самарканди «Начал» Евклида приводит сведения, отно-
сящиеся к их истории, включая свою версию исторического анек-
дота о «царской дороге в геометрии», в которой отмечает наиболее
значимые арабские переводы «Начал» ал-Хаджаджа (VIII—IX вв.)
и Сабита ибн Корры (836-901) (точнее перевод Исхака ибн Ху-
нейна (ум.910) в редакции Ибн Корры), а также «наиболее знаме-
нитую» в его время обработку «Начал» выдающегося ученого, гла-
вы Марагинского научного сообщества Насир ад-Дина ат-Туси
(1201-1274):
«Говорят, что один из греческих царей вознамерился одолеть
эту книгу. Он ее изучал, разбирал. Потом начал примечать сооб-
щаемое о книге всеми, к нему приходящими. Так, некоторые из
них известили его о том, что в городе Тире [проживает] выдаю-
щийся в науках геометрии и арифметики муж, которого зовут Евк-
лид. И призвал он его и попросил об улучшении книги и ее упоря-
дочивании. Тогда он - [Евклид] - и расположил все по порядку,
улучшил. И прославилось его имя так, что, когда говорилось
«Книга Евклида», то подразумевалась именно эта книга, а не ка-
кая-либо другая из книг, приписываемых ему. Впоследствии она
была переведена на арабский [язык], а из переводов (букв, переве-
денных копий) прославились два: один принадлежит Сабиту, дру-
гой Хаджаджу. Затем многие из последующих [ученых] приступи-
ли к ее обработке, сокращая, уточняя, разъясняя и упрощая. Из
того же, что было составлено в наше время, наиболее знаменита
обработка, осуществленная Насир ад-Дином ат-Туси»12.
В настоящей статье я ограничусь анализом и замечаниями по
поводу некоторых первых определений и постулатов, представлен-
ных в трактате ас-Самарканди, по необходимости обращаясь к
комментариям ар-Руми, поскольку именно в этих сочинениях, сос-
тавленных с привлечением большого числа арабских версий и об-
работок «Начал» Евклида, отражается обобщенное восприятие ак-
сиоматики Евклида средневековыми арабо-мусульманскими учены-
ми XIII-XV вв.
Учитывая неоднократное обращение и ас-Самарканди и ар-Ру-
ми к «Обработке «Начал» Евклида» (Тахрир Усул Уклидис) На-
И. О. Лютер
107
сир ад-Дина ат-Туси, в настоящем исследовании была использова-
на парижская рукопись этого трактата13, а также римское издание
1594 г. обработки «Начал» Евклида Псевдо-Туси14. Считалось, что
ат-Туси подготовил две обработки «Начал» Евклида на арабском
языке. Обе озаглавлены «Тахрир Усул Уклидис», но первая из
них «короткая» включает тринадцать книг, вторая - «длин-
ная» - содержит еще книги XIV и XV, приписываемые Гипсиклу
(была завершена автором в 1248 г.). Редакции ат-Туси были сос-
тавлены на основании одних из первых арабских переводов «На-
чал», отмеченных и в вышеприведенной цитате ас-Самарканди:
первый был осуществлен ал-Хаджаджем ибн Юсуфом ибн Мата-
ром, второй Исхаком ибн Хунейном и отредактирован Сабитом
ибн Коррой. Обе обработки ат-Туси содержат доказательства пято-
го постулата, которыми они, в частности, и отличаются. Текст ко-
роткой версии был опубликован в Риме в 1594 г. Одна из двух
сохранившихся рукописей этой версии (Ог. 50, Biblioteca
Medicea-Laurenziana, вторая Or. 20 также из этой библиотеки) со-
держит указание на то, что сочинение было завершено в 1298 г., то
есть после смерти ат-Туси (ум. в 1274 г.), что опровергает авторст-
во ат-Туси. Поэтому далее автор этой обработки «Начал», как это
было принято в литературе, будет именоваться Псевдо-Туси.
1. Об определениях
По сравнению со списком из 23 определений у Евклида ас-Са-
марканди приводит только 19 определений: точки, линии и ее кон-
цов, поверхности и ее концов, плоского угла, прямого угла и пер-
пендикуляра, острого и тупого угла, фигуры, квадрата, прямоу-
гольника, ромба, параллелограмма, трапеции, параллельных ли-
ний, добавляя определение тела и его концов (тело - то, что имеет
длину, ширину и глубину; концы его поверхности). Он исключает
определения границы, прямой линии, плоскости, прямолинейного
угла, прямолинейной фигуры, круга, его центра и диаметра, по-
лукруга, треугольника и его видов, хотя и использует их далее в
своих доказательствах.
Особого внимания заслуживают два его определения - точки и
плоского угла.
1.1. Об определении точки. Определение точки Евклида
«точка есть то, что не имеет частей»15 - хорошо известно. Приве-
дем определения, представленные в рассматриваемых сочинениях:
ас-Самарканди: «Точка - это вещь, наделенная положением и
неделимая. «Положение» здесь предопределяет бытие (каун)
вещи, поскольку она чувственно постигаемая»16;
ар-Руми: «Точка - это вещь, наделенная положением, что воз-
можно, поскольку она чувственно постигаемая. И она не делима
108
МАТЕМАТИКА АНТИЧНОСТИ И СРЕДНИХ ВЕКОВ
ни по количеству - ни по длине, ни по ширине, ни в глубину, ни
актуально, ни акцидентально, ни в воображении. Она суть неоспо-
римое представление об атомарной субстанции (джавхар фард) и
не мыслится без сопоставления с ней. Что касается того, что о ней
говорится [еще], то вот утверждение, что это акциденция, облада-
ющая положением»17;
Псевдо-Туси: «Точка есть вещь, наделенная положением, она
не делится на части и значение «положения» - бытие (каун) вещи
чувственно постигаемой »18;
ат-Туси: «Точка есть то, что не имеет части, относящаяся к об-
ладающим положениями »19
Во всех этих определениях точка наделяется положением. По-
добные определения, по-видимому, восходят к пифагорейцам, оп-
ределявшим (согласно свидетельствам доксографов) точку, как мо-
наду (единицу), обладающую положением. Это мнение разделял и
Аристотель: в «Метафизике» он утверждает, что «то, что ни в од-
ном направлении не делимо по количеству, - точка или единица;
не имеет положения единица, а имеет положение точка» (1016 b
ЗО)20; а в трактате «О душе», что «точка - это единица, имеющая
определенное положение» (1.4, 409а 6)21
Точка зрения Аристотеля была поддержана выдающимся араб-
ским философом Абу Насром ал-Фараби (870-950). Об этом сви-
детельствует его критика определения точки Евклида и обоснова-
ние правомерности добавления в него «положения» для различе-
ния точки и числовой единицы. Так, в «Комментариях к труднос-
тям во введениях к первой и пятой книгам Евклида» (текст тракта-
та сохранился только в еврейском переводе) ал-Фараби утвержда-
ет:
«Математики говорят, что точка это то, что неделимо...Од-
нако сущность точки не объясняется этим определением, и это оп-
ределение поэтому недостаточно для объяснения ее сущности, хотя
и является вполне достаточным для того, в чем нуждается это со-
чинение. Ведь кроме точки неделимы многие вещи, которые при
указанном определении объединяются с ней, например, числовая
единица. Поэтому комментаторы этого сочинения дополнили это
определение и сказали, что точка - это то, что неделимо и облада-
ет положением. Это полезное добавление сделано для того, чтобы
различить точку и числовую единицу»22.
Б.А.Розенфельд в примечаниях к изданию этого трактата до-
бавляет, что ал-Фараби фактически говорит об отрицании Евкли-
дом какой-либо связи между его геометрией и физическим миром и
о его стремлении не рассматривать геометрические проблемы, име-
ющие практическое значение. В определении точки ар-Руми, нап-
И. О. Лютер
109
ротив, устанавливается своего рода связь между геометрией и фи-
зическим миром: для ар-Руми точка суть геометрический образ
атомарной субстанции. Желание подчеркнуть сущностное бытие
точки, по-видимому, стимулировало и появление несколько иной
формулировки ее определения как конца линии, приводимого
ар-Руми: точка «это акциденция, обладающая положением».
Таким образом, Псевдо-Туси, ас-Самарканди и ар-Руми в сво-
их определениях точки, в которые по сравнению с определением
Евклида добавлено выражение «положение есть бытие вещи, пос-
кольку она чувственно постигаемая», могли исходить из этих (бес-
спорно доступных им) рассуждений ал-Фараби. При этом, опреде-
ление точки ас-Самарканди почти совпадает с определением Псев-
до-Туси (ат-Туси, хоть и наделяя точку положением, все же восп-
роизводит определение Евклида), то есть либо ас-Самарканди
была известна обработка Псевдо-Туси, либо оба эти автора исходи-
ли из некоторого общего источника.
1.2. Об определении плоского угла. Начнем с определения
Евклида: «Плоский же угол есть наклонение друг к друг двух ли-
ний, в плоскости встречающихся друг с другом, но не расположен-
ных по одной прямой»23 Представим теперь определения из расс-
матриваемых сочинений:
ас-Самарканди: «Плоский угол есть изгибание наружу (мута-
хаддаб) поверхности при встрече двух линий, которые соединяют-
ся (букв, объединяются) таким образом»24;
ар-Руми: аналогичное определению ас-Самарканди25;
Псевдо-Туси: «Выпуклая (мухаддаб) или вогнутая (мука’’ар)
[часть плоскости]; если бы это было не так, то они [две линии] не
заключали бы поверхность; плоский же угол расхождение (ин-
фирадж) одной из двух линий от другой, которые находятся на
[одной] поверхности и соединяются в точке без слияния (букв.
единения)»26;
ат-Туси: «Плоский угол есть изгибание наружу (мутахаддаб)
поверхности, которое имеет место между двумя линиями, которые
соединяются в точке без слияния»27;
Ибн Сина: «Плоский угол ограничен двумя линиями, соединя-
ющимися не по прямой линии и выпукло изгибающимися (мута-
хаддабан) [друг к другу] на плоскости»28;
ал-Фараби: «Плоский угол это выемка, образующаяся при
встрече двух линий, лежащих на одной плоскости и не располо-
женных по одной прямой, т.е. не совпадают прямые, по которым
они протяженны. Поэтому угол есть некоторая выемка, но не вся-
кая, образующаяся при встрече двух линий, наклоненных друг к
другу на плоскости и не расположенных по одной прямой»29.
110 МАТЕМАТИКА АНТИЧНОСТИ И СРЕДНИХ ВЕКОВ
Все эти определения относятся к проблеме, выдвинутой еще
древнегреческими философами и широко обсуждавшейся на сред-
невековом арабо-мусульманском Востоке (в сочинениях ан-Найри-
зи, Ибн Сины, Ибн ал-Хайсама, ал-Фариси, Кутб ад-Дин аш-Ши-
рази и др.): к какой категории в рамках учения Аристотеля следу-
ет отнести угол: к категории количества, качества или отноше-
ния30
Определение плоского угла ас-Самарканди почти идентично
определению ат-Туси. В обоих определениях род угла «изгиба-
ние наружу плоскости» - образуется при помощи двух категорий:
качества (изгибание) и количества (плоскость или поверхность). В
определении Псевдо-Туси род угла расхождение двух линий
относится к категории отношения. А «выпуклость» (или «вогну-
тость») части плоскости, с его точки зрения, - не род, а необходи-
мое условие для образования угла двумя линиями. В данном слу-
чае ас-Самарканди, очевидно, руководствовался определением из
обработки ат-Туси.
Термины «изгибание наружу», «изогнутый наружу», «выпук-
лый» или «вогнутый» впервые встречаются (по крайней мере, судя
по содержанию известных к настоящему времени сочинений ара-
бо-мусульманских ученых) у ал-Фараби и, возможно, именно им и
введены. Угол по ал-Фараби это «выемка, образующаяся при
встрече двух линий». При этом он пытается определить значение
«выемки», вероятно, чтобы избежать определения плоского угла с
помощью неопределенного (в прямом и переносном смысле) поня-
тия:
«Выемка на одной линии образует искривление линии, а если
две линии встречаются, то на месте их встречи линия образует вы-
пуклость и выемку, а именно - выпуклость в направлении наружу
и выемку в направлении внутрь. Поэтому угол есть некоторая вы-
емка, но не всякая, образующаяся при встрече двух линий, накло-
ненных друг к другу на плоскости и не расположенных по одной
прямой»31.
Впоследствии эта терминология была заимствована выдаю-
щимся философом мусульманского средневековья Абу Али Хусей-
ном ибн Синой (Авиценна, 980-1037), из трудов которого она, ве-
роятно, и была почерпнута авторами рассматриваемых сочинений.
Во-первых, их определения угла наиболее близки именно к опре-
делению Ибн Сины, во-вторых, «Книга исцеления» («Китаб
аш-шифа‘»), в геометрической части которой - по сути редакции
Ибн Сины «Начал» Евклида - оно и дается, пользовалась исклю-
чительной известностью на средневековом арабо-мусульманском
Востоке.
И. О. Лютер
111
Некоторое недоумение в связи с определением плоского угла
вызывает употребление термина «поверхность» («сатх» или «ба-
сит») вместо «плоскость» («сатх мусаттах» или «сатх мустави»), в
то время как в определениях плоскости и поверхности эти терми-
ны применяются корректно. Ограничимся этим замечанием, пос-
кольку другие (уязвимые для критики) аспекты этих определений
- в частности, исключение случаев образования угла одной лини-
ей, например, циссоидой, вопрос о необходимости условия «не
быть расположенными по одной прямой», излишнее для углов, об-
разованных дугами окружностей, - в достаточной мере представле-
ны неоплатоником Проклом (V в.) в его «Комментариях к первой
книге «Начал» Евклида» в контексте определения угла Евклида32.
2. О постулатах
Ас-Самарканди в начале трактата и ар-Руми в соответствую-
щем комментарии выделяют одну из характерных особенностей
всех известных им редакций «Начал» Евклида - различное число
«предложений обоснования», причем, как указывает ар-Руми, «их
переложение по числу предоставлено произволу». Как следует из
его комментария, для разрешения этой проблемы необходимо исс-
ледовать, какие из «предпосылок» действительно очевидны, а ка-
кие все-таки нуждаются в доказательстве, какие из доказанных
«предложений» действительно таковы (доказуемы), а какие даже
«более очевидны, чем предпосылки»; иными словами, он обознача-
ет некоторые из проблем аксиоматики (в современной терминоло-
гии: полноты, независимости и непротиворечивости).
Заметим, что, нарушая сложившиеся традиции изложения «На-
чал», ас-Самарканди не приводит списка аксиом (или общих поня-
тий), хотя и применяет их в своих доказательствах по мере необхо-
димости (например, аксиому «целое больше части», см. далее).
Список постулатов ас-Самарканди включает шесть утвержде-
ний:
1. «[Можем] проводить прямую линию между любыми двумя
точками»;
2. «[Можем] продолжать ограниченную прямую по прямой»;
3. «[Можем] описывать из любой точки и любым расстоянием
круг»;
4. «Все прямые углы равны»;
5. «Не заключают две прямые линии поверхность», то есть
две прямые не ограничивают фигуру;
6. «Не соединяются прямой линией и по прямой две или более
прямых линий», то есть прямая не соединяется с двумя или более
прямыми так, чтобы составить одну прямую линию, если они не
совпадают33.
112
МАТЕМАТИКА АНТИЧНОСТИ И СРЕДНИХ ВЕКОВ
Первые четыре постулата ас-Самарканди точно соответствуют
первым четырем постулатам Евклида. Последние два постулата
возможно, позднейшие вставки в текст «Начал». Так, неоплатоник
Симпликий (VI в.) в своем комментарии к введениям в «Началах»
Евклида, сохранившемся в арабском анонимном переводе, воспроиз-
веденном известным геометром и астрономом Абу-л-‘Аббасом
ан-Найризи (ум. ок.922) в комментарии к определениям, постула-
там и аксиомам первой книги «Начал» Евклида, отмечал, что «шес-
той постулат» - пятый по ас-Самарканди - отсутствовал в древних
копиях, поскольку был очевиден, хотя и доказывался «современны-
ми» ему учеными34. Именно поэтому Симпликий считал, что посту-
латов должно быть пять (собственно пять постулатов Евклида).
В данном случае ас-Самарканди, вероятно, исходил из обра-
ботки «Начал» ат-Туси: во-первых, формулировки постулатов
ас-Самарканди почти полностью совпадают с соответствующими
формулировками ат-Туси (различие состоит в использовании двух
арабских синонимов «кулл» и «джами‘» для слова «все» в посту-
лате о прямых углах); во-вторых, ас-Самарканди не сопровождает
свои постулаты какими-либо разъяснениями, что свойственно и из-
ложению ат-Туси. И, в-третьих, формулировка шестого постулата
ат-Туси дословно воспроизведена в маргиналии к этому постулату
в рукописи ас-Самарканди (тем же почерком, что и текст): «Ска-
зал Евклид: одна прямая линия не соединяется частью по прямой
ни с одной [другой] прямой линией, если они не направлены друг
за другом»35 Однако это утверждение ат-Туси приводит не в ка-
честве постулата, а упоминает в «послесловии» к списку своих
постулатов как утверждение, нуждающееся в доказательстве.
Иная ситуация с постулатами в комментариях ар-Руми и обра-
ботке Псевдо-Туси, где они доказываются, точнее разъясняются,
по-видимому, в соответствии с аристотелевской концепцией посту-
лата как такого утверждения, которое, «будучи доказываемым,
принимается и применяется недоказанным» («Вторая аналитика»,
76Ь30-35)36; заметим, что формулировка Аристотеля сама по себе
порождает вопросы, прежде всего, в связи с выражением «будучи
доказываемым».
Неудивительно, что для арабо-мусульманских ученых понятие
постулата было также неоднозначно, как и для их древнегреческих
предшественников, мнения которых частично отражены в коммен-
тарии Симпликия.
Так, согласно Симпликию, постулатов всего пять и это
принципы доказательства. Первые три из них (три первых посту-
лата Евклида), по его мнению, постулируются только ради блага
обучения, «чтобы не допустить затруднений в доказательстве в
связи с умалением материи или ее отсутствием». Некоторые из
И. О. Лютер
113
постулатов, чтобы быть принятыми, нуждаются в «простом доказа-
тельстве» (байан йасир). По своей природе постулаты «проме-
жуточные»: находятся между принципами первой науки (метафи-
зики), основания которой неизвестны тем, кто их применяет, и ак-
сиомами, которые являются самоочевидными и всеми принимаемы-
ми утверждениями, тогда как постулаты известны только «учите-
лям в каждом искусстве». Четвертый и пятый постулаты Евклида
Симпликий характеризует как необходимые для определенных до-
казательств, их истинность известна и принимается учителем, но
для учащегося они «вначале далекие и неочевидные», поэтому «его
просят признать их»37
Симпликий, однако, не совсем последователен: его постулаты
- это и принципы, не нуждающиеся в доказательстве, и вместе с
тем утверждения, нуждающиеся в «простом доказательстве»; неяс-
но и то, каким образом постигается истинность постулатов «учите-
лями».
Приведем полностью один немаловажный и, по существу, не
нуждающийся в наших комментариях фрагмент рассуждений Сим-
пликия об области приложения постулатов:
«Некоторые считают, что геометрические постулаты лишь
предполагают признание материи (ал-‘унсур), поскольку не все
действия применимы к ней. Ибо несогласный может выдвинуть
возражение в связи с материей, говоря: “Я не могу проводить пря-
мую линию ни по поверхности моря, ни в глубину его, ни прово-
дить прямую линию постоянно и беспредельно, поскольку беспре-
дельное не существует” Однако те, кто так говорят, думают,
прежде всего, что постулаты требуются только тем, кто понимает
геометрию материально. Но что [в таком случае] они могли бы
сказать о равенстве прямых углов? Как бы они установили, что
оно постулируется в связи с материей? И аналогично [обстоит
дело] с постулатами, которые следуют после этого»38.
Рассуждения Симпликия хорошо согласуются с «послеслови-
ем» ас-Самарканди к первым трем постулатам - единственным его
комментарием в связи с постулатами, в котором указывается их
значение (во внутренних кавычках дополнения ар-Руми):
«Сказал Евклид: [Можем] проводить прямую линию между
любыми двумя точками; [можем] продолжать ограниченную пря-
мую по прямой; [можем] описывать из любой точки и любым расс-
тоянием круг. Я говорю, [что] это обобщение было бы истинно
лишь тогда, когда бы ограничивались в исследовании линии ее ме-
тафорой (маджаз), а в ее проведении воображением, тогда бы оп-
ределялось соответствие проведения в действительности истине ме-
тафоры, преодолевался бы предел допустимого [в реальности].
Как [в случае] линии между двумя полюсами “мира”; ее величина,
114
МАТЕМАТИКА АНТИЧНОСТИ И СРЕДНИХ ВЕКОВ
“которую мы и подразумевали при исследовании и проведении ли-
нии,” была “установлена” в доказательствах “без необходимости в
изучении и проведении ее в действительности” Придерживайся
Евклид линии в действительности, ему нужны были бы дополни-
тельные предложения, “обосновывающие проведение линии в дейс-
твительности,” и дополнительное усложнение вывода»39
Проблема классификации постулатов и их отличия от аксиом,
почти не затронутая историками и философами в контексте средне-
вековой арабо-мусульманской науки, лежит вне рамок настоящего
исследования. Тем не менее, отметим, что ал-Фараби в своих логи-
ческих сочинениях относил постулаты к так называемым «приня-
тым» суждениям (макбула), «которые принимаются по утвержде-
нию одного или группы авторитетных людей, и в которых позна-
ния достигают без обдумывания или приведения доводов» и без
использования силлогизмов; а аксиомы - к «первым умопостигае-
мым» (ал-мабади’ ал-увал, букв, первые принципы) утверждени-
ям, «о которых мы сами полагаем, будто они были нам известны с
самого рождения и по природе кажутся достоверной истиной и
знанием, которое совершенно не может быть иным; и мы не знаем
с самого начала, как они приходят к нам и откуда»40 Ибн Сина в
«Книге доказательства» («Китаб ал-бурхан»), по существу, следу-
ет этой классификации ал-Фараби - своего «второго после Аристо-
теля учителя». Так, критикуя мнение, что постулаты отличаются
от гипотез тем, что нуждаются в «небольшом размышлении», Ибн
Сина утверждал: если бы целью размышления было понимание
значений вовлеченных слов, то это не отличало бы постулаты от
собственно аксиом; но если бы оно состояло в установлении исти-
ны постулатов с помощью среднего термина, то тогда постулаты не
отличались бы от теорем41. В этой связи укажем на исследование
Р.Рашеда комментария известного математика X в. Ахмада ас-Сид-
жизи к предложению 11.14 «Конических сечений» Аполлония. В
этом сочинении ас-Сиджизи разрабатывает классификацию матема-
тических предложений, в основе которой пара «концепция-доказа-
тельство» («концепция» в данном случае - сущность, выявляемая
рациональной интуицией или выражаемая определением), в соот-
ветствии с которой постулаты и аксиомы определяются как такие
предложения, сущность объекта которых постигается и выражает-
ся без доказательства42.
Вернемся снова к ар-Руми и Псевдо-Туси и рассмотрим под-
робнее некоторые из их разъяснений к постулатам или, в термино-
логии Симпликия, «простых доказательств», нарушив, однако, их
последовательность и оставив без рассмотрения четвертый посту-
лат о прямых углах, доказательства которого с помощью наложе-
ния характерны не только для арабо-мусульманских ученых (заме-
И.О.Лютср
115
тим, что в доказательствах ар-Руми и Псевдо-Туси, также близких
соответственному доказательству Прокла, факт наложения именно
бесконечных объектов, каковыми являются углы, полностью игно-
рируется)43
2.1. О пятом в последовательности ас-Самарканди постула-
те. Этот «постулат» «не заключают две прямые линии поверх-
ность» - не миновал комментария Прокла. Рассматривая существо-
вавшие в его время взгляды на то, чем постулат отличается от ак-
сиомы, Прокл приводит две точки зрения: согласно одной из них
(очевидно, аристотелевской), это есть постулат, поскольку именно
постулаты характерны для геометрии, тогда как аксиомы - общие
для геометрии и арифметики; согласно же точке зрения Гемина,
это - не постулат и не аксиома, а доказуемое предложение44. На-
помним, что и Симпликий, согласно комментарию ан-Найризи, ис-
ключил это утверждение из списка постулатов и представил его
доказательство (см.п.2).
Прокл, обратив внимание на то, что Евклид в своем доказа-
тельстве предложения I.445 явно использует нигде ранее не сфор-
мулированное и не доказанное утверждение о том, что две прямые
не могут заключать поверхность, представил его доказательство ad
absurdum (хотя и не совсем безупречное: не рассмотрен случай
совпадения точек Е и F):
«Пусть АС В и ADB - две прямые линии, заключающие повер-
хность, и пусть они будут продолжены неопределенно. Пусть бу-
дет описан круг АЕ с центром в [точке] В и расстоянием АВ. Пос-
кольку ACBF - диаметр, AFE будет половиной окружности. Так-
же, поскольку ADBE - диаметр, АЕ будет половиной окружности.
Следовательно, АЕ и AFE равны, что невозможно»46 (Чертеж к
доказательству аналогичный рис.2, но с другими буквенными обоз-
начениями.)
И далее он заключает: «Это положение (то есть “не заключа-
ют две прямые линии поверхность” И.Л.) принимается автором
“Начал” в первом постулате, когда он говорит “провести прямую
от любой точки к любой точке” что означает, что это не две, а
всегда одна прямая, которая может соединить эти две точки».
Таким образом, согласно Проклу, первый постулат Евклида
предполагает единственность прямой, соединяющей две точки
(другими словами, что, если две прямые имеют одни и те же кон-
цы, то они совпадают по всей длине). Вполне вероятно, что Прокл
в этом своем заключении исходил из своего кинематического дока-
зательства первого постулата (точнее, из единственности прямоли-
нейной траектории точки, равномерно и прямолинейно движущей-
ся в направлении другой точки, см. далее п.2.3.), что, однако, не-
116
МАТЕМАТИКА АНТИЧНОСТИ И СРЕДНИХ ВЕКОВ
корректно в рамках евклидовой геометрии. С позиций современной
(гильбертовой) аксиоматики обоснование того, что однозначность
продолжения прямой определяется четвертым постулатом (о равен-
стве прямых углов), тем самым опровержение тезиса, что первый
постулат предполагает единственность прямой, представлены в
статье С.Н.Бычкова47
Обратимся теперь к доказательству ар-Руми:
«Не заключают две прямые линии поверхность. Хотя это [ут-
верждение] не вызывает сомнений, однако, его доказывали, выдви-
гая предпосылку, что два угла, которые охватываются диаметром
круга и его полуокружностью, равны. Для доказательства этой
[предпосылки] пусть АЕС - диаметр круга ABCD и Е - его центр
[рис.1]. Если поместим в воображении фигуру (букв, поверхность)
АВСЕ на фигуру (букв, поверхность) ADCE, то неизбежно, что
дуга АВС попадет на дугу ADC. Если все же окажется внутри или
снаружи от нее как AGC [или AFC], то проведем ED, пересекаю-
щую AGC в G, тогда линии ED и EG равны. Так же и EF [равна
ED]. Тогда равны линии EG и EF Целое равно части. Это невер-
но (букв, ошибка) [независимо от того,] окажется ли его [круга]
половина внутри или снаружи. Тогда если [дуга] АВС накладыва-
ется на дугу ADC, то будут равны четыре угла, каждый из кото-
рых охватывается диаметром и полуокружностью. И это то, что
мы хотели. Из этого с очевидностью следует, что диаметр делит
круг пополам. Приведя эту предпосылку, говорят: “Не заключают
две прямые линии поверхность.” В противном случае пусть охва-
тывают две линии АВС и ADC поверхность ABCD [рис.2]. Прове-
дем [с центром] в точке А и раствором АС круг CEZ. Тогда будут
равны два угла АВСЕ и ABCZ (как углы между диаметром и по-
луокружностью. И.Л.). Таким же образом равны углы ADCE и
ADCZ. [В результате] одна часть равна другой большей части.
Противоречие. Что и хотели доказать»48.
Рис.1
Рис.2
И .О. Лютер 117
Доказательство ар-Руми, близкое доказательству Прокла и
также сводящееся к противоречию с аксиомой «целое больше час-
ти», отличается тем, что это противоречие рассматривается в тер-
минах углов, а не дуг окружности. В связи с рассмотрением углов
ар-Руми и понадобилось предварить его доказательством предпо-
сылки о равенстве углов между диаметром и полуокружностью, из
которого у него и следует, что диаметр делит круг пополам. Пос-
леднее, как и в приписываемом Фалесу доказательстве это же фак-
та, основывается на методе наложения.
Для сравнения приведем доказательство этого «постулата»
Псевдо-Туси, почти не отличающееся от доказательства ар-Руми,
но все-же более строгое и приведенное не среди постулатов, а пос-
ле определений круга (по Евклиду), окружности, центра, диаметра
и добавленного самим Псевдо-Туси описания круга с помощью
«порицаемого» (см. далее п.2.3.) вращения: круг «получается при
вращении в плоскости прямой ограниченной линии до возвраще-
ния в исходное положение». Указав, что из этого описания следует
третий постулат Евклида («можем из любой точки любым раство-
ром провести круг»), и тем самым фактически обосновав необхо-
димость введения еще одного определения круга, Псевдо-Туси сна-
чала доказывает, что диаметр делит круг пополам:
«Возьмем для доказательства этот круг, окружность его АВС,
центр его точка Е и диаметр ЛЕС. Я утверждаю, что линия АС де-
лит круг пополам. Ибо, если наложить (раккаба, букв, натянуть)
фигуру ADC на фигуру АВС, то линия ADC или наложится (йун-
табака) на линию АВС или окажется снаружи или внутри нее. В
любом случае, проведем прямую линию ER, она пересечет три ли-
нии в точках С, В и R. И каждая из линий ER, ЕС, будет как ли-
ния ЕВ. В результате, часть равна целому. Это нелепо. Таким об-
разом, диаметр АЕС делит круг пополам и это то, что мы хотели
доказать»49 (Чертеж к доказательству аналогичный рис.1, но с
другими буквенными обозначениями.)
Затем Псевдо-Туси формулирует следствие «четыре угла,
каждый из которых охватывается диаметром и полуокружностью,
равны», определяет полукруг, хорды и дуги, сегменты, доказыва-
ет, что наибольший сегмент тот, хорда которого проходит через
центр круга, и доказывает на основании этого (что и объясняет ло-
гическую уместность приведенного доказательства) «пятый посту-
лат» почти аналогично ар-Руми:
«Не заключают две прямые линии поверхность. В противном
случае пусть охватывают две линии АВС и ADC поверхность
ABCD [рис.2]. Проведем [с центром] в точке А и раствором АС
круг СЕ. Тогда будут равны два угла АВСЕ и ADCE, как установ-
118
МАТЕМАТИКА АНТИЧНОСТИ И СРЕДНИХ ВЕКОВ
лено. Тогда часть равна целому. Это нелепо. Что мы и хотели до-
казать»50
2.2. О шестом постулате ас-Самарканди. Похожая история и
с утверждением («постулатом»): «прямая не соединяется с двумя
или более прямыми так, чтобы составить одну прямую линию,
если они не совпадают».
Второй постулат Евклида, по мнению Прокла, подразумевает
единственность продолжения прямой в любую из двух сторон, а
это условие как раз и равносильно тому, что «две прямые не могут
иметь общий отрезок, если только они не совпадают» (Прокл),
или, как в формулировке ат-Туси, воспроизведенной ас-Самаркан-
ди (см. п.2): одна прямая линия не соединяется своей частью по
прямой ни с одной другой прямой линией, если их направления не
совпадают.
Разъяснив, что это утверждение («две прямые не могут иметь
общий отрезок, если только они не совпадают») предполагается и
в определении прямой Евклида и в первом и во втором постула-
тах51, Прокл доказал его {ad absurdum) как лемму в комментарии
к построению равностороннего треугольника (предложение 1.1
«Начал»):
«Пусть линия АВ - общий отрезок АС и AD и пусть проведен
круг ACD с центром В и радиусом АВ [рис.З]; тогда поскольку
АВС - прямая линия, [проходящая] через центр, то АЕС - полук-
руг, и поскольку ABD - прямая линия, [проходящая] через центр,
то AED - полукруг; следовательно, АЕС и AED равны друг дру-
гу, что невозможно»52.
Приведем теперь доказательство ар-Руми (здесь и далее по
тексту статьи внутренними кавычками выделен комментируемый
ар-Руми текст ас-Самарканди):
«“Не соединяются прямой линией и по прямой две или более
[прямые линии]” так, чтобы каждая из них образовывала вместе с
прямую
направ-
одна за
случае
этой [прямой линией]
линию, если только не
лены “прямые линии”
другой. В противном
пусть линия АВ прямая, сое-
диненная с прямыми линиями
ВС и BD по прямой [рис.З].
Проведем [с центром] в точке В
и расстоянием, [равным] мень-
шей из линий АВ, ВС и BD,
круг ACDE. Тогда каждая из
двух линий АВС и ABD суть
И.О.Лютср
119
его диаметр. Следовательно, каждая из дуг AED и ACD - полови-
ны круга, как доказано. И целое равно части. Неверно»53
Что касается Псевдо-Туси, то для него, как и Прокла, этот
«постулат» есть следствие первого постулата, после формулировки
и доказательства которого (об этом далее в п.2.3.) он его и дока-
зывает:
«Невозможно соединить прямой линией две прямые линии в
одном направлении, одним концом каждой из них и по прямой
так, чтобы каждая из них вместе с этой [прямой линией] образо-
вала бы прямую линию. В противном случае пусть прямая линия
АВ, а соединенная с ней по прямой - линия ВС [рис.З]. Прове-
дем [с центром] в точке В и расстоянием, [равным] меньшей из
линий АВ, ВС и BD, круг ACD. Тогда каждая из двух линий
АВС и ABD есть прямая линия, проходящая через центр круга,
оканчивающаяся в двух своих направлениях на окружности, и
каждая из них диаметр круга ACD. Но круг один и тот же, а
его половины - одна больше другой. Это нелепо. Что мы и хоте-
ли доказать»54
Очевидно, что все три, воспользуемся терминологией Симпли-
кия, «простые доказательства» Прокла, Псевдо-Туси и ар-Руми
(эти два особенно) по сути совпадают, как и чертежи к ним.
2.3. О кинематических методах в контексте постулатов.
Одна из проблем, отмеченных ас-Самарканди и ар-Руми в самом
начале их трактатов это проблема правомерности применения
движения в геометрии. Согласно ас-Самарканди, многие следовали
методологии Евклида, однако, «за применение методов [с привле-
чением] движений, которые относятся к физическим (букв, естест-
венным) наукам, последующие авторы порицали его, а исследова-
тели избегали этого»55 Ар-Руми, дополняя, поясняет: физи-
ческие науки не являются частью математических, поскольку тео-
ретическая философия делится на три части метафизическую,
математическую и физическую эта наука и изучает состояния
физического тела с учетом движения и покоя. “Последующие авто-
ры порицали его, и исследователи избегали этого” поскольку объ-
яснение вопросов [одной] науки методами другой науки неодобри-
тельно»56.
Эту собственно аристотелевскую точку зрения высказывали
многие арабо-мусульманские ученые также и в связи с применени-
ем физических понятий и методов в астрономии. Так, выдающийся
средневековый ученый-энциклопедист Абу-р-Райхан ал-Бируни
(973-1048) в своем знаменитом энциклопедическом «Каноне
Мас'уда» (заметим, хорошо известном ар-Руми) подверг критике
Птолемея за использование физических аргументов в доказательст-
120
МАТЕМАТИКА АНТИЧНОСТИ И СРЕДНИХ ВЕКОВ
ве сферичности небес («Альмагест», (1.3.), подчеркивая, что «каж-
дая дисциплина обладает [своей] методологией и правилами, и то,
что за пределами нее, не может быть приложено к ней; поэтому то,
что Птолемей описал и что вне этой дисциплины, скорее принуди-
тельно убедительно, чем необходимо»57
Первоначально, складывается впечатление, что ас-Самарканди
и ар-Руми, исходя из недопустимости применения движения в гео-
метрии, утверждаемой ими в рамках аристотелевской классифика-
ции наук, будут избегать в своих геометрических аргументах кине-
матических методов. Однако оба весьма активно применяют метод
наложения в доказательствах равенства и подобия (конгруэнтнос-
ти) фигур58. Отметим, что этот метод применяли даже такие выда-
ющиеся оппоненты применения движения в геометрии как Омар
Хайям (‘Умар ал-Хаййами, 1048-1131) и Насир ад-Дин ат-Туси59
Для настоящего исследования более важен другой пример та-
кой непоследовательности - это использование ар-Руми в его разъ-
яснениях к постулатам, «простых доказательствах» по Симпли-
кию, кинематических методов, основанных на представлении ли-
нии, как следа движущейся точки:
«Евклид сказал: [Первый постулат.] “Можем проводить пря-
мую линию между любыми двумя точками” И это понятно: пред-
положим (нафраду) точку между этими двумя точками в их нап-
равлении; если мы предположим [другую] точку, наложенную на
одну из тех двух точек, а также представим (натаваххаму, также
«вообразим»), что она передвигается из этой точки к другой через
точку, предположенную между ними, то эта точка пройдет между
этими двумя точками прямую линию.
[Второй постулат.] “И можем продолжать ограниченную” то
есть конечную, “прямую линию сколь угодно в обе ее стороны по
прямой” Это же и в “Обработке” (тахрир), осуществленной На-
сир ад-Дином ат-Туси, и в объяснении [из] “Улучшения (ислах)
книги Евклида” мудреца Асир ад-Дина ал-Абхари.
[Следствие.] Таким же образом можем присоединить концом
прямую линию к прямой линии по прямой и в результате [полу-
чить] одну [прямую линию]. И это понятно: предположим на этой
линии точку, отличную от точки-конца; затем предположим произ-
вольную (букв, какую угодно) точку в направлении этих двух то-
чек; предположим [еще одну] точку, наложенную на точку-конец,
и представим эту точку движущейся через ту [произвольно выб-
ранную] точку; получится то, что мы хотели.
В “Улучшении” [ал-Абхари]: предположим произвольную
(букв, как придется) точку в направлении точки-конца линии и
проведем между ней и концом линии прямую линию; если не обра-
зуется из них угол, то она [расположена] по [одной] прямой [с
И .О. Лютер
121
данной прямой линией]; а если угол образуется, то представим
движение этой линии так, что [угол] будет постепенно увеличи-
ваться до тех пор, пока не окажется, [что его стороны] по одной
прямой; это то, что мы хотели [объяснить].
[Третий постулат.] “Можем описывать из любой точки”, кото-
рую делаем центром, “и любым, каким нам угодно, расстоянием
круг” [И это] понятно: предположим на этом расстоянии от этой
точки [другую] точку; соединим эти две точки прямой линией; за-
тем представим движение (то есть вращение. - И.Л.) этой линии с
неподвижным концом, который мы пожелали сделать центром, до
[возращения к] начальному положению; тогда в результате движе-
ния будет проведен круг, что мы и хотели»60
Этим аргументам ар-Руми подобны «простые доказательства»
Псевдо-Туси:
«[Первый постулат.] Можем проводить прямую линию между
любыми двумя точками. Пусть даны две точки. Допустим между
ними точку в их направлении и предположим, что [еще одна] точка
наложена на одну из двух точек; будем передвигать ее к другой точ-
ке, так, что она пройдет через предположенную в их направлении
точку, какие бы эти две не были, в течение всего времени ее движе-
ния, до тех пор, пока она не достигнет другой точки. Тогда путь
любой точки - прямая линия, ибо она есть длина без ширины и
точки, которые предполагаются на ней, противолежат друг другу.
[Второй постулат.] Можем продолжать прямую линию, обла-
дающую концами, по прямой, как угодно далеко в обе ее стороны.
Ибо, если мы предположим на прямой точку, она будет находить-
ся в одном направлении с точкой-концом. Затем предположим про-
извольную (букв, какую угодно) точку в направлении данных
двух точек и допустим, что [эта] точка наложена на первую пред-
положенную [точку]. Будем ее передвигать так, что пройдет она
через предположенную точку, и линия, проведенная ею, линия
прямая»61
Третий постулат у Псевдо-Туси, напомним, следовал из опи-
сания круга с помощью вращения (см. п.2.1.), в котором собствен-
но и подразумевается все то, что излагает ар-Руми в своих разъяс-
нениях к третьему постулату.
Возможно, во избежание чрезмерного обращения к физике
(непозволительного в целом), в данном случае необходимости оп-
ределения движения точки, и ар-Руми и Псевдо-Туси пытаются
обосновать прямолинейность ее движения, оставаясь в рамках гео-
метрии Евклида: исходя из евклидова определения прямой. Так,
прямолинейность движения точки они обуславливают выбором
этой точки «в направлении», определяемом двумя другими точка-
ми, то есть, в современной терминологии, вектором. При этом ус-
122
МАТЕМАТИКА АНТИЧНОСТИ И СРЕДНИХ ВЕКОВ
ловии, заключает Псевдо-Туси, путь любой точки и есть прямая
линия, ибо она есть длина без ширины и точки, которые предпола-
гаются на ней, противолежат друг другу. Введенные же в данном
контексте понятия «находиться между», «в направлении» остаются
неоговоренными.
Доказательства ар-Руми и Псевдо-Туси, основанные на предс-
тавлении линии как следа движущейся точки, как уже отмечалось,
противоречили положениям Аристотеля о неподвижности матема-
тических объектов и невозможности ничему непрерывному состо-
ять из неделимых частей (например, линии из точек), которые
были поддержаны большинством арабо-мусульманских ученых и
получили дальнейшее развитие в их геометрических сочинениях.
Ибн Сина, в частности, утверждал, что кинематические определе-
ния непрерывных количеств не являются их истинными определе-
ниями, это «лишь аналогии, возможные только в нашем воображе-
нии, ибо в действительности это движение предполагает место, и
что это место обладает глубиной и [другими] размерностями до
того как точка сможет произвести линию, линия поверхность,
поверхность - глубину»62.
Тем не менее, как следует из приведенного фрагмента ар-Ру-
ми, подобные кинематические методы применял в своем геометри-
ческом трактате «Улучшение “Начал” Евклида» («Ислах Усул
Уклидис») знаменитый философ, математик и астроном, предста-
витель восточного перипатетизма и последователь Ибн Сины Асир
ад-Дин ал-Абхари (1200-1265), который как и Насир ад-Дин
ат-Туси, был учеником выдающегося персидского ученого XIII в.
Камал ад-Дина ибн Йунуса (1156—1242)63 Так что, можно предпо-
ложить, что кинематическую методологию ар-Руми почерпнул
именно из этого сочинения ал-Абхари, поскольку в обработке
ат-Туси подобные аргументы отсутствуют. В таком случае трактат
ал-Абхари возможно, общий источник кинематических методов
ар-Руми и Псевдо-Туси.
Однако, по-видимому, впервые такие кинематические идеи в
контексте постулатов были предложены в комментарии Прокла:
«Проведение линии от всякой точки до всякой точки следует
из концепции линии как течения точки и концепции прямой линии
как ее постоянного и неотклоняющегося течения. Ибо, если мы
мыслим точку двигающейся постоянно по кратчайшему пути, то
мы придем к другой точке и, таким образом, получим первый пос-
тулат без какого-либо сложного процесса мышления.
И если мы возьмем прямую линию, ограниченную точкой, и
аналогично представим ее конец движущимся равномерно по крат-
чайшему пути, то второй постулат будет установлен простым и по-
сильным размышлением.
И. О. Лютер
123
И если мы мыслим конечную линию с одним концом непод-
вижным и другим, движущимся вокруг этой неподвижной точки,
то мы получим третий постулат; ибо неподвижная точка будет цен-
тром и прямая линия - расстоянием, и какую бы длину не имела
эта линия, такой же длины будет и расстояние, которое отделяет
центр от всех частей окружности»64.
В отличие от арабских ученых Прокл определил применяемое
движение, обратившись у физике и аксиоме Архимеда: «постоян-
ное и не отклоняющееся от кратчайшего пути», то есть равномер-
ное и прямолинейное. Обратим внимание на выражение «простое
размышление», применяемое Проклом, которое, возможно, и прев-
ратилось в «простое доказательство» у Симпликия и ан-Найризи,
а также «небольшое размышление» у Ибн Сины (см. п.2).
Важно и то, что Прокл попытался обосновать правомерность
введения движения в неподвижные геометрические объекты с
целью объяснить, как можно передвигать вещи, не имеющие час-
тей. Для этого, напомнив, что формы, характерные для геометри-
ческих объектов отличаются от вещей, существование которых они
определяют, он обращается к пассивному интеллекту, то есть вооб-
ражению. Указав на характерное для неоплатонизма отличие прос-
транства и движения протяженных физических тел от пространст-
ва и движения непротяженных сущих, постигаемых в воображе-
нии, он подводит к заключению, что движение идей или форм дол-
жно мыслиться не телесным, а воображаемым; непротяженные и
не имеющие частей вещи движутся не телесными движениями, а
подвержены движениям воображения.
Определенный интерес, особенно в связи с приведенными
выше рассуждениями Симпликия и ас-Самарканди о значении и
области приложения геометрических постулатов (см. п.2), предс-
тавляет следующий фрагмент комментария Прокла, в котором, по
существу, выясняется метафизическое значение геометрических
постулатов:
«Оказывается, что из этих трех постулатов, первый выражает
образно, как существующие вещи заключаются между своими в
большей мере не имеющими частей причинами и ограничены ими,
и что они объем лютея ими со всех сторон еще до того, как они на-
чинают существовать. Прямая линия, например, связывает уже су-
ществующие точки друг с другом, ограничена ими и заключена
между ними. Второй постулат показывает, как прочно вещи могут
придерживаться своих первоначал и все же взаимодействовать со
всеми вещами, сохраняя неразрывную связь со своими началами,
не отделяясь от них, но всегда, будучи движимыми всемогущей
причиной в самих себе, двигаться далее. И третий постулат пока-
зывает: что бы ни происходило далее, все возвращается опять к
124
МАТЕМАТИКА АНТИЧНОСТИ И СРЕДНИХ ВЕКОВ
своей начальной точке, ибо вращение движущейся части линии
вокруг ее неподвижного конца, которое производит круг, имитиру-
ет круговое возвращение»65
До сих пор отсутствуют какие-либо свидетельства существова-
ния арабского перевода комментария Прокла к «Началам» Евкли-
да. Тем не менее, близкое сходство методологического (кинемати-
ческого) подхода, рассуждений и контекста (первых постулатов) в
комментариях Прокла, с одной стороны, и в сочинениях ар-Руми,
Псевдо-Туси и ал-Абхари, с другой, можно рассматривать как еще
одно подтверждение доступности этого комментария арабо-мусуль-
манским ученым. Более того, именно из неоплатонических аргу-
ментов Прокла, сводящихся к тому, что движения идей или форм
(объектов воображения) не должны мыслиться телесными, ибо,
будучи воображаемыми, они суть особые движения воображения,
арабо-мусульманские ученые и могли почерпнуть идею правомер-
ности применения кинематических определений и методов в гео-
метрии. В этой связи использование в соответствующих контекстах
глаголов «воображать» («вахама», также «представлять») и
«предполагать» («фарада»), а также других лексических произ-
водных от тех же корней, не кажется случайным, а вполне осоз-
нанным и преднамеренным. Это относится не только к рассматри-
ваемым в статье ученым, но характерно и для их арабо-мусульман-
ских предшественников, применявших движение в геометрии, на-
чиная с Ибн Корры и его «воображаемого движения».
Подобные кинематические разъяснения к постулатам свойст-
венны не только представителям Марагинского и Самаркандского
научных сообществ, они присутствуют и в «Комментарии к введе-
ниям Евклида» («Шарх мусадарат Уклидис») Ибн ал-Хайсама
(965-1039/40). Это популярное на средневековом арабо-мусуль-
манском Востоке сочинение (в частности, благодаря и критическим
«отзывам» Омара Хайяма и ат-Туси по поводу кинематического
доказательства Ибн ал-Хайсама постулата о параллельных) было
известно и всем нашим авторам. Исходя из этого, можно было бы
предположить, что именно это сочинение является первоисточни-
ком кинематических идей ал-Абхари, Псевдо-Туси и ар-Руми. Од-
нако, столь близкие по терминологии и аргументации кинематичес-
кие рассуждения ар-Руми (следовательно, и ал-Абхари) и Псев-
до-Туси отличаются от соответствующих рассуждений ал-Хайсама.
В частности, ал-Хайсам использует другой арабский синоним гла-
гола «воображать» «хала» (и соответственно иные производные
от него), и его аргументация в целом более философская. Поэтому
это предположение нуждается в дальнейшем исследовании. Для
сравнения приведем небольшой фрагмент из комментария ал-Хай-
сама по рукописи этого сочинения из Научной библиотеки им.
И. О. Лютер
125
Н.И.Лобачевского Казанского государственного университета, со-
держащий некоторые аргументы ал-Хайсама, относящиеся к перво-
му постулату:
«...Что касается “проведем прямую линию из любой точки к
любой точке” то это возможно в воображении (тахаййул), имеют-
ся в виду “любые две точки” Понятно, что между ними множество
протяжений (масафат, букв, промежутков, расстояний), [следова-
тельно], можно вообразить между любыми двумя точками множес-
тво протяжений. И в этом суть дела - то, что уже отметил Фило-
соф (то есть Аристотель. И.Л.). Вот его высказывание: “между
любыми двумя точками линия” Также, вероятно, можно вообра-
зить точку уже наложенную на одну из двух точек; далее, что она
передвигается в направлении другой точки; и мы можем вообра-
зить, что эта передвигающаяся точка уже достигла в своем движе-
нии другую точку. При этом вообразим протяжение, по которому
двигалась эта точка. Это протяжение, по которому точка передви-
гается между двумя точками, суть не две линии, поскольку точка
не имеет площади. Следовательно, протяжение, которое проходит-
ся, не имеет ширины. Таким образом, можем, вероятно, провести
между любыми двумя точками воображаемую линию. В результа-
те, между ними есть только одна прямая линия»66.
Ограничимся этой иллюстрацией (цитатой), поскольку кине-
матические рассуждения Ибн ал-Хайсама составляют предмет на-
шего следующего исследования.
2.4. К постулату о параллельных. Этот постулат ас-Самар-
канди исключил из списка постулатов и привел его далее как
предложение 3, но без доказательства:
«Если прямая линия падает на две прямые линии, а сумма
двух углов, внутренних и с одной стороны от этой линии, меньше,
чем сумма тех [двух углов], которые находятся с другой стороны,
т.е. меньше, чем два прямых угла, ибо обе суммы равны четырем
прямым углам, как это было [доказано] в предложении I67, тогда
то, что между этими прямыми линиями будет сужаться с той же
стороны, они же, [будучи продолжены], необходимо приблизятся
друг к другу и [их] взаимное сближение необходимо завершится
[их] встречей»68.
Очевидно отличие формулировки постулата о параллельных
Евклида69 от представленного ас-Самарканди утверждения, кото-
рое является, скорее его толкованием, включающим своего рода
дедуктивные рассуждения. Формулировки же постулата о парал-
лельных ат-Туси и Псевдо-Туси представляют собой дословное пе-
реложение на арабский язык формулировки Евклида.
Комментируя свое предложение 3, ас-Самарканди указывает:
«Это утверждение (шакл, букв, фигура, построение) Евклид не
126
МАТЕМАТИКА АНТИЧНОСТИ И СРЕДНИХ ВЕКОВ
доказывал, а мыслил его очевидным. Во избежание [необходимос-
ти] его доказывать, Евклид поместил его среди постулатов
(ал-усул ал-мавду‘аТ)... а не [среди] общих понятий (ал-‘улум
ал-мута‘арафа). Но это не изменило его сущность - быть доказуе-
мым»70
Ар-Руми добавляет, что оно «прославилось под названием
“знаменитое введение” (мусадара машхура)», и далее ссылается на
автора «Обработки», то есть ат-Туси, в точности воспроизводя его
слова: «это утверждение (кадийа) не из аксиом и не из того, что
разъясняется вне науки геометрии, в таком случае необходимо его
отнести к предложениям (маса’ил) после введений (мусадарат)»71
Той же точки зрения придерживался и Псевдо-Туси: «Это ут-
верждение (кадийа) не из аксиом (ал-'улум ал-мута‘арафа), ско-
рее оно из утверждений, которые нуждаются в установлении дока-
зательства их истинности с помощью некоторых предложений кни-
ги [Евклида]», что он и пообещал представить в «надлежащем
месте»72.
Сделаем небольшое терминологическое отступление. Арабский
термин «мусадара» (мн.ч. «мусадарат») неоднозначен: это может
быть и «введение» и «требуемое». В арабских переводах Евклида
и Аристотеля этот термин чаще всего употреблялся в значении «ак-
сиома», но уже ан-Найризи в комментарии к «Началам» Евклида
применил термин «мусадарат» к постулатам. Далее (хронологичес-
ки), Ибн Сина в своей редакции «Начал» использовал для посту-
латов иное выражение «усул ат-такдир», то есть «начала (или
принципы) измерения», «аксиомы» у него «’илм джами‘», то
есть «общее знание»73 Затем Ибн ал-Хайсам в «Комментарии к
введениям Евклида» («Шарх мусадарат Уклидис») и Омар Хайям
в «Комментарии к трудностям во введениях книги Евклида»
(«Шарх ма ашкала мин мусадарат Китаб Уклидис»), в которых
они представили свои (известные ас-Самарканди и ар-Руми) по-
пытки доказать постулат о параллельных, объединили термином
«мусадарат» («введения») и постулаты, и аксиомы, и даже опреде-
ления (весьма вероятно, что Хайям позаимствовал эту терминоло-
гию именно из сочинения ал-Хайсама, которое, как уже отмеча-
лось, резко критиковал за примененное в нем движение). Ас-Са-
марканди и ар-Руми для обозначения такой совокупности примени-
ли другой термин «мукаддамат», который собственно и означает
«введения». У всех наших основных авторов Ат-Туси, Псев-
до-Туси, ас-Самарканди и ар-Руми - для постулатов применяется
термин «усул мавду'аТ», что может означать и «положенные (ус-
тановленные) начала» и «предметные начала», для аксиом - тер-
мин «‘улум мута'арафа», то есть «[общепризнанные знания».
И. О. Лютер
127
В этой связи интерес представляет небольшой и не совсем од-
нозначный фрагмент из обработки Псевдо-Туси, где постулаты од-
новременно и «требуемые» и «положенные начала». Так, согласно
Псевдо-Туси, у каждой науки свой предмет, принципы (мабади’) и
проблемы (предложения, маса’ил): «Принципы либо определе-
ния предметов, либо утверждения это предпосылки (введения,
мукаддамат) доказательств ее, [науки], предложений: либо приня-
тые...в этой науке, либо в другой науке; они предпосылаются без
доказательств в началах книг и предпосылаются при условии, что
они не из доказательств этой науки; называются же они требуемые
(мусадарат): и [ли] постулаты (у су л мавду‘аТ), либо принятые
сами по себе и называемые аксиомами (‘улум мута‘арафа)»74.
Вернемся к рассуждениям по поводу постулата о параллель-
ных ас-Самарканди. Он продолжает: «Возражала против этого
(того, что постулат о параллельных очевиден. И.Л.) группа из
тех, кто обосновывает искусство геометрии. Они говорили, что
[это предложение] доказывалось в философии делением непрерыв-
ных величин до бесконечности. Это и позволяет [двум прямым]
постоянно и бесконечно приближаться [друг к другу] до встречи».
Здесь ар-Ру ми, добавляя несколько слов, существенно исправляет
ас-Самарканди: «“Они говорили, что [это предложение] доказыва-
лось в философии делением непрерывных величин до бесконечнос-
ти,” вследствие отрицания частиц, которые неделимы. “[Но] это
[принятие частиц, которые неделимы] и позволяет [двум прямым]
постоянно и бесконечно приближаться [друг к другу] до встре-
чи”». Действительно, если исходить из атомистических воззрений,
то расстояние между сближающимися прямыми будет уменьшаться
до тех пор, пока между ними не окажется одно неделимое, в кото-
ром они и пересекутся.
В случае принятия аристотелевского континуалистского прин-
ципа допускается постоянное и бесконечное сближение двух пря-
мых, но без встречи, или как комментирует далее ар-Руми, «отсут-
ствует предпосылка, говорящая о том, что сближение необходимо
завершится встречей, и доказательство в этом случае невозмож-
но»75 Именно это рассматривается в уникальном фрагменте несох-
ранившегося полностью трактата ал-Бируни. В этом фрагменте ав-
тор цитирует и критикует исследования «первого философа ара-
бов» Абу Юсуфа Якуба ибн Исхака ал-Кинди (ум. ок. 873), в ко-
торых в контексте теории параллельных линий рассматриваются
проблемы по существу родственные парадоксам Зенона, если
иметь в виду трудности, обусловленные понятиями бесконечного,
неделимого и непрерывного. В частности, ал-Бируни рассматрива-
ет перпендикуляры, опущенные из одной прямой на другую не па-
раллельную ей прямую; исходя из бесконечной делимости непре-
128
МАТЕМАТИКА АНТИЧНОСТИ И СРЕДНИХ ВЕКОВ
рывных величин, он получает, что множество перпендикуляров,
убывающих в сторону схождения данных прямых, бесконечно и
всегда найдется перпендикуляр, еще меньше; следовательно, пря-
мые, постоянно сближаясь, не пересекутся; то есть V постулат не
выполняется. Так, принятие аристотелевского континуалистского
принципа приводит к своего рода парадоксам в теории параллель-
ных76.
Далее ас-Самарканди сообщает: «...составлялись трактаты с
разъяснением этого предложения [V постулата], состоящие из
предложений и глав (макалат), такие, как сочинения,
принадлежащие философам-геометрам, например, Ибн ал-Хайса-
му, ‘Умару ал-Хаййами, ал-Джаухари, Насир ад-Дин ат-Туси,
Асир ад-Дин ал-Абхари». Продолжая, он обращает внимание на
то, что некоторые из этих ученых «говорили о возможности посто-
янного сближения без встречи»; однако он сам считает это невоз-
можным, говоря, что «если бы это было допустимо, то также не-
возможно было бы и сближение»77
Не стоит искать, однако, в этих словах ас-Самарканди что-ли-
бо, подобное «неевклидовым интуициям» у средневековых ара-
бо-мусульманских ученых. Во-первых, ар-Руми, комментируя, отме-
чает, что допустимость постоянного сближения без встречи на уста-
новленной в философии бесконечной делимости непрерывных вели-
чин (континуалистский тезис Аристотеля)78 Во-вторых, то, что
подразумевал ас-Самарканди, совершенно определенно следует из
фрагмента введения в «Трактат, исцеляющий сомнение по поводу
параллельных линий» (Рисала аш-шафийа ’ан аш-шакк фи’л-хутут
ал-мутавазийа») Насир ад-Дина ат-Туси, в котором «предваряют-
ся»79 излишне лаконичные утверждения ас-Самарканди:
«Если кто-нибудь представляет себе две прямые линии, приб-
лижающиеся друг к другу по мере удаления от их основания, то
даже, если то, что они в конце концов встретятся, сомнительно, он
все-таки считает, что они встретятся. Это суждение основывается
на практике, а не на интуиции проницательного исследователя. Ут-
верждение о двух линиях основано на основах философии, о его
правильности свидетельствуют законы математики. Так как непре-
рывные величины по своей природе способны постоянно делиться
и дробиться с сохранением своей сущности, тот, кто утверждает
такое суждение, обязательно должен допускать такое приближение
двух величин друг к другу...между которыми постоянно имеется
уменьшающийся промежуток и которые поэтому не доходят до
встречи. Отсюда ясно, что утверждение о встрече двух приближа-
ющихся линий не является абсолютным. Это доказывается сущест-
вованием линий, которые не встречаются при бесконечном прибли-
И. О. Лютер
129
жении, что имеет место у гиперболы и каждой из двух прямых ли-
ний, не пересекающих ее»80
В приведенных фрагментах ас-Самарканди, ар-Руми и ат-Туси
указывается существование философских подходов к доказательст-
ву постулата о параллельных, в частности, основанного на аристо-
телевском континуалистском принципе, разделяемом большинст-
вом арабо-мусульманских математиков. Среди ученых, которые
рассматривали V постулат с философских позиций, ас-Самарканди
называет прославленного математика, философа и поэта Омара
Хайяма. Попытка Хайяма доказать V постулат содержится в пер-
вой книге его «Комментария к трудностям во введениях книги Ев-
клида». В начале этой книги, следуя Аристотелю, он отмечает, что
обоснование некоторых первых определений математики (таких
как определения точки, линии, поверхности, угла, прямой линии),
а также некоторых ее основных принципов и предпосылок (таких
как деление величин до бесконечности, возможность проведения
прямой линии из данной точки к любой другой точке, не являю-
щиеся, с его точки зрения, аксиомами, не очевидные без доказа-
тельства), есть дело философа, а не математика. Однако, что каса-
ется V постулата, то, рассматривая его как утверждение, нуждаю-
щееся в доказательстве, он относит осуществление такого доказа-
тельства к области геометрии, но с учетом и использованием опре-
деленных философски обоснованных принципов. Среди «заимство-
ванных у Философа» (Аристотеля) принципов-предпосылок гео-
метрии Хайям указывает следующие: делимость непрерывных ве-
личин до бесконечности; возможность продолжать прямую до бес-
конечности; расхождение любых двух пересекающихся прямых по
мере удаления от точки пересечения; невозможность расхождения
двух пересекающихся прямых в направлении их схождения; аксио-
му Евдокса-Архимеда. Полагаясь на четвертый принцип, Хайям
строит, например, свое доказательство V постулата. К обязаннос-
тями философа он относит и установление истинного количества
аксиом и постулатов81
В самом начале нашего исследования казанских рукописей
возникли сомнения относительно автора предложений, составляю-
щих доказательство V постулата и все еще приписываемых ас-Са-
марканди82. Казанская рукопись сочинения ас-Самарканди одна
из ранних его копий (переписана в 1337 г.) не содержит эти
предложения, тогда как они содержатся в казанской рукописи
ар-Руми и, благодаря цветовому выделению (киноварью) коммен-
тируемого в ней текста ас-Самарканди, определенно относятся к
комментариям ар-Руми. Более того, ар-Руми в конце своих ком-
ментариев к предложению 3 ас-Самарканди сообщает, что при изу-
чении этой проблемы, то есть постулата о параллельных, он исхо-
130
МАТЕМАТИКА АНТИЧНОСТИ И СРЕДНИХ ВЕКОВ
дил из трактата «Улучшение “Начал” Евклида» («Ислах Усул Ук-
лидис») Асир ад-Дина ал-Абхари, «более сокращенного и менее
известного», чем обработка ат-Туси (действительно, трактат ал-Аб-
хари содержит тринадцать книг «Начал», тогда как сочинение
ат-Туси из пятнадцати книг), тем самым указывая автора этого до-
казательства ал-Абхари83. Основанием же такой путаницы при
идентификации автора этой (еще одной) попытки доказать посту-
лат о параллельных послужило то, что исследования проводились
по рукописям комментария ар-Руми, а не собственно трактата
ас-Самарканди84.
Установленное нами терминологическое и методологическое
сходство рассматриваемых фрагментов сочинений ас-Самарканди и
ар-Руми, с одной стороны, и Псевдо-Туси, с другой, одинаковое
(тринадцать) количество книг, составляющих обработки Псев-
до-Туси и ал-Абхари, а также то, что ас-Самарканди и ар-Руми ис-
ходили при составлении своих сочинений из «Улучшения» ал-Аб-
хари, позволяет предположить некоторую особую связь между
этим трактатом и «Обработкой» Псевдо-Туси. Тем не менее, толь-
ко непосредственное исследование рукописей этого сочинения
ал-Абхари (сохранилось две рукописи в Дублине и Тегеране), воз-
можно, позволит идентифицировать Псевдо-Туси, обработка «На-
чал» которого, опубликованная в конце XVI в. в Риме, заинтересо-
вала в свое время западноевропейских ученых (так, по просьбе
Дж.Валлиса был сделан латинский перевод доказательства посту-
лата о параллельных Псевдо-Туси, опубликованный впоследствии
в его математических сочинениях, откуда Дж.Саккери и узнал о
нем).
Примечания
1 Сведения о жизни этого ученого второй половины XIII в. - Шаме ад-Дин Мухамма-
да ибн Ашрафа ал-Хусайни ас-Самарканди - весьма ограничены. Известно, что он
родился в Самарканде, некоторое время работал в Марагинской обсерватории, воз-
главляемой Насир ад-Дином ат-Туси. Ему принадлежат сочинения по теологии (ка-
ламу), логике, философии, математике и астрономии. О нем см.: Dilgan Н., Levey
М. Shams al-Din al-Samarqandi // Dictionary of Scientific Biography Vol.XII. New
York, 1975. P.91.
2 Шаме ад-Дин ас-Самарканди. Ашкал ат-та’сис / Рукопись Научной библиотеки им
Н.И.Лобачевского Казанского государственного университета №1121 араб.,
лл.113об.-143, л.ИЗоб.
3 О Самаркандской научной школе см.: Матвиевская Г.П., Соколовская З.К. Улуг-
бек // Научно-биографическая литература. М.: Наука, 1997 С.29-71.
4 См.: Dilgan Н. D6monstration du V postulat d’Euclide par Shams-ed-Din al’Samarqan-
di // Revue d’histoire des scienceset de leurs applications. 1960. N13. P. 191-196; Ро-
зенфельд Б.А., Юшкевич А.П. Доказательства пятого постулата Евклида в работах
Сабита ибн Корры и Шаме ад-Дина ас-Самарканди / / Историко-математические
исследования. М., 1961. Вып.14. С.587-602; Ахмедов А. Трактат Шамсиддина Са-
марканди «Обоснованные предложения» //Из истории точных .наук на средневе-
ковом Ближнем и Среднем Востоке. Ташкент: Фан, 1972. С.20-42. В последней
И.О.Лютер 131
статье дается сокращенный перевод 1-9 и 18 предложений, но не из трактата ас-Са-
марканди, как утверждается, а из комментария ар-Руми.
5 См. прим.2.; также: Кади заде ар-Руми. [Шарх] ашкал ат-та’сис / Рукопись Науч-
ной библиотеки им. Н.И.Лобачевского Казанского государственного университета
№97 араб., лл. I-VII06. 1-33.
6 См. прим.5: Кади заде ар-Руми, цит. соч., л.1.
7 Там же, л.33.
8 В русском переводе название этого трактата - «Классификация арифметики», что не
совсем верно, поскольку «таджнис» или «теджнис», означает не «классификацию»,
а арабскую и персидскую стилистическую поэтическую форму (иначе «паронома-
сию»), для которой обязательны омонимические рифмы, что вполне согласуется с
тем, что некоторые средневековые арабские математические и астрономические
трактаты составлялись в стихотворной форме, возможно, под влиянием соответст-
вующей формы индийских научных сочинений, а также для облегчения запомина-
ния материала.
9 См. прим.З: Матвиевская Т.П., Соколовская З.К., цит. соч., с.33. Также: Kennedy
E.S. A letter of Jamshid al-Kashi to his father: Scientific researches and personalities at
a fifteenth-century court // Orientalia. 1960. Vol.29. N2. P. 191-213; Юсупова
Д.Ю. Письмо Гийас ад-Дина Каши к своему отцу из Самарканда в Кашан //Из
истории науки эпохи Улугбека. Ташкент: Фан, 1979. С.37-64.
10 Мехмед II Завоеватель (Фатих) (1432-1481) - османский султан, отличался исклю-
чительной образованностью, владел пятью языками, в том числе, по-видимому, и
греческим, изучал математику, увлекался астрономией и особенно философией, не-
плохо знал труды греческих философов и под руководством византийских ученых
занимался их комментированием, покровительствовал наукам, образованию и поэ-
зии.
11 Katib Chelebi. The Balance of Truth / Translated with an Introduction and Notes by
G.L.Lewis // Ethical and religious classics of East and West. Nol9. University of
Chicago. Reprint. London, 1957
12 См. прим.5: Кади заде ар-Руми, цит. соч., лл.1об.-2.
13 Насир ад-Дин ат-Туси. Тахрир китаб Усул ал-хандаса ва-л-хисаб мансуб ила Укли-
дис (Обработка книги начал геометрии и арифметики, приписываемая Евклиду) /
Рукопись Национальной библиотеки Франции (BNF) arabe 2465/6.
14 [Псевдо-Туси]: [Kitab] Tahrir al-usul li-Uqlidis li-sharih majhul mansub khata’ li Na-
sir al-Din al-Tusi. Anonymous commentary upon Euclid’s Elements wrongly ascribed to
Nasiraddin at-Tusi (Evclidiselementorumgeometricorum Libri Tredecim. Ex traditione
doctissimi Nasiridini Tusini. Nunc primum ArabicC impressi. Romae: Medicea,
M.D.XCIV, 1594) // Islamic Mathematics and Astronomy / Ed. by F.Sezgin.
Vol.20. Frankfurt am Main: Publications of the Institute for the History of Arabic-Isla-
mic Science at the Johann Wolfgang Goethe University, 1997 (на арабском языке)
15 Евклид. Начала / Пер. и комм. Д.Д.Мордухай-Болтовского при редакционном
участии М.Я.Выгодского и И.Н.Веселовского. В 3-х т. М.-Л. 1948-1950. Т.1.
С.11.
16 Предложение, поясняющее значение «положения», - это маргиналия тем же почер-
ком, что и текст. См. прим. 2: Шаме ад-Дин ас-Самарканди, цит. соч., л.1 Моб.
17 См. прим.5: Кади заде ар-Руми, цит. соч., л.З.
18 См. прим. 14: [Псевдо-Туси], цит. соч., с.З.
19 См. прим. 13: Насир ад-Дин ат-Туси, цит. соч., л.2.
20 Аристотель. Сочинения в четырех томах. М.: Мысль, 1975, 1978, 1981, 1984. Т.1:
Метафизика / Пер. А.В.Кубицкого. С. 155.
21 Там же, т.1: О душе / Пер. П.С.Попова. С.387
22 Аль-Фараби. Комментарии к трудностям во введениях к первой и пятой книгам Евк-
лида / Пер. М.Ф.Бокштейна с комм. Б.А.Розенфельда // Аль-Фараби. Матема-
тические трактаты. Алма-Ата, 1972. С.233-276 (246-247).
23 См. прим. 15.
132
МАТЕМАТИКА АНТИЧНОСТИ И СРЕДНИХ ВЕКОВ
24 После слов «соединяются таким образом» помещен рисунок произвольного прямо-
линейного (!) угла. См. прим. 16.
25 См. прим. 17
26 См. прим. 14: [Псевдо-Туси], цит. соч. с.4.
27 См. Прим. 19.
28 Ibn Sina. al-Shifa*, Usui Al-Handasah (Mathdmatique, G£om6trie) / Tcxte dtabli par
A.H.Sabra, A.H.Lotfi, Revu et preface par I.Madkour Cairo: al-Hay’a al-Misriya
al-’Amma li-l-Kitab / L’Organisation Egyptienne G^ndrale du Livre, 1977 P.16, (на
арабском языке)
29 См.прим.22, с.249.
30 Об этой проблеме подробно см.: Лютер И.О. Метафизика Ибн Сины: угол - отно-
шение, качество, положение или все-таки количество? // Историко-математиче-
ские исследования. Вторая серия. М. 2003. Вып.8(43). С.278-302.
31 «Выемка на одной линии образует искривление линии, а если две линии встречают-
ся, то на месте их встречи линия образует выпуклость и выемку, а именно - выпук-
лость в направлении наружу и выемку в направлении внутрь. Поэтому угол есть не-
которая выемка, но не всякая, образующаяся при встрече двух линий, наклоненных
друг к другу на плоскости и не расположенных по одной прямой» (см. прим.22:
Аль-Фараби, цит. соч., с.249).
32 Proclus. A Commentary on the First book of Euclid’s Elements / Translated with Intro-
duction and Notes by G.R. Morrow, with a new foreword by I.Mueller Princeton-New
Jersey: Princeton University Press, 1992. P.98-104.
33 См. прим. 2: Шаме ад-Дин ас-Самарканди, цит. соч., лл.116-116об.
34 Доказательство Симпликия этого «постулата»: «Если бы было возможно, чтобы две
прямые линии заключали поверхность, то пусть заключают две прямые линии АСВ
и ADB поверхность, как это изображено. Продолжим две прямые линии BE и BG по
прямой, и опишем круг AEGH с центром в [точке] В и расстоянием ВА. Следовате-
льно, поскольку точка В есть центр круга AEGH, каждая из прямых линий АСВЕ и
ADBG - диаметр круга. Следовательно, дуга AG равна дуге AGE, [то есть] большая
равна меньшей, это абсурдно и невозможно. Следовательно, нс заключают две пря-
мые линии поверхность.
Если же говорят «действительно, дуга не равна дуге, но площадь сегмента (таксир
кит‘а) ADBG[H] равна площади сегмента АСВЕН», то необходимо следует, что
угол HAD равен углу НАС, но это невозможно. И это действительно необходимо,
поскольку было доказано, что половины круга совпадают. И также, если сегмент
ADBG[H] равен сегменту АСВЕН, и центр в точке В, то верно, что каждый из сег-
ментов - половина круга и сегмент GBE вне круга». См.: Abu’1-‘Abbas an-Nayrizis
Exzerpte aus (Ps.-?)Simplicius Kommentar zu den Definitionen, Postulaten und Axio-
men in Euclids Elementa I / Eingeleitet, ediert und mit arabischen und lateinischen
Glossaren versehen von R.Arnzen. KGln, 2002. S.49-51. (издание арабского текста)
35 См. прим.2: Шаме ад-Дин ас-Самарканди, цит. соч. л.Ибоб; прим. 13: Насир
ад-Дин ат-Туси, цит. соч. с.4.
36 Аристотель. Сочинения в четырех томах. М.: Мысль, 1975, 1978, 1981, 1984. Т.2:
Вторая аналитика / Пер. Б.А.Фохта. С.275-276.
37 См. прим.34: Abu’Т* Abbas an-Nayrizis, цит. соч., с.40-43. Особое значение этой ра-
боты состоит в том, что в ней приводятся цитаты не только из Симпликия, но и Теро-
на. Более того, лексические и методологические аналогии между приведенными
ан-Найризи рассуждениями Симпликия о классификации углов по видам и о рого-
видных углах и соответствующими комментариями Прокла позволили нам предпо-
ложить, что Симпликий позаимствовал их, а возможно и некоторые другие, из сочи-
нения Прокла. См. нашу статью (прим.30). См. также: Sabra A.I. Simplicius’s proof
of Euclid’s parallels postulate / Optics, Astronomy and Logic: Studies in Arabic Scien-
ce and Philosophy. XIII. P.1-24. Variorum Collected Studies Series, 1994.
38 См. прим.34: Abu’l-‘Abbas an-Nayrizis, цит. соч. с.42.
39 См. прим. 2: Шаме ад-Дин ас-Самарканди, цит. соч., лл.116-116об.; прим.5: Кади
заде ар-Руми, цит. соч., л.5.
И. О. Лютер 133
40 Аль-Фараби. Вводные разделы по логике. Силлогизм / Пер. Б.Я.Ошерович и
Е.Д.Харенко / / Аль-Фараби. Логические трактаты. Алма-Ата, 1975. С.99-120
(с. 103-104); с.245-360 (с.263-264). См. также: Abed Sh. Aristotelian Logic and the
Arabic Language in Alfarabi. New York, 1991. P.91.
41 См. прим.37: Sabra A.I., цит. соч. с.5.
42 Rashed.R. Al-Sijzi and Maimonidcs: a mathematical and philosophical commentary on
proposition 11-14 in Apollonius’ Conic sections / Maimonides and the Sciences. Ed. By
R.S.Cohen and H.Levine. Kluwer Academic Publishers, 2000. P. 159-172.
43 Доказательство ар-Руми четвертого постулата: «Все прямые углы равны. Докажем
это. Пусть углы ABC, ABD(AB перпендикулярна CD. - И.Л.), EZF и EZH (EZ пер-
пендикулярна HF - И.Л.) - прямые. Я говорю, что равные углы АВС и ABD по-
добны также равным углам EZH и EZF Если наложим точку В на Z и линию DC на
FH, то неизбежно, что линия АВ наложится на EZ. Если нет, то пусть попадет АВ
[на линию,] подобную ZK (находящуюся внутри прямого угла EZH - И.Л.). Тогда
угол АВС будет подобен углу KZH и ABD подобен KZF, так как вещи, совпадаю-
щие без избытка, равны, - это из общих понятий (то есть аксиом - И.Л.), которые
привел Евклид в начале своей книги. Далее, EZH равен АВС; аналогично, ему так-
же равен ABD. Но вещи, равные одной вещи равны и это также из тех понятий.
Тогда KZH равен ABD. Аналогично, ему также равен KZF И EZH - целое - боль-
ше, чем KZH - часть, и это также из [общих] понятий. Тогда EZF равен EZH, боль-
шему, чем KZF, равный KZH, так как равное большему больше, чем равное меньше-
му. Тогда часть больше, чем целое. Неверно» (см. прим.5: Кади заде ар-Руми, цит.
соч., лл.5-5об.).
Доказательство четвертого постулата Псевдо-Туси: «Любой прямой прямолиней-
ный угол равен любому [другому] прямому прямолинейному углу В противном
случае пусть каждый из углов ABC, DER - прямой и допустим Е накладывается на
точку В так, что линия DE накладывается на линию АВ. Тогда, если наложена ли-
ния ER на линию ВС, то все сделано. Если нет, то пусть попадет на то, что между ли-
ниями АВ и ВС, как линия BG. Продолжим АВ по прямой в сторону В до точки F
Тогда, так как прямая линия ВС надает па линию ABF и угол АВС прямой, то угол
CBFтакже прямой, так как нс отклоняется линия ВС ни в одну из сторон A, F И так
как линия ВС падает на линию AF и образует с одной из ее сторон прямой угол
АВС, то нс отклоняется опа ни в одну из сторон A, F Если нет, то пусть будет угол
BCD (должен быть CBF - И.Л.) острым или тупым, но он прямой. Это нелепо. Тог-
да угол ABG равен углу GBF Пусть угол ABG меньше, чем угол АВС, тогда он ме-
ньше, чем угол CBF, равный углу АВС. Тогда угол GBF равен углу ABG, меньше-
му, чем угол CBF В результате каждая вещь, меньше своей части. Это нелепо. Сле-
довательно, истина установлена, и это то, что мы хотели доказать» (см. прим. 14:
[Псевдо-Туси], цит. соч. с.7-8).
44 См. прим.32: Proclus, цит. соч. с. 143-144.
45 В предложении 1.4 утверждается: «Если два треугольника имеют по две стороны,
равные каждая каждой, и но равному углу, содержащемуся между равными прямы-
ми, то они будут иметь и основание, равное основанию, и один треугольник будет
равен другому, и остальные углы, стягиваемые равными сторонами, будут равны
остальным углам каждый каждому». См.прим. 15: Евклид, цит.соч. с. 18-19.
46 См. прим.32: Proclus, цит. соч. с. 186-187
47 Бычков С.Н. Четвертый постулат Евклида и потенциальная бесконечность // Бес-
конечность в математике: философские и исторические аспекты. М., 1997 С.35-47
48 См. прим.5: Кади заде ар-Руми, цит. соч., лл.5об.-6.
49 См. прим. 14: [Псевдо-Туси], цит. соч. с.5.
50 См. прим. 14: [Псевдо-Туси], цит. соч. с.5-6.
51 Прокл утверждает: «...это предполагается в наших первых принципах, что две пря-
мые линии не могут иметь общий отрезок. Ибо определение прямой линии содержит
это, если прямая линия есть линия, которая равно расположена по отношению к точ-
кам на ней. Ибо тот факт, что интервал между двумя точками равен прямой линии
между ними, делает линию, которая их соединяет, единственной и наикратчайшей;
134
МАТЕМАТИКА АНТИЧНОСТИ И СРЕДНИХ ВЕКОВ
» а к a
поэтому, если любая линия совпадает с ней частью, она совпадает и остатком. Ибо,
если каждая из линий простирается вдаль, она необходимо должна, поскольку она
наикратчайшая, совпасть целиком с другой. И, более того, этот принцип, очевидно,
подразумевается в постулатах. Ибо постулат, что конечная прямая линия может
быть продолжена по прямой линии, ясно показывает, что продолженная линия
единственна и что ее продолжение следует из единственного движения». Об этом
подробно см.: Euclid. The thirteen books of the Elements / Translated from the text of
Heiberg with introduction and commentary by Sir T.L.Heath. 3 vols. Reprint. New
York: Dover, 1956. Vol. 1. P. 196-199; прим.32: Proclus, цит. соч., c. 168-170 (c.169).
52 Там же.
См. прим.5: Кади заде ар-Руми, цит. соч., л.6.
См. прим. 14: [Псевдо-Туси], цит. соч., с.7
См. прим.2: Шаме ад-Дин ас-Самарканди, цит. соч., л. 114.
См. прим.5: Кади заде ар-Руми, цит. соч., л.2об.
57 Ragep F.J. Freeing astronomy from philosophy. An aspect of Islamic influence on scien-
ce // Osiris. 2001. N16. P.49-71 (p.58-59).
58 О методе наложения и возможных основаниях правомерности его применения в гео-
метрических сочинениях средневековых арабо-мусульманских ученых см.: Лютер
И. О. От квадратуры круга к введению движения в геометрию (в контексте сочине-
ний аш-Ширази и Альфонсо из Вальядолида) / / Историко-математические иссле-
дования. Вторая серия. М.: Янус-К, 2007 Вып. 12/47 С.237-274.
59 Критика ал-Хайяма и ат-Туси основывалась, главным образом, на аристотелевском
определении математических объектов как абстракций физических объектов, а по-
тому лишенных всех чувственно воспринимаемых качеств, а также движения («Ме-
тафизика», 1061а28—Ь7; «Физика», 193Ь22-194а15). О критике Хайяма в его «Ком-
ментарии к трудностям во введениях книги Евклида» кинематических методов Ибн
ал-Хайсама см.: Омар Хаййям Трактаты / Пер. Б.А.Розенфельда, вступ. статья
А.П.Юшкевича и Б.А.Розенфельда. М., 1961. С.113-146 (с. 115-116); о критике
ат-Туси см.: Насир ад-Дин ат-Туси. Трактат, исцеляющий сомнение по поводу па-
раллельных линий / Пер. Б.А.Розенфельда, примечания А.П.Юшкевича и
Б. А.Розенфельда / / Историко-математические исследования. М., 1960. Вып.XIII.
С.483-532 (с.483-485); также см.: Розенфельд Б.А., Юшкевич А.П. Теория парал-
лельных линий на средневековом Востоке, IX-XIV вв. М., 1983. С.49-62. Частично
проблема правомерности применения движения в геометрии средневековыми ара-
бо-мусульманскими была рассмотрена в наших статьях (см. прим.30, 56); см. так-
же: Лютер И.О. Проблема несоизмеримости окружности и диаметра круга в кон-
тексте учения Аристотеля: сочинения ат-Туси и аш-Ширази // Историко-матема-
тические исследования. Вторая серия. И. 2002. Вып.7(42). С.243-261.
60 См. прим.5: Кади заде ар-Руми, цит. соч., лл.4об.-5.
61 См. прим.14: [Псевдо-Туси], цит. соч. с.7
62 Более подробно критика Ибн Сины применения движения в геометрии в его «Книге
знания» («Даниш-намэ») и «Книге исцеления» (Китаб аш-шифа‘) рассмотрена в
нашей статье, указанной в прим.30. Для сравнения слова Хайяма: «Какое отноше-
ние имеется между геометрией и движением и что следует понимать под движением?
Согласно ученым несомненно, что линия может существовать только на поверхно-
сти, а поверхность - в теле, т.е. линия может быть только в теле и не может предше-
ствовать поверхности. Как же она может двигаться отвлеченно от ее предмета? Как
линия может быть образована движением точки, в то время как опа предшествует
точке по своему существу и по своему существованию?» (см..прим.59, Омар Хайям,
цит.соч., с.115-116).
63 Ибн Йунус известен своими сочинениями по теологии, математике, философии и ме-
дицине. Большую часть жизни он провел в Мосуле (современный Ирак) - в то
время своеобразном научном центре, находящемся на пересечении торговых и па-
ломнических путей. В Мосуле вместе с ним работал долгое время и ал-Абхари. С
именами этих ученых связана история переписки Фридриха II Гогенштауфена с уче-
ными арабо-мусульманских стран; наиболее известны так называемые «
И. О. Лютер
135
Сицилийские вопросы». Как сообщает ученик ал-Абхари, известный астроном и
космограф Хамдаллах ибн Абу Йахйа Закарийа ал-Казвини (ок. 1203-1283), фран-
ки направили сирийским ученым различные философские и естественно-научные
вопросы; однако, разрешив медицинские и философские проблемы, эти ученые не
справились с математическими и переадресовали их по решению султана ал-Малика
ал-Камила в Мосул ал-Абхари; трудности возникли и у ал-Абхари и он передал их
Ибн Йунусу, который, в конце концов, нашел решение, впоследствие доработанное
и переписанное ал-Абхари и отправленное назад ал-Малику ал-Камилу. См.: Suter
Н. Die Mathematiker und Astronomen der Araber und ihre Werke // Abhandlungen
zur Geschichte der mathematischen Wissenschaften 10 (1900). S. 140-141; Hasse N.
Mosul and Frederick II Hohenstaufen: notes on Atiraddin al-Abhari and Siragaddin
al-Urmawi // Occident et Proche-Orient: Contacts scientifiques au temps des Croisa-
des: actes du colloque de Louvain-1 a-Neuve, 24 et 25 mars 1997 / 6ds. I.Draelants,
A.Tihon et B. van den Abeele. Louvain-la-Neuve: Centre de recherche en histoire des
sciences - Turnhout Brepols, 2000 (R6minisciences, 5). P. 145-163; Al-Qazwini. Ki-
tab atar al-bilad / Ed. F.Wustenfeld. Gottingen, 1848 (reprint Frankfurt am Main,
1994). P.310.
64 См. прим.32: Proclus, цит. соч., с. 145.
65 Там же, с. 145-146. См. также: Прокл Диадох. Комментарий к первой книге «На-
чал» Евклида. Постулаты и аксиомы / Пер. с греч. А.И.Щетникова // ЪХОАН.
Философское антиковедение и классическая традиция. 2008. Т.П. Вып.2.
С.265-276 (или: www.nsu.ru/classics/schole/2/2-2-proclus.pdf).
66 Ал-Хасан ибн ал-Хайсам. Шарх мусадарат Уклидис / Рукопись Научной библиоте-
ки им. Н.И.Лобачевского Казанского государственного университета №104 араб.
лл.166-166об.
67 Предложение 1 (в нумерации ас-Самарканди), на которое он ссылается, соответст-
вует предложению 1.13 «Начал» Евклида; в нем утверждается, что если прямая,
восставленная на прямой, образует углы, то она будет образовывать или два прямых
или вместе равные двум прямым (см. прим.2, л.116 об.).
68 См. прим.2: Шаме ад-Дин ас-Самарканди, цит. соч., лл.118-118об.
69 «И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону
углы, меньшие двух прямых, то продолженные неограниченно эти две прямые
встретятся с той стороны, где углы меньшие двух прямых». См. прим. 15: Евклид,
цит. соч. с. 15.
70 Это маргиналия тем же почерком, что и текст. См. прим.2: Шаме ад-Дин ас-Самар-
канди, цит. соч., л.118об.
71 См. прим.5: Кади заде ар-Руми, цит. соч., л.8; прим. 13: Насир ад-Дин ат-Туси,
цит. соч., л.З.
72 См. прим.14: [Псевдо-Туси\, цит. соч., с.8.
73 См. прим.28: Ibn Sina, цит.соч., с.19.
74 См. прим. 14: [Псевдо-Туси\, цит. соч., с.З.
75 См. прим.5: Кади заде ар-Руми, цит. соч., л.8об.
76 См.: Розенфельд Б.А., Юшкевич А.П. Теория параллельных линий на средневеко-
вом Востоке$, SIX-XIV вв. М., 1983. С.63-66.
77 См. прим.2: Шаме ад-Дин ас-Самарканди, цит. соч., лл.119-119об.
78 См. прим.53.
79 «Предваряются», поскольку ас-Самарканди, без сомнения, хорошо знал и это сочи-
нение ат-Туси. К тому же, свои основные сочинения ас-Самарканди составил при-
мерно к 1276 г., то есть уже после смерти ат-Туси в 1274 г.
80 См. прим.58: Насир ад-Дин am-Туси, цит. соч., с.485.
81 См. прим.58: Омар Хайям, цит.соч., с.113-115.
Что касается Аристотеля, то в «Метафизике» (1005а!9-1005b! 1) он утверждает,
что исследованием и установлением начал и аксиом отдельной области знания - и
геометрии, и арифметики, и любой другой из частных наук, включая натурфилосо-
фию, должен заниматься философ, которому также надлежит исследовать и
136
МАТЕМАТИКА АНТИЧНОСТИ И СРЕДНИХ ВЕКОВ
дедуктивные начала. Аристотель объясняет это тем, что философ изучает «общее и
первую сущность», а начала и аксиомы эти «имеют силу для всего существующего, а
не для какого-то особого рода отдельно от всех других. И применяют их все, потому
что они истинны для сущего как такового, а каждый род есть сущее; но их применя-
ют настолько, насколько это каждому нужно, т.е. насколько простирается род, от-
носительно которого приводятся доказательства...А попытки иных рассуждающих
об истине разобраться, как же следует понимать [аксиомы], объясняются их незна-
нием аналитики, ибо к [рассмотрению] должно приступать, уже заранее зная эти ак-
сиомы, а не изучать их, услышав про них».
Подобный тезис высказывает и Ибн Сина в первой главе «Метафизики» своей эн-
циклопедической «Книги знания» (Даниш-намэ): «...в этой науке (имеется в виду
метафизика. - И.Л.) мы должны изучать причины, присущие всякому бытию, а не
одним лишь [объектам] математики или физики...Принципы всех наук основывают-
ся на этой науке, и хотя ее изучают в конце, в действительности она является пер-
вой». См.: Ибн Сина. Книга знания. Метафизика / Пер. с фарси-дари А.Богоутди-
нова // Ибн Сина. Избранные философские произведения. М. 1980. 103-184 (с.
106); Avicenne. Le livre de science / Trad, par M.Achena et H.Masse. Paris: Les Belles
Lettres/UNESCO, 1986. Part I. Logique, metaphysique. P.135-136; Morewedge P.
The Metaphysica of Avicenna (ibn Sina) (A critical translation-commentary and analy-
sis of the fundamental arguments in Avicenna’s Metaphysica in the Danish Nama-i ‘ala’i
(The Book of Scientific Knowledge)) // Persian Heritage Series. London: Routledge
& Kegan Paul, 1973. No 13. P.26.
82 Ахмедов А. Трактат Шамсиддина Самарканди «Обоснованные предложения» / /
Из истории точных наук на средневековом Ближнем и Среднем Востоке. Ташкент:
Фан, 1972. С.20-42.
83 См. прим.5: Кади заде ар-Руми, цит. соч., л.9.
84 Это заключение подтверждается и исследованием А.Сабры рукописей трактата
ас-Самарканди из коллекций Британского музея и Принстонского университета,
также не содержащих это доказательство. См.: Sabra A.I. Thabit ibn Qurra on Euc-
lid’s parallels postulate / Optics, Astronomy and Logic: Studies in Arabic Science and
Philosophy. XII. P.14 (footnote 9). Variorum Collected Studies Scries, 1994.
НУМЕРАЦИОННЫЕ РАЗРАБОТКИ
СТЕФАНА ПЕРМСКОГО НА РУСИ XIV ВЕКА
Б.Н.Морозов, Р.А.Симонов
На основе данных, выявленных в последнее время, в истории
математики Древней Руси условно можно выделить три фазы [1,
с.36-41]. Первая фаза связана с формированием календарно-
арифметических знаний (X-XIV вв.). Следующая характеризу-
ется использованием математики в ятронауке (XV - начало XVIII
в.). Заключительная фаза обусловлена превращением древнерусс-
кой математики в сравнительно массовую профессиональную дея-
тельность (с XVI в.), инициируемую развитием торговли (счет на
основе индоарабской нумерации) и налогового обложения (измере-
ние земельных угодий). Каждая новая фаза не отменяла предыду-
щею. В своем единстве они отражают состояние средневековой ма-
тематики на Руси примерно до открытия Академии наук в XVIII в.
(подробнее см.: [2]).
Б.Н.Морозов, Р.А.Симонов
137
Между первой и второй фазами существует своего рода «про-
межуточная зона», выделяющаяся нумерационными разработками.
Было установлено, что в основу так называемой «греческой» Пас-
хальной азбуки, служащей средством рационализации пасхальных
расчетов, положен один из древнерусских «цифровых алфавитов»
XIV столетия [там же, с.63-65]. Возник вопрос: это было случай-
ным эпизодом или своего рода показателем общественного интере-
са к нумерации как математическому способу познания? Нужны
были дополнительные данные, связанные с поставленным вопро-
сом. И они недавно были обнаружены.
Данные нумерационного характера представлены в творчестве
епископа Стефана Пермского (ок. 1340-1396). Святитель Стефан
в 1370-х гг. разработал азбуку с целью просвещения и приобщения
к православию предков коми-зырян одного из финно-угорских
народов «пермян»1. Как оказалось, Стефан Пермский вместе с
азбукой создал оригинальную цифровую систему [3-5].
Рис.1. Икона «Троица» из Троицкой церкви Вожемского погоста
близ Ярснска на реке Вычегде,конец XIV в.
138
МАТЕМАТИКА АНТИЧНОСТИ И СРЕДНИХ ВЕКОВ
Древнейший случай использования пермской «буквенной циф-
ры» 3 представлен в надписи на иконе «Троица» конца XIV в. из
Троицкой церкви Вожемского погоста близ Яренска на реке Вы-
чегде, в настоящее время хранящаяся в Вологодском государствен-
ном историко-архитектурном и художественном музее-заповеднике
(рис.1). Эта икона единственный сохранившийся, возможно, соз-
данный при жизни св. Стефана духовный памятник. По преданию,
икона «Троица» была вложена Стефаном Пермским в церковь села
Вожема незадолго до кончины епископа. В нижней части иконы
«Троица» пермскими буквами сделана запись библейского текста,
в котором трижды повторяется мысль о троичности (трех челове-
ческих фигурах и трех предметах): явлении Аврааму Бога в сопро-
вождении трех мужей, испечении Саррой по просьбе Авраама
трех хлебов из трех мер муки. Во всех этих случаях числитель-
ное три выражено не словом, а «буквенной цифрой»: третьей в
пермском алфавите буквой «гай» под титлом (особым горизонталь-
ным значком, который ставился над «буквенными цифрами», в
греко-византийской и славяно-русской письменной практике).
Недавнее обследование иконы показало, что в двух из трех
случаев «буквенная цифра» 3 хорошо сохранилась, в третьем слу-
чае она лишь угадывается2. В начале XIX в. с надписи иконы
«Троица» была сделана прорись, так называемая Фортунатовская
копия, которая долгое время считалась наиболее удачной. Ее срав-
нение с данными фотосъемки 2006 г. показывает, что за 200 лет
два случая «буквенной цифры» 3 практически не утратили былой
сохранности. У третьего случая цифры 3 в начале XIX в. отсутст-
вовало титло и петля у верхнего «коромысла» слева; однако оста-
ток знака «гай» (3) еще напоминал букву «Т» (рис.2).
Открытием XXI в. являются числовые пометы, сделанные пер-
мскими знаками на листах тетрадей некоторых славяно-русских
рукописных книг, переписанных в Коми крае в начале XVI в. Наз-
начение помет заключается в счете тетрадей, из которых сшива-
лись рукописные книги. Стандартный лист бумаги (или пергаме-
на) перегибался пополам, затем в четыре раза, далее - в 8, 16 раз,
или даже в 32 раза. Отсюда появились характеристики, выражав-
шие размер книги: «в лист», «в пол-листа», «в четверть», «в ось-
мушку», «в 16 долю», «в 32 долю» и подобные. И сейчас книги
сшиваются из 8-листных (16-страничных) тетрадей, о чем свиде-
тельствует особый (сигнатурный) тетрадный счет, наряду с постра-
ничной нумерацией. Средневековые книги первоначально имели
только тетрадный счет, а листовая пагинация (постраничная нуме-
рация обычно не применялась) появилась в них преимущественно
в XVIII-XX вв. благодаря труду библиотекарей и архивистов. Тет-
радная нумерация сохранилась не во всех средневековых рукопи-
Б.Н.Морозов, Р.А.Симонов
139
f LbVvtHl П iV 7И V F vn 1ЛИ 1Л. F VI cb ГПГ
T x f vnvvr If fV/j.z xtlA nVirtMi
|4ti*?A т и и v n <A p tVt тп vwvv\r Лит i '
'.'.AVi/rz l mi A v
цмт" /и ли^г/рпшти f <4 nr
(Ь о ~ r " i. и vi M’*nVz_ И ' „ ' A fT» A r'
Рис.2. Фрагмент так называемого «Фортунатовского списка» начала XIX в. надписи
иконы «Троица» конца XIV в. Один случай цифры 3(«гай» под титлом) содержит
начало второй строки, другой случай цифры 3(«гай» под титлом) - четвертый знак
справа в пятой строке. В начале пятой строки расположен знак, похожий на «Т»,
который некоторые авторы ассоциируют с остатком пермской цифры 3
сях. Во-первых, она не всегда проставлялась. Во-вторых, ее могли
обрезать при реставрации книги.
Данные о соответствующих пометах появились в печати в свя-
зи с изданием Мазуринской кормчей, подготовленном Е.В.Беляко-
вой, К.Илиевской, О.А.Князевской, Е.И.Соколовой, И.П.Старос-
тиной и Я.Н.Щаповым [6]. О тетрадном счете пермскими буквами
говорится в составленном Е.В.Беляковой описании Уваровского
списка 1510 г. Мазуринской кормчей (Увар. 81-4° [6, с.58, 94].
Тетрадные пометы пермскими «буквенными цифрами» недавно
были обнаружены Б.Н.Морозовым еще в одной рукописи собра-
ния Архангельской семинарии Библиотеки Российской Академии
наук (Арханг с.5). Это - Сборник церковно-канонических статей
1511/1512 гг., переписанный в южных пределах Пермско-Выче-
годского края (Никольский погост на реке Лале)3 Тетрадные по-
меты в Уваровском списке ставились на нижнем поле листа спра-
ва, иногда еще и сверху. Всего во всех тетрадных пометах (чис-
лах) рукописи использована 81 пермская «буквенная цифра». Сле-
дует отметить еще одну (кроме титл) характерную особенность за-
писи чисел пермскими «буквенными цифрами» как и кирилли-
ческие числа, они выделяются точками по краям, но непоследова-
тельно, не всегда, редко двумя, а в основном одной, после числа.
Пермские «буквенные цифры» в архангельской рукописи (Ар-
ханг., с.5) сохранились не в начале рукописи, а с 158 листа; пос-
ледовательность чисел тетрадного счета такова: 21 (л. 158), 22
(л.166), 23 (л.174), 24 (л.182), 25 (л.190), 26 (л.198) (рис.З).
Тетрадные пометы в этой рукописи ставились в середине нижнего
поля. Всего в этой рукописи сохранилось шесть пермских чисел, в
140
МАТЕМАТИКА АНТИЧНОСТИ И СРЕДНИХ ВЕКОВ
Рис.З. Тетрадная помета пермскими «буквенными цифрами» 21
записи которых использовано 12 пермских «буквенных цифр».
Итого в двух рукописях (Увар. 81-4° и Арханг. с.5) имеется 93
пермских цифры (81 + 12 =93).
Очевидно, что св. Стефан создал пермскую цифровую систему
не специально для тетрадных помет: он ее применял (одновремен-
но с буквенной системой) для записи чисел как в духовной практи-
ке (библейский текст на иконе «Троица»), так и в быту писцов
(счет тетрадей). По-видимому, пермские «буквенные цифры»
употреблялись шире, чем об этом говорят обнаруженные примеры.
Работа в указанном направлении только начата, и, возможно, бу-
дут найдены новые образцы употребления пермских «буквенных
цифр» в установленных и других сферах приложения нумерации.
Соответствующая стефановская традиция успешно продолжена
в творчестве династии книгописцев Пермской земли конца XV
начала XVI вв. отца и сына Гаврилы Лукина и Васюка Гаврилова
[8; 9]. Последнему, Васюку Попову сыну Гаврилову-Кылдашеву
(Кылдас’эв Дьяк[он?]ов4, переписавшему уваровскую (Увар.
81-4°) и архангельскую рукописи (Арханг. с.5) в начале XVI в.,
по-видимому, и принадлежат тетрадные пометы пермскими «бук-
венными цифрами» в этих рукописях.
Как проявлялись познавательные интенции изобретенной Сте-
фаном Пермским пермской цифровой системы? Подобные вопросы
ставятся (обсуждаются), например, в рамках социальной истории
науки: «Основная задача социальной истории науки не только
понять «изобретение знания, детерминируемого обществом в дан-
ный исторический период», но и связать саму возможность получе-
ния нового знания с исторической ситуацией и с ориентирами госу-
дарственных институтов, неизбежно подстраивающихся под исто-
Б.Н.Морозов, Р.А.Симонов
141
рические реалии» [И, с.334]. Отсюда следует, что применительно
к пермской нумерации важно не только установить сам факт ее су-
ществования, но использовать (как новое знание) для прояснения
ситуаций, обусловленных наличием стефановской письменности
как исторической реальности государственного значения.
Одним из дискутируемых является вопрос о первоначальном
количестве букв древнекоми письменности, созданной Стефаном
Пермским. В публицистике распространена точка зрения, якобы
следующая из слов Епифания Премудрого, о 24 буквах: «Он (Сте-
фан. - Авт.) составил древнепермскую азбуку из 24 букв...» [12,
с.72]. Вопреки этому мнению, ученые по сохранившимся памятни-
кам установили, что стефановских букв насчитывается 27: «Биог-
раф Стефана (Епифаний. Авт.) в своей повести говорит о 24
«словах», тогда как по текстам мы имеем 27 букв» [13, с.243].
Епифаний Премудрый о числе букв написал не обычным обра-
зом, а в виде своеобразного ребуса, связывая его «расшифровку» с
греческой письменностью: «Такоже и сесь сложил числом четыре
межи десятма слов, подобяся греческиа азбуки числу слов» [14,
с.180]. Разгадка «ребуса»: I + Д + 1[= 24]. На вопрос, почему число
24 передано именно тремя, а, например, не двумя или четырьмя и
пр. слагаемыми, ответ находим из данных Епифания о греческой
азбуке: «Собрася азбука греческая слов числом .КД. (24), ...а ин
книжник [добавил] три слова, имиже числа пишются: шестое яве и
девятдесятное и девятсотное» [14, с.184; 15, с.151-152;]. Из этого
следует: Епифаний и, по-видимому, Стефан знали, что греческое
письмо применительно к «буквенным цифрам» насчитывало 27
знаков5. Возможно, и окончательная расшифровка «ребуса» Епи-
фания состоит в прибавлении к числу 24 (1+Д+1) количества цифр
(3), что дает число 276, равное реальному количеству букв в древ-
некоми письменности, разработанной Стефаном Пермским.
Возможно, Стефан Пермский действительно вначале создал,
строго следуя представлению о классической греческой азбуке, 24
пермские буквы. Затем, занимаясь переводами христианской лите-
ратуры на древнекоми язык и соответствующим обучением, он
столкнулся с необходимостью введения пермских цифр. Из гре-
ко-византийской письменной традиции, Стефан, скорее всего, знал
о дополнительных цифровых знаках: 6, 90 и 900. В Житии Стефа-
на, написанном Епифанием, не говорится о причине их введения
греками. По-видимому, это было очевидно для гречески образован-
ных древнерусских людей, к числу которых принадлежали Стефан
Пермский и Епифаний Премудрый. Дело было в известном неу-
добстве записи чисел 24 буквами, которое снималось при их рас-
ширении до 27 знаков. В таком случае 27 письменных знаков под-
разделялись на три группы - каждая из 9 знаков. Первая девятка
142
МАТЕМАТИКА АНТИЧНОСТИ И СРЕДНИХ ВЕКОВ
знаков обозначала единицы, вторая - десятки, а третья - сотни. В
такой системе записывались числа от 1 до 999. С помощью допол-
нительных значков в ней можно было записать число практически
любой величины.
Однако появлялась другая проблема, требующая при обучении
пользоваться не одной, а двумя азбуками - кроме обычной гречес-
кой «буквенной азбуки» из 24 знаков, нужна была также особая
«цифровая азбука» из 27 знаков. Возможно, Стефан Пермский,
осознавая указанную проблему, пришел к выводу о необходимости
нумерационного упорядочения древнекоми азбуки по примеру гре-
ческого 27-знакового «цифрового алфавита». Как следует из Жи-
тия Стефана Пермского, Епифаний косвенно и «ребусно» об этом
высказывается, однако прямо и определенно не говорит.
Можно попытаться представить, как бы выглядела нумераци-
онная азбука, использовавшаяся Стефаном Пермским. Для сравне-
ния возьмем некоторые сохранившиеся тексты «цифровых азбук»,
предназначенных, так сказать, для иноязычного употребления. Об
одной из них упоминалось выше. Она встречается в немецком ко-
дексе IX в. №207 (Бюргер-библиотека, г.Берн, Швейцария)
(рис.4). В тексте насчитывается 27 «буквенных цифр», которые
следуют строго в нумерационном порядке: единиц - 1, 2, 3, 4, 5,
\ 11,- 11 ТП* ИМ ' М ' Ml W «МшиИМХ'Ч*
1L ‘ Г Д Г: feX -,>Х м el 1
w • К-',. " > и;-
Л'Ш £ ЫГ. V. 4> Л’ г'К.
Рис.4. «Цифровой алфавит» из немецкого Кодекса IX в.
6, 7, 8, 9, десятков - 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 и сотен
100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900. Над каждой греко-ви-
зантийской «буквенной цифрой» стоит соответствующее числовое
значение в римской нумерации. Это говорит о том, что ознакомле-
ние с греко-византийскими «буквенными цифрами» по этому
«цифровому алфавиту» предполагало знание цифровой системы
латинской традиции - римских цифр.
Особый интерес представляет славяно-молдавский «цифровой
алфавит», встречающийся в Сборнике богослужебном 1661 г
(Пражский народный музей, IX.H.19) (рис.5). Текст рукописи на-
писан кириллицей, но на румынском (или молдавском) языке.
«Цифровой алфавит», по-видимому, заимствован из славянского
(болгарского?) источника, о чем свидетельствуют заключительные
Б.Н.Морозов, Р.А.Симонов
143
Рис.5. «Цифровой алфавит» Сборника богослужебного 1661 г
слова по-славянски: «Конец чис(л)». В рассматриваемом славя-
но-молдавском «цифровом алфавите» первые десять «буквенных
цифр» выражали значения 1-10, затем шли обозначения 11-19,
далее десятки и сотни: 20-900. Последний, 28-й в этом ряду
знак («сампи» в виде треножника или похожий на него «юс ма-
лый») обозначал также 900, но поскольку ему придан тысячный
«хвостик», то он выражал 900 тысяч. Этим знаком показан предел
(900000), порядок которого могло достигать наибольшее число в
цифровой системе рассматриваемого «цифрового алфавита». И
действительно, далее после точки и волнообразного значка в тексте
показано, как способом придачи «хвостика» знакам единиц, десят-
ков и сотни можно выразить большие числа от 1000 до 100000.
Текст рассматриваемого славяно-молдавского «цифрового алфа-
вита», по-видимому, писался не единовременно. Начальная часть
могла относиться к XIV-XV вв., о чем свидетельствует тысячный
«хвостик» с одним перечеркиванием при 28-м знаке, а позже появи-
лись дополнительные данные о больших числах, где тысячные зна-
ки имеют два перечеркивания, то есть отражают традицию
XVI-XVII вв.
Обобщая указанные сведения, можно смоделировать, что у Сте-
фана Пермского «цифровой алфавит» также имел бы 27 основных
144
МАТЕМАТИКА АНТИЧНОСТИ И СРЕДНИХ ВЕКОВ
знаков, упорядоченных по принципу: первая девятка обозначает
единицы, вторая десятки, а третья сотни. Кроме того, мог
быть 28-й знак (выражающий 900 и имеющий тысячный «хвос-
тик»), указывающий предел записи чисел в пермской числовой
системе (900 тысяч).
Соответствующий перечень древнепермских знаков представ-
лен в «Азбуке пермской», воспроизведенной в Уваровском списке
Мазуринской кормчей 1510 г. (Государственный исторический му-
зей. Увар. 81-4° л.244) (рис.6). Здесь даются 28 знаков разделен-
ных точками, а над первым знаком стоит титло. После 28-го знака
имеется двоеточие, и затем - перечеркнутое тире. После этого идут
Рис.6. «Азбука пермская» 1510 г
двузначные слога, также разделенные точками. Таким образом,
текст поделен на две части: собственно азбуку и слога. Между
27-м и 28-знаками существует генетическая связь: они похожи на
кириллическую букву «л», 28-й знак как бы повторяет 27-й (900),
но будучи дополненным тысячным знаком, выражает 900 тысяч
(рис.7).
Тысячный «хвостик» был заимствован славянами у византий-
цев вместе с цифровой системой: он служил для обозначения
больших чисел порядка нескольких тысяч. «Хвостик» претерпел
Рис.7. 27 и 28 знаки «Азбуки пермской» (увеличение)
Б.Н.Морозов, Р.А.Симонов
145
несколько модификаций. Так, в славяно-русской практике он
представлен с одним перечеркиванием в записи «цифрового алфа-
вита» на деревянной основе церы Новгородской псалтыри первой
четверти XI в. [17, с.31]. Но и в ХП-ХШ вв. знак тысяч такой
формы еще являлся редкостью. В XIV в. тысячный знак без пере-
черкивания употреблялся в сочетании с перечеркнутым «хвости-
ком» или с утолщением в виде точки. Например, в «цифровом ал-
фавите» Служебника второй половины XIV в. (РЫБ, F.n.I, № 73,
л.395 об.) перечеркивания «хвостика» столь малы, что могут быть
приняты за «точку» (кстати, здесь встречается форма титл с точ-
кой посередине). В Мериле праведном по списку XIV в. на одном
и том же листе 283 используется тысячный знак без перечеркива-
ния и с «точкой» [18, л.283]. В XV в. тысячный «хвостик» стал
практически повсеместно перечеркиваться одной черточкой, а в
XVI в. двумя (в таком виде он попал в печатные книги, и с тех
пор не меняет начертания).
Если «хвостик» с «точкой» в «Азбуке пермской» при 28-м
знаке предназначался для записи тысяч, то он может служить важ-
ной хронологической приметой XIV в., так как тысячный знак с
«точкой» позже этого времени не встречается. А это в свою оче-
редь означает, что подлинник «Азбуки пермской», представленный
позднейшей записью Уваровского списка 1510 г. Мазуринской
кормчей, действительно восходит ко времени Стефана Пермского
и, возможно, был составлен им самим, а не позднейшими коммен-
таторами (например, писцами Гаврилой или Васюком).
Об этом же говорят завершающие слова «Азбуки пермской»:
«азъбука перъмска!а. изложе(н)е Стефана еп(с)па Перъскаго.
ам(н)» (см.: рис.7). О Стефане Пермском здесь сообщается, что
он был епископом, но нет сведений о его смерти и причислению к
лику святых. Стефан провозглашен епископом Пермским в
1383 г., скончался в 1396 г., стал местночтимым святым вскоре
после кончины. Был канонизирован по общерусскому чину в сере-
дине XVI в.7 Если оригинал «Азбуки пермской» создавался до
причисления Стефана к местночтимым святым, то он мог, по-види-
мому, возникнуть не позже рубежа XIV-XV вв.
Сравнение данных о начертании пермской цифры 3 в записи
на иконе «Троица» и тетрадного счета в указанных двух рукопи-
сях начала XVI в. показывает их совпадение с последовательнос-
тью знаков «Азбуки пермской» (рис.8). Однако выявленные в
двух рукописях цифры тетрадных помет охватывают не все 27 зна-
ков, а первые 12: обозначения единиц 1-9 и начало десятков 10-30
(рис.9, 10). Возможно, обнаружение новых тетрадных помет в
других рукописях расширит количество цифровых знаков, совпа-
дающих с «Азбукой пермской». В указанном отношении перепек-
146
МАТЕМАТИКА АНТИЧНОСТИ И СРЕДНИХ ВЕКОВ
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Единицы * <Ь А V m ш И 1
Десятка П U V г *7 V V
Сотни СС г 1 л •ъ X Л
Рис.8. Пермская цифровая система «Азбуки пермской»
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Единицы £ А ✓ m Ш Л 1
Десятки 1 V
Сотни
Рис.9. Пермские «буквенные цифры» в Уваровском списке 1510 г
Мазуринской кормчей
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Единицы Т сЬ А m
Десятки
Сотни
Рис. 10. Пермские цифры в Сборнике 1511/1512 гг
тивно повторное внимательное изучение тетрадного счета в сотнях
(если не тысячах) существующих славяно-русских рукописных
книг XIV-XVII вв.
Традиция, аналогичная объяснению о назначении «хвостика»
28-го знака «Азбуки пермской», как отмечалось, существовала в
молдаво-славянской традиции (см.: рис.5), а также у южных сла-
вян. Так, в болгарском «цифровом алфавите» XVI-XVII вв.8 пос-
ле начальных «буквенных цифр» (1—10) идут числа второго десят-
ка (11-19), затем «буквенные цифры» десятков и сотен
(20-900). Большие числа, начиная с 1000, переданы с помощью
Б.Н.Морозов, Р.А.Симонов
147
Рис.11. Болгарский «цифровой алфавит» XVI-XVII вв.
тысячного «хвостика» с одним перечеркиванием, который ставился
у единиц (1-10), чисел второго десятка (11-19), десятков и сотен
(20-800). Знак 900 тысяч также, по-видимому, присутствовал в
«цифровом алфавите», сейчас он находится в поврежденной части
текста и не читается (рис.И). В Древней Руси традиция простав-
ления тысячных знаков для выражения больших чисел (десятков и
сотен тысяч, миллионов и пр.) как будто бы не была отчетливо
выражена, здесь обычно употреблялась система, в которой для за-
писи десятков тысяч («тем») знаки единиц обводились сплошной
окружностью, для выражения сотен тысяч («легионов») - окруж-
ностью из точек, для записи миллионов («леодров») окружнос-
тью из лучей и т.д.) [21, с.726-744].
Возвращаясь к «Азбуке пермской», заключаем следующее.
Поскольку 27-м знаком могло передаваться число л =900, то «л» с
тысячным «хвостиком» (28-й знак) передавало 900 тысяч
(900 х 1000 =900000). Значит, 28-й знак указывал, что возможнос-
ти цифровой системы «Азбуки пермской» (как и в случае рассмот-
ренного славяно-молдавского «цифрового алфавита») простирают-
ся до записи чисел порядка 900000. Вместе с тем, опора на южнос-
лавянскую цифровую традицию подтверждает высказанное сужде-
ние о XIV в. как времени создания оригинала «Азбуки пермской»,
148
МАТЕМАТИКА АНТИЧНОСТИ И СРЕДНИХ ВЕКОВ
поскольку именно на вторую половину указанного столетия и на-
чало следующего приходится второе южнославянское влияние, в
русле которого, возможно, развивалась разработка нумерации Сте-
фаном Пермским для новой письменности.
Итак, «Азбука пермская» почти точно совпадает с реконструи-
рованным пермским «цифровым алфавитом». Отличие заключает-
ся в дополнении его слогами. Но если допустить, что Стефан Пер-
мский «Азбуку пермскую» рассматривал как одновременно
27-значный буквенный алфавит и 27-значный «цифровой алфа-
вит», то она и должна сочетать признаки обоих алфавитов. К
«чисто» цифровому признаку относится 28-й знак, показывающий
возможный предел записи чисел (900000) путем придачи основным
27-ми знакам тысячного «хвостика». К «чисто» буквенному приз-
наку относятся слога.
Это может значить, что по замыслу Стефана Пермского, его
азбука имела нумерационный смысл. В ее составе было 27 основ-
ных букв-цифр, которые образовывали три разрядные девятки:
первая выражала цифры-единицы, вторая - цифры-десятки,
третья цифры-сотни. Чтобы понять историко-математическое и
педагогическое значение стефановской цифровой системы, необхо-
димо учесть особенности средневековой арифметической культуры
[22, с.20-40]. По средневековым представлениям, запись чисел
была фактически первым действием среди семи арифметических
действий: нумерации, сложения, вычитания, удвоения, раздвоения,
умножения и деления. Такое обилие арифметических действий
обусловливалось громоздкостью и неудобством использовавшихся
числовых систем (римской, различных буквенных). С переходом
на индоарабскую (современную) позиционную десятичную нумера-
цию многие сложности удалось преодолеть, и от семи остались че-
тыре известные всем с детства арифметические действия.
Стефану Пермскому приходилось думать о построении рацио-
нальной числовой системы в средневековых условиях. Он мог ви-
деть отсутствие сочетаемости между буквами и «буквенными циф-
рами» в греческом письме и кириллице. Греческая классическая
азбука содержала 24 буквы, для нумерации требовалось 27 Три
недостающих знака (эписемы) были добавлены к 24, получилась
полная система цифр для обозначения чисел.
Неудобство состояло в том, что параллельно с греческой азбу-
кой, использовавшейся для овладения письмом и чтением, при
обучении счету и записи чисел приходилось прибегать к особым
«цифровым алфавитам». Кроме того, поскольку эписемы не входи-
ли в буквенный алфавит, то именно они были подвержены графи-
ческим изменениям, что могло порождать путаницу. Это, напри-
мер, видно по «цифровому алфавиту» IX в. (см.: рис.5), где сред-
Б.Н.Морозов, Р.А.Симонов 149
нюю эписему (90) невозможно отождествить с привычной в этом
качестве «коппой» (90).
Кирилл и Мефодий, зная эту проблему и видя, что славянс-
ких букв будет больше, чем греческих, в середине IX в. могли раз-
работать новое славянское письмо (глаголицу) по нумерационному
принципу: из 36 графем, с тем чтобы первая девятка знаков пере-
давала единицы, вторая десятки, третья сотни, а четвертая -
тысячи (без использования тысячного «хвостика», как это было у
греков, а затем в кириллице). При этом для обучения письму (чте-
нию) и счету требовался один общий алфавит. В нумерационном
построении глаголицы были уверены такие крупные ученые, как
Н.С.Трубецкой и Н.Н.Дурново; так думают и др. исследователи
[23, с.84-85]. Но не все авторы с этим согласны по той причине,
что достоверные подлинники текстов Кирилла и Мефодия IX в. не
сохранились (как, кстати, и книги Стефана Пермского XIV в.), а
существующие глаголические тексты X-XI вв. позволяют реконст-
руировать в первоначальной глаголице 38 букв.
После смерти Кирилла (869 г.) и Мефодия (885 г.) их учени-
ки-глаголиты были изгнаны из Великой Моравии, а наследие сла-
вянской книжной культуры временно пришло в упадок. Однако
вскоре болгарский князь Борис пригласил к себе кирилло-мефоди-
евских учеников для славянизации болгарской письменности, кото-
рая в государственной и церковной сферах Болгарии была гречес-
кой. Соответствующий переход произошел в 893 г. при царе Симео-
не, сыне князя Бориса. В Болгарии стали развиваться параллельно
две славянских письменности - глаголица и кириллица. Кириллица
использовала греческое письмо (и греко-византийские цифры), вос-
ходя также к творчеству Кирилла и Мефодия середины IX в., как
средство интерпретации греческими буквами изобретенных букв
глаголицы (по гипотезе Т.Л.Мироновой [24, с. 114-115]).
На Руси получила распространение кириллица (хотя здесь с
XI в. сохранились следы знакомства и с глаголицей). Те пробле-
мы, которые были в византийской числовой системе у греков, су-
ществовали и в славяно-русской письменной культуре. Только ки-
риллических букв насчитывалось больше, чем цифр. Как отмеча-
лось, в греческой практике было наоборот: количество цифр пре-
вышало число букв. Однако сложности оказывались аналогичны-
ми: для обучения цифрам требовался отдельный «цифровой алфа-
вит», одной только буквенной азбуки было недостаточно.
Прорыв, которого достиг Стефан Пермский, базировался на
математическом осмыслении проблемы: он разработал новую
27-буквенную систему на нумерационном принципе. То есть Сте-
фан Пермский осуществил тот подход, который приписывается ги-
потезой Трубецкого-Дурново славянским первоучителям в постро-
150
МАТЕМАТИКА АНТИЧНОСТИ И СРЕДНИХ ВЕКОВ
ении глаголицы. Только во времена Стефана Пермского соответст-
вующей гипотезы еще не существовало и в помине. Идея нумера-
ционного построения новой письменной системы является целиком
и полностью заслугой Пермского просветителя.
Возвращаясь к поставленному в начале статьи вопросу о поз-
навательных интенциях изобретенной св. Стефаном нумерации,
можно заключить, что вскрываются принципиально новые - нуме-
рационные - возможности построения (замысла) пермской азбуки.
При этом дополнительная «жизненная сила» вливается в гипотезу
Трубецкого-Дурново об аналогичном (нумерационном) построении
первой славянской азбуки - глаголицы.
Примечания
1 Название «пермяне» впервые употреблено Епифанием Премудрым в копне XIV
начале XV в. в «Слове о житии и учении святого отца нашего Стефана, бывшего в
Перми епископа».
2 Авторы статьи благодарят участников экспедиции «По пути Стефана Пермского» за
предоставление материалов съемки иконы «Троица» (фотограф К.Шульга).
3 Краткое описание рукописи было приведено в вышедшей недавно книге М.В.Коро-
годиной [7, с.343], но на использование писцом пермской азбуки для нумерации тет-
радей в ней не указано.
4 По поводу слова кылдас В.И.Лыткин писал: «Не означало ли это слово ‘дьяка’
‘писца’? Ср. фамилиюКылдас’эв, встречающуюся в приписке в Номоканоне 1510 г
(то есть Увар. 81-4° - Авт.) и обозначающую буквально ‘Дьяков’ что являлось,
по-видимому, псевдонимом писца». (См.: примечания В.И.Лыткина к статье
А.С.Сидорова [10, с. 182].)
5 Цитированные выше расчеты заимствованы Епифанием из различных редакций из-
вестного сочинения Черноризца Храбра «О письменах» [16, с. 145, 153]. Этим заме-
чанием авторы обязаны А.А.Турилову
6 Тогда понятно, почему вместо обычной записи КД (24), это число представлено
именно тремя слагаемыми I + Д +1, взятыми из текста Черноризца Храбра.
7 В историографии нет полной определенности в этом вопросе. Так, в сборнике «Памя-
ти равноапостольного Стефана. К 610-летию успения св. Стефана Пермского» во
вступительной статье И.Ю.Моисеевой временем его канонизации указан 1549 г
[19, с.4], а в статье П.Ф.Лимерова - 1547 г [20, с.54].
8 «Цифровой алфавит» воспроизведен на форзаце старопечатной (кириллической)
книги XVI-XVII вв., хранящейся в Болгарии (София, Народная библиотека «Ки-
рил и Методий», R.n.XVII.15).
Список литературы
1. Симонов Р.А. Математика Древней Руси: новая концептуальная трактовка / / Со-
временное математическое образование и проблемы истории и методологии мате-
матики. Международная научная конференция: 6-я Всероссийская школа по исто-
рии математики. Тамбов, 11-15 сентября 2006 г Тамбов, 2006. С.36-41.
2. Симонов Р.А. Математическая и календарно-астрономическая мысль Древней
Руси. М., 2007
3. Морозов Б.Н., Симонов Р.А. О судьбе книг свт. Стефана Пермского (XIV в.) //
Вестник Московского государственного университета печати. 2007 № 9.
С.206-219.
4. Морозов Б.Н., Симонов Р.А. О пермской письменности св. Стефана (XIV в.) //
Семинар по геральдике и вспомогательным историческим дисциплинам ИАИ
РГГУ. Бюллетень №38. Заседание 23 октября 2007 г. М., 2007. С.3-8.
Б.Н.Морозов, Р.А.Симонов 151
5. Морозов Б.Н., Симонов Р.А. Об открытии цифровой системы Стефана Пермского
(XIV в.) // Вопросы истории естествознания и техники. 2008. №1. С.3-21.
6. Мазурипская кормчая. Памятник мсжславянских культурных связей XIV-XVI
вв. Исследование. Тексты / Отв. ред. Я.Н Щапов. М. 2002.
7 Корогодина М.В. Исповедь в России в XIV-XIX веках. СПб., 2006.
8. Морозов Б.Н. Новые памятники древней коми письменности конца XV-начала
XVI в. // Музеи и краеведение. Труды Национального музея Республики Коми.
Сыктывкар, 2007 Вып.6. С. 176-181.
9. Морозов Б.Н. Новые сведения о пермской азбуке и древней коми письменности в
конце XIV-началс XVI вв. // Вспомогательные исторические дисциплины - ис-
точниковедение - методология истории в системе гуманитарного знания. Материа-
лы XX Международной научной конференции. Москва, 31 января - 2 февраля
2008 г М. 2008. 4.2. С.477-481.
10. Сидоров А. С. Новые памятники древнекоми письменности / Комментарии, подст-
рочные примечания и заключение В.И.Лыткина / / Вопросы финно-угорского
языкознания. М.-Д. 1962. Вып.1. С.178-211.
Калиниченко С. Б. Экстернальный и интервальный подходы в истории науки / /
Вспомогательные исторические дисциплины - источниковедение - методология
истории в системе гуманитарного знания. Материалы XX Международной науч-
ной конференции. Москва, 31 января 2 февраля 2008 г М. 2008. 4.1.
С.332-334.
12. Бурлыкина М.И. Ученый-энциклопедист А.С.Сидоров. Жизнь и творчество.
Сыктывкар, 2007
13. Сидоров А. С. Коми письменность эпохи раннего феодализма / / Ученые записки
ЛГУ Серия востоковедческие науки. Советское финноугроведение. 1947/1948.
№105. Вып.2. С.240-249.
14. Епифаний Премудрый. Житие Стефана Пермского // Святитель Стефан Пермс-
кий. К 600-летию со дня преставления / Под ред. Г.М.Прохорова. СПб. 1995.
С.50-263.
15. [Епифаний Премудрый.} Слово о житии и учении святого отца нашего Стефана,
бывшего в Перми епископа // Памятники старинной русской литературы, изда-
ваемые графом Григорием Кушелевым-Безбородко. СПб. 1862. Вып.4.
С.119-171.
16. Черноризец Храбър. О письменехь / Подг. Алда Джамбелукова-Коссова. София,
1980.
17 Зализняк А.А. Древнейшая кириллическая азбука // Вопросы языкознания.
2003. №2. С.3-31.
18. Мерило праведное по рукописи XIV века / Издано под наблюдением академика
М. Н. Тихомирова. М. 1961.
19. Моисеева И.Ю. Памяти равноапостольного Стефана Пермского // Памяти рав-
ноапостольного Стефана. К 610-летию успения св. Стефана Пермского. Сыктыв-
кар, 2006. С.3-5.
20 Лимеров П.Ф. Стефан Пермский: проблема духовности Пермского // Памяти
равноапостольного Стефана. К 610-летию успения св. Стефана Пермского. Сык-
тывкар, 2006. С.46-72.
21. Симонов Р.А. Проблема происхождения древнерусских цифр // Вопросы исто-
рии естествознания и техники. 2002. №4. С.726-744.
22. Цайгер М.А. Арифметика у древних славян и в допетровской России / / Вопросы
истории естествознания и техники. 2007 №2. С.20-40.
23. Иванова Т.А. Глаголица: новые гипотезы (несколько критических замечаний по
поводу новых исследований о первой славянской азбуке) // Труды Отдела древ-
нерусской литературы. СПб. 2004. Т.56. С.84-85.
24. Миронова Т.Л. Проблемы эволюции графико-орфографических систем древнес-
лавянского культурного наследия. М., 1999. (Рец.: Симонов Р.А., Фомина М.С.
Новые книги по медиевистике.) // Древняя Русь. Вопросы медиевистики. 2001.
№3(5). С.114-115.
СТАТЬИ РАЗЛИЧНОГО
СОДЕРЖАНИЯ
СИСТЕМНО-ГЕНЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ
НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТИ МАТЕМАТИКИ
В. Я. Перминов
Программы обоснования математики, предложенные в первой
половине прошлого века, не увенчались успехом. Оказалось, что в
рамках строгого математического рассуждения нельзя обосновать
факт непротиворечивости даже самых простых математических те-
орий, таких как арифметика и евклидова геометрия. Мы уже дол-
гое время стоим перед лицом странного методологического пара-
докса: самая строгая из наук не имеет обоснования своей строгости
и даже, как кажется, не имеет шансов его получить.
Выход из затруднения состоит, во-первых, в том, чтобы пост-
роить новые программы обоснования, не страдающие недостатками
старых. Одним из вариантов могла бы быть, по-видимому, геомет-
рическая программа, заявленная в последних записках Г.Фреге [1,
с.221-224; 2]. Другой вариант, намеченный А.Н.Колмогоровым,
состоит в использовании понятия величины как базы для введения
исходных понятий арифметики, геометрии и математического ана-
лиза [3; 4]. Эти подходы продолжали бы традиционную линию
обоснования математики, поскольку они состояли бы в обоснова-
нии непротиворечивости математических теорий на основе узкого и
безусловно надежного математического содержания, но отступали
бы от нее в том смысле, что это исходное содержание с самого на-
чала включало бы в себя представления о непрерывности и беско-
нечности.
Представляется, однако, возможным и полностью нетрадици-
онный подход к проблеме обоснования, состоящий в переводе этой
В.Я.Перминов
153
проблемы с уровня логического на уровень методологический. В
основе его лежит представление о развитии математической теории
как о ее самообосновании. Ясно, что логическое обоснование неп-
ротиворечивости математической теории, даже там, где оно воз-
можно, не привносит непротиворечивость в теорию, а только фик-
сирует наличие непротиворечивости, которая сложилась в процессе
естественного развития теории. Это значит, что акт логического
обоснования теории всегда предполагает уже завершившийся акт
ее внутреннего самообоснования, который сам по себе способен до-
вести теорию до состояния полной непротиворечивости. Здесь воз-
никают два вопроса: 1. Происходит ли самообоснование математи-
ческой теории в конечное время? 2. Существуют ли общезначимые
признаки математической теории, указывающие на то, что процесс
самообоснования закончен и теория достигла уровня полной непро-
тиворечивости ?
Анализ логики развития математической теории позволяет ду-
мать, что на оба этих вопроса можно ответить утвердительно. Но
если это так, то, по крайней мере, в отдельных случаях мы можем
выносить суждение о непротиворечивости математической теории
не из логического доказательства этого факта, а из качественных
признаков зрелости теории, выявляемых на методологическом
уровне ее рассмотрения. В этих случаях логическое обоснование
математической теории заменяется методологическими соображени-
ями, относящимися к выявлению уровня ее полной логической зре-
лости.
Такой подход к обоснованию математики, который можно наз-
вать системно-генетическим, не требует представления математи-
ческой теории в формальном языке. Мы рассматриваем здесь мате-
матическую теорию как специфическую самоорганизующуюся сис-
тему, проходящую различные этапы своей зрелости, и обосновыва-
ем то положение, что, восходя по ступеням зрелости, она на неко-
тором этапе полностью освобождается от внутренних противоре-
чий. Наша задача состоит в том, чтобы выявить признаки этого
этапа и посмотреть на основные теории современной математики с
точки зрения их соответствия этим признакам.
1. Конечность математической теории
Математическая теория отличается от эмпирической по своим
сущностным характеристикам. Основное различие состоит в том,
что эти теории подчинены различным целевым установкам. Если
эмпирическая теория стремиться к истинности и развивается в нап-
равлении истинности, то теория математическая направлена на реа-
лизацию внутренней непротиворечивости. Еще в 1844 г. Г.Грасс-
ман писал: «Верховное деление наук состоит в разделении их на
154
СТАТЬИ РАЗЛИЧНОГО СОДЕРЖАНИЯ
реальные и формальные науки, из которых первые отображают в
мышлении бытие, как самостоятельно противостоящее мышлению.
Наоборот, формальные науки имеют своим предметом то, что по-
лагается самим мышлением, Их истина состоит в согласии мышле-
ния с самим собой» [5, с.22]. То положение, что предмет математи-
ки полагается самим мышлением, с современной точки зрения неп-
риемлемо, но несомненно верно то, что основным регулятивным
принципом математического мышления является согласие мышле-
ния с самим собой, т.е. непротиворечивость математической тео-
рии.
Истинность теории и ее непротиворечивость в некотором смыс-
ле равноправные характеристики, ибо оба этих требования к тео-
рии являются внешними, проистекающими из практической нап-
равленности знания. Но гносеологически требование истинности
имеет совершенно другой статус, чем требование непротиворечи-
вости. Если полная истинность теории заведомо недостижима, она
может быть только идеалом, то полная логическая совместимость
утверждений вполне реализуема, как в сфере опытного знания, так
и в сфере математики. Если я, исследуя некоторое строение, утвер-
ждаю, что его высота 30 метров, оно имеет семь этажей, а цвет его
белый, то очевидно, что это описание абсолютно непротиворечиво.
И хотя технически трудно, а во многих случаях и невозможно, до-
казать непротиворечивость достаточно сложной системы утвержде-
ний, несомненно, что такие полностью свободные от противоречий
системы утверждений реально существуют как в обычном, так и в
математическом языке. Другими словами, в отличие от истинности
в эмпирических теориях, непротиворечивость в математике приме-
нительно к конкретной математической теории отнюдь не идеаль-
ная цель, но фактически реализуемое состояние.
Отсюда проистекает принципиальная разница в степени воз-
можной обоснованности эмпирических и математических теорий в
процессе их развития. Обоснование опытной теории, как обоснова-
ние ее истинности, всегда только относительно и эта относитель-
ность присуща всем ее положениям: мы не можем указать здесь
круга принципов, который был бы вне критики. Напротив, матема-
тическая теория на некотором этапе своего развития полностью из-
бавляется от противоречий в своей центральной части, приобретая
тем самым абсолютно стабильную и неразрушимую основу.
Сравнение истинности и непротиворечивости позволяет гово-
рить о математической теории как конечной в отличие от эмпири-
ческих теорий, являющихся бесконечными. Еще Г.Лейбниц опреде-
лил математические суждения как конечные в том смысле, что их
можно, как он думал, за конечное число шагов свести к системе
тавтологий. Эта идея Лейбница не находит оправдания в современ-
В.Я.Перминов
155
ной логике. Мы будем называть математические теории конечными
в том смысле, что, в отличие от эмпирических, они имеют предел в
формировании своего основания и достигают этого предела в ко-
нечное историческое время. Этот предел реализуется в появлении
стабильной и признанной системы аксиом.
К пониманию конечности математической теории можно по-
дойти также с точки зрения специфики ее генетического основа-
ния. Если эмпирическая теория исходит из системы фактов и экс-
периментов, то математическая из системы идеализированных
представлений, таких как число, точка, линия и т.п. Система фак-
тов и экспериментов, являющаяся генетической основой эмпири-
ческой теории находится в постоянном изменении: она расширяет-
ся с расширением практики и получает новую интерпретацию с уг-
лублением теории. Постоянное изменение генетического основания
исключает для эмпирической теории достижение ею стабильности
и законченности внутренней структуры. Напротив, система предс-
тавлений, лежащая в основе математической теория априорна, пос-
тоянна, она не зависит от опыта и не претерпевает изменения
вследствие роста понятийной системы. Она обладает постоянством
и этим обеспечивается возможность ее законченной и стабильной
концептуализации.
Для математической теории является осмысленным понятие
абсолютно завершенной системы принципов. Появление первой не-
совершенной аксиоматики устанавливает относительное единство
утверждений, выявляет логическую последовательность в их раз-
вертывании и позволяет сделать всю систему теорем более целост-
ной и законченной. Анализ этой системы приводит к формулиров-
ке более полной и систематической аксиоматики и т.д. Мы имеем
основание утверждать, что в математической теории, в отличие от
физической, эта диалектика конечна, что она завершается достиже-
нием зрелой аксиоматики, формулировкой ее в такой форме, кото-
рая исключает дальнейшее ее совершенствование в плане заклю-
ченного в ней содержания.
Некоторая сомнительность такого противопоставления матема-
тики и эмпирической теории может проистекать из того факта, что
явление стабилизации аксиоматической основы теории имеет место
и в физике. Если на начальном этапе своего развития механика оп-
ределялась как наука о движении тел, то после того как она офор-
милась в законах Ньютона ее стали определять как науку о движе-
ниях, описываемых законами Ньютона. Это значит, что в механи-
ке была выявлена адекватная и стабильная аксиоматика, которая
легла затем в определение самого предмета. Но примеры такого
рода не опровергают положения о стабилизации аксиоматики как
специфическом свойстве математической теории. Во-первых, ясно,
156
СТАТЬИ РАЗЛИЧНОГО СОДЕРЖАНИЯ
что стабилизация принципов механики, это стабилизация части ма-
тематического естествознания, продиктованная ее математической
формой, т.е. привнесенная из математики. Во-вторых, стабилиза-
ция принципов механики (и физической теории вообще) не связа-
на непосредственно с логической гармонизацией содержания тео-
рии. Стабильность принципов механики не дает оснований для
обоснования непротиворечивости механики как теории, ибо эта
непротиворечивость зависит здесь не только от формальной сов-
местности принципов, но и от сферы их приложения, которая в
физической теории всегда остается не до конца определенной.
Полная стабилизация аксиоматики, со всеми вытекающими отсюда
логическими следствиями имеет место только в математике.
Наше основное предположение, относящееся к проблеме обос-
нования математической теории, состоит в том, что математическая
теория, достигшая стадии стабильной аксиоматики достигает од-
новременно и состояния полной непротиворечивости. Для понима-
ния оснований этого тезиса важно рассмотреть основные линии
вызревания математической теории.
2. Корректировка определений
Первая линия вызревания математической теории это кор-
ректировка лежащих в ее основе определений.
Новая теория развивается до известного времени на интуитив-
ном восприятии своих объектов без их строгого логического опре-
деления и соподчинения. В аксиомах Евклида, как известно, не
было аксиомы непрерывности и аксиом положения. Ярким пример
логической неопределенности принципов и обсуждаемых объектов
дают собой начала дифференциального и интегрального исчисле-
ния в первое столетие своего существования. Дифференциальное
исчисление у Лейбница начиналось прямо с понятия дифференциа-
ла. И это была не единственная некорректность. Не было понятия
предела, производной, дифференциал функции не различался от
ее приращения, не было определения непрерывности функции,
непрерывность отождествлялась с дифференцируемостью. Анало-
гичный этап логической неопределенности понятий прошла и тео-
рия множеств в XIX в. Корректного понятия множества, свободно-
го от противоречий, не было до его аксиоматического определения
в системе аксиом Цермело.
Важно, однако, подчеркнуть, что стадия логической неопреде-
ленности исходных понятий в математической теории есть всегда
только временный этап, преодолеваемый процессом самообоснова-
ния. Интуитивная теория постепенно превращается в логически
зрелую теорию в смысле состава исходных определений. И глав-
ную роль здесь играют не какие-то усилия по обоснованию, но
В.Я.Перминов
157
само развитие теории, решение конкретных задач и устранение
возникающих при этом противоречий. Отсутствие определения
предела и производной приводило к нестрогости в вычислении
дифференциала: его вычисление было связано с отбрасыванием
дифференциалов высших порядков, т.е. слагаемых, не равных
нулю. Как следствие математики сталкивались с тем противоречи-
вым явлением, что эти нестрого вычисленные дифференциалы при-
водили к совершенно точным значениям интегралов при вычисле-
нии площадей и объемов. Стремление устранить это противоречие
привело, в конце концов, к определению понятия предела и к уста-
новлению на его основе всего ряда исходных понятий математичес-
кого анализа, что и было сделано в «Алгебраическом анализе»
О.Коши в начале XIX в.
Аналогичная теория вызревания понятий происходила и в тео-
рии множеств в конце XIX - начале XX вв. Хотя Г.Кантор привел
достаточно убедительные доводы за правомерность введения в ма-
тематику понятия актуальной бесконечности, само это понятие еще
долгое время оставалось не вполне определенным в своих грани-
цах. Парадокс множества всех множеств, открытый самим Канто-
ром, позволил осознать, что математическое понятие множества не
может обладать объемом, не допускающим расширения. Парадок-
сы Рассела и Ришара позволили понять тот важнейший факт, что
математическое множество не может состоять из элементов, при-
надлежащих по своему определению к произвольным логическим
уровням. Э.Цермело уточнил понятие множества через строгое оп-
ределение порождения производных множеств и через устранение
отношения самовключения, т.е. через запрет выражений вида
X g X. Можно сказать, что период от первых работ Кантора, вы-
шедших в начале 70-х гг. XIX в., до аксиоматики Цермело, поя-
вившейся в 1908 г. был периодом логической шлифовки актуаль-
ной бесконечности как математического понятия. Это период само-
обоснования теории множеств, совершавшийся через выявление и
устранение ее внутренних противоречий.
Ориентируясь на эти примеры, мы можем утверждать следую-
щие положения:
1. Новая математическая теория обычно не строга: она опира-
ется на интуитивное понимание обсуждаемых предметов и, по этой
причине, не гарантирована от возникновения противоречий.
2. Развитие теории, решение формулируемых в ее понятиях
задач, необходимо приводит к строгому определению этих понятий
и к установлению их необходимой иерархии. Можно сказать, что
развитие математической теории есть и ее самообоснование, заклю-
чающееся, в частности, в устранении некорректных определений.
158
СТАТЬИ РАЗЛИЧНОГО СОДЕРЖАНИЯ
3. И факты истории математики, и общие методологические
соображения позволяют утверждать, что процесс самообоснования,
свойственный математической теории по ее внутренней логике, ко-
нечен в том отношении, что в конечное историческое время он при-
водит к установлению полной и адекватной системы исходных оп-
ределений, которые не могут быть пересмотрены в сторону их кор-
ректировки дальнейшим развитием теории.
3. Уточнение доказательств
Вторая линия логического вызревания математической теории
- это повышение строгости доказательств.
Доказательства становящейся математической теории, как пра-
вило, неполны: они содержат в себе скрытые допущения, опирают-
ся на недостаточно строгие определения, апеллируют к аналогии и
к очевидностям индуктивного характера, предполагают слой неяв-
ного знания, который остается без разъяснения в силу его самооче-
видности.
Важный вопрос состоит в том, достигают ли математические
доказательства в процессе своего совершенствования предельной
строгости, т.е. такого качества вывода, которое не нуждается в
дальнейшей корректировке. И.Лакатос придерживался здесь того
мнения, что на идеальную строгость может претендовать только
формализованное доказательство, содержательные же доказательс-
тва всегда остаются нестрогими и не гарантированными от контрп-
римеров. Он исходит из того, что содержательное доказательство
никогда полностью не избавляется от скрытых лемм, которые при
дальнейшем анализе могут оказаться ложными или противоречи-
выми. Другой его довод опирается на понятие строгости анализа
доказательства. По Лакатосу, мы фиксируем доказательство как
строгое, исходя из системы логических понятий, в которых мы в
данное время анализируем доказательство. Понятие строгости до-
казательства в этом смысле полностью зависит от строгости анали-
за доказательства и не может выходить за его пределы. Предпола-
гается, что углубление анализа доказательства может привести к
новым критериям строгости и что доказательство, строгое по сов-
ременным критериям, может оказаться не вполне строгим в крите-
риях будущего. Но это значит, что сам вопрос об абсолютной стро-
гости не имеет смысла. Концепция Лакатоса, таким образом, это
концепция относительной строгости всякого содержательного мате-
матического доказательства.
Эта концепция, будучи довольно убедительной в общих по-
сылках, плохо соответствует фактам истории математики. Верно
то, что первые доказательства теорем, как правило, не обладают
полной строгостью. Но история математики показывает, что на оп-
В. Я. Перминов
159
ределенном уровне своего уточнения доказательство начинает расс-
матриваться как строгое и в дальнейшем уже не корректируется
никакими контрпримерами. Если бы Лакатос был прав в своем по-
нимании содержательного доказательства, то мы имели бы непре-
рывный процесс улучшения уже признанных доказательств и нахо-
дились бы в постоянном сомнении относительно того, выдержат ли
на сегодня принятые доказательства проверку с точки зрения буду-
щих, более изощренных критериев строгости. Практика показыва-
ет, однако, что ничего подобного не происходит. Математика раз-
вивается так, что начиная с определенного уровня строгости, приз-
нанное в качестве доказанного, остается таким навсегда. Ни одна
из четырехсот теорем, содержащихся в евклидовых «Началах» ни-
когда не была поставлена под сомнение. Этот факт истории науки
полностью опровергает тезис Лакатоса о незавершенности любого
содержательного доказательства.
Мы наметим здесь другую концепцию вызревания математи-
ческого доказательства, которая больше согласуется с практикой.
Мы будем исходить из того, что всякое доказательство разбивается
на множество элементарных шагов, которые должны быть приняты
в качестве непосредственно очевидных. Существует несколько ти-
пов очевидностей, которые в принципе могут быть основанием для
принятия законности того или иного шага в математическом дока-
зательстве. Можно выделить следующие восемь типов:
1. Эмпирическая очевидность. Очевидность опыта иногда име-
ет место в математическом мышлении, особенно на ранних стадиях
развития теории. Математики XVIII в. думали, что любая непре-
рывная функция непременно дифференцируема. Это ложное убеж-
дение проистекало из понимания математического анализа как нау-
ки, описывающей реальные движения.
2. Очевидность аналогии. Это та очевидность, которая проис-
текает из перенесения на новый объект свойств известных матема-
тических объектов. Аналогия - один из самых обычных и привыч-
ных эвристических механизмов развития математики. Во многих
случаях первичная аналогия превращается в строгие определения
и в новую более широкую теорию. Однако в общем случае заклю-
чения по аналогии не могут считаться надежными и должны пони-
маться лишь как средства предварительного наведения.
3. Очевидность воображения. Работая в рамках определенной
теории, математик всегда продуцирует внутренний интуитивный
фон, вторичную интуицию, подчиненную сложившейся системе по-
нятий. В значительной мере это индивидуальная система образов,
позволяющая ориентироваться в сложной системе понятий. Ясно,
что такого рода образы, будучи эвристически полезными, не могут
претендовать на доказательную значимость.
160
СТАТЬИ РАЗЛИЧНОГО СОДЕРЖАНИЯ
4. Творческая очевидность. Под этим типом очевидности мы
можем понимать иногда встречающиеся акты прозрения, связанные
с восприятием некоторого результата как очевидного или несом-
ненного до его строгого обоснования. Ясно, что любая степень оче-
видности в актах такого прозрения не подменяет самого обоснова-
ния и не тождественна доказательству.
5. Предметная очевидность. Это очевидность, связанная с
мысленными операциями в сфере идеальных предметов, которая
лежит в основе математики и позволяет нам с полной определен-
ностью утверждать, что 2 + 2 = 4, 5 + 7 = 12 и т.п. Предметная оче-
видность задает законы операций с идеальными предметами, кото-
рые предполагаются в процессе реального счета и предшествуют
ему как устойчивое мысленное представление. Предметная очевид-
ность лежит не только в основе арифметики, но и в основе всех
других математических наук. Она является аподиктической в том
смысле, что очевидный результат арифметического или знакового
рассуждения не может быть поставлен под сомнение каким-либо
логическим анализом или контрпримерами.
6. Геометрическая очевидность. Это тот вид очевидности, ко-
торый позволяет нам уверенно утверждать, что две прямые пересе-
каются в одной точке или, что через две точки можно провести
только одну прямую. Она имеет дело с предметами, важнейшим
качеством которых является их непрерывность.
Геометрическая очевидность, так же как и арифметическая, не
может быть подвергнута сомнению в своей надежности. Пусть, к
примеру, мы доказываем утверждение, состоящее в том, что пло-
щадь параллелограмма равна площади прямоугольника с тем же
основанием и с той же высотой, посредством мысленного разделе-
ния площади параллелограмма на части и составления из этих час-
тей равновеликого прямоугольника. В смысле выявления предпо-
сылок доказательство, конечно, не строго. Но может ли ка-
кое-либо более строгое рассуждение в будущем поколебать надеж-
ность нашего рассуждения и основанный на нем вывод? Конечно,
нет. Мы отклонили бы всякое сколь угодно изощренное рассужде-
ние как софизм, если бы оно не подтверждало наш вывод, проис-
текающий из наглядных операций с фигурами. В этом смысле гео-
метрическая очевидность совершенно надежна: она, как и арифме-
тическая, не может быть отвергнута или скорректирована на осно-
ве какого-либо логического анализа.
7 Очевидность структурного тождества. Этот вид непос-
редственной очевидности имеет место в каждом шаге математичес-
кого рассуждения, где мы подводим некоторую ситуацию под оп-
ределенное правило. Во всех таких случаях мы прежде всего фик-
сируем, что общая структура рассматриваемого выражения тождес-
В. Я. Перминов
161
твенна структуре (схеме), выраженной правилом. Акт подведения
под правило не может быть рационализирован или формализован:
он всецело базируется на нашей способности непосредственного
отождествления структур на основе аподиктической очевидности.
8. Логическая очевидность. Мы обнаруживаем наличие этого
вида очевидности прежде всего в непреложности логических норм,
определяющих реальное математическое мышление. Если доказа-
но, что из А следует В, а из В следует С, то никто не будет под-
вергать сомнению, что из А следует С.
Названные типы очевидностей разбиваются на две группы.
Первая группа (первые четыре типа) это очевидности эвристи-
ческие, способствующие поиску доказательства, но не определяю-
щие его в логическом отношении. Очевидности второй группы
(последние четыре типа), напротив, обладают нормативным харак-
тером, они сами по себе определяют умозаключение как единствен-
но возможное и предельно достоверное.
Это разделение позволяет нам представить процесс вызрева-
ния содержательных доказательств в другой схеме, существенно
отличной от лакатосовской. Мы можем допустить, что в процессе
своего вызревания математическое доказательство проходит две
стадии, различающиеся качеством интуитивной основы: на началь-
ной стадии своего становления оно прибегает ко всем типам оче-
видности как к доказательным, на второй же, более зрелой, стадии
оно использует в качестве доказательных только очевидности апо-
диктического порядка. Происходит, таким образом, процесс вызре-
вания доказательства, постепенное очищение его от ассерторичес-
ких очевидностей. Но в этом случае на второй стадии своего совер-
шенствования доказательство, оставаясь содержательным, уже не
будет уязвимым для контрпримеров и вся теория будет иметь ста-
тус логической завершенности в смысле надежности доказательств.
Мы, таким образом, можем признать корректоруемость мате-
матических доказательств на первом этапе развития теории, но ис-
ключаем эту ситуацию на зрелой стадии развития содержательного
математического доказательства. Мы утверждаем, что содержа-
тельная математическая теория за конечное время достигает уровня
логического совершенства, на котором она не содержит в себе до-
казательств, подверженных логической корректировке.
Можно утверждать, таким образом, что не только в системе
определений, но и в системе своих признанных доказательств мате-
матическая теория в конечное историческое время достигает абсо-
люта, в том смысле, что связи фактов, зафиксированные в доказа-
тельствах, уже никем и никогда не будут подвергаться сомнению и
становятся вечным завоеванием теории. Основная теорема алгебры
может быть обобщена, изложена на другом языке, но как факт
162
СТАТЬИ РАЗЛИЧНОГО СОДЕРЖАНИЯ
учения об уравнениях, она не может быть отвергнута или некото-
рым образом скорректирована. Как и опытная наука математичес-
кая теория начинает развиваться на несовершенных определениях
и нестрогих доказательствах, но в отличие от опытной науки, она
достигает абсолюта в обосновании и определений и доказательств.
4. Непротиворечивость центра теории
Третья линия логического вызревания математической теории
- это стабилизация центра теории, становление его в качестве неп-
ротиворечивого фрагмента теории.
Разделение центра и периферии в математической теории мо-
жет быть произведено через сравнение рассматриваемых объектов
по их сложности. В процессе развития математической теории ее-
объекты выстраиваются в жесткую иерархию, которая не зависит
от произвола отдельного математика и математического сообщества
в целом. Понятие натурального числа является объективно более
элементарным, чем понятие действительного числа, а понятие дейс-
твительного числа более элементарным, чем понятие функции
или интеграла, и это объективное соподчинение не может быть уст-
ранено никакими перестройками теории. Математическая теория -
это прежде всего иерархия зависимых друг от друга объектов, ко-
торая однозначно задана в том смысле, что соподчинение соответс-
твующих понятий не может быть произвольно изменено и молеку-
лярные понятия не могут выполнять функцию атомарных. Для
каждой математической теории атомарные понятия выделены объ-
ективно, самим ее содержанием, и не могут быть произвольно из-
менены.
В этом плане мы можем определить и понятие центра теории.
К центру математической теории относятся те ее положения, кото-
рые сформулированы на основе исходных, наиболее простых поня-
тий, которые служат базой обоснования всей последующей систе-
мы понятий и утверждений. К центру теории можно отнести те ее
положения, которые входят в стандартные учебники данной дис-
циплины, т.е. положения, раскрывающие связи между ее основны-
ми понятиями. Понятно, что представление о центре теории отно-
сительно: понятия, которые некогда находились в зачаточном сос-
тоянии и относились к периферийным, могут позднее занять место
среди основных и центральных понятий теории.
Особая надежность центральных утверждений теории следует
из логики роста теории в целом. Математика, согласно Н.Бурбаки,
это большой город, чьи предместья не перестают разрастаться, в то
время как центр периодически перестраивается, следуя каждый
раз все более и более ясному плану. С методологической точки
зрения это означает, что всякое приращение содержания математи-
В.Я.Перминов
163
ческой теории является прежде всего проверкой надежности ее
центральных утверждений и устранением содержащихся в них не-
корректностей. Вследствие своей общезначимой и обосновательной
роли центр математической теории в наибольшей степени проверен
в логическом отношении и является наиболее надежной ее частью.
Опыт показывает, что противоречия появляются обычно на пе-
риферии математики, в сфере не устоявшихся понятий и нестрого
доказанных теорем, Последующее присоединение периферии к
центру, погружение теорем в основное тело теории устраняет про-
тиворечия в новых областях и заново проверяет центр теории в его
логической корректности. Законно допустить, что математическая
теория в конечное время достигает абсолюта в формировании свое-
го центрального ядра. Абсолютность центрального ядра арифмети-
ки и евклидовой геометрии достигнута уже в древности. Централь-
ное ядро математического анализа определено работами О.Коши,
К.Вейерштрасса и Р. Дедекинда.
Доказательство в сформировавшемся центре теории достигает
полной строгости и существует в перекрещивающейся сетке других
доказательств. Математическая теория на этом уровне развития
становится подобной огромному кроссворду, где каждое слово мно-
гократно проверяется через все другие. Разница с обычным кросс-
вордом состоит лишь в большей жесткости (внутренней детермини-
рованности) математического кроссворда. В обычном кроссворде,
чтобы считать слово подходящим, мы должны обеспечить его сог-
ласование с другими словами в двух или трех точках. В математи-
ческой теории каждое доказательство представляет собой слово,
которое должно совпадать с существующим массивом слов во всех
своих точках, т.е. быть истинным во всех своих промежуточных
результатах. Ядро теории, достигшее такого рода однозначной
структурной детерминации, неразрушимо и несовместимо с нали-
чием противоречия, ибо устранение этого противоречия потребова-
ло бы слома всей сложившейся структуры.
Отказ от какой-либо из центральных теорем в таких теориях
как арифметика и евклидова геометрия невозможен и по той при-
чине, что этим был бы разрушен принцип абсолютной значимости
аподиктической очевидности: пришлось бы признать, что неверны
теоремы, выведенные из аподиктически очевидных аксиом на осно-
ве аподиктически очевидных принципов логики. Для исправления
этих теорем пришлось бы некоторые из аподиктически очевидных
аксиом или некоторые из аподиктически очевидных правил вывода
заменить на положения, не обладающее этим качеством. Но это
противоречит тому положению, что первичные математические тео-
рии, каковыми являются арифметика и евклидова геометрия, пред-
164
СТАТЬИ РАЗЛИЧНОГО СОДЕРЖАНИЯ
ставляют собой концептуализацию содержания, данного в аподик-
тической очевидности.
Но неразрушимость центрального ядра теории не обусловлена
только аподиктической очевидностью аксиом. Она имеет место во
всех формальных теориях и проистекает из самой логики стабили-
зации формальной структуры как системного процесса. Здесь
уместно провести аналогию между становлением математической
теории и ростом кристалла. Если имеются исходные элементы
кристалла, определяющие его матрицу, то молекулы из окружаю-
щей среды заполняют строго определенные места в предопределен-
ной структуре, соответствующей данному веществу. В структуре
формирующегося слоя могут оказаться неправильности: пустые
места, совмещенные молекулы, молекулы другого вещества и т.п.
Замечательная особенность процесса роста кристаллов состоит в
том, что следующий уровень не может сформироваться до тех пор,
пока не будут устранены дефекты на предыдущем. Центральная
часть кристалла, таким образом, неизбежно приобретает правиль-
ные очертания и полную устойчивость под давлением расширяю-
щегося процесса на периферии. В становящемся кристалле сущест-
вует зона, в которой уже достигнута полная упорядоченность моле-
кул и которая уже не возмущается никакими процессами на повер-
хности. Существует, таким образом, идеальное состояние структу-
ры, которое будучи достигнуто, остается окончательным и неиз-
менным.
Математическая теория это кристаллическое образование в
мире понятийных систем. Развитие математической теории имеет
своим неизбежным результатом образование центрального ядра те-
ории, которое является законченным и неразрушимым. Зрелая ма-
тематическая теория родственна кристаллу по внутренней жесткос-
ти своих связей. Она, как и сформировавшийся кристалл, не мо-
жет изменять своих внутренних связей: в отношении своих основ-
ных понятий она абсолютно правильна и абсолютно закончена.
Причем математическая теория в отличие от реального кристалла
обладает безусловной (идеальной) законченностью. В кристалле
как физическом объекте могут навсегда остаться некоторые пог-
решности структуры, не скорректированные в процессе становле-
ния. В математической теории это исключено, поскольку каждое
поколение математиков строит этот кристалл заново, проверяя ра-
боту предшественников. Как и при проверке доказательств, мате-
матическое сообщество обладает здесь конечной во времени и абсо-
лютной критериальностью.
Обнаружение скрытых противоречий в центральных положе-
ниях математической теории невозможно: не может быть того по-
ложения, чтобы центр математической теории, долгое время слу-
В.Я.Перминов 165
живший основанием ее развития и приложений, окруживший себя
множеством внешних слоев, оказался дефектным в своей внутрен-
ней структуре. Мы будем говорить, что зрелая математическая тео-
рия является существенно непротиворечивой, понимая под этим
полную непротиворечивость ее основного центрального фрагмента.
Математическая теория существенно непротиворечива, если она
непротиворечива всюду, кроме, может быть, периферийных, отно-
сительно недавно введенных, понятий.
Существенная непротиворечивость зрелой математической тео-
рии подтверждаются всей историей математики. Является фактом,
что ни одна из теорем, относящаяся к центру теории, никогда не
была отвергнута на основе контрпримеров и, конечно, никто не ве-
рит, что, к примеру, в алгебре можно доказать утверждение, про-
тиворечащее основной теореме алгебры или что-то подобное. Неп-
реложный факт состоит в том, что все противоречия, которые
были в математике до сих пор исключительно периферийные
противоречия, не затрагивающие центральных результатов и ис-
ходных принципов. С системно-генетической точки зрения это не
случайность, а единственно возможное положение дел, поскольку
развитие математической теории представляет одновременно и ее
самообоснование, и первым результатом этого самообоснования яв-
ляется непротиворечивость системы центральных положений тео-
рии. Скрытые противоречия центра теории устраняются самим его
развертыванием уже на раннем этапе ее развития.
Эти сображения позволяют говорить о фактической непротиво-
речивости математических теорий, несмотря на отсутствие или
даже принципиальную невозможность строгих доказательств этого
факта. С абстрактно логической точки зрения любые теоремы, в
том числе и центральные, не гарантированы от обнаружения скры-
тых лемм и противоречий. С этой точки зрения в отношении со-
держательной математики вообще нельзя ставить вопроса о ее неп-
ротиворечивости или его следует решать в определенно отрица-
тельном смысле. С системно-генетической точки зрения скептицизм
в отношении существующей математики совершенно неправомерен.
С этой точки зрения все содержательные теории, достигшие опре-
деленности в своей внутренней структуре, должны быть признаны
непротиворечивыми, по крайней мере, в смысле существенной неп-
ротиворечивости .
5. Конечность процесса естественного устранения
противоречий
В изложенном рассуждении о существенной непротиворечивос-
ти зрелой математической теории оставлено без рассмотрения одно
важное положение, а именно, положение о реальной устранимости
166
СТАТЬИ РАЗЛИЧНОГО СОДЕРЖАНИЯ
всякого противоречия. Я.Хинтикка доказал, что для любого проти-
воречия существует некоторая глубина рассуждения, характеризуе-
мая числом d, на которой оно становится явным, но он не опреде-
лил порядок этого числа и мы вправе подозревать наличие в тео-
рии глубоких противоречий, для устранения которых потребуется
по человеческим меркам бесконечное время [6].
Допуская, что центр теории в процессе своей стабилизации ос-
вобождается от всех противоречий в конечное время, мы исходили
из предположения, что такого рода бесконечно глубоких противо-
речий не существует. Приведем некоторые соображения в пользу
этого положения, проистекающие из рассмотрения взаимодействия
генетической и логической базы математической теории.
Математическая теория начинается с системы идеализирован-
ных объектов и их свойств. Эти объекты, свойства и связи образу-
ют генетический базис теории, выступающий в виде системы об-
щезначимых фактов. Арифметика появилась не из рассуждений о
системах счисления или аксиоматиках, а из констатации самооче-
видных фактов типа 2 + 2 = 4. То же самое можно сказать о гео-
метрии, о теории вероятностей, о проективной геометрии, о нача-
лах дифференциального и интегрального исчисления и вообще о
любой математической теории, родившейся на базе некоторого спе-
цифического опыта и связанной с ним интуиции. Главная особен-
ность генетического базиса математической теории состоит в его
априорности. Здесь, однако, нет необходимости исследовать воп-
рос о природе априорных истин и об их отношении к опыту. Нам
достаточно зафиксировать, что каждая математическая теория име-
ет генетический базис, как общезначимый, априорный исходный
пункт, с которого начинается ее развертывание.
Начиная с этого пункта теория развивается в двух направлени-
ях: в сторону исследования более сложных объектов и отношений,
построенных на базе исходных и в сторону выявления основных
принципов теории, т.е. в сторону ее логического обоснования. На
этом втором пути мы приходим к формулировке логического бази-
са теории и, в частности, к выявлению ее полной аксиоматики.
Логический базис теории вторичен, он формируется на базе ге-
нетического и зависим от него. Мы создаем аксиоматику, чтобы с
единой точки зрения объяснить систему связей, которая нами уже
принята. Это положение справедливо и по отношению ко всем на-
учным теориям, в том числе и нематематическим. Общие принци-
пы любой науки не изобретаются, но навязываются ее содержани-
ем, принятым на основе наблюдения и опыта. В математике, одна-
ко, отношение между генетическим и логическим базисом имеет не-
которую специфику. Отметим здесь следующие моменты:
В .Я. Перминов
167
1. Факты и опытные обобщения, из которых мы исходим в эм-
пирической теории и которые составляют ее генетический базис,
находятся в постоянном процессе расширения и обогащения. Кро-
ме того, они корректируются развитием теории и, таким образом,
колеблются в границах своей истинности. Можно сказать, что в
диалектике логического и генетического базиса эмпирической тео-
рии оба полюса подвижны: развитие идет через постоянную кор-
ректировку одного другим. Положение в математике существенно
иное. Система представлений, составляющая генетический базис
математической теории, не зависит от расширяющегося опыта, она
априорна и не подвергается пересмотру со стороны теории. Генети-
ческий базис математической теории дан нам как общезначимый,
определенный в аподиктической очевидности и, вследствие этого,
как предельно устойчивый.
2. Математическая теория в отличие от эмпирической характе-
ризуется жесткой связью между принципами (аксиомами) и факта-
ми (интуициями генетического базиса). В опытной теории противо-
речие между принципами и фактами может быть преодолено за
счет дополнительных гипотез, не относящихся к принципам (гипо-
тезы ad hoc). Математическая теория является жесткой в том
смысле, что такого рода дополнительные гипотезы не допускаются
и противоречие между аксиомами и фактами, если таковое возни-
кает, разрешается исключительно через корректировку аксиом.
Возможности сохранения принципов (аксиом) математической тео-
рии через использование вспомогательных гипотез не существует.
3. Логический базис математической теории конечен в том
смысле, что становление аксиоматики достигает здесь предельного
состояния, закрывающего возможность дальнейших ее изменений в
смысле заключенного в ней содержания. В отличие от эмпиричес-
кой теории для математической теории является осмысленным по-
нятие абсолютно завершенной системы принципов.
4. Система фактов опытной теории не определяет однозначно
ее принципов. Принципы физической теории всегда говорят о мире
больше, чем сами факты и поэтому, они не выводимы из фактов.
Это то, что выражено в известном высказывании Эйнштейна: «нет
логического пути от фактов к принципам». В математической тео-
рии такой путь есть. Если мы приняли теорему Пифагора в качест-
ве истинной, то мы приняли аксиому параллельности и т.д. Приня-
тие относительно небольшого числа простых теорем математичес-
кой теории делает неизбежным принятие всех ее аксиом с точнос-
тью до содержательной эквивалентности. На методологическом
языке это значит, что математическая теория характеризуется рет-
ротрансляцией истины, внутренней логической симметрией между
фактами и принципами: аксиомы, будучи заданными, предопреде-
168
СТАТЬИ РАЗЛИЧНОГО СОДЕРЖАНИЯ
ляют теоремы, а известная совокупность теорем, будучи принятой,
однозначно задает аксиоматику.
Свойство ретротрансляции истины выявляет радикальное от-
личие математической теории от эмпирической и дает возможность
понять логический механизм очищения ее фундамента от противо-
речий. Начиная с некоторой группы признанных теорем мы опус-
каемся до аксиом, которые необходимы для их логического оправ-
дания, а исходя из аксиом, стремимся обосновать и расширить об-
ласть теорем. Именно эта постоянно воспроизводящаяся диалекти-
ка уровней лежит в основе механизма корректировки математичес-
кой теории и ее движения к полному устранению противоречий в
конечное историческое время.
Назовем определяющим фрагментом теории совокупность те-
орем, требующую введения полной аксиоматики для своего оправ-
дания. Первый такой фрагмент это простые теоремы, которые
первыми доказываются при аксиоматическом изложении теории.
Ясно, что в теории может быть указано множество таких фрагмен-
тов, логически равносильных аксиоматике.
Скрытое противоречие в теории означает, что в этой теории
фактически сосуществуют две аксиоматики: Г и {б} и Г и {—>я}, где
а - некоторое свойство исходного или элементарного производного
объекта. Если это противоречие уже выявлено, то легко показать,
что противоречие в аксиомах необходимо отразится существенным
разделением теорем уже в пределах определяющего слоя. Для
каждого доказательства, в котором используется утверждение а,
мы построим параллельное доказательство, в котором а будет заме-
нено на -^а. Возможен случай, когда эта замена ни к чему не при-
ведет и доказательство оборвется, возможен также случай когда
использование —\а приведет к тому же результату, что и использо-
вание а. Но ясно, что этот второй ряд теорем не будет тождестве-
нен первому, так как в противном случае логическое оправдание
теорем вообще не потребовало бы аксиоматики, отличной от
Г и {я}. Наш вывод состоит в том, что независимо от того, отразит-
ся ли противоречие в посылках через явное противоречие в теоре-
мах или нет, при наличии двух несовместимых аксиоматик уже в
рамках определяющего слоя неизбежно появление теорем, которые
относятся к разным логическим системам и которые в редукции к
аксиомам выявят несовместимость лежащих в их основе посылок.
То же самое произойдет и в случае скрытой противоречивости
посылок. Если мы будем использовать все содержание аксиом, то
уже в пределах определяющего слоя теорем мы наметим основание
двух систем, и это обстоятельство неизбежно выявится через об-
ратный переход к аксиомам. Если же одна из противоречащих по-
сылок не будет использоваться, то она будет устранена в процессе
В.Я. Перминов 169
последующей минимизации логического основания теории. Наш
вывод состоит в том, что скрытая противоречивость в посылках не-
избежно приведет к логической двойственности теории уже в на-
чальных теоремах и во множестве ее фрагментов, подпадающих
под понятие определяющего фрагмента.
В рассуждениях о математике, часто приходится слышать о
некоторых глубинных противоречиях, которые могут быть выявле-
ны в неопределенном будущем или даже о бесконечно удаленных
противоречиях. Это заблуждение. Методологический анализ пока-
зывает, что удаленных противоречий в математике не существует.
Скрытые противоречия в посылках, если таковые есть, обязаны
проявить себя при анализе конечного числа последующих теорем,
а именно, теорем определяющего слоя, т.е. в совокупности теорем,
определяющих полную аксиоматику. Это значит, что в математике
нет и не может быть противоречий, которые неожиданно обнару-
жились бы и развалили бы теорию, исправно работающую в тече-
ние столетий. Убеждение в этом было высказано Н.Бурбаки.
«Итак, мы верим, - пишет Бурбаки, - что математике суждено вы-
жить и что никогда не произойдет крушения главных частей этого
величественного здания вследствие внезапного выявления противо-
речия; но мы не утверждаем, что это мнение основано на чем-либо,
кроме опыта. Этого мало, скажут некоторые. Но вот уже двадцать
пять веков математики имеют обыкновение исправлять свои ошиб-
ки и видеть в этом обогащение, а не обеднение своей науки; это
дает нам право смотреть в будущее спокойно» [7, с.30]. С систем-
ной точки зрения мы должны согласиться с первой частью этого
высказывания и отвергнуть вторую. Ссылка на опыт и историю -
сильный аргумент, указывающий на закон, но недостаточный для
утверждения закона. Невозможность внезапных противоречий в
зрелых частях математики следует не из опыта, а из логики ста-
новления математической теории. Философия и методология мате-
матики должны прийти к обоснованию этого закона.
Это обоснование должно исходить из понимания того обстоя-
тельства, что в развитии математической теории происходит конеч-
ная и полная проверка аксиом через теоремы и становление непро-
тиворечивой центральной области теорем через взаимодействие
центра и периферии. В математической теории как и в растущем
кристалле формирование внешнего слоя проверяет правильность
внутренних слоев, гарантируя тем самым полную надежность тео-
рии как специфической понятийной системы.
6. Непротиворечивость системы аксиом
Механизмы естественного вызревания математической теории
сами по себе не приводят теорию к абсолютной непротиворечивое-
170
СТАТЬИ РАЗЛИЧНОГО СОДЕРЖАНИЯ
ти, т.е. к освобождению от всяких противоречий. Они приводят
лишь к достижению ее существенной непротиворечивости, а имен-
но к устранению противоречий в центре теории. При любой степе-
ни своей зрелости содержательная теория может допускать пери-
ферийные противоречия, проистекающие из недостаточно опреде-
ленных понятий. Математическая теория может быть названа абсо-
лютно непротиворечивой лишь тогда, когда она построена на базе
непротиворечивой аксиоматики, т.е. представлена как система выс-
казываний, корректно выводимых на основе заведомо непротиворе-
чивой системы аксиом. Это значит, что для обоснования абсолют-
ной непротиворечивости математической теории мы должны подой-
ти к выводу о непротиворечивости ее аксиоматики.
С логической точки зрения аксиоматика первична и факт ее
непротиворечивости должен быть доказан методами логики. В ге-
нетическом плане первичным является генетический центр теории,
и непротиворечивость аксиоматики должна быть обоснована из
непротиворечивости центра теории. Особое место центрального
фрагмента математической теории состоит в том, что его принятие
однозначно определяет систему аксиом. Логика системного обосно-
вания непротиворечивости аксиоматики, состоит в том, чтобы вы-
вести ее из непротиворечивости центра теории, полагая непротиво-
речивость центра доказанной из логики его становления.
Зрелая аксиоматика обладает рядом характеристик. Она долж-
на быть полной в смысле достаточности для систематического раз-
вертывания ее содержания теории, минимальной в смысле отсутст-
вия избыточных допущений, а также элементарной в том смысле,
что в ней должно быть использовано минимальное число терминов,
не относящихся к исходным. Это, конечно, не логические, а толь-
ко методологические требования. Полнота берется здесь не в смыс-
ле доказуемости всех истин, а в смысле практической достаточнос-
ти аксиом. Методологическая полнота, в отличие от логической,
достижима: аксиоматики арифметики и элементарной геометрии
обладают методологической полнотой, т.к. признаны как таковые и
не имеют тенденции к расширению. То же самое справедливо и по
отношению к требованию минимальности. Минимальность логичес-
ки недоказуема, она является фактом функционирования системы
аксиом. Общим методологическим критерием зрелости аксиомати-
ки является ее стабильность, которая также должна восприни-
маться в методологическом плане как определенного рода социаль-
ный факт.
Аксиоматики традиционных теорий, лежащих в основе совре-
менной математики, являются стабильными. Аксиомы арифметики,
сформулированные Дж.Пеано в конце XIX в. не претерпели изме-
нений. Это значит, что они находятся в полном соответствии с цен-
В.Я. Перминов 171
тром арифметической теории и с понятием натурального ряда чи-
сел, находящегося в ее основе. То же самое относится и к аксиома-
тике евклидовой геометрии. В первое десятилетие после публика-
ции гильбертовских «Оснований геометрии» в аксиоматику, пред-
ложенную Д.Гильбертом, были внесены некоторые исправления,
относящиеся к аксиомам инцидентности, но с тех пор эта аксиома-
тика сохраняется в неизменном виде в том смысле, что ни одна из
аксиом не считается излишней и никто не ставит под сомнение их
достаточность для систематического развертывания геометрической
теории. То же самое относится и к аксиоматической системе теории
множеств. Стабильность системы аксиом Цермело-Френкеля, ко-
торую она демонстрирует в течение столетия, говорит о том, что
эта система адекватна основному содержанию теории множеств,
что эта теория имеет стабильный и непротиворечивый центр и что
сама эта система аксиом обладает полной непротиворечивостью.
Ознакомившись с системой аксиом теории множеств, предло-
женной Цермело, А.Пуанкаре писал: «Но если он (Цермело.
В.П.) хорошо запер свою овчарню, то я не убежден, что он не за-
пер туда и волка» [8, с.89]. То же сомнение звучит и в высказыва-
нии Г.Вейля, сделанном через четыре десятилетия: «У нас нет га-
рантий непротиворечивости Z за исключением того эмпирического
факта, что до сих пор из нее не выведено никаких противоречий»
[9, с.89]. Эта неуверенность понятна. С логической точки зрения
мы не можем говорить о непротиворечивости теории до обоснова-
ния этой непротиворечивости через редукцию к непротиворечивой
системе или каким-либо иным методом, удовлетворяющим крите-
рию строгого логического доказательства.
Системно-генетический анализ теории позволяет указать вне-
логические основания для заключения о непротиворечивости акси-
оматики. Наш основной тезис состоит в том, что аксиоматика мате-
матической теории, демонстрирующая стабильность, является абсо-
лютно непротиворечивой. В обосновании этого положения мы ис-
ходим из того соображения, что наблюдаемая стабильность аксио-
матики является следствием законченности центрального фрагмен-
та теории, из чего следует непротиворечивость этого центра, а из
чего, в свою очередь, следует непротиворечивость самой аксиома-
тики. Социально фиксируемый факт стабильности аксиоматики,
таким образом, может пониматься как внелогическое или методо-
логическое доказательство ее непротиворечивости. Стабильность
аксиоматики теории множеств на протяжении столетия говорит о
том, что беспокойство по поводу внутренних противоречий, все
еще остающихся в аксиоматизированной теории множеств, которое
высказывалось Пуанкаре, Вейлем и многими другими математика-
ми, по крайней мере, в настоящее время, через сто лет после ее ус-
172
СТАТЬИ РАЗЛИЧНОГО СОДЕРЖАНИЯ
тановления, уже не имеет оснований. Можно сказать, что неопре-
деленность, оставленная логикой, снимается практикой и систем-
но-генетическим анализом.
Эти соображения позволяют нам перейти от существенной неп-
ротиворечивости содержательных математических теорий к их аб-
солютной непротиворечивости. Хотя естественные процессы вызре-
вания не устраняют возможности периферийных противоречий,
они обеспечивают непротиворечивость центра теории, которая дос-
таточна для оправдания абсолютной непротиворечивости стабиль-
ной аксиоматики, что, в свою очередь, достаточно для признания
теории, построенной на базе стабильной аксиоматики, как абсо-
лютно непротиворечивой.
7. Общие выводы и замечания о методе
Итак, мы видим, что в математике работает механизм очистки
теории от противоречий и от некорректных определений, обуслов-
ленный системностью теории и ее направленностью на решение за-
дач. Этот механизм аналогичен механизму очистки эмпирических
теорий от ложных гипотез, но здесь имеется принципиальное раз-
личие. Освобождение эмпирических теорий от некорректных допу-
щений не может быть закончено. Не существует научных принци-
пов или теоретических конструкций, связанных с опытом, в кото-
рых мы были бы уверены как в окончательных для какой-то сфе-
ры опыта. Если речь идет о математике в целом, то положение ос-
тается тем же самым. Содержательное математическое мышление,
конечно, никогда не будет иметь гарантий от использования некор-
ректных определений, скрытых противоречий и вводящих в заб-
луждение очевидностей. Но если речь идет о конкретной теории и
о стабильной аксиоматике как о продукте ее зрелого развития, то
утверждение полной непротиворечивости приобретает реальную ос-
нову Освобождение от противоречий основного ядра математичес-
кой теории, появление стабильной и абсолютно непротиворечивой
аксиоматики - совершенно неизбежный результат ее развития.
Анализ логики вызревания математической теории позволяет
утвердительно ответить на два поставленных выше вопроса: мы ут-
верждаем, во-первых, что процесс самообоснования математичес-
кой теории универсален и в конечное время доводит каждую мате-
матическую теорию до полной непротиворечивости и утверждаем,
во-вторых, что стабильность аксиоматики является общезначимым
признаком этого (абсолютно непротиворечивого) состояния тео-
рии. Наличие стабильной аксиоматики у некоторой теории, служит
признаком логической законченности ее центрального ядра, приз-
наком непротиворечивости этого ядра и, следовательно, достаточ-
ным признаком непротиворечивости самой аксиоматики и, призна-
В.Я. Перминов 173
ком абсолютной непротиворечивости, построенной на ее основе те-
ории.
Это значит, что неудача логических программ обоснования ма-
тематики ничего не говорит о фактическом состоянии математики в
плане непротиворечивости ее теорий. Мы имеем основания утверж-
дать, что современная математика существенно непротиворечива во
всех своих достаточно развитых теориях, и абсолютно непротиво-
речива в теориях, обоснованных аксиоматически на основе ста-
бильной аксиоматики. Абсолютная непротиворечивость таких тео-
рий как арифметика, геометрия не должна подвергаться сомнению.
Не имея логического обоснования непротиворечивости, мы выво-
дим непротиворечивость этих теорий из непосредственно фиксиру-
емого факта стабильности их аксиоматик. То же самое относится и
к теории множеств. Современная теория множеств имеет ряд адек-
ватных аксиоматик, наиболее известной из которых является сис-
тема аксиом Цермело-Френкеля. Изложение теории множеств в
рамках этой системы не обнаружило до сих пор никаких противо-
речий. Системные соображения говорят, что появление противоре-
чий здесь исключено и в будущем. Теория множеств в указанной
аксиоматике непротиворечива уже в силу возраста этой системы,
который позволяет предполагать, что ядро этой теории, определя-
ющее аксиоматику, уже завершило свое формирование и не подле-
жит изменению. Наблюдаемая стабильность аксиоматики теории
множеств лишь отражает этот факт, который говорит также и о
непротиворечивости самой аксиоматики. Закрепление аксиоматики
в качестве стабильной свидетельствует о том, что она достигла сос-
тояния абсолютной непротиворечивости.
В заключение сделаем некоторые замечания, предваряющие
возможную критику изложенного здесь системного подхода к обос-
нованию непротиворечивости.
Основная проблема, с которой мы сталкиваемся при таком
подходе к обоснованию, это проблема надежности содержательного
рассуждения. Многие согласятся с тем, что системные соображе-
ния полезны для того, чтобы убедится в том, что глубокие проти-
воречия в развитой математической теории - вещь маловероятная,
но они будут возражать против того, чтобы считать их доказатель-
ством непротиворечивости в полном смысле этого слова и считать
их абсолютной гарантией отсутствия противоречий применительно
к конкретной теории. Мы нуждаемся, таким образом, в проясне-
нии надежности приведенной выше методологической аргумента-
ции, в прояснении того, в какой мере она может быть поставлена
по своей силе рядом с логическими доказательствами непротиворе-
чивости.
174
СТАТЬИ РАЗЛИЧНОГО СОДЕРЖАНИЯ
Доказательность системного рассуждения представляется не-
совместимой с его содержательностью. В настоящее время в фило-
софии математики и в методологии науки является почти общим
местом утверждение о неоднозначности обычного языка и о невоз-
можности обосновать в его рамках строгие выводы. Определенный
смысл в этих утверждениях есть. Эмпирические, индуктивные те-
зисы не могут быть основой категорических выводов, и математи-
ческое доказательство, в котором обнаруживаются такие допуще-
ния, не может считаться корректным.
И тем не менее, содержательность и строгость вполне совмес-
тимы. Здесь, во-первых, необходимо различить строгость и точ-
ность рассуждения. Содержательный язык не строг, ибо в нем от-
сутствуют однозначные определения понятий и не определена од-
нозначно логика допустимых переходов. Но он вполне может быть
точным, однозначным и надежным по смыслу своих утверждений:
практика приказов и инструкций показывает, что в содержатель-
ном языке вполне могут быть сформулированы алгоритмы дейст-
вий, не допускающие альтернативы. Во-вторых, мы должны учесть
то обстоятельство, что содержательные положения, которые мы ис-
пользуем в рассуждениях о математической теории, не имеют ха-
рактера эмпирических обобщений. Это исключительно положения,
проистекающие из понимания сущностных тенденций в развитии
математики, т.е. утверждения, имеющие телеологический и, таким
образом, категорический характер.
Наиболее важным является следующее обстоятельство. Сама
практика методологического обоснования математики показывает,
что категоричность выводов здесь вполне достижима. Мы, к при-
меру, можем категорически утверждать, что равенство 2 + 2 = 4 не
может быть опровергнуто в опыте. Основанием этого утверждения,
как нетрудно понять, являются не какие-либо формальные выклад-
ки, но общие положения о характере идеализаций, лежащих в ос-
нове этого арифметического тождества. Мы можем рассуждать
здесь следующим образом: арифметические утверждения типа
2 + 2 = 4 однозначно определены онтологически, но они не опреде-
лены эмпирически в смысле качественного описания объектов, о
которых идет речь. Вследствие этого эмпирическое определение
объектов вторично по отношению к постулируемой операции (+) и
равенству (=). Это значит, что при любой эмпирической интерпре-
тации мы понимаем под 2 и 4 такие и только такие объекты, кото-
рые удовлетворяют равенству 2 + 2=4 и никакие другие. Отсюда
следует, что данное арифметическое утверждение никогда не мо-
жет быть опровергнуто на основе опыта.
Это рассуждение содержательно, но с другой стороны, оно не-
сомненно доказывает неопровержимость арифметических суждений
В.Я.Перминов
175
в опыте. Аналогичные рассуждения мы можем построить при обос-
новании строгости доказательств. Факт надежности доказательства
(даже формализованного) логически доказать нельзя. Но мы
убеждаемся сами и убеждаем других в строгости конкретных дока-
зательств на основе некоторых содержательных аргументов. Ины-
ми словами, мы допускаем безусловную возможность категоричес-
ких выводов в содержательном контексте, при отсутствии логичес-
кой и математической формализации. Это значит, что мы можем
извлекать категорические выводы из доводов методологического и
содержательного характера. Наша задача состоит в том, чтобы по-
казать, что это не эмпирические, не психологические доводы и что
они не менее надежны, чем сами математические теоремы.
Наряду с метаязыком, который описывает структуру формали-
зованной теории, мы должны говорить об эпиязыке, который опи-
сывает необходимые принципы, относящиеся к содержательной ма-
тематической теории. К числу таких принципов мы можем отнести
обоснованные выше утверждения о том, что математическое сужде-
ние не опровергается в опыте, что математическое понятие облада-
ет конечной определимостью, что все математические доказательст-
ва неизбежно достигают полной надежности, что математическая
теория в процессе своего развития приобретает окончательную
структуру и т.п. Так как эти утверждения связаны с сущностью
математической теории, они обладают полной надежностью и,
вследствие этого, они могут выступать в качестве основы для эпис-
темологических выводов, обладающих абсолютной значимостью.
Наряду с понятием строгого метаязыкового рассуждения мы впра-
ве говорить о строгом эпиязыковом рассуждении, которое наряду с
фактологическими и собственно логическими суждениями исполь-
зует также и суждения праксеологические, обладающие предель-
ной достоверностью. Рассуждения, опирающиеся на логические и
праксеологические посылки, в действительности, являются не ме-
нее надежными, чем математические и метаматематические рассуж-
дения, основанные на аподиктической очевидности. Эффектив-
ность эпиязыка обусловлена тем, что он содержит в себе систему
сущностных утверждений, достаточную для обоснования критериев
непротиворечивости для содержательной математической теории.
Формалистская философия математики, родившись в борьбе с
некорректным использованием интуитивных представлений в мате-
матических доказательствах, в конце концов, пришла к полной по-
дозрительности к обычному языку и к умозаключениям, проведен-
ным в рамках обычного языка. В соответствии с этим непротиворе-
чивость была понята только как логический факт, который может
быть доказан только в рамках собственно логических рассуждений
или не может быть доказан вообще. Это совершенно ложная идео-
176
СТАТЬИ РАЗЛИЧНОГО СОДЕРЖАНИЯ
логия, которая опровергается и анализом дедуктивных возможнос-
тей содержательного языка и существующей практикой методоло-
гического мышления.
В понятии непротиворечивости скрыта, говоря языком Канта,
неустранимая амфиболия: с одной стороны, это сугубо логическое
понятие, характеризующее структуру теории, а с другой стороны
это понятие телеологическое, характеризующее направление ее со-
вершенствования. В этом последнем плане непротиворечивость яв-
ляется регулятивным требованием и должна обсуждаться в рамках
системного и эволюционного анализа теории. Замысел системного
обоснования состоит в том, чтобы подойти к пониманию непроти-
воречивости в рамках системных понятий, связать непротиворечи-
вость аксиоматики с ее завершенностью и идеальной фактологичес-
кой истинностью. Принципиальная ограниченность современных
логических подходов к обоснованию математики проистекает из
того, что они сориентированы только на структурное, узко логи-
ческое определение этого понятия.
Мы, конечно, не можем настаивать на безупречности прове-
денного выше рассуждения о непротиворечивости всех зрелых
(стабильных) аксиоматик. Эти рассуждения могут оказаться не-
полными и даже в чем-то ошибочными. Представляется, однако,
совершенно несомненным, что адекватное решение вопроса непро-
тиворечивости математики может быть достигнуто лишь в сфере
такого рода методологических и содержательных рассуждений,
вскрывающих механизм изъятия противоречий из теории в процес-
се ее развития. Ориентация на чисто логическое рассмотрение
проблемы обоснования математики, заданная в начале века, в нас-
тоящее время должна быть признана методологически неадекват-
ной. С одной стороны, она определила слишком абстрактный уро-
вень исследования, ни в какой мере не учитывающий реальную ди-
намику математической теории, а с другой стороны, обусловливала
решение общей проблемы решением множества узких логических
проблем, которые в большинстве своем оказались неразрешимыми
и не имеющими при более тщательном рассмотрении необходимой
связи с общей проблемой. По характеру своего решения проблема
обоснования математики как в вопросе надежности доказательств,
так и в вопросе о непротиворечивости теорий именно систем-
но-генетическая проблема, и только на этом этапе рассмотрения
она может получить адекватное и исчерпывающее разрешение.
В настоящее время большинство специалистов по философии
и методологии математики придерживаются мнения, что в силу
второй теоремы Геделя обоснование непротиворечивости достаточ-
но богатых математических теорий в принципе невозможно. Фило-
софы эмпирического и прагматического направления утверждают,
Г. М. Полотовский
177
что оно и не нужно, т.к. математика в достаточной мере (хотя и не
абсолютно) обосновывается уже своими приложениями. Системная
методология позволяет дать другую оценку ситуации. С системной
точки зрения логическое обоснование непротиворечивости матема-
тики действительно не нужно, но не потому, что оно невозможно
(теорема Геделя, в действительности, не накладывает здесь полно-
го запрета) и не потому, что мы можем удовольствоваться индук-
тивной верой в непротиворечивость математических теорий. Не-
нужность логического доказательства непротиворечивости вытекает
из тавтологичности задачи, из того обстоятельства, вытекающего
из системного рассмотрения, что математическая теория не может
быть противоречивой по самой логике своего развития. Непротиво-
речивость математической теории - необходимый результат ее ста-
новления, естественный способ ее бытия на уровне зрелого состоя-
ния. Понимание этого обстоятельства устраняет необходимость в
логическом обосновании непротиворечивости для всех математи-
ческих теорий, достигших стадии стабильной аксиоматики.
Список литературы
1. Frege G. Posthumous writings. Chicago, 1974. P.221-224.
2. Бирюков Б. В. Последние мысли великого логика // Г.Фреге Логика и логиче-
ская семантика / Пер. Б.В.Бирюкова под ред. З.А.Кузичевой. М., 2000.
С.504-507
3. Колмогоров А.Н. Введение в анализ, И. 1966.
4. Перминов В.Я. Проблема обоснования математики у А.Н.Колмогорова // Труды
Вторых Колмогоровских чтений. Ярославль, 2004. С.9-24.
5. Grassmann Н. Die Ausdehnunglehre. Gesammelte Mathematische und Physicalische
Werke. Leipzig, 1894. Band 1. Teil 1.
6. Хинтикка Я. Информация, дедукция и a priori // Я.Хинтикка. Логико-эписте-
мологические исследования. М., 1980.
7 Бурбаки И. Теория множеств / Пер. с франц. И., 1965.
8. Пуанкаре А. О науке. М. 1983.
9. Вейль Г Математическое мышление М., 1989.
ТОПОЛОГИЯ ВЕЩЕСТВЕННЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ
КРИВЫХ: ИСТОРИЯ И РЕЗУЛЬТАТЫ
Г. М. Полотовский
Есть ряд математических тем, которые непрерывной нитью
проходят практически через всю историю математики. Одной из
таких тем, несомненно, является изучение алгебраических кривых.
Настоящая статья посвящена одному из аспектов этой темы - зада-
че топологической классификации плоских вещественных алгебра-
ических кривых, особенно интенсивно развивающейся с середины
прошлого века и до настоящего времени. Конечно, автор «несет от-
ветственность» за предлагаемые ниже периодизацию и интерпрета-
цию исторических фактов.
178
СТАТЬИ РАЗЛИЧНОГО СОДЕРЖАНИЯ
I. Предыстория: Древняя Греция. Как известно, алгебраичес-
кие кривые появились как геометрические образы в связи с идеей
Гиппократа Хиосского (Чллократод, V век до н.э.) решить задачу
удвоения куба с помощью нахождения двух средних пропорцио-
нальных х и у для заданных величин а и Ь: а/х = х/ у = у/Ь.
Действительно, из этих равенств немедленно следует ау = х2
bx = у2 ху = ab, откуда при а = 1, b = 2 имеем х3 = 2, то есть х
сторона искомого куба. Однако греки не писали уравнений, и им
надо было найти соответствующие геометрические образы. Первым
это сделал Менехм (Mcvaixpog, IV век до н.э.), открывший кони-
ческие сечения как искомые образы. Менехм рассматривал сечения
одной половины конуса плоскостями, перпендикулярными образу-
ющим, а роль уравнений играли так называемые симптомы. Нап-
ример, симптом параболы (случай прямоугольного конуса) выгля-
дит так: квадрат на полу хорде КМ в каждой точке равен прямоу-
гольнику, построенному на отрезке РК оси до вершины и на пос-
тоянном отрезке PR. Действительно, если КМ=у, КР=х,
LP = PR = р, то у2 = 2рх (см.: рис.1).
Рис.1
Великий геометр древности Аполлоний Пергский (AnoXXcoviog,
Ш-П вв. до н.э.) рассматривал сечения уже двуполостного кону-
са, причем произвольной плоскостью (в современных терминах
можно сказать, что Аполлоний рассматривал кривые степени 2 в
косоугольной системе координат, а Менехм в прямоугольной).
Его главный труд «Конические сечения» («Xcovt/га», 8 книг, из ко-
торых до нас дошли первые 7), содержит 387 теорем (во всяком
случае, в «Конике» содержится гораздо больше свойств коничес-
ких сечений, чем в любом современном учебном курсе аналитичес-
кой геометрии). Аполлонию принадлежат классические названия
«эллипс», «гипербола» и «парабола» и многие другие математичес-
Г. М. Полотовский
179
кие термины. Особо отметим, что классификация кривых степени
2 у Аполлония по существу алгебраическая - по виду симптома, то
есть уравнения, а не из геометрических соображений. Книга Апол-
лония оказала большое влияние на многих математиков, включая
Ф.Виета, П.Ферма, Р.Декарта, И.Ньютона.
В последующие века в связи с попытками решить три неразре-
шимые задачи древности были открыты отдельные кривые более
высоких степеней: конхоида Никомеда (степень 4, III в. до н.э.),
циссоида Диоклеса (степень 3, II в. до н.э.). Однако эти кривые
определялись механически или кинематически, понятие «алгебраи-
ческая кривая» возникнуть еще не могло, не говоря уже о задаче
классификации алгебраических кривых.
II. Классический период: XVII—XIX вв. Понятие алгебраи-
ческой кривой как линии, определяемой многочленом, могло поя-
виться только после изобретения П.Ферма (1601-1665) и Р.Декар-
том (1596-1650) аналитической геометрии. Результаты Ферма из
его трактата 1636 г «Введение в изучение плоских и телесных
мест»1 - теорема о том, что уравнение первой степени от двух пе-
ременных определяет прямую линию на плоскости, и, по сущест-
ву, приведение уравнения кривой степени 2 к каноническому виду
фактически являются классификационными результатами. Что
касается Декарта, то, хотя его «Геометрия» 1637 г. сыграла исклю-
чительную роль для становления и развития «полиномиальной
культуры», введенные Декартом алгебраические кривые декар-
тов лист и овалы Декарта (так же, как известные из древности
конхоида Никомеда и циссоида Диоклеса и целая группа других
алгебраических кривых, появившихся в XVII в.: парабола Нейля,
строфоида Торричелли, лемниската Бернулли, овалы Кассини,
улитка Паскаля, астроиды и др.), не оказали большого влияния на
развитие классификации алгебраических кривых. Более того, хотя
само разделение кривых на алгебраические и трансцендентные
(эти термины идут от Г.В.Лейбница, в «Геометрии» Декарта кри-
вые «геометрические» и «механические» соответственно) принад-
лежит Декарту, его вклад собственно в задачу классификации ал-
гебраических кривых, на мой взгляд, незначителен. Дело в том,
что Декарт предложил крайне неудачный параметр классифика-
ции: «Если уравнение будет восходить до трех или четырех изме-
рений обеих или одной из двух неопределенных величин, то кри-
вая будет второго рода. И если уравнение будет восходить до пяти
или шести измерений, то она будет третьего рода, и так далее до
бесконечности для других кривых» [1, с.33]. Иначе говоря, Де-
карт предложил отнести кривые степени 2т -1 и степени 2т к од-
ному роду т и классифицировать кривые по таким родам. Источ-
180
СТАТЬИ РАЗЛИЧНОГО СОДЕРЖАНИЯ
ником такого неестественного подхода было убеждение Декарта в
том, что уравнение шестой степени приводится к уравнению пятой
степени так же, как уравнение четвертой степени приводится к
уравнению третьей степени: «Кривые линии, для которых это
уравнение восходит до квадрата квадрата, я отношу к тому же
роду, что и линии, для которых оно восходит только до куба, а
линии, уравнение которых восходит до квадрата куба, - к тому же
роду, что и линии, для которых оно восходит только до сверхтела
и т.д.» [1, с.35]. Ферма возражал Декарту, считая, что в случае
уравнения с двумя неизвестными такое сведение в общем случае
невозможно [2, с. 119-120], но общепринятому подходу - класси-
фикации алгебраических кривых по степеням уравнений - мы обя-
заны Ньютону.
Исаак Ньютон (1642-1727) в работе [3] 1704 г. привел клас-
сификацию кривых третьей степени. Заменами переменных Нью-
тон преобразует общее уравнение кривой степени 3 к одному из че-
тырех канонических видов:
ху2 + еУ - ах^ + bx2 + сх + d,
ху = ах3 + bx2 + сх + d,
у2 = ах3 + Ьх2 + сх + d,
у = ах3 + bx2 + сх + d.
Затем Ньютон составляет характеристическое уравнение
ах^ + bx3 + сх2 + dx + — е2 = 0 или ах3 + bx2 + сх + d = 0
4
и по знакам коэффициентов этого уравнения делит все кривые сте-
пени 3 на 7 классов, состоящих в совокупности из 14 родов, кото-
рые, в свою очередь, в зависимости от соотношений между корнями
характеристического уравнения, делятся на типы. Для каждого типа
предлагается название и дается рисунок кривой в системе коорди-
нат с указанием асимптот и особых точек. Всего в классификации,
опубликованной в [3], 72 типа. На самом деле их должно быть
больше: Ньютон обращался к кривым степени 3 несколько раз, в
частности, в 1667 и 1695 гг.,и при различных подходах получал
различные классификации. Например, в рукописи «The final
“Geometrioe libri dou”» [4] Ньютон привел классификацию, состоя-
щую из 59 типов, причем со всеми выкладками, но без рисунков, в
то время как [3] «просто резюме исследования Ньютона, в котором
положения большей частью не доказаны»2. По неясным причинам
некоторые типы, имеющиеся в рукописях Ньютона, в списке в [3]
опущены; четыре типа были добавлены в 1707 г. Джеймсом Стир-
лингом (1692-1770), один тип добавил в 1729 г. Франсуа Николь
Г. М. Полотовский
181
(1683-1758) и еще один тип - Николай I Бернулли (1687-1759).
Подробности о классификации Ньютона (см.: [5; 6]).
После работы [3] предпринималось еще много попыток уточ-
нить результаты Ньютона или дать другую классификацию кривых
степени 3. Вот неполный список авторов с указанием дат публика-
ции соответствующих работ: Леонард Эйлер (1748), Юлиус Плюк-
кер (1835), Артур Кэли (1866), Генрих Дюреж (1873), Джино Ло-
риа (1887), Генрих Шретер (1888), Пауль Гордан (1900),
В.П.Вельмин (1906), А.А.Адамов (1918), Ричард Барингтон (1935).
У ряда авторов количество типов еще больше, чем у Ньютона
например, у Плюккера 219 типов, а Адамов, у которого нет четкого
понятия типа, приводит 1133 чертежа разных кривых степени 3.
Однако и из классификации Ньютона уже отчетливо видно, что с
ростом степени подобная классификация быстро становится необоз-
римой (да и вряд ли возможно найти ее с помощью тех же мето-
дов). Одна из причин этого некомпактность плоскости, на кото-
рой рассматриваются кривые: приходиться учитывать, как и сколь-
ко ветвей кривой идут в бесконечность. Путь ухода от этой труднос-
ти фактически увидел сам Ньютон, написав в [3]: «Подобно тому,
как круг, поставленный перед светящейся точкой, дает своей тенью
все кривые второго порядка, так же своей тенью пять расходящихся
парабол дают все кривые третьего порядка». Но эти пять расходя-
щихся парабол Ньютона (см.: рис.2) есть в точности классифика-
ция неприводимых кривых степени 3 в вещественной проективной
плоскости! Вряд ли Ньютон был знаком с открытой Жераром Де-
заргом (1591-1661) и Блезом Паскалем (1623-1662) проективной
геометрией, хотя отдельные «проективные мотивы» можно увидеть
уже у Аполлония, а Иоганн Кеплер (1571-1630) еще в 1604 г. расс-
матривал пару прямых, гиперболу, параболу и эллипс как кривые
одного семейства и ввел бесконечно удаленную точку прямой, при-
чем одну общую в обоих направлениях.
Рис.2. Класс VI. Расходящиеся параболы
182
СТАТЬИ РАЗЛИЧНОГО СОДЕРЖАНИЯ
Однако перехода от аффинной классификации к проективной
было не достаточно: нарушая хронологический порядок изложе-
ния, отмечу, что классификация проективных кривых степени 4,
по детализации подобная ньютоновой, но полученная лишь в конце
XX в. Д.А.Гудковым и его учениками, содержит более 1000 типов.
Необходимо было пожертвовать этой детализацией, и постепенно
сформировалась задача о числе и взаимном расположении компо-
нент связности неособых проективных алгебраических кривых.
Напомню, что каждая компонента связности, или ветвь, неосо-
бой кривой в вещественной проективной плоскости RP2 гомеомор-
фна окружности. Эта ветвь называется овалом, если она делит
RP2 на диск и на лист Мёбиуса; диск считается внутренностью
овала. Ветвь, которая не делит RP2 то есть вложена в RP2 однос-
торонне, называется нечетной. Нечетная ветвь, причем ровно одна,
имеется только у кривой нечетной степени.
Все это было известно к 1876 г когда Аксель Харнак
(1851-1888) опубликовал результат, с которого, как правило, на-
чинают изложение истории задачи.
Теорема Харнака [7]: Пусть N - число ветвей неособой кри-
вой степени т в вещественной проективной плоскости. Тогда
1) N < (m - 1)(т - 2) / 2 4-1;
2) эта оценка точная для любого т.
Следуя И.Г.Петровскому, кривые, для которых в оценке 1)
достигается равенство, теперь называют М-кривыми.
Доказательство утверждения 1), данное Харнаком, вполне эле-
ментарное и простое: это рассуждение от противного, опирающееся
на теорему Безу о числе общих точек двух алгебраических кривых
без общей компоненты. Доказательство утверждения 2) тоже эле-
ментарно, но его можно назвать простым только после того, как
оно уже известно, поскольку результат достигнут с помощью изоб-
ретения специальной конструкции. Эта конструкция представляет
собой построение по индукции, на каждом шаге которого возмуща-
ются т общих точек М-кривой степени т и фиксированной прямой
так, что образующаяся неособая кривая степени т + 1 имеет т + 1
общую точку с той же прямой, причем все эти точки расположены
на одной ветви кривой степени т + 1 и в том же порядке, что на
этой прямой. Это построение, которое теперь называется «способ
Харнака», неоднократно излагалось в литературе (см. например:
[8, с. 19-20], поэтому ограничимся сказанным.
В 1891-1892 гг. Альфред Гурвиц (1859-1919) в [9] и Феликс
Клейн (1849-1925) в [10] дали доказательство утверждения 1) те-
оремы Харнака, основанное на совершенно другом подходе. Имен-
но, для данной вещественной кривой они рассмотрели поверхность
Г. М. Полотовский
183
Римана и действующую на этой поверхности инволюцию комплекс-
ного сопряжения. По-видимому, это один из первых примеров вы-
хода в комплексную область для ответа на вопрос о строении ве-
щественной алгебраической кривой в вещественной проективной
плоскости. Эта идея стала одной из ведущих в современном разви-
тии предмета.
Теорема Харнака вместе с очевидными топологическими следс-
твиями теоремы Безу для расположения кривой относительно пря-
мой дает решение задачи для степеней т < 5. Действительно, нап-
ример, для т = 5 оценка Харнака дает N < 7, способ Харнака дает
М-кривую степени 5, состоящую из 6 овалов, лежащих вне друг
друга, и нечетной ветви, а никакие другие взаимные расположения
этих семи ветвей невозможны в силу теоремы Безу; если N < 7, то
вопрос о расположении ветвей решается так же легко. Начиная с
т = 6 ситуация кардинально меняется: оценка Харнака дает N < 11,
теорема Безу допускает 11 попарно различных схем расположений
в RP2 одиннадцати овалов, а способом Харнака можно реализо-
вать только одну из них. Список этих схем приведен на рис.З, где
через уб обозначаются а + b + 1 овалов, из которых b + 1 лежат вне
друг друга, причем этот один, обозначенный единицей «в знамена-
теле», окружает еще а овалов вне друг друга, обозначает И ова-
лов вне друг друга, а кружком обведено расположение, реализо-
ванное Харнаком.
А.Харнак, 1876
Рис.З
Все это было, конечно, известно Давиду Гильберту
(1862-1943), когда он заинтересовался этой задачей. В работе
[И], в которой Гильберт впервые поставил вопрос о взаимном рас-
положении овалов неособой алгебраической кривой в /?Р2 (а так-
же на поверхностях степени 2), он предложил новый способ
«способ Гильберта» построения М-кривых. Фактически Гиль-
берт применил ту же индуктивную конструкцию, которая была у
Харнака, но вместо фиксированной прямой рассмотрел фиксиро-
ванный эллипс. При этом индукция осуществляется отдельно для
кривых четной и для кривых нечетной степеней. Гильберт ввел по-
нятие гнезда веса s - набора s овалов, последовательно охватываю-
184
СТАТЬИ РАЗЛИЧНОГО СОДЕРЖАНИЯ
щих друг друга и доказал своим способом построения, что для
каждого т > 3 существует М-кривая степени т с гнездом макси-
мального веса s =[т / 2 -1]. Опуская подробности, которые мож-
но найти, например, в [8, с.21-22], отметим только, что для степе-
ни 6 метод Гильберта дает две М-кривые: расположение Харнака
In 9 л
-9 и новое расположение: yl.
Попытки Гильберта ответить на вопрос о реализуемости кри-
выми степени 6 остальных 9 схем из таблицы рис.З успехом не
увенчались. В 1900 г. Гильберт включил эту задачу под номером
16 в свой список 23 математических проблем для XX в., обнародо-
ванный в его докладе на II Международном конгрессе математиков
в Париже. Приведу формулировку 16-ой проблемы полностью (ци-
тируется по [12]), хотя ниже будет обсуждаться только часть
проблемы, касающаяся плоских кривых:
416. Проблема топологии алгебраических кривых
и поверхностей»
Максимальное число замкнутых и отдельно расположенных
ветвей, которые может иметь плоская алгебраическая кривая н-го
порядка, было определено Гарнаком. Возникает дальнейший воп-
рос о взаимном расположении этих ветвей на плоскости. Что каса-
ется кривых шестого порядка, то я, - правда, на достаточно слож-
ном пути убедился, что те 11 ветвей, которые получаются по
Гарнаку, никогда не расположены все вне друг друга; всегда су-
ществует одна ветвь, внутри которой содержится еще одна и вне
которой находятся остальные девять, или наоборот...Мне предс-
тавляется очень интересным основательное изучение взаимного
расположения максимального числа отдельных ветвей, так же, как
и соответствующее исследование о числе, характере и расположе-
нии отдельных полостей алгебраической поверхности в пространст-
ве; ведь до сих пор еще не установлено, каково в действительности
максимальное число полостей поверхности четвертого порядка в
трехмерном пространстве...
В связи с этой чисто алгебраической проблемой я затрону еще
один вопрос, который, как мне кажется, должен быть решен с по-
мощью упомянутого метода непрерывного изменения коэффициен-
тов и ответ на который имеет важное значение для топологии се-
мейств кривых, определяемых дифференциальными уравнениями,
а именно, вопрос о максимальном числе и о расположении пре-
дельных циклов Пуанкаре для дифференциального уравнения пер-
вого порядка и первой степени вида
dy=X_
dx Х’
Г. М. Полотовский
185
где X и У целые рациональные функции п-й степени относи-
тельно х и у,или в однородной записи,
dz dy\
У---z~
di dt j
dx dz
----x —
dt dt
dy dx
x---у—
dt dt
= 0,
X
+ Z
где X,Y,Z целые рациональные однородные функции п-й степе-
ни относительно х, у, z, которые и нужно определить как функции
параметра £».
Конечно, успех попытки Гильберта очертить основные направ-
ления будущего развития математики можно оценивать по-разно-
му3, но то, что включение 16-ой проблемы в этот список было пра-
вильным, вряд ли вызывает сомнение.
III. Героический период: первые 70 лет XX в. Начну с моти-
вировки последнего заголовка. Дело в том, что 16-я проблема ока-
залась очень трудной. Не видны были ее связи с другими раздела-
ми математики. Хотя Гильберт высказал гипотезы о невозможнос-
ти М-кривых степени 6, состоящих из И овалов вне друг друга, и
что «всегда существует одна ветвь, внутри которой содержится еще
одна и вне которой находятся остальные девять, или наоборот»,
кроме идеи «непрерывного изменения коэффициентов», упомяну-
той Гильбертом (реализация которой, как теперь известно, оказа-
лась чрезвычайно сложной технически), не было никаких подхо-
дов к задаче. Даже конкретные факты открывались с большим
трудом, поэтому неизвестно было, какие общие утверждения пы-
таться доказывать. По-видимому, все это привело к тому, что нем-
ногие отваживались приниматься за эту задачу, а те немногочис-
ленные исследования, которые были, проводились изолированно.
Первая заметная работа этого периода принадлежит Вирджи-
нии Рэгсдейл (1870-1945). Рэгсдейл окончила колледж в Гринсбо-
ро, Северная Каролина, со степенью бакалавра в 1892 г. затем
изучала физику в колледже Брин Маур, где получила стипендию
для обучения в Европе. Она решила поехать в Геттинген, где год
занималась математикой под руководством Клейна и Гильберта.
Вернувшись в США, Рэгсдейл через 4 года защитила диссертацию,
опубликованную в [14]. В этой работе, основываясь на построени-
ях кривых способами Харнака и Гильберта, она сформулировала
следующую гипотезу:
Гипотеза Рэгсдейл (1906): Для неособой кривой четной степе-
ни т = 2k обозначим через р количество ее четных овалов, то есть
овалов, лежащих внутри четного числа других ее овалов, а через п
- число остальных (нечетных) овалов. Тогда
р < 3k(k - 1) / 2 + 1,и < 3k(k - 1) / 2
186
СТАТЬИ РАЗЛИЧНОГО СОДЕРЖАНИЯ
|2(p-n)-l|<3£2 -3fe + l.
Рэгсдейл доказала первые два неравенства для кривых, строя-
щихся методами Харнака и Гильберта. Кроме того, она построила
для любого k примеры кривых, состоящих из (3k2 -3fe)/2 + l
овалов, лежащих вне друг друга, откуда следует, что оценка свер-
ху для р -п, вытекающая из третьего неравенства, не может быть
улучшена.
В 1909 и 1910 гг. Грета Кан (1880-?) и Клара Левенштайн
(1883-?)4 написали под руководством Гильберта диссертации [15;
16], в которых с помощью идеи Гильберта о непрерывном измене-
нии коэффициентов пытались доказать невозможность кривой сте-
пени 6 со схемой Несмотря на некоторые продвижения в разви-
тии метода, получить доказательство им не удалось (о чем они
сами и написали в своих работах). Чуть позже Карл Рон
(1855-1920) в статьях [17; 18] продолжил развитие этой идеи, пы-
таясь доказать нереализуемость кривыми 6-ой степени схем <11> и
10 5
—, но тоже не смог дать полных доказательств3
Примерно в это же время началось движение в другом направ-
лении - развитие методов построения М-кривых. Здесь первые ре-
зультаты принадлежат Луиджи Брюзотти (1877-1959), профессору
университетов Кальяри, Пизы и Павии, работы которого по вещест-
венной алгебраической геометрии выходили, насколько мне извест-
но, до 1956г. [19]. В большой серии статей 1910-1917 гг. Брюзотти
предложил обобщение методов Харнака и Гильберта, которое назы-
вается «способ Брюзотти»6. Опуская подробности, главные из кото-
рых (как и ссылки на публикации Брюзотти) на русском языке
можно найти в [8; 20; 21], отмечу, что это тоже индуктивный про-
цесс, в котором применяются возмущения только простых двойных
точек. В способе Брюзотти по двум заданным М-кривым - «порож-
дающей» степени п и «вспомогательной» степени г - строится серия
М-кривых степеней kn + г, k = 1, 2, 3 однако эти порождающая и
вспомогательная должны удовлетворять весьма ограничительным
условиям. При (п,г) = (1,1) или (п,г) = (1,2) получается способ Харна-
ка, при (п,г) =(2,1) или (2,2) - способ Гильберта. Брюзотти указал
приемы построения порождающих кривых любой степени, но эти
приемы не исчерпывающие. Способом Брюзотти удалось построить
кривые, отличные кривых Харнака и Гильберта, только для степе-
ней > 7.
Отметим еще, что в [22] Брюзотти доказал очень полезную те-
орему о независимости возмущений простых двойных точек: Если
все вещественные особые точки вещественной алгебраической кри-
вой без кратных компонент простые двойные, то существуют такое
Г. М. Полотовский
187
малое изменение коэффициентов этой кривой, при которых каж-
дая из этих двойных точки возмущается выбранным заранее произ-
вольно образом (то есть остается простой двойной либо устраняет-
ся одним из двух способов.
В 1923 г. шведский математик Андерс Виман (1865-1959) ука-
зал в [23] еще одну возможность построения М-кривых с по-
мощью возмущений простых двойных точек. Именно, в случаях,
когда А - М-кривая степени fe, полученная способом Харнака, или
М-кривая четной степени k, построенная способом Гильберта, Ви-
ман из А получает М-кривую степени 2k. Однако, в отличие от
способов Харнака, Гильберта и Брюзотти, построение Вимана не
продолжается по индукции. В способе Вимана новые М-кривые
получаются, начиная со степени 12.
Одно из самых ярких достижений этого периода - работы [24;
25] И.Г.Петровского (1901-1973). Вот одна из его теорем:
Теорема Петровского [25]: Для неособой кривой четной сте-
пени т = 2k выполняется точная оценка
|2(р - п) - 1|< ЗЛ2 -3k + 1,
где р(п) количество четных (соответственно, нечетных) овалов
кривой7
Эта теорема дает, в частности, первое доказательство гипотезы
Гильберта о невозможности кривой степени 6 с одиннадцатью ова-
лами вне друг друга. Действительно, в этом случае имеем k=3,
р =11, п = 0, что противоречит неравенству Петровского.
Доказательства Петровского чрезвычайно изобретательны и
основаны на новой идее: он объединил подход теории Морса с вы-
ходом в комплексную область. Именно, он рассмотрел перестройки
линий уровня многочлена F{x,y) степени т, определяющего кри-
вую в аффинной плоскости, и применил формулу Эйлера-Якоби
(\*)2 PUpyy) _о
;=1
где (xj,yj) - попарно различные комплексные критические точки
многочлена F(x,y)j якобиан многочлена F(x,#),a Р(х,у) - про-
извольный многочлен степени ниже, чем 2т -4. Для доказательст-
ва точности неравенств Петровский,как и Рэгсдейл,применил видо-
измененный способ Харнака.
Итак, сведения о расположении овалов М-кривой степени 6,
известные после работы Петровского [25], можно изобразить в
виде таблицы рис.4:
В 1948 г. А.А.Андронов (1901-1952), физик по образованию,
один из создателей теории грубости динамических систем [26],
188
СТАТЬИ РАЗЛИЧНОГО СОДЕРЖАНИЯ
И. Г. Петровский, 1938
А.Харнак, 1876
Д. Гильберт, 1891
Рис.4
предложил Д.А.Гудкову (1918-1992) построить теорию грубости
для плоских алгебраических кривых. Замысел Андронова состоял
в том, чтобы отработать основные понятия теории бифуркаций на
объекте более простом, чем динамические системы. Гудков спра-
вился с задачей [27], но, по словам самого Гудкова, еще задолго
до этого, примерно в 1950 г., Петровский, узнав об этой задаче,
сказал примерно следующее: «Заниматься построением такой об-
щей теории хорошо, но еще лучше одновременно иметь в виду ка-
кую-нибудь конкретную задачу, например, задачу Гильберта о
кривых степени 6.»
В 1969 г., то есть после 20-летней (!) работы, Гудкову [28]
удалось решить задачу о расположении овалов неособой кривой
степени 6 в проективной плоскости. Ответ показан на рис.5 в том
виде, как он был дан в [28] и [8]: кривыми степени 6 реализуются
схемы, расположенные ниже ломаной линии, и только эти схемы;
0
Рис.5
Г. М. Полотовский
189
0 обозначает здесь кривую без вещественных точек, «трехэтажная
дробь» справа - гнездо веса 3, а прямоугольником выделена стро-
ка М-кривых.
Итак, в 1969 г. задача Гильберта о кривых степени 6 была ре-
шена. При этом оказалось, что гипотеза Гильберта «всегда су-
ществует одна ветвь, внутри которой содержится еще одна и вне
которой находятся остальные девять, или наоборот» - неверна: ре-
5г /
ализуется еще схема (то есть пять овалов внутри одного, вне
которого пять других). Для доказательства существования кривой
с такой схемой Гудков впервые в этой задаче привлек квадратич-
ные преобразования. Первоначальные рассуждения Гудкова были
чрезвычайно сложными: один вариант доказательства занимает 28
страниц его диссертации 1969 г. и представляет собой длинную це-
почку применений метода Гильберта-Рона и квадратичных преоб-
разований; второй вариант (в Дополнении) занимает 20 страниц и
уже не использует метод Гильберта-Рона. Фактически Гудков до-
казал реализуемость взаимного расположения М-кривой степени 5
и прямой8 (см.: рис. 10 ниже), пересекающихся в пяти различных
вещественных точках так, что подходящим возмущением этих об-
щих точек получается кривая со схемой -j-5, однако в диссертации
это были «чистые доказательства существования». Вскоре после
этого Гудков усовершенствовал свои доказательства и привел пря-
мое построение - в [29] (см. также: [8]) оно занимает 2 страницы.
Для доказательства нереализуемости схем, лежащих выше ло-
маной, Гудков применил неоднократно упоминавшуюся выше идею
Гильберта о непрерывном изменении коэффициентов кривой. Счи-
тая, что «К.Рон внес большой вклад в развитие указанной выше
идеи Д.Гильберта» ([8, с.44], Гудков назвал этот метод доказательс-
тва методом Гильберта-Рона9 В общих чертах процедура примене-
ния этого метода следующая. Предположим, что кривая степени 6,
реализующая данную схему расположения овалов, существует, и
27
пусть Fq - соответствующая этой кривой точка в пространстве RP
всех кривых 6-ой степени10 Доказываем, что (не малым) изменени-
ем коэффициентов исходной кривой можно получить некоторую
кривую, имеющую 10 простых двойных точек. Пусть этой кривой
отвечает точка Fj в RP27 Фиксируем 8 из этих 10 двойных точек и
рассматриваем множество М всех кривых степени 6, имеющих в
этих восьми точках особенности. Наличие у кривой особенности в
данной точке плоскости RP2 накладывает три условия на коэффи-
циеты этой кривой. Всего получаем 24 условия, и если они незави-
190
СТАТЬИ РАЗЛИЧНОГО СОДЕРЖАНИЯ
симы, то М гомеоморфно пространству RP3 с: RP27 Движемся в
М по пути Ff(O, t > 0, Fj(O) = Fp так, чтобы какая-либо компонен-
та дополнения в RP2 к кривой, отвечающей точке F|(t), при уве-
личении t все время расширялась. Следовательно, траектория на-
шего движения незамкнута и не имеет самопересечений. При этом
движении конечное число раз должны произойти перестройки кри-
вой - этим перестройкам отвечает прохождение в М через точки,
отвечающие кривым с более сложными особенностями или распа-
дающимся кривым. Пусть мы знаем список всех таких логически
возможных перестроек и геометрические критерии для каждой из
них. Если на каком-то этапе нашего движения никакие перестрой-
ки больше невозможны, то получается противоречие, которое и до-
казывает невозможность исходной кривой11.
Для реализации описанной процедуры необходима тщательно
разработанная теория бифуркаций алгебраических кривых. У
Гильберта и его последователей в первой четверти XX в. такой тео-
рии не было, поэтому в их рассуждениях были трудноустранимые
пробелы. Гильберт представлял себе сложность такой теории, вы-
разив это в формулировке 16-ой проблемы словами «на достаточно
сложном пути убедился». Гудков в [27; 28] и серии более ранних
работ такую теорию построил и все пробелы заполнил.
Отметим, что в период 1948-1969 гг. кроме описанных выше
работ Гудкова появлялось очень мало других статей по рассматри-
ваемой тематике12, так что можно сказать, что Гудков занимался
задачей о кривых степени 6 в полном одиночестве, которое скра-
шивалось интересом и поддержкой со стороны И.Г.Петровского,
Е.А.Леонтович-Андроновой (1905-1996) и казанского алгебраиста
В.В.Морозова (1910-1975).
О роли Морозова следует сказать особо. Дело в том, в [30;
31] и в кандидатской диссертации Гудков уже заявлял о решении
задачи о неособых кривых степени 6, утверждая при этом, что схе-
мы, -5 (гипотеза Гильберта!), - 4 и -3 нереализуемы. В результа-
1 1 1
те ломаная, отделяющая реализуемые схемы от нереализуемых,
была не такая, как на рис.5, не симметричная. Узнав об этих ре-
зультатах в конце 1960-х годов, Морозов сообщил Гудкову, что эта
асимметрия его крайне удивляет и он в нее не верит. Гудков переп-
роверил свои доказательства, нашел ошибку в анализе одной би-
фуркации, и «был вынужден» придумать способ построения недос-
тающих кривых.
Симметрия рис.5 бросается в глаза. Гудков, конечно, заметил
периодичность в первой строке таблицы. В письме к Морозову13
(см.: рис.6) Гудков пишет: «В последнее время я пытался охватить
Г. М. Полотовский
191
формулой закон, которому следуют существующие типы макси-
мальных кривых Cg, Cg, и т.д.» и далее формулирует сравнение
по модулю 8, указывая, что оно верно «для четного т для всех
проверенных мной случаев». В 1970 г. отвечая на замечания оппо-
нента на защите своей докторской диссертации, Гудков дает фор-
мулировку этого сравнения в тех же параметрах р и и, которые ис-
пользовались в гипотезах Рэгсдейл и неравенстве Петровского:
«Произведя большое число экспериментов для кривых четного по-
рядка т, я убедился в том, что весьма вероятна теорема о перио-
дичности в расположении овалов М-кривых: если Ст -неособая
М-кривая четного порядка т, то выполняется сравнение
Z \2
р-п = 1 — ] (mod8). (1)
I 2 J
Доказательства этого сравнения я не имею. Однако весьма
примечательно, что имеются общие топологические теоремы, ут-
верждающие периодичность некоторых инвариантов по модулю 4,
8 и 16.»14
Таким образом в топологии вещественных алгебраических мно-
гообразий впервые появились ограничения в виде сравнений.
Справедливость этого сравнения для кривых степени 6 непосредст-
венно следует из результатов Гудкова [28]15 Однако ни в [28], ни
в докторской диссертации, ни в ее автореферате это сравнение не
упоминается: Гудков хорошо понимал его значение и пытался най-
ти доказательство. Придя через некоторое время к выводу, что это
ему не под силу ввиду недостаточного знания топологии, он стал
пропагандировать это сравнение и опубликовал его в качестве ги-
потезы в [29]. Формулировка этой гипотезы и знаменует собой пе-
реход к современному периоду в развитии рассматриваемой тема-
тики.
IV. Современный период: с 1971 г. Работой, открывшей этот
период, была замечательная статья В. И. Арно льда [32]. Уже само
название этой статьи указывает на обнаружение связей задачи об
алгебраических кривых с другими разделами математики, прежде
всего с дифференциальной и алгебраической топологией. Глав-
ным результатом16 статьи [32] явилось доказательство «половины»
гипотезы Гудкова - того же сравнения, но по модулю 4. Ключе-
вым моментом опять оказался выход в комплексную область: Ар-
нольд отмечает [13], что надо было понять, как комплексифициро-
вать двумерное многообразие с краем М = {f(x,y) > 0}, где f - мно-
гочлен, определяющий кривую в аффинной плоскости. Арнольд
рассмотрел комплексификацию поверхности f(x,y)=z2 (проекци-
ей которой на плоскость (х, г/) является М), то есть накрытие ком-
192
СТАТЬИ РАЗЛИЧНОГО СОДЕРЖАНИЯ
1&*4*&* —
?£><UAMf£A^
& ГА
Л/шЩ 4>
Рис.6
Г. И. Полотовский
193
плексной проективной плоскости, разветвленное двулистно вдоль
множества комплексных точек кривой, и изучил изоморфизм в
двумерных гомологиях этого накрытия, индуцированный его инво-
люцией.
В следующем году В.А.Рохлин (1919-1984) доказал гипотезу
Гудкова полностью, то есть доказал сравнение по модулю 8. В
статье [33] Рохлин следовал работе Арнольда [32], но применял
более мощные топологические средства, выводя сравнение из сво-
их результатов о делимости инвариантов четырехмерных многооб-
разий на 16, однако в этом выводе была ошибка17 В [35] Рохлин
дал более простое доказательство некоторого сравнение по модулю
16 для гораздо более общей ситуации, из которого вытекало срав-
нение по модулю 8 для М-кривых, которое Рохлин назвал в этой
работе сравнением Гудкова18
После этих работ Арнольда и Рохлина возник всплеск инте-
реса к топологии вещественных алгебраических многообразий. В
1974 г. в первом обзоре новых результатов по этой тематике Гуд-
ков писал: «По-видимому, в настоящее время поток статей по то-
пологии вещественных алгебраических многообразий не будет
прерываться на долгие годы, как это имело место в прошлом» [8,
с.69]. Так и произошло. Стали появляться новые результаты19 и
вслед за ними - новые обзоры20 Конечно, наличие многочислен-
ных обзоров облегчает задачу автора этой статьи (а также читате-
лей, которые заинтересуются деталями). С другой стороны, но-
вых результатов так много, что в этой статье вряд ли возможно
сказать обо всех и упомянуть всех авторов. Не ставя такую зада-
чу, ниже я ограничусь главными, на мой взгляд, идеями и ре-
зультатами, стараясь не отклоняться в сторону их различных
обобщений.
1. Комплексные ориентации. В работе [38] Рохлин предложил
новую характеристику для вещественных алгебраических кривых,
тоже основанную на выходе в комплексную область (отметив при
этом, что аналогичная проблематика «более ста лет назад занимала
Ф.Клейна»). Конструкция этой характеристики следующая. Пусть
кривая F определяется однородным многочленом Fix.y.z) степени
т с вещественными коэффициентами. Обозначим через RF и CF
множества нулей этого многочлена в вещественной (RP2) и в комп-
лексной (СР2) проективных плоскостях соответственно. RF назы-
вается множеством вещественных точек кривой F, a CF - множест-
вом комплексных точек, или комплексификацией, кривой F Хоро-
шо известно, что если кривая не имеет комплексных особых точек,
то CF гладкое ориентируемое двумерное многообразие рода
д =(т - 1)(т - 2) / 2 (сфера с д ручками). Если RF разбивает CF,
194
СТАТЬИ РАЗЛИЧНОГО СОДЕРЖАНИЯ
то на две половины с общим краем RF, переходящие друг в друга
при комплексном сопряжении. В этом случае кривая F называется
разбивающей2^. Выберем одну из этих половин и ориентируем ее.
Индуцированную ориентацию множества RF как края выбранной
половины Рохлин назвал комплексной ориентацией вещественной
кривой F - см.: рис.722, а вещественную схему расположения вет-
вей разбивающей кривой, оснащенную комплексной ориентацией -
комплексной схемой кривой.
Далее, любая пара овалов, из которых один лежит внутри
другого, называется инъективной парой. Такая пара ориентирован-
ных овалов называется положительной, если ориентации овалов
индуцируются некоторой ориентацией ограничиваемого ими коль-
ца, и отрицательной в противном случае. Через П+ и П_ обознача-
ются число положительных и отрицательных инъективных пар со-
ответственно. Рохлин доказал, что для кривой степени 2k имеет
место следующая формула комплесных ориентаций:
2(П+ -П_) =1 -k2
где / = П+ + П_ число овалов кривой. Н.М.Мишачев получил в
[39] аналогичную формулу для случая кривой нечетной степени.
Ясно, что формулы Рохлина и Мишачева дают ограничения на
расположения овалов кривой: например, если какая-то схема рас-
положения овалов не допускает набора ориентаций овалов, удов-
летворяющего формуле (2), то эта схема не может быть реализова-
на разбивающей кривой степени 2k.
В [40] Рохлин разделил схемы расположений овалов вещест-
венных кривых данной степени т на три типа: схема принадлежит
типу I {типу II) если любая кривая степени т с такой схемой
разбивающая (соответственно, неразбивающая); схема принадле-
жит неопределенному типу, если существуют как разбивающие,
так и неразбивающие кривые степени т с такой схемой. Рохлин
приводит в [40] классификацию схем степени < 6 по типам, полу-
Г. И. Полотовский
195
ченную им вместе с его учениками В.И.Звониловым, В.В.Макее-
вым и Т.Фидлером, указывает, что для степеней < 4 ответ знал
Клейн, и что схемы неопределенного типа существуют для всех
степеней > 5. Затем на основании имеющегося фактического мате-
риала Рохлин формулирует следующую гипотезу [40, п.3.9]: «Ве-
щественная схема тогда и только тогда принадлежит типу Z, когда
она максимальна, то есть не является частью большей веществен-
ной схемы той же степени». Несмотря на свою привлекательность,
эта гипотеза оказалась неверной23.
2. Жесткие изотопии. Рохлин обратил в [40] внимание на изу-
чение компонент дополнения к дискриминантной гиперповерхнос-
ти24 в пространстве Rp™<™+3>/2 всех вещественных кривых данной
степени т\ «Ясно, что кривые, принадлежащие одной компоненте,
имеют одну и ту же вещественную схему, то есть класс всех неосо-
бых кривых с заданной вещественной схемой состоит из целых ком-
понент. Изучение этих компонент столь же старая задача, как
изучение самих классов». Кривые, принадлежащие одной компонен-
те, Рохлин назвал жестко изотопными', их можно соединить изото-
пией, составленной из алгебраических кривых той же степени.
Ясно, что комплексная схема кривой инвариантна при жесткой изо-
топии. Таким образом, наряду с задачей классификации веществен-
ных схем возникает задача классификации комплексных схем кри-
вых данной степени. Рохлин отмечает, что для неособых кривых
степеней < 4 классы относительно жестких изотопий совпадают с
классами относительно вещественных изотопий25 ( то есть кривым с
одинаковой схемой расположения ветвей отвечает ровно одна ком-
понента связности множества неособых кривых) и что случай степе-
ни 4 был рассмотрен Клейном в [47, с. 112]. Затем Рохлин приводит
пример двух изотопных, но не жестко изотопных кривых степени 5
[52]. Жесткую изотопическую классификацию кривых степени 5 на-
шел В.М.Харламов [53], а степени 6 - В.В.Никулин [54]. Класси-
фикация комплексных схем степени 7 получена в работах
С.Ю.Оревкова, С.Фидлер-Ле Тузе [55] и В.Флоренса [56].
Из сказанного выше очевидно, какой большой вклад в изуче-
ние топологии вещественных алгебраических многообразий внесли
идеи и результаты Рохлина. Не менее важным для развития пред-
мета оказался и вклад Рохлина другого сорта: в начале 1970-х го-
дов он привлек к этой тематике большую группу своих учеников -
О.Я.Виро, В.М.Харламова, В.И.Звонилова, Н.М.Мишачева,
С.М.Финашина, Т.Фидлера и др. Примерно в это же время стали
появляться новые ученики и у Гудкова: сначала Г.М.Полотовский,
затем А.Б.Корчагин, Е.И.Шустин, Г.Ф.Небукина. Возобновился
интерес к этой проблематике и за рубежом.
196
СТАТЬИ РАЗЛИЧНОГО СОДЕРЖАНИЯ
А.Харнак, 1876
Д. Гильберт, 1891
Д.А. Гудков, 1969 О.Я.Виро, 1983
Рис.8
J + { <15>:113;212;211;4ю;59;б8;27;2б; &5; ^4;
1 111'...........................
3. Кривые степени 7 В 1980 г. О.Я.Виро [57] получил класси-
фикацию неособых вещественных кривых степени 7 Ответ для
случая М-кривых (все допустимые теоремой Безу схемы с мень-
шим числом овалов реализуемы) приведен на рис.8, где кодировка
расположений овалов такая же, как и выше, а «вынесенный за
скобку» символ J обозначает нечетную ветвь, присутствующую в
каждой схеме. Стрелками показаны авторы результатов.
Как видим, симметрии здесь нет: невозможна только крайняя
правая схема J Ее нереализуемость Виро доказал в [58] с по-
мощью изобретательного применения формул комплексных ориен-
таций и теоремы Фидлера [59], согласно которой при разрешении
ks общих вещественных точек двух разбивающих кривых степеней
k и 5, согласованном с ориентациями этих кривых, получаются раз-
бивающая кривая степени ks и ее комплексная ориентация26. О ме-
тоде построений, примененном Виро, (см. ниже: п.6).
4. Кривые степени 8. М-кривая степени 8 состоит из 22 ова-
лов. Всего имеются 536 попарно неизотопных расположений 22
овалов в RP2
К началу 1980-х годов известные ограничения допускали для
кривой 8-ой степени 104 из них, а реализованы были только 10.
Динамика построений М-кривых степени 8 приведена в таблице
рис.9. Ясно, что скачок в 1980 г. можно объяснить только откры-
тием новых способов построения. Об этой замечательной технике,
которая была изобретена Виро и названа им patchworking, удобнее
рассказать ниже в п.6. Отметим, что классификация М-кривых
степени 8 не завершена остается открытым вопрос о реализуе-
мости шести схем:
— 2 -2
18 + 11;15 + 4 12Д 10 + 9 j_ 1_
111111111 1
Г. И. Полотовский
197
здесь принцип кодировки тот же, что и выше: каждая единица в
знаменателе обозначает овал, охватывающий расположение овалов,
закодированное в числителе; плюс соединяет схемы расположений,
внешние овалы которых лежат вне друг друга.
Автор Год публикации метода или построения Число реализованных новых схем
А.Харнак 1876 2
Д. Гильберт 1891 4
Л. Брюзотти В серии работ 1910-1917 гг. 1
Д. А. Гудков 1969 2
А. Б. Корчагин 1978 1
О.Я.Виро 1980 42
Е.И.Шустин 1985, 1988 7
А. Б. Корчагин 1989 19
С.Ю.Оревков 2001 1
Б. Шевалье 2002 4
Рис.9
Есть много результатов, почти все из которых принадлежат
Корчагину, Оревкову и Фидлер-Ле Тузе, для М-кривых степени 9.
Однако здесь открытых вопросов еще больше, чем для степени 8.
5. Распадающиеся кривые. В 1969 г., решив задачу о неособых
кривых шестой степени, Гудков написал: «Метод, которым иссле-
довалось расположение овалов кривых 6-го порядка, применим
для исследования расположения неособой кривой 5-го порядка и
прямой, неособых кривых 2-го и 4-го порядков, двух кривых 3-го
порядка» [28, с.3-4]. С согласия Гудкова я занялся этой задачей и
в 1977 г. решил ее [61] с помощью метода Гильберта-Рона-Гудко-
ва и квадратичных преобразований. Чтобы задача была обозримой,
ограничимся случаем максимального общего положения: будем
рассматривать объединения двух М-кривых, пересекающихся в
максимально возможном по теореме Безу числе попарно различ-
ных вещественных точек, причем лежащих на одной ветви каждой
из кривых. Тогда изотопическая классификация состоит из 4, 15 и
9 типов в случаях кривой 5-ой степени и прямой, кривых 2-ой и
4-ой степени и двух кривых третьей степени соответственно. В час-
тности, объединением прямой и М-кривой степени 5 реализуемы
только типы расположений, показанные на рис. 10 (где, как обыч-
но, указаны авторы и годы построений; пунктиром показана гра-
ничная окружность модели Пуанкаре проективной плоскости).
198
СТАТЬИ РАЗЛИЧНОГО СОДЕРЖАНИЯ
ЙЙ
А.Харнак(1876) Д.А.Гудков(1969) Г.М.Полотовский(1977)
Рис. 10
Найденная классификация получила разнообразные приложе-
ния в задачах, связанных с первой частью 16-ой проблемы Гиль-
берта. Например, Виро и Харламов на основе замеченных ими за-
кономерностей в [61] нашли в [62]27 сравнение для кривых с осо-
бенностями; использование одной идеи Виро о применении распо-
ложений двух кривых степени 3 позволило Гудкову [64] завер-
шить классификацию М-кривых степени 8 на гиперболоиде (этой
задачей занимался Гильберт в [И]). Но наиболее важные примене-
ния (см.: следующий пункт) получила классификация, показанная
на рис. 10.
В 1980-х годах началось аналогичное изучение распадающихся
кривых степени 7 Здесь уже старые методы оказались совершенно
недостаточными. К настоящему времени эта задача практически ре-
шена в длинной серии работ Корчагина, Оревкова, Шустина и По-
лотовского (в разных авторских сочетаниях), начатой статьей [65].
6. Patchworking. Во всех рассмотренных выше способах пост-
роений неособые кривые получались в результате возмущений
только невырожденных двойных точек именно, особенностей
объединения трансверсально пересекающихся кривых. Фидлер и
Звонилов [59] показали, что Л/-кривые степени 7 со схемами J-^4
14
и J — не могут быть получены таким образом. Однако, как видно
из рис.8, Виро построил кривую, реализующую первую из этих
схем. Для этого Виро впервые в рассматриваемой проблематике
привлек возмущения кривых с более сложными особенностями.
В конце 1970-х гг. Виро заметил, что устранение28 простой пя-
тикратной точки эквивалентно вклеиванию вместо ее окрестности
любой неособой аффинной кривой степени 5, асимптотические нап-
равления ветвей которой совпадают с наклонами касательных к
ветвям в этой пятикратной точке. Действительно, пусть кривая (не
обязательно алгебраическая), имеет простую пятикратную точку в
Г. И. Полотовский
199
начале аффинной системы координат XOY Тогда многоугольник
Ньютона29 этой кривой имеет сторону с концами в вершинах (5, 0)
и (0, 5) и не содержит точек с суммой координат меньшей пяти -
рис. 11а. Сумма мономов, отвечающих целым точкам на этой сторо-
не, определяет наклоны касательных к ветвям в пятикратной точ-
ке. С другой стороны, многоугольником Ньютона неособой аффин-
ной кривой степени 5 является треугольник с вершинами (0, 0),
(0, 5), (5, 0) (рис.11b), и сумма мономов, отвечающих целым точ-
кам на его гипотенузе, определяет асимтотические направления
ветвей этой кривой. Если мономы, отвечающие целым точкам сто-
рон с концами (5, 0) и (0, 5) на рис.11а и 11b, соответственно сов-
падают, то из этих многоугольников можно составить один многоу-
гольник, отвечающий кривой без особенности в начале координат.
Такому склеиванию многоугольников Ньютона отвечает вклеива-
ние неособой аффинной кривой степени 5 вместо окрестности пя-
тикратной точки - рис. 11с.
Заметим теперь, что кривые, показанные на рис. 10, можно
рассматривать как аффинные кривые степени 5 с максимальным
числом овалов и с пятью ветвями, уходящими на бесконечность
для этого достаточно прямую, пересекающую нечетную ветвь кри-
вой степени 5 в пяти точках, считать бесконечностью аффинной
плоскости - см.: рис. 12. При этом точки пересечения с этой пря-
Рис.И
200
СТАТЬИ РАЗЛИЧНОГО СОДЕРЖАНИЯ
Прямая и М-кривая степ. 5
Афин пая кривая степ. 5
Рис.12
мой определяют асимптотичесие направления ветвей аффинной
кривой. В 1983 г. Шустин доказал в [67], что каждый из типов
распадающихся кривых степени 6, показанных на рис. 10, можно
реализовать, выбрав расположение общих точек на прямой произ-
вольно. Таким образом, рис. 10 дает полный список допустимых
максимальных устранений30 простой пятикратной точки, и для лю-
бой простой пятикратной точки всегда возможно любое из этих че-
тырех устранений.
Первые работами, в которых Виро изложил применение своего
нового метода построений, были [57; 68]. В этих и последующих
работах Виро выяснилось, что, наряду с устранениями простой пя-
тикратной точки, для построений неособых кривых степеней 7 и 8
полезны еще устранения точек квадратичного касания трех или че-
тырех ветвей, а для построений кривых степени 9 Корчагин приме-
нил устранения точек квадратичного касания трех ветвей, трансвер-
сально пересеченных четвертой ветвью, рассмотренные им в [69].
Эффективность метода Виро лучше всего иллюстрирует следующая
единообразная реализация всех трех типов М-кривых степени 6.
Рассмотрим три эллипса, касающихся в двух точках (рис. 13а).
Многоугольник Ньютона такой кривой есть отрезок, соединяющий
точки (0, 3) и (6, 0). Виро нашел [70] полную классификацию уст-
ранений точки квадратичного касания трех ветвей. Максимальных
устранений всего четыре, они показаны на рис. 13b. Виро построил
их (как и все остальные, то есть немаксимальные, кроме одного)
модификацией способа Гильберта. Легко видеть, что вклеивая под-
ходящие устранения рис. 13b вместо окрестностей точек касания эл-
липсов, получим все три схемы М-кривых степени 6. Этому вклеи-
ванию отвечает достроение многоугольника Ньютона до треугольни-
ка с вершинами (0, 0), (0, 6), (6, 0) - рис. 13с. С помощью тех же
устранений таких же особенностей Виро построил недостающие
(см.: рис.8) кривые степени 7 - подробности [57; 70].
Дальнейшее развитие метода привело Виро к созданию техно-
логии построений, названной им труднопереводимым термином
patchworking^x. Я не знаю способа дать короткое и одновременно
Г. М. Полотовский
201
Рис. 13
точное изложение patchworking’a, даже опуская все доказательст-
ва, поэтому ограничусь неформальным описанием, надеясь, что
оно пояснит хотя бы название. Рассмотрим «учетверение» многоу-
гольника Ньютона кривой, получаемое с помощью его отражений
относительно осей и начала координат, и нарисуем в этом учетве-
рении топологическую модель части этой кривой, лежащей вне ок-
рестностей ее особых точек, отвечающих сторонам многоугольника
Ньютона. Такую пару (учетверенный многоугольник Ньютона, мо-
дель кривой в нем) Виро назвал картой кривой. Пусть нам извес-
тен набор карт, при склеивании которых по сторонам в результате
получается квадрат с вершинами (±d,0), (0,±d). Рассмотрим этот
квадрат как модель проективной плоскости, то есть будем считать,
что точки его сторон, симметричные относительно центра квадрата,
отождествлены. Если выполнены некоторые условия склеивания
карт, то пара (квадрат, склеенная из кусков кривая в квадрате) го-
меоморфна паре (RP2, кривая степени d).
Следует еще отметить, что Виро привлек для построений квад-
ратичные преобразования, названные им гиперболизмами [68], от-
личные от применявшихся Гудковым.
Замечу, что, насколько мне известно, все результаты, касаю-
щиеся построений кривых32, полученные после 1980 г., так или
иначе имеют в своей основе метод Виро. Мне приятно отметить,
что классификация распадающихся кривых степени 6 была для
Виро одной из отправных точек.
202
СТАТЬИ РАЗЛИЧНОГО СОДЕРЖАНИЯ
7 Контрпримеры к гипотезе Рэгсдейл. В [57] Виро привел
список, а в [68] - реализацию 42 новых М-схем степени 8. Среди
19 э
них есть, в частности, схема — 2, Для которой число нечетных ова-
лов равно 19. Таким образом, эта схема является контрпримером
ко второму неравенству гипотезы Рэгсдейл. Среди реализованных
Виро М-схем степени 8 есть еще 4 контрпримера к этому неравенс-
тву; кроме этого, в [68] построены контрпримеры для любой сте-
пени т = 4/е при т > 8. Во всех этих контрпримерах неравенство
нарушается на единицу. Возникает вопрос, который ставил еще
Петровский в [25] (см.: сноску 6 выше): будет ли верным исправ-
ленное на единицу неравенство? Другой вопрос - верно ли первое
неравенство гипотезы Рэгсдейл? В 1993 г. ученик Виро И.В.Итен-
берг с помощью patchworking’a показал в [71] (см. также: [72]),
что ответы на оба вопроса отрицательные. На рис. 14 показано
одно из замечательных построений Итенберга. Здесь треугольник с
вершинами (0, 0), (10, 0), (0, 10) разбит на 100 треугольников
площади 1/2 каждый. В этой ситуации каждый «patch» треу-
гольник с проведенной в нем средней линией, для возможности
Г. М. Полотовский
203
склеивания достаточно выпуклости триангуляции, и построение
превращается в комбинаторную задачу. Жирная ломаная на рис. 14
является кусочно-линейной моделью (М -3)-кривой степени 10 со
2 29
схемой - + —1, для которой число п нечетных овалов равно 31, в
то время, как по гипотезе Рэгсдейл оно не должно превышать 30.
В [71] приведен подобный patch working, дающий (М - 2)-кри-
— 2
вую степени 10 со схемой -^—29, в которой число р четных овалов
равно 32, тогда как по гипотезе Рэгсдейл р < 31. Далее Итенберг
построил в [71] две серии кривых степени 2k, k > 1, для первой из
которых р - (3k(k - 1) / 2 + 1) = [((fe - З)2 4- 4) / 8], а для второй
п - 3k(k - 1) / 2 = [((fe - З)2 4- 4) / 8 (для k = 5 во втором случае -
это рис. 14). Затем Б.Хаас [73] и Итенберг [74] последовательно
улучшали контрпримеры для случая четных овалов ( то есть уве-
личивали правую часть первого равенства), а Е.Брюгалле [75] по-
лучил для правых частей последних равенств асимптотически точ-
ные выражения с главным членом 7fe2 / 4. Однако во всех этих
контрпримерах число овалов хотя бы на два меньше максимально-
го, так что остается открытым вопрос, справедлива ли гипотеза
Рэгсдейл, исправленная в случае нечетных овалов на единицу, для
М- и (М - 1)-кривых.
8. Метод Оревкова. Так же, как после статьи Виро [57] возму-
щения сложных особенностей и patchworking стали основными ин-
струментами для построения кривых, предложенный Оревковым в
[76] метод стал основным для доказательств нереализуемое™ за-
данных изотопических типов кривыми данной степени. Этот метод
основан на применении теории кос и зацеплений. Он тоже исполь-
зует выход в комплексную область и может рассматриваться как
далеко идущее обобщение теории комплексных ориентаций. В об-
щих чертах33 схема метода Оревкова следующая. Предположим,
что некоторая кривая в RP2 реализуется как кривая Fm степени т.
Пусть L - пучок вещественных прямых, находящийся в общем по-
ложении с кривой. Рассмотрим объединение CF^UCL комплекси-
фикации кривой и комплексификации пучка. Оно представляет со-
бой вещественно-одномерную кривую с особенностями в СР2 Уст-
ранив особенности некоторым стандартным образом, получим за-
цепление кратности т. Поставим в соответствие исследуемой кри-
вой косу из т нитей, замыканием которой является это зацепле-
ние. Если кривая в действительности алгебраическая, то эта коса
должна быть квазиположительной34.
204
СТАТЬИ РАЗЛИЧНОГО СОДЕРЖАНИЯ
Если каждая прямая пучка пересекает исследуемую кривую не
менее, чем в т - 2 вещественных точках, то коса однозначно опре-
деляется по вещественной картинке расположения кривой относи-
тельно пучка. Однако исходная кривая всего лишь гипотетическая
модель, поэтому даже в этом случае необходим большой перебор
вариантов расположения кривой относительно пучка. Далее, про-
верка необходимых условий квазиположительности (выполнение
неравенства Мурасуги-Тристрама и др.) требует нахождения инва-
риантов косы. Для выполнения всех этих весьма значительных по
объему вычислений был создан - главным образом, Оревковым -
комплекс компьютерных программ.
Применяя свой метод, Оревков получил многочисленные ре-
зультаты, в частности, о кривых степеней 8 и 9, а для классифика-
ции распадающихся кривых степени 7 применение метода Оревко-
ва оказалось решающим - см, например, [77; 79].
9. Гибкие и псевдоголоморфные кривые. Виро [46] поставил
вопрос, какие запреты для схем алгебраических кривых имеют
чисто топологическое происхождение, и в связи с этим предложил
изучать объекты, устроенные в некотором смысле так же, как ком-
плексификация вещественной кривой степени т, но не обязательно
определяемые многочленом. В качестве такой топологической ими-
тации плоских алгебраических кривых Виро ввел кривые, назван-
ные им гибкими. Гибкую кривую степени т можно определить как
гладкое связное двумерное многообразие в СР2 рода
(т - 1)(т - 2) / 2, инвариантное относительно комплексного соп-
ряжения, гомологичное /^-кратной комплексной прямой и такое,
что касательная плоскость в каждой его вещественной точке явля-
ется комплексной прямой. Виро отметил в [46], что «возможно,
это определение не является окончательным». Можно сказать, что
так и получилось: после работы Оревкова [76] вместо множества
гибких кривых стали рассматривать его подмножество вещест-
венные псевдоголоморфные кривые35 (по-видимому, причина этого
в том, что к псевдоголоморфным кривым применимы все рассуж-
дения, основанные на рассмотрении вспомогательных пучков пря-
мых, и по методу Оревкова псевдоголоморфной кривой тоже ста-
вится в соответствие коса, которая должна быть квазиположитель-
ной). Таким образом, возникла задача изотопической классифика-
ции псевдоголоморфных кривых данной степени. Для распадаю-
щихся кривых степени 7 эта задача решена Оревковым в [76; 78].
При этом оказалось, что псевдоголоморфная классификация отли-
чается от алгебраической другими словами, имеются примеры
распадающихся псевдоголоморфных кривых, не реализуемых ал-
гебраическими кривыми данного класса. Таких примёров 16 и все
Г. М. Полотовский
205
они содержатся в работах Оревкова, Фидлер-Ле Тузе и Шустина
[76; 80~82]. В [80] имеются также примеры таких устранений точ-
ки квадратичного касания четырех ветвей псевдоголоморфной кри-
вой, каких нет для аналогичной алгебраической кривой. Для каж-
дого такого примера надо было реализовать псевдоголоморфную
кривую и доказать ее нереализуемость алгебраической кривой того
же класса. Для доказательства последнего применялись: метод
Гильберта-Рона-Гудкова (Шустин), пучки кривых степени 3
(Фидлер-Ле Тузе), кубические резольвенты (Оревков).
В [83] Оревков нашел классификацию псевдоголоморфных
М-кривых степени 8. (Конечно, все 6 схем, вопрос об алгебраичес-
кой реализуемости которых остается открытым (см. выше: п.4),
псевдоголоморфно реализуемы.).
Замечу, что примеры гладких вещественных псевдоголомоф-
ных кривых, нереализуемых алгебраическими (так же, как и при-
меры расположений в RP2 реализуемых гибкой кривой, но нереа-
лизуемых псевдоголоморфной), неизвестны.
V. Несколько заключительных замечаний
1. Мне представляется, что описанная выше «история одной
задачи» хорошо иллюстрирует один из основных способов матема-
тического познания: накопление конкретного материала (зачастую
добываемого с большим трудом), выдвижение основанных на этом
материале гипотез, и затем доказательство или опровержение
этих гипотез. Неплохо иллюстрируется и то, что на разных этапах
такого пути неизбежны ошибки и их исправление.
2. Несколько лет назад О.Я.Виро поднял вопрос36: не следует
ли считать 16-ю проблему Гильберта (первую часть) решенной?
Ответ зависит, конечно, от того, как понимать текст Гильберта, и
от того, какие результаты получены. С результатами все ясно: на
все конкретные вопросы из формулировки Гильберта найдены ис-
черпывающие ответы, ключом к которым является комплексифика-
ция. Опираясь на тщательный, почти «пословный» анализ текста
16-ой проблемы, Виро приходит к выводу что Гильберт имел в
виду три конкретные задачи: об М-кривых степени 6, об М-повер-
хностях степени 4 и о причинах, почему эти задачи такие слож-
ные. Поэтому Виро считает проблему решенной и отмечает стран-
ный факт, что люди, занимавшиеся этими задачами, не объявили
торжественно, что они решили проблему Что касается Гудкова,
то, насколько я знаю, он понимал 16-ю проблему Гильберта как
задачу общего исследования топологии вещественных алгебраичес-
ких многообразий. И мне кажется, что для такого понимания не
меньше оснований, чем для интерпретации, предлагаемой Виро.
Обратимся тоже к тексту Гильберта. Первые два предложения од-
206
СТАТЬИ РАЗЛИЧНОГО СОДЕРЖАНИЯ
позначно показывают, что речь идет о кривых произвольной степе-
ни п. Дальнейшее выделение Гильбертом случаев п = 6 для кривых
и п = 4 для поверхностей вполне естественно Гильберт хорошо
знал, что это первые нетривиальные случаи. Кстати, во второй
части проблемы задача ставится только для систем с правой час-
тью произвольной степени п - возможно, Гильберт не знал, что
здесь первый нетривиальный случай п = 2. Конечно, сейчас задача
для произвольного п представляется безнадежной. Однако можно
предположить, что Гильберт надеялся, что алгебра проявит «жест-
кость»: запреты, найденные для небольших п, дадут возможность
сформулировать полную систему запретов для любого п - ведь так
и случилось в задаче о вещественных корнях вещественных мно-
гочленов от одной переменной. Наконец, и ряд других проблем из
списка Гильберта естественно интерпретировать не как задачи, а
как направления исследования - в частности, 23-я проблема («Раз-
витие методов вариационного исчисления») именно так и сформу-
лирована.
3. Еще один вопрос насколько оправдалось включение в
16-ю проблему двух разнородных задач - «чисто алгебраической»
первой части и динамической второй, объединенных надеждой
Гильберта, что обе они должны быть решены «с помощью упомя-
нутого метода непрерывного изменения коэффициентов»? Конеч-
но, исторически развитие бифуркационной идеи - метода Гильбер-
та-Рона-Гудкова было для первой части решающим, но этого
пока (?) нельзя сказать о второй части.
В общем, мне кажется, что, несмотря на более чем столетнюю
историю проблем Гильберта, их историко-математический анализ
далеко не завершен.
4. С помощью сравнения Гудкова-Рохлина (доказательство
которого по современным меркам уже не кажется суперсложным)
и применения patchworkinga классификация неособых кривых сте-
пени 6, на которую ушло 1969 -1891 =78 лет, получается за нес-
колько минут. Казалось бы, старые методы сохраняют чисто исто-
рический интерес37 Однако с методом Гильберта-Рона-Гудкова
этого пока не случилось [80] с красноречивым названием и под-
робным объяснением, почему это так.
5. Выше уже говорилось, что современный период характери-
зуется обнаружением связей задачи о вещественных алгебраичес-
ких кривых с другими разделами математики, среди которых бо-
лее или менее подробно упоминались топология, теория особеннос-
тей, теория кос и зацеплений. В рамках этой статьи не было места
упомянуть другие области например, торические многообразия,
тропическую геометрию. Возможно, намечается некоторая связь и
Г. М. Полотовский
207
со второй частью 16-ой проблемы - я могу упомянуть здесь работы
[84-87].
6. Ясно, что история до середины XX в. изложена мной по ли-
тературным источникам. При описании событий следующего отрез-
ка до начала 1970-х гг. к этому добавилось рассказанное Д.А.Гуд-
ковым, учеником, а затем и сотрудником которого мне посчастли-
вилось быть на протяжении более 20 лет. Для периода после
1972 г. я мог уже использовать личные впечатления.
Я благодарю И.В.Итенберга, А.Б.Корчагина, Л.М.Лермана,
С.Ю.Оревкова за обсуждение и ценные замечания.
Примечания
1 В древнегреческой терминологии «плоские места» означают прямые и окружности, а
«телесные» - эллипсы, параболы и гиперболы.
2 По словам Д.Д.Мордухай-Болтовского из его вводной статьи к русскому изданию
математических трудов Ньютона.
3 Так, В.И.Арнольд в [13, с.32], пишет: «Проблемы Гильберта оказали удивительно
мало влияния на развитие математики XX в.» Впрочем, факт последующего обсуж-
дение на 12 страницах книги [13] двух из этих проблем, 13-ой и 16-ой, не слишком
сильно подтверждает этот тезис.
4 Более точные биографические данные и портреты мне найти не удалось.
5 В других своих работах К.Рон применял тот же подход к задаче о поверхностях степени 4.
6 Любопытно, что в 1892 г. была опубликована статья (L.S.Hulburt, American journal
of mathematics, T.14. №.3. P.246-250), в которой приведено доказательство (оши-
бочное), что такое обобщение невозможно.
7 Неравенство Петровского (в [25] имеется неравенство подобного вида для нечетной
степени) в точности совпадает с третьим неравенством из гипотезы Рэгсдейл. Судя
по всему, Петровский не знал о работе Рэгсдейл [ 14]: он заново построил для любо-
го k кривую степени 26, для которой р = (362 - 36) /2 + 1, и =0, и отметил, что для
любой кривой четной степени, строящейся способом Харнака, выполняются нера-
венства р < (362 - 36) /2 + 1, п < (362 - 36) /2 + 1.
8 Из этого расположения способом Брюзотти, то есть рассмотрев эту пару кривых как
вспомогательную степени 5 и порождающую степени 1, Гудков построил в [29] се-
рию новых М-кривых всех степеней выше 5.
9 Сейчас в литературе этот метод называется методом Гильберта-Рона-Гудкова. В да-
льнейшем этот метод развивал ученик Гудкова Е.И.Шустин.
10 Однородный многочлен степени 6 от трех переменных имеет 28 коэффициентов,
один ненулевой из которых можно считать равным единице - отсюда RP27
Гудков утверждал, что может доказать методом Гильберта-Рона невозможность
кривой степени 6 со схемой и даже умеет доказывать этим методом реализуемость
некоторых схем, но соответствующие доказательства он не опубликовал.
12 Здесь можно упомянуть только работы Петровского и О. А.Олейник (1925-2001) об
алгебраических поверхностях и пространственных кривых (конец 40-х - начало
50-х годов), работы Г.А.Уткина (1937-2007), ученика Гудкова, о поверхностях сте-
пени 4 и статью [30] о классификации кривых степени 4.
13 Это письмо написано не позже 1969г., поскольку в нем упоминается о подготовке
докторской диссертации Гудкова, датированной этим годом.
14 Цитируется по копии стенограммы заседания диссертационного совета.
1э Для кривых степеней 2 и 4 справедливость этого сравнения очевидна, но оно не дает
никаких новых ограничений на расположение овалов.
208 СТАТЬИ РАЗЛИЧНОГО СОДЕРЖАНИЯ
16 Кроме прочего, в [32] дано новое доказательство неравенства Петровского и откры-
ты новые неравенства, накладывающие ограничения на возможные наборы гнезд у
кривой четной степени.
17 Эту ошибку обнаружил в 1977г. А.Марен [34].
18 Сейчас в литературе оно называется сравнением Гудкова-Рохлина.
19 Из них первый - доказательства сравнения по модулю 8 для (М - D-многообразий,
аналогичного сравнению Гудкова, опубликованные независимо и одновременно
(даже в одном номере журнала) Гудковым и А.Д.Крахновым [36] и В.М.Харламо-
вым [37].
20 Так, за 12 лет после обзора [8] появилось не менее семи обзоров [39-47].
21 М-кривая всегда разбивающая: каждая ручка перерезана овалом, причем только од-
ним (см.: рис.7), актически в этом и состоит доказательство Клейна-Гурвица оцен-
ки Харнака.
22 Конечно, рис.7 весьма условный, поскольку СР2 имеет вещественную размерность
4.
23 В 1983 г. я заметил [48], что эта гипотеза противоречит гипотезе Виро о нереализуе-
мости некоторой серии М-кривых степени 8. Позже выяснилось, что обе эти гипоте-
зы неверны: контрпримеры к гипотезе Рохлина были найдены Е.И.Шустиным [49]
и мной [50], а контрпримеры к гипотезе Виро построил А.Б.Корчагин [51].
24 Точкам этой гиперповерхности отвечают особые кривые в RP2
25 Согласно [52], аналогичный факт имеет место и для кривых степени 4 с особенностя-
ми: множество кривых каждого алгебро-топологического типа связно.
26 В [60] я нашел и доказал для ks < 6 аналогичное утверждение для случая, когда чис-
ло общих вещественных точек на 2 меньше максимального. Затем Фидлер [59] и
В.В.Макеев (личное сообщение) доказали его для произвольного ks.
27 См. также: [63], где исправлены ошибки в [62].
28 То есть малое возмущение коэффициентов многочлена, определяющего кривую,
приводящее к исчезновению данной особенности.
29 Напомню, что многоугольником Ньютона кривой называется выпуклая оболочка
множества точек плоскости с целыми координатами (т, п), для которых моном з^уп
входит в многочлен (в степенной ряд в окрестности нуля в неалгебраическом слу-
чае), определяющий данную кривую, с ненулевым коэффициентом. О многоуголь-
нике Ньютона, включая сведения исторического характера [66].
30 то есть устранений с появлением в окрестности особой точки максимального числа
овалов.
31 Если дословно, то что-то типа «работа с лоскутками». В нашем контексте предлага-
ется «построение из кусочков», или «кусочное построение».
32 Patchworking допускает обобщение на случай многообразий большей размерности
[68].
33 Многочисленные детали можно найти в [76; 77] и в статьях, указанных в библиогра-
фии к [77].
34 Коса называется квазиположительной, если она допускает запись в виде
» гдео5, - стандартные образующие группы кос из п нитей, асоу, j е 1, 2,
7=1 1
..., k, - некоторые слова в алфавите {с^, ..., о„_1, of1.°п-1-
35 Вещественная псевдоголоморфная кривая степени т - это гладкая симплектическая
поверхность в СР2, инвариантная относительно комплексного сопряжения, /-голо-
морфная относительно инвариантной при комплексном сопряжении ручной почти
комплекной структуры J и гомологичная ти-кратной комплексной прямой. Комплек-
сные псевдоголоморфные кривые ввел М.Громов в [77].
36 См., например, презентацию к докладу: «The 16th Hilbert problem, a story of myste-
ry, mistakes and solutions», Midlands regional meeting on Tropical geometry in Lough-
borough, 2007, доступную на веб-сайте Виро.
Г. М. Полотовский
209
37 Здесь припоминается тезис: ценность научного результата измеряется количеством
работ, ставших после него ненужными.
38 В опубликованном в журнале в заглавии опечатка: вместо «степеней» напечатано
«степенной».
Список литературы
1. Декарт Р. Геометрия. М.-Л., 1938.
2. Fermat Р Oeuvres. Paris, 1891. T.I.
3. Newton I. Enumeratio linearum tertii ordinis. Optics. London, 1704. P. 138-162.
(Русский перевод: И.Ньютон. Математические работы. М-Л, 1937.)
4. Newton 1. The final «Geometries libri duo» // The mathematical papers of Isaac Ne-
wton / Ed. by D.T. Whiteside. 1976. Vol.7. P.402-469.
5. Смогоржевский A.C., Столова E.C. Справочник по теории плоских кривых тре-
тьего порядка. М., 1961.
6. Korchagin А.В., Weinberg D.A. Quadric, cubic and quartic cones // Rocky mounta-
in Journal of mathematics. 2005. Vol.35. №5. P.1627-1656.
7 HarnackA. Uber die Vieltheiligkeit der ebenen algebraishen Kurven // Mathematis-
che Annalen. 1876. Bd.10. S. 189-199.
8. Гудков Д.А. Топология вещественных проективных алгебраических многообразий
// Успехи математических наук. 1974. Т.29. Вып.4. С.3-79.
9. Hurwitz A. Uber Riemannsche Flachen mit gegebenen Verzweigungspunkten //
Mathematische Annalen. 1891. Bd.39. S.l-61.
10. Klein F. Rimannsche Flachen. Vorlesungen I, II. Gottingen, 1892.
11. Hilbert D. Uber die reellen ZUge algebraisher Kurven // Mathematische Annalen.
1891. Bd.38. S.115-138.
12. Проблемы Гильберта / Под ред. П. С.Александрова. М. 1969.
13. Арнольд В. И. Что такое математика? М. 2002.
14. Ragsdale V On the arrangement of the real branches of plane algebraic curves //
American Journal of mathematics. 1906. V.28. №4. P.377-404.
15. Kahn G. Eine allgemeine Methode zur Untersuchung der Gestalten algebraischer
Kurven. Inaugural Dissertation. Gottingen, 1909.
16. Lobenstein K. Uber den Satz, dass ebene, algebraische Kurve 6 Ordnung mit 11 sich
ein ander ausschliessenden Ovalen nicht existiert. Inaugural Dissertation. Gottingen,
1910.
17 Rohn K. Die ebene Kurve 6 Ordnung mit elf Ovalen // Berichte uber Verhandlung.
1911. Bd.63. S.540-555.
18. Rohn K. Die Maximalzahl und Anordnung der Ovale bei der ebenen Kurve 6 Ordnung
und bei der FlSche 4 Ordnung // Mathematische Annalen. 1913. Bd.73. S. 177-229.
19. Brusotti L. Su talune questioni di realita nei loro metodi, resultati e pro le me //
Collogue sur les questions de realite en geometric. Liege, 1955. P. 105-129.
20. Полотовский Г.М. К задаче топологической классификации расположения овалов
неособых алгебраических кривых в проективной плоскости // Методы качест-
венной теории дифференциальных уравнений. Горький, 1975. Вып.1. С. 101-128.
21. Корчагин А. Б. Новые возможности в способе Брюзотти для построения М-кривых
порядков >8 // Методы качественной теории дифференциальных уравнений.
Горький, 1978. С. 149-159.
22. Brusotti L. Sulla «piccolo variazione» di una curva piana algebrica reali // Rend.
Rom. Acc. Lincei. 1921. T.30. 375-379.
23. Wiman A. Uber die reellen ZUge der ebenen algebraishen Kurven // Mathematische
Annalen. 1923. Bd.90. S.222-228.
24. Petrovsky I. Sur la topologie des courbes planes reeles et algebriques // Comp-
tesrendues, Academic des sciences de Paris. 1933. Vol. 197 P.1270.
25. Petrovsky I. On the topology of real plane algebraic curves // Annals of
mathematics. 1938. Vol.39. №1. P.189-209. (Русский перевод: И.Г.Петровский.
210
СТАТЬИ РАЗЛИЧНОГО СОДЕРЖАНИЯ
Избранные труды. Системы уравнений с частными производными. Алгебраичес-
кая геометрия. И., 1986. С.355-371.)
26. Андронов А. А., Понтрягин Л.С. Грубые системы // Доклады Академии наук
СССР 1937 Т.14. №5. С.247-251.
27. Гудков Д.А. О понятия грубости и степеней38 негрубости для плоских алгебраичес-
ких кривых // Математический сборник. 1965. Т.67 №4. С.481-527
28. Гудков Д.А., Уткин Г. А. Топология кривых 6-го порядка и поверхностей 4-го по-
рядка // Ученые записки Горьковского университета. 1969. Вып.87 С.3-213.
29. Гудков Д.А. Построение новой серии М-кривых // Доклады Академии наук
СССР 1971. Т.200. №6. С. 1269-1272.
30. Гудков Д.А., Уткин Г.А., Тай М.Л. Полная классификация нераспадающихся
кривых 4-го порядка // Математический сборник. 1966. Т.69. №2. С.222-256.
31. Гудков Д.А. О топологической классификации неособых действительных алгебра-
ических кривых 6-го порядка в действительной проективной плоскости / Докла-
ды Академии наук СССР. 1954. Т.98. №4. С.521-524.
32. Арнольд В. И. О расположении овалов вещественных плоских алгебраических
кривых, инволюциях четырехмерных гладких многообразий и арифметике цело-
численных квадратичных форм // Функциональный анализ и его приложения.
1971. Т.5. Вып.З. С.1-9.
33. Рохлин В. А. Доказательство гипотезы Гудкова // Функциональный анализ и его
приложения. 1972. Т.6. Вып.2. С.62-64.
34. Марен А. Несколько замечаний о вещественных плоских алгебраических кривых
//В поисках утраченной топологии. М., 1989. С. 162-172.
35. Рохлин В.А. Сравнения по модулю 16 в 16-ой проблеме Гильберта // Функцио-
нальный анализ и его приложения. 1972. Т.6. Вып.4. С.58-64.
36. Гудков Д.А., Крахнов Д.А. О периодичности эйлеровой характеристики вещест-
венных алгебраических (М - D-многообразий / / Функциональный анализ и его
приложения. 1973. Т.7 Вып.2. С. 15-19.
37 Харламов В.М. Новые сравнения для эйлеровой характеристики вещественных
алгебраических многообразий // Функциональный анализ и его приложения.
1974. Т.7 Вып.2. С.74-78.
38. Рохлин В.А. Комплексные ориентации вещественных алгебраических кривых /
Функциональный анализ и его приложения. 1974. Т.8. Вып.4. С.71-75.
39. Мишачев Н.М. Комплексные ориентации плоских М-кривых нечетной степени
// Функциональный анализ и его приложения. 1975. Т.9. Вып.4. С.77-78.
40. Рохлин В. А. Комплексные топологические характеристики вещественных алгебра-
ических кривых // Успехи математических наук. 1978. Т.ЗЗ. Вып.5. С.77-89.
41. Wilson G. Hilbert’s sixteenth problem // Topology. 1978. T.17 №1. P.53-73.
42. Арнольд В.И., Олейник О.А. Топология действительных алгебраических многооб-
разий // Вестник Московского университета. Математика. Механика. 1979. №6.
С.7-17
43. A’Campo N. Sur la premidre partie du seizieme probleme de Hilbert (Seminaire
Bourbaki. №537 Juin 1979) // Lecture notes in mathematics. 1980. Vol.770.
P.208-227
44. Виро О.Я. Успехи последних 5 лет в топологии вещественных алгебраических
многообразий // Proceedings of the International congress of mathematics. Wars-
zawa, 1983. P.603-619.
45. Харламов В.М. Топология действительных алгебраических многообразий //
И.Г.Петровский. Избранные труды. Системы уравнений с частными производ-
ными. Алгебраическая геометрия. М. 1986. С.465-493
46. Виро О.Я. Успехи в топологии вещественных алгебраических многообразий за
последние шесть лет // Успехи математических наук. 1986. Т.41. Вып.З.
С.45-67
47. Klein F. Gessamelte mathematische Abhandlungen. Berlin, 1922. Bd.2.
Г. М. Полотовский
211
48. Полотовский Г.М. О классификации (М - 2)-кривых 8-го порядка / / Методы ка-
чественной теории дифференциальных уравнений. Горький, 1983. С. 127-138.
49. Шустин Е.И. Контрпримеры к гипотезе Рохлина / / Функциональный анализ и
его приложения. 1985. Т.19. Вып.2. С.94-95.
50. Полотовский Г.М., Шустин Е.И. Построение контрпримеров к гипотезе Рохлина
// Успехи математических наук. 1984. Т.39. Вып.4. С.113.
51. Корчагин А.Б. Новые М-кривые степеней 8 и 9 // Доклады Академии наук
СССР 1989. Т.306. №5. С. 1039-1041.
52. Гудков Д.А., Полотовский Г.М. Стратификация пространства кривых 4-го поряд-
ка. Примыкание стратов // Успехи математических наук. 1987 Т.42. Вып.4.
С.152.
53. Харламов В.М. Жесткая изотопическая классификация вещественных неособых
кривых степени 5 // Функциональный анализ и его приложения. 1981. Т.15.
Вып.1. С.88-89.
54. Никулин В. В. Целочисленные симметричные билинейные формы и некоторые их
геометрические приложения / / Известия Академии наук СССР Серия матема-
тическая. 1979. Т.43. Вып.1. С. И1-177
55. Orevkov S.Yu. Complex orientations of M-curves of degree 7 // American
Mathematical Society translation. Series 2. 2001. Vol.202. P.215-227
56. Florens V. Signatures of colored links with application to real algebraic curves //
Journal of knot theory ramifications. 2005. T.14. №7 P.883-918.
57 Виро О.Я. Кривые степени 7, кривые степени 8 и гипотеза Рэгсдейл // Доклады
Академии наук СССР 1980. Т.254. №6. С. 1306-1310.
58. Виро О.Я. Плоские вещественные кривые степеней 7 и 8: новые запреты // Из-
вестия Академии наук СССР Серия математическая. 1983. Т.47 Вып.5.
С. 1135-1150.
59. Fiedler Т Eine Beschrankung fiir die gegenseitige Lage der Zweige einer reellen
ebenen algebraischen Kurven // Beitrage zur Algebra und Geometric. 1981. №11.
S.7-19.
60. Полотовский Г.М. (M - D- и (М - 2)-распадающиеся кривые 6-го порядка // Ме-
тоды качественной теории дифференциальных уравнений. Горький, 1978.
С. 130-148.
61. Полотовский Г.М. Каталог М-распадающихся кривых 6-го порядка // Доклады
Академии наук СССР 1977 Т.236. №3. С.548-551.
62. Kharlamov V.M., Viro О. Ya. Extensions of the Gudkov-Rohlin congruence /
Lecture notes in mathematics. 1988. Vol. 1346. P.357-406.
63. Виро О.Я., Оревков С.Ю. Сравнения по модулю 8 для вещественных алгебраичес-
ких кривых степени 9 // Успехи математических наук. 2001. Т.56. Вып.4.
С.137-138.
64. Гудков Д.А. О топологии алгебраических кривых на гиперболоиде / / Успехи ма-
тематических наук. 1979. Т.ЗЗ. Вып.6. С.26-32.
65. Корчагин А.Б., Шустин Е.И. Аффинные кривые 6-ой степени и устранения невы-
рожденной шестикратной особой точки // Известия Академии наук СССР Се-
рия математическая. 1988. Т.52. Вып.6. С. 1181-1199.
66. Чеботарев Н.Г. «Многоугольник Ньютона» и его роль в современном развитии
математики // Исаак Ньютон (1643-1727). Сборник статей к трехсотлетию со
дня рождения / Под ред. С.И.Вавилова. М. 1943. С.99-126.
67 Шустин Е.И. Метод Гильберта-Рона и бифуркации сложных особых точек кри-
вых 8-го порядка // Успехи математических наук. 1983. Т.38. Вып.6. С. 157-158.
68. Виро О.Я. Склеивание алгебраических гиперповерхностей, устранения особеннос-
тей и построения кривых // Труды Ленинградской международной топологичес-
кой конференции. Л. 1983. С. 149-197
69. Korchagin А.В. Isotopy classification of plane seventh degree curves with the only
singular point Zj5 // Lecture notes in mathematics. 1988. Vol. 1346. P.407-426.
212
СТАТЬИ РАЗЛИЧНОГО СОДЕРЖАНИЯ
70. Виро О. Я. Плоские вещественные алгебраические кривые: построения с контроли-
руемой топологией // Алгебра и анализ. 1989. Т.1. Вып.5. С. 1-73.
71. Itenberg I. Contre-exemples 4 la conjecture de Ragsdale // Comptesrendues,
Academic des sciences de Paris. 1993. T.317 P.277-282.
72. Itenberg I., Viro O.Ya. Patchworking algebraic curves disproves the Ragsdale
conjecture // Mathematical intelligencer. 1996. T.18. №4. P. 19-28.
73. Haas B. Les multilucarnes: nouveaux contre-exemples 4 la conjecture de Ragsdale //
Comptesrendues, Academic des sciences de Paris. 1995. T.320. P. 1507-1512.
74. Itenberg I. On the number of even ovals of nonsingular curve of even degree in RP2
// American Mathematical Society translation. Series 2. 2001. Vol.202. P. 121-129.
75. Brugalle E. Real plane algebraic curves with asymptotically maximal number of even
ovals // Duke Mathematical journal. 2006. T.131. Vol.3. P.575-587
76. Orevkov S. Yu. Link theory and oval arrangements of real algebraic curves
Topology. 1999. T.38. №4. P.779-810.
77 Gromov M. Pseudoholomorphic curves in symplectic manifolds / / Invention mathe-
matics. 1985. T.82. №2. P.307-347
78. Оревков С.Ю. Расположения М-квинтики относительно коники, максимально пе-
ресекающей ее нечетную ветвь // Алгебра и анализ. 2007 Т.19. Вып.4.
С. 174-242.
79. Корчагин А.Б., Полотовский Г.М. О расположениях плоской вещественной квин-
тики относительно пары прямых // Алгебра и анализ. 2009. Т.21. №.2. С.92-12.
80. Orevkov S.Yu., Shustin E.I. Flexible, algebraically unrealizable curves: rehabi-
litation of the Hilbert-Rohn-Gudkov approach // Journal reine und angewandte
Mathematik. 2002. T.551. S. 145-172.
81. Orevkov S.Yu., Shustin E.I. Pseudoholomorphic algebraically unrealizable curves
// Moscow mathematical journal. 2003. T.3. №3. P.1053-1083.
82. Fiedler-Le Touze S., Orevkov S.Yu. A flexible affine M-sextic which is algebraically
unrealizable // Journal of algebraic geometry. 2002. Т.Н. P.293-310.
83. Orevkov S.Yu. Classification of flexible M-curves of degree 8 up to isotopy
GAFA. Geometry and functional analysis. 2002. Vol. 12. №4. P.723-755.
84. Баутин Н.Н. Оценка числа алгебраических предельных циклов системы
х = Р(х, у), у = Q(x, у) с алгебраическими правыми частями / / Дифференциаль-
ные уравнения. 1980. Т.16. №2. С.362.
85. Долов М.В., Кузьмин Р.В. О предельных циклах одного класса систем // Диф-
ференциальные уравнения. 1993. Т.29. №9. С. 1481-1485.
86. Itenberg I., Shustin Е. Newton polygons and singular points of real polynomial vector
fields // Comptesrendues, Academic des sciences de Paris. 1994. T.319. P.963-968.
87 Itenberg I., Shustin E. Singular points and limit cycles of planar vector fields //
Duke mathematical journal. 2000. Vol. 102. №1. P.1-37
ОБРАТНЫЙ ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ
О.Б.Шейнин
1. Общие сведения
В 1713 г. вышло в свет посмертное сочинение Якоба Бернулли
«Искусство предположений» [1] (сокращенно ИП), в последней,
4-й части, которого находился его закон больших чисел (ЗБЧ),
термин С.Пуассона. Только на эту часть мы будем ссылаться. В
1913 г. В.Я.Успенский перевел ее на русский язык и тогда же его
О. Б. Шейнин
213
перевод с предисловием А.А.Маркова появился в свете. Второе
русское издание перевода [2] было дополнено также речью Марко-
ва 1913 г. о ЗБЧ [3], примечаниями и комментариями нескольких
авторов, из которых мы ниже сошлемся на Ю.В.Прохорова [4].
В гл. 1-й Бернулли не совсем формально и притом не упомя-
нув равновероятности случаев ввел «классическое» определение
вероятности. Свое Главное предложение, т.е. ЗБЧ, в гл. 5-й Бер-
нулли, однако, сформулировал в терминах благоприятных и неб-
лагоприятных случаев, а в последних строках ИП вновь упомянул
вероятность. Он явно не успел закончить свой труд; так, заглавие
части 4-й (исключенное Успенским) указывало на отсутствовавшие
в ней приложения искусства предположений. Возможно также, что
Бернулли не хотел отрывать изложения от своей гл. 4-й, в которой
ему пришлось исходить из этих случаев.
Если все ж е перейти к вероятностям, то теорему Бернулли
можно описать как исследование стохастической сходимости статис-
тической вероятности р к постоянной теоретической вероятности р,
а именно как, во-первых, доказательство того, что при неограничен-
ном возрастании числа независимых испытаний предел р равен р, и,
во-вторых, как оценку быстроты указанной сходимости.
Эта оценка оказалась неудачной; Марков [5, с.44-52] значи-
тельно улучшил ее, К.Пирсон [6] же достиг еще лучших результа-
тов, но, правда, применив не известную Бернулли формулу
Дж.Стирлинга. Марков [5, с.104-115] вновь исследовал быстроту
сходимости, на этот раз также обратившись к формуле Стирлинга,
но почему-то не сослался здесь на Бернулли. Последовали и дру-
гие оценки быстроты сходимости, и тут нам достаточно сослаться
на Прохорова [4].
Доказанного Бернулли существования предела Пирсон [6,
с.202] вообще не упомянул и совершил грубую историческую
ошибку, сравнив его теорему с ошибочной системой мира Птоле-
мея. Редактор его посмертно изданных лекций 1921-1933 гг. его
сын Эгон Пирсон [7], сообщил на с.230, что исключил соответст-
вующую лекцию, в которой статья 1925 г. была по сути повторена,
а сам отец заявил на первой же странице книги, что «основопола-
гающий принцип статистики приписывался Бернулли, а не его ис-
тинному автору, А.Муавру... ».
2. Обратная теорема
И.Тодхантер [8, с.73] обратил внимание на то, что Бернулли
считал, что доказал и обратную теорему. По тому же поводу Пир-
сон [6, с.205] заметил, что Бернулли, доказав ЗБЧ, «обратил свою
задачу» и заявил, что р должно будет оказываться все ближе к р,
т.е. оценивается все лучше и лучше. Фактически Бернулли лишь
214
СТАТЬИ РАЗЛИЧНОГО СОДЕРЖАНИЯ
указал в последних строчках ИП, что «если бы наблюдения над
всеми событиями продолжались всю вечность (причем вероятность
[статистическая!]... перешла бы в полную достоверность), то было
бы замечено, что все в мире управляется точными отношениями и
постоянным законом изменений...».
Марков [3, с. 10-11] подтверждает, что Бернулли действитель-
но имел в виду и обратную задачу, но в качестве примера приво-
дит лишь его далеко не самую интересную урновую задачу.
Уже в своем «Дневнике», в 1685 или 1686 г., Бернулли [1,
с.46-47] рассуждал об апостериорной вероятности (да, вероятнос-
ти, по существу предваряя ее определение 1713 г., см. наш п.1) од-
ному человеку пережить другого. На полях своего «Дневника»
[там же, с.46] он выписал выходные данные рецензии на класси-
ческий труд Дж.Граунта 1662 г. [9]1 И Тодхантер [8, с. 194] ука-
зал, что Николай Бернулли решал одну из своих задач со ссылкой
на Якоба, исходя из статистических данных, которые, добавим мы,
могли быть взяты только из таблицы Граунта [10, с.75].
Далее, в 1713 г, в гл. 4-й, Бернулли рассуждал именно об
обратной задаче, соответствующую цитату см.: [11, с.315]. По
сути вся эта глава и была посвящена ее качественному описа-
нию, частично в качестве окончательного ответа на возражения
Г.-В.Лейбница, высказанные тем в его переписке 1703-1705 гг с
Бернулли.
Муавр также полагал, что его предельная теорема может быть
повернута вспять [там же, с.315], и только Т.Бейес и Р.Прайс [там
же, с.318 и прим.1] поняли, что обратную задачу следует исследо-
вать особо [там же, с.316]. Прайс, добавим сейчас, не упомянув
Бернулли, заявил, что [его последнюю] фразу о точных отношени-
ях и постоянных законах (см. выше) естественнее обосновывать по
Бейесу.
3. Особый случай обратной задачи:
несуществующая теоретическая вероятность
Обратим внимание: в некоторых примерах Бернулли из его гл.
4-й речь шла об оценке несуществовавших вероятностей2 Для ма-
тематики в этом нет ничего необычного, а в статистике сохрани-
лось выражение теории ошибок «истинное значение» измеряемых
констант, притом даже и не существующих в природе [12]. Вот
лишь два примера: К.-Ф.Гаусс (1823) [13] отыскивал истинное
значение мер точности наблюдений, а Р.Фишер [14, с.309-310],
введя основополагающие понятия о свойствах статистик, на следу-
ющей же странице упомянул истинные значения средних квадрати-
ческих ошибок и коэффициентов корреляции. Оцениваться же эти
истинные значения могли только статистически.
О. Б. Шейнин
215
Практика показала, однако, что статистики не восприняли
ЗБЧ, в первую очередь ввиду неопределенности, связанной с поня-
тием вероятности.
Особняком можно выделить несуществующую вероятность у
У.Гершеля [15, с.579]: «Можно предположить, что любая звезда,
случайно отобранная из подобного числа их [из 14 тысяч звезд
первых семи величин] вряд ли будет намного отличаться от их не-
которого среднего размера».
Никаких данных у Гершеля, конечно же, не было, а теперь из-
вестно, что по своим размерам звезды чудовищно отличаются друг
от друга и вообще не составляют единой совокупности. Ни о каких
вероятностях (которые косвенно заметны у Гершеля) говорить
здесь нельзя. Ex nihilo nihill
4. Статистики о законе больших чисел
О ЗБЧ в форме С.Пуассона (тем более П.Л.Чебышева) здесь
можно умолчать3 Даже А.Кетле, имеющий немаловажные заслуги
перед статистикой [16, с.209-211], практически не вспоминал о
ней. Введенные им понятия среднего человека и наклонностей к
женитьбе и преступлениям были едиными для всех возрастных
групп, не говоря уже о том, что человек со средним ростом и сред-
ним весом невозможен. Кетле, правда утверждал, хоть и не собрав
достаточных данных, что (относительное) количество преступле-
ний устойчиво и видимо мысленно обосновывал это заключение те-
оремой Бернулли, но не более того.
В 1880-е годы в Германии зародилось континентальное направ-
ление статистики, зачинателем которого был В.Лексис. Он [17,
с. 15-18] признал, что «равновозможные случаи» можно предста-
вить себе, если статистическая вероятность действительно стремит-
ся к определенному значению, а обстоятельства, связанные с изу-
чаемым явлением, «достаточно» напоминают условия азартных
игр. Мы бы сказали: он полагал, что следует как-то проверять не-
обходимые условия ЗБЧ. Но позднее тот же Лексис [18, с.437]
заключил, что ввиду «равновозможных случаев» теория вероятнос-
тей оказалась субъективно обоснованной дисциплиной, и те же
случаи, прямо скажем, преследовали его и много позже [19,
с.2091].
Картина не очень приятная, но вот и похуже. С.Мациевский
[20, с.96] ввел «статистический закон больших чисел», который
лишь утверждал, что «колебания статистических чисел угасают с
возрастанием числа наблюдений». [Там же, с.94-98] он заявил,
что «настоящий» ЗБЧ препятствовал развитию статистики!
В.Борткевич [21, с.56-57], этот хронологически второй глав-
ный автор континентального направления, посчитал, что ЗБЧ еле-
216
СТАТЬИ РАЗЛИЧНОГО СОДЕРЖАНИЯ
дует понимать только в смысле, который он приобрел в статисти-
ке, т.е. для обозначения «вполне общего» и «не связанного ни с
какой определенной стохастической схемой» факта устойчивости
статистических показателей при большом числе наблюдений и сла-
бо меняющихся условиях.
Опишем еще мнение В.И.Романовского. В одном из своих пер-
вых сочинений он [22] рассуждал о частоте ц появления события
при большом числе п испытаний по схеме Бернулли, как можно
сказать сейчас, при вероятности «успеха» р, а точнее о формуле
\л=пр, (1)
а также о «теореме Бернулли». Проделав соответствующий опыт и
сверив его результаты с оценками по формуле А. Муавра, допол-
ненной поправочным членом П.С.Лапласа, он посчитал, что опыт
сходился с теорией. Мы бы сказали,что он сверил результаты опы-
та не с теоремой, как он полагал, а с принципом Бернулли.
Далее, Романовский [там же, с.20] заявил, что в классическом
определении вероятности следует указывать, что равновозможными
называются случаи, которые повторяются одинаково часто; если же
этого не произошло, то равновозможность не была точной. И вот
его заключение [там же, с.22]: «В самом начале исчисления вероят-
ностей должен иметь место закон, на котором покоится вся прило-
жимость этого исчисления к действительности. Этот закон по всей
справедливости можно назвать законом больших чисел. Он не зави-
сим и [ни] от теоремы Бернулли, и [ни] от теоремы Пуассона и слу-
жит им основанием. Он гласит... что формула (1) должна при-
мерно соблюдаться.
На с. 18 Романовский заметил, что теорема Бернулли теряет
смысл, если его нет в понятии о вероятности события при единич-
ном испытании. Это же чуть раньше утверждал Марков [23, с. 162],
но Романовский тем самым опровергал свое же определение вероят-
ности.
Позже он [24, с. 15 прим.] согласился с Борткевичем (см.
выше) и, не ссылаясь на свои прежние высказывания, посчитал за-
коном больших чисел «многие теоремы исчисления вероятностей, в
которых существенную роль» играет большое число испытаний.
Наконец, Романовский [25, с. 127] подчеркнул естественно-науч-
ную суть ЗБЧ и назвал его физическим.
В современной энциклопедии [26] ЗБЧ посвящено несколько
статей, и первая из них начинается, на с.60, с признания ЗБЧ «об-
щим принципом». Иначе говоря, признается его физический
смысл, если не физическая суть.
Своим статистическим определением вероятности Р.Мизес по су-
ществу логически завершил мысли Бернулли, Муавра и Бейеса. По по-
О.Б.Шейнин
217
воду его теории В.Н.Тутубалин [27, с. 15] заметил, хоть и не впол-
не четко, что современная теория вероятностей основывается на ак-
сиоматике Колмогорова, но что «сама концепция практических
применений» этой теории «в общем следует концепции Мизеса».
Да, представители естественных наук, конечно же, могут ссы-
латься на Мизеса, но в таком случае они вполне могли бы довольс-
твоваться и Бейесом или даже Бернулли и Муавром.
Сомнения В.Лексиса (§4) привели его к формулировке крите-
рия для проверки равенства вероятностей появления события в
различных сериях наблюдений, - к исследованию устойчивости
статистических рядов. Эта тема на несколько десятилетий оказа-
лась главной в теоретической работе континентальных статистиков
и позиция статистиков по отношению к несуществующим вероят-
ностям соответственно изменилась. А.А.Чупров [28], правда, почти
полностью опровергнул практическую значимость критерия Лекси-
са, но в результате указанных исследований статистическая мысль
значительно оживилась и некоторые важные попутные результаты
были все-таки получены.
Пусть в серии испытаний i изучаемое событие, вероятность по-
явления которого предполагается одной и той же и равной р, осу-
ществилось раз, тогда дисперсию этих величин можно вычис-
лить по непараметрической формуле Гаусса и по формуле, пригод-
ной лишь для биномиального распределения
о2 = pqn.q = 1 - р, (2)
п - число испытаний.
В зависимости от величины отношения этих дисперсий Лексис
[29, 6], исходя, правда, из общепринятых в то время вероятных
ошибок, что не существенно, подразделил устойчивость рядов не-
зависимых испытаний на два класса. Более подробно описывать
его мысли нет смысла, поскольку практической значимости его
рассуждения не имеют, см. выше, и мы лишь заметим, что приме-
нение формулы (2) представляется здесь ошибочным. Она предпо-
лагает вероятность р известной, Лексис же проверял эту предпо-
сылку, исходя из статистических данных. Иначе говоря, следовало
исходить из формулы дисперсии в схеме Бейеса, и непонятно, по-
чему Чупров этого не заметил. Эту формулу можно было усмот-
реть не только в немецком переводе мему ара Бейеса [И, 2], но и у
Э.Чубера [30, с. 186], на которого Чупров [31, с. 159] сослался,
хоть и по другому поводу.
5. Заключение
Обратный закон больших чисел, как мы назвали бы его, ока-
зался таким образом одной из тем классического, но длительное
218
СТАТЬИ РАЗЛИЧНОГО СОДЕРЖАНИЯ
время не замеченного в интересующем нас смысле исследования
Бейеса. Непонимание (объяснимое для того времени) различия
между прямым и обратным законами больших чисел привело Яко-
ба Бернулли и А.Муавра к ошибочным высказываниям. Аналогич-
ное утверждение верно и по отношению к Лексису.
Примечания
1 Таким образом, Бернулли безусловно знал о книге Граунта, хотя возможно и не чи-
тал ее. По этой причине Ю.В.Чайковский [32, с.45-46] напрасно утверждал, что
идею апостериорных оценок Бернулли мог найти только у Дж. Кардано. Он [там же,
с.51 и далее] даже говорил о «теореме Кардано-Бернулли», хоть так и не привел
точной ссылки на появившегося соавтора. Более того: если Кардано и указал что-то
о приближении статистической вероятности к теоретической, то уж никак не дока-
зал этого. И тут уместно вспомнить, что Р.Гук знал формулу закона всемирного
притяжения, но не опубликовал и не обосновал ее, и вся слава заслуженно досталась
здесь И.Ньютону.
2 Так, в одном из примеров Бернулли (гл. 4-я, с.41) замечает, что нельзя заранее уз-
нать, насколько чума опаснее водобоязни. Но заметим еще, что этот устаревший тер-
мин Успенского мы успешно предложили заменить на бешенство; на самом деле
следовало упомянуть водянку. См. также [И, с.315].
3 Закон больших чисел в форме Пуассона интересен в другом смысле: его автор допус-
кал, что теоретические вероятности (разумеется, во множественном числе) могут
быть неизвестными. Так, в качестве примера действия своего закона он [33, с. 10]
бездоказательно указал на существование среднего интервала между молекулами
тела. Теперь общепризнанно, см., например, Б.В.Гнеденко [34, п.30 и п.31], что в
подобных случаях следует ссылаться на ЗБЧ в форме Чебышева и видно, что веро-
ятностей при этом вообще не удастся определить.
Список литературы
Bernoulli J Werke / Ed. by B.L.van der Waerden. Basel. 1975. Bd.3. (Содержит, в
частности, вероятностную часть «Дневника» («Meditationes») автора и его же
«Искусство предположений» 1713 г. («Ars conjectandi»), в обоих случаях без пе-
ревода с латинского; С.21-90 и С. 107-259 соответственно.)
2. Бернулли Я. О законе больших чисел / Под ред. Ю.В. Прохорова. М., 1986. (Со-
держит 4-ю часть «Искусства предположений» (1713) автора в перепечатке пере-
вода с латинского В.Я.Успенского 1913 г., краткое предисловие А.Н.Колмогоро-
ва, переиздание предисловия А. А. Маркова (1913) и его же юбилейной речи о ЗБЧ
1913 г., опубликованной в 1914 г., примечаний и комментариев нескольких авто-
ров.)
3. Марков А.А. Двухсотлетие закона больших чисел (1914) // Я.Бернулли. О зако-
не больших чисел / Под ред. Ю.В.Прохорова. М., 1986. С.9-16.
4. Прохоров Ю.В. Закон больших чисел и оценки вероятностей больших уклонений
// Я.Бернулли. О законе больших чисел / Под ред. Ю.В.Прохорова. М., 1986.
С.116-150.
5. Марков А.А. Исчисление вероятностей. И. 1900. Последующие издания: 1908,
1913; посмертное издание М., 1924.
6. Pearson К. (1925) James Bernoulli’s theorem Biometrika. 1925. Vol.17
P.201-210.
7 Pearson K. History of statistics in the 17th and 18th centuries. Lectures 1921-1933 /
Ed. by E.S.Pearson. London, 1978.
8. Todhunter I. History of the mathematical theory of probability. 1865. (Reprints: New
York, 1949, 1965.)
9. GrauntJ. Billet de mortalite, vid. //Journal [de S^avans] [annee] 1666. №XXXL
10. Граунт Дж. Естественные и политические наблюдения над бюллетенями о смерт-
ности / Пер. с англ, оригинала 1662 г. // Дж.Граунт, Э.Галлей. Начала
О. Б. Шейнин
219
статистики населения, медицинской статистики, математики страхового дела. Бер-
лин, 2005. С.5-105. (Также: www.sheynin.de)
Шейнин О.Б. К истории теоремы Бейеса // Историко-математические исследо-
вания. Вторая серия. М. 2007 Вып. 12(47). С.312-320.
12. Sheynin О.В. The true value of a measured constant and the theory of errors //
Historia Scientiarum. 2007 Vol. 17. P.38-48.
13. Гаусс К.Ф. Теория комбинаций наблюдений (1823) / Пер. с латин. // К. Ф. Га-
усс Избранные геодезические сочинения / Под ред. Г.В.Багратуни. М. 1957
Т.1. С. 17-57
14. Fisher R.A. On the mathematical foundations of theoretical statistics // Phil. Trans.
Roy. Soc. 1922. VoLA222. P.309-368.
15. Herschel W. Astronomical observations and experiments tending to investigate the
local arrangement of celestial bodies in space (1817) // Scient. Papers. London,
1912. Vol.2. P.575-591.
16. Гнеденко Б.В., Шейнин О.Б. Теория вероятностей // Математика XIX века. Ма-
тематическая логика. Алгебра. Теория чисел. Теория вероятностей / Под ред.
А.Н.Колмогорова, А.П.Юшкевича. М. 1978. С. 184-240.
17 Lexis W. Zur Theorie der Massenerscheinungen in der menschlichen Gesellschaft.
Freiburg i/B. 1877
18. Lexis W. Uber die Wahrscheinlichkeitsrechnung und deren Anwendung auf die
Statistik // Jahrbiicher f. NationalSkonomie u. Statistik 1886. Bd. 13(47).
P.433-450.
19. Lexis W Рецензия на книгу: A.A.Kaufmann. Theorie und Methoden der Statistik.
Tubingen, 1913 // Schmollers Jahrbuch f. Gesetzgebung, Verwaltung und Volks-
wirtschaft in Deutschen Reiche. 1913. Bd.37. P.2089-2092.
20. Maciejewski C. Nouvaux fondements de la theorie de la statistique. Paris, 1911.
21. Bortkiewicz L. Die Iterationen. Berlin, 1917
22. Романовский В.И. Закон больших чисел и теорема Якова [Якоба] Бернулли. Вар-
шава, 1912.
23. Марков А. А. Об основных положениях исчисления вероятностей и о законе боль-
ших чисел (1911) // О теории вероятностей и математической статистике. Пере-
писка А.А.Маркова и А. А.Чупрова / Под ред. X. О. Ондара. М. 1977 С.161-166.
24. Романовский В. И. Теория вероятностей и статистика: по некоторым новейшим ра-
ботам западных ученых / Вестник статистики. 1924. № 4-6. С. 1-38. (Первая
часть статьи.)
25. Романовский В.И. Математическая статистика / Под ред. Т.А.Сарымсакова.
Ташкент, 1961. Кн.1.
26. Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю.В.Прохоров. М. 1999.
27 Тутубалин В.Н. Границы применимости. Вероятностно-статистические методы и
их возможности. М., 1977
28. Чупров А.А. К теории стабильности статистических рядов (1918-1919, нем.) //
О теории дисперсии / Сост. Н. С. Четвериков. М. 1968. С. 138-224.
29. Лексис В. О теории стабильности статистических рядов (1879, нем.) //О теории
дисперсии / Сост. Н.С. Четвериков. М. 1968. С.5-38.
30. Czuber Е. Wahrscheinlichkeitsrechnung und ihre Anwendung auf Fehlerausglei-
chung, Statistik und Lebensversicherung. 1903. Bd.l. (Второе издание 1908, перепе-
чатка: Нью Йорк, 1968.)
31. Чупров А.А. Очерки по теории статистики. М., 1959.
32. Чайковский Ю.В. Что такое вероятность? Эволюция понятия (от древности до Пу-
ассона) // Историко-математические исследования. Вторая серия. М., 2001.
Вып.6(41). С.34-56.
33. Poisson S.D. Recherches sur la probabilite des jugements en matiere criminelle et en
matiere civile. Paris, 1837 (Перепечатка: Paris, 2003.)
34. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М., 1951.
220
СТАТЬИ РАЗЛИЧНОГО СОДЕРЖАНИЯ
ОБ ОБВЕРТЫВАЮЩИХ РЯДАХ У Л.ЭЙЛЕРА:
ОБ ОДНОМ ЗАБЫТОМ ПРИМЕРЕ1)
С.С.Петрова
1. Известно, что теория расходящихся рядов ведет свое начало
от Л.Эйлера (см.: [1-3]). Им было обобщено понятие «суммы
ряда», предложено несколько методов суммирования расходящих-
ся рядов. Он с успехом применял их для численных расчетов, по-
казав, что именно с помощью частичных сумм расходящихся рядов
можно быстро и с большой точностью получать многие величины -
важные константы (например, л), интегралы, решения дифферен-
циальных уравнений, суммы медленно сходящихся рядов и т.д.
При работе с расходящимися рядами Эйлер столкнулся с
асимптотическими и обвертывающими рядами. Хотя он и не дал
им никаких определений, но в процессе вычислений (а весь его
опыт работы с расходящимися рядами основывался исключительно
на громадной вычислительной практике) он подметил их важные
свойства. В частности, он обратил внимание на то, что подобно
тому, как остаток сходящегося знакочередующегося ряда (скажем,
лейбницевского типа) не превышает первого отброшенного члена,
так в многочисленных случаях и остаток расходящегося знакочере-
дующегося ряда, члены которого вначале убывают, а затем начина-
ют быстро возрастать, не превышает первого опущенного члена.
Поэтому, если такой расходящийся ряд имеет «сумму» (в обоб-
щенном смысле), то наилучшее к ней приближение получится,
если оборвать вычисление перед минимальным членом: это и есть
знаменитый прием Эйлера «суммирования до наименьшего члена».
Сам Эйлер выражал это следующим образом [4, с. 121] (цит. по:
[5, с. 174]): ряд «тем больше сходится, чем большее число берется
в качестве и, однако он сходится до определенного слагаемого, пос-
ле которого слагаемые снова возрастают. По этой причине не го-
дится использовать ряд до того момента, где слагаемые начинают
расходиться, но лучше закончить операцию там, где наблюдается
максимальное схождение». Если ряд является обвертывающим, то
этот рецепт Эйлера верен.
В литературе распространено мнение, что в явной форме идею
обвертываемое™ впервые высказал А.-М.Лежандр в 1811 г. на
нескольких примерах рядов Эйлера-Маклорена, в частности, для
функции f(x) =1 / (а + пх)2 [6]. Лежандр заметил, что частные
суммы соответствующего ряда становятся поочередно то меньше,
то больше истинного значения «и нужно остановиться на члене,
где прекращается сходимость» [6, с.268], а этот факт равносилен
1) Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундамен-
тальных исследований (проект №11-06-00119а).
С. С. Петрова 221
обвертываемое™ этого ряда. В настоящей работе мы хотим пока-
зать, что аналогичный пример, демонстрирующий идею обвертыва-
емое™ ряда и, судя по всему, ускользнувший от внимания иссле-
дователей, имеется у Эйлера. Однако прежде, чем приводить соот-
ветствующий фрагмент из сочинений Эйлера, напомним современ-
ное определение обвертываемое™. Ряд £ап называют обвертыва-
п=0
ющим число Л, если его частичные суммы будут поочередно то
больше, то меньше этого числа, то есть, если остаточный член гп,
определяемый формулой
А. = йд + а । +_"Ь >
оказывается знакопеременным (см. [7, с.537]). Естественным обра-
зом это определение распространяется и на функциональные ряды
[7,с.537-538].
2. В шестой главе второй части «Дифференциального исчисле-
ния» Эйлер [8] приводит примеры применения своей знаменитой
формулы (формулы Эйлера-Маклорена) для асимптотической
оценки частных сумм рядов, приближенного вычисления интегра-
лов и для нахождения сумм медленно сходящихся рядов. Эту фор-
мулу он записывает в виде
П П 1 00 R
~ С + jf(x)dx + -f(n) +
где числа Бернулли, С постоянная Эйлера-Маклорена
(знак равенства не ставится,так как ряд, расположенный справа, во-
обще говоря, расходится). Заметим, что независимо пришедший к
этой формуле К.Маклорен (1742), записывал ее в другой форме, в
которой постоянная С отсутствовала. (Определение этой постоян-
ной в каждом случае представляет сложную задачу.) Можно пока-
зать, что при некоторых условиях (см.: [9, с.265-266]) сумма схо-
дящегося ряда равна постоянной С. С помощью своей формулы точ-
но или приближенно Эйлер вычисляет суммы медленно сходящих-
ся рядов функций f(x) = — при р = 2,3,..., 16,то есть выражения
для дзета-функции £(р). Сами вычисления он приводит лишь для
р= 2 и 3,для других р дает только результат. Заметим, что в этом
случае все ряды Эйлера-Маклорена являются обвертывающими.
Совершенно явственно обвертываемое™ проявляется в эйлеровс-
ких вычислениях для р = 2, когда сумма ряда (то есть постоянная
С) Эйлеру известна
=1Х2 6
и слагаемые ряда Эйлера-
222
СТАТЬИ РАЗЛИЧНОГО СОДЕРЖАНИЯ
Маклорена вычисляются последовательно, в естественном порядке
(для р = 3 сами вычисления не позволяют увидеть эффект обвер-
тываемое™, так как положительные и отрицательные члены в ряде
Эйлера-Маклорена складываются Эйлером отдельно).
.1111
Эйлер записывает частичную сумму 5=1 + — + — + — +...+ —
4 9 16 х2
этого ряда по своей формуле суммирования
П=1 (2п)!
Откуда
5 =с _1 + 1___в2 + ^4 #6 + ^8 Вю |
х 2х2 х3 х5 х1 х9 х11
°° 1 712
тогда при х —> оо С = V — = —. В дальнейшем Эйлер использует
1 k2 6
значение постоянной С, равное 1,644934066848226430, найденное им
ранее с помощью расходящегося ряда по числам Бернулли. Но, как
всегда, он дает еще и другой способ ее нахождения.
Приведем соответствующий текст из «Дифференциального ис-
числения» Эйлера [8, с.308-309], в который мы внесли небольшие
изменения дали современные обозначения числам Бернулли и
сделали небольшие вставки, которые заключили в квадратные
скобки:
«149. Если бы сумма этого ряда не была известна, то значение
постоянного С нужно было бы найти из другого какого-нибудь
случая, для которого сумма непосредственно найдена. С этой
целью можно положить х =10; выполнив сложение десяти членов,
найдем
5 =1,549767731166540690.
Тогда
1
прибавим — = 0,1,
х
вычтем —Ц- = 0,005
2х2
1,644767731166540690[< С = 1,644934066848226430],
прибавим =0,000166666666666666
х3
1,644934397833207356[> С = 1,644934066848226430],
С. С. Петрова
223
вычтем 51 = 0,000000333333333333
х5 6
1,644934064499874023[< С = 1,644934066848226430],
прибавим 51 = 0,000000002380952381
х7 *
1,644934066880826404[> С = 1,644934066848226430],
вычтем 51 = 0,000000000033333333
х9 * * *
1,644934066847493071[< С = 1,644934066848226430],
прибавим 511 = 0,000000000000757575
х11
1,644934066848250646[> С = 1,644934066848226430],
вычтем 511 =0,000000000000025311
х13 *
1,644934066848225335[< С = 1,644934066848226430],
прибавим 511 =0,000000000000001166
х15 *
1,644934066848226501[> С = 1,644934066848226430],
вычтем 511 =0,000000000000000071
х17
1,644934066848226430 = С.»
Из этого примера видно, что частные суммы ряда поочередно
л2
оказываются то больше, то меньше —, то есть обвертывают сумму
6
ряда. Впоследствии это свойство было положено в основу приве-
денного нами определения обвертываемости.
Мы уверены в том, что Эйлер, который изучал поведение ря-
дов по большей части в процессе вычислений, не мог не заметить
этого явления обвертывания суммы ряда.
Список литературы
1. Харди Г Расходящиеся ряды. М., 1951
2. Юшкевич А.П. История математики в России до 1917 года. М., 1968.
3. Петрова С. С. О суммировании Эйлером ряда 1 -1! х + 2! х2 - 3! х3 + / / Во-
просы истории естествознания и техники. 1969. Вып.26. С.30-33.
4. Euler L. Consideratio progressions cvivsdam ad carcvli qvadratvram inveniendam
idoneae (1739) // Commentarii academiae scientiarum imperiailis Petropolitanae.
1750. T.XI. P.116-127.
224
СТАТЬИ РАЗЛИЧНОГО СОДЕРЖАНИЯ
5. Осьмова Е.Н. Вычисление числа л в работах Л.Эйлера с помощью асимптотиче-
ского ряда // Историко-математические исследования. Вторая серия. М., 2003.
Вып.8(43). С.167-186.
6. Legendre А.М. Exercices de calcul integral. Paris: Coursier, 1811. Vol.l.
7 Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.
1962. Т.2.
8. Эйлер Л. Дифференциальное исчисление / Перевод с латинского, вступительная
статья и примечания М.Я.Выгодского. М.-Л., 1949.
9. Петрова С.С., Соловьев А. Д. Исчисление конечных разностей // Математика
XIX века. Чебышевское направление в теории функций. Обыкновенные диффе-
ренциальные уравнения. Вариационное исчисление. Теория конечных разностей.
М. 1987 С.240-285.
АНАЛИЗ РАБОТ Г.Ф.ГАУЗЕ О ДИНАМИКЕ
ЧИСЛЕННОСТЕЙ ВИДОВ В БИОЛОГИЧЕСКИХ
СООБЩЕСТВАХ
Ю.М.Барабашева, Г. Н. Девяткова,
В. Н. Тутубалин, Е. Г. Угер
Введение
Данная работа посвящена одному из эпизодов научных попы-
ток создания количественной (следовательно, и математической)
биологии. Со времени создания дарвиновской теории борьбы за су-
ществование и по настоящее время мало что удалось узнать о дета-
лях этой борьбы: почему, например, в иные годы наблюдаются
вспышки массового размножения тех или иных вредителей расте-
ний? В двадцатых годах прошлого века в теоретических работах
В.Вольтерра и А.Дж.Лотки были предприняты попытки описать
динамику численностей различных биологических видов с по-
мощью моделей дифференциальных уравнений. Сами эти уравне-
ния составляются с помощью простейших биологических соображе-
ний и содержат параметры, которые следует определять, исходя из
экспериментальных наблюдений. Явно или неявно в качестве об-
разца здесь подразумевается небесная механика, которая позволяет
предсказать пути небесных светил путем математического расчета,
опирающегося на закон всемирного тяготения и на знание масс на-
иболее крупных небесных тел, причем для определения масс пос-
ледних астрономы исхитряются разными способами.
Поскольку в работах Вольтерра и Лотки не было приведено
сколько-нибудь достаточных экспериментальных свидетельств, до-
казывающих биологическую значимость предложенных математи-
ческих моделей, остро стоял вопрос о сопоставлении моделей и эк-
спериментов. Ввиду примитивности использованных биологичес-
ких предпосылок, речь шла, собственно, о чуде: неужели из такого
примитива может родиться нечто биологически значимое? Нужно
Ю.М.Барабашева, Г. Н. Девяткова, В.Н.Тутубалин, Е.Г.Угер 225
учесть, что этот вопрос далеко не праздный: вся математическая
физика возможна лишь потому, что такое чудо в ней иногда совер-
шается. Высший Разум иногда посылает тому или иному ученому
неожиданную удачу: предложенная из примитивных предпосылок
модель оказывается действенной далеко за пределами своих пред-
посылок. (Об этом наука узнает с помощью физических экспери-
ментов). Так что же такое дифференциальные уравнения Вольтер-
ра и Лотки: божественное откровение или дьявольское наважде-
ние?
Ответить на этот вопрос с помощью биологических экспери-
ментов взялся в начале 1930-х годов молодой и блестящий ученый
Георгий Францевич Гаузе (1910-1986). Он работал в это время в
лаборатории экологии Института зоологии МГУ Надо сказать, что
его блестящая одаренность относилась не только к биологии. Мы
увидим ниже, что Гаузе был в состоянии правильно доказать не
очень простую математическую теорему. Кроме того, его энтузиазм
подогревался обоснованной надеждой получить рокфеллеровскую
стипендию, т.е. хотя бы на время вырваться за рубеж (стипендию
не получил, но получил премию ЦК комсомола). Надежда на за-
рубежный грант стимулировала публикацию работ Гаузе за грани-
цей, что принесло ему мировую известность. Сам по себе экспери-
ментальный вопрос стоял так. Как правильно считал Гаузе, нечего
надеяться на сопоставление теоретических моделей с реально наб-
людаемой динамикой численностей видов в каких-то природных
или уже созданных (с иными целями) лабораторных сообществах.
Но можно ли специально создать такие лабораторные живые сис-
темы, в которых бы наблюдалась динамика, сходная с предсказа-
ниями моделей? Понятно, что при отрицательном ответе на этот
вопрос рассматриваемые математические модели следовало бы счи-
тать похороненными.
Как человек блестящего таланта, Гаузе не ограничился экспе-
риментами (да и нельзя было бы ими ограничиться, потому что
желаемый результат получался с трудом и только за счет постоян-
ного совершенствования экспериментальных методик). Ему при-
надлежат существенные теоретические обобщения известные как
«теорема Гаузе», устанавливающая теоретическую возможность не-
ограниченного во времени сосуществования двух конкурирующих
видов. В общественном сознании эколого-математического научно-
го сообщества ему также приписывается «закон конкурентного ис-
ключения Гаузе», согласно которому два вида, занимающие одну и
ту же экологическую нишу, не могут устойчиво сосуществовать.
Впрочем, мы увидим, что последний «закон» представляет собой
лишь некоторое бессодержательное высказывание1.
226
СТАТЬИ РАЗЛИЧНОГО СОДЕРЖАНИЯ
Данная статья возникла в результате попытки воплощения в
жизнь следующего скромного замысла. В настоящее время, кроме
общего курса математики, студенты-биологи изучают курс матема-
тических методов в биологии, а в последнем имеется раздел «мате-
матическое моделирование в биологии». Преподавание этого разде-
ла сейчас неудовлетворительно в том смысле, что математические
модели не сопоставляются с результатами реальных эксперимен-
тов. Об этой задаче легко сказать, но трудно сделать, потому что
биологические работы, как правило, публикуются без таблиц ис-
ходных наблюдений. Среди широко известных авторов именно Га-
узе опубликовал достаточно подробно такие таблицы. Например,
для некоторых экспериментов им были опубликованы даже резуль-
таты определения численностей по отдельным повторностям одного
опыта, а не только лишь усредненные данные. Таким образом, по-
лучается, что для преподавания «математического моделирования
в биологии» «свет сошелся клином» на работах Гаузе. Фактичес-
кий материал этих работ достаточно обширен для целей преподава-
ния и нисколько не устарел, потому что в технике биологического
эксперимента со времен Гаузе никакой особой революции не прои-
зошло. Однако при анализе тех обработок, которые делал Гаузе со
своими данными, мы убедились, что часть обработок сделана, мяг-
ко выражаясь, «легкомысленно». Поэтому в данной статье мы
представляем и новые обработки этих данных, имея в виду, что
они (возможно) будут использованы в целях преподавания.
Исходные материалы
В данной статье анализируются работы Гаузе [1—6]. Все они,
кроме работы [21, содержат результаты реальных экспериментов.
Работа [2], однако, важна для характеристики «философских»
взглядов Гаузе, т.е. степени оптимизма, с которым автор оценивает
результаты и ближайшие перспективы тех или иных научных нап-
равлений. Все прочие публикации Гаузе (в том числе зарубеж-
ные), которые излагают лишь выводы и не приводят таблиц экспе-
риментальных данных, мы здесь не рассматриваем. Скажем сразу
о философии работы [2]. Гаузе указывает, что речь идет о возмож-
ности существенного продвижения в понимании борьбы за сущест-
вование и выражает следующую точку зрения официального опти-
мизма. Биологи еще не разобрались в сути и возможностях новых
математических методов, но как только они в этом разберутся, ма-
тематическая теория борьбы за существование получит новый блес-
тящий расцвет. В более поздних работах Гаузе этот официальный
оптимизм заменяется более сдержанной (и, на наш взгляд, безуп-
речно правильной) философией.
Ю.М.Барабашева, Г.Н.Девяткова, В.Н.Тутубалин, Е.Г.Угер
227
Понятно, что экспериментирование с целью подгонки биологи-
ческой реальности под существующие математические модели мог-
ло иметь в виду только самые простые варианты этих моделей.
Эти модели рассматривают сообщество лишь из двух видов и в
двух вариантах: модель хищник-жертва и модель конкуренции.
О модели хищник-жертва уместно сказать лишь несколько
слов, которые не требуют явного выписывания уравнений модели.
Модель предсказывает периодические колебания численностей хищ-
ника и жертвы: если сначала хищников мало, то жертвы интенсивно
размножаются и тем самым снабжают хищников обильной пищей.
Тогда и хищники интенсивно размножаются и в конце концов сок-
ращают численность жертв, и т. д. Однако в экспериментах Гаузе
(а также других авторов: [7; 8]) события разворачивались по-друго-
му. Сначала хищники уничтожали всех жертв, а затем гибли от го-
лода сами, так что никаких вольтерровских циклов не получалось.
Периодические колебания в биологических экспериментах можно
было создать только за счет дополнительных ухищрений, которые
никак не входят в вольтерровскую модель (создание убежищ для
жертв, периодическая иммиграция хищников и/или жертв и т.д.).
Гаузе приходит к выводу, что периодические колебания, которые
наблюдаются в реальных биологических системах, не могут объяс-
няться только тем взаимодействием хищников и жертв, которое за-
писано в математической модели. Иначе говоря, эксперименты Гау-
зе хоронят модель хищник-жертва.
По этой причине в данной работе мы больше не рассматриваем
модель хищник-жертва (т.е. работу Гаузе [5] и заключительную
часть работы [6]). Но что касается модели конкуренции, то ее
судьба иная и заслуживает подробного рассмотрения.
Математика модели конкуренции
Теория начинается с модели логистического роста одновидовой
экспериментальной популяции, которая описывается дифференци-
альным уравнением:
dN(t) / dt= bN(t)\ 1 -
МП
К J
(1)
где N(t)~ численность популяции в момент t,b - параметр, опреде-
ляющий скорость экспоненциального роста популяции, когда ее
численность невелика, и К предельная численность популяции.
В простейшем мыслимом случае эта предельная численность опре-
деляется количеством пищи, но биологически реальными являются
случаи, когда вмешиваются и другие факторы (загрязнение среды
продуктами жизнедеятельности и пр.). Принято считать,что под К
понимается предельная «емкость экологической ниши»,созданной в
228
СТАТЬИ РАЗЛИЧНОГО СОДЕРЖАНИЯ
данных природных или экспериментальных условиях, однако из-за
нечеткости самого понятия «экологической ниши» это не дает ка-
ких-либо возможностей для количественного определения этой
константы. Поэтому она определяется путем наблюдения предель-
ной численности, до которой может дорасти популяция.
Уравнение (1) легко интегрируется. Результат наиболее удоб-
но выразить, введя переменную y(t) = -1. Эта переменная
эволюционирует, как убывающая экспонента, т.е. по закону
y(t) = у(0)е^ Для определения параметров модели К и Ь по наб-
людениям реальных численностей в какие-то моменты времени
= 0, , tn нужно сначала оценить по нескольким последним
наблюдениям предельно возможную численность К, а затем изоб-
разить на чертеже зависимость логарифмов lnz/(t^) от Должна
получиться примерно прямая линия, коэффициент наклона кото-
рой есть оценка для (-6) 2
Ситуация, которой детально занимается Гаузе, относится к
случаю двух совместно обитающих видов, которые конкурируют за
общий ресурс. Пусть этим ресурсом является пища и известно, что
одна особь второго вида потребляет, скажем, втрое больше, чем
особь первого вида. Тогда, при наличии в общей среде N] особей
первого вида и ДГ2 особей второго вида, рост первого вида будет
тормозиться ровно так же, как если бы присутствовал только пер-
вый вид, но в числе + aTV2, где a =3, особей. Соответственно,
рост второго вида будет тормозиться, как при числе рА/^ + N2 его
особей, где р=1/а=1/3. Гаузе замечает, что в биологически
более реальном случае, когда конкуренция идет не только за
пищу, не обязательно выполнение соотношения р = 1 / а, и в ре-
зультате приходит к системе уравнений
... /А / л к кт (Ал + aN2(t)y
dN\(t) / dt = bjNjU) 1---5---------— ,
I K\ J
dN2(t) / dt = b2N2(£)f 1 - ‘-И. (2)
k K2 )
Система (2) и называется системой уравнений конкуренции.
Параметры аир называются параметрами взаимовлияния видов.
В применении к лабораторным биологическим сообществам со-
четание уравнений (1) и (2) выглядит весьма интеллигентно. Че-
тыре параметра, а именно bj, К], Ь2, К2 подбираются на основании
относительно простых экспериментов с одновидовыми культурами.
Для определения двух оставшихся параметров аир нужен экспе-
римент по совместному культивированию обоих видов. Если чис-
Ю.М.Барабашева, Г.Н.Девяткова, В.Н.Тутубалин, Е.Г.Угер
229
ленности видов, которые просчитываются в этом эксперименте,
удается достаточно надежно сгладить, то можно считать, что при
каком-то значении t нам известны и производные этих численнос-
тей, т.е. левые части уравнений (2). Но тогда для каждого из па-
раметров аир получается простейшее линейное уравнение. Так и
определяет эти параметры Гаузе в опытах с дрожжами. Перейдем
к описанию этих опытов.
Эксперименты Гаузе с дрожжами
Эти эксперименты описаны в работах [1] и [3] (таблицы ис-
ходных экспериментальных данных имеются лишь в [1]). Порознь
и совместно культивируются два вида дрожжей: Saccharomyces
cerevisiae и Shizosaccharomyces kefir. Клетки второго вида гораздо
мельче, чем клетки первого, так что Гаузе предпочитает пересчиты-
вать численности клеток в их биомассы (объемы). Учет биомасс
производится таким образом, что в начале опыта делается посев в
несколько идентичных пробирок, а затем через определенное
время - берется одна из этих пробирок и ее содержимое пересчи-
тывается и уничтожается. Потом берется одна из оставшихся про-
бирок и т.д. Понятно, что такие подсчеты численностей не могли
быть особенно частыми во времени. Обработка данных (с точнос-
тью до некоторых несущественных подробностей) делается так,
как описано выше. Типичный результат приведен на рис.1й и 16.
Точки на этих рисунках изображают данные наблюдений, сплош-
ные кривые результат решения системы (2) методом К.Т.Рун-
ге-М.В. Кутта. Сопоставление с рисунками из работы Гаузе пока-
зывает, что его расчеты верны. Но вся суть связана с пунктирны-
ми кривыми на этих рисунках.
Дело в том, что наблюденные данные чрезвычайно грубы. По-
добрать коэффициенты взаимовлияния видов так, чтобы решения
уравнений конкуренции были более или менее похожи на экспери-
ментальную динамику (с той разумной точностью, которую допус-
кает большой разброс данных) нетрудно. Мы проделали это, запи-
сав метод Рунге-Кутта в электронную таблицу Excel. Таким обра-
зом, сплошные кривые на рис.1« и 16, в сущности, не доказывают
адекватности модели конкуренции. Гаузе прекрасно это понимает и
ищет другого доказательства.
Дрожжи имеют важное значение для пищевой промышленнос-
ти, поэтому их биология была уже во времена Гаузе подробно изу-
чена. Фактором, ингибирующим дальнейший рост дрожжевых
культур, являлся не недостаток пищи (сахара, которого в опытах
Гаузе еще оставалось достаточно), а отравление среды накоплени-
ем алкоголя (среда в этих опытах не обновлялась). Поэтому значе-
ния коэффициентов а и Р правильно связывать не с потреблением
230
СТАТЬИ РАЗЛИЧНОГО СОДЕРЖАНИЯ
6
Рис.1. Рост первого (я) и второго (б) видов дрожжей в смешанной
популяции по данным работы [ 1 ].
пищи, а с производством алкоголя на единицу объема дрожжей
(отношение этих коэффициентов равно отношению продукции ал-
коголя). Здесь Гаузе еще придерживается модели, в которой
а = 1 / р. Значения аир, определенные по экспериментальной ди-
намике численностей, не вполне совпадают со значениями, опреде-
ленными по продукции алкоголя. Пунктирные кривые на рис.1(д,
б) вычислены нами по уравнениям со значениями параметров, от-
вечающими продукции алкоголя. Они несколько хуже приближа-
ют данные наблюдений. Таким образом, можно согласиться с Гаузе
в том, что значения а и р не лишены биологического смысла, что
является косвенным свидетельством в пользу биологической значи-
мости уравнений конкуренции.
Заметим, что работа [3] отчасти повторяет работу [1], но со-
держит и новые данные, полученные в условиях лучшего доступа
воздуха к выращиваемым культурам дрожжей. Здесь значения па-
раметров, определенные по наблюдаемым численностям и по про-
Ю.М.Барабашева, Г.Н.Девяткова, В. Н. Тутубалин, Е.Г.Угер 231
дукции алкоголя, в точности совпали (что, впрочем, несколько
даже подозрительно, а проверить нельзя, потому что таблица ис-
ходных наблюдений не публикуется).
Дальнейшие опыты Гаузе по конкуренции проводились на ин-
фузориях. Для анализа этих данных нужно остановиться на экспе-
риментальных и математических усовершенствованиях, которые
были сделаны после работ с дрожжами.
Краткие сведения об изменении экспериментальной
методики
В работах с инфузориями Гаузе ориентировался на выводы ка-
чественного исследования уравнений конкуренции (о которых мы
подробно скажем ниже). Кратко говоря, в случае а = 1 / (3 качест-
венная теория предсказывает вытеснение одного вида другим, а
при некоторых других значениях параметров возможно длительное
сосуществование двух конкурирующих видов. Но чтобы в опыте
можно было наблюдать предсказания качественной теории, сам эк-
сперимент должен продолжаться достаточно длительное время. В
опытах с дрожжами это было невозможно по причине отравления
алкоголем среды обитания. Гаузе предусмотрел периодическую
(через одни сутки) смену среды. Само явление конкуренции су-
щественно проявляется при относительно больших численностях
видов. Следовательно, культуру инфузорий нужно длительное вре-
мя содержать в таких условиях, когда численности видов близки к
предельно возможным. Для этого Гаузе предусмотрел периодичес-
кие небольшие изъятия части особей т (т =0,1; 0,2; или 0,3 в
разных сериях опытов по-разному). Отвлекаясь от подробностей,
можно сказать, что теперь эксперимент выглядел примерно так.
Приготовляется среда специального состава, на которой не
размножаются ни бактерии, ни дрожжи (корм для инфузорий). В
начале эксперимента в пробирку заливается 5 см3 этой среды, в
которой разведено определенное количество корма и туда же поме-
щается известное число инфузорий одного или двух видов. Через
сутки отбирается доля т этого «микрокосма»; содержащиеся в ней
инфузории пересчитываются и уничтожаются. Оставшийся объем
центрифугируется, инфузории осаждаются, а жидкость над ними
сливается и добавляется до прежнего объема свежая среда с разве-
денным кормом. Чтобы создать конкуренцию именно за пищу, кор-
ма вносится относительно небольшое количество. Эксперимент
продолжается около 30 дней. Подсчеты численностей производятся
каждые сутки с некоторыми пропусками.
Математические результаты Гаузе
Скажем сначала, каким образом Гаузе учитывал периодичес-
кие изъятия части популяции. Он полагал возможным заменить
232
СТАТЬИ РАЗЛИЧНОГО СОДЕРЖАНИЯ
ежедневное изъятие доли т непрерывным изъятием, т.е. считать,
что за время А£ изымается часть тМ особей каждого вида. Это ве-
дет к тому, что в правую часть уравнения (1) добавляется член
(-?wN(O), а в правые части уравнений (2), соответственно
(-mN^t)) и (-zwN2(O). Перегруппировкой членов убеждаемся, что
сохраняются то же логистическое уравнение и те же уравнения
f тпЛ
конкуренции с заменой К на К 1----, b на b -т. Аналогично,
v b)
заменятся на Ьг- -т,
Ki-
на
z=l, 2. Таким образом,
согласно Гаузе, дело сводится вновь к уравнениям конкуренции.
Однако такое сведение дискретного периодического прорежи-
вания к непрерывному, вообще говоря, неверно. Дело в том, что
прореживания Гаузе, производимые раз в сутки, являются доволь-
но редкими в сравнении со скоростью роста Ь\ и Ь2. Значения этих
коэффициентов, как видно из данных, относящихся к начальному
периоду роста, не менее 1 сут-1 А за первые сутки роста числен-
ности увеличиваются в 4 и более раз. В случае одновидовых попу-
ляций (и в предположении логистического роста без прорежива-
ния) поправки к модели, вызываемые прореживанием, могут быть
рассчитаны в виде явных формул. Например, предельная числен-
/ \3
Г- тА 4 т I
ность К заменяется на стационарную численность К 1---------
I 1 - )
I тп\
что лишь при малом b сходно с К 1-----. Т.е. заменить дискрет-
\ b J
ный отбор проб дифференциальным уравнением нельзя. Перейдем,
однако, к дальнейшим математическим рассуждениям Гаузе.
Они содержатся в работе [6], опубликованной в 1935 г. В бо-
лее ранних работах Гаузе, видимо, считал выполненным соотноше-
ние а = 1 / р. В этом случае качественное исследование системы
уравнений конкуренции показывает, что в конце концов должно
произойти вытеснение одного вида другим. В работе [6] это огра-
ничение снимается. Гаузе рассматривает изоклины dN\(t) / dt = О
и JN2(t) / dt = 0, которые (в пределах квадранта Nj, N2 > 0)
представляют собой отрезки прямых4. В зависимости от того, пере-
секаются ли эти отрезки или нет, и какая часть какого отрезка ле-
жит выше или ниже другого отрезка, возникают четыре случая,
один из которых отвечает устойчивому узлу в точке пересечения
изоклин. В терминах параметров это бывает при условиях
а < К\ / К2, р < /С2 / Содержательно это означает, что, неза-
висимо от начальных условий, виды приходят к некоторым равно-
Ю.М.Барабашева, Г. Н. Девяткова, В.Н.Тутубалин, Е.Г.Угер 233
весным численностям и сосуществуют бесконечно долго. Рассмат-
риваемые четыре случая и составляют содержание того, что можно
назвать теоремой Гаузе. Она правильно доказана и не очень прос-
та, поскольку надо внимательно рассмотреть четыре случая распо-
ложения изоклин и их связь с параметрами уравнений.
Допускает ли эта теорема биологическую интерпретацию?
Вряд ли. Дело в том, что асимптотическое поведение траекторий
системы (2) зависит лишь от четырех параметров уравнений кон-
куренции (а, р, К^, К2) и вовсе не зависит от параметров bt, 62»
характеризующих потенциальную способность видов к размноже-
нию. Но у одного вида, который, размножается значительно быст-
рее другого вида, должно же быть какое-то конкурентное преиму-
щество?! Гаузе понимает это противоречие модели с биологическим
здравым смыслом и пытается найти выход в том, что при учете
изъятий популяции изменение предельных численностей связыва-
ется со значениями параметров 6t, Но это не спасает положе-
ния, поскольку в теореме участвуют произвольные уравнения кон-
куренции и ничего не говорится об изъятиях.
Соотношение параметров а = 1 / р Гаузе интерпретирует как
тот факт, что оба вида имеют одну и ту же экологическую нишу. В
этом случае (согласно теореме) длительное сосуществование невоз-
можно. В дальнейшем про привязку к уравнениям конкуренции и
к значениям параметров забыли и возвели это утверждение в ранг
экологического закона Гаузе: несколько конкурирующих видов не
могут длительное время занимать одну и ту же экологическую
нишу. Впрочем, этот «закон» имеет сомнительную ценность для
реальных биологических исследований ввиду неполной ясности по-
нятия «экологическая ниша». Не говоря уже о том, что математи-
ческая теорема Гаузе вряд ли допускает биологическую интерпре-
тацию. Можно заметить также, что в случае трех и более видов
математическое доказательство столкнулось бы с очень большими
трудностями, которых Гаузе не преодолевал.
Как Гаузе обрабатывал результаты своих экспериментов
Данные экспериментов с дрожжами в работах Гаузе получили
математическую обработку на вполне достойном уровне. Сами дан-
ные, правда, очень грубые, что (возможно) объясняется тем, что
каждый отдельный микрокосм (т.е. пробирка, в которой растут
дрожжи) использовался только один раз. В разброс результатов
наблюдений входит, таким образом, различие между отдельными
микрокосмами. Но, во всяком случае, логистические кривые, изоб-
раженные на чертежах в работе [1], соответствуют своим уравне-
ниям, а решение уравнений конкуренции методом Рунге-Кутта вы-
полнено правильно.
234
СТАТЬИ РАЗЛИЧНОГО СОДЕРЖАНИЯ
Что же касается экспериментов с инфузориями, то нам предс-
тавляется, что сама ориентация на сопоставление с качественной
теорией дифференциальных уравнений привела к полной количес-
твенной небрежности.
Например, динамика одновидовых популяций приближается
гладкими кривыми, проведенными (вероятно) на глаз, а логисти-
ческие кривые с теми параметрами, которые указывает в тексте ра-
боты Гаузе, не имеют ничего общего с наблюдениями.
В опытах с конкуренцией двух видов можно предположить,
что уравнения конкуренции фактически не решались, а в качестве
интегральных кривых на чертежах приводятся некие кривые, ви-
димо, тоже проведенные на глаз. Например, в работе [4] (рис.5 на
с. 13) показаны некоторые пунктирные кривые (якобы решения
уравнений конкуренции), которые аппроксимируют фактически
наблюдаемое вытеснение одного вида другим. Это противоречит
значениям параметров уравнений (выписанных на этом рисунке):
а = Кх / р = К2 / К\ = 1 / а. Это формально не разобран-
ный в теореме Гаузе (но тривиальный) случай, когда изоклины
совпадают. При этом случае численности обоих видов могут только
расти (при малых начальных численностях) и никакое вытеснение
одного вида другим невозможно.
В общем, речь должна идти о новой обработке данных Гаузе,
полученных в эксперименте с инфузориями.
Однако, несмотря на математическую несостоятельность, Гаузе
обнаружил ряд биологических обстоятельств, которые делают ре-
альный эксперимент объектом более сложным, чем то, что предпи-
сывается моделью конкуренции. В части экспериментов на началь-
ном этапе роста численности происходило даже ускорение роста в
том случае, когда к одному виду добавлялся другой. Это соответс-
твует отрицательному коэффициенту взаимовлияния видов. Но в
дальнейшем явление конкуренции все же проявлялось, т.е. коэф-
фициенты взаимовлияния становились положительными, как и
предусматривается моделью конкуренции. Все вместе это означает,
что коэффициенты взаимовлияния не являются постоянными, а
сами зависят от численностей видов. Но в таком случае становится
почти безнадежной задача экспериментального определения этих
коэффициентов.
В других опытах к конкуренции за пищу прибавлялось угнете-
ние роста одного вида за счет воздействия метаболитов другого
вида (при больших численностях видов ежедневная смена среды
не была достаточной для избавления от метаболитов). В тех случа-
ях, когда теоретические соображения указывали на достижение в
конце концов стационарных численностей видов, такое явление
наблюдалось не при любых начальных условиях. К этому можно
Ю.М.Барабашева, Г.Н.Девяткова, В. Н.Тутубалин, Е.Г.Угер 235
прибавить (хотя Гаузе в тексте работы этого специально не отмеча-
ет) явное наличие лагфазы даже в части экспериментов с однови-
довыми популяциями. Это означает, что рост популяции в течение
первых суток с начала эксперимента был более медленным, чем
рост в течение вторых суток. А это невозможно при логистической
модели.
Гаузе делает совершенно правильный «философский» вывод о
том, что даже в специально подгоняемых под модель конкуренции
лабораторных экспериментах биологическая действительность ока-
зывается гораздо сложнее, чем сама модель.
Новая обработка данных Гаузе
Все эти соображения делают желательной новую обработку
имеющихся данных.
Речь идет об ответе на следующий вопрос: могут ли быть дан-
ные Гаузе сопоставлены хоть с какой-нибудь математической мо-
делью? Понятно, что при редких определениях численностей осо-
бей (раз в сутки) нельзя опираться на модель дифференциальных
уравнений (якобы действующей в промежутках между подсчетами
численностей). Модель должна быть дискретной. Однако общую
структуру модели конкуренции (которая выше была названа «весь-
ма интеллигентной») нужно сохранить, как и общее число пара-
метров модели (шесть). Нужно начать с описания динамики одно-
видовых популяций, а затем сохранить тот тезис модели конкурен-
ции, что «одна особь первого вида равноценна а особям второго
вида, а одна особь второго вида равноценна р особям первого
вида». При попытках обработки данных было замечено, что логис-
тическая модель для динамики одновидовых популяций не годит-
ся. Но чтобы сохранить общий для всего математического естест-
вознания «инфинитезимальный принцип», модель должна описы-
вать изменение численностей за наименьший возможный период
времени (в данном случае - одни сутки). Эти рассуждения почти
однозначно приводят к модели в терминах приращений: для одно-
видовых популяций
AlnW) = In = F[N(O], (3)
где F монотонно убывающая функция. Для конкуренции двух
видов
AlnNt(O = Fx[N^t) + aN2(O];
AlnN2(O = F2[pNt(O + N2(OJ. (4)
Дискретная модель в виде рекуррентных уравнений имеет то
важное преимущество, что она вычислительно несравненно проще,
чем модель дифференциальных уравнений. Не нужно никакого ме-
236
СТАТЬИ РАЗЛИЧНОГО СОДЕРЖАНИЯ
тода Рунге-Кутта: по заданным начальным условиям динамика
численностей вычисляется непосредственно.
Опишем далее применение этой модели к данным, представ-
ленным в таблице 4 работы Гаузе [6]. Это наибольшая по объему
серия экспериментов Гаузе. Она посвящена конкуренции двух ви-
дов парамеций: P.aurelia и P.bursaria. Чтобы оценить объем экспе-
риментальной работы, достаточно сказать, что ежедневно планиро-
валось 42 различных варианта подсчета числа особей, а весь экспе-
римент должен был продолжаться несколько недель. Неудивитель-
но, что в таблице 4 имеется несколько пропусков и не вполне по-
нятных мест (последние мы тоже заменили пропусками, предпола-
гая, что в те дни, на месте которых стоят пропуски, не делалось не
только подсчета численностей, но и прореживания популяций).
Через некоторое время после начала эксперимента численность
инфузорий оказывалась близкой к максимально возможной и под-
держивалась примерно на постоянном уровне за счет периодичес-
ких изъятий части популяции. На примерно постоянном уровне
поддерживалось и загрязнение среды. В это время и разворачивал-
ся (как считал Гаузе) процесс конкуренции двух видов за общую
пищу, количество которой также поддерживалось примерно посто-
янным.
Всего в табл.4 приведены численности инфузорий в следую-
щих вариантах.
Для каждого из видов P.aurelia и P.bursaria, существующих
раздельно, определялись численности для т =0,1, 0,2, 0,3, причем
для каждого т ставилось 3 параллельных эксперимента. При сов-
местном существовании этих видов для каждого т ставилось 2 па-
раллельных эксперимента при начальных численностях, равных
двум. Целью этих экспериментов Гаузе считал наблюдение сходи-
мости численностей к равновесным (теоретически он ориентиро-
вался на устойчивый узел для дифференциальных уравнений кон-
куренции). Поэтому дополнительно для т =0,3 ставилось 6 экспе-
риментов с разными начальными численностями видов.
Данные о росте одновидовых популяций мы обработали следу-
ющим образом. В качестве оценок величин А1пЛГ(О, входящих в
уравнение (3) модели, мы взяли числа Д1пгг(О = 1п t > где
(1-^(0
n(t) экспериментальные численности из таблицы 4. Значения
этих оценок в зависимости от n(t) представлены точками на рис.2.
Понятно, что разброс оценок очень велик, так что сглаживать их
надо функцией с небольшим числом параметров. В качестве такой
функции мы взяли F(N) =ct exp(-c2N). Результаты сглаживания
Ю.М.Барабашева, Г.Н.Девяткова, В.Н.Тутубалин, Е.Г.Угер
237
О 3I I I I I I I 1 I I I
’О 50 100 150 200 250 300 350 численность
б
Рис.2. Логарифмические приращения численности в зависимости от численности вида:
(a) P.aurelia. AlnN = cl * ехр(-с2 * N); cl = 1,424; c2 = 0,007;
(6) P.bursaria, AlnN = cl * exp(-c2 * N); cl = 1,385; c2 =0,009
(по данным табл.4 работы [6],все значения изъятия т)
(нелинейный метод наименьших квадратов пакета Statistica) пока-
заны сплошными линиями на том же рисунке.
От модели для приращений (3) можно очевидным образом пе-
рейти к модели для самих численностей. С учетом некоторых про-
пусков в табл.4 при этом получается так, что «модельные», или
«теоретические», численности изображаются ломаной линией. Ре-
зультат, в общем, удовлетворительный для всех вариантов однови-
довых популяций, которые представлены в табл.4. Для примера
мы приводим рис.З для популяции P.aurelia при т =0,2. Впрочем,
эти экспериментальные данные участвовали в подборе параметров
модели (3), так что теоретическая кривая не может претендовать
238
СТАТЬИ РАЗЛИЧНОГО СОДЕРЖАНИЯ
Рис.З. Одновидовая популяция P.aurelia т=0,2: наблюдения и сглаживание
(табл.4 работы [6])
на нечто большее, чем интерполяционная кривая для эксперимен-
тальных результатов. Интерполяция для одновидовых популяций
с помощью модели (3), в общем, удалась, так что можно попы-
таться описать конкуренцию.
Параметры аир взаимовлияния видов мы определили подбо-
ром, использовав для этой цели только экспериментальные данные
совместного культивирования видов, отвечающие т = 0,1 и малым
начальным численностям (по 2 особи каждого вида в 0,5 см3 сре-
ды). У нас получилось, что при а = 0,8 и р = 0,4 теоретические кри-
вые (созданные с помощью модели (4)) удовлетворительно апп-
роксимируют указанные фактические данные. Тестом всей концеп-
ции является применение этих же значений параметров к другим
экспериментальным данным (которые не использовались для оцен-
ки параметров).
Результаты этого теста различны. Для т =0,2 результат впол-
не удовлетворителен (см. рис.4а). А для т =0,3 с начальными ус-
ловиями по две особи каждого вида - совершенно неудовлетвори-
телен (рис.46).
Для данных ряда экспериментов с разными начальными усло-
виями и т = 0,3 из всех прогнозов примерно половина удачны, а
половина неудачны, т.е. ситуация напоминает прогноз погоды на
неделю вперед.
Мы рассмотрели также некоторые метрологические оценки,
которые объясняют, почему столь велик разброс эксперименталь-
ных данных у Гаузе. По-видимому, основная причина состояла в
малом количестве реально просчитываемых особей, ведь точность
растет пропорционально квадратному корню из числа просчитан-
Ю.М.Барабашева, Г.Н.Девяткова, В.Н.Тутубалин, Е.Г.Угер
239
б
Рис.4. Теоретические и наблюдаемые численности вида P.aurelia в смешанной
популяции с параметрами взаимовлияния а = 0,8; 0=0,4: (а) т = 0,2; (6) т=0,3
ных особей (но трудно требовать больше при 42 вариантах просче-
та ежедневно). Метрология позволяет сделать вывод, что неудач-
ные прогнозы не могут быть превращены в удачные путем учета
ошибок эксперимента. Впрочем, некоторые особенности данных
Гаузе указывают и на недостаточную стабильность самих экспери-
ментов (например, результаты параллельных экспериментов силь-
но отличаются друг от друга).
Также мы рассмотрели данные других экспериментов по кон-
куренции, которые приведены в работах [4] и [6]. В этих случаях
было (в каждом отдельном случае) меньше возможностей поста-
вить модель (3) и (4) в условия риска при проверке, но все же та-
кие возможности находились. Результат примерно тот же самый:
50% удач на 50% неудач. В целом возможность количественной
трактовки экспериментов по конкуренции сбрасывать со счета не
240
СТАТЬИ РАЗЛИЧНОГО СОДЕРЖАНИЯ
стоит, но (в случае экспериментов Гаузе) результаты отличаются
малой надежностью.
Заключение
1. Работы Гаузе начала 1930-х годов имели целью оценить воз-
можность применения моделей дифференциальных уравнений для
количественного описания динамики численностей видов в биоло-
гических сообществах (экспериментальная проверка так называе-
мой «математической теории борьбы за существование»). Гаузе из-
начально считал, что в применении к реально существующим при-
родным сообществам успеха добиться не удастся. Он ставил воп-
рос о возможности создания таких лабораторных сообществ, кото-
рые бы обнаруживали поведение, сходное с модельным. Понятно,
что отрицательный ответ на этот специально поставленный вопрос
означал бы похороны теоретической концепции.
2. В отношении модели «хищник-жертва» исследования Гаузе
привели именно к этому отрицательному ответу.
3. В отношении модели конкуренции сложилось не столь без-
надежное положение. Более ранние работы Гаузе касались конку-
ренции двух видов дрожжей и имели адекватное математическое
сопровождение. Более того, параметры конкуренции могли претен-
довать на связь с иными реальными биологическими параметрами
(продукцией алкоголя на единицу объема дрожжей каждого вида).
4. В последующих работах Гаузе, касающихся конкуренции
видов инфузорий, был достигнут прогресс в экспериментальной
технике, который позволял выделить в относительно чистом виде
явление конкуренции за пищу. Был также достигнут прогресс в
математическом отношении, который привел к правильному дока-
зательству «теоремы Гаузе». Однако была потеряна вычислитель-
ная культура, имевшаяся в работах с дрожжами. Кривые, аппрок-
симирующие экспериментальные данные, которые Гаузе подает как
логистические, либо как интегральные кривые уравнений конку-
ренции, на деле таковыми не являются, а представляют собой
лишь результаты глазомерного сглаживания.
5. «Закон конкурентного исключения Гаузе» в том виде, в ко-
тором он существует в настоящее время, связан лишь с неполным
пониманием результатов исследований Гаузе.
6. Новая обработка данных Гаузе была проведена для выясне-
ния вопроса можно ли количественно описать данные экспери-
ментов Гаузе хоть какой-нибудь математической моделью (не обя-
зательно моделью дифференциальных уравнений конкуренции). В
данной работе исследовался упрощенный (дискретный) аналог мо-
дели конкуренции. Результаты вычислительных экспериментов, в
которых эта модель ставилась в условия риска при сопоставлении
Ю.М.Барабашева, Г.Н.Девяткова, В.Н.Тутубалин, Е.Г.Угер
241
с экспериментальными данными Гаузе, противоречивы: примерно в
половине случаев модель выдерживала проверку, а в половине
нет. Отчасти это может объясняться неполной стабильностью экс-
периментов Гаузе, а отчасти тем (правильным!) выводом Гаузе что
даже искусственно созданная биологическая реальность всегда ока-
зывается гораздо сложнее модели.
Примечания
1 Своим появлением от имени Гаузе он обязан лишь следующему процессу, характер-
ному для переработки информации в массмедиа. Не до конца понятая, а большей ча-
стью - домысленная, информация передается от одного источника информации к
другому, искажаясь в процессе передачи. В результате создается нечто, мало напо-
минающее исходную посылку, но признаваемое общественным сознанием.
Еще в начале XIX века П.С.Лаплас обращал внимание на этот процесс под названи-
ем «о вероятностях свидетельств». Если некоторое сообщение доходит до нас через
ряд свидетелей, каждый из которых настолько любит правду, что искажает ее (со-
знательно или неосознанно) лишь с вероятностью 1 /10, то в длинной цепочке таких
свидетелей хотя бы один непременно соврет, так что окончательному результату до-
верять нельзя. Это же происходит и в массмедиа, в том числе и в научных.
2 Во времена Гаузе логистический закон для динамики численностей одновидовой по-
пуляции, видимо, считался твердо установленным (а на самом деле, в части экспе-
риментов Гаузе это не так).
3 Чтобы получить значение предельной численности, сопоставимое с формулами Гау-
зе, в дискретной схеме нужно брать численность, которая получается после очеред-
ного прореживания (поскольку в схеме Гаузе прореживание якобы сведено к непре-
рывному и тем самым учтено). Таким образом, из популяции численности за сут-
ки логистического роста должна получиться популяция такой численности, чтобы
после ее прореживания вновь получилась популяция численности К^. Имеем урав-
нение Кт---------------т) = Кт, h = \ сутки, решение которого дает
Кет +(К-Кет)е
( т \ ( тп\
Кет = --что может значительно отличаться от выражения К^1 - —J, ко-
торое предлагает Гаузе.
4 Здесь следовало бы сообщить читателю, что любая прямая вида Ах + By + С = 0 де-
лит координатную плоскость на две полуплоскости, в одной из которых левая часть
уравнения прямой положительна, а в другой - отрицательна, но Гаузе этого не дела-
ет.
Список литературы
1. Gause G.F. Experimental studies on the struggle for existence. 1. Mixed population of
two species of yeast //Journal experimental biology. 1932. Vol.9. №4. P.389-402.
2. Гаузе Г.Ф. Математический подход к проблемам борьбы за существование //
Зоологиеский журнал. 1933. Т.12. Вып.З. С. 170-177
3. Гаузе Г. Ф. Математическая теория борьбы за существование и ее применение к по-
пуляциям дрожжевых клеток / / Бюллетень Московского Общества испытателей
природы. Отделение биологии. 1934. Т.43. №1. С.69-87
4. Гаузе Г.Ф. Экспериментальные исследования борьбы за существование между Pa-
ramaecium caudatum, Paramaecium Aurelia и Stylonichia mytilus. / / Зоологиче-
ский журнал. 1934. Т.13. Вып.1. С. 1-17
5. Гаузе Г.Ф. О процессах уничтожения одного вида другим в популяциях инфузо-
рий // Зоологический журнал. 1934. Т.13. Вып.1. С. 18-26.
6. Гаузе Г. Ф. Исследования над борьбой за существование в смешанных популяциях
// Зоологический журнал. 1935. Т.14. Вып.2. С.243-270.
242
СТАТЬИ РАЗЛИЧНОГО СОДЕРЖАНИЯ
7 Gilpin М.Е. Do hares eat lynx? American naturalist. 1973. Vol. 107 № 957
P.727-730.
8. Luckinbill L.S. The effect of space and enrichment on a predator-prey system / / Eco-
logy. 1974. Vol.55. № 5. P.1142-1147
«ПЛОТСКОСТЬ мысли»
(К ФИЛОСОФИИ МАТЕМАТИКИ
О. ПАВЛА ФЛОРЕНСКОГО)1)
В. А. Шапошников
В воспоминаниях «Детям моим», охватывающих его детские и
гимназические годы, П.А.Флоренский писал: «...во мне была по-
вышенная впечатлительность, никогда не смолкавшая внутренняя
вибрация всего существа от заветных впечатлений. Это почти фи-
зическое ощущение себя струною или скорее хладниевой пластин-
кой, по которой природа ведет смычком: не в душе, а во всем ор-
ганизме, почти ухом слышимый, вибрирует высокий и упругий
чистый звук, а в мыслях складываются схематические образы, ну
просто хладниевые фигуры как символы мировых явлений.
<...> все во мне, каждая жилка, было наполнено экстатическим
звуком, который и был моим познанием мира. Этот звук, это дро-
жание всего внутреннего порождало схемы, порядка скорее всего
математического, и они были моими категориями познания» [1,
с.71-72].
В этих словах, написанных в 1923 г о. Павлу удалось выска-
зать нечто очень важное и основополагающее о своем понимании
математики и ее роли в познании природы. Он прибегает здесь к
образу знаменитых акустических фигур, получивших имя создате-
ля экспериментальной акустики - немецкого физика Эрнста Хлад-
ни. Исследуя упругие колебания пластин ученый обнаружил, что
если пластинка посыпана мелким песком, то при вибрации песок
перераспределяется так, что на ней можно наблюдать различные, в
зависимости от характера вибрации, красивые узоры геометри-
чески правильные, симметричные фигуры. Эти фигуры Хладни
как бы символизируют в тексте Флоренского встречу звука и зри-
тельного образа, и именно в точке этой встречи возникает правиль-
ная математическая схема.
В заметках по антропологии (1918) о. Павел развивает мысль
о том, что наличие у человека различных чувственных восприятий
1) Исследование выполнено при финансовой поддержке РГНФ в рамках проектов
«Философия науки о. Павла Флоренского» (№ 09-03-00615а) и «Математика в кон-
тексте философской мысли в России второй половины XIX - первой трети XX в.»
(№ 08-03-00305а).
В.А.Шапошников
243
не может быть признано несущественной случайностью, но должно
находиться в соответствии с метафизическими линиями, осями са-
мого мира. Два важнейших, еще по античным представлениям,
способа восприятия мира - зрение и слух. Они противоположны
друг другу: зрение - это объективность, это внешний мир, слух -
субъективность, мир внутренний [2, т.3(1), с.40-44]. Точка, в ко-
торой пересекаются эти главные метафизические оси, - это и есть
та точка, где субъективное встречается с объективным, внутреннее
- со внешним; это и есть та символическая грань на которой живет
познание. И именно в этой точке, в этом эпицентре тайны позна-
ния и видит Флоренский исконное место математики.
Познающее мышление живет, согласно Павлу Флоренскому, в
тесной связи и согласии с чувственным восприятием (в первую оче-
редь, зрением и слухом). «По Премудрости, пишет он в главе
«Диалектика» работы «У водоразделов мысли», - «глаз никогда не
насыщается зрением, а ухо - слухом» (ср.: Еккл. 1,8). Это ненасы-
щаемое вглядывание в реальность и это ненасыщаемое вслушивание
слова ее есть диалектика» [2, т.3(1), с.123-124]. Диалектика же, по
о. Павлу, следующему Платону, - это подлинный философский ме-
тод. Этот метод вбирает в себя и правильное отношение к математи-
ке, в восприятии которой также практически нет зазора между мыс-
лью и чувством, между чистой математикой и ее приложениями
(ср.: обсуждение этой темы применительно к Платону в [3]). Мате-
матические теории не просто применяются в эмпирическом мире,
сам этот мир есть явленность математических объектов, способ их
существования. Занятие математикой неотделимо от «вглядывания»
и «вслушивания» в мир. Поэтому не только все эмпирическое в ос-
нове своей математично, но и математические объекты как бы при-
обретают эмпирические свойства, обрастают эмпирической
«плотью». Математические объекты для Флоренского, как это ни
парадоксально, могут быть почти видимы глазом и звучать. Они
- не столько абстрактны, сколько конкретны и даже художест-
венны. И в математике, как и в других областях, он ищет «яркий и
художественно законченный образ целого» [1, с. 187]. Специфика
математического мышления Флоренского состоит в том, что оно жи-
вет «на границе поэзии и науки» [1, с. 156]. Он всегда тяготеет к
конкретности мышления, даже в таких областях как математика и
метафизика, - конкретности, переходящей, по его собственному вы-
ражению, в «плотскость мысли» [1, с.157].
Чтобы убедиться в этом, в аспекте зрения, обратим внимание
на то, с какой любовью он еще в молодости строит графики функ-
ций или чертит многоугольники, не забывая «порадеть об эстети-
ке» (см.: письма к В.Ф.Эрну от 13 января 1903 г. и к матери от 8
марта 1903 г.). Приглядимся также к тому, как он говорит о функ-
244
СТАТЬИ РАЗЛИЧНОГО СОДЕРЖАНИЯ
циях и множествах. Описывая распластывающуюся кривую, в ма-
тематическом реферате 1902 г., он может сказать, что часть ее «ис-
парилась и образовала столб пара» или, что на определенном учас-
тке «она расплавится и упадет на ось абсцисс в виде прямолиней-
ных отрезков» [4]. Объясняя в «Эмпирее и Эмпирии», чем замк-
нутая группа (т.е. в современной терминологии множество) от-
личается от незамкнутой, написать: «У замкнутой группы, так
сказать, обтаял кончик, сточилась последняя точка, и получилась
группа незамкнутая». А отличие всюду плотной и совершенной
групп (на примере множества рациональных точек отрезка и мно-
жества всех действительных точек того же отрезка) - объяснить
такими словами: «В соответственном месте отрезка носителя
группы группа имеет изъян, пробел. Так как между каждыми
двумя рациональными числами существует бесконечное множество
иррациональных, то в каждом отделе группы нашей существует
бесконечное множество изъянов; вся группа разъедена, изгрызена.
Однако эта источенность группы имеет одно замечательное свойст-
во: <...> какой бы малый кусочек нашего прямолинейного отрезка
мы ни взяли, он непременно окажется начиненным бесконечным
множеством точек группы. <...> Первая группа есть как бы изъе-
денная бесконечно-тонкими дырочками вторая группа, а вторая
зачиненная первая; <...> та и другая никаким созерцанием, ника-
ким микроскопом не отличимы между собой. Первая есть как бы
полоска пыли, насыпанная вдоль прямой линии, вторая - сплош-
ная ниточка; в первой разрозненные точки, рассыпавшиеся ни-
точки бисера, а вторая непрерывная последовательность точек»
[2, т.1, с.171-172].
В самом конце жизни, в письме из лагеря младшему сыну Ми-
хаилу от 19 июня 1937 г., он пишет: «Что, математическая линия и
точка, т.е. длина без ширины и геометрический элемент, не имею-
щий ни длины, ни ширины, представляют ли они чистые абстрак-
ции, которым не соответствует ничто нами воспринимаемое? Обыч-
но решают этот вопрос в последнем смысле, т.е. отрицают возмож-
ность видеть линию и точку. Но это - неправильно. Наша сетчатка
состоит из отдельных нервных окончаний и протяженность изобра-
жения на ней воспринимается лишь в том случае, когда отдельные
участки изображения попадают на разные элементы сетчатки. Пре-
дел восприятия протяженности - когда участки изображения попа-
дают на два смежных элемента сетчатки. Если же все изображение
попадает на один, то мы, хотя и видим нечто, но не протяженное,
т.е. точку в строгом смысле слова, а если на линейный ряд элемен-
тов - то линию, т.е. длину без ширины, тоже в строгом смысле сло-
ва. Так напрмер искры издали воспринимаются как чистые точки,
паутинка или телеграфная проволока издали, освещенная ярким
В. А. Шапошников
245
светом («блестит») на темном фоне, для нашего восприятия есть
истинная геометрическая линия. Попробуй вычислить, с какого
расстояния тельце или проволока определенных размеров стано-
вится для нас точкой или линией» [2, т.4, с.715].
Это - о зрительной стороне. Теперь о стороне звуковой. В воспо-
минаниях Флоренский говорит об особой своей чувствительности в
детстве к музыкальному ритму. Он пишет о своей музыкальной фан-
тазии, которая была «настолько захватывающей и живой», что он
«почти не нуждался в физическом звуке». «Иногда достаточно было
самой бедной ритмики - стука пальцев по столу, падения капель, рит-
мического шума, тикания часов, даже биения собственного сердца,
чтобы этот ритмический остов подвергся непроизвольной оркестровке
и сам собою обратился в симфонию». Говорит он также о своем стрем-
лении освободить эту музыку от «сырости переживаний», от психоло-
гизма, достигнуть той глубины на которой она делается объективной и
онтологичной: «она звучала в моем сознании как музыка сфер, как
формула мировой жизни. Материалом же ее были экстатические звуки
внутри меня» [1, с.78-81]. Речь идет здесь о той глубине восприятия
на которой музыка переходит в математику. Именно к такому воспри-
ятию музыки призывает Платон («Государство», 531 с).
В важнейшем тексте, посвященном осмыслению собственного
метода познания («Пути и средоточия»), о. Павел пишет: «Как
шум отдаленного прибоя, звучит автору его ритмическое единство.
Темы уходят и возвращаются, и снова уходят, и снова возвраща-
ются, так далее и далее, каждый раз усиливаясь и обогащаясь,
каждый раз наполняясь по-новому содержанием и соком жизни.
Темы набегают друг на друга, нагоняют друг друга, оттесняют
друг друга, чтобы, отзвучав, уступить потом место новым темам.
Но в новых - звучат старые, уже бывшие. Возникая в еще неслы-
ханных развитиях, разнообразно переплетаясь между собою, они
подобны тканям организма, разнородным, но образующим единое
тело: так и темы диалектически раскрывают своими связями и пе-
рекликами единство первичного созерцания. В сложении целого
каждая тема оказывается так или иначе связанной с каждой дру-
гой: это - круговая порука, ритмический перебой взаимопроникаю-
щих друг друга тем». Он сравнивает это единство тем с гетерофо-
нией голосов русской народной песни. «Вызвать игру, продол-
жает он, - это и есть метод познания. «Всякий метод есть ритм», -
говорит Новалис, и постижение реальности есть со-ритмическое
биение духа, откликающееся на ритм познаваемого» [2, т.3(1),
с.37-39].
В этом тексте интуиция всеединства выражена в звуковых об-
разах. Не случайно в самом его начале возникает сравнение с «шу-
мом отдаленного прибоя». В воспоминаниях о. Павла много места
246
СТАТЬИ РАЗЛИЧНОГО СОДЕРЖАНИЯ
отведено роли моря в мире его детства. Ритмический звук морских
волн порождает в душе математические схемы, находящие вопло-
щение в теории рядов Фурье и учении о прерывных функциях.
Именно в них проявляются «исконные ритмы души». «Вслушива-
ясь в себя самого, - пишет о. Павел, - я открываю в ритме внут-
ренней жизни, в звуках, наполняющих сознание, эти навеки за-
помнившиеся ритмы волн и знаю, это они ищут во мне своего соз-
нательного выражения чрез схему тех математических понятий»
[1, с.51-52].
Звук для Флоренского находит математическое выражение в
схемах теории функций, а сами функции - звучат. Это математи-
ческая подоснова всякого мышления дает себя знать, воспринятая
в аспекте слуха. В переписке университетских лет эта тема возни-
кает в стремлении построить «числовую музыкальную функцию»
(письмо к отцу от 23 января 1902 г.). В письмах из лагеря о. Па-
вел также обращается к связи математики с музыкой. «Овладеть
музыкой весьма необходимо для физики и математики», пишет
он младшему сыну Михаилу (письмо от 22-23 апреля 1935 г.) [2,
т.4, с.216].
В лагерных же письмах о. Павла есть замечательное место, в
котором слуховой и зрительный аспекты встречаются. В письме
к Наташе, жене сына Василия, от 21-25 апреля 1936 г., читаем:
«Вполне понятно, что наряду с музыкой Вас интересует шитье.
Ведь узор есть отвлеченная формула каких-то мировых процессов,
либо внешних, либо внутренних, а точнее сказать внешних, пос-
кольку они прошли чрез внутреннее освоение, внутренних, пос-
кольку они выразились в каком-то последовательном ряде движе-
ний: - эмоциональное движение, жест, рисунок, запечатление ри-
сунка шитьем и т.д. Музыка - та же мировая формула, но запе-
чатленная иным способом (да и не совсем иным, ибо нотная запись
сама есть орнамент и, помимо своего звукового содержания, имеет
значимость и зрительную), так что шитье - это музыка и музыка -
шитье» [2, т.4, с.451].
В очерченном контексте совершенно естественным видится
стремление Флоренского, уже в университетские годы, «перебро-
сить мост от математических схем теории функций к наглядным
образам геометрии и к явлениям природы» [1, с. 156]. Летом 1902
года он пишет работу, посвященную новой наглядной геометричес-
кой интерпретации комплексных чисел. Это тот самый студенчес-
кий текст, который позднее ляжет в основу знаменитых «Мнимос-
тей в геометрии» (1922). Стимулом к созданию этой интерпрета-
ции послужило отсутствие «конкретно-воззрительного содержа-
ния» у ряда понятий, неизбежно возникающих в аналитической ге-
ометрии: таких, например, как мнимые точки и прямые [5]. Зимой
В. А.Шапошников
247
1902-1903 гг. Флоренский пишет еще одну работу - «Заметки по
теории сетей». Сетью он называет «всякую конфигурацию пря-
мых или кривых линий вместе с точками их пересечения». Инте-
рес к сетям не в последнюю очередь определяется стремлением
продумать такую достаточно гибкую и богатую систему геометри-
ческих образов, которая не только даст «красивые иллюстрации к
теории чисел», но и позволит уяснить «внутреннюю структуру
числа». Таким образом, полагает Флоренский, «мы до известной
степени реабилитируем идеи пифагорейцев». «Нужно думать, - за-
канчивает он вступление к работе о сетях, - что такая иллюстра-
ция теории чисел может помочь изучению таинственных и непонят-
ных свойств чисел и, нужно надеяться, результаты, добытые тео-
рией чисел, применятся к изучению структурных вопросов молеку-
лярной физики и химии, поскольку они тоже связаны с порядком
в группировке» [6]. В работе «Приведение чисел» (написана в
1906, издана - в 1916) [7] вновь свойства натуральных чисел исс-
ледуются через изображение их в виде определенного типа сетей -
многоугольников - «микроскопа для чисел», по выражению Фло-
ренского, который позволяет наглядно представить, «увидеть»,
внутреннюю природу числа. Во всех этих работах именно обраще-
ние к геометрии, «первой из реальных наук» («Об одной пред-
посылке мировоззрения», 1904 [2, т.1, с.76]), - позволяет реали-
зовать в отношении математики требование конкретности мышле-
ния, как оно понимается Флоренским.
Главным зрительным образом, который лежит в основе того,
как Павел Флоренский представляет себе процесс творческого (ди-
алектического) мышления, является образ ткани. Душевная
жизнь, говорит он, есть «связное целое, напоминающее ткань или
кружево, где нити сплетаются многообразными и сложными узора-
ми» («Разум и диалектика», 1914 [2, т.2, с.142]). «Каждое восп-
риятие связывается с другими, и само собою в уме строится ка-
кая-то система, где разнородное по малым, но глубоким, на мою
оценку, признакам соотнесено друг с другом. Растения, камни,
птицы, животные <...>, атмосферные явления, цвета, запахи, вку-
сы, небесные светила и события в подземном мире сплетаются
между собою многообразными связями, образуют ткань всемирного
соответствия» [1, с.86]. «Ритмом вопросов-ответов, атезисов и те-
зисов, повышений и понижений пульсирует мысль философа.
Вдыхания и выдыхания, разрушения и созидания ткут переливча-
тую ткань, складками которой окутываются и складками которой
разоблачаются линии сокровенной Изиды» («Диалектика» [2,
т.3(1), с.124]).
В основе этого художественного образа ткани, постоянно
встречающегося в текстах Флоренского, и вызывающего в вообра-
248
СТАТЬИ РАЗЛИЧНОГО СОДЕРЖАНИЯ
женин, по замыслу автора, не только «ткань», выходящую с ткац-
кого станка, но и «ткани» живого организма, проглядывает мате-
матическая сеть, как явленное и ожившее пифагорейское чис-
ло-форма или канторовский тип порядка (см. подробности в [8,
с.354-364]). Легко убедиться в этом, прочитав как о. Павел опи-
сывает в «Путях и средоточиях» (1917-1922) органическое мыш-
ление, «круглое мышление» («... функционально организм есть
нечто круглое - он смыкается в себе самом», - говорит Флоренс-
кий в лекционном курсе 1921 г. «Культурно-историческое место и
предпосылки христианского миропонимания» [2, т.3(2), с.454]), к
сторонникам которого причисляет и себя: «Связи отдельных мыс-
лей органичны и существенны; но они намечены слегка, порою
вопросительно, многими, но тонкими линиями. Эти связи, по-
лу-найденные, полу-искомые, представляются не стальными стерж-
нями и балками отвлеченных строений, а пучками бесчисленных
волокон, бесчисленными волосками и паутинками, идущими от
мысли не к ближайшим только, а ко многим, к большинству, ко
всем прочим. Строение такой мысленной ткани - не линейное, не
цепью, а сетчатое, с бесчисленными узлами отдельных мыслей по-
парно, так что из любой исходной точки этой сети, совершив тот
или иной круговой обход и захватив на пути любую комбинацию
из числа прочих мыслей, притом, в любой или почти любой после-
довательности, мы возвращаемся к ней же. Как в римановском
пространстве всякий путь смыкается в самого себя, так и здесь, в
круглом изложении мыслей, продвигаясь различными дорогами
все вперед, снова и снова приходишь к отправным созерцаниям.
Эта-то многочисленность и разнообразность мысленных связей де-
лает самую ткань и крепкою, и гибкою, столь же неразрывною,
сколь и приспособляющеюся к каждому частному требованию, к
каждому индивидуальному строю ума. Более: в этой сетчатой тка-
ни и промыслившему ее - вовсе не сразу видны все соотношения
отдельных ее узлов и все, содержащиеся в возможности, взаимные
вязи мысленных средоточий: и ему, нежданно, открываются новые
подходы от средоточия к средоточию уже закрепленные сетью, но
без ясного намерения автора» [2, т.3(1), с.35].
Таким образом, от теории множеств и функций как математи-
ческой основы учения о всеединстве (целостности) мы естественно
переходим к геометрии как математической основе воплощенного,
чувственно выраженного всеединства (см. подробности: [9,
с.172-177]).
Геометрия - это наука о пространстве. Нахождение же в прос-
транстве - «пространственность» - является по Павлу Флоренско-
му универсальной характеристикой всего существующего. В приме-
чаниях к работе «Обратная перспектива» (1922) он пишет: «воп-
В. A. Шапошников
249
рос о пространстве есть один из первоосновных в искусстве и, ска-
жу более, - в миропонимании вообще» [2, т.3(1), с.98]. В текстах
1925 г. «Значение пространственности» и «Абсолютность прост-
ранственности» о. Павел высказывается еще определеннее: «Проб-
лема пространства залегает в средоточии миропонимания во всех
возникавших системах мысли и предопределяет сложение всей сис-
темы. С известными ограничениями и разъяснениями можно было
бы даже признать пространство за собственный и первичный пред-
мет философии, в отношении к которому все прочие философские
темы приходиться оценивать как производные. И чем плотнее сра-
ботана та или другая система мысли, тем определеннее ставится в
качестве ее ядра своеобразное истолкование пространства. Повто-
ряем: миропонимание - пространствопонимание». Пространствен-
ность - есть «всегдашняя и необходимая сторона всякого опыта, и
переживаемого и мысленного». Все с чем имеет дело сознание об-
ладает своею «непосредственно воспринимаемой пространственнос-
тью» со своим особым строением. Слово «пространство» прибли-
жается у Флоренского к тому, чтобы стать синонимом слова «фор-
ма» [10, с.272-274].
Можно заметить: то, что Флоренский говорит здесь о «прост-
ранстве» почти дословно повторяет слова, которые он ранее говорил
о «группе», т.е. «множестве» («О типах возрастания», 1906 [2, т.1,
с.284]; вступление к переводу «Физической монадологии» И.Канта,
1905 [2, т.1, с.682]). Это и неудивительно, ведь пространство-форма
обладающее особым строением, о котором говорит он, есть ничто
иное как та же группа, тип порядка или число-форма, но непосредс-
твенно воспринимаемые, данные наглядно. «Внеположность, т.е.
нахождение тех или других отдельностей вне друг друга, - пишет
о. Павел, - таков основной признак пространственности. Раз имеет-
ся множество, то элементы его отдельны или, по выражению Рима-
на, суть образы обособления] тем самым они вне друг друга. Это
уже есть достаточный признак нахождения их в соответственном
пространстве, потому что мы хотя и не смешиваем, но, однако, рас-
сматриваем не порознь, а вместе, как нечто связное, и координиру-
ем их друг с другом. <...> наличие соответственных образов обо-
собления предполагает условие возможности соотношения, и это
есть именно пространство образов данного восприятия» («Анализ
пространственности в художественно-изобразительных произведени-
ях», 1924-1925 [10, с. 110-1 И]).
Здесь математика соединяется в одно целое с эстетикой, ведь
красота, говорит о. Павел, это «наглядно воспринятая целост-
ность» (Раздел «Целое» спецкурса 1917 г. «Из истории философс-
кой терминологии» [2, т.3(1), с.456]). Отсюда вырастает его расс-
мотрение закона золотого сечения в спецкурсе по истории философ-
250
СТАТЬИ РАЗЛИЧНОГО СОДЕРЖАНИЯ
ской терминологии 1917 г., и идея курса «Анализ пространствен-
ности в художественно-изобразительных произведениях» (20-х го-
дов) для Художественно-технических мастерских. Художественно-
эстетической стороне математики он уделяет место и в лекциях по
методике геометрии, которые читает в Институте народного обра-
зования Сергиева Посада в 1919-1920 учебном году (В сохранив-
шейся программе этого курса имеется специальный пункт: «Худо-
жественно-эстетическая сторона математики; эстетический момент в
преподавании геометрии» (машинопись, хранится в архиве семьи
Флоренских)).
Пространство понимается Флоренским чрезвычайно широко.
У него не одно пространство, но много разных пространств. По-
добно тому, как каждому качественно отличимому явлению соот-
ветствует свое число-форма, ему отвечает и свое пространство.
«Этих пространств, пишет о. Павел, должно быть много, по
роду восприятий и образов обособления; нет данных загодя счи-
тать эти пространства тождественными, хотя естественно ждать
родственности некоторых из них, и притом различной в различных
случаях. Одни пространства весьма далеки друг от друга, другие -
могут быть весьма близкими; общий же признак всех - внеполож-
ность образов обособления, в них содержащихся и ими объединяе-
мых» [10, с.111].
Столь большая гибкость понятия «пространство», которой тре-
бовала его интуиция, вызвало еще в университетские годы особый
интерес Флоренского к топологии, тому разделу геометрии, кото-
рый изучает пространство в самом общем виде, исключительно со
стороны внеположности его элементов, почему именно эту науку
«можно назвать по преимуществу геометрией» [6]. Именно тополо-
гия как «перво-геометрия» находится в центре внимания в лекциях
по энциклопедии математики, которые о. Павел читал в 1919-1920
учебном году (материалы к этим лекциям хранятся в архиве семьи
Флоренских). Он подробно разбирает в названных лекциях теорему
Эйлера о многогранниках и теорию сетей, исторически первые зада-
чи вокруг которых формировалась эта дисциплина.
В тексте «Абсолютность пространственности» (1925) о. Павел
выделяет несколько слоев в понятии пространства: геометрический,
физический, психофизиологический. Все эти слои - лишь последо-
вательные приближения к пространству конкретного жизненного
опыта и конкретного художественного произведения. Разговор о
гибкости и богатстве конкретного пространства Флоренский строит
через отрицание тех или иных свойств «евклидовско-кантовского»
пространства: бесконечного, беспредельного, однородного, изотроп-
ного, связного, однозначного, трехмерного и имеющего постоянную
кривизну, равную нулю. Обращаясь к геометрическим наработкам,
В. А. Шапошников
251
теориям современной физики (теория относительности и квантовая
физика), данным психофизиологии, он рисует картину многооб-
разных возможностей в понимании пространства, которое предста-
ет как прерывное в самых разных отношениях и смыслах. Напри-
мер, неоднородность пространства можно мыслить «либо как посте-
пенное изменение свойств пространства, а следовательно, и образов,
в нем содержащихся, в зависимости от места, наподобие воздуха все
менее плотного по мере удаления от земли, либо как зернистость
пространства, в силу которой свойства больших образов могут быть
всюду одинаковыми, но свойства достаточно малых различны в за-
висимости от зерна или области той или другой природы, в которую
данный образ попадает, либо, наконец, как сочетание того и друго-
го. В первом случае, небольшие сдвиги не изменяли бы существенно
пространственных характеристик образов, но большие - вели бы к
этому. Во втором случае, и большие, и малые смещения больших
образов были бы безразличны, но достаточно малые образы пре-
рывно меняли бы свои характеристики и, при малых сдвигах, вне-
запно попадали в новые пространственные области. Наконец, тре-
тий случай давал бы изменения двоякие» [10, с.278-279]. Так
«пространство восприятий все насквозь и существенно прерывно и
состоит из отдельных элементов. В одних случаях, оно зернисто и
должно быть представляемо наподобие ткани из отдельных блестя-
щих клеточек, видимых в разрезанном арбузе. В других случаях,
пространство построено из волосков, расположенных то в одном, то
в другом порядке» [10, с.295-296].
В «Автореферате», написанном о. Павлом для энциклопеди-
ческого словаря «Гранат» около 1925-1926 г., сказано об этом так:
«В отношении пространства и времени у Ф. своеобразный ато-
мизм. Борьба с кантовским понятием пространства и сознание ус-
ловности и недостаточной гибкости неевклидовых проективных
пространств направили интерес Ф. к пространствам непроектив-
ным и к топологии. Именно на этой почве в значительной мере
сложились его эстетические взгляды» [2, т.1, с.41].
Говоря о геометрической теме у Флоренского нельзя не вспом-
нить «Мнимости в геометрии» (1922). В этой работе он ставит за-
дачу «найти в пространстве место для мнимых образов, и притом
ничего не отнимая от уже занявших свои места образов действи-
тельных» [11, с. 10]. В «Автореферате» о. Павел пишет, что
«стремление дать наглядную модель мнимостей» возникло у него
«в связи с представлением о многослойности реальности и недос-
тупности одних слоев другим (условная трансцендентность)» [2,
т.1, с.41]. Здесь интуиция всеединства, как единства самостоятель-
ных дискретных форм, представлена в терминах пространственнос-
ти (см.: [9, с.177]).
252
СТАТЬИ РАЗЛИЧНОГО СОДЕРЖАНИЯ
Флоренскому близка интуиция неразрывной взаимосвязан-
ности пространства и его наполнения, в связи с чем он высоко це-
нит общую теорию относительности [10, с.82-83]. Неоднород-
ность, слоистость, дискретность пространства отвечает многообра-
зию несводимых друг к другу природных форм-организмов. Та-
кая геометрия находится в соответствии с физикой, а точнее - с
натурфилософией в духе Гёте (ср.: [2, т.3(1), с.36]). О. Павел
пишет с Соловков матери: «Дух современной физики, с ее край-
ней отвлеченностью от конкретного явления и подменою физичес-
кого образа аналитическими формулами, чужд мне. Я весь в
Гёте-Фарадеевском мироощущении и миропонимании. <...> Фи-
зика будущего должна пойти по иным путям наглядного обра-
за» (Письмо от 21-22 апреля 1936 г. [2, т.4, с.453]). Это все та
же тенденция к полноте воплощения: от множеств - к числам-се-
тям, от сетей - к структуре пространства, от пространства - к на-
селяющим и организующим его реальностям, к природным и
культурным явлениям.
Отношение Флоренского к наследию Гёте заслуживает особого
внимания. Немного найдется мыслителей, оказавших на мысль и
творческий метод о. Павла столь большое влияние. В воспомина-
ниях (1920 г.) он недвусмысленно писал: с детства, с тех пор
почти, как научился я читать, у меня был в руках «Гёте и Гёте без
конца» - т.е., конечно, не брошюра Дюбуа Реймона, а самый Гёте.
Он был моей умственной пищей. Рассудочно я мало его понимал,
но определенно чувствовал - это и есть то самое, что сродно мне.
А то, к чему я стремился, - было гётевским первоявлением, но, ве-
роятно, в еще более онтологической плотности, по Платону. Это
был URPHAENOMENON. Пора сказать об этом и облегчить
душу» [1, с. 158-159]. А незадолго до смерти, в письме из лагеря
сыну Кириллу от 21 февраля 1937 г. разъясняя «внутреннюю
суть» своих работ, он написал следующее: «Я работаю всегда в
частных случаях, но усматривая в них проявление, конкретное яв-
ление всеобщего, т.е. рассматривая пл атоно-аристотелевский el6os
(Urphanomen, Гёте)» [2, т.4, с.672]. Перед нами очень важные
признания. Как видим, даже Платона платоник Флоренский во
многом прочитывает через призму гётевского понимания природы.
Прививка гётевского метода более ранняя и основополагающая для
Флоренского, чем знакомство с текстами Платона и увлечение его
философией. Впрочем, и сам Гёте восхищался Платоном, предла-
гая все время ставить вопрос: «как отнесся бы Платон к природе,
как она представляется нам теперь»? [12, с.331], хотя ближе ему
все-таки был Аристотель, «который стоит перед миром как дея-
тель, как зодчий» [12, с.150].
В. А. Шапошников
253
Основополагающие интуиции гётевского подхода к природе,
такие как единство науки, поэзии, религии и философии (единство
в человеке!); созерцание природы, которое является одновременно
и умным и чувственным («опыт более высокого рода» [12, с. 107]),
и открывает единство явления и идеи в «Urpflanze» (перворасте-
нии), «Urtier» (первоживотном) и «Urphanomen» (первоявлении,
протофеномене); присутствие целого в каждой своей части, но в
некоторых особенно явно («Что такое общее? Единичный слу-
чай» [12, с.325; 2, т.4, с.672], «один случай стоит часто тысячи и
всю эту тысячу в себе заключает» [12, с. 156]); борьба против абс-
тракций во имя конкретности в познании и жизни, - стали осно-
вою мысли и для Флоренского. Так о. Павел писал 23 ноября 1933
г. сыну Василию из лагеря: «При изучении природы главное дело
иметь непосредственные впечатления, которые, если наблюдать
непредвзято и непредубежденно, постепенно сами складываются в
общую картину; а из общей картины возникает интуиция типов
строения природы, она-то и дает основания для углубленных вы-
водов. Без этой интуиции выводы всегда остаются лишь условны-
ми схемами, которые могут быть направлены в произвольные сто-
роны и потому условны и даже вредны мешают наблюдать и
подмечать действительно важное. <...> Гёте обладал этою способ-
ностью видеть тип наблюдаемого, в исключительной степени; у
Гёте надо учиться познанию природы» [2, т.4, с.44].
Образ ткани, основополагающий для мысли Флоренского, пе-
рекликается с «живой одеждой Божества» (der Gottheit lebendiges
Kleid), той «переменчивой тканью» (ein wechselnd Weben), тканье
которой в стремительном беге времени (дословно - «на жужжащем
ткацком станке времени» am sausenden Webstuhl der Zeit) есть
главная автохарактеристика духа Земли (Geist der Erde), вызван-
ного Фаустом в самом начале первой части трагедии (см. обраще-
ние самого Флоренского к этому месту [2, т.3(1), с.124-125]).
Даже сравнение с акустическими фигурами проведено у Флоренс-
кого вполне в духе Гёте, который не только был знаком с Эрнстом
Хладни и высоко ценил его и его труды, но и проводил сравнение
других явлений со звуковыми фигурами [12, с.239-240].
В связи со сказанным весьма интересен вопрос о том, как от-
ношение Флоренского к математике соотносилось с гётевским?
Дело в том, что Гёте плохо разбирался в математике и относился к
ней со смешанным чувством восхищения и боязни: математика
орудие сильное и потому весьма опасное! Не желая считаться
«врагом математики вообще», он, тем не менее, отчетливо выска-
зывался против неограниченных прав математики в познании при-
роды, фактически видя ее «собственный великий духовный путь»
как чистую, а не прикладную математику [12, с.287, 289].
254
СТАТЬИ РАЗЛИЧНОГО СОДЕРЖАНИЯ
Попытка Мартина Дайка [13] смягчить впечатление от много-
численных антиматематических высказываний Гёте и убедить нас в
том, что тот не был противником приложений математики, сама по
себе мало убедительна, однако, она отчетливо показывает возмож-
ность согласования математики с естествознанием в духе Гёте при
ином, чем гётевское, понимании самой математики. Именно по
этому пути и пошел о. Павел Флоренский! Основные интуиции
гётевского подхода находят свое продолжение не только в конкрет-
ной метафизике, но и в конкретной математике Флоренского. Не
случайно по его следам и В.П.Зубов [14, с.9] убежден в согласии
новой математики с подходом Гёте: центр всех натурфилософских
построений Гёте, - его понимание Типа и Протофеномена, - «свя-
зан с важнейшими вопросами математики», например с теорией
множеств Кантора [14, с.90].
Для Флоренского, вслед за Гёте, очень важно утвердить отсут-
ствие отрыва идеи от вещи: идея, дух, мыслятся и переживаются
как пространственно организованные и воплощенные в материи.
Подлинная реальность - это не невещественный дух и не бездухов-
ная вещь, а единство того и другого - символ [1, с. 153-159]. Так и
математические объекты понимаются не как абстрактные (отделен-
ные), но как конкретные (воплощенные). Подлинная встреча с ма-
тематическими формами происходит при погружении в жизнь при-
роды и культуры, но воспринимаемую как реальность символичес-
кая, т.е. пронизанная смыслом, являющая внутреннюю гармонию.
Над особенностями воплощения формы о. Павел Флоренский
много размышляет в последних своих текстах - письмах из Соло-
вецкого лагеря к своим детям в 1935-1936 гг. Обратимся к их со-
держанию.
Пространство определяется Флоренским, как мы видели, че-
рез «обособление» и «внеположность», т.е. как различение «вне»
и «внутри». Но «вне» и «внутри» разделяются (как, впрочем, и
соединяются) поверхностью, границей. Форма как «фактор», т.е.
действующее начало («энергия» по Аристотелю), обязательно яв-
ляет себя, но явление - это появление поверхности раздела, грани-
цы разделения и встречи. Следовательно, форма как явленная
«определяется поверхностью» (границей) (Письмо сыну Василию
от 24 мая 1936 г. [2, т.4, с.481]). Еще в «Столпе» Флоренский пи-
сал: «То, что обычно называется <нашим> телом, не более как
онтологическая поверхность', а за нею, по ту сторону этой оболоч-
ки лежит мистическая глубина нашего существа. Ведь и вообще
все то, что мы называем «внешней природой», вся «эмпирическая
действительность», со включением сюда нашего «тела», это - толь-
ко поверхность раздела двух глубин бытия: глубины «Я» и глуби-
В. А. Шапошников
255
ны «не-Я», и потому нельзя сказать, принадлежит ли наше «тело»
к Я или к не-Я» [15, с.265].
Эта связь воплощения формы с прочерчиванием границы явле-
ния имеет, полагает о. Павел, универсальный характер, она обна-
руживается во всех явлениях природы и культуры. Так в письме
дочери Ольге от 5 декабря 1935 г. Флоренский рассуждает об обо-
лочках живых существ: «Все живое, чтобы существовать должно
прежде всего изолировать себя от среды, т.е. окружить пространс-
тво своего тела оболочкой, которая непроницаема для всех сторон-
них воздействий, поскольку они не соответствуют целеустремлен-
ности данного организма. <...> Посмотри: растения и животные,
начиная от человека и кончая насекомыми, и из растений даже
бактерии (может быть не все?) обладают восковою оболоч-
кою-пленкою. <...> Эти оболочки непроницаемы для воды, газов,
электролитов, электрических токов, в значительной мере для теп-
лового обмена: они в широком смысле изоляторы» [2, т.4, с.334].
(Как видим занятия Флоренского диэлектриками в 1920-1930-е
годы имели и философский подтекст!) В письме от 27 апреля - 4
мая 1936 г. к ней же о. Павел рассуждает о том, что трудные сти-
хотворные формы способствуют конденсации, повышению творчес-
кого потенциала, а затем дает следующее обобщенное рассуждение
о роли культурных барьеров'. «Это относится не только к поэти-
ческому творчеству, а ко всей культуре, ибо она в любой области
создает барьеры, изолирующие явление и не позволяющие ему
мелко растекаться и смешиваться в безразличном и безличном
единстве с прочими, вследствие чего возникает индивидуальное и
усиленное раскрытие творческого порыва, если он достаточно мо-
щен, и - устранение, если он не способен достигнуть надлежащего
потенциала. Чтобы вырастить великое надо выполоть кругом все
мелкое, или мелкое заглушит великое, поскольку второй прин-
цип термодинамики (в углубленном толковании) сводится к тому,
что естественно, т.е. вне культуры, вне деятельности разума и жиз-
ни, низшее вытесняет высшее, т.к. низшее всегда более вероятно,
чем высшее. В естественном состоянии менее благородные виды
растений и животных забивают и вытесняют более благородные,
как, равным образом, низшие формы энергии и материи сменяют
более высокие. Лишь установкой культурных барьеров можно бо-
роться против этого разложения в мировом процессе. И эти барье-
ры достигаются трудными формами - везде в технике, в искусстве,
в науке, в быту и т.д.» [2, т.4, с.459-460].
Осуществляя познание, имея дело с явленными формами мы
постоянно остаемся на границе. «Все процессы происходят на по-
верхности, на границе между ВНУТРИ и ВНЕ, - пишет Флоренс-
кий сыну Кириллу 3 апреля 1936 г., - но эта граница гораздо
256
СТАТЬИ РАЗЛИЧНОГО СОДЕРЖАНИЯ
сложнее, чем кажется при невнимательном рассмотрении. Углуб-
ляясь вглубь тела мы тем самым создаем новую поверхность разде-
ла и ее именно, а не внутреннее содержание тела, зондируем и ис-
пытываем» [2, т.4, с.429]. Познание всегда живет на символичес-
кой поверхности, но эта поверхность многослойная («лукови-
ца») (ср. в «Разуме и диалектике», 1914, о диалектике: «Это
как бы луковица, в которой каждая оболочка есть слой живой» [2,
т.2, с. 138]; о символических слоях см. также в «Эмпирее и Эмпи-
рии» [2, т.1, с.177-178]), проникновение «вглубь» вещи не есть
переход от ее «энергии» (явления) к «усии» (сущности), - а к но-
вому «слою», новой поверхности.
Признание реальности и явленности формы требует признания
реальности границы. Реальность же границы - это реальность от-
личия «вне» от «внутри». Отсюда вытекает тезис Флоренского о
реальности пространства-времени. (В соответствии с теорией отно-
сительности Флоренский говорит о единстве пространства и време-
ни. Кроме того, если следовать максимально общему определению
«пространства» у о. Павла, то «время» нужно рассматривать как
частный случай «пространства».) Этот тезис связан для Флоренс-
кого с концепцией геометрической формы как фактора природных
явлений, которая «сплетается с принципом относительности». Он
пишет сыну Кириллу 16-17 января 1936 г.: «Этот вопрос о прост-
ранстве-времени, как факторе, и основном факторе, думается есть
узловой в мировоззрении ближайшего будущего, сюда надо смот-
реть» [2, т.4, с.369]. Геометрическая форма природных явлений
понятая как фактор закономерно порождает интерес к текстуре,
т.е. особенностям микроскопического устройства поверхности ве-
щества или материала, в первую очередь - кривизне ее. (Единство
пространства-времени естественно ведет о. Павла и к утверждению
кривизны времени'. «Ход явлений на поверхностях разной кривиз-
ны различен» [2, т.4, с.429]).
Эти мысли Флоренский развивает в «письме об асимметрии» к
сыну Кириллу от 3 апреля 1936 г. (По поводу «асимметрии у при-
роды» Флоренский писал в письме от 29 февраля - 1 марта 1936
г.: «Это тема величайшей важности, над нею я размышляю вероят-
но уже 44 года и мечтал когда-нибудь реализовать свои мысли и
материалы» [2, т.4, с.400].) Он начинает с вопроса о реальности
пространства-времени как «основного вопроса миропонимания».
Решающим аргументом в пользу этой реальности о. Павел считает
факт существования в природе асимметрии. Главный пример асим-
метрии - зеркально симметричные фигуры (правая и левая перчат-
ки, например). Главный источник для Флоренского здесь Кант.
Именно ему, полагает о. Павел, принадлежит великое открытие
значения асимметрии: невозможность предъявить какой-либо отв-
В. А. Шапошников
257
леченный признак, «который указывал бы, чего не хватает правой
перчатке, чтобы она была левою», заставляет нас признать, что
пространство не понятие, да и вообще не растворимо в нашей
субъективности. Отсюда вывод: реальность пространства может
быть отрицаема лишь вместе с реальностью транссубъективного
мира [2, т.4, с.424-425; 15, с.635-636].
Во временном аспекте асимметрия предстает как необрати-
мость (историчность). Необратимость во времени - это «всеобщий
факт», все природные процессы необратимы. Эта необратимость
проявляется, в частности, во втором принципе термодинамики
принципе диссипации реальности (рассеянии материи-энергии).
Но столь же всеобщий характер имеет и асимметрия в пространст-
ве, зеркально симметричные фигуры не экзотическое исключение:
«симметричных явлений нет, не то, чтобы их случайно не было, а
- не может быть по сути дела. Быть во времени - значит быть не-
обратимым. Быть в пространстве - значит быть асимметричным. А
т.к. всякая реальность - во времени и в пространстве, то она обя-
зательно и непреложно необратима и несимметрична. Быть во вре-
мени-пространстве есть синоним быть необратимым и асиммет-
ричным» [2, т.4, с.426-427].
Реальность пространства-времени это реальность различия
«внутри» и «вне». Для «внутри» и «вне» универсальность асим-
метрии может быть понята как отсутствие взаимной заменимос-
ти «внутри» и «вне» (это подобно невозможности надеть правую
перчатку на левую руку). На пространственном языке реальность
названного различия можно высказать так: поверхность раздела
«внутри» и «вне» имеет кривизну отличную от нуля. Флоренский
выражает эту мысль словами, что «внутри» и «вне» - «полагаются
асимметрией», а «определенность содержания» («внутри» и
«вне») - «ведет к утверждению кривизны пространства-времени»
[2, т.4, с.428].
В случае плоскости, как показывает Флоренский в «Мнимос-
тях в геометрии», наличие асимметричных фигур приводит к необ-
ходимости различать «внешнюю» (действительную) и «внутрен-
нюю» (мнимую) стороны плоскости, но для плоскости - такое раз-
личие условно (нам все равно какую из сторон плоскости принять
за «внешнюю», а какую - за «внутреннюю»). В случае кривой по-
верхности в трехмерном пространстве - различие двух сторон ре-
альное.
Чтобы заменить один из пары зеркально симметричных треу-
гольников другим нужно выйти из плоскости в трехмерное прост-
ранство, где треугольник можно перевернуть, чтобы положить его
на плоскость уже другой стороной. В трехмерном случае, ограни-
ченное кривой поверхностью трехмерное тело может быть заменено
258
СТАТЬИ РАЗЛИЧНОГО СОДЕРЖАНИЯ
своим зеркальным двойником только выворачиванием тела в четы-
рехмерном пространстве.
«Внешнее для одной поверхности есть внутреннее для другой,
и наоборот. Такой выверт тела в физических условиях существова-
ния невозможен, по крайней мере покуда речь идет об евклидовом
пространстве. Невозможность его опирается на принцип рассеяния
материи-энергии. Ведь если рассеяние материи-энергии говорит о
деконцентрации, т.е. о выходе из внутреннего во внешнее, то изме-
нение смысла нормалей, превращающее внутреннее во внешнее и
внешнее во внутреннее, означало бы процесс концентрации, стека-
ния материи-энергии в определенные места, т.е. указывало бы на
обращенность мирового процесса, на историю навыворот. Т.о.
принцип деконцентрации необходимо влечет за собою и принцип
асимметрии, как, равно, и обратно. Это принципы эквивалентные
и составляющие вместе основное начало единой мировой среды
пространства-времени» [2, т.4, с.427-428].
Таким образом, признание принципа диссипации неотрывно от
признания принципа асимметрии, но последний неотделим от приз-
нания кривизны пространства-времени, а следовательно его неевк-
лидовости. Тем самым снимается невозможность наряду с диссипа-
цией и процессов концентрации материи-энергии.
Диссипация, деконцентрация материи-энергии (энтропийный
процесс) есть выход из внутреннего во внешнее. Что такое «вывер-
нутый», обращенный процесс? Это процесс «эктропийный» (в
противоположность «энтропийному»). А оборотная сторона мате-
риального мира - это духовная реальность.
В «Автореферате» о. Павел так писал об этом: «Основным за-
коном мира Ф. считает второй принцип термодинамики - закон эн-
тропии, взятый расширительно, как закон Хаоса во всех областях
мироздания. Миру противостоит Логос начало эктропии. Куль-
тура есть сознательная борьба с мировым уравнением: культура
состоит в изоляции, как задержке уравнительного процесса вселен-
ной, и в повышении разности потенциалов во всех областях, как
условии жизни, в противоположность равенству - смерти». Далее
следуют слова о том, что культура строится вокруг «некоторого
предмета веры». «Вера определяет культ, а культ - миропонима-
ние, из которого далее следует культура» [2, т.1, с.39].
Логос как начало эктропии, особенно в свете сказанного далее
о религиозной вере как центре культуры, однозначно прочитывает-
ся в этом тексте, написанном в середине 20-х годов и рассчитанном
на опубликование, как указание на Христа в соответствии с первой
главой евангелия от Иоанна. Отсюда можно заключить, что, сог-
ласно Флоренскому, эктропийные процессы связаны с действием
Духа в природе и культуре.
В. А. Шапошников
259
О подлинной действенности духа в противостоянии энтропии,
смешению и хаотизации Флоренский писал В.Вернадскому 21 сен-
тября 1929 г. Он полагает, что необходимо выделять в рамках би-
осферы - пневматосферу, «особую часть вещества, вовлеченного в
круговорот культуры или, точнее, круговорот духа», - поскольку
«есть много данных, правда еще недостаточно оформленных, наме-
кающих на особую стойкость вещественных образований, прорабо-
танных духом, например предметов искусства» [16, с. 198].
Форма проявляет себя на поверхности, в характере кривизны
этой поверхности. Поэтому: «кривизна поверхности есть физичес-
кий фактор явлений». «Выражусь как будто сравнением, про-
должает в том же письме об асимметрии о. Павел, - но на самом
деле по существу: существует потенциал формы, ибо форма созда-
ет силовое поле, определяющее ход явлений. Форма есть фактор,
кривизна формы-поверхности есть потенциал поля этого фактора
там, где он достигает наибольшего значения. Отсюда вытекает не-
обходимость изучения структур природных и искусственных обра-
зований, как определяющих характер и ход явлений. Последние
обусловлены всецело взаимодействием морфологических полей»
[2, т.4, с.429].
Как видим о. Павел достаточно активно усваивает и эффектив-
но использует язык современной ему математической физики (тео-
рия относительности, теория поля) для того, чтобы говорить о воп-
лощении форм в природе и культуре.
Характерную особенность мышления Павла Флоренского, име-
ющего явную устремленность к конкретности и идее воплощенной
в материи, тонко почувствовал еще в начале творческого пути сына
его отец Александр Иванович Флоренский (1850-1908) (См. о
нем [17, с. 14-24]). Он пишет: «по моему мнению оригинального
математика из тебя не выйдет. Ты можешь быть и профессором, но
это еще не создает оригинальной личности, т.е. созидающей, тол-
кающей вперед знание. Физик же из тебя будет выходящий из
ряда ординарностей» (письмо сыну от 26 октября 1901 г.). «Мне и
кажется, - продолжает отец в следующем письме, - что твое нас-
тоящее предпочтение к математическим выводам истекает, или ско-
рее имеет свою исходную точку - в твоем личном разочаровании в
экспериментальных занятиях, в незначительности результатов по
сравнению с положенным трудом. Но это еще не доказывает, что
математический путь даст больше, так как это зависит не только от
силы самого употребляемого орудия, но и от характера способнос-
тей самого человека, применяющего орудие. Из наблюдения над
твоим детством я безусловно не могу считать тебя математиком риг
sang. Кто-то из английских ученых ясно выразил это, высказавши,
что он не понимает и не может понять математического вывода,
260
СТАТЬИ РАЗЛИЧНОГО СОДЕРЖАНИЯ
пока не представит его себе в виде некоторой реальности. В таком
же положении мне кажется находишься и ты. Твой умственный
склад мне кажется допускает скорее переход от реального факта к
математическому обобщению, чем обратно» (письмо сыну от 1 де-
кабря 1901 г.). Сходная мысль снова звучит в письме от 21 февра-
ля 1903 г.: «...твое увлечение одной математикой не особенно мне
желательно. Дело в том, что нанизывание один на другой матема-
тических выводов может быть опасно. Тут-то и важны реальные
факты, которые дают почву для суждений и выводов. Строить изо-
лированное научное здание мне кажется безусловно в наше время
нерациональным, особенно при твоей постановке всех вопросов на
философскую почву, которая именно требует обобщений из всего
имеющегося материала, а не части его». Сам о. Павел писал сыну
Кириллу из лагеря 21 февраля 1937 г.: «Мой отец говорил мне о
моей несклонности к отвлеченному мышлению и о несклонности к
частному исследованию, как таковому: «твоя сила там, где конк-
ретное сочетается с общим». Это верно» [2, т.4, с.672].
Если в университетские годы Павел Флоренский стремился
идти скорее от чистой математики к натурфилософии и целостному
миросозерцанию, что вызывало предостережения со стороны отца,
то в зрелые годы он особо внимателен именно к обратной связи, по
сути признав справедливость слов отца.
В «Автореферате» о. Павел пишет о себе: «Ф. видит в матема-
тике необходимую и первую предпосылку мировоззрения, но в са-
модовлеемости математики находит причину ее культурного бесп-
лодия: направляющие импульсы математике необходимо получать,
с одной стороны, от общего миропонимания, а с другой от
опытного изучения мира и техники» [2, т.1, с.41].
С 1919 г. о. Павел «устанавливает более тесную связь с техни-
кой» [2, т.1, с.42] и активно работает в области электротехники,
где предметом его интересов являются «электрические поля и их
материальные среды», электротехническое материаловедение. В
последнем он видит научную дисциплину нового типа [18]. При
этом: «Учение о полях, расширительно, связывается с задачами ге-
ометрии, натурфилософии и эстетики, а материаловедение - с гис-
тологией материалов, как областью применения учений о множест-
вах и теории функций» [2, т.1, с.41].
Множество, оплотняясь, становится пространственной структу-
рой, а та, в свою очередь, - фактурой вещества. Именно в «вопро-
сах структуры и текстуры» материалов и веществ Флоренский ви-
дит ключ к проникновению вглубь тайн природы. Причем здесь
важно как «чувствовать строение», так и знать «числовые характе-
ристики» (Письмо сыну Кириллу от 22 марта 1934 г. [2, т.4, с.98]).
В. А. Шапошников
261
Конкретный опыт во всем его богатстве и многообразии как
подлинный источник и постоянная поддержка математики - излюб-
ленная тема позднего Флоренского. Именно вокруг этой темы пост-
роен курс лекций по методике геометрии 1919-1920 учебного года.
О. Павел ратует в нем за «более жизненное» преподавание матема-
тики вообще и геометрии в частности, которое должно «опираться
на многочисленные, уже знакомые, из бесчисленных опытов умс-
твенных и внешних усвоенные связи между отдельными представле-
ниями», «опираться на тысячи и сотни тысяч полу-сознаваемых, на
одну четверть сознаваемых, на одну восьмую сознаваемых и т.д. и
т.д. представлений из области других наук и даже вообще жизнен-
ного опыта». «Но не только служить точками опоры геометрии дол-
жно все, по возможности, содержание нашей психики, - говорит о.
Павел, - но и самая геометрия должна, в свой черед, быть источни-
ком обогащения и жизнедеятельности других научных дисциплин,
математических сперва, затем не математических и наконец всех, по
возможности, сфер жизни. Жизненность в постановке преподава-
ния геометрии (и математики вообще) означает именно эту связан-
ность математики с жизнью - как базисом, так и полем применения.
Образно можно представить себе математику как узел куда сходят-
ся и откуда исходят многочисленные нити других областей знания и
вообще жизненного опыта» [19, с.15-17].
Хотя о. Павел и не забывает обоюдность отношения между ма-
тематикой и ее природным и культурным окружением, но как в
университетские годы он был склонен подчеркивать ход мысли от
математики к мировоззренческим выводам, так в эти годы он скло-
нен подчеркивать именно дополняющий ход от этого окружения к
математике, не отказываясь при этом, конечно, и от первого.
Показательны в этом отношении последние работы Флоренс-
кого. Это статьи 1932 г. «Физика на службе математики» [20] и
«Измерение формы» [21], первая из них была опубликована в
журнале СОРЕНА, вторая - должна была выйти в том же журна-
ле, но так и не вышла, в архиве семьи сохранилась ее машинопись
(ср. письмо от 13-17 ноября 1933 г. сыну Кириллу [2, т.4, с.40]).
В первой из работ он рассуждает об «уходящих вглубь опыта
корнях математики» и предлагает конструкцию ряда физических
приборов для решения уравнений и интегрирования функций.
Флоренский призывает: «Пусть разнообразные физические факто-
ры лягут в основу построения математических приборов, пусть от-
кровенно и свободным жестом математика возьмет от техники, от
физики, от естествознания то, что она вправе брать и что частично
она всегда брала оттуда, но украдкой. В математику должны быть
введены физические модели, физические, и может быть, химичес-
кие приборы, биологические и психологические пособия. Разве ни-
262
СТАТЬИ РАЗЛИЧНОГО СОДЕРЖАНИЯ
чего не говорят уму сосуды и годовые слои древесных стволов,
представляющие систему силовых и изопотенциальных линий или
поверхностей? Разве ничего не говорят бесчисленные животные и
растительные организмы, являющие собою формы равновесия и в
своем строении запечатлевшие разнообразнейшие типы порядка, а
в некоторых случаях - сами похожие на проекции» [20, с.46-47].
Интересно сравнить приведенную цитату с симметричным тек-
стом университетских лет (1902): «Формула не может и не должна
оставаться формулой только. Она есть формула чего-нибудь, и чем
богаче те ассоциации, которые у нас соединяются с формулой, чем
многостороннее ее реальное содержание, тем мы лучше ее понима-
ем и тем стройнее объединяются ассоциированные конкретные яв-
ления в жизненный организм идей - мировоззрение. В настоящее
время говорят о том, что наука, а в особенности математика, не
имеет жизненного значения. Понятное дело, не может она его
иметь, если мы станем заниматься коллекционированием скелетов.
Пусть это поле костей покроется тем, что дает им возможность зад-
вигаться и действовать, пусть формулы не будут формулами в воз-
можности, а станут формулами в действительности, формулами че-
го-нибудь, пусть они перестанут быть пустым единством без мно-
жества, которое они должны объединять, и тогда посмотрим, есть
ли математика «сухая наука», «кабинетная мудрость»» [22,
с.471-472].
Да, для Павла Флоренского математика никогда не была «су-
хой» и «кабинетной». Однако, если в 1902 г. он говорит о напол-
нении чистых математических форм конкретным содержанием,
позволяющим им до конца воплотиться и стать подлинными орга-
низмами, то в 1932 г. - об открытии в многообразии конкретных
организмов и явлений чистых математических форм. Это взаимно
дополняющие ходы мысли - путь «долу» и путь «горе».
Статья «Измерение формы» имеет подзаголовок «К вопросу о
стандартизации песка» и посвящена конкретным вопросам физики
почвы, но эта работа преследует и другую, далеко идущую, цель:
«указать общие основания количественной оценки формы, т.е. на-
метить путь к морфометрии новой геометрической дисциплине,
занимающейся измерением формы» [21, с.1]. Мысль о разработке
такой математической дисциплины, которая отвечала бы реальным
запросам науки о материалах, была дорога о. Павлу. Неслучайно
он интересуется судьбой этой статьи, которая так и не вышла, ви-
димо, в связи с его арестом, и возвращается к разработке морфо-
метрии в лагере, о чем свидетельствуют письма сыну Василию от
21-22 апреля и 20-21 сентября 1936 г., а также от 3-4 апреля и 19
июня 1937 г. [2, т.4, с.448-450, 548-551, 708-710, 713-714].
В. А. Шапошников
263
Изучение живых множеств и чисел-структур представляют со-
бой и последние, лагерные, сферы деятельности Флоренского
исследование льда в зоне вечной мерзлоты на Дальнем Востоке и
водорослей на Соловках. Тексты писем и многочисленные рисунки
свидетельствуют о том, с каким глубоким вниманием и любовью о.
Павел всматривался и вдумывался в структуры ледяных образова-
ний и строение различных типов растений.
Во время работы на Дальнем Востоке в 1933-1934 гг. о. Павел
заворожен богатством и красотой формаций льда, мечтает дать ис-
черпывающую их классификацию, занят математическим описани-
ем механических и электрических свойств льда и мерзлых грунтов,
говорит о важности изучения мерзлоты «для общего миропонима-
ния» [2, т.4, с.47, 98, 106, 108, 123].
После перемещения на Соловки, в 1934-1937 гг., работает в
водорослевой промышленности. Флоренского привлекает «тонкое
строение» растений, особенно с детства им любимы «растения низ-
шие - водоросли, мхи, грибы, папоротники» [2, т.4, с.217].
«Для меня лично, - писал он дочери Ольге 5 дек. 1935 г. с
Соловков, даже в физико-математических науках, наиболее да-
леких от ботаники, мой ничтожный опыт в ботанике всегда был
важным подспорьем и стимулом. Строение растительных тканей
дает бесчисленные темы для размышления и подражания» [2, т.4,
с.334]. При этом растения воспринимаются Флоренским как пол-
ноценные живые существа: «С детства я страстно любил растения,
- пишет он жене 22 ноября 1935 г., - разговаривал с ними и жил
как с самыми близкими друзьями» [2, т.4, с.320]. (Ср. свидетельс-
тво А.В.Ельчанинова: «Павел любил растения с детства с какой-то
усиленной нежностью, жалостью и пониманием. Он говорит, что
любит их за кротость, за их непосредственную близость с землей»
(Запись в дневнике от 5 февраля 1910 г. [23, с.41])). Растения
сближаются с животными, сравниваются, а порой и противопостав-
ляются у него людям [2, т.4, с.311, 418, 717].
Свойственный Флоренскому способ видеть и мыслить растение
(да и не только растение) хорошо виден из того, как в письме с
Соловков от 21 августа 1935 г. он учит своего младшего сына Ми-
хаила рисовать цветок: «Прежде, чем начать рисовать, надо всмот-
реться и вдуматься в изображаемое, т.е. понять соотношение его
линий и поверхностей, а не механически копировать то, что ви-
дишь. Например, рисуешь цветок: ты должен его не срисовать, а
заново сотворить на бумаге. Для этого сообрази, какими основны-
ми линиями определяется его строение и сперва построй эти леса,
этот каркас. Например, установи, что форма вписана в круг или
квадрат. Помнишь, я объяснял тебе, как построен цветок рододен-
дрона? Затем сообрази, каковы оси симметрии данной формы и
264
СТАТЬИ РАЗЛИЧНОГО СОДЕРЖАНИЯ
так постепенно подходи к подробностям. Если же будешь идти не
от общего, а от частностей, то в них запутаешься, и общее будет
искажено. Общее это то, что ты воспринимаешь прежде всего»
[2, т.4, с.283-284]. Обратим внимание на слова «заново сотво-
рить», за которыми скрывается параллель действий рисовальщика
и Творца мира. Сначала наша мысль восходит от живого цветка,
во всей полноте его конкретности, к математической основе Божес-
твенного замысла - первичным геометрическим формам и скрыва-
ющимся за ними числовым соотношениям. Затем, руководствуясь
этими принципами гармонии целого, мысль постепенно нисходит
от общего к частному, обнаруживая специфику их действия на
каждом уровне детализации. В результате мы видим как исходная
форма-идея постепенно воплощается, целостный организм порож-
дает, развертывает все многообразие своих органов [2, т.4, с.312].
Тогда рисунок получается разумным, являет собой не только пол-
ноту конкретности, но и полноту смысла (ср. также [2, т.4, с.90,
215-216]).
«Математика, писал Флоренский дочери Ольге с Дальнего
Востока 12 ноября 1933 г., должна быть в уме не грузом, извне
внесенным, а привычкою мысли: надо научиться видеть геометри-
ческие соотношения во всей действительности и усматривать форму-
лы во всех явлениях» [2, т.4, с.39]. Сам он обладал такой способ-
ностью и стремился осуществить высказанное требование во всей
его полноте.
В лагерных трудах Флоренского над мерзлотой и водорослями
все оказалось соединено вместе - плоть мира в ее полноте и конк-
ретности радующая своей красотою, ее фактура раскрывающая
удивительное богатство цветов и форм, геометрическая правиль-
ность и строгость линий и фигур уводящая в царство математики,
прикосновение к бесчисленным нитям и струнам всеобщей взаимос-
вязи, и, наконец, восхождение по лестнице символов от твари к
Творцу.
Подводя итог нашему рассмотрению, можно сказать, что о.
Павел Флоренский, с опорой на методологию Гёте, стремится вер-
нуться к тому пониманию математики, которое было у Платона,
когда само различение чистой и прикладной математики становит-
ся нерелевантным [3]. Истинное место существования математики
для Флоренского это момент встречи и взаимопроникновения
«горнего» и «дольнего», когда они сплавляются воедино в симво-
лической реальности природы и культуры. Конкретная математика
Флоренского не может быть названа ни чистой, ни прикладной,
являясь, в некотором смысле, и тем и другим сразу.
В. А. Шапошников
265
Список литературы
1. Свящ. Павел Флоренский. Детям моим. М., 1992.
2. Свящ. Павел Флоренский. Соч. в 4-х томах. М. 1994-1999.
3. Шапошников В.А. Признавал ли Платон прикладную математику? // Ломоно-
совские чтения: Материалы научной конференции кафедры философии естествен-
ных факультетов философского факультета МГУ имени М.В.Ломоносова. 23 ап-
реля 2009 г. Философия, наука, образование (К 55-летию кафедры философии ес-
тественных факультетов) / Под ред. О.Д.Волкогоновой, В.А.Шапошникова. М.
2009. С. 172-197
4. Флоренский П.А. К вопросу о функциях, постоянных внутри данного контура
(1902). Рукопись (архив семьи Флоренских).
5. Флоренский П.А. О расширении области конкретных образов аналитической гео-
метрии на плоскости (Новая интерпретация мнимых величин). 1902. Рукопись
(архив семьи Флоренских).
6. Флоренский П.А. Заметки по теории сетей (Опыт изучения главы из геометрии по-
ложения). 1902. Рукопись (архив семьи Флоренских).
7 Флоренский П.А. Приведение чисел // Богословский вестник. 1916. Т.2. №6.
С.292-321.
8. Шапошников В.А. Категория числа в конкретной метафизике Павла Флоренского
// Число / Отв. ред. А.Н.Кричевец. М., 2009. С.341-367
9. Шапошников В. А. Математическая апологетика Павла Флоренского //На пути
к синтетическому единству европейской культуры. Философско-богословское на-
следие П.А.Флоренского и современность / Под ред. В.Н.Поруса. М. 2006.
С.164-180.
10. Свящ. Павел Флоренский. Собр. соч. Статьи и исследования по истории и филосо-
фии искусства и археологии. М. 2000.
Флоренский П.А. Мнимости в геометрии. Расширение области двухмерных обра-
зов геометрии. (Опыт нового истолкования мнимостей). М., 1922.
12. Гёте И.В. Избранные философские произведения. М. 1964.
13. Dyck М. Goethe’s Thought in the Light of His Pronouncements on Applied and
Misapplied Mathematics // PMLA (Publications of the Modern Language Asso-
ciation of America). 1958. Vol.73. No.5. Part 1. P.505-515.
14. Зубов В.П. Натурфилософские взгляды Гёте (1922) // В.П.Зубов. Избранные
труды по истории философии и эстетики. 1917-1930 / Сост. М.В.Зубова. М.
2004. С.85-106.
15. Свящ. Павел Флоренский. Столп и утверждение Истины. Опыт православной тео-
дицеи в двенадцати письмах. М., 1914.
16. Переписка В.И.Вернадского и П.А.Флоренского // Новый мир. М., 1989. №2.
С. 194-203.
17 Оноприенко В.И. Флоренские. М., 2000.
18. Флоренский П.А. Электротехническое материаловедение (конспект четырех лек-
ций сотрудникам ВЭИ) 1931-1932 // Памятники науки и техники 1987-1988.
М. 1989. С.241-272.
19. Флоренский П.А. Заметки к лекциям по методике геометрии (1919). Рукопись (ар-
хив семьи Флоренских).
20. Флоренский П.А. Физика на службе математики // Социалистическая реконст-
рукция и наука. 1932. Вып.4. С.43-63.
21. Флоренский П.А., Хан Я.Я. Измерение формы (К вопросу о стандартизации пес-
ка). 1932. Машинопись (архив семьи Флоренских).
22. Флоренский П.А. Черновик выступления на открытии студенческого математичес-
кого кружка при Московском математическом обществе (1902) // Историко-ма-
тематические исследования. Вып.32-33. М., 1990. С.467-473.
23. Ельчанинов А.В. Из встреч с П.А.Флоренским (1909-1910) // Флоренский: pro
et contra / Изд. подготовил К.Г.Исупов. СПб., 1996. С.33-42.
266
СТАТЬИ РАЗЛИЧНОГО СОДЕРЖАНИЯ
ОДИССЕЯ ОДНОЙ ДИНАСТИИ. ТРИПТИХ
Е. М. Беркович
Часть первая. Отец: «дорогой Нетер»
Еврейская фамилия. В истории математики известно не так
много семей, подаривших науке сразу несколько своих представи-
телей, и среди них настоящих звезд первой величины. Наряду с
семейством Бернулли можно уверенно назвать фамилию Нётер.
Здесь уместно вспомнить, что само понятие «фамилия» в сов-
ременном смысле слова появилось у евреев сравнительно недавно,
например, в Германии всего два века назад. Процедура наделе-
ния евреев фамильными именами происходила в многочисленных
немецких княжествах и королевствах не одновременно. Раньше
других фамилии получили жители Великого герцогства Баден,
граничившего со свободолюбивой Францией. Это небольшое не-
мецкое государство, возникшее в 1806 г. в результате побед Напо-
леона, отличалось весьма прогрессивным для того времени законо-
дательством. В частности, именно там были сделаны первые в Гер-
мании шаги процесса еврейской эмансипации, т.е. наделения евре-
ев политическими правами, которыми обладало остальное населе-
ние страны. Процесс установления политического равноправия
оказался долгим и длился почти целый век. Формально евреи Гер-
мании получили все права немецких граждан только после объеди-
нения Германии в 1871 г.
Уже первый конституционный эдикт Бадена, появившийся в
начале 1807 г. рассматривал иудаизм в качестве допустимой рели-
гии на территории Великого герцогства. Шестой конституционный
эдикт, обнародованный в 1808 г. признавал за евреями определен-
ные гражданские права. А девятый эдикт, известный в истории как
«Эдикт о евреях» («Judenedikt»), опубликованный 13 января
1809 г., предписывал всем евреям получить фамилии, чтобы иметь
документы по той же форме, как и у остальных подданных Вели-
кого герцогства.
Процедура выдачи евреям новых удостоверений личности про-
ходила в полицейских участках, причем чиновникам предписыва-
лось при выдаче фамилий избегать сходства с известными немец-
кими именами. Фамилию «Нётер» (в немецком написании
«Mother», впоследствии преобразованном в «Noether») получил в
1809 г. Элиас Самуэль (Elias Samuel, 1774-1846), живший с же-
ной и девятью детьми в небольшом городке Брухзаль (Bruchsal),
лежащем в двадцати километрах к северу от столицы Великого
герцогства - города Карлсруэ.
Элиас переехал туда в конце девяностых годов восемнадцатого
века из своего родного городка Бюль (Buhl), расположенного на
Е.М. Беркович 267
севере Шварцвальда, десятью километрами юго-западнее Ба-
ден-Бадена. Причина переезда была проста: на новом месте зако-
нодательство в отношении евреев содержало меньше запретов и ог-
раничений. Возможно, это было связано с тем, что Брухзаль слу-
жил в то время резиденцией княжеского епископа. Кстати, в этом
городе с 1803 г. жила овдовевшая княгиня Амалия Фридерика фон
Гессен-Дармштадт (Amalie Friederike von Hessen-Darmstadt,
1754-1832). Её в шутку называли «тещей Европы», так как все её
шесть дочерей были замужем за представителями различных коро-
левских фамилий. Одна из дочерей Амалии - Луиза - стала в 14
лет женой будущего российского императора Александра Первого
и получила новое имя Елизавета Алексеевна.
В желании попасть в Брухзаль Элиас Самуэль был не одинок,
из-за более мягкого законодательства туда стремилось множество
евреев из разных уголков юга Германии, так что еврейская община
города стала одной из крупных в земле Баден. Например, в 1875 г.
она насчитывала 609 членов, т.е. 5,6% всего населения города1.
Путь в науку. Но вернемся к Элиасу Самуэлю, ставшему ос-
нователем большой и славной фамилии Нётер. Само это слово
было выбрано по сходству с фамилией отца Элиаса Неттер
(Netter). Вероятно, «Нёттер» - это измененное еврейское имя
«Натан». Не случайно фамилия Нёттер широко распространена не
только в западной части земли Баден, но и в окрестностях лежа-
щего всего в 50 километрах от Бюля французского города Страс-
бург. Младший брат Элиаса Самуэля - Рафаэль - переселился из
Бюля, в котором родился, в город Гернсбах (Gernsbach), лежащий
в 10 километрах на восток от Баден-Бадена, и тоже взял себе фа-
милию Нётер (Nother). Остальные же четыре брата Херц,
Вольф, Яков и Исаак - остались вместе с отцом в Бюле и сохра-
нили фамилию Нёттер, которая существовала и до «еврейского
эдикта»2.
Получая немецкую фамилию, Элиас Самуэль решил «подпра-
вить» также еврейские имена своих детей. Так его сын Херц (Hertz)
стал в дальнейшем именоваться Германом. Герман Нётер (его фами-
лия еще писалась как Nother) в восемнадцать лет ушел из дома,
чтобы изучать Талмуд в знаменитой школе имени Лемле-Мозеса
при синагоге в Майнхайме. Неизвестно, с ведома ли родителей
ушел сын из дома или покинул его самовольно, но его учеба про-
должалась недолго. Необходимость зарабатывать деньги оказалась
сильнее тяги к теологии - в 1837 г. Герман присоединился к стар-
шему брату и целиком посвятил себя оптовой торговле.
Появление ученых мирового уровня среди потомков некогда
бедной и бесправной еврейской семьи обычно проходило в Герма-
268
СТАТЬИ РАЗЛИЧНОГО СОДЕРЖАНИЯ
нии, как и в других странах Европы, по такой схеме. После обре-
тения гражданских прав кто-то из семьи добивался значительного
финансового успеха, становился достаточно обеспеченным челове-
ком, чтобы дать своим детям первоклассное образование. И уже
наследники богача посвящали себя целиком науке или искусству и
добивались мирового признания.
Так стал известным математиком профессор Прингсхайм из
Мюнхена, чей отец Рудольф начинал простым экспедитором гуже-
вого транспорта (на одесском жаргоне «биндюжником»), обслужи-
вающим рудники и шахты Силезии, а превратился в конце жизни
в одного из самых богатых жителя Берлина3. Примерно так же
сложилось и в семье Элиаса Самуэля Нётера. Его сыновья доби-
лись больших успехов в оптовой торговле металлическими издели-
ями. Фирма «Йозеф Нётер и Ко.», созданная Йозефом и Герма-
ном Нётер в городе Маннхайм (Mannheim) в 1837 г. выросла в
одну из крупнейших в Германии с филиалами в Дюссельдорфе и
Берлине. В год, когда фирме исполнилось ровно сто лет, её сущес-
твование закончилось: в 1937 г. вместе с множеством других ком-
паний, основанных евреями, нацисты насильно передали её в
«арийские руки».
Итак, уже среди первых представителей фамилии Нётер, вы-
росших в «век эмансипации», появились такие успешные предпри-
ниматели и коммерсанты, как Герман. А уже его дети и внуки до-
бились выдающихся успехов в науке. Минимум трое стали извест-
ными математиками и трое - химиками.
Описанная схема появления ученых в еврейских семьях не
должна вводить читателя в грех упрощения. Проблема эта далеко
не простая, и не случайно над ней размышляют серьезные социо-
логи и историки4. Богатых людей в Германии всегда было немало,
но далеко не из каждой обеспеченной семьи выходили ученые. Ко-
нечно, и не все дети из разбогатевших еврейских семей станови-
лись учеными. Однако непропорционально высокий процент про-
фессоров-евреев (среди математиков, например, в 1900 г. их было
20%, а в 1930 г. - 29%) или евреев нобелевских лауреатов (в
2004 г. 26% всех лауреатов - евреи) невозможно объяснить прос-
той случайностью. Здесь играют роль множество факторов, не пос-
леднее место среди них занимает еврейская традиция воспитания и
обучения детей, но дело далеко не в ней одной. Я надеюсь специ-
ально вернуться к этой проблеме, чтобы обсудить её более подроб-
но. А сейчас обратимся к героям наших заметок, носящим сравни-
тельно редкую фамилию Нётер.
Математическая традиция в этой семье началась с Макса
Нётера, сына Германа и его жены Амалии Вюрцбургер (Amalia
Wurzburger) из Майнхайма. Макс родился 24 сентября 1844 г.
Е.М. Беркович
269
третьим ребенком в семье. Всего же у Германа и Амалии Нётер
было пятеро детей. Развитие и образование Макса осложнила тя-
желая болезнь в четырнадцать лет он заболел детским парали-
чом (полиомиелитом) и долгое время вообще не мог самостоятель-
но передвигаться, о посещении гимназии можно было забыть.
Только через два года напряженного лечения и изнурительных
тренировок он начал понемногу ходить, хромая на одну ногу.
Трудности с ходьбой остались у него на всю жизнь.
Несмотря на болезнь, родители обеспечили Максу первокласс-
ное образование, с домашними учителями он получил глубокие
знания по литературе и истории. Но больше всего его привлекали
точные науки, прежде всего, астрономия. Два года до поступления
в университет Макс провел в обсерватории своего родного города
Майнхайма. В 1865 г. он поступил в университет Гейдельберга, и
уже весной 1868 г. получил степень доктора философии.
Физику в Гейдельберге преподавал Максу знаменитый про-
фессор Густав Кирхгоф (Gustav Robert Kirchhoff, 1824-1887), из-
вестный современным школьникам и студентам своими законами
электрических цепей и излучения. Лекции по математике читал ро-
весник и будущий друг Макса Якоб Люрот (Jacob Ltiroth,
1844-1910), чьим наставником во время обучения в университете
города Гиссен (GieBen) был знаменитый профессор Альфред
Клебш (Rudolf Friedrich Alfred Clebsch, 1833-1872), сыгравший
важную роль и в судьбе Макса Нётера. О Клебше у нас еще речь
впереди.
Так как докторская работа Макса относилась к астрономии, то
защита проходила 5 марта 1868 г устно, в форме экзамена в каби-
нете декана. Как пишут биографы Нётера Джон О’Коннор (John
J. O’Connor) и Эдмунд Робертсон (Edmund F Robertson), основ-
ная обязанность претендента на докторскую степень, согласно тра-
диции, состояла в том, чтобы обеспечить всех присутствующих на
защите достаточным количеством вина5 Однако, зная характер и
обязательность Макса, можно быть уверенным, что он и без вина
сдал бы экзамен на отлично.
Макс стал первым доктором философии с фамилией Нётер.
Заметим, кстати, что он всегда писал её как Noether, хотя в его
свидетельстве о браке в 1880 г. эта фамилия еще фигурировала в
старой форме: Nother.
Скорее всего, математический талант передался Максу по ма-
теринской линии: среди родственников с фамилией Нётер был
только один врач из Майнхайма по имени Фердинанд (1834-
1913), все остальные занимались торговлей. А вот среди родствен-
ников матери был, как утверждал друг Макса Александр Бриль,
270
СТАТЬИ РАЗЛИЧНОГО СОДЕРЖАНИЯ
одаренный математик Вюрцбургер, да и в ряду ближайших потом-
ков Макса минимум трое математиков и трое химиков.
Получив основательное образование в физике, Макс затем ув-
лекся математикой и следующие два года по совету Люрота слу-
шал лекции Альфреда Клебша в университетах Гиссена и Гёттинге-
на. Альфред Клебш принадлежит к числу талантливейших матема-
тиков своего времени, оказавших заметное влияние на развитие на-
уки как в девятнадцатом, так и в двадцатом веке6 Ему удалось
собрать вокруг себя целое созвездие талантливых молодых уче-
ных. Многих из них, как и самого Клебша, отличала любовь не
только к чисто математическим построениям, но и к их физичес-
ким приложениям. Клебш, как и Макс Нётер, в начале карьеры
занимался физикой, но со временем стал руководителем знамени-
той математической школы.
Пять лет работы в Гиссене принесли Клебшу блестящие науч-
ные результаты, не удивительно, что его пригласили в качестве
профессора в Гёттингенский университет. И там его работа оказа-
лась отмеченной, и он в 1872 г. был избран ректором университе-
та. Однако долго ему в этой должности находиться, увы, не приш-
лось: в том же году он неожиданно умер от дифтерии. Перед са-
мой смертью он успел рекомендовать своего самого одаренного
ученика Феликса Клейна на должность профессора Эрлангенского
университета. Клебш и не предполагал, что из-за этого назначения
в Эрлангене соберутся многие из его учеников и сотрудников.
Как стать профессором? Феликс Клейн оказался в Эрлангене
первым из «команды Клебша». Свежеиспеченному ординарному
профессору математики было в то время всего двадцать три года.
Конечно, рекомендация ректора из Гёттингена была при этом наз-
начении решающей. Чтобы понять, насколько необычным было
назначение столь молодого человека на такую должность, стоит на-
помнить об основных этапах академической карьеры в Германии
девятнадцатого века (об этом мы уже говорили в статье «Год мате-
матики и уроки истории»7). В основных чертах особенности немец-
кой научной карьеры сохранились без больших изменений и в
наше время.
Должность ординарного профессора университета на протяже-
нии уже нескольких веков является заветной мечтой каждого исс-
ледователя и преподавателя в Германии. Стать полным профессо-
ром означает достичь высшей ступени академической карьеры,
почти в полном смысле слова подняться на научный Олимп. Среди
множества должностей и званий ученых и преподавателей высшей
школы (приват-доцент, ассистент, старший ассистент, экстраорди-
нарный профессор и так далее) только ординарный профессор
принадлежит к категории государственных служащих, причем
Е.М. Беркович
271
весьма высокопоставленных. С середины девятнадцатого века ко-
личество профессоров во всех университетах Германии менялось
мало: оно колебалось вокруг сотни. Всего сто человек среди тысяч
научных работников и преподавателей! Чтобы занять место на
Олимпе академической карьеры, нужно было проделать нелегкий
путь.
Прежде всего, необходимо было окончить гимназию, чтобы по-
лучить право учиться в университете. Окончания обычной средней
школы, которых в Германии несколько типов, для поступления в
университет недостаточно.
Здесь уместно сделать одно лингвистическое замечание. Вы-
пускные экзамены в гимназии называются по-немецки «абитур»
(Abitur). Поэтому слово «абитуриент» в Германии обозначает не
поступающего в ВУЗ, как это принято в России, а выпускника
гимназии.
Когда в гимназии не принимались девушки, им для поступле-
ния в университет приходилось сдавать абитур экстерном. Так пос-
тупила на философский факультет мюнхенского университета в
начале двадцатого века дочка упомянутого выше профессора мате-
матики Альфреда Прингсхайма Катя. Родители дали ей превосход-
ное домашнее образование, так что выпускные гимназические экза-
мены она сдала успешно и стала одной из немногих студенток ма-
тематического отделения. Правда, получить профессию математика
она не успела - брак с писателем Томасом Манном круто изменил
её жизненные планы8
В девятнадцатом и начале двадцатого веков достаточно широ-
ко была распространена практика, когда студент обучался последо-
вательно в нескольких университетах, чтобы получить представле-
ние о разных школах и стилях преподавания и познакомиться с
большим числом ведущих ученых. Например, знаменитый матема-
тик Леопольд Кронекер, долгие годы вместе с Карлом Вейершт-
рассом возглавлявший берлинскую математическую школу, студен-
том занимался не только в столице, но также слушал лекции в
университетах Бонна и Бреслау. И таких примеров можно привес-
ти сотни.
Тот, кто хотел дальше заниматься наукой и преподаванием в
высшей школе, должен был после окончания университета защи-
тить докторскую диссертацию и приобрести пожизненный почет-
ный титул «доктор». Германия, кстати, единственная страна в
мире, где титул «доктор» вписывается в паспорт человека и фигу-
рирует во всех официальных бумагах - от трудового договора до
счета за ремонт водопровода. Даже на почтовом ящике и табличке
на входной двери указывается титул хозяина.
272
СТАТЬИ РАЗЛИЧНОГО СОДЕРЖАНИЯ
Но даже почетный титул «доктор» не дает права читать лек-
ции в университете. Для получения такого права нужно, как пра-
вило, защитить вторую докторскую диссертацию, этот процесс на-
зывается «хабилитацион» (Habilitation). После этого можно полу-
чить venia legendi, своеобразную лицензию на чтение лекций пе-
ред студентами, и стать приват-доцентом.
Приват-доцент имеет право преподавать в университете, но
чтобы это право реализовать, ему нужно получить какую-нибудь
преподавательскую должность в университете, например, ассистен-
та или экстраординарного профессора. Эти должности, так ска-
зать, внештатные, и человеку, их занимающему, никто не может
гарантировать стабильное материальное положение: приват-доцен-
ту платит деньги университет, а его бюджет, как правило, весьма
ограничен и сильно зависит от популярности учебного заведения и
количества студентов, желающих в нем обучаться.
Только должность ординарного (полного) профессора, или ор-
динариуса, дает уверенность в материальном благополучии до кон-
ца жизни. Став ординариусом и превратившись тем самым в госу-
дарственного служащего, ученый мог чувствовать себя обеспечен-
ным человеком с гарантированным высоким окладом и достойной
пенсией, индексируемой с ростом инфляции. Он мог и не стано-
виться пенсионером, а превратиться при желании в так называемо-
го эмеритуса, почетного профессора, для которого сохранялись все
преимущества государственной службы, только обязательного чте-
ния лекций от него уже никто не требовал.
При всей относительной самостоятельности немецких универ-
ситетов, ординариусов назначало государство в лице своего минис-
терства, которое отвечало за образование. Ученый совет универси-
тета представлял в министерство список из трех кандидатов на ва-
кантную должность профессора, а госчиновники либо утверждали
одну из этих кандидатур, либо отвергали весь список. И тогда
процедура назначения профессора продолжалась по новому кругу:
университет снова готовил список трех кандидатов и т.д. Иногда
назначение профессора затягивалось на годы.
Когда профессор математики Мюнхенского университета Кон-
стантин Каратеодори (Constantin Caratheodory, 1873-1950) в
1938 г. перешел в статус эмеритуса, его преемника выбирали це-
лых шесть лет: вплоть до 1944 г. Здесь, правда, сыграло опреде-
ленную роль «тихое сопротивление» профессуры гитлеровскому
режиму - правительство желало видеть на профессорской кафедре
убежденного национал-социалиста, а Ученый совет университета
упорно предлагал кандидатуры, исходя из их профессиональных
качеств.
Е.И. Беркович
273
Но и в обычные времена получить назначение на профессорс-
кую должность было нелегко. Даже выдающиеся умы годами жда-
ли возможности надеть профессорскую мантию. Например, гени-
альный математик Давид Гильберт оставался приват-доцентом це-
лых семь лет, с 1886 по 1893 гг. А великий философ Иммануил
Кант (1724-1804), уже будучи приват-доцентом, ждал профессорс-
кого звания аж пятнадцать лет - с 1755 по 1770 гг.
Что уж говорить про еврейских ученых, которым преодолеть
барьер от приват-доцента до профессора мешал традиционный ан-
тисемитизм, набиравший силу в немецком обществе! Альфред
Прингсхайм, о котором мы говорили выше, оставался приват-до-
центом двадцать два года, хотя его научные и педагогические зас-
луги были общепризнанны и его уже избрали академиком Баварс-
кой академии наук. Но и это не рекорд. Первый некрещеный про-
фессор математики в Германии Мориц Штерн (1807-1887) ждал
произведения в профессоры, оставаясь приват-доцентом, почти
тридцать лет, с 1830 по 1859 гг.9
К слову, именно Штерна сменил на профессорской кафедре
Феликс Клейн, когда стал во второй половине своей жизни про-
фессором в Гёттингене и начал возрождать этот небольшой универ-
ситетский городок, превратив его в итоге в мировой математичес-
кий центр.
Эрлангенская программа. Вернемся в Эрланген 1872 г., где
двадцатитрехлетний профессор Клейн готовится к своей первой
лекции. Имя города Эрланген встречается в научной литературе
чаще многих других университетских городов Германии. Такой из-
вестности он обязан, конечно, знаменитой «Эрлангенской програм-
ме» - так называлась лекция, с которой новый профессор высту-
пил перед сотрудниками университета и всеми желающими по слу-
чаю своего вступления в должность. Традиция, по которой новый
сотрудник знакомит коллег со своими взглядами на науку, издавна
существовала в Эрлангене, да и во многих других университетах
Германии. Но мало какая другая из подобных лекций осталась так
надолго в памяти потомков, как лекция Феликса Клейна, прочи-
танная в декабре 1872 г. и напечатанная под названием «Сравни-
тельное обозрение новейших геометрических исследований» в
«Математических анналах» лишь спустя двадцать лет10 По влия-
нию на последующее развитие математики с лекцией Клейна мож-
но сравнить знаменитую лекцию Б.Римана «О гипотезах, лежащих
в основаниях геометрии»11
Фактически молодой профессор Клейн предложил единую
точку зрения на различные геометрии, которые до того развива-
лись, в значительной мере, независимо друг от друга. Лекция, бе-
274
СТАТЬИ РАЗЛИЧНОГО СОДЕРЖАНИЯ
зусловно, произвела впечатление не только на математиков, но и
на коллег-преподавателей с других факультетов. А вот собственно
педагогическая деятельность Клейна в Эрлангене началась с серии
неудач.
Ознакомившись с положением дел в университете, Клейн убе-
дился, что математическая библиотека разворована, собрание мате-
матических наглядных моделей, которым он придавал большое
значение, практически отсутствует. Студенты не ходят на лекции
по математике. Стало понятно, почему Клебш рекомендовал на
должность профессора своего ученика только молодой человек
мог справиться с таким невероятно сложным заданием: восстано-
вить интерес к математике и наладить нормальный учебный про-
цесс.
Жизнь нередко так закручивает сюжет, что выход из безвы-
ходного, казалось, положения вдруг находится сам собой. Так по-
лучилось и в Эрлангене. На первую лекцию Клейна пришло всего
два человека, один из которых после этого исчез с поля зрения
профессора навсегда. Клейну впору было опустить руки: из-за от-
сутствия слушателей первая лекция могла стать последней. Но
вдруг через два дня после первой лекции неожиданно умирает от
дифтерии ректор Гёттингенского университета и руководитель на-
учной школы, к которой принадлежал и Феликс, Альфред Клебш.
И постепенно весь «кружок Клебша» начал перемещаться из
Гёттингена в Эрланген, поближе к главе школы, обязанности кото-
рого свалились на молодого Клейна, как снег на голову: хотя
Клейн был моложе многих своих учеников, он единственный из
всех имел профессорское звание. И математическая жизнь в Эр-
лангене стала шаг за шагом налаживаться.
Самым сильным подкреплением для Клейна стал переезд в
Эрланген двух друзей-математиков: Пауля Гордана и Макса
Нётера. Феликс Клейн познакомился с ними, когда все трое учи-
лись у профессора Клебша, и сохранил дружеские отношения с
обоими на всю жизнь. Оба товарища Феликса оказались евреями,
что плохо вяжется с утверждениями некоторых представителей
«арийской математики» об антисемитизме и расизме Клейна. Осо-
бенно теплыми сложились отношения Феликса и Макса: в архиве
Гёттингенского университета хранятся 89 писем от Нётера и 129 от
Клейна, причем большинство начинались с дружеского, нефор-
мального обращения: «дорогой Нётер»12.
Гордан имел довольно сварливый характер и был старше Клейна
на двенадцать лет. После совместных с Клебшем работ по алгебраи-
ческой геометрии он обратился к более абстрактным аспектам теории
и заслужил даже титул «короля инвариантов», пока его не отобрал
Е. И. Беркович 275
Гильберт, доказав в 1892 г. основополагающую теорему в этой об-
ласти13
Несмотря на очевидные научные успехи, стать полным профес-
сором еврею Гордану удалось только в тридцать семь лет: в 1874 г.
он получил вслед за Клейном место ординариуса в Эрлангенском
университете. Естественно, что инициатором назначения был именно
Феликс Клейн, только-только сам освоившийся на профессорском
месте.
Основоположник «арийской математики» Людвиг Бибербах
позднее называл научный стиль Гордана прекрасной моделью «ев-
рейской математики», противопоставляя его истинно «немецкому»
стилю Клейна. Однако противопоставление стилей не вполне кор-
ректно, они, скорее, дополняют друг друга. Существенную часть
работы Клейна по группам Галуа взял на себя именно Пауль Гор-
дан, когда в семестр 1875 г. они часто встречались в Эрлангене,
пока Клейн не принял приглашение из Мюнхена. Их общие ре-
зультаты собраны в знаменитой книге Клейна «Лекции об икосаэд-
ре», в предисловии к которой автор писал: «То, что эта далеко
идущая теория достигла такого уровня, я отношу, прежде всего, к
заслугам профессора Гордана. Я не говорю сейчас о его четких и
глубоких трудах, ссылки на которые будут далее. Здесь я хочу со-
общить то, что не выразить количеством цитат или ссылок, а имен-
но то, как профессор Гордан спешил ко мне, если я застревал в
моей работе, и как он помогал мне преодолеть многие трудности, с
которыми я бы не справился в одиночку»14.
Для своего друга Макса Нётера Клейн тоже подготовил место
в Эрлангене: сначала в качестве экстраординарного профессора,
предполагая вскоре сделать и его ординариусом. Однако реализо-
вать эти планы оказалось сложнее, чем думалось ранее.
Макс Нётер перебрался в Эрланген через год после Гордана и
долго оставался экстраординариусом, несмотря на обещания Клей-
на сделать его полным профессором. Клейну никак не удавалось
помочь другу, хотя он искренне старался использовать для этого
все свое немалое влияние в математическом мире.
Через восемь лет после начала работы Макса в Эрлангене
Клейн писал ему с грустью, что, несмотря на все усилия, он не
смог отстоять кандидатуру Нётера во Фрайбурге, а ситуация в Тю-
бингене еще хуже, так как там факультет твердо придерживается
принципа не принимать к себе на работу евреев.
В итоге ни один университет в Германии так и не пригласил
Макса Нётера на должность профессора, и он ждал тринадцать
лет, пока Эрланген не предоставил ему заветное звание и кафедру.
Возможно, устав от необходимости всю жизнь преодолевать
препятствия, уготованные еврею, Макс Нётер незадолго до смерти
276
СТАТЬИ РАЗЛИЧНОГО СОДЕРЖАНИЯ
сделал роковой с точки зрения иудаизма шаг: 5 ноября 1920 г. он
крестился и перешел из еврейской общины в евангелическую15
Своим примером он хотел облегчить жизнь дочери, наивно
веря, что крещение спасет её от нарастающего в Веймарской рес-
публике антисемитизма. Послушная Эмма не смогла отказать уми-
рающему отцу и тоже перешла в христианство 29 декабря 1920 г.
Скорее всего, она сама понимала бесполезность этого шага. Разви-
тие событий в Германии вскоре не оставили никаких сомнений:
для рвущихся к власти нацистов крещение не смывало «греха ев-
рейства».
Пауль Гордан тоже оставался в Эрлангене до конца своей про-
фессорской карьеры. Интересно, что он подготовил только одного
доктора наук, но зато какого! Им стала дочь Макса Нётера
Эмма, одна из лучших математиков современности. Эмма, кстати,
и родилась там же, в Эрлангене, в 1882 г.
Часть вторая. Дочь: «ее сердце не знало злобы, она не
верила в дьявола»
Двое детей Макса дочь Эмма и сын Фриц стали, как и
отец, математиками. Их карьера тоже складывалась нелегко: кро-
ме еврейства, положение детей в академическом обществе осложня-
лось еще и тем, что оба придерживались левых и пацифистских
взглядов. Для Эммы положение вообще выглядело безнадежным,
так как до Веймарской эпохи преподавание в немецких универси-
тетах женщинам было запрещено.
Будь Эмма Нётер мужчиной, ее, без всяких сомнений, пригла-
шали бы на профессорские должности лучшие университеты стра-
ны. Ей же приходилось довольствоваться титулом «экстраординар-
ный профессор» Гёттингенского университета, полученным ею 6
апреля 1922 г. когда ей исполнилось уже сорок лет. К этому вре-
мени она уже по праву считалась среди специалистов основопо-
ложником современной алгебры, ей удалось заложить краеуголь-
ные камни в фундаменты нескольких важнейших научных направ-
лений.
В указе о назначении Эммы Нётер на должность экстраорди-
нарного профессора специально оговаривалось, что никаких при-
вилегий, предусмотренных государственным служащим, ей не по-
ложено (в отличие, например, от штатного экстраординарного про-
фессора Феликса Бернштейна, который считался госчиновником).
Отец Эммы умер год назад, и, если бы не разрешение читать
лекции и получать за это хоть какую-то зарплату, у Эммы практи-
чески не оставалось никаких источников для существования.
Все эти материальные и моральные ущемления Эмма Нётер
переносила легко и достойно, не жалуясь и не позволяя другим
Е. И. Беркович
277
себя жалеть, её увлеченность наукой не оставляла ей времени на
сетования по поводу скромной карьеры, она жила в том мире, где
бытовых неурядиц просто не существует. Основные научные ре-
зультаты она получала, готовясь к очередным лекциям или гуляя в
окрестностях Гёттингена, её лекции были столь увлекательны и не-
ожиданны по содержанию, что поток желающих попасть к ней в
ученики постоянно возрастал.
В Гёттингене Эмма Нётер появилась в апреле 1915 г. и сразу
стала слушать лекции Феликса Клейна по истории математики де-
вятнадцатого века. Лекции мэтра посещали двадцать восемь слу-
шателей, среди них профессора Рунге, Каратеодори, Ф.Бернш-
тейн. Следуя духу времени, Клейн приветствовал женскую эманси-
пацию, среди его слушателей насчитывалось шесть женщин. С мо-
мента своего появления Эмма стала помогать Клейну в подготовке
лекций, а когда профессор начал курс по математическим основам
теории относительности, научные контакты Клейна и фройляйн
Нётер стали особенно интенсивными. И Клейн, и Давид Гильберт
высоко ценили талант Эммы, особенно в области алгебры.
Но никакой талант и никакие заслуги не защищали от безжа-
лостной машины подавления, запущенной Гитлером в первые меся-
цы после установления диктатуры. Эмма Нётер оказалась в числе
первых шести преподавателей, которым Прусское министерство
запретило читать лекции и отправило в бессрочный отпуск на ос-
новании печально знаменитого закона о чиновничестве от 7 апреля
1933 г. положившего начало массовой чистке профессорско-пре-
подавательского состава. В черный список, опубликованный 25 ап-
реля, входили профессора Рихард Хониг16 (юридическое право),
Курт Бонди17 (социальная психология), Феликс Бернштейн (мате-
матическая статистика), Макс Борн (физика), Рихард Курант (ма-
тематика) и приват-доцент Эмма Нётер (математика). Все они ока-
зались евреями. Хотя на этом этапе с точки зрения властей не ме-
нее преступными считались либеральные политические пристрас-
тия преподавателей.
Эмма активно участвовала в общественной жизни лишь в нача-
ле двадцатых годов: в 1919-1922 гг. состояла членом Независимой
социал-демократической партии Германии18, после чего до 1924 г.
членом Социал-демократической партии (СПД)19 После этого
заметной политической активности Эммы не наблюдалось. Но в
1931 г. незадолго до перехода власти к нацистам, она подписала
«Заявление протеста республиканских и социалистических препо-
давателей высшей школы» против попыток националистических
студентов Гейдельберга лишить права преподавания статистика и
политического полемиста Эмиля Гумбеля20 за его «антинемецкие»
и пацифистские высказывания.
278
СТАТЬИ РАЗЛИЧНОГО СОДЕРЖАНИЯ
Еще одно её «преступление» с точки зрения национал-социа-
листов состояло в том, что в зимнем семестре 1928-1929 учебного
года она читала лекции в Москве. По словам академика Павла
Сергеевича Александрова, лично знакомого с Эммой, «она восхи-
щалась советской наукой и, особенно, математикой, её симпатии
безоговорочно были на стороне Советского Союза, в котором она
видела начало новой эры в истории и твердую поддержку всего
прогрессивного»21, хотя открытое выражение таких симпатий было
не принято в академических кругах того времени. Возможно, это
восхищение сталинским СССР передалось и её брату, что стоило
ему потом жизни.
Кроме того, в 1933 г. Эмме Нётер поставили в вину проводив-
шиеся в разные годы на её квартире собрания левоориентирован-
ных студенческих групп. Герман Вейль полагал, что в этом и сос-
тояла, главным образом, её «партийная деятельность»: оставаясь,
по существу, в стороне от какой-либо партийной жизни, она охот-
но и страстно участвовала в политических дискуссиях об актуаль-
ных проблемах общества.
Куратор Гёттингенского университета в Прусском министерст-
ве Юстус Валентинер (Justus Valentiner) - консервативный, но не
национал-социалистически настроенный чиновник дал Эмме
Нётер точную характеристику в служебной записке от 9 августа
1933 г.: «насколько я знаю, в политическом смысле фройляйн
Нётер со времен революции 1918 г. и до наших дней придержива-
ется марксистских взглядов. И даже если я допускаю, что её поли-
тические установки были и являются сейчас скорее теоретически-
ми, чем осознанными и практическими, я убежден, что её симпа-
тии столь решительно отданы марксистской политике и мировозз-
рению, что нельзя ожидать её безоговорочного перехода на сторо-
ну националистического государства»22.
На политическом жаргоне того времени «марксистские взгля-
ды» означали «некоммунистические левые» установки, что-то вро-
де социал-демократических принципов СПД.
Немецкие власти так торопились избавиться от Эммы Нётер,
что не дождались выхода в свет 6 мая того же года дополнения к
закону от 7 апреля, касающегося приват-доцентов. Формально за-
кон от 7 апреля не имел силы в отношении экстраординарного
профессора, не являвшегося государственным служащим. Но на
формальности тогда обращали не слишком много внимания.
Это было время, когда трагедия и фарс шли рядом. У Эммы
Нётер, которой запретили появляться в университете, осталось
много учеников. Часть их приходила к ней домой за советами и
помощью. Один из студентов постоянно являлся в униформе С А,
что, по словам ван дер Вардена, слегка смущало и даже веселило
ЕМ .Беркович
279
Слева на фото Эрнст Витт. Кроме него, Пауль Бернайс, Хелена Вейль, Герман Вейль,
Йоахим Вейль,Эмиль Артин,Эмма Нётер,Эрнст Кнауф,Чиунгзе Цен,Эрна Баннов,
будущая жена Эрнста Витта. Третья справа фигура неизвестна.
преподавателя23 Хороший пример того, насколько далека была
Эмма от реальной политики.
Гениальность Эммы Нётер удивительным образом сочеталась с
поистине ангельским характером. Потеряв право на преподавание,
она лишилась и своего маленького оклада. Герман Вейль отмечал
позднее её мужество, открытость, легкость, с которой она перено-
сила тяготы, отсутствие озлобленности, умиротворяющий и весе-
лый нрав все это выглядело разительным контрастом на фоне
царивших вокруг ненависти, подозрительности, озлобленности,
страха перед неизвестным будущим и боли от жестокого настояще-
го. Как сказал Герман Вейль, «ее сердце не знало злобы, она не
верила в дьявола».
Куда поехать, решил за Эмму случай. Как вспоминал
П.С.Александров: «После её изгнания из Германии она серьезно
думала об окончательном переезде в Москву, и я с ней имел по
этому поводу переписку Она отлично понимала, что нигде не най-
дет таких возможностей к созданию новой, блестящей математичес-
280
СТАТЬИ РАЗЛИЧНОГО СОДЕРЖАНИЯ
кой школы взамен той, которая была отнята у нее в Гёттингене. И
я вел уже переговоры с Наркомпрссом о предоставлении ей кафед-
ры в Московском университете. Однако в Наркомпросе, как во-
дится, медлили с принятием решения и не давали мне окончатель-
ного ответа. Между тем время шло, и Эмми Нётер, лишенная даже
того скромного заработка, который она имела в Гёттингене, не мог-
ла ждать и должна была принять приглашение в женский универ-
ситет в американском городке Bryn Mawr»24.
Даже после отъезда из Германии Эмма Нётер не показывала и
следа горечи или вражды к тем, кто сломал её жизнь. Она оказа-
лась одной из немногих эмигрантов, кто на следующий же год пос-
ле отъезда осмелился вернуться назад: летом 1934 г. она решила
провести некоторое время в знакомой обстановке зеленого Гёттин-
гена, где ей так хорошо работалось все последние годы. Главной
же её задачей было проводить любимого брата Фрица в таинствен-
ную Россию, из которой он уже никогда не вернулся. Да и самой
Эмме жизнь отпустила после последней встречи с братом всего
год.
В эмиграции Эмма столкнулась с теми же трудностями, что и
большинство других ученых, приехавших за океан уже в зрелом
возрасте. Но найти работу ей удалось сравнительно быстро. Она
получила место преподавателя в небольшом американском коллед-
же Брин Мор в штате Пенсильвания и вела научную работу в Инс-
титуте перспективных исследований в Принстоне.
Устроившись сама, она тут же стала заботиться о коллегах,
кому меньше повезло в изгнании. Вместе с Германом Вейлем она
организовала специальный «Фонд помощи немецким математи-
кам», в который должны были отчислять небольшую часть своей
зарплаты те ученые, которые уже нашли работу. Из собранных
средств выплачивались стипендии тем, кто особенно нуждался в
поддержке. Денег удавалось собрать, конечно, немного, но и эта
помощь многим оказалась очень своевременной и действенной.
И в Америке не все понимали масштаб её личности как учено-
го и человека. В актах Чрезвычайного комитета Даггена сохрани-
лась запись, сделанная 21 марта 1935 г., за три недели до неожи-
данной смерти гениального ученого: «Вчера состоялась дискуссия
с президентом колледжа Брин Мор о судьбе Эммы Нётер. Она
сказала, что Эмма Нётер слишком эксцентрична и трудно адапти-
руется к американским условиям, чтобы заключать с ней постоян-
ный контракт, но она оставит её в колледже еще на два года».
К сожалению, Эмме не дано было проработать в колледже и
этих двух лет: 14 апреля 1935 г. после неудачной медицинской
операции она скончалась. Альберт Эйнштейн написал в тот же
день издателю «Нью-Йорк Таймс»: «По мнению самых компетент-
Е.М. Беркович
281
ных из ныне здравствующих математиков, госпожа Нётер была са-
мым значительным творческим математическим гением (женского
пола) из родившихся до сих пор»25
Часть третья. Сын: «жертва двух диктатура
Наследственная профессия. Иногда не только результаты, но
сама жизнь ученого представляет собой ценный экспонат музея ис-
тории науки. Такова трагическая судьба Фрица Нётера, представи-
теля славной династии математиков.
Брат Эммы Нётер Фриц на два года моложе своей великой
сестры - он родился 7 октября 1884 г. в Эрлангене третьим ребен-
ком в семье профессора Макса Нётера и его жены Иды. Всего же
в семье Макса и Иды родилось четверо детей. Кроме Фрица у
Эммы было еще два брата: Альфред (1883-1918) и Густав Роберт
(1889-1928). Оба умерли сравнительно молодыми.
Профессия ученого становится в конце девятнадцатого века
весьма распространенной в еврейских семьях. Из четырех детей
Макса и Иды трое стали докторами наук: Эмма и Фриц - матема-
тиками, Альфред химиком. Брат Иды Вильгельм Кауфман
(1858-1926) широко известный специалист по финансам и пра-
ву, профессор Берлинского университета. Его книга о немцах,
участниках Гражданской войны в Америке, переиздается и в наше
время26
Но вернемся к герою этой части наших заметок. Учебу в уни-
верситете Фриц Нётер начал в Эрлангене, а закончил в Мюнхене,
где в 1909 г защитил диссертацию «О вращательном движении
шара на поверхностях вращения». Его научный руководителем
был знаменитый физик и математик Арнольд Зоммерфельд. Вто-
рую докторскую диссертацию, давшую ему право читать лекции в
университетах, Нётер защитил через два года в Техническом уни-
верситете Карлсруэ. Правда, выйти на лекторскую кафедру Фрицу
удалось лишь через долгих семь лет - в его научную и преподава-
тельскую карьеру вмешалась Первая мировая война. В апреле
1917 г. молодой доктор философии был ранен и награжден Желез-
ным крестом за храбрость. Только в 1918 г. Фриц Нётер стал экс-
траординарным профессором кафедры математики и теоретической
механики того же технического университета, в котором защищал
вторую докторскую диссертацию.
В отличие от отца и сестры, всю жизнь занимавшихся «чис-
той» математикой, Фриц рано познакомился с её приложениями,
поработав почти два года на заводе Сименса-Шукерта в Берлине.
Там он занимался прикладными задачами математической физики.
Наконец, в 1922 г. тридцативосьмилетний Фриц Нётер достиг
вершины научно-преподавательской карьеры в Германии - он по-
282
СТАТЬИ РАЗЛИЧНОГО СОДЕРЖАНИЯ
лучил заветное звание ординарного профессора. Правда, почетная
должность профессора прикладной математики освободилась для
него в Техническом университете далекого от столицы города
Бреслау (ныне польский город Вроцлав). Но это не имело сущест-
венного значения: все привилегии государственного служащего,
коим является ординарный профессор, сохраняли свою силу во
всех немецких университетах. Работа в провинциальном учебном
заведении имела и свои преимущества: профессора там обладали
большей свободой, меньше чувствовалось бюрократическое давле-
ние центра.
Казалось, что будущее профессора Фрица Нётер безоблачно и
надежно. Но все радикально изменилось с приходом гитлеровцев к
власти. Как участник мировой войны Фриц не мог быть сразу уво-
лен по закону о чиновничестве от 7 апреля 1933 г. Однако еврей
Нётер, открыто придерживавшийся к тому же антигитлеровских
политических взглядов и член Немецкой демократической партии,
не мог долго оставаться на профессорской должности. Нацисты
всегда находили способ, как обойти закон, чтобы добиться своей
цели. Уже не имело значения, что Фриц, женившись на немке Ре-
гине Марии Вюрт (Regina Maria Wurth), перешел в католичество.
Для Гитлера и его приспешников еврейство не искупалось отказом
от веры.
Война за параграф. Меньше чем через три недели после вы-
хода закона о чиновничестве, 26 апреля 1933 г руководитель
национал-социалистического студенческого общества Технического
университета Бреслау направил ректору требование немедленно
уволить трех профессоров, среди них Фрица Нётера, а также двух
приват-доцентов. Свою настойчивость студенческий фюрер обосно-
вывал тем, что «их присутствие на факультете в сильной степени
противоречит арийскому принципу» и что никто не поручится за
их «дальнейшую работу в русле национал-социалистического дви-
жения»27
Ректор сообщил Фрицу о поступившем доносе, и профессор
решил бороться. Уже 28 апреля он написал министру науки, ис-
кусства и народного образования: «Так как при сложившихся обс-
тоятельствах моя преподавательская деятельность, очевидно, не за-
щищена от вмешательств и нарушений, я вынужден, к сожалению,
до решения господина министра её приостановить»28
Как ни странно, обращение в министерство сыграло свою
роль, и уже 3 мая Нётер сообщил министру, что после состояв-
шихся соглашений он снова приступает к своим профессорским
обязанностям. Однако удержаться в университете Фрицу удалось
не на долгий срок - только до конца семестра. Но и это надо от-
нести к редким случаям хотя бы краткого успеха сопротивления
Е.М. Беркович 283
властям. Обычно жалобы уволенных преподавателей оставлялись
без внимания.
Естественно, нацисты не смирились с этим временным пораже-
нием. Через четыре месяца, 25 августа, тот же студенческий вождь
вновь подает требование уволить ненавистного преподавателя к на-
чалу зимнего семестра. На этот раз письмо было адресовано уже
министру, и в вину профессору ставились его левые взгляды. Сре-
ди прочего отмечалось активное участие Нётера в Лиге защиты
прав человека, написание письма в поддержку Теодора Лессинга,
застреленного нацистами незадолго до этого в богемском городке
Мариенбад29, возражения против вывешивания портрета рейхспре-
зидента Гинденбурга в актовом зале технического университета.
Кроме того, профессор обвинялся в Нётерпимости к иным взгля-
дам: он, якобы, несколько лет препятствовал защите диссертации
одного убежденного национал-социалиста. На основании всего из-
ложенного студенческий руководитель-нацист требовал не прини-
мать во внимание военное прошлое Фрица Нётер и уволить его без
промедлений.
Эта атака против неблагонадежного профессора была основа-
тельно подготовлена. В письме-жалобе подчеркивалось, что Фриц
- «стопроцентный еврей», он, как и его сестра, подписал петицию
в защиту Эмиля Гумбеля. Главная вина Фрица Нётера, по мнению
автора доноса, состояла в том, что он был настроен против
национал-социалистического движения. Это давало властям повод
уволить профессора не по «арийскому» третьему параграфу закона
от 7 апреля, а в соответствии с четвертым параграфом («нелояль-
ность власти и нацистской идеологии»). Тогда уволенный профес-
сор терял бы четверть положенной ему пенсии.
На этот раз министр поддался давлению национал-социалис-
тов, и 7 сентября было принято решение об увольнении с государс-
твенной службы Фрица Нётера в соответствии с четвертым параг-
рафом закона от 7 апреля. Об этом министр официально уведомил
профессора письмом от И сентября.
В ответном письме министру от 18 сентября Фриц решительно
отвергал обвинения в политической неблагонадежности, настаивая
на своем неучастии в политике. Он подчеркивал, что увольнение
по четвертому параграфу не позволит ему с семьей оставаться бла-
гонадежным гражданином страны. Еще через две недели, 3 октяб-
ря 1933 г., Нётер по пунктам отверг обвинения в неблагонадежнос-
ти. Он писал, что хотя до середины 1932 г. получал журнал Лиги
защиты прав человека, но никогда за него не платил и не был чле-
ном Лиги. В случае Лессинга он семь или восемь лет назад в част-
ном письме ганноверскому экстраординарному профессору поддер-
жал его, так как тот подвергался преследованиям только за свое
284
СТАТЬИ РАЗЛИЧНОГО СОДЕРЖАНИЯ
мнение о президенте Гинденбурге. Это письмо появилось в прессе
без ведома и согласия Нётер, и он не может нести ответственность
за то, что кто-то использовал это письмо в политической кампании
«за» или «против» Лессинга.
Понимая, что избежать увольнения теперь не удастся, Фриц
просил освободить его от должности на основании параграфа 5 об-
суждаемого закона. Этот параграф не имел такой острой полити-
ческой окраски, как четвертый параграф закона. В случае увольне-
ния по пятому параграфу, ученый мог бы перейти в статус эмери-
туса, т.е. почетного профессора, сохранив не только целиком свой
профессорский оклад, но и репутацию лояльного гражданина.
В ответ на протест увольняемого профессора министр распоря-
дился 12 октября создать в университете специальную комиссию
для проверки всех обвинений. Комиссия работала больше месяца,
и 23 ноября 1933 г. её выводы и рекомендации легли на министер-
ский стол.
И хотя главное обвинение отсутствие активной поддержки
национал-социалистической идеологии комиссия подтвердила,
все же в некоторых деталях обвинения с профессора Нётера были
сняты. Например, злосчастная диссертация, которую не давал за-
щитить Фриц, оказалась просто слабой с математической точки
зрения. Никакой идеологии за отказом допустить её к защите ко-
миссия не увидела. Кроме того, комиссия отметила, что в полити-
ческих делах Фриц Нётер был явно неактивен. Его возражения
против осуждений Гумбеля и Лессинга относились к процедурной
части, и никакого согласия с политическими взглядами обоих уче-
ных профессор из Бреслау не высказывал никогда.
На основании рекомендаций комиссии министр подтвердил
свой приказ об увольнении профессора Нётера, однако изменил
его формулировку: вместо зловещего §4 в приказе появился отно-
сительно нейтральный §5. Другими словами, просьба Фрица была
удовлетворена, и желанная пенсия ему была предоставлена с 6
февраля 1934 г. Правда, получал он её недолго: в 1934 г.30 Фриц
уехал в Советский Союз, приняв предложение стать профессором
Томского университета им. В.В.Куйбышева, и с сентября 1934 г.
выплаты немецкой пенсии были прекращены.
Поведение Фрица, пытавшего бороться с наступившим беспра-
вием и произволом, в корне отличается от действий его гениальной
сестры. То ли могучий интеллект Эммы подсказал ей, что бороться
с диктатурой бесполезно, то ли известная женская интуиция по-
могла вовремя разобраться с ситуацией, но её решение просто
уехать из страны, где правит Гитлер, оказалось, в конечном счете,
правильным. Борьба Фрица с диктатурой лишь затянула сроки его
отъезда, да и направление бегства он выбрал слишком рискован-
Е.М. Беркович
285
ное: в СССР где в то время безраздельно господствовала другая
диктатура - сталинская.
Томский профессор. В качестве цели своей поездки заграницу
в заявлении на выездную визу Фриц Нётер указал желание мате-
риально помочь своей семье, а также остающимся в Германии род-
ственникам жены. По-видимому, он надеялся, что зарплаты в Том-
ске хватит и на помощь близким, и на поездки на родину, напри-
мер, для покупки книг.
С прекращением выплаты пенсии в Германии эти планы оказа-
лись абсолютно беспочвенными: материально Фриц, скорее, проиг-
рал, чем выиграл. Так как рубль являлся неконвертируемой валю-
той, то зарплаты в Томске хватало только для своей семьи. Денег
на частые зарубежные поездки и помощь родственникам практи-
чески не оставалось.
Тем не менее, предложение поработать в Советском Союзе, в
университетском городе Томске, где трудился известный алгебра-
ист Ф.Э.Молин, выглядело привлекательным. Особенно если
учесть, что страны Европы и США уже неохотно принимали бе-
женцев из гитлеровской Германии, и сделать там профессиональ-
ную карьеру удавалось лишь единицам.
Приглашение в Томск Фриц получил от расположенного в
Швейцарии «Общества содействия немецким ученым заграницей»
(Notgemeinschaft Deutscher Wissenschaftler im Ausland). В Томске
уже работали и другие немецкие математики, например, Штефан
Бергман (Stefan Bergmann) и Ганс Байервальд (Hans Baeyerwald).
Всего из Германии в Советский Союз эмигрировало в тридца-
тые и сороковые годы двадцатого века около трех тысяч немецких
граждан. Большинство из них были коммунисты, спасавшиеся от
репрессий нацистов. Среди эмигрантов из Германии немалую часть
составляли и евреи. По сравнению с другими странами эмиграция
в Советский Союз из Германии была одной из незначительных.
Столько же беженцев нашли приют в Канаде. А вот, например, в
США бежали 140 тысяч человек, во Францию - 100 тысяч, в Ве-
ликобританию - 75 тысяч, среди них десять тысяч детей в рамках
так называемой операции «Детский транспорт». Около 60 тысяч
немецких евреев нашли приют в Палестине. В Чехословакию бежа-
ло 10 тысяч человек, в страны Бенилюкса - 35 тысяч, в Италию -
68 тысяч. Дания и Швеция приняли вместе более восьми тысяч не-
мецких евреев, Швейцария - около 25 тысяч31
Поначалу Фриц Нётер чувствовал себя в СССР относительно
свободно, и дела в университете развивались успешно. Вскоре не-
мецкий профессор занял должность заведующего отделением мате-
матической физики и теоретической механики, его статьи публико-
286
СТАТЬИ РАЗЛИЧНОГО СОДЕРЖАНИЯ
вались в советских научных журналах, в сборнике трудов Науч-
но-исследовательского института математики и механики Томского
университета. Фриц даже входил в редакционную коллегию этого
сборника. Готовилась к изданию его книга о функциях Бесселя.
Успешно продвигалось и изучение русского языка профессор
Нётер готовился читать лекции советским студентам.
Сыновья Фрица и Регины Нётер - Герман и Готфрид - тоже
чувствовали себя в Сибири неплохо. Старший - Герман - продол-
жил обучение физической химии, начатое еще в Бреслау, а млад-
ший - Готфрид - поступил на математический факультет Томского
университета, готовясь пойти в науке по стопам отца и деда.
В апреле 1935 г. Фриц приехал в Германию, чтобы навестить
родственников. Именно здесь 15 апреля настигла его весть о нео-
жиданной смерти в Америке его сестры Эммы. В письме, написан-
ном в тот же день, он сообщил об этой трагической новости Гель-
муту Гассе, председательствовавшему в то время в Немецком мате-
матическом обществе.
Смертью Эммы не закончился список трагедий в семье Нётер
в 1935 г. В августе в Германии покончила собой32 жена Фрица Ре-
гина, оставив мужа одного с двумя детьми. Приехав с мужем и сы-
новьями в Томск, она не смогла долго выдержать разлуку с Герма-
нией и не приняла советский образ жизни. В результате - серьез-
ное нервное расстройство. Фриц отвез жену на родину, в Шварц-
вальд, надеясь, что заботы её сестры и привычная обстановка по-
могут справиться с недугом. Однако болезнь оказалась сильнее.
Регину похоронили в её родном городке Генгенбах (Gengenbach) в
Шварцвальде33.
Кто знает, может, женская интуиция Регины подсказала ей
страшную судьбу её мужа, и она не могла жить в СССР с вечным
ожиданием ужасного конца? Но и жить вдали от мужа и детей для
нее было непереносимо.
В сентябре того же года Фриц Нётер оказался в Москве в ка-
честве почетного гостя специальной сессии Московского математи-
ческого общества, посвященного памяти его великой сестры. Ос-
новной доклад на сессии о жизни и работах Эммы Нётер делал
президент Общества, близкий друг покойной Павел Сергеевич
Александров. Гостями сессии оказались и участники Международ-
ной топологической конференции, проходившей в те же дни в
Москве. Многие из них лично знали Эмму и Фрица.
Может быть, желанием освободиться от печальных воспомина-
ний, развеяться и сбросить с себя груз тяжелых потерь можно объ-
яснить роковой поступок Фрица, обернувшийся ему лишением сво-
боды и, в конце концов, жизни. Речь идет о его легкомысленном
Е.М. Беркович
287
решении участвовать в Международном математическом конгрессе,
который в 1936 г. проводился в столице Норвегии Осло.
Поездка на Международный математический конгресс оказа-
лась безусловной тактической ошибкой. Но и пропусти Фриц этот
злосчастный для него конгресс в Осло, вероятность выжить в
СССР еврею из Германии в годы «больших чисток» оставалось не-
большой. Главную стратегическую ошибку Фриц совершил тогда,
когда принял предложение «Общества содействия немецким уче-
ным заграницей». В оправдание ученого следует сказать, что дру-
гих предложений, как покинуть ставшую смертельно опасной род-
ную Германию, он мог и не дождаться: стран, желающих принять
евреев из Германии, практически не осталось. Будущий первый
президент государства Израиль Хаим Вейцман высказался о том
времени так: «Мир разделился на два лагеря: на страны, не жела-
ющие иметь у себя евреев, и страны, не желающие впускать их в
свою страну».
Немецкий шпион еврейского происхождения. Ни одного со-
ветского математика на конгресс в Осло власти СССР не пустили,
но у Фрица сохранился его немецкий паспорт, а желание встре-
титься с друзьями-коллегами оказалось сильнее чувства осторож-
ности, и он, не чувствуя опасности, отправился в северную сканди-
навскую страну на свой страх и риск.
Поездки за границу для советских людей всегда вызывали по-
дозрение властей, но норвежская столица представлялась в то вре-
мя вдвойне опасным местом, так как на беду Нётера именно там
жил тогда Лев Давидович Троцкий злейший враг всемогущего
Сталина. Вряд ли Фриц Нётер представлял себе, какую опасность
представляла для него самовольная поездка на Математический
конгресс. Он еще недостаточно ясно осознал, в какой стране он ис-
кал защиту от гитлеровской диктатуры. И более информированные
люди не могли предвидеть, что в СССР начинается эпоха «боль-
шого террора». Репрессии, последовавшие за убийством Кирова в
1934 г., показались Сталину недостаточными. Остался нетронутым
его главный враг - Троцкий, который в 1936 г. опубликовал оче-
редную антисталинскую книгу «Преданная революция: что такое
СССР и куда он идет?». Борьба с троцкистами стала главной забо-
той советского вождя и его преданных органов безопасности. На-
чиналась кровавая чистка рядов партии, которую в народе прозва-
ли «ежовщина».
Не удивительно, что под подозрение чекистов попал немецкий
математик, рискнувший поехать в город, где жил самый опасный по-
литический противник сталинского режима. Целый год за профессо-
ром наблюдали, пытаясь выявить связи, затем 22 ноября 1937 г.
288
СТАТЬИ РАЗЛИЧНОГО СОДЕРЖАНИЯ
Фрица арестовали. Судебный процесс проходил в Новосибирске.
Нётер был признан виновным в том, что, будучи членом террорис-
тической шпионской организации, основанной в Советском Союзе
немецкими разведывательными службами, он по их заданию с 1934
г. занимался шпионажем в пользу гитлеровской Германии и орга-
низацией актов саботажа на оборонных предприятиях СССР В
числе обвинений фигурировали и совсем фантастические: Фриц,
якобы, должен был помочь немецким подводным лодкам пройти
через устье Оби! Никого не озадачило, что Нётер - еврей, считаю-
щийся на родине злейшим врагом национал-социализма. Призна-
вая под давлением следствия свою вину в подобных нелепых обви-
нениях, Фриц, вероятно, надеялся, что суд увидит всю их несураз-
ность. Но этим надеждам не суждено было реализоваться34.
Следствие продолжалось почти год: приговор был зачитан 23
октября 1938 г. Основанием для осуждения названы параграфы 6,
7, 8 и И знаменитой пятьдесят восьмой статьи Уголовного кодекса
Российской Федерации, находящиеся в главе «Преступления про-
тив государства» в разделе «Контрреволюционная деятельность».
Стоит отметить, что все эти параграфы явно или со ссылкой на 2
статьи 58 предполагали в качестве меры наказания либо смертную
казнь, либо объявление «врагом трудящихся» с лишением советс-
кого гражданства. О тюремном заключении упоминалось лишь
вскользь и в самом конце. Исключение представлял шестой параг-
раф, там эта последовательность изменена на противоположную:
«Шпионаж, т.е. передача, раскрытие или предпринятый с целью
передачи сбор разведывательных материалов, чье содержание
представляет особо важную государственную тайну, в пользу зару-
бежных государств, контрреволюционных организаций или част-
ных лиц, влечет за собой лишение свободы на срок не менее трех
лет, связанное с полной или частичной конфискацией имущества; в
случаях, когда шпионаж приводит или мог бы привести к особо
тяжелым последствиям для интересов СССР: высшая мера соци-
альной защиты - расстрел или объявление «врагом трудящихся»,
связанное с лишением гражданства Советского Союза»35
Приговор оказался суров: 25 лет заключения с конфискацией
имущества. Оставшихся без родителей Германа и Готфрида Нёте-
ров в марте 1938 г. просто выслали из СССР То, что им невоз-
можно вернуться в Германию, где они вместе с отцом в том же
году были лишены немецкого гражданства, никого не волновало.
К счастью, у Германа и Готфрида нашлись родственники в Шве-
ции, откуда молодых людей удалось переправить в США. Оба по-
лучили хорошее образование и стали в Америке известными уче-
ными. Именно благодаря их усилиям и перестройке Михаила Гор-
Е.М. Беркович 289
бачева стали известны те факты о жизни и смерти Фрица Нётера,
о которых мы ведем речь.
Но то, что судьба сыновей Нётер сложится благополучно, ник-
то тогда не мог знать. Альберт Эйнштейн, обеспокоенный извести-
ем об аресте профессора Нётера, не преминул походатайствовать и
о его детях. В 1994 г. опубликован русский перевод письма вели-
кого физика наркому иностранных дел М.М.Литвинову36. Письмо
написано в апреле 1938 г., когда подследственный Фриц ждал вы-
несения приговора:
«Господину Народному Комиссару
Литвинову
Москва, СССР
28 апреля 1938 г.
Глубокоуважаемый господин Литвинов!
Обращаясь к Вам с этим письмом, я выполняю тем самым
свой долг человека в попытке спасти драгоценную человеческую
жизнь. Речь идет о математике, профессоре Фрице Нётере, кото-
рый в 1934 г. был назначен профессором Томского университета.
22 ноября 1937 г. он был арестован и препровожден в Новоси-
бирск в связи с обвинением в шпионаже в пользу Германии. Два
его сына были 20 марта 1938 г. высланы из России. Я очень хоро-
шо знаю Фрица Нётера как прекрасного математика и безукориз-
ненного человека, не способного на какое-либо двурушничество.
По моему убеждению, выдвинутое против него обвинение не может
иметь под собой оснований. Моя просьба состоит в том, чтобы
Правительство особенно обстоятельно расследовало его дело, дабы
предотвратить несправедливость по отношению к исключительно
достойному человеку, который посвятил всю свою жизнь напря-
женной и успешной работе. Если его невиновность подтвердится, я
прошу Вас поспособствовать тому, чтобы и оба его сына смогли
вернуться в Россию, чего они хотят более всего. Эти люди заслу-
живают особого к ним внимания.
С глубоким уважением
Профессор А. Эйнштейн»31
Как и следовало ожидать, просьба Эйнштейна осталась без
внимания. Не удалась и попытка знаменитого Германа Вейля по-
мочь Фрицу. В письме, написанном 3 октября 1939 г. математику
Н.И.Мусхелишвили, Вейль, тоже вынужденный эмигрировать из
Германии, страшась за судьбу двух сыновей и жены-еврейки, про-
сил грузинского коллегу подключить к делу Фрица Нётера всемо-
гущего Лаврентия Берию, которого Вейль назвал в письме Нико-
лаю Ивановичу «твой друг»38.
290
СТАТЬИ РАЗЛИЧНОГО СОДЕРЖАНИЯ
Напрямую писать властям Вейль не решился, опасаясь еще
больше навредить осужденному напоминанием о его связях с заг-
раницей.
Продлись следствие еще хотя бы на несколько месяцев, кто
знает, может, обвинительного приговора и вовсе бы не было. Ведь
до радикального изменения советского политического курса остава-
лись считанные месяцы. Уже весной 1939 г. начались секретные
советско-немецкие переговоры, в результате которых в августе того
же года был заключен знаменитый Пакт Молотова-Риббентропа о
ненападении. Через восемь дней началась Вторая мировая война, в
начале которой Советский Союз и гитлеровская Германия выступа-
ли союзниками. Между двумя странами действовало соглашение
об обмене заключенными, однако на Фрица Нётера эта процедура
не распространялась: в 1938 г. его и двух его сыновей лишили не-
мецкого гражданства по закону от 14 июля 1933 г. По этому же за-
кону перестали быть гражданами Рейха многие противники нациз-
ма, среди них Альберт Эйнштейн и Томас Манн.
Фактических доказательств вины Фрица перед советской влас-
тью не было и не могло быть. В приговоре есть ссылка на показа-
ния самого обвиняемого, сделанные на предварительном следст-
вии, а также протоколы очных ставок с другим обвиняемым, быв-
шим директором института Л.А.Вишневским. Когда пятьдесят лет
спустя Пленум Верховного суда СССР вновь исследовал материа-
лы дела, то было установлено, что все указанные протоколы под-
деланы. Не было на самом деле ни признания Фрица Нётера, ни
показаний против него со стороны Вишневского. Допросы бывших
сотрудников Фрица, выступавших в качестве свидетелей, одноз-
начно говорят о лояльности Нётера советской власти, никаких ан-
тисоветских высказываний от него никто не слышал. Косвенным
подтверждением этого служит и тот факт, что Фриц готовился
принять советское гражданство.
Кроме того, и почвы для шпионажа у немецкого профессора
не было: в Институте математики и механики Томского универси-
тета не велись работы по развитию каких-либо современных сис-
тем вооружения. К единственному баллистическому отделу, в кото-
ром исследовались хоть какие-то военные задачи, хоть и не связан-
ные ни с каким секретным оружием, Нётер никого отношения не
имел. К секретным работам допуска профессор не имел, ни в ка-
кие военные тайны посвящен не был.
Говорят, хотя это и не подтверждено имеющимися в распоря-
жении историков документами, что имя профессора стояло в ут-
вержденном руководителем Имперского управления безопасности
Р.Гейдрихом списке лиц, подлежащих немедленному аресту после
захвата Германией территории СССР39.
Е.М. Беркович 291
Но арестовать математика, отбывавшего наказание в знамени-
том Орловском централе, гитлеровцы не успели - он раньше пал
жертвой советской карательной системы. Ибо в глазах руководите-
лей СССР математик, которого гитлеровцы считали предателем
Третьего рейха, принадлежал также к опаснейшим врагам Советс-
кого Союза. Так несчастный Фриц Нётер оказался врагом, а точ-
нее, жертвой, двух могущественных диктатур: сталинской и гитле-
ровской.
В Орловском централе. Каторжная тюрьма в Орле с момента
своего основания в 1840 г. служила местом заточения политичес-
ких заключенных. В годы сталинских репрессий там томились
главные политические противники вождя: Христиан Раковский,
Мария Спиридонова, Валентин Арнольд, Петр Петровский, Ольга
Каменева и др.40 Отбывал там свой срок и Фриц Нётер.
Когда в конце лета 1941 г. война с бывшим союзником, а те-
перь заклятым врагом - гитлеровской Германией - подкатила к го-
роду Орлу, большая часть заключенных Орловского централа
была этапирована в другие тюрьмы и лагеря, подальше от линии
фронта. Но от наиболее опасных своих врагов Сталин решил изба-
виться немедленно. Он подписал специальное постановление выс-
шего в то время государственного органа - Государственного коми-
тета обороны за №ГКО-634сс от 6 сентября 1941 г., позволявшее
Военной коллегии Верховного суда СССР осуждать людей и выно-
сить им смертные приговоры. При этом даже возбуждать уголов-
ное дело и проводить предварительное и судебное разбирательства
не требовалось.
В отношении 157 орловских заключенных, в том числе и Фри-
ца Нётера, смертный приговор был вынесен 8 сентября 1941 г. Во-
енная коллегия под председательством В.В.Ульриха (члены Кол-
легии Д.Я.Кандыбин и В.В.Буканов) осудила заключенных по
статье 58-10 (часть вторая) за антисоветскую агитацию и пропаган-
ду, естественно, целым списком в отсутствие обвиняемых и без ка-
ких-либо доказательств их вины.
Расследование обстоятельств этого приговора проводила в
1988 г. Главная военная прокуратура, действующая по решению
Верховного суда СССР, её вывод однозначен: «приговор Военной
коллегии Верховного суда СССР от 8 сентября 1941 г. является
необоснованным, противозаконным и противоправным ввиду отсут-
ствия состава преступления осужденных и затем расстрелянных
граждан».
Выяснилось, что список заключенных, подлежащих уничтоже-
нию, составлялся сотрудниками Первого специального отдела
НКВД по особому указанию руководства и при непосредственном
292
СТАТЬИ РАЗЛИЧНОГО СОДЕРЖАНИЯ
участии Б.З.Кобулова. Как подтвердил М.И.Никольский, бывший
начальник тюремного управления НКВД СССР, подписавший этот
список, никакими материалами, свидетельствующими об антисовет-
ской деятельности заключенных, тюремное управление НКВД
СССР не располагало.
Сталин придавал операции по уничтожению своих противни-
ков такое большое значение, что не доверил расстрел заключенных
местной тюремной администрации, как было обычно принято. Че-
рез день после вынесения приговора, в Орел прибыла оперативная
группа из Москвы, чтобы выполнить спецзадание расстрелять
осужденных Военной коллегией заключенных.
Как рассказывал на следствии бывший начальник Управления
НКВД по Орловской области К.Ф.Фирсанов, приговоренные
«препровождались в особую комнату, где специально подобранные
лица из числа личного состава тюрьмы вкладывали в рот осужден-
ному матерчатый кляп, завязывали его тряпкой, чтобы он не мог
его вытолкнуть, и после этого объявляли о том, что он приговорен
к высшей мере наказания - расстрелу. После этого приговоренного
под руки выводили во двор тюрьмы и сажали в крытую машину с
пуленепробиваемыми бортами...».
Фирсанов упомянул даже такую деталь: «деревья, которые на-
ходились в лесу на месте захоронения, предварительно выкапыва-
лись с корнем, а после погребения расстрелянных возвращались на
свои места».
Под одним из таких деревьев в редком орловском лесу и поко-
ится тело Фрица Нётера, лишенного немецкого гражданства, но
так и не ставшего гражданином СССР
Сотрудники Управления НКВД не раз под видом грибников
выезжали в те места, где были похоронены расстрелянные, чтобы
убедиться, что замаскированные могилы не потревожены. Эти слу-
жебные «грибные инспекции» прекратились только 3 октября
1941 г., когда танковая армия Гудериана захватила Орел.
В Постановлении Верховного суда СССР №308-88 от 22 де-
кабря 1988 г. говорится: «С учетом всех этих обстоятельств следу-
ет заявить, что Нётер был осужден безосновательно. В соответст-
вии с пунктом 1 параграфа 18 Закона о Верховном суде СССР
Верховный суд СССР постановляет: приговор Военной коллегии
Верховного суда СССР от 23 октября 1938 г. и от 8 сентября
1941 г. в отношении Нётера Фрица Максимилиановича отменить и
дальнейшее судопроизводство прекратить в связи с отсутствием
состава преступления». Постановление подписано председателем
Верховного суда СССР С.И.Гусевым.
На могиле Регины Нётер на католическом кладбище старинно-
го городка Гёнгенбах, рядом с надгробной плитой с её именем, ко-
Е.М. Беркович 293
торую Фриц своими руками установил в 1935 г. его сыновья пос-
тавили новый памятный знак: камень, на котором каждый может
прочитать такую надпись:
«В память
профессора доктора Фрица Александра Нётера
7 октября 1884 Эрланген - 10 сентября 1941 Орел
Железный Крест 1914-18
ЖЕРТВА ДВУХ ДИКТАТУР
1934 - изгнан из Германии из-за расы
1938 - в Советском Союзе обвинен и осужден
1941 - казнен
1988 - объявлен невиновным»
Весть о посмертной полной реабилитации Фрица Нётера сооб-
щил сыну расстрелянного профессора Герману первый секретарь
посольства СССР в США Андрей Парастаев. В письме от 12 мая
1989 г. советский чиновник выразил формальные соболезнования,
подчеркнув, что никакими словами нельзя уменьшить боль от по-
тери близкого человека. Но для детей Фрица стало, по крайней
мере, ясно, как и где закончил свой жизненный путь их отец, по-
павший, как зернышко, меж тяжелых жерновов двух самых безжа-
лостных диктатур кровавого двадцатого века41
Примечания
1 См., например: Stude Jilrgen. Geschichte der Juden in Bruchsal // Veroffentlichun-
gen zur Geschichte der Stadt Bruchsal. Ubstadt-Weiher: Verlag Regionalkultur, 2007
Bd.23.
2 Данные взяты из книги Dick Auguste. Emmy Noether. 1882-1935. Boston, Basel, Stut-
tgart: Birkhauser Verlag, 1980. Это дополненный автором английский перевод пер-
вого издания книги Dick Auguste. Emmy Noether. 1882-1935. Basel: Birkhauser Ver-
lag, 1970. В первом издании сведения о фамилии Неттер отсутствуют. В этой книге
«Эдикт о евреях» называется «Эдиктом толерантности» («Toleranzedikt»), хотя в
другой исторической литературе этот термин применяется к другим законодатель-
ным актам.
3 См. мою статью: Беркович Евгений. Сага о Прингсхаймах / / Еврейская старина.
2008. №2(55).
4 См., например, статью: Berry Collin. The Nobel scientists and the origins of scientific
achievement // British Journal of Sociology. 1981. Vol.32. №3 и книгу Feuer Lewis.
The scientific intellectual. The Psychological & Sociological Origins of Modern Scien-
ce. Basic Books. New York, London: Inc., Publishers, 1963.
5 O'Conner J. J , Robertson E.F.. Max Noether // The MacTutor History of Mathema-
tics archive. St. Andrews, Scotland: School of Mathematics and Statistics University of
St. Andrews, Scotland, 2009.
6 О Клебше см. мою статью Беркович Евгений. Альфред Клебш и его школа. // За-
метки по еврейской истории. 2009. №10 (ИЗ).
7 Беркович Евгений. Год математики и уроки истории // Заметки по еврейской исто-
рии. 2008. №10(101).
8 См. уже упомянутую статью: Беркович Евгений. Сага о Прингсхаймах // Еврей-
ская старина. 2008. №2(55).
294
СТАТЬИ РАЗЛИЧНОГО СОДЕРЖАНИЯ
9 Беркович Евгений. Год математики и уроки истории // Заметки по еврейской исто-
рии. 2008. №10(101).
10 Klein Felix. Vergleichende Betrachtungen iiber neuere geometrische Forschungen /
Math. Ann. 1893. Bd.43. №1. S.63-100.
11 Риман Б. О гипотезах, лежащих в основе геометрии // Об основаниях геометрии.
М. 1956. С.324.
12 Segal Sanford. Mathematicians under the Nazis. Princeton: Princeton University Press,
2003. P.27O
13 Fisher C.S. The Death of a Mathematical Theory // Archive for History of Exact Sci-
ences. 1966. P.137-159. Паршин А.Н. Давид Гильберт и теория инвариантов / / Ис-
торико-математические исследования. М., 1975. Вып.20. С. 171-197
14 Klein Felix. Lectures on the Icosahedron and the Solution of Equations of the Fifth De-
gree / Trans. G.G.Morrice. 2nd ed. London: Kegan Paul, 1913. P VIII-IX.
10 Письмо автору из Государственного архива города Эрланген от 29 декабря 2008 г
подписанное архивариусом Ренатой Вюншман (Renate Wiinschmann). Будучи уже
смертельно больным, Макс обязал и свою дочь Эмму последовать его примеру и
сменить религию. Согласно упомянутому письму из эрлангенского архива, её пере-
ход в христианство датирован 29 декабря 1920 г. Я благодарен Виктору Фишману за
любезное указание на факт крещения Макса и Эммы Нётер.
16 Honig Richard (1890-1981) - профессор юридического права в Гёттингене, эмигри-
ровал в 1933 г. в Стамбул.
17 Bondy Curt Werner (1894-1972) - профессор социальной психологии в Иттингене,
после увольнения в 1933 г. работал с Мартином Бубером во Франкфурте в организа-
ции по оказанию помощи евреям. После Хрустальной ночи попал в концлагерь Бу-
хенвальд, потом эмигрировал в Англию, потом в США.
18 Независимая социал-демократическая партия Германии (Unabhangige Sozialdemok-
ratische Partei Deutschlands - USPD) - в период с 1917 по 1922 гг. - одна из массо-
вых политических партий. После 1922 г. потеряла большую часть членов и не была
представлена в парламенте. Окончательно распущена в 1931 г.
19 Социал-демократическая партия Германии (Sozialdemokratische Partei Deutschlands
- SPD) - одна из старейших политических партий, представленных в парламенте.
20 Gumbel Emil Julius (1891-1966) - немецкий математик-статистик и политический
публицист. По требованию национал-социалистически настроенных студентов был
уволен из Гейдельбергского университета в 1932 г. еще до прихода нацистов к влас-
ти. Имя Гумбеля стояло в первом списке лишаемых немецкого гражданства по наци-
стскому закону от 14 июля 1933 г.
21 Из некролога, написанного 77. С.Александровым. Цитируется по книге: Segal San-
ford. Mathematicians under the Nazis. Princeton: Princeton University Press. 2003.
P.59
22 Цит. по работе: Schappacher Norbert’. Das Mathematische Institut der Universitat
Gottingen. 1929-1950 // Becker, Dahms, Wegeler (Hrsg.). Die Universitat Gottin-
gen unter dem Nationalsozialismus. Miinchen: K.G.Saur. 1998.
23 Pinl Max und Furtmiiller Lux. Mathematicians under Hitler / / Leo Baeck Year Book.
XVIII. P.133. По некоторым сведениям, этим студентом в форме СА являлся друг
Освальда Тайхмюллера Эрнст Витт (Ernst Witt) - см. книгу: Segal Sanford. Mathe-
maticians under the Nazis. Princeton: Princeton University Press. 2003. P.60.
24 Памяти Эммы Нётер. Речь, произнесенная президентом Московского математиче-
ского общества П. С. Александровым на заседании общества 5 сентября 1935 г. //
Успехи математических наук. 1936. №2. С.255-265.
25 Рид Констанс. Гильберт. М., 1977
26 Kaufmann Wilhelm. The Germans in the American Civil War. With a biographical di-
rectory. Carlisle, PA: John Kallmann, 1999.
27 Цитируется по работе: Schlote K.-H. Fritz Noether - Opfer zweier Diktaturen /,
NTM - Schriftenreihe Gesch. Naturw., Techn., Med. Leipzig, 1991. №28.
28 Там же, с.35.
Е.М. Беркович 295
29 О Теодоре Лессинге см.: Беркович Евгений. Теодор Лессинг - пророк и жертва //
Беркович Е.М. Банальность добра. Герои, праведники и другие люди в истории Хо-
локоста. М. 2003.
30 В книге: Segal Sanford. Mathematicians under the Nazis. Princeton: Princeton Univer-
sity Press, 2003 говорится об эмиграции в 1933 г. (С.61), что, по-видимому, является
ошибкой (см. книгу: Siegmund-Schultze Reinhard. Mathematiker auf der Flucht vor
Hitler. Deutsche Mathematiker Vereinigung. Braunschweig-Wiesbaden, 1998. S.296).
31 Данные приводятся по книге: Unger Corina. Reise ohne Wiederkehr? Darmstadt: Pri-
mus Verlag, 2009.
32 См., например: Tobies Renate. Biographisches Lexikon in Mathematik promovierter
Personen // Algorismus. Studien zur Geschichte der Mathematik und der Naturwis-
senschaften / Hrsg. v Menso Folkerts. Augsburg: Dr. Erwin Rauner Verlag, 2006.
Hf.58.
33 В работе: Schlote К. -H. Fritz Noether - Opfer zweier Diktaturen / / NTM - Schriften-
reihe Gesch. Naturw., Techn., Med. Leipzig, 1991. Bd.28. говорится о городе «Gegen-
bach im Schwarzwald». Это, скорее всего, ошибка, так как населенного пункта с име-
нем Gegenbach в Шварцвальде нет (письмо автору сотрудника государственного ар-
хива во Фрайбурге Рееса (Rees) И мая 2009 г.).
34 На связь «дела Нётера» с «делом Лузина» указывают С.С. Демидов и Б.В.Левшин в
книге: Дело академика Николая Николаевича Лузина / Под ред. С.С.Демидова и
Б.В.Левшина. СПб. 1999: «Дело Лузина» стало сигналом для развертывания пре-
следований аналогичного характера по всему Союзу. Так, по его образцу было орга-
низовано дело в Томске, где объектом нападок стала группа математиков (среди них
два бежавших от нацизма, и направленных Наркомпросом в Томский университет
немецких математика - Стефан Бергман и брат Э.Нётер Фриц Нётер), издавших на
немецком языке «Известия НИИ математики и механики». См.: Кликушин М.В.,
Красильников С.А. Анатомия одной политической кампании 1936 года: «лузинщи-
на» в Сибири // Советская история: проблемы и уроки. Новосибирск, 1992. Я бла-
годарен С.С. Демидову за указание на этот аспект темы.
35 Уголовный кодекс Российской Советской Федеративной Социалистической Респуб-
лики (РСФСР) от 22 ноября 1926 г. с изменениями от 1 августа 1930 г.
36 М.М.Литвинов (1876-1951) - советский дипломат. В 1930-1939 гг. - Народный Ко-
миссар иностранных дел, в 1941-1943 гг. - заместитель министра иностранных дел,
посол СССР в США.
37 Письмо Альберта Эйнштейна М.М.Литвинову в защиту проф. Ф.Нётера. 28 апреля
1938 г. (а также письма в защиту физиков Ф.Хоутерманса и А.Вайссберга) / Публ.
и пред. В.Я.Френкеля. Пер. Л.В.Славгородской и В.Я. Френкеля / / Звезда. 1994.
№12. С.187-193.
38 Siegmund-Schultze Reinhard. Mathematiker auf der Flucht vor Hitler. Deutsche Mat-
hematiker Vereinigung. Braunschweig-Wiesbaden, 1998. S.121.
39 См. например, книгу: Segal Sanford. Mathematicians under the Nazis. Princeton:
Princeton University Press, 2003. P.62.
40 Егор Щекотихин. Орловская битва - два года: факты, статистика, анализ. В 2-х кн.
Орел, 2006. Книга первая - 696 с. Книга вторая - 744 с.
41 Когда предварительная версия этой статьи появилась в интернете (http:/ / berko-
vich-zametki.com/2009/ Starina/ Nomer2/ Berkovichl.php), автор получил пись-
мо от математика Бориса Шайна, живущего и работающего сейчас в США. По сло-
вам Бориса Шайна, заведующий кафедрой аэро- и гидродинамики Саратовского го-
сударственного университета С.В.Фалькович в 70-х годах прошлого века рассказы-
вал ему, как осенью 1941 г. случайно встретился в Москве с Фрицем Нётером, с ко-
торым был знаком с довоенных времен. Фриц рассказал Фальковичу, что его недав-
но освободили и он ехал на Лубянку хлопотать о возврате конфискованных книг
(подробнее об этом в заметке Беркович Е.М., Шайн Б.М. Одиссея Фрица Нётера.
Послесловие // Заметки по еврейской истории. 2009. №11(114).) Неожиданное
освобождение уже осужденного заключенного, затем новый арест и казнь очень на-
поминают историю польских деятелей рабочего движения Хенрика Эрлиха и
296 СТАТЬИ РАЗЛИЧНОГО СОДЕРЖАНИЯ
Виктора Альтера, арестованных в 1939 г., приговоренных летом 1941 г. к расстрелу,
замененному вскоре на 10 лет тюремного заключения, однако освобожденных в сен-
тябре того же года. Эрлиху и Альтеру было поручено организовать и возглавить Ев-
рейский антифашистский комитет (ЕАК), однако планы Сталина в отношении них
изменились, и в декабре 1941 г. их снова арестовали. В мае следующего года Эрлих
в тюремной камере покончил собой, а в феврале 1943 г. Альтера расстреляли (см.
например: Костырченко Г.В. Тайная политика Сталина. М., 2001). Совпадение не-
которых обстоятельств и сроков «дела Нётера» и «дела Эрлиха - Альтера» дает
основания предположить, что и Нётер мог использоваться НКВД на раннем этапе
создания ЕАК, однако эта версия требует еще дальнейшей проработки.
НАШИ ПУБЛИКАЦИИ
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ «НЕДЕЛИМЫЕ» БОНАВЕНТУРЫ
КАВАЛЬЕРИ (К ПУБЛИКАЦИИ ТРАКТАТА КАВАЛЬЕРИ
«О ВЕЛИЧИНАХ ПОД СПИРАЛЯМИ»)1)
К 110-летию В.П.Зубова
Е. А. Зайцев
«Если Архимед всякий раз, когда доказывает
отношение между некоторой криволинейной фигурой
и другой известной фигурой, прибегает к обилию слов
и косвенному рассуждению, то современный геометр
(Кавальери. Е.З.), устремляясь, так сказать, в
бесконечность, разумом схватывает последний предел
непрерывно идущих разделений и подразделений».
Ж.Э.Монтюкля. «История
математики» [1, т.2, с.38].
I. Введение: метод «неделимых» Кавальери
Появление метода «неделимых» в работах итальянского мате-
матика Бонавентуры Кавальери (1598-1647) ознаменовало начало
принципиально нового этапа в развитии интегрального исчисления.
В рамках этого метода был впервые разработан оригинальный при-
ем вычисления площадей и объемов криволинейных фигур и тел,
основанный на применении необычных геометрических конструк-
ций, носящих название «все линии» данной фигуры или «все
плоскости» данного тела. Во избежание смысловых аберраций, на-
веянных идеями античной и современной математики, мы будем
называть их нейтральным термином «пучок».
1) Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундамен-
тальных исследований (проект №11-06-00194а), Gerda Henkel Stiftung и Библиотеки
герцога Августа (Вольфенбюттель, Германия).
298
НАШИ ПУБЛИКАЦИИ
«Пучок» линий или плоскостей нельзя отождествить ни с (ак-
туально) бесконечным множеством всех линий данной фигуры или
всех плоскостей данного тела, ни с их (актуально) бесконечной
суммой. Ибо подобное отождествление опирается на такое понятие
о бесконечности, которое в первой пол. XVII в. отдавая дань
средневековой традиции антиномий бесконечности, считали проти-
воречивым и, следовательно, непригодным для использования в
математике. На недопустимость отождествления «пучка» с (акту-
ально) бесконечной совокупностью линий или плоскостей
(infinitum simpliciter средневековой схоластики) указывал и сам
Кавальери, когда разбирал логические предпосылки своего метода.
Что же касается истолкования понятия «пучок» в терминах
потенциальной бесконечности, то таковое также не может быть
признано адекватным: при помощи «всех линий» и «всех плоскос-
тей» итальянский математик явно выходил за пределы классичес-
кого античного финитизма. Неадекватность указанных современ-
ных понятий связана с тем, что Кавальери, несмотря на революци-
онный характер своего творчества, во многом оставался наследни-
ком схоластической школы. А в средневековой схоластике, особен-
но в позднесредневековом номинализме, актуальная и потенциаль-
ная бесконечность трактовались не как самостоятельные понятия,
но как крайние виды в рамках общего рода «бесконечное», допус-
кающие существование нескольких «промежуточных» видов того
же рода. На основании одного из таких «промежуточных» видов
бесконечного (какого именно, еще предстоит выяснить исследова-
телям) Кавальери и построил свою концепцию «неделимых».
Изложению метода «неделимых» посвящены два латинских
трактата Кавальери. Первый, основной труд называется «Geomet-
ria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota» (пер-
вое издание 1635 г. второе посмертное издание 1657 г.) [2]. Его
название можно перевести «Геометрия, изложенная новым спосо-
бом при помощи неделимых непрерывных» или «Геометрия непре-
рывных, изложенная новым способом при помощи неделимых».
Первый перевод принадлежит С.Я.Лурье, второй - А.Койре [3; 4,
с.335-336]. Другой трактат носит название «Exercitationes
geometricae sex» или «Шесть геометрических опытов» (издан в
1647 г.) [5]. В рамках этой статьи мы будем называть их сокра-
щенно «Геометрия» и «Опыты»1
Обратимся к краткому описанию математического содержания
метода «неделимых» Кавальери (подробнее о нем см.: [3, с.5-92;
4; 7; 8]). Ставится следующая задача: найти отношение между ве-
личинами двух плоских фигур или двух тел. Для этого предлага-
ется вместо самих фигур или тел рассмотреть необычный геометри-
ческий объект: «все линии» сравниваемых фигур, параллельные
Е.А. Зайцев
299
заданной линии (регуле) или «все плоскости» тел, параллельные
заданной плоскости. При помощи перегруппировки (если это необ-
ходимо) или без таковой «всех линий» или «всех плоскостей» на-
ходится математическое отношение между ними. Отметим, что не-
обходимым условием существования отношений между «пучками»
линий или плоскостей является придание им статуса математичес-
ких величин2.
После нахождения отношения между «пучками» применяется
основное положение метода «неделимых» (знаменитый «принцип
Кавальери»), согласно которому отношение «всех линий» сравни-
ваемых фигур или «всех плоскостей» сравниваемых тел равно от-
ношению величин самих фигур или тел. Задача решена. Если ве-
личина одной из фигур или одного из тел известна, то тем самым
становится известной и величина другой фигуры или другого тела.
Кроме «всех линий» данной плоской фигуры Кавальери использо-
вал также понятие «всех квадратов», «всех прямоугольников» с
фиксированной стороной и т.д. построенных на «всех ее линиях».
В качестве иллюстрации к сказанному рассмотрим конкретный
пример применения техники «неделимых» Кавальери. Пусть тре-
буется найти отношение между величинами цилиндра и вписанного
в него конуса. Из работ Архимеда известно, что оно равно 3:1. От-
метим, что традиционное античное доказательство этого факта опи-
рается на метод исчерпывания, то есть не является конструктив-
ным (ибо содержит рассуждение от противного). Метод Кавалье-
ри, напротив, позволяет дать прямое доказательство, которое раск-
рывает «причину» существования указанного отношения между
данными величинами.
В основе доказательства итальянского математика лежит сле-
дующая оригинальная идея. Обычно цилиндр рассматривается как
фигура, порожденная вращением прямоугольника вокруг его сто-
роны, а конус прямоугольного треугольника вокруг катета. Но
тогда, как замечает Кавальери, возникает странная вещь: поверх-
1
ность треугольника составляет — поверхности прямоугольника с
тем же основанием и высотой, в то время как объем конуса равен
— объема цилиндра. Причина парадокса состоит в том, что конусу
были поставлены в соответствие «все его треугольники» или «сле-
ды» (термин Кавальери) вращения образующего треугольника, а
цилиндру - «все его прямоугольники», то есть «следы» вращения
образующего прямоугольника. Согласно Кавальери, оба «пучка»
выбраны некорректно, ибо расстояние между их частями непосто-
янно: чем дальше отстоит точка треугольника (или прямоугольни-
300
НАШИ ПУБЛИКАЦИИ
ка) от оси вращения, тем больше расстояние между нею и любым
ее «следом». Чтобы разрешить эту трудность Кавальери считает
необходимым отказаться от использования величин вращающихся
(вертикальных) фигур и их «следов». Вместо этого он предлагает
рассмотреть отношение между горизонтальными «пучками», то
есть «всеми плоскостями» конуса и «всеми плоскостями» цилинд-
ра, параллельными их общему основанию. В случаях цилиндра и
конуса эти плоскости представляют собой круги.
В нашем изложении решения Кавальери мы будем использо-
вать алгебраические формулы, однако, лишь как способ сокраще-
ния его словесных рассуждений, то есть, сохраняя их геометричес-
кий дух. Сам Кавальери формул не использовал (в одном из пи-
сем он ссылается на то, что плохо владеет алгеброй). Все его пост-
роения носят чисто геометрический, наглядный характер.
Рассмотрим прямоугольник EACG и прямоугольный треуголь-
ник ECG (рис.1), вращением которых вокруг отрезка CG получа-
ются соответственно цилиндр и конус. Пусть RV и TV - проекции
произвольных кругов, находящихся соответственно внутри цилинд-
ра и конуса на одной высоте от основания. Если обозначить отрезок
RV через а (очевидно, что а - константа, равная радиусу цилинд-
ра), то величина произвольного «слоя» цилиндра постоянна и равна
ля2 Обозначим переменную величину TV через х. Площадь произ-
вольного «слоя» конуса будет переменной величиной, равной лх2
Рассмотрим «все плоскости» цилиндра и конуса и составим от-
ношение между ними. Величина каждого «слоя», являющегося
кругом, пропорциональна квадрату, построенному на радиусе этого
круга. Поэтому отношение «всех плоскостей» конуса ко «всем
плоскостям» цилиндра будет равно отношению «всех квадратов»
радиусов круговых сечений конуса ко «всем квадратам» радиуса
Рис.1
Е. А. Зайцев
301
цилиндра. Обоснованность такого умозаключения вызывает, разу-
меется, сомнение, так как речь идет, по сути, о перенесении свойс-
тва дистрибутивности на бесконечные совокупности. Тем не менее,
Кавальери смело выносит коэффициент к за скобки, внутри кото-
рых находятся «все квадраты» радиусов, и сводит задачу к нахож-
дению отношения «всех квадратов» радиусов круговых сечений ко-
нуса ко «всем квадратам» радиуса цилиндра.
Начертим в прямоугольнике ACGE среднюю линию BF и вве-
дем дополнительные обозначения: b = ВС(2Ь = а), у = RT, z = ST
Тогда величины х, у, z, Ь связаны соотношениями: x-b-z,
у = b + z\ откуда
х1 + у2 = 2(62 4- z2). (1)
Формулу (1) можно вывести при помощи геометрической ал-
гебры.
Из величин х состоят «все линии треугольника CEG; из вели-
чин у - «все линии» треугольника АСЕ] из величин z - «все ли-
нии» двух треугольников ВСМ и FEM] из величины Ь - «все ли-
нии» прямоугольника ABFE. «Все квадраты», построенные на ра-
диусе цилиндра, то есть «все квадраты на а», обозначим через
[ACGE], «все квадраты», построенные на радиусах конуса, то есть
«все квадраты на х», через [CEG], «все квадраты на у» через
[АСЕ], «все квадраты на z» через [ВСМ] 4- [FEM], а «все квадра-
ты на 6» через [ABFE]. Тогда из равенства х2 4- у2 = 2(62 4- z2)
следует равенство:
[CEG] 4- [АСЕ] = 2[ABFE] + 2[ВСМ] + 2[FEM],
или
2[CEG] = 2[ABFE] + 4[ВСМ],
откуда
[CEG] = [ABFE] 4- 2[ВСМ]. (2)
Так как прямоугольник ABFE составляет половину прямоу-
гольника ACGE, то отношение «всех линий 6» ко «всем линиям а»
равно 1:2, и, значит, «все квадраты этих линий» находятся в отно-
шении 1:4. Иначе говоря, верно равенство:
1
[ABFE] =—[ACGE]. (3)
4
С другой стороны, поскольку треугольник ВСМ подобен треу-
1
гольнику CEG с коэффициентом подобия, равным —, отношение
1
[ВСМ] к [CEG] будет выражаться кубом числа —, то есть
302
НАШИ ПУБЛИКАЦИИ
[BCM] = -[C£G]. (4)
8
Используя (3) и (4), запишем равенство (2) так:
[CEG] = - [ACGE] + —[CEG]. (5)
4 4
Наконец, из формулы (5) получаем
[ACGE] = 3[CEG]. (6)
Это означает, что отношение «всех квадратов» радиусов круго-
вых сечений конуса ко «всем квадратам» радиуса цилиндра равно
1:3. Следовательно, и отношение «всех плоскостей» конуса ко
«всем плоскостям» цилиндра равно 1:3. Таким образом, объем ко-
нуса в три раза меньше объема цилиндра с тем же основанием и
высотой. Теорема доказана3
В геометрических конструкциях, используемых для сравнения
величин тел, в качестве «неделимых» Кавальери задействовал толь-
ко плоские фигуры. Криволинейные поверхности как «пучки» при
этом не применялись. Для сравнения же величин плоских фигур
Кавальери расширяет спектр «пучков», применяя «неделимые ли-
нии» обоих видов: прямолинейные и криволинейные. Прямолиней-
ные «неделимые» плоских фигур, как мы указали выше, представ-
лены «всеми отрезками» прямых линий, лежащими внутри данной
фигуры. Криволинейные же «неделимые» представлены «всеми ду-
гами» концентрических окружностей, лежащих внутри данной фи-
гуры (обычно рассматриваемая фигура является частью круга).
Вопрос о логических основаниях (или, точнее, трудностях)
концепции прямолинейных «неделимых» Кавальери и о геометри-
ческой технике работы с ними достаточно подробно рассмотрен в
историко-математической литературе, и поэтому мы не будем сей-
час на нем останавливаться, Что же касается криволинейных «не-
делимых», то их роль в трудах итальянского математика остается
сравнительно малоизученной. Одной из причин небрежения этой
темой является, по-видимому, относительная неразработанность
техники и скромность результатов, полученных с их помощью. В
печатных работах Кавальери использует криволинейные «недели-
мые» только в VI книге «Геометрии» и фрагменте трактата «Зажи-
гательное стекло».
Метод криволинейных «неделимых» (пусть и не столь плодот-
ворный, как метод прямолинейных «неделимых») имеет, однако,
особое значение с точки зрения истории инфинитезимальной мате-
матики, ибо с ним тесно связаны истоки революционной техники
Кавальери.
Е.А. Зайцев
303
Прежде всего, криволинейным «неделимым», их «спрямле-
нию» и применению для нахождения поверхностей под спиралями
посвящена первая из дошедших до нас работ итальянского матема-
тика. Это публикуемый ниже в русском переводе рукописный
трактат «О величинах под спиралями» (1623) [9].
Во-вторых, именно криволинейные (а не прямолинейные) «не-
делимые» были задействованы в первой опубликованной работе
Кавальери «Зажигательное зеркало или трактат о конических сече-
ниях» (1632) [10]4.
Наконец, именно в области криволинейных «неделимых» у
Кавальери был обнаружен «предшественник», который еще за че-
тыре столетия до появления работ итальянского математика ис-
пользовал технику изучения плоских величин с помощью их «пуч-
ков» при решении кинематических задач. Это средневековый
схоласт Герард Брюссельский, автор оригинального трактата
«Книга о движении», составленного в кон. XII - первой пол. XIII
вв. [И; 12]5
В начале остановимся коротко на истории криволинейных «не-
делимых» в трудах самого Кавальери. Итак, как было сказано
выше, первой из сохранившихся работ итальянского математика,
посвященных методу «неделимых», является небольшая латинская
рукопись «О величинах под спиралями» (De spatijs helicis)6 Ее
главной темой является нахождение величин плоских фигур, огра-
ниченных витками спирали и радиальными прямыми. Для матема-
тики эта тема не была новой: еще во времена Античности вопрос
изучался Архимедом, изложившим свои результаты в работе «О
спиралях»[16]. Особенностью античного подхода было то, что
квадрирование фигур (точнее, доказательство отношения между их
величинами) проводилось при помощи метода исчерпывания. Ка-
вальери, хорошо знакомый с этой техникой, не пошел, однако, по
стандартному, хорошо протоптанному пути, предполагавшему на-
личие заранее известного результата и использование рассуждения
от противного7 Вместо метода исчерпывания он применил создан-
ный им прямой способ определения искомых отношений между ве-
личинами. При этом он и ввел понятие криволинейных «недели-
мых», представленных «всеми (концентрическими) окружностя-
ми» или «всеми их дугами», лежащими внутри исследуемой фигу-
ры. Поскольку перевод данного трактата публикуется ниже с необ-
ходимыми комментариями, мы опустим изложение его содержания
и обратимся к дальнейшей истории применения криволинейных
«неделимых» в работах Кавальери.
В 1627 г через четыре года после создания рукописи «О ве-
личинах под спиралями», Кавальери подготовил к печати первую
версию своей «Геометрии» (также оставшуюся в рукописи) [19]. В
304
НАШИ ПУБЛИКАЦИИ
нее он включил специальный раздел, посвященный нахождению
величин плоских фигур под спиралями. Однако в этот раз Каваль-
ери не рискнул прибегнуть к разработанной им ранее технике кри-
волинейные «неделимых», но изложил полученные результаты в
стиле Архимеда, то есть при помощи метода исчерпывания (впро-
чем, при этом он привел доказательства, отличные от архимедо-
вых). Можно предположить, что причиной отказа (как мы увидим
ниже временного) от использования криволинейных «недели-
мых» стал тот факт, что даже метод прямолинейных «неделимых»,
логическое обоснование которого выглядело куда более надежным,
не нашел положительного отклика у современников (включая Га-
лилея, мнением которого Кавальери особенно дорожил).
В окончательной печатной версии «Геометрии», увидевшей
свет в 1635 г., итальянский математик снова меняет тактику изло-
жения материала. Он не отказывается полностью от традиции (как
в рукописи «О величинах под спиралями») и не следует ей слепо
(как в рукописной версии «Геометрии» 1627 г.), но идет на комп-
ромисс, который состоит в последовательном использовании обеих
техник. Сначала он применяет метод криволинейных «недели-
мых», чтобы показать, как получается искомый результат, а затем
античный метод исчерпывания, чтобы предъявить его строгое дока-
зательство.
Таким образом, в своей главной работе Кавальери отводит ме-
тоду криволинейных «неделимых» роль полезного эвристического
средства, которое следует дополнить логически безупречным (ра-
зумеется, при условии принятия закона исключенного третьего)
методом исчерпывания. Отметим, что при использовании метода
прямолинейных «неделимых» Кавальери такой осторожности не
проявляет: найдя математическое отношение между «пучками» фи-
гур, он, в соответствии с «принципом Кавальери», сразу переносит
его на фигуры, не требуя подтверждения полученных результатов
классическими античными методами.
II. «Книга о движении» Герарда Брюссельского
Появление понятия «все линии» плоской фигуры и первое его
использование в точных науках (если не считать смутных намеков
в отрывках из античных атомистов) следует отнести к кон. XII
пер. пол. XIII вв., времени появления «Книги о движении», при-
надлежавшей перу малоизвестного схоласта Герарда Брюссельско-
го8 В «Книге о движении» рассматриваются количественные ас-
пекты вращательного движения различных геометрических объек-
тов - линий, поверхностей и тел - вокруг неподвижных осей. При
этом исследование ограничено случаями вращения с постоянной
угловой скоростью. Для каждого из изучаемых вращений требует-
Е.А. Зайцев
305
ся найти «равное» ему движение, являющееся «более простым»
(смысл понятий «равное» движение и «более простое» движение
будет прояснен по ходу изложения основных результатов)9
Чтобы познакомиться поближе с идеями, лежащими в основе
своеобразной техники «неделимых» Герарда, проанализируем три
наиболее важных результата, полученных в его трактате10
В первом случае речь идет о вращении отрезка, являющегося
частью радиуса круга, вокруг его центра11 Пусть отрезок АВ, на-
чало которого не совпадает с центром круга О, вращается вокруг
точки О (рис.2). Задача состоит в нахождении такого равномерно-
го линейного перемещения отрезка АВ, которое было бы «равно»
его вращательному движению. Чтобы решить эту задачу (в том
смысле, как понимал ее Герард), необходимо в начале оценить
особую физическую величину, а именно, «движение» отрезка, взя-
тое целиком (отметим, что точного аналога этому понятию в совре-
менной кинематике нет). Трудность задачи заключается в том, что
разные точки отрезка АВ при вращении движутся с разной линей-
ной скоростью (например, точка В движется со скоростью боль-
шей, а точка А меньшей скоростей точек отрезка, находящихся
между ними). С учетом неравномерного распределения скоростей
по отрезку Герард предлагает следующее решение12.
Рассмотрим полный оборот отрезка АВ вокруг точки О, в ре-
зультате которого он «заметает» плоскую фигуру кольцо
(spatium) ABCD. Это кольцо Герард и выбирает в качестве коли-
чественной оценки вращательного движения отрезка. Отметим, что
такая трактовка величины движения весьма необычна для средне-
вековья, ибо с точки зре-
ния Аристотеля, которому
обычно следует схоласти-
ческая мысль, «движение»
и «поверхность» (плоская
фигура) принадлежат к
разным родам величин,
смешивать которые недо-
пустимо. После чего Ге-
рард ищет равномерное
прямолинейное движение
отрезка АВ, «равное» его
вращению вокруг точки О.
В качестве такового он
предлагает взять парал-
лельный перенос отрезка
АВ в ортогональном нап-
равлении со скоростью,
306
НАШИ ПУБЛИКАЦИИ
равной линейной скорости его середины, точки Е, при вращении.
Так как понятия скорости как отношения пути ко времени у Герар-
да еще не было (и быть не могло, ибо согласно античным и сред-
невековым представлениям отношение возможно только между ве-
личинами одного рода), то в качестве количественной оценки ско-
рости переноса он вынужден был указать расстояние, на которое
отрезок АВ переместится в течении времени, равного времени пол-
ного оборота вокруг точки О. Согласно Герарду, чтобы обеспечить
равенство двух движений, это расстояние должно быть равно дли-
не окружности, описанной точкой Е при вращении. Получается,
что количественной оценкой равномерного поступательного движе-
ния отрезка АВ также является плоская фигура - прямоугольник
ABFG, «заметаемый» отрезком при параллельном переносе. Пос-
кольку кольцо и прямоугольник относятся к одному и тому же
роду величин (плоских фигур), их, в принципе, можно сравнить
между собой13
В результате достаточно сложных логических операций, вклю-
чающих неоднократное применение рассуждения от противного
(столь близкого всякой схоластической мысли), Герард получает
доказательство того, что величина кольца ABCD, «заметаемого»
полным круговым вращением отрезка АВ, равна величине прямоу-
гольника ABFG, «заметаемого» за тот же промежуток времени его
равномерным параллельным переносом. Таким образом, враща-
тельное движение отрезка «равно» его равномерному переносу
При доказательстве этого факта, помимо оригинальной техники
рассуждений, Герард использует также результат Архимеда (из
трактата «Измерение круга»), согласно которому величина круга
равна величине прямоугольного треугольника, один из катетов ко-
торого равен радиусу круга, а второй длине его окружности [27].
Формально, при доказательстве этого предложения никакой новой
(по сравнению с Античностью) инфинитезимальной техники не
применяется.
Проанализируем теперь второе и третье предложение, в ходе
доказательства которых впервые появляется необычный геометри-
ческий объект, носящий название «все линии» плоской фигуры. В
отличие от первого предложения, в котором изучалось движение
(одномерного) отрезка, здесь рассматривается вращение (двумер-
ных) плоских фигур. Доказательствам предложений предпосланы
две аксиомы (II.5-6), в формулировке которых и участвует инте-
ресующее нас понятие:
«II.5. Когда поверхности равны, и равны все их линии, взятые
в той же пропорции, и при этом ни одна из взятых линий не имеет
большего движения, тогда ни одна из поверхностей не имеет боль-
шего движения.
Е. А. Зайцев
307
IL6. Когда ни одна из линий не имеет меньшего движения,
тогда ни одна из поверхностей не имеет меньшего движения»14.
Смысл этих аксиом состоит в следующем. Две плоские фигу-
ры (поверхности) имеют «равные» движения, если выполнены
следующие условия:
(i) величины самих фигур равны,
(i) величины всех соответствующих («взятых в определенной
пропорции») линий этих фигур равны, и
(iii) все соответствующие линии этих фигур имеют «равные»
движения.
В связи с формулировкой аксиом отметим, что Герард нигде
не утверждает, что рассматриваемые плоские фигуры состоят из
(актуально) бесконечного множества «всех линий» или «всех неде-
лимых». Ибо он, будучи хорошо знаком с современными ему дис-
куссиями об антиномиях бесконечного, не допускает использова-
ния в своих рассуждениях противоречивого понятия. Как и Ка-
вальери, он опирается лишь на тот факт, что «все концентрические
окружности» (речь пойдет о круге) и «все отрезки прямых» (речь
пойдет о прямоугольном треугольнике) образуют «плотное» пок-
рытие содержащих их фигур, то есть, что в промежуток между
любыми двумя «неделимыми» линиями можно всегда поместить
третью. С точки зрения геометрии «Начал» этот факт является
очевидным и предполагает лишь потенциальную делимость отрез-
ков. Отметим далее, что между собой сравниваются движения не
произвольных линий (из числа «всех линий»), но линий, взятых в
«определенной пропорции». Говоря современным языком, необхо-
димым условием сравнения движений двух фигур является взаим-
но-однозначное соответствие между «всеми неделимыми» линиями
этих фигур, устанавливаемое специально для решения данной кон-
кретной задачи (примеры см. ниже).
Во втором предложении «Книги о движении» рассматривается
равномерное вращение круга (плоского диска) вокруг оси, перпенди-
кулярной плоскости круга и проходящей через его центр. Требуется
найти «равное» ему движение, которое является «более простым».
Существенное отличие вращения круга от вращения отрезка состоит
в том, что в круге с большей (линейной) скоростью движется боль-
шее число точек. Поясним: если во вращающемся круге выделить два
кольца одинаковой ширины, одно дальше от центра, а другое ближе
к нему, то точки дальнего кольца будут двигаться не только быстрее,
нежели точки ближнего, но этих точек будет и больше по числу (ибо
величина первого кольца больше величины второго). А это означает,
что «по количеству» движение дальнего кольца «больше», чем дви-
жение ближнего (еще раз напомним, что точного аналога средневеко-
вому понятию «количества движения» линии или поверхности в сов-
308
НАШИ ПУБЛИКАЦИИ
ременной кинематике нет). Но тогда в отношении количественной
оценки вращения круга возникает дополнительная сложность, ко-
торой не было в случае вращения отрезка: необходимо не только
оценить величину движения его точек, но и учесть фактор увеличе-
ния их числа по мере удаления от центра. Кроме того, возникает
еще одна проблема. А именно, траектории движения точек круга
лежат в плоскости круга, так что две геометрические величины,
участвующие в оценке движения - сам круг и «пучок» траекторий
его точек, - накладываются друг на друга, что еще больше затруд-
няет их количественное исследование.
Для преодоления указанных трудностей Герард предлагает
поступить следующим образом. Рассмотрим круг KLM, который
равномерно вращается вокруг оси PQ. Пусть он совершает при
этом полный оборот (рис.З). Одновременно рассмотрим равномер-
ное вращение вокруг оси PQ прямоугольного треугольника АВС,
один из катетов которого, а именно, АВ равен радиусу круга, а
другой ВС величине его окружности. Пусть угловая скорость
вращения этого треугольник такова, что свой полный оборот вок-
руг оси PQ он совершает за время, равное времени полного оборо-
та вокруг оси PQ круга KLM Говоря современным языком, угло-
вые скорости вращения треугольника и круга равны.
Опираясь на аксиомы II.5-6, Герард доказывает, что исход-
ный круг и треугольник АВС
Рис.З
имеют «одинаковое движение»
(equaliter moventur). Действи-
тельно, согласно теореме Архи-
меда, величина треугольника
АВС равна величине круга
KLM, так что условие (i) ра-
венства движений выполнено.
Далее, всякая прямая DE, про-
ходящая через произвольную
точку D отрезка АВ и парал-
лельная ВС, равна окружности,
описанной вращением той же
точки £); то есть выполнено ус-
ловие (ii). И наконец, враща-
тельное движение прямой DE,
лежащей внутри треугольника
АВС, «равно» вращательному
движению окружности, описан-
ной точкой D и лежащей внутри
круга KLM, то есть выполнено
условие (iii). Таким образом,
Герард в процессе решения по-
Е.А.Зайцев
309
лучает возможность заменить вращение круга вращением другой
фигуры, которая имеет движение, «равное» движению круга, но
при этом обладает свойствами, позволяющими значительно упрос-
тить поиск количественной оценки ее движения. Во-первых, эта
фигура является прямолинейной (прямоугольный треугольник).
Во-вторых, она расположена перпендикулярно плоскости круга, и,
значит, траектории вращения ее точек лежат в плоскостях, перпен-
дикулярных к ней. В результате Герард получает возможность по-
местить исследуемые величины в разных плоскостях и использо-
вать объемные представления (тела вращения) для сравнения дви-
жений.
А именно, при вращении прямоугольника ABCF вокруг оси
PQ в течении полного оборота «заметается» цилиндр, а прямоу-
гольного треугольника АВС - тело, являющееся частью этого ци-
линдра. Эта часть есть разность между цилиндром и конусом, «за-
метаемым» вращением прямоугольного треугольника ACF вокруг
той же оси PQ. Таким образом, величина вращательного движения
прямоугольного треугольника АВС и, значит, вращательного дви-
жения исходного круга оказывается выраженной посредством те-
лесной (трехмерной) величины. Так как отношение между конусом
и цилиндром с одинаковыми основаниями и высотами равно 1:3, то
отношение разности цилиндра и конуса к цилиндру равно 2:3. Сле-
довательно, вращательное движение круга (равное вращательному
2
движению прямоугольного треугольника АВС) равно — вращатель-
3
ного движения прямоугольника ABCF Искомая количественная
оценка движения найдена. Дальнейшие рассуждения Герарда, свя-
занные с получением окончательного результата, мы опускаем как
не имеющие отношения к вопросу о «неделимых».
При помощи представления движения одной фигуры в виде
движения другой, Герард доказывает и третье предложение своего
трактата. В нем рассматривается вращение вокруг неподвижной
оси боковой поверхности прямого конуса. Снова требуется найти
«равное» движение, которое было бы «более простым». При реше-
нии этой задачи возникают те же трудности, что и во втором пред-
ложении. Во-первых, на поверхности конуса находится больше то-
чек, движущихся с большей скоростью, нежели точек, движущих-
ся с меньшей скоростью. Во-вторых, траектории вращательного
движения точек, лежащих на поверхности конуса, сами находятся
на той же поверхности. По аналогии со вторым предложением Ге-
рард вводит в рассмотрение вспомогательный прямоугольный треу-
гольник, один из катетов которого равен образующей конуса, а
второй - величине его направляющей окружности. Этот прямоу-
310
НАШИПУБЛИКАЦИИ
гольный треугольник, очевидно, равен по величине боковой повер-
хности конуса. Затем, используя все те же аксиомы, Герард пока-
зывает, что вращение поверхности конуса «равно» вращению пост-
роенного треугольника вокруг той же оси. В конечном итоге вра-
щение вспомогательного треугольника оказывается выраженным в
виде телесной величины - разности между некоторым цилиндром
и вписанным в него конусом, и т.д..
Остальные предложения «Книги о движении» не добавляют
ничего существенного по части использования «неделимых».
Чтобы оценить значение понятия «неделимых» («всех линий»)
в концепции Герарда, обратимся к содержательному анализу идей,
которыми средневековый схоласт руководствовался при сведении
задачи сравнения движений двух фигур к сравнению фигур и тел,
«заметаемых» их движениями. В основе подхода Герарда лежит
несколько нетривиальных моментов, на которые следует обратить
особое внимание.
Во-первых, Герард считает, что вращательное движение точек,
лежащих внутри данной фигуры, представляется в виде траекто-
рий, описываемых этими точками в течение полного оборота, то
есть в виде «пучка» концентрических окружностей. Аналогичное
замечание относится и к прямолинейному движению точек, лежа-
щих внутри данной фигуры, траекториями которых является «пу-
чок» параллельных отрезков. Еще раз отметим, что тривиальное
для нас, это положение является, по крайней мере, проблематич-
ным для средневекового последователя Аристотеля, для которого
«движение» точки и пройденный ею путь принадлежат к разным
родам величин.
Во-вторых, движение фигуры (например, отрезка из первого
предложения), взятое целиком, представляется в виде плоской фи-
гуры (кольца или прямоугольника), «заметаемой» этим отрезком
за время, равное времени его полного оборота вокруг центра. Во
втором и третьем предложении движение плоской фигуры, взятое
целиком, представляется «заметаемым» ею телом. В отличие от
представления движения точек в виде линий-траекторий, иллюст-
рация движения линий в виде плоских фигур или плоских фигур в
виде тел, не имеет аналога в современной кинематике (и поэтому
трудно для понимания современным читателем).
В-третьих, во втором и третьем предложении, Герард соотно-
сит участвующие в движении фигуры со «всеми линиями» этих
фигур. Именно в этом моменте, когда рассуждение относительно
фигур «переводится» на язык их «неделимых» линий, Герард и
проявляет незаурядную оригинальность, превращая задачу о ко-
нечных по форме объектах в задачу об объектах бесконечных.
Е.А. Зайцев
311
Последнее обстоятельство и позволяет рассматривать его в качест-
ве отдаленного «предшественника» Кавальери.
Формально в доказательстве первого предложения указанный
«перевод» отсутствует, то есть Герард предлагает решение без
ссылки на «неделимые» линии. Однако, учитывая тщательную
проработку этого момента при доказательстве второго и третьего
предложения, а также то, что в этих предложениях (как и в пер-
вом) кругам сопоставляются равновеликие прямоугольные треу-
гольники, можно предположить, что и в первом предложении две
плоские фигуры - кольцо и прямоугольник - неявно соотносились
автором «Книги о движении» со «всеми неделимыми линиями»
этих фигур.
Попытаемся поэтому реконструировать доказательство первого
предложения «Книги о движении» с точки зрения указанных выше
основных положений (аксиом) Герарда (i-iii). Пусть отрезок АВ
вращается вокруг центра О (рис.4). Его вращению соответствуют
«неделимые» круговые движения «всех его точек». Эти вращения
можно графически представить при помощи концентрических окруж-
ностей, проходящих через «все точки» отрезка АВ или «всех окруж-
ностей», находящихся внутри кольца ABCD. Рассмотрим равномер-
ное движение (параллельный перенос) отрезка АВ в ортогональном
направлении со скоростью, равной линейной скорости точки Е, явля-
ющейся его серединой, то есть перемещение отрезка АВ на расстоя-
ние, равное величине окружности проходящей через эту точку (за
время, равное времени его полного оборота вокруг точки О). Парал-
лельному переносу отрезка АВ соответствуют «неделимые» движения
Рис.4
312
НАШИ ПУБЛИКАЦИИ
его точек, представленные «всеми линиями» прямоугольника
ABFG, параллельными стороне BF Требуемое равенство величин
- кольца ABCD и прямоугольника ABFG - можно доказать, срав-
нивая не сами фигуры (как поступает Архимед, а затем Герард), а
их «пучки», то есть «все окружности» кольца ABCD и «все пря-
мые» прямоугольника ABFG (как поступает Герард во втором и
третьем случае). Окружности, проходящей через точку, отстоящую
от центра круга на расстоянии, большем расстояния до точки Е, и
имеющей, поэтому, длину, большую величины окружности, прохо-
дящей через точку Е, соответствует окружность меньшей длины,
проходящая через точку, расположенную симметрично по отноше-
нию к первой (центр симметрии - точка Е). Величины симметрич-
но расположенных окружностей взаимно компенсируют друг дру-
га, а окружность, проходящая через середину Е отрезка АВ, равна
каждой из «всех неделимых линий» прямоугольника ABFG. Ана-
логичное рассуждение можно провести относительно прямолиней-
ных «неделимых» трапеции AIHB, показав, что большей «недели-
мой» линии соответствует меньшая «неделимая» линия, и они вза-
имно компенсируют друг друга. То есть все «неделимые» линии
трапеции AIHB равны всем «неделимым» линиям прямоугольника
ABFG. Отсюда следует, что «все концентрические окружности»
кольца ABCD и «все прямые» прямоугольника ABFG равны. Это
равенство, в соответствии с криволинейным вариантом принципа
Кавальери (которым Герард, по сути, пользуется во втором и
третьем случае), является основанием для заключения о равенстве
соответствующих движений вращения отрезка вокруг центра с
постоянной угловой скоростью и его параллельного переноса со
скоростью, равной линейной скорости его середины. Отметим, что
с содержательной точки зрения такое «инфинитезимальное» рас-
суждение предпочтительнее вывода о равенстве, полученного Ге-
рардом по методу Архимеда, ибо последнее не является конструк-
тивным и возможно только тогда, когда ответ известен заранее.
Отметим, что использование метода «неделимых» в механике
позволяет наглядно при помощи геометрических объектов предста-
вить связь между движением данной фигуры, рассматриваемой как
целое, и движением ее различных элементов (точек или линий). И
наоборот, механическая (кинематическая) интерпретация «недели-
мых» помогает прояснить содержательный смысл соответствующих
геометрических конструкций.
III. Неделимые в трактате Кавальери
«Зажигательное стекло» (1632)
Среди вопросов, затронутых Кавальери в этом трактате (со-
держание которого значительно богаче той темы, которая обозначе-
Е.А.Зайцев
313
на в названии), нас будет интересовать сюжет, посвященный выво-
ду квадратичного закона свободного падения тяжелых тел15
Сначала Кавальери приводит формулировку этого закона при
помощи последовательных нечетных чисел, сопровождая ее ссыл-
кой на Галилея (диалог «О двух главнейших системах мира»,
опубликованный в том же, 1632 году):
«Если, например, движущееся тело (un mobile), устремившись
к центру [земли], пройдет за первый удар пульса расстояние в
один локоть, то за второй оно пройдет 3 [локтя], за третий 5, за
четвертый 7, за пятый 9 [локтей], и так далее; если же, напротив,
движущееся тело устремляется вверх и проходит за первый удар
пульса 9 локтей, то за второй оно пройдет 7, за третий 5, за чет-
вертый 3 и за пятый 1, уменьшив [движение] до нулевого градуса
в точке возврата, которая является концом вынужденного и нача-
лом естественного движения» [10, с.95].
Далее следует ключевой фрагмент, который мы приводим в
переводе В.П.Зубова (курсив мой. - Е.З.):
«К такому же выводу я постарался прийти иным путем, расс-
матривая в круге градусы скорости, которые, начиная с покоя,
идут, возрастая, вплоть до высшего градуса в этом же круге, а
именно, представляя центр как нулевой градус скорости (или по-
кой), а окружности, которые можно описать вокруг этого центра,
как градусы различных скоростей. Если бы мы пожелали взять их
все, следовало бы нам представить, что вычерчены все круги, кото-
рые возможно описать вокруг этого центра, и беря сумму (somma)
их окружностей, мы смогли бы сказать, что знаем истинную вели-
чину всех градусов скорости, находящихся в промежутке между
покоем и максимальным градусом в этом круге. Но так как это ка-
жется невозможным, а именно суммировать (sommare) бесконеч-
ное множество окружностей, я пользуюсь площадью этого круга и
из него почерпаю отношения между совокупностями скоростей
(delle aggregate velocita), начиная с центра, или покоя, и продол-
жая вплоть до последней окружности, то есть до максимума; ибо в
моей «Геометрии» я доказал, что каково отношение между круга-
ми, таково отношение между всеми окружностями, которые мож-
но описать вокруг центра одного и другого круга. Поэтому, если
внутри нашего круга, в котором я хочу измерить скорости в их со-
вокупности, я опишу раствором циркуля, равным, скажем, одной
трети радиуса, такой круг, окружность которого изобразит мне оп-
ределенный градус скорости, то тогда: каково отношение большого
круга к малому, таково будет и отношение всех концентрических
окружностей (tutte le circumferenze conzentriche) большого круга
ко всем концентрическим окружностям малого, то есть отношение
всех градусов скорости, приобретенных при переходе от покоя до
314
НАШИ ПУБЛИКАЦИИ
высшего градуса, ко всем градусам, приобретенным при переходе
от того же покоя до промежуточного градуса, который мы взяли.
Но отношение кругов такое же, как отношение квадратов радиу-
сов, следовательно, и скорости будут возрастать соответственно
возрастанию квадратов радиусов. А в том отношении, в каком бу-
дут возрастать скорости движущегося тела, возрастают и расстоя-
ния, им проходимые; следовательно расстояния, пройденные
движущимся телом, набирающим скорость (nel quale si vanno
aggregando le velocita), равным образом будут относиться друг к
другу, как квадраты радиусов тех кругов, на которых мы предс-
тавляем себе эти скорости, то есть как квадраты времен, которые
мы мыслим содержащимися в радиусе данного круга» [10,
с.95-96; 21, с.147-148].
В этом фрагменте обращают на себя внимание два момента.
Во-первых, если в своих математических работах Кавальери избе-
гает употребления термина «сумма» по отношению к бесконечным
совокупностям «неделимых», предпочитая использовать понятие
«все линии» данной фигуры, то в приведенном выше кинематичес-
ком фрагменте он, кажется, единственный раз делает исключение.
Во-вторых, к помощи криволинейных «неделимых» Кавальери
прибегает здесь для решения задачи, обратной той, которую он
ставит в геометрических работах. Если в геометрии отношение
между «всеми линиями» сравниваемых фигур применяется для на-
хождения отношения между величинами самих фигур, то в «Зажи-
гательном стекле», наоборот, известное отношение между величи-
нами фигур (кругов) используется для нахождения отношения
между «пучками» концентрических окружностей, лежащих внутри
этих кругов.
В заключении обратим внимание на то, что Кавальери при ре-
шении данной задачи использует, по сути, тот же самый геометри-
ческий образ, что и Герард Брюссельский в нашей реконструкции
его доказательства с помощью «неделимых». Оба в качестве гео-
метрической модели движения рассматривают образ радиуса, кото-
рый при своем вращении «заметает» круговую фигуру [12,
с.68-70; 21, с. 147]. Заметим, что Галилей при выводе квадратич-
ного закона свободного падения использует другую модель - пря-
моугольный треугольник, представляющий так называюмую «то-
тальную скорость». Отметим, что Герард при доказательстве вто-
рого предложения «Книги о движении», по существу, опирается
на эквивалентность двух геометрических моделей равноускоренно-
го движения (по Кавальери и по Галилею): кругу со «всеми кон-
центрическими окружностями» он ставит в соотвествие равновели-
кий прямоугольник со «всеми прямыми», параллельными одному
из катетов. Cum grano sails можно говорить о том, что синтетичес-
Е.А. Зайцев
315
кая модель Герарда в трудах Галилея и «Зажигательном стекле»
Кавальери «распалась» на две различные модели. Как мы увидим
ниже, в своих геометрических работах Кавальери восстанавливает
связь между двумя моделями, постоянно используя равенство
«всех концентрических окружностей» круга и «всех прямых» рав-
новеликого прямоугольного треугольника для доказательства пред-
ложений о величинах под спиралями.
IV. Криволинейные «неделимые» в «Геометрии» Кавальери
Обратимся теперь к краткому описанию шестой книги «Гео-
метрии», посвященной нахождению величин плоских фигур, огра-
ниченных спиралью, и тел, порожденных вращениями этих фигур.
В первой части книги (предложения I—IX) Кавальери вводит поня-
тие криволинейных «неделимых» в виде (полных) концентричес-
ких окружностей и дуг этих окружностей. При помощи криволи-
нейных «неделимых» он доказывает несколько теорем, касающих-
ся квадрирования частей круга и областей под спиралью (часть из
которых была сформулирована и доказана Архимедом в трактате
«О спиралях» методом исчерпывания). Во второй части книги
(предложения Х-ХХШ) Кавальери меняет тактику и доказывает
те же теоремы «по Архимеду», то есть при помощи метода исчер-
пывания. При этом он, как мы уже сказали выше, приводит дока-
зательства, отличные от доказательств основоположника античной
техники «интегрирования». В третьей, заключительной части кни-
ги (предложения XXIV-XXXIV), Кавальери при помощи «недели-
мых» излагает доказательства теорем о величинах тел вращения,
ранее полученных И.Кеплером. Отметим, что метод самого Кепле-
ра принципиально отличался от метода Кавальери: в нем использо-
вались «неделимые», имевшие ту же размерность, что и содержа-
щие их фигуры (у Кавальери - на единицу меньше).
Остановимся коротко на нескольких наиболее ярких результа-
тах первой части шестой книги, которая по тематике и по стилю
изложения близка к публикуемому ниже трактату «О величинах
под спиралями».
Что может дать техника криволинейных «неделимых» для ре-
шения задачи о нахождении величин под спиралями?
Прежде всего, введение «неделимых» позволяет сравнивать
между собой совокупности соответствующих криволинейных эле-
ментов (то есть «пучки» концентрических окружностей или их
дуг) и находить, в соотвествии с криволинейным вариантом прин-
ципа Кавальери, отношения между содержащими их фигурами.
Так, в теореме V при помощи сравнения криволинейных «пучков»
Кавальери показывает, что отношение величин двух секторов дан-
ного круга равно отношению «всех дуг» концентрических окруж-
316
НАШИ ПУБЛИКАЦИИ
ностей, лежащих внутри этих секторов, которое, в свою очередь,
равно отношению максимальных дуг этих секторов [2, с.432]. Та-
ким образом, он доказывает «криволинейный» аналог первого
предложения VI книги «Начал» Евклида: «Треугольники и парал-
лелограммы, находящиеся под одной и той же высотой, [относят-
ся] друг к другу как основания» [31, т.1, с. 174].
Далее, введение криволинейных «неделимых» позволяет уста-
навливать соответствия между «всеми дугами» исследуемой криво-
линейной фигуры и «всеми прямыми» некоторой прямолинейной
фигуры.
Например, при помощи «неделимых» можно установить соот-
ветствие между «всеми окружностями» данного круга и «всеми
прямыми» прямоугольного треугольника, один из катетов которого
равен его радиусу, а другой длине окружности (что уже было
сделано ранее Герардом Брюссельским). Указанное соотвествие,
выражающее равенство криволинейных и прямолинейных «недели-
мых», позволяет доказать равенство величин самих фигур, не при-
бегая к косвенному методу исчерпывания (теорема IV) [2, с.429]16
Наконец, сопоставляя «неделимые» окружности и их дуги с
«неделимыми» прямыми линиями треугольника и его частей, мож-
но получить ряд нетривиальных математических результатов. От-
метим один из наиболее ярких прямое, конструктивное доказа-
тельство теоремы о том, что пространство, заключенное между
спиралью, описанной в течении первого оборота, и ее осью, равно
третьей части первого круга спирали (теорема IX) [2, с.436-439].
В ходе доказательства Кавальери, говоря современным языком, со-
вершает своеобразное преобразование («выпрямление») величин,
используя при этом, однако, не привычные нам алгебраические
формулы, а геометрическую конструкцию. В результате этого пре-
образования досточно сложный объект (построение которого связа-
но с применением механических методов) - архимедова спираль
превращается в обычную (полу)параболу, а нахождение поверх-
ности «под спиралью» сводится к определению поверхности «под
параболой»17 Последнюю величину Кавальери снова находит при
помощи своего метода «неделимых».
Чуть подробнее: в результате преобразования, совершаемого
Кавальери (рис.5), (i) первый круг спирали SEM превращается в
треугольник ROQ, (ii) «все концентрические окружности» этого
круга становятся «всеми прямыми линиями» треугольника ROQ,
параллельными RQ, a (iii) сама спираль AIE превращается в
(полу)параболу RGO. Одновременно, «все дуги» концентрических
окружностей, лежащие внутри пространства «под спиралью», ста-
новятся «всеми прямыми», заключенными между гипотенузой тре-
Е.А.Зайцев
317
LIBER VI-
ducatu.-ad, S,deindeexponatur triangulumrefiangulum ,OQR,
cuius laws, OQ, circa reaum,OQR, fit arqualcipfi, AE, &,QR,
circumteren-ia:, SME, & compleatur re&anguluna, QZ, ablcin-
daturautcm, OX, xqualis, AV, & per, X, ducatur, XI’, parallel?,
RE, fecans,ZR, in, Y,OR, in, N, & vcrtice, O,pcr punfiucr, 19Л4.’
R, defcnbatur lemiparabola, RGO, circa ахот, OZ,quam tecet,
YX,in,G,& per, G, agaror,GB, parallels,OQ,’nc!densipf’,ZO,
in,B. Qupniam ei go quadrature , ZR , ad quadrature, EG, eft jS.&Sc.
vt, 7.0, ad, OB, ideo , RQ, ad, GX, erit vt qu Jratum, QO, ad 4°J- »•
quadrature, OX, i.ieft vt qua'drature, EA, ad quadrature, AV, fed
he ctiam eft citcumferenoa, ESM,aJ circureferentiam, 1IV, ete-
mm ad earn habet rati' nemcompofitam ex ratione ctrcumfcrc-
rix, ES M, ad circun.fcrcntiam, IV 1, ideft ex ta4quam habct,EA, с.Согл.
ad, AV,&exratione cncuniferentia IVT,ad ciicumfeiennam, jXaias.
1TV, ideft circumfercntiae, MSE, ad c icuref<rer.tian’,SME,idcft .
ex ratione, EA, ad, Al,vd ad, AV, dua: veidrationes. EA, ad, A ?
V, componunt rationcm quadrat), EA, ad quadrature, AV, ergo E tJ>Se&
tit: EienC
Рис.5 Факсимиле стр.437 с рисунком,иллюстрирующим доказательство теоремы IX
книги VI (взято из второго издания «Геометрии» Кавальери 1653 г.)
318
НАШИ ПУБЛИКАЦИИ
Рис. 6
угольника ROQ и параболой RGO. Равенство «всех линий» одной
фигуры «всем линиям» другой влечет равенство самих фигур.
В связи с решением этой задачи укажем на оригинальную кон-
струкцию, предложенную Кавальери, которая позволяет строить
(полу)параболу по точкам, используя при этом только прямые ли-
нии (схолия к предложению IX) [2, с.442]18
Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС (рис.6). Разде-
лим его катеты АС и ВС на равное количество равных частей.
Проведем через точки деления катета АС прямые линии, парал-
лельные ВС. Затем соединим точки деления катета ВС прямыми
линиями с вершиной треугольника А. Через точки пересечения
построенных внутри треугольника прямых (берутся точки пересе-
чения первой прямой с первой, второй со второй и т.д.) проведем
кривую линию. Легко доказать, что построенная кривая является
параболой. Доказательство этого факта опирается лишь на понятие
подобия треугольников.
В дальнейшем (возможно, из-за трудностей с ее обоснованием)
Кавальери прекратил работу над развитием техники криволиней-
ных «неделимых». Во всяком случае, в «Опытах» он ею уже не
пользуется. Тем не менее, отметим, что когда в свет вышли работы
Торричелли, в которых криволинейные «неделимые» нашли новое
применение, Кавальери откликнулся следующим письмом (от 7 ян-
варя 1642 г.):
«Этот способ (криволинейных «неделимых». Е.З.) кажется
мне превосходнейшим (buonissimo), мне также кажется, если я не
ошибаюсь у меня нет под рукой моей книги (то есть «Геомет-
рии». Е.З.), что я и сам использовал неделимые кривые, не вы-
ходя, впрочем, за рамки сравнения кругов и парабол. Мне, одна-
Е. А. Зайцев
319
ко, представляется, что некто может пожелать[, чтобы было сфор-
мулировано] общее положение, при помощи которого можно будет
доказать равенство двух плоских фигур или тел при условии, что
их различные неделимые кривые равны. Если я не ошибаюсь, то
оно будет подобно тому [положению], которое я сформулировал
во второй книге «Геометрии» в качестве принципа19; в этом [воп-
росе] я полагаюсь, однако, на Вашу проницательность» [6, с.583].
В заключение отметим, что Торричелли, распространивший
метод «неделимых» (в том числе и криволинейных) на решение
задач, значительно превосходивших по сложности те, что решал
Кавальери, одновременно радикально изменил суть метода самого
Кавальери. Отталкиваясь от конструкции своего предшественника,
в которой своеобразные представления средневековой схоластики о
бесконечном соединились с инфинитными идеями Нового времени,
он разработал геометрический аналог исчисления бесконечно ма-
лых (в части интегрирования), логические основания которого
были более привлекательными для современников. В отличие от
Кавальери, Торричелли трактовал «неделимые» как элементы, раз-
мерность которых совпадала с размерностью данных фигур и тел:
«неделимые» плоских фигур стали у него узкими полосками (а не
линиями), а «неделимые» тел - тонкими пластинками (а не повер-
хностями). При этом количество «неделимых» у Торричелли всег-
да оставалось конечным. Это позволяло ему корректно суммиро-
вать «неделимые» и, тем самым, получать и использовать аналоги
величин, которые в современной математике носят название «ин-
тегральных сумм» заданного разбиения отрезка или фигуры (по
которым ведется интегрирование). Таким образом, от современного
интегрального исчисления теорию Торричелли отделял один шаг -
создание адекватной алгебраической символики. Этот шаг и был
сделан творцами математического анализа во второй пол. XVII в.
Примечания
1 В историко-математической литературе название главного математического трактата
Кавальери обычно переводят как «Геометрия неделимых непрерывных, изложен-
ная новым способом» или кратко «Геометрия неделимых». Такой перевод не соот-
ветствует, однако, правилам латинской грамматики, так как у Кавальери термин in-
divisibi 1 ibus стоит не в genetivus, а в ablativus. Вопрос о правильном переводе назва-
ния тратакта подробно обсуждает Койре, подвергая при этом жесткой критике сво-
их многочисленных предшественников [4, с.335-336]. Справедливости ради следу-
ет, однако, отметить, что повод к недоразумению подал ни кто иной, как сам Каваль-
ери, который в «Опытах», приведя полное название своего трактата, замечает, что в
дальнейшем изложении он будет («краткости ради») называть его просто «Геомет-
рия неделимых» [5, с.1].
Первые две книги «Геометрии» и четвертый «Опыт» были переведены на русский
язык Лурье в 1940 г. [3]. Перевод (отметим, что это был первый перевод трудов Ка-
вальери на современные языки) сопровождался обстоятельным введением, содер-
жащим обсуждение проблематики «неделимых», и подробными комментариями,
проясняющими существо математических конструкций Кавальери. Комментарии
320
НАШИ ПУБЛИКАЦИИ
Лурье значительно упрощают освоение трудного текста Кавальери, которой излагал
материал на языке геометрии, избегая использования привычной для нас алгебраи-
ческой символики.
В настоящее время существуют также перевод семи книг «Геометрии» и третьего
«Опыта» на итальянский язык с краткими комментариями Л .Ломбардо-Радиче [6].
2 В одном из первых писем, направленных Галилею, молодой Кавальери сформулиро-
вал ключевой вопрос, от которого зависела правомерность использования созданно-
го им впоследствии метода «неделимых»: можно ли считать «все линии» данной фи-
гуры математической величиной? При этом он привел аргументы одновременно
«за» и «против» подобного толкования с учетом того, что внутри данной фигуры на-
ходится «неопределенное» (indefinitum) число «неделимых». Ответ Галилея не со-
хранился. Однако, из косвенных данных можно заключить, что Галилей, высоко
ценивший математический талант Кавальери, к его инфинитезимальным построени-
ям относился скептически, считая их, по-видимому, недостаточно обоснованными.
3 Если считать, что тела вращения состоят из горизонтальных пластин, имеющих ма-
лую толщину (так проинтерпретировал метод «неделимых» Э.Торричелли), то в
рассуждениях Кавальери можно усмотреть идею вычисления определенного интег-
рала. Действительно, вместо того, чтобы рассматривать «все квадраты» на радиусах
круговых сечений, составим суммы x2dx и a^dx, где dx - малая толщина. Пер-
вая из них есть сумма квадратов переменной величины х, когда х меняется от 0 до ст,
вторая - сумма квадратов постоянной а при том же условии. Сумму x^dx можно
а а
понимать как определенный интеграл Jx2dx, a a2dx - соответственно как Ja^dx.
о о
а
Поскольку Ja2dx = а3,то соотношение (6) можно считать геометрической формой
о
а 1
записи определенного интеграла jx^dx = В такой интерпретации искажается,
о 3
однако, подлинный смысл метода Кавальери.
4 Лурье ошибается, когда, отмечая высокую оценку, данную «Зажигательному стек-
лу» Галилеем, пишет, что эта книга «не касается вопроса о неделимых» [3, с.38].
Отметим, что сам Галилей при доказательстве квадратичного закона падения приме-
нял прямолинейные «неделимые», составляющие «совокупность всех линий» спе-
циально построенного прямоугольного треугольника.
5 Вопрос о схоластических корнях метода «неделимых» Кавальери был впервые за-
тронут К.Р.Вальнером [13], а затем В.Брайдертом [12] и К.Льюисом [14;
с.300-306]. Коротко на его обсуждении останавливается и Лурье [3, с.55]. Несмот-
ря на отмеченные данными исследователями лингвистические (и даже смысловые)
параллели между концепцией Кавальери и средневековыми теориями континуума и
движения, «источники» его метода «неделимых» остаются невыявленными. Неясно
даже, какие течения средневековой мысли могли служить катализатором его мате-
матического творчества: классическая схоластика высокого средневековья (Альберт
Великий, Фома Аквинский и Дунс Скот), номиналистические школы калькуляций
XIV в. (Николай Орем и Ричард Суайнхед) или итальянский аверроизм XVI столе-
тия. Отметим, что Кавальери, будучи монахом (орден иезуатов), получил богослов-
ское образование и в течение ряда лет с большим успехом преподавал теологию [15,
с.34].
6 Трактат был написан в апреле 1623 г. и послан автором для ознакомления Галилею, в
архиве которого рукопись и была обнаружена в конце XIX столетия. Отметим, что в
одном из своих писем Кавальери упоминает о том, что еще в самом начале занятий
математикой он послал Галилею некий трактат о «неделимых», посвященный на-
хождению отношений между телами. Вскоре этот трактат был отозван автором об-
ратно. Речь идет, вероятно, о самом первом варианте теории «неделимых». Скорее
всего, именно этот трактат имеет в виду Кавальери в работе «О величинах под
Е.А.Зайцев
321
спиралями», когда пишет о той или иной теореме, что он «доказал ее в другом мес-
те». К сожалению, этот первый опыт Кавальери оказался впоследствии утерянным.
7 Когда в середине XVI в. появились первые печатные варианты классических грече-
ских трактатов по математике на языке оригинала и в переводе на латинский язык,
реакция на их содержание была отнюдь неоднозначной. Наряду с восторженной
оценкой изложенных в них математических результатов (речь идет в первую оче-
редь о трактатах Архимеда), обозначилась иная, критическая тенденция. Так, неко-
торые философы, опираясь на Аристотеля, выступили с критикой античных геомет-
рических доказательств, в частности, рассуждений от противного. Одновременно
скептически по поводу античных доказательств выступил и ряд математиков.
Основной мишенью своей критики они избрали метод исчерпывания, как непригод-
ный для получения новых результатов. Подробнее об этом важном социокультур-
ном контексте развития инфинитезимальной математики первой половины XVII в.
см.: [17; 18, с.8-33].
8 Как и многие работы по механике, написанные в этот период (достаточно вспомнить
средневековую «науку о весах»), «Книга о движении» построена аксиоматически,
то есть сформулированные в ней предложения являются логическими следствиями
ограниченного числа простейших недоказуемых предложений. Трактат Герарда ин-
тересен, однако, не столько формой изложения (в ХП-ХШ вв. даже некоторые бо-
гословы излагали свои концепции аксиоматически), сколько нетривиальными фи-
зико-математическими идеями.
Латинский текст «Книги о движении» по рукописям издал М.Клайгет [И]; он же
перевел ее на английский язык [20, с. 187-194]. О содержании трактата, его авторе и
влиянии на развитие средневековой кинематики см.: [И; 12, с.50-61; 20, с. 163-186;
21; 22; 23, с.716-729; 24; 25; 26; с.222-223]. В своей первой статье [11] Клайгет
предложил неверную интерпретацию второго и третьего предложений трактата. Он
полагал, что круг вращается вокруг своего диаметра, в то время как у Герарда речь
идет о вращении круга вокруг центра. На некоторые погрешности в рассуждениях
Клайгета первым указал В.П.Зубов [22] (статья опубликована посмертно). Однако,
Зубов также строил свои выводы на основе ошибочного тезиса о вращении круга во-
круг диаметра. Корректная интерпретация указанных предложений была предло-
жена (независимо) В.Брайдертом [12, с.50-61], Э.Силлой [22, с.716-729] и самим
Клайгетом [24, с.33].
9 В отсутствии представления о скорости как отношении пути, пройденного телом, ко
времени его движения (появившегося значительно позднее, когда математические
величины уже потеряли качественную определенность) Герард все рассуждения из-
лагал на языке пропорций. Так, отношение скоростей движения двух точек он сво-
дил к отношению путей, пройденных ими за одинаковое время.
Язык пропорций был характерен, впрочем, не только для средневековых естествен-
нонаучных трактатов, но и для исследований, посвященных математизации физики,
написанных в первой половине XVII в. включая работы основоположника совре-
менной механики Галилея.
10 «Книга о движении» стоит особняком в естественнонаучной литературе Средних ве-
ков. Истоки сложной и оригинальной математической техники, используемой в ней,
до сих пор остаются невыясненными. Будучи популярной в XIII в., она в дальней-
шем (возможно, под влиянием критики Брадвардина) потеряла свое научное значе-
ние. Позднесредневековых списков этого трактата не обнаружено; кроме того он не
был напечатан во времена Возрождения. Таким образом, вероятность того, что с со-
держанием «Книги о движении» были знакомы творцы новой механики и математи-
ки, включая Кавальери, минимальна. Поэтому мы употребили кавычки, когда на-
звали Герарда «предшественником» Кавальери.
11 См.: [21, с.135-136].
12 В нашем изложении мы постарались передать основную идею Герарда, отвлекаясь от
деталей. По этой причине приведенный нами рис.2 содержит лишь самую необходи-
мую информацию и отличается от более сложного чертежа, сопровождавшего реше-
ние задачи в рукописях «Книги о движении».
322 НАШИ ПУБЛИКАЦИИ
13 На деле, в Средние века вопрос о принципиальной возможности сравнения криволи-
нейных и прямолинейных фигур не был решен: напротив, он неоднократно стано-
вился поводом для схоластических дебатов. Герард, однако, поступает так, как буд-
то сравнение разнородных фигур по величине всегда допустимо.
14 Si superficies fuerint equales et onmes linee earum in eadem proportione sumpte equales,
cuius nulle linee sic sumpte magis moventur, ipsa non magis movetur. Cuius nulle mi-
nus, nec ipsa minus [11, c. 127]. Формулировка аксиом, приведенная Герардом, весь-
ма «тяжеловесна» из-за использования в них логического отрицания. В ходе доказа-
тельства отрицания образуют основу для рассуждений от противного.
15 Трактат «Зажигательное стекло» - первый из опубликованных трактатов Кавальери
- был написан во время его пребывания на посту приора монастыря св.Бенедикта в
Парме (1626-1629 гг.). Опубликован он был в 1632 г., уже после того, как его автор
получил кафедру математики при Болонском университете. Последующие два изда-
ния, оба вышедшие посмертно в 1650 г., фактически воспроизводят первое. В дан-
ной статье все ссылки даются на первое издание.
Отметим, что в «Зажигательном стекле» Кавальери опубликовал правильное реше-
ние задачи о траектории полета снаряда, занимавшей умы многих математиков XVI
столетия. Речь идет о классическом результате Галилея, согласно которому траекто-
рией является парабола или, как пишет Кавальери (предложивший доказательство,
отличное от доказательства самого Галилея), «линия, неощутимо отличающаяся от
параболы» [10, с.98-99; 21, с.35-36; 28, с.293-298].
По вопросам механики Кавальери имел возможность консультироваться с Галилеем
в 1617-1620 гг. (в Пизе и во Флоренции), а также в январе-феврале 1626 г. во
время своего краткого визита к последнему. Об интересе математика Кавальери к
проблемам механики свидетельствуют его письма к Галилею (от 29 февраля и 21
марта 1626 г.). В первом он коротко сообщает о том, что «начал размышлять о дви-
жении...»; во втором задает вопрос, почему «движущееся тело, которое переходит
от покоя к движению с некоторым градусом скорости, должно мыслиться проходя-
щим через промежуточные [положения]?» [29, т.13, с.309, 311]. Судя по формули-
ровке, этот вопрос навеян средневековыми дискуссиями о движении и структуре
континуума. Отметим, что данная проблема имеет прямое отношение к методу «не-
делимых», поскольку, согласно Кавальери, «неделимые» линии плоских фигур по-
лучаются в результате движения плоскости, пересекающей данные фигуры парал-
лельно регуле. И наконец, в одной из рукописных версий «Геометрии» (1629 г.) Ка-
вальери коротко упоминает о своей работе над трактатом о движении. К сожалению,
обнаружить следы этого трактата не удалось [30. с.35].
16 При этом неизбежно возникает вопрос о спрямлении кривых линий, который лишь
вскользь затрагивается Кавальери. Техника спрямления кривых, сыгравшая важ-
ную роль в становлении современного анализа, будет развита позже в работах
Ж.П.Роберваля.
_ 1 2
17 В современных обозначениях: спираль г = а6 сводится к параболе у = — х при помо-
щи преобразования х = г, у = г0.
18 Итальянский физик Г.Пиоля, изучавший в середине XIX в. работы своего знамени-
того соотечественника и обративший, кажется, одним из первых, внимание на значе-
ние изложенных в них наглядных подходов для преподавания анализа, назвал эту
конструкцию «одним из самых блестящих открытий Кавальери» [32, р.36]. Сам Ка-
вальери также определял ее как «новый, если не ошибаюсь, и прекраснейший спо-
соб описания параболы» (novus, ni fallor, ас pulcherrimus describendi parabolam mo-
dus) [2, p.442].
19 Речь идет о принципе Кавальери.
Список литературы
Montucla J.E. Histoire des mathematiques. 2nd ed. 4 Vols. Paris, 1799-1802 (Re-
print: Paris, 1968).
Е. А. Зайцев 323
2. Bonaventura Cavalieri. Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione
promota. Bologna, 1635 (2nd ed., 1653).
3. Бонавентура Кавальери. Геометрия, изложенная новым способом при помощи не-
делимых непрерывного / Пер. вступит, статья и коммент. С.Я.Лурье. И.-Л.,
1940.
4. Коугё A. Bonaventura Cavalieri et la geometric des continus / А. Коугё. Etudes
d’histoire de la pensee scientifique. Paris, 1971. P.334-361.
5. Bonaventura Cavalieri. Exercitationes geometricae sex. Bologna, 1647 (Reprint: Bo-
logna, 1980).
6. Lombardo-Radice L. Geometria degli indivisibili di Bonaventura Cavalieri. Torino,
1966.
7 Giusti E. Bonaventura Cavalieri and the Theory of Indivisibles. Bologna, 1980.
8. Andersen K. Cavalieri’s Method of Indivisibles // Archive for History of Exact Sci-
ences. 1985. Vol.31. P.291-367
9. Bonaventura Cavalieri. De spatijs helicis (Il trattatello delle spirali) / ed. S.Giunti-
ni // Bollettino di storia delle scienze matematiche. Vol.5. 1985. P.9-36.
10. Bonaventura Cavalieri. Lo Specchio ustorio overo Trattato delle settioni coniche.
Bologna, 1632 (2nd ed., 1650).
Clagett M. The Liber de motu of Gerard of Brussels and the Origins of Kinematics in
the West // Osiris. 1956. Vol.12. P.73-175.
12. Breidert W Das aristotelische Kontinuum in der Scholastik // Beitrage zur
Geschichte der Philosophic und Theologie des Mittelalters. Neue Folge. Munster,
1970. Bd.l. S.l-76.
13. Wallner C.R. Die Wandlungen des Indivisibilienbegriffs von Cavalieri bis Wallis / /
Bibliotheca mathematica. Dritte Folge. 1903. Bd.4. S.28-47
14. Lewis Ch. The Merton Tradition and Kinematics in Late Sixteenth and Early
Seventeenth Century Italy. Padova, 1980.
15. Ghilini G. Teatro d’huomini litterati. Venezia, 1647
16. Архимед. О спиралях // Архимед. Сочинения / Пер., вступит, статья и коммент.
А.И.Веселовского. М. 1962. С. 227-265.
17 De Расе A. Le matematiche е il mondo. Ricerche su un dibattito in Italia nella seconda
meta del Cinquecento. Milano, 1993.
18. Mancosu P. Philosophy of Mathematics and Mathematical Practice in the
Seventeenth Century. New York - Oxford, 1996.
19. Arrighi G. La «Geometria indivisibilibus continuorum» di Bonaventura Cavalieri
nella ritrovata stesura del 1627 // Physis. 1973. Vol.15. P.133-147
20. Clagett M. The Science of Mechanics in the Middle Ages. Madison, 1959.
21. Зубов В.П. У истоков механики // А.Т.Григорян, В.П.Зубов. Очерки развития
основных понятий механики. М. 1962. С.3-173.
22. Зубов В.П. Об «архимедовской традиции» в средние века (трактат Герарда Брюс-
сельского «О движении») // Историко-математические исследования. М. 1965.
Вып. 16. С.235-272.
23. Sylla E.D. The Oxford Calculators and the Mathematics of Motion 1320-1350. New
York - London, 1991.
24. Clagett M. The Liber de motu of Gerard of Brussels // M.Clagett. Archimedes in
the Middle Ages. VoL5. Philadelphia, 1984. P.3-144.
25. Giusti E. Alle origini della cinematica medievale: il Liber de motu di Gherardo da
Bruxelles // Bollettino di storia delle scienze matematiche. 1996. Vol. 16.
P. 199-240.
26. Murdoch J.E., Sylla E.D. The Science of Motion // Science in the Middle Ages /
Ed. D.Lindberg. Chicago - London, 1978.
27 Архимед. Измерение круга // Архимед. Сочинения / Пер. вступит, статья и
коммент. А.И.Веселовского. М. 1962. С.266-270.
28. Коугё A. Etudes galildennes. Paris, 1966.
29. Galilei G. Le opere. Firenze, 1891-1909. Vol. 1-23.
324
НАШИ ПУБЛИКАЦИИ
30. Giusti Е. Aspetti matematici della cinematica galileiana // Bollettino di storia delle
scienze matematiche. 1981. Vol.l. P.3-42.
31. Евклид. Начала / Пер. и коммент. Д.Д.Мордухай-Болтовского при участии
М. Я. Выгодского и И.Н.Веселовского. М.-Л., 1948-1950. Т.1-3.
32. Piola G. Elogio de Bonaventura Cavalieri. Milano, 1844.
О ВЕЛИЧИНАХ ПОД СПИРАЛЯМИ1)
Бонавентура Кавальери
Перевод с латинского и комментарии Е.А.Зайцева
Определение1. Если представить, что в некотором круге про-
ведены окружности, центры которых совпадают с центром круга, а
радиусами являются отрезки [от центра] до всех (omnium) точек
радиуса круга, то все (omnes) указанные окружности, взятые вмес-
те (simul), будут называться «все окружности данного круга»
(omnes circumferentiae dati circuli); если же в круге выделить не-
которую фигуру, то части указанных окружностей, находящиеся
внутри такой фигуры, будут называться «все окружности указан-
ной фигуры» (omnes circumferentiae dictae figurae).
Теорема 1. Отношение всех окружностей одного из данных
кругов ко всем окружностям другого равно отношению данных
кругов.
Если данные круги равны, то утверждение легко доказать ни-
жеизложенным способом; если же они не будут равны, например,
пусть это будут круги dfg, imn с центрами в [точке] а (рис.1), то
построим прямоугольный треугольник Ьсе с прямым углом при
[вершине] с, сторона которого сЬ равна радиусу af, а сторона се -
окружности fdg\ затем отложим [прямую] Ьг, равную ап, и прове-
дем через [точку] г [прямую] rs, параллельную се. Прежде всего, я
утверждаю (dico), что окружность nmi равна прямой (rectae) rs.
Действительно, круг fdg, то есть треугольник Ьсе (см.: «Измерение
круга» Архимеда2), относится к кругу imn как квадрат fa или сЬ, к
квадрату ап или Ьг\ но треугольник Ьсе относится к подобному ему
треугольнику brs точно также, то есть как квадрат сЬ к квадрату
Ьг Следовательно, круг nmi равен треугольнику brs, и [прямая] гЬ,
прилегающая к прямому углу в [точке] г, равна ап\ следователь-
но, [прямая] rs равна окружности nmi. Подобным же образом,
взяв какую-либо точку на [прямой] сЬ и такую же [точку] на fa,
докажем, что окружность, проходящая через взятую точку, равна
прямой, проведенной через ту же точку на cb. С другой стороны,
1) Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундамен-
тальных исследований (проект №11-06-00194а), Gerda Henkel Stiftung и Библиотеки
герцога Августа (Вольфенбюттель, Германия).
Бонавентура Кавальери
325
те, что называются «все точки на сЬ», не суть же больше или мень-
ше, чем [все точки] на af (non sunt autem plura vel pauciora ea,
quae dicuntur omnia puncta in cb, quae in af). Поскольку [прямые]
cb и af равны, то невозможно привести доводы в пользу того, что
одна [из тех, что называются «все точки на прямой»] больше дру-
гой. Тем самым показано, что все окружности круга fgd равны
всем линиям треугольника Ьсе, параллельным регуле се, и все ок-
ружности круга inm равны всем линиям треугольника brs\ посколь-
ку же - как я показал в другом месте - отношение всех линий тре-
угольника Ьсе ко всем линиям треугольника brs равно отношению
треугольника Ьсе к треугольнику brs, то есть отношению круга dgf
к кругу imn, то и отношение этих кругов равно отношению всех
окружностей этих кругов; что и т.д.
А. Если из центра а провести произвольную [прямую] ad [до
пересечения с окружностью, а на прямой се] отложить прямую ос,
равную [дуге] окружности fd, то (тем же способом) мы покажем,
что [прямая] ги равна [дуге] окружности ni. Это означает, что вся-
кие прямая и дуга, проходящие через одну и ту же точку на Ьс и
fa, равны между собой. Отсюда следует, что все окружности сек-
тора daf равны всем линиям треугольника Ьсо, а все окружности
сектора nai равны всем линиям треугольника Ьги; тем самым при
помощи описанного выше способа доказано, что отношение сектора
daf к сектору nai равно отношению всех окружностей сектора daf
ко всем окружностям сектора ian; откуда можно заключить, что
все окружности не только кругов, но и подобных секторов нахо-
дятся в отношении, равном отношению [величин] данных кругов
или секторов (рис.2).
Следствия
В. Отсюда следует, что отношение окружностей равно отноше-
нию радиусов; ибо, если отложить [прямую] rb, равную ап, то вид-
но, что [прямая] rs равна окружности imn, а отношение се к rs, то
326
НАШИ ПУБЛИКАЦИИ
есть окружности dfg к окружности imn, равно отношению cb к Ьг
или fa к ап; таким же образом можно показать, что дуга df отно-
сится к дуге in, как fa к ап; отсюда видно, что не только целые ок-
ружности заданных кругов, но и подобные части этих окружностей
относятся между собой как радиусы этих кругов; что и т.д.
С. Рассмотри два сектора одного круга и покажем, что их от-
ношение равно отношению всех окружностей первого [сектора] ко
всем окружностям второго. Действительно, если провести из цент-
ра а линию atx, то отношение сектора fad к сектору dax будет рав-
но отношению дуги (basis) fd к дуге dx; и вместе с тем [оно] будет
равно отношению дуги всякой полной окружности (одной из тех,
что называются «все окружности круга fgd»), заключенной между
линиями fa и ad, к той части (той же полной окружности), кото-
рая заключена между линиями da и ах (например, ni к it). Дейст-
вительно, da относится к ai как df к in, что следует из следствия
В, и такое же [отношение будет между] dx и ti; отсюда перестав-
ляя члены отношения {permutando)3, [получаем, что] ni относится
к it как df к dx; и как одна [величина относится] к одной, так все
[величины относятся] ко всем (ut una ad unam, ita omnes ad
omnes), иными словами, как сектор fad [относится] к сектору dax,
так и все окружности сектора daf [относятся] ко всем окружнос-
тям сектора dax, что и т.д.
D. Пусть в круге fgd при помощи линий da и af, проведенных
из центра а, построена фигура fad; и пусть к окружности fgxd
проведены две другие линии, скажем, ах и ад, составляющие фи-
гуру ахд, равную фигуре fad (рис.З). Я утверждаю, что все ок-
ружности фигуры fad также равны всем окружностям фигуры ахд.
Действительно, число всех окружностей, пересекающих каждую из
фигур, равно числу всех точек радиуса данного круга. Ведь в кру-
ге fgd нет такой окружности, которая не проходила бы через ка-
кую-либо из тех, что называются «все точки радиуса»; следова-
тельно, число окружностей, пересекающих первую фигуру, равно
числу окружностей, пересекающих вторую. Но кроме того я утвер-
ждаю, что и величины тех окружностей равны между собой. Ибо,
если наложить друг на друга фигуры daf и ахд, а потом их остат-
ки, то они, будучи равными, полностью совпадут (fierent totae
congruentes); из совпадения же [фигур] следует, что все точки фи-
гуры ахд совпадут со всеми точками фигуры daf, так что одной
[точке] первой фигуры будет соответствовать одна [точка] другой
фигуры, а именно, та, которая совпала с ней при наложении. И
таким образом, каждой точке одной фигуры будет соответствовать
некоторая точка другой фигуры, и их число будет равным; следо-
вательно, число всех точек фигуры daf будет равно числу всех то-
Бонавентура Кавальери 327
чек фигуры ахд. Но число всех точек фигуры ахд равно числу
всех точек, которые можно взять на тех, что называются «все ок-
ружности фигуры ахд». Ибо нет такой точки фигуры ахд, через
которую не проходила бы некоторая окружность, и нет такой точ-
ки на произвольной окружности той же фигуры, которая не при-
надлежала бы фигуре ахд. Подобным же образом доказывается,
что число всех точек фигуры daf равно числу всех точек тех [ли-
ний], что называются «все окружности фигуры daf»\ следователь-
но, число всех точек всех окружностей фигуры ахд равно числу
всех точек всех окружностей фигуры daf Теперь же будем исхо-
дить из того, что численность (multitudo) окружностей, пересека-
ющих фигуру daf, равна численности тех [окружностей], что пере-
секают фигуру ахд (разумеется, при условии, что линии da и af,
равно как линии ах и ад, заключают между собой окружность).
Возьмем соответствующие части (portiones) окружностей, являю-
щиеся кусочками (frusta) окружностей того же круга, и, предста-
вив их вытянутыми так, что они превратятся в прямые [линии],
наложим одну на другую. Тогда, либо каждая [из частей окруж-
ностей], взятая в одной фигуре, совпадет (congruet) с соответству-
ющей ей [частью] другой фигуры, и таким образом мы будем
иметь равенство каждой отдельно (singulatim), и следовательно
равенство всех, либо же одни совпадут, а другие нет. В последнем
случае я утверждаю, что, если остатки снова наложить друг на
друга тем же способом и продолжать делать это постоянно, то [в
конце концов] остатки обязательно совпадут между собою. Если
же не совпадут, то тогда только в одной из фигур, например, ахд,
останутся [лишние] кусочки окружностей. Тогда, поскольку чис-
ленности точек наложенных друг на друга и совпавших окружнос-
тей в каждой из фигур равны (я рассматриваю окружности «вып-
рямленными»; когда же кривая линия рассматривается как «вып-
рямленная», то ее длина такова, какова была изначально; ясности
ради я буду считать это [положение] постулатом), то численность
точек фигуры ахд будет превосходить численность точек фигуры
daf на число точек (расположенных на оставшихся в итоге окруж-
ностях), которым не нашлось соответствия в фигуре daf Следова-
тельно, численность всех точек фигуры ахд, в противоположность
доказанному выше, не будет равна численности всех точек фигуры
fad, что абсурдно. Но тогда ложно [утверждение о том], что в ре-
зультате вышеописанного последовательного наложения [остатков]
все окружности фигуры ахд не совпадут со всеми окружностями
фигуры daf (рассматриваемыми как «выпрямленные»); а это означа-
ет, что они совпадут и поэтому будут равны между собой. Я же пред-
положил, что две линии da, af и две [другие линии] ах, ад проведе-
328
НАШИ ПУБЛИКАЦИИ
ны из центра а до пересечения с окружностью, дабы мы не оказа-
лись в затруднении при наложении (superpositione) всех окруж-
ностей одной фигуры на все окружности другой (вследствие беско-
нечности их количеств); ведь в результате этого наложения полу-
чается, что численность всех окружностей одной фигуры равна
численности всех окружностей другой, ибо одной [окружности од-
ной фигуры] соответствует одна [окружность другой], а такому-то
[количеству окружностей одной фигуры] такое же [количество ок-
ружностей другой]; указанное наложение становится, таким обра-
зом, понятным (intelligibiiis). Кроме того, [это] доказательство мо-
жет быть распространено и на иначе взятые фигуры.
Е. Если же доказательство, приведенное выше в n.D, покажет-
ся кому либо недостаточно обоснованным, то я докажу то же самое
другим способом. Пусть в круге при помощи прямых линий, прове-
денных из центра до пересечения с окружностью, выделен сектор, а
затем из центра до пересечения с окружностью проведены прямая
линия и некоторая кривая, причем так, что эти линии вместе с пере-
секаемой ими окружностью ограничивают фигуру, равную данному
сектору. Если к тому же кривая [линия] будет выпуклой или спи-
ралью, то все окружности одной фигуры будут равны всем окруж-
ностям другой (utriusque figurae omnes circumferentiae sint invicem
equales). И действительно, для таких фигур будет достаточно про-
вести следующее доказательство (рис.4)
Пусть задан круг bed, сектор dac и фигура, ограниченная пря-
мой ас, окружностью cb и выпуклой кривой или спиралью aonb, и
пусть эта фигура caonb будет равна сектору dac. Я утверждаю, что
все окружности одной фигуры равны всем окружностям другой
фигуры. Действительно, если все окружности сектора dac не будут
равны всем окружностям фигуры aonbe, то они будут больше или
меньше тех. Пусть они будут больше тех на количество всех ок-
ружностей [некоторого] сектора со, нарисованного отдельно, с ра-
Бонавентура Кавальери
329
диусом, равным радиусу ab. Если мы соединим [точки] а и Ь, раз-
делим окружность cb пополам, затем получившиеся в результате
этого [дуги] снова пополам и так будем продолжать постоянно, то
получим дугу (circumferentia), которая будет меньше дуги сектора
со, и пусть это будет [дуга] lb. Соединим точки деления р, /г, / и Ь с
центром а; [линии,] соединяющие [эти точки с центром круга,] пе-
ресекут кривую Ьпоа в точках п и о; затем через точки п и о прове-
дем окружности fom и епд с центром в [точке] а. Теперь я утверж-
даю, что отношение четырехугольной фигуры (quadrilineum)4 Ьсед
к четырехугольной фигуре cenl равно отношению всех окружнос-
тей одной [из них] ко всем окружностям другой; действительно, из
следствия С теоремы 1 следует, что отношение сектора Ьас к секто-
ру lac равно отношению всех окружностей одного [из них] ко всем
окружностям другого. По этой же причине отношение сектора дае
к сектору пае также равно отношению всех их окружностей; поэто-
му и четырехугольные фигуры Ьсед и cenl, будучи разностями
[между указанными секторами] относятся между собой как все их
окружности. Аналогичным образом доказывается, что отношение
четырехугольной фигуры nefm к четырехугольной фигуре uefo рав-
но отношению всех окружностей одной из них ко всем окружнос-
тям другой, то есть равно отношению сектора of а к сектору if а',
следовательно, отношение фигуры, составленной из четырехуголь-
ных фигур Ьсед, nefm и сектора of а, то есть фигуры, описанной
вокруг пространства (spatio) аопЬс, к фигуре, составленной из че-
тырехугольных фигур Icen, efou и сектора fia, то есть к фигуре,
вписанной в то же пространство, будет равно отношению всех опи-
санных окружностей ко всем вписанным окружностям. Аналогич-
но: поскольку отношение сектора Ьса к сектору cd а равно отноше-
нию всех их окружностей, а отношение сектора деа к сектору cda
равно отношению всех их окружностей (что следует из п.А теоре-
мы 1), то отношение четырехугольной фигуры Ьсед к сектору cda
равно отношению всех ее окружностей ко всем окружностям секто-
ра cda. Таким же образом доказывается, что отношение четыреху-
гольной фигуры nefm к сектору cda равно отношению всех ее ок-
ружностей ко всем окружностям [сектора] cda, а также, что отно-
шение сектора ofa к сектору dac равно отношению всех его окруж-
ностей ко всем окружностям сектора cda', следовательно, фигура,
описанная вокруг пространства аопЬс, будет относиться к [секто-
ру] cda как все ее окружности ко всем окружностям сектора cda.
Аналогично доказывается, что отношение фигуры, вписанной [в
пространство аопЬс}, к сектору cda равно отношению всех ее ок-
ружностей ко всем окружностям сектора cda. Следовательно, опи-
санная фигура будет превосходить вписанную на величину (spatijs
330
НАШИ ПУБЛИКАЦИИ
simul sumptis), равную сектору lab, что легко показать. Значит,
все окружности описанной фигуры будут превосходить все окруж-
ности вписанной фигуры на количество всех окружностей сектора
lab, которое меньше, чем все окружности сектора со; откуда следу-
ет, что [все окружности описанной фигуры] будут превосходить
все окружности фигуры aonbc на еще меньшее количество окруж-
ностей. Но тогда все окружности описанной фигуры будут меньше
всех окружностей сектора dca, ибо мы предположили, что все ок-
ружности сектора dac превосходят все окружности фигуры aonbc
на количество окружностей, которое больше того количества ок-
ружностей, на которое все окружности описанной фигуры превос-
ходят все окружности фигуры oanbc. Но все окружности описан-
ной фигуры больше всех окружностей сектора dac, и как описан-
ная фигура относится к сектору dac, так относятся между собой
все окружности описанной фигуры ко всем окружностям сектора
dac. Таким образом, все окружности описанной фигуры будут [од-
новременно] больше и меньше всех окружностей сектора dac, что
абсурдно. Следовательно, неверно, что все окружности сектора dac
больше всех окружностей фигуры aonbc. Но я утверждаю, что они
и не меньше. Предположим все же, что они меньше и пусть разни-
ца [между ними] равна всем окружностям сектора со.
Поскольку все окружности описанной фигуры превосходят все
окружности вписанной фигуры на количество, меньшее всех окруж-
ностей сектора со, то все окружности фигуры aonbc будут превосхо-
дить все окружности вписанной фигуры на количество, которое бу-
дет еще меньше всех окружностей сектора со. Следовательно, разни-
ца (по количеству окружностей) между всеми окружностями фигу-
ры aonbc и всеми окружностями вписанной фигуры будет меньше,
чем разница между всеми окружностями фигуры aonbc и всеми ок-
ружностями сектора dac. Следовательно, все окружности вписанной
фигуры будут больше, чем все окружности сектора dac', но тогда
вписанная фигура будет больше, чем сектор dac, ибо эти величины
(spatia) относятся между собой как все их окружности, что [уже]
было доказано. Но тогда вписанная фигура будет больше фигуры
aonbc, в которую она вписана, что абсурдно. Следовательно, невер-
но, что все окружности сектора dac меньше всех окружностей фигу-
ры aonbc, но они также и не больше, что было доказано [ранее];
следовательно, они равны; что и следовало доказать.
F Если же предположить, что фигура aonbc и сектор dac не
равны, то построим в том же круге сектор, равный фигуре aonbc,
который получится, если в качестве основания этого сектора взять
такую часть окружности, которая относится ко всей окружности,
как круг к фигуре aonbc. Тогда все окружности построенного сек-
Бонавентура Кавальери 331
тора будут равны всем окружностям фигуры aonbc (что следует из
следствия Е теоремы 1); к тому же все окружности построенного
сектора, то есть все окружности фигуры aonbc, будут относиться
ко всем окружностям сектора dac как построенный сектор, то есть
фигура aonbc, к сектору dac. Отсюда следует, что такие фигуры,
будучи неравными, имеют, однако, между собой такое же отноше-
ние как и все их окружности.
G. Ясно также, что отношение сектора hab к фигуре, ограни-
ченной прямыми ао, ab и кривой onb, проведенной из центра а,
равно отношению всех его окружностей ко всем окружностям ука-
занной фигуры. Действительно, секторы hab и Ьса относятся меж-
ду собой, как все их окружности (из следствия С теоремы 1), и
равным образом сектор cba относится к фигуре, ограниченной кри-
вой Ьпоа и прямой Ьа, как все его окружности ко всем окружнос-
тям этой фигуры. Следовательно, отношение сектора hab к этой же
фигуре будет равно отношению всех его окружностей ко всем ок-
ружностям этой фигуры. Кроме того, отношение сектора hab к сек-
тору foa равно отношению всех окружностей сектора hab ко всем
окружностям сектора foa (из п.А теоремы 1), и все окружности
сектора foa относятся ко всем окружностям фигуры, ограниченной
прямой оа и кривой оа, как сектор foa к этой фигуре. Следова-
тельно, отношение сектора hab к этой фигуре равно отношению
всех их окружностей. Но поскольку отношение сектора hab к фи-
гуре, ограниченной кривой aonb и прямой ab, равно отношению
всех их окружностей, то и отношение сектора hab к фигуре, огра-
ниченной прямыми ао, ab и кривой onb, будет равно отношению
всех их окружностей.
Н. Отсюда следует, что все окружности треугольной фигуры
(trilinei) honb относятся ко всем окружностям треугольной фигуры
onbs как величины (spatia) этих фигур. Действительно, из преды-
дущего следует, что все окружности сектора hab относятся ко всем
окружностям фигуры aob как величины этих фигур, далее действу-
ем посредством выделения (dividendo)5 Но все окружности фигу-
ры boa так относятся ко всем окружностям сектора osa как величи-
ны этих фигур, далее применяем обращение отношений (per
conversionem rationis)6; откуда «по равенству» (ex equali)7, вели-
чины honb и onbs относятся между собой, как все их окружности.
Все эти следствия верны, однако, [только] при условии, что onb
является частью кривой линии, проведенной из центра к окруж-
ности, которая является выпуклой, или же спиралью.
I. Если же кривая линия aonb проведена не из центра, а из
иной точки круга bed, скажем из х, то при помощи непрерывного
деления окружности cb пополам и построения вписанной фигуры,
332
НАШИ ПУБЛИКАЦИИ
все окружности которой [отли-
чаются] от всех окружностей
описанной фигуры на количест-
во, меньшее заданного, мы (пу-
тем рассуждений, аналогичных
приведенным выше в п.Е) пока-
жем: если величины acd и cxb
равны, то равны между собой и
все их окружности, а если не-
равны, то их отношение равно
отношению всех их окружнос-
тей, что также ясно из вышеска-
занного (рис.5).
G. Предположим, что кривая xb является частью выпуклой
кривой, проведенной из центра а, или же частью спирали.
Для моих нужд было бы достаточно доказательства, проведен-
ного [только] для части спирали, но не желая превращать доказа-
тельство в слишком частное (чтобы иметь возможность использо-
вать его и в других случаях), я провел его относительно произ-
вольной выпуклой кривой; заметив, однако, что спираль в своих
частях не является полностью выпуклой, я добавил и ее [в условие
предложения], чтобы распространить доказательство и на нее, и
сие ясно размышляющему.
Лемма К. Если спираль, описанная в течении первого оборо-
та, пересечена двумя прямыми, исходящими из ее начала, а сами
прямые продолжены до пересечения с окружностью первого круга,
то указанные прямые будут иметь между собой то же отношение,
что и дуги [первого] круга, заключенные между концом спирали и
концами продолженных прямых на окружности, если брать дуги
от конца спирали [по направлению вращения].
Лемма L. Если к спирали, описанной в течении отличного от
первого оборота, провести из ее начала две прямые, то эти прямые
будут иметь между собой то же отношение, что и дуги первого пе-
ресекаемого ими круга (см. лемму К) вместе с целой окружнос-
тью, взятой такое число раз, которое на единицу меньше числа
оборотов.
Эти леммы доказаны Архимедом в книге «О спиралях», пред-
ложения 14 и 158
Теорема 2. Пространство, заключенное между спиралью, опи-
санной в течении первого оборота, и первой линией, равно третьей
части первого круга.
Пусть aie - спираль, описанная в течении первого оборота, ае
- начальное положение вращающейся линии; [и пусть] при этом
Бонавентура Кавальери
333
на расстоянии ае от центра а описан первый круг esm (рис.6). На
прямой ае берется некоторая точка, находящаяся между точками а
и е, пусть это будет точка и, и через [точку] и проводится окруж-
ность (circulus) uit с центром в [точке] а; соединив [точки а и i
прямой] ai, продолжим ее до [пересечения с первой окружностью
в точке] 5. Затем построим прямоугольный треугольник orq с пря-
мым углом при вершине q, сторона которого oq равна ае, а сторона
rq (обе прилегают к прямому углу) равна окружности emse; допол-
нительно построим прямоугольник qz, а затем отметим [прямую]
ох, равную аи. Пусть [точка] о является вершиной параболы, про-
ходящей через [точку] г (пусть это будет кривая одг); проведем че-
рез точку х прямую ху, параллельную (parallela) rq, и пересекаю-
щую [прямую] or в [точке] п, а кривую параболы в [точке] gw.
Тогда ясно, что rq относится к дх, как квадрат qo к квадрату ох;
теперь, если через [точку] д провести gb параллельно zr, то [пря-
мая] rq равна zo, а дх [равна] Ьо; при этом oq равна zr, а ох равна
gb. Но окружность esme так относится к окружности itu как квад-
рат qo к квадрату ох. Действительно, мы имеем составное отноше-
ние: окружности emse к [окружности] utiu и окружности utiu к [ок-
ружности] uti. Окружность esme относится к окружности utiu как
еа к аи, а окружность utiu к окружности uti как окружность esme к
окружности ems, то есть как еа к ai (из Архимеда или леммы К те-
оремы 1), или как еа к аи. Но два отношения (то есть, двойное от-
ношение - Е.З.) еа к аи составляют отношение квадрата еа к квад-
рату аи, то есть квадрата qo к квадрату ох, поэтому окружность
esme, то есть прямая qr, будет иметь то же отношение к окружнос-
ти uti, что и прямая qr к дх; следовательно, дх равна окружности
uti, и то же верно для всех прочих окружностей с центром в [точ-
ке] а, которые можно провести радиусом, равным расстоянию до
остальных точек ае. Докажем, что окружность, пересекающая ае,
равна прямой, приложенной под прямым углом к oq (rectae
334
НАШИ ПУБЛИКАЦИИ
ordinatim applicatae)9, пересекающей ее в той же точке, отмечен-
ной на oq (я называю той же точкой на обеих [прямых] ае и qo
точки, находящиеся на одинаковом расстоянии от точек о и а; если
совместить точку о с точкой а и наложить oq на ае, то такая точка,
например х, совпадет с точкой и) и заключенной между oq и пара-
болой одг, такой что [прямая] rq относится к ней как одна из ок-
ружностей, равная esme, к окружности, проходящей через ту же
точку на ае. Итак, мы имеем четыре ряда величин (series
magnitudinem): первый [ряд], в который включено столько [пря-
мых], равных rq, сколько всего точек (quot sunt omnia puncta) на
oq; третий [ряд], в который включено столько окружностей, рав-
ных окружности ems, сколько всего точек на линии ае, или на ли-
нии oq, то есть [столько,] сколько величин первого ряда (каковы-
ми являются все линии параллелограмма zq, взятые в отношении
установленной регулы rq); второй ряд, в который включены все
линии, приложенные к oq и находящиеся внутри треугольной фи-
гуры ogrq, числом на единицу меньшим [числа] величин первого
ряда, ибо к точке о не приложена ни одна [прямая] треугольной
фигуры ogrq; и четвертый [ряд], который включает все окружнос-
ти треугольной фигуры, ограниченной окружностью erase, спи-
ралью aie и прямой ае, числом на единицу меньшим [числа] вели-
чин третьего ряда. Для этих четырех рядов [величин] выполнены
все необходимые условия леммы 2 [трактата Архимеда] «О конои-
дах и сфероидах»10; следовательно, первый ряд будет иметь такое
же отношение ко второму как третий к четвертому; и аналогично,
если брать половины предшествующих [величин] (то есть, первых
членов указанных отношений Е.З.). А именно, все линии треу-
гольника orq будут иметь такое же отношение ко всем линиям тре-
угольной фигуры ogrq, что и половины величин третьего ряда к
[величинам] четвертого ряда. Ясно, что все линии треугольника
orq суть половина всех линий параллелограмма zq, ибо треуголь-
ник orq равен половине параллелограмма zq. Ясно также, что все
линии треугольника orq равны половине величин третьего ряда,
поскольку величин третьего ряда столько, сколько окружностей,
равных максимальной [окружности] emse, или прямой rq, то есть
[столько,] сколько величин первого ряда или сколько линий у па-
раллелограмма zq. Но тогда половина всех линий параллелограм-
ма zq суть все линии треугольника orq, что было доказано. Следо-
вательно, все линии треугольника orq суть половина величин
третьего ряда. Но все линии треугольника orq равны всем окруж-
ностям круга ems, что ясно из сказанного в первой теореме; следо-
вательно, как все линии треугольника orq, то есть половина вели-
чин первого ряда, относятся ко всем линиям треугольной фигуры
Бонавентура Кавальери
335
ogrq, то есть к величинам второго ряда, так и все окружности кру-
га ems, то есть половина [величин] третьего ряда, относятся ко
всем окружностям треугольной фигуры aiesme, то есть к величи-
нам четвертого ряда. Но, как все линии треугольника orq относят-
ся ко всем линиям треугольной фигуры ogrq, так и треугольник
orq [относится] к треугольной фигуре ogrq\ и как все окружности
круга ems [относятся] ко всем окружностям треугольной фигуры
aiesme, так и круг ems [относится] к треугольной фигуре aiesme
(из n.F теоремы 1). Следовательно, как треугольник orq относится
к треугольной фигуре ogrq, так и круг ems [относится] к треуголь-
ной фигуре aiesme', треугольник же orq равен полутора
(sexquialter) треугольным фигурам ogrq, как показано мною, а
также другими, в ином месте. Следовательно, круг ems равен полу-
тора треугольным фигурам aiesme и следовательно равен утроен-
ной поверхности, ограниченной спиралью aie и прямой ае', что тре-
бовалось доказать.
Теорема 3. Пусть на спирали, описанной в течении первого
оборота, взята точка, которая не является ни началом, ни концом
спирали. Из начала спирали к данной точке проводят прямую ли-
нию и описывают круг, центр которого находится в начале спира-
ли, а радиус равен расстоянию от начала спирали до данной точ-
ки. Тогда часть этого круга, заключенная между проведенной ли-
нией, частью линии (которая называется началом оборота), отсека-
емой указанным кругом, и частью его окружности, заключенной
между этими двумя прямыми, равна утроенной фигуре, ограничен-
ной проведенной линией и частью спирали, которая идет от этой
линии до начала спирали.
Рассмотрим спираль аоие, описанную в течении первого оборо-
та, первый круг еуд, точку и, взятую на данной спирали, центр а и
круг uhx, описанный радиусом и (рис.7). Я утверждаю, что часть
[круга uhx], заключенная между частью спирали аои и прямой аи,
Рис. 7
336
НАШИ ПУБЛИКАЦИИ
[то есть фигура] аоиа, равна 1/3 части того же круга, заключенной
между прямыми аи, ас и окружностью uhxc Действительно, возь-
мем на [прямой] ас некоторую точку b и из центра а радиусом b
опишем окружность Ьо. Отношение окружности cxhu к окружности
Ьо будет равно составному отношению: окружности cxhu к окруж-
ности сх, то есть окружности еудг к окружности еу или са к ао (из
леммы К теоремы 1) или к ab, и окружности сх к окружности оЬ,
то есть са к ab (из п.В теоремы 1). Но два отношения са к ab сос-
тавляют отношение квадрата са к квадрату ab; следовательно, ок-
ружность cxhu относится к окружности Ьо как квадрат са к квадра-
ту ab. То же самое доказывается относительно прочих окружнос-
тей, проходящих через все точки линии ас, а именно: окружность,
равная окружности cxhu, относится к окружности, проходящей че-
рез точку, взятую на ас, как квадрат ас к квадрату линии, находя-
щейся между взятой точкой и [точкой] а', эта линия называется аб-
сциссой (abscissa)11 точки Ь. Таким образом, мы имеем четыре
ряда величин. А именно, первый [ряд], в который включено столь-
ко окружностей, равных окружности cxhu, сколько всех точек на
линии ас (quot sunt omnia puncta lineae ас}', третий [ряд], в кото-
рый включено столько квадратов, равных квадрату ас, сколько
всех точек на ас или [сколько всех] величин первого ряда; второй
[ряд], в который включены окружности, проходящие через все
точки [прямой] ас, за исключением точки а, заключенные между
прямой ас, спиралью аои и окружностью uhxc\ [и] четвертый
[ряд], в который включены квадраты всех абсцисс линии ас, число
которых равно числу всех точек линии ас за вычетом точки а (ибо
точка а не отсекает никакой линии от прямой ас}, то есть равно
числу величин второго ряда. Эти четыре ряда [величин] удовлет-
воряют всем необходимым условиям леммы 2 [трактата Архимеда]
«О коноидах и сфероидах». Следовательно, первый ряд будет от-
носиться ко второму как третий к четвертому; но третий к четвер-
тому относится как 3:1 (как я показал в другом месте), следова-
тельно, и первый ко второму будет относиться как 3:1. Построим
прямоугольный треугольник dfm, сторона которого df, прилежа-
щая прямому [углу], равна ас, а сторона fm [равна] окружности
cxhuc\ от стороны fm отсечем [линию] fn, равную окружности
cxhu, [и] дополним [рисунок] прямоугольниками fr и ft. Тогда
видно, что все линии параллелограмма ft, [взятые] относительно
регулы mf, равны всем окружностям круга cxhuc, взятым дважды,
ибо все окружности круга cxhuc равны всем линиям треугольника
fmd (из сказанного в теореме 1). Также видно, что все линии па-
раллелограмма rf равны всем величинам первого ряда и всем ок-
ружностям сектора auhxca, взятым дважды, ибо все окружности
Бонавентура Кавальери
337
этого сектора равны всем линиям треугольника dnf (из сказанного
в теореме 1). Но величины первого ряда суть утроенные величины
второго ряда, следовательно, их половины, то есть все окружности
сектора auhxca, будут равны полутора величинам второго ряда или
всем окружностям треугольной фигуры, ограниченной прямой ас,
окружностью cxhu и частью спирали аои. Следовательно, сектор
auhxca будет в полтора раза больше указанной треугольной фигу-
ры (из n.F теоремы 1) и, значит, будет равен утроенной оставшей-
ся части, то есть [утроенной] фигуре, заключенной между спи-
ралью аои и прямой аи\ что и требовалось доказать.
Следствие.
Отсюда следует, что величина (spatium) аоиеа так [относится]
к величине аоиа, как куб ае к кубу аи. Действительно, первые ве-
личины относятся между собой как кубы вторых. [Ибо первые ве-
личины относятся между собой] как круг еуд к сектору auhxca, то
есть [находятся] в составном отношении: круга еуд к кругу cxhu,
то есть квадрата еа к квадрату аи, и круга cxhu к сектору auhxca,
то есть полной окружности к окружности cxhu или окружности
еудге к окружности еудг, то есть еа к аи (из леммы К теоремы 1).
Но два отношения - квадрата еа к квадрату аи и линии еа к линии
аи - составляют отношение куба еа к кубу аи\ следовательно, вели-
чина аоиеа так [относится] к величине аоиа, как куб ае к кубу аи',
что и т.д.
Теорема 4. Пространство, ограниченное спиралью, описанной
в течении некоторого оборота, отличного от первого, и прямой,
[номер которой] равен [номеру] пространства12, относится к кругу
с номером, равным числу оборотов, как пространство, составлен-
ное из прямоугольника со сторонами, равными радиусам этого и
предыдущего круга, взятого вместе с третью квадрата разности
между указанными радиусами, к квадрату большего из указанных
радиусов.
Пусть спираль cub описана в течении некоторого оборота, от-
личного от первого, например, [в течении] третьего, и пусть [точ-
ка] а является началом [этой спирали]; опишем третий круг bxh и
второй [круг] сед\ между [точками] с и b возьмем некоторую точку
d и проведем [через нее] окружность du, заключенную между cb и
спиралью (рис.8). Затем построим треугольник mlf с прямым уг-
лом при вершине I, и пусть [линия] 1т будет равна ba, a fl равна
окружности bxhb; дополним [треугольник mlf] до прямоугольника
In и, отложив13 [линию] тг, равную ас, проведем через [точку] г
[линию] rq, параллельную fl и пересекающую mf в [точке] о. Все
линии треугольника mfl, взятые относительно регулы fl, будут рав-
ны всем окружностям круга bxh, а все линии треугольника тог бу-
338
НАШИ ПУБЛИКАЦИИ
Рис. 8
дут равны всем окружностям круга сед, что следует из сказанного
в теореме 1; следовательно, все линии трапеции о fir будут равны
всем окружностям разности между кругами bxh и сед. Но отноше-
ние окружности bxhb к окружности du есть отношение, составлен-
ное из отношения окружности bxhb к окружности Ьх, то есть Ьс к
ad (пока точка b бежит по окружности bxhb, точка, порождающая
спираль, пробегает cb; пока b бежит по дуге Ьх, та же точка, по-
рождающая спираль, пробегает cd) и отношения окружности Ъх к
окружности du, то есть Ьа к ad. И эти два отношения составляют
отношение прямоугольника со [сторонами] ab и Ьс к прямоуголь-
нику со [сторонами] ad и de; следовательно, отношение окружнос-
ти bxhb к окружности du будет равно отношению прямоугольника
abc к прямоугольнику ad с. Теперь, возьмем столько окружностей,
равных максимальной [окружности] bxhb (и это будут все линии
параллелограмма ql), сколько всего точек на cb, и они составят
первый ряд величин. Далее, возьмем столько прямоугольников,
приложенных к ас с избытком, равным квадрату cb, сколько всего
точек на cb, то есть сколько величин первого ряда; и это будет тре-
тий ряд [величин]. Второй ряд [величин] составят все окружности
треугольной фигуры, заключенной между прямой cb, окружностью
bxhb и спиралью cub. Четвертый [ряд величин] составят прямоу-
гольники, прилагаемые к ас с избытками, равными квадратам всех
линий, отрезаемых (abscissae) от линии cb; этих прямоугольников
будет столько по числу, сколько всего точек на линии cb за выче-
том точки с, то есть сколько величин третьего ряда. Эти четыре
ряда [величин] удовлетворяют условиям леммы 2 [трактата Архи-
меда] «О коноидах и сфероидах», что легко станет ясно размыш-
ляющему. Следовательно, первый ряд [величин] так относится ко
второму, как третий к четвертому. Но третий [рад] относится к
четвертому как ab к сумме 1/2 ас и 1/3 cb, как я показал в другом
месте; следовательно, первый ряд [величин], то есть, все линии па-
Бонавентура Кавальери
339
раллелограмма ql, относится ко второму ряду как ab к сумме \/2ас
и 1/3 cb. Все линии параллелограмма nl так относятся ко всем ли-
ниям параллелограмма ql как ml к /г, то есть как квадрат ml к пря-
моугольнику mlr или как квадрат аЬ к прямоугольнику abc. Но все
линии параллелограмма ql относятся ко всем окружностям треу-
гольной фигуры cbxhbuc как ab к сумме 1/2 ас и 1/ЗсЬ, то есть как
прямоугольник со сторонами ab и Ьс к прямоугольнику, одна сто-
рона которого равна cb, а другая сумме 1/2 ас и 1/3 cb. Следователь-
но, ex equali, все линии параллелограмма nl будут относиться ко
всем окружностям указанной треугольной фигуры как квадрат ab к
прямоугольнику, одна сторона которого равна сЬ, а другая сумме
1/2 ас и 1/3 сЬ.
Но половина первых членов [первого отношения], то есть все
линии треугольника mfl или (по теореме 1) все окружности круга
bxh, относятся ко всем окружностям указанной треугольной фигу-
ры как половина квадрата ab к указанным выше вторым членам
[второго отношения], то есть как квадрат ab к прямоугольнику со
сторонами, равными cb и сумме ас и 2/3 cb. Per conversionem
rationis все окружности круга bxh так относятся ко всем окружнос-
тям остатка, то есть пространства, заключенного между прямой ас
и спиралью cub (и такое же отношение будет иметь круг bxh к ука-
занному пространству, что следует из п.1 теоремы 1), как квадрат
аЬ к разности между данным квадратом и прямоугольником со сто-
ронами, равными cb и сумме ас и 2/3 cb. Заметим, что прямоуголь-
ник, одна сторона которого равна cb, а другая сумме ас и 2/3 cb,
равен [сумме] прямоугольников со сторонами, [равными] Ьс, са и
cb, 2/3 cb; поскольку квадрат на ab равен сумме двух прямоуголь-
ников [со сторонами] ас и cb и квадратов [со сторонами] ас и Ьс,
то, если из квадрата ab вычесть один прямоугольник [со сторона-
ми] ас и сЬ, то останется один прямоугольник [со сторонами] ас и
cb и два квадрата [со сторонами] ас и be. С другой стороны, пря-
моугольник [со сторонами] ас и cb вместе с квадратом [со сторо-
ной] ас составляют прямоугольник [со сторонами] Ьа и ас; следо-
вательно, [после вычитания] останется прямоугольник [со сторона-
ми] Ьа и ас и квадрат [со стороной] cb. Наконец, если из квадрата
[со стороной] cb вычесть прямоугольник со сторонами Ьс и 2/3 Ьс,
то останется 1/3 квадрата со стороной Ьс; если теперь взять [полу-
ченную величину] вместе с прямоугольником со сторонами Ьа и ас,
то отношение квадрата со стороной Ьа к этой сумме будет равно
отношению круга bxh к фигуре, заключенной между прямой cb и
спиралью cub’, и, convertendo, [получаем] и т.д.; что и требовалось
доказать.
340
НАШИ ПУБЛИКАЦИИ
Теорема 5. Отношение пространства, ограниченного частью
спирали первого оборота, начало которой не совпадает с началом
самой спирали, и прямыми, проведенными из концов этой части в
начало самой спирали, к сектору, ограниченному радиусами, рав-
ными большей из прямых, проведенных из концов части спирали к
началу самой спирали, и дугой, соответствующей перемещению
точки спирали между этими двумя прямыми, равно отношению
прямоугольника со сторонами, равными прямым, проведенным из
концов части спирали к началу самой спирали, взятому вместе с
1/3 квадрата со стороной, равной разности большей и меньшей
прямой, к квадрату большей из линий, соединяющих концы части
спирали с началом самой спирали.
Пусть оргех - спираль, описанная в течении первого оборота, г
и е - две указанные точки, ore указанное пространство, аое
сектор, a &kx ~ нарисованный первый круг (рис.9). Я утверждаю,
что сказанное выше верно. Построим прямоугольный параллелог-
рамм ed, сторона которого cd равна ох, а сторона db равна окруж-
ности х&сох; пусть окружность xkw равна dn, а окружность xkwf
равна dh. Проведем через точки п и h прямые tn и mh, параллель-
ные cd. Затем, проведем Ьс, пересекающую mh в [точке] i и tn в
[точке] /, а через точку i прямую ig, параллельную bd. Тогда, сек-
тор аое относится к сектору соо/ как квадрат ео к квадрату of или
[как] квадрат mi к квадрату mh, но также и как все квадраты па-
раллелограмма дт (относительно регулы cd) ко всем квадратам
параллелограмма тп. Ranee, сектор соо/ так относится к кругу
mkxf, как окружность со/ ко всей окружности, то есть как hn к bd,
или же как все квадраты параллелограмма тп ко всем квадратам
параллелограмма ed (как я показал в другом месте); круг же со&х/
относится к пространству оргеох как 3:1, то есть как все квадраты
параллелограмма ed ко всем квадратам треугольника cbe (как я по-
казал в другом месте). Следовательно, ex equali, все квадраты па-
Рис. 9
Бонавентура Кавальери
341
раллелограмма дт относятся ко всем квадратам треугольника сЬе
как сектор аое к пространству оргехо, ибо все квадраты треуголь-
ника cbe относятся ко всем квадратам треугольника cmi как куб eb
к кубу mi (как я показал в другом месте) или же как куб хо к
кубу ое, то есть как пространство оргехо к пространству оргео (из
следствия теоремы 3). Аналогично, все квадраты треугольника cbe
относятся ко всем квадратам треугольника tic как куб eb к кубу tl
или как куб ох к кубу or, то есть как пространство оргехо к прост-
ранству орг Тогда, все квадраты треугольника Ьес относятся ко
всем квадратам оставшейся трапеции milt как пространство оргехо
к пространству гое. Но [выше] было показано, что все квадраты
параллелограмма дт относятся ко всем квадратам треугольника
ebc как сектор аое к пространству оргехо, поэтому ex equali все
квадраты параллелограмма тд будут относиться ко всем квадратам
трапеции milt как сектор аое к пространству гое. Но все квадраты
параллелограмма тд относятся ко всем квадратам трапеции iltm (в
отношении регулы cd или im) как квадрат im к прямоугольнику со
сторонами im и tl, взятому вместе с 1/3 квадрата 1д (как я показал
в другом месте); но mi равна ео, a tl [равна] го, следовательно,
сектор аое будет относиться к пространству гое как квадрат на ео к
прямоугольнику со сторонами ео и or, взятому вместе с квадратом
аг, что и требовалось доказать.
Иное доказательство
Рассмотрим отдельно сектор аое, [в нем] часть спирали rze, ок-
ружность rsu с центром в [точке] о и радиусом or и возьмем на аг
произвольную точку у, через которую проведем окружность yz с
центром в [точке] о (рис. 10). Соединим [точки] о и z, а затем про-
должим oz до [точки] ф. Окружность еа имеет к окружности yz от-
ношение, составленное из отношения окружности еа к окружности
Рис. 10
342
НАШИ ПУБЛИКАЦИИ
Оф, то есть отношения аг к sz (ибо пока точка а пробегает дугу ае,
точка, порождающая спираль, пробегает аг, а пока та же точка
пробегает Оф, другая точка пробегает sz), и отношения Оф к окруж-
ности yz, то есть отношения ао к оу. Но два отношения аг к гу и ао
к оу составляют отношение прямоугольника со сторонами аг и ао к
прямоугольнику со сторонами гу и оу, следовательно, окружность
ае относится к окружности yz как прямоугольник со сторонами оа
и аг к прямоугольнику со сторонами оу и у г Следовательно, если
взять столько окружностей, равных максимальной [окружности]
ауе, сколько всего точек на аг, и столько же прямоугольников со
сторонами оа и аг, то все взятые окружности относятся ко всем ок-
ружностям треугольной фигуры аге (доказывается подобно теореме
4) как указанные прямоугольники, равные прямоугольнику оаг, к
прямоугольникам, приложенным к линии or с избытками, равными
квадратам всех линий, отсекаемых от аг Далее, эти прямоугольни-
ки относятся между собой как ао к сумме 1/2 го и 1/3 аг (как я по-
казал в другом месте); следовательно, все указанные окружности,
равные [окружности] ауе, относятся ко всем окружностям треу-
гольной фигуры аге как ао к сумме 1/2 го и \/Заг Построим прямо-
угольный параллелограмм [сп}, сторона которого cd равна ао, а
[сторона] ch [равна] окружности ае, отложим [прямую] fc, равную
га, и проведем через [точку] f [прямую] fm, параллельную ch, пе-
ресекающую диагональ (diametrum) hd в [точке] д. Если в качест-
ве регулы взять ch, то окружности, взятые в количестве, равном
количеству точек линии аг или cf, суть все линии параллелограмма
ст', следовательно, все линии параллелограмма ст относятся ко
всем окружностям треугольной фигуры аге как ао к сумме 1/2 го и
\/Заг или как cd к сумме 1/2 fd и \/3cf, то есть как прямоугольник
def к прямоугольнику со сторонами, [равными] cf и сумме 1/2 fd и
1/3 cf Но все линии параллелограмма пс относятся ко всем линиям
параллелограмма ст как de к cf, то есть как квадрат de к прямоу-
гольнику [со сторонами] de и cf ', следовательно, ex equali, все ли-
нии параллелограмма сп относятся ко всем окружностям треуголь-
ной фигуры аге как квадрат de к прямоугольнику со сторонами,
[равными] cf и сумме 1/2 fd и 1/3 cf И половина первых членов
[первого отношения], то есть все линии треугольника chd или все
окружности сектора аое (что ясно из сказанного в теореме 1), от-
носятся ко всем окружностям треугольной фигуры аге как полови-
на квадрата de к прямоугольнику со сторонами, [равными] cf и
сумме 1/2 fd и X/Scf, то есть как квадрат cd или ео, к прямоуголь-
нику [со сторонами, равными] cf (или аг) и сумме fd (или го) и
2/3 ar Per conversionem rationis все окружности сектора аое от-
носятся ко всем окружностям треугольной фигуры ore как квад-
Бонавентура Кавальери
343
рат ео к прямоугольнику со сторонами ео и or, взятому вместе с 1/3
квадрата аг\ и это ясно из рассуждения, аналогичного приведенно-
му в конце теоремы 4; такое же отношение имеют между собой и
[указанные] пространства (из n.G теоремы 1); что и т.д.
Теорема 6. Треугольная фигура аге относится к треугольной
фигуре еги как сумма го и 2/3 га к сумме го и 1/3 га.
Как показано в ином доказательстве предыдущей теоремы, все
линии параллелограмма ст относятся ко всем окружностям треу-
гольной фигуры аге как ао к сумме 1/2 го и 1/3 га; но все линии тра-
пеции cfgh относятся ко всем линиям параллелограмма fh как сум-
ма gf и 1/2дт к mf (так же относятся и пространства), то есть,
как сумма fd и \/2 fc к самой de (или ао). Отсюда, ex equali, все
линии трапеции cfgh относятся ко всем линиям треугольной фигу-
ры аге как сумма fd и 1/2/с, то есть сумма го и 1/2 га, к сумме
1/2 го и \/Зга. Но все линии трапеции cfgh равны всем окружнос-
тям четырехугольной фигуры агие (действительно, подобно теоре-
ме 1 доказывается, что все линии треугольника fdg равны всем ок-
ружностям сектора row); следовательно, все окружности четыреху-
гольной фигуры агие относятся ко всем окружностям треугольной
фигуры аге как сумма го и 1/2га к сумме 1/2 го и 1/3 га, и, следова-
тельно, если удвоить [члены пропорции], как [сумма] го и оа к
сумме or и 2/3 га; тогда, dividendo, [получаем, что] все окружнос-
ти треугольной фигуры еги относятся ко всем окружностям треу-
гольной фигуры аге как сумма го и \/Зга к сумме го и 2/3 га; и,
convertendo, [имеем, что] треугольная фигура аге (из п.Н теоремы
1) будет относиться к треугольной фигуре геи как сумма го и 2/3 га
к сумме го и 1/3 га; что и требовалось доказать, и т.д.
Теорема 7. Часть прямой линии, проведенной из начала спи-
рали к спирали, описанной оборотом, отличным от первого, и зак-
люченная между двумя соседними витками спирали, равна радиусу
первого круга.
Пусть anob первый виток
спирали, a bur первый круг,
радиус которого равен ab
(рис. 11). Пусть ad - спираль,
продолженная до [точки] rf, опи-
санная третьим оборотом. На
витке спирали, отличном от пер-
вого, например, на третьем, возь-
мем некоторую точку, скажем, с
и соединим [точки] а и с [пря-
мой,] пересекающей второй виток
спирали в точке о, а первый в
344
НАШИ ПУБЛИКАЦИИ
точке о. Я утверждаю, что [прямая] ое равна ab и [что] ее также
равна аЬ. Действительно, еа относится к аЬ как окружность burb,
взятая вместе с окружностью bur, к окружности burb (из n.L теоре-
мы 1); но ао имеет такое же отношение к ab как окружность bur к
окружности burb (из п.К теоремы 1); следовательно, отношение ео
к ab будет равно отношению окружности burb к окружности burb,
откуда следует, что ео равна самой [прямой] ab. Аналогично, [пря-
мая] са относится к ab (поскольку [точка] с находится на третьем
витке спирали) как сумма, состоящая из двух окружностей burb и
bur, к окружности burb (из n.L теоремы 1). Но еа относится к ab
как сумма окружности burb и окружности bur к окружности burb;
следовательно, остаток ес будет относиться к ab как окружность
burb к окружности burb; то есть ес будет равна ab, и то же самое
доказывается о других; что и т.д.
Следствие. Отсюда следует, что такие части также равны
между собой.
Примечания
1 Перевод сделан с издания: Bonaventura Cavalieri. De spatijs helicis (Il trattatello delle
spirali) / ed. S.Giuntini // Bollettino di storia delle scienze matematiche. Vol.5. 1985.
P.9-36. Публикуется с разрешения главного редактора журнала Э. Джюсти (Е.Giusti).
2 См.: [1]. Кавальери пользовался изданием [2].
3 Дословно «переставляя». Кавальери применяет предложение 16 книги V «Начал»
Евклида: «Если четыре величины пропорциональны, то они будут пропорциональ-
ны и «переставляя»», то есть, если a:b = c:d, то и a.c^b.d [3, т.1, с.162].
4 Дословно «фигура, составленная из четырех линий».
5 Здесь Кавальери применяет предложение 17 книги V «Начал»: «Если «составляе-
мые» величины пропорциональны, то они будут пропорциональны и «выделен-
ные»». То есть, если a.b-с:d, то (а-Ь):Ь = (с- d):d [3, т.1, с. 163].
6 Кавальери применяет следствие к предложению 7 книги V «Начал»: «Если ка-
кие-либо величины пропорциональны, то они будут пропорциональны и «обра-
щая»». То есть, если a:b=c:d, то иЬ:а = d:c [3, т.1, с. 152].
7 См.: «Начала» (книга V определение 17): «77о равенству отношение бывает при за-
дании нескольких величин и равного им количества других, находящихся, взятые
попарно, в том же самом отношении, когда как первая к последней в [ряду] первых
величин, так будет и первая к последней в <ряду> вторых величин; или иначе: взя-
тие [отношения] крайних с пропуском средних». То есть, если я:Ь:с = а:0:у, то
д:с = а:у [3, т.1, с.144].
8 См.: [4].
9 Отсюда «ордината».
10 «Если имеется любое количество некоторых величин и равное количество других ве-
личин, причем одинаково расположенные [величины обоих рядов] имеют попарно
одно и то же отношение, и если первые величины все, или только некоторые из них,
находятся в каких-нибудь отношениях с третьими величинами, а соответствующие
величины второго ряда находятся в тех же самых отношениях с величинами четвер-
того ряда, то все первые величины ко всем соответствующим им величинам [третье-
го ряда] будут иметь то же самое отношение как и все величины второго ряда ко всем
соответствующим им величинам [четвертого ряда]» [5, с.171-172].
11 Дословно «отрезанная».
12 То есть номеру оборота.
13 Дословно «отрезанная (abscissa) линия».
Бонавентура Кавальери
345
Список литературы
Архимед. Измерение круга // Архимед. Сочинения / Пер. вступит, статья и
коммент. А.И.Веселовского. М., 1962. С.266-270.
2. Archimedes. Opera quae extant novis demonstrationibus commentariisque... / Ed.
D.Rivaltus. Paris, 1615.
3. Евклид. Начала / Пер. и коммент. Д.Д. Мордухай-Болтовского при участии
М.Я.Выгодского и И.Н.Веселовского. М.-Л. 1948-1950. Т.1-3.
4. Архимед. О спиралях // Архимед. Сочинения / Пер., вступит, статья и коммент.
А.И.Веселовского. М., 1962. С.227-265.
5. Архимед. О коноидах и сфероидах // Архимед. Сочинения / Пер., вступит, ста-
тья и коммент. А.И.Веселовского. М., 1962. С. 168-226.
НАУЧНАЯ ХРОНИКА1»
НОВЫЕ КНИГИ ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ
ШЕЙНИН О.Б. Теория вероятностей. Элементарное руководство с привлечением све-
дений из истории этой науки. Берлин: NG Verlag, 2008. 109 с.
ШЕЙНИН О.Б. Воспоминания и раздумья на закате. Берлин: NG Verlag, 2008. 96 с.
Memorial Adolf Youschkevitch / Edite par S.Demidov et R.Rashed / / Archives
internationals d’histoire des sciences. 2008. Vol.58. №160-161. 432 p.
ВОЛОДАРСКИЙ А.И. Очерки истории средневековой индийской математики. 2-е
изд. М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009. 184 с.
ВОЛОДАРСКИЙ А.И. Ариабхата. 2-е изд. М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009.
112 с.
Историко-математические исследования. Вторая серия / Гл. ред. С.С.Демидов. М.:
Янус-К, 2009. Вып. 13(48). 388 с.
Портреты: Леонард Эйлер. Даниил Бернулли. Иоганн Генрих Ламберт / Составитель
и переводчик О.Б.Шейнин. Берлин: NG Verlag, 2009. 254 с.
САМАРИН А.Ю. Симонов Рэм Александрович. Материалы к биобиблиографии /
Институт истории естествознания и техники им. С.И.Вавилова РАН. Серия «Российс-
кие историки науки и техники». Вып.VI. М.: Янус-К, 2009. 92 с.
ЧУПРОВ А.А. Письма К.Н.Гулькевичу. 1919-1921 / Публикация Г.Кратца, Л.Вит-
тиха, О.Б.Шейнина. Берлин: NG Verlag, 2009. Ill с.
ЧУПРОВ А.А. Архивные материалы, газетные и журнальные публикации / Состави-
тель и переводчик О.Б.Шейнин. Берлин: NG Verlag, 2009. 286 р.
Portraits. Leonhard Euler. Daniel Bernoulli. Johann-Heinrich Lambert / Compiled and
translated by O.Sheynin. Berlin: NG Verlag, 2009. 210 p.
SHEYNIN O.B. Theory of probability and statistics as exemplified in short dictums
Second revised and enlarged edition$. $Berlin: NG Verlag, 2009. 199 p.
SLUTSKY E.E. Theory of correlation and elements of the doctrine of the curves of
distribution. Manual for studying some most important methodes of contemporary
statistics / Translated by O.B.Sheynin. Berlin: NG Verlag, 2009. 127 p.
Studies in the history of statistics and probability. Collected translations / Compiled and
translated by O.Sheynin. Berlin: NG Verlag, 2009. 259 p.
БЕРЕЗКИНА Э.И. Математика древнего Китая. 2-е изд. М.: Книжный дом «ЛИБРО-
КОМ», 2010. 312 с.
ГУШЕЛЬ Р.З. Страницы истории школьного дела в Ярославле. XIX - начало XX
века. Ярославль: Академия 76, 2010. 128 с.
1)Раздел подготовили А.И.Володарский и Т.А.Токарева
347
Историко-математические исследования. Вторая серия. Специальный выпуск.
К.Фили. Возникновение и развитие дескриптивной теории множеств. М.: Янус-К,
2010. 64 с.
ЦАЙГЕР М.А. Арифметика в Московском государстве XVI в. Беэр-Шева: Берилл,
2010. 72 с.
SLUTSKY Е. Collected statistical papers / Selected and translated by
O.B.Sheynin. Assisted by G.Rauscher and C. Wittich. Berlin: NG Verlag, 2010. 329 p.
КОНФЕРЕНЦИИ ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ
23-27 марта 2009 г Москва. Международная научно-обра-
зовательная конференция «Наука в вузах: математика, физика,
информатика. Проблемы высшего и среднего профессионально-
го образованиям. Организаторы: Федеральное агентство по обра-
зованию РФ, Российский университет дружбы народов, Московс-
кий государственный институт радиотехники, электроники и авто-
матики, Российский государственный социальный университет,
Московский педагогический государственный университет, Ярос-
лавский государственный педагогический университет, Российский
новый университет, Научно-методический совет по математике Ми-
нистерства образования и науки РФ, Академия педагогических и
социальных наук, Высшая школа им. Павла Влодковича (г.Плоцк,
Польша), Математический институт Педагогического университета
Комиссии народного образования (г.Краков, Польша), Варненский
свободный университет (г.Варна, Болгария), Международное об-
разовательное учреждение (г.Кошице, Словакия), Центр современ-
ного образования РФ.
Секция: История математики и естествознания. Сопредседа-
тели: С.С.Демидов (ИИЕТ РАН-МГУ), С.С.Петрова (МГУ),
С.Доморадзки (Жешув, Польша).
18-21 мая 2009 г., Ярославль. Седьмые Международные
Колмогоровские чтения. Организаторы: Московский государст-
венный университет им. М.В.Ломоносова, Институт истории естес-
твознания и техники им. С.И.Вавилова РАН, Ярославский госу-
дарственный педагогический университет им. К.Д.Ушинского.
Секция: История и философия математики и математическо-
го образования. Сопредседатели: С.С.Демидов (ИИЕТ РАН-
МГУ), А.Е.Малых (ПГПУ), С.Н.Бычков (РГГУ).
2-4 июня 2009 г., Москва. Годичная научная конференция
Института истории естествознания и техники им. С.И.Вавилова
РАН. Круглый стол: «Математика античности и средневековья».
Круглый стол: «Организация математических исследований в Рос-
сии и СССР».
348
НАУЧНАЯ ХРОНИКА
17-20 мая 2010 г., Ярославль. Восьмые Международные
Колмогоровские чтения. Организаторы: Московский государст-
венный университет им. М.В.Ломоносова, Институт истории естес-
твознания и техники им. С.И.Вавилова РАН, Ярославский госу-
дарственный педагогический университет им. К.Д.Ушинского.
Секция: История и философия математики и математическо-
го образования. Сопредседатели: С.С.Демидов (ИИЕТ
РАН-МГУ), А.Е.Малых (ПГПУ), С.Н.Бычков (РГГУ).
ДОКЛАДЫ НА КОНФЕРЕНЦИЯХ
И СЕМИНАРАХ ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ
Международная научно-образовательная конференция «Наука в
вузах: математика, физика, информатика. Проблемы высшего и
среднего профессионального образованиям
(23-27 марта 2009 г., Москва)
АВДЕЕВА Т.С., АВДЕЕВ Ф.С. (РУДН, Москва). Классики педаго-
гического образования К.Д.Краевич (1833-1892) этапы жизнедеяте-
льности.
ДОРОФЕЕВА А.В. (МГУ, Москва). Вклад Д.Ф.Егорова в развитие
вариационного исчисления.
ДРОВЕНИКОВ И.С. (ИИЕТ РАН, Москва). Новые источники в
историографии советского атомного проекта.
ЗАЙЦЕВ Е.А. (ИИЕТ РАН, Москва). Доевдоксова теория пропор-
ций.
ЛЮТЕР И.О. (ИИЕТ РАН, Москва). Философские аспекты теории
параллельных линий на средневековом арабо-мусульманском Восто-
ке.
АЛЬ-ХАМЗА М.Х. (ИИЕТ РАН,Москва). Арабская средневековая
математика и поэзия.
КУЗИЧЕВА З.А. (МГУ Москва). Роль исследования операций в
основаниях математики.
ПЕТРОВА С.С. (МГУ, Москва). Из истории преподавания матема-
тики в Московском университете: Болеслав Корнелиевич Млодзеев-
ский.
СМИРНОВА Г.С. (МГУ, Москва). Французские геометры XIX в. О
результатах Ф.Миндинга в теории поверхностей.
ТОКАРЕВА Т.А. (ИИЕТ РАН, Москва). «Историко-математиче-
ские исследования».
ХОХЛОВА Л.И. (РУДН, Москва). Проблема пространства и време-
ни в интерпретации Павла Флоренского.
Седьмые Международные Колмогоровские чтения
(18-21 мая 2009 г., Ярославль)
АБРАМОВ А.М. (РАО, Москва). А.Н.Колмогоров и школьное ма-
тематическое образование в СССР
АКСЕНОВА Е.А. (Оренбург). О периодизации истории математи-
ки: уточнение «Шкалы Колмогорова».
349
БАШМАКОВ М.И.(РАО, Санкт-Петербург). Колмогоров и Фадде-
ев - два взгляда на школьную математику.
БУСЕВ В.М. (ИИЕТ РАН, Москва). Вопросы преподавания мате-
матики в трудах Педагогического общества, состоящего при Импера-
торском Московском университете.
БЫЧКОВ С.Н. (РГГУ Москва). Геометрия, политология и аксио-
матический метод.
ГУШЕЛЬ Р.З. (ЯГПУ, Ярославль). Б.К.Млодзеевский и среднее
математическое образование в России в конце XIX - начале XX в.
ДЕМИДОВ С.С. (ИИЕТ РАН-МГУ, Москва). Дж.Пеано и россий-
ское математическое сообщество конца XIX - XX столетия.
ДУБОВИЦКАЯ М.А. (ИИЕТ РАН, Москва). Из истории алгебры в
России.
ЗВЕРКИНА Г.А. (МИИТ, Москва). О периодизации истории мате-
матики.
ЗВЕРКИНА Г.А., ПУГИНА Л.В. (МИИТ, Москва). Б.К.Млодзеев-
ский - выдающийся деятель высшего математического образования.
ЗУБОВА И.К. (ОГУ, Оренбург). Семья больших русских ученых (к
100-летию Н.Н.Боголюбова).
КОНОВАЛОВА Л.В. (СПбГСУ Санкт-Петербург). Л.Эйлер и ко-
раблестроение.
МАГДАНОВА И.В. (ПГПУ, Пермь). Историко-математический
конкурс как средство формирования культуры мышления.
МАЛЫХ А.Е. (ПГПУ, Пермь).Талант к таланту: к 110-летию со дня
рождения Пелагеи Яковлевны Полубариновой-Кочиной.
МЕДВЕДЕВА Н.Н. (ХГУ, Абакан). Конструктивная теория разбие-
ний в работах Дж.Дж.Сильвестра.
ПАВЛИДИС В.Д. (ОГПУ, Оренбург). Некоторые вопросы тригоно-
метрических рядов в исследованиях Л. Эй лера.
ПАРШИН А.Н. (МИ РАН, Москва). Представления дискретных
групп Гейзенберга и их применения.
ПОЛОТОВСКИЙ Г.М. (Нижний Новгород). Топология веществен-
ных алгебраических кривых: история и результаты.
РОЖАНСКАЯ М.М. (ИИЕТ РАН, Москва). Арабские рукописи
физико-математического содержания в библиотеках Санкт-Петер-
бурга.
РОЗОВ Н.Х. (МГУ, Москва). Инновации в общеобразовательной
школе и педагогическом образовании.
РУДАКОВ А.Н. (МГУ, Москва). Отображения модулей Верма не-
которых супералгебр Ли.
СИМОНОВ Р.А., ГОРОДЕЦКИЙ М.Л., ХРОМОВ О.С. (МГУП,
Москва). Ярославский трактат по древнерусской математике и астро-
номии в списке конца XVII - начала XVIII вв.
СИНКЕВИЧ Г.И. (СПбГАСУ Санкт-Петербург). История одной
идеи Н.Н.Лузина.
УГОЛЬНИКОВА О. Д. (Санкт-Петербург). Специфика развития со-
временного отечественного высшего образования.
ХАБЕЛАШВИЛИ А.В. (ИИЕТ РАН, Москва). Результаты обобще-
ния принципа «золотого сечения».
350
НАУЧНАЯ ХРОНИКА
ЩЕТНИКОВ А.И. (Новосибирск). Как были найдены решения
классических задач о трисекции угла и удвоении куба.
ЩУКИН Е.И., ШАПКИНА В.Н. (ЯГПУ, Ярославль). 50 лет на
службе математическому образованию (к 50-летию научно-методиче-
ского семинара И.К.Андронова).
Годичная научная конференция Института истории естествозна-
ния и техники им. С.И.Вавилова РАН
(2—4 июня 2009 г. Москва)
3 июня 2009 г.
Круглый стол: «Математика античности и средневековья»
(руководитель - С.С.ДЕМИДОВ, М.М.РОЖАНСКАЯ, секретарь
- Т.А.ТОКАРЕВА)
АЛЬ-ХАМЗА М. (ИИЕТ РАН, Москва). О новой рукописи ал-Хас-
сара «Книга разъяснений и запоминания в искусстве действий гу-
бар».
ЗАЙЦЕВ Е.А. (ИИЕТ РАН, Москва). Реконструкция архаичного
метода доказательства несоизмеримости.
ЛЮТЕР И.О. (ИИЕТ РАН, Москва). «Предложения обоснования»
ас-Самарканди в контексте истории средневековых «Начал» Евкли-
да.
РОЖАНСКАЯ М.М. (ИИЕТ РАН, Москва). О работах И.Н.Весе-
ловского по древней и средневековой механике.
ХМУРКИН Г.Г (МГУ Москва). Названия нуля в средневековых
индийских трактатах.
Круглый стол: «Организация математических исследований в
России и СССР»
(руководитель - С.С.ДЕМИДОВ, секретарь - Т.А.ТОКАРЕВА)
АНДРИАНОВ А.Л. (ИИЕТ РАН, Москва). Линейное программиро-
вание в работах Л.В.Канторовича 1930-1950-х гг.
ВОЛОДАРСКИЙ А.И. (ИИЕТ РАН, Москва). Математика в Рос-
сии второй половины XIX - первой трети XX вв.
ДЕМИДОВ С.С. (ИИЕТ РАН-МГУ, Москва). Дж. Пеано и россий-
ское математическое сообщество.
ДЕМИДОВ С.С. (ИИЕТ РАН-МГУ, Москва). О философском
контексте развития математики в Москве в первой четверти XX в.
ПЕТРОВА С.С. (МГУ, Москва). Болеслав Корнелиевич Млодзеев-
ский и преподавание математики в Москве на рубеже XIX и XX вв.
ТОКАРЕВА Т.А. (ИИЕТ РАН, Москва). Печатный орган отечест-
венных историков математики.
ШАПОШНИКОВ В.А. (МГУ Москва). Спор отца и сына (А.И. и
П.А.Флоренские о математике и мировоззрении).
Объединенный Общемосковский научно-исследовательский се-
минар по истории математики и механики
(Основан в 1933 г. М.Я.ВЫГОДСКИМ и С.А.ЯНОВСКОЙ. Руко-
водители: И.А.ТЮЛИНА, С.С.ДЕМИДОВ; заседания проходят в
351
помещении механико-математического факультета Московского го-
сударственного университета им. М.В.Ломоносова)
20 октября 2008 г.
САВВИНА О.А. (Елецкий государственный университет им.
И.А.Бунина, Елец). О педагогической деятельности и наследии
Н.В.Бугаева.
27 октября 2008 г.
БУ СЕВ В.М. (ИИЕТ РАН, Москва). Реформы школьного матема-
тического образования в СССР (10-е - 30-е годы XX в.)
10 ноября 2008 г.
Заседание, посвященное 95-летию К.А.Рыбникова (1913—2004).
17 ноября 2008 г.
КУДРЯШОВА Л.В. (МГУ Москва). Об одной гениальной догадке
Л.Эйлера.
24 ноября 2008 г.
КУКСЕНКО Б.В. (МГУ, Москва). История науки содержит доказа-
тельство того, что время физическим феноменом не является.
/ декабря 2008 г.
КУЗИЧЕВА З.А. (МГУ, Москва). Об издании избранных трудов Г.
и Р.Грассманов.
АЛЕКСАНДРОВА Н.В. (МАИ, Москва). Симон Стевин.
8 декабря 2008 г.
ДЕМИДОВ С.С. (ИИЕТ РАН-МГУ, Москва). Дж.Пеано и матема-
тика на рубеже двух веков (к 150-летию со дня рождения Дж.Пеано).
15 декабря 2008 г.
Заседание, посвященное памяти выдающегося российского геометра
и историка науки Б.А.Розенфельда (1917-2008).
16 февраля 2009 г.
ДУБОВИЦКАЯ М.А. (ИИЕТ РАН, Москва). Курс истории естест-
вознания О. Ю. Шмидта
2 марта 2009 г.
БЕРКОВИЧ Е. (Ганновер, Германия). История Немецкого матема-
тического общества в годы Третьего Рейха. Арийская наука и ее по-
следствия.
16 марта 2009 г.
АНДРИАНОВ А.Л. (ИИЕТ РАН, Москва). Ранние работы
Л.В.Канторовича по линейному программированию.
23 марта 2009 г.
ЛЮТЕР И.О. (ИИЕТ РАН, Москва). Из истории геометрии на позд-
несредневековом арабском Востоке.
30 марта 2009 г.
ЛЕВКОВСКИЙ П.Е. (ПГПУ, Пермь). Формирование системы на-
учных взглядов Шарля Боссю в контексте развития механики
XVIII в.
6 апреля 2009 г.
ИГНАТУШИНА И.В. (ОГПУ, Оренбург). Роль Леонарда Эйлера в
становлении дифференциальной геометрии.
/ 3 апреля 2009 г.
ВИЗГИН В.П. (ИИЕТ РАН, Москва). Еще раз о «непостижимой
эффективности математики в естественных науках».
352
НАУЧНАЯ ХРОНИКА
Ломоносовские чтения механико-математического факультета
Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова
20 апреля 2009 г.
ДОРОФЕЕВА А.В. (МГУ Москва). Из истории теоремы о неявной
функции.
ДЕМИДОВ С.С. (ИИЕТ РАН-МГУ, Москва). Дж.Пеано и русские
математики.
КУДРЯШОВА Л.В. (МГУ, Москва). Открытие Л.Эйлером сущест-
вования осей свободного вращения в каждом теле - рубеж в механи-
ке.
КУЗИЧЕВА З.А., КРАВЧУК Н.Н. (МГУ, Москва). Об исследова-
нии абстрактных алгебраических операций в XIX в.
ТЮЛИНА И.А., ЧИНЕНОВА В.Н. (МГУ Москва). Б.В.Гнеденко
как историк математики и механики.
27 апреля 2009 г.
ХМУРКИН Г.Г (МГУ, Москва). Возникновение понятия нуля: об-
зор индийских источников (древность и раннее средневековье).
28 сентября 2009 г.
ДЕМИДОВ С.С. (ИИЕТ РАН-МГУ, Москва). Лето 2009 г. - неко-
торые события историко-математической жизни в стране и мире.
5 октября 2009 г.
ДЕМИДОВ С.С. (ИИЕТ РАН-МГУ Москва). Circolo Matematico
di Palermo: первая попытка создания международного объединения
математиков.
12 октября 2009 z.
ЕВТУШЕНКО А.А. (МГУ Москва). К 150-летию со дня рождения
И. В. Мещерского.
26 октября 2009 г.
БУДИНАС Б.Л. (ИПМ РАН, Москва). О работе коллектива
М.В.Келдыша (к 52-й годовщине запуска советского искусственного
спутника Земли).
2 ноября 2009 г.
АНДРИАНОВ А.Л. (ИИЕТ РАН, Москва). Теория игр и линейное
программирование (работы 1940-х - 1950-х годов).
9 ноября 2009 г.
МОНАСТЫРСКИЙ М.И. (ИИЕТ РАН, Москва). Судьба и труды
трех математиков: В.С.Игнатовского, Я.В.Успенского, А.С.Безико-
вича.
16 ноября 2009 г.
ХМУРКИН Г.Г (МГУ, Москва). Ноль и буддийские учения о пусто-
те.
23 ноября 2009 г.
ДУБОВИЦКАЯ М.А. (ИИЕТ РАН, Москва). Из истории алгебры в
СССР (по материалам архива А.Г.Куроша).
30 ноября 2009 г.
ПЕТРОВА С.С. (МГУ, Москва). Расходящиеся ряды в работах
Л. Эйлера.
7 декабря 2009 г.
СИМОНОВ Р.А. (МГУП, Москва). Истоки нумерационных знаний
на Руси (VII-VII1 вв.).
353
14 декабря 2009 г.
ВИЗГИН В.П. (ИИЕТ РАН, Москва). Взаимодействие физиков и
математиков в атомном проекте.
21 декабря 2009 г.
ШАПОШНИКОВ В.А. (МГУ, Москва). «Плотскость мысли» (к
философии математики о. Павла Флоренского).
/ марта 2010 г.
СИНКЕВИЧ Г.И. (СПбГАСУ Санкт-Петербург). Георг Кантор. Се-
мья и детство в Петербурге.
15 марта 2010 г.
АНДРИАНОВ А.Л. (ИИЕТ РАН, Москва). Американская история
линейного программирования.
22 марта 2010 г.
КУЗИЧЕВА З.А. (МГУ, Москва). О серии «Новые идеи в математи-
ке» (СПб, 1912-1915).
29 марта 2010 г.
ЕВТУШЕНКО А.А. (МГУ, Москва). К 150-летию И.В.Мещерского.
АВДЕЕВА Т.К. (ОГУ Орел). Педагоги-математики орловцы.
5 апреля 2010 г.
БУСЕВ В.М. (ИИЕТ РАН, Москва). Из истории школьного матема-
тического образования в СССР в 1938-1956 гг.
12 апреля 2010 г.
Аль-Хамза М. (ИИЕТ РАН, Москва). О некоторых современных
концепциях развития средневековой арабской математики.
Ломоносовские чтения механико-математического факультета
Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова
19 апреля 2010 г.
ДЕМИДОВ С.С. (ИИЕТ РАН-МГУ, Москва). Роль Московского
математического общества в развитии математики в России и в
СССР
ДОРОФЕЕВА А.В. (МГУ, Москва). Работы Д.Ф.Егорова по вариа-
ционному исчислению и интегральным уравнениям.
КУДРЯШОВА Л.В. (МГУ, Москва). Из истории социальной стати-
стики.
КУЗИЧЕВА З.А., КРАВЧУК Н.Н. (МГУ Москва). Уточнение ло-
гических операций П.С.Порецким.
ПЕТРОВА С.С. (МГУ, Москва). К 150-летию со дня рождения про-
фессора математики Московского университета Б.К.Млодзеевского.
ТЮЛИНА И.А. (МГУ, Москва). Памяти А.Т.Григорьяна (К 100-ле-
тию со дня рождения).
ЧИНЕНОВА В.Н. (МГУ, Москва). О работах Д.Бернулли по меха-
нике (К 310-летию со дня рождения).
26 апреля 2010 г.
ХМУРКИН Г.Г (МГУ, Москва). Некоторые особенности математи-
ки в трактате Ариабхаты «Ариабхатия».
354
НАУЧНАЯ ХРОНИКА
Секция математики Центрального дома ученых РАН
(Руководители секции С.С.ДЕМИДОВ, В.М.ТИХОМИРОВ)
16 октября 2008 г.
Золотой век Московской математики: К 95-летию со дня рождения
академика И.М.Гельфанда.
20 ноября 2008 г.
Золотой век Московской математики: К 100-летию со дня рождения
академика Л.С.Понтрягина.
18 декабря 2008 г.
Золотой век Московской математики: К 150-летию со дня рождения
Б.К.Млодзеевского и 125-летию со дня рождения академика
Н.Н.Лузина.
19 февраля 2009 г.
Золотой век Московской математики: К 100-летию со дня рождения
академика С.Л.Соболева.
19 марта 2009 г.
Советская математика: ее место в мировой науке и судьба.
16 апреля 2009 г.
Математика в школе XXI века. К 100-летию Международной комис-
сии по преподаванию математики.
13 октября 2009
ТИХОМИРОВ В.М. (МГУ, Москва), ВИЗГИН В.П. (ИИЕТ РАН,
Москва). Вариационные принципы механики. К 250-летию со дня
смерти Пьера Луи Моро де Мопертюи.
24 октября 2009 г.
Золотой век Московской математики: К 100-летию со дня рождения
академика А.И.Мальцева.
18 февраля 2010 г.
Золотой век Московской математики: Заседание, посвященное памя-
ти академика И.М.Гельфанда (1913-2009).
18 марта 2010 г.
ШИЛОВ В.В. (Москва), КИТОВ В.А. (Москва). Из истории кибер-
нетики в СССР: жизнь и творчество А.И.Китова.
15 апреля 2010 г.
БУДИНАС Б.Л. (ИПМ РАН, Москва). О работе коллектива
М.В.Келдыша (к 53-й годовщине запуска спутника).
21 октября 2010 г.
Золотой век Московской математики: К 90-летию профессора
А.Д.Мышкиса (1920-2009).
18 ноября 2010 г.
Об итогах работы Международного конгресса математиков в Хайда-
рабаде (Индия, август 2010).
16 декабря 2010 г.
355
Золотой век Московской математики: К 100-летию со дня рожде-
ния члена-корреспондента АН СССР Н.В.Ефимова (1910—1982).
Семинар «Доклассическая наука» (бюро семинара: Д.А.БАКЖ,
А.И.ВОЛОДАРСКИЙ, С.С.ДЕМИДОВ, М.М.РОЖАНСКАЯ.
Проходит в помещении Библиотеки истории русской философии и
культуры «Дом А.Ф.Лосева»).
24 октября 2009 г.
КЕЙ П. (Париж, Франция). Гуманизм квадривия: математика и фи-
лософия пропорций в эпоху Возрождения.
МАТТОН С. (Париж, Франция). Аспекты алхимии в эпоху Возрож-
дения и классический век.
Межинститутский семинар ИИЕТ РАН и Института философии
РАН «Уникальность предметов и проблемы синтеза рационально-
стей в истории естествознания»
20 октября 2009
ДЕМИДОВ С.С. (ИИЕТ РАН-МГУ, Москва). Поиски рациональ-
ности в свете кризиса в основаниях математики начала XX в.
Восьмые Международные Колмогоровские чтения
(17-20 мая 2010 г., Ярославль)
АБРАМОВ А.М. (РАО, Москва). Математическое просвещение и
А.Н. Колмогоров.
АЛЬ-ХАМЗА М. (ИИЕТ РАН, Москва). Элементы философии ма-
тематики в трактате Ахмада Ибн ал-Банна «Снятие покрывала с ви-
дов арифметических действий».
АНАНЬЕВА М.С. (ПГПУ, Пермь). Расширение теории определите-
лей во второй половине XIX века.
БАРАБАНОВ О.О. (Ковров). О двух математических письмах Де-
карта принцессе Елизавете Богемской.
БУСЕВ В.М. (ИИЕТ РАН, Москва). Из истории школьного матема-
тического образования в 1938-1957 гг.
БУСЕВ В.М. (ИИЕТ РАН, Москва). Благотворительные проекты
для школьников и учителей математики.
БЫЧКОВ С.Н. (РГГУ, Москва). Эвристика в преподавании матема-
тики: Пойа, Лакатос, Колмогоров.
ВОРОНИНА М.М., КОНОВАЛОВА Л.В. (Санкт-Петербург). Ис-
тория, математика и прогресс (к 200-летию преподавания математики
в Институте путей сообщения).
ГУБИНА Е.В. (Нижний Новгород). Владимир Андреевич Стеклов -
ученый с нижегородской родословной.
ГУШЕЛЬ Р.З. (ЯГПУ, Ярославль). Н.А.Извольский - профессор
Ярославского педагогического института.
ДЕМИДОВ С.С. (ИИЕТ РАН-МГУ, Москва). Circolo matematico
di Palermo и развитие математики на рубеже XIX-XX веков.
ЖАРОВ В.К. (СТАНКИН, Москва). История преподавания вы-
сшей математики вчера и сегодня в МГТУ «СТАНКИН» или о неко-
торых аспектах преподавания математики в техническом вузе.
356
НАУЧНАЯ ХРОНИКА
ЖАРОВ С.В. (ЯГПУ, Ярославль). Комбинационная работа по
арифметике и геометрии в трудах Н.А.Извольского.
ЗАЙЦЕВ Е.А. (ИИЕТ РАН, Москва). Античная математика без по-
нятия отрицания.
ЗВЕРКИНА Г.А. (МИИТ, Москва). О неизданной рукописи
И. Н. Веселовского.
ЗУБОВА И.К. (ОГУ, Оренбург). Из истории математического обра-
зования в Оренбургском крае.
ИГНАТУШИНА И.В. (ОГПУ, Оренбург). Из истории становления
дифференциальной геометрии как учебного предмета: ученики и по-
следователи Леонарда Эйлера.
КОРШУНОВА Н.И. (ЯГПУ, Ярославль). Математика и математи-
ки в коммерческих учебных заведениях Ярославской губернии (до
1917 г.).
МАЛОНЕК Х.Р (Департамент математики университета Авейро,
Португалия). С кватернионов до Клиффордова анализа.
МАЛЫХ А.Е. (ПГПУ, Пермь). Из истории биноминальной теоремы.
МАЛЫХ А.Е., ДАНИЛОВА В.И. (ПГПУ, Пермь). Евгений Григо-
рьевич Гонин (к 100-летию со дня рождения).
МЕДВЕДЕВА Н.Н. (Абакан). Вклад итальянских математиков в
развитие аддитивной теории разбиений.
НАЛБАНДЯН Ю.С. (Ростов-на-Дону), История математики в Юж-
ном Федеральном (Ростовском, Варшавском) университете.
ПОЛОТОВСКИЙ Г.М. (Нижний Новгород). Еще раз об определе-
нии предмета математики и о периодизации ее истории.
ПЫРКОВ В.Е. (Ростов-на-Дону). О новых результатах исследова-
ния жизни и творчества Д.Д. Морду хай-Болтовского.
РОЖАНСКАЯ М.М. (ИИЕТ РАН, Москва). Астрономо-геометри-
ческие соотношения у ал-Бируни.
РОЗОВ Н.Х. (МГУ, Москва). Что такое процент?
РЫБНИКОВ К.К. (МГУЛ, Москва), РЫБНИКОВ А.К. (МГУ
Москва), ЛАКСКОВАЯ Т.А. (Москва). К 100-летию со дня рожде-
ния Н.В.Ефимова (период работы в Московском лесотехническом
институте 1943-1960 гг.).
СИМОНОВ Р.А. (МГУП, Москва). Кирику Новгородцу 900 лет:
новый взгляд на творчество.
ХАРЛАМОВА В.И. (департамент математики университета Авейро,
Португалия). Визит академика Николая Митрофановича Крылова в
Португалию в 1927 г.
ШАКИРОВА Л.Р (Казань). Н.Д.Брашман - ученик Н.И.Лобачев-
ского.
ЩЕТНИКОВ А.И. (Новосибирск). Трактат Клеомеда «Круговая те-
ория небесных явлений».
Abstracts
Parshin A.N. Mathematics in Moscow: we have had the great epoch.
The text combines reminiscences of the author on the development of the
Moscow mathematical school in I960-1970th and some reflections on the future
of mathematics.
Demidov S.S. G.Peano and Russian mathematical association of his
time.
This article is devoted to the analyse of relations on eminent Italian mathe-
matician G.Peano with his Russian colleagues from Kazan (A.V Vasilyev,
N.N.Parfentyev, P.S.Poretsky), Odessa (V.F.Kagan), Warsaw (S.Dickstein),
Rostov-on-Don ( D. D. Mordukhai-Boltovskoi).
Uspenskii V.A. Kolmogorov and philological sciences.
This paper is devoted to A.N.Kolmogorov’s role in the development of phi-
lological sciences. Kolmogorov’s contribution to philological sciences can be di-
vided into three components. The first component consists in his researche in the
field of linguistics and the verse theory. The second - in organizational support
of new directions in philology. The third is a participation in the creation of that
favorable atmosphere in society and in science without which the development
of these directions would be complicated.
Kibrik A.E. A.N.Kolmogorov and linguistic.
The paper is devoted to the linguistic studies of the eminent mathematician
Andrei Nikolaevich Kolmogorov. Author recollects his meetings with great sci-
entist and his appearance at the seminar at the mathematical department of
M.V.Lomonosov Moscow State University
Vizgin V.P. The interaction between of the physicists and the mathe-
maticians in the Soviet atomic project (1940—1950th).
The present paper analyses the different forms of this interaction: from the
organization of the special computational mathematical groups in the institutes
of the USSR Academy of Sciences to the creation of the mathematical divisions
in the nuclear weapon centers. It is shown that the mathematicians have made
the significant contribution to the realization of the atomic project, especially to
the computational theoretical foundation of the first patterns of the nuclear and
thermonuclear weapon. This activity had an important influence on the develop-
ment of the computational mathematics, mathematical physics and the creation
of the electronic computers in the USSR.
Zelikin M.I. Lev Semenovich Pontryagin. Reminiscences and reflec-
tions.
This article is dedicated to the centenary of the birth of a distinguished
mathematician L.S.Pontryagin. His contribution to the science are well known.
All mathematicians know following terms: Pontryagin’s duality, Pontryagin’s
characteristic set, Pontryagin’s maximum principle. Lev Semenovich took an
358
active participation in the public life of the country. He took an active part
against the program of turning of the Siberian rivers to Central Asia
The letters written by mathematician L.S.Pontryagin to philologist
I.V.Myltsina (publication with commentaries by A.I. Volodarsky and
T. A. Tokarev a).
It has been published seven letters of an eminent mathematician, a member
of the USSR Academy of Sciences L.S.Pontryagin to Irina Myltsina, a teacher of
the Russian language. The letters cover period from 1940 to 1942. Six letters
were sent from Kazan, where during Great Patriotic War lived L.S.Pontryagin,
to a small town Buguruslan, where in local Pedagogical institute I.Myltsina was
a teacher.
Khmourkin G. G. On the problem of origination of Indian zero names.
In this article we give a list of all the Sanskrit names of zero we can think of
which were used in such a system of Indian numeration as bhuta-samkhya. The
analysis of their meaning enables us to make some preliminary conclusions con-
cerning the initial form of the symbol standing for zero, its Indian (or Greek?)
origin and the way it was perceived by the Hindus in the antiquity and in the
Middle Ages.
Lyuter I. O. On the definitions and postulates in the treatise «Propo-
sitions of Substantiation» («Ashkal al-Ta’sis») of al-Samarqandi and com-
mentary on it by al-Rumi.
It is a study of philosophical, methodological and textual peculiarities of
the very first principles of geometry, as they had been exposed by al-Samarqandi
(c.l250-c.l310) and al-Rumi (1364-1436) taking into account axiomatics pre-
sented in the revisions of Euclid’s «Elements» by al-Tusi (one of the main
sources of these treatises) and Pseudo-Tusi. In particular, it includes an analysis
of the definitions of a point, presented by all these scholars, influenced by Aris-
totle and al-Farabi and coming back to the Pythagoreans, a study of their defini-
tions of a plane angle in the context of the problem of a true genus of angle. A
special attention has been drawn to the kinematical «proofs» of the first three
postulates by al-Rumi, al-Abhari (quoted by al-Rumi) and Pseudo-Tusi, which
are similar to the ones used by Ibn al-Haytham and most likely coming back to
Proclus and his neoplatonic substantiation of the legitimacy of such kinematical
methodology in geometry. It also includes an examination of philosophical ap-
proaches to the proof of the Vth postulate mentioned by both scholars as being
based on continualistic or atomistic principles, which had been also pointed out
in the works of al-Khayyam and al-Tusi and probably come back to the geometri-
cal paradoxes considered by al-Kindi and al-Biruni. The investigation of al-
Samarqandi’s work and al-Rumi’s commentary on it was based on their Arabic
manuscripts from the Scientific Library of the Kazan’ State University (N 1121
arab and N 97 arab correspondingly), which have not been studied earlier.
Morozov B.N., Simonov R.A. Stefan Permskii’s creation of nu-
meration in the 14th c. Russia.
When Stefan Permskii (end of the 14th c.) had converted the ancient Per-
mian people (ancestors of the contemporary Komi people) to Christianity he had
also constructed an original alphabet numeration which contained 27 letters-nu-
merals designating units, dozens and hundreds. The work contains the results of
investigating manuscript records with such letters-numerals.
359
Perminov V. Ya. The system-genetic substantiation of consistency of
mathematics.
The article is devoted to the problem of substantiation of mathematics. The
author defends the following theses: for a mathematical theory, development it-
self can be considered as its self-substantiation; consistency of a mathematical
theory results from its inner evolution; and hence, consistency can be established
analyzing evolution of a mathematical theory as a specific conceptual system.
Polotovsky G.M. The topology of real algebraic curves: history and
results.
There are several mathematical topics that have been studied over all the
history of mathematics. One of these topics is theory of algebraic curves. This ar-
ticle is devoted to one aspect of the problem of topological classification of the
plane real algebraic curves that was intensively developed from the middle of
XIX century up to present time.
Sheynin O.B. The inverse law of large numbers.
In 1713, Bernoulli proved that in «Bernoulli trials» the statistical probabil-
ity of success tends to its theoretical counterpart. Both he and later De Moivre
who derived the appropriate limit theorem also thought that they thus proved
the inverse proposition, whereas the former additionally claimed that his theo-
rem can be applied to estimate a non-existent probability of an event. Later stat-
isticians had been apt to understand his theorem in a qualitative way as a general
scientific principle and even at the end of the 19th century (Lexis) the peculiar-
ity of the inverse law of large numbers was remaining unknown.
Petrova S.S. On Euler’s enveloping series: one forgotten example.
In his enormous computing practice L. Euler made use of divergent series
and was faced with asymptotic and enveloping series. However he didn’t give an
exact mathematical formulations to these new concepts. It is shown that
A.M.Legendre’s example (1811) of the divergent series with which we connect
usually the appearance of the notion of «envelopment» can be found already in
L.Euler’s «Institutiones Calculi Differentialis» (1755).
Barabasheva Yu.M., Devyatkova G.N., Tutubalin V.N., Uger
E. G. Analysis of Gause’s works on population size in biological systems.
In 1932-1935 G.F.Gause published several papers on the so-called «Mathe-
matical theory of the struggle for existence». The main purpose of these papers
was to give some empirical proofs of biological validity for two mathematical
models: predator-prey and species competition. However, the first model in real-
ity was hopelessly buried by Gause’s experiments, although ecological commu-
nity preferred not to realize this sad fact. Competition model had a somewhat
better luck, but also was erroneously interpreted. In this paper we give a critical
survey of Gause results (mainly for competition) together with new mathemati-
cal processing of his experimental data.
Shaposhnikov V.A. Pavel Florensky’s philosophy of mathematics.
The article gives an account of the peculiarities of appreciation of mathe-
matics and its role in scientific researches by father Pavel Florensky
(1882-1937). There is no gap (and perhaps even no difference) between pure
mathematics and its applications for concrete, incarnated and fleshly mathemat-
ics, as it is seen by the Russian theologian and scientist. He considers the primor-
dial place of mathematics to be on the ontological boundary between material
360
and spiritual; mathematics has a symbolic nature, that is it shares and unites the
nature of both realms named. That’s why not only all natural and cultural phe-
nomena have mathematical structure in their background in his view, but also
all mathematical objects have empirical features and put on some sort of «flesh».
Berkovich E.M. The Odyssey of a certain dynasty. The Triptych.
In this article it is considered destinies of three mathematicians of a No-
ether’s family. The historical context of each destiny is discussed. For Max No-
ether are most essential political emancipation of Jews in Germany and the
academic anti-Semitism. For his daughter Emmy the main thing - prosecution of
Jews in the Third Reich. Her brother Fritz became a victim of two dictatorships:
running from Hitler, he has been accused as the German spy and executed in the
USSR.
Zaytsev E.A. Curvilinear «indivisibles^ of Bonaventura Cavalieri
(on the occasion of the publication of the treatise «On Magnitudes under
Spirals> by Cavalieri)
This paper is dedicated to the exposition of B.Cavalieri’s method of curvi-
linear «indivisibles», i.e., «all arcs» of concentric circumferences, and its appli-
cation to the calculation of magnitudes under spirals and to problems of
kinematics. Logical foundations of the method and the history of its develop-
ment are discussed. Special attention is given to the analysis of the notion of «all
lines» of a plane figure used by Gerard of Brussels - medieval forerunner of
Cavalieri - for the calculation of motions in his «Book of Motion» (12th—13th
c.).
Bonaventura Cavalieri. On Magnitudes under Spirals (De spatijs
helicis) (Russian translation from Latin with comments by E.A.Zaytsev).
This is the first translation into Russian with comments of a juvenile trea-
tise by B.Cavalieri written in 1623 and preserved in Galileo’s archive. This small
treatise is the earliest surviving attempt by Cavalieri to apply «indivisibles», es-
pecially the curvilinear ones, for the calculation of areas under spirals. Its con-
tents are thematically close to the first part of the Book VI of his later mature
work - «Geometry» (1635). The translation is made using the edition: Bonaven-
tura Cavalieri. De spatijs helicis (Il trattatello delle spirali) / ed. S.Giuntini
// Bollettino di storia delle scienze matematiche. Vol.5. 1985. P.9-36. The
translation is published with a kind permission of the editor of BSSM E.Giusti.
Именной указатель1)
Абрамов А.И. 24
Абрикосов А. А. 17
ал-Абхари Асир ад-Дин 120, 122, 124,
128, 130, 134, 135
Авраам, библ. 138
Авраменко С.А. 66
Аврорин Е.Н. 65, 75
Агрест М.М. 66
Адамов А.А. 181
Адамская И.А. 66
Адамский В.Б. 61, 68, 69, 75
Александр I 267
Александров А.П. 58
Александров П.С. 87, 88, 90, 91,
278, 279, 286, 294
Алпатов В.М. 85
Алферов В.И. 63
Альберт Великий (Albertus Magnus) 320
Амодео Ф. (Amodeo F.) 33
Андронов А. А. 188
Андропов Ю.В. 25
Аполлоний Пергский 114, 133,
178, 179, 181
Ариабхата 102
Аристотель 108, 112, 114, 125, 126, 128,
129, 131, 132, 135, 252, 254
Арнольд В.И. 10, 12, 13, 191, 193, 207
Арнцен Р (Arnzen R.) 132
Артин М. (Artin М.) 15
Архимед 53, 297, 299, 303,
304, 306, 312, 321
Ахмедов А. 104, 130, 136
Ашена М. (Achena М.) 136
Бабаев Ю.Н. 65, 75
Багрицкий Э.Г 47, 48
Байервальд Г (Baeyerwald Н.) 285
Барабашева Ю.М. 8
Баратынский Е.А. 50
Барингтон Р (Barington R.) 181
Бейес Т. (Bayes Т.) 214, 216-218
Беленький С.З. 62
Белый А. (Бугаев Б.Н.) 45
Белякова Е.В. 139
Бергман Ш. (Bergmann S.) 285, 295
Берия Л.П. 60, 63-65, 289
Бернулли Н. (Bernoulli N.) 181, 214
Бернулли Я. (Bernoulli J.) 38, 212-214,
217, 218, 221, 222
Бернштейн С.Н. 37
Бернштейн Ф. (Bernstein F.) 276, 277
Бетти Э. (Betti Е.) 79
Бибербах Л. (Bieberbach L.) 275
ал-Бируни Абу-р-Райхан 119, 127
Блок А.А. 50
Блохинцев Д.И. 54, 64, 70, 71, 74
Бобров С.П. 48
Боголюбов Н.Н. 54, 63, 64, 66,
67, 70, 72-74, 76
Богоутдинов А. 136
Богуненко Н.Н. 75
Бокштейн М.Ф. 131
Больцман Л. (Boltzmann L.) 53
Бонди К. (Bondy С.) 277, 294
Борель A. (Borel А.) 24
Борель Э. (Borel Е.) 27
Борис, кн. 149
Борн М. (Born М.) 277
Борткевич В.И. (Bortkiewicz L.)215, 216
Брайдерт В. (Breidert W.) 320, 321
Бриль A. (Bril А.) 270
Брюгалле Е. (Brugalle Е.) 203
Брюзотти Л. (Brusotti L.) 186, 187, 197
Бугаев Н.В. 39
Булинский А.В. 22-24
Буль Дж. (Boole G.) 30
Бунатян А.А. 66
Буницкий Е.Л. 32
Бурбаки Н. (Bourbaki N.) 15, 23, 24,
80, 162, 169
Бычков С.Н. 116, 133
Бэр Р (Baire R.) 27
Вавилов С.И. 59
Вайле Э. (Wiles А.) 18
Валентинер Ю. (Walentiner J.) 278
Валле-Пуссен Ш.Ж. де ла
(Vallee Poussin Ch.J. de la) 38
Валлис Дж. (Wallis J.) 130
Вальнер K.P (Wallner C.R.) 320
ван дер Варден Б.Л.
(van der Waerden B.L.) 278
Варахамихира 93
Васильев А.В. 30, 31, 38
Васюк Гаврилов Попов
(Дьяков) 140, 145
Вейерштрасс К.
(Weierstrass К.) 28, 31, 163, 271
Вейль A. (Weil А.) 25
Вейль Г (Weyl Н.) 22, 171,
278-280, 289, 290
Вейцман X. 287
1) Составители А.М.Володарский и Т.А.Токарева
362
Вельмин В.П. 181
Вернадский В.И. 259
Веселовский И.Н. 131
Виет Ф. (Viete F.) 179
Визгин В.П. 7
Виман A. (Wiman А.) 187
Виноградов И.М. 85, 86, 90
Виро О.Я. 195-198, 200-209
Вишневский Л.А. 290
Владимиров В.С. 61, 63, 66, 68,
70, 73, 75, 76
Вознесенский И.Н. 56
Вольтерра В. (Volterra V.) 224, 225
Вороной Г.Ф. 34
Выгодский М.Я. 131
Вюншман Р. (Wunschmann R.) 294
Вюрт Р.М. (Wurth R.M.) 282
Вюрцбургер A. (Wiirzburger А.) 268, 269
Вюстенфельд Ф. (Wiistenfeld F.) 135
Гаврила Лукин 140, 145
Гагарин Ю.А. 18
Галанин М.Д. 54
Галилей Г (Galilei G.)313-315, 320, 322
Галисон П. (Galison Р.) 54, 75
Гамкрелидзе Р.В. 14
Гандельман Г.М. 64
Гаспаров М.Л. 42, 43, 45, 47, 48, 50
Гассе Н. (Hasse N.) 135
Гаузе Г.Ф. 8, 224-241
Гаусс К.-Ф. (Gauss C.-F.) 78, 79, 214
Гельфанд И.М. И, 13, 14, 54,
62, 63, 70, 73, 74
Герард Брюссельский
(Gerardus de Brussel) 303-312,
314-316, 321, 322
Герои 132
Гершель У (Herschel W.) 215
Гессен-Дармштадт А.Ф. фон.
(Hessen-Darmstadt A.F von) 267
Гете И.В. (Goethe I.W.) 252-254, 264
Гильберт Д. (Hilbert D.) 171, 183-190,
196-198, 205, 206, 273, 275, 277
Гинзбург В.Л. 54, 62
Гиппократ Хиосский 178
Гипсикл 107
Гитлер (Шикльгрубер) А.
(Hitler А.) 277, 284
Глушков В.М. 57
Гнеденко Б.В. 218
Гнедич Н.И. 50
Годунов С.К. 62, 70, 73
Гольдин В.Я. 60, 62, 72
Гончаров Г.А. 65, 75, 76
Горбачев М.С. 84, 289
Гордан П. (Gordan Р.) 181, 274-276
Горелик Г.Е. 75
Горобец Б.С. 75
Горяйнов-Шаховской Д.Д. 39
Грассман Г (Grassmann Н.) 153
Граунт Дж. (Graunt J.) 214, 218
Гришин В.В. 18
Громов М. 208
Гудков Д.А. 182, 188-193,
196-198, 205, 207, 208
Гук Р (Hooke R.) 218
Гумбель Э. (Gumbel Е.) 277, 283,
284, 294
Гумилёв Н.С. 50
Гурвиц A. (Hurwitz А.) 182
Гусев С.И. 292
Дайк М. (Dyck М.) 254
Дайсон Ф. (Dyson F.) 25
Девяткова Г.Н. 8
Дедекинд Р.(Dedekind R.) 163
Дезарг Ж. (Desargues G.) 181
Декарт Р (Descartes R.) 23, 179, 180
Делинь П. (Deligne Р.) 21, 23
Демидов С.С. 7, 24, 295
Державин Г.Р 50
ал-Джагмини (ал-Чагмини)
Махмуд ибн Мухаммад 104
ал-Джаухари ал-’Аббас ибн Са’и/ 128
Джеймонат Л. (Geymonat L.) 37
Дженноки A. (Genocchi А.) 27, 28, 38
Джюсти Э. (Giusti Е.) 344
Дикштейн С. (Dickstein S.) 34
Дильган X. (Dilgan Н.) 104, 130
Дирак П. (Dirac Р.) 53
Дмитриев Н.А. 55, 64, 66-70, 73, 75, 76
Добровольский В.А. 8
Дунс Скот (Duns Scotus) 320
Дурново Н.С. 149
Дынкин Е.Б. 12, 68
Дьяков С.П. 62
Дюбуа-Реймон П.
(Du Bois Reymond Р.) 252
Дюреж Г (Duregh G.) 181
Евклид 53, 104-118, 120, 122,
124-126, 130-135, 316
Егоров Д.Ф. 7, 27, 29
Ельчанинов А.В. 263
Епифаний Премудрый 142, 150
Есенин-Вольпин А.С. 14
Ефремович В.А. 81
Жолковский А. К. 50
Жуков А.И. 62, 64
Жуковский В.А. 47, 50
Жуковский Н.Е. 29
363
Забабахин Е.И.
Завенягин А.П.
Заграфов В.Л.
Зайцев Е.А.
Зализняк А.А.
Звегинцев В.А.
Звонилов В.И.
Зейлиге[ Д.И.
Зеликин И.И.
Зеликине Л.Ф.
Зельдович Я.Б.
64. 65, 74, 75
64
65, 75
8, 37
14, 42-44, 50
52
195, 198
31
7, 24
83
54, 59, 60, 62-65,
68, 69, 71, 73-75
Зоммерфельд A. (Sommerfeld А.) 281
Зубарев Д.Н. 63, 66, 68
Зубов В.П. 254, 297, 313, 321
Зутер Г. (Suter Н.) 134
Ибн Корра Сабит 106, 130, 136
Ибн Сина Абу Али (Авиценна) 109, ПО,
114, 122-124, 126, 132, 134-136
Ибн ал-Хайсам 110, 124-126, 128, 135
Ибн Хунейн Исхак 106
Ибн Йунус Камал ад-Дин 122, 134
Иванов Вяч. Вс. 43, 48, 50, 51
Илиевская К. 139
Илькаев Р.И. 76
Имшенецкий В Г 37, 38
Иоффе Б.Л. 54
Итенберг И.В. 202, 203, 207
Кавальери Б. (Cavalieri В.) 8, 297-304,
311, 313-316, 318-322, 344
Каган В.Ф. 32, 33, 38
ал-Казвини Абу Йахйа 135
Калидаса 97
Калинин М.И. 39
Кан Г. (Kahn G.) 186
Кант И. (Kant I.) 249, 256, 273
Кантемир А.Д. 50
Кантор Г (Cantor G.) 27, 157, 254
Канторович Л.В. 54, 57, 61, 64,
66, 70, 72-75
Капнист В.В. 50
Каратеодори К.
(Caratheodory С.) 272, 277
Кардано Дж. (Cardano G.) 218
Картье П. (Cartier Р.) 24
Кауфман В. (Kaufmann W.) 281
ал-Каши Джамшид 105, 131
Квятковский А.П. 49
Келдыш М.В. 54, 61, 62,
64-66, 70, 72-74
Кеннеди X. (Kennedy Н.) 37
Кеннеди Э.С. (Kennedy E.S.) 131
Кеплер И. (Kepler J.) 181, 315
Кетле A. (Quetelet А.) 215
Кёйпер Ф.Б.Я. (Kuiper F.B.J.) 97
Кибрик А.Е. 7, 49-51, 52
Кикоин И.К. 55, 56, 75
ал-Кинди Абу Юсуф Якуб 127
Кирилл (Константин), св. 149
Киров С.М. 287
Кирхгоф Г. (Kirchhoff G.) 269
Киселев Г.В. 75
Клайгет М. (Clagett М.) 321
Клебш Ф. (Clebsch А.) 269, 270, 274
Клейн Ф. (Klein F.) 22, 182, 185, 193,
195, 270, 273-275, 277
Климов В.Н. 63, 66, 68
Князевская О.А. 139
Князьская Н.В. 75
Кодаира К. (Kodaira К.) 12
Койре А. (Коугё А.) 298, 319
Колмогоров А.Н. 7, И, 22, 40-52, 57,
64, 68, 70, 73, 74,
88, 90, 91, 152, 217
Компанеец А.С. 62
Кондратов А.М. 46
Корогодина М.В. 150
Корчагин А.Б. 196-198, 200, 207, 208
Косыгин А.Н. 18
Коши О. (Cauchy А.) 29, 163
Коялович Б.М. 27
Краснощеков П.С. 25
Красовский Н.Н. 84
Крахнов А.Д. 208
Крейн С.Г 63
Кремер О.П. 60
Кронекер Л. (Kronecker L.) 79, 271
Кронрод А.С. 70
Крыжановский Д.А. 33
Крылов И.А. 41
Кубицкий А. В. 131
Кузнецов Е.С. 70
Кузнецов П.С. 51, 52
Курант Р (Courant R.) 277
Курчатов И.В. 55, 71
Кутта М.В. (Kutta M.W.) 229, 233, 236
Кутюра Л. (Couturat L.) 26, 27,
30, 32, 38
ал-Кушчи ‘Али 105
Кэли A. (Cayley А.) 181
Лаврентьев М.А. 70, 74
Лакатос И. (Lakatos 1.) 158, 159
Лакло П.Ш. де (Laclos P.Ch. de) 90
Ландау Л.Д. 54, 55, 57-61, 63-65,
67, 70-75, 85, 86, 88-90
Лаплас П.С. (Laplace P.S.) 216, 241
Лахтин Л.К. 38
Лебег A. (Lebesgue Н.) 27
Лебенштайн К. (Lobenstein К.) 186
Левис Дж.Л. (Lewis G.L.) 131
364
Леви-Стросс К. (Levi-Strauss С.) 25
Левшин Б.В. 295
Лежандр А.И. (Legendre А.-М.)220, 221
Лейбниц Г.-В. (Leibniz G.-W.) 154,
179, 214
Лексис В. (Lexis W.) 215, 217, 218
Леонтович-Андронова Е.А. 190
Лерман Л.И. 207
Лермонтов М.Ю. 41, 50
Лессинг Т. (Lessing Т.) 283, 284
Ли С. (Lie S.) 31
Ливей И. (Levey И.) 130
Лимеров П.Ф. 150
Лимонов (Савенко) Э.В. 12
Линде А.Д. 23
Литвинов (Валлах) М.М. 289, 295
Лифшиц Е.М. 54, 58, 85, 86, 88-90
Лобачевский Н.И. 30, 31, 38, 41
Ломбардо-Радиче Л.
(Lombardo-Radice L.) 320
Ломоносов М.В. 41, 50
Лориа Дж. (Loria G.) 181
Лотка А.Дж. (Lotka A.J.) 224, 225
Лотфи A. (Lotfi А.Н.) 132
Лузин Н.Н. 7, И, 27, 29, 38
Лурье С.Я. 298, 319, 320
Лыткин В.И. 150
Льюис К. (Lewis Ch.) 320
Люрот Я (Liiroth J.) 269, 270
Люстерник Л.А. 91
Лютер И.О. 132, 134
Ляпунов А.А. 57
Мадкур И. (Madkour I.) 132
Майенбва М.Р 50
Маймонид 133
Макеев В.В. 195, 208
Маклорен К. (Maclaurin С.) 220-222
Максвелл Дж.К. (Maxwell J.C.) 19, 53
Маленков Г.М. 18
ал-Малик ал-Камил 135
Малиновская Е.В. 63, 66
Малых А.Е. 8
Мамфорд Д. (Mumford D.) 15
Манин Ю.И. 20
Манн Т. (Mann Т.) 271, 290
Марен A. (Marin А.) 208
Марков А.А. 14, 27, 37, 38, 213, 214, 216
Марчук Г.Н. 70
Массе A. (Masse Н.) 136
Матвиевская Г.П. 9, 131
Мациевский К. (Maciejewski С.) 215
Маяковский В.В. 43, 46, 50
Медведев Ф.А. 37
Мейлах Б.С. 50
Мейман З.М. 89
Мейман Н.Н. 58, 66, 67, 70, 72, 85, 89, 91
Мельчук И.А. 50 Менделеев Д.И. 41 Менехм 178 Мефодий, св. 149 Мехмед II 105, 131 Мигдал А.Б. 54 Мизес Р (Mises R.) 216, 217 Милнор Дж. (Milnor J.) 12 Миронова Т.Л. 149 Мишачев Н.М. 194, 195 Мищенко Е.Ф. 77 Млодзеевский Б.К. 29 Моисеева И.Ю. 150 Молин Ф.Э. 285 Моньер-Вильямс М.Ф. (Monier-Williams M.F.) 96 Морвидж П. (Morewedge Р.) 136 Мордухай-Болтовской Д.Д. 34, 35, 38, 39. 131, 207 Морозов Б.Н. 7, 139 Морозов В.В. 87, 90, 190, 191 Морроу Г. (Morrow G.R.) 132 Морс X. (Morse Н.) 12, 187 Муавр A. (De Moivre А.) 213, 214, 216-218 Мусхелишвили Н.И. 289 Мыльцына (Мыльцина) И.В. 7, 85-89 Мюллер Я. (Mueller I.) 132 Мямлин А.Н. 65
ан-Найризи Абу-л-’Аббас 110, 112, 115, 123, 126,132 Нараяна 93 Небукина Г.Ф. 196 Некрасов П.А. 38 Нётер A. (Noether А.) 281 Нётер Г. (Noether G.) 286, 288 Нётер Г. (Noether Н.) 267-269 Нётер М. (Noether М.) 8, 268-270, 274, 275, 294 Нётер Р (Noether R.) 267, 292 Нётер Ф. (Noether F.) 8, 269, 276, 280-293 Нётер Э. (Noether Е.) 8, 276-280, 284, 286, 294 Николь Ф. (Nicole F.) 180 Никулин В. В. 195 Новалис (фон Гарденберг Ф.) (Novalis; von Hardenberg F.) 245 Ньютон И. (Newton 1.) 78, 179-181, 207, 218
О’Коннор Дж. (O’Connor J.) 269
Обухов А.М. 64
Овсянников Л.В. 70
365
Ожегов С.И. 44
Олейник О.А. 207
Оревков С.Ю. 195, 197, 198, 203-205, 207
Осгуд У.Ф. (Osgood W.F.) 78
Осипов Ю.С. 76
Ошерович Б.Я. 133
Павлов И.П. 41
Падучева Е.В. 50
Пайерлс Р (Peierls R.) 61
Парфентьев Н.Н. 32, 38
Паршин А.Н. 7
Паскаль Б. (Pascal В.) 181
Пастернак Б.Л. 50
Паш М. (Pasch М.) 33
Пеано Дж. (Peano G.) 25-39, 170
Пелипенко А.О. 75
Перельман Г.Я. 18, 20
Перминов В.Я. 8
Петерсон К.М. 29
Петрова С.С. 8
Петровский И.Г. 41, 57, 59, 63, 70, 74,
182, 187, 188, 190, 191, 202, 208
Пиери И. (Pieri М.) 31, 33
Пингри Д. (Pingree D.) 96
Пиоля Г. (Piola G.) 322
Пирсон К. (Pearson К.) 213
Пирсон Э.С. (Pearson E.S.) 213
Писаревский Б.М. 75
Пифагор 53
Платон 53, 79, 243, 245, 252, 264
Плеснер А.И. 91
Плотин 79
Плюккер Ю. (Pliicker J.) 181
Погребысский И.Б. 63
Полотовский Г.М. 8, 196, 198, 207
Полтерович В.М. 25
Померанчук И.Я. 54, 63, 65, 70, 71, 74
Понтрягин Л.С. 7, 11, 23, 77-84, 85-91
Попов П.С. 131
Порецкий П.С. 27, 30, 37, 38
Поспелов Д.А. 75
Поссе К.А 28, 37
Постников И.М. 12
Прайс Р (Price R.) 214
Прингсхайм А.
(Pringsheim А.) 268, 271, 273
Прокл 111, 115, 117-119,
122-124, 132, 133, 135
Прохоров А.В. 46, 48, 50
Прохоров Ю.В. 213
Псевдо-Туси 107-109, 112, 114, 115, 117,
119, 121, 122, 124-127, 130-135
Птолемей 119, 213
Пуанкаре A. (Poincare Н.)22, 27, 79, 171
Пуассон С.Д. (Poisson S.D.) 212,
215, 218
Пужляков Ю.К. 66
Пушкин А.С. 41, 50
Раджип Дж. (Ragep F.J.) 134
Рассел Б. (Russel В.) 27, 31
Ратнер И. (Ratner М.) 44, 51
Рашед Р. (Rashed.R.) 114, 133
Ревзин И.И. 47, 48, 50
Риман Б. (Riemann G.F.B.) 249, 273
Роберваль Ж.П. (Roberval J.P.) 322
Робертсон Э.(Robertson Е.) 269
Родин А.В. 39
Рождественский Б.Л. 60, 62, 72
Розенфельд Б.А. 104, 108, 130,
131, 134, 135
Романов Г.В. 25
Романов Ю.А. 62, 65, 75
Романовский В.И. 9, 216
Рон К. (Rohn К.) 186, 189, 207
Рохлин В.А. 82, 193-195, 208
Роэро С. (Roero S.) 25, 38
Рудик А.П. 54
ар-Руми Кади заде 103-109, 111, 112,
114-122, 124, 126-131, 133-136
Рунге К.Т (Runge С.Т.) 229, 233,
236, 277
Рыжков Н.И. 84
Рычкова (Химченко) Н.Г 48, 51
Рэгсдейл В. (Ragsdale V.) 185-187, 191,
202, 203, 207
Рябев Л.Д. 75
Сабра A. (Sabra A.I.) 132, 133, 136
ас-Саджаванди Сирадж ад-Дин 105
Саккери Дж. (Saccheri G.) 130
ас-Самарканди Шаме ад-Дин 7, 103-107,
109-113, 115, 118-120, 123, 125-135
Самарский А.А. 54, 59-62, 65,
66, 70, 72, 73, 75
Сарра, библ. 138
Сахаров А.Д. 54, 62, 64, 65, 74, 75
Светлова (Солженицына) Н.Д, 44,
48, 51
Севери Ф. (Severi F.) 12
Сегре И. (Segre М.) 39
Сезанн П. (Sezannee Р.) 23
Сезгин Ф. (Sezgin F.) 131
Семендяев К.А. 61-66, 70, 72, 74, 75
Семенов Н.Н, 62
Сергеев А. Г 24
Серпинский В. (Sierpinski W.) 34, 38
Серр Ж.-П. (Serre J.-P.) 24
ас-Сиджизи Ахмад 114, 133
Сидоров А.С. 150
Силла Е. (Sylla Е.) 321
366
Симеон, царь 149
Симонов Р.А. 7, 8
Симпликий 112-115, 119, 120, 123, 132
Симпсон Дж. (Simpson J.) 24
Синельников К.Д. 62
Синеоков Н.С. 38
Слешинский И.В. 26, 27, 32
Смирнов В.И. 9, 55
Смородинский Я.А. 56, 57, 71, 75
Соболев С.Л. 54-57, 59, 62,
70, 71, 73, 74
Соколова Е.И. 139
Соколовская З.К. 131
Солженицын А.И. 39
Соловьев В.С. 79
Соснин Г.А. 75
Софронов И.Д. 62, 66, 67, 76
Спенсер Дж.(Spencer J.) 12
Спхуджидхваджа 93
Сталин (Джугашвили) И.Е к 36, 287,
291, 292
Старостина И.П. 139
Стеклов В.А. 28, 38, 54, 55, 61
Стефан Пермский 7, 137-150
Стирлинг Дж. (Stirling J.) 180
Стырикович М.А. 85, 89, 91
Стяжкин Н.И. 37
Тамаркин Я.Д. 38
Тамм И.Е. 54, 59, 62-64, 74
Тарановский К.Ф. 45, 47, 50
Тейт Дж.(Tate J.) 15
Тихомиров В.И. 22, 24, 25
Тихонов А.Н. 54, 55, 57,
59-66, 70, 72-74
Тодхантер И. (Todhunter I.) 213, 214
Томашевский Б.В. 45, 48, 49
Топоров В.Н. 50
Торричелли Э. (Torricelli Е.) 318-320
Троцкий (Бронштейн) Л.Д. 287
Трубачева (Флоренская) О.П. 255,
263, 264
Трубецкой Н.С. кн. 149
Трутнев Ю.А. 65, 75
Турилов А.А. 150
ат-Туси Насир ад-Дин 106-109, 112, 120,
124-126, 128-132, 134, 135
Тутубалин В.Н. 8, 217
Угер Е.Т.
Удальцов И.И.
Удальцова З.В.
Уитни X. (Whitney Н.)
Улугбек
Успенский Б.А.
Успенский В.А.
Успенский В.Я.
8
85, 86, 89, 90
85, 86, 90
80
104, 105, 131
40, 50
7, 14, 52
212, 218
Устинов Д.Ф. 25
Уткин Г.А. 207
Фаддеев Л.Д. 19
Фалькович С.В. 295
Фано Дж. (Fano G.) 33
ал-Фараби Абу Наср 108-110,
114, 131-133
Фарадей И. (Faraday М.) 19, 252
ал-Фариси 110
Феодоритова М.И. 69
Феоктистов Л.П. 65, 75
Ферма П. (Fermat Р.) 179, 180
Фет А.А. 50
Фет Я.И. 75
Фидлер Т. (Fiedler Т.) 195, 198, 208
Фидлер-Ле Тузе С.
(Fiedler-Le Touze S.) 195, 197, 205
Финашин C.M. 195
Фиников С.П. 18
Фихтенгольц Г.М. 28, 38
Фишер Р.А. (Fisher R.A.) 214
Флоренс В. (Florens V.) 195
Флоренская (Зарубина) Н.И. 246
Флоренский А.И. 259
Флоренский В.П. 246, 253, 254, 262
Флоренский К.П. 252, 255, 256, 260, 261
Флоренский М.П. 244, 246, 263
Флоренский П.А. 8, 242, 243, 245, 246
Фок В.А. 59
Фома Аквинский (Thomas Aquinus) 320
Фома Брадвардин (Thomas
Bradwardinus) 321
Фохт Б.А. 132
Франк-Каменецкий Д.А. 54, 61, 68, 69
Фреге Г (Frege G.) 152
Фридрих II Гогенштауфен 134
Фрумкина Р.М. 50
Фурье Ж.Б.Ж. (Fourier J.B.J.) 53
Хаас Б. (Haas В.) 203
ал-Хаджадж ибн Юсуф ибн Матар 106
Хаджжи Халифа (Катиб Челеби) 105,
106, 131
Хайям Омар (‘Умар ал-Хаййами) 120,
124, 126, 128, 129, 134, 135
Халатников И.М. 54, 58, 66, 72, 75
Харенко Е.Д. 133
Харин В.Т 75
Харитон Ю.Б. 54, 58, 60, 62, 63, 68
Харламов В.М. 195, 198, 208
Харник (Гарнак) А.
(Harnack А.) 182-188, 196, 197
Хелемский А.Я. 24
ХизТ. (Heath Th. L.) 134
Хинтикка Я. (Hintikka J.) 166
Хладни Э. (Chladni Е.) 242, 253
367
Хониг Р (Honig R.) 277
Храбр Черноризец 150
Хрущев Н.С. 25
Церковников Ю.А. 63, 66
Цермело Э. (Zermelo Е.) 156, 157
Чайковский Ю.В. 218
Чаплыгин С.А. 29
Чеботарев Н.Г 31
Чебышев П.Л. 7, 30, 37, 215, 218
Чезаро Э. (Cesaro Е.) 28
Чжень Ш. 80
Чубер Э. (Czuber Е.) 217
Чупров А.А. 217
Шатуновский С.О. 27, 32
Шафаревич И.Р -13, 16, 81
Шейнин О.Б. 8
Шелест П.Е. 18
Шенгели Г.А. 45
аш-Ширази Кутб ад-Дин 110, 134
Ширков Д.В. 63, 66, 68
Шредер Э. (Schroder Е.) 30
Шредингер Э. (Schrodinger Е.) 53
Шретер Г (Shreter G.) 181
Штерн М. (Stern М.) 273
Шульга К. 150
Шустин Е.И. 196-198, 200, 205, 207, 208
Щапов Я.Н. 139
Щеглов Ю.К. 50
Щелкин К.И. 59, 60, 63, 65, 74, 75
Щетников А.И. 135
Эйлер Л. (Euler L.) 8, 9, 181, 220-223
Эйнштейн A. (Einstein А.) 53, 280,
289, 290
Энриквес Ф. (Enriques F.) 33, 37
Эренфест П. (Ehrenfest Р.) 27
Эрмит Ш. (Hermite Ch.) 79
Эрн В.Ф. 243
Юсупова Д.Ю. 131
Юшкевич А.П. 130, 134, 135
Якимов С.С. 75
Якобсон P.O. 45, 50
Яненко Н.Н. 60, 62, 66, 70, 72, 73
Яншин А.Л. 84
Научное издание
Коллектив авторов
Историко-математические исследования. Вторая серия. Выпуск 14(49)
Сдано в набор 01.02.2011 Подписано в печать 31.03.2011
Формат 60x88/16. Бумага офсетная №1. Печать офсетная.
Уч.-изд л. 24,25. Физ.н.л. 23,0. Тираж 300. Заказ № 6549
ООО Издательство «Янус-К»
127411, Москва, ул. Учинская, д.1
Отпечатано в ФГУП «ПИК ВИНИТИ»,
140010, Люберцы, Октябрьский пр., д.403
4?fl5fl[]3 7D5D13
Сборник открывается статьей члена-корреспондента РАН
А.Н.Паршина «Математика в Москве: у нас была великая
эпоха». Советская математическая школа - одна из ведущих
математических школ XX столетия. В чем природа этого
удивительного феномена нашей культуры? Что выделяет
его из общего потока столь богатой событиями истории
математики минувшего века? Различные аспекты
деятельности школы затрагиваются также в статьях о роли
российских провинциальных университетов в формировании
тематики ее исследований, о работах А.Н.Колмогорова
в области лингвистики, об участии математиков в работах
по советскому атомному проекту, в материалах,
посвященных 100-летию со дня рождения выдающегося
математика XX столетия Л.С.Понтрягина (1908-1988).
Раздел - математика античности и средних веков - содержит
работы о происхождении нуля, о нумерационных разработках
Стефана Пермского (XIV в.).
Раздел статей различного содержания включает материалы
об основаниях математического знания, о философии
математики о. Павла Флоренского, о династии немецких
математиков Нётер - М.Нётер (1844-1921) и его детях,
знаменитой алгебраистке Э.Нётер (1882-1935) и жертве
сталинского Гулага Ф.Нётер (1884-1941).
Публикуется перевод трактата Б.Кавальери «О величинах
под спиралями».
Сборник адресован лицам, интересующимся математикой,
путями ее развития и местом в науке и культуре.